全国高中数学联赛竞赛模拟一试（十三）第6题
已知$$a$$，$$b$$，$$c$$，$$d$$为正数，且$$a+2b=c+2d=1$$．则$$\frac{1}{a}+\frac{1}{bcd}$$的最小值为~\uline{~~~~~~~~~~}~．
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由均值不等式及题设条件知  $$2cd\leqslant {{\left( \frac{c+2d}{2} \right)}^{2}}=\frac{1}{4}\Rightarrow cd\leqslant \frac{1}{8}$$①．  当且仅当$$c=\frac{1}{2}$$，$$d=\frac{1}{4}$$时，以上两式的等号成立．  此时，由式①得$$\frac{1}{a}+\frac{1}{bcd}\geqslant \frac{1}{a}+\frac{8}{b}$$．  又由条件及柯西不等式得  $$\frac{1}{a}+\frac{8}{b}=\left( \frac{1}{a}+\frac{8}{b} \right)\left( a+2b \right)\geqslant {{\left( 1+4 \right)}^{2}}=25$$，  当且仅当$$b=2a$$时，上式等号成立．  结合条件，知此时$$a=\frac{1}{5}$$，$$b=\frac{2}{5}$$．  于是，$$\frac{1}{a}+\frac{1}{bcd}\geqslant 25$$．  当 $$a=\frac{1}{5}$$，$$b=\frac{2}{5}$$，$$c=\frac{1}{2}$$，$$d=\frac{1}{4}$$时，  $$\frac{1}{a}+\frac{1}{bcd}$$取得最小值$$25$$． 