2011年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第9题5分
若点$$P$$在椭圆$$\frac{{{x}^{2}}}{16}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1$$上，它到直线$$\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1$$的距离为$$\frac{6}{5}$$，则点$$P$$的个数为．
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由题知，可转换为该椭圆与直线平行并且到直线$$\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1$$的距离为$$\frac{6}{5}$$的直线与椭圆的交点个数，与直线平行并且到直线$$\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1$$的距离为$$\frac{6}{5}$$的直线方程为$$3x+4y-6=0$$或$$3x+4y-18=0$$，由$$\begin{cases}\frac{{{x}^{2}}}{16}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1    3x+4y-18=0 \end{cases}$$，消去$$y$$可得$$9{{x}^{2}}+{{\left( 3x-18 \right)}^{2}}=144$$，化简可得$${{x}^{2}}-6x+10=0$$，由判别式可知该方程无解，所以直线$$3x+4y-6=0$$与椭圆必有$$2$$个交点，故选$$\text{B}$$. 