2010年河南全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分
设$$f(x)=\frac{x-1}{x+1}$$，记$${{f}_{1}}(x)=f(x)$$，若$${{f}_{n+1}}(x)=f({{f}_{n}}(x))$$，则$${{f}_{2010}}(x)=$$．
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本题从题目上可预知$${{f}_{n}}(x)$$具有周期性，为了寻找周期，采用赋值法容易计算．记$${{a}_{1}}={{f}_{1}}(2),  {{a}_{n}}={{f}_{n}}(2)$$，则$${{a}_{1}}=\frac{1}{3},{{a}_{2}}=\frac{\frac{1}{3}-1}{\frac{1}{3}+1}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2},{{a}_{3}}=\frac{-\frac{1}{2}-1}{-\frac{1}{2}+1}=-3,$$  $${{a}_{4}}=\frac{-3-1}{-3+1}=2,  {{a}_{5}}=\frac{2-1}{2+1}=\frac{1}{3},\cdots $$．  故可知周期$$T=4$$，所以$${{a}_{2010}}={{f}_{2010}}(2)={{f}_{2}}(2)={{a}_{2}}=-\frac{1}{2}$$，将$$x=2$$代入可得选项B. 