title: Презентация на тему: Объем шара.

text:
.
r = 1
H = 1
V = a b c
a = 2r = 2
b = 2 r = 2
V = a b c = 2*2*1 = 4
           1/4

.
R
C
F
B
=
+
+
http://festival.1september.ru/articles/559546/
http://www.proshkolu.ru/org/107-360/file/491954/
http://sport.teem.ru/images/shaiba.jpg
http://www.alleng.ru/d/math/math394.htm
http://alexlarin.narod.ru/ege.html http://www.varson.ru/geometr_9.html


title: Презентация на тему: Николай Лобачевский

text:
Николай Иванович     Лобачевский
Постникова В.И.
г. Подольск
900igr.net
      Первые годы жизни
       Н.И.Лобачевский родился 20.10.1792г. в Нижнем Новгороде в семье чиновника-геодезиста И.М.Лобачевского и его жены П.А.Лобачевской. Вскоре семья переехала в Казань.
       Отец семейства умер в возрасте 40 лет, оставив вдову с тремя малолетними сыновьями Александром, Николаем и Алексеем, в бедственном материальном положении.
Ежегодное празднование дня
рождения Н.И.Лобачевского
           Годы учёбы
       В 1802г. Прасковья Александровна отдала всех своих сыновей в гимназию.
       14.02.1807г. Николай Лобачевский был зачислен в Казанский университет.
        Большое влияние на выбор дальнейшего пути Лобачевского оказал приглашённый профессор чистой математики Мартин Бартельс, друг и учитель великого математика Карла Фридриха Гаусса.
Мартин Бартельс
Начало преподавательской       деятельности
       С 1812г. Н.И.Лобачевский преподаёт на курсах арифметики и геометрии для готовившихся к экзамену «на чин», а с 1814г. ведёт серьёзное университетское преподавание.
Казанский Университет
    Работа в университете
       В 1816г. Лобачевский становится экстраординарным профессором.
       В 1819г. получает должность декана физико-математического факультета.
       В 1824г. по рекомендации К Ф Гаусса Н.И.Лобачевский был избран членом-корреспондентом Геттингенского Королевского научного общества.
        На посту ректора
       В 1827г. Лобачевский избирается ректором Казанского университета и занимает этот пост 19 лет.
       За это время были построены новые корпуса, механические мастерские, лаборатории, обсерватория, стал издаваться «Казанский Вестник».
       Лобачевский вёл курсы геометрии, тригонометрии, алгебры, анализа, теории вероятностей, механики, физики, астрономии, гидравлики.
    Дом ректора
        Научные труды
11.02.1826г. − день рождения неевклидовой геометрии (доклад «Сжатое изложение начал геометрии»);
«О началах геометрии» (1829/30г.);
«Воображаемая геометрия» (1835г.);
«Геометрические исследования по теории параллельных» (1840г.);
«Пангеометрия» (1855г.).
Суть геометрии Лобачевского
       Это дедуктивная теория, исходящая из тех же понятий и аксиом, что и эвклидова геометрия, с единственным фундаментальным исключением − V постулат заменён аксиомой Лобачевского: «К данной прямой через данную точку, не лежащую на прямой, можно провести по крайней мере две параллельные прямые».    При этом, в теории нет противоречий, все доказательства безупречны.

Модели геометрии Лобачевского
       Наглядное представление геометрии Лобачевского: через точку М проходят две прямые, параллельные прямой D.
    В этой геометрии кривизна плоскости отрицательна. При изменении кривизны плоскости до нуля, получается геометрия Евклида.
       Простейшим примером поверхности с постоянной отрицательной кривизной служит псевдосфера, которую изучал в 1868г. итальянский математик Э.Бельтрами.
    Псевдосфера
   Последние годы жизни
       В последние годы жизни Николай Иванович ослеп и своё последнее произведение «Пангеометрию» должен был диктовать своим ученикам. Умер он 12.02.1856г. в возрасте 63 лет от паралича лёгких.
1855 год
Герб Лобачевского
  Памятные марки и медали
  Бюст Н.И.Лобачевского в
Нижегородском университете
   Презентация составлена материалам Википедии
20 ноября 1792 года
12 февраля 1856 года


title: Презентация на тему: Объем тел

text:
Prezented.Ru

h
r
h
r
h
r
D
V=128
D
V=54
S
   V
6
45
Prezented.Ru


title: Презентация на тему: Объем прямоугольного параллелепипеда

text:
8
12
6
3
-
+
+
+
+
-
DHGC
BF, CG, DH
AE, EF, EH
E
F
G
H
C
B
A
D
1000000
2
4


text:
900igr.net
8
12
6
3
-
+
+
+
+
-
DHGC
BF, CG, DH
AE, EF, EH
E
F
G
H
C
B
A
D
1000000
2
4


title: Презентация на тему: Объемы параллелепипеда и призмы

text:
h
a
b
c
H


title: Презентация на тему: Объем параллелепипеда

text:
Объем параллелепипеда
Объем куба
Объем куба с ребром а вычисляется по формуле
а
Объем параллелепипеда
                     Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле
Объем любого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.
b
a
h
Ребро куба равно 1 см. Найдите объемы тел
Задачи
1. Найдите объем 20 кирпичей, если измерения одного кирпича 250х120х65мм.
2. Сколько понадобиться кирпичей, чтоб построить перегородку между комнатами размером толщиной в один кирпич, длиной - 2,5м, высотой – 2,6м?
3. Три латунных куба с ребрами 3 см, 4 см и 5 см переплавлены в один куб. Какую длину имеет ребро этого куба?

Домашнее задание
Посчитайте комфортность вашей комнаты по формуле:


title: Презентация на тему: Объем тел вращения

text:
R
V
 =
V
 + 2
V
V
 =
1
3
p
R
2
H
V
  =
p
R
2
H
R
 =
R
 =
R

= 4
V
 =
p
×
16
×
5 + 2
×
1
3
×
p
×
16
×
3
V
 = 80
p
 + 32
p
V
 = 112
p
R
V
 =
V
 - 2
V
V
  =
p
R
2
H
V
 =
1
3
p
R
2
H
R
 =
R
 =
R

= 2
3
V
 =
p
×
12
×
4 - 2
×
1
3
×
p
×
12
×
2
V
 = 48
p
 - 16
p
V
 = 32
p
V
 =
V
 -
V
V
 =
p
×
4
2
×
3 -
1
3
×
p
×
4
2
×
3
V
 = 48
p
 - 16
p
V
 = 32
p
60°
V
 = 750
p
3
3
hc
30°
)
V
 = 512
p
2
m
)
R
 = R
1
 =
R
2
 =
R
2S = RH,
H =
2
S
sin2
a
,
V
 =
4
3
p
S
×
S
×
 sin2
a
 .


Презентация на тему: Объем шара радиуса R выражается формулой


title: Презентация на тему: Объемы наклонной призмы, пирамиды, конуса

text:
a
xi-1    xi
b
S(xi)
A
B
C
H
h
S
1
S
2
S
3
B
C
O
A
M
h
S
1
S
2
S
3
h
B
C
A
M
h
M
h
D
B
D
O
A
O
1
h
x
B
D
O
A
O
1
h
x
S1
S
B
O
A
O
1
h


Презентация на тему: Объемы и поверхности круглых тел.


Презентация на тему: Объемы и площади поверхностей тел


title: Презентация на тему: Объемы пространственных фигур

text:
           1

V=S h
V=S h
V=-S h
1
3
V=-S h
1
3
R2


title: Презентация на тему: Объемы фигур

text:
V1=V2
V=V1+V2+V3
a
b
c=H
a
b
c=H
x
0
x
A
B
A1
C1
E1
D
E
M
M1
C
D1
B1
A
B
C
A1
B1
C1
D1
E1
D
E
M
M1
H
B1
B
M1
M
F1
F
A
B
C
K
A1
B1
C1
F
H
m
B
C
K
A1
B1
C1
A
K1
m
B
C
K
B1
C1
K1
m
A
B
C
B1
H
A1
C1
x
x
0
H
A1
A2
An
B1
B2
Bn


title: Презентация на тему: Объем шара. Площадь сферы

text:
R
V =
V =
R
V =
R
R
S =
R
R
R


Презентация на тему: Объемы. Соотношения между единицами измерения объема


title: Презентация на тему: Объемы фигур

text:
900igr.net
V1=V2
V=V1+V2+V3
a
b
c=H
a
b
c=H
x
0
x
A
B
A1
C1
E1
D
E
M
M1
C
D1
B1
A
B
C
A1
B1
C1
D1
E1
D
E
M
M1
H
B1
B
M1
M
F1
F
A
B
C
K
A1
B1
C1
F
H
m
B
C
K
A1
B1
C1
A
K1
m
B
C
K
B1
C1
K1
m
A
B
C
B1
H
A1
C1
x
x
0
H
A1
A2
An
B1
B2
Bn


title: Презентация на тему: Объемы тел

text:
D
a
?
?
?
?
D
10
V =                       = 750
72
C
B
O
F
D
\
//
//
O
M
D
\
\
//
O
M
D
\
F
R
h
m
D
R
h


Презентация на тему: Объемы тел


title: Презентация на тему: Объемы тел

text:
S
h


title: Презентация на тему: Нанесение размеров. Масштабы

text:
Нанесение размеров
МКОУ СОШ №9  Артемовского  района п. Буланаш
Учитель черчения: Трибуховская И.В.

ГОСТ 2.307 - 68
Цель урока
Познакомить
с правилами нанесения размеров на чертеже  ГОСТ 2.307 – 68,
 с выполнением размерных стрелок,
 выносных линий,
размерных чисел и знаков,
 с масштабами увеличения и уменьшения ГОСТ 2.302-68

Линейные
Угловые
Длина
Ширина
Высота
Толщина
Диаметр
Радиус
  мм
° град
′ мин
″ сек
Величина угла
Размеры изделия

Выносная линия

10

Размерная линия

1...5
45

  Размерное число

РАЗМЕРНЫЕ ЧИСЛА И РАЗМЕРНЫЕ ЛИНИИ
15
17
50

7 мм.
РАЗМЕРНЫЕ ЛИНИИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫ ДРУГ ДРУГУ
ø16
2 отв.
НАНЕСЕНИЕ РАЗМЕРОВ ОКРУЖНОСТЕЙ

ø9

ø10
ø12

ø10

ø10
ø40

 Нанесение размеров дуг

R20

R12

R5
R25
h
РАСПОЛОЖЕНИЕ РАЗМЕРНЫХ ЧИСЕЛ

30º
Нанесение размеров углов
80º
65º
30 º
25 º
70 º
60 º
40 º
75 º
120º
41º
НАНЕСЕНИЕ РАЗМЕРА КВАДРАТНОГО ЭЛЕМЕНТА
НАНЕСЕНИЕ РАЗМЕРА ДЛИНЫ ДЕТАЛИ
ℓ 200
Ответы:
Выносная линия
Размерная линия
Размерное число
Стрелка
10 мм.
7 мм.
1…5 мм.
Упражнение
Напишите названия элементов 1, 2, 3,4
Укажите в местах, где поставлены буквы (а, b, c),
    расстояние между размерными линиями и длину выступающего конца выносной линии
МАСШТАБЫ
ГОСТ 2.302 - 68
М 2:1
М 1:1
М 1:2

стр.28 п.1(письменно)

S 4
R 10
35
9
17
31
М 2 : 1
Домашнее задание.
§ 2
стр.28 п.2(письменно)
Лист формата А4.
На следующем уроке                                         графическая работа №2.
Ресурсы

Нанесение размеров. ГОСТ 2.307-68 http://www.ttru.net/inf3.php?id=7
Единая система конструкторской документации. http://www.docload.ru/Basesdoc/4/4579/index.htm
Черчение: Учебник для 7-8 классов средней общеобразовательной школы/ А.Д. Ботвинников, В.Н. Виноградов, И.С. Вышнепольский. – 4 изд., дораб. – М.: Просвещение, 1992.


title: Презентация на тему: Объемы тел

text:
F1
F2
F1
F2
F2
F3
F1
F4
1
1
1
1
1
VF=VF1
F2
F1
F2
F1
SF=SF1
L
a1
a2
a3
?


Презентация на тему: Объём конуса


Презентация на тему: Объём многогранника


Презентация на тему: Объём цилиндра


title: Презентация на тему: Объём наклонной призмы

text:
900igr.net
V=V1+V2
V1
V2
V

A
A1
A2
B
B1
B2
C
C1
C2
O
X
h
X
V=V1+V2+V3=
=S1*h+S2*h+S3*h=
=h(S1+S2+S3)=S*h
S1
S2
S3
h

5
2
3


title: Презентация на тему: Объем конуса

text:
Тема урока:«Объем конуса».
Урок геометрии в 11 классе.
План урока:
Организационный момент.
Повторение основных сведений о      конусе.
Историческая справка.
Объяснение нового материала.
Решение задач на объем конуса (3 задачи).
Дополнительная информация о конусе.
Задание на дом.
Подведение итогов.
Цели урока:
Повторить, углубить, обобщить знания по теме «Конус».
Вывести формулу объема конуса.
Закрепить формулу в процессе решения задач.
Активизировать познавательный интерес к предмету.
Воспитывать настойчивость и упорство в достижении цели.
Прямой круговой конус.
Прямой круговой конус.
Сечения конуса.
Историческая справка.
Историческая справка.
 « konos » - сосновая шишка.
Историческая справка.
Архимед             Демокрит
(287-212гг.до н.э.)  (470-380гг.до н.э.)
Историческая справка.
Платон                        Сократ
(428-348гг.до н.э.)   (470-399гг.до н.э.)
«Пусть сюда не входит никто, не знающий геометрии»
Историческая справка.
                       Евклид
            (IIIв. до н.э.)
«В геометрии нет царской дороги»
Объем конуса.1-е доказательство.
Объем конуса.2-е доказательство.
Объем конуса.3-е доказательство.
Решение задач.
  «Кто смолоду делает и думает сам, тот становится потом надежнее, крепче, умнее».                 В. Шукшин.
Задача №1.
Авиационная бомба среднего калибра дает при взрыве воронку диаметром 6 м и глубиной 2 м. Какое количество земли (по массе) выбрасывает эта бомба, если 1 м3 земли имеет массу 1650 кг?

Задача №2.
Смолу для промышленных нужд собирают, подвешивая конические воронки к соснам. Сколько воронок диаметром 10 см с образующей 13 см нужно собрать, чтобы заполнить 10-литровое ведро?
Задача №3.
«... Читал я где-то,Что царь однажды воинам своимВелел снести земли по горсти в кучу.И гордый холм возвысился,И царь мог с высоты с весельем озиратьИ дол, покрытый белыми шатрами,И море, где бежали корабли».
                             А.С.Пушкин.
Задача №3.
  Дано:
   конус,V = 20 м3 ,a = 45° ,
   1 горсть = 0,2дм3.
Найти: Hконуса .
Задача №703.
  Найдите объем конуса, если площадь его основания равна Q, а площадь боковой поверхности равна P.

Дополнительные сведения о конусе.

Конус выноса.

   Конус нарастания.

Моллюск конус.

  Конус безопасности.

   Телесный угол.
Коническая поверхность.
Конические сечения.
Задание на дом:
Вычислить, на какую высоту мог бы подняться Аттила, если его войско составляло 700 тыс. человек.

2. № 704, №706.

«Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию».
            Ян Амос Коменский


title: Презентация на тему: Объём наклонного параллелепипеда

text:
900igr.net
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
h1
h2
h3
a
b
c
A
B
D
A1
D1
C
B1
B2
C2
C1
A
C
D
B
B2
C2
D2
A2
A1
D1
1
2
A
B
C
D
A1
D1
D2
C1
C2
C
B
A
D
B1
A2


title: Презентация на тему: Обьёмные тела и многогранники

text:
D 1
D
A 1


title: Презентация на тему: Объём. Цилиндр, призма

text:
V2
1200
12
10
V1
3
1
0
0
1
0
0
27
V
3
1
0
3
h2
V
d
3d
1
1
27
1
1
9h
=
1500
25
3
V1
3
1
0
1
8
0
V
h
V
a
a
4a
4a
16
3
1
0
1
1
1
16
1
1
16h
=

a
ab
S
sin
2
1
=
3
1
0
1
2
5
6
8
10
5
3
1
0
4
2
2
2
2
d
3
1
0
9
12
4
12
V
 3
=
3
1
0
8
1
27
1
27
 3
=
9a
3
1
0
7
2
9
a
V2
V1
3
1
0
8
a
a
a
d2 = a2 + b2 + c2
d2 = 3a2
3
1
0
6
a
a
a
d2 = a2 + b2 + c2
d2 = 3a2
8
3
×
x
4
3
1
0
3
2
4
2
d2 = a2 + b2 + c2
6
3
1
0
2
(x+1)3
x
a
x3
V

>
S = a2  sina
A
a
D
 B
b
C
a
a
A
 B
C
D
S = a b sina
C
a
A
 B
b
S =    a b sina
2
1
d1
d2
 B
C
D
A
S =    d1 d2 sina
2
1
A
d2
D
 B
d1
C
S =    d1 d2 sin900
2
1
A
 B
 C
 D
d
d
S =    d 2 sina
2
1
1
3
1
0
3
,
5
1
0
9
9
9
9
9
9
600
9
3
1
0
1
,
5
2
1
1
D1
600
O
C1
B1
A1
A
B
C
D
600
?
h
3
1
0
8

a
ab
S
sin
2
1
=
j
32
2a
V2
a
V1
h
3
1
0
2
0
5
r
r
3
1
0
3
2r
2r
2r
2r
3
1
0
1
8
300
2
2
2
2
2
2
600
O
h
?
300
a
300
c
3
1
0
4
450
b
C
A
B
A1
D1
C1
B1
D
1
3
3
1
0
1
,
5
2SABD
=
h
   9


Презентация на тему: Объемы тел"


Презентация на тему: Объём геометрических фигур


title: Презентация на тему: Объём пирамиды

text:
A
B
C
S
O
H
O1
h
A1
C1
B1
h
H
H
V1 = V2
h
A
B
C
B1
A1
C1
C
A1
B
A
C
B1
A1
C1
C
A1
B
B
A1
C1
B
A
C
B1
A1
C1
C
A1
B
B
A1
C1
B
A
C
B1
A1
C1
C
A1
B
B
A1
C1
B
h
H
h
0
S
A3
An
A2
A1
H


title: Презентация на тему: ОБЪЁМНЫЕ ТЕЛА И МНОГОГРАННИКИ.

text:
D 1
D
A 1


title: Презентация на тему: Інтерактивна презентація "Переміщення" Геометрія 9 клас

text:
Знайди зайве

За допомогою вказівника миші вкажіть зайвий предмет
Поміркуй!
Молодець!
Поміркуй!
Поміркуй!

Симетрія
Симетрія в природі

Симетрія в квітах

Симетрія в архітектурі

Симетрія в кристалах

Симетрія
Симетрія в квітах

Симетрія в архітектурі

Симетрія в кристалах

Симетрія
Симетрія в квітах

Симетрія в архітектурі

Симетрія в кристалах

Симетрія в природі

Симетрія
Симетрія в природі

Симетрія в квітах

Симетрія в архітектурі

Симетрія в кристалах

Симетрія
Симетрія в квітах

Симетрія в архітектурі

Симетрія в кристалах
Симетрія в природі

І тепер ми знаємо,
що симетрія є
не тільки
геометричною,
але й...
Алгоритм побудови повороту
Задача. Побудуйте відрізок, у який переходить відрізок АВ при повороті навколо точки О на кут 700 за годинниковою стрілкою
Проводимо промені ОА і ОВ.
Відкладемо за годинниковою стрілкою <АОN = 700 і <ВОМ = 700.
Відкладемо на промені ОN відрізок ОА/ = ОА, а на промені ОМ – відрізок ОВ/ = ОВ.
Сполучаємо точки А/ і В/

В
В/
А
А/
О
N
М

Геометричні
 перетворення
Симетрія відносно точки
Симетрія відносно прямої
Поворот
Паралельне перенесення
Перетворення подібності

Симетрія відносно точки
Перетворення, при якому кожна точка Х фігури F  переходить у точку Х/  фігури F/ , симетричну відносно даної точки О, називається перетворенням симетрії відносно точки О.
Перетворення симетрії відносно
точки є переміщенням.

Симетрія відносно прямої
Перетворення, при якому кожна точка Х фігури F  переходить у точку Х/  фігури F/ , симетричну відносно даної  прямої l, називається перетворенням симетрії відносно прямої l.
Перетворення симетрії відносно
прямої є переміщенням.

Поворот
Перетворення, при якому кожна точка А фігури повертається на один і той же кут α навколо заданого центру О, називається обертанням або поворотом.
Точка О називається центром обертання, а кут α - кутом обертання.
Поворот є переміщенням.

Паралельне перенесення
Перетворення фігури F,
при якому довільна її точка (x;y) переходить у точку (x+a;y+b), де a і  b одні і ті самі для всіх точок (x;y),
називається пaрaлельним
перенесенням.
Паралельне перенесення
 є переміщенням.

Перетворення подібності
Перетворення, що переводить фігуру F у фігуру F/  , при якому відстані між відповідними точками змінюються в тому самому відношенні k>0, називається перетворенням подібності.
Гомотетія
Перетворення називається гомотетією, якщо воно переводить кожну точку Х фігури F у точку Х/ фігури F/  , так, що  ОХ/=|k|OX, де k – будь-яке число, відмінне від нуля, О – фіксована точка, ХЄХ/.

Визначте за рисунком вид переміщення
Симетрія відносно точки			Поворот
Симетрія відносно прямої			Паралельне перенесення
Перетворення подібності

Симетрія відносно точки			Поворот
Симетрія відносно прямої			Паралельне перенесення
Перетворення подібності

Симетрія відносно точки			Поворот
Симетрія відносно прямої	Паралельне перенесення
Перетворення подібності

Симетрія відносно точки			Поворот
Симетрія відносно прямої			Паралельне перенесення
Перетворення подібності

Симетрія відносно точки			Поворот
Симетрія відносно прямої			Паралельне перенесення
Перетворення подібності

Симетрія відносно точки			Поворот
Симетрія відносно прямої		Паралельне перенесення
Перетворення подібності

Cутність поняття руху ясна кожному з його життєвого та навчального досвіду, адже
РУХ
це життя


Презентация на тему: Объём пирамиды


title: Презентация на тему: Объём тел

text:
900igr.net
a           x                 b      x
x n=b
6
10
600
13


title: Презентация на тему: Объём призмы 11 класс

text:
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
1
2
3
4
5
6
1 - 1
2 - 7
7

D
A1
B1
C1
D1
K
P
V=SH
D
P
K
O
AD=a,   AA1=2a


title: Презентация на тему: Объём призмы

text:
V1
V2
V1= V2
b
V=abc
V=abc
V=abc
:2
:2
A                         D                                  B
A1                         D1                                B1
C1
C
V=S·h
V=V1 +V2 +V3
V=S1·h+S2·h+S3·h
V=S·h
h


title: Презентация на тему: Объём тела вращения

text:
R1
R2
B
C
D
D
D
R1
R
O


title: Презентация на тему: Объём шара и площадь сферы

text:
x
900igr.net
y
x
z
R


title: Презентация на тему: Объёмы геометрических тел

text:
5
6
3
3
4
5
2
10
8
6
450
450
A
B
C
D
F
S


Презентация на тему: Объёмы


text:
5klass.net
F1
F2
F1
F2
F2
F3
F1
F4
1
1
1
1
1
VF=VF1
F2
F1
F2
F1
SF=SF1
L
a1
a2
a3
?


title: Презентация на тему: Объёмы и поверхности тел вращения

text:
5klass.net

V

S


text:
900igr.net
R1
R2
B
C
D
D
D
R1
R
O


text:
V=S*H

V=1/3*S*H
.

.


Презентация на тему: Объёмы многогранников


title: Презентация на тему: Новые признаки равенства треугольников

text:
Школьное научное обществошколы №1131Новые признаки равенстватреугольников
Автор: Жабин Виктор, Бобков Сергей.
Научный руководитель: Кузнецова Т. Н.
2004 г.
г. Москва

Содержание:
1
1.Введение						стр. 2-3
2.Теория (классические признаки равенства
 треугольников)						стр. 4-7
3.Признаки равенства треугольников связанные с
высотой							стр. 8-14
4.Признаки равенства треугольников связанные с
биссектрисой  						стр. 15-17
5.Признаки равенства треугольников связанные с
медианой						стр. 18-21
4.Литература						стр. 22-23

5.Рецензия						стр. 24
В начало
ВВЕДЕНИЕ
2
В начало
В курсе геометрии 7 класса изучаются 3 признака равенства треугольников, которые позволяют решать определённый тип задач. Мы решили расширить теоретическую базу по признакам равенства треугольников, добавив к сторонам и углам, используемым в классических признаках равенства треугольников, другие компоненты: биссектрису, медиану и высоту.
Таким образом, целями нашей работы является:
1. Сформулировать новые признаки равенства треугольников, используя понятия: биссектрисы, медианы и высоты.
2. Доказать новые признаки равенства треугольников.
3. Продемонстрировать другим учащимся существование в математике «белых пятен» и возможности их доказательства.
3
В начало
ТЕОРИЯ
4
В начало
Теорема: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1
А=А1; АС=А1С1;
AВ=А1В1
Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1

Доказательство:
т. к. А=А1, то ΔАВС можно наложить на ΔА1В1С1 так, что вершина
 А совместится с вершиной А1, а АВ и АС наложатся соответственно на
лучи А1В1 и А1С1. Поскольку АВ=А1В1, АС=А1С1, то АВ совместится
с А1В1, а АС – с А1С1; совместятся точки В и В1, С и С1=> ВС=В1С1=> ΔАВС=ΔА1В1С1

5
A
B
C
A1
B1
A1
В начало
Теорема: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1
B=B1; А=А1;
AВ=A1В1
Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1
Доказательство:
1) наложим ΔАВС на ΔА1В1С1 так, что вершина А совместилась с вершиной А1, АВ с А1В1, а вершины С и С1 оказались по одну сторону от А1В1
2) так как А=А1, В=В1, то сторона АС наложится на луч А1С1=>вершина С – общая точка сторон АС и ВС – окажется лежащей на луче А1С1 и луче В1С1=>ΔАВС=ΔА1В1С1
ч. т. д.

6
A
B
C
A1
B1
C1
В начало
Теорема: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1
СВ=С1В1; АС=А1С1;AВ=А1В1
Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1
Доказательство:
1) Приложим ∆АВС к ∆А1В1С1 так, чтобы вершина А совместилася с вершиной А1, а вершина В – с В1, а вершины С и С1 окзались по разные стороны от прямой А1В1
2) Так как АС=А1С1, ВС=В1С1=> ∆А1С1С и ∆В1С1С р/б => 1=2, 3=4 (по признаку р/б ∆)=>А1СВ1=А1С1В1
3) Рассмотрим ∆АВС и ∆А1В1С1:

А1С1=АС (по усл.)
С1В1=СВ (по усл.)        =>∆ABC=∆A1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними)
С=С1 (п.2)

7
B(B1)
A(A1)
C
C1
1  3
2  4
В начало
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ СВЯЗАННЫЕ С ВЫСОТОЙ
8
В начало
Теорема: Если два угла и высота, проведённая из вершины третьего угла, одного треугольника соответственно равны двум углам и высоте, проведённой из вершины третьего угла, другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство:
1)     Рассмотрим ΔABH и ΔA1B1H1:
B=B1 (по усл.)
H=H1=900 (по усл.)      =>ΔABH=ΔA1B1H1 (кпу)=>AB=A1B1; 1=3
AH=A1H1 (по усл.)
2)     Рассмотрим ΔAHC и ΔA1H1C1:
AH=A1H1 (по усл.)
C=C1 (по усл.)              =>ΔAHC=ΔA1H1C1 (кпу)=>AC=A1C1; 2=4
H=H1=900 (по усл.)
3 ) 1=3 (п.1)
2=4 (п.2)
4) Рассмотрим ΔABC и ΔA1B1C1:
AB=A1B1 (п.1)
AC=A1C1 (п.2)      =>ΔABC=ΔA1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними)
A=A1 (п.3)

Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1
B=B1; C=C1;
AH=A1H1 (высота)
 Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1
9
A
B
C
H
A1
B1
C1
H1
1  2
3  4
=>А=А1

В начало
Теорема: Если два угла и высота, проведённая из вершины одного из них, одного треугольника соответственно равны двум углам и высоте, проведённой из вершины одного из них, другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство:
1) Рассмотрим ΔABH и ΔA1B1H1 :
B=B1 (по усл.)
H=H1=900 (по усл.)     =>ΔABH=ΔA1B1H1 (кпу)=>AB=A1B1; 1=3
AH=A1H1 (по усл.)
 =>2=4
A=A1 (по усл.)
1=3 (п.1)
Рассмотрим ΔAHC и ΔA1H1C1 :
AH=A1H1(по усл.)
2=4 (по п.2)                   =>ΔAHC=ΔA1H1C1(кпу)=>AC=A1C1
H=H1=900 (по усл.)
Рассмотрим ΔABC и ΔA1B1C1:
AB=A1B1(п.1)
AC=A1C1 (п.2)	         =>ΔABC=ΔA1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними)
A=A1 (по усл.)

Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1
 B=B1; А=А1;
AH=A1H1 (высота)
Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1
10
A
B
C
H
A1
B1
C1
H1
1  2
3  4
В начало
Теорема: Если высота и два прилежащих к ней острых угла одного треугольника соответственно равны высоте и двум прилежащим к ней острым углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1
1=3; 2=3;
AH=A1H1 (высота)
Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1
Доказательство:
Рассмотрим ΔABH и ΔA1B1H1:
1=3 (по усл.)
H=H1=900 (по усл.)      =>ΔABH=ΔA1B1H1 (кпу)=>AB=A1B1
AH=A1H1 (по усл.)
2)Рассмотрим ΔAHC и ΔA1H1C1:
AH=A1H1 (по усл.)
2=4 (по усл.)                 =>ΔAHC=ΔA1H1C1 (кпу)=>AC=A1C1
H=H1=900 (по усл.)
3)1=3 (по усл.)
2=4	(по усл.)
4)Рассмотрим ΔABC и ΔA1B1C1:
AB=A1B1 (п.1)
AC=A1C1 (п.2)     =>ΔABC=ΔA1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними)
A=A1 (п.3)

=>A=A1

11
A
B
C
A1
B1
C1
H1
H
1  2
3  4
В начало
Теорема: Если сторона, противолежащий угол и высота, проведённая не из вершины данного угла, одного треугольника соответственно равны стороне, противолежащему углу и высоте, проведённой не из вершины данного угла, то такие треугольники равны.
Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1
1=3; 2=3;
AH=A1H1 (высота)
Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1
Доказательство:
Рассмотрим ΔABH и ΔA1B1H1:
AB=A1B1 (по усл.)
H=H1=900 (по усл.)      =>ΔABH=ΔA1B1H1 (гик)=>1=3
AH=A1H1 (по усл.)
2)Рассмотрим ΔAHC и ΔA1H1C1:
AH=A1H1 (по усл.)
C=C1 (по усл.)                =>ΔAHC=ΔA1H1C1 (кпу)=>AC=A1C1; 2=4
H=H1=900 (по усл.)
3)1=3 (п.1)
2=4	(п.2)
4)Рассмотрим ΔABC и ΔA1B1C1:
AB=A1B1 (по усл.)
AC=A1C1 (п.2)            =>ΔABC=ΔA1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними)
A=A1 (п.3)

=>A=A1

12
A
B
C
A1
B1
C1
H1
H
1  2
3  4
В начало
Теорема: Если сторона, прилежащий угол и высота, проведённая из вершины этого угла, одного треугольника соответственно равны стороне, прилежащему углу и высоте, проведённой из вершины этого угла, другого треугольника, то такие треугольники равны.
Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1
AB=A1B1 ; А=А1;
AH=A1H1 (высота)
 Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1
Доказательство:
Рассмотрим ΔABH и ΔA1B1H1:
AB=A1B1 (по усл.)
H=H1=900 (по усл.)     =>ΔABH=ΔA1B1H1 (гик)=>1=3
AH=A1H1 (по усл.)
2) A=A1 (по усл.)
1=3 (п.1)	    =>2=4
3) Рассмотрим ΔAHC и ΔA1H1C1:
AH=A1H1 (по усл.)
2=4 (п.2)                         =>ΔAHC=ΔA1H1C1 (кпу)=>AC=A1C1
H=H1=900 (по усл.)
4) Рассмотрим ΔABC и ΔA1B1C1:
AB=A1B1 (по усл.)
AC=A1C1 (п.3)             =>ΔABC=ΔA1B1C1 (по двум сторонам и углу между
A=A1 (по усл.)								                  ними)

13
A
B
C
A1
B1
C1
H1
H
1  2
3  4
В начало
Теорема: Если угол, высота, проведённая из вершины этого угла, и проекция прилежащей к этому углу стороны одного треугольника соответственно равны углу, высоте, проведённой из вершины этого угла, и проекции прилежащей к этому углу стороны другого треугольника, то такие треугольники равны.
Дано: ΔАВС и ΔА1В1С1
BH=B1H1 ; А=А1;
AH=A1H1 (высота)
Доказать: ΔАВС=ΔА1В1С1
Доказательство:
Рассмотрим ΔABH и ΔA1B1H1:
BH=B1H1 (по усл.)
H=H1=900 (по усл.)     =>ΔABH=ΔA1B1H1 (гик)=>AB=A1B1; 1=3
AH=A1H1 (по усл.)
2) A=A1 (по усл.)
1=3 (п.1)
3) Рассмотрим ΔAHC и ΔA1H1C1:
AH=A1H1 (по усл.)
2=4 (п.2)                        =>ΔAHC=ΔA1H1C1 (кпу)=>AC=A1C1
H=H1=900 (по усл.)
4) Рассмотрим ΔABC и ΔA1B1C1:
AB=A1B1 (п.1)
AC=A1C1 (п.3)             =>ΔABC=ΔA1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними)
A=A1 (по усл.)

14
A
B
C
A1
B1
C1
H1
H
1  2
3  4
=>2=4
В начало
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ СВЯЗАННЫЕ С БИССЕКТРИСОЙ
15
В начало
Если в одном треугольнике угол, прилежащая сторона и выходящая из него биссектриса соответственно равны углу, прилежащей стороне и выходящей из него биссектрисе в другом треугольнике, то треугольники равны.
Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1                                                             A=A1
AZ = A1Z1- биссектрисы                                                                                AB=A1B1
Доказать:
∆ABC=∆A1B1C1
Доказательство:
1.Рассмотрим ∆AZB и ∆A1Z1B1:
   AB=A1B1 (по условию)
   AZ=A1Z1 (по условию)             =>∆AZB=∆A1Z1B1 (по двум сторонам
BAZ=B1A1Z1 (по условию)   углу между ними)=>СZA=С1Z1A1
2.Рассмотрим ∆AZC и ∆A1Z1С1:
 CAZ=C1A1Z1 (по условию)
   AZ=A1Z1 (по условию)             =>∆AZС=∆A1Z1С1 (по стороне и двум
  CZA=С1Z1A1 (п.1)                                      прилежащим углам)
3. Рассмотрим ∆ABC и ∆ A1B1C1
    A=A1 (по условию)
  AB=A1B1 (по условию)         => ∆ABC=∆A1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними)
  AC= A1С1 (п.2)

16
A
B
C
A1
B1
C1
Z1
Z
В начало
Если в одном треугольнике угол, выходящая из него биссектриса и угол между биссектрисой и стороной соответственно равны углу,  выходящей из него биссектрисе углу между биссектрисой и стороной в другом треугольнике, то треугольники равны.
Дано:                                                                                ∆ABC и ∆A1B1C1                                                                                AL=A1L1 – биссектрисы
A = <A1                                                                              ALC = A1L1C1
 Доказать:                                                                        ∆ABC = ∆A1B1C1
Доказательство:
Рассмотрим ∆ALC и ∆A1L1C1:
AL=A1L1 (по условию)
LAC = L1A1C1 (по условию)   => ∆ALC=∆A1L1C1 =>
ALC = A1L1C1 (по условию)        ALB=A1L1B1
2.   Рассмотрим ∆ALB и ∆A1L1B1
      ALB=A1L1B1
      BAL=B1A1L1 (по условию)   => ∆ALB=∆A1L1B1
      AL=A1L1 (по условию)
3. Рассмотрим ∆ABC и ∆ A1B1C1
         A=A1 (по условию)
      AB=A1B1 (по условию)     => ∆ABC=∆A1B1C1 (по двум сторонам
      AC= A1С1 (п.2)                                               и углу между ними)

17
A
B
C
A1
B1
C1
L1
L
В начало
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ СВЯЗАННЫЕ С МЕДИАНОЙ
18
В начало
Если в одном треугольнике: сторона, выходящая из одного из её концов медиана и прилежащая к другому её концу сторона соответственно равны стороне, выходящей из одного из её концов медиане и прилежащая к другому её концу стороне в другом треугольнике, то треугольники равны.
 Дано:                                                                                ∆ABC и ∆A1B1C1                                                                                AL=A1L1 – Медианы
BLA = B1L1A1                                                                                AL = A1L1                                                                                BC=B1C1                                                                                Доказать:                                                                               ∆ABC = ∆A1B1C1
 Доказательство:
1.    Рассмотрим ∆ALC и ∆A1L1C1:
AL=A1L1 (по условию)
CLA = C1L1A1 (по условию)     => ∆ALC=∆A1L1C1 =>
LC = L1C1 (по условию)                ALB=A1L1B1
2.   Рассмотрим ∆ALB и ∆A1L1B1
      ALB=A1L1B1
      BL=B1L1 (по условию)       => ∆ALB=∆A1L1B1
      AL=A1L1 (по условию)
3.  Рассмотрим ∆ABC и ∆ A1B1C1
         BC = B1C1 (по условию)
      AC=A1C1 (п.1)                    => ∆ABC=∆A1B1C1 (по двум сторонам
     AB= A1B1 (п.2)                                       и углу между ними)

19
A
B
C
A1
B1
C1
L1
L
В начало
Если в одном треугольнике медиана, сторона угол между медианой и стороной соответственно равны медиане, стороне углу между медианой и стороной в другом треугольнике, то треугольники равны.
  Дано:                                                                                ∆ABC и ∆A1B1C1                                                                                AL=A1L1 – Медианы
BLA = B1L1A1                                                                                AL = A1L1                                                                                BC=B1C1                                                                                Доказать:                                                                                ∆ABC = ∆A1B1C1
 Доказательство:
1.    Рассмотрим ∆ALC и ∆A1L1C1:
AL=A1L1 (по условию)
CLA = C1L1A1 (по условию)     => ∆ALC=∆A1L1C1 =>
LC = L1C1 (по условию)                ALB=A1L1B1
2.   Рассмотрим ∆ALB и ∆A1L1B1
      ALB=A1L1B1
      BL=B1L1 (по условию)       => ∆ALB=∆A1L1B1
      AL=A1L1 (по условию)
3.  Рассмотрим ∆ABC и ∆ A1B1C1
         BC = B1C1 (по условию)
      AC=A1C1 (п.1)                   => ∆ABC=∆A1B1C1 (по двум сторонам
     AB= A1B1 (п.2)                                       и углу между ними)

20
A
B
C
A1
B1
C1
L1
L
В начало
Если в одном треугольнике угол прилежащая сторона и проведённая к ней медиана соответственно равны углу, прилежащей стороне и проведённой к ней медиане в другом треугольнике, то треугольники равны.
  Дано:                                                                            ∆ABC и ∆A1B1C1                                                                            AL=A1L1 – Медианы
ABL = A1B1L1                                                                                BC=B1C1                                                                             Доказать:                                                                              ∆ABC = ∆A1B1C1
  Доказательство:
1.    Рассмотрим ∆ALB и ∆A1L1B1
     ALB=A1L1B1 (по условию)
      BL=B1L1 (по условию)                => ∆ALB=∆A1L1B1 =>
      AL=A1L1 (по условию)              ALC=A1L1C1
2.    Рассмотрим ∆ALC и ∆A1L1C1:
AL=A1L1 (по условию)
CLA = C1L1A1                     => ∆ALC=∆A1L1C1
LC = L1C1(по условию)
3.   Рассмотрим ∆ABC и ∆ A1B1C1
         BC = B1C1 (по условию)
      AC=A1C1 (п.2)                    => ∆ABC=∆A1B1C1 (по двум сторонам
       AB= A1B1 (п.1)                              и углу между ними)

21
A
B
C
A1
B1
C1
L1
L
В начало
ЛИТЕРАТУРА
22
В начало
1. Геометрия 7-9 кл. Авторы: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов.
23
В начало
РЕЦЕНЗИЯ
24
В начало


Презентация на тему: объём цилиндра и конуса задачи практического содержания


Презентация на тему: Объём шара


title: Презентация на тему: Объёмы тел

text:
900igr.net

S
h


title: Презентация на тему: Объём тела

text:
900igr.net
t
m
v
s
t
m
v
s
t
m
v
s
t
m
v
s
t
m
v
s
t
m
v
s


Презентация на тему: Обобщение и систематизация сведений о треугольниках


title: Презентация на тему: Объёмы геометрических тел и их практическое применение

text:
1
2
3
4
5
1
2
2
3
4
5
1
5
3
4


title: Презентация на тему: Окружность (7 класс)

text: D


Презентация на тему: Объёмы тел вращения.


title: Презентация на тему: Окружность

text:
                .
O
O
O
O
O
O
D
E
F
K
L
O
K
O
D
E
F
M
N
P
K
L
S
T
Z
X
Y


title: Презентация на тему: Окружность. Длина окружности

text:
R
D=2R
?


title: Презентация на тему: Окружность

text:
900igr.net

3
1
4
1
6
,
,


Презентация на тему: Окружность


title: Презентация на тему: Окружности

text:
.
1
3
2
4
5
6
7
D
H
A
8
9
10
11
12
13
14
15
16


title: Презентация на тему: Общественный смотр знаний

text:
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
C1
C
A1
B1
D1
A
B
D
C1
C
A1
B1
D1
A
B
D
C1
C
A1
B1
D1
A
B
D
C1
C
A1
B1
D1
A
B
D
C1
C
A1
B1
D1
A
B
D
S
F
E
D
S
F
E
D
S
F
E
D
a
D
D
M
O
E
F
M
D
O
E
F


title: Презентация на тему: Окружность и круг (5 класс)

text:
0
A
B
C
A
B
C
AB
0
A
B
C


title: Презентация на тему: «Окружность» геометрия

text:
5klass.net
1
2
3
4
O
O


Презентация на тему: Окружность и круг


title: Презентация на тему: Окружность

text:
D
m
1
2


title: Презентация на тему: Объёмы и площади геометрических тел

text:
900igr.net
D1
D
S
A
B
C
D
O
K
D1
D
S
L
L
R
R
S
L
L
R
R
L
R
R
R
L
R
h
R
h
R
h
r
S
A
B
C
D
O
K
D1
D
S
L
L
R
R
L
R
R
R
L
R
h
R
h
R
h
r


title: Презентация на тему: Окружность и круг

text:
900igr.net

0
A
B
C
A
B
C
AB
0
A
B
C


title: Презентация на тему: Объёмы пространственных фигур

text:
900igr.net
V
V=V1+V2
V1
V2
V
b
V=abc
1/10 n
V=a*b*c
A
E
D
C
B
h
B1
C1
D1
E1
S1
S2
S3
A                 D                               B
  A1               D1                             B1
C1
V=abc
V=abc
:2
:2
V=abc:2
V=Sc
V=Sh
h
r
h
r
h
O
a
b
A
A1
A2
B
B1
B2
C
C1
C2
O
X
h
X
V=V1+V2+V3=
=S1*h+S2*h+S3*h=
=h(S1+S2+S3)=S*h
S1
S2
S3
h
h
A
A1
B
B1
C
C1
M1
O
X
S(×)=(S*×²):h²
S1+ S2+ S3
S1
S2
S3
h
V=1/3*(S1+ S2+ S3)*h
O
h
O
A
A1
R
R1

h
A
A1
R
R1
O
h
A
A1
R
R1
O
A
O
C
r
R
A
B
O
C
R
R-h
R-h
R
h
A
B
C
h
R
r
O


Презентация на тему: Окружность и круг урок


title: Презентация на тему: Окружность и круг 5 класс

text:
R
d = 2r
r = d : 2
D
E
F
K
L
O
E
F
K
O
D
E
F
M
N
P
K
L
S
T
Z
X
Y


title: Презентация на тему: Окружность и круг

text:
r
L
.
1
2
3


title: Презентация на тему: Окружность 8 класс

text:
900igr.net
M
L
M
L
M
L
M
N
K
L
O


title: Презентация на тему: Окружность 9 класс

text:
900igr.net
d < R
d = R
d > R
R - ?
d < R
d = R
d > R
(0; 0)
7
?
(-1; 4)
6
?
?
?
?
?
?
9
2
2
2
2
2
2
(0; 0)
7
(-1; 4)
6
(4; 1,5)
10
(-12; 0)
(-2; 3)
9
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2


title: Презентация на тему: Окружность круг 5 класс

text:
900igr.net
22.12.2011
D
E
F
K
L
O
E
F
K
O
M
P
K
T
X


Презентация на тему: Окружность и круг геометрия


title: Презентация на тему: Окружность 7 класс

text:
5klass.net
D


text:
22.12.2011
D
E
F
K
L
O
E
F
K
O
M
P
K
T
X


title: Презентация на тему: Описанная и вписанная окружности

text:
3
4
6
10
20
30
40
60
120
180
240
60
45
30
18
9
6
4,5
3
1,5
1
0,75
2,598076
2,828427
3
3,09017
3,128689
3,135854
3,138364
3,140157
3,141234
3,141433
3,141503
3
4
6
10
20
30
40
60
120
180
240
60
45
30
18
9
6
4,5
3
1,5
1
0,75
2,598076
2,828427
3
3,09017
3,128689
3,135854
3,138364
3,140157
3,141234
3,141433
3,141503
2
1
3
4

Hn
H1
H2
H3
Hn
H1
H2
H3


Презентация на тему: Окружность вписанная в многоугольник


title: Презентация на тему: Окружность в аксонометрии

text:
Z
X
Y
V
H
W
Z
X
y


title: Презентация на тему: Описанная окружность

text:
1)
2)
3)
4)
5)
n
p
k
O
R
R
C
A
B
R = ½ AB
a
b
c
R
R =
R =
R =
,
,
  B+    D = ½    ADC + ½    ABC = ½ (   ADC+   ABC) = ½ · 3600 = 1800
   A +    C =    B +   D = 1800
   A +    C =    B +   D = 1800
A
B
C
D
A
B
C
D
800
1200
?
?
700
800


title: Презентация на тему: Окружность круг сфера шар

text:
900igr.net
 R
D
O
p
»
C = pD
C = 2pR
·(a · n) · h
R
a
h
1,1
1,2
1,3
1,4
1,331
1,728
2,197
2,744


Презентация на тему: Описанная около многоугольника окружность


title: Презентация на тему: Окружность и круг: теория и практика

text:
B
C
D=2R

D
d

D
R
1
2
3


Презентация на тему: Определение эллипса


title: Презентация на тему: Определение цилиндра

text:
V=S*H

V=1/3*S*H


title: Презентация на тему: Определение и признак перпендикулярности плоскостей

text:
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
.


title: Презентация на тему: Определение двугранных углов

text:
D
V
H
P
N
A
B
C
D
E
F
M
H
S
O
P
R
D
C
B
F
A
B
C
D
F
A
B
C
D
M
N
P
D
A
D
D
D
A
B
K
300
600
2004©


Презентация на тему: Определение графа


text:
5klass.net
D
V
H
P
N
A
B
C
D
E
F
M
H
S
O
P
R
D
C
B
F
A
B
C
D
F
A
B
C
D
M
N
P
D
A
D
D
D
A
B
K
300
600
2004©


Презентация на тему: Определение гиперболы


Презентация на тему: Определение параболы


title: Презентация на тему: Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии

text:
1; 2; 4; 8; 16;

     1
     1  2
     2  2
     4  2
     8  2
-2; 6; -18; 54; -162;

        -2
        -2   ( -3)
         6   ( -3)
       -18  ( -3)
        54  ( -3)


title: Презентация на тему: Определение многоугольника

text:
5klass.net
A
B
C
D
E
A
B
A
B
A
B
C
D
P
Q
N
M


title: Презентация на тему: Определение медианы, биссектрисы и высоты треугольника

text:
900igr.net
A
H
m
S
E
2)
1)
5)
6)
7)
8)
9)
11)
12)
13)
14)
3)
4)
 10)
D
F
A
C
D
G
A
D


title: Презентация на тему: Объёмы тел

text:
Объёмы тел
Шаляпина Галина Ивановна
учитель математики МБОУ «Нижнекулойская средняя общеобразовательная школа» Верховажского района Вологодской области
Свойства объёмов:
Равные тела имеют
 равные объёмы
Формула Симпсона

b, a – предельные значения высоты геометрического тела, среднее сечение – сечение тела плоскостью, параллельной основанию, и проходящей через середину высоты

Объём прямого параллелепипеда.

h

Объём прямой призмы.

h

Объём цилиндра.

h

Объём пирамиды .

Объём конуса .

Объём шара

     Формулой Симпсона называется
интеграл от интерполяционного
многочлена второй степени на отрезке

где

  значения функции в соответствующих
точках   (на концах отрезка и в его середине).
,
и
-
Получила название в честь британского математика Томаса Симпсона (1710—1761).


title: Презентация на тему: обзор аксиоматик геометрии

text:
Обзор школьных аксиоматик геометрии

Обзор аксиоматик школьных курсов геометрии
Несмотря на существование различных логических путей обоснования геометрии, до середины XX века преподавание геометрии в средней школе базировалось на традиционной системе Евклида.
А. П. Киселев (1962)
Создан еще в XIX столетии
Аксиоматическая основа - аксиоматика Д. Гильберта.
Изложение в этом учебнике ведется не строго аксиоматически
Сам список аксиом Гильберта приводится как дополнительный материал

Учебник А. П. Киселева
Подробно излагается вопрос об измерении длины отрезка
Разделы учебника Киселева были весьма сложны для школьного курса
Аксиоматика планиметрии А.Н. Колмогорова
Введена в среднюю школу в конце 70-х гг. XX века
Получили широкое отражение теоретико-множественная концепция и другие идеи, ведущие к алгебраизации школьного курса геометрии

Аксиоматика А.Н. Колмогорова
Основными объекты:
точки,
прямые,
неотрицательные (скалярные) величины

Группы аксиом:
I. Аксиомы принадлежности.
II. Аксиомы расстояния.
III. Аксиомы порядка.
IV. Аксиома подвижности.
V. Аксиома параллельности.

Аксиоматика А.Н. Колмогорова
Основные отношения:
1) отношение принадлежности точки прямой;
2) сопоставление каждой паре неотрицательной скалярной величины - расстояния между этими точками.
Аксиоматика планиметрии А.В. Погорелова
С начала 80-х годов его школьный учебник геометрии сменил в большинстве школ страны учебник А.Н. Колмогорова
Еще более расширяет аксиоматику и вводит в нее аксиомы измерения углов

Аксиоматика А.В. Погорелова
Основные объекты:
точка
прямая
5 групп аксиом:
I. Аксиомы принадлежности,
II. Аксиомы порядка,
III. Аксиомы меры для отрезков и углов,
IV. Аксиомы откладывания отрезков и углов,
V. Аксиома параллельности Евклида

Аксиоматика в учебнике Л. С. Атанасяна и др.
Вместо термина «движение» пользуется термином «наложение»
«Наложение» считается основным понятием вместе с двумя другими основными понятиями - точки и прямой
Первые две группы аксиом такие же, что и у Гильберта. А третья группа аксиом — аксиомы наложения + две аксиомы измерения отрезков
Аксиоматика А.Д. Александрова
основные объекты:
 точки,
отрезки,
фигуры
основные отношения:
1) точка принадлежит фигуре;
2) точка является концом отрезка;
3) два отрезка равны

Аксиоматика А.Д. Александрова
Группы аксиом:
I группа касается лишь фигур и содержит три аксиомы.
II группа — аксиомы связи отрезков и точек.
III группа — это аксиомы равенства отрезков.
IV группа включает одну аксиому — аксиому непрерывности Кантора.
V группа  - аксиомы плоскости.
VI аксиома параллельных отрезков (или аксиома прямоугольника).


title: Презентация на тему: Обыкновенные дроби

text:
Обобщение по теме: «Обыкновенные дроби».
Цели урока:
Образовательные: обобщение знаний по теме: «Обыкновенные дроби».
Воспитательные: воспитание аккуратности, дисциплины, настойчивости, ответственного отношения к учёбе.
Развивающие: развитие памяти, речи, любознательности, познавательного интереса, логического мышления, взаимосвязи математики с другими науками.

Как вы думаете, зачем нужно изучать математику?

Мотивационная беседа
Какие бывают дроби?
Устный счет. Расположите эти дроби по возрастанию.

 БЛИЦ-ОПРОС
Работа по дидактическому материалу. (Стр. 91,92)

1.  Коллективная работа. №182, 183, 184 (письменно в тетрадях)

Физкульминутка.
Самостоятельная работа.
Вариант – 1.   №  185, 189, 191. (Для остальных)

Вариант – 2. № 186, 195, 197.(Для тех , которые учатся на «4» и «5»)

Тестовая работа
1. Воспроизведение интерактивной линии по данной теме. (ЦОР, УМК МАТЕМАТИКА 5-6кл. http://mathvaz.ru)

Домашнее задание.
А). №1077. Составить задачу на нахождение дроби от целого (для остальных).

Б). №1077. Составить задачи на нахождение целого по его части и на нахождение дроби от целого  (для хорошистов и отличников).

Решите задачу.
Липа мелколиственная живёт в лесу до 400 лет, а в городских условиях её жизнь составляет . Сколько лет может прожить липа в городе?


title: Презентация на тему: Об окружности

text:
У круга есть одна подруга,
Знакома всем её наружность.
Она идёт по краю круга
И называется…….

 диаметр
Окружность
 центр
 R
D
O
 радиус

3,14159265359
Окружность. Длина окружности.
Обозначения:
С – длина окружности;
d – диаметр окружности;
r-радиус окружности.
Практическая работа « Измерение
длины окружности»

Длина окружности

Представим, что окружность «опоясана»
ниткой.
Разрежем эту нитку.
Затем распрямим ее.
Длина этой нитки
приближенно равна
           длине окружности

С

r

1.Измерим длину окружности

2.Измерим диаметр окружности
3.Найдем отношение длины окружности к диаметру

3, 141592653589793238462643...
Исследуем…

Колесо

C = pD
C = 2pR
Немного  истории …
История числа пи началась в Древнем Египте. Площадь круга диаметром d египетские математики определяли как (d-d/9)2, т.е. в древнем Египте π ≈ 3,160
Отношение длины основания Великой Пирамиды к ее высоте, разделенное пополам, дает знаменитое число "пи“
Возможно, оно намеренно
зашифровано в размерах
Пирамиды Хеопса, причем с
более точным значением, чем его
знал великий Архимед, живший
позже на 2000 лет!
Архимед в III в. до  н.э. обосновал в своей небольшой работе "Измерение круга" три положения:
всякий круг равновелик прямоугольному треугольнику, катеты которого соответственно равны длине окружности и её радиусу;
площади круга относятся к квадрату, построенному на диаметре, как 11 к 14;
отношение любой окружности к её диаметру
меньше 3 1/7 и больше 3 10/71.
Немного  истории …
π ≈ 3,1419
Первым ввёл обозначение отношения длины окружности к диаметру современным символом
 английский математик У.Джонсон в 1706 г. В качестве символа он взял первую букву греческого слова "periferia", что в переводе означает "окружность".
Гордый Рим трубил победуНад твердыней Сиракуз;Но трудами АрхимедаМного больше я горжусь.Надо нынче нам заняться,Оказать старинке честь,Чтобы нам не ошибаться,Чтоб окружность верно счесть,Надо только постаратьсяИ запомнить все как естьТри — четырнадцать — пятнадцать — девяносто два и шесть!..

Немного  истории …
    Диаметр компакт диска равен 12 см. Найдите длину окружности этого диска.
Число           округлите  до десятых.
Дома:§22выучить),
 №649,650


title: Презентация на тему: Обобщение знаний о четырехугольниках

text:
Обобщающий урок по теме:
«Четырёхугольники»
Чтобы спорилось нужное дело,Чтобы в жизни не знать неудач,Мы в поход отправляемся смелоВ мир загадок и сложных задач.Не беда, что идти далеко,Не боимся, что путь будет труден.Достижения крупные людямНикогда не давались легко.
Цели урока:
Проверка знаний
Развитие мыслительной деятельности
Развитие творческих способностей
Развитие логического мышления

разминка
Знаете ли вы меня
    Хочу проверить,
    Любую площадь я могу измерить,
    Ведь у меня четыре стороны
   И все они между собой равны.
   И у меня равны ещё диагонали,
   Углы мне они делят пополам, и  ими
   На части равные разбит я сам.

КВАДРАТ

разминка
И у меня равны диагонали,
   Хочу сказать я, хоть меня не называли.
   И хоть я не зовусь квадратом,
   Он мне приходится родным братом.
      ПРЯМОУГОЛЬНИК

разминка
Хоть стороны мои
   Попарно и равны, и параллельны,
   Всё ж я в печали, что не равны мои диагонали,
   Да и углы они не делят пополам.
   Но всё ж, скажи, дружок, кто я?
     ПАРАЛЛЕЛОГРАММ

разминка
Мои хотя и не равны диагонали,
   По значимости всем я уступлю едва ли.
   Ведь под прямым углом они пересекаются,
   И каждый угол делят пополам,
   И очень важная фигура я, скажу я вам.
 РОМБ

ЗАДАНИЕ 1
Заполнить кроссворд

ЗАДАНИЕ 2
СКАЗКА -  ВОПРОС
ЗАДАНИЕ 3
Из прямоугольных треугольников составить известные вам четырёхугольники

Задание 4
Определить вид четырёхугольников, подсчитать их число.
проверка

Ромб - 2
Параллелограмм - 2
Прямоугольник  - 7
Квадрат - 1
Трапеция - 8
ЗАДАНИЕ 5
Решите задачу
      1. задача на оценку 5
         2. задача на оценку 4
         3. задача на оценку 3

ЗАДАЧА1

18 см
10 см
?
А
В
С
D
60˚

РЕШЕНИЕ:  ΔCKD и Δ ABH – прямоугольные и одинаковые, так как трапеция равнобокая, АH=KD=(18-10):2=4,  ∠ АВH=30˚, значит АВ=CD=8 см.

H
K
ЗАДАЧА 2

А
В
С
D
О
30˚

1
2
3
4
5
6

РЕШЕНИЕ: ABCD – прямоугольник, BO=OD=AO=OC, значит ΔBOC= ΔAOD,ΔCOD=ΔBOA- и они равнобедренные. Следовательно ∠7=∠3=∠4=30˚, ∠1=∠2=90˚-30˚=60˚, ∠5=180˚-( 60˚+60˚)=60˚, ∠6=180˚-60˚=120˚.
7
ЗАДАЧА 3
А
В
С
D
30˚

1
2
3
РЕШЕНИЕ: ABCD – параллелограмм, значит ∠A=∠C=30˚, ∠B =∠D =180˚- 30˚= 150˚.
    ЗАДАНИЕ 6
1)

         ЗАДАНИЕ 6

2)
ЗАДАНИЕ 6

3)
         ЗАДАНИЕ 6
4)

   Да, путь познания не гладок.Но знайте вы со школьных лет:Загадок больше, чем разгадок,И поискам предела нет!
     Подведение итогов


title: Презентация на тему: Определение параллельных прямых

text:
5klass.net
a
b
a
a
b
b
a
a
a
b
b
b
c
A
A
A
B
B
B
C
C
C
D
D
D
a
B
a
b
a
b
a
b
A
A
A
B
B
C
C
C
D
D
D
b
a
c
1
2
4
3
5
6
8
7

       a

                                1

     b                      2

           c

        a
              1
        b          2
              c

1
1
1
2
3
4
P
1
2
3
4
d
e
c
m
n
k
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
E
F
O
K
L


title: Презентация на тему: Описанная и вписанная окружность

text:
Вписанная и описанная
окружности
8 класс
Мухина Г.Г. –  учитель математики МАОУ многопрофильного лицея №20 города Ульяновска.
Если все стороны многоугольника касаются
окружности, то окружность называется
вписанной в многоугольник, а многоугольник –
описанным около этой окружности.
Вписанная окружность
А
В
С
D
окр.(О;r) вписана в ABCD
Не во всякий многоугольник можно вписать окружность.

В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.

А

Доказать: существует окр.(О;r),
               вписанная в треугольник
Доказательство:
Проведём биссектрисы, которые пересекаются в одной точке – О.
ОК = ОЕ = ОР, где ОК     АВ, ОЕ    ВС, ОР    АС,  по свойству биссектрис.

О – центр окружности, ОК, ОЕ, ОР радиусы.

ТЕОРЕМА
В
С
О
К
Е
Р

Центр вписанной окружности - точка  пересечения биссектрис.

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности.

А
Площадь треугольника

Не во всякий четырёхугольник можно вписать окружность.

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда  суммы противоположных сторон равны.

ТЕОРЕМА
А
В
С
D
Дано: окр.(О;r) вписана в  ABCD
Доказательство:
Доказать: AB + CD = BC + AD
a
a
b
b
c
c
d
d
AB + CD = a + b + c + d
BC + AD = a + b + c + d

AB + CD = BC + AD
Доказательство обратной теоремы см. № 724 в учебнике.

обозначим равные
отрезки касательных буквами:
а, b, c, d

Формула для радиуса окружности,
 вписанной в прямоугольный треугольник

Доказательство:
СКОЕ – квадрат, значит, СК = СЕ = r
По свойству касательных:
ВЕ = ВМ = а - r
АК = АМ = b - r
 AB = AM + BM
c = b – r + a - r
2r = a + b - c
АС, ВС, АВ – касательные и
r
r
b - r
а - r
b - r
а - r

Если все вершины многоугольника лежат
 на окружности, то окружность называется
описанной около  многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность.
Описанная окружность
окр.(О;R) oписана около ABCD
А
В
С
D
Не около всякого многоугольника можно описать окружность.

Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.

Доказать: существует окр.(О;R),
описанная около треугольника
Доказательство:
Проведём серединные перпендикуляры
ОА = ОВ = ОС,  по свойству серединных перпендикуляров.

О – центр окружности, ОА, ОВ, ОС – радиусы.
ТЕОРЕМА
А

В
С
О

Центр  описанной окружности - точка  пересечения серединных перпендикуляров.

Не около всякого  четырёхугольника можно описать окружность.

ТЕОРЕМА
Дано: окр.(О;R) описанна около
четырехугольник ABCD
Доказательство:
Доказательство обратной теоремы см. № 729 в учебнике.
А
В
С
D


title: Презентация на тему: Определение параллельности прямых

text:
900igr.net
b
c
b
a
b
b
N
B
C
D
M
N
c
a
b
K
b
b
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
b
D
b
M
N
D
D1
C1
B1
D
C
1
2
3
4
5
D
m
b
b1
O
c
b
A
C
B
D


title: Презентация на тему: Определение осевой симметрии

text:
5klass.net
O
O'
D
O

k
D


title: Презентация на тему: Определение компланарных векторов

text:
Компланарные векторы
Подготовила учитель математики
Баландина Наталья Михайловна
900igr.net
Цели урока
Ввести определение компланарных векторов.
Рассмотреть признак компланарности трех векторов и правило параллелепипеда, сложение трех некомпланарных векторов.
Фронтальный опрос
Что называется вектором в пространстве? Как обозначается вектор?
Что называется длиной вектора? Как она обозначается?
Какой вектор называется нулевым? Как он обозначается?
Какие векторы называются коллинеарными?
Какие векторы называются сонаправленными? Как они обозначаются?
Какие векторы называются противоположнонавленными? Как они обозначаются?
Какие векторы называются равными?

8. Справедливо ли утверждение:
Любые два противоположно направленных вектора коллинеарны
Любые два коллинеарных вектора сонаправлены
Любые два равных вектора коллинеарны
Любые два сонаправленных вектора равны

9. Может ли длина суммы двух векторов быть меньше длины каждого из слагаемых?
10. Может ли длина суммы нескольких ненулевых векторов быть равной сумме длин этих векторов?
11. Может ли длина разности двух ненулевых векторов быть равной сумме длин этих векторов?
12. Может ли длина разности двух ненулевых векторов быть равной длине разности этих векторов?
13. Может ли длина суммы двух ненулевых векторов быть равна длине разности этих векторов?
Новый материал
Определение.
Векторы называются компланарными, если при откладывании от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.
Иначе: векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.
Любые два вектора компланарны.
Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны.
Почему?
Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и некомпланарными.
Новый материал
Устное решение № 355
                                          а) да, т.к. три вектора, среди
                                                которых имеются два
                                                коллинеарных вектора, также
                                                компланарны
                                           б)нет
                                           в) да, т.к. векторы В1В и DD1
                                               коллинеарны
                                            г) нет

Новый материал
Признак компланарности трех векторов:
Новый материал
Признак компланарности трех векторов:
•
О

А1
В1

С
Новый материал
Новый материал
Определение.
Утверждение, обратное признаку компланарности векторов:
Докажем это.
Новый материал

О
А
В
Р

Р1

Так как векторы компланарны,
то они лежат в одной плоскости.
Новый материал
Мы умеем на плоскости складывать векторы по правилу треугольника и параллелограмма. А если в пространстве?
Для сложения трех некомпланарных векторов пользуются правилом параллелепипеда. В чем оно заключается?

Е
С
В
А
О
D
B1
A1
Новый  материал
Определение.
 Закрепление материала
Решение №356
E
F
Закрепление материала
№356
F
E
Домашнее задание
п. 39, 40
вопросы 13-15 стр. 97
№358, разобрать №366, 368(а, б)


Презентация на тему: Определение угла


text:
D
M
N
b
c
a
90°
90°
b
bIIc
c
b
c
a
1
2
3
4
6
5
7
8
1
2
3
4
1
1
2
2
3
3
4
4
5
6
7
8
1
2
3
B
A
M
E
C
F
D
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A


title: Презентация на тему: Определение вектора в пространстве

text:
M
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O
A1
B1
B
A
B
C
B
C
B
C
B
A
C
D
E
C
A
B
D
A1
B1
C1
D1
B
C
D
A1
B1
C1
D1
B
C
D
A1
B1
C1
D1
B
A
C
B
K
B
O
O
A
B
O
B
A
O
B
A

10.
20.
30.
40.
O
A
A1
B
P
-
O
A
B
P1
P2
P
-
A
B
O
A
B
O
A
B
O
m
n
A
B
O
m
n
A
B
D
M
N
A
B
D
M
N
A
B
D
M
N
O
A
B
M
O
A
B
M
K
A
B
C
D
O
M
A
B
C
D
O
M
C
A
B
D
A1
B1
C1
D1
C
A
B
D
A1
B1
C1
D1
B
C
D
A1
B1
C1
D1
M1
M2
B
C
D
A1
B1
C1
D1
M1
M2
A
B
C
D
N
C
A
B
D
A1
B1
C1
D1
C
A
B
D
A1
B1
C1
D1
O1
C
A
B
D
A1
B1
C1
D1
O1


title: Презентация на тему: Определение подобных треугольников

text:
4
6
D
8
C1
D1
12
9
12
15
12
20
N
16
=
=
=
;
;
D
H
1
2
1
2


Презентация на тему: Ориентация поверхности


title: Презентация на тему: Определение призмы, пирамиды

text:
A1
A2
A3
An
An-1
B1
B2
B3
Bn
Bn-1
A1
A2
A3
B1
B2
B3
Bn
Bn-1
An
An-1
H
O
A1
A2
A3
An-1
B1
B2
B3
Bn
Bn-1
An
A1
A2
A3
An
An-1
S
A1
A2
A3
An
An-1
S
H
O
A
B
N
O
M
S
H
R
l
r
C
A
C
D
O
M
S
H
R
l
r
A
B
C
D
O
M
S
H
R
l
r


title: Презентация на тему: Определение синуса, косинуса, тангенса острого угла прямоугольного треугольника"

text:
Sin A=                 Sin C=

Cos A=                Cos C=

 tg A=                   tg C=

D
tg A =            =           :          =                   =
Sin A
Cos A
BC       AB
AC       AC
BC * AC
AC * AB
BC
AB


title: Презентация на тему: Определение правильных многоугольников

text:
5klass.net

  1
  2
  3
  4
  5
  6
  7

n
Sn
1)
?
?
108°
2)
20
?
?
3)
?
1260°
?
n
Sn
1)
5
540°
108°
2)
20
3240°
162°
3)
9
1260°
140°


text:
5klass.net
(1)
(2)
(5)
(4)
(3)
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
2
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
n
1
2
n
1
2
2
3
n
1
1
2
2
3
n
1
1
n
1
n
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1


Презентация на тему: Определение сферы и шара


text:
5klass.net
M
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O
A1
B1
B
A
B
C
B
C
B
C
B
A
C
D
E
C
A
B
D
A1
B1
C1
D1
B
C
D
A1
B1
C1
D1
B
C
D
A1
B1
C1
D1
B
A
C
B
K
B
O
O
A
B
O
B
A
O
B
A

10.
20.
30.
40.
O
A
A1
B
P
-
O
A
B
P1
P2
P
-
A
B
O
A
B
O
A
B
O
m
n
A
B
O
m
n
A
B
D
M
N
A
B
D
M
N
A
B
D
M
N
O
A
B
M
O
A
B
M
K
A
B
C
D
O
M
A
B
C
D
O
M
C
A
B
D
A1
B1
C1
D1
C
A
B
D
A1
B1
C1
D1
B
C
D
A1
B1
C1
D1
M1
M2
B
C
D
A1
B1
C1
D1
M1
M2
A
B
C
D
N
C
A
B
D
A1
B1
C1
D1
C
A
B
D
A1
B1
C1
D1
O1
C
A
B
D
A1
B1
C1
D1
O1


title: Презентация на тему: Ортотреугольник и его свойства

text:
1.
A2
A3
P
Q
D
E
F


title: Презентация на тему: Орнамент - математическое воплощение красоты

text:
2011
1

2

3

1

2

3


title: Презентация на тему: Осевая и центральная симметрия

text:
O
AO = OA1


Презентация на тему: Оптимизированный подход в составлении карточек-заданий по черчению


Презентация на тему: Осевая и центральная симетрия


Презентация на тему: Осевая и центральная симметрии


title: Презентация на тему: Определенные треугольники и их виды

text:
© Жикина Т.Н.
Учитель математики гимназия № 49   ☺
СПб, 2007
7 класс
Геометрия
Содержание
Треугольники.
 Определение треугольника.
 Виды треугольников.
 Медианы, биссектрисы и высоты треугольника.
 Признаки равенства треугольников
Определение треугольника
Треугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков,  соединяющих эти точки.

∆ ABC, ∆ BCA, ∆ CAB
A,B,C – вершины треугольника.
∟А, ∟B, ∟C – углы треугольника.
AB, BC, CA – стороны треугольника.
Равенство треугольников
Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением.
∆ ABC = ∆ A1B1С1
∟А = ∟А1, ∟B = ∟B1, ∟C = ∟C1.
AB=AB1, BC=BC1, CA=CA1
Виды треугольников(по сторонам)

∆ MNK – равносторонний
   MN=NK=KM

∆ ABC – равнобедренный
   АВ=ВС

∆ EDF – разносторонний

Виды треугольников(по углам)
∆ ABC – тупоугольный
    ∟C - тупой

∆ DEC – остроугольный

∆ MLK – прямоугольный
    ∟K - прямой
Медианы треугольника
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.
AM1- медиана ∆ ABC  (обозначение ma )

A
C
B

M1
Сколько медиан имеет треугольник?
AM1, BM2, CM3 – медианы ∆ ABC

Биссектрисы треугольника
Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника.
AA1 - биссектриса ∆ ABC (обозначение la)

A
B

A1
C
Сколько биссектрис имеет треугольник?
AA1, BB1, CC1  - биссектрисы ∆ ABC
Высоты треугольника
Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащий противоположенную сторону, называется высотой треугольника.
АА1 – высота ∆ ABC (обозначение ha)

A
B

A1
C
Сколько высот имеет треугольник?

AA1, BB1, CC1  - высоты  ∆ ABC
Первый признак равенства треугольников
	Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Второй признак равенства треугольников
	Если одна сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Третий признак равенства треугольников
	Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.


Презентация на тему: Оригаметрия как средство развития логического мышления школьников в ходе решения задач на построение с помощью циркуля и линейки


Презентация на тему: Осевая и центральная симметрии 8 класс


title: Презентация на тему: Орнамент

text:
2011
900igr.net
1

2

3

1

2

3


text:
N1
N
P
b
1
2
3
4
5
6


title: Презентация на тему: Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса

text:
?
1
-1
1
700
-700
o
O

1350
-1350
  00  ,± 900    ,± 1800 ,

 ± 2700   ,± 3600....


Презентация на тему: Ориентирование по плану местности


title: Презентация на тему: Осевая симметрия

text:
Z
Y
X
O
O
M1
Z
Y
X
O
O
M1
Z
Y
X
O
O
M1

Z
Y
X
O
O
A
B
A1
B1
Z
Y
X
O
O
A
B
A1
B1


title: Презентация на тему: Осевая симметрия (6 класс)

text:
720 : 120
1)
2)
3)
4)
N
M
H
K
http://www.unpix.ru/raster-clipart/10221-zabavnye-malchiki-i-devochki-klipart.html
http://img-fotki.yandex.ru/get/4403/valenta-mog.13e/0_6e1da_7d62da63_L.jpg
http://www.oao-zhk.ru/images/Bulka/Big/Bulochka_vitaminka_b.jpg
http://www.wordassociations.ru/image/600x/svg_to_png/Gerald_G_Puppy_Cartoon.png
http://cdn2.freecoloring.info/freecoloring-cdn/img/cat2-03.jpg
http://www.coollady.ru/pic/0002/039/CL-066.jpg
http://muzruk.wmsite.ru/_mod_files/ce_images/photoalbum/generated/
repa1_318x400_pc.jpg
http://i.pokeroff.ru/uploads/wysiwyg/p/po/pom/pomidor.jpg
http://www.abc-color.com/image/coloring/masks/001/cucumber/
cucumber-picture-color.png
http://images.slanet.by/~src4696207/Snimu_v_arendu_rassmotryu_varianty_
po_pokupki_pomescheniya.jpg
http://www.xrest.ru/images/collection/00571/739/original.jpg
http://letito.ru/image/data/catalog01/0662.png
http://img-fotki.yandex.ru/get/4701/120710424.365/0_7a30a_1a9acd78_XL


title: Презентация на тему: осевая

text:
Осевая симметрия

                   Работу выполнили: Булгаров Ф., Власов К., Голов Т.
Основные положения осевой симметрии
Две точки А и А1 называются симметричными друг другу относительно прямой m, если прямая m перпендикулярна отрезку АА1 и проходит через его середину. Прямую m называют осью симметрии.
При сгибании плоскости чертежа по прямой m – оси симметрии симметричные фигуры совместятся.
Прямоугольник имеет две оси симметрии.
Квадрат имеет четыре оси симметрии.
Любая прямая, проходящая через центр окружности, является ее осью симметрии. Окружность имеет бесконечное множество осей симметрии.

Точки А и А1 симметричны относительно прямой m, так как прямая m перпендикулярна отрезку АА1 и проходит через его середину.
m – ось симметрии.
Прямоугольник ABCD имеет две оси симметрии: прямые m и l.
Если чертеж перегнуть по прямой m или по прямой l, то обе части чертежа совпадут.
Квадрат ABCD имеет четыре оси симметрии: прямые m, l,  k и  s.
Если квадрат перегнуть по какой-либо из прямых: m, l, k или s, то обе части квадрата совпадут.
Окружность с центром в точке О и радиусом ОА имеет бесчисленное количество осей симметрии. Это прямые:  m, m1, m2, m3 ...
Примеры осевой симметрии
Спасибо за внимание!


title: Презентация на тему: Осевая симметрия в геометрии

text:
LOGO
5klass.net
http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/
O
O'
D
O

k
D
http://www.dizayne.ru/txt/3sozd0113.shtml


title: Презентация на тему: Осевая симметрия

text:
O
O'
D
O

k
D


title: Презентация на тему: Осевая симметрия 8 класс

text:
900igr.net
A
B
O
l
l
G
F
F


title: Презентация на тему: Осевая симметрия Занятие 26

text:
6954
4596
6954
d
D
C
ACDB
D
http://www.photoknopa.ru/uploads/posts/2012-02/1328624487_deti_shkolniki_9.jpg
http://www.gigart.ru/uploads/posts/2009-08/1251442292_c06-03.jpg
http://pixelbrush.ru/uploads/posts/2010-01/1262452861_2-vector-car.jpg
http://engschool18.ru/uploads/posts/2010-05/1274212513_auto17.jpg
http://img.cliparto.com/pic/xl/183640/3050183-green-car-sedan.jpg
http://dutsadok.com.ua/clipart/ljudi/doctor.png
http://www.grif.kiev.ua/files/images/05_2011/1306936114.jpg
http://img3.proshkolu.ru/content/media/pic/std/2000000/1823000/
1822459-97a9b61fcdff79fb.png
http://nm-leader.ru/sites/default/files/styles/large/public/field/
image/elephant-stick-hi.png
http://www.zooclub.ru/attach/fotogal/clip/rept/52.jpg
http://img-fotki.yandex.ru/get/5314/132352990.7e/0_73c2a_c4f6930b_L.png
http://img-fotki.yandex.ru/get/4526/132352990.7e/0_73c2d_1267fb68_L.png
http://www.clker.com/cliparts/5/3/f/1/123756068293974412milovanderlinden_
Funny_Bus_stop.svg.thumb.png


Презентация на тему: Осевая симметрия


title: Презентация на тему: Основные понятия и аксиомы стереометрии. Параллельность прямых и плоскостей

text:
27.11.12
27.11.12


Презентация на тему: Основные геометрические фигуры


Презентация на тему: Основные формулы тригонометрии


title: Презентация на тему: «Осевая и центральная симметрия» геометрия

text:
Презентация к уроку геометрии «Осевая и центральная симметрия» 8 класс

  Семеошенкова  О.В.,
учитель математики
 ГБОУ лицея №395
Санкт-Петербурга

5klass.net
Повторение пройденного
Задача 1 Опишите фигуру, что можете о ней сказать?

А
В
С
D
5cм
5 см
8 см
8 см
Задача 2
    Угол между диагоналями прямоугольника равен 80 градусам . Найдите углы между диагональю прямоугольника и его сторонами.
Задача 3
    Найдите углы треугольника АОВ, если один из углов ромба 140 градусов.
D
Задача 4
Точка О середина АС и середина ВD. Что можно сказать о четырехугольнике АВСD?
   АВСD- параллелограмм
Точка О середина АС и середина ВD и диагонали равны.
   АВСD- прямоугольник
Точка О середина АС и середина ВD. Диагонали равны и взаимно перпендикулярны.
    АВСD- квадрат

Как много
В нашем мире красоты,
Которой, часто мы не замечаем.
Все потому,
Что каждый день встречаем
Её давно знакомые черты.
Мы знаем,
Что красивы облака,
Река, цветы,
Лицо любимой мамы,
И Пушкина, летящая строка,
И то,
Что человек
Красив делами…
Но, можно ли всё это объяснить?
И что подскажут в этом нам науки?

Что Вас привлекло в этих фотографиях?
Тема урока
Центральная и осевая симметрия
Сегодня на уроке
Сформулировать понятия центральной и осевой  симметрии, симметричной фигуры.
Рассмотреть какими видами симметрии обладают известные нам геометрические фигуры.
Научиться строить симметричные точки и распозновать фигуры, обладающие осевой и центральной симметрией.

Вейль Герман
Вейль Герман (9.11.1885— 8.12.1955) - немецкий математик. Окончил Гёттингенский университ. В 1913—1930г. профессор Цюрихского политехнического института, в 1930—33 профессор Гёттингенского университета, в 1933 эмигрировал в США.
Что такое симметрия
   «Симметрия является той идеей, с помощью которой человек веками пытается объяснить и создать порядок, красоту и совершенство»

                                                                     Герман Вейль
Что такое симметрия
«Словарь С.И. Ожегова»: «Симметрия - соразмерность, пропорциональность частей чего-нибудь, расположенных по обе стороны от середины, центра».

«Словарь иностранных слов»: «Симметрия –  полное зеркальное соответствие в расположении частей целого относительно средней линии, центра; соразмерность».

Симметричность точек относительно прямой

A1
A

a
O
Определение
Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему.

АА1 перпендикулярна а

OА1 = OA
Построение симметричной точки

А

а

А1

О
в
Алгоритм построения

Задание №1

K1
Симметричность фигуры относительно прямой
a
Определение
Фигура называется симметричной относительно прямой, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка также принадлежит этой фигуре.

Подумай и дай ответ
    Какие из данных фигур имеют ось симметрии?   Сколько?

Симметричность точек относительно центра
         ОА1 = ОА

A
O
A1

Определение
Точки A и A1 называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка AA1.
Построение симметричной точки

А
О

А1
Алгоритм построения

Симметричность фигуры относительно центра

    Определение
     Фигура называется симметричной относительно центра, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка также принадлежит этой фигуре.

A
B
C
D
O

Подумай и дай ответ
Подумай и дай ответ
Симметрия в мире растений
Осевая симметрия наблюдается у листьев: клена, дуба, березы, тополя, но встречается и у цветов.

Симметрия в мире растений
Для цветов в большей степени  характерна поворотная симметрия.
Симметрия в мире насекомых, рыб, птиц, животных
Осевая симметрия хорошо видна у бабочек, некоторых видов птиц, насекомых.

Домашнее задание
Творческая работа по теме: Удивительный мир симметрии
Всем спасибо за урок!Спасибо Парфеновой Дарье  за рисунки в графическом редакторе Paint к слайдам Симметрия в мире растений, насекомых, рыб, птиц.


text:
Презентация к уроку геометрии «Осевая и центральная симметрия»
Задача 1 Опишите фигуру, что можете о ней сказать?

А
В
С
D
5cм
5 см
8 см
8 см
Задача 2
    Угол между диагоналями прямоугольника равен 80 градусам . Найдите углы между диагональю прямоугольника и его сторонами.
Задача 3
    Найдите углы треугольника АОВ, если один из углов ромба 140 градусов.
D
Задача 4
Точка О середина АС и середина ВD. Что можно сказать о четырехугольнике АВСD?
   АВСD- параллелограмм
Точка О середина АС и середина ВD и диагонали равны.
   АВСD- прямоугольник
Точка О середина АС и середина ВD. Диагонали равны и взаимно перпендикулярны.
    АВСD- квадрат

Как много
В нашем мире красоты,
Которой, часто мы не замечаем.
Все потому,
Что каждый день встречаем
Её давно знакомые черты.
Мы знаем,
Что красивы облака,
Река, цветы,
Лицо любимой мамы,
И Пушкина, летящая строка,
И то,
Что человек
Красив делами…
Но, можно ли всё это объяснить?
И что подскажут в этом нам науки?

Что Вас привлекло в этих фотографиях?
Тема урока
Центральная и осевая симметрия
Сегодня на уроке
Сформулировать понятия центральной и осевой  симметрии, симметричной фигуры.
Рассмотреть какими видами симметрии обладают известные нам геометрические фигуры.
Научиться строить симметричные точки и распозновать фигуры, обладающие осевой и центральной симметрией.

Вейль Герман
Вейль Герман (9.11.1885— 8.12.1955) - немецкий математик. Окончил Гёттингенский университ. В 1913—1930г. профессор Цюрихского политехнического института, в 1930—33 профессор Гёттингенского университета, в 1933 эмигрировал в США.
Что такое симметрия
   «Симметрия является той идеей, с помощью которой человек веками пытается объяснить и создать порядок, красоту и совершенство»

                                                                     Герман Вейль
Что такое симметрия
«Словарь С.И. Ожегова»: «Симметрия - соразмерность, пропорциональность частей чего-нибудь, расположенных по обе стороны от середины, центра».

«Словарь иностранных слов»: «Симметрия –  полное зеркальное соответствие в расположении частей целого относительно средней линии, центра; соразмерность».

Симметричность точек относительно прямой

A1
A

a
O
Определение
Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему.

АА1 перпендикулярна а

OА1 = OA
Построение симметричной точки

А

а

А1

О
в
Алгоритм построения

Задание №1

K1
Симметричность фигуры относительно прямой
a
Определение
Фигура называется симметричной относительно прямой, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка также принадлежит этой фигуре.

Подумай и дай ответ
    Какие из данных фигур имеют ось симметрии?   Сколько?

Симметричность точек относительно центра
         ОА1 = ОА

A
O
A1

Определение
Точки A и A1 называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка AA1.
Построение симметричной точки

А
О

А1
Алгоритм построения

Симметричность фигуры относительно центра

    Определение
     Фигура называется симметричной относительно центра, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка также принадлежит этой фигуре.

A
B
C
D
O

Подумай и дай ответ
Подумай и дай ответ
Симметрия в мире растений
Осевая симметрия наблюдается у листьев: клена, дуба, березы, тополя, но встречается и у цветов.

Симметрия в мире растений
Для цветов в большей степени  характерна поворотная симметрия.
Симметрия в мире насекомых, рыб, птиц, животных
Осевая симметрия хорошо видна у бабочек, некоторых видов птиц, насекомых.

Всем спасибо за урок!


title: Презентация на тему: Основные аксиомы стереометрии

text:
Первые уроки стереометрии
10 класс
МСОШ№1
Шахвалеева С.В.
5klass.net
Скажи мне – и я забуду. Покажи мне – и я запомню. Вовлеки меня – и я научусь.
Древняя китайская
пословица

Четыре равносторонних треугольника
Геометрия
Планиметрия
Стереометрия

stereos
 пространственный

Предмет стереометрии.
СТЕРЕОМЕТРИЯ –
    это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.
    Первый дошедший до нас учебник – руководство по математике под названием «Начала», созданное древнегреческим ученым Евклидом в III в. до н. э.
Пирамида Хеопса
Геометрические  тела:
Куб.
Параллелепипед.
Тетраэдр.
Изображения пространственных фигур.
Условное изображение пространственной фигуры – это её проекция на плоскость.
Основные фигуры в
пространстве:

А
Точка.

а
Прямая.

Плоскость.

A, B, C, …
a, b, c, …
или
AВ, BС, CD, …
Аксиома
(от греч. axíõma – принятие положения)

исходное положение научной теории, принимаемое без доказательства
А1:  Через любые три точки, не лежащие на одной прямой проходит плоскость, и притом только одна.
ВОПРОСЫ:
 -всегда ли три точки лежат в одной плоскости?
 -всегда ли четыре точки лежат в одной плоскости?
 -всегда ли через три точки проходит плоскость, и притом только одна?
 -сколько плоскостей можно провести через две точки?
А2:  Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в плоскости.
ВОПРОСЫ:
верно ли утверждение:
 -если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?
 - а если три точки окружности лежат в плоскости, то …?

А3:  Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей
ВОПРОСЫ:
могут ли две плоскости иметь:
  -только одну общую точку;  две общие точки?
  -только одну общую прямую?

-могут ли две пересекающиеся плоскости иметь общую точку, не принадлежащую линии пересечения этих плоскостей?
АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ
Через любые две точки пространства проходит единственная прямая
Через любые три точки пространства, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная плоскость
Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой
Существуют по крайней мере четыре точки, не принадлежащие одной плоскости
СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ
Если прямая имеет с плоскостью две общие точки, то она лежит в этой плоскости
Через прямую и не принадлежащую ей точку проходит единственная плоскость
Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость
Следствия из аксиом стереометрии.

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.
Источники и ссылки:
Атанасян Л.С. Учебник «Геометрия 10-11», -М.: Просвещение, 2009г.
Болтянский В.Г. Элементарная геометрия. Книга для учителя. – М.: Просвещение, 1999г.
https://www.google.ru/search?


title: Презентация на тему: Основные свойства простейших геометрических фигур

text:
D
M                    N                            K
D
D
90
90
b


Презентация на тему: Основные правила оформление чертежей


Презентация на тему: Основные труды и биография Декарта


text:
Осевая симметрия
Геометрия
8 класс
Цели урока

Ввести понятие точек и фигур, симметричных относительно прямой
Научить строить симметричные точки и распознавать фигуры, обладающие осевой  симметрией
      План урока
Организационный момент
Проверка домашнего задания (Тест)
Изучение новой темы
4.  Закрепление нового материала
Подведение итогов
Домашнее задание
6. Фотоальбом (Практическое применение осевой симметрии)

    Содержание
 Тест по теме: «Четырёхугольники»
 Осевая симметрия
Занимательные задачи
 Практическая работа
 Вопросы по теме: «Осевая симметрия»
 Домашнее задание
 Фотоальбом (Практическое применение    осевой симметрии)

 Осевая симметрия
    Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему. Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе.

•
•

А
А1
а

       Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры, симметричная ей точка относительно прямой а  также принадлежит этой фигуре.

а
а - ось симметрии

Осевая симметрия

•
•
А
А1

Равнобедренный    треугольник
Равносторонний     треугольник
Примеры фигур, обладающих осевой симметрией

Примеры фигур, обладающих осевой симметрией.

   Фигуры, симметричные относительно прямой

s

Сколько осей симметрии имеют  данные фигуры?

1
1
1
1
8
4

  Отгадайте зашифрованные слова

Слова тоже могут иметь ось                симметрии
               ТОПОТ

   Отгадай  зашифрованные слова
ША
АШ
ОП
  ПО

       Какая из фигур лишняя?

             Задание 1
  Известно, что точки Е и F симметричны относительно прямой m. Постройте прямую m.
•
•
Е
F

   Проверь себя
•
•
Е
F
•
m

                Задание 2
  Достройте правую часть фигуры, симметричной относительно прямой n.

n

     Проверь себя

n

                     Задание 3

у
х

а) оси ОУ
б) оси ОХ
Запишите номера фигур, симметричных
 относительно:

           Ответь на вопросы
             1.  Дайте определение точек, симметричных
                   относительно прямой.
                2. Фигуры, симметричной относительно прямой.
                3. Приведите примеры использования осевой
                    симметрии в жизни.


title: Презентация на тему: Основные фигуры

text:
Плоскость представляет с собой -геометрическую фигуру, простирающуюся неограниченно во все стороны.
Планиметрии
(на плоскости)

Точка

Прямая

Основные фигуры

Стереометрии
(в пространстве)
Точка
Прямая
Плоскость

А
В
С
Е
Точки обозначаются прописными латинскими буквами А, В, С, D, Е, К,…
Планеты и звезды в масштабе вселенной
Птицы и самолеты в небе
Атомы и молекулы в строении веществ
Модели точек
a
А
d
Прямые обозначаются строчными латинскими буквами a, b, c, d, e, k,… или двумя большими латинскими буквами AB, CD …
Рельсы
Стальной прут
Инверсионные следы самолётов
Модели прямых
В
α
β
γ
Плоскости обозначаются греческими буквами α, β, γ, λ, π, ω,…
Поверхности воды, стола, зеркала, листа бумаги
Модели плоскостей
наряду с точками, прямыми, плоскостями рассматриваются геометрические тела, изучаются их свойства, вычисляются площади их поверхностей,а также вычисляются объёмы тел.
Параллелепипед,
цилиндр, шар
Пирамида    конус
В стереометрии
Молекулы воздуха
Планеты
Здания
Пирамида Хеопса
Конусы ракушки и дорожные
Модели геометрических тел
Взаимное расположение   точек,  прямых
и плоскостей

В
А
а

С
А
α

Взаимное расположение  точек,  прямых
и плоскостей

а
А
b
α


title: Презентация на тему: Основные фигуры в пространстве

text:
A
a

A

A

A

A

a
a
a
a
                   a||b
a
b
                  a  b=c
a
b
c
A
B
C
A
B
C

a
A
P
Q
a
a
b
M
N
A
a
b
A
B
C
B
a
a
b


title: Презентация на тему: Основные виды движений

text:
900igr.net
>
>
<
    T
T1
     O
>
<
a
     O
>
<
>
<
a
M1
M
>
<
a
a
>
<
a
a
b
b
>
<
a
b
g
a
b
a
b
>
<
p
p
>
<
S
<


title: Презентация на тему: Основы планиметрии. Отрезок и прямая.

text:
A
C
B
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

m
D
O
a
b
c
.
.
d
A
B


title: Презентация на тему: Основы геометрии

text:
900igr.net
I    I    I     I     I     I    I    I    I     I     I     I     I     I     I    I    I     I     I    I
a
Q
R
A
a
 a
-
-
Q
R
a
AB < AC
1
2
3
<1 = <3, <2 < <1,
<1 > <2
0      1     2     3     4      5     6      7     8    9     10
D
C
1
2
3
4
<1 + <3 = 180º
<2 + <3 = 180º
<1 = <2 = 180º - <3
35º
D
?
?
D
P
Q
A1
B1
A
B
M
M1
m
k
h
1
2
<1 - <2 = 35º
C


title: Презентация на тему: О Теореме Пифагора

text:
a
b
a
b
a
b
a
b
S
L
N
P
E
H
 9
12
15
10
?
3
4
5
13
4
2
5
5
15
10
?

  26

  24

  12

  5

  15

  12


title: Презентация на тему: От египетского треугольника до Пифагора

text:
a
b
S1=c2
S2=(a-b)2
S3=4ab/2
S1=S2+S3
c2=(a-b)2+2ab
c2=a2+b2
S1=a2
S2=b2
S3=c2
a
b
  c
S3=S1+S2


title: Презентация на тему: «Откладывание вектора от данной точки»

text:
D
N
Q
f
F
D
B
D
C
O
A
B
C
D
A
B
C
D


Презентация на тему: Отображение


title: Презентация на тему: Отношение площадей подобных треугольников

text:
900igr.net
A
C
A1
B1
C1
B
A
B
C
A1
B1
C1
S
S1


Презентация на тему: Основы геометрии


title: Презентация на тему: Отображение плоскости на себя

text:
a
A
A1
a
A
A1
B
B1
a
A
a
A
A1
B
B1
a
A
A1
B
B1
O
O1
a
A
A1
B
B1
a
A
A1
B
B1
O
O
A
A1
O
A
A1
O
A
A1
O
A
A1
O
A
A1
a
A
A1
B
B1
O
O1
O
A
A1
A
A1


title: Презентация на тему: Особенности построения на клетчатой бумаге

text:
1
A
D
E
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
R = 5
1
1
6*6+1*1=
6
1
5
1
4
3
 2*2+1=
2
1
1
1
3
2
2
3
5
5
4
5
2
3
5
3
2
5
=3
5
=2
4
4
4

.
m
.
k
1
k+m
1
0
.
1
.
1
2
.
4
.
1
3
.
1
-3
.
2
.
3
-2
.
1
A
B
C
.
.
.
D
E
F
E
.
1
2
3
4
5
A
B
E
.
1
2
3
A
B
.
A
B
C
C1

A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
G
H
.
.
S
S
Q


title: Презентация на тему: Основы планиметрии Отрезок и прямая


title: Презентация на тему: Освещение с трех точек

text:
Free Spot
Free Direct
Target Direct
Skylight


title: Презентация на тему: «Отображение плоскости на себя»


title: Презентация на тему: Отрезки

text:
I

II

III

IV

V

1

2

3

4

5

0

1

3

6

10

I
II
III
IV
V
1
2
3
4
5
0
1
3
6
10


title: Презентация на тему: Основы стереометрии

text:
900igr.net
4
6
4
8
12
6
7
15
10
20
30
12
n+1
2n
n+1
2n
3n
n+2


Презентация на тему: Парабола и ее свойства


Презентация на тему: Параллелепипед


title: Презентация на тему: Основные понятия геометрии

text:
5klass.net
O
O
A
B
K
P
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
A
C
B
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
O
a
b
c
d
A
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
A
B
M
N
A
D
B
O
h
O
O
A
B
k
h
p
q
P
B
Q
E
A
C
D
O
B
A
C
C
O
B
A
O
A
C
B
B
D
C
A
1
A
C
B
A
C
B
A1
C1
B1
a
A
a
H
A
A
M
A
C
M2
B
M1
M3
A
A1
B
C
A
B
H
C

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
a
b
c
a
b
a
b
c
c
a
b
c
a
b
3
5
4
6
5
3
4
6
1
5
4
8
2
6
3
7
5
1
3
6
4
2
B
b
a
O
H
A
1
2
3
1
=
2
=
3
b
a
b


title: Презентация на тему: Основы тригонометрии"

text:
0
x
y
+
-
30º
60º
45º
sin
cos
tg
ctg
1
2
3
1
1
I
II
III
IV
 sin1000 cos1000                            -
 cos1500 sin2500                  +
 tg1750 ctg2000                    -
 tg3500 ctg2100                               -
 cos2500 sin3300                            +
 tg1150 ctg2300                               -

1
2
3
4
5
6
7
1080
450
2340
- 0,8
1,75
- 300
-5
1
2
3
4
5
6
7
  720
 600
 4500
 0,8
6
- 150
-1,8
1
--
6


Презентация на тему: Парабола и параболические антенны


title: Презентация на тему: Отрезок

text:
a
C
B
A
a
C
B
A
C
B
A
D


title: Презентация на тему: Отрезок. Длина отрезка

text:
D
N
N
K
F
D
E
M
Q
C
12
B
A
R
O
H
P
T
14


text:
.
900igr.net
1
2
3
D
D


Презентация на тему: Параллельное проектирование


title: Презентация на тему: Параллелепипед

text:
5klass.net
S= 2(Sa+Sb+Sc)= 2(ab+ bc+ ac)


Презентация на тему: Откуда пришла, и какой раньше была геометрия


title: Презентация на тему: Параллелепипед

text:
1
S=(a * b + a * c + c * b) *2
a
b
c


Презентация на тему: Параллельной проекцией равностороннего треугольника может быть треугольник произвольной формы


title: Презентация на тему: Параллелепипед

text: S= 2(Sa+Sb+Sc)= 2(ab+ bc+ ac)


title: Презентация на тему: Осевая и центральная симметрия

text:
1                                    2

3
5
7
6
8
4
1
2
9
10


title: Презентация на тему: параллелепипед презентация 9 класс

text:
D
D1
B1
C1
V=Sh
D
D1
B1
C1
D
D1
B1
C1
D
D1
B1
C1
d2 = 3a2
d
a
a
a


title: Презентация на тему: Параллельность двух прямых

text:
900igr.net
m
n
m || n
a
b
a     b
1
2
3
4
5
6
7
8
a
b
c
1
2
a
b
c
1=
2
a || b
1
2
m
n
c
1 =
2
m || n
1
2
a
b
c
1 +
2 = 180
a || b
31
30
b
e
d
1
2
3
4
40
5
6
7
8
40
m
n
f
110
79
k
h
c
1
2
3
4
5
6
7
8
100
80
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
m
n
p
112
112
68
C
D
70
40
60
A
B
C
D
E
M
N
P
Q
1
2


title: Презентация на тему: Параллелепипед

text:
S=6a2
V=a3
=


Презентация на тему: Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве


title: Презентация на тему: Параллельность

text:
b
a
b
c
bIIc
460
460
a
b
aIIb
c
420
420
a
b
aIIb
c
3
b

1
2
c
420
1380
a
b
aIIb
c
b
a
d
c
1=   4
1
3
2
4
6
5
1=   3
1+   2 =1800
5+   6 =1800
a
b
c
bIIc
b
bIIc
c
a
b
a
b
a1
b1
a
b
A
B
C
D
AB=CD


title: Презентация на тему: Параллелепипед 10 класс

text:
900igr.net
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
A
B
C1
C
D
A1
D1
B1
A
B
C1
C
D
A1
D1
B1


title: Презентация на тему: Параллелипипед

text:
140 : 7 =
46 + 38 =
465 * 1 =
100-16=
0 * 124 =
27-27=
54 : 2 =
0:145=
3³ =
23 =
5²-5 =
32+18=
62+12
84
8
465
18
49
20
45
9
27
41
0
D
D1
A
B
C
D
F
H
A
B
C
D
F
H


text:
m
n
m || n
a
b
a     b
1
2
3
4
5
6
7
8
a
b
c
1
2
a
b
c
1=
2
a || b
1
2
m
n
c
1 =
2
m || n
1
2
a
b
c
1 +
2 = 180
a || b
31
30
b
e
d
1
2
3
4
40
5
6
7
8
40
m
n
f
110
79
k
h
c
1
2
3
4
5
6
7
8
100
80
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
m
n
p
112
112
68
C
D
70
40
60
A
B
C
D
E
M
N
P
Q
1
2


title: Презентация на тему: «Параллельность»


Презентация на тему: Параллелепипед


title: Презентация на тему: Параллельность прямой и плоскости

text:
900igr.net
a
b
a
V
M
b
a
b
M
N
a
b
a
b
M
C
A
B
D
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
b
a
a
b
N
M
1.
A
B
C
D
E
F
M
N
A
B
C
D
2.
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
A
B
D
C
M
N
E
K
F
C
E
D
B
A
K
F
a
b
A
B
C
D
E
F
K
P
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
a
c
a
b
O
1
2
3
4
a
b
b1
a1
  (a ,b) =   ( a1,b1)
1.
D
M
2.
M
D
3.
A
B
C
D
M
4.
B
A
D
C
5.
D
A
B
C
M
a
b
b1
a1
a
b
a
b
B
C
D
A
B
C
A1
B1
C1
AA1 II BB1 II CC1
AA1 = BB1 = CC1
A
B
C
A1
B1
C1
a
b
O
A
B
A1
B1
a
b
c
C1
B1
A1
A2
B2
C2


Презентация на тему: Параллельность плоскостей в пространстве


text:
a
II
b
a II
b
D
D1
a
b
II
A
    D
F
A
D
E
A
   D
N
   D
A
N
A
D
M
N
B
A
D
C
B
M
N
A
D
E
a
A
    D
F
a


title: Презентация на тему: Открытия Пифагора

text:
ЖИЗНЬ И НАУЧНЫЕ ОТКРЫТИЯ ПИФАГОРА
900igr.net
Пифагор
VI   в  до  н. э.
Пифагор – это не только самый популярный ученый, но и самая загадочная личность, человек-символ, философ и пророк. Основоположник математики и родоначальник многих мистических учений, учредитель религиозно-этического братства и создатель научно-философской школы, ставшей союзом Истины, Добра и Красоты.
Пифагор – едва ли не самый популярный ученый за всю историю человечества.
Он был и властителем дум, проповедником собственной «пифагорейской» этики, философом, которого по силе духа и силе воздействия можно сравнить разве что с его великими соплеменниками: Конфуцием, Буддой. Но в отличие от последних Пифагор создал самую яркую самую современную «религию»:  он воспитал в человеке веру в могущество разума, убежденность в познаваемости природы, уверенность в том, что ключом к тайнам мироздания является МАТЕМАТИКА.
ЗА ЛЕГЕНДОЙ –
ИСТИНА…
«Самос – небольшой остров в Икарийском море, расположенный напротив Милета, к западу от него, на расстоянии немногих часов плавания. Земля эта плохо родит хлеб, непригодна для плуга, более благоприятна для маслин, и ни виноградарь, ни огородник не тревожат ее. Все полевые работы там состоят  в окапывании и прививках… Есть там город, далеко не отвечающий своей громкой славе, но свидетельствующий о былом величии своем многочисленными развалинами стен. ..»
Древнеримский  писатель Апулей, II в.
Около 570 г. до н. э. на Самосе родился основоположник современной математики Пифагор.
Слово "философ", как и слово "космос" достались нам от Пифагора. Он был первым человеком, который назвал себя философом. До него умные люди называли себя гордо и несколько высокомерно - мудрецами, что означало - человек, который знает. Пифагор же назвал себя философом - тем, кто пытается найти, выяснить.
Девиз, высеченный на кольце Пифагора: “Временная неудача лучше временной удачи”.Согласитесь, кольцо с такой надписью может носить только неординарный человек. Да, только неординарные личности могут прожить свою жизнь так,
что даже много веков спустя их имя будет
знать практически каждый человек
на земле. Именно таким
человеком был великий
философ, математик,
маг - Пифагор.
Математика - одна из составных частей религии пифагорейцев, которые учили, что Бог положил число в основу мирового порядка.
Пифагор считал, что число 5 - символизирует цвет, 6 - холод, 7 - ум, здоровье и свет, 8 - любовь и дружбу, 9 - постоянность. Числа 13 и 17 пифагорейцы считали негативными.
Монета с изображением Пифагора
Пифагор построил "космические" фигуры, т. е. пять правильных многогранников. Но вероятнее, что он знал только три простейших правильных многогранника: куб, четырехгранник, восьмигранник. Школа Пифагора много сделала, чтобы придать геометрии характер науки.
Что уж говорить об отдельных фактах биографии великого математика! Рассказывали, например, что он мог заставить птиц изменить направление полёта. Он разговаривал с медведицей, и та перестала нападать на людей, он беседовал с быком, и тот под влиянием беседы перестал трогать бобы и поселился при храме. Однажды, переходя вброд реку, Пифагор вознёс молитву духу реки, и из воды послышался голос: "Приветствую тебя, Пифагор!" Говорили также, что он повелевал духами: посылал их в воду и, глядя на рябь, делал предсказания. Влияние его на людей было так велико, что похвала из уст Пифагора переполняла его учеников восторгом. Однажды ему случилось рассердиться на ученика, и тот покончил с собой. Потрясённый философ никогда больше ни с кем не говорил раздражённо. Он будто бы умудрялся исцелять людей, напевая им стихи из "Илиады" и "Одиссеи" Гомера. Он знал лекарственные свойства огромного количества растений.
Некоторые из 325 Пифагоровых заповедей:
Мысль – превыше всего между людьми.
Сыщи себе верного друга; имея его, ты можешь обойтись без богов.
Не гоняйся за счастьем: оно всегда находится в тебе самом.
Не пекись о скитании великого знания: из всех знаний нравственная наука, может быть, есть самая нужнейшая, но ей не обучаются.
Делай лишь то, что впоследствии не омрачит тебя и не заставит раскаиваться.
Не делай никогда того, чего не знаешь, но научись всему, что нужно знать.
Не пренебрегай здоровьем своего тела.
Научись жить просто и без роскоши.
Через весы не шагай – избегай алчности.
Не садись на хлебную меру – не живи праздно.
Либо молчи, либо говори то, что ценнее молчания.
Ласточек в доме не держи – не принимай гостей болтливых и не сдержанных на язык.
Не закрывай глаза, когда хочешь спать, не разобравши всех своих поступков за день.
По торной дороге не ходи – следуй не мнениям толпы, а мнениям немногих понимающих.
Пифагору принадлежит  бессмертная идея о всеобщей гармонии, лежащей в основе мироздания. Заложенная Пифагором вера в красоту и гармонию природы, в мудрую простоту и целесообразность ее законов, построенных на единых математических принципах, окрыляла творчество титанов современного естествознания от Иоганна Кеплера до Альберта Эйнштейна. Это и есть путеводная звезда  современного естествознания, тот вечный кладезь мудрости, который открыл человечеству Пифагор.
Пифагор на фреске Рафаэля (1509 г.)


title: Презентация на тему: Параллелепипед 5 класс

text:
Прямоугольный
Параллелепипед
ПРЕЗЕНТАЦИЯ 5 КЛАСС

Прямоугольный параллелепипед. Спичечный коробок, деревянный брусок, кирпич дают представление о прямоугольном параллелепипеде. Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из 6 прямоугольников), каждый из которых называют гранью прямоугольного
параллелепипеда.
Противоположные грани прямоугольного параллелепипеда равны

  ЗАПОМНИ!!!!!
Стороны граней называют ребрами параллелепипеда, а вершины граней — вершинами параллелепипеда. У прямоугольного параллелепипеда 12 ребер и 8 вершин. Прямоугольный параллелепипед имеет три измерения — длину, ширину и высоту. Куб — это прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения одинаковы.Поэтому поверхность куба состоит из 6 равных квадратов.

Назови грани прямоугольного параллелепипеда ! СМОЖЕШ?
                   ответ
А B C D

Запомните как выглядит параллелепипед!
ПРОВЕРИМ! Найди параллелепипед!
Построение параллелепипеда
Небольшой перерыв! 1 мин!

Смотри!!!!!
Посмотрим внимательно ли ты смотрел ???

 ПОКА И УДАЧИ В ИЗУЧЕНИИ!!

«УЧИСЬ»


title: Презентация на тему: «Основы геометрии» 7 класс

text:
Урок   геометрии  в  7 классе : « Геометрические фигуры. Точка и прямая»
Выполнена   учителем   математики  МКОУ Каменнобродская СОШ имени В.И.Салова Ольховского района Волгоградской области Ореховой Яной Михайловной
Учебник :А.В.Погорелов «Геометрия, 7 - 9»
Рабочая тетрадь: Ю.П.Дудницын «Геометрия, 7 класс»
5klass.net

Возникновение геометрии из потребностей человека
Первые геометры и первая книга по геометрии
Что изучает геометрия. Два ее раздела
Основные геометрические фигуры на плоскости
Основные свойства принадлежности точек и прямых
Знакомство с учебником и Рабочей Тетрадью

Возникновение  и  развитие  геометрии.

Геометрия  возникла в результате практической деятельности людей :

нужно было сооружать жилища, храмы, прокладывать дороги, оросительные каналы, устанавливать границы земельных участков и определять их размеры.

НИЛ - Река жизни Египта
В переводе с древнегреческого слово «геометрия»  означает «землемерие»  ( « гео» -земля , а «метрио»- мерить).
  Важную роль играли и эстетические потребности людей : желание украсить свои жилища и одежду, рисовать картины окружающей жизни. Все это способствовало формированию и накоплению геометрических сведений.

 За несколько столетий до нашей эры в Вавилоне, Китае,
   Египте и Греции
 уже существовали начальные геометрические  знания, которые добывались в основном опытным путем, но они не были еще систематизированы и передавались от поколения к поколению в виде правил и рецептов, например, правил нахождения площадей фигур, объемов тел, построения прямых углов и т. д.

 Не было еще доказательств этих правил, и их изложение не представляло собой научной теории.

   Первым ,кто начал получать геометрические факты при помощи рас -суждений  (доказательств),
был древнегреческий  ма -тематик  Фалес (VI в.до н.э.), который в своих исследованиях применял перегибание чертежа, поворот части фигуры и так далее, то есть то, что на современном языке называется движением.

Фалес

   Постепенно геометрия становится наукой, в которой большинство  фактов устанавливается путем выводов, рассуждений, доказательств.
Евклид

Попытки греческих ученых привести геометрические факты в систему начинаются уже в V веке до н.э. Наибольшее влияние на всё последующее развитие геометрии оказали труды греческого ученого Евклида, жившего в Александрии в III веке до н.э.
Евклид

Сочинение Евклида «Начала»
почти 2000 лет служило
основной книгой ,
 по которой изучали геометрию .
Первая страница «Начал» Евклида. Издание 1482г.
В «Началах»
 были систематизированы известные к тому времени
геометрические сведения,  геометрия
впервые
предстала как математическая наука.
Одна из страниц «Начал» Евклида. Издание 1482г.
Эта книга
была переведена
на языки
многих народов мира ,
 а сама геометрия, изложенная в ней,
стала называться евклидовой
геометрией.
Что изучает геометрия?
 В геометрии изучаются формы, размеры, взаимное расположение предметов независимо от их других свойств : массы, цвета и т.д.
Что изучает геометрия?
Отвлекаясь от этих свойств и беря во внимание только форму и размеры предметов, мы приходим к понятию геометрической фигуры.
    Геометрия не только дает представление о фигурах, их свойствах, взаимном расположении, но и учит рассуждать , ставить вопросы, анализировать , делать выводы , то есть логически мыслить.
Школьный курс геометрии делится на :
планиметрию
стереометрию
Планиметрия – это раздел геометрии, изучающий свойства фигур на плоскости
( от латинского слова «платинум» - плоскость и греческого «метрио» - измеряю).
Примеры плоских фигур : отрезок , луч , прямая, угол, окружность, круг, треугольник, прямоугольник .
Стереометрия – это раздел геометрии, который изучает свойства фигур в пространстве.
Примеры объёмных фигур : параллелепипед, шар, цилиндр, пирамида , конус…
Планиметрия       Стереометрия

Вам уже знакомы некоторые геометрические фигуры
  .          точка

                              прямая

                             отрезок

                                  луч

                    угол

треугольник

                прямоугольник

круг

ПЛАНИМЕТРИЯ
Примеры объёмных фигур.
куб
шар
конус

цилиндр

пирамида
СТЕРЕОМЕТРИЯ
Основные геометрические фигуры на плоскости
«Точка» в русском языке – конец заточенного гусиного пера.

A

C

B

D
«Точка есть то,что не имеет частей»Евклид
На рисунке изображены точки  А , В , С   и D.
Основные геометрические фигуры на плоскости

Прямая – множество точек, построенных с помощью линейки.

Прямая бесконечна………………………
Прямые обозначают  так  :

m
прямая  m
р
прямая  р
А
В
прямая   АВ
С
D
прямая  CD
РТ- рабочая тетрадь
РТ стр.4    № 3 (1)
Через какие точки проходит
данная прямая?
    А  ϵ  а
В  ϵ  а
С     а

а
А
В
С

РТ стр.4 № 4(1)
Проведите прямую а
через данные две точки.
Через точки А и В.

А
В
С
Основные свойства принадлежности точек и прямых

I.Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
.
.

Сколько общих точек могут иметь прямые?

0                                               1                                 много
                                     а  Ո в = А

Точки, прямые, отрезки

Отрезок – часть прямой, ограниченная двумя точками. Точки A и B – концы отрезка

A

B
Отрезок с концами А и В обозначают АВ или ВА.
Он содержит точки А и В и все точки прямой, лежащие между точками А и В.
Практическое задание.
РТ   № 5(б) ,  6(б),  8
Ответьте на вопросы:
1. Можно ли через данную точку провести прямую?
2. Сколько прямых можно провести через данную точку?
3. Сколько прямых можно провести через две данные точки?
4. Сколько общих точек могут иметь две прямые?

Ответьте на вопросы

5. Могут ли прямые  ОА и АВ быть различными , если точка  О лежит на прямой  АВ?

6. Даны две прямые  а  и  в , пересекающиеся в точке  С , и точка  D   , отличная от точки  С  и  лежащая  на прямой  а.  Может ли точка  Д  лежать  на прямой  в ?
Выполните самостоятельно :
РТ  № 13  стр. 7
Самостоятельная работа с учебником .

1.  Прочитайте  п. 2  стр. 6-7.

2.  В чём заключается  приём  «провешивания  прямой»  и когда  он применяется?
Математический диктант.
1.Начертите  прямую и обозначьте её буквой  в.

а)  Отметьте точку  М ,лежащую на прямой  в.

б)  Отметьте точку  Д, не лежащую  на прямой  в.

 в)   Используя символы   , запишите  предложение  :
«Точка  М лежит на прямой  в ,
 а точка  Д  не лежит на ней».

Математический диктант.
 2. Начертите  прямые  а  и  в , пересекающиеся  в  точке  К.  На  прямой  а  отметьте  точку  С , отличную от точки  К.

     а)  Являются ли  прямые  КС  и а  различными  прямыми ? Ответ  обоснуйте.

     б)  Может ли прямая  в  проходить через  точку   С?  Ответ  обоснуйте.
Итоги  урока.

  Задайте вопросы своим одноклассникам по содержанию сегодняшнего урока.

Есть вопросы…
Непонятно!
Всё понятно!

Д/з
Пп.1-2,
вопросы 1-4 стр.15
РТ  1-13


title: Презентация на тему: «Параллельность плоскостей» 10 класс

text:
5klass.net
II
b1
b
M
n
m
M
D
D
A
D
C
B
P
M
N
F
F1
D
C1
a
b
B1
A1
c
C
B
A
b
b
D
D
D
D
a
a1
A
A1
B
B1
a
b
A
B
B1
A1
a
b
B
D
A
C
a
b
A
B
F


title: Презентация на тему: Параллельность плоскостей

text:
a
b
M
a1
b1
a
b
a
b
a
b
A
B
C
A
B
C
B1
A
A1
A2
B
B2
C
B1
A
A1
A2
B
B2
C
B1
A
A1
A2
B
B2
C
B1
A
A1
A2
B
B2
C
B1
A
A1
A2
B
B2
C
B1
A
A1
A2
B
B2
C
B1
A
A1
A2
B
B2
C
B1
A
A1
A2
B
B2
C


Презентация на тему: Параллельность прямых и плоскостей


title: Презентация на тему: Параллельность прямых и плоскостей в пространстве

text:
A
B
C
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
M
D
K
M
K
N
6
5
4
3
2
1
A
B
C
M
D
K
M
K
N
A
B
C
D
a
m
A
B
C
D
6
5
4
3
2
1
M
D
K
M
K
N
6
5
4
3
2
1


Презентация на тему: Параллельность прямых


text:
a
b
c
1
2
3
4
5
6
7
8
a
b
c
1
4
3
2
A
B
C
D
O
a
b
c
d
1
4
3
5
2
6
a
b
c
1100
700
a
b
c
650
1250
a
b
c
400
400
a
c1
c2
c3
c4
c5
1140
760
1260
660
1040
A
B
C
M
N
K
a
b
c
d
1
2
3
4
6
5
A
B
C
D
F
A
B
C
D
a
b
c
390
1410
K
O
L
F
E
A
B
C
D
E
F
1
2
A
F
B
D
E
a
b
c
1
850
a
b
c
3
1
2
a
b
c
d
l
1000
1000
a
b
c
1
2
A
B
C
D
1
2
A
B
C
D
E
1
3
2
a
b
c
d
1
2
3
200
200
1300
a
b
c
1
2
a
b
c
1
2
3
4
5
6
7
8
a
b
c
1
4
3
2
A
B
C
D
O
a
b
c
d
1
4
3
5
2
6
a
b
c
1100
700