title: Презентация на тему: Отбор корней в тригонометрических уравнениях

text:
ОТБОР КОРНЕЙ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ
Презентацию  разработала
учитель математики   МБОУ СОШ №4
 г. Покачи  ХМАО-Югра  Тюменской области
Литвинченко Л.В.
 Расскажем, как можно решить такую проблему.
  Первый метод   нахождения подходящих корней заключатся в решении диофантовых  уравнений с целыми коэффициентами для этого необходимо:
- найти наибольший общий делитель коэффициентов при неизвестных ;
 попробовать сократить на него обе части уравнения (разумеется, свободный член должен при этом остаться целым числом).
 Второй метод заключается в изображении всех решений на тригонометрической окружности и исключении неподходящих решений.
 Метод этот очень прост в применении, если решения легко изобразить на тригонометрической окружности.
          Решая тригонометрические уравнения , возникает вопрос отбора корней ,связанных с областью определения  и другими условиями.
Рассмотрим  пример :  21k - 24n = 8   и решим его первым способом.
 Набольший общий делитель коэффициентов равен 3, и сократить его не удается, так как 8 на 3 не делится. Тогда можно сразу сказать, что это уравнение решений в целых числах не имеет.

Покажем, как искать решения.
         Решим уравнение 166n - 44k = 6.
Для начала поделим обе части на 2:       83n - 22k = 3.
Теперь выберем ту неизвестную, коэффициент при
         которой меньше по абсолютной величине – в нашем случае это k - и выразим ее через другую неизвестную:

3.   Выделим в этой дроби целую часть:

Обозначим                          , или 17 n – 3 = 22t.

   Снова получилось неопределенное уравнение, но его коэффициенты уже меньше, чем у исходного.

5.    Проделаем с этим новым уравнением ту же операцию, что и с исходным: выразим из него ту неизвестную, коэффициент при которой меньше по абсолютной величине (на сей раз это будет n), и выделим из получающейся дроби целую часть:

6.   Обозначим                         ,  или 5t + 3 =17s. Продолжая в том же духе, выразим t через s:

7.     Обозначим                       , или 5v = 2s – 3. Выразим s через v:

Обозначим                       , или v = 2u – 3.

Чтобы получить решения исходного уравнения, нам осталось последовательно выразить            v через u,                   s через v,                t через s,       n через t,            k через n.
10.    Отправимся в обратный путь:
v = 2u – 3

         Итак, решение получено: k = 83u – 102, n = 22u – 27,
 где u – произвольное целое число.
       Стало быть ответ таков: 44k + 6 = 166n для некоторого n∊ Z тогда и только тогда, когда k = 83u – 102, где u∊ Z .
        Изложенный нами способ нахождения решения линейного неопределенного уравнения с целыми коэффициентами (диофантового) называется
алгоритмом Евклида.

	Важным этапом решения сложных тригонометрических уравнений является  нахождение пересечения  двух  множеств  углов  π(a+bn) и π(c+dk), где  a, b, c, d -  фиксированные рациональные числа; n, k – переменные, принимающие целочисленные значения.
           Иными словами, речь идет об отыскании целочисленных решений уравнения
			π(a+bn) = π(c+dk)			(1)
с рациональными коэффициентами  a, b, c, d.
    Решаем вторым способ уравнение(1)-на тригонометрическом круге. Однако он применим только для достаточно простых комбинаций углов.
     Например, решить уравнения: а)

				        б)
   в) если НОД (u,v) больше 1, то (1)  не имеет решений;
     б)   если  НОД (u, v) = 1.  В этом случае подбором найдем некоторое частное решение (n₀, k₀) уравнения (2), т.е. такую пару целых чисел (n₀, k₀), для которых выполняется равенство       un₀ + vk₀ = w ;
    г) запишем решение уравнения (1) в виде:

                                        или

      а) уравнение (1) приведем к виду
			un + vk = w 				(2)
где u, v, w – фиксированные целые числа и их НОД (u, v, w ) = 1;
          Изложим общие этапы решения уравнения
                                           π(a+bn) = π(c+dk)          (1):
      Пример 1. Решить в целых числах уравнение

     Решение.   Приведем это уравнение  к виду (2):
                                         -12n + 5k = 3.
     Пара  n₀ = 1, k₀ = 3 – его частное решение. Поэтому общее решение имеет  вид                                 n = 1 + 5t,   k = 3 + 12t, t ∊ Z.
    Ответ:        n = 1 + 5t,                       k = 3 + 12t, t ∊ Z.
    Пример 2. Решить в целых числах уравнение

    Решение.   Приведем это уравнение  к виду (2):
                                        6n - 40k = 7.
    Так как   НОД( 6 и 40 )=2 > 1,        то решений нет.
    Ответ: нет решений.
        Рассмотрим два примера.
Пример 1.      Объединить семейства значений.
Рассмотрим примеры отбора корней на единичной окружности.
   Тогда ответ можно записать более компактно: x2

Отметим на окружности значения  x1 – кружками, x2 – квадратиками, (где x1 и x2 являются решениями уравнения). На окружности получилось шесть точек, которые делят окружность на  равные части.
x1=              ,  x2=

Решение. I способ.
      Нанесем на окружности значения  x1 – кружками, x2 – квадратиками. Значения x = πm являются повторяющимися.
а) Если ответ исключить их из первого семейства, то он будет выглядеть так:

б) Если же ответ исключить из второго семейства, то он таков:

Пример 2. Объединить семейства значений.
Решим относительно  k.  Получим                     , при n=4 m значения k будут целыми. Таким образом, ответ можно записать так, сохранив первое семейство, а из второго исключить повторяющиеся.
    Чтобы найти повторяющиеся решения, надо решить уравнение

2 способ.       Аналитическое решение.

        При отборе корней в тригонометрическом уравнении изображение их на тригонометрическом круге не всегда удобно, когда период меньше 2π.
      В таких случаях удобнее применять аналитический способ.
   Пример:

Решение: заменим это тригонометрическое уравнение эквивалентной системой уравнений, а затем найдем пересечение множеств решений.

     В данном случае сделать отбор решений на тригонометрическом круге неудобно, так как периоды серий разные. Найдём такие целые k, при которых x=π+2πk имеет посторонние корни, удовлетворяющие условию x≠3πn, n∊ Z.
Ответ: x=π+2πk, где k≠3m+1, m∊ Z         или
                  x=π+6πm, x=3π+6πm, m ∊ Z.
     Пусть               π+2πk=3πn;            1+2k=3n.
     Отсюда          k=(3n-1):2  =   (2n+n-1):2  =   n+(n-1):2.
     Пусть            m=(n-1):2.
    Тогда               2m=n-1.
    Отсюда          n=2m+1.
    Следовательно  k=(3(2m+1)-1):2=(6m+3-1):2=3m+1.
     Итак, посторонние корни в серии x=π+2πk будут при  k=3m+1,m∊ Z.
ОСНОВНАЯ СХЕМА ОТБОРА КОРНЕЙ ТАКОВА:
Находится наименьший общий период всех тригонометрических функций, входящих в уравнение.
На числовой прямой наносятся все решения, входящие в этот период (повторяющиеся, лишние отбрасываются; находятся удовлетворяющие уравнению и периодически продолжаются).
Если период равен 2π, то корни наносятся на единичную окружность, а затем с периодом 2π продолжаются.
Если значения корней очень маленькие, то их «укрупняют», а затем выбирают нужные.
Возможно аналитическое решение пересечений семейств решений.
Спасибо за внимание!


title: Презентация на тему: Остров Математических загадок

text:
Есть в математике нечто, вызывающее человеческий восторг (Ф. Хаусдорф.)
18 февраля 2014 года
Выполнена: Учителем МБОУ «СОШ№6» г. Альметьевска
 Васильевой Л.П.

МЫ, путешественники, 1… января 20… года вышли на яхте из города ……………, на берегу Средиземного моря Италии.
В страшный шторм … апреля 20…  года наша яхта перевернулась и нам удалось выплыть на остров ………, который находится на …… широты и …… восточной долготы. На острове есть дикари, очень миролюбивые, но совершенно необразованные.
  Здесь нет книг и развлечений, нам скучно и мы увлеклись решением математических задач.
ПОМОГИТЕ НАМ!!! S.O.S!

Выполните действия и заполните таблицу ответов.
Вставь пропущенные числа  в записку.
1) 41\2*4 – 2,5*4=
2) 2\3*9 – 0,75*4=
3)(0,6)*(0,6):0,4*10=
4)1,3*3,75+1,3*6,25=
5)(2\5)2*50+2,9:0,1=
6)(2,4*3\8 +7*0,1)*30=
Какой город –порт в Италии может являться отправной точкой? Какой информации не хватает в записке?
Таинственная записка

МЫ, путешественники, 18 января 2003… года вышли на яхте из города Марселя, на берегу Средиземного моря Италии.
В страшный шторм 9 апреля 2013…  года наша яхта перевернулась и нам удалось выплыть на остров Математики, который находится на 37 широты и 48 восточной долготы. На острове есть дикари, очень миролюбивые, но совершенно необразованные.
  Здесь нет книг и развлечений, нам скучно и мы увлеклись решением математических задач.
ПОМОГИТЕ НАМ!!! S.O.S!

                          Остров
       Математических
                       загадок

Скорость яхты, на которой путешественники
отправились в плавание 12 узлов.
 С помощью карты определите, какое расстояние яхта
 преодолела от северной точки острова Мадагаскар
 до южной оконечности Индийского полуострова.
 Какое время в часах заняло путешествие?
1 узел=1 морская миля=1,852 км\ч
Плавали,знаем!
.

Решение; определить по карте расстояние
 и перевести с помощью масштаба в километры
1,852*12=22,224 км/ч – скорость яхты
                  4200:22,224=188,9=189ч
Если Ваш ответ совпадает, то приклейте один  лист к своей пальме.

Когда путешественники попали на остров,
их встретили 4 вождя племени дикарей:
Юи, Туи, Маи и Иу. Было очень важно,
 в каком порядке необходимо приветствовать вождей.
Сколько существует способов, в каком порядке
 приветствуются вожди?
Здравствуйте!

Решение: 1вождь    Юи,   Туи,   Маи,   ИУ
                   2 вождь Туи,Маи,Иу
                   3 вождь Маи, Иу
                    4 вождь Иу
 4*3*2*1=24
Если Ваш ответ совпадает, то приклейте один  лист к своей пальме

Остров Математики имеет форму круга.
 В  своих многодневных походах по острову
 путешественники выяснили, что его длина
по окружности 54,95км. Дом путешественников
находится в центре острова. Какое время тратят путешественники,
 чтобы пройти от дома до океана, если скорость их ходьбы 5 км/ч?
Прогулка.

Решение: 1)54,95:3,14=17,5 км диаметр острова,
2) 17,5:2=8,75 км радиус острова,
3)8,75:5=1,75 часа=1ч45мин.
Если Ваш ответ совпадает, то приклейте один  лист к своей пальме

                Реши устно.
Получи математическую пальму первенства,
решив задачи.
1) На острове детей было 36, а взрослых120.
 Сколько процентов детей было на острове?
2)Высота самой высокой пальмы на острове
Относится к высоте самой маленькой пальмы как 3:4.
Какова высота маленькой пальмы, если высокая составляет 16 метров?
3)Трое туземцев собрались в дозор. Скольким способами
можно отправиться в дозор, если  идут двое из трех?
4)Вечерний улов рыбы в два раза больше утреннего.
Сколько рыб выловили утром, если всего поймали 120?
5)Буквы в слове «остров» переставляли в произвольном порядке.
Сколько новых словосочетаний получилось?
Ответы к задачам записаны на пальмовых листьях из конверта.
У кого ответы совпадают, те приклеивают листья  на свою пальму.
Пока каждый занят, слушаем музыку!

Математическая пальма
первенства.

1)Чтобы приготовить на костре похлебку необходимо взять воду, пшено и зелень в отношении 5:3:1. Сколько нужно взять пшена и зелени, если масса налитой воды налито 4,45 кг?
  2)  Чтобы поставить палатку на 3 человек нужно 12,6 метров брезента, сколько брезента нужно , чтобы установить палатку на 7 человек?
Бытовой
 вопрос.

Решение: 1)4,45:5=0,89 кг в одной части,
2)0,89*3=2,67 кг –пшена,
3)0.89*1=0.89 кг –зелени.

Решение:12,6:3*7=29,4 м
Если Ваш ответ совпадает, то приклейте один  лист к своей пальме

Минута на
 размышление
Что нового ты узнал на уроке?
Какая задача тебе понравилась?
Что на уроке получилось, а что не очень? Почему?
Закрась в таблице каждый этап: «красный» - все хорошо;
                                                             «зеленый» - почти все хорошо;
                                                              «синий» - нужно подтянуться.
У кого самая раскидистая пальма?

Домашнее задание.
Составьте задачу практического содержания.
Запиши ее условие и решение на альбомном листе.
Нарисуй иллюстрацию к задаче.

Счастливого пути!!!


title: Презентация на тему: Основы комбинаторики

text:
§ 1. Примеры комбинаторных задач и общие принципы комбинаторики
Правило произведения
Пусть объект а1 можно выбрать n1, различными способами, после каждого выбора объекта а1 объект а2 можно выбрать n2 различными способами,..., после каждого выбора объектов а1, а2,..., аp-1 объект   аp     можно   выбрать  nр  различными  способами.   Тогда количество способов, которыми можно выбрать   а1,   а2, ...,   аp равно n1n2...np.
Составление слова из восьми букв можно представить как заполнение буквами клеток следующей таблицы:

1       2       3      4       5      6      7      8
На первое место можно поставить любую из восьми букв, на второе - любую из семи оставшихся  и т.д.  вплоть до заполнения единственным    способом     клетки    №    8    последней    оставшейся буквой. Число способов заполнения таблицы будет равно 8·7·6·5·4·3·2·1=8!
Напомним, что символом п! (читается «эн факториал») обозначается произведение всех натуральных чисел от 1 до п: n!=1·2·...·(n-1)·n.
Ответ: n!= 1 • 2 • ...• (n -1) • п.
Пример 2. Сколько четырехбуквенных «слов» можно составить из карточек «в», «е», «ч», «н», «о», «с», «т», «ь»?
Пусть ак - к -я буква слова (к =1,2,3,4). Тогда n1 = 8,n2 = 7, n3=6,   nА = 5   и  по  правилу  произведения  сразу  получаем  ответ:
   8·7·6·5 = 1680.
Ответ: 1680.
Пример 3. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белую и черную ладью так, чтобы они не били друг друга?
Выбор объекта а1 - поля для белой ладьи - может быть сделан n1 = 64 способами. Независимо от выбора этого поля белая ладья бьет 15 полей, поэтому для черной ладьи остается 64-15 =49 полей: n2 = 49.
Ответ: число расстановок ладей равно 64 · 49 = 3136.
Пример 5. Сколь различных слов можно получить, переставляя буквы слова «комбинаторика»?
В слове «комбинаторика» 13 букв. Если бы все они были различны, то, переставляя их, можно было бы получить 13! слов. Но в нашем слове буквы к, о, и, а встречаются по два раза. Обозначим их к1,к2,о1,о2,и1,и2,а1,а2. Ясно, что слова, отличающиеся перестановкой букв к1ик2 - одинаковые, так что 13! Слов разбиваются на пары одинаковых. Следовательно, если мы не различаем   к1 и к2, то число всех слов будет равно  13!/2!.  Но эта совокупность также разбивается на пары одинаковых с точки зрения буквы “о„ слов и т.д.
                13!      13!
Ответ: =           = —.
             2!2!2!2!  16

Пример 6. Сколько существует четырехзначных чисел, у которых все цифры нечетные? Сколько существует четырехзначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна четная цифра?
Всего нечетных цифр — пять, поэтому выбор к-й цифры числа может быть сделан nк =5 способами (к =1, 2, 3, 4) а количество четырехзначных чисел, у которых все цифры нечетные, равно 5·5·5·5 = 625.
Правило суммы

      Если объект а можно выбрать т различными способами, аобъект   b   можно   выбрать   n   различными   способами,   причемрезультаты выбора объектов а и b никогда не совпадают, то выбор“либо а, либо b» можно осуществить т + n различными способами.
Пример 7. Сколько различных пар можно образовать из 28 костей домино так, чтобы кости, входящие в пару, можно было приложить друг к другу?
Выбор пары костей — это выбор двух карточек вида a1b1,  a2b2,
где можно считать, что а ≤ b.
Выберем первую кость - это можно сделать 28 способами, из них в 7 случаях кость окажется дублем, т.е. кость вида aa, а в 21 случае — кость вида ab, а < b . В первом случае вторую кость можно выбрать 6 способами, а число способов выбора пары костей по правилу произведения равно 7 · 6 = 42 .
Во втором случае вторую кость можно выбрать 12 способами — 6 костей вида a|* и 6 костей вида *|а ,а число способов выбора пары равно 21·12 = 252.
Следовательно по правилу суммы всего получается 42 + 252 = 294 способа выбора упорядоченной пары.
Ответ: 147 пар.

  § 2. Размещения и перестановки
Определение. Всякая упорядоченная выборка объема k из множества, состоящего из n элементов, называется размещением из n элементов по k элементов и обозначается через Аn .
k
Определение. Размещение из n элементов по n называется перестановкой из n элементов и обозначается через Рn .
Справедлива формула
                 Аn =n (n-1)...(n - к + 1)
k
где 1 ≤  к ≤  n.
На первое место в выборке можно поместить любой из n элементов, на второе - любой из (n - 1) оставшихся и т.д. После выбора элементов   на(k-1)-е   место останется n-(к-1) = n-к+1 элемен-

                         1      2                k-1   k
тов, любой из которых можно поместить на к-е место. По правилу произведения получаем
                   Аn = (n-1)...(n - к + 1)
   В частности,
Рn=An =n(n-1)… ·2·1 = n!	(2)
n
k
An = n(n - 1)...(n - k+1)·(n-k)!=    n!
                       (n-к)!                 (n-к)!
k
Пример 9. Сколько шестизначных чисел, кратных 5, можно составить из цифр 0, 1,2, ..., 9 при условии, что цифры в записи числа не повторяются?
Последней цифрой искомого числа может быть 0 или 5. В первом случае остальные пять цифр можно выбирать из множества {1,2, ..., 9}
                                                        9!
и число вариантов равно А9 = — = 15120. Если число
                                                        4!
oканчивается цифрой 5, то в качестве первой цифры можно взять любую из восьми цифр 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 - нельзя использовать 0, т.к. число должно быть шестизначным.   Цифры   со   второй   по   четвертую   можно   выбрать
A8 = 1680    различными    способами.    Следовательно,    по    правилу произведения имеется  8·A8   чисел, оканчивающихся цифрой 5. По правилу суммы находим, сколько существует чисел, удовлетворяющих условию задачи.
А9 +8·A8  = 28560.
Ответ: 28560.
5
4
4
5
4
Пример 10. Сколькими способами можно расставить на книжной полке десятитомник Пушкина так, чтобы том 2 стоял рядом с томом 1 и справа от него?
Ответ: 9!
§ 3. Сочетания
Определение. Всякая неупорядоченная выборка объема к из множества, состоящего из n элементов (к≤n), называется сочетанием из n элементов по к элементов и обозначается через Сn .
k
Из  любого  набора,содержащего к элементов, можно с помощью перестановок получить k! упорядоченных выборок объема k, поэтому

Откуда
                                                            (4)

Пример 11. Хоккейная команда состоит из 2 вратарей, 7 защитников и 10 нападающих. Сколькими способами тренер может образовать стартовую шестерку, состоящую из вратаря, двух защитников и трех нападающих?
Вратаря    можно    выбрать         способами,    защитников -
     способом,    нападающих –
     способами. Всего, по правилу произведения, существует 2 · 21 · 120 = 5040 способов выбора стартовой шестерки.
Ответ: 5040.
Пример 12. На плоскости проведены n прямых, среди которых нет ни одной пары параллельных прямых и ни одной тройки прямых, пересекающихся в одной точке. Найти число точек пересечения этих прямых и число треугольников, образованных этими прямыми.
Число точек пересечения прямых равно числу способов выбора
   неупорядоченной пары прямых, т.е.     . Аналогично, каждый треугольник определяется тройкой прямых, поэтому общее число треугольников равно       .
Ответ:      и       .
Пример    13.    Для    проведения    письменного    экзамена    по комбинаторике  надо  составить  4  варианта  по  7  задач  в  каждом. Сколькими способами можно разбить 28 задач на 4 варианта?
Задачи для первого варианта можно выбрать       способами. После этого останется 21 задача, так что второй вариант можно составить       способами. Для третьего варианта задачи можно выбрать      способами, а для четвертого -      = 1 способом.

По правилу произведения получаем число                     . Но так как варианты равноправны, то полученное число надо разделить на 4!
Ответ:                        =

Свойства чисел      :
1°.               , если 0≤к≤n;
2°.                       , если 0≤к≤n+1;
3°.

Свойство 1°

Свойство 2°

Треугольник Паскаля:

Свойство 3°
   Положим

   Так как каждое число строки с номером п входит в качестве слагаемого в два соседних числа следующей строки, то
                                 Sn+1 = 2Sn .
   Следовательно,                                    т.к. S0=1.

§ 4. Бином Ньютона
(a + b) =a +2ab + b       и       (a + b)  = а +3а b + 3ab  +b  .

Если в формуле (5) взять а =b = 1, то получится известное нам свойство 3° чисел    , а если взять а=1, b = -1, то получим еще одно комбинаторное равенство:

Формула (6) называется полиномиальной. Например,
(а + b + с) = а + b + с + 3(а b + а с + b а + b с + с а + c b ) + 6abc.
Пример 14. Найти n, если   известно, что в разложении (1 + x)
   коэффициенты при х и х   равны.
В n-й строке треугольника Паскаля два коэффициента равны в том и только том случае, когда они занимают клетки, равноудаленные от крайних. Действительно, треугольник Паскаля симметричен:             , а при движении от края к середине строки коэффициенты возрастают:             при
              и                при

Следовательно,    равно      тогда и только тогда, когда 12 = n-5, т.е. n= 17.
Ответ: n = 17.

Пример 15. Найти коэффициент при х   в разложении
                    (1 + х  +х   )   .
В силу формулы (6)
                      =
Так как уравнение  5k2 + 9к3 =19 имеет только одно решение в неотрицательных числах k2=2, k3 = 1, то коэффициент при х   равен

2) Обозначим через                        . Тогда

   Рассмотрим k-е слагаемое (0≤k≤30):

Такое слагаемое будет содержать х  , если для некоторого т выполняется равенство 5k + 4m = 19. Ясно, что это возможно только при k=3 и т=1. Следовательно, коэффициент при х равен          =12180.

Литература
1.	Кутасова А.Д., Пиголкина Т.С, Чехлов В.И., Яковлева Т.Х.,Пособие по математике для поступающих  в вузы. /под ред.  Г.Н.Яковлева - M.: Наука, 1988.
2.	Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика. — М.: Наука, 1975.
3.	Генкин   С.А.,   Итенберг   И.В.,   Фомин   Д.В.   Ленинградскиематематические кружки. — Киров, 1994.
Контрольные вопросы
Сколько делителей у числа 2004   ?
Сколько диагоналей в выпуклом 2004-угольнике?
Сколько различных натуральных решений имеет неравенство
   n+m≤2004?
4.	Чему равен коэффициент при х  y       в выражении (х + у)
   после раскрытия скобок?
5.	С помощью соответствующей строки треугольника Паскаля выпишите формулу для вычисления (а-b)  .

Задачи
1(3). Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове «параллелограмм»?
2(4). Сколькими способами можно переставлять буквы слова «раз-                  мещение» так, чтобы три буквы «е» не шли подряд?
3(3). Решите уравнение

4(3). Известно, что никакие три диагонали выпуклого восьмиугольника не пересекаются в одной точке. Найдите число точек пересечения диагоналей.
5(4). Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и черного слонов так, чтобы они не били друг друга?
6(5). Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые можно написать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5 (любую из цифр можно использовать несколько раз).
7(5). Докажите тождество

8(6).Сколькими способами можно распределить 12 различных книг по четырем полкам так, чтобы на каждой полке оказалась ровно три книги?
9(6). Сколькими способами можно распределить 12 одинаковых книг по четырем полкам так, чтобы на каждой полке была хотя бы одна книга?
          В задачах №8 и №9 все полки разные.
10(6). В выпуклом восьмиугольнике проведены все диагонали, причем известно, что никакие три диагонали не пересекаются в одной точке. На сколько частей разделится восьмиугольник?
11(6). Найдите наибольший коэффициент многочлена (1 + 2х)  .
12(6). Найдите коэффициент при х   в разложении по степе ням х
       1+(1+x)+…+(1+x)  .


title: Презентация на тему: Открытый урок «Логарифмическая функция»

text:
Логарифмическая функция
Функция  y=log     ,

а

x

где a – заданное число, a > 0 , a =1 ,
 называется логарифмической

Область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел
    Это следует из того,что для любого действительного числа В есть такое положительное число X , что y= log  x имеет смысл только при x>0

a
0
x
y
Множество значений логарифмической функции – множество r всех действительных чисел.
 Это следует из того, что для любого действительного числа b есть такое положительное число x, что log  x=b.
a
0
y
x
монотонность
а) если x < x   ,то log  x < log  x
1
a
б) если log   x < log  x  ,то x  >x
a
1
Ф. Возрастающая
Ф.Убывающая
a
2
1
2
   a>1
2
1
2
a
0<a<1
а) если x < x   ,то log  x >log  x
1
2
a
1
2
a
б) если log   x < log  x  ,то x < x
a
1
a
2
1
2
Если x=1 , то y= log  1=0 (свойство 3)
Значит график пересекает ось OX в точке A (1;0).

График не переcекает ось OY
a
0<x<1
  y<0
;
x>1
  y>0
0
1
y
x

0<x<1
  y>0
x>1
  y<0
  ;
0
1
y
x
Это следует из того, что y=log  x принимает значение,равное нулю, при x=1 и является возрастающей на промежутке x>0, если a>1, и убывающая, если 0<a<1.
a
Если   a > 1
Если   0<a<1

График функции  y= log   x
a


title: Презентация на тему: Открытый урок

text:
 Какая фигура на рисунке Буратино «лишняя»?
по цвету
 Какая фигура на рисунке Буратино «лишняя»?
? Как  бы ты назвал эту фигуру?
по форме
 Концы отрезков - вершины ломаной.
! Это - ломаная линия.
Отрезки – звенья ломаной.

 На какие группы можно разбить эти фигуры?
? Как  бы ты назвал синие фигуры?
по цвету
! Это – замкнутые ломаные.
? Как  бы ты назвал эту фигуру?
! Это – треугольник.
 Помоги  Буратино подобрать к ломаным нужные карточки.

 Помоги Буратино подобрать к ломаным нужные карточки.

Преврати записи Буратино в верные равенства и неравенства.    Поставь в «окошки» нужные числа.
1
1
1
3
3
3
2
<
2
2
=
>
>
<

= 3
> 1
> 2
< 3
= 1
= 2
Преврати записи Буратино в верные равенства и неравенства.   Поставь в «окошки» нужные числа.
1
1
1
3
3
3
2
2
2
ПРОВЕРЬ!

= 3
> 1
> 2
< 3
= 1
= 2

ВЫВОД
Я хорошо работал и все понял.
Я отлично работал, все понял, могу объяснить другим.
Мне нужна консультация.
Спасибо!


title: Презентация на тему: Отношение двух чисел

text:
1) 2:5              2) 7: 16            3)14 : 35
               4)21:48             5)20:50


text:
55
=
15
=
1
=
28
=
1;83
=
=
1;101
=
1
=
24
=
77
=
1)
2)
1)
3)
4)
5)
3)
2)
5)
4)
12
1
2
3
9
6
12
11
10
8
7
4
5

20%
?


Презентация на тему: Отношение больше, меньше


title: Презентация на тему: Отношения

text:
35
40
29
32
45
26
49
38
41
28
43
31
50
48
34
39
36
27
33
42
44
46
47
30
37
15
 ?


Презентация на тему: ОТНОШЕНИЕ БОЛЬШЕ, МЕНЬШЕ (1 КЛАСС)


title: Презентация на тему: Отметьте на координатной прямой

text:
-1
1
0
2
3
4
-1
0
1
2
3
4

-1
0
1
2
3
4
5
-1
0
1
2
3
4
5
-1
0
1
2
3
4
5
-
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-2
-1
0
1
2
3


Презентация на тему: Отношения частей и целого в окружающем мире и в математике


title: Презентация на тему: Отношения

text:
?
1
3
3
4,1
5
11
130
10
20
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
   180
180
170
160
150
140
130
120
110
100
80
0
10
20
30
40
50
60
70
0
40
30
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
0       1        2       3         4        5         6        7        8         9       10      11      12       13      14      15      16      17
1
2
3
9
6
12
11
10
8
7
4
5


title: Презентация на тему: Открытый урок математики в 5 классе

text:
Открытый урок математики в 5 классе.
Подготовила учитель математики ГБОУ СОШ №285 имени
В.А. Молодцова  Портяная Галина Анатольевна.

Г. Москва 2014 год.
Ребята, помогите ответить
 на вопросы.
Как помочь  трем поросятам разделить яблоко поровну?
Прочитайте дроби

1.  Как называется число 5 в записи
Какая дробь называется правильной?
Какая дробь называется неправильной?

Назовите правильные и неправильные дроби.
                   Давайте попробуем решить эту задачу:

Просьба этот рецепт не повторять

Тема урока:

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
Цель: учимся складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями,
 нужно знаменатель оставить тем же, а числители сложить.
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
Запишите!
Запомните.
Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями,
нужно знаменатель оставить тем же, а числители вычесть.
Ищет вещи Маша, (поворот в одну сторону)
Маша-растеряша. (поворот в другую сторону, в исходное положение)
И на стуле нет, (руки вперед, в стороны)
И под стулом нет, (присесть, развести руки в стороны)
На кровати нет,
(руки опустили)
(наклоны головы влево - вправо, «погрозить» указательным пальцем)
Маша-растеряша!
Решаем вместе
Образец записи
Работа с учебником
Работа у доски:
 №
№
Самостоятельная работа
Вариант 1
Вариант 2
Проверяем ответы
Спасибо за урок
Молодцы!


title: Презентация на тему: Отношения

text:
 Тема:  Отношения.

Математика  6 класс.
 Составил: Буторова О.А. учитель математики
МКОУ «Батуринская СОШ»
Кто быстрее? Найдите в таблице последовательно все числа от 26 до 50
№ 746
Найдите значение выражения:

Записать возможные отношения:

а) зеленые к желтым
б) зеленые к розовым
в) желтые к розовым
На столе стоят кружки.Что означают отношения: а) 6 к 10б) 4 к 10в)  4 к 6

В классе 36 учащихся
15
 ?
Какую часть учащихся составляют мальчики, а какую девочки?
№ 729
№ 732
Молоко разлили в три бидона.
0,1 всего
молока
0,3 всего
 молока
0,6 всего
молока
а) 0,1 к 0,3
б) 0,1 к 0,6
в) 0,3 к 0,6
 г) (0,3+0,1) к 0,6
Что показывает отношение:
Использованы картинки для создания презентаций Савченко Е.М. МОУ гимназия №1, г.Полярные зори Мурманской области.Шаблон для презентаций   Татьяны ПисаревскойМатематика 6 класс. Виленкин Н.Я.


title: Презентация на тему: Открытый урок «Математический бой» 11 класс

text:
Открытый урок    «Математический бой» 11класс

Презентацию составила
Ларионова Татьяна Ивановна
 учитель математики МБОУ СОШ № 28,
 г. Березники 2013 г.
ЦЕЛИ  И  ЗАДАЧИ
Долгосрочная цель: качественная подготовка к ЕГЭ.
Цель урока: повторить задания  В7, В6,С1.
Задача. Уметь выполнять вычисления и преобразования, действия с функциями, исследовать простейшие модели. Применять знания ,умения навыки при решении поставленной задачи в любой нестандартной обстановке.
ПРАВИЛА  ВЕДЕНИЯ   БОЯ
За нарушение воинской этики( пререкания с командиром, оскорбления  противников, нездоровый смех и т,д.)  – штраф (1 трофей).
Беспрекословное подчинение старшему по званию и отделенным.
Разминка
Р А З В Е Д К А
Р А З В Е Д К А
Р А З В Е Д К А
Р А З В Е Д К А
Р А З В Е Д К А
Р А З В Е Д К А
П   Е   Р   Е   С   Т   Р  Е  Л  К  А
А  Т  А  К  А , О  Б  О  Р  О  Н  А
Затишье(математическое лото)
Ход боя:
ЛИТЕРАТУРА
Р.S.
               Ларионова Т.И благодарит:                                    1. Норина Александра Алексеевича  за помощь при составлении военного плана.
    2. 11  «а» класс за боевой дух.


title: Презентация на тему: Особенности математических способностей одаренных детей и их развитие в условиях внеклассной работы

text:
ОСОБЕННОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ ОДАРЕННЫХ ДЕТЕЙ И ИХ РАЗВИТИЕ В УСЛОВИЯХ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ
Ученик - это не сосуд, который надо наполнить, а факел, который надо зажечь.Плутарх
Под одаренностью ребенка понимаются более высокая, чем у его сверстников при прочих равных условиях, восприимчивость к учению и более выраженные творческие проявления.
 Выделяют три категории одаренных в умственном отношении детей:

дети с необыкновенно высоким общим уровнем умственного развития при прочих равных условиях;

дети с признаками специальной умственной одаренности (профильная одаренность);

дети потенциально одаренные, обладающие яркой познавательной активностью и незаурядными умственными резервами, но не достигшие успехов в учении и пока себя не проявившие.
Критерии выявления математических способностей учащихся в ходе решения задач
Скорость
Прочность
Глубина
Результаты тестирования
Участник 1 – высокий результат;
Участники 2 и 3 – средний результат;
Участник 4 – низкий результат.

Система работы по развитию математических способностей учащихся во внеурочной деятельности
1 этап
 разработка программы
2 этап
тестирование учащихся и формирование группы
3 этап
работа по реализации программы в группе
Цель кружковой работы
увлечь учащихся математикой, помочь почувствовать ее красоту, пробудить интерес к математике у тех, кто его до сих пор не испытывал, дать возможность учащимся  обнаружить в себе математические способности;
развивать творческие способности у учащихся, умение самостоятельно добывать знания;
расширить и углубить базовую программу по математике;
реализовать личностно-ориентированный подход в обучении математике.
Задачи кружковой работы:
Привитие интереса к математическим знаниям;
Развитие математического кругозора;
Привитие навыков самостоятельной работы;
Развитие математического мышления, смекалки, эрудиции;
Показать связь математики с жизнью.

Стратегии
Ускорение
Индивидуализация
Обогащение
Основные формы проведения кружковой работы:
решение задач занимательного характера, задач на смекалку, разбор математических софизмов, проведение математических игр;
математический бой, турниры, эстафеты, викторины;
устные или письменные олимпиады;
заслушивание рефератов учащихся;
научно-исследовательская работа.

«Математические бои»
Участники олимпиады «Авангард» в 2011 году

Международный конкурс-игра «Кенгуру-2011»

Исследовательская работа «Золотое сечение вокруг нас» в рамках IV научно-практической конференции
МОБУ СОШ № 35
Модель системы работы по развитию математических способностей учащихся во внеурочной деятельности
Требования к учителю, работающему с одаренными детьми:
 Позитивная Я-концепция
Целеустремленность и настойчивость
  Зрелость
Эмоциональная стабильность
Доброжелательность
Эмпатийность
   Рефлексивность
Широкий кругозор.
Активность.
Гибкость ума
Креативность.
Стрессоустойчивость.
 Хорошее здоровье.
Иметь специальную подготовку для работы с одаренными детьми.
Уметь индивидуализировать обучение


title: Презентация на тему: Отношение величин 6 класс

text:
Отношение величинматематика 6 класс
Учитель математики
МОУ «Лицей №6» г.Воскресенск
Павлова Наталья Валерьевна
>
<
=
больше
меньше
равно
Назовите знаки сравнения:
Поставьте вместо * знак сравнения:
Кобра живет около 40 лет, а крокодил – около 200 лет. Как можно сравнить продолжительность их жизни?
На 160 лет крокодил живет дольше, чем кобра.
В 5 раз кобра живет меньше крокодила.
Продолжительность жизни кобры составляет пятую часть жизни крокодила.
«На сколько больше (меньше)?» – РАЗНОСТНОЕ сравнение.

«Во сколько раз больше (меньше)?» – КРАТНОЕ сравнение.
Кто сильнее : слон или муравей?
Вес муравья примерно 50 миллиграммов или 0,05 граммов, а слона – 5 тонн. При этом  муравей способен поднять груз весом в 0,5 граммов, а слон – в полторы тонны. Так кто из них сильнее?!
Тема урока: «Отношение величин»
Ну и кто из нас  сильнее?!
Так не честно!
Тебе помогает какое то «отношение»!
Кобра живет около 40 лет, а крокодил – около 200 лет. Как записать отношение величин?
200
40
На клумбе 6 белых и 12 красных роз.
Что показывают отношения?

Вариант 1

В классе 10 мальчиков и 15 девочек.
Вариант 2

В тетради 12 листов, из них 4 исписано.
По данному условию составь не менее двух отношений, объясни их смысл, упрости и вырази в процентах.

Фотография муравья, поднимающего листочек: http://fotoprom.pav.zp.ua/img/z/153/07.jpg

Фотография детей: http://s.pfst.net/2014.08/64452918186e0f5090d637a11fe499a38621f53893b_b.jpg
Активные ссылки на использование изображения (URL – адреса).
Фото крокодила:  http://klopik.com/uploads/posts/2009-11/1259566318_32.jpg
Фото муравья, поднимающего «бревно»: http://www.stihi.ru/pics/2011/08/12/8087.jpg
Фото слона с бревном:  http://2.bp.blogspot.com/-H_LClvrPQwY/Tpey7mK-IHI/AAAAAAAAH18/Xim2cUj-1Qw/s1600/295529.jpg

Фото клумбы:  http://nasotke.ru/wp-content/uploads/2014/05/planirovka-klumb-cvetnikov-1.jpg
Картинка с крокодилом: http://varja.narod.ru/album/anymal4a.gif
Картинка с коброй: https://img-fotki.yandex.ru/get/6416/108950446.137/0_d1a7a_7461b50d_S.

Фото школьной тетради:  http://www.fresher.ru/images/tetrad-v-kletku-treugolnik-romb-i-shestiugolnik/5.jpg
Картинка «Муравей поднимает слона»:  http://img1.liveinternet.ru/images/attach/c/10/111/521/111521967_3821971_slon_i_myr.jpg

Фотография мотороллера «Муравей»:  http://fotoprom.com/img/z/153/12.jpg
Фото кобры:   http://img0.liveinternet.ru/images/attach/c/7/94/956/94956526_94955928_20.jpg


title: Презентация на тему: Отношения и пропорции

text:
2
2
1
3
8


title: Презентация на тему: Отношения и пропорции 6 класс

text:
300
400
300
200
100
?
?
t
v
s
?
200
?
100
t
v
s
7
1/20
38
10
1/7
20
3
1/38
O
R
L
PROBLEM


title: Презентация на тему: Отношения между понятиями

text:
D
40
30
30
40
26
20
52
?


title: Презентация на тему: Отношение в математике

text:
=0,4=400/0
2:5=


title: Презентация на тему: Отношения в решении задач

text:
0,2
0,2; 0,8; 3,2; 12,8; 51,2.
140%

          =

         =

         =

                                       =
                 3:4=6:8

                                    =1:3

3:4 = 6:8
3:4 = 6:8


title: Презентация на тему: Отношения. Пропорции.Подготовка к контрольной работе

text:
www.themegallery.com
LOGO
1
2
3
4


text:
1
2
3
4


title: Презентация на тему: Решение задач по теме:«Отношения. Масштаб.» 6 класс

text:
2:3:2
4:6:3
2:3:4
6:2:3
5:3:4
1:2
777
1,69
22,5
110
144
123


Презентация на тему: Отрезок. Луч. Прямая


title: Презентация на тему: Отражение свойств функции в пословицах и поговорках

text:
Отражение свойств функции в пословицах и поговорках
1
2
Цель урока:
Изобразить  графически  как  некоторую  функцию пословицу  и  описать  свойства  функции-пословицы.

Возрастающая функция
Функция  y=f(x) называется возрастающей на  множестве Х⊂D(f), если  для любых                множества  X, таких, что
выполняется неравенство
х

3
х
у
Профессионализм мастера
Качество работы
Какие две точки на оси абсцисс ни взять, для более дальней (каков мастер…) значение функции будет больше (… такова и работа)

Каков мастер, такова и работа.
4
х
Продвижение в лес
Количество дров
Какие две точки на оси абсцисс ни взять, для более дальней (чем дальше в лес…) значение функции будет больше (… тем больше дров)

Чем дальше в лес, тем больше дров
5
х
Степень образованности.
Количество  спроса
Какие две точки на оси абсцисс ни взять, для более дальней (степень образованности…) значение функции будет больше (… количество спроса)

Кто много знает,
с  того  много и  спрашивается.
6
Убывающая функция
Функция y=f(x) называется убывающей на множестве Х⊂D(f), если для любых                из  множества X, таких, что               выполняется неравенство
х

7
х
Количество начальства
Мера толка
Какие две точки на оси абсцисс ни взять, для более дальней (начальства много…) значение функции будет меньше (…а толку мало).
Начальства много, а толку мало

8
х
Количество слов
Эффективность дела
Какие две точки на оси абсцисс ни взять, для более дальней (много слов…) значение функции будет меньше (…мало дела).
Где много слов, там мало дела

9
Определение: Функцию у=f(х) называют ограниченной снизу на множестве Х⊂D(f), если существует число m такое, что для любого значения  х є Х  выполняется неравенство f(x)>m.
Ограниченность функции
Определение: Функцию у=f(х) называют ограниченной сверху на множестве Х⊂D(f), если существует число М такое, что для любого значения  х є Х  выполняется неравенство f(x)<M).

Если функция ограничена и снизу и сверху, то её называют ограниченной.

y=f(x)
y=m
y=M
y=f(x)

10
х
у
Мера
Высота

Расстояние
Функция ограничена сверху, если весь ее график расположен ниже некоторой горизонтальной прямой y=M.

Выше меры конь не скачет
y=M
11
х
у

Песни сороки
Сорока никогда соловьиные песни не поет
y=M
Соловьиные песни
Уровень профессионализма пения
«Сорока никогда соловьиные песни не поёт». Уровень пения в полном соответствии с пословицей будет ограничен сверху уровнем пения мастерства соловья.
12
Наибольшее значение функции
Число М называют наибольшим значением функции у=f(x) на множестве  Х⊂D(f), если:
 Существует число хо є Х такое, что f(xo)=M;
 Для любого значения х є  Х выполняется неравенство f (x) ≤ f(x0).
х
f(x)

13
М
х
время
Степень дружбы

Дружный табун и волков не боится

«Дружный табун и волков не боится».
По мере того, как табун становится дружнее и сплоченнее (достигает своего наибольшего значения), после этого табун уже не боится волков.
f(x)

14
х
Речь
Ум
Речь можно произнести любую, но когда она достигает своего наибольшего значения, т.е становится умной, то её слышно везде, даже и в потёмках.
Умные речи и в потемках слышно

f(x)
15
Наименьшее значение функции
f(x)

y
Число  m называют  наименьшим значением функции у=f(x) на множестве  Х⊂D(f), если:
 Существует число хо є Х такое, что f(xo)=m;
 Для любого значения х є  Х выполняется неравенство f (x) ≥ f(x0).
16
m
х
у
От погасшего угля не добудешь огня

В определенный момент, когда угли совсем остынут, (наименьшее значение температуры) от них уже невозможно будет вновь зажечь огонь.
Температура
время
17
х
у
Где тонко, там и рвётся

  В определенный момент, когда прочность нити  будет наименьшей,  то она порвётся.
Прочность нити
18
19
  Поменьше говори – побольше услышишь.
  Наварила ровно на Маланьину свадьбу.
  Снег глубок — хлеб  хорош.
  С книгой поведешься — ума наберешься.
  Кому повезет, у того и петух несется.
  Не подымай меня высоко, да и не опускай низко.
20
       Среди пословиц и поговорок выбрать те, где можно описать свойства функций: Возрастание, убывание, ограниченность, наибольшее и наименьшее значения функции. Изобразить графически.

 Каков уход, таков и скот.
 Коли изба крива – хозяйка плоха.
 Плохие пчелы – плохой мед.
 Маленькие детки – маленькие бедки, а вырастут велики – большие бедки будут.
 Какова земля, таков и хлеб.
 В хороший год хорош и приплод.
 Что посеешь, то и пожнешь.
 Каково лето, таково и сено.
 Февраль богат снегом, апрель – водою.
 Каков мастер, такова и работа.
 Каков работник, такова ему и плата.
 Большому кораблю - большое плавание.
 Каково испечёшь, таково и съешь.
 Каков гость, таково ему и угощение.

21
 Подальше положишь – поближе возьмёшь.
 Мать высоко замахивается, да не больно бьёт, мачеха низко замахивается, да больно бьёт.
 Тише едешь – дальше будешь.
 Безмерная хвала чести вредит.
 Кто мало говорит, тот больше делает.
 Начальства много, а толку мало.
 Лучше меньше, да лучше.
 Редкое свидание – приятный гость.
 Где много слов, там мало дела.
 Долго спать – добра не видать.
 Первый день гости – золото,
  Второй – серебро,
  Третий – медь.
 Курить – здоровью вредить.
 Сытая лошадь меньше ест
 Подальше от кузни – поменьше копоти.
 Кто много врёт, тот много божится.
22
23
  С пьяным не бранись, с богатым не тянись.
  Когда я ем, я глух и нем.
  Ни себе, ни людям.
  Межа – и твоя, и моя.
  Вчера не догонишь, а от завтра не уйдешь.
 Осёл и в Киеве конем не будет.
 Знай сверчок, свой шесток.
  Кобыле брод, курице потоп.
  Сорока никогда соловьиные песни не поет.
  Долго спать – добра не видать.
 Безмерная хвала чести вредит.
 Никто про себя худа не скажет.

 На одном гвозде всего не повесишь.
 Дружный табун и волков не боится.
 Гроза бьет в высокое дерево.
 Наварила, ровно Маланьину свадьбу.
 Званому гостю – первое место.
 Не всем казакам в атаманах быть.
 Недосол на столе – пересол на спине.
 Аппетит приходит во время еды.
 В единении – сила.
Дружные сороки и гуся утащат.
 Доброго человека в красный угол сажать.
 Кому повезет, у того и петух несется.

24


title: Презентация на тему: Отношения 6 кл


title: Презентация на тему: Отношения


Презентация на тему: «Отрицательные числа» 6 класс


title: Презентация на тему: Отрезок. Длина отрезка. Треугольник. Задания по теме

text:
ОТРЕЗОК.
ДЛИНА ОТРЕЗКА.
ТРЕУГОЛЬНИК.

Задания по теме
Запишите все отрезки,
которые вы видите
на чертеже.

DB
AD
CB
CD
AC
AB
Какие из точек, указанных
на рисунке, лежат на отрезке АВ,
 а какие не лежат?

А
В
С
D
M
K
N
А
B
C
E
D
K
1. Назовите стороны
большого треугольника.
2. Запишите в тетрадь
все отрезки, которые
видите.

3. Назовите отрезки,
которым
принадлежит
точка D.

Практические задания
1.  Начертите отрезок АВ = 6 см. Поставьте на нём точку М так, чтобы отрезок АМ был длиннее отрезка МВ.
2. Начертите отрезок ОК = 8 см. Поставьте на нём точку  А так, чтобы отрезок ОА был в 2 раза короче отрезка АК.
3. Начертите два отрезка так, чтобы они имели одну общую точку.
4. Длина одного отрезка 4 см, второй на 1 см короче первого, а длина третьего равна сумме длин двух других. Начертите этот отрезок. Чему равна его длина?


Презентация на тему: Отрезок. Прямая. Луч.


Презентация на тему: Отрицательные числа в Математике


title: Презентация на тему: Отрицательные числа

text:
-50
-40
-30
-20
-10
00
10
20
30
40
50
60
-1+5=4
-5+3=-2
-5+5=
-4+12=
-13+8=
-1+5=
-1+1=
-6+15=
-2+6=
-8+10=
-10+7=
-14+4=
0
8
-5
4
0
9
4
2
-3
-10
-50
-40
-30
-20
-10
00
10
20
30
40
50
60
3 - 6= -3
-50
-40
-30
-20
-10
00
10
20
30
40
50
60
3 - 6= -3
200
90
160
70
20
80
10-7=
0-10=
-1-8=
-8-10=
-6-14=
1-3=
-5-5=
-8-10=
-10-1=
7-13=
3
-10
-9
-18
-20
-2
-10
-12
-11
-6
200
90
160
70
20
80
200
90
160
70
20
80

-50
-40
-30
-20
-10
00
10
20
30
40
50
60
-1+5=4
-5+3=-2
-5+5=
-4+12=
-13+8=
-1+5=
-1+1=
-6+15=
-2+6=
-8+10=
-10+7=
-14+4=
0
8
-5
4
0
9
4
2
-3
-10
10-7=
0-10=
-1-8=
-8-10=
-6-14=
1-3=
-5-5=
-8-10=
-10-1=
7-13=
3
-10
-9
-18
-20
-2
-10
-12
-11
-6
200
90
160
70
20
80
200
90
160
70
20
80

-5+5=
-4+12=
-13+8=
-1+5=
-1+1=
-6+15=
-2+6=
-8+10=
-10+7=
-14+4=
0
8
-5
4
0
9
4
2
-3
-10
-50
-40
-30
-20
-10
00
10
20
30
40
50
60
3 - 6= -3
200
90
160
70
20
80

-5+5=
-4+12=
-13+8=
-1+5=
-1+1=
-6+15=
-2+6=
-8+10=
-10+7=
-14+4=
0
8
-5
4
0
9
4
2
-3
-10
10-7=
0-10=
-1-8=
-8-10=
-6-14=
1-3=
-5-5=
-8-10=
-10-1=
7-13=
3
-10
-9
-18
-20
-2
-10
-12
-11
-6


title: Презентация на тему: Отношения между множествами

text:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
4  6  8  100  102  104
   108
   112
200   220
11 13 15
21 23 25
27 29 31
33  35  37  39 41 43 45
 12 14 16
 20 22 24
    1
       2   3    4

       2   3    4
1
2
3
4
5
6
10
11
12
7
8
9
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3


title: Презентация на тему: Отрезок. Длина отрезка

text:
D
N
N
K
F
D
E
M
Q
C
12
B
A
R
O
H
P
T
14


Презентация на тему: Отыскание части от целого и целого по его части


title: Презентация на тему: Паралелльность прямых

text:
1828 - 1910
1792 - 1856
1711 - 1756
1473 - 1543
1451 - 1506
D
D
N
F
S
C1
D
D1
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
0       1        2       3         4        5         6        7        8         9       10      11      12       13      14      15      16      17
n
m
1828 - 1910
1792 - 1856
1711 - 1756
1473 - 1543
1451 - 1506


title: Презентация на тему: «Отрезок» 1 класс

text:
Урок геометрии1 класс
Выполнил учитель начальных классов МОУ Тунгусовской СОШ Петроченко М.П.

Отрезок
Цели и задачи
Познакомить с геометрической фигурой «отрезок».
Определить признаки отрезка.
Научить распознавать прямые линии и отрезки.

отрезок

ЗАПОМНИ

Отрезок – это геометрическая фигура, состоящая из точек. Отрезок имеет начало и конец.

Задание: Сравните. Разбейте на две группы.

1
3
2
4
5
ПРОВЕРКА
ПРЯМЫЕ
ОТРЕЗКИ
2
4
1
3
5
Молодцы

Найдите отрезки на рисунке
ПАМЯТКА
1. Положить линейку на лист бумаги.
2. Поставить карандаш на деление 0.
3. По линейке вести прямую линию до нужного деления.
4. Обозначить начало и конец отрезка.

ВЫВОД
Прямая линия не имеет ни начало, ни конца. Прямая линия бесконечна.
Отрезок имеет и начало и конец.

СПАСИБО


title: Презентация на тему: От натурального числа до мнимой единицы

text:
Выполнил
ученик 11 «Б» класса
Духанов Данил.
Образовательное учреждение:
МОУ СОШ №2 г. Пугачёва
Руководитель:
учитель высшей категории
Горина Т. Е.
От натурального числа  до мнимой единицы
Пугачёв 2009г
Региональном конкурс ученических творческих работ по математике
«Математика в моей жизни – 2009»
Понятие числа является основным стержнем всего школьного курса математики, пронизывающим этот курс от первого до последнего класса. И, конечно, только в старших классах уместен достаточно полный, систематизирующий взгляд на общую картину завершившегося эволюционного процесса. Я решил написать свою работу учителям математики в поддержку уроков, а также же для расширения кругозора учеников, особо интересующихся математикой.
«Если бы не число и его природа, ничто
существующее нельзя было бы постичь им
само по себе, ни в его отношениях к другим
вещам. Мощь чисел проявляется во всех
деяниях и помыслах людей, во всех ремеслах и в музыке»
  	 Пифагореец Филолай, 5 в. до н. э.

Цель моей работы:
рассказать об истории возникновении большинства существующих  видов чисел,
отдельно рассмотреть комплексные числа, выяснить насколько они полезны и найти их практическое применение.

Задачи:
1. Собрать материал по своей теме, «провести» слушателей по всей истории возникновения чисел.

2. Подробно рассказать о комплексных числах.

3. Выяснить, а нужны ли вообще комплексные числа в современном мире?

4. Найти применение комплексных чисел в различных отраслях науки.

Древнегреческие математики считали “настоящими” только натуральные числа. Постепенно складывалось представление о бесконечности множества натуральных чисел.

Самым первым инструментом счета у древнего пещерного человека, безусловно, были пальцы рук. Сама природа предоставила человеку сей универсальный счетный инструмент. У многих народов пальцы (или их суставы) при любых торговых операциях выполняли роль первого счетного устройства. Для большинства бытовых потребностей людей их помощи вполне хватало. К счету по пальцам рук восходят многие системы счисления, например пятеричная (одна рука), десятеричная (две руки), двадцатеричная (пальцы рук и ног), сорокаричная (суммарное число пальцев рук и ног у покупателя и продавца). У многих народов пальцы рук долгое время оставались инструментом счета и на наиболее высоких ступенях развития.
Давным - давно…

	Позже, в III веке Архимед разработал систему обозначения вплоть до такого громадного как
	Наряду с натуральными числами применяли дроби - числа, составленные из целого числа долей единицы. В практических расчетах дроби применялись за две тысячи лет до н. э. в древнем Египте и древнем Вавилоне.
	Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел - это было сделано китайскими математиками за два века до н. э. Отрицательные числа применяли в III веке древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действия над ними, а в VII веке эти числа уже подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения величин. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения - положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя: нет такого числа , чтобы

Развитие числа
Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений
 не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида
нужно только действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что
 Кардано называл такие величины “чисто отрицательными”, считал их бесполезными и старался их не употреблять. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней.

Итак, в настоящем времени существует семь общепринятых уровней обобщения чисел: натуральные, рациональные, действительные, комплексные, векторные, матричные и трансфинитные (последние я упомянул лишь для ознакомления, они изучаются только на последних курсах высшей математики).

Развитие числа

Комплексные числа

N
Z
Q
R
Целые
Рациональные
Действительные

Исторические факты
Впервые мнимые величины появились в работе Дж. Кардано «Великое искусство, или об алгебраических правилах» в 1545 году.
Пользу мнимых чисел при решении кубических уравнений впервые оценил итальянский ученый Р. Бомбелли (1572).
Символ i (imaginaire) предложил российский ученый Л. Эйлер (1794).
Задача о выражении степени n из комплексного числа была в основном решена в работах английских ученых А. Муавра (1707, 1724) и Р. Котеса (1722).
Термин «комплексное число» ввел французский ученый Л. Карно (1803).
В употребление термин вошел после работ К. Гаусса (1831).
Полное геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе датского ученого К. Весселя (1799).
Геометрическое представление комплексных чисел называют иногда «диаграммой Аргана» в честь швейцарского ученого Ж. Аргана.

Общий вид комплексного числа: z = a + bi,где a и b – действительные числа, а i =      . a называют действительной частью числа и обозначают  Re,
 b – мнимой, обозначают Im.

Если 	z = a + bi		z = a – bi,

то произведением и суммой сопряжённых чисел являются действительные числа:
z + z = a + bi + a – bi = 2a
z ∙ z = (a + bi)(a - bi) = a2 + b2

Сопряжённые числа

Действия
с комплексными числами
Сумма: (a + bi) + (c + di) =  (a + c) + (b + d)i

Вычитание: (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i.

Произведение: (a + bi) ∙ (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc) i.

Деление:

Примеры:
Найти разность и частное комплексных чисел

Квадратные уравнения можно решать с
 помощью комплексных чисел (Если D < 0, то
 Например, уравнение:

z2 - 3z + 8,5 = 0,
 D = -25,
 z1, 2 =
Решение квадратных уравнений
с помощью комплексных чисел

Модулем комплексного числа называют длину вектора, соответствующего числу. Численно он равен корню из произведения двух сопряженных чисел:r = |z| = |a + bi| =
Модуль комплексного числа

В прямоугольном треугольнике OMN длины катетов ON и OM равны соответственно a и b, а длина гипотенузы OM равна |z|. Из тригонометрии известно, что отношение длины катета к длине гипотенузы равняется косинусу прилежащего угла и синусу противолежащего. Следовательно:a = Re z = | z | ∙ cos φ,b = Im z = | z | ∙ sin φ, где φ – аргумент комплексного числа z.
Радиус-вектор OM соответствует комплексному числу z = a + bi

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел
y

M

a
N

O
x

φ = arg z
b
φ

Тригонометрическая форма
записи комплексных чисел
Таким образом:z = a + bi = |z| ∙ cos φ + |z| ∙ sin φ ∙ i = |z| ∙ (cos φ + i sin φ).
Произведение двух комплексных чисел будет равно:z1 ∙ z2 = |z1| ∙ |z2| (cos (φ1 + φ2) + i sin (φ1 + φ2)).
При умножении комплексных чисел их модули необходимо перемножить, а аргументы – сложить.
При делении необходимо произвести обратные операции: поделить модули и вычесть аргументы.

Алгебраическая
z =a + bi
Тригонометрическая
z = r (cos φ + i sin φ)
Показательная
z = r e iφ ,
e iφ = (cos φ + i sin φ) – формула Эйлера
Формы записи комплексных чисел

Доказать, что если в плоскости параллелограмма ABCD существует такая точка М, что |MA|2+|MC|2=|MB|2+|MD|2, то  ABCD - прямоугольник.
Решение. Если за начальную точку принять центр параллелограмма ABCD, то при принятых ранее обозначениях с = -a, d= -b, и поэтому данное в условии равенство будет эквивалентно равенству                ,
которое означает,  что диагонали параллелограмма
равны, т. е. он прямоугольник.
Применение комплексных чисел в планиметрии

Формулой Муавра называют выражение, получаемое при возведение комплексного числа в степень n:zn = rn (cos nφ + i sin nφ).

Формула Муавра
Для любого Z= r (cos φ+ i sin φ)≠0  и любого натурального числа n
Абрамах Муавр (Moivre)
(1667 – 1754)
Карл Фридрих Гаусс (Gauss)(1777 – 1855)
Карл Фридрих Гаусс – немецкий математик. Работы Гаусса оказали большое влияние на развитие теории чисел.

Леонард Эйлер (Eular)(1707 – 1783)
	Леонард Эйлер -
     математик, академик Петербургской академии наук. В его трудах многие математические формулы и символика впервые получают современный вид (ему принадлежат обозначения для e, , i).

Василий Сергеевич Владимиров
(1923 – )
Василий Сергеевич  -
советский и российский математик, академик, Герой Социалистического Труда (1983), лауреат Сталинской премии (1953) и Государственной премии СССР (1987), доктор физико-математических наук.

Основные труды по вычислительной математике, квантовой теории поля, теории аналитических функций многих комплексных переменных, уравнениям математической физики.

   Применение комплексных чисел
Сегодня сложно представить себе ряд наук без применения комплексных чисел. Теория электротехники, электромеханики, радиотехники, самолетостроения и других наук невозможна без применения моделей в виде комплексных чисел. Экономика, более сложная наука, до сих пор не знала применения комплексных чисел.

	Товар является носителем двух составляющих: потребительских свойств, объективно присущих товару, и цены - денежной оценки потребительских свойств товара конкретным потребителем. С учетом того, что и потребительские свойства товара и его цена являются необходимыми показателями свойств товара, возникает потребность разработки и использования комплексного показателя, характеризующего эти две стороны одного объекта. Именно таким показателем может стать комплексное число, состоящее из действительной и мнимой частей.
   Комплексные числа в экономике

Представив какую-либо оценку потребительских свойств товара П как действительную часть комплексного числа, а его цену Ц - как мнимую часть, получим:

Т = П + iЦ

   Комплексные числа в экономике

Большой вклад в развитие теории функций комплексной переменной внесли советские ученые: Н. И. Мусхелишвили занимался ее применениями к упругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев - к аэро- и гидродинамике, Н. Н. Богомолов и В. С. Владимиров - к проблемам квантовой теории поля.

Развитие учения о комплексных числах находит себе важнейшие применения в теории электротехники, электромеханики, радиотехники, самолётостроении и других наук.
Действия над комплексными числами связаны с важными действиями геометрического характера и имеют значительные и обширные приложения. Также с их помощью можно иногда с большей простотой получить такие результаты, относящиеся к действительным числам, которые без комплексных чисел получаются с большим трудом.

Введение комплексных чисел, помимо своего чисто математического значения, представляет собой едва ли не самую яркую на протяжении школьного курса иллюстрацию диалектического развития математических понятий. Совокупность комбинаций вещественного и чисто мнимого чисел образует единое стройное целое – мир комплексных чисел, находящий себе наглядную иллюстрацию в цельном и законченном образе комплексной плоскости. Вряд ли можно подыскать другой пример, который с такой яркостью, наглядностью, логической простотой и вместе с такой исчерпывающей полнотой мог бы иллюстрировать диалектические законы развития математических понятий.
Применение комплексных чисел в различных отраслях науки означает, что комплексные числа всё-таки придуманы не зря и нужны для дальнейшего изучения.

   Применение комплексных чисел

Результаты проведения элективного курса в 11 классе

«Мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием».                                                  Г.Лейбниц
Итак, в своей работе я представил вам историю возникновения чисел.
Подводя  итоги, можно сделать вывод: метод комплексных чисел в применении к решению задач по элементарной геометрии можно изучать старшим школьникам на факультативных занятиях, так как этот метод использует аппарат комплексных чисел, что, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников.
Спасибо за внимание!

А.Г Мордкович, П.В. Семёнов: «Алгебра и начала анализа» 10 класс. Москва: Мнемозина 2007;
А.П.Савин: «Энциклопедический словарь юного математика»;
Интернет-ресурсы.
Использованная литература


title: Презентация на тему: Параллелепипед и его объем

text:
.

F
A
         C
E
G
B
 D
H
a
a
a
1
1
 1
1
1
 1
a
b
c
a
b
c
V = abc


title: Презентация на тему: Отрезок. Прямая. Луч

text:
Отрезок.
Прямая.
Луч.
Лебедева Екатерина Александровна
учитель математики
ГБОУ лицей № 389 «ЦЭО» Кировского района
Санкт-Петербурга
Устный счёт.
1.Прочитайте числа:
180 000 509
300 001 700
608 600 005 003
2. Какое число нужно
вписать в
последнюю клетку?

63
:9
+23
:6
7
+15
7
30
5
35

50

42
:7
6
9
54
+6
60
:10
6
+24
30

3. Выразите в дециметрах:
50 см =
230 см =
67 м =
800 м =
4. Выразите в метрах:
600 см =
30 дм =
2 км =
12000 мм =
5 дм
670 дм
23 дм
8000 дм
6 м
3 м
2000 м
12 м
ЗАПОМНИ !
1 см = 10 мм
1 дм = 10 см
1 м = 10 дм = 100 см
1 км = 1000 м
Отрезок.

А
В
В
А
Отрезок

С
К
Сколько есть
 отрезков
соединяющих
точки С и К ?

С
К

Любые две точки можно
соединить только
одним отрезком.

Е
F
Y
P
D
N
M
Какие точки лежат
на отрезке EF?

Е
F
Y
P
D
N
M
Точки N,M, E, F лежат
на отрезке EF.

Е
F
Y
P
D
N
M
Какие точки
не лежат
на отрезке EF?

Е
F
Y
P
D
N
M
Точки Y, D, P
 не лежат
на отрезке EF.
Прямая.

А
В

Прямая
А
В

A
B
A
B
Прямая не имеет концов.
Она неограниченно продолжается
в обе стороны.

K
L
A
V
G
H
T
Какие из точек
лежат на отрезке KL
и на прямой KL?

K
L
A
V
G
H
T
Точки K, L, G лежат
на отрезке KL и на прямой КL.

K
L
A
V
G
H
T
Какие точки
 лежат на прямой KL и
не лежат на отрезке KL?

K
L
A
V
G
H
T
Точка V  лежит на прямой KL и
не лежит на отрезке KL.
Луч.

С
А
В

С
С
Луч  СА
Луч  СВ

M
N
S
Q
P
J
R
Какие из точек
лежат на луче MN?

M
N
S
Q
P
J
R
Точки M, N, S,Q
лежат на луче MN.
Отметьте в тетради точки С и D
и проведите прямую СD.
Отметьте на отрезке СD
точку М.
Решение:

С
D
М

Ответь на вопрос:

С
D
М

Лежит ли точка М на прямой СD?
Отметьте точки А и В на расстоянии 2 см
друг от друга. Проведите через
эти точки прямую и отложите на ней
отрезок АС длиной 5 см так, чтобы В и С
были по разные стороны от точки А.
Решение:

А
В
С

Задача
Путь от одной станции до другой
товарный поезд прошёл за 9 ч,
а пассажирский - за 6 ч.Найдите скорость
пассажирского поезда, если скорость
товарного поезда равна 40 км/ч.
Решение:

А
В

?

П. ? км/ч за 6ч.
Т. 40 км/ч за 9ч.
                                              1) 40   9 = 360 (км)-расстояние между городами
2) 360 : 6 = 60 (км/ч)

Ответ: 60 км/ч скорость пассажирского поезда.
Выполните действия:
8277:(3204:36)=
  3204 36
  288   89
324
324
     0

  8277 89
  801   93
267
267
     0

93
Домашнее задание:
п.3 стр. 16 читать
№ 101, № 105, № 106 (а).
Интернет  ресурсы
http://www.livegif.ru/


title: Презентация на тему: «Отношения и пропорции» 6 класс

text:
Исследователи

Авторы работы:
Резванова   Рузалия
Огородова   Настя
МОУ «Лицей №17»
6«Б» класс
Г.Берёзовский 2012 год.

Проект.
«Проценты – роль в жизни человека».

Проблемный вопрос.
«Пропорции и отношения»
Главные стадии процентов и пропорции
« Я слышу- я забываю,
Я вижу – я запоминаю,
Я делаю – я понимаю»
        Китайская пословица.
Цель:
Узнать что такое пропорции и отношения.
 Понять прямая и обратная пропорциональные зависимости.
Отношения
2:10=0,2
Отношение 2к10 равно 0,2
39:3=13
Отношение 39к3 равно 13

На самом деле что же такое отношения?

Отношения – это частное двух чисел . Оно показывает во сколько одно число больше второго , или какую часть одно число составляет от второго
Что показывает отношение двух чисел?

Оно показывает во сколько раз первое число больше второго , или какую часть первое число составляет от второго.
Задача
Какую часть урока занимала самостоятельная работа , которая длилась 20 минут , если продолжительность урока 45 минут?
20/45=4/9=0,44=44%
Ответ: самостоятельная работа занимает 44%урока.
Пропорции
20:4=0,5:0,1
5=5
Слово «пропорция» (от латинского propotio) означает  «соразмерность», определённое соотношение частей между собой.
В математике: Равенство двух отношений.
На самом деле что же такое пропорция?
Верная и неверная пропорции.
1,5:3=2,5:5
0,5=0,5
Верная пропорция

7:2=12,8:4
3,5 ? 3,2
Неверная пропорция

Крайние и средние члены пропорции.

a:b=c:d

Средние члены
Крайние члены
Основное свойство пропорции.
В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних.
 Признак : Если произведение  крайних равно произведению средних членов , то пропорция верна
Имеется ещё одно свойство!
  Если в верной пропорции поменять местами средние и крайние члены , то получившиеся новые пропорции тоже верны.
     1)a:b=c:d

      d:b=c:a
     2)a:b=c:d

      a:c=b:d
     3)d:c=b:a

           3:4=6:8

8:4=6:3

3:6=4:8

8:6=4:3
Золотым сечением и даже «божественной пропорцией» называли математики древности и средневековья деление отрезка, при котором длинна всего отрезка так относится к длине его большей части, как длинна большей части к меньшей. Приближенно это отношение равно 0, 618  ≈5/8. Золотое сечение чаще всего применяется в произведениях искусства, архитектуре, встречается и в природе.
Золотое сечение
Золотое сечение в архитектуре

 Перенесемся теперь в эпоху классической Греции. Великолепные памятники архитектуры оставили нам зодчие древней Греции. И среди первое место по праву принадлежит Парфенону. Храм Афины - Парфенон был построен в честь победы эллинов над персами. Для создания гармонической композиции на холме его строители даже увеличили холм в южной части, соорудив для этого мощную насыпь .
Построение   золотого сечения  в  математике
Золотое  сечение в изобразительном искусстве
Число  «пи»
 Произносится «пи») — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. Обозначается буквой греческого алфавита «пи». Старое название — лудольфово число.
  Длина окружности
 больше её диаметра  примерно в
П = 3.1415…
Сегодня исполняется ровно 250 лет с того дня, как немецкий физик и математик Иоганн Генрих Ламберт, отвлёкшись от своих трактатов по оптике и астрономии, доказал, что Пи является иррациональным числом. Это значит, что не существует таких целых чисел p и q, для которых было бы верно равенство Пи = p/q.
История
На первый взгляд, что здесь такого важного? Рациональное число или иррациональное — какая разница? В практическом инженерном применении это ничего не меняет, потому что при конструкции любого цилиндра или хирургической иголки они всё равно аппроксимируют Пи с погрешностью, допустимой для каждой конструкции. Это могли делать инженеры Римской империи почти так же успешно, как мы, оснащённые мощной компьютерной техникой (хотя у Пифагора, например, понятие иррациональных чисел вызывало столь сильное отвращение, что он вообще отрицал их существование).
История
История

Символ константы

Впервые обозначением этого числа греческой буквой  воспользовался британский математик Джонс в 1706 году, а общепринятым оно стало после работ Леонарда Эйлера в 1737 году.

Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφέρεια — окружность, периферия и περίμετρος — периметр.

История числа π шла параллельно с развитием все геометрии
й математики. Некоторые авторы разделяют весь процесс на 3 периода: древний период, в течение которого π изучалось с позиции геометрии, классическая эра, последовавшая за развитием математического анализа в Европе в XVII веке, и эра цифровых компьютеров.
История
Свойство

π — иррациональное число, то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби m/n, где m и n — целые числа. Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не является периодическим. Иррациональность числа π была впервые доказана Иоганном Ламбертом в 1761 году путём разложения числа  в непрерывную дробь. В 1794 году Лежандр привёл более строгое доказательство иррациональности чисел π и π2.
π — трансцендентное число, то есть оно не может быть корнем какого-либо многочлена с целыми коэффициентами. Трансцендентность числа π была доказана в 1882 году профессором Кёнигсбергского, а позже Мюнхенского университета Линдеманом. Доказательство упростил Феликс Клейн в 1894 году.
Поскольку в евклидовой геометрии площадь круга и длина окружности являются функциями числа π, то доказательство трансцендентности π положило конец спору о квадратуре круга, длившемуся более 2,5 тысяч лет.
Свойство

Известно много формул числа π:
Франсуа Виет:

Формула Валлиса:

Ряд Лейбница:

Тождество Эйлера:

Т. н. «интеграл Пуассона» или «интеграл Гаусса»

Интегральный синус:

Выражение через полилогарифм:

Соотношения
Решаем устно!
1.Найдите не верную пропорцию: А)18:6=24:8       В)30:5=42:7 Б)36:9=50:10        Г)63:9=28:4
2.Назовите крайние и средние члены пропорций(из задания 1)
Прямая  и  обратная пропорциональные  зависимости.
3,2:1,5=115,2:x
X=1,5*115,2:3,2=54
Ответ:54.

На самом деле что же такое прямая и обратная пропорциональная зависимости?
Прямая пропорциональная зависимость – это две величины , если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) в столько же раз.
Обратная пропорциональная зависимость-это две величины , если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается(увеличивается)во столько же раз.
Задача!
Для варки варенья из вишни на 6 кг ягод берут 4 кг сахарного песку . Сколько сахарного песку надо взять на:1)12 кг ягод? 2) 3 кг ягод?

Решение:
     6 кг ягод – 4кг песку
     12 кг ягод – х кг песку

     х = 12*4/6=8(кг)-надо взять;
Ответ:8кг.

  6кг ягод-4кг песку
   3кг ягод-х кг песку

   х = 3*4/6=2(кг)-надо взять;
Ответ:2кг.

Найдите длины сторон четырехугольника, если они пропорциональны числам 1, 3, 3 и 5, а самая длинная сторона больше самой короткой на 12 см.
х - самая короткая сторона
х + 12    - самая длинная сторона,
а также
остальные стороны      3х,   3х,   и   последняя   5х, то есть

х + 12 = 5х
4х = 12
х = 3  - самая короткая сторона  четырехугольника
3*3 = 9 вторая и третья
3*5 = 15  самая длинная сторона.
ЗАДАЧА
В 35 г пюре содержится 35 x 0,08 = 2,8 г воды и 35 – 2,8 = 32,2 г сухого вещества.
Добавим в пюре х грамм воды, тогда всего пюре станет (35 + х) г, воды в нем – (2,8 + х) г
Заметьте, что сухого вещества останется по-прежнему 32,2 г.

Составим пропорцию:
35 + x = 100%
2,8 + x = 86%

Решим пропорцию: (35 + x) x 86=(2,8 + x) x 100.

Получим: 3010 + 86x = 280 + 100x; 2730 = 14x; x = 195
Сколько надо добавить воды (в граммах) к 35 г сухого картофельного пюре с содержанием 8% воды, чтобы получить пюре с содержанием 86% воды?

1) 195 г;
2) 250 г;
3) 215 г;
4) 230 г.
1 площадь поля 80 га. Кукурузой засеяли 45% всей площади. Сколько гектаров поля засеяно кукурузой
80/100 * 0.45 = 0.36 -то есть засеяно кукурузой 36 га
ЗАДАЧА
Маленькое колесо повозки имеющая окружность 2,4 м обернулось на некотором расстоянии 1250 раз. Сколько раз обернулось на этом расстоянии0 большое колесо имеющая окружность 3м
Задача
1/2,4 — 1250 раз
1/3 — ? раз
Из пропорции получится 1000 оборотов
Можно и без пропорции, расстояние равно 2,4 м (на один оборот)* 1250(оборотов)=3000 м (всего)
3000 м / 3 м = 1000
     Масштаб
Масштаб – отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности . Масштаб бывает : числовой, линейный.

Масштаб (нем. MaВstab, букв. «мерная палка»: MaВ «мера», Stab «палка») — в общем случае отношение двух линейных размеров.
Особенности масштаба!
 Во многих областях практического применения масштабом называют отношение размера изображения к размеру изображаемого объекта.
1 : 100
Линейный масштаб представляет собой линию разделенную на равные отрезки.
Виды масштаба.
1) Линейный.
2)Численный.
Задача на масштаб.
Расстояние между г.Кемерово и Москва равно 3000 км
Масштаб 1 : 20 000 000
Решение:

1 : 20 000 000 = х : 300 000 000
Х=15см.
Расстояние между городами Кемерово и Москва на карет равно 15 см на карте.
Ответ: 15 см.

СПАСИБОЗАВНИМАНИЕ!!!


title: Презентация на тему: Отыскание части от целого и по части число

text:
Отыскание части от числа и числа по его части
Булдакова Л.П
 МОБУ « Новочеркасская СОШ»
Цель урока
Объяснить правила нахождения части от числа и числа по его части;
Повторить понятие дроби;
Развивать самостоятельность; мышление
Устная работа
Найти частное чисел
21 и 7; 3и 7; 1 и 8;
Постройте координатный луч с единичным отрезком 10 клеток и отметьте на нем точки
                А ( 3/10)  В (7/10) С (1/5)
                  Д(3/5) Е ( 1/2)
Сравнить дроби
8/13 и 10/13 ; 5/6 и 5/16; 10/11 и 10/110
         16/17 и 7/17
Решить задачу
В пятом классе 36 человек. В олимпиаде участвовало 1/9 учащихся.
Сколько учащихся участвовало в олимпиаде?
В олимпиаде участвовало 4 ученика, это составило 1/9 от всего количества учащихся.
Сколько всего учащихся?
Ответьте на вопросы
Какая величина принята за цело е в каждой задаче?
В какой задаче она известна, а в какой нет?
В какой задаче требуется найти часть от целого, а в какой – целое по его части?
Решение
36:9 *1 =4
4:1 *9=36
Правила
Чтобы найти часть от числа надо  число, соответствующее целому, разделить на знаменатель и умножить на числитель.
Чтобы найти по части целое число, надо   	число, соответствующее этой 	части, разделить на числитель и 	умножить на знаменатель
Зарядка для глаз

Решить задачи
№ 329
В классе 30 человек, 3/5 которых – девочки.
Сколько девочек в классе?

№328
За день пути
 лыжники прошли 34км что составило 2/5 всего маршрута.
Какова длина маршрута?
решение
30: 5*3 =18 человек.

Ответ : 18
34 : 2 *5= 85км

ОТВЕТ : 85 км
Выполнить самостоятельно
№325
№326
Задание на дом
№ 321
№ 322

http://static4.depositphotos.com/1000212/368/i/450/dep_3688256-School-background.jpg


title: Презентация на тему: Парабола

text:
Парабола
Презентацию подготовил
Ученик 5А класса
Градов Антон
Биография параболы
Год рождения –
	350 год до нашей эры
Родители –
	конус и плоскость
Национальность -гречанка
Парабола
Пара́бола (греч. παραβολή — приложение) — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом.
Коническое сечение
График функции
Параболой называют график функции

Парабола по точкам
Параболу можно построить «по точкам» с помощью циркуля и линейки, не зная уравнения и имея в наличии только фокус и директрису. Вершина является серединой отрезка между фокусом и директрисой.
ЭТО ДОЛЖЕН ЗНАТЬ КАЖДЫЙ!
Исследователи одним из первых источников называют Аристотеля. Стоики говорят о параболе в учении о тропах. В латинских риториках существует синонимичное по значению слово similitudo или collatio. Вплоть до поздней античности эти термины используются вместе с греческим вариантом.
В Ветхом завете и его толкованиях появляется синонимичное еврейское слово «машáль» (מָשָׁל). В раввинистической литературе термином «машаль» обозначались такие жанры, как притча и басня.

Парабола в природе
Парабола в космосе
Парабола в архитектуре
Парабола в творчестве художников
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!!!


text:
Нумерации разных народов и их возникновение
Наша цель:

Узнать, какими же знаками и системами счисления пользовались древние люди , египтяне, римляне, вавилоняне, арабы, и т. д.
Содержание
Счет у первобытных народов
Египетская нумерация
Римская нумерация
Славянская нумерация
Алфавитная нумерация
Вавилонская нумерация
Арабская нумерация

Счет у первобытных народов
      Появление счета
Счет появился тогда, когда человеку потребовалось информировать своих сородичей о количестве обнаруженных им предметов.

Самым простым инструментом счета были пальцы на руках человека

С их помощью можно было считать до 5, а если взять две руки, то и до 10.
 Первый счет
Одна из таких систем  счета впоследствии и стала общеупотребительной - десятичная.
Появление десятичной системы счисления
1 человек - это 20,
 2 человека - это два раза по 20 и т.д.

Например:
Преимущества и неудобства
Преимущества в том, что очень просто.

Неудобства в том ,что для счета нужны люди.
Египетская нумерация
История египетской нумерации
Одна из древнейших нумераций египетская. До нас дошли надписи, сохранившиеся внутри пирамид, на плитах и обелисках.
Очень наглядной была система этих знаков у египтян.
 Египтяне придумали эту систему около 5 000 лет тому назад.
 Это одна из древнейших систем записи чисел, известная человеку
Возникновение
Как и большинство людей для счета небольшого количества предметов Египтяне использовали палочки
Каждая единица  изображалась отдельной палочкой

Такими путами египтяне связывали коров   Если нужно изобразить несколько десятков, то иероглиф повторяли нужное количество раз. Тоже самое относится и к остальным иероглифам.
1
10
Это мерная веревка, которой измеряли земельные участки после разлива Нила.
100
1000
Цветок лотоса
Цифры Египта
головастик
100 000
1 000  000
10 000  000
Египтяне поклонялись богу Ра, богу Солнца и, наверное,так изображали самое большое свое число
Увидев такое число, обычный человек очень удивится и возденет руки к небу

1000

Поднятый палец - будь внимателен
Число 1 245 386 в древнеегипетской записи будет выглядеть
1
2
4
5
3
8
6

Например:
Преимущества и неудобства
Преимущества в том, что на тот момент не было лучше счета.

Неудобства в том ,что было тяжело писать.

Римская нумерация
Возникновение
Наиболее долговечной из древнейших цифровых систем оказалась римская нумерация.

Система римских цифр основана на употреблении особых знаков для десятичных разрядов .
Цифры Рима
В римской нумерации 7 цифр. Какие числа они обозначают, показывает следующая таблица:
Правило римской нумерации
Если меньшее число стоит слева от большего, то вычитаем.

Если меньшее число стоит справа от большего, то прибавляем.
Например:
четыре записывается как IV, т. е. пять минус один,
восемь — VIII (пять плюс три),
сорок—XL (пятьдесят минус десять),
 девяносто шесть—XCVI (сто минус десять плюс пять и плюс еще один) и т. д.

Преимущества и неудобства
Преимущества эта нумерация очень удобна, даже в наше время её используют.

Неудобства в том ,что объёмное написание
Славянская кириллическая   нумерация
Возникновение
Славянская кириллическая нумерация была создана по подобию греческой записи чисел греческими же монахами братьями Кириллом и Мефодием.
До XVII века эта форма записи чисел
  была официальной на территории
  России, Белоруссии, Украины, Болгарии,
  Венгрии, Сербии и Хорватии.
Славянские цифры
Правила написания
Так можно было записывать числа до 999. Для больших чисел
использовался знак тысяч ,
 который ставился впереди символа,
обозначавшего число.
Чтобы различать буквы и цифры,
 над числами ставился особый значок — титло ( ~ ).
Число 10000 опять обозначалось той же буквой,
только без титла,
 но его уже обводили кружком.
Для 10000 ставился
кружок из точек.
Преимущества и неудобства
Преимущества в том, легко считать. Она до сих пор используется в православных церковных книгах.

Неудобства в том ,что тяжелые правила написания.

Алфавитная нумерация








Возникновение
В середине V в. до н. э. появилась запись чисел нового типа, так называемая  алфавитная нумерация.

500  - 	
 -	
2    - 	
Например:
Записи –    все эквивалентны и означаютчисло 532.
    
500 30   2

   
 2   500  30
    
500  2   30

Преимущества и неудобства
Преимущества эта нумерация легка в счете.

Неудобства эта нумерация тяжела в написании.
Вавилонская нумерация
Возникновение
В древнем Вавилоне примерно за 40 веков до нашего времени создалась позиционная нумерация, то есть такой способ записи чисел, при котором одна и та же цифра может обозначать разные числа, смотря по месту, занимаемому этой цифрой. В вавилонской поместной нумерации ту роль, которую у нас играет число 10, играет число 60, и потому эту нумерацию называют шестидесятеричной.
Вавилонская нумерация
Первой известной нам позиционной системой счисления была шестидесятеричная система вавилонян, возникшая примерно за 2500-2000 лет до н.э. Основанием ее служило число 60 следовательно, в ней должно было быть 60 цифр.
Например:
Число 53 нужно было бы записать так:
Преимущества и неудобства
Преимущества легко считать.

Неудобства в том ,что объёмное написание.

Арабская нумерация
Это, самая распространенная на сегодняшний день нумерация, которой мы пользуемся в настоящее время.

Применяемые в настоящее время цифры :
сложились в Индии около 400 г.н.э Арабы стали пользоваться подобной нумерацией около 800 г.н.э., Арабские цифры:
В России арабская нумерация стала использоваться при Петре I (до конца XVII века сохранилась славянская нумерация)
Возникновение
История
Из арабского языка заимствовано и слово "цифра"
   (по-арабски "сыфр"), означающее буквально "пустое место"
   Это слово применялось для названия знака пустого разряда, и этот смысл сохраняло до XVIII века, хотя еще в XV веке появился латинский термин "нуль" (nullum - ничто).

Использовать на уроках занимательной математики в 5 классах гимназии №12.

Спасибо за внимание!!!

Презентацию подготовили:
ученики 5Г класса
 гимназии № 12
Матюнина Анастасия,
Кременевский Антон.


title: Презентация на тему: Параллелепипед

text:
Презентация
Алматинский  Государственный  бизнес  колледж
На тему: « Параллелепипед »

Выполнила: уч-ся гр 2 финБ

Преподаватель: Адильбекова У. К.
Текст надписи
Текст надписи
  Параллелепи́пед (от греч. παράλλος — параллельный и греч. επιπεδον — плоскость) — призма, основанием которой служит параллелограмм, или (равносильно) многогранник, у которого шесть граней и каждая из них параллелограмм.
             Различается несколько типов параллелепипедов:
    1.Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани прямоугольники;

    2.Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого 4 боковые грани прямоугольники;

    3. Наклонный параллелепипед — это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям.

    4.Куб — это прямоугольный параллелепипед
 с равными измерениями. Все шесть граней куба —
 равные квадраты.
дписи

кст надписи
Текст надписи

  Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.

  Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

  Противолежащие грани  параллелепипеда
параллельны и равны.

  Квадрат длины диагонали  прямоугольного
параллелепипеда равен сумме  квадратов
трёх его измерений.
А
В
С
D1
С1

Вершины - точки

Грани - прямоугольники
Ребра - отрезки
А1
D

В1
Какие предметы имеют форму прямоугольного
параллелепипеда?

a
c
V=abc
SABCD=ab
b
Объем

А
В
С
D
А1
D1
С1
В1

1м3
Единицы объема
1дм3
1см3
1мм3

1000
1000
1000

a
c

S=2ab
S=2(ab+ac+bc)
L=4(a+b+c)
L=4a
b
  Площадь поверхности:
Длина ребер:
+2bc
+2ac
+4b
+4c

a
V=a3

S=6a2
L=12a
Объем куба:
Площадь  поверхности куба:
Длина ребер куба:
a
a
3 м
5 м

7 м

         Вычисли общую длину ребер, площадь полной поверхности, объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями 7 м, 3 м, 5 м  и                  куба с ребром 4 см

4 см
         Площадь нижней грани прямоугольного параллелепипеда равна 24 см2.
         Определите высоту этого параллелепипеда, если его объем равен 96 см2.

V=96 см3
SABCD=24см2
А
В
С
D
А1
D1
С1
В1

8 м
6 м
12 м
Длина прямоугольного параллелепипеда 8 м, ширина 6 м и высота 12 м. Найдите сумму площадей наибольшей и наименьшей граней этого параллелепипеда.


title: Презентация на тему: Параллельность прямых

text:
a
b
c
C
a
b
c
1
4
3
2
a
b
c
1
4
3
2


title: Презентация на тему: Параллельность и перпендикулярность

text:
O
a
b
a
b
m
A
B
a
b


title: Презентация на тему: палестра на олимпе

text:
x
y
?
y
x
1
2


title: Презентация на тему: Параллельность прямой и плоскости

text:
D
N
D


title: Презентация на тему: Параллельность

text:
b
a
b
c
bIIc
460
460
a
b
aIIb
c
420
420
a
b
aIIb
c
3
b

1
2
c
420
1380
a
b
aIIb
c
b
a
d
c
1=   4
1
3
2
4
6
5
1=   3
1+   2 =1800
5+   6 =1800
a
b
c
bIIc
b
bIIc
c
a
b
a
b
a1
b1
a
b
A
B
C
D
AB=CD


title: Презентация на тему: Параллелепипед 9 класс

text:
D
D1
B1
C1
V=Sh
D
D1
B1
C1
D
D1
B1
C1
D
D1
B1
C1
d2 = 3a2
d
a
a
a


title: Презентация на тему: Параллельность прямых в пространстве

text:
b
a
b
c
a
b
c
d
M


title: Презентация на тему: Параллельность прямых и плоскостей

text:
Параллельность прямых и плоскостей.1.Признаки параллельности прямых.

С
а
b
a ǁ c; b ǁ c => a ǁ b
2.

a
b
α
β
a ǁ α, α ᴖ β=b  => a ǁ b
3.

a
β
γ
α ǁ β, γ ᴖ α= a,  γ ᴖ β=b => a ǁ b
α
b
4.Признак параллельности прямой и плоскости

a
b
α
a ǁ b, b ϵ α => a ǁ α
5. Признак параллельности плоскостей

О
а
b
α
a1
O1
b1
β
a ᴖ b = O, a ϵ α, b ϵ α, a ǁ a1, b ǁ b1, a1 ϵ β, b1 ϵ β                                => αǁβ
6.

B
C
A
C1
B1
α
7.

A
D
D1
B
C
C1


title: Презентация на тему: Параллельность плоскостей

text:
Параллельность плоскостей
Учитель математики: Скурлатова Ольга Викторовна
МАОУ СОШ №24 г. Тамбов

α ‖ β
α ⋂ β
Взаимное расположение плоскостей
Определение
Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются

α
β
α ‖ β

Признак параллельности плоскостей
a
b
α

b1
a1
β
Дано:  α; β;
a⊂α; a1⊂ β; a || a1;
b⊂α, b1⊂ β; b || b1;
a ⋂ b = M.
Доказать:  α || β
М
с
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны

Дано:  α, β, γ,  α ‖ β
γ ⋂ α = a, γ ⋂ β = b
Доказать: a || b
Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны
1 свойство параллельных плоскостей
Дано: α; β; γ;
α ‖ β;  γ ⋂ α = AC;
γ ⋂ β = BD; AB ‖ CD.
Доказать:   AB = CD
Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны
2 свойство параллельных плоскостей
Задача №54
Дано: ∆ ADC;
B∉(ADC);
AM=MB; CN=NB;
DP=PB; S∆ADC = 48 см2
а) Доказать:
(MNP) ‖ (ADC)
б) Найти: S∆MNP
Задача №63
Дано: α, β;  α ‖ β;
∠BAC;  AB ⋂ α = A1;  AB ⋂ β = A2;
AC ⋂ α = B1;  AC ⋂ β = B2;
Найти:
а) AA2 и AB2;
б) A2B2 и AA2.
а) A1A2=2A1A;  A1A2=12см; AB1=5см;
б) A1B1=18см;  AA1=24см; AA2=1,5A1A2.


title: Презентация на тему: Параллельные плоскости

text:
Параллельные  плоскости.

МОУ СОШ № 256
       г.Фокино

Две  плоскости  называются  параллельными,  если  они  не  пересекаются.
Плоскости

Пересекаются
Параллельны

β
α

α || β

α ∩ β
Признак
параллельности
плоскостей.
Если  две  пересекающиеся  прямые  одной  плоскости  соответственно  параллельны  двум  прямым  другой  плоскости,  то  эти  плоскости  параллельны.
  Дано:  а ∩ b = М;  а Є α;  b Є α
           а1∩ b1 = М1;  а1Є β;  b1Є β
           a || a1;  b || b1
   Доказать:  α || β

α
β
а
b
М
b1
а1
М1
Если  две  пересекающиеся  прямые  одной  плоскости  соответственно  параллельны  двум  прямым  другой  плоскости,  то  эти  плоскости  параллельны.

Доказательство:   (от противного)
Пусть  α ∩ β = с
Тогда  а || β, т.к. a || a1, а1 Є β
    а Є α;  α ∩ β = с,  значит  а || с.
b || β, т.к. b || b1, b1 Є β
    b Є α  α ∩ β = с,  значит  b || с.
Имеем  а || b,  то  есть
    через  точку  М  проходят
    две  прямые  а  и  b,
    параллельные  прямой  с.
Получили  противоречие.  Значит,  α || β .

α
β
а
b
М
b1
а1
М1

с
По признаку параллельности  прямой  и  плоскости  а || β  и  b || β.
Задача № 51.(еще  один  признак параллельности)
Дано:  т ∩ п = К,  т Є α,  п Є α,
            т || β,  п || β.
Доказать:  α || β.
Самостоятельно!!!
Доказательство
от  противного…
Задача № 51.(еще  один  признак параллельности)
Дано:  т ∩ п = К,  т Є α,  п Є α,
            т || β,  п || β.
Доказать:  α || β.
1)  Допустим,  что ___________

2)  Так  как  __________________,
      то  ______________________.
Получаем,  что
    ______________________________________________________.
Вывод:
α ∩ β = с
п || β,  т || β
т || с  и  п || с
через  точку  К  проходят  две  прямые  параллельные  прямой  с.
α || β
Задача № 53.
Дано: отрезки А1А2; В1В2; С1С2
О Є А1А2;  О Є В1В2;  О Є С1С2
А1О = ОА2;  В1О = ОВ2;  С1О = ОС2
Доказать:  А1В1С1 || А2В2С2

А1
В1
А2
В2
С2
С1

О

Задача № 53.
Дано: отрезки А1А2; В1В2; С1С2
О Є А1А2;  О Є В1В2;  О Є С1С2
А1О = ОА2;  В1О = ОВ2;  С1О = ОС2
Доказать:  А1В1С1 || А2В2С2
В2
С1

А1
В1
А2
С2

О

Задача № 54.

М
Р
N
А
В
 D
C

Задача № 54.

М
Р
N
А
 D
C

В
Ответьте  на  вопросы:
Могут  ли  прямая  и  плоскость  не  иметь  общих  точек?
Верно  ли,  что  если  две  прямые  не  пересекаются,  то  они  параллельны?
Плоскости  α  и  β  параллельны,  прямая  т  лежит  в  плоскости  α.  Верно  ли,  что  прямая  т  параллельна  плоскости  β?
Верно  ли,  что  если  прямая  а  параллельна  одной  из  двух  параллельных  плоскостей,  с  другой  плоскостью  прямая  а  имеет  одну  общую  точку?
Верно  ли,  что  плоскости  параллельны,  если  прямая,  лежащая  в  одной  плоскости,  параллельна  другой  плоскости?

Да
Нет
Да
Нет
Нет
Домашнее  задание:
П. 10,  №№ 55; 56; 57.

Удачи!


text:
a
b
m
n
k
e
d
f
a         e
m        n
 f         c
b        d
a
b
1
2
3
4

1 =  150
2
3
4
2  =  30
3  =  150
4  =  30
1
2
3
1)                  3  =       4
2)                  4  =       1
3)                  3  =       1  =  25
4)                  2  =       3  =  25
4
D
E
105
75
140
110
70
95
a
b
a
b
c
c
d
d
1
2
2
3
4
5
1
3
4
5


text:
Родионова Светлана Ивановна
учитель математики
ГБОУ СОШ № 235
Урок обобщающего повторения по теме            «Параллельность прямых и плоскостей в     пространстве.
    Аксиомы группы С.
Какова бы ни была плоскость, существуют точки,  принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

А
К
D
B
С

       Аксиомы группы С.
Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

С
с
   Аксиомы группы С.
Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

a
b
С

Через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и притом только одну.



М

Следствия из аксиом
Т1
Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит плоскости



А
В

Следствия из аксиом
Через 3 точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.



М

А
В

Следствия из аксиом
Через две ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ прямые проходит плоскость, и притом только одна.

к
Следствие из Т1

Вывод
Как в пространстве можно однозначно задать плоскость?
1.  По трем точкам
2. По прямой и не принадлежащей ей точке.
3. По двум пересекающимся прямым.
4. По двум параллельным прямым.
Сколько существует способов задания плоскости?
Сколько плоскостей можно провести через выделенные элементы?

а)
б)
в)
г)
д)
е)
Ответьте на вопросы
Нет
Да
Нет
Да
Нет
Да
Определите: верно, ли утверждение?

Дано: АВСD-параллелограмм
А, В, С  α
Доказать: D  α

А
В
С
D
•
•
•

•
Доказательство:
А, В  АВ, С,D  СD,
АВ  СD
(по определению параллелограмма) 
АВ, СD  α 
D  α

пересекаются
параллельны

а
а
а
b
b
b
скрещиваются
Лежат в одной плоскости
Не лежат в одной плоскости
Взаимное расположение прямых в пространстве.

Доказательство:

а
с
в1
в
β
α

В
1 случай.  а, в, с α  рассмотрен в планиметрии
2 случай.   а, в  α;  а, с  β

1. Возьмем т.В, В  в
Через т.В и с  проведем плоскость 
   α = в1

2. Если в1   β = Х,  Х  а, в1  α,
но Х  с, т.к. в1   ,     а т.к. а с  в1   β

3. в1  α, в1  а  в1  а     в1 = в (А параллельных прямых)

4.  в с
Теорема доказана.
•
Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны

Теорема о параллельных прямых.

К
a

b
Дано:  К  a
Доказать:
 ! b: К  b, b  a
Доказательство:
1.Проведем через прямую a и точку К плоскость α.
2.Проведем через т. К α прямую b, b a.(А планиметрии)
Единственность (от противного)
1.Пусть  b1: К  b1 , b1 a .Через  прямые a и b1 можно провести плоскость α1.
2. a , К  α1;  α1 и α (Т о точке и прямой в пространстве).
3.  b = b1 (А параллельных прямых). Теорема доказана.
Задание 1   Вставьте пропущенные слова

Единственную плоскость можно задать через три точки, при этом они                        на одной прямой.
2) Если          точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости.
3) Две различные плоскости могут иметь только одну общую
4) Прямые являются                                 в пространстве, если они не пересекаются и                    в одной плоскости.
5) Если прямая a  лежит в плоскости α, прямая b не лежит в плоскости α, но пересекает ее в точке
     В
 α, то прямые а и b
не лежат
две
прямую
параллельными
лежат
скрещивающиеся
Задание 2  Определите: верно, ли утверждение?
Нет
Нет
Да
Да
Нет
Задание 2  Определите: верно, ли утверждение?
Нет
Нет
Нет
Да
Задание 3
Дано: ВС=АС,
СС1 АА1,
АА1=22 см
Найти:  СС1
Решение:
АА1СС1,

АС = ВС

 С1– середина А1В
(по т.Фалеса) 

С С1- средняя линия  ∆АА1В 
С С1= 0,5АА1 = 11 см
Ответ: 11см.

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

Если прямая, не лежащая в данной плоскости,
параллельна какой-нибудь прямой,
лежащей в этой плоскости , то
она параллельна и самой плоскости.
Дано:
Доказать:

1.Через прямые a и  b проведем плоскость α

Пусть                  ,                  ,
 α
2. α  β =  b
Если a  β = Х, то Х  b, это невозможно, т.к. α   b
 a  β

 a    β
Теорема доказана.
Дано: а  α
а  β; β ∩ α = в
Доказать: а  в

Доказательство:
 а, в   β
Пусть в ∩ а, тогда а ∩ α,
что противоречит условию.
Значит в   а

Задание 2

 α
 β

а

в

A
В
С
Плоскость проходит через сторону АС   АВС. Точки D и E  - середины отрезков АВ и BC соответственно. Докажите, что DE  α

Доказательство:
1. Точки D и E  - середины отрезков АВ и BC соответственно 
2. DE – средняя линия (по определению) 
DE АС (по свойству)
 DE  α ( по признаку параллельности прямой и плоскости)

Расположение плоскостей в пространстве.
α   β
α и  β  совпадают
α  β
Признак параллельности двух плоскостей.
Если две пересекающиеся прямые одной
 плоскости соответственно параллельны двум
 пересекающимся прямым другой плоскости, то эти
 плоскости параллельны.
Дано: а b = M, a , b .
a₁ b₁, a₁ , b₁ . a  a₁, b  b₁.
Доказать:  



а
а₁
b
b₁
M

c
Доказательство:
                              Тогда а  , а  ,    = с, значит а  с.
2. b  , b  ,    = с, значит b  с.
3. Имеем, что через точку  М проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, чего  быть на может.
Значит     .
1. Пусть    = с.
Теорема
Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, причём единственную.
β
а1
•
А
α
плоскость α,
в1
в
а
Доказать:
Доказательство.
Дано:
 точка А вне плоскости α.
существует плоскость β║α, проходящая через точку А
1. В плоскости α проведём прямые а∩в.
Через точку А проведём
а1║а
и в1║в.
По признаку параллельности плоскостей  прямые а1 и в1 задают плоскость β║α.
Существование плоскости β доказано.
β
•
А
α
Докажем единственность плоскости β методом от противного.
•
С
•
В
в
с
β1

Допустим, что существует плоскость β1, которая проходит через т. А и β1  α.
Отметим в плоскости β1 т. С β.
Отметим произвольную т. В  α.
Через точки А, В и С проведем γ.
γ ∩ α = в,
γ ∩ β1 = с.
γ ∩ β = а,
а
а и с не пересекают плоскость α,
значит они не пересекают прямую  в,
 а  в и с   в
Получили, что через т. А проходят две прямые, параллельные прямой в, чего быть не может.
 наше предположение ложное.
Единственность β доказана.

Если две параллельные плоскости
пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.
Свойство параллельных плоскостей.
Дано:
 α   β,  α    = a
 β    = b
Доказать:  a   b
Доказательство:
1.    a  , b  
2. Пусть  a   b,
тогда  a   b = М
3.   M  α, M  β
 α   β = с (А2)
Получили противоречие с условием.
Значит  a   b     ч. т.д.

Отрезки параллельных прямых,
заключенные между параллельными
                    плоскостями,  равны.
Свойство параллельных плоскостей.
Доказать: АВ = СD
Дано:
 α   β, АВ СD
АВ  α = А, АВ  β = В,
СD  α = С, СD  β = D
Доказательство:
1. Через АВ СD проведем  
2. α β, α   = a, β   = b
3.  АС В D,
4. АВ СD (как отрезки парал. прямых)
5.  АВСД – параллелограмм (по опр.)
  АВ = СD ( по свойству параллелограмма)
1. если плоскости не пересекаются, то они параллельны.
2. плоскости параллельны, если прямая лежащая в
    одной плоскости, параллельна другой плоскости?
3. если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны двум прямым другой плоскости,
    то эти плоскости параллельны?
4. если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она
     перпендикулярна и другой плоскости.
5. прямые, по которым две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, параллельны.
6. Если прямая пересекает одну из двух плоскостей, то
    она пересекает и другую.
7. Две плоскости, параллельные третьей, параллельны.
8. Отрезки прямых, заключенные между
    параллельными плоскостями, равны.

Определите: верно, ли утверждение?
ДА
НЕТ
ДА
НЕТ
ДА
НЕТ
НЕТ
ДА

  Через данную точку А провести плоскость, параллельную данной плоскости α, не проходящей через точку.
α

β

А
Решение.
1. В плоскости α возьмем т. В.
2. Проведем прямые ВС и ВD.
В
•
С1
D1
D
С
3. Построим вспомогательную плоскость через точку А и прямую ВD, в ней проведем прямую АD1 ВD.

4. Аналогично построим вспомогательную плоскость через точку А и прямую ВС, в ней проведем прямую АС1 ВС.
•
5. Через прямые АD1 и АС1 проведем плоскость β

Задача 2.  Доказать, что через каждую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость так, чтобы эти плоскости были параллельны.
а
в
Пусть а скрещивается с в.
Доказательство:
На прямой в  возьмем т. А,
А
через  прямую а и т. А проведем плоскость,
в этой плоскости через т. А проведем прямую в1 , в1  в.
Через в1  в проведем плоскость α.

.
 в1
Аналогично строим плоскость β.

По признаку параллельности плоскостей α  β.

.
источник шаблона.

Автор:
Ермолаева Ирина Алексеевна
учитель информатики и математики
МОУ «Павловская сош»
с.Павловск
Алтайский край
Название сайта: http://www.nsportal.ru/shkola/informatika-i-ikt/library/shablon-matematicheskii-dlya-oformleniya-prezentatsii-mspowerpoint


title: Презентация на тему: Парабола

text:
Парабола
Понятие
Параболой называется множество таких точек плоскости, для которых расстояние до фиксированной точки равно расстоянию до фиксированной прямой, не проходящей через эту точку.
Пара́бола (греч. παραβολή — приложение) — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является сечением конуса. Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом.

Уравнения
Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:
	   y2=2px   или    x2=2py (если поменять оси местами)
Квадратное уравнение   y = ax2 + bx + c  при  a=0 также представляет собой параболу и графически изображается той же параболой, что и y = ax2, но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке A, координаты которой вычисляются по формулам:

Построение
Параболу можно построить «по точкам» с помощью циркуля и линейки, не зная уравнения и имея в наличии только фокус и директрису. Вершина является серединой отрезка между фокусом и директрисой. На директрисе задаётся произвольная система отсчёта с нужным единичным отрезком. Каждая последующая точка является пересечением серединного перпендикуляра отрезка между фокусом и точкой директрисы, находящейся на кратном единичному отрезку расстоянии от начала отсчёта, и прямой, проходящей через эту точку и параллельной оси параболы.
Свойства параболы
Парабола имеет 1 ось симметрии.
Функция монотонна
Неограниченно возрастает
Парабола целиком лежит в полуплоскости    (x> 0), граница которой перпендикулярна к оси параболы.
Парабола вокруг нас
Презентацию выполнила
ученица 11 а класса
Довлекаева Эльвира.