2005年AMC12竞赛B第23题
2005AMC12B, 23  Let $$S$$ be the set of ordered triples $$(x, y,z)$$ of real numbers for which $$\log_{10}(x+y)=z$$ and $$\log_{10}(x^{2}+y^{2})=z+1$$. There are real numbers $$a$$ and $$b$$ such that for all ordered triples $$(x, y,z)$$ in $$S$$ we have $$x^{3}+y^{3}=a\cdot10^{3z}+b\cdot10^{2z}$$. What is the value of $$a+b$$?  令 $$S$$ 为有序实数三元组 $$(x, y,z)$$ 的集合，其中 $$\log_{10}(x+y)=z$$ 且 $$\log_{ 10}(x^{2}+y^{2})=z+1$$。 存在实数 $$a$$ 和 $$b$$ ，使得对于 $$S$$ 中的所有有序三元组 $$(x, y,z)$$ ， 有$$x^{3}+y^{} {3}=a\cdot10^{3z}+b\cdot10^{2z}$$。 $$a+b$$ 的值是多少？
美国AMC10/12->Knowledge Point->Algebra->Calculation->Exponentiation 课内体系->知识点->基本初等函数->实数指数幂运算
这题主要考代数变形.  由题意, $x+y=10^{}z$, $x^{2}+y^{2}=10^{z+1}$.  由此可得$xy=\frac{(x+y)^{2}-(x^{2}+y^{2})}{2}=\frac{1}{2}10^{2z}-5\times 10^{}z$.  代入$x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})$, 得  $x^{3}+y^{3}=10^{}z(10\times 10^{}z-\frac{1}{2}10^{2z}+5\times 10^{}z)=-\frac{1}{2}10^{3z}+15\times 10^{2z}$.  故$a+b=15-\frac{1}{2}=\frac{29}{2}$, 选$$\text{B}$$. 