2019~2020学年10月广东深圳南山区深圳市南山区育才中学高三上学期月考理科第10题5分 2017~2018学年广东深圳龙岗区深圳科学高中高二上学期期中第10题5分 2013年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第12题5分
已知各项均为正数的等比数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$满足$${{a}_{7}}={{a}_{6}}+2{{a}_{5}}$$，若存在两项$${{a}_{m}}$$，$${{a}_{n}}$$使得$$\sqrt{{{a}_{m}}{{a}_{n}}}=4{{a}_{1}}$$，则$$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$$的最小值为．
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由各项均为正数的等比数列$$\left { {{a}_{n}} \right }$$满足$${{a}_{7}}={{a}_{6}}+2{{a}_{5}}$$，  可得$${{a}_{1}}{{q}^{6}}={{a}_{1}}{{q}^{5}}+2{{a}_{1}}{{q}^{4}}$$，  所以$${{q}^{2}}-q-2=0$$，解得$$q=2$$或$$q=-1$$（舍去）．  因为$$\sqrt{{{a}_{m}}{{a}_{n}}}=4{{a}_{1}}$$，所以$${{q}^{m+n-2}}=16$$，  所以$${{2}^{m+n-2}}={{2}^{4}}$$，所以$$m+n=6$$．  所以$$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}=\frac{1}{6}\left( m+n \right)\left( \frac{1}{m}+\frac{4}{n} \right)$$  $$=\frac{1}{6}\left( 5+\frac{n}{m}+\frac{4m}{n} \right)$$  $$\geqslant \frac{1}{6}\left( 5+2\sqrt{\frac{n}{m}\cdot \frac{4m}{n}} \right)$$  $$=\frac{3}{2}$$．  当且仅当$$\frac{n}{m}=\frac{4m}{n}$$，即$$n=2m$$时，等号成立，  又$$m+n=6$$，所以$$m=2$$，$$n=4$$，符合题意．  故最小值为$$\frac{3}{2}$$． 