2002年全国全国高中数学联赛竞赛一试第8题9分
将二项式$${{\left( \sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt[4]{x}} \right)}^{n}}$$的展开式按$$x$$的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中$$x$$的指数是整数的项共有个．
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不难求出前三项的系数分别是$$1,\frac{1}{2}n,\frac{1}{8}n(n-1)$$，  ∵$$2\cdot \frac{1}{2}n=1+\frac{1}{8}n(n-1)$$，  ∴当$$n=8$$时，$${{T}_{r+1}}=C_{n}^{r}{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{r}}{{x}^{\frac{16-3r}{4}}}$$ （$$r=0$$，$$1$$，$$2$$，$$\cdots $$，$$8$$）  ∴$$r=0,4,8$$，即有$$3$$个． 