1991年全国高中数学联赛竞赛一试第3题
设$$a$$是正整数，$$a\textless{}100$$．并且$${{a}^{3}}+23$$能被$$24$$整除，那么这样的$$a$$的个数为（~ ）．
竞赛->知识点->数论模块->同余->同余的概念与性质
考虑使得$$24\textbar{{a}^{3}}-1$$成立的$$a$$．  $${{a}^{3}}-1=\left( a-1 \right)\left( {{a}^{2}}+a+1 \right)=\left[ \left( a-1 \right)a\left( a+1 \right)+1 \right]$$．  因$$a\left( a+1 \right)+1$$是奇数，  若要$$24\textbar\left( {{a}^{3}}-1 \right)$$，必有$${{2}^{3}}\left( a-1 \right)$$．  若$$a-1$$不能被$$3$$整除，则$$3\textbar a\left( a+1 \right)$$，  从而$$a\left( a+1 \right)+1$$不能被$$3$$整除．  因此，若要$$24\textbar\left( {{a}^{3}}-1 \right)$$，必有$$3\left( a-1 \right)$$．这样就有  $$24\textbar\left( a-1 \right)$$，即  $$a=24k+1$$，  $$\left( k\in Z \right)$$．  由$$24k+1\textless{}100$$，$$k$$可能取的一切值为$$0,1,2,3,4$$，也就是这样的$$a$$有$$1,25,49,73,97$$五个． 