2009年第20届希望杯初二竞赛第1试第7题
在$$100\sim 1000$$的整数中（含$$100$$和$$1000$$），既不是完全平方数，也不是完全立方数的数有．
竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题
用$$A(n)$$表示不大于$$n$$的非零自然数中既不是完全平方数，也不是完全立方数的数的个数．  由于$$9 ~\textless{} ~\sqrt{99} ~\textless{} ~10$$，$$4 ~\textless{} ~\sqrt[3]{99} ~\textless{} ~5$$，$$2 ~\textless{} ~\sqrt[6]{99} ~\textless{} ~3$$，  所以$$A(99)=99-(9+4-2)=88$$．  由于$$31 ~\textless{} ~\sqrt{1000} ~\textless{} ~32$$，$$\sqrt[3]{1000}=10$$，$$3 ~\textless{} ~\sqrt[6]{1000} ~\textless{} ~4$$，  所以$$A(1000)=1000-(31+10-3)=962$$．  故有$$A(1000)-A(99)=962-88=874$$．  即在$$100\sim 1000$$的整数中（含$$100$$和$$1000$$），既不是完全平方数也不是完全立方数的数有$$874$$个．  故选$$\text{C}$$．  <p>因为$$100={{10}^{2}}$$，$${{31}^{2}} &nbsp;&lt; &nbsp;1000 &nbsp;&lt; &nbsp;{{32}^{2}}$$，</p>
<p>所以，$$100\sim 1000$$中，完全平方数有$${{10}^{2}}$$，$${{11}^{2}}$$，$${{12}^{2}}$$，$$\cdots $$，$${{31}^{2}}$$，共$$22$$个．</p>
<p>因为$${{4}^{3}} &nbsp;&lt; &nbsp;100 &nbsp;&lt; &nbsp;{{5}^{3}}$$，$$1000={{10}^{3}}$$，</p>
<p>所以，$$100\sim 1000$$中，完全立方数有$${{5}^{3}}$$，$${{6}^{3}}$$，$$\cdots $$，$${{9}^{3}}$$，$${{10}^{3}}$$共$$6$$个，</p>
<p>其中$${{9}^{3}}={{3}^{6}}={{27}^{2}}$$既是完全平方数，也是完全立方数．</p>
<p>所以，在$$100\sim 1000$$的整数中（含$$100$$和$$1000$$），既不是完全平方数也不是完全立方数的数有$$901-22-6+1=874$$（个）．</p>
<p>故选$$\text{C}$$．</p>