2008年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第6题6分
设不定方程$${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-xyz+10=0$$的正整数解$$\left( x,  y,  z \right)$$中满足$$x,  y,  z$$均大于$$2008$$的不同解的数目为$$k$$，则$$k$$满足．
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由题意知$$\left( {{x}_{0}},  {{y}_{0}},  {{z}_{0}} \right)=\left( 3,  4,  5 \right)$$是原不定方程的一个特解．对于原不定方程的任意一个正整数解$$\left( {{x}_{1}},  y,  z \right)$$，假设$${{x}_{1}}\leqslant y\leqslant z$$，且$${{x}_{1}}z$$．设关于$$x$$的二次方程$${{x}^{2}}-yz\cdot x+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+10=0$$的两个根为$${{x}_{1}},  {{x}_{2}}$$，由韦达定理，$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=yz,  {{x}_{1}}{{x}_{2}}={{y}^{2}}+{{z}^{2}}+10{{z}^{2}}$$，因此$${{x}_{2}}$$是正整数，且大于$$z$$，于是$$\left( {{x}_{2}},  y,  z \right)$$也是原不定方程的一个解，由于原不定方程是轮换对称的，所以$$\left( y,  z,  {{x}_{2}} \right)$$也是它的解，并且它是由小到大排列的． 如此反复利用上面的结论，可以由一个特解得到无穷多个解，因此满足$$x,  y,  z$$均大于$$2008$$的解有无穷多个．故选$$\text{D}$$． 