2019~2020学年3月湖北武汉洪山区武汉市洪山高级中学（武汉外国语学校光谷分校）高二下学期月考第10题 2008年全国高中数学联赛竞赛一试第3题6分
甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得$$1$$分，负者得$$0$$分，比赛进行到有一人比对方多$$2$$分或打满$$6$$局时停止．设甲在每局中获胜的概率为$$\frac{2}{3}$$，乙在每局中获胜的概率为$$\frac{1}{3}$$，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数$$\xi $$的期望$$E\xi $$为（~ ~ ）．
竞赛->知识点->排列组合与概率->概率初步
解法一：  依题意知，$$\xi $$的所有可能值为$$2$$，$$4$$，$$6$$，  设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为$${{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2}}=\frac{5}{9}$$，  若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有  $$P(\xi =2)=\frac{5}{9}$$，  $$P(\xi =4)=\left( \frac{4}{9} \right)\left( \frac{5}{9} \right)=\frac{20}{81}$$，  $$P(\xi =6)={{\left( \frac{4}{9} \right)}^{2}}=\frac{16}{81}$$，  故$$E\xi =2\times \frac{5}{9}+4\times \frac{20}{81}+6\times \frac{16}{81}=\frac{266}{81}$$；  解法二：  依题意知，$$\xi $$的所有可能值为$$2$$，$$4$$，$$6$$，  令$${{A}_{k}}$$表示甲在第$$k$$局比赛中获胜，则$${{\bar{A}}_{k}}$$表示乙在第$$k$$局比赛中获胜，  由独立性与互不相容性得  $$P(\xi =2)=P({{A}_{1}}{{A}_{2}})+P({{\bar{A}}_{1}}{{\bar{A}}_{2}})=\frac{5}{9}$$，  $$P(\xi =4)=P({{A}_{1}}{{\bar{A}}_{2}}{{A}_{3}}{{A}_{4}})+P({{A}_{1}}{{\bar{A}}_{2}}{{\bar{A}}_{3}}{{\bar{A}}_{4}})+P({{\bar{A}}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}{{A}_{4}})+P({{\bar{A}}_{1}}{{A}_{2}}{{\bar{A}}_{3}}{{\bar{A}}_{4}})$$  $$=2\left[ {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{3}}\left( \frac{1}{3} \right)+{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{3}}\left( \frac{2}{3} \right) \right]=\frac{20}{81}$$，  $$P(\xi =6)=P({{A}_{1}}{{\bar{A}}_{2}}{{A}_{3}}{{\bar{A}}_{4}})+P({{A}_{1}}{{\bar{A}}_{2}}{{\bar{A}}_{3}}{{A}_{4}})+P({{\bar{A}}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}{{\bar{A}}_{4}})+P({{\bar{A}}_{1}}{{A}_{2}}{{\bar{A}}_{3}}{{A}_{4}})$$  $$=4{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2}}=\frac{16}{81}$$，  故$$E\xi =2\times \frac{5}{9}+4\times \frac{20}{81}+6\times \frac{16}{81}=\frac{266}{81}$$．  故选$$\text{B}$$． 