2014年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分
$$\triangle ABC$$的三个内角为$$A$$、$$B$$、$$C$$，若$$\frac{\sin A+\sqrt{3}\cos A}{\cos A-\sqrt{3}\sin A}=\tan \frac{7 \pi }{12}$$，则$$\sin 2B+2\cos C$$的最大值为．
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因为  $$\frac{\sin A+\sqrt{3}\cos A}{\cos A-\sqrt{3}\sin A}=\frac{\tan A+\tan \frac{ \pi }{3}}{1-\tan A\tan \frac{ \pi }{3}}=\tan \left( A+\frac{ \pi }{3} \right)$$，  故$$A+\frac{ \pi }{3}=\frac{7 \pi }{12}$$，$$A=\frac{ \pi }{4}$$．  由于$$2B+2C=\frac{3 \pi }{2}$$，故  $$\sin 2B+2\cos C=\sin \left( \frac{3 \pi }{2}-2C \right)+2\cos C$$  $$=-\cos 2C+2\cos C$$  $$=1-2{{\cos }^{2}}C+2\cos C$$  $$=-2{{\left( \cos C-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{2}\leqslant \frac{3}{2}$$．  当$$C=\frac{ \pi }{3}$$时取等号．故$$\sin 2B+2\cos C$$的最大值为$$\frac{3}{2}$$． 