2018年上海杨浦区高三二模第16题5分 2017年辽宁全国高中数学联赛竞赛初赛第2题5分
已知长方体的表面积为$$\frac{45}{2}$$，棱长的总和为$$24$$，则长方体的体对角线与棱所成角的最大值为（~ ）．
课内体系->素养->数学运算 课内体系->知识点->立体几何初步->基本立体图形->空间几何体的概念->棱柱、棱锥、棱台的结构特征 课内体系->知识点->立体几何初步->基本图形位置关系->空间中的基本事实与定理->点、直线、平面之间的位置关系 课内体系->知识点->立体几何初步->基本图形位置关系->探索性问题->几何法求空间角
设三条棱$$a\leqslant b\leqslant c$$，  ∴$$ab+ac+bc=\frac{45}{4}$$，$$a+b+c=6$$，$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=\frac{27}{2}$$，  $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\geqslant {{a}^{2}}+2bc={{a}^{2}}+2\left[ \frac{45}{4}-a\left( 6-a \right) \right]$$，  整理得$${{a}^{2}}-4a+3\leqslant 0$$，  ∴$$1\leqslant a\leqslant 3$$，  ∴最短棱长为$$1$$，体对角线长为$$\frac{3\sqrt{6}}{2}$$，$$\cos \theta =\frac{2}{3\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{9}$$，  故选$$\text{D}$$． 