竞赛第20题
考虑三维空间中任意给定的空间四边形$ABCD$，\emph{A}，\emph{B}，\emph{C}，\emph{D}是四个顶点，四条线段$AB,BC,CD,DA$依次首尾相接，将点\emph{A}的内角定义为射线$AD$和射线$AB$的夹角，其补角为角\emph{A}的外角，其他顶点定义类似，考虑这种空间四边形的外角和\emph{x}，则有（~~~~~~~）
\hfill\break 【分析】\\ 首先外角和与内角和之和为$4\pi$，再根据各角的不等关系可证内角和不大于$2\pi$，外角和不小于$2\pi$．\\ 【详解】\\ 对于空间四边形，外角和与内角和之和为$4\pi$，因此考虑内角和与$2\pi$的大小关系．\\ 取\emph{A}，\emph{B}，\emph{C}，\emph{D}为正四面体的四个顶点，则内角和为$\frac{\pi }{3}\times 4=\frac{4\pi }{3}\textless{} 2\pi$，\\ 因此选项AC都错误，\\ 接下来证明内角和不大于$2\pi$．\\ 事实上，有$\left {\begin{array}{l} \angle ABD+\angle CBD\geq \angle ABC,   \angle ADB+\angle CDB\geq \angle CDA, \end{array}\right.$\\ 从而$2x=(\angle ABD+\angle BDA+\angle DAB)+(\angle DBC+\angle BDC+\angle BCD)$\\ $\geq \angle DAB+\angle ABC+\angle BCD+\angle CDA$，\\ 因此内角和不大于$2\pi$，外角和不小于$2\pi$．\\ 故选：B. 