text:
A
A1
C1
B1
B
C
A
C
B
C1
B1
A1
B1
C1
A1
B
C
A
B1
A
B
C
C1
B1
A1
<A=<A1;
AB/A1B1=AC/A1C1;
A
B
C
C1
B1
A1
C2
2
1
A
B
C
C1
B1
A1
A
C
C1
B1
A1
B
C2
2
1


title: Презентация на тему: Подобные треугольники

text:
A
B
D
C
4
6
A
B
C
M
N
5
2
C
A
B
M
N
P
ABC
MNP
B
C
A
D
E
F
Q
H
K
M
N
P
C
A
B
M
N
P
ABC
MNP
C
A
B
M
N
P
ABC
MNP
?


title: Презентация на тему: Подобные треугольники (2)

text:
D
E
F
106
34
106
40
4,4
5,2
7,6
15,6
22,8
13,2
8
12
6
x
y
20
8
10
A
B
C
D
E
F
10
4
8
?
?
7
A
B
C
D
O
25
10
4
A
B
D
C
E
12
1
2
D
B
O
A
C
5
9
6
15
12
?
D
C
O
B
A
15
5
?
?
1
2
A
B
C
D
O
18
12
15
10
A
B
M
C
D
8
3,6
3,9
5
8
7
5
D
M
O
18
A
P
B
C
Q
D
M
N
6
A
B
C
D
K
M
N
P
bc
ac
a
b
h
30°
60°
45°


Презентация на тему: Появление неравенства и знати - урок истории Древнего мира


title: Презентация на тему: "Полезные ископаемые. Закрепление

text:
http://nsportal.ru/nachalnaya-shkola/okruzhayushchii-mir/poleznye-iskopaemye-4-klass
http://nsportal.ru/nachalnaya-shkola/okruzhayushchii-mir/library/test-poleznye-iskopaemye
http://yvision.kz/post/208473
http://www.youtube.com/watch?v=RRqoxDYtTSA
http://www.kz.all.biz/dobycha-poleznyh-iskopaemyh-bsr200?page=5


title: Презентация на тему: Полуплоскость, Луч, Прямая

text:
D
D


title: Презентация на тему: Показательная функция и ее применение

text: m = ?


title: Презентация на тему: Полупрямая

text:
N
K
b
c
d
a
b
e
n
K
E
C
D
A
O
N
B
E
A
B
D
C
K


Презентация на тему: Полуправильные многогранники


title: Презентация на тему: Понятие цилиндра

text:
 Algebra & GeometriaEntertainment
 Film by:
The end
A. Shevchenko
R. Trushenkov
L
L1
R
h
A
B
C
D
h
2¶ r


title: Презентация на тему: Понятие цилиндра

text:
0
R
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
S(ABCD)=S(A1B1C1D1)
H
R
H = 2R
h
r
S =2
h
2
=
45º
5
r=2,5
r
D
O
O1
R
H
R=
H=
O
O1
A
B
C
D
K
ABCD-
H
OK
R
D
R=0,5AD=5
S=50

D
R=0,5AD=5
S=50


title: Презентация на тему: «Площадь Чи-Чао-Ту»

text:
?
b

b
a
b
?
10
9
6
12
8
4


title: Презентация на тему: «Понятие цилиндра»


title: Презентация на тему: ПОНЯТИЕ ЦИЛИНДРА


Презентация на тему: Понятие цилиндра


Презентация на тему: Понятие движения


title: Презентация на тему: Понятие цилиндра

text:
4
20
7


text:
B
C
B1
C1
1
2
A
H
B
D
C
300
450
600
sin a
cos a
tg a
1
ctg a
1


title: Презентация на тему: Понятие цилиндра

text:
0
R
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
S(ABCD)=S(A1B1C1D1)
H
R
H = 2R
h
r
S =2
h
2
=
45º
5
r=2,5
r
D
O
O1
R
H
R=
H=
O
O1
A
B
C
D
K
ABCD-
H
OK
R
D
R=0,5AD=5
S=50


title: Презентация на тему: Понятие движения

text:
L
L
L
F
E
O
E1
F1


title: Презентация на тему: Понятие движения 9 класс

text:
l
A
l
F
K
L
l
C
D
N
M
F
K
L
C
D
N
M
l
M
N
M1
N1
l
M
N
M1
N1


Презентация на тему: Подружитесь с угольком


title: Презентация на тему: «Подобные треугольники» 8 класс

text:
5klass.net
B
C
B1
C1
1
2
A
H
B
D
C
300
450
600
sin a
cos a
tg a
1
ctg a
1


title: Презентация на тему: «Понятие движения»

text:
a
M
P
M1
a
M
N
M1
N1
P
P


title: Презентация на тему: Положение плоскости относительно плоскостей проекций

text:
x

x
A1
B1
A
0
B
C

x
A2
B2
A
0
B
C
x

x
A
0
B
C
A3
B1
z
y
x
z

A1
B1
A
A2
Ax
0
B
B2

//
//
//
//
//
//
//
//
z
y


title: Презентация на тему: Понятие движения

text:
a
M
P
M1
a
M
N
M1
N1
P
P


title: Презентация на тему: Понятие многогранника

text:
A
C
D
E
F
B


title: Презентация на тему: Понятие движения в геометрии

text:
900igr.net

F
F'
O
X
X'

y=k/x


title: Презентация на тему: Понятие движения


title: Презентация на тему: Понятие движения

text:
5klass.net

l
A
l
F
K
L
l
C
D
N
M
F
K
L
C
D
N
M
l
M
N
M1
N1
l
M
N
M1
N1


title: Презентация на тему: Понятие объема. Объем призмы

text:
V1=V2
V=V1+V2+V3
a
b
c=H
a
b
c=H
x
0
x
A
B
A1
C1
E1
D
E
M
M1
C
D1
B1
A
B
C
A1
B1
C1
D1
E1
D
E
M
M1
H
B1
B
M1
M
F1
F
A
B
C
K
A1
B1
C1
F
H
m
B
C
K
A1
B1
C1
A
K1
m
B
C
K
B1
C1
K1
m
A
B
C
B1
H
A1
C1
x
x
0
H
A1
A2
An
B1
B2
Bn


title: Презентация на тему: Подібність прямокутних трикутників

text:
Підготувала
  вчитель  математики
Олексіївської  ЗОШ,
Нікопольсьский район
Гудзь  Ольга Володимирівна
Подібність
 прямокутних
трикутників

Мета уроку:-узагальнити  ознаки  подібності  трикутників  для  прямокутних  трикутників, -сформулювати  властивості  висоти прямокутного  трикутника, проведеної  до  гіпотенузи,-визначити  практичну  необхідність  використання  ознак  подібності  трикутників,

А
С
L
Р
К
М
Н
Т
О

F
S
В

Повторення  опорного  матеріалу
Дайте  відповіді  на  запитання
   - Який  трикутник  називається  прямокутним?
  -  Як  називається  найбільша  сторона  прямокутного  трикутника?
  - Як  називаються  дві  інші  сторони  прямокутного  трикутника?
   - Сформулювати  властивість  катета  прямокутного  трикутника, що  лежить  проти  кута  30°.
  - Cформулювати  ознаки  подібності  трикутників.

А
В
С
С1
В1
А1
Блиц-опрос
Дано:
6см
7см
8см
Найдите: х, у, z.
х
у
z
12см
14см
16см

А
В
С
С1
В1
А1
Блиц-опрос
Дано:
18см
7см
6см
Найдите: х, у.
х
у
21см
24см

8см
А
В
С
С1
В1
А1
Блиц-опрос
Дано:
16см
14см
8см
Найдите: х, у.
х
у
7см
6см

12см

Два  прямокутні  трикутники  подібні, якщо  гострий  кут  одного  трикутника  дорівнює  гострому  куту  другого  трикутнику.

А
В
С
Р
К
М

Два  прямокутні  трикутники  подібні, якщо катети одного пропорційні  катетам  другого  трикутника.

А
В
С
Р
К
М
АВ : РК = ВС : КМ

Два  прямокутні  трикутники  подібні, якщо катет і гіпотенуза одного пропорційні катету і гіпотенузі  другого  трикутника.

А
В
С
Р
К
М
АВ : РК = АС : РМ
ВС : КМ = АС : РМ

А
С
В
Н

АСН

СВН
Подібні
АН : СН = СН : НВ
СН² = АН • НВ

СН = √АН • НВ
Висота  прямокутного  трикутника, проведена  до  гіпотенузи, є  середнім пропорційним відрізків, на які ця висота ділить гіпотенузу.

А
С
В
Н

АСН

АВС
Подібні
АС : АВ = АН : АС
АС² = АВ • АН

АС = √АВ • АН
Катет  прямокутного  трикутника є середнім пропорційним гіпотенузи і проекції цього катета на гіпотенузу.
Тренувальні  вправи
Чи  подібні  прямокутні трикутники?

55°
35°

12
  30

  36
  65

А
С
В
Н
х
х
4
6
6² = 4•х,  х = 9

12
3
х

А
С
В
Н
х² = 3•12,  х² = 36, х=6

А
С
В
Н
х
9
3
х² = 3•12,  х = 6

3
х

А
С
В
Н
3² = 1•(1+х)
9 =1+х, х=8
1
Домашнє завдання

Вивчити  пар. 12, №542,544,546
Спасибо за урок


title: Презентация на тему: Появление термина "золотое сечение"

text:
Презентация по теме: «Золотое сечение»
Тамели Максима
Что такое «золотое сечение?»
Золотое сечение (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении) — деление непрерывной величины на две части в таком отношении, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величине. Это отношение равно примерно 5:8, а если точно - 1.61803399.

Пример золотого сечения
Отрезав квадрат от прямоугольника, построенного по принципу золотого сечения, мы получаем новый, уменьшенный прямоугольник с тем же отношением сторон.
История «золотого сечения»
Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.
Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.

История «золотого сечения»
Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог «Тимей» посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления.
В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.
В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» дается геометрическое построение золотого деления После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.
В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась «О перспективе в живописи». Его считают творцом начертательной геометрии.

Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение – цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок.
«Золотое сечение Леонардо»
Термин "золотое сечение" ввел Леонардо да Винчи. Если человеческую фигуру - самое совершенное творение вселенной - перевяжем поясом и отмерим потом расстояние от пояса до ступней, то эта величин будет относиться к расстоянию от того же пояса до макушки, как весь рост человека относится к длине от пояса до ступней.
Спасибо !


title: Презентация на тему: ПОДСЧЕТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР

text:
ПОДСЧЕТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕБУСЫ
Поставь знаки действий между некоторыми цифрами так, чтобы равенства стали верными:
А) 3  3  3=30;
Б) 3  3  3  3=30;
В)3  3  3  3  3=30.
ЗАДАЧИ НА ПЕРЕЛИВАНИЯ
	Степашка с Филей приготовили в кастрюле 8 л морса. С помощью трехлитровой и пятилитровой банок они разлили весь морс поровну. Как они смогли это сделать?

Как набрать из реки 6 л воды, если имеется 2 ведра: одно емкостью 4 л, а  другое-9 л.

КОМБИНАТОРИКА
1. Сколько существует двузначных чисел, в записи которых все цифры нечетные?
2. Сколько существует двузначных чисел, которые записываются различными нечетными цифрами?
3. Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых все цифры четные?
4. Сколько существует трехзначных чисел, которые записываются различными четными цифрами?
5.Семье, состоящей из бабушки, папы, мамы, дочери и сына, подарили 5 разных чашек. Сколькими способами можно разделить чашки между членами семьи?

ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
Карлсон, Винни-Пух и Сиропчик участвовали в конкурсе сладкоежек. Карлсон не занял второго места. Винни-Пух не занял ни первого, ни второго места. Какое место занял Карлсон?

Антон, Володя и Юра пришли в гости к Мише. Они долго беседовали о том, как им удалось провести каникулы.-Ну, Боков, ты наконец научился плавать?- спросил Володя.-О, еще как,-ответил Боков,-могу теперь потягаться в плавании с тобой и Антоном.-Посмотрите, какую коллекцию марок я собрал, - сказал Петров, прерывая разговор друзей, и достал из шкафа альбом с марками.Всем, особенно Лукину и Антону, марки очень понравились. А Самохин обещал показать товарищам собранную им коллекцию наклеек.Определите имя и фамилию каждого мальчика.-
МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ
Вставь в пустые клетки квадрата числа 4,6,9,10,11,12 так, чтобы квадрат стал «магическим».

МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ
Вставь в пустые клетки квадрата числа 2,3,4,5,7,8,9,10 так, чтобы квадрат стал «магическим».

ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
 1	 Лена, Рита и Оксана договорились купить к празднику 12 пирожных. Рита купила 5 штук по одной и той же цене, Оксана – 7 штук по той же цене, а Лена вместо своей доли пирожных внесла 24 р. Как Рите и Оксане разделить между собой эти деньги, если Лена, Рита и Оксана съели пирожных поровну?
 Богатый горожанин оставил два дома в наследство трем сыновьям. Сыновья решили разделить наследство поровну. Каждому из двух старших братьев достался дом, а младшему выделили деньги: каждый из братьев дал ему 500 динариев. Сколько динариев стоит один дом?
  По двору гуляют козы и гуси. Известно, что всего у них 8 голов и 26 ног. Сколько гусей гуляет по двору?
  Лошадь съедает стог сена за 1 месяц, коза за 2 месяца, овца за 3 месяца. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же стог сена?


title: Презентация на тему: Понятие четырехугольников, их виды и формы

text:
ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
Обобщающий урок геометрии 8класс
ВЗГЛЯД В ПРОШЛОЕ
Прежде, чем мы приступим к повторению материала, представляется необходимым обратиться к геометрии древних времен, в частности, в той ее части, которая касается изучаемой темы.
В древних египетских и вавилонских математических документах встречаются следующие виды четырехугольников: квадраты, прямоугольники, равнобедренные и прямоугольные трапеции.
Термин «параллелограмм» греческого происхождения и был введен Евклидом.

Слово «ромб» тоже греческого происхождения, оно означало в древности вращающееся тело, веретено, юлу.
«Трапеция» - слово греческое, означавшее в древности «столик». В «Началах» термин «трапеция» применяется не в современном, а в другом смысле: любой четырехугольник (не параллелограмм).
«Трапеция» в нашем смысле встречается впервые у древнегреческого математика Посидония(1в.)

Предложение о том, что средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований, было известно древним египтянам, оно содержится и в трудах Герона Александрийского.

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не пересекаются.
ВИДЫ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ
параллелограмм
ромб
прямоугольник
квадрат
трапеция

параллелограмм
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
признаки параллелограмма
Четырехугольник является параллелограммом, если:
Две его противоположные стороны равны и параллельны.
Противоположные стороны попарно равны.
Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Свойства параллелограмма
противолежащие стороны равны;
противоположные углы равны;
диагонали точкой пересечения делятся пополам;
сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:
d12+d22=2(a2+b2).
ромб
Ромбом называется параллелограмм, у которого
 все стороны равны.
признаки ромба
Параллелограмм является ромбом, если:
Две его смежные стороны равны.
Его диагонали перпендикулярны.
Одна из диагоналей является биссектрисой его угла.
Свойства ромба
все свойства параллелограмма;
диагонали перпендикулярны;
диагонали являются биссектрисами его углов
прямоугольник

Прямоугольником называется параллелограмм,
 у которого все углы прямые
признаки прямоугольника
Параллелограмм является прямоугольником, если:
Один из его углов прямой.
Его диагонали равны.
свойства прямоугольника

-все свойства параллелограмма;
-диагонали равны
.

квадрат
Квадратом называется прямоугольник,
 у которого все стороны равны.
признаки квадрата
Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба
свойства квадрата
все углы квадрата прямые;
диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам
ДЕТСКИЙ СТИШОК О ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКАХ
Один квадрат в жару и стужу
Весь день с утра смотрелся в лужу.
Ему хотелось сосчитать
Свои углы- три или пять?
Один, два, три, а дальше- стоп!
Он больше трех считать не мог.
Ему пришел на помощь брат:"Не плачь, мой маленький
 Квадрат!Ты улыбнись, братишка шире.
У нас с тобой угла- четыре!
Мы все- отличная семья
Четырехугольники-друзья.

Вот ты, хотя и маловат
,Вполне квадратненький Квадрат.
Все стороны твои равны-
Что по бокам, что со спины.
Прямоугольник я- твой брат.
И быть таким я очень рад!
Без нас с тобою жизнь- беда.
Нужны мы всем, везде, всегда!
Прямоугольное окно-
Чтоб в доме не было темно.
Прямоугольник- шоколадка.
Кусни- и будет очень сладко!
А книги, ранец и тетрадь-
Все невозможно сосчитать!
информационные источники
1.http://www.college.ru/mathematics/courses/planimetry/content/scientist/eukleides.html2.http://tmn.fio.ru/works/97x/311/geron.htm3.www.univer.omsk.su/omsk/edu/rusanova/tetrangl.htm4.pihtovk.chasty.ocpi.ru/p63aa1.html5.zhurnal.lib.ru/c/churbanowa/m/detskijstishokprochetyrehugolxnikj,shtml.
ЕВКЛИД
Евклид (Eνκλειδηζ), древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике.
Сведения об Евклиде крайне скудны. Достоверным можно считать лишь то, что его научная деятельность протекала в Александрии в III веке до н. э. Евклид – первый математик александрийской школы. Его главная работа «Начала» (в латинизированной форме – «Элементы») содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел ; в ней он подвел итог предшествующему развитию греческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики.

ПОСИДОНИЙ

Посидоний — математик и
Посидоний — математик и астроном, родился в Апамее в Сирии в 135 г., умер в Риме в 50 г. до Р. Хр. Жил долго в Родосе. Был учителем Цицерона. Известен второй попыткой определить размеры земного шара (первая принадлежит Эратосфену).

ГЕРОН АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ

Герон Александрийский; Heron, I в. н. э., греческий механик и математик. Время его жизни неопределенно, известно только, что он цитировал Архимеда (который умер в 212 г. до н. э.), его же самого цитировал Папп (ок. 300 г. н. э.). В настоящее время преобладает мнение, что он жил в I в. н. э. Занимался геометрией, механикой, гидростатикой, оптикой; изобрел прототип паровой машины и точные нивелировочные инструменты. Наибольшей популярностью пользовались такие автоматы Г., как автоматизированный театр, фонтаны и др. Г. описал теодолит, опираясь на законы статики и кинетики, привел описание рычага, блока, винта, военных машин. В оптике сформулировал законы отражения света, в математике — способы измерения важнейших геометрических фигур.


title: Презентация на тему: Понятие центральной симметрии

text:
Движения.
Центральная симметрия
Выполнила ученица 11 класса Гейнрих Юлия
Проверила учительница математики Яковенко Елена Алексеевна
5klass.net
Содержание:
Определение
Доказательство
Применение в жизни
Применение в природе
Решение задачи

Центральная симметрия

Преобразование, переводящее каждую точку А фигуры в точку А1 , симметричную ей относительно центра О, называется центральной симметрией.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
О
О – центр симметрии (точка неподвижна)
А
А1
B
B1
C
C1
Центральная симметрия
Точки М и М1 называются симметричными относительно точки А, если A – середина MM1 .
A – центр  симметрии

A
M
M1
Фигура называется симметричной относительно центра симметрии, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка также принадлежит этой фигуре.

Однако можно заметить, что центральная симметрия является частным случаем поворота, а именно, поворота на 180 градусов. Действительно, пусть при центральной симметрии относительно точки O точка X перешла в X'. Тогда угол XOX'=180 градусов, как развернутый, и XO=OX', следовательно, такое преобразование является поворотом на 180 градусов. Отсюда также следует, что центральная симметрия является движением.

   В курсе планиметрии мы знакомились с движениями плоскости , т.е. отображениями плоскости на себя, сохраняющими расстояния между точками. Введем теперь понятие движения пространства. Предварительно разъясним, что понимается под словами отображение пространства на себя.
    Допустим, что каждой точке М пространства поставлена в соответствие некоторая точка М1, причем любая точка М1 пространства оказалась поставленной в соответствие какой-то точке М. Тогда говорят, что задано отображение пространства на себя.
    Движение пространства- это отображение пространства на себя, сохраняющее расстояние между точками.

A
M
M1
     Центральная симметрия является движением, изменяющим направления на противоположные. То есть если при центральной симметрии относительно точки O точкам X и Y соответствуют точки X' и Y', то
                              XY= - X'Y'
                        Доказательство:
    Поскольку точка O - середина отрезка XX', то, очевидно,
    OX'= - OX
    Аналогично
    OY'= - OY
    Учитывая это, находим вектор X'Y':
    X'Y'=OY'OX'=OY+OX=(OYOX)= XY
    Таким образом, X'Y'=XY.

   Доказанное свойство является характерным свойством центральной симметрии, а именно, справедливо обратное утверждение, являющееся признаком центральной симметрии: "Движение, изменяющее направления на противоположные, является центральной симметрией."

            Задача:
Докажите, что при центральной симметрии:
а)прямая, не приходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую;
б)прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.
Заключение
	Симметрию можно обнаружить почти везде, если знать, как ее искать. Многие народы с древнейших времен владели представлением о симметрии в широком смысле – как об уравновешенности и гармонии. Творчество людей во всех своих проявлениях тяготеет к симметрии. Посредством симметрии человек всегда пытался, по словам немецкого математика Германа Вейля, «постичь и создать порядок, красоту и совершенство».


title: Презентация на тему: Понятие осевой симметрии

text:
900igr.net

A
A1
B
B1
z
x
y
o
f
f
l
a
b
A
B
A1
B1


title: Презентация на тему: Понятие пирамиды

text:
S
B
 H
A
C
S
K
D
B
M
A

H
C
A
B
K
S
D
M
L
H

S
B
A
H
K
S
D
C
B
A
H
S
C
K
B
M
A
H
S
H
A
B
://


Презентация на тему: Понятие призмы


title: Презентация на тему: Понятие площади и объёма

text:
S 2
 S 1
S = S1 + S2
D
E
D1
E1
SABCDE = SA1B1C1D1E1
D
2
3
4
5
6
1
A
B
C
D
A
B
C
D
S=ab
b
a
9
8
S=?
A
B
C
D
A
B
C
D
a
S=?
9
  ?
?
?
?
N5
N6
N7
N8
1
2
3
4
5
5
6
7
8
?
1
2
3
4
5
5
6
7
8
?

a
b
c
V=abc
4
3
5
a
5
4
?
?
N13)
N14)
N15)
2
N6)
2
2
2
2
3
3
3
2


text:
B1
B2
Bn
h
1
2
h
h
1
2
3
4
12
5
45º
?
D
A1
D1
C1
B1
5
?
?
?
D
A1
B1
C1
D1
45º
12
5
13
13
45º
8
6
8
6


title: Презентация на тему: Понятие пирамиды

text:
5klass.net

S
B
 H
A
C
S
K
D
B
M
A

H
C
A
B
K
S
D
M
L
H

S
B
A
H
K
S
D
C
B
A
H
S
C
K
B
M
A
H
S
H
A
B
://


title: Презентация на тему: Понятие площади многоугольника

text:
5klass.net
a
b
a
b
D
M
K
D
M
K
S = a·h
30
12
D
A
B
C
D
8
10
30
A
B
C
D
45
15,2
A
B
C
D
45
4
A
B
C
D
H
16
22
11
D
A
B
C
D
M
K
B
C
D
M


title: Презентация на тему: Понятие вектора

text:
5klass.net
C
D
a
b
c
A
B
a
C
D
N
a
C
D
b
F
K
O
m
N
P
a
C
D
F
K
b
C
D
a
F
K
b
M
a
C
D
F
K
b
a
b
M
C
CC = MM
a = b
N'
N
p
a
b
d
c
K
L
M
N
A
B
C
D


title: Презентация на тему: Понятие площади

text:
900igr.net
   0        1         2        3        4         5         6        7        8
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII


Презентация на тему: Понятие многогранника призмы


text:
Понятие многогранника

Выполнила:
учитель математики
МБОУ «СОШ №40» г. Кемерово Ю.В. Нелаева
1. Сумма углов треугольников равна…
180 градусов
2. Свойства углов равнобедренного треугольника при основании.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
3. Острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны …
45 градусам
4. Свойство катета, лежащего против угла в 300
Катет , лежащий против угла  в 30 градусов, равен половине гипотенузы
5. Что называется углом между прямой и плоскостью?

Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Повторение изученного материала

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД
ТЕТРАЭДР

Повторение изученного материала
Понятие    многогранника
поверхность, составленную из многоугольников   и        ограничивающую некоторое геометрическое тело, называют многогранной поверхностью или многогранником.
Определение:

ПРИМЕРЫ    многогранника

Многоугольники, из которых состоит многогранник, называются гранями многогранника.

Стороны граней называют ребрами, а концы ребер вершинами многогранника.

Отрезок, соединяющий противоположные вершины грани называется диагональю грани многогранника, а отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани называется диагональю многогранника.

Заполните таблицу:
Эйлерова  характеристика равна

ЧИСЛО ВЕРШИН – ЧИСЛО РЕБЕР + ЧИСЛО ГРАНЕЙ

многогранники
Выпуклые

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону  от плоскости каждой его грани
Невыпуклые

Решение задач
№ 219,
№220,
№223

Домашнее задание
Вопросы 1,2 к гл.3
№220;
№295 (а,б)
№296 (в,г) – для боле подготовленных учеников


title: Презентация на тему: Понятие вектора в пространстве

text:
900igr.net
v
+
0
0
= 0
A
B
C
D
D1
A1
C1
AA1       BB1,  A1D      B1C
AB    D1C1
CD    D1C1,   CD    AB,
DA    BC
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1

DC1 =
DB =
DB1 =
D
N
Q
MN = QP;  PN = QM;  DP = PC;
NP=MQ, NP\MQ.
PQ=MN, PQ\MN.
NP=MQ=PQ=MN
NP\MQ
MN\PQ
D
D1
CC1 = DD1
DK = CM
9
15

1
2
4
5
6
7


title: Презентация на тему: Построение биссектрис треугольника

text:
D
X
Z
D
k
Z
X
D
s
F
X
Z
D
F
D
F


title: Презентация на тему: Понятие вектора

text:
a
a
M
MM  = 0
MM
0
N
E
F
A
C
D
AB
CD
NN
0
A
+
E
B
a
b
c
a
b
c
a
c
b
o
a
o
c
o
b
a
b
c
b
a
b
c
D
b
a
a
b
=
1
2
AD  = BC.
a
a
a
a
c
a
a
c
=
c
a
c
a =
a
n
c
D
a
1
2
D
4
3
3
4
3
1,5
4
5
5
M
M
N
P
Q
MN
QP
NM
PQ
QM
PN
MQ
NP
M
N
P
Q
MN
PQ
NM
QP
MQ
PN
QM
NP
D
DA
AD
DA
AD
F
G
H
D
M
N
L
K
NL  = KL;
MS  = SN;
MN  = KL;
TS  = KM;
S
T
TL  = KT.
N
M
m
D
m
?!
!
MC  = AN;    AM = NC;
BM =  DN ;   MC = AN ;   AM = NC .
D
4
4
D
300
6
12
= 12
D
O
DO
10
= 2
16
8
6
2
= 4
A
B
C
D
12
5
450
5
5
7
7


title: Презентация на тему: Понятие вектора в геометрии

text:
5klass.net
     m

   P        F

t
v
b
S

N
Q
P
S
Z
D
H
S
m
g
R
T
b
a
F
D
H
S
D1
D
C
2


Презентация на тему: Построение циркулем и линейкой


title: Презентация на тему: Построение аксонометрических проекций

text:
0
X
Z
Y
X
X
Y
Y
Z
Z
0
0
90*
45*
120*
120*
120*
X
Y
Z
0
X
Y
Z
0
X
Y
Z
0
X
Z
0
Y
X
Y
Z
0
X
Z
0
Y
X
0
Y
Z
Y
Z
0
90*
45*
X
X
Z
Y
0
Z
Y
0
X


Презентация на тему: Построение диаграмм и графиков


Презентация на тему: Построение геометрических фигур


Презентация на тему: Построение графической модели


Презентация на тему: Построение двумерной флаговой геометрии на основе системы аксиом Вейля


text:
     m

   P        F

t
v
b
S

N
Q
P
S
Z
D
H
S
m
g
R
T
b
a
F
D
H
S
D1
D
C
2


title: Презентация на тему: Понятия стереометрии

text:
B
P
N
1
a
A
B
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
   0        1         2        3        4         5         6        7        8         9       10      11      12       13      14      15      16
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
   0        1         2        3        4         5         6        7        8         9       10      11      12       13      14      15      16
a
N
a
C
A
B
a
A
B
a
b
b
a
b


Презентация на тему: Построение геометрических тел


Презентация на тему: Построение графика функции у=а(х-m)²+n


title: Презентация на тему: Построение четвёртого пропорционального отрезка

text:
2011
A
B
C
D
E
F
4
5
9
13
A
B
C
D
E
F
7
9
C
E
D
B
350
?
M
K


title: Презентация на тему: Понятие вектора, равенство векторов


title: Презентация на тему: Построение касательной к окружности

text:
5klass.net
D
?
r
r
r
d
d<r
d
r
d=r
d
r
d>r
D
B
5
12
?
1200
9
4
2
N


Презентация на тему: Построение общих касательных к двум окружностям на плоскости


title: Презентация на тему: Построение гиперкуба

text:
1
2
1
4
4
1
8
12
6
1
16
32
24
8
1
32
80
80
40
10


Презентация на тему: Построение графиков гармонических колебаний


title: Презентация на тему: Понятие многогранника

text:
Понятие многогранника
Л.С. Атанасян   "Геометрия 10-11"
Призма
Параллелепипед – поверхность, составленная из шести параллелограммов.
Тетраэдр – поверхность, составленная из четырех треугольников.
Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть многогранной поверхностью или многогранником.
Октаэдр составлен из восьми треугольников.
Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются
гранями.
Стороны граней называются ребрами, а концы ребер – вершинами.
Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.

Прямоугольный параллелепипед
Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.

Невыпуклый многогранник

Призма

А1
А2
Аn
B1
B2
Bn
B3
А3
Многогранник, составленный из двух равных многоугольников А1А2…Аn и В1В2…Вn, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов, называется призмой.

n-угольная призма.

Многоугольники
А1А2…Аn  и  В1В2…Вn  – основания призмы.

Параллелограммы А1В1В2В2,  А2В2В3А3 и т.д. боковые грани призмы

Призма

А1
А2
Аn
B1
B2
Bn
B3
А3
Отрезки А1В1, А2В2 и т.д. -
боковые ребра призмы

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.

Если боковые ребра перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае наклонной.
Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Прямая призма называется правильной, если ее основания  - правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани – равные прямоугольники.

Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех граней, а площадью боковой поверхности призмы – сумма площадей ее боковых граней.
h
h

Pocн

                 В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 450. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

№ 219.
В
С
А1
D1
С1
В1

?

D
А
12 см
5 см

                 Основанием прямого параллелепипеда является ромб с диагоналями 10 см и 24 см, а высота параллелепипеда 10 см. Найдите большую диагональ параллелепипеда.

№ 220.
В
С
А1
D1
С1
В1

?

D
А
24
10
10 см

            Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро равно 6 см. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания.
№ 221.

А
В
С
С1
В1
А1

8
6
8
8
8

10

            Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 25 см и 9 см и высотой 8 см. Найдите двугранные углы при боковых ребрах призмы.
№ 222.

25
9
8

H
В
С
D
А1
D1
С1
В1
А

9

            Через два противолежащих ребра проведено

сечение, площадь которого равна            см2. Найдите ребро куба и его диагональ.

№ 223.
D
А
В
С
А1
D1
С1

В1

a
a
a

S=

              Диагональ правильной четырехугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол в 300. Найдите угол между диагональю и плоскостью основания.
№ 225.

В
С
А1
D1
С1
В1

D
А

a
2a

            В правильной четырехугольной призме через диагональ основания проведено сечение параллельно диагонали призмы. Найдите площадь сечения, если сторона основания призмы равна 2 см, а ее высота 4 см.

№ 226.
D
А
В
С
D1
С1

В1
А1

2
2
4

O
 N

А
B
 C1
B1
А1
 C
             Основанием наклонной призмы АВСА1В1С1 является равнобедренный треугольник АВС, в котором АС=АВ=13см, ВС=10см,а боковое ребро призмы образует с плоскостью основания угол в 450. Проекцией вершины А1 является точка пересечения медиан треугольника АВС. Найдите площадь грани СС1В1В.
№ 228.

13
13
10

1200

А1
             Основание прямой призмы – треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом в 1200 между ними. Наибольшая из площадей  боковых граней равна 35 см2. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
№ 230.
А
В
С
С1
В1
3
5

S=35 см2

              Стороны основания прямого параллелепипеда равны 8 см и 15 см и образуют угол в 600. Меньшая из площадей диагональных равна 130 см2. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.
№ 231.

В
С
А1
D1
С1
В1

D
8
15

600
S=130см2

А

                Докажите, что площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.
№ 236.
A3
A4
S1=A1A2* l

S2=A2A3* l
S3=A3A4* l
S4=A4A1* l

                Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы равно 12 см, а перпендикулярным сечением является ромб со стороной 5 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
№ 237.
А
В
 С
D
А1
D1
 С1
12
5

А
B
 24
 C1
B1
А1
 C
 35
12
                В наклонной треугольной призме две боковые грани взаимно перпендикулярны, а их общее ребро, отстоящее от двух других боковых ребер на 12 см и 35 см, равно 24 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
№ 238.

D

d
                Диагональ прямоугольного параллелепипеда, равная d, образует с плоскостью основания угол    , а с одной из боковых граней – угол    . Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.
№ 232.
А1
В1
С1
D1

А
В
С

                 Основание прямой призмы АВСА1В1С1 является прямоугольный треугольник АВС с прямым углом В. Через ребро ВВ1 проведено сечение ВВ1D1D, перпендикулярное к
                                                      плоскости грани АА1С1С.
                                                      Найдите площадь сечения,
                                                      если АА1=10см, АD=27см,
                                                                                DC= 12см.

№ 233.
А
С
В
В1
А1
С1
10
27
12

Sсеч = 10 * 18

                 Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник. Через середину гипотенузы перпендикулярно к ней проведена плоскость. Найдите Sсеч ,
                                                  если катеты равны 20см и 21см,
                                                      а боковое ребро равно 42 см.

№ 234.
А
С
В
В1
А1
С1
42
20
21

D

      Высота правильной четырехугольной призмы равна        , а сторона основания – 8 см. Найдите расстояние между вершиной А и точкой пересечения диагоналей грани DD1С1С.
А1
В1
С1
D1

А
В
С

О
8
8


text:
Построение аксонометрических проекций
Способы выполнения аксонометрий предметов
-1-Способ построения «от формообразующей плоскости»

Чертёж предмета в системе прямоугольных проекций

0
X
Z
Y
Этапы построения аксонометрических проекций:
1.Построение осей:

Диметрическая проекция

X
X
Y
Y
Z
Z
0
0

90*
45*

120*
120*
120*
Изометрическая
проекция
2. Обнаружение и воспроизведение формообразующей грани
Изометрическая проекция

X
Y
Z
0
Диметрическая проекция

X
Y
Z
0

3. Определение направления третьего измерения
Изометрическая проекция

X
Y
Z
0
Диметрическая проекция

X
Z
0

Y
4. Выявление толщины изображенного предмета
Изометрическая проекция

X
Y
Z
0
Диметрическая проекция

X
Z
0

Y
-2-Способ наращивания частей

Чертёж предмета в системе прямоугольных проекций

X
0
Y
Z
Этапы построения аксонометрических проекций:
1.Построение осей:
Диметрическая проекция

Y
Z
0

90*
45*
X
2. Выделение и построение изображения наиболее крупной части предмета

X
Z
Y
0

3. Наращивание изображений частей предмета (в начале призматической, а затем цилиндрической формы)

Z
Y
0
X


title: Презентация на тему: Построение отрезка по формуле

text:
(b>a)
a
a
a
a
a
a
a


Презентация на тему: Построение объёма


title: Презентация на тему: Понятие вектора в пространстве

text:
Понятие вектора в пространстве
Автор: Кучаева Гульнара Азатовна, учитель математики
МОБУ «СОШ № 73»
 г. Оренбурга
Понятие вектора
Вектор – отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой – концом.
А
В
Любая точка пространства также рассматривается как вектор. Такой вектор называют нулевым.

М

Понятие вектора
Под длиной ненулевого  вектора        понимают длину отрезка АВ.

Обозначение:     |      |, |a|

Длина нулевого вектора считается равной нулю

				|0|=0

Коллинеарность векторов
Ненулевые вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Коллинеарные вектора
сонаправленные
противоположно направленные

Сонаправленность векторов
Сонаправленные векторы – векторы, лежащие по одну сторону от прямой, проходящей через их начала.

Нулевой вектор считается сонаправленным с любым вектором

a ↑↑ b
Противоположная направленность векторов
Противоположно направленные векторы – векторы, лежащие по разные стороны от прямой, проходящей через их начала.

a ↑↓ b
Равенство векторов

М
N
Противоположность векторов
Вектора называются противоположными, если они противоположно направленны и их длины равны.

Проверь себя!

ОТВЕТЫ
ОТВЕТЫ
да;
нет, могут быть противоположно направленными;
да;
нет, вектора могут иметь разную длину;
да.

Решение задач

D
A
B
C
M

N
K
Решение задач
M

К

Домашнее задание
§ 1 (с. 84-85),
№ 320 (б), 321 (а), 322 (б), 326 (а, б).
источники
Геометрия. 10—11 классы : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / [Л. С. АТАНАСЯН, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]


title: Презентация на тему: Понятие прямоугольнаой системы координат в пространстве

text:
Прямоугольная система координат в пространстве.
Геометрия – 11 класс
Цели урока:
Ввести понятие  системы координат в пространстве.
Выработать умение строить точку по заданным координатам и находить координаты точки, изображенной в заданной системе координат.
Повторение:
1. Даны точки  А ( - 1; 7 ) и В ( 7; 1).
а)  Найдите координаты середины отрезка АВ.

С ( 3; 4)
б)  Найдите длину отрезка АВ.

|АВ| = 10
Повторение:
2. Запишите координаты  вектора

Ненулевые векторы наз. коллинеарными, если они
лежат либо на одной прямой, либо на параллельных
прямых

3. Среди векторов
    укажите пару коллинеарных векторов.

?

k < 0
k > 0

Повторение:
4. Найдите координаты вектора         , если
    Е ( -2; 3), F ( 1; 2).

5. Найдите расстояние между точками
    А (а; 0) и В (b; 0).

Вопросы:
1. Сколькими координатами может быть задана точка на прямой?
Одной.
2. Сколькими координатами может быть задана точка в координатной плоскости?
Двумя.
3. Сколькими координатами может быть задана точка в пространстве?
Вопрос урока.
Задание прямоугольной системы координат в пространстве:

О

y
Оy      Оz
Оz      Оx

Оy      Оx

x
z
1
1
1

A
A (1; 1; 1)
Ох – ось абсцисс
Оу – ось ординат
Оz – ось аппликат
Определите координаты точек
на рис. 116 учебника.
Нахождение координат точек.(Работа с учебником по рис 116)
Точка лежит
на оси
Оу (0; у; 0)
Ох (х; 0; 0)
Оz (0; 0; z)
в координатной плоскости
Оху (х; у; 0)

Охz (х; 0; z)
Оуz (0; у; z)
№ 400 – устно.
Решение задач.
№ 401 (а)  Рассмотрим точку А (2; -3; 5)

х
у
z
0

2
5
-3
A
1) A1 :  Oxy
A1
A1 (2; -3; 0)
A2
2) A2 :  Oxz
A2 (2; 0; 5)
3) A3 :  Oyz
A3
A3 (0; -3; 5)
Точки В и С рассмотреть самостоятельно.
Решение задач.
№ 401 (б)  Рассмотрим точку А (2; -3; 5)

х
у
z
0

2
5
-3
A
1) A4 :  Ox
A4
A4 (2; 0; 0)
A5
2) A5 :  Oу
A5 (0; -3; 0)
3) A6 :  Oz
A6
A6 (0; 0; 5)
Точки В и С рассмотреть самостоятельно.

Решение задач.
№ 402

х
у
z
C1 - ?
C - ?
A1 (1;0;0)
B1 - ?
D1 - ?
A (0;0;0)
B (0;0;1)
D (0;1;0)
В1 (1; 0; 1)
С (0; 1; 0)
С1 (1; 1; 0)
D1 (1; 1; 1)
Домашнее задание:
П.42
Задачи на повторение:
№№ 376; 387; 393.


title: Презентация на тему: Построение сечений

text:
D
Y
Z
S
N
R
S


Презентация на тему: Построение параллелограмма по двум смежным сторонам и углу между ними


title: Презентация на тему: Построение сечения куба, нахождение его координат и площади

text:
B
C
D
C¹
B¹
A
A¹
D¹
Q
P
R = D
AB = AA¹ = AD = 6
6
6
6
= R
B
B¹
C
C¹
P
Q
A²
C²
3
3
3
3
3
3
D = R
D¹
C
C¹
C²
F
3
6
6
x
 x = 2
FC¹ = 2 , a  FD¹ = 4
A
B
C
E
D
A²
6
6
3
y
Q
P
D = R
A
A¹
B¹
C¹
C
D¹
B
F
E
A²
C²
Q
F
R
E
P
Q
P
D = R
A
A¹
B¹
C¹
C
D¹
B
F
E
x
y
z
3
3
3
3
6
2
2
P (0, 0, 3)
Q (0, 3, 6 )
F (2, 6, 6 )
R (6, 6, 0 )
E  (2, 0, 0 )
x
y
z
Q
P
E
F
R
E (2, 0, 0 )
Q (0, 3, 6 )            R (6, 6, 0 )
Q
F
P
E
R
P (0, 0, 3)
Q (0, 3, 6 )            R (6, 6, 0 )
Q
E
R
F
P
F (2, 6, 6 )
Q (0, 3, 6 )            R (6, 6, 0 )
Q
P
F
E
R
Q
P
E
F
R
+
+
+
=
=
=
Q
F
R
E
P
P (0, 0, 3)
Q (0, 3, 6 )
F (2, 6, 6 )
R (6, 6, 0 )
E  (2, 0, 0 )
B
C
D
C¹
B¹
A
A¹
D¹
Q
P
AB = AA¹ = AD = 6
6
R
B
C
D
C¹
B¹
A
A¹
D¹
Q
P
6
R
H
K
F
B
C
D
C¹
B¹
A
A¹
D¹
Q
P
6
R
B
C
D
C¹
B¹
A
A¹
D¹
Q
P
6
R
K
M
B
C
D
C¹
B¹
A
A¹
D¹
Q
M
6
R
SPQRM=
P


Презентация на тему: Построение сечений многогранников


title: Презентация на тему: Понятие правильного многогранника

text:
Правильные многогранники

Выполнила  Зайцева Т.Г. – преподаватель математики
КГБОУ «Машиностроительный профессиональный лицей»  г. Красноярск
900igr.net
Определение правильного многогранника
Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Для перехода к выполнению
	задания воспользуйся кнопкой

Какие из представленных многогранников являются правильными?

Существует 5 типов правильных многогранников

Правильный додекаэдр
Правильный икосаэдр
Правильный гексаэдр

Правильный тетраэдр

Правильный октаэдр

Правильный тетраэдр
C
В переводе с греческого «тетраэдр» -  четырёхгранник .

У правильного тетраэдра грани – правильные треугольники;  в каждой вершине сходится по три ребра.
Тетраэдр представляет собой треугольную пирамиду, у которой  все ребра равны.
Кнопка для перехода к таблице

Правильный гексаэдр
Гексаэдр - шестигранник.
У правильного гексаэдра (куба) все грани -квадраты; в каждой вершине сходится по три ребра. Куб представляет собой прямоугольный параллелепипед с равными рёбрами.
Кнопка для перехода к таблице

Правильный октаэдр
Октаэдр - восьмигранник.
У октаэдра грани – правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра в каждой вершине сходится по четыре ребра.
Кнопка для перехода к таблице

Правильный додекаэдр
Додекаэдр - двенадцатигранник.

У додекаэдра грани – правильные пятиугольники. В каждой вершине сходится по три ребра.
Кнопка для перехода к таблице

Правильный икосаэдр
Икосаэдр - двадцатигранник.
У икосаэдра грани – правильные треугольники. В каждой вершине сходится  по пять рёбер.
Кнопка для перехода к таблице

Историческая справка
	О существовании всего лишь пяти правильных многогранников знали еще  в Древней Греции. Великий древнегреческий мыслитель Платон считал, что четыре из них олицетворяют четыре «стихии»: тетраэдр – огонь, куб – землю, икосаэдр – воду, октаэдр – воздух. Пятый же многогранник, додекаэдр, символизировал собой все мироздание, представлял собой образ всей Вселенной, почитался главнейшим и его стали называть quinta essentia (квинта эссенциа») или «пятая сущность».
	Правильные многогранники называют иногда Платоновыми телами, им посвящена последняя книга «Начал» Евклида. Её считают венцом стереометрии у древних греков.

Основные элементы правильных многогранников

Заполните таблицу  в тетради и проверьте её по теореме (формуле) Эйлера
	В + Г = Р + 2, где Р – число рёбер, В – вершин, Г - граней

Применение в кристаллографии
Тела Платона нашли широкое применение в кристаллографии, так как многие кристаллы имеют форму правильных многогранников.
Например, куб - монокристалл поваренной соли (NaCl), октаэдр - монокристалл алюмокалиевых квасцов, одна из форм кристаллов алмаза - октаэдр

Кристаллы бывают самой различной формы: 1 — берилл, 2 — аметист, 3 — рубин, 4 — кристалл металла германия — денорит, 5 — горный хрусталь, 6 — испанский шпат, 7 — поваренная соль, 8 — ограненный алмаз—бриллиант, вправленный в кольцо.

В колбе с перенасыщенным раствором на конце проволочки, опущенной в раствор, растет кристалл поваренной соли.

Поваренная соль состоит из кристаллов в форме куба
Скелет одноклеточного организма феодарии представляет собой икосаэдр.
Минерал сильвин также имеет кристаллическую решетку в форме куба.
Молекулы воды имеют форму тетраэдра.
Минерал куприт образует кристаллы в форме октаэдров.
Кристаллы пирита имеют форму додекаэдра

Заключение
Сегодня на уроке вы познакомились с понятием правильного многогранника, узнали о существовании пяти типов правильных многогранников.
Заполните в тетради таблицу «Элементы правильных многогранников.
Решите задачи №56 (с.247),№35(с.245)

Леонард Эйлер (1707-1783г.г.)

	Эйлер - швейцарский математик и механик, академик Петербургской Академии Наук, автор огромного количества глубоких результатов во всех областях математики.	Полное собрание сочинений Эйлера-72 тома-не вышло целиком и до сих пор. По единодушному признанию современников Леонард Эйлер - первый математик мира. В геометрии Эйлер положил начало совершенно новой области исследований, выросшей впоследствии в самостоятельную науку — топологию.
 	Имя Эйлера носит формула, связывающая число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) выпуклого многогранника:  В + Г  = Р + 2

	«Эйлер не проглядел ничего в современной ему математике, хотя последние семнадцать лет своей жизни был совершенно слеп».
Э.Т.Белл

3-1
Верно, при условии равенства всех ребер.

	Для возвращения к выполнению
	задания воспользуйся кнопкой

3-2
Неверно.
	Прочти ещё раз определение правильного многогранника.

3-4
Верно.

Для возвращения к выполнению
	задания воспользуйся кнопкой


title: Презентация на тему: Понятие движения

text:
Тема урока: «Понятие движения».9 класс
Учитель математики и информатики
МКОУ « Александровская СОШ»
Рожкова Елена Ивановна,
Заокский район, Тульской области.
1
Цели урока:
1)Сформировать понятие отображения плоскости на себя как основы для введения понятие движения;
2)Ввести понятие движения и его закрепить.3) Познакомить учащихся с примерами геометрических преобразований;4) Отработать навыки построения фигур при симметриях;
5)Развития познавательных интересов, интеллектуальных и творческих способностей в процессе решения геометрических задач и самостоятельного приобретения знаний в процессе работы.

2
Устно:
Какие точки называются симметричными относительно прямой?
Две точки называются симметричными относительно прямой, если эта прямая проходит через середину отрезка и перпендикулярна ему.
Как называется такая симметрия?
Осевая симметрия.
Сколько осей симметрии имеет равнобедренный треугольник, равносторонний, прямоугольник, квадрат, окружность?
Одну, три, две, четыре, бесконечно много.
Какие точки называются симметричными относительно   некоторой точки О?
Если  точка О середина отрезка, заключенного между данными точками.
Как называется такая симметрия?
Центральная.
Какие фигуры обладают центральной симметрией?
Окружность, параллелограмм, прямоугольник, квадрат и т.д.
3
Устно:
На каком рисунке построение выполнено правильно и почему?

4
На каком рисунке точки симметричны?

   А            О              В
                рис.1

                             М          О                     Е
                                                    рис.2

5
Как построить точку симметричную данной, относительно некоторой точки О?

А

А1

О
6
 Практическая работа 1
Постройте точки симметричные данным

А
В
L

F
E
O
7
 Практическая работа 1
Постройте точки симметричные данным

А
В

А1

В1
L

F
E
O
E1
F1
8
 симметрия в нашей жизни
9
При создании
картины
использовалась осевая симметрия
"Ангелы и дьяволы"

А
В
L
10
Использование симметрии в мультипликации
11
Тема урока:  Понятие движения.I. Отображение плоскости на себя.

Пусть каждой точке плоскости ставится в соответствие какая –то точка этой плоскости, причем любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке. В таком случае говорят, что дано отображение плоскости на себя.
12
 Осевая симметрия
Точке А симметрична точка Аı.
С помощью осевой симметрии каждой точке А плоскости сопоставляется точка Аı этой же плоскости.
Осевая симметрия представляет собой отображение плоскости на себя

А
L
А1

А

О

А1
L
13
 Центральная симметрия
Точка А плоскости симметрична точке А 1 относительно точки О.
С помощью центральной симметрии  каждой точке А плоскости сопоставляется точка Аı этой же плоскости.
Центральная симметрия представляет собой отображение плоскости на себя.

А
О
А1

А
О

А1
14
Понятие движения
Какими общими свойствами обладают осевая и центральная симметрия?

Отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояние, называют – движением.

15
Понятие движения в геометрии связано с обычным представлением о перемещении.
Но, если говоря о перемещении, мы представляем себенепрерывный процесс, то в геометрии для нас будут иметь значениетолько начальное и конечное положения фигур.

16
Докажем свойство, что осевая симметрия сохраняет расстояние между точками.
17
Другие случаи расположения точек.

М

М₁

N

N₁
a
М
М₁

N
N₁

М
М₁
N
N₁
18
Является ли  центральная симметрия -движением?
       Центральная симметрия также
                является движением.

19
Теорема.
При движении отрезок отображается на отрезок.
20
Дано:  отрезок  МN,  при  движении  точка  М
              отображается  в  точку  М1,  точка  N –
              в  точку  N1.
Доказать:  отрезок  МN  отображается  в
                         отрезок   М1N1.

M
N
M1
N1
1.  Р
МN

P
2.  MP + PN = MN
3.  M1N1=MN,
M1P1=MP,
N1P1=NP
P1
4.  M1P1+P1N1=MP+PN=MN=M1N1
т.е.  M1P1+P1N1=M1N1

P1
M1N1
I.
II.

Докажем,  что  в  каждую  точку
Р1  отрезка  М1N1  отображается
какая – нибудь  точка  Р  отрезка
MN.
Т.к. Р1
М1N1,
то
M1N1=M1P1+P1N1=MP+PN=MN,
т.е  P
MN
Теорема  доказана.
21

При движении треугольник отображается на равный ему треугольник.

А
В
С
А1
В1
С1

АВС =

А1В1С1
22
При движении любая фигура отображается на равную ей фигуру.

23
Как  вы  думаете,  в  какую  фигуру  при  движении  отображается:
1.

2.

3.

4.

5.

24
Задача  № 1152 (б).
При  движении  отрезок  отображается  на  отрезок,  треугольник – на  равный  ему  треугольник,  угол – на  равный  ему  угол.
Используя  эти  свойства  движений,  можно  получить  различные  способы  решений,  а  именно:
25
Задача  № 1152 (б).

А
В
С1
D

В1
С
D1
А1

а)
∆ABD —> ∆A1B1D1;
∆BCD —> ∆B1C1D1

ABCD —> A1B1C1D1,
причем
ABCD = A1B1C1D1,
т.к.
∆ABD = ∆A1B1D1;
∆BCD = ∆B1C1D1
26
Задача  № 1152 (б).

А
В
С1
D

В1
С
D1
А1

б)

AB —>A1B1,
AD —>A1D1,
BC —>B1C1,
CD —>C1D1;

A —>A1,
B —> B1,
C —> C1,
D —>D1,
причем
AB =A1B1,
AD =A1D1,
BC =B1C1,
CD =C1D1,
A =A1,
B = B1,
C =C1,
D = D1,
тогда
ABCD —> A1B1C1D1,
ABCD = A1B1C1D1
27
Задача №1153.

О
l

А
Построение:
1.  О1  симметрично  О
      относительно  l.

O1
2.  А1  симметрично  А
    относительно  l.

А1

3.  О1А1=ОА
Каждая  точка
окружности  отображается
в  точку  на  окружности,  симметричную
данной  относительно  прямой  l.
28
Практическая №2 .   Задача .

Найдите  на  окружностях  точки,
симметричные  друг  другу  относительно
оси l.

О1
О2
l

F
F1
R
R1
29
Практическая №3.
1.Постройте треугольник А₁В₁С₁ симметричный треугольнику АВС относительно прямой   a .

2. Постройте четырёхугольник А₁В₁С₁D₁ симметричен четырёхугольнику АВСD относительно точки О.
30

31

32
Подведение итогов
Что такое отображение плоскости на себя?
Какие виды симметрии представляют собой отображение плоскости на себя?
Каким важным свойством обладает осевая симметрия?
Каким важным свойством обладает центральная симметрия?
В какую фигуру отобразится при движении : отрезок , луч, угол, треугольник, квадрат ?
Домашнее задание.
П.113,114 теорему учить, №1152(в,г),1159,1160.
33
"Симметрия  является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство".                      Г.Вейль.
34
Спасибо за урок!
35


text:
1
2
3
1
2
1
2
3
1
2
1
2
3
1
2
1
1
2
2


text:
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
C
B
A
D
S
A
B
C
S
A
B
C
A1
B1
C1
A1
A
B
C
D
B1
C1
D1
B
A
D
S
C
A
B
C
S
A
B
C
A1
B1
C1
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
1
3
2
4
B
A
C
D
S
B
A
C
D
S
B
A
C
D
S
B
A
C
D
S
1
3
2
4
B
A
C
D
S
B
A
C
D
S
B
A
C
D
S
B
A
C
D
S
1
3
2
4
B
A
C
D
S
B
A
C
D
S
B
A
C
D
S
B
A
C
D
S
1
3
2
4
B
A
C
D
S
B
A
C
D
S
B
A
C
D
S
B
A
C
D
S
1
3
2
4
1
3
2
4
S
B
A
C
M
S
A
C
B
M
B
C
A
S
M
B
A
S
C
M
1
3
2
4
S
B
A
C
M
S
A
C
B
M
B
C
A
S
M
B
A
S
C
M
1
3
2
4
S
B
A
C
M
S
A
C
B
M
B
C
A
S
M
B
A
S
C
M
1
3
2
4
S
B
A
C
M
S
A
C
B
M
B
C
A
S
M
B
A
S
C
M
1
3
2
4
S
B
A
C
M
S
A
C
B
M
B
C
A
S
M
B
A
S
C
M
1
3
2
4
S
B
A
C
M
S
A
C
B
M
B
C
A
S
M
B
A
S
C
M
1
3
2
4
S
B
A
C
M
S
A
C
B
M
B
C
A
S
M
B
A
S
C
M
1
3
2
4
S
B
A
C
M
S
A
C
B
M
B
C
A
S
M
B
A
S
C
M
1
3
2
4
S
B
A
C
M
S
A
C
B
M
B
C
A
S
M
B
A
S
C
M
1
3
2
4
S
B
A
C
M
S
A
C
B
M
B
C
A
S
M
B
A
S
C
M
1
3
2
4
S
B
A
C
M
S
A
C
B
M
B
C
A
S
M
B
A
S
C
M
1
3
2
4
S
B
A
C
M
S
A
C
B
M
B
C
A
S
M
B
A
S
C
M
1
3
2
4
S
B
A
C
M
S
A
C
B
M
B
C
A
S
M
B
A
S
C
M
1
3
2
4
S
B
A
C
M
S
A
C
B
M
B
C
A
S
M
B
A
S
C
M
1
3
2
4
S
B
A
C
M
S
A
C
B
M
B
C
A
S
M
B
A
S
C
M
1
3
2
4
S
B
A
C
M
S
A
C
B
M
B
C
A
S
M
B
A
S
C
M
M
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
X
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
N
M
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
N
M
X
Y
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
N
M
 K
X
P
Z
Y
Q
R
B
A
C
D
S
 M
 N
 K
 P
 X
 Y
 Q
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
N
M
 Q
X
 P
 Y
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
M
 Q
 P
 N
 X
 Y
A
B
C
S
K
N
M
X
P
A
B
C
A1
B1
C1
K
M
N
X
P
Y
Q


Презентация на тему: Построение правильного шестиугольника


text:
A
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
K
K1
L
N
L
N
A
B
C
D
S
A
B
C
D
S
M
Q
P
A
B
C
D
S
M
Q
P
A
B
C
D
S
M
Q
P
A
B
C
D
S
M
Q
P
A
B
C
D
S
M
Q
P
F
A
B
C
D
S
M
Q
P
F
A
B
C
D
S
M
Q
P
F
G
A
B
C
D
S
M
Q
P
F
G
A
B
C
D
S
M
Q
P
F
G
A
B
C
D
S
M
Q
P
F
G
A
B
C
D
S
M
Q
P
F
G
B
S
M
Q
P


Презентация на тему: Построение равнобедренного треугольника с помощью циркуля


text:
D
M
N
K
A
B
C
D
M
N
K
B
D
D
D
D
D
B
B
B
B
C
C
C
C
C
N
M
M
M
M
M
N
Q
P
P
Q
S
P
N

D
P
M
N
D
M
L

D
N
P
Q
R
E
B
C
D
M
N
P
X
K
S
L
D
C
B
Z
Y
X
M
N
P
S
F
D
C
B
Z
Y
X
M
N
P
S
F
M
A
1)
1)
2)
2)
A
E
F
H
E
H
F
D
C
B
M
N
P
F
D
C
B
M
N
P
F
M
A
1)
1)
2)
2)
A
E
F
H
E
H
F
D
C
B
M
N
P
F
F
X
Y
Z
X
D
C
B
M
N
P
F
X
Y
§
1.


title: Презентация на тему: Построение правильных многоугольников

text:
n - 2
n
·180º
180º
360º
540º
720º
·
o
1
2
3
4
5
6
D
E
F
G
H
A
B
C
D
E
F
G
K
H1
H2
H3
O


text:
A
C
D
A1
D1
C1
1
B
B1

K
F
Z
N
A
C
D
A1
D1
C1
2
B
B1

N
H
K
D
A
C
A1
D1
C1
B
B1
K
F
Z
N
D
A
C
A1
D1
C1
B
B1
K
F
D
A
C
A1
D1
B
L
C1
B1
K
F
R
A
B
C
D
A1
D1
C1
B1
D
A
B
C
A1
D1
C1
B1
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
A
B
C
A1
D1
C1
B1
D
O
R
F
K
A
B
C
A1
D1
C1
B1
D
 M


title: Презентация на тему: Построение сечений

text:
5klass.net
A
C
B
D
M
N
X
A
C
B
D
M
N
X
D
N
M
P
Q
B
C
A
B1
C1
A1
Q
R
P
P1
R1
X
K
E
Y
F
A
B
C
D
E
F
A1
B1
C1
D1
E1
F1
N
K
M
M1
K1
N1
X1
X2
X3
Q
R
X4
P
O
T
L
S


title: Презентация на тему: «Построение сечений многогранников (2)»

text:
1
2
3
1
2
1
2
3
1
2
1
2
3
1
2
1
1
2
2


title: Презентация на тему: «Построение сечений многогранников»

text:
D
A1
B1
C1
D1
D
A1
B1
C1
D1
R
P
Q
D
A1
B1
C1
D1
R
P
Q
D
A1
B1
C1
D1
R
P
Q
E
D
A1
B1
C1
D1
R
P
Q
E
D
A1
B1
C1
D1
R
P
Q
E
F
D
A1
B1
C1
D1
R
P
Q
E
F
D
A1
B1
C1
D1
R
P
Q
E
F
G
D
A1
B1
C1
D1
R
P
Q
E
F
G
D
A1
B1
C1
D1
R
P
Q
E
F
G
H
D
A1
B1
C1
D1
R
P
Q
E
F
G
H
D
A1
B1
C1
D1
R
P
Q
E
F
G
H
D
A1
B1
C1
D1
R
P
Q
F
H
M
P
Q
M
P
Q
M
P
Q
M
P
Q
M
P
Q
F
M
P
Q
F
M
P
Q
F
G
M
P
Q
F
G
M
P
Q
F
G
H
M
P
Q
F
G
H
M
P
Q
F
G
H
M
P
Q
H
A
D
B
C
A
B
C
A1
B1
C1
D
E
F
A
B
C
A1
B1
C1
D
E
F
A
B
C
A1
B1
C1
D
E
F
A
B
C
A1
B1
C1
D
E
F
G
A
B
C
A1
B1
C1
D
E
F
G
A
B
C
A1
B1
C1
D
E
F
G
L
A
B
C
A1
B1
C1
D
E
F
G
L
A
B
C
A1
B1
C1
D
E
F
L


text:
900igr.net
n - 2
n
·180º
180º
360º
540º
720º
·
o
1
2
3
4
5
6
D
E
F
G
H
A
B
C
D
E
F
G
K
H1
H2
H3
O


title: Презентация на тему: Построение сечений параллепипеда

text:
A
B
D
C
A1
C1
D1
M
N
K
A
B
C
D
A1
D1
C1
B1
M
B1
A
B
D
C
A1
B1
C1
D1
N
K
M
K1

A
B
D
C
A1
B1
C1
D1
N
K
M
P
H
A
B
D
C
A1
B1
C1
D1
N
K
M
P
H
X
Y
Q
A
B
D
C
(N1 )
B1
C1
D1
M
N
K
N
X
P
M1
Q
T
A
B
D
C
A1
C1
D1
A
B
C
D
A1
D1
C1
B1
B1
A
B
D
C
A1
C1
D1
M
N
K
A
B
C
D
A1
D1
C1
B1
M
N
H
H
H
A
B
D
C
A1
C1
D1
M
N
K
A
B
C
D
A1
D1
C1
B1
M
N
K
B1


text:
D
S
D
D1
D
F
D
Q
R
D
Q
D
N
D
D1
D
D


title: Презентация на тему: Построение сечений параллелепипеда

text:
A
B
B1
D1
D
K
M
C1
A1
A
B
C1
D
A1
B1
D1
C
M
A
C1
D
A1
B1
D1
B
C
A
C1
D
A1
B1
D1
B
C
M
N
K
A
C1
D
A1
B1
D1
B
C
M
N
K
A
C1
D
A1
B1
D1
B
C
M
N
K
A
C1
D
A1
B1
D1
B
C
M
N
K


title: Презентация на тему: «Построение сечений параллелепипеда»


title: Презентация на тему: «Построение сечений тетраэдра»

text:
D
N
P
Q
R
D
N
P
Q
A
B
C
D
M
L
M
N
K
A
A
B
C
D
M
A
B
C
D
M
N
K
A
B
C
D
M
N
K
A
B
C
D
M
N
K
A
B
C
D
M
N
K


title: Презентация на тему: Построение сечений пирамиды (тетраэдра)

text:
324
D
M
N
K
A
B
C
D
M
N
K
B
D
D
D
D
D
B
B
B
B
C
C
C
C
C
N
M
M
M
M
M
N
Q
P
P
Q
S
1
2
3
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
1
3
2
4
B
A
C
D
S
B
A
C
D
S
B
A
C
D
S
B
A
C
D
S
1
3
2
4
B
A
C
D
S
1
3
2
4
S
B
A
C
M
S
A
C
B
M
B
C
A
S
M
B
A
S
C
M
D
N
P
Q
R
E
B
C
D
M
N
P
X
K
S
L
D
C
B
Z
Y
X
M
N
P
S
F
D
C
B
Z
Y
X
M
N
P
S
F
M
A
1)
1)
2)
2)
A
E
F
H
E
H
F
D
C
B
M
N
P
F
D
C
B
M
N
P
F
M
A
1)
1)
2)
2)
A
E
F
H
E
H
F
D
C
B
M
N
P
F
F
X
Y
Z
X
D
C
B
M
N
P
F
X
Y


Презентация на тему: Построение теней


title: Презентация на тему: ПОСТРОЕНИЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ

text:
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
y
x
x
y
x
y
x
y
x
y
3
3
7
5
2
x
y


title: Презентация на тему: Построение сечений тетраэдра


title: Презентация на тему: Построение теней в ортогональных и аксонометрических проекциях. Тени геометрических тел

text: v


title: Презентация на тему: Показательная функция и её применение

text:
Выполнила
Учитель математики I категории
МБОУ Федосеевской СОШ
Лозовая Раиса Михайловна
Показательная функция и её применение
Урок обобщения и систематизации знаний
2. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
 И ЕЁ ПРИМЕНЕНИЕ В ПРИРОДЕ И ТЕХНИКЕ.

1. Показательная функция.
3. В биологии.
4. В экономике.
Некоторые наиболее часто
встречающиеся виды
трансцендентных функций,
прежде всего показательные,
открывают доступ ко
многим исследованиям.
Л.Эйлер.
«Показательная функция».
Графики функции у=2х  и у=(½)х
График функции у=2х проходит через точку (0;1) и расположен выше оси Ох.
а>1       Д(у): х є R
             Е(у): у >0
Возрастает на всей области определения.

График функции у=     также проходит через точку (0;1) и расположен выше оси Ох.
0<а<1    Д(у): х є R
               Е(у): у>0
Убывает на всей области определения.

Блиц – опрос
1.Какая функция называется показательной?
2.Какова область определения функции y=0,3x?
3.Каково множество значения функции y=3x?
4. Дайте определение возрастающей, убывающей функции.
5.При каком условии показательная функция является возрастающей?
 6.При каком условии показательная функция является убывающей?
7.Возрастает или убывает показательная функция
8.Определить при каком значении a функция
проходит через точку А(1; 2);
9
Какие из перечисленных функций являются возрастающими, а какие убывающими?
Какие из функций являются возрастающими, а какие убывающими?
    Показательные уравнения.Уравнения,у которых неизвестное находится в показателе степени, называются показательными.Способы решения:
По свойству степени;
Вынесение общего множителя за скобки;
Деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение, принимающее значение отличное от нуля при всех действительных значениях х;
Способ группировки;
Сведение уравнения к квадратному;
Графический.

.

Например:
Решите уравнения ( устно):
5 х =25
х=2
7 х-2 =49
х=4
4 х =1
х = 0
5,7 х-3 = 1
х = 3
2   2 х =64
х = 5
3  9 х =81
 х = 1,5
5 х =7 х
 х = 0
3,4 х+2 =4,3 х+2
 х = -2
Указать способы решения показательных уравнений.
Диагностика уровня формирования  практических навыков
Чтобы решить графически уравнение f (x) = g (x) , надо:
  построить графики функций у = f (x) и у = g (x)
  найти абсциссу точки пересечения графиков функций
  рассмотреть возможность существования других точек пересечения

Определение
     Показательные неравенства – это неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени.
Примеры:
Показательные неравенства
    решаются по следующим свойствам показательной функции:

   •если  а > 1 , то неравенство       a х 1 < а х 2
     справедливо                                х 1< х 2

   •если  0 < а < 1, то неравенство  a х 1 > а х 2
     справедливо                                х 1< х 2
Решите неравенства (устно):
2 х > 0
 x- любое
2x >1
 x > 0
       х    1
х     0
     х < 0
x= Ø

5 x >25
 x > 2
0,7 x < 0,49
 x > 2
0,2 x+1 < 0,2 4
 x > 3
9,7 x-2 < 9,7 10
 x  < 12
Решения показательных неравенств:
Способ  Уравнивание оснований правой и левой части

Решите неравенство:

Решите неравенство:

Решение  показательных  неравенств
Способ 2: Вынесение за скобки степени с меньшим показателем
Ответ: х >3
3 > 1, то

: 10

Решение показательных неравенств
Способ 3: введение новой  переменной
Ответ: х < 2. х>0

3>1, то

И её применение в природе и технике.
Показательная функция
Подумайте! Где может использоваться показательная функция?
Тема «Показательная функция» является основополагающей при изучении таких тем, как «Производная показательной функции», «Термодинамика», «Электромагнетизм», «Ядерная физика», «Колебания», используется для решения некоторых задач судовождения.
Наглядный бытовой пример!
Все, наверное, замечали, что если снять кипящий чайник с огня, то сначала он быстро остывает, а потом остывание идет гораздо медленнее. Дело в том, что скорость остывания пропорциональна разности между температурой чайника и температурой окружающей среды. Чем меньше становится эта разность, тем медленнее остывает чайник. Если сначала температура чайника равнялась То, а температура воздуха T1, то через t секунд температура Т чайника выразится формулой:

T=(T1-T0)e-kt+T1,

где k - число, зависящее от формы чайника, материала, из которого он сделан, и количества воды, которое в нем находится.
При падении тел в безвоздушном пространстве скорость их непрерывно возрастает.
При падении тел в воздухе скорость падения тоже увеличивается, но не может превзойти определенной величины.

Рассмотрим задачу о падении парашютиста. Если считать, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости падения парашютиста, т.е. что F=kv , то через t секунд скорость падения будет равна: v=mg/k(1-e-kt/m), где m - масса парашютиста. Через некоторый промежуток времени е-kt/m станет очень маленьким числом, и падение станет почти равномерным. Коэффициент пропорциональности k зависит от размеров парашюта. Данная формула пригодна не только для изучения падения парашютиста, но и для изучения падения капли дождевой воды, пушинки и т.д.
Много трудных математических задач приходится решать в теории межпланетных путешествий. Одной из них является задача об определении массы топлива, необходимого для того, чтобы придать ракете нужную скорость v. Эта масса М зависит от массы m самой ракеты (без топлива) и от скорости v0, с которой продукты горения вытекают из ракетного двигателя.
Если не учитывать сопротивление воздуха и притяжение Земли, то масса топлива определиться формулой: M=m(ev/v0-1) (формула К.Э.Циалковского). Например, для того чтобы ракете с массой 1,5 т придать скорость 8000 м/с, надо при скорости истечения газов 2000 м/с взять примерно 80 т топлива.
Если при колебаниях маятника, гири, качающейся на пружине, не пренебрегать сопротивлением воздуха, то амплитуда колебаний становится все меньше, колебания затухают. Отклонения точки, совершающей затухающие колебания, выражается формулой: s=Ae-ktsin(?t+?). Так как множитель е-kt уменьшается с течением времени, то размах колебаний становится все меньше и меньше.
Когда радиоактивное вещество распадется, его количество уменьшается. Через некоторое время остается половина первоначального количества вещества. Этот промежуток времени to называется периодом полураспада. Вообще через t лет масса m вещества будет равна: m=m0(1/2)t/t0, где m0 - первоначальная масса вещества. Чем больше период полураспада, тем медленнее распадается вещество.

Явление радиоактивного распада используется для определения возраста археологических находок, например, определен примерный возраст Земли, около 5,5 млрд. лет, для поддержания эталона времени.
Задача:
Период полураспада плутония равен 140 суткам. Сколько плутония останется через 10 лет, если его начальная масса равна 8г ?
Как  видите, во всех                приведенных выше исследованиях    использовалась показательная функция.
Вот некоторые из Нобелевских лауреатов, получивших премию за исследования в области физики с использованием показательной функции:

Пьер Кюри - 1903 г.

Ричардсон Оуэн - 1928 г.

Игорь Тамм - 1958 г.

Альварес Луис - 1968 г.

Альфвен Ханнес - 1970 г.

Вильсон Роберт Вудро - 1978 г.
Она не перестаёт нас удивлять!
Показательная функция также используется при решении некоторых задач судовождения, например, функцию е-x используют в задачах, требующих применения биноминального закона (повторение опытов), закона Пуассона (редких событий), закона Релея (длина случайного вектора).

Применение показательной функциив биологии .
Применение логарифмической функции в биологии.
В питательной среде бактерия кишечной палочки делится каждую минуту. Понятно, что общее число бактерий за каждую минуту удваивается. Если в начале процесса была одна бактерия, то через х минут их число (N) станет равной 2х , т.е.                         N(х) = 2х.

Применение показательной функции в экономике
Задача:
Ежемесячно на банковский вклад, равный S0 рублей начисляется  р%. На сколько процентов возрастет банковский вклад за  х  месяцев?
Решение.

   А теперь, в конце урока хочется, чтобы вы выразили свое отношение к нашей сегодняшней работе и всему уроку в целом. Ответьте на вопросы в листах рефлексии и сдайте их мне.

2) Поставь оценку учителю за работу по 10 бальной системе.

3) Поставь оценку себе за работу по 10 бальной системе.

Понравилось на уроке? (отметь галочкой мордашку)
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

Страница 57 учебника – «ПРОВЕРЬ СЕБЯ»
СПАСИБО ЗА УРОК!


title: Презентация на тему: Построение треугольника по трем элементам

text:
P1
P2
Q1
Q2
h
k
P1
Q1
h
k
m
n
P1
Q1
P2
Q2
P3
Q3


title: Презентация на тему: «Построение треугольника по трем элементам»


title: Презентация на тему: Построение сечений многогранников

text:
1.
2.
3.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
4.
5.
6.

1

1

1

2

2

3
A
B
C
D
B1
C1
D1
M
N
K
A1
A
B
C
D
B1
C1
D1
M
N
K
A1
E
A
B
C
D
B1
C1
D1
M
N
K
A1
E
F
A
B
C
D
B1
C1
D1
M
N
K
A1
E
F
G
A
B
C
D
B1
C1
D1
M
N
K
A1
E
F
G
H
A
B
C
D
C1
D1
M
N
K
A1
E
F
G
H
B1
A
B
D
C
A1
B1
C1
D1
N
K
M
P
H
A
B
D
C
A1
B1
C1
D1
N
K
M
P
H
X
Y
Q
A
B
D
C
A1
C1
D1
A
B
C
D
A1
D1
C1
B1
B1


text:
N
N
N
N
G
R
N
a
b
c
d
A
B
D
C
A1
C1
D1
A
B
C
D
A1
D1
C1
B1
B1
1.
2.
3.


title: Презентация на тему: ПОСТРОЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА ПО ТРЕМ СТОРОНАМ

text:
65º
60º
55º
10
9
8
1
3
4
2
6
5
8
7
77º
48º
62º
65º
60º
55º
10
9
8
1
3
4
2
6
5
8
7
77º
48º
62º
P
a
b
Q
X2
X1
A
B
C
b
b
c


title: Презентация на тему: Построение графиков сложных функций

text:
«Построение графиков сложных функций»
1
Попова Лариса Анатольевна №238-127-765
Цели урока:

образовательная: закрепить знания по формированию массивов данных в табличной форме, отработать навык построения диаграмм при построении графиков;
развивающая: познакомить со сложными графиками, развивать алгоритмическое мышление; умение применять полученные знания при решении задач; умение рассуждать; развивать познавательный интерес; познакомить со сложными графиками;
воспитательная: прививать учащимся навык самостоятельности в работе, воспитывать трудолюбие, чувство уважения к науке.
«Построение графиков функций».
2
Попова Лариса Анатольевна №238-127-765
Назначение электронных таблиц, применение в каких отраслях жизни?
Перечислите основные функции электронных таблиц.
Что такое диаграмма и какие действия можно с ней?
Назовите основные типы диаграмм?
Как связана таблица и построенная диаграмма?
Какими способами можно включить Мастер диаграмм?
       Какие основные типы ссылок вы знаете?
       Назовите различия между относительными и абсолютными ссылками проявляются при копировании формулы из активной ячейки в другую ячейку?

Вопросы
3
Попова Лариса Анатольевна №238-127-765
Параболоиды в мире
В технике
Параболоид вращения фокусирует пучок лучей,параллельный главной оси, в одну точкуЧасто используется свойство параболоида вращения собирать пучок лучей, параллельный главной оси, в одну точку — фокус, или, наоборот, формировать параллельный пучок излучения от находящегося в фокусе источника. На этом принципе основаны параболические антенны, телескопы-рефлекторы, прожекторы, автомобильные фары и т.д.
В литературе
Устройство, описанное в романе А. Н. Толстого «Гиперболоид инженера Гарина», должно было быть параболоидом
Материал из Википедии- свободной энциклопедии
4
Попова Лариса Анатольевна №238-127-765

Эллипти́ческий параболо́ид — поверхность, описываемая функцией вида

,
где a и b параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную вращением параболы вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину данной параболодного знака. Поверхность описывается семейством параллельных парабол с ветвями, направленными вверх, вершины которых описывают параболу, с ветвями, также направленными вверх.
Если a = b то эллиптический.
Материал из Википедии- свободной энциклопедии
5
Попова Лариса Анатольевна №238-127-765
Гиперболи́ческий параболо́ид (называемый в строительстве «гипар») — седлообразная поверхность, описываемая в прямоугольной системе координат уравнением вида
Из второго представления видно, что гиперболический параболоид является линейчатой поверхностью.
Поверхность может быть образована движением параболы, ветви которой направлены вниз, по параболе, ветви которой направлены вверх, при условии, что первая парабола соприкасается со второй своей вершиной
Материал из Википедии- свободной энциклопедии
6
Попова Лариса Анатольевна №238-127-765
Полярная роза
Материал из Википедии- свободной энциклопедии
Полярная роза — известная математическая кривая, похожая на цветок с лепестками. Она может быть определена простым уравнением в полярных координатах:
r(φ) = acos(kφ + θ0)

Количество лепестков в данном случае определяется величиной k.

7
Попова Лариса Анатольевна №238-127-765
Кардиоида
r = (1 + cos j)
Уравнение
Материал из Википедии- свободной энциклопедии
8
Попова Лариса Анатольевна №238-127-765
Астроида
x = cos3 t,y = sin3 t
Уравнения
Материал из Википедии- свободной энциклопедии
9
Попова Лариса Анатольевна №238-127-765
Декартов лист
Уравнение
x3 + y3 = 3xy
Материал из Википедии- свободной энциклопедии
10
Попова Лариса Анатольевна №238-127-765
Циклоид
Уравнения
x = t – sin t,y = 1 – cos t
Материал из Википедии- свободной энциклопедии
11
Попова Лариса Анатольевна №238-127-765
Декартов лист
Уравнение
r = (cos 2j)½
Материал из Википедии- свободной энциклопедии
12
Попова Лариса Анатольевна №238-127-765
Спираль Архимеда
Уравнение
r = j
Материал из Википедии- свободной энциклопедии
13
Попова Лариса Анатольевна №238-127-765
Логарифмическая спираль
Уравнение
r = ej
Материал из Википедии- свободной энциклопедии
14
Попова Лариса Анатольевна №238-127-765


Презентация на тему: Построение равнобедренного треугольника


title: Презентация на тему: Поверхность цилиндра

text:
 Algebra & GeometriaEntertainment
 Film by:
The end
A. Shevchenko
R. Trushenkov
L
L1
R
h
A
B
C
D
h
2¶ r


Презентация на тему: Поверхность сферы


title: Презентация на тему: Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда

text:
900igr.net
L

L
D
A
B
C
D
A
B
C
M
N
K
E
F
K
L
A
B
C
D
M
6. MK   AB=L
E
F
K
L
A
B
C
M
D
E
F
L
A
B
C
D
K
A1
D
D1
1. AD
2. MD
4. AE
E
A1
D
D1
M
N

O
P
1. MN


text:
D
B
C
D
B1
C1
D1
M
N
P
M
N
P
M
N
P
M
N
P
M
N
P
M
N
P
M
N
P
M
N
P
N
M
P
M
N
P
M
N
P
M
N
P
M
N
P
M
N
P
M
N
P
M
N
P
M
N
P
M
N
P
M
N
P
M
N
P
M
N
P
M
N
P
M
N
P
M
N
P
M
N
P
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
K
L
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
N


Презентация на тему: «Поворот вокруг точки.»


Презентация на тему: Поворот


title: Презентация на тему: Повторение. Четырёхугольники

text:
S=a2
S= ½ AC2
S=1/2Pr


text:
L
D
A
B
C
M
N
K
P
E
M
H
P
M
N
K
X
D
D
M
N
K
A
B
C
m
A
B
C
D
M
N
K
M
K
N
M
K
N
D
A
B
C
M
N
K
D
A
B
C
M
N
K
X
P
M
K
N
M
K
N
L
D
C
B
A
M
K
N
D
C
B
A
M
K
N
L
B
D1
A
C
D
M
N
K
B
D1
A
C
D
M
N
K
L
B
D1
A
C
D
P
T
O
M
D1
A
C
D
P
T
O
B
N
L
F
B
D1
A
C
D
K
N
M
B
D1
A
C
D
K
N
M
Q
P
E
F


Презентация на тему: Построение треугольников


title: Презентация на тему: поворот

text:
O
10
20
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
   180
180
170
160
150
140
130
120
110
100
80
0
10
20
30
40
50
60
70
0
40
30
O
O
O
Y
O


Презентация на тему: Поворот в геометрии


title: Презентация на тему: Поверхности второго порядка

text:
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
900igr.net
(1)
(3)

 (5)
 (7)
(9)
(11)


Презентация на тему: ПП


title: Презентация на тему: Построения в пространстве

text:
Построения в пространстве.
геометрия 10
Две плоскости, имеющие одну общую точку (общую прямую) по А3

α
β
а
Три плоскости, имеющие две общие точки (т.е. общую прямую)

α
β
γ
а
Три плоскости, имеющие одну общую точку.

α
β
γ
О

α    β    γ   = О

Три попарно пересекающиеся прямые
I случай
II случай

Лежат в одной плоскости

Не лежат в одной плоскости

Плоскость α пересекается с плоскостью β, плоскость β пересекается с плоскостью γ. Плоскости α и γ не имеют общих точек.

α
β
γ
Треугольник АВС и четырехугольник АСОР не лежат в одной плоскости.

А
В
С
О
Р
α
β
Стороны треугольника АВС АВ и ВС пересекают плоскость α в точках Р и Н соответственно.

α

В

А
С

Р

Н

(АВС) ∩ α = РН
Вершина В треугольника АВС не лежит в плоскости α, а прямая АС лежит в α.

α

В

А

С

(АВС) ∩ α = АС
Прямая а параллельна стороне АВ треугольника АВС и не лежит в плоскости треугольника.

А
В
С

а
α
Признак скрещивающихся  прямых

α
а

b

О
Признак параллельности прямой и плоскости.

α
а

b

a║α
Скрещивающиеся прямые. Доказательство через признак.
А
В
А1
В1
С1
D1
С
D

Скрещивающиеся прямые. Доказательство от противного.
А
В
А1
В1
С1
D1
С
D


Презентация на тему: По ту сторону здравого смысла


title: Презентация на тему: ПП і поворот

text:
O
10
20
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
   180
180
170
160
150
140
130
120
110
100
80
0
10
20
30
40
50
60
70
0
40
30
O
10
20
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
   180
180
170
160
150
140
130
120
110
100
80
0
10
20
30
40
50
60
70
0
40
30
10
20
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
   180
180
170
160
150
140
130
120
110
100
80
0
10
20
30
40
50
60
70
0
40
30
O
O
O
O
a
a
a
a
B1
C1
A1
a


Презентация на тему: Практические приложения подобия треугольников


Презентация на тему: Практическая геометрия у разных народов мира


title: Презентация на тему: Построение многоугольников

text:
Многообразие многоугольниковв мире человека.
Интегрированный урок : геометрия и черчение.
Авторы: ЕжоваТ.П.- учитель геометрии
Чекмарёва С .Г.  - учитель черчения ,МОУ СОШ №8 г.Клин
900igr.net
Великий и непредсказуемый
Пифагор.
Карл Гаусс, учащийся первого курса Геттингенского университета, решил задачу, перед которой математическая наука пасовала более двух с лишним тысяч лет. Несмотря на то, что еще древними греками были найдены способы построения с помощью только лишь циркуля и линейки правильных многоугольников с числом сторон 3, 4, 5, 15, а также с числом сторон, большим в 2 раза, в отношении прочих правильных многоугольников царила полная неизвестность.
И вот именно в этот день 1796 года будущий «король математиков» Гаусс догадался, как построить правильный 17-угольник, кстати, также, с помощью циркуля и линейки. Это открытие стало поворотным пунктом в его жизни: ранее колебавшийся между филологией и математикой, теперь он твердо решил посвятить себя последней. Кстати, он завещал изобразить 17-угольник на своем надгробии – что и было сделано.

Виды паркетов в школе №8.

В природе, в окружающем мире, в быту -  всюду мы видим правильные многоугольники
ДЕЛЕНИЕ НА ЧЕТЫРЕ РАВНЫЕ ЧАСТИ

                 .

Деление на 6 равных частей

Деление на 7 равных частей

Деление на 8 равных частей
        .

Построение девятиугольника

Деление на 10 равных частей

Деление на 11 равных частей
Деление на 12 частей
Вот и закончился урок!
Спасибо всем за активное изучение темы
«Правильные многоугольники».
Исследование окружности продолжится на других уроках, где будет вычисляться длина окружности и площадь круга.
Желаем успехов в изучении геометрии и сопутствующих предметов. Начертательная геометрия ждёт вас в МГТУ им.Н.Баумана.


Презентация на тему: Правила нанесения размеров на чертежах


title: Презентация на тему: Поверхности и развертки

text: k


title: Презентация на тему: Правила сложения и вычитания векторов

text:
900igr.net
b
a
A
B
C
A
C
a + b = AB + BC = AC
a
b
a
b
A
B
C
C
A
B
A
C
A
C
a + b = OA + OB = OC
b
a
O
A
B
C
C
a + b + c + d = AB + BC + CD + DE = AE
a
b
c
d
A
B
C
D
E
E
A
a
b
-b
A
B
C
A
C
a - b = a + (- b) = OA + OB = OC
a
b
-b
A
B
C
O
C
O
a
b
O
A
B
B
A
a
3a
- 2a
-0.5a
-a


Презентация на тему: Практическое применение подобия треугольников


title: Презентация на тему: Правильная пирамида

text:
r
R


text:
http://aida.ucoz.ru
A
D
C
B
O
K
T
E
2
2
2
2
D
2
?
D
2
?
D
2
D
2
D
2
K
O
T
D
2
F
D
2
z
x
y
K
O
S
N
D
2
K
O


Презентация на тему: Правильные фигуры в геометрии


title: Презентация на тему: Поворот и центральная симметрия

text:
LOGO
M
N
K
N1
K1
O
M1
M
N
O
M1
N1
MN = M1N1
180°


title: Презентация на тему: Правильная пирамида Решение задач

text:
D                                      C
O
d
r
600
h

3
3
6
6
4

*


title: Презентация на тему: Правильные фигуры и тела

text:
4

6

3

6

12

4

12

30

5

8

12

3

20

30

3


title: Презентация на тему: Правильные многогранники

text:
www. samara.edu.ru.
www. rspu.ru
www.edu.hmao.ru
www. tspu.ru
www.nvp.region.ru


text:
<<Graphics `Polyhedra`
  p = Polyhedron [Dodecahedron]
Show [p, Boxed->False]


Презентация на тему: Правильные и полуправильные многогранники


text:
День Рождения Шрека или Практическоеприменение подобия треугольников.Сказка
900igr.net
СКАЗКА ЛОЖЬ, ДА В НЕЙ НАМЕК…
Был День рождения Шрека и Фиона решила отметить его  несколько необычно.
 После долгого  рабочего дня, Шрек пришёл домой и вместо своей любимой жены обнаружил там записку с такими словами:
«Дорогой, пока ты работал, я немного заскучала и решила, что ты тоже должен отвлечься в свой День рождения и меня поискать. Иди к самой высокой башне нашего городка и  попытайся измерить её высоту, зная свой рост и длину шага.
Осёл будет тебя
сопровождать и смотреть,
чтобы ты не жульничал.
Когда решишь задачу, скажи
ему ответ и, если он будет
верным, ты получишь
следующую записку.
Целую, Фиона .»
На выходе из дома Шрека
ждал Осёл. И они отправились в город к башне «Dream».
По дороге Шрек думал над поставленным вопросом и у него ничего не получалось.
 Они вышли на поляну и решили передохнуть .
 Тут Шреку в голову пришла мысль, что можно вспомнить уроки геометрии, а точнее, признаки подобия треугольников.
 Он обрадовался и даже
 придумал, как ему
осуществить свой план.
 В городе наш зелёный
друг купил учебник
по геометрии,
где прочитал:
«Подобие треугольников:	1. Равенство углов и пропорциональность сторон; 2. Подобие треугольников;3. Соответственные углы и стороны подобных треугольников; 4. Коэффициент подобия; 5. Признаки подобия треугольников; 6. Измерение расстояний до недоступных объектов; 7. Особое свойство биссектрисы угла треугольника; 8. Свойство высоты, опущенной из вершины прямого угла треугольника.»
Вот, что у него получилось
Шрек записал решение и показал его Ослу. Тот сообщил, что всё решено верно и вручил  следующую записку.
Там было написано:
 «Иди к заброшенному дому около реки. Походи
вокруг него и найдешь метку, от  которой
тебе надо будет измерить расстояние от
одного берега до другого.
 Попробуй это
сделать, зная
длину своего шага.
Твоя Фиона.»
 Шрек долго не мог
найти заданное
место, но вскоре у
него всё же это
 получилось.

И в этот раз, он увидел,
что можно применить
подобие треугольников.

Записав решение и найдя правиль-ный ответ, Шрек получил послед-нюю записку от Фионы.
Там было написано, что надо идти к дереву, на котором
нарисовано другое  дерево, и забраться на него.
При этом надо найти его высоту, зная длину  шага и
рост. Потом, использовав канат нужной длины,
взобраться и что-то  найти.
У Шрека появилась идея, что использовав тень дерева и свою собственную (угол преломления лучей один и тот же) можно найти высоту дерева, зная свой рост. Именно это он и сделал.
На вершине  Шрек нашёл браслет, который Фиона сплела своими руками к его Дню рождения.
Шрек был очень рад, а дома его ждал  потрясающий ужин.

 P. S. Вот так Шрек и Фиона помогли увидеть, что подобие треугольников можно использовать и в жизни.

Конец.


Презентация на тему: «Правильные многогранники»


Презентация на тему: Правильная пирамида 10 класс


text:
20
2
4
=
=


Презентация на тему: ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ


title: Презентация на тему: Правильные многогранники.

text:
S =6a2
V =a3
(p-2)(q-2)<4
3
3
4
6
4
3
4
6
12
8
4
3
8
12
6
3
5
12
30
20
5
3
20
30
12
.


text:
20
30
12
5
3
12
30
20
3
5
8
12
6
4
3
6
12
8
3
4
4
6
4
3
3


Презентация на тему: Правильные многогранники в жизни


title: Презентация на тему: Практическое применение геометрии

text:
  Муниципальное образовательное учреждение
Лицей №9  г.Сальск.
Автор:
Ученик 8 А класса
Кононов Михаил.
Руководитель:
Практическое применение геометрии
Лысикова
Светлана Юрьевна.

   1. Выяснить области применения геометрии в целом.
   2. Выяснить области применения теоремы Пифагора.

Цель:

Применение геометрии в развед.целях.
           Измерение ширины реки Егорлык.
     1. Отступив от берега   находим   ориентир на противоположном берегу.
Помечаем его вехой (рис.2)
  2.Поднеся прибор к вехе смотрим на ориентир через катет прямоугольного треугольника  (рис.3).
Рис.2
 Рис.3
    3.Не поворачивая прибор смотреть на другой катет, который укажет направление, куда надо воткнуть вторую веху (рис.4).
   4. Передвигаясь по прямой, образованной   1 и 2 вехами находим точку пересечения гипотенузы треугольника и ориентира на другом берегу  (рис.5)
 Здесь воткнем  3 веху.
Рис.4
Рис.5
  5. После этого измеряем шагами расстояние от третей вехи до первой (рис.6) (1 шаг=0,5м).
  6.Переводим полученный результат в метры полученный результат в метры.
  7.Аналогичным способом измеряем расстояние от 1вехи до берега.
   8. Наконец, вычитаем из расстояния между первой вехой и третьей расстояние от первой вехи до берега.
Рис.6

Измерение высоты главного корпуса
Лицея №9:
 Приближаясь к зданию Лицея или удаляясь от него, вы всегда найдёте такое место А (рис.1), из которого, глядя на булавки А1 и С1 , увидите, что они показывают верхнюю точку крыши С : это значит, что продолжение гипотенузы
А1С1  проходит через точку С. Тогда, очевидно, расстояние А1В равно СВ, так как угол а=45º.
Следовательно, измерив расстояние А1В и прибавив ВD, т.е. возвышение А1А глаза над землёй, получим искомую высоту здания.
В нашем случае высота здания составляет8,5 м.
Разница между фактической и расчётной шириной реки Егорлык составила 2,5 м.
Разница между фактической и расчетной высотой здания составила  0,5 м.

Вычисления верны.
Вывод:
   Установка антенны мобильной связи в хуторе Савдя Ростовской области:
какую наименьшую высоту должна иметь вышка мобильной связи, поставленной в хуторе Савдя  Заветинского р-она Ростовской области, чтобы зона покрытия составляла 70 км?

Применив теорему Пифагора, получу уравнение (х+6380) ²  =35 ² +6380 ²; х ² +12760х-35 ² =0; D=12760 ² - 4*(-1225)=162817600+4900=162822500 ; т.к. D>0,тоуравнение имеет один корень
Х=(-12760+12760,192)/2=0,192/2; х≈0,09км=90м. Таким образом, расчетная высота вышки,стоящей на ровной местности должна быть 90 м. В нашем случае в х. Савдя вышка установлена на 14 метровом холме.
Поэтому14+76=90 м-рассчетная  высота вышки. Мои вычисления верны.

Практические результаты работы:
Применение самодельного измерительного  прибора.
Измерение высоты вышки мобильной связи  и установки елки, используя теорему Пифагора.


title: Презентация на тему: Повторение геометрии

text:
Устная работа
Д/з
Решение задач
Проверка д/з

ТЕМА УРОКА:
Повторение геометрии при подготовке к итоговой аттестации
ЦЕЛИ УРОКА:
 обобщить и систематизировать полученные и приобретенные знания, умения, навыки;
 активация элементов ранее изученного материала;
повторить свойства фигур, рассмотреть различные способы расположения геометрических фигур на плоскости;
при решении стандартных задач рассматривать возможность другой конфигурации фигур.
АВТОРЫ:
Веприкова Римма Хабибулаевна (учитель математики)
Зайцева Вера Васильевна (учитель информатики)
МОУ – Гимназия № 2 г. Клин Московской области
900igr.net
Устная работа
Д/з
Решение задач
Проверка д/з

Задача 1
Задача 2
Задача 3

Дано: CBD=35; BF=2см; AD=3см; AF=FC; CAD=ACB.
Найти: ADF; FD; BC.
Решение

A
C
D
F
B
3

2

1
2
Устная работа
Д/з
Решение задач
Проверка д/з

A
C
D
F
B
3

2

Решение
1). Так как CAD=ACB – накрест лежащие, то по признаку параллельности прямых BC||AD.
Дано: CBD=35; BF=2см; AD=3см; AF=FC; CAD=ACB.
Найти: ADF; FD; BC.
2). Рассмотрим AFD=BFC по стороне  и двум прилежащим углам (1.AF=FC; 2. CAD=ACB; 3.  AFD = BFC).
ВF=FD; FBC=ADF; BC=AD
BC=AD=3 (см); ВF=FD=2 (см); ADF=35.
Ответ: 35; 3 см; 2 см.

2
Задача 1
Задача 2
Задача 3
1
Д/з
Решение задач
Устная работа
Проверка д/з

Задача 2
Задача 1

Задача 3
A
D
F
B
Дано:
AB=BC; CF=FD.
Доказать, что AB||DF.
Доказательство

C

1
2
Д/з
Решение задач
Устная работа
Проверка д/з

Задача 2
Задача 1

Задача 3
A
D
F
B
Дано:
AB=BC; CF=FD.
Доказать, что AB||DF.

C
Доказательство
1). ABC – равнобедренный (по определению), так как AB=BC  BAC=ACB по свойству равнобедренного треугольника.
2). CDF – равнобедренный по определению, так как CF=FD  DCF=CDF (по свойству).
3) ACB=DCF –  вертикальные  BAC=CDF – накрест лежащие, то по признаку параллельности прямых  AB||FD, что и требовалось доказать.

2
1
Д/з
Решение задач
Устная работа
Проверка д/з

Задача 2
Задача 3

Задача 1
B
A
C
O

D
F
Дано: (O;R) – окружность
т.A,B,C,D  (O;R)
AC ∩ BD= т.F
Записать: пропорциональные отрезки.
Решение

1
2
Д/з
Решение задач
Устная работа
Проверка д/з

Задача 2
Задача 3

Задача 1
B
A
C
O

D
F
Дано: (O;R) – окружность
т.A,B,C,D  (O;R)
AC ∩ BD= т.F
Записать: пропорциональные отрезки.
Решение
1). ABD=ACD – вписанные, опирающиеся на одну и туже дугу AD.

2). BAC=CDB – вписанные, опирающиеся на одну и туже дугу BC.
3). AFB=CFD – вертикальные  стороны AF и DF; BF и CF; AB и CD – сходственные стороны  ABF  CDF 

2
1
Д/з
Решение задач
Проверка д/з
Устная работа
Проверка д/з

Задача 1
Задача 2

	Из точки А проведены две прямые, касающиеся окружности радиуса r в точках M и N. Найти длину отрезка MN, если расстояние от точки A до центра окружности равно a.
Решение

A
M
N
O

B

1
2
Д/з
Решение задач
Проверка д/з
Устная работа
Проверка д/з

Задача 1
Задача 2

Слайд 5

Решение
A
M
N
O

B

Задача 1
Задача 2

OM и ON – радиусы окружности; по свойству радиуса, проведенного в точку касания, OMMA; ONNA.
∆AMO= ∆ANO – прямоугольные (по катету и гипотенузе: OM=ON=r; OA – общая)  OAM=OAN.
AM=AN  ∆AMN – равнобедренный (по определению) AOM=AON.
По свойству равнобедренного треугольника:  AB – биссектриса, медиана и высота MB=BN; ABMN.
S(∆AMO)=½MBˑAO или S(∆AMO)=½MOˑAM
Из ∆AMO: по теореме Пифагора:

                                  и                                          Ответ:

2
1
Д/з
Решение задач
Проверка д/з
Устная работа
Проверка д/з

Задача 2

	В параллелограмме ABCD (AB||CD) диагонали AC=c; BD=3с/2. Найти площадь параллелограмма, если CAB=2ABD.
Решение

A
C
D
O

B

Задача 1

1
2
Д/з
Решение задач
Проверка д/з
Устная работа
Проверка д/з

Задача 2

Решение

Точка О – точка пересечения диагоналей параллелограмма 	ABCD. Для вычисления площади применим формулу S(ABCD)=½ACˑBDˑsin AOB;
S(ABCD)=¾c2ˑsin AOB
Пусть DBA=, тогда CAB=2, AOB=π – 3.
По теореме синусов из ∆AOB:

Тогда, используя формулу sin3, получаем

sin AOB=sin3  =3sin  –4sin3=

Ответ:

Задача 2
Задача 1
A
C
D
O
B

3

2
1
Д/з
Проверка д/з
Решение задач
Устная работа
Проверка д/з

Задача 1
Задача 2

	Две стороны треугольника равны a и b. Найти его третью сторону, если его угол, лежащий против этой стороны, в 2 раза больше угла, лежащего против стороны b.
Решение

A
C
B

a
b

Искомую сторону ∆ABC обозначим c, то есть AB=c
3
4
5
2
6
8
T
1
Д/з
Проверка д/з
Решение задач
Устная работа
Проверка д/з

Задача 1
Задача 2

Решение
A
C

B
a
b

Искомую сторону ∆ABC обозначим c, то есть AB=c
c

B=, тогда C=2. Проведем CD – биссектрису C.
	Две стороны треугольника равны a и b. Найти его третью сторону, если его угол, лежащий против этой стороны, в 2 раза больше угла, лежащего против стороны b.

3
4
5
6
1
8
T
2
Д/з
Проверка д/з
Решение задач
Устная работа
Проверка д/з

Задача 1
Задача 2

Решение
A
C

B
a
b

Искомую сторону ∆ABC обозначим c, то есть AB=c
	Две стороны треугольника равны a и b. Найти его третью сторону, если его угол, лежащий против этой стороны, в 2 раза больше угла, лежащего против стороны b.
c

B=, тогда C=2. Проведем CD – биссектрису C.

2
D




4
5
2
6
1
8
T
3
Д/з
Проверка д/з
Решение задач
Устная работа
Проверка д/з

Задача 1
Задача 2

Решение
A
C

B
a
b

Искомую сторону ∆ABC обозначим c, то есть AB=c
	Две стороны треугольника равны a и b. Найти его третью сторону, если его угол, лежащий против этой стороны, в 2 раза больше угла, лежащего против стороны b.
c

B=, тогда C=2. Проведем CD – биссектрису C.

2
D



Рассмотрим ∆CBD – равнобедренный, так как BCD=B= (углы при основании ∆ABD)  BD=CD.
Пусть BD = x, тогда AD=c – x, CD=x.

3
5
2
6
1
8
T
4
Д/з
Проверка д/з
Решение задач
Устная работа
Проверка д/з

Задача 1
Задача 2

Решение
A
C

B
a
b

Искомую сторону ∆ABC обозначим c, то есть AB=c
	Две стороны треугольника равны a и b. Найти его третью сторону, если его угол, лежащий против этой стороны, в 2 раза больше угла, лежащего против стороны b.
c

B=, тогда C=2. Проведем CD – биссектрису C.

2
D



Рассмотрим ∆CBD – равнобедренный, так как BCD=B= (углы при основании ∆ABD)  BD=CD.
Пусть BD – x, тогда AD=c – x, CD=x.
x
x

3
4
2
6
1
8
T
5
Д/з
Проверка д/з
Решение задач
Устная работа
Проверка д/з

Задача 1
Задача 2

Решение
A
C

B
a
b

Искомую сторону ∆ABC обозначим c, то есть AB=c
	Две стороны треугольника равны a и b. Найти его третью сторону, если его угол, лежащий против этой стороны, в 2 раза больше угла, лежащего против стороны b.
c

B=, тогда C=2. Проведем CD – биссектрису C.

2
D



Рассмотрим ∆CBD – равнобедренный, так как BCD=B= (углы при основании ∆ABD)  BD=CD.
Пусть BD – x, тогда AD=c – x, CD=x.
x
x
По теореме о биссектрисе внутреннего угла треугольника

3
4
5
2
1
8
T
6
Д/з
Проверка д/з
Решение задач
Устная работа
Проверка д/з

Задача 1
Задача 2

Доказательство
A
C

B
Пусть AD – биссектриса  ABC.
Так как площади треугольников, имеющих общую вершину A, относятся как длины их оснований, то
	Биссектриса любого внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
D

Теорема о биссектрисе
                                               с другой стороны, эти площади относятся как
                                               длины сторон:

Из (1) и(2) следует, что                                 Теорема доказана .

3
4
5
2
6
1
8
T
Д/з
Проверка д/з
Решение задач
Устная работа
Проверка д/з

Задача 1
Задача 2

A
C
B
a
b
Из подобия треугольников найдем
c

Приравнивая правые части (1) и (2) равенства, получим

2
D



x
x

По теореме о биссектрисе внутреннего угла треугольника:
С другой стороны, ACD=, a ADC=2 (как внешний угол CBD). Тогда три угла ∆ACD равны трем углам ∆ABC, следовательно, ∆ACD ̴ ∆ABC.
2

Ответ:

3
4
5
2
6
1
T
8
Д/з
Проверка д/з
Решение задач
Устная работа
Проверка д/з

	Точка N лежит на стороне AC правильного треугольника ABC. Найти отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ABN и ABC, если AN:AC=n
Решение

Задача 1
Задача 2

B
A
C
N

Обозначим сторону треугольника  ABC через а, тогда AN=na.
Сторону BN найдем по теореме косинусов:
R1 – радиус окружности, описанной около ABN.
R2 – радиус окружности, описанной около ABC.

Применим формулу
1
2
3
Д/з
Проверка д/з
Решение задач
Устная работа
Проверка д/з

Около всякого треугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Задача 1
Задача 2
Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении перпендикуляров, восстановленных из середин сторон этого треугольника.
Радиус R окружности, описанной около треугольника, по его сторонам и полупериметру вычисляется по формуле:
Также радиус R окружности, описанной около треугольника, может быть вычислен по формулам:
где S – площадь треугольника,
hc – высота, проведенная из вершины С.
3
2
1
Д/з
Проверка д/з
Решение задач
Устная работа
Проверка д/з

Задача 1
Задача 2

B
A
C
N

Применяя формулу
получим, что
Если у треугольников равны высоты, то их площади относятся как основания. А так как ABN и ABC имеют общую высоту, проведенную из вершины B,  то их площади относятся как длины оснований:
Подставляя выражения для площадей, получим:
Ответ:
2
1
3

Проверка д/з
Д/з
Решение задач
Устная работа
Проверка д/з

Задача 1
Задача 2

	Трапеция ABCD вписана в окружность. Найти среднюю линию трапеции, если ее большее основание AD равно 15, синус BAC равен 1/3, синус ABD равен 5/9.
Решение

M
A
D

B

C

N
 15



1
2
Проверка д/з
Д/з
Решение задач
Устная работа
Проверка д/з

Задача 1
Задача 2

M
A
D
B
C

N
 15



Решение
Средняя линия трапеции равна

Для нахождения средней линии надо найти длину основания BC.
Используя свойства вписанных и центральных углов окружности, а также радиус описанной окружности R, выразим:
Длина
Ответ: 12

2
1
Проверка д/з
Д/з
Решение задач
Устная работа
Проверка д/з

Задача 2

Задача 2
Задача 1
	В трапеции ABCD (AB||CD) диагонали AC=a и BD=7/5a. Найти площадь трапеции, если CAB=2DBA.
Решение

A
D
B
C

О

1
2
Проверка д/з
Д/з
Решение задач
Устная работа
Проверка д/з

Задача 2

Задача 2
Задача 1
A
D
B
C
О

E
Решение
Пусть  DBA=, тогда CAB=2.
BE=CD; CE=BD; CEA=DBA= – соответственные при DB||CE и AE секущая.
Ответ:
Через вершину C проведем CE||DB до пересечения ее с продолжением основания AB в точке  E.
2



h – высота ACE и трапеции ABCD.
Для ACE применим теорему синусов:
2
1
Устная работа
Д/з
Решение задач
Проверка д/з
Выход
Спасибо за внимание


title: Презентация на тему: Правильные многогранники и их построение

text:
k
60
3
180
60
4
240
60
5
300
90
3
270
108
3
324

-
1
1
1
1
3
9
15
9
15
6
9
15
9
15
O


text:
Правильные многогранники
Презентацию подготовила Шевцова Маргарита, СО-ТВ-13
Что такое правильный многогранник?

Правильный многогранник - многогранник, все грани которого - одинаковые правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны между собой.
Определение
Многогранник называется правильным, если:

он выпуклый;
все его грани являются равными правильными многоугольниками;
в каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер.

Виды правильных многогранников
Существует всего пять видов правильных многогранников:
Тетраэдр
Октаэдр
Икосаэдр
Гексаэдр или куб
Додекаэдр
Тетраэдр
Тетра́эдр (греч. τετραεδρον — четырёхгранник) — простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.
Октаэдр
Окта́эдр (греч. οκτάεδρον, от греч. οκτώ, «восемь» и греч. έδρα — «основание») — один из пяти выпуклых правильных многогранников, так называемых Платоновых тел.

Октаэдр имеет 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин, в каждой его вершине сходятся 4 ребра.
Икосаэдр
Икоса́эдр (от др.-греч. εἴκοσι «двадцать»; ἕδρον «сидение», «основание») — правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник, одно из Платоновых тел. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник. Число ребер равно 30, число вершин — 12. Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм.
Гексаэдр
Куб или правильный гексаэдр — правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Частный случай параллелепипеда и призмы.
Додекаэдр
Додека́эдр (от греч. δώδεκα — двенадцать и εδρον — грань) — двенадцатигранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников.

Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра).
Платоновы тела
Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 – ок. 348 до н.э.). Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников.
Многогранники вокруг нас
Правильные многогранники – самые выгодные фигуры, поэтому они широко распространены в природе. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Например, кристаллы поваренной соли имеют форму куба.
Правильные многогранники в химии
При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами (K[Al(SO4)2] × 12H2O), монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана (FeS). Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра. В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий (Na5(SbO4(SO4)) – вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра. Последний правильный многогранник – икосаэдр передаёт форму кристаллов бора.
Правильные многогранники в живой природе
Правильные многогранники встречаются так же и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр.


title: Презентация на тему: Правильные многоугольники

text:
  1
  2
  3
  4
  5
  6
  7

 N
 R
 r
 a
 P
 S
 1
 6
 2
 2
 3
 4
2.
1.
3.
  N
  R
  r
  a
  P
  S
  1
  3
  6
 24
36
  2
  2
  4
 16
16
  3
  4
32


text:
900igr.net
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
n
R
r
P
S
4
3
12
6
6
9
n
R
r
P
S
4
3
12
6
6
9
P4 = 32
     S6 =
= 8
S3 =
 S4 =
2) R4 = r
= 3
n
an
rn
Sn
3
4
2R2
6
R
n
an
rn
Sn
3
4
2R2
6
R
R

R


title: Презентация на тему: «Правильные многогранники» 10 класс

text:
5klass.net
a
4
4
6
6
8
12
8
6
12
12
20
30
20
12
30

4 + 4 = 8
6
6 + 8 = 14
12
8 + 6 = 14
12
12 + 20 = 32
30
20 + 12 = 32
30


text:
Prezented.Ru
4
6
8
12
20
Prezented.Ru