2018年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分
对任意正整数$$n$$，定义$$Z(n)$$为使得$$1+2+\cdots +m$$是$$n$$的倍数的最小正整数$$m$$．关于下列三个命题：  ①若$$p$$为奇素数，则$$Z(p)=p-1$$；  ②对任意正整数$$a$$，均有$$Z(2^{}a)\textgreater2^{}a$$；  ③对任意正整数$$a$$，均有$$Z(3^{}a)=3^{}a-1$$，  其中，真命题的序号为．
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注意到，$$1+2+ \cdots +m= \frac{m(m+1)}{2}$$，  在命题①中，由$$p\left\textbar{} \frac{m(m+1)}{2} \right.$$，知$$2p\textbar m(m+1)$$，  又$$p$$为奇素数，则$$p\textbar m$$或$$p\textbar(m+1)$$，  故$$m$$的最小值为$$p-1$$，  因此，命题①正确．  在命题②中，由$$2^{a}\left\textbar{} \frac{m(m+1)}{2} \right.$$，知$$2^{a+1}\textbar m(m+1)$$，  注意到，$$(m,m+1)=1$$，  则$$2^{a+1}\textbar m$$或$$2^{a+1}\textbar(m+1)$$，  故$$Z(2^{}a)=2^{a+1}-1\textgreater2^{}a$$，  因此，命题②正确．  在命题③中，由$$3^{a}\left\textbar\frac{m(m+1)}{2} \right.$$，知$$2\times 3^{a}\textbar m(m+1)$$，  注意到，$$2\textbar m(m+1)$$，$$(2,3)=1$$，  则$$2\times3^{}a\textbar m(m+1)\Leftrightarrow 3^{}a\textbar m(m+1)$$，  又$$(m,m+1)=1$$，  于是，$$3^{}a\textbar m$$或$$3^{}a\textbar(m+1)$$，  故$$Z(3^{}a)=3^{}a-1$$，  因此，命题③正确． 