2002年第13届希望杯初二竞赛第2试第9题
设$${{a}_{i}}=1989+i$$，当$$i$$取$$1$$，$$2$$，$$3$$，$$\cdots $$，$$100$$时，得到$$100$$个分式$$\frac{i}{{{a}_{i}}}$$（如$$i=5$$，则$$\frac{i}{{{a}_{i}}}=\frac{5}{1989+5}=\frac{5}{1994}$$），在这$$100$$个分式中，最简分式的个数是．
课内体系->知识点->式->分式->分式的运算->最简分式 课内体系->知识点->式->分式->分式的基础->最简公分母
当$$\frac{i}{{{a}_{i}}}$$为可约分式时，$$i$$与$${{a}_{i}}$$的最大公约数$$(i,{{a}_{i}})=d\textgreater1$$)，  而$$({{a}_{i}}-i,i)=({{a}_{i}},i)=d\textgreater1$$．  所以，当$$\frac{i}{{{a}_{i}}}$$为可约分式时，$$(1989,i)=d\textgreater1$$．  由$$1989=3\times 3\times 13\times 17$$，知  d的可能取值是$$1989$$的正约数$$3$$，$$9$$，$$13$$，$$17$$，$$39$$，$$51$$，$$117$$，$$153$$，$$221$$，$$663$$，$$1989$$．  又$$d\textgreater1$$，$$i\leqslant 100$$．  因此，$$d=3$$，$$9$$，$$13$$，$$17$$，$$39$$，$$51$$．  （1）当$$d=3$$时，$$i=3$$，$$6$$，$$9$$，$$\cdots $$，$$99$$共$$33$$个；  （2）当$$d=9$$时，$$i=9$$，$$18$$，$$27$$，$$\cdots $$，$$99$$共$$11$$个，而这$$11$$个数均与（$$1$$）中的数重合；  （3）当$$d=13$$时，$$i=13$$，$$26$$，$$39$$，$$\cdots $$，$$91$$共$$7$$个，其中$$i=39$$，$$78$$已包含在（$$1$$）中，故符合条件的分数只有$$5$$个；  （4）当$$d=17$$时，$$i=17$$，$$34$$，$$51$$，$$68$$，$$85$$，共$$5$$个，其中$$i=51$$已包含在（$$1$$）中，故符合条件的分数只有$$4$$个；  （5）当$$d=39$$时，$$i=39$$，$$78$$共$$2$$个，均与（$$1$$）中的数重合；  （6）当$$d=51$$时，$$i=51$$已包含在（$$1$$）中．  故可以约分的分数共有$$33+5+4=42$$个，最简分式有$$58$$个．  故选$$\text{B}$$． 