2013年第24届全国希望杯初二竞赛初赛第20题4分
将不大于$$20$$的正偶数分成两组，使得第一组中数的乘积能被第二组中数的乘积整除，则商的最小值是~\uline{~~~~~~~~~~}~．
课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数乘法->有理数乘法运算 课内体系->能力->运算能力 竞赛->知识点->数论->整除->整除的概念与基本性质 竞赛->知识点->数论->整除->算术基本定理
不大于$$20$$的正偶数的乘积是  $$2\times 4\times 6\times 8\times 10\times 12\times 14\times 16\times 18\times 20$$  $$={{2}^{10}}\times (1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7\times 8\times 9\times 10)$$  $$={{2}^{10}}\times (1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7\times 8\times 9\times 10)$$  $$={{2}^{18}}\times (3\times 5\times 3\times 7\times 9\times 5)$$  $$={{2}^{18}}\times {{3}^{4}}\times {{5}^{2}}\times 7$$．  设第一、二组中数的乘积分别是$$M$$，$$N$$，  则$$MN={{2}^{18}}\times {{3}^{4}}\times {{5}^{2}}\times 7$$．  题意是要求最小的商，其实就是求最大的$$N$$，  易知$${{N}_{\max }}={{2}^{9}}\times {{3}^{2}}\times 5$$，  故商为$$7$$． 