2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第2题5分 2020~2021学年北京高三单元测试 2020~2021学年北京高二单元测试 竞赛
在$${{\left( 2019\times 2020 \right)}^{2021}}$$的全体正因数中选出若干个，使得其中任意两个的乘积都不是平方数，则最多可选因数个数为．
竞赛->知识点->数论模块->整除->带余除法（辗转相除法）
将各正因数的幂指数记为数组$$\left( {{\alpha }_{1i}},{{\alpha }_{2i}},{{\alpha }_{3i}},{{\alpha }_{4i}},{{\alpha }_{5i}} \right)$$  即任取正因数$${{a}_{i}}$$，有$${{a}_{i}}={{2}^{{{\alpha }_{1i}}}}\times {{3}^{{{\alpha }_{2i}}}}\times {{5}^{{{\alpha }_{3i}}}}\times {{101}^{{{\alpha }_{4i}}}}\times {{673}^{{{\alpha }_{5i}}}}$$（质数分解唯一定理），  只需考虑幂指数的奇偶性，故设$${{b}_{i}}=\left( {{\beta }_{1i}},{{\beta }_{2i}},{{\beta }_{3i}},{{\beta }_{4i}},{{\beta }_{5i}} \right)$$，其中$$\beta \in \left { 0,1 \right }$$且$${{\beta }_{ji}}\equiv {{\alpha }_{ji}}\left( \bmod 2 \right)$$，  若两正因数$${{a}_{i}}$$，$${{a}_{j}}$$为完全平方数，  $$\because {{a}_{i}}\times {{a}_{j}}={{2}^{{{\alpha }_{1i}}+\alpha 1j}}\times {{3}^{{{\alpha }_{2i}}\times {{\alpha }_{2j}}}}\times {{5}^{{{\alpha }_{3i}}+{{\alpha }_{3j}}}}\times {{101}^{{{\alpha }_{4i}}+{{\alpha }_{4j}}}}\times {{673}^{{{\alpha }_{3i}}+{{d}_{5j}}}}$$，  $$\therefore $$$$2\left\textbar{} {{\alpha }_{ki}}+{{\alpha }_{kj}} \right.$$，$$k=1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$ $$\Leftrightarrow 2\left\textbar{} {{\beta }_{ki}}+{{\beta }_{kj}} \right.$$，$$k=1$$，$$2$$，$$3$$，$$4$$，$$5$$，  $$\because \beta \in \left { 0,1 \right }$$，  $$\therefore $$必有$${{\beta }_{ki}}={{\beta }_{kj}}$$，  $$\therefore $$当且仅当$${{\beta }_{ki}}\pm {{\beta }_{kj}}\left( k=1,2,3,4,5 \right)$$，即任意两正因数，其各质因数的幂指数奇偶性均不同时，才有$${{a}_{i}}\times {{a}_{j}}$$不是完全平方数，  $$\because {{b}_{i}}$$为$$5$$组数组，$${{\beta }_{i}}\in \left { 0,1 \right }$$，  $$\therefore $$共有$${{2}^{5}}$$种，选$$\text{C}$$． 