2009年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第11题7分
以双曲线$$\frac{{{x}^{2}}}{4}-\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(b\textgreater0)$$的离心率为半径，右焦点为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为~\uline{~~~~~~~~~~}~．
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易知$$a=2, c=\sqrt{4+{{b}^{2}}}, e=\frac{\sqrt{4+{{b}^{2}}}}{2}$$．  渐近线方程为$$\frac{x}{2}\pm \frac{y}{b}=0$$，即$$bx\pm 2y=0$$．  右焦点$$(\sqrt{4+{{b}^{2}}}, 0)$$到渐近线的距离$$d=b$$，从而得方程$$b=\frac{\sqrt{4+{{b}^{2}}}}{2}$$．  解方程得，$$b=\frac{2}{3}\sqrt{3}, e=\frac{\sqrt{4+\frac{4}{3}}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$．故填$$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$． 