title: Презентация на тему: Теорема о трёх перпендикулярах

text:
Работу выполнила учащаяся 11 класса
Селифонтова Яна
Руководитель Кореневская Н. В.
Теорема
о трёх перпендикулярах
МОУ «СОШ с. Бартеневка Ивантеевского
 района Саратовской области»
2010 г.
Номинация «Математика  в жизни»
5klass.net
ЦЕЛЬ:
Сформировать мышление, характерное
 для математической деятельности и
 необходимое человеку для жизни в
 современном обществе, для общей
 социальной ориентации и решения
практических проблем
Задачи:
изучить историю возникновения
теоремы ;
научиться решать основные
 задачи на применение ТТП;
составить тест для поверки
знаний.
Имеющая большое значение в
 настоящее время, теорема о трех
 перпендикулярах в «Началах» Евклида
 не содержится. Она была доказана
 математиками Ближнего и Среднего
 Востока: ее доказательство имеется в
 «Трактате о полном четырехстороннике»
 Насир ад-Дина ат-Туси и в
тригонометрическом трактате его
 анонимного предшественника.

В Европе эта теорема была
впервые сформулирована Луи
Бертраном (1731—1812) и доказана
 в «Элементах геометрии»
 Лежандра (1794).
           Доказательство Лежандра
воспроизведено в учебнике Киселева.

     Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её  проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

а
А
Н
М
α
Дано:
НМ
а
а Є α
АМ - наклонная
^

Теорема о трёх перпендикулярах

а
А
Н
М
α

     Обратная теорема:
      Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к её проекции.
прямая, …
наклонная
проекция
перпендикуляр
Решение задач

Теорема о трех перпендикулярах

Теорема о трех перпендикулярах
  (задачи на построение)

Теорема о трех перпендикулярах
 (задачи на вычисление)

Свойство точки,  равноудаленной
 от сторон многоугольника.

Тест

   Через вершину D прямоугольника ABCD проведен к его плоскости перпендикуляр DК.
  Докажите, что

A
B
C
D
K

1.1.1
1.2.2
1.3.2
1.4.3

    Отрезок DМ является высотой параллелограмма АВСD. DK— перпендикуляр к плоскости параллелограмма.
    Докажите, что КМ ≤ КX, где Х произвольная точка отрезка АВ.

A
B
C
D
K
M
X

1.1.1
1.2.2
1.3.2
1.4.3

    К плоскости прямоугольной трапеции АВСD проведены равные перпендикуляры АР и DМ.    DАВ=      АВС =90°,  DК    ВС
     Докажите, что прямые РВ и МК параллельны.

A
B
C
D
P
M
K

1.1.1
1.2.2
1.3.2
1.4.3

 К плоскости правильного шестиугольника АВСDЕF проведен перпендикуляр DМ.  Докажите перпендикулярность прямых:
1)АВ и МВ; 2)АF и МF.

1.1.1
1.2.2
1.3.2
1.4.3

B
А
F
E
D
C

М

1200
300

         Отрезок МА перпендикулярен плоскости равнобедренного треугольника АВС. АВ = АС. Проведите через точку М перпендикуляр к прямой ВС.

B
С
А
М

2.1.1
2.2.1
2.3.2
2.4.2
2.5.3

          Отрезок МD перпендикулярен плоскости прямоугольника АВСD. Проведите через точку М перпендикуляры к прямым ВС и АВ

B
А
С
М
D

2.1.1
2.2.1
2.3.2
2.4.2
2.5.3

        Отрезок МА перпендикулярен плоскости ромба АВСD. Проведите через точку М перпендикуляр к прямой ВD.

A
B
C
D
M

2.1.1
2.2.1
2.3.2
2.4.2
2.5.3

        Отрезок МN перпендикулярен плоскости прямоугольного треугольника АВС (точка N лежит на гипотенузе АВ). Проведите через точку М перпендикуляры к прямым АС и ВС.

A
C
B
N
M

2.1.1
2.2.1
2.3.2
2.4.2
2.5.3

       Отрезок МС перпендикулярен плоскости прямоугольной трапеции АВСD. (   В—прямой). Проведите через точку М перпендикуляры к прямым АВ и АD.

B
C
M
D
A

2.1.1
2.2.1
2.3.2
2.4.2
2.5.3

          Через точку О пересечения диагоналей квадрата АВСD проведен к его плоскости перпендикуляр МО длиной 15 см.
         Найдите расстояние от точки М до сторон квадрата, если его сторона равна 16 см.

A
B
C
D
O
M
15 cм
16 cм

P
K
?
?

3.1.1
3.22
3.3.3

       Через точку О пересечения диагоналей ромба к его плоскости проведен перпендикуляр ОК длиной 5 см. Найдите расстояние от точки К до каждой стороны ромба, если диагонали ромба равны 40 см и 30 см.

A
B
C
D
K

5 cм
O
40 cм
30 cм

3.1.1
3.3.2
3.3.3

        Сторона ромба АВСD равна 2а,           = 600. Через сторону СD проведена плоскость       . Прямая АВ удалена от нее на а. Найдите:
1) длины проекций сторон ромба на плоскость     ;
2) расстояние между прямой DС и проекцией прямой АВ на плоскость      .

B
C
D
M
A
600
2 a
a

3.1.1
3.2.2
3.3.3
Точка М одинаково удалена от всех сторон квадрата АВСD. Расстояние от точки М до его плоскости равно 16 cм, АВ =24 см.
Найдите расстояние от точки М:
1) до сторон квадрата;
2) до вершин квадрата.

A
B
C
D
O
M
16 cм
24 cм

P
K
?
?

?

4.1.1
4.2.1
4.3.2
4.4.3

     Точка К удалена от каждой стороны правильного треугольника на 30 см, а от его плоскости — на 18 см.
Найдите:
1) длину радиуса окружности, вписанной в данный треугольник;
2) длину стороны треугольника.

B
С
A
K
N
M
O
18 cм
30 cм

4.1.1
4.2.1
4.3.2
4.4.3

    Точка М удалена от каждой стороны прямоугольного треугольника на 5 см.Его катеты равны 9 см и 12 см.
Найдите расстояние от точки М до плоскости треугольника.

A
B
C
M
О
9 cм
12 cм

4.1.1
4.2.1
4.3.2
4.4.3

Точка М одинаково удалена от всех сторон треугольника АВС, у которого АВ = 6 м, ВС =10 см, АС = 14 см. Расстояние от точки М до плоскости треугольника равно 1 см.
Найдите расстояние от точки М до сторон треугольника.

4.1.1
4.2.1
4.3.2
4.4.3

1 cм
10 cм
В
А
М
О
К
N
P
C
6 cм
14 cм
Тест
2
ВЕРНО!
1
3
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
1
AF         (ABC). ABC равносторонний.   Расстоянием от точки F до прямой ВС является отрезок
FК
FС
FМ

1
ВЕРНО!
2
3
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
2

Тест
FК
FС
FМ
AF         (ABC). ABC прямоугольный,                          . Расстоянием от точки F до прямой ВС является отрезок

2
ВЕРНО!
1
3
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
3
Тест
AF         (ABC). ABC тупоугольный,                       .    Расстоянием от точки F до прямой ВС является отрезок
FМ
FК
FС

ПОДУМАЙ!
3
2
1
ПОДУМАЙ!
ВЕРНО!
4
Тест
Из центра описанной окружности правильного треугольника АВС провели перпендикуляр DO, равный 8 см. Расстояние от точки  D до вершин треугольника АВС равно 10 см. Найдите расстояние от точки D до сторон треугольника

8 см
6 см
1
ВЕРНО!
2
3
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
5
Тест
В треугольнике АВС АС=СВ = 10 см,                 .  ВК  -перпендикуляр к плоскости треугольника и равен                  см. Найдите расстояние от точки К до АС.
15 см

10 см
12см
Дудницын Ю. , Кронгауз В., Геметрия. Карточки с заданиями для 10-го класса. Газета «Математика» приложение к газете «Первое сентября» № 2-6 1993
Учебник: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. «Геометрия 10-11».
http://www.it-n.ru/communities.aspx?cat_no=4262&lib_no=137635&tmpl=lib
Тестовая оболочка из мастерской Е.М. Савченко http://www.it-n.ru/communities.aspx?cat_no=4510&lib_no=130597&tmpl=lib


title: Презентация на тему: Тетраэдр

text:
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Sixth level
Seventh level
Eighth level
Ninth level
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Sixth level
Seventh level
Eighth level
Ninth level
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Sixth level
Seventh level
Eighth level
Ninth level
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Sixth level
Seventh level
Eighth level
Ninth level
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Sixth level
Seventh level
Eighth level
Ninth level
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Sixth level
Seventh level
Eighth level
Ninth level
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D


title: Презентация на тему: Тетраэдр и параллелепипед

text:
900igr.net
D
D1


title: Презентация на тему: ТЕТРАЭДР


Презентация на тему: Тетраэдр


title: Презентация на тему: Тетраэдр

text:
+
S =
+
+
S
S
+
S


title: Презентация на тему: Тетраэдр и Параллелепипед

text:
D
D1


Презентация на тему: Тетраэдр и параллепипед


title: Презентация на тему: Тетраэдр Параллелепипед

text:
D
D1


text:
B
C
D
D1
D
A
B
C
B1
C1
A1
D
B
C
A1
D1
C1
B1


title: Презентация на тему: Теорема о сумме углов треугольника

text:
Сумма углов треугольника.

Тема

14.03.2013г.

Изучить теорему о сумме углов треугольника
Уметь применять теорему к решению задач
Развивать умение решать задачи по готовым чертежам

Цели

Через математические знания, полученные в школе лежит широкая дорога к иным, почти необозримым областям труда и открытий.

                    А.И. Маркушевич
Геомудрия

Земля
Теоремия
Треугольник

Карта пути
Проверка блока памяти
1) Какая фигура называется треугольником?
2) Назовите элементы треугольника.
3) Что такое периметр треугольника?
4) Какие виды треугольников вы знаете?
По типу углов

Тупоугольный
Остроугольный
Прямоугольный

По сторонам

Равносторонний
Равнобедренный
Разносторонний

Проверка блока памяти
5) Какой треугольник называется равнобедренным?

6) Назовите свойства равнобедренного треугольника.
 7)Теоремы об углах образованных двумя параллельными прямыми и секущей.

У
С
П
Е
Х
Подготовка к запуску ракеты завершена.				До запуска ракеты осталось
Пуск
Земля
Теоремия
Треугольник

Добро пожаловать на
Теоремию
Сумма углов треугольника равна 1800.

А
В
С
а
Дано: ∆АВС.

Доказать:
   А+   В+   С=1800

Доказательство:
 ДП :  а II АС

1
3
Счастливого пути
Земля
Теоремия
Треугольник

«Треугольник»
?
700
Тренировочные упражнения
А
В
С
500
600
?
1800 – 500 – 600
700

1800 – 900 – 200
(1800 – 400):2
700
700
1800 – 2*300
300
1200
Тренировочные упражнения
А
В
С
(1800 – 900):2

?
?

1800 :3
Вычислите все неизвестные
углы треугольников

450
?
450
Тренировочные упражнения
А
В
С
450
Вычислите все неизвестные углы треугольников

N
?
?
450

Тренировочные упражнения
А
С
Вычислите все неизвестные углы треугольников
М
В
D
1800 – 800 – 400

400
400

800
800
600
600
Физминутка
Самостоятельная работа

1 уровень:
В треугольнике один из углов равен 54°, второй 32°.Найдите третий угол треугольника.

2 уровень:
В равнобедренном треугольнике  угол заключенный между  боковыми сторонами равен 30°.Найдите  углы при основании равнобедренного треугольника.

3 уровень:
Один из углов равнобедренного треугольника равен 52°.Найдите остальные углы (два случая решения)
Земля
Теоремия
Треугольник

Задачи полета выполнены
Домашнее задание

П.30, стр.89 вопрос 1,
стр. 71 №223(б), 224,226

Спасибо за урок


title: Презентация на тему: Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника

text:
Теорема Пифагора

Пифагор Самосский  — древнегреческий философ, математик и мистик, создатель религиозно -философской школы пифагор - ейцев.
Историю жизни Пифагора трудно отделить от легенд, представляющих его в качестве совершенного мудреца и великого посвящённого во все таинства греков и варваров.

Ещё Геродот называл его «величайшим эллинским мудрецом».
Самые ранние известные источники об учении Пифагора появились лишь 200 лет спустя после его смерти. Сам Пифагор не оставил сочинений, и все сведения о нём и его учении основываются на трудах его последователей, не всегда беспристрастных.
В честь Пифагора назван кратер на Луне.

Учение Пифагора следует разбить на две составляющие части: научный подход к познанию мира и религиозно-мистический образ жизни, проповедуемый Пифагором. Доподлинно неизвестны заслуги Пифагора в первой части, так как ему позднее приписывали всё, созданное последователями в рамках школы пифагореизма. Вторая часть превалирует в учении Пифагора, и именно она осталась в сознании большинства античных авторов.
Монета с изображением Пифагора
В современном мире Пифагор считается великим математиком и космологом древности, однако ранние свидетельства до III в. до н. э. не упоминают о таких его заслугах. Как пишет Ямвлих про пифагорейцев: «У них также был замечательный обычай приписывать всё Пифагору и нисколько не присваивать себе славы первооткрывателей, кроме, может быть, нескольких случаев.»

Античные авторы нашей эры отдают Пифагору авторство известной теоремы: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равняется сумме квадратов катетов. Такое мнение основывается на сведениях Аполлодора - исчислителя (личность не идентифицирована) и на стихотворных строках (источник стихов не известен):
«В день, когда Пифагор открыл свой чертёж знаменитый,Славную он за него жертву быками воздвиг.»

Изначально теорема была сформулирована следующим образом:

 или:

Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника.

  Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим её основание через H. Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC. Введя обозначения:

Получаем:

Что эквивалентно

Сложив, получаем

или

, что и требовалось доказать

Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора. Пожалуй, даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о “пифагоровых штанах” — квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах. Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: это простота — красота — значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна.

Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций.


text:
Теорема Пифагора
Презентацию сделала ученица 8 «а» класса Калашникова Анастасия
5klass.net

Пифагор Самосский  — древнегреческий философ, математик и мистик, создатель религиозно -философской школы пифагор - ейцев.
Историю жизни Пифагора трудно отделить от легенд, представляющих его в качестве совершенного мудреца и великого посвящённого во все таинства греков и варваров.

Ещё Геродот называл его «величайшим эллинским мудрецом».
Самые ранние известные источники об учении Пифагора появились лишь 200 лет спустя после его смерти. Сам Пифагор не оставил сочинений, и все сведения о нём и его учении основываются на трудах его последователей, не всегда беспристрастных.
В честь Пифагора назван кратер на Луне.

Учение Пифагора следует разбить на две составляющие части: научный подход к познанию мира и религиозно-мистический образ жизни, проповедуемый Пифагором. Доподлинно неизвестны заслуги Пифагора в первой части, так как ему позднее приписывали всё, созданное последователями в рамках школы пифагореизма. Вторая часть превалирует в учении Пифагора, и именно она осталась в сознании большинства античных авторов.
Монета с изображением Пифагора
В современном мире Пифагор считается великим математиком и космологом древности, однако ранние свидетельства до III в. до н. э. не упоминают о таких его заслугах. Как пишет Ямвлих про пифагорейцев: «У них также был замечательный обычай приписывать всё Пифагору и нисколько не присваивать себе славы первооткрывателей, кроме, может быть, нескольких случаев.»

Античные авторы нашей эры отдают Пифагору авторство известной теоремы: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равняется сумме квадратов катетов. Такое мнение основывается на сведениях Аполлодора - исчислителя (личность не идентифицирована) и на стихотворных строках (источник стихов не известен):
«В день, когда Пифагор открыл свой чертёж знаменитый,Славную он за него жертву быками воздвиг.»

Изначально теорема была сформулирована следующим образом:

 или:

Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника.

  Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим её основание через H. Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC. Введя обозначения:

Получаем:

Что эквивалентно

Сложив, получаем

или

, что и требовалось доказать

Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора. Пожалуй, даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о “пифагоровых штанах” — квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах. Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: это простота — красота — значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна.

Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций.
ссылки
http://xreferat.ru/54/2139-1-teorema-pifagora.html
http://ru.wikipedia.org/wiki/%CF%E8%F4%E0%E3%EE%F0
http://images.yandex.ru/
http://ru.wikipedia.org/wiki/


title: Презентация на тему: Теорема Пифагора: числа и история

text:
«Теорема Пифагора»
Выполнила: Кулясова Ангелина
Проверила: учительгеометрии Светлана Петровна

(ок. 580 – ок. 500 г. до н.э.)
Пифагор Самосский
О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г. до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским.
Родился Пифагор в семье резчика по камню, который сыскал скорее славу, чем богатство. Ещё в детстве он проявлял незаурядные способности, и когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове.
Пифагор перебрался в город Милеет и стал учеником Фалеса, которому в то время шёл восьмой десяток. Мудрый учёный посоветовал юноше отправиться в Египет. Когда Пифагор постиг науку египетских жрецов, то засобирался домой, чтобы там создать свою школу.
Он поселился в одной из греческих колоний Южной Италии  в городе Кротоне. Там Пифагор организовал тайный союз молодёжи из представителей аристократии. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Пифагорейцы, как их позднее стали называть, занимались математикой, философией, естественными науками. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось учителю.

ПИФАГОР САМОССКИЙ
(ок. 580 – ок. 500 г. до н.э.)
     c2 = a2 + b2
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.

a
b
a
a
a
b
b
b

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Обозначим площадь квадрата S.
Достроим прямоугольный треугольник до квадрата.
с
1
2
1
1
1
2
2
2
M
N
P
K
Квадрат состоит из четырехугольника MNPK и четырех равных треугольников.
Треугольники равны по двум катетам.
А так как                           (сумма острых углов прямоугольного треугольника), то MNPK – квадрат.
Гипотенузы треугольников равны, поэтому MNPK – ромб.
Тогда его площадь равна с2.
Площадь каждого треугольника равна         .
Поэтому
Или
Откуда
Формулировка
Другими словами, площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

=

+

Формулировка обратной теоремы
Теорема, обратная к теореме Пифагора, также справедлива. Она позволяет проверить, является ли тот или иной треугольник прямоугольным. Этим пользовались землемеры и строители Древнего Египта: они размечали прямые углы с помощью веревки, разделенной узлами на 12 равных кусков.
Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 называется «египетским», а тройки (a, b, c) натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению c2 = a2 + b2, т. е. служащие длинами сторон прямоугольных треугольников, Пифагоровыми.
       Доказательства
На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.
Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них: доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства (например с помощью дифференциальных уравнений).
Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы (для треугольника АВС квадрат, построенный на гипотенузе АС содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах – по 2 треугольника) Теорема доказана.
Из подобия треугольников ACD и CAB следует:
Из подобия треугольников ABC и DCB следует:
Сложив почленно равенства, получим:
Доказательство, основанное на теории подобия
Доказательство Анариция,основанное на том, что равносоставленные фигуры равновелики
Чертеж к доказательству Анариция
Если на гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника построить соответствующие квадраты, то квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах.
Доказательство основывается на том, что равносоставленные фигуры равновелики: квадраты, построенные на катетах и гипотенузе, разбиваются на многоугольники так, что каждому многоугольнику из состава квадрата на гипотенузе соответствует равный многоугольник одного из квадратов на катетах.
Достаточно посмотреть на чертеж, чтобы понять все доказательство (см. рис.).
Это доказательство дал багдадский математик и астроном X в. ан-Найризий (латинизированное имя – Анариций).
Оригинальное доказательство
Доказательство Темпельгофа

Доказательство Хоукинсa
Доказательство индийского математика Бхаскари
Доказательство Евклида
Если на гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника построить соответствующие квадраты, то квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах.

Геометрическое доказательство Евклида
Историческая справка
Пожалуй, это самая популярная теорема геометрии, сделавшая Пифагора наиболее знаменитым математиком. Однако, само утверждение было открыто задолго до него, но в современной истории науки считается, что Пифагор дал ему первое логически стройное доказательство.
Теорема Пифагора заслужила место в «Книге рекордов Гиннесса» как получившая наибольшее число доказательств. Американский автор Э. Лумис в книге «Пифагорово предложение», вышедшей в 1940 г., собрал 370 разных доказательств! Однако принципиально различных идей в этих доказательствах используется не так уж много.

Пифагорова головоломка
Из семи частей квадрата составить снова квадрат, прямоугольник, равнобедренный треугольник, трапецию. Квадрат разрезается так: E, F, K, L – середины сторон квадрата, О – центр квадрата,
ОМ ḻ EF, NF ḻ EF.

        Итак,
	Если дан нам треугольник
	И притом с прямым углом,
	То квадрат гипотенузы
	Мы всегда легко найдём:
	Катеты в квадрат возводим,
	Сумму степеней находим –
	И таким простым путём
	К результату мы придём.
        Ч.т.д.
Самое ценное в математике - это возможность быстрого приложения теории к практике


title: Презентация на тему: Теорема Пифагора и площадь многоугольников

text:
Теорема Пифагора и площадь многоугольников

Найти большое основание  трапеции
А
В
С
D
М
Н
20
12
13
7
Большое основание  трапеции
А
В
С
D
М
Н
20
12
13
Большое основание  трапеции
А
С
D
Н
20
12
13
HD2=CD2-CH2
HD2=169-144
HD2=25
HD=5
5
Большое основание  трапеции
А
С
D
Н
20
12
13
5
AH2=AC2-CH2
AH2=400-144
AH2=256
AH=16
Большое основание  трапеции
А
С
D
Н
20
12
13
5
16
AD = AH + HD = 16 + 5 = 21

21
А
В
С
D
М
Н
20
12
13
Площадь треугольника АСD
5
16
7
SACD = AD · CH = 21 · 12 : 2 = 126
                 2

21
126
А
В
С
D
М
Н
20
12
13
Площадь  АВСМ
5
16
7
SAВCМ = AD · CH = 7 · 12  = 84
АВ ǁ МС, значит четырехугольник АВСМ - параллелограмм.
ВС = АМ = 7
Н
12

21
126
84
А
В
С
D
М
Н
20
12
13
Площадь  АВСН
5
16
7
SAВCН = ВС + АН · CH = 7 + 16 · 12  = 126
                   2                       2

21
126
84
126
(7 + 16) : 2 · 12  = 138
Площадь  АВСН
Задание 2

Найти периметр параллелограмма
P = 2 (AB + AD)
AD  = AH + HD = 6 + 9 = 15
S = BH · AD
BH   = 120 : 15 = 8
AB2  = 62 + 82 = 100
AB   = 10
P   = (10 + 15) · 2 = 50
А
В
С
D
Н
6
9
S = 120

?
?
15
8
10
Задание 3

17
30
17
Находим по формуле Герона
р = а +  b + c =  (17 + 17 + 30) : 2 = 32
             2

Ответ: 120
Найти площадь треугольника
Задание 4
Найти АС и AD
AB = BC
ВС = 16 + 4 = 20
ВС =  АВ = 20
В треугольнике АВD
AD2 = AB2 - BD2
AD2 = 400 – 256 = 144
AD = 12
В треугольнике ACD
AC2 = DC2 + AD2
AC2 = 16 + 144 = 160
AC = 4√10
                                           Ответ: 4√10 и 12

16
4
?
?
Задание 5
6
х
Х:2
Найти катет
6
Х:2
х
Катет – х
Гипотенуза – 2х

(2х)2 = х2 + 62
4х2 – х2 = 36
3х2 = 36
х2 = 12
х = 2√3
Ответ: 2√3
Задание 6
Найти МК
АВСD – ромб, АВ=ВС=СD=DA
АО = ОС = 32 : 2 = 16
ВО = DO = 24 : 2 = 12
AB2 = BO2 + AO2
AB2 = 144 + 256 = 400
AB = 20
ВО=OD, ̷̷ BOK = ̷ MOD, значит ΔВОК = Δ MOD
Из этого следует, что MO = OK и МК = 2·ОК
В треугольнике ВОС отрезок ОК перпендикуляр, значит ОК = ВО · ОС : ВС = 12 · 16 : 20 = 9,6
МК = 9,6 · 2 = 19,2
Задание 7
Найти АМ  и  АВ
ОВ=12+3=15
ОВ = ОD = АО = ОС = 15
В треугольнике АМО
АМ2 = АО2 - ОМ2
АМ2 = 225 – 144 = 81
АМ = 9
В треугольнике АМВ
АВ2 = АМ2 + ВМ2
АВ2 = 81 + 9 = 90
АВ = 3√10
ОТВЕТ: 9  и 3√10

15
15
Для самостоятельного решения


title: Презентация на тему: Теоремы Чевы и Менелая

text:
Теоремы    Чевы   и   Менелая
Подготовила
Ученица 8 класса «Б»
Шебанкова Марина
5klass.net
Биография  ученого
    Чева (Джованни) — итальянский
    математик. Умер в 1734 г. Главными  предметами его занятий были   геометрия и механика. Он написал много сочинений. Самым замечательным из них было первое "De lineis rectis se invicem secantibus statica constructio" (Милан, 1678); . В первой его части автор доказывает теорему Менелая и ряд сходных с нею теорем при помощи статического метода, основанного на свойствах центра тяжести системы точек.
  Теорема Чевы
Если на сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС взяты соответственно точки С1, А1 и В1, то отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

                                                   (1)

Пусть отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О. Докажем,что
По теореме о пропорциональных отрезках в треугольнике имеем:

                                           И
Левые части этих равенств одинаковы, значит, равны и правые части. Приравнивая их, получаем

     Разделив обе части на правую часть,приходим к равенству (1)
О
Доказательство.1.
УТВЕРЖДЕНИЕ ОБРАТНОЕ ТЕОРЕМЕ.
      Пусть для точек А1, В1, С1, взятых на
      соответствующих сторонах треугольника ABC,
      Выполняется равенство(1).Докажем, что отрезки АА1,BB1,СС1 пересекаются в одной точке. Обозначим точку пересечения отрезков АА1 и ВВ1 через О и проведем прямую СО. Она пересекает сторону АВ в точке С2. Т.к. отрезки АА1,ВВ1 и СС2 пересекаются в одной точке, то на основании доказанного в первом пункте
                                                         (2)

     Итак, имеют место равенства (1) и (2)
      Сопоставляя их, приходим к равенству                     ,которое показывает, что точки С1 и С2 совпадают, и, значит, отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О. Теорема доказана.

О
Биография ученого
Менелай Александрийский (Menélaos), древнегреческий астроном и математик (1 в.). Автор работ по сферической тригонометрии: 6 книг о вычислении хорд и 3 книги «Сферики» (сохранились в арабском переводе). Тригонометрия у Менелая отделена от геометрии и астрономии. Арабские авторы упоминают также о книге Менелая по гидростатике.

Теорема Менелая

Если на сторонах АВ, ВС и
продолжении АС треугольника АВС
соответственно взяты точки С1, А1 и
В1, то эти точки лежат на одной прямой
тогда и только тогда, когда

                                                                 (3)

А1
С1
В1
В
С
А
Доказательство.1.
   Пусть точки А1, В1 и С1 лежат на
    одной прямой. Докажем, что
    Проведем прямые AD,BM и CN параллельно прямой В1А1. Согласно обобщению теоремы Фалеса имеем:

                          и
    Перемножая левые и правые части этих равенств, получаем:

                                             ,   откуда

D
M
N
А1
С1
В1
В
С
А
УТВЕРЖДЕНИЕ ОБРАТНОЕ ТЕОРЕМЕ.
Пусть точка В1 взята на продолжении стороны АС, а точки С1 и А1-на сторонах АВ и ВС, причем так, что выполнено равенство                           .
   Докажем, что точки А1, В1 и С1 лежат на одной прямой.
А
В
С
А1
С1
В1
Доказательство.
    Прямая В1С1 пересекает сторону  ВС в некоторой точке А2.Т.к точки В1,С1 и А2 лежат на одной прямой, то по теореме Менелая                              (4)
    Сопоставляя (3) и (4),приходим к равенству               ,которое показывает, что точки А1 и А2 делят сторону ВС в одном и том же отношении.Следовательно, точки А1 и А2 совпадают, и, значит, точки А1, В1 и С1 лежат на одной прямой.

А
В
С
А2
С1
В1
 Задача.1
Дано: точка К делит сторону АВ равнобедренного треугольника АВС (АВ=АС) в отношении 2:1. Точка Р лежит на продолжении АС за точку С, и АВ=СР.
Найти: в каком отношении делит прямая РК сторону ВС.

А
К
В
Х
Р
С
 Решение.

По условию

               и

Используя теорему Менелая, мы находим

А
К
В
Х
Р
С
Задача 2.
На медиане BD треугольника ABC отмечена точка М так, что ВМ:MD=m:n. Прямая АМ пересекает сторону ВС в точке К. найдите отношение ВК:КС.
А
В
С
M
D

К
Решение.
По теореме Менелая:

ВМ-медиана, значит

А
В
С
M
D

К
Задача 3.
Через середину М стороны ВС треугольника АВС, в котором АВ≠АС, проведена прямая, параллельная биссектрисе угла А и пересекающая прямые АВ и АС соответственно в точках D и Е. Докажите, что BD=СЕ
А
В
С
M
D

N

Е
Решение .
По теореме Менелая следует, что

Т.к. точка М середина стороны ВС, следовательно

            .Значит              .
АЕ=DA,следовательно ЕС=BD.

А
В
С
M
D

N

Е


title: Презентация на тему: Теоремы о параллельности плоскостей и прямых

text:
Урок по теме:           «Параллельность прямых и плоскостей в     пространстве.
900igr.net
    Аксиомы группы С.
Какова бы ни была плоскость, существуют точки,  принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

А
К
D
B
С

       Аксиомы группы С.
Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

С
с
   Аксиомы группы С.
Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

a
b
С

Через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и притом только одну.



М

Следствия из аксиом
Т1
Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит плоскости



А
В

Следствия из аксиом
Через 3 точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.



М

А
В

Следствия из аксиом
Через две ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ прямые проходит плоскость, и притом только одна.

к
Следствие из Т1

Вывод
Как в пространстве можно однозначно задать плоскость?
1.  По трем точкам
2. По прямой и не принадлежащей ей точке.
3. По двум пересекающимся прямым.
4. По двум параллельным прямым.
Сколько существует способов задания плоскости?
Сколько плоскостей можно провести через выделенные элементы?

а)
б)
в)
г)
д)
е)
Ответьте на вопросы
Нет
Да
Нет
Да
Нет
Да
Определите: верно, ли утверждение?

Дано: АВСD-параллелограмм
А, В, С  α
Доказать: D  α

А
В
С
D
•
•
•

•
Доказательство:
А, В  АВ, С,D  СD,
АВ  СD
(по определению параллелограмма) 
АВ, СD  α 
D  α

пересекаются
параллельны

а
а
а
b
b
b
скрещиваются
Лежат в одной плоскости
Не лежат в одной плоскости
Взаимное расположение прямых в пространстве.

Доказательство:

а
с
в1
в
β
α

В
1 случай.  а, в, с α  рассмотрен в планиметрии
2 случай.   а, в  α;  а, с  β

1. Возьмем т.В, В  в
Через т.В и с  проведем плоскость 
   α = в1

2. Если в1   β = Х,  Х  а, в1  α,
но Х  с, т.к. в1   ,     а т.к. а с  в1   β

3. в1  α, в1  а  в1  а     в1 = в (А параллельных прямых)

4.  в с
Теорема доказана.
•
Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны

Теорема о параллельных прямых.

К
a

b
Дано:  К  a
Доказать:
 ! b: К  b, b  a
Доказательство:
1.Проведем через прямую a и точку К плоскость α.
2.Проведем через т. К α прямую b, b a.(А планиметрии)
Единственность (от противного)
1.Пусть  b1: К  b1 , b1 a .Через  прямые a и b1 можно провести плоскость α1.
2. a , К  α1;  α1 и α (Т о точке и прямой в пространстве).
3.  b = b1 (А параллельных прямых). Теорема доказана.
Задание 1   Вставьте пропущенные слова

Единственную плоскость можно задать через три точки, при этом они                        на одной прямой.
2) Если          точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости.
3) Две различные плоскости могут иметь только одну общую
4) Прямые являются                                 в пространстве, если они не пересекаются и                    в одной плоскости.
5) Если прямая a  лежит в плоскости α, прямая b не лежит в плоскости α, но пересекает ее в точке
     В
 α, то прямые а и b
не лежат
две
прямую
параллельными
лежат
скрещивающиеся
Задание 2  Определите: верно, ли утверждение?
Нет
Нет
Да
Да
Нет
Задание 2  Определите: верно, ли утверждение?
Нет
Нет
Нет
Да
Задание 3
Дано: ВС=АС,
СС1 АА1,
АА1=22 см
Найти:  СС1
Решение:
АА1СС1,

АС = ВС

 С1– середина А1В
(по т.Фалеса) 

С С1- средняя линия  ∆АА1В 
С С1= 0,5АА1 = 11 см
Ответ: 11см.

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

Если прямая, не лежащая в данной плоскости,
параллельна какой-нибудь прямой,
лежащей в этой плоскости , то
она параллельна и самой плоскости.
Дано:
Доказать:

1.Через прямые a и  b проведем плоскость α

Пусть                  ,                  ,
 α
2. α  β =  b
Если a  β = Х, то Х  b, это невозможно, т.к. α   b
 a  β

 a    β
Теорема доказана.
Дано: а  α
а  β; β ∩ α = в
Доказать: а  в

Доказательство:
 а, в   β
Пусть в ∩ а, тогда а ∩ α,
что противоречит условию.
Значит в   а

Задание 2

 α
 β

а

в

A
В
С
Плоскость проходит через сторону АС   АВС. Точки D и E  - середины отрезков АВ и BC соответственно. Докажите, что DE  α

Доказательство:
1. Точки D и E  - середины отрезков АВ и BC соответственно 
2. DE – средняя линия (по определению) 
DE АС (по свойству)
 DE  α ( по признаку параллельности прямой и плоскости)

Расположение плоскостей в пространстве.
α   β
α и  β  совпадают
α  β
Признак параллельности двух плоскостей.
Если две пересекающиеся прямые одной
 плоскости соответственно параллельны двум
 пересекающимся прямым другой плоскости, то эти
 плоскости параллельны.
Дано: а b = M, a , b .
a₁ b₁, a₁ , b₁ . a  a₁, b  b₁.
Доказать:  



а
а₁
b
b₁
M

c
Доказательство:
                              Тогда а  , а  ,    = с, значит а  с.
2. b  , b  ,    = с, значит b  с.
3. Имеем, что через точку  М проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, чего  быть на может.
Значит     .
1. Пусть    = с.
Теорема
Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, причём единственную.
β
а1
•
А
α
плоскость α,
в1
в
а
Доказать:
Доказательство.
Дано:
 точка А вне плоскости α.
существует плоскость β║α, проходящая через точку А
1. В плоскости α проведём прямые а∩в.
Через точку А проведём
а1║а
и в1║в.
По признаку параллельности плоскостей  прямые а1 и в1 задают плоскость β║α.
Существование плоскости β доказано.
β
•
А
α
Докажем единственность плоскости β методом от противного.
•
С
•
В
в
с
β1

Допустим, что существует плоскость β1, которая проходит через т. А и β1  α.
Отметим в плоскости β1 т. С β.
Отметим произвольную т. В  α.
Через точки А, В и С проведем γ.
γ ∩ α = в,
γ ∩ β1 = с.
γ ∩ β = а,
а
а и с не пересекают плоскость α,
значит они не пересекают прямую  в,
 а  в и с   в
Получили, что через т. А проходят две прямые, параллельные прямой в, чего быть не может.
 наше предположение ложное.
Единственность β доказана.

Если две параллельные плоскости
пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.
Свойство параллельных плоскостей.
Дано:
 α   β,  α    = a
 β    = b
Доказать:  a   b
Доказательство:
1.    a  , b  
2. Пусть  a   b,
тогда  a   b = М
3.   M  α, M  β
 α   β = с (А2)
Получили противоречие с условием.
Значит  a   b     ч. т.д.

Отрезки параллельных прямых,
заключенные между параллельными
                    плоскостями,  равны.
Свойство параллельных плоскостей.
Доказать: АВ = СD
Дано:
 α   β, АВ СD
АВ  α = А, АВ  β = В,
СD  α = С, СD  β = D
Доказательство:
1. Через АВ СD проведем  
2. α β, α   = a, β   = b
3.  АС В D,
4. АВ СD (как отрезки парал. прямых)
5.  АВСД – параллелограмм (по опр.)
  АВ = СD ( по свойству параллелограмма)
Определите: верно, ли утверждение?
1. если плоскости не пересекаются, то они параллельны.
2. плоскости параллельны, если прямая лежащая в
    одной плоскости, параллельна другой плоскости?
3. если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны двум прямым другой плоскости,
    то эти плоскости параллельны?
4. если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она
     перпендикулярна и другой плоскости.
5. прямые, по которым две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, параллельны.
6. Если прямая пересекает одну из двух плоскостей, то
    она пересекает и другую.
7. Две плоскости, параллельные третьей, параллельны.
8. Отрезки прямых, заключенные между
    параллельными плоскостями, равны.

ДА
НЕТ
ДА
НЕТ
ДА
НЕТ
НЕТ
ДА

  Через данную точку А провести плоскость, параллельную данной плоскости α, не проходящей через точку.
α

β

А
Решение.
1. В плоскости α возьмем т. В.
2. Проведем прямые ВС и ВD.
В
•
С1
D1
D
С
3. Построим вспомогательную плоскость через точку А и прямую ВD, в ней проведем прямую АD1 ВD.

4. Аналогично построим вспомогательную плоскость через точку А и прямую ВС, в ней проведем прямую АС1 ВС.
•
5. Через прямые АD1 и АС1 проведем плоскость β

Задача 2.  Доказать, что через каждую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость так, чтобы эти плоскости были параллельны.
а
в
Пусть а скрещивается с в.
Доказательство:
На прямой в  возьмем т. А,
А
через  прямую а и т. А проведем плоскость,
в этой плоскости через т. А проведем прямую в1 , в1  в.
Через в1  в проведем плоскость α.

.
 в1
Аналогично строим плоскость β.

По признаку параллельности плоскостей α  β.

.


Презентация на тему: Точка, прямая, отрезок, луч и угол


title: Презентация на тему: Тетраэдр, виды сечений и решение задач по тетраэдру

text:
D
B
C
A
A
C
B
D
M
N
PM   NQ.
S
B
C
N
A
P
Q
M


title: Презентация на тему: Точка, прямая, отрезок

text:
5klass.net
										.B							.							  D				 .					 .	C		A				.F
										.C							.							  B				 .					 .	A		D


title: Презентация на тему: Типичные задачи по геометрии

text:
S
F
E
  D
1
S
F
E
  D
2
a
D
D
M
O
E
F
M
D
O
E
F
D
N
K
b
c


title: Презентация на тему: Тетраэдр параллелепипед

text:
A
   D
C
N
S
D
H
N
D
,
 /
S
S
D
D
D
D1
A1
B1
D
D1
A1
B1
,
,
D
D1
B1
D
D1
A1
B1
D
D1
A1
B1
D
B1
D1
N
M
R
D
B1
D1
F
E
D
B1
D1
F
R
D
B1
D1
F
E
D
B1
D1
F
D
B1
D1
F
D
N
M
E
F
D
N
M
D
N
M
D
N
D
N
D
D
N
S
F
D
N
S
F
K


title: Презентация на тему: Трапеция

text:
M N
B K
1) MN II BC    MN II AD
1
2
3
4
5
1
2


Презентация на тему: Точка симметрии


Презентация на тему: Трапеция


title: Презентация на тему: Транспортир

text:
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
170
160
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
100
180
170
160
150
140
130
120
110
180
140
150
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
300
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
450
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
1350
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
1700
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
1500
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
1200
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
700
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
0
10
180
170
160
150
140
130
120
110
100
20
30
40
50
60
70
80
200
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
180
0
170
160
150
140
130
120
110
100
10
20
30
40
50
60
70
80
500
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
0
10
20
30
40
50
60
70
80
100
110
120
130
140
150
160
170
180
600
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
0
180
10
20
30
40
50
60
70
80
100
110
120
130
140
150
160
170
1400
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
0
180
10
20
30
40
50
60
70
80
100
110
120
130
140
150
160
170
1300
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
0
180
10
20
30
40
50
60
70
80
100
110
120
130
140
150
160
170
1600
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
0
180
10
20
30
40
50
60
70
80
100
110
120
130
140
150
160
170
700
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
0
180
10
20
30
40
50
60
70
80
100
110
120
130
140
150
160
170
600
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
0
180
10
20
30
40
50
60
70
80
100
110
120
130
140
150
160
170
350
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
0
180
10
20
30
40
50
60
70
80
100
110
120
130
140
150
160
170
200
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
0
180
10
20
30
40
50
60
70
80
100
110
120
130
140
150
160
170
1000


Презентация на тему: Трансцендентные кривые


title: Презентация на тему: Тетраэдр и его сечения

text:
Тема урока
Тетраэдр и его сечения

Домашнее задание
Изучить п.12, п.14
Решить задачи №24; №27; №28; №30 из рабочей тетради.
Решить № 67(б) из учебника
Многоугольник

Определение тетраэдра
Поверхность, составленная из четырех треугольников , называется тетраэдром.
Обозначение тетраэдра - DABC

D
A
B
C
Основные элементы тетраэдра
Грани: треугольники DAB, DAC, DBC, ABC.
Ребра: отрезки DA, DB, DC, AB, AC, BC.
Вершины: точки D, A, B, C.
Противоположные ребра:
DA и BC,
DB и AC,
DC и AB.

D
A
B
C
Решение задач. Учебник №67 (а)
Решение задач. РТ №25
MNQ
SB
через прямую SB, параллельную плоскости MNQ
ее по прямой PN
PN SB
PN SB
MQ  PN
Решение задач. № 71 (по учебнику)

M
N
K

P

Q
Решение задач. РТ №31


title: Презентация на тему: Точки и ломаные

text:
A
B
C
D
E
O
A
B
C
D
E
O
D
E
F
A
B
C
D
E
O
D
E
F
A
B
C
D
E
O
D
E
F
A
B
C
D
E
O
D
E
F
A
B
C
D
E
O
D
E
F
A
B
C
D
E
O
D
E
F
A
B
C
D
E
O
D
E
F
http://stat8.blog.ru/lr/0c2a12d7bae588855e3e7488968fc571
http://www.tmbv.info/images/stories/com_form2content/p16/f4229/234.jpg
http://cdn.freebievectors.com/illustrations/7/h/hourglass-clip-art-1/preview.jpg
http://i.allday.ru/uploads/posts/2009-03/1237323305_easter_png_008.jpg
http://www.lafarg.ru/files/catalog/imgs/IMA0148I-DA1665AL.jpg
http://sovetskiymultik.at.ua/_ph/171/937190946.jpg
http://orongoi.ucoz.ru/_nw/22/91569905.gif
http://img-fotki.yandex.ru/get/5007/kosmetik-tiande.5/0_5a5f3_10a90310_XL
http://www.cvkeskus.ee/make-a-wish/uploads/882300__1323953525.jpg
http://www.chinamobil.ru/bb/files1/22134_1358598219.jpg_197.jpg
http://cs405028.userapi.com/v405028942/26ea/BDpCSKHvnic.jpg
http://adgustum.ru/products_pictures/04-046.jpg


Презентация на тему: Тетраэдр. Параллелепипед


title: Презентация на тему: Трапеция

text:
2)

B
C
D
B
C
D
AC=BD
B
C
D
B
C
D


title: Презентация на тему: Трапеция

text:
D
D
M
N
K
D
D
D
M
N
D


title: Презентация на тему: Трапеция

text:
 http://aleshko.ucoz.kz/load/7-1-0-51
http://www.uchportal.ru/load/25-1-0-11825
B
C
D
B
C
D
AD ll  BC, AB ll CD
B
C
D
B
D
C
C
B
D
B
D
C
C
B
D
A
B
C
D
F
K

H
A
B
C
D
68°

100°
80°
E
K
N
M
90°
90°
D
60°
60°
C
E
F
D
130°
82°
   98°
P
H
R
K
1.
2.
3.
4.


title: Презентация на тему: Типы векторов

text:
5klass.net
v
F
A
B
AB
D
M
N
F
E
K
D
M
N
F
E
K
DC
MN
FE
KK
K
M
N
a
|KK| = 0
M
N
F
E
L
K
M
N
F
E
L
K
|EF| =  3
|MN| =  4
|LK| =  5
|c| =  2
L
K
b
A
B
L
K
b
A
B
b
L
K
A
B
L
K
b
A
B
A
B
D
C
N
K
L
M
A
B
D
C
N
K
L
M
A
B
D
C
N
K
L
M
A
B
D
C
N
K
L
M
A
B
D
C
N
K
L
M
A
B
D
C
N
K
L
M
A
B
D
C
N
K
L
M
A
B
D
C
N
K
L
M
a
a + b = c
a
b
b
a
a + b = c
a
b
b
a
b
c
d
m
n
a + b + c + d + m + n
a
b
c
d
m
n
a
a - b = c
a
b
b
a
2a
-2a


title: Презентация на тему: Трапеция

text:
900igr.net
D
H
21
17
7
D
H
2
10
8
300
D
13
5
8
6
6
1350
3,4
1,4
1350
3,4
1,4
1350
0,5d1d2


title: Презентация на тему: Тренировочные упражнения

text:
P
E
A
B
C
D
M
K
P
E
A
B
C
D
M
K
P
E
A
B
C
D
M
K
P
E
A
B
C
D
M
K
P
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
R
M
K
Q
P
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
R
M
K
Q
P
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
R
M
K
Q
P
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
R
M
K
Q
P
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
R
M
K
Q
P
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
R
M
K
Q
K
P
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
R
M
Q


title: Презентация на тему: Типы векторов

text:
v
F
A
B
AB
D
M
N
F
E
K
D
M
N
F
E
K
DC
MN
FE
KK
K
M
N
a
|KK| = 0
M
N
F
E
L
K
M
N
F
E
L
K
|EF| =  3
|MN| =  4
|LK| =  5
|c| =  2
L
K
b
A
B
L
K
b
A
B
b
L
K
A
B
L
K
b
A
B
A
B
D
C
N
K
L
M
A
B
D
C
N
K
L
M
A
B
D
C
N
K
L
M
A
B
D
C
N
K
L
M
A
B
D
C
N
K
L
M
A
B
D
C
N
K
L
M
A
B
D
C
N
K
L
M
A
B
D
C
N
K
L
M
a
a + b = c
a
b
b
a
a + b = c
a
b
b
a
b
c
d
m
n
a + b + c + d + m + n
a
b
c
d
m
n
a
a - b = c
a
b
b
a
2a
-2a


Презентация на тему: Третий признак равенства


title: Презентация на тему: Трапеция

text:
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Click to edit Master title style
Click to edit Master subtitle style


title: Презентация на тему: Только в тяжелом труде Знания приходят к тебе

text:
H
K
H
K
SABCD+ SDKC=SBCKH + SAHB
1
2
H
K
SABCD+ SDKC=SBCKH + SAHB
1
2

d


Презентация на тему: Трехгранный угол


Презентация на тему: Третий признак равенства треугольников


Презентация на тему: тренажёр по теме смежные и вертикальные углы


title: Презентация на тему: Трапеция и треугольник

text:
900igr.net
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
d
      a  =  c
1
2
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
D
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11


title: Презентация на тему: Треугольник 2

text:
900igr.net
P1
P2
Q1
Q2
h
k
P1
Q1
h
k
m
n
P1
Q1
P2
Q2
P3
Q3


title: Презентация на тему: Третий признак подобия треугольников

text:
k.
      A1B1C1             ABC,
~
A
C
B
M
K
P
~
1
2
F
R
N
S
D
V
9
12
18
3
4
6
1.
2.
2,5
4
5
20
16
10
3.
8
6
4
3
F
N
R
A
B
C
700
4.
4
8
5
10
5.
A
B
C
E
K
O
4
3
6
4,5
7
5,25
6
4
5,25
4,5
1
7


title: Презентация на тему: «Трапеция» 8 класс

text:
B
C
D
5klass.net
B
C
D
AD ll  BC, AB ll CD
B
C
D

B
D
C
C
B
D
B
D
C
C
B
D
A
B
C
D
F
K

H
A
B
C
D
68°

100°
80°
E
K
N
M
90°
90°
D
60°
60°
C
E
F
D
130°
82°
   98°
P
H
R
K
1.
2.
3.
4.
 http://aleshko.ucoz.kz/load/7-1-0-51
http://www.uchportal.ru/load/25-1-0-11825


text:
900igr.net
D
D
D
D


text:
Математический диктант
(с последующей проверкой)
Учитель математики: А.В. Аристова
Точка, прямая, отрезок
1. Назовите все отрезки:
2. Назовите все прямые:
3. Какие точки принадлежат прямой АД, а какие не принадлежат? Ответ запишите, используя математические символы.
4. Какие точки принадлежат отрезку ВД, а какие не принадлежат?
5. Укажите такую точку, которая принадлежит и прямой ВС, и прямой АМ.
Как ещё можно назвать указанную точку.

1. Назовите все отрезки:
(АВ, ВD, АD, ДС, ВС, DМ, АМ).
2. Назовите все прямые:
(АD, ВС)
3. Какие точки принадлежат прямой АД, а какие не принадлежат? Ответ запишите, используя математические символы.
(А, D, М € АD; В, Е, С ₡ АD)
4. Какие точки принадлежат отрезку ВД, а какие не принадлежат?
(В, D € ВD; А, М, Е, С ₡ ВD)
5. Укажите такую точку, которая принадлежит и прямой ВС, и прямой АМ.
Как ещё можно назвать указанную точку.
6. Сколько точек надо взять между точками А и В, чтобы вместе с отрезком АВ получилось шесть различных отрезков?
6. Сколько точек надо взять между точками А и В, чтобы вместе с отрезком АВ получилось шесть различных отрезков?
7. Сколько точек пересечения могут иметь четыре попарно пересекающие прямые.
(а) 6 точек, б) 4 точки, в) 1 точка пересечения)


title: Презентация на тему: Треугольник 3

text:
S
900igr.net
D
S
S1
S
S1


title: Презентация на тему: Трапеция 8 класс

text:
D
D
M
N
K
D
D
D
M
N
D


title: Презентация на тему: Треугольник

text:
1
4
2
3
5
200
6
4


title: Презентация на тему: Трапеция. Свойства трапеции

text:
1
2
3
4
5
3

4

6
3

4

7
8
9

10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
X (11; 2), Y (2; 3)
X (-3; 5), Y(1; -8)
22
23
24
25
26


title: Презентация на тему: Треугольник 5

text:
900igr.net
A
B
C
D
D
D
D
BD


title: Презентация на тему: Треугольник 1

text:
900igr.net
65
55
650
 250
500
1
2
3
4
5

65
65
650   250       500
650  ,
500


title: Презентация на тему: Треугольник 4

text:
D
?
370
?
?
700
?
300
?
1200
D
?
E-maii:    galka-kul@yandex.ru
900igr.net


title: Презентация на тему: Треугольники

text:
N
1
2
3
4
D


Презентация на тему: Треугольник


Презентация на тему: Треугольник 5 класс


Презентация на тему: Треугольники 5 класс


title: Презентация на тему: Треугольники

text:
5klass.net

AB=BC=CA


title: Презентация на тему: Треугольник

text:
A
1
2
4
5
6
7
8
3
C
B
A1
B1
C1
O
A
B
C
K
L
M
1
2
O
B
A
M
m
O
B
A
M
m


Презентация на тему: «Треугольник и его элементы»


title: Презентация на тему: Треугольники

text:
D
4
2
2x
x
7
D
12
15
4x
5x
N


title: Презентация на тему: Треугольники

text:
a)

b)

c)

d)

e)
C
C1
A
B
.
.
,
,
=
=
=
a)

b)

c)

d)

e)
C
C1
A
B
s/p=
h  =
a
2
a
R=
abc
4
a)

b)

c)

d)

e)
a)

b)

c)

d)

e)
.
.
,
,
=
=
=
a)

b)

c)

d)

e)
a)

b)

c)

d)

e)
C
C1
A
B
s/p=
h  =
a
2
a
R=
abc
4
.
.
,
,
=
=
=
a)

b)

c)

d)

e)


Презентация на тему: Треугольники


Презентация на тему: Треугольник и его элементы


title: Презентация на тему: Треугольник и его свойства

text:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
60
80
140
80
60
40
?
?
60
70


Презентация на тему: «Треугольники» 7 класс


title: Презентация на тему: Треугольники

text:
86
15
178
82
11
D
89o
A
B
C
D
D
A
B
C
86O
30o
A
B
C
D
M
K
A
B
C
D
K
86
15
178
82
11
D
D
D
A1
B1
M1
C1
A
B
C
M
A1
B1
M1
C1
A
B
C
M
D
D1
A
B
C
M
B1
A1
M1
C1
D
D1
A1
B1
M1
C1
A
B
C
M
A
B1
    D1
D
A
B1
    D1
D
A
B
C
E
D
M


Презентация на тему: «Треугольники и их виды»


title: Презентация на тему: Трапеция, её виды и теорема Фалеса

text:
Четырехугольники
8 классгеометрия

Урок № 4
Трапеция
04.12.2012
1
www.konspekturoka.ru
Ввести понятие трапеции и ее элементов.
Познакомить с равнобедренной и прямоугольной трапецией.
Рассмотреть свойства равнобедренной трапеции.
04.12.2012
www.konspekturoka.ru
2
Трапецией называется
четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
АВСD – трапеция, если ВС∥AD,
АВ и СD – боковые стороны,
ВС и AD – основания.
04.12.2012
www.konspekturoka.ru
3
Трапеция называется равнобедренной,
 если ее боковые стороны равны.
АВСD – равнобедренная трапеция, если ВС∥ AD,
АВ = СD – боковые стороны.
04.12.2012
www.konspekturoka.ru
4
Трапеция называется прямоугольной,
 если один из углов прямой.

АВСD – прямоугольная трапеция, если ВС∥ AD,
∠А = 90° или ∠В= 90°.
04.12.2012
www.konspekturoka.ru
5
М – середина АВ
N – середина CD
MN – средняя линия трапеции
04.12.2012
www.konspekturoka.ru
6
ВD = AC – диагонали трапеции
∠А = ∠D, ∠В = ∠С – углы при основаниях
Свойства равнобедренной трапеции
2.  В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.
1. В равнобедренной трапеции диагонали равны.
04.12.2012
www.konspekturoka.ru
7
ВD = AC – диагонали трапеции
∠А = ∠D, ∠В = ∠С – углы при основаниях
Признаки равнобедренной трапеции
2.  Если углы при  основании трапеции равны, то она равнобедренная.
1. Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.

04.12.2012
www.konspekturoka.ru
8
Теорема Фалеса
Если на  одной из двух прямых отложить последовательно
 равных несколько отрезков и через их концы провести
 параллельные прямые, пересекающие вторую прямую,
 то они отсекут на второй прямой равные между собой
 отрезки.
а)  l₁ ∥  l₂
б)  l₁ ∥  l₂
А₁А₂ = В₁В₂
 l₁
 l₁
l₂
l₂
А₁А₂ В₂ В₁ - параллелограмм
  l₁ ∥  l
А₂ А₃DC - параллелограмм
А₂A₃ = CD
А₂A₃ = В₂B₃

04.12.2012
www.konspekturoka.ru
9
Задача
1
Доказательство
Докажите, что отрезок, соединяющий середины боковых
  сторон трапеции, параллелен  основаниям трапеции.
Пусть Е – середина АВ.
Проведем  ЕF ∥ BC ∥ AD.
Точка F – середина CD
 (по теореме Фалеса).
Докажем, что  ЕF - единственный
Через точки Е и F можно провести только одну прямую
 (аксиома) т. е. отрезок, соединяющий середины боковых
 сторон трапеции ABCD параллелен основаниям, ч. т. д.
04.12.2012
www.konspekturoka.ru
10
Задача
2
АВСD – трапеция,  ∠A =  36°, ∠C = 117°
∠В =  ?, ∠D = ?
36°
117°
Решение
АВСD – трапеция, то ВС∥ AD.
∠А + ∠В = 180°
36° + ∠В = 180°
∠В = 180° - 36°
∠В = 144°
∠С + ∠D = 180°
∠117° + ∠D = 180°
∠D = 180° - ∠117°
∠D = 63°
Ответ:
∠В = 144°,
∠D = 63°
04.12.2012
www.konspekturoka.ru
11
Задача
3
АВСD – равнобокая трапеция,  ∠A = 68°,
∠В =  ?, ∠С -?, ∠D = ?
Решение
Если АВСD – равнобокая трапеция,
то ∠A = ∠D = 68°,
68°
68°
∠ 68°+ ∠В = 180°
∠В = 180° - ∠ 68°
∠В = 112°
∠В = ∠С = 112°,
Ответ:
04.12.2012
www.konspekturoka.ru
12
Задача
4
АВСD – прямоугольная трапеция,
∠D = 90°, BC = 4 см,  AD = 7 см, ∠A = 60°

АВ - ?
Решение
Проведем ВВ₁ ⊥ AD
4 см
7 см
60°
AВ₁ =  AD -  B₁D

AВ₁ =  7 -  4 = 3 (см)
Рассмотрим ∆ АBВ₁:

∠A = 60° - по условию,
 ∠В₁ = 90° так как ВВ₁ ⊥ AD, то  ∠В = 30°
AВ₁ =  ½АВ – по свойству прямоугольного треугольника,
АВ = 3· 2 = 6 (см).
Ответ:
6 (см).
04.12.2012
13
Ответить на вопросы:
www.konspekturoka.ru
Спасибо за внимание!
Какой четырехугольник называется трапецией?
Как называются стороны трапеции?
Какая трапеция называется прямоугольной? Равнобедренной?
Сформулируйте свойства равнобедренной трапеции.
Сформулируйте признаки равнобедренной трапеции.
Что такое средняя линия трапеции? Свойство средней
 линии трапеции.


title: Презентация на тему: Треугольники. Третий признак равенства

text:
D
D
D
D


title: Презентация на тему: треугольники

text:
Муниципальное общеобразовательное учреждение Староалгашинская средняя школа имени Героя Советского Союза Н.Г.КнязькинаМО"Цильнинский район"Ульяновской области
Работу выполнила
Ученица 8 класса
Измайлова Дарья

с.Старые Алгаши
2017г.
Что такое электронная таблица
Что такое электронная таблица
История появления развития электронной таблицы
Содержание проекта
Электронные таблицы
Электронная таблица — это программа обработки числовых данных, хранящая и обрабатывающая данные в прямоугольных таблицах.

Электронная таблица состоит из столбцов и строк . Заголовки столбцов обозначаются буквами или сочетаниями букв (A, G, АВ и т. п.), заголовки строк — числами (1, 16, 278 и т. п.).
История появления и развития электронной таблицы
        Идея создания электронной таблицы возникла у студента Гарвардского университета (США) Дэна Бриклина (Dan Bricklin) в 1979 г. Выполняя скучные вычисления экономического характера с помощью бухгалтерской книги, он и его друг Боб Франкстон (Bob Frankston), который разбирался в программировании, разработали первую программу электронной таблицы, названную ими VisiCalc.
        Новый существенный шаг в развитии электронных таблиц — появление в 1982 г. на рынке программных средств Lotus 1-2-3. Lotus был первым табличным процессором, интегрировавшим в своем составе, помимо обычных инструментов, графику и возможность работы с системами управления базами данных. Поскольку Lotus был разработан для компьютеров типа IBM, он сделал для этой фирмы то же, что VisiCalc в свое время сделал для фирмы Apple. После разработки Lotus 1-2-3 компания Lotus в первый же год повышает свой объем продаж до 50 млн. дол. и становится самой большой независимой компанией — прjизводителем программных средств. Успех компании Lotus привел к ужесточению конкуренции, вызванной появлением на рынке новых электронныхтаблиц,таких,как VP Planner компании Paperback Software и Quattro Pro компании BorlandInternational, которые предложили пользователю практически тот же набор инструментария, но по значительно более низким ценам.

 Следующий шаг — появление в 1987 г. табличного процессора Excel фирмы Microsoft, Эта программа предложила более простой графический интерфейс в комбинации с ниспадающими меню, значительно расширив при этом функциональные возможности пакета и повысив качество выходной информации. Расширение спектра функциональных возможностей электронной таблицы, как правило, ведет к усложнению работы с программой.
            Разработчикам Excel удалось найти золотую середину, максимально облегчив пользователю освоение программы и работу с ней. Благодаря этому Excel быстро завоевала популярность среди широкого круга пользователей. В настоящее время, несмотря на выпуск компанией Lotus новой версии электронной таблицы, в которой использована трехмерная таблица с улучшенными возможностями, Excel занимает ведущее место на рынке табличных процессоров.
            Имеющиеся сегодня на рынке табличные процессоры способны работать в широком круге экономических приложений и могут удовлетворить практически любого пользователя.
Типы данных
   Электронные таблицы позволяют работать с тремя основными типами данных: число, текст и формула . Числа в электронных таблицах Excel могут быть записаны в обычном числовом или экспоненциальном формате, например : 195,2 или 1.952 E + 02. Текстом в электронных таблицах Excel является последовательность символов, состоящая из букв, цифр и пробелов, например , запись «32 Мбайт» является текстовой.
Формула должна начинаться со знака равенства и может включать в себя числа, имена ячеек, функции (математические, статистические, финансовые, дата и время и т.д.) и знаки математических операций.
       Например , формула «=А1+В2» обеспечивает сложение чисел, хранящихся в ячейках А1 и В2,
      а формула «=А1*5» — умножение числа, хранящегося в ячейке А1, на 5.


title: Презентация на тему: Треугольник. Вписанная окружность

text:
3)
.
.
.
.
HF=PF=
.
,
CF=9+18=27.
=2CF+BF=2*27+36=54+36=90.
.
.
.
.
.
,
,
.
.
.
,
.
.
AC=2AH=
.
D=2R=
,
,
,
.
.
.

.


title: Презентация на тему: Трапеция и ее виды

text:
1
ГЕОМЕТРИЯ
2
ТЕМА:
ТРАПЕЦИЯ
3
Выполнил: ученик 10 “Б” класса
Средней школы № 1143
Галкин Владимир

4
  Трапеция- это
четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны

Основание трапеции
Основание трапеции

Боковая сторона
5
Существуют разные виды трапеции:

Равнобедренная

Прямоугольная
А
В
С
Д
6
ЗадачиЧасть А:
7
Задача 1:Найдите углы B и D трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, если      А=36,      С=117.
Дано:ABCD-трапеция ;      А=36;       C=117
Найти:      В,      D
Решение:

   А+     В=180, значит      В=144.
   С+     В=180, значит      D=63.

D
А
В
С
8
Задача 2:Один из углов равнобедренной трапеции равен 68.Найдите остальные углы трапеции.
Дано: трапеция,     1=68.
Найти:       2,      3,      4.
Решение:
   1=     2 (углы при основании равны)
    3=180-    1=112.
    4=      3=112.
    2=68.

1
2
3
4
9
Задача 3: Основания прямоугольной трапеции равны 4 и 7, один из углов равен 60.Найти большую боковую сторону трапеции.
Дано:ABCD-трапеция.      D=60.
BC=4,AD=7.
Найти: CD-?
Решение:
Проведем высоту СН.
Тогда HD=AD-BC=3.
Применим теорему синусов
 HD    = CH         Отсюда CH= 3 корня из 3
Sin 30   sin 60
CD2=9+27=36 (Теорема Пифагора)
CD=6.

А
D
B
C

Н

10
Задача 4: Найти площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны 6, а больший угол равен 135о.
Дано:ABCD-трапеция,      А=90;AB=BC=6;
    BCD=1350
Найти: S-?
Решение:
    HCD=135-90=45;      CDH=45.

DH    =      CH         Отсюда DH=6
sin45      sin 45
S=0,5 ( BC+AD) CH=0,5(5+12)6=54

А
D
B
C

Н

11
Задача 5: Тупой угол равнобедренной трапеции равен 135, а высота, проведенная из вершины этого угла делит основания на отрезки 1,4 см и 3,4 см.Найти площадь трапеции.
Дано:ABCD-трапеция.AB=CD.AH=3,4.
HD=1,4.      BCD=135.
Найти: S-?
Решение:
     HCD=     CDH= 45.
HD      =     CH       Отсюда СН=1,4
sin45     sin45
S= 0,5(2+4,8)1,4=4,76.

D
А
В
С

H

12
Задача 6: Основания трапеции относятся как 2:3, а средняя линия равна 5. Найти основания.
Дано: трапеция АDCD.MN=5.
BC:AD=2:3.
Найти: AD;CD.
Решение:
Пусть х- коефиециент пропорциональности. Тогда ВС=2х,AD=3x. MN=0,5(AD+BC)
2,5x=5
X=2.
Значит АD=6, a BC=4.

D
А
В
С

М
N
13
Задача 7: Дана равнобокая трапеция. Средняя линия равна боковой стороне. Основания равны 8 и 16. Найти площадь трапеции.
Дано: АBCD- трапеция.AB=CD;MN=AB;
BC=8;AD=16.
Найти: S
Решение: MN=0,5(BC+AD)=12.Значит AB=12.AH=4
BH2=AB2-AH2;
BH2= 144-16
BH=8 корней из 2ж
S=MN BH=96 корней из 2

D
А
В
С

М
N
14
Задача 8: В равнобедренную трапецию, основания которой равны 18 и 6, вписан круг. Найдите его радиус и углы трапеции.
Дано: ABCD-трапеция.AD=18;BC=6
Найти:ОG-?
Решение:
EC=CG ( по равным треугольникам)
DG=DQ ( по равным треугольникам)
EC=0,5 BC=3 Значит СG=3
DQ=0,5 AD=9 Значит DG=9
OG2= CG DG=27
OG=3 корень из 3.

А
В
С
D

E
F

G
О

Q
15
Часть Б
16
Задача 1: Площадь равнобокой трапеции равна S, угол между ее диагоналями, противолежащий боковой стороне, равен а. Найти высоту трапеции.
Дано:ABCD- трапеция; S- её площадь
      а .ВС и AD основания.
Найти:CK-?
Решение:
Пусть О – точка пересечения диагоналей данной трапеции ABCD, AB=CD,     AOB=a.
Т.к      АОВ- внешний угол   AOD, AO=OD,то      CAD= a2 .
Пусть СК=Н- высота трапеции
Из   АКС (     АКС=90); АК=Н ctg  2a
Тогда площадь трапеции S = 0,5(AD+BC)CK=AK CK= H2 ctg 2a
H=корень из S tg  2a

D
А
В
С

K

a
О

17
Задача 2: Большее основание вписанной в круг трапеции равно диаметру круга, а угол при основании равен а. В каком отношении точка пересечения диагоналей трапеции делит её высоту?
Дано: ABCD- трапеция.

Найти:
Решение:
Пусть основание AD равнобокой трапеции ABCD есть диаметр круга, описанного около трапеции, тогда центр О круга – середина AD.
Высота КО трапеции проходит через точку L пересечения диагоналей,   BLC подобен   ALD,
   KL:LO=LC:LD.

D
А
В
С

о
К
L

18
     ACD- вписанный, опирающийся на диаметр , поэтому
     ACD=90.      ACD и      AOL- прямоугольные с общим острым углом при вершине А.Отсюда,      ALO=      ADC=a.
Тогда     KLC=     OLD=a,     CLD=180-2a,из DLCD
(      LCD=90);
LC:LD=cos     CLD=cos (180-2a)=-cos2a.
19
Задача 3: Угол при вершине А трапеции ABCD равен а. Боковая сторона АВ вдвое больше меньшего основания ВС. Найти угол ВАС.
Дано: ABCD-трапеция.АВ=2ВС
Найти:      ВАС
Решение:
Пусть      ВАС =F.                                        Sin F                  = =
Тогда      ВСА=    СAD=a- F.Из    АВС:
Отсюда следует 2sin F=sin a cos F – sin F cos a
2=sin a ctg F – cos a

                   2+cos a; F= arctg

А
В
С
D

Sin (a-F)
ВС

АВ
Sin a

tg F
=
Sin a

2+sin a
20
Задача 4: В круг вписана трапеция. Большее основание трапеции составляет с боковой стороной угол а, а с диагональю- угол ф.Найти отношение площади круга к площади трапеции.
Решение:
Пусть АD- большее основание
 данной трапеции ABCD,
      BAD=a,      BDA=Ф,
BM-высота трапеции
И BD= 1.
Тогда  из    BMD (     BMD=90);
BM=BD sin      BDM= sin ф;
DM=BD cos     BDM=cos ф;

А
В
С
D
M
a
ф

21
Площадь трапеции
S1=

Радиус R круга, описанного около    BAD: R=

=                . Тогда площадь круга S2=¶R2=

=

Таким образом,
AD+BC

2
=
BM
DM BM=sinф cosф=
Sin 2ф

2

BD

2 sin      A
=
1

2 sin a
¶

4 sin2 a
S1
S2
=
¶

2 sin2a sin2ф
22

ЧАСТЬ С
23
Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC.Прямая KL пересекает диагональ BD в точке О. К принадлежит AB.L принадлежит CD.Отношение большего основания к меньшему как 2 к 1 (AD:BC=2:1).AK:KB=1:2;CL:LD=1:2.Найти отношение ВО к LD.
Дано: ABCD-трапеция.
KL пересекает BD в точке О
K€AB;L€CD;
AD:BC=2:1; AK:KB=1:2;
CL:LD=1:2.
Найти: BO:OD

(примечание знак € означает принадлежит)

        B                         C
                                       L
K
C                                    D

O
24
Решение:
1)AK:KB=1:2. значит АK=x; KB=2x; AB =3x.
CL:LD=1:2. значит СL=y; LD=2y; CD =3y.
2) Продолжим боковые стороны до пересечения  в точке F

     BFC подобен    AFD                             Значит AF:BF=AD:BC;

=

        B                   C
                                  L
K
C                                    D

F

3x+BF

BF
=
2
1

3x

BF
+1=2
25
BF=3x
AF=6x
Аналогично
FC=3y; FD=6y.
3)По теореме Менелая    BFD и секущая KL

   BO:OD=4:5.

FL DO BK

LD BO KF
=1
4y  DO  2x

2y  BO  5x
=1
DO

BO
=
5

4
26
В трапеции меньшее основание равно 2, прилежащие углы по 135. Угол между диагоналями, обращенный к основанию, равен 150.Найти площадь трапеции.

Дано: ABCD-трапеция.
BC=2.     ABC=      DCB=135
     BOC=150.
Найти: S
Решение:
В    BOC:     ACB=     DCB=15,тогда      ВАС =180-(     АВС+
+     АСВ)=30.
По теореме синусов из   АВС:

А
В
С
D
O

27

AC=                            =                 =  2 корня из 2

S=0,5 AC BD sin     BOC=0,5 AC2 sin      BOC =
=0,5 (8) sin 150=2
2sin 135
AC

Sin     ABC
=
BC
Sin     BAC

BC sin     ABC
Sin     ABC

Sin 30

28
В равнобедренной трапеции основание AD равно диагонали АС. Известно, что      САD=     СDM, где М –середина ВС. Найдите углы трапеции.
Дано: ABCD-трапеция.
AD=AC;      CAD=     CDM;
BM=MC.

Найти: углы трапеции

Решение:
Пусть     СAD=ф, тогда     ADC=     ACD=90-      .
Поскольку по условию     MDC=     CAD= ф, то

A
B
C
D
M
K
Ф
Ф
ф
2

29
     CMD=     MDA=     ADC-     MDC=90-     ф,

МDC=90+
По теореме синусов для треугольника MDC надем

                                                                    ,

MD=CD

Но М- середина ВС. Следовательно, проекция МD на AD равна 0,5AD, т.е
AD=2MD cos(90 -           )=2CD
3
2

ф
2

MD                       CD
Sin ( 90+      )
ф
2

=
Sin ( 90-         )
3
2
ф

cos
2
ф

cos
3
2

ф
2
3

ф
cos
ф
2
Sin
3
2
ф

cos
2
3
ф

30
Из равнобедренного треугольника ACD  найдем
AD=

Приравнивая два выражения для AD, получим уравнение

Можно доказать,что cos    ф = сos   (2cos ф - 1) ,
 2sin    ф sin     ==cos ф-cos2ф
CD
2sin
ф
2

2cos
ф
2
sin
3
2
ф

cos
3
2
ф

=
1

2sin
2
ф

3
2

ф
2

3
2

ф
2

31
Сократив теперь в числителе и знаменателе левой части уравнения            ,освободившись от знаменателя, придем к уравнению 2 cos 2ф=1, т.е 2ф=60, ф=30.
Таким образом, два угла трапеции равны 75, два оставшихся 105.
cos
ф
2

32
Конец


title: Презентация на тему: Треугольники. Сумма углов треугольника

text:
650
410
650
410
740
30º
600
450
450
?
?
?
A
B
C
M
N
70º
80º
300
700
800
40º
110º
D
700
400
A
B
C
?
300
300
1200
C
A
B
105º
30º
D
300
450
D
400
800
?
?
110º
B
A
C
D
30º
A
B
C
D
D
400
800
D
500
300
110º
120º
A
B
C
200
A
B
D
C
?
50º
60º
A
B
C
D
K
600
700
500


title: Презентация на тему: Треугольник Устные задачи

text:
15
9
4
10


title: Презентация на тему: Треугольник. Площадь треугольника

text:
   h

             a

            b

b              a

           c


title: Презентация на тему: Треугольники. Первый признак равенства

text:
Треугольники
7 классгеометрия

Урок № 12
Первый признак равенства треугольников
19.09.2012
1
www.konspekturoka.ru
Цели:
19.09.2012
Ввести понятие теоремы и доказательства теоремы;
Доказать первый признак равенства треугольников;
Научить решать задачи на применение первого признака равенства треугольников.

2
www.konspekturoka.ru
19.09.2012
www.konspekturoka.ru
3
Вспомним! Устно.
Задача
 ∆АPC = ∆ FMB, ∠P  = ∠M, ∠A = ∠F, FB = 17см, PC = 23 см.
 АС и МВ.
1

23 см.
17см
?
?
19.09.2012
www.konspekturoka.ru
4
Вспомним! Устно.
Задача
 ∆АВC = ∆ ADC, ∠ABC = 70°, AB = 10см.
2
 ∠MDC, AD.

А
D
C
B

M
?
?
10см.
70°

19.09.2012
www.konspekturoka.ru
5
Задача
АВ = АС = ВС, АD = DC,
P₁ =  36 см, P₂ = 40 см.
 стороны ∆АВС и ∆ АDС.
Вспомним! Устно.
3
19.09.2012
www.konspekturoka.ru
6
Какие условия должны выполняться для того
 чтобы   ∆ АВС = ∆ MNK?
 стороны и углы одного треугольника      соответственно равны сторонам и углам другого треугольника.

Вспомним!
АВ = MK, BС = KN, AC = MN
∠A = ∠M, ∠B = ∠K, ∠C = ∠N.
19.09.2012
www.konspekturoka.ru
7
Не нужно проверять равенство всех
 сторон и углов!
Достаточно сравнить лишь три
 элемента одного треугольника с
 тремя элементами другого
  треугольника.
Какие три элементы?
О том, какие три элемента расскажут признаки равенства
 треугольников.
19.09.2012
www.konspekturoka.ru
8
Доказывать признаки нужно с помощью теоремы
(утверждение,  справедливость
 которого устанавливается путем рассуждений).
Сами рассуждения называются доказательством теоремы.
Любая теорема состоит из условия
 и заключения.
Условие – это уже известные факты, о которых
 говорится в теореме, а заключение – это то, что
нужно получить, доказать.
19.09.2012
www.konspekturoka.ru
9
Первый признак равенства треугольников
(по двум сторонам и углу между ними – три элемента!).
Теорема:
Если две стороны и угол между ними одного
 треугольника соответственно  равны
 двум сторонам и углу между ними
 другого треугольника, то такие
 треугольники  равны.

1
2
Теорема:

1
2
(условие) ∆АВC,  ∆А₁В₁С ₁,  АВ = А₁В₁,
АС = А₁С₁, ∠А =∠А₁.
(заключение) ∆АВC = ∆А₁В₁С ₁,
Доказательство.
Так как ∠А =∠А₁, то ∆АВC можно наложить на ∆А₁В₁С ₁  так, что вершина А совместится с вершиной А₁.

19.09.2012
www.konspekturoka.ru
11
Два треугольника называются равными, если при наложении они  совмещаются.
А
В
С
       Поскольку  АВ = А₁В₁,  АС = А₁С₁, то сторона АВ совместится со стороной А₁В₁, а сторона АС со стороной А₁С₁.
Поэтому совместятся точки  В и В₁,
С и С₁, следовательно совместятся
 сторона ВС со стороной В₁С₁.
Значит, ∆АВC = ∆А₁В₁С ₁, что и требовалось доказать.

19.09.2012
www.konspekturoka.ru
12
Задача
Отрезки АЕ и DC пересекаются в точке В, являющейся
 серединой каждого из них.  а) Докажите, что ∆АВC = ∆ЕВD;
 б) найдите углы  А и С в ∆АВC, если в ∆ЕВD  ∠D = 47°, ∠E = 42°.
Решение
A
C
B
E
D

?
42°
47°
АВ = ВЕ, и СВ = ВD, так как по условию точка В – середина отрезков АЕ и DC. ∠СВА = ∠ЕВD, так как эти углы вертикальные. По первому признаку равенства треугольников  ∆АВC = ∆ЕВD.
2)  В равных треугольниках против соответственно равных
      сторон лежат равные углы, поэтому ∠ А = ∠ Е = 42°,
     ∠С = ∠D = 47°,

Ответ: ∠ А = 42°, ∠С =47°.
?
19.09.2012
13
Ответить на вопросы:
Что такое теорема и доказательство теоремы?
Сформулировать первый признак равенства треугольников.
Доказать теорему, выражающую первый признак равенства треугольников.
www.konspekturoka.ru
Спасибо за внимание!


title: Презентация на тему: «Треугольники» 9 класс

text:
Презентация по теме: «Треугольники»
Подготовили
Ученицы 9 класса Б
Камаретдинова Карина
Семёнова Алина
5klass.net
Треугольники
Треугольник — простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки
Равносторонний -
это правильный многоугольник с тремя сторонами, первый из
правильных многоугольников.
Все стороны правильного треугольника равны между собой,
а все углы равны 60°.

Радиус вписанной окружности

Радиус описанной окружности

Периметр

Высота

                     Площадь
Равнобедренный
Треугольник, в котором две стороны равны между собой
называется равнобедренным.
Равные стороны называются боковыми, а последняя - основанием

Площадь треугольника

Теорема косинусов

Теорема синусов

Периметр     P = 2a + b (по определению);
P = 2R(2sinα + sinβ)
(следствие теоремы синусов)

Прямоугольный
Свойства:
Сумма двух острых углов п/у треугольника равна 90°.
Катет п/у треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
Если катет п/у треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.
Признаки равенства п/у треугольников:
Если катеты одного п/у треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного п/у треугольника соответственно равны катету и прилежащему  к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.
Если гипотенуза и острый угол одного п/у треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
Если гипотенуза и катет одного п/у треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

a2 + b2 = c2 – теорема Пифагора
для п/у треугольника
Тупоугольный – это треугольник у которого один
из углов тупой

Остроугольный – треугольник у которого все углы
острые.

Прямоугольный – треугольник у которого один из
углов равен 90°

Медиана
Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.
Свойства медиан треугольника:
Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.
Биссектриса
Биссектриса угла — это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.
Свойства биссектрис треугольника:
Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.
Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.

Биссектриса угла — это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.
Свойства биссектрис треугольника:
Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.
Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.

Высота
Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника.
Свойства высот треугольника:
В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
Серединный перпендикуляр
Прямую, проходящую через середину отрезка
Перпендикулярно к нему, называют серединным
перпендикуляром к отрезку.

Свойства серединных перпендикуляров треугольника:
Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.
Средняя линия
Средней линией треугольника называется отрезок,
соединяющий середины двух его сторон.

Свойство средней линии треугольника
Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Сумма углов треугольника
Теорема: Сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство:
Рассмотрим треугольник АВС и докажем, что А +В +С = 180°.
Проведем через вершину B прямую а, параллельную стороне АС.
Углы 1 и 4 являются накрест лежащими углами при пересечении
параллельных прямых а и АС секущей АВ, а углы 3 и 5 – накрест
лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых
секущей ВС. Поэтому 4 = 1, 5 = 3. Очевидно, сумма углов
4, 2 и 5 равна развернутому углу с вершиной В, т. е.
4 + 2 + 5 = 180°, или
А +В +С = 180°.

Теорема доказана.

Внешний угол
Доказательство:
угол 4 – внешний угол, смежный с углом 3 данного треугольника.
Т.к. 4 + 3 = 180°, а по теореме о сумме углов треугольника
(1 + 2) + 3 = 180°, то 4 = 1 + 2, что и требовалось доказать.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.
Теорема: внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним
Соотношение между сторонами  и углами треугольника
В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный
Неравенство треугольника
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других
сторон.

Для любых точек  А, В и С, не лежащих на одной прямой,
справедливы неравенства:
АВ < АС + СВ
АС < АВ + ВС
ВС < ВА + АС

Каждое из этих неравенств называется неравенством треугольника


title: Презентация на тему: Тригонометрические формулы

text:
900igr.net
,
.
0
4)
3)
7)
8)
sin
cos
tg
ctg
:

.

.
.
.
;
,
.
,
.
.
.
.

.

.

.


Презентация на тему: Треугольники вокруг нас


Презентация на тему: Треугольники в природе


title: Презентация на тему: Тригонометрические неравенства

text:
0
x
y
a
t1
-t1
-1
1
0
x
y
a
t1
-1
1
0
x
y
a
t1
-1
1
0
x
y
a
t1
-1
1


text:
900igr.net
sinx > a (|a|<1)
sin x < a (|a|<1)
cos x > a (|a|<1)
cos x < a (|a|<1)
tg x > a
tg x < a
ctg x > a
ctg x < a


title: Презентация на тему: Тригонометрические функции числового аргумента

text:
tg2t + 1
 1
tg t
sin2t +cos2t
ctg t
1 + ctg2t
1.
cos2t
- sin2t
sin2t
2.
cos2t
- cos2t
2 cos2t
3.
( cos t - 1)(1+ cos t)
-sin2t
(1+ cos t)2
(cos t - 1)2
1,   1.


title: Презентация на тему: Треугольник, у которого все стороны равны

text:
1000 : 100 = ?
10
5
6
¼
¾
½


Презентация на тему: «Тригонометрические уравнения»


Презентация на тему: Тригонометрические выражения и их преобразования


title: Презентация на тему: Тригонометрические уравнения и их решения

text:
900igr.net
ax²+bx+c =0
D= b²-4ac
X    =
1,2
__
2a
a
0
1
-1
sin x
cos x
tg x
n
n
n
n
1)

2)

3)


title: Презентация на тему: Тригонометрические уравнения

text:
y = sin x, D(y) = R,   E(y) = [-1;1]
arccos     =                              arcsin (-1)  =

arccos 0  =                           arccos 1 =

arccos        =                        arcsin          =

arcsin      =
«3»

«4», «5»
arccos a
arcsin a

1

0

 -1
sin x = 0
sin x = - 1
sin x = 1
cos x = 1
cos x = 0
cos x = -1
1
2
3
4
5
6
sin x = 0
sin x = - 1
sin x = 1
cos x = 1
cos x = 0
cos x = -1
1
2
3
4
5
6
4.
5.
6.
3.
2.
1.


Презентация на тему: Тригонометрические функции тупого угла


title: Презентация на тему: Треугольник и многоугольник. Плоскость, прямая и луч

text:
Натуральные числа и шкалы.
5 классматематика

Уроки № 6-7-8.
Треугольник, многоугольник.
Плоскость, прямая, луч.
Цели:
09.09.2011
2
www.konspekturoka.ru
Ввести понятие многоугольника и его элементов.
Ввести понятия плоскости, прямой и луча.
09.09.2011
3
www.konspekturoka.ru
Изучение нового материала.
Отрезки АВ, ВС и АС на рисунке  вместе составляют треугольник АВС.
     Их называют сторонами, а точки А, В и С - вершинами треугольника  АВС.
В
А
С
09.09.2011
4
www.konspekturoka.ru
Изучение нового материала.
E
O
K
M
Вершинами четырехугольника являются точки О, Е, К и М, а его сторонами - отрезки ОЕ, ЕК, КМ и МО.
Такие фигуры, как треугольник, четырехугольник и т. д, называют многоугольниками.
09.09.2011
www.konspekturoka.ru
5

Решение упражнений.
Назовите вершины и стороны шестиугольника.
N
O
P
T
S
M
09.09.2011
www.konspekturoka.ru
6
Точка О делит прямую на две части. Каждую из этих частей называют лучом.
Точку О называют началом лучей. Конца у луча нет.
ОА, ОВ - лучи
Изучение нового материала.
O
M
B
09.09.2011
7
www.konspekturoka.ru
Через две любые точки А и В проходит единственная  прямая. Прямая не имеет концов. Она неограниченно продолжается в обе стороны. Точки А и В лежат на одной прямой.
Изучение нового материала.
09.09.2011
www.konspekturoka.ru
8
Если две прямые АВ и СD имеют одну общую точку М, то говорят, что они пересекаются в этой точке.
A
B
C
D
Изучение нового материала.
M
Для обозначение точек используем прописные латинские буквы
Для обозначение прямых используем строчные латинские буквы
Или обозначаем прямую двумя прописными латинскими буквами.
Изучение нового материала.
09.09.2011
9
www.konspekturoka.ru

Плоскости будем обозначать греческими буквами.
На рисунках плоскости обозначаются в виде параллелограммов. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны.
Изучение нового материала.
09.09.2011
10
www.konspekturoka.ru
09.09.2011
www.konspekturoka.ru
11
Плоскость стола, школьной доски, оконного стекла дают представление о плоскости.
Изучение нового материала.
Выбери и укажи правильный вариант ответа.
Прямые АВ и СD:
Не пересекаются
Пересекаются
I
©Кравченко Галина Михайловна
09.09.2011
12
www.konspekturoka.ru
Выбери и укажи правильный вариант ответа.
Прямая АВ и отрезок СD:
Не пересекаются
Пересекаются
II
©Кравченко Галина Михайловна
09.09.2011
13
www.konspekturoka.ru
Выбери и укажи правильный вариант ответа.
Лучи АВ и СD:
Пересекаются
Не пересекаются
III
©Кравченко Галина Михайловна
09.09.2011
14
www.konspekturoka.ru
Выбери и укажи правильный вариант ответа.
Отрезок АВ и луч DC:
Не пересекаются
Пересекаются
IV
©Кравченко Галина Михайловна
09.09.2011
15
www.konspekturoka.ru
Восстанови текст.  После каждого задания сделай чертёж и раскрась каждую часть плоскости разными цветами.
Прямая делит плоскость
на ......... части.
Проверка (2)

А
В
две
I
©Кравченко Галина Михайловна
09.09.2011
16
www.konspekturoka.ru
Восстанови текст.  После каждого задания сделай чертёж и раскрась каждую часть плоскости разными цветами.
Две пересекающиеся прямые
делят плоскость на ......... части.
Проверка (2)

В
4
II

С
D
А
О
09.09.2011
17
www.konspekturoka.ru
Восстанови текст.  После каждого задания сделай чертёж и раскрась каждую часть плоскости разными цветами.
Три пересекающиеся в одной точке
прямые делят плоскость
на ......... частей.
Проверка (2)

В
6
III

А

С
N

D

К
О
09.09.2011
18
www.konspekturoka.ru
Как построить треугольник?
Как построить четырехугольник?
Что называем многоугольником?
Через сколько точек можно провести прямую, отрезок, луч?
Как обозначаются точки, прямые, плоскости?
На сколько частей делят плоскость две пересекающиеся прямые?
09.09.2011
19
www.konspekturoka.ru
Ответить на вопросы:


title: Презентация на тему: Треугольник, простейший и неисчерпаемый

text:
Треугольник, простейший и неисчерпаемый. Задачи для подготовки к ЕГЭ.
Авторы творческой работы:
Учащиеся 9 «Г» класса МОУ СОШ №96 г. Краснодара
 Головнин Александр, Коровин Илья , Воробьев Александр.
Руководитель проекта учитель математики
 Сосна Ольга Александровна.
Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение.
В. Произволов
Аннотация к работе.

        Цель нашей работы  - помочь  учащимся подготовиться к итоговой  аттестации. Для успешного  выполнения экзаменационных заданий необходимы твердые знания  основных геометрических фактов и некоторый  практический  опыт .
Работа  может быть полезна учащимся не только 9 класса, но и 8 и 10 классов, которые  в будущем  будут сдавать ЕГЭ.
       Кроме того, надеемся , что наша презентация  послужит хорошим подспорьем для учителей математики  при проведении уроков по темам , связанным с треугольником.
Текст на слайдах появляется по щелчку  мышки,   есть время  подумать  над задачей , проанализировать условие, потом  сравнить свое решение с нашим.
    Презентация содержит  историческую справку о треугольниках и краткий справочный материал.

Задача №1
Задача №2
Задача №3
Задача №4
Задача №5
Задача №6
Задача №7
Задача №8
Задача №9

Содержание .
Исторические сведения
Справочный материал
Задача №1
	Стороны треугольника равны 12 м., 16 м., и 20 м.. Найдите его высоту, проведенную из вершины большего угла.
Дано:
A
B
C
ABC - треугольник
AB = 12 м.
BC = 16 м.
AC = 20 м.
Найти:
BD = ? м.
D
Анализ условия задачи №1:
A
B
C
D
12
16
20
X
AD = X
DC = 20 - X
Решение задачи №1:

A
B
D
Рассмотрим треугольник ABD
C
B
Треугольники подобны
144 – 20X = 0
7,5 – X = 0
X = 7,2
BD = 9,6
Решение задачи №1:

Задача №2
	Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15, проекция второго катета на гипотенузу равна 16. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.
Дано:
MCN – вписанный треугольник
MC = 15
Найти:
MN

M
C
N
D
DN = 16
d
Решение задачи №2:

M
C
N
D
15
16
d
d = MN = MD + DN
MD = x
x
d = x + DN

M
C
N
D
x
Решение задачи №2:
Рассмотрим треугольник MCD
Решение задачи №2:
D = 256 + 900 = 1156
d = x + DN
d = 9 + 16 = 25

Задача №3
    Биссектриса АМ треугольника АВС делит сторону СВ на отрезки СМ=10  и МВ = 14, АВ=21. Найдите  радиус описанной вокруг треугольника   АВС окружности.

Дано:
CM=10, MB=14,
AB=21
Найти :
R=?

Решение задачи №3:
M
14
10
21
1.Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
AC= 15

15
p= 30

Задача №4:
Дано:
∆ ABC,
H
  BH= 12, BH  AC,

Найти: r
Найдите радиус окружности, вписанной в остроугольный треугольник ABC, если
высота BH равна 12  и известно , что
О – центр , вписанной окружности

Решение задачи №4:
4. HC² = BC² - BH² = 225 – 144 = 81
HC = 9
5. AH² = AB² - BH² = 25
AH = 5
6. AC = AH + HC = 14
21
Ответ : r = 4

Задача №5
    Около равнобедренного треугольника с основанием AC и углом при основании 75˚ описана окружность с центром О. Найдите её радиус, если площадь треугольника BOC равна 16.
Дано: АВС,  АС- основание,
ВАС=75, О – центр  описанной
окружности,
S BОC=16.
Найти: R.
Решение задачи №5

В
А
С
О
D
1.Треугольник  по условию равнобедренный,
проведем высоту  BD, она является и медианой,
Поэтому точка  О  принадлежит BD.
2. ОВ=ОС =R,  SBOC= 1/2ВО*ОС*sinBOC
3.Треугольник вписан в окружность с центром
О,  значит  ВОС  это соответствующий
центральный угол вписанного угла А   и
равен 150
4. 16= 1/2 R*R*sin150,  sin150=sin30=1/2
R=8
Ответ: 8

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник равен  2 м, а радиус  описанной окружности равен 5 м.Найдите  больший катет треугольника
Задача №6
Дано:  АВС, С=90
r=2 м,    R=5м, О1- центр
вписанной окружности,

Найти: больший катет

Решение задачи №6
О – центр описанной окружности; так как  треугольник  АСВ
прямоугольный, то его гипотенуза является диаметром
 окружности,  угол АСB =90 и является вписанным
AB = 2R = 5 ∙ 2 = 10 м.
3. Отрезки BK и BN равны как отрезки касательных,
проведенных из одной  точки,
аналогично CN = CM;
       AM = AK; обозначим  BK = BN = x; тогда CB = 2 + x;
       AK = AM = 10 – x; AC =  12 – x.
4. По т. Пифагора AB² = CB² + AC²; 10² = (2 + x)² + (12 –x)²
2x² - 20x + 48 = 0,  x² - 10x = 24 = 0,
 x₁ = 6, x₂ = 4;
AC = 12- 6 = 6;   CB = 2 + 6 = 8м.
Ответ: 8м.

Периметр прямоугольного треугольника равен 72 м, а радиус вписанной в него окружности  - 6 м.
Найдите диаметр описанной окружности.

   Дано:
ABC – треугольник
P=72
 C=90⁰
r = 6 м
Найти d описанной окружности.
 Задача №7
Решение задачи №7:
∆АВС – прямоугольный ; угол C = 90˚,
Значит диаметр описанной окружности  совпадает с
гипотенузой т.е.  d=AB
3. Обозначим   отрезки     BN = BK = x  (OK   AB)
OK=r , ВN=ВК как отрезки касательных AM = MK = y
P ∆АВС = AC + AB + CB, но
 АС = 6+у,  АВ = x + у   СВ = 6+х
P ∆АВС = 6+у+х+у+6+х = 12+2х+2у = 72 (по условию)
х + у = (72-12) : 2    ,    х + у = 30      ,       АВ=30
Ответ : 30

Основание равнобедренного треугольника равно 30 м, а высота, проведённая из вершины основания – 24 м.
Найдите площадь треугольника.
   Дано:
ABC – треугольник
AB=BC
AC=3 см
AD  BC
AD=24 см
Найти: S ABC
 Задача № 8
Решение задачи №8:
S ∆АВС = ½ AD ∙ BC
Найдём ВС, обозначим АВ = ВС = х, тогда DB = x - DC
2. Из ∆АВС найдём DC

DB = x -18

Задача № 9
В равнобедренный треугольник АВС вписана
 окружность. Параллельно его основанию АС
 проведена касательная  к окружности, пересекающая
боковые стороны в точках D и E. Найдите радиус
 окружности , если DE = 8,  AC = 18.
Дано:
АВС- равнобедренный,
О- центр вписанной окружности
DEAC,  DE=8   AC=18

В
D
E
A
C
Найти : r
O

О

В
D
N
E
M
A
C
Решение задачи № 9
1.Четырехугольник  ADEC  -  описанный,
все его стороны касаются окружности  с центром О. Стороны такого четырехугольника
обладают свойством  DE  +  AC  = AD  +  EC.
2. По условию  отрезок DE  параллелен АС, а
так как треугольник  равнобедренный , то
AD = CE,  значит  DE  +  AC  = 2AD.
 Отсюда   AD= 13.
3. Проведем ВМ –высоту  треугольника,
она является  и биссектрисой,  значит центр
вписанной окружности  О  лежит на ВМ
4. Из вершины D  и  Е проведем
  перпендикуляры.
К
L
6. Из  треугольника ADK :
DK = 12 ,  DK=MN =2r  ,
       r = 6  .

5. NL=DE  , AK =LC  и  AK+LC= 18-8=10
AK = 5.
Ответ : 6.

Исторические сведения.
 Треугольник - самая простая замкнутая прямолинейная фигура; одна из первых, свойства которой человек узнал еще в глубокой древности, так как эта фигура всегда имела широкое применение в практической жизни. В строительном искусстве испокон веков используется свойство жесткости треугольника для укрепления различных строений и их деталей. Изображения треугольников и задачи на треугольники встречаются в папирусах, в старинных индийских книгах и в других древних документах. В древней Греции учение о треугольниках развивалось в ионийской школе, основанной в VII в. до н. э. Фалесом, в школе Пифагора и других; оно было затем полностью изложено в первой книге «Начал» Евклида. Понятие о треугольнике исторически развивалось, так: сначала рассматривались лишь правильные, затем равнобедренные и, наконец, разносторонние треугольники.
                      Фалес                                                                       Пифагор
                640/624 до н. э.                                                прим. 570 до н. э.
         Евклид                                                                                II век до н. э.

Справочный материал
Проекция  катета на гипотенузу- отрезок (часть гипотенузы) , соединяющий
 основание перпендикуляра , опущенного из прямого угла
 и конец катета, общий с гипотенузой.
Окружность, касающаяся всех трех сторон треугольника, называется его
 вписанной окружностью
. Окружность, проходящая через все три вершины треугольника, называется его
описанной окружностью.
Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называют
отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и
 делящий угол при данной вершине пополам.
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведенные
к основанию, совпадают.
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника  пересекаются в одной
точке, которая совпадает с центром описанной окружности.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!


title: Презентация на тему: Тригонометрические функции любого угла

text:
-
-
-
70°
90°
180°
270°
360°
0°
-90°
-180°
-270°
-360°
180°
210°
360°
0°
90°
180°
270°
R
R
R
x
R
R
y
x
x
y
R
R


text:
0
0
1
30
2
45
3
60
4
90
4
0
3
30
2
45
1
60
0
90
1.
2.
1.
2.
1.
2.


title: Презентация на тему: Тригонометрия 10 класс

text:
900igr.net
1
1
2
3
4
5
6
3
2
4
1
2
3
1
1
2
1
4
2
  5. http://www.5ballov.ru/referats/preview/74707
  6. http://works.tarefer.ru/50/100176/index.html
  7. http://images.yandex.ru/yandsearch?text


Презентация на тему: Три кита геометрии


title: Презентация на тему: Тригонометрия в окружающем мире и жизни человека

text:
y=2sin(2x+1)

y=3tg4(x+2)

1. y=sinx
2. y=sin(3x)
3. y=5sin(3x)
4. y=5sin(3x-2)
Y=SINX (2X) Y=sin (3x) Y=5 sin 3x Y = 5 sin (3x -2)


title: Презентация на тему: Трёхгранный угол

text:
900igr.net
.
.

.
;
;
;


Презентация на тему: Тригонометрия.


title: Презентация на тему: Три признака равенства треугольников

text:
900igr.net
 D
N
L
M
F
N
L
O
B
S
A
R
S
A
X
B
Z
O
F
B
D
A
A
N
B
C
C
A
B
D
E
F
C
A
B
D
E
F
A
C
B
F
D
E
D (A)
C
F
E (B)
D (A)
E (B)
C
F
E (B)
C
F
D (A)
1
3
2
4


title: Презентация на тему: Трисекция угла

text:
A
B
C
D
O
M
E
1
2
D
K
S
C
B
A
M
O
D
K
S
C
B
A
M
N
O


Презентация на тему: Тригонометрия


Презентация на тему: Учёный Архимед


title: Презентация на тему: Три признака подобия треугольников

text:
900igr.net
A
B
C
D
A
B
D
A1
B1
D1
5
20
15
?
3
4
A
C
B
N
M
K
5
20
15
25
3
4
A
C
B
N
M
K
C
A
C1
A1
C
A
C1
A1
C
A
C1
A1
C
A
C1
A1
C
A
C1
A1
C
A
C1
A1
C
A
C1
A1
C
B
A
D
A
H
D
C
B
1
2
B
A
C
D
1
2
B
A
C
D
1
2
B
C
A
B1
A1
C1
B
C
A
B1
A1
C1
B
C
A
B1
A1
C1
C
A
C1
A1
C
A
C1
A1
C1
B1
A1
B
A
1
2
C
A
C1
A1
C
A
C1
A1
C1
A1
B
A
1
2
MN = 1,5
7,5
5 · 1,5 = 7,5
12
5
4
0,25
6
1
7
13
4
8
11
15
14
5
2
3
12
9
6
10
A
B
C
D
1
2
7
8
A
D
C
B
O
10
M
A
C
B
12
18
T
E
M
40°
F
P
K
20°
.
.
A
K
C
B
10
A
B
C
D
1
2
5
4
A
B
E
C
16
9
A
B
C
D
O
1
2
4
3
A
B
C
D
O
1
2
4
3
2,5
A
B
E
C

D
F
10
4
20
16
5
2,5
A
B
E
C

D
F
10
4
20
16
5

E

A
B
C
  D
F
1
2
A
O
C
B
D
B
E
P
C
A
M
7
6
4
4,5
5,25
1
C
M
A
O
D
B
C
M
A
O
D
B
1
2
3
4
5
7
2
3
4
3
3
4
0,5
2,5
A
B
E
C
D
F
12
9
4
3
18
6
A
B
E
C
D
F
12
9
4
3
18
6
1
2
3
4
5


Презентация на тему: Трёхгранные и многогранные углы