text:
y
0°
x
O
Py
Px
R=1
900igr.net
y
x
O
P
A
A1
A( x ; y)
0°
      180°
x
O
Ax
  Ay
   Py
Px
  R=1
y
y
c
B
x
C
b
a
A (bcos C; bsin C)
h
F
c
B
C
b
a
A
a
B(c;0)
x
A
b
c
C (bcosA; bsin A)
h
A
B
C

a
c
b


title: Презентация на тему: Решение тригонометрических уравнений способом введения новой переменной

text:
ax²+bx+c =0
D= b²-4ac
X    =
1,2
__
2a
a
0
1
-1
sin x
cos x
tg x
n
n
n
n
1)

2)

3)


title: Презентация на тему: Решение треугольников

text:
  .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A
A
B
C
D
CosA =
A
B
C
 AC
AB
Sin A =
BC
AB
Sin B=
AC
AB
Cos B =
 BC
AB
Cos A=Sin B
Sin A=Cos B

                                            a              b            c
                                          SinA       SinB       SinC
a
b
C
B
C
a
b
c
?
?
?
?
?
?
?
?
?


Презентация на тему: Решение тригонометрических уравнений 10 класс


text:
5klass.net
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
a
b
a
c
a
b
C
b
c
A
B
C
1
3

2

60°

2

3
4
135°

3
2,4
1,3

28°
4
5

30°
45°
5
2
4

60°

6
7
2
8

7

12

36°
25°

8

14
64°
48°

9
3
5

60°
10
15
24
18


title: Презентация на тему: Решение уравнения sint=a

text:
v
v
v
y
t1
sin t= -0,9
sin t= -0,4
sin t= 0,2
sin t= 0,7
-0,9
-0,4
0,2
0,7
x
t1
t1
t1
a
sin t= a
y
x
t1
sin t1 = a
t1 =arcsina
arcsina
arcsin
arcsin
arcsin(     )
arcsin 2
arcsin 0
arcsin1
arcsin(      )
arcsin( -1,3)
y
x
a
-1
1
0
arcsina
A
M
C
K
x
y
sint = 0
sint = -1
sint = 1
0
1
-1
0


Презентация на тему: Решение задач


title: Презентация на тему: Решение треугольников. Измерительные работы на местности

text:
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b

D
K
sos
sos

h
h


title: Презентация на тему: решение тригонометрических уравнений 10 класс презентация

text:
0
1
-1
1)arccos(-1)
2)arccos(      )

-1
1
0
2) arctg(-1) =
0
1) arcctg(-1) =
1.arcsin(2x+1)
2.arccos(5-2x)
3.arccos(x²-1)
4.arcsin(4x²-3x)
cost= -      ;
2) sint = 0;
3) tgt = 1;


title: Презентация на тему: Решение задач на готовых чертежах. Четырёхугольники.

text:
8
9
10
11
12
14
15
16
17
18
20
21
22
23
24
30
29
28
27
26
32
33
34
35
36
1
2
3
4
5
6
13
19
25
31
7
1.
D
2.
D
O
3.
B
C
D
2
1
3
4
4.
N
P
Q
5.
B
C
D
1
2
3
6.
B
C
D
1
2
3
4
7.
B
C
D
320
?
?
8.
N
K
P
600
?
?
9.
B
C
D
400
250
10.
B
C
D
2
3
11.
B
C
D
2
8
?
K
12.
B
C
D
5
E
?
13.
B
C
D
F
N
?
?
14.
D
B
N
K
P
C
15.
M
B
C
D
N
?
?
16.
B
C
?
D
O
17.
B
C
D
18.
750
400
B
C
D
E
19.
B
C
D
1350
450
30
?
20.
B
C
5
D
E
21.
600
300
D
E
B
C
5
22.
K
?
600
5
B
C
M
P
600
23.
?
500
B
C
D
24.
?
B1
B2
B3
B4
25.
E
F
5
4
12
26.
B
C
D
M
K
E
10
?
27.
B
C
D
E
F
400
?
28.
B
C
D
E
F
K
M
29.
B
C
D
O
600
?
?
30.
B
C
D
O
600
E
3
31.
B
C
D
750
?
32.
B
C
D
600
N
?
33.
B
C
D
750
E
?
34.
B
C
D
550
E
?
35.
C
E
D
B
350
?
36.
C
N
B
P
A
D
M
K


title: Презентация на тему: Разрезы в аксонометрии

text:
Click to edit Master text styles
Click to edit Master text styles
Click to edit Master text styles
Click to edit Master text styles
Click to edit Master text styles
Click to edit Master text styles
Click to edit Master text styles
Click to edit Master text styles


title: Презентация на тему: Решение задач на готовых чертежах. Четырёхугольники


title: Презентация на тему: Решение задач на готовых чертежах. Окружность. Центральные и вписанные углы

text:
8
9
10
11
12
14
15
16
17
18
20
21
22
23
24
30
29
28
27
26
1
2
3
4
5
6
13
19
25
7
31
32
1.
B
2
1,5
2.
B
4,5
?
3.
B
?
4.
B
16
5.
B
12
600
6.
B
7.
B
12
13
8.
B
2
?
4
9.
B
16
10.
B
4
N
8
5
11.
C
D
B
4
E
12.
M
N
E
K
13.
A
K
E
P
14.
B
?
A
?
?
15.
M
N
K
E
16.
300
A
B
O
C
17.
400
500
A
B
O
C
D
?
18.
A
B
O
C
?
19.
A
B
O
C
?
20.
800
A
B
O
C
?
21.
500
A
B
O
C
?
22.
370
A
B
O
C
?
?
23.
400
A
B
O
C
?
?
D
24.
1200
A
B
O
C
?
25.
200
A
B
O
C
?
D
26.
400
A
B
O
C
?
D
200
27.
300
A
B
O
C
?
D
28.
200
A
B
O
C
?
D
E
600
29.
A
B
O
C
D
E
2,5
5
2
30.
B
12
320
1000
C
D
E
31.
B
520
700
C
D
E
?
32.
?
?
?
B
600
C


title: Презентация на тему: Решение задач на готовых чертежах

text:
900igr.net
8
9
10
11
12
14
15
16
17
18
20
21
22
23
24
30
29
28
27
26
1
2
3
4
5
6
13
19
25
7
1.
N
2.
?
C
B
?
?
3.
B
D
15
4.
B
C
D
E
16
24
5.
C
D
P
K
M
6.
B
C
D
E
?
7.
1260
A
B
O
C
?
8.
A
9.
C
K
?
?
?
10.
R1
R2
11.
1200
12.
1500
B
13.
A
B
O
C
14.
O2
O1
15.
.O1
.O2
.O3
16.
B
C
D
600
N
8
17.
B
C
D
750
K
?
18.
B
C
D
600
20
19.
C
E
D
B
1500
?
20.
C
N
B
P
A
D
M
K
300
21.
D
10
8
8
22.
D
23.
B
C
D
K
24.
B
C
D
H
5
450
25.
B
C
D
9
7
12
11
26.
700
A
B
O
C
D
?
?
?
?
27.
B
A
N
M
D
P
5
4
28.
A
B
D
5
29.
A
B
D
E
F
2
30.
A
B
D
E
F


title: Презентация на тему: Решение задач координатным методом

text:
900igr.net
x
y
A
B
C
D
x
y
A
D
B
C
x
y
x
y
x
y
B
C
D
E
F
y
x
O
y
x
y
x
y
x
O
x
y
y
x
A
B
C
D
O
F1
E1
C
D
E
F
A
B
A1
B1
C1
D1
X
Y
Z
C
D
A
B
D1
B1
A1
C1
y
z
x
O
z
x
y
A
C1
B
B1
C
A1
z
x
y
D
C
B
P
O
x
y
z
D
C
B
M
P
O
N
K
S
X
Y
Z
F1
C
D
E
F
A
B
A1
B1
C1
D1
E1
P
S
C
D
A
B
D1
B1
A1
C1
y
z
x
A
B
C
D
x
y
E
B
C
D
E
A
F
X
Y
Z
F1
C
D
E
F
A
B
A1
B1
C1
D1
E1
y
x
P
1
B
C
D
E
A
F
X
Y
Z
F1
C
D
E
F
A
B
A1
B1
C1
D1
E1
y
x
P
1
x
z
y
O
C
A
B
1
y
x
O
D
D1
C1
B1
A1
y
z
x
P
S
R
K
M
N
C
D
A
B
D1
B1
A1
C1
E
y
z
x
y
x
O
C
A
B
1
A
O
z
C1
x
B
D
B1
y
C
A1
1
2
D
C
B
M
P
O
D
O
x
y
x
y
z
60°
D
O
y
x
D
D1
C1
B1
A1
x
y
z
D
D1
C1
B1
A1


title: Презентация на тему: Решение задач на готовых чертежах. Площади фигур.

text:
8
9
10
11
12
14
15
16
17
18
20
21
22
23
24
30
29
28
27
26
32
33
34
35
1
2
3
4
5
6
13
19
25
31
7
1.
D
2.
D
E
F
3.
B
C
D
4.
D
F
5.
B
C
D
6.
B
C
P
D
M
K
7.
B
C
D
8.
B
D
9.
B
D
10.
B
C
N
D
11.
B
C
D
K
6
450
12.
B
C
D
300
13.
B
C
D
5
600
14.
B
C
D
K
4
450
7
15.
B
C
D
K
10
6
8
16.
B
C
D
8
6
1500
17.
B
C
D
18.
B
C
D
19.
B
C
D
4
5
20.
B
300
21.
B
4
450
22.
B
C
D
4
5
23.
B
C
D
1350
24.
B
C
D
25.
B
12
500
1000
9
26.
B
C
8
D
4
5
27.
B
C
D
28.
B
C
D
300
29.
B
C
D
450
6
3
30.
B
C
10
D
450
6
8
31.
C
D
750
300
10
32.
C
750
12
750
33.
B
C
D
7
6
10
34.
B
C
D
H
M
N
35.
B
C
D
K


title: Презентация на тему: Решение задач на готовых чертежах. Площади фигур


title: Презентация на тему: Решение задач на готовых чертежах. Прямоугольный треугольник.

text:
8
9
10
11
12
14
15
16
17
18
20
21
22
23
24
30
29
28
27
26
1
2
3
4
5
6
13
19
25
7
1.
C
B
3
4
2.
D
B
350
3.
D
4
4.
B
C
D
4
3
1500
5.
B
C
D
2
15
15
20
?
?
6.
L
20
150
7.
B
C
D
2
6
1200
8.
B
C
A
b
D
9.
B
C
D
6
1200
10.
B
C
K
H
11.
K
B
D
C
4
300
12.
C
D
B
13.
B
C
8
300
14.
M
N
K
4
450
15.
M
E
P
16.
F
a
17.
B
C
D
O
a
18.
B
C
D
K
19.
B
C
K
M
N
20.
B
K
8
21.
C
D
5
3
12
22.
B
C
M
D
F
23.
B
C
K
D
F
E
4
2
2
24.
P
A
M
K
B
O
K1
M1
25.
B
C
x
600
x + 1
26.
B
C
D
8
27.
B
C
D
a
28.
B
C
D
8
3a
a
29.
B
C
D
a
30.
O
A1
B
B1
5
8
300


title: Презентация на тему: развертки координат

text:
Лекция 7а

 Развертки поверхностей
Основные положения
Развертыванием называется такое преобразование, при котором все точки поверхности совмещаются с плоскостью.
Развертка - плоская фигура, получаемая в результате данного преобразования.
Поверхности делятся на развертываемые и неразвертываемые.
Развертываемые совмещаются с плоскостью без разрывов и складок
Для неразвертываемых строятся условные развертки
Развертки прямых круговыхконуса и цилиндра

Н
d

Н
d
Для данных поверхностей строятся точные развертки. Боковая поверхность цилиндра – прямоугольник. Боковая поверхность конуса – круговой сектор


Способ нормального сечения
Определяются натуральные величины образующих, если они заданы в общем положении.
Строится нормальное сечение (там, где образующие имеют истинную величину)
Определяется натуральная величина нормального сечения
Строится развертка: периметр нормального сечение «развертывается» в прямую; через его вершины перпендикулярно линии проводятся образующие
Применяется для призматических и цилиндрических поверхностей. Нормальное сечение перпендикулярно образующим и определяет расстояние между ними

a2
b2
c2

А2
Боковые ребра призмы обозначены  a,  b  и c. На П2 эти ребра имеют натуральную величину (являются фронталями). Поэтому след нормаль-ного сечения можно провести  на исходном чертеже без его преобра-зования перпендикулярно проекциям - натуральным величинам ребер.
c1
b1
a1

А2
На П2 проводим след плоскости Р2 перпендикулярно проекциям ребер - натуральным величинам. Для построения нормального сечения  фикси- руем точки пересечения следа Р2 с проекциями ребер призмы как 12, 22 и 32. Проекции 11, 21, 31 располагаем на a1, b1, c1 соответственно.
b1
a1
c1

P2
12
22
32
А2
Для построения развертки призмы необходима натуральная величина нормального сечения, которой нет на исходном чертеже. Применив способ плоско-параллельного перемещения, найдем проекцию треугольника -  натуральную величину  112131.
c1
b1
a1
c1
b1
a1

P2
12
22
32

11
31
21
А2
Развертку начинаем строить, развернув натуральное нормальное сече-  ние в прямую линию с обозначением узловых точек 10, 20, 30 и еще раз 10.  Через узловые точки проводим натуральные ребра призмы перпендику- лярно линии нормального сечения, перенеся равные отрезки ребер с П2.

н.в.
c1
b1
a1

P2
12
22
32

11
31
21
А2
Достраиваем натуральные основания призмы способом засечек и получаем ее полную развертку.

н.в.

c1
b1
a1

P2
12
22
32

11
31
21
А2
Точку А, заданную на поверхности, легко построить на развертке. Для этого на нужной грани через точку А проводим дополнительную прямую и, определив ее место на  натуральной величине нормального сечения, находим расположение этой прямой вместе с точкой А0 на развертке.

н.в.


title: Презентация на тему: Решение задач на готовых чертежах. Прямоугольный треугольник


title: Презентация на тему: Решение задач на готовых чертежах. Теорема Пифагора.

text:
8
9
10
11
12
14
15
16
17
18
20
21
22
23
24
30
29
28
27
26
1
2
3
4
5
6
13
19
25
7
1.
?
2.
?
3.
B
C
D
?
4.
D
2
?
5.
B
C
D
?
6.
B
C
1350
1350
?
7.
B
C
D
450
6
?
8.
B
C
D
10
6
?
9.
B
C
D
E
F
300
4
10.
B
C
D
6
8
11.
B
C
D
a
O
?
12.
B
C
D
4
300
13.
B
C
8
D
6
14.
B
C
D
E
8
450
300
15.
C
B
D
O
E
4
16.
B
C
20
450
450
17.
B
C
D
?
18.
B
C
6
300
19.
B
C
D
13
5
17
20.
B
C
D
15
9
20
21.
B
C
D
450
12
10
22.
B
C
600
8
12
23.
C
D
24
1
24.
C
12
9
25.
B
C
D
26.
B
C
K
17
N
17
27.
B
C
D
H
27
13
10
300
28.
B
C
14
13
15
29.
B
C
D
9
12
15
30.
B
C
D
H
11
7
9
12


title: Презентация на тему: Решение задач на готовых чертежах. Подобные треугольники

text:
8
9
10
11
12
14
15
16
17
18
20
21
22
23
24
30
29
28
27
26
1
2
3
4
5
6
13
19
25
7
1.
B
D
16
30
20
2.
D
14
20
21
B
3.
B
D
4,5
13,5
4.
D
4
6
B
5.
B
C
M
K
N
6
5
7
6.
B
C
N
5
M
2
7.
B
C
D
O
K
8.
B1
B2
B3
B4
9.
C
B
D
8
4
10.
C
B
D
8
4
11.
B
C
N
M
K
12.
B
C
N
M
K
13.
B
N
M
K
C
14.
B
N
M
P
C
15.
B
M
N
6
4
12
15
16.
B
E
D
15
C
10
8
x
x+6
17.
4
5
a
b
x
2x + 3
y
y - 1
18.
B
C
16
D
4
19.
B
C
8
D
6
5
10
20.
B
C
D
6
K
E
1
9
21.
C
D
5
M
8
3,9
3,6
22.
B
C
M
N
23.
C
B
F
E
24.
D
1
B
2
C
3
25.
C
B1
B
C1
710
10
2a
3a
2b
3b
?
26.
C
B1
C1
800
10a
5a
14b
7b
?
B
12c
6c
400
?
27.
B
N
M
15
C
10
8
3
4
28.
B
C
D
15
4
12
O
5
29.
B
C
M
N
10
4
5
6
30.
B
N
M
C
20


title: Презентация на тему: Решение задач на готовых чертежах. Теорема Пифагора


title: Презентация на тему: Равнобедренный треугольник

text:
Решение задач по теме «Равнобедренный треугольник»

Закрепить теоретические знания по теме

Совершенствовать навыки доказательства теорем и решения задач
Теоретический тест
1. Медиана в равнобедренном треугольнике является его биссектрисой и высотой. Это утверждение:

а) всегда верно;

б)может быть верно;

в) всегда неверно
Теоретический тест
2. Если треугольник равносторонний, то:

а)он равнобедренный;

б) все его углы равны;

в) любая его высота является биссектрисой и медианой.

Теоретический тест
3. В каком треугольнике только одна его высота делит треугольник на два равных треугольника?

а) в любом;

б) в равнобедренном;

в) в равностороннем.
Теоретический тест
4. Биссектриса в равностороннем треугольнике является медианой и высотой. Это утверждение:

а) всегда верно;

б)может быть верно;

в) всегда неверно

Теоретический тест
5. Если треугольник равнобедренный, то :

а) он равносторонний;

б) любая его медиана является биссектрисой и высотой;

в) ответы а) и б) неверны

Теоретический тест
6. В каком треугольнике любая его высота делит треугольник на два равных треугольника?

а) в любом;

б) в равнобедренном;

в) в равностороннем.

Проверь и поставь оценку
1- б)
2- а), б), в)
3- б)
4- а)
5- в)
6- в)
6-5

4, 5- 4

3- 3

№№ 68,69
Рабочая тетрадь

№№ 115, 120

П 18,? 1-13 (стр. 49)№№ 116-119
Дома:


Презентация на тему: Решение задач на комбинации призмы, шара и пирамиды


title: Презентация на тему: Решение задач на нахождение площади прямоугольного треугольника

text:
S - ?
P - ?
S - ?
R - ?
B
C
D
S BCD - ?
?
a
c
b
S-?
S-?
B
C
D
S BCD - ?
?
5
5
5
5
5
5


Презентация на тему: Решение задач на нахождение объемов


title: Презентация на тему: Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий.

text:
b
b
a
b
g
g
1
2
3
4
5
D1
D
M
N
K
O
F
D1
D
D1
D
S
F
E
D


title: Презентация на тему: Разные способы нахождения площади многоугольников

text:
Разные способы нахождения площади многоугольниковобобщающее повторение при подготовке к ЕГЭ по математике
Учитель математики ГБОУ СОШ 454
Колпинского района Санкт-Петербурга
Любимова Виктория Викторовна
Нахождение площади по формулам
Нахождение площади по формулам
Нахождение площади по формулам
Нахождение площади по формулам
Нахождение площади по формулам
Сложение площадей
Вычитание площадей
S
Метод Пика
Метод Пика
Спасибо за внимание!


title: Презентация на тему: Разрезы. Правила построения и обозначения на чертеже

text:
Тема: РАЗРЕЗЫпо курсу Черчение9 класс
Правила построения и обозначения на чертеже
МОУ «СОШ № 4»
Глебова С.О.
Цели и задачи данного курса:
в формировании представлений о графических средствах  отображения информации;
в развитии пространственного воображения и пространственных представлений;
в обучении чтению и выполнении чертежей;
в закреплении знаний учащихся об изображении и обозначении сечений и разрезов;
в формировании умения выполнять разрезы на чертежах деталей;
в воспитании культуры графического труда
Понятие о разрезе как изображении.
Назначение разреза на чертеже.
Получение разреза на чертеже.
Отличие разреза от сечения.
Виды разрезов

Назначение разрезов:
увеличение наглядности чертежа;
облегчение его чтения.
Получение разреза.
Разрезом называется изображение, полученное при мысленном рассечении детали одной или несколькими секущими плоскостями.
В разрезах показывается то, что получается в секущей плоскости и за ней.
Сравнение разрезов и сечений.
Сравнение разрезов и сечений.

Изображают
только фигуру, находящуюся в плоскости сечения
Изображают фигуру, находящуюся в плоскости сечения, и то, что расположено
за ней

По расположению в пространстве
Разрезы
Виды разрезов.

    Фронтальный разрез.
Секущая плоскость параллельна фронтальной плоскости проекций
Размещается на месте главного вида

Профильный разрез.
Секущая плоскость параллельна профильной плоскости проекций

Располагается на месте вида слева

Горизонтальный разрез
Секущая плоскость параллельна горизонтальной плоскости проекций
Выполняется на месте вида сверху

Задание:

по учебнику А.Д. Ботвинников «Черчение»

  на стр.139 задание ▼(заполните таблицу, по виду и разрезу найдите наглядные изображения);

Задание:
по учебнику А.Д. Ботвинников «Черчение» 7-8 класс

 на стр. 142 задание ▼(заполните таблицу, по виду и разрезу найдите наглядные изображения и профильные разрезы).
             Источники информации:
Черчение. 9 класс: Поурочные планы/ Авт.-сост. С.В. Титов.- Волгоград: Учитель, 2005.-190 с.
Ботвинников А.Д.  Черчение. Учебник для средней общеобразовательной школы – Москва «Просвещение» - 2000 г.


title: Презентация на тему: Развёртка куба

text:
Логинова Ирина Викторовна, «Школа развития способностей «Крошка Енот»», преподаватель «Логики» и «Наглядной геометрии», Великий Новгород, 2010
Наглядная геометрия
 5 класс
Развёртка куба
Содержание
Урок №1
1.Задание № 1
2.Задание № 2
3.Задание № 3
Урок №2
4.Задание № 4
5.Задание № 5
6.Задание № 6
7.Задание № 7
8.Задание № 8
9.Задание № 9
Литература
1. Сколько вершин у куба?
2. Сколько ребер у куба?
3. Сколько ребер сходятся в вершину?
4. Как расположены ребра, составляющие любую вершину куба?

Задание №1
Соберите из ТИКО-деталей куб.
Ответьте на следующие вопросы:

1. У куба ____________
2. У куба ____________
3. ____ ребер сходятся в вершину.
4. Ребра расположены
____________________
Ответы:
Задание №2

Разложите ТИКО-куб на грани на плоскости.
Вы получили развертку куба. Придумайте другие развертки куба.

Задание №3
Найдите правильные развертки куба.
Ответы проверьте с помощью ТИКО-деталей.
Занесите свои результаты в таблицу N 1
Задание №4
Проверь с помощью ТИКО-деталей какие из предложенных разверток составляют открытый куб (без верхней грани) и отметь их в таблице.

Занесите свои результаты в таблицу N 2
Задание №5

Грань, на которой стоит куб, помечена буквой «А». Найди на развертках верхнюю грань и пометь ее буквой «Б».

Проверьте получившиеся у вас результаты.
Задание №6
Собери куб, используя развертку, изображенную на слайде.
Перенеси цвета своего кубика на развертки.
Нижняя грань (черная) уже предусмотрена.
Проверь свое решение, сравнивая его со своим цветным кубом.
   Рисунок N 1
Рисунок N 2
Задание №7
Внимательно рассмотрите изображение куба.

Сколько сторон куба нам видны?
Какого они цвета?
Какие грани нам не видны?
Вспомните, какого цвета грани на нашем кубе, невидимые нам?

Задание №8

Перед вами несколько кубов.
Найдите среди них наш куб.
Задание №9
Здесь вы видите другое изображение нашего куба. Найдите среди следующих кубов  - наш.
Спасибо за урок
Литература
Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия 5 - 6 класс. - М.: Дрофа, 2008.


title: Презентация на тему: Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий

text:
b
c
N
F


Презентация на тему: Решение задач на построение


title: Презентация на тему: Решение задач на применение первого признака равенства треугольников

text:
D
1
2
D
1
2
D
1
2
D
2
1
D
1
2
D
2
1
2
D
1
2


title: Презентация на тему: Решение задач на применение признаков равенства треугольников

text:
AO = OC
BO = OD

-

-
AO=OC
DO=OC, AD=BC
<DCA = < CAB
<CAD = < BCA
AO=OC
<DOM = < COM
AO = OC
BO = OD


text:
F
B
A
D
1
2
3
4


title: Презентация на тему: Решение прямоугольных треугольников

text:
Решение прямоугольных треугольников
Решение типовых задач
Учебник «Геометрия 7-9»  Л.В. Атанасян
Урок геометрии в 8 классе
Учитель математики
высшей квалификационной категории
МБОУО гимназия №36 г. Иваново
Бычкова Оксана Владимировна

b

α
?
1
α=38°; b=4

sinα
cosα
tgα

1

1
a

α
?
2
α=27°; a=6

sinα
cosα
tgα

1

1
c

α
?
3
α=54°; с=2

sinα
cosα
tgα

1

с

α
?
4
α=77°; с=1

sinα
cosα
tgα

1

b

α
?
5
α=25°; b=10

sinα
cosα
tgα

1

a

α
?
6
α=32°; a=4
sinα
cosα
tgα

1

№594
b

β
?
В прямоугольном треугольнике один из катетов равен b, а противолежащий угол равен β.
а) Выразите другой катет,
прилежащий к нему угол
и гипотенузу через b и β.
б) Найдите их значения, если b=10см, β=50°
Решение:

?

1)
2)
3)
?

№595
b

α
?
В прямоугольном треугольнике один из катетов равен b, а прилежащий угол равен α.
а) Выразите другой катет,
противолежащий к нему угол
и гипотенузу через b и α.
б) Найдите их значения, если b=12см, α=42°.
Решение:
?
?

№596
с

α
?
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, а один из острых углов равен α.
а) Выразите второй острый угол
и катеты, через с и α.
б) Найдите их значения, если с=24см, α=35°.
Решение:
?
?

№598(а).

A
C
B
b

α
Найдите площадь равнобедренного треугольника с углом α при основании, если боковая сторона равна b.

№598(б).

A
C
B
а

α
Найдите площадь равнобедренного треугольника с углом α при основании, если основание равно а.

№599

A
B
D
C
2см
6см

α

Найдите площадь равнобедренной трапеции с основаниями 2см и 6см, если угол при большем основании равен α.
№600

A
B
D
C
60м
?
Насыпь шоссейной дороги имеет в верхней части ширину 60 м. Какова ширина насыпи в нижней её части, если угол наклона откосов к горизонту равен 60°, а высота насыпи равна 12 м?
12м
60°

60°

Домашнее задание
П.66 , №597, №603
Спасибо за урок
Информационные ресурсы
Геометрия. 7—9 классы : учеб. для общеобразоват. учреждений /Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.— 20-е изд. — М. : Просвещение, 2010.


title: Презентация на тему: Развитие геометрии

text:
Развитие геометрии
Автор: Комракова София Андреевна;
Руководитель: Колесниченко Ольга Викторовна;
Журавенская СОШ;
2010 г.
Геометрия
Геометрия – одна из наиболее древних наук. Первые геометрические факты найдены в Вавилонских клинописных  таблицах и Египетских папирусах III тысячелетия назад. Геометрия, как и всякая наука, возникла под влиянием жизненных потребностей. Необходимость их повседневного удовлетворения ставит человека перед целым рядом вопросов о форме окружающих  его предметов, вычислениях, связанных с землемерием, строительным делом и т. д. «Геометрия» в переводе с греческого означает «землемерие». Это указывает на источник её происхождения.  Геометрия изучает фигуры и их свойства. Знания  о геометрии широко применяются в металлургии, строительстве. Также геометрия используется для изучения других наук.
Геометрия тесно связанна с потребностями человека. Она применяется для украшения предметов быта, строительства   зданий, хозяйственных построек, храмов,  погребальных памятников, в сельском хозяйстве, и т. п..
Это украшения, изготовленные на основе геометрических знаний
Как возникла геометрия.
Каменные орудия
  Кристаллы минералов
Первобытные люди, овладевая окружающим миром, знакомились с простейшими геометрическими формами. Например, знакомясь с кристаллами различных минералов, люди одновременно знакомились с  разными формами. А узнавая эти формы,  из них изготавливали каменные орудия.

Изготовление горшка
Астроном, следящий  за  звёздами

Для того чтобы взимать налоги за землю, надо было знать площади  полей.
Гончару надо было знать, какую форму придать горшку  или амфоре, чтобы в них входило определенное количество жидкости.
Астрономы должны были научиться определять положение звёзд на небе. Для этого нужно было измерять углы.
Так  практическая деятельность людей привела к дальнейшему развитию геометрии

Геометрия в древнем Египте
Геометрия зародилась примерно за 10 веков до нашей эры, а произошло это в Древнем Египте и связано было с потребностью справедливо распределять землю между их владельцами после разлива Нила.
 Египтяне были отличными инженерами и архитекторами. Строительство пирамид – дело сложное и  не простое, даже в наше время, а ведь у них не было ни строительных кранов, ни домкратов. Все пирамиды имеют совершенно одинаковую  правильную форму. Одна сторона пирамиды всегда обращена точно на восток, другие - на север, запад, юг. Построить правильную пирамиду очень сложно. Секреты строительства египетских пирамид не раскрыты до сих пор.
 Египтяне правильно определяли площади таких прямоугольных фигур, как треугольник, прямоугольник, квадрат и трапеция
Египетские пирамиды - одно из семи чудес света.
Геометрия в Вавилоне
		Жителям Вавилона пришлось труднее, чем жителям Египта. Так как их государство находилось между двумя реками: Евфрат и Тигр, которые разливались очень бурно, то для защиты населения и земель от наводнений  они строили дамбы, обносили поля и селения насыпями. А  для строительства всяких больших сооружений нужны знания.

Дамбы
Карта Вавилона
		Вавилонские ученые изучали свойства окружности. Учились измерять длину окружности. Вот как они поступали:  чертили окружность и два квадрата: один – так, чтобы его углы упирались в окружность изнутри, второй квадрат побольше рисовали так, чтобы окружность помещалась в нем. Потом измеряли длину сторон большого и меньшего квадратов (это легко сделать линейкой). Получившиеся числа складывали и делили пополам ,и это число считалось длиной окружности.							К задачам, которые решали вавилоняне,  относятся и многие задания на определение длин площадей при делении земельных участков, объемов земляных выемок, хозяйственных построек.  Жители Вавилона внесли огромный вклад в последующее развитие геометрии.

 L=(Р1+Р2)/2
L – длина окружности
Р1 -  периметр большого квадрата
Р2 - периметр малого квадрата
Геометрия в Греции
Свой путь, как наука, геометрия начала в Греции.  Греки удивлялись почему в Египте и Вавилоне не занимались исследованием теории.
Они задавались такими вопросами: почему в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, почему площадь треугольника равна половине площади прямоугольника при одинаковых основаниях и высотах.
Греки были удивительным и умным народом, у которых многому учатся даже сейчас, спустя тысячи лет.
Пожалуй, никто в истории человечества не сделал столько же открытий, сколько сделали греки.
Фалес Милетский
Фалес Милетский  был одним из великих  греческих учёных,(640 - 548 г.г. до н.э.).
Он принадлежал к числу «семи  мудрецов» античного мира и считался  основателем  ионийской школы. Фалес посетил Египет, там он познакомился с астрономией и геометрией. Легенда рассказывает о том, что Фалес привел в изумление египетского царя Амазиса, измерив высоту одной из пирамид по величине отбрасываемой ею тени.
В геометрии ему приписывают ряд утверждений:
1). Диаметр делит окружность (круг) пополам;
2). Теорему о равенстве вертикальных углов;
3). Углы при основании равнобедренного треугольника равны;
4). Второй признак равенства треугольников;
5). Теорему о том, что угол, вписанный в полукруг, прямой.
 Фалес мыслил  углы не как величины, а как фигуры, имеющие некоторую форму.

Евклид
Демокрит
Гиппократ
Евклид( ок.365 - ок. 300 г. до н. э.) жил в Александрии в эпоху, когда  там образовался наиболее крупный центр греческой научной мысли. Опираясь на труды своих предшественников , среди которых были Фалес и Пифагор, Демокрит и Гиппократ, Архит, Теэтет, Евклид создал «Начала». Его «Начала» состояли из 13 книг: I –VI  книги посвящены планиметрии; VII – X  учению о числе;  XI – XIII – стереометрии.
«Составитель Начал» — это прозвище. Оно сделалось как бы собственным именем, под которым все позднейшие греческие математики разумели Евклида, а его «Начала» сделались учебником, по которому в течение двух тысячелетий учились геометрии юноши и взрослые.
 До XIX  в. в школах всего мира  геометрия преподавалась по «Началам» Евклида. Изложение и методы  доказательства  многих теорем в современных  учебниках те же, что в « Началах».
Пифагор
Пифагор Самосский (570 – 500 . до н. э.) — древнегреческий философ и математик. Родился на острове Самос в Эгейском море, в семье купца Мнесарха. Путешествуя с отцом, будто бы в возрасте 18 – 20 лет, они посетили старого тогда уже Фалеса, который и пробудил интерес юноши к математике и астрономии. Он посоветовал  ему поехать для основательного образования в Египет. Пифагор последовал совету. Затем был Вавилон и Индия. По возвращении на Самос, Пифагор основал свою школу. В городе Кротоне им был основан знаменитый пифагорейский союз, бывший одновременно научной школой, политическим и религиозным сообществом, в котором Пифагор почитался чуть ли не божеством.
Историю жизни Пифагора трудно отделить от легенд, представляющих его в качестве совершенного мудреца и великого посвящённого во все таинства  греков и варваров. Ещё Геродот называл его «величайшим эллинским мудрецом».
Пифагор не оставил сочинений, и все сведения о нём и его учении основываются на трудах его последователей.

Пифагорова школа
Школа была основана Пифагором в Кротоне (Южная Италия) и просуществовала до начала IV в. до н.э., хотя гонения на нее начались практически сразу после смерти Пифагора в 500 г.
По сути, это была первая философская школа - религиозно-философское аристократическое братство; она имела большое влияние на греческие полисы Южной Италии и Сицилии. Союз отличался строгими обычаями и высокой нравственностью.
Образ жизни пифагорейцев вошел в историю.  Как рассказывают легенды, учеников Школы всегда можно было узнать по их внешнему облику и благородному поведению..
Великая теорема Пифагора
« Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов» - так гласит великая теорема Пифагора.
Об этом было известно далеко до Пифагора в Древнем Вавилоне ( видимо они вычислили это с помощью расчётов) , но доказал теорему первым Пифагор. Его доказательство  не сохранилось.
Зато сейчас существует  более 400 доказательств  этой теоремы. Возможно, среди них есть и пифагорово доказательство.
Геометрия новых веков
Последним греческим представителем геометрии был Прокл. Гибель античной культуры, как известно, привела к глубокому упадку науки, продолжавшемуся около 10 веков, до эпохи Возрождения. Однако это не значит, что развитие математики в это время совершенно заглохло. Посредниками между эллинской и новой европейской наукой явились арабы.
 В условиях быстрого развития торговли, мореплавания и строительства начинала быстро развиваться арабская наука, в которой математика играла главную роль. Однако арабская математическая наука была основана не столько на геометрии сколько на алгебре и арифметике. Арабы усовершенствовали систему  счисления  и основы алгебры. Но в геометрии особых достижений у них не было.

Геометрия  Лобачевского
Особый интерес математиков всегда вызывала пятая аксиома о параллельных прямых. В отличие от остальных аксиом элементарной геометрии, аксиома параллельных не обладает свойством непосредственной очевидности. Поэтому на всем протяжении истории геометрии имели место попытки доказать аксиому параллельных, то есть вывести ее из остальных аксиом геометрии.

Лобачевский первым отчетливо сформулировал и обосновал утверждение о том, что пятый постулат Евклида нельзя вывести из остальных  аксиом  геометрии.

 Лобачевский  построил новую геометрию на плоскости и в пространстве, откинув постулат Евклида, заменив его другим, прямо противоположным по смыслу: “Через точку А вне прямой а в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, проходит по крайней мере две прямые с и в не имеющие общей точки с прямой а”.

 Лобачевский показал, что его геометрия может быть с пользой  приложена в математическом анализе: он вычислил много интегралов, которые до него не поддавались вычислению

      Неевклидова геометрия
Нельзя сказать, что неевклидова геометрия единственно правильная. На данный момент к ней нет никаких претензий. Но, может быть, через много лет она устареет. Так или иначе, но наука никогда не будет стоять на месте.
Геометрия Лобачевского не единственная, существуют и другие, например, геометрия Римана:
Геометрия Римана  - многомерное  обобщение геометрии  на  поверхности,  представляющее собой  теорию  римановых  пространств,  т. е. таких  пространств,  где  в  малых  областях приближённо  имеет  место  евклидова геометрия  (с точностью  до  малых  высшего порядка  сравнительно  с  размерами  области). Геометрия Римана  получила  своё  название  по имени  Б. Римана, который  заложил  её  основы в  1854.

Вот так развивалась геометрия. В современном мире учёные - геометры достигли              небывалых высот.

Спасибо за внимание!


title: Презентация на тему: "Разрезание геометрических фигур на части"

text:
Внеклассное занятие по математике
РАЗРЕЗАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР НА ЧАСТИ
Учитель математики сош № 41 ОАО «РЖД»
Кашенцева М.А.
ЗАДАЧИ НА РАЗРЕЗАНИЯ
Теорема Бойяи-Гервина гласит: любой многоугольник можно так разрезать на части, что из этих частей удастся сложить квадрат.

ЗАДАНИЕ 1
Разрежьте прямоугольник a ˟ 2a на такие части, чтобы из них можно было составить  квадрат.

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 1
Прямоугольник ABCD разрежем на три части по линиям MD и MC
 (М – середина АВ)
РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 1
Треугольник АMD переместим так, чтобы вершина М совместилась с вершиной С, катет АМ переместится на отрезок DС.
Треугольник МВС переместим влево и вниз так, что катет МВ наложится на половину отрезка DС
РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 1
Треугольник АMD переместим так, чтобы вершина М совместилась с вершиной С, катет АМ переместится на отрезок DС.
Треугольник МВС переместим влево и вниз так, что катет МВ наложится на половину отрезка DС
ЗАДАНИЕ 2
РАЗРЕЗАТЬ РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК НА ЧАСТИ ТАК, ЧТОБЫ ИЗ НИХ МОЖНО БЫЛО СЛОЖИТЬ КВАДРАТ

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 2
Обозначим данный правильный треугольник АВС. Необходимо разрезать ∆АВС на многоугольники так, чтобы из них можно было сложить квадрат. Тогда эти многоугольники должны иметь по крайней мере по одному прямому углу.
Пусть К – середина СВ, Т – середина АВ, точки М и Е выберем на стороне АС так, что МЕ=АТ=ТВ=ВК=СК=а, АМ=ЕС=а/2.
Проведем отрезок МК и перпендикулярные к нему отрезки ЕР и ТН.

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 2
Разрежем треугольник на части вдоль построенных линий:
РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 2
Четырехугольник КРЕС повернем по часовой стрелке относительно вершины К так, что СК совместится с отрезком КВ.
Четырехугольник АМНТ повернем по часовой стрелке относительно вершины Т так, что АТ совместится с ТВ.
Треугольник МЕР переместим так, что в результате получится квадрат:
РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 2

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 2

ЗАДАНИЕ 3
РАЗРЕЗАТЬ КВАДРАТ НА ЧАСТИ ТАК, ЧТОБЫ ИЗ НИХ МОЖНО БЫЛО СЛОЖИТЬ ДВА КВАДРАТА.

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 3
ОБОЗНАЧИМ ИСХОДНЫЙ КВАДРАТ ABCD. ОТМЕТИМ СЕРЕДИНЫ СТОРОН КВАДРАТА – ТОЧКИ M, N, K, H. ПРОВЕДЕМ ОТРЕЗКИ МТ, НЕ, КF И NР – ЧАСТИ ОТРЕЗКОВ МС, НВ, КА И ND СООТВЕТСТВЕННО.

РАЗРЕЗАВ КВАДРАТ ABCD ПО ПРОВЕДЕННЫМ ЛИНИЯМ, ПОЛУЧИМ КВАДРАТ  PTEF И ЧЕТЫРЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА MDHT, HCKE, KBNF И NAMP.

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 3
PTEF – УЖЕ ГОТОВЫЙ КВАДРАТ.
ИЗ ОСТАВШИХСЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ СОСТАВИМ ВТОРОЙ КВАДРАТ.
РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 3
ВЕРШИНЫ A, B, C И D  СОВМЕСТИМ В ОДНУ ТОЧКУ, ОТРЕЗКИ АМ И ВК, MD И КС, BN И СН, DH И АN СОВМЕСТЯТСЯ.
ТОЧКИ Р, Т, Е И F СТАНУТ ВЕРШИНАМИ НОВОГО КВАДРАТА.
ЗАДАНИЕ 4
Из плотной бумаги вырезаны равносторонний треугольник и квадрат.  Разрезать эти фигуры на многоугольники так, чтобы из них можно было сложить один квадрат, при этом части должны полностью его заполнять и не должны пересекаться.

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 4
ТРЕУГОЛЬНИК РАЗРЕЖЕМ НА ЧАСТИ ТАК, КАК ПОКАЗАНО В ЗАДАНИИ 2. ДЛИНА СТОРОНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА – 2а.
РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 4
Теперь следует разделить на многоугольники квадрат так, чтобы из этих частей и того квадрата, который получился из треугольника, составить новый квадрат.

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 4
Возьмем квадрат со стороной 2а, обозначим его LRSD.
Проведем взаимно перпендикулярные отрезки UG и VF так, что DU=SF=RG=LV.
Разрежем квадрат на четырехугольники.
РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 4

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 4
Возьмем квадрат, составленный из частей треугольника. Выложим четырехугольники – части квадрата так, как показано на рисунке.

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 4

ЗАДАНИЕ 5
Крест составлен из пяти квадратов: один квадрат в центре, а остальные четыре прилежат к его сторонам. Разрезать его на такие части, чтобы из них можно было составить квадрат.
РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 5
СОЕДИНИМ ВЕРШИНЫ КВАДРАТОВ ТАК, КАК ПОКАЗАНО НА РИСУНКЕ.
РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 5.
ОТРЕЖЕМ ТРЕУГОЛЬНИКИ, ОКАЗАВШИЕСЯ ВНЕ КВАДРАТА. ПЕРЕМЕСТИМ ИХ ТАК, КАК ПОКАЗАНО НА СХЕМЕ.
РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 5

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 5.

ЗАДАНИЕ 6
Перекроить два произвольных квадрата в один.

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 6
На рисунке показано, как нужно разрезать и переместить части квадратов
РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 6
На рисунке показано, как нужно разрезать и переместить части квадратов
РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 6
РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЯ 6
ЛИТЕРАТУРА
1. А.В. Фарков «Внеклассная работа по математике» 5-11 классы, Москва, Айрис-пресс, 2009
2. И.Ф. Шарыгин, А.В. Шевкин «Задачи на смекалку», М., «Просвещение», 2006
3. И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева «Наглядная геометрия», М., МИРОС, 1995


title: Презентация на тему: Решение задач на построение сечений тетраэда

text:
Содержание:
Актуализация;
Изучение нового;
Закрепление;
Разноуровневая проверочная самостоятельная работа  с разбором решения;
2

А1
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.

3

А2

Если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

4
А3

Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

А
B
D
C
N
M

K
Построение сечения тетраэдра через  точки M, N, K

А
B
D
C
N
M

K
Решение задач на построение сечений тетраэдра

Цель: научиться                        строить сечения   тетраэдра

Построение сечения тетраэдра через  точки M, N, K

А
B
D
C
N
M

K

F
Построение сечения тетраэдра через  точки M, N, K

А
B
D
C
N
M

K

L

F
Построение сечения тетраэдра через  точки M, N, K

А
B
D
C
N
M

K

L

F

А
B
D
C
N
M

K

Объясните, как построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M,N,K
Найдите периметр сечения, если M, N, K – середины ребер и каждое ребро тетраэдра равно а.

А
B
D
C
N
M

Объясните, как построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M,N,K

K

А
B
D
C
N
M

Е

Объясните, как построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M,N,K

K
Р

А
B
D
C
N
M

Объясните, как построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M,N,K

K

А
B
D
C
N
M

Е

Объясните, как построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M,N,K

K
Р

Самостоятельная работа

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Задание 1
Задание 2
Задание 1
Задание 2
Задание 1
Задание 2
Вариант 1
Задача № 1

Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки А, В и С;
С Є MND.
А
B

С
Вариант 1ответ
Задача № 1

Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки А, В и С;
С Є MND.
А
B

С

Вариант 1
Задача № 2

Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки
А, В, С.
А
B
М

С

Вариант 1ответ
Задача № 2

Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки
А, В, С.
А
B
М

С

Вариант 2
Задача № 1

Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки
 А, В и С; В Є NDK.
А
B

C

Вариант 2ответ
Задача № 1

Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки
 А, В и С; В Є NDK.
А
B

C

Вариант 2
Задача № 2

Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки
 А, В, С.
А
B

С

Вариант 2ответ
Задача № 2

Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки
 А, В, С.
А
B
N

С

Вариант 3
Задача № 1

Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки А, В и С; С Є MDN.
А
B

C

Вариант 3ответ
Задача № 1

Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки А, В и С; С Є MDN.
А
B

C

Вариант 3
Задача № 2

Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки
А, В, С.
А
С

В

Вариант 3ответ
Задача № 2

Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки
А, В, С.
А
С
N

В

Творческое домашнее задание

Составить 2-3 задачи на построение сечений многогранников.
Выполнить решения в форме презентации или в WORDE.
Критерии оценки:
Сложность
Правильность решения
Дизайн

 Подведение                            итогов работы на уроке

  Критерии самооценки:
                                                                   «5» - 15 баллов +
Устная работа  1-2 балла                      «4» - 10-14 баллов
Решение задач 3-4балла
Сам. работа  3; 6 баллов

  В чём я вижу результат своей работы?
  Что мне помогло достичь результата?
Китайская пословица

    Не бойся, что не знаешь -  бойся, что не учишься.


text:
F
F
60º
F
F


title: Презентация на тему: Решение задач на объём

text:
900igr.net
R = 1


title: Презентация на тему: Решение задач на тему «Прямоугольник. Ромб. Квадрат».

text:
+
+
-
-
+
-
+
-
+
+
+
+
+
-
+
-
+
+
+
+
+
+
-
-
+
+
+
+
D
C
B
A
N
60
30

D
C
B
A
75
?
75
75
15

D
A
B
C
80
D
A
B
C
?
?
B
A
C
D
N
120
?
D
74  30
15  30
H
A
B
C
D
E
60
K
O
E
D
C
B
A
30
60
120


title: Презентация на тему: Решение задач по геометрии на готовых чертежах

text:
B
C
4
B1
C1
8
x
y
4
3
B
C
12
B1
C1
y
x
8
5
7
B
C
10
B1
C1
8
9
x
z
y
B
C
a
B1
C1
c
b
x
20
y
B
C
D
E
C
B
D
E
P
E
D
M
O
B
C
D
M
P
E
32
D
F
N
24
40
3
5
4
B
D
8
12
4
C
B
D
16
12
18
C
B
K
P
C
C
B1
A1
B
A
A1
B
B1
C
A
B
B1
C


title: Презентация на тему: Решение задач по курсу геометрии

text:
20
10
?
130°
50°
?
100°
60°
a
60°
b


title: Презентация на тему: Решение задач на признаки равенства треугольников

text:
T
K
D
M
E
D
K
C
B
E
A
F
C
D
B
E
A
F
C
D
A
B
C
M
B1
A1
M1
C1
A
B
C
M
B1
A1
M1
C1
D
D1
A
B
C
M
B1
A1
M1
C1
D
D1


title: Презентация на тему: Решение задач на комбинации многогранников и тел вращения

text:
P
E
T
C
A
B
R
r
H
O
S
Q
P
E
D
C
A
B
R
r
H
O
S
Q
A
B
C
O
S
P
E
Q
E1
T
r
E1
E
O
Q
S
R
R
r
r
R
A
B
C
O
S
D
E
Q
E1
M
P
P1
R
E
P
S
E1
P1
O
r
1
2
3
4
5
A
B
C
O
S
D
P
Q
P1
1)
2)
3)
4)
6)
2
2
4
1
D
C
A
B
O
S
Q
1)
x
5
5
6)
4
3
2
A
B
O
S
1)
3
5
5
4
2,25
15
3
O
S
4
O
S
5
2r
2r
10-2r
r
r
5
1
2
96
6


title: Презентация на тему: Решение задач по теме «Теорема Пифагора»

text:
85
61
41
25
10
13
5
84
60
40
24
8
12
4
13
11
9
7
6
5
3


title: Презентация на тему: Решение задач на вписанные углы

text:
Подготовила: Наседкина О.А.,
учитель математики высшей кв. категории
МКОУ  Квитокская СОШ№1
п.Квиток, Тайшетского района,
Иркутской области

Задачи на готовых
Чертежах
Углы, вписанные в окружность
900igr.net
Углы, вписанные в окружность
Угол, вершина которого принадлежит окружности, а стороны пересекают окружность, называют вписанным.
∠АВС – вписанный угол

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным.
∠АОС – центральный угол

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности.
∠АВС = ½ ∠АОС

Все углы окружности, опирающиеся на равные дуги равны.
∠АВС = ∠АDС

В
О
С
А

D
  1
 2
  3
  4
  5
 6
  7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Углы, вписанные в окружность

О
С

D
В
А
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
16
17
18
19
15
20
Задача № 1
Дано: ∠АОС = 120°
Найти: ∠АВС

А
С
В
О

Дано: ∠АВС = 40°
Найти: ∠АОС

Задача № 2

А
С
В
О

Задача № 3

С
О
Дано: АС -  диаметр
Найти: ∠АВС

В
А

Задача № 4

D
А
С
В
O
Дано: ∠АВС = 40°
Найти: ∠АDС

А
С
В
O
Задача № 5

Дано: ∠АOС = 140°
Найти: ∠АBС

Задача № 6

О
С

D
А
B
Дано: ∠АBС = 30°
Найти: ∠АDС

Задача № 7

О
С

D
А
B
Дано: ∠BАD = 30°
Найти: ∠ВАС

Задача № 8

О
С

D
А
B

Дано: ∠ DАВ = 25°
Найти: ∠ВАС; ∠ DВС

Задача № 9

О
С

D
А
B

Дано: ∠ DСА = 35°
Найти: ∠ DАВ

Задача № 10

О
С

D
B

А
Дано: ∠ ВСА = 40°
Найти: ∠ ВDС

Задача № 11

О
С

D
B

А
К

Дано: ∠ СDА = 50°
             ∠ СКВ = 20°
Найти: ∠ ВАD

Задача № 12

А
С
В
О
Дано:
 центральный угол АОС на 36° больше  вписанного угла АВС , опирающегося на ту же дугу окружности.

Найти:
 вписанный угол  АВС

Задача № 13

А
С
О
В

Дано:
a)Вписанный угол АВС , опирающийся на дугу АС, которая составляет окружности.
б) Вписанный угол АВС , опирающийся на дугу АС, которая составляет  20% окружности.
Найти:
 вписанный угол  АВС

Задача № 14

А
С
О

В
Дано:
Дуги АС и ВС окружности составляют соответственно 200° и 80°
Найти:
 вписанный угол  АСВ

Задача № 15

А
С
О

В
Дано:
Хорда АВ делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 5:7.
Найти:
 вписанный угол  АСВ

Задача № 16

А
С
О

D
В
Дано:
АС и ВD диаметры. Центральный угол АОD равен 110°
Найти:
 вписанный угол  АСВ

Задача № 17

А
С
О

D
В
Дано:
а)АВСD вписанный четырехугольник, ∠ А =58°
б) точки А,В,С и D расположенные на окружности, делят эту окружность на 4 дуги, градусные величины которых относятся как 4:2:3:6
Найти:
а)∠ С; б) ∠ А

Задача № 18

А
С
О

D
В
Дано:
АВСD вписанный четырехугольник,
∠ АВС =110°, ∠ АВD = 70°,

Найти:   ∠ САD

А
С
В
Задача № 19
Найти

 величину   ∠ АВС

А
С
В
Задача № 20
Найти

 величину   ∠ ВАС

Список литературы
1.Саврасова С.М.,Ястребинецкий Г.А.
Упражнения по планиметрии на готовых чертежах.-
 М.: просвещение, 1987.-112 с.: ил.
2. Зив Б.Г. и др.
Задачи по геометрии: Пособие для учащихся 7-11 кл.
Общеобразоват. учреждений. -М.: Просвещение, 2000.-271 с.: ил.
3. Рабинович Е.М.
Сборник задач на готовых чертежах.-К.:1996.-56с.
4. Смирнов В.А.
Готовимся к ЕГЭ. Геометрия. Планиметрия.
 Москва Издательство МЦНМО 2009 г.


title: Презентация на тему: Решение задач. Теорема о трех перпендикулярах

text:
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
B
B
A
C
D
M
B
A
C
D
M
O
A
D
C
B
K
B
A
C
D
K
P
O
A
B
C
D
O
M
K
L
15
8
17
A
B
C
P
5
13
300
12
10
20
15
5
25
12
13
M
A
D
C
B
O
K


text:
b
b
a
b
g
g
1
2
3
4
5
D1
D
M
N
K
O
F
D1
D
D1
D
S
F
E
D


title: Презентация на тему: Решение задач типа В 11 и С 2

text:
D
D
l
S=
R


title: Презентация на тему: Решение задач на применение признаков подобия треугольников

text:
?
A
B
D
C
E
5
A
B
C
D
O
?
8
10
60°
45°
D
B
F
C
A


Презентация на тему: Решение заданий С2 ЕГЭ-2010


title: Презентация на тему: Решение задач на повторение

text:
F
1
2
3
3
1
2
F

10
16
1
2
S =
3
F
60
40
80
30
30
20
20
240
30
?
48
36
18
24

30
60
75
60
?


Презентация на тему: Решение задач на нахождение периметра и площади


title: Презентация на тему: Решение задач с параметрами

text:
1.
0
2.
0
2
7
-1
-6
-
+
+
-1
7
-6
2
-
+
+


title: Презентация на тему: Решение задач. Треугольники

text:
8
9
10
11
12
14
15
16
17
18
20
21
22
23
24
26
1
2
3
4
5
6
13
19
25
7
N
L
S
H
C
D
C
N
1.
D
2.
P
N
K
3.
S
L
P
1
2
3
4
4.
D
5.
D
6.
D
7.
K
E
H
8.
D
1
2
3
4
9.
N
10.
D
3
4
1
2
11.
D
1
2
12.
D
O
1
2
13.
D
14.
D
F
K
15.
D
16.
D
E
F
850
?
17.
D
18.
D
20
21
22
19
19.
D
O
5
4
3
20.
D
7
6
4
21.
D
K
22.
D
K
4.
1.
3.
2.
D
23.
24.
25.
26.
D
F
C
http://matematikagpl.ucoz.ru/2.jpg


title: Презентация на тему: Решение задач на теорему Пифагора

text:
5klass.net
a
b
b
a
c
a
a
b
b
c
c
c
b
a
c
a
a
b
b
c
c
c
D


title: Презентация на тему: «Решение задания С1 ЕГЭ по информатике и ИКТ»

text:
!
0
y2 + x2 = 25
y = x+2
y
x
0
0
y2 + x2 = 25
y = x+2
y
x
0
y2 + x2 = 25
y = x+2
y
x
0
0
x
0
y
x
x
y
y = x+2
y
y2 + x2 = 25
y = x+2
y = x+2
y2 + x2 = 25
y2 + x2 = 25
y2 + x2 = 25
y = x+2
y
x
0
0
0
x
0
y
x
x
y
y = x+2
y
y2 + x2 = 25
y = x+2
y = x+2
y2 + x2 = 25
y2 + x2 = 25
y2 + x2 = 25
y = x+2
y
x
0
0
y2 + x2 = 25
y = x+2
y
x
0

(y*y+x*x<=25) and (y>=x+2) and (x<=0)


title: Презентация на тему: Решение задач В4

text:
www.themegallery.com
LOGO
www.themegallery.com
LOGO
H


title: Презентация на тему: Ромб

text:
1
2
3
4
5
6

\
\


title: Презентация на тему: Решение задач по теме Цилиндр

text:
L
m
m
R
R
H
r1=10
10
10
A
B
C
D
20
A
B
C
D
r
r
a
r
d
r
a
r
d
A
C1
C
10


Презентация на тему: Ромб


title: Презентация на тему: Решение задач на вычисление площадей фигур

text:
A
D
C
B
O
SABCD = SABC+SADC =
 = ½AC·BO+½AC·OD =
 = ½AC·(BO+OD) = ½AC·BD
A
D
C
B
O
SABCD = SAOB+SBOC+SCOD+SDOA =
= ½AO·BO+½OC·BO+½CO·OD+½OD·OA=
= ½BO·(AO+OC)+½OD·(CO+OA)=
= ½BO·AC+½OD·AC=½AC·(BO+OD)=
SABCD = ½AC·BD
H
A
B
M
C
C
D
A
B
SABCD=½(AD+BC)·AB
H
A
B
D
C
30°
8,1
14
H
A
B
D
C
7
M
10
F
60°
A
B
C
D
30°
M
N
P
K
60°
D
A
C
B
135°
C
B
A
8
6
O
B
D
2
A
B
C
D
H
45°
A
B
C
D
H
45°
1.
1.
2.
2.
30º
30º
150º
3.
3.
45º
45º
H
A
B
C
K
M
A
B
C
K
M
N
A
B
C
D
H
K


title: Презентация на тему: Решение задач. "Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника"

text:
8
9
10
11
12
14
15
16
17
18
20
21
22
23
24
1
2
3
4
5
6
13
19
7
D
N
N
L
S
H
C
1.
2.
3.
500
C
A
B
D
?
4.
750
D
280
E
5.
500
M
A
B
C
6.
1200
C
A
B
D
8
9
10
7
11
12
14
15
16
13
17
18
20
21
22
23
24
19
7.
300
A
B
C
?
8.
400
A
B
C
D
?
?
?
9.
300
D
A
B
C
?
10.
1100
A
B
C
400
?
?
11.
1300
A
B
C
?
?
12.
1250
A
B
C
?
?
?
13.
1100
A
B
C
1200
?
?
?
14.
850
A
B
C
400
?
?
?
15.
A
B
C
200
?
?
?
16.
D
E
600
A
B
C
500
?
?
?
17.
E
D
C
350
F
680
?
?
18.
B
A
C
19.
B
A
C
800
600
D
E
20.
B
A
C
400
300
D
E
?
21.
A
B
C
1100
D
?
22.
A
B
C
500
D
F
?
23.
A
B
C
250
E
F
150
800
?
24.
H
C
D
E
1020
?
http://matem.uspu.ru/2010-11-02-08-48-34/
47-2011-01-24-09-09-13/199-2011-01-26-08-05-34


title: Презентация на тему: Роль магического квадрата в понимании символики гравюры А. Дюрера «Меланхолия»

text:
4
9
2
3
5
7
8
1
6
16
3
2
13
5
10
11
8
9
6
7
12
4
15
14
1
1
2
2
2
2
2
2
3
4
5
7
7
8
11
16


title: Презентация на тему: Решение задний В9

text:
D
A1
B1
C1
D1


title: Презентация на тему: Ромб

text: O


title: Презентация на тему: Ромб

text:
S=1/2.d1.d2
d1=2S/ d2
d2=2S/ d1
11
7
28
4
32,5
13
S=1/2.d1.d2
d1=2S/ d2
d2=2S/ d1
38.5
11
7
28
14
4
32,5
13
5
http://nikolyaseaman.ru/Bukmekers/terminologia.php?bukva=F

http://www.pihtinauto.rostov.ru/

http://extracar.od.ua/cto?pid=382
http://www.lifeisphoto.ru/photo.aspx?id=704722&repostid=0

http://renika.beon.ru/3373-019-skazka-pro-romb.zhtml
http://www.cx75planet.ru/forum/txt/index.php/t10368.html


text:
D
C
F
N


title: Презентация на тему: Резьбовые соединения

text:
d=20
L=50
L0=2d + 6 = 46
D=2d=40
h=0.7d=14
D=2d=40
H=0.8d=16


title: Презентация на тему: Ромб

text:
http://nikolyaseaman.ru/Bukmekers/terminologia.php?bukva=F

http://www.pihtinauto.rostov.ru/

http://extracar.od.ua/cto?pid=382
http://www.lifeisphoto.ru/photo.aspx?id=704722&repostid=0

http://renika.beon.ru/3373-019-skazka-pro-romb.zhtml
http://www.cx75planet.ru/forum/txt/index.php/t10368.html

13
32,5
4
28
7
11
d2=2S/ d1
d1=2S/ d2
S=1/2.d1.d2
5
13
32,5
4
14
28
7
11
38.5
d2=2S/ d1
d1=2S/ d2
S=1/2.d1.d2


Презентация на тему: Ромб 8 класс


Презентация на тему: Ромб. Свойства и признаки


Презентация на тему: Сборочный чертеж и спецификация сборочной единицы


title: Презентация на тему: РОМБ


title: Презентация на тему: Решение задач по многогранникам

text:
Решение задач по теме «Многогранники»
Повторить теоретический материал по теме «Многогранники».
Применять знания при решении задач.

« Вдохновение в геометрии нужно
не меньше, чем в поэзии»
                                       А.С.Пушкин
Формулы
 Что называют многогранником?
1
2
3
6
5
4
Какие многогранники называются выпуклыми?
 Многогранник, составленный из двух равных многоугольников А1А2…Аn и В1В2…Вn, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов.
ПРИЗМА

н
Sполн = Sбок + 2Sосн
 основания
 боковые грани
 боковые ребра
 высота
 Sбок
 Sполн
 виды призм
Прямая и правильная призмы
Sбок = Роснh
 основания
 боковые грани
 боковые ребра
 высота
 Sбок

Правильные призмы
 Многогранник, составленный из n-угольника А1А2…Аn и n треугольников.
ПИРАМИДА
А1
А2
Аn
Р

Н
= Sбок + Sосн

 основание
 боковые грани
 вершина
 боковые ребра
 высота
 Sбок
 Sполн
 виды пирамид

 основание
 боковые грани
 боковые ребра
 высота
 апофема
 Sбок

Правильная пирамида
 =    Роснd
 Платоновы тела
 Призма, в основании которой лежит параллелограмм.
 Прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны.
а
Sполн = 6a2
Проверка формул

Тест
 1. Если точки М и N - середины рёбер AD и DC тетраэдра DACB, то неверным является утверждение:
  прямые МN и AC – параллельные
 прямые MN и DC – пересекающиеся
 прямые MN и AD – скрещивающиеся
  прямые MN и DB – скрещивающиеся

2. Из данных утверждений верным является:
 если прямые не имеют общих точек, то они параллельны
 если прямые параллельны, то они не имеют общих точек
 если две прямые параллельны одной и той же плоскости, то они -параллельны
 если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то они – параллельны
 3.  ABCDA1D1C1D1 - куб, О - точка пересечения диагоналей грани ABCD. Линейным углом двугранного угла ВАСВ1 является
 В1ВО
 B1OB
 В1ОА
 угол не обозначен
ABCD - прямоугольник. Отрезок ВО перпендикулярен     плоскости ABC.
Расстояние от точки О до прямой DC
 равно длине отрезка
 ОВ
 OD
 ОС
 ВС

 Прямая призма
Уровень 1
Задача 1
Правильная пирамида
Уровень 1
Задача 2
Демоверсия ЕГЭ,2013
В9. Диагональ AC основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 6. Высота пирамиды SO равна 4. Найдите длину бокового ребра SB .

Уровень 1
Задача 3
Демоверсия ЕГЭ,2013
С2. Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 2, а диагональ боковой грани равна √5. Найдите угол между плоскостью A1BC и плоскостью основания призмы.
Уровень 2
Задача 1
    В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 60⁰. Найдите боковое ребро пирамиды.
Уровень 2
Задача 2

Домашнее задание
 Повторить теорию
 Задачи:
        1уровень. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 6 см, а диагональ боковой грани 10 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.
        2уровень. DABC – пирамида, ∆ АВС – правильный, со стороной 6 см. DA ⊥ АВС,  двугранный  угол DBCA равен 30⁰. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

 Тесты  http://geometry.far.ru/var1.php


title: Презентация на тему: Сечение многогранников

text:
Сечения многогранников

Определения:
Секущая плоскость  -  плоскость,  по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника.
Многоугольник – сторонами которого являются отрезки пересекающие грани по секущей плоскости многогранника называется сечением  данного многогранника (часть секущей плоскости, заключенная внутри тела).
Сечениями могут быть:
3-угольники и 4-угольники (если многогранник – тетраэдр, имеющий 4 грани).
3-угольники, 4-угольники, 5-угольники и 6-угольники (если многогранник – параллелепипед, имеющий 6 граней).

P
Q
R

P
Q
R

P
Q
R

Основные виды сечений многогранников:
Параллельное сечение – сечение, плоскость которого параллельна либо основанию, либо одной из грани многогранника.
Диагональное сечение – сечение, плоскость которого, проходит через диагонали многогранника, или диагонали оснований многогранника.
Задача: Дан тетраэдр ДАВС. Постройте сечение тетраэдра, плоскостью проходящей через середины ребер ДА, ДВ, ДС.
д
А
с
M
N
P
B
∆MNP –искомое сечение, (MNP) ıı (ABC )
Методы построения сечений:
Аксиоматический метод:
    метод следов;
    использование свойств      параллельных плоскостей;
    метод вспомогательных сечений.

 Комбинированный метод.
Метод следов:
Прямая, по которой секущая плоскость пересекает плоскость грани многогранника называется следом секущей плоскости в плоскости этой грани.
RQ – прямая,
являющаяся следом
 (RQP) на (ВВ´СС´)
Правила для самоконтроля:
Вершины сечения находятся только на ребрах.

Стороны сечения находятся только на грани многогранника.

Секущая плоскость пересекает грань или плоскость грани, то только один раз.
План построения линий пересечения плоскостей:
Указать общие точки.
Построить недостающие точки:
а) найти пары точек на одной грани;
б) построить четвертую точку в плоскости;
Если пункт а) и б) не работают, то нужно строить 5 точку.

Желаем успеха при решении задач на построение сечений многогранников!
   Разделите каждую изучаемую вами задачу на столько частей, на сколько сможете и на сколько потребуется вам, чтобы их было легко решить.
                              Рене Декарт


title: Презентация на тему: Резьба. Крепёжные изделия

text:
Лекция 10. Резьба. Крепёжные изделия
   Резьбой называется поверхность, образованная винтовым движением плоского контура                                                                                по цилиндрической или конической поверхности.

ОБРАЗОВАНИЕ РЕЗЬБЫ.
Фаска - коническая поверхность, образующие которой составляют с осью резьбы 45○ (чаще всего).
Форму и размеры сбегов, недорезов проточек и фасок устанавливает ГОСТ 10549-80.

Элементы резьбы.
Основные параметры резьбы :

      Угол профиля резьбы (α) - угол между смежными боковыми сторонами резьбы в плоскости осевого сечения.

α=60°
°

    Наружный диаметр резьбы (d, D)- диаметр воображаемого прямого кругового цилиндра, описанного вокруг вершин наружной или впадин внутренней цилиндрической резьбы.

Внутренняя резьба

Наружная резьба

    Шаг резьбы (Р) - расстояние по линии, параллельной оси резьбы, между средними точками ближайших одноимённых боковых сторон профиля резьбы, лежащими в одной осевой плоскости по одну сторону от оси резьбы.

     Ход резьбы (Ph)- расстояние по линии, параллельной оси резьбы, между любой исходной средней точкой на боковой стороне резьбы и средней точкой, полученной при перемещении исходной средней точки по винтовой линии на угол 360°.
Для определения хода резьбы нужно сосчитать число заходов резьбы (n), осмотрев торцевую поверхность детали, тогда ход резьбы определяется из выражения:
Ph= Р·n,   где n - число заходов

Стандартные резьбы.
 Изображение резьбы на чертежах (ГОСТ 2.311-68)
       Резьбу изображают:
      а) на стержне - сплошными основными линиями по наружному диаметру резьбы и сплошными тонкими линиями- по внутреннему диаметру.
На изображениях, полученных проецированием на плоскость, перпендикулярную к оси стержня, по внутреннему диаметру резьбы проводят дугу, приблизительно равную 3/4 окружности, разомкнутую в любом месте.

б) в отверстии - сплошными основными линиями по внутреннему диаметру резьбы и сплошными тонкими линиями - по наружному.

Сплошную тонкую линию при изображении резьбы наносят на расстоянии не менее 0,8 мм от основной линии и не более величины шага резьбы.
Границу резьбы проводят до линии наружного диаметра резьбы и изображают сплошной основной.

A
A
A-A

*- место обозначения резьбы.
или штриховой, если резьба изображена как невидимая.

      Фаски на стержне с резьбой и в отверстии с резьбой, не имеющие специального конструктивного назначения , в проекции на плоскость, перпендикулярную к оси стержня или отверстия, не изображают.

     На разрезах резьбового соединения в изображении на плоскости, параллельной к его оси. в отверстии показывают только часть резьбы, которая не закрыта резьбой стержня.
  M16×2- резьба метрическая, наружный диаметр 16 мм, шаг   2 мм, однозаходная, правая;
   M30xl,5LH - метрическая, наружный диаметр 30 мм,  шаг      1,5 мм, однозаходная, левая.

Обозначение метрической резьбы.

×2
G1 - резьба трубная цилиндрическая, нарезана на трубе dy=25 мм (dy - диаметр "в свету"), шаг указан в стандарте, однозаходная, правая.
G11/2 LH - резьба трубная цилиндрическая, нарезана на трубе dy=40 мм, шаг указан в стандарте однозаходная, левая.

Обозначение трубной цилиндрической резьбы.
 Крепёжные изделия
Резьбовые детали, с помощью которых выполняют резьбовые соединения, называют крепежными. К ним относятся болты, винты, шпильки и гайки. Под гайки при соединении деталей подкладывают шайбы, а для исключения самоотвинчивания крепёжных деталей применяют пружинные шайбы, шплинты и др. Форма и размеры этих деталей устанавливаются соответствующими ГОСТами.
Условное обозначение крепежных изделий.
Болт М16×1,5×60…ГОСТ 7796-70
Болт исполнения 1, с номинальным диаметром резьбы d=16 мм, с шагом
P=1,5 мм, длиной l=60 мм:
Винт с диаметром резьбы d=10 мм, с шагом резьбы P=1,5 мм, длиной
l=50 мм:
Винт М10×1,5×50…ГОСТ 1491-80
Гайка исполнения 1, с номинальным диаметром резьбы d=20 мм, с
шагом P=2,5 мм:
Гайка М20×2,5…ГОСТ 5915-70
Шайба исполнения 1, для крепежной детали с диаметром резьбы d=16 мм:
Шайба 16…ГОСТ 11371-78


title: Презентация на тему: Ромб

text:
РОМБ

5klass.net
Что такое ромб?
Ромб- это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Появление ромба
Ромб (от греч.) бубен. Если сейчас бубны делают круглой формы, то раньше их делали как раз в форме ромба.

Кстати,  карты масти бубны имеют знак в форме ромба.
Свойства ромба
1. Противоположные стороны
ромба равны

2. Диагонали точкой пересечения
делятся пополам

3. Диагонали взаимно
 перпендикулярны

4. Диагонали делят
 углы пополам

5. Противоположные
углы равны

Признаки
1. Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то это ромб (AC    BD).
2. Если в параллелограмме диагонали делят углы пополам, то это ромб (LBAE=LEAD, LBCE=LECD, LABE=LEBC, LADE=LEDC).

A
B
C
D

A
B
C
D

E
Периметр ромба
P=a . 4
P – периметр
a – сторона ромба
4 – кол-во сторон

Формула площади
S=1/2 . d1 . d2

S – площадь

d1 – первая диагональ

d2 – вторая диагональ

Ромб в жизни
Домкрат

Фигура военных летчиков

Ромб используют, как знак автомобилей

Сказка про ромб
Жил был мистер Цилиндр и был он очень богатым банкиром. И жил мистер Квадрат, который был не очень богатым. Однажды мистер квадрат взял деньги в долг у мистера цилиндра....Проходит месяц, два , а мистер квадрат так и не отдаёт деньги мистеру цилиндру. Тогда мистер цилиндр идёт к мистеру квадрату и говорит:- Отдавай деньги.- но мистер квадрат не отдал и тогда мистер цилиндр разозлился и попрыгал на мистере квадрате и получился мистер ромб.Вот и сказке конец.
Интересные факты
Более 100 парашютистов сделали самую большой ромб в мире

 Ромб, в котором проведены диагонали,
считается одной из самых крепких и
выносливых конструкций. Такую конструкцию
очень широко используют для постройки
мостов, зданий, и даже, для рамы мотоцикла.

Интересные факты
Этот проект подготовила
ученица 8-А класса
Криворожской Гимназии № 49
Гончарова Анна


title: Презентация на тему: Сечение

text:
2
1
3


Презентация на тему: «Санкт-Петербург»


title: Презентация на тему: Сечения фигур

text:
5klass.net
M
C
D
A
B
p
Q
R
F
T
N


title: Презентация на тему: Ромб

text:
Предмет:Геометрия на английском языке
Тема: «Ромб»
Класс:8
Repetition
1
2
3
4
5
6
7
8
1.What  is a  quadrilateral?

2.What is a parallelogram?

3.Formula perimeter of a parallelogram?

4.Which angles are equal in parallelogram?

5.What is the sum of the angles in quadrilateral?

6.What is a rectangle?

7.Formula perimeter of a rectangle ?

8. Formula area of a rectangle?

Rhombus
D. A rhombus is a parallelogram that has four congruent sides.
Property. The diagonals of a rhombus are perpendicular.
AC⟘BD
Property. In a rhombus ABCD, the diagonals AC and BD
bisect each other since a rhombus is a  parallelogram.
AO=OC=BO=OD

Property. Each diagonal in a rhombus bisects two angles of the rhombus.
For example: the diagonal AC is the bisector of angles A and C,
the diagonal BD is the bisector of angles B and D
Perimeter of a rhombus
P=DC+CB+AB+AD=4a
Area of a rhombus
The link between rhombus and life


Презентация на тему: Сечение 9 класс


title: Презентация на тему: Сечение тетраэдра

text:
900igr.net
1.
2.
3.
.
.
1.
2.
3
4.
5.
6.
7.
1.
2.
3.
4.
B
D
C
N
M
K
B
D
C
N
M
K
F
B
D
C
N
M
K
L
F
B
D
C
N
M
K
L
F
B
D
C
N
M
K
B
D
C
N
M
K
B
D
C
N
M
K
E
B
D
C
N
M
K
E
B
D
C
N
M
K
B
D
C
N
M
K
B
D
C
B
D
C
B
D
C
B
D
C
B
D
C
B
D
C
B
D
C
B
D
C
N
M
Q
K
R
B
D
C
L
M
Q
K
R
B
D
C
N
M
B
D
K
N
M
B
N
D
K
M
B
D
K
N
M
B
D
K
N
M
B
D
K
N
B
D
K
N
B
D
K
N
M
B
D
K
N
M
B
D
K
N
M
C
B
D
K
N
M
C
B
D
K
N
M
B
N
D
K
M
B
D
K
N
M
B
N
D
K
M
C
B
D
K
N
M
C
B
D
K
N
M
B
D
K
N
M
B
D
N
M
B
D
K
N
M
B
D
K
N
M
B
D
K
N
M
C
B
D
K
N
M
C
D
K
N
M
N
D
K
M


title: Презентация на тему: Сечение призмы

text:
5klass.net
A
B
D
E
A1
C1
B1
D1
E1
C
M
T
P
N
K
A
B
D
E
A1
C1
B1
D1
E1
C
M
T
P
N
K
A
B
D
E
A1
C1
B1
D1
E1
C
M
T
P
N
K
A
B
D
E
A1
C1
B1
D1
E1
C
M
T
P
N
K
A
B
D
E
A1
C1
B1
D1
E1
C
M
P
N
K
A
B
D
E
A1
C1
B1
D1
E1
C
N
g
A
g
A
N1
K1
P1
R1
M
K
N
R
P
M1
X
Y
g
A
N1
K1
P1
R1
M
K
N
R
Z
P
M1
F
B
C
D
E
M
K
N
R
P
P1
P1
M1
R1
N1
g
g


title: Презентация на тему: Сечение

text:
   1
   4
   7


title: Презентация на тему: Сечения многогранников

text:
M
N
K
M
N
K
M
N
K
B
C
D
A1
   B1
C1
D1
A
B
C
D
M
N
L
B
C
D
A1
   B1
C1
D1
M
N
B
C
D
A1
   B1
C1
D1
M
N
B
C
D
A1
   B1
C1
D1
A
M
N
X
Y
K
L
S
C
M
N
K
A
B
C
N
S
B
C
M
N
K
D
O
A
B
C
X
K
P
N
X
P
N
L
A
B
C
P
P
A
B
C


title: Презентация на тему: Сечения фигур

text:
M
C
D
A
B
p
Q
R
F
T
N


title: Презентация на тему: Сечение

text:
R
Q
P
D
A
B
S1
S2
R
Q
P
D
A
B
S1
S2
S3
V
T
S2
S1
D
D1
Q
R
C
C1
S2
S1
S3
D
D1
Q
R
C
C1
V
A2
C2
K
L
S
K
D2
F
D
D1
A2
B
P
m
m
C2
S2
S1
S3
B
A
D
P
C
C1
D1
B1
A1
Q
A2
C2
T2
A2
T1
m
P
A
K
D
D1
C
C1
A1
R
Q
S2
S1
S3
B
C
D
A1
B1
C1
D1
P
Q
B2
O
D
C
A
B
M
H
m
A1
C1


title: Презентация на тему: Сечения конуса и цилиндра

text:
900igr.net
1
________
________
2
________
________
3
________
________
4
________
________
5
________
________
h
3
a
a
h
h
2
2
2
2
2
a
a
a
h


title: Презентация на тему: Сечения многогранников плоскостью

text:
A
B
C
D
E
K
P
A1
E1
D1
B1
C1
M
a
b
B1
B2
Bn
A1
A2
An
A
B
C
D
E
K
P
A1
E1
D1
B1
C1
M
M1
F
F1
T
S
O
N
N1
R
P1
L
Q
Q1
G


Презентация на тему: Рисунок «Бегемотик» на координатной плоскости


title: Презентация на тему: Сечения. Построение целесообразного сечени

text:
1.
2.
3.
4.


title: Презентация на тему: Сечение многогранника плоскостью

text:
900igr.net

A
B
C
D
K
L
M
N
F
G
O
A
B
C
D
K
L
M
N
F
G
O
H
R
E
S
A
B
C
D
K
L
M
N
F
G
O
H
R
C
B
E
S
A
D
K
L
M
N
F
G
O
G
A
D
P
R
Q

P
R
Q

D
C

F

P
R
Q

D

F

A
B
C
D
R
P
Q

K

A
B
C
D
R
P
Q

K
L
F

M
B

A
C
D
R
P
Q

K
F

M


title: Презентация на тему: Сечение призмы

text:
A
B
D
E
A1
C1
B1
D1
E1
C
M
T
P
N
K
A
B
D
E
A1
C1
B1
D1
E1
C
M
T
P
N
K
A
B
D
E
A1
C1
B1
D1
E1
C
M
T
P
N
K
A
B
D
E
A1
C1
B1
D1
E1
C
M
T
P
N
K
A
B
D
E
A1
C1
B1
D1
E1
C
M
P
N
K
A
B
D
E
A1
C1
B1
D1
E1
C
N
g
A
g
A
N1
K1
P1
R1
M
K
N
R
P
M1
X
Y
g
A
N1
K1
P1
R1
M
K
N
R
Z
P
M1
F
B
C
D
E
M
K
N
R
P
P1
P1
M1
R1
N1
g
g


title: Презентация на тему: Сечения пирамиды

text:
3.
D
S
K
L
M
N
S
M
N
A
B
C
D
F
S
M
N
P
Q
A
B
C
D
S
M
N
K
P
MNKP ~ABCD
S
P
M
K
1.
N
L
2.
S
P
M
K
N
A
D
M
P
K
S
H
L
T
N
A
B
C
D
4.
A
B
C
D
S
M
P
K
L
F
T
N
A
B
C
D
S
L
T
R
N
M
P
K


title: Презентация на тему: Сечения

text:
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3


Презентация на тему: Сечения, разрезы, их виды и применение


Презентация на тему: "Сечения тетраэдра


title: Презентация на тему: Сечения тетраэдра

text:
Copyright(c)
C
A
B
D
P
K
M
1
2
C
A
B
D
P
K
M
1
2
2
C
A
B
D
P
K
M
1
2
C
A
B
D
P
K
M
1
C
A
B
D
P
K
M
2
1
C
A
B
D
P
K
M
2
1
C
A
B
D
P
K
M
2
1
C
A
B
D
P
K
M
2
1
C
A
B
D
P
K
M
1
2
C
A
B
D
P
K
M
1
2
C
A
B
D
P
K
M
2
M
C
A
B
D
P
K
2
1
3
M
C
A
B
D
P
K
2
3
1


title: Презентация на тему: Секреты квадрата и кубика

text:
2
1
3
2
1
3
2
1
3
http://prv2.lori-images.net/dengi-sssr3-rublya1961-god-0000647418-preview.jpg
http://img.lufi.ru/3120/3120420.JPG
http://activerain.com/image_store/uploads/8/0/0/4/3/ar124372615834008.jpg


Презентация на тему: Сетевое взаимодействие в деятельности учителя предметника


title: Презентация на тему: Сечения параллелепипеда и тетраэдра

text:
900igr.net
L

L
D
A
B
C
D
A
B
C
M
N
K
E
F
K
L
A
B
C
D
M
6. MK   AB=L
E
F
K
L
A
B
C
M
D
E
F
L
A
B
C
D
K
A1
D
D1
M
N

O
P
1. MN
A1
D
D1
1. AD
2. MD
4. AE
E


title: Презентация на тему: Сечения прямоугольного параллелепипеда и тетраэдра

text:
D
B1
C1
D1
D
B1
C1
D1
D
B1
C1
D1
D
B1
C1
D1
D
B1
C1
D1
D
D1
D
B1
C1
D1
D
B1
C1
D1
D
B1
C1
D1
N
D
B1
C1
D1
N
D
B1
C1
D1
N
D
B1
C1
D1
D
B1
C1
D1
D
B1
C1
D1
N
D
B1
C1
D1
N
D
B1
C1
D1
N


title: Презентация на тему: Сечения и разрезы: общие сведения

text:
 Сечения и разрезы
Общие сведения о сечениях и разрезах
В области медицины
В области биологии
В области машиностроения и технологии
В области естествознания и культуры

Примеры использования изображений, раскрывающих внутреннее строение
в области медицины
в области биологии
в области машиностроения и технологии
В области естествознания и культуры
Упражнение № 1
Приведите аналогичные примеры использования изображений, раскрывающих внутреннее строение и подробности форм различных объектов
Идея образования сечения
Сечение – это…
Сечение – это изображение фигуры, получающейся при мысленном рассечении предмета плоскостью.

На сечении показывают только то, что получается непосредственно в секущей плоскости.
Идея образования разреза
Разрез – это…
Разрез – изображение предмета, мысленно рассеченной одной или несколькими плоскостями.

На разрезе показывают то, что получается в секущей плоскости и то, что расположено за ней.

Важно: разрез располагают на месте соответствующего вида.

Для чего и как
штрихуют фигуры сечения ?
Изображение материалов
Металлы               1

 Не металлы            2

Камень  естественный          3

Керамика                 4

Бетон                       5
 6           Стекло

 7          Жидкость

 8         Грунт
           естественный

 9           Песок

 10        Дерево
Упражнение № 2
Прочитайте рассказ.

Мы подошли к зданию Дома творчества, который построен из таких

 строительных материалов, как                      ,                    ,                  ,

                    . Совсем недавно строители снимали здесь                     ,

возили  для фундамента                   , теперь убирают мусор,

неиспользованный  материал                    ,                    ,                    . На

площадке перед дворцом – фонтан, уже заполненный                   . Скоро

открытие Дома творчества.

Упражнение № 3
	Выполнить штриховку средствами программы «Компас» сечений и разрезов деталей, выполненных из разных материалов.
Домашнее задание
		«Вкусные сечения»
Выполнить эскизно (от руки) вертикальные и горизонтальные сечения любого продукта (по вашему выбору). Построенные сечения раскрасьте.


text:
Сечения многогранников
10 класс
Геометрия
Петрушенко Ирина Владимировна,
учитель математики МОУ «СОШ№2»
г. Калачинск,
Омская область
18.11.2009

5klass.net
Определения:
Секущая плоскость  -  плоскость,  по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника.
Многоугольник – сторонами которого являются отрезки пересекающие грани по секущей плоскости многогранника называется сечением  данного многогранника (часть секущей плоскости, заключенная внутри тела).
Сечениями могут быть:
3-угольники и 4-угольники (если многогранник – тетраэдр, имеющий 4 грани).
3-угольники, 4-угольники, 5-угольники и 6-угольники (если многогранник – параллелепипед, имеющий 6 граней).

P
Q
R

P
Q
R

P
Q
R

Основные виды сечений многогранников:
Параллельное сечение – сечение, плоскость которого параллельна либо основанию, либо одной из грани многогранника.
Диагональное сечение – сечение, плоскость которого, проходит через диагонали многогранника, или диагонали оснований многогранника.
Задача: Дан тетраэдр ДАВС. Постройте сечение тетраэдра, плоскостью проходящей через середины ребер ДА, ДВ, ДС.
д
А
с
M
N
P
B
∆MNP –искомое сечение, (MNP) ıı (ABC )
Методы построения сечений:
Аксиоматический метод:
    метод следов;
    использование свойств      параллельных плоскостей;
    метод вспомогательных сечений.

 Комбинированный метод.
Метод следов:
Прямая, по которой секущая плоскость пересекает плоскость грани многогранника называется следом секущей плоскости в плоскости этой грани.
RQ – прямая,
являющаяся следом
 (RQP) на (ВВ´СС´)
Правила для самоконтроля:
Вершины сечения находятся только на ребрах.

Стороны сечения находятся только на грани многогранника.

Секущая плоскость пересекает грань или плоскость грани, то только один раз.
План построения линий пересечения плоскостей:
Указать общие точки.
Построить недостающие точки:
а) найти пары точек на одной грани;
б) построить четвертую точку в плоскости;
Если пункт а) и б) не работают, то нужно строить 5 точку.

Желаем успеха при решении задач на построение сечений многогранников!
   Разделите каждую изучаемую вами задачу на столько частей, на сколько сможете и на сколько потребуется вам, чтобы их было легко решить.
                              Рене Декарт


Презентация на тему: Сфера и шар


title: Презентация на тему: Сфера

text:
R
z


title: Презентация на тему: Сфера

text:
R
R
R
R
R
R
x
y
z
O
M (x;y;z)
C (x0;y0;z0)
R
x0
y0
z0
R
(x-    )2+(y-   )2+(z-    )2=     2
d<R
O
x
y
z
O
x
y
z
O
x
y
z
R
R
R
d=R
d>R
C (0;0;d)
C (0;0;d)
C (0;0;d)
x
y
z
O
R
R
h
R


title: Презентация на тему: Сфера

text:
900igr.net
x
z
y
0
 R2=(x-x1)2+(y-y1)2+(z-z1)2
z
y
x
O
C
R
y
x
z
C
z
y
x
C
O
O
          2   2
d<R,r= R-d
d=R
d>R


title: Презентация на тему: Сфера

text:
r
d
r
R
D = 2R

R
z
R
C(x0;y0;z0)
r
d
d= r
d> r
C(0;0;d)
z
O
C(0;0;d)
z
O
r
r =    R2 - d2
C(0;0;d)
z
O
C(0;0;d)
z
O
R
d
r


title: Презентация на тему: Сечения пространственных фигур

text:
СЕЧЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР
Учитель: Попова Т.А.
ГБОУ СОШ №684


title: Презентация на тему: Сфера

text:
СФЕРА
Примеры сферы:
Земля.
Шар для игры в гольф.

Определение  сферы
Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек
пространства, расположенных на данном расстоянии (R)
от данной точки (центра т.О).
D

О
R – радиус сферы – отрезок,
соединяющий любую точку
сферы с центром.
D – диаметр сферы – отрезок,
соединяющий любые 2 точки
сферы и проходящий через центр.
т. О – центр сферы
Как изобразить сферу?
1. Отметить центр сферы (т.О)

2.  Начертить окружность с
центром в т.О

3.  Изобразить видимую
вертикальную дугу

4. Изобразить невидимую
вертикальную дугу

R
О

Изобразить видимую
горизонтальную дугу
6.  Изобразить невидимую
горизонтальную дугу
7.  Провести радиус сферы R
Уравнение сферы
Зададим прямоугольную систему координат Оxyz

z
х
у

М(х;у;z)
R
C(x0;y0;z0)
Построим сферу c центром в т. С и радиусом R
МС =    (x – x0)2  + (y – y0)2 + (z – z0)2
МС = R ,   или  МС2 = R2
Следовательно, уравнение
сферы имеет вид:
(x – x0)2  + (y – y0)2 + (z – z0)2 = R2
Задача 1.Зная координаты центра С(2;-3;0) и радиус сферы R=5, записать уравнение сферы.
Решение:
    так как уравнение сферы с радиусом R и центром в точке С(х0;у0;z0) имеет вид
    (х-х0)2 + (у-у0)2 + (z-z0)2=R2, а координаты центра данной сферы С(2;-3;0) и радиус  R=5, то уравнение данной сферы
    (x-2)2 + (y+3)2 + z2=25

               Ответ: (x-2)2 + (y+3)2 + z2=25
Взаимное расположение сферы и плоскости
Введем прямоугольную систему координат Oxyz
Построим плоскость α, совпадающую с плоскостью Оху
Изобразим сферу с центром в т.С, лежащей на положительной полуоси Oz   и имеющей координаты (0;0;d), где  d -  расстояние (перпендикуляр) от центра сферы до плоскости  α .
В зависимости от соотношения  d  и  R  возможны 3 случая…
Взаимное расположение сферы и плоскости
r
М
Рассмотрим  1 случай:
d < R, т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность радиусом  r.
r =    R2 - d2
Сечение шара плоскостью есть круг.
Взаимное расположение сферы и плоскости
Рассмотрим  2 случай:
d = R, т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют одну общую точку

Взаимное расположение сферы и плоскости
Рассмотрим  3 случай:
d > R, т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости  больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

Площадь сферы
Сферу нельзя развернуть на плоскость.
Опишем  около сферы многогранник, так чтобы сфера касалась всех его граней.
За площадь сферы принимается предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани
Площадь сферы радиуса R:          Sсф=4πR2
Sшара=4 Sкруга
т.е.: площадь поверхности шара равна учетверенной площади большего круга
Задача 2.Найти площадь поверхности сферы, радиус которой равен 6 см.
Дано:
  сфера
  R = 6 см
Найти:
  Sсф = ?
Решение:
Sсф = 4πR2
Sсф = 4π 62 = 144π  см2

   Ответ: Sсф = 144π  см2


title: Презентация на тему: Сфера и шар 9 класс

text:
Сфера и шар учитель математики МБОУ Одинцовской гимназии №13Владимирова Л.М.
11 класс

R
O
Определение сферы и её элементов.

Сферой называется поверхность, состоящая из точек пространства, расположенных на данном расстоянии (оно называется радиусом сферы) от данной точки (центра сферы).

Радиусом сферы называется любой отрезок, соединяющий центр сферы с точкой сферы.

Диаметром сферы называется отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр.

Сфера может быть получена вращением полуокружности вокруг её диаметра.

A
B
O

Z
Y
X
Уравнения с тремя переменными x, y, z а прямоугольной системе координат называется уравнением поверхности  F , если:

этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности F

координаты точек, не принадлежащих      поверхности F, не удовлетворяют этому уравнению.

        Например , z= 0 – уравнение плоскости Оху.
У

     Z

   O                                  Y

В прямоугольной системе координат сфера радиуса R с центром  C (x˛;y˛;z˛) имеет
уравнение:

(x-x˛)² + (y-y˛)² + (z-z˛)² = R²

Если центр сферы находится в начале координат, то уравнение сферы
                                                 x
           x² + y² + z² = R²

O
R
Шаром называется конечное тело, ограниченное сферой.
                    или
Шаром называется тело, состоящее из всех точек пространства, удалённых от данной точки на расстояние, не превышающее  заданного.

Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара
Определение шара и его элементов

R
R
О
Полезная задача
Докажите, что сечения сферы ,  одинаково удалённые от её центра, имеют равные радиусы;
Из двух сечений сферы больший радиус имеет то сечение, плоскость которого ближе к центру сферы

Определение касательной
 к сфере
Касательной плоскостью к сфере называется плоскость, имеющая с данной сферой только одну общую точку  ( касания).
Теорема (свойство касательной плоскости к сфере)

О
А
Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.
Теорема (признак касательной плоскости)
Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

О
А
Касательной к сфере называется прямая, которая лежит в касательной плоскости и проходит через точку касания сферы и плоскости.

Касательная  а имеет со сферой одну общую точку (точку касания А ) и перпендикулярна к радиусу сферы, проведённому в эту точку.
а
Типовая задача
Все стороны прямоугольного треугольника с катетами 12 см и 16 см касаются сферы, радиус которой равен 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника.

О
Решение задачи.
Из центра сферы проведём перпендикуляр (это расстояние от центра сферы до плоскости треугольника) к плоскости треугольника и радиус шара.
Перпендикуляр к плоскости треугольника пройдёт через середину гипотенузы треугольника, т.к. середина гипотенузы является центром окружности описанной около треугольника.
Рассмотрим треугольник  ОАК.  Найдём ОК.
А
К
Полезная задача
Докажите, что все касательные, проведённые из данной точки к сфере, имеют равные длины.

О
А
В
С
Задача 590.
Через точку сферы радиуса R, которая является границей данного шара,  проведены две плоскости, одна из которых является касательной к сфере, а другая наклонена под углом  β  к касательной плоскости. Найдите площадь сечения данного шара.

β
α

О
М
А
D
E
B

1. Объяснить, как построить линейный угол двугранный угла, образованного плоскостями.
2. докажите, что перпендикуляр, проведённый из центра шара к секущей плоскости, проходит через центр сечения.
3. Найдите радиус сечения второй плоскостью.
4. Найдите площадь сечения.
Для решения задачи № 590 удобнее вынести чертёж и с помощью его уже решить данную задачу.

β
О
R
M
A
B
C
Для создания презентации были использованы: учебник по геометрии автор – Атаносян Л.С.
«Изучение геометрии в 10-11 классах» (методические рекомендации к учебнику) авторы Л.С. Атанасян и др.


title: Презентация на тему: сечение поверхности

text:
Лекция 6                                             Сечение поверхности плоскостью
Алгоритм решения задачи
1. Объекты ( и  ) рассекают вспомогательной секущей плоскостью Г
2. Находят линию пересечения вспомогательной плоскости с каждым из объектов
4. Выбирают следующую секущую плоскость и повторяют алгоритм
5. Полученные точки соединяют с учетом видимости искомой линии пересечения
a  b Ю A,B
3. На полученных линиях пересечения определяют общие точки, принадлежащие заданным поверхностям



Методические указания
Плоскость, пересекающая поверхность, может занимать общее и частное положение относительно плоскостей проекций
В общем случае вид сечения – кривая линия
Сечение поверхности вращения плоскостью является фигурой симметричной. Ось симметрии фигуры сечения лежит в  плоскости общей симметрии заданной поверхности и плоскости, при условии:
-      проходит через ось вращения поверхности;
-      перпендикулярности секущей плоскости
Сечением многогранной поверхности является ломаная линия, вершины которой лежат на ребрах поверхности

При рассечении прямого кругового цилиндра плоскостями можно получить:
       1- окружность, 2- эллипс, 3 – прямые линии

Сечения прямого кругового цилиндра

Сечение сферы
Любая плоскость пересекает сферу по окружности. Окружность на плоскость проекций может проецироваться в натуральную величину (плоскость уровня), в виде отрезка, равного диаметру (проецирующая плоскость) и в виде эллипса (плоскость общего положения)

Q2
О1
О2
При построении линии сечения сферы  плоскостью частного положения Q(Q2) прежде всего находим на П2 проекции экстремальных точек. Это точки пересечения следа Q2 с очерком сферы – 12 и 22. На П1 проекции    11 и 21 располагаем на следе плоскости Ф1 с учетом их видимости.
3 ПО.
С помощью плоскости Г(Г2) зафиксируем совпадающие проекции точек  (32 и 42) на пересечении Г2 со следом заданной плоскости Q2. Проекции   31 и 41 располагаем на горизонтальном очерке сферы – экваторе.  Это будут точки изменения видимости линии сечения на П1.

Q2
О1
О2

Экстремальные точки эллипса  (высшую и низшую) находим, разделив пополам отрезок 12 22 перпендикуляром, опущенным из точки О2. В осно- вании перпендикуляра фиксируем две совпадающие проекции точек (52 и 62). На П1 проекции 51 и 61 располагаем на параллели b1 как невидимые.

Q2
О1
О2

(11 )

21

Для уточнения формы кривой – эллипса находим промежуточные точки
( на чертеже не обозначены). Совпадающие точки фиксируем произвольно на следе Q2  и переносим их на П1с помощью параллели с.

Q2
О2

(11 )

(61 )

21

b2

(51 )

О1

Объединяем все построенные на П1 точки в линию (эллипс) с учетом ее видимости относительно сферы.  Видимость линии будет меняться в точках 31 и 41,  построенных заранее в соответствии с алгоритмом решения задачи.

Q2
с1
О2

(11 )
(61 )

21

b2

(51 )

с2

О1

На П1 дополняем построенную проекцию эллипса большой осью, проходящей через экстремальные точки 51 и 61.  Показать натуральную линию сечения можно, применив преобразование чертежа – замену плоскости проекций

Q2
с1
О2

(11 )
(61 )

21

b2

(51 )

с2

О1

На дополнительной плоскости проекций П4 линия сечения – окружность проецируется в натуральную величину.

Q2
с1
О2

(11 )
(61 )

21

b2

(51 )

с2

О1

О4

Сечения прямого кругового конуса
При пересечении прямого кругового конуса с плоскостью в зависимости от ее расположения получаются:
1 – окружность; 2 – эллипс; 3 – парабола; 4 – гипербола; 5 – прямые линии

В сечении конической поверхности вращения плоскостью могут быть получены различные геометрические образы
В плоскости 	Г – точка,
			Δ – окружность,
			Θ – эллипс,
			Σ – гипербола,
			Ф – парабола,
			Ψ – одна прямая,
			Ω – две прямые.

Сечения конической поверхности вращения плоскостями

S3

S2
Г2
Δ2
Ф2
2
Ψ2

Σ1
Ω1
S1
= m2

   Анализ расположения следа секущей плоскости относительно
очерка конуса показывает, что линией сечения будет кривая 2-го порядка  гипербола.

2 ПО.
   Точки пересечения следа плоскости с фронтальным очерком являются экстремальными точками линии сечения, определяемыми плоскостями  Г и Ф. Строим их на П3.

2 ПО.
Точки линии сечения  4 и 5, лежащие на профильном очерке конуса, являются точками изменения видимости на П3 и промежуточными на П1.

2 ПО.
Промежуточные точки (без обозначения) линии сечения строим с помощью плоскостей Г’’ и Г’’’. На П1 объединяем все точки в проекцию  линии сечения.

2 ПО.
При объединении точек параболы на П3 следует учитывать её видимость относительно конуса. Видимость линии изменяется в точках 4 и 5, построенных в соответствии с алгоритмом решения.

2 ПО.


title: Презентация на тему: "Сфера и шар" Лауреат

text:
Сфера и шар
Цель урока
	1)Вывести  понятие сферы, шара, и их элементов.
	2)Вывести уравнение сферы в заданной прямоугольной системе координат
	3)Формировать навык решения задач по данной теме.

О – центр сферы
Данное расстояние – радиус сферы
Отрезок, соединяющий две точки сферы
и проходящий через её центр,
 называется диаметром сферы.

R
О
Предметы окружающей обстановки, дающие представление о сфере

Предметы окружающей обстановки, дающие представление о шаре
Сфера, как тело вращения

	Вывод: Сфера может быть получена вращением  полуокружности вокруг её диаметра.

А
С
В
	Сфера может быть получена вращением полуокружности вокруг её диаметра, а шар – вращением полукруга вокруг его диаметра.
№573
                        а) Дано: сфера,  б)Дано: сфера,
                               О     АВ, АМ=МВ    О     АВ,ОМ     АВ.
                               Доказать: ОМ   АВ  Доказать: АМ = МВ

Уравнение сферы
                                                                              Дано : сфера, R, С                ,
                                                                              М (x; y; z)
                                                                              Доказать:

Доказательство:
1)Найти расстояние от точки                            до

                           2) MC=R

                          3)

z
x
y
M (x; y; z)
Вывести уравнение сферы  с центром в начале координат

x²+y²+z²=R²
Назовите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением.

1)x²+y²+z²=49
2)(х-3)²+(у+1)²+(z+3)²=1
3)X²+(y-4)²+z²=3
4)(x-1)²+y²+(z+2)²=25

Напишите уравнение сферы радиуса R с центром А, если
1)А(1;0;-2),R=2
2)A(-1;-1;-1), R=
3)A(0;0;0), R=1
4)A(5;0;0), R=6

№579(а , г)
Итог урока
1)Дайте определение сферы
2)Дайте определение шара
3)Как может быть получена сфера, шар?
4)Какой вид имеет уравнение сферы?
Домашнее задание:
п.58,п.59
1 уровень                            2 уровень
574(а)                                  575
576                                       577(а)
578                                       579(б , в)


title: Презентация на тему: Сфера

text:
r
d
r
R
D = 2R

R
z
R
C(x0;y0;z0)
r
d
d= r
d> r
C(0;0;d)
z
O
C(0;0;d)
z
O
r
r =    R2 - d2

C(0;0;d)
z
O
C(0;0;d)
z
O
R
d
r


title: Презентация на тему: Сфера и шар

text:
?
18
?
4
?
10
?
?
12
?
6
?
4
?
?
2
8
?
3
?


title: Презентация на тему: Сфера. Уравнение сферы. Взаимное расположение сферы и плоскости

text:
1) d < R
2) d = R
3) d > R


Презентация на тему: Сфера и шар (11 класс)


Презентация на тему: Сфера вписанная в многогранник


Презентация на тему: Сфера, вписанная в цилиндр


title: Презентация на тему: Сферическая поверхность. Шар 11 класс

text:
y
0
x
z
O
A


Презентация на тему: Сфера. Шар


Презентация на тему: Сферические координаты


title: Презентация на тему: Сфера, описанная вокруг многогранника

text:
m
D
E
O
m
M
H
O
D
M
O
H
D
2R
H
r
2R-H


title: Презентация на тему: «Сфера и шар» 11 класс

text:
5klass.net
r
d
r
R
D = 2R

R
z
R
C(x0;y0;z0)
r
d
d= r
d> r
C(0;0;d)
z
O
C(0;0;d)
z
O
r
r =    R2 - d2

C(0;0;d)
z
O
C(0;0;d)
z
O
R
d
r


title: Презентация на тему: Сфера и шар, их определение

text:
Сфера
Урок-лекция
по теме:
Геометрия –11 класс
Учитель: Грязнова Т.Г.
Черновская СОШ

План  презентации
Определение сферы, шара.
Уравнение сферы.
Взаимное расположение сферы и плоскости.
Площадь сферы.
Итог урока.

Опр.окр.
Окружность и круг
Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.

 Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном  расстоянии  r  от данной точки.
 r – радиус;
 d – диаметр

Опр. сферы
Определение  сферы

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии (R) от данной точки (центра т.О).
Сфера – тело полученное в результате вращения полуокруж-ности вокруг её диаметра.

т. О – центр сферы
О
D – диаметр сферы – отрезок, соединяющий любые 2 точки сферы и проходящий через центр.

D = 2R

шар
R – радиус сферы – отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром.
Шар
Тело, ограниченное сферой, называется шаром.
Центр, радиус и диаметр сферы являются также центром, радиусом и диаметром шара.
Шар радиуса R и центром О содержит все точки пространства, которые расположены от  т. О на расстоянии, не превышающем R.

Исторические сведения о сфере и шаре
Оба слова «шар» и «сфера» происходят от греческого слова  «сфайра» - мяч.
В древности сфера и шар были в большом почёте. Астрономические наблюдения над небесным сводом  вызывали  образ сферы.
Пифагорейцы в своих полумистических  рассуждениях утверждали, что сферические  небесные тела  располагаются друг от друга на расстоянии пропорциональном интервалам музыкальной гаммы.  В этом усматривались элементы  мировой гармонии. Отсюда пошло выражение «музыка сферы».
Аристотель считал, что шарообразная форма, как наиболее совершенная, свойственна  Солнцу, Земле, Луне и всем  мировым телам. Так же он полагал,  что  Земля окружена рядом  концентрических сфер.
Сфера, шар всегда  широко применялись в различных областях науки и техники.

д/з прим.
Как изобразить сферу?

R

1. Отметить центр сферы (т.О)
2.  Начертить окружность с центром в т.О
3.  Изобразить видимую вертикальную дугу (меридиан)
4.  Изобразить невидимую вертикальную дугу
5.  Изобразить видимую гори-зонтальную дугу (параллель)
6.  Изобразить невидимую горизонтальную дугу
7.  Провести радиус сферы R

О

ур. окр.
Уравнение окружности

С(х0;у0)
М(х;у)

х

у
О
      следовательно уравнение
окружности  имеет вид:
   (x – x0)2  + (y – y0)2 = r2

 Зададим прямоугольную систему координат Оxy
 Построим окружность c центром в т. С и радиусом  r
 Расстояние от произвольной       т. М (х;у)  до т.С  вычисляется по формуле:
 МС =     (x – x0)2  + (y – y0)2
МС = r ,   или  МС2 = r2

Задача 1.Зная координаты центра С(2;-3;0), и радиус сферы R=5, записать уравнение сферы.
Решение
    так, как уравнение сферы с радиусом R и центром в точке С(х0;у0;z0) имеет вид            (х-х0)2 + (у-у0)2 + (z-z0)2=R2, а координаты центра данной сферы С(2;-3;0) и радиус  R=5, то уравнение данной сферы                             (x-2)2 + (y+3)2 + z2=25

               Ответ: (x-2)2 + (y+3)2 + z2=25

ур. сферы
Уравнение сферы
(x – x0)2  + (y – y0)2 + (z – z0)2 = R2

х
у
z

М(х;у;z)
R
 Зададим прямоугольную систему координат Оxyz
 Построим сферу c центром в т. С и радиусом R
МС =    (x – x0)2  + (y – y0)2 + (z – z0)2
 МС = R ,   или  МС2 = R2
C(x0;y0;z0)
следовательно уравнение
сферы имеет вид:

Физкультминутка
Взаимное расположение окружности и прямой

r
d
Если d < r, то прямая и окружность имеют 2 общие точки.

d= r

d> r

Если d = r, то прямая и окружность имеют 1 общую точку.
Если d > r, то прямая и окружность не имеют общих точек.
Возможны 3 случая

Сфера и плоск
Взаимное расположение сферы и плоскости
В зависимости от соотношения  d  и  R  возможны 3 случая…

 Введем прямоугольную систему координат Oxyz
 Построим плоскость α, сов-падающую с плоскостью Оху
 Изобразим сферу с центром в т.С, лежащей на положительной полуоси Oz   и имеющей координаты (0;0;d), где  d -  расстояние (перпендикуляр) от центра сферы до плоскости  α .

Сечение шара плоскостью есть круг.

r
Взаимное расположение сферы и плоскости
 Рассмотрим  1 случай
 d < R, т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность радиусом  r.
r =    R2 - d2

М
С приближением секущей плоскости к центру шара радиус круга увеличивается. Плоскость, проходящая через диаметр шара, называется диаметральной. Круг, полученный в результате сечения, называется большим кругом.

d = R, т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют одну общую точку

Взаимное расположение сферы и плоскости
 Рассмотрим  2 случай

d > R, т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости  больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

Взаимное расположение сферы и плоскости
 Рассмотрим  3 случай

Задача 2.Шар радиусом 41 дм пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 9 дм от центра. Найти радиус сечения.
Дано:
Шар с центром в т.О
R=41 дм
α - секущая плоскость
d = 9 дм
Найти: rсеч = ?

Решение:
    Рассмотрим ∆ОМК – прямоугольный
   ОМ = 41 дм;     ОК = 9 дм;    МК = r,   r =     R2 - d2
    по теореме Пифагора:   МК2 = r2 = 412- 92 = 1681 - 81=1600     отсюда  rсеч =  40 дм
Ответ:  rсеч = 40 дм

r
Площадь сферы
Площадь сферы радиуса R:          Sсф=4πR2
 Сферу нельзя развернуть на плоскость.
 Опишем  около сферы многогранник, так чтобы сфера касалась всех его граней.
 За площадь сферы принимается предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани

т.е.: Площадь поверхности шара равна учетверенной площади большего круга
Sшара=4 Sкруга
Задача 3.Найти площадь поверхности сферы, радиус которой = 6 см.
Дано:
  сфера
  R = 6 см
Найти:
  Sсф = ?

Решение:
Sсф = 4πR2
Sсф = 4π 62 = 144π  см2

   Ответ: Sсф = 144π  см2

Итог    урока
 определением сферы, шара;
 уравнением сферы;
 взаимным расположением сферы и плоскости;
 площадью поверхности сферы.
Сегодня вы познакомились с:

Заключение
На  этом наш урок  закончен
Спасибо за работу


title: Презентация на тему: Сфера и шар: теоремы, доказательства, история изучения

text:
Сфера и шар.
МОУ СОШ №256  г.Фокино.
    Сферой называется поверхность, которая состоит из всех точек пространства, находящихся на заданном расстоянии от данной точки.  Эта точка называется центром, а заданное расстояние – радиусом сферы, или шара – тела, ограниченного сферой. Шар состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не более заданного от данной точки.
   Отрезок, соединяющий центр шара с точкой на его поверхности, называется радиусом шара. Отрезок, соединяющий две точки на поверхности шара и проходящий через центр, называется диаметром шара, а концы этого отрезка – диаметрально противоположными точками шара.
   Чему равно расстояние между диаметрально противоположными точками шара, если известна удаленность точки, лежащей на поверхности шара от центра?
?
18
   Шар можно рассматривать как тело, полученное от вращения полукруга вокруг диаметра как оси.
   Пусть известна площадь полукруга. Найдите радиус шара, который получается вращением этого полукруга вокруг диаметра.
?
4
Теорема. Любое сечение шара плоскостью есть круг. Перпендикуляр, опущенный из центра шара на секущую плоскость, попадает в центр этого круга.
Дано:

Доказать:

Доказательство:
   Рассмотрим прямоугольный треугольник, вершинами которого являются центр шара, основание перпендикуляра, опущенного из центра на плоскость, и произвольная точка сечения.
Следствие. Если известны радиус шара и расстояние от центра шара до плоскости сечения, то радиус сечения вычисляется по теореме Пифагора.

   Пусть известны диаметр шара и расстояние от центра шара до секущей плоскости. Найдите радиус круга, получившегося сечения.
?
10
Чем меньше расстояние от центра шара до плоскости, тем больше радиус сечения.

   В шаре радиуса пять проведен диаметр и два сечения, перпендикулярных этому диаметру. Одно из сечений находится на расстоянии три от центра шара, а второе – на таком же расстоянии от ближайшего конца диаметра. Отметьте то сечение, радиус которого больше.
?

Задача.
   На сфере радиуса R взяты три точки, являющиеся вершинами правильного треугольника со стороной а. На каком расстоянии от центра сферы расположена плоскость, проходящая через эти три точки?
Дано:

Найти:

   Рассмотрим пирамиду с вершиной в центре шара и основанием – данным треугольником.
Решение:

    Найдем радиус описанной окружности, а затем рассмотрим один из треугольников, образованных радиусом, боковым ребром пирамиды и высотой,. Найдем высоту по теореме Пифагора.
Решение:

   Наибольший радиус сечения получается, когда плоскость проходит через центр шара. Круг, получаемый в этом случае, называется большим кругом. Большой круг делит шар на два полушара.
   В шаре, радиус которого известен, проведены два больших круга. Какова длина их общего отрезка?
?
12
Плоскость и прямая, касательные к сфере.
   Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью. Касательная плоскость перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
   Пусть шар, радиус которого известен, лежит на горизонтальной плоскости. В этой плоскости через точку касания и точку В проведен отрезок, длина которого известна. Чему равно расстояние от центра шара до противоположного конца отрезка?
?
6
   Прямая называется касательной, если она имеет со сферой ровно одну общую точку. Такая прямая перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Через любую точку сферы можно провести бесчисленное множество касательных прямых.
   Дан шар, радиус которого известен. Вне шара взята точка, и через нее проведена касательная к шару. Длина отрезка касательной от точки вне шара до точки касания также известна. На каком расстоянии от центра шара расположена внешняя точка?
?
4
   Стороны треугольника 13см, 14см и 15см. Найти расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касающегося сторон треугольника. Радиус шара равен 5 см.
Задача.
 Дано:

Найти:

   Сечение сферы, проходящее через точки касания, - это вписанная в треугольник АВС окружность.
Решение:

   Вычислим радиус окружности, вписанной в треугольник.
Решение:

   Зная радиус сечения и радиус шара, найдем искомое расстояние.
Решение:

   Через точку на сфере, радиус которой задан, проведен большой круг и сечение, пересекающее плоскость большого круга под углом шестьдесят градусов. Найдите площадь сечения.
?
π
Взаимное расположение двух шаров.
   Если два шара или сферы имеют только одну общую точку, то говорят, что они касаются. Их общая касательная плоскость перпендикулярна линии центров (прямой, соединяющей центры обоих шаров).
   Касание шаров может быть внутренним и внешним.
   Расстояние между центрами двух касающихся шаров равно пяти, а радиус одного из шаров равен трем. Найдите те значения, которые может принимать радиус второго шара.
?
2
8
   Две сферы пересекаются по окружности. Линия центров перпендикулярна плоскости этой окружности и проходит через ее центр.
   Две сферы одного радиуса, равного пяти, пересекаются, а их центры находятся на расстоянии восьми. Найдите радиус окружности, по которой сферы пересекаются. Для этого необходимо рассмотреть сечение, проходящее через центры сфер.
?
3
Вписанная и описанная сферы.
   Сфера (шар) называется описанной около многогранника, если все вершины многогранника лежат на сфере.
   Какой четырехугольник может лежать в основании пирамиды, вписанной в сферу?
?

   Сфера называется вписанной в многогранник, в частности, в пирамиду, если она касается всех граней этого многогранника (пирамиды).
   В основании треугольной пирамиды лежит равнобедренный треугольник, основание и боковые стороны известны. Все боковые ребра пирамиды равны 13. Найти радиусы описанного и вписанного шаров.
Задача.
 Дано:

Найти:

I этап. Нахождение радиуса вписанного шара.
   1) Центр описанного шара удален от всех вершин пирамиды на одинаковое расстояние, равное радиусу шара, и в частности, от вершин треугольника АВС. Поэтому он лежит на перпендикуляре к плоскости основания этого треугольника, который восстановлен из центра описанной окружности. В данном случае этот перпендикуляр совпадает с высотой пирамиды, поскольку ее боковые ребра равны.
Решение:

2) Вычислим радиус описанной около основания окружности.
Решение:

3) Найдем высоту пирамиды.
Решение:

4) Радиус описанного шара найдем из треугольника, образованного радиусом шара и частью высоты, прилежащей к основанию пирамиды.
Решение:

   Соединим центр вписанного шара со всеми вершинами пирамиды, тем самым мы разделим ее на несколько меньших пирамид. В данном случае их четыре. Высоты всех пирамид одинаковы  и равны радиусу вписанного шара, а основания – это грани исходной пирамиды.
Решение:

II этап. Нахождение радиуса вписанного шара.

1) Найдем площадь каждой грани пирамиды и ее полную поверхность.
Решение:

2) Вычислим объем пирамиды        и радиус вписанного шара.
Решение:

   Второй способ вычисления радиуса вписанной сферы основан на том, что центр шара, вписанного в двугранный угол, равноудален от его сторон, и, следовательно, лежит на биссекторной плоскости.
Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6, а угол между основанием и боковой гранью равен 600. Определить радиус вписанной сферы.
Задача.
 Дано:

Найти:

Проведем сечение через вершину пирамиды и середины двух противоположных сторон основания.
Отрезок, соединяющий центр сферы с серединой стороны основания, делит пополам двугранный угол при основании.
Решение:

Рассмотрим треугольник, полученный в сечении, и найдем искомый радиус из тригонометрических соотношений.
Решение:


Презентация на тему: Шар


title: Презентация на тему: Сформулируйте первый признак равенства треугольников

text:
1
2
1
2
1
2


Презентация на тему: Сфера, вписанная в многогранник


title: Презентация на тему: Шар

text:
900igr.net
.

O
.


Презентация на тему: шар цилиндр конус


Презентация на тему: Шар. Сфера


title: Презентация на тему: Шар

text:
R
O
R
M(x;y;z)
C(x0;y0;z0)
z
y
x
O
y
x
z
C (0;0;d)
O
R
1
r =
d
R
O
O
d
C (0;0;d)
y
x
z
d = R
2
y
x
d
z
C (0;0;d)
O
3
d > R
B
O
R
r
x
M
A
x
O
r
R
R
O
R
M(x;y;z)
C(x0;y0;z0)
z
y
x
O
y
x
z
C (0;0;d)
O
R
1
r =
d
R
O
O
d
C (0;0;d)
y
x
z
d = R
2
y
x
d
z
C (0;0;d)
O
3
d > R
B
O
R
r
x
M
A
x
O
r
R


Презентация на тему: Шар и сфера


Презентация на тему: ШАР. СФЕРА


Презентация на тему: Шар 11 класс


Презентация на тему: «Шар»


Презентация на тему: Шар. Конус. Цилиндр


title: Презентация на тему: Шар, вписанный в пирамиду, призму, конус

text:
.

O
.


title: Презентация на тему: Шар и сфера

text:
 R
D
O
p
»
C = pD
C = 2pR
·(a · n) · h
R
a
h
1,1
1,2
1,3
1,4
1,331
1,728
2,197
2,744


Презентация на тему: симетрія відносно прямої


Презентация на тему: Шпилечное соединение


Презентация на тему: Шар.Конус.Цилиндр 6 класс