2016年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第6题5分
已知$${{F}_{1}}$$，$${{F}_{2}}$$是椭圆和双曲线的公共焦点，$$P$$是它们的一个公共点，且$$\angle {{F}_{1}}P{{F}_{2}}=60{}^{}\circ $$，则该椭圆和双曲线的离心率之积的最小值是（~ ~ ）．
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设$$\left\textbar{} P{{F}_{1}} \right\textbar=x$$，$$\left\textbar{} P{{F}_{2}} \right\textbar=y$$，$$\left\textbar{} {{F}_{1}}{{F}_{2}} \right\textbar=2c$$，则$${{e}_{1}}{{e}_{2}}=\frac{2c}{x+y}\cdot \frac{2c}{x-y}$$（不妨设$$x\textgreater y$$）．  在$$\triangle P{{F}_{1}}{{F}_{2}}$$中，由余弦定理，$$4{{c}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy$$．  于是，$${{e}_{1}}{{e}_{2}}=\frac{4{{c}^{2}}}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}$$，去分母，移项得$$\left( 1-{{e}_{1}}{{e}_{2}} \right){{x}^{2}}-xy+\left( 1+{{e}_{1}}{{e}_{2}} \right){{y}^{2}}=0$$，  判别式$$\Delta =1-4\left( 1-{{e}_{1}}{{e}_{2}} \right)\left( 1+{{e}_{1}}{{e}_{2}} \right)\geqslant 0$$，解得$${{e}_{1}}{{e}_{2}}\geqslant \frac{\sqrt{3}}{2}$$．  故选$$\text{B}$$． 