2008年福建全国高中数学联赛竞赛初赛第3题6分
在直角坐标平面$$xOy$$中，点$$A\left( 5,0 \right)$$．对于某个正实数$$k$$，存在函数$$f(x)=a{{x}^{2}}$$，$$a\textgreater0$$，使得$$\angle QOA=2\angle POA$$，这里$$P(1,f(1))$$、$$Q(k,f(k))$$，则$$k$$的取值范围为．
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由于$$0\textless{}\angle QOA$$，$$\angle POA\textless{}\frac{ \pi }{2}$$，  因此$$\angle QOA=2\angle POA$$的充要条件是$$\tan \angle QOA=\tan 2\angle POA$$．  由$$\tan \angle QOA=\tan 2\angle POA=\frac{2\tan \angle POA}{1-{{\tan }^{2}}\angle POA}$$，  结合$$\tan \angle POA=a$$，$$\tan \angle QOA=ak$$，  得$$ak=\frac{2a}{1-{{a}^{2}}}$$，即$$a=\sqrt{1-\frac{2}{k}}$$，因此$$k\textgreater2$$．故选$$\text{A}$$． 