2008年天津全国高中数学联赛竞赛初赛第2题6分
抛物线$$y=a{{x}^{2}}+bx+1$$的参数$$a$$、$$b$$满足$$8{{a}^{2}}+4ab={{b}^{3}}$$，则当$$a$$、$$ b$$变动时，抛物线的顶点一定在上．
课内体系->素养->逻辑推理 课内体系->素养->数学运算 课内体系->知识点->圆锥曲线->双曲线->双曲线的定义、标准方程->双曲线的标准方程 课内体系->知识点->函数的概念与性质->二次函数->二次函数的图象及性质->含参二次函数的图象及性质 课内体系->思想->方程思想 课内体系->方法->换元法
抛物线$$y=a{{x}^{2}}+bx+1$$顶点的坐标为$$\left( -\frac{b}{2a},\frac{4a-{{b}^{2}}}{4a} \right)$$，设$$x=-\frac{b}{2a},y=\frac{4a-{{b}^{2}}}{4a}$$，则有$$\frac{b}{a}=-2x, y=1-\frac{{{b}^{2}}}{4a}=1+\frac{bx}{2}$$．因为$$a\ne 0$$，所以$$a, b$$满足的条件等价于$$8+4\frac{b}{a}=b{{\left( \frac{b}{a} \right)}^{2}}$$，于是有$$8+4\left( -2x \right)=b{{\left( -2x \right)}^{2}}=4x\left( 2y-2 \right)$$，即$$xy=1$$．故选$$\text{B}$$． 