2014年吉林全国高中数学联赛竞赛初赛第5题6分
若五项的数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$：$${{a}_{1}}$$，$${{a}_{2}}$$，$${{a}_{3}}$$，$${{a}_{4}}$$，$${{a}_{5}}$$满足$$0\leqslant {{a}_{1}}\textless{}{{a}_{2}}\textless{}{{a}_{3}}\textless{}{{a}_{4}}\textless{}{{a}_{5}}$$，且对任意的$$i$$，$$j$$（$$1\leqslant i\leqslant j\leqslant 5$$），均有$${{a}_{j}}-{{a}_{i}}$$在该数列中．  ①$${{a}_{1}}=0$$；  ②$${{a}_{5}}=4{{a}_{2}}$$；  ③$$\left { {{a}_{n}} \right }$$为等差数列；  ④集合$$A=\left { {{a}_{i}}+{{a}_{j}}\left\textbar{} 1\leqslant i\leqslant j\leqslant 5 \right. \right }$$含$$9$$个元素．  则上述论断正确的有个．
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论断正确的有①②③④．  因为$${{a}_{1}}-{{a}_{1}}=0\in \left { {{a}_{n}} \right }$$，所以$${{a}_{1}}=0$$；  因为  $$a={{a}_{1}}\textless{}{{a}_{3}}-{{a}_{2}}\textless{}{{a}_{4}}-{{a}_{2}}\textless{}{{a}_{5}}-{{a}_{2}}\textless{}{{a}_{5}}$$，  且  $${{a}_{3}}-{{a}_{2}}$$，$${{a}_{4}}-{{a}_{2}}$$，$${{a}_{5}}-{{a}_{2}}\in \left { {{a}_{n}} \right }$$，  所以  $${{a}_{3}}-{{a}_{2}}={{a}_{2}}$$，$${{a}_{4}}-{{a}_{2}}={{a}_{3}}$$，$${{a}_{5}}-{{a}_{2}}={{a}_{4}}$$；  于是  $${{a}_{2}}-{{a}_{1}}={{a}_{3}}-{{a}_{2}}={{a}_{4}}-{{a}_{3}}={{a}_{5}}-{{a}_{4}}$$．  所以$$\left { {{a}_{n}} \right }$$为等差数列，且$$\left { {{a}_{n}} \right }$$：$$0$$,d,2d,3d,4d，因此$${{a}_{5}}=4{{a}_{2}}$$；集合$$A=\left { {{a}_{i}}+{{a}_{j}}\left\textbar{} 1\leqslant i\leqslant j\leqslant 5 \right. \right }$$含$$9$$个元素． 