text:
Формулы
 сокращенного умножения
г.  Комсомольск-на-Амуре
2009-2010 г.
Выполнил: ученик 8А класса
МОУ гимназии № 9
Евгеньев Александр

Проверила: учитель математики
МОУ гимназии №9
Рафикова Галина Михайловна
Муниципальное Образовательное Учреждение гимназия №9
Причины создания проекта
У истоков создания этого проекта лежит небольшая формула, которую я заметил в этом году. Если говорить точнее, это закономерность между числами. Я долго интересовался тем, что это за формула, но разные люди предполагали абсолютно разные варианты. Поскольку, безусловно, эта формула связана с квадратами чисел и я не знаю, придумал ли ее кто-то до меня, я решил сделать презентацию, в которой помимо этой закономерности рассказывалось о какой-нибудь интересной теме. Так я решил создать этот научно-исследовательский проект.
Квадрат суммы
Начнем с азов. Наверняка, каждый семиклассник (не говоря уже и о более старших школьниках) знает эту формулу. Но все же для закрепления материала стоит проверить эти знания.
(x+y)²=x²+2xy+y²
Что читается, как «квадрат суммы двух чисел равен сумме квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа».
Квадрат разности
А вот на этой теме уже начинают встречаться сложности. К сожалению, не все ученики помнят эту формулу, некоторые путаются, но я надеюсь, что никто из нашего класса не ошибется ни в записи, ни в формулировке.
(x-y)²=x²-2xy+y²
А читается эта формула: «Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа».
Это интересно!
Вот мы и вспомнили первые две формулы сокращенного умножения. Как оказалось, ничего страшного в этом нет!
А задавались ли вы когда-нибудь вопросом, кто же все-таки придумал эти две формулы: квадрат суммы и квадрат разности? Некоторые источники говорят, что это был древнегреческий математик Евклид. Это было действительно уникальное открытие, поскольку мы знаем, что он жил еще в III веке до нашей эры.
Разность квадратов
Вот мы и дошли до последней формулы, связанной с квадратами чисел. В следующем слайде я докажу, почему она последняя. А пока что попытаемся вспомнить разность квадратов.
x²-y²=(x+y)(x-y)
Разность квадратов двух чисел равна произведению суммы и разности этих чисел.
При этом следует помнить, что множители можно менять местами.
Сумма квадратов

Квадрат суммы и квадрат разности можно разложить не только по формуле, данной ранее. Их можно представить таким видом: (x+y)²=(x+y)(x+y) и (x-y)²=(x-y)(x-y).
На основании того, что первые три формулы сокращенного умножения можно представить в виде произведения из двух многочленов, можно утверждать, что и сумму квадратов можно представить, как произведение из двух многочленов.
Но все возможные комбинации уже использованы. Квадрат суммы – это произведение сумм этих чисел, квадрат разности - произведение разностей этих чисел, а разность квадратов – произведение суммы и разности. Значит, сумму квадратов нельзя представить в виде формулы сокращенного умножения.
Но в школьном курсе не дается понятие этой формулы сокращенного умножения, потому что ее попросту не существует. А сейчас мы рассмотрим, почему.
Неполный квадрат
Для дальнейшего повторения формул сокращенного умножения мы должны также вспомнить еще один термин.

Мы рассмотрели понятия квадрат суммы и квадрат разности ((x+y)²=x²+2xy+y² и (x-y)²=x²-2xy+y²). Так что же тогда такое неполный квадрат? Нам понадобятся неполный квадрат суммы и неполный квадрат разности. Неполный квадрат суммы – это x²+xy+y² (сумма квадрата первого числа, произведения первого числа на второе и второго числа), а неполный квадрат разности – это x²-xy+y² (квадрат первого числа минус произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа). Как мы видим, в обоих случаях вместо удвоенного произведения первого числа на второе появляется произведение первого числа на второе.

Сумма кубов
Вот мы и приступили к тому моменту, который, как я подозреваю, мало кто помнит. Время проверить знания.
x³+y³=(x+y)(x²-xy+y²)
Сумма кубов двух чисел равна произведению этих чисел и неполного квадрата их суммы.
Разность кубов
И сейчас мы вспомним еще одну, очень похожую на предыдущую, формулу.
x³-y³=(x-y)(x²+xy+y²)
Читается: «Разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел и неполного квадрата их суммы».
Куб суммы
Эту формулу и следующую за ней немного сложно запомнить, но я все же надеюсь, что в нашем классе есть ученики с хорошей памятью, что мы сейчас и проверим.
(x+y)³=x³+3x²y+3xy²+y³
Куб суммы двух чисел равен сумме квадрата первого числа, утроенного произведения квадрата первого числа на второе, утроенного произведения первого числа на квадрат второго и куба второго числа.
Куб разности
И вот наконец мы дошли до последней формулы, изучаемой в седьмом классе.
(x-y)³=x³-3x²y+3xy²-y³
Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго числа.
Бином Ньютона
Треугольник Паскаля
Говоря о формулах сокращенного умножения, нельзя не сказать о Биноме Ньютона. Бином Ньютона – это формула, при помощи которой можно выразить выражение (x+y)ⁿ в виде многочлена. К примеру, квадрат суммы, куб разности и.т.д. – это его частные случаи.
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
Для быстрого подсчета коэффициентов был создан треугольник Паскаля. Свое название он получил в честь ученого Блеза Паскаля. Он представляет собой вершину из которой исходят две стороны. По этим сторонам идут единицы. Главная особенность этого треугольника заключается в том, что каждое число, находящееся в нем, является суммой двух других рядом стоящих чисел.
Введение
В начале проекта я написал о закономерности между числами, которую я заметил. Сейчас мы ее рассмотрим. Для начала сделаем небольшую таблицу из 2 столбцов и 10 строк, состоящую из последовательных натуральных чисел и их квадратов.
Самые находчивые, наверняка, уже заметили, что числовой промежуток между каждой последующей парой квадратов увеличивается на 2 и всегда является нечетным числом.
Отрицательные числа
Построим такую же таблицу для того, чтобы проверить эту закономерность уже с другими числами. На этот раз мы будем подставлять отрицательные числа и ноль (стоит помнить, что все они должны быть последующими).
Значит, данная закономерность выполняется и для отрицательных чисел с нолем только немного меняется условие (если в натуральных числах промежуток увеличивался с каждой парой квадратов больших чисел, то в отрицательных числах – с каждой парой квадратов меньших чисел.
Вывод
Для любых целых чисел числовой промежуток между парой квадратов следующих друг за другом чисел больше числового промежутка между предыдущей парой квадратов следующих друг за другом чисел на два, если соблюдается условие, что для натуральных чисел пара квадратов, из которых состоит числовой промежуток больше предыдущей им пары квадратов, а для отрицательных чисел – меньше.
Из этого следует, что зная квадраты двух следующих друг за другом чисел, можно узнать и третье, следующее за ними число.
Вопросы на повторение
Что такое одночлен?
Что такое многочлен?
Что такое формулы сокращенного умножения?
Сколько формул сокращенного умножения вам известно?
Является ли сумма квадратов формулой сокращенного умножения?
Что такой неполный квадрат суммы?
Что такое неполный квадрат разности?

Практическая работа
Задание №1
Найдите значение выражения при помощи формул сокращенного умножения.
(3+x+b)²

Задание №2
Заполните пропуски в выражениях и соедините их парами.

1) a2+2ab+b2;				4) a2 – b2;
2) (a – b)2;				5) (   …   )2;
3) (a + b)(    …    );			6) 	… – 2ab +  …  ;

a2+2ab+b2;                                                                                4) a2 – b2;
(a – b)2;                                                                                5)(a+b) 2;
(a + b)(a-b) ;                                                                                6)a²-2ab+b²;

Задание №3
Напишите свою любимую формулу сокращенного умножения и приведите примеры выражений с ней.
Итоги
Подведем итоги . Просмотрев этот проект, я надеюсь, многие вспомнили пройденные еще в 7-ом классе темы и вынесли для себя что-то новое. Мне бы хотелось, чтобы эти новые знания наравне со старыми остались в памяти всех учеников.


title: Презентация на тему: Формулы сокращенного умножения

text:
Семенова Светлана Александровна
учитель математики и информатики,
МБОУ СОШ №31 имени Героев Свири
г.Ульяновск
Формулы сокращенного умножения
Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:

Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:
1) (а + 5)2 =
Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:
1) (а + 5)2 = (а + 5)(а + 5)=
Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:
1) (а + 5)2 = (а + 5)(а + 5)= = а2 + 5а + 5а + 25 =

Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:
1) (а + 5)2 = (а + 5)(а + 5)= = а2 + 5а + 5а + 25 =
 = а2 + 10а + 25

Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:
1) (а + 5)2 = (а + 5)(а + 5)= = а2 + 5а + 5а + 25 =
 = а2 + 10а + 25

Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:
2) (а - 5)2 =
Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:
2) (а - 5)2 = (а - 5)(а - 5) =
Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:
2) (а - 5)2 = (а - 5)(а - 5) = = а2 - 5а - 5а + 25 =
Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:
2) (а - 5)2 = (а - 5)(а - 5) = = а2 - 5а - 5а + 25 =
= а2 - 10а + 25
Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:
2) (а - 5)2 = (а - 5)(а - 5) = = а2 - 5а - 5а + 25 =
= а2 - 10а + 25
Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:
1) (а + 5)2 = а2 + 10а + 25
2) (а - 5)2 = а2 - 10а + 25

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 – 2ab + b2
Формулы сокращенного умножения:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 – 2ab + b2
Формулы сокращенного умножения:
(х + 3)2 = х2+2∙х∙3+32
(х - 3)2 = х2-2∙х∙3+32
Если a = х, b = 3, то
Формулы сокращенного умножения:
(х + 3)2 = х2 + 6х + 9
(х - 3)2 = х2 - 6х + 9
Формулы сокращенного умножения:
(7+у)2 = 72 + 2∙7∙у + у2
(7 - у)2 = 72 – 2∙7∙у + у2
Если a = 7, b = у, то
Формулы сокращенного умножения:
(7 + у)2 = 49 + 14у + у2
(7 - у)2 = 49 – 14у + у2


title: Презентация на тему: Формулы сокращенного умножения 2

text:
 Квадрат суммы.
 Квадрат разности.
 Разность квадратов.
 Куб  суммы.
 Куб разности.
 Сумма кубов.
 Разность кубов.
Треугольник Паскаля.
Бином Ньютона.
Формулы сокращенного умножения
Учитель МОУ СОШ№5 г. Пролетарска Ростовской обл. Бельмасова Н.И.
  Квадрат суммы двух чисел равен:
        квадрату первого числа,
        плюс удвоенное произведение
        первого числа  на второе,
         плюс квадрат второго числа.
Формула шутка
(
)
+
2
=
=
+
2
+

Например:

  Квадрат разности двух чисел равен:
        квадрату первого числа,
        минус удвоенное произведение
        первого числа  на второе,
         плюс квадрат второго числа.
Формула шутка

(
)
-
=
=
-
2
+
2

Например:

   Разность квадратов двух чисел равна:
                      произведению
   разности этих чисел на их сумму.
Формула шутка
(
(
)
)
-
-
+
2
2
=
=
.

Например:

Куб суммы двух чисел равен
кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого
числа на второе, плюс утроенное
произведение первого
числа на квадрат второго числа, плюс куб второго числа.

Например:

Куб разности двух чисел равен
кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого
числа на второе плюс утроенное
произведение первого
числа на квадрат второго числа минус куб второго числа.

Например:

Сумма кубов равна
произведению суммы этих чисел
на  неполный квадрат  их разности.

Например:

Разность кубов равна
произведению разности этих чисел
 на  неполный квадрат  их суммы.

Например:

Треугольник Паскаля.

Бином Ньютона.

Методические рекомендации по использованию
данной презентации
Четные слайды с теоретической информацией предназначены для того, чтобы помочь учащимся запомнить формулы сокращенного умножения не только в буквенном виде, но и научить их правильно произносить эти формулы словами, чтобы использовать слуховую память.

Формулы шутки призваны  показать образное изображение этих правил для
       активации зрительной памяти .

3). Нечетные слайды с примерами можно использовать для самостоятельной работы учащихся с последующей самопроверкой,  а можно предложить их для устного озвучивания в виде фронтального опроса с места , у доски , для индивидуального опроса.

4). Наличие гиперссылок позволяет попасть в любое место презентации, в режиме показа слайдов.


title: Презентация на тему: Формулы сокращённого умножения

text:
1)  5b3,  7c,  25b6;
9x,  10x2y3,  18x3y3;
7x3,  5y2,  49x6,  25y4;
8c5,  3d3,  64c10,  9d3.
 1)  x4 + 2x2 + 1;
 2)  4y6 - 24y3 + 36;
 3)  16x8 + 8x4q + q2;
  4)  25m6 +40m3n2 + 16n4.
  1)  792;
  2)  212;
  3)  882;
  4)  982.
(80-1)2 =6400-160+1= 6241;
(20+1)2=400+40+1= 441;
(90-2)2=8100-360+4=7744;
(100-2)2=10000-400+4=9604.


Презентация на тему: Формулы сокращенного умножения и их применение при преобразованиях целых выражений


title: Презентация на тему: Формулы сокращенного умножения 5

text:
3.                      =

4. 16a2-9b4=

5. 4ab+a2=

6.                     =

7. c3-121c=
4(x-1)(x+1)
(9-c2)
(2c-1)(2c+1)
(4a+3b)(4a-3b)
E
113
61
c(c-11)(c+11)
1
2
3
4
5
6
7
2+9=11
-2+9=-7
-5-9=-4
5-9=-4
-5+5=0
5-29=-34
-5*9= -45
-35:7=-5
5:10=2
1
2
3


title: Презентация на тему: Формулы сокращенного умножения. Представление выражения в виде многочлена

text:
(a±b)2=a2+b2±2ab
(a-b)(a+b)= a2-b2
(x-y)(x2+y2+xy)=
(x+y)(x2+y2-xy)=
=x3-y3
=x3+y3
x2+  *  +2xy
(x + * )2=
(   *   - k)2=
 4d2+k2-  *
(x +   *    )(x -  *   )=
x2-144
(  *  +4y)(  *  -4y)=
c4- *
(  * - b)(9+b2+3b)=
 *  -b3
(x + * )(x- * )=
x2-25
(a-  *  )(a2+4+2a)=
a3- *
y
y2
2d
4dk
12
12
3
27
5
5
c2
c2
16y2
2
8
x3 -1 =0
x3 =1
x =1
(4 +4 )2 =64
(2x+1)2-(x-5)(x+5).
(3a-2)(3a+2)+(2a-3)2.


title: Презентация на тему: Формулы сокращенного умножения (Сумма и разность кубов)

text:
x2+y2+2xy
c2d2+k2-2cdk
4a2+9b2+12ab
x2+y2+xy
c2d2+k2-cdk
4a2+9b2+ab.
(x-y)(x2+y2+xy)=
(x+y)(x2+y2-xy)=
=x3-y3
=x3+y3
(0,2a+0,5b)(0,04a2+0,25b2-0,1ab)=
(25f4+4z2+10f2z)(5f2-2z)=
(c2-1/2y)(c4+1/2y2+c2y)=
(cd+k)(c2d2+k2-cdk)=
(a-b)(a2+b2+ab)=
(3+12y3)(9+144y6+36y3)=
(4/9x10+36x2 +8x6)(2/3x5-6x)=
a3-b3
(c2)3-(1/2y)3=c6-1/8y3
(5f2)3-(2z)3=125f6-8z3
=(0,2a)3+(0,5b)3=0,008a3+0,125b3


text:
+
_
+
_
=
+
(
3
(
3
_
2
2
+
(
(

+
_
+
_
=
+
(
3
(
3
_
2
2
+
(
(

+
_
+
_
=
+
(
3
(
3
_
2
2
+
(
(

+
_
+
_
=
+
(
3
(
3
_
2
2
+
(
(

+
_
+
_
=
+
(
3
(
3
_
2
2
+
(
(

+
_
+
_
=
+
(
3
(
3
_
2
2
+
(
(

2
_
2
=
_
(
)
(
)
+

2
_
2
=
_
(
)
(
)
+

2
_
2
=
_
(
)
(
)
+

2
_
2
=
_
(
)
(
)
+

2
_
2
=
_
(
)
(
)
+

=
+
(
2
+
(
+
2
2
2
_
_

=
+
(
2
+
(
+
2
2
2
_
_

=
+
(
2
+
(
+
2
2
2
_
_

2
_
2
=
_
(
)
(
)
+

2
_
2
=
_
(
)
(
)
+

2
_
2
=
_
(
)
(
)
+

2
_
2
=
_
(
)
(
)
+

2
_
2
=
_
(
)
(
)
+
1)  48·52=
3)  43·37=

2
_
2
=
_
(
)
(
)
+
1)47·33=
3)84·76=

2
_
2
=
_
(
)
(
)
+

2
_
2
=
_
(
)
(
)
+

2
_
2
=
_
(
)
(
)
+

2
_
2
=
_
(
)
(
)
+

2
_
2
=
_
(
)
(
)
+

2
_
2
=
_
(
)
(
)
+

2
_
2
=
_
(
)
(
)
+

2
_
2
=
_
(
)
(
)
+

2
_
2
=
_
(
)
(
)
+

2
_
2
=
_
(
)
(
)
+

2
_
2
=
_
(
)
(
)
+

=
+
(
2
+
(
+
2
2
2
_
_

=
+
(
2
+
(
+
2
2
2
_
_

=
+
(
2
+
(
+
2
2
2
_
_

=
+
(
2
+
(
+
2
2
2
_
_

=
+
(
2
+
(
+
2
2
2
_
_

=
+
(
2
+
(
+
2
2
2
_
_

=
+
(
2
+
(
+
2
2
2
_
_

=
+
(
2
+
(
+
2
2
2
_
_


text:
2006

41 2
  322  ;
492  ;
                            1992.


Презентация на тему: Формулы суммы и разности синуса и косинуса


title: Презентация на тему: ФОРМУЛЫ СОКРАЩЁННОГО УМНОЖЕНИЯ (7 КЛАСС)

text:
1

2

3

4

5
1
2
3
4


title: Презентация на тему: Формулы сокращенного умножения к преобразованию выражений

text:
6
3
2
3
1
3
4
7
8
5
,
,


title: Презентация на тему: Формулы сокращенного умножения 6

text:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 - 20
1 1 - 21
1 2 1 - 22
1 3 3 1 - 23
1) 1952
2) 4882


Презентация на тему: Фракталы


text:
(a-c)2= a2-2ab+b2
a3+b3=
(a+b)( a2+2ab+b2)
a2-b2=(a-b)(a-b)
a3-b3=
(a-b)( a2+ab+b2)
(a-c)2= a2-2ac+c2
a3+b3=
(a+b)( a2-ab+b2)
a2-b2=(a-b)(a+b)

a
2m

3b

0,4 y

x2,  y2

x3,  64

4725


Презентация на тему: Формы и методы подготовки к ЕГЭ на уроках математики


title: Презентация на тему: Формы контроля на уроках математики

text:
1

10-12

2
3
4

7-9
5
4-6
6
1-3

1-3

4-6

7-9

10-12
7-9
3
10-12
4
4-6
2
         1-3
1


Презентация на тему: Фрактал


Презентация на тему: Франсуа Виет


title: Презентация на тему: Франсуа Виет и его теорема (8 класс)

text:
-
c  >  0
a  >  0
c  >  0
a  >  0
c  <  0
a  >  0
c  <  0
a  >  0


text:
(a+b)2=(a 2 +2ab + b 2)
(a-b)2=(a 2 - 2ab + b 2)
a2-b2=(a+b)(a-b)

a
S3
b
b
S1
a-b
a-b
S2
a-b
b
S3

9x2-16
4-25n2
16x2-49c4
(9p+4a)(9p-4a)
(5-6b2d)(5+6b2d)
(0,7a3-1)(0,7a3+1)
292-282=(29-28)(29+28)=1·57=57
732-632=(73+63)(73-63)=136·10=1360
1332-1342=(133-134)(133+134)= -1·267= -267


Презентация на тему: Фракталы вокруг нас


Презентация на тему: Фундамент алгебры


title: Презентация на тему: Формулы приведения. 10-й класс

text:
Muokkaa otsikon tekstimuotoa napsauttamalla
Muokkaa jäsennyksen tekstimuotoa napsauttamalla
Toinen jäsennystaso
Kolmas jäsennystaso
Neljäs jäsennystaso
Viides jäsennystaso
Kuudes jäsennystaso
Seitsemäs jäsennystaso
Kahdeksas jäsennystaso
Yhdeksäs jäsennystaso
X
Y


title: Презентация на тему: Формулы 5 класс

text:
v = s : t
?
b = S : a

?
?
?
6
27
480
520
9
23
420
280
74
5
840
4
96
3
94
5
92
720
4
8
130
140
4
240
1
6
27
480
60
520
4
9
23
420
3
280
70
74
5
840
4
96
3
94
5
92
720
4
3
2
8
130
140
4
370
280
24
470
23
240
207
162


Презентация на тему: Функции


title: Презентация на тему: Функции, их свойства и графики

text:
1)
2)
3)
4)
9
7
5
3
1
0
-1
-2
f(x) = 4x 2+5
y
x
0
g(x)
x
y
0
s
1  2
1
0
-1
1
1
y= x2 + 2x
y= - 2 x + 8
35
24
18
10
6
4
2
0
-3
-5
0


title: Презентация на тему: Функции

text:
b
x
y
0
x
y
c
x1
x2
0
x
y
x
y
0
x
y
0
x
y
0
y = kx + b
b
x
y
0
x
y
0
c
x1
x2
y = xn
x
y
0
1
1
0
x
y
y =      , k > 0
k
x
y =      , k < 0
k
x
0
x
y
y =
1
x2
0
x
y
y =
1
x3
x
y
y = ax
a > 1
y = ax
0 < a < 1
1
0
y = loga x
a > 1
x
y
y = loga x
0 < a < 1
1
0
y = sin x
x
y
0
1
-1
y = cos x
0
1
-1
y = ctg x
y = tg x
x
x
y
0
b
y = x2
y = x2 + b
x
y
0
y = x3
a
x
y
1
1
k
0
0
x
y
1
1
y = x2
y = (mx)2
y = |f(x)|
y = f(x)
0
x
y
0
y = kx + b
y = |kx + b|
y = f (|x|)
y = f(x)
0
0
x
y
k
|x|
k
  x
|y| = f(x)
y = f(x)
0
x
y
0
y = kx + b
|y|= kx + b
k
b
y = kx + b
2a
y = xn
k
x
y = x-n
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2


title: Презентация на тему: Функции нескольких переменных

text:
O
   z

             M(x,y,z)                          z = f (x,y)
y
D
P(x,y)
x
y
z
o
.


text:
10
20
30
40
30
40
30
40
10
10
20
20
(-2; 1)
(1; -2)
(-0,5; 2,5)
(0; 2)
?


title: Презентация на тему: Функции помогают уравнениям

text:
X0=-1,
y0=1
X0+y0=0

X0=-1,
Y0=1
X0 +y0=0


title: Презентация на тему: Формулы сокращенного умножения

text:
Урок по теме.
«Формулы сокращенного умножения».

Цель.
Доказать формулы сокращенного умножения геометрическим и аналитическим способом; Уметь применять их при разложении на множители, при решении уравнений и в других нестандартных ситуациях;
Научить распознавать формулы сокращенного умножения в многочленах более сложного вида.
«Исследователи»
Группа исследователей выполняет действие по правилу умножения многочлена на многочлен. Старший научный сотрудник распределяет их между членами группы.

Оппоненты повторяют правило умножения многочлен на многочлен.

1) Из каких фигур состоит данный квадрат?
2) Как можно по другому найти площадь этого квадрата?
Вывод:

Доказать аналитическим способом суммы и куб разности двух выражений.

Итог урока.
Вместо * вставьте пропущенные  выражения.
Уровень

Уровень сложности.

Домашнее задание .
Составьте геометрическую интерпретацию формул:


title: Презентация на тему: Формулы сокращенного умножения. Треугольник Паскаля

text:
Бином Ньютона
Милютина Е.Д., учитель математики МАОУ «ООШ с.Малая Быковка» Балаковского р-на Саратовской области
Бином – двучленБи- означает «два»
Степени бинома
коэффициенты бинома

Коэффициенты бинома
Треугольник Паскаля
коэффициенты бинома
Каждый одночлен с нечетной степенью b имеет знак «минус»


title: Презентация на тему: Функции и их свойства

text:
0
1
1
3
1
0
0
1
3
0
1
4
1
2
2
1
-4
-2
-1
4
-1
-2
-4
0
4
x
1
-2
4
-1
1
0
1
2
0
1
4
0
1
0
0
4
2
9
3
0
1
0
0
0
3
3
-3
-3
y=|x|
1
1
2
1
2
3
3
1
1
>
>
1
1
1
1
1
1
1
1


title: Презентация на тему: Функция 7 класс

text:
100
10
81
9
64
8
49
7
36
6
25
5
16
4
9
3
4
2
1
1
5,75
11
20
27
32
35
35,75
35,96
35,99
36
35,99
35,96
35,75
35
32
27
20
s
11,5
11
10
9
8
7
6,5
6,2
6,1
6
5,9
5,8
5,5
5
4
3
2
x


text:
O
   z

             M(x,y,z)                          z = f (x,y)
y
D
P(x,y)
x
.


title: Презентация на тему: Функции и их графики

text:
5
9
4
3
7
2
8
1
6


title: Презентация на тему: Функция (9 класс)

text:
|x|=
0
|x-3|-1=x3
y=|x-3|-1
y=x3
0
x
1
4
y=|x|-2
y=
0
x
y
1
4
0
x
1
|x+2|+1 =c
y=|x+2|+1
y=c
|x|=|x-3|+4-x
|x|=0,|x-3|=0
0
3
-2
-1
x
-3
-2
x
x   [-3;-2]
-1
2
-1
2
0,5
2
-1
2
0


title: Презентация на тему: Функции у=tgх и у=ctgх, их свойства и графики

text:
0
1
3
y
x
1
-1
y
x
1
-1
y
x
1
-1

0
1
3
0
y
x
1
-1


title: Презентация на тему: Функции в образах

text:
y = a x
y = logax


Презентация на тему: Функции в жизни человека


title: Презентация на тему: Функция. График функции

text:
1.
2.
R
1.
2.
3.
4.
2.
3.
1.
4.
3.
2.
1.
4.
3.
2.
1.
5.
5.
5.
8.
8.


title: Презентация на тему: Функция арифметического квадратного корня, её свойства

text:
                      0  1   2   3  4   5   6   7   8   9   10  11  12  13  14  15  16
 1
 2
 3
  0
  0
  1
  1
  4
  2
6,25
2,5
 9
 3
2,25
1,5
                      0  1   2   3  4   5   6   7   8   9
 1
 2
 3
     1   2   3   4   5   6   7   8  9   10 11
0
                                              -1
1
4
 3
7.
0
4.
1.
2.
5.
0
     1   2   3   4   5   6   7   8  9   10 11
0
                                              -2
-1
-4
 -3
  0
  0
  1
  -1
  4
  -2
6,25
-2,5
 9
 -3
2,25
-1,5
     1   2   3   4   5   6   7   8  9   10 11
0
                                              -2
-1
-4
 -3
7.
0
4.
1.
2.
5.
0
    1   2   3   4   5  6   7   8   9
0
                                       -2  -1
 7
 1
 2
 3
 4
 6
 5
-1
-2
 0
 0
  1
  1
  4
  2
     1   2   3   4   5   6   7   8  9   10 11
0
                                              -1
1
4
 3
2
     1   2   3   4   5   6   7   8  9   10 11
0
                                              -1
1
4
 3

                                    0  1  2   3   4   5   6   7   8   9
 3
-4
1
-1
-3

-2
-5
2
4
-6
1
0
 -6
6
0
2
3
0
0
 1
1
 4
 9
2
 3
                                -1     0 1   2  3   4   5   6   7   8   9
  4
6
 3
 2
1
 7
 5
 8
 9
1
(3;0) , (4;1)
(3;0)
0
0
±1
1
±2
±3
4
 9
0
0
1
4
2
1
(4;1)
2
3
f(x)=
f(x)=
 0
 0
  1
  1
  4
  2
 0
 0
  ±1
  2
  ±2
   8
8
4
-3  -2  -1    0  1   2   3  4   5   6
 1
 2
 3
1
0
3
f(x)=
-1
2
-3
4.
1.
2.
5.
0
2
7.
         1        2
-3
-2


text:
S = 70 · 1 = 70
S = 70 · 1,5 = 105
S = 70 · 3 = 210
S = 70 · t
0
2
4
6
8
10
12
14
22
24
16
18
20
2
4
-2
-6
-4
0
1
3
4
6
7
9
50
-80
0
1
3
4
6
7
9
50
-80
v = 25
v = 50
v = 25
v = 0
v = -40
v = -80
0
1
3
4
6
7
9
50
-80
v = 25
v = 50
v = 25
v = 0
v = -40
v = -80
a = 2
a = 3
a = 4
S = a2
S = 4
S = 9
S = 16
2
5
4
3
1
7
10
9
8
6
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
0
0
1.
2.
0
1
3
4
6
7
9
50
-80
1.
2.
3.
4.
1.
2.
3.
1.
2.
1.

2.
3.

y
10
4
1
0
-2
-6
x
-6
-4
-3
-2,5
-1
2
y
3
1
0
-1
-2
-3
x
13
3
-3
-5
-3
13
IV
III
II
I
A (-4; 6)
B (5; -3)
C (2; 0)
D (0; -5)
-1
0
1
2
3
4
x
y
1
0,75
0,6
0,5
3
1,5
1.
3
2
2.
4
4
1.
2.
1.
2.
1.
2.


title: Презентация на тему: Формулы сокращенного умножения. Разложение на множители

text:
Формулы сокращенного умноженияРазложение на множители
Автор:
учитель математики
Комлякова Ксения Геннадьевна
ГБОУ Гимназия №105,
г. Санкт-Петербург
Разложить на множители:
7 + 7ху
5х2 + 9х
3а2х – 2 ах2
14с 5 – 7с 4
5а + 10 ав + 5 в 2

Разложить на множители:
а(х+ у) + 5(х + у)
6х(а – 2к) + (а – 2к)
с(у – 2) – (2 – у)
а(х - у) + а(х + у)
а(х - у) + 5(у - х)
6(а – к) - (к - а)
(у – 1) 2 – (у - 1)х
а(х - у) + а(х + у)

Прочитайте выражения:
а + b

 (а + b)2

  а2 + b2
 х – у

 (х – у)2
 х2 – у2

Найдите квадраты следующих выражений:
   с,
 4р;
 - m;
 5х2у3.

  - 3 ,
 0,6х;
  2в3
Найдите удвоенное         произведение выражений
 3 и 4
с и 6
3х  и  у
2а и 5к
8 и 5в2
ав и – 3в
.

Выполните умножение
(х + 6)(х – 5)
Запишите выражения:
Квадрат суммы  а и в
Квадрат суммы  х и у
Квадрат суммы  m и n

Представьте в виде произведения:
(а+ в)2
(х + у)2
(m + n)2

= (а+ в)(а+ в)
= (х + у)(х + у)
= (m + n)(m + n)

Выполните умножение и приведите подобные слагаемые:
(а+ в)2
(х + у)2
(m + n)2

=  а 2 + 2ав + в2
= х 2 + 2ху + у2
= m 2 + 2mn + n2

Запишите выражения:
Квадрат разности    а и в
Квадрат разности    х и у
Квадрат разности   m и n

Представьте в виде произведения:
(а - в)2
(х - у)2
(m - n)2

= (а - в)(а - в)
= (х - у)(х - у)
= (m - n)(m - n)

Выполните умножение и приведите подобные слагаемые:
=  а 2 – 2ав + в2
= х 2 – 2ху + у2
= m 2 – 2mn + n2

(а - в)2
(х - у)2
(m - n)2

Квадраты суммы и разности
(а + b)2 = a2 + 2ab + b2

(а - b)2 = a2 - 2ab + b2

Задание                                ответ
(с + 11)2                                     с2 + 22с + 121
(7у + 6)2                                   49у2 + 84у + 36
(9 – 8у)2                                    81 – 144у + 64у2
(1/3 х – 3у)2                            1/9 х2 – 2ху + 9у2
(0,3с – 12а)2                        0,09с2 – 7,2ас + 144а2
Прочитайте выражения:
а + b

 (а + b)2

  а2 + b2
 х – у

 (х – у)2
 х2 – у2

 а2 – с2

 ху

 с(а + у)

 х(а – у)

 (а + с)(х - у)

 (а - с)(х + у)

 (к + с)(к - с)

 (х - у)(х + у)

 (а + b)(a - b)

Выполни умножение
(m – n)(m + n)  = m2 – n2
(a – b)(a + b)  = a2 – b2
(x + y)(x - y)  = x2 – y2
(k + c) (k – c) = k2 – c2
(m – p)(p + m)  = m2 – p2
(q + n) (n – q) = n2 – q2

Вычислить:
(10 + 1) 2  = 100 + 20  + 1 = 121
(100 - 1) 2  = 10000  - 200  + 1 =  9 801
 61 2  = (60 + 1) 2  =
199 2 =

Выполните умножение
(3x + 4)(3x - 4) =
(2 - 5n)(5n + 2)=
(с2 + 4x)(4x - c2)=
(9p + 4a)(9p - 4a) =
(5 - 6b2)(5 + 6b2) =
(0,7a3-1)(0,7a3+1) =

Разложение на множители
1… представление многочлена в виде суммы двух или нескольких многочленов
2…представление многочлена в виде произведения двух или нескольких одночленов
3…представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов

Способы разложения на множители
Вынесение общего множителя за скобки
Способ группировки
Формулы сокращенного умножения

Разложить на множители:
4х + 4ху
х2 + 7х
а2х –  2ах2
2с 5 – 6с 4

Разложить на множители:
к(х - у) + 4(х - у)
6(к – 2) + (к – 2)
с(у – 1) – а(1 – у)
а(х - у) + 2(у - х)

Разложить на множители:

Разложить на множители:
m2 – n2 = (m – n)(m + n)
a2 – 9 = (a – 3)(a + 3)
x2 – y2= (x + y)(x - y)
25 – c2 = (5 + c) (5 – c)
4m2 – p2 = (2m – p)(2p + m)
49n2 – 36q2= (7n + 6q) (7n – 6q)

Быстрый  счёт
А я догадался, как можно использовать эту формулу для  быстрых вычислений.
Смотри и учись.
292-282=(29-28)(29+28)=1*57=57
732-632=(73+63)(73-63)=136*10=1360
1332-1342=(133-134)(133+134)= -267

ФОРМУЛА  РАЗНОСТИ  КВАДРАТОВ

=

ФОРМУЛА  РАЗНОСТИ  КВАДРАТОВ

=
=

Решаем примеры:
Представить в виде многочлена:
(x+4)(x-4)=x2-16
( 3-m)(3+m)=9-m2
(8+y)(y-8)=y2-64

Разложить на множители:
с2-25=(с-5)(с+5)
81-p2=(9+p)(9-p)
0,36-y2=(0,6-y)(0,6+y)

Разность квадратов

Проверочная самостоятельная работа.
№1.Преобразуйте в много-
член:
а)(3а+с)² =
б)(у -5)(у +5)=
в)(4в +5с)(5с -4в)=
№2.Разложите на множители:
а)16у² – 25=
б)а² -6ав +9в² =
№3.Решите уравнение:
12-(4- х)² =х(3 – х)


title: Презентация на тему: Функция и её график

text:
1
1)
1
2)
2
1)
2
2)
3
1)
3
1)
1
2
1
2
3
( 1; 3 )
( 2; -6 )
( -12; 4 )
( 5; 0,5 )


title: Презентация на тему: Функция и не функция

text:
 .
   -7
   -1
   -4
  -13
     3
    1
    2
    5
+


title: Презентация на тему: Функция, обратная данной

text:
y
x
o
1 2  3
3
2
1
y=x
y=f
y=g
y=g
y=f
y=f
y=g


title: Презентация на тему: Функции и графики

text:
Функции                 и              графики
Автор  работы: ученица 8 «А»  Усеинова   Алина
Учитель: Усеинова И.Н.
Малая  академия  наук
Графики в жизни
Рис. 1
Рис.2
Линейная функция и прямая                пропорциональность

Обратная  пропорциональность и                             степенная функция

                Еще функции
  Преобразования графиков
   Преобразования графиков
Преобразования графиков
Построение графика функции
Задание 1.
Определим, при каком значении  а  уравнение        | x2- 2x - 3 | = а    имеет ровно три различных действительных корня.

Задание 2.

При каком значении параметра p уравнение         f(x) = p имеет:  а)два корня;   б) три корня;       в) четыре корня;    г) не имеет корней?     Ответ:
а)    Уравнение имеет два корня при  p больше 2 и меньше 8,
          а также при p = 0;
б)    уравнение имеет три корня при  p  больше 0 и меньше 2;
в)    четырех корней нет ни при каких значения параметра;
г)    уравнение не имеет корней при p  больше 8 и при p  меньше -8.

Спасибо
       за
      внимание!


title: Презентация на тему: Формулы в нашей жизни

text:
Формулыв нашейжизни.
Феоктистов Влад 5 «Б»
Не правда ли, нам почти каждый день в жизни приходиться считать, мы постоянно используем знания о величинах, характеризующих протяженности, площади, объемы, промежутки времени и многое другое.
 "У математиков  существуетсвой язык - это формулы"Софья Ковалевская
"Формула - это запись какого- нибудь
 равенства с помощью букв"
(учебник "Математика "
под редакцией Н. Я. Виленкина)

 А ведь с математики
 начинается всё.
 Ребёнок только родился,
а первые цифры в его жизни
уже звучат: рост, вес.
Малыш растет, не может выговорить слова "математика", а уже занимается ею, решает небольшие задачи по подсчету игрушек, кубиков. Да и родители о математике и задачах не забывают. Готовя ребенку пищу, взвешивая его, им приходится использовать математику. Ведь нужно решить элементарные задачи: сколько еды нужно приготовить для малыша, учитывая его вес.
s = v ∙ t
t = s : v
v = s : t

Формула пути.
Формула площади прямоугольника.
S = a ∙ b
а = S : b
b = S : a

Формула периметра прямоугольника.
P = a + a + b + b или
P = 2(a + b)
Формула площади прямоугольника
Формулы периметра прямоугольника
Формула пути
В дальнейшем мы узнаем
еще много новых формул…
Математика  нам  детям необходима  для формирования духовного облика, развития необходимых черт характера, таких как терпение, трудолюбие , способности понимать смысл поставленной перед нами задачи, умение правильно, логично рассуждать. Чтобы человечество развивалось, причем развивалось плодотворно, нужны не только “лучшие умы”, но и свежие идеи. А для этого необходимы креативные люди с необычным мышлением, широким кругозором и гибким умом.
Казалось бы, что после школы математика нигде не пригодится. Увы! Тут приходится использовать математику ещё чаще. Во время учёбы в вузе, на работе и дома нужно постоянно решать задачи, и не только математические. Какова вероятность успешной сдачи экзамена по математике? Сколько денег нужно заработать, чтобы купить квартиру? Сделать  ремонт квартиры? Доход семьи, мой расход ? Каким должен быть объём вашего дома и сколько для этого нужно приобрести кирпича.   И тут на помощь придёт математика. Она следует за человеком везде, помогает ему решать задачи, делает его жизнь намного удобнее.

Спасибо
За
Внимание!!!


title: Презентация на тему: фундаментальное ядро предметной линии математика

text:
                                                                                Математику уже затем учить надо,
что она ум в порядок приводит.
М.В.Ломоносов.
Путешествие
В  Космос
Солнце
ЗЕМЛЯ
МАРС
Станция “Вычисляй-ка”
1.Прочитайте числа в таблице:
2.Сравните: а) 7,186 и 7,2;
б) 0,35 и 0,329; в)24,26 и 25,98.
3.Округлите до: а) 2,06 до десятых;
б) 7,358 до сотых; в) 19,89 до единиц.
4. Вычислите:  а)3,7 + 0,24;   б)2,04 х 8;
                          в)1,6 х 3;         г)2,7 – 0,6;
                          д)0,69 +0;       е)7,1 – 0.

5. Выразите: 5 см в дм; 27 дм2  в  м2.
ЮПИТЕР
Станция –
«Изучай-ка»
ТЕМА УРОКА:
«УМНОЖЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ»
Умножение десятичной дроби на натуральное число
Умножение десятичной дроби на десятичную дробь
,
х

х
,

+

+

2
САТУРН
Станция – «Решай-ка»
 Сколько цифр после запятой должно стоять в произведении чисел?

8,6 и 0,95
24,5793 и 6,401
0,81 и 2,309
0,37 и 102
Вычислите.
4,3 х 3,7;
0,255 х 0,06;
0,89 х 3,9;
2,9 х 0,32;
2,35 х 0,28;
2,7 х 53;
4,6 х 0,009;
6,7 х 8,4
УРАН
Станция – «Отдыхай-ка»
НЕПТУН
Станция – «Закрепляй - ка»

Стороны одного прямоугольника 2,4 см и 4,6 см. Площадь второго прямоугольника в 1,5 раза больше площади первого. Найдите ширину второго прямоугольника, если его длина 6 см.

Решить задачу:
Найти значение выражения:

1) 4(1,3а + 0,6) + 30а + 2
при а = 0,05;
2) 0,3752х + 0,6248х – 0,1
при х = 5,7.
ПЛУТОН
Станция –
«Соображай-ка»
 Критерии:

«5» - все верно;
«4» - 1 ошибка;
«3» - 2 ошибки;
«2» - 3-4 ошибки.
Итог урока
Домашнее задание:

2 – неуверенность;
5 – радость;
7 – удовлетворение;
9 – безразличие.


title: Презентация на тему: Формулы Виета и устное решение квадратных уравнений

text:
Формулы Виета и устное решение квадратных уравнений

Теорема Виета
  Если x1 и x2 –
      корни квадратного уравнения
                                    , то:

Найти корни уравнений
     Будет ли число 1 – корнем уравнений

сделайте вывод о соотношении
    коэффициентов этих уравнений,
найдите другой корень уравнения,
    используя формулы Виета

a + b + c = 0

 a + b + c = 0
      Если квадратное уравнение

           имеет корни и

тогда

Будет ли число  -1 – корнем уравнений

сделайте вывод о соотношении
    коэффициентов этих уравнений;
найдите второй корень уравнения, используя формулы Виета.

а + (-b) + c = 0
 a + (-b) + c = 0
      Если квадратное уравнение

           имеет корни и

тогда

Найти корни уравнений
Решение уравнений
1)

 2)
Решаем сами
    Найти корни уравнения:

Решение:

Ответ:

Решаем сами
По учебному пособию М.П. Галицкого и др.
 № 5.75(а,б); 5.76(а,б); 5.77(а,б); 5.78(а,б).

 Домашнее задание
По учебному пособию М.П. Галицкого и др.
 № 5.75(в, г); 5.76(в, г); 5.77(в, г); 5.78(в ,г).
Придумать квадратные  уравнения, с большими коэффициентами, решаемые устно.
Для сильных учащихся - доказательство утверждений, используемых на уроке.

Список ресурсов:
1) Ю.Н. Миндюк, Н.Г. Миндюк.  Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Под редакцией Г.В. Дорофеева. М. «Просвещение» 1996.
2) М.Л. Галицкий, А.М Гольдман, Л.И. Звавич. Сборник задач по алгебре для 8 – 9 классов. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. М. «Просвещение» 1992.

Список ресурсов:
5) портрет Виета http://www.mathresources.com/products/mathresource/dictionary/thumbs/viete.png


title: Презентация на тему: Функции, их свойства и графики

text:
Государственное бюджетное образовательное учреждениелицей № 1547 г. Москва
Работа выполнена:
Емельяненко Святославом,
(ученик 9 «А» класс)

Руководитель:
учитель математики
 Карпова Светлана Владимировна

2012 год

Функции,их свойства и графики

Темы:
Функция.
Использования функций в физике.
Свойства функций.
Квадратичная функция.
Преобразование графиков функций.

Свойства функций
Возрастание и убывание функций.
Свойства монотонных функций.
Четные и нечетные функции.
Ограниченные и неограниченные функции.
Функция
Функция — математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Можно сказать, что функция это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений

xY
Функция
Использования функций в физике
Пример:
Волновая функция, или пси-функция — комплекснозначная функция, используемая в квантовой механике для описания чистого состояния системы. Является коэффициентом разложения вектора состояния по базису , так же функции используют для  графического показания волновых колебаний звука.

Квадратичная функция
    ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Функцию которую можно задать формулой вида y=ax2+bx+c, где а0 называют квадратичной.

У=х2

Квадратичная функция
При а1 (a0), b=c=0, квадратичная функция имеет вид y=ax2
График – парабола.
Свойства функции:
D(y)=R (симметричное множество).
Функция четная т.к. y(-x) = y(x). Ось симметрии x=0.
Если х=0, то у=0. т.е проходит через начало координат (0,0).
Если х > 0,то у>0; если x<0, то у>0.
Функция возрастает на [0; ∞),
     убывает (- ∞;0].
6. E(y)= [0; ∞).
7. Yнаим=0.
8. Ограничена снизу.

х
у
-6     -5     -4     -3     -2     -1        0   1      2      3      4      5      6
 6
 5
 4
 3
 2
 1

-1
-2
-3
-4
-5
-6
y=ax2

Квадратичная функция
При а1 (a0), b=c=0, квадратичная функция имеет вид y=ax2
График – парабола.
Свойства функции:
D(y)=R (симметричное множество).
Функция четная т.к. y(-x) = y(x). Ось симметрии x=0.
Если х=0, то у=0. т.е проходит через начало координат (0,0).
Если х > 0,то у0; если x<0, то у0.
Функция возрастает на (-∞;0,
     убывает [∞;0).
6. E(y)= (∞;0].
7. Yнаим=0.
8. Ограничена сверху.

х
у
-6     -5     -4     -3     -2     -1        0   1      2      3      4      5      6
 6
 5
 4
 3
 2
 1

-1
-2
-3
-4
-5
-6
y=ax2

Построениеy=ax2+bx+c

m=-b/2a
Преобразование графиков функций
Растяжение и сжатие графиков функций к оси ординат.
Графики функций y=|f(x)| и y=f(|x|).
Возрастание и убывание функций
Функция f называется возрастающей на множестве Х, если для любых двух значений аргумента х1 и х2 множества Х, таких, что Х2>X1, выполняется неравенство f(x2)>f(x1)

Функция f называется убывающей  на множестве Х, если для любых двух значений аргумента х1 и х2 множества Х, таких, что Х2>X1, выполняется неравенство f(x2)<f(x1)

Свойства монотонных функций
Монотонная функция каждое свое значение принимает лишь при одном значении аргумента.
Если функция y=f(x) является возрастающей (убывающей), то функция y=-f(x) является убывающей (возрастающей).
Сумма двух возрастающих функций является возрастающей функцией, а сумма двух убывающих функций является убывающей функцией.
Если обе функции f и g возрастающие или обе убывающие, то функция ф(х)=f(g(x))- возрастающая функция.
Если функция y=f(x) монотонная на множестве Х и сохраняет на этом множестве знак, то функция g(x)=1:f(x) на множестве Х имеет противоположный характер монотонности.
Четные и нечетные функции
      ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Функция f называется четной, если для любого х принадлежит D(f) верно равенство f(-x)=f(x). Функция f называется нечетной, если для любого х принадлежит D(f) верно равенство f(-x)=-f(x).
      График четной функции f симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен    относительно начала координат.

График не четной функции.
График четной функции.

Ограниченные и неограниченные функции
    ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Функция называется ограниченной, если существует два числа а и b такие, что для любого аргумента х и y выполняется неравенство a  f(x)  b.

Ограниченные и неограниченные функции
Функция f ограничена снизу, если для любого х принадлежит D(f) выполняется неравенство f(x)  а, где а - некоторое число.
Функция f ограничена сверху, если для любого х принадлежит D(f) выполняется неравенство f(x)  b, где b - некоторое число.

Функция ограничена снизу.
Функция ограничена сверху.

х
у
-6     -5     -4     -3     -2     -1        0   1      2      3      4      5      6
 6
 5
 4
 3
 2
 1

-1
-2
-3
-4
-5
-6

Х=1
Х=-1
Растяжение и сжатие графиков функций к оси ординат

График функции y = k f (x) при k > 1 можно получить из графика функции y = f (x) растяжением от оси x исходного графика в k раз, а при 0 < k < 1 -  сжатием к оси x графика функции y = f (x) в 1/k раз.

График функции y = f (k x) получается из графика функции y = f (x) сжатием в k раз к оси OY при k > 1 и растяжением в  1/k   раз от оси OY при 0 < k < 1.
При k = 1 исходный и конечный графики совпадают. При k < 0 график не только растягивается (сжимается), но и отражается относительно оси OY.
График функций y=|f(x)|
Построить y=|f(x)|
Оставить без изменений ту часть графика функции y=f(x), где f(x)0,
Вместо участков графика функции y=f(x), где f(x)<0, построить их зеркальное отражение относительно оси х.

График функций y=f(|x|)
Чтобы построить график функции y=f(|x|), если известен график функции y=f(x), нужно оставить на месте ту часть графика функции y=f(x), которая соответствует неотрицательной части области определения функции y=f(x). Отразив эту часть симметрично относительно оси у, получим другую часть графика, соответствующую отрицательной части области определения.

Информация
	Стиль оформления взят с бесплатного интернет ресурса microsoft.com
    Список литературы:
    Ю.Н.Макарычев Алгебра. 9 класс. – Мнемозина, 2010


title: Презентация на тему: Формулы сокращенного умножения 4

text:
ФОРМУЛЫ
СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ
Алгебра 7 класс
Автор:
Алексеева Тамара Юрьевна,
учитель информатики и математики
МБОУ СОШ №1 п. Пурпе
Пуровского района ЯНАО

Основная цель:
   выработать умение применять в несложных случаях формулы сокращённого умножения для преобразования целых выражений в многочлены и для разложения многочленов на множители.

2 из 56

Содержание:
3 из 56

1) Введение.
2) Формула квадрата суммы.
3) Формула квадрата разности.
4) Формула разности квадратов.
5) Самое главное.
6) Ответим на вопросы.
7) Используемая литература.

Вы знаете, что при умножении многочлена на многочлен каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого.
4 из 56

Но в некоторых случаях умножение многочленов можно выполнить короче.
5 из 56

Для этого нужно воспользоваться
Формулами
сокращённого
умножения
6 из 56

КВАДРАТ

СУММЫ
7 из 56

   a            b
 a
b
  a
b
a
b
ПЛОЩАДЬ КВАДРАТА РАВНА  (a + b)2

8 из 56

S1 = a2
S2=ab
S3=ab

S4=b2

ПЛОЩАДЬ КВАДРАТА РАВНА S1+S2+S3+S4

a
b
a
b
b
a
b
a
9 из 56

ПЛОЩАДЬ КВАДРАТА РАВНА S1+S2+S3+S4

S2
S3
S4
S1
 +
+
+

  а2
  ab
  ab
   b2

а2   + 2ab + b2

+
+
+
10 из 56

Выразили одну и ту же площадь двумя способами

 S = (a+b)2
 S = a2 + 2ab + b2

11 из 56

   (a+b)2   = a2 +2ab + b2

ПОЛУЧИЛИ
12 из 56

Полученное тождество
Формулой
квадрата
суммы
   (a+b)2   = a2 +2ab + b2

называется
13 из 56

  Квадрат  суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого на второе, плюс квадрат второго выражения.
(a+b)2   = a2 +2ab + b2
14 из 56

применения формулы квадрата суммы

Пример
Раскройте скобки в выражении
(3x + 4ky)2

15 из 56

применения формулы квадрата суммы

2
 •
•

+
2

+
2

+
2
=
3х
4kу
3x
3x
4kу
4kу
Пример
16 из 56

применения формулы квадрата суммы

= 9x 2 +24xky + 16k2y2

+
2
=
3х
4kу
Пример
17 из 56

Возведем в квадрат сумму 7n + 4m
По формуле квадрата суммы получим:
(7n + 4m)2 =
= (7n)2 + 2  7n  4m + (4m)2 =
= 49n2 + 56nm + 16m2
18 из 56

Раскройте скобки в выражениях
1) (3 + 8р)2
2) ( 6х + 4)2
3) (4,2 + 0,5х)2
4) ( 0,3ху + k)2

19 из 56

Проверьте свои результаты
1) 64р2 + 48р + 9
2) 36х2 + 48х + 16
3) 0,25х2 + 4,2х +17,64
4) 0,09х2у2 + 0,6хуk + k2

20 из 56

КВАДРАТ

РАЗНОСТИ
21 из 56

Возведем в квадрат разностьa - b

(a – b)  =
= (a – b)(a – b) = …

Закончите
преобразование
2
22 из 56

Проверьте результаты преобразований
(a – b) =
= a – 2ab + b
2
2
2
23 из 56

Полученное тождество
Формулой
квадрата
разности
(a – b)2   = a2 – 2ab + b2

называется
24 из 56

 Квадрат  разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого на второе, плюс квадрат второго выражения.
(a - b)2   = a2 - 2ab + b2
25 из 56

применения формулы квадрата разности

Раскройте скобки в выражении
(5pn – 2m)2

Пример
26 из 56

применения формулы квадрата разности

Пример

2
 •
•

2

+
2

2
=
5pn
2m
5pn
 5pn
2m
2m

27 из 56

применения формулы квадрата разности

Пример

= 25p2n2 - 20pnm + 4m2

2
=
5pn
2m

28 из 56

Возведем в квадрат разность 7х – 4у
По формуле квадрата разности получим:
(7х – 4у)2 =
= (7х)2 - 2  7х  4у + (4у)2 =
= 49х2 - 56ху + 16у2
29 из 56

Раскройте скобки в выражениях
1) ( 5х - 3)2
2) (13 - 6р)2
3) (2,3 - 0,4х)2
4) ( 0,6ху - k)2

30 из 56

Проверьте свои результаты
1) 25х2 – 30х + 9
2) 36р2 – 156р + 169
3) 0,16х2 – 1,84х + 5,29
4) 0,36х2у2 – 1,2хуk + k2

31 из 56

РАЗНОСТЬ

КВАДРАТОВ
32 из 56

    b

b
  b
 a - b
  a - b

a

ПЛОЩАДЬ КВАДРАТА со стороной а равна а2, со стороной b – равна b2

33 из 56

S1 = b2
 S2=b(a-b)
  S3=b(a-b)

S4=(a-b)2

b
a - b
b
a - b
a - b
b
Найдем разность
площадей квадратов
34 из 56

S1 = b2
 S2=b(a-b)
  S3=b(a-b)

S4=(a-b)2

a - b
b
a - b
a - b
b
Найдем разность
площадей квадратов
35 из 56

 S2=b(a-b)
  S3=b(a-b)

S4=(a-b)2

a - b
b
a - b
a - b
b
Разность
площадей квадратов
а - b
2
2
а - b
36 из 56

a2 – b2 = S2 + S3 + S4

S2 = b(a – b)
S3 = b(a – b)
S4 = (a – b)2
37 из 56

a2 – b2

S2

S3

S4
+
+
             (a – b)( a + b)

b(a – b) + b(a – b) + (a – b)2

38 из 56

   a2 – b2   = (a – b)(a + b)

ПОЛУЧИЛИ
39 из 56

Полученное тождество
Формулой
разности
квадратов
a2 – b2   = (a – b)(a + b)
называется
40 из 56

 Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.
a2 – b2   = (a – b)(a + b)
41 из 56

применения формулы разности квадратов

Пример
Разложите на множители выражение
25x2 - 4y2

42 из 56

применения формулы разности квадратов

+

2
=
 5х
2у
5x
5x
2у
2у
2

Пример
43 из 56

= (5x – 2у)(5х + 2у)

2
=
5х
2у

2
Пример

применения формулы разности квадратов
44 из 56

Разложите на множители выражение   49n2 - 4m2
По формуле разности квадратов получим:
49n2 - 4m2 =
= (7n)2 - (2m)2 =
= (7n – 2m)(7n + 2m)

45 из 56

Разложите на множители выражения
1) 9 - 16р2
2) 36х2 - 64

46из 56

Проверьте свои результаты
1) (3 – 4p)(3 + 4p)
2) (6x – 8)(6x + 8)

47 из 56

Попробуйте разложить на множители следующее выражение
16х8 – 9

Подсказка :
16х8 = (4х4)2
48 из 56

16х8 – 9=
= (4х4 – 3)(4х4 + 3)
Проверьте свои результаты
49 из 56

Поменяем местами правую и левую части в формуле разности квадратов.
получим:
(a – b)(a + b) = a2 – b2
50 из 56

 Это тождество позволяет сокращенно выполнять умножение разности любых двух выражений на их сумму.

(a – b)(a + b) = a2 – b2
51 из 56

Выполните умножение выражений
(k – c)(k+c)
(4f + 3)(4f – 3)
(5d – 7b)(5d + 7b)
52 из 56

Проверьте результаты умножения
1) k2 – c2
2) 16f 2– 9
3) 25d2– 49b2

53 из 56

Самое главное:
Формула квадрата суммы:
(a+b)2   = a2 +2ab + b2
Формула квадрата разности:
(a - b)2   = a2 - 2ab + b2
Формула разности квадратов:
a2 – b2   = (a – b)(a + b)

54 из 56

Ответим на вопросы:
1) Для чего нужны формулы сокращённого умножения?
2) Сформулируйте формулу квадрата суммы.
3) Запишите формулу квадрата суммы.
4) Сформулируйте формулу квадрата разности.
5) Запишите формулу квадрата разности.
6) Сформулируйте формулу разности квадратов.
7) Запишите формулу разности квадратов.

Домашнее задание:
            Выучить все изученные формулы,
            выполнить задания по карточкам.

55 из 56

Используемая литература:
1)   Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2008.
2)   Учебное издание «Программы общеобразовательных учреждений: Алгебра. 7-9 кл.»/ Сост. Т.А.Бурмистрова. – 2-е изд.– М. Просвещение, 2009.
3)   Мартышова Л.И. Контрольно-измерительные материалы. Алгебра: 7 класс. – М.: ВАКО, 2010.
56 из 56


title: Презентация на тему: Функция у=кх2, ее свойства и график

text:
-2
-1
0
1
2
8
2
0
2
8
-2
-1
0
1
2
2
0,5
0
0,5
2
  1
  -1
 -1
  -5
   -2
   -1
    0
    1
   -4
   -1
    0
   -1


title: Презентация на тему: Функция у=к/х, её свойства и график

text:
                                   -5 -4 -3 -2 -1
 Y
 -4
-1
-6
-3
-2
-5
1
2
3
4
5
6
     1  2  3  4   5  6
0
                                   -5 -4 -3 -2 -1
 X
 Y
 -4
-1
-6
-3
-2
-5
1
2
3
4
5
6
     1  2  3  4   5  6
0
    x
y =
 k
     1   2   3   4        6
0

-1
-2
-3
-4

1
4
3
  2
                  -6       -4  -3  -2  -1
1
2
4
6
4
2
1
-
-
-   -   -   -   -
-   -   -   -   -
//
//
I
II
III
IV
1
0
-1
3.
     1   2   3
1.
2.
5.
7.
                                   -3  -2  -1
0
     1   2   3   4        6
-1
-2
-3
-4
1
4
3
  2
                  -6       -4  -3  -2  -1

1
2
4
6
4
2
1
-
-
-   -   -   -   -
-
-
-
-
-
1
0
-1
3.
     1   2   3
1.
2.
5.
7.
                                   -3  -2  -1
2
                                   -4 -3  -2  -1    0 1   2   3   4
1
2
4
3
-1
-2
-3
-4
2
                                   -4 -3  -2  -1    0 1   2   3   4
1
2
4
3
-1
-2
-3
-4
2
2
                                   -4 -3  -2  -1    0 1   2   3   4
1
2
4
3
-1
-2
-3
-4
2
2
                                   -4 -3  -2  -1    0 1   2   3   4
1
2
4
3
-1
-2
-3
-4
2
2
     1   2   3  4
0
-3
 1
 2
 4
                             -4  -3  -2  -1
 3
-2
1
0
 -2
2
0
2
3
1
3
2
1,5
3
1
-1
-3
 -2
-1,5
 -3
 -1
     1   2   3  4   5
0
                                   -3  -2  -1
 3
-4
1
-1
-3
 5

4
2
-2
-4
1
1
-4
2
-2
4
-1
-1
4
 -2
2
 -4
 1
0
 3
-3
0
2
3
1
1
3
2
1,5
3
-1
1
-3
0
 0
 ±1
 3
2
3
 (1;3)
3
3
-2
-1,5
-3
-1
     -6  -5 -4  -3  -2  -1   0  1  2   3   4   5   6
 3
-4
1
-1
-3
 5

-2
-5
2
4
(1;3)
f(x)=
1
1
0
                                   -3  -2  -1
-4
-1
-4
     1   2   3
4
f(x)=
1
 0
 0
  ±1
  -1
  ±2
   -4
1
1
2
0,5
-1
2
-2
1
-1
-0,5
-2
0,5
-0,5
1
0
4
4
f(x)=
-2
-4
0
     1   2   3
1.
2.
5.
- 4
7.
                                   -3  -2  -1


title: Презентация на тему: Функция. Свойства функций

text:
y =
y =
y =
y =
y =
y = 20
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
---


title: Презентация на тему: Функция у ах2 и ее свойства

text:
1
1
4
9
2
3
-1
1)
-3
-2
-1
0
1
2
3
9
4
1
0
1
4
9
1
1
4
9
2
3
-1
1)
-3
-2
-1
0
1
2
3
9
4
1
0
1
4
9
1. D(y): R
1
1
4
9
2
3
-1
1)
-3
-2
-1
0
1
2
3
9
4
1
0
1
4
9
1. D(y): R
1
1
4
9
2
3
-1
1)
-3
-2
-1
0
1
2
3
9
4
1
0
1
4
9
1. D(y): R
1
1
4
9
2
3
-1
2)
-3
-2
-1
0
1
2
3
18
8
2
0
2
8
18
1
1
4
9
2
3
-1
3)
-3
-2
-1
0
1
2
3
4,5
2
0,5
0
0,5
2
4,5
1
1
-2
2
3
-1
4)
-3
-2
-1
0
1
2
3
-4,5
-2
-0,5
0
-0,5
-2
-4,5
1
1
-2
2
3
-1
4)
-3
-2
-1
0
1
2
3
-4,5
-2
-0,5
0
-0,5
-2
-4,5
1. D(y): R
1
1
4
9
2
3
-1
1
1
4
9
2
3
-1
2
1
1
4
9
3
-1
1
1
4
9
2
3
-1
2
1
1
4
9
3
-1
2
1
1
4
9
3
-1


title: Презентация на тему: Функция у=sin х, ее свойства и график

text:
y
x
1
-1
0
0
y
x
1
-1
0
y
x

1
-1
y
x

1
-1
y
x

1
-1
y
x

-1
1
y
x

1
-1
y
x

1
-1
x
y
-1
1
-2
2
y
x
1
-1
y
x
1
-1
1
-1
0

1
-1
0

y
x

1
-1
x = 0
y
x
1
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
y
x
1
- 1
y
x
1
- 1
1
-1
0
1
-1
0


title: Презентация на тему: ФУНКЦИЯ Y = COS X. ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК

text:
y = cos x + A
y = k · cos x
y = - cos x
y = | cos x |
y = cos ( k · x )
y = cos ( - x )
y = cos | x |
-1
-½
0
½
1
y=cos x
0
x


title: Презентация на тему: Функция y=ax2+bx+c

text:
a
b
c
a
y=x2-4x+5
y=x2-4x+5
y=2x2+2x-1
y=4x2+2x-1
y=7x2+2x-1
y=0.3x2+2x-1
y=0.8x2+2x-1
y=0.5x2+2x-1
y=2x2+2x-1
y=0,8x2+3x+4
y=12x2+x-1
y=4,5x2-4x+9
y=0,2x2-3x+2
y=0,6x2+5x-2


title: Презентация на тему: Функция

text:
Функция
Презентация выполнена учителем математики  МБОУ СОШ № 22
 Татьяной Петровной Лисицыной,
п. Пересыпь,
Темрюкского района,
Краснодарского края
Определение функции.

Функция –
 одно из важнейших
математических понятий

Функцией                      называют такую зависимость переменной у от переменной х,
при которой
каждому значению переменной х соответствует  единственное значение переменной  у
Функция
у

Переменную
x
называют
независимой  переменной ,
     или
    аргументом

Переменную
 у
называют
зависимой переменной

Говорят также,  что
     переменная  у
     является функцией от переменной  х

D(y)  и  E(y) функции

Все значения

независимой переменной
 х
образуют
область
определения функции – D(y)

Все значения ,

 которые принимает

 зависимая переменная
 у
образуют
область значений
функции – E(y)
Найти D(y)  и  E(y) функции:
y = 3x-5

y = -2x/3

y = 3/2x

y = √1-2x

y = 11sin x

y = lg (4x-1)
 x Є R

x Є R
y Є R
y Є R
x Є (-∞;0)U(0; ∞)
x Є (-∞;0,5]
x Є R
x Є (0,25; ∞)
y Є [0; ∞)
y Є [-11; 11]
y Є R
уЄ (-∞;0)U(0; ∞)
Способы задания функций

1.   Аналитический

2.   Графический

3.   Табличный

4.  Описательный

 1.  y=2x-5;

2.

 3.

Функция на [-2; -1]          возрастает,
	на [0; 4] убывает,
	на [-1; 0] равна 5.
График функции

Графиком функции
называют множество всех точек координатной плоскости,
абсциссы которых  равны значениям аргумента,
а ординаты- соответствующим значениям функции.
Определите какие из кривых являются графиками функций

Рис 1
Рис 2
Рис 3
y
x
y
x
y
x
да
да
нет
Свойства функций

1. Чётность:

Свойство графика
Функция называется  чётной если:
D(y) симметрична относительно 0,

для любого х из D(y) выполняется условие   f(x)= f(-x)
График чётной функции
симметричен относительно
оси ординат.
Свойства функций
Нечётность
Свойство графика
Функция называется
нечётной   если
 D(y) симметрична относительно 0,

для любого х из D(y) выполняется условие
  f(-x)= -f(x)

График нечётной функции
симметричен относительно начала координат.

Свойства функций
Монотонность
Свойство графика
Функция возрастает
[или убывает] на промежутке  I, если для любого х Є I выполняется  условие :
при х1>х2     f(х1)>f(х2)

[при х1>х2     f(х1)<f(х2)]

Свойства функций
Знакопостоянство
Свойство графика
Промежутки, на которых функция сохраняет постоянный знак, называются промежутками знакопостоянства

+
                 +
-
    -
 -
Графи к функции
Функция у:

Область определения – D(y)= [ - 4; 8].
Область значений – E(y)= [- 2; 5].
х
у
-2
4
0
3
7

y
D(y)
E(y)
Свойства функций
2. Периодичность
Свойство графика
Функцию f называют
периодической
с периодом Т≠0, если для любого х из области её определения выполняется равенство:

f(x+T)=f(x)=f(x-T)

Т
Т
Т
Область определения-?
Область значений-?
Нули функции-?
Точки пересечения с осями?
Промежутки знакопостоянства?

6. Промежутки возрастания?
7. Промежутки убывания?
8. Наибольшее значение функции?
9.  Наименьшее значение функции?

Использованные материалы:1. Алгебра 9 класс, учебник, авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова.2. Алгебра и начала анализа 10-11 класс, автор: Колмогоров А.Н.


Презентация на тему: Функция y=sinx, ее свойства и график


Презентация на тему: ФУНКЦИЯ Y=SIN X, ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК


title: Презентация на тему: Функция. Свойства функции

text:
4
1
2
5
3
3
-39
8
-2
3
0
-7
1
2
x1
x2
f(x2)
f(x1)
x2
x1
x2
f(x2)
f(x1)


Презентация на тему: Галерея великих


title: Презентация на тему: Функция у=х^2, её свойства и график

text:
1.
=
=
(
)
(
)
=
(
)
2.
=
=
=
1.
2.
1.
2.
3.
1.
2.
3.
4.
5.
1.
2.
3.
6.
1.
2.
3.
4.
7.
8.
8.
8.
8.
8.


title: Презентация на тему: Галактика формул и уравнений

text:
(a + b)2
(t - p)2
a2+ab+b2
a2+2ab+b2
t2-pt+p2

t2+2pt+p2
t2-2pt+p2
(t - p)2
(a + b)2
t2-pt+p2
t2-2pt+p2

t2+2pt+p2
a2+ab+b2
a2+2ab+b2
z2 - 16z + 64
16y2 + 40ay +25a2
z2+16z + 64
40ay -16y2+ 25a2
z2 + 8z + 64
16a2 +40ay +25y2

49y2 + 84y + 36
81 + 90h +25h2
49y2 + 84y2 + 36
812 + 90h -25h2

(3t + 2w )2 = 9t2+ 12t w + 4w2
(e - f )2 = ( f - e)2

(3n + v )2 =  9n2 + 6nv + v2
(3i +7q )2 = 9i2 + 42iq + 49q2
(-d - r )2 = ( d + r)2

10,22

9,92

9,92 = (10 - 0,1)2 = 100 - 2 + 0,01 = 98,01.
10,22 = (10 + 0,2)2 = 100 + 4 + 0,04 = 104,04.


title: Презентация на тему: Функция y=x²

text:
y=x²
y
x
0
4
1
-1
1
2
-2
x
y
0
a
y=x²+a
x
y
0
a
y=x²+a
y
x
0
a
y
x
0
a
y=(x+a)²
y
0
x
-3
-2
1
y
x
0
4
1
1
1
2
-2
1/
2
-1/
2
y=(2x)²
0
4
1
-1
1
2
-2
-4
4
y
x
y=(1|2x)²
0
4
1
-1
1
2
-2
0,5
2
x
y
y=(1|2x)²
0
4
1
-1
1
2
-2
2
8
y=2(x² )
y= x²
y
0
x
-3
-2
1
y
0
x
-3
-2
1
y
0
x
-3
-2
1
y
0
x
-3
-2
1
y
0
x
-3
-2
1
y
0
x
-3
-2
1
 2
y
0
x
-1
-2
1
 2
y
0
x
-3
-2
1
y
0
x
-3
-2
1
-1


title: Презентация на тему: Функции у=sin x и y = cos x и их графики

text:
Функции у=sin x и y = cos x и их графики
(сопровождающая презентация к уроку)
КОРПУСОВА  ТАТЬЯНА СЕРГЕЕВНА
учитель математики МБОУ ЛСОШ № 2
им. Н.Ф.Струченкова Брянская обл.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
  Числовые функции, заданные формулами
у=sin x и y = cos x, называют соответственно синусом и косинусом.
10.11.2013
КОРПУСОВА Т.С.
Функция  y=sin x, график и свойства.

10.11.2013
КОРПУСОВА Т.С.

Синусоида

                                                       у

                                                       1
                                     -π/2                                          π                         2π                           3π               х
            -3π/2        -π                             0          π/2                       3π/2                        5π/2
                                                      -1

10.11.2013
КОРПУСОВА Т.С.

у = sin(x+a)
                                                 ПРИМЕР
                                                             y

                                                            1

                                                            -1
                                                                                π                           2π
                           - π

10.11.2013
КОРПУСОВА Т.С.

у = sin x + a
  1) y = sin x + 1;

                                                              y

                                                             1                                                                                x

                            -π                             0                          π                            2π                                     x

                                                              -1                                                                                x

2) y = sin x - 1

10.11.2013
КОРПУСОВА Т.С.

Построение графиков y=sin(x+m)+l

                                          y
                                        1
                            -π                             0                           π                          2π                           3π            x

                                                            -1

10.11.2013
КОРПУСОВА Т.С.

Функция y = cos x, её свойства и график.

10.11.2013
КОРПУСОВА Т.С.

y = cos x

                                                       у

                                                       1
                                    -π/2                                          π                          2π                          3π               х
                               -π                            0         π/2                      3π/2                        5π/2
                                                      -1

График функции у=cos x      получен при смещении синусоиды влево на π/2

10.11.2013
КОРПУСОВА Т.С.

Построение графиков  y = cos(x+m)+l
           1)y =- cos x;
                                                                        y
                                                                2   y                                                            x

                                                                 0                                                                x
                                                                 -1

2)y=cos(x-π/4)+2
10.11.2013
КОРПУСОВА Т.С.

Построение графиков  y=k · sin x

                                                    y  2,5

                                                      1
                                                                                x
                                                     -1

                                                                                -2,5

10.11.2013
КОРПУСОВА Т.С.

Нахождение периода тригонометрических функций
   Если y=f(x) периодическая и имеет наименьший положительный период Т₁, то функция
     y=A· f(kx+b), где А, k и b постоянные, а k ≠ 0 , также периодична с периодом

Примеры:

10.11.2013
КОРПУСОВА Т.С.

1)  y=sin6x +2,  Т₁=2π

T₁=2π

 Построение графиков периодических функций
10.11.2013
КОРПУСОВА Т.С.

y
x
1
1
1)T=4
2)T=4
Дана функция у= f(x). Построить её график, если известен период.
3)T=3
. Построить график функции: y=2cos(2x-π/3)-0,5 и найти область определения и область значений функции

10.11.2013
КОРПУСОВА Т.С.
T=π
               Литература
Умк Алгебра и начала анализа 10-11 класс, А. Г. Мордкович – М., МНЕМОЗИНА,2011г.
Умк Алгебра и начала анализа 10-11 класс с приложением на CD, А. Н. Колмогоров – М., ПРОСВЕЩЕНИЕ, 2011г.
10.11.2013
КОРПУСОВА Т.С.


title: Презентация на тему: Функция y=sin x, ее свойства и график

text:
y
x
1
-1
0
0
y
x
1
-1
sin
=
x
y
y
x

1
-1
y
x

1
-1
y
x

1
-1
y
x

-1
1
y
x

1
-1
y
x

1
-1
y
x
1
-1
y
x
1
-1
y
x

1
-1
x = 0


title: Презентация на тему: Функция y=kx

text:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
A1
1)
2)
3)
4)
5)
6)
4)
1)
2)
3)
4)
5)
6)
0
1
1
A(4;1)
0
1
1
B(3;1)
1
2
3
4
6
12
-3
-6
0
1
1
1
0
1
1
2
0
1
1
2
1
0
1
1
A(4;1)
B(-1;4)
0
1
1
8
4
2
2
4
8
-2
-4
-8
-2
-4
-8
1

2

3

4


Презентация на тему: Гендерная статистика ЕГЭ по техническим предметам


Презентация на тему: География и геометрия моего города


title: Презентация на тему: Галерея великих математиков

text:
http://biographera.net/biography.php?id=50
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/PictDisplay/Euclid.html


Презентация на тему: Геометрическая невозможность


title: Презентация на тему: Функция у=ах^2, её свойства и график

text:
0
0
1
1
2
4
3
9
-1
1
-2
4
-3
9
     1   2   3
0
                                   -3  -2  -1
1
9
4
  -3  -2  -1  0    1    2   3
y = 2x2
- 2
-1
 0
 1
 2
8
2
0
2
8
  4
6
 3
 2
1
 7
 5
 8
 9
y = 0,5x2
- 3
- 2
-1
 0
 1
 2
 3
4,5
2
0,5
0
0,5
2
4,5
  -3  -2  -1  0    1    2   3
  4
6
 3
 2
1
 7
 5
 8
 9
y = kx2
0 < k <1
y = kx2
k > 1
7.
                                   -3  -2  -1
1
0
2
6
-1
4
0
     1   2   3
1.
2.
5.
0
8
  -3  -2  -1  0    1    2   3
  4
6
 3
 2
1
 7
 5
 8
 9
1)  0
2)  1
3)  -1
4)  2
4)  -1,5
     1   2   3
0
                                   -3  -2  -1
1
8
4
     1   2   3
0
                                   -3  -2  -1
1
8
4
2
     1   2   3
0
                                   -3  -2  -1
1
8
4,5
2
3
     1   2   3
                                   -3  -2  -1
-1
0
0
1
-1
2
-4
3
-9
-1
-1
-2
-4
-3
-9
0
-9
-4
  -3  -2  -1  0    1    2   3
  -6
-4
 -7
 -8
-9
 -3
 -5
 -2
 -1
y = -2x2
- 2
-1
 0
 1
 2
-8
-2
0
-2
-8
y = -0,5x2
- 3
- 2
-1
 0
 1
 2
 3
-4,5
-2
-0,5
0
-0,5
-2
-4,5
7.
                                   -3  -2  -1
0
-6
-2
-8
-4
0
     1   2   3
1.
2.
5.
0
     1   2   3  4
0
                                   -4  -3  -2  -1
-8
-1
-4
-2
-6
     1   2   3  4
0
                                   -4  -3  -2  -1
-8
-1
-4
-2
-6
     1   2   3  4
0
                                   -4  -3  -2  -1
-8
-1
-4
-2
-6
     1   2   3  4
0
                                   -4  -3  -2  -1
-8
-1
-4
-2
-6
    1   2   3   4
0
                            -4  -3  -2  -1
1
4
9
3
2
8
6
1
0
0
±1
0,5
±2
±4
2
 8
0
 4
-4
0
2
3
1
0
0
±1
-3
±2
-12
     1   2   3  4   5
0
                                   -3  -2  -1
-9
-1
-4
-5
-12
-3
-6
0
 -6
2
0
2
1
-2
3
     1   2   3
0
                  -6             -3  -2  -1
-1
-4
-5
-8
  3
-2
1
0
0
±1
-0,5
±2
-2
0
  3
-6
0
2
3
1
0
0
±1
-1
±2
±3
-4
-9
0
 -3
 2
 1
     1   2   3
                                   -3  -2  -1
-1
0
-9
-4
-3
2
(1;-1)
(-3;-9)
3
 (1;-1),
 (-3;-9)
f(x)=
f(x)=
6
4
-3  -2  -1     0 1   2   3   4   5   6
 1
 2
 3
5
8
 0
 0
  ±1
  2
  ±2
   8
 1
 2
  6
  2
         1        2        3       4        5
1
0
3
f(x)=
-1
2
1.
2.
5.
0
2
7.
  -1
0
     1   2   3
0
                                   -3  -2  -1
1
9
4
3


Презентация на тему: Геометрическая мозаика


title: Презентация на тему: Геометрические фигуры

text:
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level

___________________


title: Презентация на тему: Формулы сокращенного умножения 3

text:
http://video.mail.ru/mail/ded-ka/45545/1331.html
http://video.mail.ru/mail/ded-ka/45545/16399.html
4
p
3a
2k
m2
2b
1
1
3k
a2
+
+
+
-
-
-
-
-
-
+
+
+
7


title: Презентация на тему: Геометрическая прогрессия

text:
1287
,

1292

1297

1301

1307

1313

1317

1322

1328


title: Презентация на тему: Гарфилд изучает дроби

text:
< 1
> 1
<
<


Презентация на тему: Геометрические фигуры вокруг нас


Презентация на тему: Геометрические паркеты (9 класс)


Презентация на тему: Геометрические паркеты


Презентация на тему: Геометрические построения в школьном курсе математики


Презентация на тему: Геометрические построения с помощью циркуля и линейки


title: Презентация на тему: Функция. Область определения и множество значений.

text:
Тема: Функция. Область определения и множество значений функции.

Цели :
 Повторение основных сведений о функции, полученных в 7-8 кл.
 Формирование понятий области определения и множества значений функции.
 Развитие навыков работы графиками функций.

Понятие функции

Х
У
Х
У

f(x)
х – независимая переменная, аргумент
у – зависимая переменная, результат, функция.

Способы задания функции:
1. Словесный.
2. Табличный.
3. Графический

4. Формулой
у=2х+3
Область определения функции
Областью определения функции называют множество всех значений, которые может принимать ее аргумент (х) D(х)

9
(0

Все действительные числа
Все действительные числа
Х+1≠0  ⇒ Х≠-1
2х-6≥0 ⇒ 2х≥6 ⇒ х≥3
Множество значений функции
Множеством значений функции называют множество всех значений которые может принимать переменная у Е(у)
Все действительные числа
у≥0
у≠0
у≥0

у=х-2
у=|х|

Решение задач
№ 157
у(-2)=-1,
у(0) =-5
у(1/2)=-11
у(3)=4
Домашнее задание
§ 12
№ 156, 159
Дополнительно
№ 163(1,2.3)


title: Презентация на тему: Функціонування творчого об´єднання учнів

text:
Функціонування творчого об´єднання учнів”Пошук”
Творче об’єднання  учнів «Пошук» Васильківського навчально-виховного комплексу № 1 ім.М.М.Коцюбинського  створене на підставі наказу  директора НВК №1 від 05.09.2014 № 72 «Про організацію методичної роботи у 2014-2015 н.р»
 Головною метою ТОУ є:
    задоволення потреб здібних і обдарованих дітей у додатковій позашкільній освіті, поглиблене вивчення окремих предметів, вироблення навичок науково-дослідницької роботи.
Головні завдання ТОУ:
створення сприятливих умов для самовираження та вдосконалення особистості учнів;
 залучення висококваліфікованих педагогічних працівників, спеціалістів до активної роботи з творчо - обдарованою молоддю у науковій, пошуковій, дослідницькій, конструкторській та експериментальній діяльності;
 активізація позакласної роботи з додаткової освіти та профорієнтації дітей і підлітків;
 забезпечення матеріальної та моральної підтримки наукової діяльності учнів.

Структура діяльності  творчого об’єднання  учнів «Пошук»

Секції ТОУ:
 «Сігма » (математика,фізика );
 « Еллада » (історія,географія,право);
 « Дивослово » (українська,російська та       іноземна мови та література );
 « Аква » (хімія,біологія,екологія),
« Ліра » ( музичне і образотворче мистецтво,трудове навчання)
«  Олімп »( фізична культура,ОБЖ)

Напрями роботи творчого об’єднання  учнів :
 лекторське бюро (підготовка популярних лекцій);
 теоретичний відділ (поглиблення знань учнів);
 бюро наукової інформації (систематичне ознайомлення з новинами світу науки та літератури);
 бібліографічний відділ (пропаганда серед учнів науково-популярної та науково-технічної літератури).
участь в предметних олімпіадах та предметних тижнях
лекції за участі науковців та громадських діячів
учнівські семінари та учнівські лабораторії
конкурси-виставки творчих робіт

Форми реалізації науково-дослідницької діяльності в ТОУ «Пошук»

Картка  по роботі з обдарованим учнем

Прізвище, ім'я, по батькові учня _____________________________

Дата народження___ ________________________________________

Вчитель___________ ________________________________________

Тип обдарованості________________ __________________________

Тема творчого  завдання ___________________________________
       Етапи  науково-дослідницької  діяльності по опрацюванню теми творчого завдання      _____________________________________________________

       Наставник____ _____________________________________________

Здібності учня________________ ______________________________

Розвиток здібностей _________________________________________

Участь у загальношкільних,обласних і регіональних освітніх заходах_____________________________________________________

Відомості про досягнення учня__________________________________

Відомості про додаткові заняття________________________________

Тема лекції для виступу на ТОУ«Пошук»__________________________

Резерв учнів  ТОУ«Пошук»_____________________________________


text:
Тест по математике1 класс
Тема: « Геометрические фигуры»
1. Выбери фигуру, у которой 3 вершины и 3 стороны.

A

B

C

2. Выбери пятиугольник

A

B

C

D

3. Какая фигура составлена из кривых линий?

A

B

C

4. Выбери отрезок.

A

B

C

D

5. Найди ломаную.

A

B

C

D

6. Сколько точек пересечения имеют линии

A    1

B     2

C     3

7. Какая фигура лишняя?

A

B

C

8. Найди незамкнутую ломаную.

A

B

C

9. Выбери вариант, в котором фигуры соединены в следующем порядке:
Круг – треугольник – квадрат.

A

B

C

10. Сколько треугольников в фигуре?

A      8
B      6
C      4


title: Презентация на тему: Гэксаедр

text:
Подготовили:ученики 11 классаДрагунов Игорь и Франк Татьяна
Икосаэдр — правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник, один из тел Платона.
Все 20 граней являются равносторонними треугольниками. количество ребер
соответствует 30, количество вершин — 12. Икосаэдр состоит из 59
звёздчатых форм.

Все 12 вершин икосаэдра являются вершинами 5 равносторонних
Треугольников, значит, сумма углов у вершины = 300°.
У икосаэдра 30 ребер. Как и у всех правильных многогранников ребра икосаэдра имеют равную длину,
а грани - равную площадь.

У икосаэдра, как и додекаэдра, 15 осей симметрии, все проходят черезсередины противолежащих параллельных ребер. Точка пересечения этихосей икосаэдра – это и есть его центр симметрии.
Так же как и у додекаэдра, у икосаэдра 15 плоскостей симметрии.
Плоскости симметрии проходят через четыре вершины, которые лежат в
одной плоскости, и середины противоположных параллельных ребер.

Пусть длина ребра икосаэдра будет а тогда: Сумма длин всех ребер: P = 30a                    Площадь икосаэдра:  Объем икосаэдра:  Радиус вписанной в икосаэдр сферы:  Радиус описанной вокруг икосаэдра сферы:
Свойства икосаэдра.  1.  Каждая из 12 вершин икосаэдра лежит по 3 в 4-х параллельных плоскостях, образуя       во всехплоскостях правильный треугольник.    2. 10 вершин икосаэдра находятся в 2-х параллельных плоскостях, и образуют в них 2   правильных  5-ти угольника, а оставшиеся 2 — противоположны друг другу и находятся в 2-х    концах диаметра описанной вокруг икосаэдра сферы, который перпендикулярен параллельным   плоскостям.   3.  Икосаэдр возможно вписать в куб, тогда 6 взаимо-перпендикулярных ребер икосаэдра будутнаходиться соответственно на 6-ти гранях куба, оставшиеся 24 ребра находятся внутри куба, все 12вершин икосаэдра будут находиться на ше6-ти гранях куба.   4. В икосаэдр можно вписать тетраэдр, таким образом, чтобы 4 вершины тетраэдра станутсовмещены с 4-мя вершинами икосаэдра.   5. Икосаэдр возможно вписать в додекаэдр, тогда вершины икосаэдра совместятся с центрамиграней додекаэдра.
В икосаэдр возможно вписать додекаэдр с совмещением вершин додекаэдра и центров гранейикосаэдра.Усечённый икосаэдр можно получить, срезав 12 вершин с образованием граней вида правильных5-ти угольников. Тогда количество вершин нового многогранника увеличится в 5 раз (12×5=60), 20треугольных граней становятся правильными шестиугольниками (количество гранейтеперь 20+12=32), а рёбер - 30+12×5=90.Сделать икосаэдра можно из 20 тетраэдров.Нельзя сделать икосаэдр из правильных тетраэдров, потому что радиус описанной сферы вокругикосаэдра и длина бокового ребра (вершины-центр такой сборки) тетраэдра меньше ребра икосаэдра.
Усечённый икосаэдр — это многогранник, который состоит из 12 правильных 5-ти угольников и 20
правильных 6-ти угольников. У усеченного икосаэдра икосаэдрический тип симметрии.

Примеры икосаэдров в мире:
Обычный футбольный мяч является усечённым икосаэдром(рис 1)
Капсиды большинства вирусов (например, бактериофаги, мимивирус(рис2)).

Молекула фуллерена C6О — усечённый икосаэдр


text:
ЕВКЛИД
(ок. 365 — 300 до н. э.)
Галерея великих математиков
Подготовила учитель математики
МОУ СОШ №36 г. Калининграда
Ковальчук Лариса Леонидовна
Prezentacii.com
О жизни этого ученого почти ничего не известно. До нас дошли только отдельные легенды о нем. Первый комментатор «Начал» Прокл (V век нашей эры) не мог указать, где и когда родился и умер Евклид. По Проклу, «этот ученый муж» жил в эпоху царствования Птолемея I. Некоторые биографические данные сохранились на страницах арабской рукописи XII века: «Евклид, сын Наукрата, известный под именем «Геометра», ученый старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира».
Одна из легенд рассказывает, что царь Птолемей решил изучить геометрию. Но оказалось, что сделать это не так-то просто. Тогда он призвал Евклида и попросил указать ему легкий путь к математике. «К геометрии нет царской дороги», — ответил ему ученый. Так в виде легенды дошло до нас это ставшее крылатым выражение.
Царь Птолемей I, чтобы возвеличить свое государство, привлекал в страну ученых и поэтов, создав для них храм муз — Мусейон. Здесь были залы для занятий, ботанический и зоологический сады, астрономический кабинет, астрономическая башня, комнаты для уединенной работы и главное — великолепная библиотека. В числе приглашенных ученых оказался и Евклид, который основал в Александрии — столице Египта — математическую школу и написал для ее учеников свой фундаментальный труд.
Именно в Александрии Евклид основывает математическую школу и пишет большой труд по геометрии, объединенный под общим названием «Начала» — главный труд своей жизни. Полагают, что он был написан около 325 года до нашей эры.

Предшественники Евклида — Фалес, Пифагор, Аристотель и другие много сделали для развития геометрии. Но все это были отдельные фрагменты, а не единая логическая схема.
Как современников, так и последователей Евклида привлекала систематичность и логичность изложенных сведений. «Начала» состоят из тринадцати книг, построенных по единой логической схеме. Каждая из тринадцати книг начинается определением понятий (точка, линия, плоскость, фигура и т. д.), которые в ней используются, а затем на основе небольшого числа основных положений (5 аксиом и 5 постулатов), принимаемых без доказательства, строится вся система геометрии.

В то время развитие науки и не предполагало наличия методов практической математики. Книги I—IV охватывали геометрию, их содержание восходило к трудам пифагорейской школы. В книге V разрабатывалось учение о пропорциях, которое примыкало к Евдоксу Книдскому. В книгах VII—IX содержалось учение о числах, представляющее разработки пифагорейских первоисточников. В книгах Х—ХІІ содержатся определения площадей в плоскости и пространстве (стереометрия), теория иррациональности (особенно в Х книге); в XIII книге помещены исследования правильных тел, восходящие к Теэтету.

Рафаэль Санти, Евклид,  деталь
1508-11, фреска "Афинская школа"
Станц делла Сеньятура, Ватикан, Рим, Италия
«Начала» Евклида представляют собой изложение той геометрии, которая известна и поныне под названием евклидовой геометрии. Она описывает метрические свойства пространства, которое современная наука называет евклидовым пространством. Евклидово пространство является ареной физических явлений классической физики, основы которой были заложены Галилеем и Ньютоном. Это пространство пустое, безграничное, изотропное, имеющее три измерения. Евклид придал математическую определенность атомистической идее пустого пространства, в котором движутся атомы. Простейшим геометрическим объектом у Евклида является точка, которую он определяет как то, что не имеет частей. Другими словами, точка — это неделимый атом пространства.

Бесконечность пространства характеризуется тремя постулатами:

«От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию».
«Ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой».
«Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг».
Учение о параллельных и знаменитый пятый постулат («Если прямая,падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых») определяют свойства евклидова пространства и его геометрию, отличную от неевклидовых геометрий.

Обычно о «Началах» говорят, что после Библии это самый популярный написанный памятник древности. Книга имеет свою, весьма примечательную историю. В течение двух тысяч лет она являлась настольной книгой школьников, использовалась как начальный курс геометрии. «Начала» пользовались исключительной популярностью, и с них было снято множество копий трудолюбивыми писцами в разных городах и странах. Позднее «Начала» с папируса перешли на пергамент, а затем на бумагу.На протяжении четырех столетий «Начала» публиковались 2500 раз: в среднем выходило ежегодно 6—7 изданий. До XX века книга считалась основным учебником по геометрии не только для школ, но и для университетов.

«Начала» Евклида были основательно изучены арабами, а позднее европейскими учеными. Они были переведены на основные мировые языки. Первые подлинники были напечатаны в 1533 году в Базеле Любопытно, что первый перевод на английский язык, относящийся к 1570 году,был сделан Генри Биллингвеем, лондонским купцом Евклиду принадлежат частично сохранившиеся, частично реконструированные в дальнейшем математические сочинения Именно он ввел алгоритм для получения наибольшего общего делителя двух произвольно взятых натуральных чисел и алгоритм, названный «счетом Эратосфена», —для нахождения простых чисел от данного числа.

Евклид заложил основы геометрической оптики, изложенные им в сочинениях «Оптика» и «Катоптрика». Основное понятие геометрической оптики — прямолинейный световой луч. Евклид утверждал, что световой луч исходит из глаза (теория зрительных лучей), что для геометрических построений не имеет существенного значения. Он знает закон отражения и фокусирующее действие вогнутого сферического зеркала, хотя точного положения фокуса определить еще не может Во всяком случае в истории физики имя Евклида как основателя геометрической оптики заняло надлежащее место.
У Евклида мы встречаем также описание монохорда — однострунного прибора для определения высоты тона струны и ее частей. Полагают, что монохорд придумал Пифагор, а Евклид только описал его («Деление канона», III век до нашей эры). Евклид со свойственной ему страстью занялся числительной системой интервальных соотношений. Изобретение монохорда имело значение для развития музыки. Постепенно вместо одной струны стали использоваться две или три. Так было положено начало созданию клавишных инструментов, сначала клавесина, потом пианино, А первопричиной появления этихмузыкальных инструментов стала математика.

Конечно, все особенности евклидова пространства были открыты не сразу, а в результате многовековой работы научной мысли, но отправным пунктом этой работы послужили «Начала» Евклида. Знание основ евклидовой геометрии является ныне необходимым элементом общего образования во всем мире.
http://biographera.net/biography.php?id=50
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/PictDisplay/Euclid.html

Источники информации:


text:
Фестиваль педагогических идей «Открытый урок»Конкурс «Презентация к уроку» Тема: Геометрические фигуры. 5 класс
Евдокимова Антонина Истифеевна,
учитель математики
МАОУ «Гимназия» г.Старая Русса
Тема:
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ
ПРЯМОУГОЛЬНИКИ

ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ

ТРЕУГОЛЬНИКИ

ЗНАЮ!
ТРУДНО!
ПОМОГИТЕ!


title: Презентация на тему: "Функция y = kx², ее свойства и график". 8-й класс

text:
Урок алгебры в 8 «а» классе
Учитель математики
 ЦО №1458 г. Москвы –
Герина Л.А. (229-354-552)

Траектория движения кометв межпланетном пространстве
Архитектурные сооружения
Архитектурные сооружения
Траектория движения
Тема урока
  Функция у=кх2, ее график и свойства .
План построения графика функции
1.Заполнить таблицу значений
2.Построить точки на координатной плоскости
3.Соединить построенные точки плавной линией
4.Подписать название функции

Задание
1,2 группа
     Постройте графики функций и определите, в каких координатных четвертях расположены графики данных функций.  Сделайте вывод как расположен график в зависимости от  коэффициента к :

    у=4х2
         У=2х2
3,4 группа
     Постройте графики функций и определите, в каких координатных четвертях расположены графики данных функций.  Сделайте вывод  как расположен график в зависимости от  коэффициента к :

   у=-4х2
   У=-2х2

На рис. изображены графики функций у=кх2.Для каждого графика укажите соответствующее ему значение коэффициента к.
Самопроверка по образцу
Задания из ГИА-9:
1. Графиком какой из данных функций является парабола, расположенная в нижней полуплоскости?
   а) у=х2/5        е
               б) у=5/х2        в
               в) у=5х           ш
               г) у=-5х2         г
2.Найдите область определения функции
 у=-5х2
               а) х>0           а
               б) вся числовая прямая   р
               в) х<0           й
               г) х<-5           п
3.Найти область значений функции у=-5х2
  а) у<0                   п
             б) у   0                  а
             в) у>0                    ф
             г) вся числовая прямая    ь
4. Ветви какой параболы расположены дальше от оси ОУ ?
               а) у=-15х2  ц
               б) у=-9х2    э
               в) у=-х2      ф
               г) у=-5х2     ж
5. Укажите промежутки возрастания функции у=-5х2
            а) при х>0         ч
            б) при х<0         о
            в) при х   0       и
            г) при х   0        т
6.Укажите наименьшее значение функции
 у=-5х2
              а) 0                     ы
              б) не существует       к
              в) -5                     д
              г) 5                       в

д/з:
П.17 учебника читать
№17.2,
№17.3,
№17.11
Удачи!


title: Презентация на тему: Функции и их графики

text:
Тема урока:«Функции и их графики»
-1

1
-1
y
x

-1

0
1
-1
y
x

-1
-1

-1

1
-1
y
x

у = sin (-x)
у = sin x

у = sin (-x)
y= tg x
y= - tg x

y= - tg x

у = sin │x│
у = sin x

y= tg x
y=│ tg x │

-1

-1
Y=cosx
Y=cos2x
Y=-cos2x
Y=-cos2x+3
Y=-cos2x+3
Построить график функции:

4
1
2
3
5
Запишите формулы, соответствующие графикам функций
1
2
3
Запишите формулы, соответствующие графикам функций
4
Записать формулу функции по графику

б)
в)
г)
Проверка результатов работы

Слайд 1
Слайд 2
Слайд 3

Подведение итогов урока
   Графики функции широко используются в различных областях науки, поэтому умение строить, “читать”, прогнозировать их “поведение”, имеет огромную роль в практической деятельности в инженерной области, гидрометеорологов и людей других математических специальностей.
Домашнее задание
Построить графики


text:
Геометрические фигурыили«Незнайка  учит  геометрию»
Салагаева Любовь Михайловна
Учитель ГБСКОУ № 613
г. Санкт-Петербург

Точка

Линия

Кривая линия
Пусть точек будет много,
Я через них веду дорогу,
Соединяя точку с точкой,Я начертил дорожку-строчку,
Дорожка, изгибаясь, вьётся,
Дорожка линией зовётся

Передо мной бумаги лист,
До чего ж он бел и чист.
Ручку поставь где-нибудь на листочке -
И на листе получается т о ч к а
Прямая  линия
Я по линейке по листу
Так просто проведу черту.
Смотрите, ровная какая,
Эта линия прямая

Ломаная линия

Прямой  угол
Острый  угол
Тупой угол

Один положим карандаш,
Другой поставим рядом,
Построили мы угол наш
Прямой – оценим взглядом.
Угол  уже будет острым,
Угол  шире  будет тупымИх начертим на листочке:
Две прямых из одной точки.

УУ
Углы

Какие предметы квадратной формы?
Вот фигура – хоть куда,
Очень ровная всегда,
Все углы её равны
И четыре стороны
Кубик у фигуры – брат,
Потому что он – квадрат.

Квадрат

Шахматная доска
Платок
Подушки
Стол  и  стул

Шарф

  Стол
Компьютер
Растянули мы квадрат
И представили на взгляд,
И на что он стал похожим
Или с чем-то очень схожим,
Не кирпич, не треугольник,
Стал  квадрат прямоугольник
Окно
Какие предметы прямоугольной формы?

Шкаф
Ф
Флаг

Прямоугольник

Какие предметы треугольной формы?

Треугольник
Три прямых соединили -
Треугольник получили,
Посчитали в нём углы:
Оказалось тоже три.
Косынк
Косынка

Колпак

Морковь

Парус

Уши

Знак

У фигуры нет углов.
Начертить его готов?
И всем школьникам знать нужно:
Это круг, вокруг - окружность
Какие предметы круглой формы?

Сковорода

Руль
Колесо
Стол
Тарелка
КК
Круг

Часы

Пуговица

Монета

Здесь я круглый круг искусно
Ну  чуть-чуть всего приплюснул –
Получился вдруг овал.
Я его вам показал.

Какие предметы овальной формы?

Яйцо

Сковорода

ЗЗ
Зеркало
Поднос
Блюдо
Сковорода

Овал

Многоугольник
Много всех углов внутри
У фигуры, рассмотри:
Не квадрат, не треугольник,
А уже многоугольник.

Сколько углов в каждом многоугольнике?
http://www.agroru.com/upload/images/73/734543/1x640.jpg
http://cdn.photocentra.ru/images/main5/58700_main.jpg
http://stranamasterov.ru/img/i2011/01/18/img_3949.jpg
Интернет-ресурсы:
http://www.autonahodka.ru/files/Image/art/vikingcontact3.jpg
http://board.od.ua/uploads/aimages/large/436/435041-462126.jpg
http://www.samovarcheg.ru/published/publicdata/SAMOVARCWEBASYST/attachments/SC/products_pictures/P4328.jpg
http://im7-tub-ru.yandex.net/i?id=360786294-32-72&n=21
http://www.kein-plan.de/bitte-ziehen-sie-durch/pics/Bush_-_Schach.gif
http://im7-tub-ru.yandex.net/i?id=89565018-23-72&n=21
podaroknsk.ru/user_files/catalog/large/103539-big-file.jpg
http://www.etikettenstar.de/images/C/es-verk-131-01-02.jpg
http://www.kobiden.com/d/news/2448.jpg

http://im5-tub-ru.yandex.net/i?id=267039034-67-72&n=21
http://im7-tub-ru.yandex.net/i?id=104278093-14-72&n=21
http://im5-tub-ru.yandex.net/i?id=267039034-67-72&n=21
http://im0-tub-ru.yandex.net/i?id=311346263-02-72&n=21
http://menshealth.hu/wp-content/uploads/9384453_l1.jpg


Презентация на тему: Геометрические тела. Объёмы и поверхности


Презентация на тему: Геометрический смысл производной


title: Презентация на тему: Геометрические задачи древних в современном мире

text:
1,55
1,55
10,7
h
O
P
A
C
B
h
1,55
h
1,55
2,65
2,65
11,3
11,3
h
2,65
1,55
11,3
1,55
0,96
6,63
h
P
A
C
B
L
O


text:
Геометрические фигуры
Словно стол стоит квадрат.Он гостям обычно рад.Он квадратное печеньеПоложил для угощенья.Он - квадратная корзинаИ квадратная картина.Все четыре стороныУ квадратика равны.

Квадрат

Треугольник
Треугольный треугольникУгловатый своевольник.Он похож на крышу домаИ на шапочку у гнома.И на острый кончик стрелки,И на ушки рыжей белки.Угловатый очень с видуОн похож на пирамиду!

Круг
Круглый круг похож на мячик,
Он по небу солнцем скачет.
Круглый словно диск луны,
Как бабулины блины,

Как тарелка, как венок,
Как веселый колобок,
Как колеса, как колечки,
Как пирог из теплой печки!

Прямоугольник
Как окно прямоугольник,
Аккуратный, словно школьник.
Он похож на дверь, на книжки,
И на ранец у мальчишки.

На автобус, на тетрадку,
На большую шоколадку.
На корыто поросенка
И на фантик у ребенка.

Овал
С высоты кружок упал.
Он теперь не круг – овал!
Он овальный, как жучок,
Он похож на кабачок,

На  глаза и на картошку,
А еще похож на ложку,
На орех и на яйцо,
На овальное лицо!

Машошина Наталья Николаевна
Спасибо за  внимание


text:
22.03.2012
1

Геометрическая
прогрессия.
Prezentacii.com
22.03.2012
2
Найдите среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел:
2 и 8
6 и 6
16 и 4
22.03.2012
3
Решите уравнения:
22.03.2012
4
Найдите предыдущий и последующий член прогрессии:

22.03.2012
5
Чему равен каждый член данной последовательности, начиная со второго?

22.03.2012
6
Геометрической прогрессией называется
 числовая последовательность
                                          , если для всех натуральных   n выполняется равенство

где q - некоторое число.

22.03.2012
7

q – знаменатель геометрической прогрессии

22.03.2012
8
По определению геометрической прогрессии:
Формула n-го члена

22.03.2012
9

Каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов.
Свойство геометрической прогрессии:
22.03.2012
10

Пример 1.
22.03.2012
11

Доказать, что последовательность заданная формулой                       , является геометрической  прогрессией
Доказательство.
Пример 2.
22.03.2012
12
Т.к. частное не зависит от n значит последовательность является геометрической прогрессией.
22.03.2012
13
Пример 3.

22.03.2012
14
Формула суммы n первых членов.

22.03.2012
15
Дома:

п.30,
№ 409(4)
411(4),412(4)


title: Презентация на тему: Функция

text:
класс
Повторение
по теме «Функция»
Повторить:
свойства функций;
методы построения графиков функций;
графический способ решения уравнений и систем уравнений.

Цели урока
На каком графике изображена
Парабола
Гипербола
Прямая
Сопоставьте формулу и график
1
2
3
4
5
6
Установите какую функцию и куда сдвигают, составьте формулу
Установите какую функцию и куда сдвигают, составьте формулу
Установите какому уравнению соответствует график
Какие функции ограничены
сверху
снизу
Решите графически уравнение:
Найдите ошибку
Решите графически уравнение:
Решите графически уравнение:
Решите графически систему уравнений:
Найдите ошибку
Решите графически систему уравнений:

Прилетела бабочка, Она вместо указки
Попытайтесь вслед за нейПробежаться глазками.
Решите графически уравнение:
     а)                                         б)
Найдите область определения функции:
     а)                                         б)
Найдите наибольшее и наименьшее значение функции                                            на [-3; 0]
В школе 800 учеников, из них 35% - ученики начальной школы. Среди учеников средней и старшей школы 40% изучают немецкий язык. Сколько учеников в школе изучают немецкий язык, если в начальной школе немецкий язык не изучают?

Упражнения
№4 (с.142)
Решите графически уравнение

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции                        на [-3; 2]
Найдите область определения функции
Домашнее задание


title: Презентация на тему: Геометрические тела и плоские фигуры

text:
Геометрические тела
и плоские  фигуры
Автор: учитель математики Черепанова Галина Федоровна
Урок математики в 6-9 классе СКК 8 вида
МОУ Курашимская СОШ
 Алгоритм работы
1. Задание 1.  Кроссворд ( думай, отгадывай, составляй). Слайд 3-11
2. Задание 2. Начерти в тетради.       Слайд 13
3. Задание 3. Найди лишний геометрический термин.       Слайд 14
4. Задание 4.  Определи названия геометрических тел и их элементов.
Слайд 15
5. Задание 5. Найди лишнюю фигуру в каждом ряду.         Слайд 16
6. Задание 6.Рассмотри фигуры и напиши их названия в тетради.
7. Задание 7. Заполни таблицу.   Слайд 18
Слайд 17

Задание 1
треугольник
Кроссворд. Дай названия фигурам.
Обрати внимание на выделенные буквы.
.

Ограниченная с двух сторон
Отрезок

Окружность
Ломаная линия
линейка
инструмент,
с помощью которого
мы строим различные
 геометртческие фигуры

Квадрат

прямоугольник

Это линии

Кривая линия
геометрия
Задание 2
Начертить фигуры, у которых:
- 4 стороны, 4 угла, все стороны равны
- 4 стороны, 4 угла, все углы прямые
- границу круга
- закрасить внутреннюю часть фигур
 2.

Задание 3
Какой термин здесь лишний и почему ?
треугольник
линия
куб
круг
квадрат
радиус
отрезок
3.
4. Задание 4 Определи названия тел и их элементов.
Куб
Параллелепипед
Грань
Ребро
Вершина
 - 6
- 12
- 8

 1
 2
 3
Найди лишнюю фигуру в каждом ряду.
Задание 5

1
2
3
4
5
6
7
Рассмотри и напиши в  тетради названия фигур.
Задание 6
Заполни таблицу, используя названия геометрических фигур.
Геометрические тела
Плоские геометрические фигуры
Используй термины:
квадрат, шар, куб, прямоугольник, круг,
параллелепипед, треугольник, цилиндр.
Задание 7
С помощью различных геометрических фигур и тел
создать город будущего
Выполнял ученик 8 СК класса  Черных Артем
Домашнее задание:


title: Презентация на тему: геометрический метод решения систем уравнения

text:
Геометрический метод решения систем уравнений
Морозова Татьяна, МДМ-110
      Метод - способ достижения какой-либо цели, решения конкретной задачи; совокупность приемов или операций практического или теоретического освоения (познания) действительности.
       Геометрический метод характеризуется как «метод, идущий  от  наглядных представлений» (А. Д. Александров), «метод геометрической наглядности» (Г. Фройденталь). Существенными признаками этого понятия являются геометрические (наглядные) представления и законы геометрии, в которых отражены свойства геометрических фигур.
    Геометрический метод будем понимать как  способ познавательной деятельности, основанный на системе геометрических знаний и на геометрических (наглядных) представлениях.
Геометрические методы:
 метод длин (свойства длины отрезка);
метод треугольников (система знаний о треугольниках);
метод параллельных прямых (о параллельных прямых);
метод соотношения между сторонами и углами треугольника (о соотношениях между сторонами и углами треугольника);
метод четырехугольников (о четырехугольниках);
метод площадей (о площади многоугольника);
метод подобия треугольников (о подобных треугольниках);
тригонометрический метод (о решении треугольников);
метод окружностей (об окружности и ее элементах);
метод геометрических преобразований ( о геометрических преобразованиях на плоскости и в пространстве);
графический метод (о геометрическом представлении элементарных функций).

Метод уравнений  состоит из следующих приемов:
прием, основанный на составлении и решении линейного уравнения («прием линейного уравнения») ;
прием квадратного уравнения;
прием рационального уравнения;
прием системы двух линейных уравнений с двумя переменными и др.
Геометрическое решение негеометрических задач (систем уравнений)
Теорема Пифагора
Векторный способ
Формула расстояния между точками
Теорема Пифагора
2.
Векторный способ
1.
Формула расстояния между точками
1.
2.

Спасибо за внимание


title: Презентация на тему: Геометрия 7 класс Основные темы

text:
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
1


title: Презентация на тему: Геометрия для 1 класса

text:
12
13
4


Презентация на тему: Геометрические задания группы В ЕГЭ


title: Презентация на тему: Геометрические преобразования графиков функций

text:
    Геометрические преобразования       графиков функций.
Алгебра 9 класс
Гимназия № 19 г. Минск.
Учитель математики В.И. Синявский.
1. Как по графику функции   y = f(x) можно построить график функции  y = - f(x) ?
График функции
y = - f(x) получается из графика функции   y = f(x) с помощью симметрии относительно оси Ох
Приведём примеры графиков
2. График функции y = f(-x) можно получить из графика функции y=f(x) c помощью симметрии относительно оси Оу
3.  y = f(x) + a
        y = f(x) + a
График функции y = f(x) + a можно получить из графика функции
y = f(x)  параллельным переносом вдоль оси Оу на расстояние  а  вверх, если   а>0, и на расстояние |a| вниз, если  а<0.
4.   y = k· f(x),   k>0
Пусть точка М принадлежит графику функции y = f(x), а точка М‘ – графику функции y = k· f(x).
Обе функции имеют одну и ту же область определения. Рассмотрим следующие случаи:
Очевидно, что точка М‘ получается из точки М растяжением ординаты точки в k раз. Поэтому обычно говорят, что график второй функции получается из графика первой функции «растяжением» в k раз вдоль оси Оу, если k>1.
См графики

Где какой?

k>1
2)  k=1
При   k=1 графики обеих функций, естественно, совпадают.
У кого есть сомнения?
0<k<1
Точка  М‘ получается из
 точки М сжатием
ординаты точки М в
 раз. Поэтому говорят,
что график второй
функции получается из графика первой
«сжатием» в      раз

вдоль оси Оу, если
0<k<1

5. Как построить график y=f(kx)?

k>1.  Точка А‘  получается из точки А сжатием абсциссы точки А в k раз. Поэтому обычно говорят что график второй функции получается из графика первой функции сжатием в k  раз вдоль оси Ох, если k>1.
k=1. Графики функций совпадают.
0<k<1. Точка А‘  получается из точки А растяжением абсциссы точки А в 1/k раз. Поэтому обычно говорят что график второй функции получается из графика первой функции растяжением в 1/k раз вдоль оси Ох, если 0<k<1.
На рисунке показаны графики функций

6.   y=f(х – а)
График функции y=f(x – a) получается из графика функции y=f(x ) параллельным переносом вдоль оси Ох на расстояние a вправо, если a>0, и на расстояние |a| влево, если a<0.
7.  y = |f(x)|
 По определению модуля имеем:

Это значит, что график функции  y=|f(x)| можно получить следующим образом:
Построить график функции y=f(x),
Оставить без изменения все точки графика, которые лежат выше оси абсцисс или на ней,
К части графика функции, лежащего ниже оси абсцисс, применить преобразование симметрии относительно оси Ох
8.  y=f(|x|)
Функция y=f(|x|)   чётная  и поэтому её график
симметричен    относительно   оси Оу.  Значит, для
построения графика заданной функции нужно
построить график функции y=f(x) при х ≥ 0, а
 при  х<0 график  заданной функции получается
преобразованием симметрии относительно оси
Оу графика функции y=f(x) , построенного для
х  ≥ 0.  Рассмотрим пример
КОНЕЦ


title: Презентация на тему: Геометрический вальс

text:
eometrical
altz
eometrical
altz


title: Презентация на тему: Геометрия «Измерение углов»

text:
1
180


title: Презентация на тему: Геометрические приложения двойного интеграла

text:
Y=x
0
4
x
y