2012年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第8题5分
称分子和分母的最大公约数为$$1$$的分数为既约分数，所有分母为$$100$$的正的既约真分数之和为．
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由$$100={{2}^{2}}{{5}^{2}}$$，令  $$A=\left { n\left\textbar{} 2 \right\textbar n,  n\leqslant 100,  n\in {{\mathbf{N}}^{*}} \right }$$，  $$B=\left { n\left\textbar{} 5 \right\textbar n,  n\leqslant 100,  n\in {{\mathbf{N}}^{*}} \right }$$，  则$$\left\textbar{} A\cup B \right\textbar=\left\textbar{} A \right\textbar+\left\textbar{} B \right\textbar-\left\textbar{} A\cap B \right\textbar=50+20-10=60$$．  因此符合条件的真分数共有$$40$$个．  又若正数$$i$$和$$100$$互质，则$$100-i$$和$$100$$也互质，因此若$$\frac{i}{100}$$是一个正的既约真分数，则$$\frac{100-i}{100}$$也为一正的既约真分数，则$$\frac{100-i}{100}+\frac{i}{100}=1$$．因此所有真分数之和为$$20$$． 