1982年全国高中数学联赛竞赛第6题
已知$${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}$$是方程$${{x}^{2}}-(k-2)x+({{k}^{2}}+3k+5)=0$$（$$k$$为实数）的两个实数根，$$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$$的最大值是(~ ~ )．
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由韦达定理得  $$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}$$  $$={{(k-2)}^{2}}-2({{k}^{2}}+3k+5)$$  $$=-{{(k+5)}^{2}}+19$$．  又因方程有两个实根，所以$$k$$值要受下面条件的约束：  $$\Delta ={{(k-2)}^{2}}-4({{k}^{2}}+3k+5)\mathsf{\geqslant }0$$，  即 $$3{{k}^{2}}+16k+16\mathsf{\leqslant }0$$，  解得 $$-4\mathsf{\leqslant }k\mathsf{\leqslant }-\frac{4}{3}$$  因此，求$$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$$的最大值问题，就是当$$-4\mathsf{\leqslant }k\mathsf{\leqslant }-\frac{4}{3}$$的条件下，求函数  $$y=-{{(k+5)}^{2}}+19$$  的最大值．  由于对称轴$${{a}_{1}}$$在$$[-4\mathsf{，}-\frac{4}{3}]$$的外面，所以在$$[-4\mathsf{，}-\frac{4}{3}]$$上函数单调递减，在$$k=-4$$取得最大值$$18$$．  $$\therefore $$ $$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$$的最大值是$$18$$． 