第二十届全国希望杯高二竞赛初赛邀请赛第6题4分
如果实数$$xy$$满足关系$$\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)\left( \sqrt{{{y}^{2}}+1}-y \right)\leqslant 1$$，那么．
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由$$xy$$的对称性，显然大小不能确定，即$$C$$、$$\text{D}$$错误；  设$$x=\tan \alpha ,y=\tan \beta ,\alpha ,\beta \in \left( -\frac{ \pi }{2},\frac{ \pi }{2} \right)$$，于是原不等式可化简为$$\frac{1-\sin \alpha }{\cos \alpha }\cdot \frac{1-\sin \beta }{\cos \beta }\leqslant 1$$，整理可得$$\sin \alpha +\sin \beta \geqslant 1-\cos (\alpha +\beta )\geqslant 0$$，即$$2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}\geqslant 0$$，又$$\cos \frac{\alpha -\beta }{2}\textgreater0$$，故$$\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\geqslant 0$$．另外，易知$$\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\textgreater0$$，从而$$\sin (\alpha +\beta )=2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\geqslant 0$$，于是$$x+y=\tan \alpha +\tan \beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\cos \alpha \cos \beta }\geqslant 0$$． 