1992年全国高中数学联赛竞赛一试第3题
设四面体四个面的面积分别为$${{S}_{1}}$$，$${{S}_{2}}$$，$${{S}_{3}}$$，$${{S}_{4}}$$，它们的最大值为$$S$$，记$$\lambda =\frac{\sum\limits_{i=1}^{4}{{{S}_{i}}}}{S}$$，则$$\lambda $$一定满足（~ ）．
竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间几何体中的求值问题
因为  $${{S}_{i}}\mathsf{\leqslant }S$$  $$\left( i=1,2,3,4 \right)$$  所以  $$\sum\limits_{i=1}^{4}{{{S}_{i}}}\mathsf{\leqslant }4S$$．  进而  $$\lambda =\frac{\sum\limits_{i=1}^{4}{{{S}_{i}}}}{S}\mathsf{\leqslant }4$$．  特别地，当四面体为正四面体时，式中的等号成立，从而否定（$$\text{B}$$）．  考察侧面与底面所成的二面角的平面角均等于$$45{}^{}\circ $$的任一个正三棱锥，以$${{S}_{4}}$$表示该正三棱锥的底面面积，则  $$S={{S}_{4}}=\left( {{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}} \right)\cos {{45}^{\circ }}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left( {{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}} \right)$$，  于是  $$\left( {{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}} \right)=\sqrt{2}S$$，  $${{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}}+{{S}_{4}}=\left( 1+\sqrt{2} \right)S$$．  此时  $$\lambda =\frac{\sum\limits_{i=1}^{4}{{{S}_{i}}}}{S}=1+\sqrt{2}\textless{}2.5$$，  从而否定（$$\text{C}$$）与（$$\text{D}$$）．因此答案是（$$\text{A}$$）． 