2015年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分
设$$\triangle ABC$$的周长为$$12$$，内切圆的半径为$$1$$，则．
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设三边为$$abc$$，则$$\tan \frac{A}{2}=\frac{1}{p-a}=\frac{1}{6-a}$$（$$p$$是半周长）．  当$$a\leqslant 5$$时，$$0\textless{}\tan \frac{A}{2}\leqslant 1$$，则$$A\leqslant 90{}^{}\circ $$；  当$$a\textgreater5$$时，$$\tan \frac{A}{2}\textgreater1$$，则$$A\textgreater90{}^{}\circ $$．  所以若有一条边的长度大于$$5$$，则$$\triangle ABC$$是钝角三角形，否则$$\triangle ABC$$是直角或锐角三角形．  设$$a=5+x$$，$$b=c=\frac{7-x}{2}$$，内切圆半径为$$r$$，由面积法，得  $$\frac{1}{2}\cdot \left( 5+x \right)\cdot \sqrt{{{\left( \frac{7-x}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{5+x}{2} \right)}^{2}}}=\frac{1}{2}\cdot r\cdot 12$$  化简可得$$r=\frac{\left( 5+x \right)\sqrt{1-x}}{2\sqrt{6}}$$  当$$r=1$$时，化简得方程$${{x}^{3}}+9{{x}^{2}}+15x-1=0$$，此方程在$$\left( 0,1 \right)$$之间有解$${{x}_{0}}$$，即存在三边长为$$5+{{x}_{0}}\frac{7-{{x}_{0}}}{2}\frac{7-{{x}_{0}}}{2}$$，内切圆半径为$$1$$的$$\triangle ABC$$，是一个钝角三角形． 