2008年全国高中数学联赛竞赛一试第4题6分
若三个棱长均为整数（单位：$$\text{cm}$$）的正方体的表面积之和为$$564\text{c}{{\text{m}}^{2}}$$，则这三个正方体的体积之和为（~ ~ ）．
竞赛->知识点->立体几何与空间向量->空间几何体中的求值问题
设这三个正方体的棱长分别为$$a,b,c$$，则有$$6({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})=564$$，$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=94$$，  不妨设$$1\leqslant a\leqslant b\leqslant c\textless{}10$$，从而$$3{{c}^{2}}\geqslant {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=94$$，$${{c}^{2}}\textgreater31$$，  故$$6\leqslant c\leqslant 10$$．$$c$$只能取$$9$$，$$8$$，$$7$$，$$6$$，  若$$c=9$$，则$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=94-{{9}^{2}}=13$$，易知$$a=2$$，$$b=3$$，得一组解$$(a,b,c)=(2,3,9)$$，  若$$c=8$$，则$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=94-64=30$$，$$b\leqslant 5$$，但$$2{{b}^{2}}\geqslant 30$$，$$b\geqslant 4$$，从而$$b=4$$或$$5$$，  若$$b=5$$，则$${{a}^{2}}=5$$无解，若$$b=4$$，则$${{a}^{2}}=14$$无解，此时无解，  若$$c=7$$，则$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=94-49=45$$，有唯一解$$a=3$$，$$b=6$$，  若$$c=6$$，则$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=94-36=58$$，此时$$2{{b}^{2}}\geqslant {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=58$$，$${{b}^{2}}\geqslant 29$$，故$$b\geqslant 6$$，但$$b\leqslant c=6$$，故$$b=6$$，此时$${{a}^{2}}=58-36=22$$无解，  综上，共有两组解$$\begin{cases}a=2    b=3    c=9    \end{cases}$$或$$\begin{cases}a=3    b=6    c=7    \end{cases}$$，  体积为$${{V}_{1}}={{2}^{3}}+{{3}^{3}}+{{9}^{3}}=764\text{c}{{\text{m}}^{3}}$$或$${{V}_{2}}={{3}^{3}}+{{6}^{3}}+{{7}^{3}}=586\text{c}{{\text{m}}^{3}}$$．  故选$$\text{A}$$． 