2012年第17届华杯赛初一竞赛初赛第6题
如果正整数$$x$$与$$y$$使得$$\frac{x{{y}^{2}}}{x+y}$$的值为质数，那么$$x+y$$共有种可能的值．
竞赛->知识点->数与式->数的运算->有理数运算问题
设$$(x,y)=d$$，则存在正整数$$a$$，$$b$$，使得$$x=da$$，$$y=db$$，不妨设$$a\geqslant b$$．  于是质数：  $$p=\frac{x{{y}^{2}}}{x+y}=\frac{da{{(db)}^{2}}}{ad+db}=\frac{{{d}^{2}}a{{b}^{2}}}{a+b}$$，即$${{d}^{2}}a{{b}^{2}}=p(a+b)$$．①  由于$$(a,a+b)=(b,a+b)=(a,b)=1$$，且$$a{{b}^{2}}\textbar p(a+b)$$，  所以，$$a{{b}^{2}}\textbar p$$，进而$$a=p$$，$$b=1$$，或$$a=b=1$$．  ①当$$a=p$$，$$b=1$$时，$${{d}^{2}}=p+1$$．  所以$$(d+1)(d-1)=p$$．进而，$$d-1=1$$，$$d+1=p$$，$$d=2$$，$$p=3$$．  此时$$x=6$$，$$y=2$$，$$x+y=8$$．  ②当$$a=b=1$$时，$${{d}^{2}}=2p$$．所以$$d=2$$，$$p=2$$．  此时$$x=2$$，$$y=2$$．$$x+y=4$$．  所以$$x+y$$共有两种可能的值．  故选$$\text{B}$$． 