2006年上海复旦大学自主招生千分考第16题 1981年全国高中数学联赛竞赛一试第2题
条件甲：$$\sqrt{1+\sin \theta }=a$$．条件乙：$$\sin \frac{\theta }{2}+\cos \frac{\theta }{2}=a$$．则下列（~ ）是正确的．
竞赛->知识点->三角函数->三角函数的图像与性质 竞赛->知识点->三角函数->三角恒等变换
因为$$\sqrt{1+\sin \theta }=\sqrt{{{\sin }^{2}}\frac{\theta }{2}+2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}+{{\cos }^{2}}\frac{\theta }{2}}=\sqrt{{{\left( \sin \frac{\theta }{2}+\cos \frac{\theta }{2} \right)}^{2}}}=\left\textbar{} \sin \frac{\theta }{2}+\cos \frac{\theta }{2} \right\textbar$$  所以条件甲等价于：$$\left\textbar{} \sin \frac{\theta }{2}+\cos \frac{\theta }{2} \right\textbar=a$$．  在条件甲中，易知$$a\geqslant 0$$，而在条件乙中，$$a$$可能取负值．  所以由条件甲推不出乙，由乙也推不出甲，  即甲不是乙的必要条件，也不是充分条件． 