2015年第32届全国全国初中数学联赛竞赛A卷第5题7分
已知实数$$x$$，$$y$$满足关系式$$xy-x-y=1$$，则$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}$$的最小值为（~ ~ ~ ）．
课内体系->知识点->方程与不等式->一元二次方程->解一元二次方程->换元法求一元二次方程的根 课内体系->方法->配方法
设$$x+y=t$$，  则$$xy=x+y+1=t+1$$，  ∴$$x$$，$$y$$是关于$$m$$的一元二次方程$${{m}^{2}}-tm+t+1=0$$的两个实数根，  ∴$$\Delta ={{t}^{2}}-4(t+1)\geqslant 0$$，  解得$$t\geqslant 2+2\sqrt{2}$$或$$t\leqslant 2-2\sqrt{2}$$．  ∵$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{(x+y)}^{2}}-2xy={{t}^{2}}-2(t+1)={{(t-1)}^{2}}-3$$，  ∴当$$t=2-2\sqrt{2}$$（即$$x=y=1-\sqrt{2}$$）时，$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}$$取得最小值，最小值为$$6-4\sqrt{2}$$． 