2013年四川全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
当平面上的点$$\left( x,y \right)$$的坐标$$x,y$$都为有理数时，该点称为有理点，设$$r$$是给定的正实数，则圆$${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-\sqrt{2} \right)}^{2}}={{r}^{2}}$$上的有理点．
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设$$\left( a,b \right),\left( c,d \right)$$为这个圆上的两个有理点，则  $${{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-\sqrt{2} \right)}^{2}}={{\left( c-1 \right)}^{2}}+{{\left( d-\sqrt{2} \right)}^{2}}$$，  整理得$$2\sqrt{2}\left( b-d \right)={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}-{{d}^{2}}+2\left( c-a \right)$$.  显然等式右边是有理数，因此当且仅当$$b=d$$时，等式的左边是有理数，此时$$a\ne c,a+c=2$$.由此得这两个有理点关于直线$$x=1$$对称，而圆上与$$\left( a,b \right)$$关于$$x=1$$对称的点最多只有一个. 