2019年贵州全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
设$$x$$、$$y$$、$$z$$均为素数，且$$x\leqslant~ y\leqslant z$$．则不定方程$$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2019$$的正整数解有组．
竞赛->知识点->数论模块->同余->平方剩余 竞赛->知识点->排列组合与概率->概率初步
注意到，素数$$x\leqslant y\leqslant z$$．  由$$3x^{2}\leqslant 2019\Rightarrow 2\leqslant x\leqslant 25$$，  故$$x$$、$$y$$的所有可能取值为：$$2$$、$$3$$、$$5$$、$$7$$、$$11$$、$$13$$、$$17$$、$$19$$、$$23$$．  由$$3z^{2}\geqslant 2019$$，$$z^{2}\textless{}2019\Rightarrow 26\leqslant z\textless{}45$$，  故$$z$$的所有可能取值为：$$29$$、$$31$$、$$37$$、$$41$$、$$43$$．  当$$z=29$$时，  $$x^{2}+y^{2}=2019-29^{2}=1178$$，无解；  当$$z=31$$时，  $$x^{2}+y^{2}=2019-31^{2}=1058=23^{2}+23^{2}$$；  当$$z=37$$时，  $$x^{2}+y^{2}=2019-37^{2}=650=11^{2}+23^{2}=17^{2}+19^{2}$$；  当$$z=41$$时，  $$x^{2}+y^{2}=2019-41^{2}=338=7^{2}+17^{2}=13^{2}+13^{2}$$；  当$$z=43$$时，  $$x^{2}+y^{2}=2019-43^{2}=170$$，无解．  综上，原不定方程共有五个解：  $$(x,y,z)=(23,23,31)$$，$$(11,23,37)$$，$$(17,19,37)$$，$$(7,17,41)$$，$$(13,13,41)$$．  故选$$\text{C}$$． 