2011年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第7题6分
有$$6$$名同学咨询成绩．老师说：甲不是$$6$$人中成绩最好的，乙不是$$6$$人中成绩最差的，而且$$6$$人的成绩各不相同．那么他们$$6$$人的成绩不同的可能排序共有 ．
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解法一 以$$A$$记甲成绩排名第一的所有可能的排序之集， 以$$B$$记乙成绩排名为最后的所有可能的排序之集，则$$\left\textbar{} A \right\textbar=\left\textbar{} B \right\textbar=5!$$，$$\left\textbar{} A\cap B \right\textbar=4!$$．  甲排名第一或乙排名最后的所有可能的排序数为  $$\left\textbar{} A\cup B \right\textbar=\left\textbar{} A \right\textbar+\left\textbar{} B \right\textbar-\left\textbar{} A\cap B \right\textbar=216$$．  按照老师所述，这６位同学成绩可能的排序数为$$6!-216=504$$．       解法二 以乙的成绩不在最后为前提，考虑甲的成绩不在第一的所有可能排序．  （$$1$$）甲的成绩排在最后的所有可能的排序数为$$A_{5}^{5}=120$$；  （$$2$$）甲的成绩不在最后，又不在第一的所有可能排序数为$$C_{4}^{1}\cdot C_{4}^{1}\cdot A_{4}^{4}=384$$．  所以甲不在首，乙不在尾的所有可能排序数为$$120+384=504$$． 