1984年全国高中数学联赛竞赛一试第5题
若$$a\textgreater0,a\ne 1,F\left( x \right)$$是一奇数，则$$G\left( x \right)=F\left( x \right)\cdot \left( \frac{1}{{{a}^{x}}-1}+\frac{1}{2} \right)$$是（~ ）．
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∵$$F\left( x \right)$$是奇函数，$$F\left( -x \right)=-F\left( x \right)$$  令 $$g\left( x \right)=\frac{1}{{{a}^{x}}-1}+\frac{1}{2}=\frac{{{a}^{x}}+1}{2\left( {{a}^{x}}-1 \right)}$$，  则 $$g\left( -x \right)=\frac{{{a}^{-x}}+1}{2\left( {{a}^{-x}}-1 \right)}=\frac{\frac{1}{{{a}^{x}}}+1}{2\left( \frac{1}{{{a}^{x}}}+1 \right)}$$，  $$=\frac{{{a}^{x}}+1}{2(1-{{a}^{x}})}=-g\left( x \right)$$，  即$$g\left( x \right)$$也是奇函数．  当$$a\textgreater0$$，$$a\ne 1$$时，$$G\left( x \right)=F\left( x \right)g\left( x \right)$$在$$R$$上有意义．  而 $$G\left( -x \right)=F\left( -x \right)g\left( -x \right)=\left[ -F\left( -x \right) \right]\left[ -g\left( -x \right) \right]$$  $$=F\left( x \right)g\left( x \right)$$，  ∴$$G\left( x \right)$$是偶函数． 