2019~2020学年上海浦东新区华东师范大学第二附属中学高一上学期单元测试第5题 2003年全国全国高中数学联赛竞赛一试第13题20分
设$$\frac{3}{2}\leqslant x\leqslant 5$$，则下式$$2\sqrt{x+1}+\sqrt{2x-3}+\sqrt{15-3x}$$最大不超过．
竞赛->知识点->不等式->几个重要的不等式->柯西 课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->柯西不等式
由$${{\left( a+b+c+d \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}+2\left( ab+bc+cd+da+ac+bd \right)$$可得  $$a+b+c+d\leqslant 2\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}$$当且仅当$$a=b=c=d$$时取等号，  由柯西不等式  $${{\left( 2\sqrt{x+1}+\sqrt{2x-3}+\sqrt{15-3x} \right)}^{2}}=\left( \sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{2x-3}+\sqrt{15-3x} \right)$$  $$\leqslant 4\left( x+1+x+1+2x-3+15-3x \right)$$  $$=4(x+14)\leqslant 4\times 19$$  ∵$$\sqrt{x+1}$$，$$\sqrt{2x-3}$$，$$\sqrt{15-3x}$$不能同时相等，  ∴$$2\sqrt{x+1}+\sqrt{2x-3}+\sqrt{15-3x}\textless{}2\sqrt{19}$$． 