2008年黑龙江全国高中数学联赛竞赛初赛第8题5分 2017~2018学年江西赣州寻乌县寻乌县第二中学高三上学期期中理科第11题5分 2005年高考真题福建卷理科第10题5分 2021年陕西宝鸡渭滨区高三二模理科第6题5分 2013~2014学年12月辽宁沈阳沈河区沈阳市第二中学高二上学期月考理科第10题5分 2016~2017学年12月北京海淀区中央民族大学附属中学高二上学期月考理科第6题5分
已知$${{F}_{1}}$$、$${{F}_{2}}$$是双曲线$$\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a\textgreater0$$，$$b\textgreater0)$$的两焦点，以线段$${{F}_{1}}{{F}_{2}}$$为边作正三角形$$M{{F}_{1}}{{F}_{2}}$$，若边$$M{{F}_{1}}$$的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（~ ）．
课内体系->素养->数学抽象 课内体系->素养->数学运算 课内体系->知识点->圆锥曲线->双曲线->双曲线的几何性质->双曲线的离心率->求双曲线的离心率
$$\triangle M{{F}_{1}}{{F}_{2}}$$是正三角形，且边$$M{{F}_{1}}$$的中点在双曲线上，  设边$$M{{F}_{1}}$$的中点为$$P$$，则有$$\angle {{F}_{1}}P{{F}_{2}}=90{}^{}\circ $$，  从而$$\left\textbar{} P{{F}_{2}} \right\textbar=\sqrt{3}c$$，$$\left\textbar{} P{{F}_{1}} \right\textbar=c$$．  根据双曲线的定义可知$$2a=\left\textbar{} P{{F}_{2}} \right\textbar-\left\textbar{} P{{F}_{1}} \right\textbar=\left( \sqrt{3}-1 \right)c$$，  解得$$e=\frac{c}{a}=\frac{2}{\sqrt{3}-1}=\sqrt{3}+1$$． 