2008年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分
若方程$${{a}^{x}}+2x-4=0\left( a\textgreater0,  a\ne 1 \right)$$的所有根为$${{u}_{1}},{{u}_{2}},\cdots ,{{u}_{k}}$$，其中$$k$$为正整数，方程$${{\log }_{a}}2x+x-2=0\left( a\textgreater0,  a\ne 1 \right)$$的所有根为$${{v}_{1}}，  {{v}_{2}}，\cdots ，{{v}_{l}}$$，其中$$l$$为正整数，则  $$\frac{{{u}_{1}}+{{u}_{2}}+\cdots +{{u}_{k}}+{{v}_{1}}+{{v}_{2}}+\cdots +{{v}_{l}}}{k+l}$$的值为．
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方程$${{a}^{x}}+2x-4=0$$等价于$$\frac{{{a}^{x}}}{2}=2-x$$，  其根即为$$y=\frac{{{a}^{x}}}{2}$$与$$y=2-x$$的交点的横坐标．  $${{\log }_{a}}^{2x}+x-2=0$$等价于$${{\log }_{a}}^{2x}=2-x$$，  其根即为$$y={{\log }_{a}}^{2x}$$与$$y=2-x$$的交点的横坐标．  因为$$y=\frac{{{a}^{x}}}{2}$$与$$y={{\log }_{a}}^{2x}$$互为反函数，  所以此它们的图像关于$$y=x$$对称，  因此所有根的算术平均就是$$y=x$$与$$y=2-x$$交点的横坐标$$1$$．  故选$$\text{C}$$． 