2015年福建全国高中数学联赛竞赛初赛第8题6分
已知函数$$f(x)={{\text{e}}^{x}}(x-a{{\text{e}}^{x}})$$恰有两个极值点$${{x}_{1}}$$， $${{x}_{2}}({{x}_{1}}\textless{}{{x}_{2}})$$，则$$a$$的取值范围是~\uline{~~~~~~~~~~}~．
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$${{f}^{\prime }}(x)={{\text{e}}^{x}}(x-a{{\text{e}}^{x}})+{{\text{e}}^{x}}(1-a{{\text{e}}^{x}})={{\text{e}}^{x}}[-2a{{\text{e}}^{x}}+x+1]=0$$有两个相异的实根，  即$$2a=\frac{x+1}{{{\text{e}}^{x}}}=g(x)$$有两个解，  $${{g}^{\prime }}(x)=\frac{-x}{{{\text{e}}^{x}}}$$，  $$g(x)$$在$$(-\infty ,0)$$单调递增；在$$(0,+\infty )$$单调递减，  $$x\textless{}0$$，$$g(x)\textless{}1$$，$$x\textgreater0$$时，$$0\textless{}g(x)\textless{}1$$，  因此$$2a\in (0,1)$$，即$$a\in \left( 0,\frac{1}{2} \right)$$． 