1986年全国高中数学联赛竞赛一试第5题
平面上有一个点集$$M$$和七个不同的圆$${{C}_{1}}$$，$${{C}_{2}}$$，\ldots$${{C}_{7}}$$，其中圆$${{C}_{7}}$$恰好经过$$M$$中的$$7$$个点，圆$${{C}_{6}}$$恰好经过$$M$$中的$$6$$个点，\ldots，圆$${{C}_{1}}$$恰好经过$$M$$中的$$1$$个点，那么$$M$$中的点数最少为（~ ）．
竞赛->知识点->组合->图论（二试）
要使$$M$$中的点的个数最少，各圆要尽可能多地共同经过$$M$$中的点．因为不相同的两圆最多只有两个公共点，而$${{C}_{7}}$$经过$$M$$中的$$7$$个点，所以$${{C}_{6}}$$至少要经过$$M$$中的另外四个点，而$${{C}_{5}}$$除了和$${{C}_{7}}$$、$${{C}_{6}}$$各有两个公共点外，还要经过$$M$$中的一个点，则$$M$$中至少要有$$12$$个点．  另一方面，如果有$$12$$个点，就能满足要求：  先作两两相交的三个圆，记为$${{C}_{7}}$$、$${{C}_{6}}$$、$${{C}_{5}}$$．两作圆$${{C}_{4}}$$与两圆$${{C}_{6}}$$、$${{C}_{7}}$$都相交于另外的点（但与$${{C}_{5}}$$不相交），又过$${{C}_{5}}$$与$${{C}_{7}}$$的一个交点作圆$${{C}_{3}}$$，使与$${{C}_{5}}$$及$${{C}_{7}}$$各交一个新的点，将所有的交点都算作$$M$$中的点，此时$$M$$中的点为$$12$$个．$${{C}_{7}}$$与$${{C}_{6}}$$、$${{C}_{5}}$$、$${{C}_{4}}$$各有两个交点，又与$${{C}_{3}}$$有一个新交点，共$$7$$个点；$${{C}_{6}}$$与$${{C}_{7}}$$、$${{C}_{5}}$$、$${{C}_{4}}$$各有两个交点，共$$6$$个点；$${{C}_{5}}$$与$${{C}_{7}}$$、$${{C}_{6}}$$各有两个交点，且与$${{C}_{3}}$$有一个新交点，共$$5$$个点；$${{C}_{4}}$$与$${{C}_{7}}$$、$${{C}_{6}}$$各有两个交点，共$$4$$个点；$${{C}_{3}}$$是过$${{C}_{7}}$$与$${{C}_{5}}$$的一个交点，且与其各交得一个新点，共有$$3$$个点．最后在$$M$$的$$12$$个点中，选取两个点、一个点分别作满足要求的圆$${{C}_{2}}$$、$${{C}_{1}}$$是容易的事．  故选$$\text{B}$$． 