2016年天津河北区高三一模理科第13题5分 2017~2018学年浙江杭州西湖区杭州学军中学高二上学期期中理科第14题4分 2016年天津河北区高三二模文科第14题5分 2015年甘肃全国高中数学联赛竞赛初赛第9题7分 2016年天津河北区高三二模理科第14题5分
设$$x$$，$$y$$是正实数，且$$x+y=1$$，则$$\frac{{{x}^{2}}}{x+2}+\frac{{{y}^{2}}}{y+1}$$的最小值是~\uline{~~~~~~~~~~}~．
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设$$x+2=s$$，$$y+1=t$$，则$$s+t=x+y+3=4$$，  所以$$\frac{{{x}^{2}}}{x+2}+\frac{{{y}^{2}}}{y+1}$$  $$=\frac{{{(s-2)}^{2}}}{s}+\frac{{{(t-1)}^{2}}}{t}$$  $$=\left( s-4+\frac{4}{s} \right)+\left( t-2+\frac{1}{t} \right)$$  $$=(s+t)+\left( \frac{4}{s}+\frac{1}{t} \right)-6$$  $$=\left( \frac{4}{s}+\frac{1}{t} \right)-2$$．  因为$$\frac{4}{s}+\frac{1}{t}=\frac{1}{4}\left( \frac{4}{s}+\frac{1}{t} \right)(s+t)$$  $$=\frac{1}{4}\left( \frac{4t}{s}+\frac{s}{t}+5 \right)\geqslant \frac{9}{4}$$，  当且仅当$\left {\begin{align}\&\frac{4t}{s}=\frac{s}{t}  \&s+t=4\end{align}\right.$即$\left {\begin{align}\&s=\frac83  \&t=\frac43\end{align}\right.$也即$\left {\begin{align}\&x=\frac23  \&y=\frac13\end{align}\right.$时取等，  故当$x=\frac23,y=\frac13$时，$\frac{{{x}^{2}}}{x+2}+\frac{{{y}^{2}}}{y+1}$取得最小值$\frac{1}{4}$． 