1992年第9届全国初中数学联赛竞赛第8题
设$${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}$$，$${{x}_{3}}$$，$$\cdots $$，$${{x}_{9}}$$均为正整数，且$${{x}_{1}}\textless{}{{x}_{2}}\textless{}\cdots \textless{}{{x}_{9}}$$，$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\cdots +{{x}_{9}}=220$$，则当$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}+{{x}_{5}}$$的值最大时，$${{x}_{9}}-{{x}_{1}}$$的最小值是（~ ）．
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先证$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\cdots +{{x}_{5}}\leqslant 110$$．  若不然，设$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\cdots +{{x}_{5}}\textgreater110$$，则$${{x}_{5}}=25$$，从而$${{x}_{6}}\geqslant 26$$，$${{x}_{7}}\geqslant 27$$，$${{x}_{8}}\geqslant 28$$，$${{x}_{9}}\geqslant 29$$．于是，与假设矛盾．  若取$${{x}_{1}}=20$$，$${{x}_{2}}=21$$，$${{x}_{3}}=22$$，$${{x}_{4}}=23$$，$${{x}_{5}}=24$$，则所以当$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\cdots +{{x}_{5}}$$取得最大值时，$${{x}_{1}}$$最大的值是$$20$$．  若取$${{x}_{6}}=27$$，$${{x}_{7}}=27$$，$${{x}_{8}}=28$$，$${{x}_{9}}=29$$，则$${{x}_{6}}+{{x}_{7}}+{{x}_{8}}+{{x}_{9}}=110$$．  所以，当$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\cdots +{{x}_{5}}$$取得最大值时，$${{x}_{9}}$$最小的值是$$29$$．  因此$${{x}_{9}}-{{x}_{1}}$$的最小值是$$29-20=9$$． 