1995年第12届全国初中数学联赛竞赛第3题
如果方程$$\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)=0$$的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数$$m$$的取值范围是．
竞赛->知识点->方程与不等式->二次方程->一元二次方程的根与系数的关系 竞赛->知识点->三角形->三角形基础
显然，方程的一个根为$$1$$，另两根之和为$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\textgreater1$$，三根能作为一个三角形的三边，须且只须$$\left\textbar{} {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right\textbar\textless{}1$$，  又$$\left\textbar{} {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right\textbar=\frac{\sqrt{\Delta }}{\left\textbar{} a \right\textbar}=\sqrt{4-4m}\textless{}1$$，  有$$0\leqslant 4-4m\textless{}1$$，  解得$$\frac{3}{4}\textless{}m\leqslant 1$$，  但作为选择题，只须取$$m=\frac{3}{4}$$代入，得方程的根为$$1$$、$$\frac{3}{2}$$、$$\frac{1}{2}$$，不能组成三角形，故包括$$\frac{3}{4}$$的$$\text{A}$$、$$\text{B}$$、$$\text{D}$$均可否定，选$$\text{C}$$． 