2016~2017学年广东深圳福田区深圳市红岭中学高二下学期期中理科第7题5分 2019~2020学年12月福建厦门思明区福建省厦门第二中学高三上学期月考理科第4题5分 2006年全国高中数学联赛竞赛一试第5题6分
设$$f(x)={{x}^{3}}+{{\log }_{2}}(x+\sqrt{{{x}^{2}}+1})$$，则对任意实数$$a$$，$$b$$，$$a+b\geqslant 0$$是$$f(a)+f(b)\geqslant 0$$的（~ ）．
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$$f(x)$$为单调递增函数，且$$f(-x)=-{{x}^{3}}+{{\log }_{2}}\left( -x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)=-{{x}^{3}}+{{\log }_{2}}\left( \frac{1}{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \right)=-f(x)$$，  $$f(x)$$为奇函数，则对任意实数$$a$$，$$b$$，由$$a+b\geqslant 0$$，得$$a\geqslant -b$$，  ∴$$f(a)\geqslant f(-b)=-f(b)$$，∴$$f(a)+f(b)\geqslant 0$$；  由$$f(a)+f(b)\geqslant 0$$得$$f(a)\geqslant -f(b)=f(-b)$$，  所以$$a\geqslant -\frac{1}{b}$$，∴$$a+b\geqslant 0$$．  故选$$\text{A}$$． 