2009年河北全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分
设函数$$f(x)=\ln x$$，$$g(x)=ax+\frac{b}{x}$$，它们的图象在$$x$$轴上的公共点处有公切线，则当$$x\textgreater1$$时，$$f(x)$$与$$g(x)$$的大小关系是．
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$$f(x)$$与$$g(x)$$的图象在$$x$$轴上有唯一公共点$$(1,0)$$，  所以$$g(1)=0$$，即$$a+b=0$$．  因为$${{f}^{\prime }}(x)=\frac{1}{x}$$，$${{g}^{\prime }}(x)=a-\frac{b}{{{x}^{2}}}$$，  由题意$${{f}^{\prime }}(1)={{g}^{\prime }}(1)=1$$，即$$a-b=1$$．  所以$$a=\frac{1}{2}$$，$$b=-\frac{1}{2}$$．  令$$F(x)=f(x)-g(x)=\ln x-\left( \frac{1}{2}x-\frac{1}{2x} \right)$$，  则$${{F}^{\prime }}(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2{{x}^{2}}}=-\frac{1}{2}{{\left( \frac{1}{x}-1 \right)}^{2}}\leqslant 0$$．  所以$$F(x)$$在$$(1,+\infty )$$内单调递减． 