2010年全国全国高中数学联赛竞赛复赛一试第2题8分 高二上学期单元测试《导数及其应用》自招第8题
已知函数$$y=(a{{\cos }^{2}}x-3)\sin x$$的最小值为$$-3$$，则实数$$a$$的取值范围是~\uline{~~~~~~~~~~}~．
课内体系->知识点->函数的概念与性质->函数的概念及其表示->函数的值域->求函数的值域->用换元法求值域 课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->解不等式->一元二次不等式 课内体系->素养->数学运算
令$$\sin x=t$$，则原函数化为$$g(t)=(-a{{t}^{2}}+a-3)t$$，即$$g(t)=-a{{t}^{3}}+(a-3)t$$，  由$$-a{{t}^{3}}+(a-3)t\geqslant -3$$，$$-at({{t}^{2}}-1)-3(t-1)\geqslant 0$$，$$(t-1)(-at(t+1)-3)\geqslant 0$$及$$t-1\leqslant 0$$，知$$-at(t+1)-3\leqslant 0$$即$$a({{t}^{2}}+t)\geqslant -3$$，（$$1$$）  当$$t=0$$，$$1$$时（$$1$$）总成立；  对$$0\textless{}t\leqslant 1$$，$$0\textless{}{{t}^{2}}+t\leqslant 2$$，对$$-1\textless{}t\textless{}0$$，$$-\frac{1}{4}\leqslant {{t}^{2}}+t\textless{}0$$，  从而可知$$-\frac{3}{2}\leqslant a\leqslant 12$$．  问题即函数$$f\left( x \right)=-a{{x}^{3}}+(a-3)x$$在区间$$[-1,1]$$上的最小值为$$-3$$．函数$$f\left( x \right)$$的导函数为$${{f}^{\prime }}\left( x \right)=-3a{{x}^{2}}+(a-3)$$．  注意到$$f(1)=-3$$，于是$${{f}^{\prime }}\left( 1 \right)\leqslant 0$$，可得$$a\geqslant -\frac{3}{2}$$．  情形一：$$-\frac{3}{2}\leqslant a\leqslant 3$$，  此时恒有$${{f}^{\prime }}\left( x \right)\leqslant 0$$，函数$$f(x)$$在区间$$[-1,1]$$上单调递减，符合题意．  情形二：$$a\textgreater3$$．  此时函数$$f(x)$$在区间$$[-1,1]$$上有极小值点$$x=-\sqrt{\frac{a-3}{3a}}$$，  于是根据题意，有$$f\left( -\sqrt{\frac{a-3}{3\alpha }} \right)\geqslant -3$$，  即$$-\frac{2(a-3)}{3}\cdot \sqrt{\frac{a-3}{3a}}\geqslant -3$$，  整理得$$(a-12)(4{{a}^{2}}+12a+9)\leqslant 0$$，  解得$$a\leqslant 12$$．  综上所述，$$a$$的取值范围是$$\left[ -\frac{3}{2},12 \right]$$． 