2001年第18届全国初中数学联赛竞赛第9题
已知$$x$$、$$y$$是正整数，并且$$xy+x+y=23$$，$${{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}=120$$，则$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~．
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由于$$xy+\left( x+y \right)=23$$，$$xy\cdot \left( x+y \right)=120$$，  则$$x$$，$$y$$与$$\left( x+y \right)$$为方程$${{t}^{2}}-23t+120=0$$的两个根，得到$${{t}_{1}}=8$$，$${{t}_{2}}=15$$，  即$$xy=8$$，$$x+y=15$$ ①，或者$$xy=15$$，$$x+y=8$$ ②，  ①的时候$$x$$，$$y$$为方程$${{u}^{2}}-15u+8=0$$的根，$${{\Delta }_{1}}={{15}^{2}}-32=193$$，不是完全平方数，$$xy$$不可能为题目中要求的正整数，舍，  ②的时候$$x$$，$$y$$为方程$${{u}^{2}}-8u+15=0$$的根，$${{u}_{1}}=3$$，$${{u}_{2}}=5$$，  故$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{\left( x+y \right)}^{2}}-2xy=34$$． 