1988年全国高中数学联赛竞赛一试第5题
在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点．我们用Ⅰ表示所有直线的集合，$$M$$表示恰好通过一个整点的直线的集合，$$N$$表示不通过任何整点的直线的集合，$$P$$表示通过无穷多个整点的直线的集合，那么表达式：．  （1）$$M{\cup }N{\cup }P=$$Ⅰ；（3）$$N\ne \varnothing $$；  （2）$$M\ne \varnothing $$；~~~~~~~~~~ （4）$$P\ne \varnothing $$  中正确的个数是
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直线$$y=\frac{1}{2}$$不通过任何整点，所以表达式（2）正确；  直线$$y=\sqrt{2}x$$无穷多个，恰好通过一个整点$$\left( 0,0 \right)$$，所以表达式（$$3$$）正确，  直线$$y=x$$通过多个整点，所以表达式（$$4$$）正确；  我们来证明，若  $$ax+by+c=0$$  通过两个整点$$\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)$$、$$\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)$$，  则通过无穷多个整点  $$\left( {{x}_{2}}+k\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right),{{y}_{1}}+k\left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right) \right)$$，$$k\in \bf Z$$．  事实上  $$a\left[ {{x}_{1}}+k\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right) \right]+b\left[ {{y}_{1}}+k\left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right) \right]+c$$  $$=a{{x}_{1}}+b{{y}_{1}}+c+k\left( a{{x}_{2}}+b{{y}_{2}}+c \right)-k\left( a{{x}_{1}}+b{{y}_{1}}+c \right)$$  $$=0$$，  故选$$\text{D}$$． 