2010年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分
已知$$0\textless{}a\textless{}b$$，在$$a,b$$之间插入一个正数$$k$$，使$$a,k,b$$成等比数列；在$$a,b$$之间插入两个正数$$m,n$$，使$$a,m,n,b$$成等差数列，则$${{(k+1)}^{2}}$$与$$(m+1)(n+1)$$的大小关系为．
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$$a,k,b$$成等比数列，$${{k}^{2}}=ab$$，  所以$${{(k+1)}^{2}}={{k}^{2}}+2k+1=ab+2\sqrt{ab}+1$$  $$\textless{}ab+a+b+1=(a+1)(b+1).$$  $$a,m,n,b$$成等差数列，所以$$a+b=m+n$$，且$$b-a\textgreater n-m$$，  所以由$$(m+1)+(n+1)=(a+1)+(b+1)$$，  知$$(m+1)(n+1)\textgreater(a+1)(b+1)$$．  所以$${{(k+1)}^{2}}\textless{}(a+1)(b+1)\textgreater(m+1)(n+1)$$． 