2022~2023学年广东深圳南山区深圳实验学校高二上学期段考（三）第8题 2010年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第7题5分
设$${{A}_{1}},  {{A}_{2}}$$为椭圆$$\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a\textgreater b\textgreater0)$$的左、右顶点，若在椭圆上存在异于$${{A}_{1}}, {{A}_{2}}$$的点$$P$$，使得$${PO}\bot {P{{A}_{2}}}$$，其中$$O$$为坐标原点，则椭圆的离心率$$e$$的取值范围是
课内体系->知识点->圆锥曲线->椭圆->椭圆的简单几何性质
由题设知$$\angle OP{{A}_{2}}=90{}^{}\circ $$，设$$P(x,  y)(x\textgreater0)$$，  以$$O{{A}_{2}}$$为直径的圆方程为$${{\left( x-\frac{a}{2} \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{4}$$，  与椭圆方程联立得$$\left( 1-\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}} \right){{x}^{2}}-ax+{{b}^{2}}=0$$．  由题设知，要求此方程在$$(0,  a)$$上有实根．  由此得$$0\textless{}\frac{a}{2\left( 1-\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}} \right)}\textless{}a$$化简得$${{e}^{2}}\textgreater\frac{1}{2}$$，  所以$$e$$的取值范围为$$\left( \frac{\sqrt{2}}{2},  1 \right)$$．故选$$\text{D}$$． 