2016年广东全国高中数学联赛高三竞赛初赛第7题8分
已知锐角$$\alpha $$，$$\beta $$满足条件：$$\frac{{{\sin }^{4}}\alpha }{{{\cos }^{2}}\beta }+\frac{{{\cos }^{4}}\alpha }{{{\sin }^{2}}\beta }=1$$，则$$\alpha +\beta =$$~\uline{~~~~~~~~~~}~．
课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式的实际应用 课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->基本不等式->基本不等式成立的条件 课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->不等式的性质 课内体系->知识点->等式与不等式->不等式->柯西不等式 课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角的三角函数->同角三角函数的基本关系式 课内体系->知识点->三角函数->三角函数的概念->任意角的三角函数->同角三角函数的基本关系式的化简和求值 课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->和差角公式->和差角公式化简求值综合运用 课内体系->知识点->三角函数->三角恒等变换->和差角公式->两角和与差的余弦 课内体系->素养->数学运算 课内体系->素养->逻辑推理
∵$$\frac{{{\sin }^{4}}\alpha }{{{\cos }^{2}}\beta }+\frac{{{\cos }^{4}}\alpha }{{{\sin }^{2}}\beta }=1$$，  即$$\frac{{{\sin }^{4}}\alpha }{{{\cos }^{2}}\beta }+\frac{{{\cos }^{4}}\alpha }{{{\sin }^{2}}\beta }-1={{\left( \frac{{{\sin }^{2}}\alpha }{\cos \beta }-\cos \beta \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{\cos }^{2}}\alpha }{\sin \beta }-\sin \beta \right)}^{2}}=0$$，  ∴$$\frac{{{\sin }^{2}}\alpha }{\cos \beta }-\cos \beta =0$$，$$\frac{{{\cos }^{2}}\alpha }{\sin \beta }-\sin \beta =0$$，  ∴$${{\sin }^{2}}\alpha ={{\cos }^{2}}\beta $$，$${{\cos }^{2}}\alpha ={{\sin }^{2}}\beta $$，  根据$$\alpha $$、$$\beta $$为锐角，可得$$\alpha +\beta =90{}^{}\circ $$．  故答案为：$$90{}^{}\circ $$．  由柯西不等式，$$\left( {{\cos }^{2}}\beta +{{\sin }^{2}}\beta \right)\left( \frac{{{\sin }^{4}}\alpha }{{{\cos }^{2}}\beta }+\frac{{{\cos }^{4}}\alpha }{{{\sin }^{2}}\beta } \right)\geqslant {{\left( {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha \right)}^{2}}=1$$，  因此，$$\frac{{{\cos }^{4}}\beta }{{{\sin }^{4}}\alpha }=\frac{{{\sin }^{4}}\beta }{{{\cos }^{4}}\alpha }$$，即$$\cos \alpha \cos \beta =\sin \alpha \sin \beta $$，$$\cos \left( \alpha +\beta \right)=0$$，故$$\alpha +\beta =\frac{ \pi }{2}$$．  故答案为：$$\frac{ \pi }{2}$$． 