2010年第21届全国希望杯初一竞赛复赛第10题4分
如果在一个正方体的每个面内写一个正整数，然后，在每个顶点处再写一个数，该数等于过这个顶点的三个面内的数的乘积，那么当该正方体各个顶点处的数之和是$$290$$时，各个面内的数之和等于（~ ~ ~ ）．
竞赛->知识点->数论->整除->算术基本定理 课内体系->知识点->几何图形初步->几何图形->立体图形与平面图形->点线面体
设正方体的每个面内的数分别为$${{x}_{1}}$$，$${{x}_{2}}$$，$${{x}_{3}}$$，$${{x}_{4}}$$，$${{x}_{5}}$$，$${{x}_{6}}$$，  则顶点上的数分别为$${{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{5}}$$，$${{x}_{2}}{{x}_{3}}{{x}_{5}}$$，$${{x}_{3}}{{x}_{4}}{{x}_{5}}$$，$${{x}_{4}}{{x}_{1}}{{x}_{5}}$$，$${{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{6}}$$，$${{x}_{2}}{{x}_{3}}{{x}_{6}}$$，$${{x}_{3}}{{x}_{4}}{{x}_{6}}$$，$${{x}_{4}}{{x}_{1}}{{x}_{6}}$$，  则有$$290={{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{5}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}{{x}_{5}}+{{x}_{3}}{{x}_{4}}{{x}_{5}}+{{x}_{4}}{{x}_{1}}{{x}_{5}}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{6}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}{{x}_{6}}+{{x}_{3}}{{x}_{4}}{{x}_{6}}+{{x}_{4}}{{x}_{1}}{{x}_{6}}$$  $$=({{x}_{5}}+{{x}_{6}})({{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{3}}{{x}_{4}}+{{x}_{4}}{{x}_{1}})$$  $$=({{x}_{1}}+{{x}_{3}})({{x}_{2}}+{{x}_{4}})({{x}_{5}}+{{x}_{6}})$$．  由于$$290=2\times 5\times 29$$，  显然在乘积$$({{x}_{1}}+{{x}_{3}})({{x}_{2}}+{{x}_{4}})({{x}_{5}}+{{x}_{6}})$$中，一个因式等于$$2$$，一个因式等于$$5$$，一个因式等于$$29$$，  所以$${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}+{{x}_{5}}+{{x}_{6}}=2+5+29=36$$． 