2014年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第10题5分
已知函数$$f\left( x \right)=\cos \left( a\sin x \right)-\sin \left( b\cos x \right)$$无零点，则$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$$的取值范围为．
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由已知得$2k \pi +b\cos x=\frac{ \pi }{2}-a\sin x$，$\left( 2k+1 \right) \pi -b\cos x=\frac{ \pi }{2}-a\sin x\left( k\in \mathbf{Z} \right)$，  无解，所以方程$\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\sin \left( x+\varphi~ \right)=\frac{ \pi }{2}+2k \pi $，或  $\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$$\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\sin \left( x-\varphi~ \right)=\frac{ \pi }{2}-\left( 2k+1 \right) \pi $  其中$\sin \varphi =\frac{b}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$，$\cos \varphi =\frac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$，无解．  所以$\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\textless\left\textbar{} \frac{ \pi }{2}+2k \pi \right\textbar$或$\left( \left\textbar{} \frac{ \pi }{2}-\left( 2k+1 \right) \pi \right\textbar{} \right)\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}$取值范围为$\left[ 0      \frac{{{ \pi }^{2}}}{4} \right)$．  $$.$$ 