2006年竞赛第4题6分
一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分．又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分\ldots\ldots 如此下去，最后得到了$$34$$个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（  ）．
课内体系->能力->推理论证能力 课内体系->能力->运算能力 课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->多边形->多边形的内角和定理 课内体系->知识点->三角形->三角形及多边形->多边形->求多边形的内角和
根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加$$360{}^{}\circ $$．于是，剪过$$k$$次后，可得$$\left( k+1 \right)$$个多边形，这些多边形的内角和为$$\left( k+1 \right)\times 360{}^{}\circ $$．  ∵这$$\left( k+1 \right)$$个多边形中有$$34$$个六十二边形，它们的内角和为$$34\times \left( 62-2 \right)\times 180{}^{}\circ =34\times 60\times 180{}^{}\circ $$，其余多边形有$$\left( k+1 \right)-34=k-33$$（个），而这些多边形的内角和不少于$$\left( k-33 \right)\times 180{}^{}\circ $$，  ∴$$\left( k+1 \right)\times 360{}^{}\circ \geqslant 34\times 60\times 180{}^{}\circ +\left( k-33 \right)\times 180{}^{}\circ $$，  解得$$k\geqslant 2005$$．  当我们按如下的方式剪$$2005$$刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下$$1$$个三角形，得到$$1$$个三角形和$$1$$个五边形；再在五边形上剪下$$1$$个三角形，得到$$2$$个三角形和$$1$$个六边形\ldots\ldots 如此下去，剪了$$58$$刀后，得到$$58$$个三角形和$$1$$个六十二边形．再取出$$33$$个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到$$33$$个三角形和$$33$$个四边形，对这$$33$$个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪$$58$$刀，便得到$$33$$个六十二边形和$$33\times 58$$个三角形．于是共剪了$$55+33+33\times 58=2005$$（刀）． 