2002年第19届全国初中数学联赛竞赛第6题7分
如果对于不小于$$8$$的自然数$$n$$，当$$3n+1$$是一个完全平方数时，$$n+1$$都能表示成$$k$$个完全平方数的和，那么$$k$$的最小值为（~ ）．
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$$3n+1$$是一个完全平方数，那这个完全平方数$$a$$显然不是$$3$$的倍数．  设$$a=3t\pm 1$$，则$${{a}^{2}}=9{{t}^{2}}\pm 6t+1$$，  $${{a}^{2}}=3n+1=9{{t}^{2}}\pm 6t+1$$，$$\textasciitilde\Rightarrow n=3{{t}^{2}}\pm 2t$$，  $$n+1=3{{t}^{2}}\pm 2t+1={{(t\pm 1)}^{2}}+{{t}^{2}}+{{t}^{2}}$$．  而若$$k$$为$$1$$，当$$n=21$$时$$3n+1=64$$是完全平方数，但是$$n+1=22$$不能写成一个或两个完全平方数的和，故$$k$$最小为$$3$$，选择$$\text{C}$$． 