1993年全国高中数学联赛竞赛一试第4题
若直线$$x=\frac{ \pi }{4}$$被曲线$$C$$：$$\left( x-\arcsin \alpha \right)\left( x-\arccos \alpha \right)+\left( y-\arcsin \alpha \right)\left( y+\arccos \alpha \right)=0$$所截得的弦长为$$d$$，当$$a$$变化时$$d$$的最小值是（~ ）．
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由题设知，曲线$$C$$是以$${{P}_{1}}\arcsin a,\arcsin a$$，$${{P}_{2}}\arccos a-\arccos a$$两点为直径端点的圆．其圆心的横坐标为  $${{x}_{0}}=\frac{\arcsin a+\arccos a}{2}=\frac{\mathsf{\pi }}{4}$$，  故直线$$x=\frac{\pi }{4}$$过圆心，$$d$$就是该圆的直径．而  $${{d}^{2}}=\left[ {{(\arcsin a)}^{2}}+(\arccos a) \right]\mathsf{\geqslant }{{(\arcsin a+\arccos a)}^{2}}={{\frac{ \pi }{4}}^{2}}$$．  ∴$$d\mathsf{\geqslant }\frac{ \pi }{2}$$，又当$$\arcsin a=\arccos a$$时相应的$$d\mathsf{\geqslant }\frac{ \pi }{2}$$，  故选$$\text{C}$$． 