2012年河北全国高中数学联赛高二竞赛初赛第7题8分 2015~2016学年天津和平区天津市耀华中学高二上学期期中文科第18题4分 2017~2018学年天津和平区天津市耀华中学高二上学期期中理科第14题4分 2017~2018学年天津和平区天津市耀华中学高二上学期期中文科第14题4分 2017~2018学年天津和平区天津市耀华中学高一下学期期中第14题4分
在三棱锥$A-BCD$中，侧棱$AB$、$AC$、$AD$两两垂直，$\vartriangle ABC$、$\vartriangle ACD$、$\vartriangle ADB$的面积分别为$\frac{\sqrt{2}}{2}$、$\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\frac{\sqrt{6}}{2}$，则三棱锥$A-BCD$的外接球的体积为~\uline{~~~~~~~~~~}~．
竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间几何体中的求值问题
在三棱锥$$A-BCD$$中，侧棱$$AB$$、$$AC$$、$$AD$$两两垂直，  补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的体对角线即为球的直径，  设长方体的三度分别为$$a$$、$$b$$、$$c$$，  则有$$\frac{1}{2}ab=\frac{\sqrt{6}}{2}$$，$$\frac{1}{2}bc=\frac{\sqrt{3}}{2}$$，$$\frac{1}{2}bc=\frac{\sqrt{2}}{2}$$，  解得：$$a=\sqrt{3}$$，$$b=\sqrt{2}$$，$$c=1$$，  所以球的直径$$d=\sqrt{3+2+1}=\sqrt{6}$$，  球的半径$$r=\frac{d}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$$，  ∴三棱锥$$A-BCD$$的外接球的体积为：  $$V=\frac{4}{3} \pi \cdot {{\left( \frac{\sqrt{6}}{2} \right)}^{3}}=\sqrt{6} \pi $$． 