text:
a
b
m
n
k
e
d
f
a         e
m        n
 f         c
b        d
a
b
1
2
3
4

1 =  150
2
3
4
2  =  30
3  =  150
4  =  30
1
2
3
1)                  3  =       4
2)                  4  =       1
3)                  3  =       1  =  25
4)                  2  =       3  =  25
4
D
E
105
75
140
110
70
95
a
b
a
b
c
c
d
d
1
2
2
3
4
5
1
3
4
5


title: Презентация на тему: Параллельность в пространстве

text:
b
h
h1
b1
k
k
b1
b2
h
 b1
 b
h
k.
b2
 a 2
b
h
h
h


title: Презентация на тему: Параллельность прямой и плоскости. Решение задач

text:
Урок 7 (8) Параллельность прямой и плоскости. Решение задач
Параллельность в пространстве
Параллельность прямых
Параллельность прямой и плоскости
Параллельность плоскостей
Теорема: Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

а
b

Дано: а, , ab
          а, b
Доказать: а
Доказательство:
По условию ab, b
Пусть а(по Лемме) b -W b  
а=(по определению) а
Следствие 1: Если плоскость проходит через данную прямую , параллельную другой плоскости и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой

Дано: а, , ,             а,
а,

Доказать: аb
Следствие 2: Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости
Дано: ab; a
Доказать:
1) b; 2)b
Решение задач с комментариями
№18 (б)
№20
№22
№26
Домашнее задание
П.6 №18 (а), 19, 21, 24, 28


title: Презентация на тему: Параллельность прямых 7 класс

text:
900igr.net
a
b
c
a
b
a
b
c
c
a
b
c
a
b
5
3
4
6
1
5
4
8
2
6
3
7
4
6
3
5
1
7
2
8
b
1
2
1
2
b
180°
1
2


title: Презентация на тему: Параллельность прямых и плоскостей 10 класс

text:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10


Презентация на тему: Параллельность прямых в пространстве


text:
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Sixth level
Seventh level
Eighth level
Ninth level
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Sixth level
Seventh level
Eighth level
Ninth level
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Sixth level
Seventh level
Eighth level
Ninth level
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Sixth level
Seventh level
Eighth level
Ninth level
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Sixth level
Seventh level
Eighth level
Ninth level
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Sixth level
Seventh level
Eighth level
Ninth level
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Sixth level
Seventh level
Eighth level
Ninth level
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Sixth level
Seventh level
Eighth level
Ninth level
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Sixth level
Seventh level
Eighth level
Ninth level
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Sixth level
Seventh level
Eighth level
Ninth level
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Sixth level
Seventh level
Eighth level
Ninth level
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Sixth level
Seventh level
Eighth level
Ninth level
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Sixth level
Seventh level
Eighth level
Ninth level
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Sixth level
Seventh level
Eighth level
Ninth level
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
B
C
D
B1
C1
D1
II
?
?
?
?
?
B
C
D
B1
C1
D1
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
A
B
D
C
N
M
Q


title: Презентация на тему: Параллельные прямые

text:
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4


title: Презентация на тему: Параллельные и перпендикулярные прямые

text:
  b  s
  n  p
  s  n
  b  n
  s  a
  b  a
AB       MN


title: Презентация на тему: Параллельность прямых и плоскостей

text:
C
D
B
F
A
M
E
F
C
A
B
C
M
C
A
B
M
P
K
F
D
c
a
b
b
b
D
D
K
K
D
b
c
b
b
M
M
b
b
D
d
K
N
D
b
D
b
D
B
D
C
B
D
C
B
D
C
B
D
C
B
D
C
B
D
C
D
b
b
O
b
b
b
O
5
4
3
6


text:
2.
?

1.
3.


title: Презентация на тему: Параллельные прямые 6 класс

text:
D
P
E

l
m
n
D
AB   CD


text:
900igr.net
d
d
AB // CD
a
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
1
2
1
2
3


title: Презентация на тему: Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых

text:
d
d
AB // CD
a
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
1
2
1
2
3


title: Презентация на тему: «Параллельность прямых и плоскостей»

text:
Г10.По готовому рисунку: а) докажите, что: KM║EF; б) найдите KM , если EF=8 см.

В
К
м
А
В
E
F

ABCD – трапеция, AD          ,  E и F – середины AB и CD соответственно. Докажите, что EF ǁ α.

α. α. α. α.

A
B
C
D
α
E
F

Через вершины А и С параллелограмма ABCD проведены параллельные прямые А1А  и  С1С, не лежащие в плоскости параллелограмма. Докажите параллельность плоскостей А1АВ  и  С1СD.

A
A1
B
C1
C
D
Концы двух пересекающихся отрезков AC и BD лежат на двух параллельных плоскостях, причем расстояния между точками одной плоскости равны. а) Докажите, что АВ ǁ CD; б) Один из углов четырехугольника ABCD равен         .   Найдите остальные углы.

А
В
С
D
O


title: Презентация на тему: Параллельные прямые 7 класс

text:
b
b
c
a
b
1
2
4
3
5
6
7
8


text:
a
b
a
b
a II b
1
2
3
< 1 = < 2 = < 3
a
b
m
900
900
a II b
A
B
C
D
L
M
N
K
M
b
a
b
c
550
A
B
C
D
O
P
M
K


text:
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
d
1100
700
1400
1
2
3
 300
300
1050
1
2
3
<1 + <2 =2400
1
2
600
600
n
m
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
M
N
K
1
2
1100
1080
1)
900
900
2)
1220
680
1200
1300
3)
4)
1
2
3
4
5
6
7
8
<3 = <6
<1 + <5 = 1800
<4 = <8
<8 + <5 = 1800

1
2
3
4
5
6
7
8
2
2
3
2
3
2
1,3
3


text:
900igr.net
n
k
m
n
m
k
2
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
1
2
d


text:
B
A
M
E
C
F
D
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
a
b
m
50°
130°
a
b
m
a
b
m
45°
45°
150°
150°
1
2
3
?
150°
150°
?
30°
?
150°
3
°
=
47
1
°
=
133
2
d
e
f
1
2
M
P
E
F
N
1
2
3
4
Q
M
N
P
1
2
3
4
1
2
M
N
D
P
F
3


text:
b
c
1
2
3
4
5
6
7
8
b
1
3
4
5
6
7
8
2
c
A
D
B
AB ll DC
b
a
c
d
1
2
3
4
A
M
N
MN ll BC
b
c
b
c
D
D
AB ll DC; AB = DC
b
a
c
B
C
b
c
D
M
N
O
MN ll AC
MN=AM+CN
A
B
C
D
F
DF ll CB
DF=FB
A
B
C
D
F
1
2
3
4
b
c
d
1
2
3
4
b
c
d
A
A1
1
2
b
c
1
2
a ll b
A
B
C
D
A
B
C
F
D
P
AB ll PD
A
C
D
F
B
A
F
B
D
1
2
A
A
D
A
B
C
D
E
F
M
K
AC ll DF,
DB ll EC
O
A
D
B
C
BC ll AD, AO=OD
A
B
N
F
D
C
K
AB ll DC, BC ll DN
A
B
D
C
1
2
3
AB ll DC, BC ll AD
A
D
C
B
1
2
3
4
AC ll DB, DC ll AD
A
E
D
B
C
T
AB ll TE, BC ll DE
A
B
E
C
D
A
B
C
D
E
F
M
A
D
C
B
F
M
A
D
F
C
B
A
B
C
D
A
D
1
2
3
A
B
C
D
N
AD ll CN
1
2
b
c
A
D
C
A
D
A
D
A
D
C
T
D
A
B
C
D
K
AB ll CD
A
B
E
N
C
D
1
2
KD ll AC
K
D
C
B
AD ll CK
A
A
B
C
D
M
AB ll DC
1
2
3
4
1
9
8
7
6
5
3
2
15
10
11
12
13
14
16
17
18
19
20
21
22
23
4
1
9
8
7
6
5
3
2
10
11
12
13
14
15
16
4
1
7
6
5
3
2
10
8
9
B
A
D
A
B
O
D
C


title: Презентация на тему: Параллельные прямые. Треугольники

text:
8
9
10
11
12
14
15
16
17
18
20
21
22
23
24
30
29
28
27
26
1
2
3
4
5
6
13
19
25
7
1.
600
1100
M
N
K
a
b
2.
a
c
b
d
450
1350
700
1
2
?
?
3.
700
1100
520
1
?
E
C
B
A
4.
680
1110
690
1
?
P
K
T
5.
320
480
1
?
D
K
C
M
A
B
N
6.
a
b
7.
M
A
B
N
420
?
8.
D
A
K
E
700
580
?
9.
M
B
10.
K
B
11.
C
B
D
12.
C
B
D
O
?
13.
C
B
D
E
K
200
300
1250
?
14.
P
M
K
5
600
300
N
15.
D
3
A
16.
a
b
4
5
2x-3
x
y
y-1
17.
B
C
A
4
D
16
18.
B
C
D
1
3
2
19.
B
C
8
D
6
5
10
20.
B
C
K
D
F
E
4
2
2
21.
8
B
C
M
12
27
18
22.
P
B
M
K
M1
K1
23.
B
C
M
D
F
24.
D
B
S
C
25.
C1
B
O
C
600
B1
26.
B
C
600
750
15
27.
C
D
E
600
28.
B
C
600
700
K
P
?
?
29.
B
4
C
P
30.
B
C
1200
O
12


title: Презентация на тему: Параллельность плоскостей

text:
Урок геометрии в 10 классе по теме «Параллельность плоскостей»
Учитель математики
ГОУ Гимназии № 1579
Ягодкина Е.Б.
5klass.net
«Параллельный мир -нечто, состоящее из слов и линий»

Помню снов тоску. Тогда перед зеркалом стоял и взгляд находил, растворял. Мысли бились друг о друга.Так, бильярдные шары у вечерней пустоты откалывают штукатурку звуков. Так, будильник-сфинкс равнодушно и угрюмо кожу чувств царапает, глотает. Но в молчанье свой предел. Всполохнутся мошки бликов, солнце-сердце растопит все снега. Это прошлое взбунтует и вздохнет уснувшая мечта.
Анатолий Кудрявцев
Две  плоскости  называются параллельными,  если  они  не  пересекаются.
Плоскости

Пересекаются
Параллельны

β
α

α || β

α ∩ β
Параллельные плоскости в природе
Если стоять спиной к водопаду, скалы образуют геометрически правильные параллельные плоскости
Параллельные плоскости в технике
Параллельные плоскости «летают»
Параллельные плоскости в быту

В своей сущности и основе геометрия –это пространственное воображение, пронизанное и организованное строгой логикой
В ней всегда присутствуют эти два неразрывно связанных элемента: наглядная картина и точная формулировка, строгий логический вывод.
Там, где нет одной из этих сторон, нет и подлинной геометрии.

Параллельные плоскости в искусстве
Д.Грин
«Мечты»
Силуэты мальчика расположены в параллельных плоскостях
Невозможные структуры Жос Де Мей.(Jos de Mey)
Жос де Мей (Jos de Mey) родился в 1928 году в Бельгии. Первые его работы были основаны на использовании различных математических законов и последовательностей, таких как ряд Фибоначчи и золотое сечение, но с 1976 года он с особой выразительностью стал использовать обман зрения, наряду с точным воспроизведением материалов и эффекта света и тени. Изображение невозможных фигур как таковых только увеличивает кажущуюся реалистичность.

Невозможные структуры Жос Де Мей.(Jos de Mey)
Часто на картинах Жоса де Мея изображена сова.
Эта птица в Голландии имеет двоякое значение, с одной стороны – она является символом теоретических знаний, а с другой стороны – совой голландцы называют человека, которые выглядит глупо.
Невозможные фигуры возможны!

Речной вокзал в Твери. Кстати, это место, где снимали несколько сцен фильма "Чучело". От этой пристани в финале фильма отходит пароход.Неправильно направленный на объект фотоаппарат сделал параллельные плоскости непараллельными
Две  плоскости  называются  параллельными,  если  они  не  пересекаются.
Плоскости

Пересекаются
Параллельны

β
α

α || β

α ∩ β
Признак параллельности плоскостейЕсли  две  пересекающиеся  прямые  одной  плоскости  соответственно  параллельны  двум  прямым  другой  плоскости,  то  эти  плоскости  параллельны.
  Дано:
а α; вα; а∩в=М;
а1  β; в1 β;
 а║а1; в║в1
Доказать,
что α || β

α
β
а
b
М
b1
а1
М1
Доказательство от противного

α
β
а
b
М
b1
а1
М1

с
а α; а1 β; а║а1а║β
 в  α; в1  β; в║в1в║β

Пусть  α ∩ β = с
Тогда
а || β, α ∩ β = с а || с.
b || β,  α ∩ β = сb || с.

а ∩ в=М; а║с; и в║са||b

Находим противоречие условию: через  точку  М  проходят две прямые а и b, параллельные прямой с.
Предположение α ∩ β = с - неверно
Какие теоремы мы использовали при доказательстве признака?
Задача № 51.(еще  один  признак параллельности)
Дано:  т ∩ п = К,  т Є α,  п Є α,
            т || β,  п || β.
Доказать:  α || β.
1)  Допустим,  что ___________

2)  Так  как  __________________,
      то  ______________________.
Получаем,  что
    ______________________________________________________.
Вывод:
α ∩ β = с
п || β,  т || β
т || с  и  п || с
через  точку  К  проходят  две  прямые  параллельные  прямой  с.
α || β
Задача № 53.
Дано: отрезки А1А2; В1В2; С1С2
О Є А1А2;  О Є В1В2;  О Є С1С2
А1О = ОА2;  В1О = ОВ2;  С1О = ОС2
Доказать:  А1В1С1 || А2В2С2

А1
В1
А2
В2
С2
С1

О

Задача № 53. Дано: отрезки А1А2, В1В2, С1С2 не лежат в одной плоскости и имеет общую середину - точку О. Доказать: А1В1С1║А2В2С2.
Доказательство:
А1А2, и В1В2 лежат в одной плоскости по следствию из А1 (через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна).
А1В1А2В2 - параллелограмм (диагонали четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам). Следовательно, А1В1║ А2В2
 Аналогично А1А2, и С1С2 лежат в одной плоскости. А1С1А2С2 - параллелограмм.
 Отсюда, А1С1 ║ А2С2
А1В1 ∩ А1С1 =А1; А2В2 ∩ А2С2 = А2.
По признаку параллельности плоскостей А1В1 С1║А2В2С2.

А1
В1
А2
В2
С2
С1

О

Задача № 54.
Дано: ΔАDС. М, К, Р - середины ВА, ВС, ВD соответственно. SADC = 48 см2.
Доказать: а) МРN║ АDС. б) Найти: SMNP.

М
Р
N
А
В
 D
C

Отвечаем на вопросы
Могут ли прямая и плоскость не иметь общих точек?
Верно ли, что если две прямые не пересекаются, то они параллельны?
Плоскости  и β параллельны, прямая m не лежит в плоскости . Верно ли, что прямая m параллельна плоскости β?
Верно ли, что если прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей, с другой плоскостью прямая а имеет одну общую точку?
Боковые стороны трапеции параллельны плоскости . Верно ли, что плоскость трапеции параллельна плоскости ?
Две стороны трапеции лежат в параллельных плоскостях. Могут ли эти стороны быть боковыми сторонами трапеции?
Верно ли, что плоскости параллельны, если  прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна другой  плоскости?
Верно ли, что линия пересечения двух плоскостей параллельна одной из этих плоскостей?
Верно ли, что любые четыре точки лежат в одной плоскости?
Верно ли, что если две стороны треугольника параллельны плоскости , то и третья сторона параллельна плоскости ?
Проверяем свою работу
Могут ли прямая и плоскость не иметь общих точек? Да
Верно ли, что если две прямые не пересекаются, то они параллельны? Нет
Плоскости  и β параллельны, прямая m не лежит в плоскости . Верно ли, что прямая m параллельна плоскости β? Да
Верно ли, что если прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей, с другой плоскостью прямая а имеет одну общую точку? Нет
Боковые стороны трапеции параллельны плоскости . Верно ли, что плоскость трапеции параллельна плоскости ? Да
Две стороны трапеции лежат в параллельных плоскостях. Могут ли эти стороны быть боковыми сторонами трапеции? Нет
Верно ли, что плоскости параллельны, если  прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна другой  плоскости? Нет
Верно ли, что линия пересечения двух плоскостей параллельна одной из этих плоскостей? Нет
Верно ли, что любые четыре точки лежат в одной плоскости? Нет
Верно ли, что если две стороны треугольника параллельны плоскости , то и третья сторона параллельна плоскости ? Да
Домашнее задание
П. 10, № 55, 56, 57.
Пояснения к домашнему заданию:
В № 55 запишите в тетрадь и разберите решение задачи, приведенное в учебнике.
Дополнительная задача:
Прямая а параллельна плоскости . Существует ли плоскость, проходящая через прямую а и параллельная плоскости . Если существует, то сколько таких плоскостей? Ответ обоснуйте.


title: Презентация на тему: Параллельные плоскости

text:
Параллельные  плоскости.

МОУ СОШ № 256
       г.Фокино

Prezented.Ru
Две  плоскости  называются  параллельными,  если  они  не  пересекаются.
Плоскости

Пересекаются
Параллельны

β
α

α || β

α ∩ β
Признак
параллельности
плоскостей.
Если  две  пересекающиеся  прямые  одной  плоскости  соответственно  параллельны  двум  прямым  другой  плоскости,  то  эти  плоскости  параллельны.
  Дано:  а ∩ b = М;  а Є α;  b Є α
           а1∩ b1 = М1;  а1Є β;  b1Є β
           a || a1;  b || b1
   Доказать:  α || β

α
β
а
b
М
b1
а1
М1
Если  две  пересекающиеся  прямые  одной  плоскости  соответственно  параллельны  двум  прямым  другой  плоскости,  то  эти  плоскости  параллельны.

Доказательство:   (от противного)
Пусть  α ∩ β = с
Тогда  а || β, т.к. a || a1, а1 Є β
    а Є α;  α ∩ β = с,  значит  а || с.
b || β, т.к. b || b1, b1 Є β
    b Є α  α ∩ β = с,  значит  b || с.
Имеем  а || b,  то  есть
    через  точку  М  проходят
    две  прямые  а  и  b,
    параллельные  прямой  с.
Получили  противоречие.  Значит,  α || β .

α
β
а
b
М
b1
а1
М1

с
По признаку параллельности  прямой  и  плоскости  а || β  и  b || β.
Задача № 51.(еще  один  признак параллельности)
Дано:  т ∩ п = К,  т Є α,  п Є α,
            т || β,  п || β.
Доказать:  α || β.
Самостоятельно!!!
Доказательство
от  противного…
Задача № 51.(еще  один  признак параллельности)
Дано:  т ∩ п = К,  т Є α,  п Є α,
            т || β,  п || β.
Доказать:  α || β.
1)  Допустим,  что ___________

2)  Так  как  __________________,
      то  ______________________.
Получаем,  что
    ______________________________________________________.
Вывод:
α ∩ β = с
п || β,  т || β
т || с  и  п || с
через  точку  К  проходят  две  прямые  параллельные  прямой  с.
α || β
Задача № 53.
Дано: отрезки А1А2; В1В2; С1С2
О Є А1А2;  О Є В1В2;  О Є С1С2
А1О = ОА2;  В1О = ОВ2;  С1О = ОС2
Доказать:  А1В1С1 || А2В2С2

А1
В1
А2
В2
С2
С1

О

Задача № 53.
Дано: отрезки А1А2; В1В2; С1С2
О Є А1А2;  О Є В1В2;  О Є С1С2
А1О = ОА2;  В1О = ОВ2;  С1О = ОС2
Доказать:  А1В1С1 || А2В2С2
В2
С1

А1
В1
А2
С2

О

Задача № 54.

М
Р
N
А
В
 D
C

Задача № 54.

М
Р
N
А
 D
C

В
Ответьте  на  вопросы:
Могут  ли  прямая  и  плоскость  не  иметь  общих  точек?
Верно  ли,  что  если  две  прямые  не  пересекаются,  то  они  параллельны?
Плоскости  α  и  β  параллельны,  прямая  т  лежит  в  плоскости  α.  Верно  ли,  что  прямая  т  параллельна  плоскости  β?
Верно  ли,  что  если  прямая  а  параллельна  одной  из  двух  параллельных  плоскостей,  с  другой  плоскостью  прямая  а  имеет  одну  общую  точку?
Верно  ли,  что  плоскости  параллельны,  если  прямая,  лежащая  в  одной  плоскости,  параллельна  другой  плоскости?

Да
Нет
Да
Нет
Нет
Prezented.Ru


title: Презентация на тему: Параллельность прямых и плоскостей в пространстве

text:
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСТКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ

ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Стереометрия – (от греч. «стереос»- «объемный», «пространственный») раздел геометрии, изучающий форму, размеры и взаимное расположение пространственных фигур.

Аксиомы стереометрии
1.) Аксиома выхода в пространство
2.)Аксиома плоскости
3.)Аксиома прямой
4.)Аксиома пересечения плоскостей

АКСИОМА ВЫХОДА В ПРОСТРАНСТВО
Аксиома : имеются 4 точки, не лежащие в одной плоскости.
АКСИОМА ПЛОСКОСТИ
Аксиома : через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, притом только одна.

АКСИОМА ПРЯМОЙ
Аксиома прямой : через любые две точки на плоскости можно провести только одну прямую.

АКСИОМА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПЛОСКОСТЕЙ
Аксиома : если две плоскости имеют общую точку, то их пересечением есть прямая, содержащая все общие точки.

СЛЕДСТВИЕ ИЗ АКСИОМЫ
10. Прямая, имеющая с плоскостью хотя бы две общие точки, целиком лежит в этой плоскости.
                                       Дано:α, А   α, В   α,
а, А   а, В   а.
Доказать: а  α
Доказательство:
СЛЕДСТВИЕ ИЗ АКСИОМЫ
20.Через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость.
СЛЕДСТВИЕ ИЗ АКСИОМЫ
30.Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

ПРЯМЫЕ. ПЛОСКОСТИ. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ
Опред.: две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.
СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ
1)Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной.
СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ
2)Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны друг другу.

3)Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая обязана ее пересечь.

СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
Опред.: прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.
ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
Теорема : Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
СЛЕДСТВИЕ ИЗ ТЕОРЕМЫ
10.Если плоскость проходит через данную прямую. Параллельную другой плоскости, и пересекают эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

СЛЕДСТВИЕ ИЗ ТЕОРЕМЫ
20.Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в данной плоскости.
СЛЕДСТВИЕ ИЗ ТЕОРЕМЫ
30. Если плоскость и прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельны некоторой прямой, также не лежащей в данной плоскости, (или плоскости) то они параллельны друг другу.
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ
Опред.: две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
Теорема : Если две пересекающиеся прямые в одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым в другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ
1)Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.
СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ
2)Если две плоскости параллельны третьей плоскости, то они параллельны и между собой.
3)Отрезки параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями, равны.
СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ


text:
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ.ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ.
900igr.net
Цели урока:
Ввести понятие параллельных плоскостей.
Сформулировать и доказать признак параллельности плоскостей.
Сформировать навыки применения  признака при решении задач.
2
Устная работа
Прямая пересекает две стороны треугольника. Лежит ли она в плоскости этого треугольника?
Сколько плоскостей можно провести через: три различные точки; две различные точки; через прямую и не лежащую на ней точку; через две параллельные прямые?
Средняя линия трапеции лежит в плоскости. Пересекают ли основания трапеции эту плоскость?
3
Стороны AB и BC параллелограмма ABCD пересекают некоторую плоскость. Докажите, что прямые AD и DC пересекают эту плоскость.
Прямая, не лежащая в плоскости параллелограмма, параллельна одной из его диагоналей. Каково взаимное расположение данной прямой и второй диагонали?

4
Параллельные плоскости в пространстве
5
Определение.    Две плоскости в пространстве называются параллельными, если
они не пересекаются.
6
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ
Признак параллельности плоскостей
7
	Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Решение задач
8
Являются ли параллельными плоскости ABC и B1C1D1, проходящие через вершины куба A…D1?
Ответ: Да.
Прямая m пересекает плоскость α в точке В.
Существует ли плоскость, проходящая через
прямую m и параллельная плоскости α?
9
α
В
m
Плоскости α и β параллельны, прямая m
лежит в плоскости α. Докажите, что прямая
m параллельна плоскости β.
10

α
β
m
Подведение итогов
Могут ли прямая и плоскость не иметь общих точек?
Верно ли, что если две прямые не пересекаются, то они параллельны?
Плоскости α и β параллельны, прямая m лежит в плоскости α. Верно ли, что прямая m параллельна плоскости β?
Верно ли, что если прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей, то с другой плоскостью прямая а имеет только одну общую точку?

11
Домашнее задание
п. 10, №51, №52, №53
12
СПАСИБО ЗА УРОК!


title: Презентация на тему: Параллельные прямые в пространстве

text:
A
C
D
1
a
1
a
A
B
C
D
O
90°
90°
90°
90°
A
B
C
H
90°
2
3
A
B
C
F
D
90°
90°
90°
4
A
B
C
D
5
A
B
C
D
10
6
A
B
C
D
PABCD
28
A
B
C
D
K
O
N
M
BD, AD, AK, BK
P
P1
Q
Q1
K
P1Q1
1
a
1
2
(
)
a
b
a
b
b
1
2
(
)
a
b
a
b
b
(
)
a
b
a
b
b
1
2
(
)
a
b
a
b
b
3
3
D
C
A
B
D1
C1
A1
B1
c    b
1
D
C
A
B
4
D
C
A
B
K
L
N
K1
L1
N1
c    b
.
.
.
5
6
7
5
D
C
A
B
5
6
7
5
1
2
(
)
a
b
a
b
b
(
)
a
b
a
b
b
3
D
C
A
B
D1
C1
A1
B1
c    b
4
D
C
A
B
K
L
N
K1
L1
N1
.
5
6
7
8
5
6
7
8


title: Презентация на тему: Параллельный перенос

text:
900igr.net
.
0
1
-1
0
-1
3


text:
M
M1
M
M1


title: Презентация на тему: Параллельность плоскостей 10 класс

text:
Урок геометрии в 10 классе по теме «Параллельность плоскостей»
Учитель математики
ГОУ Гимназии № 1579
Ягодкина Е.Б.
«Параллельный мир -нечто, состоящее из слов и линий»

Помню снов тоску. Тогда перед зеркалом стоял и взгляд находил, растворял. Мысли бились друг о друга.Так, бильярдные шары у вечерней пустоты откалывают штукатурку звуков. Так, будильник-сфинкс равнодушно и угрюмо кожу чувств царапает, глотает. Но в молчанье свой предел. Всполохнутся мошки бликов, солнце-сердце растопит все снега. Это прошлое взбунтует и вздохнет уснувшая мечта.
Анатолий Кудрявцев
Две  плоскости  называются параллельными,  если  они  не  пересекаются.
Плоскости

Пересекаются
Параллельны

β
α

α || β

α ∩ β
Параллельные плоскости в природе
Если стоять спиной к водопаду, скалы образуют геометрически правильные параллельные плоскости
Параллельные плоскости в технике
Параллельные плоскости «летают»
Параллельные плоскости в быту

В своей сущности и основе геометрия –это пространственное воображение, пронизанное и организованное строгой логикой
В ней всегда присутствуют эти два неразрывно связанных элемента: наглядная картина и точная формулировка, строгий логический вывод.
Там, где нет одной из этих сторон, нет и подлинной геометрии.

Параллельные плоскости в искусстве
Д.Грин
«Мечты»
Силуэты мальчика расположены в параллельных плоскостях
Невозможные структуры Жос Де Мей.(Jos de Mey)
Жос де Мей (Jos de Mey) родился в 1928 году в Бельгии. Первые его работы были основаны на использовании различных математических законов и последовательностей, таких как ряд Фибоначчи и золотое сечение, но с 1976 года он с особой выразительностью стал использовать обман зрения, наряду с точным воспроизведением материалов и эффекта света и тени. Изображение невозможных фигур как таковых только увеличивает кажущуюся реалистичность.

Невозможные структуры Жос Де Мей.(Jos de Mey)
Часто на картинах Жоса де Мея изображена сова.
Эта птица в Голландии имеет двоякое значение, с одной стороны – она является символом теоретических знаний, а с другой стороны – совой голландцы называют человека, которые выглядит глупо.
Невозможные фигуры возможны!

Речной вокзал в Твери. Кстати, это место, где снимали несколько сцен фильма "Чучело". От этой пристани в финале фильма отходит пароход.Неправильно направленный на объект фотоаппарат сделал параллельные плоскости непараллельными
Две  плоскости  называются  параллельными,  если  они  не  пересекаются.
Плоскости

Пересекаются
Параллельны

β
α

α || β

α ∩ β
Признак параллельности плоскостейЕсли  две  пересекающиеся  прямые  одной  плоскости  соответственно  параллельны  двум  прямым  другой  плоскости,  то  эти  плоскости  параллельны.
  Дано:
а α; вα; а∩в=М;
а1  β; в1 β;
 а║а1; в║в1
Доказать,
что α || β

α
β
а
b
М
b1
а1
М1
Доказательство от противного

α
β
а
b
М
b1
а1
М1

с
а α; а1 β; а║а1а║β
 в  α; в1  β; в║в1в║β

Пусть  α ∩ β = с
Тогда
а || β, α ∩ β = с а || с.
b || β,  α ∩ β = сb || с.

а ∩ в=М; а║с; и в║са||b

Находим противоречие условию: через  точку  М  проходят две прямые а и b, параллельные прямой с.
Предположение α ∩ β = с - неверно
Какие теоремы мы использовали при доказательстве признака?
Задача № 51.(еще  один  признак параллельности)
Дано:  т ∩ п = К,  т Є α,  п Є α,
            т || β,  п || β.
Доказать:  α || β.
1)  Допустим,  что ___________

2)  Так  как  __________________,
      то  ______________________.
Получаем,  что
    ______________________________________________________.
Вывод:
α ∩ β = с
п || β,  т || β
т || с  и  п || с
через  точку  К  проходят  две  прямые  параллельные  прямой  с.
α || β
Задача № 53.
Дано: отрезки А1А2; В1В2; С1С2
О Є А1А2;  О Є В1В2;  О Є С1С2
А1О = ОА2;  В1О = ОВ2;  С1О = ОС2
Доказать:  А1В1С1 || А2В2С2

А1
В1
А2
В2
С2
С1

О

Задача № 53. Дано: отрезки А1А2, В1В2, С1С2 не лежат в одной плоскости и имеет общую середину - точку О. Доказать: А1В1С1║А2В2С2.
Доказательство:
А1А2, и В1В2 лежат в одной плоскости по следствию из А1 (через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна).
А1В1А2В2 - параллелограмм (диагонали четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам). Следовательно, А1В1║ А2В2
 Аналогично А1А2, и С1С2 лежат в одной плоскости. А1С1А2С2 - параллелограмм.
 Отсюда, А1С1 ║ А2С2
А1В1 ∩ А1С1 =А1; А2В2 ∩ А2С2 = А2.
По признаку параллельности плоскостей А1В1 С1║А2В2С2.

А1
В1
А2
В2
С2
С1

О

Задача № 54.
Дано: ΔАDС. М, К, Р - середины ВА, ВС, ВD соответственно. SADC = 48 см2.
Доказать: а) МРN║ АDС. б) Найти: SMNP.

М
Р
N
А
В
 D
C

Отвечаем на вопросы
Могут ли прямая и плоскость не иметь общих точек?
Верно ли, что если две прямые не пересекаются, то они параллельны?
Плоскости  и β параллельны, прямая m не лежит в плоскости . Верно ли, что прямая m параллельна плоскости β?
Верно ли, что если прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей, с другой плоскостью прямая а имеет одну общую точку?
Боковые стороны трапеции параллельны плоскости . Верно ли, что плоскость трапеции параллельна плоскости ?
Две стороны трапеции лежат в параллельных плоскостях. Могут ли эти стороны быть боковыми сторонами трапеции?
Верно ли, что плоскости параллельны, если  прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна другой  плоскости?
Верно ли, что линия пересечения двух плоскостей параллельна одной из этих плоскостей?
Верно ли, что любые четыре точки лежат в одной плоскости?
Верно ли, что если две стороны треугольника параллельны плоскости , то и третья сторона параллельна плоскости ?
Проверяем свою работу
Могут ли прямая и плоскость не иметь общих точек? Да
Верно ли, что если две прямые не пересекаются, то они параллельны? Нет
Плоскости  и β параллельны, прямая m не лежит в плоскости . Верно ли, что прямая m параллельна плоскости β? Да
Верно ли, что если прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей, с другой плоскостью прямая а имеет одну общую точку? Нет
Боковые стороны трапеции параллельны плоскости . Верно ли, что плоскость трапеции параллельна плоскости ? Да
Две стороны трапеции лежат в параллельных плоскостях. Могут ли эти стороны быть боковыми сторонами трапеции? Нет
Верно ли, что плоскости параллельны, если  прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна другой  плоскости? Нет
Верно ли, что линия пересечения двух плоскостей параллельна одной из этих плоскостей? Нет
Верно ли, что любые четыре точки лежат в одной плоскости? Нет
Верно ли, что если две стороны треугольника параллельны плоскости , то и третья сторона параллельна плоскости ? Да
Домашнее задание
П. 10, № 55, 56, 57.
Пояснения к домашнему заданию:
В № 55 запишите в тетрадь и разберите решение задачи, приведенное в учебнике.
Дополнительная задача:
Прямая а параллельна плоскости . Существует ли плоскость, проходящая через прямую а и параллельная плоскости . Если существует, то сколько таких плоскостей? Ответ обоснуйте.


text:
0
6
6


text:
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Sixth level
Seventh level
Eighth level
Ninth level
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Sixth level
Seventh level
Eighth level
Ninth level
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Sixth level
Seventh level
Eighth level
Ninth level
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Sixth level
Seventh level
Eighth level
Ninth level
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Sixth level
Seventh level
Eighth level
Ninth level
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Sixth level
Seventh level
Eighth level
Ninth level
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Sixth level
Seventh level
Eighth level
Ninth level
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Sixth level
Seventh level
Eighth level
Ninth level
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Sixth level
Seventh level
Eighth level
Ninth level
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Sixth level
Seventh level
Eighth level
Ninth level
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Sixth level
Seventh level
Eighth level
Ninth level
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Sixth level
Seventh level
Eighth level
Ninth level
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Sixth level
Seventh level
Eighth level
Ninth level
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Sixth level
Seventh level
Eighth level
Ninth level
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
900igr.net
B
C
D
B1
C1
D1
II
?
?
?
?
?
B
C
D
B1
C1
D1
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
A
B
D
C
N
M
Q


title: Презентация на тему: Параллельный перенос в пространстве

text:
p
p
B1
B1


Презентация на тему: Параллелограмм


title: Презентация на тему: Параллельные плоскости. Признак параллельности плоскостей

text:
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ.ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ.
Цели урока:
Ввести понятие параллельных плоскостей.
Сформулировать и доказать признак параллельности плоскостей.
Сформировать навыки применения  признака при решении задач.
2
Устная работа
Прямая пересекает две стороны треугольника. Лежит ли она в плоскости этого треугольника?
Сколько плоскостей можно провести через: три различные точки; две различные точки; через прямую и не лежащую на ней точку; через две параллельные прямые?
Средняя линия трапеции лежит в плоскости. Пересекают ли основания трапеции эту плоскость?
3
Стороны AB и BC параллелограмма ABCD пересекают некоторую плоскость. Докажите, что прямые AD и DC пересекают эту плоскость.
Прямая, не лежащая в плоскости параллелограмма, параллельна одной из его диагоналей. Каково взаимное расположение данной прямой и второй диагонали?

4
Параллельные плоскости в пространстве
5
Определение.    Две плоскости в пространстве называются параллельными, если
они не пересекаются.
6
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ
Признак параллельности плоскостей
7
	Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Решение задач
8
Являются ли параллельными плоскости ABC и B1C1D1, проходящие через вершины куба A…D1?
Ответ: Да.
Прямая m пересекает плоскость α в точке В.
Существует ли плоскость, проходящая через
прямую m и параллельная плоскости α?
9
α
В
m
Плоскости α и β параллельны, прямая m
лежит в плоскости α. Докажите, что прямая
m параллельна плоскости β.
10

α
β
m
Подведение итогов
Могут ли прямая и плоскость не иметь общих точек?
Верно ли, что если две прямые не пересекаются, то они параллельны?
Плоскости α и β параллельны, прямая m лежит в плоскости α. Верно ли, что прямая m параллельна плоскости β?
Верно ли, что если прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей, то с другой плоскостью прямая а имеет только одну общую точку?

11
Домашнее задание
п. 10, №51, №52, №53
12
СПАСИБО ЗА УРОК!


title: Презентация на тему: Параллельны ли прямые

text:
a
b
a
b
a=b
[1]
[4]

bIIc
b
c
b
bIIc
c
b
c
b
bIIc
B
C
D
H
c
bIIc
b
C
D
B
c


text:
900igr.net
p
p
B1
B1


title: Презентация на тему: Параллельные прямые и их признаки

text:
Признаки параллельности прямых
Параллельные прямые
Выполнила:
ученица 8М класса Канунникова К.И.

Руководитель:
учитель математики Нажалова Н.И.
Две прямые имеют одну общую точку, то есть пересекаются
а  в в точке А
Определение: Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются
с // d

с // d
AB // CD

с - секущая
1
2
3
4
5
6
7
8
Накрест лежащие углы – 3 и 5; 4 и 6.
Односторонние углы – 4 и 5; 3 и 6.
Соответственные углы – 1 и 5; 2 и 6; 4 и 8; 3 и 7.

Признаки параллельности двух прямых

Теорема: Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

а
в
А
В

1
2
Дано: а, в – прямые, АВ – секущая, 			1 и 2 – накрест лежащие, 1=2.
Доказать: а // в.

а
в
А
В
1
2
Доказательство: Рассмотрим если 1=2=900.
Отсюда следует, а и в перпендикулярны к прямой АВ и, следовательно, параллельны.

а
в
А
В

1
2
1=2 – не прямые.

О

Н

Н1

Теорема: Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 1800, то прямые параллельны.

а
в
А
В

1
2
Дано: а, в – прямые, АВ – секущая,                            	1 и 2 – односторонние, 1+2=1800.
Доказать: а // в.

Доказательство:

3
1+3=1800 – сумма смежных углов.
Так как 2=3  – по выше доказанной теореме (Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.) следует, что а//в.

1+2=1800  – по условию теоремы.

 2=3 – накрест лежащие.
ч.т.д.

Теорема: Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

а
в
А
В

1
2
Дано: а, в – прямые, АВ – секущая, 			1 и 2 – соответственные, 1=2 .
Доказать: а // в.

а
в
А
В

1
2
Доказательство:

3
1=3 – вертикальные углы.
Так как 2=3  – по выше доказанной теореме (Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.) следует, что а//в.

1=2  – по условию теоремы.

 2=3 – накрест лежащие.
ч.т.д.


title: Презентация на тему: «Параллельный перенос»

text:
M
M1
M
M1


text:
l
Sl
l
l
SO
O

b
D
D
N1
N
N1
N
D
D1
D
AB = CD,
F
F1
F1


text:
5klass.net

a
b
a
b
a=b
[1]
[4]

bIIc
b
c
b
bIIc
c
b
c
b
bIIc
B
C
D
H
c
bIIc
b
C
D
B
c


title: Презентация на тему: Параллелограмм

text:
A
B
C
D
D
B
C
E
F
A
D
B
E
C
F
O
A
C
B
D
A
B
C
D
O


title: Презентация на тему: Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат

text:
5klass.net
????????
????????
????????
????????


title: Презентация на тему: Параллелограмм 8 класс

text:
C
B
D
A
B
C
D
3
4
1
2
A
B
C
D
1
2
4
3
C
B
D


title: Презентация на тему: Параллелограмм

text:
B
D
A
B
C
D
D
D
D
D
D
D


title: Презентация на тему: Параллелограмм

text:
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
O


title: Презентация на тему: Параллелограмм и трапеция

text:
1
2
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10*
1
1
2
2
2
2
2
3
3
5


title: Презентация на тему: Параллелограмм

text:
LOGO
D
F
D
D
E
F
D
B


Презентация на тему: Пентагон


title: Презентация на тему: От сферы к плоскости

text:
От сферы к плоскости
Автор:  Торгунакова Яна Борисовна,
               ученица 7 М  класса
               МАОУ «Средняя школа №8»

               Руководитель:  Куркович  Лариса Федоровна,
                              учитель математики
                               МАОУ «Средняя школа №8»
 Введение:
    Цель исследования:  найти математические правила, способы для  проектирования  изображений Земли на различные плоскости.

    Объект исследования: географические карты и глобус.

     Предмет  исследования:  изображение территорий государств и других объектов на картах.
Задачи исследования:
изучить исторические сведения  о глобусе,
    о географических  картах;

изучить математические понятия, необходимые для работы с глобусом и картами;

сравнить градусную сетку глобуса и картографическую сетку карты;

исследовать способы переноса глобуса на карты и другие поверхности.

    если проектировать сферическую поверхность  на плоскость определенным образом, то получатся карты с разными картографическими сетками.

   Основными методами являются сбор, изучение, анализ, обобщение исследовательского и теоретического материала, рефлексивное осмысливание результатов.

Гипотеза:
Микроисследование №1.

 Цель:  изучить исторические сведения о глобусе и карте.

Глобус Мартина Бехайма (1492)

Древние карты: а - Чукотская карта на коже; б - «рельефные» карты гренландских эскимосов
Микроисследование №1.
     Цель:  познакомиться с математическими понятиями, необходимыми для работы с глобусом и картами.

ПОГРЕШНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ                   ПОДОБИЕ
ЦИЛИНДР                         КОНУС                  МАСШТАБ КАРТЫ

ГЛОБУС          ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ             КАРТА

 Вывод:  связь геометрии и математики  с географией очевидна.

  Микроисследование №2.
Микроисследование №3.

,
Микроисследование №4.
    Цель: ответить на вопрос: « Можно ли глобус перенести на карту без искажений?»

-заполнив  эти  разрывы и слегка
растянув картографические
 рисунки, изображающие земную
 поверхность,   получим карту мира.
 В местах  разрывов  получатся
 искажения.

     Вывод:  перенести глобус на плоскую поверхность
                   (карту)  без   искажений   невозможно.

между полосками получились
 разрывы, которые увеличиваются
по мере удаления к полюсам.

 Микроисследование №5.
Цель:  сравнить градусную сетку глобуса и картографическую сетку карты при различных способах проектирования глобуса на карту.
а) Глобус лучами проектируется на плоскость: азимутальная
  проекция.

    б) Глобус лучами проектируется на цилиндр: цилиндрическая
  проекция.

    в) Глобус лучами проектируется на конус: коническая
  проекция.
Азимутальные проекции
Цилиндрические  проекции
Конические  проекции.

Вывод: в зависимости от той или иной проекции меридианы и параллели, образующие картографическую сетку, принимают самый различный вид: они могут изображаться в виде то прямых, то кривых линий, то дугами концентрических окружностей.
Микроисследование №6

    Цель: перенести с глобуса на плоскость территорию   Ханты-Мансийского округа и территорию России.
Азимутальная проекция.
Масштаб: 1 :100000000
Цилиндрическая   проекция
Масштаб: 1 :100000000
Произвольная  проекция
Изменение расстояний в цилиндрической и азимутальной проекциях
Примеры картографических проекций
Выводы
глобус и карту начали использовать с древних времен, они  востребованы и в наше время; связь геометрии, математики  с географией очевидна;
глобус, как модель Земли, можно рассматривать  в виде шара; глобус  наилучшим образом дает правильное, наглядное представление о нашей планете;
географические координаты можно перевести из градусной меры в линейную;
перенести глобус на плоскую поверхность (карту) без искажений (погрешностей) невозможно;
в зависимости от той или иной проекции меридианы и параллели, образующие картографическую сетку, принимают самый различный вид;
многообразие карт объясняется множеством способов проектирования глобуса на плоскость.

Спасибо за внимание!


title: Презентация на тему: Параллелограмм Вариньона

text:
D
L
M
N
K

A
B
M
L
D
K
C
N
D
E
F
K
L
D


title: Презентация на тему: Параллелограмм. Свойства. Признаки.

text:
D
D
O
D
F
N
D
D
D
2
1
3
4
6
5
7
8
9
10
11
2
3
5
4
7
8
9
10
5
11
5
1
11
6
7
9
8
10


Презентация на тему: Паркеты на плоскости


title: Презентация на тему: Параллельный перенос и поворот

text:
900igr.net
a
a
a
a
a
D
F
K
L


Презентация на тему: Пересечение геометрических фигур


title: Презентация на тему: Перемещение. Путь. Траектория 9 класс

text:
A
B
S


title: Презентация на тему: Паркеты. Правильные, полуправильные

text:
a2
Sn=( r · Pn):2
3R2
2R2
6R
R
360
400
450
51,40
600
720
900
1200
360
400
450
51,40
600
720
900
1200
3600
3600
3600
3600
3600
3600
3600
3600
3600
1440
1400
1350
128,50
1200
1080
900
600
14400
12600
10800
9000
7200
5400
3600
1800
10
  9
8
 7
6
 5
4
 3

 10
9
 10
9


Презентация на тему: Периметр – сумма длин всех сторон


Презентация на тему: Периметр. Площа


title: Презентация на тему: Периметр многоугольника 2 класс

text:
1
2
3
4
5
6


Презентация на тему: Периметр треугольника. Построение треугольника по заданным сторонам


title: Презентация на тему: Периметр и площадь прямоугольника

text:
a
b
a
b


title: Презентация на тему: Периметр многоугольника

text:
900igr.net
1
2
3
4
5
6


title: Презентация на тему: Параллельный перенос

text:
Параллельный перенос
Установить что такое параллельный перенос;
Сформулировать свойства параллельного переноса;
Учиться выполнять параллельный перенос геометрических фигур.

Цели урока
1. Какие прямые называются параллельными?
2. Признак параллелограмма.
3. Свойство сторон параллелограмма.
4. Что такое вектор?
5. Какие векторы называют равными?
6. Что такое движение?
Чтобы задать параллельный перенос

                                                         1) направление
        достаточно указать
                                                         2) расстояние

Параллельный перенос

А
В
С
D
AB = CD,
AB  ׀׀ CD

F
F1

F1
Преобразование, при котором каждая точка фигуры перемещается в одном и том же направлении  и на одно и то же расстояние называется параллельным переносом.

   Чтобы задать параллельный перенос, достаточно задать некоторый вектор.

а

Параллельный перенос
М

а
а
а

М
М1
N1
N

а
а
а

М
М1
N1
N

Параллельный перенос - движение

Для параллельного переноса имеют место следующие свойства:
1) отрезок переходит в
                                           равный ему отрезок;
2) угол переходит в
                                    равный ему угол;
3) окружность переходит в
                                                  равную ей окружность;
4) любой многоугольник переходит в
                                              равный ему многоугольник;
5) параллельные прямые переходят в
                                                       параллельные прямые;
6) перпендикулярные прямые переходят в
                                              перпендикулярные прямые.

В

А
С


Презентация на тему: Перпендикуляр


Презентация на тему: Перпендикуляр и наклонная


title: Презентация на тему: Параллелограмм

text:
Параллелограмм
Работа ученицы 8 класса МОУ «СОШ с.Грачев Куст» Тхай Юлии.

			2011 год
Что такое параллелограмм?
Параллелограммом (греч. parallelógrammon, от parállelos—параллельный и grámma — линия),  называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.
           Признаки параллелограмма
Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны
Если у четырехугольника противоположные стороны попарно равны, то четырехугольник – параллелограмм.
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам
В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны
Спасибо за внимание!!!


Презентация на тему: «Перпендикуляр и наклонная»


text:
D
D
B
Co
C
D
B
Co
C
F
S
D
B
Co
C
F
D
B
Co
C
F
1
2
3
P
M
N
C
A
B
O
E
A
B
F
C
P
1
2
3
4
S
O
E
A
B
F
C
P
1
2
3
4
S
M
N
O
C
B
A
M
N
O
C
B
A
r
E
A
B
F
P3
P2
M
N
C
A
B
A
B
C
O
D
A
B
E
F
A
B
C
O
D
M
N
E
F
D
E
F
r
r
r
R
R
R
O
A
B
C
E
F
A
B
E
F
C


title: Презентация на тему: Параллельный перенос 11 класс

text:
Параллельный перенос
Выполнила:

Турбылева Валерия
11 «А» класс.
Параллельный перенос в пространстве
Параллельным переносом в пространстве называется
такое преобразование, при котором произвольная точка
(х; у; z) фигуры F переходит в точку (x+a; y+b; z+c), где a,
b, c – постоянные. Параллельный перенос в пространстве задаётся
формулами х1=х+а, у1=у+b, z1=z+c. На рисунке 4 призма ABCA1B1C1
при параллельном переносе переходит в призму A’B’C’A’ 1B’ 1C’ 1.
Допустим, мы имеем некоторую плоскость, на которой взят вектор

M

Если любой точке этой плоскости поставить в соответствие другую точку этой плоскости так, что       то говорят что задан          параллельный перенос на вектор

M1

M

M1
Докажем, что параллельный перенос является движением.
Возьмем две произвольные точки М и Р
и подвергнем их движению на вектор а. Получим точки М1 и Р1.

Р1
Р
? Что теперь необходимо доказать?
? Какие вектора равны?
? Что следует из равенства векторов ММ1 и РР1?
? Какой фигурой является ММ1Р1Р?

Свойства параллельного переноса
Сформулируем некоторые свойства параллельного переноса:

Параллельные перенос есть движение.
При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.
При параллельном переносе прямая переходит в параллельную прямую (или в себя).
Каковы бы ни были две точки А и А1, существует, и притом единственный, параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку А1.
При параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную ей плоскостью.

В

А
С

Движения на картинах М. Эшера.

Параллельный перенос


title: Презентация на тему: Параллельность прямых и плоскостей в пространстве

text:
Родионова Светлана Ивановна
учитель математики
ГБОУ СОШ № 235
            «Параллельность прямых и плоскостей в     пространстве.
Prezented.Ru
    Аксиомы группы С.
Какова бы ни была плоскость, существуют точки,  принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

А
К
D
B
С

       Аксиомы группы С.
Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

С
с
   Аксиомы группы С.
Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

a
b
С

Через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и притом только одну.



М

Следствия из аксиом
Т1
Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит плоскости



А
В

Следствия из аксиом
Через 3 точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.



М

А
В

Следствия из аксиом
Через две ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ прямые проходит плоскость, и притом только одна.

к
Следствие из Т1

Вывод
Как в пространстве можно однозначно задать плоскость?
1.  По трем точкам
2. По прямой и не принадлежащей ей точке.
3. По двум пересекающимся прямым.
4. По двум параллельным прямым.
Сколько существует способов задания плоскости?
Сколько плоскостей можно провести через выделенные элементы?

а)
б)
в)
г)
д)
е)
Ответьте на вопросы
Нет
Да
Нет
Да
Нет
Да
Определите: верно, ли утверждение?

Дано: АВСD-параллелограмм
А, В, С  α
Доказать: D  α

А
В
С
D
•
•
•

•
Доказательство:
А, В  АВ, С,D  СD,
АВ  СD
(по определению параллелограмма) 
АВ, СD  α 
D  α

пересекаются
параллельны

а
а
а
b
b
b
скрещиваются
Лежат в одной плоскости
Не лежат в одной плоскости
Взаимное расположение прямых в пространстве.

Доказательство:

а
с
в1
в
β
α

В
1 случай.  а, в, с α  рассмотрен в планиметрии
2 случай.   а, в  α;  а, с  β

1. Возьмем т.В, В  в
Через т.В и с  проведем плоскость 
   α = в1

2. Если в1   β = Х,  Х  а, в1  α,
но Х  с, т.к. в1   ,     а т.к. а с  в1   β

3. в1  α, в1  а  в1  а     в1 = в (А параллельных прямых)

4.  в с
Теорема доказана.
•
Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны

Теорема о параллельных прямых.

К
a

b
Дано:  К  a
Доказать:
 ! b: К  b, b  a
Доказательство:
1.Проведем через прямую a и точку К плоскость α.
2.Проведем через т. К α прямую b, b a.(А планиметрии)
Единственность (от противного)
1.Пусть  b1: К  b1 , b1 a .Через  прямые a и b1 можно провести плоскость α1.
2. a , К  α1;  α1 и α (Т о точке и прямой в пространстве).
3.  b = b1 (А параллельных прямых). Теорема доказана.
Задание 1   Вставьте пропущенные слова

Единственную плоскость можно задать через три точки, при этом они                        на одной прямой.
2) Если          точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости.
3) Две различные плоскости могут иметь только одну общую
4) Прямые являются                                 в пространстве, если они не пересекаются и                    в одной плоскости.
5) Если прямая a  лежит в плоскости α, прямая b не лежит в плоскости α, но пересекает ее в точке
     В
 α, то прямые а и b
не лежат
две
прямую
параллельными
лежат
скрещивающиеся
Задание 2  Определите: верно, ли утверждение?
Нет
Нет
Да
Да
Нет
Задание 2  Определите: верно, ли утверждение?
Нет
Нет
Нет
Да
Задание 3
Дано: ВС=АС,
СС1 АА1,
АА1=22 см
Найти:  СС1
Решение:
АА1СС1,

АС = ВС

 С1– середина А1В
(по т.Фалеса) 

С С1- средняя линия  ∆АА1В 
С С1= 0,5АА1 = 11 см
Ответ: 11см.

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

Если прямая, не лежащая в данной плоскости,
параллельна какой-нибудь прямой,
лежащей в этой плоскости , то
она параллельна и самой плоскости.
Дано:
Доказать:

1.Через прямые a и  b проведем плоскость α

Пусть                  ,                  ,
 α
2. α  β =  b
Если a  β = Х, то Х  b, это невозможно, т.к. α   b
 a  β

 a    β
Теорема доказана.
Дано: а  α
а  β; β ∩ α = в
Доказать: а  в

Доказательство:
 а, в   β
Пусть в ∩ а, тогда а ∩ α,
что противоречит условию.
Значит в   а

Задание 2

 α
 β

а

в

A
В
С
Плоскость проходит через сторону АС   АВС. Точки D и E  - середины отрезков АВ и BC соответственно. Докажите, что DE  α

Доказательство:
1. Точки D и E  - середины отрезков АВ и BC соответственно 
2. DE – средняя линия (по определению) 
DE АС (по свойству)
 DE  α ( по признаку параллельности прямой и плоскости)

Расположение плоскостей в пространстве.
α   β
α и  β  совпадают
α  β
Признак параллельности двух плоскостей.
Если две пересекающиеся прямые одной
 плоскости соответственно параллельны двум
 пересекающимся прямым другой плоскости, то эти
 плоскости параллельны.
Дано: а b = M, a , b .
a₁ b₁, a₁ , b₁ . a  a₁, b  b₁.
Доказать:  



а
а₁
b
b₁
M

c
Доказательство:
                              Тогда а  , а  ,    = с, значит а  с.
2. b  , b  ,    = с, значит b  с.
3. Имеем, что через точку  М проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, чего  быть на может.
Значит     .
1. Пусть    = с.
Теорема
Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, причём единственную.
β
а1
•
А
α
плоскость α,
в1
в
а
Доказать:
Доказательство.
Дано:
 точка А вне плоскости α.
существует плоскость β║α, проходящая через точку А
1. В плоскости α проведём прямые а∩в.
Через точку А проведём
а1║а
и в1║в.
По признаку параллельности плоскостей  прямые а1 и в1 задают плоскость β║α.
Существование плоскости β доказано.
β
•
А
α
Докажем единственность плоскости β методом от противного.
•
С
•
В
в
с
β1

Допустим, что существует плоскость β1, которая проходит через т. А и β1  α.
Отметим в плоскости β1 т. С β.
Отметим произвольную т. В  α.
Через точки А, В и С проведем γ.
γ ∩ α = в,
γ ∩ β1 = с.
γ ∩ β = а,
а
а и с не пересекают плоскость α,
значит они не пересекают прямую  в,
 а  в и с   в
Получили, что через т. А проходят две прямые, параллельные прямой в, чего быть не может.
 наше предположение ложное.
Единственность β доказана.

Если две параллельные плоскости
пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.
Свойство параллельных плоскостей.
Дано:
 α   β,  α    = a
 β    = b
Доказать:  a   b
Доказательство:
1.    a  , b  
2. Пусть  a   b,
тогда  a   b = М
3.   M  α, M  β
 α   β = с (А2)
Получили противоречие с условием.
Значит  a   b     ч. т.д.

Отрезки параллельных прямых,
заключенные между параллельными
                    плоскостями,  равны.
Свойство параллельных плоскостей.
Доказать: АВ = СD
Дано:
 α   β, АВ СD
АВ  α = А, АВ  β = В,
СD  α = С, СD  β = D
Доказательство:
1. Через АВ СD проведем  
2. α β, α   = a, β   = b
3.  АС В D,
4. АВ СD (как отрезки парал. прямых)
5.  АВСД – параллелограмм (по опр.)
  АВ = СD ( по свойству параллелограмма)
1. если плоскости не пересекаются, то они параллельны.
2. плоскости параллельны, если прямая лежащая в
    одной плоскости, параллельна другой плоскости?
3. если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны двум прямым другой плоскости,
    то эти плоскости параллельны?
4. если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она
     перпендикулярна и другой плоскости.
5. прямые, по которым две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, параллельны.
6. Если прямая пересекает одну из двух плоскостей, то
    она пересекает и другую.
7. Две плоскости, параллельные третьей, параллельны.
8. Отрезки прямых, заключенные между
    параллельными плоскостями, равны.

Определите: верно, ли утверждение?
ДА
НЕТ
ДА
НЕТ
ДА
НЕТ
НЕТ
ДА

  Через данную точку А провести плоскость, параллельную данной плоскости α, не проходящей через точку.
α

β

А
Решение.
1. В плоскости α возьмем т. В.
2. Проведем прямые ВС и ВD.
В
•
С1
D1
D
С
3. Построим вспомогательную плоскость через точку А и прямую ВD, в ней проведем прямую АD1 ВD.

4. Аналогично построим вспомогательную плоскость через точку А и прямую ВС, в ней проведем прямую АС1 ВС.
•
5. Через прямые АD1 и АС1 проведем плоскость β

Задача 2.  Доказать, что через каждую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость так, чтобы эти плоскости были параллельны.
а
в
Пусть а скрещивается с в.
Доказательство:
На прямой в  возьмем т. А,
А
через  прямую а и т. А проведем плоскость,
в этой плоскости через т. А проведем прямую в1 , в1  в.
Через в1  в проведем плоскость α.

.
 в1
Аналогично строим плоскость β.

По признаку параллельности плоскостей α  β.

.
Prezented.Ru


Презентация на тему: Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью


text:
Prezented.Ru
Prezented.Ru


title: Презентация на тему: Перпендикулярность плоскостей

text:
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
900igr.net
.


title: Презентация на тему: Параллелограмм. Решение задач

text:
Четырехугольники
8 классгеометрия

Урок № 3
Параллелограмм. Решение задач
03.12.2012
1
www.konspekturoka.ru
Закрепить знания о свойствах и признаках параллелограмма в процессе решения задач

03.12.2012
www.konspekturoka.ru
2
1
АВСD – параллелограмм,
∠CAD = 16° , ∠DCA= 37° ,
∠A - ? , ∠B - ?, ∠C - ?, ∠D - ?
Задача
Решение
Рассмотрим треугольник
  ∆ACD:
∠CAD +∠DCA + ∠СDА = 180°
∠ 16° + ∠ 37° + ∠СDА = 180°
∠СDА = 180° - (∠ 16° + ∠ 37° )
∠B  = ∠D = 180° - 53° = 127°
По свойству параллелограмма: ∠A + ∠B = 180°,
∠A + ∠127° = 180°
∠A = 180°  - ∠127° =  53°,
∠A  = 53°,
∠A  = ∠C = 53°.
Ответ:
∠A = 53°, ∠B =127°, ∠C = 53°, ∠D =127°.

03.12.2012
www.konspekturoka.ru
3
2
РАВСD = 48 см, AD = AB + 3 (см);
A B - ?, ВC - ?, CD - ? AD -?
Задача
Ответ:
Решение
х
х
 х + 3
 х + 3
Если АВ = х (см), то
          AD = x + 3 (см).
РАВСD = 2(AD + AB)
РАВСD = 2(x + (x + 3))
48 = 2x + 2x + 6
4x = 48 - 6
4x = 42
x = 42 : 4
x = 10,5
Если АВ = 10,5 см, то AD = x + 3 = 10,5 + 3 = 13,5 (см).
 АВ = CD = 10,5 см,  AD = BC = 13,5 (см).
 АВ = CD = 10,5 см,  AD = BC = 13,5 (см).
03.12.2012
www.konspekturoka.ru
4
3
РАВСD = 48 см, AD - AB = 7 (см);
A B - ?, ВC - ?, CD - ? AD -?
Задача
Ответ:
Решение
х
х
 х + 7
 х + 7
Если АВ = х (см), то
          AD = x + 7 (см).
РАВСD = 2(AD + AB)
РАВСD = 2(x + (x + 7))
48 = 2x + 2x + 14
4x = 48 - 14
4x = 34
x = 34 : 4
x = 8,5
Если АВ = 8,5 см, то AD = x + 7 = 8,5 + 7 = 15,5 (см).
 АВ = CD = 8,5 см,  AD = BC = 15,5 (см).
 АВ = CD = 8,5 см,  AD = BC = 15,5 (см).

03.12.2012
www.konspekturoka.ru
5
4
АВСD – четырехугольник,
BА∥ CD,  ∠A = ∠C
АВСD – параллелограмм.
Доказательство
Задача
1
2
3
4
BА∥ CD – по условию, следовательно
∠1 = ∠ 2 (накрест лежащие)

Рассмотрим треугольники
 ∆ АBD и  ∆BCD:
Так как сумма углов треугольника 180°,
 то ∠3 = ∠ 4
 ∆ АBC =  ∆ACD – по стороне и двум прилежащим углам
(ВD – общая, ∠1 = ∠ 2 , ∠3 = ∠ 4).
Поэтому  BА = CD
Если BА∥ CD и BА = CD, то по 1 признаку параллелограмма
 четырехугольник АВСD – параллелограмм, ч. т. д.
03.12.2012
www.konspekturoka.ru
6
5
Задача
АВСD – параллелограмм, РАВСD = 50 см,
∠С = 30°, BH⊥AD, BH = 6,5 см
A B - ?, ВC - ?
Решение
Н
∟
По свойству параллелограмма
 ∠С = ∠А = 30°.
∆АВН – прямоугольный,
∠Н = 90°
∠А = 30°,
следовательно:
 т. е   АВ = 2· ВН = 2 · 6,5 = 13 (см)
РАВСD = 2(AD + AB)
50 = 2(13 + AD)
25 = 13 + AD
AD = 25 – 13
AD = 12
Ответ:
A B = 13см, ВC = 12 см.
AD = ВС = 12 см

03.12.2012
www.konspekturoka.ru
7
Задача
6
АВСD – параллелограмм, АК – биссектриса ∠А
ВК = 15 см, КС = 9см.
РАВСD = ?
1
2
3
Решение
АВСD – параллелограмм,
 то ВС∥AD и ∠2 = ∠3,
 (как накрест лежащие )
∠1 = ∠2 – по свойству
  биссектрисы, то и ∠1 = ∠3.
К
∆АВК – равнобедренный, следовательно АВ = ВК = 15 см
15 см
9см
АВ = СD, то и СD = 15 см,
ВС = ВК + 9 = 15 + 9 = 24 (см).
15 см
ВС = AD = 24 (см).
РАВСD = 2(AD + AB) = 2(24 + 15) = 78 (cм).
Ответ:
78 (cм).
03.12.2012
8
Ответить на вопросы:
www.konspekturoka.ru
Спасибо за внимание!
Какая фигура называется параллелограммом?
Докажите, что в параллелограмме противоположные
 стороны и углы равны.
Докажите, что в параллелограмме диагонали точкой
 пересечения делятся пополам.
Сформулируйте и докажите признаки параллелограмма.


Презентация на тему: Перпендикуляр и наклонная к плоскости


title: Презентация на тему: «Перпендикулярность плоскостей»

text:
D
a
D
d
a
b
d2 =  a2 + b2
a
b
d
d
C
b
B
A
D
B1
C1
D1
A1
D
D1
d =   3a2
d2 =  3a2
d = a   3
d = a  3


Презентация на тему: Перпендикулярность прямой и плоскости


title: Презентация на тему: Перпендикулярность

text:
900igr.net
B
C
D
E
B
A
C
D
M
N
O
B
A
C
D
M
O


title: Презентация на тему: Перпендикулярность

text:
A
D
C
M
B
A
D
C
M
B
C
A
D
E
B
B
D
C
a
B
C
A
a
a
B
C
A
6
B
C
D
S
A
P
A
D
C
B
H
a
b
30o
A
B
D
h
a
C
b
A
D
M
O
B
C
E
150o
C
B
A
D
M
O
8
6
F
A
B
D
C
3
4
30o
1
2
3
4
5
C
B
A
B
C
C
C
C
A
D


title: Презентация на тему: "Перемещение"

text:
Перемещение
ГБОУ СОШ 515
Педагог М. Н. Гринченко
Цели урока
1. Повторить и углубить понятия: «механическое движение», «траектория», «путь», «материальная точка».
2. Ввести понятие «перемещение».
3. Акцентировать внимание учащихся на то, что путь и перемещение – разные физические величины.
4. Показать связь между перемещением тела и его координатами.
Вопросы для повторения пройденного материала
Что называют механическим движением?
Что такое траектория?
Что называют путем, пройденным телом?
Что называется материальной точкой?
Приведите пример, показывающий, что одно и то же тело в одной ситуации можно считать материальной точкой, а в другой – нет.
Что такое система отсчета ?
Как можно определить положение тела?
В каком случае положение движущегося тела можно задать с помощью одной координатной оси?

Путь и перемещение

L1
L2
s
A
B

L3

s – перемещение,
L – путь.

Решение задач на расчет пути и перемещения
1.      Тело из точки 1 переместилось вправо на расстояние 3 м в точку 2, а затем переместилось вправо в точку 3 на расстояние 4 м. Найти путь и перемещение.

                                Путь L= s1-2 + s2-3 = 7 м.

                                Перемещение s = s1-2 + s2-3 = 7 м.

1

2
3

s

s2-3
s1-2

2.       Тело из точки 1 переместилось вправо на расстояние 3 м в точку 2, а затем переместилось влево в точку 3 на расстояние 4 м. Найти путь и перемещение.

                                       Путь L = s1-2 + s2-3 = 7 м.
                              Перемещение s = s2-3 - s1-2  = 1 м.

1
2
3

s

s1-2

s2-3

3.      Тело из точки 1 переместилось вправо на расстояние 3 м в точку 2, а затем переместилось перпендикулярно предыдущему направлению в точку 3 на расстояние 4 м. Найти путь и перемещение.

                                 s = √s12 + s22  = √9м2 +16м2 = 5 м.
                                 Путь L = s1 + s2 = 7 м.

1
2
3
s

s1

s2

4.    Точка совершила один полный оборот по окружности радиуса
   50 см. Найти путь и перемещение.

                                                                    s = 0.

                                                                    L = 2πR, где π =3,14.
                                                                    L = 2∙3,14∙0,5 м = 3,14 м.

1
2

R
Выводы
Путь – скалярная величина, перемещение – векторная.
Тело из точки 1 в точку 2 может переместиться по разным траекториям, пройдя разные пути. Перемещение может быть только одно.
Путь и перемещение измеряются в единицах длины (метрах, км и т.д.)
Путь и перемещение совпадают по численным значениям при прямолинейном движении тела в одном направлении. В остальных случаях путь больше перемещения.
При движении тела по замкнутой траектории его перемещение равно 0.
Проекция вектора на координатную ось

O
X

ax > 0
a

s
sx <  0

A
B
A1
B1
5.   Тело из точки М1 с координатами x1 = -5 м, y1 = -3 м переместилось в точку М2 с координатами x2 = 7 м, y2 = 6 м. Сделать чертеж, найти перемещение и его проекции на оси координат.

sx = x2 –x1.
sx = 7 м – (-5 м) = 12 м.
sy = y2 –y1.
sy = 6 м – (-3 м) = 9 м.
s = √sx2 + sy2 =
= √(12 м)2 + (9 м)2 =
= √144 м2 + 81 м2 =
= √225 м2 = 15 м.

М1
М2

s

sx

sy

Выводы
Зная начальные координаты тела (точки) и проекции вектора перемещения на координатные оси за время t, можно найти координаты тела в момент времени t:
                                  x = x0 + sx,
                                  y = y0 + sy, где x0 и y0 – начальные координаты
      ( координаты в момент времени t = 0).

Зная проекции любого вектора на координатные оси, можно найти модуль этого вектора, например, вектора перемещения:
                             s = √sx2 + sy2.

Домашнее задание
             Параграфы 2, 3.
             Задачи.
Определить путь и перемещение конца минутной стрелки Кремлевских курантов за 15 минут, 30 минут, 45 минут, 1 час. Длина минутной стрелки 3,3 м.

2.     Тело переместилось из точки с координатами x1 = 0, y1 = 2 м в точку с координатами x2 = 4 м, y2 = -1 м. Сделать чертеж, найти перемещение и его проекции на оси координат.


title: Презентация на тему: пересечение поверхности

text:
Лекция 7
Пересечение поверхностей.
Способ вспомогательных секущих
плоскостей.

Пересечение поверхностей

Для построения линии пересечения поверхностей необходимо найти ряд точек, общих для заданных поверхностей, и соединить их плавной линией
Геометрическое место точек,
 принадлежащее одновременно двум поверхностям, называют линией пересечения данных поверхностей
а)
б)
в)
г)
Возможные случаи:
 Две замкнутые линии (пересечение насквозь)
 Одна замкнутая линия (врезание одной в другую)
 Кривая и гранная поверхности  (совокупность плоских кривых)
 Две многогранные поверхности (ломаная линия)
Анализ заданных поверхностей
Линия пересечения 2-х поверхностей в общем случае представляет собой пространственную кривую
Если заданы поверхности второго порядка, то при их пересечении получается пространственная кривая четвертого порядка
3.  Часть искомой линии пересечения получается видимой в пересечении видимых частей поверхностей
Анализ заданных поверхностей
4.   Если одна из заданных поверхностей является проецирующей (цилиндр, призма),то одна из проекций искомой линии пересечения совпадает со следом этой поверхности
Анализ заданных поверхностей
Если у заданных поверхностей 2 порядка есть общая плоскость симметрии , которая проходит через их оси вращения, то:
Линия пересечения будет симметрична относительно плоскости 
Наивысшая 1 и низшая 2 точки линии пересечения всегда располагаются в плоскости 
Если плоскость  параллельна плоскости проекций, то на ней линия пересечения будет кривой второго порядка, ее видимая и невидимая части накладываются

Алгоритм решения задачи
Г
1. Поверхности рассекают вспомогательной секущей плоскостью  Г
2. Находят линию пересечения вспомогательной плоскости с каждой из поверхностей
3. На полученных линиях пересечения определяют общие точки, принадлежащие заданным поверхностям
4. Выбирают следующую секущую плоскость и повторяют алгоритм
5. Полученные точки соединяют с учетом видимости искомой линии пересечения

a  b Ю A,B
Методические указания
Вспомогательные плоскости следует выбирать так, чтобы в сечении получались простые линии
Сначала определяют опорные точки:
      экстремальные точки;
      точки перемены видимости, лежащие на 	очерках поверхностей;
      особые точки кривых пересечения (концы       	осей эллипса, вершины гиперболы или 	параболы, вершины ломанной)
Уточняют линию пересечения с помощью промежуточных точек
Пересекающиеся поверхности (сфера и конус) имеют общую плоскость симметрии Ф(Ф1), являющейся фронтальной плоскостью уровня. Следовательно, фронтальные очерки поверхностей, лежащие в плоскости Ф, пересекаются.
4.ПО

Ф1
На П2 находим проекции высшей (12) и низшей (22) точек искомой линии, как точек  пересечения фронтальных очерков поверхностей. Горизонтальные проекции точек (11 и 21) будут располагаться на следе плоскости Ф1.
4.ПО

Ф1
Точки изменения видимости линии на П1, лежащие на экваторе сферы, находим с помощью плоскости Г(Г2). На П1 это будут точки пересечения экватора сферы с соответствующей параллелью конуса - 31 и 41.  На П2 проекции точек (32 и 42) располагаем на следе плоскости (Г2).
4.ПО

12
22

Ф1

(21)

11

Г2

Промежуточные точки, уточняющие форму линии пересечения, находим с помощью вспомогательных горизонтальных плоскостей уровня Г  и Г   На П1 это будут  точки пересечения соответствующих параллелей сферы и конуса. Точки можно оставить без обозначения.
4.ПО

12
22

Ф1

(21)

11
Г2

31
41

Найденные на горизонтальной плоскости проекций проекции промежуточных точек (они не обозначены на чертеже) переносим на фронтальные следы (Г2  и Г2 )  плоскостей , с помощью которых промежуточные точки построены.
4.ПО

12
22

Ф1

(21)

11
Г2

31
41

При объединении в линию всех построенных проекций точек на П2 следует учитывать, что вся линия пересечения разделяется плоскостью Ф на две симметричные ветви, которые совпадут  на фронтальной плоскости проекций.
4.ПО

12
22

Ф1

(21)

11
Г2

31
41

При соединении проекций точек на горизонтальной плоскости проекций выявляют видимый и невидимый участки линии пересечения. Эти участки разделяются проекциями точек перемены видимости - 31 и 41, лежащими на экваторе сферы.
4.ПО

12
22

Ф1

(21)

11
Г2

31
41

На этапе обводки очерков поверхностей следует обвести толстой сплошной линией только очерки, не участвующие в пересечении

4.ПО

12
22

Ф1

(21)

11
Г2

31
41

Видимая часть поверхности сферы, ограниченная линией пересечения, затушевана, что повышает наглядность изображения.

4.ПО

12
22

Ф1

(21)

11

Г2

31
41

Заканчиваем оформление изображения, затушевав видимую часть поверхности конуса.

4.ПО

12
22

Ф1

(21)

11

Г2

31
41

Заданы две пересекающиеся поверхности (полусфера и призма, находя-щаяся в горизонтально проецирующем положении). Все три грани приз-мы участвуют в пересечении. Значит, линия пересечения состоит из трех участков, представляющих собой плоские кривые второго порядка.
5.ПО

Фиксируем на П1 проекции точек пересечения ребер призмы с поверх- ностью сферы (11, 21 и 31). На П2 проекции 12 и 22 находим на экваторе сферы, а 32 - на параллели, полученной с помощью плоскости Ф(Ф1). Часть параллели между 32 и 42 будет первым участком искомой линии.

5.ПО

31

11

На П1 проекции 41 и 51 фиксируем как точки пересечения меридиана сферы, лежащего в плоскости Ф(Ф1 ), с гранями призмы. Фронтальные проекций указанных точек (42 и 52) располагаем на меридиане сферы. Это будут точки, меняющие видимость линии пересечения на П2.

21

(12)

(32)

22
5.ПО

Ф1

31

11

Грани призмы рассекают сферу по окружностям, две из которых проецируются на П2 в эллипсы. Вершины этих эллипсов (высшие точки  линии пересечения) находим на П1, обозначив их как 61 и 71. Проекции 62 и 72 находим с помощью плоскостей Ф(Ф1) и Ф(Ф1) соответственно.

21

Ф1

(12)

(32)

42
52

41

51

22
5.ПО

22

Промежуточные точки линии пересечения, уточняющие форму эллипсов и выбранные произвольно на горизонтальном очерке призмы,  строим на П2 с помощью секущей плоскости ФIV(Ф1IV) по аналогии с другими точками. Промежуточные точки не обозначены.

21

42
52

41

71

61

51
62

(32)
5.ПО

72

31

Ф1

11
(12)

22

31

На П2 объединяем все построенные точки в участки - эллипсы линии пе- ресечения, а на П1 вся линия совпадает с очерком проецирующей приз- мы. При обводке эллипсов на П2 следует учитывать, что проекции  точек (42 и 52), лежащих на меридиане сферы, изменяют видимость эллипсов.

21

Ф1

42
52

41

71

61

51
62

(32)

5.ПО

72
11
(12)

22

31

На П2 обводим фронтальные очерки сферы и призмы, выявляя их видимые и невидимые участки.

21

Ф1

42
52

41

71

61

51
62

(32)

5.ПО

72
11
(12)

22

31

Тушевка повышает наглядность изображения.
На П2  видимая часть поверхности сферы ограничивается линией пересечения и видимой частью очерка сферы.

21

Ф1

42
52

41

71

61

51
62

(32)

5.ПО

72
11
(12)

22

31

На П2 заканчиваем оформление изображения, затушевав видимую часть поверхности призмы.

21

Ф1

42
52

41

71

61

51
62

(32)

5.ПО

72
11
(12)


text:
900igr.net
m
n


title: Презентация на тему: Перпендикулярность плоскостей, Параллелепипед


Презентация на тему: Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью.


title: Презентация на тему: Перпендикулярность прямых и плоскостей (10 класс)

text:
D
D 1
D
D 1

q
m
L
p
q
L
a
A
B
P
Q
L
p
q
L
a
A
B
P
Q
L


text:
a
b
c
90°
b
a
C
A
M
c
a
a
b
x
a
q
a
M
c
b
b


title: Презентация на тему: Перпендикулярность в пространстве

text:
a
b
c
m
A
    C
M

a
b
c


title: Презентация на тему: Перпендикулярность прямых

text:
900igr.net
c
m
k
k
m
c
k
a
b
c
M
A
C
a
a
b
c
a
b
a

a
b
a
b
a
p
q
a
p
q
m
l


title: Презентация на тему: Перпендикулярность прямых и плоскостей

text:
b
A
C
a
M
b
c
a
a
b1
b
M
q
a
p
m
O
q
l
m
O
a
p
B
P
Q
L
A
q
a
p
m
O
a1
b


text:
c
m
k
k
m
c
k
a
b
c
M
A
C
a
a
b
c
a
b
a

a
b
a
b
a
p
q
a
p
q
m
l


Презентация на тему: Перпендикуляр и наклонные


text:
D
E
K
D
D
V
D
E
M
N
K
E
D
M
D
D
20
24
15
D
20
24
15
A1
D
D1
C1
C
B
A
B1
A
F
C
B
D
M
D1
C1
B1
A1
D
C
B
A


title: Презентация на тему: Перпендикулярность в пространстве геометрия

text:
900igr.net

a
b
c
m
A
    C
M

a
b
c


title: Презентация на тему: «Перпендикулярность в пространстве»


title: Презентация на тему: Перпендикулярные прямые

text:
D
90
0
180
D


title: Презентация на тему: Перпендикулярные прямые 6 класс

text:
b
b


text:
900igr.net
a
b
c
90°
b
a
C
A
M
c
a
a
b
x
a
q
a
M
c
b
b


title: Презентация на тему: Перпендикулярные прямые 7 класс

text:
M
B
A
N
O
M
B
A
N
O
M
B
A
N
O
D
B
A
b
d


title: Презентация на тему: «Перпендикулярные прямые на плоскости»

text:
b
b
N
MN
D
M
N
AB
MN
M
N
AB
MN
M
N
AB
MN
l
m
n
1
2
3


title: Презентация на тему: Перпендикулярные прямые на плоскости


title: Презентация на тему: Перпендикулярные прямые в пространстве

text:
Prezented.Ru
D1
D
D1
D

D1
D
N
900
900
900
900
900

b
b1
M
c
q
O
m
l
B
Q
L
Prezented.Ru


title: Презентация на тему: Перпендикулярные прямые в пространстве. Решение задач

text:
a
b
c
.
.
A
B
O
C
D
A
B
.
.
M
K
A
B
D
C
M
N
M
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
A
C
B
M
K
?
6
8
12


text:
900igr.net
b
b


text:
D
D1
300
D1
D
D1
D
D1
D
N
900
900
900
900
900
b
b1
M
c
q
O
m
l
B
Q
L


text:
900igr.net
D1
D
D1
D

D1
D
N
900
900
900
900
900

b
b1
M
c
q
O
m
l
B
Q
L


title: Презентация на тему: Первый признак равенства треугольников

text:
1
1
2
3
4
5


text:
D
A
C
1
2


title: Презентация на тему: Первый признак подобия треугольников

text:
k.
      A1B1C1             ABC,
~
;
;
~
A
C
B
1.
F
R
D
N
S
T
2.
680
220
3.
4.
F
N
S
R
A
FN    RS
5.
C
D
H
K
Z
HZ     CK
6.
F
L
N
Q
V
7.
6
5
3
?
8.
7
5
14
x
9.
12
12
4
?
10.
?
9
3
2
11.
10
2,5
1,4
?
1
3
2
6
3
5
?
?
6
8
6


text:
900igr.net
similitude
MN
EF
=
NK
FD
=
M
K
E
D
8
10
5,6
10,5
8
10
5,6
10,5
x
y
C'
1.
A
B
C
D
O


Презентация на тему: Перспектива


title: Презентация на тему: Первый признак равенства треугольников 7 класс

text:
<1= <2
<1= <2


title: Презентация на тему: Перпендикулярность в пространстве (10 класс)

text:
a
b
c
a
a
a1
x
a
.
q
O
m
p
l
m
.
O
q
P
Q
L
l
m
.
O
q
P
Q
L
l
m
.
O
q
P
Q
L


text:
Prezented.Ru
D
D1
300
D1
D
D1
D
D1
D
N
900
900
900
900
900
b
b1
M
c
q
O
m
l
B
Q
L
Prezented.Ru


text:
A
B
C
A
B
C
A1
B1
C1
A
B
C
A1
B1
C1
A
B
C
B
C
A
A
B
C
B
A
C
B1
A1
C1
B
A
C
A
B
C


title: Презентация на тему: Периметр прямоугольника

text:
35
50
86
80
72
64
7
14
32
24
86
0
2
4
30
6
18
13
37
86
60
20
94
9
0
24
7
10
23
69
25
36
57
67
70
52
45
94
40
48
33
46
37
50
66
50
67
61
0
86
80
17
39
5
60
79
46
25
9
0

15
+ 12
- 19
+ 8
+ 19
27
19
24
43
35
40
21

46+23=
69
23+17=
40
40-16=
 24
25+35=
60
90- 47=
43
 36 - 18 =
         18
47- 38 =
  9
63 + 9 =
 72
46+23=
69
23+17=
40
40-16=
 24
65+35=
100
90- 47=
43
 82 - 46 =
         36
49- 38 =
  11
37 + 58 =
   95

35
50
86
80
72
64
7
14
32
24
86
0
2
4
30
6
18
13
37
86
60
20
94
9
0
24
7
10
23
69
25
36
57
67
70
52
45
94
40
48
33
46
37
50
66
50
67
61
0
86
80
17
39
5
60
79
46
25
9
0

15
+ 12
 -30
- 6
+ 8
+ 19
27
7
37
43
35
40
21
+ 8

46+23=
69
23+17=
40
40-16=
 24
65+35=
100
90- 47=
43
 82 - 46 =
         36
49- 38 =
  11
37 + 58 =
   95


title: Презентация на тему: Пифагор

text:
900igr.net

d²=a²+b²

d2=2a2
h2=a2+(a/2)2;    h2=3a2/4;   h=?


title: Презентация на тему: Периметр и площадь

text:
ПЕРИМЕТРиПЛОЩАДЬ
Учитель начальных классов
ГБОУ СОШ № 335
Фомичева Ирина Николаевна
ПЕРИМЕТР
        Периметр – это сумма всех длин  сторон многоугольника.
Периметр обозначается буквой латинского алфавита – Р (пэ), измеряется в мм, см, дм, м, км.
Что такое периметр?

3 см
2 см
Чему равен периметр
прямоугольника?
Периметр прямоугольника
3см + 2см + 3см + 2см =
= (3см + 2см)   2 = 10см

3см
2см

P = (a + b)  2
.
.
Периметр квадрата
3см + 3см + 3см + 3см =
= 3см   4 = 12см

3см
3см

P = a   4
.
.
Периметр треугольника
3см + 4см + 5см =
= 12см
5см
3см

P = a + b + c

4см
Назови каждый многоугольник

А
Б
В
Г
Д
Е
Ж
Практическая работа № 1
2
 1
20
20
20
25
25
25
25
25
25
25
25
10
10
10
10
Р=?

Р=?
Р=25Х4+20Х3=160(см)
Ответ: Р=160 см
Р=25Х4+10Х8=180(см)
Ответ: Р=180 см
Проверь:

Практическая работа № 2

15
10
10
10
10
10
10
20
10
20
10
15
15
10
10
25
20
30
1. У каких фигур одинаковый периметр?
2. У каких фигур в каждой паре периметр
 меньше: Аи В, Б и Г?
Проверь:
1. РБ=РВ
2. B<A, Б<Г
Б
В
А
Г

10

Сколько всего треугольников?

ПЛОЩАДЬ
S
Площадь  обозначается буквой латинского алфавита S (эс), измеряется в  мм² , см² , дм²,  м², км².

Площадь фигур измеряют единичными квадратами.Площадь фигуры равна числу единичных квадратов, составляющих фигуру.
Площадь квадрата со стороной 1 см равна
1 квадратному сантиметру (1см²) .
Б

Определи площадь фигур в клетках

12
50
14
16
18
Как найти площадь?
Площадь   прямоугольника можно найти, умножив его длину на ширину.

Площадь прямоугольника 3см   2см = 6 см²

S= a   b

3см
2см
.
.
Площадь квадрата
3см    3см = 9 см²

3см
3см
S= a  а = а²

Площадь квадрата равна произведению двух сторон или же квадрату его стороны.
.
.

Практическая работа № 1
Перед тобой план клумбы городского парка.
Её размеры указаны в метрах.

4
2
2
4
2
Проверь:
S= 2Х2+4Х4+2Х2+4Х4+2Х2= 44(м²)
Вычисли площадь отдельной клумбы.
Узнай чему равна площадь всей клумбы?
Практическая работа № 2
Перед тобой план земельного участка .
1 вариант
1. Площадь сада.
2. Площадь парника.
3. Площадь огорода.
4. Площадь огорода
(без парника).

Огород

Сад
16 м
16 м
16 м
16 м
Парник
Дом
8 м
8 м
10 м
10 м
 Цветник
2 вариант
1. Площадь сада.
2. Площадь дома.
3. Площадь цветника.
3. Площадь цветника                (без дома).
Вычисли в квадратных метрах:
2 вариант

1 вариант
1. Площадь сада.
S= 16Х16= 256 (м²)
1. Площадь сада.
S= 16Х16= 256 (м²)
2 . Площадь парника
S= 8Х8= 64 (м²)
2. Площадь дома.
S= 10Х10= 100 (м²)
3. Площадь огорода.
S= 16Х16= 256 (м²) -
весь огород.
4. Площадь огорода без парника.
S = 256 – 64=192 (м²)
4. Площадь цветника без дома.
S= 256 – 100=156 (м²)
 3. Площадь цветника.
S= 16Х16= 256 (м²) -
весь участок
Проверь:

Сколько всего квадратов?
S
?
15

Картинки  с сайта:
http://lenagold.ru/fon/clipart/alf.html
- И. И. Аргинская, Е.И.Ивановская, С.Н.Кормишина - учебник «Математика»,  3 класс,
Издательство «Учебная литература» ОАО «Московские учебники», 2010 год.


text:
1
2
D
1
2
C
D


Презентация на тему: Первый признак равенства треугольника


title: Презентация на тему: Первый урок геометрии в 7 классе

text:
b

b
M
E

1.http://krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/matematika/geometriya.html?page=0,0
2.http://matematikagpl.ucoz.ru/index/geometrija/0-13

http://www.posternazakaz.ru/shop/makeframe/40984/1025/82/
http://www.youtube.com/watch?v=gXNs9RkEWLU
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B2,_%D0%90%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%B5%D0%B9_%D0%92%D0%B0%D1%81%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D1%87


text:
1
1
2
1
2


title: Презентация на тему: Пифагор биография

text:
900igr.net
1
1-2
2
2
2
b
A2
A3
A4
A1
a
b
c
a
b
c
a
c
a
b
c
P
2
0,5ab
0,5ab
0,5ab
(b-a)2
0,5ab
2-3
3
3
3
3
3-4
4
4
4
4-5


title: Презентация на тему: Пифагор

text:
1
1-2
2
2
2
b
A2
A3
A4
A1
a
b
c
a
b
c
a
c
a
b
c
P
2
0,5ab
0,5ab
0,5ab
(b-a)2
0,5ab
2-3
3
3
3
3
3-4
4
4
4
4-5


text:
n
N
14
16
4
16


title: Презентация на тему: Пифагор и его теорема

text:
900igr.net
a
b
c
c
b
a
b
a
b
a
4
3
x
X 2  =  3 2  +  4 2
5
8
6
0
d
                  d 2 =6 2 + 8 2
3
5


Презентация на тему: Пи 2


Презентация на тему: Пифагор Самосский


Презентация на тему: Пифагоровы штаны во все стороны равны


Презентация на тему: Пифагор и литература


Презентация на тему: Пифагориана


title: Презентация на тему: Перпендикуляр и наклонные к плоскости

text:
Перпендикуляр и наклонные к плоскости
Пехова Н.Ю. 2013
учитель математики ГАОУ СПО КСТ
г. Калининград
Пехова Надежда Юрьевна
Цели урока
 Повторить понятия расстояния от точки до прямой; тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике.
Изучить новых понятий:  перпендикуляр и наклонная к плоскости, проведенные из одной точки;  проекция наклонной на плоскость; расстояние от точки до плоскости.
 Рассмотреть свойства наклонных и их проекций.
 Изучить понятие угла между прямой и плоскостью.
 Применить новые понятия в решении задач.
 Продолжить развитие пространственного представления и логического мышления.
2
Пехова Н.Ю. 2013
Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике
3
Таблица значений тригонометрических функций некоторых углов
4
Пехова Н.Ю. 2013
5

A

H

M
P

AM и AP – наклонные к плоскости;
Точки M и P – основания наклонных.
Пехова Н.Ю. 2013
6
Угол между прямой и плоскостью

А
В
Н

Углом между прямой и плоскостью называется
угол между прямой и её проекцией на плоскость
α
t
Пехова Н.Ю. 2013
7
8
9
10
11
12
Блюдо для подачи шашлыка
Решение :
ВС= ОС – ОВ = 25 – 10 =15
по т. Пифагора найдём :
АВ2 = АС2 – ВС2  =
 252 – 152 = 625 – 225 = 400,
АВ = 20см. Поэтому  Н = 20 + 3 = 23 см.- на такой высоте нужно закрепить верхнее основание блюда.
13
Задача №163
Наклонная АМ, проведенная из точки А к данной плоскости, равна d. Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если угол между прямой АМ и данной плоскостью равен 450?

14
Пехова Н.Ю. 2013
Задача №165
Из точки А, удаленной от плоскости  на расстояние d, проведены к этой плоскости наклонные АВ и АС под углом 300 к плоскости. Их проекции на плоскость  образуют угол в 1200. Найдите ВС.

15

Пехова Н.Ю. 2013
Работа группами
Задача 1
Из точки А проведены к плоскости две наклонные АВ и АС разной длины и перпендикуляр АН. Найти проекцию наклонной АС, если АВ = 20 см, ВН = 16 см, АС = 15 см.

16
Пехова Н.Ю. 2013
Задача 2
Пехова Н.Ю. 2013
17
Продолжите предложения

“Я узнал(а) много нового.”
“Мне это пригодится в жизни.”
“На уроке было над чем подумать.”
“На все вопросы, возникающие в ходе    урока, я получил(а) ответы.”
“На уроке я работал(а) добросовестно и цели урока достиг(ла).”

18

Домашнее задание:
 выучить теорию, № 154, № 163(б, в)
19
Пехова Н.Ю. 2013


title: Презентация на тему: Параллелограмм и его особенности как геометрической фигуры

text:
ГБОУ СОШ №262 г.Санкт-Петербург
Обобщающий урок по теме:

«ПАРАЛЛЕЛОГРАММ»
Автор: учитель математики
Насырова Светлана Павловна

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ

Параллелограмм
А
В
С
D
ABCD –четырех-
угольник

AB ║CD

BC ║AD

определение
Четырехугольник у которого противолежащие стороны попарно параллельны называется параллелограммом
=> ABCD -параллелограмм

А
В
С
D
O
   3.Диагонали точкой пересечения делятся пополам
        AO=OC     BO=OD

Свойства параллелограмма

1.Противоположные стороны попарно равны
     AD=BC     AB=CD
2.Противоположные углы попарно равны
       А  =    С            В =    D

Свойства параллелограмма

4.Сумма смежных углов равна
      А +    В =

А
В
С
D
5.Биссектриса угла отсекает от него равнобедренный треугольник.
   BF – биссектриса, ∆ ABF –равнобедренный, AB=BF

F
6.Биссектрисы соседних углов перпендикулярны.
   AF, BK – биссектрисы, AF     BK

К
7.Биссектрисы противоположных углов параллельны или совпадают.     AF, CN – биссектрисы, AF|| CN

N

Признаки параллелограмма

Если в четырехугольнике противоположные  стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник параллелограмм.

D
А
В
С

ABCD – четырех-ник
AB || CD
AB = CD
=> ABCD- параллелограмм

Признаки параллелограмма

Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм

D
А
В
С

ABCD – четырех-ник
ВС = АD
AB = CD
=> ABCD- параллелограмм

Признаки параллелограмма

Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм

D
А
В
С

ABCD – четырех-ник
AО = CО
ВО = ОD
О

=> ABCD- параллелограмм

Задачи на готовых чертежах

В
С
F
D
А
ABCD – параллелограмм
Найти      C ,      D

А
В
С
D
E
10 см
2 см

ABCD – параллелограмм
Найти      AD ,   CD
Ответ:

Ответ:
1)
2)

F
С
M
N
NMCF – параллелограмм
Найти  все углы NMCF

А
В
С
D
E
3 см
2 см

ABCD – параллелограмм
Найти
Ответ:

Ответ:

Задачи на готовых чертежах

В
С
M
N
NBCM – параллелограмм
Найти  BF, FM

А
В
С
D
E
4 см
5 см

ABCD – параллелограмм
              = 20 cм
Найти ME, MK
Ответ:

Ответ:

А
F

M
F
K
Задачи на готовых чертежах

кроссворд
1.Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны
2.Единица измерения угла
3.Отрезок, соединяющий две несмежные вершины
4.Луч, делящий угол пополам
5.Множество точек прямой, заключенных между двумя точками.
6.Фигура,состоящая из двух лучей, исходящих из одной точки.
7.Сколько сантиметров в метре?
8.(горизонталь) Отрезок, перпендикулярный к стороне.
8.(вертикаль) Точка из которой исходят стороны многоугольника
9. «+»,        - это …
10.Стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол.
11Отрезок исходящий из вершины треугольника к середине противоположной стороны (множественное число).

Посмотреть ответ
кроссворд
1.Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны
2.Единица измерения угла
3.Отрезок, соединяющий две несмежные вершины
4.Луч, делящий угол пополам
5.Множество точек прямой, заключенных между двумя точками.
6.Фигура,состоящая из двух лучей, исходящих из одной точки.
7.Сколько сантиметров в метре?
8.(горизонталь) Отрезок, перпендикулярный к стороне.
8.(вертикаль) Точка из которой исходят стороны многоугольника
9. «+»,        - это …
10.Стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол.
11Отрезок исходящий из вершины треугольника к середине противоположной стороны (множественное число).

5
11
6
7
9
8
10
назад
Задачи на готовых чертежах

В
С
F
D
А
ABCD – параллелограмм
Найти      C ,      D

А
В
С
D
E
10 см
2 см

ABCD – параллелограмм
Найти      AD ,   CD
Ответ:

1)
2)

Ответ:
Задачи на готовых чертежах

В
С
F
D
А
ABCD – параллелограмм
Найти      C ,      D

А
В
С
D
E
10 см
2 см

ABCD – параллелограмм
Найти      AD ,   CD
Ответ:

Ответ:AD=4 cм, CD=10 см
1)
2)

F
С
M
N
NMCF – параллелограмм
Найти  все углы NMCF

А
В
С
D
E
3 см
2 см

ABCD – параллелограмм
Найти
Ответ:

Задачи на готовых чертежах

Ответ:

F
С
M
N
NMCF – параллелограмм
Найти  все углы NMCF

А
В
С
D
E
3 см
2 см

ABCD – параллелограмм
Найти
Ответ:

Ответ:              =16cм

Задачи на готовых чертежах

В
С
M
N
NBCM – параллелограмм
Найти  BF, FM

А
В
С
D
E
4 см
5 см

ABCD – параллелограмм
              = 20 cм
Найти ME, MK
Ответ: BF=4 см, FM=5cм

А
F

M
F
K
Задачи на готовых чертежах

Ответ:

В
С
M
N
NBCM – параллелограмм
Найти  BF, FM

А
В
С
D
E
4 см
5 см

ABCD – параллелограмм
              = 20 cм
Найти ME, MK

Ответ: ME=3 см, MK=7см

А
F

M
F
K
Задачи на готовых чертежах

Ответ:


title: Презентация на тему: Пифагор. Его жизнь и труды

text:
S1
S2
S1:S2:S=a : b :c
A
Q

P
A
C
B
a
b
c
S1
S2
S1:S2:S=a : b :c
A
Q

P
A
C
B
a
b
c


title: Презентация на тему: Пирамида (11 класс)

text:
A
C
D
  S
B
 E
F
A
C
D
S
B
O
S
C
D
S
S1
S2
S3
S² = S1²+ S2²+ S3²
K
S
O
D
B
A
C
K
G
H
L
M
N
F
S
B
A
C
D
g
K
G
H
L
M
N
F
S
B
A
C
D
g


title: Презентация на тему: Пирамида

text:
S
B
C
D
E

s
A
B
C
1
2
3
6
4
5
  1. SA=SB=SC
S
M
N
K
1
2
3
4
5
 1.SM=SN=SK


Презентация на тему: Пирамида, вписанная в конус


Презентация на тему: «Пирамиды»


Презентация на тему: Пирамида. Усечённая пирамида


title: Презентация на тему: Пирамида. Сечения пирамиды

text:
B
C
D
B1
C1
D1
K1
B
C
D
K
K
X
Y
N
A
B
C
a
b
A
C
B
A
a
b
a
b
c
A
B
c
C
a
a1
A1
B
D
A
B1
B1
B
A1
A
D
D1
C
D
O
S
B
K
l
X
Y
N
M
F
E
O1
C
D
O
S
B
K
l
X
Y
N
M
F
E
O1
C
D
O
S
B
K
l
X
Y
N
M
F
E
O1
A
S
C
K
O
O1
A
B
C
D
O
F
E
A
F
S
A
B
C
D
D
C
B
A


Презентация на тему: Пирамиды


title: Презентация на тему: Пирамида

text:
Пирамида
Правильная усеченная пирамида
Усеченная пирамида называется правильной, если она составляет часть правильной пирамиды
Высота боковой грани правильной усеченной пирамиды называется апофемой.
Например, KK1 – апофема правильной усеченной пирамиды. Прямая OO1 называется осью правильной усеченной пирамиды

Определение пирамиды.
Пирами́да  — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину. По  числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т.д

Слово «пирамида» - греческое. По мнению одних исследователей, большая куча пшеницы и стала  образом пирамиды. По мнению других учёных, это слово произошло от названия поминального пирога пирамидальной формы.

Элементы пирамиды
апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины [3];
боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине пирамиды;
боковые ребра — общие стороны боковых граней;
вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;
высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);
диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;
основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Диагональные сечения пирамиды
Сечения пирамиды плоскостями, проходящими через ее вершину, представляют собой треугольники (рис. 3). В частности, треугольниками являются диагональные сечения. Это сечение плоскостями, проходящими через два несоседних боковых ребра пирамиды. ∆CEF – сечение пирамиды SABCD
Плоскость, проведенная через вершину пирамиды и через какую-нибудь диагональ основания, называется диагональной плоскостью (рис. 4).
∆SDB – диагональное сечение пирамиды SABCD
Симметрия правильной пирамиды
Плоскости симметрии: при четном числе сторон основания — плоскости, проходящие через противолежащие боковые ребра; и плоскости, проходящие через медианы, проведенные к основанию противолежащих боковых граней
Ось симметрии: при четном числе сторон основания — ось симметрии, проходящая через вершину правильной пирамиды и центр основания
Правильная пирамида
Определение: Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в центр основания.
Очевидно, у правильной пирамиды боковые ребра равны; следовательно, боковые грани – равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой
Пусть SABCDE – правильная пятиугольная пирамида (рис. 6). Тогда по определению ее основание ABCDE – правильный плоский пятиугольник; центр основания пирамиды O – основание высоты пирамиды SO.
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из вершины пирамиды, называется апофемой.
Например, SK – апофема правильной пирамиды.
При повороте вокруг прямой OS на 360˚/5 правильный многоугольник ABCDE каждый раз совместится с собой, тогда совместится с собой и пирамида. Значит, прямая, на которой лежит высота правильной n-угольной пирамиды, есть ее ось симметрии n-го порядка.
Отсюда следует, что у правильной пирамиды:
1.   боковые ребра равны
2.   боковые грани равны
3.   апофемы равны
4.   двугранные углы при основании равны
5.   двугранные углы при боковых ребрах равны
6.   каждая точка высоты равноудалена от всех вершин основания
7.   каждая точка высоты равноудалена от всех боковых граней

Измерение объема пирамиды
Пусть SABC – треугольная пирамида с вершиной S и основанием ABC. Дополним эту пирамиду до треугольной призмы с тем же основанием и высотой (рис. 14). Эта призма составлена из трех пирамид: данной пирамиды SABCD и еще двух треугольных пирамид SCC1B1 и SCBB1.
У второй и третьей пирамид равные основания – ∆CC1B1 и ∆B1BC и общая высота, проведенная из вершины S. Поэтому у них равные объемы.
У первой и третьей пирамид тоже равные основания – ∆SAB и ∆BB1C и совпадающие высоты, проведенные из вершины C. Поэтому у них тоже равные объемы.
Значит, все три пирамиды имеют один и тот же объем. Так как сумма этих объемов равна объему призмы, то объемы пирамид равны SH/3.

Итак, объем любой треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту:
V = 1/3∙SH


title: Презентация на тему: пирамида, вписанная в конус

text:
1,2     1, 8     2,4
9,6     8,9      8,2     7,5
0,9     1,8     3,6      7,2

1,2     0,7     2,2    1,4     3,2    2,1
3
3
7
1
6
4
9
9
?
?
2
?
9
4
5
6
2
4
3
2
1
?
?
?
9
4
5
6
2
4
3
2
1
?
?
?


title: Презентация на тему: Первые шаги в геометрии

text:
Первые шаги в геометрии
Максимов Владислав
Ярлыкова Александра
Руководитель:
Веременко Л.Л
Цель:

Задачи:
Познакомиться с историей развития математики
Дать определение «геометрии»
Познакомиться с видами симметрии
Подготовиться материал для факультативной работы по математике
углубить математические знания
Математика и история
За тысячелетия своего существования математика прошла большой и сложный путь, на протяжение которого неоднократно изменялся её характер, содержание  стиль изложения.
Из примитивного искусства счета с помощью камешков, палочек, зарубок математика сформировалась в обширную научную дисциплину с собственным предметом изучения и специфическим методом исследования
Прикладная математика
Начальные понятия геометрии
Коническая форма
Цилиндрическая форма

Симметрия
ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ
Две точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка АА1. Точка О считается симметричной сомой себе.

ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ
Преобразование фигуры F в фигуру F1, при котором каждая ее точка переходит в точку, симметричную относительно данной прямой, называется преобразованием симметрии относительно прямой а. Прямая  а называется осью симметрии.

Зеркальная симметрия

Если поставить зеркало вдоль оси симметрии фигуры, обладающей симметрией, то мы увидим, что отраженная в зеркале половинка фигуры дополнит ее до целой фигуры.

ЗЕРКАЛЬНО-ПОВОРОТНАЯ СИММЕТРИЯ
Если вовнутрь квадрата вписать с поворотом другой квадрат, то это и будет пример зеркально-поворотной симметрии.

Зеркальная симметрия в природе
Зеркальная симметрия преобладает  животном  и растительном мире, что заставляет ученых думать о том, что это не простое совпадение. Симметрия наблюдалась в строении живых организмов уже более 500 млн лет назад. Следовательно, симметрия возникла не случайно, возможно, симметричные объекты легче воспринимать живым существам

Симметрия в живой природе
С симметрией мы повсюду встречаемся в живой природе. Так, бабочка симметрична по отношению к отображению в воображаемом зеркале, разделяющем бабочку пополам вдоль её туловища. Симметричны тела жука, червяка, цветка, листа и др.

Симметрия вирусов
Симметрия у человека
Большинство из нас рассматривает мозг как единую структуру, в действительности он разделён на две половины.
Физическая симметрия тела и мозга не означает, что правая сторона и левая равноценны во всех отношениях. Достаточно обратить внимание на действия наших рук, чтобы увидеть начальные признаки функциональной симметрии. Лишь немногие люди одинаково владеют обеими руками; большинство же имеет ведущую руку.

Симметрия в архитектуре
В геометрических орнаментах всех веков запечатлены неиссякаемые  фантазия и изобразительность художников и мастеров, чьё творчество было ограничено жёсткими рамками, установленными неукоснительным следованием принципам симметрии.

В геометрических орнаментах всех веков запечатлены неиссякаемые  фантазия и изобразительность художников и мастеров, чьё творчество было ограничено жёсткими рамками, установленными неукоснительным следованием принципам

Симметрия широко встречается в прикладном искусстве. Орнаменты, фризы имеют в своей основе периодически повторяющийся узор.

              Практическая часть


title: Презентация на тему: Пирамида. Площадь пирамиды

text:
Решение задач на тему: «Пирамида. Площадь пирамиды»
Литвинов О.А.
ГБОУ СОШ № 873
Площадь пирамиды
Проверка домашнего задания

Задача № 240
Задача № 244
Задача № 245
Работа в классе
Задачи №№ 241, 242,
 243, 246
Задача № 241
Задача № 242
Задача № 243
Задача № 246

Домашнее задание
Задачи №№ 247, 248


title: Презентация на тему: Пирамида 10 класс

text:
Урок математики в 10 классе по теме «Пирамида»
подготовила учитель математики
первой категории
 Идиятуллина А.М
МБОУ «СОШ№22 с углубленным изучением английского языка» г.Нижнекамска РТ
900igr.net
Содержание
Определение пирамиды
Правильная пирамида
Усеченная пирамида
Решение задач
Итог урока
Список литературы

2

А1
А2
Аn
Р
А3
Многогранник, составленный из n-угольника А1А2…Аn
 и n треугольников, называется пирамидой.

вершина пирамиды
высота
боковое ребро
основание
3
Треугольная пирамида – это
тетраэдр
Четырехугольная
пирамида
А
B
C
D
S
4

Пятиугольная
пирамида

А1
А2
Аn
Р
А3

Шестиугольная
пирамида
5

Пирамида называется правильной, если ее основание - правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину с центром основания, является ее высотой.

S
6

Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

А1
А2
А3
А4
А5
А6

S

7

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.

А1
А2
А3
А4
А5
А6

Р

апофема
8

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

А1
А2
А3
А4
А5
А6

Р

9

А1
А2
Аn
А3
Усеченная пирамида

10

С
А
В
Н
 № 239.  Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей 8 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если ее высота проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7 см.

O
D

5 см
5 см
7

4
3

11

С

В
А
D

              Основанием пирамиды DАВС является треугольник АВС, у которого АВ = АС = 13 см, ВС = 10 см; ребро АD перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
№ 243.

13
9
10
13

12
Что называется пирамидой?
Правильной пирамидой?
Что называется площадью боковой поверхности пирамиды?
Что называется площадью полной поверхности пирамиды?
Чему равна площадь боковой поверхности правильной пирамиды?
Как найти радиусы вписанной и описанной окружностей для произвольного треугольника?
Формула для площади треугольника?
Итог урока
13
Подведение итогов.
Домашнее задание.

П.32,33,34
№241,242
14
15
Список литературы

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф.и др.Геометрия 10-11,Москва «Просвещение»,2010
Яровенко В.А. Поурочные разработки по геометрии. Дифференцированный подход. Москва «Вако»,2011