2018~2019学年北京东城区北京市第一六六中学高二上学期期中第12题5分 2006年全国高中数学联赛竞赛一试第4题6分
在直三棱柱中，$$\angle BAC=\frac{ \pi }{2}$$，$$AB=AC=A{{A}_{1}}=1$$．已知$$G$$与$$E$$分别为$${{A}_{1}}{{B}_{1}}$$和$$C{{C}_{1}}$$的中点，$$D$$与$$F$$分别为线段$$AC$$和$$AB$$上的动点（不包括端点）．若$$GD\bot EF$$，则线段$$DF$$的长度的取值范围为（~ ）．
课内体系->素养->直观想象 课内体系->素养->数学运算 课内体系->知识点->空间向量与立体几何->空间向量的应用->向量法求空间距离 课内体系->思想->数形结合思想
建立直角坐标系，以$$A$$为坐标原点，$$AB$$为$$x$$轴，$$AC$$为$$y$$轴，$$A{{A}_{{}}}$$为$$z$$轴，则$$F({{t}_{1}},0,0)$$（$$0\textless{}{{t}_{1}}\textless{}1$$），$$E\left( 0,1,\frac{1}{2} \right)$$，$$G\left( \frac{1}{2},0,1 \right)$$，$$D\left( 0,{{t}_{2}},0 \right)$$（$$0\textless{}{{t}_{2}}\textless{}1$$）．所以$$\overrightarrow{EF}=\left( {{t}_{1}},-1,-\frac{1}{2} \right)$$，$$\overrightarrow{GD}=\left( -\frac{1}{2},{{t}_{2}},-1 \right)$$．因为$$GD\bot EF$$，所以$${{t}_{1}}+2{{t}_{2}}=1$$，由此推出$$0\textless{}{{t}_{2}}\textless{}\frac{1}{2}$$．又$$\overrightarrow{DF}=({{t}_{1}},-{{t}_{2}},0)$$，$$\left\textbar{} \overrightarrow{DF} \right\textbar=\sqrt{{{t}_{1}}^{2}+{{t}_{2}}^{2}}=\sqrt{5{{t}_{2}}^{2}-4{{t}_{2}}+1}=\sqrt{5{{({{t}_{2}}-\frac{2}{5})}^{2}}+\frac{1}{5}}$$，从而有$$\sqrt{\frac{1}{5}}\leqslant \left\textbar{} \overrightarrow{DF} \right\textbar\textless{}1$$．  故选$$\text{A}$$． 