2008年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第1题6分
已知二次函数$$f\left( x \right)={{x}^{2}}-3x+2$$，则方程$$f\left( f\left( x \right) \right)=0$$不同实数根的数目为．
课内体系->方法->图象法 课内体系->方法->换元法 课内体系->知识点->函数的应用->函数的零点->函数零点的概念 课内体系->知识点->函数的应用->函数的零点->零点的个数问题->零点、交点、根的等价转化 课内体系->知识点->函数的应用->函数的实际应用->二次函数模型 课内体系->素养->数学抽象 课内体系->素养->逻辑推理 课内体系->思想->数形结合思想
因为$$f\left( f\left( x \right) \right)={{\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)}^{2}}-3\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)+2={{x}^{4}}-6{{x}^{3}}+10{{x}^{2}}-3x$$，  所以有$$x\left( x-3 \right)\left( {{x}^{2}}-3x+1 \right)=0,{{x}_{1}}=0,{{x}_{2}}=3,{{x}_{34}}=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$$，  因此原方程有$$4$$个不同实根．故选$$\text{D}$$．  注 也可以讨论$$f\left( x \right)=0$$根的分布情况． 因为当$$x\leqslant \frac{3}{2}$$时，函数$$f\left( x \right)$$单调递减，当$$x\textgreater\frac{3}{2}$$时，函数$$f\left( x \right)$$单调递增，且$$f\left( x \right)=0$$的两个根为$$1,2$$，所以当$$x\leqslant \frac{3}{2}$$时，函数$$f\left( x \right)\in \left[ -\frac{1}{4},+\infty \right)\supset \left[ 1,2 \right]$$，因此$$f\left( f\left( x \right) \right)=0$$有两个不同实根；当$$x\textgreater\frac{3}{2}$$时，函数$$f\left( x \right)\in \left( -\frac{1}{4},+\infty \right)\supset \left[ 1,2 \right]$$，因此$$f\left( f\left( x \right) \right)=0$$也有两个不同实根．综上所述，原方程有$$4$$个不同实根． 