title: Презентация на тему: Планиметрия

text:
Планиметрия.

Учитель:
Русина Анна Николаевна.
МБОУ "Гимназия №23"
г.Троицк
Геометрия

 7 класс.

Начальные геометрические
 сведения
Урок
В переводе с греческого - «землемерие»;
Наука, изучающая свойства геометрических фигур;
Делится на планиметрию - часть геометрии, изучающую свойства фигур на плоскости, и стереометрию - часть геометрии , изучающую свойства фигур в пространстве.
ГЕОМЕ ТРИЯ
Основные неопределяемые понятия геометрии

точка

прямая

плоскость

пространство

А

Точки обозначают заглавными буквами латинского алфавита:В,С,М…
Запомни!
Точка  А

А

В

С
Пишут: А

а
а
В   а

С   а

Запись принадлежности
точки прямой:
Отрезок
Определение:

Пишут: Отрезок АВ или отрезок ВА.

Часть прямой, ограниченная двумя точками, называется отрезком.

Две прямые либо имеют только одну общую точку, либо вообще не имеют общих точек.
Через любые две точки можно провести прямую:
А
В

Обозначают АВ или малыми буквами латинского алфавита: а, b, c, m, n, l, k…

Прямая

луч
Тема урока:
О - начало луча
h
Урок

Определение
А
О
Лучом называется часть
прямой, ограниченная
с одной стороны.

О
А
В
1. построили прямую
2. отметили на прямой
точку О
3. получили два
луча - ОА и ОВ
Лучи ОА и ОВ -
дополнительные лучи.
угол

О
А
В
Определение:
Геометрическая фигура, образованная двумя лучами , исходящих из одной точки, называется углом.
Точка О-вершина угла
Лучи ОА и ОВ –стороны угла.
Тема урока:
АОВ или ВОА

Определение:
Две фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.
Урок
Фигуры равные,
так как при наложении
они совместились.
Сравнение углов
Равные углы имеют равные градусные меры.
********
Меньший угол имеет меньшую градусную меру.
*********
Развернутый угол равен 180 градусов.
*******
Неразвернутый угол меньше 180 градусов.

Равные отрезки имеют равные длины
Если точка делит отрезок на два отрезка, то длина данного отрезка, равна сумме длин получившихся отрезков.
АС=АВ+ВС
  Вы сегодня на уроке повторили:

- построение прямой;
- построение отрезка и луча;
- понятие равных фигур.


title: Презентация на тему: ПЛАНИМЕТРИЯ: Вычисление площади треугольника

text:
ПЛАНИМЕТРИЯ:
Вычисление площади треугольника
В5
Приготовил: Р.Ф. Керимов
учитель математики
МБОУ СОШ № 26
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен треугольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
Решение

6
2
Ответ: 6

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен треугольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
Решение

9
4
Ответ: 18

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен треугольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
Решение

6
2
Ответ: 6

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен треугольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
Решение

8
3
Ответ: 12

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен треугольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
Решение

6
2
Ответ: 6

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен треугольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
Решение

5
3
Ответ: 7,5

Найдите площадь треугольника
Решение

8
3
Ответ: 12

Найдите площадь треугольника
Решение

8
3
Ответ: 12

Найдите площадь треугольника
Решение

8
3
Ответ: 12

Спасибо за внимание


title: Презентация на тему: Пять платоновых тел

text:
Существуют пять уникальных форм, имеющих первостепенное значение для понимания как сакральной, так и обычной геометрии. Они называются Платоновыми телами, хотя задолго до Платона ими пользовался Пифагор, назвав их идеальными геометрическими телами.
Любое Платоново тело имеет некоторые особые характеристики.

Во-первых, все грани такого тела равны по размерам. Например, куб, самое известное из всех Платоновых тел, имеет каждую грань в виде квадрата, и все они — одного размера. Во-вторых, ребра Платонова тела — одной длины: все ребра куба одинаковы. В-третьих, внутренние углы между его смежными гранями равны. У куба такой угол равен 90 градусам.

В-четвертых, каждое из Платоновых тел может быть вписано в сферу, каждой своей вершиной касаясь поверхности этой сферы. Есть только четыре формы помимо куба (А), отвечающие всем этим характеристикам: тетраэдр — В (тетра означает «четыре»), имеющий четыре грани в виде равносторонних треугольников; октаэдр — (окта означает «восемь»), восемь граней которого — равносторонние треугольники одинакового размера; икосаэдр — D; додекаэдр — Е. Последние два Платоновых тела несколько сложнее. Икосаэдр имеет 20 граней, представленных равносторонними треугольниками. Додекаэдр (додека — это «двенадцать») имеет 12 граней в виде правильных пятиугольников.
На самом деле есть изначальная форма — это сфера, с которой все начинается, которую считают шестым телом. Древние алхимики считали, что эти шесть форм связаны с определёнными элементами : куб – земля, тетраэдр – огонь, октаэдр — воздух, икосаэдр — вода, додекаэдр – эфир (эфир, прана и тахионная энергия — одно и то же; они распространяются повсюду и находятся в любой точке пространства – времени - измерения). А сфера - пустота. Эти шесть элементов являются строительными камнями Вселенной. Они создают качества Вселенной.

Шесть элементов — первичных форм, как они представлены вписанными в сферы, — можно соотнести с тремя столбами, соответствующими Древу Жизни и трем первичным энергиям Вселенной. Слева — мужской столб, справа — женский, центральный столб, творящий, — это дитя. Или, если обратиться к веществу Вселенной, получится протон слева, электрон справа и нейтрон в центре.

Куб. Куб отличается от других Платоновых тел одной особенностью, которой нет ни у кого, кроме сферы: куб и сфера могут совершенно вмещать в себя четыре других Платоновых тела и друг друга, охватывая их своей поверхностью.
В то время как сфера — это Мать, самая важная женская форма, куб — Отец, самая важная мужская форма. Во всей реальности сфера и куб — две самые важные формы, они почти всегда доминируют, когда речь идет о первоначальных связях в творении.
Символически куб идентичен квадрату — четверке, числу материи, числу четырех элементов. Куб — это идеальная стабильность, устойчивое основание — символ самой земли. Поэтому часто монархи (например египетские фараоны) изображаются сидящими на кубическом камне, символе устойчивости их царства.
Куб — квадрат в трех измерениях, каждая грань которого имеет те же характеристики, что и остальные, поэтому он стал эмблемой правды. В иконографии часто используется как постамент для аллегорических фигур Правды и Истории. Согласно преданию народа майя, Древо Жизни выросло из куба. Как в иудаизме, так и в исламе куб являет собой центр веры. Паломники в Мекке обходят вокруг кубического сооружения Каабы, наиболее почитаемой мусульманской святыни.
Развертка куба в пространство представляет собой крест, и если христианские церкви обычно строятся так, что имеют в плане форму креста, то это именно потому, что крест — развертка в плоскость кубического камня: церковь должна представлять собой утверждение религии Христа на земле на долгие времена.
Куб, являясь полностью закрытой фигурой, символизирует ограничение. Поэтому порожденный разверткой куба крест также обозначает ограничение, страдание.

Тетраэдр. Эта фигура состоит из четырех правильных треугольников. Если развернуть их на плоскости, они образуют равносторонний треугольник — символ Бога.
Как и равносторонний треугольник, тетраэдр представляет собой воплощение самой гармонии и равновесия. Угловые же точки куба, как и квадрата, находятся на разных расстояниях друг от друга, а это значит, что в этих фигурах есть постоянное напряжение.

Октаэдр. Собственно говоря, октаэдр является «двойником» куба: если соединить центры смежных граней куба, то получится октаэдр.

Додекаэдр и икосаэдр. Додекаэдр — настолько сакральная форма, что во времена Пифагора, если бы кто-то произнес это слово вне пифагорейской школы, его убили бы на месте. Двумястами годами позже, когда жил Платон, он уже мог говорить о нем, но очень осторожно. «Это отчасти объяснялось тем, что с додекаэдром связывали пятый элемент — эфир, или прану. В алхимии обычно речь идет только о четырех элементах: огне, земле, воздухе и воде, а о пране говорится редко, потому что она считается очень сакральной. Другая причина в том, что в те времена тщательно скрывалось древнее знание, согласно которому додекаэдр близок к внешнему краю энергетического поля человека и является высшей формой сознания... Додекаэдр — это конечная точка геометрии, и он очень важен. На микроскопическом уровне додекаэдр и икосаэдр — это взаимосвязанные параметры ДНК, план-карта всей жизни» (Друнвало Мелхиседек).Если соединить центры граней додекаэдра прямыми линиями, то получится икосаэдр. Соединив центры граней икосаэдра, снова получим додекаэдр. Многие многогранники имеют «двойников». Вообще многогранник — одна из трехмерных геометрических фигур. Во все времена им предавали магическое значение.

Спасибо за внимание !!!


title: Презентация на тему: Пирамиды

text:
ПИРАМИДА
ПОДГОТОВИЛИ УЧЕНИКИ 9 «Б» КЛАССА
Дима Кочубеев и Тумасян Арман
Пирамида – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д.
апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины;
боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине;
боковые ребра — общие стороны боковых граней;
вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;
высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);
диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;
основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Элементы пирамиды
Формулы объема пирамид
                      Правильная пирамида
            Правильная треугольная пирамида
                     Правильная четырехугольная пирамида
                                Тетраэдр
Площадь  полной
        поверхности
   Площадь боковой
поверхности правильной
пирамиды
   Площадь боковой
поверхности правильной
усеченной пирамиды
                 Площадь поверхности пирамиды
         СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ !


title: Презентация на тему: Планиметрия

text:
Muokkaa otsikon tekstimuotoa napsauttamalla
Muokkaa jäsennyksen tekstimuotoa napsauttamalla
Toinen jäsennystaso
Kolmas jäsennystaso
Neljäs jäsennystaso
Viides jäsennystaso
Kuudes jäsennystaso
Seitsemäs jäsennystaso
Kahdeksas jäsennystaso
Yhdeksäs jäsennystaso

b

h


Презентация на тему: Пирамиды


title: Презентация на тему: Пирамиды

text:
900igr.net
P
H
P
h
O
R
h
d
a
a2
a1
P1= 4a1
P2= 4a2
d


title: Презентация на тему: Платоновы тела как основа мироздания

text:
Klõpsake tiitlilaadi muutmiseks
Klõpsake juhtslaidi teksti laadide redigeerimiseks
Teine tase
Kolmas tase
Neljas tase
Viies tase


title: Презентация на тему: Плащадь трапеции

text:
S=ab
S=a2
S=
ab
S=
ab
S=
S=
S=
S=
S=
S=
S=1/2 ab
S=1/2 ah
S= ah
,


title: Презентация на тему: Пирамида урок

text:
900igr.net
S
B
C
D
E

s
A
B
C
1
2
3
6
4
5
  1. SA=SB=SC
S
M
N
K
1
2
3
4
5
 1.SM=SN=SK


title: Презентация на тему: Платоновы тела

text:
Klõpsake tiitlilaadi muutmiseks
Klõpsake juhtslaidi teksti laadide redigeerimiseks
Teine tase
Kolmas tase
Neljas tase
Viies tase
900igr.net


Презентация на тему: Пирамида. Построение пирамиды и её плоских сечений. Усечённая пирамида. Правильная пирамида.


title: Презентация на тему: Площадь

text:
S
S1
S2
S1=S2
S1
S2
S1=S2
S=S1+S2+S3
S1
S1
S2
S2
S3
S1
S=S1+S2+S3
A
B
C
D
S
SABCD = a · a = a2
D
S1
S2
S
S=S1+S2


title: Презентация на тему: «Платоновы тела»

text:
30
12
20
30
20
12
12
6
8
12
8
6
6
4
4
30
20 + 12 = 32
30
12 + 20 = 32
12
8 + 6 = 14
12
6 + 8 = 14
6
4 + 4 = 8


title: Презентация на тему: Площадь

text:
S = a·b
      2
b
a

      3

      1
6 = 3·2
   6
   2
   3
      2
b
a

16 = 4·4
  16
   4
   4
      3
12 = 4·3
  12
   3
   4

      1
6 = 3·2
   6
   2
   3
      2
 S = a · b
  b

16 = 4·4
  16
   4
  4
      3
12 = 4·3
  12
   3
   4

      1
   6
   2
   3
      2

  16
   4
   4
      3
  12
   3
   4

      1
900igr.net
D


title: Презентация на тему: Площадь 8 класс

text:
S2

S3
S1
S=S1+S2+S3
A
D
C
B
M
1
2.
3.
25
5
6,25
2,5
b
a
S
a
a
a
b
b
b
a2
b2
b
a
S
S
h
a
S = ah
1
2
A
B
C
D
A
D
C
B
H
H1
S = 1/2 (AD + DC)AH


Презентация на тему: Пи-Теория фундаментальных физических констант


title: Презентация на тему: Площади

text:
a
b
c
a
a
b
40º
?
45º
10
15
25
30º
D
D
3
5
2
D
D
D
5
4
3
7
D
14
10
7
D
60º


title: Презентация на тему: ПЛОЩАДЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФИГУРЫ

text:
1
2
3

3.


title: Презентация на тему: Площадь 8 КЛАСС

text:
S = ½ ab
S = ½ ah
S = ah
S = ½ d1d2
S = a²
S = ab
S = ½ (a+b)h
B
C
D
A
E
3
4
4
B
A
D
C
A
B
C
D
135º
8
4
B
A
C
D
B
C
D
A
E
3
4
B
A
C
D


title: Презентация на тему: Платоновы тела

text:
4
4
6
6
8
12
8
6
12
12
20
30
20
12
30
4 + 4 = 8
6
6 + 8 = 14
12
8 + 6 = 14
12
12 + 20 = 32
30
20 + 12 = 32
30


title: Презентация на тему: Площади фигур

text:
t
t
q
p
Sq = 1
p
S = 1
ST = 2
S = 4
S = 2


title: Презентация на тему: Площади фигур. Зачёт

text:
1
h
b
2
D
h
b
a
3
b
h
a
4
a
b
5
a
7
4
3
32
5
3
8
5
4
3


title: Презентация на тему: Площади

text:
25
2
31
·4
+900
:125
+37
+
90
-10
+2
·14
:7
-21
37·11=
5!-20=
35²  =
28·15+72·15=
  13²+1=

407
100
1225
1500
170

SA         SB
D


title: Презентация на тему: Пирамида

text:
Пирамида
Подготовили :
Асадова Ламия,
Шимонаев Павел,
Волкова Екатерина,
Балыбин Артем,
Олзоев Тимур
План
Определение
Элементы пирамиды
Свойства пирамиды
Правильная пирамида
Свойства правильной пирамиды
Прямоугольная пирамида
Поверхность пирамиды
Формулы, связанные с пирамидой
Определение
Пирамида – это многоугольник  А1А2…Аn и точка P, не лежащая в плоскости этого многоугольника и соединенная отрезками с вершинами многоугольника.

Элементы пирамиды
основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.
боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине пирамиды;
боковые ребра — общие стороны боковых граней;
вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;
высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);
апофема — высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды;
диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;

Свойства пирамиды
Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то :
в основание пирамиды можно вписать окружность, причем вершина пирамиды проецируется в ее центр;
высоты боковых граней равны;

Свойства пирамиды
Если все боковые ребра равны, то:
около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы.
также верно и обратное, то есть если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.
Свойства пирамиды
Если в основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, а боковые ребра равны, то высота, опущенная из вершины пирамиды, проецируется на середину гипотенузы данного треугольника.
Правильная пирамида

Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.
Свойства правильной пирамиды
боковые ребра правильной пирамиды равны;
в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;

Прямоугольная пирамида
Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.
Поверхность пирамиды
Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней (т.е. основания и боковых граней).
Площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.

Формулы, связанные с пирамидой
Чтобы определить площадь боковой поверхности пирамиды, надо найти сумму площадей всех её боковых граней:
Формулы, связанные с пирамидой
Теорема
Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению периметра основания на половину апофемы.
Доказательство:
Представим боковую поверхность этой пирамиды как сумму площадей равных равнобедренных треугольников.
Если всех треугольников n, то боковая поверхность равна произведению периметра основания на половину апофемы.
Формулы, связанные с пирамидой


Презентация на тему: Площади фигур на клетке


title: Презентация на тему: Площадь 5 класс

text:
Урок математики в 5классеТема: «Площадь»
Подготовила учитель математики МБОУСОШ №8 г. Ельца Липецкой области Кобзева Наталия Анатольевна
Цели урока
создание условий для закрепления и осмысления усвоенных знаний по  теме « Площадь», расширение представлений учащихся об изменении геометрических величин, выработка умений применять знания в новой  ситуации.
   Задачи урока:
 закреплять умения вычислять площади прямоугольников, квадратов, треугольников; формировать умения находить среди фигур равные, равновеликие; совершенствовать вычислительные навыки учащихся; продолжить работу с текстовыми задачами;
 развивать познавательный интерес учащихся, смекалку и внимательность, культуру устной и письменной математической речи.
воспитывать у учащихся навыки учебного труда;  формировать положительную мотивацию и интерес к предмету; воспитывать уважительное отношение к сверстникам.

21.08.2013
2
21.08.2013
3
Первую находим-вычисляем, Много формул для нее мы знаем.На второй же митинги, парады,Погулять по ней всегда мы рады.
S = a b
площадь
21.08.2013
4
        1
2
3

4
  5
6 дм
6 дм
8 дм
6 дм
6 дм
3 дм
5 дм
4 дм
4 дм
2 дм
2 дм
2 дм
На фигуры посмотриТы, дружок, внимательно.Что сумеешь - вычисли.Если сможешь - поспеши,Равные средь них найди.
Свойства площадей
Измерить площадь фигуры, значит найти  число, показывающее, сколько единичных квадратов содержится в данной фигуре.
Площадь прямоугольника  равна произведению
       ширины прямоугольника на его длину.
3.    Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
4.    Площади равных фигур равны.
5.    Площадь всей фигуры равна сумме площадей ее частей.

21.08.2013
5
№722
21.08.2013
6

Решение:
1)16-12=4 (см)-ширина первого прямоугольника.
2) 16·4=64 (см)-площадь первого прямоугольника.
3) 64:32=2 (см)-ширина второго прямоугольника.
8·8=64 см², значит сторона квадрата с площадью
 64 см² равна 8 см.
Ответ: 2 см, 8 см.
Физкультминутка
21.08.2013
Много ль надо нам, ребята, надо
Для умелых наших рук?
Нарисуем два квадрата,
А на них огромный круг,
А потом еще кружочек,
Треугольный колпачок.
Вот и вышел очень, очень Развеселый чудачок.
7

Устные упражнения
№ 716
Ответ: 10 см.
№ 719
Ответ: 225 см.
№ 720
Ответ: 6 см.
№721
                              Ответ:

21.08.2013
8
S=6
S=6
№733
Решение:
        5!=5·4·3·2·1=120
Ответ: 120 вариантов расписания можно составить.

21.08.2013
9
Итог урока

Как изменится площадь прямоугольника, если ширину увеличить в 2 раза, уменьшить в 3 раза?
2)  Как изменится площадь квадрата, если его сторону уменьшить в 2 раза?

21.08.2013
10
Объяснение:
21.08.2013
11
а – ширина
b – длина
S=аb – площадь
Если длина увеличится в 2 раза, то она станет 2b
И тогда  S=а·2b=2·(аb)
2·(аb) в 2 раза больше , чем аb.
Вывод: площадь увеличится в 2 раза
Рефлексия
21.08.2013
12

Домашнее задание

п.18 № 740; 742; 745. Повторить свойства площадей.
21.08.2013
13
Литература, интернет - ресурсы:
Математика.5 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений/ Н.Я. Виленкин и др. – М.: Мнемозина, 2008.
 Поурочные разработки по математике: 5 класс. – М.: ВАКО, 2011. – 496 с. – (В помощь школьному учителю).
 Презентация на тему: «Подведение итогов урока. Рефлексия.» http://www.myshared.ru/slide/208430/
 Физкультминутки на уроках математики: http://zaparina.ru/index.php?option=com_content&view=article&id=207:2012-06-08-02-48-09&catid=15:2012-01-29-03-29-32&Itemid=21
 Ссылка на картинку:   Красная площадь http://images.yandex.ru/yandsearch?source=wiz&text=%D0%BA%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B0%D0%B4%D1%8C%20%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%BA%D0%B8&noreask=1&pos=12&rpt=simage&lr=10713&uinfo=sw-1349-sh-583-fw-1124-fh-448-pd-1&img_url=http%3A%2F%2Fwww.sprachkurse-weltweit.de%2Fneu-bilder%2F120%2Fru-roter-platz.jpg

21.08.2013
14


title: Презентация на тему: Площадь

text:
Площадь
Подготовил Рокицкий Максим ученик 9 класса
СПб  лицей 488 (учитель Курышова Н.Е.)
Геометрия
глава 6
Содержание
Единица измерения
Свойства площадей
Площадь прямоугольника
Площадь параллелограмма
Площадь треугольника
Площадь трапеции
Теорема Пифагора
Теорема, обратная теореме Пифагора

Единица измерения
Основная единица измерения – м2 (мм2, см2, км2, ар, га)

1 см x 1 см = 1 см2
1 мм2 = 0,01 см2
1 см2 = 0,0001 м2
1 км2 = 1000000 м2
1 ар = 100 м2
1 гектар = 10000 м2
1 акр = 4046,8564224 м2
Назад
Свойства площадей
Равные многоугольники имеют равные площади.
Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих много-угольников.
Площадь квадрата равнаквадрату его стороны.
Назад
Площадь прямоугольника
Дано: прямоугольник со сторонами a и b.
Доказать: S = ab.
Доказательство:

(a + b)2 = S + S + a2 + b2
а2 + 2ab +b2 = 2S + a2 + b2

S = ab. Теорема доказана.
Назад
Теорема:
Площадь прямоугольника равна
произведению его смежных сторон.

Задача
Задача: Найти площадь прямоугольника со сторонами 4 и 2.

Дано: прямоугольник со сторонами a и b,a = 4 см, b = 2 см.
Найти: S.
Решение:

S = ab
S = 4 см ∙ 2 см = 8 см2

Ответ: S = 8 см2
Назад
К теореме
Площадь параллелограмма
Дано: параллелограмм ABCD.
Доказать: S = AD ∙ BH.
Доказательство:

∆ABH = ∆DCK
SABCD = SHBCK

S = AD ∙ BH. Теорема доказана.

Назад
Теорема:
Площадь параллелограмма равнапроизведению его основания на высоту.

Задача
Задача: Найти площадь параллелограмма, если основание 8 см, а высота 5 см.

Дано: параллелограмм ABCD, BH - высотаAD = 8 см, BH = 5 см.
Найти: S.
Решение:

S = AD ∙ BH
S = 8 см ∙ 5 см = 40 см2

Ответ: S = 40 см2
Назад
К теореме
Площадь треугольника
Дано: ∆ABC, AB – основание, CH – высота.
Доказать: S = ½AB ∙ CH
Доказательство:

∆ABC = ∆DCB
S∆ABC = S∆DCB
S∆ABC = ½ S ABDC

S = ½AB ∙ CH. Теорема доказана.
Назад
Теорема:
Площадь треугольника равна половинепроизведения его основания на высоту.

Задача
Задача: Найти площадь треугольника с основанием 10 см и высотой 8 см.

Дано: ∆ABC, AB = 10 см, CH = 8 см.
Найти: S.
Решение:
S = ½AB ∙ CH
S = ½ ∙ 10 см ∙ 8 см == ½ ∙ 80 см2 = 40 см2

Ответ: S = 40 см2
Назад
К теореме
Площадь трапеции
Дано: трапеция ABCD; AD и BC – основания.
Доказать: S = ½(AD + BC) ∙ BH
Доказательство:

SABD = ½ AD ∙ BH, SBCD = ½ BC ∙ DH1
Так как DH1 = BH, то SBCD = ½ BC ∙ BH

S = ½(AD + BC) ∙ BH. Теорема доказана.
Назад
Теорема:
Площадь трапеции равна произведению
полусуммы её оснований на высоту.

Задача
Задача: Найти площадь трапеции с основаниями 4 и 6 и высотой 5.

Дано: трапеция ABCD, BC = 4 см, AD = 6 смBH = 5 см.
Найти: S.
Решение:

S = ½(AD + BC) ∙ BH
S = ½(4 см + 6 см) ∙ 5 см == ½ ∙ 10 см ∙ 5 см = ½ ∙ 50 см2 = 25 см2

Ответ: S = 25 см2
Назад
К теореме
Теорема Пифагора
Дано: a, b, c – стороны прямоугольного треугольника
Доказать: с2 = a2 + b2
Доказательство:

S = 4 ∙ ½ ab + c2
(a + b)2 = 2ab + c2

с2 = a2 + b2. Теорема доказана.
Назад
Теорема:
В прямоугольном треугольнике квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Задача
Задача: Найти гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами 4 и 3.

Дано: ∆ABC, AC = 3 см, BC = 4 см, C – прямой.
Найти: AB.
Решение:

AB2 = AC2 + BC2
AB2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25
AB =        = 5

Ответ: AB = 5 см
Назад
К теореме
Дано: ∆ABC; AB2 = AC2 + BC2
Доказать: С – прямой угол
Доказательство:

A1C1 = AC, B1C1 = BC
A1B12 = AC2 + BC2
A1B12 = AB2, A1B1 = AB

Теорема доказана.
Назад
Теорема, обратная теореме Пифагора
Теорема:
Если квадрат одной стороны равен сумме квадратов
двух других сторон, то треугольник прямоугольный.


title: Презентация на тему: Площади четырехугольников

text:
D
D
D
=90
D
D
D
(
d1
d2
F1
F2
F3
F4
SABCD= SF1+SF2+SF3+SF4
A
B
C
D
B


title: Презентация на тему: Площадь. Формула площади прямоугольника

text:
2700
8700
x=20
y=4
1.
2.
3.
4.
5.
A
D
C
F
B
S
a
S
b
a
?
K
N
M
T
2
0
4
6
4
0
2
6
6
0
4
2
3
3

20, 24, 26, 40, 42, 46, 60, 62, 64
49
25
(36)
16


title: Презентация на тему: Площади (8 класс)

text:
5
4
3
2
1


title: Презентация на тему: Площади многоугольников

text:
S1
S2
S3
S=S1+S2+S3
a
a
S=a2
a
b
A
B
C
D
C
a
B
D
h
A
A
B
C
a
h
A
B
C
a
c
b
a
a
A
B
C
a
A
B
C
A1
B1
C1
s
s1
A
B
C
D
b
a
h
A
B
C
D
E
F
h
A
B
C
D
d1
d2


title: Презентация на тему: Площади комбинированных фигур

text:
4
6
5
3
1
2
9
7
8
10
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
40
30
25
12
6
820
78
40
64
38
688
20
11
20
11
220
220 : 2 · 3 = 330
b
1
6 · 8 = 48
2
2 · 8 : 2 = 8
3
4 · 6 : 2 = 12
4
2 · 6 : 2 = 6
6
3
2
2
3
http://etftrends.typepad.com/photos/uncategorized/2008/04/30/scissors_2.png


title: Презентация на тему: Площади фигур геометрия

text:
900igr.net
b
D
A
B
C
b
a
S=a×b
S=AD*BH
b
a
S=(a×b):2
H
1
2
3

S=a2
S
S=b2
S
a
a
a
a
a
b
b
b
b
A
B
C
D
D
H
K
1
2
A
C
B
H
D
b
a
b
c
c


title: Презентация на тему: Площади многоугольников и их свойства

text:
Тема урока
Площади многоугольников
Составила учитель математики
 МОУ СОШ №127 г.Перми:
 Коблова С.Ю.
Понятие площади
Что принимают за единицу измерения площади?
В каких единицах измеряется площадь?
Чем выражается площадь многоугольника, что показывает это число?
Свойства площадей
Равные многоугольники имеют равные площади
Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников
Площадь квадрата равна квадрату его стороны
1 свойство
Если F1=F2, то S(F1)=S(F2)
F1

F2
2 свойство
S(F)=S(F1)+S(F2)+S(F3)

F3
F2
F1

3 свойство
Sкв=a2

а
Задачи
Площадь параллелограмма ABCD равна S. Найдите площади треугольников ABC и ABD.
Площадь прямоугольника ABCD равна Q. Найдите площадь треугольника AMD.
Заполните таблицу, где S – площадь квадрата, а – сторона квадрата.
№1.

А
В
С
D

№ 2.

CR=RB

D
C
M
R
A
B
=
=
№ 3.
Площадь прямоугольника
Теорема.
  Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.
Площадь прямоугольника
Дано:
Прямоугольник,
a, b – стороны,
S – площадь

Доказать:
S=ab

S

b
a
a
a
b
a
b
b

Площадь прямоугольника
Доказательство:

       По 3-му свойству площадь получившегося квадрата равна (а+b)2.

      По 2-му свойству имеем:
     (а+b)2= S+S+а2+b2
а2 +2аb+b2= 2S+а2+b2

Отсюда получаем:
S=ab

S

b
a
a
a
b
a
b
b
a2
b2
S


title: Презентация на тему: Площади фигур

text:
D
D
F
D1
F1
SABCDEF=SA1B1C1D1E1F1
SABCD=SA1B1C1D1
D
F
D
F
SABCDEF=SA1B1C1D1E1F1
1/n
1
D
O
D
O
S
S
S
b
a
b
b
b
b
a
D
K
C
B
1
2
D
C
B
S
S1
S3
S2
S1
S=S1+S2+S3
D


title: Презентация на тему: Площадь и периметр прямоугольника

text:
28
+
53
=
81
28
4
=
112
18
7
=
126
112
59
=
53
28
+
126
=
154
1)
2)
4)
3)
7)
5)
6)


title: Презентация на тему: Площадь и объём

text:
900igr.net
L
L
h
H
L

R=4
H=5
R=5


text:
a
d
b
S=½ab
a
b
h
h
a
b
h
a
b
d¹
d²
h
c
d


Презентация на тему: Площади фигур. Теорема Пифагора


title: Презентация на тему: «Площади поверхностей фигур»

text:
;

= arcsin
;
;
S =


title: Презентация на тему: Площади плоских фигур

text:
30°
D
H
E
D
D
T
M
O
K
B
C
D
F
P
D
A
B
C
A
B
C
D
60°
A
B
C
D
4
30°
60°
F
K
C
H
M
45°
N
F
K
C
H
M
45°
N
D
B
C
D


Презентация на тему: Площади и объемы


Презентация на тему: Площадь и периметр прямоугольника и квадрата


title: Презентация на тему: Площади по геометрии

text:
5klass.net
S1
S2
S2
    S1
         S1=S2
S=S1+S2

h
h
d1
d2
S=d1·d2

h
S = (a· h):2


title: Презентация на тему: Площадь фигуры

text:
97 - 89  =
36 : 6    =
53 - 48  =
42 : 6  =
12 : 4   =

3
4
a
b
c
k = 8 a
k = 4 b
k = 2 c
k
a = 9 e,			b=8 e    	=>     a      b
>
a =    e,			b=    e    	=>     a      b
a
e
a
b
8
8
=
b
e
a
b
e
a = 8 e,	b= 9 e   =>    a  >  b

,


text:
S1
S2
S2
    S1
         S1=S2
S=S1+S2

h
h
d1
d2
S=d1·d2

h
S = (a· h):2


title: Презентация на тему: Пирамиды

text:
Пирамиды
Геометрическая фигура
 Пирамида— многогранник, основание которого многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания          различают пирамиды        треугольные,  четырёхугольные   и т. д..
  Слово «пирамида» — греческое. По мнению одних исследователей,
 большая куча пшеницы
 и стала прообразом
пирамиды. По мнению
других учёных, это слово
произошло от названия
поминального пирога
пирамидальной формы.

Пирамиды майя в Сальвадоре

Пирамиды Древнего мира
Египетские     пирамиды
Египетские пирамиды — величайшие архитектурные памятники Древнего Египта, среди которых одно из «семи чудес света» — пирамида Хеопса. Пирамиды представляют собой огромные каменные  сооружения пирамидальной формы, использовавшиеся в качестве гробниц для фараонов Древнего Египта.
Всего в Египте было обнаружено 118 пирамид.
    Геродот, основываясь на рассказах египетских жрецов, сообщает, что соотношение между длиной стороны основания и высотой Великой пирамиды такового, что квадрат - построенный на высоте пирамиды, равен площади каждой из ее сторон.

Энергия пирамид
Доктор Карл Бенедикс был первым из известных  нам ученых, кто провел эксперимент с пирамидами.

 Он доказал, что в действительности сталь под воздействием воды теряет свою жесткость/плотность аж на 23 процента. К его удивлению, он обнаружил, что под воздействием пирамид создается особый резонанс, который рассеивает влажность воды, тем самым предупреждая появление коррозии. Подобный эксперимент был поставлен с напитками и едой. То, что хранилось под пирамидами, в течение достаточно долгого времени не портилось и не покрывалось плесенью. До сих пор эти уникальные свойства пирамидальных строений не разгаданы.
Пирамиды считаются проводниками космических энергий. Хорошо известно их применение в целительстве и медитации. Фактически, большинство храмов, мечетей, церквей, соборов имеют пирамидо- или куполообразную форму крыши. Говорят, что огромная духовная энергетика протекает из верхушки пирамиды в комнату и результаты медитаций становятся более ощутимыми и яркими.
Проводники космической энергии
Современные пирамиды
Пирамиды в пропорциях Золотого Сечения — пирамиды, построенные из стеклопластика в пропорциях Золотого сечения инженером Александром  Голодом.
Самая большая пирамида, высотой 44 метра, расположена в Московской области на 38-м километре Новорижского шоссе.
В настоящее время известны разные виды пирамид, среди них: глиняная полая пирамида, изнутри в пирамиде непосредственно у вершины размещен небольшой  кристалл горного хрусталя.
Другой вариант конструкции пирамиды, представленный на рисунке, выполнен с гранями из прозрачных стеклянных пластин рубинового цвета, которые фиксируются металлической окантовкой.

Достаточно давно известны каркасные пирамиды. Данная конструкция, сохраняя все свойства пирамидальной формы, дополнительно позволяет уменьшить вес и расход материала, а также использовать для различных целей ее внутренний объем.
Выполнил ученик 9 «Г» класса ЖАДАН  МИХАИЛ


title: Презентация на тему: Площади параллелограмма, треугольника, трапеции

text:
Площади параллелограмма, треугольника, трапеции.
Подготовка к ГИА
Устная работа
Расскажите, что вы знаете о параллелограмме; как найти площадь параллелограмма.
Какие формулы используются для нахождения площади треугольника?
Как найти площадь трапеции? Что такое средняя линия трапеции и чему она равна?

Формулы площадей

S=1/2 (a*b)
S=1/2(a+b)*h
S=a*h
S=1/2a*b*sinA

a
b
a
b
a
a
Решение задач на готовых чертежах
Решение задач. Параллелограмм.
Стороны параллелограмма равны 6 и 10 см, а высота, проведенная к большей из них, равна 5 см. Найдите высоту, проведенную к другой стороне.
В параллелограмме две стороны равны 6 и 8 см, а один из углов равен 150
⁰
Найдите площадь параллелограмма
Решение задач. Треугольник.
В треугольнике АВС угол С=45⁰, АВ=10 см, а высота AD делит сторону ВС на отрезки CD=8cм, DB=6см. Найдите площадь треугольника и высоту, проведенную к стороне АВ.
Дан треугольник АВС. На стороне АС отмечена точка К так, что АК=6см, КС=9см. Найдите площади треугольников АВК и СВК, если АВ=13см, ВС=14см.
Решение задач. Трапеция.
Высота, проведенная из вершины тупого угла прямоугольной трапеции, составляет с боковой стороной угол 45⁰. Основания трапеции равны 8 и 4 см. Найдите площадь трапеции.
Основания равнобедренной трапеции12 см и 16 см, а ее диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции.
Решение задач. 2 часть.
В параллелограмме ABCD проведены высоты ВЕ и ВF. Докажите, что треугольники АВЕ и СВF подобны.

А
В
С
D
Е
F
Решение задач. 2 часть.
Окружность проходит через вершины А и С треугольника АВС и пересекает его стороны АВ и ВС  в точках К и Е соответственно. Отрезки АЕ и СК перпендикулярны. Найдите угол КСВ, если угол АСВ равен 20⁰.
Решение задач. 2 часть.
В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты  СЕ и АD. Докажите подобие треугольников АВD и СВЕ.

А
В
С
Е
D
Домашнее задание
Повторить углы, связанные с окружностью.
Повторить углы, образованные параллельными прямыми.
Сделать опорный блок по данному вопросу
Задачи
В равнобедренном треугольнике АВС высота ВН=12см, а основание АС в 3 раза больше высоты ВН. Найдите площадь треугольника АВС.
В параллелограмме ABCD высоты равны 10 и 5 см, площадь параллелограмма равна 60 кв.см. Найдите стороны параллелограмма.


title: Презентация на тему: Площадь криволинейной трапеции и интеграл

text:
0
b
x
y
y =f(x)
S
S(x)
0
b
x
y
y =f(x)
S
S(x)
x=a       S(a)=0
x=b       S(b)=S
0
b
x
y
y =f(x)
x+h
h
0
b
x
y
y =f(x)
x+h
h
f(x)


title: Презентация на тему: Площади плоских геометрических фигур

text:
Площади плоских геометрических фигур
МБОУ «Авиловская СОШ»
Учитель математики Ткаченко И.А.

Площадь прямоугольника

a
b
Площадь прямоугольника
равна произведению двух
его смежных сторон.

a
Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
Площадь квадрата

Площадь треугольника
Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле
Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведённую к ней высоту.
a
h
a
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Площадь параллелограмма
Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на проведённую к ней высоту.
Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.
Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
h
a
a
b
α
a
b

Площадь ромба
Площадь ромба равна квадрату его стороны на синус угла между ними.
Площадь ромба равна
половине произведения
его диагоналей .
a
α
a
b

Площадь трапеции
Площадь трапеции равна полусумме его оснований на высоту.
h
a
b

Площадь круга
Площадь круга вычисляется по
формуле
r - радиус круга,  ≈ 3,14.
r


title: Презентация на тему: Площадь круга

text:
A1
A2
A3
An
Rn
rn
S


title: Презентация на тему: Площадь круга

text:
900igr.net
1) 28,66
2) 2,87
3) 0,28
1) 130,57
2) 1,306
3) 13,06
3
   4
R
18
82
C
O
Rn
rn
S'n < Sn < S
R
1)6
2)7
3)9
1)1
2)2
3)3

5

2

R

S


text:
900igr.net
0
b
x
y
y =f(x)
S
S(x)
0
b
x
y
y =f(x)
S
S(x)
x=a       S(a)=0
x=b       S(b)=S
0
b
x
y
y =f(x)
x+h
h
0
b
x
y
y =f(x)
x+h
h
f(x)


title: Презентация на тему: Площади фигур

text:
900igr.net
D
D
F
D1
F1
SABCDEF=SA1B1C1D1E1F1
SABCD=SA1B1C1D1
D
F
D
F
SABCDEF=SA1B1C1D1E1F1
1/n
1
D
O
D
O
S
S
S
b
a
b
b
b
b
a
D
K
C
B
1
2
D
C
B
S
S1
S3
S2
S1
S=S1+S2+S3
D


title: Презентация на тему: Площадь круга

text:
·(a · n) · h
R
a
h
D


text:
ha
a
b
a
b
a
c
b
a
a
c
b
r
a
c
b
R
d1
b
hb
b
ha
a
a
d2
d2
d1
a
b
a
a
a
h
r
a
d1
d2
d
a
a
a
M
h
N
h
a
b
d1
d2
d1
d2
d
c
b
a
c
b
a
d
r


title: Презентация на тему: Площадь круга

text:
R
D
L
R
L/2
R
L/2
R
1
2
3
1)
2)
R
R
3)
D
1
2
3
1)
2)
3)
4)
b
1
2
3
1)
2)
3)
b
1
2
3
1
2
3


title: Презентация на тему: Площадь криволинейной трапеции

text:
y
x
B
C
D
A
a
b
Y = f(x)
s
F/ (x) = f(x)
Y=g(x)
x
b
a
y
b)
x
y
b
Y= f(x)
x
a
b
y
Y=f(x)
Y=g(x)
Y=f(x)
Y=g(x)
x
y
a
b
c

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
1)
2)
1.
2.

4
-4
8
                 8
-8
11
1
5
4
7)


text:
b
x
y
0
y=f(x)
y=f(x)
x
b
0
y
b
x
y
0
y=f(x)
y=f(x)
y
0
b
x
y=tg(x)
x
y
0
1
y=f(x)
y
0
b
x
2
y=f(x)
y
0
b
x
3
y=f(x)
y
0
b
x
4
b
x
y
0
y=f(x)
5
y=f(x)
y
0
b
x
1
b
x
y
0
y=f(x)
2
?
1
1
5
3
3
b
x
y
0
y=f(x)
y=f(x)
y
0
b
x
x
S(x)
y=f(x)
y
0
b
x
x
x
y=f(x)
y
0
b
x
c
x
x
f(c)
S=F(b)-F(a)
1
3
1
 9


Презентация на тему: Площадь круга


title: Презентация на тему: Площадь круга и кругового сектора

text:
16
R1
R2
.O1
.O2
.O3
1
2
3
4
600
?


text:
Презентация по математике
На тему : Площадь криволинейной трапеции.
Формула Ньютона-Лейбница

                                     Определение:
  фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке [a; b] функции
      f , осью Ох и прямыми х = а, х = b .

Площадь криволинейной трапеции

                    Изображения криволинейных трапеций:

Если f – непрерывная и неотрицательная на отрезке [a; b]
функция , а F – ее первообразная на этом отрезке , то площадь S соответствующей криволинейной трапеции  равна приращению первообразной на отрезке [a; b] , т.е.

Теорема:
Теорема о вычислении площади криволинейной трапеции
Доказательство
Доказательство : Рассмотрим функцию S( x) , определенную на
отрезке [a; b] . Если a < x ≤ b , то S( x ) – площадь той части
криволинейной трапеции , которая расположена левее вертикальной
прямой , проходящей через точку М ( x: 0 ) ( рис 2.а)

Если x = a , то S ( a ) = o . Отметим , что S ( b) = S ( S – площадь
криволинейной трапеции ) .
Нам осталось доказать , что         S' ( x ) = f ( x )                          (2)
 По определению производной
  докажем, что  ΔS(x) → f ( x )                                                           (3)
                           Δ x
                           при Δ x →0
Выясним геометрический смысл числителя  ΔS ( x) . Для простоты рассмотрим  случай Δ x > 0 . Поскольку ΔS ( x) = S ( x + Δ x )- S(x),
то ΔS ( x) – площадь фигуры  , заштрихованной на рисунке 2, б.
Дальнейшее доказательство рассмотрите самостоятельно.
Итак , мы получили, что S есть первообразная для f . Поэтому
в силу основного свойства первообразных для всех x, принадлежащих
промежутку [ a ; b ] . имеем :
                 S ( x ) = F (x) + C ,
где C – некоторая постоянная , а F – одна из первообразных
для функции F . Для нахождения  C  подставим х = а :
                             F ( a ) + C = S ( a ) = 0,
откуда  C = - F (a ) . Следовательно ,
S ( x ) = F( x ) – F ( a ).                         (4)
Поскольку площадь  криволинейной трапеции равна S ( b ) ,
подставляя x = b в формулу ( 4 ) , получим:
                     S = S ( b ) = F ( b ) – F ( a ).
Доказательство
Пусть на отрезке [а; b] оси Ох задана непрерывная функция f, не меняющая на нем знака. Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком [а; b] и прямыми х = а и х = b (рис. 1), называют криволинейной трапецией. Различные примеры криволинейных трапеций приведены на рисунках 1, а — д.
Для вычисления площадей криволинейных трапеций применяется следующая теорема:Теорема. Если f — непрерывная и неотрицательная на отрезке [а; b] функция, a F — ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции (рис. 2) равна приращению первообразной на отрезке [а; b] т. е.
S=F(b)-F(a). (1)
Доказательство. Рассмотрим функцию S (х), определенную на отрезке [а; b]. Если а <x≤b, то S (х) — площадь той части криволинейной трапеции, которая расположена левее вертикальной прямой, проходящей через точку М (х; 0) (рис. 2, а). Если х=а, то S (а) = 0. Отметим, что S(b)=S (S — площадь криволинейной трапеции).

.
Докажем, чтоS'(x)=f(x). (2)По определению производной надо доказать, что
 при   (3)
Выясним геометрический смысл числителя Δ S (х). Для простоты рассмотрим случай ΔX>0. Поскольку Δ S(х)= S (х + Δ х) — S (х), то Δ S (х) — площадь фигуры, заштрихованной на рисунке 2, б. Возьмем теперь прямоугольник той же площади Δ S(x),опирающийся на отрезок [х; х+Δ х] (рис. 2, в). В силу непрерывности функции f верхняя сторона прямоугольника пересекает график функции в некоторой точке с абсциссой с ∈ [х; х+Δ х] (в противном случае этот прямоугольник либо содержится в части криволинейной трапеции над отрезком [х;x+Δx], либо содержит ее; соответственно его площадь будет меньше или больше площади Δ S (X)). Высота прямоугольника равна f (с). По формуле площади прямоугольника имеем Δ S (x)=f (с) Δ х, откуда   (Эта формула верна и при Δ х<0.) Поскольку точка с лежит между х и х + Δx; то с стремится к х при  . Так как функция f непрерывна,   при  . Итак,  при  .Формула (2) доказана.Мы получили, что S есть первообразная для f. Поэтому в силу основного свойства первообразных для всех х∈ [а;b] имеем:
S(x) = F(x)+C,
где С — некоторая постоянная, a F — одна из первообразных для функции f. Для нахождения С подставим х = а:                                                                                F(a)+C=S(a)=0,
откуда C=—F(a). Следовательно,                                                                                S(x) = F(x)-F(a). (4)
Поскольку площадь криволинейной трапеции равна S (b), подставляя х = b в формулу (4), получим:
S=S(b)=F(b)-F(a).

Пример: Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями             у = 4 - х²и у=0
Решение:
1. Построим криволинейную трапецию:
у = 4 - х²- квадратичная функция, график – парабола, ветви направлены вниз.у = 0 - ось абсцисс.
2. Найдём [а; b]:
4-х²= 0; х² = 4х = -2 или х = 2, т. е. а = -2 b = 2
3. Найдём площадь криволинейной трапеции по формуле: S = F(b) – F(а)
      S=F(2)-F(-2)=10,(6).

Пошаговый пример
Формула Ньютона-Лейбница

Определённый интеграл равен разности
значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

   ТЕОРЕМА. Пусть функция у=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) – любая первообразная для f(x) на [a,b]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на [a,b] равен приращению первообразной F(x) на этом отрезке, т.е.
   Нахождение определенных интегралов с использованием формулы Ньютона–Лейбница (2) осуществляется в два шага: на первом шаге, используя технику нахождения неопределенного интеграла, находят некоторую первообразную F(x) для подынтегральной функции f(x); на втором применяется собственно формула Ньютона-Лейбница – находится приращение первообразной, равное искомому интегралу. В связи с этим, введем обозначение для приращения первообразной, которое удобно использовать при записи решений. По определению положим
   Следует подчеркнуть, что при применении формулы Ньютона – Лейбница можно использовать любую первообразную F(x) для подынтегральной функции f(x), например имеющую наиболее простой вид при С=0


Презентация на тему: Площади простых фигур


text:
?
1170
S2 < Sn < S.
r
R
D
10
600
10
S1
S
S2 - ?


Презентация на тему: Площадь круга. Длина окружности


title: Презентация на тему: Планета Геометрия

text:
Планета Геометрия.
Где – то  далеко – далеко в глубине Вселенной есть такая планета Геометрия. Там живут все геометрические фигуры.

Эта планета прекрасна: там много красивых улиц и домов, много цветников в виде геометрических фигур, множество фонтанов и конечно – Волшебства.
Правители на этой планете – королева Гео и король Метр. Они честные, добрые и справедливые по отношению к своим подданным. Король с королевой живут в большом прекрасном замке, где у них много геометрических слуг.
На другой планете жил темный и злой волшебник. Его помощниками были колдуны и ведьмы.
Злой волшебник в своем темном жилище уже давно
мечтал уничтожить планету Геометрию.

Он задумал страшное…
Срубить дерево Знаний…
Засыпать волшебный фонтан Идей.
Сгущались темные тучи
Злых сил.
Но отважный и
благородный
принц Луч
встал на защиту
родной планеты
Геометрии.
Долго сражался
принц…
Но все равно
он победил!
Ведь Добро всегда
побеждает Зло!!!
А злого волшебника
заточили в самую
дальнюю и темную
башню на планете.
И воцарился мир, счастье
и покой на планете
Геометрии.


title: Презентация на тему: Площадь многоугольника

text:
1
2
3
5
6
4
8
7
?
?
S2
S3
s4
S1
S2
S1
= 90
0
S1=S2
b
S    = ab
A
B
C
D
ABCD
A
D
A
B
C
D
H
H1
DCH
S= 2×1/2 ×3 ×8=24
h
a
h
a
d1
d2
h
a


Презентация на тему: Площадь многоугольника 8 класс


title: Презентация на тему: Площадь круга и его частей 9 класс

text:
R
R
r
a
b
R
R
240º
300º
330º
S : S4

                 O

S : S3

                     O
S : S6

                   O
4
R = 1
10
R = 2
R = 4


Презентация на тему: Площадь многоугольника"


title: Презентация на тему: Площадь круга 6 класс

text:
900igr.net
R
D
L
R
L/2
R
L/2
R
1
2
3
1)
2)
R
R
3)
D
1
2
3
1)
2)
3)
4)
b
1
2
3
1)
2)
3)
b
1
2
3
1
2
3


text:
S  =  a · h

A
B
H
C
D
K
D
K
D


title: Презентация на тему: Площадь многоугольников

text:
b
B
K
L
M
N
D
H
30
0


title: Презентация на тему: Площадь круга и его частей

text:
1
2
1
2
R
R


title: Презентация на тему: Площадь квадрата

text:
Площадь квадрата
Презентация по геометрии ученицы 8 «В» класса Жиряковой Марии.
5klass.net

Площадь — численная характеристика двумерной (плоской или искривлённой) геометрической фигуры, неформально говоря, показывающая размер этой фигуры.
Фигуры с одинаковой площадью называются равновеликими.

Аксиомы площади
Площадь единичного квадрата равна 1.
Площадь аддитивна.
Площадь неотрицательна.

аддитивность  площади означает, что площадь  целого  равен сумме …составляющих его частей.

Докажем, что площадь квадрата со стороной а равна а2.
1 случай.
а=1/n, где n- нат.число. Возьмем квадрат со стороной 1 и разобьем его на n2  равных квадратов, как на рисунке.
                          Так как площадь большого
                               квадрата равна 1, то площадь
                               каждого маленького
                               квадрата...

Сторона каждого маленького квадрата равна…, т.е. равна а. Итак, S= 1/n2 = (1/n)2 =a2   (1)
Случай 2.
  Пусть теперь а представляет собой конечную десятичную дробь, содержащую n знаков после запятой, так же число а может быть целым, и тогда n=0. Тогда число квадратиков на каждой стороне  m=а*10n . Разобьем данный квадрат со стороной а на m2   равных квадратов, как на рисунке.

При этом каждая сторона данного квадрата разобьется на m равных частей, и, значит, сторона любого маленького квадрата равна
    а/m=a/a*10n =1/10n
     По формуле(1) площадь маленького квадрата равна (1/10n )2 .

Следовательно, площадь данного квадрата равна
    m2 * (1/10n)2  =(m/10n)2= (a*10n/10n)2= a2 .
Пусть число а представляет собой бесконечную десятичную дробь. Рассмотрим  число аn, получаемое из а отбрасыванием всех десятичных знаков после запятой, начиная с(n+1)-го. Так как число а отличается от аn  не более чем на 1/10n, то аn  ≤ а ≤ аn + 1/10n , откуда аn2 ≤ а2 ≤ (аn + 1/10n )2  . (2)

Площадь  данного квадрата заключена между площадью квадрата со стороной аn  и площадью квадрата со стороной аn + 1/10n

аn2 ≤ S ≤ (аn + 1/10n )2   (3)

а

аn + 1/10n

аn

Будем неограниченно увеличивать число n. Тогда число 1/10n , будет становиться сколь угодно малым, и, значит, число (аn + 1/10n )2  будет сколь угодно мало отличаться от числа аn2  . Поэтому из неравенств (2) и (3) следует, что число S сколь угодно мало отличается от числа а2  . Следовательно, эти числа равны: S= а2  , Ч.Т.Д.
Теорема Пифагора.
Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.

Формулировки
Геометрическая формулировка:
Изначально теорема была сформулирована следующим образом:
В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Алгебраическая формулировка:
В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b:

Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника.
Обратная теорема Пифагора:
Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что a2 + b2 = c2, существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.

Доказательства
По преданию, Пифагор отпраздновал открытие своей теоремы гигантским пиром, заклав на радостях сотню быков.
На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.


title: Презентация на тему: Площадь квадрата

text:
Площадь квадрата

Площадь — численная характеристика двумерной (плоской или искривлённой) геометрической фигуры, неформально говоря, показывающая размер этой фигуры.
Фигуры с одинаковой площадью называются равновеликими.

Аксиомы площади
Площадь единичного квадрата равна 1.
Площадь аддитивна.
Площадь неотрицательна.

аддитивность  площади означает, что площадь  целого  равен сумме …составляющих его частей.

Докажем, что площадь квадрата со стороной а равна а2.
1 случай.
а=1/n, где n- нат.число. Возьмем квадрат со стороной 1 и разобьем его на n2  равных квадратов, как на рисунке.
                          Так как площадь большого
                               квадрата равна 1, то площадь
                               каждого маленького
                               квадрата...

Сторона каждого маленького квадрата равна…, т.е. равна а. Итак, S= 1/n2 = (1/n)2 =a2   (1)
Случай 2.
  Пусть теперь а представляет собой конечную десятичную дробь, содержащую n знаков после запятой, так же число а может быть целым, и тогда n=0. Тогда число квадратиков на каждой стороне  m=а*10n . Разобьем данный квадрат со стороной а на m2   равных квадратов, как на рисунке.

При этом каждая сторона данного квадрата разобьется на m равных частей, и, значит, сторона любого маленького квадрата равна
    а/m=a/a*10n =1/10n
     По формуле(1) площадь маленького квадрата равна (1/10n )2 .

Следовательно, площадь данного квадрата равна
    m2 * (1/10n)2  =(m/10n)2= (a*10n/10n)2= a2 .
Пусть число а представляет собой бесконечную десятичную дробь. Рассмотрим  число аn, получаемое из а отбрасыванием всех десятичных знаков после запятой, начиная с(n+1)-го. Так как число а отличается от аn  не более чем на 1/10n, то аn  ≤ а ≤ аn + 1/10n , откуда аn2 ≤ а2 ≤ (аn + 1/10n )2  . (2)

Площадь  данного квадрата заключена между площадью квадрата со стороной аn  и площадью квадрата со стороной аn + 1/10n

аn2 ≤ S ≤ (аn + 1/10n )2   (3)

а

аn + 1/10n

аn

Будем неограниченно увеличивать число n. Тогда число 1/10n , будет становиться сколь угодно малым, и, значит, число (аn + 1/10n )2  будет сколь угодно мало отличаться от числа аn2  . Поэтому из неравенств (2) и (3) следует, что число S сколь угодно мало отличается от числа а2  . Следовательно, эти числа равны: S= а2  , Ч.Т.Д.
Теорема Пифагора.
Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.

Формулировки
Геометрическая формулировка:
Изначально теорема была сформулирована следующим образом:
В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Алгебраическая формулировка:
В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b:

Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника.
Обратная теорема Пифагора:
Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что a2 + b2 = c2, существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.

Доказательства
По преданию, Пифагор отпраздновал открытие своей теоремы гигантским пиром, заклав на радостях сотню быков.
На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.


text:
900igr.net
1
2
3
5
6
4
8
7
?
?
S2
S3
s4
S1
S2
S1
= 90
0
S1=S2
b
S    = ab
A
B
C
D
ABCD
A
D
A
B
C
D
H
H1
DCH
S= 2×1/2 ×3 ×8=24
h
a
h
a
d1
d2
h
a


title: Презентация на тему: Площадь параллелограмма

text:
150°
30°
30°
70°
150°
50°
S = (3 + 4) · 2


title: Презентация на тему: "Площадь многоугольника

text:
Тема урока «площадь многоугольника»

Учитель математики:
Квач Елена
Владимировна
Цели урока:
Образовательные:
 Дать представление об измерении площадей многоугольников.
Рассмотреть основные свойства площадей.
Показать примеры использования изученного теоретического материала в ходе решения задач.
Развивающие: развить умение вычислять площади фигур, применяя изученные свойства, развитие логического мышления  и  математической культуры.
Воспитательные: воспитание познавательного интереса к геометрии.
Через точку во внутренней области равностороннего треугольника проведены 2 прямые, параллельные двум сторонам треугольника. На какие фигуры разбивается этими прямыми данный треугольник? Показать их на рисунке.

М

Основные Единицы измерения площадей

                квадратный метр – м2
                квадратный дециметр – дм2
                квадратный сантиметр – см2
                квадратный миллиметр- мм2
                        квадратный километр – км2
                ар (сотка)-100 м2
                га (гектар)- 10000 м2

Найти площадь прямоугольника, если площадь маленького квадрата равна 1 см2

Площадь прямоугольника равна 7•5=35(см2)

1см
1см

5
7
Измерение площадей многоугольников способом разбиения фигуры на квадраты.

А
В
      С
D

K
В

1дм
1см
SABCD    2дм2 12см2  или  2,12дм2

С
К
1дм
1см
Равные многоугольники имеют равные площади

Если многоугольник состоит из нескольких частей, то его площадь равна сумме площадей этих частей.

S1
S2
S3
S4
      S=S1+S2+S3+S4
Площадь квадрата равна квадрату его стороны
а
Решить задачу

Дано: ABCD-
параллелограмм
SABCD=32см2
_______________
Найти: SABD и SCDВ

А
В
С
D

решить задачу
Дано: ABCD-прямоугольник
   CE=DE
   SABCD=Q
______________
Найти: SABF

A
D
C
B
E
F
Задача 445(А)

  S1
S2

S1=15см2
Найти S равнобедренного треугольника
Задача 445(б)

Задача 445(В)

Заполнить таблицу
5
9
1,3
4/9

30

Решить задачу

Дано:
ABCD-квадрат
CE=12см
   CED=30
____________
Найти:SABCD

А
B
С
D
E
12

Решить задачу
Дано:
ABCD-квадрат
SABOCD=48см2
_______________
Найти:
SABCD
PABCD

А
В
С
D
O
Решить задачу

Дано:
ABKM-квадрат
PABKM=64 м
______________
Найти:
SABM

А
В
К
М
Домашнее задание:
П.48,49
№448
№449
№450
Спасибо за урок

  Желаем успехов в учёбе!

Дополнительная Задача

Дано:
ABCF-прямоугольная трапеция
     ABC=150
   AB=34см
________________
Найти: SMBCF

150

В
С
F
M
A

34
дополнительная задача.

Дано:
 ABCD-параллелограмм
 AD=2AB
 AM-биссектриса угла BAD
_______________________
Доказать: AN=MN

1
2
A
B
N
M
C
D


text:
Площадь многоугольника
Геометрия
8 класс
Учитель математики Гладких Н.М.
Государственное бюджетное общеобразовательное учреждениесредняя общеобразовательная школа № 35 с углубленным изучением английского языка г. Санкт-Петербурга
- Получить представление об измерении  площадей многоугольника;
- Рассмотреть основные свойства площадей;
- Рассмотреть примеры использования формулы площади квадрата при решении задач;
- Рассмотреть примеры использования изученного материала в ходе решения задач.

Цели урока:
Устное решение задач
   	Через точку внутренней области равностороннего треугольника проведены две прямые, параллельные двум сторонам треугольника.
    На какие фигуры разбивается этими прямыми данный треугольник?

Четыре равнобедренные трапеции;
Три равнобедренных треугольника;
Один параллелограмм;

Выберите верные утверждения
	Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм - квадрат
	Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм - прямоугольник
Тест

Выберите верные утверждения
	Середины сторон ромба - вершины квадрата
	Середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма
Тест

Выберите верные утверждения
 В трапеции диагонали равны
	В прямоугольнике диагонали равны

Тест
Устное решение задач
         Дано: АВСD-параллелограмм,
АD=2АВ,АМ-биссектриса      ВАD

        Докажите, что часть отрезка АМ, лежащая во внутренней области параллелограмма АВСД, равна части, лежащей во внешней области.

Единицы измерения площадей
   	квадратный миллиметр - 1
   	квадратный сантиметр – 1
   	квадратный метр - 1
   	ар (сотка) - 100
   га (гектар) - 10000

Как вы понимаете?
   	Утверждение «единица измерения площади 1      »
   	Утверждение «площадь поля 5га»

   	Утверждение «вспахали 3 сотки поля»
   	Утверждение «площадь нашей квартиры 63      »

Свойства площадей
1. Равные многоугольники имеют равные площади.

Свойства площадей
2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
C
Свойства площадей

3. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Работа в тетрадях

Работа по готовым чертежам

Найти:          ,         .

         Дано: АВСD-параллелограмм,

Ответ:               ,               .

Работа по готовым чертежам

Найти:          .

         Дано: АВСD-параллелограмм,

Ответ:                  .

Работа по готовым чертежам
Найти:          .

         Дано: АВСD- прямоугольник

Ответ:                    .

Итог урока

 Что нового узнали сегодня на уроке?
 Какие основные свойства площадей вы знаете?

 Как вычислить площадь квадрата, если известна его сторона?
 Как вычислить сторону квадрата, если известна его площадь?
        Домашнее задание:
п. 48, 49,
вопросы 1, 2;
решить задачи №№ 449, 450, 451, 446 (квадрат 2кл х2кл).

Спасибо за урок


title: Презентация на тему: Площадь. Объём

text:
a
b
S = a b
S1
S2
S = S1 + S2

S1 = S : 2
a
S = a3
a
b
c
a
1
24 300
54 700
2
40 700
24 300
3
498
589
4
84
181
5
6
24
6
7
8
9
10


text:
900igr.net
D
H
K
S = BH  AD
AD  BH
SABCD =
SABH + SBHDC
= SDCK + SBHDC =
SBHKC =
BC  BH =
D
H
K
S
D
H
K
S
F
L
R
E
D
H
K
S
F
L
R
E
SABCD =DC*BP
SABCD =AB*DR
SABCD =BC*DF
SABCD =AD*CK
SABCD =AB*CS
SABCD =BC*AL
SABCD =DC*AE
D
H
2
5
D
2
5
R
D
S
4
D
K
4
4
2
D
S
1
2
D
6
H
300
8
8
3
H
8
8
D
40 = 8 * BH
BH = 5
 8
H
4
D
24 = AD * 3
AD = 8
3
 6
H
D
6
450
6
6
D
600
300
D
6
H
300
10
3
N
5
K
 H
7
SABCD = CD * BH
D
600
4
300
8
8
D
4
10
600
300
4
2
4
7
450
7
900
450
D
8
2
450
2
450
40  =
K
 H
10
D
8
10
8
4
300
10
D
8
2
450
450
2
450
D
157030/
300
D
300


text:
R
D
L
R
L/2
R
L/2
R
1
2
3
1)
2)
R
R
3)
D
1
2
3
1)
2)
3)
4)
b
1
2
3
1)
2)
3)
b
1
2
3
1
2
3


text:
A
B
C
D
E
H
S=ah
L
K
P
Q
S
N
S2
S1
a
b
a
b
f
h
S=ah
d1
d2
S=d1d2:2


title: Презентация на тему: Площадь плоских фигур

text:
1
2
3
4
5
6
y=f(x)
a
b
y=f(x)
a
b
y=f(x)
b
b
a
y=f(x)
a
b
7
1
2
3


text:
5klass.net
1
2
3
4
5
6
y=f(x)
a
b
y=f(x)
a
b
y=f(x)
b
b
a
y=f(x)
a
b
7
1
2
3


Презентация на тему: Площадь поверхности


title: Презентация на тему: Площадь поверхности призмы

text:
;

= arcsin
;
;
S =


text:
A
B
C
D
E
B
A
C
D
E
F
C
B
A
D
A
B
C
D


title: Презентация на тему: Площадь параллелограмма и треугольника

text:
S = a·ha = b·hb
A
B
C
D
M
N
E
B
D
C
N
M
D
hb
b
ha
a
30º
A
D
H
16
10
B
D
C
H
150°
C
B
D
H
b
c
hb
ha
hc
b
ha
a
hb
b
S =    a·b
A
B
C
D
H
SACD : SDCB = AD : DB


title: Презентация на тему: Площадь параллелограмма 9 класс

text:
D
SABCD = SBCC´B´

a
8
S = a·ha
ha
b
a
d1
d2
d1
d2
3
6
1)
3
10
2)
45°
20
12
3)
30°
d1 = 25
d2 = 4
4)
3
8
5)
3
4
6)
60°
5
3
7)
120°
5
8)
5
2
9)
13
12
10)
14
D
25
11)
D
AC : BD = 1 : 2,
S = 12
AB - ?
D


Презентация на тему: Площадь поверхности шара


title: Презентация на тему: Площадь поверхности тел вращения

text:
900igr.net
A
A
C
B
D
O
O1
B
A
O1
A
B
A1
B1
h
O
B
A
O
A
S
O
A
S
S
A
A1
l
O
A
A
O
A
A
O
A
S
B
A
O1
B
A
O
A
A
O
A
S
B
A
O1
B
A
O
A
A
1
2
3


title: Презентация на тему: Площадь прямоугольника 5 класс

text:
      1
      2
      3

a
b

      1
   4
   3
  12
      2
   3
   2
   6
      3
   4
   4
  16

      1
   4
   3
  12
12 = 4·3
      2
   3
   2
   6
6 = 3·2
      3
   4
   4
  16
16 = 4·4

a
b

      1
   4
   3
  12
12 = 4·3
      2
   3
   2
   6
6 = 3·2
      3
  4
   4
  16
16 = 4·4

  b
 S = a · b
S = a·b
D


title: Презентация на тему: Площадь прямоугольника

text:
10
12
20
16
24
22
8
1.
6 · 4
2.
3+2+3+2
3.
8+3+8+3
4.
4+4+ 4+4
5.
(3+1) · 2
6.
5 · 2 + 5 ·2
7.
2+2+1+1
8.
(4+2) · 2
a = S : b
b = S : a


title: Презентация на тему: Площадь поверхности конуса

text:
5klass.net
OK=H
OA=OB=OC=R
KA=KB=KD=l
D
E
F
G
l
l
3
5

3
5
5
12
5
12
6
6


title: Презентация на тему: Площадь прямоугольника 9 класс

text:
     S = ab

     S = a²
b
1)
S -?
2)
S -?
3)
S -?
4)
7
28
?
5)
b
6)
b
7)
5
8)
b
9)
b


title: Презентация на тему: Площадь параллелограмма 8 класс

text:
Площадь параллелограмма
Геометрия 8 класс
Площадь квадрата. Задача
Найти сторону квадрата, если его площадь равна 16 см2
Площадь прямоугольника. Задача
Найти стороны прямоугольника, если его площадь равна 48см2, а одна сторона в 3 раза больше другой.
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту

Площадь параллелограмма

S=ah
Площадь параллелограмма. Задача
Сторона параллелограмма равна 12 см. Высота, опущенная на эту сторону равна 2 дм. Найдите площадь параллелограмма.
 a, b - стороны параллелограмма
Hb - высота на сторону b
Ha - высота на сторону a
Формула площади через стороны и высоты параллелограмма, (S):
Формула площади параллелограмма через сторону и высоту
Вариант А.
1)Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 144 см, а стороны относятся как 5:7.

2) В прямоугольнике одна сторона в 3 раза меньше другой, а площадь равна 48 см. Найдите площадь квадрата, построенного на большей стороне прямоугольника.

3) Как изменится площадь прямоугольника, если одну его сторону увеличить в 2 раза, а другую в 4 раза?

4) Стороны параллелограмма равны 8 см и 14 см, а один из углов равен 30ْНайдите площадь параллелограмма.

5) Найдите высоту ромба, сторона которого равна 6,5 см, а площадь – 26 см.

Работа в группах
Вариант Б.
Расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны    прямоугольника на 8 см меньше, чем эта сторона. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 88 см.

2) Площади квадратов, построенных на сторонах прямоугольника, равны 49 см и 144 см. Найдите периметр прямоугольника.

3) Как изменится площадь прямоугольника, если одну его сторону увеличить в 4 раза, а другую – уменьшить в 8 раз?

4) Периметр параллелограмма равен  32см. Найдите площадь параллелограмма, если один из углов на  60 больше прямого, а одна из сторон равна 6 см.

5) Найдите периметр ромба, высота которого равна 7 см, а площадь – 84 см.

§51, стр. 124
№459(а), 460.

Спасибо за внимание!
Всем успехов!

Домашнее задание


title: Презентация на тему: Площадь трапеции

text:
D
H
21
17
7
D
H
2
10
8
300
D
13
5
8
6
6
1350
3,4
1,4
1350
3,4
1,4
1350
0,5d1d2


title: Презентация на тему: Площадь. Площадь трапеции

text:
D
D
D
D
D
h
h
N
D
N
D
Q
A
B
C
D
X
Z
Q
A
B
C
D
H
P
M
N
K
A
B
C
D
K
X
A
B
C
D
E
H
h
h
A
B
C
D
H
E
M
A
B
C
D
H
E
A
B
C
D
E
H
h
h
B
A
C
D
H
E
M
A
B
C
D
H
E


title: Презентация на тему: Площадь параллелограмма, треугольника, трапеции

text:
Урок на тему Площадь параллелограмма, треугольника, трапеции
Цель урока:Закрепить формулы вычисления площадей при решении задач;
Задачи урока: развивать вычислительные
 умения и  навыки при решении  задач;
 закрепить знания формул;
  развивать самостоятельность;
Интерес к предмету;
повторять материал к экзаменам.
Повторим и запомним
- если две стороны и угол между ними в одном треугольнике соответственно равны с двум сторонам и углу между ними в другом треугольнике, то такие треугольники равны.
-если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим углам другого треугольника, то треугольники равны

- если три стороны одного теугольника, равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Найти пары равных треугольникови доказать их равенство

Формулы площадей фигур
Площадь параллелограмма;
- треугольника;
Трапеции;
Квадрата;
Прямоугольника;
Периметр прямоугольника;
квадрата
S  = a h

S = 1/2 ah
S = ½ (a+b)h
S = a2
Sab

P =2(a+b)
P = 4a
Задание №1.
Найдите площадь данного ромба

A) 12
B) 9
C) 15
D) Другой ответ

5
5
3
Задание №2.
Найдите площадь данного треугольника.

A) 32
B) 36
C) 25
D) Другой ответ

4
16
Задание №3.
Найдите площадь ромба, если d1=10  и d2=8

A) 80
B) 40
C) 5
D) Другой ответ

10
8
Задание №4.
Найдите площадь треугольника

A) 9
B) 18
C) 6
D) Другой ответ
3
6
Задание №5.
Найдите площадь прямоугольного треугольника

A) 72
B) 18
C) 36
D) Другой ответ

8
9
Задание №6.

 Найти площадь параллелограмма

A) 36
B) 18
C) 12
D) Другой ответ
3
12
Задание №7.

 Найти площадь трапеции

A) 108
B) 54
C) 48
D) Другой ответ
3 м
 4 м

9 м
Задание №8.

 Найти площадь трапеции

A) 24
B) 12
C) 11
D) Другой ответ
8 м
3 м
Задание №9.

 Найти площадь фигуры

A) 10
B) 30
C) 13
D) Другой ответ

6 м
3 м
4 м
Теорема
Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
(учебник: стр 126)

Интернет-ресурсы:
Школьный клипарт http://s3.pic4you.ru/allimage/y2013/10-24/12216/3925122.png
Линейки http://s1.pic4you.ru/allimage/y2012/08-20/12216/2356205.png
Лист в клеточку http://s1.pic4you.ru/allimage/y2012/08-20/12216/2356208.png
Скрепка http://img-fotki.yandex.ru/get/6610/134091466.1c/0_8f975_cc74afe5_S
Циркуль http://img-fotki.yandex.ru/get/6521/108950446.113/0_cd1e6_7c1b8dea_S

источник шаблона:

Фокина Лидия Петровна
учитель начальных классов
МКОУ «СОШ ст. Евсино»
Искитимского района
Новосибирской области

Сайт http://linda6035.ucoz.ru/
СПАСИБО АВТОРАМ ФОНОВ И КАРТИНОК


title: Презентация на тему: Площадь прямоугольника 8 класс

text:
N
F
D
D
B
C
D
F
:100
:100
:100
:100
:100
:100
b
a
b
a
b
a
S
(a+b)2
= S + S + a2 + b2
a2 +2ab + b2 = 2S + a2 + b2
2ab = 2S
: 2
S = ab
S
a2
b2
S
S - ?
D
K
M
b
A
D
B
C
SABC =
A
D
F
Q
A
D
N
A
F
D
E
3
3
5
2
C
M
D
E
K
7
A
3
5
8
5
S=102
5
2
5
T
A
D
A
D
A
D
A
K
D
C
T
M
P
T
D
M
K
D
300
M
7
5
5
450
D
450
450
D
*
1
2
d1
1
2
d2
1
2
 * 4
1
2
*
1
2
D
1
2
1
2
d
d
P
K
D
450
*
1000
350
450
900
?
?
450


title: Презентация на тему: «Площадь прямоугольника» 8 класс

text:
5klass.net
N
F
D
D
B
C
D
F
:100
:100
:100
:100
:100
:100
b
a
b
a
b
a
S
(a+b)2
= S + S + a2 + b2
a2 +2ab + b2 = 2S + a2 + b2
2ab = 2S
: 2
S = ab
S
a2
b2
S
S - ?
D
K
M
b
A
D
B
C
SABC =
A
D
F
Q
A
D
N
A
F
D
E
3
3
5
2
C
M
D
E
K
7
A
3
5
8
5
S=102
5
2
5
T
A
D
A
D
A
D
A
K
D
C
T
M
P
T
D
M
K
D
300
M
7
5
5
450
D
450
450
D
*
1
2
d1
1
2
d2
1
2
 * 4
1
2
*
1
2
D
1
2
1
2
d
d
P
K
D
450
*
1000
350
450
900
?
?
450


title: Презентация на тему: Площадь квадрата, прямоугольника, параллелограмма

text:
Площадь квадрата, прямоугольника, параллелограмма

Площадь квадрата
Площадь квадрата со стороной а равна а2
  S=a2
Площадь квадрата. Задача
Найти сторону квадрата, если его площадь равна 16 см2
Площадь прямоугольника
Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон
 S=a•b
Площадь прямоугольника. Задача

Найти стороны прямоугольника, если его площадь равна 48 см2, а одна сторона в 3 раза больше другой.
Площадь параллелограмма
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту
 S=ah
Площадь параллелограмма. Задача.
Сторона параллелограмма равна 12 см. Высота, опущенная на эту сторону равна 2 дм. Найдите площадь параллелограмма.
Замечание № 1
   В параллелограмме за основание можно принять любую сторону.

h
h
b
a
SADCD = a h  = b h
b
a
А
В
С
D
Замечание № 2
Высота параллелограмма не всегда расположена внутри фигуры

h
a
Мозговой штурм
1. Как измениться площадь прямоугольника если,
    а) одну пару противоположных сторон увеличить в 2 раза;
    б) каждую сторону увеличить в 2 раза;
    в) одну пару противоположных сторон увеличить в 2 раза, а  другую – уменьшить в 2 раза;

А
B
C
D
K
M
SMBCK = ?
SABCD = 40cm
2.
3. Найдите углы параллелограмма, если его площадь  40см; а стороны 10см и 8см.
Работа в группах
Найдите площади изображенных на рисунке прямоугольников и прямоугольных треугольников, если каждая клеточка сетки это квадрат со стороной 1см

Домашнее задание
№ 455, 456
Параграф 45, 50
Дидакт. матер. – стр. 164  Вариант А1, Б1, В1
Спасибо за внимание!
Всем успехов!


title: Презентация на тему: Площадь трапеции в геометрии

text:
г. СнежинскМБОУ СОШ  № 117

    Учитель математики
           Волкова Ольга
           Александровна

Урок  геометрии в 8 классе

"Площадь трапеции"

Сегодня на уроке
Повторение пройденного материала
Постановка целей и задач урока
Решение поставленной задачи           (работа в парах)
Первичное закрепление изученного (решение устных задач)
Самостоятельная работа по вариантам
Тест
Подведение итогов.

приложение
Задание: Принимая площадь клетки за 1ед2, используя формулы площади, вычислить площадь каждой фигуры

9                             4,5                                    12

                                   18

Используя свои результаты, ответь на следующие вопросы
Как вычислить точное значение площади трапеции?
Что для этого нужно знать?
Назовите тему урока?
Какую задачу мы должны решить сегодня на уроке?
Какие элементы плоских фигур используются в формулах площадей?
Что общего в формулах площадей?

назад

Цели урока
Вывести формулу площади трапеции;
Сформировать умение применять формулу при решении задач;
Развивать умения сравнивать, выявлять закономерности, абстрагировать и обобщать
Развивать навыки самоконтроля и взаимоконтроля;
Воспитывать волю и настойчивость  для решения поставленной задачи
Углубить знания по теме «Площадь»;

ЗАПИШИ ФОРМУЛЫ  ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ПЛОЩАДИ КАЖДОЙ ТРАПЕЦИИ
        В                С

   А                           D
       B               C

 A             M            D
      B                C

A      H          E       D

SABCD=SABD+SBCD
SABCD=SABCM+SCMD
SABCD=SABH+SHBCE+SECD
Обозначь основания а и b, высоту h и запиши формулу для каждого случая.

h
а
b
а
b
h
b
а
h

      S=1/2h·(a+b)
УСТНАЯ   РАБОТАвыполняем вместе
Найдите площадь трапеции, если основания равны 6 см и 8 см, а высота 4 см.

Верно ли найдена площадь трапеции?

3
8
12
5

S=50 см2
S=30 см2

Поработай самостоятельно
        1 вариант
1.( 3 балла)
Основания трапеции 6см и 8 см, высота 2 см.Найти площадь.
2.(5 баллов)
Найдите площадь трапеции, запишите только решение
         2 вариант
1.(3 балла)
Основания трапеции 9 см и 1 см, высота 4 см. Найдите площадь.
2.(5 баллов)
Найдите площадь трапеции, запишите только решение

13
16
300

450
10
4
17
Проверь себя сам
1 вариант
1.(3 балла)
S=1/2·2·(6+8)=14см2
2.(5 баллов)
 h=8см, а=13см,
b=17см
S=1/2·8(17+13)=120см2
2 вариант
1.(3 балла)
S=1/2·4(9+1)=20 см2
2.(5 баллов)
h=4см, а=10см, b=14см
S=1/2·4(10+14)=48см2

Свойства каких фигур вы использовали?
Какие свойства прямоугольного треугольника вы применили?
Выбери правильный ответ(каждый вопрос -1 балл)
1.Площадь трапеции, вычисляется по формуле
А) S=1/2·h(а·b) ; Б) S=(а+b)·h ;  В) S=1/2h·(a+b)
2.Площадь трапеции равна произведению…
                 А)суммы оснований на высоту
                 Б)полусуммы оснований на высоту
                 В)оснований на высоту
                                    3.Сравните площади ΔАВД и ΔАСД :
                               А)  <   Б)  = В)   >
                                    4. Сравните площади ΔАВО и ΔОСД :
                                 А)  <   Б)  >   В)   =

А
В
С
Д
О
ВЕРЕН ЛИ КЛЮЧ?
в
Б
Подведём итоги
Поставь  себе оценку, если ты набрал

5-7 баллов  -

8-10 баллов -

11-12 баллов-

Запиши домашнее задание
Пункт.53, №480(б), 481;
Пункт 48-52 повторить;
Найдите площадь предложенного многоугольника.

а
b
с
h
Урок окончен .
 Спасибо за работу.
Встретимся на следующем уроке

Примечания к презентации (для учителя)
ХОД УРОКА
I. Актуализация опорных знаний и умений
Задание. Принимая площадь клетки за 1 ед2, используя формулу площади, вычислите площадь каждой фигуры.
Учащиеся поочередно с места называют фигуру, формулируют теорему площади и вычисляют значение площади каждой фигуры.
II. Постановка учебной задачи
Деятельность учителя:
• Как вычислить точное значение площади трапеции?
•Что нужно знать для вычисления точного значения площади?
• Назовите тему урока.
• Какую задачу мы должны решить сегодня на уроке?
• Какие элементы плоских фигур используются в формулах площадей?
• Что общего в формулах площадей?
Подводит учащихся к мысли, что площадь- трапеции тоже 'надо выразить через основания и высоту
.Деятельность учеников
Приближенно вычисляют площадь трапеции, подсчитав количество     квадратов.
Называют тему урока, формулируют проблему (задачу) урока. Записывают в тетради тему урока, чертят трапецию.
     Поочередно рассказывают всё о трапеции? Определение, виды, свойства равнобедренной трапеции.
Замечают, что в формулах используются основание и высота.
Отмечают в тетрадях (один ученик на доске) основания и высоту

Возврат

III. Решение поставленной задачи
Деятельность учеников:
Ученики предлагают различные варианты нахождения площади трапеции:

Деятельность учителя:
      • Как можно выразить площадь
         трапеции?
  • Зная площади каких фигур, можно найти площадь трапеции?
 • На основании чего мы можем
    предлагать такие решения?
На доске появляются три варианта решений.
Обозначьте основания а и Ь, высоту Н и запишите формулу:
Найдите из этой формулы Н и сумму оснований. Вернемся к задаче, поставленной в начале урока, и вычислим точное значение площади трапеции.
Работа в парах.
Каждая пара выбирает свой вариант, находит площадь трапеции. Выходят к доске и записывают под каждым вариантом результат. В каждом случае формулируют теорему, которую доказали. Выделяют условие и заключение теоремы. Записывают в тетради:

IV. Первичное закрепление изученного
Учитель предлагает ученикам две задачи.
1. Найдите площадь трапеции, если основания равны 6 см и 8 см, а высота 4 см.
Несколько учеников с места объясняют решение, дополняют, исправляют.
2. Верно ли найдена площадь трапеции?
Находят ошибку, анализируют ее, исправляют
V.Самостоятельная работа
(Задания для самоконтроля оцениваются в баллах.)
Учащиеся сверяют свои результаты с решениями, заранее заготовленными на доске, отвечают на вопросы учителя о выполнении.
Оценивают свою работу в баллах.
Учитель подводит итог самостоятельной работы и задает вопросы.'.
• Свойства каких фигур вы использовали при нахождении высоты?
• Какие свойства прямоугольного треугольника вы использовали при решении задач?
VI. Проверка усвоения изученного
Тест
Выберите правильный Ответ. (Каждая задача оценивается в 1 балл.)
Деятельность учащихся:
В каждом вопросе подчеркивают верные ответы. После выполнения меняются работами и проверяют друг у друга по «ключу», предложенному учителем. В «ключе» есть «ловушка». Учащиеся доказывают, что учителем допущена ошибка, анализируют ее, указывают верный ответ. Подсчитывают количество полученных баллов в данном задании.
Учащиеся анализируют ответы соседа по парте, указывают на ошибку, советуют, что нужно еще повторить, выучить.

Учитель подводит итоги, задавая вопросы'.
•Кто получил 5, 4, 3 балла?
• Кто допустил ошибки в заданиях 1 и 2?
• Кто допустил ошибки в заданиях 3 и 4?
VII. Постановка домашнего задания

Записывают задание на дом, задают вопросы учителю.


title: Презентация на тему: Площадь прямоугольного треугольника

text:
 S = S  : 2

S = a x b: 2
S = a x b: 2
S = a x b: 2
b
a
S = a x b: 2
S = a x b
S = a x b: 2


text:
D
D
a
b
c
(a · b )
    2
D
E
F
M
N
O
C
D
E
K
M
N
F
Y
X
Q
R


title: Презентация на тему: Площадь трапеции

text:
B
C
30º
M
N
A
B
D
H
H1
A
B
C
D
H
E
a
b
a
b
h
h
a-b
H
30
2
8
10
6
6
B
C
7x
12x
h
a-b


title: Презентация на тему: Площадь треугольника

text:
S
D
S
S1
S
S1


title: Презентация на тему: Площадь треугольника (9 класс)

text:
4
10
R
E
F
5
6
7
S
N
T
60°
8
5
3
60°
6
4
60°
6
4
5
6
60º
45º
8
5
15º
5
5
15º
5
8
45º
R
S
O
T
9
120º
6
R
S
E
T
9
45º
8
12
O
A
B
D
C
120º
BD=6
AC=10
A
B
C
AC=d
A
B
D
C
135º
AC=12


title: Презентация на тему: Площадь прямоугольника 3 класс

text:
F1
F2
S(F)=S(F1)+S(F2)+S(F3)
F3
F2
F1
D
CR=RB
D
C
M
R
A
B
=
=
4
S
25
1,96
S
b
a
a
a
b
a
b
b
S
b
a
a
a
b
a
b
b
a2
b2
S


text:
?
2
?
2

?
D
K
H
4
7
?
56
S
S =      S
1
2
S =     AB  CH
1
2
.
D
?
2
?
2
?
2
?
2


title: Презентация на тему: Площадь трапеций

text:
5klass.net
B
C
7x
12x
30º
M
N
A
B
D
H
H1
A
B
C
D
H
E
a
b
a
b
h
h
a-b
H
30
2
8
10
6
6


title: Презентация на тему: Площадь треугольника (8 класс)

text:
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Click to edit Master title style
D
D
D
D


title: Презентация на тему: Площадь трапеции 9 класс

text:
D
a
b
h
h

                    7

            4

                      9
                    5

             11

                  15

                      10

                       h = 5

                   6

                                        8

                                      30º
                             10

                       8

      5

                   14
                        5

      45º

         14             5          16

                        6

         13                            37

                          60

                      10

    25

                   25

                                 17
                        39

                      44

                        11

         25                           37

                          28

8
5
12
h = 8


title: Презентация на тему: Площадь трапеции

text:
D
B
C
D
A
H
D
a
b
h
h
C
D
H
M
N
F
E


title: Презентация на тему: Плоскости в пространстве

text:
900igr.net
0
y
z
Q
n
Q
Q
x
y
z
O
x
y
z
O
x
y
z
O
x
y
z
O
Q
Q
Q
Q
x
y
z
O
x
y
z
O
x
y
z
O
Q
Q
Q
x
y
z
0
l
l :
(2)
l
l :
l
Q
l
Q


text:
A
N
D
C
B
M
A
N
C
B
M
A
N
C
B
M
?
?
?
?
1
2
3
4
5
7
6
8
? ? ?
D
D
! ! !
a
b
c
D
E
F
A
B
C
D
N
A
B
C
D
N


title: Презентация на тему: «Почему возникла новая геометрия»

text:
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level


title: Презентация на тему: Почему возникла "новая" геометрия?


title: Презентация на тему: Почему снежинки такие красивые?

text:
A1
A


title: Презентация на тему: Площадь сферы

text:
СФЕРА
Геометрия 11 класс
Выполнила :  Попова  Е.А.
тема: Объем шара и площадь сферы
Сфера – это поверхность, состоящая из всех точек пространства,
расположенных на данном расстоянии (R)
от данной точки (C).
Центр сферы (С)
Радиус сферы (R)

Диаметр сферы (d=2R)

Шар – это тело, ограниченное сферой.
Центр шара (С)

Радиус шара (R)
Диаметр шара (d=2R)

Объём шара, шарового сегмента и шарового слоя
Vшара= 4/3ПR3
Шаровой сегмент – это часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью.
Шаровой слой – это часть шара, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями.
Vш. Сегмента = Пh2(R- 1/3h)
Vш. слоя=Vш.сег.1-Vш.сег.2
Основание сегмента
Высота сегмента (h)

Объём шарового сектора
Vш. сектора= 2/3ПR2h
Шаровой сектор – это тело, полученное вращением кругового сектора, с углом, меньшим 90о,
вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов.

Шаровой сектор состоит из шарового сегмента
и конуса.
Площадь сферы
Sсферы= 4ПR2
В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный на
.
Решение.Радиус вписанного в куб шара равен половине длины ребра:
Тогда объем шара

.
Ответ: 4,5.
ЕГЭ:  В11
Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в три раза?

Решение.Объем шара радиуса
 равен

При увеличении радиуса втрое, объем шара увеличится в 27 раз.

Ответ: 27.
В11
Радиусы двух шаров равны 6, 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.

Решение.Из условия
найдем, что радиус такого шара

Ответ: 10.
В11
Около куба с ребром
 описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на
Решение.Радиус описанного шара равен половине диагонали куба:

.
Поэтому объем шара равен

Тогда

Ответ: 4,5.
В11
Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.
Решение.Радиус большого круга является радиусом шара. Площадь первого выражается через радиус
как
, а площадь поверхности сферы – как   4ПR2.   Видно, что площадь поверхности шара в
раза больше площади поверхности большого круга.

 Ответ: 12.
В11
Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара увеличить в 2 раза?
Решение.Площадь поверхности шара выражается через его радиус
как
, поэтому при увеличении радиуса вдвое площадь увеличится в
Ответ: 4.
раза.
В11
Объем шара равен 288
 Найдите площадь его поверхности, деленную на
Решение.Объем шара радиуса
, откуда

Площадь его поверхности:

Ответ: 144.
В11
Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 18. Найдите площадь поверхности шара.
Решение.По построению радиусы шара и основания цилиндра равны. Площадь цилиндра, описанного вокруг шара радиусом
равна

Площадь поверхности шара радиусом
равна
, то есть в 1,5 раза меньше первой. Площадь поверхности шара тогда равна 12.
Ответ: 12.
В11
Использованы задачи с сайта Дмитрия Гущина
 Решу ЕГЭ   http://reshuege.ru/


title: Презентация на тему: Площадь треугольника 8 класс

text:
МОУ «ООШ с.Никольское Духовницкого района Саратовской области»

Площадь  прямоугольника  и  треугольника

                      Автор:  ученика  8 класса  Якунина Андрея
Руководитель:  Бурукина  Н.Н.

2011г.
900igr.net
Площадь треугольника
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию

Основания и высоты треугольника

АС - основание

BH = h
RS, RZ, RN – высоты
Площадь треугольника
Теорема: площадь треугольника равна половине
                  произведения основания на высоту

  Доказать: SABC =  1/2 AC ∙ BH
Доказательство:
АВКС – параллелограмм, его снованием является
АС, а высотой является ВН
SABKC = AC ∙ BH

SABKC = SABC + SKCB , SABC = 1/2 SABKC

SABC =  1/2 AC ∙ BH

Треугольники АВС и КСВ равны, значит,
их площади тоже равны

Следствия
Площадь прямоугольного
    треугольника равна половине произведения его катетов

S = ½ ab

Если высоты двух треугольников
 равны, то их площади относятся
 как основания
Соотношение между сторонами     и высотами треугольника

SABC = 1/2 a ∙ ha
 SABC = 1/2 b ∙ hb
1/2 a ∙ ha  = 1/2 b ∙ hb
a ∙ ha = b ∙ hb
Вывод: меньшая высота
           проведена к
           большему основанию
Теорема: если угол одного треугольника равен                 углу другого треугольника, то                 площади этих треугольников относятся как                                                                                произведения сторон, заключающих равные углы.

Доказательство:

Треугольники АВС и АNC имеют общую высоту СН
SABC : SANC = AB : AN,     SABC : SANC = AB : MN (1)
Треугольники ANC и ANK имеют общую высоту NH1
SANC : SANK = AС: AK,    SANC : SANK = АС : MK (2)

Равные многоугольники имеют равные площади

Площадь всего многоугольника равна сумме площадей его частей, на которые он разбит некоторой прямой.

Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны, т.е. площадь квадрата со стороной а вычисляется по формуле.
                                  а
 S=а2

Площадь прямоугольника:
 S=а·b
                         Литература
 Интернет
Геометрия. 7-9 классы: учеб. Для общеобразоват . учреждений  /Л С Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.) – 19- е изд. – М. : Просвещение, 2009. – 384с.


title: Презентация на тему: Площадь трапеции и теоремы

text:
«РАНО ИЛИ ПОЗДНО ВСЯКАЯ ПРАВИЛЬНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИДЕЯ НАХОДИТ ПРИМЕНЕНИЕ В ТОМ ИЛИ ИНОМ ДЕЛЕ.»
А.Н. КРЫЛОВ
Решение задач по теме: «Площадь трапеции»

S
Цель урока:
1.Повторить …
2.Совершенствовать…
Повторить формулы для вычисления площадей четырехугольников (трапеции)
Совершенствовать навыки в решении задач по данной теме
Проверить знания с помощью теста.

Цель урока:
Площади многоугольников
1.S прямоугольника =
2. S параллелограм. =
3. Sтреугольника =
4. S трапеции =
5. Sчет . =
 (диагонали перпендикулярны)
ав
аh
 ½ah           ah÷2
½(a+b)h     (a+b)h÷2
½d1d2

 Теорема: Площадь трапеции равна произведению полусуммы её         оснований на высоту

Высота трапеции-
перпендикуляр,
проведённый из любой
 точки одного из оснований
 к прямой, содержащей
другое основание
BH- высота
CH1,DH2,MN-высоты трапеции
B
C
D
M
H
A
H2
N
H1
№480(а)
Дано:ABCD-трапеция
AD=21 см
CВ=17 см;
DH=7см-высота
Найти: S трапеции ABCD
Решение:
SABCD= DH×(AD+CВ)÷2
SABCD= 7×(21+17)÷2=38×7÷2=19×7=133(см²)
Ответ:133 см²

7 см
Реши устно
Δ АВС-прямоугольный
ВС=5 см,    А =450
Найти АС

А

В
С
5 см
450

№482
Дано:ABCD-трапеция
AB=CD,    B=135°,KD=3,4 см; AK=1,4 см
BK-высота
Найти: S трапеции ABCD
Решение:
1)в ΔABK,     K=90º
    ABK=135º- 90º=45º,   A=90º-    ABK=45º ,ΔABK-равнобедренный, ВК=1,4 см
2) Проведём высоту СE,
тогда KBCE-прямоугольник и  BC=KE,а ΔDCE-прямоугольный,    D=45º
3) ΔABK=ΔDCE по гипотенузе и острому углу(AB=CD,     A=   D)
DE=AK=1,4 см, значит KE=2см, BC=2см
4) AD=AK+KD=1,4+3,4=4,8см
SABCD= BK×(BC+AD)÷2
SABCD= 1,4×(2+4,8)÷2=4,76(см²)
Ответ:4,76см²

B
C
D
1,4 см
3,4 см
A

135°
К
E

Работа у доски
Выполним № 481
тест
А1  Основания трапеции равны 5 см и 9 см, ее высота – 6 см. Чему равна площадь трапеции?
1)54см2      2)21см2     3)42см2      4)84см2

А2 В равнобедренной трапеции основания равны 6 см и 10 см, а угол при основании равен 45 0 . Чему равна площадь трапеции?
1)16см2     2)32см2    3)8см2   4)24см2

А3 В прямоугольной трапеции основания равны 5 см и 9 см, а меньшая боковая сторона- 4 см. Чему равна площадь трапеции?
1)36см2    2)56см2    3)14см2    4)28см2

А4 Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны 12 см и 18 см. Чему равна площадь трапеции?
1)108см2    2)216см2     3)54 см2   4)162см2

В1 В равнобедренной трапеции высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка , больший из которых 26 см. Найдите площадь трапеции, если ее высота равна 10 см.

тест
А1  Основания трапеции равны 5 см и 9 см, ее высота – 6 см. Чему равна площадь трапеции?
1)54см2      2)21см2     3)42см2      4)84см2

А2 В равнобедренной трапеции основания равны 6 см и 10 см, а угол при основании равен 45 0 равна площадь трапеции?
1)16см2     2)32см2    3)8см2   4)24см2

А3 В прямоугольной трапеции основания равны 5 см и 9 см, а меньшая боковая сторона- 4 см. Чему равна площадь трапеции?
1)36см2    2)56см2    3)14см2    4)28см2

А4 Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны 12 см и 18 см. Чему равна площадь трапеции?
1)108см2    2)216см2     3)54 см2   4)162см2

В1 В равнобедренной трапеции высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка , больший из которых 26 см. Найдите площадь трапеции, если ее высота равна 10 см.                      260см2

А1
Дано:ABCD-трапеция
AD=9 см
CВ=17 см;
DH=6см-высота
Найти: S трапеции ABCD
Решение:
SABCD= DH×(AD+CВ)÷2
SABCD= 6×(9+5)÷2=42(см²)
Ответ:42 см²

А2
Дано:ABCD-трапеция
AB=CD,    А=45°; AD=10 см ,   ВС=6 см                                6 см
BН-высота
Найти: S трапеции ABCD
Решение:
1)АН=DЕ=(10-6) : 2=2 см
       А=     АВН=450  ,значит АН=ВН=2 см

 SABCD= BН×(BC+AD)÷2
SABCD= 2×(6+10)÷2=16(см²)
Ответ:16см²

B
C
D

10 см
A

Н
E
450
А3
Дано:ABCD-трапеция
AB=CD,    А=90°; AD=9 см ,   ВС=5 см
АВ=4 см
Найти: S трапеции ABCD                                   4 см
Решение:
1)АВ= 4см  (высота)

 SABCD= АВ×(BC+AD)÷2
SABCD= 4×(5+9)÷2=28(см²)
Ответ:28см²

B
C
D

9 см
5 см

А
А4
Дано:ABCD-трапеция
AС=12 см
DВ=18 см; АС    ВD
Найти: S трапеции ABCD
Решение:
SABCD= AC×CВ÷2
SABCD=        12×18=108(см²)
Ответ:108 см²

900
В1
Дано:ABCD-трапеция
AB=CD,  KD=26 см; ВK=10 см
BK-высота
Найти: S трапеции ABCD
Решение:
1)Пусть АК=х см,
 тогда АD=26+х (см), ВС=КD-DЕ, ВС= 26-х (см)
2) ВС+АD=(26+х)+(26-х)=52см
SABCD= BK×(BC+AD)÷2
SABCD= 10×52÷2=260(см²)
Ответ:260см²

B
C
D
26 см
A
К
E
10см
х
Домашнее задание:
№480(б),482.
 повторить все изученные формулы.


title: Презентация на тему: Плоскость

text:
Проекции плоскости
Лекция 3
Способы задания  плоскости
На комплексном чертеже плоскость    можно задать: 1) проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой; 2) проекциями прямой и точки, взятой вне этой прямой; 3) проекциями двух пересекающихся прямых; 4) проекциями двух параллельных прямых;
Способы задания  плоскости
5) проекциями плоской фигурой; 6) следами плоскости. Все способы позволяют выделить из множества точек пространства точки, принадле-жащие данной плоскости. Способ задания плоскости указывают в круглых скобках
След плоскости – это линия ее пересечения с соответствующей плоскостью проекций
Положение  плоскости относительно плоскостей проекций
Плоскость общего положения наклонена ко всем плоскостям проекций
Плоскость частного положения перпендикулярна  или параллельна одной из плоскостей проекций
	Горизонтально проецирующая плоскость      П1
	Фронтально проецирующая плоскость         П2	Профильно проецирующая плоскость	     П3
	Горизонтальная плоскость  	    П1
Фронтальная плоскость     	    П2
Профильная плоскость 	          П3
Плоскость,  перпендикулярная одной из плоскостей проекций, называется проецирующей плоскостью:
Плоскость, параллельная плоскости проекций, назы-вается плоскостью уровня (дважды проецирующей):
Горизонтально  проецирующая  плоскость (П1)
Пространственная картина
Комплексный чертеж
y

z
Горизонтальная проекция плоскости  вырождается в прямую (след), на П1   проекции трех произвольных точек плоскости лежат на горизонталь-ном следе плоскости 1 . Углы наклона данной плоскости   к фронталь-ной () и профильной () плоскостям проекций на П1 не искажаются







Фронтально  проецирующая  плоскость (П2)
Комплексный чертеж
y

z
Пространственная картина






Фронтальная проекция плоскости  вырождается в прямую (след). На П2  проекции трех произвольных точек плоскости лежат на фронтальном следе плоскости 2 . Углы наклона данной плоскости   к горизонталь-ной () и профильной () плоскостям проекций на П2 не искажаются
Профильно  проецирующая  плоскость (П3)
Комплексный чертеж
z
Пространственная картина






Профильная проекция плоскости   вырождается в прямую (след). На П3 проекции трех произвольных точек плоскости лежат на профильном следе плоскости 3 . Углы наклона данной плоскости   к горизонталь-ной () и фронтальной ( ) плоскостям проекций на П3  не искажаются
Горизонтальная плоскость уровня ( П1)
Комплексный чертеж
z


Пространственная картина
В силу параллельности следы (фронтальный 2 и профильный 3 ) плоскости   будут параллельны соответствующим осям координат. Фигура, задающая  плоскость  , проецируется в натуральную величину на горизонтальную плоскость проекций
Фронтальная плоскость уровня ( П2)
Комплексный чертеж
z

Пространственная картина


В силу параллельности следы (горизонтальный 1  и профильный 3 ) плоскости   будут параллельны соответствующим осям координат. Фигура, задающая  плоскость  , изображается в натуральную величину на фронтальной плоскости проекций
Профильная плоскость уровня ( П3)
Комплексный чертеж
z

Пространственная картина


В силу параллельности следы (горизонтальный 1  и фронтальный 2 ) плоскости   будут параллельны соответствующим осям координат. Фигура, задающая  плоскость  , проецируется в натуральную величину на профильную плоскость проекций
Принадлежность прямой  плоскости
Прямая принадлежит плоскости, если она проходит:
через две точки этой  плоскости;
2)  через одну точку плоскости и параллельно какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости
(n m)
1
(1m);  (2n)
а(1 И 2)  а
2
(n  m)

(1m);  1b
b n  b
Принадлежность точки  плоскости
Точка будет лежать в плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой этой плоскости. Воспользуемся этим положением:
1) при чтении чертежа;
2) при построении точки, лежащей в данной плоскости
(1АС)
П1: (D1 ИA1)С1В1 =31

(АВС)

1

П2: 32  C2B2
1,2 - ?
А2 И 32
D2  А232

Принадлежность прямой и точки  плоскости
Если плоскость занимает проецирующее положение, то соответствующие проекции всех точек и прямых данной плоскости совпадают с ее следом.
Это собирательное свойство проецирующих плоскостей
  П1

x

  П2

x

Главные линии  плоскости
Горизонталь плоскости – это прямая, лежащая в плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций. Фронтальная проекция горизонтали параллельна оси x. Положение горизонтали в плоскости определяют две точки (например, В  и 1 )


Горизонталей плоскости бесчисленной множество,
все они параллельны между собой
Горизонтальный след – это горизонталь нулевого уровня

x

Главные линии  плоскости


Фронталей плоскости бесчисленное множество,
все они параллельны между собой
Фронтальный след – это фронталь нулевого уровня
Фронталь плоскости – это прямая, лежащая в плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций.
Горизонтальная проекция фронтали параллельна оси x. Положение фронтали в плоскости определяют две точки (например,  В  и  2 )

x

Главные линии  плоскости
  П1

x

 П2

x
В проецирующих плоскостях одна из линий уровня является проецирующей прямой
Горизонтальная проекция фронтали параллельна оси x. Фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальному следу плоскости или ему принадлежит. Координата y  показывает расстояние от фронтали данной плоскости до фронтальной плоскости проекций

А1
А2
При первом преобразовании выбираем новую плоскость проекций П4   перпендикулярно горизонтали плоскости h так, чтобы она заняла проецирующее положение. На П4  получаем вырожденную проекцию плоскости (прямую) и ее угол наклона    к плоскости проекций П1 .
  Определить натуральную величину треугольника (АВС)           и  угол наклона его к плоскости П1   способом перемены плоскостей проекций

B1
C2
B2
C1
x
П4  П1
   П4  h(АВС)
Метрические задачи

Задача 1.

x

А1
А2

П1
П4

x1
П4  П1
   П4  h(АВС)
2. П5  П4
    П5 (АВС)
При втором преобразовании выбираем новую плоскость проекций П5   так, чтобы плоскость заняла положение плоскости уровня. На П5  строим натуральную величину треугольника

h1
h2
B1
C2
B2

А4
C1
В4
C4



Метрические задачи

Задача 1.

  Определить натуральную величину треугольника (АВС)           и  угол наклона его к плоскости П1   способом перемены плоскостей проекций

Метрические задачи
Задача 2.
Определить расстояние от точки  К  до плоскости частного положения (1, 2)

x

Проекции искомого расстояния будут перпендикулярны следам данной плоскости. В силу этого  N2 K2  есть натуральная величина расстояния. Перпендикуляр  NK проходит под плоскостью  , поэтому его горизон-тальная проекция невидима
 2
K1

 1
K2

KN - искомое расстояние
Метрические задачи

А1
А2
Выбираем новую плоскость проекций П4   перпендикулярно горизонтали плоскости h  так, чтобы она заняла проецирующее положение. На П4  получаем  вырожденную проекцию плоскости  (прямую)  и  проекцию точки  К4 .
Задача 3.

B1
C2
B2

C1
x
П4  П1
   П4  h(АВС)

К1
К2

Определить расстояние от точки  К   до плоскости треугольника  (АВС)

А1
А2
Построение перпендикуляра начинают с плоскости проекций П4   (см. зад.12), затем строят его проекции на плоскостях П1  и П2 . На плоскости проекций П4 изобразится натуральная величина расстояния от точки К до плоскости треугольника. Определяют видимость перпендикуляра.

B1
C2
B2

C1
x
П4  П1
   П4  h(АВС)

2. KN - искомый отрезок
К1
К2

Метрические задачи
Задача 3.
Определить расстояние от точки  К   до плоскости треугольника  (АВС)


title: Презентация на тему: Почему квадрат?

text: Viki.rdf.ru


title: Презентация на тему: Подібність трикутників

text:
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
A
A1
C
B
C1
B1
N
A
A1
C
B
C1
B1
A
B
C
M
N
P
C
B
L
M
K
A
P

C
B
R
Q
A
A
B
A1
D
M
N
N1
D1
M1
a
b
ac
hc
bc
hc2= ac·bc;
a2=c·ac;
b2=c·bc;
hc= a·b ;
       c
A
B
C
D
a
b
a1
b1
a1= a
b1  b
C
B
A
D
A
B
C
D
M
AM · BM= CM · DM


Презентация на тему: Подобие треугольников


Презентация на тему: Подготовлю справочник по геометрии (или как повторить геометрию к экзамену)


Презентация на тему: Подобие фигур вокруг нас


Презентация на тему: Подобие правильных многоугольников


title: Презентация на тему: Подобие треугольников решение задач

text:
900igr.net
4
8


text:
900igr.net
A
B
C
D
A
B
C
A1
B1
C1
A
B
C
A1
B1
C1
B
A
C
D
A
B
C
A1
B1
C1
A
B
C
A1
B1
C1
A
B
C
A1
B1
C1
A
M
B
N
C
A
B
C
B1
A1
C1
O
A
C
B
D
A
C
B
D
A
C
B
D


Презентация на тему: Подобие треугольников 8 класс


Презентация на тему: Подобие фигур


Презентация на тему: Подобие


Презентация на тему: Подобия треугольника


Презентация на тему: Пирамида


title: Презентация на тему: подібність

text:
Застосування подібністі трикутників. Середні пропорційні в прямокутному трикутнику.
8 клас
Прямокутний трикутник

А
С
В

D

b
а
c
a
C
В прямокутному трикутнику АСВ: АС і ВС-катети, АВ – гіпотенуза, CD – висота, яка проведена з прямого кута до гіпотенузи. AD – проекція катета АС на гіпотенузу, позначають       , BD - проекція катета СВ на гіпотенузу позначають                  Вивичити!
a
C

В

D

b
a
c
b
C
a
C
ВКАЗАТИ ПОДІБНІ ТРИКУТНИКИ
А
С
∆AВС~
∆AСD~
∆СВD

В

D

b
a
c
b
C
a
C
А
С

∆AСD
∆AВС~
ЗАПИСАТИ ВІДНОШЕННЯ СТОРІН

В

D

b
a
c
b
C
a
C
А
С

∆СВD
∆AВС~
ЗАПИСАТИ ВІДНОШЕННЯ СТОРІН

В

D

b
a
b
C
a
C
А
С

∆AСD~
∆СВD
h

А
С
В

D

b
a
b
C
a
C
с

А
С
В

b
a
9
16
Знайти невідомі лінійні елементи
 прямокутного трикутника АВС
D
РОЗВ’ЯЖЕМО ЗАДАЧУ

А
С
В

b
a
9
25
Знайти невідомі лінійні елементи
 прямокутного трикутника АВС
D
РОЗВ’ЯЖЕМО ЗАДАЧУ


text:
D
F
E
C1
B1


title: Презентация на тему: «Подобные фигуры»

text:
8
9
10
11
12
14
15
16
17
18
20
21
22
23
24
30
29
28
27
26
1
2
3
4
5
6
13
19
25
7
1.
B
D
16
30
20
2.
D
14
20
21
B
3.
B
D
4,5
13,5
4.
D
4
6
B
5.
B
C
M
K
N
6
5
7
6.
B
C
N
5
M
2
7.
B
C
D
O
K
8.
B1
B2
B3
B4
9.
C
B
D
8
4
10.
C
B
D
8
4
11.
B
C
N
M
K
12.
B
C
N
M
K
13.
B
N
M
K
C
14.
B
N
M
P
C
15.
B
M
N
6
4
12
15
16.
B
E
D
15
C
10
8
x
x+6
17.
4
5
a
b
x
2x + 3
y
y - 1
18.
B
C
16
D
4
19.
B
C
8
D
6
5
10
20.
B
C
D
6
K
E
1
9
21.
C
D
5
M
8
3,9
3,6
22.
B
C
M
N
23.
C
B
F
E
24.
D
1
B
2
C
3
25.
C
B1
B
C1
710
10
2a
3a
2b
3b
?
26.
C
B1
C1
800
10a
5a
14b
7b
?
B
12c
6c
400
?
27.
B
N
M
15
C
10
8
3
4
28.
B
C
D
15
4
12
O
5
29.
B
C
M
N
10
4
5
6
30.
B
N
M
C
20


title: Презентация на тему: Подобие треугольников. Первый признак подобия

text:
similitude
MN
EF
=
NK
FD
=
M
K
E
D
8
10
5,6
10,5
8
10
5,6
10,5
x
y
C'
1.
A
B
C
D
O


title: Презентация на тему: Подобные треугольники

text:
A
C
A1
B1
C1
B
A
B
C
A1
B1
C1
S
S1


text:
A
B
C
D
A
B
C
A1
B1
C1
A
B
C
A1
B1
C1
B
A
C
D
A
B
C
A1
B1
C1
A
B
C
A1
B1
C1
A
B
C
A1
B1
C1
A
M
B
N
C
A
B
C
B1
A1
C1
O
A
C
B
D
A
C
B
D
A
C
B
D


text:
900igr.net
1
4
2
3
5
200
6
4


title: Презентация на тему: Площадь треугольника. Полезные теоремы, следствия и задачи

text:
h
20

16
     6
1
2
3


text:
A
B
D
C
4
6
A
B
C
M
N
5
2
C
A
B
M
N
P
ABC
MNP
B
C
A
D
E
F
Q
H
K
M
N
P
C
A
B
M
N
P
ABC
MNP
C
A
B
M
N
P
ABC
MNP
?


text:
=
=
=
=
1)
2)
1
2
=
1)
2)
1
2


title: Презентация на тему: «Подобные треугольники»


Презентация на тему: Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников


title: Презентация на тему: «Подобные фигуры»

text:
8
9
10
11
12
14
15
16
17
18
20
21
22
23
24
30
29
28
27
26
32
33
34
35
1
2
3
4
5
6
13
19
25
31
7
1.
D
2.
D
E
F
3.
B
C
D
4.
D
F
5.
B
C
D
6.
B
C
P
D
M
K
7.
B
C
D
8.
B
D
9.
B
D
10.
B
C
N
D
11.
B
C
D
K
6
450
12.
B
C
D
300
13.
B
C
D
5
600
14.
B
C
D
K
4
450
7
15.
B
C
D
K
10
6
8
16.
B
C
D
8
6
1500
17.
B
C
D
18.
B
C
D
19.
B
C
D
4
5
20.
B
300
21.
B
4
450
22.
B
C
D
4
5
23.
B
C
D
1350
24.
B
C
D
25.
B
12
500
1000
9
26.
B
C
8
D
4
5
27.
B
C
D
28.
B
C
D
300
29.
B
C
D
450
6
3
30.
B
C
10
D
450
6
8
31.
C
D
750
300
10
32.
C
750
12
750
33.
B
C
D
7
6
10
34.
B
C
D
H
M
N
35.
B
C
D
K