2009年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第9题6分
以四面体的顶点和各棱中点为顶点的空间四边形有 ．
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四面体有$$4$$个顶点和$$6$$条棱，每条棱有$$1$$个中点，其有$$10$$个点，从其中任取$$4$$个不共面的点有以下几种情况：  ①这$$4$$个点都是顶点的取法只有$$1$$种；  ②这$$4$$个点中有$$3$$个顶点的取法共有$$4\times 3$$=12（种）；  ③这$$4$$个点中有$$2$$顶点的取法共有$$6\times (\text{C}_{5}^{2}-2)=48$$（种）；  ④这$$4$$个点中有$$1$$个顶点的取法共有$$4\times (\text{C}_{6}^{3}-3)=68$$（种）；  ⑤这$$4$$个点中没有顶点的取法共有$$\text{C}_{6}^{4}-3=12$$（种）．  综上所述，从这$$10$$个点中取$$4$$个不共面的点的取法共有  $$1+12+48+68+12=141$$（种）．  每不共面的$$4$$个点可以构成$$3$$个不同的空间四边形，则以这$$10$$个点为顶点的空间四边形共有$$141\times 3=423$$（个）．  <p>从这$$10$$个点中任取$$4$$个，共有$$\text{C}_{10}^{4}=210$$（种）取法，其中取出的$$4$$个点共面的情况共有以下$$3$$种：</p>
<p>①从每个面上的$$6$$个点中任取$$4$$个点都共面，这样的取法共有$$4\text{C}_{6}^{4}=60$$（种）；</p>
<p>②每个棱上的$$3$$个点与相对棱的中点共面，这样的取法共有$$6$$种；</p>
<p>③去掉$$1$$组相对棱后，其余四棱的中点共面，这样的取法共有$$3$$种．</p>
<p>综上所述，所取$$4$$点共面的取法共$$60+6+3=69$$（种）．所以，所取$$4$$点不共面的取法共有$$210-69=141$$（种），以下同方法$$1$$．故选$$\text{C}$$．</p>
