2010年AMC12竞赛B第16题
2010AMC12B, 16  Positive integers $$a$$, $$b$$, and $$c$$ are randomly and independently selected with replacement from the set $$ {1,2,3,\cdots ,2010  }$$. What is the probability that $$abc+ab+a$$ is divisible by $$3$$?   从集合$$ {1,2,3,\cdots ,2010  }$$中独立随机有放回地选取正整数$$a$$, $$b$$, 和$$c$$。$$abc+ab+a$$被$$3$$整除的概率是多少？
课内体系->知识点->统计与概率->概率->事件与概率->事件的独立性->相互独立事件的概率乘法公式 美国AMC10/12->Knowledge Point->Number Theory->Aliquot Theory->Divisibility Rules of Certain Numbers (2/3/5/9/11) 美国AMC10/12->Knowledge Point->Combination->Probability Calculation->Classical Models of Probabilities
首先, 注意到$abc+ab+a=a(bc+b+1)$, 因此当$3\textbar a$时，有$3\textbar abc+ab+a$.  然后, 当$3\nmid a$时, $3\textbar abc+ab+a\Leftrightarrow 3\textbar bc+b+1\Leftrightarrow b(c+1)\equiv 2\pmod 3$.  在模$$3$$的意义下, $(b,c)$共有$$3\times 3=9$$种可能的取值, 其中只有$(2, 0)$和$(1, 1)$满足$b(c+1)\equiv 2\pmod 3$.  因此, 总的概率为$\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times\frac{2}{9}=\frac{13}{27}$. 