2001年第12届希望杯初二竞赛第2试第2题
已知多项式$$a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$$除以$$x-1$$时，所得的余数是$$1$$，除以$$x-2$$时所得的余数是$$3$$，那么多项式$$a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$$除以$$\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)$$时，所得的余式是(  )
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设$$y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$$，除以$$\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)$$时所得的余式为$$mx+n$$，商式为$$q\left( x \right)$$，  当$$y=1$$时，$$\left( x-1 \right)\cdot q\left( x \right)+m+n=1$$，  当$$y=2$$时，$$\left( x-2 \right)\cdot q\left( x \right)+2m+n=3$$，  所以$$m=2,n=-1$$  所以多项式$$a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$$除以$$\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)$$时所得的余式为$$2x-1$$．  故选$$\text{A}$$． 