title: Презентация на тему: Круглые геометрические тела

text:
Презентацияпо геометрии
Выполнили:Демчишина Анна
                      Вечера ВалентинаРуководитель проекта: Григорюк В.П.
МОУ Гимназия Восточных Языков №4, 10 класс.
Тема:Круглые геометрические тела
Содержание
Цилиндр
Конус
Сфера
Исторические факты
Это интересно
Авторы
Цилиндр
Цилиндр- тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами.
Боковая поверхность- цилиндрическая поверхность
Основание- круги
Образующие-Образующие цилиндрической поверхности
Ось-прямая ОО1
Радиус-радиус основания
Высота-длина образующей

Виды сечений:
Осевое
Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра ,то сечение представляет собой прямоугольник ,две стороны которого образующие, а две другие- диаметры оснований цилиндра
Круговое
Если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра, то сечение является кругом.

Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника  вокруг одной из его сторон
Площадь поверхности цилиндра
Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. S=2πr(r+h)
Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра.
За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь ее развертки. S=2πrh

Историческая справка про цилиндр
ЦИЛИНДР..
Слово "цилиндр" происходит от греческого kylindros, что означает "валик", "каток".
Конус
Конус- Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей.
Коническая поверхность- боковая поверхность конуса
Основание-круг
Образующие конуса- образующие конической поверхности
Ось-прямая, проходящая через центр основания и вершину конуса
Виды сечений:
Осевое- Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник. Основание которого-диаметр основания конуса, а боковые стороны-образующие конуса
Круговое- Если секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса, то сечение является кругом

Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.
Площадь поверхности конуса
Площадь полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основанияS=πr(l+r)

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую. S=πrl

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки.
Основные формулы
Историческая справка про конус
ЦИЛИНДР.. Слово "цилиндр" происходит от греческого kylindros, что означает "валик", "каток". КОНУС.
Латинское слово conus заимствовано из греческого языка (konos - затычка, втулка, сосновая шишка). В XI книге "Начал" даётся следующее определение: если вращающийся около одного из своих катетов прямоугольный треугольник снова вернётся в то же самое положение, из которого он начал двигаться, то описанная фигура будет конусом. Евклид рассматривает только
Сфера
Сфера- Поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.
Радиус-отрезок, соединяющий центр  с любой точкой сферы
Диаметр-отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр.
Хорда-отрезок соединяющий любые две точки сферы.

Площадь сферы
За площадь сферы примем предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани. S=4πR^2
Касательная плоскость к сфере
Касательная плоскость к сфере- плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку.
Точка касания- их общая точка

Теорема:Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.
Теорема:Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость  является касательной к сфере
Историческая справка про сферу
Однако оба слова "шар" и "сфера" происходят от одного и того же греческого слова "сфайра" - мяч. При этом слово "шар" образовалось от перехода согласных сф в ш. В древности сфера была в большом почёте. Астрономические наблюдения над небесным сводом неизменно вызывали образ сферы. Пифагорейцы учили о существовании десяти сфер Вселенной, по которым якобы двигаются небесные тела. Они утверждали, что расстояния этих тел друг от друга пропорциональны интервалам музыкальной гаммы. В этом усматривали элементы мировой гармонии. В подобных полумистических рассуждениях заключалась пифагорова "музыка сфер". Аристотель считал, что шарообразная форма, как наиболее совершенная, свойственна Луне, Солнцу, Земле и всем мировым телам. Развивая взгляды Евдокса, он полагал, что Земля окружена рядом концентрических сфер. Сфера всегда широко применялась в различных областях науки и техники. В XI книге "Начал" Евклид определяет шар как фигуру, описанную вращающимся около неподвижного диаметра полукругом.
Это интересно

Водовзводная башня
 Водовзводная башня была построена в 1488 году. Прежнее название башни - Свиблова - связано с располагавшимся рядом двором боярина Свиблова. В 1633 году в башне была устроена водонапор-ная машина для перекачки воды в резервуар, расположенный на верху башни. Через трубы вода расходилась по всему Кремлю. В 1805-1806 годах башня была разобрана и сложена вновь по проекту архитектора И.В.Еготова. В 1812 году башня была взорвана французами, а в 1819 году восстановлена под руководством О.И.Бове. Высота башни до звезды - 57,7 метра, со звездой - 61,25 метра. Башня представляет собой цилиндр. В разрезе башня круглая.

 Кривоарбатский переулок, дом 10. Два огромных белых цилиндра, прислоненных друг к другу. По периметру - шестьдесят небольших ромбовидных окон, создающих образ улья. На фасаде - гигантское, в несколько метров окно. Над окном надпись: "Константин Мельников. Архитектор". Самая знаменитая (даже культовая) постройка 20-х годов в Москве. Константин Степанович Мельников родился в Москве в семье рабочего-строителя, выходца из крестьян, в 1890 г. Окончив приходскую школу, он работал "мальчиком" в фирме "Торговый дом Залесский и Чаплин". Чаплин помог ему поступить в 1905г. B Московское училище живописи, ваяния и зодчества, а затем после окончания Мельниковым в 1913г. живописного отделения посоветовал продолжить обучение на Архитектурном отделении, которое Константин Степанович окончил в 1917г. На старших курсах Училища и в первые годы после его окончания Мельников работает в духе неоклассики. Однако уже в начале 20-х годов Константин Степанович резко порывает с различного рода традиционалистскими стилизациями. Сам факт широкой реализации его произведений заставляет по-иному отнестись и к тем его произведениям, которые остались в проектах и которые в 20-е годы в острой полемике того периода нередко объявляли "фантастическими". В проектах Мельникова поражает степень раскованности творческой фантазии мастера в вопросах формообразования. Можно с полной уверенностью сказать, что в XX в. не было другого архитектора, который создал бы столько принципиально новых проектов и такого уровня новизны, что их оригинальность не только сильно оторвала их от работ других мастеров, но и столь же сильно отличала и от работ самого их автора.

Пизанская башня
  Пизанскую башню начали строить в 1174 году. Она задумывалась как колокольня расположенного рядом Домского собора. Уже во время строительства, в 1298 году, выяснилось, что фундамент сооружения заложили криво. Кроме того, оказалось, что протекающая неподалеку подземная река смещает почвенные пласты и усиливает падение здания. Чтобы уменьшить скорость падения, архитекторы предложили изменить наклон её верней части. В результате к 1350 году, когда колокольню наконец достроили, она получилась не только наклонной, но и кривой. Однако падать Пизанская башня не перестала - к 1550 году отклонение её вершины от вертикали достигло уже 3,8 метра. После этого процесс падения несколько замедлился, однако к концу XX века вершина башни отклонилась от своего нормального положения уже на 4,7 метра.

Гигантский шар в игрушечном городе

Это - космический корабль "Земля", расположенный на окраине ДИСНЕЙЛЕНДА в штате Флорида. По задумке эта сферическая конструкция должна олицетворять будущее человечества.

Обман зрения в Праге
Так в Праге оформили вход на станцию "Малостранска". Кольца соединены таким образом, что создаётся иллюзия того, что мы видим сферу хотя на самом деле, кольца лежат в одной плоскости.

Авторы
Демчишина Анна
Вечера Валентина


title: Презентация на тему: Квадрат в жизни

text:
5klass.net

http://wikipedia.ru
http://079.help-rus-student.ru/text/005.htm


title: Презентация на тему: Лабораторный практикум по геометрии 7 класс

text:
1
2
4
3
   3         4
30°


title: Презентация на тему: Круговые диаграммы

text:
Круговые диаграммы
Путешествие по страницам словаря
Примеры диаграмм
Как построить угол (повторение)
Решение задач
Задачи для самостоятельного решения
Домашнее задание
Ссылки

Круговые диаграммы
Диаграмма –
(от греч. изображение, рисунок, чертеж) графическое изображение, наглядно показывающее соотношение каких-либо величин.

Ты сначала объясни, что это такое.

Круговые диаграммы
Я, понял! Диаграмма – это нарисованные числовые данные, благодаря которым можно сравнивать тот или иной предмет.
 А как построить диаграмму?
Чтобы нарисовать круговую диаграмму надо:
Начертить круг
Рассчитать количество процентов
Перевести их в градусы
Транспортиром построить углы
Закрасить сектора разным цветом

Круговые диаграммы
Каковы преимущества диаграмм по сравнению с таблицами?

Каковы недостатки диаграмм?
Наглядность, возможность сравнивать разные величины друг с другом, возможность представить большой объем информации.

Приближенное значение величин
Круговые диаграммы
Магнитный железняк содержит 70% чистого железа, а остальная часть руды — пустая порода. Чтобы наглядно изобразить это положение, начертим круг и закрасим 70% его площади, а 30% площади оставим не закрашенными.
Так как в круге  360°, то надо найти 30% от 360°. Для этого делим 360 на 100 и частное умножаем на 30. Получаем: 360 : 100 * 30 = 108. Значит, надо провести два радиуса под углом 108° и закрасить часть круга вне этого угла.
Получаем рисунок.
Его называют круговой диаграммой.

Круговые диаграммы
Нет. Количество частей в круге будет зависеть от условия задачи.
Иногда для построения круговой диаграммы приходится разбивать круг на много частей.
Так, что круг всегда будет разделен на 2 части?

Круговые диаграммы
Пример   круговой диаграммы площадей океанов.
Тихий океан имеет площадь 179 млн км2, Атлантический — 93 млн км2,
Индийский — 75 млн км2
 Северный Ледовитый — 13 млн км2.

Круговые диаграммы

Круговые диаграммы

Круговые диаграммы

В классе 30 учеников:
12 мальчиков и
18 девочек.
Начертим круг, соответствующий общему числу учеников.
360⁰ : 30 =12⁰ соответствует 1 ученику.
12⁰ * 12 = 144⁰ - угол, соответствующий количеству мальчиков
360⁰ - 144⁰ =216⁰ - - угол, соответствующий количеству девочек

144⁰

216⁰
девочки
мальчики

Круговые диаграммы
     Решим задачу:
Земные угодья на Земле распределяются таким образом:
луга и пастбища - 21%, леса – 30%,
пашни – 11%,
прочие Земли – 38%.
Решение:
100% - 360⁰ (круг)
1% - 3,6⁰
21% -    21*3,6⁰= 75,6⁰
30% -    30*3,6⁰= 108⁰
11% -    11*3,6⁰= 39,6⁰
38% -    38*3,6⁰= 136,8⁰

Круговые диаграммы

Луга  и пастбища - 75,6⁰
Леса  - 108⁰
Пашни  - 39,6⁰
прочие Земли - 136,8⁰

Прочие земли 136,8⁰

Леса 108⁰

Луга  и пастбища - 75,6⁰

Пашни
39,6⁰

Круговые диаграммы
Для решения задачи начертим круг
Посевные площади на Земле распределяются так:
Пшеница - 30%
Кукуруза – 16%
Ячмень – 11%
Рис – 19%
Прочие культуры – 24%

30%
16%
11%
19%
24%

Круговые диаграммы
Незнайка торгует газетами.
В понедельник – 20
Вторник –  25
Среда –  32
Четверг  -  30
Пятница – 23
Суббота – 30
Воскресенье – 20.
Построить круговую диаграмму «Продажа газет»

Круговые диаграммы
Построить круговую диаграмму
 “Нормы питания девочек 11-13 лет”.
Девочки 11-13 лет должны получать в день
 85г белков,
 85г жиров,
340г углеводов.
Круговые диаграммы
Построить круговую диаграмму
 “Распределение времени учеником 5 класса”
Сон - 9 час.
Учеба в школе – 6 час
Домашняя работа – 2 часа
Отдых – 3 часа
Работа с ПК – 0,5 час
Просмотр телевизионных передач – 1,5 часа
 Можно ли строить диаграмму?  На что можно еще распределить время?

Домашнее задание
Построить  диаграмму (одну на выбор):
Количество слов, прочитанных за минуту (5 класс).
Количество учащихся по классам (5-8 класс).
Численность населения столиц мира.
Численность населения стран мира.
Продолжительность жизни в разных странах.
Число мигрантов в 2005 г.
Количество уроков по предметам (5 класс за год).
Площади стран мира.

Источники
http://oldskola1.narod.ru/Nikitin/0013.htm
http://vneuroka.ru
http://images.yandex.ru/yandsearch
http://www.lenagold.ru/fon/clipart/k/kanc.html
О.Ю.Едуш, Т.Ю.Угроватова
«Подсказки на каждый день», М.Владос, 1999г.

Конкурс интерактивных презентаций

 Артамонова Лариса Владимировна,
Учитель математики
МОУ «Москаленский лицей»,
Омская область

Презентация к уроку по теме:
Круговые диаграммы, 5 класс


Презентация на тему: Квадрат


title: Презентация на тему: «Квадрат» 8 класс

text:
5klass.net
a
P=4a

a=P:4
1.
7
2.
12
3.
2
4.
8
5.
6
6.
16

S=a²

a=
1.
6
2.
25
3.
0,8
4.
16
5.
14
6.
9
1
7
1
7
7
1
7
1
2
5
2
5
5
2
5
2
4
1
4
1
1
4
1
4
3
5
1
5
5
1
5
3
3
3
3
3
3
3
3
3
5
3
1
3
3
1
3
5
7
1
1
1
1
1
1
7


title: Презентация на тему: Квадрат Полибия

text:
-
.
,
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1

6
5
4
3
2
1
-
.
,
3
4
5
6
1
2
4
26 36 24 35 42 34 14 36 11 44 24 63


Презентация на тему: «Лабораторные работы по геометрии 8 класс»


title: Презентация на тему: Квадратичная функция, её свойства и график

text:
1
1
4
9
2
3
-1
1)
-3
-2
-1
0
1
2
3
9
4
1
0
1
4
9
1
1
4
9
2
3
-1
1)
-3
-2
-1
0
1
2
3
9
4
1
0
1
4
9
1. D(y): R
1
1
4
9
2
3
-1
1)
-3
-2
-1
0
1
2
3
9
4
1
0
1
4
9
1. D(y): R
1
1
4
9
2
3
-1
1)
-3
-2
-1
0
1
2
3
9
4
1
0
1
4
9
1. D(y): R
1
1
4
9
2
3
-1
2)
-3
-2
-1
0
1
2
3
18
8
2
0
2
8
18
1
1
4
9
2
3
-1
3)
-3
-2
-1
0
1
2
3
4,5
2
0,5
0
0,5
2
4,5
1
1
-2
2
3
-1
4)
-3
-2
-1
0
1
2
3
-4,5
-2
-0,5
0
-0,5
-2
-4,5
1
1
-2
2
3
-1
4)
-3
-2
-1
0
1
2
3
-4,5
-2
-0,5
0
-0,5
-2
-4,5
1. D(y): R
1
1
4
9
2
3
-1
1
1
4
9
2
3
-1
2
1
1
4
9
3
-1
1
1
4
9
2
3
-1
2
1
1
4
9
3
-1
2
1
1
4
9
3
-1


Презентация на тему: Лабораторные работы по геометрии


title: Презентация на тему: Квадратное уравнение

text:
.
2).


title: Презентация на тему: Координаты вектора в пространстве

text:
Векторы в пространстве
Электронный учебник по геометрии
Поехали

Это учебник создан для экзамена по геометрии.
В нем рассмотрена темы 10-го класса- Векторы в пространстве, и действия над векторами в пространстве.
Уверена вам понравится!!!
Цели работы
Далее

Абсолютная величина и направление вектора.
Векторы в пространстве
Действия над векторами:
Тест
Об авторе
Содержание

Вектором мы будем называть направленный отрезок (рисунок 1) . Направление вектора определяется указанием его начала и конца. На чертеже направление вектора отмечается стрелкой. Для обозначения векторов будем пользоваться строчными латинскими буквами а, Ь, с, ... . Можно также обозначить вектор указанием его начала и конца. При этом начало вектора ставится на первом месте. Вместо слова «вектор» над буквенным обозначением вектора иногда ставится стрелка или черта. Вектор на рисунке 1 можно обозначить так:

                                 или
Величина и направление
вектора
Далее
Содержание

Рисунок 1
Назад

Векторы                называются одинаково направленными, если полупрямые АВ и СD одинаково направлены. Векторы              называются противоположно направленными, если полупрямые АВ и СD противоположно направлены. На рисунке 212 векторы        одинаково направлены, а векторы противоположно направлены.
Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Абсолютная величина
вектора а обозначается       .
Начало вектора может совпадать с его концом. Такой вектор будем называть нулевым вектором. Нулевой вектор обозначается нулем с черточкой    . О направлении нулевого вектора не говорят. Абсолютная величина нулевого вектора считается равной нулю(Рисунок 2) .
Величина и направление
вектора
Назад

Рисунок 2
Назад

В пространстве, как и на плоскости, вектором называется направленный отрезок. Буквально так же, как и на плоскости, определяются основные понятия для векторов в пространстве: абсолютная величина вектора, направление вектора, равенство векторов.
Координатами вектора с началом в точке
     А1(х1; у1; z1) и концом в точке А2(х2;y2;z2) называются числа х2 - х1, у2 - у1, z2 - z1. Так же, как и на плоскости, доказывается, что равные векторы имеют соответственно равные координаты и, обратно, векторы с соответственно равными координатами равны. Это дает основание для обозначения вектора его координатами:
     а (a1, a2; а3) или просто (а1; а2; а3).
Содержание
Векторы в пространстве
Задача 1

Так же, как и на плоскости, определяются действия над векторами: сложение, разность , умножение на число и скалярное произведение.
Действия над векторами
 в пространстве
Содержание

Суммой векторов     (a1; а2; а3) и      (b1; b2; b3) называется вектор:                                                  (a1 + b1; а2 + b2; а3 +  b3).
Так же,как и на плоскости, доказывается векторное равенство (доказательство) :

Сумма векторов
Назад
Задача 3

Пусть A (х1; у1),В(х2; у2),С(х3; у3) -данные точки (рисунок 3) .Вектор      имеет координаты х2-х1,y2-y1, вектор       имеет координаты        х3 - х2, у3-y2. Следовательно, вектор              имеет координаты х3-х1, у3-у1. А это есть координаты вектора      . Значит, векторы  равны. Теорема доказана.
Доказательство
Назад

Рисунок 3
Назад

Разностью векторов    (а1;а2;a3) и  (b1; b2;b3) называется такой вектор      (с1; с2;c3), который в сумме с вектором     дает вектор   :       Ь                . Отсюда находим координаты вектора                     :
   c1=a1-b1;c2=a2-b2;c3=a3-b3
Разность векторов
Назад
Задача 2

Дано:
                 -имеют общее начало
Доказать:

Задача 2
Решение
Назад

Решение:

Задача 2
Назад
Рисунок

Рисунок
Назад

Дано:
   A(2;7;-3)
   B(1;0;3)
   C(-3;-4;5)
   D(-2;3;-1)
Найти:
   Среди всех векторов указать равные
Надо найти координаты всех векторов и сравнить эти координаты.
              :1-2=-1, 0-7=- 7, 3-(-3)=6
    У вектора          такие же координаты:          -3-(-2)=-1, -4-3=-7,          5-(-1)=6. Значит       и        равны. Другой парой равных векторов будут         и
Задача 1
Назад
Решение:

Дано:
        (1;2;3)
Найти:
   Коллинеарный вектор с началом в точке A(1;1;1) и концом B на плоскости xy.
Координата z точки В равна нулю. Координаты вектора           : х-1, у-1, 0-1 1=-1. Из коллинеарности векторов       и  получаем пропорцию:

     Отсюда находим координаты x, y   точки B:

Задача 3
Назад
Решение:

Произведением вектора
    а(a1; а2; a3) на число λ называется вектор

Так же, как и на плоскости, доказывается, что абсолютная величина вектора λа равна \λ\ \    \, а направление совпадает с направлением вектора     , если    λ> 0, и противоположно направлению вектора    , если λ<0.
Произведение вектора
Назад

Скалярным произведением векторов
    и                   называется число a1b1 +a2b2 +a3b3. Буквально так же, как и на плоскости, доказывается, что скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между векторами.
Скалярное произведение
векторов
Назад
Задача 4

Дано:
   A(0;1;-1)
   B(1;-1;2)
   C(3;1;0)
   D(2;-3;1)
Найти:
   cosφ=?
Решение:
Координатами вектора        будут:
   1-0=1, -1-1=-2, 2-(-1)=3

Координатами      вектора           будут:
    2-3=-1, -3-1=-4,  1- 0=1

Значит,
Задача 4
Назад

ОБ АВТОРЕ


title: Презентация на тему: Квадрат Пирсона

text:
A
X
C
B
Y


text:
Квадратное уравнение
Ладанова И.В.
МКОУ «Верх-Жилинская ООШ»
Prezentacii.com
Содержание
Определение
Первая формула
Вторая формула
Неполные квадратные уравнения
Теорема Виета
Задание

определение

Первая формула

Вторая формула

Неполные квадратные уравнения

Теорема  Виета

X1 = 4 и X2 =10

Z1=-10 и Z2=-2

Решите уравнения:
Prezentacii.com


Презентация на тему: Ледяной дворец


title: Презентация на тему: Квадрат и куб

text:
Квадрат и куб
Учитель математики и информатики МКОУ «Верхнечеренская СОШ» Клетского района Волгоградской области Мараховская Ангелина Ивановна
10

+15
25
- 10
+13
: 2
- 16
6
  3
:15

75
20
7
14
30
5

Задача:
В кинотеатре на дневной сеанс продали 210 билетов, на утренний сеанс – на 60 билетов меньше, чем на дневной, а на вечерний сеанс – в 2 раза больше, чем на утренний.
Поставьте вопрос и решите задачу.
Сколько всего продано билетов?
Условие задач:
Дневной сеанс  - 210 билетов,
Утренний сеанс – на 60 м,
Вечерний сеанс – в 2 раза б.
Сколько всего продано билетов?
Решение:
210 – 60 =150 билетов (утренний)
150 * 2 = 300 билетов (вечерний)
210+150+300 = 660 билетов (всего)
Ответ: 660 билетов

Геометрия

«ГЕО» - земля, «МЕТРИЯ» - измерение

На какие 2 группы делятся
геометрические фигуры?

Плоские
Объёмные

Квадрат
Куб
Тема:
 Квадрат и куб

Цели:
Познакомиться с «квадратом» и «кубом»;
Рассмотреть грани, ребра и вершины куба;
Научиться изображать куб;
Научиться находить объем куба.

а
а
S =
а
а
а
2
=
.
мм
2
см
2
м
2
дм
2

а
а
а
V=
объём
а
а
а
а
3
=
.
.
мм
3
см
3
м
дм
3
3
А
D
C
B
5 см
5 см
5 см
5 см
D
D
D
D
D
C
C
D
N
M
M
N
L
B
A
C
D
O
Куб

1
6
5
4
3
2
У куба 6 граней
D
C
O
A
B
L
N
M
Вершины куба
У куба 6 граней

У куба 6 граней;
У куба 8 вершин;

Ребра куба
У куба 6 граней

У куба 6 граней;
У куба 8 вершин;
У куба 12 ребер.

Работа с учебником
Стр. 78 №258
Стр. 79 №262
Работа с тетрадью
Стр. 63 №116
Из скольких квадратов  состоит поверхность куба?
Как называются эти квадраты в кубе?
Сколько вершин имеет куб?
Сколько рёбер у куба?
Какие виды фигур знаете?
Как найти S  грани куба?
А всей поверхности куба?
V  куба?

Итог урока
В тетради
стр.63 №115, 117.
Домашнее задание


Презентация на тему: Лист Мёбиуса


title: Презентация на тему: Лента Мёбиуса

text:
3

2

1

0


title: Презентация на тему: Красота математики

text:
ГОУ СПО «Стерлитамакский сельскохозяйственный техникум»

   Красота математики.
    внеклассное мероприятие

Автор: преподаватель математики
ГОУ СПО «Стерлитамакский
cельскохозяйственный техникум»
 Бурова С.Г.

                                                            СОДЕРЖАНИЕ

Введение
Основная часть
I. Симметрия в искусстве.
I.1. Симметрия в архитектуре.
I.2. Симметрия в музыке.
I.3. Симметрия в литературе.
I.4. Симметрия в живописи.
II. Пропорция в искусстве.
II.1. Пропорция в архитектуре.
II.2. Пропорция в живописи
II.3. . Пропорция в музыке.
II.4. Пропорция в литературе.
III. Периодичность в искусстве.
III.1.Периодичность в архитектуре.
III.2.Периодичность в живописи.
III.3.Периодичность в музыке.
III.4.Периодичность в литературе.
IV.Перспектива в искусстве.
IV.1.Перспектива в архитектуре.
           IV.2.Перспектива в живописи
Заключение
В природе существует много такого, что не может быть ни достаточно глубоко понято, ни достаточно убедительно доказано, ни достаточно умело и надёжно использовано на практике без помощи вмешательства математики.
                                                                                Ф.Бэкон
    Наука и искусство – два основных начала в человеческой культуре, две дополняющие друг друга формы высшей творческой деятельности человека. В истории человечества были времена, когда эти начала дружно уживались, а были времена , когда они противоборствовали.

                                                                                ВВЕДЕНИЕ

Гармония означает «согласованность, соразмерность , единство частей и целого, обуславливающие внутреннюю и внешнюю формы предмета, события, явления, их совершенство». Внешне гармония может проявляться в мелодии, ритме, симметрии, пропорциональности.

Математика –  царица всех наук, символ мудрости. Красота математики среди наук недосягаема, а красота является одним из связующих звеньев науки и искусства.  Это не только стройная система законов, теорем и задач, но и уникальное средство познания красоты.

Красота многогранна и многолика. Она выражает высшую целесообразность устройства мира, подтверждает универсальность математических закономерностей, которые действуют одинаково эффективно и в произведениях искусства , и в научных открытиях
"Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство.”                                                                                Г.Вейль

                                                             I. СИММЕТРИЯ В ИСКУССТВЕ

       Симметрия, в переводе с греческого языка означает «соразмерность».
       Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении столетий пытался постичь и создать порядок, красоту, совершенство. Симметрия с давних времён считалась синонимом прекрасного.       Почти все считают, что красоту, воспринимаемую зрением, порождает соразмерность частей друг с другом и прелестью красок, и для всех тех, кто так считает, и вообще всех остальных быть прекрасным – значит быть симметричным.                Симметрия, как объективный признак красоты, проходит через всю историю искусств.
 ВИДЫ СИММЕТРИИ
Симметрия относительно плоскости.
Зеркальная симметрия.

 Если преобразование симметрии относительно плоскости переводит фигуру в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости, а данная плоскость – плоскостью симметрии этой фигуры.

                       Центрально –осевая симметрия.

Фигура называется симметричной относительно точки, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка также принадлежит этой фигуре.
 Фигура называется симметричной относительно точки, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка также принадлежит этой фигуре.

От композиции здания в первую очередь зависит впечатление, которое производит архитектурное сооружение. Наиболее ясны и уравновешены здания с симметричной композицией. Симметрия  относится к числу наиболее сильных средств организации формы.
                              I.1. СИММЕТРИЯ В АРХИТЕКТУРЕ

 «Дух  геометрического,    математического порядка   будет  хозяином  судеб
архитектуры».
Ле-Корбюэье
 ЗЕРКАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ В АРХИТЕКТУРЕ

Зеркальной симметрии подчинены постройки Древнего Египта, амфитеатры, термы, базилики и триумфальные арки римлян, дворцы и церкви Ренессанса, равно как и многочисленные сооружения современной архитектуры.

Соловецкий монастырь

 Центрально-осевая симметрия присутствует чуть ли не в каждом  архитектурном объекте.

г.Ессентуки
 Грязелечебница
Германия. Бонн .Университет
Дубаи. Башни Эмиратов
 ЦЕНТРАЛЬНО- ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ В
                               АРХИТЕКТУРЕ
                                      СИММЕТРИЯ И АСИММЕТРИЯ
Москва.  Храм Христа Спасителя
Симметрия и асимметрия - это две формы проявления одной и той же закономерности - закономерности двойственности.
Симметрия воспринимается нами как покой, скованность, закономерность, тогда как асимметрия означает движение, свободу, случайность.
Истинную красоту можно постичь только в единстве противоположностей

Примером удивительного сочетания симметрии и асимметрии является Храм Василия Блаженного
Это композиция из 10 храмов, каждый из которых обладает центральной симметрией, в целом асимметрична. Симметричные архитектурные детали собора как бы кружатся в асимметричном беспорядочном танце вокруг центрального шатра.
Храм Василия Блаженного
                                                                  I.2.  СИММЕТРИЯ В МУЗЫКЕ

  СИММЕТРИЯ ТАНЦА
   Приятное звучание в музыке нередко обуславливается симметричностью мелодии. Песни всегда находятся в какой-то тональности.
     На Руси с давних пор сложилась своя система звонов колоколов, колокола звонили по-разному, в каждом случае со своим ритмом, со своей симметрией. Музыка, исполняемая на музыкальных инструментах или воспроизводимая человеческим голосом, также полна симметрии.
«В наслаждении красотою есть элемент наслаждения мышления».
Аристотель
    В русском языке встречаются слова, произношение которых не меняется независимо от направления чтения:
             Шалаш , Казак , Дед , Потоп , и другие.
Так же в русском языке имеют место фразы-перевёртыши:
кинь лед зебре, бобер бездельник
    В русском алфавите встречаются симметричные буквы .
Симметричные по горизонтали:
А, Ж, Л, М, Н, О, П, Т, Ф, Х
по вертикали:
В, Е, З, К, С

   Некоторые поэты в своих стихах тоже стремятся установить симметрию и вначале и в конце стиха часто повторяют слова:

Ночь, улица, фонарь, аптека, Бессмысленный и тусклый свет,Живи ещё хоть четверть века,всё будет так – исхода нет.Умрешь, начнешь опять сначала…И повторится всё как встарь:Ночь, ледяная рябь канала,Аптека, улица, фонарь.
                                                  А.Блок
                                                                    I.3.СИММЕТРИЯ В ЛИТЕРАТУРЕ
Не только истинный поэт, но и истинный математик
одинаково озабочены отбором слов и фраз для
 более точного выражения мысли.
С.Ковалевская

  Художники разных эпох использовали симметричное построение картины. Симметричными были многие древние мозаики. Живописцы эпохи Возрождения часто строили свои композиции по законам симметрии. Такое построение позволяет достигнуть впечатления покоя, величественности, особой торжественности и значимости событий .
В. ВАСНЕЦОВ. Богатыри
РАФАЭЛЬ. Сикстинская мадонна
                               I.4. СИММЕТРИЯ В ЖИВОПИСИ

 «Если от какого-нибудь искусства отнять то, что относится к взвешиванию, измерению и арифметике, как мало останется от этого искусства».
Платон
Ф. ХОДЛЕР. Озеро Тан
                                                                       II.ПРОПОРЦИЯ В ИСКУССТВЕ

«Невозможно, чтобы две вещи совершенным образом соединились без третьей,… это наилучшим образом может выполнить пропорция.»
                                                                       Тимей
   Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому.
            Золотое сечение - гармоничная пропорция

В математике пропорцией называют равенство двух отношений: a : b = c : d. (a*d=b*c)
Золотое деление - деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

Золотой треугольник
Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.
Логарифмическая  спираль
Если соединить вершины получаемых квадратов плавной линией, то получим кривую, которая называется золотой или логарифмической спиралью.
 Логарифмическая спираль  единственная из спиралей не меняет своей формы при увеличении размеров.
II.1. ПРОПОЦИЯ  В АРХИТЕКТУРЕ
   В архитектуре божественная пропорция — это мать-царица. Без нее невозможно ни ваяние скульптуры, ни создание архитектурного проекта.
Статуя Аполлона Бельведерского, издавна почитаемая за образец мужской красоты. Если ее высоту а разделить в отношении золотого сечения (х : а  0,618) и то же самое проделать с каждой частью, то точки деления придутся на анатомически важные пункты: начало шеи, талию, коленную чашечку и т. д. Та же закономерность распространяется на лицо и руки статуи. Много позже было измерено несколько тысяч человеческих тел и обнаружено, что для них отношение длины торса до талии к длине всего тела, т. е. отношение х:а равно 0,615.
Золотое сечение
Статуя Аполлона  Бельведерского
Портрет Моны Лизы.
II.2. ПРОПОРЦИЯ В ЖИВОПИСИ
Посмотрим на картину Рафаэля «Избиение младенцев». Не знаем, рисовал ли Рафаэль золотую спираль, когда задумывал композицию этой картины, но гравер Раймонди эту спираль увидел, когда завершал эскиз Рафаэля. Он еще больше усилил динамизм и драматизм сюжета, добавив новые элементы композиции, подчеркивающие разворот спирали.
	 Золотое сечение находит применение и в живописи. Его называют исключительным, превосходнейшим, замечательнейшим.
Рафаэль «Избиение младенцев».
Композиция Леонардо да Винчи основана на золотых треугольниках, которые являются частями правильного звездчатого пятиугольника.
                                                              II.3. ПРОПОРИЯ В МУЗЫКЕ
“Исчисление пропорций, которое совершается при восприятии музыки, происходит скрытным неосознанным образом”.
Лейбниц
        Большинство выдающихся  музыкальных сочинений можно легко разделить на части или по теме, или по интонационному строю, или по ладовому строю, которые находятся между собой в отношении золотого сечения. Не только большие части этюдов могут делиться по длительности в отношении золотого сечения, но и части этюдов внутри зачастую делятся в таком же отношении. Золотое сечение приводит к впечатлению особой стройности музыкального сочинения.

                                                            II.4.ПРОПОРЦИЯ В ЛИТЕРАТУРЕ
	Многое в структуре поэтических произведений: четкий ритм, закономерное чередование ударных и безударных слогов, упорядоченная размерность стихотворений, их эмоциональная насыщенность делают их обладателями своей музыкальной формы - своей ритмикой и мелодией, в которых проявляются некоторые черты музыкальных произведений, закономерности музыкальной гармонии, а следовательно, и золотая пропорция.

А.С. Пушкина "Сапожник":
Картину раз высматривал сапожникИ в обуви ошибку указал;Взяв тотчас кисть, исправился художник,Вот, подбочась, сапожник продолжал:"Мне кажется, лицо немного криво ...А эта грудь не слишком ли нага?Тут Апеллес прервал нетерпеливо:"Суди, дружок, не выше сапога!"
Для обнаружения золотого сечения в стихах, следует поделить число слогов ли число слов на число  равное 1,618
                       СЕРЕБРЯНОЕ СЕЧЕНИЕ
В математике
целое относится к меньшему   отрезку, как длина окружности к   её диаметру
В литературе
        число строк во всех частях,число строк в первой и последней части

“Если бы логик всегда должен был оставаться логически мыслящей личностью, он бы не стал и не мог бы стать логиком; или если поэт всегда будет только поэтом, без малейшей склонности абстрагировать и рассуждать, никакого следа в поэзии он не оставит”.                                                  Валерии
III. ПЕРИОДИЧНОСТЬ В ИСКУССТВЕ
      По характеру своих творческих возможностей периодичность —  универсальное явление. В искусстве велика и разнообразна роль ритма. Ритм — это упорядоченность, чередование каких-либо элементов, происходящее с определённой последовательностью, частотой.
Веласкес "Сдача Бреды".
музей Гуггенхейма
 «В изучении природы математика делает наибольший вклад, так как она раскрывает упорядоченную связь идей, согласно которым устроена Вселенная».
Прокл
                                       III.1. ПЕРИОДИЧНОСТЬ В АРХИТЕКТУРЕ
	Восприятие архитектурной формы строится на скрытом движении. Элемент повторяемости, сходства облегчает восприятие правильной формы.      Ритм как определенный порядок — закон связи расположенных в пространстве форм и их элементов — дает нам возможность приводить к единству различные элементы архитектурных форм. Ритм появляется "в то время", когда происходит периодическое чередование гомологических элементов, когда пропорция фиксирует в пространстве связь между элементами одного рода.
Площадь Вогезов в Париже.
Стена Авилы.
Палаццо Спада (Рим).
 «Все вокруг меня происходит математическим путем».
Р. Декарт
                                               III.2. ПЕРИОДИЧНОСТЬ В ЖИВОПИСИ
В живописи ритм играет огромную роль. Он не всегда сразу заметен зрителю, но он быстро и сильно действует на него, настраивая на нужный лад. Ритм может быть передан любым из основных элементов живописи: геометрией форм, техникой нанесения красочного слоя, цветом, светом, пространством. Он может нести в картине смысловую нагрузку, служить созданию общего настроения картины, быть одним из средств характеристики человека.
К. П. Брюллов "Последний день Помпеи"
Суриков «Утро стрелецкой казни»
Гой "Расстрел повстанцев "
«Математика приводит в порядок неупорядоченное, выкорчевывает глупости,
дает ясность стилю».
Ж. А. Фабр
                                                                III.3. ПЕРИОДИЧНОСТЬ В МУЗЫКЕ
В музыке понятие периодичности передаёт "текучесть", напевность мелодии. Ритм является одним из основных элементов выразительности мелодии. Одни ритмы характерны, например, для маршей, другие — для колыбельных и т. д.

В течение веков в музыке применялся чисто мелодический строй. В конце IX в. появились элементарные формы звукового наслоения, полифония появляется в XII в. и закладывает основы развития музыки. Контрапункт - техника музыкальной композиции, основанной на наслоении и одновременном развитии двух или более мелодичных линий, гармонично скоординированных между собой. Начиная с XVII в. полифоническая фактура, созданная контрапунктом, уступает место новой концепции - сопровождаемой мелодии. Генерал-бас (сопровождение), "на чьих нотах основываются каждые из аккордов, которые должны поддержать голоса или инструменты", показывает свои выразительные возможности. Так появляется модуляция - движение от одного тона к другому.
 «Красота проявляется, возрастает, изменяется, падает и исчезает вместе с
отношениями».
Д. Дидро
                                                   III.4.ПЕРИОДИЧНОСТЬ В ЛИТЕРАТУРЕ
	Ритм является основой организации стиха. Значительна его роль в создании настроения, выражаемого в поэтическом произведении.
	Возьмём, например, строки из стихотворения А. С. Пушкина "Бесы":
Мчатся тучи, вьются тучи;Невидимкою лунаОсвещает снег летучий;Мутно небо, ночь мутна.
	Данный ритм называется четырёхстопным хореем. Он создаёт энергичный темп речи. В этом стихотворении он усиливает настроение тревоги.

	Теперь сравним с хореем ритм "Песни о вещем Олеге" А. С. Пушкина:
Как ныне сбирается вещий ОлегОтмстить неразумным хозарам:Их села и нивы за буйный набегОбрёк он мечам и пожарам...
	Этот ритм, четырёхстопный амфибрахий, подходит для передачи торжественной повествовательной речи и часто используется поэтами в балладах.

Красота - всюду. Есть она и в науке, и в особенности в её жемчужине – математике. Помните, что наука во главе с математикой откроет перед нами сказочные сокровища красоты.
 А. В. Волошинов

 IV. ПЕРСПЕКТИВА В ИСКУССТВЕ
Центральное проектирование

 Параллельное проектирование

 Ортогональное проектирование
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИЗОБРАЖЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР:
Наибольшую радость телу даёт свет солнца, наибольшую радость духу – ясность математической истины. Вот почему науки о перспективе, в которой созерцание светлой линии – величайшая отрада глаз – соединяется с ясностью математики – величайшей отрадой ума, - должно предпочитать всем остальным человеческим исследованиям и наукам.

Леонардо да Винчи

    Все проблемы перспективы можно пояснить при помощи пяти терминов Математики: точка, линия, угол, поверхность и тело.
Водопад
Бельведер
	Голландский художник Мориц Корнилис Эшер создал уникальные и очаровательные работы, в которых использованы или показаны широкий круг математических идей.
                                 НЕВОЗМОЖНЫЙ МИР М. ЭШЕРА

Балкон
Подъём и спуск
   IV.1. ПЕРСПЕКТИВА В АРХИТЕКТУРЕ
    Люди давно научились отображать всевозможные объекты окружающего их трехмерного мира на двумерную плоскость. При развитии искусства отображения возникало множество вопросов. На эти вопросы призвана была отвечать наука, и прежде всего геометрия.

 Перспектива – это система изображения предметного мира на плоскости в соответствии со зрительным восприятием предметов человеком.
                                                           IV.2. ПЕРСПЕКТИВА В ЖИВОПИСИ

Айвазовский . Девятый вал
Левитан.   Вечерний звон
Левитан . Золотая осень
Шишкин.  Корабельная роща
   Перспектива –  это очень просто. Это чистая геометрия. Но это не значит, что каждый может стать художником. Перспектива – это только геометрическая основа живописи. Но эта основа мертва, до тех пор пока художник не вложит в нее частичку своей души, не сделает ее живописью.

Перспектива – геометрия живописи
Перспектива – «ясно вижу»
                                                                              ЗАКЛЮЧЕНИЕ

  Конечно же, все законы красоты невозможно вместить в несколько формул. Но, изучая математику мы открываем всё новые и новые слагаемые прекрасного, приближаясь к пониманию, а в дальнейшем и к созданию красоты и гармонии.

 А красота многогранна и многолика. Она выражает высшую целесообразность устройства мира, подтверждает универсальность математических закономерностей, которые действуют одинаково эффективно и в произведениях искусства, и научных открытиях.
Красота помогает с радостью воспринимать окружающий мир, а математика даёт возможность осознать явления и упрочить знания о гармонии всего мира.

Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой - красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства.
Бертран Рассел
 Единство науки и искусства – важнейший залог последующего развития культуры!

        Искусство, наука, красота…  эти великие сферы человеческой деятельности, внешне столь разные и далекие друг от друга, тесно переплетены между собой незримыми узами! И разорвать эти узы нельзя, не повредив и тому и другому. Красота является самым крепким связующим звеном между наукой и искусством!
.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИНФОРМАЦИОННЫХ РЕСУРСОВ
http://matemkonst.narod.ru/p9aa1.html
http://www.festival-prezent.ru/?idstucture=909
http://www.rusedu.ru/detail_8012.html
http://www.uchportal.ru/ioad/150-1-0-7984
Математика и искусство” А. В. Волошинов, Москва, “Просвещение”, 2000.
           Эстетика урока математики. Пособие для учителей. И.Г.Зенкевич. Москва
          “Просвещение”, 1981.
6.       “Математическое путешествие в мир гармонии” (устный журнал)
           Е.С.Смирнова, Н.А. Леонидова (Москва). “Школа-Пресс”. Ж. “Математика в
           школе” № 3, 1993.


Презентация на тему: Лента Мёбиуса


Презентация на тему: Легенды о Фалесе


title: Презентация на тему: Лобачевский и его геометрия

text:
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Prezentacii.com


Презентация на тему: Линия


title: Презентация на тему: Линейная функция и ее график

text:
1.
2.
3.
4.
5.
3
4
5
2

1.
3.
2.
1.
2.
3.
3.
2.
1.


title: Презентация на тему: Линейная функция в рисунках

text:
Y
x
x
Y


text:
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level


Презентация на тему: Лобачевский Николай Иванович


title: Презентация на тему: Ломаная

text:
D
D
E
E


title: Презентация на тему: ломаная

text:
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
5


Презентация на тему: лобачевский


title: Презентация на тему: Логарифмическая функция

text:
a>1
0<a<1


title: Презентация на тему: «Ломаная линия»

text:
D
D
E
E


Презентация на тему: Ломаная линия


Презентация на тему: Ломаные и многоугольники 5 класс


Презентация на тему: Логарифм. Основные понятия


title: Презентация на тему: Луч

text:
900igr.net
0
1
2
3
1
2
3


title: Презентация на тему: "Логарифмическая функция"

text:
1
2
3
4
a
b
c
d
x
¼
½
1
2
4
8
y = log2x
-2
-1
0
1
2
3
x
¼
½
1
2
4
8
y = log1/2x
2
1
0
-1
-2
-3
x
y
0
1
2
3
1
2
4
8
- 1
- 2
- 3
 1
1
1) y = log3 x;
2) y =  log2 x;
3) y = log0,2 x;
4) y = log0,5 (2x+5);
5) y = log3 (x+2)
y = lg x
y = 1 - x
y = log1/5 x
y = x - 6
y = log1/3 x
y = x - 4
y = log2 x
1
2
3
4
5
6
7


Презентация на тему: Лобачевский - «Коперник геометрии»


title: Презентация на тему: Луч. Числовой луч

text:
0
1
2
3
1
2
3


Презентация на тему: Ломаная. Выпуклые многоугольники


title: Презентация на тему: Ломаные

text:
0;
2;
5;
9.
0;
2;
5;
9.
0;
2;
5;
9.
0;
2;
5;
9;


Презентация на тему: ЛУЧ И УГОЛ


Презентация на тему: Магическая фигура - треугольник


Презентация на тему: Луч и угол (7 класс)


title: Презентация на тему: Луч прямая отрезок

text:
900igr.net
M
N
R
M
N
C
D
E
F
K
L
D
M
P
R
F
B
A
0
1
5
7
10
M
S
X
H


title: Презентация на тему: Магические квадраты

text:
6
1
8
7
5
3
2
9
4
16
3
2
13
5
10
11
8
9
6
7
12
4
15
14
1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
10
0
9
8
7
6
5
4
3
2
10
0
16
3
2
13
5
10
11
8
9
6
7
12
4
15
14
1
16
3
2
13
5
10
11
8
9
6
7
12
4
15
14
1
16
3
2
13
5
10
11
8
9
6
7
12
4
15
14
1
1
4
13
+
+
+
=
34
16
3
2
13
5
10
11
8
9
6
7
12
4
15
14
1
16
3
2
13
5
10
11
8
9
6
7
12
4
15
14
1
+
+
=
=
=
=
=
=
=
=
+
+
+
+
+
+
15
19
16
3
2
13
5
10
11
8
9
6
7
12
4
15
14
1
15
2
19
6
23
22
14
1
18
10
9
21
13
5
17
16
8
25
12
4
3
20
7
24
11
A
B
C
D
15
2
19
6
23
22
14
1
18
10
9
21
13
5
17
16
8
25
12
4
3
20
7
24
11
=26
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1


title: Презентация на тему: Луч прямая отрезок

text:
M
N
R
M
N
C
D
E
F
K
L
D
M
P
R
F
B
A
0
1
5
7
10
M
S
X
H


title: Презентация на тему: Масштабы ГОСТ 2.302 -68

text:
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level


title: Презентация на тему: Масштаб. Длина окружности и площадь круга

text:
1
?
2
?
3
?
4
?
5
?
6
?
7
?

1
2
3
4
5
6
7


Презентация на тему: Лёгкая геометрия


title: Презентация на тему: Математика

text:
( 1793-1856 )
( 1847-1901 )
( 1707-1783 )
( 1912-1999 )
Internet Explorer

Photoshop

Microsoft Power Point


title: Презентация на тему: Математическая симметрия

text:
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
900igr.net


title: Презентация на тему: Магические квадраты (6 класс)

text:
4
9
2
3
5
7
8
1
6
1
2
3
2
3
1
3
1
2
6
7
2
1
5
9
8
3
4
4
5
14
11
1
15
8
10
16
2
9
7
13
12
3
6


title: Презентация на тему: Магические квадраты (5 класс)

text:
45:3=15
4
9
2
3
5
7
8
1
6
= 15
4+
9+
2
3+
5+
7
= 15
= 15
8+
1+
6
= 15
4+
9+
2+
3+
5+
7+
= 15
= 15
8
1
6
4
9
2
3
5
7
8
1
6
= 15
4+
2+
5+
= 15
8
6
4
9
2
3
5
7
8
1
6
5+
?
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45
5
5
5
5
15
5
2
4
6
8
1
4
+
=
=
=
=
+
=
9
1
8
+
6
+
1
1
=
7
+
+
6
+
2
=
6
+
+
4
9
+
4
+
2
=
+
8
+
+
2
=
+
7
+
+
3
=
8
+
+
3
=
3
7
9
2
7
6
9
5
1
4
3
8
8
1
6
3
5
7
4
9
2
4
9
2
8
5
7
8
1
6
6
1
8
7
5
3
2
9
4
4
3
8
9
5
1
2
7
6
6
7
2
1
5
9
8
3
4
8
3
4
1
5
9
6
7
2
2
9
4
7
5
3
6
1
8
16
3
2
13
5
10
11
8
9
6
7
12
4
15
14
1
16
3
2
5
10
11
9
6
7
16+
3+
2+
5+
10+
11+
8=
12=
9+
6+
7+
4
15
14
13
8
12
1
13=
4+
15+
14+
1=
34
34
34
34
16
3
2
5
10
11
9
6
7
16+
5+
9+
3+
10+
6+
15=
14=
2+
11+
7+
4
15
14
13
8
12
1
4=
13+
8+
12+
1=
34
34
34
34
16
3
2
5
10
11
9
6
7
16+
10+
7+
13+
11+
6+
4=
4
15
14
13
8
12
1
1=
34
34
16
3
2
5
10
11
9
6
7
16+
3+
5+
2+
13+
11+
8=
7=
10+
11+
6+
4
15
14
13
8
12
1
10=
9+
6+
4+
15=
7+
12+
14+
1=
34
34
34
34
34
1
2
3
6
4
8
7
5
14
15
13
16
11
10
12
9
1
2
3
6
4
8
7
5
14
15
13
16
11
10
12
9
1
16
4
13
16
2
3
6
13
8
7
5
14
15
4
1
11
10
12
9
6
7
10
11
16
22
3
9
17
8
17
24
1
8
15
16
14
7
5
23
4
10
11
18
12
6
13
25
19
20
22
3
21
2
9
24
1


title: Презентация на тему: "Масштаб

text:
Maßstab

1:50000                       1:10000

3:1

1:12                1:43                    1:18

                               1:24


title: Презентация на тему: Медиана, биссектриса и высота треугольника

text:
1
2
3

1
2
3

1
2
3


title: Презентация на тему: Математика прямоугольник 2 класс

text:
900igr.net
39
39
42
45
48
51
54
57
60

1
2
6
4
5
3
6 + 6 + 6 =
6 * 3
7 +7 + 7 + 7 =
7 * 4


text:
C
O
E
A
B
D
C
C1
C2
A
A1
A2
B
B1
B2
E
E1
A
B
C
E
A
B
C
E
E
B
M
K
N
P
P
C
O
K
D
E
N
M
2
2
A
F
B
E
P
B
M
K
E
D
A
C
B
K
O
H
M


title: Презентация на тему: Медиана биссектриса и высота треугольника

text:
900igr.net
1
2
3

1
2
3

1
2
3


Презентация на тему: Медиана, биссектриса, высота треугольника


Презентация на тему: Математика площадь круга


title: Презентация на тему: Медиана треугольника

text:
900igr.net
SABG = SACG


Презентация на тему: Медианы, биссектрисы, высоты треугольника


title: Презентация на тему: МАСШТАБ

text:
Масштабработа  ученица  8а  класса  гимназии №505  г. Санкт-Петербурга  Шаниной  Дианы

        Модели  советских автомобилей имели
                              масштаб  1 : 43
Масштаб – величина,  показывающая  во  сколько  раз  расстояния  и  площади  на  плане  и карте  уменьшены  по  сравнению с   реальными   расстояниями  и  площадями  на  местности.
1 : 10 000 – численный
 Это  значит,  что  1 см  на  плане  местности  соответствуют  10 000  см  на  местности
В  1 см -  100м   - именованный

Измерения  на  местности  и  плане.
Назовите  способы  измерения  на  расстояний  на  местности?
Рулеткой
Шагами
На  глаз
По  верстовым  столбам
Спидометр
шагомер

Алгоритм изменения расстояний на плане местности.
Измерь  заданное  расстояние  на  плане  по  линейке.
С   помощью  масштаба  переведи  его  в  реальное  расстояние:  умножь  именованный  масштаб  на  длину  отрезка.

Алгоритм  выражения  реальных  расстояний  в  заданном  масштабе.
Переведи  численный  масштаб  в  именованный так,  чтобы  единицы  заданного  расстояния  совпадали  с  единицами  измерения  именованного  масштаба.
 Раздели  заданное  расстояние  на  именованный  масштаб.  Полученное  число  в  см  покажет  величину  данного  расстояния  в  заданном  масштабе.

Р Е Ш Е Н И Е    З А Д А Ч .
Задача№1
Дано:
S- 4 км
М 1:50 000

Решение:
в  1 см – 0.5 км
 2) 4:0.5= 8 см

Реши  задачи
№2
S - 390 м
М 1: 6000
№3
S - 72 дм
М 1: 18
№4
S - 5 км 400 м
М  1: 45 000

Домашнее  задание.
№5
1 км 120 м
1: 16 000
№6
150км
1: 6 000 000

№7
225 м
1: 1 500
№8
12дм 4 см
1: 10


title: Презентация на тему: Ломаная , многоугольник и его виды

text:
Ломаная , многоугольник и его виды.
Выполнила:
Мирабова Ирина
Ученица 9«И» класса.
Ломаная
Ломаной A1A2... An называется фигура, которая состоит из упорядоченной совокупности точек и отрезков, соединяющих соседние среди них. Точки A1, A2, ... , An называются вершинами, а отрезки A1A2, A2A3, ... , An – 1An – звеньями ломаной. Звенья, имеющие общий конец, назовем смежными, а точки A1 и An – концами ломаной. Ломаная называется простой, если несмежные ее звенья не имеют общих точек. Ломаная называется замкнутой, если ее концы соединены отрезком. Этот отрезок также называется звеном, а концы ломаной считаются соседними вершинами.

На рис.( а) показана простая ломаная, а на рис. (б), (в),(г)– ломаные с самопересечением.
Многоугольник.
МНОГОУГОЛЬНИК (на плоскости), геометрическая фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, звенья которой называются сторонами многоугольника, а их концы - вершинами многоугольника. По числу вершин различают треугольники, четырехугольники и т. д.
выпуклый, невыпуклый многоугольник.
Многоугольник называют выпуклым, если выполнено одно из следующих условий:
а) он лежит по одну сторону от любой из своих сторон (т. е. продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон);
б) он является пересечением (т. е. общей частью) нескольких полуплоскостей;
в) любой отрезок с концами в точках, принадлежащих многоугольнику, целиком ему принадлежит.
2. Фигуру называют выпуклой, если любой отрезок с концами в точках фигуры целиком принадлежит ей.

На рис.1 слева показан пример замкнутой простой ломаной, которая образует невыпуклый многоугольник. Заштрихованная область – плоский многоугольник. Выпуклый многоугольник изображен на том же рисунке справа, [A1A3], [A1A4] – его диагонали.
Количество диагоналей N у многоугольника легко вычислить по формуле:

N = n·(n – 3)/2,

где n — число вершин многоугольника. По этой формуле нетрудно найти, что
у треугольника — 0 диагоналей
у прямоугольника — 2 диагонали
у пятиугольника — 5 диагоналей
у шестиугольника — 9 диагоналей
у восьмиугольника — 20 диагоналей
у 12-угольника — 54 диагонали
у 24-угольника — 252 диагонали

Сумма углов «выпуклого» n-угольника.
Сумма углов выпуклого n-угольника равна (n-2)*180, где n - число углов данного многоугольника.
Сумма внешних углов «выпуклого »многоугольника.
Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В общем случае внешний угол это разность между 180° и внутренним углом, он может принимать значения от -180° до 180°.
Сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.
Формула: 180° *n-180° *(n-2)=360°
Правильные многоугольники
Многоугольник называется правильным, если у него равны все стороны и все углы (см. рис.).
Что бы определить число сторон «правильного» n-уголька нужно воспользоваться формулой.
И вы вести отсюда – n,получится.
a*n=180° *n-360° отсюда следует,
360°=180°n-a°n
ПОДОБИЕ МНОГОУГОЛЬНИКОВ.
Одноимёнными называются многоугольники, имеющие одинаковое  число  сторон   (углов).


title: Презентация на тему: Медиана. Биссектриса. Высота

text:
A
B
C
H
C
A
B
H
A
B
C
K
A
B
C
1)
N
D
C
E
2)
O
S
T
3)
4)
K
M
L
5)
H
F
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
D


title: Презентация на тему: Медианы треугольника. Свойства медиан

text:
Prezented.Ru
SABG = SACG
Prezented.Ru


title: Презентация на тему: Математика 5 класс прямоугольный параллелепипед

text:
900igr.net
D1
D
a
c
V=abc
SABCD=ab
b
D
D1
V=SABCD   c
1000
1000
1000
a
c
V=abc
S=2ab
S=2(ab+ac+bc)
L=4(a+b+c)
L=4a
b
+2bc
+2ac
+4b
+4c
a
V=a3
S=6a2
L=12a
a
a
V-?
3
1
2
4
4
12
36
6
26
2
48
6
13
4
19
54
6
42
3
4
18
52
4
56
7
4
19
54
6
42
3
76
72
9
13
14
8
4
18
52
4
56
7


title: Презентация на тему: Метод координат 9 класс

text:
x
y
O
1
1
x
y
O
1
1
x
y
O
1
1
M (x; y)
X
Y
x
y
O
1
1
M
M1
M2
x
y
O
M (x; 0)
M (0; y)
x
y
O
1
1
1
1
x
y
O
A
B
C
D
1
1
-1
-1
x
y
O
A (1; 1)
B (1; -1)
C (-1; -1)
D (-1; 1)
x
y
O
A (x1; y1)
B (x2; y2)
x1
x2
y1
y2
x
y
O
l1
l2
A
B
C
x
y
O
x
y1
y2
A (x; y1)
B (x; y2)
x
y
O
A (x1; y)
B (x2; y)
x1
x2
x
y
O
C
x0
y0
M (x; y)
x
y
O
R
x
y
O
A
B
M
x
y
O
A
B
C
A1
B1
C0
x
y
O
A
B
C
x
y
O
A
B
C
x
y
O
A (x1; y1)
B (x2; y2)
C (x0; y0)
x1
x2
y1
y2
x0
y0
x
y
O
l
A
B
M
x
y
O
A
B
M
l
x
y
C
A
B


title: Презентация на тему: «Метод координат» 9 класс

text:
5klass.net
x
y
O
1
1
x
y
O
1
1
x
y
O
1
1
M (x; y)
X
Y
x
y
O
1
1
M
M1
M2
x
y
O
M (x; 0)
M (0; y)
x
y
O
1
1
1
1
x
y
O
A
B
C
D
1
1
-1
-1
x
y
O
A (1; 1)
B (1; -1)
C (-1; -1)
D (-1; 1)
x
y
O
A (x1; y1)
B (x2; y2)
x1
x2
y1
y2
x
y
O
l1
l2
A
B
C
x
y
O
x
y1
y2
A (x; y1)
B (x; y2)
x
y
O
A (x1; y)
B (x2; y)
x1
x2
x
y
O
C
x0
y0
M (x; y)
x
y
O
R
x
y
O
A
B
M
x
y
O
A
B
C
A1
B1
C0
x
y
O
A
B
C
x
y
O
A
B
C
x
y
O
A (x1; y1)
B (x2; y2)
C (x0; y0)
x1
x2
y1
y2
x0
y0
x
y
O
l
A
B
M
x
y
O
A
B
M
l
x
y
C
A
B


Презентация на тему: Метод площадей при решении геометрических задач


title: Презентация на тему: Местный разрез особые случаи разрезов

text:
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
?
?


title: Презентация на тему: Метод координат на плоскости

text:
900igr.net
x=
		y=

,
,
,
.


title: Презентация на тему: Линейные функции

text:
ЛИНЕЙНЫе ФУНКЦИи
Цели урока:
   Выяснить зависимость расположения графиков линейных функций от значений k и b.
   Научиться по внешнему виду определять взаимное расположение графиков линейных функций.
у=-х+1
у=х
у=-2х-3
у
х
АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ
Какую функцию называют линейной?
Что является графиком линейной функции?
Сколько нужно отметить точек на плоскости , чтобы построить прямую?
Как построить график линейной функции?
Какую функцию называют прямой пропорциональностью?
Что является графиком прямой пропорциональности?
В каких координатных четвертях  расположен график функции y=k •x при k>0‚k<0?
Как называется k?
Что зависит на графике от k?
Каким может быть взаимное расположение двух прямых на плоскости?

ПРОВЕРКА домашнего задания
Найти координаты точки пересечения графиков линейных функций
у=-4х-1 и у=2х+5
4х-1=2х+5
4х-2х=5+1
2х=6
х=3
у=2·3=6
Ответ: (3, 2)
у=-2х+3  и у=х-6
-2х+3=х-6
-2х-х=-6-3
-3х=-9
х=3
у=3-6=-3
Ответ: (3, -3)
k>0 угол наклона прямой к оси ОХ острый;k<0 угол наклона прямой к оси ОХ тупой;k=0 прямая параллельна оси Ох
b>0 график пересекает ось Оу выше оси Ох;
b<0 график пересекает ось Оу ниже оси Ох;
b=0 график проходит через начало координат (прямая  пропорциональность)
Даны :                         у=к₁х+в₁  и  у=к₂х+в₂
Если:
к₁≠к₂ графики пересекаются
к₁≠к₂, в₁=в₂ графики пересекаются в точке(0,в)
к₁=к₂, в₁≠в₂ графики параллельны
к₁=к₂, в₁=в₂ графики совпадают

Среди функций, заданных формулами у=х+0,5 (1) ; у=-0,5х+4 (2) ; у=5х-1 (3) ;
    у=1+0,5х (4) ; у=2х-5 (5); у=0,5х-2 (6)
    назовите те, графики которых
    а)параллельны графику функции у=0,5х+4
    б)пересекается с графиком функции у=2х+3
    в)совпадает с графиком функции у=4-0,5х
Для функции у=35х-42 составить функцию, график которой:
а)параллелен ему;
б)параллелен ему и проходит через начало координат;
в)пересекается с ним;
г)пересекается с ним в точке (0,-42)

Задания:
 1.Найти координаты точки пересечения графика у=3х+4  с осями координат;
2.График функции у=kх+5 проходит через точку М(-7,12).Найдите k.
3.График функции у=kх+b проходит через точку  А(-3,2) и  параллелен  прямой          у=-4х.Найдите к и в. Напишите получившуюся формулу.
Определить у функции у=kх+b                        знак углового коэффициента k и число b

По внешнему виду определить правильно ли построен график? Ответ прокомментировать.

По внешнему виду определить правильно ли построен график. Ответ прокомментировать.

Составить формулы для функций,изображенных графиков.


title: Презентация на тему: математика прекрасная наука

text:
Математика – прекрасная наука
Или 7 способов полюбить математику
let's see what they say about mathematics its great fans and creators
Again and again repeat the saying of Pythagoras: There is no doubt that the nature around the remains of their kind. This is the case: there are numbers by which the harmony of sounds captivates the ear, the same number of overflows and the eyes and the spirit of wonderful. Easier to find evidence acquired first a concept that we are looking for, rather than seek such evidence without any prior knowledge.					© Archimedes
Mathematics have for love, that she mind in order.
					© Lomonosov
Beauty of mathematics, as well as the beauty of any thing - it is an intrinsic property, she comes from a harmony between the different parts of a whole.
			© Jorge Vagensberg
Nothing is perfect but the truth is one truth is beautiful.
			© Hermann Minkowski
In mathematics, in addition to its possible applications in science, has its own light and wisdom; and the human mind, the trap that mathematics is for itself many rewards. This is not the old doctrine of art for art. It's art for the sake of humanity.
				© J. Van Guth
Mathematics remains the personification of science, a symbol of wisdom, the queen of all sciences. Beauty mathematics among the sciences inaccessible and beauty is one of the links of science and art.
					© Volosinov
A great book of nature is written in mathematical symbols.
					© Galileo


title: Презентация на тему: Метод координат

text:
1
2
1
2
16; 12
   4;9
0; 13
12; 12
13; 16
19; 5
13; 3
20; 15
 18; 0
8; 12
8; 6
1 (2,3),  2 (5,9),  3 (8,11),  4 (10,1), 5 (0;0)
(2 ; 9)
(8 ; 9)
( 2; 3)
(8; 3)
(5 ; 10 )
(0  ; 1)
( 10; 1)
9
9
1
2
1
1
2
7; 7
-10; 1
-8; 1
-8; 4
-9; 5
-7; -7
8; -4
-6; -3
2; 4
6; 2
3;4
2
1
1
2
16; 12
   4;9
12; 12
13; 16
19; 5
20; 15
13; 3
 18; 0
8; 12
8; 6
0; 13


title: Презентация на тему: Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

text:
Медианы, биссектрисы и высоты треугольника
Проверка д/з
AH  a
A a;  H a
AH – перпендикуляр, проведенный из точки А к прямой а.
Н – основание перпендикуляра.
Теорема:
Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой и притом только один.
АМ – медиана АВС, если ВМ=МС, где МВС.
М
AM, BP, NC – медианы  АВС.
AM  BP  NC=О
М
P
Начертите  АВС и начертите его медианы.
M
K
N
DN, EK, FM – биссектрисы DEF.
DN  EK  FM=О
C
B
H1
A
H3
H2
H
L3
L2
L1
MH  NF- высота  MNP
Рабочая тетрадь

№ 105 (б), № 106 (б)
Дом. задание
п. 16-17; № 105
РТ № 61, 62, 64, 65


title: Презентация на тему: Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Свойства равнобедренного треугольника

text:
Медианы, биссектрисы и высоты треугольника.
Свойства равнобедренного треугольника

Медианы треугольника
Медиа́на треуго́льника (лат. mediāna — средняя) ― отрезок внутри треугольника, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны
На рисунке АА₁ , ВВ₁ и СС₁ – медианы.
Свойства медиан
1. Медианы треугольника точкой их пересечения делятся в отношении 2:1 (считая от вершин треугольника).
2. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. (Два треугольника равновелики, если их площади равны.)
3. Три медианы треугольника делят треугольник на шесть равновеликих треугольников

 Биссектриса треугольника
Биссектри́са (от лат. bi- «двойное», и sectio «разрезание») угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла
На рисунке отрезок EG – это биссектриса угла Е
 Свойства биссектрис
Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке

2. Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим к ней сторонам.

Высоты треугольника
Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
В остроугольном треугольнике  все три высоты лежат внутри треугольника.
В тупоугольном треугольнике  две высоты пересекают продолжение сторон и лежат вне треугольника; третья высота пересекает сторону треугольника.

Равнобедренный треугольник — это треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине. Равные стороны называются боковыми, а последняя — основанием.
Свойства равнобедренного треугольника
1 свойство: Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Также равны биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов.
2 свойство: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Задача №1
Дано: в ∆ABC со сторонами АВ=3 см, ВС=3см и АС=2см проведена биссектриса ВН.
Найти: длины отрезков   АН и НС
Ответ : АН=1 см
              НС=1см
Решение:
Т. к. АВ=ВС, то ∆АВС – равнобедренный, следовательно АН – биссектриса, медиана и высота
АН=АС= ½ АС
АН=АС= 2 : 2 = 1

Задача №2
Дано: В ∆ABC углы А и В равны соответственно 45 и 67 градусов.
СН – высота
СК - биссектриса

Найти: угол НСК
Ответ : Угол НСК=11 ˚
А
С
Н
В
Решение:
Угол С равен: 180˚-(45˚+67˚)=68˚
Угол ВК=68˚ : 2 = 34˚
Высота, проведенная из угла С, делит данный треугольник на два прямоугольных треугольника.

К
45
67

Решение:
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник с углом А. Тогда угол при высоте равен 180˚-(90˚+45˚)=45˚
5. Угол НК=45˚-34˚=11 ˚.

Спасибо за внимание!


title: Презентация на тему: Квадратные корни

text:
Вписанная окружность
Определение: окружность называется вписанной в треугольник,
                      если все стороны треугольника касаются окружности.
Если окружность вписана в треугольник,
то треугольник описан около окружности.

A
B
C
D
F
E
M
N
O
K

r
r
r
Теорема. В треугольник можно вписать окружность, и притом только одну.
               Её центр – точка пересечения                  биссектрис треугольника.
Проведём биссектрисы треугольника: АK, ВM, СN. Построим перпендикуляры ОD, OE, OF, которые равны между собой, т.к. равны соответствующие треугольники. Получаем ОD= OE= OF=r.
Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник
1.Строим две биссектрисы треугольника. Точка пересечения-центр вписанной окружности.
2. Строим перпендикуляр на основание из точки пересечения.
3. Этот перпендикуляр является радиусом вписанной окружности.
Строим вписанную окружность.
Задача №1
Построить вписанную окружность в:
1. остроугольный треугольник;
2. тупоугольный треугольник;
3. прямоугольный треугольник.
Самостоятельная работа
Построить вписанную окружность в:
1. остроугольный равнобедренный треугольник;
2. тупоугольный равнобедренный треугольник;
3. прямоугольный равнобедренный треугольник.

Важная формула
Доказать:SABC = p · r
Доказательство:
Эти радиусы являются
высотами треугольников АОВ, ВОС, СОА.
соединим центр окружности с вершинами
треугольника и проведём радиусы
окружности в точки касания.
SABC = SAOB +SBOC + SAOC = ½ AB · r + ½ BC · r + ½ AC · r =
= ½ (AB + BC + AC) · r = p · r.

№689
Окружность, вписанная в четырёхугольник
Определение: окружность называется вписанной
                         в четырёхугольник, если все стороны
                         четырёхугольника касаются её.
Теорема: если в четырёхугольник вписана окружность,
             то суммы противоположных сторон
             четырёхугольника равны ( в любом описанном
             четырёхугольнике суммы противоположных
             сторон равны).
Обратная теорема: если суммы противоположных сторон
                           выпуклого четырёхугольника равны,
                           то в него можно вписать окружность.
АВ + СК = ВС + АК.
( доказательство – в учебнике № 724 )
Реши задачи

№695   698
Задача: в равносторонний треугольник со стороной 4 см
             вписана окружность. Найдите её радиус.
P = ½ ·4 · 3 = ½ · 12 = 6(см) - полупериметр

Решение:
Задача: в прямоугольный треугольник вписана окружность,
            гипотенуза точкой касания делится на отрезки 6 см и 4 см.
           Найдите радиус вписанной окружности.
Решение:
АВ = АМ + ВМ = 6 + 4 = 10(см)
По теореме Пифагора: АС2 + ВС2 = АВ2
,
АС= 6+ r, ВС = 4 + r
(6 + r)2 + (4 + r)2  = 102
Решив квадратное уравнение, получим r = 2 см
Ответ: 2 см
Нужная формула для радиуса окружности,
 вписанной в прямоугольный треугольник

Доказательство:
СКОЕ – квадрат, значит, СК = СЕ = r
По свойству касательных: ВЕ = ВМ = а - r
АК = АМ = b - r
 AB = AM + BM
c = b – r + a - r
2r = a + b - c
r = ½ (a + b – c)
Т. к. Окр.(О;r) вписана в треугольник АВС,
 у которого угол С – прямой, то
АС, ВС, АВ – касательные и
Задача: в ромб, острый угол которого 600, вписана окружность,
            радиус которой равен 2 см. Найти периметр ромба.
Решение:


title: Презентация на тему: Методы построения сечений многогранников

text:
5klass.net
http://lib.world-mobile.net/culture/special/imp/imp-world-r.narod.ru/art/index.html
http://www.im-possible.info/english/art/mey/mey2.html
http://alone.sammit.kiev.ua/moremind/illusion/index.html
http://blogs.nnm.ru/page6/
L

L
K
D
D1
B1
H
D
D1
B1
N
D
D1
B1
N
D
D1
B1
N
R
D
D1
B1
N
R
D
b
D
D1
B1
N
H
K
1
2
D
D
3
4
D
D
D1
B1
5
6
D
D1
B1
D
D1
B1
N
H
7
K
A
B
C
D
K
L
M
N
F
G
O
A
B
C
D
K
L
M
N
F
G
O
H
R
E
S
A
B
C
D
K
L
M
N
F
G
O
H
R
C
B
E
S
A
D
K
L
M
N
F
G
O
G
A1
D
D1
M
N

O
P
1. MN
S
D
N
2
X
Y
M
N
P
M
N
P
M
N
P
M
N
P
M
N
P
M
N
P
P
N
M
N
P
M
N
P
M
M
N
P
M
N
P
M
N
P


title: Презентация на тему: Методы решения геометрических задач ЕГЭ, задание С2 (Расстояние от точки до плоскости)

text:
B
C
D
A
C1
D1
E1
F1
A1
B1
E
F
G
H
B
D
C
A
A1
B1
C1
D1
h
D
C
B
A
A1
B1
D1
M
C1
D
C
B
A
A1
B1
D1
M
C1
B
C
D
A
C1
D1
E1
F1
A1
B1
E
F
O
z
y
x
D
C
B
A
A1
B1
C1
D1
Q
R


Презентация на тему: Математика в природе


title: Презентация на тему: Метод параллельного проектирования. Изображение пространственных фигур на плоскости

text:
B
C
B
C
B
C
A
D
C
B
A
D
C
B
A
B
C
A
B
C
D
E
F
O
F
A
B
C
D
E
K
N
O
N
K
A
B
C
D
E
A
C
D
E
B


title: Презентация на тему: Метод вспомогательной окружности

text: D


title: Презентация на тему: Методы построения сечений

text:
N
N
L
M
N
L
M
X
N
L
M
X
K
N
L
M
K
1)
2)
3)


Презентация на тему: Метод золотого сечения


text:
5klass.net
N
N
L
M
N
L
M
X
N
L
M
X
K
N
L
M
K
1)
2)
3)


Презентация на тему: Мир геометрических фигур


Презентация на тему: Метод координат в задачах С2 Стереометрия


title: Презентация на тему: Методы вычисления площадей фигур

text:
900igr.net

????????????????????????????????


title: Презентация на тему: Мир невозможных фигур

text:
Impossible Puzzle 1.10
Impossible Constructor 1.25


title: Презентация на тему: Межшкольный интеллектуальный конкурс проектов

text:
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level


Презентация на тему: Мир многогранников


title: Презентация на тему: Мир систем координат

text:
Z
 .
1.
2.
3.

.


Презентация на тему: «Многогранник»


title: Презентация на тему: Многогранник 2

text:
900igr.net
30
12
20
30
20
12
12
6
8
12
8
6
6
4
4
30
20 + 12 = 32
30
12 + 20 = 32
12
8 + 6 = 14
12
6 + 8 = 14
6
4 + 4 = 8


Презентация на тему: Мир симметрии и симметрия мира


title: Презентация на тему: Методы решения тригонометрических уравнений

text:
1
Sin x/3 - cos 6x = 2
2

3

4
5
sin3x cos2x = 1
6
7
8
cos3x = sin x
9
10
11
12
2 tg x/2 - cos x = 2

sinx cosx + 6 cos2 x = 5.
A sin2x + B sin2 x = C,        Asin2x + Bcos2 x = C.
 ,    x = y +
.
.
0
2
cos
2
cos
2
sin
4
2
sin
3
2
2
=
+
-
x
x
x
x
1
ctg x
1
tg x
cos x
sin  x
  = 60°
=45°
=30°
-
0
-
0
-
ctg x
0
-
0
-
0
tg x
1
0
-1
0
1
cos x
0
-1
0
1
0
sin  x
   =360°
   =270°
  =180°
 = 90°
0°


Презентация на тему: Многогранник 4


title: Презентация на тему: «Многогранник»

text:
A
B
C
D
K
L
M
N
    J                    B
   I                               P
 R
A
B
C
D
A                                   D
B
C
Z
X
H
Y
M                    N
    K                     T
  A        H                         B
C                  D
S=1/2(AB+CD)CH
S1                      S2                        S3
S1+S2+S3=SABCD
    A                                                                 D
B
C
S=a
2
    A                                       D
B              b
 a
C
S=a  b
.
      S                                 M
K                         H
S=a  h
.
A                                                          C
 B
  V                       R
G
  S                   K
 T
A                                            C
B
S=1/2AB  BH
.
P                               R
W
S=1/2WP  PR
.
 a
2
b
2
c=a+b
2         2
2


title: Презентация на тему: Многогранник 3

text:
900igr.net
20
30
12
3
5
12
30
20
5
3
6
12
8
4
3
8
13
6
3
4
4
6
4
3
3


title: Презентация на тему: Многогранник

text:
M1
M2
M3
Mn
Nn
N1
N2
N3


title: Презентация на тему: Многогранники

text:
||
D
D1
D
A1
B1
D1
a
b
c
b
c
d
d2 = a2 + b2 + c2
H
H1
A
k
F
M
N
P
D
d
H
H
h
H
h
AB = BC = AC = a
A
O
B
C
h
H
S
D
a
H
h
a
a
A
B
D
O
P
C
P
A1
A2
A3
An
B1
B3
Bn
B2
O
O1
H
||
A
C
A1
B1
C1
O1
O
H
K1
K
h
B
a
b
A1
A
B
C
D
B1
C1
D1
O
O1
H
K
K1
h
a
b


Презентация на тему: Многогранники


Презентация на тему: многогранники


title: Презентация на тему: Многогранник 1

text:
324
3
108
270
3
90
300
5
60
240
4
60
180
3
60
k
900igr.net
O

15
9
15
9
6
15
9
15
9
3
1
1
1
1
-


Презентация на тему: Многогранники и кристаллы


title: Презентация на тему: Многогранники

text:
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
B
C
D
B1
C1
D1
B
C
D
B1
C1
D1
B
C
D
B1
C1
D1
B
C
D
B1
C1
D1
B
C
D
B1
C1
D1
B
C
D
B1
C1
D1
B
C
D
B1
C1
D1
B
C
D
B1
C1
D1
B
C
D
B1
C1
D1
B
C
D
B1
C1
D1
B
C
D
B1
C1
D1
B
C
D
B1
C1
D1


title: Презентация на тему: Многогранники

text:
4
6
4
5
8
5
6
9
5
8
12
6
n+1
2n
n+1
(n+1)-2n+(n+1)=2
2n
3n
n+2
2n-3n+(n+2)=2


title: Презентация на тему: Метаморфозы солнечной гипотенузы

text:
Метаморфозы  солнечной гипотенузы
.
 Царникава, Латвия
Часы знаменитого мастера John Rowley в сад Berggarten в Ганновере.
Часы в королевском ботаническом саду Kew Garden в Лондоне.
Часы знаменитого мастера John Rowley в саду Berggarten в Ганновере.
Loch Awe, Западная Шотландия
Coton Manor, Великобритания
Coton Manor, Великобритания
Brookgreen Garden, США
Sсranton (Пенсильвания, США) –
Бероун (Чехия)
Бероун (Чехия)
Пенсильвания, США
Лондон, Holland Park
В.Дмитриев   С- Петербург
В. Дмитриев, Челябинск
В.Дмитриев, крепость Копорье – Ленинградская область
Promenade at Blackrock, Шотландия


title: Презентация на тему: МНОГОГРАННИКИ

text:
Правильные многогранники
Работу выполнил: Никита Вальман
101 группа

Две точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О — середина отрезка АА1. Точка О считается симметричной самой себе.

Симметрия в пространстве
Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему. Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе.

Две точки А и А1 называются симметричными относительно плоскости α, если плоскость α проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка плоскости α считается симметричной самой себе.
Правильный многогранник – это выпуклый многогранник  с максимально возможной симметрией
Понятие правильного многогранника
Из курса планиметрии вы знаете формулу для вычисления суммы внутренних углов выпуклого n-угольника:
Sn =180°(n – 2), где n – число сторон, следовательно внутренний угол правильного многоугольника вычисляется по формуле: =
При n6 120°, но при каждой вершине многогранника должно быть не менее трех плоских углов. Поэтому, если бы существовал правильный многогранник, у которого грани – правильные n-угольники при n6, то сумма плоских углов при каждой вершине была бы не меньше 360°, а это невозможно, так как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 360°.

Докажем, что не существует правильного многогранника, гранями которого являются n-угольники при n6.
Правильный тетраэдр
Правильный октаэдр
Правильный икосаэдр
Правильный додекаэдр
Куб
Тетраэдр
 Центра симметрии тетраэдр не имеет. Правильный тетраэдр имеет 3 оси симметрии и шесть плоскостей симметрии.
Куб
У куба 1 центр симметрии - точка пересечения диагоналей куба. Куб имеет 9 плоскостей симметрии.

Элементы симметрии правильных многогранников
Правильный октаэдр, правильный икосаэдр и правильный додекаэдр
Имеют центр симметрии и несколько осей и плоскостей симметрии

Конец


title: Презентация на тему: Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

text:
«Перпендикуляр к прямой.
Медианы, биссектрисы, высоты
треугольника»
1
7 классгеометрия

Урок № 11

Цели:
Цели урока:
ввести понятие перпендикуляра к прямой,медианы, биссектрисы и высоты треугольника;
доказать теорему о перпендикуляре;
учитьcя строить медианы, биссектрисы и высоты треугольника.

2
3
Вспомним!

                   ∟
4

Проверка
домашнего задания

№ 97, № 98, № 99

а
Н
5

А

Изучение нового материала.
Построение перпендикуляра к прямой
Практическое задание
- Начертите прямую а и отметьте точку А,
- Через точку проведите прямую перпендикулярную прямой а.
- Точку пересечения обозначьте Н.

                                 А

6

       Н

а
7
Теорема о перпендикуляре

Из точки не лежащей на прямой можно провести перпендикуляр к этой прямой и притом один.

      Докажем теорему о существовании перпендикуляра к прямой.
Теорема: Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой и притом один.
Доказательство. Пусть A – точка, не лежащая на данной прямой a (рис. а).
 Докажем сначала, что из точки A можно провести перпендикуляр к прямой a.
 Мысленно перегнем плоскость по прямой a (рис. б) так, чтобы полуплоскость с границей a, содержащая точку A, наложилась на другую полуплоскость.

   При этом точка A наложится на некоторую точку. Обозначим ее буквой B. Разогнем плоскость и проведем через точки A и B прямую.
Пусть H – точка пересечения прямых AB и a (рис. в). При повторном перегибании плоскости по прямой a точка H останется на месте. Поэтому луч HA наложится на луч HB, и, следовательно, угол 1 совместится с углом 2. Таким образом, ∠1 = ∠2. Так как углы 1 и 2 – смежные, то их сумма равна 180°, поэтому каждый из них – прямой. Следовательно, отрезок AH – перпендикуляр к прямой a.
8
Докажем, что из точки A можно провести только один  перпендикуляр к прямой .

Если предположить, что через точку A можно провести еще один  перпендикуляр АН1 к прямой ВС, то получим, что две прямые АН и АН1, перпендикулярные к прямой ВС, пересекаются. Но в п.12 было доказано, что это невозможно (две прямые перпендикулярные к третьей не пересекаются.)

Итак, из точки А можно провести только один перпендикуляр к прямой АВ
Теорема доказана.

9

Н1
10
Медиана.
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, называется медианой треугольника .

                            A
   C

B

M

Медианы в треугольнике
В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке.

Точку пересечения медиан (в физике) принято называть центром тяжести.

11
ЗаданиеНачертите треугольник MNK и постройте его медианы.
12
Биссектриса
Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника  с точкой противоположной стороны называется биссектрисой треугольника,
                            A

13

Биссектрисы в треугольнике
В любом треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке.
Точка пересечения биссектрис треугольника есть центр вписанной в треугольник окружности.

14
15
Задача
Начертите треугольник DEF и постройте его биссектрисы.
Высота
Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону называется  высотой треугольника
16

Задание

C
C1
C2
A
A1
A2
B
B1
B2
E
E1
                    Начертите 3 треугольника –
                   остроугольный, тупоугольный и
                   прямоугольный, постройте высоты.
Высоты в треугольнике
18
        Закрепление изученного материала
1.Решить задачи №105 (б), 106 (б) письменно.
2.Решите задания с самопроверкой
Дано: АО-медиана   АВС, АО =ОК, АВ =6,3 см, ВС=6,5 см, АС =6,7 см. Найдите: СК
           а)6,4 см; б) 6,7 см;   в) 6,5 см;   г) 6,3 см.
Дано: ОН и ОN  - высоты     МОК и    ЕОF,  ОН = ОN , ЕN = 7,8 см,
       ОЕ= 8,6 см, НМ = 6,3 см. Найдите МК.
               а)13, 9 см; б) 14,1 см;   в) 14,9 см;   г) 16,4 см.
В треугольниках АВС и КРМ проведены биссектрисы ВО и РЕ, причем   АВО =   КРЕ. Найдите отрезок ЕМ, если АС =9 см, а EM больше KE на 3,8 см.
                  а)6,4 см; б) 5,4 см;   в) 2,6 см;   г) 4,8 см.

19

20
Ответить на вопросы:

 Какой отрезок называется перпендикуляром к прямой?
 Какой отрезок называется медианой треугольника? Сколько медиан имеет треугольник?
 Какой отрезок называется биссектрисой треугольника?
Сколько биссектрис имеет треугольник?
 Какой отрезок называется высотой треугольника? Сколько высот имеет треугольник?

Домашнее задание

П. 16,17, вопросы 5-9 стр. 50
№ 106 (а), 106 (а) № 61, 63, 63 (из рабочих тетрадей)
21


title: Презентация на тему: Многогранники

text:
Многогранники
Многогранник, точнее трёхмерный многогранник — совокупность конечного числа плоских многоугольников в трёхмерном евклидовом пространстве, такая, что:
каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне);
связность: от любого из многоугольников, составляющих многогранник, можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого, в свою очередь, к смежному с ним, и т. д.
Эти многоугольники называются гранями, их стороны — рёбрами, а их вершины — вершинами многогранника

Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них – пирамиду Хеопса. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233 м и высота которой достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии.
История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства.

Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора. Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма, на языке математики- это правильный невыпуклый или звездчатый пятиугольник. Пентаграмме присваивалось способность защищать человека от злых духов.
Пифагорейцы полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды. Существование пяти правильных многогранников они относили к строению материи и Вселенной. Согласно этому мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных тел:
Вселенная - додекаэдр
Земля - куб
Огонь - тетраэдр
Вода - икосаэдр
Воздух - октаэдр

Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ - идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники стали называться платоновыми телами.
Открытие тринадцати полуправильных выпуклых многогранников приписывается Архимеду, впервые перечислившего их в недошедшей до нас работе. Ссылки на эту работу имеются в трудах математика Паппа.

   Правильные многогранники
Имеется несколько эквивалентных определений правильных многогранников. Одно из них звучит так: многогранник называется правильным, если существуют три концентрические сферы, одна из которых касается всех граней многогранника, другая касается всех его ребер и третья содержит все его вершины. Это определение напоминает одно из возможных определений правильного многоугольника: многоугольник называется правильным, если он вписан в некоторую окружность и описан около другой окружности, причем эти окружности концентричны. Другое определение: правильным многогранником называется такой выпуклый многогранник, все грани которого являются одинаковыми правильными многоугольниками и все двугранные углы попарно равны.
Одно из древнейших упоминаний о правильных многогранниках находится в трактате Платона (427-347 до н. э.) "Тимаус". Поэтому правильные многогранники также называются платоновыми телами (хотя известны они были задолго до Платона).

Существует всего 5 видов правильных многогранников:
Куб (гексаэдр)
Тетраэдр
Октаэдр
Икосаэдр
Додекаэдр

Полуправильные многогранники
Полуправильные многогранники или Архимедовы тела — выпуклые многогранники, обладающие двумя свойствами: 1) Все грани являются правильными многоугольниками двух или более типов (если все грани — правильные многоугольники одного типа, это — правильный многогранник); 2) Для любой пары вершин существует симметрия многогранника (то есть движение переводящее многогранник в себя) переводящая одну вершину в другую. В частности все многогранные углы при вершинах конгруэнтны.
Существует 13 полуправильных многогранников:
Кубооктаэдр
Икосододекаэдр
Усеченный тетраэдр
Усечённый куб
Усечённый октаэдр
Усечённый додекаэдр
Усечённый икосаэдр
Ромбокубооктаэдр
Ромбоусечённый кубоктаэдр
Ромбоикосододекаэдр
Ромбоусечённый икосододекаэдр
Курносый куб
Курносый додекаэдр

  Звездчатые многогранники
Кроме полуправильных многогранников из правильных многогранников - Платоновых тел, можно получить так называемые правильные звездчатые многогранники. Их всего четыре, они называются также телами Кеплера-Пуансо. Кеплер открыл малый додекаэдр, названный им колючим или ежом, и большой додекаэдр. Пуансо открыл два других правильных звездчатых многогранника, двойственных соответственно первым двум: большой звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр.

Многогранники в природе
Правильные многогранники – самые выгодные фигуры, поэтому они широко распространены в природе. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Например, кристаллы поваренной соли имеют форму куба. При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами, монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана. Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра. В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий – вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра. Последний правильный многогранник – икосаэдр передаёт форму кристаллов бора.
     Правильные многогранники встречаются так же и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр.
     Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное защищает себя двенадцатью иглами, выходящими из 12 вершин скелета. Оно больше похоже на звёздчатый многогранник. Из всех многогранников с тем же числом граней икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление толщи воды.
     Икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр.

Многогранники в архитектуре
Использовать многогранники в архитектуре люди стали очень давно, еще до новой эры. И по мере роста строительного мастерства в мире появлялись новые шедевры, основанные на сложных геометрических фигурах. Наша Национальная библиотека — одна из них.

Благодаря своей нетривиальной архитектуре Национальная библиотека попадала в самые различные рейтинги — от самых необычных зданий мира, до — не поверите! — самых уродливых. А все из-за формы книгохранилища — ромбокубооктаэдра.

Повторить в архитектуре сложные многогранники (особенно, архимедовы тела — к которым, в том числе, относится и ромбокубооктаэдр) действительно нелегко. И если случается, то в меньшем масштабе, чем Нацбиблиотека, и усеченной форме.

Ботанический сад «Эдем» в Корнуолле (Великобритания) был построен в 2001 году на месте выработанного мелового карьера, а для конструкций сводов использовались формы шестигранных сот. А это еще один вид многогранников — усеченный икосаэндр. Состоит из 12-ти пятиугольников и 20-ти шестиугольников.

Греческое слово «пентагон» стало нарицательным именем не только для здания министерства обороны США, которое в плане выглядит пятиугольником, но и для самого ведомства.

Современный стеклянный вход в Лувр, который появился во дворе ренессансного дворца 20 лет назад и до сих пор остается спорным новоделом, — это тоже многогранник,пирамида.

Вот так выглядит здание публичной библиотеки в Сиэтле (США).
Подготовила:Громова Валерия10 «Б» класс


title: Презентация на тему: Многогранники и их история появления

text:
Многогранники
Немного из истории…
Нас окружает множество предметов.
 Они отличаются формой, размерами, материалом, из которого изготовлены, окраской, ….
Людей интересуют разные качества этих предметов. Математиков интересуют их форма и размеры.

     Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве, называют стереометрией.

Мячи, которыми вы много раз играли, имеют форму шара, хотя все они разных размеров. Многие небесные тела имеют форму, близкую к форме шара, включая и нашу планету.
  огонь

тетраэдр

икосаэдр

октаэдр

 гексаэдр

вселенная

додекаэдр

вода
земля
воздух

Среди множества разнообразных геометрических тел есть большая группа многогранников.
Рассмотрим простейший многогранник – куб.
Прямоугольный параллелепипед, все ребра которого равны, называется кубом.
Все грани куба - равные квадраты.

а
а
а
а
Понятия
Часть пространства, отделённую от остальной части пространства поверхностью, называется границей этого тела.
Плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тела, называется секущей плоскостью этого тела.
Фигура, которая образуется при пересечении тела с секущей плоскостью, называется сечением тела.
Параллелепипед

А сейчас давайте вспомним его элементы.
Сколько  граней имеет прямоугольный параллелепипед?
1
2
3
4
5
6
Если внимательно посмотреть на это тело, то мы заметим,
что вся поверхность  прямоугольного параллелепипеда состоит из прямоугольников, которые называются его гранями.

Верхняя грань
Нижняя грань (основание)
Задняя грань
Передняя грань
Боковые грани
Рассмотрим грани параллелепипеда
Параллелепипед

ребро
Сколько рёбер имеет прямоугольный параллелепипед?
12
рёбер
Параллелепипед

Сколько вершин имеет прямоугольный параллелепипед?

Вершины
8
вершин
Из каждой вершины прямоугольного параллелепипеда выходят три ребра. Длины этих ребер - длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда, или его измерения.
Свойства параллелепипеда
  Противоположные грани параллелепипеда равны  параллельны
  Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
  Сумма квадратов диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов всех его ребер.
  Боковые грани прямого параллелепипеда – прямоугольники.
  Квадрат  диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

V = a x b x с (произведению трёх его измерений)
S = (ab + bc + ac) * 2 (сумма площадей всех граней)

Площадь поверхности и объём
прямоугольного параллелепипеда
Найти объём и площадь поверхности
прямоугольного параллелепипеда,
если три его измерения:
6 см, 8 см, 4 см.
        Многогранники
Многогранником называется поверхность, составленная из многоугольников, ограничивающих некоторое геометрическое тело. Это тело называют многогранником.
Куб
Составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов.
Тетраэдр
Составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников.
Октаэдр
Составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников.
Элементы многогранника:
- Грани (многоугольники, из которых составлен многогранник)
- Рёбра (стороны граней)
- Вершины (концы рёбер)
- Диагонали (отрезки, соединяющие две вершины, не принадлежащие одной грани)

Многогранники бывают выпуклыми и невыпуклыми

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одно сторону от плоскости каждой своей грани.
Все грани выпуклого многогранника – выпуклые многоугольники.
Закрепление изученного материала
Решение задач: №1184(б,в), №1188
Построение сечения параллелепипеда плоскостью по рисунку учебника (рис. 346 а,б,в)

          Объем бассейна равен 100 м3, а стороны основания 10 м и 5 м. Сколько квадратных метров кафельной плитки ушло на облицовку бассейна?
10 м
5 м
V = 100 м3

110 м2
160 м2
3
1
2
4
ПОДУМАЙ!
ВЕРНО!
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
60 м2
90 м2

         Из кирпичей, длина которых 30 см, ширина 10 см и высота 5 см, сложили куб, ребро которого равно 120 см. Сколько кирпичей на это было затрачено?

30см
5см
10см
120 см

1152
1728
3
1
2
4
ПОДУМАЙ!
ВЕРНО!
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
64
1056
Правила построения сечения
Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.
Отрезки, по которым секущая плоскость пересекает две противоположные грани параллелепипеда, параллельны.
Итоги урока
Объясните, что такое многогранник; что такое грани, рёбра, вершины и диагонали многогранника. Приведите примеры многогранников.
Объясните, что такое параллелепипед; какие многоугольники являются гранями параллелепипеда.
Задание на дом
Изучить материал пунктов 118 – 123
Выполнить построение сечения в тетрадях рис. 346.
Спасибо за урок.