1999年全国全国高中数学联赛竞赛一试第5题6分
在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有$$3$$名选手各比赛了$$2$$场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了$$50$$场．那么，在上述$$3$$名选手之间比赛的场数是（  ）．
竞赛->知识点->排列组合与概率->排列与组合
解法一：  设这三名选手之间的比赛场数是$$r$$，共$$n$$名选手参赛．  由题意，可得$$\text{C}_{n-3}^{2}+6-r=50$$，  即$$\frac{\left( n-3 \right)\left( n-4 \right)}{2}=44+r$$．  由于$$0\leqslant r\leqslant 3$$，  经检验可知，仅当$$r=1$$时，$$n=13$$为正整数．  解法二：  $$3$$名选手之间比赛的可能场数为$$0$$、$$1$$、$$2$$、$$3$$，设总人数为$$N$$人．  那么除这$$3$$人外的$$N-3$$人中比赛场数为$$C_{N-3}^{2}=\frac{(N-3)(N-4)}{2}$$．  ①当这$$3$$人之间比赛$$0$$场时，他们每人与另外$$N-3$$人（以下称为``局外人''）要比赛两场，这些比赛没有重合，共计$$6$$场，则有方程：$$\frac{(N-3)(N-4)}{2}+6=50$$，$$N$$无整数解，故舍去．  ②当这$$3$$人之间比赛$$1$$场时，他们有两人与``局内人''分别比赛一场，另一人两场都是和局内人比赛的，所以共计$$5$$场，则有方程：$$\frac{(N-3)(N-4)}{2}+5=50$$，$$N=13$$，是整数解，满足条件．  ③当这$$3$$人之间比赛$$2$$场时，他们有$$1$$人与另两人分别比赛一场，另两人都有一场与局内人的比赛，所以共计$$4$$场，则有方程：$$\frac{(N-3)(N-4)}{2}+4=50$$，$$N$$无整数解，故舍去．  故选$$\text{B}$$． 