title: Презентация на тему: Многогранники 9 класс

text:
МНОГОГРАННИКИ

Цель:
Собрать иллюстративный материал «Многогранники как геометрическая фигура».
Систематизировать знания об основных видах многогранников.
Связать эту тему с историей математики.
Показать применение многогранников в других науках.
Показать какую роль играет математики в развитии общества.
	В природе существует много такого, что не может быть ни достаточно глубоко понято, ни достаточно убедительно доказано, ни достаточно умело и надежно использовано на практике без помощи вмешательства математики…

Ф.Бэкон
Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Но теория многогранников является и современным разделом математики. Она тесно связана с топологией, теорией графов, имеет большое значение как для теоретических исследований по геометрии, так и для практических приложений в других разделах математики, например, в алгебре, теории чисел, прикладной математики - линейном программировании, теории оптимального управления.
Так, что же такое
 многогранник?
Многогранником называется тело, граница которого является объединением конечного числа многоугольников.
Многоугольники из которых составлен многогранник называются его гранями.
Стороны граней – ребрами.
Концы ребер – вершинами многогранника.
Отрезок соединяющий две вершины не принадлежащий одной грани называются диагональю

Виды многогранников

Выпуклые
Невыпуклые
Выпуклый многогранник характеризуется тем, что он расположен по одну сторону от плоскости каждой своей грани, а не выпуклый – по разные стороны от этой плоскости

Букет Пуансо
Букет Платона
Букет Архимеда
Многогранники имеют красивые формы, например, правильные, полуправильные и звездчатые многогранники. Они обладают богатой историей, которая связана с именами таких ученых, как
Пифагор, Евклид, Архимед
С древнейших времен наши представления о красоте связаны с симметрией. Наверное, этим объясняется интерес человека к многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей.
Изучением многогранников занимались Пифагор и его ученики. Их поражала красота, совершенство, гармония этих фигур. Пифагорейцы считали правильные многогранники божественными фигурами и использовали в своих философских сочинениях: первоосновам бытия - огню, земле, воздуху, воде придавалась форма соответственно тетраэдра, куба, октаэдра, икосаэдра, а вся Вселенная имела форму додекаэдра.

Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ - идеалист Платон.
настоящее имя Аристокл

Днем рождения Платона, которого еще при жизни за мудрость называли “божественным”, по преданию считается 7 таргелион (21 мая), праздничный день, в который, согласно древнегреческой мифологии, родился бог Аполлон. Год рождения в различных источниках указывается 429 - 427 до Р.Х.

Платон родился в Афинах в самый разгар беспощадных Пелопонесских войн, предшествовавших распаду Греции. Семья его была знатной, старинной, царского происхождения, с прочными аристократическими традициями. Платон получил всестороннее воспитание, которое соответствовало представлениям классической античности о совершенном, идеальном человеке, соединяющем в себе физическую красоту безупречного тела и внутреннее, нравственное благородство. Юноша занимался живописью, сочинял трагедии, изящные эпиграммы, комедии, участвовал в качестве борца в Истмийских греческих играх и даже получил там награду. Он отдавался жизни без излишеств, но и без суровости, окруженный молодыми людьми своего класса, любимый многочисленными своими друзьями. Но этой безмятежной жизни неожиданно наступает конец.
ПЛАТОН
Согласно их мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных Платоновых тел
ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОГРАННИК-выпуклый многогранник, грани которого являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине которого сходится одно и то же число ребер.

ТЕТРАЭДР
Тетраэдр – представитель платоновых тел, то есть правильных выпуклых многогранников.
Поверхность тетраэдра состоит из четырех равносторонних треугольников, сходящихся в каждой вершине по три.
КУБ (ГЕКСАЭДР)
Куб или гексаэдр – представитель платоновых тел, то есть правильных выпуклых многогранников.

Куб имеет шесть квадратных граней, сходящихся в каждой вершине по три.

ОКТАЭДР
Октаэдр – представитель семейства платоновых тел, то есть правильных выпуклых многогранников.

Октаэдр имеет восемь треугольных граней, сходящихся в каждой вершине по четыре.

ДОДЕКАЭДР
Додекаэдр – представитель
	семейства платоновых тел.
Додекаэдр имеет двенадцать пятиугольных граней, сходящихся в вершинах по три.
Этот многогранник
	замечателен своими тремя
звездчатыми формами.

ИКОСАЭДР
Икосаэдр – представитель платоновых тел.
Поверхность икосаэдра состоит из двадцати равносторонних треугольников, сходящихся в каждой вершине по пять.
Икосаэдр имеет одну звездчатую форму.

Французский математик Пуансо в 1810 году построил четыре правильных звездчатых многогранника: малый звездчатый додекаэдр, большой звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой икосаэдр.

Два из них знал И. Кеплер (1571 – 1630 гг.).

В 1812 году французский математик О. Коши доказал, что кроме пяти «платоновых тел» и четырех «тел Пуансо» больше нет правильных многогранников.

Немецкий астроном.
В 1619 году описал два звездчатых многогранника: большой звездчатый додекаэдр и малый звездчатый додекаэдр
Занимался теорией полуправильных выпуклых многогранников
Иоганн Кеплер(1571 – 1630 гг.)
ТЕЛА ПУАНСО-КЕПЛЕРА  звездчатые многогранники (правильные невыпуклые многогранники).
БОЛЬШОЙ ИКОСАЭДР
Грани большого икосаэдра - пересекающиеся треугольники.
Вершины большого икосаэдра совпадают с вершинами описанного икосаэдра.
Большой икосаэдр был впервые описан Луи Пуансо в 1809 г.
МАЛЫЙ ЗВЕЗДЧАТЫЙ ДОДЕКАЭДР
Грани малого звездчатого додекаэдра - пентаграммы, как и у большого звездчатого додекаэдра. У каждой вершины соединяются пять граней. Вершины малого звездчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного икосаэдра.
Малый звездчатый додекаэдр был впервые описан Кеплером в 1619 г.
БОЛЬШОЙ ДОДЕКАЭДР
Грани большого додекаэдра - пересекающиеся пятиугольники.
Вершины большого додекаэдра совпадают с вершинами описанного икосаэдра.
Большой додекаэдр был впервые описан Луи Пуансо в 1809 г.

БОЛЬШОЙ ЗВЕЗДЧАТЫЙ ДОДЕКАЭДР
Грани большого звездчатого додекаэдра - пентаграммы, как и у малого звездчатого додекаэдра. У каждой вершины соединяются три грани.
Вершины большого звездчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра.
Большой звездчатый додекаэдр был впервые описан Кеплером в 1619 г.
Древнегреческий ученый.
 Открытие тринадцати полуправильных выпуклых многогранников приписывается Архимеду, впервые перечислившего их в недошедшей до нас работе. Ссылки на эту работу имеются в трудах математика Паппа.
Архимедоколо 287 – 212 гг. до нашей эры
ТЕЛА  АРХИМЕДА полуправильные однородные выпуклые многогранники
Архимедовыми телами называются выпуклые многогранники, все многогранные углы которых равны, а грани - правильные многоугольники нескольких типов (этим они отличаются от платоновых тел).
Множество архимедовых тел можно разбить на пять групп.
	Первую группу составляют пять многогранников, которые получаются из пяти платоновых тел в результате их усечения:
усеченный тетраэдр,
усеченный куб,
усеченный октаэдр,
усеченный додекаэдр,
усеченный икосаэдр.
 	Вторую группу составляют два тела, называемых квазиправильными многогранниками. Это название означает, что гранями этого многогранника являются правильные многоугольники всего двух типов, причем каждая грань одного типа окружена гранями другого типа. Эти два тела называются

кубоктаэдр и
икосододекаэдр.
В третью группу входят
ромбокубоктаэдр,
который иногда называют малым
ромбокубоктаэдром и
ромбоикосододекаэдр,
называемый также малым
ромбоикосододекаэдром.
В эту же группу входят
ромбоусеченный кубоктаэдр,
иногда называемый большим
ромбокубоктаэдром и ромбоусеченный
икосододекаэдр,
называемый также большим
ромбоикосододекаэдром, которые получаются
из кубоктаэдра и икосододекаэдра при другом
варианте усечения.

	В четвертую группу входят две   курносые модификации - курносый куб и курносый додекаэдр.
	Для них характерно несколько повернутое положение граней. В результате эти многогранники, в отличие от предыдущих, не имеют плоскостей симметрии, но имеют оси симметрии. Так как плоскостей симметрии нет, то зеркальное отражение такого тела не совпадает с исходным телом, и поэтому существуют по две формы каждого из них - "правая" и "левая", отличающиеся так же, как правая и левая руки.

Использование формы правильных многогранников
ПРИРОДА

ЧЕЛОВЕК

ВИРУСЫ
АРХИТЕКТУРА
УПАКОВКИ
БЫТОВЫЕ ПРЕДМЕТЫ

КРИСТАЛЛЫ
ГОЛОВОЛОМКИ
      Во всем облике японского строения очевидна идея преобразования пространства, подчинения его новой логике - логике "завоевания" природного ландшафта, которому противопоставлена четкая геометрия проникающих архитектурных форм
Еще один музейно-развлекательный комплекс, созданный с помощью трехмерного моделирования, продолжает тему музеев без произведений искусств.

Как объясняет создатель Музея Плодов в Яманаши Ицуко Хасегава, одна из немногих преуспевающих японских женщин-архитекторов, "геометрия трех оболочек была проанализирована с помощью объемных компьютерных построений. Каждая форма была образована путем вращения простых геометрических форм  до получения сложных  объемов.
Великая пирамида в Гизе. Эта грандиозная Египетская пирамида является древнейшим из Семи чудес древности. Кроме того, это единственное из чудес, сохранившееся до наших дней. Во времена своего создания Великая пирамида была самым высоким сооружением в мире. И удерживала она этот рекорд, по всей видимости, почти 4000 лет.
СТРОИТЕЛЬСТВО ПИРАМИД
      Пирамиды стоят на древнем кладбище в Гизе, на противоположном от Каира, столицы современного Египта, берегу реки Нил. Некоторые археологи считают, что, возможно, на строительство Великой пирамиды 100 000 человек потребовалось 20 лет. Она была создана из более чем 2 миллионов каменных блоков, каждый из которых весил не менее 2,5 тонн. Рабочие подтаскивали их к месту, используя пандусы, блоки и рычаги, а затем подгоняли друг к другу, без раствора.

Александрийский маяк.
      В III веке до н.э. был построен маяк, чтобы корабли могли благополучно миновать рифы на пути в александрийскую бухту. Ночью им помогало в этом отражение языков пламени, а днем - столб дыма. Это был первый в мире маяк, и простоял он 1500 лет
ОСТРОВ И МАЯК

    Маяк был построен на маленьком острове Фарос
в Средиземном море, около берегов Александрии. Этот оживленный порт основал Александр Великий во время посещения Египта. Сооружение назвали по имени острова. На его строительство, должно быть, ушло 20 лет, а завершен он был около 280 г. до н.э., во времена правления Птолемея II,
царя Египта.
Многогранники в искусстве
В эпоху Возрождения большой интерес к формам правильных многогранников проявили скульпторы. Архитекторы, художники. Леонардо да  Винчи (1452 -1519) например, увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Он  проиллюстрировал правильными и полуправильными многогранниками книгу Монаха Луки Пачоли ''О божественной пропорции.''

Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией Альбрехт Дюрер          (1471- 1528) ,                                    в известной гравюре
''Меланхолия ''.

На переднем плане изобразил додекаэдр.

Сальвадор Дали обращался к правильному многограннику-додекаэдру. Форму додекаэдра по мнению древних имела  ВСЕЛЕННАЯ , т.е. они считали, что мы живём внутри свода, имеющего форму поверхности  правильного додекаэдра.
Перед вами изображение картины художника Сальвадора Дали "Тайная Вечеря". Это огромное полотно, в котором художник решил посоревноваться с Леонардо да Винчи. Обратите внимание,  что изображено на переднем плане картины? Христос со своими учениками изображён на фоне огромного прозрачного ДОДЕКАЭДРА.
Фигуры, полученные объединением правильных многогранников, можно встретить во многих работах Эшера. Наиболее интересной среди них является гравюра "Звезды", на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры.
Рекомендации
	Данный материал являющийся полноценным дидактическим материалом можно использовать на уроках
геометрии с (8 по 11 класс)
истории
изобразительного искусства
черчении
МХК (мировой художественной культуре)
Перспективы
	Работа над теоретическим материалом по теме:
Формулы площадей, объемов многогранников, построение сечений, т.е. формирование практической базы для старших классов.
Рассмотрение расширения областей применения многогранников, например,
	в химии, биологии, медицине, экономике.
Спасибо за внимание !


title: Презентация на тему: Мир правильных многогранников.

text:
Мир правильных
многогранников.
Морина С.А.-учитель математики
МБОУ СОШ №5 города-курорта Железноводска
Ставропольского края
Prezentacii.com
Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой - красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства.
                                            Бертран Рассел

ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОГРАННИК-
выпуклый многогранник,
грани которого являются правильными
многоугольниками с одним и тем же числом сторон
и в каждой вершине которого сходится одно и то же число ребер.

Гексаэдр
Тетраэдр
Октаэдр
Додекаэдр
Икосаэдр
«эдра» - грань

«тетра» - 4

«гекса» - 6

«окта» - 8

«икоса» - 20

«додека» - 12
Тетраэдр – представитель  правильных выпуклых многогранников.
Поверхность тетраэдра состоит из четырех равносторонних треугольников, сходящихся в каждой вершине по три.
ТЕТРАЭДР
Куб или гексаэдр – представитель правильных выпуклых многогранников.
Куб имеет шесть квадратных граней, сходящихся в каждой вершине по три.
КУБ (ГЕКСАЭДР)
Октаэдр – представитель семейства правильных выпуклых многогранников.
Октаэдр имеет восемь треугольных граней, сходящихся в каждой вершине по четыре.

ОКТАЭДР
Додекаэдр – представитель
семейства правильных выпуклых многогранников.
Додекаэдр имеет двенадцать пятиугольных граней, сходящихся в вершинах по три.

    ДОДЕКАЭДР
Икосаэдр – представитель семейства правильных выпуклых многогранников.
Поверхность икосаэдра состоит из двадцати равносторонних треугольников, сходящихся в каждой вершине по пять.
    ИКОСАЭДР
Платон
 огонь
вода
воздух
земля
вселенная

тетраэдр

икосаэдр

октаэдр

 гексаэдр
додекаэдр

Модель Солнечной
системы Кеплера.
"Космический кубок"
 И.Кеплера
Икосаидро-додекаидровая
структура Земли.
1 группа- доказать, что правильных многогранников
                существует ровно 5.
2 группа- используя модели многогранников,
                заполнить данную таблицу и сделать вывод.
3 группа- вывести формулы для нахожденияплощадей
                поверхности прав. многогранников.
4 и 5 группы- составить развёртки правильных
                многогранников.
  Вывод:
Существует лишь пять выпуклых правильных многогранников –
    тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями
1 группа
2 группа
2 группа
Теорема Эйлера
Число вершин плюс число граней минус число рёбер равно двум.

В + Г – Р = 2
2 группа
Леонард Эйлер(1707 – 1783 гг.)немецкий математик и физик
3 группа
4-5 группы
Развертки
Архимедовыми телами называются полуправильные однородные выпуклые многогранники, то есть выпуклые многогранники, все многогранные углы которых равны, а грани - правильные многоугольники нескольких типов.

Архимедовы тела
Архимедовы
тела

Французский математик Пуансо в 1810 году построил четыре правильных звездчатых многогранника: малый звездчатый додекаэдр, большой звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой икосаэдр.

Два из них знал
 И. Кеплер (1571 – 1630 гг.).

В 1812 году французский математик О. Коши
доказал,  что кроме пяти «платоновых тел» и
 четырех «тел Пуансо» больше нет
            правильных многогранников.
Малый звездчатый
додекаэдр

Большой звездчатый
додекаэдр
Большой икосаэдр
Большой додекаэдр
Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук.
Л. Кэррол
Химия
Кристаллы
Кристаллы белого фосфора образованы молекулами Р4 . Такая молекула имеет вид тетраэдра.
Фосфорноватистая кислота
 Н 3РО2.
Молекулы зеркальных изомеров молочной кислоты.
Строение    молекулы
   метана .
Строение решетки алмаза.
Кристаллы поваренной соли.
Биология
Вирус полиомиелита имеет форму додекаэдра.
Феодария
(Circjgjnia icosahtdra)
Искусство
«Тайняя вечеря» С.Дали
        ГРАВЮРА ГОЛАНДСКОГО ХУДОЖНИКА               МАУРИЦА КОРНЕЛИУСА ЭШЕРА                     «СИЛЫ ГРАВИТАЦИИ»
Украшения
Правильная форма алмаза.
Леонардо да Винчи любил изготовлять из дерева каркасы правильных  многогранников и преподносить их в виде подарка различным знаменитостям.
Интернет- источники:
Иллюстрации
http://www.techgate.ru/wallpicagen.php?image=6_423
http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_colier/6340/МНОГОГРАННИК
http://s53.radikal.ru/i140/0910/01/d6a003cbe3ba.jpg
http://denis-gorskin.narod.ru/algebra-2009/gipotez.html
http://900igr.net/fotografii/geometrija/Mnogogrannik-2/009-Pravilnye-mnogogranniki-i-priroda.html
http://900igr.net/fotografii/geometrija/Mnogogrannik-2/008-Salvador-Dali.html
http://900igr.net/fotografii/geometrija/Mnogogrannik-2/006-Kosmicheskij-kubok-Keplera.html
http://www.metodikinz.ru/goods/?page=.math.platon&dept=1
http://luarsoll.narod.ru/Biseropletenie.html
http://festival.1september.ru/articles/594729/
http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/ce2bd098-2ee2-9c4b-025f-2ce51c2f5fa5/7257_001.gif
http://www.referat-web.ru/content/referat/physics/img5717.jpg
http://school-sector.relarn.ru/nsm/chemistry/Rus/Data/Text/Ch3_2-11/img006.gifhttp://ido.tsu.ru/schools/chem/data/res/neorg/uchpos/text/img/g3_7_10.gif
http://www.krugosvet.ru/images/1011107_6739_003.gif
http://www.mnedrug.ru/index_1.php
http://znaniya-sila.narod.ru/people/004_00.htmhttp://znaniya-sila.narod.ru/people/004_00.htm
http://photo.peoples.ru/science/mathematics/louis_poinsot/poinsot_1.html
http://nl.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler
http://www.sciencephoto.com/media/224346/enlarge
http://www.teor-meh.ru/bio/ik/koshi_ogyusten_lui.html
http://www.videoscan.ru/page/712


Презентация на тему: Многогранники в архитектуре


Презентация на тему: Многогранники. Правильные многогранники


title: Презентация на тему: «Многогранники» стереометрия

text:
900igr.net
5

7

4

8
12

8

20

12


title: Презентация на тему: Многогранники вокруг нас

text:
4
6
8
12
6
12
12
30
4
8
6
20


title: Презентация на тему: Многогранники

text:
a
b
h
4
4
6
8
6
12
20
12
30
12
20
30
6
8
12


Презентация на тему: Многогранники. Тела вращения


title: Презентация на тему: «Многогранники вокруг нас»

text:
4
6
8
12
6
12
12
30
4
8
6
20


title: Презентация на тему: Многогранники в геометрии

text:
900igr.net
A1
A2
An
B1
B2
Bn
b
a
A1
A2
An
B1
B2
Bn
b
a
A1
A2
An
B1
B2
Bn
b
a


title: Презентация на тему: Мир симетрии

text:
D
1
1


title: Презентация на тему: Многогранники призма

text:
900igr.net
B1
B2
Bn
h
1
2
h
h
1
2
3
4
12
5
45º
?
D
A1
D1
C1
B1
5
?
?
?
D
A1
B1
C1
D1
45º
12
5
13
13
45º
8
6
8
6


title: Презентация на тему: «Многогранники» 9 класс

text:
МНОГОГРАННИКИ

МОУ «Быковская ООШ»
исследовательский проект по геометрии
Автор проекта: Воронкова Анжела, 9 класс
5klass.net
Цель:
Собрать иллюстративный материал «Многогранники как геометрическая фигура».
Систематизировать знания об основных видах многогранников.
Связать эту тему с историей математики.
Показать применение многогранников в других науках.
Показать какую роль играет математики в развитии общества.
	В природе существует много такого, что не может быть ни достаточно глубоко понято, ни достаточно убедительно доказано, ни достаточно умело и надежно использовано на практике без помощи вмешательства математики…

Ф.Бэкон
Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Но теория многогранников является и современным разделом математики. Она тесно связана с топологией, теорией графов, имеет большое значение как для теоретических исследований по геометрии, так и для практических приложений в других разделах математики, например, в алгебре, теории чисел, прикладной математики - линейном программировании, теории оптимального управления.
Так, что же такое
 многогранник?
Многогранником называется тело, граница которого является объединением конечного числа многоугольников.
Многоугольники из которых составлен многогранник называются его гранями.
Стороны граней – ребрами.
Концы ребер – вершинами многогранника.
Отрезок соединяющий две вершины не принадлежащий одной грани называются диагональю

Виды многогранников

Выпуклые
Невыпуклые
Выпуклый многогранник характеризуется тем, что он расположен по одну сторону от плоскости каждой своей грани, а не выпуклый – по разные стороны от этой плоскости

Букет Пуансо
Букет Платона
Букет Архимеда
Многогранники имеют красивые формы, например, правильные, полуправильные и звездчатые многогранники. Они обладают богатой историей, которая связана с именами таких ученых, как
Пифагор, Евклид, Архимед
С древнейших времен наши представления о красоте связаны с симметрией. Наверное, этим объясняется интерес человека к многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей.
Изучением многогранников занимались Пифагор и его ученики. Их поражала красота, совершенство, гармония этих фигур. Пифагорейцы считали правильные многогранники божественными фигурами и использовали в своих философских сочинениях: первоосновам бытия - огню, земле, воздуху, воде придавалась форма соответственно тетраэдра, куба, октаэдра, икосаэдра, а вся Вселенная имела форму додекаэдра.

Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ - идеалист Платон.
настоящее имя Аристокл

Днем рождения Платона, которого еще при жизни за мудрость называли “божественным”, по преданию считается 7 таргелион (21 мая), праздничный день, в который, согласно древнегреческой мифологии, родился бог Аполлон. Год рождения в различных источниках указывается 429 - 427 до Р.Х.

Платон родился в Афинах в самый разгар беспощадных Пелопонесских войн, предшествовавших распаду Греции. Семья его была знатной, старинной, царского происхождения, с прочными аристократическими традициями. Платон получил всестороннее воспитание, которое соответствовало представлениям классической античности о совершенном, идеальном человеке, соединяющем в себе физическую красоту безупречного тела и внутреннее, нравственное благородство. Юноша занимался живописью, сочинял трагедии, изящные эпиграммы, комедии, участвовал в качестве борца в Истмийских греческих играх и даже получил там награду. Он отдавался жизни без излишеств, но и без суровости, окруженный молодыми людьми своего класса, любимый многочисленными своими друзьями. Но этой безмятежной жизни неожиданно наступает конец.
ПЛАТОН
Согласно их мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных Платоновых тел
ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОГРАННИК-выпуклый многогранник, грани которого являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине которого сходится одно и то же число ребер.

ТЕТРАЭДР
Тетраэдр – представитель платоновых тел, то есть правильных выпуклых многогранников.
Поверхность тетраэдра состоит из четырех равносторонних треугольников, сходящихся в каждой вершине по три.
КУБ (ГЕКСАЭДР)
Куб или гексаэдр – представитель платоновых тел, то есть правильных выпуклых многогранников.

Куб имеет шесть квадратных граней, сходящихся в каждой вершине по три.

ОКТАЭДР
Октаэдр – представитель семейства платоновых тел, то есть правильных выпуклых многогранников.

Октаэдр имеет восемь треугольных граней, сходящихся в каждой вершине по четыре.

ДОДЕКАЭДР
Додекаэдр – представитель
	семейства платоновых тел.
Додекаэдр имеет двенадцать пятиугольных граней, сходящихся в вершинах по три.
Этот многогранник
	замечателен своими тремя
звездчатыми формами.

ИКОСАЭДР
Икосаэдр – представитель платоновых тел.
Поверхность икосаэдра состоит из двадцати равносторонних треугольников, сходящихся в каждой вершине по пять.
Икосаэдр имеет одну звездчатую форму.

Французский математик Пуансо в 1810 году построил четыре правильных звездчатых многогранника: малый звездчатый додекаэдр, большой звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой икосаэдр.

Два из них знал И. Кеплер (1571 – 1630 гг.).

В 1812 году французский математик О. Коши доказал, что кроме пяти «платоновых тел» и четырех «тел Пуансо» больше нет правильных многогранников.

Немецкий астроном.
В 1619 году описал два звездчатых многогранника: большой звездчатый додекаэдр и малый звездчатый додекаэдр
Занимался теорией полуправильных выпуклых многогранников
Иоганн Кеплер(1571 – 1630 гг.)
ТЕЛА ПУАНСО-КЕПЛЕРА  звездчатые многогранники (правильные невыпуклые многогранники).
БОЛЬШОЙ ИКОСАЭДР
Грани большого икосаэдра - пересекающиеся треугольники.
Вершины большого икосаэдра совпадают с вершинами описанного икосаэдра.
Большой икосаэдр был впервые описан Луи Пуансо в 1809 г.
МАЛЫЙ ЗВЕЗДЧАТЫЙ ДОДЕКАЭДР
Грани малого звездчатого додекаэдра - пентаграммы, как и у большого звездчатого додекаэдра. У каждой вершины соединяются пять граней. Вершины малого звездчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного икосаэдра.
Малый звездчатый додекаэдр был впервые описан Кеплером в 1619 г.
БОЛЬШОЙ ДОДЕКАЭДР
Грани большого додекаэдра - пересекающиеся пятиугольники.
Вершины большого додекаэдра совпадают с вершинами описанного икосаэдра.
Большой додекаэдр был впервые описан Луи Пуансо в 1809 г.

БОЛЬШОЙ ЗВЕЗДЧАТЫЙ ДОДЕКАЭДР
Грани большого звездчатого додекаэдра - пентаграммы, как и у малого звездчатого додекаэдра. У каждой вершины соединяются три грани.
Вершины большого звездчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра.
Большой звездчатый додекаэдр был впервые описан Кеплером в 1619 г.
Древнегреческий ученый.
 Открытие тринадцати полуправильных выпуклых многогранников приписывается Архимеду, впервые перечислившего их в недошедшей до нас работе. Ссылки на эту работу имеются в трудах математика Паппа.
Архимедоколо 287 – 212 гг. до нашей эры
ТЕЛА  АРХИМЕДА полуправильные однородные выпуклые многогранники
Архимедовыми телами называются выпуклые многогранники, все многогранные углы которых равны, а грани - правильные многоугольники нескольких типов (этим они отличаются от платоновых тел).
Множество архимедовых тел можно разбить на пять групп.
	Первую группу составляют пять многогранников, которые получаются из пяти платоновых тел в результате их усечения:
усеченный тетраэдр,
усеченный куб,
усеченный октаэдр,
усеченный додекаэдр,
усеченный икосаэдр.
 	Вторую группу составляют два тела, называемых квазиправильными многогранниками. Это название означает, что гранями этого многогранника являются правильные многоугольники всего двух типов, причем каждая грань одного типа окружена гранями другого типа. Эти два тела называются

кубоктаэдр и
икосододекаэдр.
В третью группу входят
ромбокубоктаэдр,
который иногда называют малым
ромбокубоктаэдром и
ромбоикосододекаэдр,
называемый также малым
ромбоикосододекаэдром.
В эту же группу входят
ромбоусеченный кубоктаэдр,
иногда называемый большим
ромбокубоктаэдром и ромбоусеченный
икосододекаэдр,
называемый также большим
ромбоикосододекаэдром, которые получаются
из кубоктаэдра и икосододекаэдра при другом
варианте усечения.

	В четвертую группу входят две   курносые модификации - курносый куб и курносый додекаэдр.
	Для них характерно несколько повернутое положение граней. В результате эти многогранники, в отличие от предыдущих, не имеют плоскостей симметрии, но имеют оси симметрии. Так как плоскостей симметрии нет, то зеркальное отражение такого тела не совпадает с исходным телом, и поэтому существуют по две формы каждого из них - "правая" и "левая", отличающиеся так же, как правая и левая руки.

Использование формы правильных многогранников
ПРИРОДА

ЧЕЛОВЕК

ВИРУСЫ
АРХИТЕКТУРА
УПАКОВКИ
БЫТОВЫЕ ПРЕДМЕТЫ

КРИСТАЛЛЫ
ГОЛОВОЛОМКИ
      Во всем облике японского строения очевидна идея преобразования пространства, подчинения его новой логике - логике "завоевания" природного ландшафта, которому противопоставлена четкая геометрия проникающих архитектурных форм
Еще один музейно-развлекательный комплекс, созданный с помощью трехмерного моделирования, продолжает тему музеев без произведений искусств.

Как объясняет создатель Музея Плодов в Яманаши Ицуко Хасегава, одна из немногих преуспевающих японских женщин-архитекторов, "геометрия трех оболочек была проанализирована с помощью объемных компьютерных построений. Каждая форма была образована путем вращения простых геометрических форм  до получения сложных  объемов.
Великая пирамида в Гизе. Эта грандиозная Египетская пирамида является древнейшим из Семи чудес древности. Кроме того, это единственное из чудес, сохранившееся до наших дней. Во времена своего создания Великая пирамида была самым высоким сооружением в мире. И удерживала она этот рекорд, по всей видимости, почти 4000 лет.
СТРОИТЕЛЬСТВО ПИРАМИД
      Пирамиды стоят на древнем кладбище в Гизе, на противоположном от Каира, столицы современного Египта, берегу реки Нил. Некоторые археологи считают, что, возможно, на строительство Великой пирамиды 100 000 человек потребовалось 20 лет. Она была создана из более чем 2 миллионов каменных блоков, каждый из которых весил не менее 2,5 тонн. Рабочие подтаскивали их к месту, используя пандусы, блоки и рычаги, а затем подгоняли друг к другу, без раствора.

Александрийский маяк.
      В III веке до н.э. был построен маяк, чтобы корабли могли благополучно миновать рифы на пути в александрийскую бухту. Ночью им помогало в этом отражение языков пламени, а днем - столб дыма. Это был первый в мире маяк, и простоял он 1500 лет
ОСТРОВ И МАЯК

    Маяк был построен на маленьком острове Фарос
в Средиземном море, около берегов Александрии. Этот оживленный порт основал Александр Великий во время посещения Египта. Сооружение назвали по имени острова. На его строительство, должно быть, ушло 20 лет, а завершен он был около 280 г. до н.э., во времена правления Птолемея II,
царя Египта.
Многогранники в искусстве
В эпоху Возрождения большой интерес к формам правильных многогранников проявили скульпторы. Архитекторы, художники. Леонардо да  Винчи (1452 -1519) например, увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Он  проиллюстрировал правильными и полуправильными многогранниками книгу Монаха Луки Пачоли ''О божественной пропорции.''

Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией Альбрехт Дюрер          (1471- 1528) ,                                    в известной гравюре
''Меланхолия ''.

На переднем плане изобразил додекаэдр.

Сальвадор Дали обращался к правильному многограннику-додекаэдру. Форму додекаэдра по мнению древних имела  ВСЕЛЕННАЯ , т.е. они считали, что мы живём внутри свода, имеющего форму поверхности  правильного додекаэдра.
Перед вами изображение картины художника Сальвадора Дали "Тайная Вечеря". Это огромное полотно, в котором художник решил посоревноваться с Леонардо да Винчи. Обратите внимание,  что изображено на переднем плане картины? Христос со своими учениками изображён на фоне огромного прозрачного ДОДЕКАЭДРА.
Фигуры, полученные объединением правильных многогранников, можно встретить во многих работах Эшера. Наиболее интересной среди них является гравюра "Звезды", на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры.
Рекомендации
	Данный материал являющийся полноценным дидактическим материалом можно использовать на уроках
геометрии с (8 по 11 класс)
истории
изобразительного искусства
черчении
МХК (мировой художественной культуре)
Перспективы
	Работа над теоретическим материалом по теме:
Формулы площадей, объемов многогранников, построение сечений, т.е. формирование практической базы для старших классов.
Рассмотрение расширения областей применения многогранников, например,
	в химии, биологии, медицине, экономике.
Спасибо за внимание !


title: Презентация на тему: Многогранник. Призма

text:
ПРОСТРАНСТВО
многогранники

выпуклые
невыпуклые

Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, называют   МНОГОГРАННИКОМ
ПРИЗМА
Тема урока: МНОГОГРАННИКИ. ПРИЗМА
Цель урока:
а) построить определение:         многогранника и призмы; элементов многогранника и призмы
б) узнать виды призм;
 в) вывести формулы для вычисления площадей
 полной и боковой поверхностей призмы
НАКЛОННАЯ ПРИЗМА
ПРЯМАЯ ПРИЗМА – призма, в которой боковые ребра перпендикулярны к основаниям
ВЫСОТА призмы – перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания к плоскости другого основания

ПРАВИЛЬНАЯ ПРИЗМА – прямая призма основаниями которой являются правильные    многоугольники
Sбок. = Ph
Sполн. = Sбок. + 2Sосн.
Задача №1Sбок. = Ph      Sбок.=(4+5)·2·6=108Sполн. = Sбок. + 2Sосн.Sосн. = 5·4 = 20   Sпол. = 108 + 2·20 = 148
Задача № 2
Sбок. = Рh
Sбок. = 3·4·5 = 60
Sпол.= Sбок. + 2Sосн.
Sосн. = 3·3 = 9
Sпол. = 60 + 2 · 9 = 78
Решение:
АВ=√4²+3²= 5
Sбок.=Ph
Sбок.=(4+3+5)·3=36
Sбок.+2Sосн.=Sполн.
Sосн.=½·4·3=6
Sполн.=36+2·6=48
Задача 3
Дано: АВСАВС- прямая призма
АСВ=90°
Найти: Sбок. и Sполн.
Что нового вы узнали на уроке?

2. Что использовали для «открытия»
 новых знаний?
3. Вы достигли поставленной цели?
4. Как вы оцените свою работу на уроке?
Домашнее задание:п.26,27;№ 219,229(а),модель призмы
Всем  спасибо. Молодцы!


title: Презентация на тему: Многогранники: виды задач и методы их решения (типовые задания С2) - 2

text:
(типовые задания С2) - 2
Многогранники:
виды задач и методы их решения
Методическая разработка Амачкиной А.А.
МОУ СОШ №12,
г. Балашиха, Московской области.
Расстояние от точки до прямой, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую.
Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра.
Расстояние между двумя параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до другой прямой.
1.2. Расстояние от точки до прямой
Расстояние от точки до прямой можно вычислить, как длину отрезка перпендикуляра, если удается включить этот отрезок в некоторый треугольник в качестве одной из высот.

Пример 4. При условиях примера 1
найти расстояние от точки D1 до прямой EF.
Поэтапно-вычислительный метод
Координатный метод
Векторный метод
Замечание. Решение данного примера векторным методом не является рациональным, но приведено с целью показа широких возможностей векторного метода при решении задач разных видов
Используемая литература:
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их решения.


title: Презентация на тему: Многогранник Призма

text:
Учитель ГБОУ СОШ №5 г.Санкт-Петербурга Очагова Неля Ивановна

Многогранник
Призма
ПРОСТРАНСТВО
многогранники

выпуклые
невыпуклые

Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, называют   МНОГОГРАННИКОМ
ПРИЗМА
Тема урока: МНОГОГРАННИКИ. ПРИЗМА
Цель урока:
а) построить определение        многогранника и призмы; элементов многогранника и призмы
б) узнать виды призм;
 в) вывести формулы для вычисления площадей
 полной и боковой поверхностей призмы
НАКЛОННАЯ ПРИЗМА
ПРЯМАЯ ПРИЗМА – призма, в которой боковые ребра перпендикулярны к основаниям
ВЫСОТА призмы – перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания к плоскости другого основания

ПРАВИЛЬНАЯ ПРИЗМА – прямая призма основаниями которой являются правильные    многоугольники
Sбок. = Ph
Sполн. = Sбок. + 2Sосн.
Решение:
АВ=√4²+3²= 5
Sбок.=Ph
Sбок.=(4+3+5)·3=36
Sбок.+2Sосн.=Sполн.
Sосн.=½·4·3=6
Sполн.=36+2·6=48
Задача
Дано: АВСА₁В₁С₁- прямая призма
АСВ=90°
Найти: Sбок. и Sполн.
Задача №1Sбок. = Ph      Sбок.=(4+5)·2·6=108Sполн. = Sбок. + 2Sосн.Sосн. = 5·4 = 20   Sпол. = 108 + 2·20 = 148
Задача № 2
Sбок. = Рh
Sбок. = 3·4·5 = 60
Sпол.= Sбок. + 2Sосн.
Sосн. = 3·3 = 9
Sпол. = 60 + 2 · 9 = 78
Что нового вы узнали на уроке?

2. Что использовали для «открытия»
 новых знаний?
3. Вы достигли поставленной цели?
4. Как вы оцените свою работу на уроке?
Домашнее задание:п.26,27;№ 219,229(а),модель призмы
Всем  спасибо. Молодцы!


Презентация на тему: Многогранный угол


title: Презентация на тему: Многогранники. Пирамиды

text:
M
A
E
D
C
B
S
n=3
n=4
n=6
n=3
S1+
S2+
Sn=

1
2
1
2
o
s
S
o

1
2
1
2


Презентация на тему: Многогранники вокруг нас или мы внутри многогранника


Презентация на тему: Многоугольгики


title: Презентация на тему: Многоугольник

text:
 n-3
14
7
9
6
5
5
2
4
0
3


Презентация на тему: Многогранные углы


text:
D1
D
D
D1
A
B
C
A1
C1
B1
h
h
3
3
4


Презентация на тему: МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ


title: Презентация на тему: Многоугольники

text:
   n

   r
   R
   S
  r,R
   3
   60
R=2r
   4
   90
R=r
   6
  120
    a


Презентация на тему: Многоугольник


title: Презентация на тему: Многоугольники 8 класс

text:
D
F
G
E
D
F
G
E
D
D
F
G
E
D
D
D
F
4
2
5
3
6
4
n
n-2
(n-2) 180
o


Презентация на тему: Многоугольники


title: Презентация на тему: Многообразия

text:
.
900igr.net

t=0


title: Презентация на тему: Многоугольники

text:
D
F
D
F
D
F
2
3
4
2
3
4


title: Презентация на тему: Многоугольники

text:
900igr.net

   n

   r
   R
   S
  r,R
   3
   60
R=2r
   4
   90
R=r
   6
  120
    a


title: Презентация на тему: Многоугольники

text:
A
B
C
D
K
L
M
N
    J                    B
   I                               P
 R
A
B
C
D
A                                   D
B
C
Z
X
H
Y
M                    N
    K                     T
  A        H                         B
C                  D
S=1/2(AB+CD)CH
S1                      S2                        S3
S1+S2+S3=SABCD
    A                                                                 D
B
C
S=a
2
    A                                       D
B              b
 a
C
S=a  b
.
      S                                 M
K                         H
S=a  h
.
A                                                          C
 B
  V                       R
G
  S                   K
 T
A                                            C
B
S=1/2AB  BH
.
P                               R
W
S=1/2WP  PR
.
 a
2
b
2
c=a+b
2         2
2


title: Презентация на тему: Многоугольники и их виды

text:
A                           B
C
E                         D
A                           B
C
E                         D
A                           B
C
E                         D
A                           B
C
E                         D
F                         C
   E                D


text:
S
F
R
V
L
M
H
R
K
D


text:
900igr.net
S
F
R
V
L
M
H
R
K
D


title: Презентация на тему: "Многоугольники"

text:
D
F
D
F
D
F
2
3
4
2
3
4


title: Презентация на тему: МНОГОУГОЛЬНИКИ


Презентация на тему: Моделирование многогранников


title: Презентация на тему: Многогранники: виды задач и методы их решения (типовые задания С2) - 1

text:
(типовые задания С2) - 1
Многогранники:
виды задач и методы их решения
Методическая разработка Амачкиной А.А.
МОУ СОШ №12,
г. Балашиха, Московской области.
Расстояние между точками A и B можно вычислить:
1) как длину отрезка AB , если отрезок AB удается включить в некоторый треугольник в качестве одной из его сторон;
2) по формуле

3) по формуле
1.1. Расстояние между двумя точками
Пример 1.
В единичном кубе ABCDA1 B1 C1 D1 на диагоналях граней  AD1 и D1 B1 взяты точки Е и F так, что
Найти длину отрезка EF.
Поэтапно-вычислительный метод
Пример 1. В единичном кубе ABCDA1 B1 C1 D1 на диагоналях граней  AD1 и D1 B1 взяты точки Е и F так, что

Найти длину отрезка EF.
Векторный метод
Решение. Введем прямоугольную систему координат
Пример 2. В единичном кубе ABCDA1B1 C1 D1 точки E и K – середины ребер AA1 и CD соответственно, а точка M расположена на диагонали B1 D1 так, что B1 M = 2MD1. Найти расстояние между точками Q и L, где Q – середина отрезка ЕМ, а L – точка отрезка МК такая, что ML = 2LK.
Координатный метод
Для нахождения координат точки М используем формулу координат точки (опорная задача 1), делящей отрезок B1 D1 в отношении 2:1. Имеем

Используемая литература:
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их решения. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011
(типовые задания С2)
Корянов А. Г., г. Брянск, akoryanov@mail.ru
Прокофьев А.А., г. Москва, aaprokof@yandex.ru


title: Презентация на тему: Многоугольники

text:
Многоугольники
МКОУ «СОШ №1 города Суздаля»
Учитель математики
Плотникова Т.В.
1
Prezented.Ru

Что общего у фигур, изображённых на экране?
2
Нарисуйте в тетради фигуру, изображённую на экране:

А1
А2
А3
А4
А5
Назовите отрезки, из которых состоит данная фигура.
Их можно разделить на смежные и несмежные.
3

А1
А2
А3
А4
А5
Смежными называются отрезки, соединяющие соседние вершины фигуры.
Отрезки
смежные
несмежные
4

Многоугольник-фигура,
состоящая из отрезков,
причём смежные отрезки
не лежат на одной прямой,
а несмежные отрезки не
пересекаются.
Определение:
А
В
С
D
Е
F
К
Учебник: рис.150,151,152
5

А1
А2
А3
А4
А5
Многоугольник А1А2А3А4А5
А1А2, А2А3, А3А4, А4А5, А5А1 - стороны
Р- сумма сторон многоугольника - периметр
А1,А2,А3,А4,А5- вершины
соседние
несоседние
6

А1
А2
А3
А4
А5
Многоугольник А1А2А3А4А5
Отрезок, соединяющий две любые несоседние вершины многоугольника, называется диагональю.
7

А1
А2
А3
А4
А5
Внешняя часть плоскости
Внутренняя часть плоскости
Многоугольником называется фигура, состоящая из отрезков и внутренней  области.
8
Многоугольники
выпуклые
невыпуклые
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от прямой, проходящей через любые две соседние вершины.
Многоугольник
называется невыпуклым,
если он лежит по разные
стороны от хотя бы
одной прямой,
проходящей через две
соседние вершины.
9
Многоугольники
выпуклые
невыпуклые

А
В
С
D
Е
F
К

А
В
С
D
Е
F
К
Учебник: рис 153, 154
10
Нарисуйте четырёхугольник, пятиугольник и шестиугольник.

Проведите в них диагонали, исходящие из одной вершины.
Сколько треугольников образовалось в каждой фигуре?
2
3
4
11

2
3
4
Чему равна сумма углов в каждом многоугольнике?
2•180°=360°
3•180°=540°
4•180°=720°
12
А1
А2
А3
Аn-1
Аn
Формула суммы углов выпуклого
n-угольника:
В n-угольнике:
n - сторон
(n-2) - треугольника
Сумма углов в многоугольнике:
Sn=(n-2)•180°
13
Выполните самостоятельно №364 из учебника
S5=(5-2)•180°=3 •180°= 540°
S6=(6-2)•180°=4 •180°= 720°
S10=(10-2)•180°=8 •180°= 1440°
14
Домашнее задание:
Учебник: п.39-41(пересказ)
Вопросы 1-5 стр. 114
№366
15
МКОУ «СОШ №1 города Суздаля»
Учитель математики: Плотникова Т.В.
Prezented.Ru


title: Презентация на тему: Многоугольники

text:
Многоугольники
МКОУ «СОШ №1 города Суздаля»
Учитель математики
Плотникова Т.В.
1
Prezentacii.com

Что общего у фигур, изображённых на экране?
2
Нарисуйте в тетради фигуру, изображённую на экране:

А1
А2
А3
А4
А5
Назовите отрезки, из которых состоит данная фигура.
Их можно разделить на смежные и несмежные.
3

А1
А2
А3
А4
А5
Смежными называются отрезки, соединяющие соседние вершины фигуры.
Отрезки
смежные
несмежные
4

Многоугольник-фигура,
состоящая из отрезков,
причём смежные отрезки
не лежат на одной прямой,
а несмежные отрезки не
пересекаются.
Определение:
А
В
С
D
Е
F
К
Учебник: рис.150,151,152
5

А1
А2
А3
А4
А5
Многоугольник А1А2А3А4А5
А1А2, А2А3, А3А4, А4А5, А5А1 - стороны
Р- сумма сторон многоугольника - периметр
А1,А2,А3,А4,А5- вершины
соседние
несоседние
6

А1
А2
А3
А4
А5
Многоугольник А1А2А3А4А5
Отрезок, соединяющий две любые несоседние вершины многоугольника, называется диагональю.
7

А1
А2
А3
А4
А5
Внешняя часть плоскости
Внутренняя часть плоскости
Многоугольником называется фигура, состоящая из отрезков и внутренней  области.
8
Многоугольники
выпуклые
невыпуклые
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от прямой, проходящей через любые две соседние вершины.
Многоугольник
называется невыпуклым,
если он лежит по разные
стороны от хотя бы
одной прямой,
проходящей через две
соседние вершины.
9
Многоугольники
выпуклые
невыпуклые

А
В
С
D
Е
F
К

А
В
С
D
Е
F
К
Учебник: рис 153, 154
10
Нарисуйте четырёхугольник, пятиугольник и шестиугольник.

Проведите в них диагонали, исходящие из одной вершины.
Сколько треугольников образовалось в каждой фигуре?
2
3
4
11

2
3
4
Чему равна сумма углов в каждом многоугольнике?
2•180°=360°
3•180°=540°
4•180°=720°
12
А1
А2
А3
Аn-1
Аn
Формула суммы углов выпуклого
n-угольника:
В n-угольнике:
n - сторон
(n-2) - треугольника
Сумма углов в многоугольнике:
Sn=(n-2)•180°
13
Выполните самостоятельно №364 из учебника
S5=(5-2)•180°=3 •180°= 540°
S6=(6-2)•180°=4 •180°= 720°
S10=(10-2)•180°=8 •180°= 1440°
14
Домашнее задание:
Учебник: п.39-41(пересказ)
Вопросы 1-5 стр. 114
№366
15
МКОУ «СОШ №1 города Суздаля»
Учитель математики: Плотникова Т.В.
Prezentacii.com


title: Презентация на тему: Многоугольники 9 класс

text:
900igr.net
 n-3
3
0
4
2
5
5
6
9
7
14


title: Презентация на тему: Модуль и графики 9 класс

text:
Y=|X|
Y=X-3
Y=|X²-2|
Y=-(X+3)²+2
Y=X²-5X+6
Y=3X-6
Y=X²-2X-3
Y=||X-2|-2|
Y=|X²-5|X|+6|
Y=X
Y=|X-3|
Y=|X²-2|
Y=X²-2
Y=X²-2
Y=|-(X+3)²+2|
Y=|X²-5X+6|
Y=3|X|-6
Y=X²-2|X|-3
Y=X-2
Y=|X-2|
Y=|X-2|-2
Y=||X-2|-2|
Y=X²-5X+6
Y=X²-5|X|+6
Y=|X²-5|X|+6|


Презентация на тему: Модели многогранников


title: Презентация на тему: Модуль и графики

text:
Y=|X|
Y=X-3
Y=|X²-2|
Y=-(X+3)²+2
Y=X²-5X+6
Y=3X-6
Y=X²-2X-3
Y=||X-2|-2|
Y=|X²-5|X|+6|
Y=X
Y=|X-3|
Y=X²-2
Y=|-(X+3)²+2|
Y=|X²-5X+6|
Y=3|X|-6
Y=X²-2|X|-3
Y=X-2
Y=|X-2|
Y=|X-2|-2
Y=||X-2|-2|
Y=X²-5X+6
Y=X²-5|X|+6
Y=|X²-5|X|+6|


title: Презентация на тему: Многоугольники и четырехугольники

text:
ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ

Амирова Яна Юрьевна
учитель математики
42 гимназия
Приморского района
Г. Санкт- Петербурга
2008 г.
СОДЕРЖАНИЕ
Многоугольник
Четырехугольник
Классификация четырехугольников
Параллелограмм. Свойства и признаки
Прямоугольник. Свойства
Ромб. Свойства
Квадрат. Свойства
Трапеция
Итоговая работа
МНОГОУГОЛЛЬНИК

А
В
С
Д
Е
F
G
H
Многоугольником называется фигура, составленная из отрезков так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек.
ABCDEFGH-многоугольник
А, В, . . . , Н- вершины
AB, BC, . . . , FK-стороны

Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются соседними.
Отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника.

Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней, а другая- внешней областью многоугольника.

Четырехугольники

F
l
Н
О
Каждый четырехугольник имеет четыре вершины, четыре стороны и две диагонали.

Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными.
Две вершины, не являющиеся соседними, называются также противоположными.

КЛАССИФИКАЦИЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.

ПРЯМОУГОЛЬНИК

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые
СВОЙСТВА
В прямоугольнике противоположные стороны равны и параллельны

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам

В прямоугольнике все углы прямые

РОМБ

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны
СВОЙСТВА
В ромбе противоположные стороны параллельны
В ромбе все стороны равны

Диагонали  ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам

Диагонали точкой пересечения делятся пополам

КВАДРАТ

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны
Квадратом называется ромб, у которого все углы прямые
СВОЙСТВА
Все стороны равны
Противоположные стороны параллельны
Все углы квадрата прямые
Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам

ТРАПЕЦИЯ

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.
Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а две другие стороны- боковыми сторонами.

основание
основание
боковая сторона
боковая сторона

Итоговая работа по теме "Четырехугольники"
Каждое высказывание соотнесите с соответствующей ему фигурой

Ромб, у которого один угол прямой является . . .
Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то это . . .
Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то это . . .
Если в четырехугольнике все стороны равны, то это . . .
Если в ромбе один угол прямой, то это . . .
Если в четырехугольнике все углы прямые, то этот четырехугольник является. . .
Если в параллелограмме диагонали равны, то это


title: Презентация на тему: Моделирование и формализация

text:
Авторы проекта учени. 11 класса «А»18.10.2012

Моделирование и формализация
Определение моделирование
Что такое «атрибут объекта»?
Формы представления моделей
Формализация
Что такое «математическая модель»?
Типы информационных моделей
Содержание:
Моделирование – метод познания, состоящий в создании и исследовании моделей.
Определение моделирования

Что такое «атрибут объекта»?
Все модели можно разделить на два больших класса:
 Предметные (материальные), которые воспроизводят геометрические, физические и другие свойства объектов в материальной форме;
 Информационные воспроизводят свойства объектов в образной или знаковой форме.
Формы представления моделей
Процесс построения информационных моделей с помощью формальных языков называется формализацией.
Формализация
Модели, построенные с использованием математических формул и понятий, называются математическими моделями.
Что такое «математическая модель»?
Табличные инф. модели – перечень однотипных объектов или свойств размещён в первом столбце (или строке) таблицы, а значения их свойств размещаются в следующих столбцах (строках)таблицы.
Иерархические инф. модели – объекты распределены по уровням.
Сетевые  инф. модели – принимаются для отражения систем со сложной структурой, в которые связи между элементами имеют произвольный характер.
Типы информационных моделей


Презентация на тему: Моделирование в стереометрии Построение сечений


title: Презентация на тему: Моделирование предмета сложной формы из многогранников

text:
ЧЕРЧЕНИЕ ( I ГОД ОБУЧЕНИЯ)
Тема урока
 Моделирование предмета сложной формы
 из многогранников
Учитель черчения			Пономаренко
ГБОУ лицея №419			Татьяна
Санкт-Петербурга			Дмитриевна
2013-2014 уч.год
1
2
3
4
5
6
7
2
3
1
2
3
4
5
6
7
4
Задание 1
( выполняется совместно в команде)

	Придумать оригинальную форму фонаря, используя различные многогранники, и изобразить схематично или в виде рисунка модель вашего фонаря на листах бумаги формата А5.

Время выполнения задания – 7 минут.

5
Какое проецирование используется при получении изображений на чертежах и эскизах?
Ответ :
При получении изображений на чертежах и эскизах используется ортогональное проецирование, то есть прямоугольное проецирование на взаимно-перпендикулярные плоскости проекций.
6
z
x
y

А
а
а’
а”
W
H
V
z
x
y
y

а’
а”
а
V
W
H
О
О
А (а, а’, а”)
Точка А – изображаемый объект
H, V, W – плоскости проекций
а – горизонтальная проекция точки А
а’ – фронтальная проекция точки А
а” – профильная проекция точки А
ПРОЕЦИРОВАНИЕ  ТОЧКИ
7
Какие фигуры получаются при проецировании пирамиды и
 призмы на три взаимно-перпендикулярные плоскости проекций?
8
Какие фигуры получаются при проецировании усечённой пирамиды на три взаимно-перпендикулярные плоскости проекций?
9
Сколько видов на чертеже необходимо и достаточно построить для однозначного определения формы многогранника?
С какого вида необходимо начинать вычерчивать чертёж любого многогранника?
10

А
В
В каком случае проекции точек на изображении совпадают?

а’
а(b)
b’

11

А
В

а’
а(b)
b’
В каком случае отрезок прямой (ребро) проецируется в
истинную величину (сохраняет форму и размеры)? В каком случае он проецируется в точку?

с’
d’
d
c
D
C

В каком случае грань (часть плоскости) проецируется в  отрезок прямой? В каком случае она проецируется в истинную величину?

12
Динамическая пауза
13
Упражнения для глаз
14
Задание 2
(выполняется индивидуально)

Выполнить эскиз фонаря на листе бумаги формата А4 в клетку.

Время выполнения задания – 14 минут.

15
Домашнее задание

	По выполненному эскизу построить технический рисунок фонаря на листе бумаги формата А4 в клетку.
16
17
Литература:
Ботвинников А.Д., Виноградов В.Н., Вышнепольский И.С.             Черчение: Учебник. – М.: АСТ: Астрель, 2012 г.
Фонари Санкт-Петербурга http://www.spbmuzei.ru/fonari3.htm
Фонари как украшение города Санкт-Петербурга
http://www.webkursovik.ru/kartgotrab.asp?id=-29625
Благодарю за сотрудничество!
18


title: Презентация на тему: Моделирование многогранниковархимедовы тела

text:
24
36
14
6
8
12
18
8
4
4
24
36
14
8
6
60
90
32
20
12
12
24
14
6
8
30
60
32
12
20
24
48
26
18
8
60
120
62
12
30
20
48
72
26
6
8
24
60
38
6
32
60
150
92
12
80


title: Презентация на тему: Многоугольники. Решение задач

text:
Четырехугольники
8 классгеометрия

Урок № 1
Многоугольники
30.11.2012
1
www.konspekturoka.ru
Цели:
30.11.2012
Ввести понятие многоугольника, выпуклого многоугольника и рассмотреть четырехугольник как частный вид многоугольника.
Ввести формулу суммы углов выпуклого многоугольника и суммы углов четырехугольника.
Решение базовых задач.

2
www.konspekturoka.ru
30.11.2012
www.konspekturoka.ru
3

ABCDEFK – многоугольник (семиугольник)
AB, BC, CD, DE, EF, FK, KA - стороны многоугольника
A, B, C, D, E, F, K – вершины многоугольника
A, B – соседние вершины
AС, AD, AE, AF – диагонали многоугольника
30.11.2012
www.konspekturoka.ru
4
C
D
B
E
F
A
ABCDEFK – не многоугольник (СЕ ⋂  AD = B)
30.11.2012
www.konspekturoka.ru
5

 внутренняя
 область
 внешняя  область

30.11.2012
www.konspekturoka.ru
6
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит
 по одну сторону от каждой  прямой, проходящей через
 две его соседние вершины.

30.11.2012
www.konspekturoka.ru
7
A
B
E
C
D
ABCDE -  невыпуклый многоугольник
30.11.2012
www.konspekturoka.ru
8

∠AВС, ∠BCD, ∠CDE, ∠DEF, ∠EFK, ∠FKA – углы
многоугольника
Найдем  сумму всех  углов многоугольника.
Для этого соединим вершину А с другими вершинами.
Получим  (n – 2 ) треугольников (пять).
Сумма углов каждого треугольника 180°.
Сумма углов выпуклого многоугольника (п – 2)·180°
Сумма углов выпуклого четырехугольника 360°
30.11.2012
www.konspekturoka.ru
9
Задача
Сколько сторон имеет многоугольник, если каждый угол
 которого равен 120°.
Решение
Так как сумма углов выпуклого многоугольника
(п – 2) · 180°.
То следовательно (п – 2) · 180° = 120° · п
Обозначим  п – количество сторон многоугольника.
180° · п - 360° = 120° · п
60° · п = 360°
 п = 360° : 60°
 п = 6
Ответ: 6 сторон.
1
30.11.2012
www.konspekturoka.ru
10
Задача
Найти стороны четырехугольника, если его периметр 66 см,
 первая сторона больше второй на 8 см и на столько же
 меньше третей, а четвертая - в три раза больше второй.
2
Решение
 x
 x - 8
 x + 8
 3(x – 8)
Периметр это сумма
 длин всех сторон,
 поэтому:
 х + (x – 8) + (х + 8) + 3(х – 8) = 66
 х + x – 8 + х + 8 + 3х – 24 = 66
 6х – 24 = 66
 6х = 66 + 24
 6х = 90
 х = 90 : 6
 х = 15
ВС = 15 см, AB = 15 – 8 = 7 см,
CD = 15 + 8 = 23 cм,
AD = 3· 7 = 21 см.
Ответ:
15 см, 7 см, 23 cм, 21 см.
30.11.2012
www.konspekturoka.ru
11
3
АВСD – четырехугольник, ∠А = ∠B =∠C =∠D
∠А -?
Решение
По  формуле о сумме углов
 многоугольника имеем:
(п – 2)·180° = (4 – 2)·180° = 360°
По условию ∠А = ∠B =∠C =∠D,
 следовательно ∠А = 360° : 4 = 90°
Ответ: 90°
30.11.2012
www.konspekturoka.ru
12
4
АВСD – четырехугольник,
∠А:∠B:∠C:∠D = 1:2:4:5
∠А,∠B, ∠C, ∠D - ?
Решение
∠А + ∠B + ∠C + ∠D = 360°
Пусть ∠А = х
 тогда  ∠B = 2х,  ∠C = 4х,  ∠D  = 5х
 х + 2х + 4х + 5х = 360°
12х = 360°
х = 360° : 12
х = 30°
∠А  = 30°,  ∠B = 2х = 60°,  ∠C  = 4х = 120°,  ∠D =  5х = 150°
Ответ: 30°, 60°, 120°, 150°
30.11.2012
13
Ответить на вопросы:
www.konspekturoka.ru
Спасибо за внимание!
Какая фигура называется многоугольником?
Что такое вершина, стороны, углы, диагонали
 и периметр многоугольника?
Какой многоугольник называется выпуклым?
Формула вычисления суммы углов выпуклого
 многоугольника.
Чему равна сумма углов выпуклого
 четырехугольника?


Презентация на тему: Можно ли в нашей жизни обойтись без ломаной линии?


title: Презентация на тему: Музей истории четырёхугольников

text:
a
b
m


title: Презентация на тему: Модуль

text:
8
3
7
4
3
H
O
D
8
5
D
D
14
H
BC=DH=7
D
D
8
H
25
H
H
6
H
 BC=2BH=
D
5
15
4,5
AB+DC=AD+BC
D
18
O
 BD=2BO=18,
D
5
4
3
D
5
4
3
O
3
5
18


title: Презентация на тему: Моделирование многогранников. Архимедовы тела


title: Презентация на тему: Модуль

text:
Prezentacii.com
1


Презентация на тему: Музыка


title: Презентация на тему: Начальные Геометрические сведения. Решение задач

text:
8
9
10
11
12
14
15
16
17
18
20
21
22
23
24
30
29
28
27
26
1
2
3
4
5
6
13
19
25
7
1.
2.
D
E
K
3.
4.
b
E
F
C
N
K
5.
b
5.
D
6.
D
B
C
A
7.
F
8.
1.
2.
3.
4.
9.
1.
2.
10.
1.
2.
3.
11.
12.
13.
E
F
C
N
K
14.
E
F
C
N
K
15.
E
F
C
N
K
16.
D
K
C
17.
E
C
18.
19.
1.
2.
3.
4.
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
20.
1.
2.
3.
21.
D
C
22.
C
23.
C
F
24.
1.
2.
N
N
O
M
B
A
25.
26.
=
27.
1.
2.
3.
D
C
B
O
900
800
1640
?
28.
1.
3.
2.
C
B
O
750
450
900
?
29.
1.
3.
2.
D
C
B
O
180
300
150
?
30.
3.
1.
2.
C
B
O
300
750
450
?


title: Презентация на тему: Начальные геометрические сведения

text:
-
+
-
+
+
-
+
-
+
-
+
+
                              B

                                               D             M
        A
                                                           C

AB,  BD,  AD,  DC,  BC,  DM,  AM.


Презентация на тему: Начальные геометрические сведения 7 класс


title: Презентация на тему: Модуль

text:
5
15
26
H
H
H
D
1
2
3
D
33
1
2
2
3
4
1
26
D
6
5
D
49
D
44
12
?
D
34
D
29
21
?
D
94
51
H
?
E
51+94=145
BC=HE=HD-ED=94-51=43,
D
34
15
F
EF=MK-ME-FK=24,5-7,5-7,5=9,5
D
AD+BC=AB+CD=23+3=26
D
r
45
AB=50-CD =50-45=5
D
r
90
H
r
11
D
M
5


text:
D
a
a
a
a
a
a
1
2
A
C
M
O
AC
AM
AO
CM
CO
MO
F
1.
2.
3.
4.
a
b
F


Презентация на тему: Начальные сведения из стереометрии


title: Презентация на тему: Модуль.РЕАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

text:
H
F
E
C
D
B
E
C
D
B
?
?
b
C
B
D
?
http://lori.ru/2357281
http://minsksvet.by/catalog/ul
http://www.freebievectors.com/
http://bebrain.ru/blog/protses
http://bruderplay.ru/41204_12
http://lori.ru/2006510
http://www.artleo.com/download
http://www.dobrepole.com.ua/bo
http://forexaw.com/TERMs/Indus


text:
5klass.net

D
a
a
a
a
a
a
1
2
A
C
M
O
AC
AM
AO
CM
CO
MO
F
1.
2.
3.
4.
a
b
F


title: Презентация на тему: Начальные геометрические сведенья

text:
 1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
D
b
E
F
C
N
K
D
B
C
A
E
F
C
N
K
E
F
C
N
K
E
F
C
N
K
D
K
C
108°
D
C
C
E
C
C
N
?
=
C
B
O
D
E
F
5
4
3
2
1
C
B
O
D
E
F
5
4
3
2
1
C
B
O
D
19°
23°
122°
?
C
B
O
D
120°
C
B
O
D
N


title: Презентация на тему: Начальные геометрические сведения. Решение задач

text:
MK-?
LM-?
FD-?
DE, FE-?
PE, KP-?
AC, CB-?


title: Презентация на тему: Наглядная геометрия

text:
73
85
81
88
83
10
10
10
10
10
10
10
10
9
9
5
9
8
10
10
6
8
7
10
10
10
9
9
10
9
5
10
10
9
9
10
10
10
10
9
10
10
9
10
9
7
9
8
10
8


Презентация на тему: Начертательная геометрия


text:
???????????????
2


text:
a
D
Z
O
C
N
F
N
F
f
D
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
   0        1         2        3        4         5         6        7        8         9       10      11      12       13      14      15      16
N
F
S
a
O
C
n
M
N
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
   0        1         2        3        4         5         6        7        8         9       10      11      12       13      14      15      16
D
S
N
F
N
F
f
m

D
d
k
h
k
h
N
C
X
Y
Z
W
V
O
P
S
D
L
R
E
A
B
C
D
R
X
F


title: Презентация на тему: Начальные понятия геометрии

text:
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Click to edit Master title style
5klass.net
1
2
3
4
2
1


title: Презентация на тему: Нахождение площадей многоугольников

text:
S=ab
S=a·a
A
B
C
D
A
B
C
D
K
M
N
P


Презентация на тему: Наглядная геометрия 2 класс


title: Презентация на тему: Нахождение площадей параллелограмма, ромба.

text:
S = ?
6
11
9
6
7
8
12
9
8
10
9
6
7
5
8
9
7
6
8
5
S=3·3=9
3
3
4
7
S=4·7=28
S=9·8=72
8
9
a
h
S=(6·8):2=24
8
6
d2
d1
7
5
22
10
S = 5·7 = 35
S = (10·22):2 = 110
10
24
22
15
18
16
20
15
24
1
16
10
18
24
15
20
16
9
10
2
N
M
L
K
G
F
E
D
C
22
20
15
22
16
15
10
22
16
4
15
16
20
10
24
18
18
10
24
3


text:
1.
2.
3.
4.
5.
1.
2.
3.


title: Презентация на тему: Нахождение корней систем уравнений и уравнений с помощью графиков

text:
x = a, a>0
a >0, D=0
a <0, D>0
x
x
x
x
y
y
y
y
a >0, D=0, b=c=0
a <0, D<0
a>0,  m=2,  n=1
a<0,  m=0,  n=0
m
n
x
x
y
y
x
x
y
y
y = I ax+bI
y = I ax2+bx +cI
x0
a>0, D>0
X0= -b/a
x
x
y
y
a >0, D>0
x
y
a <0, m=3, n=5
x
y
y
a>0, b <0
x
3
1,5
X0= 6/4
x
y
x
y
A(-2; -1)
-2
-1
1)
2)
1)
2)
1)
2)
2)
1)
x
y
x
x
y
y


title: Презентация на тему: "Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке

text:
0
-7
6
5
4
2
-5
1
1
0
-7
6
-3
-2
4
-4
y
y
x
x
y
x
0
0
0
b
b
b
Y= f(x)
Y= f(x)
Y= f(x)
y
x
Y= f(x)
b
0
y
x
Y= f(x)
b
0
 http://www.uztest.ru


title: Презентация на тему: Нахождение площади трапеции

text:
5klass.net

SABCD=SABD+SBCD
SABCD=SABCM+SCMD
SABCD=SABH+SHBCE+SECD
h
b
b
h
b
h

      S=1/2h·(a+b)
3
8
12
5
13
16
300
450
10
4
17
1
2
3
4
b
h


title: Презентация на тему: Нахождение площадей параллелограмма, ромба


title: Презентация на тему: Нахождение суммы нескольких слагаемых

text:
3
6
8
2
8
=
-
2
8
1
8
1
0
0
+
=
5
8
6
3
9
4
=
+
7
1
3
7
4
3
=
-
312 + 479 + 108

930
950
966
Prezentacii.com


Презентация на тему: Нахождение расстояния между точкой и прямой


title: Презентация на тему: Наклонная плоскость

text:
h
mg
F
    l
N
h
mg
F
    l
N
h
mg
F
    l
N


Презентация на тему: «Небесная геометрия»


Презентация на тему: Модуль "Геометрия"


Презентация на тему: Небесная геометрия


Презентация на тему: НЕБЕСНАЯ ГЕОМЕТРИЯ


Презентация на тему: Неевклидова геометрия


Презентация на тему: Наука геометрия


title: Презентация на тему: Некоторые следствия из аксиом

text:
Q
P
R
b
60º
4
4
4
4


Презентация на тему: Неевклидова геометрия Лобачевского


title: Презентация на тему: Некоторые свойства прямоугольных треугольников

text:
900igr.net
30°
30°
1)
D1
2)
37°
D
70°
3)
4)
30°
R
S
6).
 R=?
5).
30°
D
120°
3).
D
F
131°

4).
2).
S
R
30°
1).
60°
60°
5).
45°
6).
S
45°
8
7).
R
S
30°
60°
7
90°.
30°
60°
?
D
D


text:
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
1
2
3
3
1
1
2
3
1
2


title: Презентация на тему: Необычные способы получения синусоиды

text:
2004
1.1
15.59
1.7
20.25
1.2
16.45
1.8
19.53
1.3
17.37
1.9
18.53
1.4
18.39
1.10
17.31
1.5
19.28
1.11
16.30
1.6
20.18
1.12
15.51


title: Презентация на тему: Неравенство треугольника

text:
900igr.net
a=7,8


title: Презентация на тему: наглядная геометрия

text:
НАГЛЯДНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

У Вас есть 6 спичек.
Подумайте, как можно из 6 спичек сложить 4 правильных треугольника так, чтобы каждая сторона была равна 1 спичке.
Ломать спички нельзя.

Разрежьте квадрат на 4 равные части разными способами.
Можно ли нарисовать открытый и закрытый конверт не отрывая руки и не проводя дважды по одной линии?
Расположите 4 страны треугольной формы, так чтобы у каждой стороны были границами с тремя другими.


title: Презентация на тему: Невыпуклый многогранник: Геометрическая фигура или плод человеческой фантазии?

text:
B
D
E
F
A1
B1
C1
D1
E1
F1


Презентация на тему: НЕСТАНДАРТНЫЕ ПРИЕМЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ


title: Презентация на тему: неравенство треугольника

text:
10
11
D
1
2
3 < 5 + 7
5 < 3 + 7
7 < 3 + 5
6 < 2 + 4
5 < 1 + 3
15
15
15
17
17
17
17 < 15 + 15
17 < 17 + 15
10
10
10
4
4
4
10 < 4 + 4
10 < 10 + 4
16
16
16
8
8
8
16 < 8 + 8
16 < 8 + 16
10
10
25
25
10
25
D
1
2
16
16


title: Презентация на тему: Нахождение угла между скрещивающимися прямыми

text:
Нахождение угла между скрещивающимися прямыми.
Решение задач уровня С.
Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №85 г.о. Тольятти

учитель математики высшей категории Баленко Тамара Борисовна

Нахождение угла между скрещивающимися прямыми
Данная тема актуальна, так как подобные задачи требуют развитого абстрактного мышления. Задачи, представленные ниже, чаще всего вызывают затруднения при решении у учащихся. Наглядное решение позволяет лучше усвоить приемы решения таких задач.
                                                 Аргументы.1).  Определение скрещивающихся прямых.2).  Определение угла между скрещивающимися прямыми.3).  Признак скрещивающихся прямых.4).  Теорема Пифагора.5).  Свойство высоты равнобедренного треугольника, проведенной      к основанию.6).  Определение правильной призмы.7).  Определение синуса острого угла прямоугольного треугольника.8).  Определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника.9).  Определение правильного многоугольника.10). Теорема о сумме углов выпуклого многоугольника.11). Свойство окружности, описанной около правильного        шестиугольника.

  Задача. Все ребра правильной призмы              ABCDEF1B1C1D1E1F1 равны по 1.              Найти косинус угла между прямыми              AB1 и  BD1.
                   E1                D1
F1                                             C1  1). AB1 и BD1-
          A1                 B1                        скрещивающиеся
                  E                   D                 прямые.
F                                              C
            A              B                 (AB1, BD1)=    (AB1, AE1),
                                                                                т.к. AE1│ BD1.
                    Найдем косинус     B1AE1.

А
В1
Е1
       АВВ –прямоугольный:             АВ  = √1   + 1  = √2

1
1
2
2
А
В1
В
Е1

      AFE - равнобедренный: АЕ= 2· sin 60°=√3

F
A
E
E1
В1

  AEE1- прямоугольный:  АЕ1 = √(√3)2  + 12  = 2

E1
A
E

 В1Е1= В1О1 + О1Е1 = 2,   О- центр описанной окружности                                            около правильного шестиугольника                                            A1B1C1D1E1F1.                                                                             В1Е1 = АЕ1 = 2.

  F1
  E1
  D1
  B1
  C1
  A1
  O
  A

                                   cos   В1АЕ1 =         =

А
В1
Е1

А
В1
Е1

Ответ:
Спасибо за внимание.


title: Презентация на тему: Начальные сведения о геометрии

text:
Начальные геометрические сведения
Учитель математики
МКОУ « Москаленский лицей»
Бадюк Ольга Ярославна
Знак «+» правильные утверждения  знак «-» ошибочные
1. Примерами геометрических фигур на плоскости являются точка, прямая, квадрат, куб , шар.
2. Если две прямые на плоскости пересекаются, то точка пересечения принадлежит обеим прямым.
3.Отрезком называется часть прямой,  состоящая из
 точек этой прямой, лежащих между двумя данными
 ее точками.
4. Отрезком называется часть прямой,  состоящая из
 всех точек этой прямой, лежащих между двумя
данными ее точками.

-
+
-
+

+
-
+
-
+
-
+
+
Назови все отрезки
                              B

                                               D             M
        A
                                                           C

AB,  BD,  AD,  DC,  BC,  DM,  AM.
Выбери правильны вариант ответа

4. Две прямые на плоскости могут:
     а) пересекаться;
     б) не пересекаться;
     в) и то и другое одновременно.
5. Отрезок может иметь:
     а) только один конец;
     б) два конца;
      в) множество концов.

Соедини стрелками
Смежные углы

Вертикальные углы

Углы, не являющиеся
смежными или вертикальными

 Данная фигура обладает следующими признаками
Прямая.
       а) Замкнутая;
       б) непрямолинейная;
       в)  неограниченная.
2. Луч.
       а) Ограниченная с одной стороны;
       б) ограниченная с двух сторон;
       в) неограниченная.
3. Отрезок.
      а) Непрямолинейная;
      б) ограниченная с двух сторон.

Решаем задачи
1. Длина отрезка АВ = 6 см. Внутри отрезка взята точка М. Найдите длину отрезка ВМ, если:
     а) АМ = 2ВМ;          б) 2АМ = 3ВМ ;
    в) АМ : ВМ=1 : 5;    г) АМ – ВМ = 2 ;
                  д) 2ВМ + 3АМ = 14.

Проверь себя
М принадлежит АВ, значит,
 АМ + МВ = АВ, АВ = 6см, следовательно, АМ + МВ = 6.
а)  АМ = 2ВМ, тогда 2МВ + МВ = 6; МВ =2 см.
б) 2АМ = 3ВМ, тогда АМ = 1,5 ВМ, 1,5 ВМ + ВМ =6, МВ = 2,4см.

в) АМ : ВМ = 1 : 5, значит,  АМ = 0,2 ВМ, тогда
 0,2ВМ + ВМ = 6, ВМ = 5 см.
г) АМ – ВМ= 2, значит, АМ= ВМ +2, тогда
 ВМ + 2+ ВМ = 6, ВМ = 2 см.
д)2ВМ + 3АМ =14, тогда
2(АМ+ВМ)+АМ =14.
Т.к АВ=АМ+МВ=6, то 2∙6+АМ=14, АМ=2, ВМ=4см.
Решаем задачи
2. Два тупых угла имеют общую сторону, а две  другие стороны взаимно перпендикулярны. Найдите величину тупого угла, если известно, что тупые углы равны.

Проверь себя

Решаем задачи

Проверь себя

Проверь себя

Проверь себя

Литература:
Геометрия 7-9. Учебник для общеобразовательных учреждений. Авторы : Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др.
2. Изучение геометрии 7-9 Методические рекомендации к учебнику. Авторы: : Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др.
3. Подсказки на каждый день. Геометрия 7 класс. О.Ю.Едуш
4. Поурочные разработки по геометрии. Дифференцированный подход 7 класс Н.Ф.Гаврилова.


title: Презентация на тему: «Новая геометрия» Николая Лобачевского

text:
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level


title: Презентация на тему: Н

text:
C
A

a
sinA
b
sinB
=
=
c
sinC
a
b
c
(1)
(2)
(3)

AB
sinC
AC
sinB
=
C
A
B
750
600
600
4
4
?
450
450
2

AB
sinC
AC
sinB
=
C
A
B
?
2
2    2
2    2
1350
1350

AB
sinC
BC
sinA
=
C
A
B
600
600
?
 2
 3
 3
 2

AB
sinO
BO
sinA
=
D
A
B
2
1350
C
1500
O
300
450
2
2
450
300
1200

AC
sinD
AD
sinC
=
D
A
B
C
300
300
600
5
5
?
1200
300
450
2
450

BC
sinA
AB
sinC
=
D
A
B
C
300
300
2
?
1050
300
a2 =
B
a
A
C
c
b
b2 + c2
cosA
>
>
4
?
2
2    3
=
300
600
4
4
5
AB2 =
BC2 + AC2
cosC
5
3
2
3
 2
2
5
300
300
2
?
4
6
6
6
6
6
cos
1
2
 2
2
?
6
1200
1200
600
5
5
3
3
3
5
cos
1
2
 2
2
?
600
D
A
B
C
600
3
3
3
1350
1350
3
3
3
AC2 =
cos
 2
2
?
D
D
450
 2
2
AC   =    9(2 +     )
 2
2
AC   = 3   2 +
 2


text:
Наклонная 			плоскость
Наклонная плоскость – это плоскость, образующая с горизонтом острый угол (α) Главное назначение наклонной плоскости – выигрыш в силе.

h

mg

F

    l

α
N
Fтр
Если Fтр,сопр = 0, то l/h = mg/F – выигрыш в силе зависит от отношения l/h.
h/l = Sinα;  l/h = 1/Sinα, l/h > 1
F·l = mg·h
AF=Amg – нет выигрыша в работе
AF – полная работа (затраченная)
Amg – полезная работа
η = Amg/AF ·100% = 100% = 1

Какой выигрыш можно получить? От чего он зависит?

h

mg

F

    l

α
N
Если  Fтр,сопр ≠ 0, то
η = Amg / AF · 100% <100%<1
AF = Amg + AF тр.с ; AF>Amg

h

mg

F

    l

α
К.П.Д. механизма (полная и полезная работы)
N
Fтр
Примеры:
Разгрузка автосамосвалов, погрузка на железнодорожные платформы, подъем грузов по эстакаде, движение автомобиля под уклон с выключенным двигателем, наклонные транспортеры.


title: Презентация на тему: N-угольники

text:
5klass.net
D
E
F
G
H
n=3
n=4
n=5
n=6
n=7
n=8
n=9
D
E
F
G
H
D
E
F
G
H
D
E
F
G
2
5
9
D
E
F
G
14
(n-2)  1800
 = 3600
n
n
D
D
M
N
K
F
D
M
N
K
F
D
(n-2)  1800
n=4
*
720
900
900
*
b
I
II
0,8b
c
0,8c
d
1,6d
*
b
I
II
0,8b
c
0,8c
d
1,6d
0,8 360+0,8d=360
?
?
360


title: Презентация на тему: «Объем цилиндра»

text:
0,4
4
2
3,6
3
5
1
V
H
R
b
c


title: Презентация на тему: N-угольники

text:
D
E
F
G
H
n=3
n=4
n=5
n=6
n=7
n=8
n=9
D
E
F
G
H
D
E
F
G
H
D
E
F
G
2
5
9
D
E
F
G
14
(n-2)  1800
 = 3600
n
n
D
D
M
N
K
F
D
M
N
K
F
D
(n-2)  1800
n=4
*
720
900
900
*
b
I
II
0,8b
c
0,8c
d
1,6d
*
b
I
II
0,8b
c
0,8c
d
1,6d
0,8 360+0,8d=360
?
?
360


title: Презентация на тему: Об аксиомах геометрии

text:
(1792-1856)
a
M
c
b
1
2
D
3
4
b
M
a
c
a
b
c


title: Презентация на тему: Объем цилиндра

text:
Prezentacii.com
Prezentacii.com


title: Презентация на тему: Объем цилиндра

text:
Prezented.Ru
Prezented.Ru


Презентация на тему: Объем фигур в пространстве


Презентация на тему: Объем конуса


title: Презентация на тему: Объем цилиндра

text:
5.
5.


title: Презентация на тему: Новый предмет "Геометрия": обзор изученного в 7 классе

text:
O
O
A
B
K
P
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
A
C
B
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
O
a
b
c
d
A
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
A
B
M
N
A
D
B
O
h
O
P
B
Q
E
A
C
D
O
B
A
C
C
O
B
A
O
A
B
k
h
p
q
O
A
C
B
B
D
C
A
A
C
B
A
C
B
A1
C1
B1
a
A
a
H
A
A
M
A
C
M2
B
M1
M3
A
A1
B
C
A
B
H
C

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
a
b
c
a
b
a
b
c
c
a
b
c
a
b
3
5
4
6
5
3
4
6
1
5
4
8
2
6
3
7
5
1
3
6
4
2
B
b
a
O
H
A
1
2
3
=
=
b
a
b


title: Презентация на тему: ОБЪЕМ КОНУСА

text:
S
A
H
B
  h
x
S(X)
V=

Y
X
r
h
Y=kx
40
20
40
50
50
10
10
15
20
15
40


title: Презентация на тему: Объем наклонной призмы, пирамиды и конуса

text:
a           x                 b      x
x n=b
6
10
600
13


Презентация на тему: Объем параллелепипеда


Презентация на тему: Объемные тела. Пирамиды


title: Презентация на тему: Объем конуса цилиндра

text:
2
300
3
1
0
1
1
V =     SoH
1
3
r
h
1
3
 h
3
1
0
3
V1
V2
r
V1
V2
V =     SoH
1
3
3
1
0
5
2
,
2
1,5r
3
1
0
5
0
150
1
150
 3
=
10

3
1
0
1
2
8
6
450
3
1
0
9
6
3
3
450
6
3
1
0
7
2
6
r
A
R
a
a
2
450
K
D
O
2
a
r
=
S
D
4
4
6
3
1
0
1
6
2
4
?
S
D
3
1
0
2
2
a
r
=
R
r
3
1
0
2
16
8
16
V2
 1
=
V1
V2
h
2
h
r
2
r
9
900
13
3
1
0
5
7
8
7
,
9
900
12
3
1
0
2
4
3
3
4
12
600
27
3
1
0
2
1
6
1
6
9
600
27
3
1
0
5
,
6
0
7
5
6
6
900
5
3
1
0
4
5
1
4
1
900
5
3
1
0
5
3
,
7
3
4
12
600
6
3
1
0
1
4
4
1
6
15
600
5
3
1
0
5
,
9
3
7
5
6
2
3
4
3
1
0
1
4
1
5
5
2
3
1
0
1
0
5


Презентация на тему: Объем пирамиды


Презентация на тему: Что изучает геометрия


title: Презентация на тему: Объем пирамиды 11 класс

text:
S =
S = a
S = ab
S = 6
M
A
E
D
C
B
S
n=3
2

                         o
2
    S = 2     · 2
= 8
D


title: Презентация на тему: Объем пирамиды

text:
V =     SoH
1
3
3
1
0
8
h
a
2a
 2h

a
ab
S
sin
2
1
=
3
1
0
4
3
4
V =     SoH
1
3
12
16
3
1
0
5
0
,
2
V =     SoH
1
3
1
1

a
ab
S
sin
2
1
=
1
1
600
3
1
0
3
.
2
2
V =     SoH
1
3
?

a
ab
S
sin
2
1
=
2
2
600
3
3
3
1
0
4
A
F
B
C
D
E
V =     SoH
1
3
h
4h
3
1
0
7
1
1
1
600
?
.
A
F
B
C
D
E
1
1
?
1
S
6
2
3
3

a
ab
S
sin
2
1
=
1
1
600
3
1
0
2
0
0
.
6
10
10
V =     SoH
1
3

a
S
=
2
3
1
0
4
8
.
.
S
D
C
B
V =     SoH
1
3
?
6
3
6

=
ab
S
3
12
G
600
6
A
600
3
1
0
4
,
5
A
S
A
S
B
C
V =     SoH
1
3
3
3
3
3
3
3

ab
S
2
1
=
3
3
3
1
0
4
8
.
.
A
F
B
C
D
E
4
4
S
V =     SoH
1
3
450
?
?
4
4
4
600

a
ab
S
sin
2
1
=
4
4
600
2
3
2
3
2
3
2
1
3
A
B
C
D
B1
C1
D1
A1
h
h
  12
3
1
0
2
2SABC
=
C1
A
B
C
D
A1
B1
D1
1
3
 4,5
3
1
0
1
,
5
h
2SABC
=
1
3
3
1
0
2
h
h
2
1
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
  12
h
1
3
 150
3
1
0
5
0
F
E
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
S
1
3
  8
3
1
0
4
8
V1
V2
S
B
D
A
C
O
h
2
1
E
N
1
3
  12
3
1
0
3
2SABC
=
B
S
C
A
N
S
N
1
3
  12
3
1
0
3
a
b
V2
V1

a
ab
S
sin
2
1
=
2
3
2
3
S
C
A
B
N
P
O
F
h
3
2
  15
3
1
0
1
0
http://www.ege-study.ru/ege-advices/b9-2.html


title: Презентация на тему: Объем пирамиды

text:
h
A
A1
B
B1
C
C1
M1
O
X
S(×)=(S*×²):h²
S1+ S2+ S3
S1
S2
S3
h
V=1/3*(S1+ S2+ S3)*h
O
A
B
C
S
O
H
O1
h
A1
C1
B1
h
H
H
V1 = V2
h
A
B
C
B1
A1
C1
C
A1
B
A
C
B1
A1
C1
C
A1
B
B
A1
C1
B
A
C
B1
A1
C1
C
A1
B
B
A1
C1
B
A
C
B1
A1
C1
C
A1
B
B
A1
C1
B
h
H
h
0
S
A3
An
A2
A1
H
A
B
C
O
A
B
C
O
F
450
S1
h
F


title: Презентация на тему: Объем понятия

text:
900igr.net

5
6
3
3
4
5
2
10
8
6
450
450
A
B
C
D
F
S


Презентация на тему: Объем прямой призмы


text:
D1
C
D
D1


title: Презентация на тему: Начальные сведения геометрии

text:
Введение в геометрию
Урок для 7 класса
Карташова.О.А.
Учитель математики школы-интерната №28

оглавление
История возникновения геометрии
Что это такое –геометрия ?
Геометрические фигуры
Учёные-геометры
Точка, прямая, отрезок
Взаимное расположение точек и прямой
Свойство прямой. Практические задания
Взаимное расположение прямых на плоскости
Практические задания
История возникновения геометрии
Что это такое-геометрия?
“geo”- по-гречески земля.
“metreo”- по-гречески мерить.
«геометрия»-землемерие.
Геометрия

планиметрия
стереометрия

Геометрические фигуры

Учёные- геометры
Пифагор
(Около 570-500до н.э)
Учёные- геометры
Евклид
(Около 365-300 до н.э)
Учёные- геометры
Н.И. Лобачевский
(1792-1856)
Точка, прямая, отрезок.

c
-точка c
прямая
Прямая-прямая линия, которая не имеет ни начала ни конца
Обозначение:
(A,B,C,D…)                          (a, b, c, d…)

Отрезок-часть прямой , которая имеет начало и конец.
A
B
Взаимное расположение точек,прямой и отрезка.
1)

2)

3)

4)

A
A
A
D
D
D
D
B
B
c
E
Свойство прямой.

B
A
Через любые две точки можно провести прямую  и, притом, только одну
Взаимное расположение прямых на плоскости.

o
a
b
b
a
Две прямые либо имеют только одну общую точку , либо не имеют общих точек.
Практические задания.
Сколько точек пересечения могут иметь три прямые ? Рассмотрите все возможные случаи  и сделайте соответствующие рисунки.
ответ


title: Презентация на тему: Объем прямоугольного параллелепипеда

text:
1
2
3
4
5
180
900
18000
2856
90
167
285
90000


text:
C
A
B
D
A1
B1
C1
D1
B1
D1
A1
C1
A
B
C
D
A
A1
B
C
D
B1
C1
D1


title: Презентация на тему: Объем прямоугольного параллелепипеда 5 класс

text:
A
D
B
C
A1
D1
B1
C1
A
D
B
C
A1
D1
B1
C1


title: Презентация на тему: Метод проекций. Проекции точки

text:
Метод проекций. Проекции точки.
Лекция 1
П  – плоскость проекций;
А – произвольная точка пространства;
S – центр проекций;

А = SA  П 
S
При  проецировании проецирующие лучи проходят через центр проекций – точку S . Проекция А точки А есть пересечение проецирующего луча SA с плоскостью проекций П  .
Метод проекций

SA – проецирующий луч;
А – проекция точки А на плоскость проекций П 
При центральном проецировании совокупность проецирующих лучей образует коническую поверхность. При параллельном проецировании совокупность проецирующих лучей образует цилиндрическую поверхность.
Центральные
(конические)
Классификация проекций
Параллельные (цилиндрические)

Прямая задача – изобразить на чертеже положение точки. Произвольной точке пространства А на плоскости проекций соответствует ее единственное изображение –  проекция А1 . Проецирование на одну плоскость проекций дает решение прямой задачи
Ортогональное проецирование
Комплексный чертеж – это изображение геометрического образа, полученное при совмещенных плоскостях проекций
Метод ортогонального проецирования:
 плоскости проекций перпендикулярны между собой;
 проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций.
Метод Монжа
Для однозначного определения положения точки
в пространстве необходимо задать на чертеже
минимум две ее ортогональные проекции
Используются три основные взаимно перпендикулярные плоскости проекций: П1 - горизонтальная; П2 - фронтальная; П3 - профильная. Плоскостей проекций пересекаются по осям Оx, Оy, Оz  декартовой системы координат
Пространственная картина
Точка в системе трех  плоскостей  проекций

Для перехода к комплексному чертежу пространственную модель разрезают по оси Оy  и совмещают все три плоскости проекций  в одну:  П1  поворачивают вокруг оси Оx,  П3  поворачивают вокруг оси  Оz  до их совпадения с П2 . Ось Оу  распадается на две оси y1  и  y3
O

Точка в системе трех  плоскостей  проекций

Пространственная картина
Проецирующие лучи АА1 , АА2 , АА3 проводят перпендикулярно соответст-вующим плоскостям проекций и получают проекции точки А: горизон-тальную А1 , фронтальную А2 , профильную А3 . Точки пересечения прое-цирующих плоскостей с соответствующими осями обозначены Ах , Аy , Аz
x

z
O
Точка в системе трех  плоскостей  проекций
Пространственная картина
Комплексный чертеж

x
На комплексном чертеже линии проекционной связи перпендикулярны осям координат. Линия А1 А2 Ох  расположена вертикально, а А2 А3 Оz  -горизонтально. При построении линии связи от А1  к А3  необходимо соблюсти равенство координатных отрезков по оси Оy :   Ax A1 = Az A3
O

y3

x
z
y1

z
Точка в системе трех  плоскостей  проекций
Пространственная картина
Комплексный чертеж
O

Безосный чертеж

x

Плоскости проекций принимаются неопределенными и могут перемещаться параллельно самим себе. На комплексном чертеже положение осей не указывается. Профильная проекция А3  точки  А строится с помощью постоянной чертежа k
Чертеж без указания осей
называется безосным
Прямоугольные координаты точки
A(xA ,yA ,zA )
Система трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций - аналог декартовой системы координатных плоскостей. Координата точки  есть число, выражающее ее расстояние до плоскости проекций. Точка А в пространстве имеет координаты: абсциссу XA , ординату YA , аппликату ZA
Прямоугольные координаты точки
На комплексном чертеже численные значения координат откладываются вдоль соответствующих координатных осей. Каждая проекция точки определяется двумя координатами: горизонтальная – XA и YA , фронтальная - XA  и ZA , профильная  - YA  и  ZA .

x
O
Конкурирующие точки
Конкурирующими называются точки, лежащие на
одном проецирующем луче.

x
Горизонтально конкурирующие точки А и В  лежат на общем горизонтально-проецирующем луче, поэтому их горизонтальные  проекции совпадают. Точка  В  выше точки А  и расположена ближе к наблюдателю, ее горизонтальная проекция  В1    будет видимой
zB  > zA
Конкурирующие точки

x
Фронтально конкурирующие точки  А и В отличаются только координатой  y ,  лежат на одном фронтально-проецирующем луче, поэтому их фронтальные проекции совпадают. Ближе к наблюдателю расположена точка В,  ее фронтальная проекция В2   будет видимой
A
В
yB  > yA
Видима та точка, у которой больше координата
Преобразование чертежа Монжа
x1
 Заменим исходную фронтальную плоскость проекций П2  на новую плоскость проекций П4. При этом преобразовании расстояние точек от плоскости П1  (координата z) остается неизменным
Способ перемены плоскостей проекций
Чертеж:

Способ вращения вокруг проецирующей прямой

A
i
2

i

При вращении точка описывает окружность, расположенную в плоскости уровня. Если ось вращения i П2 , то на П2  траектория движения точки проецируется в натуральную величину (окружность с центром  в точке i2 )  На П1  она  проецируется в виде прямой,   проекции оси вращения  i1
Сущность способа: геометрический     образ вращают вокруг проецирую-щей оси до частного положения

Чертеж:
А – произвольная точка;

A

i
А – произвольная точка;
i  П1
i – ось вращения;
Чертеж:

При горизонтально проецирующем положении оси вращения траектория движения точки на П1  проецируется в натуральную величину, т.е.  в виде окружности с центром  в точке i1 . На  П2  она будет проецироваться в виде прямой линии, перпендикулярной проекции оси вращения  i2
Способ вращения вокруг проецирующей прямой

Способ плоскопараллельного перемещения

A

Схема:

Сущность способа: геометрический образ переводится в частное положение плоскопараллельным движением его точек по плоскостям уровня
При плоскопараллельном перемещении траектория движения горизон-тальной проекции точки повторяет ее перемещение в плоскости Г. На  П2  фронтальная проекция точки перемещается по следу плоскости   Г2 , который параллелен оси х

Способ плоскопараллельного перемещения

A

Схема:

На П2  траектория движения фронтальной проекции точки повторяет ее перемещение в плоскости Ф, поэтому расположение проекции может быть произвольным. На  П1  горизонтальная проекция точки перемещается по следу плоскости   Ф1 , который параллелен оси х


title: Презентация на тему: Объем прямоугольного параллелепипеда. Решение задач

text:
D1
D1
D1
D1
D
D
D
D
1)
2)
3)
4)
h
d
b
b
d
b
N
N1
K
P
P1
M
N
N1
K
P
P1
M
D1
D
C1
B
C
D1
D
C1
B
C
D1
B1
B
C1
D
C
D1
B1
B
C1
D
C
D1
B1
B
C1
D
C
D1
B1
B
C1
D
C
D1
B1
B
C1
D
C
30º
45º
C1
A
A1
D1
C
D
60º


title: Презентация на тему: Николай Иванович Лобачевский

text:
Николай Иванович Лобачевский
900igr.net
 Николай Иванович Лобачевский (1792-1856) — создатель неевклидовой геометрии (геометрии Лобачевского). Ректор Казанского университета (1827-46). Открытие Лобачевского (1826, опубликованное 1829-30), не получившее признания современников, совершило переворот в представлении о природе пространства, в основе которого более 2 тыс. лет лежало учение Евклида, и оказало огромное влияние на развитие математического мышления. Труды по алгебре, математическому анализу, теории вероятностей, механике, физике и астрономии.
Николай Лобачевский родился 2 ноября (11 декабря) 1792 Нижний Новгород. Скончался 12 (24) февраля 1856, в Казани.

Педагогическая деятельность
Коля Лобачевский родился в небогатой семье мелкого служащего. Почти вся жизнь Лобачевского связана с Казанским университетом, в который он поступил по окончании гимназии в 1807. По окончании университета в 1811 стал математиком, в 1814 — адъюнктом, в 1816 — экстраординарным и в 1822 — ординарным профессором. Дважды (1820-22 и 1823-25 гг.) был деканом физико-математического факультета, а с 1827 по 1846 — ректором университета.

При Лобачевском Казанский университет достиг расцвета. Обладавший высоким чувством долга, Лобачевский брался за выполнение трудных задач и всякий раз с честью выполнял возложенную на него миссию. Под его руководством в 1819 была приведена в порядок университетская библиотека.
В 1825 Николай Лобачевский был избран библиотекарем университета и оставался на этом посту до 1835, совмещая (с 1827) обязанности библиотекаря с обязанностями ректора. Когда в университете началось строительство зданий, Лобачевский вошел в состав строительного комитета (1822), а с 1825 возглавил комитет и проработал в нем до 1848 (с перерывом в 1827-33 гг.).

По инициативе Лобачевского начали издаваться «Ученые записки Казанского университета» (1834), были организованы астрономическая обсерватория и большой физический кабинет.
Активная университетская деятельность Лобачевского была пресечена в 1846, когда Министерство просвещения отклонило ходатайство ученого совета университета в оставлении Лобачевского не только на кафедре, но и на посту ректора. Незаслуженный удар был тем более ощутим, что Министерство удовлетворило испрашиваемую в том же ходатайстве просьбу ученого совета об оставлении на кафедре астронома И. М. Симонова, участника экспедиции Ф. Ф. Беллинсгаузена и М. П. Лазарева (1819-21 гг.) к берегам Антарктиды.

Неевклидова геометрия
Величайшим научным подвигом Николая Лобачевского считается создание им первой неевклидовой геометрии, историю которой принято отсчитывать от заседания Отделения физико-математических наук в Казанском университете 11 февраля 1826, на котором Лобачевский выступил с докладом «Сжатое изложение основ геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных».
   В протоколе заседания об этом великом событии следующая запись: «Слушано было представление Г. Орд. Профессора Лобачевского от 6 февраля сего года с приложением своего сочинения на французском, о котором он желает знать мнение членов Отделения и, ежели оно будет выгодно, то просит сочинение принять в составление ученых записок Физико-математического факультета».

В 1835 Николай Лобачевский кратко сформулировал побудительные мотивы, которые привели его к открытию неевклидовой геометрии: «Напрасное старание со времен Евклида в продолжении двух тысяч лет заставило меня подозревать, что в самих понятиях еще не заключается той истины, которую хотели доказать и которую проверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например, астрономические наблюдения. В справедливости моей догадки будучи наконец убежден и почитая затруднительный вопрос решенным вполне, писал об этом я рассуждение в 1826 году».

Лобачевский исходил из допущения, согласно которому через точку, лежащую вне данной прямой, проходит несколько прямых, не пересекающихся с данной прямой. Развивая следствия, проистекающие из этого допущения, которое противоречит знаменитому V постулату (в других вариантах 11-ой аксиоме) «Начал» Евклида, Лобачевский не убоялся сделать дерзкий шаг, перед которым из опасения противоречий останавливались его предшественники: построить геометрию, противоречащую повседневному опыту и «здравому смыслу» — квинтэссенции повседневного опыта.

Ни комиссия в составе профессоров И. М. Симонова, А. Я. Купфера и адъюнкта Н. Д. Брашмана, назначенная для рассмотрения «Сжатого изложения», ни другие современники Лобачевского, в том числе выдающийся математик М. В. Остроградский, не смогли по достоинству оценить открытие Лобачевского. Признание пришло лишь через 12 лет после его кончины, когда в 1868 г. Э. Бельтрами показал, что геометрия Лобачевского может быть реализована на псевдосферических поверхностях в евклидовом пространстве, если за прямые принять геодезические.
К неевклидовой геометрии пришел также Янош Бойяи, но в менее полной форме и на 3 года позже (1832).

Дальнейшее развитие идей Лобачевского
Открытие Николая Ивановича Лобачевского поставило перед наукой по крайней мере два принципиально важных вопроса, не поднимавшихся со времен «Начал» Евклида: «Что такое геометрия вообще? Какая геометрия описывает геометрию реального мира?». До появления геометрии Лобачевского существовала только одна геометрия — евклидова, и, соответственно, только она могла рассматриваться как описание геометрии реального мира. Ответы на оба вопроса дало последующее развитие науки: в 1872 Феликс Клейн определил геометрию как науку об инвариантах той или иной группы преобразований (различным геометриям соответствуют различные группы движений, т.е. преобразований, при которых сохраняются расстояния между любыми двумя точками; геометрия Лобачевского изучает инварианты группы Лоренца, а прецизионные геодезические измерения показали, что на участках поверхности Земли, которые с достаточной точностью можно считать плоскими, выполняется геометрия Евклида).

Что же касается геометрии Лобачевского. то она действует в пространстве релятивистских (т.е. близких к скорости света) скоростей. Лобачевский вошел в историю математики не только как гениальный геометр, но и как автор фундаментальных работ в области алгебры, теории бесконечных рядов и приближенного решения уравнений. (Ю. А. Данилов)

Умирая, Николай Лобачевский произнес с горечью: «И человек родился, чтобы умереть». Его не стало 12 февраля 1856 года.


title: Презентация на тему: Нахождение площади параллелограмма

text:
Площадь
параллелограмма
Геометрия    8 класс
Цели урока
 дать определение высоты параллелограмма ;
 доказать теорему о площади параллелограмма;
 показать применение формулы в процессе решения задач
вызвать интерес к геометрии;
 пробудить интерес к самостоятельному решению задач;
побудить учащихся к активности;
совершенствовать навыки решения задач
Обучающие цели-
Воспитывающие цели-
Развивающие цели-
учить сравнивать;
учить выделять главное;
учить строить аналоги
План  урока
1. Организационный момент
2. Устные упражнения, тест на повторение
3. Задача
4. Объяснение нового материала
5. Решение задач
6. Итог урока
7. Домашнее задание
 Устные упражнения
  Свойства площадей
F
G
 Равные фигуры имеют равные площади

S1
S2

S3

Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников
S1
+ S2
+ S3
S =
S = 82  =64см 2

 1.Найдите площадь квадрата, если его сторона
     равна 8см
1) 16
2) 64
3) 32
 Тест на повторение
а = 4см
Р = 4·4  =16см

 2.Найдите периметр квадрата, если
    площадь равна 16 см2
1) 64
3) 16
2) 32
 Тест на повторение
S =10 2:2=50см2
 3.Найдите площадь треугольника, если
     его катеты равны по 10см
3) 20
1) 50
2) 25
 Тест на повторение

S = 10·8 = 80см2

 4.Найдите площадь прямоугольника, если его смежные стороны равны 10см и 8см
1) 36
3) 80
2) 40
 Тест на повторение
S = (4·8):2= 16см2
2) 32
3) 16
1) 24
 Тест на повторение

4
8
 5.Найдите площадь треугольника, если
     его катеты равны 4см и 8см
S = 2((4·8):2)+6·8= 80см2

 6.Найдите площадь параллелограмма ABCD,
    если  АН=СК=4см, НD=6см и ВН=DК=8см.
2) 64
3) 80
1) 48
 Тест на повторение

А
В
С
D
Н

4
8
6
4
8
К
  Площадь квадрата
S = a2

a
a

b
a
S = ab
а = S:b
  Площадь прямоугольника
 Задача(повторить признаки равенства прямоугольных треугольников)

А
D
M
N
С
В

Дано: ABCD -параллелограмм, ВМ=4, MN=6, ВМ ┴ AD, CN┴ AD.
Доказать:
Найти:
а) S ABМ
= S DCN
S ABCD
        Решение
ΔАВМ и  Δ DCN – прямоугольные, т.к. ВМ ┴ AD, CN┴ AD
    AB = CD, т.к. ABCD –параллелограмм
    ∟ВАМ = ∟CDN как соответственные (AB ║ CD, AN-секущая
Значит, ΔАВМ =  Δ DCN по гипотенузе и острому углу
2)

= S ABМ
S ABCD
+ S BМСD
S MBCN
= S DCN
+ S BМСD
S ABCD
= S  MBCN
=ВМ· MN = 4· 6 = 24
Значит,
Высоты параллелограмма

С
В

А
D
Н
К

ВН - высота
АD -  основание
Высота параллелограмма – это перпендикуляр, проведенный
 к основанию или к прямой, содержащей основание из любой  точки противоположной стороны
Высоты параллелограмма

С
В
А
D
К

СD -  основание

ВК - высота
Площадь параллелограмма

А
D
Н
К
С
В

Дано:
ABCD -параллелограмм,
ВН - высота
 AD - основание
Доказать: S = AD·BH
                                         Решение
ΔАВН и  Δ DCК – прямоугольные, т.к. ВН ┴ AD, CК ┴ AD
    AB = CD, т.к. ABCD –параллелограмм
    ∟ВАН = ∟CDК как соответственные (AB ║ CD, AК-секущая
Значит, ΔАВН =  Δ DCК по гипотенузе и острому углу
2)

                                                   Значит,

= S ABН
S ABCD
+ S BНСD
S НBCК
= S DCК
+ S BНСD
S ABCD
= S  MBCN
= ВС·ВН = AD·ВН

S = ahа
    а – основание
    hа - высота

hа
a
а = S:hа
hа = S:а

Устные упражнения

А
D
Н
С
В

Дано:
ABCD -параллелограмм,
ВН = 5, DC = 6
 Найти: S

К
Дано:
ABCD -параллелограмм,
S= 60, DC = 6,  АD = 20
 Найти: ВК, ВН
Дано:
ABCD -параллелограмм,
ВН = 5, АD = 8
 Найти: S
Дано:
ABCD -параллелограмм,
ВК = 6, АВ = 8
 Найти: S
Дано:
ABCD -параллелограмм,
S = 48, DC = 8, ВН = 4
 Найти: Р
Закрепление изученного материала
№461
Площадь параллелограмма

А
D
Н
С
В

ABCD -параллелограмм
         ВН - высота
         AD – основание
         S = AD·BH

S = ahа
    а – основание
    hа - высота

hа
a
а = S:hа
hа = S:а

Домашнее задание
п. 51, №460, №462.
№ 455

M
N
K
L
D
С
В
А
Дано: ABCD и КLMN-прямоугольники, АВ=5,5м, ВС=6м, КN=30см, KL= 5см.
Найти количество дощечек n
Решение
S ABCD
= 5,5·6 = 33м2
= 0,3·0,05 = 0,015м2
S KLMN
n = 33 : 0,015 = 2200 штук


text:
Площадь
параллелограмма
Геометрия    8 класс
Учитель Пузина Н.В.
5klass.net
Цели урока
 дать определение высоты параллелограмма ;
 доказать теорему о площади параллелограмма;
 показать применение формулы в процессе решения задач
вызвать интерес к геометрии;
 пробудить интерес к самостоятельному решению задач;
побудить учащихся к активности;
совершенствовать навыки решения задач
Обучающие цели-
Воспитывающие цели-
Развивающие цели-
учить сравнивать;
учить выделять главное;
учить строить аналоги
План  урока
1. Организационный момент
2. Устные упражнения, тест на повторение
3. Задача
4. Объяснение нового материала
5. Решение задач
6. Итог урока
7. Домашнее задание
 Устные упражнения
  Свойства площадей
F
G
 Равные фигуры имеют равные площади

S1
S2

S3

Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников
S1
+ S2
+ S3
S =
S = 82  =64см 2

 1.Найдите площадь квадрата, если его сторона
     равна 8см
1) 16
2) 64
3) 32
 Тест на повторение
а = 4см
Р = 4·4  =16см

 2.Найдите периметр квадрата, если
    площадь равна 16 см2
1) 64
3) 16
2) 32
 Тест на повторение
S =10 2:2=50см2
 3.Найдите площадь треугольника, если
     его катеты равны по 10см
3) 20
1) 50
2) 25
 Тест на повторение

S = 10·8 = 80см2

 4.Найдите площадь прямоугольника, если его смежные стороны равны 10см и 8см
1) 36
3) 80
2) 40
 Тест на повторение
S = (4·8):2= 16см2
2) 32
3) 16
1) 24
 Тест на повторение

4
8
 5.Найдите площадь треугольника, если
     его катеты равны 4см и 8см
S = 2((4·8):2)+6·8= 80см2

 6.Найдите площадь параллелограмма ABCD,
    если  АН=СК=4см, НD=6см и ВН=DК=8см.
2) 64
3) 80
1) 48
 Тест на повторение

А
В
С
D
Н

4
8
6
4
8
К
  Площадь квадрата
S = a2

a
a

b
a
S = ab
а = S:b
  Площадь прямоугольника
 Задача(повторить признаки равенства прямоугольных треугольников)

А
D
M
N
С
В

Дано: ABCD -параллелограмм, ВМ=4, MN=6, ВМ ┴ AD, CN┴ AD.
Доказать:
Найти:
а) S ABМ
= S DCN
S ABCD
        Решение
ΔАВМ и  Δ DCN – прямоугольные, т.к. ВМ ┴ AD, CN┴ AD
    AB = CD, т.к. ABCD –параллелограмм
    ∟ВАМ = ∟CDN как соответственные (AB ║ CD, AN-секущая
Значит, ΔАВМ =  Δ DCN по гипотенузе и острому углу
2)

= S ABМ
S ABCD
+ S BМСD
S MBCN
= S DCN
+ S BМСD
S ABCD
= S  MBCN
=ВМ· MN = 4· 6 = 24
Значит,
Высоты параллелограмма

С
В

А
D
Н
К

ВН - высота
АD -  основание
Высота параллелограмма – это перпендикуляр, проведенный
 к основанию или к прямой, содержащей основание из любой  точки противоположной стороны
Высоты параллелограмма

С
В
А
D
К

СD -  основание

ВК - высота
Площадь параллелограмма

А
D
Н
К
С
В

Дано:
ABCD -параллелограмм,
ВН - высота
 AD - основание
Доказать: S = AD·BH
                                         Решение
ΔАВН и  Δ DCК – прямоугольные, т.к. ВН ┴ AD, CК ┴ AD
    AB = CD, т.к. ABCD –параллелограмм
    ∟ВАН = ∟CDК как соответственные (AB ║ CD, AК-секущая
Значит, ΔАВН =  Δ DCК по гипотенузе и острому углу
2)

                                                   Значит,

= S ABН
S ABCD
+ S BНСD
S НBCК
= S DCК
+ S BНСD
S ABCD
= S  MBCN
= ВС·ВН = AD·ВН

S = ahа
    а – основание
    hа - высота

hа
a
а = S:hа
hа = S:а

Устные упражнения

А
D
Н
С
В

Дано:
ABCD -параллелограмм,
ВН = 5, DC = 6
 Найти: S

К
Дано:
ABCD -параллелограмм,
S= 60, DC = 6,  АD = 20
 Найти: ВК, ВН
Дано:
ABCD -параллелограмм,
ВН = 5, АD = 8
 Найти: S
Дано:
ABCD -параллелограмм,
ВК = 6, АВ = 8
 Найти: S
Дано:
ABCD -параллелограмм,
S = 48, DC = 8, ВН = 4
 Найти: Р
Закрепление изученного материала
№461
Площадь параллелограмма

А
D
Н
С
В

ABCD -параллелограмм
         ВН - высота
         AD – основание
         S = AD·BH

S = ahа
    а – основание
    hа - высота

hа
a
а = S:hа
hа = S:а

Домашнее задание
п. 51, №460, №462.
№ 455

M
N
K
L
D
С
В
А
Дано: ABCD и КLMN-прямоугольники, АВ=5,5м, ВС=6м, КN=30см, KL= 5см.
Найти количество дощечек n
Решение
S ABCD
= 5,5·6 = 33м2
= 0,3·0,05 = 0,015м2
S KLMN
n = 33 : 0,015 = 2200 штук


title: Презентация на тему: Многообразие многоугольников

text:
Многообразие многоугольниковв мире человека.
Интегрированный урок : геометрия и черчение.
Авторы: ЕжоваТ.П.- учитель геометрии
Чекмарёва С .Г.  - учитель черчения ,МОУ СОШ №8 г.Клин
Великий и непредсказуемый
Пифагор.
Карл Гаусс, учащийся первого курса Геттингенского университета, решил задачу, перед которой математическая наука пасовала более двух с лишним тысяч лет. Несмотря на то, что еще древними греками были найдены способы построения с помощью только лишь циркуля и линейки правильных многоугольников с числом сторон 3, 4, 5, 15, а также с числом сторон, большим в 2 раза, в отношении прочих правильных многоугольников царила полная неизвестность.
И вот именно в этот день 1796 года будущий «король математиков» Гаусс догадался, как построить правильный 17-угольник, кстати, также, с помощью циркуля и линейки. Это открытие стало поворотным пунктом в его жизни: ранее колебавшийся между филологией и математикой, теперь он твердо решил посвятить себя последней. Кстати, он завещал изобразить 17-угольник на своем надгробии – что и было сделано.

Виды паркетов в школе №8.

В природе, в окружающем мире, в быту -  всюду мы видим правильные многоугольники
ДЕЛЕНИЕ НА ЧЕТЫРЕ РАВНЫЕ ЧАСТИ

                 .

Деление на 6 равных частей

Деление на 7 равных частей

Деление на 8 равных частей
        .

Построение девятиугольника

Деление на 10 равных частей

Деление на 11 равных частей
Деление на 12 частей
Вот и закончился урок!
Спасибо всем за активное изучение темы
«Правильные многоугольники».
Исследование окружности продолжится на других уроках, где будет вычисляться длина окружности и площадь круга.
Желаем успехов в изучении геометрии и сопутствующих предметов. Начертательная геометрия ждёт вас в МГТУ им.Н.Баумана.