2014年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
半径为$$6$$的球，则该球内接正三棱锥的体积的最大值是．
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设棱锥的高与一条侧棱的夹角为$$\theta $$，侧棱长$$l=12\cos \theta $$，高$$h=12{{\cos }^{2}}\theta $$，底面正三角形的外接圆半径$$R=12\sin \theta \cos \theta $$，底面边长为$$a=12\sqrt{2}\sin \theta \cos \theta $$，从而  $$V=432\sqrt{3}{{\cos }^{4}}\theta {{\sin }^{2}}\theta $$  $$=216\sqrt{3}\cdot {{\cos }^{2}}\theta \cdot {{\cos }^{2}}\theta \cdot 2{{\sin }^{2}}\theta $$  $$\leqslant 216\sqrt{3}\cdot {{\left( \frac{{{\cos }^{2}}\theta +{{\cos }^{2}}\theta +2{{\sin }^{2}}\theta }{3} \right)}^{3}}$$  $$=64\sqrt{3}$$，  当$${{\tan }^{2}}\theta =\frac{1}{2}$$时等号成立． 