title: Презентация на тему: Сравнение отрезков и углов

text:
Prezented.Ru
B
D
M
N
MN > CD
O
D
F
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
8
10
11
9
http://nixuz.net/uploads/posts/2009-10/1255640297_logo.jpg
40.000.000
1
http://www.physicsdepartment.ru/blog/images/0166.jpg
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
   0        1         2        3        4         5         6        7        8         9       10      11      12       13      14      15      16
http://www.robertagor.it/calibro.jpg
http://mega-podarki.webasyst.net/shop/products_pictures/012-800x800.jpg
http://nixuz.net/uploads/posts/2009-10/1255640297_logo.jpg


title: Презентация на тему: Средняя линия треугольника 8 класс

text:
10
?
5
5
6
6
M
L
K
B
A
C
10


title: Презентация на тему: Средняя линия трапеции

text:
A
D
B
C
A
D
B
C
M
N
A
D
B
C
M
N
A
D
B
C
M
N
=>
A
D
B
C
M
N
=>
 =>
MN || BC
2) MN = ½ ED = ½ (EA+AD) = ½ (BC+AD)
A
D
B
C
M
N
M
N
A
D
B
C
?
1
M
N
   A
D
 B
C
P ABCD = ?
2
A
B
C
D
B1
3
A
D
B
C
A
D
B
C
E
A
B
C
D
B1
O


title: Презентация на тему: «Средняя линия треугольника»

text:
41M
56CM
MK
1,8MM
MK
1,8MM
AB
35M
80CM
AB


text:
900igr.net
A
D
B
C
M
N
M
N
M
N
A
B
C
MN || AB
MN = ½ AB
A
D
B
C
M
N
A
D
B
C
M
N
MN || BC, MN || AD
 MN = ½ (BC + AD)
M
N
A
D
B
C
?
M
N
   A
D
 B
C
P ABCD = ?


Презентация на тему: Средняя линия треугольника


title: Презентация на тему: Старинные задачи

text:
5klass.net
Y
Y


Презентация на тему: Старинные меры длины


text:
B
C
N
4
1
2
1
2
B
C
N
BM
BA
=
BN
BC
=
 1
 2
MN
AC
=        ;
 1
 2
F
N
O
14
16
11
+
+
=
AC
BC
AB
P
ABC
2
1
=
ABC
FNO
P
P
D
.
2,5
?
B
D
Q
E
F
PQ II BD
EF II BD
PQ II EF
PQ =   BD
EF =   BD
PQ = EF
7


Презентация на тему: Старые русские меры


title: Презентация на тему: степенная функция

text:
(1646  - 1716 )
(1623-1662)
(1654-1705)


Презентация на тему: Стереометрия учебник


title: Презентация на тему: «Стереометрия. Аксиомы»

text: n


Презентация на тему: Старое и новое о круге


Презентация на тему: Стереометрия


title: Презентация на тему: Становление тригонометрии как раздела математики

text:
2
2


title: Презентация на тему: Стереометрия в образах

text:
V
N
V
=N
A
A
A
A
B
a
A
B
C
A
B
C


title: Презентация на тему: Столбчатые диаграммы

text:
1
2
3
4
5
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-1
-2
-3
-4
-5
B(-3;4)
A(4;3)
D(0;3)
F(5;4)
C(1;0)
E(-3;-2)
0
146
183
233
260
260
2010
2009
2008
2007
2006
2
6
5
5
«2»
«3»
«4»
«5»
3)
2)
28
21
23
0
5
10
15
20
25
30


Презентация на тему: Стояние на реке Угре


title: Презентация на тему: Состав числа 8" с образовательными технологиями развития творческого потенциала и целостного мышления учащихся

text:
8
7
1
8
8
8
8
8
8
8
1
7
6
6
2
2
5
5
3
3
4
4
4
4
8
8
8
8
1
7
4
4
5
3
6
2
1
8
3
4
5
2
7
6
2
7
5
4
3
1
6


Презентация на тему: Сумма двух векторов


text:
a
b
a
b
a + b
a
b
a
b
a + b
D
a
b
a
b
D
c
c
a + b + c
D
?
D
?
?
D
?
D
?
D
?
D
?
?
?
?
?


title: Презентация на тему: Сумма углов треугольника

text:
1
3
2
4
5
4
1
2
3
4
1
2
3
2
1
6
1
1
2
3
4


title: Презентация на тему: Стереометрия

text:
900igr.net
m
|PK|
m
m
m
N
m
n
.
S = 6a 2 d 2 =3a 2


title: Презентация на тему: Страна геометрия

text:
900igr.net
0
1
0
1
4
6
8


Презентация на тему: Сумма углов треугольника 7 класс


text:
1
2
3
4
5

65
55
650
 250
500
65
65
650   250       500
650  ,
500


title: Презентация на тему: Смежные и вертикальные углы

text:
900igr.net
4
3
5
7
2
1
6
1
2
1
2
3
4

1
2
3
4
3,
4
1,
1,
3=
1
3
2
4
1,
3,
4.
3=
4=


title: Презентация на тему: Стороны и углы прямоугольного треугольника

text:
900igr.net

   300

   450

   600

   300

   450

   600


Презентация на тему: Сумма углов в треугольнике


title: Презентация на тему: Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника"

text:
Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника(урок обобщения)
геометрия 8 класс

Певцова Ольга Викторовна
учитель математики МОУ «Лицей №31»  г.о. Саранск Республика Мордовия
Цели:
формирование умений и навыков в применении соотношений между сторонами и углами прямоугольного треугольника;
формирование умений работать с задачей
развитие памяти, мышления, наблюдательности, внимательности;
развитие познавательного интереса;
воспитание самостоятельности, аккуратности, умения отстаивать свою точку зрения, умения выслушать других.
  «Образование – это не количество прослушанных уроков, а количество понятых. Так что, если хотите идти вперед, то поспешайте медленно и будьте внимательны»
План урока
Организационный момент
Теоретическая разминка (блиц- опрос)
Решение задач
Тест(проверка знаний)
Подведение итогов работы на уроке
 Задание на дом
   Один мудрец сказал:
« Высшее проявление духа – это разум. Высшее проявление разума – это геометрия. Клетка геометрии – это треугольник. Он так же неисчерпаем, как и Вселенная…»
Блиц - опрос
№1Закончите предложение:
       Вариант1
  « Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение…»

    Вариант2
   «Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение…»

№2 Закончите предложение:
         Вариант1
  « Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение…»

     Вариант2
   «Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то…»

№3 Запишите, используя обозначения:
     Вариант1
   косинус 60° равен
     Вариант2
   синус 45° равен

№4
     Вариант1
   Запишите   основное тригонометрическое тождество.
     Вариант2
   Запишите формулой, чему равен тангенс угла А.

№5
         Вариант1
   Может ли синус острого угла равняться 1,01?
           Вариант2
   Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен единице. Какого вида этот треугольник?

№6Чему равен
    Вариант1

   sin60°?
     Вариант2

 cos30°?

№7Чему равен
    Вариант1

   cos45°?

  Вариант2

 sin45°?

№8Чему равен
   Вариант1
   tg60°?

    Вариант2
 tg30°?

Ответы
    Вариант1
1…прилежащего катета к гипотенузе;

2…противолежащего катета к прилежащему;

3. cos60°=1/2;

4. sin2A + cos2A = 1;

5. Нет;               6.

7.                         8.

   Вариант2
1…противолежащего катета к гипотенузе;
2…синусы, косинусы, тангенсы этих углов также равны;

3. sin45°=

4.

5. равнобедренный;

6.                              7.

                    8.

Оценка

«5» - 8
«4» - 7
«3» - 5-6
«2» - 4 и меньше
Решите устно

С
А
В
D
9
4

?

CD=

?
?
АС=
 ВС=
6
Решите устно

4

3
С
А
В
Найти: sinB, cosB, tgB
5
sinB = 3/5
cosB = 4/5

tgB = 3/4
Решите устно

30°
8
12

A
B
C
D

SABCD=AD*BH
H
?
= 12*4
= 48
SАВСD=?
Решите письменно
                               №1.
    В прямоугольном АВС (    С=90°)
    СD    AB, AD=2,DB=3.Найдите синус,     косинус и тангенс угла А.

№1

С
D
A
B
2
3
Найти : sinA, cosA, tgA
Решите письменно
                                 №2.
   В параллелограмме стороны равны a и b,острый угол      .Найдите площадь параллелограмма. Вычислите эту, если  площадь, a =2,3, b=3,7,      =40°36'
№2

a
b

Найти:SABCD
Вычислите S,если a =2,3, b=3,7,     =40°36'.

А
B
C
D
H
   Геометрию люблю…  Геометрию учу, потому что я люблю.Геометрия нужна, без нее нам никуда.Синус, косинус, окружность – все здесь важно,Все здесь нужно,Только надо очень четко все учить и познавать,Делать вовремя заданья и контрольные решать.
Тест

sinA
cosB

sin30°=?

cos60°=?

tgB
№1
        Вариант1
    Найдите синус     А  АВС,   С=90°, если ВС=4, АВ= 5.

         Вариант2
  Найдите косинус    В  АВС,    С=90°, если ВС=3, АВ= 5

№2Найдите       , если
           Вариант1
      Вариант2

№3
        Вариант1
 Дано:АВС,ВС=5см
         С=90°,    А=41°
   Найти: АС
  а) 5* cos41°;
  б) 5:tg41°;
  с) 5* tg41°;
  г) 5: sin41°.
       Вариант2
 Дано: АВС,ВС=9см
       С=90°,     В=49°
   Найти: АС
а) 9: tg49°;
б) 9*cos49°;
в) 9: sin49°;
г) 9* tg49°.

№4Для данного треугольника справедливо равенство
       Вариант1
       Вариант2

a
b
c

b
a
c

№5Вычислите значение выражения
        Вариант1

     а) -2,25;
     б) -1,25;
     в) -0,75;
     г) -1,5.
        Вариант2

        а)  -2;
        б) -3;
        в) -1,5;
        г) -2,5.

Ответы
Вариант1
1. б
2. в
3. б
4. б
5. а
Вариант2
1. в
2. б
3. г
4. в
5. в

Оценка
«5» - 5
«4» - 4
«3» - 3
«2» - 2 и меньше
Оценка за урок
   Оценка «5» - Диплом I  степени
   Оценка «4» - Диплом II степени
   Оценка «3» - Диплом III степени
        ДИПЛОМ
      I СТЕПЕНИ
    ВРУЧАЕТСЯ
    _________________________
    ученику(це) 8 класса А
      ЗА ОТЛИЧНУЮ РАБОТУ
       НА УРОКЕ И УСПЕХИ, ДОСТИГНУТЫЕ В ИЗУЧЕНИИ
             ГЕОМЕТРИИ

Учитель математики Певцова О.В.

        ДИПЛОМ
      II СТЕПЕНИ
     ВРУЧАЕТСЯ
  _________________________
   ученику(це) 8 класса А
      ЗА ХОРОШУЮ РАБОТУ
       НА УРОКЕ И УСПЕХИ,    ДОСТИГНУТЫЕ В ИЗУЧЕНИИ
             ГЕОМЕТРИИ

Учитель математики Певцова О.В.

         ДИПЛОМ
       III СТЕПЕНИ
       ВРУЧАЕТСЯ
    _________________________
     ученику(це) 8 класса А
                ЗА РАБОТУ
       НА УРОКЕ И УСПЕХИ, ДОСТИГНУТЫЕ В ИЗУЧЕНИИ
             ГЕОМЕТРИИ

Учитель математики Певцова О.В.

Домашнее задание
§4 п.66, 67,
вопросы 15-18 стр. 154; № 600,603

Что больше всего тебе запомнилось на уроке?
Что удивило?
 Что понравились больше всего?
Каким ты хочешь увидеть следующий урок?

Спасибо, урок окончен!!!


title: Презентация на тему: сумма углов Треугольника

text:
1
2
3
4
5
140º


title: Презентация на тему: Сумма углов треугольника 5 класс

text:
  5º, 12º, 104º, 33º, 99º,
  178º, 4º, 95º,180º, 89º,
   23º, 125º, 11º,76º, 1º
2
1
2
1
40°
150°
?
?
1
2
3
140°
30°
10°
?
80°
50º
60º
?
70º
80
80º
20º
?
80º
15º
?
75º
200º
200º
200º
200º
180º
1) 20º,70º ,?
2) 60º, ?,60º
3) 100º, ? , 5º
4) 45º, ? , 90º
5) 119º, 50º,?
1) 50º, 40º ,?
2) 100º, ? ,20º
3) 5 º, ?, 100º
4) 80º, 55º,?
5) 59º, ?, 110º
1)  90 º
2)  60 º
3)  75 º
4)  45 º
5)  11 º
80º
20º
80º
30º
60º
60º
60º
60º
20º
40º
120º
45º
45º
80º
20º
80º
30º
60º
60º
60º
60º
20º
40º
120º
45º
45º


Презентация на тему: «Сумма углов треугольника»


text:
40`
80`
80`
120`
30`, 30`
40`, 40'
180'
180'


title: Презентация на тему: Сумма углов в треугольнике 7 класс

text:
53
?
90

?

140
?

45
72
?

60
?
110
108
?
122

135

?
87
120
(


title: Презентация на тему: Сумма векторов

text:
900igr.net
b
=
d
d
f
f = a + b + c + d


title: Презентация на тему: Своя игра по теме «Тригонометрия»

text:
45°
    .
[-3;3]
-0,5
0,5
0
1
0,5
0
100
80
60
40
20
100
80
60
40
20
100
80
60
40
20
100
80
60
40
20
n
m
k
a
b
c

M

 C

N

250
200
150
100
50
250
200
150
100
50
250
200
150
100
50
250
200
150
100
50

O
Y
X
1

Y
X
0

Y
0
X
500
400
300
200
100
500
400
300
200
100
500
400
300
200
100
500
400
300
200
100


title: Презентация на тему: Сравнение и измерение отрезков

text:
Начальные геометрические сведения
7 классгеометрия

Уроки № 3-4
Сравнение и измерение отрезков
13.07.2012
1
www.konspekturoka.ru
Цели:
13.07.2012
Ввести понятие равенства геометрических фигур.
Научить сравнивать отрезки.
Ввести понятие длины отрезка.
Рассмотреть свойства длин отрезков.
Различные единицы длины измерения  отрезков.
Решение задач на нахождение длины.
2
www.konspekturoka.ru
13.07.2012
3
Вспомним!

Две геометрические
 фигуры называются
 равными, если при
 наложении они
 совмещаются.
www.konspekturoka.ru
13.07.2012
4
Если концы отрезков совпадают
 то отрезки АВ и СD равны.
АВ = СD
www.konspekturoka.ru
13.07.2012
5
Если концы отрезков не совпадают
 то отрезки АВ и СD не равны.
АВ < СD
СD > AB
www.konspekturoka.ru
13.07.2012
6
Если С – середина отрезка MN
MC = СN
MN = 2MC = 2NC
www.konspekturoka.ru
13.07.2012
7
Если точка делит отрезок на
 два отрезка, то длина всего
 отрезка равна сумме длин этих
 двух отрезков.
MN = MC + CN
www.konspekturoka.ru
Длину отрезка АВ
 называют расстоянием между точками А и В
13.07.2012
8
www.konspekturoka.ru
А
В
ОЕ = 1 см
АВ = 5 см
Длину АВ измеряют  расстоянием между
 точками А и В с помощью единичного отрезка
13.07.2012
9
ОЕ – единичный отрезок
www.konspekturoka.ru
 10 см =1 дм            1см = 10 мм
100 см = 1 м              1км = 1000м
Русские меры длины.
	Среди русских мер длины древнейшими являются локоть и сажень. Первое упоминание сажени встречается в летописи XI века.

13.07.2012
10
Для измерения длины кроме сантиметра применяют и другие единицы длины
www.konspekturoka.ru
Аршин – мера, возникшая при торговле с народами Востока. Название единицы происходит от персидского слова «арш», что значит локоть.
Сажень – единица длины равная 3 аршинам. Кроме сажени, на Руси употреблялась косая сажень (2,48 м) и маховая (1,76 м).

11
13.07.2012
www.konspekturoka.ru

Отметьте в тетради точки К и М.  С помощью линейки  постройте отрезок  КМ. Отметьте на этом отрезке точки  Р и Т. Назовите отрезки, на которые эти точки делят отрезок КМ. На какие отрезки точка Т делит отрезок КМ?
13.07.2012
12
KP, PT, TM, KT, PM.
 TM, KT.
www.konspekturoka.ru
13.07.2012
13
А, В, С  а, АВ = 12 см, ВС = 13,5 см
АС - ?
Решение
Возможны случаи:
а) точка В лежит между  А и С, тогда АС = АВ + ВС,
АС = 12 + 13,5 = 25,5 (см).
б) точка А лежит между  В и С, тогда АС = СВ - АВ,
АС = 13,5 - 12 = 1,5 (см).
Ответ: 25,5 см или 1,5 см.
www.konspekturoka.ru

13.07.2012
14
 В  АС, АВ = 3,7 см, АС = 7,2 см
ВС - ?
Решение
?
 Так как В  АС, АВ + ВС = АС,
ВС = АС - АВ
ВС = 7,2 – 3,7 = 3,5 (см).
Ответ: BС = 3,5см.
www.konspekturoka.ru
13.07.2012
15
 АВ = 64 см, С – середина АВ, D - лежит
 на луче СА, СD = 15 см.
ВD, DA - ?
Решение
 АВ = 64 см, С – середина АВ, тогда АС = СВ = 32 см.
СD = 15 см, DA = AC – DC = 32 – 15 = 17 (см)
 ВD = DC + CB = 15 + 32 = 47 (см)
Ответ: BD = 47см,   DA = 17 см.
www.konspekturoka.ru
13.07.2012
16
 AF  = FB, BK = KC, AC = 5 см.
FK - ?
Решение
2FB + 2BK = 5 см,  FB + BK = 2,5 см,
FB +BK = FK,
Поэтому  FK = 2,5 см.
Ответ: FK = 2,5см.
По условию AF  = FB, BK = KC, тогда
AF + FB + BK +KC = AC,
www.konspekturoka.ru
13.07.2012
17
 О, А, В – лежат на одной прямой,
ОА = 12 см, ОВ = 9 см.
 расстояние между серединами
 отрезков ОА и ОВ - ?
Решение
Пусть М – середина отрезка ОА, N – середина отрезка ОВ.
Возможны два случая:
а) если точка О лежит на отрезке АВ, то МО = АО : 2 = 6 см,
NO = BO : 2 = 4,5 см.
Расстояние между серединами отрезков ОА и ОВ равно
 длине отрезка  MN, a MN = MO + NO =  6 + 4,5 = 10,5 (см)
www.konspekturoka.ru
13.07.2012
18
б) если точка О не лежит на отрезке АВ
б) если точка О не лежит на отрезке АВ, то МО = АО : 2 = 6 см,
NO = BO : 2 = 4,5 см.
Пусть  по условию: М – середина отрезка ОА, N – середина отрезка ОВ.
Решение
MN = MO – ON = 6 – 4,5 = 1,5 (см).
Ответ: а) 10,5 см; б) 1,5 см.
www.konspekturoka.ru
13.07.2012
19
Ответить на вопросы:
Какие геометрические фигуры называются равными?
Какие отрезки равны?
Чему равна длина отрезка?
Как измерить длину отрезка?
Какие есть единицы измерения длин?

www.konspekturoka.ru


title: Презентация на тему: Средняя линия треугольника

text:
Средняя линия треугольника

Учитель математики: Плотникова Т.В.
МБОУ «СОШ №1 г.Суздаля»

А
В
С
D
О
Диагонали четырёхугольника АВСD пересекаются в точке О, причём АО:ОС=ВО:ОD. Докажите, что АВСД –трапеция.
Устно:
Устно:

С
В
А
М
N
Точка М– середина стороны АВ, а точка N – середина стороны ВС треугольника АВС. Докажите, что  отрезок  МN  параллелен стороне АС.

С
В
А
М
N
Определение: Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух  его сторон.
МN – средняя линия треугольника АВС.
Теорема: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

С
В
А
М
N
Дано: ΔАВС,  МN – средняя линия.
Доказать: МN || АС,  МN =½ АС
Доказательство:
ΔАВС ~ ΔВМN,
т.к. ВМ:ВА = ВN:ВС=1:2 и угол В – общий.
2. Угол ВМN равен углу ВАС, а они соответственные при прямых  МN и АС и секущей АВ. Значит, МN || АС.
3. Т.к. ВМ:ВА =1:2, то и МN:АС=1:2.
Является ли отрезок EF средней линией  треугольника АВС?
Устно:

С
В
А
Е
F
3
3
4
4
Является
Является ли отрезок CD средней линией  треугольника MNK?
Устно:

K
N
М
C
D
4
5
3
3
Не является
KL – средняя линия треугольника DFE, DF =10см, FE= 12 см. Чему равны отрезки DK, KF, FL, LE?
10
12
?
?
?
?
Устно:

E
D
F
K
L
?
DK=KF=5 см, DL=LE=6 см.

MK и PK – средние линии треугольника АВС. Является ли отрезок МР средней линией этого треугольника?
Устно:
С
В
А
М
P
K
Является

 DE  - средняя линия треугольника АВС.
а) Определите сторону АВ, если DE  = 4 см.
   б) DС = 3 см, DЕ = 5 см, СЕ = 6 см. Определите стороны треугольника АВС.
4
?
3
5
6
Устно:
B
C
А
E
D
?
?
АВ=10 см, СВ=6 см, АС=12 см.
Стороны треугольника равны 4 м, 6 м, 8 м. Чему равны средние линии этого треугольника?
4
6
8
А
В
С
М
Р
К
Устно:
MP= 3см, MK=4 см, KP=2 см.
Докажите, что отрезок, соединяющий середины двух соседних сторон прямоугольника, параллелен одной из диагоналей. Определите длину этого отрезка, если диагональ прямоугольника равна 10 см.
А
В
С
D
М
Р
10
?
Устно:
MP= 5см
Устно:

А
В
С
D
Р
Q
М
H
R
6
12
В трапеции АВСД    ВС=6 см, АД=12 см, ВR||CД, СR ||АВ.  Найдите PQ.
PQ= 9см
Устно:

С
В
А
М
N
H
8
5
7

Найдите периметр треугольника МNH.
P MNP= 10см
№567
А
В
С
D
М
N
P
Q
MNPQ –параллелограмм?
Домашнее задание:

                   п.62,
        №565, 566


title: Презентация на тему: Сравнение и измерение углов

text:
Начальные геометрические сведения
7 классгеометрия

Уроки №5-6
Сравнение и измерение  углов
13.07.2012
1
www.konspekturoka.ru
Цели:
13.07.2012
Ввести понятие равенства геометрических фигур.
Научить сравнивать углы.
Ввести понятие биссектрисы угла, научить строить используя транспортир.
Ввести понятие градуса и градусной меры угла.
Рассмотреть свойства градусных мер угла, свойство измерения углов.
Повторить виды углов.

2
www.konspekturoka.ru
13.07.2012
www.konspekturoka.ru
3
k
Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из двух лучей, исходящих  из одной точки.
O
Вспомним!
Угол – называется развернутым, если
 его обе стороны лежат на одной прямой (каждая сторона развернутого угла является продолжением другой стороны).

 развернутый угол
< hm, < A

Вспомним!
13.07.2012
4
www.konspekturoka.ru

13.07.2012
www.konspekturoka.ru
5

Луч ОС делит < АОВ на два
<АОС и <СОВ
Вспомним!
13.07.2012
www.konspekturoka.ru
6
1
Две геометрические фигуры называются равными, если при наложении они  совмещаются.
Если стороны углов совпадают
 то углы равны.
13.07.2012
www.konspekturoka.ru
7
1
Если стороны углов не совместятся, то меньшим считается тот угол, который составляет часть другого.
Стороны углов не совпадают,
 то углы не равны.
Угол 2 меньше угла 1
Пишут: <2 < <1
Сравните <AOB и <CED, если известно, что
<AOB – развернутый, <CED – не развернутый

< CED < < AOB
Задача
13.07.2012
8
www.konspekturoka.ru

13.07.2012
www.konspekturoka.ru
9
Если луч ОС делит < АОВ на два
 угла так, что <АОС = <СОВ, то
луч ОС – биссектриса < АОВ
Изучение нового материала

А
В
О
Б и с с е к т р и с а

Построение биссектрисы угла
13.07.2012
10
www.konspekturoka.ru

А
В
О
Б и с с е к т р и с а

Построение биссектрисы угла
13.07.2012
11
www.konspekturoka.ru

D
R
О

Разделите угол на три равные части
13.07.2012
12
www.konspekturoka.ru
13.07.2012
13
Викторина!
1. Единица измерения углов.
(Градус)
2. Положительное число, которое показывает,
 сколько раз градус и его части укладываются
 в данном угле.
(Градусная мера угла)
6.  Градусная мера развернутого угла.
(Градус)
4.  1/60 часть градуса.
(Минута)
5.  1/60 часть минуты.
(Секунда)
3.  1/180 часть развернутого угла.
(180°)
7.  Градусная мера прямого угла.
(90°)
8.  Градусная мера не развернутого угла.
(меньше 180°)
9. Угол, градусная мера которого меньше
 прямого угла.
(Острый)
9. Угол, градусная мера которого больше 90°, но меньше 180°.
(Тупой)
www.konspekturoka.ru
13.07.2012
www.konspekturoka.ru
14
Свойства углов:
 1. Равные углы имеют равные градусные меры.
 2. Меньший угол имеет меньшую
 градусную меру.
 3. Если луч делит угол на два угла,
 градусная мера всего угла равна
 сумме градусных мер этих углов.
13.07.2012
www.konspekturoka.ru
15
Решение
Задача

13.07.2012
www.konspekturoka.ru
16
Задача
Луч ОС делит угол AOВ на два угла.
Решение

< AOC – на 15° больше  < COB,
  значит < AOC = < COB + 15°
<AOB = < AOC + <COB = 155°,  тогда
<COB + <COB + 15° = 155°

<COB + <COB = 155° - 15°
<COB + <COB = 140°,
<COB = 70°
< AOC = 70° + 15° = 85°
Ответ:
< AOC = 85°

13.07.2012
www.konspekturoka.ru
17
Задача
< AOD прямой, < АOB =  <BOC = <COD

Угол образованный биссектрисами
  < АOB и <COD?
Решение
Так как <AOD прямой,  то
 <АOB =  <BOC = <COD = 30°
Пусть ОМ – биссектриса < АOB, ON – биссектриса <COD.
 <MOB = 15° и <CON =  15°,  a <BOC = 30°
 <MON = <MOB + <CON + <BOC = 15° + 15° + 30° = 60°
Ответ:
< MON = 60°
13.07.2012
18
Ответить на вопросы:
Какие геометрические фигуры называются равными?
Что такое угол?
Какой угол называем развернутым?
В каком случае будут равны углы?
Что называется биссектрисой угла? Как ее построить?
Назвать свойства углов.
Назвать единицы измерения углов?
Какие виды углов вы знаете?

www.konspekturoka.ru


title: Презентация на тему: Свойства четырёхугольников

text:
5klass.net
1
2
3
4
5
1 -
2 -
3 -
4 -
5 -
A
B
C
D
O
  A +     B +
  C  +     D -
P -
  A +     B  =
P -
  A +     B +
  C  +     D -
3600
(3600)
1800
A
B
C
D
O

A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+


title: Презентация на тему: Свойства и признаки параллельных прямых

text:
900igr.net
150°
a
b
c
1
2
3
4
5
6
7
8
D
E
b
1
2
3
4
5
6
7
8
a
b
c
65°
125°


title: Презентация на тему: Страна Геометрия 5 класс

text:
Учитель  математики
ГБС(К)ОУ № 115
г. Самара
 Никитенко О.А.

Страна Геометрия
5 класс
30.11.2012

Виды треугольников

по углам
по сторонам
Виды треугольников

по углам
по сторонам
Виды треугольников

Разносторонний треугольник

Все   стороны  разные

Равнобедренный треугольник

Две стороны равные

Равносторонний треугольник

все стороны равные

Остроугольный треугольник

Все    углы острые

Прямоугольный  треугольник

Один    угол прямой

Тупоугольный треугольник

Один    угол тупой

Помогите узнать имя треугольника
Спасибо
за
урок!


title: Презентация на тему: Свойства четырёхугольников. Решение задач

text:
D
B
A
D
C
A
D
C
B
O
D
A
D
C
B
A
D
C
B
A
D
C
B
D
C
B
D
C
B
D
D
D
D
1
2
3
4
5
D
60°
D
D
1
2
D
30°
D
N


title: Презентация на тему: Соотношения между сторонами угла прямоугольного треугольника

text:
Тема урока
«Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.»
Учитель: И. А. Куделькина
СОШ №4 г. Бежецка
─ Ввести понятие синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса, косеканса острого угла прямоугольного треугольника.
─Научиться решать прямоугольные треугольники, используя определения синуса, косинуса, тангенса, котангенса острого угла
Цель урока:

Ход урока:
Вопросы для учащихся:
Какой треугольник называется прямоугольным?
Как называются стороны треугольника?

в                   с

 С            а                 В

А
Разбираем новые понятия:
Прилежащий угол
Противолежащий угол
Прилежащий катет
Противолежащий катет
Какие соотношения в прямоугольном треугольнике мы знаем?
1. а2+в2=с2
2.    А+
В=90º
3. Катет, лежащий против угла в 30º равен половины гипотенузы.

В
С
А
с
в
а

Задание:
Найти sinB, cosB, tgB, ctgB, secB, cosecB.

В
С
А
с
в
а
№1
№2
Записать:
sinM=
cosM=

tgM=

ctgM=
M
K
N
Задание:
В прямоугольном треугольнике АВС .
Чему равно длина меньшего катета этого треугольника?
А)4     Б)3     В) нет верного ответа

А
В
С
┐
Прямоугольный треугольник имеет широкое применение в повседневной жизни – многие геометрические и практические задачи сводятся к вычислению элементов прямоугольного треугольника, другими словами к решению прямоугольного треугольника. Треугольник определяется двумя элементами. В прямоугольном треугольнике один из углов прямой, то такой треугольник определяется двумя элементами.
ЗАДАНИЕ:
Опишите возможные случаи задания прямоугольного треугольника по двум элементам.
Решение прямоугольных треугольников.
1.По двум катетам.
2.По катету и гипотенузе.
3.По гипотенузе и острому углу.
4.По катету и противолежащему углу
5.По катету и прилежащему острому углу

А
А
А
А
А
В
В
В
В
В
С
С
С
С
С

Угол В=90º-угол А

 УголВ=90º-уголА

УголВ=90º-уголА
УголА=90º-уголВ
УголВ=90º-уголА

Дано: треугольник АВС,
С=90º, а,
А
Найти: в, с,
Надо найти ошибку

А
С
В
в
с
а
┐

1.
2.
3.

По катету противолежащему углу.
Дано:
Треугольник АВС, в,
В
А, с, а.
2…=
3…=
А
В
С
с
а
в
┐
Найти
Решение:
1...=
Для чего нам нужна данная тема?
─ С помощью линейки мы можем вычислить углы прямоугольного треугольника.
─ Построить прямоугольный треугольник.
─Решить прямоугольный треугольник

Тест I
«Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника»
Установите, истины или ложны следующие высказывания

3)Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
4)Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
5)Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета с гипотенузой.
АС- катет, прилежащий к
А
1)
С
В
А

М
N
S
2)
MN катет, противолежащий к
S
6)
B
A
C
5
3
4

7)
M
A
K

Дозированное домашнее задание №1(Технологическая карта)

       Самостоятельная работа
               (в форме теста)
1. Дано ∆АВС  ےС=90°, ے А=41°
ВС=5см. Найти АС
      Варианты ответов
А) 5∙соs41°      Б) 5:tg41°
В) 5∙tg41°         Г) 5:sin41°
2. Дано: sin =
─Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противо-лежащему.
─Секансом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение гипотенузы к прилежащему катету.
─Косекансом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение гипо-
тенузы к противолежащему углу
*Катет, противолежащий углу α, равен произведению гипотенузы на sin α.
*Катет, прилежащий к углу α, равен произведению гипотенузы на  cos α.
*Катет, противолежащий углу α, равен произведению второго катета на tg α.
* Катет, противолежащий углу α, равен, произведению второго катета на tg α.

 sin α=a/c   ctg α=b/a    cos α=d/c
 sec α=c/b     tg α=a/b     cosec α=c/f

c
b
a
α
              Основные тождества
                 sin α + cos α = 1
         tg α=
ctg α=

 ctg α=
ctg α∙tg α=1

1+ctg2 α=

1+tg2 α=
                    Дозированное домашнее задание.


title: Презентация на тему: Столбчатые диаграммы 6 класс

text:
Столбчатые диаграммы6 класс
Методическая   разработка  Васениной В.Ю.
учителя   математики
Белохолуницкого   района  Кировской    области
Расходы семьи на коммунальные услуги
?
1. Как называется  эта таблица?
2. За какой период времени указаны расходы за коммунальные услуги?
3. За какие коммунальные услуги производится оплата?
4. Какова была оплата за каждый месяц?
5. Какова была оплата за каждый вид услуг в мае?
6. Как получена строка в таблице «Итого»?
7. Как получен столбец в таблице «Всего»?
8. Что означает число 4678 в таблице?
Как называются данные чертежи?
Круговая  диаграмма
Столбчатая  диаграмма
Диаграмма – это средство наглядного  изображения информации, предназначенной для сравнения  нескольких величин или  нескольких значений одной величины и т.д.
Незнайка торгует канцелярскими товарами
Незнайка торгует канцелярскими товарами
Построить столбчатую диаграмму.  В селе 90 домов. Из них 15 домов – под железной крышей,  45 – под  черепичной, 30 домов – под шиферной.
Алгоритм построения диаграмм
Незнайка Торопыжка  ПончикТорговля  газетами
Дом. задание: №1439, карточка 2 (построить диаграмму в тетради и в приложении Excel)


title: Презентация на тему: "Сумма углов в треугольнике".

text:
Сумма углов в треугольнике
Урок – исследование
Разработала урок: Беляева Л. Г.
Учитель математики МБОУ «СОШ № 22»
ЦЕЛИ УРОКА:
Образовательная цель: сформулировать учащимся теорему о сумме углов треугольника и опытным путем доказать ее; применить полученные знания при решении задач.

Воспитательная цель: сформировать умение анализировать и обобщать, используя элементы исследования; воспитывать у учащихся аккуратность, внимание при выполнении записи и вычислений в тетради.

Развивающая цель: развить у учащихся творческое, логическое и математическое мышление, математическую речь, память.
КАКИЕ УГЛЫ ВЫ ЗНАЕТЕ?
АВС – острый угол
PQF – тупой угол
КАКИЕ УГЛЫ ВЫ ЗНАЕТЕ?
MON – прямой угол
XOY – развернутый угол
КАКИЕ УГЛЫ ВЫ ЗНАЕТЕ?
DEH и HEL – смежные углы
SOM и KOL – вертикальные углы
КАКИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ ВЫ ЗНАЕТЕ?
ABC – равнобедренный треугольник
PQH – прямоугольный треугольник
КАКИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ ВЫ ЗНАЕТЕ?
MKL -  равносторонний треугольник
FGH – тупоугольный треугольник
Теперь давайте проведем практическую работу.
На столах лежат различные треугольники. Нужно измерить углы этих треугольников, найти сумму всех углов в каждом треугольнике и занести все данные в таблицу.
Давайте проведем еще одну исследовательскую работу.У вас на столах лежит треугольник и 3 угла. Нужно собрать все углы в одну точку и найти их сумму.
Что у вас получилось?
ТЕОРЕМА
ABC - треугольник

α
α
ВОПРОСЫ
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ


title: Презентация на тему: Сведения и задачи о равнобедренном треугольнике

text:
Геометрия     7 класс
Габдракипова Л.Р.,
учитель математики и информатики
МОУ «Усть-Багарякская основная общеобразовательная школа»
Тема урока:Равнобедренный треугольник
А
В
С

А
В

С
Этапы урока
Объяснение нового материала
Решение задач
Самостоятельная работа
Подведение итогов урока
Домашнее задание

Объяснение нового материала
Определение треугольника
Определение равнобедренного треугольника
Cвойство углов равнобедренного треугольника
Свойство медианы равнобедренного треугольника

Определение треугольника
Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих их попарно.
Точки называются вершинами, отрезки-сторонами

Определение равнобедренного треугольника
Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
Равные стороны называются боковыми, а третья- основанием

А
С
В
АВ=ВС

Свойство углов равнобедренного треугольника
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны

А

В
С

А=  С

Свойство медианы равнобедренного треугольника
Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника является его биссектрисой и высотой
CD-биссектриса
CD-высота

Упражнения
№113
№118
№119
№120(а)

? Задачи
Задача 1:В равнобедренном треугольнике сумма всех углов равна 180 0.Найдите углы этого треугольника, если известно, что один из них равен 110 0.
Задача 2:  В равнобедренном треугольнике АВС АВ=ВС, ВМ-медиана, АМ=10 дм, угол АВС =1300 .Найдите АС и угол МВС.

для самостоятельного решения

Подведение итогов урока
Задача 1

Задача 2

Решение задачи 1

Дано:АВС-равнобедренный,
   АС-основание,
    <А+<В+<С=1800,<В=1100
Найти:<А,<В,<С
Решение:<А=<С (как углы при основании)
<А+<С=180-<В=180-110=700
<А=<С=350.

А
B
C

Решение задачи 2

Дано:АВС-равнобед-ренный;АВ=ВС;  ВМ-медиана,АМ=10дм, <ABC=1300.
Найти: АС и <MBC.
Решение: ВМ-медиана;М-серединаАС;АМ=МС;
АС=2АМ=20(дм) ;ВМ-биссектриса;<ABM=<MBC===1/2<ABC =650.

A
C
B

М

Домашнее задание

п.п.16-18
вопросы 5-13.
Задачи №111, №112, №120(б)

При разработке презентациииспользованы:
Открытая математика. Планиметрия
Учебник Геометрия7-9
Изучение геометрии в 7-9 кл.


title: Презентация на тему: Существование треугольника, равного данному

text:
Тема урока:
Существование треугольника, равного данному
Цели урока:
Задачи
Принципы урока
- равенство всех
- все способны, все могут все
- полная свобода мнений
- доброжелательность
- знания одного должны быть обогащены знаниями других
Вспомним :
Какая фигура называется углом?
Как обозначаются вершина и стороны угла?
Чем измерить градусную меру угла?
Что мы называем отрезком?
Какими буквами обозначаем концы отрезка?
Что такое длина отрезка?

Треугольником называется фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки.

Точки – вершины треугольника.

Отрезки – стороны треугольника

       АВСили      СВА
А, В, С – вершины
АВ, ВС, АС – стороны треугольника
Углом  треугольника АВС при вершине А называется угол, образованный лучами АВ и АС.

А
В
С

Определите «на глаз» - равны ли данные треугольники?
Назовите пары равных сторон.
Определите пары равных углов.
( Проверьте свои предположения с помощью линейки и транспортира, результаты запишите в тетрадь)
Сделайте вывод

А
В
С
А1
В1
С1

⁄А =  ⁄А1 ,    ⁄В =  ⁄В1,   ⁄С  =   ⁄С1  - соответствующие углы
АВ = А1В1,  ВС =В1С1,  АС = А1С1 – соответствующие стороны
    АВС  =      А1В1С1
«Треугольники равны, если у них …»

А
В
С
А1
В1
С1

задачи:
Пусть    АВС =    PQR

Назовите соответствующие углы и соответствующие стороны треугольников АВС и PQR.

Укажите пары равных углов, равных сторон.

Известно, что сторона АС треугольника АВС равна 5см, а угол В равен 30°.
      а) длину какой стороны треугольникаPQRвы можете указать? Какова длина этой стороны?
      б) какой угол треугольникаPQR известен? Какова градусная мера этого угла? Объясните ответ.

Практическая работа
1.Изобразите на картоне какой-нибудь треугольник.
2.Вырежьте кусок картона по контуру треугольника.
3. На листе бумаги обведите вырезанный кусок картона, обозначьте вершины полученного треугольника буквами А, В, С; те же буквы поставьте в соответствующих углах картонного «треугольника».
4. На том же листе бумаги проведите луч MN горизонтально, отступая от верхнего края листа)
5. Поместите картонный «треугольник» так, чтобы вершина А совпала с точкой М, вершина В попала на луч MN, а вершина С оказалась в верхней полуплоскости относительно прямой MN. Обведите картонный «треугольник»; вершины треугольника, получившегося на листе бумаги, соответствующие вершинам треугольника АВС, обозначьте буквами M, P  и Q .
6. Под рисунком сделайте соответствующую подпись.

Основное свойство существования треугольника, равного данному:
IX. Каков бы ни был треугольник,   существует равный  ему треугольник в заданной полуплоскости

Самостоятельная работа:
                         I вариант
  1.   Известно, что треугольник MNL  равен треугольнику  PQR,   MN=3см,   ML=4см,  NL=5см. Каковы длины сторон треугольника PQR

2. Треугольник АВС равен треугольнику  DEF, угол Е=30°, угол  D=60°, угол  F=90°. Чему равен каждый из углов треугольника АВС?
                       IIвариант
Известно, что треугольник АВС равен треугольнику  DEF,  EF=5см,   DF=3см,   DE= 7см. Каковы длины сторон треугольника АВС?

Треугольник MNL  равен треугольнику PQR,   угол M=70⁄°,  угол L=30°,  угол N= 80°. Чему равен каждый из углов треугольника PQR?
Рефлексия
-   «Я» :  как я работал: допускал ли ошибки?
-    «Мы» : насколько мне помогали одноклассники, учитель? А я  - им?
-    «Дело»: понял ли материал? Узнал ли больше?
-    я ставлю себе за урок оценку…
-    мне понравилось на уроке…
-    мне не понравилось на уроке...


title: Презентация на тему: Сумма углов треугольника 8 класс

text:
Сумма углов треугольника
Урок геометрии в 8 классе
ГБС(К)ОУ № 115  г. Самара
Учитель математики:
 Никитенко Ольга Александровна
30.11.2012
Цели урока:
Изучить утверждение о сумме углов треугольника и формировать навык его использования при нахождении неизвестных углов треугольника.
Треугольник

три       угла

Какие бывают углы?
  АСВ – острый (<90°)
(  С,   ВСА)

   ХУZ – прямой (=90°)

   KNM – тупой (>90° и <180°)

Транспортир –
transporto (лат.) «переношу»

инструмент для постороения и измерения углов

АСВ=120 °
Алгоритм измерения угловс помощью транспортира
– Совместите центр транспортира с вершиной угла и стороной угла так, чтобы луч прошел через метку на транспортире 0° (180°).

– Определите, через какую отметку на транспортире проходит второй луч. (Правильно выберите числовой ряд!)

– Измерьте угол. Если транспортир наложен на угол, то нужно воспользоваться рядом чисел, начинающихся с 0°.
Виды треугольников по величине углов

прямоугольный
остроугольный
тупоугольный
Чему равна сумма углов треугольника?
1+   2+  3=…
С помощью транспортира измерьте величину каждого угла и вычислите сумму всех углов треугольника

      1=
      2=
      3=

1
2
3
=180°
Исследование
Вырежь из бумаги произвольный треугольник и выполни его перегибания, как показано на рисунке.
Чему равна сумма углов треугольника?
 - развернутому углу, т.е. 180°

Вывод:

Сумма углов треугольника равна 180°

Как найти угол А, если известны углы В и С?
Как найти один из углов треугольника, если известны два других?
Можно ли найти неизвестный угол треугольника, если дан только один угол?
Могут ли в треугольнике быть два прямых угла?
А два тупых угла?
Может ли угол при вершине равнобедренного треугольника быть тупым?
А углы при при основании?
Как найти угол при основании равнобедренного треугольника, если известен угол при вершине?
А как найти угол при вершине равнобедренного треугольника, если известен угол при основании?
Ответьте на вопросы

?

?

?
?

?
?

?

?
№1199  Найдите углы треугольника
      1=180° -100°=80°
      2=180°-110°=70°
      3=180°-(80°+70°)=
        =30°

Ответ: 80 °,70°, 30°.

100
110
°
°
1
2
3
Заполните таблицу, получите имя древнегреческого ученого

Таблица возможных ответов
Е
в
к
л
и
д
Евклид (3 в. до н. э) – древнегреческий математик

«К геометрии нет царской дороги»

Главный труд - «Начала»
(15 книг)

Путь познания увлекателен, но не усыпан розами.
Спасибо за внимание.


title: Презентация на тему: Сущность и применение производной

text:
Подготовка к ЕГЭ
Тема урока: «Производная и её применение»
Цель урока:
Рассмотреть применение геометрического смысла производной в заданиях ЕГЭ.
Совершенствовать базовые навыки КИМ экзамена.
Воспитывать умение анализировать, оценивать свою деятельность.

Сырок стоит 7 руб. 40 коп. Какое наибольшее число сырков можно купить на 70 рублей?
Проверка
7 руб 40 коп=7,4 руб
70:7,4≈ 9,45…
Ответ: 9 сырков.
Магазин закупает цветочные горшки по
оптовой цене 100 рублей  за штуку.
Торговая наценка составляет 15%. Какое
наибольшее число таких горшков можно
купить в этом магазине на 1300 рублей?
Проверка
100руб -100%
1 руб -1 %
15 руб -15 %
100руб+15руб=115руб

1300:115 ≈11,30…
Ответ: 11 штук
Первый посев семян петрушки рекомендуется проводить в апреле при
дневной температуре воздуха не менее + 6° С. На рисунке показан прогноз
 дневной температуры воздуха в первых трех неделях апреля. Определите,
в течение скольких дней за этот период можно производить посев петрушки.

S=6
S=10

1) (15+25):16 =2,5 ( ч)
2) (19+17):18 =2 (ч)
3) (12+33):20 =2,25 (ч)

Преобразование тригонометрических
выражений с помощью Формул  приведения

ЗНАНИЕ ТЕОРИИ ОБЯЗАТЕЛЬНО!!!
Геометрический смысл производной
f '(x₀) = tg α = к
}

значение производной в точке  Х₀

}

тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси ОХ

угловой коэффициент касательной

Примеры применения
   На рисунке изображен график функции y=f(x)    и касательная к нему в точке с абсциссой  x0. Найдите значение производной в точке x0.

- тупой
tg α<0  f '(x0)<0
tg α = - tg β

tg α = - 3/2 =
= - 1,5 = f '(x0)

Найдите значение производной
функции в точке касания

ОТВЕТ
Составить уравнение касательной, проходящей через начало координат и точку с абсциссой равной 8.
  . На рисунке изображен график функции y=f(x)    и касательная к нему в точке с абсциссой  x0. Найдите значение производной в точке x0.
  = 0
tg α = 0
f '(x0) = 0
Касательная
параллельна
оси ОХ.

На рисунке изображен график производной функции . Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна графику функции у=10 или совпадает с ней.
f '(x₀) = к

Абсцисса равна
-1

На рисунке изображен график производной функции . Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна прямой у=3х-7 или совпадает с ней.
Показать (6)

убывает
возрастает
экстремумы
По графику производной функции
определите наименьшее из тех значений
х, в которых функция у = f(x)  имеет минимум.

По графику производной функции
определите сумму абсцисс точек
экстремумов функции у = f(x)

По графику производной функции
определите значение х, при котором функция
у = f(x) принимает наименьшее значение

-7
7

на отрезке [-7;   7]
Единственная точка  минимума

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них.
Рефлексия
2 – неуверенность
5 – интерес
7 – удовлетворение
9 – безразличие

Домашнее задание:
Выполнить задание на карточках, опираясь на выполненные в классной работе
Спасибо за урок,дети!


title: Презентация на тему: Свойства четырехугольников

text:
A
B
C
D
AB II CD
BC II AD
A
B
C
D
AB=CD
BC=AD
A=
C
B=
D
A
B
C
D
O
AO=OC

BO=OD
A
B
C
D
AB=CD
BC=AD
A=
C
B=
D
O
AO=OC

BO=OD
A
B
C
D
AB=CD
BC=AD
A=
C
B=
D
O
AO=OC

BO=OD
A
B
C
D
AB=CD
BC=AD
A=
C
B=
D
O
AO=OC

BO=OD
A
B
C
D

A
B
A=
B
=90
D
C
A
B
C
D
A
B
C
D
A=
B
=90
A
B
C
D
A
B
C
D
A=
B
=90
A=
B=
C=
D=90
A
B
C
D
AC = BD
A
B
C
D
AB=BC=CD=AD
O
A
B
C
D
A
B
C
D
A=
B=
C=
D=90
A
B
C
D
BD
A
B
C
D
BD
A
B
C
D
A=
B=
C=
D=90


Презентация на тему: Свойства параллелепипеда


Презентация на тему: Свойства параллелограмма


title: Презентация на тему: Свойства призмы

text:
900igr.net
60
60
arccos 1/4


title: Презентация на тему: Свойства медиан в прямоугольном треугольнике

text:
2
1
1
D
1
1
4
D
1
1
2
D
a, b
sum:=kvm1+kvm2
kvc, sum
68
51
77
36
84
13
m12+m22
c2
b
a
52
39
60
25
63
16
m12+m22
c2
b
a
9
38
2
39
25
30
m12+m22
c2
b
a
9031
7225
68
51
9031
7225
77
36
9031
7225
84
13
m12+m22
c2
b
a
5281
4225
52
39
5281
4225
60
25
5281
4225
63
16
m12+m22
c2
b
a
1906
1525
9
38
1906
1525
2
39
1906
1525
25
30
m12+m22
c2
b
a


Презентация на тему: Свойства производной. Построение графиков функций


title: Презентация на тему: Свойства равнобедренного

text:
D
Y


title: Презентация на тему: Свойства функции

text:
Свойства функции
Алгебра 9 класс
Составила учитель математики
МОУ СОШ  № 31 г Краснодара
Шеремета И.В.
Свойства функции
Монотонность
  Возрастающая
Функцию  у = f(х)  называют       возрастающей на множестве Х,  если для любых двух точек  х1  и х2  множества  Х,  таких, что х1 < х2,  выполняется неравенство
             f(х1) < f(х2).
Убывающая
Функцию  у = f(х)  называют убывающей на множестве  Х, если для любых двух точек
х1 и х2  множества  Х, таких, что х1 < х2, выполняется неравенство
              f(х1) >f(х2).
x1
x2

f(x1)
f(x2)

х1
x2

f(x2)
f(x1)
Свойства функции

Наибольшее и наименьшее значения
Число m называют наименьшим значением функции
у = f(х) на множестве Х, если:
в Х существует такая точка х0, что f(х0) = m.
для всех х из Х выполняется неравенство
                             f(х) ≥ f(х0).

Число M называют наибольшим значением функции
у = f(х) на множестве Х, если:
в Х существует такая точка х0, что f(х0) = M.
для всех х из Х выполняется неравенство
                           f(х) ≤ f(х0).
Свойства функции

Непрерывность
Непрерывность функции на промежутке Х означает, что график функции на промежутке Х сплошной, т.е. не имеет проколов и скачков.

Задание:  Определите, на каком из рисунков изображен график непрерывной функции.
Свойства функции

1
2
подумай
правильно

Свойства функции
ЧЕТНОСТЬ

Говорят, что множество  Х  симметрично относительно начала
координат, если множество  Х  таково, что (- х)  Х  при любом  х  Х.
Четная функция
Нечетная функция
Функция y = f(x) называется четной, если область ее определения есть множество, симметричное относительно начала координат, и если   f (-x) = f (x) при любом х  Х.  Четная функция симметрична относительно оси ординат.
Функция y = f(x) называется четной, если область ее определения есть множество, симметричное относительно начала координат, и если  f (-x) = f (x) при любом х  Х.  Нечетная функция симметрична относительно начала координат.

        Выпуклость
Функция выпукла вниз на промежутке Х, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.

Функция выпукла вверх на промежутке Х, если соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.

Свойства функции

Ограниченность
Функцию у = f(х) называют ограниченной снизу на множестве Х, если все значения функции на множестве Х больше некоторого числа.
Функцию у = f(х) называют ограниченной сверху на множестве Х, если все значения функции на множестве Х  меньше некоторого числа.
х
у
х
у

Свойства функции

Алгоритм описания свойств функций
Область определения
Область значений
Четность
Монотонность
Непрерывность
Ограниченность
Наибольшее и наименьшее значения
Нули функции
Выпуклость
Свойства функции

Опишите свойства функций:
у= kx + m             –  линейная функция
у = kx2                           –  квадратичная функция
у = k/x                  –  обратная пропорциональность
у =
у = | х |
у = ах2 + bх + с   –  квадратичная функция
Свойства функции

Свойства функции    y = kx + m  (k ≠ 0)
 D(f) = (-∞; +∞);
E(f) = (-∞; +∞);
ни четная, ни нечетная;
возрастает при   k > 0,
           убывает при       k < 0;
        непрерывная
        не ограничена ни снизу, ни сверху;
нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
        y = 0, при
       о выпуклости говорить не имеет смысла.
Свойства функции
k > 0

k < 0

                 при k < 0
    D(f) = (-∞, +∞);
    Е(f) = (-∞, 0];
     четная
    убывает на луче [0,+∞),
       возрастает на луче   (-∞, 0];
 непрерывна;
 не ограничена снизу, ограничена сверху;
 унаиб  = 0, унаим  не существует;
    y = 0 при х = 0
    выпукла вверх.
                 при k > 0
    D(f) = (-∞, +∞);
    E(f) = [0, +∞);
    четная;
    убывает на луче (-∞, 0],
       возрастает на луче [0, +∞);
непрерывна;
ограничена снизу,  не ограничена сверху;
унаиб не существует, унаим = 0;
    y = 0 при х = 0
    выпукла вниз.
Свойства функции    у = kх2
Свойства функции

                 при k > 0
  D(f) = (-∞,0)U(0, +∞);
  Е(f) = (-∞,0)U(0,+∞);
  четная
  убывает на луче (-∞,0) и на
     луче (0,+∞);
  нет ни наименьшего, ни
     наибольшего значений;
  непрерывна на луче (-∞,0) и
     на луче (0,+∞);
  выпукла вверх при х < 0 и
     выпукла вниз при х > 0;
  ограничена ни сверху при х < 0,
     ограничена снизу при х > 0;
  с осями координат не пересекается.
Свойства функции
Свойства функции

                  при k < 0
  D(f) = (-∞,0)U(0, +∞);
  Е(f) = (-∞,0)U(0,+∞);
  четная
  возрастает на луче (-∞,0) и на
     луче (0,+∞);
  нет ни наименьшего, ни
     наибольшего значений;
  непрерывна на луче (-∞,0) и
     на луче (0,+∞);
  выпукла вверх при х > 0 и
     выпукла вниз при х < 0;
  ограничена ни сверху при х >0,
     ограничена снизу при х < 0;
  с осями координат не пересекается.
      Функция
D(f) = [0,+∞);
Е(f) = [0, +∞);
ни четная, ни нечетная;
возрастает на всей области определения;
непрерывна;
ограничена снизу;
унаим = 0, унаиб = не существует;
у = 0 при х = 0;
выпукла вверх.

Свойства функции

y
x

       Функция  у = |х|
D(f) = (-∞,+∞);
Е(f) = [0, +∞);
четная;
убывает на луче (-∞,0], возрастает на луче [0, +∞);
непрерывна;
ограничена снизу, не ограничена сверху;
унаим = 0, унаиб = не существует;
у = 0 при х = 0;
можно считать выпуклой вниз.

Свойства функции

             Функция у = ах2 + bх + с
              при  а > 0

   D(f) = (-∞, +∞);
   Е(f) = [у0 ; +∞)
  убывает на луче                    ,

     возрастает на луче                     ;
ограничена снизу;
унаим = у0, унаиб не существует;
непрерывна;
выпукла вниз;

Свойства функции

          при  а < 0

   D(f) = (-∞, +∞);
   Е(f) = (-∞; у0 ]
  убывает на луче                    ,

     возрастает на луче                     ;
ограничена сверху;
унаим  не существует, унаиб = у0;
непрерывна;
выпукла вверх.


title: Презентация на тему: Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника (8 класс)

text:
Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника
8 класс
 Найти: 1) sinA,

2) cоsA,
3) tg  A

Ответ:
sin A=
Ответ:
соsA=
tg  A=
Дано:  АВСD – трапеция, АВ = 16 см,
           ВАD = 30, СDА = 45
Найти:  ВК и МD.
    Ответ:
ВК=МD=8см
ЗНАЧЕНИЕ СИНУСА, КОСИНУСА И ТАНГЕНСА ДЛЯ УГЛОВ 30о, 45о И 60о
Значения синуса, косинуса и тангенса угла 30° .
    Так как катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы, то

    Но

   Значит,

   Из основного тригонометрического тождества получаем

  По 2-му тождеству находим

В
С
А

30°
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС:
ﮮА=30°, ﮮВ=60°
60°

Значения синуса, косинуса и тангенса угла 60°.
    Так как катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы, то

    Или

   Значит,

   Из основного тригонометрического тождества получаем

   По 2-му тождеству находим

В
С
А

30°
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС:
ﮮА=30°, ﮮВ=60°
60°

Значения синуса, косинуса и тангенса угла 45°.
    По теореме Пифагора
   АВ2= АС2+ ВС2 = 2 АС2 = 2 ВС2,

    откуда

    Следовательно,

С

45°
Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник АВС: АС=ВС,
ﮮА=45°, ﮮВ=45°
45°

А
В
30

sin 

45
60
 cоs 
 tg 

1
1
2
3

1
Найти: АВ
Найти: ВС
Дано: Δ АВС (С=90), АК- биссектриса А,
           САК=15, АС=

Ответ:АВ=20 см

Ответ:ВС=10 см

Задача № 1.
Дано: АВСD- квадрат, АС = 8 см
Найти: АВ
Задача № 2.
Задача № 3.
Найти: AD
Дано: АВСD-трапеция,
ВС = 60 см, ВН = 12 см, А =D = 60
     Ответ:
  AD =

Домашнее задание:

1

5
2
3
4

2
3

Найти: АВ

1
18

5
2
3
4

2
3

Найти: АС
Дано: ВК=9 см

1

6
5
2
3
4

2
3

Найти: МN
1

А
В
С

А
В
С


Презентация на тему: Свойства прямоугольного параллелепипеда


title: Презентация на тему: Свойства равнобедренного треугольника

text:
M
N
S
K
2
4
5
5
5
3
2
2
3
S
Z
R
L
D
R
S
N
D
200
420
360
1000


text:
B
N
M
O


title: Презентация на тему: Свойства и признаки равнобедренного треугольника

text:
5klass.net
http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/7383a655-0dac-11dc-8314-0800200c9a66/index.htm
http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/7383a654-0dac-11dc-8314-0800200c9a66/index.htm
A
B
K
1
A
K
B
C
2
C
B
A
K
3
1
2
 3
A
K
B
E
C
4
A
K
B
5
B
C
A
K
6
4
5
6
300
D


Презентация на тему: Свойства трапеции


text:
http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/7383a655-0dac-11dc-8314-0800200c9a66/index.htm
http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/7383a654-0dac-11dc-8314-0800200c9a66/index.htm
A
B
K
1
A
K
B
C
2
C
B
A
K
3
1
2
 3
A
K
B
E
C
4
A
K
B
5
B
C
A
K
6
4
5
6
300
D


Презентация на тему: Свойства пирамиды с равными боковыми ребрами


Презентация на тему: Свойства треугольника


Презентация на тему: Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей


title: Презентация на тему: Свойства прямоугольных треугольников

text:
70º
B
C
D
A
B
C
60º
30º
D
A
B
C
30º
A
B
C
30º
12
?
B
A
C
B
A
C
14
28
?
1
2
3
4
5
1
2
3
  4
5
1
2
3
 4
5


text:
900igr.net
!
1
2
!
1
2
3
4
67
?
?
100
?
?
1.
2.
3.
1
2=106
D
D


Презентация на тему: Свойство точек биссектрисы угла


title: Презентация на тему: Свойство и признак описанного четырёхугольника

text:
3
1
2
4
5
6
7
AB + CD
AD + BC
(
AK
+
KB
)
+
(
CM
+
MD
)
(
AN
+
ND
)
+
(
BL
+
LC
)
=
AN
(
+
BL
)
+
(
ND
+
LC
)
AK
=
AN
,
KB
=
BL
,
CM
=
LC
,
MD
=
ND
.
=
=
A
B
C
D
5 M
3 M
8 M
? M
5 + 8 = x + 3
A
B
C
D
A
B
C
D
K
AD = 5
AB + DC = AD + BC
A
B
C
D
O
DB
3.

3
3
2
2
1
1


title: Презентация на тему: Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника

text:
25. 01
900igr.net
1
2
3
4
5
D
?
?
D
1
2
D
1
2
3
4
D
?
?
?
?
2)
1)


text:
D
E
B
D
A
C
H
M
A
B
1
2
D
4
3
A
D
B
A
B
D


title: Презентация на тему: Свойства и признаки прямоугольных треугольников

text:
 2006
 2007
 2008
2003
2010
 2011
 2009
 2006
 2007
 2008
2003
2010
 2011
 2009


title: Презентация на тему: Свойство углов треугольника

text:
B
A
C
E
F
D
N
M
K
N
AB=AC
MN=MK=NK

         h

           a

       S=(a×h):2
A
B
C
42°
?°
A
B
C
?°
64°
79°
55°
?
B
C
A
87°
36°
?
B
C
A
A
B
C
42°
?°
A
B
C
?°
64°
79°
55°
?
B
C
A
87°
36°
?
B
C
A


Презентация на тему: Таблицы по геометрии


title: Презентация на тему: Свойство скрещивающихся рёбер правильной треугольной пирамиды

text:
B
A
C
D
B
A
C
D
B
A
C
D
T
N
B
A
C
D
T
N


title: Презентация на тему: Свойства параллелограмма

text:
Свойства параллелограмма

Найдите периметр параллелограмма

Найдите неизвестные углы


Презентация на тему: Танграм


title: Презентация на тему: Свойство биссектрисы угла треугольника

text:
СВОЙСТВО
БИССЕКТРИСЫ УГЛА
ТРЕУГОЛЬНИКА
Разинкова Т.Н.
специализированная школа № 6
г. Свердловск Луганской области
900igr.net
З А Д А Ч А  -  Т Е О Р Е М А
 СВОЙСТВО БИССЕКТРИСЫ ТРЕУГОЛЬНИКА
ДЕЛИТ  ПРОТИВОЛЕЖАЩУЮ  СТОРОНУ НА  ОТРЕЗКИ,
ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ  ПРИЛЕЖАЩИМ СТОРОНАМ
БИССЕКТРИСА  УГЛА ТРЕУГОЛЬНИКА
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
 Пусть в треугольнике A B C
Надо доказать, что

A
C
B

L
проведена биссектриса  C L
 Из точек A и B проводим перпендикуляры AM и BNк прямой C L  (к биссектрисе C L).
по двум углам

A
C
B

L
M
N
Δ A M C
Δ B N C
 AMC =  BNC = 90°,

Отсюда
 ACM =  BCN , поскольку C L   биссектриса  C.
В них:


повторим
по двум углам.

A
C
B

L
M
N
, так как
Δ B N C.
 ALM =  BLN как вертикальные.
Отсюда
  Δ A M L
Δ B N L

(1)
(2)
Из равенств (1) и (2)
получим:
 В них:  AML =  BNL = 90°,

Δ A M C


что и требовалось доказать.


Презентация на тему: Такая известная теорема Пифагора


title: Презентация на тему: Такая разная геометрия

text:
b
B
?


title: Презентация на тему: Тайна магического квадрата

text:
    4
    9
    2
    3
    5
    7
    8
     1
    6

    8+4+3
     7+6+2
     7+5+3
     6+5+4
  8+5+2
    8+6+1
  9+4+2
    9+5+1
   4
   9
   2
   3
   5
   7
   8
   1
   6
   4
   9
   2
   3
   5
   7
   8
   1
   6
      31.07.1997.
3+1+7+1+9+9+7=37.
3+7=10.
37-6=31.
 3+1=4.
 37+31=68,  10+4=14.
31.07.1997,37,10,31, 68,14.

           4

            99

           -

           333

           -

           777

          8

        11111

         6


text:
СВОЙСТВО
БИССЕКТРИСЫ УГЛА
ТРЕУГОЛЬНИКА
Разинкова Т.Н.
специализированная школа № 6
г. Свердловск Луганской области
З А Д А Ч А  -  Т Е О Р Е М А
 СВОЙСТВО БИССЕКТРИСЫ ТРЕУГОЛЬНИКА
ДЕЛИТ  ПРОТИВОЛЕЖАЩУЮ  СТОРОНУ НА  ОТРЕЗКИ,
ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ  ПРИЛЕЖАЩИМ СТОРОНАМ
БИССЕКТРИСА  УГЛА ТРЕУГОЛЬНИКА
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
 Пусть в треугольнике A B C
Надо доказать, что

A
C
B

L
проведена биссектриса  C L
 Из точек A и B проводим перпендикуляры AM и BNк прямой C L  (к биссектрисе C L).
по двум углам

A
C
B

L
M
N
Δ A M C
Δ B N C
 AMC =  BNC = 90°,

Отсюда
 ACM =  BCN , поскольку C L   биссектриса  C.
В них:


повторим
по двум углам.

A
C
B

L
M
N
, так как
Δ B N C.
 ALM =  BLN как вертикальные.
Отсюда
  Δ A M L
Δ B N L

(1)
(2)
Из равенств (1) и (2)
получим:
 В них:  AML =  BNL = 90°,

Δ A M C


что и требовалось доказать.


title: Презентация на тему: «Такая разная геометрия»

text:
b
B
?


title: Презентация на тему: Тела и поверхности вращения

text:
h
V = S  h
V = 1/3S  h
13
5


title: Презентация на тему: Свойство биссектрисы угла

text:
Замечательные точки треугольника. Урок 1. Свойство биссектрисы угла

Презентация выполнена учителем математики
 МБОУ СОШ № 22
Лисицыной Татьяной Петровной,
п. Пересыпь,
Темрюкский район,
Краснодарский край
Цели урока:
 Рассмотреть  теорему  о  свойстве  биссектрисы  угла  и  её следствие.

 Учить применять данные теоремы и следствие при решении задач.

Исторически геометрия начиналась с треугольника, поэтому вот уже два с половиной тысячелетия треугольник является символом геометрии.
Удивительно, но треугольник, несмотря на свою кажущуюся простоту, является неисчерпаемым объектом изучения - никто даже в наше время не осмелится сказать, что изучил и знает все свойства треугольника.

C каждым треугольником связаны четыре точки:

• точка пересечения медиан;
• точка пересечения биссектрис;
• точка пересечения серединных перпендикуляров;
• точка пересечения высот.

Эти четыре точки называют замечательными точками треугольника.
Почему они «Замечательные»?
Это нам и предстоит узнать.
Свойство биссектрисы
Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.

Обратно:

Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе.
Дано: <A, <1=<2,  M Є AD.        Доказать: MK=ML.
Доказательство:
1.Возьмём т. МЄAD.
2. Из т. М проведём МК и ML перпендикулярно AB и AC.
3. Рассмотрим Δ AKM и
 Δ AML.
4. Δ AKM = Δ AML,

           MK=ML

?
А
2
1
Следствие: Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
  1. Построим биссектрисы АА₁, BB₁, CC₁.
2. Обозначим точку O – точку пересечения биссектрис.
3. Проведём OK, OL и OM-перпендикуляры к сторонам Δ ABC
4. По теореме: OK=OM=OL
                      т. О Є СС₁
Следовательно,
все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

O
№ 676 б. Cтороны угла А, равного 90°, касаются окружности с центром О и радиусом r,  ОА = 14 дм. Найдите: r.
Решение:
Проведём радиусы OP и OH из центра окружности в точки касания.
OP      AP, OH      AH

3.   AO – биссектриса угла
4.   Δ AOP – прямоугольный.
По теореме Пифагора:
      AO²=OP²+AP²
       AO²=r²+r²,
       2r²=14²,     r=7√2.
 Ответ: r=7√2дм.

№678 а – дополнительно.
Оформить и решить самостоятельно.

Ответ:  46˚

Использованные  ресурсы:

1. Учебник «Геометрия 7-9»; авт: Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Э.Г.Позняк, И.И.Юдина. М., Просвещение, 2007г. 2. Рисунки треугольников:
http://www.google.ru/search?q=%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%BA%D0%B8+%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0&hl=ru&newwindow=1&prmd=imvns&tbm=isch&tbo=u&source=univ&sa=X&ei=_j5CT9zvLK_Q4QSShuyACA&ved=0CCIQsAQ&biw=1247&bih=864.


title: Презентация на тему: Техника Айрис фолдинг

text:
www.podelki.lifemammy.ru
www.podelki.lifemammy.ru
http://forum.knitting-info.ru/index.php?showtopic=7988&pid=535032&st=0&
http://forum.knitting-info.ru/index.php?showtopic=7988&pid=535032&st=0&


Презентация на тему: Тела Платона


Презентация на тему: Тела, вещества


title: Презентация на тему: «Танграм»

text:
t
t
q
p
Sq = 1
p
S = 1
ST = 2
S = 4
S = 2


title: Презентация на тему: Тела вращения

text:
h
r
C
K
d
D
O
m
K
h
h
13
8
6
5
5
1.
B
R


title: Презентация на тему: Свойство описанного четырехугольника

text:
Геометрия 8класс
Учитель Бужан Л.В.
Тест
Тема «Свойство описанного четырехугольника».
Теорема: В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
Дано: ABCD-описанный четырехугольник, AB,BC,CD,AD- касательные.
Доказать:AB+CD=BC+AD.
Доказательство:

№ 697.
S= ½*P*r
№ 698
Самостоятельная работа


title: Презентация на тему: Тела Платона

text:
3
3
4
6
4
3
4
6
12
8
4
3
8
12
6
3
5
12
30
20
5
3
20
30
12

4
4
6
2
8
6
12
2
6
8
12
2
20
12
30
2
12
20
30
2
.


Презентация на тему: Тела вращения


text:
Геометрия 8 классСвойства  параллелограмма(приложения к уроку)
Сокирко Светлана Петровна
учитель математики и физики
МОУ «СОШ №15 п. Березайка»
 Бологовского р.
Тверской обл.
Свойство 1.    В параллелограмме противоположные               стороны равны и противоположные углы равны.

А
С
В
D

1
2
3
4

Дано: ABCD - параллелограмм
Доказать:  1)  АВ = СD, BC = AD;
                         2)    A =    C,    B =    D
Доказательство: рассмотрим      ∆ ABCи ∆ADC,
                AC - общая,
           1 =    2  и     3 =     4   (как  накрест лежащие  углы)
∆ АВС = ∆ ADC (по 2-му признаку равенства треугольников)
Следовательно: АВ = СD, BC = AD;

1 +      4=    2 +     3 ,   т.е.         A =    C,      B =    D.

А
С
В
D

1
2
3
4

Повторите  доказательство теоремы  самостоятельно!
Решите задачи

1
M
N
P
K
7 см
4 см
Найдите периметр параллелограмма  MNPK

2

70
Найдите все углы параллелограмма  MNPK
АВ  СD,  ВD, AC – секущие
            1=    2 и     3=     4      (как  накрест лежащие  углы)
Свойство 2.    Диагонали параллелограмма точкой   пересечения делятся  пополам.

В
А
С
D

1
2

3
4
Дано: АВСD - параллелограмм
ВD       AC = O
Доказать: ВО = ОD, АО = ОС
Доказательство:
 рассмотрим    ∆ АОВ и ∆СОD,
Следовательно:  АО = ОС, ВО = ОD

             ∆ АОВ = ∆СОD (по 2-му признаку равенства треугольников)
O
 АВ = СD (противоположные стороны  параллелограмма,

В
А
С
D

1
2

3
4
O
Повторите  доказательство теоремы  самостоятельно!
Решите задачу.   В параллелограмме ABCD:   О – точка пересечения диагоналей, отрезок MK проходит через эту точку.

1
A
B
C
D
2
Докажите, что ∆ OMB = ∆ OKD
O
K
M

Литература
 Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов и др. Геометрия 7-9
 Н. Ф. Гаврилова.  Поурочные разработки по геометрии: 8 класс. M.: ВАКО, 2004. – 288с. – (В помощь школьному учителю)
 Мельникова Н. Б., Лепихова М. Тематический контроль по геометрии. 8 кл. - М.: Интеллект-Центр. 2007.


title: Презентация на тему: Тела вращения

text:
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Made by Mk-Unique


title: Презентация на тему: Свойства углов треугольника

text:
Тема: «Сумма углов треугольника»
Геометрия 7 класс
Цели урока:
     1.   Закрепить и проверить знания  учащихся по теме : «Свойство
            углов  образованных при пересечении  двух параллельных
            прямых     третьей и признаки  параллельности прямых».

      2.  Открыть и доказать свойство  углов треугольника.

      3.  Применить свойство при решении  простейших задач.

      4.  Использовать  исторический материал для развития
           познавательной активности  учащихся.

      5.  Прививать навык аккуратности при построении чертежей.

П л а н     у р о к а:
1.  Самостоятельная работа.
2. Практическая работа. (Подготовка к изучения  нового материала).
3. Доказательство  теоремы о сумме углов  треугольника. (несколько способов).
4. Решение задач .(При решении используется теорема).

                 Л  и  т   е   р   а   т  у   р  а:
Газеты «Математика».
«Путешествие в историю математики, или как люди учились считать». Авт. Александр Свечников «Педагогика» -пресс.
«Физика и астрономия» - учебник физики 7 класс авт. Пинский.
Советский  энциклопедический  словарь М.1989 г.
«История математики в школе» IV-VI классы
          М. «Просвещение»   1981г. авт. Г.И. Глейзер.
Девиз:
« В споре
        рождается
                 истина »
Учитель Киселева О.А.
I.Повторение  и проверка знаний по теме: «Параллельные прямые»

                   В

                             Р    К
   М   О

    А                              С

       M                             N

К                                О
Укажите: а)пару Внутренних накрестлежащих углов(в.н.у.)         б)внутренних односторонних углов (в.од.у.)

2) Определите, какие стороны у четырехугольников параллельны. Ответ обоснуйте.

          С                                      Д
                   45º
             47 º

                                46 º
                          45 º
В                                      Е

            Д                              F
                    104 º
                                   76 º

          76 º
  А                                Н
3) Найдите Все углы, если аllс
<1=78 º

в
         1
      2       4
             3
                                5
                              6      8
                                     7
           а                   с
    <6=115 º

                 2   1        а
                                      4
                             3
                             с
                 6    5
                              8
                     7
                            в

4) Найдите углы α и β при а ll b и секущей  с, если

                                                    с

                                                                               а
                                                        α

                                  β

                                         в

  α › β в 5 раз                            α › β на 44º

5) Найдите  углы ∆АВС,              Найти < 3   и  < 4  ∆МNK,
если  m||АС                                                         если  NC||MK

                                  В               m                                             N                             c
               60˚   1      3       2    50˚                                                    3        1    50˚

                4                      5                                                           2    60 ˚             4
А                                                      С                              M                                              K

Устная работа
Вопросы:
1. Сформулируйте определение параллельных прямых.

2. Признаки параллельности прямых.

3. Свойства в.н.углов и в. од. углов при параллельных прямых и секущей.

4.Решить задачи №5 из самостоятельной работы.

Историческая справка.
1.Определение параллельных прямых - Евклид (III век до н.э.), в трудах «Начала»
    «Параллельные суть прямые, которые находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно ни с той, ни с другой стороны между собой не встречаются».
2.Посидоний (I век до н.э.)
    «Две прямые, лежащие в одной плоскости,     равноотстоящие  друг от друга»
3.Древнегреческий учёный Папп (вторая половина III века до н.э.) ввёл символ параллельности прямых =. Впоследствии английский экономист Рикардо (1772- 1823) этот символ использовал как знак равенства. Только в 18 веке стали использовать символ ||.

                 Открытие свойств          углов треугольника.
Древние греки на основе наблюдений и из практического опыта делали выводы, высказывали свои предположения – гипотезы
   (Hypotesis – основание, предположение)
     а затем на встречах учёных – симпозиумах
   (symposium- буквально пиршество, совещание по какому-либо научному вопросу)
   эти гипотезы пытались обосновать и доказать. В то время сложилось утверждение : «В споре              рождается истина»
Гипотеза о сумме углов треугольника.Практическая работа.
Используя транспортир определите , чему равна сумма углов треугольника. (Используйте модели всех видов треугольников).

Определите, какой угол получится, если его составить из углов треугольника. Чему равна его градусная мера? (Используйте модели всех видов треугольников).

I. Сумма углов треугольника равна 180˚.
II. Углы треугольника вместе образуют  развернутый   угол.

Можно ли быть  уверенным в том , что в каждом треугольнике сумма углов равна 180˚?

2.   Можно ли  измерить углы любого треугольника?

ВЫВОДЫ
ВОПРОСЫ


title: Презентация на тему: Тела вращения

text:
R
h
R
R
5h
R
h
R
h
2R
h
h
h
2R
2R
S - ?
l
l
R
R
 r = l
R
l
3R
2l
3
10
3
l
2
16
l
12
z
y
x
R
r
d
z
y
x
R
z
y
x
6


Презентация на тему: Тени


title: Презентация на тему: Тела вращения. Сфера и шар

text:
x
z
y
0
 R2=(x-x1)2+(y-y1)2+(z-z1)2
z
y
x
O
C
R
y
x
z
C
z
y
x
C
O
O
          2   2
d<R,r= R-d
d=R
d>R


Презентация на тему: Тела вращения. Объём цилиндра. Объём конуса


title: Презентация на тему: Тела вращения. Цилиндр

text:
3

10
     C
     S

  r
 d

D
ABCD
N1
N
B
A1
B1
A


Презентация на тему: Сжатие(растяжение) графика вдоль оси ординат


Презентация на тему: Теорема Фалеса и следствия из неё


title: Презентация на тему: Теорема Фалеса 8 класс

text:
A
B
C
M
D
N
1
2
3
4
BN = NC
l
1
l
2
A
1
A
2
A
3
A
4
B
1
B
2
B
3
B
4
A
1
A
2
A
2
A
3
A
3
A
4
=
=
1
2
2
3
3
4
=
=
?
?
?
l
1
l
2
A
1
A
2
A
3
A
4
B
1
B
2
B
3
B
4
A
1
A
2
A
2
A
3
A
3
A
4
=
=
1
2
2
3
3
4
=
=
?
?
?
l
l
1
||
l
1
D
A
1
A
2
B
1
C
=
A
2
A
1
B
1
C
A
2
A
3
=
A
3
A
2
CD
A
1
A
2
=
A
2
A
3
1
=
l
1
l
2
A
1
A
2
A
3
A
4
B
1
B
2
B
3
B
4
A
1
A
2
A
2
A
3
A
3
A
4
=
=
1
2
2
3
3
4
=
=
?
?
?
l
D
1
=
1
3
CB  || DB
2
3
1
2
2
3
=
2
3
3
4
=


title: Презентация на тему: Теорема эйлера

text:
4
6
4
5
8
5
5
9
6
6
12
8
n+1
2n
n+1
n+2
3n
2n


Презентация на тему: Тела вращения вокруг нас


title: Презентация на тему: «Теорема Фалеса» 8 класс

text:
5klass.net
D
5
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
.
N
D
1
2
3
4
F
E
D
A
B
C
E
F
4
5
12
A
A1
A2
A3
A4
B1
B2
B3
B4
N
D
O
D
10
D
N
M
d1
d2
a
D


title: Презентация на тему: Теорема Фалеса

text:
A
B
D
C
O
A
B
C
D
B
C
D
E
BE || CD


title: Презентация на тему: Теорема косинусов

text:
?
?
1
2
3
3
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
b
300, 450, 600
N
F
5
4
600
Q
M
A
6
6
1500
4
750
600
H
P
D
1350
3


title: Презентация на тему: Теорема Фалеса

text:
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level

Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level

Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level

Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level

Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level

Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level


Презентация на тему: Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости


title: Презентация на тему: Теорема косинусов для треугольника

text:
900igr.net
;


title: Презентация на тему: Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника

text:
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
1
2
3
2
1
D


Презентация на тему: Теорема, обратная теореме Пифагора


Презентация на тему: Теорема косинусов


title: Презентация на тему: Свойства равнобедренного треугольника

text:
A
B
C
K
A
B
C
H
A
B
C
K
A
B
C
H
C
A
B
H
A
B
C
1)
N
D
C
E
2)
3)
K
M
L
1
2
3
4
5
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
D
3
4


title: Презентация на тему: Теорема об отрезках пересекающих хорд

text:
BE > DE
 BE<DE

800
400
 500
1300
 370
530
900
 400
800
400
 120 0
 1200
 D
C
.
 D
 C
B
1
 2
E
 D
.
Q
http://www.absolute-kazakstan.kz/mebel/school/doska/6.jpg


title: Презентация на тему: Теорема о трех перпендикулярах в задачах

text:
D
M
D
A
C
M
A
N
3
4
M
A
B
C
D
A
B
C
M
S
O
A
B
C
D
S
O
B
C
D


title: Презентация на тему: Теорема о сумме углов треугольника

text:
                                                                                1  +    2  +   3= 1800

1). 3+5+10=18
2).180º :18=10º
3).10º *3=30º
4).10º *5=50º
5).10º *10=100º
E                   F

    X                L
                K

M        N        C

A         O        B
1
2
5
4
4
3
1
2
4
3
5
6
//
                                                                                1  +    2  +   3= 1800

1). 3+5+10=18
2).180º :18=10º
3).10º *3=30º
4).10º *5=50º
5).10º *10=100º
                                                                                1  +    2  +   3= 1800

1). 3+5+10=18
2).180º :18=10º
3).10º *3=30º
4).10º *5=50º
5).10º *10=100º
                                                                                1  +    2  +   3= 1800

1). 3+5+10=18
2).180º :18=10º
3).10º *3=30º
4).10º *5=50º
5).10º *10=100º


title: Презентация на тему: «Теорема о трех перпендикулярах»

text:
O
C1
D1
B1
A1
D
C
B
A
A
D
C
B
K
B
A
C
a
b
M
F
E
B
A
C
P
M
K
O
D
C
B
A
B
A
C
D
K
P
O
B
A
C
M
M1
K
T
B
B
A
C
D
M
B
A
C
D
M
O
C
B
A
M
N
A
N
A
B
C
D
O
M
K
L
15
8
17
A
B
C
P
5
13
300
12
10
4
2
A
M
D
C
B
9
16
A
B
C
M
O
6
8
10
4,5
7,5
A
B
C
D
M
A
B
C
D
M
A
B
C
M
20
15
5
25
12
13
M
A
D
C
B
O
K
B
C
A
D
D1
C1
2a
a


text:
A
B
C
A
B
C
m
A
B
C
m
A
B
C
m
A
B
C
m


Презентация на тему: Теорема невесты


title: Презентация на тему: Теорема о трех перпендикулярах


title: Презентация на тему: Теорема о трех перпендикулярах (10 класс)

text:
a II
a
b
a   b
a
a
D
AD   AB
AD   AM
DC  BC
DC   CM
D
K
CD   DK
BC  BA
BC   BK
6
7
9
?
D
4
F
 8
AD   AF
DC  BC
DC   FC
D
4
F
 8
AC  BO
AC   FO
O
D
F
D
A
B
C
F
4,5
8
6
D
F
D
F
600
F
R
H
F
F
FH
D
AC   MD
9
10
13
a
A
O
1200
300
300
d


title: Презентация на тему: Теорема о вписанном угле

text:
5klass.net
1
2
3
4


text:
D
D
C
D
b
A1
D
D
D
C
E
c
D
D
A
b
a
C
B
D
E
A
b
a
C
B
D
E
ABCD
D
E
C
b
B
a
O
ABCD
D
E
C
b
B
a
O


title: Презентация на тему: «Теорема Пифагора (2)»

text:
a
b
c


title: Презентация на тему: Свойство точек биссектрисы угла

text:
Свойство точек
             биссектрисы угла.
Основополагающий вопрос
 -  Как расположены точки биссектрисы угла от его сторон?

 - Какой фигурой будет геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла?
Проблемный вопрос
- Где будут находиться точки, равноудалённые от сторон угла?

- Возможно ли что точки, одинаково удаленные от сторон угла находятся на его биссектрисе?
?    ?    ?
- Может никакой фигуры не получится?
- Все точки будут беспорядочно «скакать» и мы не сможем опрелелить фигуру?
- А зачем это нужно исследовать?
- Чем эти знания могут нам помочь в дальнейшем?
План работы
 Построить модель угла прямого, тупого, острого.
С помощью транспортира провести биссектрису углов.
Проделать отверстия на биссектрисе.
Через дырочки протянить нить с грузиком.

Подготовительный этап.
Построить модель угла прямого, тупого, острого.
С помощью транспортира провести биссектрису углов.
Проделать отверстия на биссектрисе.
Через дырочки протянуть нить с грузиком.

Попробуй выполнить модель как на рисунке

Как можно однозначно определить расстояние от точки до прямой?
Выбери длину нити и соедини её с точкой на стороне угла. Сколько таких точек можно указать?

Сколько таких точек можно указать?

Как найти единственную точку?

Вывод
Точки биссектрисы угла ………………………………………………………….


title: Презентация на тему: Тайна египетского треугольника

text:
Тайна
египетского
треугольника
Учитель математики
ГБОУ школы № 44
Сироткина Е.А.
Священные числа Египта
3
4
5
3
4
5
Пирамиды Египта
Пирамида Хеопса
Пирамида Хефрена
Пирамида Менкаура
Молекула
воды
Геометрия и размеры молекулы воды для различных состоянийа - для парообразного состоянияб - для низшего колебательного уровняв - для уровня, близкого к образованию кристалла льда, когда геометрия молекулы воды соответствует геометрии двух египетских треугольников с соотношением сторон 3 : 4 : 5г - для состояния льда.
Кристалл
льда


Презентация на тему: Теорема Пифагора


text:
http://aida.ucoz.ru
http://aida.ucoz.ru
1
2
2
1
=
+
2
D
+
D
http://aida.ucoz.ru
N
M
F
N
M
F
http://aida.ucoz.ru
D
http://aida.ucoz.ru


title: Презентация на тему: Теорема Пифагора

text:
2
3
D
D
b
b
a
a+b
BD=
D 16
17
17
487


text:
4
3
2
1


title: Презентация на тему: Теорема Пифагора

text:
c
a
a
c
a
c
a
c


title: Презентация на тему: Теорема о вписанном угле 8 класс

text:
N
2)
360°:9=40°
50°
40°
D
25°
20°
1.
2.
3.
4.
D
D
 1
2
D
+
D
-
N
N
F
E
N
C
115°
43°
115°
43°
D
D
1
2


title: Презентация на тему: «Теорема Пифагора»

text:
2
3
D
D
b
b
a
a+b
BD=
D 16
17
17
487


title: Презентация на тему: Теорема Пифагора

text:
a
b
c


title: Презентация на тему: Теорема Пифагора

text:
900igr.net
c
a
a
c
a
c
a
c


title: Презентация на тему: Теорема Пифагора

text:
B
A
D
C
A
B
A
C
B
C1
A1
B1


Презентация на тему: Теорема Пифагора.


title: Презентация на тему: Теорема Пифагора

text:
c² = a² + b²
b
a
b
b
c² = a²+ b²
2
1
N
12
13
F
1
P
R
3
5
3
4
1
1


title: Презентация на тему: Тела вращения. Объемы и площади их поверхностей

text:
Тела вращения. Объемы и площади их поверхностей.
Учащиеся 11 класса Дюбайло Александр и Чеботарёва Юлия
Учитель Шибаева Людмила Александровна
ГБОУ  СОШ №1359

Тела вращения
Тела вращения — объёмные тела, полученные при вращении плоской фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости.
К телам вращения относят: шар, цилиндр, конус и тор.

Примеры:
Шар — образован полукругом, вращающимся вокруг диаметра
Цилиндр — образован прямоугольником, вращающимся вокруг одной из сторон
Конус — образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов
Тор — образован окружностью, вращающейся вокруг прямой, не пересекающей его.

Цилиндр
Цилиндр - геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её.  Часть поверхности цилиндра, ограниченная цилиндрической поверхностью называется боковой поверхностью цилиндра. Другая часть, ограниченная параллельными плоскостями - основания цилиндра.
Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет прямоугольник. Осевым сечением называется сечение, которое проходит через ось цилиндра.

Конус
Конус - тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Конус - это тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.
Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса. В частности, равнобедренным треугольником является осевое сечение конуса
 Шар
Шар - геометрическое тело; множество всех точек пространства, которые находятся на расстоянии не большем заданного от центра. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара. Поверхность шара называется сферой.
Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.
Площади боковых поверхностей
Sб.п.ц.= 2   RH

Sб.п.к.=   RL
Sб.п.к  =
Объемы тел вращения
Объем Шара:

Vш=

Объем Шарового Сегмента:
Объем шарового сектора
Заключение
Закончить тему можно веселым стихотворением, которое поможет запомнить две объемные формулы:

Поверхность шара знать я рад: 4  на R2 ,
Объём шаров слетает с губ:   4/3   R3


text:
Теорема Пифагора. Теорема, обратная теореме Пифагора
Учитель математики ГБОУ СОШ № 827 г. Москвы

Васильева Надежда Витальевна

Ответьте на следующие вопросы:
Что такое треугольник?
Какой треугольник называется прямоугольным?
Чему равна сумма двух острых углов прямоугольного треугольника?
Как называются стороны прямоугольного треугольника?
Как называется большая сторона прямоугольного треугольника?
Как найти площадь прямоугольного треугольника, если известны длины его катетов?

Сформулируйте теорему Пифагора.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

А
В
С
Задача 1.
Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 40. Найдите гипотенузу.

А
В
С
АС = 9
СВ = 40
Задача 2.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 29. Один из его катетов равен 21. Найдите другой катет.

А
В
С
АВ = 29
СВ = 21

 Теорема, обратная теореме Пифагора.
Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный

А
В
С

Треугольник АВС прямоугольный
А
В
С

b = 8
c = 10
a = 6
 № 498 (а).
 Самостоятельная работа
 Домашнее задание


title: Презентация на тему: Теорема косинусов. Следствия из теоремы косинусов

text:
Теорема косинусов.Следствия из теоремы косинусов.

Проверка домашнего задания.
№1
Определите вид треугольника заданного своим сторонами 17, 8,15.
Решение:
Наибольший угол лежит против стороны, равной 17, то по следствию из теоремы косинусов:

Треугольник прямоугольный.
Ответ: треугольник прямоугольный.
№ 2
Найдите сторону АВ в треугольнике АВС, если АС=0,6, ВС=     , ∠С=150о.
Решение :
По теореме косинусов:
АВ2=0,62  + (       )2 - 2∙ 0, 6∙       ∙                     ,

АВ2=0,9975
АВ=
Ответ :

Проверка домашнего задания.

№3
Найдите сторону АС равнобедренного треугольника АВС , если АВ=ВС=4 и медиана АД равна 3.
Решение:
∆АВД:
Следствие из т. косинусов:

∆АВС:
Т. косинусов :
АС2=42 +42 -2∙4∙4∙        =10
АС=
Ответ:

С
А
Д
в
Найдите медиану треугольникаАВС с известными сторонами а, в, с.

    Отложим отрезок ДК=ВД на продолжении медианы. АВСК – параллелограмм (по признаку). Применим следствие из теоремы косинусов для параллелограмма АВСК:
       ВК2+АС2=2АВ2+2ВС2
       Значит, (2mв)²+ в2=2с2+2а2 или
       4mв2=2с2+2а2- в2

В
с
а
mв=

mс=

mа=

Найдите сторону АС равнобедренного треугольника АВС , если АВ=ВС=4 и медиана АД равна 3.
АД2 =

 32 =

36=32-16+2 АС2
АС2=10
АС=
 Ответ :

Найдите сторону треугольника с известными медианами.
    Применим следствие из теоремы косинусов для параллелограмма АОСО₁  :
    ОО1 2+АС2=2АО2+2ОС2
(  mв )2 + в2=2(  ma)2+2(  mс)2

А
С
В₁
С₁
А₁
О
О₁
В

в=

а=
с=

Отложим отрезок  О₁В₁ =ОВ₁
АОСО₁ - параллелограмм
( по признаку).
Сторона треугольника равна 20, а медианы , проведенные к другим сторонам равны 18 и 24 соответственно. Найдите третью медиану треугольника.

АС2=

400=     (2∙3²6²+2                         )
        =2∙6²(9+16)-900=
=2∙30²-900=900
ВВ 1=30
Ответ: 30.

Дано:
АС=20
АА₁ и ВВ₁ и СС₁ - медианы
АА₁=24
СС₁=18
Найти: ВВ₁.
Найдите площадь остроугольного треугольника АВС, если известно, что угол ВАС = 45о, АВ=4      , а медиана АМ=         .
Решение:
Отложим отрезок МД=АМ и достроим до параллелограмма.
АВДС параллелограмм по признаку.
    АВД=135о,
    АВД:
АД2=АВ2+ВД2-2АВ ВД                 (по теореме косинусов)
116=32+ВД2 +8ВД
ВД2+8ВД-84=0
ВД=6
ВД=АС

S=                               =12.

Ответ: 12.

А
С
В
М

45о
Д

Дано:
   АВС
АВ=4
АМ=
Угол А=45°
Найти: S.

Домашнее задание.
Найдите площадь треугольника, если две стороны его соответственно равны 27 и 29, а медиана проведенная к третьей стороне равна 26.
Найдите площадь остроугольного треугольника АВС, если известно, что АВ=6    ,       а медиана АМ=                              .
Докажите, что

Математика, правильно понятая, обладает не только истинной, но и величайшей красотой.
Бертран Рёссель


title: Презентация на тему: Теорема о трёх перпендикулярах. Чертежи к решению некоторых задач

text:
Теорема о трёх перпендикулярахЧертежи к решению некоторых задач
Подготовил учащийся группы a 2-11 курс II«Колледж сервиса и туризма»
Бессонов Олег
А
Н
П-Р

М

Теорема о трех перпендикулярах.
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
Н-я

А
Н
П-Р

М

Обратная теорема.
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.
Н-я

П-я 1

D
А
Через вершину А прямоугольника АВСD проведена прямая АК, перпендикулярная к плоскости прямоугольника. Известно, что КD = 6 см, КВ = 7 см, КС = 9 см. Найдите:
а) расстояние от точки К до плоскости прямоугольника АВСD;
б) расстояние между прямыми АК и СD.
С
В

K

Н-я 1
Н-я 2
П-я 2

№150.
КА – искомое расстояние
?
АD – общий перпендикуляр
АD – искомое расстояние

Найдем другие прямые углы…

В
Через вершину B квадрата АВСD проведена прямая ВF, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояния от точки F  до прямых, содержащих стороны и диагонали квадрата, если ВF = 8 дм,   АВ = 4 дм.
D
С
№152.
4
1) Расстояние от точки F до прямой АВ?

2) Расстояние от точки F до прямой ВС?

3) Расстояние от точки F до прямой АD?
П-я 1

Н-я 1

Н-я 2
П-я 2

А

4) … от точки F до прямой DC?

В
Через вершину B квадрата АВСD проведена прямая ВF, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояния от точки F  до прямых, содержащих стороны и диагонали квадрата, если ВF = 8 дм,   АВ = 4 дм.
D
С
№152.
4

П-я 1

Н-я 1

Н-я 2
П-я 2

Н-я 3
П-я3
О
5) Расстояние от точки F до прямой АС?

А

Дополнительная задача 1АВСК – квадрат со стороной √2. О- точка пересечения его диагоналей. ОЕ перпендикулярна плоскости АВСК. ОЕ= √3. Найти расстояния от точки Е до вершин квадрата.
Дополнительная задача 2 АВСК – квадрат со стороной 4 см. О- точка пересечения его диагоналей. ОМ перпендикулярна плоскости АВСК. ОМ= 1см. Найти расстояния от точки М до вершин квадрата.


title: Презентация на тему: Тела вращения

text:
Тела вращения
    Телом вращения называется такое тело, которое плоскостями, перпендикулярными некоторой прямой (оси вращения), пересекается по кругам с центрами на этой прямой.
Объём цилиндра
     Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Объём конуса
    Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Объём усечённого конуса
Вывод формулы для объёмов тел вращения
Объём шара
 Объём шара равен

Вывод формулы объёма шара

Шаровой сегмент
Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью.
Объём шарового сегмента
Объём шарового сегмента равен

Здесь R – радиус шара, а H – высота шарового сегмента.

Made by Mk-Unique


title: Презентация на тему: «Теорема Пифагора (3)»

text:
c
a
a
c
a
c
a
c


title: Презентация на тему: Теорема Пифагора

text:
Теорема Пифагора

A
B
C

Учитель математики
МОУ СОШ №9
Краснодарский край, с. Белая Глина
Старинская Любовь Викторовна

Prezentacii.com
Прямоугольный треугольник
Угол С = 90°

A
C
B
катет
катет
гипотенуза
Какой треугольник называется прямоугольным?
Как называются стороны,
Образующие прямой угол?
Как называется сторона,
лежащая напротив прямого
угла?
Задача
Дано:
ABCD- квадрат
Доказать:
TPKN- квадрат

A
B
C
D
T
P
K
N
a
a
a
a
b
b
b
b
Немного истории…
       Пифагор Самосский ( 570—490 гг. до н. э.) — древнегреческий философ и математик, создатель религиозно-философской школы пифагорейцев.
       Историю жизни Пифагора трудно отделить от легенд, представляющих его в качестве совершенного мудреца и великого посвящённого во все таинства греков и варваров. Ещё Геродот называл его «величайшим эллинским мудрецом».

         Школа была основана Пифагором в Кротоне (Южная Италия) и просуществовала до начала IV в. до н.э., хотя гонения на нее начались практически сразу после смерти Пифагора в 500 г. По сути, это была первая философская школа, религиозно-философское аристократическое братство; она имела большое влияние на греческие полисы Южной Италии и Сицилии.
         Союз отличался строгими обычаями и высокой нравственностью. Образ жизни пифагорейцев вошел в историю: как рассказывают легенды, учеников Школы всегда можно было узнать по их внешнему облику и благородному поведению.
         Пифагорейская школа положила начало математическим наукам. В пифагорейской школе начали развиваться астрономия и медицина.
Теорема Пифагора:
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

A
B
C
b
с
а
a²+b²=c²
Доказательство
     Достроим треугольник до квадрата со стороной a+b. Его площадь равна S=(a+b)²[1]

С другой стороны этот квадрат состоит из четырех равных треугольников
Sтр=1/2ab; 4Sтр=2ab

и квадрата со стороной с
Sкв=с²
Отсюда S=2ab+c² [2]

a
b
c
a
b
c
c
c
a
a
b
b
Из [1] и [2] получим
(a+b)²=2ab+c²
a²+ b²+2ab=2ab+c²
a²+b²=c²
Что и требовалось доказать.

Задача 1
AB²=AC²+CB²
AB²=4²+3²
AB²=25
AB=5

4
3
?
A
C
B
Задача 2
AB²=AC²+CB²
CB²=AB²-AC²
CB²=13²-12²
CB²=25
CB=5

A
C
B
13
12
?
Самостоятельная работавариант 1                       вариант 2
1 )треугольник  АВС  -прямоугольный. Найти АВ

2)ABCD-прямоугольник. Найти АС.

3)тр.АВС-равнобедренный,BD-высота,АС-основание.Найти АС,если BD =12, BA =13

.
1)треугольник АВС –
прямоугольный. Найти СВ.

2)ABCD-прямоугольник. Найти BA .

3) тр.АВС-равнобедренный, BD-высота, АС- основание. Найти АВ, если АС=20, BD=24.

C
A
B
A
D
B
C
A
B
C

D
C
A
B
A
B
C
D
A
B
C

D
20
15
4
3
6
10
10
8
Решение:
Вариант 1.
1)AB²=AC²+CB²
AB²=20²+15²
AB²=625
AB=25
2)ACD-прямоуг.
AC²=AD²+DC²
AC²=4²+3²
AC²=25
AC=5
3)ABD прямоуг.
AD²=AB²-BD²
AD²=13²-12²
AD²=25
AD=5
AC=2AD=2*5=10
Вариант 2
1)AB²=AC²+CB²
BC²=AB²-AC²
BC²=10²-6²
BC²=64
BC=8
2) BAD- прямоуг.
BA²=BD²-AD²
BA²=10²-8²
BA²=36
BA=6
3)AD=½AC=10
ABD прямоуг.
AB²=AD²+BD²
AB²=10²+24²
AB²=676
AB=26

Итог урока:
Сформулируйте теорему Пифагора,
Как найти катет прямоугольного треугольника, зная гипотенузу и другой катет.

Домашнее задание:
П. 54-читать,
 с.129 вопрос №8,
 №486
Источники материалов
http://www.univer.omsk.su/omsk/Edu/Math/ppifagor.jpg

2. http://www.abc-people.com/data/rafael-santi/pic-8b.jpg

3. Учебник «Геометрия» 7-9 кл., Атанасян Л.С., -М.: Просвещение.


title: Презентация на тему: Теорема Пифагора 9 класс

text:
d²=a²+b²

d2=2a2
h2=a2+(a/2)2;    h2=3a2/4;   h=?


title: Презентация на тему: Теорема Пифагора для треугольника

text:
a
b
c
b
c
B
a
1)

2)
3)
SABD = 1/2 S BJLD

SFBC=1/2 S ABFH


title: Презентация на тему: Теорема Пифагора

text:
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
a
b
c
c2 = a2 + b2
a
b
c
a
b
c
a
b
c
S2
a
b
c2 = a2 + b2
c
1)
D
P
K
N

3
3
3
6
10
6
30*
A
D
C
B
A
D
C
B


Презентация на тему: Теорема Пифагора. история, доказательства, применение


title: Презентация на тему: Теорема Пифагора доказательство

text:
b
b
a
a
c
c
a
b
c
a
b
D


Презентация на тему: Теорема Пифагора и способы ее доказательства


title: Презентация на тему: Теорема Пифагора, история, формулировка, доказательства

text:
c
a
a
c
a
c
a
c


Презентация на тему: Теорема Пифагора 7-9 класс


title: Презентация на тему: Теорема Пифагора. Обратная теорема. Решение задач

text:
       a
b

c
12
5
0
c
a
b-a
b
a
a
b
c
2
3
4
?
(b-a)2+4*1/2ab=c2


Презентация на тему: Теорема Пифагора. Приминение


title: Презентация на тему: Теорема синусов 9 класс

text:
b
a
c
A
B
a
sin A
b
sin B
c
sin C
=
=
a
sin A
b
sin B
c
sin C
=
=
b
a
c
A
B
58°
80
?
A
B
75°
75°
80
70
A
B
?
sin A
sin C
=
=
80
sin 75°
=
0,97
sin A
sin C
=
sin C
=
sin C
80
=
80
b
a
c
A
B
a
sin A
b
sin B
c
sin C
=
=
=
2R
R
O
b
a
c
A
B
R


Презентация на тему: Теорема Пифагора задачи


title: Презентация на тему: Теорема синусов

text:
20
2
5
1
< C
 < B
< A
c
b
a


title: Презентация на тему: Теорема Пифагора 8 класс

text:
900igr.net
H
8
5
4
4
3

a2

9

25

36

b2

16

144

64

25

169

100
a
a
b
c
b
b
a
b
a
a
b
a
a
a
b
b
b
a2
b2
c2 = a2 + b2
F
K
E
O
1
7
5
4
2
8
6
3
1
4
2
3
5
8
6
7
B
c
A
c
C
1/2 a b
a
c
b
c
1/2 a b
1/2 a b
1/2 a b
M
N
K
F
K
O
D
E
F
b
H
8
5
4
4
3
5
3:4:5

 b
d
  d


title: Презентация на тему: Теорема Пифагора и ее применение при решении задач

text:
D
D
D
D
b
600
?
2
3
4
?
6
16
17
20
24
5


title: Презентация на тему: Теорема Пифагора в картинках

text:
800
600
2
2
2
500
300
100
300
400
2
2
2
2
1,5
2
2
2
30
40
2
2
2
2
2
2
3,5
12,5
3,5
2
2
2
2
2
13
12
2
2
2
2
2
6
8
2
2
2
60
6
31
60
25
2
2
2
2
2
2


Презентация на тему: Теорема синусов


Презентация на тему: Теорема синусов для треугольника


title: Презентация на тему: Теорема Пифагора по геометрии

text:
900igr.net

4
3
5
?

?
125
117
?
4
3
?
2
www.1september.ru/ru
http://root/
//images.yandex.ru/yandsearch?
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
a
b
c

A
B
C
S = c2
a
S = a2


title: Презентация на тему: Теорема синусов и косинусов в задачах с практическим содержанием

text:
B
C
D
D
A


title: Презентация на тему: Теорема синусов и косинусов

text:
900igr.net
8
?
8
5
d=8
?
6
d=10
8
10
8
5
d=8
6
d=10
A
B
C
b
A
B
C
b
M
N
K
4
3
M
N
K
A
B
C
b


title: Презентация на тему: Теорема Пифагора для треугольника

text:
5klass.net
a
b
c
b
c
B
a
1)

2)
3)
SABD = 1/2 S BJLD

SFBC=1/2 S ABFH
c2 =a2 +b2
a
c
b
b
a
a
a
a
a
a
a
a
b
b
b
b
b
b
b
c
c
c
c
I
II
1
2
3
	S1=c2
S2=a2       S3 =b2
c2 =a2 +b2


title: Презентация на тему: Теоремы синусов и косинусов

text:
S - ?
8
6
30
S = 12
D
120
BD = 6, AC = 10  S - ?
S = 15
B
C
D
6
4
60
S - ?
S = 12
D
135
 AC = 12  S - ?
S = 36
D
120
CD = 5
B
C
D
8
4
60
4
6
60
(bcosA; bsinA)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2


Презентация на тему: Теоретические основы построения теней в ортогональных и аксонометрических проекциях. Тень точки, тени прямых линий


title: Презентация на тему: Теорема о трёх перпендикулярах.

text:
Работу выполнила учащаяся 11 класса
Селифонтова Яна
Руководитель Кореневская Н. В.
Теорема
о трёх перпендикулярах
МОУ «СОШ с. Бартеневка Ивантеевского
 района Саратовской области»
2010 г.
Номинация «Математика  в жизни»
ЦЕЛЬ:
Сформировать мышление, характерное
 для математической деятельности и
 необходимое человеку для жизни в
 современном обществе, для общей
 социальной ориентации и решения
практических проблем
Задачи:
изучить историю возникновения
теоремы ;
научиться решать основные
 задачи на применение ТТП;
составить тест для поверки
знаний.
Имеющая большое значение в
 настоящее время, теорема о трех
 перпендикулярах в «Началах» Евклида
 не содержится. Она была доказана
 математиками Ближнего и Среднего
 Востока: ее доказательство имеется в
 «Трактате о полном четырехстороннике»
 Насир ад-Дина ат-Туси и в
тригонометрическом трактате его
 анонимного предшественника.

В Европе эта теорема была
впервые сформулирована Луи
Бертраном (1731—1812) и доказана
 в «Элементах геометрии»
 Лежандра (1794).
           Доказательство Лежандра
воспроизведено в учебнике Киселева.

     Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её  проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

а
А
Н
М
α
Дано:
НМ
а
а Є α
АМ - наклонная
^

Теорема о трёх перпендикулярах

а
А
Н
М
α

     Обратная теорема:
      Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к её проекции.
прямая, …
наклонная
проекция
перпендикуляр
Решение задач

Теорема о трех перпендикулярах

Теорема о трех перпендикулярах
  (задачи на построение)

Теорема о трех перпендикулярах
 (задачи на вычисление)

Свойство точки,  равноудаленной
 от сторон многоугольника.

Тест

   Через вершину D прямоугольника ABCD проведен к его плоскости перпендикуляр DК.
  Докажите, что

A
B
C
D
K

1.1.1
1.2.2
1.3.2
1.4.3

    Отрезок DМ является высотой параллелограмма АВСD. DK— перпендикуляр к плоскости параллелограмма.
    Докажите, что КМ ≤ КX, где Х произвольная точка отрезка АВ.

A
B
C
D
K
M
X

1.1.1
1.2.2
1.3.2
1.4.3

    К плоскости прямоугольной трапеции АВСD проведены равные перпендикуляры АР и DМ.    DАВ=      АВС =90°,  DК    ВС
     Докажите, что прямые РВ и МК параллельны.

A
B
C
D
P
M
K

1.1.1
1.2.2
1.3.2
1.4.3

 К плоскости правильного шестиугольника АВСDЕF проведен перпендикуляр DМ.  Докажите перпендикулярность прямых:
1)АВ и МВ; 2)АF и МF.

1.1.1
1.2.2
1.3.2
1.4.3

B
А
F
E
D
C

М

1200
300

         Отрезок МА перпендикулярен плоскости равнобедренного треугольника АВС. АВ = АС. Проведите через точку М перпендикуляр к прямой ВС.

B
С
А
М

2.1.1
2.2.1
2.3.2
2.4.2
2.5.3

          Отрезок МD перпендикулярен плоскости прямоугольника АВСD. Проведите через точку М перпендикуляры к прямым ВС и АВ

B
А
С
М
D

2.1.1
2.2.1
2.3.2
2.4.2
2.5.3

        Отрезок МА перпендикулярен плоскости ромба АВСD. Проведите через точку М перпендикуляр к прямой ВD.

A
B
C
D
M

2.1.1
2.2.1
2.3.2
2.4.2
2.5.3

        Отрезок МN перпендикулярен плоскости прямоугольного треугольника АВС (точка N лежит на гипотенузе АВ). Проведите через точку М перпендикуляры к прямым АС и ВС.

A
C
B
N
M

2.1.1
2.2.1
2.3.2
2.4.2
2.5.3

       Отрезок МС перпендикулярен плоскости прямоугольной трапеции АВСD. (   В—прямой). Проведите через точку М перпендикуляры к прямым АВ и АD.

B
C
M
D
A

2.1.1
2.2.1
2.3.2
2.4.2
2.5.3

          Через точку О пересечения диагоналей квадрата АВСD проведен к его плоскости перпендикуляр МО длиной 15 см.
         Найдите расстояние от точки М до сторон квадрата, если его сторона равна 16 см.

A
B
C
D
O
M
15 cм
16 cм

P
K
?
?

3.1.1
3.22
3.3.3

       Через точку О пересечения диагоналей ромба к его плоскости проведен перпендикуляр ОК длиной 5 см. Найдите расстояние от точки К до каждой стороны ромба, если диагонали ромба равны 40 см и 30 см.

A
B
C
D
K

5 cм
O
40 cм
30 cм

3.1.1
3.3.2
3.3.3

        Сторона ромба АВСD равна 2а,           = 600. Через сторону СD проведена плоскость       . Прямая АВ удалена от нее на а. Найдите:
1) длины проекций сторон ромба на плоскость     ;
2) расстояние между прямой DС и проекцией прямой АВ на плоскость      .

B
C
D
M
A
600
2 a
a

3.1.1
3.2.2
3.3.3
Точка М одинаково удалена от всех сторон квадрата АВСD. Расстояние от точки М до его плоскости равно 16 cм, АВ =24 см.
Найдите расстояние от точки М:
1) до сторон квадрата;
2) до вершин квадрата.

A
B
C
D
O
M
16 cм
24 cм

P
K
?
?

?

4.1.1
4.2.1
4.3.2
4.4.3

     Точка К удалена от каждой стороны правильного треугольника на 30 см, а от его плоскости — на 18 см.
Найдите:
1) длину радиуса окружности, вписанной в данный треугольник;
2) длину стороны треугольника.

B
С
A
K
N
M
O
18 cм
30 cм

4.1.1
4.2.1
4.3.2
4.4.3

    Точка М удалена от каждой стороны прямоугольного треугольника на 5 см.Его катеты равны 9 см и 12 см.
Найдите расстояние от точки М до плоскости треугольника.

A
B
C
M
О
9 cм
12 cм

4.1.1
4.2.1
4.3.2
4.4.3

Точка М одинаково удалена от всех сторон треугольника АВС, у которого АВ = 6 м, ВС =10 см, АС = 14 см. Расстояние от точки М до плоскости треугольника равно 1 см.
Найдите расстояние от точки М до сторон треугольника.

4.1.1
4.2.1
4.3.2
4.4.3

1 cм
10 cм
В
А
М
О
К
N
P
C
6 cм
14 cм
Тест
2
ВЕРНО!
1
3
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
1
AF         (ABC). ABC равносторонний.   Расстоянием от точки F до прямой ВС является отрезок
FК
FС
FМ

1
ВЕРНО!
2
3
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
2

Тест
FК
FС
FМ
AF         (ABC). ABC прямоугольный,                          . Расстоянием от точки F до прямой ВС является отрезок

2
ВЕРНО!
1
3
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
3
Тест
AF         (ABC). ABC тупоугольный,                       .    Расстоянием от точки F до прямой ВС является отрезок
FМ
FК
FС

ПОДУМАЙ!
3
2
1
ПОДУМАЙ!
ВЕРНО!
4
Тест
Из центра описанной окружности правильного треугольника АВС провели перпендикуляр DO, равный 8 см. Расстояние от точки  D до вершин треугольника АВС равно 10 см. Найдите расстояние от точки D до сторон треугольника

8 см
6 см
1
ВЕРНО!
2
3
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
5
Тест
В треугольнике АВС АС=СВ = 10 см,                 .  ВК  -перпендикуляр к плоскости треугольника и равен                  см. Найдите расстояние от точки К до АС.
15 см

10 см
12см
Дудницын Ю. , Кронгауз В., Геметрия. Карточки с заданиями для 10-го класса. Газета «Математика» приложение к газете «Первое сентября» № 2-6 1993
Учебник: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. «Геометрия 10-11».
http://www.it-n.ru/communities.aspx?cat_no=4262&lib_no=137635&tmpl=lib
Тестовая оболочка из мастерской Е.М. Савченко http://www.it-n.ru/communities.aspx?cat_no=4510&lib_no=130597&tmpl=lib


Презентация на тему: Теория построения сечений


title: Презентация на тему: Теорема Пифагора вне школьной программы

text:
C
B
A
A2+B2=C2
C
B
A
A2+B2=C2
C
B
A
A2+B2=C2


Презентация на тему: Термины по геометрии


title: Презентация на тему: Теоремы синусов и косинусов 9 класс

text:
8
?
8
5
d=8
?
6
d=10
8
10
8
5
d=8
6
d=10
A
B
C
b
A
B
C
b
M
N
K
4
3
M
N
K
A
B
C
b


title: Презентация на тему: Тест по теме: «Признаки параллельности прямых. Свойства параллельных прямых»

text:
150°
a
b
c
1
2
3
4
5
6
7
8
D
E
b
1
2
3
4
5
6
7
8
a
b
c
65°
125°


Презентация на тему: Тест, для проверки знаний по геометрии за 7-8кл


Презентация на тему: Тест по треугольникам и основным понятиям


title: Презентация на тему: ТЕСТ по теме «Параллельные прямые»

text:
n
k
m
n
m
k
2
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
1
2
d


Презентация на тему: Тетраэдр


title: Презентация на тему: «Тетраэдр»

text:
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Sixth level
Seventh level
Eighth level
Ninth level
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Sixth level
Seventh level
Eighth level
Ninth level
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Sixth level
Seventh level
Eighth level
Ninth level
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Sixth level
Seventh level
Eighth level
Ninth level
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Sixth level
Seventh level
Eighth level
Ninth level
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Sixth level
Seventh level
Eighth level
Ninth level
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D