1999年第10届希望杯初二竞赛第1试第15题
若$${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-3x+k$$有一个因式是$$x+1$$，则$$k=$$~\uline{~~~~~~~~~~}~．
课内体系->能力->运算能力 课内体系->方法->待定系数法 课内体系->知识点->式->因式分解->其他方法->待定系数法
依题意，原多项式当$$x=-1$$时，其值等于$$0$$，即$${{\left( -1 \right)}^{3}}+3{{\left( -1 \right)}^{2}}-3\left( -1 \right)+k=0$$，从而$$k=-5$$．  依题意$$x+1$$也是多项式，  $${{\left( x+1 \right)}^{3}}-\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-3x+k \right)=6x+\left( 1-k \right)$$的因式，故$$1-k=6$$，即$$k=-5$$．  依题意可设$${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-3x+k=\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+ax+b \right)={{x}^{3}}+\left( a+1 \right){{x}^{2}}+\left( a+b \right)x+b$$．  比较同次幂系数得$$\begin{cases}a+1=3    a+b=-3    k=b   \end{cases}$$，  ∴$$\begin{cases}a=2    b=-5    k=-5   \end{cases}$$．  故$$k=-5$$． 