2016年第27届全国希望杯初一竞赛初赛第5题4分
若非零自然数$$a$$，$$b$$的最大公约数与最小公倍数之和恰等于$$a$$，$$b$$的乘积，则$${{\left( \frac{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \right)}^{10}}=$$（~ ）．
课内体系->能力->推理论证能力 课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->数->有理数->有理数基础运算->有理数除法->有理数四则混合运算 竞赛->知识点->数论->整除->因数与倍数
设$$a$$，$$b$$的最大公约数是$$c$$，  则它们的最小公倍数为$$c\cdot \frac{a}{c}\cdot \frac{b}{c}=\frac{ab}{c}$$，  由题意，得$$c+\frac{ab}{c}=ab$$，  ∴$$ab=\frac{{{c}^{2}}}{c-1}$$．  若$$c$$为奇数，则$${{c}^{2}}$$为奇数，$$c-1$$为偶数，$$\frac{{{c}^{2}}}{c-1}$$不是整数，舍去．  若$$c$$为偶数，则$${{c}^{2}}$$为偶数，$$c-1$$为奇数，当且仅当$$c=2$$时，$$\frac{{{c}^{2}}}{c-1}$$为整数．  ∴$$ab=\frac{{{2}^{2}}}{2-1}=4$$．  又∵$$a$$，$$b$$均为正整数，且它们的最大公约数为$$2$$，  ∴$$a=b=2$$，  ∴$${{\left( \frac{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \right)}^{10}}={{\left( \frac{16}{8} \right)}^{10}}={{2}^{10}}=1024$$． 