title: Презентация на тему: Дробные выражения (6 класс)

text:
270-214            1000:25            6-1,2
      :28                     ·15              :8
      ·37                     :120            · 10
      +26                    · 180            · 5
  ______             ________       ______
     100
                                    900
                                                               30

34+12
3-1,5
7,7
1,1
16b
15a
4
5
4d
3a
 3a-2b
6,7x+y
1,2
5,6
9+3


title: Презентация на тему: Дробные рациональные уравнения

text:
.

S
V
t


title: Презентация на тему: Движения графиков функций

text:
y
o
y=f(x)
f(x)		f(x+a)
y
1
y=x2
3
f(x)		f(x) + b
y
y=x2
-3
1
f(x)		- f(x)
y
1
y=x2 - 4
-4
4
f(x)		 f(|x|)
y
-4
2
4
-2
-4
f(x)		| f(x)|
y
-1
3
-4
4


Презентация на тему: Движение плоскости


Презентация на тему: Экскурсия в историю математики


title: Презентация на тему: Единицы площади

text:
?
-
-
:
(
)
892


title: Презентация на тему: Экономический смысл производной

text:
900igr.net
0
0
1
4
2
10
3
13
4
15
5
16
0
0
0

4
6

3
2
1
1
4
4
2
10
5
3
13
4,33
4
15
3,75
5
16
3,2


Презентация на тему: Доли. Обыкновенные дроби


title: Презентация на тему: Экстремум функции двух переменных

text:
1
2
1
2
3
4


title: Презентация на тему: Экстремум функции

text:
900igr.net
P=f(v)
P
0
   V
I=f(u)
I
0
 u
I=f(t)
  i
0
t
P=f(t°)
Po
 P
0
t°
    i
  t
       0                  x1                       x2                  x
y
      y1
    y2
y=f (x)
       0          x1                       x2                         x
y
      y2
    y1
y=f (x)

0
x0
x
y
f(x0)
0
x0
x
y
f(x0)
    0    x0          x1                  x2       x3                 x
y=f (x);
f(x3)>f(x0).
y
f(x3)
 f(x0)

 X
 Y
 -7
  3
-3
-1
 5
 2
  ( -7 ; -3 )
( -3 ; 5 )
  x
   +           0              -             0            +          0          -
 y'           +          0           -            0            +            0            -


title: Презентация на тему: Экстремум функции

text:
1
2
1
2
3
4
1
2
3
4
3


title: Презентация на тему: Экзаменационная работа по алгебре ГИА – 2010

text:
0,08; 0,0801; 0,108;
0,108; 0,0801; 0,08;
0,08; 0,108; 0,0801;
0,0801; 0,08; 0,108;

         ;                                       3.               ;

              ;                                     4.                             ;
          ;

-        ;

 -       ;

   -     ;

210;
215;
225;
250;
 - 4,5;
 - 5;
 - 5,5;
 - 11;
-6;
 6;

    ;

-   ;


title: Презентация на тему: Экзаменационная работа по алгебре, 9 класс (демонстрационный вариант)

text:
1
2
3
4
5
6
30,1
27,3
28,9
28,5
27,8
24,3

.
?
1
1
1
-1
1
1
-3
1
2
1
4
6
0


Презентация на тему: ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ


Презентация на тему: Экзамен по алгебре 9 класс


Презентация на тему: Элементы линейной и векторной алгебры


title: Презентация на тему: Элементарные функции

text:
y=e2x
y=x3
y=32
y=x0,5
y=53x+1
y=ln x + 1
y=lg x
y=log2x


title: Презентация на тему: «Десятичная запись дробных чисел».

text:
Муниципальное образовательное учреждениесредняя общеобразовательная школа №43
Десятичная запись дробных чисел
Якименко Марина Александровна
учитель математики
Десятичная запись дробных чисел
Образовательные: организовать работу учащихся по изучению  первичному закреплению понятия «десятичная дробь», алгоритма записи десятичных дробей, формировать умение читать и записывать десятичные дроби, формировать навыки записи обыкновенных дробей в виде десятичных и десятичных в виде обыкновенных.
Развивающие: развивать у учеников математическую речь, логическое мышление, способствовать развитию самостоятельности, умению оценивать свою работу.
Воспитательные: воспитывать интерес к математике, дисциплинированность, ответственное отношение к учебному труду.
Предмет: МатематикаТема: Десятичная запись дробных чиселКласс: 5 классПредварительные знания: Понятие «обыкновенные дроби», сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, правильные и неправильные дроби.

Заметки к уроку:
Повторить понятие обыкновенной дроби.
Ознакомить учащихся с понятием «десятичная дробь» и дать объяснение нового материала.
Закрепить изученный материал, используя различные дидактические игры на уроке.

Запишите обыкновенные дроби
Чтение и запись десятичных дробей

Нажмите на кубик и прочитайте десятичные дроби

0,873
13,62
60,06
0,08
0,3485
120,16
8,0873
555,5
3,333
Запишите число в виде десятичной дроби
20,3 - двадцать_________ и три ____________
2,03 - ______________ и три _______________
0,007 - __________ целых и семь ___________
42,06 - _______________________ целых  и
            шесть __________
5,004 - ________ целых и четыре____________
0,01 - _________ целых и _________ сотая
34,0006 - __________________ целых и
             шесть_________________________

Заполните пропуски
Проверка
20,3 – двадцать   целых    и     три  десятых
2,03 –          две           и    три       сотых
0,007 - нуль          целых и семь   тысячных
42,06 –           сорок две                целых  и
            шесть    сотых
5,004 –    пять    целых и четыре  тысячных
0,01 –    нуль    целых и     одна      сотая
34,0006 –    тридцать четыре    целых и
             шесть      десятитысячных
ё

Разбить на 2 столбика предложенные числа
71,82            35,51                70,64               3/2
406/21          5/37                  5,003              68,004
25/60            52/805              0,005              108,53
73/5              32/306              8,603              65/4
Проверка
Разложить число 65,931 по разрядам
5
9
1
3
6
Расположите числа в порядке возрастания
 0,583      0,832       0,0916       0,10946
0,2         0,0057         0,28         0,201
0,0057
0,0916
0,10946
0,2
0,201
0,28
0,583
0,832
Расположите числа в порядке убывания
 0,8756        0,98456          0,79012            0,50678     0,3066         0,90876            0,578                0,358
0,98456
0,90876
0,8756
0,79012
0,578
0,50678
0,358
0,3066
Десятичная запись дробных чисел
1. Уравнять, если необходимо, число цифр в числителе с числом нулей в знаменателе
2. Записать целую часть (она может быть равна нулю)
3. Поставит запятую, отделяющую целую часть от дробной части
4. Записать числитель дробной части

Запишите обыкновенные дроби в виде десятичных и десятичные в виде обыкновенных
0,023
0,9
7,03
4,3
0,45                   0,07                  4,11                12,02

Физкультминутка
Запишите  в виде десятичных дробей
5,06
4,03
2,9
4,047
30,02
0,71
0,0005
2,01
0,3
51,032
0,027
0,004
Ответьте на вопросы
1. Между какими разрядами в записи десятичной дроби ставится запятая?
2. Что обозначает число, записанное до запятой?
3. Что обозначает число, записанное после запятой?
4. Как определить, сколько знаков должно быть после запятой?
5. Сколько знаков будет после запятой, если знаменатель 1000?
Какие из этих дробей можно представить в виде десятичных?

Какому дробному числу соответствует по-новому записанное число?
0,06

Какому дробному числу соответствует по-новому записанное число?
59,005
Какому дробному числу соответствует по-новому записанное число?
63,001
Какому дробному числу соответствует по-новому записанное число?
14,0807
Какому дробному числу соответствует по-новому записанное число?
0,385
Какому дробному числу соответствует по-новому записанное число?
7,8
Какому дробному числу соответствует по-новому записанное число?
1,702
Какому дробному числу соответствует по-новому записанное число?
31,696
Какому дробному числу соответствует по-новому записанное число?
2,03

Ответить на вопросы

Выбрать правильный вариант ответа
Как записывается число одиннадцать целых пять тысячных?
11,005
11005
11,500
11,0005
А
В
С
D
Выбрать правильный вариант ответа
В каком разряде числа 1,020345 записана цифра 3?
В разряде сотых
В разряде тысячных
В разряде десятитысячных
В разряде стотысячных
А
В
С
D
Выбрать правильный вариант ответа
Какое из следующих чисел является наименьшим?
0,5
0,105
0,25
0,125
А
В
С
D
Выбрать правильный вариант ответа
Укажите верное равенство?
0,056 м = 56 см
0,056 м = 5,6 см
0,056 м = 0,56 см
0,056 м = 560 см
А
В
С
D
Выбрать правильный вариант ответа
Выразите в килограммах: 1 кг 70 г?
1,7 кг
1,007 кг
1,07 кг
1070 кг
А
В
С
D
Выбрать правильный вариант ответа
При подстановке какой из цифр 0,1,2 или 3 вместо звездочки (*) неравенство 6,*7>6,27 окажется верным
2
0
3
1
А
В
С
D
Тест по математике
Десятичная запись числа
1. Укажите верную запись числа «три целых пять сотых»
3,50
3,003
3,05
А
В
С
3,05
2. Запишите дробь 6/1000 в виде десятичной дроби
0,006
0,600
0,06
А
В
С
0,006
3. В каком разряде числа 7,1407 стоит цифра 4?
десятых
сотых
тысячных
А
В
С
сотых
4. Какая цифра стоит в разряде десятых числа 86,3042?
3
0
6
А
В
С
3
5. Выразите в дециметрах 3 дм 1 см
3,01 дм
3,001 дм
3,1 дм
А
В
С
3,1
6. Выразите в килограммах 5 кг 67 г
5,67
56,067
56,7
А
В
С
56,067
7. Выразите в тоннах и килограммах 24,300 т
24 т 3 кг
24 т 30 кг
24 т 300 кг
А
В
С
24 т 300 кг
8. Выразите в метрах и сантиметрах 2,09 м
20 м 9 см
2 м 9 см
2 м 90 см
А
В
С
2 м 9 см
9. Какая цифра стоит в разряде десятых в записи числа 23,456?
4
5
3
А
В
С
4
10. Укажите верную запись семь целых пять тысячных
7,05
7,5
7,005
А
В
С
7,005
На уроке я работал….
Своей работой на уроке я…
Урок для меня показался…
За урок я…
Моё настроение….
Материал урока мне был…
Домашнее задание мне кажется…
активно
пассивно
стало хуже
не устал
устал
доволен
не доволен
стало лучше
скучен
бесполезен
трудным
легким
интересен
полезен
коротким
длинным
Рефлексия
Спасибо за внимание!!!


Презентация на тему: Элементы алгебры


title: Презентация на тему: Элементы математической статистики

text:
1
2
3
5
0,4
0,2
0,3
0,1
xi
1
4
5
7
ni
20
10
14
6
10-12
2
12-14
6
14-16
11
16-18
7
18-20
5


Презентация на тему: Элементы комбинаторики


title: Презентация на тему: Элементы теории вероятностей

text:
5klass.net
0! = 1
1! = 1
2! = 1·2 = 2
3! = 1·2·3 = 6
4! = 1·2·3·4 = 24
5! = 1·2·3·4 ·5 = 120
6! = 1·2·3·4 ·5 ·6 = 720
4! = 24
7! = 5040
3! = 6
5! · 5! = 120 · 120 = 14 400
C278 = 78!:(2!·76!) =
(77·78):2 = 3003
C536 = 36!:(5!·31!) =
(32·33·34·35·36):(2·3·4·5) = 376992
I, II, III, IV


Презентация на тему: Елементы линейной алгебры


text:
8
5
10
10
11
15
12
11
14
2
16
3
17
4
8
5
5
0,10
0,10
10
10
15
0,20
0,30
11
15
30
0,30
0,60
12
11
41
0,22
0,82
14
2
43
0,04
0,86
16
3
46
0,06
0,92
17
4
50
0,08
1,00
13,4
14,7
15,2
15,1
13,0
8,8
14,0
17,9
15,1
16,5
16,6
14,2
16,3
14,6
11,7
16,4
15,1
17,6
14,1
18,8
11,6
13,9
18,0
12,4
17,2
14,5
16,3
13,7
15,5
16,2
8,4
14,7
15,4
11,3
10,7
16,9
15,8
16,1
12,3
14,0
17,7
14,7
16,2
17,1
10,1
15,8
18,3
17,5
12,7
20,7
13,5
14,0
15,7
21,9
14,3
17,7
15,4
10,9
18,2
17,3
15,2
16,7
17,3
12,1
19,2
1
8,4-10,4
9,4
3
2
10,4-12,4
11,4
7
3
12,4-14,4
13,4
13
4
14,4-16,4
15,4
21
5
16,4-18,4
17,4
17
6
18,4-20,4
19,4
2
7
20,4-22,4
21,4
2


title: Презентация на тему: Элементы статистики

text:
900igr.net
8
5
10
10
11
15
12
11
14
2
16
3
17
4
8
5
5
0,10
0,10
10
10
15
0,20
0,30
11
15
30
0,30
0,60
12
11
41
0,22
0,82
14
2
43
0,04
0,86
16
3
46
0,06
0,92
17
4
50
0,08
1,00
13,4
14,7
15,2
15,1
13,0
8,8
14,0
17,9
15,1
16,5
16,6
14,2
16,3
14,6
11,7
16,4
15,1
17,6
14,1
18,8
11,6
13,9
18,0
12,4
17,2
14,5
16,3
13,7
15,5
16,2
8,4
14,7
15,4
11,3
10,7
16,9
15,8
16,1
12,3
14,0
17,7
14,7
16,2
17,1
10,1
15,8
18,3
17,5
12,7
20,7
13,5
14,0
15,7
21,9
14,3
17,7
15,4
10,9
18,2
17,3
15,2
16,7
17,3
12,1
19,2
1
8,4-10,4
9,4
3
2
10,4-12,4
11,4
7
3
12,4-14,4
13,4
13
4
14,4-16,4
15,4
21
5
16,4-18,4
17,4
17
6
18,4-20,4
19,4
2
7
20,4-22,4
21,4
2


title: Презентация на тему: Элементы математической статиститки


text:
900igr.net
xj     xj+1
x1     x2
x2     x3
. . .
xk-1     xk
nj
n1
n2
. . .
nkj
xi
x1
x2
x3
x4
x5
ni
n1
n2
n3
n4
n5
x
2
6
12
ni
3
10
7
x
2
6
12
W
3/20
10/20
7/20


Презентация на тему: Ещё раз о квадратных уравнениях


title: Презентация на тему: Факториал

text:
n
1
2
3
4
5
6
7
n
1


title: Презентация на тему: Факториал

text:
900igr.net
n
1
2
3
4
5
6
7
n
1


title: Презентация на тему: Доказательство неравенств

text:
Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные
Автор: Жагалкович Полина Сергеевна
Учебное заведение: МОУ Лицей№1 г.Комсомольск-на-Амуре
Адрес автора: Хабаровский край, с.п. «Село Хурба» ул.Добровольского, ДОС 2-10

                                      Руководитель: Будлянская Наталья Леонидовна

900igr.net
Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе. (М.И. Калинин)
Представление левой части неравенства в виде суммы неотрицательных слагаемых (правая часть  равна 0) с использованием тождеств.
	Пример 1. Доказать что для любого хϵR

	Доказательство. 1 способ.

2 способ.

				    для  квадратичной  функции
  что означает её положительность при любом действительном х.

для хϵR

для хϵR
для хϵR  		т. к.

для любых действительных х и у

Пример 2. Доказать, что для любых x и y

	Доказательство.

Пример 3. Доказать, что
	Доказательство.

Пример 4. Доказать, что для любых a и b
	Доказательство.

2. Метод от противного
Вот хороший пример применения данного метода.
Доказать, что                          для a, b ϵ R.
	Доказательство.
Предположим, что                        .
	Но				       ,что явно доказывает, что наше предположение неверно.

Ч.Т.Д.

Пример 5. Доказать, что для любых чисел А,В,С справедливо неравенство

	Доказательство. Очевидно, что данное неравенство достаточно установить для неотрицательных А, В и С, так как будем иметь следующее отношения:
							  , что является обоснованием исходного неравенства.

	Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А, В и С, для которых выполняется неравенство

				       , что невозможно ни при каких действительных А,В и С. Сделанное выше предположение опровергнуто, что доказывает исследуемое исходное неравенство.

для хϵR
для хϵR
Использование свойств квадратного трехчлена
Метод основан на свойстве неотрицательности квадратного трехчлена 		        , если
     и          .
Пример 6. Доказать, что
Доказательство.
Пусть 			, a=2, 2>0
				      =>

для хϵR

Пример 7. Доказать, что для любых действительных  х и у имеет место быть неравенство

Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство как квадратный трехчлен относительно х:
					 , а>0, D<0
D= 				            => P(x)>0                и
 				     верно при любых действительных значениях х и у.

Пример 8. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть  					 ,

Это означает, что		 для любых действительных у и неравенство
					  выполняется при любых действительных х и у.

для хϵR

Метод введения новых переменных или метод подстановки
Пример 9. Доказать, что для любых неотрицательных чисел х, у, z

Доказательство. Воспользуемся верным неравенством  для 	    ,	  ,
				 .

Получаем  исследуемое неравенство

для аϵR
Использование свойств функций.
Пример 10. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая:
Если а=b,то 			   верно
причем равенство достигается только при а=b=0.
2)Если
				,  	     на R =>
(        )* (         )>0, что доказывает неравенство

Пример 11. Докажем, что для любых

Доказательство.

		 на R.
Если 	        , то знаки чисел            и 	        совпадают, что означает положительность исследуемой разности =>

Применение метода математической индукции
Данный метод применяется для доказательства неравенств относительно натуральных чисел.
Пример 12. Доказать, что  для любого nϵN

Проверим истинность утверждения при
             - (верно)
2) Предположим верность утверждения при
(k>1)

*3

3) Докажем истинность утверждения при n=k+1.

Сравним             и         :			      ,

Имеем:

Вывод: утверждение верно для любого nϵN.

Использование замечательных неравенств
Теорема о средних (неравенство Коши)
Неравенство Коши – Буняковского
Неравенство Бернулли

	Рассмотрим каждое из перечисленных неравенств в отдельности.

Применение теоремы о средних (неравенства Коши)
Среднее арифметическое нескольких неотрицательных чисел больше или равно их среднего геометрического
					     , где
Знак равенства достигается тогда и только тогда, когда

Рассмотрим частные случаи этой теоремы:

Пусть n=2,	      ,	        , тогда
Пусть n=2, a>0, тогда
Пусть n=3,	     ,   	       ,	        , тогда

Пример 13.  Доказать, что для всех неотрицательных a,b,c выполняется неравенство
Доказательство.

Неравенство Коши - Буняковского
Неравенство Коши - Буняковского утверждает, что для любых 			;		  справедливо соотношение

Доказанное неравенство имеет геометрическую интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный факт, что скалярное произведение двух векторов на плоскости и в пространстве не превосходит произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет вид:					    . Для n=3 получим

Пример 14. Доказать, что для любых a,b,c ϵ R справедливо неравенство
Доказательство.  Запишем исследуемое неравенство в следующем виде:
Это заведомо истинное неравенство, так как является частным случаем неравенства Коши – Буняковского.
Пример 15. Доказать, что для любых a,b,c ϵ R справедливо неравенство
Доказательство. Достаточно записать данное неравенство в виде
							       и сослаться на неравенство Коши – Буняковского.

Неравенство Бернулли
Неравенство Бернулли утверждает, что если х>-1, то для всех натуральных значений n выполняется неравенство
Неравенство может применяться для выражений вида

Кроме того, очень большая группа неравенств может быть легко доказана  с помощью теоремы Бернулли.

Пример 16. Доказать, что для любых n ϵ N

Доказательство.			Положив х=0,5 и применив теорему Бернулли для выражения
		     , получим требуемое неравенство.
Пример 17. Доказать, что для любых n ϵ N

Доказательство.
					по теореме Бернулли, что и требовалось.

Давида Гильберта спросили об одном из его бывших учеников. "А, такой-то? - вспомнил Гильберт. - Он стал поэтом. Для математики у него было слишком мало воображения.


Презентация на тему: «ЕВКЛИД»


title: Презентация на тему: Формула корней квадратного уравнения

text:
2x2- 5x + 2 = 0;    x1 = 2, x2 = 0,5
0
-6
1
25
-5
49


text:
900igr.net
a
b
c
a
C
a
b
b
c
1
3
-2
4
2
4
3
-25
3
2
5
-3
4
5
-6
-7
5
8
-3
-10
6
7
-5
6
D=b2-4ac=11²-4·3·6=121-72=49>0


title: Презентация на тему: «Формула корней квадратного уравнения»


Презентация на тему: Формула арифметической прогрессии


title: Презентация на тему: Формула полной вероятности. Формула Бейеса

text: P(Hi|A) =                                     =


title: Презентация на тему: «ЕВКЛИД»

text:
http://biographera.net/biography.php?id=50
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/PictDisplay/Euclid.html


Презентация на тему: Формулы


title: Презентация на тему: Формула решения квадратных уравнений

text:
5klass.net
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

l
d


title: Презентация на тему: Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии

text:
= 5 050
 = 101 *
50
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=
                                  = 55
1 +  10
2
 10
=
2 S  =
n
(a   +   a   )
1
n
n
: 2
1
n
a  =
1
4,
d =
2
a  =
1
1,5
772,5
772,5
1
2
1
2
S   =
1
b =
1
5;
b =
n
150;
d  =
5;
b =
n
5n;
5n = 150;
n = 30
S   =
2
S
1
S   =
2
S =
=
9 000
9 000
3n
:  3
102;
105;
198
102;
3,
198.
n  =
33
4950
4 950
S = 51 +
52 +
53 +
54 +
55 +
56 +
57 +
55;
60;
145.
1
2
S =
S
1
S
2
51,
149,
n =
50 =
99
9 900
b   =
1
55,
b   =
n
145,
n  =
b   =
n
b   +
1
d =
5,
n =  19
19
=   1 900
8 000
=  4
: 2
y = 0;
 25
n
n =
1;
2;
24.


Презентация на тему: Формулы дифференцирования


Презентация на тему: Формулы для решения квадратного уравнения


Презентация на тему: Формулы и правила дифференцирования


title: Презентация на тему: Элементы статистики, комбинаторики и теории вероятностей

text:
3;      2
 4;     2,5
 2;      3
 8;      5
 9,8;        20,5
   12,25;        13
 12,5;      13
 13;        9,5
 28;     23
27,5;    28
28;     27
27;        28
 0,7;     5
 4;     5
 4,3;    9
 4;     4
14
 4
 0
 27
30,28
30,34
    0,2
30,36
    13,3
 12,7
12,9
12,8
 5,4;    0,2;     5,1
 5,3;    0,4;     5,4
 5,3;    0,1;     5,1
 5,2;    0,4;     5,4

+
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
132
   66
   12
   144
    72
   36
   64
   32
    120
   216
   60
   108
    20
   40
   10
   8
    64
   12
   27
   48
    49
   42
   7
   36
    12
6
   24
   4
    360
   720
   90
   72
    6
8
   2
   12
    75
300
   150
   12,5

+
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
5/8
 2/8
 3/8
 1/24
    0,131266
   0,000001
 6/10
 1/131266
    0,8
   0,2
   0,25
   0,7
 10/25 ;   15/25
 9/25 ;   16/25
 1/10 ;   16/10
 1/25 ;   9/25
    0,1
   0,2
   0,99
   0,01
 14/31
 17/31
 3/31
 14/17
 8/12
 12/20
 2/5
 12/8
4/7
   3/7
   2/7
   1/7
    99,95
   9,995
   999,5
   0,9995
 7/10
 3/10
 1/3
 3/7

+
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-


Презентация на тему: Формула корней квадратного уравнения. 8-й класс


title: Презентация на тему: Диофантовы уравнения

text:
Диофантовы уравнения
Выполнила Сафронова  Наталья
10 класс
МБОУ «Звездненская общеобразовательная средняя школа»
5klass.net
Цели учебно – исследовательской работы:изучить способы решения диофантовых уравнений;повысить  уровень математической культуры, прививая навыки  самостоятельной исследовательской работы в математике
2
Задачи:
разобрать основные приемы и методы решения уравнений в целых числах;
выполнить сопоставительно – аналитическую работу с контрольно – измерительными материалами ЕГЭ и олимпиадных заданий разных лет.
В школьном курсе математики диофантовы уравнения не изучаются,  но, например, в заданиях группы С6 в ЕГЭ   встречаются диофантовы уравнения 2-ой степени,  также диофантовы уравнения часто встречаются и в олимпиадных задачах. Значит, ученику для успешной сдачи ЕГЭ и решения олимпиадных задач нужно знать и теорию и методику решения диофантовых уравнений.
Актуальность исследования

Общего способа, при помощи которого возможно после конечного числа операций установить, разрешимо ли это уравнение в целых числах,  быть не может, не существует единого алгоритма, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные  диофантовы уравнения.
Гипотеза
Диофантовыми уравнениями называются уравнения вида P(x1, x2, ..., xn) = 0, где P(x1, ..., xn) - многочлен с целыми коэффициентами.

При исследовании диофантовых уравнений обычно ставятся следующие вопросы:
Имеет ли уравнение целочисленные решения;
Конечно или бесконечно множество его целочисленных решений;
Решить уравнение на множестве целых чисел, т. е. найти все его целочисленные решения;
Решить уравнение на множестве целых положительных чисел.
1. Алгоритм Евклида. Решение общих линейных уравнений.
2. Метод прямого перебора.
3. Метод разложения на множители.
4. Метод остатков.
5. Метод решения относительно одной переменной.
6. Метод бесконечного спуска.
7. Использование конечных цепных дробей.
8. Метод оценки.
Методы решения  диофантовых уравнений
ах + ву = с
Множество решений исходного уравнения лежит на множестве чисел
x = x0 + bn;  y = y0 – an.
ax2 + by = с,  сделав предварительно замену  х2=t, получим линейное уравнение  at + by = c.

Алгоритм Евклида. Решение линейных уравнений.
Метод прямого перебора
17х+40у+16z=100

Ответ: да, может
4 ящика по 17 кг и 2 ящика по 16 кг.
В загоне находятся одноглавые сороконожки и трехглавые змеи. Всего у них 298 ног и 26 голов. Сколько ног у трехглавых змей?

Обозначим за «х» сороконожек, а за «у» трехглавых змей, тогда голов 3у + х = 26.
Обозначим за «z» количество ног у одного змея, тогда ног уz + 40х = 298.
Имеем систему уравнений:

Ответ: у трехглавого змея 14 ног.

Решение:
На 5 рублей куплено 100 штук разных фруктов. Цены на фрукты таковы:  арбуз 1 штука 50 коп, яблоко 1 штука 10 коп, слива 1 штука 1 коп. Сколько фруктов каждого рода было куплено?

Ответ: 1 арбуз, 39 яблок, 60 слив.
вынесение множителя за скобку;
использование формул сокращённого умножения;
способ группировки;
предварительное преобразование.
Метод разложения на множители.
а) использование известных неравенств

        неравенство Коши
б) приведение к сумме неотрицательных выражений
         (х1 – а1)2 + (х2 – а2)2 + …+(хп – ап)2 = с

Метод оценки
выделение целой части;
использование дискриминанта (неотрицательность);
решение уравнений в целых числах как квадратных  относительно  какой-либо переменной.
Метод решения относительно одной переменной.
к решению неопределенных уравнений в целых числах уравнение вида  ax + by = c применяется теория делимости; для линейных уравнений с двумя переменными, т.е. уравнения вида ax+by=c, алгоритм решения существует; при любых взаимно простых коэффициентах при неизвестных уравнение имеет имеет бесконечное множество решений;

Выводы:
при решении неопределенных уравнений в целых числах применяются  свойства, оценка выражений, входящих в уравнение; выражение одной переменной через другую  и выделение целой части дроби; метод  разложения многочлена на множители, метод полного перебора всех возможных значений переменных, входящих в уравнение; метод, основанный на выделении полного квадрата; решение уравнений с двумя переменными как квадратных относительно одной из переменных.
Благодарю
 за
внимание


title: Презентация на тему: "Дробные выражения"

text:
Гусь-Хрустальному району 85 лет
Дробные выражения
6 класс
Цели: 1) формировать новые знания по данной теме; совершенствовать вычислительные навыки;2) расширить знания  о районе, увидеть и понять его красоту.
Предварительная работа:
     - создание презентации к уроку;
     - изготовление карточек-рыбок для устной работы;
     - изготовление плакатиков с названиями пород
        деревьев.

В каждой строке найти лишние числа.

Задание 1

Задание 4

Река Судогда


title: Презентация на тему: Формулы для перестановок, сочетаний, размещений

text:
900igr.net
1
2
3
4
5
6
1
5
5
1
4
3
4
3
2
1
4
3
4
3
1
1
6
1
6
4
6
5
3
4
1
2
3
4
5
6
5
5
1
4
3
4
3
2
1
4
3
4
3
1
6
1
6
5
2


text: PREZENTED.RU


title: Презентация на тему: Формулы квадрата суммы и квадрата разности

text:
5klass.net
              I )(7-b)(7+b)                 II) (x+y)(x+y)

        III) (4-a)(4-a)                                IV ) (c-6)(c-6)
                              V) (m-x)(m-x)
VI)16-x2
                                                   VII) (c+z)(c+z)
                    VIII) (k-t)(k+t)

        IX) (5+a)(5+a)                                X )  4m2-25
(7-b)(7+b)
(k-t)(k+t)
4m2-25
16-x2
           (4-a)(4-a)            (5+a)(5+a)
               (3x+y)(3x+y)
(c-6)(c-6)                    (k-t)(k-t)
                  (c+z)(c+z)
 (c+9)(c-9)              9)   (2-3d3) (2+3d3)
 (7-b)(7+b)            10)  ( 12z2-7a4)(12z2-7a4)
 (3+2x)(2x-3)
 (4y2-1)(4y2-1)
 (10a3+3)(10a3-3)
 (1-3k)(1+3k)
 (8b+5)(8b-5)
 (11c+7m)(7m-11c)
C2-81
49-b2
4x2-9
16y4-1
100a6-9
1-9k2
64b2-25
49c2-121m2
4-9d6
144z4-49a8

(7-b)(7+b)
(k-t)(k+t)
4m2-25
16-x2
           (4-a)(4-a)            (5+a)(5+a)
               (3x+y)(3x+y)
(c-6)(c-6)                    (k-t)(k-t)
                  (c+z)(c+z)
(c-6)(c-6)
(k-t)(k-t)
(4-a)(4-a)
(a+5)(a+5)
(3x+y)(3x+y)
(c+z)(c+z)
(a+5)2=

(3x+y)2=

(c+z)2=
= a2+5a+5a+25=
= 9x2+3xy+3xy+y2=
= c2+cz+cz+z2=
a2+10a+25
9x2+6xy+y2
c2+2cz+z2
(a+5)(a+5)
(3x+y)(3x+y)
(c+z)(c+z)
2×5a
2×3xy
2×cz
( a + b ) 2  = a 2 + 2 a b + b 2
= c2-6c-6c+36=
= k2-kt-kt+t2=
= 16-4a-4a+a2=
C2-12c+36
K2-2kt+t2
16-8a+a2
(c-6)(c-6)
(k-t)(k-t)
(4-a)(4-a)
2×6c
2×kt
2×4a

(a-b)2=a2-2ab+b2
 (3a+1)2
 (8a-3)2
 (a+2b)2
 (1+3a)2
 (4a-3)2
 ( c-4 )2
 ( m +d )2
 (5a-6b)2
  (4t+3a)2
  (a-1)2
(4z-8n)2
(3a+2d)2
(3s-8n)2
(1-4f)2
(6-5c)2
(1-3ab)2
(5xy+1)2
(3ab-3t)2
(xy-4m)2
(2cd-7z)2
(1+5xyz)2
(2a+3bc)2
(4a-3kn)2
(3a-4t)2
(4a-7c)2
(9x+5z)2
(1-3a)2
(4xy+1)2
(5s+2p)2
(1-9a)2
4a2 +4ab+b2
4a2- 4ab+b2
9a2 - 60ab+100b2
4x2 -20xb+25b2
1- 6b+9b2
16a2  +8a+1
 b2  -2a b +a2
 a2b 2 +2ab+1
 1- 16c +64c2
 1+10a +25a2


title: Презентация на тему: Формулы

text:
a
b
t = s : v
v = s : t
v = s : t
t = s : v
t = s : v
v = s : t

?
?
?
b = S : a
S
a
b
a
b
?
b = S : a
S1
S2
S1 = S2
S1
S2
S1 = S2
b = S : a
b = 64 : 32
S1
S2
S1 = S2 = S3
S3
D
S2 = 6   5
SADC = SABC
SABCD = SADC + SABC
SADC = SABC = SABCD : 2
14
21
12
b
26
12
a + b
50
36
2(a + b)
72
40
80
29
100
24
72
36
24
 a + b = 30 : 2
  a + b = P : 2
1
6
27
480
60
520
4
9
23
420
3
280
70
74
5
840
4
96
3
94
5
92
720
4
3
2


title: Презентация на тему: Формулы сокращенного умножения

text:
(a + b)2 = a2 + 2ab +b2
(a + b)2 =(a + b) (a + b)=
=a*a + a*b + b*a + b*b=
= a2 + ab + ba + b2=
= a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
(a - b)2 =(a - b) (a - b)=
= a2 -  ab - ba + b2=
= a2 - 2ab + b2
a2 - b2 = (a + b) (a - b)
(a + b) (a - b)=
= a2 - ab + ba - b2=
= a2 - b2
(a - b) (a2 + ab + b2)=
= a*a2 + a*ab + a*b2- b*a2 - b*ab - b*b2=
= a3 + a2b + ab2 - a2b - ab2 - b3 =
=  a3 - b3
a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)
(a + b) (a2 - ab + b2)=
= a*a2 - a*ab + a*b2 + b*a2 - b*ab + b*b2=
= a3 - a2b + ab2 + a2b - ab2 + b3 =
=  a3 + b3
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3


title: Презентация на тему: «Формулы сокращенного умножения»

text:
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7


text:
x2+y2+2xy
c2d2+k2-2cdk
4a2+9b2+12ab
x2+y2+xy
c2d2+k2-cdk
4a2+9b2+ab.
(x-y)(x2+y2+xy)=
(x+y)(x2+y2-xy)=
=x3-y3
=x3+y3
(0,2a+0,5b)(0,04a2+0,25b2-0,1ab)=
(25f4+4z2+10f2z)(5f2-2z)=
(c2-1/2y)(c4+1/2y2+c2y)=
(cd+k)(c2d2+k2-cdk)=
(a-b)(a2+b2+ab)=
(3+12y3)(9+144y6+36y3)=
(4/9x10+36x2 +8x6)(2/3x5-6x)=
a3-b3
(c2)3-(1/2y)3=c6-1/8y3
(5f2)3-(2z)3=125f6-8z3
=(0,2a)3+(0,5b)3=0,008a3+0,125b3


title: Презентация на тему: Формулы приведения

text:
0
x
y
0
0
x
y
0
0
x
y
0
0
x
y
0


Презентация на тему: Формулы суммы и разности синуса и косинуса


text:
2006

41 2
  322  ;
492  ;
                            1992.


text:
(a±b)2=a2±2ab+b2

              (3a+4b)2=
       =(3a)2 +2.3a.4b +(4b)2

       (5d-3c)2=
              =(5d)2 -2.5d.3c +(3c)2

a2 ±2ab+b2=(a±b)2
     (2x+4y)(2x-4y)=
                            =(2x)2 (4y)2 )=4x2-16y2

m2d2-9k2=(md)2-(3k)2=
                              =(md -3k)(md + 3k)

0,12


Презентация на тему: Франсуа Виет


title: Презентация на тему: Формы мышления. Алгебра высказываний

text:
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1

0
1
1
0


title: Презентация на тему: Формулы тригонометрии

text:
EXEL
Turbo Pascal
PowerPoint
900igr.net
R
B (x;y)
y
x
x
x
x
y
y
y
+
+
-
-
-
-
+
+
-
+
+
-
Sin2 a + cos2 a = 1
Tg a = sin a / cos a
Ctg a = cos a / sin a
Tg a * ctg a = 1
Sin2 a / cos2 a = 1 / cos2 a
1 + ctg2 a = 1 / sin2 a
Cos (a-(+) b) = cos a cos b + (-) sin a sin b
Sin (a + (-) b) = sin a cos b + (-) cos a sin b
Sin 2a = 2 sin a cos a
1 + cos 2a = 2 cos2 a
Ctg (a + b) = (ctg a ctg b -1) / (ctg a + ctg b)


Презентация на тему: ФРАКТАЛЫ


title: Презентация на тему: Формула сокращённого умножения

text:
Формула сокращённого умножения

Квадрат суммы
(a + b)2 =(a + b) (a + b)=
=a*a + a*b + b*a + b*b=
= a2 + ab + ba + b2=
= a2 + 2ab + b2

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа  плюс удвоенное произведение первого и второго чисел плюс квадрат второго числа.
Квадрат разности
(a - b)2 =(a - b) (a - b)= a2 -  ab - ba + b2 =a2 - 2ab + b2

 «Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа».

А задавались ли вы когда-нибудь вопросом, кто же все-таки придумал эти две формулы: квадрат суммы и квадрат разности? Некоторые источники говорят, что это был древнегреческий математик Евклид. Это было действительно уникальное открытие, поскольку мы знаем, что он жил еще в III веке до нашей эры.
Евклид
-древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения об Евклиде крайне скудны. Достоверным можно считать лишь то, что его научная деятельность протекала в Александрии в 3 в. до н. э.


Презентация на тему: «Функции»


title: Презентация на тему: Физический и геометрический смысл производной

text:
Выполнено
ученицей 10 класса «А»
ГБОУ СОШ № 323
Викторией Петровой
Физический и геометрический смысл производной функции
5klass.net
Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Производная функции
Нахождение производной называется дифференцированием. Вводится определение дифференцируемой функции: Функция f, имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой на данном промежутке.
Дифференцирование
Физический смысл производной x`(t) от непрерывной функции x(t) в точке t (0) – есть мгновенная скорость изменения величины функции, при условии, что изменение аргумента Δt стремится к нулю.
Физический смысл производной функции
- Представьте, что вы летите в самолёте и у вас на руке часы. Когда Вы летите, Вы имеете скорость равную скорости самолёта.

- А какая скорость у Вас и у самолёта в каждый момент времени на Ваших часах?

– Скорость, как физическое понятие, это путь самолёта, пройденный за единицу времени (например, за час (км/час)), а у Вас, когда Вы взглянули на часы прошло только мгновение. Таким образом, мгновенная скорость (величина пути, пройденного за мгновение) и есть производная величина от функции, описывающей путь самолёта по времени. Мгновенная скорость - это и есть физический смысл производной.
Еще одно объяснение физического смысла производной функции
Рассмотрим график функции  y = f ( x ):

Из рис.1  видно, что для любых двух точек A и B графика функции:
где   - угол наклона секущей AB.
Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то    неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.
Геометрический смысл производной функции
Ньютон — создатель первой научной «механической картины мира», в которой «земные» и «небесные» движения объединились в единое механическое движение материальных тел. Он дал описание движения и создал математический аппарат — дифференциальное исчисление.
Первый важный факт:
Движение, в широком смысле этого слова, охватывает все происходящие во вселенной изменения и процессы, начиная  от механического, теплового и т. д. и кончая  движением мысли. Производная как скорость является характеристикой любого вида движения.
Второй важный факт
Дифференцирование — уникальный математический метод, применяемый не только в математике, но и в других науках, изучающих процессы и явления окружающего мира.
Третий важный факт
Спасибо за внимание.


title: Презентация на тему: Формула разности квадратов 7 класс

text:
Формула разности квадратов.
Алгебра 7 класс
МОУ Архангельская СОШ
Урок  подготовила и  провела учитель математики
Прохорова Ж.В
a – b  a+b(a + b)(a – b)

a2 – b2  (a – b)2
Прочитайте выражения
разность чисел а и b
сумма чисел а и b
произведение суммы и разности
 чисел а и b
разность квадратов чисел а и b
квадрат разности чисел а и b

Найдите квадрат чисел
3
4a

mn
0,6b

9
16а2

m2n2
0,36b2
Представьте в виде квадрата одночлена:
9b2
16m4
0,09x10
0,81m2n2
 x4y6

(3b)2
(4m2)2
(0,3x5)2
(0,9mn)2
 (x2y3)2

Разложите на множители
2а – 4
ab – b2
a2 – b2

2(а – 2)
 b(b – b)
?
Тема урока
«Разность квадратов»

1 группа (a+b)(a – b)
2 группа (3x – 2y)(3x+2y)
3 группа

(a+b)(a-b) = a2 – ab + ab -b2
(3x-2y)(3x+2y) = 9x2 – 6xy + 6xy – 4y2

a2 – b2 = (а – b)(а + b)
Если мы будем на нее смотреть справа налево, то получим сокращенное (короткое) умножение многочленов,
а если слева на право - представление разности квадратов в виде произведения (в дальнейшем это будем называть разложение на множители).

а) (5+2)(5-2)
б) (a – b)-(a+b)
в) (x – y)(x+y)
г) (0,5 – m)(0,5+m)
д)

Выберите выражение, которые могут быть преобразованы по формуле a2 – b2 = (а – b)(а + b)
а, в, г, д

(4a – 7)(4a + 7) = 16a2 – ...
(x – 3 m) (x + 3m) = x2 – ...
(0,4 – 0,3a)(0,4 + 0,3a) = ...    – 0,9a2
(mn – b) (mn + b) =   ...  – b2

49
9m2
0,16
m2n2

В I
Ответ А,С,В
В II
Ответ В,А,С
В III
Ответ В,А,С
В IV
Ответ С,А,В

Д/з
§ 21 №357(2;4), 352(2,4)


title: Презентация на тему: Дроби 8 класс

text:
Многоэтажные дроби

МОУ «Медновская СОШ»
Антонюк Ф.Г.

1
8 класс
Дроби
900igr.net
2

X =           ;

Y =            ;

Z =           .
  Построение рациональных
            выражений

X + Y · Z =            +            ·             .

     + Z² =             + (           )².

    +     +      =            +             +             .

 X · ( Y + Z ) =            · (            +             ).

                                   +            +

3
Многоэтажная дробь

/+++==
4
1
3
2

ПОДУМАЙ!
ВЕРНО!
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!

А =              ;            В =    ;            С =               .

A + В
   C

4
2
3
1

2
1
4
3

ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
ВЕРНО!

ПОДУМАЙ!

А =              ;            В =    ;            С =               .

А +

1
2
3
4
4
1
3
2

ПОДУМАЙ!
ВЕРНО!
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!

А =              ;            В =    ;            С =               .

1
2
3
4

2
1
4
3

ПОДУМАЙ!

ПОДУМАЙ!
ВЕРНО!

ПОДУМАЙ!

А =              ;            В =    ;            С =               .

1
2
3
4

9
Преобразования многоэтажной дроби

3a
2х
5р
7n

21an

10px

3a
2b

3an

2bm
2
1
С
В
А
10
Сокращение многоэтажной дроби

anx

bmx

any

bmy

2c
9

2b
a-b
4
3
11
          Упростите

7
6
5
48
5
0

0
7
6

12
Тождественные преобразования
      многоэтажных дробей
Решаем
вместе

m+1

m-1
1
2

2

13

a

2
a
a+1
a
-1

молодцы
3
4

14
Мальчишки и девчонки

15
Гонки

16
Домашнее задание
Преобразуйте многоэтажную дробь в обыкновенную:

1
2
3
4
5
17
Спасибо
    за
  урок


title: Презентация на тему: Динозавры понятие виды

text:
Динозавры
Динозавры (лат. Dinosauria,— страшный, ужасный, опасный и ящер, ящерица) — надотряд наземных позвоночных животных, доминировавших на нашей планете в мезозойскую эру — в течение более 160 миллионов лет.
Ископаемые останки динозавров обнаружены на всех континентах планеты. Ныне палеонтологами описано более 500 различных родов и более чем 1000 различных видов, которые чётко делятся на две условные группы — травоядных и плотоядных ящеров.
Гигантский хищник – Тиранозавр – обитал на территории Азии и Северной Америки в конце мелового периода. Этот ящер относился к наиболее крупным плотоядным животным, когда-либо живших на планете. Его вес достигал более 4 тонн, а высота до 6 метров – для хищного зверя более чем выдающиеся характеристики. Все представители этой группы динозавров обладали весьма массивной головой с мощными челюстями и острыми зубами. Наиболее крупные зубы в длину равнялись 15 см.
ТИРАНОЗАВР
Прозавроподы (лат. Prosauropoda) — принадлежит к подгруппе группы ящеротазовых динозавров. Отличительные внешние признаки - наличие длинного хвоста и тело, скорее похожее на бочку. Для некоторых ящеров передвижение на двух лапах считалось нормой. А некоторым такой вид передвижения не нравился, поэтому предпочитали использовать все четыре ноги. В пищу употребляли растения. Считались одними из первых крупных динозавров, которые появились на Земле. Обитали в позднем триасе и раннем юре.
ПРОЗАВРОПОД
Известным динозавром периода триаса считается платеозавр. С латинского Plateosaurus — «плоский ящер». В длину был от 6 до 10 метров, а весом до 700 кг. Относится к разряду завроподоморфов, ящеротазовых ящеров. Название придумал Герман фон Майер еще в 1837 году. Он же досконально изучил ящера и описал его.
ПЛАТЕОЗАВР
Анхизавр – еще один вид динозавров. Считается травоядным ящером. Принадлежит к группе прозавроподов. По останкам можно определить, что ящеры этого вида были небольших размеров. Анхизавр имел изящное тело. Голова была относительно маленькая, шея длинная, впрочем, как и у других травоядных. Так удобнее было питаться высоко расположенной листвой и ветками деревьев.
АНХИЗАВР
«Великим плавающим ящером – царем» называли мегалнеузавра. Считается одним из гигантских плиозавров эпохи поздней юры. Мегалнеузавр (Megalneusaurus ) был обнаружен в разрозненных остатках на Аляске в Северной Америке. Описал его В. Найт еще в 1895 году. Для изучения были представлены кости конечностей и некоторые позвонки.
МЕГАЛНЕУЗАВР
Еще один представитель хищных динозавров - карнотавр (Carnotaurus sastrei) из семейства абелизавров (Abelisauridae). Относится к меловому периоду. Описал Х. Бонапарте в 1985 г. Ученому досталась идеальная находка-полный скелет и некоторые отпечатки шкуры. Прекрасный материал для изучения. Так как было создано идеальное описание карнотавра, абелизавров сразу же выделили одним семейством.
КАРНОТАВР
Еще одним представителем ящеров считается Изизавр (лат. Isisaurus colberti) –динозавр - зауропод. Относится к виду титанозавров. Ученые описали данный вид ящера, исходя из изучения находки в меловых отложениях, которые находились в  Индии. Считается одним из последних завроподов. Травоядный. Четвероногий.
ИЗИЗАВР
Антеозавр (Anteosaurus magnificus) - хищник. Принадлежит к роду дейноцефалов. Найден в Южной Африке. Имеет большие размеры. Череп крупный, массивный. Составляет см. 80 в длину. Антеозавр доходит метров до 6.
АНТЕОЗАВР
Ламбеозавр (Lambeosaurus) – принадлежит к роду птицетазовых динозавров, семейства гадрозавров. Еще его называют утконосые или же шлемоносные динозавры. В. Паркс описал ящера, который принадлежал к периоду позднего мела из Альберты, еще в 1923 году. Ранее для изучения предлагались только некоторые останки. Ламбеозавр имел достаточно необычную форму черепа.
ЛАМБЕОЗАВР
Мегалозавр (лат. Megalosaurus) - хищник. Двуногий ящеротазовый ящер. Первый найденный динозавр, который был досконально описан и изучен. Множество останков было найдено и в Южной Англии, Португалии и во Франции. Достигал метров 9 в высоту. Для шеи была характерна гибкость, за счет структуры позвонков. Задние ноги с четырьмя пальцами. Один смотрел назад, а три вперед. Задние ноги отличались силой, ведь приходилось выдерживать около тонны веса.
МЕГАЛОЗАВР
Одним из известных динозавров считается Протоцератопс. Ящер с небольшими размерами. Длина его метра два. А в высоту 75 см. Но при этом вес его достигал почти тонны две. Ученым, благодаря находке в Монголии, был представлен большой материал для изучения. 100 скелетов ящеров различных возрастов, гнезда и яйца.
ПРОТОЦЕРАТОПС
К поздней трети юрского периода относится травоядный динозавр Маменчизавр (лат. Mamenchisaurus). Он существовал 150-145 миллионов лет назад. Скелет ящера был обнаружен на территории, где сейчас находится современный Китай. Среди остальных динозавров выделяется одной особенностью. Шея у него самая длинная - 15 метров.
МАМЕНЧИЗАВР
Целофизис относился к группе плотоядных динозавров-цератозавров. Обитал на планете в триасовом периоде. Считался хищным ящером средних размеров – наибольшая длина 3 метра, а рост этого динозавра приблизительно равнялся росту человека. Несколько проигрывая другим хищным ящерам в размерах, он компенсировал это своей ловкостью и быстротой. Легкий ящер прекрасно бегал на задних конечностях и мог догнать добычу не только на земле, но в воздухе – вылавливая больших насекомых, в изобилии водившихся в траве и на кустарниках.
ЦЕЛОФИЗИС
Трицератопс относился к знаменитым рогатым растительноядным динозаврам, населявшим Землю в меловом периоде 70 миллионов лет назад. Его ископаемые останки обнаружены на территории Центральной Азии и в северо-западной части Северной Америки. Своим названием – «трехрогая морда» – он обязан крупным рогам, в количестве трех штук находившихся у него на голове. В семействе рогатых динозавров он считался самым крупным – вес до 12 тонн, длина тела порядка 9 метров при высоте 3 метра.
ТРИЦЕРАТОПС
Тарбозавр – хищный динозавр отряда ящеротазовых семейства тиранозавридов. Дословный перевод – ящер-разбойник. Населял планету во времена позднего мела – 80 миллионов лет назад. Длина самого крупного животного достигала 16 метров, а высота целых 6 метров. Вес животного составлял 5 тонн. Тарбозавр обитал в азиатской части Евразии; по внешнему виду был схож с тиранозаврами, однако имел более продолговатый череп и слабое телосложение. Мощная шея и довольно крупная черепная коробка позволяли древнему хищнику выдерживать сильнейшие удары.
ТАБРОЗАВР
Стегозавр относился к группе растительноядных динозавров. Обитал на Земле в позднеюрский период на территории современной Англии и в северо-восточной части США. Его вес достигал 6-8 тонн при общей длине тела около 8 метров. Тело динозавра имело довольно необычные пропорции: задние конечности по своим размерам значительно превосходили передние, вследствие этого спинной хребет ящера изгибался огромным горбом. Для защиты от преследователей на самом кончике хвоста находились четыре острых шипа длиной около 1 метра.
СТЕГОЗАВР
Спинозавр – «шипастый ящер» - обитал на территории современной Африки более 100 миллионов лет назад. Более всего у этого динозавра выделялись мощные шипы, длиной свыше одного метра, расположенные по всей длине ящера от спины до самого хвоста. Еще одно название ящера – «динозавр с парусом». Действительно он напоминал раздутый парус – между длинным отростками позвонков натянута кожная перепонка, представляющая собой гигантский нарост в виде паруса.
СПИНОЗАВР
Сейсмозавр относился к обычным растительноядным динозаврам-диплодокам периода позднего мела; ископаемые останки динозавра обнаружены на территории Северной Америки. Однако размеры древнего ящера были совсем необычными – длина до 40 метров, вес порядка 30 тонн. По другим оценкам вес гигантского динозавра составлял до 60 тонн, за счет которого он и заслужил свое удивительное название.
СЕЙСМОЗАВР

Рамфоринх наиболее известный представитель отряда длиннохвостых птерозавров. Обитал на планете во времена поздней юры. Ископаемые останки летающего ящера были обнаружены в Европе и в Африке. Размах крыльев достигал 1,75 метра. Каждый ящер обладал остроконечной длинной челюстью с крупными, перекрестно расположенными зубами.
РАМФОРИНХ
Первый летающий динозавр, или по-другому Птерозавр (pterosaur), появился на нашей планете 230 миллионов лет назад. Исследователи динозавров разделили всех летающих ящеров на две группы: птеродактили и рамфоринхи. Практически все птеродактили, независимо от габаритных размеров, летали как современные летучие мыши: при помощи кожаных оболочек, натянутых между костями предплечья и длинными пальцами.
ПТЕРОЗАВР
Птеродактиль (Pterodactyl) – дословно «птицекрыл» – относился к группе птерозавров, получивших широкое распространение в конце юрского периода. Они населяли Землю в юрский и меловой периоды 150-70 миллионов лет назад. К началу мелового периода длиннохвостые птерозавры практически вымерли, а единственным оставшимся летающим пресмыкающимся стал вышеупомянутый ящер. Размеры летающих ящеров варьировались в широких пределах: от небольших, размером с почтового голубя, до настоящих воздушных гигантов, достигавших размаха крыльев до 10-12 метров.
ПТЕРОДАКТИЛЬ
Птеранодон (Pteranodon) относился к семейству летающих ящеров – птерозавров. Обитал на нашей планете в меловый период. На сегодняшний день считается наиболее крупным из летающих динозавров. Окаменевшие останки летающего хищника обнаружены в Азии (Япония), в Европе (Англия) и в Северной Америке (южные штаты США). Размах крыльев летающего ящера был гораздо больше, чем у большинства птерозавров.
ПТЕРАНОДОН
Плиозавр, будучи прямым потомком плезиозавра, в юрский и меловой период стал высшим представителем хищных морских динозавров. Этот хищный ящер насчитывал 20 шейных позвонков, а его череп имел длину целых 3 метра. Морской динозавр достигал 12 метров. Эти страшные хищники охотились не только за крупной рыбой и моллюсками, но и за другими морскими ящерами. Территория распространения потомка плезиозавра – Европа (в том числе и европейская часть России) и Южная Америка.
ПЛИОЗАВР
Плезиозавр – гигантский водоплавающий ящер с длинной шеей и конечностями, похожими на вёсла. Обитал в различных водоемах в триасовом, юрском и меловом периоде. Большая часть водоплавающих ящеров имело длину в несколько метров, хотя самые крупные достигали 13 -18 метров. Широкий и короткий хвост ящера служил прекрасным приспособлением для передвижения в воде. Шея животного состояла из множества позвонков – у длинношеего ящера было 76 шейных позвонков. По замечанию одного исследователя динозавров, бочкообразное тело ящера наминало гигантскую змею и морскую черепаху одновременно.
ПЛЕЗИОЗАВР
Паразауролоф принадлежал к семейству гадрозавров, известных также под названием утконосые динозавры. Эти рептилии имели плоские морды, похожие на утиный клюв. В верхней части головы у них располагались оригинальные гребни с носовыми полостями. Наибольшая длина тела составляла 10 метров. Эти динозавры относились к стадным вегетарианцам.
ПАРАЗАУРОЛОФ

Мозазавр всегда занимал особое место в истории древнейших ископаемых животных. Морской ящер относился к последним представителям хищных морских пресмыкающихся. Он появился в самом начале мелового периода, придя на смену ихтиозавру. Во времена позднего мела мозазавр стал одним из крупнейших морских животных из отряда динозавров – максимальная длина тела морского ящера доходила до 10 метров.
МОЗАЗАВР
Лиоплевродон, грозный потомок плиозавра, являл собой самого крупного хищного животного, когда-либо населявшего Землю. Грозный морской ящер, неуязвимый и огромный, имел длину тела до 25 метров. По отдельным оценкам ученых-исследователей, вес морского хищника мог составлять 100 и более тонн.
ЛИОПЛЕВРОДОН
Кронозавр  - гигантский плиозавр эпохи раннего мела – вполовину уступал морскому ящеру Лиоплевродону. своё имя он получил в честь Кроноса – титана из древнегреческих мифов
КРОНОЗАВР
Кетцалькоатль относился к группе птерозавров, населявших Землю в эпоху мелового периода. Размах крыльев летающего ящера достигал 12 метров – он считается самым крупным крылатым динозавром. Свое название получил в честь божества древних индейцев ацтеков и майя, которое они представляли в образе летающего змея. Ископаемые останки древнего змея обнаружены на территории Северной Америки в штате Техас.
КЕТЦАЛЬКОАТЛЬ
Кархародонтозавр – что означает «ящер с зубами акулы» - относился к крупным плотоядным динозаврам семейства аллозавры. Ископаемые окаменевшие останки древнего ящера обнаружены на территории Северной Африки. Это были самые крупные хищные динозавры, когда-либо обитавшие на Земле в эпоху раннего мела (110 миллионов лет назад). У них была огромная голова и короткие трехпалые лапы; передвигались они на мощных задних конечностях. Целая стая хищников могла уничтожить огромного растительноядного динозавра.
КАРХАРОДОНТОЗАВР

Карнозавр – крупный и хищный динозавр, принадлежавший к группе плотоядных пресмыкающихся. Обитал на планете во времена юрского и мелового периода 170–65 миллионов лет назад. Окаменелые останки древнего динозавра обнаружены на большинстве материков. Размер тела хищного ящера достигал 15 метров.
КАРНОЗАВР

Иностранцевия – хищный плотоядный ящер из отряда зверозубых. Обитал на планете во времена пермского периода 240 миллионов лет назад. Ископаемые останки динозавра обнаружены на территории России в районе Северной Двины русским учёным В. П. Амалицким. Свое название хищный динозавр получил в честь известного русского геолога А.А. Иностранцева.
ИНОСТРАНЦЕВИЯ
Игуанодон – самый большой ящер из семейства игуанодонов – крупных растительноядных динозавров. Это семейство динозавров примечательно тем, что его открыли в числе первых, еще в XІX веке. Своим название доисторический ящер обязан сходству со строением зубов современных игуан. Обитал на нашей планете в эпоху раннего мела. Ископаемые останки древнего ящера обнаружены в разных частях земного шара: в Северной Америке, в Азии, в Африке и в Европе. Наибольшая длина динозавра составляла 9 метров.
ИГУАНОДОН
Зауропод в дословном переводе с греческого языка означает - «ящерица, имеющая ноги». Он принадлежал к группе травоядных динозавров и относился к крупнейшим животным, когда-либо живших на нашей планете. Наиболее крупные представители отряда ящеротазовых достигали длину до 38 метров. Даже у небольших ящеров длина тела была более 10 метров. По некоторым оценкам, представитель этого семейства – аргентинозавр – мог достигать 80-100 тонн.
ЗАУРОПОД
Диплодок – растительноядный динозавр, живший на Земле в конце юрского периода 150 миллионов лет назад. Его ископаемые останки встречаются на территории Северной Америки, в западных штатах США. К этому семейству принадлежали наиболее длинные целые скелеты динозавров – среди обнаруженных останков встречаются экземпляры до 27 метров. Вес гигантского ящера доходил до 30 тонн. Изучение найденных динозавров позволило сделать вывод о существовании ящеров еще большей длины, относящихся к этому семейству.
ДИПЛОДОК
Диметродон принадлежал к числу хищных плотоядных динозавров из отряда пеликозавров. Обитал на планете во времена пермского периода 265 миллионов лет назад. Относился к крупнейшим хищным динозаврам того времени. Своим внешним видом напоминал сказочных драконов. Этот ящер считается одним из предков всех современных животных – пресмыкающихся и млекопитающих. На спине хищного ящера возвышался настоящий «парус», образованный острыми шипами с кожаными перепонками между ними.
ДИМЕТРОДОН
Дейноних – дословный перевод «страшный коготь» - относился к группе ящеротазовых динозавров. Обитал во времена раннего мела около 100 миллионов лет назад в восточном полушарии на территории североамериканского континента. Скромные размеры ящера – вес до 80 кг, высота около 1,5 метра, наибольшая длина 4 метра – ничуть ни умаляли охотничьих достоинств хищного динозавра.
ДЕЙНОНИХ
Велоцираптор относился к отряду ящеротазовых динозавров. Место обитания – территория современного Китая и Монголия. Длина динозавра была всего 1,8 метра. Он относился к хищным ящерам с быстрыми ногами и длинной, совершенно приплюснутой головой. При проведении раскопок в Монголии исследователи обнаружили необычайную находку: окаменелые останки двух динозавров, схватившиеся в смертельной схватке друг с другом. Оба динозавра погибли, застигнутые внезапно разыгравшейся в самый разгар сражения песчаной бурей.
ВЕЛОЦИРАПТОР
Одним из самых известных доисторических ящеров был бронтозавр. Он относился к ящеротазовым динозаврам из группы зауроподов. Его вес составлял порядка 30 тонн, а общая длина тела превышала 20 метров.
БРОНТОЗАВР
Брахиозавр относился к растительноядным динозаврам – подотряд зауроподморфы. Населял Землю 155 миллионов лет назад: в эпоху поздней юры. Окаменевшие останки древнего ящера обнаружены на территории Северной Америки и в Африке. Считается одним из самых высоких ископаемых ящеров – с полностью вытянутой шеей динозавр достигал двадцатиметровой высоты. Скелет одного из динозавров, найденных в США, имеет длину 27 метров. При этих размерах тела вес ящера мог достигать 50 тонн.
БРАХИОЗАВР
Барионикс – необычный динозавр, обитавший на Земле в меловой период более 120 миллионов лет назад. Останки ящера обнаружены на территории Северной Африки и в Европе. Свое название – «крепкий коготь» – хищный ящер получил из-за длинного (около 35 см) серповидного когтя, располагавшегося на передних конечностях.
БАРИОНИКС
Археоптерикс – самое знаменитое доисторическое животное – в переводе с греческого языка означает «древнейшая птица». Относится к подклассу ящерохвостых динозавров. Обитал на планете в позднеюрский период – 147 миллионов лет назад. Отлично сохранившиеся окаменелые останки древнего ящера обнаружены в Германии. У отдельных найденных экземпляров летающего ящера присутствуют ярко выраженные отпечатки оперенья.
АРХЕОПТЕРИКС
Апатозавр – растительноядный динозавр; его ископаемые останки обнаружены в западной части Северной Америки. Динозавр обитал в позднеюрский период и обладал внушительными размерами: длина до 25 метров и вес более 30 тонн. Своё название – «ящер, вводящий в заблуждение» – он получил из-за множества вопросов, связанных с его классификацией.
АПАТОЗАВР
Анкилозавр относился к панцирным растительноядным птицетазовым динозаврам. Свое название он получил от греческих слов: «анкило» – изогнутый и «завр» – ящерица. Его ископаемые окаменевшие останки обнаружены в различных частях света: в Западной Европе, в Северной Америке, в Австралии, в центральной части Казахстана и в Средней Азии. Обитал во время юрского периода.
АНКИЛОЗАВР
Аллозавр относился к тетануранам - хищным динозаврам крупных размеров, живших на Земле во времена юрского и мелового периода. Представители этой группы, обладая крупными зубами кинжалообразной формы и мощными челюстями, охотились на травоядных динозавров. Выглядел древний ящер довольно устрашающе. Окаменелые останки доисторического хищника обнаружены в западной части североамериканского континента и в Австралии.
АЛЛОЗАВР
Когда вымерли динозавры?
Знающие люди ответят, что динозавров не стало 65 млн. лет тому назад, когда заканчивалась мезозойская эра, как раз наступал конец периода мела. Эра динозавров завершилась. До этого времени ящеры прекрасно себя чувствовали, наслаждались жизнью, господствовали.
Динозавров открыли давно и практически давно их уже изучили. Но так и осталось непонятным, почему вымерли динозавры?Гипотез было много, но так одна и не объяснила, почему одни виды животных и сейчас есть, а вот динозавров нет. Но вместе с динозаврами исчезли и некоторые растения, морские ящеры и другие. Значит, причина была у всех одна.


title: Презентация на тему: Функции

text:
1
[-6;6]
[-2;5]
2
3

[-6;-4). (-2;6]
(-4;-2)
4

[-3;1], [4;6]
[-6;-3], [1;4]
5
(1)=3
(-3)=-2; (4)=1
6
f(-6)=3; f(6)=5
1
2
3
4
5


title: Презентация на тему: «Функции» алгебра

text:
5klass.net
- 1
(- 1; 0)
0
(0; 2)
2
-
0
+
0
-
0
+
-
0
-
min
max
min
sinx
cosx
kx + C
-cosx+C
sinx + C
tgx+C
-ctgx+C


title: Презентация на тему: Франсуа Виет и его теорема

text:
900igr.net
25
25
12
18
8
14
14
14
2
2
14
14
14
2
0
4
3
3
3
2


text:
D > 0
D = 0

A cubus + B planum in A3 aequatur D solido.


title: Презентация на тему: Функции. Графики функций 7 класс

text:
1.
2.
3.
4.
5.


title: Презентация на тему: Функции

text:
- 1
(- 1; 0)
0
(0; 2)
2
-
0
+
0
-
0
+
-
0
-
min
max
min
sinx
cosx
kx + C
-cosx+C
sinx + C
tgx+C
-ctgx+C


Презентация на тему: Функции 7 класс


title: Презентация на тему: Функции

text:
900igr.net
2
3
x
5x + 2
x - 8
D(f)= (-     ; 8)    (8; +     )
8
X
Y
k>0
k<0
k=0
k
x
k>0
k<0
y =
k
x
y = x²
y = 2x
y = 2x + 2


title: Презентация на тему: Франсуа Виет 1540 - 1603

text:
x1x2= c/a
b
a2 = b2 + c2
<A = 90°
a2 > b2 + c2
<A > 90°
a2 < b2 + c2
<A < 90°
b
c

 =
 =
 = 2R
x45-(45x)43+(945x)41-(12300x)39+... +(95634x)5-(3795x)3+45x = a


Презентация на тему: Функции


Презентация на тему: Франсуа Виет


title: Презентация на тему: Функции и графики (9 класс)

text:
1
6
5
4
3
2
1.
2.
3.
4.
1
-1
1
2
-2
-2
-1
0
2
1
-1
1
-2
0
1
-1
1
2
-2
-2
0
1
-1
1
2
-2
-1
0
1
-1
1
2
-2
-2
-1
0
1
1
-1
2
-2
-2
0
1
-1
1
2
-2
-1
0
1
-1
1
2
-2
-2
-1
0
-1
-3
-2
0
1
-2
3
0
-3
2
-1
0
1
2
3
0
-2
-2
0
2
2
0
-2
2
0
2
2
0
-1
1
0
1
2
0
-4
-1
5
2
-3
0
1
-1
0
1
-1
0
2
0
1
- 4
-1
5
2
-3
0
-1
1
0
1
-1
1
0
-1
1
//////////////////////////////
///////////
0
0
2
3
3
0
3
3
0
2

3
1
3
0


title: Презентация на тему: Функции и графики в школьном курсе математики

text:
Prezented.Ru
Prezented.Ru


title: Презентация на тему: Формулы

text:
Формулы.
Урок изучения нового материала.
Математика 5 класс.Учебник: Н.Я. Виленкин «Математика 5».
Автор:Кузнецова Валентина Ивановна,
учитель математики,
высшая квалификационная категория.

Место работы:
МОУ «Покровская средняя общеобразовательная школа»Красногородский район  Псковская область
Тема урока: Формулы.Цель: Дать понятие формулы. Научить решать задачи по формулам.Оборудование: мультимедийный проектор.Ход урока:1.Проверка домашней работы.2. Устный счёт.  (Слайды №1,2)
3. Изучение нового.
1). Решить задачу №1 на движение. Формула пути.  Понятие о формуле. (Слайд №3)2). Решение задач №2, №3, №4 на формулу пути. Образец записи решения задачи. (Слайды №4,5)3). Формулы периметра прямоугольники и квадрата. Самостоятельно придумать задачи по этим формулам. (Слайд №6).
4. Закрепление изученного. Решение задач.Решить задачи № 674-679.5. Итог урока.6. Домашнее задание: П. 17. №700, 701.

План урока.

Вычислите устно:
Восстановите цепочку вычислений:
51
3
45
90
30
1900
15000
70000
7500
94000
1000000
Расскажите, в каком порядке надо выполнять действия при нахождении значения выражения:
Тема урока:   Формулы.
Задача 1. Велосипедист едет со скоростью 15 км/ч. Какое расстояние он проедет за 4 часа? За 6 часов? За t часов?
Обозначим путь буквой S, скорость – буквой V, время – буквой t, тогда
                   S=Vt – формула пути.
Формула – это запись какого–нибудь правила с помощью букв.
Задача 2. Автомобиль движется  со скоростью 60 км/ч.                   За какое время  он проедет путь в 600 км?
Задача 3. С какой скоростью должен идти человек,                     чтобы пройти 24 км за 4 часа?

А
В
20 км

?

Решите задачу
Запишите формулу для вычисления периметра прямоугольника

а
b
Р=2(а+b)
Запишите формулу для вычисления периметра квадрата

а
Р=4а
Придумайте задачи на эти формулы.


title: Презентация на тему: Функции и их графики

text:
900igr.net
y
x
O
x0
- x0
f(x0)
f(-x0)
y = f(x)
y
x
x0
- x0
f(x0)
f(-x0)
O
y = f(x)
y
x
O
1
2
4
3
-1
T
y = f(x)
x
y
O
x1
x3
x2
y = f(x)
O
y
x
y = f(x)
a
y
x
O
y
x3
x2
x1
y = f(x)
y
x
O
y = f(x)
y
x3
x2
x1
y
x
O
1
-1
-p
p
p/2
-p/2
y = sin x
y
x
O
1
-1
p/2
-p/2
y = arcsin x
y
x
O
y = f(x)
max
max
max
min
min
min
xmax
xmax
xmax
xmax
xmin
xmin
O
y
x
a
b
C1
C2
C3
C4
y = f(x)
y = f(x)
b
y = f(x)
y = f(x)
y
x
O
b
b
y = b; b > 0
y = b; b < 0
O
y
x
y = kx
k > 0
O
y
x
y = kx
k < 0
O
y
x
x1
x2
y1
y2
y = kx + b
k > 0
O
y
x
x1
x2
y1
y2
y = kx + b
k < 0
a
y
x
b
B(0; b)
y = kx + b
k > 0
A(-b/k; 0)
y
x
O
y
x
O
y = k / x
k > 0
y = k / x
k < 0
y
x
O
1
-1
1
y = x2
y
x
O
1
-1
1
y
x
O
1
-1
-1
y = ax2
a < 0; ½a½ < 1
y = ax2 + bx +c
a < 0
y
O
x
-b/2a
(0; c)
O
y
x
-b/2a
(0; c)
y = ax2 + bx +c
a > 0
O
y
x
-b/2a
(0; c)
y = ax2 + bx +c
a > 0
O
y
x
1
y = ax
a > 1
O
y
x
1
y = ax
0 < a < 1
y = logax
a > 1
O
y
x
1
O
y
x
1
y = logax
0 < a < 1
y
x
O
1
-1
-p
p
p/2
-p/2
y = sin x
5p/2
T = 2p
3p/2
2p
y
x
O
1
-1
-p
p
p/2
-p/2
y = cos x
5p/2
T = 2p
3p/2
2p
y
x
O
1
-1
p/2
-p/2
y = tg x
p
3p/2
T = p
y
x
O
1
-1
p/2
-p/2
p
3p/2
-p


text:
x
0
y
  y = 0.5x
y = x
2
2
1
1
2
1
4
9
y
x
0
1
2
3
y =2
x
y =
x
x
y
1
-1
1
0
y = 1/x
y = 1/x-1
y = 1/x
y = 1/x-1
-1
y
x
0
1
1
-1
2
2
-2
y =
y =
x
x
+3
3
y
x
0
1
1
-1
-2
-3
y =
y =
x+3
x
y = x
2
y = (x-3)
2
x
y
1
1
-1
0
2
-2
3
y
x
1
2
1
-1
0
y =1/x
y =1/x
y =1/(x-2)+1
y =1/(x-2)
y = 1/(x-2)+1
y =1/(x-2)
-1
y =
x
x-1
1
1
2
3
-1
-1
-2
-2
y
0
y =
y =
x-1
-2
x

2
2
2
2
y
x
0
1
1
-1
-1
-3
-4
y =x
y = ( x + 3 )
y = x + 6x + 5
2
2
2
3 - 2x
1 - x
3 - 2x
 2x - 3
 x - 1
1 - x
 x - 1
 x - 1
2
 1
 x - 1
 1
2
y= -1/x
y= -1/x
y= -1/(x-1)
y= -1/(x-1)+2
1
1
y= -1/(x-1)
y= -1/(x-1)+2
-1
2
y
x
0


title: Презентация на тему: Функции 9 класс

text:
900igr.net
10


title: Презентация на тему: Функции и графики

text:
y = f(x)
f
f
f
f
-7   -6   -5   -4   -3  -2    -1
1    2      3  4    5    6    7
-1
-2
-3
-4
-5
-6
9
8
7
6
5
4
3
2
1

y = f(-x)
y = f(x-1)
y = f(3x)
x = f(y)
y=f(x)
y
x
0
y=f(x)
y
x
0
y=f(x)
y=-f(x)
y = f(x)+n
y=f(x)
y
x
0
y=f(x)+n
n<0
n>0
y=f(x)
y = f(x-m)
y=f(x)
y
x
0
y=f(x - m)
m > 0
m<0
y=f(x)


title: Презентация на тему: Функции и их свойства, функциональные уравнения

text:
1
2
3
4
1
2
3
1)
2)
3)
2).
3);
4)
3,75

,
,
,
?
?
,
a

?
1
     ,
?
.
)
,
a

     ?
.
     b.
,
a
,
,
     ?
,
a
?


title: Презентация на тему: Функции тангенса и котангенса

text:
900igr.net
y = tgx
1
0


title: Презентация на тему: Функции алгебры логики

text:
900igr.net

                                                                                (2.1)
(2.2)
x1     x2     x3
f(x1, x2,  x3)
x1     x2     x3
f(x1, x2,  x3)
0     0     0
1
1     0     0
0
0     0     1
1
1     0     1
1
0     1     0
0
1     1     0
0
0     1     1
0
1     1     1
1

.
{x+y, xy, 1}.
f(1, ... , 1) = 1
0,
0* = 1,
1* = 0,
x* = x,
(f*)* = f
x,


title: Презентация на тему: Функции и их графики 10 класс

text:
y
x
Y=k1x + b1
Y=k2x + b2
y
x
Y=b
X=a
y
x


title: Презентация на тему: Функции: линейная, обратная пропорциональность, квадратичная

text:
D(y)=R
E(y)=R
k=0
b=0
k>0
k<0
k>0
k<0


title: Презентация на тему: Функции и графики

text:
y = kx
y = kx + m
y = x2
y = 1/x
1.
3.
2.
4.
1.
2.
1.
2.
3.
4.
5.
1.
2.
3.
4.
5.
1.
1.
2.
1.
2.
3.
1.
2.
3.
4.
1.
2.
3.
4.
5.
1.
2.
3.
4.
5.
6.


title: Презентация на тему: Функции y=tg x и y=ctg x, их свойства и графики

text:
3
1
0
0
y
x
1
-1
y
x
1
-1
y
x
1
-1
0
3
1
0
y
x
1
-1


title: Презентация на тему: Функция

text:
X
2
-3
m
3m
6
-9
3x
9
3
-1
1
x
2x-1
7
4
5
9
4
16
40,9
198,1
404,8
462,2
525,7
596,1
674,0
716,0
760,0
20
10
5
4
3
2
1
0,5
0
16
14
12
10
8
6
4
2
y
8
7
6
5
4
3
2
1
x
Y=2x


title: Презентация на тему: Функции и их свойства

text:
0
4
2
2
-2
-2
-4
-4
4
6
-6
-6
6
8
-8
-8
8
10
-10
-10
10
12
-12
12
0
4
2
2
-2
-2
-4
-4
4
6
-6
-6
6
8
-8
-8
8
10
-10
-10
10
12
-12
12
0
4
2
2
-2
-2
-4
-4
4
6
-6
-6
6
8
-8
-8
8
10
-10
-10
10
12
-12
12
0
4
2
2
-2
-2
-4
-4
4
6
-6
-6
6
8
-8
-8
8
10
-10
-10
10
12
-12
12
-10
0
-10
0
0
4
2
2
-2
-2
-4
-4
4
6
-6
-6
6
8
-8
-8
8
10
-10
-10
10
12
-12
12
f (-x) = f (x).
0
4
2
2
-2
-2
-4
-4
4
6
-6
-6
6
8
-8
-8
8
10
-10
-10
10
12
-12
12
f (-x) = - f (x).
0
4
2
2
-2
-2
-4
-4
4
6
-6
-6
6
8
-8
-8
8
10
-10
-10
10
12
-12
12


title: Презентация на тему: Функции у = , их свойства и графики

text:
x
y
 1
- 1
0
-1
-4
f(-x) =                           = -f(x)


Презентация на тему: Функция


title: Презентация на тему: Функция

text:
5
4
3
2
1
(-4; -3)
(-0,4; 5,08)
(8; -6)
(-2; -110)
(1; 2)
2
4
3
1
1
1
5
6
8
7
2
4
3
1
1
1
5
6
8
7
7
8
6
5
1
3
4
2


title: Презентация на тему: Функция

text:
g=f(t)
g
x
t
35
75
60
57
25
11
18
y=20+x
y=x-20
45
31
38
15
55
40
37
0
4
-4
-2
  2
25
71
-43
64
B(0;0)
C(3;0)
    -1
    0
    3
    -1
x1
f(x1)
x2
f(x2)
x2
f(x2)
x1
f(x1)
x1
f(x1)
x2
f(x2)
x2
f(x2)
x1
f(x1)
5
-4
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8


title: Презентация на тему: Функция

text:
                      0  1   2   3  4   5   6   7   8   9   10  11  12  13  14  15  16
 1
 2
 3
  0
  0
  1
  1
  4
  2
6,25
2,5
 9
 3
2,25
1,5
                      0  1   2   3  4   5   6   7   8   9
 1
 2
 3
     1   2   3   4   5   6   7   8  9   10 11
0
                                              -1
1
4
 3
7.
0
4.
1.
2.
5.
0
     1   2   3   4   5   6   7   8  9   10 11
0
                                              -2
-1
-4
 -3
  0
  0
  1
  -1
  4
  -2
6,25
-2,5
 9
 -3
2,25
-1,5
     1   2   3   4   5   6   7   8  9   10 11
0
                                              -2
-1
-4
 -3
7.
0
4.
1.
2.
5.
0
    1   2   3   4   5  6   7   8   9
0
                                       -2  -1
 7
 1
 2
 3
 4
 6
 5
-1
-2
 0
 0
  1
  1
  4
  2
     1   2   3   4   5   6   7   8  9   10 11
0
                                              -1
1
4
 3
2
     1   2   3   4   5   6   7   8  9   10 11
0
                                              -1
1
4
 3

                                    0  1  2   3   4   5   6   7   8   9
 3
-4
1
-1
-3

-2
-5
2
4
-6
1
0
 -6
6
0
2
3
0
0
 1
1
 4
 9
2
 3
                                -1     0 1   2  3   4   5   6   7   8   9
  4
6
 3
 2
1
 7
 5
 8
 9
1
(3;0) , (4;1)
(3;0)
0
0
±1
1
±2
±3
4
 9
0
0
1
4
2
1
(4;1)
2
3
f(x)=
f(x)=
 0
 0
  1
  1
  4
  2
 0
 0
  ±1
  2
  ±2
   8
8
4
-3  -2  -1    0  1   2   3  4   5   6
 1
 2
 3
1
0
3
f(x)=
-1
2
-3
4.
1.
2.
5.
0
2
7.
         1        2
-3
-2


title: Презентация на тему: Функция.График функции

text:
S = 70 · 1 = 70
S = 70 · 1,5 = 105
S = 70 · 3 = 210
S = 70 · t
0
2
4
6
8
10
12
14
22
24
16
18
20
2
4
-2
-6
-4
0
1
3
4
6
7
9
50
-80
0
1
3
4
6
7
9
50
-80
v = 25
v = 50
v = 25
v = 0
v = -40
v = -80
0
1
3
4
6
7
9
50
-80
v = 25
v = 50
v = 25
v = 0
v = -40
v = -80
a = 2
a = 3
a = 4
S = a2
S = 4
S = 9
S = 16
2
5
4
3
1
7
10
9
8
6
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
0
0
1.
2.
0
1
3
4
6
7
9
50
-80
1.
2.
3.
4.
1.
2.
3.
1.
2.
1.

2.
3.

y
10
4
1
0
-2
-6
x
-6
-4
-3
-2,5
-1
2
y
3
1
0
-1
-2
-3
x
13
3
-3
-5
-3
13
IV
III
II
I
A (-4; 6)
B (5; -3)
C (2; 0)
D (0; -5)
-1
0
1
2
3
4
x
y
1
0,75
0,6
0,5
3
1,5
1.
3
2
2.
4
4
1.
2.
1.
2.
1.
2.


title: Презентация на тему: Функция

text:
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
x
0
0
0
0
0
0
2
0
- 2
- 1
3
0
0
1
4
-3


title: Презентация на тему: Функция и её график

text:
=
4
2
=
5
2
=
2
1
2
=
4
=
5
=
2
1
=
b
4
1
=
b
25
=
a
16
=
x
1.
=
2.
=
3.
=
4.
=
=
0
³
x
4
9
16
2
3
4
=
2
=
=
=
( 64; 8 )
=
=
=
<
<
<
1
2
3
4
=

,
0

=
0
=

,
0

>
0
>
0
³
1.
6.
3.
2.
5.
4.
2.
3.
4.
1.
=

=
2
-
=
2
-
=
=
3
+
=
4
-
-
=


title: Презентация на тему: Функция и её график.

text:
1
1)
1
2)
2
1)
2
2)
3
1)
3
1)
1
2
1
2
3
( 1; 3 )
( 2; -6 )
( -12; 4 )
( 5; 0,5 )


title: Презентация на тему: Франсуа Виет

text:
Франсуа Виет
Франсуа Виет (1540-1603) — французский математик.
Презентацию подготовил:Смирнов Алексей.8б. Школы №2.
Французский математик Виет
Разработал почти всю элементарную алгебру. Известны «формулы Виета», дающие зависимость между корнями и коэффициентами алгебраического уравнения (Виета теорема — установленная Ф. Виетом теорема: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при x, взятому с противоположным знаком, а произведение — свободному члену).
Не много биографии.
Франсуа Виет — замечательный французский математик, положивший начало алгебре как науке о преобразовании выражений, о решении уравнений в общем виде, создатель буквенного исчисления.Франсуа Виет родился в 1540 году на юге Франции в небольшом городке Фантене-ле-Конт, что находится в 60 км от Ла Рошели, бывшей в то время оплотом французских протестантов-гугенотов. Большую часть жизни он прожил рядом с виднейшими руководителями этого движения, хотя сам оставался католиком. По-видимому, религиозные разногласия ученого не волновали.
Университет “Пуату”
Отец Виета был прокурором. По традиции, сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1560 году двадцатилетний адвокат начал свою карьеру в родном городе, но через три года перешел на службу в знатную гугенотскую семью де Партене. Он стал секретарем хозяина дома и учителем его дочери двенадцатилетней Екатерины. Именно преподавание пробудило в молодом юристе интерес к математике.
Когда ученица выросла и вышла замуж, Франсуа Виет не расстался с ее семьей и переехал с нею в Париж, где ему было легче узнать о достижениях ведущих математиков Европы. С некоторыми учеными Виет познакомился лично. Так, он общался с видным профессором Сорбонны Рамусом, с крупнейшим математиком Италии Рафаэлем Бомбелли вел дружескую переписку.В 1671 году Франсуа Виет перешел на государственную службу, став советником парламента, а затем советником короля Франции Генриха III.В ночь на 24 августа 1672 года в Париже произошла массовая резня гугенотов католиками, так называемая Варфоломеевская ночь. В ту ночь вместе со многими гугенотами погибли муж Екатерины де Партене и математик Рамус. Во Франции началась гражданская война.Находясь на государственной службе, Ф. Виет оставался ученым. Он прославился тем, что сумел расшифровать код перехваченной переписки короля Испании с его представителями в Нидерландах, благодаря чему король Франции был полностью в курсе действий своих противников. Код был сложным, содержал до 600 различных знаков, которые периодически менялись. Испанцы не могли поверить, что его расшифровали, и обвинили французского короля в связях с нечистой силой.

В последние годы жизни Франсуа Виет..
В последние годы жизни Франсуа Виет ушел с государственной службы, но продолжал интересоваться наукой. Известно, например, что он вступил в полемику по поводу введения нового, григорианского календаря в Европе. И даже хотел создать свой календарь.В мемуарах некоторых придворных Франции есть указание, что Виет был женат, что у него была дочь, единственная наследница имения, по которому Франсуа Виет звался сеньор де ла Биготье. В придворных новостях маркиз Летуаль писал: «... 14 февраля 1603 г. господин Виет, рекетмейстер, человек большого ума и рассуждения и один из самых ученых математиков века умер... в Париже, имея, по общему мнению, 20 тыс. экю в изголовье. Ему было более шестидесяти лет».
Теоремы Виета.
Сумма корней приведенного квадратного трехчлена                 равна его второму коэффициенту p с противоположным знаком, а произведение - свободному члену q .
.
В случае неприведенного квадратного уравнения                    формулы Виета имеют вид:

Значимость теоремы Виета заключается в том, что, не зная корней квадратного трехчлена, мы легко можем вычислить их сумму и произведение, то есть простейшие симметричные многочлены от двух переменных             и          . Теорема Виета позволяет угадывать целые корни квадратного трехчлена.
И так, наша тема подошла к концу.
Подробности жизни Франсуа Виета в тот период неизвестны, что само по себе говорит о его желании оставаться в стороне от кровавых дворцовых событий. Известно только, что он перешел на службу к Генриху IV, находился при дворе, был ответственным правительственным чиновником и пользовался огромным уважением как математик.


title: Презентация на тему: Функция

text:
-3
-1
0
2
3
-5
3
2
-3
Y
X
0
x
y
0
x
y
0
x
y
x
-3
-1
0
1
2
3
y
3
2
-2
3
-3
-5
10. D(f)=(-8; 2]
12. D(f)=(-6; 0)U(0; 4]
y = f (x)

1   2   3  4   5   6   7
-7 -6 -5 -4  -3  -2  -1
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
y
x
1   2   3  4   5   6   7   8
-7 -6 -5 -4  -3  -2  -1
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
x
1
3
4
2
3
5
9
7
+
[-6;0)
(0;2)
+
(2;4)
(4;7)
+
(7;8]
1   2   3  4   5   6   7
-7 -6 -5 -4  -3  -2  -1
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
[-2; 6]
[-5; 7]
[-2; 4]
[- 2; 6]
2
1
3
4
   [0; 2)     (2; 5]
2
4
3
[0; 5]
y = f (x)

1   2   3  4   5   6   7   8
-7 -6 -5 -4  -3  -2  -1
y
x
 5
 4
 3
 2
1
-1
-2
-3
-4
1
[-6; 8]
[-6; 0)
1   2   3  4   5   6   7
-7 -6 -5 -4  -3  -2  -1
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
(-1; 3)
2
1
3
4
(1; 3)
(-2; -1)
[-1; 3]
1   2   3  4   5   6   7
-7 -6 -5 -4  -3  -2  -1
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
1
3
5
-1
2
1
3
4
1   2   3  4   5   6   7   8
-7 -6 -5 -4  -3  -2  -1
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
(- 4; 4)
(1; 4)
4
1
3
2
y
x
(- 4;- 3)    (2; 4)
(- 4; 3)     (4; 8)
1   2   3  4   5   6   7   8
-7 -6 -5 -4  -3  -2  -1
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
x
2
3
4
1
[-7; 3)
(- 4; 3)     (4; 8)
[-7; 0)
(-7; 4)
1   2   3  4   5   6   7   8
-7 -6 -5 -4  -3  -2  -1
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
x
3
2
4
1
(0; 5)
(- 5;- 1)
(-2;-1)
(- 1; 1)
1   2   3  4   5   6   7
-7 -6 -5 -4  -3  -2  -1
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
2
1
3
4
(1; 0)
y = x;
1   2   3  4   5   6   7
-7 -6 -5 -4  -3  -2  -1
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
2
1
3
4
1
2
x = 1     D(y)
x = 1     D(y)
(1; 0)
4
2
3
1
3
4
2
1
3
4
2
1
4
3
1
2
4
1
3
2

4
3
2
1
y
x

x
10
2
1
3
4
2
2
3
8
4
 f(x)
  f/(x)
y = f /(x)

1   2   3  4   5   6   7
-7 -6 -5 -4  -3  -2  -1
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
y
x
0
-1
-3
-2
+
+
+

2
3
4
1
7
3
8
4
 f(x)
  f/(x)
y = f /(x)

1   2   3  4   5   6   7
-7 -6 -5 -4  -3  -2  -1
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
y
x
3
1
-2
-5
-4
4
7
+
+
+
+

3
2
4
1
3
2
1
4
 f(x)
  f/(x)
4
+
y = f /(x)

1   2   3  4   5   6   7
-7 -6 -5 -4  -3  -2  -1
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
y
x
1
+
 IIIIIIIIIIIIIII
2
3
4
1
5
2
1
4
 f(x)
  f/(x)
-2
+
y = f /(x)

1   2   3  4   5   6   7
-7 -6 -5 -4  -3  -2  -1
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
y
x
-5
+

2
3
4
1
8
4
2
1
 f(x)
  f/(x)
3
+
y = f /(x)

1   2   3  4   5   6   7
-7 -6 -5 -4  -3  -2  -1
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
y
x
1
+
5
6
+

y = f /(x)

1
3
4
2
8
6
4
  9
 f(x)
  f/(x)
2
+
1   2   3  4   5   6   7
-7 -6 -5 -4  -3  -2  -1
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
3
IIIIIIIIIIIIIIII
y
x
y = f /(x)
     -4   -3  -2   -1

4
3
1
2
2
- 2
- 4
1
 f(x)
  f/(x)
1
+
a

-4
3
y = f /(x)
     -4   -3  -2   -1

1
3
4
2
2
0
-5
- 3
 f(x)
  f/(x)
2
+
a
y

-5
4


title: Презентация на тему: Функция ах2

text:
900igr.net
1
1
4
9
2
3
-1
1)
-3
-2
-1
0
1
2
3
9
4
1
0
1
4
9
1
1
4
9
2
3
-1
1)
-3
-2
-1
0
1
2
3
9
4
1
0
1
4
9
1. D(y): R
1
1
4
9
2
3
-1
1)
-3
-2
-1
0
1
2
3
9
4
1
0
1
4
9
1. D(y): R
1
1
4
9
2
3
-1
1)
-3
-2
-1
0
1
2
3
9
4
1
0
1
4
9
1. D(y): R
1
1
4
9
2
3
-1
2)
-3
-2
-1
0
1
2
3
18
8
2
0
2
8
18
1
1
4
9
2
3
-1
3)
-3
-2
-1
0
1
2
3
4,5
2
0,5
0
0,5
2
4,5
1
1
-2
2
3
-1
4)
-3
-2
-1
0
1
2
3
-4,5
-2
-0,5
0
-0,5
-2
-4,5
1
1
-2
2
3
-1
4)
-3
-2
-1
0
1
2
3
-4,5
-2
-0,5
0
-0,5
-2
-4,5
1. D(y): R
1
1
4
9
2
3
-1
1
1
4
9
2
3
-1
2
1
1
4
9
3
-1
1
1
4
9
2
3
-1
2
1
1
4
9
3
-1
2
1
1
4
9
3
-1


title: Презентация на тему: Функция. Свойства функций

text:
y =
y =
y =
y =
y =
y = 20
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
---


text:
5klass.net
S = 70 · 1 = 70
S = 70 · 1,5 = 105
S = 70 · 3 = 210
S = 70 · t
0
2
4
6
8
10
12
14
22
24
16
18
20
2
4
-2
-6
-4
0
1
3
4
6
7
9
50
-80
0
1
3
4
6
7
9
50
-80
v = 25
v = 50
v = 25
v = 0
v = -40
v = -80
0
1
3
4
6
7
9
50
-80
v = 25
v = 50
v = 25
v = 0
v = -40
v = -80
a = 2
a = 3
a = 4
S = a2
S = 4
S = 9
S = 16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
0
0
1.
2.
0
1
3
4
6
7
9
50
-80
1.
2.
3.
4.
1.
2.
3.
1.
2.
1.

2.
3.

x
-6
-2
0
1
4
10
y
-6
-4
-3
-2,5
-1
2
x
-3
-2
-1
0
1
3
y
13
3
-3
-5
-3
13
IV
III
II
I
A (-4; 6)
B (5; -3)
C (2; 0)
D (0; -5)
-1
0
1
2
3
4
x
y
1
0,75
0,6
0,5
3
1,5
1.
3
2
2.
4
4
1.
2.
1.
2.
1.
2.


title: Презентация на тему: Функция. Основные понятия

text:
y = f(x)
yn
y2
y1
xn
x2
x1
x
y
0
 y
y
0
y
0
y
0
x1
x2
f(x2 )
f(x1 )
x1
x2
f(x1 )
f(x2 )
x1
x2
f(x1 )
f(x2 )
x1
x2
f(x2 )
f(x1 )
y
0
y
0
1)
2)
3)
4)
5)
b
6)
y
0
1
-1
1
-1
1
1
1
-1
1
-1
1)
2)
3)
1
2
1,33
1,25
1,5
1,2
0,8
1,16
y
0


title: Презентация на тему: Функция. Область определения и область значений функции

text:
2
3
x
5x + 2
x - 8
D(f)= (-     ; 8)    (8; +     )
8
X
Y
k>0
k<0
k=0
k
x
k>0
k<0
y =
k
x
y = x²
y = 2x
y = 2x + 2


title: Презентация на тему: Функция тангенса

text:
5klass.net
(1)
(2)
0
0
1
3
y
x
1
-1
y
x
1
-1
y
x
1
-1
y
x
1
-1
y
x
1
-1
y
x
1
-1
y
x
1
-1


title: Презентация на тему: Функция и свойства квадратного корня

text:
5klass.net

0
0
12 < 21
-36 > -63
4,5 < 34,81
1) 7      2) 8      3)           4) 9
1) 7         2) 8     3) 9      4)
1)           2) 7     3) 9     4) 8
1) 9      2) 8      3) 7      4)
1) 2    2) 3    3) 4    4) 5
1) 7    2) 6    3) 5   4) 4
1) 7    2) 8   3) 9   4) 10
1) 13  2) 14 3) 15  4) 16
1) 15  2) 30  3) 60  4) 45
1)      2)      3)       4) 2
1) 8   2) 6   3) 12   4) 4
1) 2    2)       3)       4) 1
1) -1  2) 5  3) 11  4) 29
1)      2) 1,2 3)     4) 1
1) 4  2) - 4  3) 2  4) -2
1) 2  2) 24 3)       4)
1)                  2)
3)                  4)
1)                 2)
3)                 4)
1)                 2)
3)                 4)
1)                  2)
3)                  4)
1)      2)       3) 2   4) -2
1)      2)       3) 4   4) -4
1)      2)        3) 1   4) -1
1)     2)        3) 2   4) -2
4
4
2
2
3
1
3
1
2
3
2
1
3
3
1
1
2
3
1
1
3
1
1
3


title: Презентация на тему: Функция у = cos х, ее свойства и график

text:
y=sin x
 sin(x+p/2)=cos x


title: Презентация на тему: Функция у=ах2 и ее свойства

text:
1
1
4
9
2
3
-1
1)
-3
-2
-1
0
1
2
3
9
4
1
0
1
4
9
1
1
4
9
2
3
-1
1)
-3
-2
-1
0
1
2
3
9
4
1
0
1
4
9
1. D(y): R
1
1
4
9
2
3
-1
1)
-3
-2
-1
0
1
2
3
9
4
1
0
1
4
9
1. D(y): R
1
1
4
9
2
3
-1
1)
-3
-2
-1
0
1
2
3
9
4
1
0
1
4
9
1. D(y): R
1
1
4
9
2
3
-1
2)
-3
-2
-1
0
1
2
3
18
8
2
0
2
8
18
1
1
4
9
2
3
-1
3)
-3
-2
-1
0
1
2
3
4,5
2
0,5
0
0,5
2
4,5
1
1
-2
2
3
-1
4)
-3
-2
-1
0
1
2
3
-4,5
-2
-0,5
0
-0,5
-2
-4,5
1
1
-2
2
3
-1
4)
-3
-2
-1
0
1
2
3
-4,5
-2
-0,5
0
-0,5
-2
-4,5
1. D(y): R
1
1
4
9
2
3
-1
1
1
4
9
2
3
-1
2
1
1
4
9
3
-1
1
1
4
9
2
3
-1
2
1
1
4
9
3
-1
2
1
1
4
9
3
-1


title: Презентация на тему: Функция у=ах² +вх+с

text:
6
3
2
3
6
3
2
1
0
-1
4
1
0
1
4
3
2
1
0
-1


title: Презентация на тему: Функция у=кх2 ,ее свойства и график

text:
-2
-1
0
1
2
8
2
0
2
8
-2
-1
0
1
2
2
0,5
0
0,5
2
  1
  -1
 -1
  -5
   -2
   -1
    0
    1
   -4
   -1
    0
   -1


Презентация на тему: Функция y=ax2+bx+c, её свойства и график


title: Презентация на тему: Функция y = ax².

text:
0
D(y)
E(y)
S(x)=4x2-140x+1200
S(a)=4a2
y(x)=2x2
y(x)=½x2
y(x)=-2x2
y(x)=-½x2


title: Презентация на тему: Функция у = k / х.

text:
Prezentacii.com
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
A1
1)
2)
3)
4)
5)
6)
4)
1)
2)
3)
4)
5)
6)
0
1
1
A(4;1)
0
1
1
B(3;1)
1
2
3
4
6
12
-3
-6
0
1
1
1
0
1
1
2
0
1
1
2
1
0
1
1
A(4;1)
B(-1;4)
0
1
1
8
4
2
2
4
8
-2
-4
-8
-2
-4
-8
1

2

3

4


title: Презентация на тему: Дроби

text:
Многоэтажные дроби
1
8 класс
Дроби

2

X =           ;

Y =            ;

Z =           .
  Построение рациональных
            выражений

X + Y · Z =            +            ·             .

     + Z² =             + (           )².

    +     +      =            +             +             .

 X · ( Y + Z ) =            · (            +             ).

                                   +            +

3
Многоэтажная дробь

/+++==
4
1
3
2

ПОДУМАЙ!
ВЕРНО!
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!

А =              ;            В =    ;            С =               .

A + В
   C

4
2
3
1

2
1
4
3

ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
ВЕРНО!

ПОДУМАЙ!

А =              ;            В =    ;            С =               .

А +

1
2
3
4
4
1
3
2

ПОДУМАЙ!
ВЕРНО!
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!

А =              ;            В =    ;            С =               .

1
2
3
4

2
1
4
3

ПОДУМАЙ!

ПОДУМАЙ!
ВЕРНО!

ПОДУМАЙ!

А =              ;            В =    ;            С =               .

1
2
3
4

9
Преобразования многоэтажной дроби

3a
2х
5р
7n

21an

10px

3a
2b

3an

2bm
2
1
С
В
А
10
Сокращение многоэтажной дроби

anx

bmx

any

bmy

2c
9

2b
a-b
4
3
11
          Упростите

7
6
5
48
5
0

0
7
6

12
Тождественные преобразования
      многоэтажных дробей
Решаем
вместе

m+1

m-1
1
2

2

13

a

2
a
a+1
a
-1

молодцы
3
4

14
Мальчишки и девчонки

15
Гонки

16
Домашнее задание
Преобразуйте многоэтажную дробь в обыкновенную:

1
2
3
4
5
17
Спасибо
    за
  урок


title: Презентация на тему: Франсуа Вієт

text:
ФРАНСУА ВІЄТ
Презентацію підготувала учениця 8 класу
Перець Вікторія
Керівник: вчитель математики Лазоренко Т.І.
Вільшанська ЗОШ І-ІІІ ступенів
ФРАНСУА ВІЄТ
відомий   французький математик
Народився в 1540 році на півдні Франції у невеличкому містечку Фонте-ле-Конт провінції Пуату-Шарант (60 км від знаменитої фортеці Ла Рошель)
Батько Вієта був прокурором, тому, отримавши юридичну освіту, 1560 року 20-річний Франсуа почав свою адвокатську кар’єру в рідному місті.
        А через три роки перейшов на службу у відому гугенотську сім’ю де Партене секретарем голови знатного сімейства і вчителем 12-річної доньки Катерини.
        Саме з цього часу він почав найбільше цікавитися математикою…
Франсуа Вієт
(1540-1603)
1571 рік – перейшов на державну службу, ставши радником парламенту у Бретані;
1580 рік - знайомство з Генріхом Наварським, майбутнім королем Франції Генріхом ІІІ, допомогло Вієту отримати придворну посаду – таємного радника – спочатку короля Генріха ІІІ, а потім – і                     Генріха IV.
БЛИСКУЧА КАР’ЄРА
Генріх ІІІ
Генріх ІV
СЛАВА ВІЄТА ПІД ЧАС
ФРАНКО-ІСПАНСЬКОЇ ВІЙНИ
Вороги короля Франції, іспанські інквізитори, в Нідерландах для таємного листування з іспанським двором вигадали складний шифр (біля 600 знаків), який постійно змінювався і доповнювався. Ніхто не міг його розшифрувати. Король звернувся до Вієта. Франсуа Вієт працював два тижні, вдень і вночі, і знайшов ключ до   шифру!
Іспанці почали програвати битви і звинуватили перед Папою Римським та інквізицією короля Франції Генріха IV в тому, що йому служить сам диявол.
          За змову з дияволом Вієта було засуджено до страти - спалення на вогнищі - та на щастя його не було видано інквізиції.
ПОКЛИЧТЕ ВІЄТА!
Жовтень 1594 р. – король Генріх IV  приймав нідерландського посла. Голландський математик Адріан ван-Роумен задав задачу математикам світу виключаючи Францію (розв’язати рівняння 45-го степеня)
«Ви помиляєтесь! У мене є математик, і досить видатний.
                       Покличте Вієта!»
Вієт прочитав листа і тут же написав один з розв’язків рівняння, а наступного дня надіслав ще 22 розв’язки (знайшов усі додатні корені цього складного рівняння!).
         Крім того, 54-річний Вієт виявив помилку в умові, що була допущена під час переписування, і виправив її.
У мемуарах деяких придворних Франції є вказівка, що Вієт був одружений, що в нього була дочка, єдина спадкоємиця маєтку, по якому Вієта звали сеньйор де ла Біготьє. У придворних новинах маркіз Летуаль писав: “4 лютого 1603 р. пан Вієт, рекетмейстер, людина великого розуму й міркування й один із самих учених математиків століття помер у Парижі. Йому було більше шестидесяти років".
ФРАНСУА ВІЄТ

«Мистецтво, яке я викладаю, нове або принаймні було настільки зіпсоване часом і перекручене впливом варварів, що я вважав за потрібне надати йому зовсім нового вигляду»

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

 Інтернет - ресурси:
osvita.ua/vnz/reports/ biograf/23868/
http://teorema-vieta.narod2.ru/biografiya_fransua_vieta/


title: Презентация на тему: Функция y=cos x

text:
900igr.net
x
0
y=cos x
1
½
0
-½
-1
y = cos x + A
y = k · cos x
y = - cos x
y = | cos x |
y = cos ( k · x )
y = cos ( - x )
y = cos | x |


title: Презентация на тему: Функция y = cos x

text:
y = cos x + A
y = k · cos x
y = - cos x
y = | cos x |
y = cos ( k · x )
y = cos ( - x )
y = cos | x |
-1
-½
0
½
1
y=cos x
0
x


title: Презентация на тему: Функция y= ІхІ

text:
|x|=
0
|x-3|-1=x3
y=|x-3|-1
y=x3
0
x
1
4
y=|x|-2
y=
0
x
y
1
4
0
x
1
|x+2|+1 =c
y=|x+2|+1
y=c
|x|=|x-3|+4-x
|x|=0,|x-3|=0
0
3
-2
-1
x
-3
-2
x
x   [-3;-2]
-1
2
-1
2
0,5
2
-1
2
0


title: Презентация на тему: Функция y = x^2

text:
y = x2
y = x2
[- 3; 2 )
y = x2
(-     ; 3]
y = x2
[ - 2; +         )
y = x2
[ 1; 3]
y = x2
[- 3; - 1]


title: Презентация на тему: Формулы. Решение задач

text:
УРОК
ПО МАТЕМАТИКЕ
5 КЛАСС
Жила-была загадочная принцесса Формула.
Она была непоседа и постоянно путешество-
вала из государства Алгебра в государство
Геометрия. Она имела множество имён и так
часто менялась, что подданные не узнавали
её в лицо. То она Формула Пути, то Формула
для Вычисления Площади Прямоугольника.
Она очень добра и всегда готова помочь тому,
кто не только узнаёт её с первого взгляда, но
и знает наизусть все её имена. Потому что
ФОРМУЛА	 – это…

Тема   урока:
Формулы.
Решение задач.
Запишите формулу:

2. Периметра квадрата
3. Периметра
 прямоугольника
4. Площади  квадрата
1)  S=a b
2) P= 4 a
3) P= ( a + b ) 2
4) S= aa
Правильный ответ
S= vt
Как называется формула?
Задача.
C какой скоростью должен идти человек,
чтобы пройти 24 км за 4 ч?
s = v ∙ t
v = s : t
v = 24 : 4
v = 6
Задача.
С одной станции в противоположных направлениях
вышли два поезда в одно и то же время. Скорость
     одного поезда 50 км/ч, а другого – 70 км/ч. Какое
     расстояние между ними будет через 2 часа?
Подсказка
s = v ∙ t

?

2 ч
70 км/ч

50 км/ч

2 ч

240 км
Сколько граней у параллелепипеда?
Сколько ребер у параллелепипеда?
Сколько вершин у параллелепипеда?
Как найти объем параллелепипеда?

V=a b c
Зная, что V= abc,
вычислите объём
б) a= 6 м, b= 5 м,  c= 20 м.

В КУБИЧЕСКИХ САНТИМЕТРАХ: 5ДМ3 ; 3 ДМ3

В КУБИЧЕСКИХ  ДЕЦИМЕТРАХ:  7 М3;    5 М3

Решение задач
Найдите площадь садового участка, если ширина участка 3 м 50 см, а длина в два раза больше.
Решение задач
Два прямоугольника имеют равные площади. Длина первого 22см, а ширина на 4см меньше длины. Длина второго прямоугольника 33см. Найдите ширину второго прямоугольника.
Решение задач
Объем второго параллелепипеда в 4 раза больше объема первого. Найдите объем каждого параллелепипеда, если их общий объем  170 М3.

V1
V1 +V2=V

V2
Самостоятельная работа

v=50км/ч,t=7ч,S=?
a=40см,b=64см,P=?
a=28м, S=?
a=120 дм,b=11дм, S=?
P=1632м, a=408 м,b-?
a=27см, b=10см, c=131см, V=?
Площадь прямоугольника и квадрата равны. Длина прямоугольника 36м, ширина 9м.Чему равна сторона квадрата?

Итог урока

Домашнее задание
№820(а-в)
№821(а)


title: Презентация на тему: fjtyjtyjty

text:
Звёзды
Звезда — небесное тело, в котором идут, шли или будут идти термоядерные реакции. Звёзды представляют собой массивные светящиеся газовые шары. Звёзды образуются из газово-пылевой среды (главным образом из водорода и гелия) в результате гравитационного сжатия.
Основные характеристики
Ближайшей к Земле звездой (не считая Солнца) является Проксима Центавра. Она расположена в 4,2 св. лет от нашей Солнечной системы (4,2 св. лет = 39 триллионов км).

Рождение звёзд
Формирование звезды — процесс, которым плотные части молекулярных облаков коллапсируют в шар плазмы, чтобы сформировать звезду. Эволюция звезды начинается в гигантском молекулярном облаке, также называемым звёздной колыбелью.

Звёзды
Коричневый карлик

Белые карлики
 Звезды Вольфа – Райе
Нейтронные звезды
 Коричневый карлик
Вопреки распространённому мнению, в них идут термоядерные реакции, но в отличие от звёзд главной последовательности они не могут компенсировать потерю энергии на излучения и относительно быстро охлаждаются, со временем превращаясь в планетоподобные объекты. В коричневых карликах, в отличие от звёзд главной последовательности, также отсутствуют зоны лучистого переноса энергии — теплоперенос.

Белые карлики
Белые карлики — проэволюционировавшие звёзды с массой, не превышающей предел Чандрасекара (максимальная масса, при которой звезда может существовать, как белый карлик), лишённые собственных источников термоядерной энергии.
Белые карлики представляют собой компактные звёзды с массами, сравнимыми с массой Солнца, но с радиусами в ~100 и, соответственно, светимостями в ~10 000 раз меньшими солнечной. Плотность белых карликов составляет 105—109 г/см³

Звёзды Вольфа — Райе  — класс звёзд, для которых характерны очень высокая температура и светимость; звёзды Вольфа — Райе отличаются от других горячих звёзд наличием в спектре широких полос излучения водорода, гелия, а также кислорода, углерода, азота в разных степенях ионизации.
Звёзды Вольфа — Райе

Солнце

Нейтронная звезда — астрономическое тело, один из конечных продуктов эволюции звёзд, состоит из нейтронной сердцевины и тонкой коры вырожденного вещества с преобладанием ядер железа и никеля. Нейтронные звёзды имеют очень малый размер — 20—30 км в диаметре. Средняя плотность вещества такой звезды в несколько раз превышает плотность атомного ядра (2,8×1017 кг/м³).

Нейтронная звезда
Смерть звезд

Далеко не все сверхновые становятся нейтронными звёздами. Если звезда обладает достаточно большой массой, то коллапс звезды продолжится, и сами нейтроны начнут обрушиваться внутрь, пока её радиус не станет меньше 30 километров. После этого звезда становится чёрной дырой.
Смерть звезд

За полсекунды ядро размером с Землю сжимается в объект диаметром 15 километров. В одно мгновение, сжавшееся ядро разжимается, сметая внешние слои звезды и создает самый мощный взрыв в нашей вселенной со времен большого взрыва.
Спасибо за внимание


title: Презентация на тему: Функции в алгебре

text:
Функции (Алгебра)
Определение функции. Определение аргумента и значения функции.
Функция - это математическая зависимость значений переменной У от заданных значений переменной Х. При этом каждому определенному значению Х соответствует единственно возможное значение У. Переменная Х называется аргументом (или независимой переменной). Переменная У называется значением функции и является зависимой (от Х) переменной.
www.skachat-prezentaciju-besplatno.ru
У=f(x)
Что такое область определения? Понятие области значений функции.
Область определения (обозначается D( f )) - все возможные значения аргумента.
Например, D( f ) € ∞ (все значения Х) или -13 ≤ Х ≤ 13.
Область значений f(X) (обозначается Е( f )) - все возможные значения зависимой переменной У при заданных значениях аргумента.

www.skachat-prezentaciju-besplatno.ru
Функции задаются с помощью:
формулы - аналитический способ.
у = f(х). Например, У=2Х-4 или тождественное вырождение f(x)=2Х - 4.
f(-3) = -10 - значение функции при конкретно заданном значении аргумента.
таблицы.
Например, для У=2Х-4:

Значение Х берется произвольное, «из головы», значение У высчитывается путем подстановки каждого значения Х в заданную формулу. Например, У1 = 2*(-3) - 4 = -10.
словесного описания;
графического отображения зависимости значения функции от аргумента.
www.skachat-prezentaciju-besplatno.ru
Декартова система координат.
Перед тем как чертить график функции необходимо начертить декартову систему координат. Это две пересекающиеся под прямым углом прямые (оси). Точка пересечения обозначается О. Вертикальная ось - ордината (У), горизонтальная ось - абсцисса (Х).

www.skachat-prezentaciju-besplatno.ru
Нахождение точки в системе координат.
т. М (P;Q) или т.М (2;3).
т. К (R;S) или т.К (-4;-2,5)

www.skachat-prezentaciju-besplatno.ru
Определение графика функции.
График функции - это множественность точек (Х;У) на плоскости координат. Абсциссы точек равны значениям аргумента Х, а ординаты точек равны определенным значениям У.
Например, график функции У= 2Х +1.

www.skachat-prezentaciju-besplatno.ru
Основные виды функций.
функция линейная;
функция прямой пропорциональности;
обратной пропорциональности;
функция квадратичная;
кубическая;
корневая функция;
модульная функция.

www.skachat-prezentaciju-besplatno.ru
 Основные свойства f(X).
Область определения D( f ) и область значений Е( f ).
Нули функции (f(х) = 0, значит график будет пересекать абсциссу Ох).
Промежутки знакопостоянства (возможные значения Х, при которых У < 0 или У > 0).
Монотонность функции (возрастающая: при Х1 < Х2 выполняется неравенство У(Х1) < У(Х2), или убывающая функция: при x1 < x2 выполняется неравенство У(Х1) > У(Х2).
Периодичность
f(x) = f(x+Т) = f(x-Т).
График периодичной функции представляет собой постоянно повторяющиеся одинаковые фрагменты.

www.skachat-prezentaciju-besplatno.ru
Четность и нечетность.
Четная функция.
D( f ) - симметрична относительно точки пересечения осей системы координат.
При построении график четной функции обязательно симметричен относительно вертикальной оси Оу.
f(-x) = f(x)
Нечетная функция.
D( f ) - симметрична относительно точки пересечения осей координат.
График нечетной функции всегда симметричен относительно точки пересечения осей системы координат.
f(-x) = –f(x)
www.skachat-prezentaciju-besplatno.ru
Графики основных функций.
Прямая - график функции, определенной формулой y=ax+b. Называется линейной функцией.
Если прямая проходит через точку пересечения координатных осей - это график функции прямой пропорциональности вида y = k*х
Гипербола - график функции обратной пропорциональности вида y =К/Х
Парабола представляет собой график функции f(X) = x². Функция называется квадратичной.
Кубическая парабола - график кубической функции y = x³
Ветвь параболы - график функции корня вида У =√х
График функции на отрезке [0;∞) соответствует графику функции у=х, а на отрезке (-∞;0] соответствует графику функции у = -х
www.skachat-prezentaciju-besplatno.ru


title: Презентация на тему: Функция

text:
Функция
Презентация выполнена учителем математики  МБОУ СОШ № 22
 Т. П. Лисицыной,
п. Пересыпь,
Темрюкского района,
Краснодарского края
Определение функции.

Функция –
 одно из важнейших
математических понятий

Функцией                      называют такую зависимость переменной у от переменной х,
при которой
каждому значению переменной х соответствует  единственное значение переменной  у
Функция
у

Переменную
x
называют
независимой  переменной ,
     или
    аргументом

Переменную
 у
называют
зависимой переменной

Говорят также,  что
     переменная  у
     является функцией от переменной  х

D(y)  и  E(y) функции

Все значения

независимой переменной
 х
образуют
область
определения функции – D(y)

Все значения ,

 которые принимает

 зависимая переменная
 у
образуют
область значений
функции – E(y)
Найти D(y)  и  E(y) функции:
y = 3x-5

y = -2x/3

y = 3/2x

y = √1-2x

y = 11sin x

y = lg (4x-1)
 x Є R

x Є R
y Є R
y Є R
x Є (-∞;0)U(0; ∞)
x Є (-∞;0,5]
x Є R
x Є (0,25; ∞)
y Є [0; ∞)
y Є [-11; 11]
y Є R
уЄ (-∞;0)U(0; ∞)
Способы задания функций

1.   Аналитический

2.   Графический

3.   Табличный

4.  Описательный

 1.  y=2x-5;

2.

 3.

Функция на [-2; -1]          возрастает,
	на [0; 4] убывает,
	на [-1; 0] равна 5.
График функции

Графиком функции
называют множество всех точек координатной плоскости,
абсциссы которых  равны значениям аргумента,
а ординаты- соответствующим значениям функции.
Определите какие из кривых являются графиками функций

Рис 1
Рис 2
Рис 3
y
x
y
x
y
x
да
да
нет
Свойства функций

1. Чётность:

Свойство графика
Функция называется  чётной если:
D(y) симметрична относительно 0,

для любого х из D(y) выполняется условие   f(x)= f(-x)
График чётной функции
симметричен относительно
оси ординат.
Свойства функций
Нечётность
Свойство графика
Функция называется
нечётной   если
 D(y) симметрична относительно 0,

для любого х из D(y) выполняется условие
  f(-x)= -f(x)

График нечётной функции
симметричен относительно начала координат.

Свойства функций
Монотонность
Свойство графика
Функция возрастает
[или убывает] на промежутке  I, если для любого х Є I выполняется  условие :
при х1>х2     f(х1)>f(х2)

[при х1>х2     f(х1)<f(х2)]

Свойства функций
Знакопостоянство
Свойство графика
Промежутки, на которых функция сохраняет постоянный знак, называются промежутками знакопостоянства

+
                 +
-
    -
 -
Графи к функции
Функция у:

Область определения – D(y)= [ - 4; 8].
Область значений – E(y)= [- 2; 5].
х
у
-2
4
0
3
7

y
D(y)
E(y)
Свойства функций
2. Периодичность
Свойство графика
Функцию f называют
периодической
с периодом Т≠0, если для любого х из области её определения выполняется равенство:

f(x+T)=f(x)=f(x-T)

Т
Т
Т
Область определения-?
Область значений-?
Нули функции-?
Точки пересечения с осями?
Промежутки знакопостоянства?

6. Промежутки возрастания?
7. Промежутки убывания?
8. Наибольшее значение функции?
9.  Наименьшее значение функции?

Презентация выполнена учителем математики МБОУ СОШ №22 п. Пересыпь Краснодарского края, Темрюкского районаЛисицыной Татьяной Петровной.


Презентация на тему: Функция y=sinx,ее свойства и график


title: Презентация на тему: Галерея великих математиков

text:
http://mathforall.narod.ru/scinse/1.16.htm
http://bse.sci-lib.com/article062284.html
http://www.zateevo.ru/userfiles/image/Geroi%20Rossii/Kovalevskaya/kovalevskaya03.jpg
http://www.rulex.ru/rpg/WebPict/fullpic/0076-018.jpg
http://www.serednikovo.ru/history/lermontovy/lermontova_j_v/kovalevskie_s.jpg
http://www.ruschudo.ru/miracles/1111/photos/
http://logariett.livejournal.com/1225.html
http://voshod.sibro.ru/article/22390


title: Презентация на тему: Геометрическая прогрессия

text:
01.02.2010
01.02.2010
14.03.2012
1

2

3

1
 bn+1 = bn ·q
2

3
bn = b1 ·q n-1
5
1
25
1
01.02.2010
01.02.2010
01.02.2010
01.02.2010
01.02.2010
01.02.2010
01.02.2010


title: Презентация на тему: Функция y=sinx. Свойства. Преобразование графиков

text:
y
x
1
-1
sin
=
x
y
y
x

1
-1
y
x

1
-1
y
x

1
-1
y
x

1
-1
-1
y
x

1
-1
+1
y
x
1
-1
)
sin(
p
-
=
x
y
y
x
1
-1
)
2
sin(
p
-
=
x
y
y
x
1
-1
)
3
sin(
p
+
=
x
y
y
x

1
-1
sinx  =
x=0
y
x
1
-1
Ø
y
x

1
-1
sinx  >        +1
Ø
y
x

1
-1
sinx  <        +1
y
x
1
-1
2
sin(
p
+
x
3
1
2
                  I                 I                   I                 I                 I                 I                 I
O
x
y
-1
1
) + 2
2
3
sin(
p
-
=
x
y
]
3
;
1
[
:
)
(
Î
y
y
E
y
x

1
-1
y
x

1
-1