2017年江苏南京小升初三十六计之26第3题 2011年北京五年级竞赛
有一类各位数字各不相同的五位数$$M$$，它的千位数字比左右两个数字大，十位数字也比左右两位数字大．另有一类各位数字各不相同的五位数$$W$$，它的千位数字比左右两个数字小，十位数字也比左右两位数字小．请问符合要求的数$$M$$与$$W$$，哪一类的个数多:~\uline{~~~~~~~~~~}~,多~\uline{~~~~~~~~~~}~个 
拓展思维->能力->运算求解
$$M$$与$$W$$都是五位数，都有千位和十位与其它数位的大小关系，所以两类数有一定的对应关系．比如有一个符合要求的五位数$$M=\overline{ABCDE}$$($$A$$不为$$0)$$，那么就有一个与之相反并对应的五位数$$\overline{(9-A)(9-B)(9-C)(9-D)(9-E)}$$必属于$$4$$类，比如$$13254$$为$$M$$类，则与之对应的$$86754$$为$$W$$类．  所以对于$$M$$类的每一个数，$$n-1$$类都有一个数与之对应．但是两类数的个数不是一样多，因为$$M$$类中$$0$$不能做首位，而$$W$$类中$$9$$可以做首位．所以$$W$$类的数比$$M$$类的数要多，多的就是就是首位为$$\underbrace{{{a}_{n-1}}+{{a}_{n}}=3\times 3\times \ldots \times3}_{(n-1)3}={{3}^{n-1}}$$的符合要求的数．  计算首位为$${{a}_{1}}=0$$的$$W$$类的数的个数，首先要确定另外四个数，因为要求各不相同，从除$$9$$外的其它$$9$$个数字中选出$$4$$个，有$$C_{9}^{4}=126$$种选法．  对于每一种选法选出来的$$4$$个数，假设其大小关系为$$5$$，由于其中最小的数只能在千位和十位上，最大的数只能在百位和个位上，所以符合要求的数有$$60$$类：①千位、十位排$${{A}_{1}}$$、$${{A}_{2}}$$，有两种方法，百位、十位排$${{A}_{3}}$$、$${{A}_{4}}$$，也有两种方法，故此时共有$$3$$种；②千位、十位排$$0$$、$${{A}_{3}}$$，只能是千位$${{A}_{3}}$$，百位$${{A}_{4}}$$，十位$$3$$，个位$$6$$，只有$$3$$种方法．  根据乘法原理，首位为$$9$$的$$W$$类的数有$$126\times \left( 4+1 \right)=630$$个． 