2014年第31届全国全国初中数学联赛竞赛第5题7分
设$$[t]$$表示不超过实数$$t$$的最大整数，令$$ {t }=t-[t]$$．已知实数$$x$$满足$${{x}^{3}}+\frac{1}{{{x}^{3}}}=18$$，则$$ {x }+\left { \frac{1}{x} \right }=$$（~ ）．
课内体系->知识点->综合与实践->规律探究与程序框图->定义新运算 课内体系->知识点->式->整式的乘除->乘法公式->和与差的立方公式 课内体系->能力->运算能力
设$$x+\frac{1}{x}=a$$，  则$${{x}^{3}}+\frac{1}{{{x}^{3}}}=\left( x+\frac{1}{x} \right)\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}-1 \right)=\left( x+\frac{1}{x} \right)\left[ {{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}-3 \right]=a({{a}^{2}}-3)$$，  所以$$a({{a}^{2}}-3)=18$$，  因式分解得$$(a-3)({{a}^{2}}+3a+6)=0$$，  所以$$a=3$$．  由$$x+\frac{1}{x}=3$$解得$$x=\frac{1}{2}(3\pm \sqrt{5})$$，  显然$$0\textless{} {x }\textless{}1$$，$$0\textless{}\left { \frac{1}{x} \right }\textless{}1$$，  所以$$ {x }+\left { \frac{1}{x} \right }=1$$． 