2008年AMC12竞赛B第23题
2008AMC12B, 23  The sum of the base-$$10$$ logarithms of the divisors of $$10^{n}$$ is $$792$$. What is $$n$$?  $$10^{n}$$的所有因数的以$$10$$为底的对数之和是$$792$$. 则$$n$$的值为? ．
美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Calculation->Exponentiation 美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Reasoning->Simple Logical Reasoning 课内体系->知识点->基本初等函数->对数的概念及其运算->对数的运算
$$792=\sum_{i=0}^{}n\sum_{j=0}^{}n\left(i\log{2}+j\log{5}\right)=\sum_{i=0}^{}n\left((n+1)i\log{2}+\frac{n(n+1)}{2}\log{5}\right)=\frac{n(n+1)^{2}}{2}(\log{2}+\log{5})=\frac{n(n+1)^{2}}{2}$$, 其中$\log$指$\log_{10}$.  于是有$n(n+1)^{2}=1584=2^{4}\times 3^{2}\times 11$.  可以看出$11\textbar n$, 然后如果再有$2^{2}\textbar n$或$3^{2}\textbar n$, $(n+1)^{2}$就太小了, 于是只有$n=11$, 选$$\text{A}$$. 