2014年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第3题5分
已知$${\triangle }ABC$$的三边$$a$$，$$b$$，$$c$$成等比数列，$$a$$，$$b$$，$$c$$的对角依次为$$\angle A$$，$$\angle B$$，$$\angle C$$．则$$\sin B+\cos B$$的范围是(  )．
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因为$$a$$，$$b$$，$$c$$成等比数列，所以$${{b}^{2}}=ac$$．  则$${{b}^{2}}=ac={{a}^{2}}+{{c}^{2}}-2ac\cos B{\geqslant }2ac-2ac\cos B$$，  $$\cos B{\geqslant }\frac{1}{2}$$．  于是，$$0 \textless{} B{\leqslant }60{}^{}\circ $$．  由$$\frac{1}{2}{\leqslant }\cos B \textless{} 1$$及$$0 \textless{} \sin B{\leqslant }\frac{\sqrt{3}}{2}$$，得  $$\frac{1}{2} \textless{} \cos B+\sin B \textless{} \frac{\sqrt{3}}{2}+1$$． ①  另一方面$$\sin B+\cos B=\sqrt{2}\sin (B+45{}^{}\circ )$$．  而$$45{}^{}\circ \textless{} \angle B+45{}^{}\circ {\leqslant }105{}^{}\circ $$．  故$$1 \textless{} \sin B+\cos B{\leqslant }\sqrt{2}$$． ②  综合①、②，有$$1 \textless{} \sin B+\cos B{\leqslant }\sqrt{2}$$．  故选$$\text{B}$$. 