1989年全国高中数学联赛竞赛一试第10题
一个正数，若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列，则该数为~\uline{~~~~~~~~~~}~．
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设该数为$$x$$，则其整数部分为$$[x]$$，小数部分为$$x-[x]$$，由已知得  $$x(x-[x])={{[x]}^{2}}$$，  其中$$[x]\textgreater0$$，$$0\textless{}x-[x]\textless{}1$$，解得  $$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}[x]$$．  由$$0\textless{}x-[x]\textless{}1$$知，  $$0\textless{}\frac{\sqrt{5}-1}{2}[x]\textless{}1$$，$$0\textless{}[x]\textless{}\frac{1+\sqrt{5}}{2}\textless{}2$$，  即$$[x]=1$$，$$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$．  故答案为：$$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$． 