2011年甘肃全国高中数学联赛竞赛初赛第8题7分
设$$[x]$$表示不超过实数$$x$$的最大整数，则在平面上，由满足$${{[x]}^{2}}+{{[y]}^{2}}=50$$的点所形成的图形的面积是~\uline{~~~~~~~~~~}~．
课内体系->知识点->几何证明选讲 竞赛->知识点->组合->容斥原理与极端原理（二试） 竞赛->知识点->数论模块->取整函数->与[x]有关的方程和不等式
在平面上，由满足$${{[x]}^{2}}+{{[y]}^{2}}=50$$的点所形成的图形关于$$x$$轴,y轴对称，可先考察第一象限的情况，即当$$x\textgreater0,  y\textgreater0$$时，由$${{[x]}^{2}}+{{[y]}^{2}}=50$$得  $$\begin{cases}{{[x]}^{2}}=49    {{[y]}^{2}}=1   \end{cases}\begin{cases}{{[x]}^{2}}=25     {{[y]}^{2}}=25   \end{cases}\begin{cases}{{[x]}^{2}}=1    {{\left[ y \right]}^{2}}=49   \end{cases}$$  所以相应有  $$\begin{cases}[x]=7    [y]=1   \end{cases}\begin{cases}[x]=5    [y]=5   \end{cases}\begin{cases}[x]=1    [y]=7   \end{cases}$$  因此  $$\begin{cases}7\leqslant x\textless{}8    1\leqslant y\textless{}2   \end{cases}\begin{cases}5\leqslant x\textless{}6    5\leqslant y\textless{}6   \end{cases}\begin{cases}1\leqslant x\textless{}2    7\leqslant y\textless{}8   \end{cases}$$  所以在第一象限形成的图形的面积由容斥原理计算为$$3$$．  故在平面上，由满足$${{[x]}^{2}}+{{[y]}^{2}}=50$$的点所形成的图形的面积是$$12$$． 