2017年第23届浙江杭州华杯赛小学高年级竞赛卓学堂高端备考活动第7题 2014年全国中环杯五年级竞赛决赛第7题
有 $$15$$位选手参加一个围棋锦标赛，每两个人之间需要比赛一场． 赢一场得 $$2$$分，平一场各得$$1$$分，输一场得 $$0$$分． 如果一位选手的得分不少于 $$20$$分，他就能获得一份奖品． 那么，最多有位选手能够获得奖品． 
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容易知道，这 $$15$$ 位选手一共需要比赛$$C_{15}^{2}=15\times 7$$ （场），产生$$15\times 7\times 2=210$$ （分），  所以理论上最多有$$\left[ \frac{210}{20} \right]=10$$ （人）能够拿到奖品．接下来，我们要证明，不可能有 $$10$$ 人同时拿到 $$20$$ 分或以上．  假设$${{A}_{1}}.{{A}_{2}}.\cdots {{A}_{15}}$$ 同时拿到$$20$$ 分或以上，也就意味着$${{A}_{11}}{{A}_{12}}\cdots {{A}_{15}}$$ 一共只能拿到$$10$$ 分或以下．考虑到$${{A}_{11}}{{A}_{12}}\cdots {{A}_{15}}$$之间有$$C_{5}^{2}=10$$ （场）比赛，产生了$$20$$ 分的总分，所以不可能只得到$$10$$ 分或以下．  至此，理论上最多只能有 $$9$$ 个人，接下来举例：$${{A}_{1}}.{{A}_{2}}.\cdots {{A}_{9}}$$互相之间全部打平，然后$${{A}_{1}}.{{A}_{2}}.\cdots {{A}_{9}}$$每个人都战胜了$${{A}_{11}}{{A}_{12}}\cdots {{A}_{15}}$$中的所有人，这样$${{A}_{1}}.{{A}_{2}}.\cdots {{A}_{9}}$$每个人都可以得$$6\times 2+8=20$$ （分）． 