2007年全国全国高中数学联赛竞赛一试第6题6分 2019~2020学年上海浦东新区上海市建平中学高一上学期期中第16题3分
已知$$A$$与$$B$$是集合{$$1$$，$$2$$，$$3$$，\ldots，$$100$$}的两个子集，满足：$$A$$与$$B$$的元素个数相同，且$$A\cap B$$为空集．若$$n\in A$$时总有$$2n+2\in B$$，则集合$$A\cup B$$的元素个数最多为（~ ）．
竞赛->知识点->集合->集合的概念与运算
先证$$\textbar A\cup B\textbar\leqslant 66$$，只须证$$\left\textbar{} A \right\textbar\leqslant 33$$，为此只须证若$$A$$是{$$1$$，$$2$$，\ldots，$$49$$}的任一个$$34$$元子集，则必存在$$n\in A$$，使得$$2n+2\in B$$，证明如下：  将{$$1$$，$$2$$，\ldots，$$49$$}分成如下$$33$$个集合：{$$1$$，$$4$$}，{$$3$$，$$8$$}，{$$5$$，$$12$$}，\ldots，{$$23$$，$$48$$}共$$12$$个；{$$2$$，$$6$$}，{$$10$$，$$22$$}，{$$14$$，$$30$$}，{$$18$$，$$38$$}共$$4$$个；{$$25$$}，{$$27$$}，{$$29$$}，\ldots，{$$49$$}共$$13$$个；{$$26$$}，{$$34$$}，{$$42$$}，{$$46$$}共$$4$$个．由于$$A$$是{$$1$$，$$2$$，\ldots，$$49$$}的$$34$$元子集，从而由抽屉原理可知上述$$33$$个集合中至少有一个$$2$$元集合中的数均属于$$A$$，即存在$$n\in A$$，使得$$2n+2\in B$$，  如取$$A$$={$$1$$，$$3$$，$$5$$，\ldots，$$23$$，$$2$$，$$10$$，$$14$$，$$18$$，$$25$$，$$27$$，$$29$$，\ldots，$$49$$，$$26$$，$$34$$，$$42$$，$$46$$}，$$B$$=$$ {2n+2\textbar n\in A }$$，则$$AB$$满足题设且$$\textbar A\cup B\textbar\leqslant 66$$．  故选$$\text{B}$$． 