2019年广东广州学而思综合能力诊断五年级竞赛第11题12分
$$A+B+C=2021$$，$$A$$、$$B$$、$$C$$分别有$$8$$、$$10$$、$$11$$个因数，并且$$B$$与$$C$$互质，那么$$A$$是． 
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本题是因数个数定理的逆应用，先从$$A$$、$$B$$、$$C$$三个的因数个数开始讨论：$$C$$有$$11$$个因数，$$11$$是质数，所以$$C$$一定是一个质数的$$10$$次方，又因为三个数的和为$$2021$$，小于$$3$$的$$10$$次方，所以$$C$$只能是$$2$$的$$10$$次方，等于$$1024$$，则$$A+B=2021-1024=997$$，$$A$$有$$8$$个因数，则$$A$$的分解质因数形式可以是$$a$$的$$7$$次方、$$a$$的$$1$$次方乘$$b$$的$$3$$次方、$$a\times b\times c$$这$$3$$种可能，$$B$$的分解质因数形式可以是$$c$$的$$9$$次方、$$c$$的$$1$$次方乘$$d$$的$$4$$次方，因为$$B$$和$$C$$互质，所以$$B$$不含质因数$$2$$，根据和的大小可以确定$$B$$不等于$$c$$的$$9$$次方，又$$5$$的$$4$$次方等于$$625$$，$$625$$乘$$3$$等于$$1275$$大于$$997$$，所以$$d$$只能等于$$3$$，$$3$$的$$4$$次方等于$$81$$，$$81$$乘$$5$$等于$$405$$，$$997-405=592$$不符合$$A$$的分解质因数条件，$$81$$乘$$7$$等于$$567$$，$$997-567=430$$符合条件，则$$A$$等于$$430$$． 