2019年上海全国高中数学联赛高三竞赛初赛第4题7分 2019年上海全国高中数学联赛竞赛初赛第4题7分
设等差数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$的公差为$$d\left( d\ne 0 \right)$$，前$$n$$项和为$${{S}_{n}}$$．若数列$$\left { \sqrt{8{{S}_{n}}+2n} \right }$$也是公差为$$d$$的等差数列，则数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$的通项$${{a}_{n}}=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~．
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由$$\sqrt{8{{S}_{n+1}}+2\left( n+1 \right)}-\sqrt{8{{S}_{n}}+2n}=d\left( n\geqslant 1 \right)$$  $$\Rightarrow 8{{S}_{n+1}}-8{{S}_{n}}+2=d+2d\sqrt{8{{S}_{n}}+2n}$$  $$\Rightarrow 8{{a}_{n+1}}+2=d+2d\sqrt{8{{S}_{n}}+2n}$$，  类似地，  $$8{{a}_{n+2}}+2=d+2d\sqrt{8{{S}_{n+1}}+2\left( n+1 \right)}$$，  将以上两式相减得  $$8\left( {{a}_{n+2}}-{{a}_{n+1}} \right)=2d\left( \sqrt{8{{S}_{n+1}}+2\left( n+1 \right)}-\sqrt{8{{S}_{n}}+2n} \right)$$  $$\Rightarrow 8d=2{{d}^{2}}$$，  而$$d\ne 0$$，故$$d=4$$，  又$$\sqrt{8{{S}_{2}}+4}-\sqrt{8{{S}_{1}}+2}=\sqrt{16{{a}_{1}}+36}-\sqrt{8{{a}_{1}}+2}=4$$，  由此解得$${{a}_{1}}=\frac{7}{4}$$，  从而，$${{a}_{n}}=\frac{7}{4}+4\left( n-1 \right)=4n-\frac{9}{4}$$．  故答案为：$$4n-\frac{9}{4}$$． 