1993年全国全国高中数学联赛竞赛一试第3题
集合$$A$$，$$B$$的并集$$A\cup B= {{{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}} }$$，当$$A\ne B$$时，$$(A,B)$$与$$(B,A)$$视为不同的对，则这样的$$(A,B)$$对的个数有（~ ）．
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已知$$A\cup B= {{{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}} }$$，则作为其子的$$A$$，$$B$$最多只有$$3$$元素．  （$$1$$）若$$A= {{{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}} }$$则满足题意得$$B$$可以使空集，或者是单元素的集合，或是二元素的集合，或是三元素的集合，这样的$$B$$有$$\text{C}_{3}^{0}+\text{C}_{3}^{1}+\text{C}_{3}^{2}+\text{C}_{3}^{3}={{2}^{3}}$$个，这时$$(A,B)$$有$$\text{C}_{3}^{3}\cdot {{2}^{3}}$$对．  （$$2$$）若$$A$$为二元素的集合，则有$$\text{C}_{3}^{2}$$种，其对应的$$B$$的$${{2}^{3}}$$个（$$\text{C}_{2}^{0}+\text{C}_{2}^{1}+\text{C}_{2}^{2}={{2}^{2}}$$），这时$$(A,B)$$有$$C_{3}^{2}\cdot {{2}^{2}}$$时．  （$$3$$）若$$A$$为单元素的集合，则有$$\text{C}_{3}^{1}$$种，其对应的$$B$$有$$2$$个，这时$$(A,B)\text{C}_{3}^{1}\cdot 2$$对．  （$$4$$）若$$A$$是空集，则有$$\text{C}_{3}^{0}$$种，其对应的$$B$$有一个，这时$$(A,B)$$有$$\text{C}_{3}^{0}\cdot 1$$对．  ∴ 这样的$$(A,B)$$共有  $$\text{C}_{3}^{3}\cdot {{2}^{3}}+\text{C}_{3}^{2}\cdot {{2}^{2}}+\text{C}_{3}^{1}\cdot 2+\text{C}_{3}^{0}\cdot {{2}^{0}}={{3}^{3}}=27$$．  故选$$\text{D}$$． 