2011年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第12题5分
已知$$f(x)=2{{x}^{2}}+3px+2q$$和$$\varphi (x)=x+\frac{4}{x}$$是定义在集合$$M=\left { x\left\textbar{} 1\leqslant x\leqslant \frac{9}{4} \right. \right }$$上的函数，对任意的$$x\in M$$，存在常数$${{x}_{0}}\in M$$，使得$$f(x)\geqslant f({{x}_{0}}),\varphi (x)\geqslant \varphi ({{x}_{0}})$$，且$$f({{x}_{0}})=\varphi ({{x}_{0}})$$，则函数$$f(x)$$在$$M$$上的最大值为．
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易知$$x=2$$时，$$\varphi \left( x \right)$$取得最小值$$4$$，所以$${{x}_{0}}=2$$．  在$$\left[ 1,\frac{9}{4} \right]$$上，$$f\left( x \right)$$在$$x=2$$取得最小值，所以$$-\frac{3}{4}p=2$$，解得$$p=-\frac{8}{3}$$．  又$$f\left( 2 \right)=\varphi \left( 2 \right)=4$$，$$8+6p+2q=4$$，解得$$q=6$$．  $$f\left( x \right)=2{{x}^{2}}-8x+12=2{{\left( x-2 \right)}^{2}}+4$$，在$$M$$上最大值为$$f\left( 1 \right)=6$$． 