2016年第33届全国全国初中数学联赛竞赛第6题7分
设实数$$x$$，$$y$$，$$z$$，满足$$x+y+z=1$$，则$$M=xy+2yz+3xz$$的最大值为．
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方法一：$$M=xy+(2y+3x)z$$  $$=xy+(2y+3x)(1-x-y)$$  $$=-3{{x}^{2}}-4xy-2{{y}^{2}}+3x+2y$$  $$=-2\left[ {{y}^{2}}+2\left( x-\frac{1}{2} \right)y+{{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}} \right]-3{{x}^{2}}+3x+2{{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}$$  $$=-2{{\left( y+x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}-{{x}^{2}}+x+\frac{1}{2}$$  $$=-2{{\left( y+x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}-{{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}$$  $$\leqslant \frac{3}{4}$$．  当且仅当$$x=\frac{1}{2}$$，$$y=0$$时，不等式取等号，  所以$${{M}_{\max }}=\frac{3}{4}$$．  方法二：令$$y=1-x-z$$，代入$$M$$，则：  $$M=x\left( 1-x-z \right)+2\left( 1-x-z \right)z+3xz=x-{{x}^{2}}-xz+2z-2xz-2{{z}^{2}}+3xz$$  $$=-{{x}^{2}}+x-2{{z}^{2}}+2z=-{{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}-2{{\left( z-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}$$，$${{M}_{\max }}=\frac{3}{4}$$．  所以选$$\text{C}$$． 