2008年第6届创新杯六年级竞赛复赛第10题4分 2008年六年级竞赛创新杯
在黑板上任意写一个正整数，在不是它的因数的正整数中，找出最小的正整数，擦去原数，写上找到的这个数.这样继续下去，最多只要擦(  )次，黑板上就会出现2. 
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用符号$$a\to b$$表示``擦去原数$$a$$，改写为$$b$$''的一次操作. 如:$$5\to 2$$(擦1次就可得到2); $${{2}^{3}}=8\to 3\to 2$$(擦2次就可得到2); $${2\times 2\times 3\times 5\times 7}=420\to 8={{2}^{3}}\to 3\to 2$$(擦3次就可得到2). 再试几次，没有出现需要擦4次或更多次才出现2的情况，因此初步断定选B.  严格证明如下: （1）如果黑板上最初写的是奇数，只要擦1次就可出现2.  （2）如果黑板上最初写的是偶数，擦过1次，改写的数如果是奇数，显然再擦1次就可出现2(共擦2次即可).  （3）如果黑板上最初写的是偶数，擦过1次，改写的数如果还是偶数，那么可以证明这个偶数不可能有奇质数因子，即这个改写的数为$${{2}^{k}}$$($$k\geqslant 1$$)，从而第2次改写得3，第3次改写得2.  事实上，设最初写的偶数为$$a$$，改写的偶数为$$b$$，则1，2，3，\ldots，$$b-1$$都是$$a$$的因数，而$$b$$不能整除$$a$$，假设$$b$$有奇质数因子，则$$b={{2}^{k}}{{p}_{1}}^{{{a}_{1}}}\cdots {{p}_{s}}^{{{a}_{s}}}$$为质因数分解式，其中$${{p}_{1}} \textless{} {{p}_{2}}\cdots \textless{} {{p}_{s}}$$，均为奇质数，$$s\geqslant 1$$，$$k\geqslant 1$$.显然，$$1 \textless{} {{2}^{k}} \textless{} b$$，$$1 \textless{} {{p}_{i}}^{{{a}_{i}}} \textless{} b$$($$i=1$$，2\ldots，$$s$$)，所以$${{2}^{k}}\textbar a$$，$${{p}_{i}}^{{{a}_{i}}}\textbar a$$($$i=1$$，2，\ldots，$$s$$)，从而$${{2}^{k}}p_{1}^{{{a}_{1}}}\cdots {{p}_{s}}^{{{a}_{s}}}\textbar a$$，即$$b\textbar a$$，与$$b$$不能整除$$a$$矛盾，故$$b$$没有奇质数因子. 