2008年AMC12竞赛A第17题
2008AMC12A, 17  Let $$a_{1}$$, $$a_{2}$$, $$\cdots$$ be a sequence determined by the rule $$a_{n}=\frac{a_{n-1}}{2}$$ if $$a_{n-1}$$ is even and $$a_{n}=3a_{n-1}+1$$ if $$a_{n-1}$$ is odd. For how many positive integers $$a_{1}\leqslant 2008$$ is it true that $$a_{1}$$ is less than each of $$a_{2}$$, $$a_{3}$$, and $$a_{4}$$?  令数列$$a_{1}$$, $$a_{2}$$, $$\cdots$$满足: $$a_{n}=\frac{a_{n-1}}{ 2}$$若$$a_{n-1}$$是偶数; $$a_{n}=3a_{n-1}+1$$若$$a_{n-1}$$是奇数。 有多少个正整数$$a_{1}\leqslant 2008$$满足$$a_{1}$$小于$$a_{2}$$, $$a_{3}$$和$$a_{4}$$?
课内体系->知识点->数列->数列的概念->数列的定义 美国AMC10/12->Knowledge Point->Geometry->Basic Analytic Geometry->Curves and Equations
首先, 若$a_1$是偶数, 则$a_2=\frac{a_1}{2}\textless a_1$, 不满足条件.  若$a_1$是奇数, 则$a_2=3a_1+1$, $a_3=\frac{3}{2}a_1+\frac{1}{2}$必然都大于$a_1$, 问题出在$a_4$上$$.$$ 我们不知道$a_3$的奇偶, 也就无法计算$a_4$, 更无法讨论它和$a_1$的大小关系$$.$$ 因此, 接下来, 我们先对$a_3$的奇偶性进行讨论.  若$a_3$为偶数, 这等价于$3a_1+1$是$$4$$的倍数, 也就是说$a_1\equiv 1\pmod 4$. 此时$a_4=\frac{a_3}{2}=\frac{3}{4}a_1+\frac{1}{4}\leq a_1$, 不满足条件.  若$a_3$为奇数, 也就是说$a_1\equiv 3\pmod 4$时, $a_4=3a_3+1\textgreater a_1$, 满足条件.  综上可知有且只有模$$4$$余$$3$$的$a_1$满足条件, 这些数在总共$$2008$$个数中占了$\frac{1}{4}$, 有$\frac{1}{4}\times 2008=502$个, 选$$\text{D}$$.  拓展: 数学上有一个著名的问题, 叫$3n+1$猜想, 讲的是: 在本题中所给的数列中, 无论$a_1$取什么正整数, $1$最终都会出现在数列的某一项$$.$$ 这一猜想至今未得到证明. 