2020~2021学年北京高二单元测试 竞赛 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第7题5分 2020~2021学年北京高三单元测试
方程$$19x+93y=4xy$$的整数解个数为．
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当$$x$$、$$y$$中有一个为$$0$$时，$$\left( x,y \right)$$只能为$$\left( 0,0 \right)$$．  当$$x$$、$$y$$均不为$$0$$时，由原式可以得到$$\begin{cases}19\frac{x}{y}+93=4x    19+93\frac{y}{x}=4y   \end{cases}$$，两式左右两端均为整数，设$$k=\frac{x}{y}$$，则$$19k\in \mathbf{Z}$$，$$\frac{93}{k}\in \mathbf{Z}\Rightarrow k=\pm \frac{1}{19}$$，$$\pm \frac{3}{19}$$，$$\pm 1$$，$$\pm \frac{31}{19}$$，$$\pm 3$$，$$\pm \frac{93}{19}$$，$$\pm 31$$，$$\pm 93$$，共$$8$$组．  由于$$19\times 93\equiv 3\left( \bmod 4 \right)$$，$$93\equiv 1\left( \bmod 4 \right)$$，$$19\equiv 3\left( \bmod 4 \right)$$，故$$19\frac{x}{y}\equiv 3\left( \bmod 4 \right)$$，$$93\frac{y}{x}\equiv 1\left( \bmod 4 \right)$$，在$$k$$的$$8$$组取值中，每一组恰有一个取值能同时满足上述两同余方程，  但由于$$x$$、$$y$$均不为$$0$$，须舍去$$k=-\frac{93}{19}$$，故此时$$\left( x,y \right)$$共有$$7$$组．  综上所述，原方程整数解的组数为$$8$$，故选$$\text{B}$$． 