2016年浙江全国高中数学联赛竞赛初赛第4题6分
已知正三棱锥$$S-ABC$$，底面是边长为$$1$$的正三角形，侧棱长为$$2$$，若过直线$$AB$$的截面，将正三棱锥的体积分成两个相等的部分，则截面与底面所成二面角的平面角的余弦值为（~ ~ ）．
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设截面与棱$$SC$$交于$$D$$点，由已知条件可知，点$$D$$为棱$$SC$$的中点．  取$$AB$$的中点$$E$$，连结$$EC$$、$$DE$$、$$SE$$，  则$$\angle DEC$$为截面与底面所成二面角的平面角，设为$$\theta $$．  在$$\triangle SEC$$中，$$SE=\frac{\sqrt{15}}{2}$$，$$EC=\frac{\sqrt{3}}{2}$$，$$SC=2$$，所以中线$$DE=\frac{\sqrt{5}}{2}$$．  在$$\triangle DEC$$应用余弦定理得$$\cos \theta =\frac{2\sqrt{15}}{15}$$．正确答案为$$D$$． 