2009年河北全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分
如果函数$$f(x)={{a}^{x}}({{a}^{x}}-3{{a}^{2}}-1)(a\textgreater0$$且$$a\ne 1)$$在区间$$[0,+\infty ]$$上是增函数，那么实数$$a$$的取值范围是．
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利用复合函数的单调性求解，令$${{a}^{x}}=t$$，则  $$y=g(t)={{t}^{2}}-(3{{a}^{2}}+1)t$$．  ①当$$a\textgreater1$$时，$$t$$是关于$$x$$的增函数，欲使$$f(x)$$在$$x\in [0,+\infty )$$上是增函数，需$$g(t)$$在$$t\in [1,+\infty )$$上是增函数，故$$\frac{3{{a}^{2}}+1}{2}\leqslant 1$$，即$${{a}^{2}}\leqslant \frac{1}{3}$$，矛盾．  ②当$$0\textless{}a\textless{}1$$时，$$t$$是关于$$x$$的减函数，欲使$$f(x)$$在$$x\in [0,+\infty )$$上是增函数，需$$g(t)$$在$$t\in (0,1]$$上是减函数，故$$\frac{3{{a}^{2}}+1}{2}\geqslant 1$$，即$${{a}^{2}}\geqslant \frac{1}{3}$$，所以$$\frac{\sqrt{3}}{3}\leqslant a\textless{}1$$．  综上可知选$$\text{B}$$． 