2015年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
已知正三棱锥$$P-ABC$$的底面$$ABC$$是正三角形，该三棱锥的外接球的球心$$O$$满足$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$$，则二面角$$A-PB-C$$的余弦值为．
竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间中的角与距离
由题意，$$O$$应该在$$P-ABC$$的底面$$ABC$$上，设底面边长为$$2$$，则外接球半径等于$$\frac{2}{3}\sqrt{3}$$，于是侧棱长$$\frac{2}{3}\sqrt{6}$$．作$$CH\bot PB$$于$$H$$，由对称性知$$AH\bot PB$$，所以$$\angle AHC$$就是二面角$$A-PB-C$$的平面角，不难算出$$CH=\frac{\sqrt{10}}{2}$$．  于是由余弦定理，可得$$\cos \angle AHC=\frac{1}{5}$$． 