2009年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第4题5分
设数列$$ {{{a}_{n}} }$$满足：$${{a}_{1}}=2,{{a}_{n+1}}=1-\frac{1}{{{a}_{n}}}$$，记数列$$ {{{a}_{n}} }$$的前$$n$$项之积为$${{P}_{n}}$$，则$${{P}_{2009}}$$的值为．
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因为  $${{a}_{n+2}}=1-\frac{1}{{{a}_{n+1}}}=1-\frac{1}{1-\frac{1}{{{a}_{n}}}}=\frac{-1}{{{a}_{n}}-1}$$，  于是 $${{a}_{n+3}}=1-\frac{1}{{{a}_{n+2}}}=1-\frac{1}{\frac{-1}{{{a}_{n}}-1}}={{a}_{n}}$$，  故$$ {{{a}_{n}} }$$是以$$3$$为周期的周期数列．  又$${{a}_{1}}=2,{{a}_{2}}=\frac{1}{2},{{a}_{3}}=-1$$，从而$${{P}_{3}}=-1$$，所以，  $${{P}_{2009}}={{(-1)}^{669}}{{P}_{2}}=-1$$． 