2006年上海复旦大学自主招生千分考第6题 2010年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
在正三棱柱$$ABC-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$$中，若$$AB=\sqrt{2}B{{B}_{1}}$$，则$$A{{B}_{1}}$$与$${{C}_{1}}B$$所成的角的大小是．
竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间中的角与距离
取$${{B}_{1}}{{A}_{1}}$$的中点$$M$$，易知$${{C}_{1}}M\bot $$平面$$A{{A}_{1}}{{B}_{1}}B$$，所以$${{C}_{1}}M\bot A{{B}_{1}}$$，  在矩形$$AB{{B}_{1}}{{A}_{1}}$$中，$$\tan \angle {{B}_{1}}BM=\tan \angle {{B}_{1}}AB=\frac{\sqrt{2}}{2}$$，  于是$$\angle {{B}_{1}}BM=\angle {{B}_{1}}AB$$，从而$$MB\bot A{{B}_{1}}$$，  因此，$$A{{B}_{1}}\bot $$平面$$BM{{C}_{1}}$$，所以$$A{{B}_{1}}\bot B{{C}_{1}}$$，即$$A{{B}_{1}}$$与$${{C}_{1}}B$$所成的角的大小为$$90{}^{}\circ $$． 