2017年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分
已知$${{F}_{1}},{{F}_{2}}$$为椭圆$$\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\left( a\textgreater b\textgreater0 \right)$$的左右焦点，该椭圆上存在两点$$A,B$$，使得$$\overrightarrow{{{F}_{1}}A}=3\overrightarrow{{{F}_{2}}B}$$，则该椭圆的离心率的取值范围是．
竞赛->知识点->解析几何->椭圆
因为$$\left\textbar{} \overrightarrow{{{F}_{1}}A} \right\textbar=a+e{{x}_{A}}\leqslant a+e\cdot a=a+c$$，$$\left\textbar{} \overrightarrow{{{F}_{2}}B} \right\textbar=a-e{{x}_{B}}\geqslant a-e\cdot a=a-c$$，  所以$$a+c\geqslant 3\left( a-c \right)$$，取等号时$$AB$$重合，不成立，因此$$a+c\textgreater3\left( a-c \right)$$，  化简得$$\frac{c}{a}\textgreater\frac{1}{2}$$ 