2009年湖南全国高中数学联赛竞赛初赛第5题5分
已知数列$$ {{{a}_{n}} }$$满足$${{a}_{1}}=0, {{a}_{n+1}}={{a}_{n}}+1+2\sqrt{1+{{a}_{n}}}(n=1, 2,\cdots )$$，则$${{a}_{2009}}=$$．
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由已知得  $${{a}_{n+1}}+1={{a}_{n}}+1+2\sqrt{1+{{a}_{n}}}+1={{(\sqrt{{{a}_{n}}+1}+1)}^{2}}$$．  又因为$${{a}_{n+1}}\textgreater0$$，所以  $$\sqrt{{{a}_{n+1}}+1}=\sqrt{{{a}_{n}}+1}+1$$  故数列$$ {\sqrt{{{a}_{n}}+1} }$$是首项为$$1$$，公差为$$1$$的等差数列，$$\sqrt{{{a}_{n}}+1}=n$$，  即$${{a}_{n}}={{n}^{2}}-1=(n-1)(n+1)$$．  所以$${{a}_{2009}}=2008\times 2010=4 036 080.$$  故选$$\text{A}$$． 