2022年小学高年级六年级竞赛（小学奥数5-2-5整除与分类计数综合专项训练）第6题 2022年小学高年级六年级竞赛（小学奥数5-2-5整除与分类计数综合专项训练）
在$$1$$、$$2$$、$$3$$、$$4$$\ldots\ldots$$2007$$这$$2007$$个数中有~\uline{~~~~~~~~~~}~个自然数$$a$$能使$$2008+a$$能被$$2007-a$$整除。 
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【详解】 要使得$$2008+a$$能被$$2007-a$$整除，我们可以将条件等价的转化为只要让$$\frac{2008+a}{2007-a}$$是一个整数即可。下面是一个比较难的技巧，我们知道若$$a$$可以使得$$\frac{2008+a}{2007-a}$$是一个整数，那么$$a$$也同样可以使得$$\frac{2008+a}{2007-a}+1=\frac{2008+a+2007-a}{2007-a}=\frac{4015}{2007-a}$$是一个整数，这样只要$$2007-a$$是$$4015$$的约数即可，将$$4015$$分解可知其共有$$8$$个因数，其中$$4015$$是最大的一个，但是显然没有可以让$$2007-a$$等于$$4015$$的$$a$$的值，其余的$$7$$个均可以有对应的$$a$$的值，所以满足条件的$$a$$的取值共有$$7$$个。 