text:
Определение и условия
Виды и свойства
Теория Кеплера
Три закона Кеплера
Многоугольники в мире
Правильные многогранники
Платоновы тела
Проектная работа по геометрии
Учени 11 класса «А»
16.11.2012
Определение и условия
Виды и свойства
Теория Кеплера
Три закона Кеплера
Многоугольники в мире
Определение:
Правильный многогранник или платоново тело — это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией.
Определение и условия
Виды и свойства
Теория Кеплера
Три закона Кеплера
Многоугольники в мире
Многогранник называется правильным, если:
он выпуклый;
все его грани являются равными правильными многоугольниками;
в каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер.
Определение и условия
Виды и свойства
Теория Кеплера
Три закона Кеплера
Многоугольники в мире
Существует всего пять правильных многогранников:
Тетраэдр
Октаэдр
Икосаэдр
Гексаэдр(куб)
Додекаэдр
Определение и условия
Виды и свойства
Теория Кеплера
Три закона Кеплера
Многоугольники в мире
Тетраэдр
Тетра́эдр (греч. τετραεδρον — четырёхгранник) — простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.
Определение и условия
Виды и свойства
Теория Кеплера
Три закона Кеплера
Многоугольники в мире
Свойства тетраэдра:
Параллельные плоскости, проходящие через пары
 скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед.
Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в
одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, считая от вершины. Эта точка делит бимедианы пополам.
Плоскость, проходящая через середины двух
скрещивающихся рёбер тетраэдра делит его на две равные по объёму части.
Определение и условия
Виды и свойства
Теория Кеплера
Три закона Кеплера
Многоугольники в мире
Октаэдр
Окта́эдр (греч. οκτάεδρον, от греч. οκτώ, «восемь» и греч. έδρα — «основание») — один из пяти выпуклых правильных многогранников. Октаэдр имеет 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин, в каждой его вершине сходятся 4 ребра.
Определение и условия
Виды и свойства
Теория Кеплера
Три закона Кеплера
Многоугольники в мире
Икосаэдр
Икоса́эдр (от греч. εικοσάς — двадцать; -εδρον — грань, лицо, основание) — правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник. Число ребер равно 30, число вершин — 12. Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм.
Определение и условия
Виды и свойства
Теория Кеплера
Три закона Кеплера
Многоугольники в мире
Свойства икосаэдра:
Икосаэдр можно вписать в куб, при этом шесть взаимно
перпендикулярных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра внутри куба, все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба
В икосаэдр может быть вписан тетраэдр, так что четыре
вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами икосаэдра.
Икосаэдр можно вписать в додекаэдр, при этом
вершины икосаэдра будут совмещены с центрами граней додекаэдра.
В икосаэдр можно вписать додекаэдр с совмещением
вершин додекаэдра и центров граней икосаэдра.
Усечённый икосаэдр может быть получен срезанием 12
вершин с образованием граней в виде правильных пятиугольников. При этом число вершин нового многогранника увеличивается в 5 раз (12×5=60), 20 треугольных граней превращаются в правильные шестиугольники (всего граней становится 20+12=32), а число рёбер возрастает до 30+12×5=90.
Собрать модель икосаэдра можно при помощи 20
правильных тетраэдров.
Определение и условия
Виды и свойства
Теория Кеплера
Три закона Кеплера
Многоугольники в мире
Гексаэдр
Куб или гексаэдр — правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Частный случай параллелепипеда и призмы. Гексаэдр имеет 6 граней, 12 рёбер, 8 вершин.
Определение и условия
Виды и свойства
Теория Кеплера
Три закона Кеплера
Многоугольники в мире
Свойства куба
Четыре сечения куба являются правильными
шестиугольниками — эти сечения проходят через центр куба перпендикулярно четырём его главным диагоналям.
В куб можно вписать тетраэдр двумя способами. В
обоих случаях четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба и все шесть рёбер тетраэдра будут принадлежать граням куба. В первом случае все вершины тетраэдра принадлежат граням трехгранного угла, вершина которого совпадает с одной из вершин куба. Во втором случае попарно скрещивающиеся ребра тетраэдра принадлежат попарно противолежащим граням куба. Такой тетраэдр является правильным, а его объём составляет 1/3 от объёма куба.
В куб можно вписать октаэдр, притом все шесть вершин
октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба.
Куб можно вписать в октаэдр, притом все восемь
вершин куба будут расположены в центрах восьми граней октаэдра.
В куб можно вписать икосаэдр, при этом шесть взаимно
параллельных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра — внутри куба. Все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба.
Определение и условия
Виды и свойства
Теория Кеплера
Три закона Кеплера
Многоугольники в мире
Додекаэдр
Додека́эдр (от греч. δώδεκα — двенадцать и εδρον — грань) — двенадцатигранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников.

Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра). Сумма плоских углов при каждой из 20 вершин равна 324°.

Додекаэдр имеет три звёздчатые формы.
Определение и условия
Виды и свойства
Теория Кеплера
Три закона Кеплера
Многоугольники в мире
Теория Кеплера
Сначала Кеплера соблазнила мысль о том, что существует всего пять правильных многогранников и всего шесть (как казалось тогда) планет Солнечной системы: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн. Показалось, что гармония мира и любовь природы к повторениям сделали правильные многогранники связующими звеньями между шестью небесными телами. Кеплер предположил, что сферы планет связаны между собой вписанными в них Платоновыми телами. Так как для каждого правильного многогранника центры вписанной и описанной сфер совпадают, то вся модель будет иметь единый центр, в котором располагается Солнце.
Определение и условия
Виды и свойства
Теория Кеплера
Три закона Кеплера
Многоугольники в мире
Три закона движения планет Кеплера:
На основе обобщения данных, полученных в результате наблюдений, он установил три закона движения планет относительно Солнца.

Первый закон: каждая планета движется по эллипсу, в
одном из фокусов которого находится Солнце.

Второй закон: каждая планета движется в плоскости,
проходящей через центр Солнца, причем площадь сектора орбиты, описанная радиусом-вектором, изменяется пропорционально времени.

Третий закон: квадраты времени обращения планеты
вокруг Солнца относятся, как кубы их средних расстояний от Солнца.
Но это были только гипотезы, пока их не объяснил и уточнил на основе закона всемирного тяготения Исаак Ньютон (1643-1727), создавший теорию движения небесных тел, которая доказала свою жизнеспособность тем, что с ее помощью люди научились предсказывать многие небесные явления.
Определение и условия
Виды и свойства
Теория Кеплера
Три закона Кеплера
Многоугольники в мире
Модель солнечной системы Кеплера:
Определение и условия
Виды и свойства
Теория Кеплера
Три закона Кеплера
Многоугольники в мире
Многоугольники в окружающем мире
Правильные многогранники встречаются в совершенно разных науках и везде в окружающем мире:
Молекулы веществ в химии
тела вирусов
Игральные кости
А так же и в других совершенно различных местах нашей вселенной, например  Платон сопоставлял додекаэдр с моделью нашей вселенной. О нём он писал: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца»
Определение и условия
Виды и свойства
Теория Кеплера
Три закона Кеплера
Многоугольники в мире
Спасибо за внимание!


title: Презентация на тему: Правильные многоугольники

text:
R
r
R
r


Презентация на тему: Правильные многоугольники геометрия


title: Презентация на тему: Правильные многогранники в геометрии

text:
4
6
8
12
6
12
12
30
4
8
6
20


Презентация на тему: Правильный додекаэдр


title: Презентация на тему: Правильные многоугольники (9 класс)

text:
Hn
H1
H2
H3
Hn
H1
H2
H3
Hn
H1
H2
H3
Hn
H1
H2
H3
D
B
C
O
1
2
3
4
o
A
B
C
D
Hn
H1
H2
H3
Hn
H1
H2
H3
Hn
H1
H2
H3
Hn
H1
H2
H3
O
H2
H1
Hn
H3
  1
  2
  3
  4
  5
  6
  7


title: Презентация на тему: Правильные выпуклые многогранники

text:
30
12
20
30
20
12
12
6
8
12
8
6
6
4
4
30
20 + 12 = 32
30
12 + 20 = 32
12
8 + 6 = 14
12
6 + 8 = 14
6
4 + 4 = 8


title: Презентация на тему: Правильные многоугольники и их виды

text:
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК
Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Сумма углов правильного n-угольника
Угол правильного n-угольника
№1 Найдите углы правильного n-угольника, если
а) n=9    б) n = 20

а) n=8   б) n = 18
№2 Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый его угол равен:
№3 Найдите внешний угол правильного пятнадцатиугольника.
№4 Внешний угол правильного многоугольника равен       .Найдите число его сторон.
Вписанная и описанная окружность
Окружность называется вписанной в многоугольник,
если все стороны многоугольника касаются этой окружности.
Окружность называется описанной около многоугольника, если все его вершины лежат на этой
окружности.
Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.
Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.
Вписанная и описанная окружность
ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Площадь правильного многоугольника
      Сторона правильного многоугольника
 Радиус вписанной окружности
№ 1087(1)
Дано:    а=6, n=4
Найти:   R, r, P, S

Мы знаем формулы:
№ 1088(3)
Дано:    r=2, n=3
Найти:   R, a, P, S

Мы знаем формулы:
ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ


title: Презентация на тему: Правильные многогранники и их приметы

text:
Тема: «Правильные многогранники»
Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук.
Л. Кэролл

   Многогранник
        называется
              правильным
                если:
1) ОН ВЫПУКЛЫЙ
 (Т.Е. ЛЕЖИТ ПО ОДНУ СТОРОНУ ОТ ПЛОСКОСТИ КАЖДОЙ ГРАНИ)

2) ВСЕ ЕГО ГРАНИ – РАВНЫЕ ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ

3) В КАЖДОЙ ЕГО ВЕРШИНЕ   СХОДИТСЯ                  ОДИНАКОВОЕ
                                 ЧИСЛО
                                 ГРАНЕЙ
4) Все двугранные углы равны

Сколько же существует видов правильных многогранников?
Грань -  правильный треугольник
n – внутренний угол правильного n – угольника
  = 60°
n – число граней многогранного угла
n = 3             60° · 3 = 180° < 360°
n = 4             60° · 4 = 240° < 360°
n = 5             60° · 5 = 300° < 360°
n = 6             60° · 6 = 360°
        (многогранный угол совпадает с плоскостью)
Существует три вида правильных многогранников, гранями которых являются правильные треугольники
Правильный тетраэдр
    Составлен из четырёх равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180º.
Правильный октаэдр
Составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине 240º.
Правильный икосаэдр

Составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300º.
Грань – квадрат

  = 90°
n – число граней многогранного угла
n = 3             90° · 3 = 270° < 360°
n = 4             90° · 4 = 360°
           (многогранный угол совпадает с плоскостью)
Существует только один вид правильного многогранника, гранями которого являются квадраты
Куб (гексаэдр)
Составлен из шести     квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270º.

Грань – правильный пятиугольник
  = 108°

n = 3             108° · 3 = 324° < 360°
n = 4             108° · 4 = 432°
           (многогранный угол совпадает с плоскостью)
    Существует только один вид многогранников, гранями которого являются правильные пятиугольники
Правильный додекаэдр
Составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324º.

Куб и октаэдр двойственны друг другу
Ребра октаэдра можно получить, соединяя центры соседних граней куба
Куб и октаэдр двойственны друг другу
Если соединить центры соседних граней правильного октаэдра, то получим ребра куба.
Додекаэдр и икосаэдр двойственны друг другу
Если соединить отрезками  центры соседних граней додекаэдра, то получим ребра икосаэдра
Додекаэдр и икосаэдр двойственны друг другу
Если соединить отрезками центры соседних граней икосаэдра, то получим ребра додекаэдра

"ПЯТЬ КРАСИВЫХ ТЕЛ"

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ И НАУЧНЫЕ ФАКТЫ

ЗАКОНОМЕРНОСТИ   В    ВОЗРАСТАНИИ
ЧИСЕЛ   В   КАЖДОМ СТОЛБЦЕ

  Рассматривая эту таблицу, Декарт в 1640 году подметил закономерность, а в 1752 году Эйлер сформулировал её в закон.

Г+В=Р+2, где
Г - число граней
В - число вершин
Р - число рёбер
формула Эйлера:

ПРАВИЛЬНЫЕ
МНОГОГРАННИКИ
В   ЖИВОЙ  И
НЕЖИВОЙ
ПРИРОДЕ
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ НАШЛИ СВОЁ ПРИМЕНЕНИЕ В СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ. например, система Фуллера.

СКЕЛЕТ ОДНОКЛЕТОЧНОГО ОРГАНИЗМА ФЕОДАРИИ ПО ФОРМЕ НАПОМИНАЕТ ИКОСАЭДР

 КРИСТАЛЛЫ ПОВАРЕННОЙ СОЛИ(NaCL) ИМЕЮТ ФОРМУ ПРАВИЛЬНОГО МНОГОГРАННИКА – КУБА.

(K[Al(SO4)2] ∙ 12H2O)
(Na5 (SbO4(SO4))

  БЛАГОДАРЯ ПРАВИЛЬНЫМ   МНОГОГРАННИКАМ ОТКРЫВАЮТСЯ           НЕ ТОЛЬКО СВОЙСТВА ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР, НО И ПУТИ ПОЗНАНИЯ ПРИРОДНОЙ ГАРМОНИИ.
ВЫВОД:


title: Презентация на тему: Правильные многоугольники задачи

text:
900igr.net
  1
  2
  3
  4
  5
  6
  7

 N
 R
 r
 a
 P
 S
 1
 6
 2
 2
 3
 4
2.
1.
3.
  N
  R
  r
  a
  P
  S
  1
  3
  6
 24
36
  2
  2
  4
 16
16
  3
  4
32


text:
900igr.net
4
4
6
6
8
12
8
6
12
12
20
30
20
12
30
4 + 4 = 8
6
6 + 8 = 14
12
8 + 6 = 14
12
12 + 20 = 32
30
20 + 12 = 32
30


Презентация на тему: ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОГРАННИК-


title: Презентация на тему: Правильный многоугольник

text:
A
B
C
D
E
F

n
3
4
5
6
7
8
9
10
20
30
40
50
100
200
18
?
2880
S=(n-2)*180)
180
360
540
720
900
1080
1260
1440
3240
5040
6840
8640
17640
35640
2880

x=(n-2)*180/n
60
90
108
120
128,5714286
135
140
144
162
168
171
172,8
176,4
178,2

150


text:
900igr.net
R
r
R
r


text:
L
D
H
?
?
5
8,5
3
4
N
D
O
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
1200
1080
1500
900
1350
4
12
3
8
5
10


title: Презентация на тему: Правильный многоугольник (9 класс)

text:
6

4

3
P
Q


Презентация на тему: Правильные многогранники 10 класс


title: Презентация на тему: Правильные выпуклые многогранники.

text:
4
4
6
6
8
12
8
6
12
12
20
30
20
12
30
4 + 4 = 8
6
6 + 8 = 14
12
8 + 6 = 14
12
12 + 20 = 32
30
20 + 12 = 32
30


text:
6

4

3
P
Q


Презентация на тему: Предмет черчение и его роль в обществе


title: Презентация на тему: Правильный многогранник

text:
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
900igr.net
n=3
n=4
n=5
n=6
60°·3 = 180°
180° < 360°
+

4
4
6
8
8
6
12
14
6
8
12
14
20
12
30
32
12
20
30
32


Презентация на тему: Правильный шестиугольник


title: Презентация на тему: Преобразование графика квадратичной функции

text:
   y=(x+6)2

y=x2-2
y=(x+5)2-1
y=(x-2)2+2
y=(x-4)2-2
y=-x2+5
y=(x+1)2+3
y=(x-3)2


Презентация на тему: Преобразование графиков тригонометрических функций


title: Презентация на тему: Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии

text:
N
Q
P
R
Q
P
R


Презентация на тему: Преобразование фигур


title: Презентация на тему: Предмет стереометрии

text:
5klass.net

=
+
.
.


title: Презентация на тему: Правильные многогранники, их происхождение и представление в природе и искусстве

text:
Правильные многогранники
Работа
Шеметова Павла 11 «а» класс
Содержание:
Цель пректа
Термин Многогранники
История
Платон
Платоновы тела
Евклид
Архимед
Архимедовы тела
Иоганн Кеплер
Космологическая гипотеза Кеплера
Тетраэдр
Икосаэдр
Додекаэдр
Гексаэдр(куб)
Октаэдр
Частный случай
Развёртки правильных многогранников
Теорема
Таблица хар-к
Полуправильные многогранники
Нахождение в природе
Историческая справка
Интересные факты

Цель проекта:
Рассказать о правильных многогранниках, о их происхождении, их нахождении в природе, архитектуре и живописи.
 Многогранник называется правильным, если все его грани – равные между собой правильные многоугольники, из каждой его вершины выходит одинаковое число ребер и все двугранные углы равны.
История правильных многогранников
Их изучали ученые, ювелиры, священники, архитекторы. Этим многогранникам даже приписывали магические свойства. Древнегреческий ученый и философ Платон (IV–V в до н. э.) считал, что эти тела олицетворяют сущность природы. В своем диалоге «Тимей» Платон говорит, что атом огня имеет вид тетраэдра, земли – гексаэдра (куба), воздуха – октаэдра, воды – икосаэдра. В этом соответствии не нашлось места только додекаэдру и Платон предположил существование еще одной, пятой сущности – эфира, атомы которого как раз и имеют форму додекаэдра. Ученики Платона продолжили его дело в изучении перечисленных тел. Поэтому эти многогранники называют платоновыми телами.

Платон
около 429 – 347 гг до н.э.
Платоновыми телами называются правильные однородные выпуклые многогранники, то есть выпуклые многогранники, все грани и углы которых равны, причем грани - правильные многоугольники.
Платоновы тела - трехмерный аналог плоских правильных многоугольников. Однако между двумерным и трехмерным случаями есть важное отличие: существует бесконечно много различных правильных многоугольников, но лишь пять различных правильных многогранников.
 Доказательство этого факта известно уже более двух тысяч лет; этим доказательством и изучением пяти правильных тел завершаются "Начала" Евклида.
Платоновы тела
«Начала Евклида.«…в науке нет царского пути»
около 365 – 300 гг. до н.э.

Главный труд Евклида – «Начала» (в оригинале «Стохейа». «Начала» состоят из 13 книг, позднее к ним были прибавлены ещё 2.
Первые шесть книг посвящены планиметрии. Книги VII – X содержат теорию чисел, XI, XII и XIII книги «Начал» посвящены стереометрии.
Из постулатов Евклида видно, что он представлял пространство как пустое, безграничное, изотропное и трёхмерное.
Интересно, что «Начала» Евклида открываются описанием построения правильного треугольника и заканчиваются изучением пяти правильных многогранных тел! В наше время они известны как платоновы тела.
Архимед Сиракузский

около 287 – 212 гг. до н.э.
Математик, физик и инженер Архимед Сиракузский  оставил после себя немало изобретений, тринадцать сочинений (таких как «О сфере и цилиндре», «Измерение круга», «Равновесие плоскостей», «Стомахион», «Правильный семиугольник  и другие).
Архимед, как геометр определил поверхность шара и его объём, исследовал параболоиды и гиперболоиды, изучал «архимедову спираль», определил число «пи», как находящееся между 3,141 и 3,142.
Вклад Архимеда в теорию многогранников - описание 13 полуправильных выпуклых однородных многогранников (архимедовых тел).
Архимедовы тела

Множество архимедовых тел можно разбить на несколько групп.
Первую из них составят пять многогранников, которые получаются из платоновых тел в результате их  усечения. Так могут быть получены пять архимедовых тел: усечённый тетраэдр, усечённый гексаэдр (куб), усечённый октаэдр, усечённый додекаэдр и усечённый икосаэдр.
Другую группу составляют всего два тела, именуемых также квазиправильными многогранниками. Эти два тела носят названия:кубооктаэдр и икосододекаэдр
Два последующих многогранника называются ромбокубооктаэдром и ромбоикосододекаэдром. Иногда их называют также «малым ромбокубооктаэдром» и «малым ромбоикосододекаэдром» в отличие от большого ромбокубооктаэдра и большого ромбоикосододекаэдра.
Наконец существуют две так называемые «курносые» модификации — одна для куба, другая — для додекаэдра. Для каждой из них характерно несколько повёрнутое положение граней, что даёт возможность построить два различных варианта одного и того же «курносого» многогранника (каждый из них представляет собой как бы зеркальное отражение другого).
Иоганн Кеплер
1571 – 1630 гг.
    Немецкий астроном и математик. Один из создателей современной астрономии.

     Вклад Кеплера в теорию многогранника - это, во-первых, восстановление математического содержания утерянного трактата Архимеда о полуправильных выпуклых однородных многогранниках.

   Еще более существенным было предложение Кеплера рассматривать невыпуклые многогранники со звездчатыми гранями, подобными пентаграмме и последовавшее за этим открытие двух правильных невыпуклых однородных многогранников - малого звездчатого додекаэдра и большого звездчатого додекаэдра.

Космологическая гипотеза Кеплера
Кеплер попытался связать со свойствами правильных многогранников некоторые свойства Солнечной системы.
     Он предположил, что расстояния между шестью известными тогда планетами выражаются через размеры пяти правильных выпуклых многогранников (Платоновых тел). Между каждой парой "небесных сфер", по которым, согласно этой гипотезе, вращаются планеты, Кеплер вписал одно из Платоновых тел. Вокруг сферы Меркурия, ближайшей к Солнцу планеты, описан октаэдр. Этот октаэдр вписан в сферу Венеры, вокруг которой описан икосаэдр. Вокруг икосаэдра описана сфера Земли, а вокруг этой сферы - додекаэдр. Додекаэдр вписан в сферу Марса, вокруг которой описан тетраэдр. Вокруг тетраэдра описана сфера Юпитера, вписанная в куб. Наконец, вокруг куба описана сфера Сатурна.
Названия многогранников пришли из Древней Греции и в них указывается число граней:
«эдра» - грань
«тетра» - 4
«гекса» - 6
«окта» - 8
«икоса» - 20
«дедека» - 12
Тетраэдр
Тетраэдр (tetra – четыре, hedra – грань). Правильный тетраэдр – правильный четырехгранник, то есть тетраэдр с равными ребрами, представляет собой правильный многогранник, все грани которого – правильные треугольники и из каждой вершины которого выходит ровно три ребра
У него 4 вершины,4 грани,6 ребер
Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180 градусов

Радиус описанной сферы:

Радиус вписанной сферы:

Площадь поверхности:

Объем тетраэдра:

Икосаэдр

(состоит из 20 треугольников)
В каждой  вершине икосаэдра
    сходятся пять граней.
Существует правильный многогранник, у которого все грани – правильные треугольники, и из каждой вершины выходит 5 ребер. Этот многогранник имеет 20 граней, 30 ребер, 12 вершин и называется икосаэдром (icosi – двадцать).
Сумма плоских углов при  каждой вершине равна 300 градусов

Радиус описанной сферы:

Радиус вписанной сферы:

Площадь поверхности:

Объем икосаэдра:

Додекаэдр
Существует правильный многогранник, у которого все грани правильные пятиугольники и из каждой вершины выходит 3 ребра. Этот многогранник имеет 12 граней, 30 ребер и 20 вершин и называется додекаэдром (dodeka – двенадцать).
Сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 градуса
Радиус описанной сферы:

Радиус вписанной сферы:

Площадь поверхности:

Объем додекаэдра:

Гексаэдр(куб)
Гексаэдр (куб, hexa – шесть). Гексаэдр – правильный многогранник, все грани которого – квадраты, и из каждой вершины выходит три ребра.
У него 6 граней,8 вершин,12 ребер
Сумма плоских углов при каждой вершине равна 270 градусов

Радиус описанной сферы:

Радиус вписанной сферы:

Площадь поверхности куба:

Объем куба:
S =6a2
V =a3

Октаэдр
Октаэдр. Это правильный многогранник, все грани которого – правильные треугольники и к каждой вершине прилегают четыре грани
У него 8 граней,12 ребер,6вершин

Радиус описанной сферы:

Радиус вписанной сферы:

Площадь поверхности:

Объем октаэдра:

Рассмотрим случай, когда гранями правильного
многогранника служат правильные треугольники.

 Значит, в вершине
 многогранника могут
 сходиться три,
четыре, или пять
 треугольников.
Шесть треугольников
 составляют в сумме
Угол при вершине треугольника равен
Развёртки правильных многогранников.
Додекаэдр
Теорема о единстве правильных многогранников
После несложных алгебраических преобразований полученное неравенство приводится к виду
(p-2)(q-2)<4
Характеристики многогранников.
Из предыдущей формулы можно вывести следую систему:
Тогда единственными допустимыми вариантами p и q будут:

Полуправильные многогранники
Курносый куб. Этот многогранник можно вписать в куб таким образом, что плоскости шести квадратных его граней совпадут с плоскостями граней куба, причем эти квадратные грани курносого куба окажутся как бы слегка  повернутыми по отношению к соответственным граням куба.
Ромбоикосододекаэдр. Эта модель принадлежит к числу наиболее привлекательных среди всех других моделей архимедовых тел. Гранями являются треугольники, квадраты и пятиугольники.
Ромбоусеченный кубооктаэдр. Этот многогранник, известный также под названием усеченного кубооктаэдра, гранями имеет квадраты, шестиугольники и восьмиугольники.
Курносый додекаэдр – это последний из семейства выпуклых однородных многогранников. Гранями являются треугольники и пятиугольники.
Ромбододекаэдр.(пролуправильные тела)
Он образован помощью семи кубов, образующих пространственный "крест« и додекаэдра.

Двойственные многогранники

Куб и октаэдр находятся в положении двойственности друг другу, грани являются q-угольниками, р из которых примыкают к каждой вершине.
Конструирование архимедова усеченного    икосаэдра из платонова икосаэдра
Нахождение в природе
В кристаллических телах частицы располагаются в строгом порядке, образуя пространственные периодически повторяющиеся структуры во всем объеме тела. Для наглядного представления таких структур используются пространственные кристаллические решетки, в узлах которых располагаются центры атомов или молекул данного вещества. Чаще всего кристаллическая решетка строится из ионов (положительно и отрицательно заряженных) атомов, которые входят в состав молекулы данного вещества. Например, решетка поваренной соли содержит ионы Na+ и Cl–, не объединенные попарно в молекулы NaCl . Такие кристаллы называются ионными.
Кристаллы
Кристаллические решетки металлов часто имеют форму шестигранной призмы (цинк, магний), гранецентрированного куба (медь, золото) или объемно центрированного куба (железо).
Кристаллические тела могут быть монокристаллами и поликристаллами. Поликристаллические тела состоят из многих сросшихся между собой хаотически ориентированных маленьких кристалликов, которые называются кристаллитами. Большие монокристаллы редко встречаются в природе и технике. Чаще всего кристаллические твердые тела, в том числе и те, которые получаются искусственно, являются поликристаллами.
.
Простые кристаллические решетки: 1 – простая кубическая решетка; 2 – гранецентрированная кубическая решетка; 3 – объемноцентрированная кубическая решетка; 4 – гексагональная решетка.
Кристаллы-многогранники
Кальций. При ударах кристаллы кальцита раскалываются правильные фигурки, каждая грань которых имеет форму параллелограмма . Кальций образует разнообразные кристаллы от пластичной до вытянуто- призматичной формы.
Апатит. Они образуют кристаллы в форме прямоугольной призмы.
Бериллий. Обычно встречается в виде столбчатых шестигранных кристаллов.
История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы, в которых происходит постепенный переход от практической к философской геометрии. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства.
Историческая справка
Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора. Отличительным знаком
пифагорейцев была пентаграмма, на языке математики- это правильный невыпуклый или звездчатый пятиугольник. Пентаграмме присваивалось способность защищать человека от злых духов.
Пифагорейцы, а затем Платон полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды.
Существование пяти правильных многогранников  они относили к строению материи и Вселенной.
Согласно этому мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных Платоновых тел:
Художники о правильных многогранниках
В эпоху Возрождения большой интерес к формам правильных многогранников проявляли скульпторы, архитекторы, ХУДОЖНИКИ. Леонардо да Винчи увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Он проиллюстрировал изображениями правильных и полуправильных многогранников книгу своего друга, монаха Луки Пачоли «О божественной пропорции»

На картине художника Сальвадора Дали  «Тайная Вечеря»  Христос со своими учениками изображён на фоне огромного прозрачного  додекаэдра.
Форму додекаэдра, по мнению древних,  имела  ВСЕЛЕННАЯ , т.е. они считали, что мы живём внутри свода, имеющего форму поверхности  правильного додекаэдра.
Альбрехт Дюрер.
В его известной гравюре «Меланхолия»
на переднем плане изображен додекаэдр.
А в 1525 году Дюрер написал трактат, в котором рассмотрел пять правильных многогранников, поверхности которых служат хорошими моделями перспективы.
Свойства этих многогранников изу-
чали ученые и священники; их мо-
 дели можно увидеть в работах ар-
хитекторов и ювелиров, им припи-
сывались различные магические и
целебные свойства.
Египетские пирамиды
 Среди египетских пирамид особое место занимает пирамида фараона Хеопса. Длина стороны её основания L =233,16 м; высота Н =146,6; 148,2 м. Первоначально высота оценивалась не точно. Это связано с осадкой швов, деформацией блоков, предполагаемой частичной разборкой вершины от S 6∙6 до 10∙10 м.
 Среди египетских пирамид особое место занимает пирамида фараона Хеопса. Длина стороны её основания L =233,16 м; высота Н =146,6; 148,2 м. Первоначально высота оценивалась не точно. Это связано с осадкой швов, деформацией блоков, предполагаемой частичной разборкой вершины от S 6∙6 до 10∙10 м.
  Угол наклона граней =51◦51 . Впервые он был измерен английским полковником Г. Вайзовым в 1837 г tg 51◦ 51 =1,27306= vd= 1,27202.
Царская гробница
Великая пирамида была построена как гробница Хуфу, известного грекам как Хеопс. Он был одним из фараонов, или царей древнего Египта, а его гробница была завершена в 2580 году до н.э. Позднее в Гизе было построено еще две пирамиды, для сына и внука Хуфу, а также меньшие по размерам пирамиды для их цариц. Пирамида Хуфу, самая дальняя на рисунке, является самой большой. Пирамида его сына находится в середине и смотрится выше, потому что стоит на более высоком месте.
В III веке до н.э. был построен маяк, чтобы корабли могли благополучно миновать рифы на пути в александрийскую бухту. Ночью им помогало в этом отражение языков пламени, а днем - столб дыма. Это был первый в мире маяк, и простоял он 1500 лет
Фаросский маяк состоял из трех мраморных башен, стоявших на основании из массивных каменных блоков. Первая башня была прямоугольной, в ней находились комнаты, в которых жили рабочие и солдаты. Над этой башней располагалась меньшая, восьмиугольная башня со спиральным пандусом, ведущим в верхнюю башню. Верхняя башня формой напоминала цилиндр, в котором горел огонь, помогавший кораблям благополучно достигнуть бухты. На вершине башни стояла статуя Зевса Спасителя. Общая высота маяка составляла 117 метров.
Александрийский маяк
Простейшее  животное
      Скелет одноклеточного организма феодарии (Circogonia icosahedra) по форме напоминает икосаэдр.
      Большинство феодарий живут на  морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее  животное    защищает себя   двенадцатью иглами, выходящими из 12  вершин скелета. Он больше похоже на звёздчатый      многогранник.
Из всех многогранников с тем же числом граней икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности.
     Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление толщи воды.

По законам «строгой» архитектуры…
Пчёлы - удивительные создания.
Пчелиные  соты представляют собой пространственный паркет и заполняют пространство так, что не остается просветов.

Интересно
   Икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов.
Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр.
Вирус
ветряной оспы
Вирус краснухи
Вывод:
Вы узнали о многогранниках все что мы смогли вам показать=)
Большое спасибо за внимание.


Презентация на тему: Представление о правильных многогранниках


title: Презентация на тему: Преобразования фигур. Движение

text:
n
=
=
+
N
F
H
K
L
M
N
O
P
R
S
T
U
F
H
K
L
M
N
O
P
R
S
T
U
F
H
K
L
M
N
O
P
R
S
T
U
N


Презентация на тему: Презентация на тему: Медиана. Биссектриса. Высота


title: Презентация на тему: Применение аксиом и их следствий

text:
a
A
B
a
a
a
b
a
Q
P
a
b
N
F
B
D
D
D1
D
 m
D
D
A2
O
N
A2
b
c


Презентация на тему: Презентация на тему: Усечённая пирамида


title: Презентация на тему: Преобразование плоскости

text:
R:
A'
B'
C'
R' :
=AC : CB
A1
B1
C1
A
A1
A=
A1
b
a'
b'
x` = x
y` =  y
x
y
x` = x
y` =-y
g=s*f
x` = x+x0
y` =-y
M`
m
m>0
m<0
x
y


title: Презентация на тему: Применение формул объёма и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда для решения задач с практическим содержанием и математического моделирования

text:
                                                                     a
                                                                     b
                                                                     c
                                                                     a
                                                                     c
                                                                     b
                                                                     a
                                                                     b
                                                                     c
                                                                    3
                                                                     4
                                                                     5
                                                                     1
                                                                     2
                                                                     2
                                                                     5
                                                                     4
                                                                     5
25
40

60
5


title: Презентация на тему: Преобразования графиков функции

text:
 y = f (x) + a
3)  y = af (x)
2) y = f (x + a)
4) y = f (xa)
x
y
0
1
x
y
0
1
Oy
a
a
a
x
y
0
1
Ox
a
a
a
x
y
0
1
Oy
k
Oy
y=f(x)
y=1/k f(x)
y=k f(x)
x
y
0
1
Ox
k
Ox
y=f(x)
y=f(1/k x)
y=f(k x)
x
y
0
1
y=f(x)
y=f(x) + 3
x
y
0
1
y=f(x)
y=f(x + 5)
x
y
0
1
y=f(x)
y=3 f(x)
x
y
0
1
y=f(x)
y= f(1/2x)


title: Презентация на тему: Применение геометрии

text:
900igr.net
1.http://stationery.amlimgs/scholl/fs-t46/jpg
2.http://www.vivat.in.ua/vendors/sitearea=v2c&vendor_jpg
3.www.fotoalbum.su


title: Презентация на тему: Преобразования на плоскости

text:
m
D
b
B


title: Презентация на тему: Применение подобия

text:
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Company Logo
Click to edit Master title style
www.themegallery.com
Company
LOGO
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Click to edit Master title style
900igr.net
Company Logo
www.themegallery.com
Company Logo
www.themegallery.com
Company Logo
www.themegallery.com
Company Logo
www.themegallery.com
Company Logo
www.themegallery.com
Company Logo
www.themegallery.com
Company Logo
www.themegallery.com
Company Logo
www.themegallery.com
Company Logo
www.themegallery.com


title: Презентация на тему: Применение инверсии в построении графиков элементарных функций

text:
f(x)+a

f(x+a)
f(x-a)

f(x)-a
y
x
-1
1
1
-1
0
f(x)
0
y
x
1
y
x
1
0
1
x
y
1
-1
1
-1
1
2


title: Презентация на тему: Применение параллелограмма

text:
A
B
D
1
C
75°
2
3
4
B
A
D
C
30°
B
A
D
C
60°
B
A
D
C


title: Презентация на тему: Правильные многоугольники в историческом развитии

text:
Правильные многоугольники8 класс
г.Череповец
МБОУ «СОШ №14»

Где в жизни вы встречались с многоугольниками?

 Задание 1 : Практическое задание (в группах).
 Постройте узор из квадратов и равносторонних треугольников, таким образом, чтобы получился шестиугольник и двенадцатиугольник.
Построенная фигура:Шестиугольник и двенадцатиугольник.

Что вы можете сказать о сторонах и углах данных фигур?

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все углы равны и все стороны равны

Задачи урока:
Ввести понятие правильного многоугольника.
Вывести формулу для вычисления угла правильного n-угольника и показать ее применение в процессе решения задач.
Задание 2 : БИНАРНЫЙ ТЕСТ2(индивидуально).
1.         Любой правильный многоугольник является выпуклым.
2.    Любой выпуклый многоугольник является правильным.
3.    Многоугольник является правильным,
       если он выпуклый и все его стороны равны.
4.    Многоугольник является правильным,
       если он выпуклый и все его углы равны.
5.    Любой четырехугольник с равными сторонами является правильным.
6.    Любой четырехугольник с равными углами является правильным.
7.   Любой правильный четырехугольник
       является квадратом

Правильно
Неправильно

Задание 3 : Работа в группах.Чему равен каждый из углов правильного многоугольника:

Проверка.
Вывод:
Формула для вычисления угла  правильного n-угольника

 Задание 4 :Работа в группах.В таблице заполните пустые клетки (n-угол правильного n-угольника, n-сторон, S n- сумма углов правильного n-угольника).Решение задач записать в тетрадь.
Решение задач.
1)   Дано: αn = 108°
      Найти: n = ? и Sn = ?
      Решение:

   1. n · αn = 180°(n -2)               2. Sn = n · αn
      108° n = 180°(n -2)                  Sn = 108° · 5 = 540°

72° n = 360°
       n = 5
Ответ: n = 5 и  S5= 540°

Решение задач.
2)   Дано: n = 20
      Найти: αn = ? и Sn = ?
      Решение:
1.    Sn = 180°(n -2)               2.   αn = Sn : n
       Sn = 180°(20 - 2)                  α20 = 3240° : 20 = 162°
        Sn = 3240°

Ответ: α20 = 162° и  S20= 3240°

Решение задач.
3)   Дано: Sn = 1260°
 Найти: αn = ? и n = ?
      Решение:

      1.  1260°= 180°(n - 2)             2.αn = 1260° : 9 = 140°
        1260°= 180°n - 360°
        180°n =360°+ 1260°
         n = 9
Ответ: α9 = 140° и  n = 9.

Проверка.
Задание 5: Устная работа.
Многоугольник называется правильным если …….
Сумма углов многоугольника равна…….
Прямоугольник……….правильным многоугольником.
Угол правильного многоугольника равен……………………
Квадрат…………………..правильным многоугольником.
Ромб ……………………….правильным многоугольником.

Задание 6: Творческое задание.
Возможно кто-то из вас в будущем займется этим творческим и интересным занятием.
Представьте, что к вам в фирму пришел заказчик. Сколько вариантов покрытия паркета из правильных многоугольников  вы предложите?
Замечание: Покрывать плоскость паркетом необходимо без просветов.
Вывод:
Плоскость без просветов можно покрыть правильными треугольниками, квадратами и правильными шестиугольниками (если многоугольники одного вида).

Паркеты из правильных многоугольников

А если многоугольники
разных видов?
Домашнее задание:
1)  Составить орнамент, элемент паркета из правильных многоугольников (различные виды многоугольников) с помощью компьютера.
2)   Составить задачу и обратные к ней на применение формулы для вычисления угла правильного n – угольника.
Дополнительно:Задача №1082
       Чему равна сумма внешних углов правильного n- угольника, если при каждой вершине взято по одному внешнему углу?

Спасибо за урок!!!


Презентация на тему: Применение подобия треугольников


title: Презентация на тему: Применение подобия к доказательству теорем и решению задач

text:
~
=
=
=
=
=
=
=
~
=
=
~
~
=
=
M
N
K
MNK
~
A
B
C
D
K
4
8
10
5
M
N
K
MNK
~
4
5
6
9
6
7,5
NK
=
BC
6
4
MN
=
AB
9
6
=
=
NK
=
BC
MN
AB
3
2
3
2
MK
=
AC
7,5
5
=
3
2
=
MK
AC
A
C
B
M
N
AM=MB, BN=NC
A
C
B
M
N
MN=
1
2
AC
MB
AB
NB
CB
=
=
1
2
MB
AB
NB
CB
=
=
1
2
,
~
MN
AC
=
1
2
MN =
1
2
AC
A
C
B
M
K
A
B
C
M
N
K
A
B
C
M
N
K
P
Q
F
A
C
B
M
K
A
B
C
D
O
K
A
B
C
D
M
N
K
L
A
B
C
D
M
N
K
L
A
B
C
D
E
F
O1
O2


title: Презентация на тему: Применение подобия к решению задач

text:
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Company Logo
Click to edit Master title style
www.themegallery.com
Company
LOGO
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Click to edit Master title style
Company Logo
www.themegallery.com
Company Logo
www.themegallery.com
Company Logo
www.themegallery.com
Company Logo
www.themegallery.com
Company Logo
www.themegallery.com
Company Logo
www.themegallery.com
Company Logo
www.themegallery.com
Company Logo
www.themegallery.com
Company Logo
www.themegallery.com


title: Презентация на тему: Правильные многоугольники в природе. Паркеты из правильных многоугольников.

text:
Правильные  многоугольники в природе.Паркеты из правильных многоугольников.

Выполнил: Забавин Вадим.
9 «Б» класс
Многоугольники в природе.
В природе часто встречаются разнообразные правильные  многоугольники. Это могут быть треугольники, четырехугольнике, пятиугольники и т.д. Виртуозно компонуя их, природа создала бесконечное множество сложных, удивительно красивых, легких, прочных и экономичных конструкций.

Примеры многоугольников  в природе.
Примерами правильных многоугольников в природе могут служить:
Пчелиные соты, снежинки и другие.

Рассмотрим их по подробней…

Пчелиные соты.
Пчелиные соты состоят из шестиугольников. Но почему пчелы «выбрали» для ячеек на сотах именно форму правильных шестиугольников?
Из правильных многоугольников с одинаковой площадью наименьший периметр у правильных шестиугольников. При такой «математической» работе пчёлы экономят 2% воска. Количество воска сэкономленного при постройке 54 ячеек, может быть использовано для постройки одной такой же ячейки. Стало быть, мудрые пчёлы экономят воск и время для постройки сот.
Снежинки.
Снежинки могут иметь форму треугольника или шестиугольника. Но почему только эти две формы?
Так получилось, что молекула воды состоит из трех частиц – двух атомов водорода и одного атома кислорода. Поэтому при переходе частицы воды из жидкого состояния в твердое, ее молекула соединяется с другими молекулами воды, и образует только трех – или шестиугольную фигуру.
Сложные молекулы углерода.
Также примером многоугольников в природе могут служить некоторые сложные молекулы углерода.
Здание Пентагона.
А вот еще один пример многоугольников. Но уже созданный не природой, а человеком. Это здание Пентагона. Он имеет форму пятиугольника.
Но почему здание Пентагона имеет такую форму?
Пятиугольную форму здания подсказал план местности, когда создавались эскизы проекта. В том месте проходило несколько дорог, которые пересекались под углом 108 градусов, а это и есть угол построения пятиугольника. Поэтому такая форма органично вписывалась в транспортную инфраструктуру, и проект был утвержден.

Здание Пентагона
Паркеты из правильных многоугольников
В математике паркетом называют «замощение» плоскости повторяющимися фигурами без пропусков и перекрытий. Простейшие паркеты были открыты пифагорейцами около 2500 лет тому назад.
Они установили, что вокруг одной точки могут лежать либо шесть правильных многоугольников, либо четыре квадрата, либо три правильных шестиугольника.
Конец


title: Презентация на тему: Приготовьтесь к построению

text:
Приготовьтесь к построению!

1. d < F (предмет АВ находится между линзой и ее фокусом)

O
F
F
A
B
A1
B1
Изображение
увеличенное,прямое,мнимое (по одну сторону от линзы предмет и изображение)
2. F < d < 2F (предмет АВ находится между фокусом и ее двойным фокусом)

F
2F
F
А
В
A1
B1
Изображение
увеличенное,перевернутое,действительное (по разные стороны от линзы предмет и изображение)
O
3. d > 2F (предмет АВ находится за двойным фокусом линзы)

O
2F
F
F
A
B
A1
B1
Изображение
уменьшенное,перевернутое,действительное
Изображение, получаемое с помощью  рассеивающей линзы

O
F
F
А
В
A1
B1

Изображение
уменьшенное,прямое,мнимое
Рассеивающие линзы не дают действительных изображений.
Упражнение 34 №1

O
2F
F
F
A
B
A1
B1
Изображение
перевернутое,действительное,равное по размерам.

2F
Домашнее задание
§67 Упр 34 (закончить)


title: Презентация на тему: презентация сфера и шар 11 класс

text:
Урок-лекция
по теме:
СФЕРА И ШАР
Геометрия –12 класс
План  презентации:
Определение сферы, шара.
Уравнение сферы.
Взаимное расположение сферы и плоскости.
Площадь сферы.
Итог урока.
Окружность и круг

Окружностью называется
геометрическая фигура,
состоящая из всех точек плоскости,
расположенных на заданном
расстоянии  r от данной точки.
 r – радиус
 d – диаметр

    Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью.

Определение  сферы
Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек
пространства, расположенных на данном расстоянии (R)
от данной точки (центра т.О).
D

О
R – радиус сферы – отрезок,
соединяющий любую точку
сферы с центром.
D – диаметр сферы – отрезок,
соединяющий любые 2 точки
сферы и проходящий через центр.
т. О – центр сферы
Шар
Шаром называется тело, ограниченное сферой.
Центр, радиус и диаметр сферы являются также центром, радиусом и диаметром шара.
Шар радиуса R и центром О содержит все точки пространства, которые расположены от  т. О на расстоянии, не превышающем R.
Как изобразить сферу?
1. Отметить центр сферы (т.О)

2.  Начертить окружность с
центром в т.О

3.  Изобразить видимую
вертикальную дугу

4. Изобразить невидимую
вертикальную дугу

R
О

Изобразить видимую
горизонтальную дугу
6.  Изобразить невидимую
горизонтальную дугу
7.  Провести радиус сферы R
Уравнение окружности

О

С(х0;у0)
М(х;у)
Зададим прямоугольную систему координат Оxy
Построим окружность c центром в т. С и радиусом  r
Расстояние от произвольной т.М(х;у) до т.С  вычисляется по формуле:
МС =     (x – x0)2  + (y – y0)2
МС = r ,   или  МС2 = r2
Следовательно, уравнение
окружности  имеет вид:

   (x – x0)2  + (y – y0)2 = r2
Уравнение сферы
Зададим прямоугольную систему координат Оxyz

z
х
у

М(х;у;z)
R
C(x0;y0;z0)
Построим сферу c центром в т. С и радиусом R
МС =    (x – x0)2  + (y – y0)2 + (z – z0)2
МС = R ,   или  МС2 = R2
Следовательно, уравнение
сферы имеет вид:
(x – x0)2  + (y – y0)2 + (z – z0)2 = R2
Задача 1.Зная координаты центра С(2;-3;0) и радиус сферы R=5, записать уравнение сферы.
Решение:
    так как уравнение сферы с радиусом R и центром в точке С(х0;у0;z0) имеет вид
    (х-х0)2 + (у-у0)2 + (z-z0)2=R2, а координаты центра данной сферы С(2;-3;0) и радиус  R=5, то уравнение данной сферы
    (x-2)2 + (y+3)2 + z2=25

               Ответ: (x-2)2 + (y+3)2 + z2=25
Взаимное расположение окружности и прямой

Возможны 3 случая:

d
d

r
Если d < r, то прямая и окружность имеют 2 общие точки.
d= r
Если d = r, то прямая и окружность имеют 1 общую точку.
Если d > r, то прямая и окружность не имеют общих точек.

Взаимное расположение сферы и плоскости
Введем прямоугольную систему координат Oxyz
Построим плоскость α, совпадающую с плоскостью Оху
Изобразим сферу с центром в т.С, лежащей на положительной полуоси Oz   и имеющей координаты (0;0;d), где  d -  расстояние (перпендикуляр) от центра сферы до плоскости  α .
В зависимости от соотношения  d  и  R  возможны 3 случая…
Взаимное расположение сферы и плоскости
r
М
Рассмотрим  1 случай:
d < R, т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность радиусом  r.
r =    R2 - d2
Сечение шара плоскостью есть круг.
Взаимное расположение сферы и плоскости
Рассмотрим  2 случай:
d = R, т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют одну общую точку

Взаимное расположение сферы и плоскости
Рассмотрим  3 случай:
d > R, т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости  больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

Задача 2.Шар радиусом 41 дм пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 9 дм от центра. Найти радиус сечения.
Дано:
Шар с центром в т.О
R=41 дм
α - секущая плоскость
d = 9 дм
Найти: rсеч = ?
Решение:
    Рассмотрим ∆ОМК – прямоугольный
    ОМ = 41 дм;     ОК = 9 дм;    МК = r,   r = R2 - d2
    по теореме Пифагора:   МК2 = r2 = 412- 92 = 1681 - 81=1600,  отсюда  rсеч =  40 дм
Ответ:  rсеч = 40 дм
Площадь сферы и шара
Сферу нельзя развернуть на плоскость.
Опишем  около сферы многогранник, так чтобы сфера касалась всех его граней.
За площадь сферы принимается предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани
Площадь сферы радиуса R:          Sсф=4πR2
Sшара=4 Sкруга
т.е.: площадь поверхности шара равна учетверенной площади большего круга
Задача 3.Найти площадь поверхности сферы, радиус которой равен 6 см.
Дано:
  сфера
  R = 6 см
Найти:
  Sсф = ?

Решение:
Sсф = 4πR2
Sсф = 4π 62 = 144π  см2

   Ответ: Sсф = 144π  см2

Итог    урока:
Сегодня вы познакомились с:
определением сферы, шара;
уравнением сферы;
взаимным расположением сферы и плоскости;
площадью поверхности сферы.
Спасибо за работу!


title: Презентация на тему: Приемы вычислений для случаев вычитания вида 60–24

text:
Урок математики. 2 класс.Приемы вычислений для случаев вычитания вида 60 – 24.
Учитель: Новикова Татьяна Михайловна
МКОУ «СОШ №1» г.  Николаевска
Волгоградской области

У нас сегодня всё получится!
20 ноябряКлассная работа
5

30

+4
- 7
+ 8
+ 6
+ 3
+4
+ 7
Найдите лишнее выражение:
40 – 2 =
70 – 4 =
60 – 6 =
60 – 24 =
20 – 3 =
70 – 4 =
Приёмы вычислений для случаев вычитания вида 60 – 24.

60 – 24 =
4
20
(60 – 20) – 4 =
36
А как вы будете выполнять?
Закрепляем

70 – 38 =          40 – 21 =

90 – 24 =         60 – 32 =

20
1
30
2
19
28
Магазин «Школьник»

23 руб.
8 руб.
6 руб.
12 руб.
29 руб.

52 руб.

100 руб.
48руб.
?
100 – 48 = 52 (руб.)
Мне на уроке было …Я научился …Мне надо ещё …Мне это пригодится …
Домашнее задание

У. стр. 62  №2 (2 строчка) №3 (1 задача)
или
У. стр. 62  №2 (2 строчка), составить задачу на новый приём вычислений, записать её решение в тетрадь.
Ресурсы
1. Математика. 2 класс: поурочные планы по учебнику М. И. Моро, М. А. Бантовой, Г. В. Бельтюковой, С. И. Степановой/ авт.- сост. С. В. Савинова, В. А. Савинов, - Волгоград; Учитель, 2011.
2. Поурочные разработки по математике 2 класс;
 к учебнику М. И. Моро и др. «Математика. 2 класс.
 В 2 – ух частях»/С. В. Бахтина. – М. : Издательство
«Экзамен», 2012.
3. Интернет school62007.narod.ru/text/uroki/urok2_Skrynnik.doc


title: Презентация на тему: Примеры решения тригонометрических уравнений

text:
tg x/2 = 1
15
14
sin 2x = 0
13
tg x = 2
12
sin x = -1
11
cos x = -1/2
10
tg x = -1
9
cos x = 0
8
7
arccos (-1)
6
arctg 1
5
arcsin (-1/2)
4
3
2
arcsin 0
1
?
sin2x - 3sin x cos x +2cos2 x =0
2sin2x -sin x cos x = cos2x
4
?
3
2
1
sin2x - 3sin x cos x +2cos2 x =0
2sin2x -sin x cos x = cos2x
4
?
3
2
1
sin2x - 3sin x cos x +2cos2 x =0
2sin2x -sin x cos x = cos2x
4
3
2
1


title: Презентация на тему: Применение подобия треугольников к решению задач

text:
b
c
D
A
E
B
N
C
F
M
45
D
D


title: Презентация на тему: Применение правильных многогранников

text:
5klass.net
k
60
3
180
60
4
240
60
5
300
90
3
270
108
3
324
4
4
6
3
6
8
6
12
9
9
6
8
12
9
7
20
12
30
15
15
12
20
30
15
15


Презентация на тему: Применение подобия треугольников в жизни


title: Презентация на тему: Примеры построения сечений куба и тетраэдра плоскостью

text:
A
D
C
M
N
K
B
A
D
C
B
K
M
N
A
D
B
C
E
M
K
N
A
D
B
C
E
M
K
N
MN || AC
D
A
B
C
N
M
E
K
P
A
D
C
B
N
M
K
E
P
A1
A
D1
D
B
B1
C1
C
K
M
N
A
B
C
D
A1
D1
B1
C1
A
A1
B1
C1
C
B
D1
D
M
A
A1
B
B1
C
C1
D1
D
N
M
A
A1
B
B1
C1
C
D1
D
K
N
M
E
Q
p
A
A1
D
D1
B
B1
C
C1
F
E
N
M
P
K
Q
A
A1
B
B1
C
C1
D
D1
N
M


title: Презентация на тему: Принцип "золотой пропорции" в изделиях мастеров-камнерезов завода И.И. Ползунова

text:
1
2
3
4
5
6
7
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16


Презентация на тему: Принцип Кавальери


title: Презентация на тему: Применение двумерных диаграмм

text:
2
1
3
A
B
C
D
1
2
3
2
1
3
2
1
3
2
1
2
3
O
A
B
D
A
B
C
D
E
F
G
M
N
1. SMBGE = SFEND
2. SABGF =S AMND
3. FM || DB || NG
A
B
C
D
E
F
G
M
N
A
B
C
D
E
F
G
M
N
A
B
C
D
E
F
G
M
N

A
B
C
D
H
A
B
C
D
H
G
F
A
E
F
G
C
D
A
E
F
G
C
D
H
J
K
B
M
L
B
48
55
56
ABC
A1BC1
10
25
30
ABC
A1BC1
10
30
40
ABC
A1BC1


title: Презентация на тему: Призма

text:
900igr.net
D1
C
D
D1


Презентация на тему: Призма 9 класс


Презентация на тему: Применение тригонометрии в жизни


Презентация на тему: Принцип Дирихле


title: Презентация на тему: Примеры центральной симметрии

text:
5klass.net
O
O
N
N1
Q
0
x0
-x0
y0
-y0
180°
}
U
m
U
d
a
C
C
180
b
B


Презентация на тему: Примеры симметрии в природе


title: Презентация на тему: Призма 10 класс

text:
D
b
h
h
h
+


Презентация на тему: ПРИЗМА


Презентация на тему: Призма


title: Презентация на тему: «Призма»

text:
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
36
6
196
14
121
11
98
14
25
5
Q
S
D
d
a
d
D
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
a
b
c
d
D
S
Q
7
8
15
4
12
24
6
17
17
450
10
600
12
3
5
5
13
300
300
300
60
60
25
25
25
168
625
10
20
600
48
8
450
120
120
289
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
18
6
144
12
12
4
90
6
15
2
18
90
18
5
6
P
H
a
A
B
C
A
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
A
A1
B1
C1
A
B
C
A1
B1
C1
A
B
C
A1
B1
C1
A1
B1
C1
A1
B1
C1
A1
B1
C1
A1
B1
C1
A1
B1
C1
A1
B1
C1
A1
B1
C1
A1
B1
C1
A1
B1
C1
D1
E1
F1
D
E
F
144
12
12
2
240
12
20
2
90
18
5
3
720
36
20
6
168
24
7
4
P
H
a


text:
900igr.net

h
;
.
;
.
;
.


Презентация на тему: Призма и ее свойства


Презентация на тему: «Призма (2)»


Презентация на тему: Призма геометрия


Презентация на тему: Призма 10 класс


title: Презентация на тему: Призма. Сечения призмы

text:
www.matematika-na5.narod.ru
www.matematika-na5.narod.ru
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D


title: Презентация на тему: Применение производной в различных областях науки

text:
x=1
x=-1
y=0
(0;0)

3
5
2
4
1


title: Презентация на тему: Признаки параллельности двух прямых

text:
5klass.net
M
B
A
N
l
a
b
b
p
l
B
A
D
b
D
B
A
b
l
h
b
8
7
6
5
3
2
1
4
b
1
2
1
?
b
1
2
1
3
4
5
6
1
1
b
1
2
3
?
?
b
1
2
3
?
?
0
b
c
1
2
3
4
5
6
7
8
b
1
3
4
5
6
7
8
2
c
1
2
b
c


text:
m
n
c
d
1
2
3
4
5
6
7

8
a
b
a
b
B
A
1
2
1
2
a
b
A
B
1
5
3
6
2
a
b
H
H
A
B
1
4
a
b
70°
70
°
c
B
C
D
A
a
b
c
1
2
3
4
6
5
7
8
B
C
A
D
b
a
1
2
3
4
c
b
a
c
2
3
4
1
d
c
b
110°
70°
m
n
M
D
N
K
a
C
B
1
2
m
n
k
37°
143°
1
2
3
E
F
K
L
O
m
n
c
59°
59°
1
1
2
3
4
5
6


title: Презентация на тему: Признаки параллельности прямых

text:
b
c

b
c
1
2
4
3
8
5
7
6

D
D
D
B
E
C
35o
70o


text:
1
2
3
4
5
b
aIIb
1
2
3
4
b
c
D
M
N
a
b
c
1
2
3
4
5
6
7
8
b
c
1
2
b
c
1
2
b
c
1
2
3
4
5
6
b
c
1
2
1800
b
c
1
2
1
2
3
4
1
1
2
2
3
3
4
4
5
6
7
8
1
2
3


title: Презентация на тему: Признаки параллельности прямых 7 класс

text:
1
2
3
1 =    2
2 +    3 = 180°
a
c
b
1
2
a
b
1
2
a
b
1
2
c
c
a
b
c
7
8
6
5
4
3
2
1
k
153°
27°
d
1
2
3
4
5
6
7
8
A
B
C
D
F
A
D


title: Презентация на тему: Признаки параллельности прямых (7 класс)

text:
b
a
c
1
2
3
4
5
6
7
8
a
b
1
2
< 1 = 48º, < 2 = 132º
a
b
c
1
3
4
2
5
< 1 = 47º, < 2 = 133º


title: Презентация на тему: Презентация Рельеф Южной Америки

text:
Посмотреть на карту надо,Горы там зовутся Анды,В переводе эта твердьОзначает слово медь.Тут в былые времена,Прогибалась земля, А другая поневоле,Превратилась в плоскогорье.Где комфортно, без проблем?Лима, Кито иль Белен?На востоке жить остаться,Иль на запад перебраться?
Геологическое строение, рельеф и полезные ископаемые Южной Америки
Подготовила: Брайт Е.Н.
Молодой специалист.
МБОУ «СОШ № 6» г. Владимир
2011 г.
7 класс
Цели урока:
Сформировать представление о тектоническом строении, рельефе и полезных ископаемых
Определить координаты рекордных высот материка
Развитие познавательного интереса у учащихся, их творческих способностей, формирование единой картины мира.
Познакомиться с расположением крупных форм рельефа.
Определить размещение полезных ископаемых и их взаимосвязь со строением земной коры.

План урока
Геологическая история материка
Особенности рельефа
Полезные ископаемые
Древние материки
Карта строения земной корыФизическая карта Южной Америки
Групповая работа:
1. Выявите закономерность размещения рельефа на материке, какими причинами  можно      объяснить расположение гор на западе, а равнин  на востоке.
2.На какой литосферной плите располагается Южная Америка?
3.С какими литосферными плитами она граничит?
4.В какие геологические эры формировалась кора Южной Америки?
7. Какие формы рельефа выделяют на материке?
2. В какой части материка располагаются равнины? Назовите их.
3. Где на материке располагаются горы? Назовите их.
Составьте схему и сделайте вывод.

Вывод: размещение основных форм  рельефа зависит от внутреннего   строения земной коры.
Нанесите основные формы рельефа на контурную карту
Анды - самая длинная в мире горная цепь, 7 600 км, родина картофеля
Название «АНДЫ» от анта, на языке инков —
медь, медные горы
Задача 1
Задача 1
Х ю.ш. + 29º = 60º       У з.д. = 3Х ю.ш. -24º
Х ю.ш. = 60º  - 29º        У з.д.  = 3 * 31º -24º
Х ю.ш. = 31º                  У з.д.  = 69º

Получили: (31ºю.ш. 69º з.д. ) – Аконкагуа – самая высока вершина Ю. Америки
Высшая точка – г. Аконкагуа – 6962м.
Самый высокий в мире потухший вулкан - высшая точка Южной Америки, западного и южного полушарий.
Происхождение названия горы точно неизвестно, существующие выводят его из арауканского («с другой стороны реки Аконкагуа») или от Ackon Cahuak, что на языке кечуа означает «Каменный страж».
Гора возникла при столкновении тектонических плит Наска и Южно-Американской.

Задача 2
Задача 2
Х ю.ш. + 51º = 74º             2Х ю.ш.  +22º = У з.д
Х ю.ш. = 74º - 51º            3 * 23º + 22º = У з.д
Х ю.ш. = 23º                     68º = У з.д

Получили: (23ºю.ш. 68ºз.д) – вулкан Льюльяльяко – самый высокий на материке.
Вулкан Льюльяльяко

Самый высокий из действующих вулканов планеты, пятый по высоте вулкан в мире и седьмая по высоте вершина западного полушария. Располагается в одном из самых сухих мест в мире (пустыня Атакама), снеговая линия на западном склоне превышает 6,5 тысяч метров (наивысшее положение снеговой линии на земле).
Последнее взрывное извержение датируется 1877 годом, в настоящее время вулкан находится в сольфатарной стадии

Задача 3
Задача 3
2Х с.ш. + 3Х с.ш. = 35º       У+X з.д. = 434º
5Х с.ш. = 21º                      У з.д. = 434º : X
Х с.ш = 35º : 5                   У з.д. = 62º
Х с.ш = 7º

Получили: (7º с.ш  62º з.д.) – водопад Анхель – самый высокий водопад в мире
Водопад Анхель
Анхель (исп. Salto Angel, на пемонском языке — Kerepakupai vena, что значит «Водопад глубочайшего места») — самый высокий в мире водопад, общая высота 979 метров, высота непрерывного падения 807 метров. Назван в честь лётчика Джеймса Эйнджела, который перелетел через водопад в 1935 году.
Вода свергается с вершины Ауянтепуи, крупнейшей из венесуэльских тепуи— его название в переводе на русский означает «гора дьявола». Высота падения настолько велика, что, прежде чем достичь земли, вода распыляется на мельчайшие частички и превращается в туман. Туман может ощущаться за несколько километров. Падающая вода попадает в реку Кереп.
Мощная горная система Анд, образует часть тихоокеанского «Огненного кольца": здесь много вулканов, часты землетрясения.

Амазонская низменность - самая большая низменность на Земле, S > 5 млн. км².
Бразильское плоскогорье находится на древних породах, перекрытых лавовыми покровами
Гвианское плоскогорье - выступ докембрийского фундамента в северной части Южно-Американской платформы
Ла – Платская низменность
Это восточная часть Внутренних равнин Юж. Америки, вдоль рек. Парагвай - Парана. На севере - редколесья и болота, на юге (Междуречье, Пампа) - светлые леса, прерии. Земледелие, скотоводство.

Задание: определите, по какой параллели выполнен данный профиль рельефа материка.
Полезные ископаемые
Полезные ископаемые

Задание:
С помощью карт атласа начертите схему и выпишите
полезные ископаемые, характерные для
разных частей Южной Америки.

Платформа
(выступы
плоскогорья)
  Платформа
   (прогибы
низменности)
     Новая складчатость
    (Анды)
Полезные ископаемые

Платформа
(выступы
плоскогорья):
1.Железные руды
2.Марганцевые руды
3.Никель
4.Бокситы
  Платформа
   (прогибы
низменности):
1.Нефть
2.Газ
3.Уголь
        Новая складчатость
     (Анды):
1.Медные руды
2.Молибденовые руды
3.Оловянные руды
4.Серебряные руды

Вывод:
Ю.А. имеет разнообразный рельеф потому, что…
Анды – молодые горы потому, что…
На материке присутствуют различные виды полезных ископаемых потому, что…
Тест по теме: «Рельеф и полезные ископаемые Южной Америки»
1. Высшая точка Анд:
  а)г.Чимборасо;
  б)г. Аконкагуа;
  в)г. Ильямпу;
2. Восток материка расположен на:
  а)древней платформе;
  б)молодой платформе;
  в)границе литосферных плит;
3. Горы Анды протянулись на:
  а)2000 км;
  б)12000 км;
  в)7600 км;
4. О продолжении горообразования Анд свидетельствует:
  а)их протяженность;
  б)частые землетрясения;
  в)оледенение;
5. Анды образовались на:
  а)платформе;
  б)границе литосферных плит;
  в)материковой области;
6. В Южной Америке находится величайшая равнина мира:
  а)Оринокская;
  б)Бразильская;
  в)Амазонская.

Ответы к тесту:
1. Аконкагуа;
    2. Древняя платформа;
       3. 9000 км;
          4. Частые землетрясения;
             5. Граница литосферных плит;
                6. Амазонская.
Домашнее  задание
Параграф 35
Постойте постройте профиль рельефа материка по линии экватора с указанием тектоники и полезных ископаемых.

http://area7.ru/metodic-material.php?8252
http://www.allgeology.ru/zemla-planet-solnce/globalnaya-tektonika-litosfernyh-plit-plavayuschie-kontinenty-page4.html
http://www.labirint.ru/screenshot/goods/243903/1/
http://mir-map.ru/map435105_0_0.htm
http://lenta.ru/world/2004/07/25/peru/
http://chilean.ru/ledniki-v-andax-foto.html
http://findmapplaces.com/11025917_Carretera+del+Portezuelo+Llullaillaco+Sur,+4856+mts./
http://elite-home.narod.ru/volcano1.htm
http://vodopad-lednik.ru/photo/1-0-20
http://900igr.net/kartinki/geografija/JUzhnaja-Amerika-relef/013-Amazonskaja-nizmennost.html
http://pochemuha.ru/pochemu-govoryat-chto-amazoniya-yavlyaetsya-zelyonymi-lyogkimi-zemli
http://xreferat.ru/18/3064-1-brazil-skoe-ploskogor-e.html
http://www.ecosystema.ru/08nature/world/60braz/01.htm
http://fmiranda-nsk.ru/index/informacija_o_strane/0-20
http://www.turbo.adygnet.ru/2003/mironov_mih/
http://900igr.net/fotografii/geografija/JUzhnaja-Amerika/015-La-Platskaja-nizmennost.html
http://900igr.net/fotografii/geografija/JUzhnaja-Amerika/016-La-Platskaja-nizmennost.html
http://www.sestrenka.ru/dnevnik/katinet/8333/
http://900igr.net/kartinki/geografija/JUzhnaja-Amerika-relef/020-Poleznye-iskopaemye-JUzhnoj-Ameriki.html


text:
900igr.net
b
c

b
c
1
2
4
3
8
5
7
6

D
D
D
B
E
C
35o
70o


title: Презентация на тему: Признаки параллельности прямых. Свойства параллельных прямых

text:
6
2
1
5
8
4
3
7
1
2
3
4
5
6
7
8
a
b
c
a
b
c
F
D
C
F
D
C
1
2
F
D
C
3
4
A
B
C
D
E


title: Презентация на тему: Преобразование симметрии в пространстве. Симметрия в природе и на практике

text:
Преобразование симметрии в пространстве. Симметрия в природе и на практике
Урок геометрии в 10 классе
(базовый уровень)
Учитель математики : Попова И.А.
Муниципальное общеобразовательное учреждение
Средняя общеобразовательная школа № 30 города Белово
Белово 2011
Поставьте в тетради номер задания;
Запишите ваш вариант ответа;
После проверки поставьте напротив задания знак «+» («верно») или «-» («не верно»).
Повторим, подумаем…
1. Какие из точек лежат
A (0; -9; 0), B (0; 2; -4), C (1; 0; -7), D (3; 6; 0)
3
2. Найдите расстояние между точками:
A (2; -5; 3)
B (-1; -4; 6)
4

x

y

0
1
1

A

z
1

B

x1
x2

y1
y2

z1
z2

|x1–x2|

|y1–y2|
|z1–z2|

C
Расстояние между точками A(x1; y1; z1) и B(x2; y2; z2)
3. Найдите расстояние между точками:
C (5; 0; -3)
D (0; -1; 1)
6

4. Найдите координаты середины отрезка:
M (6; 0; -3)
N (0; -2; 1)
7

x

y

0
1
1

A

z
1

B

x1
x2

y1
y2

z1
z2

M

Координаты середины отрезка АВ, где A(x1; y1; z1) и B(x2; y2; z2)
5. Найдите координаты середины отрезка:
P (-4; 10; 4)
Q (8; -8; 2)
9

Самооценка:
1. Какие из точек лежат
A (0; 0; 5), B (0; 2; -4), C (1; 0; -7), D (3; 6; 0)
11
2. Найдите расстояние между точками:
A (3; -2; -3)
B (-3; -4; 6)
12

3. Найдите расстояние между точками:
C (3; 8; 3)
D (8; 0; -1)
13

4. Найдите координаты середины отрезка:
M (2; 2; -2)
N (6; -2; 4)
14

5. Найдите координаты середины отрезка:
P (-4; 0; 1)
Q (0; -8; 2)
15

Самооценка:
Преобразование симметрии в пространстве. Симметрия в природе и на практике

x

y
z
0
1
1
A

1

a
b
c
Пусть A(a; b; c)
−a
−b
−c
A0

Построим точку A0, симметричную данной точке относительно точки O.
Тогда координаты точки A0(−a; −b; −c).

Центральная симметрия

x

y
z
0
1
1
A

1

a
b
c
Пусть A(a; b; c)

−c
−b

A1
Построим точку A1, симметричную данной точке относительно оси Ox.
Тогда координаты точки A1(a; −b; −c).

Осевая симметрия

x

y
z
0
1
1
A

1

a
b
c
Пусть A(a; b; c)

−c
−a

A2
Построим точку A2, симметричную данной точке относительно оси Oy.
Тогда координаты точки A2(−a; b; −c).

Осевая симметрия

x

y
z
0
1
1
A

1

a
b
c
Пусть A(a; b; c)

−a
−b

A3
Построим точку A3, симметричную данной точке относительно оси Oz.
Тогда координаты точки A3(−a; −b; c).

Осевая симметрия

x

y
z
0
1
1
A

1

a
b
c
Пусть A(a; b; c)

−c

A4
Построим точку A4, симметричную данной точке относительно плоскости  Oxy.
Тогда координаты точки A4(a; b; −c).

Зеркальная симметрия

x

y
z
0
1
1
A

1

a
b
c
Пусть A(a; b; c)

−b

A5
Построим точку A5, симметричную данной точке относительно плоскости Oxz.
Тогда координаты точки A5(a; −b; c).

Зеркальная симметрия

x

y
z
0
1
1
A

1

a
b
c
Пусть A(a; b; c)

A6
Тогда координаты точки A6(−a; b; c).

Зеркальная симметрия

Построим точку A6, симметричную данной точке относительно плоскости Oyz.

−a
Решите задачи
№№ 17, 19, 21 (стр. 55)
25
Домашнее задание

Контрольные вопросы 1 – 5 (стр. 53)
№№ 16, 18, 20 (стр 55)
26
Литература
Погорелов А.В. Геометрия. Учебник для 10 – 11 кл. общеобразоват. Учреждений / А.В. Погорелов. – М. Просвещение, 2008. – 128 с.


text:
N
R
1
2
4
3
5
6
8
7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
11
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
1
2
5
6
3
4
1
2
1
2


title: Презентация на тему: Признаки параллелограмма 8 класс

text:
1
2
3
4
         2
1
3

       2
1
3
4

- - - - - - -

 - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - -
2
1
4
3
2
1
3
4
2
4
1
3


title: Презентация на тему: Признаки параллелограмма

text:
900igr.net
1
2
3
4
1
3
2
1
2
1
3
2
4
D
H
1
2
3
4
1
2
D
1
2


title: Презентация на тему: Признаки подобия

text:
900igr.net
A
A1
C1
B1
B
C
A
C
B
C1
B1
A1
B1
C1
A1
B
C
A
B1
A
B
C
C1
B1
A1
<A=<A1;
AB/A1B1=AC/A1C1;
A
B
C
C1
B1
A1
C2
2
1
A
B
C
C1
B1
A1
A
C
C1
B1
A1
B
C2
2
1


text:
1
2
3
4
b
b
b
b
c
1
b
2
4
3
5
6
8
7
10
11
12
9
1
b
2
1
b
2
1
b
2
3
4
5
b
65°
125°
b
b
b
110°
70°
b
40°
40°
b
A
B
D
C
O
P
E
M
K
K
P
A
C
B
a
b
40°
80°
A
B
C
D
O
A
B
C
D
A
B
C
D
E
A
B
C
K
M
N
1
b
2
3
4
1
b
2
3
4
5
6
1
b
2
3
1
z
x
y
2
3
1
z
q
t
2
3
1
a
t
m
2
3
y
c
a
b
x
80°
K
M
a
b
x
52°
P
E
F
70°
70°
C
a
b
x
40°
D
B
A
80°
y
80°
E
x
35°
K
F
P
145°
50°
E
x
51°
B
D
A
129°
52°
C
T
x
N
P
M
112°
68°
K
68°
A
1
E
D
3
2
B
C
A
b
O
B
a
M
E


Презентация на тему: Признаки подобия треугольников


title: Презентация на тему: Преобразование графиков функций

text:
Преобразование
графиков
функций
Выполнила Ильясова Алия Аксановна,
учитель высшей категории МБОУ Лицей №62  г. Уфы Республики Башкортостан
Дорогу осилит идущий,
а математику – мыслящий
 Т.Эдисон
Цель урока
Изучить способ построения графиков функций
y = f(kx),
y = mf(x)
Преобразование: у = f(x+t), t > 0
сдвиг по оси x влево на t

t
у = f(x)
у = f(x+t)

Преобразование: у = f(x+t), t < 0
сдвиг по оси x вправо на t
t

у = f(x)
у = f(x+t)
Преобразование: у = f(x)+m, m > 0
сдвиг по оси у вверх на m

m
у = f(x)

у = f(x) + m
сдвиг по оси у  вниз на m
t

у = f(x)
у = f(x) + m
Преобразование: у = f(x)+m, m < 0
m
Преобразование: у = mf(x), m > 1.

x
y
растяжение по оси Оу в m раз от оси Ох

у = mf(x)

x
y

у = mf(x)
Преобразование: у = mf(x), m < 1
сжатие по оси Оу в m раз к оси Ох

Растяжение (сжатие) в m раз вдоль оси OY

Преобразование: у = f(кx), k>1

x
y
сжатие в к раз по оси Ох к оси Оу

у = f(кx)

Преобразование: у = f(кx), k<1

x
y
растяжение в к раз по оси Ох от оси Оу

у = f(кx)

Растяжение (сжатие) в к раз вдоль оси OX

Э.п.
Постройте графики функций
1 ряд
3 ряд
2 ряд
На доске

Домашняя работа:
§§ 12 – 13,
доработать опорный
конспект,
№ 230(в); 239(в);
240(в); 242(в).


title: Презентация на тему: призма

text:
Муниципальное автономное дошкольное образовательное учреждение г. Мурманска Центр развития ребёнка детский сад № 78Знакомство детей 1,5 лет с предметным окружением посредством дидактических игр
Воспитатель МАДОУ № 78
Туник Наталья Александровна
«Причины встречающейся интеллектуальной пассивности детей часто лежат в ограниченности их интеллектуальных впечатлений, интересов». Н. Н. Поддъякова
Цель работы: развитие познавательной сферы детей раннего возраста за счёт приобретения жизненно необходимых представлений об окружающем мире через игру.

В ходе сотрудничества со взрослым   ребёнок получает:
1.  новые, адекватные способы действия с предметами;2.  участие взрослого в  действиях  ребёнка; 3. основу для развития  личности
Схема предметного мира
Предметы, которыми ребенок не действует
Предметы, которыми ребенок постоянно пользуется
Предметы, которые ребенок способен изменить, преобразовать, приспособить для своих нужд

Рекомендации:1.   В воспитательно - образовательном процессе больше внимания уделять развитию познавательного интереса к предметному миру у воспитанников, обогащению их эмоционального и чувственного опыта различными знаниями о предметном мире.2. Использовать взрослого как образец – ориентир в проявлении познавательного интереса к предметному миру.3. Организовывать разнообразную самостоятельную практическую деятельность детей, направленную на реализацию познавательного интереса к предметному миру.
Среда
Среда

Педагогические принципы в ходе дидактической игры :1. Опираться на уже имеющиеся знания, полученные, как правило, путем непосредственного восприятия;2. Следить за тем, чтобы дидактическая задача была достаточно трудна и в то же время доступна детям;3. Поддерживать интерес и разнообразие игрового действия;4. Постепенно усложнять дидактическую задачу и игровые действия;5. Конкретно и четко объяснять правила.
Этапы познания мира предметов в раннем возрасте
- первое знакомство с предметом;
- представления о вариативности использования предметов
Спасибо за внимание!


title: Презентация на тему: Призма

text:
Призма
Сделал ученик 9 Б класса Сергей Петерс
Призмой называется многогранник, у которого две грани (основания) лежат в параллельных плоскостях, а ребра, не лежащие в этих гранях, параллельны между собой.
Построение
Построение
Рассмотрим параллельные плоскости a и b
Хочу напомнить, что параллельные плоскости – это плоскости, немеющие общих точек.
На плоскости a возьмём какой нибудь многоугольник  A1 A2…An ;а в плоскости b – равный ему многоугольник B1B2…Bn ; причём так, чтобы равные стороны A1A2 B1B2 и т.д. были попарно параллельны.

A1
A2
A3
A4
A5
A6
B1
B2
B3
B4
B5
B6
Соединим отрезками A1B1  A2B2 и т.д. соответствующие вершины.В результате получим наклонную призму.
Виды призм
Призмы бывают :
Наклонными.
2)   Прямыми.

Чтобы дать определения прямой  и наклонной призмы, мы введём понятие перпендикулярности прямой и плоскости.
Итак, прямая a, пересекающая плоскость a в некоторой точке H, называется  перпендикулярной к данной плоскости, если она перпендикулярна  к любой прямой, лежащей в плоскости a и проходящей через точку H.
a
a
H
Сформулируем же теперь определение:Если все боковые рёбра призмы перпендикулярны к плоскостям её оснований, то призма называется прямой.В противном случае она называется наклонной.
Правильная призма
Прямая призма основаниями которой являются правильные многоугольники называется правильной призмой.
Высота призмы
Выберем произвольную точку H1 одного из оснований и проведём через неё прямую, перпендикулярную к плоскости другого основания и пересекающую его в точке H. Отрезок H1H называется высотой призмы.
Происхождение слова “призма”
Слово призма пришло к нам из Греции.
Оригинальное написание –πρίσμα. Читается – Пруисма.  Означает – «нечто отпиленное»(Дословный перевод).
Некоторые свойства призмы
 Основания призмы являются равными многоугольниками.
Боковые ребра призмы параллельны и равны.
Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания
Ресурсы:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Призма_(геометрия)http://www.edumedia-sciences.com/ru/a311-311https://yandex.ru/images/search?img_url=http%3A%2F%2Fmatematiku.narod.ru%2Fimages%2Fstereom10.gif&uinfo=sw-1280-sh-1024-ww-1263-wh-920-pd-1-wp-5x4_1280x1024&_=1428347100631&suggest_reqid=66944123142687212770996320110673&p=1&viewport=wide&text=призма&pos=38&rpt=simage&pin=1http://methmath.ru/prizma.htmlhttp://tolkslovar.ru/p18933.html


title: Презентация на тему: «Признаки равенства и подобия треугольников»

text:
EXIT
A
B
C
A
B
C
A1
B1
C1
A
B
C
A1
B1
C1
A
B
C
B
C
A
A
B
C
B
A
C
B1
A1
C1
B
A
C
A
B
C
A
B
C
A1
B1
C1
A
B
C
A1
B1
C1
A1
B1
C1
A1
B1
C1
A1
B1
C1
A
B
C
C1
A1
B1
C1
A1
B1
C1
A1
B1
C1
A1
B1
A1
B1
C1
A
B
C
A1
B1
C1
A1
B1
C1
A1
B1
C1
1)
C
A
O
D
B
2)
A
B
C
D
1
2
Shakiroff
EXIT


title: Презентация на тему: "Применение производной. Прикладные, текстовые задачи".

text:
Урок подготовки к ЕГЭ

«Тяжело в учении – легко в бою»

Исследовать функции с помощью производной (В8)
Решим прикладную задачу (В 12)
Текстовую задачу (В 14)

На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0.Найдите значение производной функции  f(x) в точке x0.
На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале (-9; 8). В какой точке отрезка [-8;-4]   f(x) принимает наибольшее значение?
На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале (-9; 8). Найдите количество точек на отрезке      [-8;-4],в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=3
На рисунке изображен график производной функции  y=f '(x), определенной на интервале (-7,5; 7). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции  f(x), параллельна прямой  y=x+1 или совпадает с ней.
На рисунке изображен график производной функции  y=f '(x), определенной на интервале (-7,5; 7). В какой точке отрезка [-5; -2] функция   f(x) принимает наименьшее значение
На рисунке изображен график производной функции  y=f '(x), определенной на интервале (-5; 5). Найдите коли-чество точек экстремума функции f(x) на отрезке [-4;3]
На рисунке изображен график производной функции  y=f '(x), определенной на интервале (-5; 5). Найдите про-межутки возрастания функции f(x).В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Проекты мостов через Лену
Статистические данные по Якутии:За лето 2013 года уничтожено пожаром 712757га лесаЗа лето 2012 года уничтожено пожаром 139067 га леса
Ответы:
1 вариант
№1.    Ответ: 5
№2.    Ответ: -3
№3.    Ответ: -14
№4.    Ответ:  24
№5.    Ответ:  2
2 вариант
№1.   Ответ:  6
№2.   Ответ:  5
№3.   Ответ:  3
№4.   Ответ:  4
№5.   Ответ:  -0,5

1 и 2 столбцы: вычислите,
3 столбец: найдите производную функции


title: Презентация на тему: Признаки равенства прямоугольных треугольников

text:
1
8
3
10
4
5
6
7
9
2
1
2
1
2


title: Презентация на тему: ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ

text:
ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ДВУХ                             ПРЯМЫХ
Петрова Людмила Анатольевна, учитель математики, г.Санкт-Петербург, лицей № 126
12.01.2014 17:42
Дайте определение параллельных прямых.
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

 a
b
Какие два отрезка называются параллельными?

A
D
B
C
Что такое секущая?
Назовите пары углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей?
a
b
c
1
2
3
4
5
6
7
8
Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Дано. Прямые a,b,
              AB – секущая, ∟1=∟2,
    Доказать, что a∣∣b.

a
b
A
B

1
2
Доказательство.
                                           1) ∟1 и ∟2 прямые,
                                                        a ⊥ AB, b ⊥ AB.
                                                        Следовательно,
                                                        a ∣∣ b.
a
b
A
B
1
2
  2)  Пусть ∟1 и ∟2 не прямые.
Точка О – середина AB.
OH ⊥ a.
На прямой b: BH₁=AH.
Отрезок OH₁.
∆OHA=∆OH₁B, ∟3=∟4,∟5=∟6.
∟3=∟4, H,O,H₁ лежат на
         одной прямой .
         ∟5=∟6,
       ∟5=90о
        ∟6- прямой.
  Следовательно, a ⊥ HH₁, b ⊥ HH₁.
        a∣∣b. Теорема доказана.

a
b
B
A
O
1
5
6
2
3
4
H
H₁

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Дано. Прямые a и b,
              секущая c, ∟1,∟2- соответственные,
                  ∟1=∟2
Доказать: a∣∣b.
Доказательство.
∟1=∟2 (по условию)
∟2=∟3
(как вертикальные углы),
То ∟1=∟3( накрест лежащие
углы при прямых а, b
и секущей с.
Значит, a∣∣b.
Теорема доказана.

c
a
b
2
3
1
Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180⁰, то прямые параллельны.
Дано.
   прямые a и b, секущая c,
   ∟1+∟4=180⁰
 Доказать: a∣∣b.
Доказательство.
∟1+∟4=180⁰ (по условию),
∟3 + ∟4 =180⁰, значит, ∟3 = ∟1(накрест лежащие углы), значит
 a ∣∣ b. Теорема доказана.

a
b
c
1
4
3
РЕШИТЕ задачу:
1. По данным рисунка докажите, что
        a   ⃦ b.
                                                                    ∟1=44o
                                                                     ∟ 2 =136o.
a
b
1
2
Решите задачу:
На рисунке ∟1=125⁰, ∟2=55⁰.
    Докажите, что k   ⃦ f.

k
f
n

1
2
2. Дано: AD=BC, AB=CD.
       Доказать: AD  ⃦ BC.

A
B
C
D
 В классе
№ 186(в), № 189.
3.
A
B
C
D

Через точки A и C проведите
прямые a и c, параллельные
BD.
Верно ли, что a  ⃦ c?
a
c
Домашнее задание
 повторить теорию: п.25-п.26,
                         №187, №189, №186(а,б)
 С П А С И Б О !


text:
D
D
D
D
1
2
D
C
1
2
3
4
6
7
5
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
D
D
D
D
C
D
D
D
D
D
1
2
1=
2
D
1
2
D
1
2
D
D
D
1
2
D
D
1
2
1
2
D
O
D


title: Презентация на тему: Признаки равенства треугольников

text:
D
F
C
F
D
B
C
A
F
 60*
80*
120*
D
C
6)
7)


title: Презентация на тему: Признаки равенства и подобия треугольников


title: Презентация на тему: «Признаки равенства треугольников»

text:
1
2
1
2
3
2.
1.
D
3.
N
K
S
R
P


Презентация на тему: Признаки равенства треугольников 7 класс


text:
 D
N
L
M
F
N
L
O
B
S
A
R
S
A
X
B
Z
O
F
B
D
A
A
N
B
C
C
A
B
D
E
F
C
A
B
D
E
F
A
C
B
F
D
E
D (A)
C
F
E (B)
D (A)
E (B)
C
F
E (B)
C
F
D (A)
1
3
2
4


text:
E
D
A
B
F
F
G
D
R
P
Q
A
C
B
D
E
F
M
N
O
A
A
B
C
D
G
H
K
M
R
A
N
C
M
A
B
D
W
S
A
B
C
D
A
B
C
D


text:
Q
R
P
A
B
C
Q
P
K
M
N
R
D
1
2


text:
1
2
3
2
1
2.
1.
D
3.
N
K
S
R
P


title: Презентация на тему: Признаки Равенства треугольников

text:
Q
R
P
A
B
C
Q
P
K
M
N
R
D
1
2


text:
Q
R
P
A
B
C
Q
P
K
M
N
R
D
1
2


title: Презентация на тему: Признаки равенства треугольников (обобщающий урок)

text:
Q
R
P
A
B
C
Q
P
K
M
N
R
D
1
2


Презентация на тему: Признак перпендикулярности двух плоскостей


title: Презентация на тему: Признаки равенства треугольников. Устные задачи

text:
A
B
C
A
B
C
A1
B1
C1
A
B
C
A1
B1
C1
A
B
C
B
C
A
A
B
C
B
A
C
B1
A1
C1
B
A
C
A
B
C
30


title: Презентация на тему: Признак перпендикулярности прямой и плоскости

text:
m
n


title: Презентация на тему: 1 признак равенства треугольников

text:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
N
D
108°
30°
F
D
E
35°
35°
50°
D
E
F
D
E
F
C
D
30°
40°
D
D
B
C


title: Презентация на тему: Признаки паралельности прямых

text:
Цели урока:
            Повторить понятие параллельных прямых;
            Повторить понятие накрест лежащих, односторонних и соответственных углов;
            Закрепить признаки параллельности двух прямых;
            Рассмотреть задачи на применение признаков параллельности прямых.
Развитие интеллектуальных способностей, повышение самостоятельности учащихся, реализация «деятельностного» подхода к обучению, формирование информационной культуры в процессе деятельности и личностного развития учащихся

Для того, чтобы доказать параллельность прямых, нужно выяснить:
равны ли накрест лежащие углы,
равны ли соответственные углы,
сумма односторонних углов равна 180°.

Домашнее задание.
Диск, тема 3,Параллельные прямые, задача №4, записать решение в тетрадь.
Учебник, стр. 63. Вопросы 1-5.


title: Презентация на тему: ПРИЗМА.Сечения призмы

text:
ПРИЗМА.
Сечения призмы.

www.matematika-na5.narod.ru
Автор: Самохвалова Т.М
Prezentacii.com
Виды призм.

Прямая.
Правильная.
Наклонная.

Все призмы делятся на прямые и наклонные.
Если боковое ребро призмы перпендикулярно плоскости ее основания, то такую призму называют прямой; если боковое ребро призмы перпендикулярно плоскости ее основания, то такую призму называют наклонной. У прямой призмы боковые грани - прямоугольники. Перпендикуляр к плоскостям оснований, концы которого принадлежат этим плоскостям, называют высотой призмы.
Свойства призмы.
   1. Основания призмы являются равными многоугольниками.2. Боковые грани призмы являются параллелограммами.3о. Боковые ребра призмы равны.
Сечение призмы
1. Сечение призмы плоскостью, параллельной основанию. В сечении образуется многоугольник, равный многоугольнику, лежащему в основании.
2. Сечение призмы плоскостью, проходящей через два не соседних боковых ребра. В сечении образуется параллелограмм. Такое сечение называется диагональным сечением призмы. В некоторых случаях может получаться ромб, прямоугольник или квадрат.
Наиболее доступными и эффективными методами построения сечения призмы являются три метода:
1. Метод следов.
3. Комбинированный метод.
2. Метод вспомогательных сечений.
www.matematika-na5.narod.ru
Сечение правильной призмы.

   1. Сечение правильной призмы плоскостью, параллельной основанию. В сечении образуется правильный многоугольник, равный многоугольнику, лежащему в основании.
   2. Сечение правильной призмы плоскостью, проходящей через два не соседних боковых ребра. В сечении образуется прямоугольник. В некоторых случаях может образоваться квадрат.
Задача.
Дано:  Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро - 6 см. Найдите Sсеч, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания.
Решение: Треугольник A1B1C1 - равнобедренный(A1B=C1B как диагональ равных граней)
1)Рассмотрим треугольник BCC1– прямоугольный
BC12=BС2+CC12
BC1= √ 64+36=10 см
2) Рассмотрим треугольник BMC1– прямоугольный
BC12=BM2+MC12
BM2=BC12-MC12
BM2=100-16=84
BM= √ 84=2 √ 21 см
3) Sсеч=12 A1C1*BM= 12*2√ 21 см*8=8 √ 21

Дано: правильная призма, АВ=3см,
            АА1= 5см
Найти:
Диагональ основания
3√2см

Диагональ боковой грани
√34см

Диагональ призмы
√43см

Площадь основания
9см2

Площадь диагонального сечения
15√2см2

Площадь боковой поверхности
60см2

Площадь поверхности призмы
78см2

Применение призмы в архитектуре
Применение призмы в быту.
Prezentacii.com


text:
900igr.net
D
D 1
D
D 1

q
m
L
p
q
L
a
A
B
P
Q
L
p
q
L
a
A
B
P
Q
L


title: Презентация на тему: Прямая и отрезок

text:
D
F
b
c
b l l c


title: Презентация на тему: Прямая и отрезок

text:
.N
     b
.F

/


title: Презентация на тему: «Признак равенства треугольников»

text:
1
1
2
1
2


title: Презентация на тему: Прямая и отрезок. Луч и угол. Сравнение и измерение отрезков и углов

text:
1.
2.
3.
4.
5.
7.
6.
8.
10.
9.
11.


title: Презентация на тему: Признаки и свойства параллельных прямых

text:
Признаки и свойства параллельных прямых
Игра «Я знаю все!»

- Параллельными называются прямые……...

- Два отрезка называются параллельными, если…

-  Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она …

- Если две прямые параллельны третьей, то…

- Через любую точку, не лежащую на данной прямой можно провести…

- Если две прямые перпендикулярны третьей, то …

- Прямая х  называется секущей по отношению к a и b, если …

При пересечении a и b секущей m,
углы 1 и 5, 2 и 6 называются …

При пересечении a и b секущей m,
углы 3 и 6, 4 и 5 называются …

При пересечении a и b секущей m,
углы 6 и 4, 5 и 3 называются …

При пересечении a и b секущей m,
углы 2 и 8, 1  и 7 называются…

При пересечении a и b секущей m,
углы 1 и 8, 2 и 7 называются …

Если при пересечении двух прямых  секущей накрест…

Если при пересечении двух прямых  секущей соответственные…

Если при пересечении двух прямых  секущей соответственные…

ЗАГАДКА
В садочке есть плод,
 Он сладок, как мёд.
 Румян, как калач,
 Но не круглый, как мяч.
 Он под самой ножкой
 Вытянут немножко.

груша

Признаки параллельных прямых
Если (условие)
То (заключение)
накрест лежащие углы равны
соответственные углы равны
сумма односторонних углов равна
180 градусов
прямые параллельны
прямые параллельны
прямые параллельны

СВОЙСТВА
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Вопросы:
С чего началось доказательство?
Что следовало из этого предположения?
Что можно сказать о новой прямой?
Что получили?
То есть получили противоречие с аксиомой параллельных прямых.

№1. Дано: а//в, какие из утверждений верные?
а//в=>   <1=<5,
а//в=>   <3=<6,
а//в=>   <3=<8,
а//в=>   <2=<7,
 а//в=>   <1=<7
а//в=>   <5=<8,
а//в=>   <6+<4=1800,
а//в=>   <5+<7=1800 .

№2. Дано АС//КМ, какие из утверждений верны?
АС//КМ=>  <1=<3,
АС//КМ=> <2=<3,
АС//КМ=> <1+<2=1800,
 АС//КМ=> <2+<3=1800,
 АС//КМ=>  <1+<3=1800.

№2. Дано АС//КМ, какие из утверждений верны?
АС//КМ=>  <1=<3,
Если прямые параллельны, то соответственные
углы равны.
АС//КМ=> <2=<3,
АС//КМ=> <1+<2=1800,
 АС//КМ=> <2+<3=1800, Если
прямые параллельны, то сумма односторонних
углов равна 180 градусов.
 АС//КМ=>  <1+<3=1800.

№209  Дано а//в, c//d. <4=450. Найти <1, <2, <3.

№210 Доказать, что <АСВ=<Р1АС+<СВР2.

Домашнее задание: п.99, №205 и придумать с оформлением похожую задачу.

Спасибо за внимание!
урок окончен


title: Презентация на тему: Признак параллельности прямых

text:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
a
O
b
c
d
ma
n
b
d
c
f
a
b
c
2
1
3)
a
b
c
2
1
1)
a
b
c
2
1
2)
a
b
m
a
b
m
a
b
m
a
b
2
1
4
3
5
7
6
8
a
b
a)
a
b
a
b
a
b
1
d
2
3
a
b
4
5
2
1
3
6
a
b
4
5
1
3
2
6
a
b
6
1
8
3
5
2
7
4
3
a
b
c
6
3
1)
1
4
2
5
a
b
c
1
2)
2
a
b
c
1
2)
2
d
b
c
3)
1
3
2
d
b
c
3)
1
3
2


Презентация на тему: Прямая и плоскость в пространстве


Презентация на тему: Прямой цилиндр


title: Презентация на тему: Преобразования на плоскости (7 класс)

text:
Преобразования на плоскости

 МОУ СОШ № 5
г. Ивантеевка
учитель математики
Любецкая Н. Ф.
 О симметрия! Гимн  тебе пою!Тебя повсюду в мире узнаю.Ты в Эйфелевой башне, в малой мошке,Ты в елочке, что у лесной дорожки.С тобою в дружбе и тюльпан, и роза,И снежный рой – творение мороза!
Симметрия (греч.) - соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей.
Виды симметрии
 Симметрия  относительно  прямой

Симметрия  относительно  точки

Поворот

Симметрия в природе

Симметрия в архитектуре
Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему

а – ось симметрии

Являются ли данные точки симметричными ?

М
М1

m
С
D
b

B
В1
а
Рисунок 1
Рисунок 2
Рисунок 3

Сколько осей симметрии имеет:

Отрезок

Прямая

Луч

А
В
а
О
Е
                 одна

множество

Ни одной
Задачи:
Какие из этих фигур имеют ось симметрии?
   Сколько осей симметрии имеет каждая фигура?
5
6
3
1
1
2
2
4
Бесконечно много

Две точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка АА1

О - центр симметрии

О

О

Являются ли точки  симметричными относительно данной точки?

Рисунок 1
Рисунок 2
Рисунок 3

М1

В
В1
О

М

А
А1

О
С

О
О
О
О
        Геометрические фигуры, обладающие                центральной симметрией
Имеют ли центр симметрии:
Отрезок

Прямая

Луч
Задачи

О
один

множество
Ни одного
О
О1
О2

А
В
С

А1
В1

           Начертите треугольник АВС Постройте симметричный ему треугольник относительно вершины С.
Постройте и проверьте себя

           Начертите треугольник АВС.
  Постройте симметричный ему треугольник относительно стороны  ВС.

А
В
А1
С

Поворот
    Поворот задается:- центром поворота - углом поворота (90о)- направлением (по часовой стрелке или против)

А
В
С

О

А1
В1
С1

В1
С1
D1
А1

D
Постройте и проверьте
А
В
С

О

90о

Симметрия в балете
Знаменитые фуэте, когда балерина вращается на одной ножке 6 раз, 12, …, 32 раза!
Их  повторяемость рождает эстетический эффект, служащий достойным завершением танца!
Винтовая симметрия

 Листья располагаются  на  стволе  по  винтовой  линии, чтобы заслонять  друг  от друга солнечный  свет.
Казанский собор

                     Антисимметрия –
это противоположность симметрии, ее  отсутствие.
                    Диссимметрия –
    это частичное отсутствие симметрии, её     расстройство, выраженное в наличии одних    симметричных свойств и отсутствии других.
С какими новыми понятиями познакомились?
Что нового узнали о геометрических фигурах?
Приведите примеры геометрических фигур, обладающих осевой симметрией.
Приведите пример фигур, обладающих центральной симметрией.
Приведите примеры предметов
из окружающей жизни, обладающих
одной или двумя видами симметрии.
Итог урока
Спасибо за внимание!


Презентация на тему: Прямоугольная система координат


title: Презентация на тему: Прямая. Луч. Отрезок

text:
32
17
5
4

32
17
5
4

32
17
5
4

32
17
5
4

32
17
5
4

32
17
5
4

32
17
5
4

32
17
5
4

32
17
5
4

32
17
5
4

32
17
5
4

32
17
5
4

32
17
5
4

32
17
5
4

32
17
5
4

32
17
5
4

32
17
5
4

32
17
5
4

32
17
5
4

32
17
5
4

32
17
5
4

32
17
5
4

32
17
5
4

32
17
5
4

32
17
5
4

32
17
5
4

32
17
5
4

32
17
5
4

32
17
5
4

32
17
5
4

32
17
5
4

32
17
5
4

32
17
5
4

32
17
5
4

32
17
5
4

32
17
5
4

32
17
5
4

32
17
5
4

32
17
5
4

32
17
5
4


title: Презентация на тему: Признаки параллелограмма

text:
Признаки параллелограмма
Задачи урока:

А
B
C
D
AB CD,  AC BD
Определение
Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом

А
В
С
D

1
2

3
4

Изучаем чертежи, находим  равные   элементы, повторяем свойства параллелограмма.
Среди четырехугольников есть параллелограммы?

А
В
С
АВ, ВС - боковые стороны равнобедренного треугольника
А, С – углы при основании равнобедренного треугольника
АС - основание равнобедренного треугольника
Треугольник называется
равнобедренным,
если две его стороны равны
Свойство равнобедренного треугольника

В
С
В равнобедренном треугольнике углы при основании
Признак
Если в треугольнике углы при основании равны, то
А
А
С
равны.
треугольник-равнобедренный.

В

Свойство
Признак
?
Обратная теорема
Определение
Сумма смежных углов
180˚
Сумма углов 180 ˚ -
Прямое утверждение:
Обратное утверждение:
     углы смежные

В параллелограмме противоположные стороны  равны.
Если в четырехугольнике противоположные стороны равны,
 то этот четырехугольник параллелограмм.
2°. Если AB=CD и BC=AD, то ABCD-параллелограмм.

А
B
C
Дано:
ABCD –четырехугольник. AB=CD и BC=AD.
Доказать, что ABCD-параллелограмм.
D

В параллелограмме  диагонали точкой пересечения
делятся пополам.
Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам,
 то этот четырехугольник- параллелограмм
3°. Если ACՈBD=O и BO=OD,AO=OC, то ABCD-параллелограмм.

А
B
C
D
Дано:
ABCD –четырехугольник. ACՈCD=O и BO=0D, AO=OC.
Доказать, что ABCD-параллелограмм.
O
1°. Если AB=CD и AB||CD, то ABCD-параллелограмм.

А
B
C
D
Дано:
ABCD –четырехугольник. AB=CD и AB||CD.
Доказать, что ABCD-параллелограмм.
В  параллелограмме АBCD- противоположные стороны равны и параллельны.
Признаки параллелограмма

Противоположные стороны равны
Противоположные стороны параллельны
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам
Задача 1

D
С
В
А
Доказать, что ABCD - параллелограмм
Задача 1

D
С
В
А
Доказать, что ABCD - параллелограмм
Задача 2

D
С
В
А
Доказать, что ABCD - параллелограмм
Задача 2

D
С
В
А
Доказать, что ABCD - параллелограмм
Задача 3

O
D
C
B
А

Доказать: АВСD- параллелограмм.
Дано:
∆AOB = ∆COD
Задача 3

O
D
C
B
А

Доказать: АВСD- параллелограмм.
Дано:
∆AOB = ∆COD

Посмотри, как можно построить параллелограмм, используя свойства его диагоналей.
Добились ли мы поставленных целей?
 Все ли задачи решены?

Домашнее задание: §2; п. 43.
№ 12, 13, 15 (из рабочей тетради)


title: Презентация на тему: Признаки равенства прямоугольных треугольников

text:
Признаки равенства прямоугольных
треугольников

7 класс
Учитель высшей квалификационной
категории Стрелюхина Л. М.
Николай Егорович Жуковский (1847-1921)
В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии.

Казимир Малевич

Гипотенузой называется сторона прямоугольного треугольника
MN
катет
MК

катет
КN
гипотенуза
Катетом  называется сторона прямоугольного треугольника,

противолежащая прямому углу.

прилежащая к прямому углу.
 Определить углы треугольника
90°
65°
55°
35°
Назовите прямоугольные треугольники и заполните таблицу
ABC
ABD
CBD
AC
AB
BC
AB
CB
BD
DA
BD
CD
Практическая работа
1. Обозначьте гипотенузу АВ.
2. Обозначьте катет MN.
3. Обозначьте гипотенузу  XY и катет XZ.
 4. Обозначьте гипотенузу c  и катеты a и b.

1
2
3
4
А
В
M
N
X
Y
c
a
b
Z
Признак равенства прямоугольных треугольников(по двум катетам)
Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого треугольника,  то  такие треугольники равны.
Признак равенства прямоугольных треугольников(по гипотенузе и катету)
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то  такие треугольники равны.

Признак равенства прямоугольных треугольников(по катету и прилежащему углу)
Если катет и прилежащий угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему углу  другого треугольника, то  такие треугольники равны

Признак равенства прямоугольных треугольников (по катету и противолежащему углу)
Если катет и противолежащий угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу  другого треугольника, то  такие треугольники равны

Признаки равенства прямоугольных треугольников( по гипотенузе и острому углу)
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу  другого треугольника, то  такие треугольники равны

Найдите равные прямоугольные треугольники

1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
с
a

a
с
a
a
b
b
6
6
60°
60°
20°
20°
1 и 8;
3 и 4;
6 и 7;
2 и 5.
ОТВЕТ:
Определите признаки равенства прямоугольных треугольников
1 вариант
2 вариант
1)
2)
3)
1)
2)
3)
                                          РЕФЛЕКСИЯ
НА УРОКЕ

  Я узнал…
 Я научился…
 Мне понравилось…
 Я затруднялся…
 Моё настроение…


Презентация на тему: Прямая перпендикулярная плоскости


text:
Признак перпендикулярности  прямой  и плоскости
Геометрия 10 класс
Урок № 2
Домашнее задание:
Учебник пункт 17

№ 117, № 128
повторение
Перпендикулярные прямые
Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если …
о

а
в

а

в
Подумай
Каким может быть взаимное расположение перпендикулярных прямых? Приведи примеры

Продолжи
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая …
Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она …

Верно ли?
1. Если прямая  а   перпендикулярна плоскости β  , то она перпендикулярна прямой АВ, лежащей в  плоскости β.
2. Прямая не  перпендикулярная к плоскости не перпендикулярна любой прямой в этой плоскости.
3. Прямая в лежит в плоскости β и не перпендикулярна к прямой а. Перпендикулярны ли прямая а и плоскость β ?
4. Прямая а перпендикулярна плоскости β, прямая в не пересекает плоскость β. Верно ли, что  а// в?
5. Прямые а и m  взаимно перпендикулярны, в//а. Чему равен угол между в и m?
Диктант
Дано : прямая а перпендикулярна плоскости β, прямая в
6. Если в//а, т о в и β …
7. Если в       β , то в и а …
8. Если в лежит в плоскости β,
 то в и а …

Задача № 118
Точки А, М, О лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости β , а точки О, В, С и Д лежат в плоскости β .
Сделай чертеж
Задача 118

А
М
О

В
С
D

Какие из следующих углов являются прямыми:
АОВ,  МОС,  ДАМ,  ДОА,  ВМО?
Задача 119

О
В
С
А

D

Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Теорема

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна  к этой плоскости

а

а

О

Р
q

m
ДАНО: а   р, а   q?
 ДОКАЗАТЬ: а   β
β

а

L

p
q
L
a
A
B

P
Q
L

p
q
L
a
A
B

P
Q
L

О

О

Р
q

m
 Итак : а перпендикулярна прямой L, но L// m .Следовательно а перпендикулярна m. Значит, а    β
β

а

L

Задача 126
Самостоятельная работа
Задача № 126
Прямая МВ перпендикулярна к сторонам АВ и ВС треугольника АВС.
Определите вид треугольника МВД, где Д – лежит на прямой АС

А
В
С
М
Д

проверка
Задача
Отрезок ВМ перпендикулярен к плоскости прямоугольника АВСD. Докажите, что прямая СD перпендикулярна плоскости МВС.
Самостоятельная работа
Верно ли?
Если прямая перпендикулярна к двум прямым в плоскости , то она перпендикулярна и самой плоскости?
Презентацию подготовилаучитель математики МОУ СОШ с. Урицкое Антонова Н.И.


title: Презентация на тему: Прямая и обратная теорема

text:
Прямая и обратная теорема
Подготовила
Ученица 7 «Б» класса
Булатова Мария
Учитель: Мизей Н. И.
Контрольные вопросы
Что такое геометрия?
Что такое  планиметрия?
Чью геометрию мы изучаем?
Что такое теорема?
Научная работа Евклида?
Наука,  занимающаяся изучением геометрических фигур.
Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на плоскости.
Мы изучаем  Евклидову геометрию.
Утверждение, справедливость которого устанавливается путем доказательства.
Книга «Начало».

 Сформулируйте теоремы в виде условного предложения  «если…, то…»

Вертикальные углы равны.

В равнобедренном треугольнике углы при основание равны.

Сумма углов треугольника равна 1800 .

Сумма смежных углов равна 1800 .

.
В разъяснительной части даются названия объектов, рассматриваемых в теореме.

Условие теоремы – это указание тех свойств объектов, которые там даны.

Заключение теоремы – это указание тех свойств, наличие которых нужно доказать.
Указать разъяснительную часть, условие и заключение теоремы.

Вертикальные углы равны.
В равнобедренном треугольнике углы при основание равны.
Сумма углов треугольника равна1800.
Сумма смежных углов равна 1800.
Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 300, равен половине гипотенузы.
   Если у данной теоремы разъяснительную часть оставить без изменения, а условие поменять с заключением, то получим обратную теорему.
Составить теоремы, обратные данным.
Вертикальные углы равны.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Сумма углов треугольника равна 1800.
Сумма смежных углов равна 1800.
Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 300, равен половине гипотенузы.
             Верны ли обратные утверждения?

Заполните таблицу, составив теорему, обратную данной.
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 1800 .
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Обратные теоремы могут быть как верны, так и неверны.
   Теорема:
    Биссектриса, проведенная к основанию равнобедренного треугольника является высотой.
 Составить обратную и доказать ее справедливость?
Известно, что…

Доказать обратно:


title: Презентация на тему: Прямоугольная система координат в пространстве

text:
900igr.net
O
Oxy
(x,y,0)
Oyz
(0,y,z)
x
z
y
O

D
z
z
A
B
C
D
D1
A1
B1
C1
A
z
B
C
D
A1
B1
C1
D1
M
K
.
.
N
A
z
B
C
D
A1
B1
C1
D1
N
M
K


title: Презентация на тему: Прямоугольная декартова система координат

text:
5klass.net

Z1 + Z2 + Z3
3


text:
Z1 + Z2 + Z3
3