竞赛第12题
已知一圆锥曲面顶点\emph{S}，其母线与轴所成的角为$30{^{\circ}}$，在轴线上取一点\emph{C}，使得$SC=5$，过点\emph{C}作一个与轴线夹角为$45{^{\circ}}$的截面，则截得的曲线方程可表示为（~~~~~~~）
\hfill\break 【分析】\\ 根据平面截圆锥所得曲线形状的判断法则可得截得的曲线为椭圆且离心率为$e=\frac{\cos 45{^{\circ}}}{\cos 30{^{\circ}}}$，求出其长轴后可得曲线方程.\\ 【详解】\\ 根据平面截圆锥所得曲线形状的判断法则，截得的曲线为椭圆，离心率$e=\frac{\cos 45{^{\circ}}}{\cos 30{^{\circ}}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，\\ 且根据正弦定理，可得椭圆的长轴长$2a=SC\cdot \sin 30{^{\circ}}\left(\frac{1}{\sin 75{^{\circ}}}+\frac{1}{\sin 15{^{\circ}}}\right)=5\sqrt{6}$，\\ 因此椭圆的半焦距$c=5$，进而所求曲线方程为$\frac{x^{2}}{\frac{75}{2}}+\frac{y^{2}}{\frac{25}{2}}=1\Rightarrow 2x^{2}+6y^{2}=75$．\\ 故选：D. 