2016~2017学年北京东城区北京市第一七一中学高一下学期期中第8题 1997年全国高中数学联赛竞赛一试第1题6分
已知数列$$\left { {{x}_{n}} \right }$$满足$${{x}_{n+1}}={{x}_{n}}-{{x}_{n-1}}(n\geqslant 2)$$，$${{x}_{1}}=a$$，$${{x}_{2}}=b$$，记$${{S}_{n}}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\cdots +{{x}_{n}}$$，则下列结论正确的是（~ ）．
竞赛->知识点->数列与数学归纳法->数列的通项与求和
已知中$${{x}_{n+1}}={{x}_{n}}-{{x}_{n-1}}$$（$$n\geqslant 2$$），$${{x}_{1}}=a$$，$${{x}_{2}}=b$$．  ∴$${{x}_{3}}={{x}_{2}}-{{x}_{1}}=b-a$$，  $${{x}_{4}}={{x}_{3}}-{{x}_{2}}=-a$$，  $${{x}_{5}}={{x}_{4}}-{{x}_{3}}=-b$$，  $${{x}_{6}}={{x}_{5}}-{{x}_{4}}=a-b$$，  $${{x}_{7}}={{x}_{6}}-{{x}_{5}}=a$$，  $${{x}_{8}}={{x}_{7}}-{{x}_{6}}=b$$，  $$\vdots $$  由此可知：$${{x}_{n}}$$每隔六项开始重复，  即$${{x}_{i}}={{x}_{i}}+6(i\geqslant 1)$$．  ∴$${{S}_{100}}=16({{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}+{{x}_{5}}+{{x}_{6}})+{{x}_{97}}+{{x}_{98}}+{{x}_{99}}+{{x}_{100}}$$  $$=16(a+b+b-a-a-b+a-b)+a+b+b-a-a$$  $$=2b-a$$． 