2009年山东全国高中数学联赛竞赛初赛第8题6分
在复平面上，复数$${{z}_{1}}$$对应的点在连结$$1$$和$$\text{i}$$两点的线段上运动，复数$${{z}_{2}}$$对应的点在以原点为圆心．半径等于$$1$$的圆上运动．则复数$${{z}_{1}}+{{z}_{2}}$$对应的点所在区域的面积为 ．
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由已知可得$${{z}_{1}}=t+(1-t)i(0\leqslant t\leqslant 1)$$．$${{z}_{2}}=\cos \theta +i\sin \theta $$，得  $${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=t+\cos \theta +(1-t+\sin \theta )i$$．  设$${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=x+yi$$，则$$\begin{cases}x=t+\cos \theta    y=1-t+\sin \theta \end{cases}$$．消去$$\theta $$，得  $${{(x-t)}^{2}}+{{[y-(1-t)]}^{2}}=1$$．  即$${{z}_{1}}+{{z}_{2}}$$对应的点以$$(t,1-t)$$为圆心，半径等于$$1$$的圆上，而因为 （$$0\leqslant t\leqslant 1$$）．故$${{z}_{1}}+{{z}_{2}}$$对应点所在区域为图中阴影部分．其面积为  $$2\cdot \frac{\pi }{2}+2\cdot \sqrt{2}=2\sqrt{2}+\pi $$．  故选$$\text{B}$$． 