title: Презентация на тему: Презентация уравнений

text:
Уравнения
Лысенко Надежда Анатольевна
Содержание

1   Понятие уравнения и его свойства
2   Методы решения уравнений
Метод разложения на множители
 Метод введения новой переменной
 Функционально-графический  метод

Теоретическая часть
1   Понятие уравнения (определение, равносильность)
2  Теоремы о равносильности уравнений
3   Понятие алгебраического, рационального,     дробно- рационального, иррационального  уравнений
4  Суть методов а) разложение на множители
                               б) замена переменной
                               в) функционально-графический
Метод разложения на множители
Пример 1. Решить алгебраическое уравнение :
                    (х-α)³+(х-b)³=(2х-α-b)³ .
Соберём все члены в левой части уравнения и сумму кубов (х-α)³+(х-b)³ разложим на множители. После этого в левой части можно выделить общий множитель 2х-α-b:
    (2х-α-b)((х-α)²-(х-α)(х-b)+(х-b)²-(2х-α-b)²)=0,
    (2х-α-b)(-3х²+3(α+b)х-3αb)=0.
     Отсюда   х₁ =(α+b):2,      х₂=α,      х₃=b.
Ответ:(α+b ):2; α; b.
 Пример 2. Решите  дробно-рациональное  уравнение:

Представим уравнение в таком виде

     Приведем разности в левой и правой частях этого уравнения к общим знаменателям:

         (х-6) (                        -                           )=0

      Приравняем нулю каждый из       множителей в левой части   последнего уравнения.
       Получим  х – 6 =0 или  8х= 66, учитывая при этом, что  х=-9, х=-6,
х=-15, х= -8.

Тогда

    Ответ: 6,-33/4.

 Пример 3.Решите уравнение:

 Возведем обе части уравнения в куб, пользуясь формулой
     (a+b)³=a³+b³+3ab(a+b).
   Будем иметь:

 А теперь воспользуемся исходным уравнением, на основании которого сумма в скобках равна 1:

Последнее уравнение также возведем в куб:
(х-1)(2х-1)=(1-х)³, (х-1)(2х-1+(х-1)²)=0,     (х-1)х²=0.
  Отсюда      х₁=1, х₂=х₃=0.
       Проверка по первоначальному уравнению показывает, что значение х=1 ему удовлетворяет, а значение х=0 – не удовлетворяет.
Ответ: 1.

Введение новой переменной
Пример 4. Решите уравнение:
     (х-1)(х-2)(х-4)(х-8)= 4х2.

   В левой части уравнения умножим первый множитель на четвёртый, второй на третий, получим: (х²-9х+8)(х²-6х+8)=4х².
    А дальше  разделим обе части уравнения на х2, пользуясь тем, что значение х=0 не является корнем уравнения:
(x-9+   )(x-6+   )=4

 Введем подстановку: х-9+   =у. Будем иметь:
  y(у+3)=4, у2+3у-4=0; у1=1, у2=-4.
   В обоих случаях найдем х, решая  совокупность уравнений

 х₁,₂=5
Ответ:  5           .

Пример 5.Решите уравнение:       (х+3)⁴+(х+5)⁴=16.
 Положим     х+4=y ,т. к.                             =х+4.
    Имеем:     (y-1)⁴+(y+1)⁴=16.
    Теперь нужно в левой части уравнения   (y-1)   и   ( y+1) возвести в квадрат, а затем то, что получилось, ещё раз возвести в квадрат. После упрощений образуется биквадратное уравнение:  y⁴+6y²-7=0.
     Его корни   y₁,₂ =       .     Отсюда  х₁=-3, х₂=-5.
     Ответ:  -3; -5.

Пример 6. Решите уравнение:

Отнимем от обеих частей уравнения
 для того, чтобы получить в  левой
части квадрат разности:

 А теперь очевидная подстановка            = у.

Ответ:                             .

 Пример 7. Решите уравнение:         х2+8х+8=4(х+2)
 Положим              =t.
      При
     это равенство равносильно равенству х+1=t2. Получаем систему рациональных уравнений:

Для ее решения выразим х через t из второго уравнения: х = t2-1.

Подставим это выражение в первое уравнение и новое уравнение упростим
(t2-1)2+8(t2-1)+8=4(t2-1)t,
t4-2t2+1+8t2-8+8=4t3+4t,
t4-4t3+6t2-4t+1=0.
Последнее уравнение имеет корень t=1. Мало того, проверка показывает, что значение t=1 является четырехкратным корнем этого уравнения. Тогда уравнение принимает вид (t-1)4=0. Если t=1, то х=0.
   Ответ: 0.
 Функционально-графический   метод
Пример 8.Решите уравнение:

 Найдём область определения D уравнения. Она совпадает с множеством всех решений системы неравенств

    Решением первого неравенства является множество
                               , второго отрезок             . Следовательно, область D состоит всего из двух точек -0 и 1. Значение х=0 не удовлетворяет уравнению, значение х=1- удовлетворяет.
   Ответ: 1.

Пример 9. Решите уравнение:

Очевидно один корень уравнения   х=2. Имеет ли оно другие корни?
   Левая часть уравнения есть возрастающая функция, как сумма трех возрастающих функций. Но монотонная функция каждое свое значение (в данном случае значение 7) принимает в единственной точке, поэтому других корней у уравнения нет.
   Ответ: 2.


title: Презентация на тему: Предел числовой последовательности

text:
Числовые последовательности
Автор: Елена Юрьевна Семёнова
МОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный
900igr.net
Содержание
Понятие числовой последовательности
Примеры числовых последовательностей
Способы задания последовательностей
Ограниченность числовых последовательностей
Возрастание и убывание числовых последовательностей
Предел числовой последовательности
Гармонический ряд
Свойства  пределов
Примеры
Сумма бесконечной геометрической прогрессии
Предел функции на бесконечности
Предел функции в точке
Непрерывность функции в точке

Понятие числовой последовательности
Рассмотрим ряд натуральных чисел N:
1,  2,  3,  …,  n – 1,  n,  п + 1,  …
Функцию y = f(x), x  N называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают      y = f(n) или  y1,  y2, …, yn, … или {уn}.

Величина уn называется общим членом последовательности.

Обычно числовая последовательность задаётся некоторой формулой уn = f(n), позволяющей найти любой член последовательности по его номеру n; эта формула называется формулой общего члена.

Примеры числовых последовательностей
1,  2,  3,  4,  5, … –  ряд натуральных чисел;
2,  4,  6,  8,  10, … – ряд чётных чисел;
1,  4,  9,  16,  25, … – ряд квадратов натуральных чисел;
5,  10,  15,  20, … – ряд натуральных чисел, кратных 5;
1,  1/2,  1/3,  1/4,  1/5, ... – ряд вида 1/n, где nN;
и т.д.

Способы задания последовательностей
Перечислением членов последовательности (словесно).
Заданием аналитической формулы.
Заданием рекуррентной формулы.
Примеры:
Последовательность простых чисел:
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; …
Арифметическая прогрессия:
an = a1 + (n – 1)d
Геометрическая прогрессия:
bn + 1 = bn ∙ q

Ограниченность числовой последовательности
Последовательность {уn} называют ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа.

Пример:  -1, -4, -9, -16, …, -п2, … - ограничена сверху 0.

Последовательность {уn} ограниченна сверху, если существует число M такое, что для любого п выполняется неравенство
уп ≤ М
Число М называют верхней границей последовательности.
Ограниченность числовой последовательности
Последовательность {уn} называют ограниченной снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа.

Пример:  1, 4, 9, 16, …, п2, … - ограничена снизу 1.

Последовательность {уn} ограниченна снизу, если существует число m такое, что для любого п выполняется неравенство
уп ≥ m
Число m называют нижней границей последовательности.
Если последовательность ограничена и сверху и снизу, то ее называют ограниченной последовательностью.

Возрастание и убывание числовой последовательности
Последовательность {уn} называют возрастающей последовательностью, если каждый ее член больше предыдущего:
у1 < y2 < y3 < y4 < … < yn < yn+1 < …

Пример: 1, 3, 5, 7, 9, 2п-1, … - возрастающая последовательность.
Последовательность {уn} называют убывающей последовательностью, если каждый ее член меньше предыдущего:
у1 > y2 > y3 > y4 > … > yn > yn+1 > …

Пример: 1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/(2п–1), … - убывающая последовательность.
Возрастающие и убывающие последовательности называют монотонными
Предел числовой последовательности
Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу a при увеличении порядкового номера n. В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел.
Это понятие имеет более строгое определение.
Число а называется пределом числовой последовательности {уn}:

если для любого ε > 0  найдется такое число
N = N(ε), зависящее от ε, что │un – a│< ε при n > N

Предел числовой последовательности
Это определение означает, что a есть предел числовой последовательности, если её общий член неограниченно приближается к  a  при возрастании  n. Геометрически это значит, что для любого ε > 0 можно найти такое число N, что начиная с n > N все члены последовательности расположены внутри интервала (a – ε, a + ε).
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; в противном случае – расходящейся.

Рассмотрим  последовательность:

– гармонический ряд
Если │q│< 1, то
Если │q│> 1, то последовательность  уn = q n
расходится

Свойства  пределов

предел частного равен частному пределов:
предел произведения равен произведению пределов:
предел суммы равен сумме пределов:

постоянный множитель можно вынести за знак предела:

Примеры:

Если mN, kR, то

 Сумма бесконечной геометрической прогрессии
Пример:
Дано:  b1 + b2 + b3 + b4 + … + bn + … = 9;
(b1)2 + (b2)2 + (b3)2 + (b4)2 + … + (bn)2 + … = 40,5.
Найти:  b5.
Решение:

  Предел функции на бесконечности
В этом случае прямая у = b является горизонтальной асимптотой графика функции y = f(x).
х
у

y = f(x)
0
у = b
Будем говорить, что функция f(x) стремится к пределу b при x → ∞, если для произвольного малого положительного числа ε можно указать такое положительное число M, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству |x| > M, выполняется неравенство |f(x) - b| < ε.

Предел функции в точке
Функция y = f(x) стремится к пределу b при x → a, если для каждого положительного числа ε, как бы мало оно не было, можно указать такое положительное число δ, что при всех    x ≠ a из области определения функции, удовлетворяющих неравенству |x - a| < δ, имеет место неравенство |f(x) - b| < ε.
х

y = f(x)
0
b
у
а

Непрерывность функции в точке
Функцию y = f(x) называют непрерывной в точке
x = a, если выполняется условие
Примеры:


title: Презентация на тему: Применение производной функции

text:
PREZENTED.RU
7


title: Презентация на тему: Применение производной к исследованию функции

text:
3
-2
-3
-8
3
9
8
5
4
g(0)
2
50
-50
32
-32
f(-1)
1
7
1
6
13
3
10
4
12
1
g(0)
2
50
-50
32
-32
f(-1)
1


Презентация на тему: Применение производной для исследования функции


title: Презентация на тему: Предел последовательности чисел

text:
Предел последовательности.

900igr.net
Определение 1.
Функцию вида  у= f (х), х ϵ Ν называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают у = f (n) или     у1, у2, у3,…, уn,…,   или     (уn).

 (аn) – последовательность
 а1 ; а2 ; а3 ;…. аn  -  члены последовательности Первый                                      n-ый
член послед.                         член послед.
       Последовательность
Словесный способ.
       Правила задания последовательности описываются словами, без указания формул или когда закономерности между элементами последовательности нет.
Способы задания числовой     последовательности
Пример 1. Последовательность простых чисел:             2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,… .
Пример 2. Произвольный набор чисел:
                          1,4,12,25,26,33,39,… .
Пример 3. Последовательность четных чисел:             2,4,6,8,10,12,14,16,… .

2.   Аналитический способ.
       Любой n-й элемент последовательности можно определить с помощью формулы.
Способы задания числовой     последовательности
Пример 1. Последовательность четных чисел: у = 2n.
Пример 2. Последовательность квадратов натуральных чисел:
                          у = n².
Пример 3. Стационарная последовательность:   у = С
                                 С, С, С, С,…,С,…
Пример 4. Последовательность  у = n² - 3n
                           – 2, -2,0,4,10,…
Пример 5. Последовательность  у = 2ⁿ
                             2, 2²,2³,…,2ⁿ,…

3.   Рекуррентный способ.
Указывается правило, позволяющее вычислить n-й элемент последовательности, если известен ее предыдущий элемент.
 Способы задания числовой     последовательности
Пример 1. a1 = 3     an+1 =
            a1=3                a3 = 92 = 81
       a2 = 32 = 9        a4 = 812 = 6561
Пример 2. Арифметическая прогрессия  аn+1= аn+d,
               d - разность арифметической прогрессии.
Пример 3. Геометрическая прогрессия  bn+1= bnq,
               q – знаменатель геометрической прогрессии.

Продолжите ряд: 1, 10, 3, 9, 5, 8, 7, 7, 9, 6…
Продолжите ряд 77, 49, 36, 18…
Ответ: Перемножаются две цифры, входящие
 в предыдущее число
Ответ: Ряд состоит из двух частей: числа на нечетных местах:  1, 3, 5, 7, 9...; числа на четных местах: 10, 9, 8, 7
Примеры последовательностей.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610…
Числа Фибоначчи.
Элементы числовой последовательности, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел.
Леонардо Фибоначчи -  итальянский математик.
(родился около 1170 — умер после 1228),
Последовательность Фибоначчи рекуррентно задать легко, а аналитически – трудно.
Определение 2.
Последовательность (уn), называют ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа.
Последовательность (уn) ограничена сверху, если существует число М такое, что для любого n выполняется неравенство  уn ≤ М. Число М называют верхней границей последовательности.
Например:   -1, -4, -9, -16,…, - n²     ,…
Верхняя граница  -   -1
Определение 3.
 Последовательность (уn), называют
ограниченной снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа.
Последовательность (уn) ограничена снизу, если существует число m такое, что для любого n выполняется неравенство   уn ≥  m. Число m называют верхней границей последовательности.
Например:   1, 4, 9, 16,…,n²,…
Нижняя граница  -   1
Если последовательность ограничена и снизу и сверху, то ее называют ограниченной последовательностью.
Ограниченность последовательности означает, что все члены последовательности принадлежат некоторому отрезку.

Члены последовательности (уn) как бы «сгущаются» около точки 0. Говорят последовательность (уn) сходится.
У последовательности (уn) такой «точки сгущения» нет. Говорят последовательность (уn) расходится.

Определение 6.
Число b называют пределом последовательности (уn), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.
Читают: предел последовательности (уn) при стремлении n к бесконечности равен b или предел последовательности (уn) равен b.

Понятие предела числовой последовательности геометрически
«окрестность»:
интервал (а – r; а + r ) называется окрестностью точки а, а число r – радиусом окрестности
.

Если |q| > 1, то последовательность уn = qⁿ расходится.
Предел стационарной последовательности равен значению любого члена последовательности
lim  C = C

Свойства сходящихся последовательностей.
Свойство 1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу.
Свойство 2. Если последовательность сходится, то она ограничена.
Свойство 3. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.
( теорема Вейерштрасса).
«ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ».
Теорема
Если  lim  xn = b,   lim  yn = c ,то
предел суммы равен сумме пределов:
                     lim ( xn + yn ) = b + c ;
предел произведения равен произведению
пределов:     lim ( xn yn ) = bc ;
предел частного равен частному пределов:
                        lim       =     , c ≠ 0 ;
постоянный множитель можно вынести
за знак предела:    lim ( kxn ) = kc .

Внимание!
Для любого натурального показателя m  и любого коэффициента  k справедливо соотношение.


title: Презентация на тему: Преобразование алгебраических выражений

text:
Алгебраические выражения
 и их преобразование
9 класс (повторение)

Девиз урока:

Математику нельзя изучать,
наблюдая
 как это делает сосед.
План урока:
Сообщение темы урока.
Рефлексия на начало урока
Этап проверки домашнего задания
Этап  актуализации знаний
Этап обобщения и систематизации знаний
Физкультминутка.
 Этап закрепления навыков  сложения , вычитания , умножения и деления алгебраических дробей .
 Подведение итогов урока.
Домашнее задание.

ЦЕЛИ УРОКА
образовательная - повторить и систематизировать знания учащихся по темам: «Сокращение дробей», «Сложение и вычитание алгебраических дробей», «Умножение и деление алгебраических дробей
развивающая – способствовать формированию навыков самостоятельной работы , развитию логического мышления, математической речи и интереса к математике
воспитательная - воспитание внимания, тренировка памяти, развитие сообразительности, находчивости

25 апреля
Мне хорошо, я готов к уроку
Мне безразлично
Я тревожусь: все ли у меня  получится?

Рефлексия на начало урока
Этап проверки домашнего задания
Экзаменационный  сборник
№14:  -11а
№16:
№8:
№23: 6m + 13
№31: 5mn(m – 4n)
№33: (1 -8в)(1 + 8в)
№40:  с (1 – 4с)(1 + 4с)

№172:

№169:

 Актуализация знаний:

       1. Алгебраические  выражения

     2. Алгебраические дроби

     3. Преобразование алгебраических дробей
Алгебраические выражения
    Алгебраическое выражение – выражение , состоящее из чисел и букв, соединенных знаками действий.
  Целые алгебраические выражения:             m - 5n;   8х у;    6ab +2;
    Дробные алгебраические выражения:

Алгебраические дроби
Алгебраическая дробь  -  дробь ,  числитель и знаменатель которой алгебраические выражения.
Примеры:

Устная работа
Найти выражение, которое  не является алгебраической  дробью:
а) (а+в)2;  б)
в)
 г)
Устная работа
Сократить дробь и каждой дроби найти равную ей дробь, используя соответствие число – буква.
.

1)
2)
3)

 а)
 б)
 в)
.

Устная работа
 Найдите ошибки:
.

Алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю.
Чтобы несколько рациональных дробей привести к общему знаменателю нужно:
1.Разложить знаменатель каждой дроби на множители;
2.Составить общий знаменатель, включив в него в качестве сомножителей все множители полученных разложений; если множитель имеется в нескольких разложениях, то он берется с наибольшим показателем степени;
3.Найти дополнительные множители для каждой из дробей (для этого общий знаменатель делят на знаменатель дроби);
4.Домноживчислитель и знаменатель на дополнительный множитель, привести дроби к общему знаменателю.
Задание №1

Привести дроби

к общему знаменателю

и

Алгоритм сложения ивычитания алгебраических дробей сразными знаменателями:
Найти наименьший общий знаменатель дробей;
• Определить дополнительные множители дробей;
• Привести дроби к новому знаменателю;
• Сложить или вычесть дроби;
• Упростить полученный результат.

Задание №2

       б) Выполнить вычитание:

а) Выполнить сложение:

Алгоритм умножения алгебраических дробей:
• Перемножить числители;
• Перемножить знаменатели;
• Упростить полученный результат, если это  возможно.

Задание №3
Выполнить действие умножения дробей:
Алгоритм деления алгебраических дробей:
Умножить первую дробь на дробь обратную второй;
•  Перемножить числители;
•  Перемножить знаменатели;
•  Упростить полученный результат, если это возможно.

Задание №4
Выполнить  действие деления дробей:
Физкультминутка для глаз
Упражнение 1. Сделайте 15 колебательных движений глазами по горизонтали справа – налево, затем слева – направо.
Упражнение 2. Сделайте 15 колебательных движений глазами по вертикали вверх - вниз и вниз - вверх.
Упражнение 3. Тоже 15, но круговых вращательных движений глазами слева – направо.
Упражнение 4. То же самое , но справа – налево.
Упражнение 5. Сделайте по 15 круговых вращательных движений глазами вначале в правую, затем в левую стороны, как бы вычерчивая глазами уложенную набок восьмёрку.

Порядок выполнения действий
В выражениях со скобками сначала  вычисляют  значения выражений в скобках, затем по порядку слева направо выполняют возведение в степень, умножение и деление,                                                                   потом  сложение и вычитание.
2.    Если выражение составлено с помощью арифметических  действий первой и второй ступеней, то по порядку слева направо выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание.
3.    Если выражение составлено с помощью арифметических действий одной ступени, то их выполняют слева направо.
Определить порядок выполнения действий                  и упростить алгебраическое выражение :
Работа по закреплению навыков  сложения,  вычитания , умножения и деления алгебраических дробей .

Задание  №5

 Самостоятельная   работа
Экзаменационный сборник:
№ 171, стр.147
№ 66,  стр. 143
№ 62, стр. 143
№114,стр. 145
№ 108, стр. 145
№ 141, стр.146
№153, стр.146
№163, стр.147
№22, стр. 96
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
   1) прочитать опорные конспекты ,
   2) выучить все алгоритмы,
   3) решить задачи из  экзаменационного   сборника (индивидуальное задание).
У меня все получилось

        Было скучно
Я ожидал лучших результатов
Рефлексия на конец урока.

Спасибо за урок!


text:
f(x)=3x5-5x3+2
f(x)=3x5-5x3+2
x
-1
(-1; 1)
0
(0;1)
1
+
0
0
0
+
f(x)
4
2
0
min
x
-1
  (-1; 1)
1
0
+
0
f(x)
-4
0
min
max
x
-1
(-1;0)
0
(0;1)
1
0
+
0
-
0
+
f(x)
-4
-3
-4
min
max
min


title: Презентация на тему: Применение производной для исследования функций

text:
x1
0
f '(x)>0
f '(x)=0
f '(x)<0
?
- 2
3
+
-
+
0
y=f(x)
0
f(xmax)
f(b)
   f(a)
f(xmax)
f(a)
f(xmax)
f(xmin)
              f(b)


Презентация на тему: Применение производной в естествознании


title: Презентация на тему: Применение производной к исследованию функций

text:
x
y
y
x
2
-1
1
4
0
-1
1
0
max f(x)=f(-1)=18
    [-1;3]

min f(x)=f(3)=2
    [-1;3]
 -9 -8  -7 -6 -5 - 4 -3  -2  -1
1   2   3  4   5   6   7   8
y = f (x)
y
x
 5
 4
 3
 2
1
-1
-2
-3
-4
 -9 -8  -7 -6 -5 - 4 -3  -2  -1
1   2   3  4   5   6   7   8
y = f (x)
y
x
 5
 4
 3
 2
1
-1
-2
-3
-4
y = f(x)

y
x
a
b
 f(x)
  f/(x)
x
y = f /(x)

1   2   3  4   5   6   7
-7 -6 -5 -4  -3  -2  -1
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
y
x
7
3
0
-5
+
+
+
 f(x)
  f/(x)
x
y = f /(x)

1   2   3  4   5   6   7
-7 -6 -5 -4  -3  -2  -1
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
y
x
7
3
0
-5
+
+
+
-8
8
 f(x)
  f/(x)
x
y = f /(x)

4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
y
x
+
+
+
1   2   3  4   5   6   7
-7 -6 -5 -4  -3  -2  -1
-5
-8
8
7
3
0
-1
0
1
3
6
7
8
9
-1 + 0 + 1+2 + 3 + 6 + 7+ 8 + 9= 35
2
 f(x)
  f/(x)
x
_
+
+
+
+
http://mathege.ru:8080/or/ege/Main?view=TrainArchive


Презентация на тему: Применение различных способов разложения на множители многочлена


Презентация на тему: Применение производной


text:
Алгебраические выражения
 и их преобразование
9 класс (повторение)

5klass.net
Девиз урока:

Математику нельзя изучать,
наблюдая
 как это делает сосед.
План урока:
Сообщение темы урока.
Рефлексия на начало урока
Этап проверки домашнего задания
Этап  актуализации знаний
Этап обобщения и систематизации знаний
Физкультминутка.
 Этап закрепления навыков  сложения , вычитания , умножения и деления алгебраических дробей .
 Подведение итогов урока.
Домашнее задание.

ЦЕЛИ УРОКА
образовательная - повторить и систематизировать знания учащихся по темам: «Сокращение дробей», «Сложение и вычитание алгебраических дробей», «Умножение и деление алгебраических дробей
развивающая – способствовать формированию навыков самостоятельной работы , развитию логического мышления, математической речи и интереса к математике
воспитательная - воспитание внимания, тренировка памяти, развитие сообразительности, находчивости

25 апреля
Мне хорошо, я готов к уроку
Мне безразлично
Я тревожусь: все ли у меня  получится?

Рефлексия на начало урока
Этап проверки домашнего задания
Экзаменационный  сборник
№14:  -11а
№16:
№8:
№23: 6m + 13
№31: 5mn(m – 4n)
№33: (1 -8в)(1 + 8в)
№40:  с (1 – 4с)(1 + 4с)

№172:

№169:

 Актуализация знаний:

       1. Алгебраические  выражения

     2. Алгебраические дроби

     3. Преобразование алгебраических дробей
Алгебраические выражения
    Алгебраическое выражение – выражение , состоящее из чисел и букв, соединенных знаками действий.
  Целые алгебраические выражения:             m - 5n;   8х у;    6ab +2;
    Дробные алгебраические выражения:

Алгебраические дроби
Алгебраическая дробь  -  дробь ,  числитель и знаменатель которой алгебраические выражения.
Примеры:

Устная работа
Найти выражение, которое  не является алгебраической  дробью:
а) (а+в)2;  б)
в)
 г)
Устная работа
Сократить дробь и каждой дроби найти равную ей дробь, используя соответствие число – буква.
.

1)
2)
3)

 а)
 б)
 в)
.

Устная работа
 Найдите ошибки:
.

Алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю.
Чтобы несколько рациональных дробей привести к общему знаменателю нужно:
1.Разложить знаменатель каждой дроби на множители;
2.Составить общий знаменатель, включив в него в качестве сомножителей все множители полученных разложений; если множитель имеется в нескольких разложениях, то он берется с наибольшим показателем степени;
3.Найти дополнительные множители для каждой из дробей (для этого общий знаменатель делят на знаменатель дроби);
4.Домноживчислитель и знаменатель на дополнительный множитель, привести дроби к общему знаменателю.
Задание №1

Привести дроби

к общему знаменателю

и

Алгоритм сложения ивычитания алгебраических дробей сразными знаменателями:
Найти наименьший общий знаменатель дробей;
• Определить дополнительные множители дробей;
• Привести дроби к новому знаменателю;
• Сложить или вычесть дроби;
• Упростить полученный результат.

Задание №2

       б) Выполнить вычитание:

а) Выполнить сложение:

Алгоритм умножения алгебраических дробей:
• Перемножить числители;
• Перемножить знаменатели;
• Упростить полученный результат, если это  возможно.

Задание №3
Выполнить действие умножения дробей:
Алгоритм деления алгебраических дробей:
Умножить первую дробь на дробь обратную второй;
•  Перемножить числители;
•  Перемножить знаменатели;
•  Упростить полученный результат, если это возможно.

Задание №4
Выполнить  действие деления дробей:
Физкультминутка для глаз
Упражнение 1. Сделайте 15 колебательных движений глазами по горизонтали справа – налево, затем слева – направо.
Упражнение 2. Сделайте 15 колебательных движений глазами по вертикали вверх - вниз и вниз - вверх.
Упражнение 3. Тоже 15, но круговых вращательных движений глазами слева – направо.
Упражнение 4. То же самое , но справа – налево.
Упражнение 5. Сделайте по 15 круговых вращательных движений глазами вначале в правую, затем в левую стороны, как бы вычерчивая глазами уложенную набок восьмёрку.

Порядок выполнения действий
В выражениях со скобками сначала  вычисляют  значения выражений в скобках, затем по порядку слева направо выполняют возведение в степень, умножение и деление,                                                                   потом  сложение и вычитание.
2.    Если выражение составлено с помощью арифметических  действий первой и второй ступеней, то по порядку слева направо выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание.
3.    Если выражение составлено с помощью арифметических действий одной ступени, то их выполняют слева направо.
Определить порядок выполнения действий                  и упростить алгебраическое выражение :
Работа по закреплению навыков  сложения,  вычитания , умножения и деления алгебраических дробей .

Задание  №5

 Самостоятельная   работа
Экзаменационный сборник:
№ 171, стр.147
№ 66,  стр. 143
№ 62, стр. 143
№114,стр. 145
№ 108, стр. 145
№ 141, стр.146
№153, стр.146
№163, стр.147
№22, стр. 96
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
   1) прочитать опорные конспекты ,
   2) выучить все алгоритмы,
   3) решить задачи из  экзаменационного   сборника (индивидуальное задание).
У меня все получилось

        Было скучно
Я ожидал лучших результатов
Рефлексия на конец урока.

Спасибо за урок!


Презентация на тему: Применение свойства непрерывности функции при решении неравенств методом интервалов


title: Презентация на тему: Применение свойств функций к решению уравнений и неравенств

text:
.
0
0
-3
-1
1


title: Презентация на тему: Примеры арифметической и геометрической прогрессии

text:
900igr.net
     !

                 S O S
n
-n
2-n
n-2
!
2


title: Презентация на тему: Применение теории графов

text:
900igr.net
1.
2.


title: Презентация на тему: Применение производной в физике

text:
900igr.net
1
2
3
4
5
6
7
f(x)=
6(x-1)
x2 +3
1
x
y
-2
1
x
y
-2
+
-
1
x
y
-2
+
-
3
-1
f(x)
+
-
+
x
-1
(-1;3)
3
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
-3
1
min
max
1
x
y
-2
3
-1
-3
1
a
b


Презентация на тему: Примеры комбинаторных задач


Презентация на тему: Примеры иррациональных уравнений


text:
© Vyazovchenko N.K. 2009
5klass.net


Презентация на тему: Применения непрерывности Метод интервалов


title: Презентация на тему: Примеры логарифмических неравенств

text:
5klass.net

1
1
0
3
3
5
7
1
1
0
3
3
5
7

Log3(x+2)    1

Log2(7-x)   Log25

Log1/2x   Log1/2(8-x)

Logx+3 2    Log     2
0    X    4

X  1

X  2
 (-2; +    )


title: Презентация на тему: Примеры логических функций

text:
900igr.net
A
B
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
F9
F10
F11
F12
F13
F14
F15
F16
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
F
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1


text:
1
1
0
3
3
5
7
1
1
0
3
3
5
7

Log3(x+2)    1

Log2(7-x)   Log25

Log1/2x   Log1/2(8-x)

Logx+3 2    Log     2
0    X    4

X  1

X  2
 (-2; +    )


title: Презентация на тему: Примеры логарифмических уравнений и неравенств

text:
y=log2x-1 (x2-2x-7)
Log324-log22xxx=cos30x
900igr.net
Exit
logab=c Û ac=b
x
y
a
y=logax
y=ax
y=x
x
y
y=logax
1
1
a
y
x
y=logax
-1
1
a
a>1
0<a<1
2) loga f(x) = loga g(x)
loga x = b.
f(x)= g(x),
g(x)>0,
f(x)>0.
f(x)= g(x),
g(x)>0,
f(x)= g(x),
f(x)>0.
4) logh(x) f(x) = logh(x) g(x)
f(x) > 0,
h(x) > 0,
f(x) = g(x),
g(x) > 0.
h(x) > 0,
f(x) = g(x),
loga f(x) = loga g(x)   <=>  f(x) = g(x)
log2(x+2)=t,
t2-t-2=0.
x=1
log2t=20-t
1) loga f(x) > loga g(x)
f(x)>g(x)>0,
a>1.
0<f(x)<g(x),
0<a<1.
2) logh(x)f(x)>logh(x)g(x)
f(x)>g(x)>0,
 h(x)>1.
0<f(x)<g(x),
0<h(x)<1.
3) logh(x)f(x)>logh(x)g(x)
(h(x)-1)(f(x)-g(x))>0,
h(x)>0,
f(x)>0,
g(x)>0.
4) f(logax)>0
t=logax,
f(t)>0.
1


title: Презентация на тему: «Примеры преобразования графиков функций»

text:
0
1
2
0
1
8
x = y4
-1
0
1
2
1/3
1
3
9
1/9
1/3
1
3
9
2
1
0
-1
-2
x = log1/3y
y = sinx
y = sin(-x)
y = sin(x-1)
y = sin3x
x = siny
y = tgx
x = tgy


title: Презентация на тему: Примеры производных

text:
900igr.net
0


title: Презентация на тему: Примеры решения логических задач

text:
900igr.net

=0
=0
=0
=0
=0
=0
=0


title: Презентация на тему: Примеры применения производной

text:
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
   0        1         2        3        4         5         6        7        8         9       10      11      12       13      14      15      16
2
1
3
4
1
2
3
4
y
0

y
0

y
0

y
0

y
0

t
t1
t
t1
.


title: Презентация на тему: Примеры преобразования графиков функций


title: Презентация на тему: ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ПРИКЛАДНОГО ХАРАКТЕРА

text:
1)
2)
3)
4)
5)


text:
5klass.net
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
   0        1         2        3        4         5         6        7        8         9       10      11      12       13      14      15      16
2
1
3
4
1
2
3
4
y
0

y
0

y
0

y
0

y
0

t
t1
t
t1
.


title: Презентация на тему: Примеры неравенств

text:
1.      x>a,
         x>b;
2.      x>a,
         x<b;
3.      x<a,
         x<b;
4.      x<a,
         x>b.


title: Презентация на тему: Примеры неравенств

text:
5klass.net
1.      x>a,
         x>b;
2.      x>a,
         x<b;
3.      x<a,
         x<b;
4.      x<a,
         x>b.


Презентация на тему: «Признаки делимости»


Презентация на тему: Принцип Дирихле


title: Презентация на тему: Примеры тригонометрических функций

text:
sin 2x = 2 sinx cosx
cos 2x = cos2x - sin2x
tg 2x = 2 tg x /(1- tg2x)
ctg 2x = ctg2x-1/(2 ctg x)
sin(x+y)= sin x cos y + cos x sin y
sin(x-y)= sin x cos y - cos x sin y
cos(x+y)= cos x cos y - sin x sin y
cos(x-y)= cos x cos y + sin x sin y


text:
5klass.net

sin 2x = 2 sinx cosx
cos 2x = cos2x - sin2x
tg 2x = 2 tg x /(1- tg2x)
ctg 2x = ctg2x-1/(2 ctg x)
sin(x+y)= sin x cos y + cos x sin y
sin(x-y)= sin x cos y - cos x sin y
cos(x+y)= cos x cos y - sin x sin y
cos(x-y)= cos x cos y + sin x sin y


Презентация на тему: Признаки делимости


Презентация на тему: Признаки делимости чисел


title: Презентация на тему: Приведение

text:
900igr.net
0
x
y
0
0
x
y
0
0
x
y
0
0
x
y
0


title: Презентация на тему: Предел функции в бесконечности и в точке

text:
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В
БЕСКОНЕЧНОСТИ И В ТОЧКЕ
Понятие предела функции y=f(x) связано с понятием предела числовой последовательности
У числовой последовательности переменная n, возрастая, принимает только целые значения, а у функции переменная х может принимать любые значения.

Число А называется пределом функции
у=f(x), при х стремящемся к бесконечности,
если для любого, сколь угодно малого числа
ε>0, найдется такое положительное число
S, что при всех |x|>S, выполняется
неравенство:

При достаточно больших по модулю значениях
 х, значения функции f(x) очень мало
отличаются от числа А (меньше, чем на
число  ε , каким бы малым оно не было).

смысл определения:
Рассмотрим геометрический смысл этого определения.
Неравенство
равносильно двойному неравенству
что соответствует расположению части графика у=f(x) в полосе шириной 2ε.

Т.е. число А есть предел функции
какой бы узкой она не была.
если для любого, сколь угодно малого числа ε>0, найдется такое число S,  что при всех
соответствующие ординаты графика функции у=f(x) будут заключены в полосе

Доказать, что

Пример.

Т.е. для любого ε >0 существует число
Такое, что для всех х, таких что |x|>S, выполняется неравенство:

Для любого ε>0

Решение.

Рассмотренное определение предела при  x стремящемся к бесконечности предполагает неограниченное возрастание x по абсолютной величине.
Можно сформулировать понятие предела при стремлении x к бесконечности любого знака, т.е. при

Замечание 1.
В случае, когда
неравенство
должно выполняться при всех x  таких, что х>s.
В случае, когда
неравенство
должно выполняться при всех x  таких, что х<-s.
Перейдем к понятию предела функции в точке.
Рассмотрим некоторую функцию  у=f(x). Пусть эта функция задана в некоторой окрестности точки x0, кроме, может быть, самой этой точки.

Число А называется пределом функции
у=f(x), при х→x0, (или в точке x0)
если для любого, сколь угодно малого числа
ε>0, найдется такое положительное число
δ, что при всех |x-x0|< δ, выполняется
неравенство:

При всех значениях х,  достаточно близких
к  x0,  значения функции у=f(x) очень мало
отличаются по абсолютной величине
от числа А (меньше, чем на
число  ε, каким бы малым оно не было).

смысл определения:
Неравенство
равносильно двойному неравенству
Аналогично неравенство
равносильно неравенству
Это соответствует расположению части графика
в полосе шириной 2ε и попаданию точки х в δ -окрестность точки x0.

Т.е. число А есть предел функции
при х→x0,  если для любого, сколь угодно малого
числа
какой бы узкой она не была.
найдется такая δ–окрестность точки x0, что для  всех х≠x0 из этой окрестности соответствующие ординаты графика функции
будут заключены в полосе

Доказать, что

Пример.
Пусть ε=0.1
Тогда неравенство
будет выполняться при
Аналогично, при  ε=0.01
Неравенство будет выполняться при

Решение.
Т.е. для любого ε >0 неравенство
выполняется при
Т.е. для любого ε >0 существует число
что для всех х, таких что |x-1|<δ, выполняется неравенство:

Определение предела не требует существования функции в самой точке x0, т.к. рассматриваются значения функции в некоторой окрестности точки  x0.
Т.е. рассматривая предел
мы предполагаем, что
но не достигает значения x0.

Замечание 2.

переменная x принимает значения только  меньше x0 или, наоборот, больше x0, и при этом функция f(x) стремится к некоторому числу А, то говорят об односторонних пределах соответственно  справа и слева:
Если при

Замечание 3.
Определение этих пределов будет аналогично рассмотренному выше при
Вместо значений x, удовлетворяющих условию
рассматриваются такие x, что
при
и  значения x, такие что
при

Если пределы функции f(x) слева и справа одинаковы и равны А, то существует общий предел этой функции, также равный А:


title: Презентация на тему: Признаки параллельных прямых

text:
b
b
a
1
2
3
4
5
6
7
8
c
b
a
1
2
3
4
5
6
7
8
c
b
a
1
2
3
4
5
6
7
8
c
C
A
G
D
B
F

a
b
c
A
B
1
2
b
c
A
B
1
2
a
b
c
A
B
1
2
H
H1
O
1 = 2
a
b
2
1
a
b
80 °
1
100 °


Презентация на тему: Прямая на плоскости


title: Презентация на тему: Приложения производной

text:
Алгебра 10
Садоха Г.К.
учитель математики МБОУ СОШ №3
 г. Кстово Нижегородской области
Приложения производной
Правильному применению методов можно научиться только применяя их на разнообразных примерах.
Цейтен Г.Г.
Тема урока:

Приложения производной

Чтение графика

	0

1
5
2
3
4
7
6

х
у

1
3
2
4
5
6
7
-2
-1
-1
-2
-3
-6
-5
-5
-4
-3
- 4
-8
-7
-6
-10
-9

Ответ:
Ни чётная и ни нечётная
Убывает при
Возрастает при
Функция дифференцируема при всех значениях х из области определения, кроме х=0
1.
2.
3.
5.
4.
6.
9.
8.
7.

Найдите производную функции

1.
5.
6.
7.
8.
9.
2.
3.
4.

Физический смысл производной
Задача
Задан закон прямолинейного движения точки
2. Найти мгновенную скорость в момент времени t=3 сек.
3. Найти ускорение при t=3 сек
1. Найти среднюю скорость движения на указанном отрезке

Геометрический смысл производной
Задача:    На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке А с абсциссой
Найти:
Решение:

у
х
0

1

1

В
А
С
Найти промежутки монотонности функции
Решение

х

+
+
-
-
0
1
2
Функция убывает при
Возрастает

Физкультминутка
Закрыли глаза, опустили руки вниз. Наступает весна. Представим себя в весеннем лесу. Что мы слышим?! Пение птиц, журчание ручейка. Что мы чувствуем? Легкий ветерок, ласковое прикосновение солнечных лучей, запах свежести талого снега, хвои. Хочется вдохнуть полной грудью этот свежий запах пробуждающейся весны. Теперь открываем глаза и продолжаем работать.
Дифференцирование
+
+
+

+
+

y
y’

y
y
y
y
y
x
x
x
x
x
Исследование функции на отрезке

у
y’

+
+
+
+
+
х
х
х
х
х
у
у
у
у
у
Самостоятельная работа
При каких действительных значениях    b уравнение                                имеет решение.
Решение

т.е.
Ответ: при
уравнение имеет решение
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Домашнее задание
Стр. 322, работа №8


title: Презентация на тему: Применение производной для исследования функций

text:
Применение  производной  для исследования  функций.
1. Нахождение промежутков возрастания функции.
2. Нахождение промежутков убывания функции.
3. Нахождение промежутков постоянства функции.
4. Нахождение экстремумов.
5. Решение уравнений.
6.Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, непрерывной на отрезке.

Монотонность функции

Убывает на
(-;x, x)
Возрастает на
х1; х2.
Постоянна  на
а;в

у
х
У=f(x)
x1
х2

а
в
Исследование   функции  на возрастание
         У

                                            Х
Если  f '(x) >0  в  каждой точке  интервала I,  то функция  f  монотонно  возрастает  на интервале  I.
АЛГОРИТМ
D(f)
f '(x)
Решить неравенство
       f '(x)>0
4. Выписать  промежутки, где  производная имеет знак  «+».

у=f(x)
х2
х1
Исследование функции на убывание

                   у
Если в каждой точке интервала I  f '(x)<0, то функция  у = f(x)  монотонно убывает на этом промежутке.
АЛГОРИТМ
D(f)
f '(x)
Решить неравенство
               f '(()) <0
4. Выписать промежутки , где производная имеет знак  «-».

Х
0
х0
У = f(x)
Исследование функции на постоянство

   у                              у = f(x)

     о                                       х
                 а                в
Функция у = f(x) постоянна  на интервале (а; в) тогда и только тогда , когда
f '(x) = 0  в каждой точке этого интервала.

ЭКСТРЕМУМЫ
Необходимое условие экстремума
Если   Х0 – точка  экстремума  функции
У = f(x) , то эта точка является критической точкой данной функции, т.е. в этой точке производная либо равна нулю, либо она не существует.
Если  f '(x)>0  при  х < x0
и  f '(x)<0  при  х > x0 ,
то  Х0 – точка максимума.
ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА
Если функция у = f(x) непрерывна в точке
Х0 и производная  f '(x)  меняет знак в этой  точке , то  Х0 – ТОЧКА ЭКСТРЕМУМА
функции  у = f (x)
Если f '(x)<0  при  х<x0
и  f '(x)>0 при  x>Х0 ,
   то  Х0 – точка минимума.

f '(x)>0
f '(x)=0
f '(x)<0
Х мах
Х min
f '- НЕ СУЩЕСТВУЕТ
Хмах
У
Х

?
СХЕМА ПРИМЕНЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ  ИНТЕРВАЛОВ МОНОТОННОСТИ И ЭКСТРЕМУМОВ

Характер   изменения    функции
- 2
3
+
-
+

А с  и м п т о т ы
Прямая у = кх +в  называется  асимптотой графика функции у = f(x) , если расстояние от точки М графика функции до  прямой
у = кх + в стремиться к нулю при бесконечном удалении точки  М.
Прямая  х = а является вертикальной асимптотой графика функции
       у = f(x), если lim f(x) = ∞
                              х→ а
Прямая  у = в является горизонтальной асимптотой графика функции у = f(x), если
      lim f(x)=b
      х→∞
Прямая  у = кх + в является наклонной асимптотой графика функции  у = f(x), если lim   f(x) =к
                                            х →∞   х
lim ( f(x)─kx ) = b
Х→∞

                                              х
   У           у = в

У= f(x)
у
0
а
Х = а
М.

.М
0                                                            Х
У = f(x)
                 .  М
у = кх + в
y=f(x)
У
0
Х
СХЕМА  ИССЛЕДОВАНИЯ  ФУНКЦИИ  И ПОСТРОЕНИЕ  ЕЁ  ГРАФИКА.
НАХОЖДЕНИЕ ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБЛАСТИ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ.
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА ЧЕТНОСТЬ И НЕЧЕТНОСТЬ.
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА ПЕРИОДИЧНОСТЬ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ГРАФИКА ФУНКЦИИ С ОСЯМИ КООРДИНАТ И ИНТЕРВАЛОВ, ГДЕ ФУНКЦИЯ СОХРАНЯЕТ ЗНАК.
НАХОЖДЕНИЕ АСИМПТОТ ГРАФИКА ФУНКЦИИ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ  ТОЧЕК ЭКСТРЕМУМОВ  ФУНКЦИИ.
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА.
Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке.
Функция, непрерывная на отрезке, достигает своего наибольшего  и наименьшего значений на этом отрезке либо в критических точках, принадлежащих отрезку, либо на его концах.
f(b)                                       у =f(x)

f(a)
f(xmin)
    0   а            Хmin                в        х
              Хmax
maх f(x) = f (xmax)
               [a;b]
min  f(x) = f (xmin)
  [a;b]
     0          а         Хmax    в            х

                          min f(x)=f(b)
                           [a;b]
                                                   max f(x)=f(xmax)
                  у                                     [а;b]

    0     а   Хmin  Хmax  b      х
maxf(x)=f(a)
[а;b]                      minf(x)=f(b)
                            [a;b]

у
f(xmax)
у

f(b)
   f(a)
f(xmax)
у

f(a)
f(xmax)
f(xmin)
              f(b)
۩      Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке
ЭТАПЫ

Найти производную
Найти на данном отрезке критические точки, т.е. точки, в которых f’(x)=0 или не существует
Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка.
Из вычисленных значений выбрать наименьшее и наибольшее.
 пример  для функции  у =  2x³-3x²-36x+5 на отрезке [0;4]

f ' (x)=6x²-6x-36
f  '(x)=0  при  х = -2 и при х = 3.
Отрезку [0;4] принадлежит только одна критическая точка:  х = 3.

3. f (0)=5;      f (3)=-76;       f (4)=-59

4. max f(x)=f(0)=5;       min f(x)=f(3)=-76
    [0;4]                            [0;4]


title: Презентация на тему: Признаки параллелограмма

text:
A
B
E
C
D
A
B
E
C
D
2
3
4
1
B
C
D
B
C
D
B
C
D
O
A
B
C
D
M
K
A
B
M
C
D
N
A
B
M
C
D
A
B
M
C
D
N
A
B
M
C
D
L
N
K


title: Презентация на тему: Признаки возрастания и убывания функции. Исследование функции на экстремум

text:
P=f(v)
P
0
   V
I=f(u)
I
0
 u
I=f(t)
  i
0
t
P=f(t°)
Po
 P
0
t°
    i
  t
       0                  x1                       x2                  x
y
      y1
    y2
y=f (x)
       0          x1                       x2                         x
y
      y2
    y1
y=f (x)

0
x0
x
y
f(x0)
0
x0
x
y
f(x0)
    0    x0          x1                  x2       x3                 x
y=f (x);
f(x3)>f(x0).
y
f(x3)
 f(x0)

 X
 Y
 -7
  3
-3
-1
 5
 2
  ( -7 ; -3 )
( -3 ; 5 )
  x
   +           0              -             0            +          0          -
 y'           +          0           -            0            +            0            -


Презентация на тему: Прямая в пространстве


title: Презентация на тему: Прямая пропорциональность и её график

text:
t
1
2
3
4
S
50
100
150
200
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
0
0,5
1
1,5
2
0
1
2
-1
-2
0
1
2
-1
-2
0
2
4
-2
-4


title: Презентация на тему: Прямоугольная система координат

text:
x
0
y
900igr.net
1
-1
1
-1
0
1
-1
1
-1
0
x
y
x > 0
y > 0
x > 0
y < 0
x < 0
y < 0
x < 0
y > 0
1
-1
1
-1
0
x
y
1
-1
1
-1
0
x
y
x1
y1
M (x1,y1)


title: Презентация на тему: Прямая пропорциональная зависимость

text:
x=12,5
2)
4)


title: Презентация на тему: Прямоугольная система координат на плоскости

text:
x
0
y
1
-1
1
-1
0
1
-1
1
-1
0
x
y
x > 0
y > 0
x > 0
y < 0
x < 0
y < 0
x < 0
y > 0
1
-1
1
-1
0
x
y
1
-1
1
-1
0
x
y
x1
y1
M (x1,y1)


title: Презентация на тему: Прямая пропорциональность

text:
www.themegallery.com
LOGO

0
0
0
2
0
2
2
0
2
x
y
y=kx, k>0
O
x
y
y=kx, k<0
O
I
II
III
IV


title: Презентация на тему: Процентные вычисления в жизненных ситуациях

text:
0,127
1,13
0,17
0,01
 12,7
 100
 113
 100
  17
 100
  1
100
12,7%
113%
 17%
 1%
    3
    4
       75
      100
   75%
    1
    2
       50
      100
   50%
    1
    4
       25
      100
   25%
     1
    5
        20
      100
   20%

   P%

    S
10
60
25
36
50
42

  P%

   S
10
60
   6
 600
  66
  54
25
36
   9
 144
  45
  27
50
42
  21
   84
  63
  21

 4
 5
20
80

  4
  5
 80
125
 20
 25
 20
 80
 25
400
 75
300


title: Презентация на тему: Проценты

text:
2%
30
 5
40
10

30
 5
40                     25
3 + 2 = 5
4
4
13

 5
 9

 5
9
12
4
 3
4
2

11
4
              0                         64

  6

             70                          0
64


title: Презентация на тему: Применение производной функции (10 класс)

text:
11 ноября.
Классная работа.

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ

Функция

Функция
 НЕ функция

у
а
б
2

Графики функций

Возрастание и убывание функции
Иду в гору. Функция возрастает на промежутке[b;a]
Иду под гору. Функция убывает на промежутке[a;с]

Найдите производную функции:

f(x)=3x³-2x²-3x+5
f(x)=2x²+4x-4
f(x)=sinx
f(x)=sin2x
f(x)=√x
f(x)=2cosx
f(x)=cosx+10
Тема урока: Возрастание и убывание функции.
Слушаю – забываю.
Смотрю – запоминаю.
Делаю – понимаю.
Конфуций
f(x)=x³ - 6x² + 9x – 1
f ´(x) = 3x² - 12x + 9
Найдем критические точки:
f ´(x) = 0,   3x² - 12x + 9 = 0
                   x² - 4x + 3 = 0
                   x = 1 и х = 3

х

1
3
Теорема: f(x) – непрерывна на I и имеет f ´(x)
а) f ´(x) > 0, то f(x) – возрастает
б) f ´(x) ˂ 0, то f(x) – убывает
в) f ´(x) = 0, то f(x) – постоянна(константа)

Доказательство:
f(x) = x³ - 6x² + 9x – 1
f ´(x) = 3x² - 12x + 9

Найдем критические точки:
f ´(x) = 0,   3x² - 12x + 9 = 0
                   x² - 4x + 3 = 0
                   x = 1 и х = 3

f ´(x) > 0, x ϵ (-∞; 1) и (3; + ∞)

f ´(x) ˂ 0, х ϵ (1; 3)
f(x) = x³ - 6x² + 9x – 1

f ´(x) = 3x² - 12x + 9

промежутки возрастания и убывания функции

х
f ´(x)
f(x)
1
3
+
-

+

max
min

Прогноз погоды в Петровке

- обратиться к справочному материалу;
- обратиться учебнику;
- проанализировать выполнение аналогичных заданий;
- составить собственные примеры;
- обратиться за помощью к учителю.
План действий по локализации индивидуальных затруднений
Домашнее задание:
п.5.5,
№ 5.52б,
№ 5.53б,
№ 5.57б,
№ 5.58б.
К высотам познанья!
За кручей обрыв!
Дороги орлам незнакомы.
Пройдет человек лишь,
Но прежде открыв
Природы и чисел законы.
Искателей истин судьба нелегка,
Но тень их достанет в веках облака
Спасибо за урок.


title: Презентация на тему: Проценты

text: 70 %


title: Презентация на тему: «Проценты»

text: 70 %


title: Презентация на тему: Проценты

text:
%
100
%
90%
10%
12%
88%


title: Презентация на тему: Проценты в жизни заозерчанина

text: Sn = (1+p*n:100)*S


Презентация на тему: Проценты в нашей жизни


title: Презентация на тему: Проценты

text:
Prezented.Ru
Prezented.Ru


title: Презентация на тему: Проектная работа по алгебре «Решение иррациональных уравнений»

text:
II
III
I
II
I
I
II
I
II
II
III
I
II
I
I
II
I
II


title: Презентация на тему: Проценты в гостях в Простоквашино

text:
100%
30%
20%
50%
100%
25%
75%
1%
100%
25%
75%


title: Презентация на тему: Прогрессии

text:
19/30
 15
-8
-32
-16
-45
200
-221
-31
-1
-45
-221
-31
-1
-16
15
200
 -8
 -32
19/30
   1
  2
   3
  4
  5
   6
  7
  8
 27
  11
  14
 11
  4,5
  22
  18
357/1100


title: Презентация на тему: Прогрессии 9 класс

text:
5
-10
20
-640
-2
-40
320
-160
80
2
4
8
16
0
2
6
14
-2
0
4
12
-4
-2
2
10


title: Презентация на тему: «Прогрессии» 9 класс

text:
5klass.net
19/30
 15
-8
-32
-16
-45
200
-221
-31
-1
-45
-221
-31
-1
-16
15
200
 -8
 -32
19/30
   1
  2
   3
  4
  5
   6
  7
  8
 27
  11
  14
 11
  4,5
  22
  18
357/1100


title: Презентация на тему: Проценты. Задачи на концентрацию и сплавы

text:
2).
3
1
0
5
12% = 0,12
= 0,17 = 17%
3
1
0
1
7
x
x
0,15x
0,19x
+
x
x
0,15x
0,19x
+
+
=
6
4
4
6
0,6
1,5
+
0,6
1,5
+
20
90%
95%
10%
3
1
0
1
9
0
5%
0,3y
0,1x
y
x
x : 100 10
y
x
30
10
0,1x
0,3y
+
+
= 25
y : 100 30
?
200
x + y = 200
3
1
0
1
0
0
 x+3
0,3(2x+3)
0,4(x+3)
0,4(x+3)
(x+3):100 40
x+3
0,1x
x+3
x
x : 100 10
x
40
10
0,1x
+
+
= 30
3
1
0
9
2x+3
?
_
: 5
·
:30
_
0,6y
0,6y
0,3x
y
x
y
0,3x
+
x
+
+ 10
= 36
0,6y
0,6y
0,3x
y
x
y
0,3x
+
x
+
+ 10
= 41
+ 5
3
1
0
6
0
?
1
30
2
20
3
1
2
3
+
50
68
50·0,68
10
10
+
20
70
20·0,7
30:100 x
20
30
y
x
0,3x
0,2y
+
+
= 68
30
20
0,3x
0,2y
20:100 y
?
0,01y
0,01x
1
1
1 : 100 x
1
1
y
x
0,01x
0,01y
+
+
= 70
1 : 100 y
3
1
0
1
8


title: Презентация на тему: Прогрессии

text:
128; 64; 16
2
1
3


Презентация на тему: Производная (11 класс)


title: Презентация на тему: Приёмы решения квадратных уравнений

text:
10 способов решения квадратных уравнений
900igr.net
История развития квадратных уравнений
Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне
Необходимость решать уравнения  не только первой, но и второй степени ёщё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей веры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их  клинописных текстах  встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводя только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилонии, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.
Как составлял и решал Диофант
                                           квадратные уравнения
«Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение 96»
Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, т.к. если бы они равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы , т.е. 10+X , другое же меньше, т.е. 10-X.
Разность между ними 2Х

Отсюда Х=2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение Х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

УРАВНЕНИЕ:

или же:
Квадратные уравнения в Индии
Задачи на квадратные уравнения встречаются и в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта, изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:                    ax²+bx=c, a>0
Одна из задач знаменитого индийского математика XІІ века Бхаскары

 Обезьянок резвых стая
 Всласть поевши, развлекалась.
 Их в квадрате часть восьмая
 На поляне забавлялась.
 А двенадцать по лианам…
 Стали прыгать повисая…
 Сколько было обезьянок
 Ты скажи мне, в этой стае?.
Соответствующее задачи уравнение:

Баскара пишет под видом:

Дополнил левую часть до квадрата,

Квадратные уравнения в Древней Азии
Вот как решал это уравнение среднеазиатский ученый ал-Хорезми:
Он писал : "Правило таково:
 раздвои число корней,                                                                        х=2х·5
получите  в этой задаче пять,                                                              5
умножь на это равное ему, будет двадцать пять,                        5·5=25
прибавь это к тридцати девяти,                                                     25+39
будет шестьдесят четыре,                                                                 64
извлеки из этого корень, будет восемь,                                              8
и вычти из этого половину числа корней, т.е.пять,                        8-5
 останется                                                                                3
это будет корень квадрата , который ты искал."
А второй корень ? Второй корень не находили, так как отрицательные числа не были известны.

х2 +10 х = 39
Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII вв.
Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х2+вх+с=0 , было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. Штифелем.
.
Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые  изложены в 1202 г. итальянским математиком
Леонардом Фибоначчи.
Вывод формулы решения квадратного уравнения  в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Лишь в 17 в. благодаря трудам Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид
О теореме Виета
  Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. Следующим образом: «Если B+D, умноженное на А-А , равно BD, то А равно В и равно D».
  Чтобы понять Виета, следует помнить, что А, как и всякая гласная буква , означало у него неизвестное (наше х), гласные же B,D- кэффициенты при  неизвестном.
   На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает:

Если приведенное квадратное уравнение x2+px+q=0 имеет действительные корни, то их сумма равна -p, а произведение равно q, то естьx1 + x2 = -p ,x1 x2 = q
(сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).
Метод разложения на множители
привести квадратное уравнение общего вида к виду:
А(х)·В(х)=0,
где А(х) и В(х) – многочлены относительно х.
Цель:
Вынесение общего множителя за скобки;
Использование формул сокращенного умножения;
Способ группировки.
Способы:
Пример:

Решим уравнение:     х2 + 6х - 7 = 0.

х2 + 6х -7 = 0.
(х +3)2 – 16 = 0.
(х +3)2 = 16.
х +3 = 4;  х + 3 = -4.
х = 1, х =-7.

Ответ: 1; -7.

Метод выделения полного квадрата
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2,
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2.
Корни квадратного уравнения:
ax2+bx+c=0
Если   D>0,

Если D<0,
Если D<0,
Нет корней
Решение квадратных уравнений по формуле
Выражение                          называют дискриминантом  квадратного уравнения.

x1 и х2 – корни уравнения
Решение уравнений с помощью теоремы Виета
Х2 + 3Х – 10 = 0
Х1·Х2 = – 10, значит корни имеют разные
                         знаки
Х1 + Х2 = – 3, значит больший по модулю
                          корень  - отрицательный
Подбором находим корни: Х1 = – 5, Х2 =  2
Например:
      Решите уравнение: 2х2 - 11х +15 = 0.

   Перебросим коэффициент 2 к свободному члену

  у2 - 11у +30= 0.

D>0, по теореме, обратной теореме Виета,
                                                           получаем корни: 5;6,
далее возвращаемся к корням исходного уравнения: 2,5; 3.

    Ответ: 2,5; 3.
Решение уравнений способом «переброски»
	Если в квадратном уравнении a+b+c=0, то один из корней равен 1, а
    второй по теореме Виета равен
   Если  в квадратном уравнении a+c=b, то один из корней равен (-1),
   а второй  по теореме Виета равен
Пример:
Свойства коэффициентов  квадратного уравнения
137х2 + 20х – 157 = 0.
a = 137, b = 20, c = -157.
a + b+ c = 137 + 20 – 157 =0.

x1 = 1,
Ответ: 1;
Второй коэффициент  - четный
Графический способ решения квадратного уравнения
      Не используя формул квадратное уравнение можно решить графическим
       способом.  Решим уравнение
      Для этого построим два графика:
Ответ:
Абсциссы точек пересечения графиков и будет корнями уравнения.
Если графики пересекаются в двух точках, то уравнение имеет два корня.
Если графики пересекаются в одной точке, то уравнение имеет один корень.
Если графики не пересекаются, то уравнение корней не имеет.
1)y=x2
 2)y=x+1
Решение квадратных уравнений с помощью
циркуля и линейки
Корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0  (а ≠ 0) можно рассматривать
как абсциссы точек  пересечения окружности с центром Q (-     ;         ),
проходящей через точку  A(О; 1), и оси  Ох .

Решение квадратных уравнений с помощью номограммы
  Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 «Четырехзначные математические таблицы» Брадис В.М.

 Таблица  XXII. Номограмма для решения уравнения

Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.
Для уравнения
      номограмма дает корни

Геометрический способ решения квадратных уравнений
  В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически.
  А вот, например, как древние греки решали уравнение:

                                   или

Выражения                              и                    геометрически предоставляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение
                                                    одно и тоже уравнение.
Откуда и получаем что                        , или

Заключение
  данные приёмы  решения заслуживают внимания, поскольку они не все отражены в школьных учебниках математики;

 овладение данными приёмами поможет учащимся экономить время и эффективно решать уравнения;

 потребность в быстром решении обусловлена применением тестовой системы вступительных экзаменов;


title: Презентация на тему: Приращение функции

text:
Приращение аргумента.
Приращение функции.
МБОУ лицей №10 города Советска
Калининградской области
 учитель математики
Разыграева Татьяна Николаевна
900igr.net
	При сравнении значения функции f в некоторой фиксированной точке x₀ со значениями этой функции в различных точках x, лежащих в окрестности x₀, удобно выражать разность f(x) – f(x₀) через разность x – x₀, пользуясь понятиями «приращение аргумента» и «приращение функции».
	Пусть x – произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки x₀. Разность x – x₀ называется приращением независимой переменной ( или приращением аргумента) в точке x₀ и обозначается Δx. Таким образом,
Δx = x –x₀
откуда следует, что
x = x₀ + Δx.
	Говорят также, что первоначальное значение аргумента x₀ получило приращение Δx. Вследствие этого значение функции f изменится на величину
	f(x) – f(x₀) = f (x₀ +Δx) – f(x₀).
	Эта разность называется приращением функции f в точке x₀, соответствующим приращению Δx, и обозначается символом Δf (читается «дельта эф»), т.е. по определению
Δf = f (x₀ + Δx) – f (x₀)
откуда

 	f (x) = f (x₀ +Δx) = f (x₀) + Δf.
	При фиксированном x₀ приращение Δf есть функция от Δx. Δf называют также приращением зависимой переменной и обозначают через Δy для функции y = f(x) .
Пример №1.
	Найти приращение функции функции у = х² при
 переходе от точки х₀ = 1 к точкам : а) х = 1,1; б) х = 0,98
Решение:
а) f(1) = 1² = 1; f(1,1) = 1,1² = 1,21;
    y = f(1,1) - f(1) = 1,21 – 1 = 0,21
Δy= f (x₀ + Δx) – f (x₀)
б) f(1) = 1; f(0,98) = 0,98² = 0,9604;
   y = f(0,98) - f(1) = 0,9604 – 1 = - 0,0396.

	Функция y = f(x) непрерывна в точке
 х = а, если в точке х = а выполняется
 следующее условие:
      	     если  х  0, то  у  0.
Пример № 2.
Для функции y = kx + m найти: а) приращение функции
 при переходе от фиксированной точки х к точке х +  х;
 б) предел отношения приращения функции к приращению
 аргумента, при условии, что приращение аргумента
 стремится к нулю.
Решение.
Имеем:
f(x) = kx + m
f(x + x) = k(x + x)  + m
y = f(x + x) – f(x) = (k(x + x)  + m) – (kx + m)
y = (kx + kx  + m) – (kx + m) = k·x.
y = k·x.
Имеем:
Пример № 3.
Для функции y = x²  найти: а) приращение функции
 при переходе от фиксированной точки х к точке х +  х;
 б) предел отношения приращения функции к приращению
 аргумента, при условии, что приращение аргумента
 стремится к нулю.
Решение.
Имеем:
f(x) = x²
f(x + x) = (x + x)²
y = f(x + x) – f(x) = (x + x)² - x² =
= (x² + 2xx + (x)²) - x² = 2xx + (x)².
Получили:y = 2xx + (x)².
Итак, для заданной функции y = x² получили:


title: Презентация на тему: Приращение аргумента. Приращение функции

text:
Приращение аргумента.
Приращение функции.
МБОУ лицей №10 города Советска
Калининградской области
 учитель математики
Разыграева Татьяна Николаевна
	При сравнении значения функции f в некоторой фиксированной точке x₀ со значениями этой функции в различных точках x, лежащих в окрестности x₀, удобно выражать разность f(x) – f(x₀) через разность x – x₀, пользуясь понятиями «приращение аргумента» и «приращение функции».
	Пусть x – произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки x₀. Разность x – x₀ называется приращением независимой переменной ( или приращением аргумента) в точке x₀ и обозначается Δx. Таким образом,
Δx = x –x₀
откуда следует, что
x = x₀ + Δx.
	Говорят также, что первоначальное значение аргумента x₀ получило приращение Δx. Вследствие этого значение функции f изменится на величину
	f(x) – f(x₀) = f (x₀ +Δx) – f(x₀).
	Эта разность называется приращением функции f в точке x₀, соответствующим приращению Δx, и обозначается символом Δf (читается «дельта эф»), т.е. по определению
Δf = f (x₀ + Δx) – f (x₀)
откуда

 	f (x) = f (x₀ +Δx) = f (x₀) + Δf.
	При фиксированном x₀ приращение Δf есть функция от Δx. Δf называют также приращением зависимой переменной и обозначают через Δy для функции y = f(x) .
Пример №1.
	Найти приращение функции функции у = х² при
 переходе от точки х₀ = 1 к точкам : а) х = 1,1; б) х = 0,98
Решение:
а) f(1) = 1² = 1; f(1,1) = 1,1² = 1,21;
    y = f(1,1) - f(1) = 1,21 – 1 = 0,21
Δy= f (x₀ + Δx) – f (x₀)
б) f(1) = 1; f(0,98) = 0,98² = 0,9604;
   y = f(0,98) - f(1) = 0,9604 – 1 = - 0,0396.

	Функция y = f(x) непрерывна в точке
 х = а, если в точке х = а выполняется
 следующее условие:
      	     если  х  0, то  у  0.
Пример № 2.
Для функции y = kx + m найти: а) приращение функции
 при переходе от фиксированной точки х к точке х +  х;
 б) предел отношения приращения функции к приращению
 аргумента, при условии, что приращение аргумента
 стремится к нулю.
Решение.
Имеем:
f(x) = kx + m
f(x + x) = k(x + x)  + m
y = f(x + x) – f(x) = (k(x + x)  + m) – (kx + m)
y = (kx + kx  + m) – (kx + m) = k·x.
y = k·x.
Имеем:
Пример № 3.
Для функции y = x²  найти: а) приращение функции
 при переходе от фиксированной точки х к точке х +  х;
 б) предел отношения приращения функции к приращению
 аргумента, при условии, что приращение аргумента
 стремится к нулю.
Решение.
Имеем:
f(x) = x²
f(x + x) = (x + x)²
y = f(x + x) – f(x) = (x + x)² - x² =
= (x² + 2xx + (x)²) - x² = 2xx + (x)².
Получили:y = 2xx + (x)².
Итак, для заданной функции y = x² получили:


title: Презентация на тему: Производная функции 10 класс

text:
,
=
=
k.
=
=
7.

8.
7.
8.


title: Презентация на тему: Производная

text:
x
O
y
x0
f(x0)
x
f(x)
y=f(x)
x
O
y
f(x0)
f(x)
x0
x
y=f(x)
l
 y= kx+b
x
x
O
y
f(x0)
f(x)
x0
x
l
y=f(x)
x
O
y
f(x0)
x0
l
y=f(x)


title: Презентация на тему: Прогрессия

text:
900igr.net
a
b
n = 64
18 446 744 073 709 551 615
2,125
2,234
2,349
2,459
(1+0,05)n
b
b
1
n
=


Презентация на тему: Производная


title: Презентация на тему: Производная 10 класс

text:
-1
4
0
1
2
3
-3
3
+
-
1
5
+
-
+
-
-3
3
.
-2
1
4
5
8
10
.
-2
1
3
7
11
2
.


title: Презентация на тему: Прогрессии в жизни

text:
an-an-1=d;
an+1-an=d;
an-an-1=an+1-an
2an=an+1+an-1
bn:bn-1=d;
bn+1:bn=d;
bn:bn-1=bn+1:bn
bn2=bn+1·bn-1
a1, a2, a3, . . .
an+1=an+d
bn+1=bn ·q
bn = b1qn-1
q =bn+1:bn
an+1=an+d
bn+1=bn ·q
bn = b1qn-1
q =bn+1:bn
                               .
                               .
                                     .
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
11. un+m=un-1um+unum+1 (*)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
1/6
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
16
32
64
128
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
1/16
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
16
32
64
128
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
1/16
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
16
32
64
128
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
1/16
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
16
32
64
128
1/16
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
16
32
64
128
2-4
2-3
2-2
2-1
20
21
22
23
24
25
26
27
1/16
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
16
32
64
128
256
2-4
2-3
2-2
2-1
20
21
22
23
24
25
26
27
28
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8

1
7
6
5
4
3
2
1
7
6
5
4
3
2
3
7
6
5
4
1
2
3
7
6
5
4
1
2
3
7
6
5
4
1
2
3
7
6
5
4
1
2
b15 = 2·214 = 32 768
1
10 000 000
2
500 000
3
3 000
5
20
S64=264-1=
=18446744073704551615


title: Презентация на тему: Прогрессия - движение вперёд !

text:
a
b
n = 64
18 446 744 073 709 551 615
2,125
2,234
2,349
2,459
(1+0,05)n
b
b
1
n
=


Презентация на тему: Производная функции


title: Презентация на тему: Признаки делимости на 9 и 3

text:
Делимость чисел.
6 классматематика

Уроки № 6-7.
Признаки делимости на 9, и 3.
24.08.2011
1
www.konspekturoka.ru
Цели:
24.08.2011
2
www.konspekturoka.ru
познакомиться  с признаками делимости на 9,
	на 3;
научиться использовать признаки делимости 	при выполнении упражнений и решении задач;
развивать умение решать уравнения.

24.08.2011
www.konspekturoka.ru
3
Изучение нового материала.
Запишите:
2 трехзначных числа, делящихся на 9 и
 2 двухзначных числа, делящихся на 9.
Найдите сумму цифр этих чисел. Проверьте, делится ли она на 9.
- делится на 9.
- делится на 9.
- делится на 9.
- делится на 9.
24.08.2011
www.konspekturoka.ru
4
Изучение нового материала.
Какой вывод можно сделать?
Число, сумма цифр которогоделится на 9, делится на 9 и если число делится на 9, то сумма цифр делится на 9.
24.08.2011
www.konspekturoka.ru
5
Изучение нового материала.
Запишите четырехзначное число, сумма цифр которого делится на 9. Проверьте, делится ли оно на 9.
7893 : 9 = 877
7 + 8 + 9 + 3 = 27 : 9 = 3
На примере числа 35 742 обосновать признакделимости на 3.
©Кравченко Галина Михайловна
35 742 : 3 = 11 914
3 + 5 + 7 + 4 + 2 = 21 : 3 = 7
24.08.2011
6
www.konspekturoka.ru
Вывод.
Признаки делимости:
На 9
На 3
- сумма цифр делится на 9;
- сумма цифр делится на 3.
24.08.2011
7
www.konspekturoka.ru
Признаки делимости на 2, на 3, на 5 были известны с давних времен. Так, например, признак делимости на 2 знали древние египтяне во II в. до н.э., а признак делимости на 9 был известен грекам в III в. н.э.
	 Впервые признаки делимости были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардом Пизанским (1180—1240).
Историческая справка.
24.08.2011
8
www.konspekturoka.ru
Проверьте:
какие из чисел 3672, 5421, 24 047, 26 505, 111 333  делятся на 3?  Какие из них делятся на 9?
©Кравченко Галина Михайловна
Закрепление изученного материала.
24.08.2011
9
www.konspekturoka.ru
делятся на 3:
делятся на 9:
24.08.2011
www.konspekturoka.ru
10
Закрепление изученного материала.
Записать с помощью цифр 2, 4, 5, 1 по 2 четырехзначных  числа, которые делятся:
а) на 2;  б) на 5;  в) на 10;  г) на З;  д) на 9.
1524;  4512.
1425;  4215.
Нет таких.
Нет таких.
1524;  4512.
24.08.2011
www.konspekturoka.ru
11
Закрепление изученного материала.
 Записать наибольшее шестизначное число,  которое делится:а) на 2;  б) на 5;  ) на 10;  г) на 3;  д) на 9;  е) на 3 и на 5;
ж) на 5 и на 9.
а) 999 998 : 2
б) 999 995 : 5
в) 999 990 : 10
г) 999 999 : 3
д) 999 999 : 9
е) 999 975 : 5
     999 975 : 3
ж) 999 945 : 5
     999 945 : 9
24.08.2011
www.konspekturoka.ru
12
Решение упражнений
Задача. На двух полках 120 книг. Сколько книг на первой полке, если на ней в два раза больше книг, чем на второй полке?
Решение:
1) Пусть х (кн.) - стоит на 2-й полке,.
2х (кн.) - стоит на 1-й полке.
Зная, что на 2 полках вместе 120 книг, составим уравнение.
х + 2х = 120;
Зх = 120;
х = 120 : 3;
х = 40;
40 книг   стоит на 2-й полке,
2) 40 ∙ 2 = 80 (кн.) - стоит на 1 - й полке.
Ответ: 80 книг.
Как по записи натурального числа узнать, делится оно на 3, на 9 или не делится на 3, на 9?
Приведите примеры двухзначных чисел, кратных 3 и 9.
Итог урока.
24.08.2011
13
www.konspekturoka.ru


title: Презентация на тему: Производная

text:
900igr.net
x
O
y
x0
f(x0)
x
f(x)
y=f(x)
x
O
y
f(x0)
f(x)
x0
x
y=f(x)
l
 y= kx+b
x
x
O
y
f(x0)
f(x)
x0
x
l
y=f(x)
x
O
y
f(x0)
x0
l
y=f(x)


title: Презентация на тему: Производная функции в точке

text:
900igr.net

f(x)
0
0
  1
    2
   3
   4
1
   1
 -1
2
   -80
    80
 108
 -108
3
    0
  1
    1
   2
    3
     4
1

     +
2
    +

3

     +
1
2
3
4
1
+
2
+
3
+


Презентация на тему: Производная и ее применение (10 класс)


title: Презентация на тему: Прогрессии в жизни

text:
5klass.net
an-an-1=d;
an+1-an=d;
an-an-1=an+1-an
2an=an+1+an-1
bn:bn-1=d;
bn+1:bn=d;
bn:bn-1=bn+1:bn
bn2=bn+1·bn-1
a1, a2, a3, . . .
an+1=an+d
bn+1=bn ·q
bn = b1qn-1
q =bn+1:bn
an+1=an+d
bn+1=bn ·q
bn = b1qn-1
q =bn+1:bn
                               .
                               .
                                     .
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
11. un+m=un-1um+unum+1 (*)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
1/6
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
16
32
64
128
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
1/16
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
16
32
64
128
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
1/16
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
16
32
64
128
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
1/16
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
16
32
64
128
1/16
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
16
32
64
128
2-4
2-3
2-2
2-1
20
21
22
23
24
25
26
27
1/16
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
16
32
64
128
256
2-4
2-3
2-2
2-1
20
21
22
23
24
25
26
27
28
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8

1
7
6
5
4
3
2
1
7
6
5
4
3
2
3
7
6
5
4
1
2
3
7
6
5
4
1
2
3
7
6
5
4
1
2
3
7
6
5
4
1
2
b15 = 2·214 = 32 768
1
10 000 000
2
500 000
3
3 000
5
20
S64=264-1=
=18446744073704551615


title: Презентация на тему: Производная и ее геометрический смысл

text:
f(x)
0
0
  1
    2
   3
   4
1
   1
 -1
2
   -80
    80
 108
 -108
3
    0
  1
    1
   2
    3
     4
1

     +
2
    +

3

     +
1
2
3
4
1
+
2
+
3
+


title: Презентация на тему: Производная и её применение

text:
.

A
C
M
B
Y
0
B
A
M
T
C
X

A
B
D
P
A1
C
K
L
S
M
N
O
D1
C1
B1
24
6
4
A1
C1
C
A
O
S
4
4
D
C
B
A
24-x
L
P
x
K

 (I)

,
,
;
,
.


text:
A
C
M
B
Y
0
B
A
M
T
C
X


text:
y
0
f(x )
y
0
f(x )
y
0
f(x )
1
2


title: Презентация на тему: Производная и графики функций

text:
Prezented.Ru
y
x
x
x
x
y
y
y
x
x
x
y
y
y
1
2
3
4
5
6
(1; 4);  (3;  2);  (6;  5)
y
x
x
x
+
+
-
-
-2
2
0
y
x
-2
2

x
y
+
+
-
-
+
+
+
-
+
-
Prezented.Ru
y
x


title: Презентация на тему: Производная показательной функции

text:
www.thmemgallery.com
Company Logo
LOGO
www.thmemgallery.com
Company Logo
1
2
3
4
www.thmemgallery.com
Company Logo
www.thmemgallery.com
Company Logo
www.thmemgallery.com
Company Logo
www.thmemgallery.com
Company Logo
www.thmemgallery.com
Company Logo
www.thmemgallery.com
Company Logo
www.thmemgallery.com
Company Logo
www.thmemgallery.com
Company Logo
www.thmemgallery.com
Company Logo
www.thmemgallery.com
Company Logo
www.thmemgallery.com
Company Logo
www.thmemgallery.com
Company Logo
www.thmemgallery.com
Company Logo
www.thmemgallery.com
Company Logo
www.thmemgallery.com
Company Logo
www.thmemgallery.com
Company Logo


title: Презентация на тему: Производная сложной функции

text:
   1
3
4
2
1
6
8
5

                                           =               =                 =                +2=


text:
www.thmemgallery.com
Company Logo
LOGO
900igr.net
www.thmemgallery.com
Company Logo
1
2
3
4
www.thmemgallery.com
Company Logo
www.thmemgallery.com
Company Logo
www.thmemgallery.com
Company Logo
www.thmemgallery.com
Company Logo
www.thmemgallery.com
Company Logo
www.thmemgallery.com
Company Logo
www.thmemgallery.com
Company Logo
www.thmemgallery.com
Company Logo
www.thmemgallery.com
Company Logo
www.thmemgallery.com
Company Logo
www.thmemgallery.com
Company Logo
www.thmemgallery.com
Company Logo
www.thmemgallery.com
Company Logo
www.thmemgallery.com
Company Logo
www.thmemgallery.com
Company Logo
www.thmemgallery.com
Company Logo


Презентация на тему: Производная показательной, логарифмической и степпеной функци


title: Презентация на тему: «Производная функции» 10 класс

text:
5klass.net

A
C
M
B
Y
0
B
A
M
T
C
X


title: Презентация на тему: Производная степенной функции

text: Prezented.Ru


Презентация на тему: Производная степенной функции. Ее геометрический смысл


Презентация на тему: Производные


title: Презентация на тему: Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные

text:
Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные
Автор: Жагалкович Полина Сергеевна
Учебное заведение: МОУ Лицей№1 г.Комсомольск-на-Амуре
Адрес автора: Хабаровский край, с.п. «Село Хурба» ул.Добровольского, ДОС 2-10

                                      Руководитель: Будлянская Наталья Леонидовна

Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе. (М.И. Калинин)
Представление левой части неравенства в виде суммы неотрицательных слагаемых (правая часть  равна 0) с использованием тождеств.
	Пример 1. Доказать что для любого хϵR

	Доказательство. 1 способ.

2 способ.

				    для  квадратичной  функции
  что означает её положительность при любом действительном х.

для хϵR

для хϵR
для хϵR  		т. к.

для любых действительных х и у

Пример 2. Доказать, что для любых x и y

	Доказательство.

Пример 3. Доказать, что
	Доказательство.

Пример 4. Доказать, что для любых a и b
	Доказательство.

2. Метод от противного
Вот хороший пример применения данного метода.
Доказать, что                          для a, b ϵ R.
	Доказательство.
Предположим, что                        .
	Но				       ,что явно доказывает, что наше предположение неверно.

Ч.Т.Д.

Пример 5. Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство

	Доказательство. Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для неотрицательных А, В и С, так как будем иметь следующее отношения:
							  , что является обоснованием исходного неравенства.

	Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В и С, для которых выполняется неравенство

				       , что невозможно ни при каких действительных А,В и С. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.

для хϵR
для хϵR
Использование свойств квадратного трехчлена
Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена 		        , если
     и          .
Пример 6. Доказать, что
Доказательство.
Пусть 			, a=2, 2>0
				      =>

для хϵR

Пример 7. Доказать, что для любых действительных  х и у имеет место быть неравенство

Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
					 , а>0, D<0
D= 				            => P(x)>0                и
 				     верно при любых действительных значениях х и у.

Пример 8. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть  					 ,

Это означает, что		 для любых действительных у и неравенство
					  выполняется при любых действительных х и у.

для хϵR

Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z

Доказательство. Воспользуемся верным неравенством  для 	    ,	  ,
				 .

Получаем  исследуемое неравенство

для аϵR
Использование свойств функций.
Пример 10. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая:
Если а=b,то 			   верно
причем равенство достигается только при а=b=0.
2)Если
				,  	     на R =>
(        )* (         )>0, что доказывает неравенство

Пример 11. Докажем, что для любых

Доказательство.

		 на R.
Если 	        , то знаки чисел            и 	        совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>

Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел.
Пример 12. Доказать, что  для любого nϵN

Проверим истинность утверждения при
             - (верно)
2) Предположим верность утверждения при
(k>1)

*3

3) Докажем истинность утверждения при n=k+1.

Сравним             и         :			      ,

Имеем:

Вывод: утверждение верно для любого nϵN.

Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли

	Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.

Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического
					     , где
Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда

Рассмотрим частные случаи этой теоремы:

Пусть n=2,	      ,	        , тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3,	     ,   	       ,	        , тогда

Пример 13.  Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.

Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых 			;		  справедливо соотношение

Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид:					    . Для n=3 получим

Пример 14. Доказать, что для любых a,b,c ϵ R справедливо неравенство
Доказательство.  Запишем исследуемое неравенство в следующем виде:
Это заведомо истинное неравенство, так как является частным случаем неравенства Коши – Буняковского.
Пример 15. Доказать, что для любых a,b,c ϵ R справедливо неравенство
Доказательство. Достаточно записать данное неравенство в виде
							       и сослаться на неравенство Коши – Буняковского.

Неравенство Бернулли
Неравенство Бернулли утверждает, что если х>-1, то для всех натуральных значений n выполняется неравенство
Неравенство может применяться для выражений вида

Кроме того, очень большая группа неравенств может быть легко доказана  с помощью теоремы Бернулли.

Пример 16. Доказать, что для любых n ϵ N

Доказательство.			Положив х=0,5 и применив теорему Бернулли для выражения
		     , получим требуемое неравенство.
Пример 17. Доказать, что для любых n ϵ N

Доказательство.
					по теореме Бернулли, что и требовалось.

Давида Гильберта спросили об одном из его бывших учеников. "А, такой-то? - вспомнил Гильберт. - Он стал поэтом. Для математики у него было слишком мало воображения.


title: Презентация на тему: "Проценты"

text:
Презентация к уроку по теме « Проценты» в 5 классеурок №1презентацию подготовила учитель математики Манько Галина Васильевна МОБУ СОШ №14станица Журавская, Краснодарский край

Устные упражнения:
№1. 500        200        1400         73,1        220,6       4
№2.   1 км      1м          1ц             1а            1га
№3.  3 * 0,1                   87 : 0,1                  12 * 0,01                   10 : 0,01
            51 * 0,01              1,26 : 0,0001        2, 345 : 0,0001           14.8 * 0,1

Историческая справка
Проценты как и дробные числа, появились в математике давно: первые сведения о процентах и первые таблицы процентов археологи нашли в клинописных табличках Древнего Вавилона. Пользовались процентами в Древней Индии и Древнем Риме- главным образом в торговле, при взимании налогов и в других денежных отношениях. В Европе первые таблицы процентов создал Симон Стевин- тот самый учёный, который ввёл в математику десятичные дроби. А сам символ % произошёл, как полагают учёные, от латинского слова  centum  - сто. Это слово в записях постепенно сокращалось, пока не приобрело привычный нам вид.

Работа по теме урока.
 Что называют процентом?
 Как обратить десятичную дробь в проценты?
 Как перевести проценты в десятичную дробь?

Упражнение 1561
1% =  0,01
6 % = 0,06
45 %= 0,45
123%= 1,23
2,5% = 0,025
0,4% = 0,004
Упражнение 1562
0,87=  87 %
0,07 =  7 %
1,45 = 145 %
0,035 =  3,5 %
2,672 = 267,2 %
0,907 = 90,7%
Упражнение № 1564

Группе  художников надо расписать 2300 фарфоровых чашек. 1 % чашек они уже расписали. Сколько чашек расписали?
(Ответ: 23 чашки)
В новом доме 800 квартир. Организации выделили 1 %  всего количества квартир. Сколько квартир выделили этой организации?
( Ответ: 8 квартир)
В магазин привезли 1800 фруктов. До обеда продали 1 % всех фруктов. Сколько килограммов фруктов было продано до обеда?
( Ответ: 18 килограммов)
В библиотеке 25000 книг. Книги по компьютерной грамотности составляют 1 % от всего количества книг. Сколько книг по компьютерной грамотности в библиотеке?
( Ответ: 250 книг)

Самостоятельная работа.
1) вырази в %:  0,11      0,87           0,08        5,7        1.9
     2) представь в виде десятичных дробей:
     10 %           7 %          130%            14%            22,7%
     3) задача: Беговая дорожка на школьном стадионе составляет 2000 м. Сколько метров составляет 1% этой длины?

Ответы для самостоятельной работы:

1) 11% ; 87%; 8%;   570% ;   190%
2) 0,1;  0,07;   1,3;    0,14;     0,227
3) 20 м.

ИТОГ    УРОКА
Как обозначают проценты?
 - Что такое процент?
   - Найдите 1 %
 от 300; 500;1300;  47000.
Домашнее задание: п.40, №1598, 1599, 1596.


title: Презентация на тему: Применения матриц в экономике

text:
Тема: Применения матриц в экономике
Рахмонов Д.
Прямоугольная  таблица из m,  n чисел, содержащая  m – строк  и   n – столбцов, вида:

называется     матрицей  размера    m  n
Числа, из которых составлена матрица, называются  элементами матрицы.
Положение элемента аi j  в матрице характеризуются двойным индексом:
	первый  i – номер строки;
	второй  j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент.
 Сокращенно матрицы обозначают заглавными буквами: А, В, С…
Коротко можно записывать так:

МАТРИЦЫ ОДИНАКОВОГО РАЗМЕРА МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ И ВЫЧИТАТЬ

ВОЗМОЖНОСТЬ УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦЫ НА МАТРИЦУ

   МАТРИЦУ A, ЗАПИСАННУЮ СЛЕВА, МОЖНО УМНОЖИТЬ НА
МАТРИЦУ B, ЗАПИСАННУЮ СПРАВА, ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ЧИСЛО СТОЛБЦОВ МАТРИЦЫ A РАВНО ЧИСЛУ СТРОК МАТРИЦЫ B

Понятие матрицы часто используется в практической деятельности.
Например, данные о выпуске продукции нескольких видов в каждом квартале года или нормы затрат нескольких видов ресурсов на производство продукции нескольких типов и т.д. удобно записать в виде матриц.
В некоторой отросли m заводов выпускают n типов продукции. Матрица Amxn- задает объемы продукции на каждом заводе в первом квартале, матрица Bmxn-соответственно во втором;
(aij, bij) - объемы продукции j–го типа на i–м заводе
в 1-м и 2-м кварталах соответственно:

Найти:
а) объемы продукции;
б) прирост объемов производства во втором квартале по сравнению с первым по видам продукции и заводам;
в) стоимостное выражение выпущенной продукции за полгода (в долларах),      если	 –курс доллара по отношению к самону.

а) Объемы продукции за полугодие определяются суммой матриц А и В, т.е.
С=А+В =
где сij=аij+bij–объем продукции j–го типа, произведенный за полугодие i–м заводом
б) Прирост во втором квартале по сравнению с первым определяется разностью матриц:

D=B-A =
Отрицательные элементы dij показывают, что в данной заводе i объем производства j–го продукта уменьшился;
Положительные dij–увеличился;
Нулевые dij–не изменился
в) Произведение                                                                  дает выражение стоимости объемов производства за квартал в долларах по каждому заводу и каждому предприятию:

Предприятие производит  n типов продукции, объемы выпуска заданы матрицей  A1xn. Цена реализации единицы i-го типа продукции в j-м регионе задана матрицей Bnxk, где k-число регионов, в которых реализуется продукция
Найти C-матрицу выручки по регионам.

A1x3 =(100, 200, 100);
Выручка определяется матрицей C1xk = A1xn x Bnxn
причем                              – это выручка
предприятия в j–м регионе:

 Спасибо за внимание


title: Презентация на тему: Производные

text:
f(x)
x
f(x)
f(x)


title: Презентация на тему: Пропорции

text: a : b = c : d


title: Презентация на тему: Признаки делимости на 10, 5 и 2

text:
Делимость чисел.
6 классматематика

Уроки № 4-5.
Признаки делимости на 10, 5 и 2.
22.08.2011
1
www.konspekturoka.ru
Цели:
22.08.2011
2
www.konspekturoka.ru
ознакомиться  с признаками делимости на 10, на 5, на 2;
 ввести определение четных и нечетных чисел;
 повторить порядок действии;
учить использовать признаки делимости 	при выполнении упражнений и решении задач.

Умножим 147∙10 = 1470 (число оканчивается нулем).
Какой вывод можно сделать?
Проверьте, делятся ли числа 283 на 10 и
 548 на 10.
Поэтому всякоенатуральное число, оканчивающееся цифрой 0, делится безостатка на 10..
Если последняя цифра в записи натурального числа отлична от нуля, то это число не делится без остатка на 10.
22.08.2011
3
www.konspekturoka.ru
Изучение нового материала.
Найдите значения выражений:
 23 400 : 10;                    547 890 :10;62 370 : 10;                     568 300 : 10.
283 : 10;              548 : 10;
Признаки делимости:
На 10
На 5
На 2
натуральное число оканчивается цифрой 0;
натуральное число оканчивается цифрой 0 или 5;
натуральное число оканчивается цифрой 0, 2, 4, 6, 8 (четные);
Числа, делящиеся без остатка на 2, называются четными, а числа, которые при делении на 2 дают остаток 1, называются нечетными.
22.08.2011
4
www.konspekturoka.ru
Изучение нового материала.
Красным выделены четные числа, то есть числа,
которые без остатка делятся на 2;синим — числа, которые делятся без остатка на 5;
обоими цветами — числа, которые делятся без остатка на 10;
Не делятся на 2 и 5:     1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 27, 29.
Запишите натуральные числа от 1 до 30 в порядке
возрастания и подчеркните красным каждое второе
число, а синим – каждое пятое.  Какие числа окажутся
Подчеркнуты красным карандашом, какие – синим?
Какие числа подчеркнуты обоими цветами?
Назовите числа, не делящиеся  ни на 2, ни на 5.
Ответ:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16,17,
18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30.

22.08.2011
5
www.konspekturoka.ru
Закрепление нового материала.
Вспомним признаки делимости на 10, 5, 2.
Ответ:
Какие из чисел 200, 320, 3000, 50 000, 861, 76 540 делятся на
100? Какие из них делятся на 1000? Сформулируйте признаки
делимости на 100,  на 1000.
На 100 делятся: 200, 3000, 50 000;
На 1000 делятся: 3000, 50 000.
Правило:
На 100 делятся числа, оканчивающиеся двумя и более нулями;
На 1000 делятся числа, оканчивающиеся тремя и более нулями.

22.08.2011
6
www.konspekturoka.ru
Изучение нового материала.
Подтвердите примерами следующие свойства суммы:
а) Если каждое слагаемое кратно числу а, то и сумма кратна числу а.
Ответ:
32 кратно 8,  56 кратно 8,  88 кратно 8, следовательно, (32 + 56 + 88) кратно 8, т. е.
(32 + 56 + 88) : 8 = 176 : 8 = 22.
б) Если только одно слагаемое  суммы не кратно числу а, то  и сумма не кратна числу а.
Ответ:
15 кратно 5,  35 кратно 5, 18 не делится 5, следовательно, (15 + 35 + 18) не делится на 5;
т. е. (15 + 35 + 18): 5 = 68 : 5 = 13 (ост. 3).
22.08.2011
7
www.konspekturoka.ru
Купили 5 одинаковых  коробок цветных карандашей.
Может ли в них оказаться всего 92 карандаша?
90 карандашей? 75 карандашей?
Ответ:
92 карандаша не может, так как 92 не делится на 5
 без остатка,
90 и 75  может, так как 90 : 5 = 18; 75 : 5 = 15.
22.08.2011
8
www.konspekturoka.ru
Закрепление нового материала.
32 яйца Коля принести не может, так как число 32 не делится на 10 без остатка.
Коля принес 50 яиц, так как 50 : 10 = 5, без остатка.
Решение.
Коля принес несколько коробок с яйцами, по10 яиц в каждой коробке. Может ли быть, что он принес 32 яйца? 43 яйца? 50 яиц?
22.08.2011
9
www.konspekturoka.ru
Вспомните правила выполнения действий.
Назовите порядок действий  в задании:
a ∙ b² + c ∙ d³ - e² :  f + k³.
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
22.08.2011
10
www.konspekturoka.ru
Повторение
 Какие дроби называются правильными?  Какие дроби — неправильными?
Какие из дробей являются правильными
 и какие неправильными ?

22.08.2011
11
www.konspekturoka.ru
Повторение
Решение:
2 способ (арифметический):
1) 85,25 + 2,75 = 88;
 2) 88 : 11 = 8;
1 способ (алгебраический):Пусть  х - задуманное число.
х ∙ 11 - 2,75 = 85,25;
х ∙ 11 = 85,25 + 2,75;
х ∙ 11= 88;
х = 88 : 11;
х = 8;         8 - задуманное число.
Ответ: 8.
Я задумал число. Если его увеличить в 11 раз и результат уменьшить на
2,75, то получится 85,25. Какое число я задумал?
22.08.2011
12
www.konspekturoka.ru
Повторение
Итог урока.
Как по записи натурального числа определить, делится ли оно без остатка на 10 или не делится на 10?
Как по записи натурального числа определить, делится ли оно без остатка на 5 или не делится на 5?
Как по записи натурального числа определить, делится ли оно без остатка на 2 или не делится на 2?
22.08.2011
13
www.konspekturoka.ru


title: Презентация на тему: Пропорции

text:
0,6
0,75
0,05
11,1
0,8
0,5
0,4
0,04
0,03
0,7
4,4
0,125
0,25
: 10
: 28
× 100
70
0,7
19,6
294
:15
2940
0,02
0,08
0,68
3,748
0,392
3,85
0,25
0,387
0,54
4,85
0,25
5,793
0,05
 0,04


Презентация на тему: Производные тригонометрических функций


title: Презентация на тему: Пропорция

text:
900igr.net

1
2
3
9
6
12
11
10
8
7
4
5

20%
?


title: Презентация на тему: Простейшие преобразования графиков функций

text:
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
4
1
0
1
4
9
16
25
36
16
9
4
1
0
1
4
9
16
-3
-2
-1
0
1
2
3
9
4
1
0
1
4
9
x2 + 1
10
5
2
1
2
5
10
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
8
3
0
-1
0
3
8


title: Презентация на тему: Простейшие тригонометрические уравнения

text:
900igr.net

a
arcsin a
x
y
0
1
-1

a
arccos a
x
y
0
1
-1

x
y
0
1
-1
a
arctg a


title: Презентация на тему: Простые числа

text:
100
99
98
97
96
95
94
93
92
91
90
89
88
87
86
85
84
83
82
81
80
79
78
77
76
75
74
73
72
71
70
69
68
67
66
65
64
63
62
61
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
                   49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
997
853
701
571
433
307
181
73
991
839
691
569
431
293
179
71
983
829
683
563
421
283
173
67
977
827
677
557
419
281
167
61
971
823
673
547
409
277
163
59
967
821
661
541
401
271
157
53
953
811
659
523
397
269
151
47
947
809
653
521
389
263
149
43
941
797
647
509
383
257
139
41
937
787
643
503
379
251
137
37
929
773
641
499
373
241
131
31
919
769
631
491
367
239
127
29
911
761
619
487
359
233
113
23
907
757
617
479
353
229
109
19
887
751
613
467
349
227
107
17
883
743
607
463
347
223
103
13
881
739
601
461
337
211
101
11
877
733
599
457
331
199
97
7
863
727
593
449
317
197
89
5
859
719
587
443
313
193
83
3
857
709
577
439
311
191
79
2
2,8
279 238 341 033 925
 1016
3,2
3 204 941 750 802
  1014
3,8
37 607 912 018
 1012
4,6
455 052 511
 1010
5,8
5 761 455
108
7,8
78 498
106
12,3
1 229
104
25
25
102
%
N


Презентация на тему: просто


Презентация на тему: Проверка качества уравнения регрессии


title: Презентация на тему: Прыжковая проводимость

text:
U(r) =
  0,	r > a
-U0,	r < a
H.Fritzsche, M.Guevas,
PR 119, 1238 (1960)
H.Fritzsche, M.Guevas,
PR 119, 1238 (1960)
R. Ray, H.Fan,
PR 121, 768 (1961)
n-GaAs    1.7   1.88   1.9
n-InP        1.9
p-Ge         1.9   1.75   2.0
p-Si           1.8
ej
ei
R. Mansfield, S. Abboudy,  F. Foozoni,   Philos.Mag. B 57, 777 (1988)
R. Rentzsch, K.J. Friedland,  A.N. Ionov, et al.,
phys. stat. solidi b 137, 691 (1986)
W.N. Shafarman, D.W.Koon,  T.G. Castner,
PRB 40, 1216 (1989)
P. Dai, Y. Zhang,  M.P. Sarachik,   PRL 69, 1804 (1992)
J.G. Massey, M. Lee,
PRL 75, 4266 (1995)


title: Презентация на тему: Путешествие в страну дробных чисел

text:
_3     |_4___
  0       0,75
_30
  28
  _20
    20
      0


title: Презентация на тему: «Производные» 10 класс алгебра

text:
5klass.net
D

0
F
G
H
0
a
b

D
F
G
H
K
X
Y
0
y
b
0
x
y
Y=g(x)
a
b
0
x

0
b
0
0
0
a
b
a
b
0

0

0


title: Презентация на тему: Противоположные числа

text:
0
5
1
-3
-6
6
8
0
1
-3
-6
6
5
8
0
1
-3
-6
6
5
8
0
1
-3
-6
6
5
8
17
-17
-46
46
53,6
-53,6
-8,2
8,2
0
0
5,2
-5,2
-3,8
-8,1
3,8
8,1
-0,4
0,4
 - (- m) = m
-(-4)=*
4
5,1= - *
-5,1
- (-3,7)=  *
3,7
-(-*)=7
7
0= - *
0
- (-*)= -3
-3
-32
-32
32
32
-32
-32


text:
0,005         ½
%
%

1)
                                  2)
                                  3)
                                  4)
                                  5)

¾ + ¼

  ½ + ¾
=1


Презентация на тему: Работа с множествами


title: Презентация на тему: Производные тригонометрических функций (10 класс)

text:
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение«Средняя общеобразовательная школа № 12 с углубленным изучением отдельных предметов»
Тема урока: «Производные тригонометрических функций»

Автор: учитель математики Гулова Римма Ивановна

г.Старый Оскол
2011г.
Ввести формулы производных тригонометрических функций
 рассмотреть методы решения упражнений на применение изученных правил дифференцирования; вырабатывать умения и навыки учащихся в решении заданий на применение знаний правил вычисления производных тригонометрических функций.
Воспитание и развитие логического мышления учащихся.

Цели урока:
1.Орг. момент.
2.Актуализация опорных знаний учащихся.
3.Изучение нового материала.
3.1.Формула производной синуса
3.2.Формулы дифференцирования косинуса, тангенса и котангенса.
4.Закрепление изученного материала:
4.1. Работа у доски и на местах. Решение упражнений из учебника .
4.2.Работа в группах.
5.Подведение итогов урока.
6.Домашнее задание.

План урока
Написать на доске чему равна производная:
 числа
переменной «х»
выражения kx + b
суммы функций
произведения двух функций
частного двух выражений
степенной функции
сложной функции

Актуализация опорных знаний учащихся:
Формулы вычисления производных
1)Формула производной синусаДокажем, что производная синуса имеет такой вид:
Вспомним определение производной:

Воспользуемся формулой суммы и разности тригонометрических функций :
Для вывода формулы производной синуса достаточно показать, что:
Действительно, опираясь на эти утверждения, при Δх → 0 можно получить формулу:
Формулы дифференцирования косинуса, тангенса и котангенса
Работа в группах:Найти производные данных функций
Что чувствовали сегодня на уроке?
С какими трудностями вы встретились?
Кому было трудно? Почему? Что ты сделал, чтобы преодолеть эту трудность?
Что тебе помогло? (Опорные конспекты, подсказки товарищей…)
Подведение итогов урока
Пункт 17 ,
№ 235, 236 (а, б).
Домашнее задание:
Литература:Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 10—11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; под. ред. А. Н. Колмогорова. — М.: Просвеще ние, 2008. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа   для 10 класса / Б. М. Ивлев, С. М. Саакян, С. И. Шварцбурд. - М.: Просвещение, 2008.


title: Презентация на тему: Применение производной к исследованию функций

text:
презентация учителя математики
 Верхнегерасимовской СШ І-ІІІ ступеней
Горбань Натальи Геннадиевны
 Применение производной к исследованию функций
Понятие «производная» возникло в XVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики.
Готфрид Вильгельм фон Лейбниц
Иcаак Ньютон
25 декабря 1642 — 20 марта 1727
1 июля 1646 — 14 ноября 1716,
2
	Используя методы дифференциального исчисления английский астроном, математик Эдмон Галлей ещё в XVII веке предсказал возвращение кометы Галлея.
(что, увы, было уже после его смерти). Комета действительно возвратилась, как было предсказано, и позже была названа в его честь.
Комета Галлея вернется во внутреннюю Солнечную систему в следующий раз в 2061 году.
В 1705 году Эдмонд Галлей предсказал, что комета, которую наблюдали в 1531, 1607 и 1682 годах, должна возвратиться в 1758 году
3
Найти производную функции
Разминка

4
Признак возрастания и убывания функции

=
5

6

По характеру изменения графика функции укажите, на каких промежутках производная положительна, на каких отрицательна. Каждая из функций определена на R
Ответ:

7
По графику производной функции
 	 определите промежутки возрастания и промежутки убывания функции
Ответ:
1

8
На рисунке изображен график дифференцируемой функции      y = h(x). Определите знак производной функции на промежутках

-2
3
-5
5
1

9
Укажите критические точки функции                 , используя график производной функции                    		.
Ответ:

1
1
-1

0
х
у
-1

у
х
1
0
-1
1
-1
y=f(x)

y=g(x)
    Касательная в таких точках графика параллельна оси ОХ, а поэтому производная в этих точках равна 0;
	Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или производная не существует, называются критическими.
10
	Касательная в таких точках графика не существует, а поэтому производная в этих точках не существует.

производная равна нулю
(стационарные точки)
критические точки
производная не существует
максимума
«+» на «-»

минимума
«-» на «+»

перегиба
знак
не меняется

максимума
«+» на «-»

минимума
«-» на «+»

излома
знак
не меняется

плавные линии
угловатые линии
точка
точка
точка
точка
точка
точка

11
Достаточное условие существования экстремума функции:
Если при переходе через критическую точку х0 функции f(x) ее производная меняет знак с «+» на «-», то х0 – точка максимума функции f(x).

 Если при переходе через критическую точку х0 функции f(x) ее производная меняет знак с «-» на «+», то х0 – точка минимума функции f(x).

3)     Если при переходе через критическую точку х0 функции f(x) ее производная не меняет знака, то в точке х0  экстремума нет.

12
	Исследование функций с помощью производной и построение графиков функций.
Схема исследования функции
Найти область определения функции;
Исследовать функцию на четность, нечетность, периодичность;
Найти точки пересечения графика функции с осями координат;
Исследовать функцию на монотонность, то есть найти промежутки возрастания и убывания функции;
Найти точки экстремума и экстремальные значения функции;
Построить график функции.
14

x
1
2
3
4
5
-1
-2
-4
-1
-2
1
-3
-5

0

возрастает
возрастает
убывает

Построить эскиз графика функции, зная, что
y

-4
15
Образец выполнения работы.
Оформление работы учеником.
а)            ;
б)

в)  критические точки:  -        ; 1.
г) по результатам исследования  составляем таблицу:

д) строим график функции:

1     3
х
у
                   -5         -2
3
-7
16
Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений
Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x) на отрезке [a;b]
		Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции f(x) на промежутке [a;b], нужно
вычислить её значения f(a) и  f(b) на концах данного промежутка
 вычислить её значения  в критических точках, принадлежащих этому промежутку
 выбрать из них наибольшее и наименьшее.
Записывают так:  max f(x) и  min f(x)
				     [a;b]           [a;b]
18


title: Презентация на тему: Пропорции

text:
Классная работа.Пропорции.

11.01.13

Пропорция – это равенство двух отношений.
Основное свойство пропорции.
В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов.

Решение уравнений с помощью пропорций.
Как найти неизвестный крайний член пропорции?

   Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, надо произведение средних членов разделить на известный крайний член.
Как найти неизвестный средний член пропорции?

   Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, надо произведение крайних членов разделить на известный средний член.
Пример 1.
Пример 2.
Ответ: 2,1
Самостоятельная работа.
Ответы

№ 768
Домашнее задание.
Повторить определение пропорции и основное свойство пропорции.
№777,781(б), 765


Презентация на тему: Рациональные числа 8 класс