2007年全国全国高中数学联赛竞赛一试第4题6分
设函数$$f(x)=3\sin x+2\cos x+1$$．若实数$$a$$、$$b$$、$$c$$使得$$af(x)+bf(x-c)=1$$对任意实数$$x$$恒成立，则$$\frac{b\cos c}{a}$$的值等于（~ ~ ）．
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令$$c= \pi $$，则对任意的$$x\in \mathbf{R}$$，都有$$f(x)+f(x-c)=2$$，于是取$$a=b=\frac{1}{2}$$，$$c= \pi $$，则对任意的$$x\in \mathbf{R}$$，$$af(x)+bf(x-c)=1$$，由此得$$\frac{b\cos c}{a}=-1$$．  一般地，由题设可得$$f(x)=\sqrt{13}\sin (x+\phi )+1$$，$$f(x-c)=\sqrt{13}\sin (x+\phi -c)+1$$，其中$$0 ~\textless{} ~\phi ~~\textless{} ~\frac{\pi }{2}$$且$$\tan \phi =\frac{2}{3}$$，于是$$af(x)+bf(x-c)=1$$可化为  $$\sqrt{13}a\sin (x+\phi )+\sqrt{13}b\sin (x+\phi -c)+a+b=1$$，即  $$\sqrt{13}a\sin (x+\phi )+\sqrt{13}b\sin (x+\phi )\cos c-\sqrt{13}b\sin c\cos (x+\phi )+(a+b-1)=0$$，所以  $$\sqrt{13}(a+b\cos c)\sin (x+\phi )-\sqrt{13}b\sin c\cos (x+\phi )+(a+b-1)=0$$．  由已知条件，上式对任意$$x$$∈$$R$$恒成立，故必有$$\begin{cases} a+b\cos c=0 （1）    b\sin c=0 （2）    a+b-1=0 （3）   \end{cases}$$，  若$$b$$=0，则由（$$1$$）知$$a$$=0，显然不满足（$$3$$）式，故$$b\ne 0$$．所以，由（$$2$$）知$$\sin c$$=0，故$$c=2k \pi + \pi $$或$$c=2k \pi $$（$$k\in \mathbf{Z}$$）．当$$c=2k \pi $$时，$$\cos c=1$$，则（$$1$$）、（$$3$$）两式矛盾．故$$c=2k \pi + \pi $$（$$k\in \mathbf{Z}$$），$$\cos c$$ =−1．由（$$1$$）、（$$3$$）知$$a=b=\frac{1}{2}$$，所以$$\frac{b\cos c}{a}=-1$$．  故选$$\text{C}$$． 