2005年AMC12竞赛A第21题
2005AMC12A, 21  How many ordered triples of integers $$(a, b, c)$$, with $$a\geqslant2$$, $$b\geqslant1$$, and $$c\geqslant0$$, satisfy both $$\log_ab=c^{2005}$$ and $$a+b+c= 2005$$?  有多少个整数 $$(a, b, c)$$ 的有序三元组，其中 $$a\geqslant2$$、$$b\geqslant1$$ 和 $$c\geqslant0$$ 满足 $$\log_ab =c^{2005}$$ 和 $$a+b+c= 2005$$?
美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Calculation->Solve Quadratic Equations 课内体系->知识点->基本初等函数->对数的概念及其运算->指对化简求值
由$\log_a{b}=c^{2005}$可知$b=a^{c\^{2005}}$.  又由$a+b+c=2005$知$a\textless2005$, 故$c=0$或$c=1$.  $c=0$时, $b=a^{0}=1$, $a=2005-b-c=2004$.  $c=1$时, $b=a^{1}=a$, 再由$a+b+c=2005$知$(a,b,c)=(1002, 1002, 1)$.  共两种, 选$$\text{C}$$. 