2011年全国高中数学联赛竞赛复赛一试第8题8分
已知$${{a}_{n}}=\text{C}_{200}^{n}{{\left( \sqrt[3]{6} \right)}^{200-n}}{{\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)}^{n}}\left( n=1,2,\cdots ,95 \right)$$，则数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$中整数项有个.
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$${{a}_{n}}=\text{C}_{200}^{n}\cdot {{3}^{\frac{200-n}{3}}}\cdot {{2}^{\frac{400-5 \pi }{6}}}$$，  要使$${{a}_{n}}(1\leqslant n\leqslant 95)$$为整数，必有$$\frac{200-n}{3}$$，$$\frac{400-5n}{6}$$均为整数，从而$$6\textbar n+4$$．  当$$n=2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80$$时，$$\frac{200-n}{3}$$和$$\frac{400-5n}{6}$$均为非负整数，所以$${{a}_{n}}$$为整数，共有$$14$$个．  当$$n=86$$时，$${{a}_{n}}=\text{C}_{200}^{86}\cdot {{3}^{38}}\cdot 2_{{}}^{-5}$$，在$$\text{C}_{200}^{86}=\frac{200!}{86!\cdot 114!}$$中，  $$200$$中因数$$2$$的个数为$$\left[ \frac{200}{2} \right]+\left[ \frac{200}{{{2}^{2}}} \right]+\left[ \frac{200}{{{2}^{3}}} \right]+\left[ \frac{200}{{{2}^{4}}} \right]+\left[ \frac{200}{{{2}^{5}}} \right]+\left[ \frac{200}{{{2}^{6}}} \right]+\left[ \frac{200}{{{2}^{7}}} \right]=197$$，  同理可计算得$$86$$中因数$$2$$的个数为$$82$$，$$114$$中因数$$2$$的个数为$$110$$，  所以$$\text{C}_{200}^{86}$$中因数$$2$$的个数为$$197-82-110=5$$，故$${{a}_{86}}$$是整数．  当$$n=92$$时，$${{a}_{92}}=\text{C}_{200}^{92}\cdot {{3}^{36}}\cdot {{2}^{-10}}  $$在$$\text{C}_{200}^{92}=\frac{200!}{92!108!}$$中，同样可求得$$92$$中因数$$2$$的个数为$$88$$，$$108$$中因数$$2$$的个数为$$105$$，故$$\text{C}_{200}^{86}$$中因数$$2$$的个数为$$197-88-105=4$$，故不是整数．  因此，整数项的个数为$$14+1=15$$． 