2008年陕西全国高中数学联赛竞赛初赛第8题5分
已知函数$$f(x)={{x}^{3}}-{{\log }_{2}}(\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x)$$，则对于任意实数$$a$$、$$b(a+b\ne 0)$$，$$\frac{f(a)+f(b)}{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}$$的值．
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因为$$f(-x)+f(x)$$  $$=-{{x}^{3}}-{{\log }_{2}}(\sqrt{{{x}^{2}}+1}+x)+{{x}^{3}}-{{\log }_{2}}(\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x)$$  $$=-{{\log }_{2}}[(\sqrt{{{x}^{2}}+1}+x)(\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x)]=0$$，  所以$$f(-x)=-f(x)$$，即$$f(x)$$为奇函数．  又因为$$f(x)={{x}^{3}}-{{\log }_{2}}(\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x)={{x}^{3}}+{{\log }_{2}}(\sqrt{{{x}^{2}}+1}+x)$$，  在$$(0,+\infty )$$上单调递增，所以，$$f(x)$$在$$\mathbf{R}$$上是增函数．  注意到$$f(a)-f(-b)$$与$$a-(-b)$$同号，  所以$$\frac{f(a)+f(b)}{a+b}\textgreater0$$．  又因为$${{a}^{3}}+{{b}^{3}}$$与$$a+b$$同号，  故$$\frac{f(a)+f(b)}{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}\textgreater0$$．故选$$\text{A}$$． 