2012年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第12题5分
数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$满足$${{a}_{1}}=1,  {{a}_{2}}=\frac{1}{2}$$，并且$${{a}_{n}}\left( {{a}_{n-1}}+{{a}_{n+1}} \right)=2{{a}_{n+1}}\cdot {{a}_{n-1}}\left( n\geqslant 2 \right)$$，则数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$的第$$2012$$项为．
竞赛->知识点->数列与数学归纳法->等差数列与等比数列
$${{a}_{n}}\left( {{a}_{n-1}}+{{a}_{n+1}} \right)=2{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}\Rightarrow \frac{1}{{{a}_{n+1}}}+\frac{1}{{{a}_{n-1}}}=2\frac{1}{{{a}_{n}}}\left( n\geqslant 2 \right)$$．  所以$$\left { \frac{1}{{{a}_{n}}} \right }$$是等差数列，且$$\frac{1}{{{a}_{1}}}=1,  d=1$$，则数列的通项公式$${{a}_{n}}=\frac{1}{n}$$，故第$$2012$$项为$$\frac{1}{2012}$$． 