2014年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分
等比数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$的前$$n$$项和为$${{S}_{n}}$$，并且对任意正整数$$n$$成立$${{S}_{n+2}}=4{{S}_{n}}+3$$，则$${{a}_{2}}$$的值是．
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设公比为$$q$$．由于$$q{{S}_{n}}=q\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{n}} \right)={{a}_{2}}+{{a}_{3}}+\ldots +{{a}_{n+1}}$$，所以$${{S}_{n+1}}=q{{S}_{n}}+{{a}_{1}}$$．进而$${{S}_{n+2}}=q\left( q{{S}_{n}}+{{a}_{1}} \right)+{{a}_{1}}={{q}^{2}}{{S}_{n}}+{{a}_{1}}\left( q+1 \right)$$．与已知条件比较可知$${{q}^{2}}=4$$，$${{a}_{1}}\left( q+1 \right)=3$$．所以$$q=2$$，$${{a}_{1}}=1$$，或$$q=-2$$，$${{a}_{1}}=-3$$．相应地，$${{a}_{2}}=2$$或$$6$$． 