\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( \{ \mathbf { u , v , w , z , x } \} , \{ \boldsymbol { \kappa , \lambda , \mu , \nu } \} ) = \frac { 1 } { 2 } \| \mathbf { y - C u } \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { + \tau _ { 1 } \| \mathbf { v } \| _ { 1 } + \tau _ { 2 } \| \mathbf { w } \| _ { 1 } } \\ & { + \frac { \rho _ { 1 } } { 2 } \| \mathbf { A x - u } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \boldsymbol { \kappa } ^ { \top } ( \mathbf { A x - u } ) } \\ & { + \frac { \rho _ { 2 } } { 2 } \| \mathbf { x - v } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \boldsymbol { \lambda } ^ { \top } ( \mathbf { x - v } ) } \\ & { + \frac { \rho _ { 3 } } { 2 } \| \mathbf { D x - w } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \boldsymbol { \mu } ^ { \top } ( \mathbf { D x - w } ) } \\ & { + \frac { \rho _ { 4 } } { 2 } \| \mathbf { x - z } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \boldsymbol { \nu } ^ { \top } ( \mathbf { x - z } ) } \\ & { + \mathcal { I } _ { + } ( \mathbf { z } ) } \end{array}
\Delta \phi ( \mathfrak { s } _ { 1 } \cdots \mathfrak { s } _ { k } ) = \left\{ \begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { k } \phi ( \mathfrak { s } _ { i } ) - \phi ( \langle \mathfrak { s } _ { 1 } \cdots \mathfrak { s } _ { k } \rangle ) , } & { \ \mathrm { i f } \ \mathfrak { s } _ { 1 } , \cdots , \mathfrak { s } _ { k } \ \mathrm { i s \ a \ c h a i n ; } } \\ { \sum _ { i = 1 } ^ { k } \phi ( \mathfrak { s } _ { i } ) - \phi ( [ \mathfrak { s } _ { 1 } \cdots \mathfrak { s } _ { k } ] ) , } & { \ \mathrm { i f } \ \mathfrak { s } _ { 1 } , \cdots , \mathfrak { s } _ { k } \ \mathrm { i s \ a \ c y c l e . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { | \frac { \partial } { \theta _ { j } } \mathcal { P } _ { m , k , l } ^ { 1 } ( { \boldsymbol { \theta } } , { \boldsymbol { \eta } } ) | } & { \leq C ( \| \nabla \boldsymbol { X } _ { n } \| _ { C ^ { 0 } ( V _ { 4 R } ) } , | \boldsymbol { X } | _ { \circ , n } ) \frac { \varepsilon ( R ) } { \partial | { \boldsymbol { \theta } } - { \boldsymbol { \eta } } | ^ { 3 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } ( - 1 ) ^ { n - 1 - i } e _ { n - 1 - i } ( \{ x _ { 1 } , \dots , x _ { n } \} \setminus \{ x _ { j } \} ) \lambda ^ { i } } & { } & { = \prod _ { k \neq i } ( \lambda - q _ { k } ) = \frac { \underset { k = 1 } { \overset { n } { \prod } } ( \lambda - x _ { k } ) } { ( \lambda - x _ { j } ) } } \\ & { } & { = \left( \sum _ { m = 0 } ^ { g } ( - 1 ) ^ { n - m } e _ { n - m } ( \{ x _ { 1 } , \dots , x _ { n } \} ) \lambda ^ { m } \right) \left( \sum _ { p = 0 } ^ { \infty } x _ { j } ^ { p } \lambda ^ { - 1 - p } \right) } \\ & { } & { = \sum _ { m = 0 } ^ { g } \sum _ { p = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n - m } e _ { n - m } ( \{ x _ { 1 } , \dots , x _ { n } \} ) x _ { j } ^ { p } \lambda ^ { m - 1 - p } } \\ & { } & { \overset { i = m - 1 - p } { = } \sum _ { m = 0 } ^ { g } \sum _ { i = - \infty } ^ { m - 1 } ( - 1 ) ^ { n - m } e _ { n - m } ( \{ x _ { 1 } , \dots , x _ { n } \} ) x _ { j } ^ { m - 1 - i } \lambda ^ { i } } \\ & { } & { = \sum _ { i = - \infty } ^ { g - 1 } \sum _ { m = i + 1 } ^ { g } ( - 1 ) ^ { n - m } e _ { n - m } ( \{ x _ { 1 } , \dots , x _ { n } \} ) x _ { j } ^ { m - 1 - i } \lambda ^ { i } } \\ & { } & \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { H a m } ( \check { q } , \check { p } ) } & { = } & { - \nu _ { { X _ { 1 } } , 0 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } _ { t } ) } H _ { X _ { 1 } , 1 } - \nu _ { { X _ { 1 } } , 1 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } _ { t } ) } H _ { X _ { 1 } , 2 } = \frac { 1 } { t } H _ { X _ { 1 } , 2 } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { t } \left( \check { q } ^ { 2 } \check { p } ^ { 2 } + \hbar \check { q } \check { p } - \check { q } ^ { 2 } - ( 2 t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 0 } - \hbar ) \check { q } - \frac { t _ { X _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , 0 } t } { \check { q } } - \frac { t ^ { 2 } } { 4 \check { q } ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { n } \setminus Q _ { \rho } ^ { * } } | K _ { j } ( x , y ) | \, \mathrm { d } y } \\ & { \lesssim \sum _ { \nu = 1 } ^ { \mathscr N _ { j } } \Big \| \frac 1 { g _ { j } ^ { \nu } ( x , \cdot ) ^ { N } } \Big \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { n } \setminus Q _ { \rho } ^ { * } ) } \| g _ { j } ^ { \nu } ( x , \cdot ) ^ { N } \, K _ { j } ^ { \nu } ( x , \cdot ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { n } \setminus Q _ { \rho } ^ { * } ) } } \\ & { \lesssim \sum _ { \ell = 0 } ^ { 6 N } 2 ^ { ( j - k _ { Q } ) \ell / 2 } 2 ^ { - L ( j - k _ { Q } ) / 2 } \, 2 ^ { - j n ( 1 / p - 1 ) } 2 ^ { k n ( 1 / p - 1 ) } \lesssim 2 ^ { ( j - k _ { Q } ) ( 3 N - L / 2 ) } \, 2 ^ { ( k - j ) n ( 1 / p - 1 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { u } _ { t } , \hat { l } _ { ( p , t ) } , \hat { s } \leftarrow \operatorname * { a r g m i n } _ { u _ { t } , l _ { ( p , t ) } , s } L _ { \mathrm { t o t a l } } - w _ { 4 } s \ , \ \ } & { \mathrm { i f } \ \ L _ { \mathrm { i m a g e } } < \epsilon _ { \mathrm { i m a g e } } } \\ { \hat { u } _ { t } , \hat { l } _ { ( p , t ) } \leftarrow \operatorname * { a r g m i n } _ { u _ { t } , l _ { ( p , t ) } } L _ { \mathrm { t o t a l } } \ , \ \ } & { \mathrm { i f } \ \ L _ { \mathrm { i m a g e } } \geq \epsilon _ { \mathrm { i m a g e } } , } \end{array}
\mathcal { T } _ { 0 } ^ { \alpha } = \left( \begin{array} { l l l l l l } { - \frac { 1 } { s _ { N } } } & & & & & { \frac { 1 } { s _ { N } } e ^ { - \i \alpha L } } \\ & { A _ { 0 } ( s _ { 1 } ) } & & & & \\ & & { A _ { 0 } ( s _ { 2 } ) } & & & \\ & & & { \ddots } & & \\ & & & & { A _ { 0 } ( s _ { N - 1 } ) } & \\ { \frac { 1 } { s _ { N } } e ^ { \i \alpha L } } & & & & & { - \frac { 1 } { s _ { N } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \bigl [ \hat { W } _ { n } ( z ) , \, \hat { W } _ { m } ( z ) \bigr ] } & { = \bigl [ ( f _ { n } , \hat { \Phi } ) , \, ( f _ { m } , \hat { \Phi } ) \bigr ] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \mu , \nu } \bigl [ { \hat { a } _ { \mu } } ( f _ { n } , u _ { \mu } ) + { \hat { a } _ { \mu } ^ { \dagger } } ( f _ { n } , u _ { \mu } ^ { * } ) , \, { \hat { a } _ { \nu } } ( f _ { m } , u _ { \nu } ) + { \hat { a } _ { \nu } ^ { \dagger } } ( f _ { m } , u _ { \nu } ^ { * } ) \bigr ] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \mu } \bigl [ { ( f _ { n } , u _ { \mu } ) ( u _ { \mu } , f _ { m } ) } - { ( f _ { m } , u _ { \mu } ) ( u _ { \mu } , f _ { n } ) } \bigr ] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \bigl [ { ( f _ { n } , f _ { m } ) } - { ( f _ { m } , f _ { n } ) } \bigr ] } \\ & { = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { R e } ( \widetilde { c } ) } & { = \left[ \left( - { \frac { 1 2 } { e ^ { 2 } } } - 2 e ^ { 2 } \right) \cos ( t ) + \left( - { \frac { 9 0 } { e ^ { 6 } } } + { \frac { 4 } { e ^ { 2 } } } \right) \cos ( 3 t ) + \left( - { \frac { 3 6 4 0 } { 3 e ^ { 1 0 } } } + { \frac { 5 4 } { e ^ { 6 } } } \right) \cos ( 5 t ) + \cdots \right] } \\ & { + | q | \left[ \left( - { \frac { 1 6 } { 3 } } + { \frac { 2 e ^ { 4 } } { 3 } } \right) \cos ( t ) + { \frac { 5 2 } { e ^ { 4 } } } \cos ( 3 t ) + \left( - { \frac { 1 7 9 2 } { 9 e ^ { 8 } } } - { \frac { 5 2 } { 3 e ^ { 4 } } } \right) \cos ( 5 t ) + \cdots \right] + \cdots \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \lambda _ { d } ( \beta , m ) = \frac { | \mathcal { S } ^ { d - 1 } [ d - 2 ] | } { | \mathcal { S } ^ { d - 1 } | } \left[ \sum _ { j = 0 } ^ { \beta } c _ { j , \, d } ( \beta ) \langle P _ { m } ^ { \, d } , P _ { j } ^ { \, d } \rangle - \psi _ { d } ( \beta ) \langle P _ { m } ^ { \, d } , P _ { 0 } ^ { \, d } \rangle \right] = \frac { c _ { m , \, d } ( \beta ) } { \nu _ { d } ( m ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ M i n i m i s e ~ } } & { J ( u . ; s , y ) = \mathbb { E } \left[ \int _ { s } ^ { T } \left( u _ { t } ^ { 2 } + 1 \right) d t - \ln \left( \cosh \left( X _ { T } \right) \right) \right] } \\ { \mathrm { ~ s u b j e c t ~ t o ~ } } & { \left\{ \begin{array} { l } { d X _ { t } = 2 u _ { t } d t + \sqrt { 2 } d W _ { t } , t \in [ s , T ] } \\ { X _ { s } = y } \\ { u _ { t } \in [ - 1 , 1 ] , \quad t \in [ s , T ] } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \mathcal { Z } ^ { \mathsf { t } } ( \lfloor x _ { n } \rfloor + x _ { 0 } - \delta ) } { \rho ^ { \lfloor x _ { n } \rfloor + x _ { 0 } - \delta } l _ { \rho } ( x _ { 0 } - \delta ) } \cdot \rho ^ { x _ { 0 } - \{ x _ { n } \} - \delta } \cdot \frac { l _ { \rho } ( x _ { 0 } - \delta ) } { l _ { \rho } ( x _ { n } ) } \le \frac { \mathcal { Z } ^ { \mathsf { t } } ( x _ { n } ) } { \rho ^ { x _ { n } } l _ { \rho } ( x _ { n } ) } } \\ & { \le \frac { \mathcal { Z } ^ { \mathsf { t } } ( \lfloor x _ { n } \rfloor + x _ { 0 } + \delta ) } { \rho ^ { \lfloor x _ { n } \rfloor + x _ { 0 } + \delta } l _ { \rho } ( x _ { 0 } + \delta ) } \rho ^ { x _ { 0 } - \{ x _ { n } \} + \delta } \cdot \frac { l _ { \rho } ( x _ { 0 } + \delta ) } { l _ { \rho } ( x _ { n } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { a _ { r } = \frac { d ^ { 2 } r } { d t ^ { 2 } } - r \left( \frac { d \varphi } { d t } \right) ^ { 2 } = \frac { d ^ { 2 } r } { d t ^ { 2 } } - r \omega _ { c } ^ { 2 } ( t ) , } \\ & { a _ { \varphi } = 2 \frac { d r } { d t } \frac { d \varphi } { d t } + r \frac { d ^ { 2 } \varphi } { d t ^ { 2 } } = 2 \frac { d r } { d t } \omega _ { c } ( t ) + r \frac { d \omega _ { c } } { d t } , } \\ & { a _ { z } = \frac { d ^ { 2 } z } { d t ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f ( \bar { x } _ { T } ) - f ( x ^ { * } ) \leq } \\ & { \frac { 1 } { \alpha _ { 1 : T } } \left( R ^ { x } ( T ) - \frac { \alpha _ { t } } { 2 L } \| \nabla f ( \bar { x } _ { t } ) - \nabla f ( x ^ { * } ) \| _ { * } ^ { 2 } - \frac { \alpha _ { 1 : t - 1 } } { 2 L } \| \nabla f ( \bar { x } _ { t - 1 } ) - \nabla f ( \bar { x } _ { t } ) \| _ { * } ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f ( x ^ { K + 1 } ) - f _ { * } } & { \leq } & { ( 1 - \gamma \mu ) ^ { K + 1 } ( f ( x ^ { 0 } ) - f _ { * } ) - \gamma ( 1 - L \gamma ) \sum _ { k = 0 } ^ { K } ( 1 - \gamma \mu ) ^ { K - k } \langle \nabla f ( x ^ { k } ) , \theta _ { k } \rangle } \\ & { } & { + \frac { L \gamma ^ { 2 } } { 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { K } ( 1 - \gamma \mu ) ^ { K - k } \| \theta _ { k } \| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { m _ { 2 } ^ { ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) } ( e _ { m _ { 1 } } ^ { ( j _ { 1 } ) } , e _ { m _ { 2 } } ^ { ( j _ { 2 } ) } ) = } & { ( - 1 ) ^ { k _ { 2 } } \sqrt { \frac { ( 2 j _ { 1 } + 1 ) ( 2 j _ { 2 } + 1 ) ( 2 j _ { 1 } + 2 j _ { 2 } - 2 k _ { 1 } - 2 k _ { 2 } ) ! } { ( 2 j _ { 1 } + 2 j _ { 2 } - k _ { 1 } - k _ { 2 } + 1 ) ! ( 2 j _ { 1 } ) ! ( 2 j _ { 2 } ) ! ( 2 j _ { 1 } - k _ { 1 } - k _ { 2 } ) ! ( 2 j _ { 2 } - k _ { 1 } - k _ { 2 } ) ! } } } \\ & { \times \frac { ( 2 j _ { 1 } - k _ { 1 } ) ! ( 2 j _ { 2 } - k _ { 2 } ) ! } { k _ { 1 } ! k _ { 2 } ! } C _ { m _ { 1 } , m _ { 2 } , m _ { 1 } + m _ { 2 } } ^ { j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 1 } + j _ { 2 } - k _ { 1 } - k _ { 2 } } e _ { m _ { 1 } + m _ { 2 } } ^ { ( j _ { 1 } + j _ { 2 } - k _ { 1 } - k _ { 2 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { A ^ { \prime } \underline { { k } } _ { n , \varepsilon } ^ { \operatorname* { m a x } ( { \mathcal Z } ) } \log ^ { \mathfrak { m } ^ { \prime } } ( \underline { { k } } _ { n , \varepsilon } ) = A ^ { \prime } \big ( \log \big ( \exp \big [ ( \varepsilon \log ( n ) ) ^ { 1 / \mathfrak { m } ^ { \prime } } \big ] \big ) \big ) ^ { \mathfrak { m } ^ { \prime } } = A ^ { \prime } \varepsilon \log ( n ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \| \Gamma \phi ( \tau ) - u ^ { ( 0 ) } \| } & { \leq } & { \operatorname* { m a x } _ { i \in \{ 1 , . . . , n \} } \left\| \int _ { \tau _ { 1 } ^ { ( 0 ) } } ^ { \tau _ { 1 } } g _ { i , 1 } ( \tau ^ { ( 1 ) } , \phi _ { i } ( \tau ^ { ( 1 ) } ) ) d \tau _ { 1 } + . . . + \int _ { \tau _ { p } ^ { ( 0 ) } } ^ { \tau _ { p } } g _ { i , p } ( \tau ^ { ( p ) } , \phi _ { i } ( \tau ^ { ( p ) } ) ) d \tau _ { p } \right\| } \\ & { \leq } & { \operatorname* { m a x } _ { i \in \{ 1 , . . . , n \} } \sum _ { k = 1 } ^ { p } \left\| \int _ { \tau _ { k } ^ { ( 0 ) } } ^ { \tau _ { k } } g _ { i , p } ( \tau ^ { ( k ) } , \phi _ { i } ( \tau ^ { ( k ) } ) ) d \tau _ { k } \right\| } \\ & { \leq } & { \operatorname* { m a x } _ { i \in \{ 1 , . . . , n \} } \sum _ { k = 1 } ^ { p } \int _ { \tau _ { k } ^ { ( 0 ) } } ^ { \tau _ { k } } \left\| g _ { i , p } ( \tau ^ { ( k ) } , \phi _ { i } ( \tau ^ { ( k ) } ) ) \right\| d \tau _ { k } } \\ & { \leq } & { \operatorname* { m a x } _ { i \in \{ 1 , . . . , n \} } \sum _ { k = 1 } ^ { p } \int _ { \tau _ { k } ^ { ( 0 ) } } ^ { \tau _ { k } } M d \tau _ { k } } \\ & { \leq } & { \operatorname* { m a x } _ { i \in \{ 1 , . . . , n \} } \sum _ { k = 1 } ^ { p } 2 M a \leq b } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { k + 1 } } & { \ensuremath { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \mathsf { b } ^ { - 1 } \sum _ { i \in \mathcal { B } _ { k + 1 } } \mathsf { h } _ { i } ( \widehat { S } _ { k } , B _ { k + 1 } ) \; , } \\ { V _ { k + 1 } } & { \ensuremath { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \mathsf { S } _ { k } - \mathsf { b } ^ { - 1 } \sum _ { i \in \mathcal { B } _ { k + 1 } } \mathsf { h } _ { i } ( \widehat { S } _ { k - 1 } , B _ { k } ) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | N - \varphi ( \ell ) ( q + 1 ) | } & { \leq \sum _ { d \mid \ell } | c _ { \ell } ( d ) f ( d ) | } \\ & { \leq \sum _ { d \mid \ell } | c _ { \ell } ( d ) | \varphi \left( \frac { \ell } { d } \right) \left( | I | - 2 + 2 \left\lfloor \frac { d } { \ell } \right\rfloor - ( - 1 ) ^ { d } \lambda \right) \sqrt { q } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \quad \frac { \mathcal { Z } _ { n , k } ^ { ( 2 | 1 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } { \mathcal { Z } _ { n , k } ^ { ( 0 | 0 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } - \frac { \mathcal { Z } _ { n , k } ^ { ( 1 | 0 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } { \mathcal { Z } _ { n , k } ^ { ( 0 | 0 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } \, \frac { \mathcal { Z } _ { n , k } ^ { ( 1 | 1 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } { \mathcal { Z } _ { n , k } ^ { ( 0 | 0 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } \simeq { \mathrm { e } } ^ { - \frac { 1 } { g _ { \mathrm { s } } } A _ { n , k } } \times } \\ & { \times \frac { { \mathrm { i } } } { 1 6 \pi } \, \sqrt { \frac { \, g _ { \mathrm { s } } ( - 1 ) ^ { n + k } \cot \frac { n \pi } { 2 k - 1 } } { 2 \pi ( 2 k - 1 ) \sin ^ { 2 } \frac { n \pi } { 2 k - 1 } } } \, \left\{ 2 \gamma _ { \mathrm { E } } + \log \left( \frac { 2 ^ { 8 } } { g _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } } \, \frac { ( 2 k - 1 ) ^ { 2 } \sin ^ { 4 } \frac { n \pi } { 2 k - 1 } } { \cot ^ { 2 } \frac { n \pi } { 2 k - 1 } } \right) \right\} + o ( g _ { \mathrm { s } } ^ { 3 / 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \omega ( L ( G ) ) \le \chi ^ { \prime } ( G ) \le \chi _ { [ A , A ] } ^ { \prime } ( G ) \le \chi _ { [ A , - ] } ^ { \prime } ( G ) \le \chi _ { [ A , B ] } ^ { \prime } ( G ) \le \chi _ { [ B , B ] } ^ { \prime } ( G ) } & \\ & { \omega ( L ( G ) ) \le \chi ^ { \prime } ( G ) \le \chi _ { [ A , A ] } ^ { \prime } ( G ) \le \chi _ { [ B , A ] } ^ { \prime } ( G ) \le \chi _ { [ B , - ] } ^ { \prime } ( G ) \le \chi _ { [ B , B ] } ^ { \prime } ( G ) } & \end{array}
\nabla \times \mathbf { H } _ { 0 } = - i \omega \mathbf { E } _ { 0 } \! \left( \varepsilon + i { \frac { \sigma } { \omega } } \right) \quad { \mathrm { ( S I ) } } , \qquad \nabla \times \mathbf { H } _ { 0 } = { \frac { - i \omega } { \mathrm { c } } } \mathbf { E } _ { 0 } \! \left( \varepsilon + i { \frac { 4 \pi \sigma } { \omega } } \right) \quad { \mathrm { ( c g s ) } } .
\Omega _ { \varepsilon } ^ { 2 } = \big \{ ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \in \Omega _ { \varepsilon } \big | x _ { 2 } \in \left[ \varepsilon ^ { 2 } , \, \alpha ^ { 2 } \right] \mathrm { ~ a n d ~ } x _ { 2 } \leqslant 2 \alpha | x _ { 1 } | - \alpha ^ { 2 } - 2 \varepsilon ( | x _ { 1 } | - \alpha ) \mathrm { ~ w h e n ~ } | x _ { 1 } | > \alpha - \varepsilon \big \} ,
\int _ { \varepsilon } ^ { \infty } | F _ { n } \left( \rho e ^ { i \left( \pi - \frac { \theta } { 2 } ; t \right) } ; t \right) | d z \le \int _ { \varepsilon } ^ { \infty } e ^ { - \rho t \cos \left( \frac { \theta } { 2 } \right) } \left| \frac { \Phi ^ { \dagger } \left( \rho e ^ { i \left( \pi - \frac { \theta } { 2 } \right) } \right) } { \rho } \right| ^ { n } d \rho \le C \int _ { \varepsilon } ^ { \infty } e ^ { - \rho t \cos \left( \frac { \theta } { 2 } \right) } d \rho < + \infty ,
\begin{array} { r l } { \| S ( t ) u ( n ) - u ( t + n ) \| } & { \leq \| S ( t ) u ( n ) - S ( t + n - n _ { 0 } ) u ( n _ { 0 } ) \| } \\ & { \qquad \qquad + \| S ( t + n + n _ { 0 } ) u ( n _ { 0 } ) - u ( t + n ) \| } \\ & { \leq \| u ( n ) - S ( n - n _ { 0 } ) u ( n _ { 0 } ) \| } \\ & { \qquad \qquad + \| S ( t + n - n _ { 0 } ) u ( n _ { 0 } ) - u ( t + n ) \| . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { s ^ { \prime } ( 4 n ) } & { = 2 s ^ { \prime } ( n ) - ( 2 - ( - 1 ) ^ { n } ) r _ { n } ^ { \prime } + 2 , } & & { \quad ( n \geq 1 ) } \\ { s ^ { \prime } ( 4 n + 1 ) } & { = 2 s ^ { \prime } ( n ) - 2 r _ { n } ^ { \prime } + 2 , } & & { \quad ( n \geq 0 ) } \\ { s ^ { \prime } ( 4 n + 2 ) } & { = 2 s ^ { \prime } ( n ) - r _ { n } ^ { \prime } + 2 , } & & { \quad ( n \geq 0 ) } \\ { s ^ { \prime } ( 4 n + 3 ) } & { = 2 s ^ { \prime } ( n ) + 2 , } & & { \quad ( n \geq 0 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { \omega } u ( x ) } & { = \frac 1 { R ^ { 2 } } f ( \frac x R ) ( \psi ( x ) - \bar { \psi } ) + \frac 1 { R ^ { 2 } } f ( \frac x R ) \bar { \psi } } \\ & { = \frac 1 { R ^ { 2 } } \big [ f ( \frac x R ) L _ { \omega } \xi ( x ) + \frac 1 { 2 } \bar { a } _ { k } \partial _ { k k } \bar { u } ( \frac { x } { R } ) \big ] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \forall c , \tilde { c } \in C : \mathrm { A d j } ( c , \tilde { c } ) \ \textrm { i f f } \ \forall k \geq 0 , \ \forall i \in \left[ 1 , S \right] , \forall j \in \left[ 1 , \lambda ^ { i } \right] , } \\ & { i , j \in \mathbb { N } , \ \exists \left( j _ { 1 } , k _ { 1 } \right) , \left( j _ { 2 } , k _ { 2 } \right) : \left| c _ { j _ { 1 } , k _ { 1 } } ^ { i } - \tilde { c } _ { j _ { 1 } , k _ { 1 } } ^ { i } \right| \leq 1 , } \\ & { \left| c _ { j _ { 2 } , k _ { 2 } } ^ { i } - \tilde { c } _ { j _ { 2 } , k _ { 2 } } ^ { i } \right| \leq 1 , \ c _ { j , k } ^ { i } = \tilde { c } _ { j , k } ^ { i } \ \forall \left( j , k \right) \neq \left( j _ { 1 } , k _ { 1 } \right) , \left( j _ { 2 } , k _ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf { F } _ { R } \; \mathrm { i s ~ u n i f o r m l y ~ b o u n d e d ~ i n } \; } \\ & { L ^ { 1 8 - 2 p ^ { \prime } } ( 0 , T ; L ^ { 1 8 - 2 p ^ { \prime } } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) ) \equiv L ^ { 3 0 - 4 p } ( 0 , T ; L ^ { 3 0 - 4 p } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) ) . } \end{array}
\frac { \delta \mathcal { L } } { \delta \psi _ { k , \sigma } ^ { ( i ) } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) } = - 2 w _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \left( \rho _ { \sigma } ^ { \mathrm { d a t a } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \rho _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) ) \frac { \partial \rho _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) } { \partial \psi _ { k , \sigma } ^ { ( i ) } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) } + \hat { \mathcal { { H } } } _ { \sigma } p _ { k , \sigma } ^ { ( i ) } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \sum _ { j } ^ { m _ { k , \sigma } } p _ { j , \sigma } ^ { ( j ) } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) E _ { i j } + \sum _ { j = 1 } ^ { m _ { k , \sigma } } ( D _ { k , \sigma , i j } + D _ { k , \sigma , j i } ) \psi _ { k , \sigma } ^ { ( j ) } \, .
\begin{array} { r l } { ( Y _ { t } - \hat { Y } _ { t } ) ^ { 2 } } & { = \left( \int _ { 0 } ^ { t } \left( \sigma Y _ { u } - \sigma S _ { 0 } \right) d { W } _ { u } \right) ^ { 2 } + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } ^ { + } } ( Y _ { u } - S _ { 0 } ) ^ { 2 } \left( \frac { \rho ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 2 } + \rho x \right) ^ { 2 } J _ { Z } ( \lambda d u , d x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { \varepsilon } ( w ) } & { = ( z _ { j } - z _ { i } - 1 ) \log 2 - ( z _ { i } - z _ { j } - n _ { j } + n _ { i } + 1 ) \log w - ( n _ { j } - n _ { i } ) \log ( 1 - w ) } \\ & { = - ( z _ { i } - z _ { j } - n _ { j } + n _ { i } + 1 ) \log 2 w - ( n _ { j } - n _ { i } ) \log 2 ( 1 - w ) } \\ & { = - ( z _ { i } - z _ { j } - n _ { j } + n _ { i } + 1 ) \log ( 1 + \varepsilon ^ { 1 / 2 } v / \sigma ) - ( n _ { j } - n _ { i } ) \log ( 1 - \varepsilon ^ { 1 / 2 } v / \sigma ) } \\ & { = - \left( \sigma ^ { 2 } \varepsilon ^ { - 1 } ( \mathbf { x } _ { i } - \mathbf { x } _ { j } ) + \sigma \varepsilon ^ { - 1 / 2 } ( u _ { i } - u _ { j } ) + 1 \right) \log ( 1 + \varepsilon ^ { 1 / 2 } v / \sigma ) } \\ & { \qquad - \sigma ^ { 2 } \varepsilon ^ { - 1 } ( \mathbf { x } _ { i } - \mathbf { x } _ { j } ) \log ( 1 - \varepsilon ^ { 1 / 2 } v / \sigma ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Omega _ { ( { \mathbf { L } } , \lambda ) } ^ { \mathbf { G } } : { \mathcal { E } } \left( { \mathbf { G } } ^ { F } , ( { \mathbf { L } } , \lambda ) \right) } & { \to \mathrm { I r r } \left( { \mathbf { N } } _ { \mathbf { G } } ( { \mathbf { L } } ) ^ { F } \enspace \middle | \enspace \lambda \right) } \\ { I _ { ( { \mathbf { L } } , \lambda ) } ^ { \mathbf { G } } ( \eta ) } & { \mapsto \left( \lambda ^ { \diamond } \eta \right) ^ { { \mathbf { N } } _ { \mathbf { G } } ( { \mathbf { L } } ) ^ { F } } } \end{array}
T _ { j } ^ { k } ( \mathcal { F } , b ) ( \xi , t _ { l } ) = \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } e ^ { - i \{ \tilde { \Phi } ( t _ { l } , \xi - \zeta , \delta ) + \tilde { \Phi } ( t _ { l } , \zeta , \delta ) ) } b \biggl ( \frac { \xi _ { 1 } } { \xi _ { 2 } } - \frac { \zeta _ { 1 } } { \zeta _ { 2 } } \biggl ) a _ { j , k } ( t _ { l } , \xi - \zeta , \zeta ) \hat { \mathcal { F } } ( \xi - \zeta , \zeta ) d \zeta ,
{ \frac { \partial W } { \partial \lambda _ { i } } } = { \frac { \partial W } { \partial I _ { 1 } } } { \frac { \partial I _ { 1 } } { \partial \lambda _ { i } } } = 2 \lambda _ { i } { \frac { \partial W } { \partial I _ { 1 } } } \quad { \mathrm { a n d } } \quad { \frac { \partial ^ { 2 } W } { \partial \lambda _ { i } \partial \lambda _ { j } } } = 2 \delta _ { i j } { \frac { \partial W } { \partial I _ { 1 } } } + 4 \lambda _ { i } \lambda _ { j } { \frac { \partial ^ { 2 } W } { \partial I _ { 1 } ^ { 2 } } } \, .
\begin{array} { r l } & { P _ { n | k } ^ { \mathrm { ( i i ) } } = \frac { \tau _ { \mathrm { m } } } { \tau _ { \mathrm { d } } } } \\ & { \times \sum _ { f = 0 } ^ { \operatorname* { m i n } ( k - 1 , n - 1 ) } \sum _ { l = 0 } ^ { f } \binom { k } { l } \binom { n } { f + 1 } p ^ { n - f - 1 } ( 1 - p ) ^ { f + 1 } } \\ & { \times \left[ B _ { n \frac { \tau _ { \mathrm { d } } } { \tau _ { \mathrm { m } } } , ( n + 1 ) \frac { \tau _ { \mathrm { d } } } { \tau _ { \mathrm { m } } } } \left( k - l + 1 , l + 1 \right) \right. } \\ & { \left. - B _ { ( n - 1 ) \frac { \tau _ { \mathrm { d } } } { \tau _ { \mathrm { m } } } , n \frac { \tau _ { \mathrm { d } } } { \tau _ { \mathrm { m } } } } \left( k - l + 1 , l + 1 \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { - i \partial _ { t } u _ { N } } & { = V ( x ) u _ { N } + m c ^ { 2 } \sum _ { 1 \le n \le N } ( - 1 ) ^ { n + 1 } \alpha ( n ) \frac { ( - \Delta ) ^ { n } } { ( m c ) ^ { 2 n } } u _ { N } } \\ & { = V ( x ) u _ { N } - \frac { 1 } { 2 m } \Delta u _ { N } + m c ^ { 2 } \sum _ { 2 \le n \le N } ( - 1 ) ^ { n + 1 } \alpha ( n ) \frac { ( - \Delta ) ^ { n } } { ( m c ) ^ { 2 n } } u _ { N } } \end{array}
\hat { \kappa } _ { \delta \boldsymbol { A } } ( \boldsymbol { A } , \boldsymbol { b } ) = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 } \operatorname* { s u p } _ { \Vert \delta \boldsymbol { A } \Vert = \epsilon } \left( \left. \frac { \Vert ( \boldsymbol { A } + \delta \boldsymbol { A } ) ^ { - 1 } \boldsymbol { b } - \boldsymbol { x } \Vert } { \Vert \boldsymbol { x } \Vert } \right/ \frac { \Vert \delta \boldsymbol { A } \boldsymbol { x } \Vert } { \Vert \boldsymbol { b } \Vert } \right) .
\sum _ { v \in \mathbf { Q } ^ { n } / \mathbf { Z } ^ { n } } \varphi _ { f } ( v ) \, \sum _ { \substack { \xi \in \mathbf { Q } ^ { n } / \mathbf { Z } ^ { n } \, h \xi = v \ ( \mathrm { m o d } \ \mathbf { Z } ^ { n } ) } } \varepsilon ( \ell _ { 1 } - \xi _ { 1 } ) \cdots \varepsilon ( \ell _ { n } - \xi _ { n } ) \cdot d \ell _ { 1 } \wedge \cdots \wedge d \ell _ { n } ,
\begin{array} { r l } & { D _ { 1 } ( \zeta ^ { ( 1 ) } , \zeta ^ { ( 2 ) } , \zeta ^ { ( 3 ) } , \zeta ^ { ( 4 ) } ) = \sum _ { ( i , j , k , l ) \in \Sigma ( 4 ) } 3 \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( k ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( l ) } ) ^ { 2 } } { | { \zeta ^ { ( k ) } } + { \zeta ^ { ( l ) } } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } } \\ & { = 3 \times 4 ( S _ { 1 2 } \times 2 + S _ { 1 4 } + S _ { 2 3 } + S _ { 2 4 } \times 2 ) = \frac { 3 } { 2 s ^ { 3 } } - \frac { 2 1 } { 2 s ^ { 2 } } - \frac { 9 } { 4 s } + \mathcal { O } ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { m \nearrow 1 } r _ { N } ^ { ( m - 1 ) } ( \eta ) = \mathbf { r } ^ { \mathrm { P M M } ( 0 ) } ( \eta ) = \operatorname* { l i m } _ { m \searrow 1 } r _ { N } ^ { ( m - 1 ) } ( \eta ) \qquad \mathrm { a n d } \qquad \operatorname* { l i m } _ { m \nearrow 2 } r _ { N } ^ { ( m - 1 ) } ( \eta ) = \mathbf { r } ^ { \mathrm { P M M } ( 1 ) } ( \eta ) . } \end{array}
{ \begin{array} { l } { { \begin{array} { l l } { { \mathfrak { v } } = { \frac { { \mathfrak { v } } ^ { \prime } + ( p - 1 ) { \mathfrak { c } } _ { 0 } \cdot { \mathfrak { c } } _ { 0 } { \mathfrak { v } } ^ { \prime } + p q { \mathfrak { c } } _ { 0 } } { p \left( 1 + n q { \mathfrak { c } } _ { 0 } { \mathfrak { v } } ^ { \prime } \right) } } } & { \left| { \begin{array} { r l } { { \mathfrak { A } } ^ { \prime } } & { = { \mathfrak { A } } + ( p - 1 ) { \mathfrak { c } } _ { 0 } \cdot { \mathfrak { c } } _ { 0 } { \mathfrak { A } } - p q b { \mathfrak { c } } _ { 0 } } \\ { b ^ { \prime } } & { = p b - p q n { \mathfrak { A } } { \mathfrak { c } } _ { 0 } } \\ { { \mathfrak { A } } } & { = { \mathfrak { A } } ^ { \prime } + ( p - 1 ) { \mathfrak { c } } _ { 0 } \cdot { \mathfrak { c } } _ { 0 } { \mathfrak { A } } ^ { \prime } + p q b ^ { \prime } { \mathfrak { c } } _ { 0 } } \\ { b } & { = p b ^ { \prime } + p q n { \mathfrak { A } } ^ { \prime } { \mathfrak { c } } _ { 0 } } \end{array} } \right. } \end{array} } } \\ { \left[ { \mathfrak { v } } = \mathbf { u } , \ { \mathfrak { A } } = \mathbf { x } , \ b = t , \ { \mathfrak { c } } _ { 0 } = { \frac { \mathbf { v } } { v } } , \ p = \gamma , \ n = { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } \right] } \end{array} }
\partial u \wedge \partial _ { J } u \wedge A \wedge \overline { { \Omega } } { \mathstrut } ^ { n } = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } ( \sum _ { k \neq i } \frac { 1 } { \widetilde { \Omega } _ { 2 k 2 k + 1 } } ) ( | u _ { 2 i } | ^ { 2 } + | u _ { 2 i + 1 } | ^ { 2 } ) \widetilde { \Omega } ^ { n } \wedge \overline { { \Omega } } { \mathstrut } ^ { n } .
\begin{array} { r l r } & { } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } E ( L _ { n , i } ^ { 2 } ) \rightarrow a _ { 1 } ^ { 2 } f _ { Z _ { 1 } , Z _ { 2 } } ( s , t ) \int k ^ { 2 } ( m _ { 1 } , m _ { 2 } ) d m _ { 1 } d m _ { 2 } } \\ & { + } & { a _ { 2 } ^ { 2 } \{ f _ { Z _ { 1 } } ( s ) \} ^ { 2 } f _ { Z _ { 2 } } ( t ) \int \{ k _ { 2 } ( m ) \} ^ { 2 } d m + a _ { 3 } ^ { 2 } \{ f _ { Z _ { 2 } } ( t ) \} ^ { 2 } f _ { Z _ { 1 } } ( s ) \int \{ k _ { 1 } ( m ) \} ^ { 2 } d m : = \sigma _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { } & { ~ \mathrm { a s ~ n \rightarrow \infty ~ } . } \end{array}
\begin{array} { r } { z ^ { 1 / 2 } ( t ) : = \left( \int _ { \Omega } \left( \left\lvert { \vec { u } } \right\rvert ^ { 2 } + \left\lvert { \partial _ { t } \vec { u } } \right\rvert ^ { 2 } + \left\lvert { \operatorname { c u r l } _ { x } \vec { u } } \right\rvert ^ { 2 } \right) ( t , x ) \, \mathrm d x \right) ^ { 1 / 2 } \leq c _ { 2 } ( T ) z ^ { 1 / 2 } ( 0 ) + c _ { 3 } ( T ) \| j \| _ { 2 , 1 , Q } , } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l l l l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { - } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { - } & { 0 } & { - } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { - } & { 0 } & { - } & { - } \\ { 0 } & { 1 } & { - } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { - } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { - } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { - } & { - } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l } { \left[ \begin{array} { l } { \dot { \theta } _ { i } } \\ { \dot { \omega } _ { i } } \end{array} \right] = } & { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { { \theta } _ { i } } \\ { { \omega } _ { i } } \end{array} \right] , } \\ { \left[ \begin{array} { l } { \dot { p } _ { i } } \\ { \dot { v } _ { i } } \end{array} \right] = } & { \left[ \begin{array} { l l } { 0 _ { 2 \times 2 } } & { I _ { 2 } } \\ { 0 _ { 2 \times 2 } } & { \omega _ { i } a } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { { p } _ { i } } \\ { { v } _ { i } } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { 1 } ^ { \prime } } & { = ( \tilde { K } ^ { p } ) ^ { - 1 } K ^ { p } ( \tilde { K } ^ { p } ) ^ { - 1 } } \\ & { = ( \tilde { K } ^ { p } ) ^ { - 1 } K ^ { p } ( D ^ { p } ) ^ { - 2 } ( D ^ { p } ) ^ { 2 } ( \tilde { K } ^ { p } ) ^ { - 1 } } \\ & { = ( \tilde { K } ^ { p } ) ^ { - 1 } C _ { 1 } ( D ^ { p } ) ^ { 2 } ( \tilde { K } ^ { p } ) ^ { - 1 } \neq C _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { H } _ { m , 1 } + \mathcal { H } _ { m , 2 } + \mathcal { H } _ { m , 3 } > } & { \frac { ( 1 - r ^ { 2 } ) \int _ { 0 } ^ { 1 } s f _ { 0 } ( s ) d s } { m ( \Omega _ { m } - \widehat { \Omega } _ { m } ) } - \frac { 1 - r ^ { 2 } } { 2 ( \kappa _ { 1 } - \Omega ) } \big ( f _ { 0 } ( 1 ) - 2 \Omega _ { m } \big ) \ } & { ( 1 - r ^ { 2 } ) \left( \frac { \kappa _ { 2 } } { m ( \Omega _ { m } - \widehat { \Omega } _ { m } ) } - \frac { f _ { 0 } ( 1 ) - 2 \Omega _ { m } } { 2 ( \kappa _ { 1 } - \Omega _ { m } ) } \right) = : ( 1 - r ^ { 2 } ) D _ { m } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathsf { d e t } D M } & { = \frac { \partial M _ { 4 } } { \partial \chi _ { 0 } } \Big [ \frac { \partial M _ { 1 } } { \partial I _ { 0 } } \frac { \partial M _ { 3 } } { \partial B _ { 0 } } - \frac { \partial M _ { 1 } } { \partial B _ { 0 } } \frac { \partial M _ { 3 } } { \partial I _ { 0 } } \Big ] = \frac { 4 K ( k _ { 1 } ) \sigma } { \sqrt { B } } \Big [ \frac { \partial M _ { 1 } } { \partial I _ { 0 } } \frac { \partial M _ { 3 } } { \partial B _ { 0 } } - \frac { \partial M _ { 1 } } { \partial B _ { 0 } } \frac { \partial M _ { 3 } } { \partial I _ { 0 } } \Big ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { 0 \leq v a r \left( \frac { 1 } { n h _ { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } k _ { 1 } \left( \frac { Z _ { 1 , i } - s } { h _ { n } } \right) \right) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { n ^ { 2 } h _ { n } ^ { 2 } } v a r \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } k _ { 1 } \left( \frac { Z _ { 1 , i } - s } { h _ { n } } \right) \right) + \frac { 1 } { n ^ { 2 } h _ { n } ^ { 2 } } \sum _ { i \neq j = 1 } ^ { n } c o v \left( k _ { 1 } \left( \frac { Z _ { 1 , i } - s } { h _ { n } } \right) , k _ { 1 } \left( \frac { Z _ { 1 , j } - s } { h _ { n } } \right) \right) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { n ^ { 2 } h _ { n } ^ { 2 } } v a r \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } k _ { 1 } \left( \frac { Z _ { 1 , i } - s } { h _ { n } } \right) \right) ~ \mathrm { ( s i n c e ~ Z _ { 1 , ~ i } \perp ~ Z _ { 1 , ~ j } ~ f o r ~ i \neq ~ j ~ ) } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { n h _ { n } ^ { 2 } } E \left( k _ { 1 } ^ { 2 } \left( \frac { Z _ { 1 } - s } { h _ { n } } \right) \right) - \frac { 1 } { n h _ { n } ^ { 2 } } \left\{ E \left( k _ { 1 } ^ { 2 } \left( \frac { Z _ { 1 } - s } { h _ { n } } \right) \right) \right\} ^ { 2 } } \\ & { \leq } & { \frac { 1 } { n h _ { n } ^ { 2 } } E \left( k _ { 1 } ^ { 2 } \left( \frac { Z _ { 1 } - s } { h _ { n } } \right) \right) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { n h _ { n } ^ { 2 } } \int k _ { 1 } ^ { 2 } \left( \frac { Z _ { 1 } - s } { h _ { n } } \right) f _ { Z _ { 1 } } ( z _ { 1 } ) d z _ { 1 } = \frac { 1 } { n h _ { n } } \int k _ { 1 } ^ { 2 } ( m ) f _ { Z _ { 1 } } ( s + m h _ { n } ) d m } \\ & { = } & { \frac { 1 } { n h _ { n } } \int k _ { 1 } ^ { 2 } ( m ) \left[ f _ { Z _ { 1 } } ( s ) + m h _ { n } f _ { Z _ { 1 } } ^ { ' } ( \xi _ { n } ) \right] d m ~ \mathrm { ( h e r e ~ \xi _ { n } \in ~ ( s , ~ s ~ + ~ m ~ h _ { n } ) ~ ) } } \\ & { = } & { \frac { f _ { Z _ { 1 } } ( s ) } { n h _ { n } } \int k _ { 1 } ^ { 2 } ( m ) d m + \frac { f _ { Z _ { 1 } } ^ { ' } ( \xi _ { n } ) } { n } \int m k _ { 1 } ^ { 2 } ( m ) d m } \end{array}
\cdots \stackrel { \partial _ { k - 1 , T } } \rightarrow \mathcal { H } ^ { k } \left( { \bar { Z } } _ { 2 } ; \bar { F } _ { 2 } \right) ( T ) \stackrel { e _ { k , T } } { \rightarrow } \mathcal { H } ^ { k } \left( { \bar { Z } } ; \bar { F } \right) ( T ) \stackrel { r _ { k , T } } { \rightarrow } \mathcal { H } ^ { k } \left( { \bar { Z } } _ { 1 } ; \bar { F } _ { 1 } \right) ( T ) \stackrel { \partial _ { k , T } } { \rightarrow } \cdots
\begin{array} { r } { ( \overline { { b _ { 0 } } } + \overline { { b _ { 1 } } } \lambda + . . . + \overline { { b _ { j } } } \lambda ^ { j } + \overline { { b _ { j + 1 } } } \lambda ^ { j + 1 } + . . . + \overline { { b _ { m } } } \lambda ^ { m } ) f = } \\ { ( \overline { { b _ { 0 } } } + \overline { { b _ { 1 } } } \lambda + . . . + \overline { { b _ { j } } } \lambda ^ { j } ) f + ( \overline { { b _ { j + 1 } } } \lambda ^ { j + 1 } + . . . + \overline { { b _ { m } } } \lambda ^ { m } ) f . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \tau , 1 , 1 \rangle \otimes | \psi \rangle \xrightarrow [ ] { \mathrm { Q F T } _ { n } ^ { \dagger } \otimes I } \frac { 1 } { \sqrt { n ! } } } & { \sum _ { \alpha \in S _ { n } } | \alpha \rangle \otimes | \psi \rangle } \\ { \xrightarrow [ ] { C - \rho ^ { \dagger } } } & { \frac { 1 } { \sqrt { n ! } } \sum _ { \alpha \in S _ { n } } | \alpha \rangle \otimes \rho ^ { \dagger } ( \alpha ) | \psi \rangle } \\ { \xrightarrow [ ] { \mathrm { M e a s u r e ~ } M _ { L } } } & { \frac { 1 } { \sqrt { n ! } } \sum _ { \alpha \in S _ { n } } \Pi _ { \omega } ^ { L } | \alpha \rangle \otimes \rho ^ { \dagger } ( \alpha ) | \psi \rangle \quad \quad ( \mathrm { c o n d i t i o n e d ~ o n ~ m e a s . ~ o u t c o m e ~ } \omega ) } \\ { = } & { \frac { d _ { \omega } } { ( n ! ) ^ { 3 / 2 } } \sum _ { \alpha , \sigma \in S _ { n } } \chi _ { \omega } ( \sigma ) | \sigma \alpha \rangle \otimes \rho ^ { \dagger } ( \alpha ) | \psi \rangle } \\ { \xrightarrow [ ] { C - \rho } } & { \frac { d _ { \omega } } { ( n ! ) ^ { 3 / 2 } } \sum _ { \alpha , \sigma \in S _ { n } } \chi _ { \omega } ( \sigma ) | \sigma \alpha \rangle \otimes \rho ( \sigma \alpha ) \rho ^ { \dagger } ( \alpha ) | \psi \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \varepsilon \int _ { \mathbf R ^ { 3 } } \| \partial _ { t } a \| _ { H _ { x } ^ { s - 2 } } \| g _ { \alpha } \| _ { L _ { x } ^ { \infty } } \| g _ { \alpha } ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } d \xi } \\ & { \quad \lesssim \int _ { \mathbf R ^ { 3 } } \| b \| _ { H _ { x } ^ { s - 1 } } \| g _ { \alpha } ^ { ( s - 1 ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } \| g _ { \alpha } ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } d \xi + \varepsilon ( 1 + | \dot { \gamma } | + \| \partial _ { t } \psi \| _ { H _ { x } ^ { s } } ) \| g _ { \alpha } ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { \lesssim \| b \| _ { H _ { x } ^ { s - 1 } } \| \langle \xi \rangle ^ { \frac { 1 } { 2 } } g _ { \alpha } ^ { ( s - 1 ) } \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } \| \langle \xi \rangle ^ { - \frac { 1 } { 2 } } g _ { \alpha } ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } + \varepsilon ( 1 + | \dot { \gamma } | + \| \partial _ { t } \psi \| _ { H _ { x } ^ { s } } ) \| g _ { \alpha } ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \quad 0 = \sum _ { i = 1 } ^ { n } a _ { i } z ^ { i } } & { \geqslant a _ { 0 } - \sum _ { i = 1 } ^ { n } a \cdot | z | ^ { i } } \\ & { \geqslant a _ { 0 } - ( k - 1 ) \sum _ { i = 1 } ^ { n } | z | ^ { i } } \\ & { \geqslant 1 - ( k - 1 ) \frac { | z | ^ { n + 1 } - | z | } { | z | - 1 } } \\ & { > 1 - ( k - 1 ) \frac { | z | } { 1 - | z | } } \\ & { \geqslant 1 - ( k - 1 ) \frac { 1 } { k - 1 } = 1 - 1 = 0 } \end{array}
\mathbf { y } = \left[ { \begin{array} { c } { 6 } \\ { 5 } \\ { 7 } \\ { 1 0 } \end{array} } \right] , \; \; \; \; \mathbf { X } = \left[ { \begin{array} { c c } { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 2 } \\ { 1 } & { 3 } \\ { 1 } & { 4 } \end{array} } \right] , \; \; \; \; \mathbf { \beta } = \left[ { \begin{array} { c } { \beta _ { 1 } } \\ { \beta _ { 2 } } \end{array} } \right] .
{ \boldsymbol { \Psi } } \equiv { \left( \begin{array} { l } { \Psi _ { \boldsymbol { \mathsf { L } } } } \\ { \Psi _ { \boldsymbol { \mathsf { R } } } } \end{array} \right) } ~ , \qquad \gamma ^ { \mu } \equiv { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { \sigma ^ { \mu } } \\ { { \bar { \sigma } } ^ { \mu } } & { 0 } \end{array} \right) } \quad { \mathrm { ~ f o r ~ } } ~ \mu = 0 , 1 , 2 , 3 ~ ;
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { \xi _ { i j } ^ { a } , j \in \mathcal { V } _ { x } } \quad } & { \sum _ { j \in \mathcal { V } _ { x } } \pi _ { i j } ^ { a } ( b _ { j } , \xi _ { j j } ^ { a } , \xi _ { i j } ^ { a } ) } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { \xi _ { i j } ^ { a } = \xi _ { i j ^ { \prime } } ^ { a } \quad \forall j , j ^ { \prime } \in \mathcal { V } _ { x } } \end{array} , \quad i = 1 , \dots , M .
\begin{array} { r l } { k _ { 1 } ( 2 ) } & { = \frac { 1 } { 4 } \lambda _ { 1 } ^ { 3 } \delta _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } H \delta _ { 1 } + \frac { 5 } { 4 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } \delta _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \lambda _ { 1 } H ^ { 2 } \delta _ { 1 } + \frac { 3 } { 2 } \lambda _ { 1 } H \delta _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 7 } { 4 } \lambda _ { 1 } \delta _ { 1 } ^ { 3 } + } \\ & { + \lambda _ { 1 } \delta _ { 1 } \delta _ { 2 } - \lambda _ { 1 } \delta _ { 3 } + \lambda _ { 3 } \delta _ { 1 } + \frac { 1 } { 4 } H ^ { 2 } \delta _ { 1 } ^ { 2 } + H \delta _ { 1 } ^ { 3 } + \frac { 3 } { 4 } \delta _ { 1 } ^ { 4 } + \delta _ { 1 } ^ { 2 } \delta _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } \Big | _ { t = 0 } | H | ^ { 2 } } & { = \frac { \partial } { \partial t } \Big | _ { t = 0 } \Big ( ( - 3 u _ { t } + 2 \Tilde { u } _ { t } ) | H _ { t } | ^ { 2 } \Big ) } \\ & { = \Big ( ( - 3 u _ { t } + 2 \Tilde { u } _ { t } ) ^ { \prime } | H _ { t } | ^ { 2 } + ( - 3 u _ { t } + 2 \Tilde { u } _ { t } ) ( | H _ { t } | ^ { 2 } ) ^ { \prime } \Big ) \Big | _ { t = 0 } } \\ & { = - 5 u ^ { 2 } | H | ^ { 2 } + ( - 3 u _ { t } + 2 \Tilde { u } _ { t } ) ^ { 2 } | H _ { t } | ^ { 2 } \Big | _ { t = 0 } } \\ & { = - 4 u ^ { 2 } | H | ^ { 2 } } \\ & { = - 4 8 u ^ { 2 } \mu , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( } & { \mathcal { T } _ { \mathcal { U } _ { p } ^ { \mathtt { s a } } } ^ { \pi } v ) ( s ) = \operatorname* { m i n } _ { { R , P \in \mathcal { U } _ { p } ^ { \mathtt { s a } } } } \sum _ { a } \pi ( a | s ) \Bigm [ R ( s , a ) + \gamma \sum _ { s ^ { \prime } } P ( s ^ { \prime } | s , a ) v ( s ^ { \prime } ) \Bigm ] } \\ & { = \sum _ { a } \pi ( a | s ) \Bigm [ R _ { 0 } ( s , a ) + \gamma \sum _ { s ^ { \prime } } P _ { 0 } ( s ^ { \prime } | s , a ) v ( s ^ { \prime } ) \Bigm ] + } \\ & { \qquad \qquad \operatorname* { m i n } _ { { p \in \mathcal { P } } , r \in \mathcal { R } } \sum _ { a } \pi ( a | s ) \Bigm [ r ( s , a ) + \gamma \sum _ { s ^ { \prime } } p ( s ^ { \prime } | s , a ) v ( s ^ { \prime } ) \Bigm ] , } \\ & { \quad \mathrm { ( f r o m ~ ( \mathtt { s a } ) ~ - r e c t a n g u l a r i t y , ~ w e ~ g e t ) } } \\ & { = \sum _ { a } \pi ( a | s ) \Bigm [ R _ { 0 } ( s , a ) + \gamma \sum _ { s ^ { \prime } } P _ { 0 } ( s ^ { \prime } | s , a ) v ( s ^ { \prime } ) \Bigm ] + } \\ & { \qquad \qquad \sum _ { a } \pi ( a | s ) \underbrace { \operatorname* { m i n } _ { { p _ { s , a } \in \mathcal { P } _ { s a } } , r _ { s , a } \in \mathcal { R } _ { s , a } } \Bigm [ r _ { s , a } + \gamma \sum _ { s ^ { \prime } } p _ { s , a } ( s ^ { \prime } ) v ( s ^ { \prime } ) \Bigm ] } _ { : = \Omega _ { s a } ( v ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| { \Delta } \right\| _ { \mathrm { o p , \infty } } } & { \leq \frac { 4 } { \sqrt { n } } \left( C _ { 1 } + C _ { 3 } \sigma \sqrt { \frac { \log n } { n p } } \right) \frac { 9 C _ { 0 } ( 1 + \sigma \sqrt { d } ) } { \sqrt { n p } } + \frac { 2 8 } { \sqrt { n } } \left( C _ { 1 } \sqrt { \frac { \log n } { n p } } + C _ { 3 } \sigma \left( \frac { \log n } { n p } \right) ^ { \frac { 3 } { 4 } } \right) } \\ & { \quad + \frac { 5 2 C _ { 0 } + 4 C _ { 5 } } { \sqrt { n } } \frac { \sqrt { \log n } + \sigma \sqrt { d } + \sigma \sqrt { \log n } } { \sqrt { n p } } } \\ & { \leq \frac { C _ { 6 } } { \sqrt { n } } \left( \sqrt { \frac { \log n } { n p } } + \frac { \sigma \sqrt { d } } { \sqrt { n p } } + \frac { \sigma \sqrt { \log n } } { \sqrt { n p } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathsf { E } [ U _ { i } ( t + 1 ) } & { - U _ { i } ( t ) \mid Y ^ { t } , \theta = i ] } \\ { \ge } & { C - \log _ { 2 } \left( 1 + ( q - p ) ^ { 2 } \frac { \iota _ { i } \Delta - \rho _ { i } ( y ^ { t } ) } { 1 - \rho _ { i } ( y ^ { t } ) } \right) } \\ { \ge } & { C - \log _ { 2 } \left( 1 + \frac { ( q - p ) ^ { 2 } } { 3 } \right) } \\ { \ge } & { C - \frac { ( q - p ) ^ { 2 } } { 3 } } \\ { = } & { C - \frac { ( q - p ) ^ { 2 } } { 2 \ln ( 2 ) } + \frac { 3 - 2 \ln ( 2 ) } { 6 \ln ( 2 ) } ( q - p ) ^ { 2 } } \\ { \ge } & { \frac { 3 - 2 \ln ( 2 ) } { 6 \ln ( 2 ) } ( q - p ) ^ { 2 } > \frac { ( q - p ) ^ { 2 } } { 3 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Big | p _ { \pi ^ { p } } ( \phi _ { i } | \phi _ { j } ) - q ( \phi _ { i } | \phi _ { j } ) \Big | } & { \le \eta q ( \phi _ { i } | \phi _ { j } ) , } \\ { \Big | q _ { \pi ^ { * } } ( \phi _ { i } | \phi _ { j } ) - q ( \phi _ { i } | \phi _ { j } ) \Big | } & { \le \eta q ( \phi _ { i } | \phi _ { j } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \partial _ { t } \pm \boldsymbol { U } _ { \mathrm { A } } \cdot \nabla ^ { \prime } \right) \boldsymbol { w } _ { \pm } = } & { - \boldsymbol { w } _ { \mp } \cdot \nabla ^ { \prime } \boldsymbol { w } _ { \pm } - \frac { 1 } { 8 } \nabla ^ { \prime } \left( \boldsymbol { w } _ { + } - \boldsymbol { w } _ { - } \right) ^ { 2 } } \\ & { - \left( \mathbb { D } - \frac { \partial _ { t } l } { 4 l } \right) \boldsymbol { w } _ { \mp } - \frac { \partial _ { t } l } { 4 l } \boldsymbol { w } _ { \pm } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { i n f } _ { \widehat f \in T } \, \operatorname* { s u p } _ { f \in S ^ { \beta } ( R ) } \big | \operatorname { I B i a s } _ { f } ( \widehat f ) \big | ^ { 1 / \beta } \operatorname* { s u p } _ { f \in S ^ { \beta } ( R ) } \operatorname { I V a r } _ { f } \big ( \widehat f \big ) \geq \frac { 1 } { 8 n } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \eta ^ { \prime } = 0 ^ { \otimes \mathsf { m } _ { 0 } } 1 ^ { \otimes \mathsf { n } _ { 1 } } . . . 0 ^ { \otimes \mathsf { m } _ { i - 1 } } 1 ^ { \otimes \left( \mathsf { n } _ { i } + \mathsf { n } _ { i + 1 } - \mathsf { m } _ { i } \right) } 0 ^ { \otimes \mathsf { m } _ { i + 1 } } . . . 0 ^ { \otimes \mathsf { m } _ { L } } 1 ^ { \otimes \mathsf { n } _ { L + 1 } } 0 ^ { \otimes \mathsf { m } _ { L + 1 } } , } \end{array}
\mathbb { E } [ \| g _ { \varepsilon } ( S u _ { \gamma , \varepsilon } - y _ { \operatorname* { m a x } } ( \omega ) ) \| _ { L ^ { 2 } ( D ) } ^ { 2 } ] \le \frac { C _ { 1 } } { \gamma } + \varepsilon ^ { 2 } \cdot \log ^ { 2 } 2 \cdot \mathbb { E } [ \| 1 \| _ { L ^ { 2 } ( D ) } ^ { 2 } ] = \frac { C _ { 1 } } { \gamma } + \varepsilon ^ { 2 } \cdot \log ^ { 2 } 2 \cdot \| 1 \| _ { L ^ { 2 } ( D ) } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } & { d U - \Delta U d t = \varphi \left( \left\| U \right\| _ { p } \right) ^ { 2 } B ( U ) d t + G ( U ) d t + \varphi \left( \left\| U \right\| _ { p } \right) ^ { 2 } \sigma ( U ) d \mathbb { W } _ { t } + \mathbf { P } ( b \cdot \nabla U ) d \mathbb { W } _ { t } , } \\ & { \nabla \cdot u = 0 , } \\ & { U ( 0 ) = U _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad _ { 2 } + _ { 4 } + _ { 2 } + _ { 2 } + _ { 1 0 } + _ { 1 1 } + _ { 1 3 } + _ { 4 } } \\ & { = \delta _ { p , j } \delta ( q > m - n ) \sum _ { x \leq m - n } W _ { x , x } ^ { ( 1 ) } W _ { i , q } ^ { ( 1 ) } - \delta _ { p , j } \alpha _ { 2 } W _ { i , q } ^ { ( 2 ) } - \delta _ { p , j } \alpha _ { 2 } ^ { 2 } e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \log \Lambda ( x ) } & { = \log \left( { \frac { \theta _ { 1 } ^ { - 1 } e ^ { - { \frac { x } { \theta _ { 1 } } } } } { \theta _ { 0 } ^ { - 1 } e ^ { - { \frac { x } { \theta _ { 0 } } } } } } \right) } \\ & { = \log \left( { \frac { \theta _ { 0 } } { \theta _ { 1 } } } e ^ { { \frac { x } { \theta _ { 0 } } } - { \frac { x } { \theta _ { 1 } } } } \right) } \\ & { = \log \left( { \frac { \theta _ { 0 } } { \theta _ { 1 } } } \right) + \log \left( e ^ { { \frac { x } { \theta _ { 0 } } } - { \frac { x } { \theta _ { 1 } } } } \right) } \\ & { = - \log \left( { \frac { \theta _ { 1 } } { \theta _ { 0 } } } \right) + \left( { \frac { x } { \theta _ { 0 } } } - { \frac { x } { \theta _ { 1 } } } \right) } \\ & { = - \log \left( { \frac { \theta _ { 1 } } { \theta _ { 0 } } } \right) + \left( { \frac { \theta _ { 1 } - \theta _ { 0 } } { \theta _ { 0 } \theta _ { 1 } } } \right) x } \end{array} }
\begin{array} { r l } { A _ { n } S _ { n + 1 } } & { = A _ { n } \sum _ { k = 0 } ^ { n } \Big ( Q _ { n + 1 } ( z ) \big ( P _ { k } ( \overline { { z } } ) \big ) ^ { * } - P _ { n + 1 } ( z ) \big ( Q _ { k } ( \overline { { z } } ) \big ) ^ { * } \Big ) F _ { k } } \\ & { = ( z \operatorname { I } - B _ { n } ) \sum _ { k = 0 } ^ { n } \Big ( Q _ { n } ( z ) \big ( P _ { k } ( \overline { { z } } ) \big ) ^ { * } - P _ { n } ( z ) \big ( Q _ { k } ( \overline { { z } } ) \big ) ^ { * } \Big ) F _ { k } } \\ & { - A _ { n - 1 } ^ { * } \sum _ { k = 0 } ^ { n } \Big ( Q _ { n - 1 } ( z ) \big ( P _ { k } ( \overline { { z } } ) \big ) ^ { * } - P _ { n - 1 } ( z ) \big ( Q _ { k } ( \overline { { z } } ) \big ) ^ { * } \Big ) F _ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta _ { 4 k - 8 + i } = } & { \eta _ { 4 k ( 1 ) - ( 8 - i ) } = { \eta _ { 8 - i } } { \left[ { - 1 + b \left( \prod _ { r = 0 } ^ { k - 1 } { \eta _ { - 4 ( r + 1 ) + i } } \right) } \right] } , i = 1 , 2 , 3 , 4 } \\ { \eta _ { 4 k - 4 + i } = } & { \eta _ { 4 k ( 1 ) - ( 4 k - i - 4 ) } = \frac { \eta _ { - 4 k + i + 4 } } { \left[ { - 1 + b \left( \prod _ { r = 0 } ^ { k - 1 } { \eta _ { - 4 ( r + 1 ) + i } } \right) } \right] } , \quad i = 1 , 2 , 3 , 4 } \\ { \eta _ { 4 k + 1 + i } = } & { \eta _ { 4 k ( 2 ) - ( 4 k - 1 - i ) } = \eta _ { - 4 k + 1 + i } , \quad i = 0 , 1 , \dots , 4 k - 1 . } \end{array}
\mathcal { Q } ( x y ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { 2 } ( \widetilde { \mathcal { P } } ( x y ^ { \prime } ) + \widetilde { \mathcal { P } } ^ { \prime } ( x y ^ { \prime } ) ) = \frac { 1 } { 2 } ( \widetilde { \mathcal { P } } ( x y ^ { \prime } ) + \widetilde { \mathcal { P } } ( x ^ { \prime } y ) ) = \frac { 1 } { 2 } \mathcal { P } ( x y ) \leq \frac { 1 } { 2 } c a p ( x y ) = \widetilde { c a p } ( x y ^ { \prime } )
\begin{array} { r l } & { \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \mathcal { F } ^ { - 1 } \big [ \mathcal { J } _ { k ; k _ { 1 } , k _ { 2 } } ^ { a ; \mu , \nu ; j _ { 1 } , j _ { 2 } } ( t , \xi ) \big ] d t = \sum _ { b = 1 , 2 } E n d _ { k ; k _ { 1 } , k _ { 2 } ; b } ^ { a ; \mu , \nu ; j _ { 1 } , j _ { 2 } } ( t _ { a } , \xi ) + \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \mathcal { F } ^ { - 1 } \big [ \widetilde { \mathcal { J } } _ { k ; k _ { 1 } , k _ { 2 } ; b } ^ { a ; \mu , \nu ; j _ { 1 } , j _ { 2 } } ( t , \xi ) \big ] d t , } \\ & { E n d _ { k ; k _ { 1 } , k _ { 2 } ; b } ^ { a ; \mu , \nu ; j _ { 1 } , j _ { 2 } } ( t _ { b } , \xi ) : = \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } e ^ { i x \cdot \xi + i t _ { b } \Phi _ { \mu , \nu } ^ { a } ( \xi , \eta ) } \frac { ( - 1 ) ^ { b - 1 } i q _ { \mu , \nu } ^ { a } ( \xi - \eta , \eta ) } { \Phi _ { \mu , \nu } ^ { a } ( \xi , \eta ) } \widehat { h _ { 1 ; j _ { 1 } , k _ { 1 } } ^ { \mu } } ( t _ { b } , \xi - \eta ) \widehat { h _ { 2 ; j _ { 2 } , k _ { 2 } } ^ { \nu } } ( t _ { b } , \eta ) \psi _ { k } ( \xi ) d \eta d \xi , } \\ & { \widetilde { \mathcal { J } } _ { k ; k _ { 1 } , k _ { 2 } ; 1 } ^ { a ; \mu , \nu ; j _ { 1 } , j _ { 2 } } ( t , \xi ) : = \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } e ^ { i x \cdot \xi + i t \Phi _ { \mu , \nu } ^ { a } ( \xi , \eta ) } \frac { i q _ { \mu , \nu } ^ { a } ( \xi - \eta , \eta ) } { \Phi _ { \mu , \nu } ^ { a } ( \xi , \eta ) } \widehat { h _ { 1 ; j _ { 1 } , k _ { 1 } } ^ { \mu } } ( t , \xi - \eta ) \partial _ { t } \widehat { h _ { 2 ; j _ { 2 } , k _ { 2 } } ^ { \nu } } ( t , \eta ) \psi _ { k } ( \xi ) d \eta d \xi , } \\ & { \widetilde { \mathcal { J } } _ { k ; k _ { 1 } , k _ { 2 } ; 2 } ^ { a ; \mu , \nu ; j _ { 1 } , j _ { 2 } } ( t , \xi ) : = \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } e ^ { i x \cdot \xi + i t \Phi _ { \mu , \nu } ^ { a } ( \xi , \eta ) } \frac { i q _ { \mu , \nu } ^ { a } ( \xi - \eta , \eta ) } { \Phi _ { \mu , \nu } ^ { a } ( \xi , \eta ) } \partial _ { t } \widehat { h _ { 1 ; j _ { 1 } , k _ { 1 } } ^ { \mu } } ( t , \xi - \eta ) \widehat { h _ { 2 ; j _ { 2 } , k _ { 2 } } ^ { \nu } } ( t , \eta ) \psi _ { k } ( \xi ) d \eta d \xi . } \end{array}
\begin{array} { r l } { b _ { h } ^ { j } ( v , \boldsymbol { q } ^ { j } ) : = } & { - ( q , \nabla \cdot v ) _ { \Omega ^ { j } } + \langle \bar { q } ^ { j } , v \cdot n ^ { j } \rangle _ { \partial \mathcal { T } _ { h } ^ { j } } , } \\ { b _ { h } ^ { I , j } ( \bar { v } , \bar { q } ^ { j } ) : = } & { - \langle \bar { q } ^ { j } , \bar { v } \cdot n ^ { j } \rangle _ { \Gamma ^ { I } } , } \\ { b _ { h } ( \boldsymbol { v } , \boldsymbol { q } ) : = } & { \, b _ { h } ^ { s } ( v , \boldsymbol { q } ^ { s } ) + b _ { h } ^ { I , s } ( \bar { v } , \bar { q } ^ { s } ) + b _ { h } ^ { d } ( v , \boldsymbol { q } ^ { d } ) + b _ { h } ^ { I , d } ( \bar { v } , \bar { q } ^ { d } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { ( p _ { 3 3 } - ( g _ { \delta } ) _ { x } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) p _ { 1 3 } - ( g _ { \delta } ) _ { y } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) p _ { 2 3 } ) n ! b _ { n } ( \delta ) } \\ & { = } & { \sum _ { a + b = 2 } ^ { n } \frac { \partial ^ { a + b } g _ { \delta } } { \partial x ^ { a } \partial y ^ { b } } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) \sum _ { I , J } c _ { I , J } x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { a - | I | } y ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { b - | J | } ( p _ { 1 3 } ) ^ { | I | } ( p _ { 2 3 } ) ^ { | J | } } \\ & { } & { ( 2 ! ) ^ { i _ { 1 } + j _ { 1 } } ( 3 ! ) ^ { i _ { 2 } + j _ { 2 } } \cdots ( p + 1 ) ! ^ { i _ { p } + j _ { p } } b _ { 2 } ( \delta ) ^ { i _ { 1 } + j _ { 1 } } \cdots b _ { p + 1 } ( \delta ) ^ { i _ { p } + j _ { p } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathrm E } [ \overline { { \xi } } _ { b } ] = } & { 1 - \frac { 1 } { n + 1 } \Big [ ( n - 1 ) \Big [ 1 - \Big ( 1 - \frac { 1 } { n } \Big ) ^ { n - 1 } \Big ] - \Big ( 1 - \frac { 1 } { n } \Big ) ^ { n - 1 } \Big ] + \frac { 1 } { n ^ { 2 } - 1 } \Big [ n - 1 - 2 \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } i ^ { n - 1 } } { n ^ { n - 1 } } \Big ] } \\ { = } & { 1 - \Big [ 1 - \frac { 1 } { e } - \Big ( 3 - \frac { 1 } { 2 e } \Big ) \frac { 1 } { n } + O \Big ( \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \Big ) \Big ] = \frac { 1 } { e } + \Big ( 3 - \frac { 1 } { 2 e } \Big ) \frac { 1 } { n } + O \Big ( \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { m \rightarrow \infty } \mathbb { J } _ { m , 3 } = } & { \operatorname* { l i m } _ { m \rightarrow + \infty } \frac 1 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { f _ { 0 } ^ { \prime } ( r ) f _ { 0 } ( r ) r ^ { 2 m + 2 } } { \Omega _ { m } - \kappa _ { 2 } + \int _ { 0 } ^ { 1 } s [ f _ { 0 } ( s ) - f _ { 0 } ( s r ) ] d s } d r } \\ { = } & { \operatorname* { l i m } _ { m \rightarrow \infty } \frac 1 2 \frac { 1 } { 2 m + 3 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { f _ { 0 } ^ { \prime } ( \tau ^ { \frac { 1 } { 2 m + 3 } } ) f _ { 0 } ( \tau ^ { \frac { 1 } { 2 m + 3 } } ) } { \Omega _ { m } - \kappa _ { 2 } + \int _ { 0 } ^ { 1 } s [ f _ { 0 } ( s ) - f _ { 0 } ( s \tau ^ { \frac { 1 } { 2 m + 3 } } ) ] d s } d \tau . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { V \left( q _ { K } , q _ { T } \right) } \\ { = } & { \operatorname* { s u p } _ { x } | F _ { q _ { K } } \left( x \right) - F _ { q _ { T } } \left( x \right) | } \\ { \leq } & { \operatorname* { s u p } _ { x } \left( \left| F _ { q _ { K } } \left( x \right) - F _ { \breve { q } _ { K } } \left( x \right) \right| + \left| F _ { \breve { q } _ { K } } ( x ) - F _ { q _ { T } } ( x ) \right| \right) } \\ { \leq } & { \operatorname* { s u p } _ { x } \left| F _ { q _ { K } } \left( x \right) - F _ { \breve { q } _ { K } } \left( x \right) \right| + \operatorname* { s u p } _ { x } \left| F _ { \breve { q } _ { K } } ( x ) - F _ { q _ { T } } ( x ) \right| } \\ { \leq } & { 3 \left[ - 1 + \left\{ 1 + \frac { 4 } { 9 } \left( H \left[ \breve { q } _ { K } \right] - H \left[ q _ { K } \right] \right) \right\} ^ { 1 / 2 } \right] ^ { 1 / 2 } } \\ { + } & { 3 \left[ - 1 + \left\{ 1 + \frac { 4 } { 9 } \left( H \left[ \breve { q } _ { K } \right] - H \left[ q _ { T } \right] \right) \right\} ^ { 1 / 2 } \right] ^ { 1 / 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { D _ { f } ( x ; x ^ { * } ) } & { = } & { f ( x ) - f ( x ^ { * } ) - \langle \nabla f ( x ^ { * } ) , x - x ^ { * } \rangle = f ( x ) - f ( x ^ { * } ) + \langle \eta ^ { * } , x - x ^ { * } \rangle } \\ & { \leq } & { f ( x ) - f ( x ^ { * } ) + g ( x ) - g ( x ^ { * } ) } \\ & { = } & { F ( x ) - F ( x ^ { * } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } \partial _ { x _ { 1 } } ^ { \mu } \partial _ { x _ { 1 } } ^ { \nu } \Gamma _ { \pi , G } ^ { 2 } } \\ & { = \frac { - 1 } { 2 L ^ { 1 2 } } \sum _ { k _ { 1 } , \ldots , k _ { 4 } \in P _ { F } } ( k _ { 1 } ^ { \mu } - k _ { 2 } ^ { \mu } ) ( k _ { 1 } ^ { \nu } - k _ { 2 } ^ { \nu } ) \iint e ^ { i k _ { 1 } ( x _ { 1 } - x _ { 3 } ) } e ^ { i k _ { 2 } ( x _ { 3 } - x _ { 1 } ) } e ^ { i k _ { 3 } ( x _ { 2 } - x _ { 4 } ) } e ^ { i k _ { 4 } ( x _ { 4 } - x _ { 2 } ) } g _ { 3 4 } \, \textnormal { d } x _ { 3 } \, \textnormal { d } x _ { 4 } } \\ & { = \frac { - 1 } { 2 L ^ { 1 2 } } \sum _ { k _ { 1 } , \ldots , k _ { 4 } \in P _ { F } } ( k _ { 1 } ^ { \mu } - k _ { 2 } ^ { \mu } ) ( k _ { 1 } ^ { \nu } - k _ { 2 } ^ { \nu } ) e ^ { i ( k _ { 1 } - k _ { 2 } ) x _ { 1 } } e ^ { i ( k _ { 3 } - k _ { 4 } ) x _ { 2 } } } \\ & { \quad \times \iint e ^ { - i ( k _ { 4 } - k _ { 3 } ) ( x _ { 3 } - x _ { 4 } ) } e ^ { i ( k _ { 2 } - k _ { 1 } + k _ { 4 } - k _ { 3 } ) x _ { 3 } } g ( x _ { 3 } - x _ { 4 } ) \, \textnormal { d } x _ { 3 } \, \textnormal { d } x _ { 4 } } \\ & { = \frac { - 1 } { 2 L ^ { 9 } } \sum _ { k _ { 1 } , \ldots , k _ { 4 } \in P _ { F } } ( k _ { 1 } ^ { \mu } - k _ { 2 } ^ { \mu } ) ( k _ { 1 } ^ { \nu } - k _ { 2 } ^ { \nu } ) e ^ { i ( k _ { 1 } - k _ { 2 } ) x _ { 1 } } e ^ { i ( k _ { 3 } - k _ { 4 } ) x _ { 2 } } \chi _ { ( k _ { 2 } - k _ { 1 } = k _ { 3 } - k _ { 4 } ) } \hat { g } ( k _ { 4 } - k _ { 3 } ) } \\ & { = O ( \rho ^ { 3 + 2 / 3 } a ^ { 3 } \log ( b / a ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta _ { N } ( E ) : y ^ { 2 } } & { = ( x + n _ { N } ( E ) ) ^ { 3 } + a _ { 2 } ( x + n _ { N } ( E ) ) ^ { 2 } + a _ { 4 } ( x + n _ { N } ( E ) ) + a _ { 6 } } \\ & { = x ^ { 3 } + a _ { 2 } x ^ { 2 } + ( 2 n _ { N } ( E ) a _ { 2 } + a _ { 4 } ) x + n _ { N } ( E ) ^ { 2 } a _ { 2 } + n _ { N } ( E ) a _ { 4 } + a _ { 6 } . } \end{array}
I \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \partial \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! B } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( Z \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \cdot \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ; \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \lambda \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
B _ { 2 p } = - { \frac { ( 2 p ) ! } { 2 ^ { 2 p } - 2 } } { \left| \begin{array} { l l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 1 } \\ { { \frac { 1 } { 3 ! } } } & { 1 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } \\ { { \frac { 1 } { 5 ! } } } & { { \frac { 1 } { 3 ! } } } & { 1 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & & { \vdots } & { \vdots } \\ { { \frac { 1 } { ( 2 p + 1 ) ! } } } & { { \frac { 1 } { ( 2 p - 1 ) ! } } } & { { \frac { 1 } { ( 2 p - 3 ) ! } } } & { \cdots } & { { \frac { 1 } { 3 ! } } } & { 0 } \end{array} \right| }
( n ! ) ^ { 3 } \cdot H _ { n } ^ { ( 3 ) } = \left[ { \begin{array} { l } { n + 1 } \\ { 2 } \end{array} } \right] ^ { 3 } - 3 \left[ { \begin{array} { l } { n + 1 } \\ { 1 } \end{array} } \right] \left[ { \begin{array} { l } { n + 1 } \\ { 2 } \end{array} } \right] \left[ { \begin{array} { l } { n + 1 } \\ { 3 } \end{array} } \right] + 3 \left[ { \begin{array} { l } { n + 1 } \\ { 1 } \end{array} } \right] ^ { 2 } \left[ { \begin{array} { l } { n + 1 } \\ { 4 } \end{array} } \right] .
\begin{array} { r l } { \deg _ { \star } ^ { ( h , \delta ) } ( [ T , o ] ) } & { = | \{ v \sim _ { T } o : T [ o , v ] _ { h - 1 } \notin \mathcal { F } ^ { ( \delta , h ) } \mathrm { ~ o r ~ } T [ v , o ] _ { h - 1 } \notin \mathcal { F } ^ { ( \delta , h ) } \mathrm { ~ o r ~ } \deg _ { T } ( o ) > \delta \mathrm { ~ o r ~ } \deg _ { T } ( v ) > \delta \} | } \\ & { = \deg _ { T } ( o ) } \\ & { \quad - | \{ v \sim _ { T } o : T [ o , v ] _ { h - 1 } \in \mathcal { F } ^ { ( \delta , h ) } \mathrm { ~ a n d ~ } T [ v , o ] _ { h - 1 } \in \mathcal { F } ^ { ( \delta , h ) } \mathrm { ~ a n d ~ } \deg _ { T } ( o ) \leq \delta \mathrm { ~ a n d ~ } \deg _ { T } ( v ) \leq \delta \} | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V ( t , \xi ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \xi \leq 0 , } \\ { \xi , } & { 0 < \xi \leq \beta , } \\ { \frac { 1 } { 2 } \xi + \frac 1 2 \beta , } & { \beta < \xi \leq 2 + \beta , } \\ { \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - \alpha \right) \xi + \frac { 1 } { 2 } \left( \beta + 2 \alpha + \alpha \beta \right) , } & { 2 + \beta < \xi \leq 4 + \beta , } \\ { 2 + \beta - \alpha , } & { 4 + \beta < \xi , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { z } \overline { { p } } } & { = - ( \overline { { \rho } } _ { d } + \overline { { \rho } } _ { v } ) g , } \\ { \overline { { p } } } & { = ( \overline { { \rho } } _ { d } R _ { d } + \overline { { \rho } } _ { v } R _ { v } ) \overline { { T } } , } \\ { \frac { \overline { { q } } _ { v } } { \overline { { q } } _ { v s } } \left( \frac { 1 + \overline { { q } } _ { v s } / \epsilon } { 1 + \overline { { q } } _ { v } / \epsilon } \right) } & { = 0 . 2 , } \\ { \overline { { T } } \left( \frac { p _ { \mathrm { r e f } } } { \overline { { p } } } \right) ^ { R _ { d } / c _ { p d } } } & { = T _ { \mathrm { s u r f } } \left( \frac { p _ { \mathrm { r e f } } } { 8 . 5 \times 1 0 ^ { 4 } } \right) ^ { R _ { d } / c _ { p d } } \exp ( 1 . 3 \times 1 0 ^ { - 5 } z ) , } \end{array}
\widetilde { \mathbf { p } } _ { k } ^ { \mathrm { o u t } } \gets \sum _ { r = 0 } ^ { k } [ \mathbf { c } _ { p k } ^ { \mathrm { o u t } } ] _ { r } \, \left( \sqrt { \rho _ { p r } ^ { \mathrm { o u t } } } \, \widetilde { \mathbf { O } } _ { p r } ^ { \mathrm { o u t } } \, \overline { { \mathbf { Z } } } _ { p r } ^ { \mathrm { o u t } } + \widetilde { \boldsymbol { \Delta } } _ { p r } ^ { \mathrm { o u t } } \right) ,
\begin{array} { r l } & { E ( u _ { n } ) - E ( u _ { n + 1 } ) } \\ { = } & { E ( u _ { n } ) - E ( \Tilde { u } _ { n } ) + E ( \Tilde { u } _ { n } ) - E ( \Tilde { u } _ { n } + R _ { n } ) } \\ { \geq } & { \alpha _ { n } ( \nabla _ { H ^ { 1 } } E ( u _ { n } ) , g _ { n } ) _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } } \\ & { \qquad - \left| E ( u _ { n } - \alpha _ { n } g _ { n } ) - E ( u _ { n } ) - ( \nabla _ { H ^ { 1 } } E ( u _ { n } ) , - \alpha _ { n } g _ { n } ) _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } \right| } \\ & { \qquad - | E ( \Tilde { u } _ { n } ) - E ( \Tilde { u } _ { n } + R _ { n } ) | } \\ { \geq } & { \alpha _ { n } \left\Vert g _ { n } \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } \\ & { \qquad - \alpha _ { n } ^ { 2 } \left\Vert g _ { n } \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 2 } \left( \frac { 1 + C _ { 3 } ^ { 2 } V _ { \operatorname* { m a x } } } { 2 } + \frac { 3 \beta C _ { 1 } ^ { 4 } C _ { u } ^ { 2 } } { 2 } + \beta C _ { 1 } ^ { 4 } C _ { u } C _ { g } + \frac { \beta C _ { 1 } ^ { 4 } C _ { g } ^ { 2 } } { 4 } \right) } \\ & { \qquad - \alpha _ { n } ^ { 2 } C _ { R } \left\Vert g _ { n } \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } \\ { \geq } & { \frac { \alpha _ { \operatorname* { m i n } } } { 2 } \left\Vert g _ { n } \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \bar { V } _ { 1 } ( z ) \bar { V } _ { 4 } ( w ) } & { \sim } & { \frac { 3 } { 5 } \frac { \bar { V } _ { 1 } ( w ) } { ( z - w ) ^ { 4 } } - \frac { 3 } { 5 } \frac { \bar { V } _ { 1 } ^ { \prime } ( w ) } { ( z - w ) ^ { 3 } } + \left( 3 \bar { V } _ { 3 } ( w ) + \frac { 1 } { 1 0 } \bar { V } _ { 1 } ^ { \prime \prime } ( w ) \right) \frac { 1 } { ( z - w ) ^ { 2 } } , } \\ { \bar { V } _ { 2 } ( z ) \bar { V } _ { 4 } ( w ) } & { \sim } & { \frac { 2 1 } { 5 } \frac { \bar { V } _ { 2 } ( w ) } { ( z - w ) ^ { 4 } } + \frac { 4 \bar { V } _ { 4 } ( w ) } { ( z - w ) ^ { 2 } } + \frac { \bar { V } _ { 4 } ^ { \prime } ( w ) } { ( z - w ) } , } \\ { \bar { V } _ { 3 } ( z ) \bar { V } _ { 4 } ( w ) } & { \sim } & { \frac { 2 \bar { V } _ { 1 } ( w ) } { ( z - w ) ^ { 6 } } + \frac { 5 4 } { 5 } \frac { \bar { V } _ { 3 } ( w ) } { ( z - w ) ^ { 4 } } + \frac { 1 8 } { 5 } \frac { \bar { V } _ { 3 } ^ { \prime } ( w ) } { ( z - w ) ^ { 3 } } } \\ & { } & { + \left( 5 \bar { V } _ { 5 } ( w ) + a \bar { V } _ { 3 } ^ { \prime \prime } ( w ) \right) \frac { 1 } { ( z - w ) ^ { 2 } } + \frac { 2 \bar { V } _ { 5 } ^ { \prime } ( w ) + b \bar { V } _ { 2 } ^ { \prime \prime \prime } ( w ) } { ( z - w ) } , } \\ { \bar { V } _ { 4 } ( z ) \bar { V } _ { 4 } ( w ) } & { \sim } & { \frac { 9 } { 5 } \frac { 1 } { ( z - w ) ^ { 8 } } + \frac { 7 2 } { 5 } \frac { \bar { V } _ { 2 } ( w ) } { ( z - w ) ^ { 6 } } + \frac { 3 6 } { 5 } \frac { \bar { V } _ { 2 } ^ { \prime } ( w ) } { ( z - w ) ^ { 5 } } } \\ & { } & { + \frac { 1 } { ( z - w ) ^ { 4 } } \left( \frac { 1 1 4 } { 5 } \bar { V } _ { 4 } ( w ) + \frac { 1 0 8 } { 5 0 } \bar { V } _ { 2 } ^ { \prime \prime } \right) + \frac { 1 } { ( z - w ) ^ { 3 } } \left( \frac { 5 7 } { 5 } \bar { V } _ { 4 } ^ { \prime } ( w ) + \frac { 1 2 } { 2 5 } \bar { V } _ { 2 } ^ { \prime \prime \prime } \right) } \\ & { } & { + \frac { 1 } { ( z - w ) ^ { 2 } } \left( 6 \bar { V } _ { 6 } ( w ) + \cdots \right) + \frac { 1 } { ( z - w ) } \left( \bar { V } _ { 6 } ^ { \prime } ( w ) + \cdots \right) . } \end{array}
P \left\{ { \begin{array} { l l l l } { a } & { b } & { c } & { \; } \\ { \alpha } & { \beta } & { \gamma } & { z } \\ { \alpha ^ { \prime } } & { \beta ^ { \prime } } & { \gamma ^ { \prime } } & { \; } \end{array} } \right\} = P \left\{ { \begin{array} { l l l l } { \eta } & { \zeta } & { \theta } & { \; } \\ { \alpha } & { \beta } & { \gamma } & { u } \\ { \alpha ^ { \prime } } & { \beta ^ { \prime } } & { \gamma ^ { \prime } } & { \; } \end{array} } \right\}
\begin{array} { r l } & { C _ { 1 } ( \xi ) = \frac { a _ { 2 } e ^ { - \frac { \xi ^ { 2 } \left( \kappa _ { 1 } + \kappa _ { 3 } \right) } { 8 \kappa _ { 1 } \kappa _ { 3 } } } } { \sqrt { a _ { 1 } e ^ { \frac { 1 } { 4 } \xi ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { \kappa _ { 1 } } - \frac { 1 } { \kappa _ { 2 } } \right) } + 1 } } , \quad C _ { 2 } ( \xi ) = \frac { \sqrt { a _ { 1 } } a _ { 2 } e ^ { - \frac { 1 } { 8 } \xi ^ { 2 } \left( \frac { 2 } { \kappa _ { 2 } } + \frac { 1 } { \kappa _ { 3 } } - \frac { 1 } { \kappa _ { 1 } } \right) } } { \sqrt { e ^ { \frac { 1 } { 4 } \xi ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { \kappa _ { 1 } } - \frac { 1 } { \kappa _ { 2 } } \right) } + 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \; \psi ( \epsilon ^ { k } + \rho ^ { \ell } \Delta \epsilon ^ { k } , X ^ { k } + \rho ^ { \ell } \Delta X ^ { k } , y ^ { k } + \rho ^ { \ell } \Delta y ^ { k } , Z ^ { k } + \rho ^ { \ell } \Delta Z ^ { k } ) } \\ { \leq } & { \; [ 1 - 2 \sigma ( 1 - \delta ) \rho ^ { \ell } ] \psi ( \epsilon ^ { k } , X ^ { k } , y ^ { k } , Z ^ { k } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 5 } } & { = \int _ { 0 } ^ { N } \left[ Q \left( \frac { - t } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { N - t } { \sigma } \right) \right] \cdot \left[ Q \left( \frac { - t } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { 1 - t } { \sigma } \right) \right] ~ d t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { N } \left[ 1 - Q \left( \frac { t } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { N - t } { \sigma } \right) \right] \cdot \left[ Q \left( \frac { t - 1 } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { t } { \sigma } \right) \right] ~ d t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { N } Q \left( \frac { t - 1 } { \sigma } \right) ~ d t - \int _ { 0 } ^ { N } Q \left( \frac { t } { \sigma } \right) ~ d t + \int _ { 0 } ^ { N } Q ^ { 2 } \left( \frac { t } { \sigma } \right) ~ d t - \int _ { 0 } ^ { N } Q \left( \frac { t } { \sigma } \right) Q \left( \frac { t - 1 } { \sigma } \right) ~ d t } \\ & { - \int _ { 0 } ^ { N } Q \left( \frac { N - t } { \sigma } \right) Q \left( \frac { t - 1 } { \sigma } \right) ~ d t + \int _ { 0 } ^ { N } Q \left( \frac { N - t } { \sigma } \right) Q \left( \frac { t } { \sigma } \right) ~ d t } \\ & { = \underbrace { \int _ { - 1 } ^ { 0 } Q \left( \frac { t } { \sigma } \right) ~ d t } _ { ( i ) } - \underbrace { \int _ { N - 1 } ^ { N } Q \left( \frac { t } { \sigma } \right) ~ d t } _ { ( i i ) } + \underbrace { \int _ { 0 } ^ { N } Q ^ { 2 } \left( \frac { t } { \sigma } \right) ~ d t } _ { ( i i i ) } - \underbrace { \int _ { 0 } ^ { 1 } Q \left( \frac { t } { \sigma } \right) ( 1 - Q \left( \frac { 1 - t } { \sigma } \right) ) ~ d t } _ { ( i v ) } } \\ & { - \underbrace { \int _ { 1 } ^ { N } Q \left( \frac { t } { \sigma } \right) Q \left( \frac { t - 1 } { \sigma } \right) ~ d t } _ { ( v ) } - \underbrace { \int _ { 0 } ^ { 1 } Q \left( \frac { N - t } { \sigma } \right) ( 1 - Q \left( \frac { 1 - t } { \sigma } \right) ) ~ d t } _ { ( v i ) } } \\ & { - \underbrace { \int _ { 1 } ^ { N } Q \left( \frac { N - t } { \sigma } \right) Q \left( \frac { t - 1 } { \sigma } \right) ~ d t } _ { ( v i i ) } + \underbrace { \int _ { 0 } ^ { N } Q \left( \frac { N - t } { \sigma } \right) Q \left( \frac { t } { \sigma } \right) ~ d t } _ { ( v i i i ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \begin{array} { l } { x _ { 1 } ( t ) } \\ { x _ { 2 } ( t ) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { \alpha } & { 1 } \\ { - 1 } & { \alpha } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { x _ { 1 } ( t ) } \\ { x _ { 2 } ( t ) } \end{array} \right) + \gamma \left( \mathrm { e x p } ( - \beta \| x ( t ) - p \| _ { 2 } ^ { 2 } ) - \mathrm { e x p } ( - \beta \| p \| _ { 2 } ^ { 2 } ) \right) \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { k } } & { = \sum _ { q , q ^ { \prime } } v _ { q ^ { \prime } ; q } ^ { ( k ) } \langle \Uparrow | \hat { D } _ { q ^ { \prime } } | \Downarrow \rangle \langle \downarrow ^ { ( k ) } | \hat { d } _ { q } ^ { ( k ) } | \uparrow ^ { ( k ) } \rangle } \\ & { = v _ { \delta m _ { j } ; - \delta M _ { F } } ^ { ( k ) } \mu _ { \Updownarrow } ( - 1 ) ^ { \delta M _ { F } } \mu _ { \updownarrow } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { p } ^ { i , n } } & { = \frac { \Delta t } { h ^ { 2 } } c _ { j } ^ { i , n } - \frac { \Delta t } { 2 h } b _ { j } ^ { i , n } , } \\ { \beta _ { p } ^ { n } } & { = 1 - \Delta t \sum _ { i = 1 } ^ { d } a _ { j } ^ { i , n } + 2 \frac { \Delta t } { h ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { d } c _ { j } ^ { i , n } , } \\ { \gamma _ { p } ^ { i , n } } & { = \frac { \Delta t } { h ^ { 2 } } c _ { j } ^ { i , n } + \frac { \Delta t } { 2 h } b _ { j } ^ { i , n } . } \end{array}
\omega ( [ s , t ] \times [ u , v ] ) = 2 ^ { \rho - 1 } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } { \left\lVert { g ^ { i } } \right\rVert } _ { \rho - v a r ; [ s , t ] } ^ { \rho } { \left\lVert { g ^ { i } } \right\rVert } _ { \rho - v a r ; [ u , v ] } ^ { \rho } \right) \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \left( { \left\lVert { g ^ { i } } \right\rVert } _ { \rho - v a r ; [ 0 , 1 ] } + { \left\lVert { g _ { 0 } ^ { i } } \right\rVert } _ { \mathcal { H } } \right) ^ { 2 \rho } .
\begin{array} { r l r l } { \sum _ { j \in J } x _ { i j } \le \overline { { s } } _ { i } , } & { \quad } & & { \forall i \in I , } \\ { \underline { { d } } _ { j } \le \sum _ { i \in I } x _ { i j } \le \overline { { d } } _ { j } , } & { \quad } & & { \forall j \in J , } \\ { u _ { i } + v _ { j } \le \overline { { c } } _ { i j } , } & { \quad x _ { i j } = 0 , } & { \quad } & { \forall ( i , j ) \in K , } \\ { u _ { i } + v _ { j } = \overline { { c } } _ { i j } , } & { \quad x _ { i j } \ge 0 , } & { \quad } & { \forall ( i , j ) \notin K , } \\ { \sum _ { j \in J } x _ { i j } \ge \underline { { s } } _ { i } , \ } & { \quad \ u _ { i } \le 0 , \ } & & { \forall i \in L , } \\ & { \quad \ u _ { i } = 0 , \ } & { \qquad } & { \forall i \notin L , } \end{array}
\begin{array} { r } { \| b c \| _ { p ^ { \prime } } ^ { p ^ { \prime } } = \sum _ { k = 1 } ^ { n } | b _ { k } | ^ { p ^ { \prime } } | c _ { k } | ^ { p ^ { \prime } } \leq \Big ( \sum _ { k = 1 } ^ { n } ( | b _ { k } | ^ { p ^ { \prime } } ) ^ { \frac { q } { p ^ { \prime } } } \Big ) ^ { \frac { p ^ { \prime } } { q } } \Big ( \sum _ { k = 1 } ^ { n } ( | c _ { k } | ^ { p ^ { \prime } } ) ^ { \frac { r } { p ^ { \prime } } } \Big ) ^ { \frac { p ^ { \prime } } { r } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { ( - ) ^ { p } } { \lambda \tilde { c } _ { \phi } } G _ { n _ { \perp } \tilde { n } _ { \perp } } ^ { R } } & { = \frac { \omega k } { \big ( i \omega - D _ { n } k ^ { 2 } - \Gamma \big ) \big ( i \omega - \tilde { D } _ { n } k ^ { 2 } - \tilde { \Omega } \big ) + \omega _ { 0 } ^ { 2 } + v _ { \perp } ^ { 2 } k ^ { 2 } } \frac { * k } { | k | } , } \\ { \frac { ( - ) ^ { p } } { \lambda \tilde { c } _ { \phi } } G _ { n _ { \perp } \tilde { \jmath } _ { \| } } ^ { R } } & { = \frac { \omega ^ { 2 } } { \big ( i \omega - D _ { n } k ^ { 2 } - \Gamma \big ) \big ( i \omega - \tilde { D } _ { n } k ^ { 2 } - \tilde { \Omega } \big ) + \omega _ { 0 } ^ { 2 } + v _ { \perp } ^ { 2 } k ^ { 2 } } \frac { * k } { | k | } , } \\ { \frac { ( - ) ^ { p } } { \lambda \tilde { c } _ { \phi } } G _ { j _ { \| } \tilde { n } _ { \perp } } ^ { R } } & { = - k ^ { 2 } \frac { i \omega D _ { n } + ( i \omega - D _ { n } k ^ { 2 } - \Gamma ) \tilde { D } _ { n } / \lambda - v _ { \perp } ^ { 2 } / \lambda } { \big ( i \omega - D _ { n } k ^ { 2 } - \Gamma \big ) \big ( i \omega - \tilde { D } _ { n } k ^ { 2 } - \tilde { \Omega } \big ) + \omega _ { 0 } ^ { 2 } + v _ { \perp } ^ { 2 } k ^ { 2 } } \frac { * k } { | k | } , } \\ { \frac { ( - ) ^ { p } } { \lambda \tilde { c } _ { \phi } } G _ { j _ { \| } \tilde { \jmath } _ { \| } } ^ { R } } & { = - \omega k \frac { i \omega D _ { n } + ( i \omega - D _ { n } k ^ { 2 } - \Gamma ) \tilde { D } _ { n } / \lambda - v _ { \perp } ^ { 2 } / \lambda } { \big ( i \omega - D _ { n } k ^ { 2 } - \Gamma \big ) \big ( i \omega - \tilde { D } _ { n } k ^ { 2 } - \tilde { \Omega } \big ) + \omega _ { 0 } ^ { 2 } + v _ { \perp } ^ { 2 } k ^ { 2 } } \frac { * k } { | k | } , } \end{array}
\| \bar { D } _ { 1 , i ^ { * } , x } - \bar { D } _ { 1 , i ^ { * } , x } ^ { ( j ) } \| _ { 2 } = \| \bar { D } _ { 1 , x } - \bar { D } _ { 1 , x } ^ { ( j ) } \| _ { 2 } \mathrm { ~ a n d ~ } \| \bar { \mathfrak { D } } _ { 2 , i ^ { * } } - \bar { \mathfrak { D } } _ { 2 , i ^ { * } } ^ { ( j ) } \| _ { 3 / 2 } = \| \bar { \mathfrak { D } } _ { 2 } - \bar { \mathfrak { D } } _ { 2 } ^ { ( j ) } \| _ { 3 / 2 } .
\overline { { G } } = \left\{ \begin{array} { c } { \overline { { \rho } } \tilde { w } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { u } \tilde { w } - { \tau } _ { x z } ^ { m o d } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { v } \tilde { w } - { \tau } _ { y z } ^ { m o d } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { w } ^ { 2 } + \overline { { p } } - { \tau } _ { z z } ^ { m o d } + \frac { 1 } { 3 } \sigma _ { z z } } \\ { \left( \check { e } + \overline { { p } } - { \tau } _ { z z } ^ { m o d } + \frac { 1 } { 3 } \sigma _ { z z } \right) \tilde { w } - { \tau } _ { x z } ^ { m o d } \tilde { u } - { \tau } _ { y z } ^ { m o d } \tilde { v } + q _ { z } ^ { m o d } } \end{array} \right\} \, \mathrm { , }
\left\Vert \left( \bar { R } _ { 0 } \right) _ { \# } \mu - \mu P _ { \overline { { R } } } \right\Vert = \left\Vert \left( \mathcal { L } _ { 0 } - \mathcal { L } _ { \varepsilon } \right) h _ { \mu } \right\Vert _ { L ^ { 1 } \left( I , \lambda \right) } \leq O \left( \varepsilon \right) \left\Vert h _ { \mu } \right\Vert _ { \mathbb { B } } = O \left( \varepsilon \right) \left\Vert \mu \right\Vert _ { \mathbb { B } _ { 1 } } \ .
\begin{array} { r } { \frac { \partial b _ { i } ( \boldsymbol { Z } ) } { \partial x ( k ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { - q _ { x } ( \tau ) \frac { \partial \phi _ { i , x } ( \tau - 1 ) } { \partial x ( k ) } - } \\ { \quad q _ { y } ( \tau ) \frac { \partial \phi _ { i , y } ( \tau - 1 ) } { \partial x ( k ) } , \ \mathrm { f o r } \ k \le \tau - 1 } \\ { q _ { x } ( \tau ) , \ \ \ \ \mathrm { f o r } \ k = \tau } \\ { 0 , \ \ \ \ \mathrm { f o r } \ k \in \{ \tau + 1 , \ldots , T _ { p } \} . } \end{array} \right. } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l r } & { \displaystyle - \operatorname { d i v } _ { y } ( A ( y ) \nabla _ { y } \widehat { \boldsymbol v } ( x , y ) ) + \nabla _ { y } { \widehat { q } ( x , y ) } = \operatorname { d i v } _ { y } ( A ( y ) ) \nabla \boldsymbol { v _ { 0 } } ( x ) \quad \mathrm { i n } \ \mathcal { O } \times W ^ { * } , } \\ & { \displaystyle - \operatorname { d i v } _ { x } \left( \int _ { { W ^ { * } } } A ( y ) ( \nabla \boldsymbol { v _ { 0 } } ( x ) + \nabla _ { y } \widehat { \boldsymbol v } ( x , y ) ) d y \right) + \nabla { \widehat { q } ( x , y ) } = | W ^ { * } | \, ( \boldsymbol { \boldsymbol { u } _ { 0 } } - \boldsymbol u _ { d } ) \quad \mathrm { i n } \ \mathcal { O } , } \\ & { \operatorname { d i v } ( \boldsymbol { v _ { 0 } } ) = 0 \quad \mathrm { i n } \ \mathcal { O } , } \\ & { \widehat { \boldsymbol v } ( x , \cdot ) \quad \mathrm { i s } \ W ^ { * } - \, \mathrm { p e r i o d i c } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { ( s - D \Delta _ { \r _ { 0 } } ) \tilde { S } _ { b } ( s | \r _ { 0 } ) = 1 , \quad \r _ { 0 } \in \Omega , } \\ & { \tilde { S } _ { b } ( s | \r _ { 0 } ) = 0 , \quad \r _ { 0 } \in \Omega _ { \mathrm { { a b } } } , } \\ & { \partial _ { n _ { 0 } } \tilde { S } _ { b } ( s | \r _ { 0 } ) + q _ { s } ( \r _ { 0 } ) \tilde { S } _ { b } ( s | \r _ { 0 } ) = 0 , \quad \r _ { 0 } \in \Omega _ { \mathrm { a d } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi ^ { \pi } ( E ) } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { n } \chi ^ { \pi } ( E ^ { k } ) = \sum _ { k = 1 } ^ { n } \chi ^ { \pi } ( F _ { k } ) \, \chi ^ { \pi } ( B ) } \\ & { = \chi ^ { \pi } \Big ( \bigsqcup _ { k = 1 } ^ { n } F _ { k } \Big ) \, \chi ^ { \pi } ( B ) = \chi ^ { \pi } ( E _ { b } ) \, \chi ^ { \pi } ( B ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { i j } } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { T } \left( \int _ { 0 } ^ { t } a _ { i } ^ { \star } d t ^ { \prime } \right) \left( \int _ { 0 } ^ { t } a _ { j } ^ { \star } d t ^ { \prime } \right) d t + \theta ^ { \star } \delta _ { i j } } \\ { b _ { i } ^ { k } } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { T } \left( a _ { k } ^ { p o d } ( t ) - a _ { k } ^ { p o d } ( 0 ) - \int _ { 0 } ^ { t } f _ { k } \left( O , O , a ^ { p o d } \right) d t ^ { \prime } \right) \left( \int _ { 0 } ^ { t } a _ { i } ^ { \star } d t ^ { \prime } \right) d t , } \end{array}
\frac { \partial c ^ { s , * } } { \partial t ^ { * } } + v _ { i } ^ { * } \frac { \partial c ^ { s , * } } { \partial x _ { i } ^ { * } } = \frac { \partial } { x _ { i } ^ { * } } \left( D ^ { s } \frac { \partial c ^ { s , * } } { \partial \partial x _ { i } ^ { * } } + D ^ { s } \frac { z ^ { s } F } { R T } c ^ { s , * } \; \frac { \partial \phi ^ { s , * } } { \partial x _ { i } ^ { * } } \right) .
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { n } \log \mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } \left[ \left\lVert \prod _ { j = 1 } ^ { n } \exp \left( \frac { \theta } { 2 } F ( s _ { j } ) \right) \right\rVert _ { F } ^ { 2 } \right] = \log \left\lVert E _ { T } ^ { \theta / 2 } \hat { P } E _ { T } ^ { \theta / 2 } \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } .
\begin{array} { r l r l r l r l r } { \Delta _ { x } } & { } & { \langle \underline { { z } } , \underline { { \partial } } _ { x } \rangle } & { } & { \langle \underline { { y } } , \underline { { \partial } } _ { x } \rangle - | \underline { { z } } | ^ { 2 } } & { } & { \langle \underline { { y } } , \underline { { z } } \rangle } & { } & { | \underline { { y } } | ^ { 2 } } \\ { \langle \underline { { \partial } } _ { x } , \underline { { \partial } } _ { y } \rangle } & { } & { \langle \underline { { z } } , \underline { { \partial } } _ { y } \rangle + \langle \underline { { \partial } } _ { z } , \underline { { \partial } } _ { x } \rangle } & { } & { \mathbb { E } _ { x } - \mathbb { E } _ { y } + 2 \mathbb { E } _ { z } + m } & { } & { \langle \underline { { x } } , \underline { { z } } \rangle - \langle \underline { { y } } , \underline { { \partial } } _ { z } \rangle } & { } & { \langle \underline { { x } } , \underline { { y } } \rangle } \\ { \Delta _ { y } } & { } & { \langle \underline { { \partial } } _ { y } , \underline { { \partial } } _ { z } \rangle } & { } & { \langle \underline { { x } } , \underline { { \partial } } _ { y } \rangle + \Delta _ { z } } & { } & { \langle \underline { { x } } , \underline { { \partial } } _ { z } \rangle } & { } & { | \underline { { x } } | ^ { 2 } } \end{array}
\bigtriangleup = \epsilon \int _ { 1 } ^ { 2 } \frac { x ^ { 2 } h ^ { \prime } } { 1 + x ^ { 2 } ( \frac { 1 } { c } - \frac { 1 } { x ^ { 2 } } ) } d x - \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 2 } \int _ { 1 } ^ { 2 } \frac { x ^ { 4 } h ^ { 2 } } { ( 1 + x ^ { 2 } ( \frac { 1 } { c } - \frac { 1 } { x ^ { 2 } } ) ) ^ { 2 } } d x + O ( \epsilon ^ { 3 } ) = \epsilon \int _ { 1 } ^ { 2 } ( c h ^ { \prime } ) d x - \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 2 } \int _ { 1 } ^ { 2 } ( c ^ { 2 } h ^ { 2 } ) d x + O ( \epsilon ^ { 3 } )
\begin{array} { r l } { \left[ \begin{array} { l } { \tilde { { \mathbf { x } } } ^ { k + 1 } } \\ { \tilde { { \mathbf { z } } } ^ { k + 1 } } \end{array} \right] } & { = \left[ \begin{array} { l l } { 2 { \mathbf { W } } - { \mathbf { I } } } & { - { \mathbf { B } } } \\ { { \mathbf { B } } } & { { \mathbf { I } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \tilde { { \mathbf { x } } } ^ { k } } \\ { \tilde { { \mathbf { z } } } ^ { k } } \end{array} \right] } \\ & { \qquad - \alpha \left[ \begin{array} { l } { { \mathbf { W } } ^ { 2 } \big ( { \nabla } \mathbf { f } ( \mathbf { x } ^ { k } ) - { \nabla } { \mathbf { f } } ( { \mathbf { x } } ^ { \star } ) + { \mathbf { v } } ^ { k } \big ) } \\ { 0 } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | M : U ^ { \prime } | } & { = | M : M \cap U | } \\ & { = | M U : U | } \\ & { \le | G : U | } \\ & { = | N _ { G } ( P ) U G ^ { \prime } : U | } \\ & { = | N _ { G } ( P ) U G ^ { \prime } : N _ { G } ( P ) U | | N _ { G } ( P ) U : U | } \\ & { = | G ^ { \prime } : N _ { G } ( P ) U \cap G ^ { \prime } | | N _ { G } ( P ) U : U | } \\ & { = | G ^ { \prime } : N _ { G } ( P ) U \cap G ^ { \prime } | | N _ { G } ( P ) : N _ { G } ( P ) \cap U | } \\ & { = 2 \cdot | G ^ { \prime } : N _ { G } ( P ) U \cap G ^ { \prime } | } \end{array}
( q , q ) _ { \infty } \sum _ { \substack { r _ { 1 } \geq r 2 \geq 0 \, s _ { 1 } \geq s _ { 2 } \geq 0 } } \frac { q ^ { r _ { 1 } ^ { 2 } - r _ { 1 } s _ { 1 } + s _ { 1 } ^ { 2 } + r _ { 2 } ^ { 2 } - r _ { 2 } s _ { 2 } + s _ { 2 } ^ { 2 } + r _ { 1 } + r _ { 2 } + s _ { 1 } + s _ { 2 } } } { ( q ; q ) _ { r _ { 1 } - r _ { 2 } } ( q ; q ) _ { r _ { 2 } } ( q ; q ) _ { s _ { 1 } - r _ { 2 } } ( q ; q ) _ { s _ { 2 } } ( q ; q ) _ { r _ { 2 } + s _ { 2 } + 1 } } = \frac { 1 } { \theta ( q ^ { 2 } , q ^ { 3 } , q ^ { 3 } , q ^ { 4 } , q ^ { 4 } , q ^ { 5 } ; q ^ { 1 0 } ) }
\begin{array} { r l } { \widetilde { \Psi } _ { n _ { \mathrm { d } } } ( \ell _ { 1 } , \ell _ { 2 } ) } & { \! \triangleq \! e ^ { n _ { \mathrm { d } } \ell _ { 1 } \left[ R _ { \mathsf { s } } ^ { \mathsf { c r } } - R + \frac { 1 } { 2 } \upsilon ^ { \prime \prime } ( 1 ) \right] } } \\ & { \quad \times \! Q \! \left( \ell _ { 1 } \sqrt { n _ { \mathrm { d } } \upsilon ^ { \prime \prime } ( 1 ) } \! + \! \ell _ { 2 } \frac { n _ { \mathrm { d } } ( R _ { \mathsf { s } } ^ { \mathsf { c r } } \! - \! R ) } { \sqrt { n _ { \mathrm { d } } \upsilon ^ { \prime \prime } ( 1 ) } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \psi = e ^ { i q x _ { 2 } } \left\{ \begin{array} { r l r l } & { u _ { i L } ^ { + } \, e ^ { i k _ { i } ^ { L } x _ { 1 } } + \sum _ { n } r _ { n } u _ { n L } ^ { - } \; e ^ { - i k _ { n } ^ { L } x _ { 1 } } , } & & { x _ { 1 } < 0 , } \\ & { \sum _ { n } t _ { n } { u } _ { n R } ^ { + } \; e ^ { i k _ { n } ^ { R } x _ { 1 } } , } & & { x _ { 1 } > 0 , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 \leq \int _ { \Omega } ( \Delta _ { p } v - \Delta _ { p } u ) ( v - u ) ^ { + } \, \mathrm { d } x } & { = - \int _ { \{ v \geq u \} } ( \vert \nabla v \vert ^ { p - 2 } \nabla v - \vert \nabla u \vert ^ { p - 2 } \nabla u ) ( \nabla v - \nabla u ) \, \mathrm { d } x } \\ & { \quad - \beta \int _ { \{ v \geq u \} \cap \partial \Omega } ( \vert v \vert ^ { p - 2 } v - \vert u \vert ^ { p - 2 } u ) ( v - u ) \, \mathrm { d } x \leq 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Vec { v } ( x , t ) = } \\ & { \frac { \partial \Vec { \phi } _ { c l } ( x , t ) } { \partial n _ { 0 } } \rvert _ { t = 0 } \Delta \hat { n } _ { 0 } ( t ) + \frac { \partial \Vec { \phi } _ { c l } ( x , t ) } { \partial \theta _ { 0 } } \rvert _ { t = 0 } \Delta \hat { \theta } _ { 0 } ( t ) } \\ & { + \frac { \partial \Vec { \phi } _ { c l } ( x , t ) } { \partial p _ { 0 } } \rvert _ { t = 0 } \Delta \hat { p } _ { 0 } ( t ) + \frac { \partial \Vec { \phi } _ { c l } ( x , t ) } { \partial x _ { 0 } } \rvert _ { t = 0 } \Delta \hat { x } _ { 0 } ( t ) } \\ & { + \Delta \Vec { \hat { v } } _ { c } ( x , t ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { m i n } _ { k = 0 , \dots , K - 1 } \mathbb { E } \| \nabla \mathrm { e n v } _ { \psi } ^ { \eta } ( x ^ { k } ) \| ^ { 2 } \leq \frac { \mathrm { e n v } _ { \psi } ^ { \eta } ( x ^ { 0 } ) - \operatorname* { i n f } \psi } { \alpha ( 1 - \eta ( \rho - \lambda ) ) ( \sqrt { K + 1 } - 1 ) } + \frac { \beta \theta } { 2 \eta ( 1 - \eta ( \rho - \lambda ) ) } \frac { \alpha ( 1 + \ln K ) } { ( \sqrt { K + 1 } - 1 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sigma \circ ( \mu \otimes \textnormal { i d } _ { \mathcal { C } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } } ) ( \overline { { \star } } , \overline { { x } } , \overline { { y } } , \overline { { z } } ) \overset { = } \int ^ { ( \overline { { a } } , \overline { { b } } ) \in ( \mathcal { C } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } ) ^ { 2 } } ( \mu \otimes \textnormal { i d } _ { \mathcal { C } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } } ) ( a , b , \overline { { x } } , \overline { { y } } , \overline { { z } } ) \times \sigma ( \overline { { \star } } , \overline { { a } } , \overline { { b } } ) } \\ & { = \int ^ { ( \overline { { a } } , \overline { { b } } ) \in ( \mathcal { C } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } ) ^ { 2 } } \mu ( a , \overline { { x } } , \overline { { y } } ) \times \textnormal { i d } _ { \mathcal { C } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } } ( b , \overline { { z } } ) \times \sigma ( \overline { { \star } } , \overline { { a } } , \overline { { b } } ) } \\ & { \overset { , } { = } \int ^ { ( \overline { { a } } , \overline { { b } } ) \in ( \mathcal { C } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } ) ^ { 2 } } \ _ { \mathcal { C } } \langle x \otimes _ { \mathcal { C } } y , a \rangle \times \ _ { \mathcal { C } } \langle z , b \rangle \times \ _ { \mathcal { C } } \langle a , D ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } ( \overline { { b } } ) \rangle } \\ & { \overset { \cong } \int ^ { \overline { { b } } \in \mathcal { C } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } } \ _ { \mathcal { C } } \langle x \otimes _ { \mathcal { C } } y , D ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } ( \overline { { b } } ) \rangle \times \ _ { \mathcal { C } } \langle z , b \rangle } \\ & { \overset { D ^ { - 1 } } { \cong } \int ^ { \overline { { b } } \in \mathcal { C } ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } } \ _ { \mathcal { C } } \langle b , D ^ { - 1 } ( \overline { { x \otimes _ { \mathcal { C } } y } } ) \rangle \times \ _ { \mathcal { C } } \langle z , b \rangle \overset { \cong } \ _ { \mathcal { C } } \langle z , D ^ { - 1 } ( \overline { { x \otimes _ { \mathcal { C } } y } } ) \rangle } \\ & { \overset { D } { \cong } \ _ { \mathcal { C } } \langle x \otimes _ { \mathcal { C } } y , D ^ { \textnormal { o p p } ( 1 ) } ( \overline { { z } } ) \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \frac { 8 n } { d \kappa _ { n } } \sum _ { j = 1 } ^ { m } c _ { m , j } \right) ^ { 2 } = \left( \frac { 8 n D } { d \kappa _ { n } } \right) ^ { 2 } \cdot \left( \sum _ { j = 1 } ^ { m } \sqrt { \lambda _ { m , j } } \right) ^ { 2 } } & { \leq \left( \frac { 8 n D } { d \kappa _ { n } } \right) ^ { 2 } \cdot \left( \sum _ { j = 1 } ^ { m } \lambda _ { m , j } \right) \cdot m } \\ & { = \left( \frac { 8 n D } { d \kappa _ { n } } \right) ^ { 2 } \cdot m \leq m ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Theta _ { 1 + 1 / N } } & { = \Theta _ { 1 + 1 / N } - \tilde { \Theta } _ { 1 + 1 / N } + \tilde { \Theta } _ { 1 + 1 / N } } \\ & { \geq \left( 3 \mu _ { 0 } - | | \Theta _ { 1 + 1 / N } - \tilde { \Theta } _ { 1 + 1 / N } | | _ { 0 , 0 } \right) \mathrm { i d } } \\ & { \geq ( 3 \mu _ { 0 } - \mu _ { 0 } / 2 ) \mathrm { i d } > 2 \mu _ { 0 } \mathrm { i d } , } \end{array}
\begin{array} { r } { E ^ { + } ( \boldsymbol { \rho } ^ { L } ) = \{ \boldsymbol { \rho } \in \mathbb { R } ^ { n } , q ( \boldsymbol { \rho } ) - q ( \boldsymbol { \rho } ^ { L } ) - D \eta ( \boldsymbol { \rho } ^ { L } ) ( f ( \boldsymbol { \rho } ) - f ( \boldsymbol { \rho } ^ { L } ) ) \leq 0 , \quad } \\ { \forall ( \eta , q ) \; \mathrm { p a i r ~ o f ~ e n t r o p y - f l u x } \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vec { x } } & { = \left[ \begin{array} { l } { x ^ { 1 } } \\ { x ^ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { x ^ { N ^ { 2 } } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { Z _ { 1 } ^ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { Z _ { N } ^ { 1 } } \\ { Z _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { Z _ { N } ^ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { Z _ { 1 } ^ { N } } \\ { \vdots } \\ { Z _ { N } ^ { N } } \end{array} \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac 1 8 } & { = { \bf b } ^ { \{ \sigma \} , T } { \bf C } ^ { \{ S \} } { \bf A } ^ { \{ S , F \} } { \bf c } ^ { \{ F \} } } \\ & { = b ^ { \{ \sigma \} , T } C ^ { \{ S \} } ( C ^ { \{ S \} } \otimes b ^ { \{ F \} , T } ) ( c ^ { \{ S \} } \otimes c ^ { \{ F \} } ) } \\ & { = b ^ { \{ \sigma \} , T } C ^ { \{ S \} } C ^ { \{ S \} } c ^ { \{ S \} } \frac { 1 } { 2 } = \frac { 1 } { 4 } \cdot \frac { 1 } { 2 } , } \\ { \frac { 1 } { 2 4 } } & { = { \bf b } ^ { \{ \sigma \} , T } { \bf A } ^ { \{ S , \nu \} } { \bf A } ^ { \{ S , F \} } { \bf c } ^ { \{ F \} } } \\ & { = b ^ { \{ \sigma \} , T } A ^ { \{ \nu \} } ( C ^ { \{ S \} } \otimes b ^ { \{ F \} , T } ) ( c ^ { \{ S \} } \otimes c ^ { \{ F \} } ) } \\ & { = b ^ { \{ \sigma \} , T } A ^ { \{ \nu \} } C ^ { \{ S \} } c ^ { \{ S \} } \frac { 1 } { 2 } = \frac { 1 } { 1 2 } \cdot \frac { 1 } { 2 } , } \\ { \frac { 1 } { 1 2 } } & { = { \bf b } ^ { \{ \sigma \} , T } { \bf A } ^ { \{ S , F \} } { \bf C } ^ { \{ F \} } { \bf c } ^ { \{ F \} } } \\ & { = b ^ { \{ \sigma \} , T } ( C ^ { \{ S \} } \otimes b ^ { \{ F \} , T } ) \operatorname { d i a g } ( c ^ { \{ S \} } \otimes c ^ { \{ F \} } ) ( c ^ { \{ S \} } \otimes c ^ { \{ F \} } ) } \\ & { = b ^ { \{ \sigma \} , T } C ^ { \{ S \} } C ^ { \{ S \} } c ^ { \{ S \} } \frac { 1 } { 3 } = \frac { 1 } { 4 } \cdot \frac { 1 } { 3 } , } \\ { \frac { 1 } { 2 4 } } & { = { \bf b } ^ { \{ \sigma \} , T } { \bf A } ^ { \{ S , F \} } { \bf A } ^ { \{ F , F \} } { \bf c } ^ { \{ F \} } } \\ & { = b ^ { \{ \sigma \} , T } ( C ^ { \{ S \} } \otimes b ^ { \{ F \} , T } ) ( C ^ { \{ S \} } \otimes A ^ { \{ F \} } ) ( c ^ { \{ S \} } \otimes c ^ { \{ F \} } ) } \\ & { = b ^ { \{ \sigma \} , T } C ^ { \{ S \} } C ^ { \{ S \} } c ^ { \{ S \} } \frac { 1 } { 6 } = \frac { 1 } { 4 } \cdot \frac { 1 } { 6 } . } \end{array}
\int _ { \Omega } \frac { \partial \mathcal { E } ^ { \ell } } { \partial t } d V = \sum _ { \ell } | \Omega ^ { \ell } | \frac { \partial \mathcal { E } ^ { \ell } } { \partial t } = - \sum _ { \ell \mathcal { r } } \left( D _ { \mathcal { E } } ^ { \ell \mathcal { r } , - } + D _ { \mathcal { E } } ^ { \ell \mathcal { r } , + } \right) = - \sum _ { \ell \mathcal { r } } \left( F ^ { \mathcal { r } } - F ^ { \ell } \right) = 0 .
{ \begin{array} { r l r l } { x } & { = \tan \left( { \frac { \pi } { 4 } } + { \frac { \theta } { 2 } } \right) } \\ { { \frac { 2 x } { 1 + x ^ { 2 } } } } & { = { \frac { 2 \tan \left( { \frac { \pi } { 4 } } + { \frac { \theta } { 2 } } \right) } { \sec ^ { 2 } \left( { \frac { \pi } { 4 } } + { \frac { \theta } { 2 } } \right) } } = 2 \sin \left( { \frac { \pi } { 4 } } + { \frac { \theta } { 2 } } \right) \cos \left( { \frac { \pi } { 4 } } + { \frac { \theta } { 2 } } \right) } \\ & { = \sin \left( { \frac { \pi } { 2 } } + \theta \right) = \cos \theta } & & { { \mathrm { b y ~ t h e ~ d o u b l e - a n g l e ~ f o r m u l a } } } \\ { d x } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \sec ^ { 2 } \left( { \frac { \pi } { 4 } } + { \frac { \theta } { 2 } } \right) d \theta = { \frac { 1 } { 2 } } \left( 1 + x ^ { 2 } \right) d \theta } \\ { d \theta } & { = { \frac { 2 } { 1 + x ^ { 2 } } } \, d x . } \end{array} }
( A - 5 I ) ^ { 3 } \mathbf { x } _ { 3 } = { \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 4 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 4 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 3 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { x _ { 3 1 } } \\ { x _ { 3 2 } } \\ { x _ { 3 3 } } \\ { x _ { 3 4 } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { 1 4 x _ { 3 4 } } \\ { - 4 x _ { 3 4 } } \\ { 3 x _ { 3 4 } } \\ { - x _ { 3 4 } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) }
W _ { 2 } ^ { 2 } ( \gamma _ { \delta } ^ { n , t } , \gamma ^ { n , t } ) \leq \int _ { \mathcal { M } } \mu ^ { n , t } \mathrm { d } ^ { 2 } \big ( \exp ( \nabla h _ { \delta } ^ { n , t } ) , \exp ( \nabla h ^ { n , t } ) \big ) \, \mathrm { d } \mathrm { m } \lesssim \int _ { \mathcal { M } } \mathrm { d } ^ { 2 } \big ( \exp ( \nabla h _ { \delta } ^ { n , t } ) , \exp ( \nabla h ^ { n , t } ) \big ) \, \mathrm { d } \mathrm { m } .
\dot { \mathcal { X } } = \underbrace { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { \mathcal { G } } & { 0 } \\ { - \mathcal { G } ^ { * } } & { - \mathcal { R } _ { c l } } & { - B _ { 0 } \mathbf { 1 } _ { \zeta } B _ { c } ^ { T } } \\ { 0 } & { B _ { c } \mathbf { 1 } _ { \zeta } ^ { * } B _ { 0 } ^ { * } } & { 0 } \end{array} \right] \mathcal { L } _ { c l } } _ { \mathcal { A } _ { c l } } \mathcal { X } ,
\hat { H } = \sum _ { a = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { 2 m _ { a } } [ \hat { \mathrm { \bf ~ p } } _ { a } - q _ { a } \hat { \mathrm { \bf ~ A } } _ { T } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) ] ^ { 2 } + V _ { C o u l } + \frac { \epsilon _ { 0 } } { 2 } \int \left[ \hat { \mathrm { \bf ~ E } } _ { T } ( \mathrm { \bf ~ r } ) ^ { 2 } + c ^ { 2 } ( \nabla \times \hat { \mathrm { \bf ~ A } } _ { T } ( \mathrm { \bf ~ r } ) ) ^ { 2 } \right] d ^ { 3 } r
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { d e t } [ H ( V , \xi ) ] } & { = } & { \operatorname* { d e t } \left[ \begin{array} { l l l } { H _ { \parallel } ^ { \parallel } ( V , \xi ) } & { H _ { \nu } ^ { \parallel } ( V , \xi ) } & { H _ { b } ^ { \parallel } ( V , \xi ) } \\ { H _ { \parallel } ^ { \mu } ( V , \xi ) } & { H _ { \nu } ^ { \mu } ( V , \xi ) } & { H _ { b } ^ { \mu } ( V , \xi ) } \\ { 0 _ { 1 0 \times 1 } } & { 0 _ { 1 0 \times 4 } } & { \xi _ { \mu } \xi ^ { \mu } I _ { 1 0 } } \end{array} \right] } \\ & { = } & { ( \xi _ { \mu } \xi ^ { \mu } ) ^ { 1 0 } M \; , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } & { \langle \Psi _ { 0 } | \dag , c _ { A , k } ^ { \dagger } c _ { B , k ^ { \prime } } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle = \sum _ { i , i ^ { \prime } = 1 } ^ { n _ { A } } \tilde { P } _ { i k } \tilde { Q } _ { k ^ { \prime } i ^ { \prime } } ^ { \dagger } \rho _ { i , i ^ { \prime } + n _ { A } } \dag } & { \dag ; = \sum _ { i , i ^ { \prime } = 1 } ^ { n _ { A } } \tilde { P } _ { i k } \tilde { Q } _ { k ^ { \prime } i ^ { \prime } } ^ { \dagger } [ D D ^ { \dagger } ] _ { i ^ { \prime } + n _ { A } , i } \dag } & { \dag ; = \sum _ { i , i ^ { \prime } = 1 } ^ { n _ { A } } \tilde { P } _ { i k } \tilde { Q } _ { k ^ { \prime } i ^ { \prime } } ^ { \dagger } [ Q P ^ { \dagger } ] _ { i ^ { \prime } i } \dag } & { \dag ; = \left[ \frac { 1 } { \sqrt { Q ^ { \dagger } Q } } Q ^ { \dagger } Q P ^ { \dagger } P \frac { 1 } { \sqrt { P ^ { \dagger } P } } \right] _ { k ^ { \prime } k } \dag ! \dag ! = \left[ P ^ { \dagger } P \right] _ { k ^ { \prime } k } \dag } & { \dag ; = \left[ { \sqrt { Q ^ { \dagger } Q } } { \sqrt { P ^ { \dagger } P } } \right] _ { k ^ { \prime } k } = \delta _ { k k ^ { \prime } } \sqrt { n _ { k k } ^ { 0 } ( 1 - n _ { k k } ^ { 0 } ) } \dag , , } \end{array}
u : \textbf { E } _ { V } \to \textbf { E } _ { V } ^ { \prime } , \qquad \emph { \textsf { A } } _ { I } \mapsto u ( \emph { \textsf { A } } _ { I } ) : = \emph { \textsf { S } } \otimes \emph { \textsf { A } } _ { I } = \underbrace { \emph { \textsf { S } } \otimes \emph { \textsf { A } } _ { i _ { 1 } } \otimes \cdots \otimes \emph { \textsf { A } } _ { i _ { n } } } _ { \in \textbf { E } _ { V } [ \ast I ] } .
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } ( s _ { 1 } - s _ { 2 } ) } & { = - D ( s _ { 1 } - s _ { 2 } ) - x _ { 1 } p ( s _ { 1 } ) + x _ { 2 } p ( s _ { 2 } ) } \\ & { = - D ( s _ { 1 } - s _ { 2 } ) - x _ { 1 } ( p ( s _ { 1 } ) - p ( s _ { 2 } ) ) - ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) p ( s _ { 2 } ) } \\ & { = - D ( s _ { 1 } - s _ { 2 } ) - x _ { 1 } p ^ { \prime } ( \zeta ) ( s _ { 1 } - s _ { 2 } ) - ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) p ( s _ { 2 } ) } \\ & { \approx - ( s _ { 1 } - s _ { 2 } ) ( D + x _ { 1 } p ^ { \prime } ( \zeta ) - p ( s _ { 2 } ) ) } \end{array}
\mathbf G = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } \\ { - 1 } & { 1 } & { - 1 8 } \end{array} \right) , \qquad \mathbf G ^ { \prime } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 } & { 2 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { - 1 } & { - 2 } \end{array} \right) , \qquad \mathbf G ^ { \prime \prime } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 2 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 2 } \\ { 2 } & { 0 } & { 0 } \\ { 3 5 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) , \qquad
\begin{array} { r l } { { \mathrm { P r } } \left( \mathcal { E } \right) } & { = { \mathrm { E } _ { \mathcal { C } } } \left( { P _ { { \mathrm { e , s } } } ^ { \left( n \right) } } \right) } \\ & { = { \mathrm { E } _ { \mathcal { C } } } \left( { \frac { 1 } { { { 2 ^ { n { R _ { s } } } } } } \sum _ { m = 1 } ^ { { 2 ^ { n { R _ { s } } } } } { { \lambda _ { m } } \left( \mathcal { C } \right) } } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { { { 2 ^ { n { R _ { s } } } } } } \sum _ { m = 1 } ^ { { 2 ^ { n { R _ { s } } } } } { { \mathrm { E } _ { \mathcal { C } } } \left( { { \lambda _ { m } } \left( \mathcal { C } \right) } \right) } } \\ & { = { \mathrm { E } _ { \mathcal { C } } } \left( { { \lambda _ { 1 } } \left( \mathcal { C } \right) } \right) } \\ & { = \operatorname* { P r } \left( { \mathcal { E } \left| { m = 1 } \right. } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \Big [ F ( z ^ { ( T ) } ) - F ( z ^ { * } ) + \gamma \| A w ^ { ( T ) } - z ^ { ( T ) } \| \Big ] \leq \frac { U _ { 2 } ^ { 2 } ( \rho ^ { \mathrm { m a x } } + L / E ) + ( \gamma + \| \lambda ^ { 1 } \| ) ^ { 2 } / \rho ^ { 1 } } { 2 T } + \frac { 2 P J K U _ { 3 } ^ { 2 } + U _ { 2 } ^ { 2 } / ( 2 E ) } { \bar { \epsilon } \sqrt { T } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } ^ { 5 } = \mathcal { D } _ { \omega } - \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } O p ^ { W } \left( \mathtt { m } _ { \alpha } m _ { 1 , \alpha } ( \xi ) + \left( \frac { T _ { \alpha } } 4 + \mathfrak { m } _ { \le 0 } ( \omega , \xi ) \right) \right) - \varepsilon ^ { 2 } \partial _ { x } \mathcal { C } _ { 2 } + \mathcal { R } _ { \le 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Vert \sigma ( u ) - \sigma ( u ^ { \# } ) \Vert _ { L _ { 2 } ( \mathscr { U } , L ^ { 2 } ) } ^ { 2 } } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \| \psi _ { k } ( u - u ^ { \# } ) \| ^ { 2 } \leq C _ { \kappa _ { 1 } } \| u - u ^ { \# } \| ^ { 2 } , } \\ { \Vert D ^ { \alpha } \partial _ { z } \sigma ( u ) - D ^ { \alpha } \partial _ { z } \sigma ( u ^ { \# } ) \Vert _ { L _ { 2 } ( \mathscr { U } , L ^ { 2 } ) } ^ { 2 } } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \| D ^ { \alpha } \partial _ { z } \psi _ { k } ( u - u ^ { \# } ) \| ^ { 2 } \leq C _ { \kappa _ { 1 } } \| u - u ^ { \# } \| _ { s } ^ { 2 } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l r l } { ( { \frac { 2 } { 5 } } ) } & { = - 1 , } & { F _ { 3 } } & { = 2 , } & { F _ { 2 } } & { = 1 , } \\ { ( { \frac { 3 } { 5 } } ) } & { = - 1 , } & { F _ { 4 } } & { = 3 , } & { F _ { 3 } } & { = 2 , } \\ { ( { \frac { 5 } { 5 } } ) } & { = 0 , } & { F _ { 5 } } & { = 5 , } \\ { ( { \frac { 7 } { 5 } } ) } & { = - 1 , } & { F _ { 8 } } & { = 2 1 , } & { F _ { 7 } } & { = 1 3 , } \\ { ( { \frac { 1 1 } { 5 } } ) } & { = + 1 , } & { F _ { 1 0 } } & { = 5 5 , } & { F _ { 1 1 } } & { = 8 9 . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \int _ { \Omega } f ( \omega ) \mathscr { L } g ( \omega ) \mu ( d \omega ) - \int _ { \Omega } \left( \hat { \mathscr { L } } f ( \omega ) \right) g ( \omega ) \mu ( d \omega ) } \\ { \ } & { = \sum _ { \Delta \cap \Lambda \neq \emptyset } \int _ { \Omega _ { \Delta } } \int _ { \Omega } c _ { \Delta } ( \omega , \xi _ { \Delta } ) [ f \cdot g ( \xi _ { \Delta } \omega _ { \Delta ^ { c } } ) - f \cdot g ( \omega ) ] \mu ( d \omega ) \lambda _ { \Delta } ( d \xi _ { \Delta } ) = \int _ { \Omega } \mathscr { L } ( f \cdot g ) ( \omega ) \mu ( d \omega ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \iint _ { ( 0 , T ) \times \mathbb { T } ^ { d } } \big | D _ { t , z } \phi ^ { \lambda } * \tilde { s } ^ { \lambda } ( \tau , z ) \big | d z \, d \tau } & { \leq \iint _ { ( 0 , T ) \times \mathbb { T } ^ { d } } \Big ( \big | \nabla \phi ^ { \lambda } * \tilde { s } ^ { \lambda } ( \tau , z ) \big | + \big | \phi ^ { \lambda } * \frac { d } { d \tau } \left[ ( \varphi \circ \mathbb { W } ^ { - 1 } ) ( \mathbb { W } ( \hat { s } ^ { \lambda } ( \tau , z ) ) ) \right] \big | \Big ) d z \, d \tau } \\ & { \leq C M . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| I _ { 1 } \| _ { \dot { H } _ { h } ^ { - s } ( h \mathbb { Z } ^ { d } ) } ^ { 2 } } & { \le C \frac { 1 } { h ^ { 2 s } } h ^ { 2 t } \int _ { \left( - \frac { \pi } { h } , \frac { \pi } { h } \right) ^ { d } } \sum _ { \zeta \in \frac { 2 \pi } { h } \mathbb { Z } ^ { d } \setminus \{ 0 \} } | \xi + \zeta | ^ { 2 t } | \mathcal { F } [ u ] ( \xi + \zeta ) | ^ { 2 } \, \mathrm { d } \xi } \\ & { \le C h ^ { 2 ( t - s ) } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } | \xi ^ { 2 t } | \mathcal { F } [ u ] ( \xi ) | ^ { 2 } \, \mathrm { d } \xi } \\ & { \le C h ^ { 2 ( t - s ) } \| u \| _ { \dot { H } ^ { t } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \rho _ { 0 } : \sigma \mapsto 1 , \tau \mapsto 1 , } \\ & { \rho _ { 1 } : \sigma \mapsto \left[ \begin{array} { l l l l } { - 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] , \tau \mapsto \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] , } \\ & { \rho _ { 2 } : \sigma \mapsto \left[ \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { - 1 } & { 0 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right] , \tau \mapsto \left[ \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { - 1 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] , } \\ & { \rho _ { k + 2 } : \sigma \mapsto \left[ \begin{array} { l l l } { - x _ { k } } & { 1 } & { - x _ { k } } \\ { x _ { k } } & { x _ { k } } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } \end{array} \right] , \tau \mapsto \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { 1 + x _ { k } } & { - 1 - x _ { k } } \\ { - 1 } & { - 1 } & { x _ { k } } \\ { - x _ { k } } & { - x _ { k } } & { 1 } \end{array} \right] \quad k = 1 , 2 . } \end{array}
G _ { k } = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { - 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \; \vec { h } _ { k } = \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 0 } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } & { \big ( U _ { m } ( P ) x \big ) ( u ) : = \check { P } ( u , \ldots , u , x ) \, \, \, \mathrm { ~ f o r ~ } \, \, \, P \in \mathcal { P } _ { J } ( X _ { n } ) \, \, \, \mathrm { ~ a n d ~ } \, \, \, x , u \in X _ { n } \, , } \\ & { V _ { m } ( T ) ( y ) : = ( T y ) y \, \, \, \mathrm { ~ f o r ~ } \, \, \, T \in \mathcal { L } \big ( X _ { n } , \mathcal { P } _ { m - 1 } ( X _ { n } ) \big ) \, \, \, \mathrm { ~ a n d ~ } \, \, \, y \in X _ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { J } [ \mathbf { H } ( l ) ] = } & { \mathbf { H } ( l ) + \frac { 1 } { L } \sigma \left( \tilde { W } \mathbf { H } ( l ) + \mathrm { R e } ( \mathcal { F } _ { \Delta x } ^ { - 1 } ( R \cdot \mathcal { F } _ { \Delta x } ( \mathbf { H } ( l ) ) ) ) + \mathbf { C } \right) } \\ { = } & { \mathbf { H } ( l ) + \frac { 1 } { L } \sigma \left( V \mathbf { H } ( l ) + \mathbf { C } \right) , } \end{array}
\| [ X , U _ { t , \mathcal { D } } ] \| = \| [ X , U _ { t } ] \| = \| [ X , r ^ { 2 } { \mathchoice { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 . 5 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 5 m u l } } } _ { \mathcal { H } } + r B t + C t ^ { 2 } ] \| = \| [ X , r B t + C t ^ { 2 } ] \| = t ,
\begin{array} { r l } & { \bullet \quad \alpha ( t ) \ge \underline { { \alpha } } > 0 , \quad \forall \, t \ge 0 , \quad \mathrm { a n d } \quad \alpha ^ { \prime } \in W ^ { 1 , 1 } ( \mathbb { R } _ { + } ) , } \\ & { \bullet \quad \beta _ { 1 } - \beta _ { 2 } \in L ^ { 1 } ( \mathbb { R } _ { + } ) \quad \mathrm { a n d } \quad \beta _ { 1 } ^ { \prime } , \beta _ { 2 } ^ { \prime } \in W ^ { 1 , 1 } ( \mathbb { R } _ { + } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { T } \mathbb { E } \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { T } \hat { c } _ { t } ^ { \top } ( x _ { t } ^ { * } - x _ { t } ) \right] \leq } & { \mathbb { E } \left[ \operatorname* { m i n } _ { \Theta \in \mathcal { K } } \sum _ { t = 1 } ^ { T } l ( D _ { t } ; \Theta ) \right] } \\ & { + \frac { 3 \bar { \Theta } \sqrt { n } + 3 \bar { \sigma } \bar { \Theta } \cdot m n } { \sqrt { T } } } \end{array}
\left| \left( \begin{array} { l } { \widetilde b _ { n } } \\ { \widetilde d _ { n - 1 } } \end{array} \right) \right| _ { \infty } \le \frac { 3 ( \lambda + \mu ) ( n + 1 ) } { \mu 2 ^ { n } \left[ \left( \frac { n - 1 } 2 \right) ! \right] ^ { 2 } } \left| \left( \begin{array} { l } { \widetilde b _ { 1 } } \\ { \widetilde d _ { 0 } } \end{array} \right) \right| _ { \infty } \le \frac { 3 ( 2 \lambda + 5 \mu ) ( n + 1 ) } { \mu 2 ^ { n } \left[ \left( \frac { n - 1 } 2 \right) ! \right] ^ { 2 } } \, \operatorname* { m a x } \{ \widetilde a _ { - 1 } , \widetilde a _ { 1 } , \widetilde b _ { 1 } , \widetilde c _ { 0 } \}
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { 2 } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } \sinh \frac { 1 - b } { 2 \sqrt { \lambda } } + \cosh \frac { 1 - b } { 2 \sqrt { \lambda } } + 2 \lambda A \Big [ \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } \sinh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } + \cosh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } \Big ] } \\ { \frac { 1 } { 2 } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } \sinh \frac { 1 - b } { 2 \sqrt { \lambda } } + B \sqrt { \lambda } \cosh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta \big ( ( u ^ { \prime } , \sigma ^ { \prime } ; f ^ { \prime } , g ^ { \prime } ) ( u , \sigma ; f , g ) \big ) } & { \overset { ( * ) } { = } \delta ( u u ^ { \prime } , \sigma ^ { \prime } \sigma ; f f ^ { \prime } ; g g ^ { \prime } ) } \\ & { = [ f f ^ { \prime } ; u u ^ { \prime } ; g g ^ { \prime } ] = \delta ( u ^ { \prime } ; f ^ { \prime } ; g ^ { \prime } ) \delta ( u ; f ; g ) } \end{array}
{ \begin{array} { r } { \Psi _ { V > E } ( x ) \approx A { \frac { e ^ { { \frac { 2 } { 3 } } u ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } { \sqrt [ { 4 } ] { u } } } + B { \frac { e ^ { - { \frac { 2 } { 3 } } u ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } { \sqrt [ { 4 } ] { u } } } } \\ { \Psi _ { E > V } ( x ) \approx C { \frac { \cos { ( { \frac { 2 } { 3 } } u ^ { \frac { 3 } { 2 } } - \alpha ) } } { \sqrt [ { 4 } ] { u } } } + D { \frac { \sin { ( { \frac { 2 } { 3 } } u ^ { \frac { 3 } { 2 } } - \alpha ) } } { \sqrt [ { 4 } ] { u } } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \Delta _ { 1 } ^ { r ( n _ { 0 } ) } } & { \leq \Delta _ { \lceil \frac { n _ { 0 } } { 2 } \rceil } ^ { \ell ( n _ { 0 } ) } = \Delta _ { \lfloor \frac { n _ { 0 } } { 2 } \rfloor } ^ { \ell ( n _ { 0 } ) } \leq \ldots } \\ & { \ldots \leq \Delta _ { n _ { 0 } - 1 } ^ { \ell ( n _ { 0 } ) } = \Delta _ { 2 } ^ { \ell ( n _ { 0 } ) } \leq \Delta _ { n _ { 0 } } ^ { \ell ( n _ { 0 } ) } = \Delta _ { 1 } ^ { \ell ( n _ { 0 } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mu _ { 3 3 } ( m _ { i } , m _ { j } , m _ { k } ) } \\ & { \! \! = \! \! } & { 3 m _ { i } ^ { 1 2 } m _ { j } ^ { 4 } + 9 m _ { i } ^ { 1 1 } m _ { j } ^ { 5 } - 2 4 m _ { i } ^ { 1 2 } m _ { j } ^ { 2 } m _ { k } ^ { 2 } - 3 0 m _ { i } ^ { 1 1 } m _ { j } ^ { 3 } m _ { k } ^ { 2 } - 1 2 m _ { i } ^ { 1 0 } m _ { j } ^ { 4 } m _ { k } ^ { 2 } - 3 0 m _ { i } ^ { 9 } m _ { j } ^ { 5 } m _ { k } ^ { 2 } - 2 8 m _ { i } ^ { 8 } m _ { j } ^ { 6 } m _ { k } ^ { 2 } } \\ & { } & { + 2 1 m _ { i } ^ { 1 2 } m _ { k } ^ { 4 } + 2 1 m _ { i } ^ { 1 1 } m _ { j } m _ { k } ^ { 4 } - 3 6 0 m _ { i } ^ { 1 0 } m _ { j } ^ { 2 } m _ { k } ^ { 4 } - 6 7 0 m _ { i } ^ { 9 } m _ { j } ^ { 3 } m _ { k } ^ { 4 } - 2 9 2 m _ { i } ^ { 8 } m _ { j } ^ { 4 } m _ { k } ^ { 4 } + 3 6 m _ { i } ^ { 7 } m _ { j } ^ { 5 } m _ { k } ^ { 4 } } \\ & { } & { + 4 7 m _ { i } ^ { 6 } m _ { j } ^ { 6 } m _ { k } ^ { 4 } + 2 9 m _ { i } ^ { 5 } m _ { j } ^ { 7 } m _ { k } ^ { 4 } - 1 5 4 m _ { i } ^ { 1 0 } m _ { k } ^ { 6 } - 3 0 8 m _ { i } ^ { 9 } m _ { j } m _ { k } ^ { 6 } - 5 1 4 m _ { i } ^ { 8 } m _ { j } ^ { 2 } m _ { k } ^ { 6 } - 7 7 0 m _ { i } ^ { 7 } m _ { j } ^ { 3 } m _ { k } ^ { 6 } } \\ & { } & { - 4 7 2 m _ { i } ^ { 6 } m _ { j } ^ { 4 } m _ { k } ^ { 6 } - 6 8 m _ { i } ^ { 5 } m _ { j } ^ { 5 } m _ { k } ^ { 6 } - 1 0 m _ { i } ^ { 4 } m _ { j } ^ { 6 } m _ { k } ^ { 6 } - 1 4 m _ { i } ^ { 3 } m _ { j } ^ { 7 } m _ { k } ^ { 6 } - 1 0 m _ { i } ^ { 2 } m _ { j } ^ { 8 } m _ { k } ^ { 6 } + 2 1 m _ { i } ^ { 8 } m _ { k } ^ { 8 } + 6 3 m _ { i } ^ { 7 } m _ { j } m _ { k } ^ { 8 } } \\ & { } & { + 3 9 m _ { i } ^ { 6 } m _ { j } ^ { 2 } m _ { k } ^ { 8 } - 4 5 m _ { i } ^ { 5 } m _ { j } ^ { 3 } m _ { k } ^ { 8 } - 5 1 m _ { i } ^ { 4 } m _ { j } ^ { 4 } m _ { k } ^ { 8 } - 3 m _ { i } ^ { 3 } m _ { j } ^ { 5 } m _ { k } ^ { 8 } - 3 m _ { i } ^ { 2 } m _ { j } ^ { 6 } m _ { k } ^ { 8 } - 1 5 m _ { i } m _ { j } ^ { 7 } m _ { k } ^ { 8 } - 6 m _ { j } ^ { 8 } m _ { k } ^ { 8 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left| \partial _ { \xi } ^ { \eta } ( S _ { 1 , \Upsilon } ( \Delta _ { 1 2 } ^ { k } ( \partial _ { \varphi } ^ { s _ { 1 } } \partial _ { x } ^ { s _ { 2 } } a ) ) ) ( \varphi , x , \xi ) \right| \le _ { \alpha , \eta } \rVert f ( \varphi , x , \cdot ) \rVert _ { H ^ { \eta + 3 } ( \mathbb { T } ) } \langle \xi \rangle ^ { \alpha - 3 - \eta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | C ( \widetilde { U } ) _ { i j } | \leqslant } & { c , \quad | D ( \widetilde { U } ) _ { i } | \leqslant c , } \\ { | [ C _ { \widetilde { U } } ( \widetilde { U } ) _ { i j } ] _ { k } | \leqslant } & { c , \quad | D _ { \widetilde { U } } ( \widetilde { U } ) _ { i j } | \leqslant c , \ i , j , k \in \{ 1 , \cdots , N _ { k } N _ { e } \} , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { s _ { i j } ^ { \prime } \! \! } & { = } & { \! \! \left\{ \sigma \in s _ { i j } | \sigma \le \operatorname* { m a x } ( s _ { i k } \! \cup s _ { k j } ) , \operatorname* { m i n } s _ { i k } \le \operatorname* { m a x } ( \{ \sigma \} \! \cup s _ { k j } ) , \operatorname* { m i n } s _ { k j } \le \operatorname* { m a x } ( \{ \sigma \} \! \cup s _ { i k } ) \right\} \! , } \\ { s _ { j i } ^ { \prime } \! \! } & { = } & { \! \! s _ { i j } ^ { \prime } , } \\ { s _ { i i } ^ { \prime } \! \! } & { = } & { \! \! \left\{ \sigma \in s _ { i i } | \sigma \le \operatorname* { m a x } ( s _ { i j } ^ { \prime } \cup s _ { j j } ) , \operatorname* { m i n } s _ { i j } ^ { \prime } \le \operatorname* { m a x } ( \{ \sigma \} \! \cup s _ { j j } ) , \operatorname* { m i n } s _ { j j } \le \operatorname* { m a x } ( \{ \sigma \} \! \cup s _ { i j } ^ { \prime } ) \right\} \! , } \\ { s _ { j j } ^ { \prime } \! \! } & { = } & { \! \! \left\{ \sigma \in s _ { j j } | \sigma \le \operatorname* { m a x } ( s _ { i j } ^ { \prime } \cup s _ { i i } ^ { \prime } ) , \, \operatorname* { m i n } s _ { i j } ^ { \prime } \le \operatorname* { m a x } ( \{ \sigma \} \! \cup s _ { i i } ^ { \prime } ) , \, \operatorname* { m i n } s _ { i i } ^ { \prime } \le \operatorname* { m a x } ( \{ \sigma \} \! \cup s _ { i j } ^ { \prime } ) \right\} \! , } \\ { t _ { i j } ^ { \prime } \! \! } & { = } & { \! \! \left\{ \tau \in t _ { i j } | \tau \le \operatorname* { m a x } ( t _ { i k } \cup t _ { k j } ) , \; \operatorname* { m i n } t _ { i k } \le \operatorname* { m a x } ( \{ \tau \} \cup t _ { k j } ) , \; \operatorname* { m i n } t _ { k j } \le \operatorname* { m a x } ( \{ \tau \} \cup t _ { i k } ) \right\} \! , } \\ { t _ { j i } ^ { \prime } \! \! } & { = } & { \! \! t _ { i j } ^ { \prime } , } \\ { t _ { i i } ^ { \prime } \! \! } & { = } & { \! \! \left\{ \tau \in t _ { i i } | \tau \le \operatorname* { m a x } ( t _ { i j } ^ { \prime } \cup t _ { j j } ) , \, \operatorname* { m i n } t _ { i j } ^ { \prime } \le \operatorname* { m a x } ( \{ \tau \} \cup t _ { j j } ) , \, \operatorname* { m i n } t _ { j j } \le \operatorname* { m a x } ( \{ \tau \} \cup t _ { i j } ^ { \prime } ) \right\} \! , } \\ { t _ { j j } ^ { \prime } \! \! } & { = } & { \! \! \left\{ \tau \in t _ { j j } | \tau \le \operatorname* { m a x } ( t _ { i j } ^ { \prime } \cup t _ { i i } ^ { \prime } ) , \, \operatorname* { m i n } t _ { i j } ^ { \prime } \le \operatorname* { m a x } ( \{ \tau \} \cup t _ { i i } ^ { \prime } ) , \, \operatorname* { m i n } t _ { i i } ^ { \prime } \le \operatorname* { m a x } ( \{ \tau \} \cup t _ { i j } ^ { \prime } ) \right\} \! , } \end{array}
\begin{array} { r } { \varepsilon \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \widetilde { \mathscr E } _ { - , 2 } ^ { \varepsilon } ( t ) + \int _ { 0 } ^ { T } \widetilde { \mathscr D } _ { - , 2 } ^ { \varepsilon } ( t ) d t \leq C _ { M } ( \varepsilon \widetilde { \mathscr E } _ { - , 2 , i n } ^ { \varepsilon } + \varepsilon ^ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { A } ^ { 2 } = k _ { \parallel } ^ { 2 } v _ { A } ^ { 2 } \qquad } & { \textrm { ( s h e a r A l f v é n w a v e ) } , } \\ { \omega _ { F M } ^ { 2 } = \frac { k ^ { 2 } \left( v _ { A } ^ { 2 } + v _ { s } ^ { 2 } \right) \left( 1 + \sqrt { 1 - \alpha ^ { 2 } } \right) } { 2 } \qquad } & { \textrm { ( f a s t m a g n e t o s o n i c w a v e ) } , } \\ { \omega _ { S M } ^ { 2 } = \frac { k ^ { 2 } \left( v _ { A } ^ { 2 } + v _ { s } ^ { 2 } \right) \left( 1 - \sqrt { 1 - \alpha ^ { 2 } } \right) } { 2 } \qquad } & { \textrm { ( s l o w m a g n e t o s o n i c w a v e ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { m _ { \alpha { \pmb \alpha } _ { 2 } \beta } = m _ { \beta \alpha { \pmb \alpha } _ { 2 } } = - \frac { 3 R _ { p } } { 1 6 \pi } \int _ { r = R _ { p } } \left[ \frac { \delta _ { \gamma \beta } + 6 \hat { \lambda } n _ { \gamma \beta } ( \pmb x ) } { 1 + 3 \hat { \lambda } } \right] \times } \\ & { \times } & { \bigg [ \delta _ { \alpha \gamma } n _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } ( { \pmb x } ) - \hat { \lambda } ( 2 t _ { \alpha \gamma } n _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } ( \pmb x ) + t _ { \alpha _ { 1 } \gamma } n _ { \alpha \alpha _ { 2 } } ( \pmb x ) + t _ { \alpha _ { 2 } \gamma } n _ { \alpha \alpha _ { 1 } } ( \pmb x ) ) \bigg ] d S ( { \pmb x } ) = } \\ & { } & { - \frac { R _ { p } ^ { 3 } } { 4 ( 1 + 3 \hat { \lambda } ) } \bigg [ \delta _ { \alpha \beta } \delta _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } + \hat { \lambda } ( \delta _ { \alpha \alpha _ { 1 } } \delta _ { \beta \alpha _ { 2 } } + \delta _ { \alpha \alpha _ { 2 } } \delta _ { \beta \alpha _ { 1 } } ) \bigg ] } \end{array}
p ( \mathbf { y } \mid m ) = { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { n / 2 } } } { \sqrt { \frac { \operatorname* { d e t } ( { \boldsymbol { \Lambda } } _ { 0 } ) } { \operatorname* { d e t } ( { \boldsymbol { \Lambda } } _ { n } ) } } } \cdot { \frac { b _ { 0 } ^ { a _ { 0 } } } { b _ { n } ^ { a _ { n } } } } \cdot { \frac { \Gamma ( a _ { n } ) } { \Gamma ( a _ { 0 } ) } }
\begin{array} { r l } { s _ { i 0 } ^ { 2 S D } + \sum _ { r \in \mathcal { R } _ { i } } s _ { i r } ^ { 2 S D } } & { = s _ { i 0 } ^ { F S } + \sum _ { r \in \mathcal { R } _ { i } } s _ { i r } ^ { F S } } \\ & { = \frac { \exp ( u _ { i 0 } ) } { \exp ( u _ { i 0 } ) + \sum _ { s \in \mathcal { R } _ { i } } \exp ( u _ { i s } + \alpha _ { i } \cdot p _ { s } ^ { F S } ) } + } \\ & { \qquad \sum _ { r \in \mathcal { R } _ { i } } \frac { \exp ( u _ { i r } + \alpha _ { i } \cdot p _ { r } ^ { F S } ) } { \exp ( u _ { i 0 } ) + \sum _ { s \in \mathcal { R } _ { i } } \exp ( u _ { i s } + \alpha _ { i } \cdot p _ { s } ^ { F S } ) } } \\ & { = 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad _ { j , i + 1 , 1 } + _ { i , j , 2 } } \\ & { = - \frac { j } { 2 } \hbar ^ { 2 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \delta _ { j , i + 1 } e _ { i + 1 , v } t ^ { w } \otimes e _ { v , i + 1 } t ^ { - w } + \frac { i } { 2 } \hbar \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \delta _ { i + 1 , j } e _ { j , v } t ^ { w } \otimes e _ { v , j } t ^ { - w } } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 } \hbar ^ { 2 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \delta _ { j , i + 1 } e _ { i + 1 , v } t ^ { w } \otimes e _ { v , i + 1 } t ^ { - w } . } \end{array}
\prod _ { 2 \le k < l \le N } f _ { k l } ( x _ { k } - x _ { l } ) = \prod _ { \substack { k , l \in T ^ { * } \, k < l } } f _ { k l } ( x _ { k } - x _ { l } ) \prod _ { \substack { k \in T ^ { * } \, l \in T ^ { c } } } f _ { k l } ( x _ { k } - x _ { l } ) \prod _ { \substack { k , l \in T ^ { c } \, k < l } } f _ { k l } ( x _ { k } - x _ { l } ) ,
x _ { 1 } { \left[ \begin{array} { l } { a _ { 1 1 } } \\ { a _ { 2 1 } } \\ { \vdots } \\ { a _ { m 1 } } \end{array} \right] } + x _ { 2 } { \left[ \begin{array} { l } { a _ { 1 2 } } \\ { a _ { 2 2 } } \\ { \vdots } \\ { a _ { m 2 } } \end{array} \right] } + \dots + x _ { n } { \left[ \begin{array} { l } { a _ { 1 n } } \\ { a _ { 2 n } } \\ { \vdots } \\ { a _ { m n } } \end{array} \right] } + { \left[ \begin{array} { l } { b _ { 1 } } \\ { b _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { b _ { m } } \end{array} \right] } = 0
\begin{array} { r } { S _ { 1 } ( \lambda _ { a } ) = \frac { 1 } { \lambda _ { a } ^ { 2 } } \quad \mathrm { a n d } \quad S _ { 2 } ( \tilde { \lambda } _ { a } ) = \tilde { \lambda } _ { a } \frac { \partial G _ { \mathrm { i c h } } } { \partial \tilde { \lambda } _ { a } } - \frac { 1 } { 3 } \sum _ { b = 1 } ^ { 3 } \tilde { \lambda } _ { b } \frac { \partial G _ { \mathrm { i c h } } } { \partial \tilde { \lambda } _ { b } } = \sum _ { p = 1 } ^ { N } \mu _ { p } \left( \tilde { \lambda } _ { a } ^ { \alpha _ { p } } - \frac 1 3 \sum _ { c = 1 } ^ { 3 } \tilde { \lambda } _ { c } ^ { \alpha _ { p } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \sum _ { q = 0 } ^ { p } \left( \begin{array} { l } { p } \\ { q } \end{array} \right) N ( N - 1 ) \cdots ( N - q + 1 ) x _ { 0 } ^ { N - q } \partial _ { x } ^ { p - q } h _ { \delta } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) } \\ & { \leq } & { N ( N - 1 ) \cdots ( N - p + 1 ) x _ { 0 } ^ { N - p } h ( 0 , 0 ) ( 1 - \frac { c } { 2 } ) . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } a _ { \epsilon , n } = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \log \left\lVert E _ { T _ { \epsilon } } ^ { \theta / 2 } \hat { P } E _ { T _ { \epsilon } } ^ { \theta / 2 } \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } = \log \left\lVert E _ { T } ^ { \theta / 2 } \hat { P } E _ { T } ^ { \theta / 2 } \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } .
\begin{array} { r } { \small { \left( \! \! \left( \begin{array} { l l l l l } { \{ 0 \sim 3 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 1 \} } \\ { \{ 1 \} } & { \! \{ 0 \sim 3 \} \! } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 1 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \! \{ 0 \sim 3 \} \! } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \! \{ 0 \sim 3 \} \! } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 0 \sim 3 \} } \end{array} \right) \! , \! \left( \begin{array} { l l l l l } { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \! \{ 0 \sim 4 \} \! } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 3 \} } & { \! \{ 0 \sim 4 \} \! } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 0 \sim 4 \} } \end{array} \right) \! \! \right) \! . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { N _ { n } \left( x + \Delta x , y + \Delta y \right) = \; } \\ & { N _ { n } \left( x , y \right) } \\ { + \; } & { N _ { n - 1 } ^ { ( K _ { n } ) } \left( x , y \right) \Delta x + S _ { n - 1 } ^ { ( K _ { n } ) } \left( x , y \right) \Delta y } \\ { + \; } & { \frac { 1 } { 2 } \, N _ { n - 2 } ^ { ( K _ { n } ) } \left( x , y \right) \left( \Delta x ^ { 2 } - \Delta y ^ { 2 } \right) \; + \; S _ { n - 2 } ^ { ( K _ { n } ) } \left( x , y \right) \Delta x \Delta y } \\ { + \; } & { \frac { 1 } { 6 } \, N _ { n - 3 } ^ { ( K _ { n } ) } \left( x , y \right) \left( \Delta x ^ { 3 } - 3 \, \Delta x \Delta y ^ { 2 } \right) \; + \; \frac { 1 } { 6 } \, S _ { n - 3 } ^ { ( K _ { n } ) } \left( x , y \right) \left( 3 \, \Delta x ^ { 2 } \Delta y - \Delta y ^ { 3 } \right) } \\ { + \; } & { \frac { 1 } { 2 4 } \, N _ { n - 4 } ^ { ( K _ { n } ) } \left( x , y \right) \left( \Delta x ^ { 4 } - 6 \, \Delta x ^ { 2 } \Delta y ^ { 2 } + \Delta y ^ { 4 } \right) \; + \; \frac { 1 } { 6 } \, S _ { n - 4 } ^ { ( K _ { n } ) } \left( x , y \right) \left( \Delta x ^ { 3 } \Delta y - \Delta x \Delta y ^ { 3 } \right) } \\ { + \; } & { \frac { 1 } { 1 2 0 } \, N _ { n - 5 } ^ { ( K _ { n } ) } \left( x , y \right) \left( \Delta x ^ { 5 } - 1 0 \Delta x ^ { 3 } \Delta y ^ { 2 } + 5 \Delta x \Delta y ^ { 4 } \right) + \frac { 1 } { 1 2 0 } \, S _ { n - 5 } ^ { ( K _ { n } ) } \left( x , y \right) \left( 5 \Delta x ^ { 4 } \Delta y - 1 0 \Delta x ^ { 2 } \Delta y ^ { 3 } + \Delta y ^ { 5 } \right) } \\ { + \; } & { h . o . t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { i + 1 } + D _ { i + 1 } } & { = d _ { i } + \delta _ { i + 1 } + D _ { i } + \Delta _ { i + 1 } } \\ { } & { = d _ { i } + f _ { 5 } ( c _ { i } , d _ { i } , D _ { i } , F _ { i } ) + D _ { i } + f _ { 4 } ( c _ { i } , d _ { i } , D _ { i } , F _ { i } ) } \\ { } & { = d _ { i } + D _ { i } + ( u ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) \cdot \frac { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) - \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } } \\ { } & { = u ^ { \mathrm { i n } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { E _ { 2 } , 3 } ( \vec { R } , \vec { r } ) = \, } & { \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } _ { B } } \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { a } _ { 0 } } - \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } _ { A } } \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { a } _ { 0 } } } \\ { + \, } & { \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } _ { C } } \Big ( \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { a } _ { 1 } } - \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { a } _ { 2 } } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \exists \delta > 0 : \forall t \in [ 0 , a ] : \theta _ { 1 } ( t ) \leq \operatorname* { m a x } ( - K , \theta _ { 2 } ( t ) - \delta ) , } \\ & { \forall t \in [ 0 , a ] : - K < \theta _ { 2 } ( t ) \implies \exists \delta > 0 : \forall t \in [ 0 , a ] : \theta _ { 1 } ( t ) \leq \theta _ { 2 } ( t ) - \delta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \widehat M } \iota \left( \frac { \partial \psi _ { t } } { \partial t } \right) \widehat \alpha d \mu \circ \widehat \pi } & { = \frac { 1 } { 2 } \left( \int _ { \widehat M } \iota \left( \frac { \partial \psi _ { t } } { \partial t } \right) \widehat \alpha d \mu \circ \widehat \pi + \int _ { \widehat M } \iota \left( \frac { \partial \psi _ { t } } { \partial t } \right) g ^ { * } \widehat \alpha d \mu \circ \widehat \pi \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { \widehat M } \iota \left( \frac { \partial \psi _ { t } } { \partial t } \right) \widehat \pi ^ { * } \alpha d \mu \circ \widehat \pi } \\ & { = \int _ { M } \iota \left( \frac { \partial \phi _ { t } } { \partial t } \right) \alpha d \mu = 0 } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { F _ { a } ^ { ( 1 ) } } \\ { F _ { t } ^ { ( 1 ) } } \\ { M _ { z } ^ { ( 1 ) } } \\ { F _ { a } ^ { ( 2 ) } } \\ { F _ { t } ^ { ( 2 ) } } \\ { M _ { z } ^ { ( 2 ) } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { \beta _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { - \beta _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ & { \beta _ { 2 } } & { \beta _ { 3 } } & { 0 } & { - \beta _ { 2 } } & { \beta _ { 4 } } \\ & & { \beta _ { 5 } } & { 0 } & { - \beta _ { 3 } } & { \beta _ { 6 } } \\ & & & { \beta _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ & & & & { \beta _ { 2 } } & { - \beta _ { 4 } } \\ { \mathrm { s y m . } } & & & & & { \beta _ { 7 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { u _ { a } ^ { ( 1 ) } } \\ { u _ { t } ^ { ( 1 ) } } \\ { \theta _ { z } ^ { ( 1 ) } } \\ { u _ { a } ^ { ( 2 ) } } \\ { u _ { t } ^ { ( 2 ) } } \\ { \theta _ { z } ^ { ( 2 ) } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { \| z _ { k + 1 } - y _ { k } ^ { * } \| ^ { 2 } } & { = \| z _ { k } - y _ { k } ^ { * } \| ^ { 2 } + \gamma _ { k } ^ { 2 } \| \tilde { h } _ { z } ^ { k } \| ^ { 2 } - 2 \gamma _ { k } \langle \tilde { h } _ { z } ^ { k } , z _ { k } - y _ { k } ^ { * } \rangle } \\ & { \le \| z _ { k } - y _ { k } ^ { * } \| ^ { 2 } + 2 \gamma _ { k } ^ { 2 } ( \| q _ { k } ^ { z } \| ^ { 2 } + \| \tilde { e } _ { k } ^ { z } \| ^ { 2 } ) - 2 \gamma _ { k } \langle q _ { k } ^ { z } , z _ { k } - y _ { k } ^ { * } \rangle - 2 \gamma _ { k } \langle \tilde { e } _ { k } ^ { z } , z _ { k } - y _ { k } ^ { * } \rangle . } \end{array}
^ { \mathrm { N } } \mathbf { a } ^ { \mathrm { Q } } = ^ { \mathrm { N } } \mathbf { a } ^ { \mathrm { P } } + ^ { \mathrm { N } } { \boldsymbol { \omega } } ^ { \mathrm { B } } \times \left( ^ { \mathrm { N } } { \boldsymbol { \omega } } ^ { \mathrm { B } } \times \mathbf { r } ^ { \mathrm { P Q } } \right) + ^ { \mathrm { N } } { \boldsymbol { \alpha } } ^ { \mathrm { B } } \times \mathbf { r } ^ { \mathrm { P Q } }
\begin{array} { r l } { \| ( R \omega ) _ { \mathrm { d i s t } } ( g _ { h } ) - ( R \omega ) ( g ) \| _ { H ^ { - 2 } ( \Omega ) } } & { \le C \left( 1 + \operatorname* { m a x } _ { T } h _ { T } ^ { - 1 } \| g _ { h } - g \| _ { L ^ { \infty } ( T ) } + \operatorname* { m a x } _ { T } | g _ { h } - g | _ { W ^ { 1 , \infty } ( T ) } \right) } \\ & { \quad \times \left( \| g _ { h } - g \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + \sum _ { T } h _ { T } ^ { 2 } | g _ { h } - g | _ { H ^ { 1 } ( T ) } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle - \nu \Delta \mathbf { v } + \nabla s = \frac { \beta } { \sqrt { \int _ { \Omega } ( j ( \phi , \mathbf { F } ) ) + k } } \mu \nabla \phi + \frac { \beta } { \sqrt { \int _ { \Omega } ( j ( \phi , \mathbf { F } ) ) + k } } \ensuremath { \operatorname { d i v } } \left( \mathbf { M } \mathbf { F } ^ { T } \right) } \\ { \displaystyle + \frac { \beta } { \sqrt { \int _ { \Omega } ( j ( \phi , \mathbf { F } ) ) + k } } \nabla \mathbf { F } \odot \mathbf { M } , } \\ { \ensuremath { \operatorname { d i v } } \mathbf { v } = 0 , } \\ { \displaystyle \frac { \partial \mathbf { F } } { \partial t } + \frac { \beta } { \sqrt { \int _ { \Omega } ( j ( \phi , \mathbf { F } ) ) + k } } \left( \mathbf { v } \cdot \nabla \right) \mathbf { F } - \frac { \beta } { \sqrt { \int _ { \Omega } ( j ( \phi , \mathbf { F } ) ) + k } } ( \nabla \mathbf { v } ) \mathbf { F } + \gamma \mathbf { M } = 0 , } \\ { \displaystyle \mathbf { M } = \frac { \beta } { \sqrt { \int _ { \Omega } ( j ( \phi , \mathbf { F } ) ) + k } } \partial _ { \mathbf { F } } w ( \phi , \mathbf { F } ) - \lambda \Delta \mathbf { F } , } \\ { \displaystyle \frac { \partial \phi } { \partial t } + \frac { \beta } { \sqrt { \int _ { \Omega } ( j ( \phi , \mathbf { F } ) ) + k } } \mathbf { v } \cdot \nabla \phi - \ensuremath { \operatorname { d i v } } ( b ( \phi ) \nabla \mu ) = 0 , } \\ { \displaystyle \mu = \frac { \beta } { \sqrt { \int _ { \Omega } ( j ( \phi , \mathbf { F } ) ) + k } } \psi ^ { \prime } ( \phi ) - \Delta \phi + \frac { \beta } { \sqrt { \int _ { \Omega } ( j ( \phi , \mathbf { F } ) ) + k } } \partial _ { \phi } w ( \phi , \mathbf { F } ) , } \\ { \displaystyle \frac { \partial \beta } { \partial t } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { \int _ { \Omega } ( j ( \phi , \mathbf { F } ) ) + k } } \left( \int _ { \Omega } \partial _ { \phi } j ( \phi , \mathbf { F } ) \frac { \partial \phi } { \partial t } + \int _ { \Omega } \partial _ { \mathbf { F } } w ( \phi , \mathbf { F } ) \colon \frac { \partial \mathbf { F } } { \partial t } \right) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { P ( x | \lambda , \vec { r } , t , \vec { \tau } ) } & { = } & { \frac { 1 } { x ! } \frac { \partial ^ { x } } { \partial s ^ { x } } G ( s , t ) \Big | _ { s = 0 } = \frac { e ^ { - \lambda } } { x ! } \sum _ { i = 1 } ^ { x } T ( x , i ) } \\ & { = } & { \frac { e ^ { - \lambda } } { x ! } \sum _ { i = 1 } ^ { x } \binom { x } { i - 1 } \binom { x - 1 } { i - 1 } ( i - 1 ) ! \left( \lambda e ^ { - z } \right) ^ { x - i + 1 } \left( 1 - e ^ { - z } \right) ^ { i - 1 } } \\ & { = } & { e ^ { - \lambda } \sum _ { i = 1 } ^ { x } \frac { 1 } { ( x - i + 1 ) ! } \binom { x - 1 } { i - 1 } \left( \lambda e ^ { - z } \right) ^ { x - i + 1 } \left( 1 - e ^ { - z } \right) ^ { i - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \boldsymbol { H } ( \mathrm { c u r l } , \Omega ) : = \left\{ \boldsymbol { v } : \boldsymbol { v } \in \boldsymbol { L } ^ { 2 } ( \Omega ) , \mathrm { c u r l } ~ \boldsymbol { v } \in L ^ { 2 } ( \Omega ) \right\} , } \\ & { \boldsymbol { H } _ { 0 } ( \mathrm { c u r l } , \Omega ) : = \left\{ \boldsymbol { v } : \boldsymbol { v } \in \boldsymbol { H } ( \mathrm { c u r l } , \Omega ) , \boldsymbol { v } \cdot \boldsymbol { t } = 0 ~ o n ~ \partial \Omega \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle { \bf u } ^ { n } \! - \! { \bf u } , \nabla _ { { \bf u } } E _ { n } ^ { \lambda , \psi } ( { \bf u } ^ { n } ) \rangle \! \leq \! \frac { \| { \bf u } ^ { n } \! - \! { \bf u } \| _ { \mathcal { H } } ^ { 2 } - \| { \bf u } ^ { n + 1 } \! - \! { \bf u } \| _ { \mathcal { H } } ^ { 2 } } { 2 \eta _ { n } } \! + \! \frac { \epsilon _ { n } } { \eta _ { n } } \| { \bf u } ^ { n } \! - \! { \bf u } \| _ { \mathcal { H } } \! + \! \frac { \eta _ { n } } { 2 } \| \tilde { \nabla } _ { { \bf u } } E _ { n } ^ { \lambda , \psi } ( { \bf u } ^ { n } ) \| _ { \mathcal { H } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \alpha _ { g } ( y _ { n } ) - y _ { n } \| _ { \phi } ^ { \# } } & { \leq \| \alpha _ { g } ( y _ { n } ) - \alpha _ { g } ( x _ { n } ) \| _ { \phi } ^ { \# } + \| \alpha _ { g } ( x _ { n } ) - x _ { n } \| _ { \phi } ^ { \# } + \| x _ { n } - y _ { n } \| _ { \phi } ^ { \# } } \\ & { \leq 2 s _ { n } + \frac { \varepsilon } { 2 } < \varepsilon . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \delta } _ { j } } & { \leq \frac { { \delta } _ { 1 } } { { \delta } _ { j } } { \delta } _ { 1 } + { \mathrm { c } } _ { 4 } { \tau } \sum _ { i = 1 } ^ { j - 1 } \frac { { \delta } _ { i } } { { \delta } _ { j } } { \delta } _ { i } + { \tau } \sum _ { i = 1 } ^ { j - 1 } \left( \frac { { \delta } _ { i } } { { \delta } _ { j } } + \frac { { \delta } _ { i + 1 } } { { \delta } _ { j } } \right) \left\| { f } _ { i } \right\| } \\ & { \leq { \delta } _ { 1 } + { \mathrm { c } } _ { 4 } { \tau } \sum _ { i = 1 } ^ { j - 1 } { \delta } _ { i } + { 2 } { \tau } \sum _ { i = 1 } ^ { j - 1 } \left\| { f } _ { i } \right\| } \\ & { \leq { \delta } _ { 1 } + { \mathrm { c } } _ { 4 } { \tau } \sum _ { i = 1 } ^ { k } { \delta } _ { i } + { 2 } { \tau } \sum _ { i = 1 } ^ { k } \left\| { f } _ { i } \right\| \, . } \end{array}
{ \begin{array} { l } { = { \frac { 3 1 ! } { 2 } } \cdot 6 0 ^ { 3 1 } \cdot { \frac { 1 6 0 ! } { 2 } } \cdot { \frac { 1 2 ^ { 1 6 0 } } { 3 } } \cdot { \frac { 1 6 0 ! } { 2 } } \cdot { \frac { 1 2 ^ { 1 6 0 } } { 3 } } \cdot { \frac { 3 2 0 ! } { 2 4 ^ { 8 0 } } } \cdot { \frac { 6 ^ { 3 2 0 } } { 2 } } \cdot { \frac { 3 2 0 ! } { 2 4 ^ { 8 0 } } } \cdot { \frac { 6 ^ { 3 2 0 } } { 2 } } \cdot { \frac { 6 4 0 ! } { 2 4 ^ { 1 6 0 } } } \cdot { \frac { 3 ^ { 6 4 0 } } { 3 } } \cdot { \frac { 3 2 0 ! } { 8 ! ^ { 4 0 } } } \cdot { \frac { 2 ^ { 3 2 0 } } { 2 } } \cdot { \frac { 3 2 0 ! } { 8 ! ^ { 4 0 } } } \cdot { \frac { 2 ^ { 3 2 0 } } { 2 } } \cdot { \frac { 9 6 0 ! } { 2 4 ! ^ { 4 0 } } } \cdot { \frac { 2 ^ { 9 6 0 } } { 2 } } \cdot { \frac { 9 6 0 ! } { 2 4 ! ^ { 4 0 } } } \cdot { \frac { 2 ^ { 9 6 0 } } { 2 } } \cdot { \frac { 6 4 0 ! } { 6 4 ! ^ { 1 0 } } } \cdot { \frac { 9 6 0 ! } { 9 6 ! ^ { 1 0 } } } \cdot } \\ { { \frac { 6 4 0 ! } { 6 4 ! ^ { 1 0 } } } \cdot { \frac { 1 6 0 ! } { 1 6 ! ^ { 1 0 } } } \cdot { \frac { 1 6 0 ! } { 1 6 ! ^ { 1 0 } } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \partial _ { g _ { 1 } L _ { 1 } } U _ { 2 } } & { = ( \frac { r _ { 1 } r _ { 2 } } { | r _ { 1 } + r _ { 2 } | ^ { 3 } } + \frac { r _ { 2 } ^ { 2 } r _ { 1 } ^ { 2 } } { | r _ { 1 } + r _ { 2 } | ^ { 5 } } ) O ( \Upsilon ) , \quad \partial _ { g _ { 1 } \ell _ { 1 } } U _ { 2 } = ( \frac { r _ { 2 } } { | r _ { 1 } + r _ { 2 } | ^ { 3 } } + \frac { r _ { 2 } ^ { 2 } r _ { 1 } } { | r _ { 1 } + r _ { 2 } | ^ { 5 } } ) O ( \Upsilon ) , } \\ { \partial _ { G _ { 1 } L _ { 1 } } U _ { 2 } } & { = ( \frac { r _ { 1 } r _ { 2 } } { | r _ { 1 } + r _ { 2 } | ^ { 3 } } + \frac { r _ { 1 } ^ { 2 } r _ { 2 } ^ { 2 } } { | r _ { 1 } + r _ { 2 } | ^ { 5 } } ) O ( \Upsilon ) , \quad \partial _ { G _ { 1 } \ell _ { 1 } } U _ { 2 } = ( \frac { r _ { 2 } } { | r _ { 1 } + r _ { 2 } | ^ { 3 } } + \frac { r _ { 1 } r _ { 2 } ^ { 2 } } { | r _ { 1 } + r _ { 2 } | ^ { 5 } } ) O ( \Upsilon ) , } \\ { \partial _ { g _ { 2 } L _ { 2 } } U _ { 2 } } & { = ( \frac { \beta r _ { 1 } r _ { 2 } } { | r _ { 1 } + r _ { 2 } | ^ { 3 } } + \frac { \beta r _ { 1 } ^ { 2 } r _ { 2 } ^ { 2 } } { | r _ { 1 } + r _ { 2 } | ^ { 5 } } ) O ( \Upsilon ) , \quad \partial _ { g _ { 2 } \ell _ { 2 } } U _ { 2 } = ( \frac { \beta ^ { - 2 } r _ { 1 } } { | r _ { 1 } + r _ { 2 } | ^ { 3 } } + \frac { \beta ^ { - 2 } r _ { 1 } ^ { 2 } r _ { 2 } } { | r _ { 1 } + r _ { 2 } | ^ { 5 } } ) O ( \Upsilon ) , } \\ { \partial _ { G _ { 2 } L _ { 2 } } U _ { 2 } } & { = O ( \frac { \beta ^ { 3 } } { r _ { 2 } } G _ { 2 } ) + ( \frac { \beta ^ { 3 } r _ { 1 } r _ { 2 } } { | r _ { 1 } + r _ { 2 } | ^ { 3 } } + \frac { \beta ^ { 3 } r _ { 1 } ^ { 2 } r _ { 2 } ^ { 2 } } { | r _ { 1 } + r _ { 2 } | ^ { 5 } } ) O ( \Upsilon ) , \quad \partial _ { G _ { 2 } \ell _ { 2 } } U _ { 2 } = \frac { 1 } { r _ { 2 } ^ { 2 } } G _ { 2 } + ( \frac { r _ { 1 } } { | r _ { 1 } + r _ { 2 } | ^ { 3 } } + \frac { r _ { 1 } ^ { 2 } r _ { 2 } } { | r _ { 1 } + r _ { 2 } | ^ { 5 } } ) O ( \Upsilon ) , } \\ { \partial _ { G _ { 2 } L _ { 1 } } U _ { 2 } } & { = ( \frac { \beta ^ { 2 } r _ { 1 } r _ { 2 } } { | r _ { 1 } + r _ { 2 } | ^ { 3 } } + \frac { \beta ^ { 2 } r _ { 1 } ^ { 2 } r _ { 2 } ^ { 2 } } { | r _ { 1 } + r _ { 2 } | ^ { 5 } } ) O ( \Upsilon ) , \quad \partial _ { G _ { 2 } \ell _ { 1 } } U _ { 2 } = ( \frac { \beta ^ { 2 } r _ { 2 } } { | r _ { 1 } + r _ { 2 } | ^ { 3 } } + \frac { \beta ^ { 2 } r _ { 1 } r _ { 2 } ^ { 2 } } { | r _ { 1 } + r _ { 2 } | ^ { 5 } } ) O ( \Upsilon ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { N } \sum _ { i , j } S _ { i j } ( G ( z _ { 1 } ) A _ { 1 } G ( z _ { 2 } ) ) _ { j j } ( G ( z _ { 2 } ) A _ { 2 } ) _ { i i } } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { i , j , \mu } \tilde { S } _ { i \mu } \tilde { S } _ { j \mu } ( G ( z _ { 1 } ) A _ { 1 } G ( z _ { 2 } ) ) _ { j j } ( G ( z _ { 2 } ) A _ { 2 } ) _ { i i } } \\ & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { \mu } \left\langle { G ( z _ { 2 } ) A _ { 2 } N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } } \right\rangle \left\langle { G ( z _ { 1 } ) A _ { 1 } G ( z _ { 2 } ) N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } } \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal H ( s ) = \prod _ { ( p , 2 ) = 1 } \left( 1 - \frac { 1 } { p ^ { s } } \right) \left( 1 - \frac { \lambda _ { f } ( p ) } { p ^ { s } } + \frac { 1 } { p ^ { 2 s } } \right) H _ { p } ( s ) \quad \mathrm { w i t h } \quad H _ { p } ( s ) = \frac { p } { p + 1 } ( 1 + \frac { 1 + \lambda _ { f } ( p ) } { p ^ { s } } ) + \frac { 1 } { p + 1 } L _ { p } ( s , \mathrm { s y m } ^ { 2 } f ) ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { R ( A | \{ \gamma _ { t } \} _ { t } ) \geq \sum _ { t = 1 } ^ { \zeta _ { A } } f _ { t } ( x _ { t } ^ { \prime } ) = \sum _ { t = 1 } ^ { T } f _ { t } ( x _ { t } ^ { \prime } ) - \sum _ { t = \zeta _ { A } + 1 } ^ { T } f _ { t } ( x _ { t } ^ { \prime } ) \geq \sum _ { t = 1 } ^ { T } f _ { t } ( x _ { t } ^ { \prime } ) - \kappa \cdot \sum _ { t = \zeta _ { A } + 1 } ^ { T } b _ { t } ( x _ { t } ^ { \prime } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D = } & { \frac 1 2 \left( | \mathbf { d } \cdot \mathbf { E } _ { f } ^ { * } | ^ { 2 } + | \mathbf { d } \cdot \mathbf { E } _ { b } ^ { * } | ^ { 2 } \right) + \zeta \left( \mathbf { d } \cdot \mathbf { G } _ { \mathrm { l } } \cdot \mathbf { d } ^ { * } + \ensuremath { \mathrm { i } } \hbar \epsilon _ { 0 } \delta \right) \, . } \end{array}
{ \mathcal { M } } = - i { \sqrt { \frac { 2 \omega _ { p } } { Z } } } \left\{ \operatorname* { l i m } _ { x ^ { 0 } \to - \infty } \int \mathrm { d } ^ { 3 } x f _ { p } ( x ) { \overleftrightarrow { \partial _ { 0 } } } \langle \beta \ \mathrm { o u t } | \mathrm { T } \left[ \varphi ( y _ { 1 } ) \ldots \varphi ( y _ { n } ) \right] \varphi ( x ) | \alpha ^ { \prime } \ \mathrm { i n } \rangle - \operatorname* { l i m } _ { x ^ { 0 } \to \infty } \int \mathrm { d } ^ { 3 } x f _ { p } ( x ) { \overleftrightarrow { \partial _ { 0 } } } \langle \beta \ \mathrm { o u t } | \varphi ( x ) \mathrm { T } \left[ \varphi ( y _ { 1 } ) \ldots \varphi ( y _ { n } ) \right] | \alpha ^ { \prime } \ \mathrm { i n } \rangle \right\}
\begin{array} { r l } { \Lambda ( \lambda ) = } & { \frac { 2 ( \lambda + 1 ) ^ { 2 N + 1 } } { 2 \lambda + 1 } ( \lambda + \xi _ { - } ) \left( \lambda + \xi _ { + } \right) \frac { Q ( \lambda - 1 ) } { Q ( \lambda ) } } \\ & { + \frac { 2 \lambda ^ { 2 N + 1 } } { 2 \lambda + 1 } ( \lambda + 1 - \xi _ { - } ) \left( \lambda + 1 - \xi _ { + } \right) \frac { Q ( \lambda + 1 ) } { Q ( \lambda ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma \varepsilon ^ { - 1 / 2 } ( 1 - p / 2 ) ^ { - t } \mathcal { S } _ { - n _ { i } } ( y , z _ { i } ) } & { \longrightarrow \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \oint _ { \gamma _ { r } } \mathrm { d } v \, e ^ { - \frac { 1 } { 3 } \mathbf { t } v ^ { 3 } + \mathbf { x } _ { i } v ^ { 2 } - ( u _ { i } - z ) v } } \\ & { = \mathbf { S } _ { - \mathbf { t } , \mathbf { x } _ { i } } ( z , u _ { i } ) . } \end{array}
G _ { p + 1 , \, q + 1 } ^ { \, m , \, n + 1 } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { \alpha , \mathbf { a _ { p } } } \\ { \mathbf { b _ { q } } , \beta } \end{array} } \; \right| \, z \right) = ( - 1 ) ^ { \beta - \alpha } \; G _ { p + 1 , \, q + 1 } ^ { \, m + 1 , \, n } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { \mathbf { a _ { p } } , \alpha } \\ { \beta , \mathbf { b _ { q } } } \end{array} } \; \right| \, z \right) , \quad m \leq q , \; \beta - \alpha = 0 , 1 , 2 , \dots ,
\begin{array} { r l } { ( T ^ { a } - \lambda _ { i - 1 } \mathrm { I d } _ { V } ) E _ { \nu } } & { = \sum _ { \mu = 1 } ^ { d } t _ { \mu , \nu } ^ { ( \alpha ) } E _ { \mu } - \lambda _ { i - 1 } E _ { \nu } } \\ & { = ( \lambda _ { \nu } ^ { \alpha } - \lambda _ { i - 1 } ) E _ { \nu } + \sum _ { \mu = \nu + 1 } ^ { d } t _ { \mu , \nu } ^ { ( \alpha ) } E _ { \mu } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } = \ } & { \frac { \Omega } { 2 } \sum _ { i } \left( \hat { \sigma } _ { i } ^ { g r } + \hat { \sigma } _ { i } ^ { g s } + \mathrm { H . c . } \right) - \sum _ { i } \left( \Delta _ { r } \hat { n } _ { i } ^ { r } + \Delta _ { s } \hat { n } _ { i } ^ { s } \right) } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i \neq j } V _ { i j } \left( \hat { n } _ { i } ^ { r } \hat { n } _ { j } ^ { r } + 2 \hat { n } _ { i } ^ { r } \hat { n } _ { j } ^ { s } + \hat { n } _ { i } ^ { s } \hat { n } _ { j } ^ { s } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \partial _ { + } ^ { 2 } \tilde { \Sigma } _ { 1 1 } ^ { I , I I I } ( \tilde { k } _ { e } , \lambda ) = \lambda ^ { 2 } \int d ^ { 3 } x x _ { + } ^ { 2 } e ^ { - i \pi T x _ { 0 } - i x _ { + } + i x _ { - } } [ \Delta _ { 1 1 } ^ { N , ( 1 ) } ( x ) + \Delta _ { 1 1 } ^ { N , ( 2 ) } ( x ) + \Delta _ { 1 1 } ^ { N , ( 3 ) } ( x ) ] } \\ & { } & { : = \partial _ { + } ^ { 2 } \tilde { \Sigma } _ { 1 1 } ^ { I , I I I , ( 1 ) } + \partial _ { + } ^ { 2 } \tilde { \Sigma } _ { 1 1 } ^ { I , I I I , ( 2 ) } ( \tilde { k } _ { e } , \lambda ) + \partial _ { + } ^ { 2 } \tilde { \Sigma } _ { 1 1 } ^ { I , I I I , ( 3 ) } ( \tilde { k } _ { e } , \lambda ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { c _ { 0 } } & { = } & { \frac { \pi ^ { 4 } } { 1 5 } \approx 6 . 4 9 3 9 3 9 4 0 2 2 6 6 8 3 \ldots } \\ { c _ { 2 } } & { = } & { \frac { 8 \pi ^ { 6 } } { 6 3 } \approx 1 2 2 . 0 8 1 1 6 7 4 3 8 1 3 4 \ldots } \\ { c _ { 4 } } & { = } & { \frac { 8 \pi ^ { 8 } } { 1 5 } \approx 5 0 6 0 . 5 4 9 8 7 5 2 3 7 6 4 \ldots } \\ { c _ { 6 } } & { = } & { \frac { 1 2 8 \pi ^ { 1 0 } } { 3 3 } \approx 3 6 3 2 4 0 . 9 1 1 4 2 2 3 8 3 \ldots } \\ { c _ { 8 } } & { = } & { \frac { 1 7 6 8 9 6 \pi ^ { 1 2 } } { 4 0 9 5 } \approx 3 9 9 2 6 6 2 2 . 9 8 7 7 3 1 1 \ldots } \\ { c _ { 1 0 } } & { = } & { \frac { 2 0 4 8 \pi ^ { 1 4 } } { 3 } \approx 6 2 2 7 4 0 2 1 9 3 . 4 1 0 9 7 \ldots } \\ { c _ { 1 2 } } & { = } & { \frac { 3 7 0 3 8 0 8 \pi ^ { 1 6 } } { 2 5 5 } \approx 1 3 0 7 6 9 4 3 5 2 2 1 8 . 9 1 \ldots } \\ { c _ { 1 4 } } & { = } & { \frac { 1 4 3 7 4 3 3 8 5 6 \pi ^ { 1 8 } } { 3 5 9 1 } \approx 3 5 5 6 8 8 7 8 5 8 5 9 2 2 4 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \exists i \in I : \quad A ( x ) _ { i } } & { < x _ { i } - \eta ( x _ { i } ) - \Big [ \omega \big ( \frac { 1 } { 2 } \| x \| _ { \ell _ { \infty } ( I ) } \big ) e _ { k } \Big ] _ { i } = \Big [ x - \vec { \eta } ( x ) - \omega \big ( \frac { 1 } { 2 } \| x \| _ { \ell _ { \infty } ( I ) } \big ) e _ { k } \Big ] _ { i } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { K } _ { G _ { [ q ] } } ^ { \mathrm { f r i c } } [ H ] ( t , x ) } & { = \sum _ { k \in \mathbb Z ^ { d } } \sum _ { l \in \mathbb Z ^ { d } } e ^ { i ( k + \ell ) \cdot x } \int _ { 0 } ^ { t } \widehat { H } _ { k } ( s ) ( i k ) \cdot ( \mathcal { F } _ { x , v } G _ { [ q ] } ) ( t , s , \ell , k ( e ^ { t - s } - 1 ) ) \, \mathrm { d } s } \\ & { = \sum _ { \ell ^ { \prime } \in \mathbb Z ^ { d } } e ^ { i \ell ^ { \prime } \cdot x } \left\lbrace \sum _ { k \in \mathbb Z ^ { d } } \int _ { 0 } ^ { t } \widehat { H } _ { k } ( s ) ( i k ) \cdot ( \mathcal { F } _ { x , v } G _ { [ q ] } ) ( t , s , \ell ^ { \prime } - k , k ( e ^ { t - s } - 1 ) ) \, \mathrm { d } s \right\rbrace , } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { F } ( V _ { 1 } , V _ { 2 } ) } & { \le \| P _ { 1 } - P _ { 2 } Q _ { 2 } Q _ { 3 } \| _ { F } \le \| P _ { 1 } - P _ { 3 } Q _ { 3 } \| _ { F } + \| P _ { 3 } Q _ { 3 } - P _ { 2 } Q _ { 2 } Q _ { 3 } \| _ { F } } \\ & { = \| P _ { 1 } - P _ { 3 } Q _ { 3 } \| _ { F } + \| P _ { 3 } - P _ { 2 } Q _ { 2 } \| _ { F } = d _ { F } ( V _ { 1 } , V _ { 3 } ) + d _ { F } ( V _ { 3 } , V _ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { R ^ { \rho } _ { \mu \nu } ( x , y ) = \delta _ { \mu } N _ { \nu } ^ { \rho } ( x , y ) - \delta _ { \nu } N _ { \mu } ^ { \rho } ( x , y ) , \quad \mathrm { R i c } ( x , y ) = R ^ { \rho } _ { \rho \mu } ( x , y ) y ^ { \mu } , \quad R _ { \mu \nu } ( x , y ) = \frac { 1 } { 2 } \bar { \partial } _ { \mu } \bar { \partial } _ { \nu } \mathrm { R i c } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { E } ( r , r ^ { \prime } ) } & { = \int _ { 0 } ^ { l } \int _ { 0 } ^ { l } G ( r , s ) R _ { J } ( s , s ^ { \prime } ) G ^ { * } ( r ^ { \prime } , s ^ { \prime } ) \mathrm { d } s \mathrm { d } s ^ { \prime } } \\ & { = P \int _ { 0 } ^ { l } G ( r , s ) G ^ { * } ( r ^ { \prime } , s ) \mathrm { d } s . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { p ( y ) } & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } p _ { U } ( y z ) \, p _ { V } ( z ) \, | z | \, d z } \\ & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } } e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } y ^ { 2 } z ^ { 2 } } { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } } e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } z ^ { 2 } } | z | \, d z } \\ & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } { \frac { 1 } { 2 \pi } } e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } \left( y ^ { 2 } + 1 \right) z ^ { 2 } } | z | \, d z } \\ & { = 2 \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { 2 \pi } } e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } \left( y ^ { 2 } + 1 \right) z ^ { 2 } } z \, d z } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { \pi } } e ^ { - \left( y ^ { 2 } + 1 \right) u } \, d u } & & { u = { \frac { 1 } { 2 } } z ^ { 2 } } \\ & { = \left. - { \frac { 1 } { \pi \left( y ^ { 2 } + 1 \right) } } e ^ { - \left( y ^ { 2 } + 1 \right) u } \right| _ { u = 0 } ^ { \infty } } \\ & { = { \frac { 1 } { \pi \left( y ^ { 2 } + 1 \right) } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { B _ { i } A _ { i } ^ { - 1 } B _ { i } ^ { \top } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { K _ { u x _ { i } } } & { ( G _ { u } ^ { i } ) ^ { \top } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { ( G _ { x } ^ { i } ) ^ { - 1 } } \\ { ( G _ { x } ^ { i } ) ^ { - \top } } & { - ( G _ { x } ^ { i } ) ^ { - \top } K _ { x _ { i } x _ { i } } ( G _ { x } ^ { i } ) ^ { - 1 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { K _ { x _ { i } u } } \\ { G _ { u } ^ { i } } \end{array} \right] \; , } \\ & { = ( G _ { u } ^ { i } ) ^ { \top } ( G _ { x } ^ { i } ) ^ { - \top } K _ { x _ { i } u } + K _ { u x _ { i } } ( G _ { x } ^ { i } ) ^ { - 1 } ( G _ { u } ^ { i } ) - ( G _ { u } ^ { i } ) ^ { \top } ( G _ { x } ^ { i } ) ^ { - \top } K _ { x _ { i } x _ { i } } ( G _ { x } ^ { i } ) ^ { - 1 } G _ { u } ^ { i } \; . } \end{array}
m _ { 3 } ^ { ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , k _ { 3 } ) } ( w _ { 1 } ^ { p } w _ { 2 } ^ { q } , w _ { 1 } ^ { r } w _ { 2 } ^ { s } , \frac { ( u + v + 1 ) ! } { u ! v ! } \bar { w } _ { 1 } ^ { u } \bar { w } _ { 2 } ^ { v } \epsilon ) = ( m _ { 3 } ^ { ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , k _ { 3 } ) } ) _ { u , v } ^ { p , q ; r , s } w _ { 1 } ^ { p + r - u - k - 1 } w _ { 2 } ^ { q + r - v - k - 1 }
\hat { R } = \frac { \operatorname* { m a x } \{ \kappa _ { H } ^ { 2 } , 1 \} } { \kappa _ { l } \tau _ { \operatorname* { m i n } } } \cdot \frac { \phi ( x _ { 0 } , \bar { \tau } _ { - 1 } ) - \phi _ { \operatorname* { m i n } } - ( \bar { \tau } _ { - 1 } - \bar { \tau } _ { \operatorname* { m i n } } ) f _ { \operatorname* { i n f } } } { \tilde { \alpha } \theta \omega _ { p } \varepsilon ^ { 2 } } + \operatorname* { m a x } \left\{ \frac { \ln \tilde { \alpha } - \ln \alpha _ { 0 } } { 2 \ln \gamma } , 0 \right\}
\begin{array} { r l } { \| P _ { \varepsilon , n } ( \varphi ) \| _ { L ^ { 2 } ( B _ { \varepsilon , n } ) } ^ { 2 } } & { = \varepsilon ^ { 3 \alpha } \| \widetilde { P } _ { \varepsilon , n } ( \varphi ) \| _ { L ^ { 2 } ( B _ { 1 } ( 0 ) ) } ^ { 2 } } \\ & { \leq c \left( \| E _ { \varepsilon , n } ( \varphi ) \| _ { L ^ { 2 } ( B _ { \varepsilon , n } ) } ^ { 2 } + \varepsilon ^ { 2 \alpha } \Vert \nabla _ { x } E _ { \varepsilon , n } ( \varphi ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( B _ { \varepsilon , n } ) } ^ { 2 } \right) } \\ & { \leq c \Vert \varphi \Vert _ { W ^ { 1 , 2 } ( B _ { \varepsilon , n , \delta _ { 0 } } \setminus B _ { \varepsilon , n } ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { B _ { R } } \left| v _ { n } ^ { h } ( t , x ) - v ^ { h } ( t , x ) \right| ^ { 2 } \, d x \leq \frac { h } { 2 ^ { n + 1 } } \int _ { t } ^ { T } \int _ { { \mathbb { R } } ^ { d } } \exp \left[ C ( 1 + \| \nabla ^ { h } v ^ { h } \| _ { \infty } ^ { 2 } ) ( s - t ) / h \right] \times } \\ & { \qquad \qquad \qquad \left| D ^ { h } ( v _ { 0 } ^ { h } ( s , x ) - v ^ { h } ( s , x ) ) \right| ^ { 2 } \operatorname* { m i n } \left\{ 1 , e ^ { - | x | + R + 1 } \right\} \, d x d s . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } _ { b } \left[ \| x ^ { t } - x ^ { * } \| ^ { 2 } \right] } & { \leq } & { \left( 1 - \gamma \mu \right) ^ { t } \| x ^ { 0 } - x ^ { * } \| ^ { 2 } + 2 \sum _ { k = 0 } ^ { t - 1 } \left( 1 - \gamma \mu \right) ^ { k } \gamma ^ { 2 } \sigma _ { b } ^ { * } } \\ & { \leq } & { \left( 1 - \gamma \mu \right) ^ { t } \| x ^ { 0 } - x ^ { * } \| ^ { 2 } + \frac { 2 \gamma \sigma _ { b } ^ { * } } { \mu } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( \mathbf { u } ) } & { = \frac { 2 } { 3 } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { k } ( Y _ { i } ( \mathbf { a } , \mathbf { b } ) ) ^ { 3 / 2 } + ( Y _ { i } ( \mathbf { a } , \mathbf { b } ) + x _ { i } ) ^ { 3 / 2 } \right) , \qquad Y _ { i } ( \mathbf { a } , \mathbf { b } ) = \sum _ { j = i + 1 } ^ { k } a _ { i } + \sum _ { j = i } ^ { k } b _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \rho } + p \frac { 1 \! + \! \alpha } { 1 \! - \! \rho } } & { \left( \frac { 1 } { 1 + ( q \! - \! p ) \frac { \rho + \alpha } { 1 - \rho } } - \frac { 1 } { 1 - ( q \! - \! p ) \frac { \rho + \alpha } { 1 - \rho } } \right) = \frac { 1 } { \rho } + p \frac { 1 \! + \! \alpha } { 1 \! - \! \rho } \frac { \left( 1 \! - \! ( q \! - \! p ) \frac { \rho \! + \! \alpha } { 1 \! - \! \rho } \right) - \left( 1 \! + \! ( q \! - \! p ) \frac { \rho \! + \! \alpha } { 1 \! - \! \rho } \right) } { 1 - ( q - p ) ^ { 2 } \left( \frac { \rho + \alpha } { 1 - \rho } \right) ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { 1 } { \rho } - 2 \frac { p ( 1 + \alpha ) ( q - p ) ( \rho + \alpha ) } { ( 1 - \rho ) ^ { 2 } - ( q - p ) ^ { 2 } ( \rho + \alpha ) ^ { 2 } } = \frac { ( 1 \! - \! \rho ) ^ { 2 } \! - \! ( q \! - \! p ) ^ { 2 } ( \rho \! + \! \alpha ) ^ { 2 } \! - \! 2 p \rho ( 1 \! + \! \alpha ) ( q \! - \! p ) ( \rho \! + \! \alpha ) } { \rho ( 1 - \rho ) ^ { 2 } - \rho ( q - p ) ^ { 2 } ( \rho + \alpha ) ^ { 2 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } ( \mathcal { E } , \mathcal { E } ^ { \prime } ) = [ . . . ] + F \left( \sum _ { i } E _ { i } \operatorname* { m i n } _ { y _ { j } \in \mathrm { S u p p } ( \mathcal { E } ^ { \prime } ) } d ( x _ { i } , y _ { j } ) ^ { \beta } + \sum _ { j } E _ { j } ^ { \prime } \operatorname* { m i n } _ { x _ { i } \in \mathrm { S u p p } ( \mathcal { E } ) } d ( x _ { i } , y _ { j } ) ^ { \beta } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Vec { v } ( x , t ) = } \\ & { \frac { \partial \Vec { \phi } _ { c l } ( x , t ) } { \partial n _ { 0 } } \rvert _ { t = 0 } \Delta \hat { n } _ { 0 } ( t ) + \frac { \partial \Vec { \phi } _ { c l } ( x , t ) } { \partial \theta _ { 0 } } \rvert _ { t = 0 } \Delta \hat { \theta } _ { 0 } ( t ) } \\ & { + \frac { \partial \Vec { \phi } _ { c l } ( x , t ) } { \partial p _ { 0 } } \rvert _ { t = 0 } \Delta \hat { p } _ { 0 } ( t ) + \frac { \partial \Vec { \phi } _ { c l } ( x , t ) } { \partial x _ { 0 } } \rvert _ { t = 0 } \Delta \hat { x } _ { 0 } ( t ) } \\ & { + \Delta \Vec { \hat { v } } _ { c } ( x , t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\| \mathbf { a } _ { m , \phi } ^ { T } \mathbf { u } - b _ { m , \phi } \right\| } \\ & { ~ ~ ~ ~ = \left\| \sin \phi _ { m } \left( ( x _ { 0 } - x _ { m } ) \cos \theta _ { m } + ( y _ { 0 } - y _ { m } ) \sin \theta _ { m } \right) \right. } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \left. - \cos \phi _ { m } ( z _ { 0 } - z _ { m } ) \right\| } \\ & { ~ ~ ~ ~ = \left\| n _ { \phi _ { m } } d _ { m } \cos \phi _ { m } \right\| } \end{array}
\begin{array} { r } { \left| b _ { j } ^ { ( 1 ) [ 1 ] } \right| \le \left\| \bar { \mathbb { E } } ( { \cal S } _ { j } ^ { [ 1 ] } ) \right\| \le \bar { \mathbb { E } } \left\| { \cal S } _ { j } ^ { [ 1 ] } \right\| \le C \frac { ( \sigma _ { j } ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } { \frac { 1 } { 4 } \sigma _ { j } ^ { 4 } } \left( \sqrt { \frac { \sigma _ { j } ^ { 2 } + d _ { 1 } + 1 } { n ( \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { j } ^ { 2 } + 1 ) } } \bigvee \frac { \sigma _ { j } ^ { 2 } + d _ { 1 } + 1 } { n ( \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { j } ^ { 2 } + 1 ) } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 6 \pi m _ { \mathrm { A D M } } ( g ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { r \rightarrow \infty } \int _ { \{ | x | = r \} } \sum _ { i , j = 1 } ^ { 3 } ( g _ { i j , i } - g _ { i i , j } ) \frac { x ^ { j } } { | x | } d A } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { r \rightarrow \infty } \int _ { \{ | x | = r \} } g ^ { a b } ( g _ { a j , b } - g _ { a b , j } ) \frac { x ^ { j } } { | x | } d A . } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { r \rightarrow \infty } \int _ { \{ | x | = r \} } g ^ { a b } ( g _ { a j , b } - g _ { a b , j } ) \nu _ { g } \; d \sigma _ { g } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \P ( A ^ { - } \mid B ^ { + } , C ^ { + } , D ^ { + } , E ^ { + } ) } & { = \frac { \P ( A ^ { - } , B ^ { + } , C ^ { + } , D ^ { + } , E ^ { + } ) } { \P ( B ^ { + } , C ^ { + } , D ^ { + } , E ^ { + } ) } } \\ & { = \frac { \P ( A ^ { - } , B ^ { + } , C ^ { + } , D ^ { + } , E ^ { + } ) } { \P ( A ^ { - } , B ^ { + } , C ^ { + } , D ^ { + } , E ^ { + } ) + \P ( A ^ { + } , B ^ { + } , C ^ { + } , D ^ { + } , E ^ { + } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m a x } _ { \rho \leqslant k \leqslant T - \widetilde { r } } \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { R } ^ { p } } \Big | \frac { 1 } { \sqrt { k } } \sum _ { t = \widetilde { r } + 1 } ^ { \widetilde { r } + k } \mathcal { K } _ { h } \Big ( x - X _ { t } \Big ) - f _ { t } ( x ) \Big | } \\ { \le } & { \operatorname* { m a x } _ { \rho \leqslant k \leq T - \widetilde { r } } \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { R } ^ { p } } \Big | \frac { 1 } { \sqrt { k } } \sum _ { t = \widetilde { r } + 1 } ^ { \widetilde { r } + k } \Big ( \mathcal { K } _ { h } ( x - X _ { t } ) - \int \mathcal { K } _ { h } ( x - z ) d F _ { t } ( z ) \Big ) \Big | } \\ { + } & { \operatorname* { m a x } _ { \rho \leqslant k \leqslant T - \widetilde { r } } \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { R } ^ { p } } \Big | \frac { 1 } { \sqrt { k } } \sum _ { t = \widehat { r } + 1 } ^ { r + k } \Big ( \int \mathcal { K } _ { h } ( x - z ) d F _ { z } ( z ) - f _ { t } ( x ) \Big ) \Big | = I _ { 1 } + I _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\lVert G _ { n } ( \theta _ { n } ) - G _ { \star } \right\rVert _ { G _ { \star } ^ { - 1 } } } & { \le C M r _ { n } + M \tau + 5 M \tau / \delta + C K _ { 1 } ^ { 2 } ( 1 + M r _ { n } ) h \left( \frac { d \log { ( 3 6 r _ { n } / \tau ) } + \log { ( 1 0 / \delta ) } } { n } \right) } \\ & { = C M r _ { n } + \frac { 5 + \delta } { n } + C K _ { 1 } ^ { 2 } ( 1 + M r _ { n } ) h \left( \frac { d \log { ( 3 6 M n r _ { n } / \delta ) } + \log { ( 1 0 / \delta ) } } { n } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { 0 \leq P _ { G _ { i } } ^ { t , + } \leq P _ { G _ { i } , \mathrm { m a x } } ^ { t , + } } & { \mathrm { f o r ~ e v e r y ~ } i \in \mathcal { N } _ { G } , t \in T , } \\ & { P _ { G _ { i } , \mathrm { m i n } } ^ { t , - } \leq P _ { G _ { i } } ^ { t , - } \leq 0 } & { \mathrm { f o r ~ e v e r y ~ } i \in \mathcal { N } _ { G } , t \in T , } \\ & { P _ { D G _ { i } } ^ { t , + } \geq 0 } & { \mathrm { f o r ~ e v e r y ~ } i \in \mathcal { N } _ { D G } , t \in T , } \\ & { P _ { D G _ { i } } ^ { t , - } \leq 0 } & { \mathrm { f o r ~ e v e r y ~ } i \in \mathcal { N } _ { D G } , t \in T . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Pi ( S \times \{ - 1 , 1 \} ) \cap \Pi ( \widetilde { X } ) } & { = \Pi ( ( S \cap ( M \times T ^ { * } ( { \mathbb R } ^ { k } \setminus \{ 0 \} ) ) \times \{ - 1 , 1 \} ) ) } \\ & { = \Pi \left( ( i d \oplus \tau _ { \operatorname { M c G } } ) ^ { - 1 } ( i d \oplus F ^ { \# } ( S \cap ( M \times T ^ { * } ( { \mathbb R } ^ { k } \setminus \{ 0 \} ) ) ) \right) } \\ & { = \Pi \left( ( i d \oplus \tau _ { \operatorname { M c G } } ) ^ { - 1 } ( i d \oplus F ^ { \# } ( H ^ { - 1 } ( 0 ) \cap ( M \times T ^ { * } ( { \mathbb R } ^ { k } \setminus \{ 0 \} ) ) ) \right) } \\ & { = \Pi \left( \left( H \circ ( i d \oplus ( F ^ { \# } ) ^ { - 1 } \circ \tau _ { \operatorname { M c G } } ) \right) ^ { - 1 } ( 0 ) \right) } \\ & { = \Pi ( S _ { \operatorname { M c G } } ) , } \end{array}
\widetilde { f } _ { \eta _ { k } } ^ { ( s , e ] } \Big ( z _ { 0 } \Big ) - \widetilde { f } _ { d } ^ { ( s , e ] } \Big ( z _ { 0 } \Big ) = \Big ( 1 - \sqrt { \frac { ( e - d ) \Big ( \eta _ { k } - s \Big ) } { ( d - s ) \Big ( e - \eta _ { k } \Big ) } } \Big ) \widetilde { f } _ { \eta _ { k } } ^ { ( s , e ] } \Big ( z _ { 0 } \Big ) \geq c \Delta \Big | d - \eta _ { k } \Big | ( e - s ) ^ { - 2 } \widetilde { f } _ { \eta _ { k } } ^ { ( s , e ] } \Big ( z _ { 0 } \Big ) .
\begin{array} { r l } { \xi _ { \operatorname* { s u p } } ( \alpha ) } & { = \operatorname* { s u p } \{ r | 1 - \Phi ( r ) \geq \alpha \} } \\ & { = \operatorname* { s u p } \bigg \{ r \bigg | 1 - \frac { ( r - a ) ^ { 2 } } { ( b - a ) ( c - a ) } \geq \alpha \bigg \} } \\ & { = \operatorname* { s u p } \bigg \{ r \bigg | \frac { ( r - a ) ^ { 2 } } { ( b - a ) ( c - a ) } \leq 1 - \alpha \bigg \} } \\ & { = \operatorname* { s u p } \{ r | ( r - a ) ^ { 2 } \leq ( 1 - \alpha ) ( b - a ) ( c - a ) \} } \\ & { = \operatorname* { s u p } \bigg \{ r | - \sqrt { ( 1 - \alpha ) ( b - a ) ( c - a ) } \leq ( r - a ) \leq \sqrt { ( 1 - \alpha ) ( b - a ) ( c - a ) } \bigg \} } \\ & { = \operatorname* { s u p } \bigg \{ r | a - \sqrt { ( 1 - \alpha ) ( b - a ) ( c - a ) } \leq r \leq a + \sqrt { ( 1 - \alpha ) ( b - a ) ( c - a ) } \bigg \} } \\ & { = a + \sqrt { ( 1 - \alpha ) ( b - a ) ( c - a ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \omega _ { q | p _ { Z } } ^ { ( \mu , \alpha ) } ( { z } , k | u ) : = \bar { \alpha } \log \frac { q _ { { Z } } ( { z } ) } { p _ { { Z } } ( { z } ) } } \\ & { \quad + \alpha \left[ { \mu } \log \frac { q _ { { Z } | U } ( { z } | u ) } { p _ { { Z } } ( { z } ) } \right. \left. + \bar { \mu } \log \frac { 1 } { q _ { K | U } ( k | u ) } \right] , } \\ & { \Omega ^ { ( \mu , \alpha ) } ( q | p _ { Z } ) : = - \log \mathrm { E } _ { q } \left[ \exp \left\{ - \omega _ { q | p _ { Z } } ^ { ( \mu , \alpha ) } ( { Z } , K | U ) \right\} \right] , } \\ & { \Omega ^ { ( \mu , \alpha ) } ( p _ { K } , W ) : = \operatorname* { m i n } _ { \scriptstyle \atop { \scriptstyle q \in { { \cal Q } } ( p _ { K | { Z } } ) } } \Omega ^ { ( \mu , \alpha ) } ( q | p _ { Z } ) , } \\ & { F ^ { ( \mu , \alpha ) } ( { \mu } R _ { \cal A } + \bar { \mu } R _ { \empty } | p _ { K } , W ) } \\ & { : = \frac { \Omega ^ { ( \mu , \alpha ) } ( p _ { K } , W ) - \alpha ( { \mu } R _ { \cal A } + \bar { \mu } R _ { \empty } ) } { 2 + \alpha \bar { \mu } } , } \\ & { F ( R _ { \cal A } , R _ { \empty } | p _ { K } , W ) : = \operatorname* { s u p } _ { \scriptstyle ( \mu , \alpha ) \atop { \scriptstyle \in [ 0 , 1 ] ^ { 2 } } } F ^ { ( \mu , \alpha ) } ( { \mu } R _ { \cal A } + \bar { \mu } R _ { \empty } | p _ { K } , W ) . } \end{array}
( \mathcal { N } ^ { j } ( \boldsymbol { X } ) Z ) _ { k } ( { \boldsymbol { \theta } } ) = - \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } q _ { m , k , l } ^ { j } ( { \boldsymbol { \theta } } , { \boldsymbol { \eta } } ) \frac { \partial \widehat { X } _ { i } } { \partial \eta _ { m } } ( { \boldsymbol { \eta } } ) Z _ { l , i } ( { \boldsymbol { \eta } } ) d \eta _ { 1 } d \eta _ { 2 } .
\begin{array} { r l } { x _ { n } } & { = \sum _ { j < n } ( p _ { n j } ^ { - } - 1 / 2 ) + \sum _ { j < n } ( p _ { n j } ^ { + } - 1 / 2 ) + \left\{ \begin{array} { l l } { p _ { n } ^ { h } - 1 / 2 } & { \Phi = B _ { n } } \\ { 2 ( p _ { n } ^ { \ell } - 1 / 2 ) } & { \Phi = C _ { n } } \end{array} \right. } \\ & { = - ( n - 1 + \delta _ { \Phi } ) + \sum _ { j < n } ( p _ { n j } ^ { - } + p _ { n j } ^ { + } ) + \left\{ \begin{array} { l l } { p _ { n } ^ { h } } & { \Phi = B _ { n } } \\ { 2 p _ { n } ^ { \ell } } & { \Phi = C _ { n } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial \alpha _ { s } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { U ^ { - s + 1 + \frac { j ( j + 1 ) } { 2 } } b _ { j } ^ { ( s - 1 ) } + U ^ { \frac { j ( j + 1 ) } { 2 } } b _ { j } ^ { ( s ) } , } & { \qquad s = - n ( 2 n - 1 ) + 2 j n + 1 , } \\ { U ^ { - s + 1 + \frac { ( j + 1 ) ( j + 2 ) } { 2 } } b _ { j + 1 } ^ { ( s - 1 ) } + U ^ { \frac { j ( j + 1 ) } { 2 } } b _ { j } ^ { ( s ) } , } & { \qquad s > - n ( 2 n - 1 ) + 2 j n + 1 , } \end{array} \right. } \\ { \partial \widetilde { \alpha } _ { s } } & { = b _ { j } ^ { ( s ) } + U ^ { j + 1 } b _ { j + 1 } ^ { ( s ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { i } } & { = \{ n : \, \, \lfloor \alpha _ { 2 } n + \beta _ { 2 } \rfloor = \lfloor ( \alpha _ { 2 } n + \beta _ { 2 } ) + i + \gamma \beta _ { 1 } - \gamma \{ \alpha _ { 1 } n + \beta _ { 1 } \} \rfloor \} } \\ & { = \{ n : \, \, - \{ \alpha _ { 2 } n + \beta _ { 2 } \} \leq i + \gamma \beta _ { 1 } - \gamma \{ \alpha _ { 1 } n + \beta _ { 1 } \} < 1 - \{ \alpha _ { 2 } n + \beta _ { 2 } \} \} , } \end{array}
\operatorname* { m i n } \left\lbrace \| u \| _ { L ^ { \mathcal { H } _ { x } ^ { * } } ( { \mathbb R } ^ { N } ) } ^ { h _ { 1 } ^ { * } } , \| u \| _ { L ^ { \mathcal { H } _ { x } ^ { * } } ( { \mathbb R } ^ { N } ) } ^ { h _ { 2 } ^ { * } } \right\rbrace \leq \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \mathcal { H } _ { x } ^ { * } ( x , | u | ) d x \leq \operatorname* { m a x } \left\lbrace \| u \| _ { L ^ { \mathcal { H } _ { x } ^ { * } } ( { \mathbb R } ^ { N } ) } ^ { h _ { 1 } ^ { * } } , \| u \| _ { L ^ { \mathcal { H } _ { x } ^ { * } } ( { \mathbb R } ^ { N } ) } ^ { h _ { 2 } ^ { * } } \right\rbrace ,
\begin{array} { r l } & { \left\| \left\{ U ^ { \tau } - \exp \left( \frac { \tau } { T _ { s } } \mathrm { L o g } ~ \widehat { U } _ { M } ^ { T _ { s } } ( N ) \right) \right\} g \right\| } \\ { = } & { \left\| \left\{ \exp \left( \frac { \tau } { T _ { s } } \mathrm { L o g } ~ U ^ { T _ { s } } \right) - \exp \left( \frac { \tau } { T _ { s } } \mathrm { L o g } ~ \widehat { U } _ { M } ^ { T _ { s } } ( N ) \right) \right\} g \right\| } \\ { \le } & { \left\| \left\{ \exp \left( \frac { \tau } { T _ { s } } \mathrm { L o g } ~ U ^ { T _ { s } } \right) - \exp \left( \frac { \tau } { T _ { s } } \mathrm { L o g } ~ ( P _ { M } U ^ { T _ { s } } P _ { M } ) \right) \right\} g \right\| } \\ { + } & { \left\| \left\{ \exp \left( \frac { \tau } { T _ { s } } \mathrm { L o g } ~ ( P _ { M } U ^ { T _ { s } } P _ { M } ) \right) - \exp \left( \frac { \tau } { T _ { s } } \mathrm { L o g } ~ U _ { M } ^ { T _ { s } } \right) \right\} g \right\| } \\ { + } & { \left\| \left\{ \exp \left( \frac { \tau } { T _ { s } } \mathrm { L o g } ~ U _ { M } ^ { T _ { s } } \right) - \exp \left( \frac { \tau } { T _ { s } } \mathrm { L o g } ~ \widehat { U } _ { M } ^ { T _ { s } } ( N ) \right) \right\} g \right\| . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { z = 0 } ^ { x } \sum _ { i \in \mathcal { I } _ { z } } \frac { 1 } { 2 ^ { z } } \cdot \frac { \operatorname* { s u p } _ { \ell = 1 , \dots , 2 ^ { z } } p r e c ( x _ { \ell } ^ { ( i ) } ) } { n } \ \leq \ \sum _ { z = 0 } ^ { x } \left| \mathcal { I } _ { z } \right| \cdot \frac { 1 } { 2 ^ { z } } \cdot \frac { 2 ^ { z + 1 } \cdot k } { n } } \\ { \ = \ \sum _ { z = 0 } ^ { x } \frac { 2 k ^ { 2 } } { n } \ = \ \frac { 2 x k ^ { 2 } } { ( x k ) ^ { 2 } } \ = \ \frac { 2 } { x } } \end{array}
\frac { 1 } { 2 \eta } | \frac { \lambda } { \mu _ { 3 } ^ { + } ( \lambda ) ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \mu _ { 3 } ^ { + } ( \lambda ) } | ^ { 2 } \le \frac { 1 } { 2 \eta } | \frac { \lambda } { \mu _ { 3 } ^ { + } ( \lambda ) ^ { 2 } } | ^ { 2 } \le \frac { 1 } { 2 \eta } ( \nu + \kappa ) \frac { | \lambda | } { | \mu _ { 3 } ^ { + } ( \lambda ) | } .
\begin{array} { r l } { \left\| \mathbf { \hat { x } } ^ { t } - \mathbf { x } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } } & { = \left\| \mathbf { w } ^ { t } - \mathbf { w } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } \left\| \mathbf { u } ^ { t } - \mathbf { u } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } - 2 \gamma \langle \mathbf { w } ^ { t } - \mathbf { w } ^ { \star } , \mathbf { u } ^ { t } - \mathbf { u } ^ { \star } \rangle } \\ & { = \left\| \mathbf { w } ^ { t } - \mathbf { w } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } - \gamma ^ { 2 } \left\| \mathbf { u } ^ { t } - \mathbf { u } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } - 2 \gamma \langle \mathbf { \hat { x } } ^ { t } - \mathbf { x } ^ { \star } , \mathbf { u } ^ { t } - \mathbf { u } ^ { \star } \rangle } \\ & { = \left\| \mathbf { w } ^ { t } - \mathbf { w } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } - \gamma ^ { 2 } \left\| \mathbf { u } ^ { t } - \mathbf { u } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } - 2 \gamma \langle \mathbf { \hat { x } } ^ { t } - \mathbf { x } ^ { \star } , \mathbf { \hat { u } } ^ { t + 1 } - \mathbf { u } ^ { \star } \rangle + 2 \gamma \langle \mathbf { \hat { x } } ^ { t } - \mathbf { x } ^ { \star } , \mathbf { \hat { u } } ^ { t + 1 } - \mathbf { u } ^ { t } \rangle } \\ & { = \left\| \mathbf { w } ^ { t } - \mathbf { w } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } - \gamma ^ { 2 } \left\| \mathbf { u } ^ { t } - \mathbf { u } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } - 2 \gamma \langle \mathbf { \hat { x } } ^ { t } - \mathbf { x } ^ { \star } , \mathbf { \hat { u } } ^ { t + 1 } - \mathbf { u } ^ { \star } \rangle + 2 \gamma \tau \langle \mathbf { \hat { x } } ^ { t } - \mathbf { x } ^ { \star } , W \mathbf { \hat { x } } ^ { t } \rangle } \\ & { = \left\| \mathbf { w } ^ { t } - \mathbf { w } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } - \gamma ^ { 2 } \left\| \mathbf { u } ^ { t } - \mathbf { u } ^ { \star } \right\| ^ { 2 } - 2 \gamma \langle \mathbf { \hat { x } } ^ { t } - \mathbf { x } ^ { \star } , \mathbf { \hat { u } } ^ { t + 1 } - \mathbf { u } ^ { \star } \rangle + 2 \gamma \tau \left\| W \mathbf { \hat { x } } ^ { t } \right\| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { S \left( x \right) \stackrel { d } { \sim } \overline { { \alpha } } ^ { x } \varepsilon _ { 0 } + \sum _ { y = 0 } ^ { x - 1 } \alpha \overline { { \alpha } } ^ { y } \varepsilon _ { x - y } } \\ { { \bf E } \left( z ^ { S \left( x \right) } \right) } & { = } & { \overline { { \alpha } } ^ { x } + \alpha \sum _ { y = 0 } ^ { x - 1 } \overline { { \alpha } } ^ { y } z ^ { x - y } = \overline { { \alpha } } ^ { x } + \alpha \overline { { \alpha } } ^ { x } z \frac { 1 - \left( z / \overline { { \alpha } } \right) ^ { x } } { \overline { { \alpha } } - z } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial f ( \alpha , \lambda ) } { \partial \alpha } = 1 - \log { \frac { \alpha } { 1 - \alpha } } , } \\ & { \frac { \partial ^ { 2 } f ( \alpha , \lambda ) } { \partial ^ { 2 } \alpha } = - \frac { 1 } { \ln { 2 } } \big ( \frac { 1 } { \alpha } + \frac { 1 } { 1 - \alpha } \big ) < 0 , \mathrm { ~ f o r ~ a n y ~ 0 < ~ \alpha ~ < 1 ~ . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { 0 } ( n , n _ { y } , n _ { z } ) = E _ { 0 } ( 0 ) } & { + \hbar \omega _ { 0 } \, ( \epsilon _ { 1 } n + \epsilon _ { 2 } n ^ { 2 } + \cdots } \\ & { + \epsilon _ { 1 y } n _ { y } + \epsilon _ { 2 y } n _ { y } ^ { 2 } + \cdots } \\ & { + \epsilon _ { 1 z } n _ { z } + \epsilon _ { 2 z } n _ { z } ^ { 2 } + \cdots ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } \pi _ { { \mathrm { b } } , O } ^ { - 1 } ( \mathfrak { p } _ { 3 \mathrm { b } } ) } & { = \mathfrak { p } _ { { 3 \mathrm { b } } , O } \cup \tilde { \mathfrak { p } } _ { { 3 \mathrm { b } } , O } , } & { \qquad \mathfrak { p } _ { { 3 \mathrm { b } } , O } } & { \subset \mathrm { f f } _ { { \mathrm { b } } , 3 } , } & { \quad \tilde { \mathfrak { p } } _ { { 3 \mathrm { b } } , O } } & { \subset \widetilde \mathrm { f f } _ { { \mathrm { b } } , O } , } \\ { \pi _ { { \mathrm { b } } , O } ^ { - 1 } ( \mathfrak { p } _ { L \cap R } ) } & { = \mathfrak { p } _ { L \cap R , O } \cup \tilde { \mathfrak { p } } _ { L \cap R , O } , } & { \qquad \mathfrak { p } _ { L \cap R , O } } & { \subset \mathrm { f f } _ { { \mathrm { b } } , 3 } , } & { \quad \tilde { \mathfrak { p } } _ { L \cap R , O } } & { \subset \widetilde \mathrm { f f } _ { { \mathrm { b } } , O } , } \\ { \pi _ { { \mathrm { b } } , O } ^ { - 1 } ( \mathfrak { p } _ { L } ) } & { = \mathfrak { p } _ { L , O } \cup \tilde { \mathfrak { p } } _ { L , O } , } & { \qquad \mathfrak { p } _ { L , O } } & { \subset \mathrm { f f } _ { { \mathrm { b } } , 3 } , } & { \quad \tilde { \mathfrak { p } } _ { L , O } } & { \subset \widetilde \mathrm { f f } _ { { \mathrm { b } } , O } , } \\ { \pi _ { { \mathrm { b } } , O } ^ { - 1 } ( \mathfrak { p } _ { R } ) } & { = \mathfrak { p } _ { R , O } \cup \tilde { \mathfrak { p } } _ { R , O } , } & { \qquad \mathfrak { p } _ { R , O } } & { \subset \mathrm { f f } _ { { \mathrm { b } } , 3 } , } & { \quad \tilde { \mathfrak { p } } _ { R , O } } & { \subset \widetilde \mathrm { f f } _ { { \mathrm { b } } , O } , } \\ { \pi _ { { \mathrm { b } } , O } ^ { - 1 } ( \tilde { \mathfrak { p } } _ { L } ) } & { = \tilde { \mathfrak { p } } _ { L , O } ^ { \flat } \cup \tilde { \mathfrak { p } } _ { L , O } ^ { \sharp } , } & { \qquad \tilde { \mathfrak { p } } _ { L , O } ^ { \flat } } & { \subset \widetilde \mathrm { f f } _ { { \mathrm { b } } , O ^ { \prime } } , } & { \quad \tilde { \mathfrak { p } } _ { L , O } ^ { \sharp } } & { \subset { \mathrm { m f } } _ { { \mathrm { b } } , O ^ { \prime \prime } } , } \\ { \pi _ { { \mathrm { b } } , O } ^ { - 1 } ( \tilde { \mathfrak { p } } _ { R } ) } & { = \tilde { \mathfrak { p } } _ { R , O } ^ { \flat } \cup \tilde { \mathfrak { p } } _ { R , O } ^ { \sharp } , } & { \qquad \tilde { \mathfrak { p } } _ { R , O } ^ { \flat } } & { \subset \widetilde \mathrm { f f } _ { { \mathrm { b } } , O ^ { \prime \prime } } , } & { \quad \tilde { \mathfrak { p } } _ { R , O } ^ { \sharp } } & { \subset { \mathrm { m f } } _ { { \mathrm { b } } , O ^ { \prime } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Big \| \Big [ } & { \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x , y ) \Big ] ^ { - 1 } - \mathbb { E } \Big [ \frac { N } { \ell _ { g , 1 } } \prod _ { n = 1 } ^ { N ^ { ' } } \Big ( I - \frac { 1 } { \ell _ { g , 1 } } \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x , y ; \zeta ^ { n } ) \Big ) \Big ] \Big \| \leq \frac { 1 } { \mu _ { g } } \Big ( 1 - \frac { \mu _ { g } } { \ell _ { g } } \Big ) ^ { N } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\Vert \sqrt { X } - \sqrt { Y } \right\Vert _ { F } } & { = \left\Vert Q _ { X } \sqrt { \Lambda _ { X } } Q _ { X } ^ { T } - Q _ { Y } \sqrt { \Lambda _ { Y } } Q _ { Y } ^ { T } \right\Vert _ { F } } \\ & { = \left\Vert \sqrt { \Lambda _ { X } } Q _ { X } ^ { T } Q _ { Y } - Q _ { X } ^ { T } Q _ { Y } \sqrt { \Lambda _ { Y } } \right\Vert _ { F } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | L _ { 1 } ( j , k ) | } & { \le _ { \alpha } | j | ^ { 2 \alpha - 1 } + | k | ^ { 2 \alpha - 1 } , } \\ { | L _ { 2 } ( j , k ) | } & { \le _ { \alpha } | j | ^ { \alpha - 1 } + | k | ^ { \alpha - 1 } , } \\ { | L _ { 2 } ( j , k ) - L _ { 2 } ( j , - k ) | } & { = 0 , } \\ { | L _ { 2 } ( j _ { 1 } , k ) - L _ { 2 } ( j _ { 2 } , k ) | } & { \overset { \le _ { \alpha } } | j _ { 1 } - j _ { 2 } | ( | j _ { 1 } | + | j _ { 2 } | ) ^ { \alpha - 2 } . } \end{array}
\begin{array} { l l } { - \sum _ { k = 1 } ^ { n _ { 1 } } H ^ { g } ( e _ { k } , e _ { k } ) + s ^ { ( r a n g e F _ { \ast } ) ^ { \bot } } + \sum _ { k = 1 } ^ { n _ { 1 } } ( m - r ) g _ { 2 } ( \nabla ^ { N } g , \nabla _ { e _ { k } } ^ { F \bot } e _ { k } ) - ( m - r ) \sum _ { k = 1 } ^ { n _ { 1 } } ( e _ { k } ( g ) ) ^ { 2 } - ( m - r ) \sum _ { k = 1 } ^ { n _ { 1 } } \nabla _ { e _ { k } } ^ { N } e _ { k } ( g ) + \lambda n _ { 1 } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { T } \left( g _ { \alpha } ( t ) - \widehat { g } _ { \alpha } ( t ) \right) \phi ( \ell , t ; \widehat { g } _ { \alpha } ) \ d t \ + \alpha \int _ { 0 } ^ { T } \widehat { g } _ { \alpha } ^ { \prime } ( t ) \left( g _ { \alpha } ^ { \prime } ( t ) - \widehat { g } _ { \alpha } ^ { \prime } ( t ) \right) \ d t \geq 0 . ~ } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \operatorname { P } [ X _ { i , t } = n ] } { \operatorname { P } [ X _ { i , t } > n ] } } \\ & { = \frac { \sum _ { m = 1 } ^ { M } p _ { m } e ^ { - \lambda _ { m } } \frac { \lambda _ { m } ^ { n } } { n ! } } { \sum _ { k = n + 1 } ^ { \infty } \sum _ { m = 1 } ^ { M } p _ { m } e ^ { - \lambda _ { m } } \frac { \lambda _ { m } ^ { k } } { k ! } } } \\ & { = \frac { p _ { 1 } e ^ { - \lambda _ { 1 } } \frac { \lambda _ { 1 } ^ { n } } { n ! } + \sum _ { m = 2 } ^ { M } p _ { m } e ^ { - \lambda _ { m } } \frac { \lambda _ { m } ^ { n } } { n ! } } { p _ { 1 } e ^ { - \lambda _ { 1 } } \frac { \lambda _ { 1 } ^ { n + 1 } } { ( n + 1 ) ! } + \sum _ { m = 2 } ^ { M } p _ { m } e ^ { - \lambda _ { m } } \frac { \lambda _ { m } ^ { n + 1 } } { ( n + 1 ) ! } + \sum _ { k = n + 2 } ^ { \infty } \sum _ { m = 1 } ^ { M } p _ { m } e ^ { - \lambda _ { m } } \frac { \lambda _ { m } ^ { k } } { k ! } } } \\ & { = \frac { p _ { 1 } e ^ { - \lambda _ { 1 } } \frac { \lambda _ { 1 } ^ { n } } { n ! } \left( 1 + \sum _ { m = 2 } ^ { M } \frac { p _ { m } } { p _ { 1 } } e ^ { - \lambda _ { m } + \lambda _ { 1 } } \left( \frac { \lambda _ { m } } { \lambda _ { 1 } } \right) ^ { n } \right) } { p _ { 1 } e ^ { - \lambda _ { 1 } } \frac { \lambda _ { 1 } ^ { n + 1 } } { ( n + 1 ) ! } M _ { n } ( \lambda _ { 1 } , \dots , \lambda _ { M } ) } } \\ & { \sim \frac { n } { \lambda _ { 1 } } \frac { 1 + \sum _ { m = 2 } ^ { M } \frac { p _ { m } } { p _ { 1 } } e ^ { - \lambda _ { m } + \lambda _ { 1 } } \left( \frac { \lambda _ { m } } { \lambda _ { 1 } } \right) ^ { n } } { M _ { n } ( \lambda _ { 1 } , \dots , \lambda _ { M } ) } \sim \frac { n } { \lambda _ { 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \textbf { b } ( x , y ) = ( b _ { 1 } ( x , y ) , b _ { 2 } ( x , y ) ) \ge ( \beta _ { 1 } , \beta _ { 2 } ) > 0 , \quad c ( x , y ) \ge 0 , \quad ( x , y ) \in \overline { { \Omega } } , } \\ & { c _ { 0 } ^ { 2 } ( x , y ) : = \left( c - \frac { 1 } { 2 } \nabla \cdot \textbf { b } \right) ( x , y ) \ge \gamma _ { 0 } > 0 , \quad ( x , y ) \in \overline { { \Omega } } , } \\ & { f ( 0 , 0 ) = f ( 1 , 0 ) = f ( 0 , 1 ) = f ( 1 , 1 ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { m i n } ( C _ { 1 } a a ^ { T } + C _ { 2 } ( a b ^ { T } + b a ^ { T } ) + C _ { 3 } b b ^ { T } ) } & { = \lambda _ { m i n } \left( \left[ \begin{array} { l l } { C _ { 1 } } & { C _ { 2 } } \\ { C _ { 2 } } & { C _ { 3 } } \end{array} \right] \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left( C _ { 1 } + C _ { 3 } - \sqrt { ( C _ { 1 } - C _ { 3 } ) ^ { 2 } + 4 C _ { 2 } ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\frac { \partial \hat { Q } } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial \xi } \left( \hat { \mathbf { E } } _ { e } - \hat { \mathbf { E } } _ { v } \right) + \frac { \partial } { \partial \eta } \left( \hat { \mathbf { F } } _ { e } - \hat { \mathbf { F } } _ { v } \right) + \frac { \partial } { \partial \zeta } \left( \hat { \mathbf { G } } _ { e } - \hat { \mathbf { G } } _ { v } \right) = 0 \, \mathrm { . }
\begin{array} { r l } & { \mathcal { L } = \frac { \mathcal { L } _ { - 1 } } { k ^ { - 1 } } + \frac { \mathcal { L } _ { 1 } } { k } , \qquad \mathcal { L } _ { - 1 } : = \frac { i } { 2 \sqrt { 3 } } \left( \begin{array} { l l l } { \omega } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \omega ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , \qquad \mathcal { L } _ { 1 } : = \frac { i } { 2 \sqrt { 3 } } \left( \begin{array} { l l l } { \omega ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \omega } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H = } & { \sum _ { \imath = 1 } ^ { 2 } \left[ \frac { p _ { \imath } ^ { 2 } } { 2 m _ { \imath } } + \frac { 1 } { 2 } m _ { \imath } \omega _ { \mathrm { m _ { \ i m a t h } } } ^ { 2 } x _ { \imath } ^ { 2 } + \hbar \Delta _ { \imath } a _ { \imath } ^ { \dagger } a _ { \imath } \right] } \\ { - } & { \sum _ { \imath , \jmath = 1 } ^ { 2 } \hbar g _ { \imath \jmath } a _ { \imath } ^ { \dagger } a _ { \imath } x _ { \jmath } - \hbar J \left[ a _ { 1 } ^ { \dagger } a _ { 2 } + a _ { 1 } a _ { 2 } ^ { \dagger } \right] } \\ { + } & { \mathrm { i } \hbar \left[ F _ { \mathrm { p } } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \Delta _ { \mathrm { p } } t } a _ { 1 } ^ { \dagger } - F _ { \mathrm { p } } ^ { * } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \Delta _ { \mathrm { p } } t } a _ { 1 } \right] + \mathrm { i } \hbar F _ { \mathrm { l } } \left[ a _ { 2 } ^ { \dagger } - a _ { 2 } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { \tau _ { \operatorname { M c G } } : \widetilde { W } = { \mathbb R } ^ { 2 } \times T ^ { * } { \mathbb S } ^ { n - 1 } } & { \to } & { T ^ { * } { \mathbb R } _ { + } \times T ^ { * } { \mathbb S } ^ { n - 1 } = Q , } \\ { ( z , P _ { r } , \phi , \eta ) } & { \mapsto } & { \left( \frac { 2 } { z ^ { 2 } } , P _ { r } , \phi , \eta \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Xi _ { \rho \boxtimes I _ { n } / d ^ { n } } ( \vec { p } , \vec { q } ) = \Xi _ { \rho } ( N g _ { 1 1 } \vec { p } , g _ { 0 0 } \vec { q } ) \, \Xi _ { I _ { n } / d ^ { n } } ( - N g _ { 1 0 } \vec { p } , g _ { 0 1 } \vec { q } ) = \Xi _ { \rho } ( N g _ { 1 1 } \vec { p } , g _ { 0 0 } \vec { q } ) \delta _ { \vec { p } , \vec { 0 } } \delta _ { \vec { q } , \vec { 0 } } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \tilde { \psi } _ { i + 1 } ( x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } ) - \tilde { \psi } _ { i + 1 } ( \tilde { x } _ { i + 1 } ) } \\ & { \geq - \frac { 1 } { \lambda } ( x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } - \tilde { x } _ { i + 1 } ) ^ { T } H ( \tilde { x } _ { i + 1 } - \tilde { x } _ { 0 } ) + \frac { 1 } { 2 \lambda } ( x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } - \tilde { x } _ { i + 1 } ) ^ { T } H ( x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } + \tilde { x } _ { i + 1 } - 2 \tilde { x } _ { 0 } ) } \\ & { \geq \frac { 1 } { 2 \lambda } ( x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } - \tilde { x } _ { i + 1 } ) ^ { T } H ( x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } - \tilde { x } _ { i + 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { { H } _ { \omega } = \sum _ { j = 1 } ^ { L } \Big ( \omega ^ { - \delta _ { j L } } S _ { j - \frac 1 2 } ^ { + } S _ { j + \frac 1 2 } ^ { - } + \omega ^ { \delta _ { j L } } S _ { j - \frac 1 2 } ^ { - } S _ { j + \frac 1 2 } ^ { + } + \frac 1 2 \Delta \big ( 1 + Z _ { j - \frac 1 2 } Z _ { j + \frac 1 2 } \big ) \Big ) \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf { I } } _ { N _ { R } } } & { = ( { \bf { U } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } + { \bf { Y } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } { \bf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } ^ { L } ) ^ { - 1 } ( { \bf { Y } } _ { N _ { R } \times N _ { T } } { \bf { V } } _ { N _ { T } } } \\ & { \quad - { \bf { Y } } _ { N _ { R } \times N _ { S } } { \bf { Z } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } ^ { L } ( { \bf { U } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } + { \bf { Y } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } { \bf { Z } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } ^ { L } ) ^ { - 1 } } \\ & { \quad ( { \bf { Y } } _ { N _ { S } \times N _ { T } } { \bf { V } } _ { N _ { T } } - { \bf { Y } } _ { N _ { S } \times N _ { R } } { \bf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } ^ { L } { \bf { I } } _ { N _ { R } } ) ) } \\ & { = ( { \bf { U } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } + { \bf { Y } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } { \bf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } ^ { L } ) ^ { - 1 } \left\{ \right. ( { \bf { Y } } _ { N _ { R } \times N _ { T } } } \\ & { \quad - { \bf { Y } } _ { N _ { R } \times N _ { S } } { \bf { Z } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } ^ { L } ( { \bf { U } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } + { \bf { Y } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } { \bf { Z } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } ^ { L } ) ^ { - 1 } } \\ & { \quad { \bf { Y } } _ { N _ { S } \times N _ { T } } ) { \bf { V } } _ { N _ { T } } + { \bf { Y } } _ { N _ { R } \times N _ { S } } { \bf { Z } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } ^ { L } ( { \bf { U } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } } \\ & { \quad + { \bf { Y } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } { \bf { Z } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } ^ { L } ) ^ { - 1 } { \bf { Y } } _ { N _ { S } \times N _ { R } } { \bf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } ^ { L } { \bf { I } } _ { N _ { R } } \left. \right\} \! \! \! \! } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { \hat { H } } _ { \mathrm { d \cdot E } } ( k _ { z } = 0 ) } & { = \sum _ { { k _ { x } , k _ { y } } } \hat { a } _ { \boldsymbol k } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \boldsymbol k } \omega _ { c } ( { \boldsymbol k } ) + \sum _ { k _ { x } , m } \epsilon ( k _ { x } ) \cdot \hat { d } _ { k _ { x } , m } ^ { \dagger } \hat { d } _ { k _ { x } , m } + \sum _ { { k _ { x } , k _ { y } } , m } g _ { \boldsymbol k } \big ( d _ { k _ { x } , m } \hat { a } _ { { \boldsymbol k } } ^ { \dagger } + d _ { k _ { x } , m } ^ { \dagger } \hat { a } _ { { \boldsymbol k } } + d _ { - k _ { x } , m } ^ { \dagger } \hat { a } _ { { \boldsymbol k } } ^ { \dagger } + d _ { - k _ { x } , m } \hat { a } _ { { \boldsymbol k } } \big ) \sin ( { k _ { y } } Y _ { m } ) } \\ & { ~ + \sum _ { m , m ^ { \prime } } \sum _ { k _ { x } , k _ { y } } { \frac { g _ { \boldsymbol k } ^ { 2 } } { { \omega _ { \boldsymbol k } } } } ( d _ { k _ { x } , m } ^ { \dagger } + d _ { - k _ { x } , m } ) ( d _ { - k _ { x } , m ^ { \prime } } ^ { \dagger } + d _ { k _ { x } , m ^ { \prime } } ) \sin ( { k _ { y } } Y _ { m ^ { \prime } } ) \sin ( { k _ { y } } Y _ { m } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { P \left( \left| \frac { 1 } { \sqrt { n b } } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 \lceil n b \rceil } \bar { \tilde { \mathbf Z } } _ { i } \right| _ { \infty } \leq x \right) \leq \prod _ { j = 1 } ^ { | \mathbb { B } | } P \left( \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq s \leq m ^ { * } } \left| \frac { 1 } { \sqrt { n b } } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 \lceil n b \rceil } \bar { \tilde { Z } } _ { i , s \lceil n b \rceil | \mathbb { B } | + j } \right| \leq x \right) + o ( 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { P } _ { \mathrm { e } , n } ( D _ { 1 } , D _ { 2 } ) } \\ { * } & { \geq \operatorname* { P r } \Big \{ R _ { 1 , n } ^ { \prime } < R ( \hat { T } _ { X ^ { n } } , D _ { 1 , n } ) ~ \mathrm { o r } ~ R _ { 1 , n } ^ { \prime } + R _ { 2 , n } ^ { \prime } < \mathsf { R } ( R _ { 1 , n } , D _ { 1 , n } , D _ { 2 , n } | \hat { T } _ { X ^ { n } } ) \Big \} } \\ { * } & { \qquad - \frac { 1 } { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int _ { - s _ { 0 } + \sigma } ^ { s _ { 0 } + \sigma } f ^ { 2 } e ^ { \alpha _ { 3 } } d s } & { = } & { \frac { \pi } { 4 } ( \lambda + \cos ( \sigma \sqrt { \lambda ^ { 2 } - 1 } ) ) , } \\ { \int _ { - s _ { 0 } + \sigma } ^ { s _ { 0 } + \sigma } ( \alpha _ { 1 } ^ { \prime } + \lambda ) ^ { 2 } f ^ { 2 } e ^ { \alpha _ { 3 } } d s } & { = } & { \pi ( \lambda + \cos ( \sigma \sqrt { \lambda ^ { 2 } - 1 } ) ) , } \\ { \int _ { - s _ { 0 } + \sigma } ^ { s _ { 0 } + \sigma } f ^ { 2 } e ^ { \alpha _ { 3 } } d s } & { = } & { \frac { \pi } { \sqrt { \lambda ^ { 2 } - 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { 1 } } & { \leq 2 \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } , \mathcal { B } _ { y } ) - \frac { 1 } { M } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( j ) } , y _ { t } ^ { ( j ) } , \mathcal { B } _ { y } ) } \\ & { \qquad - \bigg ( \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , \mathcal { B } _ { y } ) - \frac { 1 } { M } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \nabla _ { y } g ^ { ( j ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( j ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , \mathcal { B } _ { y } ) \bigg ) \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad + 2 ( c _ { \omega } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , \mathcal { B } _ { y } ) - \frac { 1 } { M } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \nabla _ { y } g ^ { ( j ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( j ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( j ) } , \mathcal { B } _ { y } ) \bigg \| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \mathrm d } { \mathrm d t } q _ { i j } = v _ { i j } , \qquad \frac { \mathrm d } { \mathrm d t } v _ { i j } = - \frac { \partial } { \partial q _ { i j } } H ^ { s d } ( q _ { i j } , v _ { i j } ) - \psi ( | q _ { i j } | ) v _ { i j } } \\ & { \frac { \mathrm d } { \mathrm d t } z _ { i j } = ( J - R ( z _ { i j } ) ) \nabla H ^ { s d } ( z _ { i j } ) + B _ { i j } u _ { i j } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ln ( x ( t ) ) } & { = \ln ( x ( t _ { 0 } ) ) + \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \left( p ( s ( r - \tau ) ) \psi ( r - \tau ) - D ( r ) \right) \, d r } \\ & { = \ln ( x ( t _ { 0 } ) ) + \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \left( p ( s ( r - \tau ) ) p ( \psi ( r - \tau ) - p ( z ^ { * } ( r - \tau ) ) \varphi ( r - \tau ) \right) \, d r } \\ & { \quad + \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \left( p ( z ^ { * } ( r - \tau ) ) \varphi ( r - \tau ) - D ( r ) \right) \, d r } \\ & { \geq \ln ( x ( t _ { 0 } ) ) - K - \tau M + \operatorname* { m i n } _ { l \in [ 0 , \omega ] } \int _ { 0 } ^ { l } \left( p ( z ^ { * } ( r - \tau ) ) \varphi ( r - \tau ) - D ( r ) \right) \, d r , } \end{array}
\bar { r } _ { u , m , l } = \left\{ \begin{array} { l l } { d _ { u , m , k _ { u , m , l } } + \epsilon _ { u , m , k _ { u , m , l } } , } & { \mathrm { T y p e ~ I ~ p a t h } } \\ { d _ { u , m , k _ { u , m , l } } + \epsilon _ { u , m , k _ { u , m , l } } + \eta _ { u , m , l } , } & { \mathrm { T y p e ~ I I ~ p a t h } , } \\ { \bar { \gamma } _ { u , m , l } , } & { \mathrm { T y p e ~ I I I ~ p a t h } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { ( \Gamma _ { - } ( q ^ { \prime } , b ^ { \prime } ) ) ( x ) } & { \le q ^ { \prime } ( x + b ^ { \prime } ) } \\ & { = ( \Phi ( q , b ) ) ( x + b ^ { \prime } ) } \\ & { = ( \Gamma _ { - } ( q , b ) ) ( x + b ^ { \prime } ) + ( \Gamma _ { + } ( q , b ) ) ( x + b ^ { \prime } ) } \\ & { = ( \Gamma _ { + } ( q , b ) ) ( x + b ^ { \prime } ) } \\ & { \le \frac 1 2 . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l r l } { d \phi _ { L } ( t , x ) } & { = \nabla \cdot V ^ { \prime } \left( \nabla \phi _ { L } \right) ( t , x ) + \sqrt { 2 } d B _ { t } ( x ) } & { ~ ~ \mathrm { f o r } } & { ~ ~ ( t , x ) \in ( 0 , \infty ) \times \mathbb { T } _ { L } , } \\ { \phi _ { L } ( 0 , x ) } & { = \phi ( x ) } & { \mathrm { f o r } } & { ~ ~ x \in \mathbb { T } _ { L } , } \end{array} \right.
\boxed { \begin{array} { r l } & { f _ { q } ( \lambda _ { 2 } ) - \frac { \gamma \kappa \eta ^ { 2 } } { 3 } r ( \lambda _ { 1 } ) - 2 \gamma \kappa ^ { 2 } b ( \lambda _ { 2 } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \beta _ { i } \theta _ { 2 i } \rho _ { 2 i } ^ { 2 } - \gamma \kappa \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \beta _ { i } \rho _ { 1 i } \rho _ { 2 i } ^ { 2 } } \end{array} }
\Phi ( t _ { n } , \mathbf { z } _ { n } , h _ { n } ; { \widetilde { \mathbf { z } } } _ { t _ { n } } ^ { 1 } , \ldots , { \widetilde { \mathbf { z } } } _ { t _ { n } } ^ { m } ) = \int _ { 0 } ^ { h _ { n } } e ^ { \mathbf { A } _ { n } ( h _ { n } - u ) } \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { m } \mathbf { B } _ { n } ^ { i } ( { \widetilde { \mathbf { z } } } _ { t _ { n } } ^ { i } ( u - \tau _ { i } ) - { \widetilde { \mathbf { z } } } _ { t _ { n } } ^ { i } ( - \tau _ { i } ) ) + \mathbf { d } _ { n } \right] \, d u + \int _ { 0 } ^ { h _ { n } } \int _ { 0 } ^ { u } e ^ { \mathbf { A } _ { n } ( h _ { n } - u ) } \mathbf { c } _ { n } \, d r \, d u
\begin{array} { r l } { \left( \widetilde { C } _ { f a c e } \right) _ { C D S } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { m i n \left( \frac { \widetilde { C } _ { D } } { C o u } , 1 \right) , } & { \mathrm { ~ 0 ~ \le ~ \widetilde { C } _ D ~ \le ~ 1 ~ ; ~ 0 ~ < ~ C o u ~ \le ~ 1 / 3 ~ } } \\ { m i n \left( 3 \widetilde { C } _ { D } , 1 \right) , } & { \mathrm { ~ 0 ~ \le ~ \widetilde { C } _ D ~ \le ~ 1 ~ ; ~ 1 / 3 ~ < ~ C o u ~ \le ~ 1 ~ } } \\ { \widetilde { C } _ { D } , } & { \mathrm { ~ \widetilde { C } _ D < 0 ~ ; ~ \widetilde { C } _ D > 1 ~ } } \end{array} \right. } \\ { \left( \widetilde { C } _ { f a c e } \right) _ { H R } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 3 \widetilde { C } _ { D } , } & { \mathrm { ~ 0 ~ \le ~ \widetilde { C } _ D ~ < ~ 1 / 5 ~ } } \\ { 0 . 5 + 0 . 5 \widetilde { C } _ { D } , } & { \mathrm { ~ 1 / 5 ~ \le ~ \widetilde { C } _ D ~ < ~ 1 / 2 ~ } } \\ { 3 / 8 + 3 / 4 \widetilde { C } _ { D } , } & { \mathrm { ~ 1 / 2 ~ \le ~ \widetilde { C } _ D ~ < ~ 5 / 6 ~ } } \\ { 1 , } & { \mathrm { ~ 5 / 6 ~ \le ~ \widetilde { C } _ D ~ \le ~ 1 ~ } } \\ { \widetilde { C } _ { D } , } & { \mathrm { ~ \widetilde { C } _ D < 0 ~ ; ~ \widetilde { C } _ D > 1 ~ } } \end{array} \right. } \\ { \gamma _ { f a c e } } & { = m i n \left[ \left( c o s \theta \right) ^ { 4 } , 1 \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } M [ f ] \, d v } & { = c \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \left( \frac { 2 \gamma } { \gamma - 1 } \rho _ { f } ^ { \gamma - 1 } - | v - u _ { f } | ^ { 2 } \right) ^ { \frac n 2 } \mathbf { 1 } _ { | v - u _ { f } | ^ { 2 } \le \frac { 2 \gamma } { \gamma - 1 } \rho _ { f } ^ { \gamma - 1 } } \, d v } \\ & { = c \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \left( \frac { 2 \gamma } { \gamma - 1 } \rho _ { f } ^ { \gamma - 1 } - | v | ^ { 2 } \right) ^ { \frac n 2 } \mathbf { 1 } _ { | v | ^ { 2 } \le \frac { 2 \gamma } { \gamma - 1 } \rho _ { f } ^ { \gamma - 1 } } \, d v } \\ & { = c \left( \frac { 2 \gamma } { \gamma - 1 } \rho _ { f } ^ { \gamma - 1 } \right) ^ { \frac { n + d } { 2 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \left( 1 - | v | ^ { 2 } \right) ^ { \frac n 2 } \mathbf { 1 } _ { | v | ^ { 2 } \le 1 } \, d v } \\ & { = c \left( \frac { 2 \gamma } { \gamma - 1 } \rho _ { f } ^ { \gamma - 1 } \right) ^ { \frac { n + d } { 2 } } \left| \mathbb { S } _ { d - 1 } \right| \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( 1 - r ^ { 2 } \right) ^ { \frac n 2 } r ^ { d - 1 } \, d r . } \end{array}
q _ { j } \| q _ { \ell } \alpha \| - q _ { j } ^ { \prime } \| q _ { \ell } ^ { \prime } \alpha ^ { \prime } \| = a _ { 1 } \frac { R q _ { j } q _ { \ell } \left( \frac { p _ { j } } { q _ { j } } - \frac { p _ { \ell } } { q _ { \ell } } \right) + q _ { j } q _ { \ell - 1 } \left( \frac { p _ { j } } { q _ { j } } - \frac { p _ { \ell - 1 } } { q _ { \ell - 1 } } \right) } { ( R q _ { \ell } + q _ { \ell - 1 } ) ( R q _ { \ell } ^ { \prime } + q _ { \ell - 1 } ^ { \prime } ) } .
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \iint _ { \mathbb T ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } ( f ^ { k + 1 } ) ^ { 1 + \frac 2 n } \, d x d v } & { = \frac { n + 2 } { n } \iint _ { \mathbb T ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } M ^ { \varepsilon } [ f ^ { k } ] ( f ^ { k + 1 } ) ^ { \frac 2 n } \, d x d v - \frac { n + 2 } { n } \iint _ { \mathbb T ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } ( f ^ { k + 1 } ) ^ { 1 + \frac 2 n } \, d x d v . } \end{array}
\begin{array} { r l } { B ^ { 3 } \nabla ^ { 2 } \gamma ( s ) = } & { ( 2 B + A ) m ^ { 2 } - 2 ( B + A ) m n + A n ^ { 2 } } \\ { \geq } & { ( 2 B + A ) m ^ { 2 } - ( \lambda ( B + A ) m ^ { 2 } + \frac { 1 } { \lambda } ( B + A ) n ^ { 2 } ) + A n ^ { 2 } } \\ { = } & { ( 2 B + A - \lambda ( B + A ) ) m ^ { 2 } + ( A - \frac { 1 } { \lambda } ( B + A ) ) n ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { L } \left[ ( t + g ) \hat { c } _ { j + 1 , \uparrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j , \uparrow } + ( t - g ) \hat { c } _ { j , \uparrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j + 1 , \uparrow } + w _ { j } ^ { \uparrow } \hat { c } _ { j , \uparrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j , \uparrow } \right] } \\ & { + \sum _ { j = 1 } ^ { L } \left[ ( t + g ) \hat { c } _ { j , \downarrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j + 1 , \downarrow } + ( t - g ) \hat { c } _ { j + 1 , \downarrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j , \downarrow } + w _ { j } ^ { \downarrow } \hat { c } _ { j , \downarrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j , \downarrow } \right] } \\ & { - i \Delta \sum _ { j = 1 } ^ { L } ( \hat { c } _ { j + 1 , \uparrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j , \downarrow } - \hat { c } _ { j \uparrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j + 1 \downarrow } ) } \\ & { - i \Delta \sum _ { j = 1 } ^ { L } ( \hat { c } _ { j + 1 , \downarrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j , \uparrow } - \hat { c } _ { j , \downarrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j + 1 , \uparrow } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { z _ { 2 } ^ { ( k ) } - \alpha } & { = z _ { 1 } ^ { ( k ) } - \alpha - \left( I - G _ { 2 } e _ { k } ^ { 2 } + O \left( e _ { k } ^ { 3 } \right) \right) \left( e _ { z _ { 1 } } + C _ { 2 } e _ { z _ { 1 } } ^ { 2 } + O \left( e _ { z _ { 1 } } ^ { 3 } \right) \right) } \\ & { = e _ { z _ { 1 } } - \left( e _ { z _ { 1 } } - G _ { 2 } e _ { k } ^ { 2 } e _ { z _ { 1 } } + C _ { 2 } e _ { z _ { 1 } } ^ { 2 } \right) + O \left( e _ { k } ^ { 5 } \right) } \\ & { = G _ { 2 } e _ { k } ^ { 2 } e _ { z _ { 1 } } - C _ { 2 } e _ { z _ { 1 } } ^ { 2 } + O \left( e _ { k } ^ { 5 } \right) } \\ & { = ( G _ { 2 } Y _ { 2 } - C _ { 2 } Y _ { 2 } ^ { 2 } ) e _ { k } ^ { 4 } + O \left( e _ { k } ^ { 5 } \right) } \\ & { = ( G _ { 2 } - C _ { 2 } Y _ { 2 } ) Y _ { 2 } e _ { k } ^ { 4 } + O \left( e _ { k } ^ { 5 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \rho ^ { ( \mu , \lambda ) } ( p _ { K } , W ) } \\ & { : = { \operatorname* { m a x } _ { \scriptstyle ( \nu , p ) \in [ 0 , \lambda ] \atop { \scriptstyle \times { \cal P } _ { \mathrm { s h } } ( p _ { K } , W ) : \atop { \scriptstyle \tilde { \Omega } ^ { ( \mu , \lambda ) } ( p ) \atop { \scriptstyle = \tilde { \Omega } ^ { ( \mu , \lambda ) } ( p _ { K } , W ) } } } } } \mathrm { V a r } _ { { p ^ { ( \nu ) } } } \left[ \tilde { \omega } _ { p } ^ { ( \mu ) } ( { Z } , K | U ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( n + 2 k - 4 ) \frac { \gamma _ { n , k } } { \alpha _ { n , k } } } & { = } & { \frac { ( n + 2 k - 4 ) ^ { 2 } } { ( k - 1 ) ( n + k - 3 ) ( n + 2 k - 2 ) } } \\ & { = } & { \frac { n - 4 } { n - 2 } \cdot \frac 1 { k - 1 } + \frac { n } { n - 2 } \cdot \frac 1 { n + k - 3 } + \frac { 4 } { ( k - 1 ) ( n + k - 3 ) ( n + 2 k - 2 ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { n ^ { - 1 / 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z _ { i } ) ) ( Y _ { i } - m ( x ) ) - n ^ { 1 / 2 } \mathrm { E } ( \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z ) ) ( Y - m ( x ) ) ) } { \sqrt { \mathrm { V a r } ( \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z ) ) ( Y - m ( x ) ) ) } } \overset { d } { \longrightarrow } N ( 0 , 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { w ( \mathcal { S } _ { m } ) / 2 } & { = } & { \operatorname* { s u p } _ { \eta \in \mathrm { C o l - S p } ( \widetilde { X } ) } \bar { \ell } ( \eta ) - \operatorname* { s u p } _ { \eta \in \mathrm { C o l - S p } ( \widetilde { X } _ { m } ) } \bar { \ell } ( \eta ) } \\ & { = } & { \operatorname* { s u p } _ { h _ { 1 } \in \mathrm { C o l - S p } ( \widetilde { X } ) } \bar { \ell } ( \eta ^ { 0 } + h _ { 1 } ) - \operatorname* { s u p } _ { h _ { 0 } \in \{ \mathrm { C o l - S p } ( \widetilde { X } _ { m } ) - \eta ^ { 0 } \} } \bar { \ell } ( \eta ^ { 0 } + h _ { 0 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi ( [ \mathfrak D , \mathfrak D ^ { \prime } ] ( x ) , y ) } & { = \Psi ( \mathfrak D \circ \mathfrak D ^ { \prime } ( x ) , y ) - ( - 1 ) ^ { | \mathfrak { D } | | \mathfrak { D } ^ { \prime } | } \Psi ( \mathfrak D ^ { \prime } \circ \mathfrak D ( x ) , y ) } \\ & { = - ( - 1 ) ^ { | \mathfrak { D } | ( | \mathfrak { D } ^ { \prime } | + | x | ) } \Psi ( \mathfrak D ^ { \prime } ( x ) , \mathfrak D ( y ) ) + ( - 1 ) ^ { | x | | \mathfrak { D } ^ { \prime } | } \Psi ( \mathfrak D ( x ) , \mathfrak D ^ { \prime } ( y ) ) } \\ & { = ( - 1 ) ^ { | \mathfrak { D } | | \mathfrak { D } ^ { \prime } | } ( - 1 ) ^ { | x | ( | \mathfrak { D } | + | \mathfrak { D } ^ { \prime } | ) } \Psi ( x , \mathfrak D ^ { \prime } \circ \mathfrak D ( y ) ) - ( - 1 ) ^ { | x | ( | \mathfrak { D } | + | \mathfrak { D } ^ { \prime } | ) } \Psi ( x ) , \mathfrak D \circ \mathfrak D ^ { \prime } ( y ) ) } \\ & { = - ( - 1 ) ^ { | x | ( | \mathfrak { D } | + | \mathfrak { D } ^ { \prime } | ) } \Psi ( x , [ \mathfrak D , \mathfrak D ] ^ { \prime } ( y ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { n _ { \alpha } } } & { = \pi \epsilon ^ { 2 } \int \! \! d \beta d \gamma \ \sigma _ { \alpha } ^ { \beta \gamma } \left( \sigma _ { \beta } ^ { \alpha \gamma } n _ { \alpha } n _ { \gamma } + \sigma _ { \gamma } ^ { \alpha \beta } n _ { \beta } n _ { \alpha } + \sigma _ { \alpha } ^ { \beta \gamma } n _ { \beta } n _ { \gamma } \right) \delta \left( \Omega _ { \alpha \beta \gamma } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { D _ { j } \frac { \partial ^ { 2 } \widetilde { p } _ { j } ( x , s | x _ { 0 } ) } { \partial x ^ { 2 } } - s \widetilde { p } _ { j } ( x , s | x _ { 0 } ) } & { = } & { - \delta ( x - x _ { 0 } ) , \quad a _ { j - 1 } < x _ { 0 } , x < a _ { j } } \\ { D _ { j } \partial _ { x } \widetilde { p } _ { j } ( a _ { j - 1 } , s | x _ { 0 } ) } & { = } & { 2 \kappa _ { j - 1 } \widetilde { p } _ { j } ( a _ { j - 1 } , s | x _ { 0 } ) , } \\ { D _ { j } \partial _ { x } \widetilde { p } ( a _ { j } , s | x _ { 0 } ) } & { = } & { - 2 \kappa _ { j } \widetilde { p } _ { j } ( a _ { j } , s | x _ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \| \hat { \nu } _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { \nu } _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \bigg ( 1 + \frac { 1 } { I } \bigg ) \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \| \nu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \bar { \nu } _ { t - 1 } \| ^ { 2 } + 8 I \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \underbrace { \| \eta \nu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } } _ { T _ { 1 } } + \| \gamma \omega _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } \bigg ] + 1 6 I L ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \| \tau q _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad + 1 2 8 I ( c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| x _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } + \bigg \| y _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { y } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] + 3 2 I ( c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } L ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| u _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { u } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad + 8 I M ( c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \frac { \sigma ^ { 2 } } { b _ { x } } + 3 2 I M ( c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \zeta _ { f } ^ { 2 } + 6 4 I ( c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } M \frac { C _ { f } ^ { 2 } \zeta _ { g , x y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { ( \operatorname { c u r l } \mathbf { A } ) _ { z } } & { = \operatorname* { l i m } _ { S ^ { \perp { \boldsymbol { \hat { z } } } } \to 0 } { \frac { \int _ { \partial S } \mathbf { A } \cdot d \mathbf { \ell } } { \iint _ { S } d S } } } \\ & { = { \frac { A _ { \rho } ( \phi ) \, d \rho - A _ { \rho } ( \phi + d \phi ) \, d \rho + A _ { \phi } ( \rho + d \rho ) ( \rho + d \rho ) \, d \phi - A _ { \phi } ( \rho ) \rho \, d \phi } { \rho \, d \rho \, d \phi } } } \\ & { = - { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial A _ { \rho } } { \partial \phi } } + { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial ( \rho A _ { \phi } ) } { \partial \rho } } } \end{array} }
\frac { \mathrm { L F } _ { \mathbb H , \varepsilon } ^ { ( \alpha _ { 2 } , i ) , ( \beta , 0 ) } ( \ell ) } { \mathrm { L F } _ { \mathbb H } ^ { ( \alpha _ { 1 } , i ) , ( \beta , 0 ) } ( \ell ) } ( \phi ) : = \varepsilon ^ { \frac { 1 } { 2 } ( \alpha _ { 2 } ^ { 2 } - \alpha _ { 1 } ^ { 2 } ) } e ^ { ( \alpha _ { 2 } - \alpha _ { 1 } ) \phi _ { \varepsilon } ( i ) } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( \{ \mathbf { u , v , w , z , x } \} , \{ \boldsymbol { \kappa , \lambda , \mu , \nu } \} ) = \frac { 1 } { 2 } \| \mathbf { y - C u } \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { + \tau _ { 1 } \| \mathbf { v } \| _ { 1 } + \tau _ { 2 } \| \mathbf { w } \| _ { 1 } } \\ & { + \frac { \rho _ { 1 } } { 2 } \| \mathbf { A x - u } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \boldsymbol { \kappa } ^ { \top } ( \mathbf { A x - u } ) } \\ & { + \frac { \rho _ { 2 } } { 2 } \| \mathbf { x - v } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \boldsymbol { \lambda } ^ { \top } ( \mathbf { x - v } ) } \\ & { + \frac { \rho _ { 3 } } { 2 } \| \mathbf { D x - w } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \boldsymbol { \mu } ^ { \top } ( \mathbf { D x - w } ) } \\ & { + \frac { \rho _ { 4 } } { 2 } \| \mathbf { x - z } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \boldsymbol { \nu } ^ { \top } ( \mathbf { x - z } ) } \\ & { + \mathcal { I } _ { + } ( \mathbf { z } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \varphi \left( x \right) \rho _ { t } \left( \mathrm { d } x \right) } & { = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left[ \frac { 1 } { m } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \varphi \left( \mu _ { t } ^ { ( j ) } \right) \right] = \frac { 1 } { m } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \left\langle \nabla \varphi \left( \mu _ { t } ^ { ( j ) } \right) , \dot { \mu } _ { t } ^ { ( j ) } \right\rangle } \\ & { = \frac { 1 } { m } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \left\langle \nabla \varphi \left( \mu _ { t } ^ { ( j ) } \right) , - \nabla \delta \ell _ { N } \left( \rho _ { t } \right) \left( \mu _ { t } ^ { ( j ) } \right) \right\rangle } \\ & { = - \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \left\langle \nabla \varphi \left( x \right) , \nabla \delta \ell _ { N } \left( \rho _ { t } \right) \right\rangle \rho _ { t } \left( \mathrm { d } x \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { 3 } ( D _ { k , 3 } ( p ) ) } & { = } & { H _ { 3 } ( D _ { k , 1 } ( p ) ) + H _ { 3 } ( E r r _ { k , 1 } ( p ) ) + H _ { 3 } ( E r r _ { k , 2 } ( p ) ) } \\ & { \geq } & { H _ { 3 } ( D _ { k , 1 } ( p ) ) - h _ { m a x } . ( e r r _ { k , 1 } + e r r _ { k , 2 } ) } \\ & { \geq } & { H _ { m i n } ( D _ { k , 1 } ) - h _ { m a x } . ( e r r _ { k , 1 } + e r r _ { k , 2 } ) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } V + \frac { 1 } { 2 } \mathrm { t r } ( \sigma ^ { \ast } D ^ { 2 } V \sigma ) + \langle D V , \Delta u + \mathcal { F } ( u ) \rangle _ { L ^ { 2 } ( \Lambda ) } } \\ { + \int _ { \Lambda } l ( t , x , u ( x ) ) \mathrm { d } x + \operatorname* { i n f } _ { G \in \mathcal { U } } \{ \langle D V , G \rangle + \frac { \nu } { 2 } \| G \| _ { L ^ { 2 } ( \Lambda ) } ^ { 2 } \} = 0 , } \\ { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ( t , u ) \in [ 0 , T ] \times L ^ { 2 } ( \Lambda ) } \\ { V ( T , u ) = \int _ { \Lambda } m ( x , u ( x ) ) \mathrm { d } x , \quad u \in L ^ { 2 } ( \Lambda ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \mathcal { G } _ { 1 } ( z ) } & { = } & { H _ { 1 } - z - \mathcal { S } _ { 1 } ( z ) } \\ & { = } & { \left[ \begin{array} { c c } { H _ { \mathrm { g e } } - z - a \! \left( f _ { 1 } \right) \frac { 1 } { H _ { \mathrm { e e } } - z } a ^ { \dag } \! \left( f _ { 1 } \right) } & { - a \! \left( f _ { 1 } \right) \frac { 1 } { H _ { \mathrm { e e } } - z } a ^ { \dag } \! \left( f _ { 2 } \right) } \\ { - a \! \left( f _ { 2 } \right) \frac { 1 } { H _ { \mathrm { e e } } - z } a ^ { \dag } \! \left( f _ { 1 } \right) } & { H _ { \mathrm { e g } } - z - a \! \left( f _ { 2 } \right) \frac { 1 } { H _ { \mathrm { e e } } - z } a ^ { \dag } \! \left( f _ { 2 } \right) } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { U \in \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { U } \left( N \right) } & { \left( \mathrm { c l a s s ~ A } \right) ; } \\ { \mathrm { O } \left( N \right) } & { \left( \mathrm { c l a s s ~ A I } \right) ; } \\ { \mathrm { S p } \left( N \right) } & { \left( \mathrm { c l a s s ~ A I I } \right) . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad N _ { \mathrm { s t } } ( g + 1 , q ) } \\ & { = N _ { \mathrm { s t } } ( g , q ) 2 ^ { \frac { q + 1 } { q + 3 } { \left[ \frac { ( q + 1 ) ( q + 2 ) } { 2 } \right] } ^ { g + 1 } - \frac { q + 1 } { q + 3 } } } \\ & { \quad ¡ ¡ \cdot { ( q + 2 ) } ^ { \frac { q ^ { 2 } + 2 q - 1 } { q + 3 } { \left[ \frac { ( q + 1 ) ( q + 2 ) } { 2 } \right] } ^ { g + 1 } + \frac { q + 1 } { q + 3 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E \Bigg [ \bigg | E \bigg [ P _ { k } ^ { i _ { 1 } } P _ { k } ^ { i _ { 2 } } ( \theta _ { 0 } ) \bigg | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \bigg ] - \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { n } [ \sigma \sigma ^ { \top } ] _ { i _ { 1 } i _ { 2 } } \left( X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) , ~ \beta _ { 0 } \right) \bigg | \Bigg ] } \\ { \leq } & { E \Bigg [ \bigg \{ \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \Bigl ( \big | X _ { s } - X _ { t _ { k - 1 } } \big | + \big | H ( X _ { s - \cdot } ) - H ( X _ { s - \cdot } ) \big | \Bigr ) \, \mathrm { d } s \bigg \} ^ { 2 } } \\ & { \quad + \varepsilon ^ { 2 } \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \Bigl ( \big | X _ { s } - X _ { t _ { k - 1 } } \big | + \big | H ( X _ { s - \cdot } ) - H ( X _ { s - \cdot } ) \big | \Bigr ) \, \mathrm { d } s \Bigg ] } \\ { \leq } & { \frac { 1 } { n } \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } E \Bigl [ \big | X _ { s } - X _ { t _ { k - 1 } } \big | ^ { 2 } + \big | H ( X _ { s - \cdot } ) - H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) \big | ^ { 2 } \Bigr ] \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad + \varepsilon ^ { 2 } \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } E \Bigl [ \big | X _ { s } - X _ { t _ { k - 1 } } \big | + \big | H ( X _ { s - \cdot } ) - H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) \big | \Bigr ] \, \mathrm { d } s } \end{array}
\varkappa _ { - } = \lambda \sigma _ { - } \quad \varkappa _ { + } = \lambda \sigma _ { + } , \quad b _ { + } = \frac { \alpha _ { 1 } \varkappa _ { + } ^ { 2 } - { \lambda } ^ { 2 } \rho } { \gamma \mu { \lambda } ^ { 2 } } \quad \mathrm { a n d } \quad b _ { - } = \frac { \alpha _ { 1 } \varkappa _ { - } ^ { 2 } - { \lambda } ^ { 2 } \rho } { \gamma \mu { \lambda } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { 3 } r ^ { - 1 } ( r _ { \operatorname* { m a x } } - r ) \frac { d V _ { 0 } } { d r } \geq } & { \: 2 \Lambda ( r - 1 ) ( r _ { \operatorname* { m a x } } - r ) ^ { 2 } - B ( 1 + m ^ { 2 } + | m \omega | ) | r _ { \operatorname* { m a x } } - r | ( r - 1 ) } \\ & { - 8 a m \widetilde { \omega } r ^ { - 1 } ( r _ { \operatorname* { m a x } } - r ) } \end{array}
\left| \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \sqrt { \frac { P } { 3 t } } } ^ { \sqrt { \frac { P } { 3 t } } } \mathrm e ^ { \mathrm i k x + \mathrm i k ^ { 3 } t } \hat { q } _ { 0 } ( k ) \mathrm d k - \frac { 1 } { 2 L } \sum _ { j = - M } ^ { M } \mathrm e ^ { \mathrm i k _ { j } x + \mathrm i k _ { j } ^ { 3 } t } \hat { q } _ { 0 } ( k _ { j } ) \right| .
\begin{array} { r l } { H ( X | Y ) } & { = \sum _ { \hat { x } : \sum _ { i = 1 } ^ { B } \hat { x } _ { i } = P r } P ( \hat { X } = \hat { x } ) \log P ( \hat { X } = \hat { x } ) - \sum _ { \hat { x } : \sum _ { i = 1 } ^ { B } \hat { x } _ { i } = P r } \sum _ { x \in \hat { x } } P ( X = x ) \log P ( X = x ) } \\ & { = - H ( \hat { X } ) + H ( X ) , } \end{array}
\mathrm { f } _ { 0 , \mathtt { I } } = \left\{ ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { N } ) \in \triangle _ { \ell , m , n } : \left( \mathcal { I } \in \mathtt { I } \Rightarrow \left\{ \begin{array} { l l } { j \in \mathcal { I } \Rightarrow t _ { j } = \pm \infty } & { ( 0 \in \mathcal { I } ) } \\ { j , k \in \mathcal { I } \Rightarrow t _ { j } = t _ { k } } & { ( 0 \notin \mathcal { I } ) } \end{array} \right. \right) \right\} ,
\begin{array} { r l } & { ( ( r _ { 1 } + r _ { 2 } ) - x ) ^ { 2 } + h ^ { 2 } = r _ { 2 } ^ { 2 } + 2 r _ { 2 } r _ { 3 } + r _ { 3 } ^ { 2 } } \\ & { ( r _ { 1 } + r _ { 2 } ) ^ { 2 } - 2 ( r _ { 1 } + r _ { 2 } ) x + x ^ { 2 } + h ^ { 2 } = r _ { 2 } ^ { 2 } + 2 r _ { 2 } r _ { 3 } + r _ { 3 } ^ { 2 } } \\ & { r _ { 1 } ^ { 2 } + 2 r _ { 1 } r _ { 2 } + r _ { 2 } ^ { 2 } - 2 ( r _ { 1 } + r _ { 2 } ) x + x ^ { 2 } + h ^ { 2 } = r _ { 2 } ^ { 2 } + 2 r _ { 2 } r _ { 3 } + r _ { 3 } ^ { 2 } } \\ & { x ^ { 2 } + h ^ { 2 } = 2 ( r _ { 1 } + r _ { 2 } ) x - r _ { 1 } ^ { 2 } - 2 r _ { 1 } r _ { 2 } + 2 r _ { 2 } r _ { 3 } + r _ { 3 } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { { y _ { k } } \left[ l \right] = { \bf { h } } _ { k } ^ { H } \left( { { \bf { \Theta } } \left[ l \right] } \right) { { \bf { x } } _ { k } } \left[ l \right] + \sum _ { i > k } { { \bf { h } } _ { k } ^ { H } \left( { { \bf { \Theta } } \left[ l \right] } \right) { { \bf { x } } _ { i } } \left[ l \right] } + { z _ { k } } \left[ l \right] , \forall k \in { \cal K } , l \in { \cal L } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \ln ( M ) \geq 2 \mu _ { i } + 4 C _ { 1 } ^ { 2 } T ^ { 2 } } \\ & { \Longleftrightarrow ( \ln ( M ) ) ^ { 2 } \geq ( 2 \mu _ { i } + 4 C _ { 1 } ^ { 2 } T ^ { 2 } ) \ln ( M ) } \\ & { \Longleftrightarrow ( \ln ( M ) ) ^ { 2 } - 2 \mu _ { i } \ln ( M ) + \mu _ { i } ^ { 2 } \geq 4 C _ { 1 } ^ { 2 } T ^ { 2 } \ln ( M ) + \mu _ { i } ^ { 2 } } \\ & { \Longrightarrow ( \ln ( M ) - \mu _ { i } ) ^ { 2 } \geq 4 C _ { 1 } ^ { 2 } T ^ { 2 } \ln ( M ) } \\ & { \Longleftrightarrow - \frac { ( \ln ( M ) - \mu _ { i } ) ^ { 2 } } { 2 C _ { 1 } ^ { 2 } T ^ { 2 } } \leq - 2 \ln ( M ) } \\ & { \Longleftrightarrow e ^ { - \frac { ( \ln ( M ) - \mu _ { i } ) ^ { 2 } } { 2 C _ { 1 } ^ { 2 } T ^ { 2 } } } \leq M ^ { - 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int _ { \mathbb { R } ^ { d - 1 } } q ^ { k , \alpha } ( m , \tilde { x } , a ^ { 1 } , b ; s , x _ { 0 } ^ { 1 } ) d \tilde { a } } & { \leq { \mathbf 1 } _ { m > b > a ^ { 1 } } \frac { \| B \| _ { \infty } C _ { T } D 2 ^ { ( d - 1 ) / 2 } } { \sqrt { t - s } \sqrt { 2 \pi ( t - s ) } ^ { 2 } \sqrt { 2 \pi s } ^ { 2 } } \frac { e ^ { - \frac { | \tilde { x } - \tilde { x } _ { 0 } \| ^ { 2 } } { 4 t } } } { \sqrt { 2 \pi t } ^ { d - 1 } } \ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } & { \exp [ - \frac { ( m - a ^ { 1 } ) ^ { 2 } } { 4 ( t - s ) } - \frac { ( b - x _ { 0 } ^ { 1 } ) ^ { 2 } } { 4 s } - \frac { ( b - a ^ { 1 } ) ^ { 2 } } { 4 s } ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \big \| \boldsymbol A ^ { * } \boldsymbol W \big \| _ { \mathrm F } = \sqrt { \sum _ { \boldsymbol k \in \mathcal I _ { \boldsymbol M } } \, \sum _ { j = 1 } ^ { N } | w _ { j } | ^ { 2 } \cdot \big | \mathrm e ^ { - 2 \pi \mathrm i \boldsymbol k \boldsymbol x _ { j } } \big | ^ { 2 } } \leq \sqrt { \sum _ { j = 1 } ^ { N } | w _ { j } | ^ { 2 } \cdot | \mathcal I _ { \b { M } } | } = \sqrt { | \mathcal I _ { \b { M } } | } \cdot \| \boldsymbol w \| _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { 2 } } & { = \{ z \in \mathbb { C } \setminus \mathcal { E } _ { 1 } : \mathrm { ~ f _ { n } ( z , w ) = f _ { n ' } ( z , w ) = 0 ~ } } \\ & { \qquad \qquad \mathrm { f o r ~ s o m e ~ n , n ' \in \{ 1 , 2 , . . . , n _ \phi \} ~ s u c h ~ t h a t ~ n \ne ~ n ' ~ a n d ~ f o r ~ s o m e ~ w \in \mathbb { C } ~ } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 0 } & { = } & { - \frac { \partial K ( \epsilon X , t ) } { \partial X } + \frac { \partial } { \partial X } \left[ \phi ^ { \epsilon } ( \epsilon X ) q ( \epsilon X , t ) \right] } \\ { 0 } & { = } & { - v _ { 0 } ^ { 2 } \frac { \partial q ( \epsilon X , t ) } { \partial X } + \frac { \partial \phi ^ { \epsilon } ( \epsilon X ) K ( \epsilon X , t ) } { \partial X } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left. \begin{array} { l c } { \Phi : \mathcal { G } _ { 1 } \subset H ^ { 1 } ( 0 , T ) \mapsto L ^ { 2 } ( 0 , T ) , \ \ ( \Phi g ) ( t ) : = u ( \ell , t ; g ) , ~ t \in [ 0 , T ] , } \\ { \mathcal { G } _ { 1 } = \{ g \in H ^ { 1 } ( 0 , T ) : g ( 0 ) = 0 , \ \Vert g \Vert _ { H ^ { 1 } ( 0 , T ) } \leq C _ { g } , \, C _ { g } > 0 \} , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { U } u _ { \bot } \cdot \nabla _ { \! \bot } f \, d A } & { = \int _ { U } \left[ \frac { u _ { 1 } } { \partial | t _ { 1 } | } \frac { \partial f } { \partial s _ { 1 } } + \frac { u _ { 2 } } { | t _ { 2 } | } \frac { \partial f } { \partial s _ { 2 } } \right] | t _ { 1 } | | t _ { 2 } | \, d s _ { 1 } \, d s _ { 2 } , } \\ & { = - \int _ { U } f \frac { 1 } { | t _ { 1 } | | t _ { 2 } | } \left( \frac { \partial } { s _ { 1 } } ( | t _ { 2 } | u _ { 1 } ) + \frac { \partial } { \partial s _ { 2 } } ( | t _ { 1 } | u _ { 2 } ) \right) | t _ { 1 } | | t _ { 2 } | \, d s _ { 1 } \, d s _ { 2 } , } \\ & { = - \int _ { U } f \, \nabla _ { \! \bot } \cdot u _ { \bot } \, d A . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { e \in [ 0 , t ] } \mathbb { E } \bigg \| \int _ { 0 } ^ { e } \Upsilon ( \tau ) d \hat { \cal W } ( \tau ) \Big \| ^ { 2 \alpha } \leq ( \alpha ( 2 \alpha - 1 ) ) ^ { \alpha } \bigg ( \int _ { 0 } ^ { t } \big ( \mathbb { E } \| \Upsilon ( e ) \| _ { { \cal L } _ { 2 } ^ { 1 } } ^ { 2 \alpha } \bigg ) ^ { 1 / \alpha } d e \bigg ) ^ { \alpha } , \; t \in [ 0 , T ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta a } & { = } & { \left[ \iiint _ { { \mathcal D } _ { t } } \rho \, { \boldsymbol v } ^ { \star } \tilde { \delta } \boldsymbol { x } \, d w _ { x } \right] _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } + \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \left\{ \iint _ { \Sigma _ { t } } \rho \, \boldsymbol { n } ^ { \star } \left( { \boldsymbol v } { \boldsymbol v } ^ { \star } + \left( h + \Omega - \frac { 1 } { 2 } { \boldsymbol v } ^ { 2 } \right) \boldsymbol 1 \right) \, \tilde { \delta } \boldsymbol { x } \, d \sigma \right\} d t } \\ & { + } & { \iiiint _ { \mathcal W } \tilde { \delta } \boldsymbol { x } ^ { \star } \left\{ - \rho \, \mathrm { g r a d } \, ( h + \Omega ) + \rho \, T \, \mathrm { g r a d } \, s - \frac { \partial ( \rho { \boldsymbol v } ^ { \star } ) } { \partial t } - \mathrm { d i v } \, \rho \, { \boldsymbol v } { \boldsymbol v } ^ { \star } \right\} \, d w _ { z } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( - n ( r z - d ) ^ { 2 } , \, - ( r z - d ) ( n d z - s ) , \, - ( n d z - s ) ^ { 2 } \right) } \\ & { = - n ( r z - d ) ^ { 2 } \left( 1 , \, \frac { n d z - s } { n ( r z - d ) } , \, n \left( \frac { n d z - s } { n ( r z - d ) } \right) ^ { 2 } \right) } \\ & { = - n ( r z - d ) ^ { 2 } \exp \left( \frac { n d z - s } { n ( r z - d ) } h \right) } \\ & { = - n ( r z - d ) ^ { 2 } \exp \left( \frac { \sqrt { n } d z - \frac { s } { \sqrt { n } } } { \sqrt { n } r z - \sqrt { n } d } h \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { h _ { j - 3 } ^ { - 1 } \cdots h _ { i + l + 6 } ^ { - 1 } h _ { i + l + 4 } ^ { - 1 } ( h _ { j - 2 } \cdots h _ { i + 3 } h _ { i + 1 } ) t _ { i , i + 1 } t _ { i + l + 4 , i + l + 5 } ^ { - 1 } \cdot h _ { i + l + 4 } h _ { i + l + 6 } \cdots h _ { j - 3 } } \\ & { = h _ { j - 3 } ^ { - 1 } \cdots h _ { i + l + 8 } ^ { - 1 } h _ { i + l + 6 } ^ { - 1 } ( h _ { j - 2 } \cdots h _ { i + 3 } h _ { i + 1 } ) t _ { i , i + 1 } t _ { i + l + 6 , i + l + 7 } ^ { - 1 } \cdot h _ { i + l + 6 } h _ { i + l + 8 } \cdots h _ { j - 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { 2 } ( x ) } & { = f _ { 2 } ^ { e } ( x ) + { \textstyle \frac 1 2 } ( \gamma + 2 \beta ) \int _ { x } ^ { \infty } \big [ \textstyle { \frac 1 \gamma } k _ { 1 } ( y ) + { \textstyle \frac 1 2 } k _ { 2 } ( y ) \big ] \mathrm { e } ^ { \gamma ( x - y ) } \, \mathrm { d } y } \\ & { \phantom { = } - { \textstyle \frac 1 2 } ( \gamma - 2 \beta ) \int _ { - \infty } ^ { x } \big [ \textstyle { \frac 1 \gamma } k _ { 1 } ( y ) - { \textstyle \frac 1 2 } k _ { 2 } ( y ) \big ] \mathrm { e } ^ { - \gamma ( x - y ) } \, \mathrm { d } y , \qquad x \in \mathbb { R } . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \lambda \times \lambda ) \circ \lambda = \left\langle \mathsf { S } ( \pi _ { 1 } ) , \mathsf { S } ( \pi _ { 1 } + \pi _ { 6 } ) \circ \partial , \mathsf { S } ( \pi _ { 1 } + \pi _ { 7 } ) \circ \partial , \mathsf { S } ( \pi _ { 1 } + \pi _ { 7 } + \pi _ { 1 0 } + \pi _ { 1 6 } ) \circ \partial \circ \partial \right\rangle } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { A } = \mathbf { L L } ^ { T } } & { = { \left( \begin{array} { l l l } { L _ { 1 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { L _ { 2 1 } } & { L _ { 2 2 } } & { 0 } \\ { L _ { 3 1 } } & { L _ { 3 2 } } & { L _ { 3 3 } } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l l } { L _ { 1 1 } } & { L _ { 2 1 } } & { L _ { 3 1 } } \\ { 0 } & { L _ { 2 2 } } & { L _ { 3 2 } } \\ { 0 } & { 0 } & { L _ { 3 3 } } \end{array} \right) } } \\ & { = { \left( \begin{array} { l l l } { L _ { 1 1 } ^ { 2 } } & & { ( { \mathrm { s y m m e t r i c } } ) } \\ { L _ { 2 1 } L _ { 1 1 } } & { L _ { 2 1 } ^ { 2 } + L _ { 2 2 } ^ { 2 } } & \\ { L _ { 3 1 } L _ { 1 1 } } & { L _ { 3 1 } L _ { 2 1 } + L _ { 3 2 } L _ { 2 2 } } & { L _ { 3 1 } ^ { 2 } + L _ { 3 2 } ^ { 2 } + L _ { 3 3 } ^ { 2 } } \end{array} \right) } , } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { g ^ { P B E } ( a , b ) = c _ { x } \frac { \mu s ^ { 2 } } { 4 ( 3 \pi ^ { 2 } ) ^ { \frac 2 3 } + \frac { \mu } { \kappa } s ^ { 2 } } a ^ { \frac 4 3 } } \\ & { g ^ { B 8 8 } ( a , b ) = \frac { 2 ^ { \frac 1 3 } s ^ { 2 } } { 1 + 6 \beta 2 ^ { \frac 1 3 } s \sinh ^ { - 1 } ( 2 ^ { \frac 1 3 } s ) } a ^ { \frac 4 3 } = \frac { 2 ^ { \frac 1 3 } s } { 1 + 6 \beta 2 ^ { \frac 1 3 } s \sinh ^ { - 1 } ( 2 ^ { \frac 1 3 } s ) } b } \end{array}
g _ { 2 } ( \mathcal { S } _ { J F _ { \ast } X } F _ { \ast } X + \mathcal { S } _ { C V } F _ { \ast } X , B V ) - g _ { 2 } ( ( \nabla F _ { \ast } ) ( X , ^ { \ast } F _ { \ast } B V ) + \nabla _ { X } ^ { F \bot } J F _ { \ast } X + \nabla _ { V } ^ { F \bot } J F _ { \ast } X , C V ) - g _ { 2 } ( F _ { \ast } X , F _ { \ast } X ) \frac { d ( g \circ \beta ) } { d t } = 0
\begin{array} { r l } & { 2 \langle \alpha _ { 1 i } ( t ) N _ { 1 } ( t ) \rangle = \langle \frac { 2 u _ { 1 i } k } { \xi } e ^ { - C \sigma _ { i } t } } \\ & { \times \int _ { 0 } ^ { t } N _ { 1 } ( \tau ) N _ { 1 } ( t ) e ^ { C \sigma _ { i } \tau } d \tau \rangle } \\ & { - \langle \frac { 2 u _ { 1 i } } { \xi } e ^ { - C \sigma _ { i } t } \int _ { 0 } ^ { t } f ( \tau ) N _ { 1 } ( t ) e ^ { C \sigma _ { i } \tau } d \tau \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = i ( \mathcal { T } _ { \bar { L } _ { 2 } } \mathcal { T } _ { \bar { L } _ { 1 } } \partial \rho ) ( V ) = \left( \mathcal { T } _ { \bar { L } _ { 2 } } d \Theta ( \bar { L } _ { 1 } , \cdot ) \right) = d \left( d \Theta ( \bar { L } _ { 1 } , \cdot ) \right) ( \bar { L } _ { 2 } , V ) } \\ & { = \bar { L } _ { 2 } d \Theta ( \bar { L } _ { 1 } , V ) - V d \Theta ( \bar { L } _ { 1 } , \bar { L } _ { 2 } ) - d \Theta ( \bar { L } _ { 1 } , [ \bar { L } _ { 2 } , V ] ) } \\ & { = - \bar { L } _ { 1 } \Theta ( [ \bar { L } _ { 2 } , V ] ) + [ \bar { L } _ { 2 } , V ] \Theta ( \bar { L } _ { 1 } ) + \Theta ( [ \bar { L } _ { 1 } , [ \bar { L } _ { 2 } , V ] ] ) = \Theta ( [ \bar { L } _ { 1 } , [ \bar { L } _ { 2 } , V ] ] ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { I _ { 1 } \le \frac { 1 } { \sqrt { S } } \sum _ { i \in { \mathcal { S } _ { r } } } \Big | \breve { Y } _ { i } - Y _ { i } \Big | } \\ & { \sqrt { S } \Big ( O _ { p } ( \frac { T ^ { - \frac { 2 r } { 2 r + p } } } { \kappa _ { k } ^ { 2 - \frac { p } { 2 r } } } \log ( T ) ^ { \frac { 2 r } { 2 r + p } } ) O _ { p } ( \frac { T ^ { - \frac { r } { 2 r + p } } } { \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } + \frac { 1 } { 2 } } } \log ( T ) ^ { \frac { r } { 2 r + p } } ) O _ { p } ( \frac { T ^ { - \frac { r } { 2 r + p } } } { \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } + \frac { 1 } { 2 } } } \log ( T ) ^ { \frac { r } { 2 r + p } } ) } \\ { + } & { O _ { p } ( \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } \kappa _ { k } ^ { - \frac { p } { 2 r } } ) O _ { p } ( \frac { T ^ { - \frac { r } { 2 r + p } } } { \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } + \frac { 1 } { 2 } } } \log ^ { \frac { r } { 2 r + p } } ( T ) ) + O _ { p } ( \frac { T ^ { - \frac { r } { 4 r + 2 p } } } { \kappa _ { k } ^ { 2 - \frac { p } { 2 r } } } \log ^ { \frac { r } { 2 r + p } } ( T ) ) O _ { p } ( \frac { T ^ { - \frac { r } { 2 r + p } } } { \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } + \frac { 1 } { 2 } } } \log ^ { \frac { r } { 2 r + p } } ( T ) ) \kappa _ { k } \Big ) } \\ { = } & { \sqrt { S } \Big ( O _ { p } ( \frac { T ^ { - \frac { 2 r } { 2 r + p } } } { \kappa _ { k } ^ { 2 - \frac { p } { 2 r } } } \log ( T ) ^ { \frac { 2 r } { 2 r + p } } ) O _ { p } ( \frac { T ^ { - \frac { 2 r } { 2 r + p } } } { \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { r } + 1 } } \log ( T ) ^ { \frac { 2 r } { 2 r + p } } ) + O _ { p } ( \kappa _ { k } ^ { - 1 } ) O _ { p } ( \frac { T ^ { - \frac { r } { 2 r + p } } } { \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } + \frac { 1 } { 2 } } } \log ( T ) ^ { \frac { r } { 2 r + p } } ) \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { p r o j } [ \mathsf { c } ^ { \prime } ( z _ { 1 } ^ { \prime } , \dots , z _ { n } ^ { \prime } , z ^ { \prime } ) ] } & { = } & { \mathsf { c } ( z _ { 1 } , \dots , z _ { n } , z ) } \\ & { = } & { \mathsf { c } ( z _ { 1 } , \dots , z _ { n } ) \quad \quad ( \mathrm { b e c a u s e ~ o f ~ t h e ~ \emph { p r e f e r e n c e } ~ p r o p e r t y ~ o f ~ } \mathsf { c } ) } \\ & { = } & { \mathrm { p r o j } [ \mathsf { c } ^ { \prime } ( z _ { 1 } ^ { \prime } , \dots , z _ { n } ^ { \prime } ) ] } \end{array}
H _ { \Delta } ( \epsilon ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle ( \Delta - \epsilon ) \lambda _ { 2 } ^ { - 1 } + 1 + \frac { 1 } { \pi \Delta } } & { \mathrm { i f ~ } \epsilon \in [ 0 , \Delta ) } \\ { \displaystyle \frac { 1 } { \pi \epsilon } } & { \mathrm { i f ~ } \epsilon \in [ \Delta , 1 - \Delta ] } \\ { \displaystyle - \frac { 1 } { \pi \Delta } } & { \mathrm { i f ~ } \epsilon \in ( 1 - \Delta , 1 ] } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { a _ { x y y } ^ { ( 1 ) } } & { = u _ { x } a _ { y y } ^ { ( 1 ) } + 2 u _ { y } a _ { x y } ^ { ( 1 ) } , } \\ { a _ { x x y } ^ { ( 1 ) } } & { = u _ { y } a _ { x x } ^ { ( 1 ) } + 2 u _ { x } a _ { x y } ^ { ( 1 ) } , } \\ { a _ { x x y y } ^ { ( 1 ) } } & { = u _ { y } a _ { x x y } ^ { ( 1 ) } + { u _ { x } } ^ { 2 } a _ { y y } ^ { ( 1 ) } + u _ { x } u _ { y } a _ { x y } ^ { ( 1 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { 1 } } & { = \zeta + \cos ^ { 2 } \theta U _ { 1 } + 2 \cos \theta \sin \theta U _ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta U _ { 3 } + d \theta ^ { 2 } - \varepsilon \theta ^ { \prime } V , } \\ { W _ { 2 } } & { = ( \cos ^ { 2 } \theta - \sin ^ { 2 } \theta ) U _ { 2 } + \cos \theta \sin \theta ( U _ { 3 } - U _ { 1 } ) , } \\ { W _ { 3 } } & { = \zeta + \sin ^ { 2 } \theta U _ { 1 } - 2 \cos \theta \sin \theta U _ { 2 } + \cos ^ { 2 } \theta U _ { 3 } + d \theta ^ { 2 } - \varepsilon \theta ^ { \prime } V , } \\ { W _ { 4 } } & { = d \theta ^ { \prime \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \left| D - \partial _ { \varphi } \cdot \frac { \partial } { \partial \varphi } \right| \right| _ { 1 , 0 } } & { \leq \left| \left| \frac { r \kappa _ { R } } { 1 + r \kappa _ { R } } \right| \right| _ { 0 , 0 } \cdot \underbrace { \left| \left| \partial _ { \varphi } \cdot \frac { \partial } { \partial \varphi } \right| \right| _ { 1 , 0 } } _ { = 1 } + \frac { 1 } { 2 } \left| \left| \frac { r ( \partial _ { \varphi } \kappa _ { R } ) } { ( 1 + r \kappa _ { R } ) ^ { 2 } } \right| \right| _ { 0 , 0 } } \\ & { \leq \frac { 1 } { R } \left| \left| \frac { r ( \kappa \circ ( 1 / R ) ) } { ( 1 + r \kappa _ { R } ) } \right| \right| _ { \infty , N _ { \Bar { \rho } } } + \frac { 1 } { R ^ { 2 } } \left| \left| \frac { r ( \partial _ { \varphi } \kappa ) \circ ( 1 / R ) } { ( 1 + r \kappa _ { R } ) ^ { 2 } } \right| \right| _ { \infty , N _ { \Bar { \rho } } } } \\ & { \leq C ( \Bar { \rho } ) / R . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } } & { : = \left( \frac { \log n } { n ^ { 3 / 2 } \sigma _ { \ell } } \right) ^ { 2 + \delta } \Pi _ { 2 + \delta } ( n ) + \left( \frac { ( \log n ) ^ { \frac { 4 + \delta } { 2 + \delta } } \sigma _ { q } ^ { 2 } } { n \sigma _ { \ell } ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { 2 + \delta } { 2 } } + \left( \frac { \log n } { n \sigma _ { \ell } } \right) ^ { 2 + \delta } \Pi _ { 2 + \delta } ( \log n ) } \\ & { \qquad + \frac { 1 } { \sigma _ { \ell } ^ { 4 } n } \mathbb { E } | \ell _ { 1 } ^ { 2 } \ell _ { 2 } q _ { 1 2 } | + \frac { 1 } { \sigma _ { \ell } ^ { 5 } n ^ { 3 / 2 } } \mathbb { E } | \ell _ { 1 } ^ { 2 } \ell _ { 2 } ^ { 2 } q _ { 1 2 } | + \frac { 1 } { \sigma _ { \ell } ^ { 2 } n ^ { 2 } } \mathbb { E } | \ell _ { 1 } q _ { 1 2 } ^ { 2 } | + \frac { 1 } { \sigma _ { \ell } ^ { 5 } n ^ { 3 / 2 } } \mathbb { E } | \ell _ { 1 } \ell _ { 2 } \ell _ { 3 } q _ { 1 3 } q _ { 2 3 } | } \\ & { \qquad + \frac { 1 } { \sigma _ { \ell } ^ { 7 } n ^ { 3 / 2 } } ( \mathbb { E } \ell _ { 1 } \ell _ { 2 } q _ { 1 2 } ) ( \mathbb { E } | \ell _ { 1 } ^ { 2 } \ell _ { 2 } q _ { 1 2 } | ) + \frac { 1 } { \sigma _ { \ell } ^ { 8 } n ^ { 2 } } ( \mathbb { E } \ell _ { 1 } \ell _ { 2 } q _ { 1 2 } ) ( \mathbb { E } | \ell _ { 1 } ^ { 2 } \ell _ { 2 } ^ { 2 } q _ { 1 2 } | ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { v ( t ) } & { = V _ { \mathrm { p e a k } } \sin ( \omega t ) } \\ { i ( t ) } & { = { \frac { v ( t ) } { R } } = { \frac { V _ { \mathrm { p e a k } } } { R } } \sin ( \omega t ) } \\ { P ( t ) } & { = v ( t ) i ( t ) = { \frac { ( V _ { \mathrm { p e a k } } ) ^ { 2 } } { R } } \sin ^ { 2 } ( \omega t ) } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { T _ { 1 6 } } & { = } & { \Bigg | \mathbb { E } \Bigg [ \Bigg \{ \frac { 1 } { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } ( g _ { k - 1 } ) \eta _ { k - 1 } ^ { l } ( g _ { k - 1 } ) } - \frac { 1 } { \eta _ { k - 1 } ^ { l } ( g _ { k - 1 } ) ^ { 2 } } \Bigg \} \{ [ \eta _ { k - 1 } ^ { l } - \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } ] ( g _ { k - 1 } ) \} \times } \\ & { } & { \{ [ \eta _ { k - 1 } ^ { l } - \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ] ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) \} \Bigg ] \Bigg | } \\ { T _ { 1 7 } } & { = } & { \left| \mathbb { E } \left[ \frac { 1 } { \eta _ { k - 1 } ^ { l } ( g _ { k - 1 } ) ^ { 2 } } \{ [ \eta _ { k - 1 } ^ { l } - \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } ] ( g _ { k - 1 } ) \} \{ [ \eta _ { k - 1 } ^ { l } - \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ] ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) \} \right] \right| . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { g ^ { ( j ) } ( t ) } & { = { \frac { d ^ { j } } { d t ^ { j } } } f ( u ( t ) ) } \\ & { = { \frac { d ^ { j } } { d t ^ { j } } } f ( { \boldsymbol { a } } + t ( { \boldsymbol { x } } - { \boldsymbol { a } } ) ) } \\ & { = \sum _ { | \alpha | = j } \left( { \begin{array} { l } { j } \\ { \alpha } \end{array} } \right) ( D ^ { \alpha } f ) ( { \boldsymbol { a } } + t ( { \boldsymbol { x } } - { \boldsymbol { a } } ) ) ( { \boldsymbol { x } } - { \boldsymbol { a } } ) ^ { \alpha } } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } { \overline { { W } } } _ { f i } } { \mathrm { d } u \mathrm { d } t } } & { = } & { 8 W _ { R } \left\{ - ( 1 + u ) \mathrm { I n t K } _ { \frac { 1 } { 3 } } ( u ^ { \prime } ) + ( 2 + 2 u + u ^ { 2 } ) \mathrm { K } _ { \frac { 2 } { 3 } } ( u ^ { \prime } ) \right. } \\ & { } & { \left. - u { \bf S } _ { i } \cdot \left[ { \bf n } \times \hat { { \bf a } } \right] \mathrm { K } _ { \frac { 1 } { 3 } } ( u ^ { \prime } ) \right\} . } \end{array}
w _ { i j } = { \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { { \mathrm { i f ~ o n ~ t h e ~ } } i { \mathrm { t h ~ t r i a l ~ t h e ~ } } j { \mathrm { t h ~ o b j e c t ~ w a s ~ n o t ~ m e a s u r e d } } } \\ { 1 } & { { \mathrm { i f ~ o n ~ t h e ~ } } i { \mathrm { t h ~ t r i a l ~ t h e ~ } } j { \mathrm { t h ~ o b j e c t ~ w a s ~ p l a c e d ~ i n ~ t h e ~ l e f t ~ p a n } } } \\ { - 1 } & { { \mathrm { i f ~ o n ~ t h e ~ } } i { \mathrm { t h ~ t r i a l ~ t h e ~ } } j { \mathrm { t h ~ o b j e c t ~ w a s ~ p l a c e d ~ i n ~ t h e ~ r i g h t ~ p a n ~ } } } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } & { \frac { \, ( 1 + 2 ^ { 2 j \rho } | ( \nabla _ { \xi } \varphi ( x , \xi _ { j } ^ { \nu } ) - c _ { Q } ) ^ { \prime \prime } | ^ { 2 } ) ^ { 2 N _ { 1 } } } { ( 1 + 2 ^ { 2 j \rho } | ( \nabla \varphi ( x , \xi _ { j } ^ { \nu } ) - y ) ^ { \prime \prime } | ^ { 2 } ) ^ { 2 N _ { 1 } } } \frac { ( 1 + 2 ^ { j \rho } | ( \nabla _ { \xi } \varphi ( x , \xi _ { j } ^ { \nu } ) - c _ { Q } ) ^ { \prime } | ^ { 2 } ) ^ { 2 N _ { 1 } } } { ( 1 + 2 ^ { j \rho } | ( \nabla \varphi ( x , \xi _ { j } ^ { \nu } ) - y ) ^ { \prime } | ^ { 2 } ) ^ { 2 N _ { 1 } } } } \\ & { \leq ( 1 + 2 ^ { 2 j \rho } | ( c _ { Q } - y ) ^ { \prime \prime } | ^ { 2 } ) ^ { 2 N _ { 1 } } ( 1 + 2 ^ { j \rho } | ( c _ { Q } - y ) ^ { \prime } | ^ { 2 } ) ^ { 2 N _ { 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { 0 } ( s , \lambda ) } & { \geq r ( s , \lambda , h ) , } \\ { W _ { - j } ( s , \lambda ) } & { \geq W _ { - ( j - 1 ) } ( f ( s , h , \lambda ) , \lambda ) , \ j = 1 , \ldots , k , } \\ { W ^ { 0 } \left( \frac { 1 } { k } , s , \lambda \right) } & { \geq W _ { - k } ( s , \lambda ) , } \\ { W ^ { 1 } \left( \frac { \alpha } { \alpha + 1 } , s , \lambda \right) } & { \geq W ^ { 0 } ( \alpha , f ( s , h , \lambda ) , \lambda ) , \ \forall \alpha \in \left[ 0 , \frac { 1 } { k } \right] , } \\ & { \vdots } \\ { W ^ { \mathcal { C } - 1 } \left( \frac { \alpha } { \alpha + 1 } , s , \lambda \right) } & { \geq W ^ { \mathcal { C } - 2 } ( \alpha , f ( s , h , \lambda ) , \lambda ) , \ \forall \alpha \in \left[ 0 , \frac { 1 } { k + \mathcal { C } - 1 } \right] , } \\ { W ^ { 0 } \left( \frac { \alpha } { \alpha + 1 } , s , \lambda \right) } & { \geq W ^ { \mathcal { C } - 1 } ( \alpha , f ( s , h , \lambda ) , \lambda ) , \ \forall \alpha \in \left[ 0 , \frac { 1 } { k + \mathcal { C } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { 1 } ( y ) = } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } R ( 0 , s ) K _ { 1 } ( s , y ) d s - K _ { 1 } ( 0 , y ) } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { 1 } R ( 0 , s _ { 1 } ) \int _ { s _ { 1 } } ^ { 1 } P ( s _ { 1 } , s ) K _ { 1 } ( s , y ) d s d { s _ { 1 } } } \\ & { - \int _ { y } ^ { 1 } \bigg [ \int _ { 0 } ^ { 1 } R ( 0 , y ) K _ { 1 } ( y , s ) d y - K _ { 1 } ( 0 , s ) } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { 1 } R ( 0 , s _ { 1 } ) \int _ { s _ { 1 } } ^ { 1 } P ( s _ { 1 } , y ) K _ { 1 } ( y , s ) d y d { s _ { 1 } } \bigg ] { \phi } ( s , y ) d s } \\ & { - \int _ { y } ^ { 1 } \bigg [ \int _ { 0 } ^ { 1 } R ( 0 , y ) K _ { 2 } ( y , s ) d y - K _ { 2 } ( 0 , s ) } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { 1 } R ( 0 , s _ { 1 } ) \int _ { s _ { 1 } } ^ { 1 } P ( s _ { 1 } , y ) K _ { 2 } ( y , s ) d y d { s _ { 1 } } \bigg ] { \Psi } ( s , y ) d s , } \\ { M _ { 2 } ( y ) = } & { - \int _ { y } ^ { 1 } \bigg [ \int _ { 0 } ^ { 1 } R ( 0 , y ) K _ { 1 } ( y , s ) d y - K _ { 1 } ( 0 , s ) } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { 1 } R ( 0 , s _ { 1 } ) \int _ { s _ { 1 } } ^ { 1 } P ( s _ { 1 } , y ) K _ { 1 } ( y , s ) d y d { s _ { 1 } } \bigg ] { \varphi } ( s , y ) d s } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { 1 } R ( 0 , s ) K _ { 2 } ( s , y ) d s - K _ { 2 } ( 0 , y ) } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { 1 } R ( 0 , s _ { 1 } ) \int _ { s _ { 1 } } ^ { 1 } P ( s _ { 1 } , s ) K _ { 2 } ( s , y ) d s d { s _ { 1 } } } \\ & { - \int _ { y } ^ { 1 } \bigg [ \int _ { 0 } ^ { 1 } R ( 0 , y ) K _ { 2 } ( y , s ) d y - K _ { 2 } ( 0 , s ) } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { 1 } R ( 0 , s _ { 1 } ) \int _ { s _ { 1 } } ^ { 1 } P ( s _ { 1 } , y ) K _ { 2 } ( y , s ) d y d { s _ { 1 } } \bigg ] { \Phi } ( s , y ) d s , } \\ { M _ { 3 } ( y ) = } & { R ( 0 , y ) + \int _ { 0 } ^ { y } R ( 0 , s ) P ( s , y ) d s , } \\ { M _ { 4 } = } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } R ( 0 , y ) \eta ( y ) d y - \eta ( 0 ) } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { 1 } R ( 0 , y ) \int _ { y } ^ { 1 } P ( y , s ) \eta ( s ) d s d y } \\ & { - \int _ { 0 } ^ { 1 } \bigg [ \int _ { 0 } ^ { 1 } R ( 0 , s ) K _ { 2 } ( s , y ) d s - K _ { 2 } ( 0 , y ) } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { 1 } R ( 0 , s _ { 1 } ) \int _ { s _ { 1 } } ^ { 1 } P ( s _ { 1 } , s ) K _ { 2 } ( s , y ) d s d { s _ { 1 } } \bigg ] \lambda ( y ) d y } \\ & { - \int _ { 0 } ^ { 1 } \bigg [ \int _ { 0 } ^ { 1 } R ( 0 , s ) K _ { 1 } ( s , y ) d s - K _ { 1 } ( 0 , y ) } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { 1 } R ( 0 , s _ { 1 } ) \int _ { s _ { 1 } } ^ { 1 } P ( s _ { 1 } , s ) K _ { 1 } ( s , y ) d s d { s _ { 1 } } \bigg ] \gamma ( y ) d y , } \end{array}
0 = \frac { d } { d t } \| \mathbf { \Delta } \| _ { F } ^ { 2 } = \frac { d } { d t } \left\langle \mathbf { \Delta } , \mathbf { \Delta } \right\rangle = \left\langle \dot { \mathbf { \Delta } } , \mathbf { \Delta } \right\rangle + \left\langle \mathbf { \Delta } , \dot { \mathbf { \Delta } } \right\rangle = 2 \mathrm { R e } \left\langle \mathbf { \Delta } , \dot { \mathbf { \Delta } } \right\rangle ,
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { l \rightarrow \infty } { \left\lVert { \int _ { s } ^ { t } X _ { s , r } ^ { k , l ; i } d X _ { r } ^ { k , l ; j } - \mathbb { X } _ { s , t } ^ { k ; i , j } } \right\rVert } _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) \otimes L ^ { 2 } ( \Omega ) } } \\ { = } & { \operatorname* { l i m } _ { l \rightarrow \infty } { \left\lVert { \int _ { s } ^ { t } X _ { s , r } ^ { k , l ; i } d X _ { r } ^ { k , l ; j } - \mathbb { X } _ { s , t } ^ { k ; i , j } } \right\rVert } _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } = 0 . } \end{array}
\partial _ { n } ^ { A } f _ { e } ( v ) = \left\{ \begin{array} { l l } { b _ { e } ^ { 2 } ( 0 ) \big ( f ^ { \prime } ( 0 ) + i A _ { e } ( 0 ) f ( 0 ) \big ) , } & { \quad e = ( v , u ) ; } \\ { - b _ { e } ^ { 2 } ( l _ { e } ) \big ( f ^ { \prime } ( l _ { e } ) + i A _ { e } ( l _ { e } ) f ( l _ { e } ) \big ) , } & { \quad e = ( u , v ) ; } \\ { 0 , \quad } & { \quad \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { E _ { T } ^ { \theta / 2 } \hat { P } E _ { T } ^ { \theta / 2 } \mathbf { h } - r ^ { * } \mathbf { h } = 0 } \\ { \iff \, } & { \lambda E _ { T } ^ { \theta } \mathbf { h } + ( 1 - \lambda ) E _ { T } ^ { \theta / 2 } \tilde { \Pi } E _ { T } ^ { \theta / 2 } \mathbf { h } - r ^ { * } \mathbf { h } = 0 } \\ { \iff \, } & { \lambda \exp ( \theta T ( x ) ) \mathbf { h } ( x ) + ( 1 - \lambda ) \exp \left( \frac { \theta } { 2 } T ( x ) \right) \mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } \left[ \exp \left( \frac { \theta } { 2 } T ( y ) \right) \mathbf { h } ( y ) \right] - r ^ { * } \mathbf { h } ( x ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { d _ { \tau } \langle \tilde { b } ^ { \dagger } b \rangle = - ( \gamma _ { c } + i \nu ) \langle \tilde { b } ^ { \dagger } b \rangle + N g ^ { * } \langle \tilde { b } ^ { \dagger } v ^ { \dagger } c \rangle , } \\ & { d _ { \tau } \langle \tilde { b } ^ { \dagger } v ^ { \dagger } c \rangle = - ( \gamma + i \nu _ { \epsilon } ) \langle \tilde { b } ^ { \dagger } v ^ { \dagger } c \rangle + g \langle \tilde { b } ^ { \dagger } b \rangle ( 2 \langle c ^ { \dagger } c \rangle - 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \rho ( t , x ) = \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \partial _ { x x } \rho ( t , x ) - \partial _ { x } \left( ( \mathcal { P } ( \rho ( t , \cdot ) ) ( t , x ) + s ( t , x , \rho ( t , x ) ) u ( t , x ) ) \rho ( t , x ) \right) , } \\ & { \rho ( 0 , x ) = \rho _ { 0 } ( x ) , } \\ & { \left( ( \mathcal { P } ( \rho ( t , \cdot ) ) ( t , x ) + s ( t , x , \rho ( t , x ) ) u ( t , x ) ) \rho ( t , x ) - \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \partial _ { x } \rho ( t , x ) \right) \bigg | _ { a } = \beta _ { a } \rho ( t , a ) , } \\ & { \left( ( \mathcal { P } ( \rho ( t , \cdot ) ) ( t , x ) + s ( t , x , \rho ( t , x ) ) u ( t , x ) ) \rho ( t , x ) - \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \partial _ { x } \rho ( t , x ) \right) \bigg | _ { b } = \beta _ { b } \rho ( t , b ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } G = } & { \left( ( N \varepsilon _ { 1 } - \mu _ { 1 } ( N + 1 ) ) z + ( \varepsilon _ { 2 } + \mu _ { 2 } ( N - 1 ) ) z ^ { - 1 } - N \varepsilon _ { 1 } \right) G } \\ & { + ( z \partial _ { z } ) \cdot \left\{ \left( ( \mu _ { 1 } ( N + 1 ) - \varepsilon _ { 1 } ) z + ( \varepsilon _ { 2 } + \mu _ { 2 } ( N - 1 ) ) z ^ { - 1 } - ( \varepsilon _ { 2 } - \varepsilon _ { 1 } + N ( \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } ) ) \right) G \right\} } \\ & { + ( z \partial _ { z } ) ^ { 2 } \cdot \left\{ \left( \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } - \mu _ { 1 } z - \mu _ { 2 } z ^ { - 1 } \right) G \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { \widetilde { R } } _ { \mu \nu } } & { = \Big ( \mathbb { \Gamma } _ { \beta \alpha } ^ { \alpha } \mathbb { \Gamma } _ { \mu \nu } ^ { \beta } - \mathbb { \Gamma } _ { \beta \nu } ^ { \alpha } \mathbb { \Gamma } _ { \mu \alpha } ^ { \beta } \Big ) - \frac { 1 } { 2 } \mathbb { g } _ { \mu \nu } \mathbb { g } ^ { \kappa \lambda } \Big ( \mathbb { \Gamma } _ { \beta \alpha } ^ { \alpha } \mathbb { \Gamma } _ { \kappa \lambda } ^ { \beta } - \mathbb { \Gamma } _ { \beta \kappa } ^ { \alpha } \mathbb { \Gamma } _ { \lambda \alpha } ^ { \beta } \Big ) } \\ & { = \frac { 1 } { 4 } \mathbb { g } ^ { \alpha \kappa } \mathbb { g } ^ { \beta \lambda } \Big [ \langle \partial _ { \alpha } \varrho \partial _ { \beta } \varrho \partial _ { \kappa } \varrho \rangle \langle \partial _ { \mu } \varrho \partial _ { \nu } \varrho \partial _ { \lambda } \varrho \rangle - \langle \partial _ { \nu } \varrho \partial _ { \beta } \varrho \partial _ { \kappa } \varrho \rangle \langle \partial _ { \mu } \varrho \partial _ { \alpha } \varrho \partial _ { \lambda } \varrho \rangle \Big ] . } \end{array}
G _ { \mathfrak { c } } ( t ) : = \Phi ( t ) - \phi ( t ) \Big \{ \frac { \sqrt { n } h ^ { P } \beta } { \nu ^ { \prime } \Sigma \nu } - \frac { 1 - \mathfrak { c } } { n h ^ { d + 2 } } \frac { \nu ^ { \prime } \Delta \nu } { \nu ^ { \prime } \Sigma \nu } t - \frac { 1 } { \sqrt { n } 6 ( \nu ^ { \prime } \Sigma \nu ) ^ { 3 } } \Big [ \kappa _ { 1 } ( 2 t ^ { 2 } + 1 ) + \kappa _ { 2 } ( t ^ { 2 } + 1 ) \Big ] \Big \} .
\begin{array} { r l } & { 0 = \frac { d } { d t } | _ { t = 0 } \mathcal { R } ( \mathcal { G } ( t ) ) = \mathcal { R } ^ { \prime } ( \mathcal { G } ^ { \prime } ( 0 ) ) , } \\ & { 0 = \frac { d ^ { 2 } } { d t ^ { 2 } } | _ { t = 0 } \mathcal { R } ( \mathcal { G } ( t ) ) = \mathcal { R } ^ { \prime \prime } ( \mathcal { G } ^ { \prime } ( 0 ) , \mathcal { G } ^ { \prime } ( 0 ) ) + \mathcal { R } ^ { \prime } ( \mathcal { G } ^ { \prime \prime } ( 0 ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \qquad g _ { S } ^ { + } } & { = \frac { L ^ { 2 } } { z ^ { 2 } } \Big ( \textnormal { d } z ^ { 2 } + L ^ { 2 } ( 1 - \frac { 1 } { 4 } ( z / L ) ^ { 2 } ) ^ { 2 } \textnormal { d } \Omega _ { d } ^ { 2 } \Big ) \, , \qquad 0 < z < 2 L \, , } \\ { \qquad g _ { F } ^ { + } } & { = \frac { L ^ { 2 } } { z ^ { 2 } } \left( \textnormal { d } z ^ { 2 } + \delta _ { i j } \textnormal { d } x ^ { i } \textnormal { d } x ^ { j } \right) \, , \qquad i = 1 , \cdots , d \, , \qquad z > 0 \, . } \end{array}
G _ { n } = \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { - 1 } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { 1 } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { 1 } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { 1 } \\ { 0 } & { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } & { 0 } & { - 1 } & { 1 } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { \frac { \textrm { d } s ( \rho ) } { \textrm { d } \rho } } & { = - \frac { \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 2 } ( 2 \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 2 } \sigma _ { \textrm { r e c } } ^ { 2 } ( \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 2 } \! \! - \! \! 2 \rho \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 2 } \! \! + \! \! 4 \rho \sigma _ { \textrm { r e c } } ^ { 2 } ) } { \rho ^ { 2 } ( ( - 1 + \rho ) \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 2 } - 2 \rho \sigma _ { \textrm { r e c } } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } \\ & { - \frac { \sigma _ { \textrm { A } } ^ { 2 } ( ( - 1 \! \! + \! \! \rho ) ^ { 2 } \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 4 } \! \! + \! \! 2 ( 2 \! \! - \! \! 3 \rho ) \rho \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 2 } \sigma _ { \textrm { r e c } } ^ { 2 } \! \! + \! \! 8 \rho ^ { 2 } \sigma _ { \textrm { r e c } } ^ { 4 } ) ) } { \rho ^ { 2 } ( ( - 1 + \rho ) \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 2 } - 2 \rho \sigma _ { \textrm { r e c } } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { N G } _ { 0 } } & { = \left\{ \bullet _ { - 1 } , \bullet _ { 1 } \right\} } \\ { \mathcal { N G } _ { 1 } } & { = \left\{ \bullet _ { - 1 } \xrightarrow { ( - 1 , - 1 ) } \bullet _ { 1 } , \bullet _ { 1 } \xrightarrow { ( - 1 , 1 ) } \bullet _ { - 1 } \right\} } \\ { \mathcal { N G } _ { 2 } } & { = \left\{ \bullet _ { - 1 } \rightarrow \bullet _ { 1 } \rightarrow \bullet _ { - 1 } , \bullet _ { 1 } \rightarrow \bullet _ { - 1 } \rightarrow \bullet _ { 1 } \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { H } \big ( [ [ \hat { X } _ { t + 1 } | x _ { t } , u _ { t } ] ] , [ [ \hat { X } _ { t + 1 } | \mu _ { t } ( x _ { t } ) , u _ { t } ] ] \big ) } \\ { = } & { \mathcal { H } \big ( \big \{ \mu _ { t + 1 } ( f _ { t } ( x _ { t } , u _ { t } , w _ { t } ) ) | w _ { t } \in \mathcal { W } _ { t } \big \} , } \\ & { \big \{ \mu _ { t + 1 } ( f _ { t } ( \bar { x } _ { t } , u _ { t } , w _ { t } ) ) | \bar { x } _ { t } \in [ [ X _ { t } | \mu _ { t } ( x _ { t } ) ] ] , w _ { t } \in \mathcal { W } _ { t } \big \} \big ) } \\ { \leq } & { \operatorname* { s u p } _ { w _ { t } \in \mathcal { W } _ { t } } \mathcal { H } ( \{ \mu _ { t + 1 } ( f _ { t } ( x _ { t } , u _ { t } , w _ { t } ) ) \} , } \\ & { \{ \mu _ { t + 1 } ( f _ { t } ( \bar { x } _ { t } , u _ { t } , w _ { t } ) ) | \bar { x } _ { t } \in [ [ X _ { t } | \mu _ { t } ( x _ { t } ) ] ] \} ) , } \end{array}
\begin{array} { l l l l } { \hat { e } _ { I } \colon } & { \mathcal { F } } & { \to } & { \mathcal { F } } \\ & { f } & { \mapsto } & { \sqrt { 2 } e _ { I } \wedge f } \end{array} \quad , \quad \quad \quad \begin{array} { l l l l } { \hat { e } ^ { J } \colon } & { \mathcal { F } } & { \to } & { \mathcal { F } } \\ & { f } & { \mapsto } & { \sqrt { 2 } e _ { J } \lrcorner f } \end{array} \quad .
\small \begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { 1 \le t \le T } \mathbb { E } \left\| \nabla f ( \overline { { \mathbf { x } ^ { t } } } ) \right\| ^ { 2 } = } & { \mathcal { O } \Big ( \frac { ( f ( \overline { { { \bf x } ^ { 1 } } } ) - f ^ { * } ) + \sigma _ { l } ^ { 2 } } { \sqrt { K T } } + \frac { K ( \beta ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } ) } { T } } \\ & { + \frac { L ^ { 2 } } { K ^ { 1 / 2 } T ^ { 3 / 2 } } + { \bf \Phi } ( \lambda , m , Q ) \frac { \beta ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } } { K ^ { 1 / 2 } T ^ { 3 / 2 } } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { X _ { 1 } ( s ) = e ^ { \frac { i n s \pi } { 2 k } } u _ { n } { \frac { \partial \quad } { \partial u _ { n } } } , \; X _ { 2 } ( s ) = ( - 1 ) ^ { n } e ^ { \frac { i n s \pi } { 2 k } } u _ { n } { \frac { \partial \quad } { \partial u _ { n } } } , } \\ & { X _ { 3 } ( s ) = i ^ { n } e ^ { \frac { i n s \pi } { 2 k } } u _ { n } { \frac { \partial \quad } { \partial u _ { n } } } , \; X _ { 4 } ( s ) = ( - i ) ^ { n } e ^ { \frac { i n s \pi } { 2 k } } u _ { n } { \frac { \partial \quad } { \partial u _ { n } } } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { ( x , y , z ) \rightarrow ( \xi , \eta ) } & { = \left( { \frac { x } { { \frac { 1 } { 2 } } - z } } , { \frac { y } { { \frac { 1 } { 2 } } - z } } \right) , } \\ { ( \xi , \eta ) \rightarrow ( x , y , z ) } & { = \left( { \frac { \xi } { 1 + \xi ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } } } , { \frac { \eta } { 1 + \xi ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } } } , { \frac { - 1 + \xi ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } } { 2 + 2 \xi ^ { 2 } + 2 \eta ^ { 2 } } } \right) . } \end{array} }
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } \operatorname* { m a x } _ { \{ \zeta _ { g } \} , \{ \ensuremath { \bar { B } } _ { g } \} , \{ \alpha _ { k } \} } } & { \quad } & & { \ensuremath { \gamma _ { \mathrm { t h } } } } & & { } \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } } & { } & & { , , , , } & & { } \\ & { } & & { \gamma _ { l } ^ { \infty } \ge \ensuremath { \gamma _ { \mathrm { t h } } } , } & { \quad } & { \forall l \in \mathcal { S } , } \\ & { } & & { \gamma _ { k ; s } ^ { \infty } \ge \ensuremath { \gamma _ { \mathrm { t h } } } , \quad \gamma _ { k ; w } ^ { \infty } \ge \ensuremath { \gamma _ { \mathrm { t h } } } , } & { \quad } & { \forall k \in \mathcal { U } . } \end{array}
\operatorname { g r a d } ( f ) = \nabla f = { \left( \begin{array} { l } { \displaystyle { \frac { \partial } { \partial x } } , \ { \frac { \partial } { \partial y } } , \ { \frac { \partial } { \partial z } } } \end{array} \right) } f = { \frac { \partial f } { \partial x } } \mathbf { i } + { \frac { \partial f } { \partial y } } \mathbf { j } + { \frac { \partial f } { \partial z } } \mathbf { k }
\begin{array} { r } { \mathbb { E } _ { \eta _ { 0 } = \eta _ { u } } \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { r _ { 1 } } \mathbb { E } _ { H } \left[ \log \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { i } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert \right] \right] = \mathbb { E } _ { H } \left[ \log \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { l } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert \right] + \mathbb { E } _ { H } \left[ \log \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { u } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \left\langle \alpha _ { x } \right\rangle = } & { \left\langle - \alpha _ { x } \frac { \partial } { \partial \alpha _ { x } } \alpha _ { x } \, \right\rangle = - \left\langle \alpha _ { x } \, \right\rangle } \\ { \frac { \partial } { \partial t } \left\langle \alpha _ { x } \alpha _ { y } \right\rangle = } & { \left\langle - \left( \alpha _ { x } \frac { \partial } { \partial \alpha _ { x } } + \alpha _ { y } \frac { \partial } { \partial \alpha _ { y } } \, \right) \alpha _ { x } \alpha _ { y } \, \right\rangle = - \left\langle \alpha _ { x } \alpha _ { y } \, \right\rangle } \\ { \frac { \partial } { \partial t } \left\langle \alpha _ { x } ^ { 2 } \right\rangle = } & { \left\langle \left( - \alpha _ { x } \frac { \partial } { \partial \alpha _ { x } } + \frac { 1 } { 4 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \alpha _ { x } ^ { 2 } } \, \right) \alpha _ { x } ^ { 2 } \, \right\rangle = \frac { 1 } { 2 } - 2 \left\langle \alpha _ { x } ^ { 2 } \, \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } | \partial _ { t } ( t H _ { t , 1 , 1 } ^ { ( \alpha , \beta ) } ( n , m ) ) | d t } & { \le C n ^ { \alpha + 1 } m ^ { \alpha } \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { m } } \theta ^ { 2 \alpha + 5 } d \theta + C n ^ { \alpha + 1 } m ^ { - 3 / 2 } \int _ { \frac { 1 } { m } } ^ { \frac { 1 } { n } } \theta ^ { \alpha + \frac { 7 } { 2 } } d \theta } \\ & { \quad + C ( n m ) ^ { - 3 / 2 } \int _ { \frac { 1 } { n } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \theta \; d \theta } \\ & { \le \frac { C } { ( n m ) ^ { 3 / 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { t \in \left[ \eta _ { a } , \eta _ { b } \right] } \left\| \bar { u } ( t ) \right\| _ { \widehat { s - 1 } } ^ { 2 } \leq C \mathbb { E } \left\| \bar { u } ( \eta _ { a } ) \right\| _ { \widehat { s - 1 } } ^ { 2 } + C _ { \rho , \kappa } \mathbb { E } \int _ { \eta _ { a } } ^ { \eta _ { b } } ( 1 + \| u ^ { 1 } \| _ { \tilde { s } } ^ { 2 } + \| u ^ { 2 } \| _ { \tilde { s } } ^ { 2 } ) \| \bar { u } \| _ { \widehat { s - 1 } } ^ { 2 } d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf D _ { \mathbf x } \mathbf F ( \mathbf x _ { 0 } , \mathbf g ( \mathbf x _ { 0 } ) ) } & { = - \mathbf I - \Delta t \left( \Big ( 1 - \frac { 1 } { 2 \alpha } \Big ) \mathbf A + \frac { 1 } { 2 \alpha } \mathbf A \mathbf D \mathbf y ^ { ( 2 ) } ( \mathbf x _ { 0 } ) \right) } \\ & { = - \mathbf I - \Delta t \left( \mathbf A + \frac { \Delta t } { 2 } \mathbf A ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma ( t ) \ } & { = \ \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } \int _ { t _ { 1 } } ^ { t } \frac { \dot { \varepsilon } ( s ) } { \varepsilon ( s ) } d s + ( \alpha - \gamma ) \int _ { t _ { 1 } } ^ { t } \sqrt { \varepsilon ( s ) } d s \right) \ = \ \exp \left( \frac { 1 } { 2 } \ln \frac { \varepsilon ( t _ { 1 } ) } { \varepsilon ( t ) } + ( \alpha - \gamma ) \int _ { t _ { 1 } } ^ { t } \sqrt { \varepsilon ( s ) } d s \right) } \\ & { = \ \sqrt { \frac { \varepsilon ( t _ { 1 } ) } { \varepsilon ( t ) } } \exp \left( ( \alpha - \gamma ) \int _ { t _ { 1 } } ^ { t } \sqrt { \varepsilon ( s ) } d s \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } } & { \operatorname* { m i n } _ { x \in [ 0 , 1 ] ^ { n } } \: \: } & & { x ^ { \textup { T } } Q ^ { 0 } x + ( r ^ { 0 } ) ^ { \textup { T } } x } \\ & { \quad \: \mathrm { s . t . } } & & { x ^ { \textup { T } } Q ^ { i } x + ( r ^ { i } ) ^ { \textup { T } } x \leq b _ { i } , \quad \forall i \in [ m _ { I } ] , } \end{array}
\frac { 1 } { N ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mu ( \mathrm { d } s ) \int _ { 0 } ^ { \infty } \mu ( \mathrm { d } s ^ { \prime } ) \frac { \mathbf { E } \big [ \langle G _ { s } \mathcal { A } _ { s } G _ { s ^ { \prime } } ^ { * } E _ { - } \rangle \langle ( G _ { s } - G _ { s ^ { \prime } } ^ { * } ) E _ { - } \mathcal { A } _ { s ^ { \prime } } ^ { * } \rangle \big ] } { \mathrm { i } \big ( \sqrt { \eta ^ { 2 } + s ^ { 2 } } + \sqrt { \eta ^ { 2 } + s ^ { 2 } } \big ) } \, ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } \, [ \, ( d _ { i } ^ { ( k ) } ) ^ { 2 } } & { \ \big \vert \ \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } , \, \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } \, ] = \, u ^ { 2 } \, ( 1 - p _ { \varepsilon } ( t \, \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + t \, \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } ) \, ) } \\ & { = ( u \, \vert \, t \, \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + t \, \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } \, \vert + \varepsilon \, u ^ { 2 } ) \, P ( \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } \in { \mathcal { S } } _ { 1 } ) } \\ & { \quad \quad + ( u \, \vert \, t \, \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } \, \vert + \omega _ { i } ^ { ( k ) } \, u ^ { 2 } ) \, P ( \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + t \, \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } \in \{ { \mathcal { S } } _ { 2 } \cup { \mathcal { S } } _ { 3 } \} ) . } \\ & { = u \, \vert \, t \, \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + t \, \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } \, \vert + u ^ { 2 } \, h ( \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { L } _ { 4 } ( p _ { H } ^ { b c } , \psi ) = \frac { L _ { H } \sum _ { k = 1 } ^ { K } a _ { k } } { f _ { H } } + \frac { s } { { { B } } \log _ { 2 } ( 1 + \frac { p _ { H } ^ { b c } \operatorname* { m i n } _ { \substack { k \in \mathcal { K } } } h _ { k } } { { { B } } \mathcal { N } _ { 0 } } ) } + \psi \Big [ ( \zeta _ { H } f _ { H } ^ { 2 } L _ { H } \sum _ { k = 1 } ^ { K } a _ { k } [ n ] + p _ { H } ^ { b c } t _ { H } ^ { b c } ) - { { E } } _ { H } ^ { \operatorname* { m a x } } \Big ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { \mathrm { n o n - a d d } } ^ { \mathrm { c l a s s } } ( T ) } & { = - \frac { 8 \pi ^ { 2 } } { 3 } \int d r _ { 1 2 } \, d r _ { 2 3 } \, d \cos { \theta _ { 2 } } \, r _ { 1 2 } ^ { 2 } \, r _ { 2 3 } ^ { 2 } } \\ & { \times \left( e ^ { - \beta \, V _ { 3 } ( r _ { 1 2 } , r _ { 2 3 } , r _ { 3 1 } ) } - 1 \right) \, e ^ { - \beta \left( U _ { 2 } ( r _ { 1 2 } ) + U _ { 2 } ( r _ { 2 3 } ) + U _ { 2 } ( r _ { 3 1 } ) \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \check { h } _ { k + 1 } } & { = P _ { 1 } \check { h } _ { k } + P _ { 1 } J _ { L , l } Q _ { 1 } ^ { \intercal } \eta \left( \nabla F ( \mathbf { 1 } \bar { x } _ { k } ^ { \intercal } ) - \nabla F ( \mathbf { x } _ { k } ) \right) + ( J _ { L , l } \tilde { \Lambda } _ { 1 } + J _ { L , r } \sqrt { I - \tilde { \Lambda } _ { 1 } } ) Q _ { 1 } ^ { \intercal } \eta \hat { \mathbf { g } } _ { k } } \\ & { \quad + \left( J _ { L , r } - J _ { L , l } \sqrt { I - \tilde { \Lambda } _ { 1 } } \right) \sqrt { I - \tilde { \Lambda } _ { 1 } } Q _ { 1 } ^ { \intercal } E _ { k } + J _ { L , r } ( I - \tilde { \Lambda } _ { 1 } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \eta Q _ { 1 } ^ { \intercal } \left( \nabla F ( \mathbf { 1 } \bar { x } _ { k + 1 } ^ { \intercal } ) - \nabla F ( \mathbf { 1 } \bar { x } _ { k } ^ { \intercal } ) \right) , } \end{array}
\mathfrak c _ { r } ^ { i , m } = \left\{ \begin{array} { l l } { s } & { \mathrm { ~ i f ~ } r = f _ { s } \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ } s \in \{ 0 , \ldots , n \} ; } \\ { m - 1 } & { \mathrm { ~ i f ~ } i \leq r < f _ { m - 1 } \mathrm { ~ a n d ~ } r \not \in \{ f _ { 0 } , \ldots , f _ { n } \} ; } \\ { n } & { \mathrm { ~ o t h e r w i s e } . } \end{array} \right.
\small \left\{ \begin{array} { r l } & { \mathrm { s u r f a c e ~ t e n s i o n : } \ \gamma = 3 . 8 5 7 \times 1 0 ^ { - 2 } k g / s ^ { 2 } ; } \\ & { \mathrm { p e r m i t t i v i t y : ~ ( a i r ) } \ \epsilon _ { 1 } = \epsilon _ { 0 } , \quad \mathrm { ( d i e l e c t r i c ~ l i q u i d ) } \ \epsilon _ { 2 } = 3 2 \epsilon _ { 0 } ; } \end{array} \right.
\begin{array} { r c l } { F ( x ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { e ^ { z } } { e ^ { z } - 1 } \left( x \cdot 1 - \frac { 1 - 1 } { e ^ { z } - 1 } \right) - \frac { 1 } { e ^ { z } - 1 } \left( x \cdot 1 - \frac { 1 - 1 } { e ^ { - z } - 1 } \right) \right) } \\ & { = } & { \frac { x } { 2 ( e ^ { z } - 1 ) } ( e ^ { z } - 1 ) } \\ & { = } & { \frac { x } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } D _ { t } } & { \leq 1 6 I ^ { 2 } \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } D _ { t } + 1 6 I ^ { 2 } \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } B _ { t } + 4 L ^ { 2 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } A _ { t } + 4 I \zeta _ { f } ^ { 2 } + \frac { 8 I C _ { f } ^ { 2 } \zeta _ { g , x y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } + \frac { 2 I \sigma ^ { 2 } } { b _ { x } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { a , C \left( 4 \right) } } & { : = \frac { a _ { a , C O _ { 2 } } } { \gamma _ { a , C O _ { 2 } } \left( \mu \right) } + \frac { a _ { a , C O _ { 3 } ^ { 2 - } } } { \gamma _ { a , C O _ { 3 } ^ { 2 - } } \left( \mu \right) } + \frac { a _ { a , H C O _ { 3 } ^ { - } } } { \gamma _ { a , H C O _ { 3 } ^ { - } } \left( \mu \right) } + \frac { a _ { a , C a H C O _ { 3 } ^ { + } } } { \gamma _ { a , C a H C O _ { 3 } ^ { + } } \left( \mu \right) } } \\ & { + \frac { a _ { a , C a C O _ { 3 } } } { \gamma _ { a , C a C O _ { 3 } } \left( \mu \right) } + \frac { a _ { a , N a C O _ { 3 } ^ { - } } } { \gamma _ { a , N a C O _ { 3 } ^ { - } } \left( \mu \right) } + \frac { a _ { a , N a H C O _ { 3 } } } { \gamma _ { a , N a H C O _ { 3 } } \left( \mu \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { N } _ { \textrm { a v a } } = \int P _ { \textrm { a v a } } ( \epsilon , \eta , h ; J _ { i } , N ) p ( h ) d h } & { = \int \prod _ { i } \left( \frac { 1 } { 1 + e ^ { - \eta J _ { i } h - \epsilon } } \right) \left( 1 - \prod _ { i } \left( \frac { 1 } { 1 + e ^ { - \eta J _ { i } h - \epsilon } } \right) \right) p ( h ) d h , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Y ( t , x ) ^ { \alpha } e ^ { \int _ { Y ( t , x ) } ^ { x } { \frac { - \alpha f ^ { \prime } ( 0 ) } { f ( s ) } } d s } } & { = e ^ { \alpha ( \ln ( Y ( t , x ) ) - \ln ( x ) ) } x ^ { \alpha } e ^ { \int _ { Y ( t , x ) } ^ { x } { \frac { \alpha f ^ { \prime } ( 0 ) } { f ( s ) } } d s } } \\ & { = x ^ { \alpha } e ^ { \int _ { Y ( t , x ) } ^ { x } { \frac { \alpha f ^ { \prime } ( 0 ) } { f ( s ) } - \frac { \alpha } { s } d s } } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { a } _ { 1 } } & { = \left\langle \mathbf { e } _ { 1 } , \mathbf { a } _ { 1 } \right\rangle \mathbf { e } _ { 1 } } \\ { \mathbf { a } _ { 2 } } & { = \left\langle \mathbf { e } _ { 1 } , \mathbf { a } _ { 2 } \right\rangle \mathbf { e } _ { 1 } + \left\langle \mathbf { e } _ { 2 } , \mathbf { a } _ { 2 } \right\rangle \mathbf { e } _ { 2 } } \\ { \mathbf { a } _ { 3 } } & { = \left\langle \mathbf { e } _ { 1 } , \mathbf { a } _ { 3 } \right\rangle \mathbf { e } _ { 1 } + \left\langle \mathbf { e } _ { 2 } , \mathbf { a } _ { 3 } \right\rangle \mathbf { e } _ { 2 } + \left\langle \mathbf { e } _ { 3 } , \mathbf { a } _ { 3 } \right\rangle \mathbf { e } _ { 3 } } \\ & { \; \; \vdots } \\ { \mathbf { a } _ { k } } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { k } \left\langle \mathbf { e } _ { j } , \mathbf { a } _ { k } \right\rangle \mathbf { e } _ { j } } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \left\| \left[ X , \mathcal { S } _ { [ 0 , n - 1 ] } ^ { \ell , m } \right] \right\| } & { \leq } & { \ell \ 2 ^ { \ell - m } \sum _ { \tiny \begin{array} { c } { 0 \leq j _ { 1 } < \ldots < j _ { \ell } \leq n - 1 } \\ { \eta = ( \eta _ { 1 } , \ldots , \eta _ { \ell } ) \in \{ 0 , 1 \} ^ { \ell } } \\ { | \eta | = m } \end{array} } 1 } \\ & { = } & { 2 ^ { \ell - m } \ \ell \binom { n } { \ell } \binom { \ell } { m } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ( Y | U ) } & { = \left( p ( y _ { 1 } | x _ { 3 } ) - p ( y _ { 1 } | x _ { 1 } ) \right) H _ { b } ( p _ { 1 } ) + \left( p ( y _ { 2 } | x _ { 3 } ) - p ( y _ { 2 } | x _ { 2 } ) \right) H _ { b } ( p _ { 2 } ) } \\ & { \ \ \ + ( H _ { b } ( p _ { 3 } ) + H _ { b } ( p _ { 1 } ) - H _ { b } ( p _ { 2 } ) ) \Tilde { P } _ { 1 1 2 } + 2 H _ { b } ( p _ { 2 } ) \Tilde { P } _ { 1 2 1 } } \\ & { \ \ \ + 2 H _ { b } ( p _ { 1 } ) \Tilde { P } _ { 1 2 2 } + ( H _ { b } ( p _ { 3 } ) + H _ { b } ( p _ { 2 } ) - H _ { b } ( p _ { 1 } ) ) \Tilde { P } _ { 2 2 1 } . } \end{array}
( \mathbf { u } \cdot \nabla ) \mathbf { A } = { \left( \begin{array} { l } { \displaystyle u _ { x } { \frac { \partial A _ { x } } { \partial x } } + u _ { y } { \frac { \partial A _ { x } } { \partial y } } + u _ { z } { \frac { \partial A _ { x } } { \partial z } } } \\ { \displaystyle u _ { x } { \frac { \partial A _ { y } } { \partial x } } + u _ { y } { \frac { \partial A _ { y } } { \partial y } } + u _ { z } { \frac { \partial A _ { y } } { \partial z } } } \\ { \displaystyle u _ { x } { \frac { \partial A _ { z } } { \partial x } } + u _ { y } { \frac { \partial A _ { z } } { \partial y } } + u _ { z } { \frac { \partial A _ { z } } { \partial z } } } \end{array} \right) } = { \frac { \partial ( A _ { x } , A _ { y } , A _ { z } ) } { \partial ( x , y , z ) } } \mathbf { u } .
\begin{array} { r } { \tilde { \mathcal { E } } _ { 0 , 0 } ^ { k _ { 0 } } ( \boldsymbol { x } , s _ { k _ { 0 } + 1 } , \alpha , t ; \hbar ) = \int _ { [ 0 , t ] _ { \leq } ^ { k _ { 0 } } } \boldsymbol { 1 } _ { [ s _ { k _ { 0 } + 1 } , t ] } ( s _ { k _ { 0 } } ) \prod _ { m = 1 } ^ { k _ { 0 } + 1 } \Theta _ { \alpha _ { m } } ( s _ { m - 1 } , { s } _ { m } , x _ { m } ; V , \hbar ) \, d \boldsymbol { s } _ { k _ { 0 } , 1 } U _ { \hbar , 0 } ( - t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { n } ( \beta ) } & { : = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } g ( y _ { i } , X _ { i } , \beta ) , } \\ { G ( \beta ) } & { : = \mathbb { E } [ g ( \cdot , \beta ) ] , } \\ { \nu _ { n } g ( \cdot , \beta ) } & { : = n ^ { - 1 / 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( g ( \cdot , \beta ) - G ( \beta ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { j = 1 } ^ { n } p _ { n - j } ^ { ( n ) } | R ^ { j } | = } & { c _ { v } \Big ( \tau ^ { \sigma } + \frac { 1 } { 2 - \beta } \tau ^ { \operatorname* { m i n } \{ \sigma , ~ 3 - \beta \} } \operatorname* { m a x } _ { 2 \le k \le n } \Big ( k - \frac { 3 } { 2 } \Big ) ^ { \beta + \sigma - 3 } \tau ^ { \sigma - \operatorname* { m i n } \{ \sigma , ~ 3 - \beta \} } \Big ) } \\ { \le } & { c _ { v } \Big ( \tau ^ { \sigma } + t _ { k - \frac { 3 } { 2 } } ^ { \sigma - \operatorname* { m i n } \{ \sigma , ~ 3 - \beta \} } \tau ^ { \operatorname* { m i n } \{ \sigma , ~ 3 - \beta \} } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { i } ^ { + } } & { : = \left\{ \left. \mathbf { x } \in \partial \Omega \, \right| \, \mathbf { a } _ { i } \cdot \mathbf { n } \geq 0 \right\} , } \\ { \Gamma _ { i } ^ { - } } & { : = \left\{ \left. \mathbf { x } \in \partial \Omega \, \right| \, \mathbf { a } _ { i } \cdot \mathbf { n } < 0 \right\} . } \end{array}
\mathcal A _ { 1 } = \sum _ { T ^ { \prime } \subseteq Q \setminus K } p ^ { | T ^ { \prime } | } ( 1 - p ) ^ { | Q \setminus K | - | T ^ { \prime } | } \sum _ { \emptyset \neq T ^ { \prime \prime } \subseteq Q \cap K } p ^ { | T ^ { \prime \prime } | } ( 1 - p ) ^ { | Q \cap K | - | T ^ { \prime \prime } | } \, \mathcal E ( \Delta _ { L } ( { \textstyle \bigwedge } ( T ^ { \prime } \cup T ^ { \prime \prime } ) ) )
\begin{array} { r l } { \langle f _ { \otimes } \big ( \varphi _ { 1 } ( x _ { 1 } ) , \dots , \varphi _ { d } ( x _ { d } ) \big ) , g _ { \otimes } \big ( \varphi _ { 1 } ( y _ { 1 } ) , \dots , \varphi _ { d } ( y _ { d } ) \big ) \rangle _ { \mathrm { T } } } & { = \sum _ { \mathbf { i } \in \mathbb { N } ^ { d } } f _ { \mathbf { i } } g _ { \mathbf { i } } k _ { 1 } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) ^ { i _ { 1 } } \dots k _ { d } ( x _ { d } , y _ { d } ) ^ { i _ { d } } . } \end{array}
{ \boldsymbol { \sigma } } = \left[ { \begin{array} { l l l } { \sigma _ { 1 1 } } & { \sigma _ { 1 2 } } & { \sigma _ { 1 3 } } \\ { \sigma _ { 2 1 } } & { \sigma _ { 2 2 } } & { \sigma _ { 2 3 } } \\ { \sigma _ { 3 1 } } & { \sigma _ { 3 2 } } & { \sigma _ { 3 3 } } \end{array} } \right] \equiv \left[ { \begin{array} { l l l } { \sigma _ { x x } } & { \sigma _ { x y } } & { \sigma _ { x z } } \\ { \sigma _ { y x } } & { \sigma _ { y y } } & { \sigma _ { y z } } \\ { \sigma _ { z x } } & { \sigma _ { z y } } & { \sigma _ { z z } } \end{array} } \right] \equiv \left[ { \begin{array} { l l l } { \sigma _ { x } } & { \tau _ { x y } } & { \tau _ { x z } } \\ { \tau _ { y x } } & { \sigma _ { y } } & { \tau _ { y z } } \\ { \tau _ { z x } } & { \tau _ { z y } } & { \sigma _ { z } } \end{array} } \right]
\begin{array} { r l } { A \times B } & { = \bigsqcup _ { j = 1 } ^ { 4 } A \times \pi ^ { - 1 } \left( a _ { j } - 1 / 4 , a _ { j } + 1 / 4 \right) , } \\ { B \times A } & { = \bigsqcup _ { i = 1 } ^ { 4 } \pi ^ { - 1 } \left( a _ { i } - 1 / 4 , a _ { i } + 1 / 4 \right) \times A , } \\ { B \times B } & { = \bigsqcup _ { i , j = 1 } ^ { 4 } \pi ^ { - 1 } \left( a _ { i } - 1 / 4 , a _ { i } + 1 / 4 \right) \times \pi ^ { - 1 } \left( a _ { j } - 1 / 4 , a _ { j } + 1 / 4 \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { x } & { \equiv - 1 \pmod { 5 } } \\ { x } & { \equiv - 2 \pmod { 2 } } \\ { x } & { \equiv - 3 \pmod { 3 } } \\ { x } & { \equiv - 4 \pmod { 2 } } \\ { x } & { \equiv - 5 \pmod { 7 } } \\ { x } & { \equiv - 6 \pmod { 2 } } \\ { x } & { \equiv - 7 \pmod { 1 1 } } \\ { x } & { \equiv - 8 \pmod { 2 } } \\ { x } & { \equiv - 9 \pmod { 3 } } \\ { x } & { \equiv - 1 0 \pmod { 2 } } \\ { x } & { \equiv - 1 1 \pmod { 5 } } \\ { x } & { \equiv - 1 2 \pmod { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \mathcal { D } _ { 1 } ( \omega k _ { 4 } ) | = } & { \; \frac { e ^ { \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { \Gamma _ { 2 } ^ { ( 2 ) } } \frac { \arg { s } } { 2 } d \ln ( 1 + r _ { 1 } ( s ) r _ { 2 } ( s ) ) - \nu _ { 1 } \frac { \arg ( \omega k _ { 4 } ) } { 2 } } e ^ { 2 \nu _ { 3 } \frac { \arg ( \omega k _ { 4 } ) } { 2 } - 2 \nu _ { 4 } \frac { \arg ( \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) } { 2 } - 2 \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { \Gamma _ { 5 } ^ { ( 2 ) } } \frac { \arg { s } } { 2 } d \ln ( f ( s ) ) } } { e ^ { \nu _ { 1 } \frac { \arg ( \omega k _ { 4 } ) } { 2 } - \nu _ { 2 } \frac { \arg ( \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) } { 2 } - \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { \Gamma _ { 5 } ^ { ( 2 ) } } \frac { \arg { s } } { 2 } d \ln ( 1 + r _ { 1 } ( s ) r _ { 2 } ( s ) ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \left( ( \xi _ { t } ^ { a , b } ( P ) ) ^ { 2 } - 1 \right) = \sum _ { t = 1 } ^ { T } \left( ( \xi _ { t } ^ { a , b } ( P ) ) ^ { 2 } - \mathbb { E } _ { P } \big [ ( \xi _ { t } ^ { a , b } ( P ) ) ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { t - 1 } \big ] + \mathbb { E } _ { P } \big [ ( \xi _ { t } ^ { a , b } ( P ) ) ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { t - 1 } \big ] - 1 \right) \xrightarrow { \mathrm { p } } 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r l } & { } & { \tilde { w } _ { 0 } = } & { \tilde { x } ^ { \frac { 1 } { 5 } } \tilde { z } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( 1 + \cdots ) , } & { \tilde { w } _ { 1 } = } & { \tilde { x } ^ { \frac { 2 } { 5 } } \tilde { z } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( 1 + \cdots ) , } & { \tilde { w } _ { 2 } = } & { \tilde { x } ^ { \frac { 3 } { 5 } } \tilde { z } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( 1 + \cdots ) } \\ & { } & { \tilde { w } _ { 3 } = } & { \tilde { x } ^ { \frac { 4 } { 5 } } \tilde { z } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( 1 + \cdots ) , } & { \tilde { w } _ { 4 } = } & { \tilde { x } \tilde { z } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( 1 + \cdots ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { 0 } ( \theta ) } & { = 2 5 0 \theta ^ { 4 } - 1 2 5 \theta ^ { 3 } - 1 3 0 \theta ^ { 2 } - \theta + 6 } \\ { P _ { 1 } ( \theta ) } & { = - \theta \left( - 2 1 2 5 \theta ^ { 2 } + 4 5 0 \theta + 9 9 7 \right) - 1 7 4 } \\ { P _ { 2 } ( \theta ) } & { = - 2 5 0 \theta ^ { 4 } + 1 2 5 \theta ^ { 3 } + 1 3 0 \theta ^ { 2 } - \left( 7 5 0 \theta ^ { 3 } + 1 2 5 0 \theta ^ { 2 } - 2 4 1 5 \theta + 4 2 6 4 \right) \theta + \theta - 3 1 2 3 } \\ { P _ { 3 } ( \theta ) } & { = - \theta \left( 4 2 5 0 \theta ^ { 2 } + 5 9 2 5 \theta + 6 0 1 6 \right) + \theta \left( - 2 1 2 5 \theta ^ { 2 } + 4 5 0 \theta + 9 9 7 \right) - 8 5 1 1 } \\ { P _ { 4 } ( \theta ) } & { = 5 \, \theta \left( 1 5 0 \theta ^ { 3 } + 5 7 5 \theta ^ { 2 } + 9 3 \theta - 3 3 2 \right) + \theta \left( 7 5 0 \theta ^ { 3 } + 1 2 5 0 \theta ^ { 2 } - 2 4 1 5 \theta + 4 2 6 4 \right) - 6 0 0 0 } \\ { P _ { 5 } ( \theta ) } & { = 2 1 2 5 \, \theta \left( \theta ^ { 2 } + 3 \theta + 2 \right) + \theta \left( 4 2 5 0 \theta ^ { 2 } + 5 9 2 5 \theta + 6 0 1 6 \right) } \\ { P _ { 6 } ( \theta ) } & { = - 2 5 0 \, \theta \left( \theta ^ { 3 } + 6 \theta ^ { 2 } + 1 1 \theta + 6 \right) - 5 \theta \left( 1 5 0 \theta ^ { 3 } + 5 7 5 \theta ^ { 2 } + 9 3 \theta - 3 3 2 \right) } \\ { P _ { 7 } ( \theta ) } & { = - 2 1 2 5 \, \theta \left( \theta ^ { 2 } + 3 \theta + 2 \right) } \\ { P _ { 8 } ( \theta ) } & { = 2 5 0 \, \theta \left( \theta ^ { 3 } + 6 \theta ^ { 2 } + 1 1 \theta + 6 \right) } \end{array}
\left( \mathcal { O } _ { R } ( Z A ) \right) ^ { \dagger } = \frac { 1 } { n ! } \sum _ { \sigma \in S _ { n } } \left( \chi _ { R } ( \sigma ) \right) ^ { * } \left( \mathrm { T r } _ { V _ { N } ^ { \otimes n } } \left( ( Z A ) ^ { \otimes n } \mathcal { L } _ { \sigma } \right) \right) ^ { \dagger } = \frac { 1 } { n ! } \sum _ { \sigma \in S _ { n } } \chi _ { R } ( \sigma ) \left( \mathcal { O } _ { \sigma } ( Z A ) \right) ^ { \dagger } \, ,
{ \begin{array} { r l } { s _ { \mathrm { a } } ( t ) } & { \triangleq { \mathcal { F } } ^ { - 1 } [ S _ { \mathrm { a } } ( f ) ] } \\ & { = { \mathcal { F } } ^ { - 1 } [ S ( f ) + \operatorname { s g n } ( f ) \cdot S ( f ) ] } \\ & { = \underbrace { { \mathcal { F } } ^ { - 1 } \{ S ( f ) \} } _ { s ( t ) } + \overbrace { \underbrace { { \mathcal { F } } ^ { - 1 } \{ \operatorname { s g n } ( f ) \} } _ { j { \frac { 1 } { \pi t } } } * \underbrace { { \mathcal { F } } ^ { - 1 } \{ S ( f ) \} } _ { s ( t ) } } ^ { \mathrm { c o n v o l u t i o n } } } \\ & { = s ( t ) + j \underbrace { \left[ { \frac { 1 } { \pi t } } * s ( t ) \right] } _ { \operatorname { \mathcal { H } } [ s ( t ) ] } } \\ & { = s ( t ) + j { \hat { s } } ( t ) , } \end{array} }
\alpha _ { k } \approx \frac { ( A \theta _ { k } - b ) ^ { T } ( A \theta _ { k } - b ) } { ( A \theta _ { k } - b ) ^ { T } A A ^ { T } ( A \theta _ { k } - b ) } , \quad \beta _ { k } = \frac { ( A \theta _ { k } - b ) ^ { T } A A ^ { T } ( A \theta _ { k } - b ) } { ( A \theta _ { k } - b ) ^ { T } A A ^ { T } A A ^ { T } ( A \theta _ { k } - b ) } .
\begin{array} { r l } & { \| \mathbf { B } _ { ( n ) } - { \bf Q } _ { n } { \bf Q } _ { n } ^ { \top } \mathbf { B } _ { ( n ) } \| _ { F } ^ { 2 } } \\ & { \leq \mathrm { r a n k } ( \mathbf { B } _ { ( n ) } ) \| ( \mathbf { B } _ { ( n ) } - { \bf Q } _ { n } { \bf Q } _ { n } ^ { \top } \mathbf { B } _ { ( n ) } ) ( \mathbf { B } _ { ( n ) } - { \bf Q } _ { n } { \bf Q } _ { n } ^ { \top } \mathbf { B } _ { ( n ) } ) ^ { \top } \| _ { F } } \\ & { \leq \mathrm { r a n k } ( \mathbf { A } _ { ( n ) } ) \| ( \mathbf { B } _ { ( n ) } - { \bf Q } _ { n } { \bf Q } _ { n } ^ { \top } \mathbf { B } _ { ( n ) } ) ( \mathbf { B } _ { ( n ) } - { \bf Q } _ { n } { \bf Q } _ { n } ^ { \top } \mathbf { B } _ { ( n ) } ) ^ { \top } \| _ { F } } \\ & { = \mathrm { r a n k } ( \mathbf { A } _ { ( n ) } ) \| ( \mathbf { B } _ { ( n ) } \mathbf { B } _ { ( n ) } ^ { \top } - { \bf Q } _ { n } { \bf Q } _ { n } ^ { \top } \mathbf { B } _ { ( n ) } \mathbf { B } _ { ( n ) } ^ { \top } ) ( \mathbf { I } _ { I _ { n } } - { \bf Q } _ { n } { \bf Q } _ { n } ^ { \top } ) \| _ { F } } \\ & { \leq \mathrm { r a n k } ( \mathbf { A } _ { ( n ) } ) \| \mathbf { B } _ { ( n ) } \mathbf { B } _ { ( n ) } ^ { \top } - { \bf Q } _ { n } { \bf Q } _ { n } ^ { \top } \mathbf { B } _ { ( n ) } \mathbf { B } _ { ( n ) } ^ { \top } \| _ { F } , } \end{array}
L : = \left\lceil \frac { \log ( \ensuremath { \varepsilon } ) } { ( 2 - \theta ) r \log ( \underline { c } _ { \mathcal { K } } ) } - \frac { \log ( h _ { 0 } ) } { \log ( \underline { c } _ { \mathcal { K } } ) } \right\rceil , \quad M _ { \ell } : = \left\lceil \left( \frac { h _ { \ell } } { h _ { L } } \right) ^ { 2 ( 2 - \theta ) r } w _ { \ell } \right\rceil , \quad N _ { \ell } : = \left\lceil - \frac { \log ( h _ { \ell } ) ( 2 - \theta ) r } { \log ( 2 ) t } \right\rceil .
\begin{array} { r l } { J _ { 1 , 1 } ( \theta ) } & { = \mathbf { E } [ G ( G \cos \theta + W \sin \theta ) 1 \{ G > 0 \} 1 \{ G \cos \theta + W \sin \theta > 0 \} ] } \\ & { = \mathbf { E } [ \cos \theta \; 1 \{ G > 0 \} 1 \{ G \cos \theta + W \sin \theta \} ] } \\ & { + \mathbf { E } [ ( G \cos \theta + W \sin \theta ) 1 ^ { \prime } \{ G > 0 \} 1 \{ G \cos \theta + W \sin \theta > 0 \} ] } \\ & { + \mathbf { E } [ ( G \cos \theta + W \sin \theta ) 1 \{ G > 0 \} 1 ^ { \prime } \{ G \cos \theta + W \sin \theta > 0 \} ] \cos \theta } \\ & { = \cos \theta J _ { 0 , 0 } + \mathbf { E } [ W \sin \theta \; 1 \{ W \sin \theta > 0 \} ] \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } + \mathbf { E } [ Z 1 \{ Z \cos \theta + Y \sin \theta \} 1 ^ { \prime } \{ z > 0 \} ] } \\ & { = \cos \theta J _ { 0 , 0 } + \sin \theta \mathbf { E } [ \varphi ( W ) ] \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } + 0 = \frac { \sin \theta + ( \pi - \theta ) \cos \theta } { 2 \pi } . } \end{array}
\operatorname* { s u p } _ { m \in \mathbb { N } _ { 0 } } \operatorname* { l i m s u p } _ { n \rightarrow \infty } \frac { \ln \sqrt { \frac { ( n + m ) ! } { n ! } } } { \ln ( n + 1 ) } = \frac { 1 } { 2 } \operatorname* { s u p } _ { m \in \mathbb { N } _ { 0 } } \operatorname* { l i m s u p } _ { n \rightarrow \infty } \frac { \left( n + \frac { 1 } { 2 } \right) \ln \left( 1 + \frac { m } { n } \right) - m + m \ln ( n + m ) } { \ln ( n + 1 ) } = \infty .
\begin{array} { r l } { \lefteqn { \big ( \int _ { \Omega } | x - y | ^ { 2 } d \pi \big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \stackrel { ( ) } { \le } \| ( f _ { 2 } , f _ { 3 } , f _ { 4 } , f _ { 5 } ) \| } } \\ & { \le \| ( | x - y | , | z - y | , | x - w | , | z - w | ) \| + \sqrt { 2 } \| ( 0 , \tilde { f } _ { 3 } , \tilde { f } _ { 4 } , \tilde { f } _ { 5 } ) \| , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { W e } _ { 0 } = \frac { \rho _ { g } U _ { \infty } ^ { 2 } D _ { 0 } } { \sigma } , \, \; \mathrm { R e } _ { 0 } = \frac { \rho _ { g } U _ { \infty } D _ { 0 } } { \mu _ { g } } , \; \mathrm { O h } = \frac { \mu _ { l } } { \sqrt { \rho _ { l } \sigma D _ { 0 } } } , \; \eta = \frac { \rho _ { l } } { \rho _ { g } } , \; } \end{array}
\begin{array} { r l } { r _ { P } ^ { 2 } = \sum _ { i } \alpha _ { i } \| p _ { i } \| ^ { 2 } } & { = \Big \| \sum _ { i } \alpha _ { i } p _ { i } \Big \| ^ { 2 } \! + \frac 1 2 \sum _ { i , j } \alpha _ { i } \alpha _ { j } \| p _ { i } - p _ { j } \| ^ { 2 } } \\ & { \ge \Big \| \sum _ { i } \alpha _ { i } q _ { i } \Big \| ^ { 2 } + \frac 1 2 \sum _ { i , j } \alpha _ { i } \alpha _ { j } \| q _ { i } - q _ { j } \| ^ { 2 } = \sum _ { i } \alpha _ { i } \| q _ { i } \| ^ { 2 } = r _ { Q } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \varepsilon _ { n , \nu } ^ { ( 1 ) } } & { = } & { \frac { \hbar ^ { 3 } c ^ { 3 } \mathcal { N } ^ { 2 } } { 8 \lambda ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { \rho _ { \nu } } W _ { \nu } \bigg ( \frac { \hbar c \rho } { 2 \lambda } \bigg ) \Big \{ m _ { e } c ^ { 2 } \, \big [ Q _ { 1 } ^ { 2 } ( \rho ) + Q _ { 2 } ^ { 2 } ( \rho ) \big ] } \\ & { } & { + 2 \varepsilon \, Q _ { 1 } ( \rho ) Q _ { 2 } ( \rho ) \Big \} \rho ^ { 2 \gamma } e ^ { - \rho } d \rho , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \widehat { \mathcal { H } } _ { 3 } ( f ) - \mathcal { H } _ { 3 } ( f ) \right| } & { \leq \iint _ { [ 0 , 1 ] ^ { 2 } } \left| D ( f \| \hat { f } ) \right| d x d y + \iint _ { [ 0 , 1 ] ^ { 2 } } \left| D ( \hat { f } \| f ) \right| d x d y } \\ & { + \iint _ { [ 0 , 1 ] ^ { 2 } } \left| f \log \hat { f } + ( 1 - f ) \log ( 1 - \hat { f } ) \right| d x d y + \iint _ { [ 0 , 1 ] ^ { 2 } } \left| \hat { f } \log f + ( 1 - \hat { f } ) \log ( 1 - f ) \right| d x d y . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \nabla _ { x _ { 1 } } ( s ( X _ { 2 } , X _ { 3 } ) ) } & { - \nabla _ { x _ { 2 } } ( s ( X _ { 1 } , X _ { 3 } ) ) + \nabla _ { x _ { 3 } } ( s ( X _ { 1 } , X _ { 2 } ) ) } \\ & { - s ( [ X _ { 1 } , X _ { 2 } ] , x _ { 3 } ) + s ( [ X _ { 1 } , X _ { 3 } ] , x _ { 2 } ) - s ( [ X _ { 2 } , X _ { 3 } ] , x _ { 1 } ) . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \langle M _ { H } ^ { H | K } ( f ) \rangle _ { T } } & { = \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { U _ { H } } \left( \frac { 1 } { K _ { H } } \mathcal { I } _ { H } ( t , u ) f _ { t , u } ^ { H } \right) ^ { 2 } \mu _ { H } ( d u ) d t } \\ & { = \frac { \lambda _ { H } } { K _ { H } } \int _ { 0 } ^ { T } \! \! \! \langle \zeta _ { t } ^ { H | K } , \mathbf { s } \mathbf { i } ( ( f _ { t } ^ { 2 } ) ^ { \mathcal { I } } - 2 f _ { t } ^ { \mathcal { I } } f _ { t } + f _ { t } ^ { 2 } ) \rangle d t , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { P F I B M } _ { T } ^ { p , q } \left( \alpha _ { 1 } , \ldots , \alpha _ { n } \right) } \\ { = } & { \Bigg \langle \tau ^ { \! - 1 } \left( \frac { 1 } { p \! + q } \cdot \tau \left( \mu \right) \right) , \tau ^ { \! - 1 } \left( \frac { 1 } { p \! + q } \cdot \tau \left( \eta \! + \mu \right) \right) } \\ & { \quad \! - \tau ^ { \! - 1 } \left( \frac { 1 } { p + q } \cdot \tau \left( \mu \right) \right) , \zeta ^ { \! - 1 } \left( \frac { 1 } { p \! + q } \cdot \zeta \left( \nu \right) \right) \Bigg \rangle , } \end{array}
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \lambda \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \in \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! [ \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ] \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r } { B = C _ { 1 } \log \frac { n } { \varepsilon } , \qquad \eta = \frac { C _ { 2 } ^ { 2 } \varepsilon } { \sqrt { B } \log n } , \qquad \eta _ { \mu , j } = \frac { 1 5 C _ { 2 } \sqrt { B } } { c _ { j } + C _ { 3 } / n } , \qquad \eta _ { p , i } = \frac { C _ { 2 } } { \sqrt { B } r _ { i } } , \qquad \forall 1 \leq i , j \leq n } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \tan \alpha _ { 1 } } & { = { \frac { \cos \phi _ { 2 } \sin \lambda _ { 1 2 } } { \cos \phi _ { 1 } \sin \phi _ { 2 } - \sin \phi _ { 1 } \cos \phi _ { 2 } \cos \lambda _ { 1 2 } } } , } \\ { \tan \alpha _ { 2 } } & { = { \frac { \cos \phi _ { 1 } \sin \lambda _ { 1 2 } } { - \cos \phi _ { 2 } \sin \phi _ { 1 } + \sin \phi _ { 2 } \cos \phi _ { 1 } \cos \lambda _ { 1 2 } } } , } \end{array} }
\begin{array} { r } { \left( \mathcal { A } \left( { q } _ { 1 } + { q } _ { 2 } , \boldsymbol { v } _ { 1 } + \boldsymbol { v } _ { 2 } \right) \right) ( { q } , \boldsymbol { v } ) = \left( \mathcal { A } \left( { q } _ { 1 } , \boldsymbol { v } _ { 1 } \right) \right) ( { q } , \boldsymbol { v } ) + \left( \mathcal { A } \left( { q } _ { 2 } , \boldsymbol { v } _ { 2 } \right) \right) ( { q } , \boldsymbol { v } ) . } \end{array}
\mathbf { b } _ { i } \cdot \mathbf { b } ^ { j } = \left( { \frac { \partial x } { \partial q _ { i } } } , { \frac { \partial y } { \partial q _ { i } } } , { \frac { \partial z } { \partial q _ { i } } } \right) \cdot \left( { \frac { \partial q _ { j } } { \partial x } } , { \frac { \partial q _ { j } } { \partial y } } , { \frac { \partial q _ { j } } { \partial z } } \right) = { \frac { \partial x } { \partial q _ { i } } } { \frac { \partial q _ { j } } { \partial x } } + { \frac { \partial y } { \partial q _ { i } } } { \frac { \partial q _ { j } } { \partial y } } + { \frac { \partial z } { \partial q _ { i } } } { \frac { \partial q _ { j } } { \partial z } }
\begin{array} { r l } & { f _ { | \varphi _ { 1 } | , | \varphi _ { 2 } | | R _ { L } } ( | \varphi _ { 1 } | , | \varphi _ { 2 } | \, | \, | \varphi _ { 1 } | < \phi _ { A } , | \varphi _ { 2 } | < \phi _ { A } | R _ { L } ) } \\ & { = \frac { 1 } { p _ { | \varphi _ { 1 } | < \phi _ { A } , | \varphi _ { 2 } | < \phi _ { A } } } \frac { \partial ^ { 2 } F _ { | \varphi _ { 1 } | , | \varphi _ { 2 } | | R _ { L } } ( | \varphi _ { 1 } ^ { 0 } | , | \varphi _ { 2 } ^ { 0 } | \, , | \varphi _ { 1 } | < \phi _ { A } , | \varphi _ { 2 } | < \phi _ { A } | R _ { L } ) } { \partial | \varphi _ { 1 } ^ { 0 } | \partial | \varphi _ { 2 } ^ { 0 } | } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { K _ { k } ^ { \prime } } ( \beta ) } & { = \sum _ { n } \phi _ { k } ( n ) \cdot e ( - \beta n ^ { d } ) } \\ & { \qquad = \sum _ { p Q + r } \phi _ { k } ( p Q + r ) \cdot e ( - A / Q \cdot r ^ { d } ) \cdot e ( - \eta \cdot ( p Q ) ^ { d } ) + O \big ( \frac { 2 ^ { k ( d - 1 ) } \cdot Q } { N ^ { 1 - \mathbf { c } _ { d , \delta } } } \big ) } \\ & { \qquad \qquad = \frac { 1 } { Q } \sum _ { r = 1 } ^ { Q } e ( - A / Q \cdot r ^ { d } ) \cdot \sum _ { p Q } Q \cdot \phi _ { k } ( p Q ) \cdot e ( - \eta \cdot ( p Q ) ^ { d } ) + O \big ( \frac { 2 ^ { k ( d - 1 ) } \cdot Q } { N ^ { 1 - \mathbf { c } _ { d , \delta } } } \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \nabla \cdot \left[ T ( x ) \nabla u ( x ) \right] } & { = 0 , } & & { x \in D , } \\ { T ( x ) \nabla u ( x ) \cdot \vec { n } ( x ) } & { = - q _ { \mathcal { N } } ( x ) , } & & { x \in \Gamma _ { \mathcal { N } } , } \\ { u ( x ) } & { = u _ { \mathcal { D } } ( x ) , } & & { x \in \Gamma _ { \mathcal { D } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \hat { q } _ { 1 } } { \partial t } } & { = - \widehat { J ( \psi _ { 1 } , q _ { 1 } ) } - i k \beta _ { 1 } \hat { \psi } _ { 1 } + \widehat { \mathrm { s s d } } } \\ { \frac { \partial \hat { q } _ { 2 } } { \partial t } } & { = - \widehat { J ( \psi _ { 2 } , q _ { 2 } ) } - i k \beta _ { 2 } \hat { \psi } _ { 2 } + r _ { \mathrm { e k } } \kappa ^ { 2 } \hat { \psi } _ { 2 } + \widehat { \mathrm { s s d } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \, \int _ { - \mathrm { i } \, \infty } ^ { \mathrm { i } \, \infty } \, \frac { \Gamma ( - t ) \, \sqrt { z } \, \mathrm { e } ^ { - \frac { 1 } { 2 } z } \, ( \frac { 1 } { 2 } z ) ^ { \mu + 2 t } } { \Gamma ( \mu + t + 1 ) } \, \int _ { 0 } ^ { 1 } \xi ^ { \frac { \mu - \kappa + 1 / 2 } { 2 } + t - 1 } ( 1 - \xi ) ^ { \frac { \mu + \kappa + 1 / 2 } { 2 } + t - 1 } \, e ^ { z \xi } \, \mathrm { d } \xi \, \mathrm { d } t \ . } \end{array}
= \nu ^ { - 1 } ( ( K _ { x } ^ { \lambda } ( t , \mathbf { a } _ { n } ) B _ { n } ^ { - 1 } K ( \mathbf { a } _ { n } , a _ { n + 1 } ) ) ^ { 2 } - 2 K _ { x } ^ { \lambda } ( t , a _ { n + 1 } ) K _ { x } ^ { \lambda } ( t , \mathbf { a } _ { n } ) B _ { n } ^ { - 1 } K ( \mathbf { a } _ { n } , a _ { n + 1 } ) + k _ { x } ^ { \lambda } ( t , a _ { n + 1 } ) ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } { { \mathbb { E } } \left[ \Gamma ( K , \epsilon , w ) \right] = } & { { \mathbb { E } } \left[ w ( \tilde { Y } ) + \sum _ { k = 1 } ^ { K } \tilde { Y } \right] } \\ { = } & { { \mathbb { E } } \left[ w ( \tilde { Y } ) \right] + \sum _ { k = 1 } ^ { K } { \mathbb { E } } \left[ M ^ { [ k ] } \right] { \mathbb { E } } \left[ Y ^ { [ k ] } \right] } \\ { = } & { { \mathbb { E } } \left[ w ( \tilde { Y } ) \right] + \frac { K } { \mu ( 1 - \epsilon ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ | { \texttt X } | ^ { 2 D } | \Omega _ { \varepsilon } ] } & { \leq C N ^ { ( 2 D - 1 ) \varepsilon } ( N ^ { - \frac { 1 } { 2 } + \varepsilon } \| { \boldsymbol u } \| _ { \infty } ^ { 2 } ) ^ { 2 D } + C N ^ { ( D - 1 ) \varepsilon } ( N ^ { - 1 + 4 \varepsilon } \| { \boldsymbol u } \| _ { \infty } ^ { 4 } ) ^ { D } } \\ & { \quad + C N ^ { ( \frac { 2 D } { 3 } - 1 ) \varepsilon } ( N ^ { - 2 + 1 0 \varepsilon } \| { \boldsymbol u } \| _ { \infty } ^ { 6 } ) ^ { \frac { 2 D } { 3 } } + C N ^ { ( \frac { D } { 2 } - 1 ) \varepsilon } ( N ^ { - 3 + 1 4 \varepsilon } \| { \boldsymbol u } \| _ { \infty } ^ { 8 } ) ^ { \frac { D } { 2 } } } \\ & { \quad + C N ^ { - \varepsilon } \mathbb { E } [ | { \texttt X } | ^ { 2 D } | \Omega _ { \varepsilon } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \hat { \mathbf { E } } \left( \mathbf { r } , \omega _ { f } , t \right) = i \frac { \hbar } { \pi \epsilon _ { 0 } } \sum _ { s } \frac { \omega _ { f } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \mathrm { I m } \overleftrightarrow { G } \left( \mathbf { r } , \mathbf { r } _ { s } ; \omega _ { f } \right) \cdot \mathbf { d } _ { s } ^ { * } } \\ & { \times \hat { \sigma } _ { s } ^ { 1 2 } \left( t \right) \left( \pi \delta \left( \omega _ { f } - \omega _ { s } \right) + i \mathcal { P } \frac { 1 } { \omega _ { s } - \omega _ { f } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } | N ^ { - \varepsilon } ( \eta ^ { \prime } ) ^ { 3 } \sum _ { k = 1 } ^ { N } ( \mathbb { E } _ { k } - \mathbb { E } _ { k - 1 } ) \alpha _ { k } \beta _ { k } | ^ { 2 \ell } } & { \leq C _ { \ell } \Bigg ( \mathbb { E } \left( \sum _ { k = 1 } ^ { N } \mathbb { E } _ { k - 1 } | N ^ { - \varepsilon } ( \eta ^ { \prime } ) ^ { 3 } \alpha _ { k } \beta _ { k } | ^ { 2 } \right) ^ { \ell } } \\ & { \quad \quad + \sum _ { k = 1 } ^ { N } \mathbb { E } | N ^ { - \varepsilon } ( \eta ^ { \prime } ) ^ { 3 } \alpha _ { k } \beta _ { k } | ^ { 2 \ell } \Bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \bigl ( \nabla _ { c } \cdot [ r \, \vec { U } ^ { m + 1 } ) , \mathscr { X } _ { _ { \mathcal { R } _ { - } ^ { m } } } \bigr ) - \omega ^ { m } \bigl ( \nabla _ { c } \cdot [ r \, \vec { U } ^ { m + 1 } ] , 1 \bigr ) } \\ & { = \int _ { \Gamma ^ { m } } ( \vec { X } ^ { m } \cdot \vec { e } _ { 1 } ) \, \vec { U } ^ { m + 1 } \cdot \vec { \nu } ^ { m } \, \; \mathrm { d } s = \big \langle ( \vec { X } ^ { m } \cdot \vec { e } _ { 1 } ) \, \vec { U } ^ { m + 1 } , ~ \vec { \nu } ^ { m } | \vec { X } _ { \alpha } ^ { m } | \big \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \mathcal { K } , \mathbf { g } , \mathbf { D } , { \mathbf { R } } ) , \quad ( \mathcal { K } _ { ( 0 ) } , \mathbf { g } _ { ( 0 ) } , \mathbf { D } _ { ( 0 ) } , { \mathbf { R } } _ { ( 0 ) } ) , \quad ( \Sigma _ { 0 } , g , D , R ) , \quad ( S , \gamma , \nabla , \mathbf { K } ) , \quad ( S _ { ( 0 ) } , \gamma _ { ( 0 ) } , \nabla _ { ( 0 ) } , \mathbf { K } _ { ( 0 ) } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Big ( \operatorname* { m a x } _ { i } \eta _ { p , i } r _ { i } \Big ) \Big ( \operatorname* { m a x } _ { j } \eta _ { \mu , j } ( c _ { j } + 1 / n ) \Big ) \leq \frac { 1 } { C _ { 3 } } \Big ( \operatorname* { m a x } _ { i } \eta _ { p , i } r _ { i } \Big ) \Big ( \operatorname* { m a x } _ { j } \eta _ { \mu , j } ( c _ { j } + C _ { 3 } / n ) \Big ) = \frac { 1 5 C _ { 2 } ^ { 2 } } { C _ { 3 } } \le \frac { 1 } { 4 0 e } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf { F } _ { R } \; \mathrm { i s ~ u n i f o r m l y ~ b o u n d e d ~ i n } \; } \\ & { L ^ { 1 8 - 2 p ^ { \prime \prime } } ( 0 , T ; L ^ { 1 8 - 2 p ^ { \prime \prime } } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) ) \equiv L ^ { 4 2 - 6 p } ( 0 , T ; L ^ { 4 2 - 6 p } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 2 f _ { ( 0 , 0 , 3 ) } ( a , b , x ) + \frac { 2 } { \sqrt { 3 } } f _ { ( 0 , 0 , 1 ) ) } ( a ^ { 1 / 9 } , b ^ { 1 / 9 } , x / 3 ) } \\ { = } & { ( 1 + \sqrt { 3 } ) \left[ f _ { ( \frac { 1 } { 3 } , 0 , 3 ) } ( a , b , x ) + f _ { ( \frac { - 1 } { 3 } , 0 , 3 ) } ( a , b , x ) \right] } \\ & { + \frac { 1 + \sqrt { 3 } } { \sqrt { 3 } } \left[ f _ { ( 0 , \frac { 1 } { 3 } , 1 ) } ( a ^ { 1 / 9 } , b ^ { 1 / 9 } , x / 3 ) + f _ { ( 0 , \frac { - 1 } { 3 } , 1 ) } ( a ^ { 1 / 9 } , b ^ { 1 / 9 } , x / 3 ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \gamma _ { n + 1 } } { 2 } \left\Vert s _ { n + 1 } \right\Vert ^ { 2 } - \sum _ { k = 0 } ^ { n } \frac { \gamma _ { k } } { 2 } \lambda _ { k } ^ { 2 } \left\Vert g _ { k } \right\Vert ^ { 2 } = \hat { d } _ { n + 1 } \left\Vert s _ { n + 1 } \right\Vert \le \widetilde { d } _ { n + 1 } \left\Vert s _ { n + 1 } \right\Vert \le d _ { n + 1 } \left\Vert s _ { n + 1 } \right\Vert . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Xi } & { = \left( \begin{array} { c c } { { V _ { \mathrm { A } } I _ { 2 } } } & { { \sqrt { ( T ( V _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } - 1 ) \sigma _ { z } ) } } } \\ { { \sqrt { ( T ( V _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } - 1 ) \sigma _ { z } ) } } } & { { [ ( V _ { \mathrm { A } } - 1 ) + 1 + T \xi ^ { \prime } ] I _ { 2 } } } \end{array} \right) , } \\ { T } & { = \frac { \eta _ { \mathrm { A } } } { 2 } g ^ { 2 } , } \\ { \xi ^ { \prime } } & { = 1 + \frac { 1 } { \eta _ { \mathrm { A } } } [ \eta _ { \mathrm { B } } ( \Xi _ { \mathrm { B } } - 1 ) + \eta _ { \mathrm { A } } \Xi _ { \mathrm { A } } ] + \frac { 1 } { \eta _ { \mathrm { A } } } ( \frac { \sqrt { 2 } } { g } \sqrt { V _ { \mathrm { B } } - 1 } - \sqrt { \eta _ { \mathrm { B } } } \sqrt { V _ { \mathrm { B } } + 1 } ) ^ { 2 } , } \\ { \Xi _ { \mathrm { A } } } & { = \frac { 1 - \eta _ { \mathrm { A } } } { \eta _ { \mathrm { A } } } + \xi _ { \mathrm { A } } , \: \Xi _ { \mathrm { B } } = \frac { 1 - \eta _ { \mathrm { B } } } { \eta _ { \mathrm { B } } } + \xi _ { \mathrm { B } } , } \\ { \eta _ { \mathrm { A } } } & { = 1 0 ^ { - \alpha L _ { \mathrm { A C } } / 1 0 } , \: \eta _ { \mathrm { B } } = 1 0 ^ { - \alpha L _ { \mathrm { B C } } / 1 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { e } _ { i } ^ { l \mathrm { 0 } } = \frac { \partial x _ { i } ^ { \mathrm { e l l } } } { \partial \theta } \left\| \frac { \partial x _ { j } ^ { \mathrm { e l l } } } { \partial \theta } \right\| ^ { - 1 } } & { = \left( \mathrm { s i n h } ( \xi ) \mathrm { c o s } ( \theta ) \mathrm { c o s } ( \phi ) e _ { i } ^ { \mathrm { x } } \right. } \\ & { + \mathrm { s i n h } ( \xi ) \mathrm { c o s } ( \theta ) \mathrm { s i n } ( \phi ) e _ { i } ^ { \mathrm { y } } } \\ & { \left. - \mathrm { c o s h } ( \xi ) \mathrm { s i n } ( \theta ) e _ { i } ^ { \mathrm { z } } \right) \left( \mathrm { s i n h } ^ { 2 } ( \xi ) + \mathrm { s i n } ^ { 2 } ( \theta ) \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } , } \end{array}
\dotsb { \overset { \partial _ { n + 1 } } { \longrightarrow \, } } C _ { n } { \overset { \partial _ { n } } { \longrightarrow \, } } C _ { n - 1 } { \overset { \partial _ { n - 1 } } { \longrightarrow \, } } \dotsb { \overset { \partial _ { 2 } } { \longrightarrow \, } } C _ { 1 } { \overset { \partial _ { 1 } } { \longrightarrow \, } } C _ { 0 } { \overset { \epsilon } { \longrightarrow \, } } \mathbb { Z } \to 0
\begin{array} { r l } { \bigl | ( H } & { V ) ( x , y ) - ( \tilde { H } V ) ( \tilde { x } , \tilde { y } ) \bigr | } \\ & { = \Bigl | \operatorname* { m a x } _ { a } \Bigl \{ r ( x , y , a ) + \gamma \, \mathbb { E } [ V ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) ] \Bigr \} - \operatorname* { m a x } _ { \tilde { a } } \Bigl \{ r ( \tilde { x } , \tilde { y } , \tilde { a } ) + \gamma \, \mathbb { E } [ V ( \tilde { x } , \tilde { y } ^ { \prime } ) ] \Bigr \} \Bigr | } \\ & { \le L _ { r } \bigl \| ( x , y ) - ( \tilde { x } , \tilde { y } ) \bigr \| _ { 2 } + \gamma \operatorname* { m a x } _ { a } \mathbb { E } \bigl | V ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) - V ( \tilde { x } , \tilde { y } ^ { \prime } ) \bigr | } \\ & { \le L _ { r } \bigl \| ( x , y ) - ( \tilde { x } , \tilde { y } ) \bigr \| _ { 2 } + L _ { V } \gamma \operatorname* { m a x } _ { a } \mathbb { E } \, \| ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) - ( \tilde { x } , \tilde { y } ^ { \prime } ) \| _ { 2 } } \\ & { = L _ { r } \bigl \| ( x , y ) - ( \tilde { x } , \tilde { y } ) \bigr \| _ { 2 } + L _ { V } \gamma \operatorname* { m a x } _ { a } \mathbb { E } \bigl [ \| ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) - ( \tilde { x } ^ { \prime } , \tilde { y } ^ { \prime } ) \| _ { 2 } + \| ( \tilde { x } ^ { \prime } , \tilde { y } ^ { \prime } ) - ( \tilde { x } , \tilde { y } ^ { \prime } ) \| _ { 2 } \bigr ] } \\ & { \le L _ { r } \bigl \| ( x , y ) - ( \tilde { x } , \tilde { y } ) \bigr \| _ { 2 } + L _ { V } \gamma \bigl [ L _ { f } \| ( x , y ) - ( \tilde { x } , \tilde { y } ) \| _ { 2 } + \alpha d _ { \mathcal { Y } } \bigr ] } \\ & { = \phi _ { 1 , 1 } \, \bigl \| ( x , y ) - ( \tilde { x } , \tilde { y } ) \bigr \| _ { 2 } + \phi _ { 1 , 2 } \, ( \alpha d _ { \mathcal { Y } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E [ Z _ { m _ { 1 } } Z _ { m _ { 2 } } { \cdots } Z _ { m _ { n _ { 0 } } } ] } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \prod _ { i = 1 } ^ { n _ { 0 } } \bigg [ A _ { 0 } e ^ { - \frac { 2 s _ { m _ { i } } ^ { 2 } } { w ^ { 2 } } } \bigg ( 1 - \frac { 4 s _ { m _ { i } } } { w ^ { 2 } } \delta \cos ( \phi _ { m _ { i } } - \theta ) } \\ & { { \quad } + \frac { 8 s _ { m _ { i } } ^ { 2 } } { w ^ { 4 } } \delta ^ { 2 } \cos ^ { 2 } ( \phi _ { m _ { i } } - \theta ) - \frac { 2 } { w ^ { 2 } } \delta ^ { 2 } \bigg ) \bigg ] \cdot \frac { \delta } { 2 \pi { \sigma _ { s } ^ { 2 } } } e ^ { - \frac { \delta ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { s } ^ { 2 } } } \, d { \delta } \, d { \theta } . } \end{array}
\| \partial _ { t } ^ { i } \bar { \partial } ^ { k } q \| _ { L _ { x _ { 1 } , \dots , x _ { d - 1 } } ^ { 2 } ( \mathbb R ^ { d - 1 } ) } \le \| \partial _ { t } ^ { i } \bar { \partial } ^ { k - 2 } q \| _ { \dot { H } ^ { 2 } ( { \mathbb R } ^ { d - 1 } ) } \le C \| \partial _ { t } ^ { i } \bar { \partial } ^ { k - 2 } \Delta _ { d - 1 } q \| _ { L _ { x _ { 1 } , \dots , x _ { d - 1 } } ^ { 2 } ( \mathbb R ^ { d - 1 } ) }
\begin{array} { r l } & { R ( \hat { T } _ { x ^ { n } } , D _ { 1 } ) } \\ { * } & { = R ( P _ { X } , D _ { 1 } ) + \sum _ { x } \left( \hat { T } _ { x ^ { n } } ( x ) - P _ { X } ( x ) \right) \jmath _ { X } ( x , D _ { 1 } | P _ { X } ) + O \left( \frac { \log n } { n } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { n } \sum _ { i \in [ n ] } \jmath ( x _ { i } , D _ { 1 } | P _ { X } ) + O \left( \frac { \log n } { n } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \mathcal { Y } ^ { ( 1 ) } } & { = \mathcal { M } ( \textbf { X } ^ { ( 1 ) } ) } \\ { \mathcal { Y } ^ { ( 2 ) } } & { = \mathcal { M } ( \textbf { X } ^ { ( 2 ) } ) } \\ { \vdots \; \; \; \; } & { \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \vdots } \\ { \mathcal { Y } ^ { ( \mathnormal { k } ) } } & { = \mathcal { M } ( \textbf { X } ^ { ( \mathnormal { k } ) } ) } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { \textrm { s } } ( t ) } & { = \sum _ { i , j } \sum _ { a , b = d _ { y z } , d _ { z x } , d _ { x y } } \sum _ { \sigma = \uparrow , \downarrow } [ t _ { i j } ^ { a b } ( t ) - \mu \delta _ { i , j } \delta _ { a , b } ] c _ { i a \sigma } ^ { \dagger } c _ { j b \sigma } } \\ & { + \sum _ { i } \sum _ { a , b = d _ { y z } , d _ { z x } , d _ { x y } } \sum _ { \sigma , \sigma ^ { \prime } = \uparrow , \downarrow } \xi _ { a b } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } } c _ { i a \sigma } ^ { \dagger } c _ { i b \sigma ^ { \prime } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { S } } & { = } & { \Big \{ \vec { r } \, \big | \, 1 - \cos \Theta = \frac { 1 } { | \vec { r } | ^ { 2 } } \sum _ { n = 1 } ^ { N - 1 } \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } [ 1 - \cos ( \Delta _ { n i } ) ] } \\ & { } & { \times \left( r _ { n ^ { 2 } + 2 i - 1 } ^ { 2 } + r _ { n ^ { 2 } + 2 i } ^ { 2 } \right) , \exists t \Big \} . } \end{array}
\begin{array} { r c l r c l r c l } { \hat { \mathcal { P } } ^ { h } ( t , x ) } & { = } & { p ^ { h } \left( t , x , \hat { u } ( t ) \right) , } & { \hat { \mathcal { Q } } ^ { h } ( t , x ) } & { = } & { q ^ { h } \left( t , x , \hat { u } ( t , x ) , \hat { u } ( t ) \right) , } & { \hat { \mathcal { U } } _ { b } ^ { h } ( t , \xi ) } & { = } & { u _ { b } ^ { h } \left( t , \xi , \hat { u } ( t ) \right) , } \\ { \check { \mathcal { P } } ^ { h } ( t , x ) } & { = } & { p ^ { h } \left( t , x , \check { u } ( t ) \right) , } & { \check { \mathcal { Q } } ^ { h } ( t , x ) } & { = } & { q ^ { h } \left( t , x , \check { u } ( t , x ) , \check { u } ( t ) \right) , } & { \check { \mathcal { U } } _ { b } ^ { h } ( t , \xi ) } & { = } & { u _ { b } ^ { h } \left( t , \xi , \check { u } ( t ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| | \psi _ { 1 } | ^ { 2 } } & { - | \psi _ { 2 } | ^ { 2 } \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbf R } ^ { d } ) } } \\ & { \leq C \left( 1 + \sqrt { \mathcal { E } ( \psi _ { 1 } ) } + \sqrt { \mathcal { E } ( \psi _ { 2 } ) } \right) \left( \| | \psi _ { 1 } | - | \psi _ { 2 } | ) \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbf R } ^ { d } ) } + \| \psi _ { 1 } - \psi _ { 2 } \| _ { X ^ { 1 } + H ^ { 1 } ( { \mathbf R } ^ { d } ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathop { \mathbb { E } } \| \bar { e } _ { x } ^ { K } \| ^ { 2 } + \frac { c _ { 1 } ^ { 2 } } { n } \mathop { \mathbb { E } } \| \hat { { \mathbf { x } } } ^ { K } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \exp ( - \frac { \alpha \mu } { 2 } K ) ( a _ { 0 } + \alpha ^ { 2 } a ^ { \star } ) + a _ { 1 } \alpha + a _ { 2 } \alpha ^ { 2 } + a _ { 3 } \alpha ^ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | A | } & { = \left| A \cap \left[ \frac { n } { 2 } \right] \right| + \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 1 ( 3 ) } \right| + \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 2 ( 3 ) } \right| + \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 0 ( 3 ) } \right| } \\ & { \leqslant \frac { \delta n } { 3 } + 2 + \left| C _ { 1 } ^ { \prime } \right| + \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 1 ( 3 ) } \right| + \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 2 ( 3 ) } \right| + \left\lceil \frac { n } { 1 8 } \right\rceil } \\ & { \leqslant \frac { \delta n } { 3 } + 2 + 8 \left\lceil \frac { n } { 3 6 } \right\rceil + \left\lceil \frac { n } { 1 8 } \right\rceil } \\ & { \leqslant \frac { 5 n } { 1 8 } + \frac { \delta n } { 3 } + 1 1 , } \end{array}
y _ { \ell } ^ { - 1 } \tau p _ { j } \delta _ { 1 / 2 } ( \tau ) ^ { - 1 } = \delta _ { \Lambda s _ { 1 } } ( u _ { i _ { 1 } } ^ { \ell } ) \cdot \ldots \cdot \delta _ { \Lambda s _ { n } } ( u _ { i _ { n } } ^ { \ell } ) \cdot \delta _ { - \Lambda s _ { n + 1 } } ( u _ { i _ { n + 1 } } ^ { \ell } ) \cdot \ldots \cdot \delta _ { - \Lambda s _ { 2 n } } ( u _ { i _ { 2 n } } ^ { \ell } ) .
\begin{array} { r } { \widetilde { \phi } _ { x _ { 1 } } = \nabla _ { \theta ^ { \prime } } Q _ { x _ { 1 } } - \left[ \begin{array} { l l } { \nabla _ { \pi _ { x _ { 1 } } ^ { \prime } } Q _ { x _ { 1 } } } & { \nabla _ { G _ { x _ { 1 } } ^ { \prime } } Q _ { x _ { 1 } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { \nabla _ { \pi _ { x _ { 1 } } ^ { \prime } } Q _ { x _ { 1 } } } & { \nabla _ { G _ { x _ { 1 } } ^ { \prime } } Q _ { x _ { 1 } } } \end{array} \right] ^ { \dagger } \nabla _ { \theta ^ { \prime } } Q _ { x _ { 1 } } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { { \displaystyle \operatorname* { s u p } _ { \eta } } } & { \left( \sqrt { \frac { 1 } { N } { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { N } } F \left( x , \widehat { \xi } _ { i } \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \left( { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { N } } F \left( x , \widehat { \xi } _ { i } \right) \right) ^ { 2 } } + \sqrt { \varepsilon ^ { 2 } \gamma _ { x , F } ^ { 2 } - \left( \eta - \frac { 1 } { N } { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { N } } F \left( x , \widehat { \xi } _ { i } \right) \right) ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o ~ } } & { { \displaystyle \left( \eta - \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \widehat { \zeta } _ { i } ^ { x , F } \right) ^ { 2 } \leq \varepsilon ^ { 2 } \gamma _ { x , F } ^ { 2 } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { ~ ~ ~ ~ T ^ { H } \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { C ^ { H } } \\ { C } & { D + D ^ { H } } \end{array} \right] T } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l } { \sqrt { 2 \Re ( \alpha ) } ( \alpha I _ { n } - A ) ^ { - 1 } } & { ( \alpha I _ { n } - A ) ^ { - 1 } B } \\ { 0 } & { I _ { m } } \end{array} \right] ^ { H } \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { C ^ { H } } \\ { \sqrt { 2 \Re ( \alpha ) } C ( \alpha I _ { n } - A ) ^ { - 1 } } & { \mathcal { T } ( \alpha ) + D ^ { H } } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathbf { C } ^ { H } } \\ { \mathbf { C } } & { \mathbf { D } + \mathbf { D } ^ { H } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P ( Y _ { 1 } \leq x ) } & { = } & { 1 - \frac { 1 - F _ { 1 } \big ( u _ { 1 } ( r ) u _ { 0 } ^ { - 1 } F _ { 0 } ^ { \leftarrow } ( 1 - k e ^ { - x } / n ) \big ) } { 1 - F _ { 1 } ( u _ { 1 } ( r ) ) } } \\ & { \leq } & { 1 - \frac { \big ( 1 - F _ { 0 } ( u _ { 0 } ( r ) u _ { 0 } ^ { - 1 } F _ { 0 } ^ { \leftarrow } ( 1 - k e ^ { - x } / n ) ) \big ) ^ { 1 - \varepsilon } } { \big ( 1 - F _ { 0 } ( u _ { 0 } ( r ) ) \big ) ^ { 1 - \varepsilon } } } \\ & { = } & { 1 - \left( \frac { 1 - F _ { 0 } ( F _ { 0 } ^ { \leftarrow } ( 1 - k e ^ { - x } / n ) ) } { 1 - F _ { 0 } ( u _ { 0 } ) } + O ( 1 / \sqrt { k } ) \right) ^ { 1 - \varepsilon } } \\ & { = } & { 1 - \left( e ^ { - x } + O ( 1 / \sqrt { k } ) \right) ^ { 1 - \varepsilon } = 1 - e ^ { - ( 1 - \varepsilon ) x } + O ( 1 / \sqrt { k } ) . } \end{array}
{ \mathcal { M } } _ { n } = \left[ { \begin{array} { c c c c c c } { \mathbf { J } } & { \mathbf { H } _ { 2 } } & { \mathbf { H } _ { 1 } } & { \mathbf { H } _ { 0 } } & { \mathbf { a } _ { 2 } } & { \mathbf { a } _ { 1 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { - \mathbf { J } ^ { \intercal } } & { \mathbf { I } } & { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } & { - \mathbf { J } ^ { \intercal } } & { \mathbf { I } } & { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } & { - \mathbf { J } ^ { \intercal } } & { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } & { 0 } & { 1 } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } & { 0 } & { 0 } \end{array} } \right] \in \mathbb { R } ^ { ( 4 d + 2 ) \times ( 4 d + 2 ) } ,
\begin{array} { r } { \lVert ( \nu \mathbin { \lrcorner } u \oplus \nu \wedge u ) _ { | _ { \partial \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } } \rVert _ { \mathrm { B } _ { p , q } ^ { s + 1 - \frac { 1 } { p } } ( \mathbb { R } ^ { n - 1 } ) } \lesssim _ { p , s , n } \lVert u \rVert _ { { \mathrm { B } } _ { p , q } ^ { s + 1 } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \mathrm { , } } \end{array}
\psi _ { \lambda \ell } ( \theta ) = \psi _ { n \ell } ( \theta ) = \left( \begin{array} { c c } & { \alpha _ { n \ell } ( \theta ) } \\ & { \beta _ { n \ell } ( \theta ) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } & { C _ { \alpha } ^ { n \ell } \cos \left( \frac \theta 2 \right) ^ { \ell + 1 } \sin \left( \frac \theta 2 \right) ^ { \ell } P _ { n - \ell } ^ { \ell , \ell + 1 } ( \cos \theta ) } \\ & { C _ { \beta } ^ { n \ell } \cos \left( \frac \theta 2 \right) ^ { \ell } \sin \left( \frac \theta 2 \right) ^ { \ell + 1 } P _ { n - \ell } ^ { \ell + 1 , \ell } ( \cos \theta ) } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } \nabla h _ { \ell } ^ { + } h \nabla a [ f ] ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { p - 2 } \, \mathrm { d } v } & { = \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } \nabla h _ { \ell } ^ { + } \nabla a [ f ] ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { p - 1 } \, \mathrm { d } v + \ell \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } \nabla h _ { \ell } ^ { + } \nabla a [ f ] ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { p - 2 } \, \mathrm { d } v } \\ & { = \frac { 1 } { p } \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } f ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { p } \, \mathrm { d } v + \frac { \ell } { p - 1 } \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } f ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { p - 1 } \, \mathrm { d } } \\ & { = \frac { 1 } { p } \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { p + 1 } \, \mathrm { d } v + \frac { \ell } { p - 1 } \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { p } \, \mathrm { d } v } \\ & { \qquad + \frac { 1 } { p } \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } ( \mu + \ell ) ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { p } \, \mathrm { d } v + \frac { \ell } { p - 1 } \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } ( \mu + \ell ) ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { p - 1 } \, \mathrm { d } v } \\ & { \leq C ( p ) \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { p + 1 } \, \mathrm { d } v + C ( p ) \left( \ell + 1 \right) \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { p } \, \mathrm { d } v + C ( p ) \left( \ell + \ell ^ { 2 } \right) \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { p - 1 } \, \mathrm { d } v . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { [ \mathcal { G } _ { \nu } ( z ) ] ^ { - 1 } - [ \mathcal { G } _ { \nu } ^ { i } ( z ) ] ^ { - 1 } } & { = } & { [ \mathcal { G } _ { \nu } ^ { i } ( z ) ] ^ { - 1 } \left[ \mathcal { G } _ { \nu } ^ { i } ( z ) - \mathcal { G } _ { \nu } ( z ) \right] [ \mathcal { G } _ { \nu } ( z ) ] ^ { - 1 } } \\ & { = } & { [ \mathcal { G } _ { \nu } ^ { i } ( z ) ] ^ { - 1 } \left[ \mathcal { S } _ { \nu } ( z ) - \mathcal { S } _ { \nu } ^ { i } ( z ) \right] [ \mathcal { G } _ { \nu } ( z ) ] ^ { - 1 } } \end{array}
. T h i s w a s p r o v e d i n c o n f i g u r a t i o n a n d m o m e n t u m s p a c e s e p a r a t e l y i n p r o v i d e d t h a t t h e o r b i t h a s n o n z e r o a n g u l a r m o m e n t u m ( i . e . n o t a c o l l i s i o n o r b i t ) . T h e p o i n t o f t h i s a r t i c l e i s t o p r o v e t h i s r e s u l t i n p h a s e s p a c e , i n c l u d i n g t h e c o l l i s i o n o r b i t s w i t h z e r o a n g u l a r m o m e n t u m , a n d u s e t h i s t o c h a r a c t e r i z e a l l o f t h e s e m i c l a s s i c a l m e a s u r e s o f e i g e n f u n c t i o n s o f
{ \begin{array} { r l } { \int \sec ^ { 3 } x \, d x } & { = \int \cosh ^ { 2 } u \, d u } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 } } \int ( \cosh 2 u + 1 ) \, d u } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \frac { 1 } { 2 } } \sinh 2 u + u \right) + C } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 } } ( \sinh u \cosh u + u ) + C } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 } } ( \sec x \tan x + \ln \left| \sec x + \tan x \right| ) + C } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \delta \boldsymbol { u } } { \partial t } + \delta \boldsymbol { a } _ { c _ { S } } } & { = \delta \boldsymbol { a } _ { \nu } + \delta \boldsymbol { f } _ { S } , } \\ { \delta \boldsymbol { a } _ { c _ { I } } } & { = - \frac { 1 } { \rho } \nabla _ { \boldsymbol { x } } \delta p + \delta \boldsymbol { f } _ { I } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { m = 3 v , \quad m _ { 0 } = 2 v \ln s , } \\ & { \log h = \left\lceil \log \left( 1 + \ln ^ { * } \left( \frac { 4 \ln ( 8 \sqrt { 2 } v / D ) } { 3 } \right) \right) \right\rceil , } \\ & { s = \operatorname* { m i n } \{ \log h , d \} , } \\ & { \mathrm { ~ a n d ~ } \log ( k + 1 ) = \left\lceil \log \left( 2 + \sqrt { \frac { 1 8 v + 6 v \ln s } { D } } \right) \right\rceil . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb E \left[ x ( T ) ^ { \top } Q x ( T ) \right] } & { = a ( T ) + \int _ { 0 } ^ { T } a ( s ) b \operatorname { e } ^ { b ( T - s ) } d s = a ( T ) - \left[ a ( s ) \operatorname { e } ^ { b ( T - s ) } \right] _ { s = 0 } ^ { T } + \int _ { 0 } ^ { T } \dot { a } ( s ) \operatorname { e } ^ { b ( T - s ) } d s } \\ & { = x _ { 0 } ^ { \top } Q x _ { 0 } \operatorname { e } ^ { b T } - \int _ { 0 } ^ { T } \left\| y ( s ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \operatorname { e } ^ { b ( T - s ) } d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { [ H _ { 1 } , E _ { 1 } ] = 2 E _ { 1 } , \quad [ H _ { 1 } , F _ { 1 } ] = - 2 F _ { 1 } , \quad [ E _ { 1 } , F _ { 1 } ] = H _ { 1 } , } \\ & { [ H _ { 2 } , E _ { 2 } ] = 2 E _ { 2 } , \quad [ H _ { 2 } , F _ { 2 } ] = - 2 F _ { 2 } , \quad [ E _ { 2 } , F _ { 2 } ] = H _ { 2 } , } \\ & { [ H _ { 2 } - H _ { 1 } , E _ { 3 } ] = 2 E _ { 3 } , \quad [ H _ { 2 } - H _ { 1 } , F _ { 3 } ] = - 2 F _ { 3 } , } \\ & { [ E _ { 3 } , F _ { 3 } ] = H _ { 2 } - H _ { 1 } , \quad [ H _ { 1 } , E _ { 2 } ] = E _ { 2 } , } \\ & { [ H _ { 1 } , E _ { 3 } ] = - E _ { 3 } , \quad [ H _ { 2 } , E _ { 1 } ] = E _ { 1 } , \quad [ H _ { 2 } , E _ { 3 } ] = E _ { 3 } , } \\ & { [ H _ { 1 } , F _ { 2 } ] = - F _ { 2 } , \quad [ H _ { 1 } , F _ { 3 } ] = F _ { 3 } , \quad [ H _ { 2 } , F _ { 1 } ] = - F _ { 1 } , } \\ & { [ H _ { 2 } , F _ { 3 } ] = - F _ { 3 } , \quad [ F _ { 1 } , F _ { 2 } ] = 0 , \quad [ F _ { 2 } , F _ { 3 } ] = 0 , } \\ & { [ E _ { 1 } , E _ { 2 } ] = 0 , \quad [ E _ { 1 } , E _ { 3 } ] = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { \Phi } } & { \sum _ { i = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } \sum _ { j = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } p _ { W } ( i ) p _ { W } ( j ) Q _ { i , \Phi ^ { - 1 } ( j ) } } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } \sum _ { j = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } p _ { W } ( i ) p _ { W } ( j ) \sum _ { \Phi } Q _ { i , \Phi ^ { - 1 } ( j ) } } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } \sum _ { j = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } p _ { W } ( i ) p _ { W } ( j ) ( | \mathfrak { X } | - 1 ) ! \sum _ { k = 1 } ^ { | \mathfrak { X } | } Q _ { i , k } } \\ & { = ( | \mathfrak { X } | - 1 ) ! } \end{array}
\begin{array} { r l } & { B _ { n - 1 } ^ { \ell } \partial _ { n } \left( f _ { 1 } \otimes \dots \otimes f _ { n } \otimes ( a , b ) \right) } \\ & { = B _ { n - 1 } ^ { \ell } \big ( f _ { 2 } \otimes \dots \otimes f _ { n } \otimes ( a , b ) f _ { 1 } + \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } ( - 1 ) ^ { i } f _ { 1 } \otimes \dots \otimes f _ { i } \cdot f _ { i + 1 } \otimes \dots \otimes f _ { n } \otimes ( a , b ) } \\ & { + ( - 1 ) ^ { n } f _ { 1 } \otimes \dots \otimes f _ { n - 1 } \otimes f _ { n } ( a , b ) \big ) } \\ & { = - \mathrm { i d } _ { s f _ { 2 } } \otimes f _ { 2 } \otimes \dots \otimes f _ { n } \otimes ( a , b ) f _ { 1 } } \\ & { + \sum _ { i = 2 } ^ { n - 1 } ( - 1 ) ^ { i } f _ { 1 } \otimes \mathrm { i d } _ { s f _ { 2 } } \otimes f _ { 2 } \otimes \dots \otimes f _ { i } \cdot f _ { i + 1 } \otimes \dots \otimes f _ { n } \otimes ( a , b ) } \\ & { + ( - 1 ) ^ { n } f _ { 1 } \otimes \mathrm { i d } _ { s f _ { 2 } } \otimes f _ { 2 } \otimes \dots \otimes f _ { n - 1 } \otimes f _ { n } ( a , b ) . } \end{array}
{ \dot { \mathbf { F } } } = { \frac { \partial \mathbf { F } } { \partial t } } = { \frac { \partial } { \partial t } } \left[ { \frac { \partial \mathbf { x } ( \mathbf { X } , t ) } { \partial \mathbf { X } } } \right] = { \frac { \partial } { \partial \mathbf { X } } } \left[ { \frac { \partial \mathbf { x } ( \mathbf { X } , t ) } { \partial t } } \right] = { \frac { \partial } { \partial \mathbf { X } } } \left[ \mathbf { V } ( \mathbf { X } , t ) \right]
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \bar { \nu } _ { t } - \bar { \mu } _ { t } ] \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] = \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \bar { \mu } _ { t , \mathcal { B } _ { x } } + ( 1 - c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ( \bar { \nu } _ { t - 1 } - \bar { \mu } _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } ) - \bar { \mu } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { = \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| ( 1 - c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) \bigg ( \bar { \nu } _ { t - 1 } - \bar { \mu } _ { t - 1 } \bigg ) + \bigg ( \bar { \mu } _ { t , \mathcal { B } _ { x } } - \bar { \mu } _ { t } + ( 1 - c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ( \bar { \mu } _ { t - 1 } - \bar { \mu } _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } ) \bigg ) \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \leq ( 1 - c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \bar { \nu } _ { t - 1 } - \bar { \mu } _ { t - 1 } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] + \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \bar { \mu } _ { t , \mathcal { B } _ { x } } - \bar { \mu } _ { t } + ( 1 - c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ( \bar { \mu } _ { t - 1 } - \bar { \mu } _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } ) \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \leq ( 1 - c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \bar { \nu } _ { t - 1 } - \bar { \mu } _ { t - 1 } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] + \frac { 1 } { b _ { x } ^ { 2 } M ^ { 2 } } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \sum _ { \xi _ { x } \in \mathcal { B } _ { x } } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \mu _ { t , \xi _ { x } } ^ { ( m ) } - \mu _ { t } ^ { ( m ) } + ( 1 - c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ( \mu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \mu _ { t - 1 , \xi _ { x } } ^ { ( m ) } ) \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Phi _ { g , n } \bigl ( j _ { g + l } ( \varphi ) \bigr ) = \sum _ { ( R ) } 1 ^ { \otimes g } \, \otimes 1 ^ { \otimes ( l - 1 ) } \otimes \Phi _ { 0 , 1 } \! \left( \mathrm { c o a d } ^ { r } \bigl ( R _ { ( 1 ) } \bigr ) ( \varphi ) \right) \otimes \mathsf { D } _ { 0 , n - l } \bigl ( R _ { ( 2 ) } \bigr ) } \\ & { \Phi _ { g , n } \bigl ( j _ { k } ( x ) \bigr ) = \sum _ { ( R ) } 1 ^ { \otimes ( k - 1 ) } \otimes \Phi _ { 1 , 0 } \! \left( \mathrm { c o a d } ^ { r } \bigl ( R _ { ( 1 ) } \bigr ) ( x ) \right) \otimes \mathsf { D } _ { g - k , n } \bigl ( R _ { ( 2 ) } \bigr ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial \log L ( { _ m \theta } ; Y _ { 0 : n } ) } { \partial { _ m \theta } } { \Big | } _ { { _ m \theta } = { _ m \hat { \theta } } } = 0 \quad \mathrm { a n d } \quad \frac { \partial \log L ( { _ k \theta } ; Y _ { 0 : n } ) } { \partial { _ k \theta } } { \Big | } _ { { _ k \theta } = { _ k \hat { \theta } } } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { p } } & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left[ \left( S _ { p } | k = L \right) p _ { \mathrm { { L O S } } } ( r _ { x } ) + \left( S _ { p } | k = N \right) \right. } \\ & { \quad \quad \left. \left( 1 - p _ { \mathrm { L O S } } \left( r _ { x } \right) \right) \right] \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \eta ^ { 2 } } } \exp \left( \frac { - r _ { x } ^ { 2 } } { 2 \eta ^ { 2 } } \right) d r _ { x } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \mathcal { Y } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } { y ^ { \alpha } \rho ^ { \mu - 2 } | \mathcal { U } | ^ { 2 } \, d x } d y } & { \leq C \left( \int _ { 0 } ^ { \mathcal { Y } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } { y ^ { \alpha } \rho ^ { \mu } | \nabla \mathcal { U } | ^ { 2 } \, d x } d y + | 3 - d | \| \mathrm { t r _ { 0 } } \mathcal { U } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 2 ^ { \rho - 1 } \sum _ { k = 1 } ^ { \mu - \rho - 1 } 2 ^ { \nu - k - 1 } k } & { = } & { 2 ^ { \nu + 2 \rho - \mu - 1 } \sum _ { k = 1 } ^ { \mu - \rho - 1 } 2 ^ { \mu - \rho - k - 1 } k } \\ & { = } & { 2 ^ { \nu + 2 \rho - \mu - 1 } \sum _ { i = 0 } ^ { \mu - \rho - 2 } 2 ^ { i } ( \mu - \rho - i - 1 ) } \\ & { = } & { 2 ^ { \nu + 2 \rho - \mu - 1 } \left( ( \mu - \rho - 1 ) \sum _ { i = 0 } ^ { \mu - \rho - 2 } 2 ^ { i } - \sum _ { i = 0 } ^ { \mu - \rho - 2 } 2 ^ { i } i \right) } \\ & { = } & { 2 ^ { \nu + 2 \rho - \mu - 1 } \left( ( \mu - \rho - 1 ) ( 2 ^ { \mu - \rho - 1 } - 1 ) - ( ( \mu - \rho - 3 ) 2 ^ { \mu - \rho - 1 } + 2 ) \right) } \\ & { = } & { 2 ^ { \nu + 2 \rho - \mu - 1 } ( 2 ^ { \mu - \rho } - \mu + \rho - 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { F } [ \alpha _ { 1 } , \ldots , \alpha _ { i } ] : = } & { \left[ ( F ^ { ( 1 ) } x ^ { \gamma _ { 1 } - 1 } ) [ \alpha _ { 1 } , \ldots , \alpha _ { i } ] , \ldots , ( F ^ { ( 1 ) } x ^ { 0 } ) [ \alpha _ { 1 } , \ldots , \alpha _ { i } ] , \right. } \\ & { \left. \quad \ldots \ldots , ( F ^ { ( s ) } x ^ { \gamma _ { s } - 1 } ) [ \alpha _ { 1 } , \ldots , \alpha _ { i } ] , \ldots , ( F ^ { ( s ) } x ^ { 0 } ) [ \alpha _ { 1 } , \ldots , \alpha _ { i } ] \right] ^ { T } . } \end{array}
\operatorname { d i v } \mathbf { F } = \nabla \cdot \mathbf { F } = { \left( \begin{array} { l } { \displaystyle { \frac { \partial } { \partial x } } , \ { \frac { \partial } { \partial y } } , \ { \frac { \partial } { \partial z } } } \end{array} \right) } \cdot { \left( \begin{array} { l } { F _ { x } , \ F _ { y } , \ F _ { z } } \end{array} \right) } = { \frac { \partial F _ { x } } { \partial x } } + { \frac { \partial F _ { y } } { \partial y } } + { \frac { \partial F _ { z } } { \partial z } } .
\begin{array} { r l } { J ^ { n } } & { = \left\{ j \in \{ 1 , 2 \} \mid ( \mathbf A \mathbf y ^ { n } ) _ { j } < 0 \right\} , } \\ { M ^ { n } } & { = \left\{ m \in \{ 1 , 2 \} \; \Big | \; \Big ( 1 - \frac { 1 } { 2 \alpha } \Big ) ( \mathbf A \mathbf y ^ { n } ) _ { m } + \frac { 1 } { 2 \alpha } ( \mathbf A \mathbf y ^ { ( 2 ) } ) _ { m } < 0 \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { M a x . } } & { \sum _ { S \in \mathcal { X } } x _ { S } - \sum _ { T \in \mathcal { Y } } y _ { T } } \\ & { \sum _ { S \in \mathcal { X } } x _ { S } \geq \sum _ { T \in \mathcal { Y } } y _ { T } + 1 } \\ & { x _ { S } \leq y _ { A \cup S } } & { \forall S \in \mathcal { X } , \forall A \in \mathcal { A } , w ( S ) + w ( A \cup S ) \geq w ( C ) } \\ & { x _ { S } \in \{ 0 , 1 \} } & { \forall S \in \mathcal { X } } \\ & { y _ { T } \in \{ 0 , 1 \} } & { \forall T \in \mathcal { Y } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 7 } ^ { ( 1 ) } = v _ { 7 } , \quad v _ { 1 ^ { \prime \prime } } ^ { ( 1 ) } = v _ { 1 ^ { \prime \prime } } , \quad v _ { 1 _ { r } ^ { \prime \prime } } ^ { ( 1 ) } = ( v _ { 9 _ { L } } ^ { ( 1 ) } ) ^ { - 1 } v _ { 1 ^ { \prime \prime } } ( v _ { 3 } ^ { ( 1 ) } ) ^ { - 1 } , \quad v _ { 4 _ { r } ^ { \prime } } ^ { ( 1 ) } = v _ { 9 _ { R } } ^ { ( 1 ) } v _ { 4 ^ { \prime } } ( v _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ) ^ { - 1 } , \quad v _ { 4 ^ { \prime } } ^ { ( 1 ) } = v _ { 4 ^ { \prime } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal X } & { = } & { \frac { 4 \cosh ( \gamma ) } { 3 } \, W ^ { 2 } \bar { u } \big ( \Gamma + \bar { \Gamma } - K \big ) + W ^ { 2 } \bar { W } ( \cdots ) ~ , } \\ { \mathcal J _ { \alpha \dot { \alpha } } } & { = } & { \cosh ( \gamma ) \Big \{ - 4 W _ { \alpha } \bar { W } _ { \dot { \alpha } } \big ( 1 - \bar { u } \Gamma - u \bar { \Gamma } \big ) + \frac { 1 } { 6 } ( D _ { \alpha } W ^ { 2 } ) ( \bar { D } _ { \dot { \alpha } } \bar { W } ^ { 2 } ) \big ( \Gamma + \bar { \Gamma } - K \big ) \Big \} ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } \\ & { } & { + W ^ { 2 } \bar { W } ( \cdots ) + \bar { W } ^ { 2 } W ( \cdots ) ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t t } \psi ( \textbf { x } , t ) + ( - \Delta ) ^ { \frac { \alpha } { 2 } } \psi ( \textbf { x } , t ) + \beta \psi ( \textbf { x } , t ) + \varepsilon ^ { 2 p } | \psi ( \textbf { x } , t ) | ^ { 2 p } \psi ( \textbf { x } , t ) = 0 , \quad \textbf { x } \in \Omega , \quad t > 0 , } \\ & { \psi ( \textbf { x } , 0 ) = u _ { 0 } ( \textbf { x } ) , \quad \partial _ { t } \psi ( \textbf { x } , 0 ) = \psi _ { 1 } ( \textbf { x } ) , \quad \textbf { x } \in \Omega , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \| G _ { 1 1 } \| _ { \infty } } & { \leq } & { \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq j \leq N } \sum _ { k \in \hat { I } _ { N } \setminus j } ( \bar { p } j ^ { 2 } + \bar { q } ) ^ { - 1 / 2 } \left| \bar { A } _ { j k } + \bar { B } _ { j k } + \bar { C } _ { j k } + \bar { D } _ { j k } \right| ( \bar { p } k ^ { 2 } + \bar { q } ) ^ { - 1 / 2 } } \\ & { \leq } & { \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq j \leq N } ( \bar { p } j ^ { 2 } + \bar { q } ) ^ { - 1 / 2 } ( \bar { p } j ^ { 2 } + \bar { q } ) ^ { - 1 / 2 } ( \overline { { p } } j ^ { 2 } + \overline { { q } } ) + } \\ & { } & { \frac { 3 } { 2 } \sum _ { k \in \hat { I } _ { N } \setminus j } \left| j k \hat { p } ( k - j ) ( \bar { p } j ^ { 2 } + \bar { q } ) ^ { - 1 / 2 } ( \bar { p } k ^ { 2 } + \bar { q } ) ^ { 1 / 2 } \Delta t ^ { 2 } \right| + } \\ & { } & { \frac { 3 } { 2 } \sum _ { k \in \hat { I } _ { N } \setminus j } \left| \hat { q } ( k - j ) ( \bar { p } j ^ { 2 } + \bar { q } ) ^ { - 1 / 2 } ( \bar { p } k ^ { 2 } + \bar { q } ) ^ { 1 / 2 } \Delta t ^ { 2 } \right| + } \\ & { } & { \frac { 3 } { 2 } \sum _ { k \in \hat { I } _ { N } \setminus j } \left| j k \hat { p } ( k - j ) ( \bar { p } j ^ { 2 } + \bar { q } ) ^ { 1 / 2 } ( \bar { p } k ^ { 2 } + \bar { q } ) ^ { - 1 / 2 } \Delta t ^ { 2 } \right| + } \\ & { } & { \frac { 3 } { 2 } \sum _ { k \in \hat { I } _ { N } \setminus j } \left| \hat { q } ( k - j ) ( \bar { p } j ^ { 2 } + \bar { q } ) ^ { 1 / 2 } ( \bar { p } k ^ { 2 } + \bar { q } ) ^ { - 1 / 2 } \Delta t ^ { 2 } \right| + } \\ & { } & { \sum _ { k \in \hat { I } _ { N } } \left| j k ( \bar { p } j ^ { 2 } + \bar { q } ) ^ { - 1 / 2 } ( \bar { p } k ^ { 2 } + \bar { q } ) ^ { - 1 / 2 } \sum _ { \omega \in \hat { I } _ { N } \setminus \{ k , j \} } \omega ^ { 2 } | \hat { p } ( \omega - k ) \hat { p } ( j - \omega ) | \Delta t ^ { 2 } \right| + } \\ & { } & { \sum _ { k \in \hat { I } _ { N } } \left| k ( \bar { p } j ^ { 2 } + \bar { q } ) ^ { - 1 / 2 } ( \bar { p } k ^ { 2 } + \bar { q } ) ^ { - 1 / 2 } \sum _ { \omega \in \hat { I } _ { N } \setminus \{ k , j \} } \omega | \hat { p } ( \omega - k ) \hat { q } ( j - \omega ) | \Delta t ^ { 2 } \right| + } \\ & { } & { \sum _ { k \in \hat { I } _ { N } } \left| j ( \bar { p } j ^ { 2 } + \bar { q } ) ^ { - 1 / 2 } ( \bar { p } k ^ { 2 } + \bar { q } ) ^ { - 1 / 2 } \sum _ { \omega \in \hat { I } _ { N } \setminus \{ k , j \} } \omega | \hat { q } ( \omega - k ) \hat { p } ( j - \omega ) | \Delta t ^ { 2 } \right| + } \\ & { } & { \sum _ { k \in \hat { I } _ { N } } \left| ( \bar { p } j ^ { 2 } + \bar { q } ) ^ { - 1 / 2 } ( \bar { p } k ^ { 2 } + \bar { q } ) ^ { - 1 / 2 } \sum _ { \omega \in \hat { I } _ { N } \setminus \{ k , j \} } | \hat { q } ( \omega - k ) \hat { q } ( j - \omega ) | \Delta t ^ { 2 } \right| } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { z } = } & { \frac { 1 2 \mu } { I _ { 3 } ^ { 0 } } \left[ \dot { X } \frac { 1 } { 2 } \left( I _ { 3 } ^ { 0 } I _ { 2 } ^ { 1 } - I _ { 2 } ^ { 0 } I _ { 3 } ^ { 1 } \right) + \dot { Z } \left( I _ { 3 } ^ { 1 } I _ { 3 } ^ { 1 } - I _ { 3 } ^ { 2 } I _ { 3 } ^ { 0 } \right) + \dot { \theta } \frac { 1 } { 2 } \left( I _ { 3 } ^ { 1 } I _ { 3 } ^ { 2 } - I _ { 3 } ^ { 3 } I _ { 3 } ^ { 0 } \right) \right] \, , } \\ { F _ { x } = } & { \frac { 1 2 \mu } { I _ { 3 } ^ { 0 } } \left[ \dot { X } \left( \frac { 1 } { 6 } I _ { 1 } ^ { 0 } I _ { 3 } ^ { 0 } - \frac { 1 } { 4 } I _ { 2 } ^ { 0 } I _ { 2 } ^ { 0 } \right) + \dot { Z } \frac { 1 } { 2 } \left( I _ { 3 } ^ { 1 } I _ { 2 } ^ { 0 } - I _ { 2 } ^ { 1 } I _ { 3 } ^ { 0 } \right) + \dot { \theta } \frac { 1 } { 4 } \left( I _ { 2 } ^ { 0 } I _ { 3 } ^ { 2 } - I _ { 2 } ^ { 2 } I _ { 3 } ^ { 0 } \right) \right] } \\ & { - \theta F _ { z } \, , } \\ { G = } & { \frac { 1 2 \mu } { I _ { 3 } ^ { 0 } } \left[ \dot { X } \frac { 1 } { 4 } \left( I _ { 2 } ^ { 2 } I _ { 3 } ^ { 0 } - I _ { 3 } ^ { 2 } I _ { 2 } ^ { 0 } \right) + \dot { Z } \frac { 1 } { 2 } \left( I _ { 3 } ^ { 1 } I _ { 3 } ^ { 2 } - I _ { 3 } ^ { 3 } I _ { 3 } ^ { 0 } \right) + \dot { \theta } \frac { 1 } { 4 } \left( I _ { 3 } ^ { 2 } I _ { 3 } ^ { 2 } - I _ { 3 } ^ { 4 } I _ { 3 } ^ { 0 } \right) \right] \, . } \end{array}
\big | f _ { n } ( r e ^ { i \theta } ) \big | \leq \left\{ \begin{array} { l l } { 2 f _ { n } ( r ) e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \theta ^ { 2 } r } , } & { \qquad 0 \leq | \theta | \leq r ^ { - 2 / 5 } , } \\ { * [ 2 m m ] 2 f _ { n } ( r ) e ^ { - \frac { 1 } { 2 } r ^ { 1 / 5 } } , } & { \qquad r ^ { - 2 / 5 } \leq | \theta | \leq \pi , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathcal { D } ( \tau ^ { - m } ( { \tiny \begin{array} { c } { 1 } \\ { 2 2 } \end{array} } ) ) } & { = \{ ( 2 ( m + 1 ) x , - ( 2 m + 1 ) x ) : 0 \leq x \in \mathbb { R } \} , } \\ { \mathcal { D } ( \tau ^ { m } ( { \tiny \begin{array} { c } { 1 } \end{array} } ) ) } & { = \{ ( 2 m x , - ( 2 m + 1 ) x ) : 0 \leq x \in \mathbb { R } \} , } \\ { \mathcal { D } ( \tau ^ { m } ( { \tiny \begin{array} { c } { 1 1 } \\ { 2 } \end{array} } ) ) } & { = \{ ( ( 2 m + 1 ) x , - 2 ( m + 1 ) x ) : 0 \leq x \in \mathbb { R } \} . } \\ { \mathcal { D } ( \tiny { \begin{array} { c c } { 1 } \\ { 2 } \end{array} } ( d , \lambda ) ) } & { = \{ ( ( x , - x ) : 0 \leq x \in \mathbb { R } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { h ^ { ( r ) } ( s ) } & { = \mathbb { E } \left[ \mathbb { E } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { r _ { 1 } } } { b } H _ { r _ { 1 } } \right) \left( I - \frac { \eta _ { r _ { 1 } - 1 } } { b } H _ { r _ { 1 } - 1 } \right) \cdots \left( I - \frac { \eta _ { 1 } } { b } H _ { 1 } \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { s } \Big | ( \eta _ { i } ) _ { i = 1 } ^ { r _ { 1 } } \right] \right] } \\ & { = \mathbb { E } \Bigg [ \mathbb { E } _ { H _ { r _ { 1 } } } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { r _ { 1 } } } { b } H _ { r _ { 1 } } \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { s } \right] \mathbb { E } _ { H _ { r _ { 1 } - 1 } } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { r _ { 1 } - 1 } } { b } H _ { r _ { 1 } - 1 } \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { s } \right] \mathbb { E } _ { H _ { 1 } } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { 1 } } { b } H _ { 1 } \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { s } \right] \Bigg ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { r } ^ { \mathbf \Upsilon } ( T _ { r , t } ^ { { \mathbf \Upsilon } , { \mu } } u ) ( \gamma ) } & { = \Gamma _ { r } ^ { \mathbf \Upsilon } ( T _ { r , t } ^ { { \mathbf \Upsilon } , { \mu } } u ) ( \gamma _ { B _ { r } } + \gamma _ { B _ { r } ^ { c } } ) } \\ & { = \Gamma ^ { { \mathbf \Upsilon } ( B _ { r } ) } ( ( T _ { r , t } ^ { { \mathbf \Upsilon } , { \mu } } u ) _ { r } ^ { \gamma } ) ( \gamma _ { B _ { r } } ) } \\ & { \le T _ { t } ^ { { \mathbf \Upsilon } ( B _ { r } ) , { \mu } _ { r } ^ { \gamma } } \Gamma ^ { { \mathbf \Upsilon } ( B _ { r } ) } ( u _ { r } ^ { \gamma } ) ( \gamma _ { B _ { r } } ) } \\ & { = T _ { t } ^ { { \mathbf \Upsilon } ( B _ { r } ) , { \mu } _ { r } ^ { \gamma } } \bigl ( \Gamma _ { r } ^ { \mathbf \Upsilon } ( u ) _ { r } ^ { \gamma } \bigr ) ( \gamma _ { B _ { r } } ) } \\ & { = T _ { r , t } ^ { { \mathbf \Upsilon } , { \mu } } \Gamma _ { r } ^ { \mathbf \Upsilon } ( u ) ( \gamma ) \, \, \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = 0 } ^ { k - 1 } ( 1 - c _ { 1 } ) ^ { t } ( t + m ) ^ { b _ { 1 } - 1 } } & { \leq \int _ { 0 } ^ { + \infty } ( 1 - c _ { 1 } ) ^ { t } ( t + m ) ^ { b _ { 1 } - 1 } \mathrm { d t } } \\ & { \leq \frac { 2 } { \ln ( 1 - c _ { 1 } ) } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \mathrm { d } \left( ( 1 - c _ { 1 } ) ^ { t } ( t + m ) ^ { b _ { 1 } - 1 } \right) = \frac { 2 m ^ { b _ { 1 } - 1 } } { \ln \frac { 1 } { 1 - c _ { 1 } } } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { ( \alpha n - 1 ) ! _ { ( \alpha ) } } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \sum _ { i = 0 } ^ { k + 1 } { \binom { n - 1 } { k + 1 } } { \binom { k + 1 } { i } } ( - 1 ) ^ { k } \alpha ^ { k + 1 - i } ( \alpha i - 1 ) ! _ { ( \alpha ) } { \bigl ( } \alpha ( n - 1 - k ) - 1 { \bigr ) } ! _ { ( \alpha ) } \times ( n - 1 - k ) _ { k + 1 - i } } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \sum _ { i = 0 } ^ { k + 1 } { \binom { n - 1 } { k + 1 } } { \binom { k + 1 } { i } } { \binom { n - 1 - i } { k + 1 - i } } ( - 1 ) ^ { k } \alpha ^ { k + 1 - i } ( \alpha i - 1 ) ! _ { ( \alpha ) } { \bigl ( } \alpha ( n - 1 - k ) - 1 { \bigr ) } ! _ { ( \alpha ) } \times ( k + 1 - i ) ! . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \forall t \leq T ^ { * } : P } & { = \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow \infty } \bar { P } ( t , T , 0 ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow \infty } \bar { P } \Bigl ( t , T ^ { * } , \bar { P } ( T ^ { * } , T , 0 ) \Bigr ) } \\ & { = \bar { P } \Bigl ( t , T ^ { * } , \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow \infty } \bar { P } ( T ^ { * } , T , 0 ) \Bigr ) } \\ & { = \bar { P } ( t , T ^ { * } , P ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Lambda _ { \nu _ { \mathrm { t } } , [ p ] } ^ { ( i ) } ( \mathbf { v } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \bar { \Lambda } _ { \nu _ { \mathrm { t } } , p } ^ { ( i ) } ( \mathbf { v } ) \setminus \bar { \Lambda } _ { \nu _ { \mathrm { t } } , p - 1 } ^ { ( i ) } ( \mathbf { v } ) , \quad } & { p = 0 , \dots , J , } \\ { \vee _ { 1 } \setminus \bar { \Lambda } _ { \nu _ { \mathrm { t } } , J } ^ { ( i ) } ( \mathbf { v } ) , \quad } & { p = J + 1 , } \\ { \emptyset , \quad } & { p > J + 1 . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial \eta } { \partial t } + \nabla \cdot \mathbf { q } } & { = } & { 0 , } \\ { \frac { \partial \mathbf { q } } { \partial t } + \nabla \cdot \left( \mathbf { v } \otimes \mathbf { q } \right) + g h \, \nabla \eta } & { = } & { - \gamma \mathbf { q } , } \\ { { \frac { \partial b } { \partial t } } } & { { = } } & { { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { u } _ { N } ( f ) } & { = \mathbf { F } _ { N } \, \mathbf { W } _ { N } \, \mathbf { d } _ { N } ( f ) } \\ & { = \left[ \begin{array} { l } { \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \left[ \mathbf { w } _ { N } \right] _ { n } \mathrm { e } ^ { \mathrm { j } 2 \pi ( f - \frac { 0 } { N } ) n } } \\ { \vdots } \\ { \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \left[ \mathbf { w } _ { N } \right] _ { n } \mathrm { e } ^ { \mathrm { j } 2 \pi ( f - \frac { N - 1 } { N } ) n } } \end{array} \right] \in \mathbb { C } ^ { N } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { i } ( y ^ { s + 2 } ) } & { = \frac { q \rho _ { i } ( y ^ { s + 1 } ) } { ( p \! - \! q ) \rho _ { j } ( y ^ { s + 1 } ) \! + \! q } = \frac { q \frac { p \rho _ { i } ( y ^ { s } ) } { \rho _ { j } ( y ^ { s } ) ( q \! - \! p ) \! + \! p } } { ( p \! - \! q ) \frac { q \rho _ { j } ( y ^ { s } ) } { \rho _ { j } ( y ^ { s } ) ( q \! - \! p ) \! + \! p } \! + \! q } } \\ & { = \frac { q p \rho _ { i } ( y ^ { s } ) } { ( p \! - \! q ) q \rho _ { j } ( y ^ { s } ) \! + \! q ( \rho _ { j } ( y ^ { s } ) ( q \! - \! p ) \! + \! p ) } } \\ & { = \frac { q p \rho _ { i } ( y ^ { s } ) } { - ( q \! - \! p ) q \rho _ { j } ( y ^ { s } ) \! + \! ( q \! - \! p ) q \rho _ { j } ( y ^ { s } ) \! + \! q p } } \\ & { = \frac { q p \rho _ { i } ( y ^ { s } ) } { q p } = \rho _ { i } ( y ^ { s } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } ( t M o n _ { i } ( \chi ( 0 ) , N ) ) = \prod _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { F _ { i } ( \chi _ { i } ( 0 ) N + k ) } { F _ { i } ( \chi _ { i } ( 0 ) N + k ) + \sum _ { j \ne i } F _ { j } ( \chi _ { j } ( 0 ) N ) } } \\ & { \ge \exp \left\{ - \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { \sum _ { j \ne i } F _ { j } ( \chi _ { j } ( 0 ) N ) } { F _ { i } ( \chi _ { i } ( 0 ) N + k ) } \right\} = \prod _ { j \ne i } \exp \left\{ - F _ { j } ( \chi _ { j } ( 0 ) N ) \sum _ { k = \chi _ { i } ( 0 ) N } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { i } ( k ) } \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \bigg \| \big ( \omega _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { \omega } _ { t } \big ) \bigg \| ^ { 2 } } & { \overset { ( a ) } { \leq } 2 \mathbb { E } \bigg \| \omega _ { t } ^ { ( m ) } - \nabla g ^ { ( m ) } ( \bar { x } _ { t } , \bar { y } _ { t } ) - ( \bar { \omega } _ { t } - \nabla g ( \bar { x } _ { t } , \bar { y } _ { t } ) ) \bigg \| ^ { 2 } + 2 \mathbb { E } \bigg \| \nabla g ^ { ( m ) } ( \bar { x } _ { t } , \bar { y } _ { t } ) - \nabla g ( \bar { x } _ { t } , \bar { y } _ { t } ) \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad \overset { ( b ) } { \leq } 2 \mathbb { E } \bigg \| \omega _ { t } ^ { ( m ) } - \nabla g ^ { ( m ) } ( \bar { x } _ { t } , \bar { y } _ { t } ) \bigg \| ^ { 2 } + 2 \zeta _ { g } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 2 \mu \int _ { a } ^ { b } \left[ \rho Y ^ { \prime } ( \rho ) H ^ { \prime } ( \rho ) + \frac { Y ( \rho ) H ( \rho ) } { \rho } \right] d \rho + \lambda \int _ { a } ^ { b } \rho \left[ Y ^ { \prime } ( \rho ) + \frac { Y ( \rho ) } { \rho } + \frac { \pi k } { h } \, Z ( \rho ) \right] \left[ H ^ { \prime } ( \rho ) + \frac { H ( \rho ) } { \rho } + \frac { \pi k } { h } \, K ( \rho ) \right] d \rho } \\ & { \quad + \mu \int _ { a } ^ { b } \rho \left[ Z ^ { \prime } ( \rho ) - \frac { \pi k } { h } \, Y ( \rho ) \right] \left[ K ^ { \prime } ( \rho ) - \frac { \pi k } { h } \, H ( \rho ) \right] d \rho + 2 \mu \frac { \pi ^ { 2 } k ^ { 2 } } { h ^ { 2 } } \int _ { a } ^ { b } \rho Z ( \rho ) K ( \rho ) \, d \rho = \int _ { a } ^ { b } \rho \Psi _ { k } ( \rho ) K ( \rho ) \, d \rho } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { { \theta } ^ { 2 } - \beta \gamma } \\ & { } & { = \left( \frac { \alpha } { \alpha _ { 1 } \cdots \alpha _ { k - 1 } \alpha _ { k } } \right) ^ { 2 } \left[ ( \theta _ { 1 } \cdots \theta _ { k - 1 } \theta _ { k } ) ^ { 2 } - ( \beta _ { 1 } \cdots \beta _ { k - 1 } \beta _ { k } ) ( \gamma _ { 1 } \cdots \gamma _ { k - 1 } \gamma _ { k } ) \right] , } \\ & { } & { = \left( \frac { \alpha } { \alpha _ { 1 } \cdots \alpha _ { k - 1 } \alpha _ { k } } \right) ^ { 2 } \left[ ( \beta _ { 2 } \beta _ { 3 } ^ { 2 } \cdots \beta _ { k } ^ { 2 } \gamma _ { k - 1 } ) ( \beta _ { 2 } \gamma _ { k - 1 } - \beta _ { 1 } \gamma _ { k } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \theta _ { u , t } ( t ) , v ) + \mu ( \nabla \theta _ { u } ( t ) , \nabla v ) } & { = ( u _ { h , t } ( t ) , v ) + \mu ( \nabla u _ { h } ( t ) , \nabla v ) - ( P _ { h } ^ { 1 } u _ { t } ( t ) , v ) - \mu ( \nabla P _ { h } ^ { 1 } u ( t ) , \nabla v ) , } \\ & { = ( f ( t ) , v ) - ( P _ { h } ^ { 1 } u _ { t } ( t ) , v ) - \mu ( \nabla u ( t ) , \nabla v ) , } \\ & { = - ( \rho _ { u , t } ( t ) , v ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { \mathbb { B } ^ { 2 } } ( x , y ) } & { = \log \frac { | u - y | | x - v | } { | u - x | | y - v | } = \log \frac { ( | u - x | + | x - y | ) | v - x | } { | u - x | ( | x - v | - | x - y | ) } } \\ & { = \log \frac { ( | u - x | + | x - y | ) ( 1 - | x | ^ { 2 } ) } { | u - x | ( 1 - | x | ^ { 2 } - | x - y | | u - x | ) } } \\ & { = \log \left( 1 + \frac { | x - y | } { | u - x | } \right) - \log \left( 1 - \frac { | x - y | } { 1 - | x | ^ { 2 } } | u - x | \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d \varepsilon } \vert _ { \varepsilon = 0 } \mathcal { J } ( \sigma + \varepsilon ( \sigma ^ { * } - \sigma ) ) } & { = \frac { d } { d \varepsilon } \vert _ { \varepsilon = 0 } J ( \mathcal { F } ( \sigma + \varepsilon ( \sigma ^ { * } - \sigma ) ) ) } \\ & { = \frac { d } { d \varepsilon } \vert _ { \varepsilon = 0 } J ( \mathcal { F } \sigma + \varepsilon ( \mathcal { F } \sigma ^ { * } - \mathcal { F } \sigma ) ) } \\ & { = \int _ { \Theta } J _ { \nu } ( \theta ) d ( \nu ^ { * } - \nu ) } \\ & { = \int _ { \Theta \times [ 0 , \infty ) } \alpha J _ { \nu } ( \theta ) d ( \sigma ^ { * } - \sigma ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { q ^ { - 1 } ( U ) } & { = \{ [ \gamma a , \mu , \chi ] \in \ensuremath { \mathcal { E } } \mid \mu \in \ensuremath { \mathrm { S } } ^ { 1 } , a \in A , \chi \in \hat { A } \} } \\ & { = \{ [ \gamma , \mu , \chi ] \in \ensuremath { \mathcal { E } } \mid \mu \in \ensuremath { \mathrm { S } } ^ { 1 } , \chi \in \hat { A } \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { \mathrm { S } , i } } & { ( \theta _ { \mathrm { S } } , \phi _ { \mathrm { S } } ) = \frac { \alpha _ { \mathrm { S } , i } } { 4 \pi \mathrm { s i n h } ( \alpha _ { \mathrm { S } , i } ) } \times } \\ & { e ^ { \alpha _ { \mathrm { S } , i } ( \sin \theta _ { \mathrm { S } } \sin \bar { \theta } _ { \mathrm { S } , i } \cos ( \phi _ { \mathrm { S } } - \bar { \phi } _ { \mathrm { S } , i } ) + \cos \theta _ { \mathrm { S } } \cos \bar { \theta } _ { \mathrm { S } , i } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \iiiint _ { { \mathcal { F M } } ( r _ { 1 } , r _ { 2 } ) } { \widehat { u } } \index { F M @ { \mathcal { F M } } } } & { = \sum _ { m \in \mathbb { Z } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \pi } \int _ { r _ { 1 } } ^ { r _ { 2 } } { \widehat { u } } ( \omega , r , \theta , m ) \sin \theta \, d r \, d \theta \, d \omega , } \\ { \iiiint _ { { \mathcal { F M } ^ { \star } } ( r _ { 1 } ^ { \star } , r _ { 2 } ^ { \star } ) } \widehat { w } \index { F M s t a r @ { \mathcal { F M } ^ { \star } } } } & { = \sum _ { m \in \mathbb { Z } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \pi } \int _ { r _ { 1 } ^ { \star } } ^ { r _ { 2 } ^ { \star } } \widehat { w } ( \omega , r ^ { \star } \! , \theta , m ) \sin \theta \, d r ^ { \star } \! \, d \theta \, d \omega . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { n } ( n ) } & { = F ( t ) + F _ { 1 } ^ { P } ( t ) n ^ { - 1 / 3 } + F _ { 2 } ^ { P } ( t ) n ^ { - 2 / 3 } + O ( n ^ { - 1 } ) \, \bigg | _ { t = t _ { n } ^ { * } } , } \\ { * [ 1 m m ] P _ { n } ^ { \prime \prime } ( n ) } & { = F ^ { \prime \prime } ( t ) n ^ { - 4 / 3 } + \left( F _ { 1 } ^ { P } \! \! \phantom { | } ^ { \prime \prime } ( t ) + \frac { 5 } { 6 } F ^ { \prime } ( t ) + \frac { t } { 3 } F ^ { \prime \prime } ( t ) \right) n ^ { - 5 / 3 } + O ( n ^ { - 2 } ) \, \bigg | _ { t = t _ { n } ^ { * } } , } \\ { * [ 1 m m ] P _ { n } ^ { ( 4 ) } ( n ) } & { = F ^ { ( 4 ) } ( t ) n ^ { - 8 / 3 } + O ( n ^ { - 3 } ) \, \bigg | _ { t = t _ { n } ^ { * } } ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { 2 } ^ { * } } & { = \{ | a _ { 0 } - b _ { 0 } | , | a _ { 0 } - b _ { 0 } | + 2 , \dots , a _ { 0 } + b _ { 0 } \} , } \\ { A _ { 2 } } & { = \{ | a _ { 0 } \! + \! \ell _ { 0 } m - b _ { 0 } \! - \! \ell _ { 0 } ^ { \prime } m | , | a _ { 0 } \! + \! \ell _ { 0 } m - b _ { 0 } \! - \! \ell _ { 0 } ^ { \prime } m | + 2 , \dots , a _ { 0 } \! + \! \ell _ { 0 } m + b _ { 0 } \! + \! \ell _ { 0 } ^ { \prime } m \} , } \\ { A _ { m } ^ { * } } & { = \{ a _ { 0 } + b _ { 0 } + m , \dots , a _ { 0 } + b _ { 0 } + \operatorname* { m i n } \{ \ell _ { 0 } , \ell _ { 0 } ^ { \prime } \} m \} \mathrm { ~ i f ~ \ell _ 0 , \ell ' _ 0 > 0 ~ , ~ e l s e ~ A _ m = \emptyset ~ } , } \\ { A _ { m } } & { = \emptyset . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { L } ( \varphi ) } & { : = \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } \sum _ { \ell ^ { \prime } = 0 } ^ { L ^ { \prime } ( \ell ) } E _ { M _ { \ell , \ell ^ { \prime } } } ^ { \ell } ( A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 1 ) } ) + E _ { M _ { \ell , \ell ^ { \prime } } } ^ { \ell - 1 } ( A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } ) } \\ & { \qquad \qquad + E _ { M _ { \ell , \ell ^ { \prime } } } ^ { \ell } ( A _ { \ell } ^ { ( 3 ) } ) E _ { M _ { \ell , \ell ^ { \prime } } } ^ { \ell - 1 } ( A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 4 ) } + A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 8 ) } ) + E _ { M _ { \ell , \ell ^ { \prime } } } ^ { \ell - 1 } ( A _ { \ell } ^ { ( 5 ) } ) E _ { M _ { \ell , \ell ^ { \prime } } } ^ { \ell } ( A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 6 ) } + A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 7 ) } ) } \\ & { \quad + \sum _ { \ell ^ { \prime } = 1 } ^ { L ^ { \prime } ( \ell ) } E _ { M _ { 0 , \ell ^ { \prime } } } ^ { 0 } ( \varphi _ { \ell ^ { \prime } } - \varphi _ { \ell ^ { \prime } - 1 } ) + E _ { M _ { 0 , 0 } } ^ { 0 } ( \varphi _ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } _ { X Y } ( E ) } & { \geq \operatorname* { m i n } _ { y } \mathcal { P } _ { X } ( E _ { y } ) ^ { \frac 1 \beta } \cdot \exp \left( - \frac { \alpha - 1 } { \alpha } I _ { \alpha } ( X , Y ) \right) } \\ & { = \exp \left( \frac { 1 } { \beta } \left( \log ( \operatorname* { m i n } _ { y } \mathcal { P } _ { X } ( E _ { y } ) ) - I _ { \alpha } ( X , Y ) \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { - \frac { 1 } { 2 } \Delta e ( w ) } \\ & { \geq } & { \left( 1 - \frac { 1 } { c } \right) | \nabla ^ { \pi } ( \partial ^ { \pi } w ) | ^ { 2 } + \left( 1 - \frac { 1 } { 2 c } \right) | \nabla w ^ { * } \lambda | ^ { 2 } } \\ & { } & { - \left( c \| { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } J \| _ { C ^ { 0 } ( M ) } ^ { 2 } + \| \nabla ^ { \pi } ( { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } J ) \| _ { C ^ { 0 } ( M ) } + \frac { c } { 2 } + \| \operatorname { R i c } \| _ { C ^ { 0 } ( M ) } \right) e ( w ) ^ { 2 } + K e ( w ) } \\ & { \geq } & { - \left( c \| { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } J \| _ { C ^ { 0 } ( M ) } ^ { 2 } + \| \nabla ^ { \pi } ( { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } J ) \| _ { C ^ { 0 } ( M ) } + \frac { c } { 2 } + \| \operatorname { R i c } \| _ { C ^ { 0 } ( M ) } \right) e ( w ) ^ { 2 } + K e ( w ) , } \end{array}
\| \mathbf { v } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } } \| ^ { 2 } = \left\| \left[ \begin{array} { l } { [ \mathbf { B } _ { \mathbf { C } _ { v 0 } ^ { \mathrm { i n } } } ^ { \perp } ] ^ { T } } \\ { \| \mathbf { p } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } } \| ^ { - 1 } [ \mathbf { p } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { T } } \end{array} \right] \mathbf { v } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } } \right\| ^ { 2 } = \| [ \mathbf { B } _ { \mathbf { C } _ { v 0 } ^ { \mathrm { i n } } } ^ { \perp } ] ^ { T } \mathbf { v } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } } \| ^ { 2 } + \frac { ( [ \mathbf { p } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { T } \mathbf { v } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } } ) ^ { 2 } } { \| \mathbf { p } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } } \| ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \zeta _ { 1 } } & { = k d ^ { 2 } \left( 1 - \cos ^ { 2 } \theta \right) \left( \frac { 1 } { 2 r _ { l } } - \frac { 1 } { 2 r _ { m } } \right) } \\ { \zeta _ { 2 } } & { = \frac { \sin \theta \cos \theta \sin \phi } { 1 - \cos ^ { 2 } \theta } } \\ { \zeta _ { 3 } } & { = k d ^ { 2 } \left( 1 - \sin ^ { 2 } \phi \right) \left( \frac { 1 } { 2 r _ { l } } - \frac { 1 } { 2 r _ { m } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 3 } } & { \mathrm { T y p e ~ I : } \quad } & { \Phi ^ { \! + \! } ( \mathfrak { k } ) } & { = \{ \varepsilon _ { i } - \varepsilon _ { j } \mid 1 \leq i < j \leq p \: \mathrm { ~ o r ~ } \: p + 1 \leq i < j \leq p + q \} , } \\ & { } & { \Phi ( \mathfrak { p } ^ { + } ) } & { = \{ \varepsilon _ { i } - \varepsilon _ { j } \mid 1 \leq i \leq p \: \mathrm { ~ a n d ~ } \: p + 1 \leq j \leq p + q \} , } \\ & { } & { \Pi } & { = \{ \alpha _ { i } = \varepsilon _ { i } - \varepsilon _ { i + 1 } \mid 1 \leq i \leq p + q - 1 \} , } \\ & { } & { \omega _ { i } } & { = \varepsilon _ { 1 } + \cdots + \varepsilon _ { i } , } \\ & { } & { \rho } & { = ( p + q - 1 , p + q - 2 , \ldots , 2 , 1 , 0 ) . } \\ & { \mathrm { T y p e ~ I I : } \quad } & { \Phi ^ { \! + \! } ( \mathfrak { k } ) } & { = \{ \varepsilon _ { i } - \varepsilon _ { j } \mid 1 \leq i < j \leq n \} , } \\ & { } & { \Phi ( \mathfrak { p } ^ { + } ) } & { = \{ \varepsilon _ { i } + \varepsilon _ { j } \mid 1 \leq i \leq j \leq n \} . } \\ & { } & { \Pi } & { = \{ \alpha _ { i } = \varepsilon _ { i } - \varepsilon _ { i + 1 } \mid 1 \leq i \leq n - 1 \} \cup \{ \alpha _ { n } = 2 \varepsilon _ { n } \} , } \\ & { } & { \omega _ { i } } & { = \varepsilon _ { 1 } + \cdots + \varepsilon _ { i } , } \\ & { } & { \rho } & { = ( n , n - 1 , \ldots , 3 , 2 , 1 ) . } \\ & { \mathrm { T y p e ~ I I I : } \quad } & { \Phi ^ { \! + \! } ( \mathfrak { k } ) } & { = \{ \varepsilon _ { i } - \varepsilon _ { j } \mid 1 \leq i < j \leq n \} , } \\ & { } & { \Phi ( \mathfrak { p } ^ { + } ) } & { = \{ \varepsilon _ { i } + \varepsilon _ { j } \mid 1 \leq i < j \leq n \} , } \\ & { } & { \Pi } & { = \{ \alpha _ { i } = \varepsilon _ { i } - \varepsilon _ { i + 1 } \mid 1 \leq i \leq n - 1 \} \cup \{ \alpha _ { n } = \varepsilon _ { n - 1 } + \varepsilon _ { n } \} , } \\ & { } & { \omega _ { i } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \varepsilon _ { 1 } + \cdots + \varepsilon _ { i } , } & { 1 \leq i \leq n - 2 , } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( \varepsilon _ { 1 } + \cdots + \varepsilon _ { n - 1 } - \varepsilon _ { n } ) , } & { i = n - 1 , } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( \varepsilon _ { 1 } + \cdots + \varepsilon _ { n } ) , } & { i = n , } \end{array} \right. } \\ & { } & { \rho } & { = ( n - 1 , n - 2 , \ldots , 2 , 1 , 0 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M N ^ { - 1 } = } & { \; \Bigg \{ \frac { \alpha } { k ^ { 2 } } \left( \begin{array} { l l l } { \omega } & { 0 } & { 0 } \\ { \omega } & { 0 } & { 0 } \\ { \omega } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) + \frac { 1 } { k } \left( \begin{array} { l l l } { * } & { * } & { 0 } \\ { * } & { * } & { 0 } \\ { * } & { * } & { 0 } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l l l } { * } & { * } & { \epsilon } \\ { * } & { * } & { \epsilon } \\ { * } & { * } & { \epsilon } \end{array} \right) + O ( k ) \Bigg \} } \\ & { \times \Bigg \{ \frac { 1 } { k ^ { 2 } } \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { * } & { * } & { * } \end{array} \right) + \frac { 1 } { k } \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { * } & { * } & { * } \\ { * } & { * } & { * } \end{array} \right) + O ( 1 ) \Bigg \} = O ( k ^ { - 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | Z _ { 2 } | + | Z _ { 3 } | } & { = N ( t + \delta ) - N ( t - \delta ) - N ( t , \eta ) } \\ & { = \frac { t + \delta } { 2 \pi } \log \frac { t + \delta } { 2 \pi } - \frac { t - \delta } { 2 \pi } \log \frac { t - \delta } { 2 \pi } - \frac { \delta } { \pi } + Q ( t + \delta ) - Q ( t - \delta ) - N ( t , \eta ) } \end{array}
\left( \mathbf { x ^ { \boldsymbol { \alpha } } } \right) ^ { T } B _ { \boldsymbol { \xi } } \mathbf { x ^ { \boldsymbol { \beta } } } = \oint _ { \partial \Omega } \boldsymbol { x ^ { \alpha } } \boldsymbol { x ^ { \beta } } ( \boldsymbol { \xi } \cdot \boldsymbol { n } ) \, \mathrm { d } s , \quad \| \boldsymbol { \alpha } \| _ { 1 } , \| \boldsymbol { \beta } \| _ { 1 } \leq q ,
\begin{array} { r l } & { j _ { j , j + 1 } ^ { v } = \frac { 1 } { 2 } \theta ( n ) ( \eta _ { j } - \eta _ { j + 1 } ) - \theta ( n ) \alpha _ { n } ( \xi _ { j } + \xi _ { j + 1 } ) , } \\ & { j _ { j , j + 1 } ^ { e } = \frac { 1 } { 2 } \theta ( n ) ( \zeta _ { j } - \zeta _ { j + 1 } ) - \theta ( n ) \alpha _ { n } \xi _ { j } \xi _ { j + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { t a } } & { = \frac { \partial E } { \partial \kappa _ { t a } } } \\ & { = 2 ( F _ { t a } - F _ { a t } ) } \\ & { = 2 ( \sum _ { w } { ^ { I } F } _ { a w } D _ { t w } + \sum _ { w x y } \tilde { D } _ { t w x y } g _ { a w x y } ) } \\ & { = 2 \{ \sum _ { w } [ h _ { a w } + \sum _ { j } ( 2 g _ { a w j j } - g _ { a j j w } ) ] D _ { t w } + \sum _ { w x y } \tilde { D } _ { t w x y } g _ { a w x y } \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } \cap B _ { 2 } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 \leq x \leq \frac { \sigma r } { 2 } \qquad \textrm { i f } - \frac { r } { 2 } \leq z \leq \frac { \sigma } { 2 } - \frac { r } { 2 } } \\ { 0 \leq x \leq - \sigma z \left( 1 - \frac { \sigma } { r } \right) ^ { - 1 } \qquad \textrm { i f } \frac { \sigma } { 2 } - \frac { r } { 2 } \leq z \leq 0 } \\ { - \left( \frac { \sigma r } { 2 } + \sigma z \right) \left( 1 - \frac { \sigma } { r } \right) ^ { - 1 } \leq x \leq \frac { \sigma r } { 2 } \qquad \textrm { i f } \frac { \sigma } { 2 } - r \leq z \leq - \frac { r } { 2 } } \end{array} \right. , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ^ { \scriptscriptstyle 0 } ( k \le | { \mathcal C } ( 0 ) | < \infty ) } & { = \exp ( - \Theta ( k ^ { \zeta _ { \mathrm { h h } } } ) ) , \qquad \quad \mathbb { P } \big ( | { \mathcal C } _ { n } ^ { \scriptscriptstyle ( 1 ) } | < \rho n \big ) \ge \exp \big ( - \frac { 1 } { A \rho } n ^ { \zeta _ { \mathrm { h h } } } \big ) , } \\ { \mathbb { P } \big ( A ^ { - 1 } \log ^ { 1 / \zeta _ { \mathrm { h h } } } ( n ) } & { \le | { \mathcal C } _ { n } ^ { \scriptscriptstyle ( 2 ) } | \le A \log ^ { 1 / \zeta _ { \mathrm { h h } } } ( n ) \big ) \ge 1 - n ^ { - \delta } . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( q ^ { n } - V _ { q } ( n , \rho ) ) \mathbb { P } ( \mathbf { x } \in \mathcal { X } _ { \mathcal { C } } ) = \sum _ { \mathbf { y } \in \mathbb { F } ^ { n } \backslash { \mathcal { B } ( 0 , \rho ) } } \mathbb { P } ( \mathbf { y } \in \mathcal { X } _ { \mathcal { C } } ) = q ^ { n ( 1 - \tau ) } - V _ { q } ( n , \rho ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| { \Delta _ { j } } \right\| _ { \mathrm { o p } } } & { \leq \frac { 2 2 C _ { 0 } } { \sqrt { n } } \left( \frac { 1 + \sigma \sqrt { d } } { \sqrt { n p } } \right) + 2 \left( \frac { C _ { 1 } } { \sqrt { n } } \left\| { \Delta ^ { ( j ) } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + C _ { 1 } \sqrt { \frac { \log n } { n p } } \left\| { \Delta ^ { ( j ) } } \right\| _ { \mathrm { o p } } \right) } \\ & { \quad + 2 \left( \frac { C _ { 3 } \sigma } { \sqrt { n } } \sqrt { \frac { \log n } { n p } } \left\| { \Delta ^ { ( j ) } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + C _ { 3 } \sigma \left( \frac { \log n } { n p } \right) ^ { \frac { 3 } { 4 } } \left\| { \Delta ^ { ( j ) } } \right\| _ { \mathrm { o p , \infty } } \right) + \frac { 4 C _ { 0 } } { \sqrt { n } } \left( \sqrt { \frac { \log n } { n p } } + \frac { \sigma \sqrt { d } } { \sqrt { n p } } \right) } \\ & { \quad + 2 C _ { 5 } \frac { \sigma } { \sqrt { n } } \left( \sqrt { \frac { d } { n p } } + \sqrt { \frac { \log n } { n p } } \right) } \\ & { \leq \frac { 2 } { \sqrt { n } } \left( C _ { 1 } + C _ { 3 } \sigma \sqrt { \frac { \log n } { n p } } \right) \left\| { \Delta ^ { ( j ) } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + 2 \left( C _ { 1 } \sqrt { \frac { \log n } { n p } } + C _ { 3 } \sigma \left( \frac { \log n } { n p } \right) ^ { \frac { 3 } { 4 } } \right) \left\| { \Delta ^ { ( j ) } } \right\| _ { \mathrm { o p , \infty } } } \\ & { \quad + \frac { 2 6 C _ { 0 } + 2 C _ { 5 } } { \sqrt { n } } \frac { \sqrt { \log n } + \sigma \sqrt { d } + \sigma \sqrt { \log n } } { \sqrt { n p } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ R _ { C } ] } & { \geq \frac { ( 1 - \phi ) W } { \mathbb { E } [ N _ { C } ] \ln 2 } \left( 2 \ln \frac { G _ { m } } { \bar { G } } + \frac { ( \alpha - 2 ) \gamma } { 2 } \right. } \\ & { \left. - \frac { \alpha } { 2 K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } \frac { 1 } { i } - \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \ln J _ { 2 } ( \alpha , k ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { j _ { 1 0 } ( \tau ) : } & { = \frac { \eta ( 2 \tau ) \eta ( 5 \tau ) ^ { 5 } } { \eta ( \tau ) \eta ( 1 0 \tau ) ^ { 5 } } - 1 } \\ & { = \frac { 1 } { q } + q + 2 q ^ { 2 } + 2 q ^ { 3 } - 2 q ^ { 4 } - q ^ { 5 } - 4 q ^ { 7 } + \cdots } \\ & { = \frac { 1 } { q } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \mathcal { J } _ { 1 0 } ( n ) q ^ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 6 } N : = \frac { 1 } { x } \left( \frac { 1 } { \delta _ { + } } + \frac { 1 } { \delta _ { - } } - \frac { 1 } { \rho } \right) } & { \, , \qquad \delta _ { \pm } : = \sqrt { x ^ { 2 } + ( \rho \pm y ) ^ { 2 } } \, , \qquad \kappa ( \boldsymbol x _ { 1 } , \boldsymbol x _ { 2 } ) : = \sqrt { \frac { 4 x _ { 1 } x _ { 2 } } { ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( y _ { 1 } - y _ { 2 } ) ^ { 2 } } } \, , } \\ { M ( \boldsymbol x _ { 1 } , \boldsymbol x _ { 2 } ) : = \, } & { \frac { \kappa ( \boldsymbol x _ { 1 } , \boldsymbol x _ { 2 } ) } { 2 \pi ( x _ { 1 } x _ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } \left( \frac { 2 - \kappa ^ { 2 } ( \boldsymbol x _ { 1 } , \boldsymbol x _ { 2 } ) } { 2 - 2 \kappa ^ { 2 } ( \boldsymbol x _ { 1 } , \boldsymbol x _ { 2 } ) } E ( \kappa ( \boldsymbol x _ { 1 } , \boldsymbol x _ { 2 } ) ) - K ( \kappa ( \boldsymbol x _ { 1 } , \boldsymbol x _ { 2 } ) ) \right) \, , } \end{array}
\mathcal { F } ( w _ { \varepsilon } , B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) ) \leq ( 1 + \eta ) \left( \mathcal { F } ( z _ { \varepsilon } , B _ { ( 1 - \theta ) \varepsilon } ( x _ { 0 } ) ) + \mathcal { F } ( u _ { \varepsilon } , C _ { \varepsilon , \theta } ( x _ { 0 } ) ) \right) + \varepsilon ^ { d - 1 } \rho _ { \varepsilon } + \eta \omega _ { d } \varepsilon ^ { d } .
\begin{array} { r l } & { \frac { \mathrm { e } ^ { - R _ { i } } } { p _ { K _ { i , t } | U _ { i , t } } ( K _ { i , t } | U _ { i , t } ) } \stackrel { \mathrm { ( a ) } } { = } \frac { \mathrm { e } ^ { - R _ { i } } } { p _ { K _ { i , t } | U _ { t } } ( K _ { i , t } | U _ { t } ) } } \\ & { \stackrel { \mathrm { ( b ) } } { \geq } \zeta _ { K _ { 1 , t } K _ { 2 , t } | U _ { t } ; R _ { 1 } , R _ { 2 } } ( K _ { 1 , t } K _ { 2 , t } | U _ { t } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { n } } & { = \frac { 1 } { n } \sum _ { j , j ^ { \prime } } [ ( \xi _ { j - 1 } - \xi _ { j + 1 } ) \overline { { \xi } } _ { j ^ { \prime } } + ( \xi _ { j ^ { \prime } - 1 } - \xi _ { j ^ { \prime } + 1 } ) \overline { { \xi } } _ { j } ] h _ { j , j ^ { \prime } } - \frac { 2 } { n } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } ( \xi _ { j - 1 } - \xi _ { j + 1 } ) \overline { { \xi } } _ { j } h _ { j , j } } \\ & { = \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \sum _ { j , j ^ { \prime } } \overline { { \xi } } _ { j } \overline { { \xi } } _ { j ^ { \prime } } ( \mathscr { A } _ { n } h ) _ { j , j ^ { \prime } } - \frac { 2 } { n ^ { 2 } } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \overline { { \xi } } _ { j } \overline { { \xi } } _ { j + 1 } ( \tilde { \mathscr { F } } _ { n } h ) _ { j } } \\ & { = - \frac { 1 } { n } \mathcal { Q } _ { t } ^ { n } ( \mathscr { A } _ { n } h ) - \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } ( \overline { { \xi } } _ { j } ) ^ { 2 } ( \mathscr { A } _ { n } h ) _ { j , j } - \frac { 2 } { n ^ { 2 } } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \overline { { \xi } } _ { j } \overline { { \xi } } _ { j + 1 } ( \tilde { \mathscr { F } } _ { n } h ) _ { j } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c \left[ \boldsymbol { x } , \boldsymbol { s } \right] } & { = \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \left[ \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d \hat { h } ^ { t } e ^ { - \mathrm { i } s ^ { t } \hat { h } ^ { t } } \right] c \left[ \boldsymbol { x } , \hat { \boldsymbol { h } } \right] } \\ { c \left[ \boldsymbol { x } , \hat { \boldsymbol { h } } \right] } & { = \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \left[ \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { d s ^ { t } } { 2 \pi } e ^ { \mathrm { i } s ^ { t } \hat { h } ^ { t } } \right] c \left[ \boldsymbol { x } , \boldsymbol { s } \right] , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { I _ { 1 } } & { = \sigma _ { 1 1 } + \sigma _ { 2 2 } + \sigma _ { 3 3 } } \\ & { = \sigma _ { k k } = { \mathrm { t r } } ( { \boldsymbol { \sigma } } ) } \\ { I _ { 2 } } & { = { \left| \begin{array} { l l } { \sigma _ { 2 2 } } & { \sigma _ { 2 3 } } \\ { \sigma _ { 3 2 } } & { \sigma _ { 3 3 } } \end{array} \right| } + { \left| \begin{array} { l l } { \sigma _ { 1 1 } } & { \sigma _ { 1 3 } } \\ { \sigma _ { 3 1 } } & { \sigma _ { 3 3 } } \end{array} \right| } + { \left| \begin{array} { l l } { \sigma _ { 1 1 } } & { \sigma _ { 1 2 } } \\ { \sigma _ { 2 1 } } & { \sigma _ { 2 2 } } \end{array} \right| } } \\ & { = \sigma _ { 1 1 } \sigma _ { 2 2 } + \sigma _ { 2 2 } \sigma _ { 3 3 } + \sigma _ { 1 1 } \sigma _ { 3 3 } - \sigma _ { 1 2 } ^ { 2 } - \sigma _ { 2 3 } ^ { 2 } - \sigma _ { 3 1 } ^ { 2 } } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( \sigma _ { i i } \sigma _ { j j } - \sigma _ { i j } \sigma _ { j i } \right) = { \frac { 1 } { 2 } } \left[ \left( { \mathrm { t r } } ( { \boldsymbol { \sigma } } ) \right) ^ { 2 } - { \mathrm { t r } } \left( { \boldsymbol { \sigma } } ^ { 2 } \right) \right] } \\ { I _ { 3 } } & { = \operatorname* { d e t } ( \sigma _ { i j } ) = \operatorname* { d e t } ( { \boldsymbol { \sigma } } ) } \\ & { = \sigma _ { 1 1 } \sigma _ { 2 2 } \sigma _ { 3 3 } + 2 \sigma _ { 1 2 } \sigma _ { 2 3 } \sigma _ { 3 1 } - \sigma _ { 1 2 } ^ { 2 } \sigma _ { 3 3 } - \sigma _ { 2 3 } ^ { 2 } \sigma _ { 1 1 } - \sigma _ { 3 1 } ^ { 2 } \sigma _ { 2 2 } } \end{array} }
\frac { \partial F } { \partial \mathbf { x } } = \int _ { \Omega ( \mathbf { u } ) ) } \nabla _ { \mathbf { x } } f ( \mathbf { x } ) d \mathbf { x } + \frac { \partial T } { \partial \mathbf { x } } ^ { \top } \int _ { \partial \Omega ( \mathbf { u } ) } f ( \mathbf { x } ) \frac { \partial \mathbf { x } } { \partial \mathbf { u } } ^ { \top } \mathbf { n } ( \mathbf { x } ) d \Gamma
\begin{array} { r l r } & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \operatorname* { m a x } _ { \mathbf { W } _ { k } , A _ { k } , B _ { k } , R _ { k } } } & { \! \! \! \! \! \! \sum _ { k = 1 } ^ { K } \! R _ { k } \! - \! \frac { 1 } { \eta } \sum _ { k } \! ( \Vert \mathbf { W } _ { k } \Vert _ { \ast } \! \! - \! \! \Vert \overline { { \mathbf { W } } } _ { k } \Vert _ { 2 } ) } \\ & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathrm { s . t . } } & { \! \! \! \! \! \! \overline { { R } } _ { k } \ge R _ { k } , ~ \mathbf { W } _ { k } \succeq \mathbf { 0 } , ~ R _ { k } \ge R _ { k } ^ { \operatorname* { m i n } } , ~ \forall k , } \\ & { } & { \! \! \! \! \! \! \mathrm { ( ) } - \mathrm { ( ) } , } \end{array}
S _ { ( 2 ) } = \left( \begin{array} { l l l l l l } { 0 } & { - 4 r ^ { - 1 } \sigma } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 2 r ^ { - 1 } \sigma } & { 0 } & { 2 \alpha r ^ { - 3 } i _ { \eta } } & { - 2 r ^ { - 1 } \sigma } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 2 \alpha r ^ { - 1 } \eta } & { 0 } & { 0 } & { - 2 r ^ { - 1 } \sigma } & { 0 } \\ { 0 } & { - 4 r ^ { - 1 } \sigma } & { 0 } & { 0 } & { 4 \alpha r ^ { - 3 } i _ { \eta } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 2 r ^ { - 1 } \sigma } & { - 2 \alpha r ^ { - 1 } \eta } & { 0 } & { 2 \alpha r ^ { - 3 } i _ { \eta } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 4 \alpha r ^ { - 1 } \eta } & { 0 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } } \phi ( x ) d \nu ( t , x ) } & { - \int _ { \mathbb { R } } \phi ( x ) d \nu _ { \Delta x } ( t , x ) } \\ & { = \int _ { \mathbb { R } } \phi ( y ( t , \xi ) ) H _ { \xi } ( t , \xi ) d \xi - \int _ { \mathbb { R } } \phi ( y _ { \Delta x } ( t , \xi ) ) H _ { \Delta x , \xi } ( t , \xi ) d \xi } \\ & { = \int _ { \mathbb { R } } \left( \phi ( y ( t , \xi ) ) - \phi ( y _ { \Delta x } ( t , \xi ) ) \right) H _ { \xi } ( t , \xi ) d \xi } \\ & { \qquad + \int _ { \mathbb { R } } \phi ( y _ { \Delta x } ( t , \xi ) ) \left( H _ { \xi } ( t , \xi ) - H _ { \Delta x , \xi } ( t , \xi ) \right) d \xi . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { b _ { 1 } ^ { \prime \prime } \equiv \sum _ { v = 1 } ^ { s ^ { + } } j _ { v } ^ { 1 } - \sum _ { w = 1 } ^ { s ^ { - } } k _ { w } ^ { 1 } \bmod p , } \\ { b _ { 2 } ^ { \prime \prime } \equiv \sum _ { v = 1 } ^ { s ^ { + } } j _ { v } ^ { 2 } - \sum _ { w = 1 } ^ { s ^ { - } } k _ { w } ^ { 2 } \bmod p , } \\ { \vdots } \\ { b _ { s } ^ { \prime \prime } \equiv \sum _ { v = 1 } ^ { s ^ { + } } j _ { v } ^ { s } - \sum _ { w = 1 } ^ { s ^ { - } } k _ { w } ^ { s } \bmod p . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \Big | \sum _ { l _ { 1 } , \ldots , l _ { 4 } \in \mathcal { L } } \mathbb { E } [ } & { h _ { l _ { 1 } } ( X _ { i _ { 1 } ^ { ( 1 ) } } , \ldots , X _ { i _ { r } ^ { ( 1 ) } } ) \cdots h _ { l _ { 1 } } ( X _ { i _ { ( q - 1 ) r + 1 } ^ { ( 1 ) } } , \ldots , X _ { i _ { q r } ^ { ( 1 ) } } ) \cdots } \\ & { h _ { l _ { 4 } } ( X _ { i _ { 1 } ^ { ( 4 ) } } , \ldots , X _ { i _ { r } ^ { ( 4 ) } } ) \cdots h _ { l _ { 4 } } ( X _ { i _ { ( q - 1 ) r + 1 } ^ { ( 4 ) } } , \ldots , X _ { i _ { q r } ^ { ( 4 ) } } ) ] \Big | \lesssim \tilde { \Sigma } _ { r } ^ { 2 } ( q ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta _ { k + 1 } } & { = \theta _ { k } + \alpha _ { k } P _ { k } } \\ { P _ { k } } & { = - A ^ { - 1 } \nabla f ( \theta _ { k } ) } \\ { \alpha _ { k } } & { = \frac { \delta t } { 1 + \delta t q \frac { ( \nabla f ( \theta _ { k } ) , A ^ { - 1 } \nabla f ( \theta _ { k } ) ) } { f ( \theta _ { k } ) + C } } \frac { r _ { k } } { [ f ( \theta _ { k } ) + C ] ^ { q } } > 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \begin{array} { l l l } { A } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { A ^ { \top } } & { I } \\ { S ^ { k } } & { 0 } & { X ^ { k } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \dot { x } } \\ { \dot { \lambda } } \\ { \dot { s } } \end{array} \right] } & { = \left[ \begin{array} { c } { r _ { b } ( x ^ { k } ) } \\ { r _ { c } ( \lambda ^ { k } , s ^ { k } ) } \\ { x ^ { k } \circ s ^ { k } } \end{array} \right] } \\ { \left[ \begin{array} { l l l } { A } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { A ^ { \top } } & { I } \\ { S ^ { k } } & { 0 } & { X ^ { k } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \ddot { x } } \\ { \ddot { \lambda } } \\ { \ddot { s } } \end{array} \right] } & { = \left[ \begin{array} { c } { 0 } \\ { 0 } \\ { - 2 \dot { x } \circ \dot { s } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 1 } ^ { A _ { 0 } + H } - v _ { 1 } ^ { A _ { 0 } } = T _ { 1 } + T _ { 2 } + T _ { 3 } = - v _ { 1 } ^ { A _ { 0 } } / \lambda _ { 1 } ^ { A _ { 0 } } \int _ { K ^ { 2 } } H ( x , y ) v _ { 1 } ^ { A _ { 0 } } ( x ) v _ { 1 } ^ { A _ { 0 } } ( y ) d x \, d y } \\ & { + \frac { A _ { 0 } } { \lambda _ { 1 } ^ { A _ { 0 } } } \left[ \sum _ { i > 1 } \frac { v _ { i } ^ { A _ { 0 } } } { \lambda _ { 1 } ^ { A _ { 0 } } - \lambda _ { i } ^ { A _ { 0 } } } \int _ { K ^ { 2 } } H ( x , y ) v _ { 1 } ^ { A _ { 0 } } ( x ) v _ { i } ^ { A _ { 0 } } ( y ) d x \, d y \right] + \frac { H } { \lambda _ { 1 } ^ { A _ { 0 } } } \left[ v _ { 1 } ^ { A _ { 0 } } \right] + \mathcal { O } ( \| H \| ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { ( - 1 ) ^ { m ( m - 1 ) / 2 } \prod _ { i , j = 1 } ^ { m } ( q ^ { j - 1 } - q ^ { 2 m - j } ) \vert ( q ^ { i - 1 } + q ^ { 2 m - i } ) ^ { j - 1 } \vert } \\ & { = } & { ( - 1 ) ^ { m ( m - 1 ) / 2 } \prod _ { j = 1 } ^ { m } ( q ^ { j - 1 } - q ^ { 2 m - j } ) \prod _ { 1 \leq i < j \leq m } ( ( q ^ { j - 1 } + q ^ { 2 m - j } ) - ( q ^ { i - 1 } + q ^ { 2 m - i } ) ) } \\ & { = } & { ( - 1 ) ^ { m ( m - 1 ) / 2 } \prod _ { j = 1 } ^ { m } q ^ { j - 1 } ( 1 - q ^ { 2 m - 2 j + 1 } ) \prod _ { 1 \leq i < j \leq m } - q ^ { i - 1 } ( 1 - q ^ { j - i } ) ( 1 - q ^ { 2 m - j - i + 1 } ) } \\ & { = } & { q ^ { \sum _ { i = 1 } ^ { m - 1 } ( i - 1 ) ( m - i ) } q ^ { \sum _ { j = 1 } ^ { m } j - 1 } \prod _ { j = 1 } ^ { m } [ 2 m - 2 j + 1 ] \prod _ { 1 \leq i < j \leq m } [ j - i ] [ 2 m - j - i + 1 ] } \\ & { = } & { q ^ { \sum _ { j = 1 } ^ { m } ( j - 1 ) ( m - j + 1 ) } \prod _ { i = 1 } ^ { m } [ 2 i - 1 ] ! } \end{array}
\mathsf { H o m } _ { \mathcal { Z } ( \mathsf { V e c t } _ { H } ^ { \omega } ) } ( V , W ) \to \mathsf { H o m } _ { \mathsf { R e p } _ { \mathcal { Z } ( \mathsf { V e c t } _ { G } ^ { \omega } ) } ^ { \mathsf { l o c } } ( A _ { H } ) } ( \Bbbk G \otimes V , \Bbbk G \otimes W ) , \qquad p \mapsto I ( p ) = \mathsf { I d } _ { A _ { H } } \otimes p .
\left[ \begin{array} { l l l l } { \lambda + \rho ( w ) \left( \beta _ { 1 } ( r ) + 2 x ^ { 2 } \beta _ { 1 } ^ { \prime } ( r ) \right) } & { \rho ( w ) \left( 2 x y \beta _ { 1 } ^ { \prime } ( r ) \right) } & { 2 x z \rho ^ { \prime } ( w ) \beta _ { 1 } ( r ) } & { 2 t z \rho ^ { \prime } ( w ) \beta _ { 1 } ( r ) } \\ { - \rho ( w ) \left( 2 x y \beta _ { 2 } ^ { \prime } ( r ) \right) } & { \mu - \rho ( w ) \left( \beta _ { 2 } ( r ) - 2 y ^ { 2 } \beta _ { 2 } ^ { \prime } ( r ) \right) } & { - 2 y z \rho ^ { \prime } ( w ) \beta _ { 2 } ( r ) } & { 2 y t \rho ^ { \prime } ( w ) \beta _ { 2 } ( r ) } \\ { 0 } & { 0 } & { \lambda ^ { s s } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \mu ^ { u u } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { } & { \sum _ { \sigma , \tau , \rho \in S _ { \mathbf { m } } } \sum _ { \gamma \in S _ { m _ { 1 } } \times \dots \times S _ { m _ { l } } } \delta \left( Q _ { \mathbf { r } , \mu _ { 1 } , \nu _ { 1 } } ^ { R } \sigma ^ { - 1 } \right) \delta \left( Q _ { \mathbf { s } , \nu _ { 2 } , \mu _ { 2 } } ^ { S } \tau \right) \mathcal { O } _ { \rho } ( B _ { l } ) \delta ( \rho ^ { - 1 } \gamma ^ { - 1 } \sigma \gamma \tau ^ { - 1 } ) } \\ { } & { = h \delta ^ { R S } \delta _ { \mathbf { r } \mathbf { s } } \delta _ { \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } } \mathcal { O } _ { \mathbf { r } , \mu _ { 1 } , \mu _ { 2 } } ^ { R } ( B _ { l } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \bar { t } _ { 0 } } ^ { \bar { t } _ { 0 } + T } \| \sum _ { i = 1 } ^ { N } \bar { u } _ { i } \mathbf { 1 } _ { O _ { i } } \| _ { V _ { \mathbb { P } } ^ { \prime } } ^ { 2 } d t } & { \leq i _ { H _ { \mathbb { P } } , V _ { \mathbb { P } } ^ { \prime } } \int _ { \bar { t } _ { 0 } } ^ { \bar { t } _ { 0 } + T } \| \sum _ { i = 1 } ^ { N } \bar { u } _ { i } \mathbf { 1 } _ { O _ { i } } \| _ { H _ { \mathbb { P } } } ^ { 2 } d t } \\ & { \leq i _ { H _ { \mathbb { P } } , V _ { \mathbb { P } } ^ { \prime } } N \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq N } \| \mathbf { 1 } _ { O _ { i } } \| _ { H } ^ { 2 } \int _ { \bar { t } _ { 0 } } ^ { \bar { t } _ { 0 } + T } \mathbb { E } \left[ | \bar { \mathbf { u } } ( t ) | _ { \ell _ { 2 } } ^ { 2 } \right] \, d t , } \end{array}
\begin{array} { l } { i \partial _ { t } \tilde { u } + \displaystyle \frac { \Delta _ { x } \tilde { u } } { 2 } + i k \cdot \nabla _ { x } \tilde { u } = \gamma \sigma _ { 1 } \star \displaystyle \int _ { \mathbb R ^ { n } } \sigma _ { 2 } \tilde { \Psi } \, { \mathrm { d } } z + \left( \gamma \sigma _ { 1 } \star \displaystyle \int _ { \mathbb R ^ { n } } \sigma _ { 2 } \tilde { \Psi } \, { \mathrm { d } } z \right) \tilde { u } , } \\ { \displaystyle \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \partial _ { t t } ^ { 2 } \tilde { \Psi } - \Delta _ { z } \tilde { \Psi } = - 2 \gamma \sigma _ { 2 } \sigma _ { 1 } \star \mathrm { R e } ( \tilde { u } ) - \gamma \sigma _ { 2 } \sigma _ { 1 } \star | \tilde { u } | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| I _ { N } \Phi _ { B } ^ { \tau } ( v ) - I _ { N } \Phi _ { B } ^ { \tau } ( w ) \| _ { H ^ { 1 } } } & { \leq \| v - w \| _ { H ^ { 1 } } + \| I _ { N } ( \Phi _ { B } ^ { \tau } ( v ) - v ) - I _ { N } ( \Phi _ { B } ^ { \tau } ( w ) - w ) \| _ { H ^ { 1 } } } \\ & { \leq \| v - w \| _ { H ^ { 1 } } + C \| { \delta _ { x } ^ { + } } ( \Phi _ { B } ^ { \tau } ( v ) - v ) - { \delta _ { x } ^ { + } } ( \Phi _ { B } ^ { \tau } ( w ) - w ) \| _ { l ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mu _ { 5 } ( m _ { 4 } , m _ { 5 } , m _ { 6 } ) , } \\ & { } & { m _ { 1 } m _ { 4 } ^ { 2 } + m _ { 2 } m _ { 4 } ^ { 2 } - m _ { 1 } m _ { 6 } ^ { 2 } , } \\ & { } & { m _ { 1 } ^ { 3 } m _ { 2 } ^ { 3 } m _ { 4 } ^ { 6 } m _ { 5 } ^ { 6 } + 3 m _ { 1 } ^ { 2 } m _ { 2 } ^ { 4 } m _ { 4 } ^ { 6 } m _ { 5 } ^ { 6 } + 3 m _ { 1 } m _ { 2 } ^ { 5 } m _ { 4 } ^ { 6 } m _ { 5 } ^ { 6 } + m _ { 2 } ^ { 6 } m _ { 4 } ^ { 6 } m _ { 5 } ^ { 6 } + \cdots \mathrm { ( 2 0 ~ o t h e r ~ t e r m s ) } , } \\ & { } & { m _ { 1 } ^ { 3 } m _ { 2 } ^ { 3 } m _ { 4 } ^ { 6 } m _ { 5 } ^ { 6 } + 3 m _ { 1 } ^ { 2 } m _ { 2 } ^ { 4 } m _ { 4 } ^ { 6 } m _ { 5 } ^ { 6 } + 3 m _ { 1 } m _ { 2 } ^ { 5 } m _ { 4 } ^ { 6 } m _ { 5 } ^ { 6 } + m _ { 2 } ^ { 6 } m _ { 4 } ^ { 6 } m _ { 5 } ^ { 6 } + \cdots \mathrm { ( 2 6 ~ o t h e r ~ t e r m s ) } , } \\ & { } & { 3 m _ { 1 } ^ { 4 } m _ { 4 } ^ { 8 } m _ { 5 } ^ { 4 } + 3 m _ { 1 } ^ { 3 } m _ { 2 } m _ { 4 } ^ { 8 } m _ { 5 } ^ { 4 } - 9 m _ { 1 } ^ { 2 } m _ { 2 } ^ { 2 } m _ { 4 } ^ { 8 } m _ { 5 } ^ { 4 } - 1 5 m _ { 1 } m _ { 2 } ^ { 3 } m _ { 4 } ^ { 8 } m _ { 5 } ^ { 4 } - \cdots \mathrm { ( 3 8 ~ o t h e r ~ t e r m s ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { D } ( t ) } & { \leq - \theta \int _ { s } ^ { t } \int _ { { \mathbb T } ^ { d } } { { \bf 1 } } _ { [ s , \tau _ { k } ] \times \Gamma } | u _ { j } | ^ { \zeta - 2 } | \nabla u _ { j } | ^ { 2 } \, d x d r } \\ & { \ + \theta \int _ { s } ^ { t } \int _ { { \mathbb T } ^ { d } } { { \bf 1 } } _ { [ s , \tau _ { k } ] \times \Gamma } | u _ { j } | ^ { \zeta - 2 } ( M _ { 1 } + M _ { 2 } | u _ { j } | ^ { 2 } ) \, d x d r - \int _ { s } ^ { t } { { \bf 1 } } _ { [ s , \tau _ { k } ] \times \Gamma } \mathcal { R } _ { j } ( r ) d r . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal A V ( a , b ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 3 ( 1 ) - 2 ( 2 ) } & { b = 0 } \\ { 3 ( 1 ) + 3 ( 2 ) - 1 ( 1 0 a ) } & { b = 1 } \\ { 3 ( 1 ) + 3 ( 2 ) - 6 ( 2 0 a ) - 1 ( 1 0 ) } & { b = 2 } \\ { 3 ( 1 ) + 3 ( 2 ) - 6 ( 1 0 a b ) - 6 ( 5 b ( b - 1 ) ) } & { b \ge 3 } \end{array} \right. } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { - 1 } & { b = 0 } \\ { 9 - 1 0 a } & { b = 1 } \\ { - 1 - 1 2 0 a } & { b = 2 } \\ { 9 - 6 0 a b - 3 0 b ( b - 1 ) } & { b \ge 3 } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { W _ { 1 } ^ { \star } = \left[ \begin{array} { l l } { V _ { 1 } } & { Z } \end{array} \right] , \ \ W _ { 2 } ^ { \star } = \left[ \begin{array} { l l } { V _ { 2 } \Sigma } & { 0 _ { d _ { 2 } \times ( k - r ) } } \end{array} \right] ^ { \top } , \ \ \mathrm { f o r ~ s o m e ~ Z \in ~ \mathbb { R } ^ { d _ 1 \times ~ ( k - r ) } ~ . } } \end{array}
\bar { { \mathbf { F } } } ^ { \prime \prime } = \bar { { \mathbf { F } } } ^ { \prime } , \quad { \mathbf { F } } _ { u } ^ { \prime \prime } = { \mathbf { f } } _ { u } ^ { \prime \prime } ( { \mathbf { f } } _ { u } ^ { \prime \prime } ) ^ { H } , \quad { \mathbf { f } } _ { u } ^ { \prime \prime } = ( { \mathbf { h } } _ { u } ^ { H } { \mathbf { F } } _ { u } ^ { \prime } { \mathbf { h } } _ { u } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } { \mathbf { F } } _ { u } ^ { \prime } { \mathbf { h } } _ { u } .
\begin{array} { r l r l } { 0 } & { \leq X _ { i j , j k } } & & { \forall i < j < k } \\ { X _ { i j , i k } \leq X _ { i j , i j } , \quad X _ { i j , i k } \leq X _ { i k , i k } , \quad X _ { i k , j k } } & { \leq X _ { i k , i k } , \quad X _ { i k , j k } \leq X _ { j k , j k } } & & { \forall i < j < k } \\ { X _ { i j , i j } + X _ { j k , j k } } & { \leq 1 + X _ { i j , j k } } & & { \forall i < j < k } \\ { X _ { i k , i k } - X _ { i j , i k } - X _ { i k , j k } + X _ { i j , j k } } & { = 0 } & & { \forall i < j < k } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( Y _ { e ^ { t _ { 1 } + s } } , \dots , Y _ { e ^ { t _ { n } + s } } ) } & { = ( e ^ { \langle t _ { 1 } + s , \Theta \rangle } X _ { t _ { 1 } + s } , \dots e ^ { \langle t _ { n } + s , \Theta \rangle } X _ { t _ { n } + s } ) } \\ & { \overset { \mathrm { l a w } } { = } ( e ^ { \langle s , \Theta \rangle } e ^ { \langle t _ { 1 } , \Theta \rangle } X _ { t _ { 1 } } , \dots , e ^ { \langle s , \Theta \rangle } e ^ { \langle t _ { n } , \Theta \rangle } X _ { t _ { n } } ) } \\ & { = ( e ^ { \langle s , \Theta \rangle } Y _ { e ^ { t _ { 1 } } } , \dots , e ^ { \langle s , \Theta \rangle } Y _ { e ^ { t _ { n } } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { [ L a x - F r i e d r i c h s ] } \quad } & { g ( \rho _ { L } , \rho _ { R } , q _ { L } , q _ { R } ) = \frac 1 2 ( \rho _ { L } v ( q _ { L } ) + \rho _ { R } v ( q _ { R } ) ) + \frac \alpha 2 ( \rho _ { L } - \rho _ { R } ) , } \\ { \mathrm { [ G o d u n o v ] } \quad } & { g ( \rho _ { L } , \rho _ { R } , q _ { L } , q _ { R } ) = \rho _ { L } v ( q _ { R } ) , } \\ { \mathrm { [ m o d i f i e d ~ L a x - F r i e d r i c h s ] } \quad } & { g ( \rho _ { L } , \rho _ { R } , q _ { L } , q _ { R } ) = \frac 1 2 ( \rho _ { L } + \rho _ { R } ) v ( q _ { R } ) + \frac \alpha 2 ( \rho _ { L } - \rho _ { R } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { x c } } = \, } & { \alpha E _ { \mathrm { x , S R } } ^ { \mathrm { e x } } + ( 1 - \alpha ) E _ { \mathrm { x , S R } } ^ { \mathrm { s l } } [ n ] + ( \alpha + \beta ) E _ { \mathrm { x , L R } } ^ { \mathrm { e x } } } \\ & { + ( 1 - \alpha - \beta ) E _ { \mathrm { x , L R } } ^ { \mathrm { s l } } [ n ] + E _ { \mathrm { c } } ^ { \mathrm { s l } } [ n ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { h _ { \mathbb { B } ^ { 2 } } ( x , y ) } { j _ { \mathbb { B } ^ { 2 } } ( x , y ) } = \frac { \log \left( \frac { k _ { 1 } ( 1 - k _ { 0 } ) } { k _ { 0 } ( 1 - k _ { 1 } ) } \right) } { \operatorname* { m a x } \left\{ \log \left( \frac { k _ { 1 } } { k _ { 0 } } \right) , \log \left( \frac { 1 - k _ { 0 } } { 1 - k _ { 1 } } \right) \right\} } = \frac { \log \left( \frac { k _ { 1 } } { k _ { 0 } } \right) + \log \left( \frac { 1 - k _ { 0 } } { 1 - k _ { 1 } } \right) } { \operatorname* { m a x } \left\{ \log \left( \frac { k _ { 1 } } { k _ { 0 } } \right) , \log \left( \frac { 1 - k _ { 0 } } { 1 - k _ { 1 } } \right) \right\} } \leq 2 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta V ^ { \phi } ( \Delta ) = } & { \Delta - \theta ^ { \phi } + ( 1 - p ) V ^ { \phi } ( \Delta + 1 ) + p V ( 0 ) - V ^ { \phi , 1 } ( \Delta ) } \\ { = } & { \Delta - \theta ^ { \phi } + ( 1 - p ) V ^ { \phi } ( \Delta + 1 ) + p V ( 0 ) - V ^ { \phi } ( \Delta ) } \\ { = } & { \Delta - 2 \theta ^ { \phi } + [ ( 1 - p ) - p ( \Delta - 1 ) ] \sigma , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { { f } _ { 1 } ( \cdot , y ) y _ { 1 } } { \zeta - 1 } + \frac { 1 } { 4 ( \nu _ { 1 } - \varepsilon ) } \Big ( \sum _ { n \geq 1 } | b _ { n , 1 } ( \cdot ) | \, | g _ { n , 1 } ( \cdot , y ) | \Big ) ^ { 2 } } & { + \frac 1 2 \| ( g _ { n , 1 } ( \cdot , y ) ) _ { n \geq 1 } \| _ { \ell ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { \leq M _ { 0 } ( 1 + | y | ^ { 2 } ) - \varepsilon _ { 1 } | y _ { 1 } | ^ { 2 } | y _ { 2 } | ^ { 2 } . } \end{array}
\small \begin{array} { l l } { R i c ( F _ { \ast } X , V ) } & { = \sum _ { j = r + 1 } ^ { m } \Big \{ g _ { 2 } ( ( \tilde { \nabla } _ { X } \mathcal { S } ) _ { V } F _ { \ast } X _ { j } , F _ { \ast } X _ { j } ) - g _ { 2 } ( ( \tilde { \nabla } _ { X _ { j } } \mathcal { S } ) _ { V } F _ { \ast } X , F _ { \ast } X _ { j } ) \Big \} - \sum _ { k = 1 } ^ { n _ { 1 } } g _ { 2 } ( R ^ { F \bot } ( F _ { \ast } X , e _ { k } ) V , e _ { k } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { t ^ { \prime } } & { = } & { \frac { \tau _ { 0 } } { \alpha } \ln { \left( 1 + \frac { \alpha t } { \tau _ { 0 } } \right) } } \\ & { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { t , ~ ~ \alpha t \ll \tau _ { 0 } } \\ { \frac { \tau _ { 0 } } { \alpha } \ln { \frac { \alpha t } { \tau _ { 0 } } } , ~ ~ \alpha t \gg \tau _ { 0 } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r l r } & { } & { \frac { d \mathbf { y } } { d t } = } & { \frac { 1 } { \rho } \mathbf { W } \cdot \sum _ { k = 1 } ^ { 2 K } \mathbf { S } _ { k } R ^ { k } } & \\ & { } & { \frac { d T } { d t } = } & { \frac { 1 } { \rho c _ { v } } \left( - \mathbf { h } _ { c } \cdot \mathbf { W } + \mathrm { R } T \mathbf { U } \right) \cdot \sum _ { k = 1 } ^ { 2 K } \mathbf { S } _ { k } R ^ { k } } \end{array}
\begin{array} { r l } { K \left( \rho \right) } & { = a _ { 1 } b _ { 1 } \sin \left( \left( \alpha - \mu \right) \pi \right) + a _ { 1 } b _ { 2 } \rho ^ { \alpha - \beta } \sin \left( \left( 2 \alpha - \beta - \mu \right) \pi \right) } \\ & { \quad + a _ { 1 } b _ { 3 } \rho ^ { \alpha + \gamma } \sin \left( \left( 2 \alpha + \gamma - \mu \right) \pi \right) + a _ { 2 } b _ { 1 } \rho ^ { \mu + \nu } \sin \left( \left( \alpha - 2 \mu - \nu \right) \pi \right) } \\ & { \quad + a _ { 2 } b _ { 2 } \rho ^ { \alpha - \beta + \mu + \nu } \sin \left( \left( 2 \alpha - \beta - 2 \mu - \nu \right) \pi \right) + a _ { 2 } b _ { 3 } \rho ^ { \alpha + \gamma + \mu + \nu } \sin \left( \left( 2 \alpha + \gamma - 2 \mu - \nu \right) \pi \right) } \\ & { \quad - a _ { 3 } b _ { 1 } \rho ^ { \alpha + \gamma } \sin \left( \left( \mu + \gamma \right) \pi \right) + a _ { 3 } b _ { 2 } \rho ^ { 2 \alpha - \beta + \gamma } \sin \left( \left( \alpha - \beta - \gamma - \mu \right) \pi \right) + a _ { 3 } b _ { 3 } \rho ^ { 2 \left( \alpha + \gamma \right) } \sin \left( \left( \alpha - \mu \right) \pi \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { U } & { = \frac { 1 } { \sqrt { z + h } } \left( \begin{array} { l l l l l l l } { \sqrt { z } } & { - \sqrt { h } } & { 0 \dag \sqrt { \frac { h } { 2 } } } & { \sqrt { \frac { z } { 2 } } } & { - \sqrt { \frac { z + h } { 2 } } \dag \sqrt { \frac { h } { 2 } } } & { \sqrt { \frac { z } { 2 } } } & { \sqrt { \frac { z + h } { 2 } } } \end{array} \right) \dag \Sigma } & { = \left( \begin{array} { l } { \sqrt { z + h } \dag 0 \dag 0 } \end{array} \right) \dag V } & { = 1 \dag , , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { m i n i m i z e } } & { } & { \frac 1 D \sum _ { m = 1 } ^ { M } \sum _ { t = 1 } ^ { T _ { m } } \bigl ( x _ { t } ^ { m } - \beta _ { 1 } ^ { m } x _ { t - 1 } ^ { m } - \cdots - \beta _ { L } ^ { m } x _ { t - L } ^ { m } \bigr ) ^ { 2 } + \lambda | \! | \boldsymbol { \beta } | \! | _ { \mathcal G } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta _ { i j } } & { = \operatorname { t r } { \left[ ( F _ { i } \otimes \overline { { F _ { j } } } ) ^ { * } \hat { T } \right] } = \operatorname { t r } { \left[ ( F _ { i } \otimes F _ { j } ^ { \mathrm { T } } ) \hat { T } \right] } } \\ & { = \sum _ { k , l = 1 } ^ { d } \operatorname { t r } { \left( F _ { i } E _ { k l } \otimes F _ { j } ^ { \mathrm { T } } E _ { l k } \right) } = \sum _ { k , l = 1 } ^ { d } \operatorname { t r } { F _ { i } E _ { k l } } \cdot \operatorname { t r } { F _ { j } ^ { \mathrm { T } } E _ { l k } } } \\ & { = \sum _ { k , l = 1 } ^ { d } \langle F _ { i } , E _ { k l } \rangle _ { 2 } \langle E _ { k l } , F _ { j } ^ { \mathrm { T } } \rangle _ { 2 } = \langle F _ { i } , \sum _ { k , l = 1 } ^ { d } \langle E _ { k l } , F _ { j } ^ { \mathrm { T } } \rangle _ { 2 } E _ { k l } \rangle _ { 2 } } \\ & { = \langle F _ { i } , F _ { j } ^ { \mathrm { T } } \rangle _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { g ( x _ { t + 1 } , y _ { t + 1 } ) - G ( x _ { t + 1 } ) - \big ( g ( x _ { t } , y _ { t } ) - G ( x _ { t } ) \big ) } \\ & { \leq - \frac { \eta _ { t } \lambda \mu } { 2 } \big ( g ( x _ { t } , y _ { t } ) - G ( x _ { t } ) \big ) + \frac { \eta _ { t } } { 8 \gamma } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } - \frac { \eta _ { t } } { 4 \lambda } \| \tilde { y } _ { t + 1 } - y _ { t } \| ^ { 2 } + \eta _ { t } \lambda \| \nabla _ { y } g ( x _ { t } , y _ { t } ) - v _ { t } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\left( a ^ { n } \right) ^ { * } \left( a ^ { i _ { 1 } } \omega a ^ { j _ { 1 } } \right) \left( a ^ { n } \right) ^ { * } \dots \left( a ^ { i _ { t } } \omega a ^ { j _ { t } } \right) \left( a ^ { n } \right) ^ { * } \cap \left( a ^ { n } \right) ^ { * } \left( a ^ { k _ { 1 } } \omega a ^ { \ell _ { 1 } } \right) \left( a ^ { n } \right) ^ { * } \dots \left( a ^ { k _ { t } } \omega a ^ { \ell _ { t } } \right) \left( a ^ { n } \right) ^ { * }
\begin{array} { r } { \omega = \omega ( \epsilon , R ) : = \{ \frac { 1 } { 2 } \leq M _ { 0 , 1 } ( g _ { \epsilon , R } ) \leq 1 ; M _ { 0 , \alpha _ { 1 } } ( g _ { \epsilon , R } ) \leq c _ { 0 , \alpha _ { 1 } } ; M _ { 0 , \tilde { m } } ( g _ { \epsilon , R } ) \leq c _ { 0 , \tilde { m } } , M _ { 0 , \frac { \sigma } { | \mu | } } ( g _ { \epsilon , R } ) \leq c _ { 0 , \frac { \sigma } { | \mu | } } \} } \end{array}
\sqrt { ( a _ { 1 } + b _ { 1 } + \cdots + z _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( a _ { 2 } + b _ { 2 } + \cdots + z _ { 2 } ) ^ { 2 } + \cdots + ( a _ { n } + b _ { n } \cdots + z _ { n } ) ^ { 2 } } \leq \sqrt { a _ { 1 } ^ { 2 } + a _ { 2 } ^ { 2 } + \cdots + a _ { n } ^ { 2 } } + \sqrt { b _ { 1 } ^ { 2 } + b _ { 2 } ^ { 2 } + \cdots + b _ { n } ^ { 2 } } + \cdots + \sqrt { z _ { 1 } ^ { 2 } + z _ { 2 } ^ { 2 } + \cdots + z _ { n } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l r } { \frac { u _ { e } ^ { T } ( I - P _ { \mathit { F } } ) Y } { \{ x _ { e } ^ { T } ( I - P _ { \mathit { E } _ { - e } } ) x _ { e } \} ^ { 1 / 2 } } } & { = } & { \frac { x _ { e } ^ { T } ( I - P _ { \mathit { E } _ { - e } } ) ( I - P _ { \mathit { F } } ) Y } { \{ x _ { e } ^ { T } ( I - P _ { \mathit { E } _ { - e } } ) x _ { e } \} ^ { 1 / 2 } } + \delta _ { e , 1 } } \\ & { = } & { \sigma e _ { j } ^ { T } T _ { ( I - P _ { \mathit { F } } ) Y : \mathit { E } } + \delta _ { e , 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { 1 } \Bigl | \sum _ { \ell \ge N + 1 } \lambda _ { \ell } ( G _ { \ell } | f ) G _ { \ell } ( y ^ { \prime } ) \Bigr | ^ { 2 } d y } & { \le \int _ { 0 } ^ { 1 } \sum _ { \ell \ge N + 1 } | \lambda _ { \ell } ( G _ { \ell } | f ) | ^ { 2 } | G _ { \ell } ( y ^ { \prime } ) | ^ { 2 } d y } \\ & { \le | \lambda _ { N + 1 } | ^ { 2 } \sum _ { \ell \ge N + 1 } | ( G _ { \ell } | f ) | ^ { 2 } \le | \lambda _ { N + 1 } | ^ { 2 } \| f \| ^ { 2 } . } \end{array}
\Delta _ { 1 , 3 } = \sqrt { \rho _ { b } } \sqrt { \rho _ { k } } \stackrel [ m = 1 ] { M } { \sum } \stackrel [ n = 1 ] { N } { \sum } a _ { M , m } ^ { H } \left( \phi _ { k r } ^ { a } , \phi _ { k r } ^ { e } \right) \tilde { g } _ { n m } ^ { H } e ^ { - j \varphi _ { m } } a _ { N , n } \left( \phi _ { b } ^ { a } , \phi _ { b } ^ { e } \right) \stackrel [ m = 1 ] { M } { \sum } a _ { M , m } ^ { H } \left( \phi _ { r } ^ { a } , \phi _ { r } ^ { e } \right) e ^ { j \bar { \varphi _ { m } } } e ^ { j \varphi _ { m } }
\begin{array} { r l } { e ^ { 2 \hat { \lambda } \tau n } ( \mathcal { L } [ C _ { n } ] - \mathcal { L } [ C _ { \infty } ] ) } & { = ( 1 + \lambda \tau ) ^ { 2 n } ( \mathcal { L } [ C _ { n } ] - \mathcal { L } [ C _ { \infty } ] ) } \\ & { \leq ( 1 + \lambda \tau ) ^ { 2 ( n - 1 ) } ( \mathcal { L } [ C _ { n - 1 } ] - \mathcal { L } [ C _ { \infty } ] ) } \\ & { \cdots } \\ & { \leq \mathcal { L } [ C _ { 0 } ] - \mathcal { L } [ C _ { \infty } ] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - \varepsilon \frac { d } { d t } \langle \nabla _ { x } \Delta _ { x } ^ { - 1 } a ^ { ( s ) } , b ^ { ( s ) } \rangle _ { L _ { x } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { C } \| a \| _ { H ^ { s } } ^ { 2 } } \\ & { \quad \lesssim \varepsilon ^ { 2 } \langle \| F _ { + } \| _ { \mathfrak D } \rangle ^ { 2 } + \| a \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \| ( b , c ) \| _ { H _ { x } ^ { s } } ^ { 2 } + \| \mathcal P _ { \gamma } ^ { \perp } f ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big \| { y ^ { - \varepsilon / 2 + n } \partial _ { y } ^ { 2 + \ell } \partial _ { x } ^ { \beta - \ell } \mathcal { U } } \big \| _ { L ^ { 2 } ( y ^ { \alpha } , \mathscr { S } _ { 1 } ) } } & { \lesssim \sum _ { k = 0 } ^ { \ell } \frac { \ell ! } { k ! } \big \| { y ^ { - \varepsilon / 2 + n - \ell + k - 1 } \partial _ { x } ^ { \beta - \ell } \partial _ { y } ^ { k + 1 } \mathcal { U } } \big \| _ { L ^ { 2 } ( y ^ { \alpha } , \mathscr { S } _ { 1 } ) } } \\ & { \qquad + \sum _ { | \widetilde { \beta } | = | \beta | + 2 } \left\| y ^ { - \varepsilon / 2 + n } \partial _ { x } ^ { \widetilde { \beta } - \ell } \partial _ { y } ^ { \ell } \mathcal { U } \right\| _ { L ^ { 2 } ( y ^ { \alpha } , \mathscr { S } _ { 1 } ) } } \\ & { \lesssim \sum _ { k = 0 } ^ { \ell } \frac { \ell ! } { k ! } C ^ { n - \ell + k - 1 } ( n - \ell + k - 1 ) ! + C ^ { n } n ! } \\ & { \lesssim C ^ { n - 1 } n ! + C ^ { n } n ! \simeq C ^ { n } n ! , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { A } _ { k , \mathrm { c } } ^ { \mathrm { o p t } } = \left( \sum _ { l = 1 } ^ { K } { \mathbf { T } _ { k l , \left( 1 \right) } + \sum _ { l \in \mathcal { P } _ { k } } ^ { \mathbf { T } _ { k l , \left( 2 \right) } } } + \sigma ^ { 2 } \mathbf { S } _ { k , \mathrm { c } } \right) ^ { - 1 } \mathbf { Z } _ { k } \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } } , } \\ { \mathbf { E } _ { k , ( 2 ) , \mathrm { c } } ^ { \mathrm { o p t } } = \mathbf { I } _ { N } - \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } } ^ { H } \mathbf { Z } _ { k } ^ { H } \left( \sum _ { l = 1 } ^ { K } { \mathbf { T } _ { k l , \left( 1 \right) } + \sum _ { l \in \mathcal { P } _ { k } } ^ { \mathbf { T } _ { k l , \left( 2 \right) } } } + \sigma ^ { 2 } \mathbf { S } _ { k , \mathrm { c } } \right) ^ { - 1 } \mathbf { Z } _ { k } \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { T } } & { = \left\{ z \in \bigtimes _ { i \in \overline { { T } } } \mathbb { Z } _ { m _ { i } } : d \leq \mathrm { o u t d e g } \left( z , G ^ { [ \kappa ] } ( T ) \right) \leq 2 d \mathrm { ~ a n d ~ } \rho ( z ) \mathrm { ~ i s ~ } ( t + 1 ) \mathrm { - c o n t r i b u t i n g } \right\} } \\ { B _ { T } } & { = \left\{ w \in \bigtimes _ { i \in \overline { { T } } } \mathbb { Z } _ { m _ { i } } : \rho ( w ) \mathrm { ~ i s ~ } t \mathrm { - c o n t r i b u t i n g } \right\} . } \end{array}
\small q _ { \mu } = \frac { \mathrm { d e t } \left[ \boldsymbol { \phi } ( \hat { \mu } , \hat { \boldsymbol { \theta } } ) - \boldsymbol { \phi } ( \mu , \hat { \hat { \boldsymbol { \theta } } } ) , \quad \boldsymbol { \phi } _ { \boldsymbol { \theta } } ( \mu , \hat { \hat { \boldsymbol { \theta } } } ) \right] } { \mathrm { d e t } \left[ \boldsymbol { \phi } _ { \boldsymbol { \psi } } ( \hat { \mu } , \hat { \boldsymbol { \theta } } ) \right] } \left( \frac { \mathrm { d e t } [ j _ { \boldsymbol { \psi } \boldsymbol { \psi } } ( \hat { \mu } , \hat { \boldsymbol { \theta } } ) ] } { \mathrm { d e t } [ j _ { \boldsymbol { \theta } \boldsymbol { \theta } } ( \mu , \hat { \hat { \boldsymbol { \theta } } } ) ] } \right) ^ { 1 / 2 } \, .
{ \mathcal { J } } ^ { 2 } = { \mathcal { P } } ^ { 2 } = - { \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } \beta } } \left( { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \alpha ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \gamma ^ { 2 } } } - 2 \cos \beta { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \alpha \partial \gamma } } \right) - { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \beta ^ { 2 } } } - \cot \beta { \frac { \partial } { \partial \beta } } .
\left[ \begin{array} { l l } { A _ { 1 , 1 } } & { A _ { 1 , 2 } } \\ { A _ { 2 , 1 } } & { A _ { 2 , 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { B _ { 1 , 1 } } & { B _ { 1 , 2 } } \\ { B _ { 2 , 1 } } & { B _ { 2 , 2 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { A _ { 1 , 1 } B _ { 1 , 1 } + A _ { 1 , 2 } B _ { 2 , 1 } } & { A _ { 1 , 1 } B _ { 1 , 2 } + A _ { 1 , 2 } B _ { 2 , 2 } } \\ { A _ { 2 , 1 } B _ { 1 , 1 } + A _ { 2 , 2 } B _ { 2 , 1 } } & { A _ { 2 , 1 } B _ { 1 , 2 } + A _ { 2 , 2 } B _ { 2 , 2 } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { P _ { e , i } } & { \le \sum _ { j = 1 } ^ { \hat { K } _ { n } } \operatorname* { P r } \left( \Delta _ { i , j } ( \Phi ) \le \Lambda _ { n } \bar { \tau } , I _ { i } = 1 \right) + \operatorname* { P r } \left( \Delta _ { i , R _ { i } } ( \Phi ) > \Lambda _ { n } \bar { \tau } , I _ { i } = 0 \right) } \\ & { \le \sum _ { j = 1 } ^ { \hat { K } _ { n } } 2 ^ { - \Lambda _ { n } D ( \bar { \tau } \| q _ { 0 , \Phi } ^ { ( | i - L _ { j } | ) } ) } + 2 ^ { - \Lambda _ { n } D ( 1 - \bar { \tau } \| 1 - q _ { 1 , \Phi } ^ { \prime } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r l } { \operatorname { t a n h } _ { p } ( t ) } & { = \frac { \sinh _ { p } ( t ) } { \cosh _ { p } ( t ) } , } & { \coth _ { p } ( t ) } & { = \frac { 1 } { \operatorname { t a n h } _ { p } ( t ) } , } & { \operatorname { s e c h } _ { p } ( t ) } & { = \frac { 1 } { \sinh _ { p } ( t ) } , } & { \operatorname { c s c h } _ { p } ( t ) } & { = \frac { 1 } { \cosh _ { p } ( t ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { s ^ { \prime } , 0 } ^ { 2 } } & { = ( q _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { - 1 } \cdot q _ { 0 } ^ { \prime } \cdot \iota \left( \theta _ { - ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } } T _ { s ^ { \prime } } \right) ^ { 2 } } \\ & { = ( q _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { - 1 } \cdot q _ { 0 } ^ { \prime } \cdot \iota \left( - ( q _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { 1 / 2 } ( ( q _ { 0 } ^ { \prime } ) ^ { 1 / 2 } - ( q _ { 0 } ^ { \prime } ) ^ { - 1 / 2 } ) \cdot \theta _ { - ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } } T _ { s ^ { \prime } } + q _ { 1 } ^ { \prime } \right) } \\ & { = ( q _ { 0 } ^ { \prime } - 1 ) \left( - ( q _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { - 1 / 2 } \cdot ( q _ { 0 } ^ { \prime } ) ^ { 1 / 2 } \cdot \iota \left( \theta _ { - ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } } T _ { s ^ { \prime } } \right) \right) + q _ { 0 } ^ { \prime } } \\ & { = ( q _ { 0 } ^ { \prime } - 1 ) T _ { s ^ { \prime } , 0 } + q _ { 0 } ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { L ^ { \prime } = \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { J } } ^ { 2 } \sum _ { \alpha < \beta } q _ { \alpha \beta } S ^ { \alpha } S ^ { \beta } + \beta \sum _ { \alpha } ( \mu _ { _ { J } } m _ { \alpha } + h ) S ^ { \alpha } } \\ & { + \gamma \sum _ { \alpha < \beta } q _ { \alpha \beta } ^ { 2 } S ^ { \alpha } S ^ { \beta } + \gamma ^ { \prime } \sum _ { \alpha } m _ { \alpha } ^ { 2 } S ^ { \alpha } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathop { \mathbb { E } } } & { \left[ \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left\| \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } { \boldsymbol \nabla } _ { t } ^ { k } \right\| \right] \leq \frac { 2 ( F ( { \mathbf x } _ { 0 } ) - F ^ { \star } ) } { \delta N } + \operatorname* { m a x } \left( \frac { 5 G ^ { 2 / 3 } ( F ( { \mathbf x } _ { 0 } ) - F ^ { \star } ) ^ { 1 / 3 } } { ( N \delta ) ^ { 1 / 3 } } , \frac { 6 G } { \sqrt { N } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { B _ { 1 } } \phi \left( \left| D ^ { 2 } u \right| \right) d x = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } \left| \left\{ x \in B _ { 1 } : \left| D ^ { 2 } u \right| > 2 N _ { 1 } \mu \right\} \right| d \left[ \phi \left( 2 N _ { 1 } \mu \right) \right] } \\ { \leq } & { \frac { C _ { 1 } } { M ^ { p } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \mu ^ { p } } \left\{ \int _ { \left\{ x \in B _ { 1 } : \left| D ^ { 2 } u \right| > \mu / 2 \right\} } \left| D ^ { 2 } u \right| ^ { p } d x \right\} d \left[ \phi \left( 2 N _ { 1 } \mu \right) \right] } \\ & { + C _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \mu ^ { p } } \left\{ \int _ { \left\{ x \in B _ { 1 } : | f | > \mu / ( 2 M ) \right\} } | f | ^ { p } d x \right\} d \left[ \phi \left( 2 N _ { 1 } \mu \right) \right] } \\ { \leq } & { \frac { C _ { 2 } } { M ^ { p } } \int _ { B _ { 1 } } \phi \left( \left| D ^ { 2 } u \right| \right) d x + C _ { 3 } \int _ { B _ { 1 } } \phi ( | f | ) d x } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathcal L } _ { n } ( \tilde { \boldsymbol { \beta } } ^ { t + 1 } ) - { \mathcal L } _ { n } ( \hat { \boldsymbol { \beta } } ) = { \mathcal L } _ { n } ( \tilde { \boldsymbol { \beta } } ^ { t + 1 } ) - { \mathcal L } _ { n } ( { \boldsymbol { \beta } } ^ { t } ) + { \mathcal L } _ { n } ( { \boldsymbol { \beta } } ^ { t } ) - { \mathcal L } _ { n } ( \hat { \boldsymbol { \beta } } ) } \\ & { \leq \langle \nabla { \mathcal L } _ { n } ( { \boldsymbol { \beta } } ^ { t } ) , \tilde { \boldsymbol { \beta } } ^ { t + 1 } - { \boldsymbol { \beta } } ^ { t } \rangle + \frac { 2 \gamma } { 3 } \| \tilde { \boldsymbol { \beta } } ^ { t + 1 } - { \boldsymbol { \beta } } ^ { t } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \langle \nabla { \mathcal L } _ { n } ( { \boldsymbol { \beta } } ^ { t } ) , { \boldsymbol { \beta } } ^ { t } - \hat { \boldsymbol { \beta } } \rangle - \frac { \alpha } { 3 } \| { \boldsymbol { \beta } } ^ { t } - \hat { \boldsymbol { \beta } } \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { = \langle \nabla { \mathcal L } _ { n } ( { \boldsymbol { \beta } } ^ { t } ) , \tilde { \boldsymbol { \beta } } ^ { t + 1 } - \hat { \boldsymbol { \beta } } \rangle + \frac { 3 } { 8 \gamma } \| \nabla { \mathcal L } _ { n } ( { \boldsymbol { \beta } } ^ { t } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { \alpha } { 3 } \| { \boldsymbol { \beta } } ^ { t } - \hat { \boldsymbol { \beta } } \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { = \langle \nabla { \mathcal L } _ { n } ( { \boldsymbol { \beta } } ^ { t } ) , \tilde { \boldsymbol { \beta } } ^ { t } - \hat { \boldsymbol { \beta } } \rangle - \frac { 3 } { 8 \gamma } \| \nabla { \mathcal L } _ { n } ( { \boldsymbol { \beta } } ^ { t } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { \alpha } { 3 } \| { \boldsymbol { \beta } } ^ { t } - \hat { \boldsymbol { \beta } } \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { = \langle \nabla { \mathcal L } _ { n } ( { \boldsymbol { \beta } } ^ { t } ) , \tilde { \boldsymbol { \beta } } ^ { t } - \hat { \boldsymbol { \beta } } \rangle - \frac { \eta ^ { 0 } } { 2 } \| \nabla { \mathcal L } _ { n } ( { \boldsymbol { \beta } } ^ { t } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { \alpha } { 3 } \| { \boldsymbol { \beta } } ^ { t } - \hat { \boldsymbol { \beta } } \| _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
b _ { 0 } \gamma \omega \lambda _ { 1 } \, K ^ { \prime } ( x ) N ^ { 1 - \lambda _ { 1 } t - \alpha } = \underbrace { \frac { 2 b _ { 0 } \gamma } { \lambda _ { 0 } } N ^ { 1 - \alpha } } _ { \substack { \mathrm { n u m b e r ~ o f } \, \textit { a n c e s t r a l } \, \textit { r e s i s t a n t c e l l s } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \underbrace { \left( \int _ { 0 } ^ { u } \omega b _ { 1 } e ^ { \lambda _ { 1 } ( u - s ) } \lambda _ { 0 } e ^ { - \lambda _ { 0 } s } d s \right) } _ { \substack { \Omega _ { 1 } } } \, \underbrace { ( \frac { \lambda _ { 1 } } { b _ { 1 } } ) ^ { 2 } e ^ { - \lambda _ { 1 } ( t _ { N } - u ) } e ^ { - x \frac { \lambda _ { 1 } } { b _ { 1 } } e ^ { \lambda _ { 1 } u } } } _ { \substack { \Omega _ { 2 } } } d u .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \lambda _ { 1 } , \, \lambda _ { 2 } } \quad } & { \left[ \left( \frac { \lambda _ { 1 } } { 2 } + \frac { \lambda _ { 2 } } { 3 } \right) B _ { 2 1 } + \left( \frac { \lambda _ { 2 } } { 3 } \right) B _ { 3 2 } \right] + z _ { 1 - \alpha / 2 } \sqrt { \left( \frac { \lambda _ { 1 } } { 2 } + \frac { \lambda _ { 2 } } { 3 } \right) ^ { 2 } + \left( 1 - \frac { \lambda _ { 1 } } { 2 } - \frac { 2 } { 3 } \lambda _ { 2 } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \lambda _ { 2 } } { 3 } \right) ^ { 2 } } } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } \ge 0 ; \ \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } \le 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( I I . 1 ) } & { \leq 2 \sqrt { \eta _ { k } - s } \frac { b - \eta _ { k } } { b - s } \Big ( C _ { R } + 1 \Big ) \kappa _ { s _ { 0 } , e _ { 0 } } ^ { \operatorname* { m a x } } \gamma } \\ & { \leq 2 \frac { 4 } { \operatorname* { m i n } \Big \{ 1 , c _ { 1 } ^ { 2 } \Big \} } \Delta ^ { - 1 / 2 } \gamma \Big | b - \eta _ { k } \Big | \Big ( C _ { R } + 1 \Big ) \kappa _ { s _ { 0 } , e _ { 0 } } ^ { \operatorname* { m a x } } } \end{array}
r P _ { \mathrm { \mathcal { N } } } ( \delta ^ { k } ) + r x _ { k } - r P _ { \mathrm { \mathcal { N } } } ( \mathit { \hat { w } } ^ { k } ) + r P _ { \mathrm { \mathcal { M } } } ( \delta ^ { k } ) - r P _ { \mathrm { \mathcal { M } } } ( \mathit { \hat { w } } ^ { k } ) - w _ { k } \in ( \mathrm { \mathcal { F } } + N _ { \mathrm { \mathcal { C } } } ) ( \mathit { \hat { w } } ^ { k } ) ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { F ( \omega ) = \frac { G ^ { \prime } ( a ) } { G ( a ) } } & { + \sum _ { z _ { \ell } } \left( \frac { \nu _ { z _ { \ell } } } { \omega - z _ { \ell } } - \frac { \nu _ { z _ { \ell } } } { a - z _ { \ell } } \right) } \\ & { - \sum _ { p _ { \ell } } \left( \frac { \nu _ { p _ { \ell } } } { \omega - p _ { \ell } } - \frac { \nu _ { p _ { \ell } } } { a - p _ { \ell } } \right) } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle ( x - x ( t ) ) ^ { 2 } \rangle } & { = \frac { \hbar } { 2 m \omega _ { \perp } } + \lambda _ { \perp } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \left( \frac { \omega _ { c } } { 2 } t \right) \left( \sin ^ { 2 } ( \omega _ { \perp } t ) - \exp \left( - 2 m ( \lambda _ { \perp } ^ { 2 } \omega _ { \perp } + \lambda _ { z } ^ { 2 } \omega _ { z } ) / \hbar \right) \cos ^ { 2 } ( \omega _ { \perp } t ) \right) , } \\ { \langle ( y - y ( t ) ) ^ { 2 } \rangle } & { = \frac { \hbar } { 2 m \omega _ { \perp } } + \lambda _ { \perp } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \left( \frac { \omega _ { c } } { 2 } t \right) \left( \sin ^ { 2 } ( \omega _ { \perp } t ) - \exp \left( - 2 m ( \lambda _ { \perp } ^ { 2 } \omega _ { \perp } + \lambda _ { z } ^ { 2 } \omega _ { z } ) / \hbar \right) \cos ^ { 2 } ( \omega _ { \perp } t ) \right) , } \\ { \langle ( z - z ( t ) ) ^ { 2 } \rangle } & { = \frac { \hbar } { 2 m \omega _ { z } } + \lambda _ { z } ^ { 2 } \left( \sin ^ { 2 } ( \omega _ { z } t ) - \exp \left( - 2 m ( \lambda _ { \perp } ^ { 2 } \omega _ { \perp } + \lambda _ { z } ^ { 2 } \omega _ { z } ) / \hbar \right) \cos ^ { 2 } ( \omega _ { z } t ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = 2 x _ { 3 } y _ { 2 } z _ { 2 } w _ { 2 } - x _ { 3 } y _ { 1 } z _ { 3 } w _ { 2 } - x _ { 2 } y _ { 2 } z _ { 3 } w _ { 2 } - x _ { 3 } y _ { 1 } z _ { 2 } w _ { 3 } - x _ { 2 } y _ { 2 } z _ { 2 } w _ { 3 } + 2 x _ { 2 } y _ { 1 } z _ { 3 } w _ { 3 } , } \\ { 0 } & { = 3 x _ { 3 } y _ { 2 } z _ { 2 } u _ { 2 } + 2 x _ { 3 } y _ { 1 } z _ { 3 } u _ { 2 } + x _ { 2 } y _ { 2 } z _ { 3 } u _ { 2 } + x _ { 3 } y _ { 1 } z _ { 2 } u _ { 3 } + 2 x _ { 2 } y _ { 2 } z _ { 2 } u _ { 3 } - 3 x _ { 2 } y _ { 1 } z _ { 3 } w _ { 3 } , } \\ { 0 } & { = - x _ { 3 } y _ { 2 } w _ { 2 } u _ { 2 } + 2 x _ { 3 } y _ { 1 } w _ { 3 } u _ { 2 } - x _ { 2 } y _ { 2 } w _ { 3 } u _ { 2 } - x _ { 3 } y _ { 1 } w _ { 2 } u _ { 3 } + 2 x _ { 2 } y _ { 2 } w _ { 2 } u _ { 3 } - x _ { 2 } y _ { 1 } w _ { 3 } u _ { 3 } , } \\ { 0 } & { = - x _ { 3 } z _ { 3 } w _ { 2 } u _ { 2 } + 3 x _ { 3 } z _ { 2 } w _ { 3 } u _ { 2 } - 2 x _ { 2 } z _ { 3 } w _ { 3 } u _ { 2 } - 2 x _ { 3 } z _ { 2 } w _ { 2 } u _ { 3 } + 3 x _ { 2 } z _ { 3 } w _ { 2 } u _ { 3 } - x _ { 2 } z _ { 2 } w _ { 3 } u _ { 3 } , } \\ { 0 } & { = y _ { 2 } z _ { 3 } w _ { 2 } u _ { 2 } + 3 y _ { 2 } z _ { 2 } w _ { 3 } u _ { 2 } - 4 y _ { 1 } z _ { 3 } w _ { 3 } u _ { 2 } - 4 y _ { 2 } z _ { 2 } w _ { 2 } u _ { 3 } + 3 y _ { 1 } z _ { 3 } w _ { 2 } u _ { 3 } + y _ { 1 } z _ { 2 } w _ { 3 } u _ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } d } & { \in \mathbb { N } , \qquad } & & { \theta _ { l e x } ( h ) \leq 2 V _ { d } ( c ) d ! \beta ^ { \alpha } \gamma _ { a b s } \sum _ { k = 0 } ^ { d } \frac { \psi ( h ) ^ { k } } { k ! ( \psi ( h ) + \beta ) ^ { \alpha - d - 1 + k } } \frac { \Gamma ( \alpha - d - 1 + k ) } { \Gamma ( \alpha ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l r } & { \langle A _ { \alpha \alpha } ^ { 2 } \rangle = \langle A _ { \beta \beta } ^ { 2 } \rangle \ , \ \ \ } & { \mathrm { f o r } \ \alpha = \beta } \\ & { \langle A _ { \alpha \beta } ^ { 2 } \rangle = 2 \langle A _ { \alpha \alpha } ^ { 2 } \rangle \ , \ \ \ } & { \mathrm { f o r } \ \alpha \ne \beta } \\ & { \langle A _ { \alpha \alpha } A _ { \beta \beta } \rangle = \langle A _ { \alpha \beta } A _ { \beta \alpha } \rangle = - \langle A _ { \alpha \alpha } ^ { 2 } \rangle / 2 \ \ \ \ } & { \mathrm { f o r } \ \alpha \ne \beta , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Q } [ u , \theta , \eta ] } & { \geq a \langle | \nabla \omega | ^ { 2 } \rangle - a \left[ 3 \epsilon + C \| \alpha + \kappa \| _ { \infty } ^ { 2 } \right] \left\langle \| u \| _ { H ^ { 2 } } ^ { 2 } \right\rangle } \\ & { \qquad + \left[ \frac { \underline { { \alpha } } b } { 8 \mathrm { { R a } } } - a C _ { \epsilon } \left( \left( \frac { 1 } { \mathrm { P r } } \left( \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 1 , r } } + \underline { { \alpha } } ^ { - 1 } \mathrm { { R a } } \right) \right) ^ { 2 } + \| \alpha + \kappa \| _ { W ^ { 1 , \infty } } ^ { 2 } + 1 \right) \right] \left\langle \| u \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } \right\rangle } \\ & { \qquad - a ^ { 2 } { \mathrm { R a } } ^ { 2 } \langle | \omega | ^ { 2 } \rangle + \left( \frac { 5 b } { 8 \mathrm { { R a } } } - C _ { \epsilon } \delta ^ { 6 } a ^ { - 1 } \right) \langle | \nabla u | ^ { 2 } \rangle + \frac { b } { 2 { \mathrm { R a } } } \langle ( 2 \alpha + \kappa ) u _ { \tau } ^ { 2 } \rangle _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left( \frac { 1 } { n } \sum _ { i \in [ n ] } { \mathbb { I } \left\{ { \check { z } _ { i } \neq z _ { i } ^ { * } } \right\} } \right) } & { \geq \frac { n _ { 1 } \wedge n _ { 2 } } { n } \exp \left( - \left( 1 + C _ { 2 } \sqrt { \frac { p } { n ( p - q ) ^ { 2 } } } \right) \left( J _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } , p , q } \wedge J _ { n _ { 2 } , n _ { 1 } , p , q } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { \mathcal M , p } ( \mu _ { 0 } , \mu _ { 2 } ) ^ { p } } & { \le \sum _ { j = 1 } ^ { J } \sum _ { l = 1 } ^ { L } w _ { j l } ^ { 0 2 } \delta ^ { p } ( a _ { 0 } ^ { j } , a _ { 2 } ^ { l } ) = \sum _ { j = 1 } ^ { J } \sum _ { l = 1 } ^ { L } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { w _ { j k } ^ { 0 1 } w _ { k l } ^ { 1 2 } } { \lambda _ { 1 } ^ { k } } \delta ^ { p } ( a _ { 0 } ^ { j } , a _ { 2 } ^ { l } ) } \\ & { \le \sum _ { j = 1 } ^ { J } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \sum _ { l = 1 } ^ { L } \frac { w _ { j k } ^ { 0 1 } w _ { k l } ^ { 1 2 } } { \lambda _ { 1 } ^ { k } } \left( \delta ( a _ { 0 } ^ { j } , a _ { 1 } ^ { k } ) + \delta ( a _ { 1 } ^ { k } , a _ { 2 } ^ { l } ) \right) ^ { p } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { t - \tau } [ T _ { 2 } ] } & { = \frac { 2 } { N ^ { 2 } K ^ { 2 } } \sum _ { i < j } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \mathbb { E } _ { t - \tau } \left[ Z _ { i } ( O _ { t , k } ^ { ( i ) } ) \right] ^ { \top } \mathbb { E } _ { t - \tau } \left[ Z _ { j } ( O _ { t , k } ^ { ( j ) } ) \right] \ ( O _ { t , k } ^ { ( i ) } \mathrm { ~ a n d ~ } O _ { t , k } ^ { ( j ) } \mathrm { ~ a r e ~ i n d e p e n d e n t } ) } \\ & { \le \frac { 2 } { N ^ { 2 } K ^ { 2 } } \sum _ { i < j } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } L _ { 2 } ^ { 2 } \rho ^ { 2 \tau K + 2 k } \ \mathrm { ~ ( L e m m a ~ ) ~ } } \\ & { \le \frac { 2 } { K } L _ { 2 } ^ { 2 } \rho ^ { 2 \tau K } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \left( \frac { 1 } { 2 \eta } + \frac { \lambda } { 4 } \right) \mathbb { E } _ { k } \| { \tilde { x } } ^ { k + 1 } - x ^ { * } \| ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { 2 \sigma } + \frac { \gamma } { 2 } \right) \frac { 1 } { n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \mathbb { E } _ { k } \| y _ { i \tau } ^ { k + 1 } - y _ { i \tau } ^ { * } \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 8 \eta } \mathbb { E } _ { k } \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad + \mathbb { E } _ { k } \left[ f ( x ^ { k + 1 } , Y ^ { * } ) - f ( x ^ { * } , Y ^ { * } ) + m \left( f ( x ^ { * } , Y ^ { * } ) - f ( x ^ { * } , Y ^ { k + 1 } ) \right) \right] } \\ & { \qquad + \frac { 3 ( \eta + \lambda \eta ^ { 2 } ) } { \delta } \mathbb { E } _ { k } \| e ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } + \frac { 2 1 ( 1 - \delta ) ( \eta + \lambda \eta ^ { 2 } ) } { \delta n ^ { 2 } } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \mathbb { E } _ { k } \| e _ { \tau } ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { N } \mathbb { E } _ { k } \langle A Y ^ { k + 1 } - A Y ^ { * } , x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \rangle } \\ & { \qquad + \frac { 8 4 ( 1 - \delta ) ( \eta + \lambda \eta ^ { 2 } ) } { 5 \delta ^ { 2 } \delta _ { 1 } } \mathbb { E } _ { k } \| h ^ { k + 1 } - u ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } + \frac { 1 5 1 2 ( 1 - \delta ) ( \eta + \lambda \eta ^ { 2 } ) } { 5 \delta ^ { 2 } \delta _ { 1 } n ^ { 2 } } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \mathbb { E } _ { k } \| h _ { \tau } ^ { k + 1 } - u _ { \tau } ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 \eta } \| { \tilde { x } } ^ { k } - x ^ { * } \| ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { 2 \sigma } + \frac { ( m - 1 ) \gamma } { 2 m } \right) \frac { 1 } { n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| y _ { i \tau } ^ { k } - y _ { i \tau } ^ { * } \| ^ { 2 } + ( m - 1 ) \left( f ( x ^ { * } , Y ^ { * } ) - f ( x ^ { * } , Y ^ { k } ) \right) } \\ & { \quad + \theta \left( f ( x ^ { k } , Y ^ { * } ) - f ( x ^ { * } , Y ^ { * } ) \right) + \frac { \theta } { 8 \eta } \| x ^ { k } - x ^ { k - 1 } \| ^ { 2 } + \frac { \theta } { N } \langle A Y ^ { k } - A Y ^ { * } , x ^ { k } - x ^ { k - 1 } \rangle } \\ & { \quad + \frac { 3 ( \eta + \lambda \eta ^ { 2 } ) } { \delta } \left( 1 - \frac { \delta } { 6 } \right) \| e ^ { k } \| ^ { 2 } + \frac { 2 1 ( 1 - \delta ) ( \eta + \lambda \eta ^ { 2 } ) } { \delta n ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { \delta } { 6 } \right) \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \| e _ { \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { 8 4 ( 1 - \delta ) ( \eta + \lambda \eta ^ { 2 } ) } { 5 \delta ^ { 2 } \delta _ { 1 } } \left( 1 - \frac { \delta _ { 1 } } { 6 } \right) \| h ^ { k } - u ^ { k } \| ^ { 2 } + \frac { 1 5 1 2 ( 1 - \delta ) ( \eta + \lambda \eta ^ { 2 } ) } { 5 \delta ^ { 2 } \delta _ { 1 } n ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { \delta _ { 1 } } { 6 } \right) \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \| h _ { \tau } ^ { k } - u _ { \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad - \frac { 1 } { m n } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| { \tilde { y } } _ { i \tau } ^ { k } - y _ { i \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } \cdot \left( \frac { 1 } { 2 \sigma } - \frac { 4 \eta ( n R ^ { 2 } + R _ { m } ^ { 2 } ) } { n } - 7 ( 1 - \delta ) ( \eta + \lambda \eta ^ { 2 } ) \right. } \\ & { \quad \cdot \left. \left( \frac { 2 R ^ { 2 } } { \delta ^ { 2 } } + \frac { 1 1 R _ { m } ^ { 2 } } { 2 \delta n } + \frac { 1 2 ( 1 - \delta ) { \bar { R } } ^ { 2 } } { \delta ^ { 2 } n } + \frac { 1 2 R ^ { 2 } } { 5 \delta ^ { 2 } \delta _ { 1 } ^ { 2 } m ^ { 2 } } + \frac { 2 2 8 R _ { m } ^ { 2 } } { 5 \delta ^ { 2 } \delta _ { 1 } m ^ { 2 } n } + \frac { 4 3 2 ( 1 - \delta _ { 1 } ) { \bar { R } } ^ { 2 } } { 5 \delta ^ { 2 } \delta _ { 1 } ^ { 2 } m ^ { 2 } n } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \hat { u } } } & { = \operatorname { a r g m i n } _ { u } u ^ { T } \gamma \mathbb { I } _ { p } u / 2 - u ^ { T } \sigma Z + J _ { \boldsymbol { \lambda } } ^ { \prime } ( { \beta ^ { 0 } } ; u ) } \\ & { = \sqrt { \gamma } \operatorname { a r g m i n } _ { \tilde { u } } \tilde { u } ^ { T } \mathbb { I } _ { p } \tilde { u } / 2 - \tilde { u } ^ { T } ( \sigma / \sqrt { \gamma } ) Z + J _ { \boldsymbol { ( \lambda / \sqrt { \gamma } ) } } ^ { \prime } ( { \beta ^ { 0 } } ; \tilde { u } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \underbrace { \partial _ { t } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \phi + \{ \phi , \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \phi \} } _ { \epsilon ^ { 2 } } + \underbrace { \nabla _ { \perp } \cdot ( \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \phi \nabla _ { \perp } \xi ) } _ { \epsilon ^ { 3 } } } \\ & { = \underbrace { v _ { \mathrm { A } } \nabla _ { \perp } \cdot \left( \frac { 1 } { n } \partial _ { z } \nabla _ { \perp } \psi \right) + \left\{ \psi , \frac { 1 } { n } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \psi \right\} } _ { \epsilon ^ { 2 } } + \underbrace { \left\{ v _ { \mathrm { A } } b _ { z } , \frac { 1 } { n } \right\} } _ { \epsilon ^ { 3 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Psi ^ { \prime } = \Psi ^ { \prime } ( G _ { n } ) : = \{ \psi \in \widehat { G _ { n } / I _ { v } } \mid \psi \vert _ { G ^ { \prime } } = \chi \} , } \\ { \Omega = \Omega ( G _ { n } ) : = \{ \psi \in \widehat { G _ { n } } \mid \psi \vert _ { G ^ { \prime } } = \chi , \psi ( G _ { v _ { 0 } , n } ) \ne 1 , \, \forall v _ { 0 } \in \Sigma \cup J _ { v } \} , } \\ { \Psi : = \Psi ^ { \prime } \cap \Omega , \qquad \Omega ^ { c } : = \{ \psi \in \widehat { G _ { n } } \mid \psi | _ { G ^ { \prime } } = \chi \} \setminus \Omega . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { h } } & { : = \{ \phi _ { h } \in S _ { \boldsymbol { \alpha _ { 1 } } , \boldsymbol { \alpha _ { 2 } } , \boldsymbol { \alpha _ { 3 } } } ^ { k _ { 1 } , k _ { 2 } , k _ { 3 } } \} , } \\ { \boldsymbol { \Psi } _ { h } } & { : = \{ \boldsymbol { \psi } _ { h } \in S _ { \boldsymbol { \alpha _ { 1 } } - 1 , \boldsymbol { \alpha _ { 2 } } , \boldsymbol { \alpha _ { 3 } } } ^ { k _ { 1 } - 1 , k _ { 2 } , k _ { 3 } } \times S _ { \boldsymbol { \alpha _ { 1 } } , \boldsymbol { \alpha _ { 2 } } - 1 , \boldsymbol { \alpha _ { 3 } } } ^ { k _ { 1 } , k _ { 2 } - 1 , k _ { 3 } } \times S _ { \boldsymbol { \alpha _ { 1 } } , \boldsymbol { \alpha _ { 2 } } , \boldsymbol { \alpha _ { 3 } } - 1 } ^ { k _ { 1 } , k _ { 2 } , k _ { 3 } - 1 } \} , } \\ { \boldsymbol { \mathcal { V } } _ { h } } & { : = \{ \textbf { w } _ { h } \in S _ { \boldsymbol { \alpha _ { 1 } } , \boldsymbol { \alpha _ { 2 } } - 1 , \boldsymbol { \alpha _ { 3 } } - 1 } ^ { k _ { 1 } , k _ { 2 } - 1 , k _ { 3 } - 1 } \times S _ { \boldsymbol { \alpha _ { 1 } } - 1 , \boldsymbol { \alpha _ { 2 } } , \boldsymbol { \alpha _ { 3 } } - 1 } ^ { k _ { 1 } - 1 , k _ { 2 } , k _ { 3 } - 1 } \times S _ { \boldsymbol { \alpha _ { 1 } } - 1 , \boldsymbol { \alpha _ { 2 } } - 1 , \boldsymbol { \alpha _ { 3 } } } ^ { k _ { 1 } - 1 , k _ { 2 } - 1 , k _ { 3 } } \} , } \\ { \mathcal { Q } _ { h } } & { : = \{ q _ { h } \in S _ { \boldsymbol { \alpha _ { 1 } } - 1 , \boldsymbol { \alpha _ { 2 } } - 1 , \boldsymbol { \alpha _ { 3 } } - 1 } ^ { k _ { 1 } - 1 , k _ { 2 } - 1 , k _ { 3 } - 1 } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb P \Big ( \operatorname* { m a x } _ { n \leq M ( t ) } } & { \log Z _ { n } ( t ) \boldsymbol 1 \{ \tau _ { n } \geq x t \} \Big ) } \\ & { \leq \theta \int _ { x } ^ { 1 } \mathrm d a \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm d \tilde { \mu } _ { t } ( u ) \mathbb P \big ( A \geq \exp \big ( ( \kappa - ( 1 - a ) u ) t w _ { t } \big ) } \\ & { \leq \theta \int _ { x } ^ { 1 } \mathrm d a \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm d \tilde { \mu } _ { t } ( u ) \boldsymbol 1 \{ ( 1 - a ) u \geq \kappa / 2 \} } \\ & { \qquad + C \mathrm e ^ { - \frac 1 2 \exp ( \kappa t w _ { t } / 2 ) } \theta \int _ { x } ^ { 1 } \mathrm d a \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm d \tilde { \mu } _ { t } ( u ) \boldsymbol 1 \{ ( 1 - a ) u < \kappa / 2 \} } \\ & { \leq \theta \int _ { 0 } ^ { \infty } \big ( 1 - \frac { \kappa } { 2 u } - x \big ) _ { \! + } \mathrm d \tilde { \mu } _ { t } ( u ) + C \theta t w _ { t } \mathrm e ^ { - \frac 1 2 \exp ( \kappa t w _ { t } / 2 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l l } { \textbf { A } } & { \textbf { B } } \\ { \textbf { C } } & { \textbf { D } } \end{array} \right] : = \left[ \begin{array} { l l } { ( \alpha I _ { n } - A ) ^ { - 1 } ( \overline { { \alpha } } I _ { n } + A ) } & { \sqrt { 2 \Re ( \alpha ) } ( \alpha I _ { n } - A ) ^ { - 1 } B } \\ { \sqrt { 2 \Re ( \alpha ) } C ( \alpha I _ { n } - A ) ^ { - 1 } } & { \mathcal { T } ( \alpha ) } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } [ P ] } & { \leqslant ( k ( 2 k + 1 ) ) ^ { 2 } m ^ { 2 k ( 2 k + 1 ) - 1 } k ^ { 4 } t ^ { 2 k ^ { 2 } - 1 } p ^ { 2 } } \\ & { = ( k ( 2 k + 1 ) ) ^ { 2 } m ^ { 2 k ( 2 k + 1 ) - 1 } k ^ { 4 } t ^ { 2 k ^ { 2 } - 1 } \left( \frac { \zeta m } { 2 d _ { F } m ^ { k ( 2 k + 1 ) } t ^ { k ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } } \\ & { = \frac { ( k ( 2 k + 1 ) ) ^ { 2 } \cdot k ^ { 4 } \zeta ^ { 2 } { m } } { 4 d _ { F } ^ { 2 } t } \leqslant { \frac { \zeta \theta m } { 4 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { h _ { k } t _ { i , j } h _ { k } ^ { - 1 } \cdot t _ { i - 2 , i } t _ { i - 1 , j } = t _ { i + 1 , j } t _ { i - 1 , i } t _ { i - 2 , j } } \\ & { \Leftrightarrow } & { h _ { k } t _ { i , j } h _ { k } ^ { - 1 } = t _ { i + 1 , j } t _ { i - 1 , i } t _ { i - 2 , j } t _ { i - 1 , j } ^ { - 1 } t _ { i - 2 , i } ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { X = \frac { \sigma _ { X } ^ { 2 } } { \sigma _ { X } ^ { 2 } + \sigma _ { N _ { k } } ^ { 2 } } Y _ { k } + N _ { k } ^ { \prime } , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ N _ { k } ^ { \prime } \sim \mathcal { N } \left( 0 , \frac { \sigma _ { X } ^ { 2 } \sigma _ { N _ { k } } ^ { 2 } } { \sigma _ { X } ^ { 2 } + \sigma _ { N _ { k } } ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { k \geq 1 } \frac { B _ { a } ( k + x ) } { ( k + x ) ^ { s } } } & { = \sum _ { k \geq 1 } \frac { 1 } { ( k + x ) ^ { s } } \left( - a ( k + x ) ^ { a - 1 } + \sum _ { j = 0 } ^ { a } \binom { a } { j } B _ { j } ( k + x ) ^ { a - j } \right) } \\ & { = - a \zeta ( s - a + 1 , x + 1 ) + \sum _ { j = 0 } ^ { a } \binom { a } { j } B _ { j } \zeta ( s - a + j , x + 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathsf { E } [ U _ { i } ( t + 1 ) \mid Y ^ { t } = y ^ { t } , \theta = i ] } & { = q \log _ { 2 } \frac { \frac { \rho _ { i } ( y ^ { t } ) q } { P _ { 0 } q + P _ { 1 } p } } { 1 - \frac { \rho _ { i } ( y ^ { t } ) q } { P _ { 0 } q + P _ { 1 } p } } + p \log _ { 2 } \frac { \frac { \rho _ { i } ( y ^ { t } ) p } { P _ { 0 } p + P _ { 1 } q } } { 1 - \frac { \rho _ { i } ( y ^ { t } ) p } { P _ { 0 } p + P _ { 1 } q } } } \\ & { = q \log _ { 2 } \frac { \rho _ { i } ( y ^ { t } ) q } { \frac { 1 } { 2 } \! + \! \frac { \Delta ( q - p ) } { 2 } \! - \! \rho _ { i } ( y ^ { t } ) q } + p \log _ { 2 } \cfrac { \rho _ { i } ( y ^ { t } ) p } { \frac { 1 } { 2 } \! - \! \frac { \Delta ( q - p ) } { 2 } \! - \! \rho _ { i } ( y ^ { t } ) p } \, . } \end{array}
[ F ] _ { B , D } = [ I ] _ { C , D } [ F ] _ { B , C } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 2 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { 2 } & { 3 } & { - 2 } \\ { 1 } & { 0 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right)
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \partial _ { t } u _ { 1 } = \Delta u _ { 1 } - \xi _ { 1 } \nabla \cdot ( u _ { 1 } \nabla u _ { 3 } ) + \psi _ { 1 } ( u _ { 1 } , u _ { 2 } , u _ { 3 } ) , } \\ { \displaystyle \partial _ { t } u _ { 2 } = \Delta u _ { 2 } - \xi _ { 2 } \nabla \cdot ( u _ { 2 } \nabla u _ { 1 } ) + \psi _ { 2 } ( u _ { 1 } , u _ { 2 } , u _ { 3 } ) , } \\ { \displaystyle \partial _ { t } u _ { 3 } = D _ { 3 } \Delta u _ { 3 } - \lambda \, ( u _ { 1 } + u _ { 2 } ) \, u _ { 3 } - \mu \, u _ { 3 } + r ( u _ { 3 } ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } } & { \left[ \operatorname* { s u p } _ { s , t \in [ 0 , a ] , | t - s | \leq \eta } \left| X ^ { H ( \cdot ) } ( t _ { 0 } + \varepsilon t ) - X ^ { H ( \cdot ) } ( t _ { 0 } + \varepsilon s ) \right| ^ { p } \right] } \\ & { \leq c _ { a , p , \alpha } \eta ^ { \alpha p - 1 } \iint _ { [ 0 , a ] ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ \left| X ^ { H ( \cdot ) } ( t _ { 0 } + \varepsilon t ) - X ^ { H ( \cdot ) } ( t _ { 0 } + \varepsilon s ) \right| ^ { p } \right] | t - s | ^ { - \alpha p - 1 } \, d s d t . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \hat { f } } _ { 2 } ( \omega ) \ } & { { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \ { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { \frac { n } { 2 } } } } \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } f ( x ) e ^ { - i \omega \cdot x } \, d x = { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { \frac { n } { 2 } } } } { \hat { f } } _ { 1 } \! \left( { \frac { \omega } { 2 \pi } } \right) = { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { \frac { n } { 2 } } } } { \hat { f } } _ { 3 } ( \omega ) } \\ { f ( x ) } & { = { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { \frac { n } { 2 } } } } \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } { \hat { f } } _ { 2 } ( \omega ) e ^ { i \omega \cdot x } \, d \omega } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \tilde { a } _ { k } ( \phi _ { 1 / m } ( p ) ) } & { = \binom { d } { k } ^ { - 1 } \sum _ { 1 \le j _ { 1 } < \cdots < j _ { k } \le d } \exp \left( \frac { 1 } { m } ( \theta _ { j _ { 1 } } + \cdots \theta _ { j _ { k } } ) \right) } \\ & { = \binom { d } { k } ^ { - 1 } \left\{ \binom { d } { k } + \frac { 1 } { m } \sum _ { 1 \le j _ { 1 } < \cdots < j _ { k } \le d } ( \theta _ { j _ { 1 } } + \cdots \theta _ { j _ { k } } ) + O ( m ^ { - 2 } ) \right\} } \\ & { = \binom { d } { k } ^ { - 1 } \left\{ \binom { d } { k } + \frac { 1 } { m } \binom { d - 1 } { k - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { d } \theta _ { i } + O ( m ^ { - 2 } ) \right\} } \\ & { = 1 + \frac { 1 } { m } \cdot \alpha k + O ( m ^ { - 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { a b } = } & { \mathrm { t r } [ { \mathcal T } _ { 1 } \cdots { \mathcal T } _ { x _ { 1 } - 1 } { \mathcal T } _ { x _ { 1 } } ^ { ( a ) } { \mathcal T } _ { x _ { 1 } + 1 } \cdots } \\ & { \qquad { \mathcal T } _ { x _ { 2 } - 1 } { \mathcal T } _ { x _ { 2 } } ^ { ( b ) } { \mathcal T } _ { x _ { 2 } + 1 } \cdots { \mathcal T } _ { L } ] , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { e } & { = 1 . 6 7 0 9 \times 1 0 ^ { - 2 } - 4 . 1 9 3 \times 1 0 ^ { - 5 } \left( { \frac { D } { 3 6 \, 5 2 5 } } \right) - 1 . 2 6 \times 1 0 ^ { - 7 } \left( { \frac { D } { 3 6 5 2 5 } } \right) ^ { 2 } } \\ { \varepsilon } & { = 2 3 . 4 3 9 3 - 0 . 0 1 3 \left( { \frac { D } { 3 6 \, 5 2 5 } } \right) - 2 \times 1 0 ^ { - 7 } \left( { \frac { D } { 3 6 \, 5 2 5 } } \right) ^ { 2 } + 5 \times 1 0 ^ { - 7 } \left( { \frac { D } { 3 6 \, 5 2 5 } } \right) ^ { 3 } { \mathrm { ~ d e g r e e s } } } \\ { \lambda _ { \mathrm { p } } } & { = 2 8 2 . 9 3 8 \, 0 7 + 1 . 7 1 9 5 \left( { \frac { D } { 3 6 \, 5 2 5 } } \right) + 3 . 0 2 5 \times 1 0 ^ { - 4 } \left( { \frac { D } { 3 6 \, 5 2 5 } } \right) ^ { 2 } { \mathrm { ~ d e g r e e s } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { H _ { 1 } } & { = 6 \alpha ( 1 + \alpha c _ { 4 } ) \Big \lVert \bar { \theta } _ { l } - \theta ^ { * } \Big \rVert \Big \lVert \frac { 1 } { N K } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } Z _ { i } ( O _ { l , k } ^ { ( i ) } ) \Big \rVert } \\ & { = 2 \sqrt { 3 \alpha ( 1 + \alpha c _ { 4 } ) } \Big \lVert \bar { \theta } _ { l } - \theta ^ { * } \Big \rVert \cdot \sqrt { 3 \alpha ( 1 + \alpha c _ { 4 } ) } \Big \lVert \frac { 1 } { N K } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } Z _ { i } ( O _ { l , k } ^ { ( i ) } ) \Big \rVert } \\ & { \le 3 \alpha ( 1 + \alpha c _ { 4 } ) \Big \lVert \bar { \theta } _ { l } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } + 3 \alpha ( 1 + \alpha c _ { 4 } ) \Big \lVert \frac { 1 } { N K } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } Z _ { i } ( O _ { l , k } ^ { ( i ) } ) \Big \rVert ^ { 2 } } \\ & { \le 6 \alpha \Big \lVert \bar { \theta } _ { l } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } + 6 \alpha \Big \lVert \frac { 1 } { N K } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } Z _ { i } ( O _ { l , k } ^ { ( i ) } ) \Big \rVert ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r l } { { 4 } } & { h ( E _ { 1 } , E _ { 1 } ) } & & { = \lambda j E _ { 1 } , \qquad } & & { h ( E _ { 1 } , E _ { 2 } ) = - \lambda j E _ { 2 } , \qquad } & & { h ( E _ { 1 } , E _ { 3 } ) = 0 , } \\ & { h ( E _ { 2 } , E _ { 2 } ) } & & { = - \lambda j E _ { 1 } , \qquad } & & { h ( E _ { 2 } , E _ { 3 } ) = 0 , \qquad } & & { h ( E _ { 3 } , E _ { 3 } ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \nabla f ( w ^ { \prime } ) - \nabla f ( w ) \| } \\ & { \le \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \| \nabla f ( w _ { ( k + 1 ) / n } ) - \nabla f ( w _ { k / n } ) \| } \\ & { \overset { ( i ) } { \le } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \| w _ { ( k + 1 ) / n } - w _ { k / n } \| \Big ( L _ { 0 } + L _ { 1 } \operatorname* { m a x } _ { \theta \in [ 0 , 1 ] } \| \nabla f ( w _ { \theta ( k + 1 ) / n + ( 1 - \theta ) k / n } ) \| ^ { \alpha } \Big ) } \\ & { \overset { ( i i ) } { = } \| w ^ { \prime } - w \| \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \frac { 1 } { n } \operatorname* { m a x } _ { \theta \in [ k / n , ( k + 1 ) / n ] } h ( \theta ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - p _ { W ^ { * 1 } , W } \left( \operatorname* { m a x } \left( a ^ { 1 } , M _ { s } \right) - X _ { s } ^ { 1 } , a - X _ { s } ; t - s \right) + p _ { W ^ { * 1 } , W } ( a ^ { 1 } - X _ { s } ^ { 1 } , a - X _ { s } ; t - s ) } \\ & { = \left[ - p _ { W ^ { * 1 } , W } \left( M _ { s } - X _ { s } ^ { 1 } , a - X _ { s } ; t - s \right) + p _ { W ^ { * 1 } , W } \left( a ^ { 1 } - X _ { s } ^ { 1 } , a - X _ { s } ; t - s \right) \right] { \mathbf 1 } _ { M _ { s } > a ^ { 1 } } } \\ & { = - \int _ { a ^ { 1 } } ^ { M _ { s } } { \partial _ { m } } p _ { W ^ { * 1 } , W } \left( b - X _ { s } ^ { 1 } , a - X _ { s } , t - s \right) { d b } { \mathbf 1 } _ { M _ { s } > a ^ { 1 } } . } \end{array}
r = { \frac { \sqrt { [ ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( y _ { 2 } - y _ { 1 } ) ^ { 2 } ] [ ( x _ { 2 } - x _ { 3 } ) ^ { 2 } + ( y _ { 2 } - y _ { 3 } ) ^ { 2 } ] [ ( x _ { 3 } - x _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( y _ { 3 } - y _ { 1 } ) ^ { 2 } ] } } { 2 | x _ { 1 } y _ { 2 } + x _ { 2 } y _ { 3 } + x _ { 3 } y _ { 1 } - x _ { 1 } y _ { 3 } - x _ { 2 } y _ { 1 } - x _ { 3 } y _ { 2 } | } } .
\begin{array} { r l } { \Phi ( x , t ) } & { = \int _ { 0 } ^ { t } f ( x , r ) \, \mathrm { d } r + \int _ { 0 } ^ { t } F ( x , r ) \, \mathrm { d } W _ { r } } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \| z \| \leq 1 } \varphi ( x , r , z ) \, \tilde { N } ( \mathrm { d } z , \mathrm { d } r ) + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \| z \| > 1 } \varphi ( x , r , z ) \, N ( \mathrm { d } z , \mathrm { d } r ) . } \end{array}
+ \theta ^ { N - k _ { 1 } - 2 } \cdot P _ { k _ { 1 } } \cdot \delta ( k _ { 2 } , k _ { 3 } ) \cdot \sum _ { i _ { 1 } = k _ { 2 } + 1 } ^ { k _ { 3 } - 1 } \frac { 1 } { P _ { i _ { 1 } } } \sum _ { i _ { 2 } = k _ { 2 } } ^ { i _ { 1 } - 1 } \frac { 1 } { P _ { i _ { 2 } } } \Big ) + \Big ( \theta ^ { N - k _ { 3 } - 1 } \cdot P _ { k _ { 3 } } \cdot \sum _ { i = k _ { 3 } } ^ { k _ { 4 } - 1 } \frac { 1 } { P _ { i } }
\begin{array} { r l } { \dim _ { H } F ( \alpha ) } & { \leq \operatorname* { s u p } \left\{ s \Big ( \frac { \beta ^ { 2 } ( 1 - \alpha ) } { \beta - \alpha + \varepsilon } \Big ) \colon \beta \in \mathbb { Q } ^ { + } \right\} \leq s \big ( 4 ( \alpha - \varepsilon ) ( 1 - \alpha ) , { \tau ( 1 ) } \big ) } \\ & { \rightarrow s \big ( 4 \alpha ( 1 - \alpha ) , { \tau ( 1 ) } \big ) \quad \mathrm { a s ~ } \varepsilon \to 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| O _ { i } ^ { \sigma _ { i } ^ { k } , \tau ^ { k + 1 } } \right\| ^ { 2 } } & { \leq 2 \left( \operatorname* { m a x } \left\{ \frac { 1 } { ( \tau ^ { k + 1 } ) ^ { 2 } } , \frac { 1 } { ( \sigma _ { i } ^ { k } ) ^ { 2 } } \right\} + \frac { \| A _ { i } \| ^ { 2 } } { p _ { i } ^ { 2 } } \right) \leq 2 \left( \alpha ^ { 2 } + \frac { \| A _ { i } \| ^ { 2 } } { p _ { i } ^ { 2 } } \right) = M ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle E _ { - } M E _ { - } ( \partial _ { w } M ) _ { - } ^ { * } \rangle = } & { \frac { \langle E _ { - } M E _ { - } ( E _ { - } M ^ { * } E _ { - } ) ^ { 2 } \rangle } { 1 - \langle ( E _ { - } M ^ { * } E _ { - } ) ^ { 2 } \rangle } } \\ { = } & { \frac { 1 } { 2 \mathrm { i } } \frac { ( | m | ^ { 2 } - \bar { m } ^ { 2 } ) + | z | ^ { 2 } ( | u | ^ { 2 } - \bar { u } ^ { 2 } ) } { ( 1 - \bar { m } ^ { 2 } - | z | ^ { 2 } \bar { u } ^ { 2 } ) ( \mathrm { I m } \, w + \mathrm { I m } \, m ) } \, . } \end{array}
\prod _ { \substack { \operatorname* { g c d } ( a , b , c , d , e ) = 1 \, a , b , c , d , e \geq 1 } } \left( 1 + v ^ { a } w ^ { b } x ^ { c } y ^ { d } z ^ { e } \right) ^ { \frac { e ^ { 3 } } { a b c d } } = \frac { ( ( 1 - v ^ { 2 } ) ( 1 - w ^ { 2 } ) ( 1 - x ^ { 2 } ) ( 1 - y ^ { 2 } ) ) ^ { \frac { z ^ { 2 } ( 1 + 4 z ^ { 2 } + z ^ { 4 } ) } { ( 1 - z ^ { 2 } ) ^ { 4 } } } } { ( ( 1 - v ) ( 1 - w ) ( 1 - x ) ( 1 - y ) ) ^ { \frac { z ( 1 + 4 z + z ^ { 2 } ) } { ( 1 - z ) ^ { 4 } } } } .
\begin{array} { r l } { \delta ( Q ) } & { \geq \frac { n + 2 k - 2 } { 4 } - | S | } \\ & { > \frac { n + 2 k - 2 } { 4 } - c _ { k } \sqrt { n } - 1 } \\ & { \geq ( 2 c _ { k } \sqrt { n } + k ^ { 2 } + 2 k + 1 ) - c _ { k } \sqrt { n } - 1 } \\ & { > c _ { k } \sqrt { n } + k - 1 } \\ & { > c _ { k } \sqrt { | V ( Q ) | } + k | \{ v _ { Q } \} | - 1 . } \end{array}
\begin{array} { l l l } { \mathrm { d i s t } ( A , B ) } & { \leq } & { \| y _ { n } - x _ { n } \| = \left\| 2 \frac { x _ { n } + z _ { n } } { \| x _ { n } + z _ { n } \| } - x _ { n } \right\| } \\ & { = } & { \left\| 2 \frac { x _ { n } + z _ { n } } { \| x _ { n } + z _ { n } \| } - ( x _ { n } + z _ { n } ) + z _ { n } \right\| } \\ & { = } & { \left\| \left( \frac { 2 } { \| x _ { n } + z _ { n } \| } - 1 \right) ( x _ { n } + z _ { n } ) + z _ { n } \right\| } \\ & { \leq } & { \left( \frac { 2 } { \| x _ { n } + z _ { n } \| } - 1 \right) \| x _ { n } + z _ { n } \| + \| z _ { n } \| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { \mathrm { \tiny \mathrm { ~ H e l l } } } \bigl ( \mu , \mu _ { \mathrm { m a r g i n a l } } ^ { y , N } \bigr ) } & { \leq C _ { \mathrm { T h m } } \left\| \mathbb { E } \big [ \left( \Phi - \Phi _ { N } \right) ^ { p _ { 2 } ^ { \prime } } \big ] ^ { 1 / p _ { 2 } ^ { \prime } } \right\| _ { L _ { \mu ^ { y } } ^ { 2 p _ { 1 } ^ { \prime } } ( U ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { \epsilon \geq 0 } | \mathbb { P } \{ n \operatorname* { m a x } _ { \mathit { B } \subset \mathcal { B } , \, | \mathit { B } | = k - 1 } R ^ { 2 } ( X _ { \mathit { A } } , X _ { \mathit { B } } ) > \epsilon \} - \mathbb { P } \{ \widetilde { R } ^ { 2 } > \epsilon \} | \leq C n ^ { - 1 / 8 } [ \operatorname* { m a x } \{ \log ( | \mathcal { B } | ) , \log n \} ] ^ { 7 / 8 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nu ^ { \prime } } & { = \frac 1 2 \nu , } \\ { \mu _ { 3 } ^ { \prime } } & { = \mu _ { 3 } l _ { 2 3 3 } \left( 2 \delta - \nu ^ { 6 } l _ { 2 3 3 } - \nu ^ { 1 2 } l _ { 2 3 3 } ^ { 3 } \mu _ { 3 } ^ { 2 } \right) , } \\ { l _ { 2 3 3 } ^ { \prime } } & { = l _ { 2 3 3 } \left( - 1 + \delta l _ { 2 3 3 } - \nu ^ { 6 } l _ { 2 3 3 } ^ { 2 } + \nu ^ { 1 2 } l _ { 2 3 3 } ^ { 4 } \mu _ { 3 } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left. \begin{array} { l } { \mathrm { \boldmath ~ Q ~ } _ { 0 } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { - 1 } & { 1 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ { m b o x { \boldmath Q } _ { 1 } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { - 1 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ { \mathrm { \boldmath ~ Q ~ } _ { 2 } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \ \mathrm { \boldmath ~ Q ~ } _ { 3 } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) , } \\ { m b o x { \boldmath H } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } \end{array} \right\} } \end{array}
\small \begin{array} { l l } { R i c ( F _ { \ast } X , F _ { \ast } Y ) } & { = R i c ^ { r a n g e F _ { \ast } } ( F _ { \ast } X , F _ { \ast } Y ) - \sum _ { k = 1 } ^ { n _ { 1 } } ( e _ { k } ( g ) ) ^ { 2 } g _ { 2 } ( F _ { \ast } X , F _ { \ast } Y ) } \\ & { + \sum _ { k = 1 } ^ { n _ { 1 } } g _ { 2 } ( \nabla _ { e _ { k } } ^ { F \bot } e _ { k } , \nabla ^ { N } g ) g _ { 2 } ( F _ { \ast } X , F _ { \ast } Y ) - \sum _ { k = 1 } ^ { n _ { 1 } } ( \nabla _ { e _ { k } } ^ { N } e _ { k } ( g ) ) g _ { 2 } ( F _ { \ast } X , F _ { \ast } Y ) , } \end{array}
= \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } \frac { e \hbar } { 3 ^ { 8 } \pi m a ^ { 4 } } \frac { r ^ { 3 } } { a ^ { 3 } } e ^ { - 2 r ^ { \prime } / 3 a } \sin \theta \cos ^ { 2 } \theta \cdot r ^ { \prime } \cdot \cdot ( \cos \theta \cos \varphi \hat { \mathbf { x } } + \cos \theta \sin \varphi \hat { \mathbf { y } } - \sin \hat { \mathbf { z } } ) r ^ { 2 } \sin \theta d r ^ { \prime } d \varphi d \theta
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \gamma ] = } & { \gamma _ { 0 } \Big [ \sum _ { n = 1 } ^ { N } \beta _ { n } ^ { 2 } ( 1 - \eta + \varepsilon _ { n } ) + \frac { \pi } { 4 } \sum _ { ( n _ { 1 } , n _ { 2 } ) = 1 } ^ { N } \beta _ { n _ { 1 } } \beta _ { n _ { 2 } } } \\ & { \sqrt { \varepsilon _ { n _ { 1 } } \varepsilon _ { n _ { 2 } } } L _ { \frac { 1 } { 2 } } \Big ( \frac { \eta - 1 } { \varepsilon _ { n _ { 1 } } } \Big ) L _ { \frac { 1 } { 2 } } \Big ( \frac { \eta - 1 } { \varepsilon _ { n _ { 2 } } } \Big ) \Big ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { C \in \Pi _ { h } } \int _ { C } \Lambda _ { f } ^ { \beta } ( x ) d \mu } & { \leq \sum _ { C \in \Pi _ { h } } \int _ { C } 2 \operatorname* { m i n } _ { x \in S _ { x } \cap C } \Lambda _ { f } ^ { \beta } ( x ) d \mu = 2 \sum _ { C \in \Pi _ { h } } \operatorname* { m i n } _ { x \in S _ { x } \cap C } \Lambda _ { f } ^ { \beta } ( x ) \mu ( C ) } \\ & { \leq 4 \sum _ { C \in \Pi _ { h } } \operatorname* { m i n } _ { x \in S _ { x } \cap C } \Lambda _ { f } ^ { \beta } ( x ) \mu _ { n } ( C ) = \frac { 4 } { n } \sum _ { C \in \Pi _ { h } } \sum _ { x ^ { \prime } \in S _ { x } \cap C } \operatorname* { m i n } _ { x \in S _ { x } \cap C } \Lambda _ { f } ^ { \beta } ( x ) } \\ & { \leq \frac { 4 } { n } \sum _ { C \in \Pi _ { h } } \sum _ { x ^ { \prime } \in S _ { x } \cap C } \Lambda _ { f } ^ { \beta } ( x ^ { \prime } ) \leq \frac { 4 } { n } \sum _ { x ^ { \prime } \in S _ { x } } \Lambda _ { f } ^ { \beta } ( x ^ { \prime } ) \leq 4 L ~ , } \end{array}
\begin{array} { r } { | \zeta ^ { n } | ^ { 2 } \leq \frac { | \zeta _ { 0 } | ^ { 2 } } { ( 1 + \beta \delta ) ^ { n } } \prod _ { j = 1 } ^ { n } \left( 1 + \tilde { c } \delta \frac { | \nabla \xi ^ { j } | ^ { 2 } } { ( \nu \beta ) ^ { 1 / 2 } } \right) \leq \frac { | \zeta _ { 0 } | ^ { 2 } } { ( 1 + \beta \delta ) ^ { n } } \exp \left( \sum _ { j = 1 } ^ { n } \tilde { c } \delta \frac { | \nabla \xi ^ { j } | ^ { 2 } } { ( \nu \beta ) ^ { 1 / 2 } } \right) , } \end{array}
\operatorname { S P } _ { \alpha } ( \mathcal { E } ) = ( \underbrace { \mu _ { \alpha } ( \mathcal { F } _ { 1 } / \mathcal { F } _ { 0 } ) , \ldots } _ { \operatorname { r k } ( \mathcal { F } _ { 1 } / \mathcal { F } _ { 0 } ) \textrm { c o p i e s } } , \underbrace { \mu _ { \alpha } ( \mathcal { F } _ { 2 } / \mathcal { F } _ { 1 } ) , \ldots } _ { \operatorname { r k } ( \mathcal { F } _ { 2 } / \mathcal { F } _ { 1 } ) \textrm { c o p i e s } } , \ldots , \underbrace { \mu _ { \alpha } ( \mathcal { F } _ { k } / \mathcal { F } _ { k - 1 } ) , \ldots } _ { \operatorname { r k } ( \mathcal { F } _ { k } / \mathcal { F } _ { k - 1 } ) \textrm { c o p i e s } } )
\begin{array} { r l } { \nu \left( \frac { 7 } { 1 2 } \right) = \overline { { \nu \left( \frac { 4 } { 7 } \right) } } \cdot \underline { { \nu \left( \frac { 3 } { 5 } \right) } } } & { = ( m ) \cdot ( m , m - 2 , m , m - 2 , m , m ) \cdot ( m - 2 , m , m - 2 , m ) \cdot \textbf { k } } \\ & { = ( m ) \cdot ( m , m - 2 , m , m - 2 , m , m , m - 2 , m , m - 2 , m ) \cdot \textbf { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { O } ( t ) } & { = } & { \big ( 0 , \sqrt { 2 \gamma _ { m } ^ { A } } \hat { b } _ { i n } ( t ) , \sqrt { 2 \kappa _ { A } } \hat { X } _ { i n } ^ { A } ( t ) , \sqrt { 2 \kappa _ { A } } \hat { Y } _ { i n } ^ { A } ( t ) , 0 , \sqrt { 2 \gamma _ { B } } \hat { c } _ { i n } ( t ) , \sqrt { 2 \kappa _ { B } } \hat { X } _ { i n } ^ { B } ( t ) , \sqrt { 2 \kappa _ { B } } \hat { Y } _ { i n } ^ { B } ( t ) \big ) ^ { T } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Vert \textnormal { O p } ( \widehat { \sigma } _ { N , \, s r } ( [ \eta ] , \cdot ) ) \Vert _ { \mathscr { S } _ { p } ( L ^ { 2 } ( G ) ) } ^ { p } } & { \lesssim \sum _ { [ \xi ] \in \widehat { G } } d _ { \xi } \Vert \widehat { \sigma } _ { N , \, s r } ( [ \eta ] , [ \xi ] ) \Vert _ { \mathscr { S } _ { p } ( \widehat { G } ) } ^ { p } } \\ & { = \sum _ { [ \xi ] \in \widehat { G } } d _ { \xi } \Vert \smallint _ { G } { \sigma } _ { N } ( x , [ \xi ] ) \eta _ { r s } ( x ) ^ { * } \textnormal { d } x \Vert _ { \mathscr { S } _ { p } ( \widehat { G } ) } ^ { p } } \\ & { \leq \sum _ { [ \xi ] \in \widehat { G } } d _ { \xi } \left( \smallint _ { G } \Vert \eta _ { r s } ^ { * } \Vert _ { L ^ { \infty } ( G ) } \Vert { \sigma } _ { N } ( x , [ \xi ] ) \Vert _ { \mathscr { S } _ { p } ( \widehat { G } ) } \textnormal { d } x \right) ^ { p } } \\ & { \leq \sum _ { [ \xi ] \in \widehat { G } } d _ { \xi } \sqrt { d } _ { \eta } ^ { p } \left( \smallint _ { G } \Vert { \sigma } _ { N } ( x , [ \xi ] ) \Vert _ { \mathscr { S } _ { p } ( \widehat { G } ) } \textnormal { d } x \right) ^ { p } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( 1 ) \; \; ^ { H } \! X ^ { B S } \! g ( ^ { V } \! \omega , ^ { V } \! \theta ) } & { = } & { ^ { B S } \! g ( ^ { V } \! ( \nabla _ { X } \omega ) , ^ { V } \! \theta ) + ^ { B S } \! g ( ^ { V } \! \omega , ^ { V } \! ( \nabla _ { X } \theta ) ) , } \\ { ( 2 ) \; \; \; ^ { V } \! \eta ^ { B S } \! g ( ^ { V } \! \omega , ^ { V } \! \theta ) } & { = } & { \delta ^ { 2 } g ^ { - 1 } ( \omega , \eta J ) g ^ { - 1 } ( \theta , p J ) + \delta ^ { 2 } g ^ { - 1 } ( \omega , p J ) g ^ { - 1 } ( \theta , \eta J ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \left[ \nu _ { \operatorname* { m i n } } ( \omega ) \leq 3 ^ { \frac { 1 } { 2 } } c \mathcal { N } ( a , b ) \beta _ { \bar { N } } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \right] = \mathbb { P } \left[ - \Gamma ( \omega ) \leq \log \left( 3 ^ { \frac { 1 } { 2 } } c \mathcal { N } ( a , b ) \beta _ { \bar { N } } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } - \underline { { \nu } } \right) \right] } \\ & { = \mathbb { P } \left[ \Gamma ( \omega ) \geq \log \left( \frac { 1 } { 3 ^ { \frac { 1 } { 2 } } c \mathcal { N } ( a , b ) \beta _ { \bar { N } } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } - \underline { { \nu } } } \right) \right] \leq \mathbb { E } \left[ e ^ { \Gamma } \right] e ^ { \log \left( 3 ^ { \frac { 1 } { 2 } } c \mathcal { N } ( a , b ) \beta _ { \bar { N } } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } - \underline { { \nu } } \right) } } \\ & { = \mathbb { E } \left[ e ^ { \Gamma } \right] \left( 3 ^ { \frac { 1 } { 2 } } c \mathcal { N } ( a , b ) \beta _ { \bar { N } } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } - \underline { { \nu } } \right) \leq \mathbb { E } \left[ e ^ { \Gamma } \right] \left( \left( \frac { 3 } { c _ { \beta } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } c \mathcal { N } ( a , b ) \bar { N } ^ { - 1 } - \underline { { \nu } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { | z | } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \log | z - r e ^ { i \theta } | r d \theta d r } & { = \int _ { | z | } ^ { 1 } \underbrace { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \log | z e ^ { - i \theta } - r | d \theta } _ { 2 \pi \log r } r d r } \\ & { = \int _ { | z | } ^ { 1 } 2 \pi r \log r d r } \\ & { = 2 \pi \left( \frac { 1 } { 4 } - \frac { | z | ^ { 2 } } { 2 } \log | z | + \frac { | z | ^ { 2 } } { 4 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { K n c } & { \le \Phi ( u _ { - } ) - \Phi ( u ( y _ { n } ) ) } \\ & { = ( - \phi ( v ) ) ( u ( y _ { n } ) - u _ { - } ) \qquad \mathrm { f o r ~ s o m e ~ u _ - ~ < ~ v ~ < ~ u _ + ~ - ~ \alpha ~ } } \\ & { \le \left( \operatorname* { m a x } _ { u _ { - } < v < u _ { + } - \alpha } ( - \phi ( v ) ) \right) ( u ( y _ { n } ) - u _ { - } ) } \\ & { \le \operatorname* { m a x } _ { u _ { - } < v < u _ { + } - \alpha } \big ( H ( v - u _ { - } ) \big ) ( u ( y _ { n } ) - u _ { - } ) } \\ & { \le K ^ { \prime } ( u ( y _ { n } ) - u _ { - } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial V } { \partial r } = \sum _ { m = 0 } ^ { N } \sum _ { k = - N } ^ { N } \sum _ { n = n _ { 1 } [ 2 ] } ^ { n _ { 2 } } - \frac { n + 1 } { a } u _ { n } ( a ) \bar { F } _ { n m } ^ { k } ( i ) } \\ & { \times \left( \alpha _ { n m } \cos \psi _ { m k } + \beta _ { n m } \sin \psi _ { m k } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { m ( 2 ) } & { = - \frac { 5 5 } { 1 8 } \lambda _ { 1 } ^ { 4 } H + \frac { 9 } { 2 } \lambda _ { 1 } ^ { 4 } \delta _ { 1 } - 1 4 \lambda _ { 1 } ^ { 3 } \lambda _ { 2 } - \frac { 3 1 } { 3 } \lambda _ { 1 } ^ { 3 } H ^ { 2 } - \frac { 5 8 } { 9 } \lambda _ { 1 } ^ { 3 } H \delta _ { 1 } + 6 9 \lambda _ { 1 } ^ { 3 } \delta _ { 1 } ^ { 2 } - } \\ & { - \frac { 2 7 2 } { 3 } \lambda _ { 1 } ^ { 3 } \delta _ { 1 , 1 } - \frac { 1 7 3 } { 9 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } \lambda _ { 2 } H + 2 \lambda _ { 1 } ^ { 2 } \lambda _ { 3 } - \frac { 1 3 7 } { 1 8 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } H ^ { 3 } - \frac { 1 6 7 } { 4 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } H ^ { 2 } \delta _ { 1 } + } \\ & { + \frac { 1 8 3 1 } { 3 6 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } H \delta _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 4 5 9 } { 2 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } \delta _ { 1 } ^ { 3 } - \frac { 4 6 1 } { 3 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } \delta _ { 1 } \delta _ { 1 , 1 } + 2 \lambda _ { 1 } ^ { 2 } \delta _ { 1 , 1 , 1 } + 4 8 \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } ^ { 2 } + } \\ & { + \frac { 1 } { 9 } \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } H ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } \lambda _ { 1 } H ^ { 4 } - \frac { 6 0 5 } { 1 8 } \lambda _ { 1 } H ^ { 3 } \delta _ { 1 } - \frac { 9 5 5 } { 1 8 } \lambda _ { 1 } H ^ { 2 } \delta _ { 1 } ^ { 2 } + 1 3 9 \lambda _ { 1 } H \delta _ { 1 } ^ { 3 } + } \\ & { + 2 9 1 \lambda _ { 1 } \delta _ { 1 } ^ { 4 } - 4 9 \lambda _ { 1 } \delta _ { 1 } ^ { 2 } \delta _ { 1 , 1 } + 4 8 \lambda _ { 2 } ^ { 2 } H - 9 6 \lambda _ { 2 } \lambda _ { 3 } + \frac { 1 6 } { 3 } \lambda _ { 2 } H ^ { 3 } + 4 8 \lambda _ { 2 } \delta _ { 1 } \delta _ { 1 , 1 } - } \\ & { - 9 6 \lambda _ { 2 } \delta _ { 1 , 1 , 1 } - \frac { 2 4 1 } { 3 6 } H ^ { 4 } \delta _ { 1 } - \frac { 1 1 1 1 } { 3 6 } H ^ { 3 } \delta _ { 1 } ^ { 2 } - \frac { 6 3 } { 4 } H ^ { 2 } \delta _ { 1 } ^ { 3 } + \frac { 3 6 7 } { 4 } H \delta _ { 1 } ^ { 4 } + 1 2 6 \delta _ { 1 } ^ { 5 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \alpha _ { k , l } ( x ) | } & { \lesssim \Big | \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } 2 ^ { ( k + l ) n } \, \psi ^ { \vee } \Big ( \frac { y } { 2 ^ { - ( k + l ) } } \Big ) \, \big ( \alpha _ { k } ( x - y ) - \alpha _ { k } ( x ) \big ) \, \mathrm { d } y \Big | } \\ & { \lesssim { 2 ^ { - l r } } \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \Big | 2 ^ { ( k + l ) n } \psi ^ { \vee } \Big ( \frac { y } { 2 ^ { - ( k + l ) } } \Big ) \Big | \, \frac { | y | ^ { r } } { 2 ^ { - ( k + l ) r } } \, \mathrm { d } y \lesssim 2 ^ { - l r } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \mathcal { U } ^ { \mathcal { Y } } - \mathcal { U } \| _ { H _ { \rho } ^ { 1 } ( y ^ { \alpha } , \mathbb { R } ^ { d } \times ( 0 , \mathcal { Y } ) ) } ^ { 2 } + s \| \mathrm { t r _ { 0 } } ( \mathcal { U } ^ { \mathcal { Y } } - \mathcal { U } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } \leq C \mathcal { Y } ^ { - \mu } \left\| f \right\| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( i ) } & { \le - \frac { \lambda _ { k } T \mu _ { g } \beta _ { k } } { 4 } \mathcal { I } _ { k } + O ( \xi ^ { 2 } l _ { * , 0 } ^ { 2 } ) \frac { \alpha _ { k } } { \mu _ { g } T } + ( i i i ) , } \\ & { = - \frac { \lambda _ { k } T \mu _ { g } \beta _ { k } } { 4 } \mathcal { I } _ { k } + O ( \xi ^ { 2 } l _ { * , 0 } ^ { 2 } ) \frac { \alpha _ { k } } { \mu _ { g } T } + O ( T + \xi ^ { 2 } l _ { * , 0 } ^ { 2 } ) \lambda _ { k } ( \alpha _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { f } ^ { 2 } + \beta _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { g } ^ { 2 } ) + O \left( \frac { l _ { f , 0 } ^ { 2 } } { \mu _ { g } ^ { 3 } } \right) \cdot \frac { \delta _ { k } } { \lambda _ { k } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { 1 } ( t ) } & { = e ^ { - b \frac { \gamma - \gamma _ { 1 } } { \gamma } t } = e ^ { \frac { - b ( \gamma _ { 0 } + \gamma _ { 2 } ) } { \gamma } t } } \\ { P _ { 0 } ( t ) } & { = \frac { - \gamma _ { 0 } } { \gamma _ { 0 } + \gamma _ { 2 } } e ^ { \frac { - b ( \gamma _ { 0 } + \gamma _ { 2 } ) } { \gamma } t } = \frac { - \gamma _ { 0 } } { \gamma _ { 0 } + \gamma _ { 2 } } e ^ { - \frac { 1 } { \tau _ { 1 } } t } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int ( - 1 ) ^ { \deg _ { \theta } P + 1 } u ^ { i , 1 } \theta _ { i } P _ { N } \partial _ { x } ^ { - 1 } ( Q _ { N } ) - \partial _ { x } ^ { - 1 } ( P _ { N } ) u ^ { i , 1 } \theta _ { i } Q _ { N } } \\ & { = \int ( - 1 ) ^ { \deg _ { \theta } P + 1 } \partial _ { x } ( \theta _ { i } \partial _ { x } ^ { - 1 } ( P _ { N } ) ) u ^ { i , 1 } \partial _ { x } ^ { - 1 } ( Q _ { N } ) - u ^ { i , 1 } \partial _ { x } ^ { - 1 } ( P _ { N } ) \partial _ { x } ( \theta _ { i } \partial _ { x } ^ { - 1 } ( Q _ { N } ) ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { N \rightarrow + \infty } N ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \log \operatorname* { P r } ( y _ { i } \mid x _ { i } ; \theta ) = \sum _ { x \in { \mathcal { X } } } \sum _ { y \in { \mathcal { Y } } } \operatorname* { P r } ( X = x , Y = y ) \log \operatorname* { P r } ( Y = y \mid X = x ; \theta ) } \\ { = } & { \sum _ { x \in { \mathcal { X } } } \sum _ { y \in { \mathcal { Y } } } \operatorname* { P r } ( X = x , Y = y ) \left( - \log { \frac { \operatorname* { P r } ( Y = y \mid X = x ) } { \operatorname* { P r } ( Y = y \mid X = x ; \theta ) } } + \log \operatorname* { P r } ( Y = y \mid X = x ) \right) } \\ { = } & { - D _ { \mathrm { K L } } ( Y \parallel Y _ { \theta } ) - H ( Y \mid X ) } \end{array} }
{ \begin{array} { r l } { \left[ { \frac { \partial T _ { \rho \rho } } { \partial \rho } } + { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial T _ { \varphi \rho } } { \partial \varphi } } + { \frac { \partial T _ { z \rho } } { \partial z } } + { \frac { 1 } { \rho } } ( T _ { \rho \rho } - T _ { \varphi \varphi } ) \right] } & { { \hat { \boldsymbol { \rho } } } } \\ { + \left[ { \frac { \partial T _ { \rho \varphi } } { \partial \rho } } + { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial T _ { \varphi \varphi } } { \partial \varphi } } + { \frac { \partial T _ { z \varphi } } { \partial z } } + { \frac { 1 } { \rho } } ( T _ { \rho \varphi } + T _ { \varphi \rho } ) \right] } & { { \hat { \boldsymbol { \varphi } } } } \\ { + \left[ { \frac { \partial T _ { \rho z } } { \partial \rho } } + { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial T _ { \varphi z } } { \partial \varphi } } + { \frac { \partial T _ { z z } } { \partial z } } + { \frac { T _ { \rho z } } { \rho } } \right] } & { { \hat { \mathbf { z } } } } \end{array} }
\tau ^ { * } \mathcal { A } _ { w , w ^ { \prime } } ^ { \theta _ { 0 } } \left( \tau ^ { - 1 } \right) ^ { * } = J _ { \tau } ^ { - \gamma + w } \bar { J } _ { \tau } ^ { - \gamma + w ^ { \prime } } \mathcal { A } _ { w , w ^ { \prime } } ^ { \theta _ { 0 } } J _ { \tau } ^ { - w } \bar { J } _ { \tau } ^ { - w ^ { \prime } } , \quad \tau ^ { * } F = F \circ \tau .
\begin{array} { r l } & { X ^ { A } ( x , k ) = \mathcal { A } X ^ { A } ( x , \omega k ) \mathcal { A } ^ { - 1 } = \mathcal { B } X ^ { A } ( x , k ^ { - 1 } ) \mathcal { B } , \qquad k \in ( - \omega ^ { 2 } \hat { \mathcal { S } } , - \omega \hat { \mathcal { S } } , - \hat { \mathcal { S } } ) \setminus \hat { \mathcal { Q } } , } \\ & { Y ^ { A } ( x , k ) = \mathcal { A } Y ^ { A } ( x , \omega k ) \mathcal { A } ^ { - 1 } = \mathcal { B } Y ^ { A } ( x , k ^ { - 1 } ) \mathcal { B } , \qquad k \in ( \omega ^ { 2 } \hat { \mathcal { S } } , \omega \hat { \mathcal { S } } , \hat { \mathcal { S } } ) \setminus \hat { \mathcal { Q } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u + O ( \eta ) = \prod _ { i \leqslant k } f _ { i } ( \lfloor \alpha _ { i } r ^ { 2 } n \rfloor ) } & { = f _ { 1 } ( r \lfloor \alpha _ { 1 } r n \rfloor + 1 ) \prod _ { i = 2 } ^ { k } f _ { i } ( r \lfloor \alpha _ { i } r n \rfloor ) } \\ & { = f _ { 1 } ( r \lfloor \alpha _ { 1 } r n \rfloor + 1 ) \prod _ { i = 2 } ^ { k } f _ { i } ( r ) \cdot \prod _ { i = 2 } ^ { k } f _ { i } ( \lfloor \alpha _ { i } r n \rfloor ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { H _ { k } | U } ( x | u ) } & { = \operatorname* { P r } ( H _ { k } \leq x | u ) } \\ & { = \operatorname* { P r } \left( \left( \sum _ { j = 1 } ^ { \mu } | h _ { k j } | ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } < x \right) } \\ & { = \operatorname* { P r } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { \mu } | h _ { k j } | ^ { 2 } < x ^ { \alpha } \right) } \\ & { = 1 - Q _ { \mu } \left( \sqrt { \frac { 2 r u } { 1 - r } } , \sqrt { \frac { 2 x ^ { \alpha } } { ( 1 - r ) \bar { \beta } } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { y _ { n } ^ { F } = 0 , } \\ & { x _ { n } ^ { S } = - \frac { g \sqrt { \nu \xi } } { 4 \sqrt { 2 } } \left[ 1 + 2 \log \left( 2 \nu \xi \right) \right] , } \\ & { x _ { n } ^ { u S } = - \frac { \sqrt { 2 } } { 3 g \sqrt { \nu \xi } } + \frac { g \sqrt { \nu \xi } } { 4 \sqrt { 2 } } \left[ 1 + 2 \log \left( 2 \nu \xi \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \rho } { \mathrm { d } t } = } & { i [ \rho , H ] } \\ { + } & { \gamma _ { \mathrm { G X } } ^ { \mathrm { A } } \mathcal { L } ( \tau _ { \mathrm { A A } } \sigma _ { \mathrm { G X } } ) + \gamma _ { \mathrm { G X } } ^ { \mathrm { B } } \mathcal { L } ( \tau _ { \mathrm { B B } } \sigma _ { \mathrm { G X } } ) + \gamma _ { \mathrm { G Y } } ^ { \mathrm { A } } \mathcal { L } ( \tau _ { \mathrm { A A } } \sigma _ { \mathrm { G Y } } ) + \gamma _ { \mathrm { G Y } } ^ { \mathrm { B } } \mathcal { L } ( \tau _ { \mathrm { B B } } \sigma _ { \mathrm { G Y } } ) } \\ { + } & { \sum _ { m } \gamma _ { \mathrm { S S } } \mathcal { L } ( b _ { m } ) } \\ { + } & { \sum _ { m } \gamma _ { \mathrm { G X } _ { m } } ^ { \mathrm { A } } \mathcal { L } ( \tau _ { \mathrm { A A } } \sigma _ { \mathrm { G X } } b _ { m } ) + \gamma _ { \mathrm { G X } _ { m } } ^ { \mathrm { B } } \mathcal { L } ( \tau _ { \mathrm { B B } } \sigma _ { \mathrm { G X } } b _ { m } ) + \gamma _ { \mathrm { G Y } _ { m } } ^ { \mathrm { A } } \mathcal { L } ( \tau _ { \mathrm { A A } } \sigma _ { \mathrm { G Y } } b _ { m } ) + \gamma _ { \mathrm { G Y } _ { m } } ^ { \mathrm { B } } \mathcal { L } ( \tau _ { \mathrm { B B } } \sigma _ { \mathrm { G Y } } b _ { m } ) } \\ { + } & { \sum _ { m } \gamma _ { \mathrm { G X } _ { m } } ^ { \mathrm { A } } \mathcal { L } ( \tau _ { \mathrm { A A } } \sigma _ { \mathrm { G X } } b _ { m } ^ { \dagger } ) + \gamma _ { \mathrm { G X } _ { m } } ^ { \mathrm { B } } \mathcal { L } ( \tau _ { \mathrm { B B } } \sigma _ { \mathrm { G X } } b _ { m } ^ { \dagger } ) + \gamma _ { \mathrm { G Y } _ { m } } ^ { \mathrm { A } } \mathcal { L } ( \tau _ { \mathrm { A A } } \sigma _ { \mathrm { G Y } } b _ { m } ^ { \dagger } ) + \gamma _ { \mathrm { G Y } _ { m } } ^ { \mathrm { B } } \mathcal { L } ( \tau _ { \mathrm { B B } } \sigma _ { \mathrm { G Y } } b _ { m } ^ { \dagger } ) } \\ { + } & { \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { X A } } \mathcal { L } ( \sigma _ { \mathrm { X X } } \tau _ { \mathrm { B A } } ) + \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { Y A } } \mathcal { L } ( \sigma _ { \mathrm { Y Y } } \tau _ { \mathrm { B A } } ) + \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { X B } } \mathcal { L } ( \sigma _ { \mathrm { X X } } \tau _ { \mathrm { A B } } ) + \gamma _ { \mathrm { A B } } ^ { \mathrm { Y B } } \mathcal { L } ( \sigma _ { \mathrm { Y Y } } \tau _ { \mathrm { A B } } ) } \\ { + } & { \gamma _ { x y } [ \mathcal { L } ( \tau _ { \mathrm { A A } } \sigma _ { \mathrm { X Y } } ) + \mathcal { L } ( \tau _ { \mathrm { B B } } \sigma _ { \mathrm { Y X } } ) ] } \\ { + } & { \gamma _ { \phi } [ \mathcal { L } ( \sigma _ { \mathrm { X X } } ) + \mathcal { L } ( \sigma _ { \mathrm { Y Y } } ) ] . } \end{array}
\mathbb { E } _ { X _ { t } = x } \left[ e ^ { \alpha X _ { \tau _ { t } \wedge \tau _ { t } ^ { K } } } \right] = e ^ { \alpha x } = 1 - \mathbb { P } ( \tau _ { t } ^ { K } < \tau _ { t } ) + \mathbb { E } _ { X _ { t } = x } \left[ e ^ { \alpha X _ { \tau _ { t } ^ { K } } } | \tau _ { t } ^ { K } < \tau _ { t } \right] \mathbb { P } ( \tau _ { t } ^ { K } < \tau _ { t } | X _ { t } = x ) ,
\begin{array} { r l } { D S G } & { R N \quad p a r a m e t e r \quad P C : \quad } \\ { X : \quad } & { l _ { X , Y } l _ { X , Z } < l _ { X , Y } h _ { X , Z } < \theta _ { Y , X } < h _ { X , Y } l _ { X , Z } < h _ { X , Y } h _ { X , Z } } \\ { Y : \quad } & { l _ { Y , X } < \theta _ { Z , Y } < \theta _ { X , Y } < h _ { Y , X } } \\ { Z : \quad } & { l _ { Z , Y } < h _ { Z , Y } < \theta _ { X , Z } } \end{array}
c _ { 2 h , w } ^ { \pm } ( \lambda ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { \mathrm { i f ~ \lambda _ { 2 i - 1 } ~ = ~ \lambda _ { 2 i } ~ f o r ~ a l l ~ 1 ~ \le ~ i ~ \le ~ h ~ , } } \\ { \pm 1 , } & { \mathrm { i f ~ \lambda _ 1 ~ - ~ \lambda _ { 2 h } ~ = ~ w ~ a n d ~ \lambda _ { 2 i } ~ = ~ \lambda _ { 2 i + 1 } ~ f o r ~ a l l ~ 1 ~ \le ~ i ~ \le ~ h - 1 ~ , } } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } ( t ^ { 2 } ) } & { = } & { \frac { 1 } { r _ { k } ^ { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { x } \frac { \binom { x - 1 } { j - 1 } \lambda ^ { j } } { j ! } B _ { \theta } ( j , x - j + 1 ) } \sum _ { j = 1 } ^ { x } \frac { \binom { x - 1 } { j - 1 } \lambda ^ { j } } { j ! } \Biggr [ \Big ( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial n ^ { 2 } } + 2 \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial n \partial x } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } \Big ) B _ { \theta } ( n , x - n + 1 ) + } \\ & { } & { 2 \ln \theta ^ { \prime } \Gamma ( n ) ^ { 2 } { \theta } ^ { n } \: _ { 3 } \tilde { F } _ { 2 } ( n , n , n - x ; n + 1 , n + 1 ; \theta ) + r _ { k } ^ { 2 } B _ { \theta } ( j , x - j + 1 ) \left( \left( \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } \tau _ { i } \right) ^ { 2 } - \left( \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } \frac { r _ { i } \tau _ { i } } { r _ { k } } \right) ^ { 2 } \right) \Biggl ] . } \\ { . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \eta \widetilde { \gamma } - \widetilde { \eta } \gamma ^ { 2 } ) ( \widetilde { \gamma } ^ { 2 } \eta - \widetilde { \eta } \gamma ) + \eta ^ { 2 } \widetilde { \gamma } ^ { 3 } - \eta \widetilde { \eta } \gamma \widetilde { \gamma } - \widetilde { \eta } \gamma \eta \widetilde { \gamma } + \widetilde { \eta } ^ { 2 } \gamma ^ { 3 } = 2 \eta ^ { 2 } \widetilde { \gamma } ^ { 3 } + 2 \widetilde { \eta } ^ { 2 } \gamma ^ { 3 } - 3 \eta \widetilde { \eta } \gamma \widetilde { \gamma } - \eta \widetilde { \eta } \gamma ^ { 2 } \widetilde { \gamma } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi ^ { \epsilon } } & { = \Psi + 2 \pi K _ { W } G _ { - } \mu _ { 2 } ( { \epsilon } \Phi , \Psi ) + \mathcal { O } ( { \epsilon } ^ { 2 } ) } \\ & { = \Psi + 2 \pi K G _ { - } \mu _ { 2 } ( { \epsilon } \Phi , \Psi ) + 2 \pi K G _ { - } \mu _ { 2 } ( W , 2 \pi K G _ { - } \mu _ { 2 } ( { \epsilon } \Phi , \Psi ) ) . . . + \mathcal { O } ( { \epsilon } ^ { 2 } ) . } \end{array}
\mathcal { S } \left( \mathrm { s t a t e } \left( \boldsymbol { F } , \boldsymbol { F } _ { \mathrm { p } } , \boldsymbol { \upalpha } \right) \right) = \frac { \ell W _ { \mathrm { c r i t } } } { \mathcal { G } _ { c } ^ { 0 } } \left\langle \frac { W _ { \mathrm { e } } ^ { + } + W _ { \mathrm { p } } } { W _ { \mathrm { c r i t } } } - 1 \right\rangle ,
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } _ { \rho \in \mathcal { C } _ { r } ^ { ( 0 ) \ast } ( \mathcal { P } ) } \| \rho - \sigma \| _ { 1 } \le \| \rho _ { 0 } - \sigma \| _ { 1 } } \\ { \stackrel { ( a ) } { \le } } & { 2 \sqrt { 1 - F ( \rho _ { 0 } , \sigma ) } = 2 \sqrt { 1 - \cfrac { 1 } { 2 r + 1 } } = 2 \sqrt { \cfrac { 2 r } { 2 r + 1 } } . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l l l l l l l } { d x } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { d y } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { d x } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { d y } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { d x } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { d y } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { d x } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { d y } \\ & { - } & { A ^ { T } } & & & { - } & { B ^ { T } } & \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { ( \partial \psi _ { 1 } / \partial x ) } \\ { ( \partial \psi _ { 2 } / \partial x ) } \\ { ( \partial \psi _ { 3 } / \partial x ) } \\ { ( \partial \psi _ { 4 } / \partial x ) } \\ { ( \partial \psi _ { 1 } / \partial y ) } \\ { ( \partial \psi _ { 2 } / \partial y ) } \\ { ( \partial \psi _ { 3 } / \partial y ) } \\ { ( \partial \psi _ { 4 } / \partial y ) } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { d \psi _ { 1 } } \\ { d \psi _ { 2 } } \\ { d \psi _ { 3 } } \\ { d \psi _ { 4 } } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { \hat { Z } = } & { \underset { Z } { \arg \operatorname* { m a x } } ~ \langle Z , A \rangle } \\ & { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } \quad Z \succeq 0 } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad Z _ { i i } = 1 , \quad i \in [ n ] } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \langle Z , \mathbf { J } \rangle = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m a x } _ { \alpha } \sum _ { i \in \mathcal { V } _ { H } } \operatorname* { m i n } ( \alpha _ { i } - \alpha + 1 , 0 ) } \\ & { \mathrm { s . t . ~ } \sum _ { i \in \mathcal { V } _ { H } } \operatorname* { m a x } ( \alpha _ { i } - \alpha + 1 , 0 ) + \sum _ { \{ i , j \} \in \mathcal { E } _ { H } } \operatorname* { m i n } ( \alpha _ { i } + \alpha _ { j } - 1 , 0 ) > \gamma } \\ & { \alpha _ { i } \in [ 0 , 1 ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \phi } { \partial y } ( x , y , z ) = } & { - \frac { 1 } { 4 \pi } \iint _ { \mathcal { S } _ { p } } \frac { ( y - u \sin { ( \beta ) } ) \Omega ( u , v ) } { \left( ( x - v ) ^ { 2 } + ( y - u \sin { ( \beta ) } ) ^ { 2 } + ( z - u \cos { ( \beta ) } ) ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \mathrm { d } u \mathrm { d } v . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { i m \langle \Psi ( t ) | [ { \hat { L } } , { \hat { x } } ] | \Psi ( t ) \rangle } & { = \langle \Psi ( t ) | { \hat { p } } | \Psi ( t ) \rangle , } \\ { i \langle \Psi ( t ) | [ { \hat { L } } , { \hat { p } } ] | \Psi ( t ) \rangle } & { = - \langle \Psi ( t ) | U ^ { \prime } ( { \hat { x } } ) | \Psi ( t ) \rangle . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \tilde { R } _ { k , n } - R _ { k , n } } & { = } & { \left( \ln \frac { k } { n } - \ln ( 1 - F _ { 0 } ( X _ { ( n - k ) } ) ) \right) } \\ & { } & { - \frac { 1 } { k } \sum _ { i = n - k + 1 } ^ { n } \ln \frac { 1 - F _ { 0 } ( u _ { 0 } ( n / k ) X _ { ( i ) } / X _ { ( n - k ) } ) } { 1 - F _ { 0 } ( X _ { ( i ) } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { 0 } ( n ) } & { = ( f * \beta ^ { 3 } ) ( n ) , } \\ { F _ { 0 } ( n ) } & { = ( f _ { 0 } * q _ { 1 2 } ) ( n ) , } \\ { W _ { f } ( \frac { \tilde { w } _ { \mathrm { m a x } } } { 2 ^ { j / N _ { \mathrm { s u b s } } } } , n ) } & { = \sqrt { \frac { \tilde { w } _ { \mathrm { m a x } } \Delta x } { 2 ^ { j / N _ { \mathrm { s u b s } } } } } ( F _ { 0 } * q _ { j } ) ( n ) . } \end{array}
\sum _ { n _ { 1 } \geq \dots \geq n _ { r - 1 } \geq 0 } \frac { q ^ { n _ { 1 } ^ { 2 } + \dots + n _ { r - 1 } ^ { 2 } + n _ { i } + \dots + n _ { r - 1 } } } { ( q ; q ) _ { n _ { 1 } } } { n _ { 1 } \brack n _ { 1 } - n _ { 2 } } _ { q } \cdots { n _ { r - 2 } \brack n _ { r - 2 } - n _ { r - 1 } } _ { q } = \frac { \theta ( q ^ { i } ; q ^ { 2 r + 1 } ) ( q ^ { 2 r + 1 } ; q ^ { 2 r + 1 } ) _ { \infty } } { ( q ; q ) _ { \infty } } ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \mathrm { c h a r } _ { \Lambda _ { \mathcal { O } } ( \Gamma _ { \textup { c y c } } ) } } & { \, \left( \widetilde { H } _ { \mathrm { f , I w } } ^ { 2 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , \mathrm { I n d } _ { K / \mathbb { Q } } \, T , \Delta _ { \mathrm { C M } } ) \right) } \\ & { = \mathrm { c h a r } _ { \Lambda _ { \mathcal { O } } ( \Gamma _ { \textup { c y c } } ) } \left( \widetilde { H } _ { \mathrm { f , I w } } ^ { 2 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T , \Delta _ { 0 } ) \right) \cdot \mathrm { c h a r } _ { \Lambda _ { \mathcal { O } } ( \Gamma _ { \textup { c y c } } ) } \left( \widetilde { H } _ { \mathrm { f , I w } } ^ { 2 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T \otimes \epsilon _ { K } , \Delta _ { \emptyset } ) \right) \, , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial n } { \partial t } } & { = i \int d \vec { q } ^ { \prime } d \vec { q } ^ { \prime \prime } e ^ { i ( \vec { q } ^ { \prime \prime } + \vec { q } ^ { \prime } ) \cdot \vec { x } } \Big [ \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \int e ^ { - i \vec { q } ^ { \prime \prime } \cdot \vec { x } ^ { \prime \prime } } \Omega ( \vec { k } - \vec { q } ^ { \prime } / 2 , \vec { x } ^ { \prime \prime } ) d \vec { x } ^ { \prime \prime } \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \int e ^ { - i \vec { q } ^ { \prime } \cdot \vec { x } ^ { \prime } } n ( \vec { k } + \vec { q } ^ { \prime \prime } / 2 , \vec { x } ^ { \prime } ) d \vec { x } ^ { \prime } } \\ & { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \int e ^ { - i \vec { q } ^ { \prime } \cdot \vec { x } ^ { \prime } } \Omega ( \vec { k } + \vec { q } ^ { \prime \prime } / 2 , \vec { x } ^ { \prime } ) d \vec { x } ^ { \prime } \frac { 1 } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \int e ^ { - i \vec { q } ^ { \prime \prime } \cdot \vec { x } ^ { \prime \prime } } n ( \vec { k } - \vec { q } ^ { \prime } / 2 , \vec { x } ^ { \prime \prime } ) d \vec { x } ^ { \prime \prime } \Big ] . } \\ & { = \frac { i } { ( 4 \pi ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \int d \vec { q } ^ { \prime } d \vec { q } ^ { \prime \prime } d \vec { x } ^ { \prime } d \vec { x } ^ { \prime \prime } e ^ { i \vec { q } ^ { \prime \prime } \cdot ( \vec { x } - \vec { x } ^ { \prime \prime } ) + i \vec { q } ^ { \prime } \cdot ( \vec { x } - \vec { x } ^ { \prime } ) } } \\ & { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Big [ \Omega ( \vec { k } - \vec { q } ^ { \prime } / 2 , \vec { x } ^ { \prime \prime } ) n ( \vec { k } + \vec { q } ^ { \prime \prime } / 2 , \vec { x } ^ { \prime } ) - \Omega ( \vec { k } + \vec { q } ^ { \prime \prime } / 2 , \vec { x } ^ { \prime } ) n ( \vec { k } - \vec { q } ^ { \prime } / 2 , \vec { x } ^ { \prime \prime } ) \Big ] } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { 0 = { \frac { d I ^ { \prime } } { d \varepsilon } } [ 0 ] = } & { L [ \mathbf { q } [ t _ { 2 } ] , { \dot { \mathbf { q } } } [ t _ { 2 } ] , t _ { 2 } ] T - L [ \mathbf { q } [ t _ { 1 } ] , { \dot { \mathbf { q } } } [ t _ { 1 } ] , t _ { 1 } ] T - { \frac { \partial L } { \partial { \dot { \mathbf { q } } } } } { \frac { \partial \varphi } { \partial \mathbf { q } } } { \dot { \mathbf { q } } } [ t _ { 2 } ] T + { \frac { \partial L } { \partial { \dot { \mathbf { q } } } } } { \frac { \partial \varphi } { \partial \mathbf { q } } } { \dot { \mathbf { q } } } [ t _ { 1 } ] T } \\ & { + \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } { \frac { \partial L } { \partial \mathbf { q } } } { \frac { \partial \varphi } { \partial \varepsilon } } + { \frac { \partial L } { \partial { \dot { \mathbf { q } } } } } { \frac { \partial ^ { 2 } \varphi } { \partial \varepsilon \partial \mathbf { q } } } { \dot { \mathbf { q } } } \, d t . } \end{array} }
{ \begin{array} { r l r l } { \int \sec \theta \, d \theta } & { = \int \left( { \frac { 1 + t ^ { 2 } } { 1 - t ^ { 2 } } } \right) \! \left( { \frac { 2 } { 1 + t ^ { 2 } } } \right) d t } & & { t = \tan { \frac { \theta } { 2 } } } \\ & { = \int { \frac { 2 } { ( 1 - t ) ( 1 + t ) } } \, d t } \\ & { = \int \left( { \frac { 1 } { 1 + t } } + { \frac { 1 } { 1 - t } } \right) d t } & & { { \mathrm { p a r t i a l ~ f r a c t i o n ~ d e c o m p o s i t i o n } } } \\ & { = \ln | 1 + t | - \ln | 1 - t | + C } \\ & { = \ln \left| { \frac { 1 + t } { 1 - t } } \right| + C } \\ & { = \ln | \sec \theta + \tan \theta | + C , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \hat { V } _ { t } ^ { - } } & { = \mathbb E \left[ \overline { { Q } } _ { t } + A \epsilon _ { t } ^ { - } / \pi - ( \Lambda - \Lambda ^ { - 1 } ) A \frac { 1 - \pi } { \pi } \left\{ \left( ( 1 - \tau ) ( \epsilon _ { t } ^ { - } - Z _ { 1 - \tau } ^ { \epsilon _ { t } ^ { - } } ( X , 1 ) ) _ { + } + \tau ( \epsilon _ { t } ^ { - } - Z _ { 1 - \tau } ^ { \epsilon _ { t } ^ { - } } ( X , 1 ) ) _ { - } \right) \right\} \right] } \\ & { = \mathbb E \left[ \overline { { Q } } _ { t } + A \epsilon _ { t } ^ { - } / \pi - ( \Lambda - \Lambda ^ { - 1 } ) A \frac { 1 - \pi } { \pi } \left\{ \left( ( 1 - \tau ) ( R _ { t } - Z _ { 1 - \tau } ^ { R _ { t } } ( X , 1 ) ) _ { + } + \tau ( R _ { t } - Z _ { 1 - \tau } ^ { R _ { t } } ( X , 1 ) ) _ { - } \right) \right\} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { e ^ { - x } \Big ( 1 + \frac { x } { n } \Big ) ^ { k } } & { = e ^ { - x + k \ln ( 1 + \frac { x } { n } ) } = e ^ { - x ( 1 - \frac { k } { n } ) + \mathcal { O } ( \frac { k x ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } ) } = e ^ { - x ( 1 - \frac { k } { n } ) } \cdot \Big ( 1 + \mathcal { O } \big ( { \textstyle { \frac { k x ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } } } \big ) \Big ) } \\ & { = e ^ { - x ( 1 - \frac { k } { n } ) } \cdot \Big ( 1 + \mathcal { O } \big ( n ^ { - \frac { 1 } { 2 } + 2 \epsilon } \big ) \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } c _ { i } + \nabla \cdot \left( \mathbf { u } c _ { i } \right) = \kappa _ { i } \Delta c _ { i } + \frac { \kappa _ { i } z _ { i } e } { k _ { B } T } \nabla \cdot ( c _ { i } \nabla \phi ) , \; c _ { i } ( x , \mathbf { y } , 0 ) = c _ { I , i } \left( \frac { x } { L _ { x } } \right) , \; i = 1 , \hdots , n , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { \xi _ { i } } \left[ \left\Vert g _ { i } ( x ; \xi _ { i } ) - \nabla f _ { i } ( x ) \right\Vert ^ { 2 } \right] \leq \sigma ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } \left\Vert \nabla f _ { i } ( x ) \right\Vert ^ { 2 } , } \\ & { \quad \forall i \in [ n ] \mathrm { ~ a n d ~ f o r ~ s o m e ~ } \sigma , \eta \geq 0 , } \\ & { \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left[ \left\Vert \nabla f _ { i } ( x ) - \nabla f ( x ) \right\Vert ^ { 2 } \right] \leq \zeta ^ { 2 } + \psi ^ { 2 } \left\Vert \nabla f ( x ) \right\Vert ^ { 2 } , } \\ & { \quad \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ } \zeta , \psi \geq 0 . } \end{array}
\mathcal { S } _ { 2 } : = \left\lbrace \left\lVert \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \boldsymbol { \epsilon } _ { t } \boldsymbol { \epsilon } _ { t } ^ { \prime } - \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \boldsymbol { \epsilon } _ { t } \boldsymbol { \epsilon } _ { t } ^ { \prime } \right\rVert _ { \operatorname* { m a x } } \leq \frac { N ^ { 4 / m } } { T ^ { ( m - 2 ) / m } } \eta _ { T } ^ { - 1 } \right\rbrace
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { P } \left[ r _ { T } \left( \pi ^ { \mathrm { H I R } } \right) ( P ) \right] \leq \sum _ { a \in [ K ] } \Delta ^ { a } ( P ) \exp \Bigg ( - \frac { T ( \Delta ^ { a } ( P ) ) ^ { 2 } } { 2 V ^ { a } ( P ) } + \left\{ \frac { \sqrt { T } \Delta ^ { a } ( P ) } { \sqrt { V ^ { a } ( P ) } } + \frac { T ( \Delta ^ { a } ( P ) ) ^ { 2 } } { 2 V ^ { a } ( P ) } \right\} \varepsilon \Bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { x _ { k + 1 } - x _ { k } } { \sqrt { s } } } & { = \frac { 1 } { \sqrt { s } } \left( y _ { k } - s \nabla f \left( y _ { k } \right) - x _ { k } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { s } } \left( \beta _ { k - 1 } \left( x _ { k } - x _ { k - 1 } \right) + \gamma _ { k } \left( x _ { k } - y _ { k - 1 } \right) - s \nabla f \left( y _ { k } \right) \right) } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { s } } \left( \beta _ { k - 1 } \left( x _ { k } - x _ { k - 1 } \right) - s \gamma _ { k } \nabla f \left( y _ { k - 1 } \right) - s \nabla f \left( y _ { k } \right) \right) } \\ & { = \beta _ { k - 1 } \frac { x _ { k } - x _ { k - 1 } } { \sqrt { s } } - \sqrt { s } \gamma _ { k } \nabla f \left( y _ { k - 1 } \right) - \sqrt { s } \nabla f \left( y _ { k } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \lambda \mathrm { I } - \Delta _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } ) ^ { - 1 } \mathbb { P } f } & { = \mathbb { P } ( \lambda \mathrm { I } - \Delta _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } ) ^ { - 1 } f \mathrm { , ~ } } \\ { e ^ { t \Delta _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } } \mathbb { P } f } & { = \mathbb { P } e ^ { t \Delta _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } } f \mathrm { . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P _ { A _ { 1 } A _ { 2 } } } & { = } & { \int \chi _ { A _ { 1 } } ( x ) \odot _ { \mathbb { X } } \chi _ { A _ { 2 } } ( x ) \odot _ { \mathbb { X } } \rho ( x ) \mathrm { D } x , } \\ { P _ { A } } & { = } & { \int \chi _ { A } ( x ) \odot _ { \mathbb { X } } \rho ( x ) \mathrm { D } x = \frac { 1 } { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { 5 _ { 2 } , n } ^ { ( 1 ) } ( q ) } & { = - ( - 1 ) ^ { n } q ^ { | n | / 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { q ^ { | n | k } } { ( q ; q ) _ { k + 2 | n | } ( q ^ { - 1 } ; q ^ { - 1 } ) _ { k } ( q ; q ) _ { k + | n | } } } \\ & { \qquad \times \left( k + | n | - \frac { 1 } { 4 } - 3 E _ { 1 } ( q ) + H _ { k } ( q ) + H _ { k + | n | } ( q ) + H _ { k + 2 | n | } ( q ) \right) } \\ & { \quad + q ^ { - n ^ { 2 } / 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { | n | - 1 } \frac { ( q ^ { - 1 } , q ^ { - 1 } ) _ { | n | - 1 - k } } { ( q ^ { - 1 } , q ^ { - 1 } ) _ { k } ( q ; q ) _ { k + | n | } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \nabla f ( w ^ { \prime } ) - \nabla f ( w ) \| } \\ & { \le \big ( L _ { 0 } + L _ { 1 } \operatorname* { m a x } _ { \theta \in [ 0 , 1 ] } \| \nabla f ( w _ { \theta } ) \| ^ { \alpha } \big ) \| w ^ { \prime } - w \| } \\ & { \le \Big ( L _ { 0 } + L _ { 1 } \cdot 2 ^ { \frac { \alpha ^ { 2 } } { 1 - \alpha } } \Big ( 3 \big ( L _ { 1 } ( 1 - \alpha ) \| w ^ { \prime } - w \| \big ) ^ { \frac { 1 } { 1 - \alpha } } + \| \nabla f ( w ) \| + \frac { L _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } { L _ { 1 } ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } \Big ) ^ { \alpha } \Big ) \| w ^ { \prime } - w \| } \\ & { \overset { ( i ) } { \le } \Big ( L _ { 0 } + L _ { 1 } \cdot 2 ^ { \frac { \alpha ^ { 2 } } { 1 - \alpha } } \Big ( 3 ^ { \alpha } \big ( L _ { 1 } ( 1 - \alpha ) \| w ^ { \prime } - w \| \big ) ^ { \frac { \alpha } { 1 - \alpha } } + \| \nabla f ( w ) \| ^ { \alpha } + \frac { L _ { 0 } } { L _ { 1 } } \Big ) \Big ) \| w ^ { \prime } - w \| } \\ & { = \| w ^ { \prime } - w \| \big ( K _ { 0 } + K _ { 1 } \| \nabla f ( w ) \| ^ { \alpha } \! + \! K _ { 2 } \| w ^ { \prime } - w \| ^ { \frac { \alpha } { 1 - \alpha } } \big ) } \end{array}
J ( x ) \leftarrow \operatorname* { m i n } _ { b \in \{ 0 , 1 \} } \bigg \{ | | x | | _ { 1 } + c _ { b } b + \tilde { \mu } \sum _ { i = 1 } ^ { n } J ( ( x - e _ { i } ) ^ { + } ) + \tilde { \lambda } J ( x + e _ { \operatorname* { m i n } } ) + ( 1 - b ) a \tilde { \lambda } \bigg [ \sum _ { i = 1 } ^ { n } p _ { i } J ( x + e _ { i } ) - J ( x + e _ { \operatorname* { m i n } } ) \bigg ] \bigg \}
\begin{array} { r l } { F ( v _ { i } ) - F ( u _ { 1 } ) } & { = r _ { 1 } l _ { v _ { i } u _ { 1 } } } \\ { F ( u _ { 1 } ) - F ( u _ { 2 } ) } & { = r _ { 2 } l _ { u _ { 1 } u _ { 2 } } } \\ & { \vdots } \\ { F ( u _ { k - 1 } ) - F ( u _ { k } ) } & { = r _ { k } l _ { u _ { k - 1 } u _ { k } } } \\ { F ( u _ { k } ) - F ( v _ { j } ) } & { = r _ { k + 1 } l _ { u _ { k } v _ { j } } } \end{array}
\begin{array} { r } { c _ { 0 } : = \operatorname* { m i n } _ { \mu \in ( \overline { { \mu } } , \mu _ { r } ] } \sqrt { - G ( \zeta ; \mu ) } , \quad \tilde { c } _ { 2 } : = \frac { 2 \sqrt 2 c _ { 2 } \sqrt { \xi - \alpha ( \overline { { \mu } } ) } } { c _ { 3 } \sqrt { c _ { 3 } } } , \quad \tilde { c } _ { 3 } : = \frac { 2 \sqrt 2 c _ { 4 } \sqrt { \xi - \alpha ( \overline { { \mu } } ) } } { c _ { 3 } \sqrt { c _ { 3 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { 2 E _ { 1 } } & { = [ 2 , 3 , 3 , 3 , 3 , 4 , 4 , 5 , 7 ] \qquad } & { E _ { 2 } } & { = [ 2 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 5 , 6 , 6 ] } \\ { E _ { 3 } } & { = [ 2 , 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 4 , 4 , 7 ] \qquad } & { E _ { 4 } } & { = [ 2 , 2 , 3 , 3 , 4 , 4 , 4 , 6 , 6 ] } \\ { E _ { 5 } } & { = [ 2 , 2 , 3 , 3 , 3 , 5 , 5 , 5 , 6 ] \qquad } & { E _ { 6 } } & { = [ 2 , 2 , 2 , 4 , 4 , 4 , 5 , 5 , 6 ] } \\ { E _ { 7 } } & { = [ 2 , 2 , 2 , 2 , 3 , 4 , 4 , 5 , 8 ] \qquad } & { E _ { 8 } } & { = [ 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 4 , 5 , 6 , 7 ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \sqrt { n h _ { n } } ( M _ { n } ( s , t ) - M ( s , t ) ) } \\ & { = } & { \sqrt { n h _ { n } } \left[ \frac { 1 } { n h _ { n } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \left\{ \sum _ { i = 1 } ^ { n } k \left( \frac { Z _ { 1 , i } - s } { h _ { n } } , \frac { Z _ { 2 , i } - t } { h _ { n } } \right) \right\} - \left\{ \frac { 1 } { n ^ { 2 } h _ { n } ^ { 2 } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } k _ { 1 } \left( \frac { Z _ { 1 , i } - s } { h _ { n } } \right) k _ { 2 } \left( \frac { Z _ { 2 , j } - t } { h _ { n } } \right) \right\} \right] } \\ & { - } & { \sqrt { n h _ { n } } \left( f _ { Z _ { 1 } , Z _ { 2 } } ( s , t ) - f _ { Z _ { 1 } } ( s ) f _ { Z _ { 2 } } ( t ) \right) } \\ & { = } & { \sqrt { n h _ { n } } \left\{ \frac { 1 } { n h _ { n } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \left\{ \sum _ { i = 1 } ^ { n } k \left( \frac { Z _ { 1 , i } - s } { h _ { n } } , \frac { Z _ { 2 , i } - t } { h _ { n } } \right) \right\} - f _ { Z _ { 1 } , Z _ { 2 } } ( s , t ) \right\} } \\ & { - } & { \sqrt { n h _ { n } } \left\{ \frac { 1 } { n ^ { 2 } h _ { n } ^ { 2 } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } k _ { 1 } \left( \frac { Z _ { 1 , i } - s } { h _ { n } } \right) k _ { 2 } \left( \frac { Z _ { 2 , j } - t } { h _ { n } } \right) - f _ { Z _ { 1 } } ( s ) f _ { Z _ { 2 } } ( t ) \right\} } \\ & { = } & { \sqrt { n h _ { n } } \left\{ \frac { 1 } { n h _ { n } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \left\{ \sum _ { i = 1 } ^ { n } k \left( \frac { Z _ { 1 , i } - s } { h _ { n } } , \frac { Z _ { 2 , i } - t } { h _ { n } } \right) \right\} - f _ { Z _ { 1 } , Z _ { 2 } } ( s , t ) \right\} } \\ & { - } & { \sqrt { n h _ { n } } \left\{ \frac { 1 } { n h _ { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } k _ { 1 } \left( \frac { Z _ { 1 , i } - s } { h _ { n } } \right) \left( \frac { 1 } { n h _ { n } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } k _ { 2 } \left( \frac { Z _ { 2 , j } - t } { h _ { n } } \right) - f _ { Z _ { 2 } } ( t ) \right) \right\} } \\ & { - } & { \sqrt { n h _ { n } } \left\{ f _ { Z _ { 2 } } ( t ) \left( \frac { 1 } { n h _ { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } k _ { 2 } \left( \frac { Z _ { 1 , i } - s } { h _ { n } } \right) - f _ { Z _ { 1 } } ( s ) \right) \right\} } \\ & { = } & { ( I ) - ( I I ) - ( I I I ) , } \end{array}
\left( \begin{array} { l l } { 1 } & { s _ { 1 } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { s _ { 1 } ^ { - 1 } } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { s _ { 1 } } \\ { - s _ { 1 } ^ { - 1 } } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { s _ { 1 } ^ { - 1 } } & { 1 } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { { \mathrm { K L } } [ \mu _ { t } \Vert \rho _ { \mathrm { p o s t } } ] \leq ( 1 - t ) { \mathrm { K L } } [ \mu _ { 0 } \Vert \rho _ { \mathrm { p o s t } } ] + t { \mathrm { K L } } [ \mu _ { 1 } \Vert \rho _ { \mathrm { p o s t } } ] - \frac { \alpha t ( 1 - t ) } { 2 } W _ { 2 } ^ { 2 } ( \mu _ { 0 } , \mu _ { 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ ( \mu ) = \operatorname* { i n f } \; } & { G _ { N } ( \mu _ { N } ) + \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } G _ { k } ( \mu _ { k } , \lambda ^ ( k ) ) } \\ { \mathrm { s . t . } \; } & { \mu _ { k + 1 } = F _ { k } ( \mu _ { k } , \lambda _ { k } ^ ) , \quad \mu _ { 0 } = \mu , \quad F _ { k } : \mathcal { P } _ { X _ { k } } \times \mathcal { U } _ { k } \to \mathcal { P } _ ( X _ { k + 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { e _ { t } } & { \leq \bar { \alpha } \left( \tilde { e } _ { t - 1 } + C _ { 2 } d ^ { 2 } \eta _ { t - 1 } ^ { 2 } + C _ { 3 } d ^ { 2 } { \eta _ { t - 1 } ^ { 2 } } + C _ { 4 } \delta _ { t - 1 } ^ { 2 } \right) , } \\ { \tilde { e } _ { t } } & { \leq \bar { \alpha } \left( \tilde { e } _ { t - 1 } + C _ { 2 } d ^ { 2 } \eta _ { t - 1 } ^ { 2 } + C _ { 3 } d ^ { 2 } { \eta _ { t - 1 } ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { J ( \nu ) } & { = \operatorname* { i n f } _ { \phi \in F } \left( \mathbb { E } _ { \nu } [ \phi ^ { 2 } ( X ) ] + \beta \Big ( b \mathbb { E } _ { \nu } [ X ] + d \mathbb { E } _ { \nu } [ \phi ( X ) ] \Big ) ^ { 2 } \right) } \\ & { = \beta b ^ { 2 } \big ( \mathbb { E } _ { \nu } [ X ] \big ) ^ { 2 } + \operatorname* { i n f } _ { \phi \in F } \left( \mathbb { E } _ { \nu } [ \phi ^ { 2 } ( X ) ] + 2 b d \beta \mathbb { E } _ { \nu } [ X ] \mathbb { E } _ { \nu } [ \phi ( X ) ] + \beta d ^ { 2 } \Big ( \mathbb { E } _ { \nu } [ \phi ( X ) ] \Big ) ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { A ( t ; \widehat { Y } ) = \int _ { 0 } ^ { T ^ { - 1 } ( t ) } { \mathbb I } _ { 0 } ( { Y } ( \tau ) ) d T ( \tau ) } \\ & { = } & { \int _ { 0 } ^ { T ^ { - 1 } ( t ) } { \mathbb I } _ { 0 } ( { Y } ( \tau ) ) d \tau + \frac { \nu } { D } \int _ { 0 } ^ { T ^ { - 1 } ( t ) } { \mathbb I } _ { 0 } ( { Y } ( \tau ) ) d \ell ( \tau ; Y ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { i } ^ { 0 } ( t _ { p } ) } & { = \sum _ { j \in \mathcal { N } _ { J , i } } P _ { j } ^ { i ^ { * } } ( t _ { p } ) , \; \Delta P _ { i } = \left[ \underline { { P _ { i } ^ { \phi } } } , \overline { { P _ { i } ^ { \phi } } } \right] } \\ & { \left[ \sum _ { j \in \mathcal { N } _ { J , i } } P _ { j } ^ { i ^ { * } } - \delta P _ { j } ^ { i ^ { * } } , \sum _ { j \in \mathcal { N } _ { J , i } } P _ { j } ^ { i ^ { * } } + \delta P _ { j } ^ { i ^ { * } } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } [ X \neq s ^ { - k _ { s } d } n \pm n ^ { 2 / 3 } ] } & { = \mathbb { P } \left[ | X - \mathbb { E } [ X ] | > \frac { n ^ { 2 / 3 } } { s ^ { - k _ { s } d } n } s ^ { - k _ { s } d } n \right] } \\ & { \leq 2 \exp \left( - \left( \frac { n ^ { 2 / 3 } } { s ^ { - k _ { s } d } n } \right) ^ { 2 } \frac { s ^ { - k _ { s } d } n } { 3 } \right) \le 2 \exp \left( - \frac { n ^ { 1 / 3 } } { 3 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \hat { Y } _ { n + 1 } f _ { n } } & { \leq f _ { x } | \hat { X } _ { n } | ^ { 2 } + ( 1 + 2 k _ { 2 } + \lambda _ { 4 } ^ { - 1 } f _ { z } + \lambda _ { 5 } ^ { - 1 } f _ { \Gamma } ) | \hat { Y } _ { n + 1 } | ^ { 2 } + \lambda _ { 4 } | \hat { Z } _ { n } | ^ { 2 } + \lambda _ { 5 } | \hat { \Gamma } _ { n } | ^ { 2 } . } \end{array} } \end{array}
P _ { e } = \left\{ \begin{array} { l l } { \begin{array} { r l r } & { \frac { 2 ^ { 3 / 2 } } { 3 \pi ^ { 2 } \hbar ^ { 3 } } m _ { e } ^ { 4 } c ^ { 5 } \beta _ { e } ^ { 5 / 2 } \left[ \Bigl \{ \frac { 2 } { 5 } ( \xi _ { e } + \phi ) ^ { 5 / 2 } + \frac { \pi ^ { 2 } } { 4 } ( \xi _ { e } + \phi ) ^ { 1 / 2 } - \frac { 7 \pi ^ { 4 } } { 9 6 0 } ( \xi _ { e } + \phi ) ^ { - 3 / 2 } \Bigr \} + \right. } \\ & { \left. \frac { \beta _ { e } } { 2 } \Bigl \{ \frac { 2 } { 7 } ( \xi _ { e } + \phi ) ^ { 7 / 2 } + \frac { 5 \pi ^ { 2 } } { 1 2 } ( \xi _ { e } + \phi ) ^ { 3 / 2 } + \frac { 7 \pi ^ { 4 } } { 1 9 2 } ( \xi _ { e } + \phi ) ^ { - 1 / 2 } \Bigr \} \right] } & { \mathrm { f o r ~ \beta _ { e } < 1 ~ } , } \\ & { \frac { 1 } { 9 \pi ^ { 2 } \hbar ^ { 3 } } m _ { e } ^ { 4 } c ^ { 5 } \beta _ { e } ^ { 7 / 2 } \left[ 2 \Bigl \{ ( \xi _ { e } + \phi ) ^ { 3 } + \pi ^ { 2 } ( \xi _ { e } + \phi ) \Bigr \} + \right. } \\ & { \left. 3 \beta _ { e } \Bigl \{ \frac { 1 } { 4 } ( \xi _ { e } + \phi ) ^ { 4 } + \frac { \pi ^ { 2 } } { 2 } ( \xi _ { e } + \phi ) ^ { 2 } + \frac { 7 \pi ^ { 4 } } { 6 0 } \Bigr \} \right] } & { \mathrm { f o r ~ \beta _ { e } > 1 ~ } , } \end{array} } \end{array} \right.
\left\lVert \boldsymbol { v } \right\rVert _ { \frac { 2 r } { r - 2 } } \leq \left\lVert \boldsymbol { v } \right\rVert _ { 2 } ^ { a } \left\lVert \boldsymbol { v } \right\rVert _ { { \frac { 3 r } { 3 - r } } } ^ { 1 - a } \leq c _ { 9 } \left\lVert \boldsymbol { v } \right\rVert _ { 2 } ^ { a } \left\lVert \boldsymbol { v } \right\rVert _ { W ^ { 1 , r } ( \Omega ) } ^ { 1 - a } .
\begin{array} { r l } { ( - \nabla \cdot \rho \nabla + 1 ) ^ { - 1 / 2 } L ^ { q } ( \Omega ) } & { = ( - \nabla \cdot \rho \nabla + 1 ) ^ { - 1 } ( - \nabla \cdot \rho \nabla + 1 ) ^ { 1 / 2 } L ^ { q } ( \Omega ) } \\ & { = ( - \nabla \cdot \rho \nabla + 1 ) ^ { - 1 } W _ { D } ^ { - 1 , q } ( \Omega ) } \\ & { = W _ { D } ^ { 1 , q } ( \Omega ) = ( A + 1 ) ^ { - 1 / 2 } L ^ { q } ( \Omega ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \left( D G _ { \delta } ( \bar { i } ( \omega t ) ) [ { A } ( t ) ] \right) } & { = D ^ { 2 } G _ { \delta } ( \bar { i } ( \omega t ) ) [ ( \omega , 0 , 0 ) , A ( t ) ] + D G _ { \delta } ( \bar { i } ( \omega t ) ) [ \dot { A } ( t ) ] = \dot { I } ( t ) = d _ { i } X _ { H _ { \zeta } } ( i _ { 0 } ( \omega t ) ) [ I ( t ) ] } \\ & { = d _ { i } X _ { H _ { \zeta } } ( i _ { 0 } ( \omega t ) ) \circ D G _ { \delta } ( \bar { i } ( \omega t ) ) [ A ( t ) ] , } \end{array}
\hat { \ensuremath { \mathbf { M } } } \dot { \ensuremath { \boldsymbol { \rho } } } + \Pi ^ { \top } [ ( \ensuremath { \mathbf { N } } ( \ensuremath { \mathbf { b } } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \rho } } \rho _ { i } \ensuremath { \mathbf { N } } ( \ensuremath { \mathbf { d } } _ { i } ) ) ( \ensuremath { \mathbf { D } } \ensuremath { \boldsymbol { \rho } } + \ensuremath { \mathbf { b } } ) + \hat { \ensuremath { \mathbf { A } } } \ensuremath { \boldsymbol { \rho } } + \hat { \ensuremath { \mathbf { f } } } ] = 0
\begin{array} { r l r } { \tau ( 1 ( \rho _ { i } \rho _ { j } ) ^ { 2 } 1 ) } & { = } & { ( \gamma ( 1 , \rho _ { i } ) \gamma ( \rho _ { 1 } , \rho _ { j } ) ) ^ { 2 } } \\ & { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \alpha _ { j } ^ { - 2 } ~ } & { \quad \textrm { f o r } \quad j \geq 3 , } \\ { ( \alpha _ { i } \alpha _ { j } ^ { - 1 } ) ^ { 2 } } & { \quad \textrm { f o r } \quad i \geq 2 \quad \mathrm { a n d } \quad i + 2 \leq j \leq n - 1 , } \end{array} \right. } \\ & { } & \\ { \tau ( y _ { 1 } ( \rho _ { i } \rho _ { j } ) ^ { 2 } y _ { 1 } ) } & { = } & { ( \gamma ( y _ { 1 } , \rho _ { i } ) \gamma ( y _ { 1 } \rho _ { 1 } , \rho _ { j } ) ) ^ { 2 } } \\ & { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \beta _ { j } ^ { - 2 } } & { \quad \textrm { f o r } \quad 3 \leq j \leq n - 1 , } \\ { ( \beta _ { i } \beta _ { j } ^ { - 1 } ) ^ { 2 } } & { \quad \textrm { f o r } \quad 2 \leq i \leq n - 2 \quad \mathrm { a n d } \quad j \geq i + 2 , } \end{array} \right. } \\ & { } & \\ { \tau ( \rho _ { 1 } ( \rho _ { i } \rho _ { j } ) ^ { 2 } \rho _ { 1 } ) } & { = } & { ( \gamma ( \rho _ { 1 } , \rho _ { i } ) \gamma ( 1 , \rho _ { j } ) ) ^ { 2 } } \\ & { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \alpha _ { j } ^ { 2 } } & { \quad \textrm { f o r } \quad 3 \leq j \leq n - 1 , } \\ { ( \alpha _ { i } ^ { - 1 } \alpha _ { j } ) ^ { 2 } } & { \quad \textrm { f o r } \quad i \geq 2 \quad \mathrm { a n d } \quad i + 2 \leq j \leq n - 1 , } \end{array} \right. } \\ & { } & \\ { \tau ( y _ { 1 } \rho _ { 1 } ( \rho _ { i } \rho _ { j } ) ^ { 2 } \rho _ { 1 } y _ { 1 } ) } & { = } & { ( \gamma ( y _ { 1 } \rho _ { 1 } , \rho _ { i } ) \gamma ( y _ { 1 } , \rho _ { j } ) ) ^ { 2 } } \\ & { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \beta _ { j } ^ { 2 } } & { \quad \textrm { f o r } \quad j \geq 3 , } \\ { ( \beta _ { i } ^ { - 1 } \beta _ { j } ) ^ { 2 } } & { \quad \textrm { f o r } \quad i \geq 2 \quad \mathrm { a n d } \quad i + 2 \leq j \leq n - 1 . } \end{array} \right. } \end{array}
\mathbf { R } \mathbf { U } { \left( \begin{array} { l l l } { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } & { { \frac { i } { \sqrt { 2 } } } } & { 0 } \\ { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } & { { \frac { - i } { \sqrt { 2 } } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } = \mathbf { U } \underbrace { { \left( \begin{array} { l l l } { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } & { { \frac { i } { \sqrt { 2 } } } } & { 0 } \\ { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } & { { \frac { - i } { \sqrt { 2 } } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l l } { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } & { 0 } \\ { { \frac { - i } { \sqrt { 2 } } } } & { { \frac { i } { \sqrt { 2 } } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } } _ { = \; \mathbf { I } } { \left( \begin{array} { l l l } { e ^ { i \phi } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { - i \phi } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l l } { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } & { { \frac { i } { \sqrt { 2 } } } } & { 0 } \\ { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } & { { \frac { - i } { \sqrt { 2 } } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l } { E _ { n } ^ { \lambda , \psi } ( { \bf u } ^ { n } ) - E _ { n } ^ { \lambda , \psi } ( { \bf u } ) } & { \leq \langle { \bf u } ^ { n } - { \bf u } , \nabla _ { { \bf u } } E _ { n } ^ { \lambda , \psi } ( { \bf u } ^ { n } ) \rangle \quad \quad \textup { ( B y c o n v e x i t y o f } E _ { n } ^ { \lambda , \psi } ( { \bf u } ^ { n } ) ) , } \\ & { \leq \! \! \frac { \| { \bf u } ^ { n } \! - \! { \bf u } \| _ { \mathcal { H } } ^ { 2 } \! - \! \| { \bf u } ^ { n + 1 } \! - \! { \bf u } \| _ { \mathcal { H } } ^ { 2 } } { 2 \eta _ { n } } + \frac { \epsilon _ { n } } { \eta _ { n } } \| { \bf u } ^ { n } - { \bf u } \| _ { \mathcal { H } } + \frac { \eta _ { n } } { 2 } \| \tilde { \nabla } _ { { \bf u } } E _ { n } ^ { \lambda , \psi } ( { \bf u } ^ { n } ) \| _ { \mathcal { H } } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { \mathrm { L } - \mathrm { C } } } & { = } & { \hbar \omega _ { \mathrm { L } } l ^ { \dagger } l + \hbar \omega _ { \mathrm { c a v } } a ^ { \dagger } a + \hbar J ( a ^ { \dagger } l + a l ^ { \dagger } ) , } \\ & { = } & { \hbar \tilde { \omega } _ { \mathrm { L } } \tilde { a } ^ { \dagger } \tilde { a } + \hbar \tilde { \omega } _ { \mathrm { c a v } } \tilde { l } ^ { \dagger } \tilde { l } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { - + } ^ { 0 } ( G _ { 1 } , G _ { 2 } ) } & { = - \left( \int _ { \mathbf R ^ { 3 } \times \mathbf S ^ { 2 } } \mathrm { s g n } ( \zeta \cdot \omega ) ( v \cdot \omega ) \{ G _ { 1 } ( R _ { \omega } \zeta ) - G _ { 1 } ( \zeta ) \} d \zeta d \omega \right) G _ { 2 } ( v ) } \\ & { \ \ \ + 2 \left( \int _ { \mathbf R ^ { 3 } \times \mathbf S ^ { 2 } } | \zeta \cdot \omega | ( v \cdot \omega ) \omega \cdot \nabla _ { \zeta } G _ { 1 } ( R _ { \omega } \zeta ) d \zeta d \omega \right) G _ { 2 } ( v ) } \\ & { \ \ \ - 2 \left( \int _ { \mathbf R ^ { 3 } \times \mathbf S ^ { 2 } } | \zeta \cdot \omega | ( \zeta \cdot \omega ) G _ { 1 } ( R _ { \omega } \zeta ) \omega _ { i } d \zeta d \omega \right) \partial _ { v _ { i } } G _ { 2 } ( v ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { ( x + y ) ^ { 0 } } & { = 1 , } \\ { ( x + y ) ^ { 1 } } & { = x + y , } \\ { ( x + y ) ^ { 2 } } & { = x ^ { 2 } + 2 x y + y ^ { 2 } , } \\ { ( x + y ) ^ { 3 } } & { = x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } y + 3 x y ^ { 2 } + y ^ { 3 } , } \\ { ( x + y ) ^ { 4 } } & { = x ^ { 4 } + 4 x ^ { 3 } y + 6 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 4 x y ^ { 3 } + y ^ { 4 } , } \\ { ( x + y ) ^ { 5 } } & { = x ^ { 5 } + 5 x ^ { 4 } y + 1 0 x ^ { 3 } y ^ { 2 } + 1 0 x ^ { 2 } y ^ { 3 } + 5 x y ^ { 4 } + y ^ { 5 } , } \\ { ( x + y ) ^ { 6 } } & { = x ^ { 6 } + 6 x ^ { 5 } y + 1 5 x ^ { 4 } y ^ { 2 } + 2 0 x ^ { 3 } y ^ { 3 } + 1 5 x ^ { 2 } y ^ { 4 } + 6 x y ^ { 5 } + y ^ { 6 } , } \\ { ( x + y ) ^ { 7 } } & { = x ^ { 7 } + 7 x ^ { 6 } y + 2 1 x ^ { 5 } y ^ { 2 } + 3 5 x ^ { 4 } y ^ { 3 } + 3 5 x ^ { 3 } y ^ { 4 } + 2 1 x ^ { 2 } y ^ { 5 } + 7 x y ^ { 6 } + y ^ { 7 } , } \\ { ( x + y ) ^ { 8 } } & { = x ^ { 8 } + 8 x ^ { 7 } y + 2 8 x ^ { 6 } y ^ { 2 } + 5 6 x ^ { 5 } y ^ { 3 } + 7 0 x ^ { 4 } y ^ { 4 } + 5 6 x ^ { 3 } y ^ { 5 } + 2 8 x ^ { 2 } y ^ { 6 } + 8 x y ^ { 7 } + y ^ { 8 } . } \end{array} }
{ \begin{array} { r l r l } { { 3 } \operatorname { a r } _ { f } } & { ( + ) } & & { = 2 , } \\ { \operatorname { a r } _ { f } } & { ( \times ) } & & { = 2 , } \\ { \operatorname { a r } _ { f } } & { ( - ) } & & { = 1 , } \\ { \operatorname { a r } _ { f } } & { ( 0 ) } & & { = 0 , } \\ { \operatorname { a r } _ { f } } & { ( 1 ) } & & { = 0 . } \end{array} }
\mathbf { U ^ { \prime } } ^ { \dagger } \mathbf { R } \mathbf { U ^ { \prime } } = { \left( \begin{array} { l l l } { \cos \phi } & { - \sin \phi } & { 0 } \\ { \sin \phi } & { \cos \phi } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } \quad { \mathrm { ~ w i t h ~ } } \quad \mathbf { U ^ { \prime } } = \mathbf { U } { \left( \begin{array} { l l l } { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } & { { \frac { i } { \sqrt { 2 } } } } & { 0 } \\ { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } & { { \frac { - i } { \sqrt { 2 } } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } .
\begin{array} { r l } { \int _ { U } u _ { \bot } \cdot \nabla _ { \! \bot } f \, d A } & { = \int _ { U } \left[ \frac { u _ { 1 } } { \partial | t _ { 1 } | } \frac { \partial f } { \partial s _ { 1 } } + \frac { u _ { 2 } } { | t _ { 2 } | } \frac { \partial f } { \partial s _ { 2 } } \right] | t _ { 1 } | | t _ { 2 } | \, d s _ { 1 } \, d s _ { 2 } , } \\ & { = - \int _ { U } f \frac { 1 } { | t _ { 1 } | | t _ { 2 } | } \left( \frac { \partial } { s _ { 1 } } ( | t _ { 2 } | u _ { 1 } ) + \frac { \partial } { \partial s _ { 2 } } ( | t _ { 1 } | u _ { 2 } ) \right) | t _ { 1 } | | t _ { 2 } | \, d s _ { 1 } \, d s _ { 2 } , } \\ & { = - \int _ { U } f \, \nabla _ { \! \bot } \cdot u _ { \bot } \, d A . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbb { E } [ | L I S ( \sigma | _ { \mathcal { R } _ { s } } ) - \sqrt { 2 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } | ] } \\ & { \leq } & { C _ { L } ^ { \prime } \beta _ { n } ^ { - 1 } \exp ( - c _ { L } ^ { \prime } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } \Psi _ { s } ^ { 1 \slash 4 } ) + C _ { L } ^ { \prime } + C L ^ { 1 \slash 2 } e ^ { - L } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } } \\ & { } & { + \sqrt { 2 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \operatorname* { m a x } \{ e ^ { 4 L ^ { - 1 } } ( 1 + C _ { L } r _ { s } ^ { - 1 \slash 1 0 } ) ^ { 1 \slash 2 } ( 1 + \operatorname* { m a x } \{ c _ { L } \beta _ { n } ^ { - 1 } \Psi _ { s } , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) - 1 , } \\ & { } & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 1 - e ^ { - 6 L ^ { - 1 } } \Psi _ { s } ^ { 1 \slash 2 } ( 1 - \operatorname* { m a x } \{ c _ { L } \beta _ { n } ^ { - 1 } \Psi _ { s } , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { c p _ { 1 } } & { = 2 m _ { 0 } c ^ { 2 } - c \left( \frac { p _ { 1 } - p _ { y } } { \cos ( \phi ) \cos ( \psi ) } \right) } & { \mathrm { S u b s t i t u t i o n ~ o f ~ } \mathrm { ~ i n ~ } } \\ { c p _ { 1 } + \frac { c p _ { 1 } } { \cos ( \phi ) \cos ( \psi ) } } & { = 2 m _ { 0 } c ^ { 2 } + c \left( \frac { p _ { y } } { \cos ( \phi ) \cos ( \psi ) } \right) } & \\ { c p _ { 1 } \left( \frac { \cos ( \phi ) \cos ( \psi ) + 1 } { \cos ( \phi ) \cos ( \psi ) } \right) } & { = 2 m _ { 0 } c ^ { 2 } + c \left( \frac { p _ { y } } { \cos ( \phi ) \cos ( \psi ) } \right) } & \\ { c p _ { 1 } } & { = \frac { 2 m _ { 0 } c ^ { 2 } \cos ( \phi ) \cos ( \psi ) + c p _ { y } } { 1 + \cos ( \phi ) \cos ( \psi ) } } & \\ & { \approx m _ { 0 } c ^ { 2 } + 0 . 5 c p _ { y } } & { \mathrm { W i t h ~ } \cos ( \phi ) \approx 1 . 0 , \cos ( \psi ) \approx 1 . 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \Psi } _ { 1 } ^ { * } = } & { \tilde { \Psi } _ { 1 } ^ { * } + \frac { L _ { 2 } ^ { 1 1 } } { \left( L _ { 3 } ^ { * } \right) ^ { 6 } } \Phi _ { 1 } \left( \tilde { \psi } _ { 1 } ^ { * } , \tilde { \gamma } _ { 3 } ^ { * } , \tilde { \ell } _ { 3 } ^ { * } , \tilde { \Gamma } _ { 2 } ^ { * } ; \cdots \right) } \\ { = } & { \tilde { \Psi } _ { 1 } + \frac { L _ { 2 } ^ { 9 } } { \left( L _ { 3 } ^ { * } \right) ^ { 6 } } \Theta _ { 1 } ^ { \pm } \left( \tilde { \psi } _ { 1 } , \tilde { \gamma } _ { 3 } , \tilde { \ell } _ { 3 } , \tilde { \Gamma } _ { 2 } ; \cdots \right) } \\ & { \quad + \frac { L _ { 2 } ^ { 1 1 } } { \left( L _ { 3 } ^ { * } \right) ^ { 6 } } \Phi _ { 1 } \left( \tilde { \psi } _ { 1 } + \frac { 1 } { L _ { 2 } ^ { 2 } } \Delta _ { 1 } ^ { \pm } \left( \tilde { \Gamma } _ { 2 } ; \cdots \right) , \tilde { \gamma } _ { 3 } + O \left( \frac { L _ { 2 } ^ { 8 } } { \left( L _ { 3 } ^ { * } \right) ^ { 6 } } \right) , \tilde { \ell } _ { 3 } + O \left( \frac { L _ { 2 } ^ { 9 } } { \left( L _ { 3 } ^ { * } \right) ^ { 7 } } \right) , \tilde { \Gamma } _ { 2 } + O \left( \frac { 1 } { L _ { 2 } ^ { 3 } } \right) ; \cdots \right) } \\ { = } & { \hat { \Psi } _ { 1 } + \frac { L _ { 2 } ^ { 9 } } { \left( L _ { 3 } ^ { * } \right) ^ { 6 } } \left[ \Theta _ { 1 } ^ { \pm } \left( \tilde { \psi } _ { 1 } , \tilde { \gamma } _ { 3 } , \tilde { \ell } _ { 3 } , \tilde { \Gamma } _ { 2 } ; \cdots \right) + \partial _ { \tilde { \psi } _ { 1 } } \Phi _ { 1 } \left( \tilde { \psi } _ { 1 } , \tilde { \gamma } _ { 3 } , \tilde { \ell } _ { 3 } , \tilde { \Gamma } _ { 2 } ; \cdots \right) \Delta _ { 1 } ^ { \pm } \left( \tilde { \Gamma } _ { 2 } ; \cdots \right) \right] + \cdots } \\ { = } & { \hat { \Psi } _ { 1 } + \frac { L _ { 2 } ^ { 9 } } { \left( L _ { 3 } ^ { * } \right) ^ { 6 } } \left[ \Theta _ { 1 } ^ { \pm } \left( \hat { \psi } _ { 1 } , \hat { \gamma } _ { 3 } , \hat { \ell } _ { 3 } , \hat { \Gamma } _ { 2 } ; \cdots \right) + \partial _ { \hat { \psi } _ { 1 } } \Phi _ { 1 } \left( \hat { \psi } _ { 1 } , \hat { \gamma } _ { 3 } , \hat { \ell } _ { 3 } , \hat { \Gamma } _ { 2 } ; \cdots \right) \Delta _ { 1 } ^ { \pm } \left( \hat { \Gamma } _ { 2 } ; \cdots \right) \right] + \cdots , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { r \in [ 0 , 1 ] } | \partial _ { r } \widehat { w } _ { 0 , 0 } ^ { ( 0 ) } ( g , \theta , \alpha , z ) ( r ) - 1 | } & { \leq \sum _ { L = 2 } ^ { \infty } \sum _ { ( \underline { { p } } , \underline { { q } } ) \in { \mathord { \mathbb N } } _ { 0 } ^ { 2 L } : p _ { l } + q _ { l } = 1 , 2 } \| V _ { \underline { { 0 } } , \underline { { p } } , \underline { { 0 } } , \underline { { q } } , \theta , \alpha } [ \widehat { w } ^ { ( I ) } ( g , \theta , \alpha , \zeta ) ] \| ^ { \# } } \\ & { \leq \sum _ { L = 2 } ^ { \infty } 3 ^ { L } ( L + 1 ) C _ { F } \left( C _ { W } ( g ) C _ { F } \right) ^ { L } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( c _ { k } ( X ^ { 2 } \sqrt { t / s } + s \sqrt { t } X + s t ^ { 2 } ) \ge \alpha ) } & { \le \mathbb { P } ( X ( X + s ^ { 3 / 2 } ) \ge c _ { k } ^ { - 1 } \sqrt { s / t } \alpha / 2 ) } \\ & { \le \mathbb { P } ( X ^ { 2 } \ge c _ { k } ^ { - 1 } \sqrt { s / t } \alpha / 4 ) + \mathbb { P } ( X \ge c _ { k } ^ { - 1 } \alpha / ( 4 s \sqrt { t } ) ) } \\ & { \le 2 \exp \left( - d _ { k } ( \alpha \sqrt { s / t } ) \wedge ( \alpha ^ { 2 } / ( s ^ { 2 } t ) ) \right) } \\ & { = 2 \exp \left( - d _ { k } \alpha \sqrt { s / t } \right) = 2 \epsilon ^ { d _ { k } \sqrt { s / t } } , } \end{array}
E _ { 3 } ^ { ( 0 ) } ( G ) = \frac { { \chi _ { \hat { \mu } , \tilde { \varepsilon } } } _ { 3 } } { \lvert \tilde { \xi } \rvert _ { \tilde { \mu } } \lvert \tilde { \xi } \rvert _ { \tilde { \varepsilon } } ( { \xi _ { \hat { \mu } , \tilde { \varepsilon } } } _ { 3 } + { \xi _ { \hat { \varepsilon } , \tilde { \varepsilon } } } _ { 3 } ) } \ast _ { \iota ^ { * } \hat { \mu } } \left( \tilde { \xi } \wedge G \right) + \frac { i \sqrt { \lvert \tilde { \varepsilon } \rvert } } { \sqrt { \lvert \tilde { \mu } \rvert } \lvert \tilde { \xi } \rvert _ { \tilde { \varepsilon } } } \ast _ { \iota ^ { * } \hat { \mu } } \left( \tilde { \xi } _ { \tilde { \varepsilon } \perp } \wedge G \right) .
\begin{array} { r l } & { \Big | p \theta _ { \rho } ( \| u _ { n } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v _ { n } - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \| D ^ { \alpha } v _ { n } \| ^ { p - 2 } \left\langle D ^ { \alpha } ( u _ { n } \partial _ { x } v _ { n } + w _ { n } \partial _ { z } v _ { n } ) , D ^ { \alpha } v _ { n } \right\rangle \Big | } \\ { \leq } & { p \theta _ { \rho } ( \| u _ { n } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v _ { n } - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \| u _ { n } \| _ { W ^ { 2 , \infty } } \| v _ { n } \| _ { H ^ { s } } ^ { p } } \\ { \leq } & { C _ { p , \rho } \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v _ { n } - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \| v _ { n } \| _ { H ^ { s } } ^ { p } \leq C _ { p , \rho , \kappa } \| v _ { n } \| _ { \widetilde H ^ { s } } ^ { p } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \parallel Q _ { { \bf J } , \beta _ { n } } ^ { k } - Q _ { { \bf J } , \beta _ { 0 , n } } ^ { k } \parallel _ { v } ^ { * } } & { = } & { \sum _ { s } \parallel \sum _ { j , j ( 1 ) = s } \bar { \phi } _ { j } ^ { k - 1 } \left\{ \mu _ { { \bf J } , \beta _ { n , j } - \beta _ { 0 , n , j } } ^ { k - 1 } ( \tilde { Q } _ { j } ^ { ( k ) } ) \right\} \parallel _ { 1 , \mu } } \\ & { = } & { \sum _ { s } \parallel \sum _ { j , j ( 1 ) = s } \bar { \phi } _ { j } ^ { k - 1 } \left\{ \mu ^ { k - 1 } \left( \tilde { Q } _ { { \bf J } , \beta _ { n , j } - \beta _ { 0 , n , j } } \right) \right\} \parallel _ { 1 , \mu } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { f ( x _ { \delta } ) } { H _ { \epsilon ; x _ { \delta } } ^ { v } \left( \frac { | x _ { \delta } - y _ { \delta } | } { \delta } \right) } - \frac { f ( y _ { \delta } ) } { H _ { \epsilon ; y _ { \delta } } ^ { v } \left( \frac { | x _ { \delta } - y _ { \delta } | } { \delta } \right) } } & { - \epsilon ( u ( x _ { \delta } ) - w ( y _ { \delta } ) ) = \Delta _ { p ; Y } ^ { N } w - \Delta _ { p ; X } ^ { N } u } \\ & { = \mathrm { T r } ( A ( Y - X ) ) \overset { ( Y \geq X ) } { \geq } 0 , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { U ( \theta ) } & { = a e ^ { \frac { i \pi S \sin \theta } { \lambda } } + a e ^ { - { \frac { i \pi S \sin \theta } { \lambda } } } } \\ & { = a \left( \cos { \frac { \pi S \sin \theta } { \lambda } } + i \sin { \frac { \pi S \sin \theta } { \lambda } } \right) + a \left( \cos { \frac { \pi S \sin \theta } { \lambda } } - i \sin { \frac { \pi S \sin \theta } { \lambda } } \right) } \\ & { = 2 a \cos { \frac { \pi S \sin \theta } { \lambda } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { \eta \in \Omega } \hat { c } _ { \Delta } ( \eta , \Omega _ { \Delta } ) = \operatorname* { s u p } _ { \eta \in \Omega } \int _ { \Omega _ { \Delta } } \hat { c } _ { \Delta } ( \eta , \xi _ { \Delta } ) \lambda _ { \Delta } ( d \xi _ { \Delta } ) } & { \leq \frac { 1 } { \delta } e ^ { R } \operatorname* { s u p } _ { \eta \in \Omega } \int _ { \Omega _ { \Delta } } c _ { \Delta } ( \xi _ { \Delta } \eta _ { \Delta ^ { c } } , \eta _ { \Delta } ) \lambda _ { \Delta } ( d \xi _ { \Delta } ) } \\ { \ } & { \leq \frac { 1 } { \delta } e ^ { R } \operatorname* { s u p } _ { \eta \in \Omega } \left\lVert c _ { \Delta } ( \eta , \cdot ) \right\rVert _ { \infty } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { 1 2 , \delta } ( \lambda ) } & { = \sum _ { n = \infty } ^ { \infty } g ( n \delta T + ( \tau _ { 1 } - \tau _ { 2 } ) ) e ^ { j 2 \pi \lambda n } } \\ & { = \frac { 1 } { \delta T } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } G \left( \frac { \lambda - n } { \delta T } \right) e ^ { j 2 \pi ( \tau _ { 1 } - \tau _ { 2 } ) \frac { \lambda - n } { \delta T } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \! | \boldsymbol { v } | \! | _ { 2 } } & { \leq } & { \frac { 8 1 ( 8 4 A e ) ^ { \frac 1 2 } L L _ { 0 } \sigma _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } C _ { \sharp } ^ { \frac 3 2 } ( 1 + \epsilon ^ { - 2 } + \epsilon ^ { - 4 } ) } { \zeta \alpha \epsilon ^ { 2 } } \sqrt { \frac { \log \left( \frac { M L } { \delta } \right) } D } \, , } \end{array}
t \underbrace { \xrightarrow { \sigma ^ { d ( t , \bigtriangleup 0 1 1 ) } } \bigtriangleup 0 1 1 \xrightarrow { \sigma ^ { m - d ( t , \bigtriangleup 0 1 1 ) + n - d ( \bigtriangleup 0 1 1 , t ^ { \prime } ) } } \bigtriangleup 0 1 1 \xrightarrow { \sigma ^ { d ( \bigtriangleup 0 1 1 , t ^ { \prime } ) } } } _ { \xrightarrow { \sigma ^ { m + n } } } t ^ { \prime }
c = [ c _ { j _ { 1 } } ^ { w _ { 1 } } , c _ { j _ { 2 } } ^ { w _ { 2 } } , \dots , c _ { j _ { r } } ^ { w _ { r } } , c _ { j _ { r + 1 } } ^ { w _ { r + 1 } } , \dots , c _ { j _ { n } } ^ { w _ { n } } ] = - [ c _ { j _ { 1 } } ^ { w _ { 1 } } , c _ { j _ { 2 } } ^ { w _ { 2 } } , \dots , c _ { j _ { r + 1 } } ^ { w _ { r + 1 } } , c _ { j _ { r } } ^ { w _ { r } } , \dots , c _ { j _ { n } } ^ { w _ { n } } ] .
\begin{array} { r l } { \, \mathrm { d } N _ { t } } & { = \bigg ( \frac { Z _ { t } ( H _ { 1 } ^ { \prime } ( t ) H _ { 2 } ( T _ { m ( t ) + 1 } ) - H _ { 1 } ( T _ { m ( t ) + 1 } ) H _ { 2 } ^ { \prime } ( t ) ) - M _ { t } ( H _ { 1 } ^ { \prime } ( t ) H _ { 2 } ( t ) - H _ { 1 } ( t ) H _ { 2 } ^ { \prime } ( t ) ) } { H _ { 1 } ( T _ { m ( t ) + 1 } ) H _ { 2 } ( t ) - H _ { 1 } ( t ) H _ { 2 } ( T _ { m ( t ) + 1 } ) } - J _ { t } \bigg ) \, \mathrm { d } t } \\ & { \quad + \, \mathrm { d } I _ { t } ^ { ( 1 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { r c l } { - \frac { 5 } { 3 P } \lambda [ 1 ] \Delta _ { x } \overline { { u } } + \nabla _ { x } \mathfrak { p } } & { = } & { Z _ { 1 } , } \\ { \rule { 0 ex } { 1.5 em } \nabla _ { x } \cdot \overline { { u } } } & { = } & { 0 , } \\ { \rule { 0 ex } { 1.5 em } \Delta _ { x } T } & { = } & { Z _ { 3 } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { L m } } & { : = \left( \begin{array} { l l } { - i \partial } & { - m } \\ { - m } & { i \partial } \end{array} \right) \qquad \mathrm { i n } \qquad L ^ { 2 } \left( \left( 0 , L \right) ; \mathbb { C } ^ { 2 } \right) \, , } \\ { \mathsf { D } ( H _ { L m } ) } & { : = \left\{ \varphi \in W ^ { 1 , 2 } \left( \left( 0 , L \right) ; \mathbb { C } ^ { 2 } \right) , \ \varphi _ { 2 } ( L ) = \left( \frac { - a } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } + i \, \frac { b } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \right) \varphi _ { 1 } ( L ) \, , \varphi _ { 2 } ( 0 ) = \varphi _ { 1 } ( 0 ) \right\} \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { d } \mathbf { X } _ { 2 } } & { = } & { V ~ 4 \pi r _ { 1 2 } ^ { 2 } ~ \mathrm { d } r _ { 1 2 } } \\ { \mathrm { d } \mathbf { X } _ { 3 } } & { = } & { V ~ 8 \pi ^ { 2 } ( r _ { 1 2 } r _ { 1 3 } ) ^ { 2 } ~ \mathrm { d } r _ { 1 2 } \mathrm { d } r _ { 1 3 } \mathrm { d } \cos \theta _ { 2 3 } } \\ { \mathrm { d } \mathbf { X } _ { 4 } } & { = } & { V ~ 8 \pi ^ { 2 } ( r _ { 1 2 } r _ { 1 3 } r _ { 1 4 } ) ^ { 2 } \times } \\ & { } & { \mathrm { d } r _ { 1 2 } \mathrm { d } r _ { 1 3 } \mathrm { d } r _ { 1 4 } \mathrm { d } \cos \theta _ { 2 3 } \mathrm { d } \cos \theta _ { 1 4 } \mathrm { d } \phi , } \end{array}
\small \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \begin{array} { l } { \theta } \\ { r } \\ { \dot { \theta } } \\ { \dot { r } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \dot { \theta } } \\ { \dot { r } } \\ { \frac { 1 } { r } ( - g \sin \theta - \dot { \theta } \dot { r } ) } \\ { r \dot { \theta } ^ { 2 } - \frac { k } { m } ( r - l _ { 0 } ) + g \cos \theta } \end{array} \right) ,
\frac { \rho _ { P } ^ { \prime \prime } } { \rho _ { P } } = \Big ( - V ^ { \prime \prime } - 2 P \mathcal { H } [ \rho _ { P } ] ^ { \prime } + V ^ { 2 } + 4 P ^ { 2 } \mathcal { H } [ \rho _ { P } ] ^ { 2 } + 4 P V ^ { \prime } \mathcal { H } [ \rho _ { P } ] \Big ) = - V ^ { \prime \prime } - 2 P \mathcal { H } [ \rho _ { P } ] ^ { \prime } + \Big ( \frac { \rho _ { P } ^ { \prime } } { \rho _ { P } } \Big ) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } & { f _ { 1 } ( x , \beta ) : = \{ \bar { A } _ { i } \} _ { i } ^ { \boxbslash } x + N \{ I _ { n } - \bar { A } _ { i } \} _ { i } ^ { \boxbslash } ( X ^ { \sf d } ) ^ { \boxbslash , N } \mathrm { v e c } ( \tilde { P } ( x , \beta ) ) , } \\ & { f _ { 2 } ( x , \beta ) : = 1 _ { N } / N \oslash \left[ K ( f _ { 1 } ( x , \beta ) ) ^ { \top } ( 1 _ { N } / N \oslash [ K ( x ) \beta ] ) \right] , } \\ & { \tilde { P } ( x , \beta ) : = \left( 1 _ { N } / N \oslash [ K ( x ) \beta ] \right) ^ { \boxbslash } K ( x ) \beta ^ { \boxbslash } . } \end{array}
\varphi _ { \eta _ { 0 } } ( \varepsilon ) \lesssim \left\{ \begin{array} { l l } { \varepsilon ^ { - \frac { 1 } { \gamma } } } & { 0 < \gamma \leq \beta , } \\ { \varepsilon ^ { - \frac { 2 \gamma - 2 \beta + 1 } { \beta } } } & { \gamma > \beta \textrm { a n d } ( \lfloor \gamma \rfloor = 1 / 2 \textrm { o r } \gamma \notin \beta + 1 / 2 + \mathbb { N } ) , } \\ { \varepsilon ^ { - \frac { 2 \gamma - 2 \beta + 1 } { \beta } } \log ( 1 / \varepsilon ) } & { \textrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right.
\left[ 0 \to \Omega _ { { \mathbb { P } } ^ { r _ { i } } } ^ { i } ( i ) \boxtimes { \mathcal O } _ { { \mathbb { P } } ^ { r _ { i } } } ( - i ) \to \Omega _ { { \mathbb { P } } ^ { r _ { i } } } ^ { i - 1 } ( i - 1 ) \boxtimes { \mathcal O } _ { { \mathbb { P } } ^ { r _ { i } } } ( - i + 1 ) \to \cdots \to \Omega _ { { \mathbb { P } } ^ { r _ { i } } } ( 1 ) \boxtimes { \mathcal O } _ { { \mathbb { P } } ^ { r _ { i } } } ( - 1 ) \to { \mathcal O } _ { { \mathbb { P } } ^ { r _ { i } } \times { \mathbb { P } } ^ { r _ { i } } } \right] .
\begin{array} { r l r } { \sum _ { k = - \frac { N } { 2 } + 1 } ^ { - 1 } \frac { 1 } { ( j - k ) ^ { 3 } ( - k ) } } & { \leq } & { \frac { 1 } { ( j + 1 ) ^ { 3 } } + \int _ { - \infty } ^ { - 1 } \frac { 1 } { ( j - k ) ^ { 3 } ( - k ) } \, d k } \\ & { \leq } & { \frac { 1 } { ( j + 1 ) ^ { 3 } } - \frac { 3 j + 2 } { 2 j ^ { 2 } ( j + 1 ) ^ { 2 } } + \frac { \ln | j + 1 | } { j ^ { 3 } } , } \\ { \sum _ { k = 1 } ^ { j - 1 } \frac { 1 } { ( j - k ) ^ { 3 } k } } & { \leq } & { \frac { 1 } { j - 1 } + \frac { 1 } { ( j - 1 ) ^ { 3 } } + \int _ { 1 } ^ { j - 1 } \frac { 1 } { ( j - k ) ^ { 3 } k } \, d k } \\ & { \leq } & { \frac { 1 } { j - 1 } + \frac { 1 } { ( j - 1 ) ^ { 3 } } + \frac { j ^ { 3 } - 6 j + 4 } { 2 j ^ { 2 } ( j - 1 ) ^ { 2 } } + \frac { 2 \ln | j - 1 | } { j ^ { 3 } } , } \\ { \sum _ { k = j + 1 } ^ { N / 2 } \frac { 1 } { ( k - j ) ^ { 3 } k } } & { \leq } & { \frac { 1 } { ( j + 1 ) } + \int _ { j + 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { ( k - j ) ^ { 3 } k } \, d k } \\ & { \leq } & { \frac { 1 } { ( j + 1 ) } + \frac { \ln | j + 1 | } { j ^ { 3 } } - \frac { 1 } { j ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 j } . } \end{array}
v = \left\{ \begin{array} { c l } { \frac { ( 1 - \mathrm { E } \rho ) \mathrm { E } \xi } { ( 1 - \mathrm { E } \rho ) \mathrm { E } \xi ^ { 2 } + 2 \mathrm { E } \rho \xi \mathrm { E } \xi } } & { \mathrm { i f ~ \mathrm { ~ E } ~ \rho ~ < 1 ~ , ~ \mathrm { ~ E } ~ \rho \xi < \infty ~ a n d ~ \mathrm { ~ E } ~ \xi ^ 2 < \infty ~ } , } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { f ( 0 ) \bigl ( e ^ { - \Delta } - ( 1 - \Delta ) + \Delta ( e ^ { - \Delta } - 1 ) + 2 ^ { - 1 } e ^ { - \Delta } \Delta ^ { 2 } \bigr ) } \\ & { \quad + ( f ( 1 ) - f ( 0 ) ) \Delta ( e ^ { - \Delta } - 1 ) + 2 ^ { - 1 } ( f ( 2 ) - f ( 0 ) ) e ^ { - \Delta } \Delta ^ { 2 } } \\ & { = f ( 0 ) \bigl ( e ^ { - \Delta } ( 1 + \Delta + 2 ^ { - 1 } \Delta ^ { 2 } ) - 1 \bigr ) + ( f ( 1 ) - f ( 0 ) ) \Delta ( e ^ { - \Delta } - 1 ) + 2 ^ { - 1 } ( f ( 2 ) - f ( 0 ) ) e ^ { - \Delta } \Delta ^ { 2 } } \\ & { = - f ( 0 ) e ^ { - \Delta } \sum _ { \ell \ge 3 } \frac { \Delta ^ { \ell } } { \ell ! } + ( f ( 1 ) - f ( 0 ) ) \Delta ( e ^ { - \Delta } - 1 ) + 2 ^ { - 1 } ( f ( 2 ) - f ( 0 ) ) e ^ { - \Delta } \Delta ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\lvert \nabla _ { x } ^ { 2 } \left( \frac { \lambda _ { i } ( x , v ) } { \lambda ( x , v ) } \right) \right\rvert } & { = \Bigg \lvert \frac { \nabla _ { x } ^ { 2 } \lambda _ { i } ( x , v ) } { \lambda ( x , v ) } - \frac { 2 \nabla _ { x } \lambda _ { i } ( x , v ) \nabla _ { x } \lambda ( x , v ) ^ { T } } { \lambda ( x , v ) ^ { 2 } } } \\ & { \quad + \frac { 2 \lambda _ { i } ( x , v ) \nabla _ { x } \lambda ( x , v ) \nabla _ { x } \lambda ( x , v ) ^ { T } } { \lambda ( x , v ) ^ { 3 } } - \frac { \lambda _ { i } ( x , v ) \nabla _ { x } ^ { 2 } \lambda ( x , v ) } { \lambda ( x , v ) ^ { 2 } } \Bigg \rvert . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { L ( 0 , S / 5 ) } & { = 0 } & \\ { L ( - 1 , S / 5 ) } & { = 1 1 3 6 } \\ & { = 2 ^ { 4 } \cdot 7 1 } \\ { L ( - 2 , S / 5 ) } & { = 0 } & \\ { L ( - 3 , S / 5 ) } & { = \frac { 6 0 7 0 4 5 6 5 9 8 5 6 } { 5 } } \\ & { = \frac { 2 ^ { 4 } \cdot 3 7 9 4 0 3 5 3 7 4 1 } { 5 } } \\ { L ( - 4 , S / 5 ) } & { = 0 } & \\ { L ( - 5 , S / 5 ) } & { = 1 2 9 3 5 6 1 6 8 4 3 2 2 9 8 5 1 1 9 3 7 6 } \\ & { = 2 ^ { 4 } \cdot 4 1 ^ { 2 } \cdot 3 3 3 1 \cdot 2 4 8 6 3 8 1 \cdot 5 8 0 7 0 7 1 } \\ { L ( - 6 , S / 5 ) } & { = 0 } & \\ { L ( - 7 , S / 5 ) } & { = \frac { 1 2 8 0 8 2 8 3 1 8 0 4 3 4 9 8 4 7 5 0 5 8 7 2 6 8 6 3 7 5 5 8 5 6 } { 5 } } \\ & { = \frac { 2 ^ { 4 } \cdot 4 0 1 \cdot 1 1 5 1 \cdot 1 1 7 1 \cdot 2 8 1 6 7 7 0 0 7 7 7 1 \cdot 5 2 5 8 2 7 0 7 9 8 5 1 } { 5 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { H } & { = \frac { ( \mathbf { P } + \Delta \mathbf { P } ) ^ { 2 } } { 2 \mu } + \sum _ { n } ^ { F } \frac { 1 } { 2 } \left( p _ { n } ^ { 2 } + x _ { n } ^ { 2 } - \gamma \right) E _ { n } ( \mathbf { R } ) } \\ & { = \frac { \mathbf { P } _ { \mathrm { k i n } } ^ { 2 } } { 2 \mu } + \sum _ { n } ^ { F } \frac { 1 } { 2 } \left( p _ { n } ^ { 2 } + x _ { n } ^ { 2 } - \gamma \right) E _ { n } ( \mathbf { R } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I _ { 3 , i } } & { \leq } & { \int _ { B } | \partial _ { i } u | f _ { i } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( \partial _ { i } u ) \Gamma ^ { \frac { \gamma } { 2 } } ( | \partial _ { i } u | ) \eta ^ { k } f _ { i } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( \partial _ { i } u ) \Gamma ^ { \frac { \gamma } { 2 } } ( | \partial _ { i } u | ) \eta ^ { k - 1 } | \nabla \eta | \, \mathrm { d } x } \\ & { \leq } & { \varepsilon \int _ { B } | \partial _ { i } u | ^ { 2 } f _ { i } ( \partial _ { i } u ) \Gamma ^ { \gamma } ( | \partial _ { i } u | ) \eta ^ { 2 k } d x } \\ & { } & { + c ( \varepsilon , r ) \int _ { B } f _ { i } ( \partial _ { i } u ) \Gamma ^ { \gamma } ( | \partial _ { i } u | ) \eta ^ { 2 k - 2 } \, \mathrm { d } x \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { c ( \theta ) = C ( \zeta ^ { ( 1 ) } , \zeta ^ { ( 2 ) } , \zeta ^ { ( 3 ) } , \zeta ^ { ( 4 ) } ) = - \frac { 1 } { ( \cos \theta + 1 ) s ^ { 3 } } ( ( - \frac { 1 5 } { 2 } \cos ( { \theta } / { 2 } ) + } \\ & { \quad \quad \quad - \frac { 1 } { 4 \cos ( { \theta } / { 2 } ) \cos \theta } + \frac { 2 \cos ( { \theta } / { 2 } ) } { \cos \theta } + \frac { 1 1 } { 4 \cos ( { \theta } / { 2 } ) } - \cos ( { \theta } / { 2 } ) \cos \theta ) ) ) + \mathcal { O } ( \frac { 1 } { s ^ { 2 } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { a _ { 1 } ( x , y ) : = F ^ { 1 } ( u ( x ) , u ( y ) , J ( u ) ( x , y ) ) , } \\ & { a _ { 2 } ( x ) = \int _ { \mathbb { T } } ( 2 - 2 \cos ( x - y ) ) ^ { - \frac { \alpha } { 2 } } F ^ { 2 } ( u ( x ) , u ( y ) , J ( u ) ( x , y ) ) ( u ( x ) - u ( y ) ) d y , } \\ & { a _ { 3 } ( x , y ) : = F ^ { 3 } ( u ( x ) , u ( y ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Theta _ { \mathbb { V } } ( \tau ) _ { \mu } ^ { \prime } } & { = \sum _ { v \in \mu + W _ { 2 } ^ { \mathbb { Z } } } \varphi _ { \mathbb { V } } ( y ^ { 1 / 2 } v ) e ^ { \pi i Q ( v , v ) x } } \\ & { = \sum _ { v \in ( \mu + W _ { 2 } ^ { \mathbb { Z } } ) / W _ { 1 } ^ { \mathbb { Z } } } q ^ { Q ( v , v ) / 2 } \sum _ { v _ { 1 } \in W _ { 1 } ^ { \mathbb { Z } } } \varphi _ { \mathbb { V } } ( y ^ { 1 / 2 } ( v _ { 1 } + \pi _ { 1 } ( v ) ) ) . } \end{array}
\langle p _ { 1 } , \dots , p _ { n } \vert S \vert q _ { 1 } , \dots q _ { r } = \left( \mathrm { i } Z ^ { - 1 / 2 } \right) ^ { n + r } \prod _ { i } ( - p _ { i } ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) \prod _ { j } ( - q _ { j } ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) \left\langle \prod _ { k } \phi ( p _ { k } ) \prod _ { l } \phi ( q _ { l } ) \right\rangle + \mathrm { d i s c o n n e c t e d ~ p i e c e s }
\begin{array} { r } { \int \mathcal { D } z f [ z ] \frac { \partial P _ { t } [ z ] } { \partial t } = \int \mathcal { D } z \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } d x \frac { \delta } { \delta z } \frac { z } { x } P _ { t } [ z ] + \left\{ \nu _ { 0 } + \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( z - \frac { n } { x } \right) d x \right\} P _ { t } [ z - n / x ] - \left\{ \nu _ { 0 } + \int _ { 0 } ^ { \infty } z d x \right\} P [ z ] \right] f [ z ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb T ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } ( 1 + \vert \mathrm { V } ^ { t ; 0 } ( x , v ) \vert ^ { 2 } ) ^ { r } \vert \partial _ { x } ^ { I } \partial _ { v } ^ { J } f ^ { \mathrm { i n } } ( x , v ) \vert ^ { 2 } \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } v } & { \lesssim \Lambda ( T , R ) \int _ { \mathbb T ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } } ( 1 + \vert v \vert ^ { 2 } ) ^ { r } \vert \partial _ { x } ^ { I } \partial _ { v } ^ { J } f ^ { \mathrm { i n } } ( x , v ) \vert ^ { 2 } \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } v } \\ & { \lesssim \Lambda ( T , R ) \Vert f ^ { \mathrm { i n } } \Vert _ { \mathcal { H } _ { r } ^ { m } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { V } \left( \widehat { \varphi } _ { t } ^ { ( i ) } ( \widehat { z } ) \right) = \widehat { \mathcal { V } } \left( k _ { \widehat { \varphi } _ { t } ^ { ( i ) } ( \widehat { z } ) } - k _ { 0 } \right) = \widehat { \mathcal { V } } \left( k _ { \widehat { \varphi } _ { t } ^ { ( i ) } ( \widehat { z } ) } - k _ { \widehat { \varphi } _ { t } ^ { ( i ) } ( 0 ) } \right) } & { = \widehat { \mathcal { V } } \left( ( \widehat { U } _ { t } ^ { ( i ) } ) ^ { * } \left( k _ { \widehat { z } } - k _ { 0 } \right) \right) } \\ & { < \widehat { \mathcal { V } } \left( k _ { \widehat { z } } - k _ { 0 } \right) = \widehat { V } ( \widehat { z } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { + \infty } x ^ { 2 } g ( x ) \ d x \ = \ } & { \frac { 1 } { g _ { N } } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \sigma } I \ } \\ { \ = \ } & { \sigma ^ { 2 } + Q ^ { 2 } + \frac { 1 } { g _ { N } } \frac { \sigma Q } { \sqrt { 2 \pi } } e ^ { - \frac { Q ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } } \\ { \ = \ } & { \sigma ^ { 2 } + Q ^ { 2 } + \kappa Q } \end{array}
\begin{array} { r l } { k _ { \mathrm { V S C } } } & { = \frac { 2 } { \hbar } N \mu _ { \mathrm { L L } ^ { \prime } } ^ { 2 } \cdot J _ { \mathrm { e f f } } ( \omega _ { 0 } ) \cdot n ( \omega _ { 0 } ) } \\ & { = { 4 N g _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } \omega _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } } \cdot \frac { \tau _ { \mathrm { c } } ^ { - 1 } \omega _ { 0 } } { \left( \omega _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } - \omega _ { 0 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \tau _ { \mathrm { c } } ^ { - 2 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } } \cdot e ^ { - \beta \hbar \omega _ { 0 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad [ ( H _ { i , 1 } + B _ { i } ) \otimes 1 , \hbar \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } e _ { v , j } t ^ { w } \otimes e _ { j , v } t ^ { - w } ] } \\ & { = \frac { i } { 2 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \hbar ^ { 2 } \delta _ { i , j } e _ { v , j } t ^ { w } \otimes e _ { j , v } t ^ { - w } - \frac { i } { 2 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \hbar ^ { 2 } \delta _ { i + 1 , j } e _ { v , j } t ^ { w } \otimes e _ { j , v } t ^ { - w } } \\ & { \quad + \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \hbar ^ { 2 } \delta _ { i , j } e _ { v , j } t ^ { w } e _ { i + 1 , i + 1 } \otimes e _ { j , v } t ^ { - w } } \\ & { \quad + \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \hbar ^ { 2 } \delta _ { i + 1 , j } e _ { i , i } e _ { v , j } t ^ { w } \otimes e _ { j , v } t ^ { - w } } \\ & { \quad - \hbar ^ { 2 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \delta ( j \leq i ) \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } e _ { i , j } t ^ { - s } e _ { v , i } t ^ { s + w } \otimes e _ { j , v } t ^ { - w } } \\ & { \quad - \hbar ^ { 2 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { u = 1 } ^ { i } \delta _ { i , j } e _ { v , u } t ^ { w - s } e _ { u , i } t ^ { s } \otimes e _ { j , v } t ^ { - w } } \\ & { \quad - \hbar ^ { 2 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \delta ( j > i ) e _ { i , j } t ^ { - s - 1 } e _ { v , i } t ^ { s + w + 1 } \otimes e _ { j , v } t ^ { - w } } \\ & { \quad - \hbar ^ { 2 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \displaystyle \sum _ { u = i + 1 } ^ { n } \delta _ { i , j } e _ { v , u } t ^ { w - s - 1 } e _ { u , i } t ^ { s + 1 } \otimes e _ { j , v } t ^ { - w } } \\ & { \quad + \hbar ^ { 2 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \displaystyle \sum _ { u = 1 } ^ { i } \delta ( j \leq i ) e _ { i + 1 , j } t ^ { - s } e _ { v , i + 1 } t ^ { s + w } \otimes e _ { j , v } t ^ { - w } } \\ & { \quad + \hbar ^ { 2 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \displaystyle \sum _ { u = 1 } ^ { i } \delta _ { i + 1 , j } e _ { v , u } t ^ { w - s } e _ { u , i + 1 } t ^ { s } \otimes e _ { j , v } t ^ { - w } } \\ & { \quad + \hbar ^ { 2 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \delta ( j > i ) e _ { i + 1 , j } t ^ { - s - 1 } e _ { v , i + 1 } t ^ { s + w + 1 } \otimes e _ { j , v } t ^ { - w } } \\ & { \quad + \hbar ^ { 2 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \displaystyle \sum _ { u = i + 1 } ^ { n } \delta _ { i + 1 , j } e _ { v , u } t ^ { w - s - 1 } e _ { u , i + 1 } t ^ { s + 1 } \otimes e _ { j , v } t ^ { - w } } \\ & { \quad - \delta _ { i , j } \hbar ^ { 2 } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \displaystyle \sum _ { u = b + 1 } ^ { a } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } e _ { u , i } t ^ { - s - 1 } e _ { v , u } t ^ { s + w + 1 } \otimes e _ { j , v } t ^ { - w } } \\ & { \quad - \delta _ { i , j } \hbar ^ { 2 } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \displaystyle \sum _ { u = b + 1 } ^ { a } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } e _ { v , u } t ^ { w - s } e _ { u , i } t ^ { s } \otimes e _ { j , v } t ^ { - w } } \\ & { \quad + \delta _ { i + 1 , j } \hbar ^ { 2 } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \displaystyle \sum _ { u = b + 1 } ^ { a } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } e _ { u , i + 1 } t ^ { - s - 1 } e _ { v , u } t ^ { s + w + 1 } \otimes e _ { j , v } t ^ { - w } } \\ & { \quad - \delta _ { i + 1 , j } \hbar ^ { 2 } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \displaystyle \sum _ { u = b + 1 } ^ { a } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } e _ { v , u } t ^ { w - s } e _ { u , i + 1 } t ^ { s } \otimes e _ { j , v } t ^ { - w } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 3 ^ { 1 - \alpha } L _ { 1 } ( 1 - \alpha ) \| w ^ { \prime } - w \| } & { \ge ( 1 - \alpha ) \| w ^ { \prime } - w \| \Big ( \| w ^ { \prime } - w \| H ( \theta ^ { \prime } ) + \| \nabla f ( w ) \| + \frac { L _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } { L _ { 1 } ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } \Big ) ^ { - \alpha } H ^ { \prime } ( \theta ^ { \prime } ) } \\ & { = \frac { d } { d \theta ^ { \prime } } \Big ( \| w ^ { \prime } - w \| H ( \theta ^ { \prime } ) + \| \nabla f ( w ) \| + \frac { L _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } { L _ { 1 } ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } \Big ) ^ { 1 - \alpha } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { k } ^ { x } } & { \le 2 \Delta x ( \tau ) \Bigg | \frac { \partial \phi _ { i , x } ^ { \boldsymbol { Z } _ { 1 } } ( \tau - 1 ) } { \partial x ( k ) } \Bigg | + 2 \Delta y ( \tau ) \Bigg | \frac { \partial \phi _ { i , y } ^ { \boldsymbol { Z } _ { 1 } } ( \tau - 1 ) } { \partial x ( k ) } \Bigg | + } \\ & { \quad \quad 2 | x ^ { 2 } ( \tau ) | \nu _ { x } ^ { x } ( \tau - 1 ) + 2 \varphi _ { x } ( \tau - 1 ) \Bigg | \frac { \partial \phi _ { i , x } ^ { \boldsymbol { Z } _ { 2 } } ( \tau - 1 ) } { \partial x ( k ) } \Bigg | + } \\ & { \quad \quad 2 | y ^ { 2 } ( \tau ) | \nu _ { x } ^ { y } ( \tau - 1 ) + 2 \varphi _ { y } ( \tau - 1 ) \Bigg | \frac { \partial \phi _ { i , y } ^ { \boldsymbol { Z } _ { 2 } } ( \tau - 1 ) } { \partial x ( k ) } \Bigg | + } \\ & { \quad \quad 2 | \phi _ { i , x } ^ { \boldsymbol { Z } _ { 1 } } ( \tau - 1 ) | \nu _ { x } ^ { x } ( \tau - 1 ) + 2 | \phi _ { i , y } ^ { \boldsymbol { Z } _ { 1 } } ( \tau - 1 ) | \nu _ { x } ^ { y } ( \tau - 1 ) } \\ & { \le 2 \theta _ { x } \Delta x ( \tau ) + 2 x _ { m a x } \nu _ { x } ^ { x } ( \tau - 1 ) + 2 \theta _ { x } \varphi _ { x } ( \tau - 1 ) + } \\ & { \quad \quad 2 s _ { x } \nu _ { x } ^ { x } ( \tau - 1 ) + 2 \theta _ { y } \Delta y ( \tau ) + 2 y _ { m a x } \nu _ { x } ^ { y } ( \tau - 1 ) + } \\ & { \quad \quad 2 \theta _ { y } \varphi _ { y } ( \tau - 1 ) + 2 s _ { y } \nu _ { x } ^ { y } ( \tau - 1 ) } \\ & { = L _ { 1 } \| \boldsymbol { Z } _ { 1 } - \boldsymbol { Z } _ { 2 } \| , } \end{array}
\sum _ { l _ { 1 } , \ldots , l _ { 4 } \in \mathcal { L } } \mathbb { E } \left[ \prod _ { u = 1 } ^ { 4 } h _ { l _ { u } } ( X _ { i _ { 1 } ^ { ( u ) } } ) \cdots h _ { l _ { u } } ( X _ { i _ { q } ^ { ( u ) } } ) \right] = \sum _ { l _ { 1 } , \ldots , l _ { 4 } \in \mathcal { L } } \mathbb { E } \left[ \prod _ { u = 1 } ^ { 4 } H _ { l _ { u } } ( X _ { i _ { 1 } ^ { ( u ) } } , \cdots , X _ { i _ { q } ^ { ( u ) } } ) \right] \le \tilde { \Sigma } _ { 1 } ^ { 2 } ( q ) .
\begin{array} { r l } & { F ( \mathbf { w } ^ { ( n + 1 ) } ) - F ( \mathbf { w } ^ { * } ) \leq ( 1 - \frac { ( 1 - \eta ) u ^ { 2 } \xi } { 2 M ^ { 2 } } ) \Big [ F ( \mathbf { w } ^ { ( n ) } ) - F ( \mathbf { w } ^ { * } ) \Big ] - \frac { ( u - M \xi ) } { 2 \xi | \mathcal { K } ^ { ( n ) } | } \sum _ { k \in \mathcal { K } ^ { ( n ) } } \| \mathbf { z } _ { k } ^ { ( n ) } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq ( 1 - \frac { ( 1 - \eta ) u ^ { 2 } \xi } { 2 M ^ { 2 } } ) ^ { n + 1 } \Big [ F ( \mathbf { w } ^ { ( 0 ) } ) - F ( \mathbf { w } ^ { * } ) \Big ] - \frac { ( u - M \xi ) } { 2 \xi } \Big [ \frac { 1 } { | \mathcal { K } ^ { ( 0 ) } | } ( 1 - \frac { ( 1 - \eta ) u ^ { 2 } \xi } { 2 M ^ { 2 } } ) ^ { n } \sum _ { k \in \mathcal { K } ^ { ( 0 ) } } \| \mathbf { z } _ { k } ^ { ( 0 ) } \| ^ { 2 } + \dots } \\ & { \quad + \frac { 1 } { | \mathcal { K } ^ { ( n ) } | } \sum _ { k \in \mathcal { K } ^ { ( n ) } } \| \mathbf { z } _ { k } ^ { ( n ) } \| ^ { 2 } \Big ] } \\ & { = ( 1 - \frac { ( 1 - \eta ) u ^ { 2 } \xi } { 2 M ^ { 2 } } ) ^ { n + 1 } \Big [ F ( \mathbf { w } ^ { ( 0 ) } ) - F ( \mathbf { w } ^ { * } ) \Big ] + \frac { ( M \xi - u ) } { 2 \xi } \Big [ \sum _ { n ^ { \prime } = 0 } ^ { n } \frac { 1 } { | \mathcal { K } ^ { ( n ^ { \prime } ) } | } ( 1 - \frac { ( 1 - \eta ) u ^ { 2 } \xi } { 2 M ^ { 2 } } ) ^ { n - n ^ { \prime } } \sum _ { k \in \mathcal { K } ^ { ( n ^ { \prime } ) } } \| \mathbf { z } _ { k } ^ { ( n ^ { \prime } ) } \| ^ { 2 } \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { t _ { 1 } } & { = \lambda _ { i , 1 } ^ { \prime } \lambda _ { i , 2 } \mu _ { i , 1 } \mu _ { i , 2 } ^ { \prime } } \\ & { = T \left( \frac { x _ { 3 } / x _ { 2 } , x _ { 4 } / x _ { 2 } , x _ { 3 } / x _ { 1 } , x _ { 4 } / x _ { 1 } } { x _ { 1 } / x _ { 2 } , x _ { 1 } / x _ { 2 } , x _ { 2 } / x _ { 1 } , x _ { 2 } / x _ { 1 } } \right) T \left( \frac { [ 2 3 . 1 i ] , [ 2 4 . 2 i ] , [ 1 3 . 2 i ] , [ 1 4 . 1 i ] } { [ 1 2 . 1 i ] , [ 1 2 . 1 i ] , [ 1 2 . 2 i ] , [ 1 2 . 2 i ] } \right) , } \\ { t _ { 2 } } & { = \lambda _ { i , 1 } \lambda _ { i , 2 } ^ { \prime } \mu _ { i , 1 } ^ { \prime } \mu _ { i , 2 } } \\ & { = T \left( \frac { x _ { 3 } / x _ { 2 } , x _ { 4 } / x _ { 2 } , x _ { 3 } / x _ { 1 } , x _ { 4 } / x _ { 1 } } { x _ { 1 } / x _ { 2 } , x _ { 1 } / x _ { 2 } , x _ { 2 } / x _ { 1 } , x _ { 2 } / x _ { 1 } } \right) T \left( \frac { [ 2 3 . 2 i ] , [ 2 4 . 1 i ] , [ 1 3 . 1 i ] , [ 1 4 . 2 i ] } { [ 1 2 . 1 i ] , [ 1 2 . 1 i ] , [ 1 2 . 2 i ] , [ 1 2 . 2 i ] } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | I _ { \delta } | } & { \leq \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } | \eta _ { \delta } ^ { \prime } | | u | ^ { 2 } | \chi _ { \delta } | \, \mathrm { d } y \, \mathrm { d } \tau \leq \int _ { 0 } ^ { T } | \eta _ { \delta } ^ { \prime } ( \tau ) | \| u ( \tau ) \| _ { L ^ { r } ( B _ { 2 \delta } ( x ) ) } ^ { 2 } \| \chi _ { \delta } \| _ { L ^ { \frac { r } { r - 2 } } } \, \mathrm { d } \tau } \\ & { \lesssim \delta ^ { d \frac { r - 2 } { r } } \int _ { 0 } ^ { T } | \eta _ { \delta } ^ { \prime } ( \tau ) | \| u ( \tau ) \| _ { L ^ { r } ( B _ { 2 \delta } ( x ) ) } ^ { 2 } \, \mathrm { d } \tau \leq \delta ^ { d \frac { r - 2 } { r } } \| u \| _ { L ^ { q } L ^ { r } ( \mathcal { C } _ { 2 \delta } ^ { \alpha } ( x , t ) ) } ^ { 2 } \| \eta _ { \delta } ^ { \prime } \| _ { L ^ { \frac { q } { q - 2 } } } } \\ & { \lesssim \| u \| _ { L ^ { q } L ^ { r } ( \mathcal { C } _ { 2 \delta } ^ { \alpha } ( x , t ) ) } ^ { 2 } \delta ^ { d \frac { r - 2 } { r } - \alpha \frac { 2 } { q } } . } \end{array}
L _ { i , j } ^ { \mathrm { s y m } } : = { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { { \mathrm { i f ~ } } i = j { \mathrm { ~ a n d ~ } } \deg ( v _ { i } ) \neq 0 } \\ { - { \frac { 1 } { \sqrt { \deg ( v _ { i } ) \deg ( v _ { j } ) } } } } & { { \mathrm { i f ~ } } i \neq j { \mathrm { ~ a n d ~ } } v _ { i } { \mathrm { ~ i s ~ a d j a c e n t ~ t o ~ } } v _ { j } } \\ { 0 } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } } . } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l r } { { \tilde { Q } } _ { m } ( r , \theta ) } & { = } & { P \int \mathrm { d } \theta ^ { \prime } \, \cos [ m ( \theta - \theta ^ { \prime } ) ] \, \langle { \left( \frac { 1 } { r ^ { \prime } } \right) ^ { m } } \rangle _ { \theta ^ { \prime } } } \\ { { \tilde { S } } _ { m } ( r , \theta ) } & { = } & { P \int \mathrm { d } \theta ^ { \prime } \, \sin [ m ( \theta - \theta ^ { \prime } ) ] \, \langle { \left( \frac { 1 } { r ^ { \prime } } \right) ^ { m } } \rangle _ { \theta ^ { \prime } } } \end{array}
F ( x , \sigma ^ { 2 } \mid \mu , \lambda , \alpha , \beta ) = { \frac { e ^ { - { \frac { \beta } { \sigma ^ { 2 } } } } \left( { \frac { \beta } { \sigma ^ { 2 } } } \right) ^ { \alpha } \left( \operatorname { e r f } \left( { \frac { { \sqrt { \lambda } } ( x - \mu ) } { { \sqrt { 2 } } \sigma } } \right) + 1 \right) } { 2 \sigma ^ { 2 } \Gamma ( \alpha ) } }
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { m i n } _ { x \in \mathcal { X } } } & { \ F ( x ) \equiv f \big ( x , y ^ { * } ( x ) \big ) } & { \mathrm { ( U p p e r - L e v e l ) } } \\ { \mathrm { s . t . } } & { \ y ^ { * } ( x ) \in \arg \operatorname* { m i n } _ { y \in \mathbb { R } ^ { p } } \ g \big ( x , y \big ) , } & { \mathrm { ( L o w e r - L e v e l ) } } \end{array}
\big ( \mathcal { F } ^ { j } \circ \mathcal { F } ^ { \mathsf { i n v } } \big ) ^ { \prime } ( t ) = ( \mathcal { F } ^ { j } ) ^ { \prime } \big ( \mathcal { F } ^ { \mathsf { i n v } } ( t ) \big ) \cdot ( \mathcal { F } ^ { \mathsf { i n v } } ( t ) ) ^ { \prime } = \frac { ( \mathcal { F } ^ { j } ) ^ { \prime } \big ( \mathcal { F } ^ { \mathsf { i n v } } ( t ) \big ) } { ( \mathcal { F } ^ { \mathsf { t } } ) ^ { \prime } \big ( \mathcal { F } ^ { \mathsf { i n v } } ( t ) \big ) } \to \rho \mathrm { u } ^ { j } , \quad \mathrm { a s ~ } t \to \infty .
\begin{array} { r l } { \frac { F _ { f l } } { m } } & { = - \frac { \sqrt 2 \xi \, \hslash \omega _ { 0 } \sqrt { \gamma _ { 0 } } B } { m \gamma _ { + } } \cdot \frac { \sqrt { \gamma _ { 0 } } \, b _ { a } + \sqrt { \gamma _ { 1 } } \, c _ { a } } { \gamma _ { + } - i \Omega } - } \\ & { \quad - \frac { \hslash \eta \sqrt { 2 \gamma _ { 0 } } B } { 2 m } \left( \frac { \sqrt { \gamma _ { 1 } } \, c _ { \phi } } { \gamma _ { + } - i \Omega } + \frac { \sqrt { \gamma _ { 0 } } \, i \Omega } { \gamma _ { + } ( \gamma _ { + } - i \Omega ) } \, b _ { \phi } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { C R { B _ { r } } = \frac { 1 } { { 2 \gamma L } } } \\ & { \times \frac { { M ( { M i + N a - \frac { N } { M } { | c | } ^ { 2 } } ) } } { { { ( { M i + N a - \frac { N } { M } { { | c | } ^ { 2 } } } ) ( { M s + N p - \frac { N } { M } { { | q | } ^ { 2 } } } ) - { { ( { M k + N e - \frac { N } { M } { c ^ { * } } q } ) } ^ { 2 } } } } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \ell _ { 1 } ( F _ { \cal A } ^ { \star } ) + \frac { 1 } { 2 } \, \big ( \ell _ { 2 } ^ { \star } ( F _ { \cal A } ^ { \star } , { \cal A } ) - \ell _ { 2 } ^ { \star } ( { \cal A } , F _ { \cal A } ^ { \star } ) \big ) + \frac { 1 } { 4 } \, \big ( \ell _ { 2 } ^ { \star } ( \ell _ { 2 } ^ { \star } ( { \cal A } , { \cal A } ) , { \cal A } ) - \ell _ { 2 } ^ { \star } ( { \cal A } , \ell _ { 2 } ^ { \star } ( { \cal A } , { \cal A } ) ) \big ) = 0 \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \{ - , - \} \circ C G ^ { - 1 } ( e _ { j + \bar { j } - k } ^ { ( j + \bar { j } - k ) } \epsilon ) } \\ { = } & { \sum _ { l = 0 } ^ { k } ( - 1 ) ^ { k } C _ { j , \bar { j } - k ; j + \bar { j } - k } ^ { j , \bar { j } ; j + \bar { j } - k } \frac { k ! } { ( k - l ) ! l ! } \sqrt { \frac { ( 2 j + 1 ) ( 2 \bar { j } + 1 ) ! } { k ! ( 2 \bar { j } - k ) ! } } } \\ & { \times ( 2 \bar { j } + 2 ) ( l w _ { 1 } \bar { w } _ { 1 } - ( 2 j - l ) w _ { 2 } \bar { w } _ { 2 } ) w _ { 1 } ^ { 2 j - l - 1 } w _ { 2 } ^ { l - 1 } \bar { w } _ { 1 } ^ { k - l } \bar { w } _ { 2 } ^ { 2 \bar { j } - k + l } \epsilon } \\ & { = ( - 1 ) ^ { k + 1 } \sqrt { \frac { ( 2 j + 1 ) ! ( 2 \bar { j } + 1 ) ! } { k ! ( 2 j + 2 \bar { j } - k + 1 ) ! } } \sqrt { ( 2 \bar { j } - k + 1 ) ( 2 j - k ) } ( 2 \bar { j } + 2 ) e _ { j + \bar { j } - k } ^ { ( j - \frac { 1 } { 2 } - \frac { k } { 2 } , \bar { j } + \frac { 1 } { 2 } - \frac { k } { 2 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mu ( \nu _ { i } ( \iota ( h ) ) ) } & { = } & { ( \iota ( h ) \otimes 1 ) = s _ { v _ { i } } ( h \otimes 1 ) = r _ { v _ { i } } ( h \otimes 1 ) = ( h \otimes 1 ) } \\ & { = } & { r _ { v _ { j } } ( h \otimes 1 ) = s _ { v _ { j } } ( h \otimes 1 ) = ( \iota ( h ) \otimes 1 ) = \mu ( \nu _ { j } ( \iota ( h ) ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { O p ^ { W } ( \mathfrak { q } _ { * } ) \in \left\{ | D | ^ { ( | \vec { b } _ { 1 } | + 1 ) ( 2 - \alpha ) + 2 } O p ^ { W } ( \mathfrak { q } _ { \mathfrak { a } } ) | D | ^ { ( | \vec { b } _ { 2 } | + 1 ) ( 2 - \alpha ) } : \mathfrak { q } _ { \mathfrak { a } } = \mathfrak { q } _ { \omega , \mathtt { N } _ { \alpha } - 2 } \star \mathfrak { a } \mathrm { ~ o r ~ } \mathfrak { q } _ { M _ { 2 } , \mathtt { N } _ { \alpha } } \star \mathfrak { a } , \ \vec { b } _ { 1 } + \vec { b } _ { 2 } = \vec { \mathtt { b } } \right\} , } \end{array}
\frac { | \lambda _ { 1 } ^ { - 1 } - \mu | } { | \lambda _ { 1 } ^ { - 1 } | } \big ( | \lambda _ { 1 } ^ { - 1 } + \mu ^ { - 1 } | \Phi \big ) \leq \frac { \Vert \hat { S } _ { 2 } - S \Vert _ { F } } { \Vert S \Vert _ { F } } \leq \frac { | \lambda _ { 1 } ^ { - 1 } - \mu | } { | \lambda _ { 1 } ^ { - 1 } | } \big ( | \lambda _ { 1 } ^ { - 1 } - \mu ^ { - 1 } | \Phi \big ) .
\begin{array} { r l } { \| \nabla \tilde { u } \| _ { L ^ { \frac { ( n + 1 ) ( n + 1 + 2 \delta _ { 0 } ) } { n + 1 - 2 \delta _ { 0 } } } ( B _ { \frac { R } { 2 } } ) } } & { \leq R ^ { \frac { n + 1 - 2 \delta } { n + 1 + 2 \delta } - 1 } \| \nabla \tilde { u } _ { R } \| _ { L ^ { \frac { ( n + 1 ) ( n + 1 + 2 \delta _ { 0 } ) } { n + 1 - 2 \delta _ { 0 } } } ( B _ { \frac { 1 } { 2 } } ) } } \\ & { \leq R ^ { \frac { n + 1 - 2 \delta _ { 0 } } { n + 1 + 2 \delta _ { 0 } } - 1 } \| \tilde { u } _ { R } \| _ { W ^ { 2 , { \frac { n + 1 } { 2 } + \delta _ { 0 } } } ( B _ { \frac { 1 } { 2 } } ) } } \\ & { \leq R ^ { \frac { n + 1 - 2 \delta _ { 0 } } { n + 1 + 2 \delta _ { 0 } } - 1 } \cdot C R ^ { 2 } = C R ^ { \frac { n + 1 - 2 \delta } { n + 1 + 2 \delta } + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { l l l l l } { u = \alpha , } & { \zeta = \alpha ^ { 2 } } & { \mathrm { i f ~ \alpha ~ < ~ 2 ~ } , } \\ { u = 2 , } & { \zeta = 4 } & { \mathrm { i f ~ \alpha ~ = ~ 2 ~ } , } \\ { u = 3 , } & { \zeta = 9 } & { \mathrm { i f ~ 2 ~ < ~ \alpha ~ < ~ 3 ~ } , } \\ { u = 3 , } & { \zeta = 9 } & { \mathrm { i f ~ \alpha ~ = ~ 3 ~ } , } \\ { u = \alpha , } & { \zeta = \alpha ^ { 2 } } & { \mathrm { i f ~ 3 ~ < ~ \alpha ~ < ~ 4 ~ } , } \\ { u = 4 , } & { \zeta = 1 6 } & { \mathrm { i f ~ \alpha ~ = ~ 4 ~ } , } \\ { u = 4 , } & { \zeta = 1 6 } & { \mathrm { i f ~ 4 ~ < ~ \alpha ~ } . } \end{array} } \end{array}
\mathcal { F } = \{ f _ { i } ( \underline { { x } } ) = A _ { i } \underline { { x } } + \underline { { t } } _ { i } \} _ { i \in \{ 1 , 2 , 3 \} ^ { * } } \bigcup \{ f _ { j } ( \underline { { x } } ) = \rho _ { j } \underline { { v } } _ { j } \underline { { w } } _ { j } ^ { T } \underline { { x } } + \underline { { t } } _ { j } \} _ { j \in \{ 4 , 5 \} ^ { * } }
\begin{array} { r l } { \int _ { a } ^ { \infty } h ( x ) f ( x ) d x } & { = \beta \int _ { a } ^ { \infty } \int _ { 0 + } ^ { \infty } h ( x ) \frac { \mathbb { I } ( a \leq x < a + z ) } { z } d Q ( z ) d x } \\ & { = \beta \int _ { 0 + } ^ { \infty } \int _ { a } ^ { \infty } h ( x ) \frac { \mathbb { I } ( a \leq x < a + z ) } { z } d x d Q ( z ) } \\ & { = \beta \int _ { 0 + } ^ { \infty } \frac { \int _ { a } ^ { a + z } h ( x ) d x } { z } d Q ( z ) = \beta \int _ { 0 + } ^ { \infty } \frac { \tilde { H } ( z + a ) } { z } d Q ( z ) , } \\ { \int _ { a } ^ { \infty } g ( x ) f ( x ) d x } & { = \beta \int _ { 0 + } ^ { \infty } \frac { \tilde { G } ( z + a ) } { z } d Q ( z ) , } \\ { \int _ { a } ^ { \infty } f ( x ) d x } & { = \beta \int _ { a } ^ { \infty } \int _ { 0 + } ^ { \infty } \frac { \mathbb { I } ( a \leq x < a + z ) } { z } d Q ( z ) d x } \\ & { = \beta \int _ { 0 + } ^ { \infty } \int _ { a } ^ { \infty } \frac { \mathbb { I } ( a \leq x < a + z ) } { z } d x d Q ( z ) } \\ & { = \beta \int _ { 0 + } ^ { \infty } d Q ( z ) = \beta , } \\ { f ( a ) } & { = \int _ { 0 + } ^ { \infty } \frac { \mathbb { I } ( a \leq x < a + z ) } { z } d Q ( z ) = \int _ { 0 + } ^ { \infty } \frac { 1 } { z } d Q ( z ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \# B ( p ^ { ( n - 1 ) / n } r ) \cap x } & { \le \operatorname* { m a x } _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \left( p ^ { ( n - 1 ) / n } r \right) ^ { i } } { \lambda _ { 1 } ( x ) \cdots \lambda _ { i } ( x ) } = \prod _ { i = 1 } ^ { n } \operatorname* { m a x } \left( \frac { p ^ { ( n - 1 ) / n } r } { \lambda _ { i } ( x ) } , 1 \right) } \\ & { \asymp \prod _ { i = 1 } ^ { n } \operatorname* { m a x } \left( p ^ { ( n - 1 ) / n } r , \lambda _ { i } ( x ) \right) \ll p ^ { ( n - 1 ) / n } r \cdot ( p ^ { ( n - 1 ) / n } ) ^ { n - 1 } = r p ^ { n - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { 0 0 } } & { = g _ { 0 0 } ^ { 2 } T ^ { 0 0 } = e ^ { 4 \alpha ( r ) } e ^ { - 2 \alpha ( r ) } \rho ( r ) = e ^ { 2 \alpha ( r ) } \rho ( r ) } \\ { T _ { 1 1 } } & { = g _ { 1 1 } ^ { 2 } T ^ { 1 1 } = e ^ { 4 \beta ( r ) } e ^ { - 2 \beta ( r ) } p ( r ) = e ^ { 2 \beta ( r ) } p ( r ) } \\ { T _ { 2 2 } } & { = g _ { 2 2 } ^ { 2 } T ^ { 1 1 } = r ^ { 2 } r ^ { - 2 } p ( r ) = p ( r ) } \\ { T _ { 3 3 } } & { = g _ { 3 3 } ^ { 2 } T ^ { 3 3 } = ( r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta ) ( r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta ) ^ { - 1 } p ( r ) = p ( r ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { i ^ { \prime } ( \tau ) } & { = \int _ { \Omega } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { \alpha , \beta = 1 } ^ { n } A ^ { \alpha \beta } ( x , u + \tau \varphi ) \Big [ D _ { \alpha } \varphi ^ { i } D _ { \beta } [ u ^ { i } + \tau \varphi ^ { i } ] + D _ { \beta } \varphi ^ { i } D _ { \alpha } [ u ^ { i } + \tau \varphi ^ { i } ] \Big ] } \\ & { + \sum _ { h = 1 } ^ { N } A _ { u ^ { h } } ^ { \alpha \beta } ( x , u + \tau \varphi ) \varphi ^ { h } \Big [ D _ { \alpha } [ u ^ { i } + \tau \varphi ^ { i } ] D _ { \beta } [ u ^ { i } + \tau \varphi ^ { i } ] \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { 3 } } & { = \, 0 . 5 3 1 + 6 . 9 5 8 \cdot 1 0 ^ { - 7 } u _ { 2 } - 2 . 5 1 \cdot 1 0 ^ { - 1 2 } u _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \, + 3 . 1 \cdot 1 0 ^ { - 1 8 } u _ { 2 } ^ { 3 } + \frac { 0 . 4 3 - 0 . 1 4 ( p r _ { x _ { 2 } } - p r _ { x _ { 2 , c r i t } } ) } { 1 + 7 . 3 5 ( p r _ { x _ { 2 } } - p r _ { x _ { 2 , c r i t } } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \partial _ { t } u + a \partial _ { x } u + b \partial _ { y } u } & { = 0 , \quad } & & { \forall ( x , y ) \in \Omega , \ t > 0 , } \\ { u ( 0 , x , y ) } & { = u _ { 0 } ( x , y ) , \quad } & & { \forall ( x , y ) \in \Omega , } \\ { u ( t , x , y ) } & { = g ( t , x , y ) , \quad } & & { \forall ( x , y ) \in \Gamma _ { - } , \ t \geq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \frac { d n } { d t } \right) _ { \mathrm { M W } } } & { = \frac { 1 } { 4 } n \left( \frac { g _ { \mathrm { N V } } \mu _ { \mathrm { B } } } { \hbar } \right) ^ { 2 } B _ { 1 } ^ { 2 } g \left( \omega - \omega _ { \mathrm { E S R } } \right) , } \\ { \left( \frac { d n } { d t } \right) _ { \mathrm { T 1 } } } & { = \frac { n - n _ { 0 } } { T _ { 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | S \setminus ( E _ { 1 } \cup \dots \cup E _ { k - 1 } ) | } & { = \sum _ { j = 0 } ^ { k - 1 } ( - 1 ) ^ { j } \sum _ { 1 \le i _ { 1 } < \dots < i _ { j } \le k - 1 } | E _ { i _ { 1 } } \cap \dots \cap E _ { i _ { j } } | } \\ & { = \sum _ { j = 0 } ^ { k - 1 } ( - 1 ) ^ { j } \binom { k - 1 } j | E _ { 1 } \cap \dots \cap E _ { j } | } \\ & { = \sum _ { j = 0 } ^ { k - 1 } ( - 1 ) ^ { j } \binom { k - 1 } j \binom { n + k - j } { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( y ) } & { = 1 - \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { \pi } { 2 } } y + \frac { y ^ { 2 } } { 8 } - \frac { y ^ { 4 } } { 3 8 4 } + \frac { y ^ { 6 } } { 1 5 3 6 0 } + . . . } \\ { f ( y ) } & { = \mathrm { e } ^ { - \frac { y ^ { 2 } } 8 } \left[ \frac { 4 } { y ^ { 2 } } - \frac { 4 8 } { y ^ { 4 } } + \frac { 9 6 0 } { y ^ { 6 } } + . . . \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \overline { { \chi } } _ { \theta , \alpha } ^ { ( I ) } ( \widehat { H } _ { 0 } ( \theta , \alpha ) - \widehat { E } _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) - z ) ^ { - 1 } \widehat { W } _ { g } ( \theta , \alpha ) } \\ & { = \overline { { \chi } } _ { \theta , \alpha } ^ { ( I ) } ( \widehat { H } _ { 0 } ( \theta , \alpha ) - \widehat { E } _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) - z ) ^ { - 1 } ( - \Delta + { H } _ { f } + 1 ) ( - \Delta + { H } _ { f } + 1 ) ^ { - 1 } \widehat { W } _ { g } ( \theta , \alpha ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \int _ { B } f _ { i } ( \partial _ { i } u ) \Gamma ^ { 1 + \gamma } ( | \partial _ { i } u | ) \eta ^ { 2 k } \, \mathrm { d } x } } \\ & { = } & { \int _ { B } | \partial _ { i } u | ^ { 2 } f _ { i } ( \partial _ { i } u ) \Gamma ^ { \gamma } ( | \partial _ { i } u | ) \eta ^ { 2 k } \, \mathrm { d } x + \int _ { B } f _ { i } ( \partial _ { i } u ) \Gamma ^ { \gamma } ( | \partial _ { i } u | ) \eta ^ { 2 k } \, \mathrm { d } x } \\ & { = } & { - \int _ { B } u \partial _ { i } \Big [ \partial _ { i } u f _ { i } ( \partial _ { i } u ) \Gamma ^ { \gamma } ( | \partial _ { i } u | ) \eta ^ { 2 k } \Big ] \, \mathrm { d } x + \int _ { B } f _ { i } ( \partial _ { i } u ) \Gamma ^ { \gamma } ( | \partial _ { i } u | ) \eta ^ { 2 k } \, \mathrm { d } x } \\ & { \leq } & { c \int _ { B } | \partial _ { i } \partial _ { i } u | \Gamma ^ { \gamma } ( | \partial _ { i } u | ) f _ { i } ( \partial _ { i } u ) \eta ^ { 2 k } \, \mathrm { d } x } \\ & { } & { + c \int _ { B } | \partial _ { i } \partial _ { i } u | \, | \partial _ { i } u | \, | f _ { i } ^ { \prime } | ( \partial _ { i } u ) \, \Gamma ^ { \gamma } ( | \partial _ { i } u | ) \eta ^ { 2 k } \, \mathrm { d } x } \\ & { } & { + c \int _ { B } | \partial _ { i } u | f _ { i } ( \partial _ { i } u ) \Gamma ^ { \gamma } ( | \partial _ { i } u | ) \eta ^ { 2 k - 1 } | \partial _ { i } \eta | \, \mathrm { d } x + \int _ { B } f _ { i } ( \partial _ { i } u ) \Gamma ^ { \gamma } ( | \partial _ { i } u | ) \eta ^ { 2 k } \, \mathrm { d } x } \\ & { = } & { I _ { 1 , i } + I _ { 2 , i } + I _ { 3 , i } + I _ { 4 , i } \, . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { d f } { d s } } } & { = { \frac { d } { d s } } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - s t } { \frac { \sin t } { t } } \, d t = \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { \partial } { \partial s } } e ^ { - s t } { \frac { \sin t } { t } } \, d t } \\ & { = - \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - s t } \sin t \, d t . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathcal { A } _ { n } ( \sigma ) } & { = \mathbb E _ { u , \delta } \prod _ { i \le n } \prod _ { k \geq 1 } ( 1 + \operatorname { t a n h } ( \beta \xi _ { i , k } ) \bar { s } _ { i , k } \delta _ { i } ) , } \\ { \mathcal { B } _ { n , \lambda } ( \sigma ) } & { = \mathbb E _ { u } \prod _ { i \le n } \prod _ { k \geq 1 } ( 1 + \operatorname { t a n h } ( \beta \xi _ { i , k } ^ { \prime } ) \bar { s } _ { 1 , i , k } \bar { s } _ { 2 , i , k } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \varrho ( t ) = \underline { { \chi } } ^ { \star } ( t ) \varrho ( T _ { \varepsilon } ^ { \star } ) + R ^ { \star } ( t ) , \ \ R ^ { \star } ( t ) : = \chi _ { 1 } ( t - T _ { \varepsilon } ^ { \star } ) \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { \varrho } } \varrho ^ { ( k ) } ( T _ { \varepsilon } ^ { \star } ) \frac { ( t - T _ { \varepsilon } ^ { \star } ) ^ { k } } { k ! } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { V ( t ) = } & { \frac { r _ { d } } { 2 } { X } ^ { T } ( t ) P _ { 1 } X ( t ) + \frac { r _ { a } } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } { { e ^ { { \delta } x } } } \beta { ( x , t ) ^ { 2 } } d x } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } { { e ^ { - { \delta } x } } } \alpha { ( x , t ) ^ { 2 } } d x + \frac { r _ { c } } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } { { e ^ { - x } } } \hat { u } { ( x , t ) ^ { 2 } } d x , } \end{array}
\mathbb { E } \left[ J _ { i _ { 1 } \cdots i _ { p } } ^ { \tau _ { 1 } \cdots \tau _ { p } } J _ { i _ { 1 } ^ { \prime } \cdots i _ { p } ^ { \prime } } ^ { \tau _ { 1 } ^ { \prime } \cdots \tau _ { p } ^ { \prime } } \right] = \frac { p ! } { 2 N ^ { p - 1 } } \delta _ { i _ { 1 } i _ { 1 } ^ { \prime } } \cdots \delta _ { i _ { p } i _ { p } ^ { \prime } } C _ { \tau _ { 1 } \cdots \tau _ { p } } ^ { \tau _ { 1 } ^ { \prime } \cdots \tau _ { p } ^ { \prime } } .
\begin{array} { r l r } { d _ { \Omega } ( s ^ { - 1 } c _ { 1 } \vert \cdots \vert s ^ { - 1 } c _ { n } ) } & { = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { n } \pm s ^ { - 1 } c _ { 1 } \vert \cdots \vert s ^ { - 1 } ( d c _ { j } ) \vert \cdots \vert s ^ { - 1 } c _ { n } } \\ & { } & { + \sum _ { j = 1 } ^ { n } \pm s ^ { - 1 } c _ { 1 } \vert \cdots \vert s ^ { - 1 } { c _ { j } } _ { ( 1 ) } \vert s ^ { - 1 } { c _ { j } } _ { ( 2 ) } \vert \cdots \vert s ^ { - 1 } c _ { n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { G _ { \theta \theta } = \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } \eta _ { 2 d } } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } ~ \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k ~ \frac { k ^ { 2 } } { c _ { n } ( k ) } e ^ { i \left( n ( \theta - \theta _ { 0 } ) + \frac { k } { R } ( z - z _ { 0 } ) \right) } , ~ ~ G _ { \theta z } = - \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } \eta _ { 2 d } } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } ~ \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k ~ \frac { k ~ n } { c _ { n } ( k ) } e ^ { i \left( n ( \theta - \theta _ { 0 } ) + \frac { k } { R } ( z - z _ { 0 } ) \right) } , } \\ & { G _ { z \theta } = - \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } \eta _ { 2 d } } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } ~ \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k ~ \frac { k ~ n } { c _ { n } ( k ) } e ^ { i \left( n ( \theta - \theta _ { 0 } ) + \frac { k } { R } ( z - z _ { 0 } ) \right) } , ~ ~ G _ { z z } = \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } \eta _ { 2 d } } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } ~ \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k ~ \frac { n ^ { 2 } } { c _ { n } ( k ) } e ^ { i \left( n ( \theta - \theta _ { 0 } ) + \frac { k } { R } ( z - z _ { 0 } ) \right) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \nabla ^ { 3 } f ) _ { I } ( Z , X , X ) } & { = \partial _ { t = 0 } ( \nabla ^ { 2 } f ) _ { I } ( \tau _ { I \to \exp _ { I } ( t Z ) } ( X ) , \tau _ { I \to \exp _ { I } ( t Z ) } ( X ) ) } \\ & { = \partial _ { t = 0 } ( \nabla ^ { 2 } f ) _ { I } ( e ^ { \frac t 2 Z } X e ^ { \frac t 2 Z } , e ^ { \frac t 2 Z } X e ^ { \frac t 2 Z } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R } & { = \mathbb { E } [ ( \log _ { 2 } ( 1 + \gamma _ { s } ) ) ] , } \\ & { = \frac { 1 } { \Gamma ( k ) \mathrm { { l n } } ( 2 ) } H _ { 3 , 2 } ^ { 1 , 3 } \bigg [ p \bigg | \begin{array} { l l l } { ( 1 , 1 ) , } & { ( 1 , 1 ) , } & { ( - k + 1 , 1 ) } \\ { ( 1 , 1 ) , } & { ( 0 , 1 ) } \end{array} \bigg ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 2 ( n + m + 4 ) ^ { 2 } + ( n _ { 1 } + m _ { 1 } ) ^ { 2 } + 3 ( n _ { 1 } + m _ { 1 } ) + 4 1 + ( n _ { 2 } + m _ { 2 } ) ( 2 ( n _ { 1 } + m _ { 1 } ) - ( n _ { 2 } + m _ { 2 } ) + 3 ) / 2 } \\ & { \leq 2 \cdot 4 ^ { 2 } ( n + m + 1 ) ^ { 2 } + ( n _ { 1 } + m _ { 1 } ) ^ { 2 } + 3 ( n _ { 1 } + m _ { 1 } ) + 4 1 + ( n _ { 2 } + m _ { 2 } ) ( n _ { 1 } + m _ { 1 } ) + \frac { 3 } { 2 } ( n _ { 2 } + m _ { 2 } ) } \\ & { \leq ( 3 2 + 1 + 3 + 4 1 + 1 + 2 ) ( n + m + 1 ) ^ { 2 } } \\ & { = 8 0 ( n + m + 1 ) ^ { 2 } . } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { 1 } h ( x ) \, d x \geq \int _ { \frac { 1 } { m } } ^ { 1 } { h ( x ) \, d x } = \sum _ { n = 1 } ^ { m - 1 } \int _ { \left( { \frac { 1 } { n + 1 } } , { \frac { 1 } { n } } \right] } { h ( x ) \, d x } \geq \sum _ { n = 1 } ^ { m - 1 } \int _ { \left( { \frac { 1 } { n + 1 } } , { \frac { 1 } { n } } \right] } { n \, d x } = \sum _ { n = 1 } ^ { m - 1 } { \frac { 1 } { n + 1 } } \to \infty \qquad { \mathrm { a s ~ } } m \to \infty
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { P } \left[ \big | T V ^ { a , b * } ( P ) \mathbb { E } _ { P } \big [ ( \xi _ { t } ^ { a , b } ( P ) ) ^ { 2 } \mid \mathcal { F } _ { t - 1 } \big ] - V ^ { a , b * } ( P ) \big | \right] } \\ & { \leq \mathbb { E } _ { P } \Bigg [ \Bigg | \mathbb { E } _ { P } \Bigg [ \frac { \big ( Y _ { t } ^ { a } - \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( X _ { t } ) \big ) ^ { 2 } } { \widehat { w } _ { t } ( a | X _ { t } ) } + \frac { \big ( Y _ { t } ^ { b } - \widehat { \mu } _ { t } ^ { b } ( X _ { t } ) \big ) ^ { 2 } } { \widehat { w } _ { t } ( b | X _ { t } ) } + \Big ( \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( X _ { t } ) - \widehat { \mu } _ { t } ^ { b } ( X _ { t } ) - \Delta ^ { a , b } ( P ) \Big ) ^ { 2 } } \\ & { \ \ \ + 2 \left( \mu ^ { a } ( P ) ( X _ { t } ) - \mu ^ { b } ( P ) ( X _ { t } ) - \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( X _ { t } ) + \widehat { \mu } _ { t } ^ { b } ( X _ { t } ) \right) \left( \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( X _ { t } ) - \widehat { \mu } _ { t } ^ { b } ( X _ { t } ) - \Delta ^ { a , b } ( P ) \right) \Bigg \} } \\ & { \ \ \ - \frac { \big ( Y _ { t } ^ { a } - \mu ^ { a } ( P ) ( X _ { t } ) \big ) ^ { 2 } } { w ^ { * } ( a | X _ { t } ) } + \frac { \big ( Y _ { t } ^ { b } - \mu ^ { b } ( P ) ( X _ { t } ) \big ) ^ { 2 } } { w ^ { * } ( b | X _ { t } ) } - \Big ( \mu ^ { a } ( P ) ( X _ { t } ) - \mu ^ { b } ( P ) ( X _ { t } ) - \Delta ^ { a , b } ( P ) \Big ) ^ { 2 } \mid X _ { t } , \widehat { f } _ { t - 1 } , \pi _ { t } \Bigg ] \Bigg | \Bigg ] } \\ & { \leq \widetilde { C } _ { 4 } \sum _ { k = 0 } ^ { 1 } \mathbb { E } _ { P } \left[ \Big | \sqrt { w ^ { * } ( k | X _ { t } ) } - \sqrt { \widehat { w } _ { t } ( k | X _ { t } ) } \Big | \right] + \widetilde { C } _ { 5 } \sum _ { k = 0 } ^ { 1 } \mathbb { E } _ { P } \left[ \Big | \widehat { \mu } _ { t } ^ { k } ( X _ { t } ) - \mu ^ { k } ( P ) ( X _ { t } ) \Big | \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { i } ( 0 ) } & { = \int _ { H _ { 2 } } p _ { i } ( x ) \, d x = \int _ { C } \big ( p _ { i } ( x ) + p _ { i } ( r ^ { 2 } x ) + p _ { i } ( r ^ { 4 } x ) \big ) \, d x = 3 \int _ { C } p _ { i } ( x ) \, d x } \\ & { = 3 \int _ { 0 } ^ { 1 / 2 } \int _ { - 1 / 2 } ^ { 0 } p _ { i } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \, d x _ { 1 } d x _ { 2 } , } \end{array}
L _ { \Omega _ { 2 } } ^ { \textnormal { P I N N s } } ( \hat { u } _ { 2 } ) = \frac { 1 } { N _ { \Omega _ { 2 } } } \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { \Omega _ { 2 } } } \left| - \nabla \cdot \big ( c _ { 2 } \nabla \hat { u } _ { 2 } ( x _ { n } ^ { \Omega _ { 2 } } ; \theta _ { 2 } ) \big ) + \hat { u } _ { 2 } ( x _ { n } ^ { \Omega _ { 2 } } ; \theta _ { 2 } ) - f ( x _ { n } ^ { \Omega _ { 2 } } ) \right| ^ { 2 }
\begin{array} { r } { A _ { 0 } ( \mathbf { r } ^ { \ast } ) = 3 m _ { 1 } m _ { 2 } m _ { 3 } m _ { 4 } ( \lambda r _ { 1 2 } ^ { 3 } + \lambda r _ { 3 4 } ^ { 3 } + 1 ) > 0 } \\ { A _ { 1 } ( \mathbf { r } ^ { \ast } ) = 3 m _ { 1 } m _ { 2 } m _ { 3 } m _ { 4 } ( \lambda r _ { 1 4 } ^ { 3 } + \lambda r _ { 2 3 } ^ { 3 } + 1 ) > 0 } \\ { A _ { 2 } ( \mathbf { r } ^ { \ast } ) = 3 m _ { 1 } m _ { 2 } m _ { 3 } m _ { 4 } ( \lambda r _ { 1 3 } ^ { 3 } + \lambda r _ { 2 4 } ^ { 3 } + 1 ) > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \kappa _ { p } ( v , s , a ) = } & { \operatorname* { m i n } _ { \lVert P \rVert _ { p } = \beta _ { s , a } , \quad \sum _ { s ^ { \prime } } P ( s ^ { \prime } ) = 0 , \quad P ( s " ) = 0 , \quad \forall s " \in F _ { s , a } } \langle P , v \rangle } \\ { = } & { \operatorname* { m i n } _ { \omega \in \mathbb { R } } \lVert u - \omega \mathbf { 1 } \rVert _ { p } , \qquad \mathrm { w h e r e ~ u ( s ) ~ = ~ v ( s ) \mathbf { 1 } ( s \notin ~ F _ { s , a } ) ~ . } } \\ { = } & { \kappa _ { p } ( u ) } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } & { \langle \Psi _ { 0 } | \dag , c _ { A , k } ^ { \dagger } c _ { B , k ^ { \prime } } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle = \sum _ { i , i ^ { \prime } = 1 } ^ { n _ { A } } \tilde { P } _ { i k } \tilde { Q } _ { k ^ { \prime } i ^ { \prime } } ^ { \dagger } \rho _ { i , i ^ { \prime } + n _ { A } } \dag } & { \dag ; = \sum _ { i , i ^ { \prime } = 1 } ^ { n _ { A } } \tilde { P } _ { i k } \tilde { Q } _ { k ^ { \prime } i ^ { \prime } } ^ { \dagger } [ D D ^ { \dagger } ] _ { i ^ { \prime } + n _ { A } , i } \dag } & { \dag ; = \sum _ { i , i ^ { \prime } = 1 } ^ { n _ { A } } \tilde { P } _ { i k } \tilde { Q } _ { k ^ { \prime } i ^ { \prime } } ^ { \dagger } [ Q P ^ { \dagger } ] _ { i ^ { \prime } i } \dag } & { \dag ; = \left[ \frac { 1 } { \sqrt { Q ^ { \dagger } Q } } Q ^ { \dagger } Q P ^ { \dagger } P \frac { 1 } { \sqrt { P ^ { \dagger } P } } \right] _ { k ^ { \prime } k } \dag ! \dag ! = \left[ P ^ { \dagger } P \right] _ { k ^ { \prime } k } \dag } & { \dag ; = \left[ { \sqrt { Q ^ { \dagger } Q } } { \sqrt { P ^ { \dagger } P } } \right] _ { k ^ { \prime } k } = \delta _ { k k ^ { \prime } } \sqrt { n _ { k k } ^ { 0 } ( 1 - n _ { k k } ^ { 0 } ) } \dag , , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma ( \mathbf { k } , \omega ) } & { = \int d \mathbf { r } d t e ^ { - i \omega \left( t - t ^ { \prime } \right) + i k \left( r - r ^ { \prime } \right) } \int d \mathbf { k } ^ { \prime } d \mathbf { r } ^ { \prime \prime } e ^ { i k ^ { \prime } \left( r - r ^ { \prime \prime } \right) } \frac { i \vec { k ^ { \prime } } ( - i \omega ) } { k ^ { 2 } } \langle \left[ \rho \left( r ^ { \prime \prime } , t \right) , \psi ^ { \dagger } \left( r ^ { \prime } , t ^ { \prime } \right) \right] \rangle } \\ & { = \int d t e ^ { - i \omega \left( t - t ^ { \prime } \right) } \int d \mathbf { r } ^ { \prime \prime } e ^ { i k \left( r ^ { \prime \prime } - r ^ { \prime } \right) } \frac { \mathbf { k } \omega } { k ^ { 2 } } \langle \left[ \rho \left( r ^ { \prime \prime } t \right) , \psi ^ { \dagger } \left( r ^ { \prime } t ^ { \prime } \right) \right] \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta \mathcal { J } _ { 1 \alpha } ( g ) } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { T } \phi ( \ell , t ) \delta g ( t ) d t + \alpha \int _ { 0 } ^ { T } g ^ { \prime } ( t ) \delta g ^ { \prime } ( t ) d t + \frac { \alpha } { 2 } \int _ { 0 } ^ { T } ( \delta g ^ { \prime } ( t ) ) ^ { 2 } d t + \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { T } \delta u ( \ell , t ) ^ { 2 } d t , \ \ \forall g , \delta g \in \mathcal { G } _ { 1 } , } \\ { \delta \mathcal { J } _ { 2 \alpha } ( g ) } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { T } \varphi ( \ell , t ) \delta g ( t ) d t + \alpha \int _ { 0 } ^ { T } g ^ { \prime \prime \prime } ( t ) \delta g ^ { \prime \prime \prime } ( t ) d t + \frac { \alpha } { 2 } \int _ { 0 } ^ { T } ( \delta g ^ { \prime \prime \prime } ( t ) ) ^ { 2 } d t } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { T } \Big ( r ( 0 ) \delta u _ { x x } ( 0 , t ) + \kappa ( 0 ) \delta u _ { x x t } ( 0 , t ) \Big ) ^ { 2 } d t , \ \ \forall g , \delta g \in \mathcal { G } _ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \! \sum _ { i } \Big [ } & { x _ { i } ^ { 2 } \big ( \dddot { f _ { 2 } } \! + \! 4 \dot { f } _ { 2 } \omega _ { x } ^ { 2 } \! + \! 4 f _ { 2 } \omega _ { x } \dot { \omega } _ { x } \big ) \! + \! y _ { i } ^ { 2 } \big ( \dddot { f _ { 2 } } \! + \! 4 \dot { f } _ { 2 } \omega _ { y } ^ { 2 } \! + \! 4 f _ { 2 } \omega _ { y } \dot { \omega } _ { y } \big ) } \\ { + } & { \, z _ { i } ^ { 2 } \big ( \dddot { f _ { 2 } } \! + \! 4 \dot { f } _ { 2 } \omega _ { z } ^ { 2 } \! + \! 4 f _ { 2 } \omega _ { z } \dot { \omega } _ { z } \big ) \! + \! \dot { f } _ { 2 } \sum _ { j \ne i } \frac { c _ { 1 } } { r _ { i j } } \Big ] = 0 \, . } \end{array}
\mathbf { c f } _ { U ( \mathfrak { g l } ( m | n ) ) } ( T ( r , s ) ) = \operatorname { s p a n } \{ t _ { i _ { 1 } , j _ { 1 } } ^ { m _ { 1 } } . . . t _ { i _ { p } , j _ { p } } ^ { m _ { p } } \overline { { t } } _ { i _ { p + 1 } , j _ { p + 1 } } ^ { m _ { p + 1 } } . . . \overline { { t } } _ { i _ { p + \ell } , j _ { p + \ell } } ^ { m _ { p + \ell } } : \sum _ { k = 1 } ^ { p } m _ { k } = r , \sum _ { k = 1 } ^ { \ell } m _ { p + k } = s \}
\begin{array} { r } { \frac { \partial } { \partial t } \left[ \begin{array} { l } { Q } \\ { \varphi } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { - \frac { \partial } { \partial z } } \\ { - \frac { \partial } { \partial z } } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \frac { \delta H } { \delta Q } ( Q , \varphi ) } \\ { \frac { \delta H } { \delta \varphi } ( Q , \varphi ) } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { w } ^ { Y } ( y , t , z ) } & { = M _ { - } ^ { Y } ( e ^ { \beta \hat { \sigma } } v _ { 1 , 1 } ^ { Y } ) ( M _ { + } ^ { Y } ) ^ { - 1 } = p _ { 1 } M _ { - } ^ { Y } ( v _ { 1 } ^ { P } - I ) ( M _ { + } ^ { Y } ) ^ { - 1 } } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { n } \sum _ { l = j } ^ { n } ( a _ { j l } ^ { ( 1 ) } \ln _ { 0 } ( z t ^ { - 1 / 3 } ) + b _ { j l } ^ { ( 1 ) } ) \frac { z ^ { l } e ^ { 2 i ( y z + \frac { 4 z ^ { 3 } } { 3 } ) } } { t ^ { j / 3 } } M _ { - } ^ { Y } \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) ( M _ { + } ^ { Y } ) ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q ( \hat { D } ( 0 ) ) = } & { \operatorname* { m a x } \bigg \{ \operatorname* { m a x } _ { i = 1 , 2 , 3 ; y \in [ 0 , 1 ] } \left\{ ( M _ { i } ( y ; D ) - M _ { i } ( y ; \hat { D } ( 0 ) ) ) ^ { 2 } \right\} , } \\ & { ( M _ { 4 } ( D ) - M _ { 4 } ( \hat { D } ( 0 ) ) ) ^ { 2 } \bigg \} \frac { 2 { r _ { c } } } { D \xi _ { 1 } \xi _ { 3 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left\| \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \nabla F ( { \mathbf w } _ { t } ^ { k } ) \right\| } & { \leq \frac { 4 G } { N } + \frac { 2 ( F ( { \mathbf x } _ { 0 } ) - F ^ { \star } ) } { N \delta } } \\ & { \quad + 3 \frac { ( H + J \delta ) ^ { 1 / 3 } ( F ( { \mathbf x } _ { 0 } ) - F ^ { \star } ) ^ { 2 / 3 } } { \delta ^ { 1 / 3 } N ^ { 2 / 3 } } + 1 0 \frac { \delta ( H + J \delta ) } { N ^ { 2 } } ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c ^ { r } g _ { 1 } + ( 1 - c ) ^ { r } g _ { 2 } } & { = c ^ { r } g _ { 1 } + \left( \frac { 1 - c } { b } \right) ^ { r } b ^ { r } g _ { 2 } } \\ & { \ge ( g _ { 1 } + b ^ { r } g _ { 2 } ) \left( \frac { c g _ { 1 } + ( 1 - c ) b ^ { r - 1 } g _ { 2 } } { g _ { 1 } + b ^ { r } g _ { 2 } } \right) ^ { r } } \\ & { = ( g _ { 1 } ^ { - \frac { 1 } { r - 1 } } + g _ { 2 } ^ { - \frac { 1 } { r - 1 } } ) ^ { - r + 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \ ( \theta ^ { * } - \theta ^ { k } ) ^ { \top } \Phi ^ { \top } U \Phi ( \hat { H } ^ { k } + \omega I ) ^ { - 1 } \hat { g } ^ { k } } \\ { = } & { \ ( \theta ^ { * } - \theta ^ { k } ) ^ { \top } g ( \theta ^ { k } ) + ( \theta ^ { * } - \theta ^ { k } ) ^ { \top } ( g ( \theta ^ { k } ) - \hat { g } ^ { k } ) + ( \theta ^ { * } - \theta ^ { k } ) ^ { \top } \big ( \Phi ^ { \top } U \Phi ( \hat { H } ^ { k } + \omega I ) ^ { - 1 } - I \big ) \hat { g } ^ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H = } & { \sum _ { \imath = 1 } ^ { 2 } \left[ \frac { p _ { \imath } ^ { 2 } } { 2 m _ { \imath } } + \frac { 1 } { 2 } m _ { \imath } \omega _ { \mathrm { m _ { \ i m a t h } } } ^ { 2 } x _ { \imath } ^ { 2 } + \hbar \Delta _ { \imath } a _ { \imath } ^ { \dagger } a _ { \imath } \right] } \\ { - } & { \sum _ { \imath , \jmath = 1 } ^ { 2 } \hbar g _ { \imath \jmath } a _ { \imath } ^ { \dagger } a _ { \imath } x _ { \jmath } - \hbar J \left[ a _ { 1 } ^ { \dagger } a _ { 2 } + a _ { 1 } a _ { 2 } ^ { \dagger } \right] } \\ { + } & { \mathrm { i } \hbar \left[ F _ { \mathrm { p } } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \Delta _ { \mathrm { p } } t } a _ { 1 } ^ { \dagger } - F _ { \mathrm { p } } ^ { * } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \Delta _ { \mathrm { p } } t } a _ { 1 } \right] + \mathrm { i } \hbar F _ { \mathrm { l } } \left[ a _ { 2 } ^ { \dagger } - a _ { 2 } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { \gamma } _ { 1 } ( J _ { 1 } ) } & { \subset { \mathbf { V } } \left( z , y ^ { 2 } + m x ^ { 2 } - A _ { 4 } ^ { \prime } \right) , } \\ { \widetilde { \gamma } _ { 2 } ( J _ { 2 } ) } & { \subset { \mathbf { V } } \left( y , z ^ { 2 } + \frac { m } { m - 1 } x ^ { 2 } - A _ { 5 } ^ { \prime } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf p } _ { 1 } } & { = \left( \frac { 1 } { 9 } , \frac { 2 } { 9 } , \frac { 1 1 } { 3 1 5 } , \frac { 2 } { 6 3 } , \frac { 7 4 } { 3 1 5 } , \frac { 2 } { 9 } , \frac { 1 } { 7 } \right) \in \mathrm { R S } ( T , { \bf m } _ { 0 } ) , } \\ { { \bf p } _ { 2 } } & { = \left( \frac { 1 } { 9 } , \frac { 2 } { 9 } , \frac { 7 } { 9 0 } , \frac { 4 } { 4 5 } , \frac { 7 } { 9 0 } , \frac { 2 } { 9 } , \frac { 1 } { 5 } \right) \in \mathrm { R S } ( T , { \bf m } _ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } } \left[ \nu _ { x } ( \gamma ) - \nu _ { x } ( \gamma ^ { \prime } ) \right] ^ { 2 } \mathrm { d } x } & { = \vert \gamma - \gamma ^ { \prime } \vert ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left[ \nu _ { x } ^ { \prime } ( \xi ( x ) ) \right] ^ { 2 } \mathrm { d } x } \\ & { \leq \frac { \vert \gamma - \gamma ^ { \prime } \vert ^ { 2 } } { 4 } \left[ \sqrt { \int _ { 0 } ^ { \infty } ( 1 + x \xi ( x ) ) ^ { - 3 - \frac { 1 } { \xi ( x ) } } \left[ \frac { x \ln ( 1 + x \xi ( x ) ) } { \xi ( x ) } \right] ^ { 2 } \mathrm { d } x } \right. } \\ & { \quad + \left. \sqrt { \int _ { 0 } ^ { - \infty } ( 1 + x \xi ( x ) ) ^ { - 3 - \frac { 1 } { \xi ( x ) } } x ^ { 2 } \mathrm { d } x } \right] ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { k ( 8 n ^ { 2 } + 2 3 + 2 N _ { \mathcal { A } } ) + N _ { \mathcal { A } } } \\ & { = k ( 8 n ^ { 2 } + 2 3 ) + ( 2 k + 1 ) N _ { \mathcal { A } } } \\ & { \leq ( 2 k + 1 ) ( 8 n ^ { 2 } + 2 3 + N _ { \mathcal { A } } ) } \\ & { \leq \frac { \pi } { 4 { \varepsilon } } ( 8 n ^ { 2 } + 2 3 + N _ { \mathcal { A } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| F _ { h } ( \cdot , \nabla u _ { h } ^ { \textit { c } } ) - F _ { h } ( \cdot , \nabla u ) \| _ { 2 , \Omega } ^ { 2 } \lesssim h _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } \, \| \nabla F ( \cdot , \nabla u ) \| _ { 2 , \Omega } ^ { 2 } + h _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 \alpha } \, \big ( 1 + \rho _ { p ( \cdot ) s , \Omega } ( \nabla u ) \big ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { D _ { l } } & { \geq } & { - 4 C _ { 3 } K _ { 0 } T \beta _ { n } ^ { - 1 } r _ { s } ^ { - 1 \slash 1 0 } + \frac { 1 } { 2 } L ^ { 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 } e ^ { - 6 L ^ { - 1 } } e ^ { - | y _ { l - 1 } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) | L } } \\ & { } & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \times ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \| \psi \| _ { \mathbb { L } ^ { 2 } } ^ { 2 } } & { = \partial _ { t } \int | \psi | ^ { 2 } = 2 \Re \int \bar { \psi } \partial _ { t } \psi = 2 \Re \int - i \bar { \psi } \left( - \mu \Delta \psi + \mu | x | ^ { 2 } \psi + \lambda | \psi | ^ { 2 } \psi \right) } \\ & { = 2 \Re \int - i \left( \mu \bar { \psi } \Delta \psi + \mu | x | ^ { 2 } | \psi | ^ { 2 } + \lambda | \psi | ^ { 4 } \right) = 2 \mu \Re \int - i \bar { \psi } \Delta \psi } \\ & { = 2 \mu \Re \int i | \nabla \psi | ^ { 2 } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { K } _ { \gamma _ { x _ { 0 } } } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \boldsymbol { K } _ { u _ { x _ { 0 } } } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - \left( \frac { c _ { 0 } \Delta t } { \Delta x } \right) ^ { 2 } } & { \left( \frac { c _ { 0 } \Delta t } { \Delta x } \right) ^ { 2 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ { \boldsymbol { K } _ { \gamma _ { x _ { 1 } } } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \boldsymbol { K } _ { u _ { x _ { 1 } } } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - \left( \frac { c _ { 0 } \Delta t } { \Delta x } \right) ^ { 2 } } & { \left( \frac { c _ { 0 } \Delta t } { \Delta x } \right) ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ { \boldsymbol { K } _ { \gamma _ { y _ { 0 } } } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) , \boldsymbol { K } _ { u _ { y _ { 0 } } } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - \left( \frac { c _ { 0 } \Delta t } { \Delta y } \right) ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \left( \frac { c _ { 0 } \Delta t } { \Delta y } \right) ^ { 2 } } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ { \boldsymbol { K } _ { \gamma _ { y _ { 1 } } } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \boldsymbol { K } _ { u _ { y _ { 1 } } } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { - \left( \frac { c _ { 0 } \Delta t } { \Delta y } \right) ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \left( \frac { c _ { 0 } \Delta t } { \Delta y } \right) ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { 2 2 } } & { \leq \Vert \theta _ { t - \tau } - \theta ^ { * } \Vert \left( \Vert g _ { t } ( \theta _ { t } ) - { g } _ { t } ( \theta _ { t - \tau } ) \Vert + \Vert \bar { g } ( \theta _ { t - \tau } ) - \bar { g } ( \theta _ { t } ) \Vert \right) } \\ & { \overset { ( a ) } \leq 2 G \left( \Vert g _ { t } ( \theta _ { t } ) - { g } _ { t } ( \theta _ { t - \tau } ) \Vert + \Vert \bar { g } ( \theta _ { t - \tau } ) - \bar { g } ( \theta _ { t } ) \Vert \right) } \\ & { \overset { ( b ) } \leq 6 G \Vert \theta _ { t } - \theta _ { t - \tau } \Vert } \\ & { \overset { ( c ) } \leq 3 6 0 \alpha \tau \delta G ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { c u m } \left( X ( \delta _ { n } ( t + \tau ) ) , X ( \delta _ { n } ( s + \tau ) ) , X ( \delta _ { n } ( w + \tau ) ) , X ( \delta _ { n } ( v + \tau ) ) \right) } \\ & { = \mathrm { c u m } \left( X ( \delta _ { n } t ) , X ( \delta _ { n } s ) , X ( \delta _ { n } w ) , X ( \delta _ { n } v ) \right) ; } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( 4 ( \beta _ { 2 } ^ { ( 1 ) } ) ^ { 3 } - 3 \beta _ { 2 } ^ { ( 1 ) } \beta _ { 3 } ^ { ( 1 ) } ) { { \sigma _ { p } } } ( Q ^ { ( 1 ) } ) ( y , \eta , q , \zeta ) ( { { \sigma _ { p } } } ( Q ^ { ( 1 ) } ) ( q , \zeta , x _ { 1 } ^ { o } , ( \xi _ { 1 } ^ { o } ) ^ { \sharp } ) ) ^ { 4 } } \\ { = } & { ( 4 ( \beta _ { 2 } ^ { ( 2 ) } ) ^ { 3 } - 3 \beta _ { 2 } ^ { ( 2 ) } \beta _ { 3 } ^ { ( 2 ) } ) { { \sigma _ { p } } } ( Q ^ { ( 2 ) } ) ( y , \eta , q , \zeta ) ( { { \sigma _ { p } } } ( Q ^ { ( 2 ) } ) ( q , \zeta , x _ { 1 } ^ { o } , ( \xi _ { 1 } ^ { o } ) ^ { \sharp } ) ) ^ { 4 } . } \end{array}
\kappa _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } } ^ { ( 1 , 1 ) } ( \gamma ) = \mathbb { E } \left[ K _ { 1 } \otimes K _ { 2 } \right] - \mathbb { E } \left[ K _ { 1 } \right] \otimes \mathbb { E } \left[ K _ { 2 } \right] , \kappa _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } } ^ { ( 0 , 2 ) } ( \gamma ) = \mathbb { E } \left[ K _ { 2 } ^ { \otimes 2 } \right] - \mathbb { E } \left[ K _ { 2 } \right] ^ { \otimes 2 }
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial \mathbf { x } _ { 1 } } { \partial G _ { 1 } } = { s i g n } ( x _ { 1 } ) \frac { 1 } { M _ { 1 } k _ { 1 } } ( 0 , \langle \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { p } _ { 1 } \rangle ) = { s i g n } ( x _ { 1 } ) \frac { 1 } { M _ { 1 } k _ { 1 } } ( 0 , r ^ { 1 / 2 } ( v \sin ^ { 2 } \psi + \frac { 1 } { 2 } w \sin 2 \psi ) ) , } \\ & { \frac { \partial ^ { 2 } \mathbf { x } _ { 1 } } { \partial G _ { 1 } ^ { 2 } } = \frac { 1 } { M _ { 1 } k _ { 1 } } ( - { s i g n } ( x _ { 1 } ) , 0 ) - \frac { | \mathbf { p } _ { 1 } | ^ { 2 } } { M _ { 1 } ^ { 2 } k _ { 1 } ^ { 2 } } \mathbf { x } _ { 1 } = \frac { 1 } { M _ { 1 } k _ { 1 } } ( - { s i g n } ( x _ { 1 } ) - \frac { 1 } { M _ { 1 } k _ { 1 } } M _ { 1 } ^ { 1 / 2 } \sin \psi ( v \sin \psi + w \cos \psi ) ^ { 2 } , 0 ) . } \end{array}
q _ { 2 } ( \gamma , g _ { 1 } ( \gamma , \pi _ { 1 } \underline { { u } } ^ { \prime } ) , q _ { 1 } ( \gamma , \pi _ { 1 } \underline { { u } } ^ { \prime } ) ^ { * } \pi _ { 2 } \underline { { u } } ^ { \prime } ) : f _ { 2 } ( \gamma , \overline { { g } } _ { 1 } ( \gamma , \underline { { u } } ^ { \prime } ) , \overline { { g } } _ { 2 } ( \gamma , \underline { { u } } ^ { \prime } ) ) = q _ { 1 } ( \gamma , \pi _ { 1 } \underline { { u } } ^ { \prime } ) ^ { * } \pi _ { 2 } \underline { { u } } ^ { \prime }
\begin{array} { r l } { \partial _ { \tau } \ensuremath { p ^ { ( 0 ) } } + \gamma \ensuremath { p ^ { ( 0 ) } } \partial _ { x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } } & { = 0 } \\ { \ensuremath { \rho ^ { ( 0 ) } } \partial _ { \tau } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } + \partial _ { x } \ensuremath { p ^ { ( 1 ) } } } & { = \mu _ { 2 1 } \partial _ { x x } \ensuremath { p ^ { ( 1 ) } } } \\ { \partial _ { \tau } \ensuremath { v ^ { ( 0 ) } } } & { = 0 } \\ { \partial _ { \tau } \ensuremath { s ^ { ( 0 ) } } } & { = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - \left( \phi _ { i , j + 1 } U _ { i , j } + \phi _ { i + 1 , j } V _ { i , j } + \phi _ { i , j - 1 } U _ { i , j - 1 } + \phi _ { i - 1 , j } V _ { i - 1 , j } \right) } \\ & { + \left( U _ { i , j - 1 } + U _ { i , j } + V _ { i - 1 , j } + V _ { i , j } \right) \phi _ { i , j } } \\ & { = \Psi _ { i , j - 1 } ^ { x } U _ { i , j - 1 } - \Psi _ { i , j } ^ { x } U _ { i , j } + \Psi _ { i - 1 , j } ^ { y } V _ { i - 1 , j } - \Psi _ { i , j } ^ { y } V _ { i , j } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } { \mathbb Q } ^ { N } \left( \frac { X _ { T } ^ { k ( N ) } - b _ { T } ^ { N } } { a _ { T } ^ { N } } \geq x \right) } & { = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } { \mathbb Q } ^ { N } \left( H _ { N } ( [ x , \infty ) ) \geq k ( N ) \right) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } { \mathbb Q } ^ { N } \left( \frac { H _ { N } ( [ x , \infty ) ) } { k ( N ) } \geq 1 \right) } \\ & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \! | X ( \boldsymbol { \beta } - \hat { \boldsymbol { \beta } } ) | \! | _ { 2 } ^ { 2 } } & { = } & { \sum _ { m = 1 } ^ { M } \sum _ { t = 1 } ^ { T _ { m } } \left( \sum _ { l = 1 } ^ { L } \left( \hat { \beta } _ { l } ^ { m } - \boldsymbol { \beta } _ { l } ^ { m } \right) x _ { t - l } ^ { m } \right) ^ { 2 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \big [ \eta _ { t } \| w _ { t } - \nabla F ( x _ { t } ) \| ^ { 2 } + \frac { \eta _ { t } } { \gamma ^ { 2 } } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } \big ] \leq \frac { 4 ( \Gamma _ { 1 } - \Gamma _ { T + 1 } ) } { T \gamma } + \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \big ( 2 \hat { c } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } + \frac { 2 c _ { 3 } ^ { 2 } \lambda \sigma ^ { 2 } } { \gamma } \big ) \eta _ { t } ^ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { e ^ { \alpha \hat { \tau } } v _ { j , 1 } ^ { Y } ( y , t , z ) = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { e ^ { 3 \alpha } \frac { 3 ^ { 1 / 1 2 } w } { 2 ^ { 1 / 3 } t ^ { 1 / 6 } } \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { - i s y } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - i s y } & { 0 } \end{array} \right) , } & { j = 5 , 7 , } \\ { 0 , } & { j = 6 , 8 , } \end{array} \right. } \\ & { + \sum _ { j = 2 } ^ { N } \frac { a _ { j , \ln } ( y , \tilde { y } , w ) \ln { t } + a _ { j } ( y , \tilde { y } , w ) } { t ^ { j / 6 } } + O \bigg ( \frac { e ^ { - c | w | ^ { 2 } } \ln { t } } { t ^ { \frac { N + 1 } { 6 } } } \bigg ) , \qquad t \to \infty , } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( x ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { f ( x ) - f ( - \pi ) } & { \quad x \leq - b } \\ { g ^ { + } ( x ) - g ^ { + } ( - b ) + F ( - b ) } & { \quad - b < x \leq - a } \\ { h ( x ) - h ( - a ) + F ( - a ) } & { \quad - a < x \leq a } \\ { g ^ { - } ( x ) - g ^ { - } ( a ) + F ( a ) } & { \quad a < x \leq b } \\ { f ( x ) - f ( b ) + F ( b ) } & { \quad x > b } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { \phi _ { 1 } } } & { = \left( \frac { \omega _ { z } } { \omega _ { 0 } } + \frac { \tau \omega _ { * i } } { \omega _ { 0 } } \right) \left[ \Gamma _ { 0 } - \Gamma _ { z } - \frac { \omega _ { * i } } { \omega _ { z } } \left( F _ { 1 } - \Gamma _ { z } \right) - \frac { \left( 1 - \Gamma _ { 0 } \right) \left( b _ { z } - b _ { 0 } \right) } { b _ { 0 } } \right] } \\ & { - \frac { \tau \omega _ { * i } b _ { + } \left( 1 - \Gamma _ { 0 } \right) F _ { 1 } } { \omega _ { 0 } b _ { 0 } \sigma _ { 0 } \left( 1 - \frac { \omega _ { z } ^ { 2 } } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } \right) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \{ ( t , x ) \in [ 0 , T ] \times M \mid u ( t , x ) > 0 \} } ( \rho ( t , x ) \partial _ { t } u ( t , x ) + \kappa u ( t , x ) - \Delta _ { \bar { g } } u ( t , x ) ) d \mu _ { \bar { g } } ( x ) d t \ge 0 } \\ & { \mathrm { w i t h } \quad \kappa : = \operatorname* { s u p } _ { ( s , x ) \in ( 0 , T ) \times M } \partial _ { t } \rho ( s , x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z _ { 1 } ^ { \prime } } & { : = \{ \rho : | \Im \rho - t | \ge \delta \} , } \\ { Z _ { 2 } ^ { \prime } } & { : = \{ \rho : \rho \notin Z _ { 1 } ^ { \prime } , | 1 + i t - \rho | \ge \eta , | i t - \rho | \ge \eta \} , } \\ { Z _ { 3 } ^ { \prime } } & { : = \{ \rho : \rho \notin Z _ { 1 } ^ { \prime } , | i t - \rho | < \eta \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { C T } _ { B } ^ { \lambda , \lambda _ { 1 } } ( \check { \rho } ) [ 2 \check { \rho } ] : \mathrm { L i s } _ { F _ { \vartheta } ( \lambda ) } ( X ) } & { \subset ^ { + } \mathrm { S a t } _ { G , \mathscr G } } \\ & { \xrightarrow { \mathrm { C T } _ { B } ( \check { \rho } ) [ 2 \check { \rho } ] } \mathrm { S a t } _ { T , \mathscr G _ { T } } \twoheadrightarrow \mathrm { L i s } _ { F _ { \vartheta } ( \lambda _ { 1 } ) } ( X ) . } \end{array}
| \phi ( g ) | ^ { 2 } \ll _ { M , \Omega } D ( \mu _ { \phi } ^ { * } ) \cdot \left( \frac { 1 } { \# \mathcal { P } } + D ( \mu _ { \phi } ^ { * } ) ^ { - \kappa } L ^ { K } + \sum _ { \nu = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { ( \# \mathcal { P } ) ^ { 2 } } \sum _ { \pi , \pi ^ { \prime } \in \mathcal { P } } \frac { \# S ( Q , \pi ^ { \nu } , \pi ^ { \nu } , M ) } { L ^ { \nu ( n - 1 ) } } \right) , \qquad g \in \Omega ,
\begin{array} { r l } { X _ { i _ { 1 } , j _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) X _ { i _ { 2 } , i _ { 1 } } ( x _ { 2 } ) = } & { X _ { i _ { 2 } , i _ { 1 } } ( x _ { 2 } ) X _ { i _ { 2 } , j _ { 1 } } ( - x _ { 1 } x _ { 2 } ) X _ { i _ { 1 } , j _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) \qquad i _ { 2 } \ne i _ { 1 } , j _ { 1 } , } \\ { X _ { i _ { 1 } , j _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) X _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } } ( x _ { 2 } ) = } & { X _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } } ( x _ { 2 } ) X _ { i _ { 1 } , j _ { 2 } } ( x _ { 1 } x _ { 2 } ) X _ { i _ { 1 } , j _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) \qquad j _ { 2 } \ne i _ { 1 } , j _ { 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathbb { E } } [ ( \operatorname* { s u p } _ { r { \mathbb { D } } } | F _ { n } | ) ^ { 2 } ] } & { \le \frac { 1 } { ( s - r ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } { \mathbb { E } } \left[ | F _ { n } ( s e ^ { i \theta } ) | ^ { 2 } \right] d \theta } \\ & { \le \frac { 1 } { ( s - r ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } { \mathbb { E } } \left[ \frac { 1 } { | s e ^ { i \theta } - X _ { 1 } | ^ { 2 } } \right] d \theta } \\ & { \le \frac { 1 } { ( s - r ) ^ { 2 } ( 1 - s ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Vert ( v - I _ { N } v ) _ { x } \Vert _ { L ^ { 2 } ( \kappa ) } \le C \sum _ { l + m = k } h _ { i , x } ^ { l } h _ { j , y } ^ { m } \left\Vert \frac { \partial ^ { k + 1 } v } { \partial x ^ { l + 1 } \partial y ^ { m } } \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( \kappa ) } , } \\ & { \Vert ( v - I _ { N } v ) _ { y } \Vert _ { L ^ { 2 } ( \kappa ) } \le C \sum _ { l + m = k } h _ { i , x } ^ { l } h _ { j , y } ^ { m } \left\Vert \frac { \partial ^ { k + 1 } v } { \partial x ^ { l } \partial y ^ { m + 1 } } \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( \kappa ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { n m } \left( \rho , \varphi \right) } & { = \frac { 1 } { \lambda } \sqrt { \frac { \Gamma \left( n + L _ { m } + 1 \right) } { 2 ^ { L _ { m } + 1 } n ! \left[ \Gamma \left( L _ { m } + 1 \right) \right] ^ { 2 } \pi } } \left( \frac { \rho } { \lambda } \right) ^ { L _ { m } } e ^ { i m \varphi } e ^ { - \frac { \rho ^ { 2 } } { 4 \lambda ^ { 2 } } } } \\ & { \times ~ _ { 1 } F _ { 1 } \left( - n , L _ { m } + 1 , \frac { \rho ^ { 2 } } { 2 \lambda ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
e ^ { \frac { x ^ { 2 } } { 3 } \sigma _ { 3 } } \Phi ( z ) e ^ { - x ^ { 2 } g ( z ) \sigma _ { 3 } } z ^ { - \alpha \sigma _ { 3 } } = \mathbf { I } + \frac { e ^ { \frac { x ^ { 2 } } { 3 } \sigma _ { 3 } } \Phi _ { 1 } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 3 } \sigma _ { 3 } } } { z } + \frac { e ^ { \frac { x ^ { 2 } } { 3 } \sigma _ { 3 } } \Phi _ { 2 } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 3 } \sigma _ { 3 } } - \frac { 4 x ^ { 2 } } { 2 7 } \sigma _ { 3 } } { z ^ { 2 } } + O ( z ^ { - 3 } ) .
\begin{array} { r l } { u _ { 1 } = } & { - \frac { P x _ { 2 } } { 6 E I } \left[ \left( 6 L - 3 x _ { 1 } \right) x _ { 1 } + \left( 2 + \nu \right) \left( x _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { D ^ { 2 } } { 4 } \right) \right] , } \\ { u _ { 2 } = } & { \frac { P } { 6 E I } \left[ 3 \nu x _ { 2 } ^ { 2 } \left( L - x _ { 1 } \right) + \left( 4 + 5 \nu \right) \frac { D ^ { 2 } x _ { 1 } } { 4 } + \left( 3 L - x _ { 1 } \right) x _ { 1 } ^ { 2 } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { h } & { = \operatorname* { l i m } _ { \tau \rightarrow x _ { 0 } ^ { - } } \underline { H } ( \tau , H _ { 0 } , \phi _ { 0 } , x _ { 0 } ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \tau \rightarrow ( x _ { 0 } - s ) ^ { - } } \underline { H } ( \tau , \underline { H } ( s , H _ { 0 } , \phi _ { 0 } , x _ { 0 } ) , \underline { \phi } ( s , H _ { 0 } , \phi _ { 0 } , x _ { 0 } ) , x _ { 0 } - s ) } \\ & { = \underline { H } ( x _ { 0 } - s , \underline { H } ( s , H _ { 0 } , \phi _ { 0 } , x _ { 0 } ) , \underline { \phi } ( s , H _ { 0 } , \phi _ { 0 } , x _ { 0 } ) , x _ { 0 } - s ) , } \end{array}
\{ C _ { j , j } , \mathrm { t r } ( C ^ { * } ) \} _ { \mathrm { A L } } = \mathrm { i } \big ( \rho _ { j } ^ { 2 } \alpha _ { j + 1 } \bar { \alpha } _ { j + 1 } - \rho _ { j - 1 } ^ { 2 } \alpha _ { j - 2 } \bar { \alpha } _ { j - 2 } + \rho _ { j } ^ { 2 } \rho _ { j + 1 } ^ { 2 } - \rho _ { j - 2 } ^ { 2 } \rho _ { j - 1 } ^ { 2 } \big ) = \mathrm { i } \big ( \alpha _ { j - 1 } \bar { \alpha } _ { j - 1 } - \alpha _ { j } \bar { \alpha } _ { j } \big )
\begin{array} { r l r } & { } & { S _ { h h } = \frac { \chi _ { p 2 } - \chi _ { h 1 } } { \chi _ { p 2 } - \chi _ { h 2 } } = \frac { \nu _ { 2 } } { 2 \Omega _ { 2 } } \left( \frac { \Omega _ { 1 } + \mu _ { 1 } } { \nu _ { 1 } } + \frac { \Omega _ { 2 } - \mu _ { 2 } } { \nu _ { 2 } } \right) , } \\ & { } & { S _ { p h } = \frac { \chi _ { h 1 } - \chi _ { h 2 } } { \chi _ { p 2 } - \chi _ { h 2 } } = \frac { \nu _ { 2 } } { 2 \Omega _ { 2 } } \left( - \frac { \Omega _ { 1 } + \mu _ { 1 } } { \nu _ { 1 } } + \frac { \Omega _ { 2 } + \mu _ { 2 } } { \nu _ { 2 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int j ( k _ { \pm 1 } ) } & { \le \frac { 4 } { \kappa \xi \eta } j ( k _ { \pm 1 } , - d ) + \frac { 2 d } { \beta \eta ^ { 2 } } ( \vert u _ { 2 } \vert _ { L _ { s } ^ { \infty } } + \vert u _ { 3 } \vert _ { L _ { s } ^ { \infty } } ) } \\ & { \le 7 \pi L \frac { 3 d } { \beta \eta ^ { 2 } } ( c \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } M } \end{array}
\begin{array} { l } { \displaystyle \Psi _ { 1 } \left( \left. \begin{array} { l } { 1 , \beta } \\ { 2 , 1 } \end{array} \right| t , - s \right) \, = \, \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \, \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } \, \frac { ( 1 ) _ { k + \ell } \, ( \beta ) _ { k } } { ( 2 ) _ { k } ( 1 ) _ { \ell } } \, \frac { t ^ { k } } { k ! } \, \frac { ( - s ) ^ { l } } { \ell ! } \, = \, } \\ { \, = \, \displaystyle \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \, \frac { ( 1 ) _ { k } \, ( \beta ) _ { k } } { ( 2 ) _ { k } } \, \frac { t ^ { k } } { k ! } \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } \, \frac { ( 1 + k ) _ { \ell } } { ( 1 ) _ { \ell } } \, \, \frac { ( - s ) ^ { l } } { \ell ! } \, = \, } \\ { \, = \, \displaystyle \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \, \frac { ( 1 ) _ { k } \, ( \beta ) _ { k } } { ( 2 ) _ { k } } \, \frac { t ^ { k } } { k ! } _ { 1 } F _ { 1 } ( 1 + k ; 1 ; - s ) \, = \, } \\ { \, = \, \displaystyle \exp ( - s ) \, \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \, \frac { ( \beta ) _ { k } } { ( 2 ) _ { k } } \, t ^ { k } L _ { k } ( s ) \, . } \end{array}
\underbrace { f ( Y _ { k i } \mid \boldsymbol { X } _ { k i } , \boldsymbol { \beta } , \sigma _ { \epsilon } , \sigma _ { c } ) } _ { \mathrm { f r e e ~ o f ~ } \gamma _ { k } \mathrm { ; ~ m a x i m i z e d ~ t o ~ f i n d ~ } \widehat { \boldsymbol { \beta } } } = \underbrace { \int f ( Y _ { k i } \mid \boldsymbol { X } _ { k i } , \gamma _ { k } , \boldsymbol { \beta } , \sigma _ { \epsilon } , \sigma _ { c } ) f ( \gamma _ { k } ) ~ ~ \mathrm { d } \gamma _ { k } } _ { \mathrm { a p p r o x . ~ u s i n g ~ G a u s s - H e r m i t e ~ q u a d r a t u r e } }
\begin{array} { r l } { \frac { G _ { n } } { 1 + A } } & { \leq m _ { n } + n ^ { 3 } \bar { F } ( a ( n ) ) \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { x } ^ { \infty } f _ { n } ( x , y , b ( n ) ) d F ( y ) d F ( x ) } \\ & { + n ^ { 3 } \frac { c } { n } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { x } ^ { \infty } f _ { n } ( x , y , \varepsilon c ( n ) ) d F ( y ) d F ( x ) } \\ & { + n ^ { 3 } ( \bar { F } ( a ( n ) ) ) ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } f _ { n } ( x , b ( n ) , b ( n ) ) d F ( x ) } \\ & { + n ^ { 3 } ( c / n ) ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } f _ { n } ( x , \varepsilon c _ { a } ( n ) , \varepsilon c _ { a } ( n ) ) d F ( x ) } \\ & { + n ^ { 3 } \bar { F } ( a ( n ) ) \frac { c } { n } \int _ { 0 } ^ { \infty } f _ { n } ( x , b ( n ) , \varepsilon c _ { a } ( n ) ) d F ( x ) } \\ & { + n ^ { 3 } ( \bar { F } ( a ( n ) ) ) ^ { 3 } f _ { n } ( b ( n ) , b ( n ) , b ( n ) ) + n ^ { 3 } ( \bar { F } ( a ( n ) ) ) ^ { 2 } ( c / n ) f _ { n } ( \varepsilon c ( n ) , b ( n ) , b ( n ) ) } \\ & { + n ^ { 3 } ( \bar { F } ( a ( n ) ) ) ( c / n ) ^ { 2 } f _ { n } ( \varepsilon c ( n ) , \varepsilon c ( n ) , b ( n ) ) + n ^ { 3 } ( c / n ) ^ { 3 } f _ { n } ( \varepsilon c ( n ) , \varepsilon c ( n ) , \varepsilon c ( n ) ) . } \end{array}
\alpha ( n ) = \underset { t \in \mathbb { Z } } { \operatorname* { s u p } } \, \alpha ( \mathcal { F } _ { t } , \mathcal { G } _ { t + n } ) , \quad \beta ( n ) = \underset { t \in \mathbb { Z } } { \operatorname* { s u p } } \, \beta ( \mathcal { F } _ { t } , \mathcal { G } _ { t + n } ) , \quad \varphi ( n ) = \varphi ( \mathcal { F } _ { t } , \mathcal { G } _ { t + n } )
\begin{array} { r l r } { \frac { d S } { d t } = k _ { B } \int ( 1 + \ln f ) } & { } & { \left\{ \sum _ { i } \frac { \partial } { \partial p _ { i } } \left[ F _ { i } ( \vec { p } , t ) \, f \right] - \right. } \\ & { } & { \left. \! \! \! \! \! m ^ { 2 } \sum _ { i , j } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial p _ { i } \partial p _ { j } } \left[ D _ { i j } ( \vec { p } , t ) \, f \right] \right\} \, d \tau \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \lambda _ { \gamma } , S u _ { \gamma } - S u _ { * } \rangle _ { \mathcal { Y } ^ { * } , \mathcal { Y } } } & { \ge \gamma \langle 0 . 5 ( S u _ { \gamma } - y _ { \operatorname* { m a x } } ) _ { + } , ( S u _ { \gamma } - y _ { \operatorname* { m a x } } ) _ { + } \rangle _ { \mathcal { Y } ^ { * } , \mathcal { Y } } } \\ & { \quad + \gamma \langle 0 . 5 ( S u _ { \gamma } - y _ { \operatorname* { m a x } } ) _ { - } , g _ { \varepsilon } ( S u _ { \gamma } - y _ { \operatorname* { m a x } } ) \rangle _ { \mathcal { Y } ^ { * } , \mathcal { Y } } } \\ & { \ge \gamma \left[ 0 . 5 \| ( S u _ { \gamma } - y _ { \operatorname* { m a x } } ) _ { + } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega , D ) } ^ { 2 } - 0 . 5 \eta _ { i n t } ( \varepsilon ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| x \left( \frac { j T } { k } \right) - \hat { x } \left( \frac { j T } { k } \right) \right\| } & { = \left\| \int _ { 0 } ^ { \frac { j T } { k } } { x } ^ { \prime } ( s ) d s - \int _ { 0 } ^ { \frac { j T } { k } } \hat { x } ^ { \prime } ( s ) d s \right\| } \\ & { \leq \frac { \varepsilon } { 2 e ^ { C T } } + C \int _ { 0 } ^ { \frac { j T } { k } } \left\| x ( s ) - \hat { x } ( s ) \right\| d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f ( x , v _ { x } , v _ { y } , v _ { z } ) = e x p \left( - \frac { v ^ { 2 } } { 2 } - \Phi \right) g ( p _ { y } , p _ { z } ) } \\ & { = \frac { \sqrt { 2 } } { \pi ^ { 3 / 2 } ( \kappa + 1 ) } e ^ { - v ^ { 2 } / 2 } \frac { V _ { 0 } ^ { \kappa + 1 } } { \left( V _ { 0 } + \frac { \omega _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } Q _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { \omega _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } Q _ { 2 } ^ { 2 } \right) ^ { k } } \times } \\ & { \times \sum _ { \mu } \sum _ { \nu = 0 } ^ { \mu } \left( \begin{array} { l } { \kappa + 1 } \\ { \mu } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \mu } \\ { \nu } \end{array} \right) \frac { \omega _ { 1 } ^ { 2 ( \mu - \nu ) } \omega _ { 2 } ^ { 2 \nu } } { ( 2 V _ { 0 } ) ^ { \mu } } H _ { 2 ( \mu - \nu ) } \left( \frac { p _ { y } } { \sqrt { 2 } } \right) H _ { 2 \nu } \left( \frac { p _ { z } } { \sqrt { 2 } } \right) \, . } \end{array}
\small \begin{array} { r l } { \chi ( { \mathbf { C } } , { \mathbf { C } } ) } & { = \frac { \zeta ( { \mathbf { C } } , { \mathbf { C } } ) } { \Delta ^ { 2 } } + \frac { 2 \zeta ( { \mathbf { C } } ) \gamma ( { \mathbf { C } } ) \widetilde { \gamma } } { \Delta ^ { 3 } } + \frac { 2 \eta ( { \mathbf { C } } ) ^ { 2 } \widetilde { \gamma } } { \Delta ^ { 3 } } + \frac { [ 4 \widetilde { \gamma } ^ { 2 } \gamma ( { \mathbf { C } } ) \eta - 3 \widetilde { \eta } \gamma \gamma ( { \mathbf { C } } ) - \widetilde { \eta } \widetilde { \gamma } \gamma ^ { 2 } \gamma ( { \mathbf { C } } ) ] \eta ( { \mathbf { C } } ) } { \Delta ^ { 4 } } } \\ & { + \frac { \gamma ( { \mathbf { C } } ) ^ { 2 } ( \zeta \widetilde { \gamma } ^ { 2 } + \widetilde { \zeta } \gamma ^ { 2 } - \eta \widetilde { \eta } ) } { \Delta ^ { 4 } } + \frac { \gamma ( { \mathbf { C } } ) ^ { 2 } ( 2 \eta ^ { 2 } \widetilde { \gamma } ^ { 3 } + 2 \widetilde { \eta } ^ { 2 } \gamma ^ { 3 } - 3 \eta \widetilde { \eta } \gamma \widetilde { \gamma } - \eta \widetilde { \eta } \gamma ^ { 2 } \widetilde { \gamma } ^ { 2 } ) } { \Delta ^ { 5 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { n \leq 2 b + k \sum _ { i = 1 } ^ { 2 a } ( 2 a + 1 - i ) { \binom { k - 1 } { i } } } & { = 2 ( t - 1 ) + k \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } ( 3 - i ) { \binom { k - 1 } { i } } } \\ & { = 2 ( t - 1 ) + 2 k { \binom { k - 1 } { 1 } } + k { \binom { k - 1 } { 2 } } } \\ & { = 2 ( t - 1 ) + \frac { k ^ { 3 } + k ^ { 2 } - 2 k } { 2 } . } \end{array}
f _ { Q _ { i j } | S _ { i j } = s } ( q ) = \frac { f _ { S _ { i j } | Q _ { i j } = q } ( s ) \cdot f _ { Q _ { i j } } ( q ) } { f _ { S _ { i j } } ( s ) } = \frac { f _ { S _ { i j } | Q _ { i j } = q } ( s ) \cdot f _ { Q _ { i j } } ( q ) } { \int _ { \mathbb R } f _ { S _ { i j } | Q _ { i j } = q } ( s ) \cdot f _ { Q _ { i j } } ( q ) \, d q } ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \partial D \varphi _ { t _ { 1 } t } ^ { v } ( \textbf { x } _ { 1 } ) } { \partial t } = D v ( t , \varphi _ { t _ { 1 } t } ^ { v } ( \textbf { x } _ { 1 } ) ) D \varphi _ { t _ { 1 } t } ^ { v } ( \textbf { x } _ { 1 } ) } \\ { D \varphi _ { t _ { 1 } t _ { 1 } } ^ { v } ( \textbf { x } _ { 1 } ) = I , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \sum _ { i = 1 } ^ { M } \operatorname* { P r } ( \theta = i ) \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \mathsf { E } [ U _ { i } ( T _ { n } ) \! - \! U _ { i } ( t _ { 0 } ^ { ( n ) } ) \mid \theta = i ] } & { \le \sum _ { i = 1 } ^ { M } \operatorname* { P r } ( \theta = i ) \left( \frac { p _ { f } } { 1 - p _ { f } } C _ { 2 } + C _ { 2 } - U _ { i } ( 0 ) \right) } & \\ & { = 2 ^ { - C _ { 2 } } \frac { 1 - 2 ^ { - N C _ { 2 } } } { 1 - 2 ^ { - C _ { 2 } } } C _ { 2 } + C _ { 2 } - \mathsf { E } [ U _ { i } ( 0 ) ] \, . } & \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { X } = \sin ^ { 2 } 2 \theta _ { 1 3 } \sin ^ { 2 } \theta _ { 2 3 } \frac { \sin ^ { 2 } \big [ ( 1 - \hat { A } ) \Delta \big ] } { ( 1 - \hat { A } ) ^ { 2 } } ; } \\ & { \mathbb { Y } = \alpha \sin 2 \theta _ { 1 2 } \sin 2 \theta _ { 1 3 } \sin 2 \theta _ { 2 3 } \frac { \sin \hat { A } \Delta } { \hat { A } } \frac { \sin \big [ ( 1 - \hat { A } ) \Delta \big ] } { 1 - \hat { A } } ; } \\ & { \hat { A } = \frac { 2 \sqrt { 2 } G _ { F } N _ { e } E } { \ensuremath { \Delta m _ { 3 1 } ^ { 2 } } } , \qquad \Delta = \frac { \ensuremath { \Delta m _ { 3 1 } ^ { 2 } } L } { 4 E } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { J _ { \lambda , 2 } } & { \le } & { \int _ { \Pi } | u _ { 1 } | ^ { \upsilon _ { 1 } } \frac { | 1 - \mathrm e ^ { \mathrm i [ \lambda x _ { 1 } ] u _ { 1 } } | ^ { 2 } } { | u _ { 1 } | ^ { 2 } } \mathrm d u _ { 1 } \times \int _ { \Pi } | L ( u _ { 1 } , u _ { 2 } ) - L ( u _ { 1 } , 0 ) | \frac { | 1 - \mathrm e ^ { \mathrm i [ \lambda ^ { \gamma } x _ { 2 } ] u _ { 2 } } | ^ { 2 } } { | u _ { 2 } | ^ { 2 } } \mathrm d u _ { 2 } } \\ & { \le } & { C \lambda ^ { 1 - \upsilon _ { 1 } + \gamma } \int _ { \mathbb { R } } | u _ { 1 } | ^ { \upsilon _ { 1 } } \frac { | 1 - \mathrm e ^ { \mathrm i u _ { 1 } x _ { 1 } } | ^ { 2 } } { | u _ { 1 } | ^ { 2 } } \mathrm d u _ { 1 } \times \int _ { \mathbb { R } } \big | L \big ( \frac { u _ { 1 } } { \lambda } , \frac { u _ { 2 } } { \lambda ^ { \gamma } } \big ) - L \big ( \frac { u _ { 1 } } { \lambda } , 0 \big ) \big | \frac { | 1 - \mathrm e ^ { \mathrm i u _ { 2 } x _ { 2 } } | ^ { 2 } } { | u _ { 2 } | ^ { 2 } } \mathrm d u _ { 2 } } \\ & { = } & { o ( \lambda ^ { 1 - \upsilon _ { 1 } + \gamma } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { L ( \boldsymbol { \mu } , \boldsymbol { \theta } ) } & { = P ( \boldsymbol { y } | \boldsymbol { \mu } , \boldsymbol { \theta } ) \times P ( \boldsymbol { u } | \boldsymbol { \theta } ) } \\ & { = P ( \boldsymbol { y } | \boldsymbol { \mu } , \boldsymbol { \theta } ) \times \prod _ { i = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma _ { u _ { i } } ^ { 2 } } } \ \exp \left[ - \frac { ( u _ { i } - \theta _ { i } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { u _ { i } } ^ { 2 } } \right] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { L } _ { n } ( b , T ) } & { = \exp \left( \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } - \frac { \left( q ^ { k } - 1 \right) ^ { n } \cdot T ^ { k } } { q ^ { k } \cdot k } \right) \mathrm { L } ^ { * } \left( f , T / q \right) } \\ & { = \prod _ { i = 0 } ^ { n } \exp \left( ( - 1 ) ^ { n - i + 1 } \binom { n } { i } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { \left( q ^ { i - 1 } T \right) ^ { k } } { k } \right) \mathrm { L } ^ { * } \left( f , T / q \right) } \\ & { = \mathrm { L } ^ { * } \left( f , T / q \right) \prod _ { i = 0 } ^ { n } \left( \frac { 1 } { 1 - q ^ { i - 1 } T } \right) ^ { ( - 1 ) ^ { n - i + 1 } \binom { n } { i } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { H } _ { 0 } } & { = \mathrm { P r } \Big [ \alpha _ { t + 1 } ^ { \mathrm { s } } = 1 , \alpha _ { t + 1 } ^ { \mathrm { t x } } = 1 , h _ { t + 1 } = 0 \Big ] = \mathrm { P r } \Big [ \alpha _ { t + 1 } ^ { \mathrm { s } } = 1 , \alpha _ { t + 1 } ^ { \mathrm { t x } } = 1 \Big ] \mathrm { P r } \Big [ h _ { t + 1 } = 0 \Big ] } \\ { { H } _ { 1 } } & { = \mathrm { P r } \Big [ \alpha _ { t + 1 } ^ { \mathrm { s } } = 1 , \alpha _ { t + 1 } ^ { \mathrm { t x } } = 1 , h _ { t + 1 } = 1 \Big ] = \mathrm { P r } \Big [ \alpha _ { t + 1 } ^ { \mathrm { s } } = 1 , \alpha _ { t + 1 } ^ { \mathrm { t x } } = 1 \Big ] \mathrm { P r } \Big [ h _ { t + 1 } = 1 \Big ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { 1 } } & { \leq C _ { 1 } ^ { ( r ) } \sum _ { a = 1 } ^ { r } \eta _ { a } ^ { 2 } \left\{ \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left( \frac { 1 } { m } \sum _ { v = 1 } ^ { m } { \mathsf K } _ { a } ( X _ { i } , X _ { v } ) - \mathbb { E } _ { X ^ { \prime } \sim P } [ { \mathsf K } _ { a } ( X _ { i } , X ^ { \prime } ) ] \right) ^ { 2 } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beta _ { 2 } < \alpha _ { 1 } < \alpha _ { 2 } < \beta _ { 3 } < \beta _ { 4 } } & { } \\ { \beta _ { 2 } < \beta _ { 4 } < \alpha _ { 1 } < \alpha _ { 2 } < \beta _ { 3 } } & { } \\ { \beta _ { 4 } < \beta _ { 2 } < \alpha _ { 1 } < \alpha _ { 2 } < \beta _ { 3 } } & { \mathrm { ~ a n d ~ } \alpha _ { 2 } + \beta _ { 2 } > \beta _ { 4 } + \beta _ { 3 } } \\ { \beta _ { 3 } < \beta _ { 2 } < \alpha _ { 1 } < \alpha _ { 2 } < \beta _ { 4 } } & { \mathrm { ~ a n d ~ } \alpha _ { 2 } + \beta _ { 2 } < \beta _ { 4 } + \beta _ { 3 } } \\ { \beta _ { 3 } < \beta _ { 2 } < \beta _ { 4 } < \alpha _ { 1 } < \alpha _ { 2 } } & { } \\ { \beta _ { 4 } < \beta _ { 3 } < \beta _ { 2 } < \alpha _ { 1 } < \alpha _ { 2 } } & { } \\ { \beta _ { 4 } < \beta _ { 3 } < \alpha _ { 2 } < \alpha _ { 1 } < \beta _ { 2 } } & { } \\ { \beta _ { 3 } < \alpha _ { 2 } < \alpha _ { 1 } < \beta _ { 4 } < \beta _ { 2 } } & { } \\ { \beta _ { 3 } < \alpha _ { 2 } < \alpha _ { 1 } < \beta _ { 2 } < \beta _ { 4 } } & { \mathrm { ~ a n d ~ } \alpha _ { 2 } + \beta _ { 2 } < \beta _ { 4 } + \beta _ { 3 } } \\ { \beta _ { 4 } < \alpha _ { 2 } < \alpha _ { 1 } < \beta _ { 2 } < \beta _ { 3 } } & { \mathrm { ~ a n d ~ } \alpha _ { 2 } + \beta _ { 2 } > \beta _ { 4 } + \beta _ { 3 } } \\ { \alpha _ { 2 } < \alpha _ { 1 } < \beta _ { 4 } < \beta _ { 2 } < \beta _ { 3 } } & { } \\ { \alpha _ { 2 } < \alpha _ { 1 } < \beta _ { 2 } < \beta _ { 3 } < \beta _ { 4 } } & { . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \rho \to \infty } \bar { P } _ { r } = } & { \frac { 1 } { 2 4 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \exp \left( - \frac { \rho \bar { \eta } } { 4 } \gamma \right) d \gamma + \frac { 1 } { 8 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \exp \left( - \frac { \rho \bar { \eta } } { 3 } \gamma \right) d \gamma } \\ { = } & { \frac { 1 3 } { 2 4 \rho \bar { \eta } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac 1 2 \partial _ { t } E } & { \le \left( \prod _ { l } M ( l , t ) \right) ^ { 2 } \sum _ { k } \lambda _ { k } \left( a ( k + 1 ) \hat { w } ( k + 1 , t ) + a ( k - 1 ) \hat { w } ( k - 1 , t ) \right) \hat { w } ( k ) } \\ & { \le ( \prod _ { l } M ( l , t ) ) ^ { 2 } \sum _ { k } ( \lambda _ { k } a ( k ) + \frac { a ( k - 1 ) \lambda _ { k - 1 } + a ( k + 1 ) \lambda _ { k + 1 } } 2 ) \hat { w } ^ { 2 } ( k , t ) } \\ & { = ( 1 + \hat { \lambda } ) c \xi E . } \end{array}
\prod _ { \substack { \operatorname* { g c d } ( a , b , c ) = 1 \, a , b \geq 0 , c > 0 } } \left( 1 + x ^ { a } y ^ { b } z ^ { c } \right) ^ { \frac { 1 } { c } } = \frac { ( 1 - z ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { ( 1 - x ^ { 2 } ) ( 1 - y ^ { 2 } ) } } } { ( 1 - z ) ^ { \frac { 1 } { ( 1 - x ) ( 1 - y ) } } } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { \Gamma ( n + \frac { 1 } { ( 1 - x ) ( 1 - y ) } ) \; \textbf { F ( n ) } z ^ { n } } { \Gamma ( \frac { 1 } { ( 1 - x ) ( 1 - y ) } ) n ! } ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } | \mathcal { K } _ { n } ( \eta _ { i } ) | ^ { p } } & { = \frac { 1 } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { n } w _ { i } ) ^ { p } } \mathbb { E } \Big | \sum _ { i = 1 } ^ { n } w _ { i } \eta _ { i } \Big | ^ { p } \le \frac { C _ { p } } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { n } w _ { i } ) ^ { p } } \mathbb { E } \Big | \sum _ { i = 1 } ^ { n } w _ { i } ^ { 2 } | \eta _ { i } | ^ { 2 } \Big | ^ { \frac { p } { 2 } } } \\ & { \le C _ { p } \frac { ( \sum _ { i = 1 } ^ { n } w _ { i } ^ { 2 } ) ^ { \frac { p } { 2 } } } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { n } w _ { i } ) ^ { p } } \mathbb { E } \Big | \Bigl ( \sum _ { i = 1 } ^ { n } w _ { i } ^ { 2 } \Bigr ) ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } w _ { i } ^ { 2 } | \eta _ { i } | ^ { 2 } \Big | ^ { \frac { p } { 2 } } } \\ & { \le C _ { p } \frac { ( \sum _ { i = 1 } ^ { n } w _ { i } ^ { 2 } ) ^ { \frac { p } { 2 } } } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { n } w _ { i } ) ^ { p } } \mathbb { E } \Big [ \Bigl ( \sum _ { i = 1 } ^ { n } w _ { i } ^ { 2 } \Bigr ) ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } w _ { i } ^ { 2 } | \eta _ { i } | ^ { p } \Big ] } \\ & { = C _ { p } \theta _ { n } ^ { \frac { p } { 2 } } \mathbb { E } | \eta _ { 1 } | ^ { p } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { [ t _ { i } , t _ { i + 1 } ] , \quad i = 0 , \ldots , k - 1 } \\ & { [ a , b ] = [ t _ { 0 } , t _ { 1 } ) \cup [ t _ { 1 } , t _ { 2 } ) \cup \cdots \cup [ t _ { k - 2 } , t _ { k - 1 } ) \cup [ t _ { k - 1 } , t _ { k } ) \cup [ t _ { k } ] } \\ & { a = t _ { 0 } \leq t _ { 1 } \leq \cdots \leq t _ { k - 1 } \leq t _ { k } = b } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \xi _ { 1 } } & { = U _ { t , 1 } + \sqrt { 2 R T _ { t } } c o s ( 2 \pi r a n d ) \sqrt { - l n ( r a n d ) } , } \\ { \xi _ { 2 } } & { = U _ { t , 2 } + \sqrt { 2 R T _ { t } } c o s ( 2 \pi r a n d ) \sqrt { - l n ( r a n d ) } , } \\ { \xi _ { 3 } } & { = U _ { t , 3 } + \sqrt { 2 R T _ { t } } c o s ( 2 \pi r a n d ) \sqrt { - l n ( r a n d ) } , } \\ { \xi _ { j } } & { = \sqrt { 2 R T _ { t } } c o s ( 2 \pi r a n d ) \sqrt { - l n ( r a n d ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \Theta _ { \mathrm { t m p } } ) _ { i } } & { \leftarrow ( { { \Theta } } _ { \mathrm { t m p } } ) _ { i } + z _ { t } ^ { \top } } \\ { ( { { \Theta } } _ { \mathrm { t m p } } ) _ { \mathcal { B } _ { t } ^ { * } } } & { \leftarrow ( { { \Theta } } _ { \mathrm { t m p } } ) _ { \mathcal { B } _ { t } ^ { * } } - A _ { \mathcal { B } _ { t } ^ { * } } ^ { - 1 } A _ { t } z _ { t } } \end{array}
f ( ( ( a _ { 1 } , b _ { 1 } , c _ { 1 } ) , ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) ) + ( ( a _ { 2 } , b _ { 2 } , c _ { 2 } ) , ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) ) ) = f ( ( a _ { 1 } + a _ { 2 } , b _ { 1 } + b _ { 2 } , c _ { 1 } + c _ { 2 } ) , ( x _ { 1 } + x _ { 2 } , y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ) = ( c _ { 1 } + c _ { 2 } , b _ { 1 } + b _ { 2 } , a _ { 1 } + a _ { 2 } ) = ( c _ { 1 } , b _ { 1 } , a _ { 1 } ) + ( c _ { 2 } , b _ { 2 } , a _ { 2 } ) = f ( ( a _ { 1 } , b _ { 1 } , c _ { 1 } ) , ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) ) + f ( ( a _ { 2 } , b _ { 2 } , c _ { 2 } ) , ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) )
\begin{array} { r l } { \frac { r ^ { 2 } - 2 M r + \mathring { a } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } + \mathring { a } ^ { 2 } } \hat { \mathfrak { R } } _ { \mathring { a } , M , 0 } [ \upphi _ { 0 , \tau } ] } & { = \mathfrak { H } _ { 0 } \, , \qquad \mathrm { w i t h } \quad \mathfrak { H } _ { 0 } : = \frac { r ^ { 2 } - 2 M r + \mathring { a } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } + \mathring { a } ^ { 2 } } ( \mathfrak { R } _ { \mathring { a } , M , 0 } - \mathfrak { R } _ { 0 , \tau } ) [ \upphi _ { k , \tau } ] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho } & { = } & { \frac { 1 } { 6 r ^ { 8 } ( 3 r + { r _ { 0 } } ) ^ { 2 } } \left\lbrace e ^ { 2 \mu ( { r _ { 0 } } - r ) } \left( 2 4 \alpha r ^ { 2 } { r _ { 0 } } ( r + { r _ { 0 } } ) e ^ { \mu ( r - { r _ { 0 } } ) } \left( 6 ( \mu + 4 ) r ^ { 3 } + r ^ { 2 } ( 5 ( \mu + 4 ) { r _ { 0 } } - 1 8 ) \right. \right. \right. } \\ & { + } & { \left. \left. \left. r { r _ { 0 } } ( ( \mu + 4 ) { r _ { 0 } } - 2 4 ) - 8 { r _ { 0 } } ^ { 2 } \right) - 4 \alpha { r _ { 0 } } ^ { 2 } \left( 2 r ^ { 2 } + 3 r { r _ { 0 } } + { r _ { 0 } } ^ { 2 } \right) \left( 1 2 ( \mu + 2 ) r ^ { 3 } \right. \right. \right. } \\ & { + } & { \left. \left. \left. 2 r ^ { 2 } ( 5 ( \mu + 2 ) { r _ { 0 } } - 9 ) + r { r _ { 0 } } ( 2 ( \mu + 2 ) { r _ { 0 } } - 2 1 ) - 7 { r _ { 0 } } ^ { 2 } \right) + 3 r ^ { 4 } e ^ { 2 \mu ( r - { r _ { 0 } } ) } \left( 9 \beta r ^ { 6 } \right. \right. \right. } \\ & { + } & { \left. \left. \left. 6 \beta r ^ { 5 } { r _ { 0 } } + \beta r ^ { 4 } { r _ { 0 } } ^ { 2 } - 1 4 4 \alpha r ^ { 3 } - 1 2 \alpha r ^ { 2 } ( 1 6 { r _ { 0 } } - 9 ) - 2 4 \alpha r { r _ { 0 } } ( 2 { r _ { 0 } } - 9 ) + 1 0 8 \alpha { r _ { 0 } } ^ { 2 } \right) \right) \right\rbrace } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \omega ^ { * } } { \partial t ^ { * } } } & { = - \frac { \partial \psi ^ { * } } { \partial y ^ { * } } \frac { \partial \omega ^ { * } } { \partial x ^ { * } } + \frac { \partial \psi ^ { * } } { \partial x ^ { * } } \frac { \partial \omega ^ { * } } { \partial y ^ { * } } + \frac { 1 } { \mathrm { R e } } \Delta ^ { * } \omega ^ { * } , } \\ { \omega ^ { * } } & { = - \Delta ^ { * } \psi ^ { * } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Q _ { j \ell } } & { = } & { n ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } R _ { i } ^ { - 1 } W _ { i , j } W _ { i , \ell } = n ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \nu _ { i } ^ { - 1 } ( \Gamma _ { j } U _ { i } ) ( \Gamma _ { \ell } U _ { i } ) \| \Gamma U _ { i } \| ^ { - 3 } } \\ & { = } & { n ^ { - 1 } p ^ { - 3 / 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \nu _ { i } ^ { - 1 } ( \Gamma _ { j } U _ { i } ) ( \Gamma _ { \ell } U _ { i } ) } \\ & { } & { + n ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \nu _ { i } ^ { - 1 } ( \Gamma _ { j } U _ { i } ) ( \Gamma _ { \ell } U _ { i } ) \left( \| \Gamma U _ { i } \| ^ { - 3 } - p ^ { - 2 / 3 } \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f [ U \to V ] = } & { \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } f [ U ^ { \varepsilon } \to V ^ { \varepsilon } ] - \log ( c _ { 0 } \varepsilon ^ { N } ) , } \\ { ( \mathcal { W } f ) [ U \to V ] = } & { \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } ( \mathcal { W } f ) [ U ^ { \varepsilon } \to V ^ { \varepsilon } ] - \log ( c _ { 0 } \varepsilon ^ { N } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { h \in S } \quad } & { - \log { \pi ( \hat { y } | P _ { t } , h ) } = \frac { 1 } { 2 } \hat { y } ^ { T } \left( \bar { K } ( h ) + E \right) ^ { - 1 } \hat { y } + \frac { 1 } { 2 } \log \left( \operatorname* { d e t } { \left( \bar { K } ( h ) + E \right) } \right) + \frac { n } { 2 } \log \left( 2 \pi \right) } \\ { \textrm { s . t } \quad } & { \sigma \in \left[ \sigma _ { l b } , \sigma _ { u b } \right] , l _ { 1 } \in \left[ l _ { 1 , l b } , l _ { 1 , u b } \right] , \dots , l _ { d } \in \left[ l _ { d , l b } , l _ { d , u b } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { w ( x ) } & { = f ( y ) + f ( x y ) + \sum _ { i = 1 } ^ { m } ( f ( x _ { i } ) + f ( x x _ { i } ) ) } \\ & { = ( m + 2 n + 3 ) + ( m + n + 1 ) + \sum _ { i = 1 } ^ { m } ( m + n + 1 + 2 i ) } \\ & { = 2 m ^ { 2 } + m n + 4 m + 3 n + 4 . } \\ { w ( y ) } & { = f ( x ) + f ( x y ) + \sum _ { i = 1 } ^ { n } f ( y _ { i } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { n } f ( y y _ { i } ) } \\ & { = ( 2 m + 2 n + 3 ) + ( m + n + 1 ) + \frac { 3 n ^ { 2 } + 4 m n + 2 m + 3 n - 2 } { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( m + i ) } \\ & { = 2 n ^ { 2 } + 3 m n + 4 m + 5 n + 3 . } \end{array}
F ( x ; k , \lambda ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { \nu } } \, F ( x ; 1 , \lambda \nu ) \left( \Gamma \left( { \frac { 1 } { k } } + 1 \right) { \mathfrak { N } } _ { k } ( \nu ) \right) \, d \nu , } & { 1 \geq k > 0 ; { \mathrm { o r ~ } } } \\ { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { s } } \, F ( x ; 2 , { \sqrt { 2 } } \lambda s ) \left( { \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } } \, \Gamma \left( { \frac { 1 } { k } } + 1 \right) V _ { k } ( s ) \right) \, d s , } & { 2 \geq k > 0 ; } \end{array} \right. }
\operatorname* { m a x } _ { a _ { t } , \eta _ { t + 1 } } \hat { A } ^ { \pi _ { 2 } } ( s _ { t } , \eta _ { t } , a _ { t } , \eta _ { t + 1 } ) \le \frac { 2 \kappa } { \gamma \pi _ { 1 } ^ { L B } | \mathcal { S } | | \mathcal { H } | \mu ^ { P } ( s _ { t } , \eta _ { t } ) } , \ \forall s _ { t } \in \mathcal { S } , \ \eta _ { t } \in \mathcal { H }
\kappa \left( \mathrm { H e s s } \, f _ { \mu , W } ( X ^ { * } ) \right) = \frac { \operatorname* { m a x } \left\{ \lambda _ { n } - \lambda _ { 1 } , \operatorname* { m a x } _ { i < j } \lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( M _ { i j } ) \right\} } { \operatorname* { m i n } \left\{ \lambda _ { p + 1 } - \lambda _ { p } , \operatorname* { m i n } _ { i < j } \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( M _ { i j } ) \right\} } .
\begin{array} { r } { \big \| \boldsymbol F \boldsymbol D \big \| _ { \mathrm F } ^ { 2 } = \mathrm { t r } ( \boldsymbol D ^ { * } \boldsymbol F ^ { * } \boldsymbol F \boldsymbol D ) = | \mathcal I _ { \boldsymbol M _ { \boldsymbol \sigma } } | \cdot \mathrm { t r } ( \boldsymbol D ^ { * } \boldsymbol D ) = | \mathcal I _ { \boldsymbol M _ { \boldsymbol \sigma } } | \cdot \big \| \boldsymbol D \big \| _ { \mathrm F } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \frac { \partial \psi _ { s } } { \partial \xi } } & { + \frac { \delta } { 2 } \left( \frac { \partial ^ { 2 } \psi _ { s } } { \partial r ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r } \frac { \partial \psi _ { s } } { \partial r } \right) - \frac { 1 } { 2 \delta } r ^ { 2 } \psi _ { s } + \gamma | \psi _ { s } | ^ { 2 } \psi _ { s } = } \\ & { - 2 \Gamma | \psi _ { p } | ^ { 2 } \psi _ { s } + i \frac { G _ { R } } { 2 } | \psi _ { p } | ^ { 2 } \psi _ { s } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \langle v _ { k } , y _ { \lambda _ { k + 1 } } ^ { * } ( x _ { k + 1 } ) - y _ { \lambda _ { k } } ^ { * } ( x _ { k } ) \rangle | \mathcal { F } _ { k } ] } & { \le ( \delta _ { k } / \lambda _ { k } + \xi \alpha _ { k } \eta _ { k } + M \xi ^ { 2 } l _ { \lambda _ { k } , 1 } ^ { 2 } \beta _ { k } ^ { 2 } ) \mathbb { E } [ \| v _ { k } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] } \\ & { + \left( \frac { \xi \alpha _ { k } l _ { * , 0 } ^ { 2 } } { 4 \eta _ { k } } + \frac { \xi ^ { 2 } \alpha _ { k } ^ { 2 } } { 4 } \right) \mathbb { E } [ \| q _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] + \frac { \xi ^ { 2 } } { 4 } ( \alpha _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { f } ^ { 2 } + \beta _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { g } ^ { 2 } ) + \frac { \delta _ { k } l _ { f , 0 } ^ { 2 } } { \lambda _ { k } ^ { 3 } \mu _ { g } ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { 2 U } { c ^ { 2 } } } & { = } & { r _ { g } \Big \{ \frac { 1 } { r } + \sum _ { \ell = 2 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { \ell } } { \ell ! } { \cal T } ^ { < a _ { 1 } . . . a _ { \ell } > } \frac { \partial ^ { \ell } } { \partial x ^ { < a _ { 1 } . . . } \partial x ^ { a _ { \ell } > } } \Big ( \frac { 1 } { r } \Big ) \Big \} , } \end{array}
\mathrm { I } : = \mathrm { I } _ { 0 } \cup \Big ( \bigcup _ { i \in \mathcal { O } _ { \epsilon } ^ { ( a ) } } \mathrm { I } _ { i } ^ { ( a ) } \Big ) \cup \Big ( \bigcup _ { \mu \in \mathcal { O } _ { \epsilon } ^ { ( b ) } } \mathrm { I } _ { \mu } ^ { ( b ) } \Big ) , \quad \mathrm { I } _ { 0 } : = \left[ 0 , E _ { + } + N ^ { - 2 / 3 + 3 \epsilon } \right] .
\frac { a _ { 2 } } { a _ { 1 } } \leqslant \frac { b _ { 2 } } { b _ { 1 } } \frac { \cos \frac { \left( 1 - 3 \alpha - \gamma + 2 \mu \right) \pi } { 4 } } { \cos \frac { \left( 1 + \alpha - \gamma - 2 \mu \right) \pi } { 4 } } \frac { \sin \frac { \left( 1 - 3 \alpha - \gamma + 2 \mu \right) \pi } { 4 } } { \sin \frac { \left( 1 + \alpha - \gamma - 2 \mu \right) \pi } { 4 } } \quad \mathrm { a n d } \quad \frac { a _ { 3 } } { a _ { 2 } } \leqslant \frac { b _ { 3 } } { b _ { 2 } } \frac { \sin \frac { \left( 1 + 3 \alpha + \gamma - 2 \mu \right) \pi } { 4 } } { \sin \frac { \left( 1 - \alpha + \gamma + 2 \mu \right) \pi } { 4 } } \frac { \cos \frac { \left( 1 + 3 \alpha + \gamma - 2 \mu \right) \pi } { 4 } } { \cos \frac { \left( 1 - \alpha + \gamma + 2 \mu \right) \pi } { 4 } } ,
f _ { \mathrm { A p } } ( t _ { \mathrm { A p } } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { ( 1 - e ^ { - { t _ { \mathrm { A p } } } / { \tau _ { \mathrm { r e c } } } } ) \cdot e ^ { - { t _ { \mathrm { A p } } } / { \tau _ { \mathrm { A p } } } } } / { \mathit { N o r m } } } & { 0 < t _ { \mathrm { A p } } < t _ { \mathrm { g a t e } } } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \tilde { v } _ { 1 } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { d _ { 1 , 1 } ^ { - 1 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } r _ { 2 , a } ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k } ) z _ { 1 } ^ { - 2 i \nu _ { 3 } } z _ { 1 , ( 0 ) } ^ { i \nu _ { 1 } } z _ { 1 } ^ { i \nu _ { 1 } } e ^ { \frac { i z _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } } } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ & { \tilde { v } _ { 4 } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { - d _ { 1 , 1 } \lambda _ { 1 } ^ { - 2 } \big ( \frac { r _ { 1 } ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k } ) } { f ( k ) } \big ) _ { a } z _ { 1 } ^ { 2 i \nu _ { 3 } } z _ { 1 , ( 0 ) } ^ { - i \nu _ { 1 } } z _ { 1 } ^ { - i \nu _ { 1 } } e ^ { - \frac { i z _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } } } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ & { \tilde { v } _ { 6 } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { - d _ { 1 , 1 } ^ { - 1 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } \big ( \frac { r _ { 2 } ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k } ) } { f ( k ) } \big ) _ { a } z _ { 1 } ^ { - 2 i \nu _ { 3 } } z _ { 1 , ( 0 ) } ^ { i \nu _ { 1 } } z _ { 1 } ^ { i \nu _ { 1 } } e ^ { \frac { i z _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } } } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ & { \tilde { v } _ { 3 } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { d _ { 1 , 1 } \lambda _ { 1 } ^ { - 2 } r _ { 1 , a } ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k } ) z _ { 1 } ^ { 2 i \nu _ { 3 } } z _ { 1 , ( 0 ) } ^ { - i \nu _ { 1 } } z _ { 1 } ^ { - i \nu _ { 1 } } e ^ { - \frac { i z _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } } } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
\mathbb { E } _ { x } \left[ \sum _ { v \neq w \in \mathcal { N } _ { L ^ { 2 } } ^ { L } } \mathbb { P } _ { x _ { v } } \left( Z _ { t N - L ^ { 2 } } ^ { ( v ) } > 0 \right) \mathbb { P } _ { x _ { w } } \left( Z _ { t N - L ^ { 2 } } ^ { ( w ) } > 0 \right) \right] = 2 h ( 0 , x ) L ^ { 2 } Q _ { x } ^ { 2 , L ^ { 2 } } \left[ r ( \zeta _ { v } ) h ( { | v | } , \zeta _ { v } ) \prod _ { i = 1 , 2 } \frac { u ( t N - L ^ { 2 } , \zeta _ { v _ { i } } ) } { h ( L ^ { 2 } , { \zeta _ { v _ { i } } } ) } \right] ,
\begin{array} { r l } { { \rho } _ { \dagger } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n - } ) = } & { { \rho } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n - } ) , } \\ { { v } _ { \dagger } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n - } ) = } & { { v } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n - } ) - \int _ { - \infty } ^ { x } J \left( { u } ^ { \varDelta } ( y , t _ { n - } ) \right) d y + \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x } \eta _ { \ast } \left( { u } ^ { \varDelta } ( y , t _ { n - } ) \right) d y } \\ & { - \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x } a _ { j } ^ { n } { \rho } ^ { \varDelta } ( y , t _ { n - } ) d y + \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x } \frac { \left( \bar { \rho } \right) ^ { \gamma } } { \gamma } d y . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \rho _ { f } } } & { { = } } & { { \rho _ { e } \, \mathrm { , } } } \\ { { u _ { f } } } & { { = } } & { { u _ { e } \, \mathrm { , } } } \\ { { v _ { f } } } & { { = } } & { { v _ { e } \, \mathrm { , } } } \\ { { w _ { f } } } & { { = } } & { { w _ { e } \, \mathrm { , } } } \\ { { e _ { f } } } & { { = } } & { { e _ { e } \, \mathrm { , } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \mathbf { A b S o l } ( p ^ { d _ { 1 } } , p ^ { d _ { 2 } } , p ^ { d _ { 3 } } ) | } & { = p ^ { d _ { 2 } } \left( 1 + \sum _ { w = 0 } ^ { d _ { 1 } - d _ { 2 } - 1 } ( p ^ { w + 1 } - p ^ { w } ) + \sum _ { w = d _ { 1 } - d _ { 2 } } ^ { d _ { 3 } - 1 } \frac { p ^ { w + 1 } - p ^ { w } } { p ^ { - d _ { 1 } + d _ { 2 } + w + 1 } } \right) } \\ & { = p ^ { d _ { 2 } } \left( 1 + p ^ { d _ { 1 } - d _ { 2 } } - 1 + p ^ { d _ { 1 } - d _ { 2 } } \sum _ { w = d _ { 1 } - d _ { 2 } } ^ { d _ { 3 } - 1 } ( 1 - p ^ { - 1 } ) \right) } \\ & { = p ^ { d _ { 1 } } ( 1 + ( - d _ { 1 } + d _ { 2 } + d _ { 3 } ) ( 1 - p ^ { - 1 } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { \phi ^ { s } } & { = 1 - \phi , } & { \phi ^ { \alpha } } & { = \phi S ^ { \alpha } , } & { \phi ^ { f } } & { = \phi ^ { 1 } + \phi ^ { 2 } = \phi , } \\ { \rho ^ { s } } & { = ( 1 - \phi ) \rho _ { s } , } & { \rho ^ { \alpha } } & { = \phi S ^ { \alpha } \rho _ { \alpha } , } & { \rho ^ { f } } & { = \rho ^ { 1 } + \rho ^ { 2 } , } \\ { \boldsymbol { \sigma } ^ { s } } & { = ( 1 - \phi ) \boldsymbol { \sigma } _ { s } , } & { \boldsymbol { \sigma } ^ { \alpha } } & { = \phi S ^ { \alpha } \boldsymbol { \sigma } _ { \alpha } , } & { \boldsymbol { \sigma } ^ { f } } & { = \boldsymbol { \sigma } ^ { 1 } + \boldsymbol { \sigma } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| T _ { j } f \| _ { L ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { n } \setminus Q _ { 0 } ^ { * } ) } = \Big \| \int _ { Q } K _ { j } ( x , y ) \, f ( y ) \, \mathrm { d } y \Big \| _ { L _ { x } ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { n } \setminus Q _ { 0 } ^ { * } ) } } \\ & { \leq \Big \| g ( x , c _ { Q } ) ^ { N _ { 1 } } \int _ { Q } K _ { j } ( x , y ) \, f ( y ) \, \mathrm { d } y \Big \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { n } \setminus Q _ { 0 } ^ { * } ) } \, \Big \| \frac { 1 } { g ( x , c _ { Q } ) ^ { N _ { 1 } } } \Big \| _ { L ^ { p ^ { \prime } } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } \\ & { \lesssim \int _ { Q } \big \| g ( x , c _ { Q } ) ^ { N _ { 1 } } \, K _ { j } ( x , y ) \, f ( y ) \big \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { n } \setminus Q _ { 0 } ^ { * } ) } \, \mathrm { d } y } \\ & { \lesssim \int _ { Q } \vert f ( y ) \vert \, \big \| g ( x , y ) ^ { N _ { 1 } } \, K _ { j } ( x , y ) \big \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { n } \setminus Q _ { 0 } ^ { * } ) } \! \, \mathrm { d } y } \\ & { \lesssim 2 ^ { - k _ { Q } ( n - n / p ) } \, 2 ^ { j ( n / 2 + m ^ { \prime } ) } = 2 ^ { - k _ { Q } ( n - n / p ) } \, 2 ^ { j ( n - n / p ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ \| U \| ^ { 2 } \right] = \frac { 1 } { ( \mathsf { b } _ { t } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ \mathbb { E } \left[ \| U \| ^ { 2 } \vert \mathcal { B } _ { t , 0 } , \widehat { S } _ { t , 0 } \right] \right] } \\ & { = \frac { 1 } { \mathsf { b } _ { t } ^ { \prime } } \mathbb { E } \left[ \frac { 1 } { \mathsf { b } _ { t } ^ { \prime } } \sum _ { i \in \mathcal { B } _ { t , 0 } } \sigma _ { t , 0 , i } ^ { 2 } \right] } \end{array}
= { \frac { e ^ { 4 } } { ( k - k ^ { \prime } ) ^ { 4 } } } { \Big ( } ( { \bar { v } } _ { k } \gamma ^ { \mu } v _ { k ^ { \prime } } ) ^ { * } ( { \bar { u } } _ { p ^ { \prime } } \gamma _ { \mu } u _ { p } ) ^ { * } { \Big ) } { \Big ( } ( { \bar { v } } _ { k } \gamma ^ { \nu } v _ { k ^ { \prime } } ) ( { \bar { u } } _ { p ^ { \prime } } \gamma _ { \nu } u _ { p } ) { \Big ) }
\begin{array} { r l r } { 0 } & { = } & { \frac { P } { \beta } \left[ \beta ^ { 2 } - \beta ^ { 2 } ( \alpha - \beta ) + \frac { 1 } { 2 } \beta ( \alpha - \beta ) - ( \alpha - 2 \beta ) \delta ^ { f } \right. } \\ & { + } & { \left. \frac { 1 } { 2 } \beta ( \alpha - \beta ) + ( \alpha - 2 \beta ) \delta ^ { f } - \beta ^ { 3 } \right] - 2 \alpha ( \delta ^ { f } + \beta ^ { 2 } ) } \\ & { = } & { \frac { P } { \beta } \left[ \beta ^ { 2 } - \beta ^ { 2 } ( \alpha - \beta ) + \beta ( \alpha - \beta ) - \beta ^ { 3 } \right] - 2 \alpha ( \delta ^ { f } + \beta ^ { 2 } ) } \\ & { = } & { \frac { P } { \beta } \alpha \beta \left[ 1 - \beta \right] - 2 \alpha ( \delta ^ { f } + \beta ^ { 2 } ) . } \end{array}
\iota = \Theta \left( \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { \lambda _ { 1 } } { \lambda _ { 2 } } , \frac { \lambda _ { 1 } ^ { 3 } } { \lambda _ { 2 } ^ { 3 } } \right\} \frac { \lambda _ { 2 } ^ { 4 } \epsilon ^ { 2 } } { ( \operatorname* { m a x } \{ m , n \} ) ^ { 2 } ( L _ { 1 } + \lambda _ { 1 } ) ^ { 2 } \exp { ( 3 0 / \lambda _ { 2 } ) } } \right)
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { r l } & { Z _ { t } = \nabla _ { x } u ( t , X _ { t } ) \sigma ( t , X _ { t } , u ( t , X _ { t } ) ) , } \\ & { U _ { t } = u \left( t , X _ { t ^ { - } } + \beta ( t , X _ { t ^ { - } } , u ( t , X _ { t ^ { - } } ) , e ) \right) - u ( t , X _ { t ^ { - } } ) } \\ & { \Gamma _ { t } = B [ u ( t , X _ { t } ) ] , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int _ { \gamma } \lambda _ { h } ^ { i } ( \Pi _ { h } ^ { i } v _ { i } - v _ { i } ) d x } & { = } & { 0 \quad \forall \lambda _ { h } ^ { i } \in \Lambda _ { h } ^ { i } , } \\ { | | \Pi _ { h } ^ { i } v _ { i } | | _ { 1 , \Omega _ { i } } } & { \le } & { \kappa | | v _ { i } | | _ { 1 , \Omega _ { i } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } _ { \omega } M _ { k } } & { = \frac { r } { 1 - s } = \xi _ { k } \Pi _ { p _ { n } + 1 , k - 1 } , } \\ { \mathrm { V a r } _ { \omega } M _ { k } } & { = \frac { r ( 1 + s - r ) } { ( 1 - s ) ^ { 2 } } = \xi _ { k } \Pi _ { p _ { n } + 1 , k - 1 } \left( 2 R _ { p _ { n } + 1 , k - 1 } + \xi _ { k } \Pi _ { p _ { n } + 1 , k - 1 } - 1 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { C } } & { = \operatorname* { m a x } E \left\{ \log _ { 2 } \det \left( I + \frac { H ( t ) Q ( t ) H ( t ) } { I \cdot \sigma _ { z } ^ { 2 } } \right) \right\} } \\ & { = \operatorname* { m a x } \log _ { 2 } \det \left( I + \frac { E \{ H ( t ) Q ( t ) H ( t ) \} } { I \cdot \sigma _ { z } ^ { 2 } } \right) } \\ & { \mathrm { ~ s . t . ~ } E \{ \operatorname { t r } ( Q ( t ) ) \} \leqslant P } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { 2 } ( n ) } & { = \frac { \gamma } { 2 \beta } \left( C _ { 1 1 } ( \lambda ) / 2 + \gamma ^ { 2 } C _ { 2 2 } ( \lambda ) + \gamma C _ { 1 2 } ( \lambda ) \right) + \frac { 1 } { 4 } \mathbb { E } | \gamma e _ { n } + E _ { n } | ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } \langle \gamma \bar { x } _ { n } ^ { \lambda } + \bar { Y } _ { n } ^ { \lambda } - \lambda h _ { t a m , \gamma } ( \bar { x } _ { n } ^ { \lambda } ) , \gamma e _ { n } + E _ { n } \rangle } \\ & { \leq C _ { 1 } \lambda \gamma + \gamma ^ { 2 } \mathbb { E } | e _ { n } | ^ { 2 } + \mathbb { E } | E _ { n } | ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } \gamma ^ { 4 } \mathbb { E } | \gamma \bar { x } _ { n } ^ { \lambda } + \bar { Y } _ { n } ^ { \lambda } - \lambda h _ { t a m , \gamma } ( \bar { x } _ { n } ^ { \lambda } ) | ^ { 2 } } \\ & { + \frac { \gamma ^ { 2 } } { 2 \lambda ^ { 2 } \gamma ^ { 4 } } \mathbb { E } ( | e _ { n } | ^ { 2 } + | E _ { n } | ^ { 2 } ) } \\ & { \leq C _ { 1 } \lambda \gamma + C _ { 2 } \lambda ^ { 2 } \gamma ^ { 6 } \mathbb { E } | \bar { x } _ { n } ^ { \lambda } | ^ { 2 } + C _ { 3 } \lambda ^ { 2 } \gamma ^ { 4 } \mathbb { E } | \bar { Y } _ { n } ^ { \lambda } | ^ { 2 } + C _ { 4 } \lambda ^ { 2 } \mathbb { E } | h _ { t a m , \gamma } ( \bar { x } _ { n } ^ { \lambda } ) | ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { \omega } ( s _ { 1 } , P _ { 3 } ) } & { \ge d _ { \omega } ( s _ { 1 } , s _ { 2 } ) - d _ { \omega } ( s _ { 2 } , s _ { 3 } ) - \operatorname* { m a x } _ { v \in P _ { 3 } } \{ d _ { \omega } ( v , s _ { 3 } ) \} } \\ & { \ge 2 k - 4 \ell _ { 0 } - 2 7 - \frac 5 3 k + \frac 5 2 5 7 - \ell _ { 0 } \ge \frac { 2 } { 3 } k - 5 \ell _ { 0 } + 2 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { Q _ { s } ( u , y , \varphi ; v _ { 1 } , v _ { 2 } ) : = \frac { 1 } { 2 } \int _ { \Omega } \frac { \partial ^ { 2 } L } { \partial y ^ { 2 } } ( \cdot , y ) z _ { v _ { 1 } } z _ { v _ { 2 } } \, \mathrm { d } x + \frac { \nu } { 2 } \int _ { \Omega } v _ { 1 } v _ { 2 } \, \mathrm { d } x - \frac { 1 } { 2 } \int _ { \Omega } \mathbb { 1 } _ { \{ y \neq \bar { t } \} } a ^ { \prime \prime } ( y ) z _ { v _ { 1 } } z _ { v _ { 2 } } \nabla y \cdot \nabla \varphi \, \mathrm { d } x , } \\ & { Q _ { 1 } ( u , y , \varphi ; v _ { 1 } , v _ { 2 } ) : = - \frac { 1 } { 2 } \int _ { \Omega } [ a ^ { \prime } ( y ; z _ { v _ { 1 } } ) \nabla z _ { v _ { 2 } } + a ^ { \prime } ( y ; z _ { v _ { 2 } } ) \nabla z _ { v _ { 1 } } ] \cdot \nabla \varphi \, \mathrm { d } x } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathbb E } \left[ u ( \Sigma _ { \theta } ) \exp ( h ^ { T } \Sigma _ { \theta } ^ { 1 / 2 } \Delta ) \right] } & { = { \mathbb E } \left[ u ( \Sigma _ { \theta } ) { \mathbb E } \left[ \exp ( h ^ { T } \Sigma _ { \theta } ^ { 1 / 2 } \Delta ) \Big | \Sigma _ { \theta } \right] \right] } \\ & { = { \mathbb E } \left[ u ( \Sigma _ { \theta } ) \exp \left( \frac 1 2 h ^ { T } \Sigma _ { \theta } h \right) \right] , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { M _ { x x } } & { = - D \left( { \frac { \partial ^ { 2 } w } { \partial x ^ { 2 } } } + \nu \, { \frac { \partial ^ { 2 } w } { \partial y ^ { 2 } } } \right) } \\ & { = { \frac { 2 M _ { 0 } ( 1 - \nu ) } { \pi } } \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { ( 2 m - 1 ) \cosh \alpha _ { m } } } \, \times } \\ & { ~ \sin { \frac { ( 2 m - 1 ) \pi x } { a } } \, \times } \\ & { ~ \left[ - { \frac { ( 2 m - 1 ) \pi y } { a } } \sinh { \frac { ( 2 m - 1 ) \pi y } { a } } + \right. } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \left. \left\{ { \frac { 2 \nu } { 1 - \nu } } + \alpha _ { m } \operatorname { t a n h } \alpha _ { m } \right\} \cosh { \frac { ( 2 m - 1 ) \pi y } { a } } \right] } \\ { M _ { x y } } & { = ( 1 - \nu ) D { \frac { \partial ^ { 2 } w } { \partial x \partial y } } } \\ & { = - { \frac { 2 M _ { 0 } ( 1 - \nu ) } { \pi } } \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { ( 2 m - 1 ) \cosh \alpha _ { m } } } \, \times } \\ & { ~ \cos { \frac { ( 2 m - 1 ) \pi x } { a } } \, \times } \\ & { ~ \left[ { \frac { ( 2 m - 1 ) \pi y } { a } } \cosh { \frac { ( 2 m - 1 ) \pi y } { a } } + \right. } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \left. ( 1 - \alpha _ { m } \operatorname { t a n h } \alpha _ { m } ) \sinh { \frac { ( 2 m - 1 ) \pi y } { a } } \right] } \\ { Q _ { z x } } & { = { \frac { \partial M _ { x x } } { \partial x } } - { \frac { \partial M _ { x y } } { \partial y } } } \\ & { = { \frac { 4 M _ { 0 } } { a } } \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { \cosh \alpha _ { m } } } \, \times } \\ & { ~ \cos { \frac { ( 2 m - 1 ) \pi x } { a } } \cosh { \frac { ( 2 m - 1 ) \pi y } { a } } \, . } \end{array} }
\hat { V } _ { a _ { 1 } a _ { 2 } e \to a _ { 3 } \dots a _ { n } e } = \operatorname* { l i m } _ { p _ { j } ^ { 2 } \to m _ { a _ { j } } ^ { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \frac { i \hat { M } _ { a _ { j } e \to a _ { j } e } ^ { ( 0 ) } } { p _ { j } ^ { 2 } - m _ { a _ { j } } ^ { 2 } } \times M _ { a _ { 1 } a _ { 2 } \to a _ { 3 } \dots a _ { n } } ^ { ( 0 ) } .
\begin{array} { r l } { \alpha _ { 1 , 1 } } & { = 1 + \alpha _ { 1 } ^ { * } ( 1 ) } \\ & { = 1 + \frac { ( \alpha _ { 1 } + 1 ) \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - t ) \left( \psi \left( \frac { \alpha _ { 2 } t } { \alpha _ { 1 } + 1 } \right) - c _ { 0 , 1 } \right) \psi _ { 2 } \left( \frac { \alpha _ { 2 } t } { \alpha _ { 1 } + 1 } \right) f _ { Z } \left( \frac { \alpha _ { 2 } t } { \alpha _ { 1 } + 1 } \right) d t } { \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - t ) ^ { 2 } \psi _ { 2 } \left( \frac { \alpha _ { 2 } t } { \alpha _ { 1 } + 1 } \right) f _ { Z } \left( \frac { \alpha _ { 2 } t } { \alpha _ { 1 } + 1 } \right) d t } } \\ & { = \frac { \alpha _ { 1 } + 1 } { \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } + 1 } = \beta _ { 0 } , \; \; ( s a y ) , \ } \\ { \mathrm { a n d } \quad \alpha _ { 1 , \infty } } & { = 1 + \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to \infty } \alpha _ { 1 } ( \lambda ) } \\ & { = 1 + \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to \infty } \frac { ( \alpha _ { 1 } + 1 ) \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - t ) \left( \psi \left( \frac { \alpha _ { 2 } t } { \lambda ( \alpha _ { 1 } + 1 ) } \right) - c _ { 0 , 1 } \right) \psi _ { 2 } \left( \frac { \alpha _ { 2 } t } { \lambda ( \alpha _ { 1 } + 1 ) } \right) f _ { Z } \left( \frac { \alpha _ { 2 } t } { \lambda ( \alpha _ { 1 } + 1 ) } \right) d t } { \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - t ) ^ { 2 } \, \psi _ { 2 } \left( \frac { \alpha _ { 2 } t } { \lambda ( \alpha _ { 1 } + 1 ) } \right) f _ { Z } \left( \frac { \alpha _ { 2 } t } { \lambda ( \alpha _ { 1 } + 1 ) } \right) d t } } \\ & { = 1 - \frac { \alpha _ { 2 } ( \alpha _ { 2 } + 2 ) } { 2 ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } + 1 ) } = \alpha _ { 0 } , \; \; ( s a y ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \mathcal { G } _ { T } ] - \mathbb { E } [ \mathcal { G } _ { 1 } ] } & { \leq - \sum _ { t = 1 } ^ { T - 1 } \frac { \eta \alpha _ { t } } { 2 } \mathbb { E } \bigg [ \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } \bigg ] + \eta C _ { \sigma , \zeta } \sum _ { t = 1 } ^ { T - 1 } \alpha _ { t } ^ { 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| \left[ \Gamma _ { \ell } ( \Delta _ { N } ^ { \ell } ) , \left[ \Gamma _ { \ell } ( \Delta _ { N } ^ { \ell } ) , X _ { N } \right] \right] \right\| } & { \le \frac { 1 } { N } \sum _ { k = 1 } ^ { N } \left\| \left[ \Gamma _ { \ell } ( \Delta _ { N } ^ { \ell } ) , \left[ \Gamma _ { \ell } ( \Delta _ { N } ^ { \ell } ) , x ^ { ( k ) } \right] \right] \right\| } \\ & { \le \left\| \left[ \Gamma _ { \ell } ( \Delta _ { N } ^ { \ell } ) , \left[ \Gamma _ { \ell } ( \Delta _ { N } ^ { \ell } ) , x ^ { ( k ) } \right] \right] \right\| \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ker ( \beta \colon \mathrm { P } _ { + } V \to \mathrm { P } _ { + } V ^ { [ 1 ] , \vee } ) } & { = \mathrm { P } _ { + } V \cap \mathrm { P } _ { + } V ^ { [ 1 ] , \perp } = \mathrm { P } _ { - } V , \; \; \mathrm { a n d } } \\ { \ker ( \beta ^ { \vee } \colon \mathrm { P } _ { + } V ^ { [ 1 ] } \to \mathrm { P } _ { + } V ^ { \vee } ) } & { = \mathrm { P } _ { + } V ^ { [ 1 ] } \cap \mathrm { P } _ { + } V ^ { \perp } = \mathrm { P } _ { + } V ^ { [ 1 ] } \cap ( \mathrm { P } _ { - } V ^ { [ 1 ] } + \mathrm { P } _ { 1 } ^ { \prime } V ^ { [ 1 ] } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i = 1 } ^ { k } { \left( { \alpha } _ { i } { \overline { { \vartheta } } } _ { i - 1 } ^ { 2 } - { \alpha } _ { i - 1 } { \overline { { \vartheta } } } _ { i } ^ { 2 } \right) } = \sum _ { i = 1 } ^ { k } { \left( { \alpha } _ { i } { \overline { { \vartheta } } } _ { i - 1 } ^ { 2 } - { \alpha } _ { i + 1 } { \overline { { \vartheta } } } _ { i } ^ { 2 } \right) } + \sum _ { i = 1 } ^ { k } { \left( { \alpha } _ { i + 1 } - { \alpha } _ { i - 1 } \right) { \overline { { \vartheta } } } _ { i } ^ { 2 } } } \\ & { = { \alpha } _ { 1 } { \overline { { \vartheta } } } _ { 0 } ^ { 2 } - { \alpha } _ { k + 1 } { \overline { { \vartheta } } } _ { k } ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { k } { \left( { \alpha } _ { i + 1 } - { \alpha } _ { i - 1 } \right) { \overline { { \vartheta } } } _ { i } ^ { 2 } } \, . } \\ & { \sum _ { i = 1 } ^ { k } { \left( { \beta } _ { i } { \vartheta } _ { i } ^ { 2 } { \overline { { \vartheta } } } _ { i - 1 } ^ { 2 } - { \beta } _ { i - 1 } { \vartheta } _ { i - 1 } ^ { 2 } { \overline { { \vartheta } } } _ { i } ^ { 2 } \right) } = { \beta } _ { 1 } { \vartheta } _ { 1 } ^ { 2 } { \overline { { \vartheta } } } _ { 0 } ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } { \left( { \beta } _ { i + 1 } { \vartheta } _ { i + 1 } ^ { 2 } - { \beta } _ { i - 1 } { \vartheta } _ { i - 1 } ^ { 2 } \right) { \overline { { \vartheta } } } _ { i } ^ { 2 } } - { \beta } _ { k - 1 } { \vartheta } _ { k - 1 } ^ { 2 } { \overline { { \vartheta } } } _ { k } ^ { 2 } } \\ & { = { \beta } _ { 1 } { \vartheta } _ { 1 } ^ { 2 } { \overline { { \vartheta } } } _ { 0 } ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } { \left( { \beta } _ { i + 1 } - { \beta } _ { i - 1 } \right) { \vartheta } _ { i + 1 } ^ { 2 } { \overline { { \vartheta } } } _ { i } ^ { 2 } } + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } { { \beta } _ { i - 1 } \left( { \vartheta } _ { i + 1 } ^ { 2 } - { \vartheta } _ { i - 1 } ^ { 2 } \right) { \overline { { \vartheta } } } _ { i } ^ { 2 } } - { \beta } _ { k - 1 } { \vartheta } _ { k - 1 } ^ { 2 } { \overline { { \vartheta } } } _ { k } ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \Omega } \left[ \boldsymbol { \mathcal { C } } \left( \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } ) \right) \cdot \boldsymbol { \mathcal { D } } \left( \boldsymbol { w } ( \boldsymbol { x } ) \right) - \boldsymbol { f } ( \boldsymbol { x } ) \cdot \boldsymbol { w } ( \boldsymbol { x } ) \right] d \Omega + \mathrm { b . t . } ( \boldsymbol { u , w } ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { \bar { t } _ { s } } - \mathcal { G } _ { \bar { t } _ { s - 1 } } } & { \leq - \frac { \eta } { 2 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \mathbb { E } \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } - \frac { 5 \eta \hat { L } ^ { 2 } } { 2 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } B _ { t } - \frac { \eta } { 8 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } E _ { t } } \\ & { \qquad + \left( \frac { 3 6 0 } { \mu ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } } + 4 I \right) \eta ^ { 3 } \kappa ^ { 2 } \hat { L } ^ { 2 } I \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } D _ { t } + \frac { 2 7 I \hat { L } ^ { 2 } \gamma \eta \sigma ^ { 2 } } { b _ { y } \mu } } \\ & { \qquad + \frac { 9 0 I \kappa ^ { 2 } \hat { L } ^ { 2 } \eta ^ { 3 } G _ { 2 } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } b _ { x } M } + \frac { I \eta ^ { 2 } \bar { L } G _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 b _ { x } M } + I \eta G _ { 1 } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { J ^ { \prime } } ( \sigma ^ { \prime } ) - H _ { J ^ { \prime } } ( \sigma ) } & { = 2 \sum _ { \{ i , j \} \in \partial A } J _ { i j } ^ { \prime } \sigma _ { i } \sigma _ { j } } \\ & { = 2 \sum _ { \{ i , j \} \in \partial A } J _ { i j } \sigma _ { i } \sigma _ { j } - 2 X } \\ & { = \Delta ( A ) - 2 X . } \end{array}
\begin{array} { r } { \eta _ { k \rightarrow j } ^ { q } ( X _ { i , j } ) = \sum _ { \tilde { X } _ { i , \mathrm { s u p } } : \tilde { X } _ { i , j } = X _ { i , j } } \left( f ( \mathbf { m } _ { i } [ k ] | \tilde { X } _ { i , \mathrm { s u p } } ) \prod _ { \tilde { j } \in \xi _ { k } \backslash j } \eta _ { \tilde { j } \rightarrow k } ^ { q - 1 } ( \tilde { X } _ { i , \tilde { j } } ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varsigma _ { k } \| s _ { k } \| ^ { 3 } } & { \leq - 3 \Big \langle s _ { k } , \nabla f ( x _ { k } ) + \frac { 1 } { 2 } \nabla ^ { 2 } f ( x _ { k } ) [ s _ { k } ] + \frac { 1 } { 2 } ( H _ { k } - \nabla ^ { 2 } f ( x _ { k } ) ) [ s _ { k } ] \Big \rangle } \\ & { \leq 3 \| s _ { k } \| \Big ( \| \nabla f ( x _ { k } ) \| + \frac { 1 } { 2 } \Lambda ( x _ { k } ) \| s _ { k } \| \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 0 } & { = } & { \mathcal { L } _ { \mathbf { u } _ { 0 } } [ h ( y _ { 1 } , \dots , y _ { r _ { \infty } - 2 } ) ] = \frac { \hbar } { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { r _ { \infty } - 2 } ( 2 m - 1 ) t _ { \infty , 2 m + 1 } \partial _ { t _ { \infty , 2 m - 1 } } [ h ( y _ { 1 } , \dots , y _ { r _ { \infty } - 2 } ) ] } \\ & { = } & { \frac { \hbar } { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { r _ { \infty } - 2 } ( 2 m - 1 ) t _ { \infty , 2 m + 1 } \sum _ { r = 1 } ^ { r _ { \infty } - 2 } \frac { \partial y _ { r } } { \partial t _ { \infty , 2 m - 1 } } \partial _ { y _ { r } } h ( y _ { 1 } , \dots , y _ { r _ { \infty } - 2 } ) } \\ & { = } & { \frac { \hbar } { 2 } ( 2 r _ { \infty } - 5 ) \frac { 1 } { 2 } t _ { \infty , 2 r _ { \infty } - 3 } \left( \frac { 1 } { 2 } t _ { \infty , 2 r _ { \infty } - 3 } \right) ^ { - \frac { 2 r _ { \infty } - 5 } { 2 r _ { \infty } - 3 } } \partial _ { { y _ { r _ { \infty } - 2 } } } h ( y _ { 1 } , \dots , y _ { r _ { \infty } - 2 } ) } \\ & { } & { + \frac { \hbar } { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { r _ { \infty } - 3 } ( 2 m - 1 ) \frac { 1 } { 2 } t _ { \infty , 2 m + 1 } \left( \frac { 1 } { 2 } t _ { \infty , 2 r _ { \infty } - 3 } \right) ^ { - \frac { 2 m - 1 } { 2 r _ { \infty } - 3 } } \partial _ { y _ { m } } h ( y _ { 1 } , \dots , y _ { r _ { \infty } - 2 } ) } \\ & { = } & { \frac { \hbar } { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 } t _ { \infty , 2 r _ { \infty } - 3 } \right) ^ { \frac { 2 } { 2 r _ { \infty } - 3 } } \Big [ ( 2 r _ { \infty } - 5 ) \partial _ { { y _ { r _ { \infty } - 2 } } } h ( y _ { 1 } , \dots , y _ { r _ { \infty } - 2 } ) } \\ & { } & { + \sum _ { m = 1 } ^ { r _ { \infty } - 3 } ( 2 m - 1 ) \frac { 1 } { 2 } t _ { \infty , 2 m + 1 } \left( \frac { 1 } { 2 } t _ { \infty , 2 r _ { \infty } - 3 } \right) ^ { - \frac { 2 m + 1 } { 2 r _ { \infty } - 3 } } \partial _ { y _ { m } } h ( y _ { 1 } , \dots , y _ { r _ { \infty } - 2 } ) \Big ] } \\ & { = } & { \frac { \hbar } { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 } t _ { \infty , 2 r _ { \infty } - 3 } \right) ^ { \frac { 2 } { 2 r _ { \infty } - 3 } } \Big [ ( 2 r _ { \infty } - 5 ) \partial _ { { y _ { r _ { \infty } - 2 } } } h ( y _ { 1 } , \dots , y _ { r _ { \infty } - 2 } ) } \\ & { } & { + \sum _ { m = 1 } ^ { r _ { \infty } - 3 } ( 2 m - 1 ) y _ { m + 1 } \partial _ { y _ { m } } h ( y _ { 1 } , \dots , y _ { r _ { \infty } - 2 } ) \Big ] } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { i q _ { \rho } \widetilde { { M ^ { 0 } } } _ { 5 , a } ^ { \rho \mu \nu } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , m _ { u } , m _ { d } , m _ { s } ) = } \\ & { } & { i q _ { \rho } { M ^ { 0 } } _ { 5 , a } ^ { \rho \mu \nu } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , m _ { u } , m _ { d } , m _ { s } ) - i \sum _ { j } c _ { j } q _ { \rho } { M ^ { 0 } } _ { 5 , a } ^ { \rho \mu \nu } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , M _ { u } ^ { j } , \beta M _ { u } ^ { j } , \chi M _ { u } ^ { j } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { e ^ { \int _ { 0 } ^ { t } - \mu \big ( - \int _ { 0 } ^ { 1 } J _ { x } f _ { \sigma ( s ) } ( \nu ( s , \rho ) ) \d \rho \big ) \d s } | \bar { x } - x | } & { \leq | \xi _ { \sigma } ( t , \bar { x } ) - \xi _ { \sigma } ( t , x ) | } \\ & { \leq e ^ { \int _ { 0 } ^ { t } \mu \big ( \int _ { 0 } ^ { 1 } J _ { x } f _ { \sigma ( s ) } ( \nu ( s , \rho ) ) \d \rho \big ) \d s } | \bar { x } - x | } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ^ { \prime } } & { ( \rho ) \frac { ( 1 - \rho ) ^ { 2 } } { q - p } q \ln ( 2 ) } \\ { = } & { \frac { 1 - \rho } { \rho } - p \frac { 2 } { 1 - ( q - p ) \frac { 3 \rho - 1 } { 1 - \rho } } + p \frac { 2 } { 1 + ( q - p ) \frac { 3 \rho - 1 } { 1 - \rho } } } \\ { = } & { \frac { 1 - \rho } { \rho } + 2 p \frac { 1 - ( q - p ) \frac { 3 \rho - 1 } { 1 - \rho } - 1 - ( q - p ) \frac { 3 \rho - 1 } { 1 - \rho } } { 1 - ( q - p ) \frac { 3 \rho - 1 } { 1 - \rho } } } \\ { = } & { \frac { 1 - \rho } { \rho } - 4 p ( q - p ) \frac { \frac { 3 \rho - 1 } { 1 - \rho } } { 1 - ( q - p ) \frac { 3 \rho - 1 } { 1 - \rho } } } \\ { = } & { \frac { 1 - \rho } { \rho } - 4 p ( q - p ) \frac { 3 \rho - 1 } { 1 - ( q - p ) ( 3 \rho - 1 ) } } \\ { = } & { \frac { 1 - \rho - ( q - p ) ( 3 \rho - 1 ) ( 1 - \rho + 4 p \rho ) } { \rho - ( q - p ) \rho ( 3 \rho - 1 ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( \theta ^ { \prime } ( \psi _ { h } ^ { n , j - 1 } ) ( \psi _ { h } ^ { n , j } - \psi _ { h } ^ { n , j - 1 } ) , v _ { h } ) + \tau ( K ( \theta ( \psi _ { h } ^ { n , j - 1 } ) ) \nabla ( \psi _ { h } ^ { n , j - 1 } + z ) , \nabla v _ { h } ) } \\ & { \quad + \tau \left( ( K \circ \theta ) ^ { \prime } ( \psi _ { h } ^ { n , j - 1 } ) \nabla ( \psi _ { h } ^ { n , j - 1 } + z ) ( \psi _ { h } ^ { n , j } - \psi _ { h } ^ { n , j - 1 } ) , \nabla v _ { h } \right) } \\ & { \quad = \tau ( f ^ { n } , v _ { h } ) - ( \theta ( \psi _ { h } ^ { n , j - 1 } ) - \theta ( \psi _ { h } ^ { n - 1 } ) , v _ { h } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { G } _ { D } ^ { \triangleright 2 } ( t , x , x ^ { \prime } , y , y ^ { \prime } ) } & { \ge \int _ { t / 4 } ^ { t / 2 } \ensuremath { \mathrm { d } } s \iint _ { [ V ( x ) \cap B ( x , \sqrt { t } ) ] ^ { 2 } } \ensuremath { \mathrm { d } } z \, \ensuremath { \mathrm { d } } z ^ { \prime } \, } \\ & { \quad \times \widetilde { G } _ { D } ( t - s , x , x ^ { \prime } , z , z ^ { \prime } ) f ( z - z ^ { \prime } ) \widetilde { G } _ { D } ( s , z , z ^ { \prime } , y , y ^ { \prime } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle { \boldsymbol u } ( \ell ) , G ( \theta ) Y ( \theta ) Y ( 0 ) ^ { T } { \boldsymbol u } ( \ell ) \rangle } & { = \langle { \boldsymbol u } ( \ell ) , G ( \theta ) Y ( \theta ) Y ( \theta ) ^ { T } ( I + \theta \gamma { \boldsymbol U } { \boldsymbol U } ^ { T } ) ^ { - 1 } { \boldsymbol u } ( \ell ) \rangle } \\ & { = \langle { \boldsymbol u } ( \ell ) , ( I + z G ( \theta ) ) ( I + \theta \gamma { \boldsymbol U } { \boldsymbol U } ^ { T } ) ^ { - 1 } { \boldsymbol u } ( \ell ) \rangle } \\ & { = \frac { 1 } { 1 + \theta \gamma } + \frac { z } { 1 + \theta \gamma } \langle { \boldsymbol u } ( \ell ) , G ( \theta ) { \boldsymbol u } ( \ell ) \rangle . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } & { v _ { t } - ( K _ { 0 } ( v _ { y } ) ) _ { y } - f ^ { \prime } ( t ) v _ { y } + f _ { 1 } v _ { y } + ( f _ { 2 } - f _ { 1 } ) v = 0 , } \\ & { v ( a - f , t ) = g _ { a } ( t ) e ^ { a - f } , \ v ( b - f , t ) = g _ { b } ( t ) e ^ { b - f } , \quad v ( y , 0 ) = \phi ( y + f ) e ^ { y } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { \delta ^ { 2 } U [ \phi ] } { \delta \eta ^ { 2 } } } & { = \frac { \delta } { \delta \eta } \left\{ \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \: \left( D \frac { d \phi } { d x } \frac { d \eta } { d x } + \kappa \phi ^ { 3 } \eta + f \eta \right) \right\} } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \: \left( D \left( \frac { d \eta } { d x } \right) ^ { 2 } + 3 \kappa \phi ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \right) } \\ & { > \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \: D \left( \frac { d \eta } { d x } \right) ^ { 2 } } \\ & { > D \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \: \left( \frac { d \eta } { d x } \right) ^ { 2 } } \\ & { \geq D c \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \: \eta ^ { 2 } = D c | | \eta | | ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \sigma } ( \mathbf { p } _ { \alpha } ) } & { = \mathbf { C } \boldsymbol { \epsilon } ( \mathbf { p } _ { \alpha } ) } \\ { \left[ \begin{array} { c } { \sigma _ { x } ( \mathbf { p } _ { \alpha } ) } \\ { \sigma _ { y } ( \mathbf { p } _ { \alpha } ) } \\ { \sigma _ { x y } ( \mathbf { p } _ { \alpha } ) } \end{array} \right] } & { = \mathbf { C } \left[ \begin{array} { c } { \epsilon _ { x } ( \mathbf { p } _ { \alpha } ) } \\ { \epsilon _ { y } ( \mathbf { p } _ { \alpha } ) } \\ { \gamma _ { x y } ( \mathbf { p } _ { \alpha } ) } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { \textbf { C h a r a c t e r i z i n g ~ I n e q u a l i t i e s : } } } \\ & { \quad x _ { i + 1 } + x _ { j } \leq 2 x _ { k } \leq x _ { i } + x _ { j + 1 } \leq x _ { i + 1 } + x _ { j + 1 } \leq 2 x _ { k + 1 } } \\ & { \mathrm { \textbf { R e g i o n ~ A r e a : } } } \\ & { \quad ( x _ { i + 1 } - x _ { i } ) ( x _ { j + 1 } + x _ { i } / 2 + x _ { i + 1 } / 2 - 2 x _ { k } ) } \end{array}
\Big | S ( N ) - \Tilde { S } ( N ) \Big | \leq \int _ { 0 } ^ { 1 } \Big | 1 - \tilde { I } _ { \Phi , \delta } ( x ) \Big | \Big | \sum _ { n \in \mathbf { Z } } \lambda _ { f } ( n ) e ( x n ) h \Big ( \frac { n } { N } \Big ) \Big | \Big | \sum _ { m \in \mathbf { Z } } \lambda _ { g } ( m ) \chi ( m ) e ( x m ) h ^ { * } \Big ( \frac { m } { N } \Big ) \Big | d x .
\begin{array} { r l r } { \mathbb { P } ( ( \mathscr { E } _ { l } ^ { \prime } ) ^ { c } ) } & { \leq } & { \mathbb { P } ( ( \mathscr { E } _ { l } ^ { \prime } ) ^ { c } \cap \mathcal { D } _ { l } ^ { c } \cap \mathcal { H } _ { l , ( K _ { 0 } T ) ^ { - 1 0 } } ) + \mathbb { P } ( \mathcal { D } _ { l } ) + \mathbb { P } ( ( \mathcal { H } _ { l , ( K _ { 0 } T ) ^ { - 1 0 } } ) ^ { c } ) } \\ & { \leq } & { \tilde { C } n \exp ( - \tilde { c } n ^ { 1 \slash 4 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { P } [ \lambda ^ { * } ( P ) ( O ) ] } & { = M ^ { - 1 } \mathbb { E } _ { P } \left[ \left( \frac { \mathrm { V a r } ( Y \mid A , X ) } { g _ { P } ( A , X ) ^ { 2 } } + \left( \Psi _ { P } ^ { \sharp } ( X ) - B ^ { \sharp } ( P ) ^ { \top } ( 1 , V ) ^ { \top } \right) ^ { 2 } \right) ( 1 , V ) ( 1 , V ) ^ { \top } \right] M ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { k } } & { = I _ { k } ( n + m + d + p ) + ( I _ { k } - 2 ) ( n + m + d ) + 4 ( I _ { k } - 1 ) } \\ & { \leq I _ { k } ( n + m + d + 4 d ( n + m + 1 ) ) + ( I _ { k } - 2 ) ( n + m + d ) + 4 ( I _ { k } - 1 ) } \\ & { \leq I _ { k } ( d ( n + m + 1 ) + 4 d ( n + m + 1 ) ) + 5 I _ { k } d ( n + m + 1 ) } \\ & { = 1 0 I _ { k } d ( n + m + 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( 1 - M ^ { 2 } ) \partial _ { s } ( M ) = } & { \frac { 1 + M ^ { 2 } } { n c _ { s } } S _ { p a r } } \\ & { + \frac { M ( 1 + M ^ { 2 } ) } { c _ { s } } \partial _ { s } ( c _ { s } ) } \\ & { + A _ { \perp } M \partial _ { s } ( \frac { 1 } { A _ { \perp } } ) - \frac { M } { m _ { i } n c _ { s } ^ { 2 } } S _ { m o m } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\Vert g - g ^ { * } \right\Vert _ { a _ { u ^ { * } } ( \Omega ) } ^ { 2 } } & { = \int _ { \Omega } ( u - u ^ { * } ) ( g - g ^ { * } ) + \int _ { \Omega } \beta ( | u ^ { * } | ^ { 2 } - | u | ^ { 2 } ) g ( g - g ^ { * } ) } \\ & { \leq \left\Vert u - u ^ { * } \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \left\Vert g - g ^ { * } \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } \\ & { \qquad \quad + \beta \left\Vert u - u ^ { * } \right\Vert _ { L ^ { 4 } ( \Omega ) } \left\Vert u + u ^ { * } \right\Vert _ { L ^ { 4 } ( \Omega ) } \left\Vert g \right\Vert _ { L ^ { 4 } ( \Omega ) } \left\Vert g - g ^ { * } \right\Vert _ { L ^ { 4 } ( \Omega ) } } \\ & { \leq C _ { 3 } ^ { 2 } \left\Vert u - u ^ { * } \right\Vert _ { a _ { u ^ { * } } ( \Omega ) } \left\Vert g - g ^ { * } \right\Vert _ { a _ { u ^ { * } } ( \Omega ) } } \\ & { \qquad \quad + \beta C _ { 1 } ^ { 4 } \left\Vert u - u ^ { * } \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } \left\Vert u + u ^ { * } \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } \left\Vert g \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } \left\Vert g - g ^ { * } \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \| \mathcal { G } ( x _ { t } , \nabla F ( x _ { t } ) , \gamma ) \| \leq \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \big [ \| w _ { t } - \nabla F ( x _ { t } ) \| + \frac { 1 } { \gamma } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| \big ] \leq \frac { \sqrt { 2 \breve { M } } m ^ { 1 / 6 } } { \sqrt { T } } + \frac { \sqrt { 2 \breve { M } } } { T ^ { 1 / 3 } } ; } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \big ( \frac { 1 } { \gamma } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| + \| \nabla F ( x _ { t } ) - \hat { \nabla } f ( x _ { t } , y _ { t } ) \| \big ) \leq \frac { 8 ( \Omega _ { 1 } - \Omega _ { T } ) } { 3 T \gamma \eta } } \\ & { \leq \frac { 8 ( F ( x _ { 1 } ) - F ^ { * } + g ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) - G ( x _ { 1 } ) ) } { 3 T \gamma \eta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t } } & { = ( 1 - \gamma ) \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } + \gamma \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \gamma _ { k } } { \gamma } \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k } ^ { t } } \\ & { = - \frac { 1 } { \lambda } ( \mathbf { u } _ { i , K } ^ { t } - \mathbf { u } _ { i , 0 } ^ { t } ) - \gamma \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \gamma _ { k } } { \gamma } \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k } ^ { t } + \gamma \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \gamma _ { k } } { \gamma } \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k } ^ { t } = - \frac { 1 } { \lambda } ( \mathbf { u } _ { i , K } ^ { t } - \mathbf { u } _ { i , 0 } ^ { t } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r } { c _ { A } ^ { \circ } ( a ) = a } & { } & { c _ { A } ^ { \circ } ( \mathsf { d } ( a ) ) = \mathsf { d } ^ { \prime } ( a ) } & { } & { c _ { A } ^ { \circ } ( \mathsf { d } ^ { \prime } ( a ) ) = \mathsf { d } ( a ) } & { } & { c _ { A } ^ { \circ } ( \mathsf { d } ^ { \prime } \mathsf { d } ( a ) ) = \mathsf { d } ^ { \prime } \mathsf { d } ( a ) } \end{array}
\mathcal { A } _ { s , t } ^ { \varepsilon } ( \varphi ) = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { n } \int _ { s } ^ { t } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \mathcal { X } _ { r } ^ { n } \big ( \iota _ { \varepsilon } ( { \textstyle \frac { j - v _ { n } ^ { 1 } r } { n } } ; \cdot ) \big ) ^ { 2 } \nabla ^ { n , 1 } T _ { v _ { n } ^ { 1 } r } ^ { - } \varphi _ { j } ^ { n } d r ,
\begin{array} { r l } { \Bar { P } _ { \mathrm { p } } ( \mu _ { c , n } ) } & { = \frac { \frac { 1 } { C } \sum _ { c = 1 } ^ { C } \Big | \sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { d _ { n } ^ { ' } } e ^ { j ( \mu _ { c , n } + \omega _ { n } + \frac { 2 \pi d _ { n } ^ { ' } } { \lambda } ) } \Big | ^ { 2 } } { \Big | \sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { d _ { n } ^ { ' } } \Big | ^ { 2 } } , } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \frac { F _ { i } ( \chi _ { i } ( 0 ) N ) } { F _ { j } ( \chi _ { j } ( 0 ) N ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { \infty } & { \mathrm { ~ i f ~ } \frac { \chi _ { i } ( 0 ) } { \chi _ { j } ( 0 ) } > r _ { i , j } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ i f ~ } \frac { \chi _ { i } ( 0 ) } { \chi _ { j } ( 0 ) } < r _ { i , j } } \end{array} \right.
{ \boldsymbol { \sigma } } = { \frac { 2 } { J } } ~ { \boldsymbol { V } } \cdot \left[ { \frac { 1 } { 2 \lambda _ { 1 } } } ~ { \frac { \partial W } { \partial \lambda _ { 1 } } } ~ \mathbf { n } _ { 1 } \otimes \mathbf { n } _ { 1 } + { \frac { 1 } { 2 \lambda _ { 2 } } } ~ { \frac { \partial W } { \partial \lambda _ { 2 } } } ~ \mathbf { n } _ { 2 } \otimes \mathbf { n } _ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 \lambda _ { 3 } } } ~ { \frac { \partial W } { \partial \lambda _ { 3 } } } ~ \mathbf { n } _ { 3 } \otimes \mathbf { n } _ { 3 } \right] \cdot { \boldsymbol { V } }
\begin{array} { r l } { g _ { a , M } ^ { - 1 } } & { = - \frac { ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { 2 } - a ^ { 2 } \Delta \sin ^ { 2 } \theta } { \rho ^ { 2 } \Delta } \partial _ { t } ^ { 2 } - \frac { 4 M a r } { \rho ^ { 2 } \Delta } \partial _ { t } \partial _ { \phi } + \frac { \Delta - a ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } { \rho ^ { 2 } \Delta \sin ^ { 2 } \theta } \partial _ { \phi } ^ { 2 } + \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } } \partial _ { \theta } ^ { 2 } + \frac { \Delta } { \rho ^ { 2 } } \partial _ { r } ^ { 2 } \, . } \end{array}
\nabla \mathbf { T } = ( \nabla T _ { x } , \nabla T _ { y } , \nabla T _ { z } ) = { \left[ \begin{array} { l l l } { T _ { x x } } & { T _ { x y } } & { T _ { x z } } \\ { T _ { y x } } & { T _ { y y } } & { T _ { y z } } \\ { T _ { z x } } & { T _ { z y } } & { T _ { z z } } \end{array} \right] } , { \mathrm { ~ w h e r e ~ } } T _ { u v } \equiv { \frac { \partial T _ { u } } { \partial v } } .
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { T } } & { \frac { g ( s ) - g ( s - h ) } { h } F _ { \Psi } ( s ) d s = h ^ { - 1 } \int _ { 0 } ^ { T } g ( s ) F _ { \Psi } ( s ) d s - h ^ { - 1 } \int _ { - h } ^ { T - h } g ( u ) F _ { \Psi } ( u + h ) d u } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { T } g ( s ) \frac { F _ { \Psi } ( s ) - F _ { \Psi } ( s + h ) } { h } d s { - } h ^ { - 1 } \int _ { - h } ^ { 0 } g ( s ) F _ { \Psi } ( s + h ) d s { + } h ^ { - 1 } \int _ { T - h } ^ { T } g ( s ) F _ { \Psi } ( s + h ) d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ f ( \bar { x } _ { k + 1 } ) \middle | \mathcal { G } _ { k } \right] \leq f ( \bar { x } _ { k } ) - \left\langle \nabla f ( \bar { x } _ { k } ) , \frac { \eta } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } f _ { i } ( x _ { i , k } ) \right\rangle + \frac { L \eta ^ { 2 } } { 2 } \mathbb { E } \left[ \left\Vert \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } g _ { i , k } \right\Vert ^ { 2 } \middle | \mathcal { G } _ { k } \right] } \\ & { = f ( \bar { x } _ { k } ) - \frac { \eta } { 2 } \left\Vert \nabla f ( \bar { x } _ { k } ) \right\Vert ^ { 2 } + \frac { \eta } { 2 } \left( L \eta - 1 \right) \left\Vert \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \nabla f _ { i } ( x _ { i , k } ) \right\Vert ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { \eta } { 2 } \left\Vert \nabla f ( \bar { x } _ { k } ) - \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \nabla f _ { i } ( x _ { i , k } ) \right\Vert ^ { 2 } + \frac { L \eta ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { 2 n } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq t \leq T } \left( \| \partial _ { t } u \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } + \| \partial _ { t } p \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } + \| \partial _ { t } u ^ { * } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } + + \| \partial _ { t } p ^ { * } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } \right) } \\ & { \leq } & { C \int _ { 0 } ^ { T } \| \partial _ { t } f + \sigma f \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } \, d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial g ( \beta _ { 1 } , \beta _ { 2 } , \cdots , \beta _ { K } ) } { \partial \beta _ { k } } = - \frac { \frac { 2 \beta _ { k } } { | \tilde { h } _ { k } | ^ { 2 } } } { ( \sum _ { k ^ { \prime \prime } = 1 } ^ { K } \frac { \beta _ { k ^ { \prime \prime } } ^ { 2 } } { | \tilde { h } _ { k ^ { \prime \prime } } | ^ { 2 } } ) \ln 2 } + \frac { 2 } { ( \sum _ { k ^ { \prime } = 1 } ^ { K } \beta _ { k ^ { \prime } } ) \ln 2 } . } \end{array}
\int _ { \mathcal { M } } \mathrm { d } ^ { 2 } \big ( T ^ { n } , \mathrm { e x p } ( \nabla f ^ { n , t } ) \big ) \mathrm { d } \mathrm { m } \leq \mathcal { C } _ { n } \frac { \log ( n ) } { n } \sqrt { \frac { \log \log ( n ) } { \log ( n ) } } \quad \mathrm { w i t h ~ \, ~ \operatorname* { s u p } _ { n \geq ~ 1 } \mathbb { E } [ \frac { 1 } { C } \mathcal { C } _ n ] \leq ~ 1 ~ . }
\begin{array} { r l } & { \| G _ { i } ( c + v ) | \partial _ { t } v | \| _ { N ^ { 0 } ( [ 0 , T ] \times { \mathbf R } ^ { 3 } ) } } \\ & { \leq C T \| \partial _ { t } v \| _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , T ] ; L ^ { 2 } ( { \mathbf R } ^ { 3 } ) ) } + \| | c + v | ^ { 2 \alpha } ( 1 - \chi ( c + v ) ) | \partial _ { t } v | \| _ { N ^ { 0 } ( [ 0 , T ] \times { \mathbf R } ^ { 3 } ) } } \\ & { \leq C T \| \partial _ { t } v \| _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , T ] ; L ^ { 2 } ( { \mathbf R } ^ { 3 } ) ) } + \left\| | ( c + v ) _ { q } | ^ { 2 \alpha } | \partial _ { t } v \right\| _ { L ^ { q ^ { \prime } } ( [ 0 , T ] ; L ^ { r ^ { \prime } } ( { \mathbf R } ^ { 3 } ) } } \\ & { \leq C T \| \partial _ { t } v \| _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , T ] ; L ^ { 2 } ( { \mathbf R } ^ { 3 } ) ) } + T ^ { \frac { q - q ^ { \prime } } { q q ^ { \prime } } } Z _ { T } ( c + v ) ^ { 2 \alpha } \| \partial _ { t } v \| _ { L ^ { q } ( [ 0 , T ] ; L ^ { r } ( { \mathbf R } ^ { 3 } ) ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { a _ { 0 } = \frac { \left( N _ { r } - 1 \right) ^ { 2 } } { 3 M N _ { r } } \sqrt { \frac { N E _ { s } \epsilon _ { M } + N _ { 0 } } { N E _ { s } \epsilon _ { M } + 2 N _ { 0 } } } , \; b _ { 0 } = \frac { \pi N ^ { 2 } E _ { s } } { 4 N E _ { s } \epsilon _ { M } + 8 N _ { 0 } } , } \\ & { a _ { 1 } = \frac { \left( N _ { r } - 1 \right) ^ { 2 } } { M N _ { r } } \sqrt { \frac { N E _ { s } \epsilon _ { M } + N _ { 0 } } { N E _ { s } \epsilon _ { M } + \frac { 7 } { 3 } N _ { 0 } } } , \; b _ { 1 } = \frac { \pi N ^ { 2 } E _ { s } } { 3 N E _ { s } \epsilon _ { M } + 7 N _ { 0 } } , } \\ & { a _ { 2 } = \frac { 4 } { \sqrt { M } \log _ { 2 } \left( \sqrt { M } N _ { r } \right) } , \ b _ { 2 } = \frac { \pi N ^ { 2 } E _ { s } } { 1 6 N _ { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \lambda _ { t } - \lambda _ { \star } = ( \lambda _ { 0 } - \lambda _ { \star } ) e ^ { - \frac { t } { 2 \lambda _ { \star } ^ { 2 } } - \frac { \lambda _ { t } - \lambda _ { 0 } } { \lambda _ { \star } } } , \quad | \lambda _ { t } - \lambda _ { \star } | = \mathcal { O } ( e ^ { - t / 2 \lambda _ { \star } ^ { 2 } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle \mathcal M _ { q , G } h _ { 1 } , h _ { 2 } \rangle _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } } \\ & { \quad = \frac { 1 } { \varepsilon } \langle ( \Phi _ { i j } * G ) | _ { v = \frac { \xi } { \varepsilon } } ( \partial _ { \xi _ { i } } - \frac { q \xi _ { i } } { 2 } ) h _ { 1 } , ( \partial _ { \xi _ { j } } + \frac { q \xi _ { i } } { 2 } ) h _ { 1 } \rangle _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } } \\ & { \quad \quad - \langle ( \partial _ { v _ { i } } \Phi _ { i j } * G ) | _ { v = \frac { \xi } { \varepsilon } } h _ { 1 } , ( \partial _ { \xi _ { j } } + \frac { q \xi _ { i } } { 2 } ) h _ { 1 } \rangle _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { x c } } = \, } & { \alpha E _ { \mathrm { x , S R } } ^ { \mathrm { e x } } + ( 1 - \alpha ) E _ { \mathrm { x , S R } } ^ { \mathrm { s l } } [ n ] + ( \alpha + \beta ) E _ { \mathrm { x , L R } } ^ { \mathrm { e x } } } \\ & { + ( 1 - \alpha - \beta ) E _ { \mathrm { x , L R } } ^ { \mathrm { s l } } [ n ] + E _ { \mathrm { c } } ^ { \mathrm { s l } } [ n ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { i , \upsilon } = } & { h - \nabla _ { x } F _ { i } ( x , y _ { + } ; \xi _ { \upsilon } ^ { i } ) + \nabla _ { x } F _ { i } ( x _ { \upsilon } ^ { i } , y _ { + } ; \xi _ { \upsilon } ^ { i } ) } \\ { = } & { \widetilde h ^ { D } ( x ) - \widetilde h ^ { I } ( x ) - \nabla _ { x } F _ { i } ( x , y _ { + } ; \xi _ { \upsilon } ^ { i } ) } \\ & { + \nabla _ { x } F _ { i } ( x _ { \upsilon } ^ { i } , y _ { + } ; \xi _ { \upsilon } ^ { i } ) , } \end{array}
L ( A , { \tilde { A } } ) = \int \sum _ { i , j } \left\{ { \tilde { A } } _ { i } \lambda _ { i , j } { \tilde { A } } _ { j } - { \widetilde { A } } _ { i } \left\{ \delta _ { i , j } { \frac { d A _ { j } } { d t } } - k _ { \mathrm { B } } T \left[ A _ { i } , A _ { j } \right] { \frac { d { \mathcal { H } } } { d A _ { j } } } + \lambda _ { i , j } { \frac { d { \mathcal { H } } } { d A _ { j } } } - { \frac { d \lambda _ { i , j } } { d A _ { j } } } \right\} \right\} d t .
\begin{array} { r l r } { \Omega } & { = } & { \hbar \sum _ { j = 1 } ^ { g } d q _ { j } \wedge d p _ { j } - \sum _ { s = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { s } - 1 } d t _ { X _ { s } ^ { ( i ) } , k } \wedge d \mathrm { H a m } ^ { ( \mathbf { e } _ { X _ { s } ^ { ( i ) } , k } ) } - \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { \infty } - 1 } d t _ { \infty ^ { ( i ) } , k } \wedge d \mathrm { H a m } ^ { ( \mathbf { e } _ { \infty ^ { ( i ) } , k } ) } } \\ & { } & { - \sum _ { s = 1 } ^ { n } d X _ { s } \wedge d \, \mathrm { H a m } ^ { ( \mathbf { e } _ { X _ { s } } ) } } \\ & { = } & { \hbar \sum _ { j = 1 } ^ { g } d \check { q } _ { j } \wedge d \check { p } _ { j } - \sum _ { \tau \in \mathcal { T } _ { \mathrm { i s o } } } ^ { g } d \tau \wedge d \mathrm { H a m } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } _ { \tau } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { k + 1 } } & { = \hat { V } _ { k + 1 } ( I _ { b ( k - 1 ) } \oplus Q _ { 1 } ) , } \\ { \qquad \underline { { K _ { k } } } } & { = ( I _ { b ( k - 1 ) } \oplus Q _ { 1 } ^ { H } ) \underline { { \hat { K } _ { k } } } ( I _ { b ( k - 2 ) } \oplus Q _ { 2 } ^ { H } ) } \\ { \underline { { H _ { k } } } } & { = ( I _ { b ( k - 1 ) } \oplus Q _ { 1 } ^ { H } ) \underline { { \hat { H } _ { k } } } ( I _ { b ( k - 2 ) } \otimes Q _ { 2 } ^ { H } ) , } \end{array}
\dot { b } = - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \sin ( \delta _ { b } b ) } { \delta _ { b } } + \frac { \gamma ^ { 2 } \delta _ { b } } { \sin ( \delta _ { b } b ) } \right) , \qquad \dot { p } _ { b } = \frac { p _ { b } } { 2 } \, \cos ( \delta _ { b } b ) \left( 1 - \frac { \gamma ^ { 2 } \delta _ { b } ^ { 2 } } { \sin ^ { 2 } ( \delta _ { b } b ) } \right) ,
\hat { F } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { \mathrm { V } } = \left[ \begin{array} { c } { 0 } \\ { \left( \hat { \xi } _ { x } \right) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ( \tau _ { x x } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } + \left( \hat { \xi } _ { y } \right) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ( \tau _ { x y } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } + \left( \hat { \xi } _ { z } \right) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ( \tau _ { x z } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } } \\ { \left( \hat { \xi } _ { x } \right) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ( \tau _ { y x } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } + \left( \hat { \xi } _ { y } \right) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ( \tau _ { y y } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } + \left( \hat { \xi } _ { z } \right) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ( \tau _ { y z } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } } \\ { \left( \hat { \xi } _ { x } \right) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ( \tau _ { z x } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } + \left( \hat { \xi } _ { y } \right) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ( \tau _ { z y } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } + \left( \hat { \xi } _ { z } \right) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ( \tau _ { z z } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } } \\ { \left( \hat { \xi } _ { x } \right) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ( \beta _ { x } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } + \left( \hat { \xi } _ { y } \right) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ( \beta _ { y } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } + \left( \hat { \xi } _ { z } \right) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ( \beta _ { z } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } } } \end{array} \right]
A _ { i } = \left( \begin{array} { l l l } { a _ { 1 1 } } & { \ldots } & { a _ { 1 n } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { a _ { n 1 } } & { \ldots } & { a _ { n n } } \end{array} \right) , \quad { \bf A _ { i } } = \left( \begin{array} { l l l } { { \bf a _ { 1 1 } } } & { \ldots } & { { \bf a _ { 1 n } } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { { \bf a _ { n 1 } } } & { \ldots } & { { \bf a _ { n n } } } \end{array} \right) , \quad { \bf a _ { i j } } = d i a g ( a _ { i j } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , \ldots , a _ { i j } ( x _ { M } , y _ { M } ) ) .
\begin{array} { r l } { \ell _ { 3 } + \tilde { a _ { 1 } } \sin \theta } & { = \lambda \qquad ( 1 ) } \\ { \ell _ { 1 } \cos \theta + i \ell _ { 2 } - \tilde { a _ { 3 } } \sin \theta } & { = 0 \qquad ( 2 ) } \\ { \tilde { a _ { 3 } } \cos \theta + \ell _ { 1 } \sin \theta } & { = 0 \qquad ( 3 ) } \\ { \tilde { a _ { 1 } } \cos \theta + i \tilde { a _ { 2 } } - \ell _ { 3 } \sin \theta } & { = 0 \qquad ( 4 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { x = \frac { x ^ { * } } { \ell } , \; y = \frac { y ^ { * } } { h } , \; u = \frac { u ^ { * } } { U } , \; v = \frac { v ^ { * } \ell } { U h } , \; p = \frac { p ^ { * } h ^ { 2 } } { \mu U \ell } , \; \epsilon = \frac { h } { \ell } , \; U = \frac { D _ { s } } { \ell } , \; t = \frac { t ^ { * } } { \ell ^ { 2 } / D _ { s } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { k } ( \mathbf { x } ) } & { = G _ { k + 1 } \big ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { k - 1 } , x _ { k } G _ { k } ^ { ( k ) } ( \mathbf { x } ) , x _ { k + 1 } , \ldots , x _ { t } \big ) , } \\ { C _ { k } ( \mathbf { x } ) } & { = \frac { 1 } { k ! } \prod _ { j \in [ k ] } x _ { j } ^ { \binom { k } { j } } \left( G _ { k } ^ { ( k ) } ( \mathbf { x } ) - \left( 1 + G _ { k + 1 } ^ { ( k ) } \big ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { k - 1 } , x _ { k } G _ { k } ^ { ( k ) } ( \mathbf { x } ) , x _ { k + 1 } , \ldots , x _ { t } \big ) \right) \right) , } \\ { E _ { k } ( \mathbf { x } ) } & { = \frac { 1 } { k ! } \prod _ { j \in [ k ] } x _ { j } ^ { \binom { k } { j } } G _ { k + 1 } ^ { ( k ) } \big ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { k - 1 } , x _ { k } G _ { k } ^ { ( k ) } ( \mathbf { x } ) , x _ { k + 1 } , \ldots , x _ { t } \big ) \left( G _ { k } ^ { ( k ) } ( \mathbf { x } ) - 1 \right) . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { n } \log \mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } \left[ \left\lVert \prod _ { k = 1 } ^ { n } \exp \left( \frac { \theta \cos ( \varphi ) } { 2 } F _ { j } ( s _ { k } ) \right) \right\rVert _ { F } ^ { 2 } \right] = \log \left\lVert E _ { T _ { j } } ^ { \theta / 2 } \hat { P } E _ { T _ { j } } ^ { \theta / 2 } \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } ,
\begin{array} { r } { \left| 2 - \frac { 2 \Delta t ^ { 2 } \bar { c } ^ { 2 } } { \Delta x ^ { 2 } \epsilon ^ { 2 } \gamma } ( 1 - \cos \beta _ { x } \cos \beta _ { y } ) \right| > \phantom { m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m } } \\ { \left| 2 - \frac { 2 \Delta t ^ { 2 } \bar { c } ^ { 2 } } { \Delta x ^ { 2 } \epsilon ^ { 2 } \gamma } \frac { ( 1 - \cos \beta _ { x } \cos \beta _ { y } ) ( 4 + \gamma + \gamma \cos \beta _ { y } + \gamma \cos \beta _ { x } + \gamma \cos \beta _ { x } \cos \beta _ { y } ) } { 4 } \right| } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { \left( \begin{array} { l l } { \boldsymbol { Q } } & { \boldsymbol { S } } \\ { \boldsymbol { S } ^ { \top } } & { \boldsymbol { R } } \end{array} \right) } & { = \left( \begin{array} { l l } { \boldsymbol { Q } _ { C } } & { 0 } \\ { 0 } & { \gamma ^ { 2 } \boldsymbol { I } } \end{array} \right) , } & { \left( \begin{array} { l l } { \boldsymbol { Q } ^ { w } } & { \boldsymbol { S } ^ { w } } \\ { ( \boldsymbol { S } ^ { w } ) ^ { \top } } & { \boldsymbol { R } ^ { w } } \end{array} \right) } & { = \left( \begin{array} { l l } { - 2 \Lambda _ { C } } & { \Lambda _ { C } } \\ { \Lambda _ { C } } & { 0 } \end{array} \right) , } & { \boldsymbol { R } _ { L } } & { = \left( \begin{array} { l l l } { - \boldsymbol { Q } _ { C } } & & \\ & { \ddots } & \\ & & { - \boldsymbol { Q } _ { C } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\Vert b _ { T } \right\Vert _ { 1 } } & { \leq 2 \left\Vert b _ { 0 } \right\Vert _ { 1 } + \frac { 4 \Delta _ { 1 } } { \eta } + \log \left( \frac { 2 } { \delta } \right) \sum _ { i = 1 } ^ { d } \frac { 8 \sigma _ { i } ^ { 2 } } { b _ { 0 , i } } + 4 \sum _ { i = 1 } ^ { d } \sqrt { \sigma _ { i } ^ { 2 } T + \sigma _ { i } ^ { 2 } \log \frac { 2 } { \delta } } + 4 \eta ^ { 2 } L \sum _ { i = 1 } ^ { d } \log \frac { 4 \eta ^ { 2 } L } { b _ { 0 , i } } } \\ & { = O \left( \left\Vert \sigma \right\Vert _ { 1 } \sqrt { T } + \left\Vert b _ { 0 } \right\Vert _ { 1 } + \frac { \Delta _ { 1 } } { \eta } + \left\Vert \frac { \sigma ^ { 2 } } { b _ { 0 } } \right\Vert _ { 1 } \log \left( \frac { 1 } { \delta } \right) + \left\Vert \sigma \right\Vert _ { 1 } \sqrt { \log \frac { 1 } { \delta } } + \eta ^ { 2 } L \sum _ { i = 1 } ^ { d } \log \frac { \eta ^ { 2 } L } { b _ { 0 , i } } \right) . } \end{array}
\infty \mathrm { - } \mathbf { C a t } ^ { 0 } \overset { \tau _ { 0 } } { \leftarrow } \infty \mathrm { - } \mathbf { C a t } ^ { 1 } \overset { \tau _ { 1 } } { \leftarrow } \infty \mathrm { - } \mathbf { C a t } ^ { 2 } \overset { \tau _ { 2 } } { \leftarrow } \dots \overset { \tau _ { n - 1 } } { \leftarrow } \infty \mathrm { - } \mathbf { C a t } ^ { n } \overset { \tau _ { n } } { \leftarrow } \dots
( \boldsymbol { u } _ { 1 } ^ { k + 1 } , \cdots , \boldsymbol { u } _ { i - 1 } ^ { k + 1 } , \boldsymbol { u } _ { i } ^ { k } , \cdots , \boldsymbol { u } _ { r } ^ { k } , \boldsymbol { V } _ { k } ) \rightarrow ( \boldsymbol { u } _ { 1 } ^ { k + 1 } , \cdots , \boldsymbol { u } _ { i } ^ { k + 1 } , \boldsymbol { u } _ { i + 1 } ^ { k } , \cdots , \boldsymbol { u } _ { r } ^ { k } , \boldsymbol { V } _ { k } )
\begin{array} { r l } & { \mathbb E \Phi \left( 2 \operatorname* { s u p } _ { w \in \mathcal W } \left[ ( P - P _ { n } ) \big ( f ( w , Z ) - f ( w ^ { * } , Z ) \big ) - \frac { \sigma } 8 \left( \| w - w ^ { * } \| _ { \mathbb E \mathsf H } ^ { 2 } + \| w - w ^ { * } \| _ { \mathsf H } ^ { 2 } \right) \right] \right) } \\ & { = \mathbb E \Phi \left( 2 \operatorname* { s u p } _ { w \in \mathcal W } \left[ \mathbb E ^ { \prime } ( P _ { n } ^ { \prime } - P _ { n } ) \big ( f ( w , Z ) - f ( w ^ { * } , Z ) \big ) - \frac { \sigma } 8 \left( \mathbb E ^ { \prime } \| w - w ^ { * } \| _ { \mathsf H ^ { \prime } } ^ { 2 } + \| w - w ^ { * } \| _ { \mathsf H } ^ { 2 } \right) \right] \right) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \mathfrak { N } } _ { 0 } } & { = \mathbb { Z } / 2 , } \\ { { \mathfrak { N } } _ { 1 } } & { = 0 , } \\ { { \mathfrak { N } } _ { 2 } } & { = \mathbb { Z } / 2 , } \\ { { \mathfrak { N } } _ { 3 } } & { = 0 , } \\ { { \mathfrak { N } } _ { 4 } } & { = \mathbb { Z } / 2 \oplus \mathbb { Z } / 2 , } \\ { { \mathfrak { N } } _ { 5 } } & { = \mathbb { Z } / 2 . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { | \pi _ { 1 } ( \sigma ) \log r _ { 1 } ( \sigma ) - \pi _ { 2 } ( \sigma ) \log r _ { 2 } ( \sigma ) | } & { = \gamma ( E _ { \sigma } ) | f ( r _ { 1 } ( \sigma ) ) - f ( r _ { 2 } ( \sigma ) ) | } \\ & { \le \gamma ( E _ { \sigma } ) f ( r _ { 2 } ( \sigma ) ) = \gamma ( E _ { \sigma } ) r _ { 2 } ( \sigma ) \log \frac 1 { r _ { 2 } ( \sigma ) } } \\ & { \le \gamma ( E _ { \sigma } ) r _ { 2 } ( \sigma ) ^ { 3 / 2 } \le \gamma ( E _ { \sigma } ) ^ { \frac 3 2 K _ { 0 } - \frac 1 2 } \le \gamma ( E _ { \sigma } ) ^ { K _ { 0 } + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { 0 } } & { = Q _ { 0 } ^ { + } \sqcup Q _ { 0 } ^ { - } \sqcup Q _ { 0 } ^ { \mathbin { \vartriangle } } \sqcup Q _ { 0 } ^ { { \mathbin { \vartriangle } } \vee } , } \\ { Q _ { 1 } } & { = Q _ { 1 } ^ { + } \sqcup Q _ { 1 } ^ { - } \sqcup Q _ { 1 } ^ { \mathbin { \vartriangle } } \sqcup Q _ { 1 } ^ { { \mathbin { \vartriangle } } \vee } , } \end{array}
\begin{array} { l l } { \varphi _ { \lambda } ( x ) } & { = f ( x ) - \displaystyle \frac { \lambda } { 2 } \| \nabla f ( x ) \| ^ { 2 } + { \mathtt { e } } _ { \lambda } \psi \big ( x - \lambda \nabla f ( x ) \big ) } \\ & { = \displaystyle f ( x ) + \frac { 1 } { 2 \lambda } \| x \| ^ { 2 } - \langle \nabla f ( x ) , x \rangle - { { \mathtt { A } } _ { \lambda } \psi } \big ( x - \lambda \nabla f ( x ) \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { D _ { R } [ B _ { \Psi } ( y ^ { \delta } , W \cdot + b ) ] ( x ^ { \dagger } , x _ { \alpha } ) = B _ { \Psi } ( y ^ { \delta } , W x ^ { \dagger } + b ) - B _ { \Psi } ( y ^ { \delta } , W x _ { \alpha } + b ) - \langle \sigma ( W x _ { \alpha } + b ) - y ^ { \delta } , W x ^ { \dagger } - W x _ { \alpha } \rangle \, ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { M } ( X , Y ) Z : } & { = Z ( g ( X , Y ) ) - g ( \widetilde { \nabla } _ { Z } X , Y ) - g ( X , \widetilde { \nabla } _ { Z } Y ) } \\ & { = Z ^ { \alpha } \widetilde { \nabla } _ { \alpha } ( g _ { \beta \gamma } X ^ { \beta } Y ^ { \gamma } ) - g _ { \beta \gamma } Z ^ { \alpha } ( \widetilde { \nabla } _ { \alpha } X ^ { \beta } ) Y ^ { \gamma } - g _ { \beta \gamma } X ^ { \beta } Z ^ { \alpha } ( \widetilde { \nabla } _ { \alpha } Y ^ { \gamma } ) } \\ & { = ( \widetilde { \nabla } _ { \alpha } g _ { \beta \gamma } ) Z ^ { \alpha } X ^ { \beta } Y ^ { \gamma } = \widetilde { M } _ { \alpha \beta \gamma } Z ^ { \alpha } X ^ { \beta } Y ^ { \gamma } , } \end{array}
\boxed { \begin{array} { r l } & { [ f _ { q } ( \lambda _ { 2 } ) - a ( \lambda _ { 2 } ) ] \theta _ { 2 s } - \gamma \rho _ { 1 s } \left[ \frac { \eta ^ { 2 } } { 3 } r ( \lambda _ { 1 } ) + 2 \kappa b ( \lambda _ { 2 } ) \right] = \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \beta _ { i } \langle x _ { s } , x _ { i } \rangle \rho _ { 2 i } ^ { 2 } - \gamma \rho _ { 1 s } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \beta _ { i } \rho _ { 1 i } \rho _ { 2 i } ^ { 2 } \quad \mathrm { f o r } \quad s \in [ 2 ] } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial f _ { C T S } ( x ; \theta ) } { \partial \theta } } & { = \frac { \partial } { \partial \theta } \int _ { - \infty } ^ { \infty } f _ { + } ( x + y - \mu ) f _ { - } ( y ) \mathrm { d } y } \\ & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { \partial } { \partial \theta } \left( f _ { + } ( x + y - \mu ) f _ { - } ( y ) \right) \mathrm { d } y } \\ & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left( \frac { \partial f _ { + } ( x + y - \mu ) } { \partial \theta } f _ { - } ( y ) + \frac { \partial f _ { - } ( y ) } { \partial \theta } f _ { + } ( x + y - \mu ) \right) \mathrm { d } y . } \end{array}
\sigma _ { d i s c } ( \hat { \mathcal { L } } _ { \mathbf { k } } ) = - \frac { 1 } { \tau } - \frac { 1 } { \tau } \left\{ z \in \mathbb { C } : \operatorname* { d e t } \left( \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \mathbf { e } ( \mathbf { v } ) \otimes \mathbf { e } ( \mathbf { v } ) \frac { e ^ { - \frac { | \mathbf { v } | ^ { 2 } } { 2 } } } { \mathrm { i } \tau \mathbf { k } \cdot \mathbf { v } - z } \, d \mathbf { v } - \mathrm { I d } \right) = 0 \right\} .
\frac { 1 } { N } \mathrm { T r } ( G _ { 1 } A G _ { 2 } B \mathrm { d i a g } \tilde { S } ^ { \circ } ) \le \sqrt { \frac { 1 } { N } \mathrm { T r } [ G _ { 1 } A _ { 1 } G _ { 2 } G _ { 2 } ^ { * } A _ { 1 } G _ { 1 } ^ { * } ] \frac { 1 } { N } \mathrm { T r } [ | B \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } | ^ { 2 } ] } \le \frac { \Lambda ^ { + } } { N \eta }
\begin{array} { r l } { \frac { \| A - A ^ { \prime } \| _ { U } } { \pi _ { t } ( x _ { t } ) } } & { \le \left( \exp \left( \frac { e ^ { - t / 2 } } { v _ { t } } \| z \| _ { U } R \right) - 1 \right) \frac { 1 } { p _ { t } ( x _ { t } ) } \int \| x _ { 0 } \| _ { U } \frac { \mathrm { d } \mathcal { N } ( e ^ { - t / 2 } x _ { 0 } , v _ { t } C ) } { \mathrm { d } \mathcal { N } ( 0 , v _ { t } C ) } ( x _ { t } ) \mathrm { d } \mu _ { \mathrm { d a t a } } ( x _ { 0 } ) } \\ & { \le \left( \exp \left( \frac { e ^ { - t / 2 } } { v _ { t } } \| z \| _ { U } R \right) - 1 \right) R } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \frac { 1 } { m ( p , \theta ) } , \frac { 1 } { n ( p , \theta ) } ) } & { = ( 1 , 0 ) + \theta \{ ( \frac { 1 } { p } , \frac { 1 } { p } ) - ( 1 , 0 ) \} } \\ & { = ( 1 - \theta ) ( 1 , 0 ) + \theta ( \frac { 1 } { p } , \frac { 1 } { p } ) } \\ & { = ( 1 - \theta + \frac { \theta } { p } , \frac { \theta } { p } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { L ( \beta , \tau \mid y , u ) } & { = \prod _ { i = 1 } ^ { n } p ( y _ { i } \mid \beta , u ) \phi _ { q } ( u ; 0 , D ( \tau ) ^ { - 1 } ) } \\ & { = \prod _ { i = 1 } ^ { n } p ( y _ { i } \mid \beta , u ) ( 2 \pi ) ^ { - q / 2 } \prod _ { j = 1 } ^ { r } \tau _ { j } ^ { q _ { j } / 2 } \exp ( - \tau _ { j } u _ { j } ^ { \top } u _ { j } / 2 ) . } \end{array}
\mathbb { E } [ f _ { \theta } \left( \bar { X } _ { \gamma } \right) ] \le e ^ { - \frac { \theta \gamma M } { 4 } } f _ { \theta } ( x ) + \mathfrak { c } ( M , \gamma , \theta ) \quad \textnormal { w i t h } \quad \mathfrak { c } ( M , \gamma , \theta ) = e ^ { \theta \left( 1 + \frac { M + 8 d L } { 2 \underline { { c } } } \right) ^ { \frac { 1 } { 1 - r } } } ( e ^ { 2 \theta \gamma d L } - e ^ { - \frac { \theta \gamma M } { 4 } } ) .
\begin{array} { r l } & { \mathrm { P i c k ~ a ~ c o o r d i n a t e ~ f r o m ~ X ^ { ( j ) } ~ , ~ i . e . , ~ } ( k ^ { ( j ) } , \ell ) , } \\ & { \alpha ^ { ( j ) } = \mathop { \arg \operatorname* { m i n } } _ { \alpha \in \mathbb { R } } f _ { \mu , W } \left( X ^ { ( j ) } + \alpha E _ { k ^ { ( j ) } \ell } \right) , } \\ & { X ^ { ( j + 1 ) } = X ^ { ( j ) } + \alpha ^ { ( j ) } E _ { k ^ { ( j ) } \ell } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | P _ { 1 } ( r ) | - 5 . 0 3 0 2 3 q ^ { ( 2 d - 2 ) / 3 } | \mathcal { E } | ^ { 3 } } \\ { \geq } & { q ^ { - 1 } | \mathcal { E } | ^ { 4 } - 2 | \mathcal { E } | ^ { 3 } - 2 q ^ { d - 1 } | \mathcal { E } | ^ { 2 } - q ^ { - 2 } | \mathcal { E } | ^ { 4 } - 2 q ^ { ( d - 3 ) / 2 } | \mathcal { E } | ^ { 3 } - 5 . 0 3 0 2 3 q ^ { ( 2 d - 2 ) / 3 } | \mathcal { E } | ^ { 3 } } \\ { \geq } & { t ^ { 4 } q ^ { ( 8 d + 1 ) / 3 } - 2 t ^ { 3 } q ^ { 2 d + 1 } - 2 t ^ { 2 } q ^ { ( 7 d - 1 ) / 3 } - t ^ { 4 } q ^ { ( 8 d - 2 ) / 3 } - 2 t ^ { 3 } q ^ { ( 5 d - 1 ) / 2 } - 5 . 0 3 0 2 3 t ^ { 3 } q ^ { ( 8 d + 1 ) / 3 } } \\ { = } & { t ^ { 2 } q ^ { ( 8 d + 1 ) / 3 } \left( t ^ { 2 } - 2 t q ^ { ( - 2 d + 2 ) / 3 } - 2 q ^ { ( - d - 2 ) / 3 } - t ^ { 2 } q ^ { - 1 } - 2 t q ^ { ( - d - 5 ) / 6 } - 5 . 0 3 0 2 3 t \right) } \\ { \geq } & { t ^ { 2 } q ^ { ( 8 d + 1 ) / 3 } \left( t ^ { 2 } - 2 t \cdot 3 ^ { ( - 2 \cdot 3 + 2 ) / 3 } - 2 \cdot 3 ^ { ( - 3 - 2 ) / 3 } - t ^ { 2 } \cdot 3 ^ { - 1 } - 2 t \cdot 3 ^ { ( - 3 - 5 ) / 6 } - 5 . 0 3 0 2 3 t \right) } \\ { \geq } & { t ^ { 2 } q ^ { ( 8 d + 1 ) / 3 } \left( \frac { 2 } { 3 } t ^ { 2 } - 5 . 9 5 4 7 9 t - 0 . 3 2 0 5 \right) } \\ { \geq } & { t ^ { 2 } q ^ { ( 8 d + 1 ) / 3 } \left( \frac { 2 } { 3 } \cdot 8 1 - 5 . 9 5 4 7 9 \cdot 9 - 0 . 3 2 0 5 \right) > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \dot { \sigma } \rangle } & { = \left( \frac { 1 } { r _ { 1 } } + \frac { 1 } { r _ { 2 } } \right) ^ { - 1 } \left( e ^ { \frac { \epsilon } { T _ { 1 } } } - e ^ { \frac { \epsilon } { T _ { 2 } } } \right) \left( \frac { \epsilon } { T _ { 1 } } - \frac { \epsilon } { T _ { 2 } } \right) \ln \left( \frac { r _ { 1 } e ^ { \frac { \epsilon } { T _ { 1 } } } + r _ { 2 } e ^ { \frac { \epsilon } { T _ { 2 } } } } { r _ { 1 } + r _ { 2 } } \right) } \end{array}
\forall { { \bf Y } _ { i } } \Bigl ( { \bf Y } _ { i } \in \mathbb { Y } ^ { ( i ) } \implies \bigl ( \exists \lambda \in [ 0 , 1 ] \bigr ) \land \bigl ( \vec { { \bf Y } _ { i } } = \overrightarrow { \tilde { \bf X } _ { i , \mathcal { R } } } + \lambda \overrightarrow { \tilde { \bf X } _ { i , \mathcal { R } } \tilde { \bf X } _ { i , \mathcal { B } } } \bigr ) \Bigr ) \; .
| \widehat { \phi } | ( \tau , r , \theta , \widetilde { \varphi } ) \leq \int _ { r } ^ { \infty } | \widetilde { X } \widehat { \phi } | ( \tau , r , \theta , \widetilde { \varphi } ) \, d r ^ { \prime } \leq \sqrt { \int _ { r } ^ { \infty } r ^ { - 2 } ( 1 - r ^ { - 1 } ) ^ { - 1 + \epsilon } \, d r ^ { \prime } } \sqrt { \int _ { r } ^ { \infty } r ^ { 2 } ( 1 - r ^ { - 1 } ) ^ { 1 - \epsilon } | \widetilde { X } \widehat { \phi } | ^ { 2 } \, d r ^ { \prime } } .
\ensuremath { \hat { \mathbf { M } } } \dot { \ensuremath { \boldsymbol { \rho } } } + \Pi ^ { \top } [ \bigl ( \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \rho } } \rho _ { i } \ensuremath { \hat { \mathbf { N } } } ( \ensuremath { \mathbf { w } } _ { i } ) \bigr ) \ensuremath { \boldsymbol { \rho } } + \ensuremath { \hat { \mathbf { A } } } \ensuremath { \boldsymbol { \rho } } - \ensuremath { \mathbf { f } } ] = 0
\begin{array} { r l } { Q _ { n + 1 } ^ { \alpha } \left( \Delta , \Lambda ; 0 \right) = } & { \Delta + \alpha \mathbb { E } V _ { n } ^ { \alpha } \left( \Delta + 1 , \Lambda ^ { \prime } \right) ; } \\ { Q _ { n + 1 } ^ { \alpha } \left( \Delta , \Lambda ; 1 \right) = } & { \Delta + \beta + \alpha \Big ( p \mathbb { E } V _ { n } ^ { \alpha } \left( \Delta + 1 , \Lambda ^ { \prime } \right) } \\ & { + ( 1 - p ) \mathbb { E } V _ { n } ^ { \alpha } \left( 1 , \Lambda ^ { \prime } \right) \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { v _ { \beta } ^ { \prime } ( x _ { 1 } ) = \frac { 2 \beta } { \sigma ^ { 2 } } + \frac { \hat { \alpha } } { 2 \sigma ^ { 2 } } v ^ { 2 } + \frac { 2 \eta } { \sigma ^ { 2 } } x _ { 1 } \left( v - \frac { h } { \eta } \right) - \frac { 2 a v } { \sigma ^ { 2 } } > 0 , } \\ { v _ { \beta } ^ { \prime } ( x _ { 2 } ) = \frac { 2 \beta } { \sigma ^ { 2 } } + \frac { \hat { \alpha } } { 2 \sigma ^ { 2 } } v ^ { 2 } + \frac { 2 \eta } { \sigma ^ { 2 } } x _ { 2 } \left( v - \frac { h } { \eta } \right) - \frac { 2 a v } { \sigma ^ { 2 } } < 0 , } \\ { v _ { \beta } ^ { \prime } ( x _ { 3 } ) = \frac { 2 \beta } { \sigma ^ { 2 } } + \frac { \hat { \alpha } } { 2 \sigma ^ { 2 } } v ^ { 2 } + \frac { 2 \eta } { \sigma ^ { 2 } } x _ { 3 } \left( v - \frac { h } { \eta } \right) - \frac { 2 a v } { \sigma ^ { 2 } } > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \mathbb { E } \left[ \left\Vert x _ { t } \right\Vert _ { 2 } ^ { 2 } \right] } & { \leq - \frac { 2 } { 3 d } \left( \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { 3 } \right) ^ { d / 2 } \left( 2 \pi \right) ^ { - d } \exp \left[ - \left( d + \tau \right) \right] \left( \mathbb { E } \left[ \left\Vert x _ { t } \right\Vert _ { 2 } ^ { 2 } \right] - \varepsilon \right) ^ { 2 } } \\ & { = - \frac { 2 } { 3 d } \left( \frac { 1 } { 3 } \right) ^ { d / 2 } \exp \left[ - \left( d + \tau \right) \right] \left( \mathbb { E } \left[ \left\Vert x _ { t } \right\Vert _ { 2 } ^ { 2 } \right] - \varepsilon \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\lVert { \mathbf { M } } \right\rVert _ { \mathrm { F } } } & { \le 4 \left\lVert \hat { { \boldsymbol { \Sigma } } } _ { n _ { 0 } } ^ { ( 0 ) } - { \mathbf { I } } \right\rVert _ { \mathrm { F } } ^ { 2 } } \\ & { + 4 \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } \alpha _ { \ell } \left\lVert \hat { { \boldsymbol { \Sigma } } } _ { n _ { \ell } } ^ { ( \ell ) } - { \mathbf { I } } \right\rVert _ { \mathrm { F } } ^ { 2 } } \\ & { + 4 \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } \alpha _ { \ell } \left\lVert \hat { { \boldsymbol { \Sigma } } } _ { n _ { \ell - 1 } } ^ { ( \ell ) } - { \mathbf { I } } \right\rVert _ { \mathrm { F } } ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 4 } { 3 } \left\lVert { \boldsymbol { \Sigma } } - { \mathbf { I } } \right\rVert _ { \mathrm { F } } ^ { 2 } \, . } \end{array}
{ \vec { y } } _ { 1 } = { \left( \begin{array} { l } { y _ { 1 } } \\ { y _ { 1 } ^ { \prime } } \\ { y _ { 1 } ^ { \prime \prime } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { y _ { 0 } + h \cdot y _ { 0 } ^ { \prime } } \\ { y _ { 0 } ^ { \prime } + h \cdot y _ { 0 } ^ { \prime \prime } } \\ { y _ { 0 } ^ { \prime \prime } + h \cdot f \left( t _ { 0 } , y _ { 0 } , y _ { 0 } ^ { \prime } , y _ { 0 } ^ { \prime \prime } \right) } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { 2 + 0 . 5 \cdot - 1 } \\ { - 1 + 0 . 5 \cdot 3 } \\ { 3 + 0 . 5 \cdot \left( \sin { 0 } + ( \cos { 0 } ) \cdot 2 + 0 ^ { 2 } \cdot ( - 1 ) - 4 \cdot 0 \cdot 3 \right) } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { 1 . 5 } \\ { 0 . 5 } \\ { 2 } \end{array} \right) }
\tilde { B } _ { y } ( \tau , \mathbf { x } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { Z e \frac { 3 } { 8 \pi ^ { 2 } } \int d ^ { 3 } \mathbf { x } ^ { \prime } \frac { \tau _ { f } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ; \mathbf { x } ) ^ { 2 } ( x ^ { \prime } - x _ { 0 } ) \sinh ( \eta _ { 0 } - \eta ^ { \prime } ) } { { [ ( r _ { \bot } ^ { \prime } - r _ { \bot 0 } ) ^ { 2 } + \tau _ { f } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ; \mathbf { x } ) ^ { 2 } \sinh ^ { 2 } ( \eta ^ { \prime } - \eta _ { 0 } ) ] } ^ { 5 / 2 } } \frac { 1 } { \sqrt { ( r _ { \bot } - r _ { \bot } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + \tau ^ { 2 } \sinh ^ { 2 } ( \eta - \eta ^ { \prime } ) } } , } & { \mathrm { i f ~ } ( \tau _ { 0 } < \tau _ { f } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ; \mathbf { x } _ { 0 } ) < \tau ) ~ \land } \\ & { ( \tau _ { 0 } < \tau _ { f } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ; \mathbf { x } ) < \tau ) } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \mathbf { F } _ { R } \; \mathrm { i s ~ u n i f o r m l y ~ b o u n d e d ~ i n } \; } \\ & { L ^ { \infty } ( 0 , T ; L ^ { 6 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) ) \cap L ^ { \frac { 1 8 - 2 p } { 3 } } ( 0 , T ; W ^ { 1 , \frac { 1 8 - 2 p } { 3 } } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) ) \hookrightarrow L ^ { 1 8 - 2 p } ( 0 , T ; L ^ { 1 8 - 2 p } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I + \beta _ { k } F ^ { \prime } ( \alpha ) } & { = 2 C _ { 2 } e _ { k } + C _ { 3 } e _ { k - 1 } ^ { 2 } - 2 C _ { 3 } e _ { k - 1 } e _ { k } - 4 \left( C _ { 2 } ^ { 2 } - C _ { 3 } \right) e _ { k } ^ { 2 } + O _ { 3 } \left( e _ { k } , e _ { k - 1 } \right) , } \\ { 2 I - \delta _ { k } F ^ { \prime } ( \alpha ) } & { = 4 C _ { 2 } e _ { k } + 2 C _ { 3 } e _ { k - 1 } ^ { 2 } - 4 C _ { 3 } e _ { k - 1 } e _ { k } - 8 \left( C _ { 2 } ^ { 2 } - C _ { 3 } \right) e _ { k } ^ { 2 } + O _ { 3 } \left( e _ { k } , e _ { k - 1 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi ^ { - \frac { d } { 2 } } I _ { 0 } ( P ) = } & { \mathbf T _ { F _ { 0 , d } } ^ { x , 0 } ( ) ; } \\ { - \pi ^ { - \frac { d } { 2 } } I _ { 2 } ( P ) = } & { \mathbf T _ { F _ { 2 , d } } ^ { x , 1 } ( \mathbf P ) + \sum _ { i = 1 } ^ { d } \frac 1 d \mathbf T _ { F _ { 2 , d } } ^ { x , 2 } ( \mathbf A _ { i } , \mathbf A _ { i } ) ; } \\ { \pi ^ { - \frac { d } { 2 } } I _ { 4 } ( P ) = } & { \mathbf T _ { F _ { 4 , d } } ^ { x , 2 } ( \mathbf P , \mathbf P ) + \sum _ { i = 1 } ^ { d } \frac 1 d \Big ( \mathbf T _ { F _ { 4 , d } } ^ { x , 3 } ( \mathbf P , \mathbf A _ { i } , \mathbf A _ { i } ) + \mathbf T _ { F _ { 4 , d } } ^ { x , 3 } ( \mathbf A _ { i } , \mathbf P , \mathbf A _ { i } ) } \\ & { + \mathbf T _ { F _ { 4 , d } } ^ { x , 3 } ( \mathbf A _ { i } , \mathbf A _ { i } , \mathbf P ) \Big ) + \sum _ { i , j , k , l = 1 } ^ { d } c _ { d } ^ { ( i , j , k , l ) } \mathbf T _ { F _ { 4 , d } } ^ { x , 4 } ( \mathbf A _ { i } , \mathbf A _ { j } , \mathbf A _ { k } , \mathbf A _ { l } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { a _ { 0 } ^ { ( k ) } } { a _ { k - 2 } ^ { ( k ) } } \le \frac { \omega _ { 2 - \alpha } ( \tau _ { k - \frac { 1 } { 2 } } ) } { \tau _ { k - \frac { 1 } { 2 } } \omega _ { 1 - \alpha } ( t _ { k - \frac { 1 } { 2 } } - t _ { \frac { 1 } { 2 } } ) } \le \frac { ( t _ { k - \frac { 1 } { 2 } } - t _ { \frac { 1 } { 2 } } ) ^ { \alpha } } { ( 1 - \alpha ) ( \tau _ { k - \frac { 1 } { 2 } } ) ^ { \alpha } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { 1 } F _ { n , \Omega } ( r ) r ^ { 2 n + 1 } \big ( f _ { 0 } ( r ) - 2 \Omega \big ) d r } & { < F _ { n , \Omega } ( 1 ) \int _ { 0 } ^ { 1 } r ^ { 2 n + 1 } \big ( f _ { 0 } ( r ) - 2 \Omega \big ) d r } \\ & { = F _ { n , \Omega } ( 1 ) \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } r ^ { 2 n + 1 } f _ { 0 } ( r ) d r - \frac { \Omega } { n + 1 } \right) . } \end{array}
\mathcal { I F } \left( \boldsymbol { y } , \boldsymbol { \lambda } _ { n , \beta } \left( \boldsymbol { T } _ { n , \beta } ( \underline { { F } } _ { \boldsymbol { \theta } _ { 2 } } ) \right) \right) = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathcal { I F } _ { i } \left( y _ { i } , \boldsymbol { \lambda } _ { n , \beta } \left( \boldsymbol { T } _ { n , \beta } ( \underline { { F } } _ { \boldsymbol { \theta } _ { 2 } } ) \right) \right) ,
\begin{array} { r l } & { \theta _ { r k } = e ^ { { r \nu } } \int _ { \nu } ^ { \infty } \! \! e ^ { - t _ { r } } \mathrm { d } t _ { r } \int _ { \nu } ^ { \infty } \! \! e ^ { - t _ { r - 1 } } \mathrm { d } t _ { r - 1 } \cdots \int _ { \nu } ^ { \infty } \! \! e ^ { - t _ { k + 1 } } \mathrm { d } t _ { k + 1 } } \\ & { \ \ \ \ \times \int _ { \gamma _ { \mathrm { t h } } ( \rho _ { 0 } ^ { - 1 } \! + \! { \sum _ { i = k + 1 } ^ { r } } t _ { i } ) } ^ { \infty } \! \! e ^ { - t _ { k } } \mathrm { d } t _ { k } \cdots \int _ { \gamma _ { \mathrm { t h } } ( \rho _ { 0 } ^ { - 1 } \! + \! { \sum _ { i = 2 } ^ { r } } t _ { i } ) } ^ { \infty } \! \! e ^ { - t _ { 1 } } \mathrm { d } t _ { 1 } } \\ & { \ \ = \frac { \exp ( r \nu - ( r - k ) \nu \bar { \gamma } _ { { \mathrm { t h } } , k } - \rho _ { 0 } ^ { - 1 } \gamma _ { \mathrm { t h } } ( \sum _ { i = 1 } ^ { k } \bar { \gamma } _ { { \mathrm { \mathrm { t h } } } , i - 1 } ) ) } { \bar { \gamma } _ { { \mathrm { t h } } , k } ^ { r - ( k + 1 ) / 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { l } { \int _ { { t _ { 0 } } } ^ { t } { { e ^ { - { s _ { j } } ( t - \tau ) } } { { ( t - \tau ) } ^ { i } } } d \tau } \\ { = \frac { 1 } { { s _ { j } ^ { i + 1 } } } \left[ { i ! - { e ^ { - { s _ { j } } ( t - { t _ { 0 } } ) } } \left( { \sum _ { k = 1 } ^ { i + 1 } { \frac { { i ! } } { { ( i + 1 - k ) ! } } { { \left( { { s _ { j } } ( t - { t _ { 0 } } ) } \right) } ^ { i + 1 - k } } } } \right) } \right] . } \end{array}
\left[ \begin{array} { c c c c c c c } { F _ { 1 1 } } & { F _ { 1 2 } } & { F _ { 1 3 } } & { F _ { 1 4 } } & { F _ { 1 5 } } & { F _ { 1 6 } } & { F _ { 1 7 } } \\ { F _ { 2 1 } } & { F _ { 2 2 } } & { F _ { 2 3 } } & { F _ { 2 4 } } & { F _ { 2 5 } } & { F _ { 2 6 } } & { F _ { 2 7 } } \\ { F _ { 3 1 } } & { F _ { 3 2 } } & { F _ { 3 3 } } & { F _ { 3 4 } } & { F _ { 3 5 } } & { F _ { 3 6 } } & { F _ { 3 7 } } \\ { F _ { 4 1 } } & { F _ { 4 2 } } & { F _ { 4 3 } } & { F _ { 4 4 } } & { F _ { 4 5 } } & { F _ { 4 6 } } & { F _ { 4 7 } } \\ { F _ { 5 1 } } & { F _ { 5 2 } } & { F _ { 5 3 } } & { F _ { 5 4 } } & { F _ { 5 5 } } & { F _ { 5 6 } } & { F _ { 5 7 } } \\ { F _ { 6 1 } } & { F _ { 6 2 } } & { F _ { 6 3 } } & { F _ { 6 4 } } & { F _ { 6 5 } } & { F _ { 6 6 } } & { F _ { 6 7 } } \\ { F _ { 7 1 } } & { F _ { 7 2 } } & { F _ { 7 3 } } & { F _ { 7 4 } } & { F _ { 7 5 } } & { F _ { 7 6 } } & { F _ { 7 7 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c c c c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { F _ { 1 4 } } & { F _ { 1 5 } } & { F _ { 1 6 } } & { F _ { 1 7 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { F _ { 2 4 } } & { F _ { 2 5 } } & { F _ { 2 4 } } & { F _ { 2 7 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { F _ { 1 6 } } & { F _ { 1 5 } } & { F _ { 1 4 } } & { F _ { 1 7 } } \\ { F _ { 1 4 } } & { F _ { 1 5 } } & { F _ { 1 6 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { F _ { 1 7 } } \\ { F _ { 2 4 } } & { F _ { 2 5 } } & { F _ { 2 4 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { F _ { 2 7 } } \\ { F _ { 1 6 } } & { F _ { 1 5 } } & { F _ { 1 4 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { F _ { 1 7 } } \\ { F _ { 7 1 } } & { F _ { 7 2 } } & { F _ { 7 1 } } & { F _ { 7 1 } } & { F _ { 7 2 } } & { F _ { 7 1 } } & { F _ { 7 7 } } \end{array} \right] { . }
\begin{array} { r l r } { W _ { r } ^ { r } ( G , G _ { * } ) } & { = } & { ( 1 - \lambda ^ { * } ) | | ( \Delta \mu , \Delta \Sigma ) | | ^ { r } + ( 1 - \lambda ) | | ( \Delta \mu ^ { * } , \Delta \Sigma ^ { * } ) | | ^ { r } } \\ & { + } & { ( \lambda + \lambda ^ { * } - 1 ) | | ( \mu , \Sigma ) - ( \mu ^ { * } , \Sigma ^ { * } ) | | ^ { r } } \\ & { = } & { ( \lambda ^ { * } - \lambda ) | | ( \Delta \mu ^ { * } , \Delta \Sigma ^ { * } ) | | ^ { r } + ( 1 - \lambda ^ { * } ) ( | | ( \Delta \mu , \Delta \Sigma ) | | ^ { r } + | | ( \Delta \mu ^ { * } , \Delta \Sigma ^ { * } ) | | ^ { r } ) } \\ & { + } & { ( \lambda ^ { * } + \lambda - 1 ) | | ( \mu , \Sigma ) - ( \mu ^ { * } , \Sigma ^ { * } ) | | ^ { r } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } H - \dot { \Lambda } ( t ) \xi _ { \delta } \; \partial _ { \overline { { x } } } H + ( 1 - \Lambda \xi _ { \delta } ^ { \prime } ) ^ { 4 } \; \partial _ { \overline { { x } } } ( H ^ { 3 } \partial _ { \overline { { x } } } ^ { 3 } H ) + F _ { 1 } = 0 \qquad } & { \mathrm { ~ i n ~ } \overline { { x } } > 0 , } \\ { H = \psi _ { 1 } , \quad \partial _ { \overline { { x } } } H = \psi _ { 2 } , \quad \partial _ { \overline { { x } } } ^ { 3 } H = \psi _ { 3 } \qquad } & { \mathrm { ~ a t ~ } \overline { { x } } = 0 , } \\ { H \to 1 \qquad } & { \mathrm { ~ a s ~ } \ \overline { { x } } \to \infty , } \\ { H ( \overline { { x } } , 0 ) = H _ { 0 } \equiv h _ { 0 } ( \overline { { x } } + \Lambda ( 0 ) ) \to 1 \qquad } & { \mathrm { ~ a s ~ } \ \overline { { x } } \to \infty , } \end{array}
\begin{array} { r l } { k _ { \mathrm { S L - G G A } } ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) } & { = \Sigma _ { \mathrm { C o v } } k _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 1 } ^ { \prime } ) } \\ { k _ { \mathrm { S L - M G G A } } ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) } & { = \Sigma _ { \mathrm { C o v } } k _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 1 } ^ { \prime } ) k _ { 2 } ( x _ { 2 } , x _ { 2 } ^ { \prime } ) } \\ { k _ { \mathrm { N L - G G A } } ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) } & { = \Sigma _ { \mathrm { C o v } } k _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 1 } ^ { \prime } ) } \\ & { \times \sum _ { i = 2 } ^ { 4 } \sum _ { j = i + 1 } ^ { 4 } k _ { i } ( x _ { i } , x _ { i } ^ { \prime } ) k _ { j } ( x _ { j } , x _ { j } ^ { \prime } ) } \\ { k _ { \mathrm { N L - M G G A } } ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) } & { = \Sigma _ { \mathrm { C o v } } k _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 1 } ^ { \prime } ) } \\ & { \times \sum _ { i = 2 } ^ { 5 } \sum _ { j = i + 1 } ^ { 5 } k _ { i } ( x _ { i } , x _ { i } ^ { \prime } ) k _ { j } ( x _ { j } , x _ { j } ^ { \prime } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { B ^ { + } } ( x ) + f _ { B ^ { - } } ( x ) } & { \leq \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } t } } \left( \Theta _ { _ { E } } \left[ 3 , 0 , e x p \left\lbrace - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 4 L ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } t } \right) \right\rbrace \right] - \exp \left\lbrace - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 4 L ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } t } \right) \right\rbrace \right) } \\ & { = C _ { B } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S } & { = } & { \int _ { \mathbb { R } \times \Sigma } d t d ^ { 3 } x \Big ( \tilde { \pi } ^ { a b } \dot { q } _ { a b } + \tilde { \Pi } ^ { i } \dot { Y } _ { i } - 2 N ^ { a } \tilde { \mathcal { C } } _ { a } - N \tilde { \mathcal { C } } } \\ & { } & { - \Lambda _ { i } \tilde { \mathcal { G } } ^ { i } - \tilde { \rho } ^ { i } Y _ { i } \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { E } _ { 0 , 0 } ^ { k _ { 0 } } ( \boldsymbol { x } , t ; \hbar ) = \sum _ { \alpha \in \mathbb { N } ^ { k _ { 0 } } \times \{ 1 \} } ( i \lambda ) ^ { | \alpha | } \int _ { 0 } ^ { t } U _ { \hbar , \lambda } ( - s _ { k _ { 0 } + 1 } ) U _ { \hbar , 0 } ( s _ { k _ { 0 } + 1 } ) \tilde { \mathcal { E } } ^ { k _ { 0 } } ( \boldsymbol { x } , s _ { k _ { 0 } + 1 } , \alpha , t ; \hbar ) \, d s _ { k _ { 0 } + 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Theta _ { 1 0 } = \frac { \left( 2 s ( s { + } 1 ) { + } n \left( n { - } 1 \right) { - } { N } ^ { 2 } { + } 1 \right) \sqrt { 4 n ^ { 2 } - 1 } } { n ( N { - } n ) ( N { + } n ) } } \\ & { \Theta _ { 2 0 } = { - } \frac { \left( n { - } 1 \right) \left( N { - } n { + } 1 \right) \left( N { + } n { - } 1 \right) } { n \left( N { - } n \right) \left( N { + } n \right) } \sqrt { \frac { 2 n { + } 1 } { 2 n { - } 3 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta \equiv \frac { ( 1 + 2 \alpha - \alpha ^ { 2 } ) \cos \phi + ( 1 - 2 \alpha - \alpha ^ { 2 } ) ( \sin \phi - 1 ) } { 1 + \alpha ^ { 2 } } : } & { \; \tau = \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 + \eta \gamma + \gamma ^ { 2 } } { 1 + 2 \gamma + \gamma ^ { 2 } } } \\ { \gamma \rightarrow 0 : } & { \; \frac { \partial \tau } { \partial ( \gamma + 1 ) } = \frac { \eta } { 2 } - 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ( P 1 ) } ~ \mathop { \textup { m i n i m i z e } } _ { x _ { k } , y _ { k } } ~ \sum _ { u = 1 } ^ { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } } & { ( f ( x _ { k } , y _ { k } , a _ { u } , b _ { u } ) + f ( x _ { k } , y _ { k } , a _ { m } , b _ { m } ) } \\ & { - \mathcal { D } _ { u , m } ( g _ { u , m , k } ) ) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { G ( \eta ^ { * } ; \mu ) - G ( z ; \mu ) } \\ & { \qquad = \left\{ \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } g _ { u } ( \tau ( z + s ( \eta ^ { * } - z ) ) ; \mu ) d \tau \right) ( z + s ( \eta ^ { * } - z ) ) d s \right\} ( \eta ^ { * } - z ) } \\ & { \qquad \geq \operatorname* { m i n } _ { ( u , \mu ) \in [ \eta ^ { * } , z ] \times [ \overline { { \mu } } + { \epsilon } _ { r } , \mu _ { r } ] } | { g } _ { u } ( u ; \mu ) | \left\{ \int _ { 0 } ^ { 1 } ( z + s ( \eta ^ { * } - z ) ) d s \right\} ( \eta ^ { * } - z ) } \\ & { \qquad \geq \frac { { g } _ { 1 } } { 2 } ( z + \eta ^ { * } ) ( z - \eta ^ { * } ) \geq \frac { { g } _ { 1 } } { 2 } z ( z - \eta ^ { * } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { h _ { v e x } } & { } & { = - \epsilon _ { v e x } \exp \left( - \alpha _ { v e x } r _ { i j } ^ { 2 } \right) , \mathrm { ~ w h e n ~ b e a d - p a i r ~ ( ~ i j ~ ) ~ b o u n d ~ t o ~ T o p o - I I ~ a n d ~ i n ~ t h e ~ a t t r a c t i o n ~ s t a t e , } } \\ & { } & { = 0 , \mathrm { w h e n ~ b e a d - p a i r ~ ( ~ i j ~ ) ~ b o u n d ~ t o ~ T o p o - I I } \mathrm { ~ a n d ~ i n ~ t h e ~ n o - i n t e r a c t i o n ~ s t a t e } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb E \widehat Z _ { N } ^ { 2 } } & { = \sum _ { \sigma , \tau } \prod _ { i < j , \ k < l } \mathbb E \big ( 1 + \sigma _ { i } \sigma _ { j } \operatorname { t a n h } ( \beta J _ { i j } ) \bigr ) \bigl ( 1 + \tau _ { k } \tau _ { l } \operatorname { t a n h } ( \beta J _ { k l } ) \bigr ) } \\ & { = \sum _ { \sigma , \tau } \prod _ { i < j } \bigl ( 1 + \sigma _ { i } \sigma _ { j } \tau _ { i } \tau _ { j } \mathbb E \operatorname { t a n h } ^ { 2 } ( \beta J ) \bigr ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } } & { ( { \bf 1 } _ { p } ^ { \prime } U _ { 3 } ) = \frac { 4 } { n ^ { 2 } \bar { N } ^ { 2 } } \sum _ { k < \ell } \sum _ { i \in S _ { k } } \sum _ { m \in S _ { \ell } } \sum _ { r = 1 } ^ { N _ { i } } \sum _ { s = 1 } ^ { N _ { m } } \Bigl ( \sum _ { j } \Omega _ { i j } \Omega _ { m j } + \delta _ { i m } \Bigr ) } \\ & { = \frac { 2 } { n ^ { 2 } \bar { N } ^ { 2 } } \sum _ { k \neq \ell } \sum _ { i \in S _ { k } } \sum _ { m \in S _ { \ell } } \sum _ { j } N _ { i } N _ { m } \Omega _ { i j } \Omega _ { m j } + \frac { 2 } { n ^ { 2 } \bar { N } ^ { 2 } } \sum _ { k \neq \ell } \sum _ { i \in S _ { k } } \sum _ { m \in S _ { \ell } } N _ { i } N _ { m } \delta _ { i m } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \lambda - \mu ) \int _ { 0 } ^ { 1 } e ^ { - 2 x } \phi _ { \mu } \phi _ { \lambda } \, d x } & { = - \int _ { 0 } ^ { 1 } ( e ^ { - 2 x } \phi _ { \lambda } ^ { \prime } ) ^ { \prime } \phi _ { \mu } - \phi _ { \lambda } ( e ^ { - 2 x } \phi _ { \mu } ^ { \prime } ) ^ { \prime } \phi _ { \lambda } \, d x } \\ & { = - \int _ { 0 } ^ { 1 } \left[ ( e ^ { - 2 x } \phi _ { \lambda } ^ { \prime } ) \phi _ { \mu } - \phi _ { \lambda } ( e ^ { - 2 x } \phi _ { \mu } ^ { \prime } ) \right] ^ { \prime } \, d x } \\ & { = - \left. \left[ ( e ^ { - 2 x } \phi _ { \lambda } ^ { \prime } ) \phi _ { \mu } - \phi _ { \lambda } ( e ^ { - 2 x } \phi _ { \mu } ^ { \prime } ) \right] \right| _ { x = 0 } ^ { 1 } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r } { \Omega _ { 1 } } & { = } & { \sum _ { m , n , k } \int \delta \left( \frac { \hbar \beta _ { 2 } } { t _ { 0 } } [ n + m - k ] - \frac { \boldsymbol { p } _ { 1 } \boldsymbol { p } _ { 2 } } { \mu _ { 0 } } \right) \times \ } & { \times } & { \hat { \boldsymbol { \mathfrak a } } ^ { + } ( \boldsymbol { p } _ { 1 } ; n ) \hat { \boldsymbol { \mathfrak a } } ^ { + } ( \boldsymbol { p } _ { 2 } ; m ) \hat { \boldsymbol { \mathfrak a } } ( \boldsymbol { p } _ { 1 } + \boldsymbol { p } _ { 2 } ; k ) d ^ { 3 } \boldsymbol { p } _ { 1 } d ^ { 3 } \boldsymbol { p } _ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } h ^ { 3 / 2 } \left\langle v \right\rangle ^ { 9 / 2 } \, \mathrm { d } v \right) ^ { 2 / 3 } } & { \le \left( \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } h ^ { p } \, \mathrm { d } v \right) ^ { \frac { 1 } { 3 ( p - 1 ) } } \left( \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } h \left\langle v \right\rangle ^ { \frac { 9 } { 2 } \frac { p - 1 } { p - 3 / 2 } } \, \mathrm { d } v \right) ^ { \frac { 2 } { 3 } \frac { p - 3 / 2 } { p - 1 } } } \\ { \left( \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } h ^ { 3 p / 4 } \, \mathrm { d } v \right) ^ { 4 / 3 } } & { \le \left( \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } h ^ { p } \, \mathrm { d } v \right) ^ { \frac { p - 4 / 3 } { ( p - 1 ) } } \left( \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } h \, \mathrm { d } v \right) ^ { \frac { p } { 3 ( p - 1 ) } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma : \Gamma , x : A ( \gamma ) \vdash \textnormal { \texttt { g } } ( \textnormal { \texttt { f } } ( \gamma ) ) , \textnormal { \texttt { g } } _ { n + 1 } ( \textnormal { \texttt { f } } ( \gamma ) , \textnormal { \texttt { f } } _ { m + 1 } ( \gamma , x ) ) } & { = \gamma , x \textnormal { \, i . e . } } \\ { \gamma : \Gamma , x : A ( \gamma ) \vdash ( \textnormal { \texttt { g } } , \textnormal { \texttt { g } } _ { n + 1 } ) ( ( \textnormal { \texttt { f } } , \textnormal { \texttt { f } } _ { m + 1 } ) ( \gamma , x ) ) } & { = \gamma , x } \end{array}
\begin{array} { r } { 2 \| \rho _ { n } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } \| ( z - \mathcal { S } ^ { 1 } ( \boldsymbol { X } ) ) \boldsymbol { Y } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } \geq \| \rho _ { n } \Big ( z \boldsymbol { Y } - \mathcal { S } ^ { 1 } ( \boldsymbol { X } ) \boldsymbol { Y } \Big ) \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } } \\ { \geq \| z \rho _ { n } \boldsymbol { Y } - \mathcal { S } ^ { 1 } ( \boldsymbol { X } ) ( \rho _ { n } \boldsymbol { Y } ) \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } - \| \rho _ { n } \mathcal { S } ^ { 1 } ( \boldsymbol { X } ) \boldsymbol { Y } - \mathcal { S } ^ { 1 } ( \boldsymbol { X } ) ( \rho _ { n } \boldsymbol { Y } ) \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } , } \end{array}
\| P _ { n } f \| _ { H ^ { m + 1 } } ^ { 2 } \leq C _ { s } \sum _ { | \boldsymbol { k } | \leq n } ( 1 + | \boldsymbol { k } | ^ { 2 m + 2 } ) | f _ { \boldsymbol { k } } | ^ { 2 } \leq n ^ { 2 } C _ { m } \sum _ { | \boldsymbol { k } | \leq n } ( 1 + | \boldsymbol { k } | ^ { 2 m } ) | f _ { \boldsymbol { k } } | ^ { 2 } = n ^ { 2 } C _ { m } \| P _ { n } f \| _ { H ^ { m } } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \ll ( f ^ { 1 } , e ^ { 1 } ) , ( f ^ { 2 } , e ^ { 2 } ) \gg } & { = \langle e ^ { 1 } , f ^ { 2 } \rangle _ { 2 } + \langle e ^ { 2 } , f ^ { 1 } \rangle _ { 2 } } \\ & { = \langle e ^ { 2 } , - J e ^ { 1 } \rangle _ { 2 } + \langle e ^ { 1 } , - J e ^ { 2 } \rangle _ { 2 } } \\ & { = \langle e ^ { 1 } , J e ^ { 2 } \rangle _ { 2 } - \langle e ^ { 1 } , J e ^ { 2 } \rangle _ { 2 } } \\ & { = 0 . } \end{array}
\log \left( 1 + \varepsilon ^ { 1 / 2 } \frac { p v } { \sigma ( 2 - p ) } \right) = \varepsilon ^ { 1 / 2 } \frac { p v } { \sigma ( 2 - p ) } - \frac { \varepsilon } { 2 } \left( \frac { p v } { \sigma ( 2 - p ) } \right) ^ { 2 } + \frac { \varepsilon ^ { 3 / 2 } } { 3 } \left( \frac { p v } { \sigma ( 2 - p ) } \right) ^ { 3 } + O ( \varepsilon ^ { 2 } v ^ { 4 } )
\begin{array} { r l } { \mathrm { T e r m ~ 2 } _ { j } } & { = - \Phi _ { j } ( \eta ) + \Phi _ { j - 1 } ( \eta ) + \frac { 1 } { \eta } \log \left( \frac { \sum _ { i \in \mathcal P _ { j } } \exp ( - \eta \tilde { G } _ { j - 1 } ( i ; I _ { j - 1 : 0 } ) ) } { \sum _ { i \in \mathcal P _ { j - 1 } } \exp ( - \eta \tilde { G } _ { j - 1 } ( i ; I _ { j - 1 : 0 } ) ) } \right) } \\ & { \leq - \Phi _ { j } ( \eta ) + \Phi _ { j - 1 } ( \eta ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \big ( | X | \geq t + Y \big ) } & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathbb { P } \big ( | X | \geq t + y \big ) P _ { Y } ( y ) d y } \\ { \mathbb { P } \big ( | X | \geq t - Y \big ) } & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathbb { P } \big ( | X | \geq t - y \big ) P _ { Y } ( y ) d y . } \end{array}
\big ( \mathbb { E } ( \widetilde { T } _ { 1 } ) \big ) ^ { - 1 } \; = \; \left[ \left( 1 + \frac { C _ { 0 } \, \widetilde { y } _ { - } ^ { \prime } } { \mathbb { E } ( \log ( \kappa _ { 0 } ) ) + C _ { 0 } \lambda } \right) \, \frac { e ^ { C _ { 0 } \widetilde { \nu } \widetilde { y } _ { + } ^ { \prime \prime } } - e ^ { C _ { 0 } \widetilde { \nu } \widetilde { y } _ { - } ^ { \prime \prime } } } { 1 - e ^ { C _ { 0 } \widetilde { \nu } \widetilde { y } _ { - } ^ { \prime \prime } } } \, + \, \frac { C _ { 0 } \, ( \widetilde { y } _ { + } ^ { \prime } - \widetilde { y } _ { - } ^ { \prime } ) } { \mathbb { E } ( \log ( \kappa _ { 0 } ) ) + C _ { 0 } \lambda } \, + \, 1 \right] ^ { - 1 } \, ,
\begin{array} { r } { \left\vert \big ( G _ { 1 } E _ { - } G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } G _ { 2 } \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { y } } \right\vert = \left\vert \frac { 1 } { w _ { 1 } } \big ( [ G ( - w _ { 1 } ) - G ( w _ { 1 } ) ] \mathring { A } _ { 1 } ^ { w _ { 1 } , w _ { 2 } } G ( w _ { 2 } ) \big ) _ { ( E _ { - } \boldsymbol { x } ) \boldsymbol { y } } \right\vert \prec \frac { 1 } { \eta ^ { 2 } } \left( 1 + \frac { \psi _ { 1 } ^ { \mathrm { i s o } } } { \sqrt { N \eta } } \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ( p , W _ { * } ) = } & { p _ { 1 } \cdot 1 \cdot \log \frac { 1 \cdot p _ { 1 } } { p _ { 1 } \cdot p _ { 1 } } + p _ { 2 } \cdot 1 \cdot \log \frac { 1 \cdot p _ { 2 } } { p _ { 2 } ( p _ { 2 } + p _ { 3 } ) } } \\ { + } & { p _ { 3 } \cdot 1 \cdot \log \frac { 1 \cdot p _ { 3 } } { p _ { 3 } ( p _ { 2 } + p _ { 3 } ) } } \\ { = } & { p _ { 1 } \cdot 1 \cdot \log \frac { 1 \cdot p _ { 1 } } { p _ { 1 } \cdot p _ { 1 } } + p _ { 2 } \cdot 1 \cdot \log \frac { 1 \cdot p _ { 2 } } { p _ { 2 } ( p _ { 2 } + p _ { 3 } ) } } \\ { + } & { p _ { 3 } \cdot 1 \cdot \log \frac { 1 \cdot p _ { 3 } } { p _ { 3 } ( p _ { 2 } + p _ { 3 } ) } } \\ { = } & { p _ { 1 } \log \frac { 1 } { p _ { 1 } } + ( p _ { 2 } + p _ { 3 } ) \log \frac { 1 } { p _ { 2 } + p _ { 3 } } } \\ { = } & { p _ { 1 } \log \frac { 1 } { p _ { 1 } } + ( 1 - p _ { 1 } ) \log \frac { 1 } { 1 - p _ { 1 } } } \\ { = } & { h _ { 2 } ( p _ { 1 } ) } \end{array}
\left( \log J _ { p } ( p _ { k } / q _ { k } ) , \log J _ { p ^ { \prime } } ( p _ { k } / q _ { k } ) \right) = \sum _ { 0 \le j < k / 2 } \left( \frac { a _ { 2 j + 2 } } { 8 } , - \frac { a _ { 2 j + 1 } } { 8 } \right) + \sum _ { 0 \le j < k / 2 } \left( g _ { p } ( T ^ { 2 j } ( p _ { k } / q _ { k } ) ) , g _ { p ^ { \prime } } ( T ^ { 2 j } ( p _ { k } / q _ { k } ) ) \right) .
\begin{array} { r l } { h ( 1 ) } & { = ( \textsf { \upshape t r u e } , \textsf { \upshape f a l s e } , \dots , \textsf { \upshape f a l s e } ) } \\ { h ( 2 ) } & { = ( \textsf { \upshape t r u e } , \textsf { \upshape t r u e } , \textsf { \upshape f a l s e } , \dots , \textsf { \upshape f a l s e } ) } \\ { \vdots } \\ { h ( k ) } & { = ( \textsf { \upshape t r u e } , \textsf { \upshape t r u e } , \dots , \textsf { \upshape t r u e } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \chi ( r - 1 ) ^ { q } \Re ( \widetilde { X } \overline { { \check { u } } } w ^ { - 1 } ( \mathcal { L } u ) _ { m \ell } ) = } & { \: - \chi ( r - 1 ) ^ { 2 + q } \Re ( \widetilde { X } \overline { { \check { u } } } \widetilde { X } ^ { 2 } \check { u } ) - 2 ( r - 1 ) ^ { q + 1 } \left[ 1 + \Re \left( w ^ { - 1 } \frac { d w } { d r } \right) \right] | \widetilde { X } \check { u } | ^ { 2 } } \\ { = } & { \: - \frac { 1 } { 2 } \widetilde { X } \left( \chi ( r - 1 ) ^ { 2 + q } | \widetilde { X } \check { u } | ^ { 2 } \right) } \\ & { \: + ( r - 1 ) ^ { q + 1 } \left[ \frac { q } { 2 } - 1 - 2 \Re \left( w ^ { - 1 } \frac { d w } { d r } \right) \right] | \widetilde { X } \check { u } | ^ { 2 } + \frac { d \chi } { d r } ( r - 1 ) ^ { 2 + q } | \widetilde { X } \check { u } | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \mathbf { y } _ { h } ^ { * } - \mathbf { y } _ { h } ^ { \epsilon } | _ { H ^ { m } ( T ) } } & { = | \mathbf { y } _ { h } ^ { * } - \mathbf { y } _ { h } ^ { \epsilon } - \mathbf { p } _ { m - 1 } | _ { H ^ { m } ( T ) } \lesssim h _ { T } ^ { 1 - m } \| Q [ \widehat \mathbf { y } ^ { * } - \widehat \mathbf { y } ^ { \epsilon } - \mathbf { p } _ { m - 1 } \circ F _ { T } ] \| _ { H ^ { 2 } ( \widehat T ) } } \\ & { \lesssim h _ { T } ^ { 1 - m } \| \widehat \mathbf { y } ^ { * } - \widehat \mathbf { y } ^ { \epsilon } - \mathbf { p } _ { m - 1 } \circ F _ { T } \| _ { L _ { 2 } ( \widehat T ) } \lesssim h _ { T } ^ { - m } \| \mathbf { y } ^ { * } - \mathbf { y } ^ { \epsilon } - \mathbf { p } _ { m - 1 } \| _ { L ^ { 2 } ( T ) } } \\ & { \lesssim \| \mathbf { y } ^ { * } - \mathbf { y } ^ { \epsilon } \| _ { H ^ { 2 } ( T ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { j } ^ { n } = } & { - M _ { n + 1 } - L _ { j } ^ { n } + \int _ { x _ { 0 } } ^ { x _ { j - 1 } } \zeta ( { u } _ { n , 0 } ^ { \varDelta } ( x ) ) d x + V ( u _ { \mathrm { L } } ) { \varDelta } t + \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } K d x } \\ & { + \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j } + \lambda _ { 1 } ( u _ { \mathrm { L } } ^ { ( 2 ) } ) { \varDelta } t } \eta ( R _ { 1 } ^ { \varDelta } ( u _ { \mathrm { L } } , z _ { \mathrm { L } } ^ { ( 1 ) } , x , t _ { n + 1 - } ) ) d x . } \end{array}
\begin{array} { r } { R = \left( \begin{array} { l l l l } { \cos ^ { 2 } \theta } & { \cos \theta \sin \theta } & { \cos \theta \sin \theta } & { \sin ^ { 2 } \theta } \\ { - \sin \theta \cos \theta } & { \cos ^ { 2 } \theta } & { - \sin ^ { 2 } \theta } & { \sin \theta \cos \theta } \\ { - \sin \theta \cos \theta } & { - \sin ^ { 2 } \theta } & { \cos ^ { 2 } \theta } & { \sin \theta \cos \theta } \\ { \sin ^ { 2 } \theta } & { - \sin \theta \cos \theta } & { - \sin \theta \cos \theta } & { \cos ^ { 2 } \theta } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { | \{ D v _ { I + \ell + r } | _ { \tilde { U } } \in \mathcal { W } _ { I + \ell + 1 , t _ { \ell + r } } ^ { 1 } \cup \mathcal { W } _ { I + \ell + 1 , t _ { \ell + r } } ^ { 2 } \} | > \frac { t _ { \ell + 3 } } { t _ { \ell + r } } \varepsilon _ { \tilde { U } } | \tilde { U } | > \frac { 9 } { 1 0 } \varepsilon _ { \tilde { U } } | \tilde { U } | ; } \\ { | \{ D v _ { I + \ell + r } | _ { \tilde { U } } \in \mathcal { W } _ { I + \ell + 2 , t _ { \ell + r } } ^ { 1 } \cup \mathcal { W } _ { I + \ell + 2 , t _ { \ell + r } } ^ { 2 } \} | > \frac { t _ { \ell + 3 } } { t _ { \ell + r } } \varepsilon _ { \tilde { U } } ^ { \prime } | \tilde { U } | > \frac { 9 } { 1 0 } \varepsilon _ { \tilde { U } } ^ { \prime } | \tilde { U } | . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { H e s s } _ { \tilde { g } _ { i } } \tilde { f } _ { i } + R c _ { \tilde { g } _ { i } } = \frac { \tilde { g } _ { i } } { 2 s _ { i } } , } \\ & { R _ { \tilde { g } _ { i } } + | \nabla _ { \tilde { g } _ { i } } \tilde { f } _ { i } | _ { \tilde { g } _ { i } } ^ { 2 } = 1 + \frac { \tilde { f } _ { i } } { s _ { i } } . } \end{array}
\| \mathcal { E } ( \Omega _ { B } ^ { - 1 } ( \zeta ) ) \| \ll { \Delta _ { 1 } ^ { - 1 } ( \widehat { a } _ { i } ) } N ^ { - 1 / 2 + \tau _ { 2 } } \lesssim \left\{ \begin{array} { l l } { \rho _ { i } ^ { a } \lesssim \mathfrak { d } ( \zeta ) , } & { \mathrm { f o r } \ \zeta \in \Gamma _ { i } } \\ { \rho _ { \mu } ^ { b } \lesssim \mathfrak { d } ( \zeta ) , } & { \mathrm { f o r } \ \zeta \in \Gamma _ { \mu } } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r } { \mu ( x ) \triangleq \! \left\{ \begin{array} { l l } { - \ln 2 , } & { x = 0 , } \\ { - 3 . 0 8 8 8 \! \times \! \! 1 0 ^ { - 1 0 } x ^ { 6 } \! + \! 1 . 8 3 6 2 \! \times \! \! 1 0 ^ { - 7 } \! x ^ { 5 } } \\ { - 3 . 7 1 8 5 \! \times \! \! 1 0 ^ { - 5 } x ^ { 4 } \! + \! 3 . 4 1 0 3 \! \times \! \! 1 0 ^ { - 3 } x ^ { 3 } } \\ { - 0 . 1 6 2 4 \! \times \! \! x ^ { 2 } \! - \! 1 . 4 3 1 8 x \! + \! 0 . 7 4 0 9 , } & { 1 0 \leq x \leq 8 0 0 0 , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { e } _ { \beta \cdot \Delta t } ^ { X _ { t } } ( Y _ { t + \Delta t } ) - Y _ { t } } & { = \left( \frac { \partial f } { \partial t } ( t , X _ { t } ) + \mu ( t , X _ { t } ) \frac { \partial f } { \partial x } ( t , X _ { t } ) + \frac { 1 } { 2 } \sigma ( t , X _ { t } ) ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x ^ { 2 } } ( t , X _ { t } ) \right) \Delta t } \\ & { \qquad + \left| \sigma ( t , X _ { t } ) \frac { \partial f } { \partial x } ( t , X _ { t } ) \right| \sqrt { \Delta t } \cdot \sqrt { \frac { 8 } { \pi } } \left( \frac { 1 + \sqrt { \beta ( t , x ) \, \Delta t } } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \overline { { | { \mathcal { M } } | ^ { 2 } } } } } & { \equiv { \frac { 1 } { 4 } } \sum _ { \mathrm { s p i n s } } | { \mathcal { M } } | ^ { 2 } } \\ & { = 2 e ^ { 4 } { \Big \{ \frac { 1 } { t ^ { 2 } } } { \big ( } s ^ { 2 } + u ^ { 2 } - 8 m ^ { 2 } ( s + u ) + 2 4 m ^ { 4 } { \big ) } } \\ & { ~ ~ + { \frac { 1 } { u ^ { 2 } } } { \big ( } s ^ { 2 } + t ^ { 2 } - 8 m ^ { 2 } ( s + t ) + 2 4 m ^ { 4 } { \big ) } } \\ & { ~ ~ + { \frac { 2 } { t u } } { \big ( } s ^ { 2 } - 8 m ^ { 2 } s + 1 2 m ^ { 4 } { \big ) } { \Big \} } } \end{array} } .
\begin{array} { r l } { L e _ { I } } & { = e _ { I ^ { \prime } } ( 1 _ { \{ { i _ { | I | } } = 0 \} } + \kappa ^ { i _ { | I | } } ( \theta ^ { i _ { | I | } } - \widehat Z _ { 0 } ^ { i _ { | I | } } ) 1 _ { \{ { i _ { | I | } } \neq 0 \} } ) - ( e _ { I ^ { \prime } } \shuffle e _ { i _ { | I | } } ) \kappa ^ { i _ { | I | } } 1 _ { \{ { i _ { | I | } } \neq 0 \} } } \\ & { \qquad + \frac 1 2 e _ { I ^ { \prime \prime } } \sigma ^ { i _ { | I | - 1 } } \sigma ^ { i _ { | I | } } \rho _ { { i _ { | I | - 1 } } { i _ { | I | } } } 1 _ { \{ { i _ { | I | - 1 } } , { i _ { | I | } } \neq 0 \} } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\{ F , G \right\} _ { D } } & { = } & { \left\{ F , G \right\} - \int d ^ { 3 } x \left\{ F , P ^ { \mu } \right\} \Lambda _ { \mu \rho } ^ { - 1 } D ^ { \rho \sigma } \Lambda _ { \nu \sigma } ^ { - 1 } \left\{ P ^ { \nu } , G \right\} - } \\ & { } & { - \int d ^ { 3 } x \left\{ G , P ^ { \mu } \right\} \Lambda _ { \mu \beta } ^ { - 1 } \left\{ X ^ { \beta } , F \right\} + \int d ^ { 3 } x \left\{ F , P ^ { \mu } \right\} \Lambda _ { \mu \beta } ^ { - 1 } \left\{ X ^ { \beta } , G \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { 0 } ( r , \tau ) } & { = \frac { \Gamma ( \frac { d + 1 } { 2 } ) } { \pi ^ { ( d + 1 ) / 2 } } \, \frac { \left( a _ { \Re } ^ { 2 } + a _ { \Im } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } { \left[ \left( a _ { \Re } ^ { 2 } + a _ { \Im } ^ { 2 } + r ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - 4 a _ { \Im } ^ { 2 } r ^ { 2 } \right] ^ { ( d + 1 ) / 4 } } \, , } \\ { \tan \gamma ( r , \tau ) } & { = \frac { 2 a _ { \Im } a _ { \Re } } { a _ { \Re } ^ { 2 } - a _ { \Im } ^ { 2 } + r ^ { 2 } } \, , \; \tan \phi ( \tau ) = \frac { a _ { \Im } } { a _ { \Re } } \, , } \\ { a _ { \mathrm { R e } } } & { = \frac { \xi \lvert \tau \rvert } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } + \epsilon \, , \; a _ { \mathrm { I m } } = \xi \lvert \tau \rvert \tilde { \omega } _ { d } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { r _ { \mathbf y } ( \operatorname { v e c k } ( A ) , \Lambda , \mu ) \propto } & { ( 2 \pi ) ^ { \frac { - n d } { 2 } } | \Sigma | ^ { - n / 2 } \exp \left\{ \frac { - 1 } { 2 } \operatorname { t r } \left( \Sigma ^ { - 1 } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \mathbf { y } _ { i } - \mu ) ( \mathbf { y } _ { i } - \mu ) ^ { T } \right) \right) \right\} D ( J ) . } \end{array}
m _ { 0 } = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { \frac { 1 } { W _ { l - 1 } } } \\ { \frac { 1 } { W _ { l - 1 } } } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { \frac { 1 } { W _ { l - 2 } } } \\ { \frac { 1 } { W _ { l - 2 } } } & { 0 } \end{array} \right) \cdots \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { \frac { 1 } { W _ { 0 } } } \\ { \frac { 1 } { W _ { 0 } } } & { 0 } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } } & { _ \mathrm { N L } ^ { \mathrm { F W M } } = - \int d \omega _ { 1 } d \omega _ { 2 } d \omega _ { 3 } d \omega _ { 4 } \mathrm { S } _ { \perp } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } , \omega _ { 4 } ) } \\ & { \times \mathcal { J } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } , \omega _ { 4 } ) a _ { S } ^ { \dagger } ( \omega _ { 1 } ) a _ { I } ^ { \dagger } ( \omega _ { 2 } ) a _ { P } ( \omega _ { 3 } ) a _ { P } ( \omega _ { 4 } ) \ , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r } & { } & { T _ { 9 } = } & { \left\{ \{ 1 , 2 , 3 , 4 \} , \{ 1 , 2 , 4 , 5 \} \right\} , } \\ & { } & { T _ { 1 2 } = } & { \left\{ \{ 1 , 3 , 4 , 5 \} , \{ 1 , 2 , 3 , 5 \} \right\} , } & & { T _ { 1 6 } = } & { \left\{ \{ 1 , 3 , 5 , 6 \} , \{ 1 , 3 , 4 , 6 \} , \{ 1 , 2 , 3 , 5 \} \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Omega } & { = } & { \left[ \begin{array} { c c } { \begin{array} { c } { c + \upbeta ^ { 0 } + ( \upbeta ^ { 2 3 } + \upbeta ^ { 0 2 3 } ) \imath } \\ { - ( \upbeta ^ { 1 3 } + \upbeta ^ { 0 1 3 } ) \jmath + ( \upbeta ^ { 1 2 } + \upbeta ^ { 0 1 2 } ) k } \\ { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad } \\ { ( \upbeta ^ { 0 1 2 3 } - \upbeta ^ { 1 2 3 } ) + ( \upbeta ^ { 1 } - \upbeta ^ { 0 1 } ) \imath } \\ { + ( \upbeta ^ { 2 } - \upbeta ^ { 0 2 } ) \jmath + ( \upbeta ^ { 3 } - \upbeta ^ { 0 3 } ) k } \end{array} \begin{array} { c } { - ( \upbeta ^ { 1 2 3 } + \upbeta ^ { 0 1 2 3 } ) + ( \upbeta ^ { 1 } + \upbeta ^ { 0 1 } ) \imath + } \\ { ( \upbeta ^ { 2 } + \upbeta ^ { 0 2 } ) \jmath + ( \upbeta ^ { 3 } + \upbeta ^ { 0 3 } ) k } \\ { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad } \\ { ( c - \upbeta ^ { 0 } ) + ( \upbeta ^ { 2 3 } - \upbeta ^ { 0 2 3 } ) \imath + } \\ { ( \upbeta ^ { 0 1 3 } - \upbeta ^ { 1 3 } ) \jmath + ( \upbeta ^ { 1 2 } - \upbeta ^ { 0 1 2 } ) k } \end{array} } & \end{array} \right] = { \small \left[ \begin{array} { l l } { \mathfrak { q } _ { 1 } } & { \mathfrak { q } _ { 2 } } \\ { \mathfrak { q } _ { 3 } } & { \mathfrak { q } _ { 4 } } \end{array} \right] } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k + 1 - 2 i , 2 k - 2 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k + 1 - 2 i , 2 k - 3 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k + 1 - 2 i , 2 k - 4 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k + 1 - 2 i , 2 k - 5 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 4 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k - 2 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 2 , 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial \left( \Im G _ { x x } \right) } { \partial \hat { b } _ { n \ell } } = } & { } & { b _ { n \ell } e ^ { j \ell \theta _ { n s } } \bigg [ H _ { \ell } ^ { \prime } \left( k _ { o } R _ { n s } \right) \sin \left( \theta _ { n s } \right) } \\ & { } & { \left. + \frac { j \ell } { k _ { o } R _ { n s } } H _ { \ell } \left( k _ { o } R _ { n s } \right) \cos \left( \theta _ { n s } \right) \right] } \\ { \frac { \partial \left( \Im G _ { y y } \right) } { \partial \hat { b } _ { n \ell } } = } & { } & { - b _ { n \ell } e ^ { j \ell \theta _ { n s } } \bigg [ H _ { \ell } ^ { \prime } \left( k _ { o } R _ { n s } \right) \cos \left( \theta _ { n s } \right) } \\ & { } & { \left. - \frac { j \ell } { k _ { o } R _ { n s } } H _ { \ell } \left( k _ { o } R _ { n s } \right) \sin \left( \theta _ { n s } \right) \right] } \\ { \frac { \partial \left( \Im G _ { z z } \right) } { \partial \hat { b } _ { n \ell } } = } & { } & { - j J _ { \ell } \left( k _ { o } r _ { n } \right) H _ { \ell } \left( k _ { o } R _ { n s } \right) e ^ { j \ell \theta _ { n s } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { z } = } & { \frac { 1 2 \mu } { I _ { 3 } ^ { 0 } } \left[ \dot { X } \frac { 1 } { 2 } \left( I _ { 3 } ^ { 0 } I _ { 2 } ^ { 1 } - I _ { 2 } ^ { 0 } I _ { 3 } ^ { 1 } \right) + \dot { Z } \left( I _ { 3 } ^ { 1 } I _ { 3 } ^ { 1 } - I _ { 3 } ^ { 2 } I _ { 3 } ^ { 0 } \right) + \dot { \theta } \frac { 1 } { 2 } \left( I _ { 3 } ^ { 1 } I _ { 3 } ^ { 2 } - I _ { 3 } ^ { 3 } I _ { 3 } ^ { 0 } \right) \right] \, , } \\ { F _ { x } = } & { \frac { 1 2 \mu } { I _ { 3 } ^ { 0 } } \left[ \dot { X } \left( \frac { 1 } { 6 } I _ { 1 } ^ { 0 } I _ { 3 } ^ { 0 } - \frac { 1 } { 4 } I _ { 2 } ^ { 0 } I _ { 2 } ^ { 0 } \right) + \dot { Z } \frac { 1 } { 2 } \left( I _ { 3 } ^ { 1 } I _ { 2 } ^ { 0 } - I _ { 2 } ^ { 1 } I _ { 3 } ^ { 0 } \right) + \dot { \theta } \frac { 1 } { 4 } \left( I _ { 2 } ^ { 0 } I _ { 3 } ^ { 2 } - I _ { 2 } ^ { 2 } I _ { 3 } ^ { 0 } \right) \right] } \\ & { - \theta F _ { z } \, , } \\ { G = } & { \frac { 1 2 \mu } { I _ { 3 } ^ { 0 } } \left[ \dot { X } \frac { 1 } { 4 } \left( I _ { 2 } ^ { 2 } I _ { 3 } ^ { 0 } - I _ { 3 } ^ { 2 } I _ { 2 } ^ { 0 } \right) + \dot { Z } \frac { 1 } { 2 } \left( I _ { 3 } ^ { 1 } I _ { 3 } ^ { 2 } - I _ { 3 } ^ { 3 } I _ { 3 } ^ { 0 } \right) + \dot { \theta } \frac { 1 } { 4 } \left( I _ { 3 } ^ { 2 } I _ { 3 } ^ { 2 } - I _ { 3 } ^ { 4 } I _ { 3 } ^ { 0 } \right) \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega ^ { \prime } } & { = \gamma ( \omega - \vec { v } . \vec { k } ) \approx \omega \, , } \\ { \vec { k } ^ { \prime } } & { = \vec { k } + \frac { 1 } { v ^ { 2 } } ( \gamma - 1 ) ( \vec { v } . \vec { k } ) \vec { v } - \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \gamma \omega \vec { v } \approx - \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \omega \vec { v } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Phi _ { \mathcal C , f , \sigma } ( \ell ) = \left[ \begin{array} { l l l l l l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { v _ { 1 } ^ { 2 } } & { v _ { 2 } ^ { 2 } } & { v _ { 3 } ^ { 2 } } & { v _ { 4 } ^ { 2 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - l _ { 3 , 1 } v _ { 1 } } & { - l _ { 3 , 2 } v _ { 2 } } & { - l _ { 3 , 3 } v _ { 3 } } & { - l _ { 3 , 4 } v _ { 4 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { l _ { 2 , 1 } v _ { 1 } } & { l _ { 2 , 2 } v _ { 2 } } & { l _ { 2 , 3 } v _ { 3 } } & { l _ { 2 , 4 } v _ { 4 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - v _ { 1 } } & { - v _ { 2 } } & { - v _ { 3 } } & { - v _ { 4 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { l _ { 3 , 1 } ^ { 2 } } & { l _ { 3 , 2 } ^ { 2 } } & { l _ { 3 , 3 } ^ { 2 } } & { l _ { 3 , 4 } ^ { 2 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { - l _ { 2 , 1 } l _ { 3 , 1 } } & { - l _ { 2 , 2 } l _ { 3 , 2 } } & { - l _ { 2 , 3 } l _ { 3 , 3 } } & { - l _ { 2 , 4 } l _ { 3 , 4 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { l _ { 3 , 1 } } & { l _ { 3 , 2 } } & { l _ { 3 , 3 } } & { l _ { 3 , 4 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { l _ { 2 , 1 } ^ { 2 } } & { l _ { 2 , 2 } ^ { 2 } } & { l _ { 2 , 3 } ^ { 2 } } & { l _ { 2 , 4 } ^ { 2 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - l _ { 2 , 1 } } & { - l _ { 2 , 2 } } & { - l _ { 2 , 3 } } & { - l _ { 2 , 4 } } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \left( \mathrm { D } _ { \mathrm { U V } } ^ { \mathrm { ( X U Y V Z ) } } \right) _ { a c d f g i k l n p , b e h j m q } } \\ & { = \sum _ { u u ^ { ' } v v ^ { ' } } ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { X } } ) _ { a b } \, ( | u \rangle ) _ { c } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { Y } } ) _ { d e } \, ( | v \rangle ) _ { f } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { Z } } ) _ { g h } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { X } } ) _ { i j } \, ( | u ^ { ' } \rangle ) _ { k } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { Y } } ) _ { l m } \, ( | v ^ { ' } \rangle ) _ { n } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { Z } } ) _ { p q } \, \rho _ { u u ^ { ' } v v ^ { ' } } } \\ & { = \sum _ { u u ^ { ' } v v ^ { ' } } ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { X } } ) _ { a b } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { U } } ) _ { c u } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { Y } } ) _ { d e } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { V } } ) _ { f v } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { Z } } ) _ { g h } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { X } } ) _ { i j } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { U } } ) _ { k u ^ { ' } } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { Y } } ) _ { l m } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { V } } ) _ { n v ^ { ' } } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { Z } } ) _ { p q } \, \rho _ { u u ^ { ' } v v ^ { ' } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Omega _ { r } ^ { 2 } \frac { k } { 2 } \left[ \frac { I _ { 0 } \left( k \right) } { I _ { 1 } \left( k \right) } + \frac { \rho _ { g } } { \rho _ { l } } \frac { K _ { 0 } \left( k \right) } { K _ { 1 } \left( k \right) } \right] + \Omega _ { r } k ^ { 2 } O h \frac { 1 + \beta D e \Omega _ { r } } { 1 + D e \Omega _ { r } } } \\ & { \quad \times \left[ 2 k \frac { I _ { 0 } \left( k \right) } { I _ { 1 } \left( k \right) } \left( 1 + k ^ { 2 } \frac { O h } { \Omega _ { r } } \frac { 1 + \beta D e \Omega _ { r } } { 1 + D e \Omega _ { r } } \right) \right. } \\ & { \left. - 1 - 2 l \frac { I _ { 0 } \left( l \right) } { I _ { 1 } \left( l \right) } k ^ { 2 } \frac { O h } { \Omega _ { r } } \frac { 1 + \beta D e \Omega _ { r } } { 1 + D e \Omega _ { r } } \right] } \\ & { \quad = \frac { k ^ { 2 } } { 2 } \left( 1 - k ^ { 2 } \right) + C \frac { \rho _ { g } } { \rho _ { l } } k ^ { 3 } W e \frac { K _ { 0 } \left( k \right) } { K _ { 1 } \left( k \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf S _ { i _ { 1 } , j _ { 1 } } : = \int _ { \overline { x } _ { i _ { 1 } - 1 } } ^ { \overline { x } _ { i _ { 1 } } } \phi _ { i _ { 1 } } ^ { \prime } \phi _ { j _ { 1 } } ^ { \prime } d x _ { 1 } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { h } , \quad i _ { 1 } = j _ { 1 } , } \\ { - \frac { 1 } { h } , \quad i _ { 1 } = j _ { 1 } + 1 , } \\ { 0 , \quad \mathrm { e l s e } , } \end{array} \right. } \\ & { \mathbf M _ { i _ { 1 } , j _ { 1 } } : = \int _ { \overline { x } _ { i _ { 1 } - 1 } } ^ { \overline { x } _ { i _ { 1 } } } \phi _ { i _ { 1 } } \phi _ { j _ { 1 } } d x _ { 1 } , = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { h } { 3 } , \quad i _ { 1 } = j _ { 1 } , } \\ { \frac { h } { 6 } , \quad i _ { 1 } = j _ { 1 } + 1 , } \\ { 0 , \quad \mathrm { e l s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
\widehat { \mu } _ { \operatorname* { m i n } } ^ { \operatorname* { i n f } } ( \overline { L } _ { 1 } ) , \widehat { \mu } _ { \operatorname* { m i n } } ^ { \operatorname* { i n f } } ( \overline { L } _ { 2 } ) , \widehat { \mu } _ { \operatorname* { m i n } } ^ { \operatorname* { i n f } } ( \overline { L } _ { 1 } + \overline { L } _ { 2 } ) \in \mathbb { R }
\begin{array} { r } { \operatorname* { i n f } _ { \pi } { \mathbb E } [ g ( X _ { t _ { n } } ^ { \eta } ) ] = \int g _ { n } \prod _ { i = 1 } ^ { n } p ( x _ { i } , t _ { i } | x _ { i - 1 } , \eta _ { i - 1 } ) \pi _ { i } ( \eta _ { i - 1 } | x _ { i - 1 } ) \prod _ { i } d \eta _ { i } \prod _ { i } d x _ { i } , \quad } \\ { g _ { n } : = g ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { n } , \eta _ { 1 } , \cdots , \eta _ { n } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \Phi _ { i j } * G ( v ) \nu _ { i } \nu _ { j } \gtrsim \frac { \lambda ^ { 2 } \langle v _ { \perp } \rangle ^ { 2 } } { \langle v \rangle ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { k _ { G } ^ { 5 } \langle v \rangle } - k _ { G } \frac { \lambda } { \langle v _ { \perp } \rangle ^ { \frac { 1 } { 2 } } \langle v \rangle } \right) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { t _ { a } \rightarrow 0 , x _ { a } \rightarrow 0 ; \quad r \to \infty , \quad s \to \infty ; } \\ { \left( \frac { 1 } { 3 } \right) \left( \frac { x _ { a } ^ { 2 } } { t _ { a } } \right) = D = \textrm { c o n s t a n t } ; } \\ { t _ { a } r = t = \textrm { f i x e d } , \quad x _ { a } s = x = \textrm { f i x e d . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l } { \partial _ { t } u _ { 1 } = - d \partial _ { x } ^ { 2 } u _ { 2 } + \varepsilon V ( x ) \partial _ { x } u _ { 1 } + \zeta u _ { 2 } - \mu u _ { 1 } - ( u _ { 1 } ^ { 2 } + u _ { 2 } ^ { 2 } ) u _ { 2 } + f _ { 0 } , } \\ { \partial _ { t } u _ { 2 } = d \partial _ { x } ^ { 2 } u _ { 1 } + \varepsilon V ( x ) \partial _ { x } u _ { 2 } - \zeta u _ { 1 } - \mu u _ { 2 } + ( u _ { 1 } ^ { 2 } + u _ { 2 } ^ { 2 } ) u _ { 1 } , } \end{array} \right. } \end{array}
\boldsymbol { x } = \mathcal { F } ^ { - 1 } \left( C \cdot \mathrm { n } ^ { 2 } \cdot \sqrt { 2 } \cdot \tau ^ { \frac { 1 } { 2 } ( 2 \alpha - 2 ) } \cdot \left( \frac { 4 \pi ^ { 2 } ( k _ { x } ^ { 2 } + k _ { x } ^ { 2 } ) + \tau ^ { 2 } } { 2 } \right) ^ { - \alpha / 2 } \right) , \quad \boldsymbol { x } \in \mathbb { R } ^ { 2 } , \quad C \in \mathcal { N } ( 0 , \mathrm { I } ) ,
\begin{array} { r } { \partial _ { \leq r } = \sum _ { l = 1 } ^ { r } \sum _ { j \in \mathcal { I } _ { l } } F _ { j } ( \boldsymbol { x } _ { \leq l - 1 } ) \frac { \partial } { \partial x _ { j } ^ { ( l ) } } \ \ \mathrm { a n d ~ } \ \ \partial = \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \sum _ { j \in \mathcal { I } _ { l } } F _ { j } ( \boldsymbol { x } _ { \leq l - 1 } ) \frac { \partial } { \partial x _ { j } ^ { ( l ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { 1 } = } & { \sum _ { n \in \mathbb { Z } } \alpha _ { n } \sin ( n \phi _ { l } ) \quad \quad \sigma _ { 3 } = } & { \sum _ { n \in \mathbb { Z } } \alpha _ { n } ( \omega _ { 0 } + n \Omega ) \cos ( n \phi _ { l } ) } \\ { \sigma _ { 2 } = } & { \sum _ { n \in \mathbb { Z } } \alpha _ { n } \cos ( n \phi _ { l } ) \quad \quad \sigma _ { 4 } = } & { \sum _ { n \in \mathbb { Z } } \alpha _ { n } ( \omega _ { 0 } + n \Omega ) \sin ( n \phi _ { l } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \mathbf { u } ^ { j } , \nabla \hat { F } _ { T , U } ( { \mathbf x } _ { i } ) \rangle } & { = \langle u ^ { j } J [ \rho _ { R } ] ( { \mathbf x } _ { i } ) ^ { \top } \nabla F _ { T , U } ( \mathbf { y } _ { i } ) \rangle + \eta \langle \mathbf { u } ^ { j } , \nabla q _ { B } ( { \mathbf x } _ { i } ) \rangle } \\ & { = \frac { \langle \mathbf { u } ^ { j } , \nabla F _ { T , U } ( \mathbf { y } _ { i } ) \rangle } { \sqrt { 1 + \| { \mathbf x } _ { i } \| ^ { 2 } / R ^ { 2 } } } - \frac { \langle \mathbf { u } ^ { j } , \mathbf { y } _ { i } \rangle \langle \mathbf { y } _ { i } , \nabla F _ { T , U } ( \mathbf { y } _ { i } ) \rangle / R ^ { 2 } } { \sqrt { 1 + \| { \mathbf x } _ { i } \| ^ { 2 } / R ^ { 2 } } } + \eta \langle \mathbf { u } ^ { j } , \nabla q _ { B } ( { \mathbf x } _ { i } ) \rangle ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { S ^ { 0 } = ( \bar { A } - \bar { B } K ) S ^ { d } ( \bar { A } - \bar { B } K ) ^ { \prime } + \bar { A } \sum _ { i = 0 } ^ { d - 1 } S ^ { i } \bar { A } ^ { \prime } , } \\ & { S ^ { i } = A S ^ { i - 1 } A ^ { \prime } , } \\ & { S ^ { d } = ( A - B K ) S ^ { d } ( A - B K ) ^ { \prime } + A S ^ { d - 1 } A ^ { \prime } + Q } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { R _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } ( x , y ) } & { : = \frac { - \textrm { i } } { 2 \pi } \int _ { \mathcal { D } } \frac { \sin ^ { 2 } ( \zeta ) } { n ^ { 2 } - 1 } e ^ { \textrm { i } k _ { + } r ^ { \prime } \cos ( \zeta - \theta ) } d \zeta , } \\ { G _ { R _ { 1 } } ^ { ( 2 ) } ( x , y ) } & { : = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { \mathcal { D } } \frac { \sin \zeta S ( \cos \zeta , n ) } { n ^ { 2 } - 1 } e ^ { \textrm { i } k _ { + } r ^ { \prime } c o s ( \zeta - \theta ) } d \zeta . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { D _ { \mathrm { J S } } ^ { G } ( p : q ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( D _ { \mathrm { K L } } ( p : ( p q ) ^ { G } ) + D _ { \mathrm { K L } } ( q : ( p q ) ^ { G } ) \right) \geq 0 , } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( H ^ { \times } ( p : ( p q ) ^ { G } ) - H ( p ) + H ^ { \times } ( q : ( p q ) ^ { G } ) - H ( q ) \right) \geq 0 , } \\ & { = } & { H ^ { \times } ( ( p q ) ^ { A } : ( p q ) ^ { G } ) - \frac { H ( p ) + H ( q ) } { 2 } \geq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( { \mathbf y } _ { D } ^ { i } | \tilde { { \mathbf u } } ) } & { = { \mathcal N } ( { \mathbf y } _ { D } ^ { i } | g ( \tilde { { \mathbf u } } ) , { \boldsymbol \epsilon } _ { { \mathbf y } _ { D } ^ { i } } ^ { 2 } { \mathbf I } ) , } \\ { p ( \tilde { { \mathbf z } } | { \mathbf z } _ { D } ^ { i } ) } & { = { \mathcal N } ( \tilde { { \mathbf z } } | { \mathbf z } _ { D } ^ { i } , { \boldsymbol \epsilon } _ { { \mathbf z } _ { D } ^ { i } } ^ { 2 } { \mathbf I } ) , } \\ { p ( \tilde { { \mathbf w } } | { \mathbf w } _ { D } ^ { i } ) } & { = { \mathcal N } ( \tilde { { \mathbf w } } | { \mathbf z } _ { D } ^ { i } , { \boldsymbol \epsilon } _ { { \mathbf w } _ { D } ^ { i } } ^ { 2 } { \mathbf I } ) , } \\ { p ( \tilde { { \mathbf X } } | { \mathbf X } _ { D } ^ { i } ) } & { = { \mathcal N } ( \tilde { { \mathbf X } } | { \mathbf X } _ { D } ^ { i } , { \boldsymbol \epsilon } _ { { \mathbf X } _ { D } ^ { i } } ^ { 2 } { \mathbf I } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla ^ { 2 } u = 0 } & { \implies g \frac { d ^ { 2 } f } { d r ^ { 2 } } + \frac g r \frac { d f } { d r } + \frac { f } { r ^ { 2 } } \frac { d ^ { 2 } g } { d \theta ^ { 2 } } = 0 } \\ & { \implies \frac { r ^ { 2 } } { f } \frac { d ^ { 2 } f } { d r ^ { 2 } } + \frac r f \frac { d f } { d r } = - \frac 1 g \frac { d ^ { 2 } g } { d \theta ^ { 2 } } = \mathrm { c o n s t a n t } : = \lambda } \end{array}
f ( y _ { 1 } , \ldots , y _ { n } ) = { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { n / 2 } { \sqrt { \operatorname* { d e t } ( { \mathit { \Sigma } } ) } } } } \exp \left( - { \frac { 1 } { 2 } } \left[ y _ { 1 } - \mu _ { 1 } , \ldots , y _ { n } - \mu _ { n } \right] { \mathit { \Sigma } } ^ { - 1 } \left[ y _ { 1 } - \mu _ { 1 } , \ldots , y _ { n } - \mu _ { n } \right] ^ { \mathrm { T } } \right)
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l l l l l } { \mu ^ { \prime } ( 0 , \tau _ { j } ^ { ( i ) } , c _ { i j } , t _ { j } ^ { ( i ) } ) } & { = \mathbb { I } [ \tau _ { j } - s _ { j i } > 0 ] \sum _ { t _ { i } ^ { ( j ) } } a ( t _ { j } ^ { ( i ) } - t _ { i } ^ { ( i ) } - c _ { i j } ) \sum _ { \tau _ { i } ^ { ( j ) } = 0 } ^ { \tau _ { j } ^ { ( i ) } - s _ { j i } } \tilde { \nu } _ { \Psi _ { i } \to j } ( \tau _ { i } ^ { ( j ) } , \sigma _ { j i } = 2 , t _ { i } ^ { ( j ) } , t _ { j } ^ { ( i ) } ) } \\ { \mu ^ { \prime } ( 1 , \tau _ { j } ^ { ( i ) } , c _ { i j } , t _ { j } ^ { ( i ) } ) } & { = \mathbb { I } [ \tau _ { j } - s _ { j i } \geq 0 ] \sum _ { t _ { i } ^ { ( j ) } } a ( t _ { j } ^ { ( i ) } - t _ { i } ^ { ( i ) } - c _ { i j } ) \tilde { \nu } _ { \Psi _ { i } \to j } ( \tau _ { i } ^ { ( j ) } = \tau _ { j } ^ { ( i ) } - s _ { j i } , \sigma _ { j i } = 2 , t _ { i } ^ { ( j ) } , t _ { j } ^ { ( i ) } ) } \\ { \mu ^ { \prime } ( 2 , \tau _ { j } ^ { ( i ) } , c _ { i j } , t _ { j } ^ { ( i ) } ) } & { = \sum _ { t _ { i } ^ { ( j ) } } a ( t _ { j } ^ { ( i ) } - t _ { i } ^ { ( i ) } - c _ { i j } ) \left[ \sum _ { \tau _ { i } ^ { ( j ) } = \zeta _ { i } ^ { + } } ^ { \zeta _ { i } ^ { - } } \tilde { \nu } _ { \Psi _ { i } \to j } ( \tau _ { i } ^ { ( j ) } , \sigma _ { j i } = 2 , t _ { i } ^ { ( j ) } , t _ { j } ^ { ( i ) } ) \right. } \\ & { + \mathbb { I } [ \tau _ { j } ^ { ( i ) } + s _ { j i } \leq T + 1 ] \tilde { \nu } _ { \Psi _ { i } \to j } ( \tau _ { i } ^ { ( j ) } = \tau _ { j } ^ { ( i ) } + s _ { j i } , \sigma _ { j i } = 1 , t _ { i } ^ { ( j ) } , t _ { j } ^ { ( i ) } ) } \\ & { + \left. \mathbb { I } [ \tau _ { j } ^ { ( i ) } + s _ { j i } < T + 1 ] \sum _ { \tau _ { i } ^ { ( j ) } = \tau _ { j } ^ { ( i ) } + s _ { j i } + 1 } ^ { T + 1 } \tilde { \nu } _ { \Psi _ { i } \to j } ( \tau _ { i } ^ { ( j ) } , \sigma _ { j i } = 0 , t _ { i } ^ { ( j ) } , t _ { j } ^ { ( i ) } ) \right] } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| \left\langle { N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } ^ { \circ } G _ { 1 } } \right\rangle \left\langle { \Im G _ { 1 } A _ { 1 } \Im G _ { 2 } ^ { t } A _ { 2 } N \mathrm { d i a g } ( \tilde { S } _ { \mu } ) } \right\rangle \right| \prec \frac { \sqrt { \rho _ { 1 } } \Lambda _ { 1 } } { N \sqrt { \eta _ { 1 } } } \cdot \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } \Lambda _ { k + 1 } ^ { 2 } \prec \frac { \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } \Lambda _ { 1 } \Lambda _ { k + 1 } ^ { 2 } } { \sqrt { N L } } \, , } \\ & { \left| \left\langle { \Im G _ { 1 } A _ { 1 } G _ { 2 } ^ { t } N \mathrm { d i a g } ( \tilde { S } _ { \mu } ) A _ { 2 } ^ { t } \Im G _ { 2 } N \mathrm { d i a g } ( \tilde { S } _ { \mu } ) } \right\rangle \right| \prec \frac { \sqrt { \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } } \Lambda _ { k } \Lambda _ { k + 1 } } { \sqrt { \eta _ { 1 } \eta _ { 2 } } } \prec \frac { \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } \Lambda _ { k + 1 } ^ { 2 } } { L } , \, } \\ & { | \Im m _ { 1 } \left\langle { A _ { 1 } ( \Im G _ { 2 } ^ { t } - \Im m _ { 2 } I ) A _ { 2 } } \right\rangle | \prec \frac { \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } } { \sqrt { L } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal R _ { \gamma } } & { = } & { \frac { 2 \sqrt { u \Bar { u } } \cosh ( \gamma ) - \sinh ( \gamma ) ( u + \bar { u } ) } { 4 u \Bar { u } \sqrt { 1 + \lambda \cosh ( \gamma ) ( u + \Bar { u } ) - 2 \lambda \sinh ( \gamma ) \sqrt { u \Bar { u } } + \frac { 1 } { 4 } \lambda ^ { 2 } ( u - \Bar { u } ) ^ { 2 } } } ~ . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \mathrm { c i r c } ( \mathrm { u n f o l d } ( \mathcal { A } ) ) \ltimes \mathrm { c i r c } ( \mathrm { u n f o l d } ( \mathcal { B } ) ) ) \ltimes \mathrm { u n f o l d } ( \mathcal { C } ) } \\ { = \mathrm { c i r c } ( \mathrm { u n f o l d } ( \mathcal { A } ) ) \ltimes ( \mathrm { c i r c } ( \mathrm { u n f o l d } ( \mathcal { B } ) ) \ltimes \mathrm { u n f o l d } ( \mathcal { C } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textsc { I S } [ P _ { \mathrm { L } } ] } & { = \frac { 1 3 } { 1 2 } \left( u _ { i - 2 } - 2 u _ { i - 1 } + u _ { i } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \left( u _ { i - 2 } - 4 u _ { i - 1 } + 3 u _ { i } \right) ^ { 2 } , } \\ { \textsc { I S } [ P _ { \mathrm { C } } ] } & { = \frac { 1 3 } { 1 2 } \left( u _ { i - 1 } - 2 u _ { i } + u _ { i + 1 } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \left( u _ { i + 1 } - u _ { i - 1 } \right) ^ { 2 } , } \\ { \textsc { I S } [ P _ { \mathrm { R } } ] } & { = \frac { 1 3 } { 1 2 } \left( u _ { i } - 2 u _ { i + 1 } + u _ { i + 2 } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \left( 3 u _ { i } - 4 u _ { i + 1 } + u _ { i + 2 } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \lambda } [ I _ { j } ] } & { = \left( 1 - \frac { a _ { 1 } } { n } - \frac { 2 a _ { 2 } } { n } \right) \cdot \frac { ( j - 1 ) ( n - j ) } { ( n - 1 ) ( n - 2 ) } , } \\ { \mathbb { E } _ { \lambda } [ I _ { j } ^ { v } ] } & { = \left( 1 - \frac { a _ { 1 } } { n } - \frac { 2 a _ { 2 } } { n } \right) \cdot \frac { ( n - j - 1 ) ( n - j ) } { ( n - 1 ) ( n - 2 ) } + \frac { 2 a _ { 2 } } { n } \cdot \frac { n - j } { n - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { f } _ { \mathrm { U E } , \pi _ { 2 } ( k ) } ^ { ( l ) } = \mathrm { M L P } _ { 4 } ^ { ( l ) } \left( \mathbf { f } _ { \mathrm { U E } , \pi _ { 2 } ( k ) } ^ { ( l - 1 ) } , \mathrm { A G G } _ { \mathrm { U E } } ^ { ( l ) } \left\{ \mathrm { M L P } _ { 3 } ^ { ( l ) } \left( \mathbf { f } _ { \mathrm { B S } , m } ^ { ( l - 1 ) } , \right. \right. \right. } \\ { \left. \left. \left. \mathbf { e } _ { m , \pi _ { 2 } ( k ) } ^ { ( l - 1 ) } \right) \right\} _ { m \in \mathcal { N } _ { \pi _ { 2 } ( k ) } ^ { \mathrm { U E } } } \right) , ~ \forall k \in \mathcal { K } . } \end{array}
{ \boldsymbol { \sigma } } = { \frac { 2 } { J } } ~ { \boldsymbol { F } } \cdot { \frac { \partial W } { \partial { \boldsymbol { C } } } } \cdot { \boldsymbol { F } } ^ { T } = { \frac { 2 } { J } } ~ ( { \boldsymbol { V } } \cdot { \boldsymbol { R } } ) \cdot { \frac { \partial W } { \partial { \boldsymbol { C } } } } \cdot ( { \boldsymbol { R } } ^ { T } \cdot { \boldsymbol { V } } )
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \varphi ( i / N ) - \int _ { 0 } ^ { 1 } \varphi ( x ) { \mathrm d } x } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { \frac { i - 1 } { N } } ^ { \frac { i } { N } } ( \varphi ( i / N ) - \varphi ( x ) ) { \mathrm d } x = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { \frac { i - 1 } { N } } ^ { \frac { i } { N } } \left( \int _ { x } ^ { \frac { i } { N } } \varphi ^ { \prime } ( y ) { \mathrm d } y \right) { \mathrm d } x } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { \frac { i - 1 } { N } } ^ { \frac { i } { N } } \left( \int _ { \frac { i - 1 } { N } } ^ { y } \varphi ^ { \prime } ( y ) { \mathrm d } x \right) { \mathrm d } y = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { \frac { i - 1 } { N } } ^ { \frac { i } { N } } \left( y - \frac { i - 1 } { N } \right) \varphi ^ { \prime } ( y ) { \mathrm d } y } \\ & { \leq \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { \frac { i - 1 } { N } } ^ { \frac { i } { N } } \left( y - \frac { i - 1 } { N } \right) \operatorname* { m i n } ( 0 , \varphi ^ { \prime } ( y ) ) { \mathrm d } y } \\ & { \leq \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { \frac { i - 1 } { N } } ^ { \frac { i } { N } } \operatorname* { m i n } ( 0 , \varphi ^ { \prime } ( y ) ) d y = \frac { \varphi ( x ^ { \star } ) } { N } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \exp \Bigg \{ \int _ { + \infty } ^ { d } q ( t ) d t + \int _ { \Upsilon } q ( t ) d t + \int _ { c } ^ { - \infty } \left( q ( t ) + \frac { 2 t } { 3 } - \frac { 2 \alpha } { t } \right) d t + \frac { c ^ { 2 } } { 3 } - 2 \alpha \ln | c | \Bigg \} } \\ & { \qquad \qquad = 2 ^ { \alpha - \frac { 1 } { 2 } } 3 ^ { - 2 \alpha } \pi ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \Gamma \left( \textstyle \frac { 1 } { 2 } - \alpha \right) [ ( 1 - s _ { * } ) e ^ { \pi i \alpha } ] ^ { - 1 } e ^ { - \frac { 4 } { 3 } \pi i { \beta } } . } \end{array}
\sum _ { h \geqslant 1 } \frac { \Delta _ { i } ( h ) } { \alpha _ { h } } \geqslant \frac { \Delta _ { i } } { \alpha _ { h ( p _ { i } ) } } = ( 1 + \varepsilon ) ^ { h ( p _ { i - 1 } ) - h ( p _ { i } ) } \cdot \frac { \Delta _ { i } } { \alpha _ { h ( p _ { i - 1 } ) } } \geqslant \big ( 1 - \varepsilon ^ { 1 / 2 } \big ) \bigg ( \frac { 1 - \beta _ { i } } { \beta _ { i } } \bigg ) ,
\begin{array} { r l } { \rho _ { i } ( y ^ { s + 2 } ) } & { = \frac { q \rho _ { i } ( y ^ { s + 1 } ) } { ( p \! - \! q ) \rho _ { j } ( y ^ { s + 1 } ) \! + \! q } = \frac { q \frac { p \rho _ { i } ( y ^ { s } ) } { \rho _ { j } ( y ^ { s } ) ( q \! - \! p ) \! + \! p } } { ( p \! - \! q ) \frac { q \rho _ { j } ( y ^ { s } ) } { \rho _ { j } ( y ^ { s } ) ( q \! - \! p ) \! + \! p } \! + \! q } = \frac { q p \rho _ { i } ( y ^ { s } ) } { ( p \! - \! q ) q \rho _ { j } ( y ^ { s } ) \! + \! q ( \rho _ { j } ( y ^ { s } ) ( q \! - \! p ) \! + \! p ) } } \\ & { = \frac { q p \rho _ { i } ( y ^ { s } ) } { - ( q \! - \! p ) q \rho _ { j } ( y ^ { s } ) \! + \! ( q \! - \! p ) q \rho _ { j } ( y ^ { s } ) \! + \! q p } = \frac { q p \rho _ { i } ( y ^ { s } ) } { q p } = \rho _ { i } ( y ^ { s } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { w ^ { \mathrm { o p t } } } = \sqrt { P _ { \mathrm { B S } } ^ { \operatorname* { m a x } } } , } \\ & { { \theta _ { n } ^ { \mathrm { o p t } } } = \angle { f _ { n } } - \angle { g _ { n } } , { ~ ~ \forall n \in \{ 1 , \cdots , N \} } , } \\ & { { p ^ { \mathrm { o p t } } } = \sqrt { \frac { { P _ { \mathrm { A } } ^ { { \mathrm { m a x } } } } } { { P _ { { \mathrm { B S } } } ^ { { \mathrm { m a x } } } \sum _ { n = 1 } ^ { N } { { { \left| { { g _ { n } } } \right| } ^ { 2 } } + N \sigma _ { v } ^ { 2 } } } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal L _ { \gamma } h } & { = \mu _ { \gamma } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \{ Q ( \mu _ { \gamma } ^ { \frac { 1 } { 2 } } h , \mu _ { \gamma } ) + Q ( \mu _ { \gamma } , \mu _ { \gamma } ^ { \frac { 1 } { 2 } } h ) \} , } \\ { \mathcal M _ { \gamma , F _ { + } } h } & { = \mu _ { \gamma } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } Q _ { + - } ^ { \varepsilon } ( F _ { + } , \mu _ { \gamma } ^ { \frac { 1 } { 2 } } h ) , } \\ { \Gamma _ { \gamma } ( h _ { 1 } , h _ { 2 } ) } & { = - \mu _ { \gamma } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } Q ( \mu _ { \gamma } ^ { \frac { 1 } { 2 } } h _ { 1 } , \mu _ { \gamma } ^ { \frac { 1 } { 2 } } h _ { 2 } ) . } \end{array}
\frac { 1 } { N ^ { 1 - \alpha } } \sum _ { i = \lfloor x _ { 1 } N ^ { \lambda _ { 1 } t } \rfloor + 1 } ^ { \lfloor x _ { 2 } N ^ { \lambda _ { 1 } t } \rfloor } Q ( N , i ) \underset { N \to \infty } { \longrightarrow } \frac { \gamma b _ { 0 } \omega \lambda _ { 1 } } { b _ { 1 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } ( 1 + 2 b _ { 0 } s ) e ^ { - \lambda _ { 0 } s } \left[ e ^ { - \frac { \lambda _ { 1 } } { b _ { 1 } } x _ { 1 } e ^ { \lambda _ { 1 } s } } - e ^ { - \frac { \lambda _ { 1 } } { b _ { 1 } } x _ { 2 } e ^ { \lambda _ { 1 } s } } \right] \, d s .
\begin{array} { r l } & { - \frac { a } { b } - \sqrt { \frac { a ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } + 1 } = - \tan \sqrt { E _ { 1 } ( 0 ) } L } \\ & { \Longleftrightarrow \tan \sqrt { E _ { 1 } ( 0 ) } L = \frac { a } { b } + \sqrt { \frac { a ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } + 1 } > 1 } \\ & { \Longrightarrow \sqrt { E _ { 1 } ( 0 ) } L = \arctan ( - z _ { 0 } ) > \frac { \pi } { 4 } } \\ & { \Longrightarrow \lambda _ { 1 } ^ { 2 } ( m ) - m ^ { 2 } \geq \lambda _ { 1 } ^ { 2 } ( 0 ) = \frac { \arctan | z _ { 0 } | ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } > \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 6 L ^ { 2 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { H } ^ { 2 } + \psi _ { H } ^ { 1 , 0 } \wedge \psi _ { H } ^ { 1 , 0 } = \bar { \partial } _ { H } ^ { 2 } + \psi _ { H } ^ { 0 , 1 } \wedge \psi _ { H } ^ { 0 , 1 } = 0 , } \\ & { \partial _ { H } \psi _ { H } ^ { 1 , 0 } = \bar { \partial } _ { H } \psi _ { H } ^ { 0 , 1 } = 0 , } \\ & { \sqrt { - 1 } \Lambda _ { \omega } ( \partial _ { H } \psi _ { H } ^ { 0 , 1 } + \bar { \partial } _ { H } \psi _ { H } ^ { 1 , 0 } ) = 0 , } \\ & { \sqrt { - 1 } \Lambda _ { \omega } ( [ \partial _ { H } , \bar { \partial } _ { H } ] + [ \psi _ { H } ^ { 1 , 0 } , \psi _ { H } ^ { 0 , 1 } ] ) = \lambda I d _ { E } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \tilde { D } _ { 0 } ^ { x } ( k ) = - g \nu \mathcal { H } _ { 0 } ^ { - 1 } \left[ \frac { 2 } { ( 1 + k ^ { 2 } ) ^ { 3 } } \right] = - \frac { g \nu } { 4 } r ^ { 2 } K _ { 2 } ( r ) , } \\ & { \tilde { D } _ { 2 } ^ { x } ( k ) = - g \nu \mathcal { H } _ { 2 } ^ { - 1 } \left[ \frac { 2 k ^ { 2 } } { ( 1 + k ^ { 2 } ) ^ { 3 } } \right] = - \frac { g \nu } { 4 } r ^ { 2 } K _ { 0 } ( r ) . } \end{array}
J _ { \mathbf { R } } ( z ) = \left\{ \begin{array} { r l r l } & { \mathbf { I } + O ( | x | ^ { - 1 } ) , } & { z } & { \in \partial U ( z _ { 1 , \pm } , \delta ) , } \\ & { \mathbf { I } + O ( | x | ^ { - 2 } ) , } & { z } & { \in \partial U ( 0 , \delta ) \cup \partial U ( z _ { 2 , \pm } , \delta ) , } \\ & { \mathbf { I } + O ( e ^ { - c _ { 1 } | x | ^ { 2 } } ) , } & { \mathrm { e } } & { \mathrm { l s e w h e r e } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \lVert \mathrm { d } ( \lambda \mathrm { I } - \Delta _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } f \rVert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } } & { \leqslant \lVert f \rVert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \mathrm { ~ ; ~ } } \\ { \lVert \mathrm { d } ^ { \ast } ( \lambda \mathrm { I } - \Delta _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } f \rVert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } } & { \leqslant \lVert f \rVert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \mathrm { . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\lVert \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } \big ( ( k _ { m } * \zeta _ { t } ) \rho _ { t } ^ { \zeta } - ( k * \zeta _ { t } ) \rho _ { t } ^ { \zeta } \big ) \right\rVert _ { L _ { \mathcal { F } ^ { W } } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] ; H ^ { - 1 , 2 } ( \mathbb { R } ) ) } ^ { 2 } } \\ & { \quad \le C \left\lVert ( ( k _ { m } - k ) * \zeta _ { t } ) \rho _ { t } ^ { \zeta } \right\rVert _ { L _ { \mathcal { F } ^ { W } } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] ; L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) ) } ^ { 2 } } \\ & { \quad \le \mathbb { E } \bigg ( \int _ { 0 } ^ { T } \left\lVert ( ( k _ { m } - k ) * \zeta _ { t } ) \right\rVert _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } \left\lVert \rho _ { t } ^ { \zeta } \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } \bigg ) } \\ & { \quad \le \mathbb { E } \bigg ( \int _ { 0 } ^ { T } \left\lVert ( ( k _ { m } - k ) \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } \left\lVert \zeta _ { t } \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } \left\lVert \rho _ { t } ^ { \zeta } \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } \bigg ) } \\ & { \quad \le \left\lVert ( ( k _ { m } - k ) \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } M ^ { 2 } \left\lVert \rho _ { t } ^ { \zeta } \right\rVert _ { L _ { \mathcal { F } ^ { W } } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] ; L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) ) } ^ { 2 } \xrightarrow [ ] { m \to \infty } 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { \Delta ^ { 4 } } [ \eta ( { \mathbf { C } } ) [ \widetilde { \gamma } ^ { 2 } \gamma ( { \mathbf { C } } ) \eta + [ \gamma ( { \mathbf { C } } ) \eta \widetilde { \gamma } - \widetilde { \eta } \gamma \gamma ( { \mathbf { C } } ) ] \widetilde { \gamma } } \\ { + [ \widetilde { \gamma } ^ { 2 } \gamma ( { \mathbf { C } } ) \eta - \widetilde { \eta } \gamma \gamma ( { \mathbf { C } } ) ] + \gamma ( { \mathbf { C } } ) \widetilde { \gamma } \eta \widetilde { \gamma } - \gamma ( { \mathbf { C } } ) \widetilde { \eta } \gamma } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Pi ( f ) } & { : = \int _ { \mathbb { T } ^ { 3 } } \mathbf { P } f d x } \\ & { = \int _ { \mathbb { T } ^ { 3 } \times \mathbb { R } ^ { 3 } } f d v d x \mu + \int _ { \mathbb { T } ^ { 3 } \times \mathbb { R } ^ { 3 } } f v d v d x \cdot ( v \mu ) + \int _ { \mathbb { T } ^ { 3 } \times \mathbb { R } ^ { 3 } } f \frac { | v | ^ { 2 } - 3 } { \sqrt { 6 } } d v d x \left( \frac { | v | ^ { 2 } - 3 } { \sqrt { 6 } } \mu \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \underline { { X } } } & { \equiv } & { \left\{ q \in Q ^ { + } \, ; \, \left( \exists n \in N ) ( \exists u \right) \left( u \subseteq X \wedge n \widehat { \prec } u \right) \wedge \left( q < n \right) \right\} , } \\ { \overline { { X } } } & { \equiv } & { \left\{ q \in Q ^ { + } \, ; \, \left( \exists n \in N ) ( \forall u \right) \left( u \supseteq X \Rightarrow n \widehat { \prec } u \right) \wedge \left( q < n \right) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { n _ { + } = ( 1 , 1 , 1 ) + ( \mathcal { C } _ { + } - \mathcal { C } _ { - } ) ( \mu w ^ { + } ) + \mathcal { C } _ { w } \mu = \mu ( w ^ { + } + I ) = \mu v ^ { + } , } \\ & { n _ { - } = ( 1 , 1 , 1 ) - ( \mathcal { C } _ { + } - \mathcal { C } _ { - } ) ( \mu w ^ { - } ) + \mathcal { C } _ { w } \mu = \mu ( I - w ^ { - } ) = \mu v ^ { - } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { = \alpha \bigg [ \frac { ( x - a ) ^ { 2 } } { ( d + c - a - b ) ( b - a ) } - \theta _ { l } \operatorname* { m i n } \bigg \{ \frac { ( x - a ) ^ { 2 } } { ( d + c - a - b ) ( b - a ) } , \frac { b - a } { d + c - a - b } - \frac { ( x - a ) ^ { 2 } } { ( d + c - a - b ) ( b - a ) } \bigg \} \bigg ] + } \\ & { ( 1 - \alpha ) \bigg [ \frac { ( x - a ) ^ { 2 } } { ( d + c - a - b ) ( b - a ) } + \theta _ { r } \operatorname* { m i n } \bigg \{ \frac { ( x - a ) ^ { 2 } } { ( d + c - a - b ) ( b - a ) } , \frac { b - a } { d + c - a - b } - \frac { ( x - a ) ^ { 2 } } { ( d + c - a - b ) ( b - a ) } \bigg \} \bigg ] } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { ( x - a ) ^ { 2 } } { ( d + c - a - b ) ( b - a ) } - [ \alpha \theta _ { l } - ( 1 - \alpha ) \theta _ { r } ] \frac { ( x - a ) ^ { 2 } } { ( d + c - a - b ) ( b - a ) } , } & { a < x \leq a + \frac { b - a } { \sqrt { 2 } } ; } \\ { \frac { ( x - a ) ^ { 2 } } { ( d + c - a - b ) ( b - a ) } - [ \alpha \theta _ { l } - ( 1 - \alpha ) \theta _ { r } ] \big [ \frac { b - a } { d + c - a - b } - \frac { ( x - a ) ^ { 2 } } { ( d + c - a - b ) ( b - a ) } \big ] , } & { a + \frac { b - a } { \sqrt { 2 } } \leq x < b . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \varepsilon \mu _ { \gamma } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { t } \{ \mu _ { \gamma } ^ { \frac { 1 } { 2 } } f \} + \{ \xi \cdot \nabla _ { x } + E \cdot ( \frac { \xi } { 2 } - \nabla _ { \xi } ) \} f + e ^ { \gamma \psi } \mathcal L _ { \gamma } f + \mathcal M _ { \gamma , F _ { + } } f } \\ & { \quad \quad - 4 \pi \gamma \xi \cdot \nabla _ { x } \Delta _ { x } ^ { - 1 } a \mu _ { \gamma } ^ { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { \gamma \psi } } \\ & { \quad = - \varepsilon \mu _ { \gamma } ^ { \frac { 1 } { 2 } } { \partial _ { t } \{ \mu _ { \gamma } e ^ { \gamma \psi } \} } - e ^ { \gamma \psi } \mathcal M _ { \gamma , F _ { + } } \mu _ { \gamma } ^ { \frac { 1 } { 2 } } + \Gamma _ { \gamma } ( f , f ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { V a r } _ { \theta } \big ( \widehat { \| \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } } \big ) } & { = \sum _ { i \in S } \operatorname { V a r } \Big ( \big ( X _ { i } ^ { 2 } - \gamma \log ( n / s ^ { 2 } ) \big ) _ { + } \Big ) + \sum _ { i \in S } \operatorname { V a r } _ { 0 } \Big ( \big ( \varepsilon _ { i } ^ { 2 } - \gamma \log ( n / s ^ { 2 } ) \big ) _ { + } \Big ) } \\ & { \leq \| \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } + 3 s + \frac { 8 n } { \sqrt { \gamma \log ( n / s ^ { 2 } ) } } \Big ( \frac { s ^ { 2 } } { n } \Big ) ^ { \gamma / 2 } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \mathcal { G } } ( \Pi _ { \beta } ) } & { = \displaystyle \sum _ { \alpha } \Pi _ { \alpha } \left| \langle \psi _ { \alpha } | \psi _ { \beta } \rangle \right| ^ { 2 } } \\ & { = \displaystyle \Pi _ { \beta } + { \frac { 1 } { d + 1 } } \sum _ { \alpha \neq \beta } \Pi _ { \alpha } } \\ & { = \displaystyle { \frac { d } { d + 1 } } \Pi _ { \beta } + { \frac { 1 } { d + 1 } } \Pi _ { \beta } + { \frac { 1 } { d + 1 } } \sum _ { \alpha \neq \beta } \Pi _ { \alpha } } \\ & { = \displaystyle { \frac { d } { d + 1 } } \Pi _ { \beta } + { \frac { d } { d + 1 } } \sum _ { \alpha } { \frac { 1 } { d } } \Pi _ { \alpha } } \\ & { = \displaystyle { \frac { d } { d + 1 } } \left( \Pi _ { \beta } + I \right) } \end{array} }
| { \mathrm { D } } _ { p } ^ { 2 } g | \mathbin { \vrule h e i g h t 1 . 6 e x d e p t h 0 p t w i d t h 0 . 1 3 e x \vrule h e i g h t 0 . 1 3 e x d e p t h 0 p t w i d t h 1 . 3 e x } N = \frac 1 2 | { \mathrm { D } } _ { p } ^ { 2 } f | \mathbin { \vrule h e i g h t 1 . 6 e x d e p t h 0 p t w i d t h 0 . 1 3 e x \vrule h e i g h t 0 . 1 3 e x d e p t h 0 p t w i d t h 1 . 3 e x } N
\begin{array} { r l r } { { \bf Q } ^ { [ n , n + 1 ] } } & { = } & { \left[ \begin{array} { c c c } { { \bf Q } _ { ; 0 , 0 } ^ { [ n , n + 1 ] } } & { { \bf Q } _ { 0 , 1 } ^ { [ n , n + 1 ] } } & { { \bf Q } _ { 0 , 2 } ^ { [ n , n + 1 ] } } \\ { { \bf O } } & { { \bf Q } _ { 1 , 1 } ^ { [ n , n + 1 ] } } & { { \bf O } } \\ { { \bf O } } & { { \bf O } } & { { \bf Q } _ { 2 , 2 } ^ { [ n , n + 1 ] } } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { d ( \mathcal { P } ^ { N } \mu _ { j } ^ { N } , \mathcal { P } \mu _ { j } ^ { N } ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { X } | \rho _ { j + 1 } ^ { N } ( x ) - \rho _ { j + 1 } ^ { \prime } ( x ) | d x } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { X } | \mathcal { P } ^ { N } \rho _ { j } ^ { N } ( x ) - \mathcal { P } \rho _ { j } ^ { N } ( x ) | d x } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { X } | \pi _ { N } \circ \mathcal { P } \rho _ { j } ^ { N } ( x ) - \mathcal { P } \rho _ { j } ^ { N } ( x ) | d x , } \end{array}
\begin{array} { l } { \displaystyle \sum _ { T \in \mathcal { T } _ { h } } \big \| | \mathbf { u } | ^ { \mathrm { p } - 2 } \mathbf { u } - | \mathbf { u } _ { h } | ^ { \mathrm { p } - 2 } \mathbf { u } _ { h } \big \| _ { 0 , T } ^ { 2 } } \\ { \displaystyle \quad \, \leq \, \widehat { c } _ { \mathrm { p } } \, \left\{ \sum _ { T \in \mathcal { T } _ { h } } \Big ( \| \mathbf { u } \| _ { 0 , 3 ( \mathrm { p } - 2 ) ; T } ^ { 2 ( \mathrm { p } - 2 ) } + \| \mathbf { u } _ { h } \| _ { 0 , 3 ( \mathrm { p } - 2 ) ; T } ^ { 2 ( \mathrm { p } - 2 ) } \Big ) ^ { 3 / 2 } \right\} ^ { 2 / 3 } \left\{ \sum _ { T \in \mathcal { T } _ { h } } \| \mathbf { u } - \mathbf { u } _ { h } \| _ { 0 , 6 ; T } ^ { 6 } \right\} ^ { 1 / 3 } } \\ { \displaystyle \quad \, \leq \, \sqrt [ 3 ] { 2 } \, \widehat { c } _ { \mathrm { p } } \, \Big ( \| \mathbf { u } \| _ { 0 , 3 ( \mathrm { p } - 2 ) ; \Omega } ^ { 2 ( \mathrm { p } - 2 ) } + \| \mathbf { u } _ { h } \| _ { 0 , 3 ( \mathrm { p } - 2 ) ; \Omega } ^ { 2 ( \mathrm { p } - 2 ) } \Big ) \| \mathbf { u } - \mathbf { u } _ { h } \| _ { 0 , 6 ; \Omega } ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Vert S - \hat { S } _ { j } \Vert _ { F } ^ { 2 } } & { = \Vert X \tilde { R } _ { j } X ^ { T } \Vert _ { F } ^ { 2 } = \frac { \textnormal { t r } \big ( Y \tilde { R } _ { j } Y ^ { T } ( Y \tilde { R } _ { j } Y ^ { T } ) ^ { H } \big ) } { | x _ { 1 } ^ { T } J x _ { 2 } | ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { \textnormal { t r } \big ( Y \tilde { R } _ { j } Y ^ { T } \overline { { Y } } \tilde { R } _ { j } ^ { H } Y ^ { H } \big ) } { | x _ { 1 } ^ { T } J x _ { 2 } | ^ { 2 } } = \frac { \textnormal { t r } \big ( Y ^ { H } Y \tilde { R } _ { j } \overline { { ( Y ^ { H } Y ) } } \tilde { R } _ { j } ^ { H } \big ) } { | x _ { 1 } ^ { T } J x _ { 2 } | ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta t = \Delta \ell + \left( \frac { \Delta x ^ { 2 } - \Delta y ^ { 2 } } { 2 \Delta \ell } \right) \varepsilon \bar { f } _ { + } ( \Delta u ) + \left( \frac { \Delta x \Delta y } { \Delta \ell } \right) \varepsilon \bar { f } _ { \times } ( \Delta u ) + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \Delta x ^ { 2 } + \Delta y ^ { 2 } + 2 \Delta z ^ { 2 } } { 2 \Delta \ell } - \Delta z \right) \lambda ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f ( x ) \leq 0 \iff x \geq \zeta _ { p } } \\ { \implies } & { f ( b _ { i } ) \leq 0 \iff b _ { i } \geq \zeta _ { p } } \\ { \implies } & { \{ i | b _ { i } \geq \zeta _ { p } \} = \{ i | f ( b _ { i } ) \leq 0 \} } \\ { \implies } & { \chi _ { p } = \operatorname* { m a x } \{ i | b _ { i } \geq \zeta _ { p } \} = \operatorname* { m a x } \{ i | f ( b _ { i } ) \leq 0 \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { | d _ { 0 } ( \zeta , t ) | = e ^ { 2 \pi \nu } , } & & { \zeta \in \mathcal { I } , \ t \geq 2 , } \\ & { | d _ { 1 } ( \zeta , k ) - \frac { \mathcal { P } ( \zeta , \omega k _ { 1 } ) } { \mathcal { P } ( \zeta , \omega ^ { 2 } k _ { 1 } ) } | \leq C | k - k _ { 1 } | ( 1 + | \ln | k - k _ { 1 } | | ) , } & & { \zeta \in \mathcal { I } , \ k \in \mathcal { X } ^ { \epsilon } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { a , 1 } ( x , y , z ) } & { = E _ { a , 1 } \, e ^ { - ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) / w _ { 0 } ^ { 2 } } e ^ { i k _ { z } z } , } \\ { E _ { b , 1 } ( x , y , z ) } & { = E _ { b , 1 } e ^ { - ( ( x - \Delta x - d \theta _ { \mathrm { i n } } z ) ^ { 2 } + ( y - \Delta y - d \phi _ { \mathrm { i n } } z ) ^ { 2 } ) / w _ { 0 } ^ { 2 } } \, e ^ { i k _ { z } ( z + d \theta _ { \mathrm { i n } } ( x + \Delta x ) + d \phi _ { \mathrm { i n } } ( y + \Delta y ) ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textbf { ( D ) } ~ ~ \operatorname* { m i n } _ { { \mathbf { x } } , { \mathbf { q } } } ~ } & { ( 1 - \gamma ) \sum _ { i } \phi _ { i } q _ { i } + \gamma \sum _ { i , j } d _ { i , j } x _ { i , j } } \\ { \mathrm { s . t . } ~ } & { \sum _ { i } x _ { i , j } \leq C _ { j } , ~ \forall j } \\ & { \sum _ { j } x _ { i , j } + q _ { i } = \lambda _ { i } , ~ \forall i ; ~ x _ { i , j } \leq C _ { j } a _ { i , j } , ~ \forall i , j } \\ & { \frac { q _ { i } } { \lambda _ { i } } \leq \theta , ~ \forall i ; ~ ~ \Bigg | \frac { q _ { i } } { \lambda _ { i } } - \frac { q _ { i ^ { \prime } } } { \lambda _ { i ^ { \prime } } } \Bigg | \leq \beta , ~ \forall i , i ^ { \prime } } \\ & { x _ { i , j } \geq 0 , ~ \forall i , j , ~ ~ q _ { i } \geq 0 , ~ \forall i . } \end{array}
\mathcal { H } ( \hat { \nu } _ { 0 } ^ { N _ { k } } | | { \nu } _ { 0 } ^ { N _ { k } } ) = ( \frac { 1 } { n _ { k } m _ { k } } \sum _ { i j } \rho _ { \nu } ( \vartheta _ { i j } ) ) ^ { - 1 } \frac { 1 } { n _ { k } m _ { k } } \sum _ { i j } \log ( \rho _ { \nu } ( \vartheta _ { i j } ) ) \rho _ { \nu } ( \vartheta _ { i j } ) - \log \left( \frac { 1 } { n _ { k } m _ { k } } \sum _ { i j } \rho _ { \nu } ( \vartheta _ { i j } ) \right)
\mathbf { A } ^ { \prime } = \left[ \begin{array} { l l l l l l l l } { a _ { 1 1 } } & { 0 } & { a _ { 1 3 } } & { 0 } & { a _ { 1 5 } } & { a _ { 1 6 } } & { a _ { 1 7 } } & { a _ { 1 8 } } \\ { - 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { a _ { 3 1 } } & { 0 } & { a _ { 3 3 } } & { 0 } & { a _ { 3 5 } } & { a _ { 3 6 } } & { a _ { 3 7 } } & { a _ { 3 8 } } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { a _ { 5 1 } } & { 0 } & { a _ { 5 3 } } & { 0 } & { a _ { 5 5 } } & { a _ { 5 6 } } & { a _ { 5 7 } } & { a _ { 5 8 } } \\ { a _ { 6 1 } } & { 0 } & { a _ { 6 3 } } & { 0 } & { a _ { 6 5 } } & { a _ { 6 6 } } & { a _ { 6 7 } } & { a _ { 6 8 } } \\ { a _ { 7 1 } } & { 0 } & { a _ { 7 3 } } & { 0 } & { a _ { 7 5 } } & { a _ { 7 6 } } & { a _ { 7 7 } } & { a _ { 7 8 } } \\ { a _ { 8 1 } } & { 0 } & { a _ { 8 3 } } & { 0 } & { a _ { 8 5 } } & { a _ { 8 6 } } & { a _ { 8 7 } } & { a _ { 8 8 } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { \exp ( \partial ) ( t ^ { n } ) } & { = \sum _ { i = 0 } ^ { n } \frac { 1 } { i ! } \partial ^ { i } ( t ^ { n } ) } \\ & { = \sum _ { i = 0 } ^ { n } \frac { 1 } { i ! } \frac { n ! } { ( n - i ) ! } t ^ { n - i } } \\ & { = \sum _ { i = 0 } ^ { n } \binom { n } { i } t ^ { n - i } = ( t + 1 ) ^ { n } = \sigma ( t ^ { n } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | | \nabla _ { \theta _ { 1 } } L _ { \kappa } ( \theta ) | | _ { 2 } \le \epsilon _ { 1 } \le \frac { \kappa } { 2 | \mathcal { S } | | \mathcal { A } | | \mathcal { H } | } , } \\ & { | | \nabla _ { \theta _ { 2 } } L _ { \kappa } ( \theta ) | | _ { 2 } \le \epsilon _ { 2 } \le \frac { \kappa } { 2 | \mathcal { S } | | \mathcal { H } | | \mathcal { A } | | \mathcal { H } | } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { J _ { 1 } ( z ) = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { - s _ { 0 } ^ { - 1 } e ^ { 2 x ^ { 2 } g ( z ) } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } & & { J _ { 2 } ( z ) = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { s _ { * } s _ { 0 } ^ { - 1 } e ^ { 2 x ^ { 2 } g ( z ) } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ & { J _ { 3 } ( z ) = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { - \frac { \overline { { s } } _ { * } e ^ { - 2 \pi i \alpha } e ^ { - 2 x ^ { 2 } g ( z ) } } { s _ { 1 } ( e ^ { - 2 \pi i \alpha } + s _ { * } ) } } & { 1 } \end{array} \right) , } & & { J _ { 4 } ( z ) = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { \frac { ( e ^ { - 2 \pi i \alpha } - 1 ) e ^ { - 2 x ^ { 2 } g ( z ) } } { s _ { 1 } ( e ^ { - 2 \pi i \alpha } + s _ { * } ) } } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ & { J _ { 5 } ( z ) = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { \frac { s _ { * } e ^ { - 2 x ^ { 2 } g ( z ) } } { s _ { 1 } ( e ^ { - 2 \pi i \alpha } + s _ { * } ) } } & { 1 } \end{array} \right) , } & & { J _ { 6 } ( z ) = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { - \overline { { s } } _ { * } s _ { 0 } ^ { - 1 } e ^ { - 2 \pi i \alpha } e ^ { 2 x ^ { 2 } g ( z ) } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ & { J _ { 7 } ( z ) = J _ { 9 } ( z ) = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { \frac { e ^ { 2 x ^ { 2 } g ( z ) } } { s _ { 0 } e ^ { 2 \pi i \alpha } } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } & & { J _ { 8 } ( z ) = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { - s _ { 0 } e ^ { 2 \pi i \alpha } e ^ { - 2 x ^ { 2 } g ( z ) } } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ & { J _ { 1 0 } ( z ) = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { - \frac { s _ { * } e ^ { 2 x ^ { 2 } g ( z ) } } { s _ { 0 } e ^ { 2 \pi i \alpha } } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } & & { J _ { 1 1 } ( z ) = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { \frac { \overline { { s } } _ { * } e ^ { - 2 x ^ { 2 } g ( z ) } } { s _ { 1 } ( e ^ { - 2 \pi i \alpha } + s _ { * } ) } } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ & { J _ { 1 2 } ( z ) = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { \frac { ( e ^ { 2 \pi i \alpha } - 1 ) e ^ { - 2 x ^ { 2 } g ( z ) } } { s _ { 1 } ( e ^ { - 2 \pi i \alpha } + s _ { * } ) } } & { 1 } \end{array} \right) , } & & { J _ { 1 3 } ( z ) = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { - \frac { s _ { * } e ^ { 2 \pi i \alpha } e ^ { - 2 x ^ { 2 } g ( z ) } } { s _ { 1 } ( e ^ { - 2 \pi i \alpha } + s _ { * } ) } } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ & { J _ { 1 4 } ( z ) = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { \overline { { s } } _ { * } s _ { 0 } ^ { - 1 } e ^ { - 4 \pi i \alpha } e ^ { 2 x ^ { 2 } g ( z ) } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } & & { J _ { 1 5 } ( z ) = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { - s _ { 0 } ^ { - 1 } e ^ { - 4 \pi i \alpha } e ^ { 2 x ^ { 2 } g ( z ) } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ & { J _ { 1 6 } ( z ) = \left( \begin{array} { l l } { e ^ { - 2 \pi i \alpha } } & { 0 } \\ { s _ { 0 } e ^ { 2 \pi i \alpha } e ^ { - 2 x ^ { 2 } g ( z ) } } & { e ^ { 2 \pi i \alpha } } \end{array} \right) , } & & { J _ { 1 7 } ( z ) = J _ { 2 0 } ( z ) ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { s _ { 0 } ^ { - 1 } e ^ { - 2 \pi i \alpha } } \\ { - s _ { 0 } e ^ { 2 \pi i \alpha } } & { 0 } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 2 k - 1 + 2 i , 4 k - 2 - 2 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 1 + 2 i , 4 k - 3 - 2 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 2 k - 1 + 2 i , 4 k - 2 - 2 i } ^ { B , i + 1 } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 1 + 2 i , 4 k - 3 - 2 i } ^ { B , i + 1 } \otimes v _ { 1 , 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \operatorname* { l i m s u p } _ { R \to + \infty } \| u - w \| _ { C _ { \star } ^ { 2 , \alpha } , S , R } \cdot R ^ { - \gamma } } & { = + \infty , } & { \ } & { \forall \gamma < \gamma _ { 0 } ; } \\ { \operatorname* { l i m s u p } _ { R \to + \infty } \| u - w \| _ { C _ { \star } ^ { 2 , \alpha } , S , R } \cdot R ^ { - \gamma } } & { = 0 , } & { \ } & { \forall \gamma > \gamma _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { j = 2 } ^ { J } \| \boldsymbol { \Delta } _ { \mathcal { S } _ { j } ^ { c } } \| _ { \mathrm { F } } } & { \leq \frac { 5 \delta ^ { 2 } } { \rho \lambda _ { K } l ^ { 1 / 2 } } + 9 l ^ { - 1 / 2 } \| \boldsymbol { \Delta } _ { \mathcal { S } } \| _ { 1 , 1 } } \\ & { \leq \frac { 5 \delta ^ { 2 } } { \rho \lambda _ { K } l ^ { 1 / 2 } } + 9 s l ^ { - 1 / 2 } \| \boldsymbol { \Delta } _ { \mathcal { S } } \| _ { \mathrm { F } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathbb P } \big [ V \in A \big | P _ { V | U } ( \cdot | U ) = p , T \in B \big ] } & { = \frac { { \mathbb P } \big [ V \in A , P _ { V | U } ( \cdot | U ) = p , T \in B \big ] } { { \mathbb P } \big [ P _ { V | U } ( \cdot | U ) = p , T \in B \big ] } } \\ & { = \frac { \int _ { { \mathsf U } _ { p } } P _ { U } ( \mathrm { d } u ) P _ { V | U } ( A | u ) P _ { T | U } ( B | u ) } { \int _ { { \mathsf U } _ { p } } P _ { U } ( \mathrm { d } u ) P _ { T | U } ( B | u ) } } \\ & { = p ( A ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { n \in \mathcal { N } ^ { T N } } P _ { n } ^ { T N , G } + \sum _ { r \in \mathcal { R } ^ { D N } } P _ { r , 0 } ^ { D N } = \sum _ { n \in \mathcal { N } ^ { T N } } P _ { n } ^ { T N , D } , } \\ & { \begin{array} { r l } { - \overline { { F } } _ { l } ^ { T N } \leq } & { \sum _ { n \in \mathcal { N } ^ { T N } } T _ { l , n } ^ { T N } \left( P _ { n } ^ { T N , G } - P _ { n } ^ { T N , D } \right) } \\ & { + \sum _ { r \in \mathcal { R } ^ { D N } } T _ { l , r } ^ { T N } P _ { r , 0 } ^ { D N } \leq \overline { { F } } _ { l } ^ { T N } , \forall l , } \end{array} } \\ & { \underline { { P } } _ { n } ^ { T N , G } \leq P _ { n } ^ { T N , G } \leq \overline { { P } } _ { n } ^ { T N , G } , \forall n . } \end{array}
( 2 \pi ) ^ { - d / 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d r \; \frac { ( - r ) ^ { N } } { N ! } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } ( \xi ^ { \prime } \cdot \nabla _ { \xi } ) ^ { N + 1 } a \big ( x + F ( \delta \, x ) \, , \, \xi - \xi ^ { \prime } + r \xi ^ { \prime } \big ) \frac { \hat { f } ( \xi ^ { \prime } / \sqrt { \delta } ) } { \delta ^ { d / 2 } } \; d \xi ^ { \prime } ,
\frac { 3 } { 1 + | z _ { j } | ^ { 2 } } > 1 \Rightarrow \frac { 3 - 2 \operatorname { R e } ( z _ { j } ) } { 1 + | z _ { j } | ^ { 2 } - 2 \operatorname { R e } ( z _ { j } ) } > 1 \Rightarrow \frac { 4 - 4 \operatorname { R e } \left( z _ { j } \right) + \left| z _ { j } \right| ^ { 2 } } { 1 - 2 \operatorname { R e } \left( z _ { j } \right) + \left| z _ { j } \right| ^ { 2 } } > 1 + 1 = 2
\begin{array} { r l } { | \pi _ { 1 } ( \sigma ) \log r _ { 1 } ( \sigma ) - \pi _ { 2 } ( \sigma ) \log r _ { 2 } ( \sigma ) | } & { \le | \pi _ { 2 } ( \sigma ) - \pi _ { 1 } ( \sigma ) | | \log r _ { 2 } ( \sigma ) | + \pi _ { 1 } ( \sigma ) \log \frac { r _ { 2 } ( \sigma ) } { r _ { 1 } ( \sigma ) } } \\ & { \le \| \pi _ { 1 } - \pi _ { 2 } \| _ { \ell ^ { \infty } ( \Sigma ) } | \log r _ { 2 } ( \sigma ) | + \pi _ { 1 } ( \sigma ) \bigg ( \frac { r _ { 2 } ( \sigma ) } { r _ { 1 } ( \sigma ) } - 1 \bigg ) } \\ & { = \| \pi _ { 1 } - \pi _ { 2 } \| _ { \ell ^ { \infty } ( \Sigma ) } | \log r _ { 2 } ( \sigma ) | + \pi _ { 2 } ( \sigma ) - \pi _ { 1 } ( \sigma ) } \\ & { \le \| \pi _ { 1 } - \pi _ { 2 } \| _ { \ell ^ { \infty } ( \Sigma ) } ( 1 + | \log r _ { 2 } ( \sigma ) | ) } \end{array}
g ( i ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { \sum _ { j = 0 } ^ { i } \bigg ( \frac { 1 } { 2 ^ { j + 1 } } - \frac { 1 } { 2 ^ { d - k - j } } \bigg ) \big | B _ { k + 2 j } ^ { ( d ) } \big | + 2 ^ { d - i - 2 } + 2 ^ { k + i } } & { 0 \le i \le \frac { d - k - 2 } { 2 } } \\ { \sum _ { j = 0 } ^ { i - 1 } \bigg ( \frac { 1 } { 2 ^ { j + 1 } } - \frac { 1 } { 2 ^ { d - k - j } } \bigg ) \big | B _ { k + 2 j } ^ { ( d ) } \big | + \frac { 1 } { 2 ^ { d - k - i } } \big | B _ { k + 2 i } ^ { ( d ) } \big | + 2 ^ { \frac { d + k - 1 } { 2 } } } & { d - k i s o d d a n d i = \frac { d - k - 1 } { 2 } } \end{array} \right.
\left\Vert \mathrm { \ \ \ \ } \begin{array} { l } { \mathrm { I f ~ t h e ~ i n t e r v a l ~ i s ~ e x p a n d i n g , ~ t h e n ~ } E _ { \ell } \left( t \right) \mathrm { ~ i s n o n i n c r e a s i n g ~ f o r ~ a n y ~ } \eta > 0 \mathrm { . } } \\ { \mathrm { I f ~ t h e ~ i n t e r v a l ~ i s ~ s h r i n k i n g , ~ t h e n ~ } E _ { \ell } \left( t \right) \mathrm { ~ i s n o n i n c r e a s i n g ~ i f ~ t h e ~ d a m p i n g } } \\ { \mathrm { f a c t o r ~ c a n ~ b e ~ t a k e n ~ c l o s e ~ e n o u g h ~ t o ~ t h e ~ o p t i m a l ~ v a l u e ~ } \eta = 1 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \varphi ( X ) } & { \leq } & { c \big [ 1 + \psi ^ { \delta } ( X ) \big ] ^ { - 1 } \psi ( X ) } \\ & { \leq } & { \left\{ \begin{array} { c c l } { c } & { \mathrm { i f } } & { \psi ^ { \delta } ( X ) \leq 1 } \\ { c \psi ^ { 1 - \delta } ( X ) } & { \mathrm { i f } } & { \psi ^ { \delta } ( X ) > 1 } \end{array} \right\} \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C ( T ) \leq A ( T ) + 2 \sqrt { B ( T ) } \sqrt { C ( T ) } } & { \Longrightarrow \left( \sqrt { C ( T ) } - \sqrt { B ( T ) } \right) ^ { 2 } \leq A ( T ) + B ( T ) } \\ & { \Longrightarrow \sqrt { C ( T ) } - \sqrt { B ( T ) } \leq \sqrt { A ( T ) } + \sqrt { B ( T ) } } \\ & { \Longrightarrow \sqrt { C ( T ) } \leq \sqrt { A ( T ) } + 2 \sqrt { B ( T ) } } \\ & { \Longrightarrow C ( T ) \leq 2 A ( T ) + 8 B ( T ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { U _ { L } \bar { \mathbf { z } } _ { L } { ( k ) } = D _ { L } \bar { \mathbf { w } } _ { L } ^ { ( k - 1 ) } + E _ { L } \bar { \mathbf { w } } _ { R } ^ { ( k - 1 ) } , U _ { R } \bar { \mathbf { z } } _ { R } { ( k ) } = D _ { R } \bar { \mathbf { w } } _ { R } ^ { ( k - 1 ) } + E _ { R } \bar { \mathbf { w } } _ { L } ^ { ( k - 1 ) } , } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { \begin{array} { l l l } { X _ { i j } + X _ { i j } ^ { \top } - \bar { S } _ { i } } & { \star } & { \star } \\ { A _ { i } X _ { i j } + B Y _ { i j } } & { Z _ { i } + Z _ { i } ^ { \top } } & { \star } \\ { 0 } & { Z _ { i } } & { \bar { S } _ { j } } \end{array} } \end{array} \right] \succ 0 , \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } i , j \in \mathcal { N } .
\begin{array} { r } { \left( 1 \wedge \frac { \Phi _ { 1 } ^ { U _ { i } } ( v _ { i } ) } { 1 \wedge s ^ { 1 / 2 } } \right) \left( 1 \wedge \frac { \Phi _ { 1 } ^ { U _ { i } } ( w _ { i } ) } { 1 \wedge r ^ { 1 / 2 } } \right) e ^ { - \frac { c _ { 1 } } { 6 } \frac { | v _ { i } - w _ { i } | ^ { 2 } } { r } } \le C _ { 0 , i } \left( 1 \wedge \frac { \Phi _ { 1 } ^ { U _ { i } } ( w _ { i } ) } { 1 \wedge s ^ { 1 / 2 } } \right) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { Z _ { \mathrm { e q } } } & { = R _ { \mathrm { e q } } + j X _ { \mathrm { e q } } } \\ { R _ { \mathrm { e q } } } & { = { \frac { ( X _ { 1 } R _ { 2 } + X _ { 2 } R _ { 1 } ) ( X _ { 1 } + X _ { 2 } ) + ( R _ { 1 } R _ { 2 } - X _ { 1 } X _ { 2 } ) ( R _ { 1 } + R _ { 2 } ) } { ( R _ { 1 } + R _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( X _ { 1 } + X _ { 2 } ) ^ { 2 } } } } \\ { X _ { \mathrm { e q } } } & { = { \frac { ( X _ { 1 } R _ { 2 } + X _ { 2 } R _ { 1 } ) ( R _ { 1 } + R _ { 2 } ) - ( R _ { 1 } R _ { 2 } - X _ { 1 } X _ { 2 } ) ( X _ { 1 } + X _ { 2 } ) } { ( R _ { 1 } + R _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( X _ { 1 } + X _ { 2 } ) ^ { 2 } } } } \end{array} }
{ \begin{array} { r l } { f ( \mathbf { x } ) } & { \approx f ( \mathbf { a } ) + ( D f ) ( \mathbf { x - a } ) + \left( D ^ { 2 } f \right) ( \Delta ( \mathbf { x - a } ) ) + \cdots } \\ & { = f ( \mathbf { a } ) + ( D f ) ( \mathbf { x - a } ) + \left( D ^ { 2 } f \right) ( \mathbf { x - a } , \mathbf { x - a } ) + \cdots } \\ & { = f ( \mathbf { a } ) + \sum _ { i } ( D f ) _ { i } ( x _ { i } - a _ { i } ) + \sum _ { j , k } \left( D ^ { 2 } f \right) _ { j k } ( x _ { j } - a _ { j } ) ( x _ { k } - a _ { k } ) + \cdots } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { m ( t , \tau ) } & { : = } & { \frac { 1 } { N } \sum _ { i \in \mathcal { T } } x _ { i } ( t , \tau ) = \mathbb { E } \big [ x ( t , \tau ) \big ] } \\ { C ( t , t ^ { \prime } , \tau ) } & { : = } & { \frac { 1 } { N } \sum _ { i \in \mathcal { T } } x _ { i } ( t , \tau ) x _ { i } ( t ^ { \prime } , \tau ) = \mathbb { E } \big [ x ( t , \tau ) x ( t ^ { \prime } , \tau ) \big ] \qquad } \\ { G ( t , t ^ { \prime } , \tau ) } & { : = } & { \frac { 1 } { N } \sum _ { i \in \mathcal { T } } \frac { \delta x _ { i } ( t , \tau ) } { \delta \theta _ { i } ( t ^ { \prime } , \tau ) } \Big | _ { \theta = 0 } = \frac { \delta \mathbb { E } \big [ x ( t , \tau ) \big ] } { \delta \theta ( t ^ { \prime } , \tau ) } \Big | _ { \theta = 0 } } \\ { \hat { \mu } ( \tau ) / N _ { t } } & { : = } & { \frac { 1 } { N _ { t } ( N _ { t } - 1 ) } \sum _ { i , j \in \mathcal { T } } J _ { i j } ^ { ( t t ) } ( \tau ) = \mathbb { E } \Big [ J ^ { ( t t ) } ( \tau ) \Big ] } \\ { \hat { \lambda } ( \tau ) / \sqrt { N _ { t } } } & { : = } & { \frac { 1 } { N _ { t } N _ { o } } \sum _ { i \in \mathcal { T } , j \in \mathcal { O } } J _ { i j } ^ { ( t o ) } ( \tau ) = \mathbb { E } \Big [ J ^ { ( t o ) } ( \tau ) \Big ] } \\ { \tilde { \lambda } ( \tau ) / \sqrt { N _ { t } } } & { : = } & { \frac { 1 } { N _ { t } N _ { o } } \sum _ { i \in \mathcal { O } , j \in \mathcal { T } } J _ { i j } ^ { ( o t ) } ( \tau ) = \mathbb { E } \Big [ J ^ { ( o t ) } ( \tau ) \Big ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { | A | } & { = \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| + | B _ { 1 } | } \\ & { \leqslant \frac { 1 7 n } { 5 4 } - \frac { \varepsilon n } { 3 } + 6 + \operatorname* { m a x } \left( \frac { \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| } { 3 } - \frac { n } { 1 8 } , \frac { 2 \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| } { 3 } - \frac { 5 n } { 5 4 } \right) } \\ & { \leqslant \frac { 1 7 n } { 5 4 } - \frac { \varepsilon n } { 3 } + 6 + \operatorname* { m a x } \bigg ( 8 , \frac { n } { 5 4 } + 1 6 \bigg ) = \frac { n } { 3 } - \frac { \varepsilon n } { 3 } + 2 2 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( E _ { \ell } ) } & { = \mathbb { P } \bigg ( \Big \{ \langle \varepsilon , u _ { \ell } \rangle ^ { 2 } > \ell K \sigma ^ { 2 } \Big \} \bigg ) } \\ & { = 2 \bigg ( 1 - \Phi \big ( \sqrt { \ell K } \big ) \bigg ) } \\ & { = G _ { \ell } , } \\ { \mathbb { P } ( F _ { \ell } ) } & { = \mathbb { P } \bigg ( \Big \{ K \sigma ^ { 2 } < \langle \varepsilon , u _ { \ell } \rangle ^ { 2 } \leq \ell K \sigma ^ { 2 } \Big \} \bigg ) } \\ & { = 2 \bigg ( \Phi \big ( \sqrt { \ell K } \big ) - \Phi \big ( \sqrt { K } \big ) \bigg ) } \\ & { = H _ { \ell } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sqrt { k } ( \widehat { R } _ { k , n } - R _ { k , n } ) \stackrel { d } { = } \sqrt { k } \left( \ln \frac { k } { n } - \ln ( 1 - F _ { 0 } ( q ) ) \right) } \\ { - \, \frac { 1 } { \sqrt { k } } \sum _ { i = 1 } ^ { k } \left[ \ln \left( 1 - F _ { 0 } \Big ( u _ { 0 } + \frac { X _ { i } ^ { \ast } - q } { q - \hat { q } } ( u _ { 0 } - \hat { u } _ { 0 } ) \Big ) \right) - \ln ( 1 - F _ { 0 } ( X _ { i } ^ { \ast } ) ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Lambda ^ { + } = \lambda ^ { + } ( m _ { + } ) } & { = \frac { \int _ { \Omega } H ^ { p } ( \nabla v ) ( - x ) + \mathtt k \int _ { \partial \Omega } | v | ^ { p } ( - x ) } { \int _ { \Omega } m _ { + } ( x ) | v | ^ { p } ( - x ) } = \frac { \int _ { \Omega } H ^ { p } ( \nabla v ) ( x ) + \mathtt k \int _ { \partial \Omega } | v | ^ { p } ( x ) } { \int _ { \Omega } m _ { + } ( - x ) | v | ^ { p } ( x ) } } \\ & { \ge \lambda ^ { - } ( m _ { + } ( - x ) ) \ge \Lambda ^ { - } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { x } } & { = \frac { \mu L } { \xi } \left[ B _ { 1 1 } ( \eta ) \dot { \zeta } + B _ { 1 2 } ( \eta ) \dot { \lambda } + B _ { 1 3 } ( \eta ) \dot { \eta } \right] \, , } \\ { F _ { z } } & { = \frac { \mu L } { \xi ^ { 2 } } \left[ B _ { 2 1 } ( \eta ) \dot { \zeta } + B _ { 2 2 } ( \eta ) \dot { \lambda } + B _ { 2 3 } ( \eta ) \dot { \eta } \right] \, , } \\ { G } & { = \frac { \mu L ^ { 2 } } { \xi ^ { 2 } } \left[ B _ { 3 1 } ( \eta ) \dot { \zeta } + B _ { 3 2 } ( \eta ) \dot { \lambda } + B _ { 3 3 } ( \eta ) \dot { \eta } \right] \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathscr { K } _ { 1 } ( \theta ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \delta _ { 1 } } & { \quad \mathrm { i f } \; \; \theta \leq \frac { \delta _ { 1 } } { N _ { 1 } } \, , } \\ { N _ { 0 } } & { \quad \mathrm { i f } \; \; \theta \geq \frac { 2 \delta _ { 1 } } { N _ { 1 } } \, , } \\ { \mathrm { l i n e a r } } & { \quad \mathrm { o t h e r w i s e } \, , } \end{array} \right. } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { j _ { 2 A } ( \tau ) } & { = T _ { 2 A } ( \tau ) + 1 0 4 } \\ & { = \left( \left( { \frac { \eta ( \tau ) } { \eta ( 2 \tau ) } } \right) ^ { 1 2 } + 2 ^ { 6 } \left( { \frac { \eta ( 2 \tau ) } { \eta ( \tau ) } } \right) ^ { 1 2 } \right) ^ { 2 } } \\ & { = { \frac { 1 } { q } } + 1 0 4 + 4 3 7 2 q + 9 6 2 5 6 q ^ { 2 } + 1 2 4 0 0 0 2 q ^ { 3 } + 1 0 6 9 8 7 5 2 q ^ { 4 } + \cdots } \end{array} }
x \left[ e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { \left( x - \mu \right) ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } } } + e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { \left( x + \mu \right) ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } } } \right] - \mu \left[ e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { \left( x - \mu \right) ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } } } - e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { \left( x + \mu \right) ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } } } \right] = 0
( x ^ { * } ) ^ { i } = \left( \begin{array} { l } { \| ( x ^ { * } ) _ { 2 : n _ { i } } ^ { i } \| } \\ { ( x ^ { * } ) _ { 2 : n _ { i } } ^ { i } } \end{array} \right) \mathrm { , ~ a n d ~ } ( s ^ { * } ) ^ { i } = \delta \left( \begin{array} { l } { \| ( x ^ { * } ) _ { 2 : n _ { i } } ^ { i } \| } \\ { - ( x ^ { * } ) _ { 2 : n _ { i } } ^ { i } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { | \partial _ { t } ( t H _ { t , 1 , 1 } ^ { ( \alpha , \beta ) } ( n , m ) ) | } & { \le C n ^ { \alpha + 1 } m ^ { \alpha } \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { m } } e ^ { - c t \theta ^ { 2 } } ( 1 + t \theta ^ { 2 } ) \theta ^ { 2 \alpha + 7 } d \theta } \\ & { \quad + C n ^ { \alpha + 1 } m ^ { - 3 / 2 } \int _ { \frac { 1 } { m } } ^ { \frac { 1 } { n } } e ^ { - c t \theta ^ { 2 } } ( 1 + t \theta ^ { 2 } ) \theta ^ { \alpha + \frac { 1 1 } { 2 } } d \theta } \\ & { \quad + C ( n m ) ^ { - 3 / 2 } \int _ { \frac { 1 } { n } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } e ^ { - c t \theta ^ { 2 } } ( 1 + t \theta ^ { 2 } ) \theta ^ { 3 } d \theta , \qquad t > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { \theta } _ { j + 1 } ^ { n , ( 3 ) } = \tilde { \theta } _ { j } ^ { n , ( 3 ) } + \gamma _ { 2 3 } ( \tilde { \rho } _ { j + 1 } ^ { n } - \rho _ { \mathrm { m i n } } ) \leq \tilde { \theta } _ { j } ^ { n , ( 3 ) } , \quad \tilde { \theta } _ { j + 1 } ^ { n , ( 4 ) } = \tilde { \theta } _ { j } ^ { n , ( 4 ) } + \gamma _ { 2 4 } ( \tilde { \rho } _ { j + 1 } ^ { n } - \rho _ { \mathrm { m i n } } ) \leq \tilde { \theta } _ { j } ^ { n , ( 4 ) } , } \end{array}
\operatorname* { m a x } \bigg \{ F _ { q _ { \overline { { y } } } } ( Y ) , Q _ { 1 } ( q _ { \overline { { y } } } , \xi ) F _ { q _ { \overline { { y } } } } ( Y ) , Q _ { 2 } ( q _ { \overline { { y } } } , \xi ) F _ { q _ { \overline { { y } } } } ( Y ) \bigg \} = F _ { q _ { \overline { { y } } } } ( Y ) \geq - | | f | | _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } .
C _ { 2 } \| \boldsymbol { \Delta } _ { \mathcal { S } \cup \mathcal { S } _ { 1 } ^ { c } } \| _ { \mathrm { F } } \leq C _ { 3 } \frac { \delta ^ { 2 } } { \rho \lambda _ { K } l ^ { 1 / 2 } } + ( \frac { 4 \delta ^ { 2 } } { \lambda _ { K } ^ { 2 } } + \frac { 6 s \rho } { \lambda _ { K } } \| \boldsymbol { \Delta } _ { \mathcal { S } \cup \mathcal { S } _ { 1 } ^ { c } } \| _ { \mathrm { F } } ) ^ { 1 / 2 } .
\begin{array} { r l r l } & { \partial _ { t } \theta ^ { \kappa } + \ensuremath { \mathbf { b } } \cdot \nabla \theta ^ { \kappa } - \kappa \Delta \theta ^ { \kappa } = 0 } & { \mathrm { i n } } & { \ ( 0 , \infty ) \times \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { d } \, , } \\ & { \theta ^ { \kappa } ( 0 , \cdot ) = \theta _ { 0 } } & { \mathrm { o n } } & { \ \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { d } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( P _ { n + 1 } ^ { ( g ) } ( x ( w ) , x ( z ) ; I ) , \; H _ { n + 1 } ^ { ( g ) } ( x ( w ) ; z ; I ) , \; U _ { n + 1 } ^ { ( g ) } ( w , z ; I ) ) \quad \mathrm { a n d } } \\ & { ( Q _ { n + 1 } ^ { ( g ) } ( x ( w ) , x ( z ) ; I ) , \; M _ { n + 1 } ^ { ( g ) } ( x ( w ) ; z ; I ) , \; V _ { n + 1 } ^ { ( g ) } ( w , z ; I ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { { \mathbb { P } } ( T _ { n } > q _ { 1 - \alpha } ^ { B } \mid H _ { 1 } ) } \\ & { \geq } & { { \mathbb { P } } ( { T } _ { n } ^ { c } \leq n ^ { 1 / 2 } | { \boldsymbol \theta } | _ { \infty } - q _ { 1 - \alpha + 2 \beta _ { n , p } } ^ { G } \mid H _ { 1 } ) + o ( 1 ) } \\ & { \geq } & { { \mathbb { P } } \{ T _ { n } ^ { c } \leq C _ { 3 } \log ^ { 1 / 2 } ( n p ) \log ^ { 1 / 2 } ( \alpha ^ { - 1 } ) \mid H _ { 1 } \} + o ( 1 ) } \\ & { \geq } & { { \mathbb { P } } \{ | G | _ { \infty } \leq C _ { 3 } \log ^ { 1 / 2 } ( n p ) \log ^ { 1 / 2 } ( \alpha ^ { - 1 } ) \mid H _ { 1 } \} - \beta _ { n , p } + o ( 1 ) } \\ & { \geq } & { 1 - 2 \alpha ^ { C _ { 2 } C _ { 3 } ^ { 2 } } - \beta _ { n , p } + o ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \varepsilon \frac { \partial } { \partial \alpha _ { i } } U _ { n , \varepsilon } ( \theta ) | _ { \theta = \theta _ { 0 } } = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { n } 2 \varepsilon ^ { - 1 } \Bigl ( \frac { \partial } { \partial \alpha _ { i } } b \bigl ( X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) , ~ \theta _ { 0 } \bigr ) \Bigr ) ^ { \top } [ \sigma \sigma ^ { \top } ] ^ { - 1 } \Bigl ( X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) , ~ \beta _ { 0 } \Bigr ) P _ { k } ( \theta _ { 0 } ) } \\ { = } & { \colon \sum _ { k = 1 } ^ { n } \xi _ { k } ^ { i } ( \theta _ { 0 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \hat { \sigma } = \operatorname* { m i n } \bigg \{ \frac { 1 - \sqrt { \delta } } { \sqrt { \delta } + \frac { 2 c \lambda _ { n } ^ { 2 } ( 1 + \sqrt { \delta } ) } { r \lambda _ { 2 } } } - \frac { \lambda _ { 2 } ( \tilde { \Xi } _ { 1 } + \tilde { \Xi } _ { 2 } - ( 1 - \sqrt { \delta } ) \tilde { \Xi } _ { 1 } ) } { \sqrt { \delta } r \lambda _ { 2 } + 2 c \lambda _ { n } ^ { 2 } ( 1 + \sqrt { \delta } ) } , } \\ & { \frac { c \lambda _ { 2 } ( c \hat { \lambda } _ { 1 } - 2 r \frac { \delta } { 1 - \sqrt { \delta } } - 2 \tilde { \Xi } _ { 1 } \frac { \delta } { 1 - \sqrt { \delta } } - 4 \eta \ell ^ { 2 } ) - 2 ( c ^ { 2 } \hat { \lambda } _ { n } ^ { 2 } + 4 \ell ^ { 2 } ) \beta ^ { - 1 } } { 8 c ^ { 2 } \hat { \lambda } _ { n } ^ { 2 } + 3 2 \ell ^ { 2 } + 4 c ^ { 2 } \lambda _ { n } ^ { 2 } + 4 c \lambda _ { 2 } r \frac { \delta } { 1 - \sqrt { \delta } } } , } \\ & { \frac { c \lambda _ { 2 } ( 2 v - \eta ) - \ell ^ { 2 } \beta ^ { - 1 } } { c ^ { 2 } \lambda _ { 2 } \hat { \lambda } _ { n } + \ell ^ { 2 } } \bigg \} > 0 , } \\ & { \frac { \tilde { \Xi } _ { 2 } + \tilde { \Xi } _ { 1 } \sqrt { \delta } } { 1 - \sqrt { \delta } } < r < \frac { c \hat { \lambda } _ { 1 } - 4 \eta \ell ^ { 2 } } { 2 \frac { \delta } { 1 - \sqrt { \delta } } } - \frac { c ^ { 2 } \hat { \lambda } _ { n } ^ { 2 } + 4 \ell ^ { 2 } } { c \lambda _ { 2 } \frac { \delta } { 1 - \sqrt { \delta } } \beta } - \tilde { \Xi } _ { 1 } , } \\ & { \tilde { \Xi } _ { 1 } = \frac { 3 c \lambda _ { n } } { 2 } + 2 c \beta \lambda _ { n } + \frac { c \lambda _ { n } ^ { 2 } } { 2 \beta \lambda _ { 2 } } , \qquad \tilde { \Xi } _ { 2 } = \frac { 3 c \lambda _ { n } } { 2 } + \frac { c \lambda _ { n } ^ { 2 } } { 2 \beta \lambda _ { 2 } } . } \end{array}
\| \check { \boldsymbol { \mathbf { u } } } _ { L } ^ { ( k ) } - \boldsymbol { \mathbf { u } } _ { L } ^ { \star } \| \le \| \check { \boldsymbol { \mathbf { u } } } _ { L } ^ { ( k ) } - \check { \boldsymbol { \mathbf { u } } } _ { L } ^ { \star } \| + \| \boldsymbol { \mathbf { \check { A } } } _ { L } ^ { - 1 } - \boldsymbol { \mathbf { A } } _ { L } ^ { - 1 } \| \| \boldsymbol { \mathbf { b } } _ { L } \|
\begin{array} { r l } { 0 } & { \geq \left( A _ { k + 1 } - A _ { k } \right) \left[ f \left( x _ { k + 1 } \right) - f \left( x ^ { * } \right) + \left\langle \nabla f \left( x _ { k + 1 } \right) , x ^ { * } - x _ { k + 1 } \right\rangle + \mu D _ { h } \left( x ^ { * } , x _ { k + 1 } \right) \right] } \\ & { \quad + A _ { k } \left[ f \left( x _ { k + 1 } \right) - f \left( x _ { k } \right) + \left\langle \nabla f \left( x _ { k + 1 } \right) , x _ { k } - x _ { k + 1 } \right\rangle \right] } \\ & { \quad + A _ { k + 1 } \left[ M s ^ { \frac { 1 } { p - 1 } } \left\Vert \nabla f \left( x _ { k + 1 } \right) \right\Vert ^ { \frac { p } { p - 1 } } - \left\langle \nabla f \left( x _ { k + 1 } \right) , y _ { k } - x _ { k + 1 } \right\rangle \right] } \\ & { \quad + \left( 1 + \mu A _ { k } \right) \left[ h \left( z _ { k } \right) - h \left( z _ { k + 1 } \right) + \left\langle \nabla h \left( z _ { k } \right) , z _ { k + 1 } - z _ { k } \right\rangle + \frac { 1 } { p } \left\Vert z _ { k + 1 } - z _ { k } \right\Vert ^ { p } \right] } \\ & { \geq \mathcal { E } _ { k + 1 } - \mathcal { E } _ { k } } \\ & { \quad - \mu \left( A _ { k + 1 } - A _ { k } \right) D _ { h } \left( x ^ { * } , x _ { k + 1 } \right) + \mu \left( A _ { k + 1 } - A _ { k } \right) \left\langle \nabla h \left( z _ { k + 1 } \right) - \nabla h \left( x _ { k + 1 } \right) , x ^ { * } - z _ { k + 1 } \right\rangle } \\ & { \quad - \left( A _ { k + 1 } - A _ { k } \right) \left( f \left( x _ { k + 1 } \right) - f \left( x ^ { * } \right) \right) - A _ { k } \left( f \left( x _ { k + 1 } \right) - f \left( x _ { k } \right) \right) } \\ & { \quad - \left( 1 + \mu A _ { k + 1 } \right) \left( - h \left( z _ { k + 1 } \right) - \left\langle \nabla h \left( z _ { k + 1 } \right) , x ^ { * } - z _ { k + 1 } \right\rangle + h \left( z _ { k } \right) + \left\langle \nabla h \left( z _ { k } \right) , x ^ { * } - z _ { k } \right\rangle \right) } \\ & { \quad + \left( A _ { k + 1 } - A _ { k } \right) \left[ f \left( x _ { k + 1 } \right) - f \left( x ^ { * } \right) + \left\langle \nabla f \left( x _ { k + 1 } \right) , x ^ { * } - x _ { k + 1 } \right\rangle + \mu D _ { h } \left( x ^ { * } , x _ { k + 1 } \right) \right] } \\ & { \quad + A _ { k } \left[ f \left( x _ { k + 1 } \right) - f \left( x _ { k } \right) + \left\langle \nabla f \left( x _ { k + 1 } \right) , x _ { k } - x _ { k + 1 } \right\rangle \right] } \\ & { \quad + A _ { k + 1 } \left[ M s ^ { \frac { 1 } { p - 1 } } \left\Vert \nabla f \left( x _ { k + 1 } \right) \right\Vert ^ { \frac { p } { p - 1 } } - \left\langle \nabla f \left( x _ { k + 1 } \right) , y _ { k } - x _ { k + 1 } \right\rangle \right] } \\ & { \quad + \left( 1 + \mu A _ { k } \right) \left[ h \left( z _ { k } \right) - h \left( z _ { k + 1 } \right) + \left\langle \nabla h \left( z _ { k } \right) , z _ { k + 1 } - z _ { k } \right\rangle + \frac { 1 } { p } \left\Vert z _ { k + 1 } - z _ { k } \right\Vert ^ { p } \right] } \\ & { = \mathcal { E } _ { k + 1 } - \mathcal { E } _ { k } } \\ & { \quad + \left\langle \nabla f \left( x _ { k + 1 } \right) , \left( A _ { k + 1 } - A _ { k } \right) \left( x ^ { * } - x _ { k + 1 } \right) + A _ { k } \left( x _ { k } - x _ { k + 1 } \right) + A _ { k + 1 } \left( x _ { k + 1 } - y _ { k } \right) \right\rangle } \\ & { \quad + \left( 1 + \mu A _ { k } \right) \left\langle \nabla h \left( z _ { k + 1 } \right) - \nabla h \left( z _ { k } \right) , x ^ { * } - z _ { k + 1 } \right\rangle + \frac { 1 + \mu A _ { k } } { p } \left\Vert z _ { k + 1 } - z _ { k } \right\Vert ^ { p } } \\ & { \quad + \mu \left( A _ { k + 1 } - A _ { k } \right) \left\langle \nabla h \left( z _ { k + 1 } \right) - \nabla h \left( x _ { k + 1 } \right) , x ^ { * } - z _ { k + 1 } \right\rangle + M A _ { k + 1 } s ^ { \frac { 1 } { p - 1 } } \left\Vert \nabla f \left( x _ { k + 1 } \right) \right\Vert ^ { \frac { p } { p - 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ( u ^ { k } - \bar { u } , u ^ { k - 1 } - \bar { u } ) } & { + \frac { \gamma \lambda _ { m } \zeta } { C _ { P } ^ { 2 } \lambda _ { M } } \Delta t \big ( \| A ^ { 1 / 2 } ( u ^ { k } - \bar { u } ) \| _ { 0 , 2 , { \mathcal T } } ^ { 2 } + \| A ^ { 1 / 2 } ( u ^ { k - 1 } - \bar { u } ) \| _ { 0 , 2 , { \mathcal T } } ^ { 2 } \big ) } \\ & { \le H ( u ^ { k - 2 } - \bar { u } , u ^ { k - 3 } - \bar { u } ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathrm { A r e a } ( r ) } & { = \iint _ { D } 1 \ d ( x , y ) } \\ & { = \iint _ { D } t \ d t \ d \theta } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { r } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } t \ d \theta \ d t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { r } \left[ t \theta \right] _ { 0 } ^ { 2 \pi } d t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { r } 2 \pi t \, d t } \end{array} }
\bar { Y } _ { \ell } ^ { m } \circ \bar { \mathcal { X } } ( \lambda \boldsymbol { x } ) = \bar { Y } _ { \ell } ^ { m } \left( \lambda ^ { d } \lVert \boldsymbol { x } \rVert ^ { d } \mathcal { X } ( \boldsymbol { x } / \lVert \boldsymbol { x } \rVert ) \right) = \lambda ^ { \ell \cdot d } \lVert \boldsymbol { x } \rVert ^ { \ell \cdot d } Y _ { \ell } ^ { m } \circ \mathcal { X } ( \boldsymbol { x } / \lVert \boldsymbol { x } \rVert ) \, ,
\begin{array} { r l l } { \displaystyle \sum _ { i = 2 } ^ { N } \int _ { 0 } ^ { T } \Big ( \zeta u ^ { i , \tau } - \beta ^ { i } ( b _ { i } ) \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } p ^ { i , \tau } ( \cdot , b _ { i } ^ { - } ) + I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } p ^ { i , \tau } ( \cdot , b _ { i } ^ { - } ) \Big ) ( v ^ { i } - u ^ { i , \tau } ) d t = 0 . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { X } & { = ( w - U + v ) \, ( U + v + w ) , } & { x } & { = ( U - v + w ) \, ( v - w + U ) , } \\ { Y } & { = ( u - V + w ) \, ( V + w + u ) , } & { y } & { = ( V - w + u ) \, ( w - u + V ) , } \\ { Z } & { = ( v - W + u ) \, ( W + u + v ) , } & { z } & { = ( W - u + v ) \, ( u - v + W ) . } \end{array} }
\aligned = \int \phi ( \frac { r } { R } ) | \partial _ { r } u | ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \int \frac { 1 } { R ^ { 2 } } \phi ^ { \prime \prime } ( \frac { r } { R } ) | u | ^ { 2 } - \int \psi ( \frac { r } { R } ) | u | ^ { 2 } ( m + A _ { \theta } [ u ] ) + \int \psi ( \frac { r } { R } ) | u | ^ { 2 } r ( \frac { m + A _ { \theta } [ u ] } { r } ) \, + 2 \int \psi ( \frac { r } { R } ) | u | ^ { 2 } ( \frac { m + A _ { \theta } [ u ] } { r } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \int \phi ( \frac { r } { R } ) | u | ^ { 4 } - \int \psi ( \frac { r } { R } ) | u | ^ { 4 } \, = 2 \int \phi ( \frac { r } { R } ) | \partial _ { r } u | ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 R ^ { 2 } } \int \phi ^ { \prime \prime } ( \frac { r } { R } ) | u | ^ { 2 } + 2 \int \psi ( \frac { r } { R } ) | u | ^ { 2 } ( \frac { m + A _ { \theta } [ u ] } { r } ) ^ { 2 } \, - \int \phi ( \frac { r } { R } ) | u | ^ { 4 } - \frac { 1 } { 2 } \int [ \psi ( \frac { r } { R } ) - \phi ( \frac { r } { R } ) ] | u | ^ { 4 } . \endaligned
\theta _ { \mu } ^ { s } ( x _ { 0 } , d _ { 0 } ) \leq \frac { r _ { i } ^ { - k s } \mu ( f _ { i } ^ { k } ( B ( x _ { 0 } , d _ { 0 } ) ) ) } { ( 2 d _ { 0 } ) ^ { s } } = \frac { \mu ( B ( f _ { i } ^ { k } ( x _ { 0 } ) , r _ { i } ^ { k } d _ { 0 } ) ) } { ( 2 d _ { 0 } r _ { i } ^ { k } ) ^ { s } } \leq \operatorname* { s u p } _ { B ( x , d ) \in \mathcal { B } _ { \mathcal { O } } } \theta _ { \mu } ^ { s } ( x , d ) .
+ \frac { y ^ { 1 } z ^ { 3 } } { 1 ^ { a } 3 ^ { b } } + \frac { y ^ { 2 } z ^ { 3 } } { 2 ^ { a } 3 ^ { b } } + \frac { y ^ { 3 } z ^ { 3 } } { 3 ^ { a } 3 ^ { b } } + \frac { y ^ { 4 } z ^ { 3 } } { 4 ^ { a } 3 ^ { b } } + \frac { y ^ { 5 } z ^ { 3 } } { 5 ^ { a } 3 ^ { b } } + \frac { y ^ { 6 } z ^ { 3 } } { 6 ^ { a } 3 ^ { b } } + \frac { y ^ { 7 } z ^ { 3 } } { 7 ^ { a } 3 ^ { b } } + \cdots
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } \| F _ { v } ( x ^ { * } ) \| ^ { 2 } } & { = } & { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \mathbb { E } \bigg \| \sum _ { i = 1 } ^ { n } v _ { i } F _ { i } ( x ^ { * } ) \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \mathbb { E } \bigg \| \sum _ { i \in S } \frac { 1 } { p _ { i } } F _ { i } ( x ^ { * } ) \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \mathbb { E } \bigg \| \sum _ { i = 1 } ^ { n } \textbf { 1 } _ { i \in S } \frac { 1 } { p _ { i } } F _ { i } ( x ^ { * } ) \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \mathbb { E } \bigg \langle \sum _ { i = 1 } ^ { n } \textbf { 1 } _ { i \in S } \frac { 1 } { p _ { i } } F _ { i } ( x ^ { * } ) , \sum _ { j = 1 } ^ { n } \textbf { 1 } _ { j \in S } \frac { 1 } { p _ { j } } F _ { j } ( x ^ { * } ) \bigg \rangle } \\ & { = } & { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } \frac { P _ { i j } } { p _ { i } p _ { j } } \langle F _ { i } ( x ^ { * } ) , F _ { j } ( x ^ { * } ) \rangle , } \end{array}
\widehat { T } \mathcal { G } _ { p , q , r } ^ { ( 1 ) } T ^ { - 1 } = \widehat { X } \widehat { W } \mathcal { G } _ { p , q , r } ^ { ( 1 ) } W ^ { - 1 } X ^ { - 1 } = \pm X \mathcal { G } _ { p , q , r } ^ { ( 1 ) } W W ^ { - 1 } X ^ { - 1 } = \pm X \mathcal { G } _ { p , q , r } ^ { ( 1 ) } X ^ { - 1 } \subseteq \mathcal { G } _ { p , q , r } ^ { ( 1 ) }
\left\{ \begin{array} { r l } { C _ { p e n a l t y } } & { = C _ { M S E } + C _ { s t a b } } \\ { C _ { M S E } } & { = ( y _ { t a r g e t } - y _ { p r e d } ) ^ { 2 } , ~ ~ \mathrm { i f ~ y _ { t a r g e t } > 0 ~ } } \\ { C _ { s t a b } } & { = \lambda _ { s t a b } y _ { p r e d } ^ { 2 } , ~ ~ \mathrm { i f ~ y _ { t a r g e t } = 0 ~ , ~ a n d ~ y _ { p r e d } > 0 ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { B ( u _ { h } ^ { k , 1 } ; E _ { k + 1 } , v _ { h } ) } & { \lesssim } & { \| E _ { k } - e _ { H } ^ { k } \| _ { 1 , \infty } \| E _ { k } - e _ { H } ^ { k } \| _ { 1 } \| v _ { h } \| _ { 1 } } \\ & { \leq } & { ( \| E _ { k } \| _ { 1 , \infty } + \| e _ { H } ^ { k } \| _ { 1 , \infty } ) ( \| E _ { k } \| _ { 1 } + \| e _ { H } ^ { k } \| _ { 1 } ) \| v _ { h } \| _ { 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { h } & { = 2 x ^ { 1 2 } + 1 2 ( i - 1 ) x ^ { 1 1 } y - 6 6 i x ^ { 1 0 } y ^ { 2 } + 1 1 0 ( i + 1 ) x ^ { 9 } y ^ { 3 } - 2 3 1 x ^ { 8 } y ^ { 4 } + 1 3 2 ( 1 - i ) x ^ { 7 } y ^ { 5 } } \\ & { + 1 3 2 ( i + 1 ) x ^ { 5 } y ^ { 7 } - 2 3 1 x ^ { 4 } y ^ { 8 } + 1 1 0 ( 1 - i ) x ^ { 3 } y ^ { 9 } + 6 6 i x ^ { 2 } y ^ { 1 0 } - 1 2 ( i + 1 ) x y ^ { 1 1 } + 2 y ^ { 1 2 } \in R [ L ] ^ { G _ { 8 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ^ { k } + \nabla _ { \mathbf { x } } f ^ { k ^ { \intercal } } ( \mathbf { x } - \mathbf { x } ^ { k } ) + \nabla _ { \mathbf { y } } f ^ { k ^ { \intercal } } ( \mathbf { y } - \mathbf { y } ^ { k } ) } & { \leq f ( \mathbf { x } , \mathbf { y } ) } \\ { \mathbf { c } ^ { k } + \nabla _ { \mathbf { x } } \mathbf { c } ^ { k ^ { \intercal } } ( \mathbf { x } - \mathbf { x } ^ { k } ) + \nabla _ { \mathbf { y } } \mathbf { c } ^ { k ^ { \intercal } } ( \mathbf { y } - \mathbf { y } ^ { k } ) } & { \leq \mathbf { c } ( \mathbf { x } , \mathbf { y } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\Vert \mathrm { K } _ { G _ { 3 , i } ^ { \beta } } ^ { \mathrm { f r e e } } \left[ \partial _ { x } ^ { \overline { { I } } ^ { i } - \beta } \mathrm { J } _ { \varepsilon } \varrho \right] \right\Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { 1 } ) } \lesssim \underset { 0 \leq s , t \leq T } { \operatorname* { s u p } } \Vert G _ { 3 , i } ^ { \beta } ( t , s ) \Vert _ { \mathcal { H } _ { \sigma } ^ { \ell + 1 } } \left\Vert \varrho \right\Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { m } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { b } \left( \gamma \right) } & { \approx \sum _ { k \in \mathcal { K } } { \sum _ { n = 0 } ^ { b } { \sum _ { m = 0 } ^ { \mathsf { M } _ { k } n } { \binom { b } { n } } } \binom { \mathsf { M } _ { k } n } { m } \left( - 1 \right) ^ { n + m } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \bar { \lambda } _ { k } \left( y \right) } } \times \exp \Bigg \{ - \frac { m \gamma \phi _ { k } N _ { 0 } } { P _ { k } G _ { \mathrm { M } , k } y ^ { - \alpha _ { k } } } } \\ & { \quad \left. - \sum _ { \ell \in \mathcal { K } } { \left[ \bar { \Lambda } _ { \ell } \left( \left[ 0 , \chi _ { k , \ell } \left( y \right) \right] \right) + \int _ { \chi _ { k , \ell } \left( y \right) } ^ { \infty } { \left[ 1 - \Big ( 1 + \frac { m \gamma \phi _ { k } \eta _ { k , \ell } } { \mathsf { M } _ { \ell } r ^ { \alpha _ { \ell } } y ^ { - \alpha _ { k } } } \Big ) ^ { - \mathsf { M } _ { \ell } } \right] \bar { \lambda } _ { \ell } \left( r \right) \, \mathrm { d } r } \right] } \right\} \mathrm { d } y , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \tilde { v } _ { 7 } ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - d _ { 2 , 1 } ^ { - 1 } \lambda _ { 2 } ^ { 2 } \big ( \frac { r _ { 1 } ( \frac { 1 } { \omega k } ) - r _ { 1 } ( k ) r _ { 1 } ( \omega ^ { 2 } k ) } { 1 + r _ { 1 } ( k ) r _ { 2 } ( k ) } \big ) _ { a } z _ { 2 } ^ { - i ( 2 \nu _ { 5 } - \nu _ { 4 } ) } z _ { 2 , ( 0 ) } ^ { - i ( 2 \nu _ { 2 } - \nu _ { 4 } ) } e ^ { \frac { i z _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } } } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ & { \tilde { v } _ { 9 } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { d _ { 2 , 1 } \lambda _ { 2 } ^ { - 2 } \big ( \frac { r _ { 2 } ( \frac { 1 } { \omega k } ) - r _ { 2 } ( k ) r _ { 2 } ( \omega ^ { 2 } k ) } { f ( \omega ^ { 2 } k ) } \big ) _ { a } z _ { 2 } ^ { i ( 2 \nu _ { 5 } - \nu _ { 4 } ) } z _ { 2 , ( 0 ) } ^ { i ( 2 \nu _ { 2 } - \nu _ { 4 } ) } e ^ { - \frac { i z _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ & { \tilde { v } _ { 1 1 } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { d _ { 2 , 1 } ^ { - 1 } \lambda _ { 2 } ^ { 2 } \big ( \frac { r _ { 1 } ( \frac { 1 } { \omega k } ) - r _ { 1 } ( k ) r _ { 1 } ( \omega ^ { 2 } k ) } { f ( \omega ^ { 2 } k ) } \big ) _ { a } z _ { 2 } ^ { - i ( 2 \nu _ { 5 } - \nu _ { 4 } ) } z _ { 2 , ( 0 ) } ^ { - i ( 2 \nu _ { 2 } - \nu _ { 4 } ) } e ^ { \frac { i z _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } } } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ & { \tilde { v } _ { 8 } ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { - d _ { 2 , 1 } \lambda _ { 2 } ^ { - 2 } \big ( \frac { r _ { 2 } ( \frac { 1 } { \omega k } ) - r _ { 2 } ( k ) r _ { 2 } ( \omega ^ { 2 } k ) } { 1 + r _ { 1 } ( k ) r _ { 2 } ( k ) } \big ) _ { a } z _ { 2 } ^ { i ( 2 \nu _ { 5 } - \nu _ { 4 } ) } z _ { 2 , ( 0 ) } ^ { i ( 2 \nu _ { 2 } - \nu _ { 4 } ) } e ^ { - \frac { i z _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \log ( M / F ( \sigma _ { 0 } ) ) \right| ^ { k } } & { = \left| \log \left( \frac { \sqrt { \delta } M } { \sqrt { 5 \delta } F ( \sigma _ { 0 } ) / \sqrt { 2 } } \right) + \log ( \sqrt { 5 / 2 } ) \right| ^ { k } } \\ & { \ll 3 ^ { k - 1 } ( | \log ( \sqrt { \delta } M ) | ^ { k } + | \log ( \sqrt { 5 \delta } F ( \sigma _ { 0 } ) / \sqrt { 2 } ) | ^ { k } + \log ^ { k } ( \sqrt { 5 / 2 } ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal G } } & { = } & { \{ v \in { \cal P } ( \mathbb { X } \times \mathbb { Y } ^ { \mathbb { Z } _ { - } } \times \mathbb { U } ) : } \\ & { } & { v ( B \times \mathbb { U } ) = \int _ { x , u } P ( X _ { 1 } , Y _ { ( - \infty , 1 ] } \in B | x _ { 0 } , y _ { ( - \infty , 0 ] } , u ) v ( d x _ { 0 } , d y _ { ( - \infty , 0 ] } , d u ) , } \\ & { } & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad B \in { \cal B } ( \mathbb { X } \times \mathbb { Y } ^ { \mathbb { Z } _ { - } } \times \mathbb { U } ) \} } \end{array}
( 1 - H ^ { \rho \rho } u ) \partial _ { \rho } ^ { 2 } ( \rho ^ { \frac 3 2 } \phi ) + \rho ^ { \frac 3 2 } \phi = - \rho ^ { - \frac 1 2 } ( \triangle _ { y } \phi + \frac 3 4 \phi ) + 2 \rho ^ { \frac 3 2 } H ^ { \rho y _ { i } } u \partial _ { \rho } \partial _ { y _ { i } } \phi + \rho ^ { \frac 3 2 } H ^ { y _ { i } y _ { j } } u \partial _ { y _ { i } } \partial _ { y _ { j } } \phi + \rho ^ { \frac 3 2 } ( R _ { 1 } + R _ { 2 } )
\sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( \operatorname { E } \left[ g ( x _ { i } ) - { \widehat { g } } ( x _ { i } ) \right] \right) ^ { 2 } = \operatorname { E } \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( y _ { i } - { \widehat { g } } ( x _ { i } ) \right) ^ { 2 } \right] - \sigma ^ { 2 } \operatorname { t r } \left[ \left( I - L \right) ^ { T } \left( I - L \right) \right] .
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 1 - \alpha } \log _ { 2 } \left[ \left( \frac { a + b \mu + c _ { 1 } \mu ^ { 2 } } { C } \right) ^ { \alpha } + \sum _ { i \neq 1 } \left( \frac { c _ { i } \mu ^ { 2 } } { C } \right) ^ { \alpha } \right] } \\ { \approx } & { \frac { 1 } { ( 1 - \alpha ) \ln { 2 } } \left( - \frac { d - c _ { 1 } } { a } \alpha \mu ^ { 2 } + \frac { 1 } { a } \sum _ { i \neq 1 } c _ { i } ^ { \alpha } \mu ^ { 2 \alpha } \right) . } \end{array}
\mathcal { E } _ { t } : = \sum _ { x \in \mathbb { T } _ { L } } P _ { \mathbf { a } } ( t , x ) ^ { 2 } , ~ ~ \mathcal { D } _ { t } = \sum _ { e \in E \left( \mathbb { T } _ { L } \right) } \mathbf { a } ( t , e ) ( \nabla P _ { \mathbf { a } } ( t , e ) ) ^ { 2 } ~ ~ \mathrm { a n d } ~ ~ \mathcal { N } _ { t } : = \sum _ { x \in \mathbb { T } _ { L } } | x | _ { * } ^ { p } P _ { \mathbf { a } } ( t , x ) ^ { 2 } ,
{ \begin{array} { r l } { P } & { = s _ { 1 } s _ { 2 } = x _ { 0 } ^ { 2 } + x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } - ( x _ { 0 } x _ { 1 } + x _ { 1 } x _ { 2 } + x _ { 2 } x _ { 0 } ) , } \\ { S } & { = s _ { 1 } ^ { 3 } + s _ { 2 } ^ { 3 } = 2 ( x _ { 0 } ^ { 3 } + x _ { 1 } ^ { 3 } + x _ { 2 } ^ { 3 } ) - 3 ( x _ { 0 } ^ { 2 } x _ { 1 } + x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } x _ { 0 } + x _ { 0 } x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 1 } x _ { 2 } ^ { 2 } + x _ { 2 } x _ { 0 } ^ { 2 } ) + 1 2 x _ { 0 } x _ { 1 } x _ { 2 } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \int _ { \eta _ { t } L } ^ { \infty } e ^ { \frac { - ( \rho - \eta _ { t } L ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { t } ^ { 2 } } } \rho ^ { d - 1 } d \rho } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { \frac { - \rho ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { t } ^ { 2 } } } ( \rho + \eta _ { t } L ) ^ { d - 1 } d \rho } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \sum _ { i = 0 } ^ { d - 1 } { \binom { d - 1 } { i } } ( \eta _ { t } L ) ^ { d - 1 - i } \rho ^ { i } e ^ { \frac { - \rho ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { t } ^ { 2 } } } d \rho } \\ & { \stackrel { \mathrm { ( a ) } } = \sum _ { i = 0 } ^ { d - 1 } { \binom { d - 1 } { i } } ( \eta _ { t } L ) ^ { d - 1 - i } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( \sigma _ { t } \sqrt { 2 } \right) ^ { i + 1 } t ^ { i } e ^ { - t ^ { 2 } } d \rho } \\ & { \stackrel { \mathrm { ( b ) } } = ( \eta _ { t } L ) ^ { d - 1 } ( \sigma _ { t } \sqrt { 2 } ) \sum _ { i = 0 } ^ { d - 1 } \left( \frac { \sigma _ { t } \sqrt { 2 } } { \eta _ { t } L } \right) ^ { i } \frac { \Gamma ( ( i + 1 ) / 2 ) } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \# \{ x ^ { n } \in S ^ { d } : \ w _ { \mathbf { s } } ( x ^ { n } ) \mathrm { ~ i s ~ e v e n } \} } & { = \# \{ x ^ { n } \in S ^ { d } : \ w _ { \mathbf { s } } ( x ^ { n } ) \mathrm { ~ i s ~ e v e n ~ a n d ~ x _ 1 ~ = ~ 0 ~ } \} \ + } \\ & { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \# \{ x ^ { n } \in S ^ { d } : \ w _ { \mathbf { s } } ( x ^ { n } ) \mathrm { ~ i s ~ e v e n ~ a n d ~ x _ 1 ~ = ~ 1 ~ } \} } \\ & { \stackrel { ( a ) } { = } \# \{ x _ { 2 } ^ { n } \in S ^ { d } : \ w _ { s _ { 2 } ^ { n } } ( x _ { 2 } ^ { n } ) \mathrm { ~ i s ~ e v e n } \} \ + } \\ & { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \# \{ x ^ { n } \in S ^ { d } : \ w _ { \mathbf { s } } ( x ^ { n } ) \mathrm { ~ i s ~ e v e n ~ a n d ~ x _ 1 ^ { ( d + 1 ) } ~ = ~ 1 0 ^ d ~ } \} } \\ & { = \# \{ x _ { 2 } ^ { n } \in S ^ { d } : \ w _ { s _ { 2 } ^ { n } } ( x _ { 2 } ^ { n } ) \mathrm { ~ i s ~ e v e n } \} + \# \{ x _ { d + 2 } ^ { n } \in S ^ { d } : \ w _ { s _ { d + 2 } ^ { n } } ( x ^ { n } ) \mathrm { ~ i s ~ e v e n } \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \langle u _ { \infty } , g _ { 1 } \rangle { \langle u _ { \infty } , g _ { 2 } \rangle } ] } & { = \mathbb { E } [ \langle d W , g _ { 1 } \rangle { \langle d W , g _ { 2 } \rangle } ] - \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 d } } \mathcal { I } ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) \, g _ { 1 } ( x _ { 1 } ) \, g _ { 2 } ( x _ { 2 } ) \, d x _ { 1 } d x _ { 2 } } \\ & { = \int _ { \mathbb R _ { x } ^ { d } } g _ { 1 } ( x ) g _ { 2 } ( x ) \, d x - \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 d } } \mathcal { I } ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) \, g _ { 1 } ( x _ { 1 } ) \, g _ { 2 } ( x _ { 2 } ) \, d x _ { 1 } d x _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { \Delta } _ { 0 } ^ { \mathrm { C , N } } \! \! = \! \left\{ \begin{array} { l l } { \infty , } & { \mathrm { i f ~ } \mathrm { ~ \frac { \lambda _ s } { \lambda _ d } \Omega _ \delta ~ \frac { \eta } { F } ~ ( 1 \! \! - \! \! \frac { \eta } { F } ) ^ { \delta - 1 } ~ \geq ~ 1 ~ } , } \\ { \frac { \frac { F } { \eta } } { 1 \! - \! \frac { \lambda _ { s } } { \lambda _ { d } } \Omega _ { \delta } \frac { \eta } { F } ( 1 \! - \! \frac { \eta } { F } ) ^ { \delta \! - \! 1 } } \! \! \! \! \! \! } & { + \frac { \frac { F ^ { 2 } \! - \! 1 } { 1 2 F } \! \times \! \eta } { 1 + \frac { \lambda _ { s } } { \lambda _ { d } } \frac { \eta } { F } \Omega _ { \delta } } \! + \! \frac { 1 \! - \! F } { 2 } , \mathrm { ~ o t h e r w i s e } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb E \Phi \big ( F ( \widehat w ) - F ( w ^ { * } ) \big ) } \\ & { \leqslant \mathbb E \mathbb E _ { \varepsilon } \Phi \left( 2 \operatorname* { s u p } _ { w \in \mathcal W } \left[ ( P - P _ { n } ) \big ( f ( w , Z ) - f ( w ^ { * } , Z ) \big ) - \frac { \sigma } 8 \left( \| w - w ^ { * } \| _ { \mathbb E \mathsf H } ^ { 2 } + \| w - w ^ { * } \| _ { \mathsf H } ^ { 2 } \right) \right] \right) } \\ & { \leqslant \mathbb E \mathbb E _ { \varepsilon } \Phi \left( 4 \operatorname* { s u p } _ { w \in \mathcal W } \left[ P _ { n } \varepsilon \big ( f ( w , Z ) - f ( w ^ { * } , Z ) \big ) - \frac { \sigma } 8 \| w - w ^ { * } \| _ { \mathsf H } ^ { 2 } \right] \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } G _ { t } } & { \leq \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \bigg ( \frac { 1 } { 2 I } \eta ^ { 2 } \alpha _ { t } D _ { t } + \frac { 1 } { 8 I } \eta ^ { 2 } \alpha _ { t } E _ { t } + \frac { 1 } { 8 I } \gamma ^ { 2 } \alpha _ { t } F _ { t } + \frac { c _ { \omega } ^ { 2 } \alpha _ { t } ^ { 3 } } { 8 I \tilde { L } ^ { 2 } } \frac { \sigma ^ { 2 } } { b _ { y } } + \frac { c _ { \omega } ^ { 2 } \alpha _ { t } ^ { 3 } } { 8 I \tilde { L } ^ { 2 } } \zeta _ { g } ^ { 2 } \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { s } \left( y ^ { \mathcal { N } } , q ^ { \mathcal { N } } ; \boldsymbol { \mu } \right) } & { : = a \left( y ^ { \mathcal { N } } , q ^ { \mathcal { N } } ; \boldsymbol { \mu } \right) + \sum _ { K \in \mathcal { T } _ { h } } \delta _ { K } \int _ { K } \left( 4 x _ { 1 } ( 1 - x _ { 1 } ) \partial _ { x _ { 0 } } y ^ { \mathcal { N } } \right) \left( h _ { K } \partial _ { x _ { 0 } } q ^ { \mathcal { N } } \right) , \quad y ^ { \mathcal { N } } , q ^ { \mathcal { N } } \in Y ^ { \mathcal { N } } , } \\ { a _ { s } ^ { * } \left( z ^ { \mathcal { N } } , p ^ { \mathcal { N } } ; \boldsymbol { \mu } \right) } & { : = a ^ { * } \left( z ^ { \mathcal { N } } , p ^ { \mathcal { N } } ; \boldsymbol { \mu } \right) + \sum _ { K \in \mathcal { T } _ { h } } \delta _ { K } \int _ { K } \left( 4 x _ { 1 } ( 1 - x _ { 1 } ) \partial _ { x _ { 0 } } p ^ { \mathcal { N } } \right) \left( h _ { K } \partial _ { x _ { 0 } } z ^ { \mathcal { N } } \right) , \quad z ^ { \mathcal { N } } , p ^ { \mathcal { N } } \in Y ^ { \mathcal { N } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } M _ { 1 , \beta } ( g _ { \epsilon , R } ( t ) ) } & { \leq ( 1 - \frac { 2 } { 3 } - \beta ) \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } g _ { \epsilon , R } ( \eta , t ) \Theta _ { \epsilon } ( v ) a v ^ { \beta } \textup { d } \eta + C _ { 1 } M _ { 1 , \beta } ( g _ { \epsilon , R } ( t ) ) + C _ { 2 } M _ { 1 , - \alpha } ( g _ { \epsilon , R } ( t ) ) } \\ & { \leq \overline { { C } } _ { 1 } M _ { 1 , \beta } ( g _ { \epsilon , R } ( t ) ) + \overline { { C } } _ { 2 } ( t ) , } \end{array}
\rho _ { 0 } \partial _ { \rho _ { 0 } } , \ \rho _ { 1 } \partial _ { \rho _ { 1 } } , \ \partial _ { y ^ { 2 } } , \dots , \partial _ { y ^ { n - 1 } } , \qquad \mathrm { r e s p . } \qquad \rho _ { 0 } \partial _ { \rho _ { 0 } } , \ \rho _ { 1 } \partial _ { \rho _ { 1 } } , \ \rho _ { 1 } \partial _ { y ^ { 2 } } , \dots , \rho _ { 1 } \partial _ { y ^ { n - 1 } } .
\begin{array} { r } { f _ { r } ( \vec { a } , \vec { \epsilon } , \vec { m } ^ { \prime } ) - G _ { r } ^ { ( 1 ) } ( \vec { a } , \vec { \epsilon } , \vec { m } ^ { \prime } ) = - \frac { r \, m \, \epsilon _ { 1 2 } \, \epsilon _ { 1 3 } \, \epsilon _ { 2 3 } } { \epsilon _ { 1 } \, \epsilon _ { 2 } \, \epsilon _ { 3 } \, \epsilon _ { 4 } } \ . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathfrak { h } _ { R } \colon ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \mapsto \left\{ \begin{array} { l l } { h ( \mathord { \mathrm { p r } } _ { 1 } ( \Xi _ { R } ^ { - 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) ) ) , } & { \mathrm { i f ~ } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \in ( \mathord { \mathbb { R } } _ { \geq 0 } ) ^ { 2 } \setminus R \cdot K , } \\ { h ( 0 ) , } & { \mathrm { i f ~ } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \in ( \mathord { \mathbb { R } } _ { \geq 0 } ) ^ { 2 } \cap R \cdot K . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { m \in \mathbb { Z } ^ { d } \setminus \{ 0 \} } \vert m \vert ^ { - 2 \delta } } & { ( 1 + N \Vert m \cdot \alpha \Vert ) ^ { - 2 \vartheta } } \\ & { \leq c N ^ { - 2 \vartheta } \sum _ { k = 0 } ^ { M - 1 } 2 ^ { - 2 \delta k } \left( \sum _ { 2 ^ { k } \leq \vert m \vert < 2 ^ { k + 1 } } \Vert m \cdot \alpha \Vert ^ { - 2 \vartheta } \right) + \sum _ { \vert m \vert \geq 2 ^ { M } } \vert m \vert ^ { - 2 \delta } } \\ & { \leq \left\{ \begin{array} { l l } { c N ^ { - 2 \vartheta } \sum _ { k = 0 } ^ { M - 1 } 2 ^ { ( 2 \vartheta \sigma + d - 2 d \vartheta - 2 \delta ) k } + 2 ^ { ( d - 2 \delta ) M } } & { \mathrm { i f ~ } 0 < \vartheta < 1 / 2 , } \\ { c N ^ { - 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { M - 1 } ( 1 + k ) 2 ^ { ( \sigma - 2 \delta ) k } + 2 ^ { ( d - 2 \delta ) M } } & { \mathrm { i f ~ } \vartheta = 1 / 2 , } \\ { c N ^ { - 2 \vartheta } \sum _ { k = 0 } ^ { M - 1 } 2 ^ { ( 2 \vartheta \sigma - 2 \delta ) k } + 2 ^ { ( d - 2 \delta ) M } } & { \mathrm { i f ~ } 1 / 2 < \vartheta < + \infty . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { m \in \mathcal { T } } | \widetilde { M } _ { 1 } ( m ) | ^ { 2 } \cdots | \widetilde { M } _ { J } ( m ) | ^ { 2 } \ll X ^ { 4 J \varepsilon ^ { 4 } } \sum _ { m \in \mathcal { T } } | \widetilde { M } _ { 1 , \mathcal { J } _ { 1 } } ( m ) | ^ { 2 } \cdots | \widetilde { M } _ { J , \mathcal { J } _ { J } } ( m ) | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { i } { 1 6 \pi } \int \frac { d \theta _ { k } } { k \cdot x } \ \Bigl ( } & { - M _ { a e \to a e } ^ { ( 0 ) } ( p , k , q , r ) \ M _ { b e \to d e } ^ { ( 0 ) } ( p ^ { \prime } , r , q ^ { \prime } , k ) } \\ & { + M _ { a e \to a e } ^ { ( 0 ) } ( p , r ^ { \prime } , q , k ) \ M _ { b e \to d e } ^ { ( 0 ) } ( p ^ { \prime } , k , q ^ { \prime } , r ^ { \prime } ) \Bigr ) } \\ { - \frac { i } { 3 2 \pi } \int \frac { d \theta _ { k } \mu ^ { 2 } } { ( k \cdot x ) ^ { 2 } } \ \Bigl ( } & { + M _ { a e \to a e } ^ { ( 0 ) } ( p , k , q , r ) \ M _ { b e \to d e } ^ { ( 0 ) } ( p ^ { \prime } , r , q ^ { \prime } , k ) } \\ & { + M _ { a e \to a e } ^ { ( 0 ) } ( p , r ^ { \prime } , q , k ) \ M _ { b e \to d e } ^ { ( 0 ) } ( p ^ { \prime } , k , q ^ { \prime } , r ^ { \prime } ) \Bigr ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \sin x = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { ( 2 n + 1 ) ! } } x ^ { 2 n + 1 } } & { = x - { \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } } + { \frac { x ^ { 5 } } { 5 ! } } - { \frac { x ^ { 7 } } { 7 ! } } + { \frac { x ^ { 9 } } { 9 ! } } - \cdots } \\ & { = x + ( x ) \left( { \frac { - x ^ { 2 } } { 2 \cdot 3 } } \right) + ( x ) \left( { \frac { - x ^ { 2 } } { 2 \cdot 3 } } \right) \left( { \frac { - x ^ { 2 } } { 4 \cdot 5 } } \right) + ( x ) \left( { \frac { - x ^ { 2 } } { 2 \cdot 3 } } \right) \left( { \frac { - x ^ { 2 } } { 4 \cdot 5 } } \right) \left( { \frac { - x ^ { 2 } } { 6 \cdot 7 } } \right) + \cdots } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \lVert \bar { \chi } _ { k - 1 } ( \lambda ) ^ { - 1 } \bar { Q } _ { k - 1 } ( \lambda ) \rVert _ { 2 } } & { \le | \bar { Q } _ { k - 1 } ( \lambda ) | \prod _ { i = 1 } ^ { k - 1 } \lVert ( \lambda I _ { b } - \bar { S } _ { i } ) ^ { - 1 } \rVert _ { 2 } } \\ & { \le | \bar { Q } _ { k - 1 } ( \lambda ) | \prod _ { i = 1 } ^ { k - 1 } \frac { \kappa ( X _ { i } ) } { | \Lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( \lambda - \bar { S } _ { i } ) | } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \mathbf { B } _ { ( n ) } - \mathbf { Q } _ { n } \mathbf { Q } _ { n } ^ { \top } \mathbf { B } _ { ( n ) } \| _ { F } ^ { 2 } } \\ & { \leq \mathrm { r a n k } ( \mathbf { B } _ { ( n ) } ) \| ( \mathbf { B } _ { ( n ) } - \mathbf { Q } _ { n } \mathbf { Q } _ { n } ^ { \top } \mathbf { B } _ { ( n ) } ) ( \mathbf { B } _ { ( n ) } - \mathbf { Q } _ { n } \mathbf { Q } _ { n } ^ { \top } \mathbf { B } _ { ( n ) } ) ^ { \top } \| _ { F } } \\ & { = \mathrm { r a n k } ( \mathbf { B } _ { ( n ) } ) \| \mathbf { B } _ { ( n ) } \mathbf { B } _ { ( n ) } ^ { \top } - \mathbf { Q } _ { n } \mathbf { Q } _ { n } ^ { \top } \mathbf { B } _ { ( n ) } \mathbf { B } _ { ( n ) } ^ { \top } \| _ { F } } \\ & { \leq \mathrm { r a n k } ( \mathbf { B } _ { ( n ) } ) \left( \| \mathbf { B } _ { ( n ) } \mathbf { B } _ { ( n ) } ^ { \top } - \mathbf { C } _ { n } \mathbf { C } _ { n } ^ { \top } \| _ { F } + \| \mathbf { C } _ { n } ^ { \prime } \mathbf { C } _ { n } ^ { \top } - \mathbf { Q } _ { n } \mathbf { Q } _ { n } ^ { \top } \mathbf { C } _ { n } ^ { \prime } \mathbf { C } _ { n } ^ { \top } \| _ { F } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { c } { a } \\ { b } \end{array} \right) ^ { n + 1 } } & { = \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { \Delta t f ^ { \prime } } \\ { \Delta t g ^ { \prime } } & { 1 + \Delta t ^ { 2 } f ^ { \prime } g ^ { \prime } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { a } \\ { b } \end{array} \right) ^ { n } = : A \left( \begin{array} { c } { a } \\ { b } \end{array} \right) ^ { n } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi ( { \mathbf { C } } , { \mathbf { C } } ) } & { = \frac { \zeta ( { \mathbf { C } } , { \mathbf { C } } ) } { \Delta ^ { 2 } } + \frac { 2 \zeta ( { \mathbf { C } } ) \gamma ( { \mathbf { C } } ) \widetilde { \gamma } } { \Delta ^ { 3 } } + \frac { 2 \eta ( { \mathbf { C } } ) ^ { 2 } \widetilde { \gamma } } { \Delta ^ { 3 } } + \frac { [ 4 \widetilde { \gamma } ^ { 2 } \gamma ( { \mathbf { C } } ) \eta - 3 \widetilde { \eta } \gamma \gamma ( { \mathbf { C } } ) - \widetilde { \eta } \widetilde { \gamma } \gamma ^ { 2 } \gamma ( { \mathbf { C } } ) ] \eta ( { \mathbf { C } } ) } { \Delta ^ { 4 } } } \\ & { + \frac { \gamma ( { \mathbf { C } } ) ^ { 2 } ( \zeta \widetilde { \gamma } ^ { 2 } + \widetilde { \zeta } \gamma ^ { 2 } - \eta \widetilde { \eta } ) } { \Delta ^ { 4 } } + \frac { \gamma ( { \mathbf { C } } ) ^ { 2 } ( 2 \eta ^ { 2 } \widetilde { \gamma } ^ { 3 } + 2 \widetilde { \eta } ^ { 2 } \gamma ^ { 3 } - 3 \eta \widetilde { \eta } \gamma \widetilde { \gamma } - \eta \widetilde { \eta } \gamma ^ { 2 } \widetilde { \gamma } ^ { 2 } ) } { \Delta ^ { 5 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U ( u , v ) } & { = } & { \frac { e ^ { j k z } } { j \lambda z } e ^ { j \frac { k } { 2 z } ( u ^ { 2 } + v ^ { 2 } ) } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } [ U ( x , y ) e ^ { j \frac { k } { 2 z } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) } ] } \\ & { } & { e ^ { - j \frac { 2 \pi } { \lambda z } ( x u + y v ) } d x d y } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pmb { \hat { \mu } } _ { ( i ) } } & { = \mathrm { e x p } \left( \pmb { \mu } _ { ( i ) } + \frac { 1 } { 2 } \pmb { \Sigma } _ { ( i , i ) } \right) } \\ { \pmb { \hat { \Sigma } } _ { ( i , j ) } } & { = \mathrm { e x p } \left( \pmb { \mu } _ { ( i ) } + \pmb { \mu } _ { ( j ) } + \frac { 1 } { 2 } \left( \pmb { \Sigma } _ { ( i , i ) } + \pmb { \Sigma } _ { ( j , j ) } \right) \right) \cdot \left( \mathrm { e x p } \left( \pmb { \Sigma } _ { ( i , j ) } \right) - 1 \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { k i n e t i c ~ i o n s : } \qquad } & { \frac { \partial f } { \partial t } + { \mathbf v } \cdot \frac { \partial f } { \partial \mathbf { x } } + \frac { q } { m } ( { \mathbf E } + { \mathbf v } \times { \mathbf { B } } ) \cdot \frac { \partial f } { \partial { \mathbf v } } = 0 \, , } \\ { \mathrm { F a r a d a y ' s ~ l a w : } \qquad } & { \frac { \partial \mathbf { B } } { \partial t } = - \nabla \times { \mathbf E } \, , \qquad \nabla \cdot \mathbf { B } = 0 \, , } \\ { \mathrm { m a s s - l e s s ~ f l u i d ~ e l e c t r o n s : } \qquad } & { \frac { \partial n _ { \mathrm { e } } } { \partial t } + \nabla \cdot \left( n _ { \mathrm { e } } \mathbf u \right) = 0 \, , } \\ { \mathrm { O h m ' s ~ l a w : } \qquad } & { { \mathbf E } = - \frac { k _ { \mathrm { B } } T _ { \mathrm { e } } } { e } \frac { \nabla n _ { \mathrm { e } } ^ { \gamma } } { n _ { \mathrm { e } } } - \left( \mathbf u - \frac { \mathbf J } { n _ { \mathrm { e } } e } \right) \times { \mathbf { B } } \, . } \end{array}
\tilde { z } _ { \ast } ^ { \prime } = \frac { K ( \lVert { \mathbf s } _ { \ast } - { \mathbf s } _ { 0 } \rVert , \tau _ { \ast } - \tau _ { 0 } ) } { K ( 0 , 0 ) } \, \, { z ^ { \prime } } _ { 0 } = \frac { K _ { 1 } ( \lVert { \mathbf s } _ { \ast } - { \mathbf s } _ { 0 } \rVert ) \, K _ { 2 } ( \tau _ { \ast } - \tau _ { 0 } ) } { C ( 0 , 0 ) } \, \, { z ^ { \prime } } _ { 0 } \, ,
\frac { 1 } { \sqrt { T } } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \boldsymbol { x } _ { t } = \frac { 1 } { \sqrt { T } } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathcal { B } ( 1 ) \boldsymbol { \epsilon } _ { t } - \frac { 1 } { \sqrt { T } } \tilde { \mathcal { B } } ( L ) \boldsymbol { \epsilon } _ { T } + \frac { 1 } { \sqrt { T } } \tilde { \mathcal { B } } ( L ) \boldsymbol { \epsilon } _ { 0 } .
\psi \sim \left( \begin{array} { l } { \frac { c _ { 0 } ( t ) } { \sqrt { z } } } \\ { \frac { d _ { 0 } ( t ) } { \sqrt { \overline { z } } } } \end{array} \right) \ + \ \sum _ { n \geq 1 } \sum _ { k = - 2 n - 1 } ^ { 2 n + 2 } \sum _ { p = 0 } ^ { n - 1 } \left( \begin{array} { l } { \ \ c _ { n , k , p } ( t ) e ^ { i k \theta } \ \ } \\ { \ \ d _ { n , k , p } ( t ) e ^ { i k \theta } \ \ } \end{array} \right) r ^ { n - 1 / 2 } \log ( r ) ^ { p } e ^ { - i \theta / 2 }
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { Q _ { i } } z ^ { i } ( v - u ^ { \tau } ) ( y ^ { i } ( u ^ { \tau } , 0 ) - y _ { d } ^ { i } ) \, d x d t } & { + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { a } ^ { b _ { i } } \frac { 1 } { \sqrt { \tau } } I _ { T } ^ { 1 - \gamma } \phi _ { z } ^ { i } ( 0 , \cdot ; v - u ^ { \tau } ) \frac { 1 } { \sqrt { \tau } } I _ { T } ^ { 1 - \gamma } \phi ^ { i } ( 0 , \cdot ; u ^ { \tau } ) \, d x } \\ & { + \zeta \sum _ { i = 2 } ^ { N } \int _ { 0 } ^ { T } u ^ { i , \tau } ( v ^ { i } - u ^ { i , \tau } ) \, d t = 0 , } \end{array}
[ a _ { 0 } , a _ { 3 } A _ { 1 } a _ { 0 } ] = H _ { l } ^ { 0 } ( a _ { 0 } ) + \sum _ { k \in \omega , \ k \neq 0 } H _ { l } ^ { - 1 } ( l _ { \mathsf { B } _ { 1 } } ^ { k } ( a _ { 0 } ) ) + \sum _ { k \in \omega ^ { * } , \ k \neq 0 } H _ { l } ^ { 1 } ( \bar { l } _ { \mathsf { B } _ { 1 } } ^ { k } ( a _ { 3 } A _ { 1 } a _ { 0 } ) ) + H _ { l } ^ { 0 } ( a _ { 3 } A _ { 1 } a _ { 0 } ) .
\left\{ \begin{array} { r l r l r } { \partial _ { t } \rho _ { i } + \nabla \cdot q _ { i } ( \rho ) } & { = 0 } & { \quad } & { \mathrm { ~ i n ~ } [ 0 , T ) \times \Omega , } \\ { q _ { i } \cdot n } & { = q _ { i } ^ { 0 } \cdot n } & { \quad } & { \mathrm { ~ i n ~ } [ 0 , T ) \times \partial \Omega , } \\ { \rho _ { i } ( 0 ) } & { = \rho _ { i } ^ { 0 } } & { \quad } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega , } & \end{array} \right.
\operatorname* { s u p } _ { \substack { s \in \{ s _ { 1 } , \ldots , s _ { L } \} \, t \in \{ t _ { 1 } , \ldots , t _ { L } \} } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } k \left( \frac { \langle \hat { l } _ { 1 } ^ { K } , X _ { i } \rangle _ { \cal { H } } - s } { h _ { n } } , \frac { \langle \hat { l } _ { 2 } ^ { K } , Y _ { i } \rangle _ { \cal { H } } - t } { h _ { n } } \right) - \operatorname* { s u p } _ { \substack { s \in \mathbb { R } \, t \in \mathbb { R } } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } k \left( \frac { \langle \hat { l } _ { 1 } ^ { K } , X _ { i } \rangle _ { \cal { H } } - s } { h _ { n } } , \frac { \langle \hat { l } _ { 2 } ^ { K } , Y _ { i } \rangle _ { \cal { H } } - t } { h _ { n } } \right) \rightarrow 0
\alpha _ { \textbf { k } } ^ { ( \mathbf { h } ) } = ( 2 \pi ) ^ { \frac { d } { 2 } } \sum _ { \mathbf { q } \in \mathbb { N } _ { 0 } ^ { d } } \int _ { 0 } ^ { t } \prod _ { \ell = 1 } ^ { d } \gamma _ { q _ { \ell } } ^ { ( h _ { \ell } - 1 / 2 ) } \Phi _ { \Delta } ^ { ( h _ { \ell } - 1 / 2 ) } ( 2 ^ { J } s - k _ { \ell } - q _ { \ell } ) \, d s .
\begin{array} { r l } { \frac { c \mu ^ { 2 } \tau ^ { 2 } } { \nu } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \phi ( s ) d s } & { = \frac { c \mu ^ { 2 } \tau ^ { 2 } } { \nu } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \nu ^ { 2 } \| w \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } + M _ { 0 } M _ { 1 } \| w \| _ { L ^ { 2 } } \| w \| _ { H ^ { 1 } } } \\ & { \quad + \| w \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \| w \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } + \frac { \mu ^ { 2 } } { \lambda _ { 1 } } \| w \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } d s } \\ & { \leq \frac { c \mu ^ { 2 } \tau ^ { 2 } } { \nu } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \nu ^ { 2 } \| w \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } + \frac { M _ { 0 } M _ { 1 } } { \nu ^ { 2 } } \| w \| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \quad + R ^ { 2 } \| w \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } + \frac { \mu ^ { 2 } } { \lambda _ { 1 } } \| w \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { i \ell } ^ { j } } & { : = p \mathbb { E } _ { H } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { i + 1 } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { s } \right] 1 _ { j \neq i + 1 } 1 _ { \ell = i + 1 } + ( 1 - p ) \mathbb { E } _ { H } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { i - 1 } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { s } \right] 1 _ { j \neq i - 1 } 1 _ { \ell = i - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { s _ { \lambda / \mu ; a , b } ( x / y ) } & { = s _ { \lambda / \mu ; a , b } ( x _ { 1 } , \dots , x _ { n } / y _ { 1 } , \dots , y _ { n } ) , } \\ { \widehat { s } _ { \lambda / \mu ; a , b } ( x / y ) } & { = \widehat { s } _ { \lambda / \mu ; a , b } ( x _ { 1 } , \dots , x _ { n } / y _ { 1 } , \dots , y _ { n } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \varepsilon } { 2 } \frac { d } { d t } \| g _ { \alpha } ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { \quad + q _ { \alpha } \varepsilon \langle \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } \{ \partial _ { t } \phi g _ { \alpha } \} , g _ { \alpha } ^ { ( s ) } \rangle _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } } \\ & { \quad + \langle \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } \{ E g _ { \alpha } \} - E g _ { \alpha } ^ { ( s ) } , \nabla _ { v } g _ { \alpha } ^ { ( s ) } \rangle _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } } \\ & { \quad + \langle \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } ( e ^ { \gamma \psi } \widetilde { \mathcal L } _ { \gamma , q _ { \alpha } } g _ { \alpha } ) , g _ { j } ^ { ( s ) } \rangle _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } } \\ & { \quad - 4 \pi \gamma \langle \frac { \mu _ { \gamma } } { \sqrt { \mu _ { q _ { \alpha } } } } \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } \{ \xi \cdot \nabla _ { x } \Delta _ { x } ^ { - 1 } a e ^ { \gamma \psi - \frac { q _ { \alpha } } { 2 } \phi } \} , g _ { \alpha } ^ { ( s ) } \rangle _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } } \\ & { \quad + \langle \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } ( \mathcal M _ { q _ { \alpha } , F _ { + } } g _ { \alpha } ) , g _ { \alpha } ^ { ( s ) } \rangle _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } } \\ & { = - \varepsilon \langle \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } \left( \frac { \partial _ { t } \{ \mu _ { \gamma } e ^ { \gamma \psi } \} } { \sqrt { \mu _ { q _ { \alpha } } e ^ { q _ { \alpha } \phi } } } \right) , g _ { \alpha } ^ { ( s ) } \rangle _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } } \\ & { \quad - \langle \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } \{ e ^ { \gamma \psi - \frac { q _ { \alpha } } { 2 } \phi } \mathcal M _ { q _ { \alpha } , F _ { + } } ( \frac { \mu _ { \gamma } } { \sqrt { \mu _ { q _ { \alpha } } } } ) \} , g _ { \alpha } ^ { ( s ) } \rangle _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } } \\ & { \quad + \langle \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } \{ e ^ { \frac { q _ { \alpha } } { 2 } \phi } \Gamma _ { q _ { \alpha } } ( g _ { \alpha } , g _ { \alpha } ) \} , g _ { \alpha } ^ { ( s ) } \rangle _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } } \end{array}
\xi _ { 1 } ^ { \prime } \left( \rho _ { 2 } ^ { \prime } \sigma _ { i _ { 2 } } ^ { e _ { 2 } } \left( \tau _ { 2 } ^ { \prime } \alpha \right) \right) _ { \left( \omega \left( \xi _ { 1 } ^ { \prime \prime } \right) \right) } \left( \beta \chi _ { 1 } ^ { \prime } \right) _ { \left( \omega \left( \tau _ { 2 } \right) + 1 \right) } \Delta ^ { - \omega \left( \tau _ { 2 } \right) - e _ { 1 } + 1 + 2 \left( \omega \left( \xi _ { 1 } ^ { \prime \prime } \right) - \omega \left( \tau _ { 1 } \right) \right) - 1 } .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { u ( k ) } ~ } & { \sum _ { k = k _ { 0 } } ^ { k _ { 0 } + N _ { p } } V \big ( u ( k ) , y ( k ) \big ) , } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { x ( k + 1 ) = f \big ( x ( k ) , u ( k ) , d ( k ) , p \big ) , \quad y ( k ) = g \big ( x ( k ) , p \big ) , } \\ { ~ } & { u _ { \mathrm { m i n } } \leq u ( k ) \leq u _ { \mathrm { m a x } } , \quad | u ( k ) - u ( k - 1 ) | \leq \delta u , } \\ { ~ } & { y _ { \mathrm { m i n } } ( k ) \leq y ( k ) \leq y _ { \mathrm { m a x } } ( k ) , \quad \mathrm { f o r } ~ k = k _ { 0 } , \ldots , k _ { 0 } + N _ { p } , } \\ { ~ } & { x ( k _ { 0 } ) = x _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { W _ { r } ^ { r } ( G , G _ { * } ) } & { = } & { \lambda | | ( \Delta \mu , \Delta \Sigma ) | | ^ { r } + \lambda ^ { * } | | ( \Delta \mu ^ { * } , \Delta \Sigma ^ { * } ) | | ^ { r } } \\ & { = } & { ( \lambda ^ { * } - \lambda ) | | ( \Delta \mu ^ { * } , \Delta \Sigma ^ { * } ) | | ^ { r } + \lambda ( | | ( \Delta \mu , \Delta \Sigma ) | | ^ { r } + | | ( \Delta \mu ^ { * } , \Delta \Sigma ^ { * } ) | | ^ { r } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { A _ { 3 } \cap C _ { 2 } = \left\{ \begin{array} { l l } { \sigma ^ { 2 } / 2 - \sigma z - \sigma ^ { 2 m } r / 2 \leq x \leq \sigma ^ { 2 } / 2 - \sigma z \qquad \textrm { i f } z < \sigma / 2 - \sigma ^ { 2 m - 1 } r } \\ { \sigma ^ { 2 m } r / 2 < x \leq \sigma ^ { 2 } / 2 - \sigma z \qquad \textrm { i f } \sigma / 2 - \sigma ^ { 2 m - 1 } r < z < \sigma / 2 - \sigma ^ { 2 m - 1 } r / 2 } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( x ( v ) ; z ) : = H _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( x ( v ) ; z ; \emptyset ) } & { = \prod _ { k = 1 } ^ { d } \frac { x ( v ) + y ( \hat { z } ^ { k } ) } { x ( v ) - x ( \varepsilon _ { k } ) } \; , } \\ { P _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( x ( v ) , x ( z ) ) : = P _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( x ( v ) ; x ( z ) ; \emptyset ) } & { = \frac { \prod _ { k = 0 } ^ { d } ( x ( v ) + y ( \hat { z } ^ { k } ) ) } { \prod _ { k = 1 } ^ { d } ( x ( v ) - x ( \varepsilon _ { k } ) ) } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U _ { E } ( y ) } & { = } & { E + \frac { q ^ { 2 } } { 4 } - \left( - \frac { q } { 4 } + \frac { p ^ { 2 } } { 4 } + p ^ { 2 } ~ E - \frac { q ~ \delta ~ \nu } { 2 } \right) \frac { 1 } { y } - \left( \frac { 3 } { 1 6 } + \frac { \delta ~ \nu } { 4 } - \frac { \nu ^ { 2 } } { 4 } \right) \frac { 1 } { y ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathtt { m } _ { \alpha } \partial _ { \xi } \lambda _ { \alpha } ( \xi ) \partial _ { x } \mathfrak { a } } & { = \mathtt { m } _ { \alpha } \partial _ { \xi } \lambda _ { \alpha } ( \xi ) \partial _ { x } \mathfrak { a } _ { 0 } + \sum _ { k = 1 } ^ { \mathtt { N } _ { \alpha } } \mathtt { m } _ { \alpha } \partial _ { \xi } \lambda _ { \alpha } ( \xi ) \partial _ { x } \mathfrak { a } _ { k } } \\ { \frac { T _ { \alpha } } 4 \partial _ { x } \mathfrak { a } + \left\{ \mathfrak { d } _ { 0 } , \mathfrak { a } \right\} _ { x } } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { \mathtt { N } _ { \alpha } } \left( \frac { T _ { \alpha } } 4 \partial _ { x } \mathfrak { a } _ { k - 1 } + \left\{ \mathfrak { d } _ { 0 } , \mathfrak { a } _ { k - 1 } \right\} _ { x } \right) + \left( \frac { T _ { \alpha } } 4 \partial _ { x } \mathfrak { a } _ { \mathtt { N } _ { \alpha } } + \left\{ \mathfrak { d } _ { 0 } , \mathfrak { a } _ { \mathtt { N } _ { \alpha } } \right\} _ { x } \right) , } \\ { \frac { 1 } { n ! } \mathfrak { q } _ { M _ { 2 } , n } - \frac { 1 } { ( n - 1 ) ! } \mathfrak { q } _ { \omega , n - 2 } } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { \mathtt { N } _ { \alpha } } \left( \frac { 1 } { n ! } \left( \mathfrak { q } _ { M _ { 2 } , n , \le ( k - 1 ) } - \mathfrak { q } _ { M _ { 2 } , n , \le ( k - 2 ) } \right) - \frac { 1 } { ( n - 1 ) ! } ( \mathfrak { q } _ { \omega , n - 2 , \le ( k - 1 ) } - \mathfrak { q } _ { \omega , n - 2 , \le ( k - 2 ) } ) \right) } \\ & { \ + \frac { 1 } { n ! } \left( \mathfrak { q } _ { M _ { 2 } , n , \le \mathtt { N } _ { \alpha } } - \mathfrak { q } _ { M _ { 2 } , n , \le \mathtt { N } _ { \alpha } - 1 } \right) - \frac { 1 } { ( n - 1 ) ! } ( \mathfrak { q } _ { \omega , n - 2 , \le \mathtt { N } _ { \alpha } } - \mathfrak { q } _ { \omega , n - 2 , \le \mathtt { N } _ { \alpha } - 1 } ) . } \end{array}
a ^ { \mathrm { r e s i d u a l } } = \sum _ { i = 1 } ^ { 8 } \sum _ { j = - 8 } ^ { 1 2 } n _ { i , j } \delta ^ { i } \tau ^ { j / 8 } + \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } \sum _ { j = - 8 } ^ { 2 4 } n _ { i , j } \delta ^ { i } \tau ^ { j / 8 } \exp \left( - \delta \right) + \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } \sum _ { j = 1 6 } ^ { 5 6 } n _ { i , j } \delta ^ { i } \tau ^ { j / 8 } \exp \left( - \delta ^ { 2 } \right) + \sum _ { i = 2 } ^ { 4 } \sum _ { j = 2 4 } ^ { 3 8 } n _ { i , j } \delta ^ { i } \tau ^ { j / 2 } \exp \left( - \delta ^ { 3 } \right)
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \frac { d } { d t } \| ( u ^ { k } - u ^ { j } ) _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } } } \\ & { = } & { 2 I m \int _ { \mathbb { R } } ( | u ^ { k } | ^ { 2 p } u ^ { k } - | u ^ { j } | ^ { 2 p } u ^ { j } ) _ { x } ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { x } d x } \\ & { } & { + \ 2 \beta I m \int _ { \mathbb { R } } ( | u ^ { k } | ^ { p - 1 } | v ^ { k } | ^ { p + 1 } u ^ { k } - | u ^ { j } | ^ { p - 1 } | v ^ { j } | ^ { p + 1 } u ^ { j } ) _ { x } ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) _ { x } d x . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { \mu } ^ { \prime } } & { = } & { ( 1 - i \mathbf { a } ) A _ { \mu } ( 1 + i \mathbf { a } ) + ( 1 - i \mathbf { a } ) \partial _ { \mu } ( 1 + i \mathbf { a } ) } \\ & { = } & { A _ { \mu } - i [ \mathbf { a } , A _ { \mu } ] + i \partial _ { \mu } \mathbf { a } } \\ & { = } & { A _ { \mu } + i D _ { \mu } \mathbf { a } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { 1 \le t \le T } \mathbb { E } \left\| \nabla f ( \overline { { \mathbf { x } ^ { t } } } ) \right\| ^ { 2 } = } & { \mathcal { O } \Big ( \frac { ( f ( \overline { { { \bf x } ^ { 1 } } } ) - f ^ { * } ) + L ^ { 2 } \rho ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } } { \sqrt { K T } } + \frac { K ( L ^ { 2 } \rho ^ { 2 } + \sigma _ { g } ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } ) } { T } + { \bf \Phi } ( \lambda , m , Q ) \frac { K ^ { 2 } L ^ { 2 } \rho ^ { 4 } + L ^ { 2 } \rho ^ { 2 } + \sigma _ { g } ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } } { K ^ { 1 / 2 } T ^ { 3 / 2 } } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { t } \left\lVert \operatorname* { m a x } _ { j } \epsilon _ { j , t } ^ { * } \right\rVert _ { L _ { m } } ^ { * } } & { = \operatorname* { m a x } _ { t } \left( \mathbb { E } ^ { * } \operatorname* { m a x } _ { j } \left\lvert \epsilon _ { j , t } ^ { * } \right\rvert ^ { m } \right) ^ { 1 / m } = \operatorname* { m a x } _ { t } \left( \mathbb { E } ^ { * } \operatorname* { m a x } _ { j } \left\lvert \hat { \epsilon } _ { j , t } \gamma _ { t } \right\rvert ^ { m } \right) ^ { 1 / m } } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { t } \left( \operatorname* { m a x } _ { j } \left\lvert \hat { \epsilon } _ { j , t } \right\rvert ^ { m } \mathbb { E } \left\lvert \gamma _ { t } \right\rvert ^ { m } \right) ^ { 1 / m } \leq C \operatorname* { m a x } _ { j , t } \left\lvert \hat { \epsilon } _ { j , t } \right\rvert . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Xi _ { A } ( J ) : = \frac { N } { ( 2 J ) ^ { 2 } } \operatorname* { m a x } _ { i _ { 0 } , j _ { 0 } } \sum _ { | i - i _ { 0 } | \le J } \sum _ { | j - j _ { 0 } | \le J } | \langle u _ { i } , A u _ { j } \rangle | ^ { 2 } \, , } \\ & { \overline { { \Xi } } _ { A } ( J ) : = \frac { N } { ( 2 J ) ^ { 2 } } \operatorname* { m a x } _ { i _ { 0 } , j _ { 0 } } \sum _ { | i - i _ { 0 } | \le J } \sum _ { | j - j _ { 0 } | \le J } | \langle u _ { i } , A \overline { { u } } _ { j } \rangle | ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { H = \Omega / \sqrt { 2 } ( | g g \rangle \langle r _ { 0 } g ^ { + } | + h . c . ) + \Omega / \sqrt { 2 } ( | r _ { 0 } g ^ { + } \rangle \langle r _ { 0 } r _ { 0 } | + h . c . ) } \\ & { } & { + \sum _ { i , j , k , l } \frac { C _ { 3 _ { i j , k l } } ( \theta ) } { R ^ { 3 } } ( | r _ { l } r _ { k } \rangle \langle r _ { i } r _ { j } | + h . c . ) + \sum _ { i , j } \delta _ { i j } | r _ { i } r _ { j } \rangle \langle r _ { i } r _ { j } | } \end{array}
\mathcal { P } _ { \Delta } ( \delta / 2 ) \ge \frac { 1 } { \beta } \sum _ { \substack { h \in \Delta \, h ^ { \Gamma } \cap V \neq \emptyset } } e ^ { - \delta \| \gamma _ { h } \| } \ge \frac { 1 } { \alpha \beta } \sum _ { h \in \Delta } \sum _ { \substack { \gamma \in \Gamma \, h ^ { \gamma } \in V } } e ^ { - \delta \| \gamma \| } \ge \frac { 1 } { \alpha \beta } \sum _ { \substack { \gamma \in \Gamma \, \Delta ^ { \gamma } \cap V \neq \emptyset } } e ^ { - \delta \| \gamma \| } .
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { \sqrt 2 } \int _ { z _ { 1 } } ^ { z _ { 2 } } \frac { z ^ { n } } { \sqrt { f _ { \Delta } ( z ) } } \, d z + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \mathcal Q _ { 1 } z _ { 1 } ^ { n } \ln ( \pi _ { 1 } ) \in C ( \Omega _ { 1 } ) , } \\ { \frac { 1 } { \sqrt 2 } \int _ { z _ { 1 } } ^ { z _ { 2 } } \frac { z ^ { n } } { \sqrt { f _ { \Delta } ( z ) } } \, d z + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \mathcal Q _ { 2 } z _ { 2 } ^ { n } \ln ( \pi _ { 1 } ) \in C ( \Omega _ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { i } \left( \overline { { \omega } } \cdot l - \left( \left( - \frac { 1 } { 2 } \lambda _ { \alpha } ( k + j ) - ( k + j ) \frac { T _ { \alpha } } 4 \right) - \left( - \frac { 1 } { 2 } \lambda _ { \alpha } ( j ) - j \frac { T _ { \alpha } } 4 \right) \right) \right) \widehat { \rho } _ { 1 , s } ^ { \varphi , x } ( \omega , l , k , j ) = \widehat { \mathfrak { b } } _ { 1 , s } ^ { \varphi , x } ( \omega , l , k , j ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | x _ { 1 } ^ { T } J x _ { 2 } | ^ { 2 } \Vert S - \hat { S } _ { j } \Vert _ { F } ^ { 2 } } & { \geq | \eta _ { j } | ^ { 2 } + | \eta _ { j } - d | ^ { 2 } - 2 \cdot \mathfrak { R } ( \eta _ { j } ( \overline { { \eta } } _ { j } - \overline { { d } } ) ) } \\ & { = ( \eta _ { j } - ( \eta _ { j } - d ) ) ( \overline { { \eta } } _ { j } - ( \overline { { \eta } } _ { j } - \overline { { d } } ) ) = | d | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { A _ { \mathrm { W } } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) = A _ { \mathrm { W } } ^ { ( 0 ) } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) + \hbar ^ { 2 } A _ { \mathrm { W } } ^ { ( 2 ) } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) + O ( \hbar ^ { 4 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \mathbb { E } [ C _ { n } ^ { 2 } X _ { n , m } ^ { 2 } } & { | \mathcal { F } _ { n , m - 1 } ] ] } \\ & { = 4 \sum _ { i , j ( d i s t ) } \Omega _ { i j } ( 1 - \Omega _ { i j } ) \Omega _ { m i } ( 1 - \Omega _ { m i } ) + 2 \sum _ { i , j ( d i s t ) } \Omega _ { i m } ( 1 - \Omega _ { i m } ) \Omega _ { j m } ( 1 - \Omega _ { j m } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { f ( x , y ) = \left\{ \begin{array} { l r } { e ^ { x + y - 1 / 2 } } & { , \left[ 0 , 0 . 5 \right] \times \left[ 0 , 0 . 5 \right] } \\ { 1 + e ^ { x + y - 1 / 2 } } & { , \left[ 0 , 0 . 5 \right] \times \left( 0 . 5 , 1 \right] \cup \left( 0 . 5 , 1 \right] \times \left[ 0 , 0 . 5 \right] } \\ { 2 + e ^ { x + y - 1 / 2 } } & { , \left[ 0 . 5 , 1 \right] \times \left[ 0 . 5 , 1 \right] } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial r } \mathrm { A v } ( r ) } & { = - \frac { \lambda } { n \omega _ { n } r ^ { n - 1 } } \int _ { B ( x , r ) } f ( y ) d y } \\ & { = - \frac { \lambda } { n \omega _ { n } r ^ { n - 1 } } \int _ { 0 } ^ { r } \omega _ { n } n s ^ { n - 1 } \mathrm { A v } ( s ) d y } \\ & { = - \frac { \lambda } { r ^ { n - 1 } } \int _ { 0 } ^ { r } s ^ { n - 1 } \mathrm { A v } ( s ) d y . } \end{array}
\begin{array} { r l } { v \cdot \nabla _ { x } \mathfrak { F } - \varepsilon ^ { - 1 } Q [ \mathfrak { F } , \mathfrak { F } ] = } & { - \varepsilon ^ { - 1 } \Big ( Q _ { \mathrm { g a i n } } [ \mathfrak { F } , \mathfrak { F } ] - Q _ { \mathrm { g a i n } } [ \mathfrak { F } _ { + } , \mathfrak { F } _ { + } ] \Big ) + \mathfrak { z } \displaystyle \iint _ { \Omega \times \mathbb { R } ^ { 3 } } \varepsilon ^ { - 1 } \Big ( Q _ { \mathrm { l o s s } } [ \mathfrak { F } , \mathfrak { F } ] - Q _ { \mathrm { g a i n } } [ \mathfrak { F } _ { + } , \mathfrak { F } _ { + } ] \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { V _ { n , j } ^ { 2 } = \frac { 1 } { n h _ { n } } \left[ k _ { 2 } ^ { 2 } \left( \frac { Z _ { 2 , j } - t } { h _ { n } } \right) + \left\{ E \left( k _ { 2 } \left( \frac { Z _ { 2 } - t } { h _ { n } } \right) \right) \right\} ^ { 2 } - \frac { 2 } { n h _ { n } } k _ { 2 } \left( \frac { Z _ { 2 , j } - t } { h _ { n } } \right) E \left( k _ { 2 } \left( \frac { Z _ { 2 , j } - t } { h _ { n } } \right) \right) \right] } \\ & { } & { \Rightarrow E ( V _ { n , j } ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { n h _ { n } } E \left( k _ { 2 } ^ { 2 } \left( \frac { Z _ { 2 , j } - t } { h _ { n } } \right) \right) - \frac { 1 } { n h _ { n } } \left\{ E \left( k _ { 2 } \left( \frac { Z _ { 2 } - t } { h _ { n } } \right) \right) \right\} ^ { 2 } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { n h _ { n } } \int k _ { 2 } ^ { 2 } \left( \frac { z _ { 2 } - t } { h _ { n } } \right) f _ { Z _ { 2 } } ( z _ { 2 } ) d z _ { 2 } - \frac { 1 } { n h _ { n } } \left\{ \int k _ { 2 } \left( \frac { z _ { 2 } - t } { h _ { n } } \right) f _ { Z _ { 2 } } ( z _ { 2 } ) d z _ { 2 } \right\} ^ { 2 } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { n h _ { n } } \left[ \left\{ \int k _ { 2 } ^ { 2 } ( m ) f _ { Z _ { 2 } } ( t + m h _ { n } ) d m \right\} h _ { n } - \left\{ \int k _ { 2 } ( m ) h _ { n } f _ { Z _ { 2 } } ( t + m h _ { n } ) d m \right\} ^ { 2 } \right] } \\ & { = } & { \int k _ { 2 } ^ { 2 } ( m ) f _ { Z _ { 2 } } ( t + m h _ { n } ) d m - \frac { h _ { n } } { n } \left\{ \int k _ { 2 } ( m ) h _ { n } f _ { Z _ { 2 } } ( t + m h _ { n } ) d m \right\} ^ { 2 } } \\ & { } & { \Rightarrow \sum _ { j = 1 } ^ { n } E ( V _ { n , j } ^ { 2 } ) = \int k _ { 2 } ^ { 2 } ( m ) f _ { Z _ { 2 } } ( t + m h _ { n } ) d m - h _ { n } \left\{ \int k _ { 2 } ( m ) h _ { n } f _ { Z _ { 2 } } ( t + m h _ { n } ) d m \right\} ^ { 2 } } \\ & { = } & { \int k _ { 2 } ^ { 2 } ( m ) \left[ f _ { Z _ { 2 } } ( t ) + m h _ { n } f _ { Z _ { 2 } } ^ { ' } ( \xi _ { n } ) \right] d m - h _ { n } \left\{ \int k _ { 2 } ( m ) h _ { n } \left[ f _ { Z _ { 2 } } ( t ) + m h _ { n } f _ { Z _ { 2 } } ^ { ' } ( \xi _ { n } ) \right] d m \right\} ^ { 2 } } \\ & { } & { ~ \mathrm { ( h e r e ~ \xi _ { n } \in ( t , ~ t ~ + ~ m ~ h _ { n } ) ~ ) } } \end{array}
\int _ { \mathcal { Q } _ { T } } { ^ { ^ { R L } } \mathcal { D } _ { T ^ { - } } ^ { ^ \alpha } } r ( x , \tau ) \partial _ { x _ { s } } \phi ( x , \tau ) d x d \tau = \int _ { \mathcal { Q } _ { T } } r ( x , \tau ) A \partial _ { x _ { s } } \phi ( x , \tau ) d x d \tau + \int _ { \Omega } \phi ( x , 0 ) \partial _ { x _ { s } } \mathcal { I } _ { _ { T ^ { - } } } ^ { ^ { 1 - \alpha } } r ( x , 0 ) d x .
\tau ^ { \alpha } = \left( \begin{array} { l l l l l l } { 1 } & { 0 } & { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } & { 0 } \\ { \binom { \alpha } { 1 } } & { 1 } & { \ddots } & & & { \vdots } \\ { \binom { \alpha } { 2 } } & { \binom { \alpha } { 1 } } & { \ddots } & { \ddots } & & { \vdots } \\ { \binom { \alpha } { 3 } } & { \binom { \alpha } { 2 } } & { \ddots } & { 1 } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \binom { \alpha } { 1 } } & { 1 } & { 0 } \\ { \binom { \alpha } { k } } & { \binom { \alpha } { k - 1 } } & { \cdots } & { \binom { \alpha } { 2 } } & { \binom { \alpha } { 1 } } & { 1 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { ( \dot { g } _ { b , s _ { 0 } } , \dot { A } _ { b , s _ { 0 } } ) } & { = ( \dot { g } _ { b } ( \dot { \mathbf { m } } , 0 , \dot { \mathbf { Q } } ) + 2 \delta _ { g _ { b } } \tilde { \omega } _ { b , s _ { 0 } } , \ \dot { A } _ { b } ( 0 , 0 , \dot { \mathbf { Q } } ) + \widetilde { \mathcal { L } } _ { A _ { b } } \tilde { \omega } _ { b , s _ { 0 } } ^ { \sharp } + d \phi _ { b , s _ { 0 } } ) , \quad \dot { \mathbf { m } } , \dot { \mathbf { Q } } \in \mathbb { R } , } \\ { ( \dot { g } _ { b , s _ { 1 } } ( \mathsf { S } ) , \dot { A } _ { b , s _ { 1 } } ( \mathsf { S } ) ) } & { = ( 2 \delta _ { g _ { b } } ^ { * } \omega _ { b , s _ { 1 } } ( \mathsf { S } ) , \ \widetilde { \mathcal { L } } _ { A _ { b } } ( \omega _ { b , s _ { 1 } } ( \mathsf { S } ) ) ^ { \sharp } + d \phi _ { b , s _ { 1 } } ( \mathsf { S } ) ) , } \\ { ( \dot { g } _ { b , v _ { 1 } } ( \mathsf { V } ) , \dot { A } _ { b , v _ { 1 } } ^ { * } ( \mathsf { V } ) ) } & { = ( \dot { g } _ { b } ( 0 , \dot { \mathbf { a } } , 0 ) + 2 \delta _ { g _ { b } } ^ { * } \tilde { \omega } _ { b , v _ { 1 } } ( \mathsf { V } ) , \ \dot { A } _ { b } ( 0 , \dot { \mathbf { a } } , 0 ) + \widetilde { \mathcal { L } } _ { A _ { b } } ( \tilde { \omega } _ { b , v _ { 1 } } ( \mathsf { V } ) ) ^ { \sharp } + d \phi _ { b , v _ { 1 } } ( \mathsf { V } ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \cal R } _ { \operatorname* { m a x } } [ \mathsf { f } _ { \{ 0 , 1 \} } ^ { \otimes n } , R _ { \sin } ] = } & { { \cal R } _ { a v } [ \mathsf { f } _ { \{ 0 , 1 \} } ^ { \otimes n } , R _ { \sin } ] = { \cal R } _ { a v } [ \mathsf { f } _ { \{ 0 , 1 , \ldots , n \} } , R _ { \sin } ] } \\ { = } & { \operatorname* { m i n } _ { | \phi \rangle \in \mathcal { H } _ { \{ 0 , 1 , \ldots , n \} } } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } 2 \sin ^ { 2 } \frac { \hat { \theta } } { 2 } | { \cal F } [ \phi ] ( \hat { \theta } ) | ^ { 2 } d \hat { \theta } } \\ { = } & { \operatorname* { m i n } _ { | \phi \rangle \in \mathcal { H } _ { \{ 0 , 1 , \ldots , n \} } } 1 - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j = 0 } ^ { n - 1 } ( \overline { { \phi } } _ { j } \phi _ { j + 1 } + \phi _ { j } \overline { { \phi } } _ { j + 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { R e } \left( \frac { \left\langle { K ( \Omega + \mathcal { S } ( K ) ) ^ { - 1 } x , x } \right\rangle } { \left\langle { x , x } \right\rangle } \right) } & { = } & { 1 - \epsilon \left( \frac { x _ { 2 } ^ { * } S ^ { - 1 } x _ { 2 } } { \left\langle { x , x } \right\rangle } + \frac { \mathrm { R e } \left( x _ { 2 } ^ { * } S ^ { - 1 } A ^ { T } x _ { 1 } \right) } { \left\langle { x , x } \right\rangle } \right) } \\ { \mathrm { I m } \left( \frac { \left\langle { K ( \Omega + \mathcal { S } ( K ) ) ^ { - 1 } x , x } \right\rangle } { \left\langle { x , x } \right\rangle } \right) } & { = } & { - \epsilon \, \frac { \mathrm { I m } \left( x _ { 2 } ^ { * } S ^ { - 1 } A ^ { T } x _ { 1 } \right) } { \left\langle { x , x } \right\rangle } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { 0 } \frac { N _ { l k } ^ { 2 } ( t ) } { D _ { l k } } } & { \lesssim e ^ { C n \alpha _ { n } ( \sigma _ { l } ^ { 2 } + f _ { 0 , l k } ^ { 2 } ) } e ^ { C ( | t | \sigma _ { l } + \alpha _ { n } \sqrt { n \alpha _ { n } } | \zeta _ { l } | \sigma _ { l } ) ^ { \frac { \delta + 1 } { \delta } } } \lesssim e ^ { C n \alpha _ { n } ( \sigma _ { l } ^ { 2 } + f _ { 0 , l k } ^ { 2 } ) + C ( | t | \sigma _ { l } + \sqrt { n \alpha _ { n } } | \zeta _ { l } | \sigma _ { l } ) ^ { \frac { \delta + 1 } { \delta } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { r = \frac { c ^ { 3 } + d m \operatorname { t a n h } ( n - m t ) \left\lbrace c ^ { 2 } + ( d + 1 ) m \operatorname { t a n h } ( n - m t ) [ 3 c + ( d + 2 ) m \operatorname { t a n h } ( n - m t ) ] - ( 3 d + 2 ) m ^ { 2 } \right\rbrace - 3 c d m ^ { 2 } } { [ c + d m \operatorname { t a n h } ( n - m t ) ] ^ { 3 } } , } \\ & { } & { s = \frac { 2 d m ^ { 2 } \mathrm { s e c h } ^ { 2 } ( n - m t ) [ 3 c + ( 3 d + 2 ) m \operatorname { t a n h } ( n - m t ) ] } { 3 [ c + d m \operatorname { t a n h } ( n - m t ) ] \left\lbrace c ^ { 2 } + d m \operatorname { t a n h } ( n - m t ) [ 6 c + ( 3 d + 2 ) m \operatorname { t a n h } ( n - m t ) ] - 2 d m ^ { 2 } \right\rbrace } . } \end{array}
\begin{array} { r } { - \frac { \lambda _ { \epsilon } ( t - 1 ) } { 4 ( p _ { \epsilon } ^ { t } - p _ { \epsilon } ^ { t - 1 } ) } + \lambda _ { \epsilon } \frac { p _ { \epsilon } - p _ { \epsilon } ^ { - ( t - 2 ) } } { 4 ( p _ { \epsilon } - 1 ) ^ { 2 } } = \frac { \lambda _ { \epsilon } ( p _ { \epsilon } ^ { t } - t p _ { \epsilon } + t - 1 ) } { 4 ( p _ { \epsilon } ^ { t } - p _ { \epsilon } ^ { t - 1 } ) ( p _ { \epsilon } - 1 ) } \geq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { \mathrm { o } } ( v ) \approx } & { \frac { v ^ { n \, m } } { f ^ { \ast \, m } \, v ^ { \ast \, n \, m } \, 2 ^ { m } \, \tilde { v } ^ { \frac { m n } { 2 } } + v ^ { n \, m } } } \\ { = } & { \frac { v ^ { n \, m } } { f ^ { \ast \, m } \, 2 ^ { m } \, v ^ { \ast \, \frac { n m } { 2 } } \, v ^ { \frac { m n } { 2 } } + v ^ { n \, m } } } \\ { = } & { \frac { v ^ { \frac { n m } { 2 } } } { f ^ { \ast \, m } \, 2 ^ { m } \, v ^ { \ast \, \frac { n m } { 2 } } + v ^ { \frac { n m } { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { U } ( \xi ) \! } & { \leq \! - \! \left[ \begin{array} { l } { \left\| \xi _ { 1 } \right\| } \\ { \left\| \xi _ { 2 } \right\| } \end{array} \right] ^ { \top } \! \! \! \! \tilde { Q } \! \! \left[ \begin{array} { l } { \left\| \xi _ { 1 } \right\| } \\ { \left\| \xi _ { 2 } \right\| } \end{array} \right] \! - \! 2 \xi ^ { \top } P \nabla \bar { \psi } ( x ) \, p ( x , u ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { P _ { z } ^ { \mathrm { a c c } } \bigl ( z \to z ^ { \prime } \bigr ) } { P _ { z } ^ { \mathrm { a c c } } \bigl ( z ^ { \prime } \to z \bigr ) } = \frac { P _ { z } \bigl ( z ^ { \prime } \bigr ) P _ { z } ^ { \mathrm { g e n } } \bigl ( z ^ { \prime } \to z \bigr ) } { P _ { z } \bigl ( z \bigr ) P _ { z } ^ { \mathrm { g e n } } \bigl ( z \to z ^ { \prime } \bigr ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle w _ { 0 } ( q ) w _ { 0 } ( - q ) \rangle _ { f } } & { = \frac { 4 \pi s } { ( \sigma _ { 0 } + n \kappa _ { 0 } ) q ^ { 2 } + \sigma _ { 0 } L ^ { - 2 } } , } \\ { \langle w _ { a } ( q ) w _ { a } ( - q ) \rangle _ { f } } & { = \frac { 4 \pi s } { \sigma _ { 0 } q ^ { 2 } + \sigma _ { 0 } L ^ { - 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { x } ( \mathfrak { a } ) } & { = \varepsilon M _ { x } ( \mathfrak { a } _ { 1 } ) + \varepsilon ^ { 2 } M _ { x } ( \mathfrak { a } _ { 2 } ) + \varepsilon ^ { 3 } M _ { x } ( \mathfrak { a } _ { 3 } ) + M _ { x } ( \mathfrak { q } _ { 1 } ) } \\ & { = \varepsilon ^ { 2 } M _ { x } ( \mathfrak { a } _ { 2 } ) + \varepsilon ^ { 3 } M _ { x } ( \mathfrak { a } _ { 3 } ) + M _ { x } ( \mathfrak { q } _ { 1 } ) } \\ & { = \varepsilon ^ { 2 } \underbrace { M _ { x } ( \mathfrak { a } _ { 2 } ) } _ { = : \mathfrak { m } ( \omega , \xi ) } + \underbrace { \varepsilon ^ { 3 } M _ { x } ( \mathfrak { a } _ { 3 } ) + M _ { \varphi , x } ( \mathfrak { q } _ { 1 } ) } _ { = : \mathfrak { r } ( \omega , \xi ) } + \underbrace { M _ { x } ( \mathfrak { q } _ { 1 } ) - M _ { \varphi , x } ( \mathfrak { q } _ { 1 } ) } _ { = : \tilde { \mathfrak { q } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \left| \sum _ { i > 0 } \varphi _ { i } ( y ) f ( x _ { i } ) - \sum _ { i > 0 } \varphi _ { i } ( y ) f ( y ) \right| \right| _ { k } } & { = \left| \left| \sum _ { i > 0 } \varphi _ { i } ( y ) ( f ( x _ { i } ) - f ( y ) ) \right| \right| _ { k } } \\ & { = \sum _ { i > 0 } \varphi _ { i } ( y ) | | f ( x _ { i } ) - f ( y ) | | _ { k } } \\ & { < \sum _ { i > 0 } \varphi _ { i } ( y ) \frac { 1 } { 2 ( i + 1 ) } } \\ & { < \sum _ { i > 0 } \varphi _ { i } ( y ) \frac { 1 } { 2 ( \Bar { i } + 1 ) } = \frac { 1 } { 2 ( \Bar { i } + 1 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \dot { R } } _ { 1 } = } & { \dot { R } _ { 0 } + \frac { F _ { 0 } + F _ { 0 \epsilon } + F _ { 1 } + F _ { 1 \epsilon } } { 2 M } \Delta t } \\ { \tilde { \dot { R } } _ { 1 } = } & { \dot { R } _ { 0 } + \frac { F _ { 0 } + F _ { 1 } } { 2 M } \Delta t + \frac { F _ { 0 \epsilon } + F _ { 1 \epsilon } } { 2 M } \Delta t } \\ { \tilde { \dot { R } } _ { 1 } = } & { \dot { R } _ { 1 } + \frac { F _ { 0 \epsilon } + F _ { 1 \epsilon } } { 2 M } \Delta t } \end{array}
\begin{array} { r l } { X ^ { L } ↦ F ( X ) ^ { L } ; } & { \ X ^ { R } ↦ F ( X ) ^ { R } } \\ { \mathrm { f o r ~ e a c h ~ a ~ \in ~ 𝕍 ( A ; N ) ~ , \ } } & { a _ { 0 } : A ^ { L } \to A ^ { R } ↦ F _ { N } ( a ) _ { 0 } } \\ { \mathrm { f o r ~ e a c h ~ b ~ \in ~ 𝕍 ( X ; B ) ~ , \ } } & { b _ { 0 } : B ^ { L } \to X ^ { L } ↦ F ( b ) _ { 0 } ; \enspace b _ { 1 } : X ^ { R } \to B ^ { R } ↦ F ( b ) _ { 1 } } \\ { \mathrm { f o r ~ e a c h ~ c ~ \in ~ 𝕍 ( C ; ~ Y ~ ◁ ~ Z ) ~ , \ } } & { c _ { 0 } : C ^ { L } \to Y ^ { L } ↦ F _ { ◁ } ( c ) _ { 0 } ; \enspace c _ { 1 } : Y ^ { R } \to Z ^ { L } ↦ F _ { ◁ } ( c ) _ { 1 } ; \enspace c _ { 2 } : Z ^ { R } \to C ^ { R } ↦ F _ { ◁ } ( c ) _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \! \! \! \int _ { 0 } ^ { L _ { j } ( t ) } \! \! \! \partial _ { t } f _ { + , j } \varphi _ { + } \, \textup { d } x = \int _ { 0 } ^ { L _ { j } ( t ) } \bigl ( v _ { 0 } f _ { + , j } ( 1 - \rho _ { j } ) - D _ { T } \partial _ { x } f _ { + , j } \bigr ) \partial _ { x } \varphi _ { + } + \lambda ( f _ { - , j } - f _ { + , j } ) \varphi _ { + } \, \textup { d } x } \\ & { \qquad - \beta _ { + , j } ( \Lambda _ { j } ) f _ { + , j } ( t , L _ { j } ( t ) ) \varphi _ { + } ( L _ { j } ( t ) ) + \alpha _ { + , j } ( \Lambda _ { \emph { s o m } } ) g _ { + , j } ( \boldsymbol { f } _ { j } ( t , 0 ) ) \varphi _ { + } ( 0 ) , } \\ & { \! \! \! \int _ { 0 } ^ { L _ { j } ( t ) } \! \! \partial _ { t } f _ { - , j } \varphi _ { - } \, \textup { d } x = \! \int _ { 0 } ^ { L _ { j } ( t ) } \! \! \! - ( v _ { 0 } f _ { - , j } ( 1 - \rho _ { j } ) + D _ { T } \partial _ { x } f _ { - , j } ) \partial _ { x } \varphi _ { - } + \lambda ( f _ { + , j } - f _ { - , j } ) \varphi _ { - } \, \textup { d } x } \\ & { \qquad + \alpha _ { - , j } ( \Lambda _ { j } ) g _ { - , j } ( \boldsymbol { f } _ { j } ( t , L _ { j } ( t ) ) ) \varphi _ { - } ( L _ { j } ( t ) ) - \beta _ { - , j } f _ { - , j } ( t , 0 ) \varphi _ { - } ( 0 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \big [ | \Sigma ^ { n } ( t , Y _ { t } ^ { \infty } , \overline { { \mu } } _ { t } ^ { n } ) - \Sigma ( t , Y _ { t } ^ { \infty } , \overline { { \mu } } _ { t } ^ { \infty } ) | \big ] } \\ & { = \mathbb { E } \left[ \left| \frac { \sigma ^ { n } ( t , Y _ { t } ^ { \infty } , \overline { { \mu } } _ { t } ^ { n } ) } { 1 + \overline { { \mu } } _ { t } ^ { n } ( H ^ { n } ) H ^ { n } ( B ^ { n } ( t , Y _ { t } ^ { \infty } , \overline { { \mu } } _ { t } ^ { n } ) ) } - \frac { \sigma ( t , Y _ { t } ^ { \infty } , \overline { { \mu } } _ { t } ^ { \infty } ) } { 1 + \overline { { \mu } } _ { t } ^ { \infty } ( H ) H ( B ( t , Y _ { t } ^ { \infty } , \overline { { \mu } } _ { t } ^ { \infty } ) ) } \right| \right] \; \longrightarrow \; 0 , \mathrm { ~ f o r ~ a . e . ~ } t \in [ 0 , T ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \delta ( z , w _ { 1 } ) > R \Leftrightarrow } \\ & { \left( 1 + R ^ { \prime ^ { 2 } } \right) - 2 R ^ { \prime } \coth a \left[ \cos \left( \theta _ { 1 } + \frac { \pi } { 4 g } \right) + \cos \phi \right] + } \\ & { \cos \left( \theta _ { 1 } + \phi + \frac { \pi } { 4 g } \right) + R ^ { \prime ^ { 2 } } \cos \left( \theta _ { 1 } - \phi + \frac { \pi } { 4 g } \right) > 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { w } _ { \mu } ^ { ( k ) } ( s ) } & { = \frac { \theta _ { \mu } } { \gamma _ { \mu } } \left( \frac { \kappa _ { \mu + 1 } \hat { z } _ { \mu } ^ { ( k ) } } { \sqrt { \kappa _ { \mu } s ^ { 2 \nu } } } \sigma _ { \mu } + \hat { w } _ { \mu - 1 } ^ { ( k - 1 ) } \right) + ( 1 - \theta _ { \mu } ) \hat { w } _ { \mu } ^ { ( k - 1 ) } , } \\ { \hat { w } _ { \iota } ^ { ( k ) } ( s ) } & { = \frac { \theta _ { \iota } } { \gamma _ { { \iota } + 1 } } \left( \hat { w } _ { { \iota } + 1 } ^ { ( k - 1 ) } + \frac { \kappa _ { \iota } \hat { z } _ { { \iota } + 1 } ^ { ( k ) } } { \sqrt { \kappa _ { { \iota } + 1 } s ^ { 2 \nu } } } \sigma _ { { \iota } + 1 } \right) + ( 1 - \theta _ { \iota } ) \hat { w } _ { \iota } ^ { ( k - 1 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \Delta _ { g } w } & { = 2 e ^ { - 2 u } \Delta _ { g } u - e ^ { 2 u } \lvert \nabla _ { g } w \rvert ^ { 2 } \leqslant 2 e ^ { - 2 u } \left( K _ { g } - K e ^ { 2 u } \right) - \frac { \lvert \nabla _ { g } w \rvert ^ { 2 } } { w } } \\ & { = 2 w K _ { g } - 2 K - \frac { \lvert \nabla _ { g } w \rvert ^ { 2 } } { w } } \\ { \Rightarrow } & { - \Delta _ { g } w - 2 w K _ { g } + \frac { \lvert \nabla _ { g } w \rvert ^ { 2 } } { w } \leqslant - 2 K \; \mathrm { i n } \; M . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \hat { \theta } = \underset { \theta } { \operatorname { a r g \, m i n } } \, \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \Biggl ( \lVert f _ { \theta } ( \mathbf { \Delta x } ^ { ( n ) } ; \mathbf { \bar { y } } ^ { ( n ) } ) \rVert _ { 2 } ^ { 2 } - \log \left| \operatorname* { d e t } { \mathbf { J } _ { f _ { \theta } } } \right| \Biggr ) . } \end{array}
p _ { \mathrm { r } } = { \frac { T _ { \mathrm { r } } } { Z _ { \mathrm { c } } \left( V _ { \mathrm { r } } - { \frac { \Omega _ { b } } { Z _ { \mathrm { c } } } } \right) } } - { \frac { { \frac { \Omega _ { a } } { Z _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } } } \alpha \left( \omega , T _ { \mathrm { r } } \right) } { V _ { \mathrm { r } } \left( V _ { \mathrm { r } } + { \frac { \Omega _ { b } } { Z _ { \mathrm { c } } } } \right) } }
\begin{array} { r l r } { \int _ { D } \left( 1 - \frac { 2 } { \epsilon } \right) \chi ^ { 2 } | \nabla ( d w ) | ^ { 2 } } & { \leq } & { \left( 4 \| K \| _ { L ^ { \infty } ( \dot { \Sigma } ) } + 2 \epsilon \| d \chi \| _ { C ^ { 0 } ( D ) } \right) \int _ { D _ { 2 } } | d w | ^ { 2 } } \\ & { } & { + C _ { 1 } \int _ { D _ { 2 } } | d w | ^ { 4 } + \int _ { \partial D } | C ( \partial D ) | . } \end{array}
{ \frac { 1 } { 2 m } } \left( { \frac { d S _ { z } } { d z } } \right) ^ { 2 } + U _ { z } ( z ) + { \frac { 1 } { 2 m \left( \sigma ^ { 2 } + \tau ^ { 2 } \right) } } \left[ \left( { \frac { d S _ { \sigma } } { d \sigma } } \right) ^ { 2 } + \left( { \frac { d S _ { \tau } } { d \tau } } \right) ^ { 2 } + 2 m U _ { \sigma } ( \sigma ) + 2 m U _ { \tau } ( \tau ) \right] = E .
{ \begin{array} { r l l } { ( x ) _ { 0 } } & & { = 1 } \\ { ( x ) _ { 1 } } & & { = x } \\ { ( x ) _ { 2 } } & { = x ( x - 1 ) } & { = x ^ { 2 } - x } \\ { ( x ) _ { 3 } } & { = x ( x - 1 ) ( x - 2 ) } & { = x ^ { 3 } - 3 x ^ { 2 } + 2 x } \\ { ( x ) _ { 4 } } & { = x ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) } & { = x ^ { 4 } - 6 x ^ { 3 } + 1 1 x ^ { 2 } - 6 x } \end{array} }
F _ { 1 } ^ { ( 1 , 0 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) = - \frac { 1 } { 2 \left( A ^ { \prime } ( z ) \right) ^ { 2 } } \left( u _ { 1 , { \mathrm { M S - } } k } ^ { ( 1 , 0 ) } ( z ) + 2 \frac { \partial _ { z } u _ { 0 , { \mathrm { M S - } } k } ^ { ( 1 , 0 ) } ( z ) } { A ^ { \prime } ( z ) } - 3 \frac { A ^ { \prime \prime } ( z ) } { \left( A ^ { \prime } ( z ) \right) ^ { 2 } } \, u _ { 0 , { \mathrm { M S - } } k } ^ { ( 1 , 0 ) } ( z ) \right)
A _ { i j } = \left\{ \begin{array} { l l } { 3 \sum _ { n = 1 } ^ { + \infty } c _ { 1 } ^ { ( 1 ) , n } \left( \sqrt { 2 n + 5 } c _ { 2 } ^ { ( 1 ) , n } - \sqrt { 2 n } c _ { 2 } ^ { ( 1 ) , n - 1 } \right) , } & { \mathrm { ~ i f ~ } ( i , j ) = ( 4 , 5 ) } \\ { \sum _ { n = 1 } ^ { + \infty } c _ { 1 } ^ { ( 1 ) , n } \left( \sqrt { 2 n + 3 } c _ { 0 } ^ { ( 2 ) , n } - \sqrt { 2 ( n + 1 ) } c _ { 0 } ^ { ( 2 ) , n + 1 } \right) , } & { \mathrm { ~ i f ~ } ( i , j ) = ( 4 , 6 ) } \\ { 3 \sum _ { n = 1 } ^ { + \infty } c _ { 1 } ^ { ( 1 ) , n } \left( \sqrt { 2 n + 5 } c _ { 2 } ^ { ( 2 ) , n } - \sqrt { 2 n } c _ { 2 } ^ { ( 2 ) , n - 1 } \right) , } & { \mathrm { ~ i f ~ } ( i , j ) = ( 4 , 8 ) } \\ { 3 \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } c _ { 2 } ^ { ( 1 ) , n } \left( \sqrt { 2 n + 5 } c _ { 1 } ^ { ( 2 ) , n } - \sqrt { 2 ( n + 1 ) } c _ { 1 } ^ { ( 2 ) , n + 1 } \right) , } & { \mathrm { ~ i f ~ } ( i , j ) = ( 5 , 7 ) } \\ { \frac { 1 5 } { 2 } \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } c _ { 2 } ^ { ( 1 ) , n } \left( \sqrt { 2 n + 7 } c _ { 3 } ^ { ( 2 ) , n } - \sqrt { 2 n } c _ { 3 } ^ { ( 2 ) , n - 1 } \right) , } & { \mathrm { ~ i f ~ } ( i , j ) = ( 5 , 9 ) } \\ { \sum _ { n = 2 } ^ { + \infty } c _ { 0 } ^ { ( 2 ) , n } \left( \sqrt { 2 n + 3 } c _ { 1 } ^ { ( 2 ) , n } - \sqrt { 2 n } c _ { 1 } ^ { ( 2 ) , n - 1 } \right) , } & { \mathrm { ~ i f ~ } ( i , j ) = ( 6 , 7 ) } \\ { 3 \sum _ { n = 1 } ^ { + \infty } c _ { 1 } ^ { ( 2 ) , n } \left( \sqrt { 2 n + 5 } c _ { 2 } ^ { ( 2 ) , n } - \sqrt { 2 n } c _ { 2 } ^ { ( 2 ) , n - 1 } \right) , } & { \mathrm { ~ i f ~ } ( i , j ) = ( 7 , 8 ) } \\ { \frac { 1 5 } { 2 } \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } c _ { 2 } ^ { ( 2 ) , n } \left( \sqrt { 2 n + 7 } c _ { 3 } ^ { ( 2 ) , n } - \sqrt { 2 n } c _ { 3 } ^ { ( 2 ) , n - 1 } \right) , } & { \mathrm { ~ i f ~ } ( i , j ) = ( 8 , 9 ) } \end{array} \right.
\eta = \eta ^ { [ n , \lambda , x , \varphi ] } \in \mathrm { c s t } _ { K , \bar { \lambda } } \, \mathscr { B } _ { \operatorname* { m i n } ( c , c _ { 0 } ) } ^ { r } \, , \qquad \zeta = \zeta ^ { [ n , \lambda , x , \varphi ] } \in \mathrm { c s t } _ { K , \bar { \lambda } } \, \mathscr { B } _ { \operatorname* { m i n } ( c , c _ { 0 } ) } ^ { r } \, .
\begin{array} { r l } { \mathfrak { M } _ { \mathcal { R } _ { n + 1 } } ^ { \sharp , \gamma } ( 0 , s ) } & { \le _ { \mathtt { p e } , s } ( \varepsilon ^ { \frac { 1 } { 2 2 } } + N _ { 0 } ^ { 1 - \sigma _ { 1 } } ) N _ { n } ^ { - \sigma _ { 1 } } \mathbb { M } _ { 0 } ( s ) , } \\ { \operatorname* { s u p } _ { \vec { b } \in \mathbb { N } _ { 0 } ^ { \nu } , \ | \vec { b } | = \mathtt { b } _ { 0 } } \mathfrak { M } _ { \partial _ { \varphi } ^ { \vec { b } } ( \mathcal { R } _ { n + 1 } ) } ^ { \sharp , \gamma } ( 0 , s ) } & { \le _ { \mathtt { p e } , s } N _ { 0 } ^ { - 1 } N _ { n } \mathbb { M } _ { 0 } ( s ) , } \\ { \mathfrak { M } _ { d _ { i } ( \mathcal { R } _ { n + 1 } ) ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] } ^ { \sharp } ( 0 , s _ { 0 } ) } & { \le _ { \mathtt { p e } } ( \varepsilon ^ { \frac { 1 } { 2 2 } } + N _ { 0 } ^ { 1 - \sigma _ { 1 } } ) N _ { n } ^ { - \sigma _ { 1 } } \varepsilon ^ { 3 } \gamma ^ { - 1 } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } , 1 } } , } \\ { \operatorname* { s u p } _ { \vec { b } \in \mathbb { N } _ { 0 } ^ { \nu } , \ | \vec { b } | = \mathtt { b } _ { 0 } } \mathfrak { M } _ { \partial _ { \varphi } ^ { \vec { b } } ( d _ { i } \mathcal { R } _ { n + 1 } ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] ) } ^ { \sharp } ( 0 , s _ { 0 } ) } & { \le _ { \mathtt { p e } } N _ { 0 } ^ { - 1 } N _ { n } \varepsilon ^ { 3 } \gamma ^ { - 1 } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } , 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Big ( \sum _ { m \in \mathbb { Z } ^ { d } \setminus \{ 0 \} } ( 1 + N \Vert m \cdot \alpha \Vert ) ^ { - 2 \vartheta } \vert \widehat { f } ( m ) \vert ^ { 2 } \Big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { m \in \mathbb { Z } ^ { d } \setminus \{ 0 \} } \left\{ \vert m \vert ^ { - \delta } ( 1 + N \Vert m \cdot \alpha \Vert ) ^ { - \vartheta } \right\} \Big ( \sum _ { m \in \mathbb { Z } ^ { d } \setminus \{ 0 \} } ( \vert m \vert ^ { \delta } \vert \widehat { f } ( m ) \vert ) ^ { 2 } d x \Big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \leq N ^ { - \vartheta } \operatorname* { s u p } _ { m \in \mathbb { Z } ^ { d } \setminus \{ 0 \} } \left\{ \vert m \vert ^ { - \delta } \Vert m \cdot \alpha \Vert ^ { - \vartheta } \right\} \Big ( \sum _ { m \in \mathbb { Z } ^ { d } \setminus \{ 0 \} } ( \vert m \vert ^ { \delta } \vert \widehat { f } ( m ) \vert ) ^ { 2 } d x \Big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { = N ^ { - \vartheta } \Big ( \operatorname* { i n f } _ { m \in \mathbb { Z } ^ { d } \setminus \{ 0 \} } \left\{ \vert m \vert ^ { \delta / \vartheta } \Vert m \cdot \alpha \Vert \right\} \Big ) ^ { - \vartheta } \Big ( \sum _ { m \in \mathbb { Z } ^ { d } \setminus \{ 0 \} } ( \vert m \vert ^ { \delta } \vert \widehat { f } ( m ) \vert ) ^ { 2 } d x \Big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | \mathfrak { r } _ { - 2 , \le 3 } | _ { - 2 , s , \eta _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \le _ { \mathtt { p e } , s , \eta _ { 0 } } \gamma ^ { - 1 } \left( \varepsilon ^ { 5 } + \varepsilon ^ { 3 } \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \right) , } \\ & { | d _ { i } \mathfrak { r } _ { - 2 , \le 3 } ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] | _ { - 2 , s , \eta _ { 0 } } \le _ { \mathtt { p e } , s , \eta _ { 0 } } \varepsilon ^ { 3 } \gamma ^ { - 1 } \left( \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } + \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } \right) . } \end{array}
{ \left\{ \begin{array} { l l } { \operatorname* { m i n } _ { D } L _ { D } ( D , \mu _ { G } ) = - \mathbb { E } _ { x \sim \mu _ { \mathrm { r e f } } } [ \ln D ( x ) ] - \mathbb { E } _ { x \sim \mu _ { G } } [ \ln ( 1 - D ( x ) ) ] } \\ { \operatorname* { m i n } _ { G } L _ { G } ( D , \mu _ { G } ) = - \mathbb { E } _ { x \sim \mu _ { G } } [ \ln ( 1 - D ( x ) ) ] } \end{array} \right. }
{ \mathcal M } ( \lambda ) \left( \begin{array} { l } { { \bf c } ^ { u } } \\ { { \bf c } ^ { v } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { { \bf 0 } } \\ { { \bf 0 } } \end{array} \right) \, , \qquad \mathrm { w h e r e } \qquad { \mathcal M } ( \lambda ) \equiv \left( \begin{array} { l l } { { \mathcal M } _ { u } ( \lambda ) } & { { \mathcal H } _ { u } ( \lambda ) } \\ { { \mathcal M } _ { v } ( \lambda ) } & { { \mathcal H } _ { v } ( \lambda ) } \end{array} \right) \, ,
\begin{array} { r l } & { \| \theta ( \psi _ { h } ^ { n , j - 1 } ) - \theta ( \psi _ { h } ^ { n } ) \| ^ { 2 } \left( \frac { ( 1 - \gamma ) } { L _ { \theta } } - \frac { \eta ^ { 2 } L _ { \kappa } ^ { 2 } \tau } { 2 \kappa _ { m } } - \frac { 1 } { 2 L } \right) + \frac { \tau \kappa _ { m } } { 2 C _ { \Omega } } \| e _ { h } ^ { n , j } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { L } { 2 } \| e _ { h } ^ { n , j } \| ^ { 2 } \leq \| e _ { h } ^ { n , j - 1 } \| ^ { 2 } \left( \frac { L } { 2 } - \gamma \theta _ { m } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( { \mathbf x } _ { M } ) - F ( { \mathbf x } _ { 0 } ) } & { = R _ { T } ( \mathbf { u } ^ { 1 } , \dots , \mathbf { u } ^ { K } ) + \sum _ { n = 1 } ^ { M } \langle { \boldsymbol \nabla } _ { n } - \mathbf { g } _ { n } , { \boldsymbol \Delta } _ { n } \rangle + \sum _ { n = 1 } ^ { M } \langle \mathbf { g } _ { n } , \mathbf { u } _ { n } \rangle } \\ & { \le R _ { T } ( \mathbf { u } ^ { 1 } , \dots , \mathbf { u } ^ { K } ) + \frac { N J D ^ { 3 } } { 4 8 } + \sum _ { n = 1 } ^ { M } \langle \mathbf { g } _ { n } , \mathbf { u } _ { n } \rangle ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sqrt { - g } g ^ { \mu \lambda } \partial _ { \kappa } \overline { { \Gamma } } _ { \mu \lambda } ^ { \kappa } } & { = \partial _ { \kappa } \bigl ( \sqrt { - g } g ^ { \mu \lambda } \overline { { \Gamma } } _ { \mu \lambda } ^ { \kappa } \bigr ) - \sqrt { - g } \, \overline { { \Gamma } } _ { \mu \lambda } ^ { \kappa } \partial _ { \kappa } g ^ { \mu \lambda } + \frac { 1 } { 2 } \sqrt { - g } g _ { \alpha \beta } g ^ { \mu \lambda } \overline { { \Gamma } } _ { \mu \lambda } ^ { \kappa } \partial _ { \kappa } g ^ { \alpha \beta } \, , } \\ { \sqrt { - g } g ^ { \mu \lambda } \partial _ { \mu } \overline { { \Gamma } } _ { \kappa \lambda } ^ { \kappa } } & { = \partial _ { \mu } \bigl ( \sqrt { - g } g ^ { \mu \lambda } \overline { { \Gamma } } _ { \kappa \lambda } ^ { \kappa } \bigr ) - \sqrt { - g } \, \overline { { \Gamma } } _ { \kappa \lambda } ^ { \kappa } \partial _ { \mu } g ^ { \mu \lambda } + \frac { 1 } { 2 } \sqrt { - g } g _ { \alpha \beta } g ^ { \mu \lambda } \overline { { \Gamma } } _ { \kappa \lambda } ^ { \kappa } \partial _ { \mu } g ^ { \alpha \beta } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \mathfrak { I } _ { n } | _ { s _ { 0 } + \mathtt { b } _ { 1 } } | T ( i _ { n } ) \Pi _ { n } Z _ { n } | _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } } } } & { \overset { \le _ { \mathtt { p _ { e } } } } | \mathfrak { I } _ { n } | _ { s _ { 0 } + \mathtt { b } _ { 1 } + \mu _ { \mathtt { p } } } \gamma ^ { - 1 } \left( | \Pi _ { n } Z _ { n } | _ { s _ { 0 } + 2 \mu _ { \mathtt { p } } } + \varepsilon ^ { 7 } \gamma ^ { - 4 } | \mathfrak { I } _ { n } | _ { s _ { 0 } + 2 \mu _ { \mathtt { p } } } | \Pi _ { n } Z _ { n } | _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } } } \right) } \\ & { \overset { , } { \le _ { \mathtt { p _ { e } } } } | \mathfrak { I } _ { n } | _ { s _ { 0 } + \mathtt { b } _ { 1 } + \mu _ { \mathtt { p } } } \gamma ^ { - 1 } \left( 1 + \varepsilon ^ { 1 3 - 1 2 b } \right) N _ { n } ^ { 2 \mu _ { \mathtt { p } } } | Z _ { n } | _ { s _ { 0 } } } \\ & { \overset { , } { \le _ { \mathtt { p _ { e } } } } \varepsilon ^ { 6 - 4 b } N _ { n - 1 } ^ { \mathtt { k } } \gamma ^ { - 1 } \varepsilon ^ { 6 - 2 b } N _ { n } ^ { 2 \mu _ { \mathtt { p } } } N _ { n - 1 } ^ { - \sigma _ { 4 } } } \\ & { \overset \le \varepsilon ^ { 6 - 2 b } N _ { n } ^ { \mathtt { k } } . } \end{array}
\begin{array} { c c c c c } { \phi _ { g } } & { : } & { \ell ^ { \infty } ( \Delta _ { d - 1 } ) } & { \to } & { \ell ^ { \infty } ( S _ { d } ) } \\ & & { x } & { \mapsto } & { w ^ { ( O _ { g } ) } ( t ^ { ( 1 ) } , \dots , t ^ { ( G ) } ) x ( \textbf { 0 } , t ^ { ( i _ { g , 1 } ) } , \dots , t ^ { ( i _ { g , d _ { g } } ) } , \textbf { 0 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 0 } & { = } & { \frac { d } { d \tau } \langle \partial _ { x ^ { i } } ( \gamma ( \tau ) ) , \gamma ^ { \prime } ( \tau ) \rangle } \\ & { = } & { \langle \nabla _ { \gamma ^ { \prime } ( \tau ) } \partial _ { x ^ { i } } ( \gamma ( \tau ) ) , \gamma ^ { \prime } ( \tau ) \rangle + \langle \partial _ { x ^ { i } } ( \gamma ( \tau ) ) , \nabla _ { \gamma ^ { \prime } ( \tau ) } \gamma ^ { \prime } ( \tau ) \rangle } \\ & { = } & { \eta _ { i } ( \tau ) \left\langle \gamma ^ { \prime } ( \tau ) , \gamma ^ { \prime } ( \tau ) \right\rangle + \langle \partial _ { x ^ { i } } ( \gamma ( \tau ) ) , \nabla _ { \gamma ^ { \prime } ( \tau ) } \gamma ^ { \prime } ( \tau ) \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \sigma _ { k } \sigma _ { l } \rangle _ { i j } } & { = \frac { \langle \sigma _ { k } \sigma _ { l } \rangle _ { i j k l } + \operatorname { t a n h } ( \beta J _ { k l } ) } { 1 + \langle \sigma _ { k } \sigma _ { l } \rangle _ { i j k l } \operatorname { t a n h } ( \beta J _ { k l } ) } = \frac { W _ { N } ^ { \prime } + C _ { N } ^ { \prime } \operatorname { t a n h } ( \beta J ^ { \prime } ) } { 1 + D _ { N } ^ { \prime } \operatorname { t a n h } ( \beta J ^ { \prime } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha } & { \colon \Lambda \to \ensuremath { \mathrm { A u t } } ( \ensuremath { \mathbb { C } } [ F , \sigma ] ) \colon \alpha _ { h } ( u _ { f } ) = \sigma ( \ensuremath { \mathrm { s } } ( h ) , f ) \sigma ( \ensuremath { \mathrm { s } } ( h ) f \ensuremath { \mathrm { s } } ( h ) ^ { - 1 } , \ensuremath { \mathrm { s } } ( h ) ) u _ { \ensuremath { \mathrm { s } } ( h ) f \ensuremath { \mathrm { s } } ( h ) ^ { - 1 } } } \\ { \rho } & { \colon \Lambda \times \Lambda \to \ensuremath { \mathcal { U } } ( \ensuremath { \mathbb { C } } [ F , \sigma ] ) \colon } \\ & { \qquad \sigma ( h _ { 1 } , h _ { 2 } ) = \sigma ( \ensuremath { \mathrm { s } } ( h _ { 1 } ) , \ensuremath { \mathrm { s } } ( h _ { 2 } ) ) \overline { { \sigma ( \ensuremath { \mathrm { s } } ( h _ { 1 } ) \ensuremath { \mathrm { s } } ( h _ { 2 } ) \ensuremath { \mathrm { s } } ( h _ { 1 } h _ { 2 } ) ^ { - 1 } , \ensuremath { \mathrm { s } } ( h _ { 1 } h _ { 2 } ) ) } } u _ { \ensuremath { \mathrm { s } } ( h _ { 1 } ) \ensuremath { \mathrm { s } } ( h _ { 2 } ) \ensuremath { \mathrm { s } } ( h _ { 1 } h _ { 2 } ) ^ { - 1 } } \ensuremath { \, \mathrm { . } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Bigg | \! \Bigg | \left( \sum _ { m = 1 } ^ { M } \frac 1 M \hat { \boldsymbol { \beta } } _ { m } \right) - { \boldsymbol { \beta } } \Bigg | \! \Bigg | _ { 2 } } & { \leq \frac 1 { \sqrt M } | \! | \hat { \boldsymbol { \beta } } - { \boldsymbol { \beta } } | \! | _ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 8 1 ( 8 4 A e ) ^ { \frac 1 2 } L L _ { 0 } \sigma _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } C _ { \sharp } ^ { \frac 3 2 } ( 1 + \epsilon ^ { - 2 } + \epsilon ^ { - 4 } ) } { \zeta \alpha \epsilon ^ { 2 } } \sqrt { \frac { \log \left( \frac { M L } { \delta } \right) } { M D } } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \Lambda _ { j } } & { = \frac { m _ { 0 } m _ { j } } { m _ { 0 } + m _ { j } } \sqrt { \mathcal { G } ( m _ { 0 } + m _ { j } ) a _ { j } } \ , \quad } & { \lambda _ { j } } & { = M _ { j } + \omega _ { j } \ , } \\ { \xi _ { j } } & { = \sqrt { 2 \Lambda _ { j } } \sqrt { 1 \! - \! \sqrt { 1 \! - \! e _ { j } ^ { 2 } } } \cos ( \omega _ { j } ) \ , } & { \eta _ { j } } & { = - \sqrt { 2 \Lambda _ { j } } \sqrt { 1 \! - \! \sqrt { 1 \! - \! e _ { j } ^ { 2 } } } \sin ( \omega _ { j } ) \ , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \rho _ { \{ 1 , 2 \} } ( \lambda ) = \{ ( 2 , 2 , 1 , 1 ) , ( 1 , 2 , 1 , 1 ) \} , } & { \rho _ { \{ 2 , 3 \} } ( \lambda ) = \{ ( 1 , 2 , 2 , 1 ) , ( 2 , 2 , 2 , 1 ) \} , } \\ & { \rho _ { \{ 1 , 3 \} } ( \lambda ) = \{ ( 2 , 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 , 1 ) \} , } & { \rho _ { \{ 2 , 4 \} } ( \lambda ) = \{ ( 1 , 2 , 1 , 2 ) , ( 2 , 2 , 1 , 2 ) \} , } \\ & { \rho _ { \{ 1 , 4 \} } ( \lambda ) = \{ ( 2 , 1 , 1 , 2 ) , ( 1 , 1 , 1 , 2 ) \} , } & { \rho _ { \{ 3 , 4 \} } ( \lambda ) = \{ ( 1 , 1 , 2 , 2 ) , ( 2 , 1 , 2 , 2 ) \} , } \\ & { \rho _ { \{ 1 , 2 , 3 , 4 \} } ( \lambda ) = \{ ( 2 , 2 , 2 , 2 ) , ( 1 , 2 , 2 , 2 ) \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { B ^ { + } } ( x ) + f _ { B ^ { - } } ( x ) } & { \leq \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } t } } \left( \Theta _ { _ { E } } \left[ 3 , 0 , e x p \left\lbrace - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 4 L ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } t } \right) \right\rbrace \right] - \exp \left\lbrace - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 4 L ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } t } \right) \right\rbrace \right) } \\ & { = C _ { B } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { z _ { 1 } { \bar { z } } _ { 1 } + z _ { 2 } { \bar { z } } _ { 2 } } & { = r ^ { 2 } = x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } + t ^ { 2 } } \\ { d z _ { 1 } \, d { \bar { z } } _ { 1 } + d z _ { 2 } \, d { \bar { z } } _ { 2 } } & { = d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } ( \sigma _ { 1 } ^ { 2 } + \sigma _ { 2 } ^ { 2 } + \sigma _ { 3 } ^ { 2 } ) } \\ { \left( { \bar { z } } _ { 1 } \, d z _ { 1 } + { \bar { z } } _ { 2 } \, d z _ { 2 } \right) ^ { 2 } } & { = r ^ { 2 } \left( d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } \sigma _ { 3 } ^ { 2 } \right) } \end{array} }
{ \left[ \begin{array} { l l l l } { a _ { 1 1 } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { a _ { 2 2 } } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { a _ { n n } } \end{array} \right] } ^ { k } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { a _ { 1 1 } ^ { k } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { a _ { 2 2 } ^ { k } } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { a _ { n n } ^ { k } } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { Q _ { X } \times Q _ { \hat { X } _ { 1 } \hat { X } _ { 2 } | X } } [ d _ { 1 } ( X , \hat { X } _ { 1 } ) ] } & { \leq D _ { 1 } + \frac { \overline { { d } } _ { 1 } } { n } : = D _ { 1 , n } , } \\ { \mathbb { E } _ { Q _ { X } \times Q _ { \hat { X } _ { 1 } \hat { X } _ { 2 } | X } } [ d _ { 2 } ( X , \hat { X } _ { 2 } ) ] } & { \leq D _ { 2 } + \frac { \overline { { d } } _ { 2 } } { n } : = D _ { 2 , n } . } \end{array}
\mathbf { A } ^ { T } \mathbf { \lambda } _ { I _ { 0 } } + \mathbf { s } = \mathbf { c } , \ \mathbf { A } \mathbf { x } ( I _ { 0 } ; \mathbf { b } ^ { \prime } ) = \mathbf { b } ^ { \prime } , \ \mathbf { x } ( I _ { 0 } ; \mathbf { b } ^ { \prime } ) \geq 0 , \ \mathbf { s } \geq 0 , \ \mathbf { x } ( I _ { 0 } ; \mathbf { b } ^ { \prime } ) ^ { T } \mathbf { s } = 0
\frac { \langle q _ { 0 } \rangle ^ { 4 d + 4 } } { \langle q _ { 0 } \rangle ^ { 4 d + 4 } } \frac { \langle \tilde { q } \rangle ^ { 5 d + 5 } \langle \tilde { p } \rangle ^ { 2 d + 2 } } { \langle \tilde { q } \rangle ^ { 5 d + 5 } \langle \tilde { p } \rangle ^ { 2 d + 2 } } \prod _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \langle q _ { \sigma _ { i } ^ { 2 } } + \pi _ { \sigma _ { i } ^ { 2 } } ^ { 1 } ( \tilde { q } ) - q _ { \sigma _ { i - 1 } ^ { 2 } } - \pi _ { \sigma _ { i } ^ { 2 } } ^ { 2 } ( \tilde { q } ) \rangle ^ { 5 d + 5 } } { \langle q _ { \sigma _ { i } ^ { 2 } } + \pi _ { \sigma _ { i } ^ { 2 } } ^ { 1 } ( \tilde { q } ) - q _ { \sigma _ { i - 1 } ^ { 2 } } - \pi _ { \sigma _ { i } ^ { 2 } } ^ { 2 } ( \tilde { q } ) \rangle ^ { 5 d + 5 } } .
\begin{array} { r } { \frac { P _ { z } ^ { \mathrm { a c c } } \bigl ( z \to z ^ { \prime } \bigr ) } { P _ { z } ^ { \mathrm { a c c } } \bigl ( z ^ { \prime } \to z \bigr ) } = \frac { P _ { z } \bigl ( z ^ { \prime } \bigr ) P _ { z } ^ { \mathrm { g e n } } \bigl ( z ^ { \prime } \to z \bigr ) } { P _ { z } \bigl ( z \bigr ) P _ { z } ^ { \mathrm { g e n } } \bigl ( z \to z ^ { \prime } \bigr ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { j = 3 } ^ { \alpha } \binom { \alpha } { j } \gamma ^ { j } \Gamma ( j / 2 ) \left( \frac { 2 ( e ^ { 2 \varepsilon } - 1 ) ^ { 2 } } { e ^ { 2 \varepsilon } } \right) ^ { j / 2 } \leq \sum _ { j = 3 } ^ { \alpha } \left( \frac { \sqrt { 2 } \gamma \alpha ( e ^ { 2 \varepsilon } - 1 ) } { e ^ { \varepsilon } } \right) ^ { j } \leq \frac { \left( \frac { \sqrt { 2 } \gamma \alpha ( e ^ { 2 \varepsilon } - 1 ) } { e ^ { \varepsilon } } \right) ^ { 3 } } { 1 - \frac { \sqrt { 2 } \gamma \alpha ( e ^ { 2 \varepsilon } - 1 ) } { e ^ { \varepsilon } } } } \end{array}
\begin{array} { r } { a ^ { \perp } ( ( \mathfrak { u } _ { \mathrm { a } } ^ { \perp } - \mathfrak { u } _ { h } ^ { \perp } , \mathfrak { e } _ { \mathrm { a } } ^ { \perp } - \mathfrak { e } _ { h } ^ { \perp } ) , ( \delta \mathfrak { u } _ { h } , \delta \mathfrak { v } _ { h } ) ) = 0 \quad \forall ( \delta \mathfrak { u } _ { h } , \delta \mathfrak { v } _ { h } ) \in \ensuremath { \mathfrak { U } } _ { h } ^ { \perp } \times \ensuremath { \mathfrak { V } } _ { h } ^ { \perp } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l r l r l } { \rho ^ { * } } & { \equiv { \frac { \rho } { \rho _ { 0 } } } } & { u ^ { * } } & { \equiv { \frac { u } { u _ { 0 } } } } & { r ^ { * } } & { \equiv { \frac { r } { r _ { 0 } } } } & { t ^ { * } } & { \equiv { \frac { u _ { 0 } } { r _ { 0 } } } t } \\ { \nabla ^ { * } } & { \equiv r _ { 0 } \nabla } & { \mathbf { f } ^ { * } } & { \equiv { \frac { \mathbf { f } } { f _ { 0 } } } } & { p ^ { * } } & { \equiv { \frac { p } { p _ { 0 } } } } & { { \boldsymbol { \tau } } ^ { * } } & { \equiv { \frac { \boldsymbol { \tau } } { \tau _ { 0 } } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { t \in \mathscr { T } } | \delta _ { n , s } ( t ) | } & { \leq \frac { 1 } { n b } \operatorname* { s u p } _ { t \in \mathscr { T } } \left| \sum _ { j \in \mathbb I } \tilde { \mu } _ { j , k } ^ { i } \tilde { \mu } _ { j , h } ^ { l } \{ ( t _ { j } - t ) / b \} ^ { s } K _ { b } ( t _ { j } - t ) \right| } \\ & { + \frac { 1 } { n b } \operatorname* { s u p } _ { t \in \mathscr { T } } \left| \sum _ { j \in \bar { \mathbb I } } \tilde { \mu } _ { j , k } ^ { i } \tilde { \mu } _ { j , h } ^ { l } \{ ( t _ { j } - t ) / b \} ^ { s } K _ { b } ( t _ { j } - t ) \right| } \\ & { = D _ { 1 } + D _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { x c } } ^ { \mathrm { c o f e } \mathrm { L D A } } : = \int n ( \boldsymbol { r } ) [ \epsilon _ { \mathrm { x } } ( r _ { s } ) f _ { \mathrm { x } } ^ { \mathrm { c o f e } } ( \bar { f } ) + \epsilon _ { \mathrm { c } } ^ { { \mathrm { S D } } , \mathrm { c o f e } } ( r _ { s } , \bar { f } ) ] \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \partial _ { \xi \eta } v \right) ^ { 2 } } & { = u _ { x x } ^ { 2 } \varphi _ { \xi } ^ { 2 } \varphi _ { \eta } ^ { 2 } + u _ { x y } ^ { 2 } ( \varphi _ { \xi } \psi _ { \eta } + \varphi _ { \eta } \psi _ { \xi } ) ^ { 2 } + u _ { y y } ^ { 2 } \psi _ { \xi } ^ { 2 } \psi _ { \eta } ^ { 2 } + 2 u _ { x x } u _ { y y } \varphi _ { \xi } \varphi _ { \eta } \psi _ { \xi } \psi _ { \eta } + } \\ & { + 2 u _ { x x } u _ { x y } \varphi _ { \xi } ^ { 2 } \varphi _ { \eta } \psi _ { \eta } + 2 u _ { x x } u _ { x y } \varphi _ { \xi } \varphi _ { \eta } ^ { 2 } \psi _ { \xi } + 2 u _ { x y } u _ { y y } \varphi _ { \xi } \psi _ { \xi } \psi _ { \eta } ^ { 2 } + 2 u _ { x y } u _ { y y } \varphi _ { \eta } \psi _ { \xi } ^ { 2 } \psi _ { \eta } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { T } _ { \mathrm { o c t } } ^ { ( \mathbf { n } ) } } & { = \sigma _ { i j } n _ { i } \mathbf { e } _ { j } } \\ & { = \sigma _ { 1 } n _ { 1 } \mathbf { e } _ { 1 } + \sigma _ { 2 } n _ { 2 } \mathbf { e } _ { 2 } + \sigma _ { 3 } n _ { 3 } \mathbf { e } _ { 3 } } \\ & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } ( \sigma _ { 1 } \mathbf { e } _ { 1 } + \sigma _ { 2 } \mathbf { e } _ { 2 } + \sigma _ { 3 } \mathbf { e } _ { 3 } ) } \end{array} }
C \{ \mu \Delta u ^ { ( 1 ) } \} _ { i , j - \frac { 1 } { 2 } , k - \frac { 1 } { 2 } } = \frac { \mu } { h ^ { 2 } } \Big ( [ \! [ u ^ { ( 1 ) } ] \! ] + \xi _ { u ^ { ( 1 ) } } [ \! [ u _ { x } ^ { ( 1 ) } ] \! ] + \frac { 1 } { 2 } \xi _ { u ^ { ( 1 ) } } ^ { 2 } [ \! [ u _ { x x } ^ { ( 1 ) } ] \! ] \Big ) , \ \ \mathrm { i f } \; ( x _ { i } , y _ { j - \frac { 1 } { 2 } } , z _ { k - \frac { 1 } { 2 } } ) \in \Omega .
\begin{array} { r l } { \left\| ( I - \Pi _ { \hat { \cal F } } ) f ^ { * } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \rho _ { \mathcal { X } } ) } ^ { 2 } } & { = \left\| ( I - \Pi _ { \hat { \cal F } } ) \Pi _ { \cal F } f ^ { * } + ( I - \Pi _ { \hat { \cal F } } ) ( I - \Pi _ { \cal F } ) f ^ { * } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \rho _ { \mathcal { X } } ) } ^ { 2 } } \\ & { \leq 2 \left\| ( I - \Pi _ { \hat { \cal F } } ) \Pi _ { \cal F } f ^ { * } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \rho _ { \mathcal { X } } ) } ^ { 2 } + \left\| ( I - \Pi _ { \hat { \cal F } } ) ( I - \Pi _ { \cal F } ) f ^ { * } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \rho _ { \mathcal { X } } ) } ^ { 2 } } \\ & { \leq 2 \left\| ( I - \Pi _ { \hat { \cal F } } ) \Pi _ { \cal F } f ^ { * } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \rho _ { \mathcal { X } } ) } ^ { 2 } + \left\| ( I - \Pi _ { \cal F } ) f ^ { * } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \rho _ { \mathcal { X } } ) } ^ { 2 } } \end{array}
\Phi ( x , t ) e ^ { - \beta ( 1 - \alpha ) \varepsilon t } \le A \phi _ { \varepsilon } ^ { * } ( x ) e ^ { \lambda ^ { * } ( S _ { 0 } ^ { * } + \varepsilon ) ( t - \tau ) } \, \, \, \, \implies \, \, \, \, \Phi ( x , t ) \le \tilde { A } \phi _ { \varepsilon } ^ { * } ( x ) e ^ { ( \lambda ^ { * } ( \tilde { S } ^ { * } + \varepsilon ) + \beta ( 1 - \alpha ) \varepsilon ) t } , \, \, \, \, \, \, t \ge \tau .
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial f ( \mu , \kappa , \varepsilon , \zeta , \xi , \varpi ) } { \partial \beta _ { k } } = \frac { \partial f ( \mu , \kappa , \varepsilon , \zeta , \xi , \varpi ) } { \partial \kappa } \frac { \partial \kappa } { \partial \beta _ { k } } + \frac { \partial f ( \mu , \kappa , \varepsilon , \zeta , \xi , \varpi ) } { \partial \xi } \frac { \partial \xi } { \partial \beta _ { k } } + \frac { \partial f ( \mu , \kappa , \varepsilon , \zeta , \xi , \varpi ) } { \partial \zeta } \frac { \partial \zeta } { \partial \beta _ { k } } } \\ & { = \frac { \partial f ( \mu , \kappa , \varepsilon , \zeta , \xi , \varpi ) } { \partial \kappa } \frac { 2 \beta _ { k } } { ( 1 - \rho _ { k } ) | \tilde { h } _ { k } | ^ { 2 } } + \frac { \partial f ( \mu , \kappa , \varepsilon , \zeta , \xi , \varpi ) } { \partial \xi } \frac { 2 \alpha _ { k } } { | \tilde { h } _ { k } | ^ { 2 } } + \frac { \partial f ( \mu , \kappa , \varepsilon , \zeta , \xi , \varpi ) } { \partial \zeta } . } \end{array}
\left\Vert \mathbf { \Omega } _ { \mathrm { T T } } \mathbf { \mathcal { M } } _ { \mathrm { T T } } \right\Vert _ { 2 } \leq \mathcal { C } _ { \mathrm { T } } \triangleq | \alpha _ { \mathrm { T } } | \ \underset { i \in [ 1 , N _ { \mathrm { T } } ] } { \mathrm { m a x } } \, \sum _ { \substack { j \in [ 1 , N _ { \mathrm { T } } ] \, j \neq i } } | G _ { i j } | .
\begin{array} { r l } { d _ { G } ( u ) } & { > ( k - 1 ) \mu ( T ) } \\ & { \geq ( k - 1 ) ( ( k + 2 - s ) | V _ { s } ( T ) | + ( k + 2 - ( s + 1 ) ) | V _ { s + 1 } ( T ) | ) } \\ & { \geq ( 2 s - 2 ) | V _ { s } ( T ) | + ( s - 1 ) | V _ { s + 1 } ( T ) | } \\ & { = s | V _ { s } ( T ) | + ( s - 2 ) | V _ { s } ( T ) | + ( s - 1 ) | V _ { s + 1 } ( T ) | } \\ & { \geq s + | N _ { G } ( v ) \setminus N _ { T } ( u ) | , } \end{array}
\operatorname* { i n f } _ { c \in [ 1 , c _ { a } ^ { * } ] } g _ { a } ( h _ { a } ( c ) , c ) = g _ { a } \left( h _ { a } ( 1 ) , 1 \right) = g _ { a } \left( \frac { \mu _ { 1 } } { \mu _ { 1 } - \kappa _ { a } } , 1 \right) = \log \left( \alpha _ { a } \frac { \mu _ { 1 } - \kappa _ { a } } { \mu _ { 1 } } \right) + \frac { 1 } { \alpha _ { a } } \frac { \mu _ { 1 } } { \mu _ { 1 } - \kappa _ { a } } - 1 .
\begin{array} { r l } { - 1 } & { = - { \dot { t } } ^ { 2 } + r ^ { 2 } \omega ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \left( \omega \, \tau \right) + r ^ { 2 } \omega ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \left( \omega \, \tau \right) } \\ { 1 } & { = { \dot { t } } ^ { 2 } - r ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } \\ { \dot { t } } & { = \sqrt { 1 + r ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } } \\ { t } & { = \tau \sqrt { 1 + r ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { D = \left[ \begin{array} { l l l l l } { | } & { | } & & { | } & { | } \\ { A _ { 1 } ^ { \prime } B _ { 1 } ^ { \prime } } & { A _ { 1 } ^ { \prime } B _ { 2 } ^ { \prime } } & { \cdots } & { A _ { 7 } ^ { \prime } B _ { 6 } ^ { \prime } } & { A _ { 7 } ^ { \prime } B _ { 7 } ^ { \prime } } \\ { | } & { | } & & { | } & { | } \end{array} \right] \in \mathbb { R } ^ { N \times 7 ^ { 2 } } } \\ & { Y = \left[ \begin{array} { l l l l } { | } & { | } & { | } & { | } \\ { C _ { 1 , 1 } } & { C _ { 2 , 1 } } & { C _ { 1 , 2 } } & { C _ { 2 , 2 } } \\ { | } & { | } & { | } & { | } \end{array} \right] \in \mathbb { R } ^ { N \times 4 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varrho : = - \ln ( \rho ( \xi ) ) } & { \equiv \phi ( \xi ^ { \nu } ) - \xi ^ { \mu } \mathbb { E } _ { \mu } ( \mathbb { X } ^ { \nu } ) } \\ & { = \ln ( \sqrt { 2 \pi } \sigma ) + \frac { t ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } - \frac { i t \langle t \rangle } { \sigma ^ { 2 } } - \frac { \langle t \rangle ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { d _ { ( f _ { 1 } , f _ { 2 } ) } \mathscr { G } ( c , 0 , 0 ) \left[ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } h _ { n } ^ { ( 1 ) } \cos ( \mathbf { m } n \varphi ) , \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } h _ { n } ^ { ( 2 ) } \cos ( \mathbf { m } n \varphi ) \right] } \\ & { = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \mathbf { m } n M _ { \mathbf { m } n } ( c , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) \left( \begin{array} { l } { h _ { n } ^ { ( 1 ) } } \\ { h _ { n } ^ { ( 2 ) } } \end{array} \right) \sin ( \mathbf { m } n \varphi ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { e f f } } \approx } & { H _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } [ S , H _ { I } ] } \\ { = } & { H _ { 0 } - \frac { g _ { A } ^ { 2 } } { \Delta _ { A } } [ D _ { A } ^ { \dagger } D _ { A } + D _ { A } ^ { z } a ^ { \dagger } a ] - \frac { g _ { B } ^ { 2 } } { \Delta _ { B } } [ D _ { B } ^ { \dagger } D _ { B } + D _ { B } ^ { z } b ^ { \dagger } b ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( \L ( \psi _ { h } ^ { n , j - 1 } ) ( \psi _ { h } ^ { n , j } - \psi _ { h } ^ { n , j - 1 } ) , v _ { h } ) + \tau ( K ( \theta ( \psi _ { h } ^ { n , j - 1 } ) ) \nabla ( \psi _ { h } ^ { n , j } + z ) , \nabla v _ { h } ) } \\ & { \qquad = \tau ( f ^ { n } , v _ { h } ) - ( \theta ( \psi _ { h } ^ { n , j - 1 } ) - \theta ( \psi _ { h } ^ { n - 1 } ) , v _ { h } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \begin{array} { c c c } { H ^ { 0 } ( X , D ) } & { \overset { \simeq } { \longrightarrow } } & { H ^ { 0 } ( Y , \pi ^ { * } D ) } \\ { s } & { \longmapsto } & { s \circ \pi } \end{array} } & { \begin{array} { c c c } { \left| D \right| _ { X } } & { \overset { \simeq } { \longrightarrow } } & { \left| \pi ^ { * } D \right| _ { Y } } \\ { C } & { \longmapsto } & { \pi ^ { * } C } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { R H S = } & { P _ { \tau + 1 , \omega } ( 1 ) \pi _ { \tau + 1 } + \sum _ { k = 1 } ^ { 2 } P _ { \tau + 2 , \omega + k - 1 } ( 1 ) \pi _ { \tau + 2 } + \cdots + } \\ & { \sum _ { k = 1 } ^ { t _ { m a x } } P _ { \omega - 1 , \omega + k - 1 } ( 1 ) \pi _ { \omega - 1 } + } \\ & { \sum _ { k = 1 } ^ { t _ { m a x } } P _ { \omega , \omega + k } ( 1 ) \pi _ { \omega } + \sum _ { k = 1 } ^ { t _ { m a x } } P _ { \omega + 1 , \omega + k + 1 } ( 1 ) \pi _ { \omega + 1 } + \cdots } \end{array}
\begin{array} { r l } & { Q _ { h _ { i } , j } \supseteq \left\{ \mathbf { x } \in \delta ^ { m - 1 } \, \middle | \, x _ { j } = \frac { 1 } { m - 1 } \right\} = \left\{ \mathbf { x } \in \delta ^ { m - 1 } \, \middle | \, x _ { j } \geq \frac { 1 } { m - 1 } \right\} } \\ { \implies } & { Q _ { h _ { i } , j } \cup R _ { h _ { i } , j } = Q _ { h _ { i } , j } \cup \left\{ \mathbf { x } \in \Delta ^ { m - 1 } \, \middle | \, x _ { j } \geq \frac { 1 } { m - 1 } \right\} , } \end{array}
2 \Big ( ( b ^ { 1 0 } + \frac { 1 } { b } ) ( c ^ { 1 0 } + \frac { 1 } { c } ) + ( a ^ { 1 0 } + \frac { 1 } { a } ) ( c ^ { 1 0 } + \frac { 1 } { c } ) + ( a ^ { 1 0 } + \frac { 1 } { a } ) ( b ^ { 1 0 } + \frac { 1 } { b } ) \Big ) \leqslant 3 ( a ^ { 1 0 } + \frac { 1 } { a } ) ( b ^ { 1 0 } + \frac { 1 } { b } ) ( c ^ { 1 0 } + \frac { 1 } { c } )
X ( t ) = a _ { 1 } + a _ { 2 } t + a _ { 3 } \mathrm { s i n } ( 2 \pi t ) + a _ { 4 } \mathrm { c o s } ( 2 \pi t ) + a _ { 5 } \mathrm { s i n } ( 4 \pi t ) + a _ { 6 } \mathrm { c o s } ( 4 \pi t ) + a _ { 7 } \mathrm { s i n } ( 6 \pi t ) + a _ { 8 } \mathrm { c o s } ( 6 \pi t ) + a _ { 9 } \mathrm { s i n } ( 8 \pi t ) + a _ { 1 0 } \mathrm { c o s } ( 8 \pi t )
\begin{array} { r l } { \omega _ { m , \pm } } & { = \omega _ { m } \pm \left. \left[ \frac { \overline { { L } } } { c } \frac { \partial ( n _ { \mathrm { w g } } \omega ) } { \partial \omega } \right] ^ { - 1 } \right| _ { \omega = \omega _ { m } } \times \operatorname { a r c c o s } \left[ \cos ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } ) \cos \left( 2 \pi \frac { \Delta L } { \overline { { L } } } m \right) \right] } \\ & { = \omega _ { m } \pm \frac { D _ { 1 , m } } { 2 \pi } \operatorname { a r c c o s } \left[ \cos ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } ) \cos \left( 2 \pi \epsilon m \right) \right] } \end{array}
\sqrt { M } ( \mathrm { S I N R } _ { 1 } - \overline { { \mathrm { S I N R } } } _ { 1 } ) \xrightarrow [ M \rightarrow \infty ] { i . p . } \sqrt { M } [ \frac { 2 p _ { 1 } \overline { { G } } _ { 1 } ( A _ { 1 } - \overline { { A } } _ { 1 | { \mathbf { H } } _ { 1 } } ) - p _ { 1 } \overline { { A } } _ { 1 } ^ { 2 } ( B _ { 1 } - \overline { { B } } _ { 1 | { \mathbf { H } } _ { 1 } } ) } { \overline { { D } } _ { 1 } ^ { 2 } } ] .
\mathrm { d } X _ { t } ^ { i } = - \frac { 1 } { N - 1 } \sum _ { \substack { j = 1 \, j \neq i } } ^ { N } k _ { \scriptscriptstyle { H K } } ( X _ { t } ^ { i } - X _ { t } ^ { j } ) \, \mathrm { d } t + \sigma ( t , X _ { t } ^ { i } ) \, \mathrm { d } B _ { t } ^ { i } + \nu \, \mathrm { d } W _ { t } , \quad i = 1 , \ldots , N , \quad X _ { 0 } ^ { i } = \zeta _ { i } ,
\sum _ { t = i } ^ { j - 1 } ( L _ { T _ { S _ { k } } } ( u _ { t } ) + L _ { T _ { S _ { k } } } ( u _ { t + 1 } ) ) - ( j - i ) ( d + 1 ) + ( d + 1 ) \leq \sum _ { t = i } ^ { j - 1 } ( L _ { T } ( u _ { t } ) + L _ { T } ( u _ { t + 1 } ) + 2 ) - ( j - i ) ( d _ { 0 } + 3 ) + ( d _ { 0 } + 3 ) = \sum _ { t = i } ^ { j - 1 } ( L _ { T } ( u _ { t } ) + L _ { T } ( u _ { t + 1 } ) ) - ( j - i ) ( d _ { 0 } + 1 ) + ( d _ { 0 } + 1 ) + 2 \leq d _ { T } ( u _ { i } , u _ { j } ) + 2 = d _ { T _ { S _ { k } } } ( u _ { i } , u _ { j } )
\sum _ { e \in E \left( A _ { n } \right) } \mathbf { a } ( s , e ) P _ { \mathbf { a } } ( s , e ) ^ { 2 } \leq \mathcal { M } _ { 0 } ( s ) 2 ^ { 2 n } \varepsilon ^ { 2 } \left\| w ( s , \cdot ) \nabla P _ { \mathbf { a } } ( s , \cdot ) \right\| _ { L ^ { 2 } ( A _ { n } ) } ^ { 2 } + C \varepsilon ^ { - \frac { 2 \theta _ { d } } { 1 - \theta _ { d } } } \mathcal { M } _ { 0 } ( s ) \left\| P _ { \mathbf { a } } ( s , \cdot ) \right\| _ { L ^ { 2 } ( A _ { n } ) } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { h _ { k } ^ { n } ( \ell , z ) } & { = ( A _ { n - \ell } ^ { - 1 } ) ^ { * } \bar { p } _ { k } ^ { n } ( \ell , z ) } \\ & { = \sum _ { \eta > y _ { n - k } } \bar { Q } _ { [ n - k , n - \ell ] } ^ { + } A _ { n - \ell } ^ { - 1 } ( \eta , z ) } \\ & { \qquad - \mathbf { 1 } _ { \ell < k } \sum _ { \eta > y _ { n - k } } \sum _ { \eta ^ { \prime } \in \mathbb { Z } } Q _ { n - k } ^ { + } ( \eta , \eta ^ { \prime } ) \mathbb { E } _ { B _ { n - k } ^ { + } = \eta ^ { \prime } } \bigl [ \bar { Q } _ { ( \tau , n - \ell ] } ^ { + } A _ { n - \ell } ^ { - 1 } ( B _ { { \tau ^ { + } } } ^ { + } , z ) \mathbf { 1 } _ { { \tau ^ { + } } < n - \ell } \bigr ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { I _ { 1 } : = 2 \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert f _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { { h _ { 2 } } } - f _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] } + f _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } - f _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } , \ \mathrm { a n d , } } \\ & { I _ { 2 } : = 2 \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \langle f _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { { h _ { 2 } } } - f _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } , F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \rangle _ { L _ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta \phi _ { 0 } } & { = } & { A _ { 0 } e ^ { i ( n \phi - m _ { 0 } \theta - \omega _ { 0 } t ) } \sum _ { j } e ^ { - i j \theta } \Phi _ { 0 } ( x - j ) , } \\ { \delta \phi _ { \pm } } & { = } & { A _ { \pm } e ^ { \pm ( n \phi - m _ { 0 } \theta - \omega _ { 0 } t ) } e ^ { i ( \int k _ { Z } d r - \omega _ { Z } t ) } \sum _ { j } e ^ { \mp i j \theta } \left\{ \Phi _ { 0 } ( x - j ) \atop \Phi _ { 0 } ^ { * } ( x - j ) \right\} , } \\ { \delta \phi _ { Z } } & { = } & { A _ { Z } e ^ { i ( \int k _ { Z } d r - \omega _ { Z } t ) } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l r } { \frac { \partial c } { \partial t } } & { = D \nabla ^ { 2 } c - \gamma c } & { \quad \forall x \mathrm { ~ i n ~ } [ 0 , \infty ) } \\ { \left. \frac { \partial c } { \partial x } \right| _ { 0 } } & { = - \frac { \omega } { 2 D } } \\ { \left. \frac { \partial c } { \partial x } \right| _ { x \rightarrow \infty } } & { = 0 } \\ { c ( x , 0 ) } & { = 0 } & { \forall x \mathrm { ~ i n ~ } [ 0 , \infty ) } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { X _ { j } ( t ) = \sum _ { i \in S _ { j } } \Big [ \prod _ { k \in S _ { j } \backslash \{ i \} } } & { \chi _ { \{ A ^ { ( i , j ) } ( t ) < A ^ { ( k , j ) } ( t ) \} } \Big ] } \\ { \times \Big [ \operatorname* { m i n } \big \{ X _ { i } } & { ( t - A ^ { ( i , j ) } ( t ) ) , X _ { j } ( t - A ^ { ( i , j ) } ( t ) \big \} } \\ & { + A ^ { ( i , j ) } ( t ) \Big ] } \end{array}
\begin{array} { r } { - \frac { 1 } { 2 \rho ^ { 1 } } \| \lambda - \lambda ^ { 1 } \| ^ { 2 } + \sum _ { t = 2 } ^ { T } \Big ( \frac { t - 1 } { 2 \rho ^ { t - 1 } } - \frac { t } { 2 \rho ^ { t } } \Big ) \| \lambda - \lambda ^ { t } \| ^ { 2 } \geq - \frac { T } { 2 \rho ^ { T } } 4 \gamma ^ { 2 } \geq - \frac { T } { 2 \rho ^ { 1 } } 4 \gamma ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \lambda ^ { 2 } \left( \frac { r ^ { 2 } c ^ { T } ( y _ { c } + y _ { c } ^ { \prime } ) } { \sqrt { r ^ { 2 } y _ { c } ^ { 2 } + ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) y _ { o } ^ { 2 } } + \sqrt { r ^ { 2 } y _ { c } ^ { 2 } + ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) y _ { o } ^ { 2 } } } \right) \left( \| c \| ^ { 2 } + r ^ { 2 } \frac { \| c \| ^ { 2 } \| y _ { c } \| \| y _ { c } ^ { \prime } \| } { \sqrt { r ^ { 2 } y _ { c } ^ { 2 } + ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) y _ { o } ^ { 2 } } \sqrt { r ^ { 2 } y _ { c } ^ { 2 } + ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) y _ { o } ^ { 2 } } } \right) } \\ { = } & { \lambda ^ { 2 } \left( \frac { r ^ { 2 } c ^ { T } ( y _ { c } + y _ { c } ^ { \prime } ) } { \sqrt { r ^ { 2 } y _ { c } ^ { 2 } + ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) y _ { o } ^ { 2 } } + \sqrt { r ^ { 2 } y _ { c } ^ { 2 } + ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) y _ { o } ^ { 2 } } } \right) \left( \| c \| ^ { 2 } + r ^ { 2 } \frac { \| c \| ^ { 2 } } { \sqrt { r ^ { 2 } + ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) \frac { y _ { o } ^ { 2 } } { y _ { c } ^ { 2 } } } \sqrt { r ^ { 2 } + ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) \frac { y _ { o } ^ { 2 } } { y _ { c } ^ { 2 } } } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { w C _ { \varphi } ^ { i } ( x _ { N } ) } & { = \sum _ { k \in G _ { N } } { a _ { k } \left[ w C _ { \varphi } ^ { i } \left( x _ { N , k } \right) \right] } } \\ & { = \sum _ { k \in G _ { N } } { a _ { k } \left[ \sum _ { n = 1 } ^ { + \infty } { \left[ \frac { 1 } { w _ { k } w _ { \varphi ( k ) } \cdots w _ { \varphi ^ { n N - ( i + 1 ) } ( k ) } } \right] e _ { \varphi ^ { n N - i } ( k ) } } + \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } { \left[ w _ { \varphi ^ { - 1 } ( k ) } w _ { \varphi ^ { - 2 } ( k ) } \cdots w _ { \varphi ^ { - ( n N + i ) } ( k ) } \right] e _ { \varphi ^ { - ( n N + i ) } ( k ) } } \right] } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { a _ { 1 } \times ( I ) + a _ { 2 } \times ( I I ) + a _ { 3 } \times ( I I I ) } \\ & { = } & { a _ { 1 } \times \{ ( I ) _ { A } + ( I ) _ { B } \} + a _ { 2 } [ ( I I ) _ { A } \times \{ ( I I ) _ { B , 1 } + ( I I ) _ { B , 2 } \} ] + a _ { 3 } \times \{ ( I I I ) _ { A } + ( I I I ) _ { B } \} } \\ & { = } & { \{ a _ { 1 } \times ( I ) _ { A } + a _ { 2 } \times ( I I ) _ { A } \times ( I I ) _ { B , 1 } + a _ { 3 } \times ( I I I ) _ { A } \} } \\ & { + } & { \{ a _ { 1 } \times ( I ) _ { B } + a _ { 2 } \times ( I I ) _ { A } \times ( I I ) _ { B , 2 } + a _ { 3 } \times ( I I I ) _ { B } \} } \\ & { : = } & { C + D , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { n } } & { : = Z _ { y _ { n } , \bar { y } } ^ { ( 3 ) } ( y _ { n } - \bar { y } ) + 2 \sum _ { i = 0 } ^ { 1 } \zeta _ { i } ( \bar { u } , \bar { y } ; s _ { n } , v _ { n } ) \nabla \bar { y } } \\ & { = [ a _ { 0 } ^ { \prime } ( \bar { t } ) - a _ { 1 } ^ { \prime } ( \bar { t } ) ] [ \mathbb { 1 } _ { \Omega _ { y _ { n } , \bar { y } } ^ { 2 } } - \mathbb { 1 } _ { \Omega _ { y _ { n } , \bar { y } } ^ { 3 } } ] \nabla \bar { y } ( y _ { n } - \bar { y } ) + 2 [ a _ { 0 } ^ { \prime } ( \bar { t } ) - a _ { 1 } ^ { \prime } ( \bar { t } ) ] ( \bar { t } - y _ { n } ) [ \mathbb { 1 } _ { \Omega _ { y _ { n } , \bar { y } } ^ { 2 } } - \mathbb { 1 } _ { \Omega _ { y _ { n } , \bar { y } } ^ { 3 } } ] \nabla \bar { y } } \\ & { = [ a _ { 0 } ^ { \prime } ( \bar { t } ) - a _ { 1 } ^ { \prime } ( \bar { t } ) ] ( 2 \bar { t } - \bar { y } - y _ { n } ) [ \mathbb { 1 } _ { \Omega _ { y _ { n } , \bar { y } } ^ { 2 } } - \mathbb { 1 } _ { \Omega _ { y _ { n } , \bar { y } } ^ { 3 } } ] \nabla \bar { y } . } \end{array}
\widehat { \mathrm { M M D } } _ { v } [ p _ { s } ( \mathbf { x } ) , p _ { t } ( \mathbf { x } ) ] = \left[ \frac { 1 } { M ^ { 2 } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { M } \kappa ( \mathbf { y } _ { i } ^ { s } , \mathbf { y } _ { j } ^ { s } ) + \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } \kappa ( \mathbf { y } _ { i } ^ { t } , \mathbf { y } _ { j } ^ { t } ) - \frac { 2 } { M N } \sum _ { i , j = 1 } ^ { M , N } \kappa ( \mathbf { y } _ { j } ^ { t } , \mathbf { y } _ { i } ^ { s } ) \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } ,
f _ { \mathrm { A p } } ( t _ { \mathrm { A p } } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { ( 1 - e ^ { - { t _ { \mathrm { A p } } } / { \tau _ { \mathrm { r e c } } } } ) \cdot e ^ { - { t _ { \mathrm { A p } } } / { \tau _ { \mathrm { A p } } } } } / { \mathit { N o r m } } } & { 0 < t _ { \mathrm { A p } } < t _ { \mathrm { g a t e } } } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } { z } _ { D } ^ { t } = \operatorname* { m i n } \ } & { c ^ { \top } x } \\ { \mathrm { s . t . ~ } } & { x _ { I ( j ) } = \sum _ { v \in \hat { V } ^ { j } } v \lambda _ { v } ^ { j } + \sum _ { r \in \hat { R } ^ { j } } r \mu _ { r } ^ { j } , \quad } & & { j \in J , \quad } & & { ( \pi ^ { j } ) } \\ & { A x \geq b , \quad } & & { } & & { ( \beta ) } \\ & { \sum _ { v \in \hat { V } ^ { j } } \lambda _ { v } ^ { j } = 1 , \quad } & & { j \in J , \quad } & & { ( \theta _ { j } ) } \\ & { \lambda ^ { j } \geq 0 , ~ \mu ^ { j } \geq 0 , \quad } & & { j \in J } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 2 , 2 k + 1 } ^ { k } \otimes v _ { 3 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 1 , 2 k + 1 } ^ { k } \otimes v _ { 2 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k , 2 k + 1 } ^ { k } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k , 2 k } ^ { k } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k , 2 k } \otimes v _ { 1 , 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { S _ { \epsilon } } | g ( x ) | ^ { 2 } \, d x } & { \geq \| g \| _ { 2 } ^ { 2 } - \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \int _ { \{ x : | x _ { i } | < \epsilon \} } | g ( x ) | ^ { 2 } \, d x - \sum _ { 1 \le i < j \le n } \int _ { \{ x : | x _ { i } - x _ { j } | < \epsilon \} } | g ( x ) | ^ { 2 } \, d x } \\ & { = \left( 1 - \binom { n } { 2 } C \epsilon ^ { 1 / 2 } \right) \| g \| _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \textbf { G } _ { n f , i } ^ { - } = } & { } & { \int _ { - \infty } ^ { 0 } v _ { n } d v _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { t } \int _ { 0 } ^ { \infty } d I \ \Psi _ { i } ( f ^ { e q } ) _ { b o u n d a r y } } \\ { = } & { } & { \int _ { - \infty } ^ { 0 } v _ { n } d v _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d v _ { t } \ ( \hat { f } _ { i } ^ { e q } ) _ { b o u n d a r y } } \end{array}
S _ { C 3 } = \sum _ { 0 \le l \le j \le l + n } \frac { \left( l + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } \cdots \left( l + n - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } } { \left( j + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } \cdots \left( j + n - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } } \cdot \frac { e ^ { - ( \gamma - b ) j - ( \gamma + a ) ( l + n ) } } { \left( j + n + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } }
\left\| \, \left( \begin{array} { l } { c o n v ( \mathbf { u } _ { j } , \mathbf { v } _ { j } ) } \\ { c o n v ( \mathbf { u } _ { j } , \mathbf { w } _ { j } ) } \end{array} \right) - \left( \begin{array} { l } { \mathbf { f } } \\ { \mathbf { f } ^ { \prime } } \end{array} \right) \right\| _ { W } = \left\| \, W \left( \begin{array} { l c l } { c o n v ( \mathbf { u } _ { j } , \mathbf { v } _ { j } ) } & { - } & { \mathbf { f } } \\ { c o n v ( \mathbf { u } _ { j } , \mathbf { w } _ { j } ) } & { - } & { \mathbf { f } ^ { \prime } } \end{array} \right) \right\| _ { 2 }
\begin{array} { r l } { \mathrm { R V } ( H _ { i } ^ { n \times d } , H _ { j } ^ { m \times d } ) } & { = \frac { \mathrm { C O V } ( H _ { i } ^ { n \times d } , H _ { j } ^ { m \times d } ) } { \sqrt { \mathrm { V A R } ( H _ { i } ^ { n \times d } ) \mathrm { V A R } ( H _ { j } ^ { m \times d } ) } } } \\ { \mathrm { C O V } ( H _ { i } ^ { n \times d } , H _ { j } ^ { m \times d } ) } & { = \sum _ { l = 1 } ^ { m } \sum _ { k = l + 1 } ^ { n } \mathrm { c o v } ^ { 2 } ( h _ { i } ^ { k } , h _ { j } ^ { l } ) } \\ { \mathrm { V A R } ( H _ { i } ^ { n \times d } ) } & { = \sum _ { l = 1 } ^ { n } \sum _ { k = l + 1 } ^ { n } \mathrm { c o v } ^ { 2 } ( h _ { i } ^ { k } , h _ { i } ^ { l } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { A _ { n } ^ { [ \eta _ { p } , \phi _ { p } ] } = S _ { n } ^ { T } Q _ { n } ^ { [ \eta _ { p } , \phi _ { p } ] } = \frac { 1 } { f _ { 1 } - \alpha _ { n } } W _ { 1 } ^ { [ \eta _ { r } , \phi _ { r } ] } + \dots + \frac { 1 } { f _ { \ell } - \alpha _ { n } } W _ { \ell } ^ { [ \eta _ { r } , \phi _ { r } ] } + P _ { \alpha _ { n } } ( \ell + 3 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha ( Q _ { i } ; \Delta _ { i } ) } & { \leq \frac { 1 2 \Delta _ { i } ^ { 2 } \ln ( n ( 2 ^ { r / d } - 2 ) ^ { 2 } ) } { { ( 2 ^ { { r } / { d } } - 2 ) } ^ { 2 } } + \frac { 1 5 4 \Delta _ { i } ^ { 2 } } { n ( 2 ^ { { r } / { d } } - 2 ) ^ { 2 } } , } \\ { \beta ( Q _ { i } ; \Delta _ { i } ) } & { \leq \frac { 1 5 4 \Delta _ { i } ^ { 2 } } { n ( 2 ^ { { r } / { d } } - 2 ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { P } _ { \mathrm { e } , n } ( D _ { 1 } , D _ { 2 } ) } & { \leq \operatorname* { P r } \Big \{ R _ { 1 , n } < R ( \hat { T } _ { X ^ { n } } , D _ { 1 } ) ~ \mathrm { o r } ~ } \\ { * } & { \qquad \qquad R _ { 1 , n } + R _ { 2 , n } < \mathsf { R } ( R _ { 1 , n } , D _ { 1 } , D _ { 2 } | \hat { T } _ { X ^ { n } } ) \Big \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \frac { \sigma _ { X } ^ { 2 } ( \sigma _ { N _ { k } } ^ { 2 } + \beta _ { k } ) } { \sigma _ { X } ^ { 2 } + \sigma _ { N _ { k } } ^ { 2 } + \beta _ { k } } = \left( \frac { 1 } { \sigma _ { X } ^ { 2 } } + \frac { 1 - 2 ^ { - r _ { k } } } { \sigma _ { N _ { k } } ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 } , ~ ~ } & { \xi ( \beta _ { 1 } , \beta _ { 2 } ) = \left( \frac { 1 } { \sigma _ { X } ^ { 2 } } + \sum _ { k = 1 } ^ { 2 } \frac { 1 - 2 ^ { - 2 r _ { k } } } { \sigma _ { N _ { k } } ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { j = 2 } ^ { 4 } \int _ { 0 } ^ { \infty } | \partial _ { t } ( t Q _ { t , j } ^ { \alpha } ( n , m ) ) | d t } & { \le C \Bigg ( \frac { 1 } { n ^ { 1 / 2 } m ^ { 3 / 2 } } + \frac { 1 } { n ^ { 3 / 2 } m ^ { 1 / 2 } } \Bigg ) \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { \frac { 1 } { n } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } e ^ { - c t \theta ^ { 2 } } d \theta d t } \\ & { \quad + \frac { C } { ( n m ) ^ { 3 / 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { \frac { 1 } { n } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } e ^ { - c t \theta ^ { 2 } } \frac { d \theta } { \theta ^ { 3 } } d t } \\ & { \le C \left( \frac { \sqrt { n } } { m ^ { 3 / 2 } } + \frac { 1 } { \sqrt { n m } } \right) \le \frac { C } { \sqrt { n m } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { m i n } _ { \vec { U } \in \mathbb { R } ^ { \nu } , \ | \vec { U } | = 1 } \left| \vec { U } \cdot \mathbb { C } _ { \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } } \vec { U } \right| \ge C _ { 1 } \mathtt { M } ^ { \alpha + 3 } - | \vec { U } \cdot W _ { r , * } \vec { U } | } \\ { \ge C _ { 1 } \mathtt { M } ^ { \alpha + 3 } - C _ { 2 } \mathtt { M } ^ { 4 } . } \end{array}
\| \bar { u } - \hat { u } _ { k } \| _ { L ^ { \tau } ( \Omega ) } ^ { \tau } \leq \| | \bar { u } - \hat { u } _ { k } | ^ { \tau - 2 } \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ) } \| \bar { u } - \hat { u } _ { k } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } \lesssim \| f \| _ { L ^ { r } ( \Omega ) } ^ { \tau - 2 } \| \bar { u } - \hat { u } _ { k } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } \rightarrow 0
\begin{array} { r l } & { \ C ( S , \alpha , \gamma , \bar { z } ) ^ { - 1 } \leq \frac { \operatorname* { s u p } _ { R \geq \bar { z } } \| u _ { \varphi _ { + } } - u _ { \varphi _ { - } } \| _ { C _ { \star } ^ { 2 } , S , R } \cdot R ^ { - \gamma } } { \| \varphi _ { + } - \varphi _ { - } \| _ { L ^ { 2 } ( S ) } } \leq C ( S , \alpha , \gamma , \bar { z } ) ; } \\ & { \ \operatorname* { l i m s u p } _ { R \to + \infty } \| ( u _ { \varphi _ { + } } - u _ { \varphi _ { - } } ) ( \cdot , R ) \| _ { C ^ { 0 } , S } \cdot R ^ { - \mu _ { 1 } } > 0 . } \end{array}
{ \mathcal A } _ { \mathrm { b b } } : = { \mathcal A } _ { \mathrm { b b } } ( n , k ) : = \left\{ \begin{array} { r l } & { { \mathcal G } _ { n , 1 } \mathrm { ~ c o n t a i n s ~ a ~ c o n n e c t e d ~ c o m p o n e n t ~ } { \mathcal C } _ { \mathrm { b b } } ( n , k ) \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t ~ } } \\ & { \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } i \le ( n ^ { \prime } / k ) : | \Xi _ { { \mathcal Q } _ { i } } [ w _ { \mathrm { h h } } , 2 w _ { \mathrm { h h } } ) \cap { \mathcal C } _ { \mathrm { b b } } | \ge s _ { k } } \end{array} \right\} .
\begin{array} { r l } { F _ { \mathfrak { T } } ^ { k } } & { = \mathrm { s i g } ( W _ { F } ^ { k } \boldsymbol { x } _ { \mathfrak { T } } ^ { k } + U _ { F } ^ { k } C _ { \mathfrak { T } - 1 } ^ { k } + b _ { F } ^ { k } ) } \\ { I _ { \mathfrak { T } } ^ { k } } & { = \mathrm { s i g } ( W _ { I } ^ { k } \boldsymbol { x } _ { \mathfrak { T } } ^ { k } + U _ { I } ^ { k } C _ { \mathfrak { T } - 1 } ^ { k } + b _ { I } ^ { k } ) } \\ { O _ { \mathfrak { T } } ^ { k } } & { = \mathrm { s i g } ( W _ { O } ^ { k } \boldsymbol { x } _ { \mathfrak { T } } ^ { k } + U _ { O } ^ { k } C _ { \mathfrak { T } - 1 } ^ { k } + b _ { O } ^ { k } ) } \\ { C _ { \mathfrak { T } } ^ { k } } & { = F _ { \mathfrak { T } } \odot C _ { \mathfrak { T } - 1 } ^ { k } + I _ { \mathfrak { T } } ^ { k } \odot \mathrm { h y p t a n } ( W _ { C } ^ { k } \mathcal { \boldsymbol { x } } _ { \mathfrak { T } } ^ { k } + b _ { C } ^ { k } ) } \\ { H _ { \mathfrak { T } } ^ { k } } & { = O _ { \mathfrak { T } } ^ { k } \odot \mathrm { h y p t a n } ( C _ { \mathfrak { T } } ^ { k } ) , } \end{array}
A _ { M } ^ { ( l ) } \left( \begin{array} { l } { \widetilde v _ { - 1 } ^ { ( l ) } } \\ { \widetilde v _ { 0 } ^ { ( l ) } } \\ { \widetilde v _ { 1 } ^ { ( l ) } } \\ { \vdots } \\ { \widetilde v _ { M } ^ { ( l ) } } \\ { \widetilde v _ { M + 1 } ^ { ( l ) } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { 6 } \left( \begin{array} { l l l l l l } { - \frac { 3 } { h } } & { 0 } & { \frac { 3 } { h } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 1 } & { 4 } & { 1 } & { 0 } & & { \vdots } \\ { 0 } & { 1 } & { 4 } & { 1 } & & { \vdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \vdots } & & { 0 } & { 1 } & { 4 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - \frac { 3 } { h } } & { 0 } & { \frac { 3 } { h } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \widetilde v _ { - 1 } ^ { ( l ) } } \\ { \widetilde v _ { 0 } ^ { ( l ) } } \\ { \widetilde v _ { 1 } ^ { ( l ) } } \\ { \vdots } \\ { \widetilde v _ { M } ^ { ( l ) } } \\ { \widetilde v _ { M + 1 } ^ { ( l ) } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \phi _ { L } ^ { ( l ) } } \\ { v _ { 0 } ^ { ( l ) } } \\ { v _ { 1 } ^ { ( l ) } } \\ { \vdots } \\ { v _ { M } ^ { ( l ) } } \\ { \phi _ { R } ^ { ( l ) } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \int _ { - a } ^ { a } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \frac { \mathrm { d } x } { \sqrt { 2 \pi } \, \sigma } } & { = \sqrt { \frac 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { a / \sigma } e ^ { - x ^ { 2 } / 2 } \, \mathrm { d } x } \\ & { = \sqrt { \frac 2 \pi } e ^ { - \frac { a ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \left( \frac { a } \sigma + \frac { a ^ { 3 } } { 3 \sigma ^ { 3 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { r [ k ] = } & { \sum _ { m = 0 } ^ { { N _ { m } - 1 } } \mathbf { c } ^ { \mathrm { r e f } } \left[ \mathrm { m o d } \left( m + k , 2 ^ { 1 6 } \right) \right] \mathbf { c } ^ { \mathrm { m e a s } } [ m ] \, , } \\ { k _ { \mathrm { i n i t } } = } & { \arg \operatorname* { m a x } _ { k } \big ( r [ k ] \big ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon _ { r e f } ^ { 2 } = } & { \ { \mathbb { E } } \Big [ \big ( { \mathbb { E } } [ { \mathcal { Q } } - Q _ { 0 } ] - ( \widehat { Q } _ { L } ^ { \mathrm { M L M C } _ { a d p } } - \widehat { Q } _ { 0 } ^ { \mathrm { M C } } ) \big ) ^ { 2 } \Big ] } \\ { = } & { \ { \mathbb { V } } \Big [ \widehat { Q } _ { L } ^ { \mathrm { M L M C } _ { a d p } } \Big ] + { \mathbb { E } } \big [ { \mathcal { Q } } - Q _ { L } \big ] ^ { 2 } + { \mathbb { V } } \Big [ \widehat { Q } _ { 0 } ^ { \mathrm { M C } } \Big ] } \\ { \leq } & { \ 0 . 0 0 2 5 ^ { 2 } + 0 . 0 0 2 5 ^ { 2 } + 0 . 0 0 2 5 ^ { 2 } = 3 \cdot 0 . 0 0 2 5 ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \mathbb { P } _ { x } ^ { d } } \left[ \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq T } \| X _ { t } ^ { d } \| ^ { 2 } \right] } & { \leq K _ { T } ( 1 + \| x \| ^ { 2 } ) , } \\ { \mathbb { E } _ { \mathbb { P } _ { x } ^ { d } } \left[ \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq T } \| \bar { J } _ { t } ^ { d } \| ^ { 2 } \right] } & { \leq K _ { T } ( 1 + \| x \| ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { f ( t , \cdot ) = f ( t ) = i _ { \mathrm { l i n e a r } } ( \overline { { \omega } } t ) , \mathrm { ~ w h e r e ~ } i _ { \mathrm { l i n e a r } } ( \varphi ) : = \sum _ { j _ { k } \in S ^ { + } } 2 \sqrt { \zeta _ { k } } \cos ( \varphi _ { k } + j _ { k } x ) \mathrm { ~ a n d ~ \overline { { \omega } } _ { k } : = W ( j _ k ) ~ . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { U ^ { * } ( \theta _ { a } ^ { * } - \theta _ { b } ^ { * } ) ^ { T } } & { = U ^ { * } ( ( U ^ { * } \Lambda ^ { * } ) _ { i \cdot } - ( U ^ { * } \Lambda ^ { * } ) _ { i ^ { \prime } \cdot } ) ^ { T } = U ^ { * } ( U _ { i \cdot } ^ { * } \Lambda ^ { * } - U _ { i ^ { \prime } \cdot } ^ { * } \Lambda ^ { * } ) ^ { T } } \\ & { = U ^ { * } \Lambda ^ { * } ( U _ { i \cdot } ^ { * } - U _ { i ^ { \prime } \cdot } ^ { * } ) ^ { T } = P _ { \cdot i } - P _ { \cdot i ^ { \prime } } . } \end{array}
\mathop { \sum _ { h \le H } \sum _ { \ell \le L } \sum _ { a \mathbin { \, \textrm { m o d } \, } ^ { * } h } } _ { | \lambda _ { \ell } ( \tau / h ) | \ge \eta _ { 0 } ( N ) } \biggl | \sum _ { n \le N } \varphi _ { n } G _ { \ell , \tau / h } \Bigl ( \frac { n } { N } \Bigr ) e \Bigl ( \frac { n a } { h } \Bigr ) \biggr | ^ { 2 } \le N \| \varphi \| _ { 2 } ^ { 2 } \bigl ( 1 + H ^ { 2 } L \eta _ { 0 } ( N ) \bigr ) .
\left( \begin{array} { c c c c c } { z } & { a _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { z } & { z a _ { 3 } } & { 0 } & { a _ { 2 } a _ { 3 } a _ { 4 } } \\ { 0 } & { 0 } & { z } & { a _ { 2 } } & { 0 } \\ { - z ^ { 3 } a _ { 6 } } & { 0 } & { z ^ { 2 } a _ { 1 } a _ { 3 } a _ { 6 } } & { z } & { - z a _ { 4 } } \\ { - z a _ { 2 } a _ { 4 } a _ { 5 } \left( a _ { 1 } a _ { 2 } a _ { 3 } a _ { 6 } + 1 \right) } & { 0 } & { a _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 2 } ^ { 2 } a _ { 3 } ^ { 2 } a _ { 4 } a _ { 5 } a _ { 6 } } & { 0 } & { z } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { m } { \bf A } ^ { \top } { \bf A } } & { = \frac { 1 } { m } ( { \bf A } ^ { o } + \Delta { \bf A } ) ^ { \top } ( { \bf A } ^ { o } + \Delta { \bf A } ) } \\ & { = \frac { 1 } { m } { \bf A } ^ { o \top } { \bf A } ^ { o } + \frac { 1 } { m } \Delta { \bf A } ^ { \top } \Delta { \bf A } + O _ { p } \left( \frac { 1 } { \sqrt { m } } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { m } { \bf A } ^ { o \top } { \bf A } ^ { o } + \frac { \sigma ^ { 2 } } { m } { \bf G } ^ { \top } { \bf G } + O _ { p } \left( \frac { 1 } { \sqrt { m } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } _ { m , n } ^ { \kappa , \rho } ( z , \overline { { z } } ) } & { = \frac { m ! \Gamma ( \rho + 1 ) } { ( \kappa + m + 1 ) _ { n } } \sum _ { j = 0 } ^ { m \wedge ^ { * } \rho } \frac { ( - 1 ) ^ { j } } { j ! ( m - j ) ! \Gamma ( \rho - j + 1 ) } \frac { \left( 1 - | z | ^ { 2 } \right) ^ { j } } { z ^ { j } } \mathcal { Z } _ { m - j , n } ^ { \kappa + j } ( z , \overline { { z } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { 2 H ( A _ { 1 } ^ { [ 1 ] } | \mathbb { Q } ) / L - ( \bar { \alpha } + \epsilon ) \geq 2 ( 4 H ( A _ { 1 } ^ { [ 1 ] } | \mathbb { Q } ) / L - 3 ) } \\ & { \Rightarrow } & { \bar { \alpha } + \epsilon + 6 H ( A _ { 1 } ^ { [ 1 ] } | \mathbb { Q } ) / L \geq 6 } \\ & { \overset { ( ) } { \Rightarrow } } & { \bar { \alpha } + 6 \bar { \beta } \geq 6 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } ( F ( \boldsymbol { w } _ { t + 1 } ) - F ( \boldsymbol { w } ^ { * } ) ) \le \Phi \mathbb { E } ( F ( \boldsymbol { w } _ { t } ) - F ( \boldsymbol { w } ^ { * } ) ) } \\ & { + \frac { 2 c _ { 1 } } { L D } \sum _ { i = 1 } ^ { N } D _ { i } e _ { i , t } + \frac { \eta M } { 2 L D ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } D _ { i } ( 1 - e _ { i , t } ) \sigma _ { i } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { J _ { u } } [ \phi ( u ^ { + } ) + \phi ( u ^ { - } ) ] \, d { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } } & { = \operatorname* { l i m i n f } _ { k \to \infty } \int _ { J _ { u } } [ \phi _ { k } ( u ^ { + } ) + \phi _ { k } ( u ^ { - } ) ] \, d { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } } \\ & { \leq \operatorname* { l i m i n f } _ { k \to \infty } \operatorname* { l i m i n f } _ { n \to + \infty } \int _ { J _ { u _ { n } } } [ \phi _ { k } ( u _ { n } ^ { + } ) + \phi _ { k } ( u _ { n } ^ { - } ) ] \, d { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } } \\ & { \leq \operatorname* { l i m i n f } _ { n \to + \infty } \int _ { J _ { u _ { n } } } [ \phi ( u _ { n } ^ { + } ) + \phi ( u _ { n } ^ { - } ) ] \, d { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \widetilde { g } \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ) } + \| \widetilde { g } ^ { - 1 } \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ) } } & { \le C , } \\ { \operatorname* { m a x } _ { T } | \widetilde { g } | _ { W ^ { 1 , \infty } ( T ) } } & { \le C , } \\ { C ^ { - 1 } \le \operatorname* { i n f } _ { \Omega } ( w ^ { T } \widetilde { g } w ) \le \operatorname* { s u p } _ { \Omega } ( w ^ { T } \widetilde { g } w ) } & { \le C , } \end{array}
\Omega = \left[ \begin{array} { l l } { \lambda _ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \lambda _ { 1 } ^ { - 1 } } \end{array} \right] - R J _ { 2 } \left[ \begin{array} { l l } { \lambda _ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \lambda _ { 1 } ^ { - 1 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 1 } r _ { 1 2 } } & { - \lambda _ { 1 } ^ { - 1 } r _ { 1 1 } } \\ { \lambda _ { 1 } r _ { 2 2 } } & { \lambda _ { 1 } ^ { - 1 } - \lambda _ { 1 } ^ { - 1 } r _ { 2 1 } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { \kappa _ { j } } & { : = { \pi } \left( - \frac { 1 } { 2 } m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j ) + \frac { T _ { \alpha } } { 4 } \right) , } \\ { H _ { 3 , j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 3 } } } & { : = \frac { \pi \alpha } { 2 4 } \left( m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j _ { 1 } ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j _ { 2 } ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j _ { 3 } ) - T _ { \alpha } \right) , } \\ { H _ { 4 , j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 3 } , j _ { 4 } } } & { : = - \frac { \alpha ( \alpha + 4 ) \pi } { 3 8 4 } ( m _ { 1 , \alpha } ( j _ { 1 } ) + m _ { 1 , \alpha } ( j _ { 2 } ) + m _ { 1 , \alpha } ( j _ { 3 } ) + m _ { 1 , \alpha } ( j _ { 4 } ) ) } \\ & { \ - \frac { \alpha ^ { 2 } \pi } { 7 6 8 } ( m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j _ { 1 } + j _ { 2 } ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j _ { 1 } + j _ { 3 } ) } \\ & { + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j _ { 1 } + j _ { 4 } ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j _ { 2 } + j _ { 3 } ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j _ { 2 } + j _ { 4 } ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j _ { 3 } + j _ { 4 } ) ) } \\ & { \ + \frac { \alpha \pi } { 1 9 2 } m _ { 4 , \alpha } ^ { \circ } ( j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 3 } , j _ { 4 } ) + \frac { \alpha ( \alpha + 2 ) T _ { \alpha } \pi } { 1 9 2 } . } \end{array}
\textup { ( A ) } \left\{ \begin{array} { r l } & { \frac { \partial v _ { 1 } } { \partial t } = - \frac { 1 } { \rho } \left( \frac { 1 } { k _ { x } } \frac { \partial \sigma } { \partial x } + \Psi _ { x } \right) , } \\ & { \frac { \partial v _ { 3 } } { \partial t } = - \frac { 1 } { \rho } \left( \frac { 1 } { k _ { z } } \frac { \partial \sigma } { \partial z } + \Psi _ { z } \right) , } \\ & { \frac { \partial \Psi _ { x } } { \partial t } = - \left( \frac { d _ { x } } { k _ { x } } + \alpha _ { x } \right) \Psi _ { x } - \frac { d _ { x } } { k _ { x } ^ { 2 } } \frac { \partial \sigma } { \partial x } , } \\ & { \frac { \partial \Psi _ { z } } { \partial t } = - \left( \frac { d _ { z } } { k _ { z } } + \alpha _ { z } \right) \Psi _ { z } - \frac { d _ { z } } { k _ { z } ^ { 2 } } \frac { \partial \sigma } { \partial z } , } \end{array} \right.
\chi = \mathbb { I } _ { \left\{ X : \left\| X \right\| > \lambda \right\} } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { \mathrm { i f ~ } \| X \| > \lambda , } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. , ~ ~ \eta = \mathbb { I } _ { \left\{ X : \left\| X - x \right\| > \frac { \lambda } { 2 } \right\} } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { \mathrm { i f ~ } \| X - x \| > \frac { \lambda } { 2 } , } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } { \hat { \mathcal { M } } _ { \mathbb { P } } } & { = \mathcal { O } _ { \mathbb { P } } ( ( a - 1 ) H _ { \mathbb { P } } - ( m _ { 1 } E _ { 1 } + \cdots + m _ { h } E _ { h } ) \otimes \mathcal { I } _ { \Lambda } } \\ { h a t { \mathcal { M } } _ { \mathbb F } } & { = \mathcal { O } _ { { \mathbb F } } ( k H _ { { \mathbb F } } - ( a + 1 ) E ) \otimes \mathcal { I } _ { \tilde { V } } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { [ D , K _ { \mu } ] = - i K _ { \mu } \, , } \\ & { [ D , P _ { \mu } ] = i P _ { \mu } \, , } \\ & { [ K _ { \mu } , P _ { \nu } ] = 2 i ( \eta _ { \mu \nu } D - M _ { \mu \nu } ) \, , } \\ & { [ K _ { \mu } , M _ { \nu \rho } ] = i ( \eta _ { \mu \nu } K _ { \rho } - \eta _ { \mu \rho } K _ { \nu } ) \, , } \\ & { [ P _ { \rho } , M _ { \mu \nu } ] = i ( \eta _ { \rho \mu } P _ { \nu } - \eta _ { \rho \nu } P _ { \mu } ) \, , } \\ & { [ M _ { \mu \nu } , M _ { \rho \sigma } ] = i ( \eta _ { \nu \rho } M _ { \mu \sigma } + \eta _ { \mu \sigma } M _ { \nu \rho } - \eta _ { \mu \rho } M _ { \nu \sigma } - \eta _ { \nu \sigma } M _ { \mu \rho } ) \, , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { D _ { x _ { i } } u _ { n } } & { = \phi _ { n } D _ { x _ { i } } u + u D _ { x _ { i } } \phi _ { n } , } \\ { D _ { x _ { j } x _ { i } } u _ { n } } & { = \phi _ { n } D _ { x _ { i } x _ { j } } u + D _ { x _ { j } } \phi _ { n } D _ { x _ { i } } u + D _ { x _ { j } } u D _ { x _ { i } } \phi _ { n } + u D _ { x _ { i } x _ { j } } \phi _ { n } . } \end{array}
| s _ { n , \lambda } ( t ) - t | = \left| \int _ { 0 } ^ { t } \left\| \hat { f } _ { n , \lambda } ^ { \prime } ( x ) \right\| _ { 2 } / L _ { n , \lambda } - 1 \, \mathrm { d } x \right| \leq \left| \int _ { 0 } ^ { t } \left| \left\| \hat { f } _ { n , \lambda } ^ { \prime } ( x ) \right\| _ { 2 } / L _ { n , \lambda } - \left\| f _ { \lambda } ^ { \prime } ( x ) \right\| _ { 2 } / L _ { \lambda } \right| \mathrm { d } x \right|
\begin{array} { r l } { R _ { s } ^ { S A } \leq } & { \mathrm { l o g } _ { 2 } \left( \frac { p | h _ { 0 } | ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) + \bigg ( - \mathrm { l n } \frac { | h _ { 0 } | ^ { 2 } } { \alpha ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { K } | g _ { i } h _ { i } | ^ { 2 } } + \frac { | h _ { 0 } | ^ { 2 } } { \alpha ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { K } | g _ { i } h _ { i } | ^ { 2 } } - E _ { 0 } \bigg ) \mathrm { l o g } _ { 2 } e } \\ { = } & { \frac { | h _ { 0 } | ^ { 2 } } { \alpha ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { K } | g _ { i } h _ { i } | ^ { 2 } } \mathrm { l o g } _ { 2 } e + \mathrm { l o g } _ { 2 } \left( \frac { p \alpha ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { K } | g _ { i } h _ { i } | ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) - E _ { 0 } \mathrm { l o g } _ { 2 } e . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \parallel \! \rho ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( p ) \gamma _ { p } ^ { - \frac { 1 } { 2 p ^ { \prime } } } - \rho ^ { 1 / 2 } ( p ) \! \parallel _ { 2 } \le } & { \parallel \! \sigma _ { { { \mathrm { t r } } } } ^ { \frac { 1 } { 2 p ^ { \prime } } } \! \parallel _ { \infty } \parallel \! \rho ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( p ) \gamma _ { p } ^ { - \frac { 1 } { 2 p ^ { \prime } } } \sigma _ { { { \mathrm { t r } } } } ^ { - \frac { 1 } { 2 p ^ { \prime } } } - \rho ^ { 1 / 2 } ( p ) \sigma _ { { \mathrm { t r } } } ^ { - \frac { 1 } { 2 p ^ { \prime } } } \! \parallel _ { 2 } } \\ { \le } & { \parallel \! \sigma _ { { { \mathrm { t r } } } } ^ { \frac { 1 } { 2 p ^ { \prime } } } \! \parallel _ { \infty } \tau ( \rho ( p ) \gamma _ { p } ^ { - \frac { 1 } { p ^ { \prime } } } \sigma _ { { \mathrm { t r } } } ^ { - \frac { 1 } { p ^ { \prime } } } - 2 \rho ( p ) \gamma _ { p } ^ { - \frac { 1 } { 2 p ^ { \prime } } } \sigma _ { { \mathrm { t r } } } ^ { - \frac { 1 } { p ^ { \prime } } } + \rho ( p ) \sigma _ { { \mathrm { t r } } } ^ { - \frac { 1 } { p ^ { \prime } } } ) \to 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r l } { \partial _ { t } \rho } & { } & & { + ( u \partial _ { x } + v \partial _ { y } ) \rho } & & { + \rho ( \partial _ { x } u + \partial _ { y } v ) } & & { = 0 } \\ { \partial _ { t } ( \rho u ) } & { } & & { + ( u \partial _ { x } + v \partial _ { y } ) ( \rho u ) } & & { + \rho u ( \partial _ { x } u + \partial _ { y } v ) } & & { + \frac { \partial _ { x } p } { \epsilon ^ { 2 } } = 0 } \\ { \partial _ { t } ( \rho v ) } & { } & & { + ( u \partial _ { x } + v \partial _ { y } ) ( \rho v ) } & & { + \rho v ( \partial _ { x } u + \partial _ { y } v ) } & & { + \frac { \partial _ { y } p } { \epsilon ^ { 2 } } = 0 } \\ { \partial _ { t } e } & { } & & { + ( u \partial _ { x } + v \partial _ { y } ) e } & & { + e ( \partial _ { x } u + \partial _ { y } v ) } & & { + \partial _ { x } ( u p ) + \partial _ { y } ( v p ) = 0 } \\ & { } & & { \mathrm { \, \, \, \, \, \, a d v e c t i o n } } & & { \mathrm { \, \, \, \, \, \, c o m p r e s s i o n } } & & { \mathrm { n o n l i n e a r ~ a c o u s t i c s } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbf { i } ( \eta _ { \infty } ) = { \small \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 1 } \\ { \sqrt 2 } \end{array} \right) } , } & { } & { s _ { 1 } \mapsto \mathbf { S } _ { 1 } = { \small \left( \begin{array} { l l l l } { - 3 } & { 0 } & { 0 } & { 2 \sqrt { 2 } } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { - 2 \sqrt { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 3 } \end{array} \right) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle Q ( \boldsymbol { t } ) \boldsymbol { x } , \boldsymbol { x } \rangle = \sum _ { i = 1 } ^ { n } t _ { i } ^ { d } x _ { i } ^ { 2 } = \sum _ { i \in J _ { 1 } } t _ { i } ^ { d } x _ { i } ^ { 2 } + \sum _ { i \in J _ { 2 } } t _ { i } ^ { d } x _ { i } ^ { 2 } = \langle Q _ { 1 } ( \boldsymbol { t } ) \boldsymbol { x } _ { J _ { 1 } } , \boldsymbol { x } _ { J _ { 1 } } \rangle + \langle Q _ { 2 } ( \boldsymbol { t } ) \boldsymbol { x } _ { J _ { 2 } } , \boldsymbol { x } _ { J _ { 2 } } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { 1 } ^ { \prime } } & { = \{ M _ { 1 , 1 } + \Delta _ { 1 , 1 } ^ { \langle 1 \rangle } + \Delta _ { 1 , 1 } ^ { \langle 2 \rangle } + \Delta _ { 1 , 1 } ^ { \langle 3 \rangle } + \Delta _ { 1 , 1 } ^ { \langle 4 \rangle } , M _ { 1 , 2 } + \Delta _ { 1 , 2 } ^ { \langle 1 \rangle } + \Delta _ { 1 , 2 } ^ { \langle 2 \rangle } + \Delta _ { 1 , 2 } ^ { \langle 3 \rangle } + \Delta _ { 1 , 2 } ^ { \langle 4 \rangle } \} } \\ { M _ { 3 } ^ { \prime } } & { = \{ M _ { 3 , 1 } + \Delta _ { 3 , 1 } ^ { \langle 2 \rangle } + \Delta _ { 3 , 1 } ^ { \langle 4 \rangle } , M _ { 3 , 2 } + \Delta _ { 3 , 2 } ^ { \langle 2 \rangle } + \Delta _ { 3 , 2 } ^ { \langle 4 \rangle } \} } \\ { M _ { 4 } ^ { \prime } } & { = \{ M _ { 4 , 1 } + \Delta _ { 4 , 1 } ^ { \langle 3 \rangle } + \Delta _ { 4 , 1 } ^ { \langle 4 \rangle } , M _ { 4 , 2 } + \Delta _ { 4 , 2 } ^ { \langle 3 \rangle } + \Delta _ { 4 , 2 } ^ { \langle 4 \rangle } \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( \alpha + x ) } & { = x ^ { 4 } + 3 \alpha x ^ { 3 } + ( 3 \alpha ^ { 2 } + \alpha - \textbf { k } ) x ^ { 2 } + [ \alpha ^ { 3 } + \alpha ^ { 2 } - ( \textbf { k } - 1 ) ( \alpha + 1 ) + 1 ] x + ( \alpha ^ { 2 } - ( \textbf { k } - 1 ) \alpha + 1 ) } \\ & { = x ^ { 4 } + 3 \alpha x ^ { 3 } + ( 3 \alpha ^ { 2 } + \alpha - \textbf { k } ) x ^ { 2 } + [ \alpha ^ { 3 } + \alpha ^ { 2 } - ( \alpha + 1 ) \beta ^ { 2 } + 1 ] x + ( \alpha ^ { 2 } - \alpha \beta ^ { 2 } + 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \varphi ( q ) } \sum _ { \chi \in \mathcal { X } _ { 2 } } \left| \mathbb { E } _ { n \in [ N ] _ { q } } f ( n ) \overline { { \chi } } ( n ) \right| ^ { 2 } \left| \mathbb { E } _ { n \in [ N ] _ { q } } f ( n ) \overline { { \chi } } ( n ) - \mathbb { E } _ { b \in \mathbb { Z } _ { q } ^ { \times } } g ( b ) \overline { { \chi } } ( b ) \right| } \\ & { \ll \frac { 1 } { \varphi ( q ) } ( \log q ) \operatorname* { m a x } _ { \delta _ { 0 } \in [ N ^ { - 1 / 4 } , q ^ { 1 / 4 + \kappa } / N ^ { 1 / 2 } ] } \sum _ { \chi \in \mathcal { X } _ { 2 , \delta _ { 0 } } } \left| \mathbb { E } _ { n \in [ N ] _ { q } } f ( n ) \overline { { \chi } } ( n ) \right| ^ { 3 } \ll \frac { 1 } { \varphi ( q ) ( \log q ) ^ { 9 } } . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { 1 , 2 } \mapsto } & { a _ { 0 , 2 } a _ { 1 , 0 } + b _ { 1 } ( a _ { 1 , 1 } - a _ { 0 , 1 } a _ { 1 , 0 } ) } \\ { a _ { 1 , 3 } \mapsto } & { a _ { 0 , 3 } a _ { 1 , 0 } + b _ { 2 } ( a _ { 1 , 1 } - a _ { 0 , 1 } a _ { 1 , 0 } ) } \\ { a _ { 2 , 1 } \mapsto } & { a _ { 0 , 1 } a _ { 2 , 0 } + b _ { 3 } ( a _ { 1 , 1 } - a _ { 0 , 1 } a _ { 1 , 0 } ) } \\ { a _ { 2 , 2 } \mapsto } & { a _ { 0 , 2 } a _ { 2 , 0 } + b _ { 4 } ( a _ { 1 , 1 } - a _ { 0 , 1 } a _ { 1 , 0 } ) } \\ { a _ { 2 , 3 } \mapsto } & { a _ { 0 , 3 } a _ { 2 , 0 } + b _ { 5 } ( a _ { 1 , 1 } - a _ { 0 , 1 } a _ { 1 , 0 } ) } \\ { a _ { 3 , 0 } \mapsto } & { a _ { 1 , 0 } a _ { 2 , 0 } + b _ { 6 } ( a _ { 1 , 1 } - a _ { 0 , 1 } a _ { 1 , 0 } ) } \\ { a _ { 3 , 1 } \mapsto } & { a _ { 0 , 1 } a _ { 1 , 0 } a _ { 2 , 0 } + b _ { 7 } ( a _ { 1 , 1 } - a _ { 0 , 1 } a _ { 1 , 0 } ) } \\ { a _ { 3 , 2 } \mapsto } & { a _ { 0 , 2 } a _ { 1 , 0 } a _ { 2 , 0 } + b _ { 8 } ( a _ { 1 , 1 } - a _ { 0 , 1 } a _ { 1 , 0 } ) } \\ { a _ { 3 , 3 } \mapsto } & { a _ { 0 , 3 } a _ { 1 , 0 } a _ { 2 , 0 } + b _ { 9 } ( a _ { 1 , 1 } - a _ { 0 , 1 } a _ { 1 , 0 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \mathbf x } \widetilde H _ { i } ( \mathbf x , \mathbf g ( \mathbf x ) ) = } & { \widetilde H _ { i } ( \mathbf x , \mathbf g ( \mathbf x ) ) \Biggl ( \nabla _ { \mathbf x } r ( \mathbf x ) \ln \left( \frac { g _ { i } ( \mathbf x ) } { \sigma _ { i } ( \mathbf x , \mathbf y ^ { ( 2 ) } ( \mathbf x ) ) } \right) } \\ & { - r ( \mathbf x ) \frac { \nabla _ { \mathbf x } \sigma _ { i } ( \mathbf x , \mathbf y ^ { ( 2 ) } ( \mathbf x ) ) + \nabla _ { \mathbf y } \sigma _ { i } ( \mathbf x , \mathbf y ^ { ( 2 ) } ( \mathbf x ) ) \mathbf D \mathbf y ^ { ( 2 ) } ( \mathbf x ) } { \sigma _ { i } ( \mathbf x ) } \Biggr ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \bar { H } = \sum _ { p q } h _ { p } ^ { q } \sum _ { \sigma } a _ { p \sigma } ^ { \dagger } a _ { q \sigma } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { p q r s } \left( V _ { p r } ^ { q s } - K _ { p r } ^ { q s } \right) \sum _ { \sigma \rho } a _ { p \sigma } ^ { \dagger } a _ { r \rho } ^ { \dagger } a _ { s \rho } a _ { q \sigma } } \\ & { - \frac { 1 } { 6 } \sum _ { p q r s t u } L _ { p r t } ^ { q s u } \sum _ { \sigma \rho \tau } a _ { p \sigma } ^ { \dagger } a _ { r \rho } ^ { \dagger } a _ { t \tau } ^ { \dagger } a _ { u \tau } a _ { s \rho } a _ { q \sigma } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l r l } { m _ { 1 } } & { = { \frac { 1 + 5 } { 2 } } = 3 } & & { \Rightarrow \; m _ { 1 } ^ { 2 } = 9 \leq 1 9 } & & { \Rightarrow \; I _ { 2 } = [ 3 , 5 ] } \\ { m _ { 2 } } & { = { \frac { 3 + 5 } { 2 } } = 4 } & & { \Rightarrow \; m _ { 2 } ^ { 2 } = 1 6 \leq 1 9 } & & { \Rightarrow \; I _ { 3 } = [ 4 , 5 ] } \\ { m _ { 3 } } & { = { \frac { 4 + 5 } { 2 } } = 4 . 5 } & & { \Rightarrow \; m _ { 3 } ^ { 2 } = 2 0 . 2 5 > 1 9 } & & { \Rightarrow \; I _ { 4 } = [ 4 , 4 . 5 ] } \\ { m _ { 4 } } & { = { \frac { 4 + 4 . 5 } { 2 } } = 4 . 2 5 } & & { \Rightarrow \; m _ { 4 } ^ { 2 } = 1 8 . 0 6 2 5 \leq 1 9 } & & { \Rightarrow \; I _ { 5 } = [ 4 . 2 5 , 4 . 5 ] } \\ { m _ { 5 } } & { = { \frac { 4 . 2 5 + 4 . 5 } { 2 } } = 4 . 3 7 5 } & & { \Rightarrow \; m _ { 5 } ^ { 2 } = 1 9 . 1 4 0 6 2 5 > 1 9 } & & { \Rightarrow \; I _ { 5 } = [ 4 . 2 5 , 4 . 3 7 5 ] } \\ & { \vdots } & & { } \end{array} }
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { s l o g } _ { a } { ^ { x } a } } & { = x } \\ { \operatorname { s l o g } _ { a } a ^ { x } } & { = 1 + \operatorname { s l o g } _ { a } x } \\ { \operatorname { s l o g } _ { a } x } & { = 1 + \operatorname { s l o g } _ { a } \log _ { a } x } \\ { \operatorname { s l o g } _ { a } x } & { \geq - 2 } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { 1 . \; f _ { 1 } \left( d _ { 0 } ^ { \star } , d _ { 1 } ^ { \star } \right) \leq 0 ; \quad 2 . \; \nu ^ { \star } \geq 0 ; \quad 3 . \; \nu ^ { \star } f _ { 1 } \left( d _ { 0 } ^ { \star } , d _ { 1 } ^ { \star } \right) = 0 ; } \\ & { 4 . \; - 2 a _ { 0 } b _ { 0 } d _ { 0 } ^ { \star } e ^ { - b _ { 0 } d _ { 0 } ^ { \star ^ { 2 } } } - 2 a _ { 1 } b _ { 1 } d _ { 0 } ^ { \star } e ^ { - b _ { 1 } d _ { 0 } ^ { \star ^ { 2 } } } + \nu ^ { \star } \left( 4 d _ { 0 } ^ { \star } + 2 M ^ { \prime } d _ { 1 } ^ { \star } \right) = 0 ; } \\ & { 5 . \; - \frac { 1 } { 6 } M ^ { \prime } a _ { 2 } b _ { 2 } d _ { 1 } ^ { \star } e ^ { - b _ { 2 } d _ { 1 } ^ { \star ^ { 2 } } } - \frac { 2 } { 3 } M ^ { \prime } a _ { 2 } b _ { 2 } d _ { 1 } ^ { \star } e ^ { - \frac { 4 } { 3 } b _ { 2 } d _ { 1 } ^ { \star ^ { 2 } } } + \nu ^ { \star } \left( \frac { 2 M ^ { \prime } \left( 2 M ^ { \prime } + 1 \right) } { 3 } d _ { 1 } ^ { \star } + 2 M ^ { \prime } d _ { 0 } ^ { \star } \right) = 0 ; } \end{array}
[ z ^ { n } ] T _ { \tau } \sim \left( \frac { 1 - P ^ { \bullet } ( R ) } { 1 + P ^ { \bullet } ( R ) } \mathrm { O c c } _ { H , \mathcal { P } ^ { \bullet } } ( R ) + \mathrm { O c c } _ { H , \mathcal { P } } ( R ) \right) \frac { R ^ { \ell } } { \sqrt { \pi } \kappa ( 1 + \mathcal { P } ^ { \bullet } ( R ) ) } \frac { 1 } { R ^ { n } n ^ { \frac { 1 } { 2 } } }
\begin{array} { r l } { \left| \| g ( X ) \| _ { 2 } ^ { 2 } - \| g ( X _ { \Delta x } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \right| } & { \leq \left| \| H _ { \xi } \| _ { 2 } ^ { 2 } - \| H _ { \Delta x , \xi } \| _ { 2 } ^ { 2 } \right| + 4 \alpha ( 2 - \alpha ) \sqrt { F _ { \mathrm { a c } , \infty } } \| u _ { x } - u _ { \Delta x , x } \| _ { 2 } } \\ & { \quad + 4 \alpha ( 2 - \alpha ) \sqrt { F _ { \infty } } \| U _ { \xi } - U _ { \Delta x , \xi } \| _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I I _ { 2 } } & { \le c r _ { g } ^ { n } \left( | u _ { f } - u _ { g } | + | r _ { f } - r _ { g } | \right) \left\{ 1 + \frac 1 3 \left( ( u _ { g } + r _ { g } ) ^ { 2 } + ( u _ { g } + r _ { g } ) ( u _ { f } + r _ { g } ) + ( u _ { f } + r _ { g } ) ^ { 2 } \right) \right\} } \\ & { \le C \left( | \rho _ { f } - \rho _ { g } | + | u _ { f } - u _ { g } | \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { T M } L ( x , v , \lambda _ { n } u _ { \lambda _ { n } } ( x ) ) \, \mathrm { d } \tilde { \mu } ( x , v ) \leq \int _ { T M } L ( x , v , 0 ) \, \mathrm { d } \tilde { \mu } ( x , v ) + } & { \lambda _ { n } \int _ { T M } u _ { \lambda _ { n } } ( x ) \frac { \partial L } { \partial u } ( x , v , 0 ) \, \mathrm { d } \tilde { \mu } ( x , v ) } \\ & { + \lambda _ { n } \lVert u _ { \lambda _ { n } } \rVert _ { \infty } \eta _ { S } ( \lambda _ { n } \lVert u _ { \lambda _ { n } } \rVert _ { \infty } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \left\Vert \mathbf { y } _ { k + 1 } - H _ { k + 1 } \right\Vert ^ { 2 } \right] } & { \leq \left( 1 - \frac { \alpha } { 3 } \right) \mathbb { E } \left[ \left\Vert \mathbf { y } _ { k } - H _ { k } \right\Vert ^ { 2 } \right] + \frac { 1 0 n \eta ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { \alpha } + \frac { 1 8 \gamma } { \alpha } \mathbb { E } \left[ \left\Vert \check { h } _ { k } \right\Vert ^ { 2 } \right] + \frac { 6 n \eta ^ { 2 } } { \alpha } \mathbb { E } \left[ \left\Vert \nabla f ( \bar { x } _ { k } ) \right\Vert ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { t } \frac { 1 } { \rho _ { t } ^ { 2 } } } & { = \frac { 2 } { \rho _ { t } } \left( - ( \partial _ { \theta } ^ { 2 } \rho _ { t } ( \theta ) ) d t - ( ( \rho _ { t } ( \theta ) - 2 h ) d t + \sqrt { 2 } d B _ { t } \right) + 2 d t } \\ & { = - \frac { 2 } { \rho _ { t } } \partial _ { \theta } ^ { 2 } \rho _ { t } ( \theta ) d t + \frac { 4 } { \rho _ { t } } h d t + \frac { 2 \sqrt { 2 } } { \rho _ { t } } d B _ { t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { r } \frac { t f ( t ) \, \mathrm { d } t } { r \left( r ^ { 2 } - t ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } & { = \frac { h r } { \left( r ^ { 2 } + h ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \, , } \\ { \int _ { 0 } ^ { r } \frac { g ( t ) \, \mathrm { d } t } { \left( r ^ { 2 } - t ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } & { = \frac { r ^ { 2 } + 2 h ^ { 2 } } { \left( r ^ { 2 } + h ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \, . } \end{array}
( 1 - \frac { 1 } { \theta } ) ^ { 3 } \cdot \delta ( a _ { 1 } , N ) \cdot \sum _ { i _ { 1 } = a _ { 1 } + 1 } ^ { N - 1 } \frac { 1 } { \theta ^ { i _ { 1 } } - 1 } \sum _ { i _ { 2 } = a _ { 1 } } ^ { i _ { 1 } - 1 } \frac { 1 } { \theta ^ { i _ { 2 } } - 1 } \sum _ { i _ { 3 } = a _ { 2 } } ^ { i _ { 2 } - 1 } \frac { 1 } { \theta ^ { i _ { 3 } } - 1 } \Big ) ,
\begin{array} { r l } { U _ { l , 0 } ( \sigma ) } & { = \mathbb E _ { u , x , \delta } \Bigl ( \prod _ { i \le n } \prod _ { k \ge 1 } ( 1 + \operatorname { t a n h } ( \beta \xi _ { i , k } ) s _ { i , k } \delta _ { i } ) \Bigr ) \Bigl ( \prod _ { k \in I _ { l } } s _ { i } \Bigr ) , } \\ { V _ { 0 } ( \sigma ) } & { = \mathbb E _ { u , x , \delta } \Bigl ( \prod _ { i \le n } \prod _ { k \ge 1 } ( 1 + \operatorname { t a n h } ( \beta \xi _ { i , k } ) s _ { i , k } \delta _ { i } ) \Bigr ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { A } ^ { 2 } = k _ { \parallel } ^ { 2 } v _ { A } ^ { 2 } \qquad } & { \textrm { ( s h e a r A l f v é n w a v e ) } , } \\ { \omega _ { F M } ^ { 2 } = \frac { k ^ { 2 } \left( v _ { A } ^ { 2 } + v _ { s } ^ { 2 } \right) \left( 1 + \sqrt { 1 - \alpha ^ { 2 } } \right) } { 2 } \qquad } & { \textrm { ( f a s t m a g n e t o s o n i c w a v e ) } , } \\ { \omega _ { S M } ^ { 2 } = \frac { k ^ { 2 } \left( v _ { A } ^ { 2 } + v _ { s } ^ { 2 } \right) \left( 1 - \sqrt { 1 - \alpha ^ { 2 } } \right) } { 2 } \qquad } & { \textrm { ( s l o w m a g n e t o s o n i c w a v e ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { A _ { 0 } \otimes I } & { + I \otimes 0 , } & { A _ { 1 } \otimes I } & { + I \otimes 0 , } \\ { A _ { 0 } \otimes I } & { + I \otimes B _ { 0 } , } & { A _ { 1 } \otimes I } & { + I \otimes B _ { 0 } , } \\ { A _ { 0 } \otimes I } & { + I \otimes B _ { 1 } , } & { A _ { 1 } \otimes I } & { + I \otimes B _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { N } \psi ( t _ { k + 1 } ) } & { = e ^ { i \tau \Delta } P _ { N } v _ { 0 } + \int _ { 0 } ^ { \tau } e ^ { i ( \tau - s ) \Delta } P _ { N } B ( e ^ { i s \Delta } v _ { 0 } ) \mathrm { d } s } \\ & { \quad + \int _ { 0 } ^ { \tau } \int _ { 0 } ^ { s } e ^ { i ( \tau - s ) \Delta } P _ { N } \left( d B ( e ^ { i ( s - \sigma ) \Delta } v ( \sigma ) ) [ e ^ { i ( s - \sigma ) \Delta } B ( v ( \sigma ) ) ] \right) \mathrm { d } \sigma \mathrm { d } s . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \partial _ { t } ^ { j + 1 } u \| _ { s } ^ { 2 } \lesssim \| U _ { j + 1 } ( u , \phi ) \| _ { s - 2 } ^ { 2 } \, , \quad \quad \ \, \| \partial _ { t } ^ { j } u \| _ { s + 1 } ^ { 2 } \lesssim \| U _ { j } ( u , \phi ) \| _ { s - 1 } ^ { 2 } \, , } \\ & { \| \partial _ { t } ^ { j } \phi \| _ { s } ^ { 2 } \lesssim \| \Phi _ { j } ( u , \phi ) \| _ { s - 2 } ^ { 2 } + E _ { j } ( t ) \, , \quad \| \nabla \partial _ { t } ^ { j } \phi \| _ { s + 1 } ^ { 2 } \lesssim \| \Phi _ { j } ( u , \phi ) \| _ { s } ^ { 2 } + E _ { j } ( t ) \, . } \end{array}
\gamma : \Gamma , \underline { { p } } ^ { \prime } : t _ { 1 } ( \textnormal { \texttt { f } } ( \gamma ) ) = t _ { 2 } ( \textnormal { \texttt { f } } ( \gamma ) ) \vdash g ^ { = } ( \gamma , \overline { { p } } ^ { \prime } ) \equiv p ( \gamma , s _ { 1 } ( \gamma ) ) ^ { - 1 } \bullet g ( \gamma , r _ { 1 } ( \gamma ) \bullet \underline { { p } } ^ { \prime } \bullet r _ { 2 } ( \gamma ) ^ { - 1 } ) \bullet p ( \gamma , s _ { 2 } ( \gamma ) ) : s _ { 1 } ( \gamma ) = s _ { 2 } ( \gamma ) .
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { 1 } u } & { = \varrho _ { 0 } ^ { - 1 } \int _ { x } ^ { x + h ^ { \nu / 2 } } \mathcal { L } _ { 1 } u ( z , s ) d z , \qquad \qquad \mathcal { G } _ { 2 } u = \varrho _ { 0 } ^ { - 1 } \int _ { x } ^ { x + h ^ { \nu / 2 } } ( \mathcal { K } * \mathcal { L } _ { 2 } u ) ( z , s ) d z , } \\ { \mathcal { G } _ { 3 } u } & { = \varrho _ { 0 } ^ { - 1 } \int _ { x } ^ { x + h ^ { \nu / 2 } } [ \lambda f ( u ) - g ( z , s ) ] d z , \quad \mathcal { G } _ { 4 } u = \varrho _ { 0 } ^ { - 1 } \int _ { x } ^ { x + h ^ { \nu / 2 } } \mathfrak { D } _ { 3 } u ( z , s ) d z , } \\ { \mathcal { G } _ { 5 } u } & { = \varrho _ { 0 } ^ { - 1 } \int _ { x } ^ { x + h ^ { \nu / 2 } } \mathfrak { D } _ { 2 } u ( z , s ) d z , \qquad \qquad \mathcal { G } _ { 6 } u = \varrho _ { 0 } ^ { - 1 } \int _ { x } ^ { x + h ^ { \nu / 2 } } \mathfrak { D } _ { 1 } u ( z , s ) d z . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { 1 } ^ { u } = } & { { \nu _ { e } } \omega _ { 1 } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } + } \\ { \overline { { d ^ { r } } } { A _ { 1 } ^ { \dagger } } \omega _ { 1 } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } + } & { \overline { { d ^ { g } } } { A _ { 2 } ^ { \dagger } } \omega _ { 1 } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } + \overline { { d ^ { b } } } { A _ { 3 } ^ { \dagger } } \omega _ { 1 } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } + } \\ { u ^ { r } { A _ { 3 } ^ { \dagger } } { A _ { 2 } ^ { \dagger } } \omega _ { 1 } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } + } & { u ^ { g } { A _ { 1 } ^ { \dagger } } { A _ { 3 } ^ { \dagger } } \omega _ { 1 } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } + u ^ { b } { A _ { 2 } ^ { \dagger } } { A _ { 1 } ^ { \dagger } } \omega _ { 1 } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } + } \\ & { e ^ { + } { A _ { 3 } ^ { \dagger } } { A _ { 2 } ^ { \dagger } } { A _ { 1 } ^ { \dagger } } \omega _ { 1 } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } , } \end{array} \qquad \begin{array} { r l } { S _ { 1 } ^ { d } = } & { { \overline { { \nu } } _ { e } } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } \omega _ { 1 } + } \\ { { d } ^ { r } { A _ { 1 } } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } \omega _ { 1 } + } & { { d } ^ { g } { A _ { 2 } } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } \omega _ { 1 } + { d } ^ { b } { A _ { 3 } } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } \omega _ { 1 } + } \\ { \overline { { u ^ { r } } } { A _ { 3 } } { A _ { 2 } } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } \omega _ { 1 } + } & { \overline { { u ^ { g } } } { A _ { 1 } } { A _ { 3 } } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } \omega _ { 1 } + \overline { { u ^ { b } } } { A _ { 2 } } { A _ { 1 } } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } \omega _ { 1 } + } \\ & { e ^ { - } { A _ { 3 } } { A _ { 2 } } { A _ { 1 } } \omega _ { 1 } ^ { \dagger } \omega _ { 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( \beta ) = \operatorname* { m i n } _ { w ( \cdot ) \geq 0 } } & { \quad \sum _ { k = 1 } ^ { K } { \mathbb { E } } \left[ \int _ { D } ^ { D + \Gamma ( K , \epsilon , w ) } \texttt { m s e } _ { \mathrm { M A F } } ^ { [ k ] } ( t , \tilde { S } _ { i } ^ { [ k ] } ) d t \right] - \beta { \mathbb { E } } \left[ \Gamma ( K , \epsilon , w ) \right] } \\ { \mathrm { s . t . } } & { \quad { \mathbb { E } } \left[ ( 1 - \epsilon ) w \left( \tilde { Y } \right) + \sum _ { k = 1 } ^ { K } Y ^ { [ k ] } \right] \geq \frac { K } { f _ { \operatorname* { m a x } } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \widehat { m } ^ { * } ( c _ { i } ) } & { = } & { c _ { i } \otimes c _ { i } } \\ { \widehat { \Delta } ^ { * } ( c _ { i } \otimes c _ { j } ) } & { = } & { n \lambda ^ { 2 m i } \delta ^ { i j } c _ { i } } \\ { \widehat { \eta } ^ { * } ( c _ { i } ) } & { = } & { \sqrt { n } \lambda ^ { m i } c _ { i } . } \end{array}
{ \ensuremath { \mathbb E } } \left[ W _ { n , \zeta } ( { \ensuremath { \mathcal B } } ) ^ { q } \right] \le { \ensuremath { \mathbb E } } \left[ ( W _ { n , \zeta } ) ^ { q } \mathbf { 1 } _ { { \ensuremath { \mathcal B } } _ { n } } \right] \le { \ensuremath { \mathbb E } } \left[ ( W _ { n , \zeta } ) ^ { q ^ { \prime } } \right] ^ { \frac { q } { q ^ { \prime } } } { \ensuremath { \mathbb P } } \left[ { \ensuremath { \mathcal B } } _ { n } \right] ^ { 1 - \frac { q } { q ^ { \prime } } } .
\begin{array} { r l r } & { } & { P \left( \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\vert \mathcal { W } _ { i } \boldsymbol { \mathring { Z } } _ { ( i ) } ( [ \boldsymbol { 0 } _ { k _ { \delta } } ^ { \prime } , 1 ] ) \right\vert > \zeta \sqrt { \ln \left( k _ { \theta , n } \right) } + \xi \right) } \\ & { } & { \mathrm { ~ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \leq \sum _ { i = 1 } ^ { k _ { \theta , n } } P \left( \left\vert \mathcal { W } _ { i } \boldsymbol { \mathring { Z } } _ { ( i ) } ( [ \boldsymbol { 0 } _ { k _ { \delta } } ^ { \prime } , 1 ] ) \right\vert > \zeta \sqrt { \ln \left( k _ { \theta , n } \right) } + \xi \right) } \\ & { } & { \mathrm { ~ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \leq \sum _ { i = 1 } ^ { k _ { \theta , n } } \exp \left\{ - \frac { \left( \zeta \sqrt { \ln \left( k _ { \theta , n } \right) } + \xi \right) ^ { 2 } } { 2 \mathcal { W } E [ \epsilon _ { t } ^ { 2 } ] \mathcal { H } ^ { - 1 , \theta , \theta } } \right\} } \\ & { } & { \mathrm { ~ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } = \frac { 1 } { k _ { \theta , n } } \sum _ { i = 1 } ^ { k _ { \theta , n } } \exp \left\{ - \frac { 2 \xi \sqrt { \ln \left( k _ { \theta , n } \right) } } { \zeta } \right\} \exp \left\{ - \frac { \xi ^ { 2 } } { \zeta ^ { 2 } } \right\} \leq \exp \left\{ - \xi ^ { 2 } / \zeta ^ { 2 } \right\} . \mathrm { ~ } \mathcal { Q E D } . } \end{array}
\begin{array} { r } { Z _ { \mathrm { I R L } } \equiv \mathrm { ~ t r } \, \big [ e ^ { - \beta H _ { \mathrm { I R L } } } \big ] = \mathrm { ~ t r } _ { \mathcal { H } _ { 3 } } \, \big [ e ^ { - \beta H _ { 3 } } ( 1 + F _ { 3 } ) \big ] + \mathrm { ~ t r } _ { \mathcal { H } _ { 3 - } } \, \big [ e ^ { - \beta H _ { 3 - } } ( 1 + F _ { 3 } ) \big ] \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } } & { = \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } \left( \mathbf { W } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L , 0 } , \mathbf { W } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R , 0 } \right) } \\ & { - \eta _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } \delta \mathbf { W } _ { i - 1 , j } + \beta _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } \delta \mathbf { W } _ { i , j } + \beta _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R } \delta \mathbf { W } _ { i + 1 , j } - \eta _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R } \delta \mathbf { W } _ { i + 2 , j } } \end{array} ,
B \left( \left( \begin{array} { l } { \xi ^ { \epsilon } } \\ { \eta ^ { \epsilon } } \\ { \zeta ^ { \epsilon } } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l } { \xi } \\ { \eta } \\ { \zeta } \end{array} \right) \right) = F \left( \left( \begin{array} { l } { \xi } \\ { \eta } \\ { \zeta } \end{array} \right) \right) , \quad \forall \left( \begin{array} { l } { \xi } \\ { \eta } \\ { \zeta } \end{array} \right) \in ( H _ { \mathrm { p e r } } ^ { 1 } ( 0 , 2 \pi ) ) ^ { 3 } ,
\nabla _ { \boldsymbol { w } } f ( \boldsymbol { w } _ { t } , \boldsymbol { x } _ { i m } + \boldsymbol { n } _ { i m } , y _ { i m } ) \ge \nabla _ { \boldsymbol { w } } f ( \boldsymbol { w } _ { t } , \boldsymbol { x } _ { i m } , y _ { i m } ) + \nabla _ { \boldsymbol { w x } } ^ { 2 } f ( \boldsymbol { w } _ { t } , \boldsymbol { x } _ { i m } , y _ { i m } ) \boldsymbol { n } _ { i m }
\begin{array} { r l } { \int _ { P \backslash H _ { \delta ^ { * } } } f v ^ { \beta } d x } & { \leq \int _ { P \backslash H _ { \delta ^ { * } } } u v ^ { \beta } d x + \int _ { P \backslash H _ { \delta ^ { * } } } | f - u | v ^ { \beta } d x } \\ & { \leq ( C ( u ) + K _ { 1 } ) \int _ { P \backslash H _ { \delta ^ { * } } } v ^ { \beta - \beta _ { 1 } } d x \leq K ( u , K _ { 1 } , \beta _ { 1 } ) ( \delta ^ { * } ) ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \left[ \left| \frac { 1 } { | U _ { l } | } \sum _ { u \in U _ { l } } f _ { u } ( \mathbf { x } ) - \bar { \mu } _ { l } ( \mathbf { x } ) \right| \geq w _ { l , 2 } ( \mathbf { x } ) \middle | \{ \mathbf { y } _ { l , u } \} _ { u \in U _ { l } } \right] } \\ { \leq } & { \mathbb { P } \left[ \left| \frac { 1 } { | U _ { l } | } \sum _ { u \in U _ { l } } f _ { u } ( \mathbf { x } ) - \frac { 1 } { | U _ { l } | } \sum _ { u \in U _ { l } } m _ { u } ( \mathbf { x } ) \right| + B \sigma _ { T _ { l } } ( x _ { 0 } ) \geq w _ { l , 2 } ( \mathbf { x } ) \middle | \{ \mathbf { y } _ { l , u } \} _ { u \in U _ { l } } \right] } \\ { \overset { ( a ) } { = } } & { \mathbb { P } \left[ \left| \frac { 1 } { | U _ { l } | } \sum _ { u \in U _ { l } } f _ { u } ( \mathbf { x } ) - \frac { 1 } { | U _ { l } | } \sum _ { u \in U _ { l } } m _ { u } ( \mathbf { x } ) \right| \geq \sqrt { \frac { 2 \sigma _ { T _ { l } } ^ { 2 } ( \mathbf { x } ) \log ( 1 / \beta ) } { | U _ { l } | } } \middle | \{ \mathbf { y } _ { l , u } \} _ { u \in U _ { l } } \right] \leq 2 \beta , } \end{array}
\begin{array} { r l } { D = } & { \frac 1 2 \left( | \mathbf { d } \cdot \mathbf { E } _ { f } ^ { * } | ^ { 2 } + | \mathbf { d } \cdot \mathbf { E } _ { b } ^ { * } | ^ { 2 } \right) + \zeta \left( \mathbf { d } \cdot \mathbf { G } _ { \mathrm { l } } \cdot \mathbf { d } ^ { * } + \ensuremath { \mathrm { i } } \hbar \epsilon _ { 0 } \delta \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( \mathcal { R } ( \widetilde { \vartheta ^ { \prime } } , \widetilde { \vartheta } ) ) ^ { \prime } } & { = } & { \frac { 2 \delta ^ { 4 } } { \lambda } g ^ { - 1 } ( \vartheta ^ { \prime } , \vartheta J ) g ^ { - 1 } ( \vartheta ^ { \prime } , \vartheta ) R ( \widetilde { \vartheta J } , \widetilde { \vartheta } ) - 2 \delta ^ { 2 } g ^ { - 1 } ( \vartheta ^ { \prime } , \vartheta J ) R ( \widetilde { \vartheta ^ { \prime } J } , \widetilde { \vartheta } ) } \\ & { } & { + \frac { 2 \delta ^ { 6 } } { \lambda } g ^ { - 1 } ( \vartheta ^ { \prime } , \vartheta J ) g ^ { - 1 } ( \vartheta ^ { \prime } , \vartheta ) g ^ { - 1 } ( \vartheta J , \vartheta J ) R ( \widetilde { \vartheta } , J \widetilde { \vartheta } ) } \\ & { } & { - 2 \delta ^ { 4 } g ^ { - 1 } ( \vartheta ^ { \prime } , \vartheta J ) g ^ { - 1 } ( \vartheta ^ { \prime } J , \vartheta J ) R ( \widetilde { \vartheta } , J \widetilde { \vartheta } ) + 2 \delta ^ { 2 } g ^ { - 1 } ( \vartheta ^ { \prime } , \vartheta J ) R ( \widetilde { \vartheta ^ { \prime } } , J \widetilde { \vartheta } ) } \\ & { = } & { \frac { 2 \delta ^ { 4 } } { \lambda } g ^ { - 1 } ( \vartheta ^ { \prime } , \vartheta J ) g ^ { - 1 } ( \vartheta ^ { \prime } , \vartheta ) R ( \widetilde { \vartheta } , J \widetilde { \vartheta } ) } \\ & { } & { + \frac { 2 \delta ^ { 4 } ( \lambda - 1 ) } { \lambda } g ^ { - 1 } ( \vartheta ^ { \prime } , \vartheta J ) g ^ { - 1 } ( \vartheta ^ { \prime } , \vartheta ) R ( \widetilde { \vartheta } , J \widetilde { \vartheta } ) } \\ & { } & { - 2 \delta ^ { 4 } g ^ { - 1 } ( \vartheta ^ { \prime } , \vartheta J ) g ^ { - 1 } ( \vartheta ^ { \prime } , \vartheta ) R ( \widetilde { \vartheta } , J \widetilde { \vartheta } ) } \\ & { = } & { ( \frac { 2 \delta ^ { 4 } } { \lambda } + \frac { 2 \delta ^ { 4 } ( \lambda - 1 ) } { \lambda } - 2 \delta ^ { 4 } ) g ^ { - 1 } ( \vartheta ^ { \prime } , \vartheta J ) g ^ { - 1 } ( \vartheta ^ { \prime } , \vartheta ) R ( \widetilde { \vartheta } , J \widetilde { \vartheta } ) } \\ & { = } & { 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf { e } ^ { \varphi ( \cdot , r , z ) } ( X _ { r - } ( Y _ { r - } ) ) - X _ { r - } ( Y _ { r - } ) - \varphi ( X _ { r - } ( Y _ { r - } ) , r , z ) } \\ & { + \mathbf { e } ^ { \varphi ( \cdot , r , z ) } \Big ( X _ { r - } \Big ( \mathbf { e } ^ { \psi ( \cdot , r , z ) } ( Y _ { r - } ) \Big ) \Big ) - \mathbf { e } ^ { \varphi ( \cdot , r , z ) } ( X _ { r - } ( Y _ { r - } ) ) } \\ & { - D X _ { r - } ( Y _ { r - } ) \psi ( Y _ { r - } , r , z ) \equiv 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { ~ H ~ \geq ~ 0 ~ a n d ~ H ( \xi ) = 0 ~ i f ~ a n d ~ o n l y ~ i f ~ \xi = 0 ~ } } \\ & { H ( t \xi ) = t H ( \xi ) , \quad \mathrm { ~ f o r ~ a n y ~ t ~ \ge ~ 0 ~ , ~ \xi \in ~ \mathbb { R } ^ { N } ~ } } \\ & { \mathrm { ~ \{ \xi ~ \in ~ \mathbb { R } ^ { N } ~ : ~ H ( \xi ) ~ < ~ 1 \} ~ i s ~ u n i f o r m l y ~ c o n v e x , ~ } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \mathscr { S } _ { \boldsymbol { m } , \omega } \left( \begin{array} { l } { f } \\ { f _ { b } } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l } { g } \\ { g _ { b } } \end{array} \right) \right) _ { \Omega \times \partial \Omega } = \left( \left( \begin{array} { l } { f } \\ { f _ { b } } \end{array} \right) , \mathscr { S } _ { \boldsymbol { m } , \omega } ^ { * } \left( \begin{array} { l } { g } \\ { g _ { b } } \end{array} \right) \right) _ { \Omega \times \partial \Omega } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { 1 } \leq } & { A _ { 1 } n ^ { - 1 / 2 } \mathbb { E } \Big [ A _ { 2 } 2 ^ { j + 1 } J _ { 0 } \Vert F \Vert \sqrt { | \Theta | } I \big ( \Vert F \Vert ^ { 2 } > 2 \mathbb { E } F ^ { 2 } ( u ) \big ) \Big ] } \\ { \leq } & { A _ { 1 } A _ { 2 } 2 ^ { j + 1 } J _ { 0 } n ^ { - 1 / 2 } \mathbb { E } \Big [ \Vert F \Vert \sqrt { | \Theta | } I \big ( \Vert F \Vert ^ { 2 } > 2 \mathbb { E } F ^ { 2 } ( u ) \big ) \Big ] } \\ { \leq } & { A _ { 1 } A _ { 2 } 2 ^ { j + 1 } J _ { 0 } n ^ { - 1 / 2 } \sqrt { | \Theta | \mathbb { E } F ^ { 2 } ( u ) } \mathbb { P } \Big ( \Vert F \Vert ^ { 2 } > 2 \mathbb { E } F ^ { 2 } ( u ) \Big ) } \\ { \leq } & { A _ { 1 } A _ { 2 } 2 ^ { j _ { 0 } + 1 } J _ { 0 } n ^ { - 1 / 2 } \sqrt { | \Theta | \mathbb { E } F ^ { 2 } ( u ) } \mathbb { P } \Big ( \Vert F \Vert ^ { 2 } > 2 \mathbb { E } F ^ { 2 } ( u ) \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { E _ { N - 1 } } } & { \left| \operatorname* { d e t } \frac { \partial ( X ^ { \alpha _ { 1 } } f ^ { j _ { 1 } } , \ldots , X ^ { \alpha _ { d } } f ^ { j _ { d } } ) } { \partial x } \right| d x \leq 2 ^ { d } \operatorname* { s u p } _ { ( c _ { 1 } , \ldots , c _ { d } ) \in { \mathbb R } } \# \Big \{ x \in U _ { ( N - 1 ) } \ \Big | } \\ & { X ^ { \alpha _ { i } } f ^ { j _ { 1 } } ( x ) = c _ { i } , i = 1 , \ldots , d \mathrm { ~ a n d ~ } \left| \operatorname* { d e t } \frac { \partial ( X ^ { \alpha _ { 1 } } f ^ { j _ { 1 } } , \ldots , X ^ { \alpha _ { d } } f ^ { j _ { d } } ) } { \partial x } ( x ) \right| \neq 0 \Big \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { F _ { A } ( Y - 1 , ( Y - 1 ) Y , \ldots , ( Y - 1 ) Y ^ { h - 1 } ) } \\ & { = \sum _ { k _ { 1 } , \ldots , k _ { h } } \binom { n - \sum | w _ { i } | k _ { i } + \sum k _ { i } } { k _ { 1 } , \ldots , k _ { h } } ( Y - 1 ) ^ { \sum k _ { i } } \prod Y ^ { ( i - 1 ) k _ { i } } P ^ { k _ { i } } ( w _ { i } ) } \\ & { = \sum _ { k _ { 1 } , \ldots , k _ { h } } \binom { n - \sum | w _ { i } | k _ { i } + \sum k _ { i } } { k _ { 1 } , \ldots , k _ { h } } \prod P ^ { k _ { i } } ( w _ { i } ) \sum _ { r } \binom { \sum k _ { i } } { r } ( - 1 ) ^ { r } Y ^ { \sum i k _ { i } - r } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \varepsilon } { \sqrt { n } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \alpha _ { i } \partial \beta _ { j } } U _ { n , \varepsilon } ( \theta ) } \\ { = } & { \frac { - 2 } { \varepsilon \sqrt { n } } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \Bigg \{ \bigg ( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \alpha _ { i } \partial \beta _ { j } } b _ { t _ { k - 1 } , H _ { n } } ( \theta ) \bigg ) ^ { \top } \Xi _ { k - 1 } ^ { - 1 } ( \beta ) + \bigg ( \frac { \partial } { \partial \alpha _ { i } } b _ { t _ { k - 1 } , H _ { n } } ( \theta ) \bigg ) ^ { \top } \bigg ( \frac { \partial } { \partial \beta _ { j } } \Xi _ { k - 1 } ^ { - 1 } ( \beta ) \bigg ) \Bigg \} } \\ & { \quad \cdot \Big \{ P _ { k } ( \theta _ { 0 } ) + \frac { 1 } { n } \Big ( b _ { t _ { k - 1 } , H _ { n } } ( \theta _ { 0 } ) - b _ { t _ { k - 1 } , H _ { n } } ( \theta ) \Big ) \Big \} } \\ & { + \frac { 2 } { \varepsilon n \sqrt { n } } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \bigg ( \frac { \partial } { \partial \alpha _ { i } } b _ { t _ { k - 1 } , H _ { n } } ( \theta ) \bigg ) ^ { \top } \Xi _ { k - 1 } ^ { - 1 } ( \beta ) \bigg ( \frac { \partial } { \partial \beta _ { j } } b _ { t _ { k - 1 } , H _ { n } } ( \theta ) \bigg ) , } \end{array}
\mathrm { S c a l e d ~ L E } = \frac { \sqrt { ( x _ { 1 } ^ { \mathrm { \tiny ~ r e c o n } } - x _ { 1 } ^ { \mathrm { \tiny ~ t r u t h } } ) ^ { 2 } + ( x _ { 2 } ^ { \mathrm { \tiny ~ r e c o n } } - x _ { 2 } ^ { \mathrm { \tiny ~ t r u t h } } ) ^ { 2 } + ( x _ { 3 } ^ { \mathrm { \tiny ~ r e c o n } } - x _ { 3 } ^ { \mathrm { \tiny ~ t r u t h } } ) ^ { 2 } } } { 2 5 . 5 } ,
f \left( z _ { 2 } = x y \right) = \frac { z _ { 2 } ^ { \alpha _ { y } - 1 } \beta _ { x } ^ { - \alpha _ { x } } \beta _ { y } ^ { - \alpha _ { y } } 2 \left( \frac { z _ { 2 } \beta _ { x } } { \beta _ { y } } \right) ^ { \frac { \left( \alpha _ { x } - \alpha _ { y } \right) } { 2 } } K _ { \alpha _ { x } - \alpha _ { y } } \left( 2 \sqrt { \frac { z _ { 2 } } { \beta _ { x } \beta _ { y } } } \right) } { \Gamma ( \alpha _ { x } ) \Gamma ( \alpha _ { y } ) }
\begin{array} { r l } & { x = \sum _ { k = 1 } ^ { n } e _ { 2 k - 1 , 2 k - 1 } + e _ { 2 n + 1 , 2 n + 1 } , \; \; y = \sum _ { k = 1 } ^ { n } e _ { 2 k , 2 k } + e _ { 2 n + 1 , 2 n + 1 } , } \\ & { E _ { i } = \sum _ { k = 0 } ^ { n - i + 1 } ( e _ { 2 ( k + i + 1 ) , 2 ( k + 1 ) } - e _ { 2 k + 1 , 2 ( k + i ) + 1 } ) , \; \; \forall i = 1 , \ldots , n - 1 , } \\ & { A _ { i } = e _ { 2 n + 1 , 2 i - 1 } , \; \; B _ { i } = e _ { 2 n + 1 , 2 i } , \; \; \forall i = 1 , \ldots , n } \end{array}
{ \frac { \partial n _ { i } } { \partial t } } = - \operatorname { d i v } \mathbf { J } _ { i } = - \sum _ { j \geq 0 } L _ { i j } \operatorname { d i v } X _ { j } = \sum _ { k \geq 0 } \left[ - \sum _ { j \geq 0 } L _ { i j } \left. { \frac { \partial ^ { 2 } s ( n ) } { \partial n _ { j } \, \partial n _ { k } } } \right| _ { n = n ^ { * } } \right] \, \Delta n _ { k } \ .
\begin{array} { r l r } & { } & { { \mathcal E } _ { s } ( t ) = q ( t ) \delta \left( x - y e ^ { - \beta t } - \frac { B } { \beta } ( 1 - e ^ { - \beta t } ) \right) , } \\ & { } & { q ( t ) = 1 + \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \left( \begin{array} { c } { \alpha } \\ { j } \end{array} \right) \, \frac { ( - 1 ) ^ { j } ( j + 1 ) ! \left( 1 - { \mathrm { e } ^ { - 2 \beta \, t } } \right) ^ { j } } { 2 a _ { j - 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { d = g ^ { \prime } ( u _ { \bar { k } j i } ^ { 1 / 2 } ) = ( \frac { b u _ { \bar { k } j i } ^ { 1 / 2 } } { a + u _ { \bar { k } j i } ^ { 1 / 2 } } + c ) ^ { \prime } = \frac { b a } { ( a + u _ { \bar { k } j i } ^ { 1 / 2 } ) ^ { 2 } } } \\ & { \Rightarrow u _ { \bar { k } j i } ^ { 1 / 2 } = - a \pm \sqrt { \frac { b a } { d } } = - r _ { \bar { k } j i } \pm \sqrt { \frac { b _ { \bar { k } j i } u _ { 0 0 \bar { k } } } { d _ { \bar { k } j i } } r _ { \bar { k } j i } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { q , p _ { 0 } , p _ { m } \in \mathbb { R } ^ { d } } | \partial _ { p _ { m } } ^ { \alpha } \partial _ { p _ { 0 } } ^ { \beta } \partial _ { q } ^ { \delta } \Psi _ { m } ^ { \gamma } ( p _ { m } + q , p _ { 0 } + q , \infty ; V ) | } & { \leq C , } \\ { \operatorname* { s u p } _ { q \in \mathbb { R } ^ { d } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } | p _ { 0 } ^ { \epsilon } \partial _ { p _ { m } } ^ { \alpha } \partial _ { p _ { 0 } } ^ { \beta } \partial _ { q } ^ { \delta } \Psi _ { m } ^ { \gamma } ( p _ { m } + q , p _ { 0 } + q , \infty ; V ) | \, d p _ { 0 } } & { \leq C \sum _ { \epsilon _ { 1 } \leq \epsilon } | p _ { m } ^ { \epsilon _ { 1 } } | , } \\ { \operatorname* { s u p } _ { p _ { 0 } \in \mathbb { R } ^ { d } } | p _ { 0 } ^ { \alpha } \partial _ { p _ { 0 } } ^ { \beta } \Psi _ { m } ^ { \gamma } ( p _ { m } , p _ { 0 } , \infty ; V ) | } & { \leq C \sum _ { \alpha _ { 1 } \leq \alpha } | p _ { m } ^ { \alpha _ { 1 } } | } \\ { \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } | p _ { 0 } ^ { \alpha } \partial _ { p _ { 0 } } ^ { \beta } \Psi _ { m } ^ { \gamma } ( p _ { m } , p _ { 0 } , \infty ; V ) | \, d p _ { 0 } } & { \leq C \sum _ { \alpha _ { 1 } \leq \alpha } | p _ { m } ^ { \alpha _ { 1 } } | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { L ( \Phi , \lambda ) = } & { - H ( \Phi ) + \lambda _ { n + 1 } \Phi ( e ^ { i \boldsymbol { \theta } } ) } \\ { + } & { \sum _ { k = 0 } ^ { n } \lambda _ { k } \left( \int _ { \mathcal { I } ^ { d } } \alpha _ { k } \left( e ^ { i \boldsymbol { \theta } } \right) \Phi ( e ^ { i \boldsymbol { \theta } } ) d \boldsymbol { \theta } - r _ { k } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } _ { 0 , y } } & { ( Y _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { i , \varepsilon } - y ^ { i } ) = \mathbf { E } _ { 0 , y } ( \Psi _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { i , \varepsilon } ( U _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } , V _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) - y ^ { i } ) } \\ & { = \mathbf { E } _ { 0 , y } ( V _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { i , \varepsilon } - y ^ { i } + \theta ^ { i } ( V _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) U _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } + h _ { 2 } ^ { \varepsilon } ) } \\ & { = \mathbf { E } _ { 0 , y } \Big [ V _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { i , \varepsilon } - y ^ { i } - \theta ^ { i } ( y ) a _ { - } ^ { \varepsilon } \mathbb { I } ( X _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } = - a _ { - } ^ { \varepsilon } ) + \theta ^ { i } ( y ) a _ { + } ^ { \varepsilon } ( 1 + 2 \varepsilon \beta ( y ) ) \mathbb { I } ( X _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } = a _ { + } ^ { \varepsilon } ) + \sum _ { j = 1 } ^ { n } \theta _ { y ^ { j } } ^ { i } ( y ) ( V _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon , i } - y ) U _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } \Big ] } \\ & { + \mathcal { O } \Big ( \mathbf { E } _ { 0 , y } \Big [ | Y _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } - y | ^ { 2 } U _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } + h _ { 2 } ^ { \varepsilon } \Big ] \Big ) } \\ & { = \mathbf { E } _ { 0 , y } \int _ { 0 } ^ { \tau ^ { \varepsilon } } \Big ( b ^ { i } ( y ) - \theta ^ { i } ( y ) b ^ { 0 } ( y ) - \sum _ { j = 1 } ^ { n } \theta _ { y ^ { j } } ^ { i } ( y ) \Sigma ^ { 0 j } ( y ) \Big ) \, \mathrm { d } s + \theta ^ { i } ( y ) \Big ( \beta ( y ) d + \frac { b ^ { 0 } ( y ) d ^ { 2 } } { \Sigma ^ { 0 0 } ( x , y ) } \Big ) \varepsilon ^ { 2 } + \mathcal O ( \varepsilon ^ { 3 } ) } \\ & { = \Big ( b ^ { i } ( y ) + \frac { \theta ^ { i } ( y ) \beta ( y ) \Sigma ^ { 0 0 } ( y ) } { d } \Big ) \mathbf { E } _ { 0 , y } \tau ^ { \varepsilon } + \mathcal O ( \varepsilon ^ { 3 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { I } \ge ( c _ { 0 } p - C ) \int _ { M } { e ^ { - p u } \partial u \wedge \partial _ { J } u \wedge \Omega ^ { n - 1 } \wedge \overline { \Omega } ^ { n } } - \frac { C } { p } \int _ { M } { e ^ { - p u } \Omega ^ { n } \wedge \overline { \Omega } ^ { n } } } \\ { \ge \frac { c _ { 0 } p } { 2 } \int _ { M } { e ^ { - p u } \partial u \wedge \partial _ { J } u \wedge \Omega ^ { n - 1 } \wedge \overline { \Omega } ^ { n } } - \frac { C } { p } \int _ { M } { e ^ { - p u } \Omega ^ { n } \wedge \overline { \Omega } ^ { n } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \eta _ { t } } \mathbb { E } \| \nabla _ { x } f ( x _ { t + 1 } , y _ { t + 1 } ) - u _ { t + 1 } \| ^ { 2 } - \frac { 1 } { \eta _ { t - 1 } } \mathbb { E } \| \nabla _ { x } f ( x _ { t } , y _ { t } ) - u _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \big ( \frac { 1 } { \eta _ { t } } - \frac { 1 } { \eta _ { t - 1 } } - c _ { 1 } \eta _ { t } \big ) \mathbb { E } \| \nabla _ { x } f ( x _ { t } , y _ { t } ) - u _ { t } \| ^ { 2 } + 4 L _ { f } ^ { 2 } \eta _ { t } \big ( \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } + \| \tilde { y } _ { t + 1 } - y _ { t } \| ^ { 2 } \big ) + 2 c _ { 1 } ^ { 2 } \eta _ { t } ^ { 3 } \sigma ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { m \cdot f _ { X } } ( x ) } & { = n ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( \sum _ { l = 0 } ^ { [ T _ { n } ] } \sum _ { q = 1 } ^ { N ( d , l ) } B _ { q } ^ { l } ( x ) \sum _ { r = 1 } ^ { N ( d , l ) } ( \tilde { \phi } ^ { l } ( f _ { U } ) ) _ { q r } ^ { - 1 } \overline { { B _ { r } ^ { l } ( Z _ { i } ) } } \right) Y _ { i } , } \\ { F ( x ) } & { = m ( x ) f _ { X } ( x ) - \mathrm { E } ( \widetilde { m \cdot f _ { X } } ( x ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { t } \left[ \tilde { \nabla } _ { \omega } \mathcal { L } ( \omega ^ { t } ) \; \middle | \; u ^ { t + 1 } \right] } & { = \nabla _ { \omega } \mathcal { L } ( \omega ^ { t } ) , } \\ { \mathbb { E } _ { t } \left[ \tilde { \nabla } _ { z } \mathcal { L } ( z ^ { t } ) \; \middle | \; u ^ { t + 1 } , \omega ^ { t + 1 } , v ^ { t + 1 } \right] } & { = \nabla _ { z } \mathcal { L } ( z ^ { t } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { \nu _ { j } \to \nu _ { j } ^ { \prime } } \kappa _ { j } \binom { x - \nu _ { j } ^ { \prime } + \nu _ { j } } { \nu _ { j } } \alpha ( x - \nu _ { j } ^ { \prime } + \nu _ { j } ) - \sum _ { \nu _ { j } \to \nu _ { j } ^ { \prime } } \kappa _ { j } \binom { x } { \nu _ { j } } \alpha ( x ) } & { = - \kappa _ { E } \mu ( x ) + \kappa _ { E } \alpha ( x ) } \\ { \kappa _ { E } \frac { \mu ( x ) } { \alpha ( x ) } + \sum _ { \nu _ { j } \to \nu _ { j } ^ { \prime } } \kappa _ { j } \binom { x - \nu _ { j } ^ { \prime } + \nu _ { j } } { \nu _ { j } } \frac { \alpha ( x - \nu _ { j } ^ { \prime } + \nu _ { j } ) } { \alpha ( x ) } } & { = \kappa _ { E } + \sum _ { \nu _ { j } \to \nu _ { j } ^ { \prime } } \kappa _ { j } \binom { x } { \nu _ { j } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d p _ { 1 } ^ { 2 } ( t ) = } & { \ q _ { 1 1 } ^ { 2 } ( t ) d W _ { 1 } ( t ) + q _ { 1 2 } ^ { 2 } ( t ) d W _ { 2 } ( t ) + \int _ { \mathbb { R } _ { 0 } } r _ { 1 } ^ { 2 } ( t - , z ) \tilde { N } ( d t , d z ) + w _ { 1 } ^ { 2 } ( t ) d \tilde { \Phi } ( t ) , } \\ { p _ { 1 } ^ { 2 } ( T ) = } & { \ \kappa _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | { \lambda _ { 1 , 2 } } | ^ { 2 } } & { = \frac { ( x - ( c - 1 ) - ( d - 1 ) ) ^ { 2 } - \Delta ( x ) } { 4 } } \\ & { = \frac { x ^ { 2 } - 2 x ( ( c - 1 ) + ( d - 1 ) ) + ( c - 1 + d - 1 ) ^ { 2 } - ( x ^ { 2 } - 2 x ( ( c - 1 ) + ( d - 1 ) ) + ( c - d ) ^ { 2 } ) } { 4 } } \\ & { = \frac { ( c + d - 2 ) ^ { 2 } - ( c - d ) ^ { 2 } } { 4 } = ( c - 1 ) ( d - 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 4 } | \partial _ { r } ^ { k } ( v f _ { \natural } ) | } & { \leq C r ^ { - 2 - k } \qquad } & { \textrm { f o r } k } & { \geq 1 , } \\ { \left| \partial _ { \eta } ^ { k } f _ { \natural } \right| } & { \leq C \frac { 1 } { \Delta ^ { 1 / 2 } } \qquad } & { \textrm { f o r } k } & { \geq 1 , } \\ { \left| \partial _ { \eta } ^ { k } \left( f _ { \natural } - \frac { r ^ { 2 } + a ^ { 2 } - \eta } { \Delta ^ { 1 / 2 } } h _ { 0 } \right) \right| \ } & { \leq C \frac { \Delta ^ { 1 / 2 } } { r ^ { 2 } + a ^ { 2 } } \qquad } & { \textrm { f o r } k } & { \geq 0 , } \\ { \left| \partial _ { r ^ { \star } \! } ^ { k } \left( f _ { \natural } - \frac { r ^ { 2 } + a ^ { 2 } - \eta } { \Delta ^ { 1 / 2 } } h _ { 0 } \right) \right| \ } & { \leq C \frac { \Delta ^ { 1 / 2 } } { r ^ { 2 + k } } \qquad } & { \textrm { f o r } k } & { \geq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| \frac { \psi _ { 1 } ( x + h , \chi ) - \psi _ { 1 } ( x , \chi ) } { h } \right| } \\ & { \qquad \qquad < \left( \frac { \log { x } } { 8 \pi } + \frac { \log { q } } { 2 \pi } + \varsigma _ { 3 } ( x ) \right) \sqrt { x } \log { x } + 3 0 \operatorname* { m i n } \{ k _ { 2 } ( x _ { 0 } ) , 0 \} \sqrt { x } \log { 1 0 } + 1 . 7 7 7 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } f _ { n } \nabla \cdot ( \theta \phi ) \, d x = } & { \int _ { \Omega } \left( \eta _ { \varepsilon _ { n } } \ast f \right) \nabla \cdot ( \theta \phi ) \, d x = \int _ { \Omega } f \nabla \cdot \left[ \eta _ { \varepsilon _ { n } } \ast ( \theta \phi ) \right] \, d x = \int _ { \Omega } f \nabla \cdot \left[ \theta \left( \frac { \eta _ { \varepsilon _ { n } } \ast ( \theta \phi ) } { \theta } \right) \right] \, d x } \\ { \leq } & { \left\| ( \eta _ { \varepsilon _ { n } } \ast \theta ) / \theta \right\| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ) } \int _ { \Omega } \theta d | D f ( x ) | . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \displaystyle { \operatorname* { s u p } _ { \mathcal { X } \in \mathbb { X } _ { 2 } ( D ) } \mathcal { E } ^ { * } ( \mathcal { X } , \mathcal { O } _ { { \tt c } , 2 } , T , \mathcal { W } _ { { \tt c o m } , r ) } } \leq \frac { D B } { \sqrt { T } } , \quad \displaystyle { \operatorname* { s u p } _ { \mathcal { X } \in \mathbb { X } _ { 2 } ( D ) } \mathcal { E } ^ { * } ( \mathcal { X } , \mathcal { O } _ { { \tt c } , 2 } ^ { \tt m } , T , \mathcal { W } _ { { \tt c o m } , r } ) } \leq \frac { D B } { \sqrt { T } } , } \\ & { \mathrm { a n d } \displaystyle { \operatorname* { s u p } _ { \mathcal { X } \in \mathbb { X } _ { 2 } ( D ) } \mathcal { E } ^ { * } ( \mathcal { X } , \mathcal { O } _ { { \tt s c } } , T , \mathcal { W } _ { { \tt c o m } , r ) } } \leq \frac { B ^ { 2 } } { \gamma T } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \delta _ { 1 } ( \zeta , k ) = \exp \Big ( - i \nu _ { 1 } \ln _ { \omega k _ { 4 } } ( k - \omega k _ { 4 } ) + i \nu _ { 3 } \ln _ { i } ( k - i ) - \chi _ { 1 } ( \zeta , k ) \Big ) , } \\ & { \delta _ { 2 } ( \zeta , k ) = \exp \Big ( i \nu _ { 2 } \ln _ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } ( k - \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) - \chi _ { 2 } ( \zeta , k ) \Big ) , } \\ & { \delta _ { 3 } ( \zeta , k ) = \exp \Big ( - i \nu _ { 3 } \ln _ { i } ( k - i ) + i \nu _ { 4 } \ln _ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } ( k - \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) - \chi _ { 3 } ( \zeta , k ) \Big ) , } \\ & { \delta _ { 4 } ( \zeta , k ) = \exp \Big ( - i \nu _ { 4 } \ln _ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } ( k - \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) - \chi _ { 4 } ( \zeta , k ) \Big ) , } \\ & { \delta _ { 5 } ( \zeta , k ) = \exp \Big ( - i \nu _ { 5 } \ln _ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } ( k - \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) - \chi _ { 5 } ( \zeta , k ) \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { L ( \boldsymbol { \mu } , \boldsymbol { \theta } ) } & { = P ( \boldsymbol { y } | \boldsymbol { \mu } , \boldsymbol { \theta } ) \times P ( \boldsymbol { u } | \boldsymbol { \theta } ) } \\ & { = P ( \boldsymbol { y } | \boldsymbol { \mu } , \boldsymbol { \theta } ) \times \prod _ { i = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma _ { u _ { i } } ^ { 2 } } } \ \exp \left[ - \frac { ( u _ { i } - \theta _ { i } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { u _ { i } } ^ { 2 } } \right] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | ( L ^ { n + 1 } ) _ { k } ^ { i } | } & { \le \sum _ { j = 1 } ^ { \nu } | ( L ^ { n } ) _ { k } ^ { j } | | L _ { j } ^ { i } | } \\ & { = \sum _ { 1 \le j \le i } | ( L ^ { n } ) _ { k } ^ { j } | | L _ { j } ^ { i } | + \sum _ { i < j \le k } | ( L ^ { n } ) _ { k } ^ { j } | | L _ { j } ^ { i } | + \sum _ { k < j \le \nu } ^ { \nu } | ( L ^ { n } ) _ { k } ^ { j } | | L _ { j } ^ { i } | } \\ & { \overset { , } \le \left( 3 \nu R _ { S _ { 0 } ^ { + } } ^ { \frac { 3 - \alpha } { 2 } } \right) ^ { n - 1 } \left( \sum _ { 1 \le j \le i } \left( \frac { \mathtt { j } _ { j } } { \mathtt { j } _ { k } } \right) ^ { \frac { 3 - \alpha } { 2 } } \left( \frac { \mathtt { j } _ { j } } { \mathtt { j } _ { i } } \right) ^ { 3 - \alpha } \right. } \\ & { \left. + \sum _ { i < j \le k } \left( \frac { \mathtt { j } _ { j } } { \mathtt { j } _ { k } } \right) ^ { \frac { 3 - \alpha } { 2 } } \left( \frac { \mathtt { j } _ { i } } { \mathtt { j } _ { j } } \right) ^ { 3 - \alpha } + \sum _ { k < j \le \nu } \left( \frac { \mathtt { j } _ { k } } { \mathtt { j } _ { j } } \right) ^ { \frac { 3 - \alpha } { 2 } } \left( \frac { \mathtt { j } _ { i } } { \mathtt { j } _ { j } } \right) ^ { 3 - \alpha } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } H _ { p } } { \mathrm { d } t } } & { = \dot { q } _ { \mathrm { c o n v } } + \dot { q } _ { \mathrm { r a d } } + \frac { \mathrm { d } m _ { p } } { \mathrm { d } t } h _ { \mathrm { O 2 } , s } , } \\ { \dot { q } _ { \mathrm { c o n v } } } & { = A _ { p } \frac { \mathrm { N u } \lambda _ { f } } { d _ { p } } \, ( T _ { p } - T _ { g } ) \frac { \mathrm { l n } ( 1 + B _ { t } ) } { B _ { t } } , } \\ { \dot { q } _ { \mathrm { r a d } } } & { = \epsilon \sigma \, A _ { p } \, ( T _ { p } ^ { 4 } - T _ { g } ^ { 4 } ) , } \\ { B _ { t } } & { = \frac { Y _ { \mathrm { O 2 } , s } - Y _ { \mathrm { O 2 } , g } } { 1 - Y _ { \mathrm { O 2 } , s } } , } \\ { \frac { \mathrm { d } u _ { p } } { \mathrm { d } t } } & { = - \frac { 1 } { 2 } C _ { d } \, \varrho _ { f } \frac { \pi d _ { p } ^ { 2 } } { 4 } \, | u _ { g } - u _ { p } | ( u _ { g } - u _ { p } ) , } \\ { C _ { d } } & { = \frac { 2 4 } { \mathrm { R e } _ { p } } \, \left( 1 + 0 . 1 5 \mathrm { R e } _ { p } ^ { 0 . 6 8 7 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \downarrow 0 } \operatorname* { s u p } _ { \sigma } \mathbb E | A _ { n , \varepsilon } ( \sigma ) - A _ { n } ( \sigma ) | } & { = 0 , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \downarrow 0 } \operatorname* { s u p } _ { \sigma } \mathbb E | B _ { n , \varepsilon , \lambda } ( \sigma ) - B _ { n , \lambda } ( \sigma ) | } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( h ^ { \epsilon } ) ^ { \prime \prime } ( \theta ) + h ^ { \epsilon } ( \theta ) } & { = \int _ { \mathbb { R } } \left[ ( \eta ^ { \epsilon } ) ^ { \prime \prime } ( \phi ) + \eta ^ { \epsilon } ( \phi ) \right] h ( \theta - \phi ) d \phi } \\ & { = \int _ { \mathbb { R } } \left[ ( \eta ^ { \epsilon } ) ^ { \prime \prime } ( \theta - \phi ) + \eta ^ { \epsilon } ( \theta - \phi ) \right] h ( \phi ) d \phi } \\ & { \ge 0 } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { g _ { 1 1 } } & { \mathrel { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \left. { \frac { I _ { 1 } } { V _ { 1 } } } \right| _ { I _ { 2 } = 0 } } & { g _ { 1 2 } } & { \mathrel { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \left. { \frac { I _ { 1 } } { I _ { 2 } } } \right| _ { V _ { 1 } = 0 } } \\ { g _ { 2 1 } } & { \mathrel { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \left. { \frac { V _ { 2 } } { V _ { 1 } } } \right| _ { I _ { 2 } = 0 } } & { g _ { 2 2 } } & { \mathrel { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \left. { \frac { V _ { 2 } } { I _ { 2 } } } \right| _ { V _ { 1 } = 0 } } \end{array} }
\left\{ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { j } _ { i } ^ { s } = - \frac { D _ { i } ^ { s } C _ { i } ^ { s } } { R T } \nabla \tilde { \mu } _ { i } ^ { s } , } & { \mathrm { i n ~ } \Omega ^ { s } } \\ { \mathcal { R } ^ { l } = k _ { f , 0 } ^ { l } e ^ { - \frac { \Delta Z F } { R T } \beta ( \Delta \phi ^ { l } ) } \Pi _ { i = 1 } ^ { N } \left( \frac { C _ { i } ^ { l } } { c _ { 0 } } \right) ^ { a _ { i } } - k _ { r , 0 } ^ { l } e ^ { \frac { \Delta z ^ { l } F } { R T } ( 1 - \beta ) ( \Delta \phi ^ { l } ) } \Pi _ { i = 1 } ^ { N } \left( \frac { C _ { e } ^ { l } } { c _ { e , 0 } } \right) ^ { - \Delta z ^ { l } } \left( \frac { C _ { i } ^ { l } } { c _ { 0 } } \right) ^ { b _ { i } } } & { \mathrm { o n ~ } \Gamma ^ { l } } \\ { \mathcal { R } ^ { r } = k _ { f , 0 } ^ { r } e ^ { - \frac { \Delta Z F } { R T } \beta ( \Delta \phi ^ { r } ) } \left( \frac { C _ { e } ^ { r } } { c _ { e , 0 } } \right) ^ { \Delta z ^ { r } } \Pi _ { i = 1 } ^ { N } \left( \frac { C _ { i } ^ { r } } { c _ { 0 } } \right) ^ { a _ { i } } - k _ { r , 0 } ^ { r } e ^ { \frac { \Delta z ^ { r } F } { R T } ( 1 - \beta ) ( \Delta \phi ^ { r } ) } \Pi _ { i = 1 } ^ { N } \left( \frac { C _ { i } ^ { r } } { c _ { 0 } } \right) ^ { b _ { i } } } & { \mathrm { o n ~ } \Gamma ^ { r } } \\ { \boldsymbol { D } ^ { s } \cdot \boldsymbol { n } ^ { s } = C _ { e } ^ { s } F = \mathbb { C } _ { p } ( \phi ^ { s } - \phi _ { p } ^ { s } ) , } & { \mathrm { o n } ~ \Gamma } \\ { J _ { e } = - \frac { g } { F ^ { 2 } } ( \tilde { \mu } _ { e } ^ { r } - \tilde { \mu } _ { e } ^ { l } ) , } & { \mathrm { o n } ~ \Gamma } \\ { \phi = \phi _ { r e f } , } & { \mathrm { o n } ~ \partial \Omega / \Gamma . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { P \Lambda ^ { k } ( \Omega ) : = \left\{ \gamma \in H \Lambda ^ { k } ( \Omega ) \cap H ^ { \ast } \Lambda ^ { k } ( \Omega ) \mid d \gamma = 0 \mathrm { ~ i n ~ } \Omega \right\} , } \\ & { \mathring { P } \Lambda ^ { k } ( \Omega ) : = \{ \gamma \in H \Lambda ^ { k } ( \Omega ) \cap H ^ { \ast } \Lambda ^ { k } ( \Omega ) \mid d \gamma = 0 \mathrm { ~ i n ~ } \Omega , \ \mathrm { t r } ( \gamma ) = 0 \mathrm { ~ a t ~ } \Gamma \} ; } \\ & { \mathrm { ~ } } \\ & { P ^ { \ast } \Lambda ^ { k } ( \Omega ) : = \{ \gamma \in H \Lambda ^ { k } ( \Omega ) \cap H ^ { \ast } \Lambda ^ { k } ( \Omega ) \mid \delta \gamma = 0 \mathrm { ~ i n ~ } \Omega \} , } \\ & { \mathring { P } ^ { \ast } \Lambda ^ { k } ( \Omega ) : = \{ \gamma \in H \Lambda ^ { k } ( \Omega ) \cap H ^ { \ast } \Lambda ^ { k } ( \Omega ) \mid \delta \gamma = 0 \mathrm { ~ i n ~ } \Omega , \ \mathrm { t r } ( \ast \gamma ) = 0 \mathrm { ~ a t ~ } \Gamma \} ; } \\ & { \mathrm { ~ } } \\ & { \mathring { V } \Lambda ^ { k } ( \Omega ) : = \{ \mu \in H \Lambda ^ { k } ( \Omega ) \cap \mathring { H } ^ { \ast } \Lambda ^ { k } ( \Omega ) \mid d \mu = 0 \mathrm { ~ i n ~ } \Omega \} , } \\ & { \mathring { V } ^ { \ast } \Lambda ^ { k } ( \Omega ) : = \{ \mu \in \mathring { H } \Lambda ^ { k } ( \Omega ) \cap H ^ { \ast } \Lambda ^ { k } ( \Omega ) \mid \delta \mu = 0 \mathrm { ~ i n ~ } \Omega \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \omega _ { i , j } ^ { 2 } : = { \sf V a r } [ E _ { i , j } ] , ~ ~ \omega _ { \sf m a x } ^ { 2 } : = \operatorname* { m a x } _ { i , j } { \sf V a r } \left[ E _ { i , j } \right] , ~ ~ \omega _ { \sf r o w } ^ { 2 } : = \operatorname* { m a x } _ { i } \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { 2 } } { \sf V a r } \left[ E _ { i , j } \right] , ~ ~ \omega _ { \sf c o l } ^ { 2 } : = \operatorname* { m a x } _ { j } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { 1 } } { \sf V a r } \left[ E _ { i , j } \right] , } \end{array}
\overline { { \left( \Delta \alpha \Delta \right) _ { i } } } = \frac { \overline { { \alpha _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { n } } } \, \overline { { \Delta _ { i + \frac { 1 } { 2 } } } } - \overline { { \alpha _ { i - \frac { 1 } { 2 } } ^ { n } } } \, \overline { { \Delta _ { i - \frac { 1 } { 2 } } } } } { \Delta x } = \frac { 1 } { \Delta x ^ { 2 } } \left[ \overline { { \alpha _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { n } } } \left( \overline { { q _ { i + 1 } ^ { n } } } - \overline { { q _ { i } ^ { n } } } \right) - \overline { { \alpha _ { i - \frac { 1 } { 2 } } ^ { n } } } \left( \overline { { q _ { i } ^ { n } } } - \overline { { q _ { i - 1 } ^ { n } } } \right) \right] ,
\begin{array} { r l } & { \mathrm { D i r e c t ~ p a r t s . } \quad \widetilde { h } _ { i } ^ { D } ( x _ { \upsilon } ^ { i } , y _ { + } ) = \nabla _ { x } F _ { i } ( x _ { \upsilon } ^ { i } , y _ { + } ; \xi _ { \upsilon } ^ { i } ) , \; \widetilde { h } _ { i } ^ { D } ( x ) = \nabla _ { x } F _ { i } ( x , y _ { + } ; \xi _ { i } ) , \; \bar { \nabla } f _ { i } ^ { D } ( x , y ) = \nabla _ { x } f _ { i } ( x , y ) } \\ & { \mathrm { I n d i r e c t ~ p a r t s . } \quad \widetilde { h } _ { i } ^ { I } ( x ) = \lambda ( N + 1 ) \nabla _ { x } \nabla _ { y } G _ { i } ( x , y ^ { N } ; \chi _ { i } ) \prod _ { t = N } ^ { Q + 1 } ( I - \lambda \nabla _ { y } ^ { 2 } G ( x , y ^ { t } ; u _ { t } ) ) \nabla _ { y } F ( x , y ^ { Q } ; \xi _ { Q } ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \; \; \bar { \nabla } f _ { i } ^ { I } ( x , y ) = \nabla _ { x } \nabla _ { y } g _ { i } ( x , y ) ( \nabla _ { y } ^ { 2 } g ( x , y ) ) ^ { - 1 } \nabla _ { y } f ( x , y ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { P r } _ { \omega \sim \mathcal { M } ( \mathcal { D } ) } [ \omega \in S ] } & { \le \exp ( \epsilon _ { \textup { d p } } ) \operatorname* { P r } _ { \omega \sim \nu } [ \omega \in S ] + \delta ^ { \prime } + \delta } \\ & { \le \exp ( \epsilon _ { \textup { d p } } ) \operatorname* { P r } _ { \omega \sim \mathcal { M } ( \mathcal { D } ^ { \prime } ) } [ \omega \in S ] + \delta ^ { \prime } + ( 1 + \exp ( \epsilon _ { \textup { d p } } ) ) \delta . } \end{array}
\begin{array} { r } { U _ { n } ( g , s ) \leq \mathbb E [ ( f _ { t } - Z _ { t } ^ { 1 - \tau } ) ( \mathbb { I } \left[ Z _ { t } ^ { 1 - \tau } \leq f _ { t } \leq g \right] ) \mid S = s , A = 1 ] + \mathbb E [ ( Z _ { t } ^ { 1 - \tau } - f _ { t } ) ( \mathbb { I } \left[ g \leq f _ { t } \leq Z _ { t } ^ { 1 - \tau } \right] ) \mid S = s , A = 1 ] } \end{array}
p ( 0 ) \leq \mathbb { P } \big ( \frac { Z _ { 1 } / 4 U } { Z _ { 2 } / 4 U } \geq \frac { \beta \tilde { P } _ { \textnormal { m i n } } ^ { i } } { P _ { \textnormal { m a x } } ^ { s } } \big ) = \mathbb { P } \big ( \frac { Z _ { 1 } / 2 \times 1 / 2 U } { Z _ { 2 } / 2 U \times 1 / 2 } \geq \frac { \beta \tilde { P } _ { \textnormal { m i n } } ^ { i } } { P _ { \textnormal { m a x } } ^ { s } } \big )
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ r _ { 1 } ^ { - \alpha } ] } & { = \int _ { d _ { 0 } } ^ { \infty } r _ { 1 } ^ { - \alpha } f ( r _ { 1 } ) d r _ { 1 } } \\ & { = ( \pi \lambda _ { B S } ) ^ { \frac { \alpha } { 2 } } \int _ { \pi \lambda _ { B S } d _ { 0 } ^ { 2 } } ^ { \infty } y ^ { \frac { 2 - \alpha } { 2 } - 1 } e ^ { - y } d y } \\ & { = ( \pi \lambda _ { B S } ) ^ { \frac { \alpha } { 2 } } \Gamma ( 1 - \frac { \alpha } { 2 } , r _ { 0 } ) . } \end{array}
E _ { \pm ; n } ^ { ( \operatorname { r e s } ) } = \left( 1 + \frac { v _ { 2 } ^ { 2 } } { v _ { 1 } ^ { 2 } } \tan ^ { 2 } \xi \right) \left( U _ { 0 } \pm \sqrt { U _ { 0 } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 1 + \frac { v _ { 2 } ^ { 2 } } { v _ { 1 } ^ { 2 } } \tan ^ { 2 } \xi } \left( U _ { 0 } ^ { 2 } - \frac { \hbar ^ { 2 } \pi ^ { 2 } v _ { 1 } ^ { 2 } ( n + 1 ) ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } - \frac { m ^ { 2 } } { 1 + \frac { v _ { 2 } ^ { 2 } } { v _ { 1 } ^ { 2 } } \tan ^ { 2 } \xi } \right) } \right) ,
\begin{array} { r l } { \big | f \big ( a _ { 1 } , u _ { 1 } \big ) - f \big ( a _ { 2 } , u _ { 2 } \big ) \big | \le } & { L _ { \ell } \, \big ( \| \boldsymbol { \mathcal { G } } ( a _ { 1 } ) - \boldsymbol { \mathcal { G } } ( a _ { 2 } ) \| _ { \mathcal { Y } } ^ { 2 } + \| u _ { 1 } - u _ { 2 } \| _ { \mathcal { Y } } ^ { 2 } \big ) ^ { 1 / 2 } } \\ { \le } & { L _ { \ell } \, \big ( \operatorname { L i p } ( \boldsymbol { \mathcal { G } } ) ^ { 2 } \| a _ { 1 } - a _ { 2 } \| _ { \mathcal { X } } ^ { 2 } + 1 \, \| u _ { 1 } - u _ { 2 } \| _ { \mathcal { Y } } ^ { 2 } \big ) ^ { 1 / 2 } } \\ { \le } & { L _ { \ell } \, \big ( \operatorname* { m a x } \{ \operatorname { L i p } ( \boldsymbol { \mathcal { G } } ) ^ { 2 } , 1 \} \, \| a _ { 1 } - a _ { 2 } \| _ { \mathcal { X } } ^ { 2 } + \operatorname* { m a x } \{ \operatorname { L i p } ( \boldsymbol { \mathcal { G } } ) ^ { 2 } , 1 \} \, \| u _ { 1 } - u _ { 2 } \| _ { \mathcal { Y } } ^ { 2 } \big ) ^ { 1 / 2 } } \\ { = } & { L _ { \ell } \, \operatorname* { m a x } \{ \operatorname { L i p } ( \boldsymbol { \mathcal { G } } ) , 1 \} \big ( \| a _ { 1 } - a _ { 2 } \| _ { \mathcal { X } } ^ { 2 } + \| u _ { 1 } - u _ { 2 } \| _ { \mathcal { Y } } ^ { 2 } \big ) ^ { 1 / 2 } } \\ { : = } & { L _ { \ell } \, \operatorname* { m a x } \{ \operatorname { L i p } ( \boldsymbol { \mathcal { G } } ) , 1 \} \| ( a _ { 1 } , u _ { 1 } ) - ( a _ { 2 } , u _ { 2 } ) \| _ { \mathcal { X } \times \mathcal { Y } } ^ { 2 } , } \end{array}
F _ { \beta } ^ { \widetilde { T } } = ( \iota _ { \beta \to v ( \beta ) } ) _ { * } 1 = e _ { \widetilde { T } } ( \widetilde { N } _ { \mathscr { F } _ { \beta } / \mathscr { X } _ { \zeta , v ( \beta ) } } ) = \prod _ { d _ { j } ( \beta ) \in \mathbb { Z } _ { < 0 } } \iota _ { v ( \beta ) } ^ { * } u _ { j } ^ { \widetilde { T } } \in H _ { \widetilde { T } } ^ { * } ( \mathscr { X } _ { \zeta , v ( \beta ) } ) .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } } & { = \partial _ { 0 } + \epsilon \omega _ { 1 } \partial _ { 0 } + \epsilon ^ { 2 } ( \omega _ { 2 } \partial _ { + } \partial _ { 2 } ) + \epsilon ^ { 3 } ( \omega _ { 3 } \partial _ { 0 } + \partial _ { 3 } ) + \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 4 } ) } \\ & { = \mathcal { T } _ { 0 } + \epsilon \mathcal { T } _ { 1 } + \epsilon ^ { 2 } \mathcal { T } _ { 2 } + \epsilon ^ { 3 } \mathcal { T } _ { 3 } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \delta } & { = \int { \frac { { \sqrt { b ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \beta + c ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \beta } } \, d \beta } { { \sqrt { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \beta - c ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \beta } } { \sqrt { { \bigl ( } b ^ { 2 } - c ^ { 2 } { \bigr ) } \cos ^ { 2 } \beta - \gamma } } } } } \\ & { \quad - \int { \frac { { \sqrt { a ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \omega + b ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \omega } } \, d \omega } { { \sqrt { a ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \omega + b ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \omega - c ^ { 2 } } } { \sqrt { { \bigl ( } a ^ { 2 } - b ^ { 2 } { \bigr ) } \sin ^ { 2 } \omega + \gamma } } } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \psi ^ { L } } & { : = \phi ^ { L } ( 2 \cdot ) - \frac { 9 } { 1 6 } \phi ^ { L , b c } ( 2 \cdot ) + [ \frac { 3 } { 4 } , - \frac { 1 } { 1 6 } ] \phi ( 2 \cdot - 1 ) , } \\ { \psi ^ { L , b c } } & { : = \phi ^ { L , b c } ( 2 \cdot ) + [ - \frac { 2 1 2 1 } { 5 1 2 } , \frac { 6 5 7 } { 4 0 9 6 } ] \phi ( 2 \cdot - 1 ) + [ \frac { 3 8 7 7 } { 1 0 2 4 } , - \frac { 4 0 2 3 } { 4 0 9 6 } ] \phi ( 2 \cdot - 2 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \tilde { r } } \frac { \partial } { \partial \tilde { r } } \left[ \tilde { r } \frac { \partial \psi } { \partial \tilde { r } } \right] + \frac { 1 } { \tilde { r } ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial \tilde { \phi } ^ { 2 } } = } & { \frac { 2 \tilde { r } ^ { 2 } - r _ { b } ^ { 2 } } { 2 \tilde { r } \sqrt { \tilde { r } ^ { 2 } - r _ { b } ^ { 2 } } } \theta ( \tilde { r } - r _ { b } ) - 1 } \\ & { + g \tilde { r } \cos \tilde { \phi } \left( \frac { 4 \tilde { r } ^ { 2 } - 3 r _ { b } ^ { 2 } } { 4 \tilde { r } \sqrt { \tilde { r } ^ { 2 } - r _ { b } ^ { 2 } } } \theta ( \tilde { r } - r _ { b } ) - 1 \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \left( L _ { < , \varepsilon } ^ { \star } \ge 2 \sqrt { x \lambda t } - x \lambda - \frac { 1 } { 2 } \sqrt { x t \lambda } \delta ( \varepsilon ) \right) } \\ { \leq } & { \ \mathbb { P } \left( \mathrm { P o i s s o n } ( x \varepsilon \bar { \alpha } ) \ge x \varepsilon \bar { \alpha } + \frac { 1 } { 4 } \sqrt { x t \lambda } \delta ( \varepsilon ) \right) } \\ { + } & { \ \mathbb { P } \left( \mathcal { L } _ { < } ( \Pi _ { x , t } ^ { ( \lambda ) } \cap \left( [ \varepsilon x , x ] \times [ 0 , t ] \right) \geq 2 \sqrt { x ( 1 - \varepsilon ) \lambda t } - x ( 1 - \varepsilon ) \lambda + \frac { 1 } { 4 } \sqrt { x t \lambda } \delta ( \varepsilon ) \right) } \\ { \leq } & { \ \exp \left( - \frac { x t \lambda \delta ( \varepsilon ) ^ { 2 } } { 1 6 \times 4 \varepsilon ^ { 2 } ( \sqrt { x t \lambda } - x \lambda ) } \right) \qquad \mathrm { ( u s i n g ~ L e m m a ~ ) } } \\ { + } & { \ \mathbb { P } \left( \mathcal { L } _ { < } ( \Pi _ { x , t } ^ { ( \lambda ) } \cap \left( [ \varepsilon x , x ] \times [ 0 , t ] \right) \geq 2 \sqrt { x ( 1 - \varepsilon ) \lambda t } - x ( 1 - \varepsilon ) \lambda + \frac { 1 } { 8 } ( 2 \sqrt { x ( 1 - \varepsilon ) \lambda t } - x ( 1 - \varepsilon ) \lambda ) \delta ( \varepsilon ) \right) } \\ { \leq } & { \ \exp \left( - \sqrt { x t \lambda } \delta ( \varepsilon ) ^ { 2 } / ( 6 4 \varepsilon ^ { 2 } ) \right) } \\ { + } & { \ \mathbb { P } \left( \mathcal { L } _ { < } ( \Pi _ { x , t } ^ { ( \lambda ) } \cap \left( [ \varepsilon x , x ] \times [ 0 , t ] \right) \geq \left( 2 \sqrt { x ( 1 - \varepsilon ) \lambda t } - x ( 1 - \varepsilon ) \lambda \right) \times ( 1 + \frac { 1 } { 8 } \delta ( \varepsilon ) ) \right) } \\ { \leq } & { \ \exp \left( - \sqrt { x t \lambda } \delta ( \varepsilon ) ^ { 2 } / ( 6 4 \varepsilon ^ { 2 } ) \right) } \\ & { \ + \exp \left( - g ( \delta ( \varepsilon ) / 8 ) ( \sqrt { x ( 1 - \varepsilon ) t \lambda } - x ( 1 - \varepsilon ) \lambda ) \right) \mathrm { ( u s i n g ~ t h e ~ u p p e r ~ b o u n d ~ ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { J _ { P } ( \xi , \mathbb { P } ^ { \nu } ) = \mathbb { E } ^ { \mathbb { P } ^ { \nu } } \left[ U _ { P } \left( - \sum _ { n = 1 } ^ { N } \xi _ { n } + \int _ { 0 } ^ { T } \lambda \cdot X _ { t } d t + \frac 1 2 \int _ { 0 } ^ { T } \mathrm { T r } \left[ g ~ d \langle X \rangle _ { t } \right] + \Lambda \cdot X _ { T } \right) \right] \; , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( \sum _ { k = 1 } ^ { n } | a _ { k } + b _ { k } | ^ { p } \right) ^ { \frac { 1 } { p } } } & { = } & { \left( \sum _ { k = 1 } ^ { n } | a _ { k } + b _ { k } | ^ { p } \right) ^ { 1 - \frac { 1 } { q } } \leq \left( \sum _ { k = 1 } ^ { n } | a _ { k } | ^ { p } \right) ^ { \frac { 1 } { p } } + \left( \sum _ { k = 1 } ^ { n } | b _ { k } | ^ { p } \right) ^ { \frac { 1 } { p } } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \boldsymbol { \sigma } } ^ { \prime } } & { = \mathbf { A } { \boldsymbol { \sigma } } \mathbf { A } ^ { T } } \\ { \left[ { \begin{array} { l l } { \sigma _ { x ^ { \prime } } } & { \tau _ { x ^ { \prime } y ^ { \prime } } } \\ { \tau _ { y ^ { \prime } x ^ { \prime } } } & { \sigma _ { y ^ { \prime } } } \end{array} } \right] } & { = \left[ { \begin{array} { l l } { a _ { x } } & { a _ { x y } } \\ { a _ { y x } } & { a _ { y } } \end{array} } \right] \left[ { \begin{array} { l l } { \sigma _ { x } } & { \tau _ { x y } } \\ { \tau _ { y x } } & { \sigma _ { y } } \end{array} } \right] \left[ { \begin{array} { l l } { a _ { x } } & { a _ { y x } } \\ { a _ { x y } } & { a _ { y } } \end{array} } \right] } \\ & { = \left[ { \begin{array} { l l } { \cos \theta } & { \sin \theta } \\ { - \sin \theta } & { \cos \theta } \end{array} } \right] \left[ { \begin{array} { l l } { \sigma _ { x } } & { \tau _ { x y } } \\ { \tau _ { y x } } & { \sigma _ { y } } \end{array} } \right] \left[ { \begin{array} { l l } { \cos \theta } & { - \sin \theta } \\ { \sin \theta } & { \cos \theta } \end{array} } \right] } \end{array} }
\begin{array} { r l } { { \bf v } _ { g } } & { = \frac { \displaystyle \frac { { \bf k } ^ { \prime } } { \mu \omega } + i \, \frac { \omega \epsilon ^ { \prime \prime } \, \hat { { \bf k } } } { 2 k ^ { \prime } } } { \displaystyle \left( \epsilon ^ { \prime } + \frac { \omega } { 2 } \frac { \partial \epsilon ^ { \prime } } { \partial \omega } \right) + i \left( \epsilon ^ { \prime \prime } + \frac { \omega } { 2 } \frac { \partial \epsilon ^ { \prime \prime } } { \partial \omega } \right) } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | u | _ { C _ { \tau } ^ { k , \alpha } ( M ( \Sigma ) ) } } \\ & { \quad = \, | u | _ { C ^ { k , \alpha } ( K ) } + \sum _ { i = 0 } ^ { k } \operatorname* { s u p } _ { | x | _ { \bar { g } } > 1 } | x | _ { \bar { g } } ^ { i + \tau } \, | ( D ^ { i } ( \bar { g } ) u ) ( x ) | _ { \bar { g } } } \\ & { \quad \qquad + \operatorname* { s u p } _ { | x _ { 1 } | _ { \bar { g } } > 1 } \, \, \operatorname* { s u p } _ { 2 \, | x _ { 2 } - x _ { 1 } | _ { \bar { g } } < | x _ { 1 } | _ { \bar { g } } } | x _ { 1 } | _ { \bar { g } } ^ { k + \tau + \alpha } \, | x _ { 1 } - x _ { 2 } | _ { \bar { g } } ^ { - \alpha } \, | ( D ^ { k } ( \bar { g } ) u ) ( x _ { 1 } ) - ( D ^ { k } ( \bar { g } ) u ) ( x _ { 2 } ) | _ { \bar { g } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } w _ { i j } } & { = g _ { i j } ( \mathbf A , \mathbf W ) \mathrm { d } t + \sqrt { \eta } P _ { i j k l } ( \mathbf W ) N _ { k l r s } ( \mathbf W ) \circ \mathrm { d } B _ { r s } , } \\ & { = g _ { i j } ( \mathbf A , \mathbf W ) \mathrm { d } t + \sqrt { \eta } N _ { i j r s } ( \mathbf W ) \circ \mathrm { d } B _ { r s } . } \end{array}
B _ { \alpha } ^ { \Delta } \! \left( \begin{array} { l l l } { x _ { 0 1 } } & { x _ { 0 2 } } & { x _ { 0 3 } } \\ { x _ { 2 3 } } & { x _ { 1 3 } } & { x _ { 1 2 } } \end{array} \right) = ( \sin \alpha ) ^ { \frac { \alpha } { \pi } - \frac { 1 } { 2 } } ( \sin \alpha ^ { \prime } ) ^ { \frac { \alpha ^ { \prime } } { \pi } - \frac { 1 } { 2 } } ( \sin \alpha ^ { \prime \prime } ) ^ { \frac { \alpha ^ { \prime \prime } } { \pi } - \frac { 1 } { 2 } } e ^ { - \pi b ( x _ { 0 1 } + x _ { 2 3 } , \, x _ { 0 2 } + x _ { 1 3 } , \, x _ { 0 3 } + x _ { 1 2 } ) } ,
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } _ { \pi , \sigma , \mu , \eta , \tau , \nu } - \! \sum _ { j } \! C _ { j } ( 1 \! - \! z _ { j } ) \pi _ { j } \! + \! \sum _ { i } \! \lambda _ { i } \mu _ { i } \! - \! \sum _ { i , j } \! C _ { j } a _ { i , j } \sigma _ { i , j } } \\ { - \sum _ { i } \sum _ { i ^ { \prime } = i + 1 } ^ { M } \beta ( \eta _ { i , i ^ { \prime } } + \tau _ { i , i ^ { \prime } } ) - \sum _ { i } \theta \nu _ { i } } \\ { \mathrm { s . t . } \quad \quad \quad \quad \quad \quad - \pi _ { j } + \mu _ { i } - \sigma _ { i , j } \le \gamma d _ { i , j } , ~ \forall i , j } \\ { \mu _ { i } - \frac { 1 } { \lambda _ { i } } \sum _ { l = i + 1 } ^ { M } \left( \eta _ { i , l } - \tau _ { i , l } \right) + \frac { 1 } { \lambda _ { i } } \sum _ { l = 1 } ^ { i - 1 } \left( \eta _ { l , i } - \tau _ { l , i } \right) - \frac { \nu _ { i } } { \lambda _ { i } } } \\ { \le ( 1 - \gamma ) \phi _ { i } , ~ \forall i } \\ { \pi _ { j } \geq 0 , \sigma _ { i , j } \geq 0 , \eta _ { i , i ^ { \prime } } \geq 0 , \tau _ { i , i ^ { \prime } } \geq 0 , \nu _ { i } \geq 0 , ~ \forall i , i ^ { \prime } , j . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 4 } } & { \mathrm { \underline { { L e v e l ~ 1 0 1 6 9 ~ ( ~ \Delta ~ = ~ 8 7 6 8 ~ ) : } } } } & & { \mathrm { \underline { { N o r m } } } } \\ & { a ( 3 ) = 0 } \\ & { a ( 5 ) = 1 } \\ & { a ( 1 6 ) = a ( 2 \cdot 7 3 ) = 3 } \\ & { a ( 2 8 ) = a ( 3 2 ) } & & { 7 ^ { 2 } } \\ & { a ( 5 0 ) = a ( 9 7 ) } & & { 2 ^ { 8 } } \\ & { a ( 1 2 5 ) = a ( 1 4 4 ) = a ( 2 \cdot 3 ^ { 4 } \cdot 7 ) = - 9 } \\ & { a ( 3 ^ { 6 } ) = a ( 2 0 0 0 ) = - 2 7 } \\ & { a ( 1 7 \cdot 5 3 ) = a ( 1 2 1 7 ) } & { - } & { 2 ^ { 4 } \cdot 7 \cdot 1 1 ^ { 2 } } \\ & { a ( 2 0 8 9 ) = a ( 2 \cdot 7 \cdot 4 0 9 ) } & & { 2 ^ { 4 } \cdot 7 \cdot 3 5 3 } \\ & { \mathrm { \underline { { L e v e l ~ 1 3 6 8 1 ~ ( ~ \Delta ~ = ~ 7 2 5 ~ ) : } } } } & & { \mathrm { \underline { { N o r m } } } } \\ & { a ( 2 \cdot 7 3 ) = a ( 2 ^ { 2 } \cdot 8 3 ) } & { - } & { 2 ^ { 4 } } \\ & { a ( 1 1 6 3 ) = a ( 2 ^ { 2 } \cdot 3 ^ { 3 } \cdot 1 1 ) } & & { 5 ^ { 2 } \cdot 2 8 1 } \\ & { a ( 2 ^ { 2 } \cdot 3 ^ { 3 } \cdot 1 3 ) = a ( 2 \cdot 3 \cdot 1 7 \cdot 2 9 ) } & { - } & { 5 ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { 1 } ( \mathrm { S M o d } _ { g ; k } ) } & { \cong } & { \left< \widetilde { h } _ { 1 } , \widetilde { t } _ { 1 , 2 } , \widetilde { r } \ \middle | \ \widetilde { r } ^ { 2 } = 1 , ( \widetilde { t } _ { 1 , 2 } ^ { - n + 1 } \widetilde { h } _ { 1 } ^ { 2 n } ) ^ { 2 } = 1 \right> } \\ & { \cong } & { \left< \widetilde { h } _ { 1 } , \widetilde { t } _ { 1 , 2 } , \widetilde { r } , X \ \middle | \ \widetilde { r } ^ { 2 } = 1 , ( X ^ { n - 1 } \widetilde { h } _ { 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } = 1 , X = \widetilde { t } _ { 1 , 2 } ^ { - 1 } \widetilde { h } _ { 1 } ^ { 2 } \right> } \\ & { \cong } & { \left< \widetilde { h } _ { 1 } , \widetilde { r } , X \ \middle | \ \widetilde { r } ^ { 2 } = 1 , ( X ^ { n - 1 } \widetilde { h } _ { 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } = 1 \right> } \\ & { \cong } & { \left< \widetilde { h } _ { 1 } , \widetilde { r } , X , Y \ \middle | \ \widetilde { r } ^ { 2 } = 1 , Y ^ { 4 } = 1 , Y = X ^ { \frac { n - 1 } { 2 } } \widetilde { h } _ { 1 } \right> } \\ & { \cong } & { \left< \widetilde { r } , X , Y \ \middle | \ \widetilde { r } ^ { 2 } = 1 , Y ^ { 4 } = 1 \right> } \\ & { \cong } & { \mathbb { Z } [ X ] \oplus \mathbb { Z } _ { 2 } [ \widetilde { r } ] \oplus \mathbb { Z } _ { 4 } [ Y ] , } \end{array}
r _ { t } = \Xi _ { t } ; s _ { t } = \mathbb { E } \left[ \Vert \hat { V } _ { { \theta } _ { t } } - \hat { V } _ { \theta ^ { * } } \Vert _ { D } ^ { 2 } \right] ; A = \frac { \omega ( 1 - \gamma ) } { 8 } ; B = \frac { ( 1 - \gamma ) } { 8 } ; \bar { C } = \frac { 8 \sigma ^ { 2 } } { M } ; D = \frac { 8 0 \delta ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { ( 1 - \gamma ) } ,
\begin{array} { r } { \mathbb { E } [ \| y ^ { * } ( x _ { k + 1 } ) - y ^ { * } ( x _ { k } ) \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] \le 2 \xi ^ { 2 } l _ { * , 0 } ^ { 2 } \alpha _ { k } ^ { 2 } \left( \mathbb { E } [ \| q _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] + \mathbb { E } [ \| \tilde { e } _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } ] \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| \mathbb { E } _ { 0 } [ M _ { 1 } ( T ) ] - \mathbb { E } _ { 1 } [ M _ { 1 } ( T ) ] \right| \le \sqrt { \frac { 1 } { 2 } \mathrm { K L } \big ( \mathcal { H } _ { T } ^ { ( 0 ) } , \mathcal { H } _ { T } ^ { ( 1 ) } \big ) } , } \\ { \Rightarrow ~ } & { \left| \mathbb { E } _ { 1 } [ M _ { 1 } ( T ) ] - \frac { T } { L _ { 0 } } \right| \le \sqrt { \frac { K T } { 2 L _ { 0 } } \cdot d ( \mu _ { 0 } , \mu _ { 1 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } | Z _ { N , t } ^ { i } | ^ { \alpha } } & { \leq C \mathbb { E } \left( \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { B _ { N } } | z | ^ { 2 } \, \mathcal { N } ^ { i } ( d s , d z ) \right) ^ { \frac { \alpha } { 2 } } } \\ & { \leq C \left[ \left( \mathbb { E } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { B _ { 1 } } | z | ^ { 2 } \, \mathcal { N } ^ { i } ( d s , d z ) \right) ^ { \frac { \alpha } { 2 } } + \mathbb { E } \left( \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { B _ { N } \backslash B _ { 1 } } | z | ^ { 2 } \, \mathcal { N } ^ { i } ( d s , d z ) \right) ^ { \frac { \alpha } { 2 } } \right] } \\ & { \leq C \left[ \left( t \int _ { B _ { 1 } } | z | ^ { 2 } \, d \nu ( z ) \right) ^ { \frac { \alpha } { 2 } } + \mathbb { E } \left( \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { B _ { N } \backslash B _ { 1 } } | z | ^ { 2 } \, \mathcal { N } ^ { i } ( d s , d z ) \right) ^ { \frac { \alpha } { 2 } } \right] } \\ & { \leq C \left[ 1 + \int _ { 1 } ^ { N } r ^ { \alpha } \, \frac { d r } { r ^ { 1 + \alpha } } \right] } \\ & { \leq C \ln ( N ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \| S ^ { * } ( t ) \mathbb { E } \{ \bar { V } ( t , \tau ) \} S ^ { * } ( t ) - \mu _ { 0 } S ^ { * } ( t ) \| _ { \operatorname* { m a x } } } \\ & { \le } & { \| S ^ { * } ( t ) \mathbb { E } \{ \bar { V } ( t , \tau ) \} S ^ { * } ( t ) - \mu _ { 0 } S ^ { * } ( t ) V ^ { * } ( t ) S ^ { * } ( t ) \| _ { \operatorname* { m a x } } } \\ & { } & { + \mu _ { 0 } \| S ^ { * } ( t ) V ^ { * } ( t ) S ^ { * } ( t ) - S ^ { * } ( t ) \| _ { \operatorname* { m a x } } } \\ & { = } & { O \big ( h q _ { n } e ^ { 2 q _ { n } } + q _ { n } e ^ { 3 q _ { n } } / n \big ) \rightarrow 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \bigl ( p _ { \mathcal { A } ( i ) - 1 } ^ { i } , \: \: p _ { \mathcal { A } ( j ) - 1 } ^ { j } , \: \: p _ { \mathcal { A } ( i ) - 1 } ^ { i } p _ { \mathcal { A } ( j ) - 1 } ^ { j } , \: \: 1 \bigr ) , } \\ & { \bigl ( 0 , \: \: ( p _ { \mathcal { A } ( j ) } ^ { j } - p _ { \mathcal { A } ( j ) - 1 } ^ { j } ) , \: \: p _ { \mathcal { A } ( i ) - 1 } ^ { i } ( p _ { \mathcal { A } ( j ) } ^ { j } - p _ { \mathcal { A } ( j ) - 1 } ^ { j } ) , \: \: 0 \bigr ) , } \\ & { \bigl ( ( p _ { \mathcal { A } ( i ) } ^ { i } - p _ { \mathcal { A } ( i ) - 1 } ^ { i } ) , \: \: 0 , \: \: p _ { \mathcal { A } ( j ) - 1 } ^ { j } ( p _ { \mathcal { A } ( i ) } ^ { i } - p _ { \mathcal { A } ( i ) - 1 } ^ { i } ) , \: \: 0 \bigr ) , } \\ & { \bigl ( 0 , \: \: ( p _ { \mathcal { A } ( j ) } ^ { j } - p _ { \mathcal { A } ( j ) - 1 } ^ { j } ) , \: \: p _ { \mathcal { A } ( i ) } ^ { i } ( p _ { \mathcal { A } ( j ) } ^ { j } - p _ { \mathcal { A } ( j ) - 1 } ^ { j } ) , \: \: 0 \bigr ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { \theta _ { \alpha } } \quad } & { R ( x _ { \tau } , \theta ) = \sum _ { s = \tau } ^ { \tau + T } r ( x _ { s } , u _ { s } ) + \Phi ( x _ { T + 1 } ) , } \\ { \textrm { s . t . } \quad } & { u _ { s } = \pi _ { Q P } ( x _ { s } ; \theta _ { \alpha } ) , } \\ & { x _ { s + 1 } = f ( x _ { s } ) + g ( x _ { s } ) u _ { s } , } \\ & { \forall s \in \{ \tau , \tau + 1 , . . , \tau + T \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | x _ { i } ^ { \top } w _ { t } - y _ { i } | } & { = \left| x _ { i } ^ { \top } ( w _ { t } - w ^ { * } ) - z _ { i } \right| } \\ & { \leq | x _ { i } ^ { \top } ( w _ { t } - w ^ { * } ) | + | z _ { i } | } \\ & { \leq \left( \sqrt { ( w ^ { * } - w _ { t } ) ^ { \top } x _ { i } x _ { i } ^ { \top } ( w ^ { * } - w _ { t } ) } + | z _ { i } | \right) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J ( 1 - \Delta _ { 0 } ) } & { = \frac { 1 } { \pi ( 1 - \Delta _ { 0 } ) } + ( 1 - \Delta _ { 0 } ) + \frac { 2 } { \pi \Delta _ { 0 } } - \frac { 4 } { \pi } - \frac { 1 } { 2 } } \\ & { \le \operatorname* { m a x } \left\{ \frac { 1 } { \pi ( 1 - 1 / 4 ) } + \frac { 3 } { 4 } , \frac { 1 } { \pi } + 1 \right\} + \frac { 2 } { \pi \Delta _ { 0 } } - \frac { 4 } { \pi } - \frac { 1 } { 2 } = \frac { 2 } { \sqrt { \pi \lambda _ { 2 } } } - \frac { 3 } { \pi } + \frac { 1 } { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { c } ( j ) } & { = 4 \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { ( 1 - j ^ { 2 } ) \cos ^ { 2 } \theta \sqrt { c ^ { 2 } - ( c ^ { 2 } - 1 ) ( 1 - j ^ { 2 } ) \sin ^ { 2 } \theta } } { 1 - ( 1 - j ^ { 2 } ) \sin ^ { 2 } \theta } \, d \theta } \\ & { = 4 \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { ( 1 - ( 1 - j ^ { 2 } ) \sin ^ { 2 } \theta - j ^ { 2 } ) \sqrt { c ^ { 2 } - ( c ^ { 2 } - 1 ) ( 1 - j ^ { 2 } ) \sin ^ { 2 } \theta } } { 1 - ( 1 - j ^ { 2 } ) \sin ^ { 2 } \theta } \, d \theta } \\ & { = 4 c E ( k _ { c } ( j ) ) - 4 j ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { c ^ { 2 } - ( c ^ { 2 } - 1 ) ( 1 - j ^ { 2 } ) \sin ^ { 2 } \theta } { ( 1 - ( 1 - j ^ { 2 } ) \sin ^ { 2 } \theta ) \sqrt { c ^ { 2 } - ( c ^ { 2 } - 1 ) ( 1 - j ^ { 2 } ) \sin ^ { 2 } \theta } } \, d \theta } \\ & { = 4 c E ( k _ { c } ( j ) ) - 4 j ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { ( c ^ { 2 } - 1 - ( c ^ { 2 } - 1 ) ( 1 - j ^ { 2 } ) \sin ^ { 2 } \theta ) + 1 } { ( 1 - ( 1 - j ^ { 2 } ) \sin ^ { 2 } \theta ) \sqrt { c ^ { 2 } - ( c ^ { 2 } - 1 ) ( 1 - j ^ { 2 } ) \sin ^ { 2 } \theta } } \, d \theta } \\ & { = 4 c E ( k _ { c } ( j ) ) - \frac { 4 j ^ { 2 } ( c ^ { 2 } - 1 ) } { c } K ( k _ { c } ( j ) ) - \frac { 4 j ^ { 2 } } { c } \Pi ( 1 - j ^ { 2 } ; k _ { c } ( j ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ( c a s e ~ A ) } } & { ~ ~ \frac { 1 } { R } \partial _ { s } ( R ) = \ln { \frac { R _ { t } } { R _ { u } } } \cdot \frac { \chi [ 0 , L - \Delta ] } { ( L - \Delta ) } } \\ { \mathrm { ( c a s e ~ B ) } } & { ~ ~ \frac { 1 } { R } \partial _ { s } ( R ) = \ln { \frac { R _ { t } } { R _ { u } } } \cdot \frac { \chi [ L - \Delta , L ] } { \Delta } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l } { u ^ { ( 2 ) } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \\ { \vdots } \\ { u ^ { ( l ) } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \end{array} \right) } & { = \sigma \left( \begin{array} { l } { y ^ { ( 1 ) } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \\ { \vdots } \\ { y ^ { ( l - 1 ) } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \end{array} \right) \Leftrightarrow w ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) = \sigma ( z ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { N } } & { = \sum _ { \delta \in S _ { N } } \prod _ { k = 1 } ^ { N } M _ { k , \delta ( k ) } + \sum _ { j = 1 } ^ { N } \sum _ { \delta \in S _ { N - 1 } \backslash j } \left( \sum _ { l \neq j } M _ { j l } \frac { x _ { l } } { x _ { j } } \right) \prod _ { k \neq j } M _ { k , \delta ( k ) } + \dots , } \\ & { : = I _ { N , 0 } + I _ { N , 1 } + \dots , } \end{array}
\begin{array} { r l } { e _ { 1 } } & { : \mathrm { ( i n p u t ) } \to v _ { 1 } , } \\ { e _ { 2 } } & { : v _ { 1 } \to v _ { 2 } , } \\ { e _ { 3 } } & { : v _ { 2 } \to \mathrm { ( o u t p u t ) } , } \\ { e _ { 4 } } & { : v _ { 1 } + v _ { 2 } \to v _ { 3 } + v _ { 4 } , } \\ { e _ { 5 } } & { : v _ { 3 } + v _ { 4 } \to v _ { 1 } + v _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d \varepsilon } \mathcal { B } _ { p } [ \gamma _ { \varepsilon } ] } & { = \int _ { 0 } ^ { L } | \kappa _ { \varepsilon } | ^ { p } \frac { ( \gamma _ { \varepsilon } ^ { \prime } , \eta ^ { \prime } ) } { | \gamma _ { \varepsilon } ^ { \prime } | } \, d s + \int _ { 0 } ^ { L } p | \kappa _ { \varepsilon } | ^ { p - 2 } \big ( \kappa _ { \varepsilon } , \partial _ { \varepsilon } \kappa _ { \varepsilon } \big ) | \gamma _ { \varepsilon } ^ { \prime } | \, d s , } \\ { \partial _ { \varepsilon } \kappa _ { \varepsilon } } & { = \frac { 1 } { | \gamma _ { \varepsilon } ^ { \prime } | ^ { 2 } } \eta ^ { \prime \prime } - 2 \frac { ( \gamma _ { \varepsilon } ^ { \prime } , \eta ^ { \prime } ) } { | \gamma _ { \varepsilon } ^ { \prime } | ^ { 4 } } \gamma _ { \varepsilon } ^ { \prime \prime } } \\ & { \quad - \bigg ( \frac { ( \gamma _ { \varepsilon } ^ { \prime } , \gamma _ { \varepsilon } ^ { \prime \prime } ) } { | \gamma _ { \varepsilon } ^ { \prime } | ^ { 4 } } \eta ^ { \prime } + \Big [ \frac { ( \gamma _ { \varepsilon } ^ { \prime } , \eta ^ { \prime \prime } ) + ( \gamma _ { \varepsilon } ^ { \prime \prime } , \eta ^ { \prime } ) } { | \gamma _ { \varepsilon } ^ { \prime } | ^ { 4 } } - 4 \frac { ( \gamma _ { \varepsilon } ^ { \prime } , \gamma _ { \varepsilon } ^ { \prime \prime } ) ( \gamma _ { \varepsilon } ^ { \prime } , \eta ^ { \prime } ) } { | \gamma _ { \varepsilon } ^ { \prime } | ^ { 6 } } \Big ] \gamma _ { \varepsilon } ^ { \prime } \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { B ^ { ( i ) } ( \rho _ { i } ^ { \prime } ) } & { = } & { C ^ { ( i ) } \frac { 2 ^ { 3 / 2 } \pi ^ { D / 2 } \left[ 1 - i \cot \left( D \pi / 2 \right) \operatorname { t a n h } \left( s _ { 0 } \pi / 2 \right) \right] } { \Gamma ( D / 2 ) \Gamma \left( 2 - D / 2 \right) } } \\ & { \times } & { \frac { K _ { i s _ { 0 } } \left( \sqrt { 2 } \kappa _ { 0 } \rho _ { i } ^ { \prime } \right) } { \rho _ { i } ^ { \prime } } . } \end{array}
\left[ { \frac { \partial } { \partial x ^ { 2 } } } + { \frac { \partial } { \partial y ^ { 2 } } } + 2 i k _ { 1 } { \frac { \partial } { \partial z } } \right] A ( x , y , z ; k _ { 1 } ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { { \mathrm { f o r ~ t h e ~ f u n d a m e n t a l } } , } \\ { { \frac { \omega _ { n } ^ { 2 } c ^ { 2 } } { \chi ^ { ( n ) } } } A ( x , y , z ; k _ { 1 } ) e ^ { i \, \Delta k \, z } } & { { \mathrm { f o r ~ } } n { \mathrm { - t h ~ h a r m o n i c } } . } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { j \to \infty } \P ( Y _ { n _ { m _ { j } } } \leq y , N _ { n _ { m _ { j } } } ( B _ { 1 } ) \leq l _ { 1 } , \ldots , \, N _ { n _ { m _ { j } } } ( B _ { k } ) \leq l _ { k } ) } \\ & { = \P ( \tilde { Y } \leq y , \tilde { N } ( B _ { 1 } ) \leq l _ { 1 } , \ldots , \, \tilde { N } ( B _ { k } ) \leq l _ { k } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \alpha } _ { n } } & { = i [ g ( \beta _ { n } ^ { \dagger } + \beta _ { n } ) ] \alpha _ { n } + i \frac { J _ { 0 } } { 2 } ( \alpha _ { n + 1 } + \alpha _ { n - 1 } - 2 \alpha _ { n } ) , } \\ { \dot { \beta } _ { n } } & { = - i \omega _ { m } \beta _ { n } + i g | \alpha _ { n } | ^ { 2 } + i \frac { J _ { m } ( \phi ) } { 2 } ( \beta _ { n + 1 } + \beta _ { n - 1 } - 2 \beta _ { n } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \boldsymbol { \hat { \varphi } } ( \mathbf { r } ) = \left[ \begin{array} { c } { \hat { \varphi } ^ { ( - P ) } ( \mathbf { r } ) } \\ { \hat { \varphi } ^ { ( - P + 1 ) } ( \mathbf { r } ) } \\ { \vdots } \\ { \hat { \varphi } ^ { ( P ) } ( \mathbf { r } ) } \end{array} \right] , \; \boldsymbol { \hat { \varphi } } _ { 0 } ( \mathbf { r } ) = \left[ \begin{array} { c } { \hat { \varphi } _ { 0 } ^ { ( - P ) } ( \mathbf { r } ) } \\ { \hat { \varphi } _ { 0 } ^ { ( - P + 1 ) } ( \mathbf { r } ) } \\ { \vdots } \\ { \hat { \varphi } _ { 0 } ^ { ( P ) } ( \mathbf { r } ) } \end{array} \right] , \; \varphi = u , v , w . } \\ & { \mathbf { \hat { G } } _ { \varphi } ( \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { n } ) = \left[ \begin{array} { c c c c } { \hat { G } _ { \varphi } ^ { ( - P ) } ( \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { n } , \omega - P \omega _ { m } ) } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { \hat { G } _ { \varphi } ^ { ( - P + 1 ) } ( \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { n } , \omega - P \omega _ { m } + \omega _ { m } ) } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { \hat { G } _ { \varphi } ^ { ( P ) } ( \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { n } , \omega + P \omega _ { m } ) } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ^ { N o i s y S i g n } ( \alpha ) } & { = \beta _ { \phi , \operatorname* { i n f } } ^ { + } ( \alpha ) = \beta _ { \phi , \operatorname* { i n f } } ^ { - } ( \alpha ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \hfill 1 - \frac { \Phi ( \frac { c } { \sigma } ) } { \Phi ( - \frac { c } { \sigma } ) } \alpha , \hfill ~ ~ \mathrm { f o r ~ \alpha ~ \in ~ [ 0 , \Phi ( - \frac { c } { \sigma } ) ] ~ } , } \\ { \hfill \frac { \Phi ( - \frac { c } { \sigma } ) } { \Phi ( \frac { c } { \sigma } ) } - \frac { \Phi ( - \frac { c } { \sigma } ) } { \Phi ( \frac { c } { \sigma } ) } \alpha , \hfill ~ ~ \mathrm { f o r ~ \alpha ~ \in ~ [ \Phi ( - \frac { c } { \sigma } ) , 1 ] ~ } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { g } ( x ) = } & { \frac { \mathbf { 1 } ^ { T } D _ { x } \mathbf { 1 } \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( - ) } \mathbf { 1 } - \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( - ) } D _ { x } \mathbf { 1 } \cdot \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } { \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( - ) } \mathbf { 1 } \cdot \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } } \end{array}
\ln ( ( a + b i ) ^ { 1 / n } ) = c + d i \, ( a + b i ) ^ { 1 / n } = \exp ( c + d i ) \, a + b i = \exp ( n c + n d i ) = \exp ( n c ) ( \cos ( n d ) + i \sin ( n d ) ) \mathrm { ~ n o t e ~ t h a t ~ w e ~ c a n ~ o n l y ~ d o ~ t h i s ~ i f ~ n ~ i s ~ r e a l ! } \, \mathrm { A g a i n , ~ o n l y ~ b e c a u s e ~ n , c , d , a , b ~ a r e ~ a l l ~ r e a l : ~ } a = \exp ( n c ) \cos ( n d ) , b = \exp ( n c ) \sin ( n d ) \, \implies \cos ( n d ) = a \exp ( - n c ) \implies d = \frac { 1 } { n } \operatorname { a r c c o s } ( a \exp ( - n c ) ) \, d = \frac { 1 } { n } \arcsin ( b \exp ( - n c ) )
\begin{array} { r l } { | \tilde { \psi } ^ { n , m } ( t , u ) | } & { = | \psi ^ { n , m } ( t , m \frac { u } { | u | } ) | } \\ & { \leq | g ^ { n } ( t , m \frac { u } { | u | } ) | + | \psi ^ { n , m } ( t , m \frac { u } { | u | } ) - g ^ { n } ( t , m \frac { u } { | u | } ) | } \\ & { \leq C ( 1 + m ) + 1 } \\ & { \leq C ( 1 + | u | ) + 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \| \boldsymbol { w } _ { h } \| _ { 0 , e } ^ { 2 } \lesssim \| b _ { e } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \boldsymbol { w } _ { h } \| _ { 0 , e } ^ { 2 } } } \\ & { \lesssim } & { \sum _ { \tau \in \omega _ { e } } \left[ \left( \boldsymbol { c u r l } ~ \alpha p _ { h } + \beta \boldsymbol { u } _ { h } - \boldsymbol { f } , \tilde { \boldsymbol { w } } _ { b } \right) _ { \tau } + \left( \beta \boldsymbol { u } - \beta \boldsymbol { u } _ { h } , \tilde { \boldsymbol { w } } _ { b } \right) _ { \tau } \right. } \\ & { } & { \left. - \left( \alpha ( p _ { h } - \mathrm { c u r l } ~ \boldsymbol { u } ) , \mathrm { c u r l } ~ \tilde { \boldsymbol { w } } _ { b } \right) _ { \tau } \right] } \\ & { \lesssim } & { \sum _ { \tau \in \omega _ { e } } \left( \left\| \boldsymbol { c u r l } ~ \alpha p _ { h } + \beta \boldsymbol { u } _ { h } - \boldsymbol { f } \right\| _ { 0 , \tau } \cdot \left\| \tilde { \boldsymbol { w } } _ { b } \right\| _ { 0 , \tau } + \| \beta \| _ { 0 , \infty } \left\| \boldsymbol { u } - \boldsymbol { u } _ { h } \right\| _ { 0 , \tau } \cdot \left\| \tilde { \boldsymbol { w } } _ { b } \right\| _ { 0 , \tau } \right. } \\ & { } & { \left. + \| \alpha \| _ { 0 , \infty } \left\| p _ { h } - \mathrm { c u r l } ~ \boldsymbol { u } \right\| _ { 0 , \tau } \cdot \left\| \mathrm { c u r l } ~ \tilde { \boldsymbol { w } } _ { b } \right\| _ { 0 , \tau } \right) } \\ & { \lesssim } & { C _ { 2 } \sum _ { \tau \in \omega _ { e } } \left( \left\| \boldsymbol { c u r l } ~ \alpha p _ { h } + \beta \boldsymbol { u } _ { h } - \boldsymbol { f } \right\| _ { 0 , \tau } \cdot h _ { e } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left\| \boldsymbol { w } _ { h } \right\| _ { 0 , e } \right. } \\ & { } & { \left. + \left\| \boldsymbol { u } - \boldsymbol { u } _ { h } \right\| _ { 0 , \tau } \cdot h _ { e } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left\| \boldsymbol { w } _ { h } \right\| _ { 0 , e } + \left\| p _ { h } - \mathrm { c u r l } ~ \boldsymbol { u } \right\| _ { 0 , \tau } \cdot h _ { e } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \left\| \boldsymbol { w } _ { h } \right\| _ { 0 , e } \right) } \\ & { \lesssim } & { C _ { 2 } \sum _ { \tau \in \omega _ { e } } \left( h _ { e } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left\| \boldsymbol { c u r l } ~ \alpha p _ { h } + \beta \boldsymbol { u } _ { h } - \boldsymbol { f } \right\| _ { 0 , \tau } + h _ { e } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left\| \boldsymbol { u } - \boldsymbol { u } _ { h } \right\| _ { 0 , \tau } \right. } \\ & { } & { \left. + h _ { e } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \left\| p _ { h } - \mathrm { c u r l } _ { h } ~ \boldsymbol { u } _ { h } \right\| _ { 0 , \tau } + h _ { e } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \left\| \mathrm { c u r l } ~ \boldsymbol { u } - \mathrm { c u r l } _ { h } ~ \boldsymbol { u } _ { h } \right\| _ { 0 , \tau } \right) \cdot \left\| \boldsymbol { w } _ { h } \right\| _ { 0 , e } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { \mu \kappa , \sigma \sigma ^ { \prime } } ^ { > } ( i \tau ) G _ { \nu \lambda , \sigma ^ { \prime } \sigma } ^ { < } ( - i \tau ) = } & { G _ { \mu \kappa , \sigma \sigma ^ { \prime } } ^ { > ^ { R } } ( i \tau ) G _ { \nu \lambda , \sigma ^ { \prime } \sigma } ^ { < ^ { R } } ( - i \tau ) - G _ { \mu \kappa , \sigma \sigma ^ { \prime } } ^ { > ^ { I } } ( i \tau ) G _ { \nu \lambda , \sigma ^ { \prime } \sigma } ^ { < ^ { I } } ( - i \tau ) } \\ { + } & { i G _ { \mu \kappa , \sigma \sigma ^ { \prime } } ^ { > ^ { I } } ( i \tau ) G _ { \nu \lambda , \sigma ^ { \prime } \sigma } ^ { < ^ { R } } ( - i \tau ) + i G _ { \mu \kappa , \sigma \sigma ^ { \prime } } ^ { > ^ { R } } ( i \tau ) G _ { \nu \lambda , \sigma ^ { \prime } \sigma } ^ { < ^ { I } } ( - i \tau ) \; . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l } { X _ { 1 } ^ { T } } & { X _ { 2 } ^ { T } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { P } & { R ^ { T } } \\ { R } & { - S } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { X _ { 1 } } \\ { X _ { 2 } } \end{array} \right] = X _ { 1 } ^ { T } P X _ { 1 } + X _ { 1 } ^ { T } R ^ { T } X _ { 2 } + X _ { 2 } ^ { T } R X _ { 1 } - X _ { 2 } ^ { T } S X _ { 2 } \ge 0 .
\begin{array} { r l } { \hat { \Psi } _ { \alpha } ^ { I , * } = \hat { \psi } _ { \alpha } ^ { I I , * } = } & { ~ \frac { 1 } { \mathbb { C } \mathrm { n } _ { \alpha } \mathbb { W } \mathrm { e } _ { \alpha } } W ( \phi _ { \alpha } ) + \frac { \mathbb { C } \mathrm { n } _ { \alpha } } { \mathbb { W } \mathrm { e } _ { \alpha } } \| \nabla \phi _ { \alpha } \| ^ { 2 } , } \\ { \hat { \Psi } _ { \alpha } ^ { I I , * } = } & { ~ \frac { 2 } { \mathbb { C } \mathrm { n } _ { \alpha } \mathbb { W } \mathrm { e } _ { \alpha } } K ( \phi _ { \alpha } ) + \frac { 2 \mathbb { C } \mathrm { n } _ { \alpha } } { \mathbb { W } \mathrm { e } _ { \alpha } } \phi _ { \alpha } \| \nabla \phi _ { \alpha } \| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { b } _ { 1 } = \Psi _ { 1 } ^ { T } \left[ ( \partial _ { x } B ) ^ { \alpha } \left( - \frac { 1 } { 2 } + \tilde { a _ { 1 } } \right) \right] , } \\ & { { b } _ { 2 } = \Psi _ { 1 } ^ { T } \left[ \Lambda _ { - \frac { 1 } { 2 } + a _ { 1 } } ^ { \alpha - 1 } \partial _ { x } B + \left( \frac { T _ { \alpha } } { 4 } + a _ { 2 } \right) \partial _ { x } B - \mathcal { D } _ { \omega } \beta \right] + \int _ { \mathbb { T } } ( 2 - 2 \cos ( x - y ) ) ^ { - \frac { \alpha } { 2 } } ( a _ { 1 , B } ( x , y ) - a _ { 1 , B } ( x , x ) ) d y , } \\ & { { b } _ { 3 } = \left( \frac { 2 - 2 \cos ( B ^ { - 1 } ( x ) - B ^ { - 1 } ( y ) ) } { 2 - 2 \cos ( x - y ) } \right) ^ { 1 - \frac { \alpha } { 2 } } \times B _ { 2 } [ a _ { 3 } ] ( x , y ) - \frac { a _ { 1 , B } ( x , y ) - a _ { 1 , B } ( x , x ) - \partial _ { y } a _ { 1 , B } ( x , x ) \sin ( x - y ) } { 2 - 2 \cos ( x - y ) } , } \\ & { a _ { 1 , B } ( x , y ) : = \left( \frac { 2 - 2 \cos ( B ^ { - 1 } ( x ) - B ^ { - 1 } ( y ) ) } { 2 - 2 \cos ( x - y ) } \right) ^ { - \frac { \alpha } { 2 } } B _ { 2 } ^ { - 1 } [ a _ { 1 } ] ( x , y ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S ^ { \mathsf { T } } ( A + A ^ { \mathsf { T } } ) S } & { = } & { A ^ { \mathsf { T } } A ^ { - 1 } ( A + A ^ { \mathsf { T } } ) ( A ^ { \mathsf { T } } ) ^ { - 1 } A , } \\ & { = } & { A ^ { \mathsf { T } } A ^ { - 1 } A ( A ^ { \mathsf { T } } ) ^ { - 1 } A + A ^ { \mathsf { T } } A ^ { - 1 } A ^ { \mathsf { T } } ( A ^ { \mathsf { T } } ) ^ { - 1 } A , } \\ & { = } & { A + A ^ { \mathsf { T } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } [ w _ { \boldsymbol { \mu } } ] } & { = 2 \mathrm { E } [ \ell ( \boldsymbol { \hat { \mu } } , \hat { \boldsymbol { \theta } } ) - \ell ( \boldsymbol { \mu } , \hat { \hat { \boldsymbol { \theta } } } ) ] } \\ { * [ 0 . 2 c m ] } & { = 2 \mathrm { E } [ \ell ( \boldsymbol { \hat { \mu } } , \hat { \boldsymbol { \theta } } ) - \ell ( \boldsymbol { \mu } , \boldsymbol { \theta } ) ] - 2 \mathrm { E } [ \ell ( \boldsymbol { \mu } , \hat { \hat { \boldsymbol { \theta } } } ) - \ell ( \boldsymbol { \mu } , \boldsymbol { \theta } ) ] } \\ { * [ 0 . 2 c m ] } & { = M + N + \epsilon _ { N + M } - N - \epsilon _ { N } + \mathcal { O } ( n ^ { - 2 } ) } \\ { * [ 0 . 2 c m ] } & { = M + \epsilon _ { N + M } - \epsilon _ { N } + \mathcal { O } ( n ^ { - 2 } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { N } } & { \left( \| \hat { \psi } ( a , b , \, \psi ^ { 0 } ) ( t _ { 0 } ) - \psi ^ { ( \sigma ) } \| _ { N } + \| \hat { u } ( a , b , \, \psi ^ { 0 } ) ( t _ { 0 } ) - u ^ { ( \sigma ) } \| _ { N } \right) ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 1 } { { \lambda ( b - a ) } } \frac { \mathcal C _ { 0 } } { N } \sum _ { k = 1 } ^ { N } \| \psi ^ { 0 } - \psi ^ { ( \sigma ) } \| . } \end{array}
\mathbb { E } \left[ \ensuremath { \mathbf { S } } _ { \ell } \middle | \ensuremath { \mathbf { R } } _ { \ell } = \ensuremath { \mathbf { r } } _ { \ell } \right] = \sum _ { g \in \mathbb { F } _ { q } } \ensuremath { \mathbf { e } } _ { g } \mathrm { P r } \left( \ensuremath { \mathbf { S } } _ { \ell } = \ensuremath { \mathbf { e } } _ { g } \middle | \ensuremath { \mathbf { R } } _ { \ell } = \ensuremath { \mathbf { r } } _ { \ell } \right) .
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( \mathcal { E } _ { \delta } ) } & { \leq \sum _ { \ell = \delta \sqrt { n } / k } ^ { \delta \sqrt { n } - 3 } \left( \frac { n e } { \ell } \right) ^ { \ell } \frac { ( k ! ) ^ { \ell } } { ( \delta \sqrt { n } ) ^ { \ell + 1 } ( \delta \sqrt { n } - \ell ) ^ { \delta \sqrt { n } - \ell } e ^ { - \delta \sqrt { n } + \ell } ( \ell - 1 ) ^ { \ell - 1 } e ^ { - \ell + 1 } } + \mathrm { o } ( 1 ) } \\ & { \leq \sum _ { \ell = \delta \sqrt { n } / k } ^ { \delta \sqrt { n } - 3 } \left( \frac { n e k ! ( \delta \sqrt { n } - \ell ) } { \delta \sqrt { n } \ell ( \ell - 1 ) } \right) ^ { \ell } \frac { ( \ell - 1 ) e ^ { - 1 } } { \delta \sqrt { n } } \big ( \underbrace { \frac { e } { \delta \sqrt { n } - \ell } } _ { \leq e / 3 < 1 } \big ) ^ { \delta \sqrt { n } } + \mathrm { o } ( 1 ) } \\ & { \leq \sum _ { \ell = \delta \sqrt { n } / k } ^ { \delta \sqrt { n } - 3 } \left( \frac { \sqrt { n } e k ! ( \delta \sqrt { n } - \ell ) } { \delta \ell ( \ell - 1 ) } \right) ^ { \ell } \frac { ( \ell - 1 ) e ^ { - 1 } } { \delta \sqrt { n } } \big ( \frac { e } { \delta \sqrt { n } - \ell } \big ) ^ { \ell } + \mathrm { o } ( 1 ) } \\ & { \leq \sum _ { \ell = \delta \sqrt { n } / k } ^ { \delta \sqrt { n } - 3 } \left( \frac { \sqrt { n } e ^ { 2 } k ! } { \delta \ell ( \ell - 1 ) } \right) ^ { \ell } \frac { ( \ell - 1 ) e ^ { - 1 } } { \delta \sqrt { n } } + \mathrm { o } ( 1 ) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } & { \partial _ { t t } \psi ( x , t ) + ( - \Delta ) ^ { \frac { \alpha } { 2 } } \psi ( x , t ) + \beta \psi ( x , t ) + \varepsilon ^ { 2 } \psi ^ { 3 } ( x , t ) = 0 , \quad x \in \Omega , \quad t > 0 , } \\ & { \psi ( a , t ) = \psi ( b , t ) , \quad \partial _ { x } \psi ( a , t ) = \partial _ { x } \psi ( b , t ) , \quad t \geq 0 , } \\ & { \psi ( x , 0 ) = \psi _ { 0 } ( x ) , \quad \partial _ { t } \psi ( x , 0 ) = \psi _ { 1 } ( x ) , \quad x \in \overline { { \Omega } } . } \end{array} \right.
\left\{ \begin{array} { r c l l } { \vec { p } - A \nabla u } & { \, \, = \, \, } & { 0 } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Omega , } \\ { B u - \mathrm { d i v } \, \vec { p } } & { \, \, = \, \, } & { g } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Omega , } \\ { u } & { \, \, = \, \, } & { h _ { D } } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { D } , } \\ { \vec { p } \cdot \vec { n } } & { \, \, = \, \, } & { h _ { N } } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { N } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { - \alpha S _ { i - 1 } ^ { n + 1 } + ( 1 + 2 \alpha ) S _ { i } ^ { n + 1 } - \alpha S _ { i + 1 } ^ { n + 1 } = f _ { i + 1 } ^ { n } , } \\ & { - \lambda _ { i } ^ { n } M _ { i - 1 } ^ { n + 1 } + ( 1 + \lambda _ { i } ^ { n } + \lambda _ { i + 1 } ^ { n } ) M _ { i } ^ { n + 1 } - \lambda _ { i + 1 } ^ { n } M _ { i + 1 } ^ { n + 1 } = g _ { i + 1 } ^ { n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { x _ { 1 } } ^ { \mu } \partial _ { x _ { 1 } } ^ { \nu } \Gamma _ { \pi , G } ^ { 2 } } & { = \partial _ { x _ { 1 } } ^ { \mu } \partial _ { x _ { 1 } } ^ { \nu } \frac { 1 } { L ^ { 9 } } \sum _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } , k _ { 3 } \in P _ { F } } \int e ^ { i k _ { 1 } ( x _ { 1 } - x _ { 3 } ) } e ^ { i k _ { 2 } ( x _ { 3 } - x _ { 2 } ) } e ^ { i k _ { 3 } ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) } g ( x _ { 1 } - x _ { 3 } ) \, \textnormal { d } x _ { 3 } } \\ & { = \partial _ { x _ { 1 } } ^ { \mu } \partial _ { x _ { 1 } } ^ { \nu } \frac { 1 } { L ^ { 9 } } \sum _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } , k _ { 3 } \in P _ { F } } e ^ { i ( k _ { 2 } - k _ { 3 } ) x _ { 1 } } e ^ { i ( k _ { 3 } - k _ { 2 } ) x _ { 2 } } \int e ^ { - i ( k _ { 2 } - k _ { 1 } ) ( x _ { 1 } - x _ { 3 } ) } g ( x _ { 1 } - x _ { 3 } ) \, \textnormal { d } x _ { 3 } } \\ & { = \frac { - 1 } { L ^ { 9 } } \sum _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } , k _ { 3 } \in P _ { F } } ( k _ { 2 } ^ { \mu } - k _ { 3 } ^ { \mu } ) ( k _ { 2 } ^ { \nu } - k _ { 3 } ^ { \nu } ) e ^ { i ( k _ { 2 } - k _ { 3 } ) x _ { 1 } } e ^ { i ( k _ { 3 } - k _ { 2 } ) x _ { 2 } } \hat { g } ( k _ { 2 } - k _ { 1 } ) } \\ & { = O ( \rho ^ { 3 + 2 / 3 } a ^ { 3 } \log ( b / a ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { z } \partial _ { w } f _ { j , N } ( z _ { 0 } , w _ { 0 } ) } & { = \int _ { \partial \Omega } \partial _ { z } ^ { 2 } f _ { j , N } ( z , w ) \operatorname { d } \mu _ { 1 } + \int _ { \partial \Omega } \partial _ { w } ^ { 2 } f _ { j , N } ( z , w ) \operatorname { d } \mu _ { 2 } } \\ & { \; + \int _ { \partial \Omega } \partial _ { z } f _ { j , N } ( z , w ) \operatorname { d } \nu _ { 1 } + \int _ { \partial \Omega } \partial _ { w } f _ { j , N } ( z , w ) \operatorname { d } \nu _ { 2 } + \int _ { \partial \Omega } f _ { j , N } ( z , w ) \operatorname { d } \nu _ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { = 2 \pi \sqrt { \gamma } \varepsilon \frac { d } { d t } \| | \nabla _ { x } | ^ { - 1 } a \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } ^ { 2 } - 4 \pi \sqrt { \gamma } \varepsilon \langle \partial _ { t } ( e ^ { \gamma \psi } ) , a \rangle _ { L _ { x } ^ { 2 } } } \\ & { = 2 \pi \varepsilon \frac { d } { d t } \{ \sqrt { \gamma } \| | \nabla _ { x } | ^ { - 1 } a \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } ^ { 2 } \} } \\ & { \quad - \frac { \varepsilon \pi \dot { \gamma } } { \sqrt { \gamma } } \| | \nabla _ { x } | ^ { - 1 } a \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } ^ { 2 } - 4 \pi \sqrt { \gamma } \varepsilon \langle \partial _ { t } ( e ^ { \gamma \psi } ) , a \rangle _ { L _ { x } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { 0 , 3 } ^ { \ast } ( \xi _ { i } ; \alpha _ { i } ) } & { = ( \alpha _ { 1 } ^ { 2 } + \alpha _ { 2 } ^ { 2 } - \alpha _ { 3 } ^ { 2 } ) \log | \xi _ { 1 } - \xi _ { 2 } | + ( \alpha _ { 1 } ^ { 2 } + \alpha _ { 3 } ^ { 2 } - \alpha _ { 2 } ^ { 2 } ) \log | \xi _ { 1 } - \xi _ { 3 } | } \\ & { \quad \quad \quad + ( \alpha _ { 2 } ^ { 2 } + \alpha _ { 3 } ^ { 2 } - \alpha _ { 1 } ^ { 2 } ) \log | \xi _ { 2 } - \xi _ { 3 } | + s ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 3 } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Vert f ( t ) \Vert _ { \mathcal { H } _ { r } ^ { m } } ^ { 2 } \leq \Vert f ( 0 ) \Vert _ { \mathcal { H } _ { r } ^ { m } } ^ { 2 } + C \int _ { 0 } ^ { t } \left( 1 + \Vert u ( s ) \Vert _ { \mathrm { H } ^ { m } } + \Lambda \left( \Vert \varrho \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { m - 2 } ) } \right) \Vert \varrho ( s ) \Vert _ { \mathrm { H } ^ { m + 1 } } \right) \Vert f ( s ) \Vert _ { \mathcal { H } _ { r } ^ { m } } ^ { 2 } \, \mathrm { d } s , } \end{array}
\mathcal { H } _ { t } ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ) = \mathcal { H } ^ { \prime } ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ) \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } _ { t } = - \left( \frac { 1 } { 6 } \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { 3 } + \frac { 1 } { 2 } \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { 2 } \right) ^ { \top } \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { M } } } ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { I } } } - \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { D } } } _ { 2 } ) ^ { - 1 } \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { D } } } _ { 1 } \left( \frac { 1 } { 6 } \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { 3 } + \frac { 1 } { 2 } \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { 2 } \right) = 0 .
{ \begin{array} { r l } { C } & { = \sum _ { x } q _ { x } C } \\ & { \geq \sum _ { x } q _ { x } \mathbf { E } [ c ( A , x ) ] } \\ & { = \sum _ { x } q _ { x } \sum _ { a } p _ { a } c ( a , x ) } \\ & { = \sum _ { a } p _ { a } \sum _ { x } q _ { x } c ( a , x ) } \\ & { = \sum _ { a } p _ { a } \mathbf { E } [ c ( a , X ) ] } \\ & { \geq \sum _ { a } p _ { a } D = D . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { { \frac { \partial \hat { \rho } _ { k } } { \partial t } } } & { = } & { - i \rho _ { 0 } { \bf k } \cdot \hat { \bf u } _ { k } \, , } \\ { { \frac { \partial \hat { \bf u } _ { k } } { \partial t } } } & { = } & { i k _ { \parallel } b _ { 0 } { \hat { \bf b } } _ { k } - i b _ { 0 } { \bf k } { \hat { b } } _ { \parallel k } \, , } \\ { { \frac { \partial \hat { \bf b } _ { k } } { \partial t } } } & { = } & { i k _ { \parallel } b _ { 0 } \hat { \bf u } _ { k } - i { \bf b } _ { 0 } ( { \bf k } \cdot \hat { \bf u } _ { k } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { n ^ { 2 } } { w _ { i } ^ { 4 } } \sum _ { 1 \leq b _ { 1 } < c _ { 1 } \leq n } \frac { 1 } { w _ { b _ { 1 } } ^ { 2 } w _ { c _ { 1 } } ^ { 2 } } \Big ( \mathbb { P } \left( \triangle _ { a , b _ { 1 } , c _ { 1 } } \right) - \mathbb { P } \left( \triangle _ { a , b _ { 1 } , c _ { 1 } } \right) ^ { 2 } \Big ) } \\ & { \leq \frac { n ^ { 2 } } { 2 w _ { i } ^ { 4 } } \sum _ { b _ { 1 } , c _ { 1 } } \frac { 1 } { w _ { b _ { 1 } } ^ { 2 } w _ { c _ { 1 } } ^ { 2 } } \mathbb { P } \left( \triangle _ { a , b _ { 1 } , c _ { 1 } } \right) } \\ & { = \frac { n ^ { 2 } } { 2 w _ { i } ^ { 4 } } \sum _ { b _ { 1 } , c _ { 1 } } \frac { 1 } { w _ { b _ { 1 } } ^ { 2 } w _ { c _ { 1 } } ^ { 2 } } \operatorname* { m i n } \Big ( \frac { w _ { a } w _ { b _ { 1 } } } { \mu n } , 1 \Big ) \Big ( \frac { w _ { a } w _ { c _ { 1 } } } { \mu n } , 1 \Big ) \Big ( \frac { w _ { c _ { 1 } } w _ { b _ { 1 } } } { \mu n } , 1 \Big ) } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 w _ { i } ^ { 2 } n \mu ^ { 3 } } \sum _ { b _ { 1 } , c _ { 1 } } 1 } \\ & { \leq \frac { n } { 2 w _ { i } ^ { 2 } \mu ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 3 } \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { 1 } { C } , \operatorname* { i n f } _ { m \leq n } \, \Big ( \frac { m } { n } \Big ) ^ { \frac { m - 1 } { 2 m } } \right\} } & { \leq \frac { 1 } { 3 } \operatorname* { m i n } \left\{ \operatorname* { i n f } _ { n \leq m } K _ { m } ( B _ { X _ { n } } , J ) , \operatorname* { i n f } _ { m \leq n } K _ { m } ( B _ { X _ { n } } , J ) \right\} } \\ & { = \frac { 1 } { 3 } \operatorname* { i n f } _ { m \in \mathbb { N } } K _ { m } ( B _ { X _ { n } } , J ) } \\ & { \le K ( B _ { X _ { n } } , J ) \le \operatorname* { i n f } _ { m \in \mathbb { N } } K _ { m } ( B _ { X _ { n } } , J ) \le C \operatorname* { i n f } _ { m \leq n } \Big ( \frac { m } { n } \Big ) ^ { \frac { m - 1 } { 2 m } } . } \end{array}
d q _ { j } \wedge d p _ { j } = d \hat { q } _ { j } \wedge d \hat { p } _ { j } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { \infty } - 1 } q _ { j } ^ { k - 1 } d T _ { \infty , k } \wedge d \hat { q } _ { j } - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { s = 1 } ^ { n } \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { s } - 1 } ( q _ { j } - X _ { s } ) ^ { - k - 1 } d T _ { X _ { s } , k } \wedge d \hat { q } _ { j }
\begin{array} { r l } & { p ^ { k } ( t ) = \left[ \begin{array} { l } { p _ { 1 } ^ { k } ( t ) } \\ { p _ { 2 } ^ { k } ( t ) } \end{array} \right] \quad q ^ { k } ( t ) = \left[ \begin{array} { l l } { q _ { 1 1 } ^ { k } ( t ) } & { q _ { 1 2 } ^ { k } ( t ) } \\ { q _ { 2 1 } ^ { k } ( t ) } & { q _ { 2 2 } ^ { k } ( t ) } \end{array} \right] \quad r ^ { k } ( t - , z ) = \left[ \begin{array} { l } { r _ { 1 } ^ { k } ( t - , z ) } \\ { r _ { 2 } ^ { k } ( t - , z ) } \end{array} \right] } \\ & { w ( t ) = \left[ \begin{array} { l } { w _ { 1 } ^ { k } ( t ) } \\ { w _ { 2 } ^ { k } ( t ) } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { w _ { 1 } ^ { k , j } ( t ) } \\ { w _ { 2 } ^ { k , j } ( t ) } \end{array} \right] \qquad t \in [ 0 , T ] , \quad k = 1 , 2 \quad \mathrm { a n d } \quad j = 1 , 2 , \ldots , D . } \end{array}
N _ { \infty } \left( Q _ { l _ { m } } ^ { ( j _ { l _ { m } } , k _ { l _ { m } } ) } \circ \dots \circ Q _ { l _ { 1 } } ^ { ( j _ { l _ { 1 } } , k _ { l _ { 1 } } ) } ( P _ { 0 } ) \right) \leq C _ { j , k , \varepsilon } ^ { m } N _ { \infty } ( P _ { 0 } ) h ^ { - k \varepsilon / 2 } h ^ { - j \eta _ { k , j } } \left( \operatorname* { s u p } _ { 1 \leq l \leq i } | | d _ { \hat { \rho } } F ^ { ( l ) } | | \right) ^ { 3 k }
[ \gamma \vdash A ( \textnormal { \texttt { c } } ^ { \prime \prime \prime } ( g ( \textnormal { \texttt { c } } ^ { \prime \prime } ( \textnormal { \texttt { c } } ^ { \prime } ( f ( \textnormal { \texttt { c } } ( \gamma ) ) ) ) ) ) ) ] = [ \gamma \vdash A ( \textnormal { \texttt { c } } ^ { \prime \prime \prime } ( g ( \textnormal { \texttt { c } } ^ { i v } ( f ( \textnormal { \texttt { c } } ( \gamma ) ) ) ) ) ) ]
\begin{array} { r c l } { t _ { u } ( q ) } & { = } & { t _ { S S l } \frac { K _ { M } + s _ { 0 } } { K _ { M } + q s _ { 0 } } \log \left( 1 + \frac { C ( q ) } { \varepsilon _ { S S l } } \right) } \\ & { \leq } & { t _ { S S l } \frac { 1 } { q } \, \log \left( 1 + \frac { 1 } { \varepsilon _ { S S l } } \frac { C ^ { * } } { q } \right) . } \end{array}
\frac { \rho _ { i , j } ^ { n + 1 } - \rho _ { i , j } ^ { n } } { \Delta t } + \frac { \mathcal { F } _ { i + \frac 1 2 , j } - \mathcal { F } _ { i - \frac 1 2 , j } } { \Delta x _ { i } } + \frac { \mathcal { G } _ { i , j + \frac 1 2 } - \mathcal { G } _ { i , j - \frac 1 2 } } { \Delta y _ { j } } = - \frac { c } { \epsilon ^ { 2 } } ( S _ { i , j } ^ { n + 1 } - \sigma _ { p , i , j } ^ { n + 1 } U _ { r , i , j } ^ { n + 1 } ) ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ ( Y _ { t } - \hat { Y } _ { t } ) ^ { 2 } \right] } & { \leq ( 2 \sigma ^ { 2 } + 2 \bar { \mu } ) \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb { E } \left[ \left( Y _ { u } - \hat { Y } _ { u } \right) ^ { 2 } \right] d u + ( 2 \sigma ^ { 2 } + 2 \bar { \mu } ) \int _ { 0 } ^ { t } S _ { 0 } ^ { 2 } ( \sigma ^ { 2 } + \bar { \mu } ) u d u } \\ & { \leq ( 2 \sigma ^ { 2 } + 2 \bar { \mu } ) \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb { E } \left[ \left( Y _ { u } - \hat { Y } _ { u } \right) ^ { 2 } \right] d u + S _ { 0 } ^ { 2 } ( \sigma ^ { 2 } + \bar { \mu } ) ^ { 2 } t ^ { 2 } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \left\langle j ^ { \prime } m ^ { \prime } \left| K _ { 0 } ^ { ( 1 ) } \right| j \, m \right\rangle } & { = \left\langle j ^ { \prime } \, m ^ { \prime } \, k = 1 \, q = 0 | j \, m \right\rangle \left\langle j \left\| K ^ { ( 1 ) } \right\| j ^ { \prime } \right\rangle , } \\ { \left\langle j ^ { \prime } m ^ { \prime } \left| K _ { \pm 1 } ^ { ( 1 ) } \right| j \, m \right\rangle } & { = \left\langle j ^ { \prime } \, m ^ { \prime } \, k = 1 \, q = \pm 1 | j \, m \right\rangle \left\langle j \left\| K ^ { ( 1 ) } \right\| j ^ { \prime } \right\rangle . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \| \bar { g } ( \theta _ { 1 } ) - \bar { g } ( \theta _ { 2 } ) \| } & { = \left\| \mathbb { E } \left[ \phi \left( \chi _ { 1 } - \gamma \chi _ { 2 } \right) \right] \right\| } \\ & { \leq \sqrt { \mathbb { E } \left[ \| \phi \| ^ { 2 } \right] } \sqrt { \mathbb { E } \left[ \left( \chi _ { 1 } - \gamma \chi _ { 2 } \right) ^ { 2 } \right] } } \\ & { \leq \sqrt { \mathbb { E } \left[ \chi _ { 1 } ^ { 2 } \right] } + \gamma \sqrt { \mathbb { E } \left[ \chi _ { 2 } ^ { 2 } \right] } } \\ & { = ( 1 + \gamma ) \sqrt { \mathbb { E } \left[ \chi _ { 1 } ^ { 2 } \right] } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \Delta { \bf p } _ { a } } & { = - { \bf J } _ { c } } & { \Delta { \bf h } _ { a } } & { = - { \bf r } _ { c } \times { \bf J } _ { c } } \\ { \Delta { \bf p } _ { b } } & { = + { \bf J } _ { c } } & { \Delta { \bf h } _ { b } } & { = + { \bf r } _ { c } \times { \bf J } _ { c } } \\ { \sum \Delta { \bf p } } & { = 0 } & { \sum \Delta { \bf h } } & { = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P _ { A _ { 1 } A _ { 2 } } } & { = } & { \int \chi _ { A _ { 1 } } ( x ) \odot _ { \mathbb { X } } \chi _ { A _ { 2 } } ( x ) \odot _ { \mathbb { X } } \rho ( x ) \mathrm { D } x , } \\ { P _ { A } } & { = } & { \int \chi _ { A } ( x ) \odot _ { \mathbb { X } } \rho ( x ) \mathrm { D } x = \frac { 1 } { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { h ( \mathbf { r } , \phi ) : } & { \textbf { I n p u t } ( \mathbf { r } ) \to \textbf { L i n e a r } ( m , 1 0 0 ) \to \textbf { R e L U } } \\ & { \to \textbf { L i n e a r } ( 1 0 0 , 1 0 0 ) \to \textbf { R e L U } } \\ & { \to \textbf { L i n e a r } ( 1 0 0 , n ) \to \textbf { S i g m o i d } \to \textbf { O u t p u t } ( \mathbf { x } _ { \mathbf { r } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { W } : } & { \quad w _ { i } = w _ { 1 } - ( w _ { 1 } - w _ { p } ) \cdot \frac { i - 1 } { p - 1 } , } \\ { \widehat { W } : } & { \quad w _ { i } - w _ { i + 1 } = \left( \sum _ { j = 1 } ^ { p - 1 } ( \lambda _ { j + 1 } - \lambda _ { j } ) ^ { - 1 } \right) ^ { - 1 } \frac { w _ { 1 } - w _ { p } } { \lambda _ { i + 1 } - \lambda _ { i } } , } \\ { \mathrm { R a n d o m ~ : } } & { \quad w _ { i } \mathrm { ~ i s ~ u n i f o r m l y ~ d i s t r i b u t e d ~ i n ~ t h e ~ i n t e r v a l ~ } ( w _ { p } , w _ { 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( 2 n + 2 \right) ! \left( f \left( x \right) - H _ { 2 n + 1 } \left( x \right) \right) } & { = f ^ { \left( 2 n + 2 \right) } \left( \xi \left( x \right) \right) Q _ { n } ^ { 2 } \left( x \right) } \\ { \Rightarrow \left( 2 n + 2 \right) ! \left( f ^ { \prime } \left( x \right) - H _ { 2 n + 1 } ^ { \prime } \left( x \right) \right) } & { = 2 f ^ { \left( 2 n + 2 \right) } \left( \xi \right) Q _ { n } Q _ { n } ^ { \prime } \left( x \right) + Q _ { n } ^ { 2 } \left( x \right) \frac { d f ^ { \left( 2 n + 2 \right) } \left( \xi \right) } { d \xi } \frac { d \xi } { d x } } \\ & { = 2 f ^ { \left( 2 n + 2 \right) } \left( \xi \right) Q _ { n } Q _ { n } ^ { \prime } \left( x \right) + Q _ { n } ^ { 2 } \left( x \right) f ^ { \left( 2 n + 3 \right) } \left( \xi \right) \frac { d \xi } { d x } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { n } ( R , Q ) } & { = \frac { ( p - 1 ) \beta } { 4 M } \sum _ { \tau } R ( \tau ) ^ { p } + \frac { ( p - 1 ) \beta } { 4 n } \sum _ { \alpha \neq \alpha ^ { \prime } } Q _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } ^ { p } } \\ & { \qquad - \frac { 1 } { n \beta } \log { \textrm { T r } \exp { \left[ \sum _ { \alpha } H _ { \Gamma } ( \sigma ^ { \alpha } ) + \frac { p \beta ^ { 2 } } { 4 M ^ { 2 } } \sum _ { \alpha } \sum _ { \tau \tau ^ { \prime } } R ( \tau - \tau ^ { \prime } ) ^ { p - 1 } \sigma ^ { \alpha } ( \tau ) \sigma ^ { \alpha } ( \tau ^ { \prime } ) \right] } } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \cdot \exp { \left[ \frac { p \beta ^ { 2 } } { 4 M ^ { 2 } } \sum _ { \alpha \neq \alpha ^ { \prime } } \sum _ { \tau \tau ^ { \prime } } Q _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } ^ { p - 1 } \sigma ^ { \alpha } ( \tau ) \sigma ^ { \alpha ^ { \prime } } ( \tau ^ { \prime } ) \right] } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathfrak { L } _ { \tau } } & { = } & { \sum _ { k = 0 } ^ { N } { \binom { N } { k } } \int _ { [ 0 , 1 ] } \varphi _ { k , \tau } ( \alpha ) \; \mathrm { d } \mathfrak { m } _ { k , N } ^ { + } - \sum _ { m = 0 } ^ { M } \lambda _ { m } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { m } { \binom { m } { k } } \int _ { [ 0 , 1 ] } \mathrm { d } \mathfrak { m } _ { k , m } ^ { + } - 1 \right) } \\ & { } & { - \sum _ { m = 0 } ^ { M - 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { m } \int _ { [ 0 , 1 ] } \mu _ { k , m } ( \alpha ) \; \mathrm { d } \! \left[ \mathfrak { m } _ { k , m + 1 } ^ { + } - ( 1 - \alpha ) \mathfrak { m } _ { k , m } ^ { + } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \exp \big ( - \rho \mathcal { X } _ { t } ^ { n } ( \varphi ) \big ) ( \partial _ { t } + L _ { n } ) \exp \big ( \rho \mathcal { X } _ { t } ^ { n } ( \varphi ) \big ) } & { = \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \big ( \exp ( \rho ( \Xi _ { j } - \Xi _ { j + 1 } ) T _ { v _ { n } ^ { 1 } t } ^ { - } ( \varphi _ { j + 1 } ^ { n } - \varphi _ { j } ^ { n } ) ) - 1 \big ) } \\ & { \quad + \rho c _ { 3 } \sqrt { n } \alpha _ { n } \beta _ { n } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \overline { { \xi } } _ { j } \overline { { \xi } } _ { j + 1 } \nabla ^ { 1 , n } T _ { v _ { n } ^ { 1 } t } ^ { - } \varphi _ { j } ^ { n } , } \end{array}
s _ { j } ( \vec { \alpha } ) : = \int _ { \Omega } { \mathcal { A } } \left( x , \sum _ { k = 1 } ^ { n } \alpha _ { k } \nabla w _ { k } \right) \cdot \nabla w _ { j } + \Phi \left( \sum _ { k = 1 } ^ { n } \alpha _ { k } w _ { k } \right) \cdot \nabla w _ { j } + b \left( x , \sum _ { k = 1 } ^ { n } \alpha _ { k } w _ { k } \right) w _ { j } - F \cdot \nabla w _ { j } \, d x
\begin{array} { r l } & { { \mathbb { E } } [ \left\| \widetilde { { \mathbf { Y } } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { y } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } \vert { \mathcal { F } } ^ { k } ] } \\ { \leq } & { ( 1 + \frac { \alpha _ { y } r \delta } { 4 } ) \left\| { \mathbf { Y } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { y } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } } \\ & { + ( 1 + \frac { 4 } { \alpha _ { y } r \delta } ) { \mathbb { E } } [ \left\| \nabla { \mathbf { F } } ( { \mathbf { X } } ^ { k + 1 } ) - \nabla { \mathbf { F } } ( { \mathbf { X } } ^ { k } ) ) \right\| _ { F } ^ { 2 } \vert { \mathcal { F } } ^ { k } ] } \\ { \leq } & { ( 1 + \frac { \alpha _ { y } r \delta } { 4 } ) \left\| { \mathbf { Y } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { y } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } } \\ & { + ( 1 + \frac { 4 } { \alpha _ { y } r \delta } ) L ^ { 2 } { \mathbb { E } } [ \left\| { \mathbf { X } } ^ { k + 1 } - { \mathbf { X } } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } \vert { \mathcal { F } } ^ { k } ] . } \end{array}
I _ { m } ( s ) = { \frac { K ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } } I _ { 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { \stackrel { j = 1 } { i \neq j } } ^ { N } \left| f _ { i } ( s ) \right| \left| f _ { j } ( s ) \right| { \frac { \sin [ s ( r _ { i j } - \kappa s ^ { 2 } ) ] } { s r _ { i j } } } e ^ { - ( 1 / 2 l _ { i j } s ^ { 2 } ) } \cos [ \eta _ { i } ( s ) - \eta _ { i } ( s ) ] ,
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } _ { i \in [ n ] } | \alpha _ { i } ^ { * } ( s ) - \alpha _ { i } ^ { * } ( t ) | \to 0 , \quad \operatorname* { m a x } _ { j \in [ n - 1 ] } | \beta _ { j } ^ { * } ( s ) - \beta _ { j } ^ { * } ( t ) | \to 0 , \quad \operatorname* { m a x } _ { k \in [ p ] } | \gamma _ { k } ^ { * } ( s ) - \gamma _ { k } ^ { * } ( t ) | \to 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathscr { P } ( z ) = \frac { 1 } { 2 } \Re \{ \mathbf { x } \cdot \mathbf { y } ^ { * } \} = } & { \left[ \mathbb { 1 } + \mathbf { S } ( z ) \right] \cdot \left[ \mathbf { x _ { i } ^ { \textrm { a b s } } } \odot \mathbf { d } ^ { * } ( z ) \right] } \\ & { \cdot \left[ \mathbb { 1 } - \mathbf { S } ( z ) \right] ^ { * } \cdot \frac { \mathbf { x _ { i } ^ { \textrm { a b s } } } \odot \mathbf { d } ( z ) } { Z _ { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { J } _ { n } \big ( ( \gamma , \eta ) , \varphi \big ) } \\ { = } & { \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \Big [ \mathbf { E } \big [ ( X _ { i } - \hat { x } _ { 0 } ) ^ { 2 } \mathbf { 1 } ( U _ { i } = 0 ) \big ] \mathbf { P } \big ( \mathfrak { J } _ { n , \tau } ^ { - i } \big ) ( 1 - \alpha ) } \\ & { + \mathbf { E } \big [ ( X _ { i } - \hat { x } _ { 0 } ) ^ { 2 } \mathbf { 1 } ( U _ { i } = 0 ) \big ] \mathbf { P } \big ( \mathfrak { K } _ { n , \tau , \kappa } ^ { - i } \big ) ( 1 - \beta ) } \\ & { + \mathbf { E } \big [ ( X _ { i } - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \mathbf { 1 } ( U _ { i } = 0 ) \big ] \mathbf { P } \big ( \mathfrak { L } _ { n , \kappa } ^ { - i } \big ) } \\ & { + \mathbf { E } \big [ ( X _ { i } - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \mathbf { 1 } ( U _ { i } = 1 ) \big ] \mathbf { P } \big ( \mathfrak { L } _ { n , \kappa - 1 } ^ { - i } \big ) } \\ & { + \mathbf { E } \big [ ( X _ { i } - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \mathbf { 1 } ( U _ { i } = 0 ) \big ] \mathbf { P } \big ( \mathfrak { J } _ { n , \tau } ^ { - i } \big ) \alpha } \\ & { + \mathbf { E } \big [ ( X _ { i } - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \mathbf { 1 } ( U _ { i } = 1 ) \big ] \mathbf { P } \big ( \mathfrak { J } _ { n , \tau - 1 } ^ { - i } \big ) \alpha } \\ & { + \mathbf { E } \big [ ( X _ { i } - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \mathbf { 1 } ( U _ { i } = 0 ) \big ] \mathbf { P } \big ( \mathfrak { K } _ { n , \tau , \kappa } ^ { - i } \big ) \beta } \\ & { + \mathbf { E } \big [ ( X _ { i } - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \mathbf { 1 } ( U _ { i } = 1 ) \big ] \mathbf { P } \big ( \mathfrak { K } _ { n , \tau - 1 , \kappa - 1 } ^ { - i } \big ) \beta } \\ & { + c \mathbf { P } ( U _ { i } = 1 ) \Big ] - d \alpha \mathbf { P } \big ( \mathfrak { J } _ { n , \tau } \big ) - d \beta \mathbf { P } \big ( \mathfrak { K } _ { n , \tau , \kappa } \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial n } { \partial t } } & { = i \int d \vec { q } ^ { \prime } d \vec { q } ^ { \prime \prime } e ^ { i ( \vec { q } ^ { \prime \prime } + \vec { q } ^ { \prime } ) \cdot \vec { x } } \Big [ \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \int e ^ { - i \vec { q } ^ { \prime \prime } \cdot \vec { x } ^ { \prime \prime } } \Omega ( \vec { k } - \vec { q } ^ { \prime } / 2 , \vec { x } ^ { \prime \prime } ) d \vec { x } ^ { \prime \prime } \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \int e ^ { - i \vec { q } ^ { \prime } \cdot \vec { x } ^ { \prime } } n ( \vec { k } + \vec { q } ^ { \prime \prime } / 2 , \vec { x } ^ { \prime } ) d \vec { x } ^ { \prime } } \\ & { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \int e ^ { - i \vec { q } ^ { \prime } \cdot \vec { x } ^ { \prime } } \Omega ( \vec { k } + \vec { q } ^ { \prime \prime } / 2 , \vec { x } ^ { \prime } ) d \vec { x } ^ { \prime } \frac { 1 } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \int e ^ { - i \vec { q } ^ { \prime \prime } \cdot \vec { x } ^ { \prime \prime } } n ( \vec { k } - \vec { q } ^ { \prime } / 2 , \vec { x } ^ { \prime \prime } ) d \vec { x } ^ { \prime \prime } \Big ] . } \\ & { = \frac { i } { ( 4 \pi ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \int d \vec { q } ^ { \prime } d \vec { q } ^ { \prime \prime } d \vec { x } ^ { \prime } d \vec { x } ^ { \prime \prime } e ^ { i \vec { q } ^ { \prime \prime } \cdot ( \vec { x } - \vec { x } ^ { \prime \prime } ) + i \vec { q } ^ { \prime } \cdot ( \vec { x } - \vec { x } ^ { \prime } ) } } \\ & { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Big [ \Omega ( \vec { k } - \vec { q } ^ { \prime } / 2 , \vec { x } ^ { \prime \prime } ) n ( \vec { k } + \vec { q } ^ { \prime \prime } / 2 , \vec { x } ^ { \prime } ) - \Omega ( \vec { k } + \vec { q } ^ { \prime \prime } / 2 , \vec { x } ^ { \prime } ) n ( \vec { k } - \vec { q } ^ { \prime } / 2 , \vec { x } ^ { \prime \prime } ) \Big ] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { s } } & { = } & { H _ { s , 0 } + H _ { s , 1 } + H _ { s , 2 } } \\ { H _ { s , 0 } } & { = } & { \frac { m _ { s } v _ { \parallel } ^ { 2 } } { 2 } + \mu B } \\ { H _ { s , 1 } } & { = } & { e _ { s } J _ { s , 0 } \Phi } \\ { H _ { s , 2 } } & { = } & { - \frac { m _ { s } c ^ { 2 } } { 2 B ^ { 2 } } | \nabla _ { \perp } \Phi | ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { \varepsilon } ^ { i } ( \xi , T ) } & { = \int _ { D } \mathbb { E } \left[ \left. \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( T ) 1 _ { \{ T < T _ { \xi } \} } \right| \tilde { X } _ { T } ^ { \xi } = \eta \right] W _ { \varepsilon } ^ { j } ( \eta , 0 ) p _ { u } ( 0 , \eta , T , \xi ) \textrm { d } \eta } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { D } \mathbb { E } \left[ \left. \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( t ) 1 _ { \{ t < T _ { \xi } \} } g _ { \varepsilon } ^ { j } ( \tilde { X } _ { t } ^ { \xi } , T - t ) \right| \tilde { X } _ { T } ^ { \xi } = \eta \right] p _ { u } ( 0 , \eta , T , \xi ) \textrm { d } \eta \textrm { d } t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \zeta } { \partial x } ( x _ { i } , y _ { j } ) } & { = \frac { \bar { \rho } _ { c } g } { 2 \Delta x } \left[ ( \eta _ { c } - b _ { i + 1 / 2 , j } ) ^ { 2 } - ( \eta _ { c } - b _ { i - 1 / 2 , j } ) ^ { 2 } \right] } \\ & { = - \bar { \rho } _ { c } g \left[ ( 2 \eta _ { c } - b _ { i - 1 / 2 , j } - b _ { i + 1 / 2 , j } ) \frac { ( b _ { i + 1 / 2 , j } - b _ { i - 1 / 2 , j } ) } { 2 \Delta x } \right] } \\ & { = - \bar { \rho } _ { c } g ( \eta _ { c } - b _ { i , j } ) ( b _ { x } ) _ { i , j } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { n } l _ { n } ( f _ { t } ) } & { = \alpha _ { n } l _ { n } ( f ) - t \sqrt { n \alpha _ { n } } \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \tilde { \psi } _ { [ K _ { n } ] } ( Y _ { i } ) + t \sqrt { n \alpha _ { n } } \int _ { 0 } ^ { 1 } f \tilde { \psi } _ { f _ { 0 } } - \frac { t ^ { 2 } } { 2 } V _ { K _ { n } } + o ( 1 ) } \\ & { = \alpha _ { n } l _ { n } ( f ) + t \sqrt { n \alpha _ { n } } ( - \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \tilde { \psi } _ { [ K _ { n } ] } ( Y _ { i } ) + \psi ( f ) - \psi ( f _ { 0 } ) ) - \frac { t ^ { 2 } } { 2 } V _ { K _ { n } } + o ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { T _ { i } ^ { 2 } } & { = 1 , } & { \mathrm { ~ f o r ~ } 1 } & { \leq i \leq n - 1 , } \\ { T _ { i } T _ { j } } & { = T _ { j } T _ { i } , } & { \mathrm { ~ f o r ~ } 1 } & { \leq i < j - 1 \leq n - 2 , } \\ { T _ { i } T _ { i + 1 } T _ { i } } & { = T _ { i + 1 } T _ { i } T _ { i + 1 } , } & { \mathrm { ~ f o r ~ } 1 } & { \leq i \leq n - 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { \{ p _ { 1 } , p _ { 2 } \} } ( \{ y _ { 1 } , y _ { 2 } \} ; t ) } & { = F _ { 0 } ( y _ { 1 } - x _ { 1 } ; t ) F _ { 0 } ( y _ { 2 } - x _ { 2 } ; t ) - F _ { 1 } ( y _ { 2 } - x _ { 1 } ; t ) F _ { - 1 } ( y _ { 1 } - x _ { 2 } ; t ) } \\ & { = D e t ( ( F _ { i - j } ( y _ { i } - x _ { j } ; t ) ) _ { i j } ) } \end{array}
\frac { \| x _ { i } ^ { ( k ) } - \bar { x } _ { i } ^ { ( k ) } \| } { \| x _ { i } ^ { ( k ) } \| } \leq \frac { \kappa ( C ) \bar { \tau } } { 1 - \kappa ( C ) \bar { \tau } } \Big ( 2 + \frac { \kappa ( C ) \lVert \tilde { s } _ { i } \lVert } { \lVert C \lVert \lVert x _ { k , \tau } \lVert } \Big ) = \frac { 2 \kappa ( C ) \bar { \tau } } { 1 - \kappa ( C ) \bar { \tau } } ,
{ \mathbb { P } } \left( - \log | p _ { n } ( z _ { 0 } ) | + n U _ { \mu } ( z _ { 0 } ) \geq n U _ { \mu } ( z _ { 0 } ) - 1 \right) \leq \exp \left( - \frac { n \sigma _ { z _ { 0 } } ^ { 2 } } { b } h \left( \frac { b } { \sigma _ { z _ { 0 } } ^ { 2 } } U _ { \mu } ( z _ { 0 } ) - \frac { b } { n \sigma _ { z _ { 0 } } ^ { 2 } } ) \right) \right) .
\begin{array} { r l } & { \hat { \mathbf { E } } \left( \mathbf { r } , \omega _ { f } , t \right) = i \frac { \hbar } { \pi \epsilon _ { 0 } } \sum _ { s } \frac { \omega _ { f } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \mathrm { I m } \overleftrightarrow { G } \left( \mathbf { r } , \mathbf { r } _ { s } ; \omega _ { f } \right) \cdot \mathbf { d } _ { s } ^ { * } } \\ & { \times \hat { \sigma } _ { s } ^ { 1 2 } \left( t \right) \left( \pi \delta \left( \omega _ { f } - \omega _ { s } \right) + i \mathcal { P } \frac { 1 } { \omega _ { s } - \omega _ { f } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \int _ { 0 } ^ { \ell } r ( x ) u _ { x x x x } ^ { 2 } ( t ) d x + \kappa _ { 0 } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { \ell } u _ { x x x x \tau } ^ { 2 } d x d \tau } } \\ & { \leq } & { \frac { 6 } { \kappa _ { 0 } } \Big [ \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { \ell } \rho ^ { 2 } u _ { \tau \tau } ^ { 2 } d x d \tau + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { \ell } \mu ^ { 2 } u _ { \tau } ^ { 2 } d x d \tau + 4 \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { \ell } ( r ^ { \prime } ) ^ { 2 } u _ { x x x } ^ { 2 } d x d \tau + 4 \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { \ell } ( \kappa ^ { \prime } ) ^ { 2 } u _ { x x x \tau } ^ { 2 } d x d \tau } \\ & { } & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { \ell } ( r ^ { \prime \prime } ) ^ { 2 } u _ { x x } ^ { 2 } d x d \tau + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { \ell } ( \kappa ^ { \prime \prime } ) ^ { 2 } u _ { x x \tau } ^ { 2 } d x d \tau \Big ] = : \, \frac { 6 } { \kappa _ { 0 } } \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } I _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vert \widetilde { u } _ { n , t , x } - \widetilde { u } _ { n , m , t , x } \vert } & { \leq e ^ { - r ( T - t ) } \int _ { [ 0 , M ] ^ { d } } \vert h ( y ) - h ( [ y ] _ { m } ) \vert p ( y , T ; x , t ) d y } \\ & { \leq \int _ { [ 0 , M ] ^ { d } } C _ { 2 } ^ { 2 } d \Vert y - [ y ] _ { m } \Vert _ { 1 } p ( y , T ; x , t ) d y } \\ & { \leq C _ { 2 } ^ { 2 } d ^ { 2 } 2 ^ { - m } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { I } _ { 1 , 0 } + \mathbf { I } _ { 0 , 1 } = \frac { 2 } { Q } } & { \Bigg [ \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { 2 L } \mathbf { e } _ { j } + ( - 1 ) ^ { j } \frac { \mathrm { i } \sin ( \sqrt { Q } \tau ) } { 2 \sqrt { Q } } \left[ \mathbf { e } _ { j } , \mathbf { e } _ { j + 1 } \right] } \\ & { - \frac { \sin ^ { 2 } ( \sqrt { Q } \tau / 2 ) } { \sqrt { Q } } \left\{ \mathbf { e } _ { j } , \mathbf { e } _ { j + 1 } \right\} \Big ) - \frac { 2 - \cos ( \sqrt { Q } \tau ) } { \sqrt { Q } } L \Bigg ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \lvert \theta _ { 1 } B _ { \phi _ { 1 } } - \theta _ { 2 } L _ { \phi _ { 1 } } \rvert + \theta _ { 1 } \lvert B _ { \phi _ { 1 } } \rvert + \theta _ { 2 } \lvert L _ { \phi _ { 1 } } \rvert } \\ & { \leq \theta _ { 1 } \lvert B _ { \phi _ { 1 } } \rvert + \theta _ { 2 } \lvert L _ { \phi _ { 1 } } \rvert + \theta _ { 1 } \lvert B _ { \phi _ { 1 } } \rvert + \theta _ { 2 } \lvert L _ { \phi _ { 1 } } \rvert } \\ & { \leq 2 \operatorname* { m a x } \{ \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } \} \lvert B _ { \phi _ { 1 } } \rvert . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { z _ { 1 } ^ { c + p + i n t } h _ { p } ( z _ { 2 } - z _ { 1 } ) ^ { c + i n t } } { z _ { 1 } ^ { n } 2 ^ { c + i n t } z _ { 1 } ^ { c + i n t } ( z _ { 2 } + z _ { 1 } ) ^ { c + i n t } } \int _ { ( 0 ^ { - } ) } ^ { \left( \ln ^ { 5 } n / n \right) \pm i \epsilon } \frac { ( 1 - e ^ { z } ) ^ { c + p + i n t } } { e ^ { n z } } d z } \\ { \sim } & { \frac { z _ { 1 } ^ { c + p + i n t } h _ { p } ( z _ { 2 } - z _ { 1 } ) ^ { c + i n t } } { z _ { 1 } ^ { n } 2 ^ { c + i n t } z _ { 1 } ^ { c + i n t } ( z _ { 2 } + z _ { 1 } ) ^ { c + i n t } } \int _ { ( 0 ^ { - } ) } ^ { \left( \ln ^ { 5 } n / n \right) \pm i \epsilon } ( - z ) ^ { c + p + i n t } e ^ { - n z } d z } \\ { = } & { \frac { z _ { 1 } ^ { c + p + i n t } h _ { p } ( z _ { 2 } - z _ { 1 } ) ^ { c + i n t } } { z _ { 1 } ^ { n } 2 ^ { c + i n t } z _ { 1 } ^ { c + i n t } ( z _ { 2 } + z _ { 1 } ) ^ { c + i n t } n ^ { c + p + 1 + i n t } } \int _ { ( 0 ^ { - } ) } ^ { \left( \ln ^ { 5 } n \right) \pm i n \epsilon } ( - z ) ^ { c + p + i n t } e ^ { - z } d z . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { \mathrm { ~ C a s e ~ 1 : ~ } W _ { 1 } = C _ { 1 } , W _ { 2 } = C _ { 2 } , k = 0 , \mathrm { ~ a n d ~ } a ( t ) = C _ { 3 } e ^ { C _ { 4 } t } , } \\ & { \mathrm { ~ C a s e ~ 2 : ~ } W _ { 1 } = C _ { 1 } , W _ { 2 } = C _ { 2 } , \mathrm { ~ k ~ a r b i t r a r y , ~ a n d ~ } a ( t ) = C _ { 3 } . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { 1 = \sum _ { s ^ { ( a ) } = 0 } ^ { j } v _ { s ^ { ( a ) } } ( t ^ { ( a ) } ) , \quad \left\{ \begin{array} { l l } { v _ { 0 } ( t ^ { ( a ) } ) = 1 - \chi ( \gamma ^ { 2 } t ^ { ( a ) } ) , \quad \ \mathrm { f o r } \quad s ^ { ( a ) } = 0 , } \\ { v _ { s ^ { ( a ) } } ( t ^ { ( a ) } ) = \chi _ { s ^ { ( a ) } + 1 } ( t ^ { ( a ) } ) , \quad \mathrm { f o r } \quad 1 \le s ^ { ( a ) } \le j - 1 , } \\ { v _ { j } ( t ^ { ( a ) } ) = \chi ( \gamma ^ { 2 j } t ^ { ( a ) } ) , \quad \quad \quad \mathrm { f o r } \quad s ^ { ( a ) } = j . } \end{array} \right. } \end{array}
\Pi _ { 1 } \cdot \Pi _ { 2 } = \Delta ^ { - \frac { \beta ( A _ { 1 } ) } { 2 } } \cdot \Delta ^ { \frac { s ( A _ { 1 } - A ) } { 4 } } \geq \Delta ^ { - \frac { \beta ( A _ { 1 } ) s } { 8 } } \cdot \Delta ^ { \frac { ( \beta ( A _ { 1 } ) - \beta ( A ) ) s } { 8 } } = \Delta ^ { - \frac { \beta ( A ) s } { 8 } } \geq \delta ^ { - \frac { s u } { 8 } } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { p r } \circ ( \mathcal H \circ Q _ { \mathcal E ^ { \prime } } - ( - 1 ) ^ { k } Q _ { \mathcal E } \circ \mathcal H ) ( x _ { 1 } , \ldots , } & { x _ { i } , \ldots , f x _ { j } \ldots , x _ { n } ) = } \\ & { f \mathrm { p r } \circ ( \mathcal H \circ Q _ { \mathcal E ^ { \prime } } - ( - 1 ) ^ { k } Q _ { \mathcal E } \circ \mathcal H ) ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { i } , \ldots , x _ { j } \ldots , x _ { n } ) . } \end{array}
\mathit { f } _ { \mathrm { { C D } } } \sim 1 + \frac { \pi G _ { h _ { l } h _ { l } } } { \lambda ^ { 2 } } \Lambda _ { \theta } { \sigma } _ { \mathrm { s c a } } \underbrace { \longrightarrow } _ { \mathrm { L o s s l e s s } } \mathit { f } _ { \mathrm { { C D } } } \sim 1 + \frac { \pi G _ { h _ { l } h _ { l } } } { \lambda ^ { 2 } } \Lambda _ { \theta } { \sigma } _ { \mathrm { e x t } }
\Delta ( \mathcal { D } ) = \widehat { \Sigma } _ { \mathcal { S } \setminus \mathcal { D } , \mathcal { S } \setminus \mathcal { D } } - \widehat { \Sigma } _ { \mathcal { S } \setminus \mathcal { D } , \mathcal { D } } \widehat { \Sigma } _ { \mathcal { D } , \mathcal { D } } ^ { - 1 } \widehat { \Sigma } _ { \mathcal { D } , \mathcal { S } \setminus \mathcal { D } }
\begin{array} { r l } { r _ { 2 } } & { = \frac { \frac { c \lambda b } { a + b } ( 1 - c ) s } { \Delta } \leq \frac { \frac { b } { a + b } ( 1 - c ) s } { ( 1 - c \lambda ) \left( 1 - c \lambda \frac { a - b } { a + b } \right) } \leq \frac { s b } { ( a + b ) } \frac { 1 } { \left( 1 - \frac { a - b } { a + b } \right) } = \frac { s } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { \beta ( \mu _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } + k , \mu _ { 2 } - \mu _ { 1 } + n ) } { \beta ( \mu _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } , \mu _ { 2 } - \mu _ { 1 } ) } } } & { = { \frac { \Gamma ( \mu _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } + k ) \Gamma ( \mu _ { 2 } - \mu _ { 1 } + n ) \Gamma ( \mu _ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ) } { \Gamma ( \mu _ { 2 } + n + k + \frac { 1 } { 2 } ) \Gamma ( \mu _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } ) \Gamma ( \mu _ { 2 } - \mu _ { 1 } ) } } } \\ & { = { \frac { \gamma _ { \mu _ { 1 } } ( 2 k ) } { 2 ^ { 2 k } k ! } } { \frac { 2 ^ { 2 ( k + n ) } ( k + n ) ! } { \gamma _ { \mu _ { 2 } } ( 2 ( k + n ) ) } } ( \mu _ { 2 } - \mu _ { 1 } ) _ { n } } \\ & { = { \frac { \gamma _ { \mu _ { 1 } } ( m ) } { \gamma _ { \mu _ { 2 } } ( m + 2 n ) } } { \frac { 4 ^ { n } ( [ m / 2 ] + n ) ! } { [ m / 2 ] ! } } ( \mu _ { 2 } - \mu _ { 1 } ) _ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { b \cdot P ( a , b ) } & { = a \cdot P ( a - 1 , b - 1 ) , } & & { a \geq 1 , 1 \leq b \leq a , } \\ { P ( a + 1 , b ) } & { = P ( a , b - 1 ) + ( b + 1 ) \cdot P ( a , b + 1 ) , } & & { a \geq 0 , 1 \leq b \leq a , } \\ { Q ( a , b ) } & { = P ( a , b ) + ( b + 1 ) \cdot Q ( a - 1 , b + 1 ) , } & & { a \geq 1 , 1 \leq b \leq a , } \\ { Q ( a , b ) } & { = a \cdot Q ( a - 2 , b ) + Q ( a - 1 , b - 1 ) , } & & { a \geq 2 , 1 \leq b \leq a . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\| \boldsymbol { \mathbf { S } } _ { \ell } ^ { M } - \boldsymbol { \mathbf { \check { S } } } _ { \ell } ^ { M } \right\| _ { 2 \to 2 } \le 2 M \frac { C _ { s t i f f } } { C _ { d i a g } } \left\| \boldsymbol { \mathbf { S } } _ { \ell } - \check { \boldsymbol { \mathbf { S } } } _ { \ell ; r _ { \Xi } } \right\| _ { 2 \to 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lefteqn { \mathbb { P } \left[ \operatorname* { s u p } _ { n \in \left\{ 0 , \ldots , \lfloor T N \rfloor \right\} } \operatorname* { s u p } _ { t \in \left[ \frac { n } { N } , \frac { n + 1 } { N } \right] } \left| \nabla \phi \left( t , e \right) - \nabla \phi \left( \frac { n } { N } , e \right) \right| \geq \frac { K } { 2 } \right] } \qquad } & { } \\ & { \leq \sum _ { n = 0 } ^ { \lceil T N \rceil } \mathbb { P } \left[ \operatorname* { s u p } _ { t \in \left[ \frac { n } { N } , \frac { n + 1 } { N } \right] } \left| \nabla \phi \left( t , e \right) - \nabla \phi \left( \frac { n } { N } , e \right) \right| \geq \frac { K } { 2 } \right] } \\ & { \leq C N T \exp \left( - c K ^ { r } \right) } \\ & { \leq C K ^ { r } T \exp \left( - c K ^ { r } \right) } \\ & { \leq C T \exp \left( - c K ^ { r } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { 0 } - 1 + \beta _ { 0 } } & { = \frac { u _ { \pm } } { v _ { \pm } } - 1 + \frac { u _ { \pm } } { 1 + u _ { \pm } } = \frac { u _ { \pm } } { v _ { \pm } } - \frac { 1 } { 1 + u _ { \pm } } } \\ & { = \frac { u _ { \pm } ^ { 2 } } { \kappa ^ { 2 } ( 1 + u _ { \pm } ) } - \frac { 1 } { 1 + u _ { \pm } } = \frac { u _ { \pm } ^ { 2 } - \kappa ^ { 2 } } { \kappa ^ { 2 } ( 1 + u _ { \pm } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | q _ { d } ( \theta ) - g ( \theta ) | } & { \leq \frac { \pi ^ { 6 } } { 2 ( d + 2 ) ^ { 3 } \Delta _ { \theta } ^ { 4 } } \ \mathrm { \ f o r \ } \ \theta \neq \alpha , \beta , } \\ { | q _ { d } ( \alpha ) - g ( \alpha ) | } & { \leq \frac { \pi ^ { 6 } } { 2 ( d + 2 ) ^ { 3 } } { \operatorname* { m a x } } \{ \frac { 1 } { ( 2 \pi - 2 \alpha ) ^ { 4 } } , \frac { 1 } { ( \alpha - \beta ) ^ { 4 } } \} , } \\ { | q _ { d } ( \beta ) - g ( \beta ) | } & { \leq \frac { \pi ^ { 6 } } { 2 ( d + 2 ) ^ { 3 } } { \operatorname* { m a x } } \{ \frac { 1 } { ( 2 \beta ) ^ { 4 } } , \frac { 1 } { ( \alpha - \beta ) ^ { 4 } } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E ( x _ { 2 } ) } & { = \gamma \cos { \theta _ { \mathrm { L G } } } + \gamma _ { \mathrm { b l } } \cos { \theta _ { \mathrm { B L } } } + g _ { \mathrm { b r u s h } } ( { \zeta _ { \mathrm { w r } } } ) } \\ { E ( x _ { 3 } ) } & { = [ \gamma + \gamma _ { \mathrm { b l } } + f _ { \mathrm { w e t } } ( h _ { \mathrm { p } } , \zeta _ { \mathrm { w r } } ) ] \cos \theta _ { \mathrm { B G } } + g _ { \mathrm { b r u s h } } ( { \zeta _ { \mathrm { w r } } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { q c _ { 1 } - c _ { 2 } - \frac { \alpha _ { 2 } } { \Delta _ { 2 } - 1 } > \frac { q \sigma _ { 1 } } { 2 } + \frac { q ( \sigma _ { 1 } \mod 2 ) } { 2 } - q c _ { 1 } - q + q - \frac { \sigma _ { 2 } } { 2 } - \frac { 1 ( \sigma _ { 2 } \mod 2 ) } { 2 } + c _ { 2 } + } \\ & { + 1 + \frac { \sigma _ { 2 } \mod 2 } { 2 } - \frac { q ( \sigma _ { 1 } \mod 2 ) } { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma ( \mathbf { k } , \omega ) } & { = \int d \mathbf { r } d t e ^ { - i \omega \left( t - t ^ { \prime } \right) + i k \left( r - r ^ { \prime } \right) } \int d \mathbf { k } ^ { \prime } d \mathbf { r } ^ { \prime \prime } e ^ { i k ^ { \prime } \left( r - r ^ { \prime \prime } \right) } \frac { i \vec { k ^ { \prime } } ( - i \omega ) } { k ^ { 2 } } \langle \left[ \rho \left( r ^ { \prime \prime } , t \right) , \psi ^ { \dagger } \left( r ^ { \prime } , t ^ { \prime } \right) \right] \rangle } \\ & { = \int d t e ^ { - i \omega \left( t - t ^ { \prime } \right) } \int d \mathbf { r } ^ { \prime \prime } e ^ { i k \left( r ^ { \prime \prime } - r ^ { \prime } \right) } \frac { \mathbf { k } \omega } { k ^ { 2 } } \langle \left[ \rho \left( r ^ { \prime \prime } t \right) , \psi ^ { \dagger } \left( r ^ { \prime } t ^ { \prime } \right) \right] \rangle } \end{array}
a ^ { 1 4 } + 3 a ^ { 1 0 } c ^ { 4 } + 2 4 a ^ { 9 } c ^ { 5 } + 4 8 a ^ { 8 } b ^ { 5 } c + 3 0 a ^ { 8 } b ^ { 4 } c ^ { 2 } + 3 6 a ^ { 8 } c ^ { 6 } + 2 4 0 a ^ { 7 } b ^ { 6 } c + 2 4 0 a ^ { 7 } b ^ { 5 } c ^ { 2 } + 4 8 a ^ { 7 } b ^ { 4 } c ^ { 3 } + 1 6 a ^ { 7 } c ^ { 7 } + 2 8 a ^ { 6 } b ^ { 8 } + 2 2 4 a ^ { 6 } b ^ { 7 } c + 3 8 4 a ^ { 6 } b ^ { 6 } c ^ { 2 } + 5 2 8 a ^ { 6 } b ^ { 5 } c ^ { 3 } + 4 8 a ^ { 6 } b ^ { 4 } c ^ { 4 } + 1 1 a ^ { 6 } c ^ { 8 } + 9 6 a ^ { 5 } b ^ { 9 } + 1 2 0 a ^ { 5 } b ^ { 8 } c + 9 1 2 a ^ { 5 } b ^ { 6 } c ^ { 3 } + 7 2 0 a ^ { 5 } b ^ { 5 } c ^ { 4 } + 9 6 a ^ { 5 } b ^ { 4 } c ^ { 5 } + 2 4 a ^ { 5 } c ^ { 9 } + 9 6 a ^ { 4 } b ^ { 1 0 } + 4 8 0 a ^ { 4 } b ^ { 9 } c + 3 2 4 a ^ { 4 } b ^ { 8 } c ^ { 2 } + 1 1 2 0 a ^ { 4 } b ^ { 7 } c ^ { 3 } + 1 5 3 6 a ^ { 4 } b ^ { 6 } c ^ { 4 } + 7 2 0 a ^ { 4 } b ^ { 5 } c ^ { 5 } + 1 0 8 a ^ { 4 } b ^ { 4 } c ^ { 6 } + 1 2 a ^ { 4 } c ^ { 1 0 } + 3 8 4 a ^ { 3 } b ^ { 1 0 } c + 9 6 0 a ^ { 3 } b ^ { 9 } c ^ { 2 } + 4 6 4 a ^ { 3 } b ^ { 8 } c ^ { 3 } + 9 1 2 a ^ { 3 } b ^ { 6 } c ^ { 5 } + 5 2 8 a ^ { 3 } b ^ { 5 } c ^ { 6 } + 4 8 a ^ { 3 } b ^ { 4 } c ^ { 7 } + 3 2 a ^ { 2 } b ^ { 1 2 } + 5 7 6 a ^ { 2 } b ^ { 1 0 } c ^ { 2 } + 9 6 0 a ^ { 2 } b ^ { 9 } c ^ { 3 } + 3 2 4 a ^ { 2 } b ^ { 8 } c ^ { 4 } + 6 7 2 a ^ { 2 } b ^ { 7 } c ^ { 5 } + 3 8 4 a ^ { 2 } b ^ { 6 } c ^ { 6 } + 2 4 0 a ^ { 2 } b ^ { 5 } c ^ { 7 } + a ^ { 2 } c ^ { 1 2 } + 6 4 a b ^ { 1 2 } c + 3 8 4 a b ^ { 1 0 } c ^ { 3 } + 4 8 0 a b ^ { 9 } c ^ { 4 } + 1 2 0 a b ^ { 8 } c ^ { 5 } + 2 4 0 a b ^ { 6 } c ^ { 7 } + 4 8 a b ^ { 5 } c ^ { 8 } + 3 2 b ^ { 1 2 } c + 9 6 b ^ { 1 0 } c ^ { 4 } + 9 6 b ^ { 9 } c ^ { 5 } + 2 8 b ^ { 8 } c ^ { 6 } + 3 2 b ^ { 7 } c ^ { 7 } + 6 b ^ { 4 } c ^ { 1 0 }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { x } \in \mathcal { X } } \quad } & { \frac { 1 } \! \left[ 2 \right] \mathbf { x } ^ { \top } \mathbf { Q } \mathbf { x } + \mathbf { c } ^ { \top } \mathbf { x } + \mathbf { d } + \mathbb { E } _ { \mathbf { U } ^ { \top } \mathbf { P } ^ { \top } \mathbf { P } \mathbf { U } } } \\ { \textrm { s . t . } \quad } & { \mathbf { A } \mathbf { x } \preccurlyeq \mathbf { b } + \mathbf { q } _ { \varepsilon } } \end{array}
\alpha ^ { * } \mathsf { a } _ { 1 } - \alpha ^ { * } \mathsf { a } _ { 3 } \times ( J _ { \mu _ { 3 } } - \mu _ { 3 } \mathbf { E } _ { 0 } ) \dot { \Omega } ( \mu _ { 3 } ) - \alpha ^ { * } \mathsf { a } _ { 3 } \times I ( \dot { \Omega } _ { 1 } ( \mu _ { 3 } ) - \dot { \Omega } ( \mu _ { 3 } ) ) = \dot { \lambda } ( \mu _ { 3 } ) \Lambda ^ { * } \mathsf { a } _ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { \dot { V } _ { u } ( x ) } & { \leq } & { ( \varepsilon - 2 \mu ) \frac { \pi ^ { 2 } } { 4 } \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { 2 } ( z ) d z + ( \varepsilon + 2 a ) V ( x ) - 2 V ^ { 2 } ( x ) + \frac { \mu ^ { 2 } } { \varepsilon } | u ( 0 ) | ^ { 2 } } \\ & { = } & { \Big ( ( \varepsilon - 2 \mu ) \frac { \pi ^ { 2 } } { 4 } + \varepsilon + 2 a \Big ) V ( x ) - 2 V ^ { 2 } ( x ) + \frac { \mu ^ { 2 } } { \varepsilon } | u ( 0 ) | ^ { 2 } . } \end{array}
\mathbf { V } ^ { T } \mathbf { v } _ { 0 } \lvert _ { \mathcal { Q } _ { 0 } } \stackrel { d } { = } \left( \frac { \mathbf { p } _ { 0 } ^ { T } \mathbf { v } _ { 0 } } { \| \mathbf { p } _ { 0 } \| ^ { 2 } } \right) \mathbf { u } _ { 0 } + \left[ \frac { \| [ \mathbf { B } _ { \mathbf { C } _ { p 0 } } ^ { \perp } ] ^ { T } \mathbf { v } _ { 0 } \| } { \| \mathbf { Z } _ { q 0 } \| } - \sqrt { \rho _ { q 0 } } \right] \mathbf { B } _ { \mathbf { C } _ { u 0 } } ^ { \perp } \, \mathbf { Z } _ { q 0 } - \sqrt { \rho _ { q 0 } } \, \mathbf { B } _ { \mathbf { C } _ { u 0 } } \, \breve { \mathbf { Z } } _ { q 0 } + \sqrt { \rho _ { q 0 } } \, \mathbf { O } _ { q 0 } \, \overline { { \mathbf { Z } } } _ { q 0 } .
P _ { t } ^ { ( u ) } = \sum _ { i \in \mathcal { C } _ { u } } P _ { t } ^ { ( u , i ) } = \sum _ { i \in \mathcal { C } _ { u } } \big | \sqrt { P _ { t } } \mathbf { w } _ { i u } s _ { u } \big | ^ { 2 } = P _ { t } \frac { 1 } { | \mathbf { g } _ { u } | ^ { 2 } } \sum _ { i \in \mathcal { C } _ { u } } | \mathbf { w } _ { i u } | ^ { 2 } = P _ { t } \frac { 1 } { | \mathbf { g } _ { u } | ^ { 2 } } \sum _ { i \in \mathcal { C } _ { u } } | \mathbf { g } _ { i u } | ^ { 2 } = P _ { t } .
\begin{array} { r l } & { \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k } ) , { x } ^ { t , k } - { z } \rangle - \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) , { x } ^ { t , k - 1 } - { z } \rangle } \\ { = \ } & { \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k } ) , { x } ^ { t , k } - { z } \rangle - \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k } ) , { x } ^ { t , k - 1 } - { z } \rangle } \\ & { + \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k } ) , { x } ^ { t , k - 1 } - { z } \rangle - \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) , { x } ^ { t , k - 1 } - { z } \rangle } \\ { = \ } & { \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k } ) , { x } ^ { t , k } - { x } ^ { t , k - 1 } \rangle + \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k } ) - \nabla f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) , { x } ^ { t , k - 1 } - { z } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { t } T _ { t } } & { = d _ { t } \left( \frac { 1 } { v _ { t } } \partial _ { u } C _ { t } \right) = d _ { t } \left( \frac { 1 } { v _ { t } } \right) \partial _ { u } C _ { t } + \frac { 1 } { v _ { t } } d _ { t } \partial _ { u } C _ { t } + d _ { t } \left( \frac { 1 } { v _ { t } } \right) d _ { t } \partial _ { u } C _ { t } } \\ & { = \left( - \frac { \rho _ { t } } { v _ { t } } \left( ( - 3 \rho _ { t } + 2 h ) d t + \sqrt { 2 } d B _ { t } \right) - \frac { \partial _ { u } \alpha _ { t } } { v _ { t } ^ { 2 } } d t \right) v _ { t } T _ { t } } \\ & { + \frac { 1 } { v _ { t } } \left( ( - \partial _ { u } \rho _ { t } - \rho _ { t } v _ { t } \alpha _ { t } ) \nu _ { t } d t + \left( v _ { t } \rho _ { t } ( ( - \rho _ { t } + 2 h _ { t } ) d t + \sqrt { 2 } d B _ { t } ) + \partial _ { u } \alpha _ { t } d t \right) T _ { t } \right) } \\ & { - 2 \rho _ { t } ^ { 2 } T _ { t } d t } \\ & { = - \frac { 1 } { v _ { t } } ( \partial _ { u } \rho _ { t } + \rho _ { t } v _ { t } \alpha _ { t } ) d t \nu _ { t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { 1 } ( p _ { 2 b } ) } & { = t _ { b + 1 } } \\ { \phi _ { 1 } ( p _ { 2 b + 1 } ) } & { = ( t _ { b + 1 } ) ^ { - 1 } } \\ { \phi _ { 1 } ( p _ { 2 b + 2 } ) } & { = t _ { b } } \\ { \phi _ { 2 } ( p _ { 2 b } ) } & { = t _ { b + 1 } } \\ { \phi _ { 2 } ( p _ { 2 b + 1 } ) } & { = ( t _ { b + 1 } ) ^ { - 1 } } \\ { \phi _ { 2 } ( p _ { 2 b + 2 } ) } & { = t _ { b } } \\ { \phi _ { 3 } ( p _ { 2 b + 1 } ) } & { = t _ { b + 1 } } \\ { \phi _ { 3 } ( p _ { 2 b + 2 } ) } & { = ( t _ { b + 1 } ) ^ { - 1 } } \end{array}
( x , y , z ) = \left( \frac { 2 t _ { \varphi } } { 1 + t _ { \varphi } ^ { 2 } } \cdot \frac { 1 - t _ { \theta } ^ { 2 } } { 1 + t _ { \theta } ^ { 2 } } \; \; , \; \frac { 2 t _ { \varphi } } { 1 + t _ { \varphi } ^ { 2 } } \cdot \frac { 2 t _ { \theta } } { 1 + t _ { \theta } ^ { 2 } } \; \; , \; \frac { 1 - t _ { \varphi } ^ { 2 } } { 1 + t _ { \varphi } ^ { 2 } } \right) ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { c y c } \frac { ( a + b ) ^ { 2 } } { a ^ { 2 } + a b c + b ^ { 2 } } } & { = 2 . \sum _ { c y c } \frac { ( a + b ) ^ { 2 } } { 2 a ^ { 2 } + a b c + 2 b ^ { 2 } + a b c } } \\ & { \le 2 . \sum _ { c y c } \left( \frac { a ^ { 2 } } { 2 a ^ { 2 } + a b c } + \frac { b ^ { 2 } } { 2 b ^ { 2 } + a b c } \right) } \\ & { = 4 \sum _ { c y c } \frac { a } { 2 a + b c } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi ^ { ( j ) } } & { \in \mathscr { O } ( \mathbb { C } ^ { k } \times \mathbb { C } ^ { \kappa } ; C _ { \mathrm { c } } ^ { \infty } ( \mathbb { R } _ { t _ { 2 } , \ldots , t _ { k } } ^ { k - 1 } ; \mathcal { E } ^ { \prime } ( \mathbb { R } _ { t _ { k + 1 } , \ldots , t _ { N } } ^ { N - k } ) ) ) } \\ { E ^ { ( j ) } } & { \in \mathscr { O } ( \mathbb { C } ^ { k } \times \mathbb { C } ^ { \kappa } ; C ^ { \infty } ( \mathbb { R } _ { t _ { 1 } } ; C _ { \mathrm { c } } ^ { \infty } ( \mathbb { R } _ { t _ { 2 } , \ldots , t _ { k } } ^ { k - 1 } ; \mathcal { E } ^ { \prime } ( \mathbb { R } _ { t _ { k + 1 } , \ldots , t _ { N } } ^ { N - k } ) ) ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { X ( \vec { \lambda } ) = } & { - A _ { \alpha } ^ { 2 } q ^ { m - 1 - \lambda _ { m } ^ { ( \alpha ) } } \Bigl ( ( 1 + q ) q ^ { m - 1 - \lambda _ { m } ^ { ( \alpha ) } } - q ^ { \ell ( \lambda ^ { ( \alpha ) } ) } + ( q - 1 ) \sum _ { i \neq m } q ^ { i - 1 - \lambda _ { i } ^ { ( \alpha ) } } \Bigr ) } \\ & { + A _ { \alpha } q ^ { m - 1 - \lambda _ { m } ^ { ( \alpha ) } } \sum _ { \beta \neq \alpha } A _ { \beta } \Bigl ( q ^ { \ell ( \lambda ^ { ( \beta ) } ) } + ( 1 - q ) \sum _ { i = 1 } ^ { \ell ( \lambda ^ { ( \beta ) } ) } q ^ { i - 1 - \lambda _ { i } ^ { ( \beta ) } } \Bigr ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { S _ { x } } & { = \sum x _ { i } \, = 2 4 . 7 6 , \qquad S _ { y } = \sum y _ { i } \, = 9 3 1 . 1 7 , } \\ { S _ { x x } } & { = \sum x _ { i } ^ { 2 } = 4 1 . 0 5 3 2 , \; \; \, S _ { y y } = \sum y _ { i } ^ { 2 } = 5 8 4 9 8 . 5 4 3 9 , } \\ { S _ { x y } } & { = \sum x _ { i } y _ { i } = 1 5 4 8 . 2 4 5 3 } \end{array} }
\varepsilon _ { a } = \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { \kappa _ { a } } { \alpha _ { a } ( \kappa _ { a } + 1 ) } \frac { \kappa _ { a } \delta _ { a } } { \mu _ { a } ( \mu _ { a } + \delta _ { a } - \kappa _ { a } ) + \kappa _ { a } \delta _ { a } } , \frac { \kappa _ { a } \delta _ { a } } { \mu _ { a } ( 1 + \mu _ { a } + \delta _ { a } ) } \right\}
\begin{array} { r l } { v _ { n + 1 } ( x , t ) = } & { E ^ { - 1 } \bigg \{ v E \bigg ( \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { x } K ( x - y , y ) \sum _ { i = 0 } ^ { n } v _ { i } ( x - y , t ) \sum _ { i = 0 } ^ { n } v _ { i } ( y , t ) d y } \\ { - \int _ { 0 } ^ { \infty } K ( x , y ) } & { \sum _ { i = 0 } ^ { n } v _ { i } ( x , t ) \sum _ { i = 0 } ^ { n } v _ { i } ( y , t ) d y - \sum _ { i = 0 } ^ { n } H _ { i } + \int _ { x } ^ { \infty } B ( x , y ) S ( y ) v _ { n } ( x , t ) d y - S ( x ) v _ { n } ( x , t ) \bigg ) \bigg \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { \xi } \| \nabla f _ { \xi } ( w _ { \theta } ) - \nabla f _ { \xi } ( w ) \| ^ { 2 } } \\ & { = \mathbb { E } _ { \xi } \Big \| \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \big ( \nabla f _ { \xi } ( w _ { \theta ( k + 1 ) / n } ) - \nabla f _ { \xi } ( w _ { \theta k / n } ) \big ) \Big \| ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( i ) } { \le } n \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \mathbb { E } _ { \xi } \big \| \nabla f _ { \xi } ( w _ { \theta ( k + 1 ) / n } ) - \nabla f _ { \xi } ( w _ { \theta k / n } ) \big \| ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( i i ) } { \le } n \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \| w _ { \theta ( k + 1 ) / n } - w _ { \theta k / n } \| ^ { 2 } \mathbb { E } _ { \xi } \Big ( L _ { 0 } + L _ { 1 } \operatorname* { m a x } _ { \theta ^ { \prime } \in [ 0 , 1 ] } \| \nabla f _ { \xi } \big ( \theta ^ { \prime } w _ { \theta ( k + 1 ) / n } + ( 1 - \theta ^ { \prime } ) w _ { \theta k / n } \big ) \| ^ { \alpha } \Big ) ^ { 2 } } \\ & { = \theta ^ { 2 } \| w ^ { \prime } - w \| ^ { 2 } \mathbb { E } _ { \xi } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \frac { 1 } { n } \operatorname* { m a x } _ { \theta ^ { \prime } \in [ 0 , 1 ] } \big ( L _ { 0 } + L _ { 1 } \| \nabla f _ { \xi } \big ( w _ { \theta ^ { \prime } \theta ( k + 1 ) / n + ( 1 - \theta ^ { \prime } ) \theta k / n } \big ) \| ^ { \alpha } \big ) ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( i i i ) } { = } \theta ^ { 2 } \| w ^ { \prime } - w \| ^ { 2 } \mathbb { E } _ { \xi } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \frac { 1 } { n } \operatorname* { m a x } _ { u \in [ k / n , ( k + 1 ) / n ] } h ( u ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P ( v , t ) } & { = } & { { \frac { e ^ { - { \frac { m ( { \frac { - ( 1 - e ^ { - { \frac { \gamma t } { m } } } ) f } { \gamma } } + v ) ^ { 2 } } { 2 ( 1 - e ^ { - { \frac { 2 \gamma t } { m } } } ) T } } } \sqrt { { \frac { m } { ( 1 - e ^ { - { \frac { 2 \gamma t } { m } } ) } t } } } } { \sqrt { 2 \pi } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \langle ( \delta x _ { 1 } ) ^ { 2 } \rangle _ { c } = \langle ( \delta x _ { 2 } ) ^ { 2 } \rangle _ { c } = 2 t - \frac { 3 } { 4 } \quad , \quad \langle \delta x _ { 1 } \delta x _ { 2 } \rangle _ { c } = \frac { 3 } { 4 } } \\ & { } & { \langle ( \delta x _ { 1 } ) ^ { 3 } \rangle _ { c } = - \langle ( \delta x _ { 2 } ) ^ { 3 } \rangle _ { c } = - \frac { 7 } { 4 } \quad , \quad \langle \delta x _ { 1 } ( \delta x _ { 2 } ) ^ { 2 } \rangle _ { c } = - \langle ( \delta x _ { 1 } ) ^ { 2 } \delta x _ { 2 } \rangle _ { c } = - \frac { 7 } { 4 } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l r l r } { \partial _ { t } \rho _ { i } + \nabla \cdot q _ { i } ( \rho ) } & { = f _ { i } ( \rho _ { 1 } , \dots , \rho _ { 5 } ) } & { \quad } & { \mathrm { ~ i n ~ } [ 0 , T ) \times \Omega , } \\ { q _ { i } \cdot n } & { = q _ { i } ^ { 0 } \cdot n } & { \quad } & { \mathrm { ~ i n ~ } [ 0 , T ) \times \partial \Omega , } \\ { \rho _ { i } ( 0 ) } & { = \rho _ { i } ^ { 0 } } & { \quad } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega , } & \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow 1 } f _ { t t } ( t , x ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow 1 } f ( t ) \left( \frac { f _ { t t } ( t , x ) } { f ( t ) } - \left( \frac { f _ { t } ( t , x ) } { f ( t , x ) } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { f _ { t } ( t , x ) } { f ( t , x ) } \right) ^ { 2 } \right) } \\ & { = \frac { i ( i - 1 ) } { 1 - x } + \frac { ( - i + 1 ) x ^ { 2 } } { ( 1 - x ) ^ { 2 } } + \left( \frac { x ^ { 3 } } { 3 } + \frac { x ^ { 4 } } { 6 } \right) \frac { 1 } { ( 1 - x ) ^ { 3 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \Psi \rangle } & { = \int \! \! \mathrm { d } \omega _ { 1 } \mathrm { d } \omega _ { 2 } \, F ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) \hat { a } ^ { \dagger } ( \omega _ { 1 } ) \hat { a } ^ { \dagger } ( \omega _ { 2 } ) | \mathrm { v a c } \rangle } \\ & { \mathrm { w h e r e } \, \, \langle \Psi | \Psi \rangle = \int \! \! \mathrm { d } \omega _ { 1 } \mathrm { d } \omega _ { 2 } \, | F ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) | ^ { 2 } = 1 } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( x ^ { 1 } , x ^ { 2 } , x ^ { 3 } , x ^ { 4 } \right) \mapsto \left( \frac { \sqrt { ( x ^ { 1 } ) ^ { 2 } + ( x ^ { 2 } ) ^ { 2 } } + x ^ { 3 } } { \sqrt { ( x ^ { 1 } ) ^ { 2 } + ( x ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } x ^ { 1 } , \frac { \sqrt { ( x ^ { 1 } ) ^ { 2 } + ( x ^ { 2 } ) ^ { 2 } } + x ^ { 3 } } { \sqrt { ( x ^ { 1 } ) ^ { 2 } + ( x ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } x ^ { 2 } , x ^ { 4 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { | | u | | _ { 2 } = 1 } \left| \frac { d Q ^ { \alpha } ( s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) } { d \alpha } | _ { \alpha = 0 } \right| } & { \le | | \gamma M ( \alpha ) \frac { d \tilde { P } ( \alpha ) } { d \alpha } M ( \alpha ) \bar { c } | | _ { \infty } } \\ & { \le \frac { \gamma C _ { 1 } } { ( 1 - \gamma ) ^ { 2 } } | | \bar { c } | | _ { \infty } } \\ { \operatorname* { m a x } _ { | | u | | _ { 2 } = 1 } \left| \frac { d ^ { 2 } Q ^ { \alpha } ( s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) } { ( d \alpha ) ^ { 2 } } | _ { \alpha = 0 } \right| } & { \le 2 \gamma ^ { 2 } | | M ( \alpha ) \frac { d \tilde { P } ( \alpha ) } { d \alpha } M ( \alpha ) \frac { d \tilde { P } ( \alpha ) } { d \alpha } M ( \alpha ) \bar { c } | | _ { \infty } + \gamma | | M ( \alpha ) \frac { d ^ { 2 } \tilde { P } ( \alpha ) } { ( d \alpha ) ^ { 2 } } M ( \alpha ) \bar { c } | | _ { \infty } } \\ & { \le \left( \frac { 2 \gamma ^ { 2 } C _ { 1 } ^ { 2 } } { ( 1 - \gamma ) ^ { 3 } } + \frac { \gamma C _ { 2 } } { ( 1 - \gamma ) ^ { 2 } } \right) | | \bar { c } | | _ { \infty } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { H } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \int _ { { E _ { i _ { k } } } } { \frac { { \partial f \left( { d ( { \varphi _ { i _ { k } } } , \theta ) } \right) } } { { \partial { \varphi _ { i _ { k } } } } } \rho \left( \theta \right) d \theta } } \cdot { \omega _ { i _ { k } } } + \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \frac { { \partial H } } { { \partial { s _ { i _ { k } } } } } { { \dot { s } } _ { i _ { k } } } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta = { \small \left( \begin{array} { l l l l l l l l } { b _ { 1 } ^ { \dagger } } & { b _ { 2 } } & { b _ { 3 } } & { b _ { 4 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { b _ { 2 } ^ { \dagger } } & { - b _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { b _ { 3 } } & { - b _ { 4 } } & { 0 } & { 0 } \\ { b _ { 3 } ^ { \dagger } } & { 0 } & { - b _ { 1 } } & { 0 } & { b _ { 2 } } & { 0 } & { b _ { 4 } } & { 0 } \\ { b _ { 4 } ^ { \dagger } } & { 0 } & { 0 } & { b _ { 1 } ^ { \dagger } } & { 0 } & { b _ { 2 } } & { b _ { 3 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { b _ { 4 } ^ { \dagger } } & { b _ { 3 } ^ { \dagger } } & { b _ { 2 } ^ { \dagger } } & { b _ { 1 } } \\ { 0 } & { 0 } & { - b _ { 4 } ^ { \dagger } } & { b _ { 3 } ^ { \dagger } } & { 0 } & { 0 } & { - b _ { 1 } ^ { \dagger } } & { b _ { 2 } } \\ { 0 } & { b _ { 4 } ^ { \dagger } } & { 0 } & { - b _ { 2 } ^ { \dagger } } & { 0 } & { - b _ { 2 } ^ { \dagger } } & { - b _ { 1 } ^ { \dagger } } & { b _ { 3 } } \\ { 0 } & { - b _ { 3 } ^ { \dagger } } & { - b _ { 2 } ^ { \dagger } } & { 0 } & { - b _ { 1 } ^ { \dagger } } & { 0 } & { 0 } & { b _ { 4 } } \\ { I ^ { \dagger } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } \ . \normalsize } \end{array}
\mathbf { A } = { \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { \mathbf { A } _ { ( 1 , 1 ) } } & { \mathbf { A } _ { ( 1 , 2 ) } } & & & { \cdots } & { \mathbf { A } _ { ( 1 , n - 1 ) } } & { \mathbf { A } _ { ( 1 , n ) } } \\ { \mathbf { A } _ { ( 2 , 1 ) } } & { \mathbf { A } _ { ( 1 , 1 ) } } & { \mathbf { A } _ { ( 1 , 2 ) } } & & & & { \mathbf { A } _ { ( 1 , n - 1 ) } } \\ & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & & & { \vdots } \\ & & { \mathbf { A } _ { ( 2 , 1 ) } } & { \mathbf { A } _ { ( 1 , 1 ) } } & { \mathbf { A } _ { ( 1 , 2 ) } } & & \\ { \vdots } & & & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & \\ { \mathbf { A } _ { ( n - 1 , 1 ) } } & & & & { \mathbf { A } _ { ( 2 , 1 ) } } & { \mathbf { A } _ { ( 1 , 1 ) } } & { \mathbf { A } _ { ( 1 , 2 ) } } \\ { \mathbf { A } _ { ( n , 1 ) } } & { \mathbf { A } _ { ( n - 1 , 1 ) } } & { \cdots } & & & { \mathbf { A } _ { ( 2 , 1 ) } } & { \mathbf { A } _ { ( 1 , 1 ) } } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial u } { \partial t } + u \frac { \partial u } { \partial r } + w \frac { \partial u } { \partial z } - \frac { v ^ { 2 } } { r } } & { = \nu \Big [ \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } \Big ( r \frac { \partial u } { \partial r } \Big ) + \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial z ^ { 2 } } - \frac { u } { r ^ { 2 } } \Big ] - \frac { \partial p } { \partial r } } \\ { \frac { \partial v } { \partial t } + u \frac { \partial v } { \partial r } + w \frac { \partial v } { \partial z } + \frac { u v } { r } } & { = \nu \Big [ \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } \Big ( r \frac { \partial v } { \partial r } \Big ) + \frac { \partial ^ { 2 } v } { \partial z ^ { 2 } } - \frac { v } { r ^ { 2 } } \Big ] } \\ { \frac { \partial w } { \partial t } + u \frac { \partial w } { \partial r } + w \frac { \partial w } { \partial z } \qquad } & { = \nu \Big [ \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } \Big ( r \frac { \partial w } { \partial r } \Big ) + \frac { \partial ^ { 2 } w } { \partial z ^ { 2 } } \qquad \Big ] - \frac { \partial p } { \partial z } } \\ { \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } ( r u ) + \frac { \partial w } { \partial z } } & { = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dim \mathrm H _ { f } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb Q } , I ) } & { = \dim \mathrm H _ { f } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb Q } , \mathbb Q _ { p } ( 1 ) ^ { D ( { \overline { { \mathbb Q } } } ) } ) - \dim \mathrm H _ { f } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb Q } , \mathbb Q _ { p } ( 1 ) ) , } \\ { \dim \mathrm H _ { f } ^ { 1 } ( G _ { p } , I ) } & { = \dim \mathrm H _ { f } ^ { 1 } ( G _ { p } , \mathbb Q _ { p } ( 1 ) ^ { D ( { \overline { { \mathbb Q } } } ) } ) - \dim \mathrm H _ { f } ^ { 1 } ( G _ { p } , \mathbb Q _ { p } ( 1 ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \textup { P r o b } \left( \bar { \omega } > g ( { \mathbf x } ) + \sqrt { \frac { 3 } { B } } \sigma \sqrt { \ln ( 1 / \delta ) } \right) \leq \delta ~ \mathrm { ~ a n d ~ } ~ \textup { P r o b } \left( \bar { \omega } < g ( { \mathbf x } ) - \sqrt { \frac { 3 } { B } } \sigma \sqrt { \ln ( 1 / \delta ) } \right) \leq \delta . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \leq \mathbf { C } \cdot \sum _ { v : 2 ^ { - v } \leq \mathcal { F } _ { \Theta } ( x _ { I } ) } 2 ^ { - v } \cdot \operatorname* { m i n } \{ \vec { N } _ { 2 ^ { - v } } ( x _ { I } ) ^ { 1 / 2 } , N ^ { 1 / 2 } \} \cdot | I | ^ { 1 / 2 } } \\ & { \leq \mathbf { C } \sum _ { v : 2 ^ { - v } \leq \mathcal { F } _ { \Theta } ( x _ { I } ) / N ^ { 1 / 2 } } 2 ^ { - v } \cdot N ^ { 1 / 2 } \cdot | I | ^ { 1 / 2 } + \mathbf { C } \sum _ { v : \mathcal { F } _ { \Theta } ( x _ { I } ) / N ^ { 1 / 2 } \leq 2 ^ { - v } \leq 2 \cdot \mathcal { F } _ { \Theta } ( x _ { I } ) } \mathcal { V } _ { \vec { f _ { \Theta } } } ^ { r } ( x _ { I } ) \cdot | I | ^ { 1 / 2 } } \\ & { \qquad \qquad \leq \mathbf { C } \cdot \mathcal { F } _ { \Theta } ( x _ { I } ) \cdot | I | ^ { 1 / 2 } + \mathbf { C } \cdot \log N \cdot \mathcal { V } _ { \vec { f _ { \Theta } } } ^ { r } ( x _ { I } ) \cdot | I | ^ { 1 / 2 } , \; \; \; \; \; \; r = 2 + \frac { \mathbf { c } } { \log N } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - 2 s _ { 1 } t } ( \| \partial _ { t } u \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } + \| \nabla u \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } ) \, d t } \\ { = } & { } & { \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \| s u _ { L } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } + \| \nabla u _ { L } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } ) \, d s _ { 2 } } \\ { \leq } & { } & { C \frac { 1 } { s _ { 1 } ^ { 3 } } \left( 1 + \frac { \sigma _ { \rho } } { s _ { 1 } } \right) ^ { 2 } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } | s | | s + \sigma _ { \rho } | ^ { 2 } \| f _ { L } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } \, d s _ { 2 } } \\ { = } & { } & { C \frac { 1 } { s _ { 1 } ^ { 3 } } \left( 1 + \frac { \sigma _ { \rho } } { s _ { 1 } } \right) ^ { 2 } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \| s ( s + \sigma _ { \rho } ) f _ { L } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } \| ( s + \sigma _ { \rho } ) f _ { L } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } \, d s _ { 2 } } \\ { \leq } & { } & { C \frac { 1 } { s _ { 1 } ^ { 3 } } \left( 1 + \frac { \sigma _ { \rho } } { s _ { 1 } } \right) ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { + \infty } e ^ { - 2 s _ { 1 } t } \| \partial _ { t t } f + \sigma _ { \rho } \partial _ { t } f \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } \| \partial _ { t } f + \sigma _ { \rho } f \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } \, d t } \\ { \leq } & { } & { C \frac { 1 } { s _ { 1 } ^ { 3 } } \left( 1 + \frac { \sigma _ { \rho } } { s _ { 1 } } \right) ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { + \infty } e ^ { - 2 s _ { 1 } t } \Big ( \| \partial _ { t t } f \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } \| \partial _ { t } f \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } } \\ & { } & { + \sigma _ { \rho } \| \partial _ { t t } f \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } \| f \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } + \sigma _ { \rho } \| \partial _ { t } f \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } + \sigma _ { \rho } ^ { 2 } \| \partial _ { t } f \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } \| f \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } \Big ) \, d t } \\ { \leq } & { } & { C \frac { 1 } { s _ { 1 } ^ { 3 } } \left( 1 + \frac { \sigma _ { \rho } } { s _ { 1 } } \right) ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { + \infty } e ^ { - 2 s _ { 1 } t } \Big ( ( 1 + \sigma _ { \rho } ) \| \partial _ { t t } f \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } + \sigma _ { \rho } ( 1 + \sigma _ { \rho } + \sigma _ { \rho } ^ { 2 } ) \| \partial _ { t } f \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } } \\ & { } & { + ( 1 + \sigma _ { \rho } ) \| f \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } \Big ) \, d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Vert \sigma _ { | A | ^ { \frac { r } { 2 } } } ( x , [ \xi ] ) \Vert _ { \textnormal { H S } } } & { \leq \Vert | \sigma _ { A } ( x , [ \xi ] ) | ^ { \frac { r } { 2 } } \Vert _ { \textnormal { H S } } + \Vert r _ { A } ( x , [ \xi ] ) \Vert _ { \textnormal { H S } } } \\ & { = \Vert \sigma _ { A } ( x , [ \xi ] ) \Vert _ { \mathscr { S } _ { r } } ^ { \frac { r } { 2 } } + \Vert r _ { A } ( x , [ \xi ] ) \Vert _ { \textnormal { H S } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle \Psi _ { A , E _ { 1 } \ell _ { 1 } m _ { 1 } \sigma _ { 1 } , E _ { 2 } \ell _ { 2 } m _ { 2 } \sigma _ { 2 } } ^ { - } | \mathcal { O } _ { \nu } G _ { 0 } ^ { + } ( E _ { g } + \omega ) \mathcal { O } _ { \mu } | g \rangle = \sum _ { \Gamma \alpha } \int d E \frac { \langle \Psi _ { A , E _ { 1 } \ell _ { 1 } m _ { 1 } \sigma _ { 1 } , E _ { 2 } \ell _ { 2 } m _ { 2 } \sigma _ { 2 } } ^ { - } | \mathcal { O } _ { \nu } | \Psi _ { \alpha E } ^ { \Gamma ( - ) } \rangle \, \langle \Psi _ { \alpha E } ^ { \Gamma ( - ) } | \mathcal { O } _ { \mu } | g \rangle } { E _ { g } + \omega - E + i 0 ^ { + } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { P } [ | \ensuremath { { \boldsymbol { \mathsf { a } } } ^ { \mathsf { T } } } { \boldsymbol { X } } { \boldsymbol { \mathsf { b } } } | \leq \delta ] } & { \leq \delta \frac { D _ { m , n } } { \sigma _ { 1 } ( { \boldsymbol { X } } ) s ^ { 2 } } \Bigg ( 1 + \log \Bigg ( \frac { s ^ { 2 } \sigma _ { 1 } ( { \boldsymbol { X } } ) } { \delta } \Bigg ) \Bigg ) , \quad \mathrm { f o r ~ a l l ~ \delta \leq ~ \sigma _ 1 ( { \boldsymbol { X } } ) s ^ 2 ~ , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \int _ { S ^ { 2 n + 1 } } | F _ { i _ { m } } ^ { \Phi } | ^ { p } d \xi \right) ^ { \frac { 2 } { p } } } & { - \left( \int _ { S ^ { 2 n + 1 } } | F | ^ { p } d \xi \right) ^ { \frac { 2 } { p } } } \\ & { \leqslant \left( \int _ { S ^ { 2 n + 1 } } | F _ { i _ { m } } ^ { \Phi } - F | ^ { p } d \xi \right) ^ { \frac { 2 } { p } } + o ( 1 ) } \\ & { \leqslant { C } _ { n , 2 \gamma } \int _ { S ^ { 2 n + 1 } } \left( \bar { F } _ { i _ { m } } ^ { \Phi } - \bar { F } \right) \mathcal { A } _ { 2 \gamma } ^ { \theta _ { 0 } } \left( F _ { i _ { m } } ^ { \Phi } - F \right) d \xi + o ( 1 ) } \\ & { \leqslant { C } _ { n , 2 \gamma } \int _ { S ^ { 2 n + 1 } } \left( \bar { F } _ { i _ { m } } ^ { \Phi } \mathcal { A } _ { 2 \gamma } ^ { \theta _ { 0 } } ( F _ { i _ { m } } ^ { \Phi } ) - \bar { F } \mathcal { A } _ { 2 \gamma } ^ { \theta _ { 0 } } ( F ) \right) d \xi + o ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( 2 \pi ) [ f ( 0 ) - \mathbb { E } \hat { f } _ { n } ( 0 ) ] } & { \sim \frac { \Delta _ { n } ^ { - \beta } S ( \Delta _ { n } ) } { \beta } + \frac { \Delta _ { n } ^ { - \beta } S ( \Delta _ { n } ) } { \lambda + 1 - \beta } = \mathcal { O } \left( \Delta _ { n } ^ { - \beta } \cdot S ( \Delta _ { n } ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \| e ^ { n } \| \le C _ { e } E _ { \alpha } ( 2 \rho t _ { n } ^ { \alpha } / r ^ { * } ) \left( \frac { \tau _ { 1 } ^ { \sigma } } { \sigma } + \frac { 1 } { 1 - \alpha } \operatorname* { m a x } _ { 2 \le k \le n } t _ { k } ^ { \alpha } t _ { k - 1 } ^ { \alpha - 2 } \tau _ { k } ^ { 2 - \alpha } + h ^ { 2 } \right) \quad \mathrm { f o r } ~ 1 \le n \le N , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { H ^ { ' } } } & { = \mathbf { H } } \\ { \mathbf { J _ { f } ^ { ' } } } & { = \mathbf { J _ { f } } } \\ { \mathbf { B ^ { ' } } } & { = \mathbf { B } } \\ { \mathbf { M ^ { ' } } } & { = \mathbf { M } } \\ { \mathbf { E ^ { ' } } } & { = \mathbf { E } + v ^ { \mathbf { r } } \times \mathbf { B } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { u \leq t } \| p _ { n + 1 } ( . , . ; u ) \| _ { L ^ { 1 } ( \mathbb { R } ^ { d + 1 } , d m d x ) } \leq ( 2 ( d + 1 ) C ) ^ { n + 1 } t ^ { ( n + 1 ) / 2 } \frac { \Gamma ( 1 / 2 ) ^ { n } } { \Gamma ( 1 + n / 2 ) } \frac { \Gamma ( 1 / 2 ) \Gamma ( 1 + n / 2 ) } { \Gamma ( ( n + 3 ) / 2 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Pi _ { r + \frac { 1 } { 2 } } ( z , w ) } & { = \frac { 2 r + 1 } { \sqrt { 8 \pi b } } e x p ( - \frac { ( 2 r + 1 ) \pi } { 2 b } ( z - \bar { w } ) ^ { 2 } ) } \\ & { \times t ^ { r + \frac { 1 } { 2 } } ( z ) \Omega _ { \mu } ( z ) \otimes \bar { t } ^ { r + \frac { 1 } { 2 } } ( w ) \bar { \Omega } _ { \mu } ( w ) + O ( r ^ { - \infty } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { \rho } _ { 2 } ^ { * } K _ { { \mathcal Y ^ { \sigma } } ^ { \prime } / \mathcal X } } & { = K _ { \widehat { \mathcal Y } ^ { \prime } / \mathcal X } - K _ { \widehat { \mathcal Y } ^ { \prime } / { \mathcal Y ^ { \sigma } } ^ { \prime } } } \\ & { = \widetilde { \rho } _ { 1 } ^ { * } K _ { \mathcal Y ^ { \prime } / \mathcal X } + K _ { \widehat { \mathcal Y } ^ { \prime } / \mathcal Y ^ { \prime } } - K _ { \widehat { \mathcal Y } ^ { \prime } / { \mathcal Y ^ { \sigma } } ^ { \prime } } \geq K _ { \widehat { \mathcal Y } ^ { \prime } / \mathcal Y ^ { \prime } } - K _ { \widehat { \mathcal Y } ^ { \prime } / { \mathcal Y ^ { \sigma } } ^ { \prime } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { V } & { ( t , x ) \le } \\ & { | | \varphi _ { F } ( t _ { 0 } , t , x ) - \varphi _ { F } ( t _ { 0 } , t , y ) | | + \operatorname* { i n f } _ { \xi \in \Omega _ { 0 } } | | \varphi _ { F } ( t _ { 0 } , t , y ) - \xi | | = } \\ & { | | \varphi _ { F } ( t _ { 0 } , t , x ) - \varphi _ { F } ( t _ { 0 } , t , y ) | | + V ( t , y ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \| { \bf X } ^ { t } - { \bf P } { \bf X } ^ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { m \Big ( 2 K ( \frac { 4 K ^ { 3 } L ^ { 2 } \rho ^ { 4 } } { 2 K - 1 } + 8 K ( L ^ { 2 } \rho ^ { 2 } + \sigma _ { g } ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } ) + \frac { 8 K } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \mathbb { E } \left\| \nabla f ( \mathbf { x } ^ { t } ( i ) ) \right\| ^ { 2 } ) + \frac { 2 K \rho ^ { 2 } } { \eta ^ { 2 } ( 2 K - 1 ) } \Big ) \eta ^ { 2 } } { ( 1 - \lambda ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta ( Q _ { i } ) } & { \geq \frac { n + 2 k - 2 } { 4 } - | S | } \\ & { \geq \frac { n + 2 k - 2 } { 4 } - ( 2 k - 1 ) } \\ & { > ( c _ { k } \sqrt { n } + 3 k ^ { 2 } + 2 k + 1 ) - 2 k + 1 } \\ & { > c _ { k } \sqrt { n } + ( k + 1 ) ( 2 k - 2 ) - 1 } \\ & { > c _ { k } \sqrt { | V ( Q _ { i } ) | } + ( k + 1 ) | N _ { G } ( \tilde { u } _ { i } ) \cap V ( Q _ { i } ) | - 1 . } \end{array}
\varrho \| \textbf { u } - \textbf { u } _ { h } \| _ { 0 , \O } ^ { 2 } = a ( \textbf { u } - \textbf { u } _ { h } , \boldsymbol { \Phi } ) = a ( \textbf { u } - \textbf { u } _ { h } , \boldsymbol { \Phi } - \textbf { I } _ { k , h } \boldsymbol { \Phi } ) + a ( \textbf { u } - \textbf { u } _ { h } , \textbf { I } _ { k , h } \boldsymbol { \Phi } ) .
\begin{array} { r l } & { \| e _ { 3 } ^ { 1 } \| _ { L ^ { 2 } } = \| B ( e ^ { i s \Delta } v _ { 0 } ) - B ( v _ { 0 } ) \| _ { L ^ { 2 } } \leq C ( M _ { 2 } ) \| ( I - e ^ { i s \Delta } ) v _ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } } \leq C ( M _ { 2 } ) \tau , } \\ & { \| e _ { 3 } ^ { 2 } \| _ { L ^ { 2 } } = \| B ( v _ { 0 } ) - B ( P _ { N } v _ { 0 } ) \| _ { L ^ { 2 } } \leq C ( M _ { 2 } ) \| v _ { 0 } - P _ { N } v _ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } } \leq C ( M _ { 2 } ) h ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { d _ { \tau } \langle \tilde { b } ^ { \dagger } b \rangle = - ( \gamma _ { c } + i \nu ) \langle \tilde { b } ^ { \dagger } b \rangle + N g ^ { * } \langle \tilde { b } ^ { \dagger } v ^ { \dagger } c \rangle , } \\ & { d _ { \tau } \langle \tilde { b } ^ { \dagger } v ^ { \dagger } c \rangle = - ( \gamma + i \nu _ { \epsilon } ) \langle \tilde { b } ^ { \dagger } v ^ { \dagger } c \rangle + g \langle \tilde { b } ^ { \dagger } b \rangle ( 2 \langle c ^ { \dagger } c \rangle - 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\lVert \theta _ { n } - \theta _ { 0 } \right\rVert _ { H _ { n } ( \theta _ { n } ) } ^ { 2 } \ge \left[ \left\lVert \theta _ { \star } - \theta _ { 0 } \right\rVert _ { H ( \theta _ { \star } ) } - 8 \left\lVert S _ { n } ( \theta _ { \star } ) \right\rVert _ { H ( \theta _ { \star } ) ^ { - 1 } } \right] ^ { 2 } / 4 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { V } _ { u } ( x ) } & { = } & { 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } x ( z ) \Big ( \mu x _ { z z } ( z ) + a x ( z ) - x ^ { 3 } ( z ) \Big ) d z } \\ & { = } & { 2 \mu \Big ( x _ { z } ( z ) x ( z ) \Big ) \Big | _ { z = 0 } ^ { z = 1 } - 2 \mu \int _ { 0 } ^ { 1 } \big ( x _ { z } ( z ) \big ) ^ { 2 } d z } \\ & { } & { \qquad + 2 a V ( x ) - 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } \big ( x ^ { 2 } ( z ) \big ) ^ { 2 } d z . } \end{array}
0 < c _ { P } ( \vec { \varphi } _ { i } , \vec { \varphi } _ { i } ) _ { L _ { \epsilon } ^ { 2 } ( \Omega ) } \leq ( \operatorname { c u r l } _ { x } \vec { \varphi } _ { i } , \operatorname { c u r l } _ { x } \vec { \varphi } _ { i } ) _ { L _ { \mu } ^ { 2 } ( \Omega ) } = ( \vec { \varphi } _ { i } , \vec { \varphi } _ { i } ) _ { H _ { 0 , \epsilon , \mu } ( \operatorname { c u r l } ; \Omega ) } - ( \vec { \varphi } _ { i } , \vec { \varphi } _ { i } ) _ { L _ { \epsilon } ^ { 2 } ( \Omega ) } = \lambda _ { i }
R _ { k } ( s , t ) = \epsilon ^ { k } \sum _ { j = 0 } ^ { N _ { k } } b _ { k , 0 , j } ( s ) \overline { { f } } _ { k , 0 , j } ( t / \epsilon ) + \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { \ell } \epsilon ^ { i + k } \sum _ { j = 0 } ^ { N _ { k , i } } b _ { k , i , j } ( s ) \overline { { f } } _ { k , i , j } ( t / \epsilon ) + O ( \epsilon ^ { \ell + 1 + k } ) \right]
\sigma ^ { p _ { 2 s - 1 } } ( \mathbf d ) = \mathbf X _ { s } \mathbf Y _ { s } \cdots \mathbf X _ { t } \mathbf Y _ { t } \mathbf w _ { i _ { n } } ( 1 - i _ { n } / 2 ) \ \ \ \ \ \mathrm { a n d } \ \ \ \ \ \sigma ^ { p _ { 2 s } } ( \mathbf d ) = \mathbf Y _ { s } \mathbf X _ { s + 1 } \cdots \mathbf X _ { t } \mathbf Y _ { t } \mathbf w _ { i _ { n } } ( 1 - i _ { n } / 2 ) .
\begin{array} { r l } { \frac { d \sigma } { d \theta } } & { = 1 6 \pi ^ { 2 } \alpha I _ { \mathrm { L } } \frac { k _ { f } } { k _ { i } } \left\vert \frac { a _ { i f } } { 3 } \right\vert ^ { 2 } \frac { 1 } { \beta } \left( \frac { k _ { f } } { k _ { i } ^ { 3 } } \right) \theta ^ { - 2 } , \qquad \beta \ll \frac { k _ { f } } { k _ { i } } \theta ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ^ { - } ( a ) u - f ^ { - } \left( a _ { \ell ( \nu ) } \right) U _ { \ell ( \nu ) } ^ { - } } & { \le \left\{ | u | K _ { f } - f ^ { - } \left( a _ { \ell ( \nu ) } \right) \right\} \epsilon \ \quad ( \nu > \operatorname* { m a x } ( \nu _ { a } , \nu _ { u } ) ) } \\ { g ( a ) - g \left( a _ { \ell ( \nu ) } \right) } & { \le K _ { g } \epsilon \quad ( \nu > \operatorname* { m a x } ( \nu _ { a } , \nu _ { u } ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { b ( x , t \nabla _ { x } \varphi ( x , \xi ) + t \zeta ) = \sum _ { 0 \leq | \alpha | < M } t ^ { | \alpha | } \frac { \zeta ^ { \alpha } } { \alpha ! } ( \partial _ { \eta } ^ { \alpha } b ) ) ( x , t \nabla _ { x } \varphi ( x , \xi ) ) } \\ & { \qquad + t ^ { M } \sum _ { | \alpha | = M } C _ { \alpha } { \zeta ^ { \alpha } } r _ { \alpha } ( t , x , \xi , \zeta ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { \mathrm { i n t } } ^ { \mathrm { S A P T } } } & { = } & { E _ { \mathrm { e l s t } } ^ { ( 1 ) } + E _ { \mathrm { e x c h } } ^ { ( 1 ) } + E _ { \mathrm { i n d } } ^ { ( 2 ) } + } \\ & { } & { E _ { \mathrm { e x c h - i n d } } ^ { ( 2 ) } + E _ { \mathrm { d i s p } } ^ { ( 2 ) } + E _ { \mathrm { e x c h - d i s p } } ^ { ( 2 ) } + \ldots , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\Vert \chi \left[ \partial _ { x } ^ { \alpha } \partial _ { v } ^ { \beta } , a ( x ) v \cdot \nabla _ { v } \right] f \right\Vert _ { \mathrm { L } _ { x , v } ^ { 2 } } \lesssim ( 1 + M _ { f } ) \Vert a \Vert _ { \mathrm { H } _ { x } ^ { s _ { 0 } } } \Vert \chi f \Vert _ { \mathrm { H } _ { x , v } ^ { s } } + \Vert a \Vert _ { \mathrm { H } _ { x } ^ { s } } \Vert \chi f \Vert _ { \mathrm { H } _ { x , v } ^ { s } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| Q ( \theta ^ { K } ) - } & { Q ^ { \pi } \| _ { \mu } \leq \left( 1 - \frac { ( 1 - \gamma ) ^ { 2 } \lambda _ { 0 } } { 7 2 } \right) ^ { K } \| T Q ( \theta ^ { 0 } ) - Q ^ { \pi } \| _ { \mu } ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 6 \tau _ { 1 } \sqrt { \log ( 2 K / \delta ) } } { ( 1 - \gamma ) \sqrt { \lambda _ { 0 } N } } + \frac { 1 } { 1 - \gamma } \| \Pi _ { \mu } Q ^ { \pi } - Q ^ { \pi } \| _ { \mu } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \omega \cdot \partial _ { \bf x } h _ { 1 } - h _ { 2 } = f _ { 1 } - { \cal R } _ { \varepsilon } ^ { ( 1 ) } [ h _ { 1 } , h _ { 2 } ] \, , } \\ { \omega \cdot \partial _ { \bf x } h _ { 2 } + \partial _ { y } ^ { 2 } h _ { 1 } - \Pi _ { \bot } Q _ { \mathtt m } ( y ) h _ { 1 } = f _ { 2 } - { \cal R } _ { \varepsilon } ^ { ( 2 ) } [ h _ { 1 } , h _ { 2 } ] \, , } \end{array} \right.
I \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { p \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { i } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \ensuremath { \mathcal { Z } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = I \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \partial \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! B \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { i } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Phi \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { i } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! * \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \ensuremath { \mathcal { Z } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l } & { ( I _ { m } , 0 _ { m \times p } ) \widetilde { V } _ { k } = U _ { k } B _ { k } , } \\ & { Q Q ^ { T } \left( \begin{array} { l } { U _ { k } } \\ { 0 _ { p \times k } } \end{array} \right) = \widetilde { V } _ { k } ( B _ { k } ^ { T } + D _ { k } ) + \beta _ { k } \tilde { v } _ { k + 1 } ( e _ { k } ^ { ( k ) } ) ^ { T } + \widetilde { G } _ { k } , } \\ & { ( 0 _ { p \times m } , I _ { p } ) \widetilde { V } _ { k } P = \widehat { U } _ { k } \widehat { B } _ { k } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \star _ { \eta } \Theta _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } ) ^ { \sigma } } & { = 2 \delta ( \mathrm { e } _ { \alpha } ^ { K } \mathrm { e } _ { K \beta } ) g ^ { \sigma \alpha } e ^ { L \beta } \nabla _ { \mu } e _ { L } ^ { \mu } + 2 \mathrm { e } _ { \alpha } ^ { K } \delta \mathrm { e } _ { K } ^ { \sigma } \mathrm { e } ^ { L \alpha } \nabla _ { \mu } \mathrm { e } _ { L } ^ { \mu } + \nabla _ { \mu } ( 2 \mathrm { e } _ { L } ^ { \mu } g ^ { \sigma \beta } \delta \mathrm { e } _ { \beta } ^ { L } ) } \\ & { \quad - 2 g ^ { \sigma \beta } \delta \mathrm { e } _ { \beta } ^ { L } \nabla _ { \mu } \mathrm { e } _ { L } ^ { \mu } - g ^ { \sigma \beta } g ^ { \mu \alpha } ( \nabla _ { \mu } \delta g _ { \alpha \beta } + \nabla _ { \beta } \delta g _ { \mu \alpha } - \nabla _ { \alpha } \delta g _ { \mu \beta } ) } \\ & { = 2 ( g ^ { \sigma \alpha } \mathrm { e } ^ { L \beta } \mathrm { e } _ { \beta K } \delta \mathrm { e } _ { \alpha } ^ { K } + g ^ { \sigma \alpha } e ^ { L \beta } \mathrm { e } _ { \alpha } ^ { K } \delta \mathrm { e } _ { \beta K } + \delta \mathrm { e } ^ { \sigma L } - g ^ { \sigma \beta } \delta \mathrm { e } _ { \beta } ^ { L } ) \nabla _ { \mu } \mathrm { e } _ { L } ^ { \mu } } \\ & { \quad + \nabla _ { \mu } ( 2 \mathrm { e } _ { L } ^ { \mu } g ^ { \sigma \beta } \delta e _ { \beta } ^ { L } ) - \nabla ^ { \sigma } \delta g } \\ & { = W ^ { \sigma } + \nabla _ { \mu } ( g ^ { \sigma \beta } \mathrm { e } _ { L } ^ { \mu } \delta \mathrm { e } _ { \beta } ^ { L } - g ^ { \alpha \mu } \mathrm { e } ^ { L \sigma } \delta \mathrm { e } _ { L \alpha } ) } \\ & { = ( \star _ { g } \Theta _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } ) ^ { \sigma } + \nabla _ { \mu } ( \mathcal { U } ^ { \mu \sigma } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { D \rightarrow 0 } \dot { S } _ { \mathrm { i n t } } } & { \sim \operatorname* { l i m } _ { D \rightarrow 0 } \gamma ~ \frac { v } { D } \int _ { 0 } ^ { a } \mathrm { d } x ~ e ^ { - \frac { x } { l _ { D } } } + \int _ { a } ^ { \ell } \mathrm { d } x ~ \dots } \\ & { \sim \gamma ~ \frac { v } { U ^ { [ 1 ] } - v + f } + \dots ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { x } & { = ( q a _ { 0 } + \rho ) \cos \left( \phi _ { 0 } - q \frac { \pi } { 2 } \right) + q \rho \sin \left( q \varphi - \varphi _ { 0 } \right) } \\ { y } & { = ( q a _ { 0 } + \rho ) \sin \left( \phi _ { 0 } - q \frac { \pi } { 2 } \right) + q \rho \cos \left( q \varphi - \varphi _ { 0 } \right) } \\ { z } & { = z _ { 0 } + \rho \phi \cot { \theta } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname { d i v } _ { g } \operatorname { d i v } _ { g } { \sigma ^ { \varepsilon , \delta } } } \\ & { \qquad = \sum _ { a , \, b , \, i , \, j = 1 } ^ { n } \bigg [ g ^ { a b } \, g ^ { i j } \, \partial _ { i } \partial _ { a } \sigma _ { j b } ^ { \varepsilon , \delta } + g ^ { a b } \, \partial _ { a } g ^ { i j } \, \partial _ { i } \sigma _ { j b } ^ { \varepsilon , \delta } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \quad - \sum _ { \ell = 1 } ^ { n } \bigg ( g ^ { a b } \, g ^ { i j } \, \Gamma ( g ) _ { i j } ^ { \ell } \, \partial _ { a } \sigma _ { \ell b } ^ { \varepsilon , \delta } + g ^ { a b } \, g ^ { i j } \, \Gamma ( g ) _ { i b } ^ { \ell } \, \partial _ { a } \sigma _ { j \ell } ^ { \varepsilon , \delta } + g ^ { a b } \, g ^ { i j } \, \Gamma ( g ) _ { a b } ^ { \ell } \, \partial _ { i } \sigma _ { j \ell } ^ { \varepsilon , \delta } \bigg ) \bigg ] } \\ & { \qquad \qquad + K \, O ( f _ { \varepsilon , \delta } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { M } \operatorname* { m a x } _ { 1 \le k \le M } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \left| \sum _ { j = 1 } ^ { N } { \phi _ { j } ( \boldsymbol { x } _ { k } ) } \phi _ { j } ( \boldsymbol { x } _ { i } ) \right| \le \underbrace { \left( \operatorname* { m a x } _ { 1 \le j \le N , 1 \le k \le M } | { \phi _ { j } ( \boldsymbol { x } _ { k } ) } | \right) } _ { : = Q _ { \operatorname* { m a x } } } \underbrace { \left( \frac { 1 } { M } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \left| \sum _ { j = 1 } ^ { N } \phi _ { j } ( \boldsymbol { x } _ { i } ) \right| \right) } _ { : = S _ { N } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mathscr { T } _ { ( 3 ) } ^ { 1 } ) _ { - 3 } } & { = ( \mathscr { T } _ { ( 3 ) } ^ { 1 } ) _ { - 3 } ^ { \mathrm { e d g e } } } \\ { ( \mathscr { T } _ { ( 3 ) } ^ { 1 } ) _ { - 2 } } & { = ( \mathscr { T } _ { ( 3 ) } ^ { 1 } ) _ { - 2 } ^ { \mathrm { e d g e } } \otimes ( \mathscr { T } _ { ( 3 ) } ^ { 1 } ) _ { - 2 } ^ { \mathrm { v e r t e x } } } \\ { \dots } \\ { ( \mathscr { T } _ { ( 3 ) } ^ { 1 } ) _ { 2 } } & { = ( \mathscr { T } _ { ( 3 ) } ^ { 1 } ) _ { 2 } ^ { \mathrm { v e r t e x } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int _ { 0 } ^ { x } f ( x ^ { 2 } - a ) \ d a } & { = } & { \int _ { x ^ { 2 } } ^ { x ^ { 2 } - x } - f ( t ) \ d t } \\ & { = } & { - \left( F ( x ^ { 2 } - x ) - F ( x ^ { 2 } ) \right) } \\ & { = } & { F ( x ^ { 2 } ) - F ( x ^ { 2 } - x ) } \\ { \frac { d } { d x } \int _ { 0 } ^ { x } f ( x ^ { 2 } - a ) \ d a } & { = } & { \frac { d } { d x } \left( F ( x ^ { 2 } ) - F ( x ^ { 2 } - x ) \right) } \\ & { = } & { F ^ { \prime } ( x ^ { 2 } ) \frac { d } { d x } x ^ { 2 } - F ^ { \prime } ( x ^ { 2 } - x ) \frac { d } { d x } ( x ^ { 2 } - x ) } \\ & { = } & { 2 x f ( x ^ { 2 } ) - ( 2 x - 1 ) f ( x ^ { 2 } - x ) } \end{array}
\Big ( \sum _ { k \geq 1 } \lambda _ { k } \vert \widehat { f } ( k ) \vert ^ { 2 } \Big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \leq \Big ( \int _ { \mathcal { M } } \vert \nabla f \vert ^ { 2 } \, \mathrm { d } \mathrm { m } \Big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \leq \frac { 2 } { \lambda } \Big ( \int _ { \mathcal { M } } \mu ^ { n , t + \frac { 1 } { n } } \, \vert \nabla f \vert ^ { 2 } \, \mathrm { d } \mathrm { m } \Big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \leq \frac { 2 } { \lambda } .
\begin{array} { r l } { { 1 } 2 \mathrm { R i c } _ { g } } & { = \left[ \begin{array} { l l l l } { - \lambda _ { 3 } ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - \lambda _ { 3 } ^ { 2 } - \lambda _ { 4 } ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \lambda _ { 3 } ^ { 2 } - \lambda _ { 4 } ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \lambda _ { 4 } ^ { 2 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l l } { - \lambda _ { 3 } ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 2 \lambda _ { 3 } ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \lambda _ { 3 } ^ { 2 } } \end{array} \right] } \\ & { = \lambda _ { 3 } ^ { 2 } \left[ \begin{array} { l l l l } { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 2 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { X ^ { d } } \operatorname* { l i m s u p } _ { N \rightarrow \infty } \operatorname* { s u p } _ { t } \Big | \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } e ^ { 2 \pi i n t } \prod _ { i = 1 } ^ { d } f _ { i } ( T ^ { a _ { i } n } x _ { i } ) \Big | ^ { 2 } d \mu _ { d } ^ { \mathcal { A } } ( \textbf { x } ) } \\ & { \le \frac { C } { H _ { 1 } } + \frac { C } { H _ { 1 } } \sum _ { h _ { 1 } = 1 } ^ { H _ { 1 } - 1 } \int _ { X ^ { d } } \operatorname* { l i m s u p } _ { N \rightarrow \infty } \Big | \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \prod _ { i = 1 } ^ { d } T ^ { a _ { i } n } ( f _ { i } \cdot T ^ { a _ { i } h _ { 1 } } f _ { i } ) ( x _ { i } ) \Big | d \mu _ { d } ^ { \mathcal { A } } ( \textbf { x } ) } \\ & { \le \frac { C } { H _ { 1 } } + \frac { C } { H _ { 1 } } \sum _ { h _ { 1 } = 1 } ^ { H _ { 1 } - 1 } \Big ( \int _ { X ^ { d } } \operatorname* { l i m s u p } _ { N \rightarrow \infty } \Big | \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \prod _ { i = 1 } ^ { d } T ^ { a _ { i } n } ( f _ { i } \cdot T ^ { a _ { i } h _ { 1 } } f _ { i } ) ( x _ { i } ) \Big | ^ { 2 } d \mu _ { d } ^ { \mathcal { A } } ( \textbf { x } ) \Big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \end{array}
\boxed { \begin{array} { r l } & { f _ { j m \lambda } ( k ) = - \sqrt { \frac { \epsilon _ { 0 } } { c \hbar } } \frac { \sqrt { 2 \pi } ( - i ) ^ { j } } { k ^ { 2 } } \big ( a _ { j m } ( k ) + \lambda b _ { j m } ( k ) \big ) } \\ & { h _ { j m \lambda } ( k ) = - \sqrt { \frac { \epsilon _ { 0 } } { c \hbar } } \frac { \sqrt { 2 \pi } ( - i ) ^ { j } } { k ^ { 2 } } \big ( \rho _ { j m } ( k ) + \lambda \mu _ { j m } ( k ) \big ) . } \end{array} }
{ \begin{array} { r l } { p } & { = p _ { 0 } \cdot \left( 1 - { \frac { L \cdot h } { T _ { 0 } } } \right) ^ { \frac { g \cdot M } { R _ { 0 } \cdot L } } } \\ & { = p _ { 0 } \cdot \left( 1 - { \frac { g \cdot h } { c _ { \mathrm { p } } \cdot T _ { 0 } } } \right) ^ { \frac { c _ { \mathrm { p } } \cdot M } { R _ { 0 } } } \approx p _ { 0 } \cdot \exp \left( - { \frac { g \cdot h \cdot M } { T _ { 0 } \cdot R _ { 0 } } } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r } { \bar { \mathbf V } _ { j , s } ^ { \mathbb { B } } : = ( c _ { k } ^ { i , l } K _ { b _ { k } ^ { i , l } } ( t _ { j } - t _ { s } ) V _ { j , k } ^ { i , l } / \Gamma _ { k } ^ { i , l } ( t _ { s } ) , ( i , l , k ) \in \mathbb { B } ) ^ { \top } , \quad 1 \leq s \leq n , ~ j = \lceil n \tau _ { n } \rceil , \cdots , 2 \lceil n b \rceil - \lceil n \tau _ { n } \rceil . } \end{array}
\operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \mathbb { E } W _ { 1 } ( \overline { { \mu } } _ { t } ^ { N } , \mu _ { t } ) \leq \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \operatorname* { s u p } _ { i \leq N } \mathbb { E } | X _ { t } ^ { i , N } - X _ { t } ^ { i , \infty } | + \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \mathbb { E } W _ { 1 } ( \tilde { \mu } _ { t } ^ { N } , \mu _ { t } ) .
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } ( Y _ { 4 a } ) } & { \lesssim \frac { 1 } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 2 } } \sum _ { i j \ell s } \theta _ { i } ^ { 2 } ( \beta _ { j } \theta _ { j } ) ^ { 2 } ( \beta _ { \ell } \theta _ { \ell } ) ^ { 2 } \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \cdot \theta _ { i } \theta _ { j } \theta _ { \ell } \theta _ { s } } \\ & { \lesssim \frac { \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } } { \| \theta \| _ { 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) } & { = \int _ { 1 } ^ { \infty } \frac { e ^ { i ( t _ { 1 } \lfloor 1 / \{ x \} \rfloor + t _ { 2 } \lfloor x \rfloor ) } - 1 } { x ( x + 1 ) } \, \mathrm { d } x = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { e ^ { i ( t _ { 1 } \lfloor 1 / x \rfloor + t _ { 2 } n ) } - 1 } { ( x + n ) ( x + n + 1 ) } \, \mathrm { d } x } \\ & { = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \int _ { 1 } ^ { \infty } \frac { e ^ { i ( t _ { 1 } \lfloor x \rfloor + t _ { 2 } n ) } - 1 } { ( n x + 1 ) ( ( n + 1 ) x + 1 ) } \, \mathrm { d } x = \sum _ { n , m = 1 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { e ^ { i ( t _ { 1 } m + t _ { 2 } n ) } - 1 } { ( n ( x + m ) + 1 ) ( ( n + 1 ) ( x + m ) + 1 ) } \, \mathrm { d } x } \\ & { = \sum _ { n , m = 1 } ^ { \infty } \left( e ^ { i ( t _ { 1 } m + t _ { 2 } n ) } - 1 \right) \log \frac { ( ( n + 1 ) ( m + 1 ) + 1 ) ( n m + 1 ) } { ( ( n + 1 ) m + 1 ) ( ( m + 1 ) n + 1 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { k = h _ { x } , \quad p = - \Pi ( h , \Gamma ) - \sigma _ { 0 } k _ { x } \left[ 1 + \beta \ln ( 1 - \Gamma / \Gamma _ { \infty } ) \right] , \quad q = h ^ { 2 } p _ { x } , \quad w = \Gamma _ { x } , } \\ & { h _ { t } = \left( \frac { h q } { 3 } + \frac { h ^ { 2 } w } { 2 } \frac { \sigma _ { 0 } \beta } { \Gamma _ { \infty } - \Gamma } \right) _ { x } , \quad \Gamma _ { t } = \left( \frac { \Gamma q } { 2 } + \frac { h \Gamma w \sigma _ { 0 } \beta } { \Gamma _ { \infty } - \Gamma } \right) _ { x } + { \textstyle \frac { 1 } { \mathrm { P e } } } w _ { x } - D ( \Gamma \mathcal { E } ) _ { x } , } \end{array}
\mathcal { A } _ { \alpha } f ( \mathbf { x } ) : = \frac { 4 ^ { \alpha } \Gamma ( 1 + \alpha ) } { \pi | \Gamma ( - \alpha ) | } \int _ { [ 0 , 1 ] \times [ 0 , 1 ] } \! \sum _ { \mathbf { m } \in \mathbb { Z } ^ { 2 } } \frac { 1 } { | \mathbf { x } - ( \mathbf { y } + \mathbf { m } ) | ^ { 2 + 2 \alpha } } \lbrack f ( \mathbf { y } ) - f ( \mathbf { x } ) \rbrack \, d \mathbf { y } \, .
\begin{array} { r l } { { \gamma } _ { i j } ^ { k l } } & { = \int \mathrm { d } { \mathbf { r } _ { 1 } } \, \int \mathrm { d } { \mathbf { r } _ { 2 } } \, \chi _ { k } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) \chi _ { l } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) } \\ & { \times \left[ \frac { 1 } { 2 } \, \Delta _ { 1 } \, \mathcal { U } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } , { \mathbf { r } _ { 2 } } ) + \nabla _ { 1 } \, \mathcal { U } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } , { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \cdot \nabla _ { 1 } \right. } \\ & { \left. \quad + \frac { 1 } { 2 } \, \Delta _ { 2 } \, \mathcal { U } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } , { \mathbf { r } _ { 2 } } ) + \nabla _ { 2 } \, \mathcal { U } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } , { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \cdot \nabla _ { 2 } \right] \, \phi _ { i } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) \, \phi _ { j } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \mathrm { , } } \end{array}
\begin{array} { r } { \rVert f \rVert _ { s } : = \rVert f \rVert _ { H _ { \varphi , x } ^ { s } } : = \sqrt { \sum _ { ( l , j ) \in \mathbb { Z } ^ { \nu + 1 } } \langle l , j \rangle ^ { 2 s } | \widehat { f } _ { i } ( l ) | ^ { 2 } } , \mathrm { ~ w h e r e ~ \langle ~ l , j ~ \rangle ~ : = ~ \sqrt { 1 + | l | ^ 2 + | j | ^ 2 ) } ~ . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { | \mathrm { o u t p u t } \rangle = \hat { \Delta } _ { \mathrm { H V } } ( \delta _ { f s } ) | \mathrm { i n p u t } \rangle } \\ & { } & { = \mathrm { e } ^ { i \beta } \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } \left( \begin{array} { c } { \mathrm { e } ^ { - i \frac { \delta + \delta _ { \mathrm { f s } } } { 2 } } \cos \alpha } \\ { \mathrm { e } ^ { + i \frac { \delta + \delta _ { \mathrm { f s } } } { 2 } } \sin \alpha \ } \end{array} \right) | \mathrm { i n p u t } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\langle \frac { I _ { 1 3 } } { 2 } \sin \theta \cos \theta \, \frac { 1 - \cos 2 w } { r ^ { 3 } } \right\rangle _ { M , \varpi } = } & { } & \\ { \frac { m _ { 0 } R ^ { 5 } } { 3 2 \mathrm { i } a ^ { 6 } } \sin ^ { 2 } \theta \cos \theta \sum _ { k } 2 K ( \omega - k n ) \Big [ \left( ( X _ { k } ^ { - 3 , 2 } ) ^ { 2 } - ( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } ) ^ { 2 } \right) + \cos \theta \left( 4 ( X _ { k } ^ { - 3 , 0 } ) ^ { 2 } + ( X _ { k } ^ { - 3 , 2 } ) ^ { 2 } + ( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } ) ^ { 2 } \right) \Big ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { y } - \mu _ { x } } & { = \sum _ { i = 0 } ^ { n } \left( \bar { F } _ { y } ( i ) - \bar { F } _ { x } ( i ) \right) } \\ & { = \sum _ { i = 0 } ^ { n } \left( F _ { x } ( i ) - F _ { y } ( i ) \right) } \\ & { \leq \sum _ { i = 0 } ^ { \mu _ { x } - \sigma _ { x } / \sqrt { \epsilon } } \delta _ { i } + \sum _ { i = \mu _ { x } - \sigma _ { x } / \sqrt { \epsilon } } ^ { \mu _ { y } + \sigma _ { y } / \sqrt { \epsilon } } \delta _ { i } + \sum _ { i = \mu _ { y } + \sigma _ { y } / \sqrt { \epsilon } } ^ { n } \delta _ { i } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi ( \gamma t ) \left| \left\{ x \in B _ { 1 } : \left| D ^ { 2 } \eta \right| > C _ { 3 } \right\} \right| } & { = \phi ( \gamma t ) \left| \left\{ x \in B _ { 1 } : \left| D ^ { 2 } u _ { t } \right| > \gamma t \right\} \right| } \\ & { \leq \int _ { B _ { 1 } } \phi \left( \left| D ^ { 2 } u _ { t } \right| \right) d x } \\ & { \leq C \int _ { B _ { 1 } } \phi \left( \left| f _ { t } \right| \right) d x } \\ & { \leq C \phi ( t ) \int _ { B _ { 1 } } 2 a \left( \frac { | \Delta \eta | } { C _ { 1 } } \right) ^ { \alpha _ { 2 } } d x } \\ & { \leq C \phi ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { E \left[ \left| H \left( X _ { t - \cdot } ^ { \varepsilon } \right) - H \big ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ^ { \varepsilon } \big ) \right| ^ { p } \bigg | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \right] \leq \int _ { 0 } ^ { \delta } E \left[ \left| X _ { t - s } ^ { \varepsilon } - X _ { t _ { k - 1 } - s } ^ { \varepsilon } \right| ^ { p } \bigg | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \right] \, \mu ( \mathrm { d } s ) . } \end{array}
m _ { r q } ( i ) \ = \ \left\{ \begin{array} { l l } { 3 + 2 i , } & { \textrm { f o r } \quad 0 \leq i < \operatorname* { m i n } \{ r , q \} ; } \\ { 2 + 2 \operatorname* { m i n } \{ r , q \} , } & { \textrm { f o r } \quad \operatorname* { m i n } \{ r , q \} \leq i < \operatorname* { m a x } \{ r , q \} ; } \\ { 2 ( r + q ) + 1 - 2 i , } & { \textrm { f o r } \quad \operatorname* { m a x } \{ r , q \} \leq i \leq r + q . } \end{array} \right.
\displaystyle \int _ { \Omega } \nabla \delta ^ { n + 1 } \cdot \nabla z \, \mathrm { d V } = \displaystyle \frac { 1 } { \Delta t } \int _ { \Omega } \mathbf { \widetilde { W } } ^ { n + 1 } \cdot \nabla z \, \mathrm { d V } - \displaystyle \frac { 1 } { \Delta t } \int _ { \partial \Omega } G ^ { n + 1 } z \, \mathrm { d S } \quad \forall z \in V _ { 0 } ,
\begin{array} { r l } { \left( S _ { 1 } ^ { \Psi } \right) ^ { 2 } \Psi ^ { ( 2 ) } } & { = 2 \cdot \frac 1 2 ( \Delta _ { 1 } F ) ^ { 2 } + 2 \cdot F \Delta _ { 2 } F } \\ & { = \frac 1 4 ( 2 \pi \mathrm { i } ) ^ { 2 } - \frac 1 3 ( 2 \pi \mathrm { i } ) \left( \frac { 1 } \alpha + \frac { 1 7 - 1 2 \gamma _ { E } } { 6 } \right) \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } F _ { n } \alpha ^ { n + 1 } } \\ & { = 2 \pi \mathrm { i } \left( \frac 1 2 \pi \mathrm { i } - \frac { 1 } { 3 } F _ { 0 } \right) - \frac { 1 } { 3 } ( 2 \pi \mathrm { i } ) \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( F _ { n + 1 } + \frac { 1 7 - 1 2 \gamma _ { E } } { 6 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } F _ { n } \right) \alpha ^ { n + 1 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \delta \omega _ { \mu } ^ { I J } = - \delta g _ { \alpha \beta } \mathrm { e } ^ { K \alpha } \nabla _ { \mu } \mathrm { e } ^ { L \beta } + \delta \mathrm { e } _ { \alpha } ^ { K } \nabla _ { \mu } \mathrm { e } ^ { L \alpha } + \mathrm { e } ^ { K \beta } \nabla _ { \mu } \delta \mathrm { e } _ { \beta } ^ { L } - \mathrm { e } ^ { K \beta } \mathrm { e } _ { \kappa } ^ { L } \delta \Gamma _ { \mu \beta } ^ { \kappa } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P _ { \mu \nu } ( k ) } & { = } & { { \frac { 1 } { k ^ { 2 } } } \left( - \delta _ { \mu \nu } + { \frac { k _ { \mu } \eta _ { \nu } } { k \cdot \eta } } + { \frac { k _ { \nu } \eta _ { \mu } } { k \cdot \eta } } - { \frac { k _ { \mu } k _ { \nu } \eta ^ { 2 } } { ( k \cdot \eta ) ^ { 2 } } } \right) } \\ & { - } & { { \frac { k _ { \mu } k _ { \nu } \eta ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } ( k \cdot \eta ) ^ { 2 } } } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } \left( R - I \right) } & { = \operatorname* { d e t } \left( R ^ { \mathsf { T } } \right) \operatorname* { d e t } \left( R - I \right) = \operatorname* { d e t } \left( R ^ { \mathsf { T } } R - R ^ { \mathsf { T } } \right) = \operatorname* { d e t } \left( I - R ^ { \mathsf { T } } \right) } \\ & { = \operatorname* { d e t } ( I - R ) = \left( - 1 \right) ^ { n } \operatorname* { d e t } \left( R - I \right) = - \operatorname* { d e t } \left( R - I \right) . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { I o n ; M o t i o n } } } & { = g \left( a ^ { \dagger } \sigma _ { \mathrm { + } } + \sigma _ { \mathrm { - } } a \right) , } \\ { H _ { \mathrm { M o t i o n ; R e s e r v o i r 1 } } } & { = \sum _ { \mathrm { q } } g _ { \mathrm { q } } \left[ c _ { \mathrm { q } } ^ { \dagger } a e ^ { - i ( \omega - \omega _ { \mathrm { q } } ) t } + a ^ { \dagger } c _ { \mathrm { q } } e ^ { i ( \omega - \omega _ { \mathrm { q } } ) t } \right] , } \\ { H _ { \mathrm { I o n ; R e s e r v o i r 2 } } } & { = \sum _ { \mathrm { k } } g _ { \mathrm { k } } \left[ \sigma _ { \mathrm { + } } b _ { \mathrm { k } } e ^ { i ( \omega - \omega _ { \mathrm { k } } ) t } + b _ { \mathrm { k } } ^ { \dagger } \sigma _ { \mathrm { - } } e ^ { - i ( \omega - \omega _ { \mathrm { k } } ) t } \right] , } \\ { H _ { \mathrm { \ k e t { 1 } \ b r a { 1 } ; R e s e r v o i r 3 } } } & { = \sum _ { \mathrm { l } } g _ { \mathrm { l } } \left[ \sigma _ { \mathrm { e } } ^ { \dagger } d _ { \mathrm { l } } e ^ { i ( \omega - \omega _ { \mathrm { l } } ) t } + d _ { \mathrm { l } } ^ { \dagger } \sigma _ { \mathrm { e } } e ^ { - i ( \omega - \omega _ { \mathrm { l } } ) t } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { k _ { 1 } = \sigma , \quad k _ { 2 } = \sigma , \quad k _ { 3 } = \rho + \mathcal { T } _ { x _ { 3 } } , \quad k _ { 4 } = \mathcal { T } _ { x _ { 1 } } , \quad k _ { 5 } = 1 , \quad k _ { 6 } = \rho \mathcal { T } _ { x _ { 1 } } + \mathcal { T } _ { x _ { 1 } } \mathcal { T } _ { x _ { 3 } } , } \\ & { k _ { 7 } = 1 , \quad k _ { 8 } = \mathcal { T } _ { x _ { 2 } } , \quad k _ { 9 } = \mathcal { T } _ { x _ { 1 } } , \quad k _ { 1 0 } = \beta , \quad k _ { 1 1 } = \mathcal { T } _ { x _ { 1 } } \mathcal { T } _ { x _ { 2 } } + \beta \mathcal { T } _ { x _ { 3 } } , \quad k _ { 1 2 } = \frac { 1 } { \mu } , } \\ & { k _ { 1 3 } = \frac { 1 } { \mu } , \quad k _ { 1 4 } = \frac { 1 } { \mu } , \quad k _ { 1 5 } = \frac { 1 } { \mu } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \Phi _ { u } ( x ) ( \tau ) - w \| _ { X } } & { \leq \| T ( \tau ) w - w \| _ { X } + M e ^ { \lambda t } r + h _ { t } \| u \| _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , t ] , U ) } } \\ & { \qquad \qquad + c _ { \tau } \big ( L ( K ) \| x \| _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , t ] , X ) } + \sigma ( \| u \| _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , t ] , U ) } ) + c \big ) } \\ & { \leq \| T ( \tau ) w - w \| _ { X } + M e ^ { \lambda t } r + h _ { t } \| u \| _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , t ] , U ) } } \\ & { \qquad \qquad + c _ { t } \big ( L ( K ) K + \sigma ( C ) + c \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { P } ( N = n ) = \frac { ( r ) _ { ( n _ { 1 } + n _ { 2 } ) } ( r ) _ { ( n _ { 2 } + n _ { 3 } ) } } { ( r ) _ { ( n _ { 2 } ) } \, n _ { 1 } ! \, n _ { 2 } ! \, n _ { 3 } ! } \, y _ { 1 } ^ { n _ { 1 } } \, y _ { 2 } ^ { n _ { 2 } } \, y _ { 3 } ^ { n _ { 3 } } \, ( 1 + y _ { 1 } + y _ { 2 } + y _ { 3 } + y _ { 1 } y _ { 3 } ) ^ { - r } . } \end{array}
\left| f ^ { \prime } ( | z | ^ { 2 } ) z \right| + \left| f ^ { \prime } ( | z | ^ { 2 } ) \overline { { z } } \right| + \left| f ^ { \prime \prime } ( | z | ^ { 2 } ) z ^ { 3 } \right| + \left| f ^ { \prime \prime } ( | z | ^ { 2 } ) z ^ { 2 } \overline { { z } } \right| \lesssim | z | ^ { 2 \sigma - 1 } , \ z \in \mathbb { C } , \ \sigma \geq \frac { 1 } { 2 } ,
\begin{array} { r l r } { \delta ^ { 2 } \mu _ { 1 } ( e _ { 1 1 } , e _ { 2 1 } , e _ { 1 2 } ) } & { = } & { - \mu _ { 1 } ( e _ { 1 1 } , e _ { 1 1 } + e _ { 2 2 } ) - [ e _ { 1 1 } , e _ { 2 2 } + e _ { 1 1 } ] } \\ & { } & { + \mu _ { 1 } ( - e _ { 2 1 } , e _ { 1 2 } ) + \mu _ { 1 } ( e _ { 2 1 } , e _ { 1 2 } ) + [ - e _ { 1 2 } , e _ { 1 2 } ] + [ e _ { 2 1 } , e _ { 2 1 } ] } \\ & { = } & { 0 } \end{array}
\frac { \partial P _ { t } [ \Gamma ] } { \partial t } = \int _ { 0 } ^ { \infty } d x \left[ - \frac { \partial } { \partial v } \frac { u ( x ) } { M } + \frac { \delta } { \delta u ( x ) } \left( \frac { u ( x ) } { x } + \kappa ( x ) v \right) + \frac { \kappa ( x ) T } { x } \frac { \delta ^ { 2 } } { \delta u ^ { 2 } ( x ) } \right] P _ { t } [ \Gamma ]
\begin{array} { r l } { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \| F _ { n + 1 } - F _ { n } \| _ { A } } & { \leqslant \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \| H _ { n } \| _ { A } \| G _ { n } \| _ { A } \left\| \frac { 1 } { | F _ { n } | ^ { 2 } + | G _ { n } | ^ { 2 } } \right\| _ { A } } \\ & { \leqslant \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { 2 ^ { n } } \cdot \frac { \varepsilon \gamma } { C K ^ { 3 } T ^ { 2 } } \cdot K \widehat { T } } \\ & { \leqslant \varepsilon \cdot \frac { 1 } { K ^ { 2 } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } 2 ^ { - n } } \\ & { < \varepsilon \cdot \frac { 1 } { 2 } \cdot \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { 2 ^ { n } } < \varepsilon . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { \int \sec \theta \, d \theta } & { = \int { \frac { 2 } { z + z ^ { - 1 } } } \, { \frac { - i } { z } } d z } & & { z = e ^ { i \theta } } \\ & { = \int { \frac { - 2 i } { z ^ { 2 } + 1 } } d z } \\ & { = \int { \frac { 1 } { z + i } } - { \frac { 1 } { z - i } } \, d z } & & { { \mathrm { p a r t i a l ~ f r a c t i o n ~ d e c o m p o s i t i o n } } } \\ & { = \ln ( z + i ) - \ln ( z - i ) + C } \\ & { = \ln { \frac { z + i } { z - i } } + C } \\ & { = \ln { \bigl ( } i ( \sec \theta + \tan \theta ) { \bigr ) } + C } \\ & { = \ln ( \sec \theta + \tan \theta ) + \ln i + C } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \mathrm { Q } \mathscr { C } \mathrm { o h } ( - ) : \mathscr { S } \mathrm { t } _ { \mathscr { C } } ^ { \mathrm { o p } } \to \mathscr { C } \mathrm { a t } } & { } & { \mathrm { Q } \mathscr { A } \mathrm { l g } ( - ) : \mathscr { S } \mathrm { t } _ { \mathscr { C } } ^ { \mathrm { o p } } \to \mathscr { C } \mathrm { a t } } \end{array}
\begin{array} { r } { \| | \mathcal D | ^ { 1 / 2 } ( P _ { \gamma } ^ { + } - P _ { \gamma ^ { \prime } } ^ { + } ) \| _ { \mathcal { B } ( \mathcal { H } ) } \leq \frac { \alpha _ { c } } { 2 c ( 1 - \kappa ) ^ { 1 / 2 } \lambda _ { 0 } ^ { 3 / 2 } } \left( 1 6 ( 1 + \kappa ) \| g - \gamma \| _ { Y } + c \| [ W _ { g - \gamma } , \beta ] \| _ { \mathcal { B } ( \mathcal { H } ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vert u g \rangle _ { 1 } } & { = \frac { 1 } { 2 } ( \vert 2 \rangle - \vert 6 \rangle + \vert 1 5 \rangle - \vert 1 7 \rangle ) } \\ { \vert u g \rangle _ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 2 } ( \vert 3 \rangle - \vert 5 \rangle + \vert 1 4 \rangle - \vert 1 8 \rangle ) } \\ { \vert u g \rangle _ { 3 } } & { = \frac { 1 } { 2 } ( \vert 8 \rangle + \vert 9 \rangle - \vert 1 1 \rangle - \vert 1 2 \rangle ) } \end{array}
D = { \frac { 1 } { 1 - \lambda } } \left[ - { \mathrm { l n ~ } } p _ { 0 } + \lambda { \mathrm { ~ l n ~ } } \left( { \frac { 1 - \lambda - ( 1 - 2 \lambda ) p _ { 0 } } { \lambda } } \right) \right] \approx { \frac { 1 } { 1 - \lambda } } \left[ - { \mathrm { l n ~ } } p _ { 0 } + \lambda { \mathrm { ~ l n ~ } } \left( { \frac { 1 - \lambda } { \lambda } } \right) \right]
\begin{array} { r l } { \overline { { j } } _ { \mathtt { S F } } ( \phi ) } & { = - \iota _ { \xi } \overline { { \ell } } _ { \mathtt { S F } } ( \phi ) - \iota _ { \mathrm { X } _ { \xi } } \overline { { \theta } } _ { \mathtt { S F } } ( \phi ) } \\ & { = - \iota _ { \xi } \big ( \frac { 1 } { 2 } f \overline { { \phi } } ^ { 2 } \mathrm { v o l } _ { \overline { { g } } } \big ) = - \frac { 1 } { 2 } f \overline { { \phi } } ^ { 2 } \xi ^ { \overline { { \alpha } } } \overline { { m } } _ { \overline { { \alpha } } } \mathrm { v o l } _ { \overline { { \gamma } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | | \Theta _ { t } - \widetilde { \Theta _ { t } } | | _ { 0 , 0 } } & { \leq \sum _ { j = 0 } ^ { M , N } \underbrace { | \Phi ( t , \lambda _ { j } ^ { \pm } ) - \lambda _ { j } ^ { \pm } | } _ { \leq c } 2 . 5 \mu _ { 0 } / C 1 0 ^ { - j } } \\ & { \leq c \cdot 2 . 5 \cdot 2 \cdot 1 0 / 9 \cdot \mu _ { 0 } / C } \\ & { \leq 6 \mu _ { 0 } / C . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } ( \phi , \theta _ { \psi , n ^ { 2 } } ^ { \Phi } , E ( \cdot , f _ { s } ) ) : = } & { \int _ { \mathrm { S p } _ { 2 n } ( F ) \backslash \mathrm { S p } _ { 2 n } ( \mathbb { A } ) } \int _ { N _ { n ^ { k - 1 } , k n } ( F ) \backslash N _ { n ^ { k - 1 } , k n } ( \mathbb { A } ) } \phi ( h ) } \\ { \times } & { \theta _ { \psi , n ^ { 2 } } ( \alpha _ { T } ( u ) i _ { T } ( 1 , h ) ) E ( u t ( 1 , h ) ; f _ { s } ) \psi _ { k } ( u ) d u d h . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { i } } { k } \left( \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k \xi } - \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k \left( m + \frac { 1 } { 2 } \right) 2 \pi / n } \right) } & { = \frac { \mathrm { i } } { k } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k \xi } \left( 1 - \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k \left( \left( m + \frac { 1 } { 2 } \right) 2 \pi / n - \xi \right) } \right) } \\ & { = \frac { \mathrm { i } } { k } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k \xi } \left( 1 - \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k \theta } \right) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \partial ^ { 2 \nu } } { \partial t ^ { 2 \nu } } u = \nabla \cdot \left( \kappa ( \boldsymbol { x } , t ) \nabla u \right) + f ( \boldsymbol { x } , t ) , } & { \textrm { i n } \; \Omega \times ( 0 , T ) , } \\ { u ( \boldsymbol { x } , t ) = g ( \boldsymbol { x } , t ) , } & { \textrm { o n } \; \partial \Omega \times ( 0 , T ) , } \\ { u ( \boldsymbol { x } , 0 ) = u _ { 0 } ( \boldsymbol { x } ) , } & { \textrm { i n } \; \Omega . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { U ^ { A } [ j ] X ( t ) = } & { \sigma _ { j } ^ { \nu } \underset { m , n \in 2 \mathbb { N } \cup \{ 0 \} } { \sum } \c _ { A , \frac { m + n } { 2 } } \frac { h _ { m } h _ { n } } { \sqrt { m ! n ! } } \sigma _ { j } ^ { - ( m + n ) } I _ { m + n } ( q _ { R , t } ^ { \otimes m } \otimes q _ { I , t } ^ { \otimes n } ) } \\ { = } & { \sigma _ { j } ^ { \nu } c _ { A , 0 } + \sigma _ { j } ^ { \nu } \underset { \ell \in 2 \mathbb { N } } { \sum } I _ { \ell } \left( \mathbb { Q } _ { t , j } ^ { ( \ell ) } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \Psi _ { k } ( x ) } { k ! } \ge \frac { 1 } { x ^ { k + 1 } } - \frac { 2 k } { ( 2 \pi ) ^ { k + 1 } } ( \zeta ( k + 1 ) - 1 ) + } \\ { + \frac { x - 2 \pi k i } { ( x + 2 \pi i ) ^ { k + 2 } } + \frac { x + 2 \pi k i } { ( x - 2 \pi i ) ^ { k + 2 } } = } \\ { = \frac { p _ { k } ( x ) } { x ^ { k + 1 } ( x ^ { 2 } + 4 \pi ^ { 2 } ) ^ { k + 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - ( \tau _ { k } + \lambda _ { 2 } ) \mathrm { K L } ( q \| q _ { k } ) - \eta _ { k } \mathrm { K L } ( p _ { k } \| p _ { k - 1 } ) - \iint ( p _ { k } - p _ { k - 1 } ) ( x ) f ( x , y ) ( q _ { k } - q ) ( y ) d x d y } \\ { \leq } & { - ( \tau _ { k } + \lambda _ { 2 } ) \mathrm { K L } ( q \| q _ { k } ) - \eta _ { k } \mathrm { K L } ( p _ { k } \| p _ { k - 1 } ) + \sqrt { \mathrm { K L } ( p _ { k } \| p _ { k - 1 } ) } \sqrt { \mathrm { K L } ( q \| q _ { k } ) } } \\ { \leq } & { - \left( \tau _ { k } + \lambda _ { 2 } - \frac { 1 } { 4 \eta _ { k } } \right) \mathrm { K L } ( q \| q _ { k } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { \ell _ { 1 } } } & { = \left[ \begin{array} { l l l l } { 2 _ { 2 } 2 _ { 3 } h } & { 2 _ { 1 } 2 _ { 3 } h } & { - 2 _ { 1 } 2 _ { 2 } h } & { - 2 } \\ { 2 _ { 2 } 2 _ { 3 } h } & { - 2 _ { 1 } 2 _ { 3 } h } & { - 2 _ { 1 } 2 _ { 2 } h } & { 2 } \\ { 2 _ { 2 } 2 _ { 3 } h } & { - 2 _ { 1 } 2 _ { 3 } h } & { 2 _ { 1 } 2 _ { 2 } h } & { - 2 } \\ { 2 _ { 2 } 2 _ { 3 } h } & { 2 _ { 1 } 2 _ { 3 } h } & { 2 _ { 1 } 2 _ { 2 } h } & { 2 } \end{array} \right] , } \\ { M _ { \ell _ { 2 } } } & { = \left[ \begin{array} { l l l l } { 2 2 _ { 1 } } & { 2 2 _ { 1 } } & { 2 2 _ { 1 } } & { 2 2 _ { 1 } } \\ { 2 2 _ { 2 } } & { - 2 2 _ { 2 } } & { - 2 2 _ { 2 } } & { 2 2 _ { 2 } } \\ { - 2 2 _ { 3 } } & { - 2 2 _ { 3 } } & { 2 2 _ { 3 } } & { 2 2 _ { 3 } } \\ { 2 _ { 1 } 2 _ { 2 } 2 _ { 3 } h } & { - 2 _ { 1 } 2 _ { 2 } 2 _ { 3 } h } & { 2 _ { 1 } 2 _ { 2 } 2 _ { 3 } h } & { - 2 _ { 1 } 2 _ { 2 } 2 _ { 3 } h } \end{array} \right] . } \end{array}
\bigg ( \int _ { \mathcal { M } } \mathrm { d } \mathrm { m } \Big ( \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } s \, \big ( ( - s \Delta ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { P } _ { s + t } ( \mathbb { E } [ \mu ^ { n } ] - \mu _ { \infty } ) \big ) ^ { 2 } \Big ) ^ { 2 } \bigg ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \lesssim \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } s ( s + t ) ^ { - 3 } \lesssim \frac { 1 } { n \log ^ { \kappa } ( n ) } \ll \frac { \log ( n ) } { n } .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { P r } _ { \boldsymbol { \varepsilon } , \boldsymbol { X } , Y } \left\{ \left| \boldsymbol { \it P a } ( X ) \cdot \boldsymbol { v } \right| \geq \frac { 1 } { \sqrt { 4 D ^ { 2 } - 3 } } \right\} } \\ & { = \sum _ { x _ { i _ { 3 } } , x _ { i _ { 4 } } , \ldots } \operatorname* { P r } \{ X _ { i _ { 1 } } = 1 , X _ { i _ { 2 } } = 1 , X _ { i _ { 3 } } = x _ { i _ { 3 } } , \ldots \} \cdot \mathbb { I } \left\{ | ( 1 , 1 , x _ { i _ { 3 } } , x _ { i _ { 4 } } , \ldots ) \cdot ( v _ { 1 } , v _ { 2 } , v _ { 3 } , \ldots ) | \geq \frac { 1 } { \sqrt { 4 D ^ { 2 } - 3 } } \right\} } \\ & { \quad \quad + \sum _ { x _ { i _ { 3 } } , x _ { i _ { 4 } } , \ldots } \operatorname* { P r } \{ X _ { i _ { 1 } } = 1 , X _ { i _ { 2 } } = 0 , X _ { i _ { 3 } } = x _ { i _ { 3 } } , \ldots \} \cdot \mathbb { I } \left\{ | ( 1 , 0 , x _ { i _ { 3 } } , x _ { i _ { 4 } } , \ldots ) \cdot ( v _ { 1 } , v _ { 2 } , v _ { 3 } , \ldots ) | \geq \frac { 1 } { \sqrt { 4 D ^ { 2 } - 3 } } \right\} } \\ & { \geq \sum _ { x _ { i _ { 3 } } , x _ { i _ { 4 } } , \ldots } \zeta \operatorname* { P r } \{ X _ { i _ { 1 } } = 1 , X _ { i _ { 3 } } = x _ { i _ { 3 } } , X _ { i _ { 4 } } = x _ { i _ { 4 } } \ldots \} \cdot \mathbb { I } \left\{ | ( 1 , 1 , x _ { i _ { 3 } } , x _ { i _ { 4 } } , \ldots ) \cdot ( v _ { 1 } , v _ { 2 } , v _ { 3 } , \ldots ) | \geq \frac { 1 } { \sqrt { 4 D ^ { 2 } - 3 } } \right\} } \\ & { \quad \quad + \sum _ { x _ { i _ { 3 } } , x _ { i _ { 4 } } , \ldots } \zeta \operatorname* { P r } \{ X _ { i _ { 1 } } = 1 , X _ { i _ { 3 } } = x _ { i _ { 3 } } , X _ { i _ { 4 } } = x _ { i _ { 4 } } , \ldots \} \cdot \mathbb { I } \left\{ | ( 1 , 0 , x _ { i _ { 3 } } , x _ { i _ { 4 } } , \ldots ) \cdot ( v _ { 1 } , v _ { 2 } , v _ { 3 } , \ldots ) | \geq \frac { 1 } { \sqrt { 4 D ^ { 2 } - 3 } } \right\} } \\ & { = \zeta \cdot \sum _ { x _ { i _ { 3 } } , x _ { i _ { 4 } } , \ldots } \operatorname* { P r } \{ X _ { i _ { 1 } } = 1 , X _ { i _ { 3 } } = x _ { i _ { 3 } } , X _ { i _ { 4 } } = x _ { i _ { 4 } } , \ldots \} \left( \mathbb { I } \left\{ | ( 1 , 1 , x _ { i _ { 3 } } , x _ { i _ { 4 } } , \ldots ) \cdot ( v _ { 1 } , v _ { 2 } , v _ { 3 } , \ldots ) | \geq \frac { 1 } { \sqrt { 4 D ^ { 2 } - 3 } } \right\} \right. } \\ & { \quad \quad \left. + \mathbb { I } \left\{ | ( 1 , 0 , x _ { i _ { 3 } } , x _ { i _ { 4 } } , \ldots ) \cdot ( v _ { 1 } , v _ { 2 } , v _ { 3 } , \ldots ) | \geq \frac { 1 } { \sqrt { 4 D ^ { 2 } - 3 } } \right\} \right) } \\ & { \geq \zeta \sum _ { x _ { i _ { 3 } } , x _ { i _ { 4 } } , \ldots } \operatorname* { P r } \{ X _ { i _ { 1 } } = 1 , X _ { i _ { 3 } } = x _ { i _ { 3 } } , X _ { i _ { 4 } } = x _ { i _ { 4 } } , \ldots \} } \\ & { = \zeta , } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { s } ( z , p ) \le } & { d _ { s } ( z , z ^ { \prime } ) + d _ { s } ( z ^ { \prime } , p ) } \\ { \le } & { d _ { W _ { 1 } } ^ { s } ( \delta _ { z } , \delta _ { z ^ { \prime } } ) + C _ { 3 } \sqrt { t - s } } \\ { \le } & { d _ { W _ { 1 } } ^ { s } ( v _ { x , t ; s } , v _ { p , t ; s } ) + d _ { W _ { 1 } } ^ { s } ( \delta _ { z } , v _ { x , t ; s } ) + d _ { W _ { 1 } } ^ { s } ( \delta _ { z ^ { \prime } } , v _ { p , t ; s } ) + C _ { 3 } \sqrt { t - s } } \\ { \le } & { d _ { t } ( x , p ) + 2 \sqrt { H _ { n } ( t - s ) } + C _ { 3 } \sqrt { t - s } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( m _ { \lambda } - 2 ) \big \| \mathrm { E C T } _ { \alpha _ { \lambda } ( 0 ) } - \mathrm { E C T } _ { \beta _ { \lambda } ( 0 ) } \big \| + \sum _ { i = 1 } ^ { n } } & { \big \| \mathrm { E C T } _ { \alpha _ { \lambda , i } } - \mathrm { E C T } _ { \beta _ { \lambda , i } } \big \| + \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \big \| \mathrm { E C T } _ { \alpha _ { \lambda , i } ( i / n ) } - \mathrm { E C T } _ { \beta _ { \lambda , i } ( i / n ) } \big \| } \\ & { \leq \left\{ \begin{array} { l l } { 8 \sqrt { L _ { \lambda } n \varepsilon } + ( n + m _ { \lambda } - 3 ) \varepsilon } & { L _ { \lambda } / n > 2 \varepsilon } \\ { ( 1 1 n + m _ { \lambda } - 3 ) \varepsilon } & { L _ { \lambda } / n \leq 2 \varepsilon . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb E \left[ x ( t ) ^ { \top } X x ( t ) \right] } & { = x _ { 0 } ^ { \top } X x _ { 0 } + 2 \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb E \left[ x ( s ) ^ { \top } X \left( A x ( s ) + B u ( s ) \right) \right] d s } \\ & { \quad + \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { i , j = 1 } ^ { q } \mathbb E \left[ x ( s ) ^ { \top } N _ { i } ^ { \top } X N _ { j } x ( s ) \right] k _ { i j } d s } \\ & { = x _ { 0 } ^ { \top } X x _ { 0 } + \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb E \left[ x ( s ) ^ { \top } \left( A ^ { \top } X + X A + \sum _ { i , j = 1 } ^ { q } N _ { i } ^ { \top } X N _ { j } k _ { i j } \right) x ( s ) \right] d s } \\ & { \quad + 2 \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb E \left\langle B ^ { \top } X x ( s ) , u ( s ) \right\rangle _ { 2 } d s , } \end{array}
\begin{array} { r } { U ^ { - 1 } B _ { 1 } = \left( \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { n } \mathbf { 1 } _ { n } ^ { \intercal } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \frac { 1 } { n } \mathbf { 1 } _ { n } ^ { \intercal } } \\ { U _ { L , l } } & { U _ { L , r } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { \tilde { W } } & { - \tilde { W } \tilde { V } } \\ { \tilde { V } } & { \tilde { W } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { n } \mathbf { 1 } _ { n } ^ { \intercal } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \frac { 1 } { n } \mathbf { 1 } _ { n } ^ { \intercal } } \\ { U _ { L , l } \tilde { W } + U _ { L , r } \tilde { V } } & { U _ { L , r } \tilde { W } - U _ { L , l } \tilde { W } \tilde { V } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { n } \mathbf { 1 } _ { n } ^ { \intercal } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \frac { 1 } { n } \mathbf { 1 } _ { n } ^ { \intercal } } \\ { P _ { 1 } U _ { L , l } } & { P _ { 1 } U _ { L , r } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \lambda _ { j } = } & { \log _ { 1 0 } \left( | \lambda _ { j } - \varepsilon _ { \mathrm { r e f } , j } | / \varepsilon _ { \mathrm { r e f } , j } \right) } \\ { \Delta \varepsilon _ { j } = } & { \log _ { 1 0 } \left( | \varepsilon _ { j , - } - \varepsilon _ { \mathrm { r e f } , j } | / \varepsilon _ { \mathrm { r e f } , j } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle H _ { \Phi _ { \infty } } \Phi _ { \infty } - H _ { \Phi _ { k } } \Phi _ { k } , \Gamma \rangle } & { \lesssim } & { \lVert H _ { \Phi _ { \infty } } \Phi _ { \infty } - H _ { \Phi _ { k } } \Phi _ { k } \rVert _ { 1 , \Omega } \cdot \lVert \Gamma \rVert _ { 1 , \Omega } } \\ & { \lesssim } & { \Lambda _ { k } \lVert \Phi _ { \infty } - \Phi _ { k } \rVert _ { 1 , \Omega } \cdot \lVert \Gamma \rVert _ { 1 , \Omega } } \\ & { \lesssim } & { \lVert \Phi _ { \infty } - \Phi _ { k } \rVert _ { 1 , \Omega } \cdot \lVert \Gamma \rVert _ { 1 , \Omega } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta _ { 3 3 } ( \zeta , k ) = \frac { \delta ( \zeta , \omega k ) } { \delta ( \zeta , \omega ^ { 2 } k ) } \frac { \delta ( \zeta , \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k } ) } { \delta ( \zeta , \frac { 1 } { \omega k } ) } \mathcal { P } ( \zeta , k ) , \; \; \Delta _ { 1 1 } ( \zeta , k ) = \Delta _ { 3 3 } ( \zeta , \omega k ) , \; \; \Delta _ { 2 2 } ( \zeta , k ) = \Delta _ { 3 3 } ( \zeta , \omega ^ { 2 } k ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { C o v } \left( G _ { s } ^ { \gamma } , G _ { u } ^ { \gamma } \right) } & { = \mathbb { E } \left[ \left( \mathfrak { F } \left( \frac { \gamma } { 2 } , \underline { { s } } _ { \gamma } - \underline { { u } } _ { \gamma } , \bar { X } _ { \underline { { u } } _ { \gamma } } ^ { \frac { \gamma } { 2 } , x } \right) - \mathfrak { F } \left( { \gamma } , \underline { { s } } _ { \gamma } - \underline { { u } } _ { \gamma } , \bar { X } _ { \underline { { u } } _ { \gamma } } ^ { \gamma , x } \right) \right) G _ { u } ^ { \gamma } \right] } \\ & { - \mathbb { E } \left[ \left( \mathfrak { F } \left( \frac { \gamma } { 2 } , \underline { { s } } _ { \gamma } , x \right) - \mathfrak { F } \left( { \gamma } , \underline { { s } } _ { \gamma } , x \right) \right) \right] \mathbb { E } \left[ G _ { u } ^ { \gamma } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \mathcal { W } _ { 2 } ( \mu _ { t } ^ { n - 1 } , \mu _ { t } ) ^ { 2 p } ] } & { \le ( 1 + \varepsilon ) \mathbb { E } [ \mathcal { W } _ { 2 } ( \mathcal { K } _ { n - 1 } ( \delta _ { X _ { t } ^ { i } } ) , \mathcal { K } _ { n - 1 } ( \delta _ { Y _ { t } ^ { i } } ) ) ^ { 2 p } ] + C _ { p } \mathbb { E } [ \mathcal { W } _ { 2 } ( \mathcal { K } _ { n - 1 } ( \delta _ { Y _ { t } ^ { i } } ) , \mu _ { t } ) ^ { 2 p } ] } \\ & { \leq ( 1 + \varepsilon ) \mathbb { E } [ \mathcal { K } _ { n - 1 } ( | X _ { t } ^ { i } - Y _ { t } ^ { i } | ^ { 2 p } ) ] + C _ { p } \theta _ { n } ^ { \gamma } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mathcal { M } ^ { j } ( \nabla \boldsymbol { X } ) Z ) _ { k } ( { \boldsymbol { \theta } } ) } & { = - \int _ { { \mathbb { R } ^ { 2 } } } m _ { m , k , l } ^ { j } ( { \boldsymbol { \theta } } , { \boldsymbol { \eta } } ) \frac { \partial \widehat { X } _ { i } } { \partial \eta _ { m } } ( { \boldsymbol { \eta } } ) Z _ { l , i } ( { \boldsymbol { \eta } } ) d \eta _ { 1 } d \eta _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| J ^ { 4 } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } } & { \leq C ( | \boldsymbol { X } | _ { * } , \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } \| _ { C ^ { 0 } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } , \| \mathcal { T } \| _ { C ^ { 2 } } ) \Big ( \varepsilon ( R ) \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } ( \rho _ { n } \boldsymbol { Y } ) \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } } \\ & { \quad + ( 1 + \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } ) \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } ( \rho _ { n } \boldsymbol { Y } ) \| _ { C ^ { 0 } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | f _ { i } ( t , x , y ) - f _ { i } ( t , x , y ^ { \prime } ) | } & { \lesssim ( 1 + | y | ^ { h - 1 } + | y ^ { \prime } | ^ { h - 1 } ) | y - y ^ { \prime } | , } \\ { | F _ { i } ( t , x , y ) - F _ { i } ( t , x , y ^ { \prime } ) | } & { \lesssim ( 1 + | y | ^ { \frac { h - 1 } { 2 } } + | y ^ { \prime } | ^ { \frac { h - 1 } { 2 } } ) | y - y ^ { \prime } | . } \\ { \| g _ { i } ( t , x , y ) - g _ { i } ( t , x , y ^ { \prime } ) \| _ { \ell ^ { 2 } } } & { \lesssim ( 1 + | y | ^ { \frac { h - 1 } { 2 } } + | y ^ { \prime } | ^ { \frac { h - 1 } { 2 } } ) | y - y ^ { \prime } | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lefteqn { I ( t \in [ \sigma , \tau ] ) \big | \nabla \phi ^ { r } ( X ( t ) ) - I ( x \in B _ { R } ) \nabla \phi ^ { r } ( x ) \big ) \big | ^ { 2 } } } \\ & { \stackrel { ( ) } { = } \big | I ( X ( t ) \in \bar { B } _ { R } ) \big ( \nabla \phi ^ { r } ( X ( t ) ) - I ( X ( 0 ) \in B _ { R } ) \nabla \phi ^ { r } ( X ( 0 ) ) \big ) \big | ^ { 2 } } \\ & { \leq I \big ( \exists s \in [ 0 , 1 ] \; X ( s ) \in \partial B _ { R } , X ( t ) \in \bar { B } _ { R } \big ) | \nabla \phi ^ { r } ( X ( t ) ) | ^ { 2 } } \\ & { + I \big ( \forall s \in [ 0 , 1 ] \; X ( s ) \in B _ { R } \big ) \big | \nabla \phi ^ { r } ( X ( t ) ) - \nabla \phi ^ { r } ( X ( 0 ) ) \big | ^ { 2 } , } \end{array}
E _ { t } \equiv t ^ { 2 } [ \vartheta _ { 4 } h _ { e } ^ { 2 } ( \mu _ { 1 } - \mu _ { 0 } ) + ( \vartheta _ { 2 } + \vartheta _ { 4 } e ) h _ { e } ( h _ { \mu _ { 1 } } - h _ { \mu _ { 0 } } ) + h _ { e } ^ { 2 } ( \mu _ { 1 } - \mu _ { 0 } ) - h _ { e } h _ { \mu _ { 0 } } ] + t ^ { 3 } [ \vartheta _ { 4 } h _ { e } ^ { 2 } ( h _ { \mu _ { 1 } } - h _ { \mu _ { 0 } } ) ]
\begin{array} { r l } { \bar { g } = \operatorname* { s u p } _ { [ 0 , 1 ] } | g | , \quad } & { \overline { { g ^ { \prime } } } = \operatorname* { s u p } _ { [ 0 , 1 ] } | g ^ { \prime } | } \\ { \bar { f } = \operatorname* { s u p } _ { \cal T } | f | , \quad } & { \overline { { f _ { x } } } = \operatorname* { s u p } _ { \cal T } | f _ { x } | . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \mathcal { T } _ { 1 } } & { = \varrho ( f _ { [ \alpha , \beta ] } , ( 0 . 0 , 0 . 0 ) , 2 0 0 0 ) , \qquad } & { \mathcal { S } _ { 1 } } & { = \mathcal { T } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , } \\ { \mathcal { T } _ { 2 } } & { = \varrho ( f _ { [ 1 . 1 \alpha , \beta ] } , ( 0 . 1 , 0 . 0 ) , 2 0 0 0 ) , \qquad } & { \mathcal { S } _ { 2 } } & { = \mathcal { T } _ { 2 } ^ { ( 1 ) } , } \\ { \mathcal { T } _ { 3 } } & { = \varrho ( f _ { [ \beta , \beta ] } , ( 0 . 1 , 0 . 0 ) , 2 0 0 0 ) , \qquad } & { \mathcal { S } _ { 3 } } & { = \mathcal { T } _ { 3 } ^ { ( 1 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } q ^ { 2 m + \delta } ( u ^ { 2 l + \epsilon } ) } & { = \binom { 2 l + \epsilon } { 2 m + \delta } u ^ { 2 l + \epsilon - 2 m - \delta } a ^ { 2 m + \delta } } \\ { \mathcal { S } q ^ { 2 m + \delta } ( u ^ { 2 l + \epsilon } ) } & { = u ^ { m } \mathcal { S } q ^ { 2 m + \delta } ( u ^ { 2 l + \epsilon } ) } \\ & { = \binom { 2 l + \epsilon } { 2 m + \delta } u ^ { 2 l + \epsilon - m - \delta } a ^ { 2 m + \delta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde \theta _ { k + 1 , \eta } = \, } & { \widetilde \theta _ { k , \eta } - \eta _ { k } \nabla U ( \widetilde \theta _ { k , \eta } ) + \eta _ { k } ( \nabla U ( \widetilde \theta _ { k , \eta } ) - \widehat { \nabla U } ( \widetilde \theta _ { k , \eta } ) ) + \sqrt { 2 } c _ { k } ( \widetilde \theta _ { k , \eta } ) \xi _ { k } } \\ { = \, } & { \widetilde \theta _ { k , \eta } - \eta _ { k } \nabla U ( \widetilde \theta _ { k , \eta } ) - \eta _ { k } s ( \widetilde \theta _ { k , \eta } ) \zeta _ { k } + \sqrt { 2 } c _ { k } ( \widetilde \theta _ { k , \eta } ) \xi _ { k } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { i } ^ { c } ( x , \widehat { x } , w , \widehat { w } ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \operatorname* { m i n } _ { z \in [ x , \widehat { x } ] , \xi \in [ w , \widehat { w } ] \atop z _ { i } = x _ { i } } f _ { i } ( z , \mathsf { N } ( z ) , \xi ) , } & { x \le \widehat { x } , w \le \widehat { w } } \\ { \operatorname* { m a x } _ { z \in [ \widehat { x } , x ] , \xi \in [ w , \widehat { w } ] \atop z _ { i } = \widehat { x } _ { i } } f _ { i } ( z , \mathsf { N } ( z ) , \xi ) , } & { \widehat { x } \le x , \widehat { w } \le w . } \end{array} \right. } \\ { d _ { i } ^ { o } ( x , \widehat { x } , u , \widehat { u } , w , \widehat { w } ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \operatorname* { m i n } _ { z \in [ x , \widehat { x } ] , \xi \in [ w , \widehat { w } ] \atop z _ { i } = x _ { i } , \eta \in [ u , \widehat { u } ] } f _ { i } ( z , \eta , \xi ) , } & { x \le \widehat { x } , u \le \widehat { u } , w \le \widehat { w } , } \\ { \operatorname* { m a x } _ { z \in [ \widehat { x } , x ] , \xi \in [ w , \widehat { w } ] \atop z _ { i } = \widehat { x } _ { i } , \eta \in [ u , \widehat { u } ] } f _ { i } ( z , \eta , \xi ) , } & { \widehat { x } \le x , \widehat { u } \le u , \widehat { w } \le w . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \tilde { h } ^ { k _ { 3 } } h M ( \tilde { h } ^ { k _ { 2 } } ( e _ { m _ { 2 } } ^ { ( j _ { 2 } ) } ) , \bar { e } _ { \bar { m } } ^ { \bar { ( j ) } } \epsilon ) = \sqrt { \frac { ( 2 j _ { 2 } - k _ { 2 } ) ! } { k _ { 2 } ! ( 2 j _ { 2 } ) ! } } \tilde { h } ^ { k _ { 3 } } h M ( ( e _ { m _ { 2 } } ^ { ( j _ { 2 } - \frac { k _ { 2 } } { 2 } , \frac { k _ { 2 } } { 2 } ) } ) , \bar { e } _ { \bar { m } } ^ { \bar { ( j ) } } \epsilon ) } \\ & { = \sqrt { \frac { ( 2 j _ { 2 } - k _ { 2 } ) ! } { k _ { 2 } ! ( 2 j _ { 2 } ) ! } } \sum _ { i } ( - 1 ) ^ { 2 ( j _ { 2 } + \bar { j } ) - i } \lambda _ { j _ { 2 } - \frac { k _ { 2 } } { 2 } , \frac { k _ { 2 } } { 2 } ; 0 } ^ { - 1 } \lambda _ { j _ { 2 } - \frac { k _ { 2 } } { 2 } , \bar { j } + \frac { k _ { 2 } } { 2 } ; i } \sqrt { ( k _ { 2 } + 1 ) ( 2 \bar { j } + 1 ) ( 2 j _ { 2 } + 1 ) } } \\ & { \times \left\{ \begin{array} { l l l } { \frac { k _ { 2 } } { 2 } } & { j _ { 2 } - \frac { k _ { 2 } } { 2 } } & { j _ { 2 } } \\ { j _ { 2 } + \bar { j } - i } & { \bar { j } } & { \bar { j } + \frac { k _ { 2 } } { 2 } } \end{array} \right\} C _ { m _ { 2 } , \bar { m } ; m _ { 2 } + \bar { m } } ^ { j _ { 2 } , \bar { j } ; j _ { 2 } + \bar { j } - i } \sqrt { \frac { ( 2 j _ { 2 } - k _ { 2 } - k _ { 3 } - i - 1 ) ! ( 2 k _ { 2 } - i ) ! } { ( 2 j _ { 2 } - k _ { 2 } - i ) ! ( k _ { 2 } + k _ { 3 } - i + 1 ) ! } } e _ { m _ { 2 } + \bar { m } } ^ { ( j _ { 2 } - \frac { k _ { 2 } + k _ { 3 } + i + 1 } { 2 } , \frac { k _ { 2 } + k _ { 3 } - i + 1 } { 2 } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { a } & { = \frac { { 4 { \pi ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } } { { { \lambda ^ { 2 } } { \varepsilon _ { T } } } } \left[ { \frac { { { D _ { T } } } } { r } } \right. \left. { - 2 \arctan \left( { \frac { { { D _ { T } } } } { { 2 r } } } \right) } \right] , ~ c = e = s = k = f = h = 0 , } \\ { p } & { = \frac { { 4 { \pi ^ { 2 } } } } { { { \lambda ^ { 2 } } { \varepsilon _ { T } } } } 2 \arctan \left( { \frac { { { D _ { T } } } } { { 2 r } } } \right) , ~ q = j \frac { { 2 \pi } } { { \lambda { \varepsilon _ { T } } } } \ln \left( { \frac { { \frac { { { D _ { T } } } } { { 2 r } } + \sqrt { 1 + { { \left( { \frac { { { D _ { T } } } } { { 2 r } } } \right) } ^ { 2 } } } } } { { - \frac { { { D _ { T } } } } { { 2 r } } + \sqrt { 1 + { { \left( { \frac { { { D _ { T } } } } { { 2 r } } } \right) } ^ { 2 } } } } } } \right) , } \\ { i } & { = \frac { { { \pi ^ { 2 } } d _ { R } ^ { 2 } { r ^ { 2 } } } } { { 3 { \lambda ^ { 2 } } { { ( R - r ) } ^ { 2 } } } } N ( { N ^ { 2 } } - 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \operatorname { m } ( K ) } { \Delta t } ( u _ { i , K } ^ { 1 } - u _ { i , K } ^ { 0 } ) + \sum _ { \sigma \in { \mathcal E } _ { K } } { \mathcal F } _ { i , K , \sigma } ^ { 1 } } & { = 0 , } \\ { \frac { \operatorname { m } ( K ) } { \Delta t } \bigg ( \frac 3 2 u _ { i , K } ^ { k } - 2 u _ { i , K } ^ { k - 1 } + \frac 1 2 u _ { i , K } ^ { k - 2 } \bigg ) + \sum _ { \sigma \in { \mathcal E } _ { K } } { \mathcal F } _ { i , K , \sigma } ^ { k } } & { = 0 , \quad k \ge 2 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { d Y _ { t } } & { = \exp ( \langle \mathbf { u } , { \mathbb X } _ { t } \rangle ) \langle R ( \mathbf { u } ) , { \mathbb X } _ { t } \rangle d t + d ( \mathrm { l o c a l ~ m a r t i n g a l e } ) , } \\ { d Y _ { t } ^ { \lambda } } & { = \exp ( \langle \lambda \mathbf { u } , { \mathbb X } _ { t } \rangle ) \langle R ( \lambda \mathbf { u } ) , { \mathbb X } _ { t } \rangle d t + d ( \mathrm { l o c a l ~ m a r t i n g a l e } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rVert S _ { \mathrm { s t e p } , \Upsilon } ( a ) ( \cdot , \cdot , \cdot , j ) \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ) } } & { \le \operatorname* { s u p } _ { \omega , \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } \in \Omega } \sum _ { s _ { 1 } + s _ { 2 } = s } | \Delta _ { 1 2 } ^ { k } \partial _ { x } ^ { s _ { 1 } } \partial _ { \varphi } ^ { s _ { 2 } } S _ { \mathrm { s t e p } , \Upsilon } ( a ) ( \cdot , \cdot , j ) | _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { T } ^ { \nu + 1 } ) } } \\ & { \le _ { s } \rVert a \rVert _ { H ^ { s + \mu ( \nu ) + \eta } ( \mathbb { T } ^ { \nu + 2 } ) } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ) } \langle j \rangle ^ { - \eta } , } \end{array}
\begin{array} { r } { Z [ \beta , J _ { \alpha } ] = \int \mathrm { d } ^ { n } \theta \: \exp \left( - \beta \left[ \frac { 1 } { 2 } \chi ^ { 2 } ( y | \theta ) + \phi ( \theta ) \right] \right) \exp \left( \beta J _ { \alpha } \theta ^ { \alpha } \right) , \quad \mathrm { w i t h } \quad \mathcal { L } ( y | \theta ) \propto \exp \left( - \frac { \chi ^ { 2 } ( y | \theta ) } { 2 } \right) \quad \mathrm { a n d } \quad \pi ( \theta ) \propto \exp ( - \phi ( \theta ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { B = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { - 2 } & { 1 } & { 1 } \\ { 2 } & { 0 } & { - 1 } & { - 1 } \\ { - 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \quad \mathrm { a n d } \quad \Lambda = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 2 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 2 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \left( j _ { p } ^ { 1 } \sigma \right) ^ { * } \theta } & { = \theta \circ j _ { p } ^ { 1 } \sigma } \\ & { = a ( x , \sigma ( x ) , \sigma ^ { \prime } ( x ) ) d x + b ( x , \sigma ( x ) , \sigma ^ { \prime } ( x ) ) d ( \sigma ( x ) ) + c ( x , \sigma ( x ) , \sigma ^ { \prime } ( x ) ) d ( \sigma ^ { \prime } ( x ) ) } \\ & { = a ( x , \sigma ( x ) , \sigma ^ { \prime } ( x ) ) d x + b ( x , \sigma ( x ) , \sigma ^ { \prime } ( x ) ) \sigma ^ { \prime } ( x ) d x + c ( x , \sigma ( x ) , \sigma ^ { \prime } ( x ) ) \sigma ^ { \prime \prime } ( x ) d x } \\ & { = [ a ( x , \sigma ( x ) , \sigma ^ { \prime } ( x ) ) + b ( x , \sigma ( x ) , \sigma ^ { \prime } ( x ) ) \sigma ^ { \prime } ( x ) + c ( x , \sigma ( x ) , \sigma ^ { \prime } ( x ) ) \sigma ^ { \prime \prime } ( x ) ] d x } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \alpha _ { 1 } ( s ) = \frac { 2 s ^ { 2 } } { 1 + s ^ { 2 } } , \quad \sigma _ { 1 } ( s ) = 8 s ^ { 4 } , \quad \kappa _ { 1 } ( s ) = 0 , } \\ & { \alpha _ { 2 } ( s ) = 2 \left( 1 \! - \! a \! - \! \frac { \omega } { 2 } \right) \! s ^ { 2 } + \frac { 2 b } { 3 \pi } \! s ^ { 4 } , \quad \sigma _ { 2 } ( s ) = \frac { \pi } { \omega } \left( \! \frac { s ^ { 2 } } { 1 + s ^ { 2 } } \! \right) , \quad \kappa _ { 2 } ( s ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { m _ { 1 } ( f ( | \gamma | \setminus E ) ) } & { \leq \sum _ { i \in \mathbb N } m _ { 1 } ( f ( \gamma ( [ a _ { i } , b _ { i } ] ) ) ) \leq \sum _ { i \in \mathbb N } ( \operatorname* { m a x } _ { [ a _ { i } , b _ { i } ] } f \circ \gamma - \operatorname* { m i n } _ { [ a _ { i } , b _ { i } ] } f \circ \gamma ) } \\ & { \leq \sum _ { i \in \mathbb N } \int _ { \gamma | _ { ( a _ { i } , b _ { i } ) } } | \nabla f | \, d s \leq \int _ { \gamma } | \nabla f | \, d s . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \nabla y ^ { * } ( x _ { 1 } ) - \nabla y ^ { * } ( x _ { 2 } ) \| } \\ & { = \big \| \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x _ { 1 } , y ^ { * } ( x _ { 1 } ) ) \Big ( \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x _ { 1 } , y ^ { * } ( x _ { 1 } ) ) \Big ) ^ { - 1 } - \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x _ { 2 } , y ^ { * } ( x _ { 2 } ) ) \Big ( \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x _ { 2 } , y ^ { * } ( x _ { 2 } ) ) \Big ) ^ { - 1 } \big \| } \\ & { \leq \| \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x _ { 1 } , y ^ { * } ( x _ { 1 } ) ) \Big ( \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x _ { 1 } , y ^ { * } ( x _ { 1 } ) ) \Big ) ^ { - 1 } - \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x _ { 1 } , y ^ { * } ( x _ { 1 } ) ) \Big ( \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x _ { 2 } , y ^ { * } ( x _ { 2 } ) ) \Big ) ^ { - 1 } \| } \\ & { \quad + \| \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x _ { 1 } , y ^ { * } ( x _ { 1 } ) ) \Big ( \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x _ { 2 } , y ^ { * } ( x _ { 2 } ) ) \Big ) ^ { - 1 } - \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x _ { 2 } , y ^ { * } ( x _ { 2 } ) ) \Big ( \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x _ { 2 } , y ^ { * } ( x _ { 2 } ) ) \Big ) ^ { - 1 } \| } \\ & { \leq C _ { g x y } \sum _ { m = 1 } \| \Big ( \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x _ { 1 } , y ^ { * } ( x _ { 1 } ) ) \Big ) ^ { - 1 } - \Big ( \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x _ { 2 } , y ^ { * } ( x _ { 2 } ) ) \Big ) ^ { - 1 } \| } \\ & { \quad + \frac { 1 } { \mu } \sum _ { m = 1 } \| \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x _ { 1 } , y ^ { * } ( x _ { 1 } ) ) - \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x _ { 2 } , y ^ { * } ( x _ { 2 } ) ) \| } \\ & { \leq C _ { g x y } \sum _ { m = 1 } \| \Big ( \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x _ { 2 } , y ^ { * } ( x _ { 2 } ) ) \Big ) ^ { - 1 } \Big ( \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x _ { 2 } , y ^ { * } ( x _ { 2 } ) ) - \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x _ { 1 } , y ^ { * } ( x _ { 1 } ) ) \Big ) } \\ & { \quad \cdot \Big ( \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x _ { 1 } , y ^ { * } ( x _ { 1 } ) ) \Big ) ^ { - 1 } \| + \frac { 1 } { \mu } \sum _ { m = 1 } \Big ( L _ { g x y } \| x _ { 1 } - x _ { 2 } \| + L _ { g x y } \| y ^ { * } ( x _ { 1 } ) - y ^ { * } ( x _ { 2 } ) \| \Big ) } \\ & { \leq \frac { C _ { g x y } } { \mu ^ { 2 } } \sum _ { m = 1 } \| \big ( \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x _ { 2 } , y ^ { * } ( x _ { 2 } ) ) - \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x _ { 1 } , y ^ { * } ( x _ { 1 } ) ) \big ) \| + \frac { 1 } { \mu } \sum _ { m = 1 } \Big ( L _ { g x y } \| x _ { 1 } - x _ { 2 } \| + L _ { g x y } \| y ^ { * } ( x _ { 1 } ) - y ^ { * } ( x _ { 2 } ) \| \Big ) } \\ & { \leq \frac { C _ { g x y } } { \mu ^ { 2 } } \sum _ { m = 1 } \big ( L _ { g y y } \| x _ { 1 } - x _ { 2 } \| + L _ { g y y } \| y ^ { * } ( x _ { 1 } ) - y ^ { * } ( x _ { 2 } ) \| \big ) + \frac { 1 } { \mu } \sum _ { m = 1 } \Big ( L _ { g x y } \| x _ { 1 } - x _ { 2 } \| + L _ { g x y } \| y ^ { * } ( x _ { 1 } ) - y ^ { * } ( x _ { 2 } ) \| \Big ) } \\ & { \leq \big ( \frac { C _ { g x y } L _ { g y y } } { \mu ^ { 2 } } + \frac { L _ { g x y } } { \mu } \big ) ( 1 + \frac { C _ { g x y } } { \mu } ) \| x _ { 1 } - x _ { 2 } \| , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \sum _ { l = S } ^ { \infty } \mathbb { E } ( \breve { Y } _ { i } \breve { Y } _ { i + l } ) \le } & { 8 \sum _ { l = S } ^ { \infty } \vert \vert \breve { Y } _ { i } \vert \vert _ { L _ { \infty } } ^ { 2 } \alpha _ { l } \le 8 \sum _ { l = S } ^ { \infty } \alpha _ { l } \rightarrow 0 , \ \mathrm { a s } \ T \rightarrow \infty } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { \triangle } } _ { f } \gamma _ { i j } = \triangle _ { f } \gamma _ { i j } - H _ { m j k } \nabla _ { m } \gamma _ { i k } + H _ { m i k } \nabla _ { m } \gamma _ { k j } - \frac { 1 } { 4 } ( H _ { j l } ^ { 2 } \gamma _ { i l } + H _ { i l } ^ { 2 } \gamma _ { l j } ) - \frac { 1 } { 2 } H _ { m k j } H _ { m l i } \gamma _ { l k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { b \left( v _ { 1 } ^ { 2 } - v _ { 2 } ^ { 2 } \right) \left( \cos { \left( L \alpha \right) } + 1 \right) } \\ & { + \sqrt { \left( 2 b ^ { 2 } - 2 \right) \left( b ^ { 2 } v _ { 2 } ^ { 4 } - v _ { 1 } ^ { 4 } \right) \left( \cos { \left( L \alpha \right) } - 1 \right) + \left( 2 b ^ { 2 } v _ { 2 } ^ { 2 } + b \left( v _ { 1 } ^ { 2 } - v _ { 2 } ^ { 2 } \right) \left( \cos { \left( L \alpha \right) } + 1 \right) - 2 v _ { 1 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta ( x , } & { t _ { k } ) = \frac { T _ { w } } { \pi } \left( \tan ^ { - 1 } \left( \frac { L - x _ { 1 } } { x _ { 2 } } \right) + \tan ^ { - 1 } \left( \frac { L + x _ { 1 } } { x _ { 2 } } \right) \right) } \\ & { - \frac { 1 } { N } \sum _ { m = 1 } ^ { N } \sum _ { i _ { 1 } } \sum _ { i _ { 2 } \geq 0 } h h _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } \prod _ { j = 1 } ^ { k } 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } ( Y _ { t _ { j } } ^ { m , i _ { 1 } , i _ { 2 } } ) \varLambda _ { 2 } ( Y _ { t _ { k } } ^ { m , i _ { 1 } , i _ { 2 } } , x ) \cdot R ( x ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , t _ { k } ; 0 ) \varTheta _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi _ { E } D _ { \Gamma } \chi _ { E ^ { c } } } & { \sim \chi _ { E \cap E _ { o } } D _ { \Gamma } \chi _ { E ^ { c } \cap E _ { o } } = \chi _ { E } \chi _ { E _ { o } } D _ { \Gamma } \chi _ { E _ { o } } \chi _ { E ^ { c } } , } \\ { \chi _ { E ^ { c } } D _ { \Gamma } \chi _ { E } } & { \sim \chi _ { E ^ { c } \cap E _ { o } } D _ { \Gamma } \chi _ { E \cap E _ { o } } = \chi _ { E ^ { c } } \chi _ { E _ { o } } D _ { \Gamma } \chi _ { E _ { o } } \chi _ { E } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { 1 } ( x ) } & { = \Pi _ { i = 1 } ^ { 1 0 } \sin ( \pi x _ { i } ) , } \\ { g _ { 2 } ( x ) } & { = \sin ( 2 \pi x _ { 1 } ) \Pi _ { i = 1 } ^ { 1 0 } \sin ( \pi x _ { i } ) , } \\ { g _ { 3 } ( x ) } & { = \sin ( 2 \pi x _ { 2 } ) \Pi _ { i \neq 2 } ^ { 1 0 } \sin ( \pi x _ { i } ) } \\ { g _ { 4 } ( x ) } & { = \sin ( 2 \pi x _ { 1 } ) \sin ( 2 \pi x _ { 2 } ) \Pi _ { i = 3 } ^ { 1 0 } \sin ( \pi x _ { i } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Theta \left( \Omega _ { n } ^ { \mathbf { c } } , \Lambda _ { n ^ { ' } } ^ { \mathbf { c } ^ { ' } } \right) ( \tau ) } \\ & { = \Theta \Big ( \psi _ { \gamma } ( S _ { n } ) , \left( \psi ^ { \gamma } ( \Bar { S } _ { n ^ { ' } } ) \right) ^ { * } \Big ) ( \tau ) \sum _ { \alpha = 0 } ^ { R - 1 } \prod _ { i = 0 } ^ { l - 1 } \omega _ { 2 } ^ { ( c _ { i } + c _ { i } ^ { \prime } ) \alpha _ { i } } } \\ & { + \Theta \Big ( \psi _ { \gamma } ( S _ { n } ) , \left( \psi ^ { \gamma } ( \Bar { S } _ { n ^ { ' } } ) \right) ^ { * } \Big ) ( \tau - \gamma ) \sum _ { \alpha = 0 } ^ { R - 2 } \prod _ { i = 0 } ^ { l - 1 } \omega _ { 2 } ^ { c _ { i } ( \alpha _ { i } ) + c _ { i } ^ { \prime } ( \alpha _ { i } ^ { \prime } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i } x _ { i } ( { \texttt A } { \mathcal G } { \texttt A } ^ { T } ) _ { i i } x _ { i } - ( w _ { \texttt A } \mathfrak { s } ( z ) + w _ { { \texttt A } { \texttt B } } ^ { 2 } z s ( z ) \mathfrak { s } ( z ) ^ { 2 } ) \langle { \boldsymbol x } , { \boldsymbol x } \rangle } \\ & { ~ ~ ~ = \sum _ { i } x _ { i } ^ { 2 } \left[ ( { \texttt A } { \mathcal G } { \texttt A } ^ { T } ) _ { i i } - ( w _ { \texttt A } \mathfrak { s } ( z ) + w _ { { \texttt A } { \texttt B } } ^ { 2 } z s ( z ) \mathfrak { s } ( z ) ^ { 2 } ) \right] \prec N ^ { - 1 / 2 } , } \end{array}
\left( ( \Phi _ { k } ) _ { 2 1 } , ( \Phi _ { k } ) _ { 2 2 } \right) \sim \left( \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \lambda ^ { - \frac { 1 } { 4 } } e ^ { \frac { 4 } { 5 } \lambda ^ { \frac { 5 } { 2 } } } , \, \frac { - 1 } { \sqrt { 2 } } \lambda ^ { - \frac { 1 } { 4 } } e ^ { - \frac { 4 } { 5 } \lambda ^ { \frac { 5 } { 2 } } } \right) , \qquad k \in \mathbb { Z }
\begin{array} { r l r } { \left| S _ { 1 1 } ( l _ { 2 , \omega } ) \right| } & { \leq } & { \left| \cos \left( l _ { 2 , \omega } ^ { 1 / 2 } \Delta t \right) \right| \leq 1 , } \\ { \left| S _ { 2 1 } ( l _ { 2 , \omega } ) \right| } & { \leq } & { \left| - l _ { 2 , \omega } ^ { 1 / 2 } \sin \left( l _ { 2 , \omega } ^ { 1 / 2 } \Delta t \right) \right| \leq \left| l _ { 2 , \omega } ^ { 1 / 2 } \right| l _ { 2 , \omega } ^ { 1 / 2 } \Delta t = l _ { 2 , \omega } \Delta t , } \\ { \left| M _ { 1 1 , \omega } \right| } & { \leq } & { \frac { \Delta t ^ { 2 } } { 2 } , } \\ { \left| M _ { 1 1 , \omega } \right| } & { \leq } & { \frac { \Delta t } { ( \overline { { p } } \omega ^ { 2 } + \overline { { q } } ) ^ { 1 / 2 } } , } \\ { \left| M _ { 2 1 , \omega } \right| } & { \leq } & { \Delta t . } \end{array}
\begin{array} { r c l r c l r c l } { \hat { \mathcal { U } } _ { b } ^ { h } ( t , \xi ) } & { = } & { \hat { u } _ { b } ^ { h } \left( t , \xi , \hat { u } ( t ) \right) , } & { \hat { \mathcal { Q } } ^ { h } ( t , x ) } & { = } & { \hat { q } ^ { h } \left( t , x , \hat { u } ( t , x ) , \hat { u } ( t ) \right) , } & { \hat { \mathcal { P } } ^ { h } ( t , x ) } & { = } & { \hat { p } ^ { h } \left( t , x , \hat { u } ( t ) \right) , } \\ { \check { \mathcal { U } } _ { b } ^ { h } ( t , \xi ) } & { = } & { \check { u } _ { b } ^ { h } \left( t , \xi , \check { u } ( t ) \right) , } & { \check { \mathcal { Q } } ^ { h } ( t , x ) } & { = } & { \check { q } ^ { h } \left( t , x , \check { u } ( t , x ) , \check { u } ( t ) \right) , } & { \check { \mathcal { P } } ^ { h } ( t , x ) } & { = } & { \check { p } ^ { h } \left( t , x , \check { u } ( t ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \nabla f ( y ( t ) ) | } & { \le | \nabla f ( y ( t ) ) - \nabla f ( y ( 0 ) ) | + | \nabla f ( y ( 0 ) ) | } \\ & { \le L _ { f } | y ( t ) - y ( 0 ) | + | \nabla f ( y ( 0 ) ) | } \\ & { \le L _ { f } | y ( t ) - \bar { y } | + L _ { f } | y ( 0 ) - \bar { y } | + | \nabla f ( y ( 0 ) ) | } \\ & { \le 2 L _ { f } \sqrt { \frac { 2 } { \alpha } D _ { \varphi } ( \bar { y } , y ( 0 ) ) } + | \nabla f ( y ( 0 ) ) | = : K _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { p , q } } & { = \alpha \frac { ( x _ { i ^ { \prime } } - x _ { i } ) ^ { 2 } } { ( ( x _ { i ^ { \prime } } - x _ { i } ) ^ { 2 } + ( y _ { j ^ { \prime } } - y _ { j } ) ^ { 2 } + ( z _ { k ^ { \prime } } - z _ { k } ) ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \lambda _ { i ^ { ' } , j ^ { ' } } h ^ { 3 } } \\ & { = \alpha \frac { ( i ^ { \prime } - i ) ^ { 2 } } { ( ( i ^ { \prime } - i ) ^ { 2 } + ( j ^ { \prime } - j ) ^ { 2 } + ( k ^ { \prime } - k ) ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \lambda _ { i ^ { ' } , j ^ { ' } } h ^ { 2 } } \end{array}
\sum _ { i = 0 } ^ { 1 } \Vert \psi _ { j , { \varepsilon } + \nu } ^ { ( i ) } - \psi _ { j , \nu } ^ { ( i ) } - { \varepsilon } ( \partial _ { \delta } \psi _ { j , \delta } | _ { \delta = \nu } ) ^ { ( i ) } \Vert _ { L ^ { 1 } } \leq | { \varepsilon } | \sum _ { i = 0 } ^ { 1 } \ \Vert \partial _ { \delta } \psi _ { j , \delta } ^ { ( i ) } | _ { \delta = \eta _ { x , j , { \varepsilon } } ^ { i } } - \partial _ { \delta } \psi _ { j , \delta } ^ { ( i ) } | _ { j , \delta = \nu } \Vert _ { L ^ { 1 } } = o ( { \varepsilon } ) .
T _ { \mu } ^ { \nu } = - \delta _ { \mu } ^ { \nu } { \mathcal { L } } + \delta _ { \mu } ^ { \sigma } \partial _ { \sigma } \varphi { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial \varphi _ { , \nu } } } = \left( { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial \varphi _ { , \nu } } } \right) \cdot \varphi _ { , \mu } - \delta _ { \mu } ^ { \nu } { \mathcal { L } }
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { \bar { t } _ { s } } - \mathcal { G } _ { \bar { t } _ { s - 1 } } } & { \leq - \frac { \eta } { 2 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \mathbb { E } \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } - \frac { \eta L ^ { 2 } } { 4 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } F _ { t } - \frac { \eta \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } } { 4 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } C _ { t } } \\ & { \qquad - \frac { \eta } { 4 } \left( 1 - \frac { 1 6 2 \kappa ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } } - \frac { 1 8 0 \kappa ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \bar { L } ^ { 2 } } { \tau ^ { 2 } } \right) \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } E _ { t } + \bigg ( \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 8 1 \kappa ^ { 2 } \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 4 5 \kappa ^ { 2 } \tilde { L } _ { 2 } ^ { 2 } } { 1 6 } \bigg ) I ^ { 2 } \eta ^ { 3 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } D _ { t } } \\ & { \qquad + \bigg ( 2 \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 8 1 \kappa ^ { 2 } \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 4 5 \kappa ^ { 2 } \tilde { L } _ { 2 } ^ { 2 } } { 1 6 } \bigg ) I ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } \eta \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } B _ { t } + \frac { 8 1 I \kappa ^ { 2 } \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } \eta ^ { 3 } \sigma ^ { 2 } } { 2 \mu ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } b _ { x } M } + \frac { 3 6 I \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } \eta \sigma ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } b _ { y } M } } \\ & { \qquad + \frac { 4 5 I \kappa ^ { 2 } \bar { L } ^ { 2 } \eta ^ { 3 } \sigma ^ { 2 } } { \tau ^ { 2 } b _ { x } M } + \frac { 4 5 I \kappa L \tau \eta \sigma ^ { 2 } } { 4 b _ { x } M } + \frac { \eta ^ { 2 } I \bar { L } \sigma ^ { 2 } } { 2 b _ { x } M } } \end{array}
v \in ( s , t ) = \left( \overline { { s } } _ { m + 2 } + \sum _ { i = m + 3 } ^ { \infty } \frac { p - 1 } { p ^ { i } } , \overline { { s } } _ { m + 1 } + \frac { s _ { m + 2 } + 3 } { p ^ { m + 2 } } - \sum _ { i = m + 3 } ^ { \infty } \frac { p - 1 } { p ^ { i } } \right) = \left( \overline { { s } } _ { m + 2 } + \frac { 1 } { p ^ { m + 2 } } , \overline { { s } } _ { m + 2 } + \frac { 2 } { p ^ { m + 2 } } \right) ,
\begin{array} { r l } { \Phi _ { t } } & { = \mathbb { E } \Big [ F ( x _ { t } ) + g ( x _ { t } , y _ { t } ) - G ( x _ { t } ) + \gamma \big ( \| \nabla _ { x } f ( x _ { t } , y _ { t } ) - u _ { t } \| ^ { 2 } + \| \Pi _ { C _ { f y } } \big [ \nabla _ { y } f ( x _ { t } , y _ { t } ) \big ] - h _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad + \| \hat { \Pi } _ { C _ { g x y } } \big [ \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x _ { t } , y _ { t } ) \big ] - G _ { t } \| ^ { 2 } + \| \mathcal { S } _ { [ \mu , L _ { g } ] } \big [ \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x _ { t } , y _ { t } ) \big ] - H _ { t } \| ^ { 2 } \big ) + \lambda \| \nabla _ { y } g ( x _ { t } , y _ { t } ) - v _ { t } \| ^ { 2 } \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { N _ { d , \sigma + d - \nu } = \frac { | Z _ { \operatorname* { m i n } ( \mu - \sigma , \rho + d - \nu ) + 1 } | } { p ^ { \mu - \operatorname* { m i n } ( \mu , \rho + \sigma + d - \nu ) } } + \sum _ { l = 0 } ^ { \operatorname* { m i n } ( \mu - \sigma , \rho + d - \nu ) } \frac { | Y _ { l } | } { p ^ { \mu - ( \sigma + l ) } } } \\ & { = p ^ { \nu - d - 1 } + ( p - 2 ) p ^ { \nu - d - 1 } + \sum _ { l = 1 } ^ { \operatorname* { m i n } ( \mu - \sigma , \rho + d - \nu ) } \frac { \varphi ( p ^ { \mu - \sigma + \nu - d - l } ) } { p ^ { \mu - \sigma - l } } } \\ & { = ( p - 1 ) p ^ { \nu - d - 1 } + \operatorname* { m i n } ( \mu - \sigma , \rho + d - \nu ) ( p - 1 ) p ^ { \nu - d - 1 } = ( 1 + \operatorname* { m i n } ( \mu - \sigma , \rho + d - \nu ) ) ( p - 1 ) p ^ { \nu - d - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { 2 } } & { = \{ | a _ { 0 } - b _ { 0 } - \ell _ { 0 } ^ { \prime } m | , | a _ { 0 } - b _ { 0 } - \ell _ { 0 } ^ { \prime } m | + 2 , \dots , a _ { 0 } + b _ { 0 } + \ell _ { 0 } ^ { \prime } m \} , } \\ { A _ { 2 } ^ { * } } & { = \{ | a _ { 0 } + \ell _ { 0 } m - b _ { 0 } | , | a _ { 0 } + \ell _ { 0 } m - b _ { 0 } | + 2 , \dots , a _ { 0 } + \ell _ { 0 } m + b _ { 0 } \} , } \\ { A _ { m } } & { = \left\{ b _ { 0 } + \ell _ { 0 } ^ { \prime } m - a _ { 0 } - t m : t = 1 , \dots , T \right\} \mathrm { ~ i f ~ b _ 0 + \ell ' _ 0 ~ m - a _ 0 \ge ~ m ~ , ~ e l s e ~ A _ m = \emptyset ~ } , } \\ { A _ { m } ^ { * } } & { = \left\{ a _ { 0 } + \ell _ { 0 } m - b _ { 0 } - t m : t = 1 , \dots , T ^ { * } \right\} \mathrm { ~ i f ~ a _ 0 + \ell _ 0 ~ m - b _ 0 \ge ~ m ~ , ~ e l s e ~ A _ m = \emptyset ~ } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { R } = } & { - 2 \left( U ^ { \prime } + \frac { 1 } { r } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \alpha _ { i } \left( 1 - R _ { i } \right) U + \frac { ( W + Z ) } { r C A } U - \frac { \left( W ^ { \prime } + Z ^ { \prime } \right) } { r C } A + 2 4 \lambda ^ { 2 } \right. } \\ & { \left. - \frac { ( W + Z ) A } { r ^ { 2 } C } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \alpha _ { i } \left( 1 - R _ { i } \right) + \frac { \left( 1 - W Z - \alpha _ { 3 } \left( 1 + R _ { 3 } \right) + \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \alpha _ { i } \left( 1 - R _ { i } \right) \cot \theta ^ { 2 } \right) } { r ^ { 2 } C ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { C _ { ( 1 ) } = U + \widehat { U } + \widetilde { U } + \widehat { \widetilde { U } } , } \\ & { } & { C _ { ( 2 ) } = - ( U \widetilde { U } + U \widehat { U } + U \widehat { \widetilde { U } } + \widehat { U } \widehat { \widetilde { U } } + \widetilde { U } \widehat { \widetilde { U } } + \widehat { U } \widetilde { U } ) , } \\ & { } & { C _ { ( 3 ) } = U \widehat { U } \widetilde { U } + U \widehat { U } \widehat { \widetilde { U } } + U \widetilde { U } \widehat { \widetilde { U } } + \widehat { U } \widetilde { U } \widehat { \widetilde { U } } , } \\ & { } & { C _ { ( 4 ) } = - U \widehat { U } \widetilde { U } \widehat { \widetilde { U } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { i } ( \cdot , y _ { 1 } , \dots , y _ { i - 1 } , 0 , y _ { i + 1 } , \dots , y _ { \ell } ) } & { \geq 0 , } \\ { F _ { i } ( \cdot , y _ { 1 } , \dots , y _ { i - 1 } , 0 , y _ { i + 1 } , \dots , y _ { \ell } ) } & { = c _ { i } ( \cdot ) , } \\ { g _ { n , i } ( \cdot , y _ { 1 } , \dots , y _ { i - 1 } , 0 , y _ { i + 1 } , \dots , y _ { \ell } ) } & { = 0 . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { - \nu \Delta \mathbf { v } + \nabla s = \mu \nabla \phi + \ensuremath { \operatorname { d i v } } \left( \left[ \partial _ { \mathbf { F } } w ( \phi , \mathbf { F } ) - \lambda \Delta \mathbf { F } \right] \mathbf { F } ^ { T } \right) + \left( \nabla \mathbf { F } \right) \odot \left( \partial _ { \mathbf { F } } w ( \phi , \mathbf { F } ) - \lambda \Delta \mathbf { F } \right) , } \\ { \ensuremath { \operatorname { d i v } } \mathbf { v } = 0 , } \\ { \frac { \partial \mathbf { F } } { \partial t } + \left( \mathbf { v } \cdot \nabla \right) \mathbf { F } - ( \nabla \mathbf { v } ) \mathbf { F } + \gamma \left( \partial _ { \mathbf { F } } w ( \phi , \mathbf { F } ) - \lambda \Delta \mathbf { F } \right) = 0 , } \\ { \frac { \partial \phi } { \partial t } + \mathbf { v } \cdot \nabla \phi - \ensuremath { \operatorname { d i v } } ( b ( \phi ) \nabla \mu ) = 0 , } \\ { \mu = \psi ^ { \prime } ( \phi ) - \Delta \phi + \partial _ { \phi } w ( \phi , \mathbf { F } ) . } \end{array} \right.
{ \begin{array} { r l } { \Delta = } & { - 1 2 8 p ^ { 2 } r ^ { 4 } + 3 1 2 5 s ^ { 4 } - 7 2 p ^ { 4 } q r s + 5 6 0 p ^ { 2 } q r ^ { 2 } s + 1 6 p ^ { 4 } r ^ { 3 } + 2 5 6 r ^ { 5 } + 1 0 8 p ^ { 5 } s ^ { 2 } } \\ & { - 1 6 0 0 q r ^ { 3 } s + 1 4 4 p q ^ { 2 } r ^ { 3 } - 9 0 0 p ^ { 3 } r s ^ { 2 } + 2 0 0 0 p r ^ { 2 } s ^ { 2 } - 3 7 5 0 p q s ^ { 3 } + 8 2 5 p ^ { 2 } q ^ { 2 } s ^ { 2 } } \\ & { + 2 2 5 0 q ^ { 2 } r s ^ { 2 } + 1 0 8 q ^ { 5 } s - 2 7 q ^ { 4 } r ^ { 2 } - 6 3 0 p q ^ { 3 } r s + 1 6 p ^ { 3 } q ^ { 3 } s - 4 p ^ { 3 } q ^ { 2 } r ^ { 2 } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { n ! \Vert \tilde { f _ { n } } ( \cdot , t , x ) \Vert _ { \mathcal { H } ^ { \otimes n } } ^ { 2 } \ge } & { \mu _ { 0 } ^ { 2 } \lambda ^ { 2 n } C ^ { n } \int _ { T _ { n } ( t ) } \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \prod _ { j = 1 } ^ { n } | \mathcal { F } Y ( s _ { j + 1 } - s _ { j } , \cdot ) ( \eta _ { j } ) | ^ { 2 } \times | \eta _ { j } - \eta _ { j - 1 } | ^ { 1 - 2 H } \ensuremath { \mathrm { d } } \mathbf { s } \ensuremath { \mathrm { d } } \boldsymbol \eta } \\ { \ge } & { \mu _ { 0 } ^ { 2 } \lambda ^ { 2 n } C ^ { n } \int _ { T _ { n } ( t ) } \int _ { \mathbb { D } _ { n } } \prod _ { j = 1 } ^ { n } | \mathcal { F } Y ( s _ { j + 1 } - s _ { j } , \cdot ) ( \eta _ { j } ) | ^ { 2 } \times | \eta _ { j } | ^ { 1 - 2 H } \ensuremath { \mathrm { d } } \mathbf { s } \ensuremath { \mathrm { d } } \boldsymbol \eta } \\ { = } & { \mu _ { 0 } ^ { 2 } \lambda ^ { 2 n } C ^ { n } \int _ { T _ { n } ( t ) } \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \prod _ { j = 1 } ^ { n } | \mathcal { F } Y ( s _ { j + 1 } - s _ { j } , \cdot ) ( \eta _ { j } ) | ^ { 2 } \times | \eta _ { j } | ^ { 1 - 2 H } \ensuremath { \mathrm { d } } \mathbf { s } \ensuremath { \mathrm { d } } \boldsymbol \eta , } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { 1 } ^ { * } ( t ) } & { = - \frac { t } { 3 0 } F ^ { \prime } ( t ) - \frac { t ^ { 2 } } { 6 0 } F ^ { \prime \prime } ( t ) - \frac { 6 7 } { 1 2 0 } F ^ { \prime \prime \prime } ( t ) , } \\ { * [ 1 m m ] F _ { 2 } ^ { * } ( t ) } & { = \frac { 2 t ^ { 2 } } { 5 2 5 } F ^ { \prime } ( t ) + \Big ( - \frac { 6 2 9 } { 1 2 0 0 } + \frac { 2 3 t ^ { 3 } } { 1 2 6 0 0 } \Big ) F ^ { \prime \prime } ( t ) + \Big ( - \frac { 8 9 9 t } { 8 4 0 0 } + \frac { t ^ { 4 } } { 7 2 0 0 } \Big ) F ^ { \prime \prime \prime } ( t ) } \\ { * [ 1 m m ] } & { \qquad \quad + \frac { 6 7 t ^ { 2 } } { 7 2 0 0 } F ^ { ( 4 ) } ( t ) + \frac { 1 4 9 3 } { 9 6 0 0 } F ^ { ( 5 ) } ( t ) , } \end{array}
\displaystyle \operatorname* { i n f } _ { ( 0 , { \textit { \textbf { z } } } ) \in \Sigma _ { 1 , 0 } ^ { { \smash { \scriptstyle \sharp } } , b } } w _ { 1 , 0 } ( { \textit { \textbf { z } } } ) = \operatorname { t a n h } \bigg [ \operatorname* { m i n } \Big \{ \frac { 1 } { \theta _ { 1 } } ; \; b \operatorname* { m i n } _ { 2 \leq j \leq n - 1 } \frac { 1 } { \theta _ { j } } \Big \} \bigg ] > 0 .
\begin{array} { r l } { \left| \Delta \Gamma _ { 2 j } ^ { t + 1 } \right| } & { \leq \Gamma _ { 2 j } ^ { t } - \Gamma _ { 2 j } ^ { t } \cdot e ^ { - \gamma _ { 2 } \cdot \frac { 1 5 } { \zeta } \cdot \log n } \leq \Gamma _ { 2 j } ^ { t } - \Gamma _ { 2 j } ^ { t } \cdot \Big ( 1 - \gamma _ { 2 } \cdot \frac { 3 0 } { \zeta } \cdot \log n \Big ) } \\ & { = \Gamma _ { 2 j } ^ { t } \cdot \gamma _ { 2 } \cdot \frac { 3 0 } { \zeta } \cdot \log n \leq n ^ { 1 / 8 } \cdot \sqrt { \frac { n } { b } \cdot \log n } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathrm { T r } { \left( v _ { x } A ( \omega ; \mathbf { k } ) v _ { x } A ( \omega - \Omega ; \mathbf { k } ) \right) } = F ( \omega ) F ( \omega - \Omega ) \frac { v _ { F } ^ { 2 } } { 8 g ^ { 3 } } \Big \{ ( \hbar v _ { F } k ) ^ { 2 } \left[ 4 g \cos ^ { 2 } { ( \varphi ) } + ( 2 g - 2 \hbar \omega + \hbar \Omega ) \sin ^ { 2 } { ( \varphi ) } \right] } \\ & { } & { \quad + 4 g ( g - \hbar \omega ) ( g - \hbar \omega + \hbar \Omega ) \Big \} \left\{ 2 g ( g - \hbar \omega + \hbar \Omega ) + \left[ \hbar v _ { F } k \sin { ( \varphi ) } \right] ^ { 2 } \right\} \left\{ 2 g ( g - \hbar \omega ) + \left[ \hbar v _ { F } k \sin { ( \varphi ) } \right] ^ { 2 } \right\} , } \\ & { } & { \mathrm { T r } { \left( v _ { y } A ( \omega ; \mathbf { k } ) v _ { y } A ( \omega - \Omega ; \mathbf { k } ) \right) } = F ( \omega ) F ( \omega - \Omega ) \frac { v _ { F } ^ { 2 } \left[ \hbar v _ { F } k \sin { ( \varphi ) } \right] ^ { 2 } } { 8 g ^ { 4 } } \Bigg \{ 8 g ^ { 2 } \left[ \hbar v _ { F } k \cos { ( \varphi ) } \right] ^ { 4 } } \\ & { } & { \quad + ( g - \hbar \omega ) ( g - \hbar \omega + \hbar \Omega ) \left[ ( \hbar v _ { F } k ) ^ { 2 } + 4 g ( g - \hbar \omega + \hbar \Omega ) - ( \hbar v _ { F } k ) ^ { 2 } \cos { ( 2 \varphi ) } \right] } \\ & { } & { \quad \times \left[ ( \hbar v _ { F } k ) ^ { 2 } + 4 g ( g - \hbar \omega ) - ( \hbar v _ { F } k ) ^ { 2 } \cos { ( 2 \varphi ) } \right] - 2 g \left[ \hbar v _ { F } k \cos { ( \varphi ) } \right] ^ { 2 } \Big \{ 2 ( g - \hbar \omega ) \left[ 4 g ( g - \hbar \omega ) + ( \hbar v _ { F } k ) ^ { 2 } \right] } \\ & { } & { \quad + \hbar \Omega \left[ 8 g ( g - \hbar \omega ) + ( \hbar v _ { F } k ) ^ { 2 } \right] + 4 g ( \hbar \Omega ) ^ { 2 } - ( \hbar v _ { F } k ) ^ { 2 } ( 2 g - 2 \hbar \omega + \hbar \Omega ) \cos { ( 2 \varphi ) } \Big \} \Bigg \} . } \end{array}
0 \longrightarrow M { \overset { \varepsilon } { \longrightarrow } } C ^ { 0 } { \overset { d ^ { 0 } } { \longrightarrow } } C ^ { 1 } { \overset { d ^ { 1 } } { \longrightarrow } } C ^ { 2 } { \overset { d ^ { 2 } } { \longrightarrow } } \cdots { \overset { d ^ { n - 1 } } { \longrightarrow } } C ^ { n } { \overset { d ^ { n } } { \longrightarrow } } \cdots ,
\begin{array} { r l r } { E _ { n + 1 } } & { = } & { \| { \cal I } _ { N } S ( \Delta t ) ^ { n + 1 } { \bf f } - \tilde { S } _ { N } ( \Delta t ) ^ { n + 1 } { \cal I } _ { N } { \bf f } \| _ { C } } \\ & { = } & { \| { \cal I } _ { N } S ( \Delta t ) S ( \Delta t ) ^ { n } { \bf f } - \tilde { S } _ { N } ( \Delta t ) \tilde { S } _ { N } ( \Delta t ) ^ { n } { \cal I } _ { N } { \bf f } \| _ { C } } \\ & { = } & { \| { \cal I } _ { N } S ( \Delta t ) S ( \Delta t ) ^ { n } { \bf f } - \tilde { S } _ { N } ( \Delta t ) S ( \Delta t ) ^ { n } { \bf f } + \tilde { S } _ { N } ( \Delta t ) S ( \Delta t ) ^ { n } { \bf f } - \tilde { S } _ { N } ( \Delta t ) \tilde { S } _ { N } ( \Delta t ) ^ { n } { \cal I } _ { N } { \bf f } \| _ { C } } \\ & { \leq } & { \| { \cal I } _ { N } S ( \Delta t ) S ( \Delta t ) ^ { n } { \bf f } - \tilde { S } _ { N } ( \Delta t ) S ( \Delta t ) ^ { n } { \bf f } \| _ { C } + \| \tilde { S } _ { N } ( \Delta t ) [ { \cal I } _ { N } S ( \Delta t ) ^ { n } { \bf f } - \tilde { S } _ { N } ( \Delta t ) ^ { n } { \cal I } _ { N } { \bf f } ] \| _ { C } } \\ & { \leq } & { \| { \cal I } _ { N } S ( \Delta t ) S ( \Delta t ) ^ { n } { \bf f } - \tilde { S } _ { N } ( \Delta t ) S ( \Delta t ) ^ { n } { \bf f } \| _ { C } + \| { \cal T } _ { N } S _ { N } ( \Delta t ) { \cal R } _ { N } [ { \cal I } _ { N } S ( \Delta t ) ^ { n } { \bf f } - \tilde { S } _ { N } ( \Delta t ) ^ { n } { \cal I } _ { N } { \bf f } ] \| _ { C } } \\ & { \leq } & { \| { \cal I } _ { N } S ( \Delta t ) S ( \Delta t ) ^ { n } { \bf f } - \tilde { S } _ { N } ( \Delta t ) S ( \Delta t ) ^ { n } { \bf f } \| _ { C } + \| { \cal T } _ { N } S _ { N } ( \Delta t ) \hat { \cal R } _ { N } [ { \cal I } _ { N } S ( \Delta t ) ^ { n } { \bf f } - \tilde { S } _ { N } ( \Delta t ) ^ { n } { \cal I } _ { N } { \bf f } ] \| _ { C } } \\ & { \leq } & { \| { \cal I } _ { N } S ( \Delta t ) { \bf u } ( \cdot , t _ { n } ) - \tilde { S } _ { N } ( \Delta t ) { \cal I } _ { N } { \bf u } ( \cdot , t _ { n } ) \| _ { C } + \| { S } _ { N } ( \Delta t ) \| _ { C _ { N } } E _ { n } } \\ & { \leq } & { C _ { 1 } \Delta t ^ { 3 } + C _ { 2 } \Delta t \Delta x ^ { m - 1 } + ( 1 + C _ { q } \| \tilde { q } \| _ { \infty } \Delta t ) E _ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| \nabla \left( f _ { \varepsilon } ( | v | ^ { 2 } ) v \right) \right\| _ { L ^ { 2 } } } & { = \left\| f _ { \varepsilon } ( | v | ^ { 2 } ) \nabla v + f _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( | v | ^ { 2 } ) v ( v \nabla \overline { { v } } + \overline { { v } } \nabla v ) \right\| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \leq \left( \| f _ { \varepsilon } ( | v | ^ { 2 } ) \| _ { L ^ { \infty } } + \| f _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( | v | ^ { 2 } ) v ^ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } } + \| f _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( | v | ^ { 2 } ) | v | ^ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } } \right) \| \nabla v \| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \lesssim \| v \| _ { L ^ { \infty } } ^ { 2 \sigma } \| v \| _ { H ^ { 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \tilde { \nu } _ { \Psi _ { i } \to j } ( \tau _ { i } ^ { ( j ) } , \sigma _ { j i } , t _ { i } ^ { ( j ) } , t _ { j } ^ { ( i ) } ) } & { = \gamma ( t _ { i } ^ { ( j ) } ) \xi ( \tau _ { i } ^ { ( j ) } , t _ { i } ^ { ( j ) } , c _ { i } ) \left( a ( t _ { i } ^ { ( j ) } - t _ { j } ^ { ( i ) } - 1 ) \delta _ { x _ { i } ^ { 0 } , I } \delta _ { \tau _ { i } ^ { ( j ) } , 0 } \prod _ { k \in \partial i \setminus j } \left[ \sum _ { \sigma _ { k i } = 0 } ^ { 2 } \mu _ { k \to \Psi _ { i } } ^ { \prime } ( \sigma _ { k i } , \tau _ { i } ^ { ( k ) } , c _ { k i } = 1 , t _ { i } ^ { ( k ) } ) \right] \right. } \\ { + } & { a ( t _ { i } ^ { ( j ) } - t _ { j } ^ { ( i ) } - 1 ) \delta _ { x _ { i } ^ { 0 } , S } \mathbb { I } [ \sigma _ { j i } \in \{ 1 , 2 \} ] \prod _ { k \in \partial i \setminus j } \left[ \sum _ { \sigma _ { k i } = 1 } ^ { 2 } \mu _ { k \to \Psi _ { i } } ^ { \prime } ( \sigma _ { k i } , \tau _ { i } ^ { ( k ) } , c _ { k i } = 1 , t _ { i } ^ { ( k ) } ) \right] } \\ { - } & { a ( t _ { i } ^ { ( j ) } - t _ { j } ^ { ( i ) } - 1 ) \delta _ { x _ { i } ^ { 0 } , S } \mathbb { I } [ \tau _ { i } ^ { ( j ) } < { T + 1 } ] \mathbb { I } [ \sigma _ { j i } = 2 ] \prod _ { k \in \partial i \setminus j } \mu _ { k \to \Psi _ { i } } ^ { \prime } ( \sigma _ { k i } = 2 , \tau _ { i } ^ { ( k ) } , c _ { k i } = 1 , t _ { i } ^ { ( k ) } ) } \\ { - } & { \phi ( t _ { i } ^ { ( j ) } ) a ( t _ { i } ^ { ( j ) } - t _ { j } ^ { ( i ) } ) \delta _ { x _ { i } ^ { 0 } , I } \delta _ { \tau _ { i } ^ { ( j ) } , 0 } \prod _ { k \in \partial i \setminus j } \left[ \sum _ { \sigma _ { k i } = 0 } ^ { 2 } \mu _ { k \to \Psi _ { i } } ^ { \prime } ( \sigma _ { k i } , \tau _ { i } ^ { ( k ) } , c _ { k i } = 0 , t _ { i } ^ { ( k ) } ) \right] } \\ { - } & { \phi ( t _ { i } ^ { ( j ) } ) a ( t _ { i } ^ { ( j ) } - t _ { j } ^ { ( i ) } ) \delta _ { x _ { i } ^ { 0 } , S } \mathbb { I } [ \sigma _ { j i } \in \{ 1 , 2 \} ] \prod _ { k \in \partial i \setminus j } \left[ \sum _ { \sigma _ { k i } = 1 } ^ { 2 } \mu _ { k \to \Psi _ { i } } ^ { \prime } ( \sigma _ { k i } , \tau _ { i } ^ { ( k ) } , c _ { k i } = 0 , t _ { i } ^ { ( k ) } ) \right] } \\ { + } & { \left. \phi ( t _ { i } ^ { ( j ) } ) a ( t _ { i } ^ { ( j ) } - t _ { j } ^ { ( i ) } ) \delta _ { x _ { i } ^ { 0 } , S } \mathbb { I } [ \tau _ { i } ^ { ( j ) } < { T + 1 } ] \mathbb { I } [ \sigma _ { j i } = 2 ] \prod _ { k \in \partial i \setminus j } \mu _ { k \to \Psi _ { i } } ^ { \prime } ( \sigma _ { k i } = 2 , \tau _ { i } ^ { ( k ) } , c _ { k i } = 0 , t _ { i } ^ { ( k ) } ) \right) } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { B _ { 1 / 2 } } | f _ { k } ( x , u _ { k } ) \Phi | \, d x } & { \le \int _ { B _ { 1 / 2 } } ( | f _ { + , k } | + | f _ { - , k } | ) | \Phi | \, d x = \int _ { B _ { 1 / 2 } } | F _ { k } | | \Phi | \, d x } \\ & { \le \| F _ { k } \| _ { L ^ { { p ^ { * } } ^ { \prime } } ( B _ { 1 / 2 } ) } \| \Phi \| _ { L ^ { p ^ { * } } ( B _ { 1 / 2 } ) } } \\ & { \le \frac { C ( p , N ) } { k } \| \Phi \| _ { W ^ { 1 , p } ( B _ { 1 / 2 } ) } \to 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { p , q } } & { \leq 1 . 2 \left( 1 + \frac { 2 \sqrt { p q } } { 1 - \sqrt { p q } + \sqrt { ( 1 - p ) ( 1 - q ) } } \right) \left( \sqrt { p } - \sqrt { q } \right) ^ { 2 } } \\ & { \leq 1 . 2 \left( 1 + \frac { 2 p } { 1 - 0 . 1 + 0 . 9 } \right) \frac { ( p - q ) ^ { 2 } } { p } } \\ & { \leq \frac { 4 ( p - q ) ^ { 2 } } { 3 p } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { t } } & { \leq \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \bigg ( 2 4 I L ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 2 } D _ { \ell } + 2 4 I L ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 2 } E _ { \ell } + 2 4 I L ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 2 } F _ { \ell } } \\ & { \qquad + 2 4 I c _ { \omega } ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 4 } \frac { \sigma ^ { 2 } } { b _ { y } } + 4 8 I c _ { \omega } ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 4 } \zeta _ { g } ^ { 2 } + 4 8 I ^ { 2 } L ^ { 2 } \eta ^ { 2 } c _ { \omega } ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 4 } \sum _ { \bar { \ell } = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \ell - 1 } \alpha _ { \bar { \ell } } ^ { 2 } D _ { \bar { \ell } } + 4 8 I ^ { 2 } L ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } c _ { \omega } ^ { 2 } \alpha _ { \ell } ^ { 4 } \sum _ { \bar { \ell } = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \ell - 1 } \alpha _ { \bar { \ell } } ^ { 2 } G _ { \bar { \ell } } \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ell _ { \omega } ^ { r } ( f ) ( D ) } & { \geq \mu ( D ) ^ { - \frac { 1 } { r } } [ \rho _ { \varepsilon } ^ { r } \mu ( B _ { \rho _ { \varepsilon } } ) - M ^ { r } \rho ^ { r } \mu ( B _ { \rho _ { \varepsilon } } \setminus D ) ] ^ { \frac { 1 } { r } } } \\ & { \geq \mu ( B _ { \rho _ { \varepsilon } } ) ^ { - \frac { 1 } { r } } \Big [ \rho _ { \varepsilon } ^ { r } \mu ( B _ { \rho _ { \varepsilon } } ) - M ^ { r } \rho ^ { r } \frac { \mu ( B _ { \rho _ { \varepsilon } } ) } { 2 } \Big ] ^ { \frac { 1 } { r } } } \\ & { \geq \Big ( 1 - \frac { M _ { \varepsilon } ^ { r } } { 2 } \Big ) ^ { \frac { 1 } { r } } \rho _ { \varepsilon } , } \end{array}
\mathbb { E } \! \left[ \mu ( \sqrt { k ^ { Z } - k _ { s , X } ^ { Z } } ) \right] \le 2 \mathbb { E } \! \left[ \mu _ { X } ( \sqrt { k _ { X } ^ { Z } - k _ { s , X } ^ { Z } } ) \right] + 4 \sqrt { \sum _ { i > m } \sigma _ { i } } + \frac { \sqrt { k _ { \operatorname* { m a x } } } } { M } \left( \frac { 8 0 m ^ { 2 } \log ( 1 + 2 M ) } 9 + 6 9 \right) .
{ \footnotesize { \underbrace { x _ { d } x _ { d - 1 } } _ { \substack { \downarrow \, i = { \binom { d } { n - 1 } } } } > \underbrace { x _ { d } x _ { d - 2 } } _ { \substack { \downarrow \, i = { \binom { d } { n - 1 } } - 1 } } > \underbrace { x _ { d - 1 } x _ { d - 2 } } _ { \substack { \downarrow \, i = { \binom { d } { n - 1 } } - 2 } } > \dots > \underbrace { x _ { d } x _ { 2 } } _ { \substack { \downarrow \, i = 2 d - 3 } } > \dots > \underbrace { x _ { 4 } x _ { 2 } } _ { \substack { \downarrow \, i = d + 1 } } > \underbrace { x _ { 3 } x _ { 2 } } _ { \substack { \downarrow \, i = d } } > \underbrace { x _ { d } x _ { 1 } } _ { \substack { \downarrow \, i = d - 1 } } > \dots > \underbrace { x _ { 3 } x _ { 1 } } _ { \substack { \downarrow \, i = 2 } } > \underbrace { x _ { 2 } x _ { 1 } } _ { \substack { \downarrow \, i = 1 } } . } }
\phi ^ { ( n _ { i } , n _ { j } ) } ( x _ { i } , x _ { j } ) = \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \oint _ { \gamma _ { \rho } } \mathrm { d } w \, \frac { \theta ^ { x _ { i } - x _ { j } } \varphi ( w ) ^ { T _ { n _ { i } } - T _ { n _ { j } } } } { w ^ { x _ { i } - x _ { j } - n _ { j } + n _ { i } + 1 } } \prod _ { k = n _ { i } + 1 } ^ { n _ { j } } ( v _ { k } - w ) ^ { - 1 }
\tilde { g } _ { \alpha _ { \operatorname { a d } _ { \{ 1 \} } } } \, \in S _ { n ^ { 2 } } \, : \; \; \; \tilde { g } _ { \alpha _ { \operatorname { a d } _ { \{ 1 \} } } } \, = \, g _ { j } ^ { l } , \; \textrm { w h e r e } \; \; j = \alpha _ { \operatorname { a d } _ { \{ 1 \} } , \, 0 } \; \textrm { a n d } \; l = \alpha _ { \operatorname { a d } _ { \{ 1 \} } , \, 1 }
\begin{array} { r l } { \mathbf { v } _ { 1 } } & { = \frac { \left[ 1 \quad 0 \right] ^ { T } } { \sqrt { 1 ^ { 2 } + 0 ^ { 2 } } } = \left[ 1 \quad 0 \right] ^ { T } , } \\ { \mathbf { v } _ { 2 } } & { = \frac { \left[ - 1 \quad 1 \right] ^ { T } } { \sqrt { 1 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } } = \left[ - 1 / \sqrt { 2 } \quad 1 / \sqrt { 2 } \right] ^ { T } . } \end{array}
x = { \frac { \, { \left| \begin{array} { l l l } { 5 } & { 3 } & { - 2 } \\ { 7 } & { 5 } & { 6 } \\ { 8 } & { 4 } & { 3 } \end{array} \right| } \, } { \, { \left| \begin{array} { l l l } { 1 } & { 3 } & { - 2 } \\ { 3 } & { 5 } & { 6 } \\ { 2 } & { 4 } & { 3 } \end{array} \right| } \, } } , \; \; \; \; y = { \frac { \, { \left| \begin{array} { l l l } { 1 } & { 5 } & { - 2 } \\ { 3 } & { 7 } & { 6 } \\ { 2 } & { 8 } & { 3 } \end{array} \right| } \, } { \, { \left| \begin{array} { l l l } { 1 } & { 3 } & { - 2 } \\ { 3 } & { 5 } & { 6 } \\ { 2 } & { 4 } & { 3 } \end{array} \right| } \, } } , \; \; \; \; z = { \frac { \, { \left| \begin{array} { l l l } { 1 } & { 3 } & { 5 } \\ { 3 } & { 5 } & { 7 } \\ { 2 } & { 4 } & { 8 } \end{array} \right| } \, } { \, { \left| \begin{array} { l l l } { 1 } & { 3 } & { - 2 } \\ { 3 } & { 5 } & { 6 } \\ { 2 } & { 4 } & { 3 } \end{array} \right| } \, } } .
\begin{array} { r l r l } { ( \delta _ { \tau } c _ { h } ^ { n } , \chi _ { h } ) _ { \Omega } + a _ { \mathcal { D } } ( \boldsymbol { \mu } _ { h } ^ { n } , \boldsymbol { \chi } _ { h } ) } & { = 0 , } & & { \forall \boldsymbol { \chi } _ { h } \in \boldsymbol { S } _ { h } , } \\ { ( \Phi _ { + } ^ { \prime } ( c _ { h } ^ { n } ) + \Phi _ { - } ^ { \prime } ( c _ { h } ^ { n - 1 } ) , \phi _ { h } ) _ { \Omega } + \kappa a _ { \mathcal { D } } ( \boldsymbol { c } _ { h } ^ { n } , \boldsymbol { \phi } _ { h } ) } & { = ( \mu _ { h } ^ { n } , \phi _ { h } ) _ { \Omega } , } & & { \forall \boldsymbol { \phi } _ { h } \in \boldsymbol { S } _ { h } . } \end{array}
{ \mathbb { T L } } _ { N _ { 2 } ^ { k - 1 } } ^ { \! { \mathbb Z } _ { ( p ) } } \subseteq { \mathbb { T L } } _ { N _ { 2 } ^ { k - 2 } } ^ { \! { \mathbb Z } _ { ( p ) } } \subseteq \cdots \subseteq { \mathbb { T L } } _ { N _ { 2 } ^ { 0 } } ^ { \! { \mathbb Z } _ { ( p ) } } = { \mathbb { T L } } _ { N } ^ { \! { \mathbb Z } _ { ( p ) } } = { \mathbb { T L } } _ { n } ^ { \! { \mathbb Z } _ { ( p ) } }
a _ { i n } ^ { ( r ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { \Gamma ( 2 - \alpha ) } , } & { i = n = 0 , } \\ { 0 , } & { n = 0 , \; 0 < i \leq N , } \\ { 0 , } & { i = n > 0 , } \\ { \frac { 1 } { \Gamma ( 2 - \alpha ) } \left[ \left( 1 - \left( \frac { i } { n } \right) ^ { - \frac { 1 } { B } } \right) ^ { 1 - \alpha } - \left( 1 - \left( \frac { i - 1 } { n } \right) ^ { - \frac { 1 } { B } } \right) ^ { 1 - \alpha } \right] , } & { n < i \leq N , \; n > 0 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { C _ { T } = } & { C _ { ( { R _ { t b 1 } ^ { 2 } } ) } M _ { t b } ^ { - \frac { 2 } { d } } + \mathcal { Q } _ { M _ { t b } } ^ { D } ( R _ { t b 1 } ^ { 2 } ) + C _ { ( { R _ { t b 2 } ^ { 2 } } ) } M _ { t b } ^ { - \frac { 2 } { d } } + \mathcal { Q } _ { M _ { t b } } ^ { D } ( R _ { t b 2 } ^ { 2 } ) + C _ { ( | \nabla R _ { t b 1 } | ^ { 2 } ) } M _ { t b } ^ { - \frac { 2 } { d } } + \mathcal { Q } _ { M _ { t b } } ^ { D } ( | \nabla R _ { t b 1 } | ^ { 2 } ) } \\ & { + C _ { ( { R _ { i n t 1 } ^ { 2 } } ) } M _ { i n t } ^ { - \frac { 2 } { d + 1 } } + \mathcal { Q } _ { M _ { i n t } } ^ { \Omega } ( R _ { i n t 1 } ^ { 2 } ) + C _ { ( R _ { i n t 2 } ^ { 2 } ) } M _ { i n t } ^ { - \frac { 2 } { d + 1 } } + \mathcal { Q } _ { M _ { i n t } } ^ { \Omega } ( R _ { i n t 2 } ^ { 2 } ) + C _ { ( | \nabla R _ { i n t 1 } | ^ { 2 } ) } M _ { i n t } ^ { - \frac { 2 } { d + 1 } } } \\ & { + \mathcal { Q } _ { M _ { i n t } } ^ { \Omega } ( | \nabla R _ { i n t 1 } | ^ { 2 } ) + C _ { ( { R _ { s b 1 } ^ { 2 } } ) } M _ { s b } ^ { - \frac { 2 } { d } } + \mathcal { Q } _ { M _ { s b } } ^ { \Omega _ { * } } ( R _ { s b 1 } ^ { 2 } ) + C _ { ( { R _ { s b 2 } ^ { 2 } } ) } M _ { s b } ^ { - \frac { 2 } { d } } + \mathcal { Q } _ { M _ { s b } } ^ { \Omega _ { * } } ( R _ { s b 2 } ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { v ( T n / N , \mathbf u ) } & { \approx \sum _ { m = 0 } ^ { n } \binom n m ( 1 - \lambda ) ^ { n - m } \lambda ^ { m } v ( 0 , ( A _ { M } ^ { s i g } ) ^ { \circ m } ( \mathbf u ) ) } \\ & { = \sum _ { m = 0 } ^ { n } \binom n m ( 1 - \lambda ) ^ { n - m } \lambda ^ { m } \exp ( ( A _ { M } ^ { s i g } ) ^ { \circ m } ( \mathbf u ) _ { \emptyset } ) , } \end{array}
y ^ { w _ { r x } } ( \tau , \nu ) \, = \, w _ { r x } ( \tau , \nu ) \, \star \, \left[ G _ { _ { \mathrm { \footnotesize { d d } } } } ^ { * } ( \tau , \nu ) \cdot \left( h _ { _ { \mathrm { \scriptsize { p h y } } } } ( \tau , \nu ) * _ { \sigma } \left\{ G _ { _ { \mathrm { \footnotesize { d d } } } } ( \tau , \nu ) \cdot \left[ w _ { t x } ( \tau , \nu ) \star x ( \tau , \nu ) \right] \, \right\} \right) \right]
\begin{array} { r l r } & { } & { i q _ { \rho } { M ^ { \pm } } _ { 5 , a } ^ { \rho \mu \nu } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , m _ { 1 } , m _ { 2 } ) = } \\ & { } & { - N _ { c } \frac { e _ { 1 } g _ { W } V _ { 1 2 } } { 2 \sqrt { 2 } } 4 ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) \epsilon _ { \quad \rho \sigma } ^ { \mu \nu } \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { ( m _ { 2 } - m _ { 1 } ) k _ { 1 } ^ { \rho } p ^ { \sigma } + m _ { 1 } k _ { 1 } ^ { \rho } k _ { 2 } ^ { \sigma } } { [ p ^ { 2 } - m _ { 1 } ^ { 2 } ] [ ( p + k _ { 1 } ) ^ { 2 } - m _ { 1 } ^ { 2 } ] [ ( p - k _ { 2 } ) ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } ] } } \\ & { } & { - N _ { c } \frac { e _ { 2 } g _ { W } V _ { 1 2 } } { 2 \sqrt { 2 } } 4 ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) \epsilon _ { \quad \rho \sigma } ^ { \mu \nu } \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { ( m _ { 2 } - m _ { 1 } ) k _ { 1 } ^ { \rho } p ^ { \sigma } + m _ { 2 } k _ { 1 } ^ { \rho } k _ { 2 } ^ { \sigma } } { [ p ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } ] [ ( p + k _ { 2 } ) ^ { 2 } - m _ { 1 } ^ { 2 } ] [ ( p - k _ { 1 } ) ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } ] } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { M a } ^ { 2 } [ b , k ] \, = \, \, 2 5 6 \, k ^ { 2 } \, \sinh ^ { 2 } [ k ] \, \times \, \qquad } \\ { \times \, \left( b ^ { 2 } \sinh [ k ] + 2 b \, k \cosh [ k ] + k ^ { 2 } \sinh [ k ] \right) } \\ { \, \big \{ 8 k ^ { 3 } \cosh [ k ] - ( 3 + 1 2 k ^ { 2 } + 4 k ^ { 4 } ) \sinh [ k ] } \\ { + \, \sinh [ 3 k ] \big \} ^ { - 1 } \ . \qquad } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { C _ { t } } { \alpha _ { t - 1 } } - \frac { C _ { t - 1 } } { \alpha _ { t - 2 } } } & { \leq - \frac { 1 4 4 L ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } } { b M \mu ^ { 2 } } C _ { t - 1 } + \frac { 2 c _ { \omega } ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 3 } \sigma ^ { 2 } } { b M } + \frac { 4 L ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } } { b M } ( D _ { t - 1 } + E _ { t - 1 } ) + \frac { 2 L ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } } { b M } \alpha _ { t - 1 } F _ { t - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } \; { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \theta ^ { 2 } } } + 2 \gamma + \left( \gamma \, r + { \frac { 2 } { r } } \right) \, { \frac { \partial } { \partial r } } \right] \, { \mathcal R } _ { 1 } + E \; { \mathcal R } _ { 1 } = { \frac { 2 } { r } } \, { \frac { \partial ( r \, J _ { 0 } ) } { \partial r } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { S ( t ) = } & { e ^ { - \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t ^ { \prime } k _ { \mathrm { f } } ( t ^ { \prime } ) } } \\ { = } & { e ^ { - \frac { k _ { \mathrm { f } } ^ { 0 } } { n _ { \mathrm { e f f } } \, \lambda } \, \ln \left( \frac { ( V _ { \mathrm { b } } \, e ^ { \lambda \, t } ) ^ { n _ { \mathrm { e f f } } } + v ^ { \ast \, n _ { \mathrm { e f f } } } } { V _ { \mathrm { b } } ^ { n _ { \mathrm { e f f } } } + v ^ { \ast \, n _ { \mathrm { e f f } } } } \right) } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l l } { \nu \Delta \mathbf { u } + ( \mathbf { u } \cdot \nabla ) \mathbf { u } + \nabla p } & { = 0 \quad \quad \quad } & { \mathrm { i n } \, \Omega , } \\ { \nabla \cdot \mathbf { u } } & { = 0 \quad \quad \quad } & { \mathrm { i n } \, \Omega , } \\ { \mathbf { u } } & { = \mu \bigl \{ \frac { 1 } { 2 . 2 5 } ( x _ { 1 } - 2 ) ( 5 - x _ { 1 } ) , 0 \bigr \} \quad \quad \quad } & { \mathrm { o n } \, \Gamma _ { \mathrm { i n } } , } \\ { \mathbf { u } } & { = 0 \quad \quad \quad } & { \mathrm { o n } \, \Gamma _ { \mathrm { w a l l } } , } \\ { \nu \frac { \partial \mathbf { u } } { \partial \mathbf { n } } - p \mathbf { n } } & { = 0 \quad \quad \quad } & { \mathrm { o n } \, \Gamma _ { \mathrm { o u t } } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \| \partial _ { s } v \| _ { L ^ { p } } \leq C \| \partial ^ { \alpha } v \| _ { L ^ { r } } ^ { \gamma } \| v \| _ { L ^ { q } } ^ { 1 - \gamma } , \quad \mathrm { w h e r e } \quad \frac { 1 } { p } - \frac { s } { n } = \left( \frac { 1 } { r } - \frac { m } { n } \right) \gamma + \frac { 1 } { q } ( 1 - \gamma ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } } & { : = \mathrm { \sc ~ S h o r } \cap \mathrm { \sc ~ R L T } \cap \mathrm { \sc ~ S O C R L T } } \\ & { : = \left\{ W \in \mathcal { P S D } ^ { n + 2 } : \begin{array} { l } { J _ { n + 2 } \bullet P ^ { T } W P \ge 0 } \\ { \ell _ { i } ^ { T } W \ell _ { k } \ge 0 \quad \quad \quad \quad \forall \ 1 \le i < k \le m } \\ { P ^ { T } W \ell _ { i } \in \mathcal { S O C } ^ { n + 2 } \, \ \ \forall \ i = 1 , \ldots , m } \end{array} \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { m _ { 0 } } & { = } & { ( 8 0 K _ { 2 } ( K _ { 2 } ( r _ { 1 } - 2 r _ { 2 } ) + 3 r _ { 2 } ) ) ^ { - 1 } ( ( r _ { 1 } ^ { 4 } K _ { 2 } ^ { 4 } ( 4 - 4 5 c _ { 1 } ) ^ { 2 } + 2 r _ { 1 } ^ { 2 } r _ { 2 } ^ { 2 } K _ { 2 } ^ { 2 } ( 4 5 c _ { 1 } ( 4 1 - 8 8 K _ { 2 } + 9 6 K _ { 2 } ^ { 2 } ) } \\ & { } & { + 3 2 K _ { 2 } ( 1 + 8 K _ { 2 } ) - 1 2 4 ) + r _ { 2 } ^ { 4 } ( 3 1 - 8 K _ { 2 } ( 1 + 8 K _ { 2 } ) ) ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } + r _ { 2 } ^ { 2 } ( - 9 6 K _ { 2 } ^ { 2 } + 8 8 K _ { 2 } - 4 1 ) } \\ & { } & { + 8 r _ { 1 } r _ { 2 } K _ { 2 } ( 2 K _ { 2 } - 3 ) - r _ { 1 } ^ { 2 } K _ { 2 } ^ { 2 } ( 4 + 4 5 c _ { 1 } ) ) . } \end{array}
\int \overline { { g } } \frac { \Delta ^ { 2 } } { ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \left| \frac { [ W _ { 0 } , \widetilde { \partial } _ { r } ] \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } } { \operatorname* { m a x } ( | \omega | , | m | , 1 ) } \right| ^ { 2 } \lesssim \int \overline { { g } } \frac { \Delta } { r ^ { 2 } + a ^ { 2 } } | \widetilde { \partial } _ { r } \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } | ^ { 2 } \lesssim \mathcal { S } [ \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } ] .
\begin{array} { r } { \rVert \partial _ { y } d _ { i } X _ { P } ( \bar { i } + \mathfrak { I } _ { t } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] \rVert _ { s _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } \le _ { \mathtt { p e } } \varepsilon ^ { 2 b - 1 } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } , } \end{array}
\mathbf { B } : = ( B _ { i p \b { \alpha } } ) _ { p , i \alpha } = \left( \begin{array} { l l l l } { B _ { 1 1 \o { 1 } } } & { B _ { 1 1 \o { 2 } } } & { \cdots } & { B _ { r 1 \o { n _ { 0 } } } } \\ { B _ { 1 2 \o { 1 } } } & { B _ { 1 1 \o { 2 } } } & { \cdots } & { B _ { r 2 \o { n _ { 0 } } } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { B _ { 1 N _ { 2 } \o { 1 } } } & { B _ { 1 N _ { 2 } \o { 2 } } } & { \cdots } & { B _ { r N _ { 2 } \o { n _ { 0 } } } } \end{array} \right) _ { N _ { 2 } \times r n _ { 0 } }
\begin{array} { r l } { A _ { 2 } ( t ) B _ { 2 } ( x t ) } & { = A _ { 2 } ( t ) \theta _ { t } B _ { 1 } ( x t ) = A _ { 2 } ( t ) \theta _ { t } \left( { \frac { 1 } { A _ { 1 } ( t ) } } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } P _ { m } ( x ) { \frac { t ^ { m } } { m ! } } \right) } \\ & { = \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } A _ { 2 } ( t ) \theta _ { t } \left( { \frac { t ^ { m } } { A _ { 1 } ( t ) } } \right) { \frac { P _ { m } ( x ) } { m ! } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left| { \mathbb { E } } \{ ( \Gamma _ { j } U _ { i } ) ^ { 2 } ( \| \Gamma U _ { i } \| ^ { - 2 } - p ^ { - 1 } ) \} \right| } \\ & { \leq } & { p ^ { - 1 } { \mathbb { E } } \{ ( \Gamma _ { j } U _ { i } ) ^ { 2 } \| \Gamma U _ { i } \| ^ { - 2 } | \| \Gamma _ { j } U _ { i } \| ^ { 2 } - p | \} } \\ & { = } & { p ^ { - 1 } { \mathbb { E } } \{ ( \Gamma _ { j } U _ { i } ) ^ { 2 } \| \Gamma U _ { i } \| ^ { - 2 } | \| \Gamma _ { j } U _ { i } \| ^ { 2 } - p | { \mathbb { I } } ( \mathcal { A } _ { 2 i } ) \} } \\ & { } & { + p ^ { - 1 } { \mathbb { E } } \{ ( \Gamma _ { j } U _ { i } ) ^ { 2 } \| \Gamma U _ { i } \| ^ { - 2 } | \| \Gamma _ { j } U _ { i } \| ^ { 2 } - p | { \mathbb { I } } ( \mathcal { A } _ { 2 i } ^ { c } ) \} } \\ & { \leq } & { p ^ { - 1 } \{ ( 1 - \epsilon ) \mathrm { t r } ( \Omega ) \} ^ { - 1 } { \mathbb { E } } \{ ( \Gamma _ { j } U _ { i } ) ^ { 2 } | \| \Gamma _ { j } U _ { i } \| ^ { 2 } - p | \} + p ^ { - 1 } { \mathbb { E } } \{ \| \Gamma _ { j } U _ { i } \| ^ { 2 } - p | { \mathbb { I } } ( \mathcal { A } _ { 2 i } ^ { c } ) \} } \\ & { \leq } & { p ^ { - 2 } ( 1 - \epsilon ) ^ { - 1 } [ { \mathbb { E } } \{ ( \Gamma _ { j } U _ { i } ) ^ { 4 } \} ] ^ { 1 / 2 } \{ { \mathbb { E } } ( | \| \Gamma _ { j } U _ { i } \| ^ { 2 } - p | ^ { 2 } ) \} ^ { 1 / 2 } } \\ & { } & { + p ^ { - 1 } \{ { \mathbb { E } } ( | \| \Gamma _ { j } U _ { i } \| ^ { 2 } - p | ^ { 2 } ) \} ^ { 1 / 2 } \{ { \mathbb { P } } ( \mathcal { A } _ { 2 i } ^ { c } ) \} ^ { 1 / 2 } } \\ & { \lesssim } & { p ^ { - 2 } \times p ^ { 1 - \delta / 2 } + p ^ { - 1 } \times p ^ { 1 - \delta / 2 } \times c _ { 1 } ^ { 1 / 2 } \exp \{ - c _ { 2 } p ^ { \delta \alpha / ( 4 \alpha + 4 ) } / 2 \} } \\ & { \lesssim } & { p ^ { - 1 - \delta / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - ( p + 3 ) \| \mathbb { L } _ { \vec { c } } ^ { \frac 1 2 } u \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb { R } ^ { n } } ) } ^ { 2 } + ( p - 1 ) \| u \| _ { { H ^ { 1 } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } ^ { 2 } } & { \geq - ( p + 3 ) | \vec { c } | ^ { 2 } \| u \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb { R } ^ { n } } ) } ^ { 2 } + ( p - 1 ) \| u \| _ { { H ^ { 1 } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } ^ { 2 } } \\ & { = ( ( p - 1 ) - | \vec { c } | ^ { 2 } ( p + 3 ) ) \| u \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb { R } ^ { n } } ) } ^ { 2 } + ( p - 1 ) \| \nabla u \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb { R } ^ { n } } ) } ^ { 2 } } \\ & { \geq ( ( p - 1 ) - | \vec { c } | ^ { 2 } ( p + 3 ) ) ( \| u \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb { R } ^ { n } } ) } ^ { 2 } - \| \mathbb { L } _ { \vec { c } } ^ { \frac 1 2 } u \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb { R } ^ { n } } ) } ^ { 2 } ) } \\ & { \qquad + ( p - 1 ) \| \nabla u \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb { R } ^ { n } } ) } ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 2 ( p - 1 ) ( \alpha ( p + 1 ) - n \beta ) } { \alpha ( p - 1 ) - 2 \beta } \tilde { \Psi } ( u ) . } \end{array}
\Lambda ( n ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { \log p } & { { \mathrm { i f ~ } } n = 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 8 , 9 , 1 1 , 1 3 , 1 6 , \ldots = p ^ { k } { \mathrm { ~ i s ~ a ~ p r i m e ~ p o w e r } } } \\ { 0 } & { { \mathrm { i f ~ } } n = 1 , 6 , 1 0 , 1 2 , 1 4 , 1 5 , 1 8 , 2 0 , 2 1 , \dots \; \; \; \; { \mathrm { ~ i s ~ n o t ~ a ~ p r i m e ~ p o w e r } } . } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \mathcal A _ { 1 } } & { = \left\{ T _ { 1 } + T _ { 2 } + T _ { 3 } \leq n _ { * } , \, | \delta T _ { j } - 2 R | \leq \eta R \mathrm { ~ f o r ~ } j = 2 , 3 \right\} } \\ { \mathcal A _ { 2 } } & { = \{ \delta ( T _ { 4 } - 1 ) > 2 \eta R , \mathrm { ~ n o ~ b o u n c e ~ i n ~ t h e ~ n _ * ~ f i r s t ~ s t e p s } \} \, . } \end{array}
\sqrt { n } \left[ \begin{array} { l } { \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } - \boldsymbol { \theta } _ { 0 } } \\ { \boldsymbol { \lambda } _ { n , \beta } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) } \end{array} \right] \underset { n \rightarrow \infty } { \overset { \mathcal { L } } { \longrightarrow } } \mathcal { N } \left( \boldsymbol { 0 } _ { p } , \left[ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { P } _ { \beta } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) } & { \boldsymbol { R } _ { \beta } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) } \\ { \boldsymbol { R } _ { \beta } ^ { T } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) } & { \boldsymbol { Q } _ { \beta } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) } \end{array} \right] \right) ,
{ \begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 } ^ { n } ( X _ { t _ { k } } - X _ { t _ { k - 1 } } ) ^ { 2 } } & { \leq \operatorname* { m a x } _ { k \leq n } | X _ { t _ { k } } - X _ { t _ { k - 1 } } | \sum _ { k = 1 } ^ { n } | X _ { t _ { k } } - X _ { t _ { k - 1 } } | } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { | u - v | \leq \Vert P \Vert } | X _ { u } - X _ { v } | V _ { t } ( X ) . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } [ ( D _ { \mathfrak { F } } ^ { \alpha } ) ^ { n } f ( \theta ) ] } & { = \int _ { D ( 0 , \infty ) } ( D _ { \mathfrak { F } } ^ { \alpha } ) ^ { n } f ( \theta ) J ( \theta ) ^ { J ( s ) - 1 } d _ { \mathfrak { F } } ^ { \alpha } \theta } \\ & { = [ ( D _ { \mathfrak { F } } ^ { \alpha } ) ^ { n - 1 } f ( \theta ) J ( \theta ) ^ { J ( s ) - 1 } \bigg | _ { 0 } ^ { \infty } - ( J ( s ) - 1 ) \int _ { D ( 0 , \infty ) } D _ { \mathfrak { F } } ^ { \alpha } ) ^ { n - 1 } f ( \theta ) J ( \theta ) ^ { J ( s ) - 2 } d _ { \mathfrak { F } } ^ { \alpha } \theta } \\ & { = [ ( D _ { \mathfrak { F } } ^ { \alpha } ) ^ { n - 1 } f ( \theta ) J ( \theta ) ^ { J ( s ) - 1 } \bigg | _ { 0 } ^ { \infty } - ( J ( s ) - 1 ) \mathcal { M } [ ( D _ { \mathfrak { F } } ^ { \alpha } ) ^ { n - 1 } f ( \theta ) ] } \\ & { = . . . } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } ( - 1 ) ^ { k } \frac { \Gamma ( J ( s ) ) } { \Gamma ( J ( s ) - k ) } [ D _ { \mathfrak { F } } ^ { \alpha } ) ^ { n - k - 1 } f ( \theta ) J ( \theta ) ^ { J ( s ) - k - 1 } \bigg | _ { 0 } ^ { \infty } + ( - 1 ) ^ { n } \frac { \Gamma ( J ( s ) ) } { \Gamma ( J ( s ) - k ) } M ( J ( s ) - n ) } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \frac { \Gamma ( 1 - J ( s ) + k ) } { \Gamma ( 1 - J ( s ) ) } [ D _ { \mathfrak { F } } ^ { \alpha } ) ^ { n - k - 1 } f ( \theta ) J ( \theta ) ^ { J ( s ) - k - 1 } \bigg | _ { 0 } ^ { \infty } + \frac { \Gamma ( 1 - J ( s ) + n ) } { \Gamma ( 1 - J ( s ) ) } M ( J ( s ) - n ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathscr { L } ( \frac { d u } { d t } ) } & { = } & { s u _ { L } - u ( 0 ) , } \\ { \mathscr { L } ( \frac { d ^ { 2 } u } { d t ^ { 2 } } ) } & { = } & { s ^ { 2 } u _ { L } - s u ( 0 ) - \frac { d u } { d t } ( 0 ) , } \\ { \int _ { 0 } ^ { t } u ( \tau ) \, d \tau } & { = } & { \mathscr { L } ^ { - 1 } ( s ^ { - 1 } u _ { L } ( s ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ( z _ { 1 } } & { , \dots , z _ { N } , t ; z _ { 1 } ^ { \prime } , \dots , z _ { N } ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) } \\ & { = \sum _ { l \in \pi _ { 1 } ( \Omega ) } e ^ { i \alpha _ { l } } \int d \lambda _ { l } e ^ { i S [ \lambda _ { l } ( z _ { 1 } , \dots , z _ { N } , t ; z _ { 1 } ^ { \prime } , \dots , z _ { N } ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) ] / \hbar } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } & { \Bar { \Phi } ^ { ( r ) } \colon S _ { \mathbb { K } } ^ { r + 1 } \mathfrak { g } \xrightarrow { \Phi _ { r } } \mathfrak { X } _ { - r } ( E ) [ 1 ] } \\ & { \Bar { \Psi } ^ { ( r ) } \colon S _ { \mathbb { K } } ^ { r + 1 } \mathfrak { g } \xrightarrow { \Psi _ { r } } \mathfrak { X } _ { - r } ( E ) [ 1 ] } \end{array} \right. , \; \mathrm { f o r ~ r \geq ~ 0 ~ . }
{ \begin{array} { r l } { 1 - F _ { 2 } ( x ) } & { = { \frac { 1 } { 3 2 \pi x ^ { 3 / 2 } } } e ^ { - 4 x ^ { 3 / 2 } / 3 } ( 1 + O ( x ^ { - 3 / 2 } ) ) , } \\ { F _ { 2 } ( - x ) } & { = { \frac { 2 ^ { 1 / 2 4 } e ^ { \zeta ^ { \prime } ( - 1 ) } } { x ^ { 1 / 8 } } } e ^ { - x ^ { 3 } / 1 2 } { \biggl ( } 1 + { \frac { 3 } { 2 ^ { 6 } x ^ { 3 } } } + O ( x ^ { - 6 } ) { \biggr ) } . } \end{array} }
\begin{array} { r } { { { \sigma _ { p } } } ( 2 \beta _ { 2 } \partial _ { t } ^ { 2 } w _ { 0 } ) ( q , \zeta ) = ( 2 \pi ) ^ { - 2 } ( \zeta _ { 0 } ) ^ { 2 } ( 2 \beta _ { 2 } ^ { 2 } \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( j ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( k ) } ) ^ { 2 } } { | \zeta ^ { ( j ) } + \zeta ^ { ( k ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } ) \prod _ { m = i , j , k } { { \sigma _ { p } } } ( v _ { m } ) ( q , \zeta ^ { ( m ) } ) . } \end{array}
\mathcal { L } _ { \pm } ^ { * } \left( \tilde { \gamma } _ { 2 } , \tilde { \psi } _ { 1 } , \tilde { \gamma } _ { 3 } , \tilde { \ell } _ { 3 } , \tilde { \Gamma } _ { 2 } , \tilde { \Psi } _ { 1 } , \tilde { \Gamma } _ { 3 } , \tilde { L } _ { 3 } \right) = \mathcal { L } \left( \tilde { \gamma } _ { 2 } - \omega _ { 0 } \, \tau _ { \pm } ^ { * } , \tilde { \psi } _ { 1 } - \omega _ { 1 } \, \tau _ { \pm } ^ { * } , \tilde { \gamma } _ { 3 } - \omega _ { 2 } \, \tau _ { \pm } ^ { * } , \tilde { \ell } _ { 3 } - \omega _ { 3 } \, \tau _ { \pm } ^ { * } , \tilde { \Gamma } _ { 2 } , \tilde { \Psi } _ { 1 } , \tilde { \Gamma } _ { 3 } , \tilde { L } _ { 3 } \right) .
E _ { ( s _ { h } ^ { k } , a _ { h } ^ { k } ) \sim w _ { h k } ^ { B } } [ 1 ] = \sum _ { s _ { 2 } ^ { k } \in \mathcal { S } } \cdots \sum _ { s _ { h } ^ { k } \in \mathcal { S } } P _ { 1 } ( s _ { 2 } ^ { k } \vert s _ { 1 } ^ { k } , a _ { 1 } ^ { k } ) \cdots P _ { h - 1 } ( s _ { h } ^ { k } \vert s _ { h - 1 } ^ { k } , a _ { h - 1 } ^ { k } ) \Lambda _ { 2 } ^ { k } ( s _ { 2 } ^ { k } ) \cdots \Lambda _ { h } ^ { k } ( s _ { h } ^ { k } ) = 1 ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { D } _ { N } ^ { \Phi , \alpha } f ( 0 ) } & { = \sum _ { m \in A } \left( 1 + | m | ^ { 2 } \right) ^ { - \frac { \delta } { 2 } } \left( \sum _ { n = - \infty } ^ { + \infty } \Phi ( N , n ) e ^ { 2 \pi i n m \cdot \alpha } \right) } \\ & { \geq H \sum _ { m \in A } \left( 1 + | m | ^ { 2 } \right) ^ { - \frac { \delta } { 2 } } \left( 1 + N \| m \cdot \alpha \| \right) ^ { - \vartheta } } \\ & { \geq H \sum _ { m \in A } \left( 1 + | m | ^ { 2 } \right) ^ { - \frac { \delta } { 2 } } \left( 1 + N L | m | ^ { - \sigma } \right) ^ { - \vartheta } } \\ & { \geq 2 ^ { - \vartheta - \frac { \delta } { 2 } } H L ^ { - \vartheta } N ^ { - \vartheta } \sum _ { m \in A , \, | m | \leq ( N L ) ^ { \frac { 1 } { \sigma } } } | m | ^ { - \delta - \vartheta \sigma } . } \end{array}
\tilde { \boldsymbol { \mathcal { H } } } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } = \partial _ { \mathbf { q } \mathbf { q } } ^ { 2 } \tilde { \mathcal { E } } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \partial _ { \mathbf { q } \mathbf { q } } ^ { 2 } \mathcal { E } \left( \tilde { \boldsymbol { \psi } } ( s ) \right) d s = : \left( \partial _ { \mathbf { p } \mathbf { p } } ^ { 2 } \tilde { L } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } \right) ^ { - 1 } ,
\begin{array} { r l } { \lVert d L _ { i , r } ( \mathfrak { g } , \xi ) \rVert } & { = \frac { 1 } { 2 } \rho \lVert \overline { { W } } _ { i , r } ^ { a c } \rVert ^ { 2 } C _ { L } ( \alpha _ { i , r } ) c _ { i } ( r ) d r , } \\ { \lVert d D _ { i , r } ( \mathfrak { g } , \xi ) \rVert } & { = \frac { 1 } { 2 } \rho \lVert \overline { { W } } _ { i , r } ^ { a c } \rVert ^ { 2 } C _ { D } ( \alpha _ { i , r } ) c _ { i } ( r ) d r , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { u ( r ) } & { = { \frac { G } { 4 \mu } } \left( R _ { 1 } ^ { 2 } - r ^ { 2 } \right) + { \frac { G } { 4 \mu } } \left( R _ { 2 } ^ { 2 } - R _ { 1 } ^ { 2 } \right) { \frac { \ln r / R _ { 1 } } { \ln R _ { 2 } / R _ { 1 } } } , } \\ { Q } & { = { \frac { G \pi } { 8 \mu } } \left[ R _ { 2 } ^ { 4 } - R _ { 1 } ^ { 4 } - { \frac { \left( R _ { 2 } ^ { 2 } - R _ { 1 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } { \ln R _ { 2 } / R _ { 1 } } } \right] . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \| X _ { d } ( t , h _ { 1 } ) - X _ { d } ( u , h _ { 1 } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } & { - \| X _ { d } ( u , h _ { 1 } ) - X _ { d } ( u , h _ { 2 } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \leq } \\ { \| X _ { d } ( t , h _ { 1 } ) } & { - X _ { d } ( u , h _ { 2 } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } \\ { \leq \| X _ { d } ( t , h _ { 1 } ) - X _ { d } ( u , h _ { 1 } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } & { + \| X _ { d } ( u , h _ { 1 } ) - X _ { d } ( u , h _ { 2 } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| \frac { 1 } { | F _ { n } | ^ { 2 } + | G _ { n } | ^ { 2 } } \right\| _ { A } } & { \leqslant \frac { 1 } { \| | F _ { n } | ^ { 2 } + | G _ { n } | ^ { 2 } \| _ { A } } \cdot \psi \Big ( { \| | F _ { n } | ^ { 2 } + | G _ { n } | ^ { 2 } \| _ { A } \cdot \big \| \big ( | F _ { n } | ^ { 2 } + | G _ { n } | ^ { 2 } \big ) ^ { - 1 } \big \| _ { \infty } } \Big ) } \\ & { \leqslant \frac { 2 C } { { \gamma } ^ { 2 } } \cdot \psi \bigg ( { 2 K ^ { 2 } \cdot \frac { 2 } { \gamma ^ { 2 } } } \bigg ) = \widehat { T } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { \mathrm { S } , i } } & { ( \theta _ { \mathrm { S } } , \phi _ { \mathrm { S } } ) = \frac { \alpha _ { \mathrm { S } , i } } { 4 \pi \mathrm { s i n h } ( \alpha _ { \mathrm { S } , i } ) } \times } \\ & { e ^ { \alpha _ { \mathrm { S } , i } ( \sin \theta _ { \mathrm { S } } \sin \bar { \theta } _ { \mathrm { S } , i } \cos ( \phi _ { \mathrm { S } } - \bar { \phi } _ { \mathrm { S } , i } ) + \cos \theta _ { \mathrm { S } } \cos \bar { \theta } _ { \mathrm { S } , i } ) } , } \end{array}
g ( m ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \operatorname* { m a x } \left\{ g \left( \left\lfloor \frac { m } { 2 } \right\rfloor \right) , g \left( \left\lceil \frac { m } { 2 } \right\rceil \right) \right\} + O ( m \delta \log \tilde { n } ) } & { m > \lfloor \log _ { 2 } \tilde { n } \rfloor ^ { 2 } } \\ { \operatorname* { m a x } \left\{ g ( 1 ) , g ( m - 1 ) \right\} + O ( m \delta \log \tilde { n } ) } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } \cap B _ { 3 } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 \leq x \leq \frac { \sigma ^ { 2 m } r } { 2 } \qquad \textrm { i f } z > \frac { \sigma ^ { 2 m - 1 } r } { 2 } } \\ { \left( \frac { \sigma ^ { 2 m } r } { 2 } - \sigma z \right) \left( 1 - \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 ( m - 1 ) } r } \right) ^ { - 1 } < x \leq \frac { \sigma ^ { 2 m } r } { 2 } \qquad \textrm { i f } \frac { \sigma } { 2 } \leq z \leq \frac { \sigma ^ { 2 m - 1 } r } { 2 } } \end{array} \right. , } \\ { A _ { 1 } \cap B _ { 4 } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 \leq x \leq \frac { \sigma ^ { 2 m } r } { 2 } \qquad \textrm { i f } z < \frac { \sigma } { 2 } - \sigma ^ { 2 m - 1 } r } \\ { 0 \leq x < \left( \frac { \sigma ^ { 2 m } r } { 2 } - \sigma z \right) \left( 1 - \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 ( m - 1 ) } r } \right) ^ { - 1 } \qquad \textrm { i f } \frac { \sigma } { 2 } - \sigma ^ { 2 m - 1 } r \leq z \leq - \frac { \sigma ^ { 2 m - 1 } r } { 2 } } \end{array} \right. ; } \end{array}
\mathcal F ( x , u ) = \left( \begin{array} { l } { \beta ( 1 - \alpha ) u _ { 3 } ( ( 1 - \alpha ) u _ { 1 } + u _ { 2 } ) } \\ { \beta u _ { 4 } ( ( 1 - \alpha ) u _ { 1 } + u _ { 2 } ) } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) = : \left( \begin{array} { l } { \mathcal F _ { 1 } ( x , u ) } \\ { \mathcal F _ { 2 } ( x , u ) } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { U _ { A } ^ { \mathrm { R S H - D F T B } } } & { = \frac { 5 } { 1 6 } \tau _ { A } \left[ 1 - \frac { 1 } { 2 ( 2 l + 1 ) } \left\{ \alpha + \beta \left( 1 - \frac { \tau _ { A } ^ { 8 } + 3 \tau _ { A } ^ { 6 } \omega ^ { 2 } - \tau _ { A } ^ { 4 } \omega ^ { 4 } + \frac { 1 } { 5 } \omega ^ { 6 } \tau _ { A } ^ { 2 } - \frac { 1 6 } { 5 } \tau _ { A } ^ { 7 } \omega } { ( \tau _ { A } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ) ^ { 4 } } \right) \right\} \right] , } \end{array}
{ \widehat { \sigma _ { { \bar { x } } _ { w } } ^ { 2 } } } = { \frac { n } { ( n - 1 ) ( n { \bar { w } } ) ^ { 2 } } } \left[ \sum ( w _ { i } x _ { i } - { \bar { w } } { \bar { x } } _ { w } ) ^ { 2 } - 2 { \bar { x } } _ { w } \sum ( w _ { i } - { \bar { w } } ) ( w _ { i } x _ { i } - { \bar { w } } { \bar { x } } _ { w } ) + { \bar { x } } _ { w } ^ { 2 } \sum ( w _ { i } - { \bar { w } } ) ^ { 2 } \right]
\begin{array} { r l } { u _ { Ḋ k + 1 Ḍ _ { i } } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 2 } ( r _ { k _ { i } } + \bar { r } _ { k _ { i } } + \alpha g _ { 1 i } ) , } & { \mathrm { i f } ~ \bar { r } _ { k _ { i } } - r _ { k _ { i } } + \alpha g _ { 1 i } < 0 \wedge i \in I _ { 1 k } \setminus I _ { 3 k } , } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( r _ { k _ { i } } - \bar { r } _ { k _ { i } } - \alpha g _ { 2 i } ) , } & { \mathrm { i f } ~ \bar { r } _ { k _ { i } } + r _ { k _ { i } } + \alpha g _ { 2 i } < 0 \wedge i \in I _ { 2 k } \setminus I _ { 3 k } , } \\ { r _ { k _ { i } } , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right. } \\ { \bar { u } _ { Ḋ k + 1 Ḍ _ { i } } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 2 } ( r _ { k _ { i } } + \bar { r } _ { k _ { i } } - \alpha g _ { 1 i } ) , } & { \mathrm { i f } ~ \bar { r } _ { k _ { i } } - r _ { k _ { i } } + \alpha g _ { 1 i } < 0 \wedge i \in I _ { 1 k } \setminus I _ { 3 k } , } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( - r _ { k _ { i } } + \bar { r } _ { k _ { i } } - \alpha g _ { 2 i } ) , } & { \mathrm { i f } ~ \bar { r } _ { k _ { i } } + r _ { k _ { i } } + \alpha g _ { 2 i } < 0 \wedge i \in I _ { 2 k } \setminus I _ { 3 k } , } \\ { - \alpha g _ { 3 i } , } & { \mathrm { i f } ~ \bar { r } _ { k i } + \alpha g _ { 3 i } < 0 \wedge i \in I _ { 3 k } } \\ { \bar { r } _ { k _ { i } } , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { \alpha , \beta , \gamma } } & { : = c _ { 0 } + \gamma \left( x _ { 6 } p _ { 3 } + c _ { 3 } \right) + \beta c _ { 2 } + \alpha c _ { 1 } , } \\ { q _ { \alpha , \beta } } & { : = q _ { 0 } + \beta ( x _ { 3 } x _ { 7 } + q _ { 2 } ) + \alpha q _ { 1 } , } \\ { f _ { \alpha , \beta } } & { : = x _ { 6 } ^ { 3 } + \beta f _ { 2 } + \alpha f _ { 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \rho } ( t + \Delta t ) } & { = \left( 1 - \sum _ { i } p _ { i } \Delta t \right) \left( \hat { \rho } ( t ) \mathrm { - i } \Delta t [ \hat { H } , \hat { \rho } ( t ) ] \right) + \sum _ { i } p _ { i } \Delta t \, \hat { \tau } _ { i } \otimes \mathrm { t r } _ { i } [ \hat { \rho } ( t ) ] + \mathcal { O } ( \Delta t ^ { 2 } ) } \\ & { = \hat { \rho } ( t ) \mathrm { - i } \Delta t [ \hat { H } , \hat { \rho } ( t ) ] + \sum _ { i } p _ { i } \Delta t \, \left( \hat { \tau } _ { i } \otimes \mathrm { t r } _ { i } [ \hat { \rho } ( t ) ] - \hat { \rho } ( t ) \right) + \mathcal { O } ( \Delta t ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int _ { 0 } ^ { 1 } x _ { z } ^ { 2 } ( z ) d z } & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } c _ { i } c _ { j } \int _ { 0 } ^ { 1 } \phi _ { z } ^ { < i > } ( z ) \phi _ { z } ^ { < j > } ( z ) d z } \\ & { = } & { - \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } c _ { i } c _ { j } \int _ { 0 } ^ { 1 } \phi ^ { < i > } ( z ) \phi _ { z z } ^ { < j > } ( z ) d z . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathrm { v e r s i n } ( \theta ) } & { = \mathrm { c o v e r s i n } \left( \theta + { \frac { \pi } { 2 } } \right) = \mathrm { v e r c o s i n } \left( \theta + \pi \right) = \mathrm { c o v e r c o s i n } \left( \theta + { \frac { 3 \pi } { 2 } } \right) } \\ { \mathrm { h a v e r s i n } ( \theta ) } & { = \mathrm { h a c o v e r s i n } \left( \theta + { \frac { \pi } { 2 } } \right) = \mathrm { h a v e r c o s i n } \left( \theta + \pi \right) = \mathrm { h a c o v e r c o s i n } \left( \theta + { \frac { 3 \pi } { 2 } } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { | S _ { g _ { r } } ( a , b - r - a ) | } & { \le c _ { 3 } a ^ { - 1 / 5 } ( t r ) ^ { 1 1 / 3 0 } + c _ { 4 } a ^ { - 1 1 / 2 0 } ( t r ) ^ { 6 1 / 1 2 0 } } \\ & { \qquad \qquad \qquad + E _ { 4 } \frac { a ^ { 3 / 2 } } { ( t r ) ^ { 1 / 2 } } + E _ { 5 } \frac { ( t r ) ^ { 1 / 3 } } { a ^ { 1 / 3 } } + E _ { 6 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { J } ( a _ { i } ^ { ( s ) } ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { f ( n , s ) + g _ { a } ( n , i ) - s , \qquad } & { s \leq g _ { a } ( n , i ) + 2 n - 1 } \\ { f ( n , s - 1 ) , \qquad } & { s > g _ { a } ( n , i ) + 2 n - 1 } \end{array} \right. } \\ { \mathcal { J } ( b _ { i } ^ { ( s ) } ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { f ( n , s ) + g _ { b } ( n , i ) - s , \qquad } & { s \leq g _ { b } ( n , i ) + 2 n - 1 } \\ { f ( n , s - 1 ) , \qquad } & { s > g _ { b } ( n , i ) + 2 n - 1 ; } \end{array} \right. } \\ { \mathcal { I } ( a _ { i } ^ { ( s ) } ) } & { = \mathcal { I } ( b _ { i } ^ { ( s ) } ) = \mathcal { I } ( a _ { i } ^ { ( s ) } ) = \mathcal { I } ( b _ { i } ^ { ( s ) } ) = 0 ; } \\ { \mathcal { J } ( a _ { i } ^ { ( s ) } ) } & { = \mathcal { J } ( b _ { i } ^ { ( s ) } ) = f ( n , s - 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \operatorname* { s u p } _ { t \in \mathbb { R } ^ { p } } \left| { \mathbb { P } } ^ { * } \left\{ n ^ { - 1 / 2 } \zeta _ { 1 } ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } Z _ { i } ( W _ { i } - \bar { W } _ { n } ) \leq t \right\} - { \mathbb { P } } ( G \leq t ) \right| } \\ & { \lesssim } & { \Delta _ { n } ^ { 1 / 2 } \log ( p ) + \{ n ^ { - 1 } \log ^ { 5 } ( n p ) \} ^ { 1 / 4 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } { \left\lVert { \int _ { s } ^ { t } \hat { X } _ { s , r } ^ { l ; i , j _ { 1 } } \otimes d \hat { X } _ { r } ^ { l ; k , j _ { 1 } } - \int _ { s } ^ { t } \hat { X } _ { s , r } ^ { m ; i , j _ { 1 } } \otimes d \hat { X } _ { r } ^ { m ; k , j _ { 1 } } } \right\rVert } _ { \mathcal { H } ^ { \otimes i } \otimes \mathcal { H } ^ { \otimes k } } ^ { 2 } } \\ & { \preceq \mathbb { E } { \left\lVert { \int _ { s } ^ { t } \hat { X } _ { s , r } ^ { l ; i , j _ { 1 } } - \hat { X } _ { s , r } ^ { m ; i , j _ { 1 } } \otimes d \hat { X } _ { r } ^ { l ; k , j _ { 1 } } } \right\rVert } _ { \mathcal { H } ^ { \otimes i } \otimes \mathcal { H } ^ { \otimes k } } ^ { 2 } + \mathbb { E } { \left\lVert { \int _ { s } ^ { t } \hat { X } _ { s , r } ^ { m ; i , j _ { 1 } } \otimes d ( \hat { X } _ { r } ^ { m ; k , j _ { 1 } } - \hat { X } _ { r } ^ { l ; k , j _ { 1 } } ) } \right\rVert } _ { \mathcal { H } ^ { \otimes i } \otimes \mathcal { H } ^ { \otimes k } } ^ { 2 } } \\ & { = \int _ { s } ^ { t } \int _ { s } ^ { t } \mathbb { E } \langle \hat { X } _ { s , r _ { 1 } } ^ { l ; i , j _ { 1 } } - \hat { X } _ { s , r _ { 1 } } ^ { m ; i , j _ { 1 } } , \hat { X } _ { s , r _ { 2 } } ^ { l ; i , j _ { 1 } } - \hat { X } _ { s , r _ { 2 } } ^ { m ; i , j _ { 1 } } \rangle _ { \mathcal { H } ^ { \otimes i } } d \langle \hat { X } _ { r _ { 1 } } ^ { l ; k , j _ { 1 } } , \hat { X } _ { r _ { 2 } } ^ { l ; k , j _ { 1 } } \rangle _ { \mathcal { H } ^ { \otimes k } } } \\ & { + \int _ { s } ^ { t } \int _ { s } ^ { t } \mathbb { E } \langle \hat { X } _ { s , r _ { 1 } } ^ { m ; i , j _ { 1 } } , \hat { X } _ { s , r _ { 2 } } ^ { m ; i , j _ { 1 } } \rangle _ { \mathcal { H } ^ { \otimes i } } d \langle \hat { X } _ { r _ { 1 } } ^ { m ; k , j _ { 1 } } - \hat { X } _ { r _ { 1 } } ^ { l ; k , j _ { 1 } } , \hat { X } _ { r _ { 2 } } ^ { m ; k , j _ { 1 } } - \hat { X } _ { r _ { 2 } } ^ { l ; k , j _ { 1 } } \rangle _ { \mathcal { H } ^ { \otimes k } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { M : = } & { \frac { \overline { { f } } + { \overline { { \Lambda } } } } { 2 } , { \overline { { f } } } : = \operatorname* { m a x } _ { ( x , y ) \in [ 0 , 1 ] \times [ 0 , 1 ] } | f ( x , y ) | , { { \overline { { \Lambda } } } } : = { \operatorname* { m a x } \left\{ \lambda _ { 0 } , \operatorname* { m a x } _ { ( x , y ) \in \mathcal { D } } | \lambda _ { 0 } - c _ { 1 } ( x ) + c _ { 1 } ( y ) | \right\} } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( R _ { 1 } ^ { * } , R _ { 2 } ^ { * } , D _ { 1 } , D _ { 2 } , \varepsilon ) } & { = \Big \{ ( L _ { 1 } , L _ { 2 } ) : \operatorname* { m i n } \{ L _ { 1 } , L _ { 2 } \} \geq \sqrt { \mathrm { V } ( D _ { 1 } | P _ { X } ) } \mathrm { \mathrm { Q } ^ { - 1 } ( \ v a r e p s i l o n ) \Big \} . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { n = } & { O \left( K ^ { 2 } d \log ( d / \zeta ) \log ^ { 2 a } ( n / \zeta ) + \frac { K ^ { 2 } d T ^ { 1 / 2 } \log ( T / \delta ) \log ^ { a } ( n / ( \alpha \zeta ) ) \sqrt { 8 \operatorname* { m a x } \{ \rho _ { 2 } / \alpha , \rho _ { 3 } / \alpha \} + 1 } } { \varepsilon \hat { \rho } ( \alpha ) } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \mathrm { d } \widetilde \rho _ { n } } { \mathrm { d } \rho _ { n } } = 1 - \eta \left[ 1 + \delta \ell _ { N } \left( \rho _ { n } \right) \right] \qquad \qquad \mathrm { ( F i s h e r - R a o ~ g r a d i e n t ~ u p d a t e ) } } \\ & { \rho _ { n + 1 } = \left[ \mathrm { i d } - \eta \nabla \delta \ell _ { N } \left( \widetilde \rho _ { n } \right) \right] _ { \# } \widetilde \rho _ { n } \qquad \: \: \: \mathrm { ( W a s s e r s t e i n ~ g r a d i e n t ~ u p d a t e ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \bigg | \mathcal { V } ( s ^ { * } ; \theta ) - \mathcal { V } ( s ^ { * } ; \widehat { \theta } _ { \mathrm { M L } , n } ) \bigg | \leq r _ { s ^ { \ast } } C _ { s ^ { * } } \mathbb { E } _ { S } \bigg [ | | \pi _ { A } ( \cdot | S ; \theta ) - \pi _ { A } ( \cdot | S ; \widehat { \theta } _ { \mathrm { M L } , n } ) | | _ { 1 } \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { K } _ { i , \beta } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) } & { = \mathrm { E } [ \boldsymbol { u } _ { i , \boldsymbol { \theta } } ( Y _ { i } ; \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) \boldsymbol { u } _ { i , \boldsymbol { \theta } } ^ { T } ( Y _ { i } ; \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) ] } \\ & { = \left. \frac { \partial } { \partial \boldsymbol { \theta } } \boldsymbol { \eta } _ { i } ^ { T } ( \boldsymbol { \theta } ) \right] _ { \boldsymbol { \theta } = \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } } \boldsymbol { K } _ { \beta } ( \boldsymbol { \eta } _ { i } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) ) \left. \frac { \partial } { \partial \boldsymbol { \theta } ^ { T } } \boldsymbol { \eta } _ { i } ( \boldsymbol { \theta } ) \right] _ { \boldsymbol { \theta } = \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } } , } \end{array}
\partial _ { 2 } F ( x , \phi ( x ) , \phi ^ { \prime } ( x ) , \phi ^ { \prime \prime } ( x ) ) - \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } x } ( \partial _ { 3 } F ( x , \phi ( x ) , \phi ^ { \prime } ( x ) , \phi ^ { \prime \prime } ( x ) ) ) + \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } ( \partial _ { 4 } F ( x , \phi ( x ) , \phi ^ { \prime } ( x ) , \phi ^ { \prime \prime } ( x ) ) ) = 0 .
\begin{array} { r l } & { { \mathbb { E } } [ \left\| { \mathbf { Y } } ^ { k + 1 } - { \mathbf { Y } } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } \vert { \mathcal { F } } ^ { k } ] } \\ { \leq } & { 3 { \mathbb { E } } [ \left\| \gamma _ { y } ( { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } ) ( \widetilde { { \mathbf { Y } } } ^ { k } - \widehat { { \mathbf { Y } } } ^ { k } ) \right\| _ { F } ^ { 2 } \vert { \mathcal { F } } ^ { k } ] + 3 \left\| \gamma _ { y } ( { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } ) \Pi _ { C } { \mathbf { Y } } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } } \\ & { + 3 { \mathbb { E } } [ \left\| { \mathbf { C } } _ { \gamma } ( \nabla { \mathbf { F } } ( { \mathbf { X } } ^ { k + 1 } ) - \nabla { \mathbf { F } } ( { \mathbf { X } } ^ { k } ) ) \right\| _ { F } ^ { 2 } \vert { \mathcal { F } } ^ { k } ] } \\ { \leq } & { 3 \gamma _ { y } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } \right\| _ { C } ^ { 2 } { \mathbb { E } } [ \left\| \widetilde { { \mathbf { Y } } } ^ { k } - \widehat { { \mathbf { Y } } } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } \vert { \mathcal { F } } ^ { k } ] } \\ & { + 3 \gamma _ { y } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } \right\| _ { C } ^ { 2 } \left\| \Pi _ { C } { \mathbf { Y } } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } } \\ & { + 3 \left\| { \mathbf { C } } _ { \gamma } \right\| _ { C } ^ { 2 } { \mathbb { E } } [ \left\| \nabla { \mathbf { F } } ( { \mathbf { X } } ^ { k + 1 } ) - \nabla { \mathbf { F } } ( { \mathbf { X } } ^ { k } ) \right\| _ { F } ^ { 2 } \vert { \mathcal { F } } ^ { k } ] . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } s } \mathrm { X } _ { \mathrm { d r a g } } ^ { s ; t } } & { = \mathrm { V } _ { \mathrm { d r a g } } ^ { s ; t } , \ \ \mathrm { X } _ { \mathrm { d r a g } } ^ { t ; t } ( x , v ) = x , } \\ { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } s } \mathrm { V } _ { \mathrm { d r a g } } ^ { s ; t } } & { = - \varrho ( s , \mathrm { X } _ { \mathrm { d r a g } } ^ { s ; t } ) \mathrm { V } _ { \mathrm { d r a g } } ^ { s ; t } + \mathrm { F } ( s , \mathrm { X } _ { \mathrm { d r a g } } ^ { s ; t } ) , \ \ \mathrm { V } _ { \mathrm { d r a g } } ^ { t ; t } ( x , v ) = v . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { - i ( J ^ { m } u ) ( \overline { { J ^ { m } u } } ) _ { t } + ( J ^ { m } u ) ( \overline { { J ^ { m } u } } ) _ { x x } = \overline { { J ^ { m } ( | u | ^ { 2 p } u ) ( \overline { { J ^ { m } u } } ) } } + \beta \overline { { J ^ { m } ( | u | ^ { p - 1 } | v | ^ { p + 1 } u ) ( \overline { { J ^ { m } u } } ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } { h } _ { \bar { v } + i } = } & { { h } _ { \bar { v } } \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } \left( \frac { r _ { 2 } - 1 + p q } { r _ { 2 } - r _ { 1 } } r _ { 1 } ^ { i } + \frac { 1 - p q - r _ { 1 } } { r _ { 2 } - r _ { 1 } } r _ { 2 } ^ { i } \right) } \\ { = } & { \frac { { h } _ { \bar { v } } } { r _ { 2 } - r _ { 1 } } \left( \frac { r _ { 2 } - 1 + p q } { 1 - r _ { 1 } } + \frac { 1 - p q - r _ { 1 } } { 1 - r _ { 2 } } \right) } \\ { = } & { \frac { h _ { \bar { v } } } { p q ( 1 + ( 1 - p ) ( 1 - q ) ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { \pi ^ { 2 } } \sum _ { k = 0 } ^ { p - 2 } \frac { k ^ { 2 } \{ 1 { - } ( - 1 ) ^ { k - l } \} ^ { 2 } } { ( k { - } l ) ^ { 2 } ( k { + } l ) ^ { 2 } } { = } \frac { 4 } { \pi ^ { 2 } } \left\{ \begin{array} { l l } { \sum _ { x = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { ( 2 x { - } 1 ) ^ { 2 } } { - } R _ { 1 } ( l , p ) = \frac { \pi ^ { 2 } } { 8 } { - } R _ { 1 } ( l , p ) , } & { l = 0 } \\ { \sum _ { x = 1 } ^ { \infty } \frac { ( 2 x ) ^ { 2 } } { ( 2 x { - } l ) ^ { 2 } ( 2 x { + } l ) ^ { 2 } } { - } R _ { 2 } ( l , p ) = \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 6 } { - } R _ { 2 } ( l , p ) , } & { l \mathrm { ~ o d d } } \\ { \sum _ { x = 1 } ^ { \infty } \frac { ( 2 x { - } 1 ) ^ { 2 } } { ( 2 x { - } 1 { - } l ) ^ { 2 } ( 2 x - 1 + l ) ^ { 2 } } { - } R _ { 2 } ( l , p ) = \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 6 } { - } R _ { 3 } ( l , p ) , } & { \mathrm { e l s e } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \rho _ { s } = \rho _ { s ( l ) } \otimes \rho _ { \vec { p } } \qquad \mathrm { w i t h } \quad \rho _ { \vec { p } } : = \rho _ { s _ { 1 } } ^ { \otimes p _ { 1 } } \otimes \rho _ { s _ { 2 } } ^ { \otimes p _ { 2 } } \otimes \rho _ { s _ { 3 } } ^ { \otimes p _ { 3 } } \otimes \rho _ { s _ { 4 } } ^ { \otimes p _ { 4 } } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | y | ^ { p } } & { D _ { y } [ \phi ] ( x ) = J _ { p } ( \phi _ { 1 } ( y ) + \phi _ { 2 4 } ^ { + } ( y ) ) + J _ { p } ( - \phi _ { 1 } ( y ) + \phi _ { 2 4 } ^ { - } ( y ) ) } \\ { = } & { \underbrace { J _ { p } ( \phi _ { 1 } ( y ) ) + J _ { p } ( - \phi _ { 1 } ( y ) ) } _ { I _ { 1 } } + \underbrace { ( p - 1 ) | \phi _ { 1 } ( y ) | ^ { p - 2 } ( \phi _ { 2 4 } ^ { + } ( y ) + \phi _ { 2 4 } ^ { - } ( y ) ) } _ { I _ { 2 } } } \\ & { + \underbrace { \frac { ( p - 1 ) ( p - 2 ) } { 2 } | \phi _ { 1 } ( y ) | ^ { p - 2 } \left( \frac { \phi _ { 2 4 } ^ { + } ( y ) ^ { 2 } } { \phi _ { 1 } ( y ) } - \frac { \phi _ { 2 4 } ^ { - } ( y ) ^ { 2 } } { \phi _ { 1 } ( y ) } \right) } _ { I _ { 3 } } + \underbrace { \frac { 1 } { 3 ! } | \phi _ { 1 } ( y ) | ^ { p - 2 } \left( J _ { p } ^ { \prime \prime \prime } ( \eta _ { 1 } ) \frac { \phi _ { 2 4 } ^ { + } ( y ) ^ { 3 } } { \phi _ { 1 } ( y ) ^ { 2 } } + J _ { p } ^ { \prime \prime \prime } ( \eta _ { 2 } ) \frac { \phi _ { 2 4 } ^ { - } ( y ) ^ { 3 } } { \phi _ { 1 } ( y ) ^ { 2 } } \right) } _ { I _ { 4 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { M ^ { \theta / 2 } \hat { Q } M ^ { \theta / 2 } } \\ { = \, } & { \left[ \begin{array} { l l } { \exp \left( \frac { \theta \cos ( \varphi ) } { 2 } a \right) } & { 0 } \\ { 0 } & { \exp \left( \frac { \theta \cos ( \varphi ) } { 2 } b \right) } \end{array} \right] Q \left[ \begin{array} { l l } { \exp \left( \frac { \theta \cos ( \varphi ) } { 2 } a \right) } & { 0 } \\ { 0 } & { \exp \left( \frac { \theta \cos ( \varphi ) } { 2 } b \right) } \end{array} \right] \otimes I _ { d ^ { 2 } } } \\ { : = \, } & { K ^ { \theta } \otimes I _ { d ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ^ { B S } \! g ( ^ { H } \! X , ^ { H } \! Y ) } & { = } & { g ( X , Y ) , } \\ { ^ { B S } \! g ( ^ { H } \! X , ^ { V } \! \theta ) } & { = } & { 0 , } \\ { ^ { B S } \! g ( ^ { V } \! \omega , ^ { V } \! \theta ) } & { = } & { g ^ { - 1 } ( \omega , \theta ) + \delta ^ { 2 } g ^ { - 1 } ( \omega , p J ) g ^ { - 1 } ( \theta , p J ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { L ^ { * } ( n , D , \varepsilon ) + ( 1 - \beta ) P _ { X } ^ { n } ( x _ { i ^ { * } } ^ { n } ) l ( f ^ { * } ( x _ { i ^ { * } } ^ { n } ) ) } \\ { * } & { \leq L ^ { * } ( n , D , \varepsilon ) - P _ { X } ^ { n } ( x _ { i ^ { * } } ^ { n } ) \log P _ { X } ^ { n } ( x _ { i ^ { * } } ^ { n } ) } \\ & { \leq L ^ { * } ( n , D , \varepsilon ) + 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { \delta } ^ { \prime } W ^ { \prime } - 2 G _ { \delta } ^ { \prime \prime } ( W + G _ { \delta } ) } & { = G _ { \delta } ^ { \prime } \left( W ^ { \prime } + \frac { | W ^ { \prime } | + \delta } { ( W + \delta ) } ( W + G _ { \delta } ) \right) } \\ & { \geq G _ { \delta } ^ { \prime } \left( W ^ { \prime } + \frac { | W ^ { \prime } | + \delta } { ( W + \delta ) } ( W + \delta ) \right) } \\ & { = G _ { \delta } ^ { \prime } \left( W ^ { \prime } + | W ^ { \prime } | + \delta \right) } \\ & { \geq \delta G _ { \delta } ^ { \prime } . } \end{array}
R \Gamma ( \overline { { \mathfrak { X } } } _ { \mathrm { G } } , { \mathcal V } ) : = R \Gamma ( \overline { { \mathfrak { X } } } _ { \mathrm { G } } , { \mathcal O } / \varpi ^ { m } ) \otimes { \mathcal V } \in D _ { \mathrm { s m } } ^ { + } ( G ^ { T } \times K _ { \mathrm { G } , T \backslash S } \times \Delta _ { S } , { \mathcal O } / \varpi ^ { m } ) .
\int _ { \rho } ^ { \frac { n \rho } { \alpha + \rho } } y ^ { k - 2 } \mathrm { d } y \leq \left\{ \begin{array} { l l } { \left( \frac { n \rho } { \alpha + \rho } \right) ^ { k - 1 } , } & { \mathrm { i f } ~ k \in \mathbb { Z } _ { \geq 2 } , } \\ { \log \left( \frac { n } { \alpha + \rho } \right) , } & { \mathrm { i f } ~ k = 1 , } \\ { \rho ^ { k - 1 } / ( 1 - k ) , } & { \mathrm { i f } ~ k \in \mathbb { Z } _ { k \leq 0 } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \nabla _ { X } f ( t , s ) } & { = } & { \frac { \partial f } { \partial t } ( t , s ) + \theta ( X ) f ( t , s ) } \\ & { = } & { \frac { \partial } { \partial t } ( A _ { t } ( 0 , s ) ) B _ { s } ( 0 , 0 ) ( v ) + \theta ( X ) ( f ) ( t , s ) } \\ & { = } & { - \theta ( X ) A _ { t } ( 0 , s ) B _ { s } ( 0 , 0 ) ( v ) + \theta ( X ) ( f ) ( t , s ) } \\ & { = } & { - \theta ( X ) ( f ) ( t , s ) + \theta ( X ) ( f ) ( t , s ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { i n f } _ { \varphi \in L ^ { 2 } ( 0 , L ) } \frac { \int _ { 0 } ^ { L } [ d | \varphi _ { x } | ^ { 2 } - f _ { u } ( u _ { L } ^ { * } ( \cdot ) ; \mu ^ { * } ) ( \varphi ) ^ { 2 } ] d x } { \int _ { 0 } ^ { L } \varphi ( x ) ^ { 2 } \ d x } } & { = \int _ { 0 } ^ { L } [ d | ( \varphi _ { L } ) _ { x } | ^ { 2 } - f _ { u } ( u _ { L } ^ { * } ( \cdot ) ; \mu ^ { * } ) ( \varphi _ { L } ) ^ { 2 } ] d x } \\ & { = - \sigma _ { L } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 3 - 2 i , 2 k + 2 + 6 i } ^ { ( A , i ) + ( A , i + 1 ) } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 3 - 2 i , 2 k + 1 + 6 i } ^ { ( A , i ) + ( A , i + 1 ) } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k - 3 - 2 i , 2 k + 6 i } ^ { ( A , i ) + ( A , i + 1 ) } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k - 3 - 2 i , 2 k - 1 + 6 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 4 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } M _ { 2 , 0 } ( g ( t ) ) } & { \leq - \frac { 1 } { 3 } M _ { 2 , 0 } ( g ( t ) ) + 2 K _ { 0 } ( 1 - \gamma ) M _ { 1 , - \alpha } ( g ( t ) ) M _ { 1 , \beta } ( g ( t ) ) + C ; } \\ { \partial _ { t } M _ { 1 , - \alpha } ( g ( t ) ) } & { \leq - M _ { 1 , - \alpha } ( g ( t ) ) + C ; } \\ { \partial _ { t } M _ { 1 , \beta } ( g ( t ) ) } & { \leq - M _ { 1 , \beta } ( g ( t ) ) + K _ { 0 } c _ { 0 , 2 \beta } M _ { 1 , - \alpha } ( g ( t ) ) + C . } \end{array}
\frac { \widetilde { r } _ { \tau _ { j } ( 1 ) } ^ { \, j } } { \widetilde { A } _ { \tau _ { j } ( 1 ) , j } } \leq \frac { \widetilde { r } _ { \tau _ { j } ( 2 ) } ^ { \, j } } { \widetilde { A } _ { \tau _ { j } ( 2 ) , j } } \leq \dots \leq \frac { \widetilde { r } _ { \tau _ { j } ( \| \widetilde { a } _ { j } \| _ { 0 } ) } ^ { \, j } } { \widetilde { A } _ { \tau _ { j } ( \| \widetilde { a } _ { j } \| _ { 0 } ) , j } } .
\tilde { w } _ { \mathrm { m i n } } = - \frac { \tilde { F } } { 2 } \times \left\{ \begin{array} { l l } { \sqrt { \frac { 1 } { 2 } + \tilde { a } ( 1 + \tilde { a } ) } e ^ { \arctan ( 1 + 2 \tilde { a } ) - \pi } } & { \mathrm { C a s e ~ A } } \\ { \frac { \tilde { L } ^ { 2 } - 2 \tilde { a } ^ { 2 } + \tilde { L } \tilde { a } } { ( \tilde { L } - \tilde { a } ) ^ { 3 } } } & { \mathrm { C a s e ~ C . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \mathbb { P } \left( [ \mathbf { C } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } ] ^ { T } \mathbf { C } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } \mathrm { ~ s i n g u l a r } \right) \leq C k ^ { 8 } C _ { k - 1 } \exp \left( - n c c _ { k - 1 } / k ^ { 1 1 } \right) , } \\ { \mathbb { P } \left( \left| \left[ ( [ \mathbf { C } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } ] ^ { T } \mathbf { C } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } ) ^ { - 1 } \right] _ { i j } - \left[ \boldsymbol { \Pi } _ { u k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } \right] _ { i j } \right| \geq \epsilon \right) \leq C k ^ { 8 } C _ { k - 1 } \exp \left( - n c c _ { k - 1 } / k ^ { 1 1 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( \mathcal { L } _ { = < } ( \Pi _ { x , t } ^ { ( \lambda ) } \cup { \sf S o } _ { x } ^ { ( \bar { \alpha } ) } \cup { \sf S i } _ { t } ^ { ( \bar { p } ) } > ( 1 + \varepsilon ) ( 2 \sqrt { x t \lambda } - x \lambda ) ) \le } & { \ \mathbb { P } \left( \mathrm { P o i s s o n } ( x \bar { \alpha } ) > ( 1 + \frac { \varepsilon } { 2 } ) ( \sqrt { x t \lambda } - x \lambda ) \right) } \\ { + } & { \ \mathbb { P } \left( \mathrm { B i n o m i a l } ( t , \bar { p } ) > ( 1 + \frac { \varepsilon } { 2 } ) \sqrt { x t \lambda } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x ^ { * } ( a ) + \alpha \psi ( a ) } & { \geq 0 \geq x ^ { * } ( k ) + \alpha \psi ( k ) \quad \mathrm { f o r ~ a l l ~ } a \in A \mathrm { ~ a n d ~ } k \in - K , } \\ { x ^ { * } ( a ) + \alpha \psi ( a ) } & { > 0 > x ^ { * } ( k ) + \alpha \psi ( k ) \quad \mathrm { f o r ~ a l l ~ } a \in A \setminus \{ 0 \} \mathrm { ~ a n d ~ } k \in - K \setminus \{ 0 \} . } \end{array}
\left[ \mathbb { D } \mathbf { v } ^ { L } \cdot \mathbf { n } _ { 1 } \right] \cdot \mathbf { \tau } = \frac { \sigma } { L \mu } \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 } { \left( 1 + \varepsilon ^ { 2 } | \partial _ { \overline { { x } } } \overline { { h } } | ^ { 2 } \right) } \left( - \frac { 1 } { \varepsilon } \partial _ { \overline { { y } } } \overline { { u } } + O ( \varepsilon ) \right) .
\begin{array} { r l } { \left| \int _ { M } ( f \circ \phi _ { t } - f ) d \nu _ { N } \right| } & { = \left| \frac { 1 } { N } \int _ { 0 } ^ { N } ( f \circ \phi _ { t + s } ( x _ { N } ) - f \circ \phi _ { t } ( x _ { N } ) ) d s \right| } \\ & { = \left| \frac { 1 } { N } \int _ { 0 } ^ { t } ( f \circ \phi _ { N + s } ( x _ { N } ) - f \circ \phi _ { t } ( x _ { N } ) ) d s \right| } \\ & { \leq \frac { 2 t } { N } \| f \| _ { \infty } } \end{array}
\sum _ { t = l } ^ { m - 1 } ( L _ { T _ { w _ { k } } } ( u _ { t } ) + L _ { T _ { w _ { k } } } ( u _ { t + 1 } ) ) - ( l - m ) ( d + 1 ) + ( d + 1 ) \leq \sum _ { t = l } ^ { m - 1 } ( L _ { T _ { w _ { k } } } ( u _ { t } ) + L _ { T _ { w _ { k } } } ( u _ { t + 1 } ) ) - ( l - m ) ( d _ { i } + 1 ) + ( d _ { i } + 1 ) = \sum _ { t = l } ^ { m - 1 } ( L _ { T _ { i } } ( u _ { t } ^ { i } ) + L _ { T _ { i } } ( u _ { t + 1 } ^ { i } ) ) - ( l - m - 1 ) ( d _ { i } + 1 ) \leq d _ { T _ { i } } ( u _ { x } ^ { i } , u _ { y } ^ { i } ) = d _ { T _ { w _ { k } } } ( u _ { l } , u _ { m } )
d f = \left. { \frac { \partial f ( { \boldsymbol { x } } ) } { \partial x _ { 1 } } } \right| _ { { \boldsymbol { x } } = { \boldsymbol { a } } } d x _ { 1 } + \left. { \frac { \partial f ( { \boldsymbol { x } } ) } { \partial x _ { 2 } } } \right| _ { { \boldsymbol { x } } = { \boldsymbol { a } } } d x _ { 2 } + \dots + \left. { \frac { \partial f ( { \boldsymbol { x } } ) } { \partial x _ { n } } } \right| _ { { \boldsymbol { x } } = { \boldsymbol { a } } } d x _ { n } = \nabla f ( { \boldsymbol { a } } ) \cdot d { \boldsymbol { x } }
\begin{array} { r l } { \log \Delta } & { \ge s \log { \frac { \log { \sqrt { n } } } { p ^ { r } s } } + \log { \sqrt { n } } - \frac { ( \log \log { \sqrt { n } } ) ^ { 2 } } { 2 \log { p } } - \log \log { n } - \frac { L p ^ { r + s - 1 } } { x } \Big ( 1 + \frac { 4 } { s } \Big ) + O ( 1 ) } \\ & { \geq \Big ( 1 + \frac { 1 } { e p ^ { r } } \Big ) \log \sqrt { n } - \frac { L p ^ { r + s - 1 } } { x } - \log \log { n } - \frac { \left( \log \log { \sqrt { n } } \right) ^ { 2 } } { 2 \log { p } } + O ( 1 ) } \\ & { \ge \Big ( \frac { 1 } { e p ^ { r } } - \frac { 1 } { 5 p ^ { r } } \Big ) \log \sqrt { n } - ( \log \log n ) ^ { 2 } + O ( 1 ) \ge \frac { \log n } { 1 5 p ^ { r } } - ( \log \log n ) ^ { 2 } + O ( 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta S _ { \mathrm { R P } } } & { = - \frac { \partial \Delta F _ { \mathrm { R P } } } { \partial T } = k _ { \mathrm { B } } \ln \frac { Z _ { \mathrm { P } } } { Z _ { \mathrm { R } } } + k _ { \mathrm { B } } T \left[ \frac { \partial \ln Z _ { \mathrm { P } } } { \partial T } - \frac { \partial \ln Z _ { \mathrm { R } } } { \partial T } \right] } \\ & { = - \frac { \Delta F _ { \mathrm { R P } } } { T } + \frac { 1 } { T } \left( \left< U \right> _ { \mathrm { P } } - \left< U \right> _ { \mathrm { R } } \right) \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( 1 _ { M _ { 1 } } , \ldots , 1 _ { M _ { n } } ) \d g } & { = g } \\ { ( ( f _ { 1 } ^ { 1 } , \ldots , f _ { 1 } ^ { m _ { 1 } } ) \d f _ { 1 } , \ldots , ( f _ { 1 } ^ { n } , \ldots , f _ { n } ^ { m _ { n } } ) \d f _ { n } ) \d g } & { = ( f _ { 1 } ^ { 1 } , \ldots , f _ { 1 } ^ { m _ { 1 } } , \ldots , f _ { 1 } ^ { n } , \ldots , f _ { n } ^ { m _ { n } } ) \d ( f _ { 1 } , \ldots , f _ { n } ) \d g } \end{array}
\big | \langle G _ { 1 } B _ { 1 } G _ { 2 } B _ { 2 } \big | \le \sqrt { \langle G _ { 1 } B _ { 1 } B _ { 1 } ^ { * } G _ { 1 } ^ { * } \rangle \langle G _ { 2 } B _ { 2 } B _ { 2 } ^ { * } G _ { 2 } ^ { * } \rangle } \le \frac { 1 } { \eta } \sqrt { \langle \mathrm { I m } \, G _ { 1 } B _ { 1 } B _ { 1 } ^ { * } \rangle \langle \mathrm { I m } \, G _ { 2 } B _ { 2 } B _ { 2 } ^ { * } \rangle } \prec \frac { 1 } { \eta } \, ,
\begin{array} { r l } { | b _ { i , j } ^ { ( k ) } - a _ { i , j } ^ { ( k ) } | = | b _ { i , j } ^ { ( i ) } - a _ { i , j } ^ { ( i ) } | } & { \le \operatorname* { m a x } \{ \gamma _ { i } | a _ { i , i } ^ { ( i ) } | , ( \sqrt { 1 + \gamma _ { i } } - 1 ) | a _ { i , j } ^ { ( i ) } | \} } \\ & { \le \operatorname* { m a x } \{ \gamma _ { i } , ( 1 + \varepsilon _ { i } ) ( \sqrt { 1 + \gamma _ { i } } - 1 ) \} | a _ { i , i } ^ { ( i ) } | } \\ & { = \gamma _ { i } | a _ { i , i } ^ { ( i ) } | . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f \left( x _ { k } \right) - f \left( x ^ { * } \right) } \\ & { \leq \frac { 4 } { \mathbf { t } _ { k } ^ { 2 } } \operatorname { c s c h c } ^ { 2 } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \mathbf { t } _ { k } \right) } \\ & { \quad \times \left( \frac { 1 } { 2 } \cosh ^ { 2 } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \mathbf { t } _ { 0 } \right) \left\Vert x _ { 0 } - x ^ { * } \right\Vert ^ { 2 } + \frac { \mathbf { t } _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } \operatorname { s i n h c } ^ { 2 } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \mathbf { t } _ { 0 } \right) \left( f \left( x _ { 0 } \right) - f \left( x ^ { * } \right) \right) \right) } \\ & { = \frac { 4 } { \mathbf { t } _ { k } ^ { 2 } } \operatorname { c s c h c } ^ { 2 } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \mathbf { t } _ { k } \right) \frac { \mathbf { t } _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } \operatorname { s i n h c } ^ { 2 } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \mathbf { t } _ { 0 } \right) } \\ & { \quad \times \left( \frac { 2 } { \mathbf { t } _ { 0 } ^ { 2 } } \operatorname { c o t h c } ^ { 2 } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \mathbf { t } _ { 0 } \right) \left\Vert x _ { 0 } - x ^ { * } \right\Vert ^ { 2 } + \left( f \left( x _ { 0 } \right) - f \left( x ^ { * } \right) \right) \right) } \\ & { = \prod _ { i = 0 } ^ { k - 1 } \left( 1 - \frac { 2 \sqrt { s } } { \mathbf { t } _ { i + 1 } } \operatorname { c o t h c } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \mathbf { t } _ { i + 1 } \right) \right) \left( \frac { 2 } { \mathbf { t } _ { 0 } ^ { 2 } } \operatorname { c o t h c } ^ { 2 } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \mathbf { t } _ { 0 } \right) \left\Vert x _ { 0 } - x ^ { * } \right\Vert ^ { 2 } + \left( f \left( x _ { 0 } \right) - f \left( x ^ { * } \right) \right) \right) , } \end{array}
\Phi _ { 1 2 3 4 , 4 } ^ { -- + + } = \int \frac { d c _ { 1 3 } ^ { \prime } d c _ { 1 4 } ^ { \prime } d c _ { 2 3 } ^ { \prime } d c _ { 2 4 } ^ { \prime } } { c _ { 1 3 } ^ { \prime 1 + v _ { 4 } - v _ { 3 } } c _ { 2 4 } ^ { \prime 1 + v _ { 1 } - v _ { 2 } } ( c _ { 1 4 } ^ { \prime } c _ { 2 3 } ^ { \prime } - c _ { 2 4 } ^ { \prime } c _ { 1 3 } ^ { \prime } ) ^ { 1 + v _ { 2 } ^ { + } - v _ { 4 } } }
\begin{array} { r l } { \widetilde S _ { t } ^ { \nu } [ \nabla ( ( \chi _ { \nu } f ) \circ \Phi _ { \nu } ) ] \circ \Phi _ { \nu } ^ { - 1 } \cdot D _ { i } \Phi _ { \nu } ^ { - 1 } } & { = \left( \begin{array} { l } { \sum _ { j = 1 } ^ { n } \frac { \partial \Phi _ { \nu } ^ { j } } { \partial \partial x _ { 1 } } \widetilde S _ { t } ^ { \nu } \left( \frac { \partial ( \chi _ { \nu } f ) } { \partial y _ { j } } \circ \Phi _ { \nu } \right) } \\ { \vdots } \\ { \sum _ { j = 1 } ^ { n } \frac { \partial \Phi _ { \nu } ^ { j } } { \partial x _ { n } } \widetilde S _ { t } ^ { \nu } \left( \frac { \partial ( \chi _ { \nu } f ) } { \partial y _ { j } } \circ \Phi _ { \nu } \right) } \end{array} \right) \circ \Phi _ { \nu } ^ { - 1 } \cdot \left( \begin{array} { l } { D _ { i } ( \Phi _ { \nu } ^ { - 1 } ) ^ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { D _ { i } ( \Phi _ { \nu } ^ { - 1 } ) ^ { n } } \end{array} \right) } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { n } \widetilde S _ { t } ^ { \nu } \left( \frac { \partial ( \chi _ { \nu } f ) } { \partial y _ { j } } \circ \Phi _ { \nu } \right) \circ \Phi _ { \nu } ^ { - 1 } \cdot \left( \sum _ { \alpha = 1 } ^ { n } \frac { \partial \Phi _ { \nu } ^ { j } } { \partial x _ { \alpha } } \circ \Phi _ { \nu } ^ { - 1 } \cdot \frac { \partial ( \Phi _ { \nu } ^ { - 1 } ) ^ { \alpha } } { \partial y _ { i } } \right) } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { n } \widetilde S _ { t } ^ { \nu } \left( \frac { \partial ( \chi _ { \nu } f ) } { \partial y _ { i } } \circ \Phi _ { \nu } \right) \circ \Phi _ { \nu } ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \operatorname { d i v } \big ( y ^ { \alpha } \mathfrak { A } _ { x } \nabla \mathcal { W } \big ) } & { = F _ { \zeta } \qquad \mathrm { i n ~ \mathbb { R } ^ { d } ~ \times ~ \mathbb { R } ^ + ~ } , } \\ { d _ { \beta } ^ { - 1 } \partial _ { \nu ^ { \alpha } } \mathcal { W } + s \mathrm { t r _ { 0 } } \mathcal { W } } & { = f _ { \zeta } \qquad \mathrm { i n ~ \mathbb { R } ^ { d } ~ } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \right. h \left( x , y , \frac { | u _ { n } ( x ) - u _ { n } ( y ) | } { | x - y | ^ { s } } \right) \frac { ( u _ { n } ( x ) - u _ { n } ( y ) ) ( v ( x ) - v ( y ) ) } { | x - y | ^ { N + 2 s } } d x \ d y } \\ & { \left. + \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } V ( x ) h _ { x } ( x , | u _ { n } | ) u _ { n } v d x - \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \frac { K ( x ) K ( y ) F ( u _ { n } ( x ) ) f ( u _ { n } ( y ) ) v ( y ) } { | x - y | ^ { \lambda } } d x d y \right| \leq \varepsilon _ { n } \| v \| , } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { j } ( t + 1 ) - U _ { j } ( t ) } & { = \log _ { 2 } ( 2 q ) - \log _ { 2 } \left( 1 + ( q - p ) \frac { \Delta - \rho _ { j } ( y ^ { t } ) } { 1 - \rho _ { j } ( y ^ { t } ) } \right) } \\ & { \le \log _ { 2 } ( 2 q ) \! - \! \log _ { 2 } \left( 1 \! + \! ( q \! - \! p ) \frac { 2 \rho _ { j } ( y ^ { t } ) + 2 \rho _ { l } ( t ) \! - \! 1 \! - \! \rho _ { j } ( y ^ { t } ) } { 1 \! - \! \rho _ { j } ( y ^ { t } ) } \right) } \\ & { = \log _ { 2 } ( 2 q ) \! - \! \log _ { 2 } \left( 1 \! - \! ( q \! - \! p ) \! + \! ( q \! - \! p ) \frac { 2 \rho _ { l } ( t ) } { 1 \! - \! \rho _ { j } ( y ^ { t } ) } \right) } \\ & { < \log _ { 2 } ( 2 q ) - \log _ { 2 } \left( 1 - ( q - p ) \right) = C _ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \tilde { D } _ { 0 } ^ { x } ( k ) = - g \nu \mathcal { H } _ { 0 } ^ { - 1 } \left[ \frac { 2 } { ( 1 + k ^ { 2 } ) ^ { 3 } } \right] = - \frac { g \nu } { 4 } r ^ { 2 } K _ { 2 } ( r ) , } \\ & { \tilde { D } _ { 2 } ^ { x } ( k ) = - g \nu \mathcal { H } _ { 2 } ^ { - 1 } \left[ \frac { 2 k ^ { 2 } } { ( 1 + k ^ { 2 } ) ^ { 3 } } \right] = - \frac { g \nu } { 4 } r ^ { 2 } K _ { 0 } ( r ) . } \end{array}
I \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \partial \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! B \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( Z \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = I \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \partial \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! B \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( Z \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } \left( P _ { a } ( P _ { b } B _ { 0 , 0 } + ( 1 - P _ { b } ) B _ { 0 , 1 } ) , ( 1 - P _ { a } ) ( P _ { b } B _ { 1 , 0 } + ( 1 - P _ { b } ) B _ { 1 , 1 } ) \right) + } \\ & { \operatorname* { m i n } \left( P _ { a } ( P _ { b } B _ { 0 , 1 } + ( 1 - P _ { b } ) B _ { 0 , 0 } ) , ( 1 - P _ { a } ) ( P _ { b } B _ { 1 , 1 } + ( 1 - P _ { b } ) B _ { 1 , 0 } ) \right) + } \\ & { \operatorname* { m i n } \left( ( 1 - P _ { a } ) ( P _ { b } B _ { 0 , 0 } + ( 1 - P _ { b } ) B _ { 0 , 1 } ) , P _ { a } ( P _ { b } B _ { 1 , 0 } + ( 1 - P _ { b } ) B _ { 1 , 1 } ) \right) + } \\ & { \operatorname* { m i n } \left( ( 1 - P _ { a } ) ( P _ { b } B _ { 0 , 1 } + ( 1 - P _ { b } ) B _ { 0 , 0 } ) , P _ { a } ( P _ { b } B _ { 1 , 1 } + ( 1 - P _ { b } ) B _ { 1 , 0 } ) \right) } \\ { \leq } & { \operatorname* { m i n } \left( P _ { a } B _ { 0 , 0 } + ( 1 - P _ { a } ) B _ { 0 , 1 } , ( 1 - P _ { a } ) B _ { 1 , 0 } + P _ { a } B _ { 1 , 1 } \right) + } \\ & { \operatorname* { m i n } \left( ( 1 - P _ { a } ) B _ { 0 , 0 } + P _ { a } B _ { 0 , 1 } , P _ { a } B _ { 1 , 0 } + ( 1 - P _ { a } ) B _ { 1 , 1 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { x _ { n , i } + \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { \frac { \lambda - a } { b } } \end{array} \right] ^ { t } \lambda _ { n , 2 } , } & { x _ { n , i } - \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { \frac { \lambda - a } { b } } \end{array} \right] ^ { t } \lambda _ { n , 2 } , } \\ & { x _ { n , i } + \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { \frac { \lambda ^ { - 1 } - a } { b } } \end{array} \right] ^ { t } \lambda _ { n , 1 } , } & { x _ { n , i } - \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { \frac { \lambda ^ { - 1 } - a } { b } } \end{array} \right] ^ { t } \lambda _ { n , 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { d / 2 } ( \kappa ) } & { = \frac { ( \kappa / 2 ) ^ { d / 2 } } { \Gamma ( ( d + 1 ) / 2 ) \Gamma ( 1 / 2 ) } \int _ { - 1 } ^ { 1 } e ^ { \kappa t } ( 1 - t ^ { 2 } ) ^ { ( d - 1 ) / 2 } \, d t } \\ & { = \frac { ( \kappa / 2 ) ^ { d / 2 - 1 } } { \Gamma ( ( d - 1 ) / 2 ) \Gamma ( 1 / 2 ) } \int _ { - 1 } ^ { 1 } t e ^ { \kappa t } ( 1 - t ^ { 2 } ) ^ { ( d - 3 ) / 2 } \, d t , } \end{array}
\boldsymbol { e } _ { u } ^ { \zeta } = ( e _ { u } ^ { \zeta } , \bar { e } _ { u } ^ { \zeta } ) , \quad \boldsymbol { e } _ { p } ^ { \zeta } = ( e _ { p } ^ { \zeta } , \bar { e } _ { p ^ { s } } ^ { \zeta } , \bar { e } _ { p ^ { d } } ^ { \zeta } ) , \quad \boldsymbol { e } _ { p ^ { j } } ^ { \zeta } = ( e _ { p ^ { j } } ^ { \zeta } , \bar { e } _ { p ^ { j } } ^ { \zeta } ) , \quad \zeta = I , h .
\begin{array} { r l } & { \rho ( F ) = \rho ( G ) = \gamma \Rightarrow \int I ( \gamma , y ) \, \mathrm { d } F ( y ) = 0 , \int I ( \gamma , y ) \, \mathrm { d } G ( y ) = 0 } \\ & { \Rightarrow \int I ( \gamma , y ) \, \mathrm { d } ( \lambda F + ( 1 - \lambda ) G ) = 0 \Rightarrow \rho ( \lambda F + ( 1 - \lambda ) G ) = \gamma , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { H ( t ) = \displaystyle \int _ { \widehat { \mathbf { F } ^ { \times } } } \xi ( t ) \lvert t \rvert _ { \mathfrak { p } } ^ { c } \gamma ( c , \xi _ { \mathfrak { p } } , \psi _ { \mathfrak { p } } ) ^ { 3 } \mathrm { d } \mu _ { \mathrm { P L } } ( \xi ) \int _ { \mathbf { F } ^ { \times } } \mathfrak { j } ( y ; \pi _ { \mathfrak { p } } , \psi _ { \mathfrak { p } } ) \xi ( y ) \lvert \cdot \rvert [ y ] _ { \mathfrak { p } } ^ { c } \mathrm { d } ^ { \times } y , } \\ { \widetilde { h } ( \chi _ { \mathfrak { p } } ) = \chi _ { \mathfrak { p } } ( - 1 ) \displaystyle \int _ { \mathbf { F } ^ { \times } } H ( t ) \psi _ { \mathfrak { p } } ( t ) \chi _ { \mathfrak { p } } ^ { - 1 } ( t ) \lvert t \rvert _ { \mathfrak { p } } ^ { - 1 / 2 } \mathrm { d } ^ { \times } t , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { \mathfrak { s } _ { M } } ^ { \vee } } & { = \{ h _ { \alpha } ^ { \vee } \mid \alpha \in \Sigma _ { \mathfrak { s } _ { M } , \mu } \} , } \\ { \Sigma _ { \mathfrak { s } _ { M } } } & { = \{ \alpha ^ { \# } \mid \alpha \in \Sigma _ { \mathfrak { s } _ { M } , \mu } \} , } \\ { \left( \alpha ^ { \# } \right) ^ { \vee } } & { = h _ { \alpha } ^ { \vee } \index { \Sigma _ { \mathfrak { s } _ { M } } ^ { \vee } } \index { \Sigma _ { \mathfrak { s } _ { M } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Pi _ { N } ^ { \mathrm { ( i i ) } } \big ( \alpha \big ) = \frac { \tau _ { \mathrm { m } } } { | \alpha | ^ { 2 } \tau _ { \mathrm { d } } } \left\{ N - 2 \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } \sum _ { m = 0 } ^ { k } F _ { m } \left[ \alpha ; \eta _ { \mathrm { r r } } ( N ) \right] \right. } \\ & { \left. + \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } \sum _ { m = 0 } ^ { k } F _ { m } \left[ \alpha ; \eta _ { \mathrm { r r } } ( N - 1 ) \right] \right\} + \frac { ( N + 1 ) \tau _ { \mathrm { d } } - \tau _ { \mathrm { m } } } { \tau _ { \mathrm { d } } } } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r l } { { 4 } } & { \omega _ { 0 } } & { \; = \; } & { } & & { 2 \pi i \; d \tau } & { \; = \; } & { \frac { 2 \pi i W } { \psi _ { 1 } ^ { 2 } } d x , } \\ & { \omega _ { 2 } } & { \; = \; } & { } & & { - f _ { 2 } ( \tau ) \; \left( 2 \pi i \right) d \tau } & { \; = \; } & { \frac { d x } { 2 x } - \frac { d x } { x - 1 } - \frac { d x } { x - 9 } , } \\ & { \omega _ { 3 } } & { \; = \; } & { } & & { f _ { 3 } ( \tau ) \; \left( 2 \pi i \right) d \tau } & { \; = \; } & { - \frac { 1 } { 2 } \frac { \psi _ { 1 } } { \pi } d x , } \\ & { \omega _ { 4 } } & { \; = \; } & { } & & { f _ { 4 } ( \tau ) \; \left( 2 \pi i \right) d \tau } & { \; = \; } & { \frac { \left( x + 3 \right) ^ { 4 } } { 4 8 x \left( x - 1 \right) \left( x - 9 \right) } \left( \frac { \psi _ { 1 } } { \pi } \right) ^ { 2 } d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( E _ { n , i } ^ { c } ) } & { \leq P \left( | \mathcal { T } _ { i } ^ { c } ( t _ { n , i } ) | + \sum _ { j = 1 } ^ { | \mathcal { T } _ { i } ^ { c } ( t _ { n , i } ) | } \mathcal { D } _ { i , j } > a _ { i } \right) + P \left( | \mathcal { T } _ { i } ^ { c } ( t _ { n , i } ) | < | \mathcal { T } _ { i } ^ { c } ( \sigma _ { S _ { n } } - \sigma _ { S _ { i } } ) | \right) } \\ & { \leq \frac { E [ \Lambda _ { i } ( t _ { n , i } ) ] } { a _ { i } } + P \left( | \mathcal { T } _ { i } ^ { c } ( t _ { n , i } ) | \neq | \mathcal { T } _ { i } ^ { c } ( \sigma _ { S _ { n } } - \sigma _ { S _ { i } } ) | \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \Big \| T _ { t + h } x \Big \| _ { X } \Big \| T _ { t } \frac { 1 } { h } } & { \int _ { 0 } ^ { h } { T _ { h - s } B u ( s ) d s } \Big \| _ { X } } \\ { \leq } & { 2 M \| x \| _ { X } \| T _ { t } \| M \| B \| \operatorname* { s u p } _ { r \in [ 0 , h ] } \| u ( r ) \| _ { U } } \\ { \leq } & { 2 M ^ { 3 } \| x \| _ { X } \| B \| \| u \| _ { \cal U } e ^ { - \lambda t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \mathrm { T r } ( A ^ { T } A ^ { * } ) ^ { 3 } \rangle = } & { \langle \mathrm { T r } \left( a ^ { T } ( I _ { N / 2 } \otimes \sigma _ { y } ) a a ^ { \dagger } ( I _ { N / 2 } \otimes \sigma _ { y } ) a ^ { * } + a ^ { T } ( I _ { N / 2 } \otimes \sigma _ { y } ) a c ^ { \dagger } ( I _ { N / 2 } \otimes \sigma _ { y } ) c ^ { * } \right. } \\ & { \qquad \qquad \left. + c ^ { T } ( I _ { N / 2 } \otimes \sigma _ { y } ) c a ^ { \dagger } ( I _ { N / 2 } \otimes \sigma _ { y } ) a ^ { * } + c ^ { T } ( I _ { N / 2 } \otimes \sigma _ { y } ) c c ^ { \dagger } ( I _ { N / 2 } \otimes \sigma _ { y } ) c ^ { * } \right) ^ { 3 } \rangle . } \end{array}
a ^ { m } ( t , x ) : = \frac { \sigma _ { t } ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } } { 2 } , \, \, b ^ { m } ( t , x ) : = \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } ( \sigma _ { t } ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } ) + k _ { m } * \zeta _ { t } , \, \, c ^ { m } ( t , x ) : = \frac { 1 } { 2 } \frac { \, \mathrm { d } ^ { 2 } } { \, \mathrm { d } x ^ { 2 } } ( \sigma _ { t } ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } ) + \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } k _ { m } * \zeta _ { t } .
\begin{array} { r l } { A ( x , t _ { k } ) = } & { \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } h ^ { 2 } \nabla _ { x } K _ { 2 , \epsilon } \left( X _ { t _ { k } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , x \right) \wedge \omega _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } } \\ & { + \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { k } \delta h ^ { 2 } \nabla _ { x } K _ { 2 , \epsilon } \left( X _ { t _ { k } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , x \right) \wedge F \left( X _ { t _ { j - 1 } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , t _ { j - 1 } \right) , } \end{array}
\int ( d + e \, x ) ^ { m } \left( a + b \, x + c \, x ^ { 2 } \right) ^ { p } d x = - { \frac { e ( m + 2 p + 2 ) ( d + e \, x ) ^ { m } \left( a + b \, x + c \, x ^ { 2 } \right) ^ { p + 1 } } { ( p + 1 ) ( 2 p + 1 ) ( 2 c \, d - b \, e ) } } \, + \, { \frac { ( d + e \, x ) ^ { m + 1 } ( b + 2 c \, x ) \left( a + b \, x + c \, x ^ { 2 } \right) ^ { p } } { ( 2 p + 1 ) ( 2 c \, d - b \, e ) } } \, + \, { \frac { e ^ { 2 } m ( m + 2 p + 2 ) } { ( p + 1 ) ( 2 p + 1 ) ( 2 c \, d - b \, e ) } } \int ( d + e \, x ) ^ { m - 1 } \left( a + b \, x + c \, x ^ { 2 } \right) ^ { p + 1 } d x
\begin{array} { r l r } { \textstyle g _ { \xi , \eta } ^ { + } [ ( 1 + \theta _ { \gamma } ) e _ { \gamma } ] } & { \leq } & { ( 1 - \lambda _ { \xi , \eta } ^ { + } ) ( 1 + \theta _ { \gamma } ) + \lambda _ { \xi , \eta } ^ { + } ( 1 + \theta _ { \gamma } ) \mu _ { \gamma } } \\ & { = } & { 1 + \theta _ { \gamma } + \lambda _ { \xi , \eta } ^ { + } ( \mu _ { \gamma } + \theta _ { \gamma } \mu _ { \gamma } - 1 - \theta _ { \gamma } ) } \\ & { \leq } & { \textstyle \frac { 1 + \theta _ { \gamma } + \mu _ { \gamma } + \theta _ { \gamma } \mu _ { \gamma } } { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma _ { < j } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { ~ i f ~ } j = 1 } \\ { \sigma _ { 1 } } & { \mathrm { ~ i f ~ } j = 2 } \\ { \sigma _ { 1 } + \dots + \sigma _ { j - 1 } } & { \mathrm { ~ i f ~ } 3 \le j \le T } \end{array} \right. \qquad \sigma _ { > j } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { ~ i f ~ } j = 5 } \\ { \sigma _ { 5 } } & { \mathrm { ~ i f ~ } j = 4 } \\ { \sigma _ { j + 1 } + \dots + \sigma _ { 5 } } & { \mathrm { ~ i f ~ } 1 \le j \le 3 . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { c ( t _ { 0 } , t ) } & { = R ( t _ { 0 } ) } \\ & { + \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \frac { 1 } { c ^ { 2 } ( t _ { 0 } , \theta ) } d \theta \int _ { 0 } ^ { t _ { 0 } } c ^ { 2 } ( \tau , \theta ) G ( { \bf X } ( c ( \tau , \theta ) , \theta ) , { \bf S } ( c ( \tau , \theta ) , \theta ) , \mathrm { \boldmath ~ \Psi ~ } ( c ( \tau , \theta ) , \theta ) ) \frac { \partial } { \partial \tau } c ( \tau , \theta ) d \tau . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \ \ \ \ \log \mathcal { T } _ { i } ( g ^ { T \bar { M } _ { i } } , h ^ { \bar { F } _ { i } } , \nabla ^ { \bar { F } _ { i } } ) ( T ) = \log \mathcal { T } _ { i } ( g ^ { T M _ { i } } , h ^ { F _ { i } } , \nabla ^ { F _ { i } } ) + \chi ( Y ) \mathrm { r a n k } ( F ) \tilde { \zeta } _ { T , i } ^ { \prime } ( 0 ) / 2 + o ( 1 ) . } \end{array}
P ( \widetilde { r } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \sum _ { t = \widetilde { r } + 1 } ^ { 0 } 2 \Big \langle F _ { t , h _ { 2 } } - f _ { t } * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } , ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \Big \rangle _ { L _ { 2 } } + \widetilde { r } \vert \vert ( f _ { \eta _ { k + 1 } } - f _ { \eta _ { k } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } } & { \mathrm { ~ i f ~ } \widetilde { r } < 0 } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ i f ~ } \widetilde { r } = 0 } \\ { \sum _ { t = 1 } ^ { \widetilde { r } } 2 \Big \langle F _ { t , h _ { 2 } } - f _ { t } * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } , ( f _ { \eta _ { k + 1 } } - f _ { \eta _ { k } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \Big \rangle _ { L _ { 2 } } + \widetilde { r } \vert \vert ( f _ { \eta _ { k + 1 } } - f _ { \eta _ { k } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } } & { \mathrm { ~ i f ~ } \widetilde { r } > 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \underset { \mathbf { w } } { \mathop { \operatorname* { m i n } } } \frac { 1 } { T \times N } { \sum _ { t = 1 } ^ { T } } { \sum _ { n = 1 } ^ { N } } \frac { 1 } { \sigma _ { t , n } ^ { 2 } } | | ( \hat { y } _ { t , n } - \tilde { y } _ { t , n } ) m _ { t , n } | | _ { 2 } ^ { 2 } , } \\ & { \mathrm { s . t . } ~ \frac { 1 } { T \times N } { \sum _ { t = 1 } ^ { T } } { \sum _ { n = 1 } ^ { N } } \mathrm { l o g } \sigma _ { t , n } ^ { 2 } < \tau , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathbf { \Phi } } ^ { M P } = { \mathbf { \Phi } } _ { j } + \operatorname { m i n m o d } \left[ { \mathbf { \Phi } } _ { j + 1 } - { \mathbf { \Phi } } _ { j } , { \xi } \left( { \mathbf { \Phi } } _ { j } - { \mathbf { \Phi } } _ { j - 1 } \right) \right] \, \, , } \\ { \mathrm { a n d , } } & { \operatorname { m i n m o d } ( a , b ) = \frac { 1 } { 2 } \left( \operatorname { s i g n } ( a ) + \operatorname { s i g n } ( b ) \right) \operatorname* { m i n } ( | a | , | b | ) \, \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } = \mathbf { U } _ { i , j } + \frac { 1 } { 2 } \Psi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } \left( \mathbf { U } _ { i , j } - \mathbf { U } _ { i - 1 , j } \right) } \\ & { \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R } = \mathbf { U } _ { i + 1 , j } - \frac { 1 } { 2 } \Psi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R } \left( \mathbf { U } _ { i + 2 , j } - \mathbf { U } _ { i + 1 , j } \right) } \end{array} ,
\begin{array} { r l } { v ^ { \pm } ( \lambda ) \wedge \tilde { \mathcal { V } } ^ { \pm } ( \lambda ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { i + 1 } v _ { i } ^ { \pm } ( \lambda ) \tilde { \mathcal { V } } _ { n + 1 - i } ^ { \pm } ( \lambda ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { i + 1 } v _ { i } ^ { \pm } ( \lambda ) ( - 1 ) ^ { i - 1 } w _ { i } ^ { \pm } ( \lambda ) } \\ & { = w ^ { \pm } ( \lambda ) v ^ { \pm } ( \lambda ) = 1 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \big \| ( \boldsymbol A ^ { * } \boldsymbol W \boldsymbol A ) ^ { - 1 } \big \| _ { 2 } = \left\| \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( \boldsymbol I _ { | \mathcal I _ { \b { M } } | } - \boldsymbol A ^ { * } \boldsymbol W \boldsymbol A \right) ^ { n } \right\| _ { 2 } = \left\| \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \b { \mathcal E } ^ { n } \right\| _ { 2 } \leq \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left\| \b { \mathcal E } ^ { n } \right\| _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S p e c ( P ^ { s } \lfloor _ { S } , S ) } & { \sim \left[ 0 . 5 , 0 . 5 9 5 1 \right] \cup \left[ 1 , 1 . 6 6 0 2 \right] } \\ { \lbrack 0 . 5 0 1 0 , 0 . 5 9 4 5 ] \cup \lbrack 1 , 1 . 6 5 7 8 ] } & { \subset S p e c ( P ^ { s } \lfloor _ { S } , S ) \subset \lbrack 0 . 4 9 9 5 , 0 . 5 9 6 3 ] \cup \lbrack 1 , 1 . 6 6 6 2 ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda D z - G z } & { = \lambda ( 1 + \lambda ) ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l l } { A } & { 0 } \\ { 0 } & { - C } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \lambda x } \\ { x } \end{array} \right] - ( 1 + \lambda ) ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l l } { - B } & { - C } \\ { - C } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \lambda x } \\ { x } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l } { ( 1 + \lambda ) ^ { - 1 } ( \lambda ^ { 2 } A x + \lambda B x + C x ) } \\ { 0 } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { w } \\ { v } \end{array} \right] , } \end{array}
= \rho _ { k } \left( \Theta ^ { H } a _ { M } ^ { H } \left( \phi _ { r } ^ { a } , \phi _ { r } ^ { e } \right) a _ { N } ^ { H } \left( \phi _ { b } ^ { a } , \phi _ { b } ^ { e } \right) a _ { N } \left( \phi _ { b } ^ { a } , \phi _ { b } ^ { e } \right) \right) \left( a _ { M } \left( \phi _ { r } ^ { a } , \phi _ { r } ^ { e } \right) \Theta \right) \rho _ { k } \Theta N \Theta ^ { H }
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( \Lambda ^ { t + 1 } ) - \mathcal { L } ( \Lambda ^ { t } ) = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { N } \mathbb { R } ( \langle \Lambda _ { j } ^ { t + 1 } - \Lambda _ { j } ^ { t } , u _ { j } ^ { t + 1 } - \mathcal { F } ( \omega ^ { t + 1 } \circ S _ { j } z ^ { t + 1 } ) \rangle ) } \\ { = } & { \sum _ { j \in n ^ { t } } \mathbb { R } ( \langle \Lambda _ { j } ^ { t + 1 } - \Lambda _ { j } ^ { t } , u _ { j } ^ { t + 1 } - \mathcal { F } ( \omega ^ { t + 1 } \circ S _ { j } z ^ { t + 1 } ) \rangle ) } \\ & { + \sum _ { j \not \in n ^ { t } } \mathbb { R } ( \langle \Lambda _ { j } ^ { t + 1 } - \Lambda _ { j } ^ { t } , u _ { j } ^ { t + 1 } - \mathcal { F } ( \omega ^ { t + 1 } \circ S _ { j } z ^ { t + 1 } ) \rangle ) } \\ { = } & { \frac { 1 } { \beta _ { 1 } } \sum _ { j \in n ^ { t } } \left\| \Lambda _ { j } ^ { t + 1 } - \Lambda _ { j } ^ { t } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } = \frac { 1 } { \beta _ { 1 } } \| \Lambda ^ { t + 1 } - \Lambda ^ { t } \| _ { 2 } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Theta _ { X \left\lvert { \mathscr { S } } \right. } \left( t \right) } & { \triangleq { \mathbb { P } } _ { X \left\lvert { \mathscr { S } } \right. } \left[ \left\lvert X - \mu \right\rvert \le t \right] , } \\ { \Lambda _ { U \left\lvert { \mathscr { S } } \right. } \left( t \right) } & { \triangleq { \mathbb { P } } _ { U \left\lvert { \mathscr { S } } \right. } \left[ \left\lvert X - \mu \right\rvert \le t \right] . } \end{array}
\beta ^ { - m / \alpha } { \frac { ( 1 + \kappa \nu ) ( 2 \kappa ) ^ { - m / \alpha } } { 1 + \kappa { \big ( } \nu + { \frac { m } { \alpha } } { \big ) } } } { \frac { \Gamma { \big ( } \nu + { \frac { m } { \alpha } } { \big ) } } { \Gamma ( \nu ) } } { \frac { \Gamma { \Big ( } { \frac { 1 } { 2 \kappa } } + { \frac { \nu } { 2 } } { \Big ) } } { \Gamma { \Big ( } { \frac { 1 } { 2 \kappa } } - { \frac { \nu } { 2 } } { \Big ) } } } { \frac { \Gamma { \Big ( } { \frac { 1 } { 2 \kappa } } - { \frac { \nu } { 2 } } - { \frac { m } { 2 \alpha } } { \Big ) } } { \Gamma { \Big ( } { \frac { 1 } { 2 \kappa } } + { \frac { \nu } { 2 } } + { \frac { m } { 2 \alpha } } { \Big ) } } }
\begin{array} { r l r l } { u ^ { s } \cdot n } & { = u ^ { d } \cdot n } & & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma ^ { I } \times J , } \\ { - 2 \mu ( \varepsilon ( u ^ { s } ) n ) ^ { t } } & { = \alpha \mu \kappa ^ { - 1 / 2 } ( u ^ { s } ) ^ { t } } & & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma ^ { I } \times J , } \\ { ( p ^ { s } n - 2 \mu \varepsilon ( u ^ { s } ) n ) \cdot n } & { = p ^ { d } } & & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma ^ { I } \times J , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } } & { : \ell _ { 2 e } ^ { c _ { l } } ( \mathbb { N } \times \mathbb { N } ) \to \mathbb { R } ^ { d _ { l } \cdot d _ { l } \cdot c _ { l } } , ( u ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) ) \mapsto y = \left( \begin{array} { l l l l l l l } { u ( 1 , 1 ) ^ { \top } } & { \cdots } & { u ( d _ { l } , 1 ) ^ { \top } } & { \cdots } & { u ( 1 , d _ { l } ) ^ { \top } } & { \cdots } & { u ( d _ { l } , d _ { l } ) ^ { \top } } \end{array} \right) ^ { \top } . } \end{array}
\mathbb { E } \{ | b _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} \mathbb { E } ^ { 2 } \{ | a _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} + \mathbb { E } \{ | b _ { \mathrm { y } } | ^ { 2 } \} | \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { \ast } a _ { \mathrm { y } } \} | ^ { 2 } + 2 \Re \{ \mathbb { E } \{ b _ { \mathrm { x } } ^ { \ast } b _ { \mathrm { y } } \} \mathbb { E } \{ | a _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } ^ { \ast } \} \}
\begin{array} { r l } & { \quad ( \hat { \lambda } , \ell ) \circ \sigma \circ ( u , v ) } \\ & { = ( \xi \circ \pi \circ \pi _ { 0 } \circ \sigma \circ ( u , v ) , ( \lambda \times \ell ) \circ \sigma \circ ( u , v ) ) } \\ & { = ( \xi \circ \pi \circ p \circ v , ( \lambda \times \ell ) \circ \sigma \circ ( u , v ) ) } \\ & { = ( \xi \circ p \circ T . \pi \circ v , ( \lambda \times \ell ) \circ \sigma \circ ( u , v ) ) } \\ & { = ( \xi \circ p \circ \varrho \circ u , ( \lambda \times \ell ) \circ \sigma \circ ( u , v ) ) } \\ & { = ( \xi \circ \pi \circ u , ( \lambda \times \ell ) \circ \sigma \circ ( u , v ) ) } \\ & { = ( \xi \circ \pi \circ u , T . \sigma \circ ( 0 \times c \circ T . \lambda ) \circ ( u , v ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { x } } _ { k + 1 } } & { = \hat { \mathbf { x } } _ { k } + \mathbf { d } _ { k } = \frac { 1 } { m - 1 } \left( ( m - 2 ) \hat { \mathbf { x } } _ { k } + \frac { 1 } { \hat { \mathbf { x } } _ { k } ^ { \top } \hat { \mathbf { y } } _ { k } } \hat { \mathbf { y } } _ { k } \right) , } \\ { \hat { \rho } _ { k + 1 } } & { = \hat { \rho } _ { k } + \delta _ { k } = \hat { \rho } _ { k } - \frac { 1 } { ( m - 1 ) \hat { \mathbf { x } } _ { k } ^ { \top } \hat { \mathbf { y } } _ { k } \| \hat { \mathbf { w } } _ { k } \| } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau ^ { b _ { 0 } } \| \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { n } + \vartheta ) \| _ { l _ { \tau } ^ { 6 } L ^ { 6 } } ^ { 3 } } & { \lesssim \tau ^ { b _ { 0 } - { \frac { 1 } { 4 } } - { \frac { 3 } { 2 } } ( { \frac { 1 } { 6 } } + \epsilon - s _ { 0 } ) - 3 ( { \frac { 1 } { 2 } } + \epsilon - ( 1 - b _ { 0 } ) ) } \| \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { n } + \vartheta ) \| _ { X _ { \tau } ^ { s _ { 0 } , 1 - b _ { 0 } } } ^ { 3 } } \\ & { \lesssim \tau ^ { - 2 b _ { 0 } + 1 + { \frac { 3 } { 2 } } s _ { 0 } - { \frac { 9 } { 2 } } \epsilon } \| \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { n } + \vartheta ) \| _ { X _ { \tau } ^ { s _ { 0 } , 1 - b _ { 0 } } } ^ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat \Theta _ { m } ( \mathbf { X } ; \mathbf { W } ) } & { = \frac { 1 } { { d } } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \lambda _ { m , j } A _ { j } } \\ & { = \frac { 1 } { { d } } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \lambda _ { m , j } ^ { ( 1 ) } A _ { j } + \frac { 1 } { { d } } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \lambda _ { m , j } ^ { ( 2 ) } A _ { j } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \vec { e } } } & { = { \frac { { \vec { v } } \times { \vec { h } } } { \mu } } - { \frac { \vec { r } } { \left| { \vec { r } } \right| } } = e { \vec { i } } } \\ & { = \left( { \frac { { \left| { \vec { v } } \right| } ^ { 2 } } { \mu } } - { \frac { 1 } { \left| { \vec { r } } \right| } } \right) { \vec { r } } - { \frac { { \vec { r } } \cdot { \vec { v } } } { \mu } } { \vec { v } } } \\ & { = { \frac { 1 } { \mu } } \left[ \left( { { \left| { \vec { v } } \right| } ^ { 2 } } - { \frac { \mu } { \left| { \vec { r } } \right| } } \right) { \vec { r } } - { ( { \vec { r } } \cdot { \vec { v } } ) } { \vec { v } } \right] } \end{array} }
G _ { \beta } ^ { \widetilde { T } } = \Lambda _ { - 1 } ( \widetilde { N } _ { \mathscr { F } _ { \beta } / \mathscr { X } _ { \zeta , v ( \beta ) } } ) ^ { \vee } = \prod _ { d _ { j } ( \beta ) \in \mathbb { Z } _ { < 0 } } \left( 1 - \iota _ { v } ^ { * } U _ { j } ^ { \widetilde { T } } \right) \; \in K _ { \widetilde { T } } \left( \mathscr { X } _ { \zeta , v ( \beta ) } \right)
\mathrm { r a n k } ( \mathbf { C } _ { \mathbf { u } } + \lambda \mathbf { J } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { r a n k } ( \mathbf { C } _ { \mathbf { u } } ) } & { \mathrm { i f } \quad ( \mu _ { 0 } + \ell \lambda ) \mu _ { 0 } \neq 0 , } \\ { \mathrm { r a n k } ( \mathbf { C } _ { \mathbf { u } } ) + 1 } & { \mathrm { i f } \quad \mu _ { 0 } = 0 \mathrm { ~ a n d ~ } \lambda \neq 0 , } \\ { \mathrm { r a n k } ( \mathbf { C } _ { \mathbf { u } } ) - 1 } & { \mathrm { i f } \quad \mu _ { 0 } + \ell \lambda = 0 \mathrm { ~ a n d ~ } \lambda \neq 0 , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { G _ { k } ( \mathbf { x } ) } & { = G _ { k + 1 } \big ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { k - 1 } , x _ { k } G _ { k } ^ { ( k ) } ( \mathbf { x } ) , x _ { k + 1 } , \ldots , x _ { t } \big ) } \\ & { \qquad + \frac { 1 } { k ! } \prod _ { j \in [ k ] } x _ { j } ^ { \binom { k } { j } } G _ { k } ^ { ( k ) } ( \mathbf { x } ) \left( 1 - G _ { k + 1 } ^ { ( k ) } \big ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { k - 1 } , x _ { k } G _ { k } ^ { ( k ) } ( \mathbf { x } ) , x _ { k + 1 } , \ldots , x _ { t } \big ) \right) . } \end{array}
\lambda { \mathcal V } _ { { \varepsilon } _ { 1 } , { \varepsilon } _ { 2 } } - { \varepsilon } _ { 1 } { \mathcal V } _ { { \varepsilon } _ { 1 } , { \varepsilon } _ { 2 } } ^ { \prime \prime } + c { \mathcal V } _ { { \varepsilon } _ { 1 } , { \varepsilon } _ { 2 } } ^ { \prime } - H _ { { \varepsilon } _ { 2 } } ( { \mathcal V } _ { { \varepsilon } _ { 1 } , { \varepsilon } _ { 2 } } ^ { \prime } ) = { \Theta } .
\begin{array} { r l } { \int a _ { \sharp } ^ { 2 } | W ( \widehat { \chi } _ { 1 } * { \widehat { u } } ) | ^ { 2 } } & { \lesssim \int a _ { \sharp } ^ { 2 } \left( | W _ { 0 } ( \widehat { \chi } _ { 1 } * { \widehat { u } } ) | ^ { 2 } + | \omega v ( \widehat { \chi } _ { 1 } * { \widehat { u } } ) | ^ { 2 } + | m v ( \widehat { \chi } _ { 1 } * { \widehat { u } } ) | ^ { 2 } \right) , } \\ & { \lesssim \iiiint _ { { \mathcal { W M } ^ { \star } } } a _ { \sharp } ^ { 2 } \left( | \chi _ { 1 } W _ { 0 } u | ^ { 2 } + | ( \partial _ { t } \chi _ { 1 } ) v u | ^ { 2 } + | \chi _ { 1 } v \partial _ { t } u | ^ { 2 } + | \chi _ { 1 } v \partial _ { \phi } u | ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | x a _ { n , x } - x | } & { = \left| \frac { ( a _ { n , x } ^ { 2 } - 1 ) x } { a _ { n , x } + 1 } \right| = \left| \left( \frac { b _ { n } } { 1 + b _ { n } x ^ { 2 } } \right) \left( \frac { x ^ { 3 } } { a _ { n , x } + 1 } \right) \right| \leq b _ { n } x ^ { 3 } = \frac { m ^ { 2 } ( n - 1 ) x ^ { 3 } } { ( n - m ) ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathscr E _ { - , 1 } ^ { \varepsilon } ( t ) \leq C _ { M } ( e ^ { - \frac { 1 } { C _ { M } } ( \frac { t } { \varepsilon } ) ^ { \frac { 2 } { 3 } } } \operatorname* { s u p } _ { t ^ { \prime } \in [ 0 , T ] } { \mathscr E _ { - , 2 } ^ { \varepsilon } ( t ^ { \prime } ) } + \varepsilon ^ { \frac { 5 } { 3 } } t ^ { \frac { 1 } { 3 } } ) } \end{array}
M _ { k } ^ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { F \qquad \mathrm { i f } \ \mathbf { 1 } _ { T _ { F } - T _ { C } } \left( ( \Phi _ { k } ^ { i } , y _ { k } ^ { i } ) \right) = 1 } \\ { C \qquad \mathrm { i f } \ \mathbf { 1 } _ { T _ { C } - T _ { F } } \left( ( \Phi _ { k } ^ { i } , y _ { k } ^ { i } ) \right) = 1 } \\ { M _ { k - r } ^ { i } \ \mathrm { i f } \ \left[ \prod _ { s = 0 } ^ { r - 1 } \mathbf { 1 } _ { T _ { C } \cap T _ { F } } \left( ( \Phi _ { k - s } ^ { i } , y _ { k - s } ^ { i } ) \right) \right] \times } \\ { \qquad \qquad \qquad \mathbf { 1 } _ { \bar { T } _ { C } \cup \bar { T } _ { F } } \left( ( \Phi _ { k - r } ^ { i } , y _ { k - r } ^ { i } ) \right) = 1 , \ r > 0 } \end{array} \right.
\mathrm { s i g n } _ { I _ { k } \cup \{ i \} \subset I } ^ { \zeta } \mathrm { s i g n } \left( \frac { \Lambda _ { l = 1 } ^ { k } \mathsf { D } _ { i _ { l } } \wedge \mathsf { D } _ { i } \wedge \iota _ { f } \Omega } { \Lambda _ { l = 1 } ^ { { \boldsymbol { \kappa } } } \mathsf { D } _ { i _ { l } } } \right) = \mathrm { s i g n } _ { I _ { k } \subset I } ^ { \zeta } \mathrm { s i g n } \left( \frac { \Lambda _ { l = 1 } ^ { k } \mathsf { D } _ { i _ { l } } \wedge \Omega } { \Lambda _ { l = 1 } ^ { { \boldsymbol { \kappa } } } \mathsf { D } _ { i _ { l } } } \right) .
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \mathbb { E } [ \| \nabla F ( x _ { k } ) \| ^ { 2 } ] } { ( k + k _ { 0 } ) ^ { a } } } & { \le O _ { \texttt { P } } ( 1 ) \cdot \sum _ { k } \frac { 1 } { ( k + k _ { 0 } ) ^ { 3 a - 2 c } } + O _ { \texttt { P } } ( \sigma _ { f } ^ { 2 } ) \cdot \sum _ { k } \frac { 1 } { ( k + k _ { 0 } ) ^ { - 2 c - a } } } \\ & { \quad + O _ { \texttt { P } } ( \sigma _ { g } ^ { 2 } ) \cdot \sum _ { k } \frac { 1 } { ( k + k _ { 0 } ) ^ { - 4 c + a } } + O _ { \texttt { P } } ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \nabla y _ { \lambda } ^ { * } ( x ) = - \left( \frac { 1 } { \lambda } \nabla _ { y y } ^ { 2 } f ( x , y _ { \lambda } ^ { * } ( x ) ) + \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x , y _ { \lambda } ^ { * } ( x ) ) \right) ^ { - 1 } \left( \frac { 1 } { \lambda } \nabla _ { x y } ^ { 2 } f ( x , y _ { \lambda } ^ { * } ( x ) ) + \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x , y _ { \lambda } ^ { * } ( x ) ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| S _ { f } ( a , b - a ) \right| ^ { 2 } } & { \le \left( h - 1 + \frac { q } { a } \right) \Bigg ( \frac { ( h - 1 ) a ^ { 2 } } { q } + \frac { 1 8 0 0 } { 2 9 1 1 } c _ { 3 } a ^ { 4 / 5 } ( q t ) ^ { 1 1 / 3 0 } } \\ & { \quad + \frac { 2 8 8 0 0 } { 5 4 4 8 1 } c _ { 4 } a ^ { 9 / 2 0 } ( q t ) ^ { 6 1 / 1 2 0 } + \frac { 8 } { 3 } E _ { 4 } \frac { a ^ { 5 / 2 } } { ( t q ) ^ { 1 / 2 } } + \frac { 9 } { 1 4 } E _ { 5 } a ^ { 2 / 3 } ( t q ) ^ { 1 / 3 } + E _ { 6 } a \Bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | J _ { 1 } ( u _ { 1 } ) - J _ { 1 } ( u _ { 2 } ) | } \\ & { \leq \ensuremath { { \mathbb E } } ^ { \mu } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Lambda } | l ( t , x , u _ { 1 } ( t , x ) ) - l ( t , x , u _ { 2 } ( t , x ) ) | d x d t \right] } \\ & { \quad + \ensuremath { { \mathbb E } } ^ { \mu } \left[ \int _ { \Lambda } | m ( x , u _ { 1 } ( T , x ) ) - m ( x , u _ { 2 } ( T , x ) ) | d x \right] } \\ & { \leq C \, \ensuremath { { \mathbb E } } ^ { \mu } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Lambda } \left( 1 + | u _ { 1 } ( t , x ) | + | u _ { 2 } ( t , x ) | \right) | u _ { 1 } ( t , x ) - u _ { 2 } ( t , x ) | d x d t \right] } \\ & { \quad + C \, \ensuremath { { \mathbb E } } ^ { \mu } \left[ \int _ { \Lambda } \left( 1 + | u _ { 1 } ( T , x ) | + | u _ { 2 } ( T , x ) | \right) | u _ { 1 } ( T , x ) - u _ { 2 } ( T , x ) | d x \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } [ \| x ^ { k } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| ^ { 2 } ] = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \Big [ \Big \| \sum _ { l = 1 } ^ { \tau _ { k } } x ^ { k + 1 - l } - x ^ { k - l } \Big \| ^ { 2 } \Big ] } \\ { \leq } & { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \tau _ { k } \sum _ { l = 1 } ^ { \tau _ { k } } \mathbb { E } [ \| x ^ { k + 1 - l } - x ^ { k - l } \| ^ { 2 } ] } \\ { \leq } & { \frac { 4 ( L _ { f } + L _ { \omega } ) ^ { 2 } } { \gamma ^ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \tau _ { k } ^ { 2 } , } \end{array}
\Psi _ { 0 } [ \phi ] = \operatorname* { d e t } ^ { \frac { 1 } { 4 } } \left( { \frac { K } { \pi } } \right) \; e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } \int d { \vec { x } } \int d { \vec { y } } \, \phi ( { \vec { x } } ) K ( { \vec { x } } , { \vec { y } } ) \phi ( { \vec { y } } ) } = \operatorname* { d e t } ^ { \frac { 1 } { 4 } } \left( { \frac { K } { \pi } } \right) \; e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } \phi \cdot K \cdot \phi } ,
\begin{array} { r } { ( \omega _ { a b } ) = \frac { j } { 2 \vert x \vert ^ { 3 } } \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { x ^ { 3 } } & { - x ^ { 2 } } \\ { - x ^ { 3 } } & { 0 } & { x ^ { 1 } } \\ { x ^ { 2 } } & { - x ^ { 1 } } & { 0 } \end{array} \right) = \frac { N - 1 } { 4 \vert x \vert ^ { 2 } } \left( \sum _ { c } \epsilon ^ { a b c } \frac { x ^ { c } } { \vert x \vert } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot \left( q \nabla \frac { \delta C } { \delta \omega } \right. } & { + \left. q \nabla ^ { \perp } \frac { \delta C } { \delta D } + \nabla \frac { \delta C } { \delta \eta } + r \nabla \frac { \delta C } { \delta b } \right) = \nabla \cdot \Big ( q \nabla \Psi + \nabla \big ( \Phi - r \Phi ^ { \prime } - r q \Psi ^ { \prime } \big ) + r \nabla ( \Phi ^ { \prime } + q \Psi ^ { \prime } ) \Big ) } \\ & { \quad = \nabla \cdot \Big ( q \nabla \Psi - r \nabla ( q \Psi ^ { \prime } ) - q \Psi ^ { \prime } \nabla r + r \nabla ( q \Psi ^ { \prime } ) \Big ) } \\ & { \quad = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x \in \{ u > 0 \} , y \in \{ u \le 0 \} \implies | u ( x ) - u ( y ) | = \Big | \frac { 1 } { a } a u ( x ) - \frac { 1 } { b } b u ( y ) \Big | } & { = \Big | \frac { 1 } { a } \mathcal { T } _ { a , b } ( u ) ( x ) - \frac { 1 } { b } \mathcal { T } _ { a , b } ( u ) ( y ) \Big | } \\ & { \le \frac { 1 } { \operatorname* { m i n } ( a , b ) } [ \mathcal { T } _ { a , b } ( u ) ] _ { C ^ { 0 , \alpha } ( D ) } | x - y | ^ { \alpha } } \end{array}
\begin{array} { r } { \Psi _ { 1 } ^ { T } M \Psi _ { 1 } h = \Psi _ { 1 } ^ { T } \Lambda _ { - \frac { 1 } 2 + a _ { 1 } } ^ { \alpha - 1 } \Psi _ { 1 } h + \Psi _ { 1 } ^ { T } \left[ \left( \frac { T _ { \alpha } } { 4 } + a _ { 2 } \right) \Psi _ { 1 } h \right] + \Psi _ { 1 } ^ { T } \Upsilon _ { a _ { 3 } } ^ { \alpha - 3 } \Psi _ { 1 } h . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { ( - 1 ) ^ { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } } n ^ { n } ( n - 1 ) ^ { n - 1 } t ^ { n - 1 } ( 1 - t ) } & { = ( - 1 ) ^ { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } } n ^ { n } ( n - 1 ) ^ { n - 1 } t ^ { n - 1 } \left( 1 - { \frac { 1 } { 1 + ( - 1 ) ^ { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } } ( n - 1 ) u ^ { 2 } } } \right) } \\ & { = ( - 1 ) ^ { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } } n ^ { n } ( n - 1 ) ^ { n - 1 } t ^ { n - 1 } \left( { \frac { \left( 1 + ( - 1 ) ^ { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } } ( n - 1 ) u ^ { 2 } \right) - 1 } { 1 + ( - 1 ) ^ { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } } ( n - 1 ) u ^ { 2 } } } \right) } \\ & { = ( - 1 ) ^ { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } } n ^ { n } ( n - 1 ) ^ { n - 1 } t ^ { n - 1 } \left( { \frac { ( - 1 ) ^ { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } } ( n - 1 ) u ^ { 2 } } { 1 + ( - 1 ) ^ { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } } ( n - 1 ) u ^ { 2 } } } \right) } \\ & { = ( - 1 ) ^ { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } } n ^ { n } ( n - 1 ) ^ { n - 1 } t ^ { n - 1 } \left( t ( - 1 ) ^ { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } } ( n - 1 ) u ^ { 2 } \right) } \\ & { = n ^ { n } ( n - 1 ) ^ { n } t ^ { n } u ^ { 2 } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \frac { d \hat { \pi } } { d \tau } } & { = - \frac { \hat { \pi } } { \tau _ { \pi } } + \frac { 4 } { 1 5 \tau } - \frac { 1 0 } { 2 1 } \frac { \hat { \pi } } { \tau } - \frac { 4 } { 3 } \frac { \hat { \pi } ^ { 2 } } { \tau } - \frac { 1 } { 7 2 } \frac { \hat { \varphi } } { \tau } , } \\ { \frac { d \hat { \varphi } } { d \tau } } & { = - \frac { \hat { \varphi } } { \tau _ { \Theta } } + \frac { 7 6 8 } { 3 5 } \frac { \hat { \pi } } { \tau } - \frac { 6 0 } { 7 7 } \frac { \hat { \varphi } } { \tau } - 2 \frac { \hat { \varphi } \hat { \pi } } { \tau } , } \end{array}
f _ { \ensuremath { \mathbf { R } } _ { \ell } | \ensuremath { \mathbf { S } } _ { \ell } } \left( \ensuremath { \mathbf { r } } _ { \ell } | \ensuremath { \mathbf { e } } _ { g } \right) = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { \frac { q } { 2 } } \tau ^ { q } } \exp \left( - \frac { \left\| \ensuremath { \mathbf { r } } _ { \ell } - \ensuremath { \mathbf { e } } _ { g } \right\| ^ { 2 } } { 2 \tau ^ { 2 } } \right) .
\vert \vert F _ { t , \kappa } - F _ { t , \widehat { \kappa } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } = O ( \frac { | \kappa - \widehat { \kappa } | ^ { \frac { 1 } { 2 } } } { \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } + \frac { 1 } { 2 } } } ) = O _ { p } ( \frac { T ^ { - \frac { r } { 2 r + p } } } { \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } + \frac { 1 } { 2 } } } \log ^ { \frac { r } { 2 r + p } } ( T ) ) ) ,
\begin{array} { r l } { \hat { \mu } ^ { 3 j } D _ { x _ { 3 } } ^ { a + 1 } \tilde { H } _ { j } } & { = D _ { x _ { 3 } } ^ { a } \Bigg ( - \hat { \mu } ^ { \tilde { i } j } D _ { x _ { \tilde { i } } } \tilde { H } _ { j } + x _ { 3 } ^ { \kappa } e _ { \mu } ^ { \tilde { i } j } D _ { x _ { \tilde { i } } } H _ { j } + x _ { 3 } ^ { \kappa } e _ { \mu } ^ { 3 j } D _ { x _ { 3 } } H _ { j } } \\ & { - i \kappa x _ { 3 } ^ { \kappa - 1 } \left( e _ { \mu } ^ { 3 j } + \frac { r _ { \mu } \hat { \mu } ^ { 3 j } } { \sqrt { \vert \hat { \mu } ^ { - 1 } \vert } } \right) H _ { j } \Bigg ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Gamma _ { e } = \frac { \partial U } { \partial Q } = \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \rho I _ { 3 \times 3 } } & { \vec { u } \delta \rho } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] , } & { } & { \Gamma = \left[ \begin{array} { l l l } { \frac { 1 } { \beta \rho _ { m } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \rho _ { m } I _ { 3 \times 3 } } & { \vec { u } \delta \rho } \\ { \frac { \alpha _ { l } } { \beta \rho _ { m } } } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { a b c } = \ } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } d y \ \frac { \left( 1 - y ^ { 2 } \right) ^ { a - 1 / 2 } } { y ^ { b - 1 } } \left( \frac { s Z \alpha y } { 1 + s Z \alpha y } \right) ^ { c - 2 \epsilon } } \\ { = \ } & { \frac { 1 } { 2 } ( s Z \alpha ) ^ { c - 2 \epsilon } B \left( a + \frac { 1 } { 2 } , 1 - \frac { b - c } { 2 } - \epsilon \right) } \\ & { \times _ { 3 } F _ { 2 } \left( \frac { c } { 2 } - \epsilon , \frac { c + 1 } { 2 } - \epsilon , 1 - \frac { b - c } { 2 } - \epsilon ; \frac { 1 } { 2 } , a + \frac { 3 - b + c } { 2 } - \epsilon ; ( s Z \alpha ) ^ { 2 } \right) } \\ & { - \frac { c - 2 \epsilon } { 2 } ( s Z \alpha ) ^ { c + 1 - 2 \epsilon } B \left( a + \frac { 1 } { 2 } , \frac { 3 - b + c } { 2 } - \epsilon \right) } \\ & { \times _ { 3 } F _ { 2 } \left( \frac { c } { 2 } + 1 - \epsilon , \frac { c + 1 } { 2 } - \epsilon , \frac { 3 - b + c } { 2 } - \epsilon ; \frac { 3 } { 2 } , a + 2 - \frac { b - c } { 2 } - \epsilon ; ( s Z \alpha ) ^ { 2 } \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { M } _ { \Phi } = \frac { 1 } { 2 } \Big ( \mathbf { F } _ { 1 } - \mathcal { D } _ { \Phi } ^ { \mathcal { N } } ( \mathbf { R } ) \mathbf { R } _ { 0 } ^ { - 1 } } & { - \mathbb { E } _ { \mathcal { N } ( \mathbf { 0 } , \mathbf { R } ) } \left[ \alpha ^ { \prime } ( \mathbf { X } ) \right] \left( \mathbf { R } ^ { - 1 } - \mathbf { R } _ { 0 } ^ { - 1 } \right) } \\ & { + \mathbf { R } ^ { - 1 } \mathbb { E } _ { \mathcal { N } ( \mathbf { 0 } , \mathbf { R } ) } \left[ \alpha ^ { \prime } ( \mathbf { X } ) \mathbf { X } \mathbf { X } ^ { \mathrm { T } } \right] \mathbf { R } ^ { - 1 } - \mathbf { F } _ { 2 } \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { P } ( \boldsymbol { \theta } , \mathbf { z } _ { i } ) } & { = \frac { d i s t _ { H } ( \mathbf { z } _ { i } , \mathbf { z _ { 0 } } , d _ { 0 } ) } { v _ { P } } + t _ { 0 } + \mu } \\ { \mu _ { S } ( \boldsymbol { \theta } , \mathbf { z } _ { i } ) } & { = \frac { d i s t _ { H } ( \mathbf { z } _ { i } , \mathbf { z _ { 0 } } , d _ { 0 } ) } { v _ { S } } + t _ { 0 } + \mu . } \end{array}
K ( \varphi _ { u _ { 2 } } \wedge \varphi _ { v _ { 2 } } ) = \left| \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { - \frac { \alpha } { \Delta } } & { 0 } & { - \frac { \beta } { \Delta } } \\ { \frac { \alpha } { \Delta } } & { - \frac { \delta } { \Delta } } & { \frac { \beta } { \Delta } } & { \frac { \alpha } { \Delta } } \\ { \frac { \delta } { \Delta } } & { 0 } & { - \frac { \alpha } { \Delta } } & { 0 } \end{array} \right| = 0
\begin{array} { r l } { \left| Z _ { j } ( v ) - Z ( v ) \right| = } & { \left| \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } Z ( v ( \cdot - x ) ) j ^ { n } \phi \left( j x \right) \, d x - \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } Z ( v ) j ^ { n } \phi \left( j x \right) \, d x \right| } \\ { \le } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \left| Z ( v ( \cdot - x ) ) - Z ( v ) \right| j ^ { n } \phi \left( j x \right) \, d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | X ^ { I } p _ { 3 } ^ { n } ( e ) | } & { \leq \sum _ { \delta \in A : \ d ( I ) - \beta < \delta < \gamma } \left| \big ( \Pi _ { x } \mathcal { Q } _ { \delta } ( \Gamma _ { x , y } f ( y ) - f ( x ) \big ) ( X _ { 1 } ^ { I } K ( x , \cdot ) ) \right| } \\ & { \lesssim \sum _ { \delta \in A : \ d ( I ) - \beta < \delta < \gamma } | y ^ { - 1 } x | ^ { \gamma - \delta } 2 ^ { - n ( \beta + \delta - d ( I ) ) } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial \partial _ { J } \beta \wedge \overline { { \Omega } } { \mathstrut } ^ { n } = } & { n \partial \partial _ { J } \overline { { \partial } } u \wedge \overline { { \partial _ { J } } } u \wedge \overline { { \Omega } } { \mathstrut } ^ { n - 1 } + n \partial _ { J } \overline { { \partial } } u \wedge \partial \overline { { \partial _ { J } } } u \wedge \overline { { \Omega } } { \mathstrut } ^ { n - 1 } } \\ & { - n \partial \overline { { \partial } } u \wedge \partial _ { J } \overline { { \partial _ { J } } } u \wedge \overline { { \Omega } } { \mathstrut } ^ { n - 1 } + n \overline { { \partial } } u \wedge \partial \partial _ { J } \overline { { \partial _ { J } } } u \wedge \overline { { \Omega } } { \mathstrut } ^ { n - 1 } . } \end{array}
E _ { \mathrm { h f s } } ( 2 S , \mu \mathrm { H } ) = \Big [ 2 2 . 9 5 8 4 ( 8 ) \underbrace { - 0 . 1 6 3 1 9 ( 2 ) \left( \frac { R _ { \mathrm { Z } } } { \mathrm { f m } } \right) + \frac { E _ { \mathrm { F } } } { 8 } \, \Big ( 1 . 0 1 5 8 0 ( 4 ) \, \Delta _ { \mathrm { r e c o i l } } + 1 . 0 0 3 2 6 \, \Delta _ { \mathrm { p o l . } } \Big ) } _ { \mathrm { T P E ~ i n c l u d i n g ~ r a d i a t i v e ~ c o r r e c t i o n s } } \Big ] \, \mathrm { m e V } ,
\begin{array} { r l } { 0 } & { \leq \mathcal N ( \hat { \boldsymbol { \beta } } - { \boldsymbol { \beta } } ) + 2 ( \mathcal N ( { \boldsymbol { \beta } } ) - \mathcal N ( \hat { \boldsymbol { \beta } } ) ) } \\ & { \leq \mathcal N ( \hat { \boldsymbol { v } } ) + 2 \sum _ { \ell = 1 } ^ { L _ { 0 } } \sqrt { | { \mathcal G } _ { \ell } | } \cdot | \! | \boldsymbol { v } | \! | _ { { \mathcal G } _ { \ell } } - 2 \sum _ { \ell = L _ { 0 } + 1 } ^ { L } \sqrt { | { \mathcal G } _ { \ell } | } \cdot | \! | \boldsymbol { v } | \! | _ { { \mathcal G } _ { \ell } } } \\ & { = 3 \sum _ { \ell = 1 } ^ { L _ { 0 } } \sqrt { | { \mathcal G } _ { \ell } | } \cdot | \! | \boldsymbol { v } | \! | _ { { \mathcal G } _ { \ell } } - \sum _ { \ell = L _ { 0 } + 1 } ^ { L } \sqrt { | { \mathcal G } _ { \ell } | } \cdot | \! | \boldsymbol { v } | \! | _ { { \mathcal G } _ { \ell } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Vert \mathcal { E } _ { 1 } ( t _ { n } ) \Vert _ { X _ { \tau } ^ { 0 , b _ { 0 } - 1 } } } & { \lesssim \left\Vert \Pi _ { \tau } \int _ { 0 } ^ { \tau } ( e ^ { - i \vartheta \Delta } - 1 ) ( | \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { n } + \vartheta ) | ^ { 2 } \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { n } + \vartheta ) ) \right\Vert _ { X _ { \tau } ^ { 0 , b _ { 0 } - 1 } } } \\ & { \lesssim \tau ^ { 1 + \frac { s _ { 0 } } { 2 } } \operatorname* { s u p } _ { \vartheta \in [ 0 , \tau ] } \Vert \Pi _ { \tau } ( | \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { n } + \vartheta ) | ^ { 2 } \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { n } + \vartheta ) ) \Vert _ { X _ { \tau } ^ { s _ { 0 } , b _ { 0 } - 1 } } } \\ & { \lesssim \tau ^ { 1 + \frac { s _ { 0 } } { 2 } } \operatorname* { s u p } _ { \vartheta \in [ 0 , \tau ] } \Vert u ^ { \tau } ( t _ { n } + \vartheta ) \Vert _ { X _ { \tau } ^ { s _ { 0 } , 1 - b _ { 0 } } } ^ { 3 } , } \end{array}
\mathcal { G } _ { b } ( \tau ) = e ^ { - \frac { \tau } { \cos { \alpha _ { 0 } } } } + \frac { \omega } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \tau _ { h } } ( \mathcal { G } _ { b } ( \tau ^ { \prime } ) E 1 ( | \tau - \tau ^ { \prime } | ) + s g n ( \tau - \tau ^ { \prime } ) A q _ { b } ( \tau ^ { \prime } ) E 2 ( | \tau - \tau ^ { \prime } | ) d \tau ^ { \prime } ,
\begin{array} { r l } & { \left[ \begin{array} { l l } { - X ^ { - \frac { 1 } { 2 } } A ^ { H } X ^ { \frac { 1 } { 2 } } X ^ { \frac { 1 } { 2 } } A X ^ { - \frac { 1 } { 2 } } + I - X ^ { - \frac { 1 } { 2 } } C ^ { H } C X ^ { - \frac { 1 } { 2 } } } & { - X ^ { - \frac { 1 } { 2 } } A ^ { H } X ^ { \frac { 1 } { 2 } } X ^ { \frac { 1 } { 2 } } B - X ^ { - \frac { 1 } { 2 } } C ^ { H } D } \\ { - D ^ { H } C X ^ { - \frac { 1 } { 2 } } - B ^ { H } X ^ { \frac { 1 } { 2 } } X ^ { \frac { 1 } { 2 } } A X ^ { - \frac { 1 } { 2 } } } & { I - D ^ { H } D - B ^ { H } X ^ { \frac { 1 } { 2 } } X ^ { \frac { 1 } { 2 } } B } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l } { - \widetilde { A } ^ { H } \widetilde { A } + I - \widetilde { C } ^ { H } \widetilde { C } } & { - \widetilde { A } ^ { H } \widetilde { B } - \widetilde { C } ^ { H } D } \\ { - \widetilde { B } ^ { H } \widetilde { A } - D ^ { H } \widetilde { C } } & { I - D ^ { H } D - \widetilde { B } ^ { H } \widetilde { B } } \end{array} \right] } \\ & { = I - \left[ \begin{array} { l l } { \widetilde { A } } & { \widetilde { B } } \\ { \widetilde { C } } & { D } \end{array} \right] ^ { H } \left[ \begin{array} { l l } { \widetilde { A } } & { \widetilde { B } } \\ { \widetilde { C } } & { D } \end{array} \right] \geq 0 . } \end{array}
\overline { { \mathrm { I U I } } } _ { j k } ^ { \mathrm { c o n v } } = \sum _ { m \neq k } ^ { K } \frac { ( \beta _ { j j k } - t _ { j j k } ^ { \mathrm { F R } } ) } { t _ { j j m } ^ { \mathrm { F R } } ( M - K ) } + \sum _ { l \neq j } ^ { L } \sum _ { m \neq k } ^ { K } \frac { \zeta _ { j } ^ { \mathrm { F R } } \beta _ { l j k } } { \zeta _ { l } ^ { \mathrm { F R } } t _ { l l m } ^ { \mathrm { F R } } ( M - K ) } + \sum _ { l \neq j } ^ { L } \frac { \zeta _ { j } ^ { \mathrm { F R } } \beta _ { l j k } } { \zeta _ { l } ^ { \mathrm { F R } } t _ { l l k } ^ { \mathrm { F R } } ( M - K ) } \left( 1 - \frac { t _ { l l k } ^ { \mathrm { F R } } \beta _ { l j k } } { \beta _ { l l k } ^ { 2 } } \right)
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } \int _ { \sigma } ^ { \tau } } & { | \nabla \phi ^ { r } ( X ( t ) ) - I ( x \in B _ { R } ) \nabla \phi ^ { r } ( x ) | ^ { 2 } d t d \pi } \\ & { \le \operatorname* { s u p } _ { \bar { B } _ { R } } | \nabla \phi ^ { r } | ^ { 2 } \pi \big ( \Omega \cap \{ \exists s \in [ 0 , 1 ] \; X ( s ) \in \partial B _ { R } \} \big ) } \\ & { + \operatorname* { s u p } _ { \bar { B } _ { R } } | \nabla ^ { 2 } \phi ^ { r } | ^ { 2 } \int _ { \Omega } | x - y | ^ { 2 } d \pi . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { \lambda } ^ { \prime } ( v ) \psi } & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { N } } | D v | ^ { p - 2 } D v D \psi d x - \lambda \int _ { \mathbb { R } ^ { N } } V \frac { | G ^ { - 1 } ( v ) | ^ { k - 2 } G ^ { - 1 } ( v ) } { g ( G ^ { - 1 } ( v ) ) } \psi d x } \\ & { \qquad \qquad - \beta \int _ { \mathbb { R } ^ { N } } K \frac { | G ^ { - 1 } ( v ) | ^ { \alpha p ^ { * } - 2 } G ^ { - 1 } ( v ) } { g ( G ^ { - 1 } ( v ) ) } \psi d x . } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } S } { \partial x \partial y } = \frac { \partial ^ { 2 } S } { \partial y \partial x } = - \frac { \partial \lambda } { \partial y } \frac { \partial R } { \partial y } - \lambda \frac { \partial ^ { 2 } R } { \partial y ^ { 2 } } = \frac { \partial \lambda } { \partial x } \frac { \partial R } { \partial x } + \lambda \frac { \partial ^ { 2 } R } { \partial x ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \int _ { B _ { r } \setminus B _ { \varepsilon } } ( p - 1 ) } & { | \nabla \phi ( x ) \cdot y | ^ { p - 2 } y ^ { T } D ^ { 2 } \phi ( x ) y \frac { \, \mathrm { d } y } { | y | ^ { d + s p } } } \\ & { = c ^ { p - 2 } \int _ { \varepsilon } ^ { r } \rho ^ { - d - s p } ( p - 1 ) \int _ { \partial B _ { \rho } } | y _ { 1 } | ^ { p - 2 } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { d } y _ { i } ^ { 2 } D _ { i i } \phi ( x ) \right) \, \mathrm { d } \sigma ( y ) \, \mathrm { d } \rho . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { X _ { i j } ^ { ( 0 ) } } & { = \sigma _ { 0 } \otimes E _ { i j } ^ { - } , } & { Y _ { i j } ^ { ( 0 ) } } & { = \sigma _ { 2 } \otimes E _ { i j } ^ { + } , } \\ { X _ { i j } ^ { ( 1 ) } } & { = i \sigma _ { 0 } \otimes E _ { i j } ^ { + } , } & { Y _ { i j } ^ { ( 1 ) } } & { = i \sigma _ { 2 } \otimes E _ { i j } ^ { - } . } \end{array}
\langle M _ { 1 2 } ^ { \mathring { A } _ { 1 } } \mathring { \Phi } \rangle = \langle { \mathcal { B } } _ { 1 2 } ^ { - 1 } [ M _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } M _ { 2 } ] \mathring { \Phi } \rangle = \langle M _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } M _ { 2 } { \mathcal { X } } _ { 1 2 } [ \mathring { \Phi } ] \rangle = \langle M _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } M _ { 2 } \mathring { \Phi } \rangle = \langle \mathring { A } _ { 1 } M _ { 2 } U _ { 2 } \rangle
\begin{array} { r l r l } { { 3 } } & { { \mathbf V } _ { i \perp } = ~ 0 \qquad } & & { \mathrm { o n } \quad \Gamma ^ { P W } , } \\ & { \Phi \qquad } & & { \mathrm { c o n t i n o u s ~ a c r o s s } \quad \Gamma ^ { P W } , } \\ & { \boldsymbol { \tau } \times \mathbf { n } \qquad } & & { \mathrm { c o n t i n o u s ~ a c r o s s } \quad \Gamma ^ { P W } . } \\ & { { \mathbf B } \cdot \mathbf { n } \qquad } & & { \mathrm { c o n t i n o u s ~ a c r o s s } \quad \Gamma ^ { P W } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { N } - \delta } & { = \frac { 1 - \delta + 2 \gamma _ { 0 } L N \frac { \delta ^ { 2 } } { 4 L ^ { 2 } } } { 1 + 2 \gamma _ { 0 } N \frac { \delta } { 2 L } } = \frac { 2 L ( 1 - \delta ) + \gamma _ { 0 } N \delta ^ { 2 } } { 2 L + 2 \gamma _ { 0 } N \delta } } \\ & { \leq \frac { L } { \gamma _ { 0 } N \delta } + \frac { \delta } { 2 } \leq \frac { L } { \gamma _ { 0 } N ( \delta ) \delta } + \frac { \delta } { 2 } = \delta , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle P u , v \rangle } & { = \langle P \chi _ { \tau } ( \rho ) u , v \rangle + \langle P ( 1 - \chi _ { \tau } ( \rho ) ) u , v \rangle } \\ & { = \langle P \chi _ { \tau } ( \rho ) u , v \rangle + \langle ( 1 - \chi _ { \tau } ( \rho ) ) u , P ^ { * } v \rangle } \\ & { = \langle P \chi _ { \tau } ( \rho ) u , v \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { M a p s } ^ { 0 } ( \Sigma _ { P } , \mathbb { C } ^ { n } , T _ { \gamma } ) : = \bigg \{ u \in C ^ { 0 } ( \Sigma , \mathbb { C } ^ { n } , T _ { \gamma } ) \bigg | } & { \exists K , m , R _ { u } > 0 , c _ { R } \mathrm { ~ a ~ R e e b ~ c h o r d } , } \\ & { \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t ~ } } \\ & { u \circ \phi _ { p , \pm } ^ { - 1 } ( s , t ) = K e ^ { \pm m s } c _ { R } ( \pm m t ) } \\ & { \mathrm { ~ f o r ~ } | s | > R _ { u } \bigg \} . } \end{array}
( d - 2 k ) \partial _ { \rho } ^ { k - 1 } \psi _ { j i } = \frac { ( - 1 ) ^ { k - 1 } \Gamma ( d / 2 - k + 1 ) } { 2 ^ { k - 2 } \Gamma ( d / 2 - 1 ) } ( \Delta ^ { k - 1 } \psi _ { j i } - \Delta ^ { k - 2 } \hat { \nabla } _ { i } \hat { \nabla } _ { k } \psi ^ { k } _ { j } + { \cdots } ) + 2 \rho \partial _ { \rho } ^ { k } \psi _ { i j } + O ( \rho ) \, ,
0 \leq G ( X , Y ) \lesssim \left\{ \begin{array} { l l l } { | X - Y | ^ { 1 - n } , } & { \qquad n \geq 2 , } & { \qquad X \neq Y , } \\ { 1 , } & { \qquad n = 1 , } & { \qquad | X - Y | \geq \delta ( Y ) / 1 0 , } \\ { \log \big ( \frac { \delta ( Y ) } { | X - Y | } \big ) , } & { \qquad n = 1 , } & { \qquad | X - Y | \leq \delta ( Y ) / 2 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { C _ { N } } { N ! } } & { = 1 + \sum _ { p = 2 } ^ { \infty } \underbrace { \vphantom { \sum _ { ( \pi _ { 1 } , G _ { 1 } ) \textnormal { l i n k e d } } } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } } _ { \# \textnormal { l n k . c p s . } } \frac { 1 } { k ! } \underbrace { \vphantom { \sum _ { ( \pi _ { 1 } , G _ { 1 } ) \textnormal { l i n k e d } } } \sum _ { p _ { 1 } \geq 2 } \cdots \sum _ { p _ { k } \geq 2 } } _ { \textnormal { s i z e s l i n k e d c p s . } } \chi _ { ( \sum p _ { \ell } = p ) } \underbrace { \sum _ { ( \pi _ { 1 } , G _ { 1 } ) \in \mathcal { L } _ { p _ { 1 } } } \cdots \sum _ { ( \pi _ { k } , G _ { k } ) \in \mathcal { L } _ { p _ { k } } } } _ { \textnormal { l i n k e d c o m p o n e n t s } } \frac { \Gamma _ { \pi _ { 1 } , G _ { 1 } } } { p _ { 1 } ! } \cdots \frac { \Gamma _ { \pi _ { k } , G _ { k } } } { p _ { k } ! } } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { i = 1 } ^ { M } \operatorname { t r } \left[ \rho _ { A _ { i } } ^ { 2 } - \sigma _ { A _ { i } } ^ { 2 } \right] = \operatorname { t r } \left[ O ( \rho ^ { \otimes 2 } - \sigma ^ { \otimes 2 } ) \right] \leq \| O \| _ { \operatorname { L i p } } W _ { 1 } ( \rho ^ { \otimes 2 } , \sigma ^ { \otimes 2 } ) = 2 \| O \| _ { \operatorname { L i p } } W _ { 1 } ( \rho , \sigma ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \mathcal { Y } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } { y ^ { \alpha } \rho ^ { - 2 } | \mathcal { U } | ^ { 2 } \, d x } d y } & { \leq C \left( \int _ { 0 } ^ { \mathcal { Y } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } { y ^ { \alpha } | \nabla \mathcal { U } | ^ { 2 } \, d x } d y + | 3 - d | \| \mathrm { t r _ { 0 } } \mathcal { U } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { | L I S ( \sigma | _ { \mathcal { R } _ { s } } ) - \sqrt { 2 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } | \leq 2 0 L ^ { 1 \slash 2 } e ^ { - L } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } + 5 0 0 0 L ^ { 2 } e ^ { 2 L } } \\ & { } & { + \sqrt { 2 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \operatorname* { m a x } \Big \{ e ^ { 4 L ^ { - 1 } } ( 1 + C _ { L } r _ { s } ^ { - 1 \slash 1 0 } ) ^ { 1 \slash 2 } ( 1 + \operatorname* { m a x } \{ c _ { L } \beta _ { n } ^ { - 1 } \Psi _ { s } , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) - 1 , } \\ & { } & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 1 - e ^ { - 6 L ^ { - 1 } } \Psi _ { s } ^ { 1 \slash 2 } ( 1 - \operatorname* { m a x } \{ c _ { L } \beta _ { n } ^ { - 1 } \Psi _ { s } , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) \Big \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t + 1 ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } _ { + } ~ \rangle - \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } _ { + } ~ \rangle \ge } & { ~ c _ { \eta } ( I _ { 1 } - | I _ { 2 } | ) } \\ { \ge } & { ~ c _ { \eta } \cdot ( \alpha - \sigma \sqrt { \frac { ( 1 + r ^ { 2 } ) \log q } { | \mathcal { D } | } } ) . } \end{array}
Y _ { i } = \frac { \langle f _ { [ s _ { k } + 1 , \eta _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { { h _ { 2 } } } - f _ { [ \eta _ { k } + 1 , e _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } , F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { [ \eta _ { k } + 1 , e _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \rangle _ { L _ { 2 } } } { \kappa _ { k } \mathbb { E } ( \vert \vert F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \vert \vert _ { L ^ { 2 } } ^ { 3 } ) ^ { 1 / 3 } } .
\begin{array} { r l } & { h _ { i \nu } = h _ { \theta } ( { \boldsymbol { r } } _ { i } , \lbrace { \boldsymbol { r } } \rbrace , \lbrace { \boldsymbol { R } } \rbrace , \lbrace { \boldsymbol { Z } } \rbrace ) _ { \nu } } \\ & { \varphi _ { \theta } ^ { d } ( { \boldsymbol { r } } _ { i } , { \boldsymbol { R } } _ { I } , { \boldsymbol { c } } _ { I k } ) = \exp \left( - | { \boldsymbol { r } } _ { i } - { \boldsymbol { R } } _ { I } | \, g _ { \theta } ^ { s } ( { \boldsymbol { c } } _ { I k } ) _ { d } \right) } \\ & { \Phi _ { i k } ^ { d } = \sum _ { I = 1 } ^ { { N _ { \mathrm { n u c } } } } \varphi _ { \theta } ^ { d } ( { \boldsymbol { r } } _ { i } , { \boldsymbol { R } } _ { I } , { \boldsymbol { c } } _ { I k } ) \sum _ { \nu = 1 } ^ { { D _ { \mathrm { e m b } } } } f _ { \theta } ^ { a } ( { \boldsymbol { c } } _ { I k } ) _ { d \nu } h _ { i \nu } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } f ( \overline { { \mathbf { x } ^ { t + 1 } } } ) \leq } & { \mathbb { E } f ( \overline { { \mathbf { x } ^ { t } } } ) - \frac { \eta K } { 2 } \mathbb { E } \left\| \nabla \mathbb { E } f ( \overline { { \mathbf { x } ^ { t } } } ) \right\| ^ { 2 } + \frac { \eta L ^ { 2 } K } { 2 } C _ { 1 } } \\ & { + \frac { 8 \eta ^ { 3 } K ^ { 2 } L ^ { 2 } } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \mathbb { E } \left\| \nabla f ( \mathbf { x } ^ { t } ( i ) ) \right\| ^ { 2 } + \frac { 3 \eta ^ { 2 } K L } { 2 } \left( L ^ { 2 } \rho ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } + \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \mathbb { E } \| \nabla f ( \mathbf { x } ^ { t } ( i ) \| ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { ( - \Delta ) ^ { s } \omega ^ { \lambda } ( x ) = \left( \frac { \lambda } { | x | } \right) ^ { n + 2 s } f ( x ^ { \lambda } , u ( x ^ { \lambda } ) ) - f ( x , u ( x ) ) } \\ & { } & { \qquad \qquad \quad \quad > f ( x , u _ { \lambda } ( x ) ) - f ( x , u ( x ) ) = c _ { \lambda } ( x ) \omega ^ { \lambda } ( x ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { n } ^ { ( g ) } ( z _ { 1 } , . . . , z _ { n } ) } & { = \Omega _ { n } ^ { ( g ) } ( z _ { 1 } , . . . , z _ { n } ) \prod _ { j = 1 } ^ { n } d x ( z _ { j } ) \; , \qquad \mathrm { w h e r e } } \\ { x ( z ) } & { = z - \frac { \lambda } { N } \sum _ { k = 1 } ^ { d } \frac { \varrho _ { k } } { z + \varepsilon _ { k } } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad _ { 3 } + _ { 1 7 } } \\ & { = - \delta _ { i , j } \delta ( q \leq m - n ) \sum _ { x > m - n } e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } e _ { p , x } ^ { ( 2 ) } + \delta _ { i , j } \delta ( q \leq m - n ) \sum _ { x > m - n } e _ { p , x } ^ { ( 1 ) } e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } } \\ & { = - \delta _ { i , j } \delta ( q \leq m - n ) \sum _ { x > m - n } e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } e _ { p , x } ^ { ( 2 ) } + \delta _ { i , j } \delta ( q \leq m - n ) \sum _ { x > m - n } e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } e _ { p , x } ^ { ( 1 ) } } \\ & { \quad + \delta _ { i , j } \delta ( q \leq m - n ) \sum _ { x > m - n } [ e _ { p , x } ^ { ( 1 ) } , e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } ] [ - 2 ] } \\ & { = - \delta _ { i , j } \delta ( q \leq m - n ) W _ { p , q } ^ { ( 2 ) } - \delta _ { i , j } \delta ( q \leq m - n ) \alpha _ { 2 } e _ { p , q } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] + \delta _ { i , j } \delta ( q \leq m - n ) ( m - n ) e _ { p , q } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { M } _ { 1 } ^ { ( - 2 ) } = \omega \mathcal { A } \mathcal { M } _ { 1 } ^ { ( - 2 ) } \mathcal { A } ^ { - 1 } ( v _ { 6 } v _ { 1 } ) ( 0 ) , } \\ & { \mathcal { M } _ { 1 } ^ { ( - 1 ) } = \omega ^ { 2 } \mathcal { A } \mathcal { M } _ { 1 } ^ { ( - 1 ) } \mathcal { A } ^ { - 1 } ( v _ { 6 } v _ { 1 } ) ( 0 ) + \omega \mathcal { A } \mathcal { M } _ { 1 } ^ { ( - 2 ) } \mathcal { A } ^ { - 1 } ( v _ { 6 } v _ { 1 } ) ^ { \prime } ( 0 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sum _ { i = 1 } ^ { M } \operatorname* { P r } ( \theta = i ) \sum _ { y ^ { t } \in \mathcal { Y } _ { \epsilon } ^ { ( i ) } } \operatorname* { P r } ( Y ^ { t } = y ^ { t } \mid \theta = i ) V _ { i } ( y ^ { t } ) = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { M } \operatorname* { P r } ( \theta = i ) \sum _ { y ^ { t } \in \mathcal { A } _ { \epsilon } } \operatorname* { P r } ( Y ^ { t } = y ^ { t } \mid \theta = i ) V _ { i } ( y ^ { t } ) } \\ & { \quad \quad + \sum _ { i = 1 } ^ { M } \underset { y ^ { t } \in \mathcal { Y } _ { \epsilon } ^ { ( i ) } \setminus \mathcal { A } _ { \epsilon } } { \operatorname* { P r } ( \theta = i ) \sum \operatorname* { P r } ( Y ^ { t } = y ^ { t } } \mid \theta = i ) V _ { i } ( y ^ { t } ) \, . } & \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 4 } ^ { t } \left| \alpha \right| _ { H } \Bigl ( \mathbb { E } \int _ { \mathcal { L } } \frac { ( I _ { n } ( s , x ) + E _ { n } ( s , x ) ) ^ { 2 } } { ( 1 + I _ { n } ( s , x ) + E _ { n } ( s , x ) ) ^ { 2 } } d x \Bigr ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( 2 \sqrt { e ^ { - s } k _ { 0 } } + 2 \tilde { M } ^ { \frac { 1 } { 2 } } + 3 \right) d s } \\ { \geqslant } & { \int _ { \mathcal { L } } l n \frac { I _ { 0 } ( x ) + E _ { 0 } ( x ) } { 1 + I _ { 0 } ( x ) + E _ { 0 } ( x ) } d x + \hat { R } t - 8 \left| \alpha \right| _ { H } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | ( \vec { m } _ { 3 , 3 } ( \xi ) ) _ { k } | } & { \le _ { \alpha , S _ { 0 } ^ { + } } \mathtt { M } ^ { 2 } | \xi | ^ { \alpha - 1 } , } \\ { | ( \vec { m } _ { 3 , 3 } ( \xi _ { 1 } ) ) _ { k } - ( \vec { m } _ { 3 , 3 } ( \xi _ { 2 } ) ) _ { k } | } & { \le _ { \alpha , S _ { 0 } ^ { + } } \mathtt { M } ^ { 2 } | \xi _ { 1 } - \xi _ { 2 } | ( | \xi _ { 1 } | + | \xi _ { 2 } | ) ^ { \alpha - 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { b } _ { h } ( ( \Pi _ { V } v , \bar { \Pi } _ { V } v ) , ( \bar { q } _ { h } ^ { s } , \bar { q } _ { h } ^ { d } ) ) = } & { \langle \bar { q } _ { h } ^ { s } , ( \Pi _ { V } v - \bar { \Pi } _ { V } v ) \cdot n ^ { s } \rangle _ { \Gamma ^ { I } } + \langle \bar { q } _ { h } ^ { s } , \Pi _ { V } v \cdot n ^ { s } \rangle _ { \Gamma ^ { s } } + \langle \bar { q } _ { h } ^ { d } , ( \Pi _ { V } v - \bar { \Pi } _ { V } v ) \cdot n ^ { d } \rangle _ { \Gamma ^ { I } } + \langle \bar { q } _ { h } ^ { d } , \Pi _ { V } v \cdot n ^ { d } \rangle _ { \Gamma ^ { d } } } \\ { = } & { \langle \bar { q } _ { h } ^ { s } , ( v - v ) \cdot n ^ { s } \rangle _ { \Gamma ^ { I } } + \langle \bar { q } _ { h } ^ { d } , ( v - v ) \cdot n ^ { d } \rangle _ { \Gamma ^ { I } } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { a b } ^ { o } \! } & { = W ^ { o } \mathbb { E } _ { | h _ { a b } ^ { o , \mathbb { B } } | ^ { 2 } , \sigma _ { b } ^ { 2 } } \left[ \log _ { 2 } { \left( 1 + \frac { P _ { a } L _ { a b } ^ { o , \mathbb { B } } | h _ { a b } ^ { o , \mathbb { B } } | ^ { 2 } } { \sigma _ { b } ^ { 2 } } \right) } \right] } \\ & { = W ^ { o } \mathbb { E } _ { | h _ { a b } ^ { o , \mathbb { B } } | ^ { 2 } } \left[ \frac { 1 } { 2 \ln \rho } \int _ { \frac { \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } } { \rho } } ^ { \rho \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } } \log _ { 2 } \left( 1 + \frac { P _ { a } L _ { a b } ^ { o , \mathbb { B } } | h _ { a b } ^ { o , \mathbb { B } } | ^ { 2 } } { x } \right) \frac { 1 } { x } d x \right] } \\ & { = W ^ { o } \mathbb { E } _ { | h _ { a b } ^ { o , \mathbb { B } } | ^ { 2 } } \left[ \frac { 1 } { 2 \ln 2 \ln \rho } \int _ { \frac { 1 } { \rho \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } } } ^ { \frac { \rho } { \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } } } \! \ln \left( 1 + P _ { a } L _ { a b } ^ { o , \mathbb { B } } | h _ { a b } ^ { o , \mathbb { B } } | ^ { 2 } y \right) \frac { 1 } { y } d y \right] } \\ & { \overset { ( c ) } { = } W ^ { o } \mathbb { E } _ { | h _ { a b } ^ { o , \mathbb { B } } | ^ { 2 } } \! \left[ \frac { P _ { a } L _ { a b } ^ { o , \mathbb { B } } | h _ { a b } ^ { o , \mathbb { B } } | ^ { 2 } y } { 2 \ln 2 \ln \rho } [ \Phi ( - P _ { a } L _ { a b } ^ { o , \mathbb { B } } | h _ { a b } ^ { o , \mathbb { B } } | ^ { 2 } y , 2 , 1 ) ] \Big | _ { \frac { 1 } { \rho \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } } } ^ { \frac { \rho } { \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } } } \right] } \\ & { \overset { ( d ) } { = } W ^ { o } \mathbb { E } _ { | h _ { a b } ^ { o , \mathbb { B } } | ^ { 2 } } \left[ \frac { - 1 } { 2 \ln 2 \ln \rho } \left[ \mathbf { L i } _ { 2 } ( - P _ { a } L _ { a b } ^ { o , \mathbb { B } } | h _ { a b } ^ { o , \mathbb { B } } | ^ { 2 } y ) \right] \Big | _ { \frac { 1 } { \rho \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } } } ^ { \frac { \rho } { \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } } } \right] } \\ & { = \frac { W ^ { o } } { 2 \ln 2 \ln \rho } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathbf { L i } _ { 2 } \left( \frac { - P _ { a } L _ { a b } ^ { o , \mathbb { B } } x } { \rho \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } } \right) f _ { | h _ { a b } ^ { o , \mathbb { B } } | ^ { 2 } } ( x ) d x } \\ & { \, \, \, \, - \frac { W ^ { o } } { 2 \ln 2 \ln \rho } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathbf { L i } _ { 2 } \left( \frac { - \rho P _ { a } L _ { a b } ^ { o , \mathbb { B } } x } { \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } } \right) f _ { | h _ { a b } ^ { o , \mathbb { B } } | ^ { 2 } } ( x ) d x , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { s } _ { * } } & { = \frac { 6 \sqrt { r _ { 0 } n } c _ { x } \mathbb { E } \{ \alpha \} } { \lambda _ { 1 } ( \mathbb { E } \{ \bar { M } \} ) - 4 \sqrt { \Delta _ { r } \log n } } , ~ \eta _ { S , n , t } = 2 r _ { 0 } n \exp \bigg \{ - \frac { ( t \varepsilon _ { S , n } - 2 \bar { s } _ { * } ) ^ { 2 } } { 2 t ( \bar { s } _ { * } ) ^ { 2 } } \bigg \} , } \\ { \eta _ { S , n } } & { = 2 ( 1 + r _ { 0 } ) n ^ { - \frac 1 5 } + 2 n ^ { - \frac 1 8 } = o _ { n } ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M ^ { - l ( \lambda ) } \left[ \prod _ { i = 1 } ^ { l ( \lambda ) } P _ { \lambda _ { i } } \right] } & { \exp ( F ( z _ { 1 } , . . . , z _ { M } ) \Bigr | _ { z _ { 1 } = . . . z _ { M } = 0 } = b _ { \lambda } ^ { \lambda } \cdot c _ { F } ^ { \lambda } + \sum _ { \mu : | \mu | = k , l ( \mu ) > l ( \lambda ) } b _ { \mu } ^ { \lambda } \cdot c _ { F } ^ { \mu } } \\ & { + L ( c _ { F } ^ { ( i ) } , 1 \le i \le 2 k - 1 ) + R _ { 1 } ( c _ { F } ^ { v } , | v | < 2 k ) + M ^ { - 1 } R _ { 2 } ( c _ { F } ^ { v } , | v | \le 2 k ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { e ^ { - c _ { 1 } } } & { = \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } e ^ { - { \frac { 1 } { n } } } \left( 1 + { \frac { 1 } { n } } \right) } \\ & { = \exp \left( \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left( \log \left( 1 + { \frac { 1 } { n } } \right) - { \frac { 1 } { n } } \right) \right) } \\ & { = \exp \left( \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \left( \log ( N + 1 ) - \sum _ { n = 1 } ^ { N } { \frac { 1 } { n } } \right) \right) } \\ & { = \exp \left( \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \left( \log N + \log \left( 1 + { \frac { 1 } { N } } \right) - \sum _ { n = 1 } ^ { N } { \frac { 1 } { n } } \right) \right) } \\ & { = \exp \left( \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \left( \log N - \sum _ { n = 1 } ^ { N } { \frac { 1 } { n } } \right) \right) } \\ & { = e ^ { - \gamma } . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \left[ { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } \; { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \theta ^ { 2 } } } + 2 \gamma + \left( \gamma \, r + { \frac { 2 } { r } } \right) \, { \frac { \partial } { \partial r } } \right] \, { \mathcal R } _ { 1 } - { \frac { 2 \, N } { r } } \, \left( { \frac { \partial { \mathcal R } _ { 1 } } { \partial r } } \right) - { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } { \frac { \partial S _ { 1 } } { \partial \theta } } + E \; { \mathcal R } _ { 1 } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { r l } { \delta E ( w , f ) [ ( \dot { w } , \dot { f } ) ] = } & { - \frac 1 2 \operatorname { I m } \int _ { \partial \mathcal { D } _ { \rho } } \left[ - \overline { \sigma } | w _ { z } | ^ { 2 } f _ { \zeta } \overline { f } + \overline { \sigma } | w _ { z } | ^ { 2 } f _ { \zeta } \overline { f } \right] \, d \zeta , } \\ { \delta L ( w , f ) [ ( \dot { w } , \dot { f } ) ] = } & { - \operatorname { I m } \int _ { \mathcal { D } _ { \rho } } \sigma f \overline { { f _ { \zeta } } } \left( w _ { z } f \right) _ { \zeta } \, d \zeta + \frac 1 2 \operatorname { R e } \int _ { \partial \mathcal { D } _ { \rho } } \overline { f } f _ { \zeta } \left( \overline { { \sigma w _ { z } f } } + \sigma w _ { z } f \right) \, d \zeta . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 1 } } & { \mathsf { T y } _ { i } : \mathrm { S e t } , } \\ & { \mathsf { T m } _ { i } : \mathsf { T y } _ { i } \to \mathrm { S e t } , } \\ & { \mathcal { U } _ { i } : \mathsf { T y } _ { i + 1 } , } \\ & { \mathsf { E l } _ { i } : \mathsf { T m } ( \mathcal { U } _ { i } ) \cong \mathsf { T y } _ { i } , } \\ & { \mathsf { L i f t } _ { i } : \mathsf { T y } _ { i } \to \mathsf { T y } _ { i + 1 } , } \\ & { \mathsf { l i f t } _ { i } : \mathsf { T m } _ { i } ( A ) \cong \mathsf { T m } _ { i + 1 } ( \mathsf { L i f t } _ { i } ( A ) ) , } \\ & { \Pi : ( A : \mathsf { T y } _ { i } ) \to ( \mathsf { T m } _ { i } ( A ) \to \mathsf { T y } _ { i } ) \to \mathsf { T y } _ { i } , } \\ & { \mathsf { a p p } : \mathsf { T m } _ { i } ( \Pi ( A , B ) ) \cong ( ( a : \mathsf { T m } _ { i } ( A ) ) \to \mathsf { T m } _ { i } ( B ( a ) ) ) . } \end{array}
\bar { \mathcal { S } } _ { ( 0 , n _ { j } ] } ( y , x _ { j } ) = \textstyle \big ( \frac { 1 - \hat { \theta } } { \hat { \theta } } \big ) ^ { n _ { j } - 1 } \frac { p / q } { 2 \pi \mathrm { i } } \oint _ { \gamma _ { \delta } } \mathrm { d } w \, \frac { ( 1 - w ) ^ { x _ { j } - y + n _ { j } } } { \hat { \theta } ^ { x _ { j } - y } w ^ { n _ { j } } } ( ( 1 - p w ) / q ) ^ { - t } \left( \frac { 1 - p w } { q + p \theta } \right) ^ { \sum _ { \ell = 1 } ^ { n _ { j } } \kappa _ { \ell } }
\nabla = \sum _ { j = 1 } ^ { n } \left[ { \frac { \partial } { \partial x _ { j } } } \right] { \hat { \mathbf { e } } } _ { j } = \left[ { \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } } \right] { \hat { \mathbf { e } } } _ { 1 } + \left[ { \frac { \partial } { \partial x _ { 2 } } } \right] { \hat { \mathbf { e } } } _ { 2 } + \dots + \left[ { \frac { \partial } { \partial x _ { n } } } \right] { \hat { \mathbf { e } } } _ { n }
\begin{array} { r l } & { ( \widetilde { U } _ { I } ^ { n + 1 } - \widetilde { U } _ { I I } ^ { n + 1 } ) ^ { T } B \pmb { M } ^ { - 1 } ( C _ { d } ( \widetilde { U } _ { I } ^ { n + 1 } ) - C _ { d } ( \widetilde { U } _ { I I } ^ { n + 1 } ) ) \pmb { M } ^ { - 1 } B ^ { T } M ^ { - 1 } D ( \widetilde { U } _ { I I } ^ { n + 1 } ) } \\ { \leqslant } & { \| B \| \| \pmb { M } ^ { - 1 } \| \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { k } N _ { e } } \| [ C _ { d \widetilde { U } } ( \xi _ { 2 } ^ { n + 1 } ) ] _ { k } \| \| \pmb { M } ^ { - 1 } \| \| B ^ { T } \| \| M ^ { - 1 } \| \| D ( \widetilde { U } _ { I I } ^ { n + 1 } ) \| \| \widetilde { U } _ { I } ^ { n + 1 } - \widetilde { U } _ { I I } ^ { n + 1 } \| ^ { 2 } } \\ { \leqslant } & { c \| \widetilde { U } _ { I } ^ { n + 1 } - \widetilde { U } _ { I I } ^ { n + 1 } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \frac { \partial } { \partial \alpha } } \, \Bigg [ { \mathcal { S } _ { 0 , 3 } ^ { \ast } ( \alpha , \alpha _ { 3 } , \alpha _ { 4 } ) } - \alpha ^ { 2 } s + { \mathcal { S } _ { 0 , 3 } ^ { \ast } ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \alpha ) } - 2 f _ { \alpha ^ { 2 } } \left[ \begin{array} { l l } { \alpha _ { 3 } ^ { 2 } } & { \alpha _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { \alpha _ { 4 } ^ { 2 } } & { \alpha _ { 1 } ^ { 2 } } \end{array} \right] ( \xi ) - 2 \overline { { f _ { \alpha ^ { 2 } } } } \left[ \begin{array} { l l } { \alpha _ { 3 } ^ { 2 } } & { \alpha _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { \alpha _ { 4 } ^ { 2 } } & { \alpha _ { 1 } ^ { 2 } } \end{array} \right] ( \overline { { \xi } } ) \Bigg ] _ { \alpha = \alpha _ { s } } = 0 \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 2 \cos \omega } & { = } & { \frac { \omega ^ { 2 } } { 4 \lambda \omega ^ { 2 } + 1 } \frac { 1 } { i \omega } 2 i \sin \omega + \frac { \lambda \omega ^ { 2 } } { \lambda \omega ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } } 2 \cos \omega + A \Big [ \sqrt { \lambda } \sinh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } + 2 \lambda \cosh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } \Big ] } \\ { 2 i \sin \omega } & { = } & { \frac { \omega ^ { 2 } } { 4 \lambda \omega ^ { 2 } + 1 } \Big [ \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } } e ^ { i \omega x } ( 1 - i \omega x ) \Big ] _ { - 1 } ^ { 1 } + \frac { \lambda \omega ^ { 2 } } { \lambda \omega ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } } 2 i \sin \omega + B \sqrt { \lambda } \cosh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } . } \end{array}
\overline { { F } } = \left\{ \begin{array} { c } { \overline { { \rho } } \tilde { v } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { u } \tilde { v } - { \tau } _ { x y } ^ { m o d } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { v } ^ { 2 } + \overline { { p } } - { \tau } _ { y y } ^ { m o d } + \frac { 1 } { 3 } \sigma _ { y y } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { v } \tilde { w } - { \tau } _ { y z } ^ { m o d } } \\ { \left( \check { e } + \overline { { p } } - { \tau } _ { y y } ^ { m o d } + \frac { 1 } { 3 } \sigma _ { y y } \right) \tilde { v } - { \tau } _ { x y } ^ { m o d } \tilde { u } - { \tau } _ { y z } ^ { m o d } \tilde { w } + q _ { y } ^ { m o d } } \end{array} \right\} \, \mathrm { , }
\begin{array} { r l } { d H ( x , q , p ) } & { = x ^ { T } A d x + \frac { 1 } { 2 } \left( p ^ { T } B d q + q ^ { T } B ^ { T } d p \right) } \\ { d H \left( Y \right) } & { = \frac { 1 } { 2 } x ^ { T } A x + p ^ { T } B q + a ( q ^ { T } B q + p ^ { T } B p ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } x ^ { T } A x + p ^ { T } B q + \frac { a } { 2 } \left( q ^ { T } ( B + B ^ { T } ) q + p ^ { T } ( B + B ^ { T } ) p \right) } \\ & { \geq \frac { c } { 2 } | x | ^ { 2 } - \| B \| | q | | p | + \frac { a c } { 2 } \left( | q | ^ { 2 } + | p | ^ { 2 } \right) } \\ & { \geq \frac { 1 } { 2 } \left( c | x | ^ { 2 } + \left( a c - \| B \| \right) \left( | q | ^ { 2 } + | p | ^ { 2 } \right) \right) } \\ & { \geq \frac { c } { 2 } \left( | x | ^ { 2 } + | q | ^ { 2 } + | p | ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ( a , b , \hat { a } , \hat { b } ) \leq } & { \operatorname* { m a x } \{ p , \hat { p } \} e ^ { - \textup { D i v } ( [ a , \hat { a } ] , [ b , \hat { b } ] ) } , } \\ { I ( a , b , \hat { a } , \hat { b } ) \geq } & { \operatorname* { m i n } \{ p , \hat { p } \} e ^ { - \textup { D i v } ( [ a , \hat { a } ] , [ b , \hat { b } ] ) } } \\ & { \times \prod _ { i } \frac { 1 } { e ^ { 2 } } \big [ ( a _ { i } \hat { a } _ { i } ) ^ { t ^ { * } } ( b _ { i } \hat { b } _ { i } ) ^ { 1 - t ^ { * } } \big ] ^ { - \frac { 1 } { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) - \nu \Delta \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) + \mathbf { U } ^ { j } ( \mathbf { x } , t ) \nabla _ { j } \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) + \nabla _ { i } \mathbf { P } ( \mathbf { x } , t ) } \\ & { \equiv \partial _ { t } \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) - \nu \Delta \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) + \nabla _ { j } \big ( \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) \mathbf { U } ^ { j } ( \mathbf { x } , t ) \big ) + \nabla _ { i } \mathbf { P } ( \mathbf { x } , t ) } \\ & { = \partial _ { t } \big ( \overline { { \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) } } + \widetilde { \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) } \big ) - \nu \Delta \big ( \overline { { \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) } } + \widetilde { \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) } } \\ & { + \nabla _ { j } \big ( \overline { { \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) } } + \widetilde { \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) } ) \big ( \overline { { \mathbf { U } ^ { j } ( \mathbf { x } , t ) } } + \widetilde { \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) } \big ) + \nabla _ { i } \mathbf { P } ( \mathbf { x } , t ) } \\ & { = \partial _ { t } \overline { { \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) } } + \partial _ { t } \widetilde { \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) } - \nu \Delta \overline { { \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) } } - \nu \Delta \widetilde { \mathbf { U } ^ { j } ( \mathbf { x } , t ) ) } } \\ & { + \nabla _ { j } \overline { { \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) } } ~ \overline { { \mathbf { U } ^ { j } ( \mathbf { x } , t ) } } + \nabla _ { j } \widetilde { \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) } \overline { { \mathbf { U } ^ { j } ( \mathbf { x } , t ) } } } \\ & { + \nabla _ { j } \overline { { \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) } } \widetilde { \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) } + \nabla _ { j } \big ( \widetilde { \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) } \widetilde { \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) } \big ) + \nabla _ { i } \mathbf { P } ( \mathbf { x } , t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { 1 } } & { = \| \frac { 1 } { 2 } \widetilde { B } _ { 3 , n } \widetilde { S } _ { 0 , n } \varphi - \frac { 1 } { 2 } \widetilde { B } _ { 3 } \widetilde { S } _ { 0 } \varphi \| _ { p + 2 } , \qquad ~ ~ ~ ~ ~ ~ Q _ { 2 } = \| \widetilde { S } _ { 0 , n } E _ { 7 , n } S _ { 2 , n } \varphi - \widetilde { S } _ { 0 } E _ { 7 } S _ { 2 } \varphi \| _ { p + 2 } , } \\ { Q _ { 3 } } & { = \| 4 \widetilde { S } _ { 0 , n } E _ { 3 , n } B _ { 1 , n } \varphi - 4 \widetilde { S } _ { 0 } E _ { 3 } B _ { 1 } \varphi \| _ { p + 2 } , \quad ~ Q _ { 4 } = \| \widetilde { S } _ { 0 , n } E _ { 1 , n } B _ { 2 , n } \varphi - \widetilde { S } _ { 0 } E _ { 1 } B _ { 2 } \varphi \| _ { p + 2 } , } \\ { Q _ { 5 } } & { = \| \frac { 1 } { 2 } E _ { 1 , n } M _ { 0 , n } S _ { 0 , n } \varphi - \frac { 1 } { 2 } E _ { 1 } M _ { 0 } S _ { 0 } \varphi \| _ { p + 2 } , ~ Q _ { 6 } = \| M _ { 0 , n } E _ { 1 , n } S _ { 2 , n } \varphi - M _ { 0 } E _ { 1 } S _ { 2 } \varphi \| _ { p + 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { z } _ { \dagger } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n + 1 - } ) = } & { { z } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n + 1 - } ) - \int _ { x _ { 0 } } ^ { x } \zeta \left( { u } ^ { \varDelta } ( y , t _ { n + 1 - } ) \right) d y + \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x } \eta _ { \ast } \left( { u } ^ { \varDelta } ( y , t _ { n + 1 - } ) \right) d y } \\ & { - \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x } a _ { j } ^ { n + 1 } { \rho } ^ { \varDelta } ( y , t _ { n + 1 - } ) d y + \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x } K d y , } \\ { { w } _ { \dagger } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n + 1 - } ) = } & { { w } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n + 1 - } ) - \int _ { x _ { 0 } } ^ { x } \zeta \left( { u } ^ { \varDelta } ( y , t _ { n + 1 - } ) \right) d y + \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x } \eta _ { \ast } \left( { u } ^ { \varDelta } ( y , t _ { n + 1 - } ) \right) d y } \\ & { - \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x } a _ { j } ^ { n + 1 } { \rho } ^ { \varDelta } ( y , t _ { n + 1 - } ) d y + \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x } K d y , } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l } { \varepsilon _ { x x } } \\ { \varepsilon _ { y y } } \\ { \varepsilon _ { z z } } \\ { 2 \varepsilon _ { y z } } \\ { 2 \varepsilon _ { z x } } \\ { 2 \varepsilon _ { x y } } \end{array} \right] } \, = \, { \left[ \begin{array} { l l l l l l } { { \frac { 1 } { E _ { x } } } } & { - { \frac { \nu _ { y x } } { E _ { y } } } } & { - { \frac { \nu _ { z x } } { E _ { z } } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - { \frac { \nu _ { x y } } { E _ { x } } } } & { { \frac { 1 } { E _ { y } } } } & { - { \frac { \nu _ { z y } } { E _ { z } } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - { \frac { \nu _ { x z } } { E _ { x } } } } & { - { \frac { \nu _ { y z } } { E _ { y } } } } & { { \frac { 1 } { E _ { z } } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { { \frac { 1 } { G _ { y z } } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { { \frac { 1 } { G _ { x z } } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { { \frac { 1 } { G _ { x y } } } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { \sigma _ { x x } } \\ { \sigma _ { y y } } \\ { \sigma _ { z z } } \\ { \sigma _ { y z } } \\ { \sigma _ { z x } } \\ { \sigma _ { x y } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r } { \alpha _ { n } ^ { - 1 } : E _ { n } \cup \Pi _ { n } \xrightarrow { f _ { n } ^ { - 1 } \oplus \mathrm { i d } _ { \Pi _ { n } } } ( [ n ] \times D _ { n - 1 } ) \cup \Pi _ { n } \xrightarrow [ ] { g _ { n } \oplus \ell _ { n } } ( [ n - 1 ] \times D _ { n - 1 } ) \cup D _ { n - 1 } \cup \Pi _ { n - 1 } } \\ { \xrightarrow { \mathrm { i d } _ { [ n - 1 ] \times D _ { n - 1 } } \oplus \alpha _ { n - 1 } } ( [ n - 1 ] \times D _ { n - 1 } ) \cup E _ { n - 1 } \xrightarrow { \varphi _ { n } ^ { - 1 } } D _ { n } . } \end{array}
{ \begin{array} { l c l } { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } ( 1 + x ) ^ { \frac { 1 } { x } } } & { = } & { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { r \to \infty } \left( 1 + { \frac { 1 } { r } } \right) ^ { r } = e } \\ { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { e ^ { x } - 1 } { x } } } & { = } & { 1 } \\ { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { e ^ { a x } - 1 } { b x } } } & { = } & { \displaystyle { \frac { a } { b } } } \\ { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 } { \frac { c ^ { a x } - 1 } { b x } } } & { = } & { \displaystyle { \frac { a } { b } } \ln c } \\ { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { x \to 0 ^ { + } } x ^ { x } } & { = } & { 1 } \end{array} }
g = - \left( 1 - \frac { 2 G M } { c ^ { 2 } r } \right) c ^ { 2 } \mathrm { d } t ^ { 2 } + \left( 1 - \frac { 2 G M } { c ^ { 2 } r } \right) ^ { - 1 } \mathrm { d } r ^ { 2 } + r ^ { 2 } \left( \mathrm { d } \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta \, \mathrm { d } \varphi ^ { 2 } \right) , \qquad r > r _ { \mathrm { s } } = \frac { 2 G M } { c ^ { 2 } } ,
\sum _ { K \in \mathcal { K } _ { h } } \int _ { \partial K \backslash \Gamma } w ^ { + } \cdot r ^ { * } [ \mathbf { u } ] ( \mathbf { z } ) d s + \sum _ { K \in \mathcal { K } _ { h } } \int _ { \partial K \backslash \Gamma } w ^ { + } \cdot r _ { \Gamma } ^ { * } [ \mathbf { u } ] ( \mathbf { z } ) d s = 0 , \qquad \forall w \in \mathcal { V } _ { 0 } ^ { B _ { h } } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { O } _ { \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 3 } } ( \bar { \Lambda } , \Lambda ) } & { = \sum _ { I , J , K } \bar { \Lambda } _ { i _ { \alpha _ { 1 } ( 1 ) } j _ { \alpha _ { 2 } ( 1 ) } k _ { \alpha _ { 3 } ( 1 ) } } \cdots \bar { \Lambda } _ { { i _ { \alpha _ { 1 } ( m ) } } j _ { \alpha _ { 2 } ( m ) } k _ { \alpha _ { 3 } ( m ) } } \Lambda ^ { i _ { 1 } j _ { 1 } k _ { 1 } } \cdots \Lambda ^ { i _ { m } j _ { m } k _ { m } } } \\ & { = \mathrm { T r } _ { V _ { 1 } ^ { \otimes m } \otimes V _ { 2 } ^ { \otimes m } \otimes V _ { 3 } ^ { \otimes m } } \left( \Lambda ^ { \otimes m } \bar { \Lambda } ^ { \otimes m } ( \mathcal { L } _ { \alpha _ { 1 } } \otimes \mathcal { L } _ { \alpha _ { 2 } } \otimes \mathcal { L } _ { \alpha _ { 3 } } ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \overline { { \mathcal { Q } } } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) } & { = } & { ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) ( | \Delta \mu _ { n } | ^ { 2 } + | \Delta v _ { n } | ) ( | \Delta \mu _ { n } ^ { * } | ^ { 2 } + | \Delta v _ { n } ^ { * } | ) + \biggr ( \lambda _ { n } ( | \Delta \mu _ { n } | ^ { 2 } + | \Delta v _ { n } | ) } \\ & { + } & { \lambda _ { n } ^ { * } ( | \Delta \mu _ { n } ^ { * } | ^ { 2 } + | \Delta v _ { n } ^ { * } | ) \biggr ) \biggr ( | \mu _ { n } - \mu _ { n } ^ { * } | ^ { 2 } + | v _ { n } - v _ { n } ^ { * } | \biggr ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { g _ { 1 } ( t ) = \hat { k } \rightarrow \hat { k } + i : } \\ & { r / 2 \leq j \leq r , i = \omega j + r } & { P _ { \hat { k } , t } ( i ) = _ { r } C _ { j } \hat { Z } ^ { j } ( 1 - \hat { Z } ) ^ { r - j } \hat { p } , } \\ & { 0 \leq j < r / 2 , i = \omega j + r } & { P _ { \hat { k } , t } ( i ) = _ { r } C _ { j } \hat { Z } ^ { j } ( 1 - \hat { Z } ) ^ { r - j } ( 1 - \hat { p } ) , } \\ & { r / 2 \leq j \leq r , i = \omega j } & { P _ { \hat { k } , t } ( i ) = _ { r } C _ { j } \hat { Z } ^ { j } ( 1 - \hat { Z } ) ^ { r - j } ( 1 - \hat { p } ) , } \\ & { 0 \leq j < r / 2 , i = \omega j } & { P _ { \hat { k } , t } ( i ) = _ { r } C _ { j } \hat { Z } ^ { j } ( 1 - \hat { Z } ) ^ { r - j } \hat { p } , } \end{array}
\operatorname* { s u p } _ { ( A , B ) \in \mathcal { A } } \sum _ { i = 1 } ^ { t _ { 1 } } \sum _ { j = 1 } ^ { t _ { 0 } } \sqrt { A _ { i j } B _ { i j } } \langle u _ { i } , v _ { j } \rangle = \operatorname* { s u p } _ { \gamma \in \Gamma ( S ^ { 2 } ) } \int _ { M } \hat { q _ { 1 } } ( x ) \hat { q _ { 2 } } ( \gamma ( x ) ) \sqrt { | D \gamma | } \langle \overline { { q _ { 1 } } } ( x ) , \overline { { q _ { 2 } } } ( \gamma ( x ) ) \rangle d m .
\begin{array} { r l r } { \frac { z + 1 } { z ( z - 4 ) ^ { 3 } } } & { = } & { \frac { 4 \xi + 5 } { ( 4 \xi + 4 ) ( 4 \xi ) ^ { 3 } } = \frac { 4 \xi + 5 } { 4 ^ { 4 } \xi ^ { 3 } } \cdot \frac { 1 } { \xi + 1 } = \left( \frac { 1 } { 4 ^ { 3 } \xi ^ { 2 } } + \frac { 5 } { 4 ^ { 4 } \xi ^ { 3 } } \right) \cdot \frac { 1 } { 1 + \xi } } \\ & { = } & { \left( \frac { 1 } { 4 ^ { 3 } \xi ^ { 2 } } + \frac { 5 } { 4 ^ { 4 } \xi ^ { 3 } } \right) \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k } \xi ^ { k } = \frac { 1 } { 4 ^ { 3 } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k } \xi ^ { k - 2 } + \frac { 5 } { 4 ^ { 4 } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k } \xi ^ { k - 3 } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 4 ^ { 3 } } \sum _ { k = - 2 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k } \xi ^ { k } - \frac { 5 } { 4 ^ { 4 } } \sum _ { k = - 3 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k } \xi ^ { k } } \\ & { = } & { \frac { 5 } { 4 ^ { 4 } \xi ^ { 3 } } - \frac { 1 } { 4 ^ { 4 } } \sum _ { k = - 2 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k } \xi ^ { k } } \\ & { = } & { \frac { 5 } { 4 ( z - 4 ) ^ { 3 } } + \sum _ { k = - 2 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { k + 1 } } { 4 ^ { k + 4 } } ( z - 4 ) ^ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { b ^ { 1 } } & { = \tilde { b } ^ { 1 } - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { l j } ( V ^ { - 1 } ( z ) ) ^ { l j } \Gamma _ { l j } ^ { 1 } = \tilde { b } ^ { 1 } - \frac { 1 } { 2 } ( 1 + \epsilon x ^ { 2 } ) ^ { 2 } \frac { - 2 \epsilon x } { 1 + \epsilon x ^ { 2 } } = \tilde { b } ^ { 1 } + \epsilon x ( 1 + \epsilon x ^ { 2 } ) } \\ & { = x - x ^ { 3 } - \gamma x y ^ { 2 } + \epsilon x ( 1 + \epsilon x ^ { 2 } ) , } \\ { b ^ { 2 } } & { = \tilde { b } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { l j } ( V ^ { - 1 } ( z ) ) ^ { l j } \Gamma _ { l j } ^ { 2 } = \tilde { b } ^ { 2 } } \\ & { = - ( 1 + x ^ { 2 } ) y . } \end{array}
{ \bf { Z Z ^ { T } } } = \left( \sum _ { j \in \mathbb { Z } _ { n } } \frac { ( g _ { i j } - \mu _ { i } ) ( g _ { i ^ { \prime } j } - \mu _ { i ^ { \prime } } ) } { \sigma _ { i } \sigma _ { i ^ { \prime } } } \right) = ( n - 1 ) \left( \frac { \sigma _ { i i ^ { \prime } } } { \sigma _ { i } \sigma _ { i ^ { \prime } } } \right) = ( n - 1 ) \left( \rho _ { i i ^ { \prime } } \right)
\left\{ \begin{array} { r l r } & { \partial _ { t t } u ( x , y , t ) - \alpha ^ { 2 } \Delta u ( x , y , t ) = 1 , } & { \quad ( x , y ) , t \in \Omega \times [ 0 , T ] , } \\ & { u ( x , y , 0 ) = \phi ( x , y ) , } & { \quad ( x , y ) \in \Omega , } \\ & { \partial _ { t } u ( x , y , 0 ) = \psi ( x , y ) , } & { \quad ( x , y ) \in \Omega , } \\ & { u ( x , y , t ) = 0 , } & { \quad ( x , y ) \in \partial \Omega \times [ 0 , T ] , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \langle a _ { 1 } , . . . , a _ { n } \rangle \cong \langle b _ { 1 } , . . . , b _ { n } \rangle } & { \mathrm { ~ i f f ~ t h e r e ~ e x i s t s ~ } x , y , c _ { 3 } , . . . , c _ { n } \in \mathcal S _ { A } ^ { * } \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t ~ } \langle a _ { 1 } , x \rangle \cong \langle b _ { 1 } , y \rangle } \\ & { \langle a _ { 2 } , . . . , a _ { n } \rangle \cong \langle x , c _ { 3 } , . . . , c _ { n } \rangle , \, \langle a _ { b } , . . . , b _ { n } \rangle \cong \langle y , c _ { 3 } , . . . , c _ { n } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { 0 , 0 } ^ { \prime } ( \theta ) } & { = \mathbf { E } [ ( Z \cos \theta + Y \sin \theta ) 1 \{ Z \cos \theta + Y \sin \theta > 0 \} 1 ^ { \prime } \{ Z > 0 \} ] ( - \sin \theta ) } \\ & { + \mathbf { E } [ ( Z \sin \theta - Y \cos \theta ) 1 \{ Z \cos \theta + Y \sin \theta > 0 \} 1 ^ { \prime } \{ Z > 0 \} ] \cos \theta } \\ & { = \mathbf { E } [ ( Y \sin \theta ) 1 \{ Y \sin \theta > 0 \} ] \frac { - \sin \theta } { \sqrt { 2 \pi } } + \mathbf { E } [ ( - Y \cos \theta ) 1 \{ Y \sin \theta > 0 \} ] \frac { \cos \theta } { \sqrt { 2 \pi } } } \\ & { = ( - \sin ^ { 2 } \theta - \cos ^ { 2 } \theta ) \mathbf { E } [ Y 1 \{ Y > 0 \} ] \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } = - \frac { 1 } { 2 \pi } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \widehat { W } _ { g } ( \theta , \alpha ) ( \widehat { H } _ { 0 } ( \theta , \alpha ) - \widehat { E } _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) - z ) ^ { - 1 } \overline { { \chi } } _ { \theta , \alpha } ^ { ( I ) } } \\ & { = \widehat { W } _ { g } ( \theta , \alpha ) ( - \Delta + { H } _ { f } + 1 ) ^ { - 1 } ( - \Delta + { H } _ { f } + 1 ) ( \widehat { H } _ { 0 } ( \theta , \alpha ) - \widehat { E } _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) - z ) ^ { - 1 } \overline { { \chi } } _ { \theta , \alpha } ^ { ( I ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { 6 } ^ { i } = \frac { x _ { 4 } ^ { i } } { \rho _ { i } } } & { = x _ { 1 } ^ { i } - \frac { 2 x _ { 2 } ^ { i } } { \rho _ { i } } } \\ & { = x _ { 1 } ^ { i } - x _ { 5 } ^ { i } } \\ & { = ( \rho _ { i } - 1 ) x _ { 2 } ^ { i } - i x _ { 5 } ^ { i } - x _ { 5 } ^ { i } } \\ & { = \frac { \rho _ { i } ( \rho _ { i } - 1 ) } { 2 } x _ { 5 } ^ { i } - i x _ { 5 } ^ { i } - x _ { 5 } ^ { i } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } ( \rho _ { i } ^ { 2 } - \rho _ { i } - 2 i - 2 ) x _ { 5 } ^ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta : \Delta , \underline { { x } } : A ^ { \prime } ( \delta ) \vdash \textnormal { \texttt { f } } ( \textnormal { \texttt { g } } ( \delta ) ) , \textnormal { \texttt { f } } _ { m + 1 } ( \textnormal { \texttt { g } } ( \delta ) , \textnormal { \texttt { g } } _ { n + 1 } ( \delta , \underline { { x } } ) ) } & { = \delta , \underline { { x } } \textnormal { \, i . e . } } \\ { \delta : \Delta , \underline { { x } } : A ^ { \prime } ( \delta ) \vdash ( \textnormal { \texttt { f } } , \textnormal { \texttt { f } } _ { m + 1 } ) ( ( \textnormal { \texttt { g } } , \textnormal { \texttt { g } } _ { n + 1 } ) ( \delta , \underline { { x } } ) ) } & { = \delta , \underline { { x } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \varphi \left( x \right) = \frac { \displaystyle \exp \left\{ - \int _ { 0 } ^ { x } \frac { 2 } { \sigma ^ { 2 } } \left( \eta y - a + \theta ^ { * } ( y ) \right) \, d y \right\} } { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \infty } \exp \left\{ - \int _ { 0 } ^ { y } \frac { 2 } { \sigma ^ { 2 } } \left( \eta s - a + \theta ^ { * } ( s ) \right) \, d s \right\} \, d y } , \quad x \in [ 0 , \infty ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf F } } & { = B _ { x } d y \wedge d z + B _ { y } d z \wedge d x + B _ { z } d x \wedge d y + E _ { x } d x \wedge d t + E _ { y } d y \wedge d t + E _ { z } d z \wedge d t . } \\ & { = B _ { x } d \overline { { y } } \wedge d \overline { { z } } + \lambda _ { v } B _ { y } d \overline { { z } } \wedge ( d \overline { { x } } + v d \overline { { t } } ) + \lambda _ { v } B _ { z } ( d \overline { { x } } + v d \overline { { t } } ) \wedge d \overline { { y } } } \\ & { + \lambda _ { v } ^ { 2 } E _ { x } ( d \overline { { x } } + v d \overline { { t } } ) \wedge ( d \overline { { t } } + \frac { v } { c ^ { 2 } } d \overline { { x } } ) + \lambda _ { v } E _ { y } d \overline { { y } } \wedge ( d \overline { { t } } + \frac { v } { c ^ { 2 } } d \overline { { x } } ) + \lambda _ { v } E _ { z } d \overline { { z } } \wedge ( d \overline { { t } } + \frac { v } { c ^ { 2 } } d \overline { { x } } ) } \\ & { = B _ { x } d \overline { { y } } \wedge d \overline { { z } } + \lambda _ { v } \Big ( B _ { y } + \frac { v E _ { z } } { c ^ { 2 } } \Big ) d \overline { { z } } \wedge d \overline { { x } } + \lambda _ { v } \Big ( B _ { z } - \frac { v E _ { y } } { c ^ { 2 } } \Big ) d \overline { { x } } \wedge d \overline { { y } } + E _ { x } d \overline { { x } } \wedge d \overline { { t } } } \\ & { + \lambda _ { v } \Big ( E _ { y } - v B _ { z } \Big ) d \overline { { y } } \wedge d \overline { { t } } + \lambda _ { v } \Big ( E _ { z } + v B _ { y } \Big ) d \overline { { z } } \wedge d \overline { { t } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( x , t _ { k } ) = } & { \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } h ^ { 2 } K _ { 2 , \epsilon } \left( X _ { t _ { k } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , x \right) \wedge \omega _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } } \\ & { + \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } k \delta h ^ { 2 } K _ { 2 , \epsilon } \left( X _ { t _ { k } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , x \right) \wedge F \left( X _ { t _ { k - 1 } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , t _ { k - 1 } \right) } \end{array}
W \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Gamma \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = W \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Gamma \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! . \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \Sigma } \delta \mathcal { L } \left( \rho \right) \left( \theta \right) } & { = - \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \nabla _ { \Sigma } \phi \left( X _ { i } ; m , \Sigma \right) } { \int \phi \left( X _ { i } ; \zeta \right) \rho \left( \mathrm { d } \zeta \right) } } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \phi \left( X _ { i } ; m , \Sigma \right) } { \int \phi \left( X _ { i } ; \zeta \right) \rho \left( \mathrm { d } \zeta \right) } \left[ \Sigma ^ { - 1 } \left( X _ { i } - \mu \right) \left( X _ { i } - \mu \right) ^ { \top } \Sigma ^ { - 1 } - \Sigma ^ { - 1 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { i } : = } & { \iota _ { 1 } ( E ( i ) ) = \operatorname* { m a x } \big \{ j : 0 \neq w _ { j - n _ { i } + 1 } ( - E ( i ) ) \in H ^ { j - n _ { i } + 1 } ( B ; \mathbb { F } _ { 2 } ) \big \} , } \\ { a : = } & { \iota _ { k } ( a _ { 1 } + 1 , \dots , a _ { k } + 1 ) = \operatorname* { m a x } \big \{ j : e _ { k } ( \mathrm { p t } ) ^ { j } \notin ( x _ { 1 } ^ { a _ { 1 } + 1 } , \dots , x _ { k } ^ { a _ { k } + 1 } ) \big \} , } \\ { b : = } & { \iota _ { k } ( E ( 1 ) , \dots , E ( k ) ) = \operatorname* { m a x } \big \{ j : e _ { k } ( B ) ^ { j } \notin \mathcal { I } _ { k } ( E ( 1 ) , \dots , E ( k ) ) \big \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( t _ { \gamma _ { i + 1 } ^ { l ^ { \prime } + 1 } } t _ { \gamma _ { i + 2 } ^ { l ^ { \prime } + 2 } } t _ { \gamma _ { i + 1 } ^ { l ^ { \prime } + 2 } } \cdots t _ { \gamma _ { i + 2 } ^ { l ^ { \prime } + k - 1 } } t _ { \gamma _ { i + 1 } ^ { l ^ { \prime } + k - 1 } } ) t _ { \gamma _ { i + 2 } ^ { l ^ { \prime } + k } } t _ { \gamma _ { i + 1 } ^ { l ^ { \prime } + k } } ( t _ { \gamma _ { i + 1 } ^ { l ^ { \prime } + 1 } } t _ { \gamma _ { i + 2 } ^ { l ^ { \prime } + 2 } } t _ { \gamma _ { i + 1 } ^ { l ^ { \prime } + 2 } } \cdots t _ { \gamma _ { i + 2 } ^ { l ^ { \prime } + k - 1 } } t _ { \gamma _ { i + 1 } ^ { l ^ { \prime } + k - 1 } } ) ^ { - 1 } } \\ & { = t _ { \gamma _ { i + 1 } ^ { l ^ { \prime } } } t _ { \gamma _ { i + 2 } ^ { l ^ { \prime } + 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } _ { Q } j _ { \pm \rho } ^ { \mathrm { \, } } } & { = \partial _ { Q } j _ { \pm \rho } ^ { \mathrm { \, } } + \mathrm { d } _ { Q } \boldsymbol { y } \cdot \partial _ { \boldsymbol { y } } j _ { \pm \rho } ^ { \mathrm { \, } } = \left( \frac { S _ { \pm \rho } ^ { X } } { Q } + \sum _ { Y _ { \sigma } \in Y } \left( { S ^ { Y } } \right) _ { \pm \rho } ^ { \sigma } \, \frac { \mathrm { d } _ { Q } y _ { \sigma } } { y _ { \sigma } } \right) \, j _ { \pm \rho } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \rho _ { f } } } & { { = } } & { { \rho _ { e } \, \mathrm { , } } } \\ { { u _ { f } } } & { { = } } & { { u _ { e } \, \mathrm { , } } } \\ { { v _ { f } } } & { { = } } & { { v _ { e } \, \mathrm { , } } } \\ { { w _ { f } } } & { { = } } & { { w _ { e } \, \mathrm { , } } } \\ { { e _ { f } } } & { { = } } & { { e _ { e } \, \mathrm { , } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \Phi _ { n } ( x ) | } & { = \left| \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } f ( T ^ { n - 1 } x ) \cdots f ( T ^ { k + 1 } x ) \phi ( T ^ { k } x ) g ( T ^ { k - 1 } x ) \cdots g ( x ) \right| } \\ & { \leq \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \left| \phi ( T ^ { k } x ) \right| \cdot g ( T ^ { k - 1 } x ) \cdots g ( x ) } \\ & { \leq \| \phi \| _ { \infty } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } g ( T ^ { k - 1 } x ) \cdots g ( x ) < \infty } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \left( 1 + { \frac { 1 } { p _ { 1 } } } \right) \left( 1 + { \frac { 1 } { p _ { 2 } } } \right) \ldots \left( 1 + { \frac { 1 } { p _ { s } } } \right) } & { = \left( { \frac { 1 } { p _ { 1 } } } \right) \left( { \frac { 1 } { p _ { 2 } } } \right) \cdots \left( { \frac { 1 } { p _ { s } } } \right) + \ldots } \\ & { = { \frac { 1 } { p _ { 1 } p _ { 2 } \cdots p _ { s } } } + \ldots . } \end{array} }
\frac { 1 - \lambda _ { y } ^ { 2 } } { \eta _ { \Phi } } \sum _ { m \in \bar { \mathcal { M } } } \lambda _ { y } ^ { 2 m } \sum _ { \Phi ^ { \prime } \in \mathcal { P } _ { m } } \eta _ { \Phi \cdot \Phi ^ { \prime } } = \frac { 1 - \lambda _ { y } ^ { 2 } } { \eta _ { R _ { j } \cdot \Phi } } \sum _ { m \in \bar { \mathcal { M } } } \lambda _ { y } ^ { 2 m } \sum _ { \Phi ^ { \prime } \in \mathcal { P } _ { m } } \eta _ { R _ { j } \cdot \Phi \cdot \Phi ^ { \prime } } .
\tau _ { A } : = \varepsilon _ { \left( \mathsf { S } \left( \mathsf { U } ^ { \mathsf { S } } \mathsf { T } ^ { \circ } ( A , \alpha ) \right) , \mu _ { \mathsf { U } ^ { \mathsf { S } } \mathsf { T } ^ { \circ } ( A , \alpha ) } \right) } ^ { \mathsf { S } } \circ \mathsf { T } ^ { \circ } ( \lambda _ { \mathsf { U } ^ { \mathsf { S } } \mathsf { T } ^ { \circ } ( A , \alpha ) } ) \circ \mathsf { T } ^ { \circ } \mathsf { S } ( \eta _ { A } ^ { \times } )
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \rho _ { i } = } & { \mathcal { L } \left[ \rho _ { i } \right] + \epsilon \sigma ^ { 2 } \rho _ { i } \int _ { 0 } ^ { t } \mathrm { d } t ^ { \prime } \int \mathrm { d } \vec { z } ^ { \prime } \chi _ { i } ( t , t ^ { \prime } , \vec { z } , \vec { z } ^ { \prime } ) \rho _ { i } ( \vec { z } ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) } \\ & { + W _ { i } \rho _ { i } + \eta _ { i } + \div \vec { \xi _ { i } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \boldsymbol { t } ( \boldsymbol { x } ) } & { \approx \hat { \boldsymbol { t } } ( \boldsymbol { x } ; \boldsymbol { \theta } ) } & { i n \quad \Gamma _ { u } , } \\ { \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } ) } & { \approx \boldsymbol { \phi } ( \boldsymbol { x } ; \boldsymbol { \theta } ) } & { i n \quad \Gamma _ { t } , } \end{array}
a _ { n } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \sin ( 1 ) ( - 1 ) ^ { - n / 2 } 2 ^ { - n } } { ( - n / 2 ) ! } } & { \mathrm { ~ i f ~ n \leqslant 0 ~ a n d ~ n ~ i s ~ e v e n } } \\ { \frac { \cos ( 1 ) ( - 1 ) ^ { - ( n - 1 ) / 2 } 2 ^ { - ( n - 1 ) / 2 } } { ( - ( n - 1 ) / 2 ) ! } } & { \mathrm { ~ i f ~ n \leqslant 0 ~ a n d ~ n ~ i s ~ o d d } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o t h e r w i s e . } } \end{array} \right.
{ \frac { w _ { \alpha \beta } ( n _ { \mathbf { p } } + 1 \leftarrow n _ { \mathbf { p } } ) } { w _ { \beta \alpha } ( n _ { \mathbf { p } } - 1 \leftarrow n _ { \mathbf { p } } ) } } = { \frac { ( n _ { \mathbf { p } } + 1 ) \left( 1 - { \frac { n _ { \mathbf { p } } } { \Omega } } \right) } { n _ { \mathbf { p } } \left( 1 - { \frac { ( n _ { \mathbf { p } } - 1 ) } { \Omega } } \right) } } .
\begin{array} { r l } { \left| d ( g - g _ { 0 } ) ( Y _ { i } , \, Y _ { j } ) \right| _ { g _ { 0 } } } & { \leq \left| \nabla ^ { g _ { 0 } } g ( Y _ { i } , Y _ { j } ) \right| + \left| ( g - g _ { 0 } ) ( \nabla ^ { g _ { 0 } } Y _ { i } , Y _ { j } ) \right| + \left| ( g - g _ { 0 } ) ( Y _ { i } , \nabla ^ { g _ { 0 } } Y _ { j } ) \right| } \\ & { \leq | \nabla ^ { g _ { 0 } } g | \, | Y _ { i } | \, | Y _ { j } | + \left| ( g - g _ { 0 } ) \right| \big ( | \nabla ^ { g _ { 0 } } Y _ { i } | \, | Y _ { j } | + | Y _ { i } | \, | \nabla ^ { g _ { 0 } } Y _ { j } | \big ) , } \end{array}
\operatorname { p d f } _ { \mathrm { M J } } ( \gamma ; \theta ) \mathrm { d } \gamma = { \frac { \pi ^ { \frac { 1 } { 2 } } 2 ^ { \frac { 1 - d } { 2 } } } { \Gamma { \left( { \frac { d } { 2 } } \right) } } } \operatorname { K } _ { \frac { d + 1 } { 2 } } \left( { \frac { 1 } { \theta } } \right) ^ { - 1 } \theta ^ { \frac { 1 - d } { 2 } } e ^ { - { \frac { \gamma } { \theta } } } ( \gamma ^ { 2 } - 1 ) ^ { { \frac { d } { 2 } } - 1 } \gamma \mathrm { d } \gamma
\operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \bigg \vert \mathbb { \hat { E } } \bigg [ \varphi \left( z + ( s / n ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } S _ { n } ^ { 3 } \right) - \varphi ( z ) \bigg ] - s \operatorname* { s u p } _ { F _ { \mu } \in \mathcal { L } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \delta _ { \lambda } \varphi ( z ) F _ { \mu } ( d \lambda ) \bigg \vert = o ( s ) ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { \tau } \ensuremath { p ^ { ( 0 ) } } + \gamma \ensuremath { p ^ { ( 0 ) } } \partial _ { x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } } & { = 0 } \\ { \ensuremath { \rho ^ { ( 0 ) } } \partial _ { \tau } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } + \partial _ { x } \ensuremath { p ^ { ( 1 ) } } } & { = \mu _ { 2 1 } \partial _ { x x } \ensuremath { p ^ { ( 1 ) } } } \\ { \partial _ { \tau } \ensuremath { v ^ { ( 0 ) } } } & { = 0 } \\ { \partial _ { \tau } \ensuremath { s ^ { ( 0 ) } } } & { = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { B _ { r } } \langle x , \nabla u _ { \varepsilon } \rangle f _ { \varepsilon } } \\ & { = \int _ { B _ { r } } \varepsilon \Delta u _ { \varepsilon } \langle x , \nabla u _ { \varepsilon } \rangle - \int _ { B _ { r } } \left\langle \frac { \nabla ( W ( u _ { \varepsilon } ) ) } { \varepsilon } , x \right\rangle } \\ & { = \int _ { \partial B _ { r } } \left( \varepsilon r \left| \frac { \partial u _ { \varepsilon } } { \partial \nu } \right| ^ { 2 } - r \frac { W ( u _ { \varepsilon } ) } { \varepsilon } \right) - \int _ { B _ { r } } \left( \varepsilon \delta _ { i j } u _ { x _ { i } } u _ { x _ { j } } + \varepsilon \nabla ^ { 2 } u ( \nabla u _ { \varepsilon } , x ) - \frac { ( n + 1 ) W ( u _ { \varepsilon } ) } { \varepsilon } \right) } \\ & { = \int _ { \partial B _ { r } } \left( \varepsilon r \left| \frac { \partial u _ { \varepsilon } } { \partial \nu } \right| ^ { 2 } - r \frac { W ( u _ { \varepsilon } ) } { \varepsilon } \right) - \int _ { B _ { r } } \left( \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | ^ { 2 } + \varepsilon \left\langle \nabla \frac { | \nabla u _ { \varepsilon } | ^ { 2 } } { 2 } , x \right\rangle - \frac { ( n + 1 ) W ( u _ { \varepsilon } ) } { \varepsilon } \right) } \\ & { = r \int _ { \partial B _ { r } } \left( \varepsilon \left| \frac { \partial u _ { \varepsilon } } { \partial \nu } \right| ^ { 2 } - \frac { W ( u _ { \varepsilon } ) } { \varepsilon } - \varepsilon \frac { | \nabla u _ { \varepsilon } | ^ { 2 } } { 2 } \right) + \int _ { B _ { r } } \left( \varepsilon \frac { ( n - 1 ) | \nabla u _ { \varepsilon } | ^ { 2 } } { 2 } + \frac { ( n + 1 ) W ( u _ { \varepsilon } ) } { \varepsilon } \right) } \\ & { = n \int _ { B _ { r } } \left( \frac { \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | ^ { 2 } } { 2 } + \frac { W ( u _ { \varepsilon } ) } { \varepsilon } \right) - r \int _ { \partial B _ { r } } \left( \frac { \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | ^ { 2 } } { 2 } + \frac { W ( u _ { \varepsilon } ) } { \varepsilon } \right) + \frac { \varepsilon } { r } \int _ { \partial B _ { r } } \langle x , \nabla u _ { \varepsilon } \rangle ^ { 2 } - \xi ( B _ { r } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle u | u | ^ { 2 } , b _ { j , r + 1 } \rangle } \\ & { = \sum _ { k , l , m } \frac { A _ { k } A _ { l } A _ { m } } { L _ { k } L _ { l } L _ { m } } \left\langle e ^ { i \Gamma _ { k } + i \Gamma _ { l } - i \Gamma _ { m } } e ^ { - \frac { | y _ { k } | ^ { 2 } + | y _ { l } | ^ { 2 } + | y _ { m } | ^ { 2 } } { 2 } } , e ^ { i \Gamma _ { j } } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } | y _ { j } | ^ { 2 } } \frac { x _ { r } - ( X _ { j } ) _ { r } } { L _ { j } } \right\rangle } \\ & { = \sum _ { k , l , m } \frac { C } { L _ { j } } \left( \widehat { x _ { r } f } - ( X _ { j } ) _ { r } \widehat { f } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { F _ { q _ { \overline { { x } } } } ( X ) : = - \mathrm { t r } \left( ( \textbf { I } + ( p - 2 ) \frac { q _ { \overline { { x } } } + \xi } { | q _ { \overline { { x } } } + \xi | } \otimes \frac { q _ { \overline { { x } } } + \xi } { | q _ { \overline { { x } } } + \xi | } ) X \right) : = - \mathrm { t r } \left( A ( \eta _ { 1 } ) X \right) , } \\ & { F _ { q _ { \overline { { y } } } } ( Y ) : = - \mathrm { t r } \left( ( \textbf { I } + ( p - 2 ) \frac { q _ { \overline { { y } } } + \xi } { | q _ { \overline { { y } } } + \xi | } \otimes \frac { q _ { \overline { { y } } } + \xi } { | q _ { \overline { { y } } } + \xi | } ) Y \right) : = - \mathrm { t r } \left( A ( \eta _ { 2 } ) Y \right) , } \\ & { Q _ { i } ( q _ { \overline { { x } } } , \xi ) : = | q _ { \overline { { x } } } + \xi | ^ { a _ { i } } + a ( x ) | q _ { \overline { { x } } } + \xi | ^ { a _ { i } } , \ \ i = 1 , 2 , } \\ & { Q _ { i } ( q _ { \overline { { y } } } , \xi ) : = | q _ { \overline { { y } } } + \xi | ^ { a _ { i } } + a ( x ) | q _ { \overline { { y } } } + \xi | ^ { a _ { i } } , \ \ i = 1 , 2 , } \end{array}
| \mathbf { y } _ { h } ^ { \epsilon } - \mathbf { y } ^ { \epsilon } | _ { H ^ { m } ( T ) } \lesssim h _ { T } ^ { 1 - m } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \| \partial _ { \widehat x _ { i } } ^ { 3 } \widehat \mathbf { y } ^ { \epsilon } \| _ { L ^ { 2 } ( \widehat T ) } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \lesssim h _ { T } ^ { 1 - m } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \| \partial _ { \widehat x _ { i } } ^ { 3 } ( \widehat \mathbf { y } ^ { \epsilon } - \widehat { I _ { h } \mathbf { y } ^ { \epsilon } } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \widehat T ) } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } ,
{ \begin{array} { r l } { m { \frac { d } { d t } } \langle \Psi ( t ) | { \hat { x } } | \Psi ( t ) \rangle } & { = \langle \Psi ( t ) | { \hat { p } } | \Psi ( t ) \rangle , } \\ { { \frac { d } { d t } } \langle \Psi ( t ) | { \hat { p } } | \Psi ( t ) \rangle } & { = \langle \Psi ( t ) | - U ^ { \prime } ( { \hat { x } } ) | \Psi ( t ) \rangle . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { P \big ( \cap _ { i = 1 } ^ { m } \{ Z _ { i } = z _ { i } \} \big ) } & { = P \big ( \cap _ { i = 1 } ^ { m } \{ ( R _ { \pi ( n + i ) } , R _ { k } ) \in B _ { z _ { i } } \} \big ) = P \big ( \cap _ { i = 1 } ^ { m } \{ I _ { \{ R _ { \pi ( n + i ) } \, < \, R _ { k } \} } = z _ { i } \} \big ) } \\ & { = P \big ( \cap _ { i = 1 } ^ { m } \{ Z _ { \pi ( i ) } = z _ { i } \} \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \varphi _ { 1 } = - \alpha _ { 2 } x _ { 1 } - m _ { 3 } x _ { 2 } , \ } & { \varphi _ { 2 } = \alpha _ { 1 } x _ { 1 } - m _ { 3 } x _ { 2 } , \ \ \ } & { \varphi _ { 3 } = ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) x _ { 2 } , } \\ & { \varphi _ { 2 } - \varphi _ { 1 } = x _ { 1 } , \ } & { \varphi _ { 3 } - \varphi _ { 1 } = \alpha _ { 2 } x _ { 1 } + x _ { 2 } , \ \ \ } & { \varphi _ { 2 } - \varphi _ { 3 } = \alpha _ { 1 } x _ { 1 } - x _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U _ { 1 } ( \tau ) } & { = } & { \cos ( \omega \lambda ^ { 2 } \tau ) u _ { 1 } ( \tau ) - \sin ( \omega \lambda ^ { 2 } \tau ) u _ { 2 } ( \tau ) , } \\ { U _ { 2 } ( \tau ) } & { = } & { \sin ( \omega \lambda ^ { 2 } \tau ) u _ { 1 } ( \tau ) + \cos ( \omega \lambda ^ { 2 } \tau ) u _ { 2 } ( \tau ) , } \\ { U _ { 3 } ( \tau ) } & { = } & { u _ { 3 } ( \tau ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { ( u _ { \mathrm { m a x } } ^ { * } ) ^ { 2 } } { 4 } \left( A _ { 0 } ( 2 - 3 ( u _ { \mathrm { m a x } } ^ { * } ) ^ { 2 } ) - 2 ( ( u _ { \mathrm { m a x } } ^ { * } ) ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } \right) = \frac { A _ { 0 } } 4 \left( 2 A _ { 0 } q _ { * } ^ { 2 } - 1 \right) , \quad } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad u _ { \mathrm { m a x } } ^ { * } < - 1 / \sqrt 3 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| e ( w ) \| _ { L ^ { 2 } ( Q _ { r } ) } } & { \le \Vert \varphi \rho _ { \delta } * e ( u ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( Q _ { r } ) } + \Vert e ( w ) - \varphi \rho _ { \delta } * e ( u ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( Q _ { r } ) } } \\ & { = \Vert \varphi \rho _ { \delta } * e ( u ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( Q _ { r - \delta } ) } + \Vert e ( w ) - \varphi \rho _ { \delta } * e ( u ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( Q _ { r } ) } } \\ & { \le \| e ( u ) \| _ { L ^ { 2 } ( Q _ { 1 } ) } + \Vert e ( w ) - \varphi \rho _ { \delta } * e ( u ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( Q _ { r } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb E \big [ f _ { n } ( H ) - } & { f _ { n } ( W ) \big ] = \mathbb E \big [ \partial _ { a b } f _ { n } ( Q ) ( h _ { a b } - w _ { a b } ) \big ] + \frac { 1 } { 2 } \mathbb E \big [ \partial _ { a b } ^ { 2 } f _ { n } ( Q ) ( h _ { a b } ^ { 2 } - w _ { a b } ^ { 2 } ) \big ] } \\ { + } & { \frac { 1 } { 6 } \mathbb E \big [ \partial _ { a b } ^ { 3 } f _ { n } ( Q ) ( h _ { a b } ^ { 3 } - w _ { a b } ^ { 3 } ) \big ] + \frac { 1 } { 2 4 } \mathbb E \left[ \partial _ { a b } ^ { 4 } f _ { n } ( Q ) ( h _ { a b } ^ { 4 } - w _ { a b } ^ { 4 } ) \right] + \mathbb E \big [ ( X _ { H } - X _ { W } ) \big ] } \\ { = } & { \frac { 1 } { 6 } \mathbb E \big [ \partial _ { a b } ^ { 3 } f _ { n } ( Q ) \big ] \mathbb E \big [ h _ { a b } ^ { 3 } - w _ { a b } ^ { 3 } \big ] + \frac { 1 } { 2 4 } \mathbb E \left[ \partial _ { a b } ^ { 4 } f _ { n } ( Q ) \right] \mathbb E \left[ h _ { a b } ^ { 4 } - w _ { a b } ^ { 4 } \right] + \mathbb E \big [ ( X _ { H } - X _ { W } ) \big ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta ( x ^ { + } ) \, = \, \prod _ { \alpha \in \Sigma ^ { + } } \, ( \sinh \langle { \alpha , x ^ { + } } \rangle ) ^ { m _ { \alpha } } \, \asymp \, \prod _ { \alpha \in \Sigma ^ { + } } \Big ( \frac { \langle \alpha , x ^ { + } \rangle } { 1 + \langle \alpha , x ^ { + } \rangle } \Big ) ^ { m _ { \alpha } } \, e ^ { 2 \langle \rho , x ^ { + } \rangle } \qquad \forall \, x ^ { + } \in \overline { { \mathfrak { a } ^ { + } } } . } \end{array}
\mathbb { E } \left[ - 2 \sum _ { j l m } \frac { \partial ^ { 2 } T _ { i } } { \partial x _ { j } \partial x _ { l } } \frac { \partial ^ { 2 } T _ { i } } { \partial x _ { m } ^ { 2 } } \xi _ { k + 1 } ^ { ( j ) } \xi _ { k + 1 } ^ { ( l ) } \right] = - 2 \sum _ { j , l } \frac { \partial ^ { 2 } T _ { i } } { \partial x _ { j } ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } T _ { i } } { \partial x _ { l } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \left| \sum _ { a < n \le b } n ^ { - \sigma } e ( f ( n ) ) \right| } & { = \left| b ^ { - \sigma } \sum _ { a < n \le b } e ( f ( n ) ) + \int _ { a } ^ { b } \sigma t ^ { - \sigma - 1 } \sum _ { a < n \le t } e ( f ( n ) ) \mathrm { d } t \right| } \\ & { \le a ^ { - \sigma } \operatorname* { m a x } _ { a < L \le b } \left| \sum _ { a < n \le L } e ( f ( n ) ) \right| . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| \int _ { | k | \le K } y ( k ) \hat { \phi } ( k ) e ^ { 2 \pi \mathrm { i } k x } \, \mathrm { d } k - \phi * f _ { * } ( x ) \right| } \\ & { = \left| \int _ { | k | \le K } ( y ( k ) - \hat { f _ { * } } ( k ) ) \hat { \phi } ( k ) e ^ { 2 \pi \mathrm { i } k x } \, \mathrm { d } k + \int _ { | k | > K } \hat { f } _ { * } ( k ) \hat { \phi } ( k ) e ^ { 2 \pi \mathrm { i } k x } \, \mathrm { d } k \right| } \\ & { \le \left| \int _ { | k | \le K } ( y ( k ) - \hat { f _ { * } } ( k ) ) \hat { \phi } ( k ) e ^ { 2 \pi \mathrm { i } k x } \, \mathrm { d } k \right| + \left| \int _ { | k | > K } \hat { f } _ { * } ( k ) \hat { \phi } ( k ) e ^ { 2 \pi \mathrm { i } k x } \, \mathrm { d } k \right| } \\ & { \le \epsilon \int _ { | k | \le K } | \hat { \phi } ( k ) | \, \mathrm { d } k + \int _ { | k | > K } | \hat { \phi } ( k ) | \, \mathrm { d } k < \epsilon \int _ { - \infty } ^ { \infty } \exp ( - \pi ( k \sigma / K ) ^ { 2 } ) \, \mathrm { d } k + \frac { K } { \sigma } \exp ( - \pi \sigma ^ { 2 } ) } \\ & { \le \epsilon \frac { K } { \sigma } + \frac { K } { \sigma } \exp ( - \pi \sigma ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( \Phi _ { \mu } \Delta _ { k } ^ { - 1 } \Phi _ { \mu } ^ { \top } ) = \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( \Sigma _ { 1 } V _ { 1 } ^ { \top } U _ { 2 } \Sigma _ { 2 } ^ { - 1 } U _ { 2 } ^ { \top } V _ { 1 } \Sigma _ { 1 } ^ { \top } ) \geq \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( \Sigma _ { 1 } \Sigma _ { 1 } ^ { \top } ) \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( V _ { 1 } ^ { \top } U _ { 2 } \Sigma _ { 2 } ^ { - 1 } U _ { 2 } ^ { \top } V _ { 1 } ) \geq \frac { \lambda _ { 0 } } { 3 \eta } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta S _ { \mathrm { R P } } } & { = - \frac { \partial \Delta F _ { \mathrm { R P } } } { \partial T } = k _ { \mathrm { B } } \ln \frac { Z _ { \mathrm { P } } } { Z _ { \mathrm { R } } } + k _ { \mathrm { B } } T \left[ \frac { \partial \ln Z _ { \mathrm { P } } } { \partial T } - \frac { \partial \ln Z _ { \mathrm { R } } } { \partial T } \right] } \\ & { = - \frac { \Delta F _ { \mathrm { R P } } } { T } + \frac { 1 } { T } \left( \left< U \right> _ { \mathrm { P } } - \left< U \right> _ { \mathrm { R } } \right) \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { s ( t ) : = \int _ { 0 } ^ { t } \frac { 1 } { L ( \tau ) ^ { 2 } } d t } & { = \int _ { 0 } ^ { t } \frac { 1 } { \underbrace { 2 h ( 0 ) } _ { = : c _ { 1 } } - \underbrace { \sqrt { 4 h ( 0 ) ^ { 2 } - 1 } } _ { = : c _ { 2 } } \cos ( \xi ( 0 ) - 4 \tau ) } d \tau } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t } \frac { 1 } { c _ { 1 } - c _ { 2 } \cos ( \xi ( 0 ) - 4 \tau ) } d \tau } \\ & { = \frac { 1 } { 4 } \int _ { \xi ( 0 ) - 4 t } ^ { \xi ( 0 ) } \frac { 1 } { c _ { 1 } - c _ { 2 } \cos ( \tau ) } d \tau . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { 5 } } & { = : I + \varepsilon \mathcal { A } _ { 1 } = : I + \varepsilon A _ { 1 } + \varepsilon ^ { 2 } \mathcal { A } _ { 2 } = : I + \varepsilon A _ { 1 } + \frac { \varepsilon ^ { 2 } A _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } + \varepsilon ^ { 3 } \mathcal { A } _ { 3 } , } \\ { \Phi _ { 5 } ^ { - 1 } } & { = : I + \varepsilon \tilde { \mathcal { A } } _ { 1 } = : I - \varepsilon A _ { 1 } + \varepsilon ^ { 2 } \tilde { \mathcal { A } } _ { 2 } = : I - \varepsilon A _ { 1 } + \frac { \varepsilon ^ { 2 } A _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } + \varepsilon ^ { 3 } \tilde { \mathcal { A } } _ { 3 } . } \end{array}
\mathbb { P } \big ( | { \texttt X } | \geq N ^ { \varepsilon ^ { \prime } } N ^ { - \frac 1 { 2 } } \| { \boldsymbol u } \| _ { \infty } ^ { 2 } \big ) \leq N ^ { - 2 D \varepsilon ^ { \prime } } \frac { \mathbb { E } [ | { \texttt X } | ^ { 2 D } ] } { ( N ^ { - \frac 1 { 2 } } \| { \boldsymbol u } \| _ { \infty } ^ { 2 } ) ^ { 2 D } } \leq N ^ { - 2 D \varepsilon ^ { \prime } } N ^ { 8 D \varepsilon } .
{ \sqrt { 2 } } = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k + 1 } { \frac { ( 2 k - 3 ) ! ! } { ( 2 k ) ! ! } } = 1 + { \frac { 1 } { 2 } } - { \frac { 1 } { 2 \cdot 4 } } + { \frac { 1 \cdot 3 } { 2 \cdot 4 \cdot 6 } } - { \frac { 1 \cdot 3 \cdot 5 } { 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 } } + \cdots = 1 + { \frac { 1 } { 2 } } - { \frac { 1 } { 8 } } + { \frac { 1 } { 1 6 } } - { \frac { 5 } { 1 2 8 } } + { \frac { 7 } { 2 5 6 } } + \cdots .
\begin{array} { r l } { S _ { 2 } ^ { u } = } & { { \nu _ { \mu } } \omega _ { 2 } \omega _ { 2 } ^ { \dagger } + } \\ { \overline { { c ^ { r } } } { B _ { 1 } ^ { \dagger } } \omega _ { 2 } \omega _ { 2 } ^ { \dagger } + } & { \overline { { c ^ { g } } } { B _ { 2 } ^ { \dagger } } \omega _ { 2 } \omega _ { 2 } ^ { \dagger } + \overline { { c ^ { b } } } { B _ { 3 } ^ { \dagger } } \omega _ { 2 } \omega _ { 2 } ^ { \dagger } + } \\ { s ^ { r } { B _ { 3 } ^ { \dagger } } { B _ { 2 } ^ { \dagger } } \omega _ { 2 } \omega _ { 2 } ^ { \dagger } + } & { s ^ { g } { B _ { 1 } ^ { \dagger } } { B _ { 3 } ^ { \dagger } } \omega _ { 2 } \omega _ { 2 } ^ { \dagger } + s ^ { b } { B _ { 2 } ^ { \dagger } } { B _ { 1 } ^ { \dagger } } \omega _ { 2 } \omega _ { 2 } ^ { \dagger } + } \\ & { \mu ^ { + } { B _ { 3 } ^ { \dagger } } { B _ { 2 } ^ { \dagger } } { B _ { 1 } ^ { \dagger } } \omega _ { 2 } \omega _ { 2 } ^ { \dagger } } \end{array}
\phi \beta _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( \phi ) - \beta _ { \varepsilon } ( \phi ) = \left\{ \begin{array} { r l r l } & { 0 } & & { \mathrm { i f ~ | \phi | ~ \geq ~ \varepsilon ~ } , } \\ & { \frac { 1 } { 4 \varepsilon } ( \phi ^ { 2 } - \varepsilon ^ { 2 } ) } & & { \mathrm { i f ~ | \phi | ~ \leq ~ \varepsilon ~ } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { d _ { 0 } = \sum _ { ( x , y ) \in { \cal X } \times { \cal Y } } | - q ( y | x ) q ( x ) + q ( x , y ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad + q ( y | x ) p ( x ) - p ( x , y ) | } \\ & { \leq \sum _ { ( x , y ) \in { \cal X } \times { \cal Y } } \left[ | q ( x , y ) - p ( x , y ) | + q ( y | x ) | p ( x ) - q ( x ) | \right] } \\ & { = \sum _ { ( x , y ) \in { \cal X } \times { \cal Y } } | q ( x , y ) - p ( x , y ) | + \sum _ { x \in { \cal X } } | p ( x ) - q ( x ) | } \\ & { \leq 2 | | p - q | | _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R ^ { x } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ; y _ { 1 } ) T ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ; a , b ) T ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ; a , b ) } & { = T ( x _ { 2 } , y _ { 1 } ; a , b ) T ( x _ { 1 } , y _ { 2 } ; a , b ) R ^ { x } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ; y _ { 1 } ) , } \\ { R ^ { y } ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ; x _ { 2 } ) T ( x _ { 1 } , y _ { 2 } ; a , b ) T ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ; a , b ) } & { = T ( x _ { 1 } , y _ { 2 } ; a , b ) T ( x _ { 2 } , y _ { 1 } ; a , b ) R ^ { y } ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ; x _ { 2 } ) , } \\ { R ^ { x , y } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ; x _ { 2 } , y _ { 2 } ) T ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ; a , b ) T ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ; a , b ) } & { = T ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ; a , b ) T ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ; a , b ) R ^ { x , y } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ; x _ { 2 } , y _ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { S E } _ { k , ( 2 ) } ^ { \mathrm { o p t } } } \\ & { = \left( 1 - \frac { \tau _ { p } } { \tau _ { c } } \right) \log _ { 2 } \left| \mathbf { I } _ { N } + \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } } ^ { H } \mathbb { E } \left\{ \mathbf { G } _ { k k } \right\} \left( \sum _ { l = 1 } ^ { K } { \mathbb { E } \left\{ \mathbf { G } _ { k l } \mathbf { \bar { F } } _ { l , \mathrm { u } } \mathbf { G } _ { k l } ^ { H } \right\} - \mathbb { E } \left\{ \mathbf { G } _ { k k } \right\} \mathbf { \bar { F } } _ { k , \mathrm { u } } \mathbb { E } \left\{ \mathbf { G } _ { k k } ^ { H } \right\} + \sigma ^ { 2 } \mathbf { S } _ { k } } \right) ^ { - 1 } \mathbb { E } \left\{ \mathbf { G } _ { k k } \right\} \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } } \right| . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left. - \nabla \cdot \left( E : \left[ \varepsilon \left( \mathbf { w } ^ { k l } \right) + e ^ { k l } \right] \right) \right) = 0 \mathrm { ~ i n ~ } \Omega , } \\ { \mathbf { w } ^ { k l } \left( \mathbf { x } \right) = \mathbf { w } ^ { k l } \left( \mathbf { x } + \mathbf { t } \right) , \quad \mathbf { x } \in \partial \Omega . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| y _ { t + 1 } ^ { ( m ) } - y _ { x _ { t } ^ { ( m ) } } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } } & { \leq ( 1 - \frac { \mu \gamma \alpha _ { t } } { 2 } ) \| y _ { x _ { t } ^ { ( m ) } } ^ { ( m ) } - y _ { t } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } - \frac { \gamma ^ { 2 } \alpha _ { t } } { 4 } \| \omega _ { t } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } + \frac { 4 \gamma \alpha _ { t } } { \mu } \| \nabla _ { y } g ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ) - w _ { t } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \lambda _ { 1 } \left( \begin{array} { l } { \langle v _ { 1 } , v _ { 1 } \rangle } \\ { \langle v _ { 1 } , v _ { 2 } \rangle } \\ { \vdots } \\ { \langle v _ { 1 } , v _ { n } \rangle } \end{array} \right) + \lambda _ { 2 } \left( \begin{array} { l } { \langle v _ { 2 } , v _ { 1 } \rangle } \\ { \langle v _ { 2 } , v _ { 2 } \rangle } \\ { \vdots } \\ { \langle v _ { 2 } , v _ { n } \rangle } \end{array} \right) + \cdots + \lambda _ { n } \left( \begin{array} { l } { \langle v _ { n } , v _ { 1 } \rangle } \\ { \langle v _ { n } , v _ { 2 } \rangle } \\ { \vdots } \\ { \langle v _ { n } , v _ { n } \rangle } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { \vdots } \\ { 0 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \mathcal { M } ( \phi ) \right| \leq } & { \| f \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; \mathbb { L } ^ { 2 } ) } \| \phi \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; \mathbb { L } ^ { 2 } ) } + \displaystyle \| y ^ { 0 } \| _ { \mathbb { L } ^ { 2 } } \| \phi ( \cdot , 0 ) \| _ { \mathbb { L } ^ { 2 } } } \\ & { + \displaystyle \| v \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \| I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } ( \phi ^ { i } ) ( b _ { i } ^ { - } , \cdot ) \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } + \displaystyle \displaystyle \| u \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } \| \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } ( \phi ^ { i } ) ( b _ { i } ^ { - } , . ) \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } \\ { \leq } & { \| f \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; \mathbb { L } ^ { 2 } ) } \| \phi \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; \mathbb { V } ) } + \displaystyle \| y ^ { 0 } \| _ { \mathbb { L } ^ { 2 } } \| \phi ( \cdot , 0 ) \| _ { \mathbb { L } ^ { 2 } } } \\ & { + C \| v \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } \| \phi \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; \mathbb { V } ) } + \displaystyle \displaystyle \| u \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } \| \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } ( \phi ^ { i } ) ( b _ { i } ^ { - } , \cdot ) \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } \\ { \leq } & { C \left( \| f \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; \mathbb { L } ^ { 2 } ) } ^ { 2 } + \| y ^ { 0 } \| _ { \mathbb { L } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \| v \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } + \| u \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \times } \\ & { \left( \| \phi \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; \mathbb { V } ) } ^ { 2 } + \| \phi ( \cdot , 0 ) \| _ { \mathbb { L } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \| \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } ( \phi ^ { i } ) ( b _ { i } ^ { - } , \cdot ) \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } \\ { \leq } & { C \left( \| f \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; \mathbb { L } ^ { 2 } ) } ^ { 2 } + \| y ^ { 0 } \| _ { \mathbb { L } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \| v \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } + \| u \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \Big ) \| | \phi \| | . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \delta ^ { ( N + 1 ) / 2 } ( 2 \pi ) ^ { - d / 2 } \times } \\ & { \quad \times \int _ { 0 } ^ { 1 } d r \; \frac { ( - r ) ^ { N } } { N ! } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } ( \xi ^ { \prime } \cdot \nabla _ { \xi } ) ^ { N + 1 } a \big ( x + F ( \delta \, x ) \, , \, \xi - \sqrt { \delta } \xi ^ { \prime } + r \sqrt { \delta } \xi ^ { \prime } \big ) \, \hat { f } ( \xi ^ { \prime } ) \; d \xi ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { W ^ { 2 } ( f , \bar { f } ) + W ^ { 2 } ( g , \bar { g } ) } & { = o ( E ) + O ( D ) , } \\ { \int _ { \partial B _ { R } } \bar { f } ^ { 2 } + \bar { g } ^ { 2 } } & { = O ( E + D ) , } \\ { \int _ { \Omega \cap \{ \exists t \in [ 0 , 1 ] \; X ( t ) \in \partial B _ { R } \} } | x - y | ^ { 2 } d \pi } & { = o ( E + D ) , } \\ { \pi ( \Omega \cap \{ \exists t \in [ 0 , 1 ] \; X ( t ) \in \partial B _ { R } \} ) } & { = o ( 1 ) , } \\ { W ^ { 2 } ( \lambda \llcorner B _ { R } , \frac { \lambda ( B _ { R } ) } { | B _ { R } | } d x \llcorner B _ { R } ) + ( \frac { \lambda ( B _ { R } ) } { | B _ { R } | } - 1 ) ^ { 2 } } & { = O ( D ) , } \\ { W ^ { 2 } ( \mu \llcorner B _ { R } , \frac { \mu ( B _ { R } ) } { | B _ { R } | } d x \llcorner B _ { R } ) + ( \frac { \mu ( B _ { R } ) } { | B _ { R } | } - 1 ) ^ { 2 } } & { = O ( D ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \underset { \left\{ d _ { 0 } , d _ { 1 } \right\} } { \operatorname* { m i n } } } & { \ \mathrm { A B E P } _ { \mathrm { u b } } \approx a _ { 0 } e ^ { - b _ { 0 } d _ { 0 } ^ { 2 } } + a _ { 1 } e ^ { - b _ { 1 } d _ { 0 } ^ { 2 } } + M ^ { \prime } a _ { 2 } \left( \frac { 1 } { 1 2 } e ^ { - b _ { 2 } d _ { 1 } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 4 } e ^ { - \frac { 4 } { 3 } b _ { 2 } d _ { 1 } ^ { 2 } } \right) } \\ { \mathrm { s . t . } \; \; } & { \ 2 d _ { 0 } ^ { 2 } + \frac { M ^ { \prime } \left( 2 M ^ { \prime } + 1 \right) } { 3 } d _ { 1 } ^ { 2 } + 2 M ^ { \prime } d _ { 0 } d _ { 1 } \leq 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { h ( E \times X ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { \log \left| \mathcal { P } \left( \Delta _ { n } ^ { \mathcal { G } _ { 1 } } , E \times X \right) \right| } { | \Delta _ { n } ^ { \mathcal { G } _ { 1 } } | } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { \log \prod _ { i = 1 } ^ { n + 1 } \left| \mathcal { P } \left( \mathbb { Z } _ { i } , X \right) \right| } { 1 + 2 + \cdots + ( n + 1 ) } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n + 1 } \log \left| A ^ { i } \right| } { \frac { ( n + 1 ) ( n + 2 ) } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 3 } \tilde { u } _ { t t } - ( \tilde { u } \tilde { v } ) _ { x t } } & { = \tilde { u } _ { x x t } + \alpha ^ { \prime } \tilde { v } _ { x } + \alpha \tilde { v } _ { x t } + \beta _ { t } \tilde { u } _ { x } + \beta \tilde { u } _ { x t } + \beta _ { x t } \tilde { u } + \beta _ { x } \tilde { u } _ { t } + \alpha ^ { \prime } \beta _ { x } - \alpha \beta _ { x t } - \alpha ^ { \prime \prime } , } \\ { \tilde { v } _ { t t } - \tilde { u } _ { x t } } & { = \varepsilon \tilde { v } _ { x x t } - 2 \varepsilon \tilde { v } _ { t } \tilde { v } _ { x } - 2 \varepsilon \tilde { v } \tilde { v } _ { x t } - 2 \varepsilon \beta _ { t } \tilde { v } _ { x } - 2 \varepsilon \beta \tilde { v } _ { x t } - 2 \varepsilon \tilde { v } _ { t } \beta _ { x } - 2 \varepsilon \tilde { v } \beta _ { x t } - 2 \varepsilon \beta _ { t } \beta _ { x } } \\ & { \qquad - 2 \varepsilon \beta \beta _ { x t } - \beta _ { t t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \mathbb { P } ( e \in \mathcal { E } _ { m i n } } & { ( \mathfrak { j } _ { 0 } ) ) - \mathbb { P } ( e + 2 \mathbf e _ { d } \in \mathcal { E } _ { m i n } ( \mathfrak { j } _ { 0 } ) ) | } \\ & { \le \mathbb { P } ( \mathfrak { i } _ { 0 } ^ { \prime } - \mathfrak { i } _ { 0 } \ne 2 ) + \mathbb { P } ( \mathfrak { j } _ { 0 } \in \{ 1 , 2 \} ) + \mathbb { P } \left( \mathfrak { j } _ { 0 } \in \left\{ H - \frac { 1 } { 2 } h _ { 0 } n , H - \frac { 1 } { 2 } h _ { 0 } n - 1 \right\} \right) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { z \in K , z ^ { \prime } \in K } \\ { ( r ^ { \prime } ) ^ { - n _ { j } } , } & { z \in K , z ^ { \prime } \in E _ { j } } \\ { r ^ { - n _ { i } } , } & { z \in E _ { i } , z ^ { \prime } \in K } \\ { \operatorname* { m i n } \left( r ^ { - n _ { i } } ( r ^ { \prime } ) ^ { 1 - n _ { j } } ; r ^ { 1 - n _ { i } } ( r ^ { \prime } ) ^ { - n _ { j } } \right) , } & { z \in E _ { i } , z ^ { \prime } \in E _ { j } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { t } & { \leq \sum _ { 0 \leq i \leq l } \sum _ { j = \eta _ { i } } ^ { \eta _ { i + 1 } - 1 } ( \xi _ { j + 1 } - \xi _ { j } ) , } \\ { \mathrm { d i a m } ( \mathscr { D } _ { t } ^ { 1 } ) } & { \leq \xi _ { N ( t ) + 1 } - \xi _ { N ( t ) } , \quad \mathrm { a n d } } \\ { \mathrm { d i s t } ( \mathscr { D } _ { t } ^ { 1 } , \mathscr { D } _ { t } ^ { 2 } ) } & { \geq \| S _ { N ( t ) } \| - O \left( ( \xi _ { N ( t ) + 1 } - \xi _ { N ( t ) } ) ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { n _ { 2 , \mathrm { x } } ^ { \mathrm { c o f e } } ( R ) = } & { - \bar { f } \int _ { 0 } ^ { \bar { k } _ { F } } e ^ { i \vec { q } \cdot \vec { R } } \frac { d \vec { q } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { \bar { k } _ { F } } e ^ { - i \vec { q } ^ { \prime } \cdot \vec { R } } \frac { d \vec { q } ^ { \prime } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } \\ { = } & { - \bar { f } \bigg | \frac { \bar { k } _ { F } ^ { 3 } } { 6 \pi ^ { 2 } } g ( \bar { k } _ { F } R ) \bigg | ^ { 2 } \equiv - \Pi _ { \mathrm { x } } ^ { \mathrm { c o f e } } N ( \bar { k } _ { F } R ) } \end{array}
| I _ { A } | \frac { \varepsilon } { I _ { \operatorname* { m a x } } } - \varepsilon \leq | I _ { A } | \frac { \varepsilon } { I _ { \operatorname* { m a x } } } ( 1 + o ( 1 ) ) \leq \mathbb { P } _ { d } \! \left( I _ { A } \right) \leq | I _ { A } | \frac { \varepsilon } { I _ { \operatorname* { m a x } } } ( 1 + o ( 1 ) ) \leq | I _ { A } | \frac { \varepsilon } { I _ { \operatorname* { m a x } } } + \varepsilon
\begin{array} { r l r } { Y _ { \tau } ^ { j } ( \boldsymbol { \theta } ) } & { = } & { a \mathrm { ~ } \frac { \tau } { 2 } \left\vert \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right\vert ^ { - \tau / 2 } \left\{ - t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \right) \right. } \\ & { } & { \left. \exp \left\{ - \frac { \tau } { 2 } \left( \boldsymbol { y } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) ^ { T } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \left( \boldsymbol { y } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) \right\} + b \mathrm { ~ } t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \right) \right. } \\ & { } & { \left. + \mathrm { ~ } \exp \left\{ - \frac { \tau } { 2 } \left( \boldsymbol { y } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) ^ { T } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \left( \boldsymbol { y } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) \right\} \right. } \\ & { } & { \left[ - 2 \left( \frac { \partial \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \right) ^ { T } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \left( \boldsymbol { y } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) \right. } \\ & { } & { \left. \left. + \left( \boldsymbol { y } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) ^ { T } \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \right) \left( \boldsymbol { y } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) \right] \right\} , \mathrm { ~ } j = 1 , . . . , d . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E [ Z _ { m _ { 1 } } Z _ { m _ { 2 } } { \cdots } Z _ { m _ { n _ { 0 } } } ] = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \prod _ { i = 1 } ^ { n _ { 0 } } Z _ { m _ { i } } \cdot \frac { \delta } { 2 \pi { \sigma _ { s } ^ { 2 } } } e ^ { - \frac { \delta ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { s } ^ { 2 } } } \, d { \delta } \, d { \theta } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { T _ { 1 } ( k ) = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { - \frac { s _ { 1 2 } } { s _ { 1 1 } } } & { \frac { m _ { 3 1 } ( s ) } { m _ { 3 3 } ( s ) } } \\ { 0 } & { 1 } & { - \frac { m _ { 3 2 } ( s ) } { m _ { 3 3 } ( s ) } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } & & { T _ { 2 } ( k ) = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { - \frac { m _ { 2 1 } ( s ) } { m _ { 2 2 } ( s ) } } & { - \frac { s _ { 1 3 } } { s _ { 1 1 } } } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - \frac { m _ { 2 3 } ( s ) } { m _ { 2 2 } ( s ) } } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ & { T _ { 3 } ( k ) = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { - \frac { m _ { 2 1 } ( s ) } { m _ { 2 2 } ( s ) } } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { - \frac { s _ { 3 1 } } { s _ { 3 3 } } } & { - \frac { m _ { 2 3 } ( s ) } { m _ { 2 2 } ( s ) } } & { 1 } \end{array} \right) , } & & { T _ { 4 } ( k ) = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { - \frac { m _ { 1 2 } ( s ) } { m _ { 1 1 } ( s ) } } & { 1 } & { 0 } \\ { \frac { m _ { 1 3 } ( s ) } { m _ { 1 1 } ( s ) } } & { - \frac { s _ { 3 2 } } { s _ { 3 3 } } } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ & { T _ { 5 } ( k ) = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { - \frac { m _ { 1 2 } ( s ) } { m _ { 1 1 } ( s ) } } & { 1 } & { - \frac { s _ { 2 3 } } { s _ { 2 2 } } } \\ { \frac { m _ { 1 3 } ( s ) } { m _ { 1 1 } ( s ) } } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } & & { T _ { 6 } ( k ) = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { \frac { m _ { 3 1 } ( s ) } { m _ { 3 3 } ( s ) } } \\ { - \frac { s _ { 2 1 } } { s _ { 2 2 } } } & { 1 } & { - \frac { m _ { 3 2 } ( s ) } { m _ { 3 3 } ( s ) } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Tilde { S } _ { x } ( N ) } & { \ll \sqrt { N } \times \Big ( \frac { p ^ { 1 + \frac { \eta } { 2 } } } { Q _ { 1 } ^ { 1 / 2 } } + \frac { p ^ { 1 + \frac { \eta } { 2 } } } { Q _ { 1 } ^ { 1 / 2 } } + \frac { p ^ { 1 + \frac { \eta } { 2 } } } { Q _ { 3 } ^ { 1 / 2 } } + \frac { p ^ { 1 + \frac { \eta } { 2 } } } { Q _ { 4 } ^ { 1 / 2 } } + \frac { p ^ { 1 + \frac { 3 \eta } { 4 } } } { Q _ { 3 } ^ { 1 / 4 } } + \frac { p ^ { 1 + \frac { 3 \eta } { 4 } } } { Q _ { 1 } ^ { 1 / 4 } } } \\ & { + \frac { p ^ { 1 + \frac { 3 \eta } { 4 } } } { Q _ { 1 } ^ { 1 / 4 } } + \, \frac { 1 } { p ^ { 1 + \frac { \eta } { 2 } } } + \frac { p } { p ^ { \eta / 2 } } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g \left( Z , \nabla _ { Y } \left( f X \right) \right) = \frac { 1 } { 2 } \Big ( } & { f X g \left( Y , Z \right) + Y g \left( Z , f X \right) - Z g \left( f X , Y \right) } \\ & { - g \left( \left[ f X , Z \right] , Y \right) - g \left( \left[ Y , Z \right] , f X \right) - g \left( \left[ f X , Y \right] , Z \right) \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { \theta \in \Theta _ { m } ^ { \beta } ( R ) } \big \| E _ { \theta } \big [ \widehat \theta \big ] - \theta \big \| _ { 2 } ^ { 2 } \leq \operatorname* { s u p } _ { f \in S ^ { \beta } ( R ) } \operatorname { I B i a s } _ { f } ^ { 2 } ( \widehat f ) , \mathrm { ~ a n d , ~ } } \\ & { \operatorname* { s u p } _ { \theta \in \Theta _ { m } ^ { \beta } ( R ) } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \operatorname { V a r } _ { \theta } \big ( \widehat \theta _ { i } \big ) \leq \operatorname* { s u p } _ { f \in S ^ { \beta } ( R ) } \operatorname { I V a r } _ { f } \big ( \widehat f \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { 1 } ( t , x ) } & { : = \frac 1 s \int _ { 0 } ^ { s } \tilde { G } _ { x } \left( t , x + z e , \nabla ^ { h } \tilde { v } ^ { h } ( t , x + s e ) \right) \cdot e \, d z , } \\ { G _ { 2 } ( t , x ) } & { : = \int _ { 0 } ^ { 1 } \tilde { G } _ { p } \left( t , x , \nabla ^ { h } \tilde { v } ^ { h } ( t , x ) + z ( \nabla ^ { h } \tilde { v } ^ { h } ( t , x + s e ) - \nabla ^ { h } \tilde { v } ^ { h } ( t , x ) ) \right) \, d z . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { \psi _ { s _ { 1 } } , \bar { \psi } _ { s _ { 2 } } , \psi _ { s _ { 3 } } , \bar { \psi } _ { s _ { 4 } } } ^ { \star } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) ^ { ( 0 ) } = } & { \ \langle 0 | \mathrm { T } [ \psi _ { s _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) \star \bar { \psi } _ { s _ { 2 } } ( x _ { 2 } ) \star \psi _ { s _ { 3 } } ( x _ { 3 } ) \star \bar { \psi } _ { s _ { 4 } } ( x _ { 4 } ) ] | 0 \rangle _ { \star } ^ { ( 0 ) } } \\ { : = } & { \ ( { \mathrm { i } } \, \hbar \, { \mathsf \Delta } _ { \textrm { \tiny B V } } \, \mathsf { H } ) ^ { 2 } \big ( \delta _ { x _ { 1 } } ^ { \psi _ { s _ { 1 } } } \odot _ { \star } \delta _ { x _ { 2 } } ^ { \bar { \psi } _ { s _ { 2 } } } \odot _ { \star } \delta _ { x _ { 3 } } ^ { \psi _ { s _ { 3 } } } \odot _ { \star } \delta _ { x _ { 4 } } ^ { \bar { \psi } _ { s _ { 4 } } } \big ) \ . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathsf { F } \equiv \mathsf { S } ^ { + } + \mathsf { S } ^ { - } , } \\ & { } & { \mathsf { S } ^ { \pm } D \equiv D \mathsf { S } ^ { \pm } \equiv 0 , } \\ & { } & { \mathsf { S } ^ { \pm } \in I ^ { - 1 / 2 } \big ( \mathscr { M } \times \mathscr { M } , C ^ { \pm \prime } ; \mathrm { H o m } ( { \mathscr { E } , \mathscr { E } } ) \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { \hbar , \lambda } ( - t ) = } & { U _ { \hbar , \lambda } ( - \frac { t ( \tau _ { 0 } - 2 ) } { \tau _ { 0 } } ) \Big [ U _ { \hbar , 0 } ( - 2 t _ { 0 } ) + \sum _ { i = 0 } ^ { 2 } \sum _ { j = \operatorname* { m i n } ( 1 , i ) } ^ { i } \sum _ { k = k _ { i j } } ^ { k _ { 0 } } \sum _ { \iota \in \mathcal { Q } _ { k , i , j } } \sum _ { \boldsymbol { x } \in \mathcal { X } _ { \neq } ^ { k - i } } \mathcal { T } ( \iota , k , \boldsymbol { x } , 2 t _ { 0 } ; \hbar ) U _ { \hbar , 0 } ( - 2 t _ { 0 } ) \Big ] } \\ & { + \sum _ { \tau = 1 } ^ { 2 } U _ { \hbar , \lambda } ( - \frac { t ( \tau _ { 0 } - \tau ) } { \tau _ { 0 } } ) \big [ \mathcal { R } _ { \tau } ^ { \mathrm { r e c } } ( k _ { 0 } ; \hbar ) + \sum _ { i = 0 } ^ { 2 } \sum _ { j = \operatorname* { m i n } ( 1 , i ) } ^ { i } \mathcal { R } _ { \tau , i , j } ^ { k _ { 0 } } ( N ; \hbar ) \big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { ~ \operatorname* { m a x } _ { R , x _ 0 } ~ } \quad R } \\ & { \; \mathrm { s . t . } \quad \; x _ { 0 } ^ { 1 } - ( x _ { 0 } ^ { 2 } - R ) \le 2 } \\ & { \; x _ { 0 } ^ { 1 } - ( x _ { 0 } ^ { 3 } - R ) \le - 3 } \\ & { \; ( x _ { 0 } ^ { 2 } + R ) - x _ { 0 } ^ { 1 } \le 1 } \\ & { \; ( x _ { 0 } ^ { 3 } + R ) - x _ { 0 } ^ { 1 } \le 5 } \\ & { \; ( x _ { 0 } ^ { 3 } + R ) - x _ { 0 } ^ { 2 } \leq 7 } \\ & { \; ( x _ { 2 } + R ) - x _ { 0 } ^ { 3 } \leq 1 } \\ & { \; x _ { 0 } ^ { 1 } = 0 . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { G } & { = - { \frac { 1 } { \pi i } } \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \ln \ln \tan x \ln \tan x \, d x } \\ { G } & { = \iint _ { [ 0 , 1 ] ^ { 2 } } \! { \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } y ^ { 2 } } } \, d x \, d y } \\ { G } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 - x } { \frac { 1 } { 1 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } } \, d y \, d x } \\ { G } & { = \int _ { 1 } ^ { \infty } { \frac { \ln t } { 1 + t ^ { 2 } } } \, d t } \\ { G } & { = - \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { \ln t } { 1 + t ^ { 2 } } } \, d t } \\ { G } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } { \frac { t } { \sin t } } \, d t } \\ { G } & { = \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 4 } } \ln \cot t \, d t } \\ { G } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \ln \left( \sec t + \tan t \right) \, d t } \\ { G } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { \operatorname { a r c c o s } t } { \sqrt { 1 + t ^ { 2 } } } } \, d t } \\ { G } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { \operatorname { a r c s i n h } t } { \sqrt { 1 - t ^ { 2 } } } } \, d t } \\ { G } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { \arctan t } { t { \sqrt { 1 + t ^ { 2 } } } } } \, d t } \\ { G } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { \operatorname { a r c t a n h } t } { \sqrt { 1 - t ^ { 2 } } } } \, d t } \\ { G } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \operatorname { a r c c o t } e ^ { t } \, d t } \\ { G } & { = { \frac { 1 } { 4 } } \int _ { 0 } ^ { { \pi ^ { 2 } } / { 4 } } \csc { \sqrt { t } } \, d t } \\ { G } & { = { \frac { 1 } { 1 6 } } \left( \pi ^ { 2 } + 4 \int _ { 1 } ^ { \infty } \operatorname { a r c c s c } ^ { 2 } t \, d t \right) } \\ { G } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { t } { \cosh t } } \, d t } \\ { G } & { = { \frac { \pi } { 2 } } \int _ { 1 } ^ { \infty } { \frac { \left( t ^ { 4 } - 6 t ^ { 2 } + 1 \right) \ln \ln t } { \left( 1 + t ^ { 2 } \right) ^ { 3 } } } \, d t } \\ { G } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { \arcsin \left( \sin t \right) } { t } } \, d t } \\ { G } & { = 1 + \operatorname* { l i m } _ { \alpha \to { 1 ^ { - } } } \! \left\{ \int _ { 0 } ^ { \alpha } \! { \frac { \left( 1 + 6 t ^ { 2 } + t ^ { 4 } \right) \arctan { t } } { t \left( 1 - t ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } \, d t + 2 \operatorname { a r t a n h } { \alpha } - { \frac { \pi \alpha } { 1 - \alpha ^ { 2 } } } \right\} } \\ { G } & { = 1 - { \frac { 1 } { 8 } } \iint _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \! \! { \frac { x \sin \left( 2 x y / \pi \right) } { \, \left( x ^ { 2 } + \pi ^ { 2 } \right) \cosh x \sinh y \, } } \, d x \, d y } \\ { G } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { { \sqrt [ { 4 } ] { x } } \left( { \sqrt { x } } { \sqrt { y } } - 1 \right) } { ( x + 1 ) ^ { 2 } { \sqrt [ { 4 } ] { y } } ( y + 1 ) ^ { 2 } \log ( x y ) } } d x d y } \end{array} }
( A _ { 0 } , A _ { 1 } , A _ { 2 } ) : = \left( \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 1 / \sqrt { 2 } } \\ { 1 / \sqrt { 2 } } & { 0 } \end{array} \right) \right) \in \mathcal C ( D ) _ { 2 } ^ { \mathrm { l r g } } .
\begin{array} { r l } & { f ( \rho , \alpha ) \triangleq \log _ { 2 } \left( \frac { \rho } { 1 \! - \! \rho } \right) \left( 1 \! - \! \frac { p } { q } \right) } \\ & { + 2 \log _ { 2 } ( 1 + ( q - p ) ^ { 2 } \alpha ) - \frac { p } { q } \log _ { 2 } ( 2 q ) - \frac { p } { q } \log _ { 2 } ( 2 p ) } \\ & { + \frac { p } { q } \log _ { 2 } \left( 1 \! + \! ( q \! - \! p ) \frac { \rho \! + \! \alpha } { 1 \! - \! \rho } \right) \! + \! \frac { p } { q } \log _ { 2 } \left( 1 \! - \! ( q \! - \! p ) \frac { \rho \! + \! \alpha } { 1 \! - \! \rho } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \iiint \, \textnormal { d } x _ { 1 } \, \textnormal { d } x _ { 2 } \, \textnormal { d } x _ { 3 } f _ { 1 2 } \nabla f _ { 1 2 } f _ { 2 3 } \nabla f _ { 2 3 } f _ { 1 3 } ^ { 2 } \Bigl [ O ( \rho ^ { 3 + 4 / 3 } | x _ { 1 } - x _ { 2 } | ^ { 2 } | x _ { 2 } - x _ { 3 } | ^ { 2 } ) } \\ & { \qquad + O \left( a ^ { 3 } \rho ^ { 4 } \log ( b / a ) \left[ s ^ { 3 } a ^ { 6 } \rho ^ { 2 } ( \log ( b / a ) ) ^ { 2 } ( \log N ) ^ { 9 } + 1 \right] \right) \Bigr ] } \\ & { \quad \leq C N \rho ^ { 2 + 4 / 3 } \left( \int | x | ^ { 2 } f \partial _ { r } f \, \textnormal { d } x \right) ^ { 2 } } \\ & { \qquad + C N a ^ { 3 } \rho ^ { 3 } \log ( b / a ) \left[ s ^ { 3 } a ^ { 6 } \rho ^ { 2 } ( \log ( b / a ) ) ^ { 2 } ( \log N ) ^ { 9 } + 1 \right] \left( \int f \partial _ { r } f \, \textnormal { d } x \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { { \partial } _ { t } \widehat { u } ( t , k ) + \mathfrak { L } \big ( \widehat { u } \big ) ( t , k ) + \mathfrak { D } \big ( \widehat { u } \big ) ( t , k ) = \widehat { f } ( t , k ) } & { \mathrm { ~ f o r ~ } t > 0 , k \in \mathbb { R } ^ { d } , | k | > \kappa } \\ { \widehat { u } ( t , k ) = 0 } & { \mathrm { ~ f o r ~ } t > 0 , k \in \mathbb { R } ^ { d } , | k | \leq \kappa , } \\ { \widehat { u } ( 0 , k ) = 0 } & { \mathrm { ~ f o r ~ } k \in \mathbb { R } ^ { d } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \left| \mathbb { E } \left( \frac { 1 } { n } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \varphi ( \xi _ { N , \delta } ^ { k } ( \xi _ { 0 } ) ) - \int \varphi ( \xi ^ { \prime } ) \mu _ { * } ( d \xi ^ { \prime } ) \right) \right| \leq C _ { \varphi } \left( \frac { 1 } { n \delta } + \delta ^ { r } + N ^ { - r ^ { \prime } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \eta \alpha _ { T } } { 2 } \sum _ { t = 1 } ^ { T - 1 } \mathbb { E } \bigg [ \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } \bigg ] } & { \leq \mathbb { E } [ \mathcal { G } _ { 1 } ] - \mathbb { E } [ \mathcal { G } _ { T } ] + \eta C _ { \sigma , \zeta } \sum _ { t = 1 } ^ { T - 1 } \alpha _ { t } ^ { 3 } } \\ & { \leq h ( x _ { 1 } ) - h ^ { \ast } + \frac { 9 b M \eta A _ { 1 } } { 6 4 \alpha _ { 1 } } + \frac { 1 8 \eta \tilde { L } ^ { 2 } B _ { 1 } } { \mu \gamma } + \frac { 9 b M \eta C _ { 1 } } { 6 4 \alpha _ { 1 } } + \frac { 9 b M \eta H _ { 1 } } { 6 4 \alpha _ { 1 } } + \frac { 1 8 \eta L ^ { 2 } I _ { 1 } } { \mu \tau } + \eta C _ { \sigma , \zeta } \sum _ { t = 1 } ^ { T - 1 } \alpha _ { t } ^ { 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigg \lvert e ^ { \delta t } \frac { d } { d t } \left( S ( t ) e ^ { - r ( 0 ) t } \right) \bigg \rvert } & { = e ^ { \delta t } \bigg \lvert \int _ { 0 } ^ { M } { n ^ { 0 } ( y ) \big ( r ( X ( t , y ) ) - r ( 0 ) \big ) e ^ { \int _ { 0 } ^ { t } { r ( X ( t , y ) ) - r ( 0 ) d s } } d y } \bigg \rvert } \\ & { \leq 2 \lVert n ^ { 0 } \rVert _ { \infty } \lVert r \rVert _ { L ^ { \infty } ( 0 , M ) } C \int _ { 0 } ^ { M } { e ^ { \int _ { 0 } ^ { t } { \lvert r ( X ( s , y ) ) - r ( 0 ) \rvert d s } } d y } } \\ & { \leq \lVert n ^ { 0 } \rVert _ { \infty } \lVert r ^ { \prime } \rVert _ { L ^ { \infty } ( 0 , M ) } C M e ^ { \int _ { 0 } ^ { t } { C \lVert r ^ { \prime } \rVert _ { L ^ { \infty } ( 0 , M ) } e ^ { - \delta s } d s } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { D 3 } } & { \le \sum _ { 0 \le j \le l } \left( \begin{array} { c } { 2 l } \\ { 2 j } \end{array} \right) \cdot \frac { e ^ { - ( \frac { \gamma + a } { 2 } ) 2 l + ( \frac { \gamma + b } { 2 } ) 2 j } } { \left( \frac { 1 } { 2 } \cdot 2 j - n - \frac { 1 } { 3 } \right) ^ { 2 } } \le \sum _ { 0 \le j \le l \le 2 n } \left( \begin{array} { c } { l } \\ { j } \end{array} \right) \cdot \frac { e ^ { - ( \frac { \gamma + a } { 2 } ) l + ( \frac { \gamma + b } { 2 } ) j } } { \left( \frac { j } { 2 } - n - \frac { 1 } { 3 } \right) ^ { 2 } } } \\ & { = \sum _ { l \ge 0 } \left( \sum _ { j = 0 } ^ { l } \left( \begin{array} { c } { l } \\ { j } \end{array} \right) \frac { e ^ { ( \frac { \gamma + b } { 2 } ) j } } { \left( \frac { j } { 2 } - n - \frac { 1 } { 3 } \right) ^ { 2 } } \right) e ^ { - ( \frac { \gamma + a } { 2 } ) l } = \sum _ { l \ge 0 } \frac { 1 } { \left( \frac { l } { 2 } - n - \frac { 1 } { 3 } \right) ^ { 2 } } \left( e ^ { - ( \frac { \gamma + a } { 2 } ) } + e ^ { - ( \frac { a - b } { 2 } ) } \right) ^ { l } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { e } _ { i } ^ { l \mathrm { 0 } } = \frac { \partial x _ { i } ^ { \mathrm { e l l } } } { \partial \theta } \left\| \frac { \partial x _ { j } ^ { \mathrm { e l l } } } { \partial \theta } \right\| ^ { - 1 } } & { = \left( \mathrm { s i n h } ( \xi ) \mathrm { c o s } ( \theta ) \mathrm { c o s } ( \phi ) e _ { i } ^ { \mathrm { x } } \right. } \\ & { + \mathrm { s i n h } ( \xi ) \mathrm { c o s } ( \theta ) \mathrm { s i n } ( \phi ) e _ { i } ^ { \mathrm { y } } } \\ & { \left. - \mathrm { c o s h } ( \xi ) \mathrm { s i n } ( \theta ) e _ { i } ^ { \mathrm { z } } \right) \left( \mathrm { s i n h } ^ { 2 } ( \xi ) + \mathrm { s i n } ^ { 2 } ( \theta ) \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { d \eta ^ { ( c ) } } { d z } = \left\lbrace g _ { L } \left[ \frac { \operatorname { t a n h } ( V ^ { ( c ) } ) } { \operatorname { t a n h } ( V _ { 0 } ^ { ( c ) } ) } - 1 \right] + \frac { 4 } { 3 } \epsilon _ { 3 } \left[ \eta _ { 0 } ^ { ( c ) 2 } \frac { \operatorname { t a n h } ( V ^ { ( c ) } ) } { \operatorname { t a n h } ( V _ { 0 } ^ { ( c ) } ) } - \eta ^ { ( c ) 2 } \right] \right\rbrace \eta ^ { ( c ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\| e ^ { i ( \tau - s ) \Delta } P _ { N } \left( d B ( e ^ { i ( s - \sigma ) \Delta } v ( \sigma ) ) [ e ^ { i ( s - \sigma ) \Delta } B ( v ( \sigma ) ) ] \right) \right\| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \leq \| d B ( e ^ { i ( s - \sigma ) \Delta } v ( \sigma ) ) [ e ^ { i ( s - \sigma ) \Delta } B ( v ( \sigma ) ) ] \| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \leq C ( \| V \| _ { L ^ { \infty } } , \| e ^ { i ( s - \sigma ) \Delta } v ( \sigma ) \| _ { L ^ { \infty } } ) \| e ^ { i ( s - \sigma ) \Delta } B ( v ( \sigma ) ) \| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \leq C ( M _ { 2 } ) \| B ( v ( \sigma ) ) \| _ { L ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } x _ { i } \frac { \partial \mu _ { i } } { \partial \phi _ { j } } x _ { j } } \\ & { \qquad = \frac { 1 } { \phi _ { \mathrm { T } } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { x _ { i } } { L _ { i } } + \frac { 1 } { 1 - \phi _ { \mathrm { T } } } + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } x _ { i } \epsilon _ { i j } x _ { j } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \partial _ { - } M _ { \varepsilon } ^ { 3 } } | \nabla u _ { \varepsilon , i } | \left( \frac { 3 ( 8 - c ^ { - 1 } ) } { 6 - c ^ { - 1 } } f _ { \varepsilon , i } - 2 H _ { \varepsilon } \right) d A - \int _ { \partial _ { + } M _ { \varepsilon } ^ { 3 } } | \nabla u _ { \varepsilon , i } | \left( \frac { 3 ( 8 - c ^ { - 1 } ) } { 6 - c ^ { - 1 } } f _ { \varepsilon , i } + 2 H _ { \varepsilon } \right) d A } \\ { = } & { \int _ { \partial _ { - } M _ { \varepsilon } ^ { 3 } } | \nabla u _ { \varepsilon , i } | \left( 4 f _ { \varepsilon , i } - 2 H _ { \varepsilon } \right) d A - \int _ { \partial _ { + } M _ { \varepsilon } ^ { 3 } } | \nabla u _ { \varepsilon , i } | \left( 4 f _ { \varepsilon , i } + 2 H _ { \varepsilon } \right) d A } \\ & { - \int _ { M _ { \varepsilon } ^ { 3 } } \frac { c ^ { - 1 } } { 6 - c ^ { - 1 } } \textnormal { d i v } ( f _ { \varepsilon , i } \nabla u _ { \varepsilon , i } ) d V } \\ { \ge } & { \int _ { M _ { \varepsilon } ^ { 3 } } \left[ \frac { | \bar { \nabla } ^ { 2 } u _ { \varepsilon , i } | ^ { 2 } } { | \nabla u _ { \varepsilon , i } | } + | \nabla u _ { \varepsilon , i } | ( R + 6 f _ { \varepsilon , i } ^ { 2 } ) - 4 \langle \nabla u _ { \varepsilon , i } , \nabla f _ { \varepsilon , i } \rangle \right] d V - \int _ { c _ { - } } ^ { c _ { + } } 4 \pi \chi ( \Sigma _ { t } ) d t } \\ & { - \int _ { M _ { \varepsilon } ^ { 3 } } \frac { c ^ { - 1 } } { 6 - c ^ { - 1 } } \textnormal { d i v } ( f _ { \varepsilon , i } \nabla u _ { \varepsilon , i } ) d V } \\ { = } & { \int _ { M _ { \varepsilon } ^ { 3 } } \left[ \frac { | \bar { \nabla } ^ { 2 } u _ { \varepsilon , i } | ^ { 2 } } { | \nabla u _ { \varepsilon , i } | } + | \nabla u _ { \varepsilon , i } | \left( R + \frac { 3 ( 1 2 - c ^ { - 1 } ) } { 6 - c ^ { - 1 } } f _ { \varepsilon , i } ^ { 2 } \right) - \frac { 3 ( 8 - c ^ { - 1 } ) } { 6 - c ^ { - 1 } } \langle \nabla u _ { \varepsilon , i } , \nabla f _ { \varepsilon , i } \rangle \right] d V } \\ & { - \int _ { c _ { - } } ^ { c _ { + } } 4 \pi \chi ( \Sigma _ { t } ^ { \varepsilon , i } ) d t , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z _ { N } ( q ) } & { = Z _ { \infty } ( q ) \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { m } } { \left( m ! \right) ^ { 2 } } \prod _ { j = 1 } ^ { m } \oint \frac { { \mathrm { d } } u _ { j } } { 2 \pi i u _ { j } } \prod _ { i = 1 } ^ { m } \oint \frac { { \mathrm { d } } v _ { i } } { 2 \pi i v _ { i } } \Bigg \{ \prod _ { i = 1 } ^ { m } \left( \frac { u _ { i } } { v _ { i } } \right) ^ { N + 1 } \cdot } \\ & { \cdot \left[ \operatorname* { d e t } \left( \frac { 1 } { 1 - u _ { i } / v _ { j } } \right) _ { i , j = 1 , \dots , m } \right] ^ { 2 } \prod _ { i , j = 1 } ^ { m } \prod _ { l = 1 } ^ { \infty } \left[ \frac { \left( 1 - q ^ { l } u _ { i } / u _ { j } \right) \left( 1 - q ^ { l } v _ { i } / v _ { j } \right) } { \left( 1 - q ^ { l } u _ { i } / v _ { j } \right) \left( 1 - q ^ { l } v _ { i } / u _ { j } \right) } \right] ^ { \hat { a } _ { l } } \Bigg \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \cal I } _ { 2 } } & { = \left\{ \beta > \underline { { \beta } } _ { 2 } : v _ { \beta } \mathrm { ~ i s ~ n o n d e c r e a s i n g ~ o n ~ } ( 0 , \infty ) \right\} , } \\ { { \cal D } _ { 2 } } & { = \left\{ \beta > \underline { { \beta } } _ { 2 } : \exists x _ { \beta } \geq 0 \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t ~ v _ \beta ~ i s ~ n o n d e c r e a s i n g ~ o n ~ ( 0 , x _ \beta ) ~ a n d ~ d e c r e a s i n g ~ o n ~ ( x _ \beta , ~ \infty ) ~ } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma ^ { * } = } & { \operatorname* { m i n } _ { \gamma \in \mathbb { R } } \qquad \gamma } \\ & { Z G _ { 1 } = G _ { 2 } ( v , Y ) , \qquad Z h _ { 1 } \leq h _ { 2 } ^ { \textrm { p 2 p } } ( v , Y ) } \\ & { ( \gamma - \eta ) \mathbf { 1 } _ { q } - ( C X + D Y ) \mathbf { 1 } _ { n } - F \mathbf { 1 } _ { e } \in \mathbb { R } _ { \geq 0 } ^ { q } } \\ & { C X + D Y \in \mathbb { R } _ { \geq 0 } ^ { q \times n } } \\ & { v - \eta \mathbf { 1 } _ { n } \in \mathbb { R } _ { \geq 0 } ^ { n } , \ Y \in \mathcal { S } , \ Z \in \mathbb { R } _ { \geq 0 } ^ { q \times 2 n T } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { ( - \Delta ) ^ { s } G _ { \mathcal { C } } ^ { s } ( x , y ) = \delta ( x - y ) , } & { y \in \mathcal { C } } \\ { G _ { \mathcal { C } } ^ { s } ( x , y ) = 0 , } & { y \in \mathbb { R } ^ { n } \setminus \mathcal { C } , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { y \in \mathcal { C } , | y | \to + \infty } G _ { \mathcal { C } } ^ { s } ( x , y ) = 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { T _ { l } } & { = \int _ { 1 } ^ { 2 } \frac { ( \varphi ^ { \prime } ( x ) - \frac { \partial \psi _ { 1 } } { \partial x } ( x , \epsilon _ { 1 } ) ) d x } { \eta _ { 1 } ( x - \ell ) ( \varphi ( x ) - \psi _ { 1 } ( x , \epsilon _ { 1 } ) ) } \ , } \\ { T _ { h } } & { = \int _ { 5 } ^ { 4 } \frac { ( \varphi ^ { \prime } ( x ) + \frac { \partial \psi _ { 2 } } { \partial x } ( x , \epsilon _ { 1 } ) ) d x } { \eta _ { 1 } ( x - \ell ) ( f ( x ) + \psi _ { 2 } ( x , \epsilon _ { 1 } ) ) } \ } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \ensuremath { \mathbf { z } } ^ { ( t - 1 ) } } { n } \operatorname { d i v } \ensuremath { \boldsymbol { \eta } } _ { t - 1 } \left( \ensuremath { \mathbf { A } } ^ { \mathrm { T } } \ensuremath { \mathbf { z } } ^ { ( t - 1 ) } + \ensuremath { \mathbf { s } } ^ { ( t - 1 ) } \right) } \\ & { = \frac { \ensuremath { \mathbf { z } } ^ { ( t - 1 ) } } { n } \operatorname { d i v } \ensuremath { \boldsymbol { \eta } } _ { t - 1 } \left( \ensuremath { \mathbf { r } } ^ { ( t - 1 ) } \right) } \end{array}
\big \lVert f - \mathrm K _ { h } f \big \rVert _ { \mathcal { C } ( \ensuremath { \mathbb { M } } ) } \le 2 ^ { d - ( 1 - \varepsilon ) } \, d ^ { k + \frac { 3 } { 2 } } \, \pi ^ { 1 - \varepsilon } \, \big \lvert \tilde { f } \big \rvert _ { \mathcal { C } ^ { k , 1 - \varepsilon } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { d } ) } \, \frac { 2 ^ { k + 1 - \varepsilon - \frac { d } { 2 } } \, h ^ { \frac { d } { 2 } - k - 1 + \varepsilon } } { 1 - 2 ^ { \frac { d } { 2 } - k - 1 + \varepsilon } } .
\left\{ \begin{array} { l } { \mathrm { F i r s t , ~ w e ~ s a m p l e ~ m _ 1 ~ a n d ~ m _ 2 ~ a s ~ t w o ~ i n d e p e n d e n t ~ r a n d o m ~ n u m b e r s ~ u n i f o r m l y ~ f r o m ~ [ 0 , m ] ~ . } } \\ { \mathrm { A ~ s t r a t e g y ~ i s ~ t h e n ~ u n i f o r m l y ~ s a m p l e d ~ f r o m ~ S ( m _ 1 , m _ 2 ) ~ . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { U ^ { \prime } + \frac { 1 } { r } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \alpha _ { i } \left( 1 - \mathcal { R } _ { i } \right) U + \frac { Z U } { r C A } - \frac { Z ^ { \prime } A } { r C } - \frac { Z A } { r ^ { 2 } C } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \alpha _ { i } \left( 1 - \mathcal { R } _ { i } \right) + 1 2 \lambda ^ { 2 } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { k ^ { 2 } c _ { k } } } & { \Bigg ( 1 - \frac { \mathrm { R e } ( x ) } { k c _ { k } } \log ( k ^ { 2 } c _ { k } + 2 k \mathrm { R e } ( x ) + 1 ) } \\ & { - \frac { c _ { k } - 2 \mathrm { R e } ( x ) ^ { 2 } } { k c _ { k } \sqrt { c _ { k } - \mathrm { R e } ( x ) ^ { 2 } } } \left( \arctan \left( \frac { k c _ { k } + \mathrm { R e } ( x ) } { \sqrt { c _ { k } - \mathrm { R e } ( x ) ^ { 2 } } } \right) - \arctan \left( \frac { \mathrm { R e } ( x ) } { \sqrt { c _ { k } - \mathrm { R e } ( x ) ^ { 2 } } } \right) \right) \Bigg ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \mathcal M _ { k } x , x \rangle _ { \mathcal H \times \mathcal H } } & { = \langle \left[ \begin{array} { l } { \Delta _ { k } ^ { - 1 } x _ { 1 } - x _ { 2 } } \\ { - x _ { 1 } + \Delta _ { k } x _ { 2 } } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l } { x _ { 1 } } \\ { x _ { 2 } } \end{array} \right] \rangle _ { \mathcal H \times \mathcal H } } \\ & { = \langle \Delta _ { k } ^ { - 1 } x _ { 1 } , x _ { 1 } \rangle - 2 \langle x _ { 1 } , x _ { 2 } \rangle + \langle \Delta _ { k } x _ { 2 } , x _ { 2 } \rangle } \\ & { = \Vert \Delta _ { k } ^ { - 1 } x _ { 1 } \Vert _ { \Delta _ { k } } ^ { 2 } - 2 \langle \Delta _ { k } ^ { - 1 } x _ { 1 } , x _ { 2 } \rangle _ { \Delta _ { k } } + \Vert x _ { 2 } \Vert _ { \Delta _ { k } } ^ { 2 } } \\ & { = \Vert \Delta _ { k } ^ { - 1 } x _ { 1 } - x _ { 2 } \Vert _ { \Delta _ { k } } ^ { 2 } \geq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathfrak { P } _ { 2 } \lesssim \frac { v ^ { \frac { \rho } { \alpha } - 1 } } { ( t - s ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } } \left( 1 + \int _ { s } ^ { t } \Vert h _ { s , x } ( u , \cdot ) \Vert _ { \mathbb { B } _ { \infty , \infty } ^ { \rho } } \Vert b ^ { m } ( u , \cdot ) \Vert _ { \mathbb { B } _ { p , q } ^ { \beta } } \mathfrak { L } ( u , s , t , \rho ) \frac { ( t - s ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } } { ( t - u ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } } \mathrm { d } u \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { m \ge M } \frac { | \alpha | } { m ( m - \alpha ) } } & { \le \frac { | \alpha | } { m _ { 0 } ( m _ { 0 } - \alpha ) } + \sum _ { n ^ { \prime } = 1 } ^ { \infty } \frac { | \alpha | } { n ^ { \prime } ( n ^ { \prime } + \alpha ) } } \\ & { \le \operatorname* { m a x } \{ 1 / 2 + 2 \log 2 , 1 + \psi ( \alpha + 1 ) + \gamma \} \le 1 / 2 + 2 \log 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { I } _ { g } ^ { \mathbf { \Phi } ^ { m } } = \mathbb { E } _ { p ( \Phi _ { m + 1 } , \cdots , \Phi _ { M } | \Phi _ { m } ) } \log \frac { p ( \Phi _ { m + 1 } , \cdots , \Phi _ { M } | \Phi _ { m } ) } { q ( \Phi _ { m + 1 } , \cdots , \Phi _ { M } | \Phi _ { m } ) } , } \\ & { = \mathbb { E } _ { p ( \Phi _ { m + 1 } , \cdots , \Phi _ { M } | \Phi _ { m } ) } \log \frac { p ( \Phi _ { m + 1 } | \Phi _ { m } ) \cdots p ( \Phi _ { M } | \Phi _ { M - 1 } ) } { q ( \Phi _ { m + 1 } | \Phi _ { m } ) \cdots q ( \Phi _ { M } | \Phi _ { M - 1 } ) } , } \\ & { = \mathbb { E } _ { p ( \Phi _ { m + 1 } | \Phi _ { m } ) } \log \Bigg [ \frac { p ( \Phi _ { m + 1 } | \Phi _ { m } ) } { q ( \Phi _ { m + 1 } | \Phi _ { m } ) } \Bigg ] + \mathcal { I } _ { g } ^ { \mathbf { \Phi } ^ { m + 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 3 } } & { } & { u ^ { k + 1 } } & { = ( \mathcal M _ { k } + T ) ^ { - 1 } \mathcal M _ { k } u ^ { k } } \\ { \Leftrightarrow } & { } & { \quad \mathcal M _ { k } u ^ { k } } & { \in ( \mathcal M _ { k } + T ) \, u ^ { k + 1 } } \\ { \Leftrightarrow } & { } & { \quad \left[ \begin{array} { l l } { \Delta _ { k } ^ { - 1 } } & { - \mathbb I } \\ { - \mathbb I } & { \Delta _ { k } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { x ^ { k } } \\ { y ^ { k } } \end{array} \right] } & { \in \left[ \begin{array} { l l } { \Delta _ { k } ^ { - 1 } + A } & { 0 } \\ { - 2 \mathbb I } & { \Delta _ { k } + B ^ { - 1 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { x ^ { k + 1 } } \\ { y ^ { k + 1 } } \end{array} \right] } \\ { \Leftrightarrow } & { } & { \quad \left[ \begin{array} { l } { x ^ { k } - \Delta _ { k } y ^ { k } } \\ { - \Delta _ { k } ^ { - 1 } ( x ^ { k } - \Delta _ { k } y ^ { k } ) } \end{array} \right] } & { \in \left[ \begin{array} { l } { ( \mathbb I + \Delta _ { k } A ) x ^ { k + 1 } } \\ { - 2 \Delta _ { k } ^ { - 1 } x ^ { k + 1 } + ( \mathbb I + \Delta _ { k } ^ { - 1 } B ^ { - 1 } ) y ^ { k + 1 } } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { r _ { 0 } } & { \colon \quad v _ { 1 } + v _ { 2 } + y = x _ { 1 } + x _ { 0 } , } \\ { r _ { 1 } } & { \colon \quad y + x _ { 1 } + \cdots + x _ { n - 2 } = z , } \\ { r _ { 2 } } & { \colon \quad x _ { 0 } + \cdots + x _ { n - 2 } = 0 , } \\ { r _ { 3 } } & { \colon \quad x _ { 0 } + z = y , } \\ { r _ { 4 } } & { \colon \quad z + v _ { 1 } + v _ { 2 } = x _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \boldsymbol { U } _ { t } = \ } & { \mathcal { D } ( \boldsymbol { U } , t ) \boldsymbol { U } + \mathcal { L } _ { \boldsymbol { \delta } } \big [ \mathcal { B } ( \boldsymbol { U } , t ) \boldsymbol { U } - G ( t ) \big ] + \boldsymbol { F } ( t ) , } & & { t \geq t _ { 0 } } \\ { \boldsymbol { U } ( t _ { 0 } ) = \ } & { \boldsymbol { U } _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { \tau , h } \boldsymbol { \Phi } ( \theta _ { t } , \theta _ { x } ) } & { = \left( 1 - e ^ { - i \theta _ { t } } + 2 \sigma ( 1 - \cos \theta _ { x } ) \right) \boldsymbol { \Phi } ( \theta _ { t } , \theta _ { x } ) } \\ & { = : \hat { L } _ { \tau , h } ( \theta _ { t } , \theta _ { x } ) \boldsymbol { \Phi } ( \theta _ { t } , \theta _ { x } ) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { ( L _ { 1 } ^ { R } ) ^ { 2 } \ell _ { 1 } ^ { R } } { M _ { 1 } ^ { R } k _ { 1 } ^ { R } } } & { = ( 1 - \frac { M _ { 1 } ^ { L } M _ { 2 } ^ { R } } { 4 } ) \frac { ( L _ { 1 } ^ { L } ) ^ { 2 } } { M _ { 1 } ^ { L } k _ { 1 } ^ { L } } \ell _ { 1 } ^ { L } - \frac { ( L _ { 2 } ^ { L } ) ^ { 2 } } { M _ { 2 } ^ { L } k _ { 2 } ^ { L } } \ell _ { 2 } ^ { L } , \quad \frac { ( L _ { 2 } ^ { R } ) ^ { 2 } } { M _ { 2 } ^ { R } k _ { 2 } ^ { R } } \ell _ { 2 } ^ { R } = \frac { ( L _ { 1 } ^ { L } ) ^ { 2 } } { 2 k _ { 1 } ^ { L } } \ell _ { 1 } ^ { L } + \frac { ( L _ { 2 } ^ { L } ) ^ { 2 } } { M _ { 2 } ^ { L } k _ { 2 } ^ { L } } \ell _ { 2 } ^ { L } , } \\ { - \frac { M _ { 1 } ^ { R } k _ { 1 } ^ { R } } { L _ { 1 } ^ { R } } } & { = - \frac { M _ { 1 } ^ { L } k _ { 1 } ^ { L } } { L _ { 1 } ^ { L } } - \frac { M _ { 1 } ^ { L } M _ { 2 } ^ { L } k _ { 2 } ^ { L } } { 2 L _ { 2 } ^ { L } } , \quad \frac { M _ { 2 } ^ { R } k _ { 2 } ^ { R } } { L _ { 2 } ^ { R } } = - \frac { M _ { 1 } ^ { L } M _ { 2 } ^ { L } k _ { 1 } ^ { L } } { 2 L _ { 1 } ^ { L } } + ( 1 - \frac { M _ { 1 } ^ { L } M _ { 2 } ^ { R } } { 4 } ) \frac { M _ { 2 } ^ { L } k _ { 2 } ^ { L } } { L _ { 2 } ^ { L } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \lowercase { \mathbf { h } } } _ { i , j } } & { = { \lowercase { \mathbf { h } } } _ { i , j } ^ { d } + \sum _ { l = 1 } ^ { L } { \uppercase { \mathbf { G } } } _ { i , l } ^ { r } \mathrm { \boldmath ~ \Phi ~ } _ { l } { \lowercase { \mathbf { h } } } _ { l , j } ^ { r } = { \lowercase { \mathbf { h } } } _ { i , j } ^ { d } + { \uppercase { \mathbf { H } } } _ { i , j } ^ { r } { \lowercase { \mathbf { v } } } , } \end{array}
\mathbb { E } \left[ | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | \textbf { 1 } _ { \{ | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | > R \} } \textbf { 1 } _ { \{ t \geq \tau _ { j } \} } \right] \leq ( \epsilon ( j _ { 0 } ) + 2 e ^ { - \bar { c } \beta R ^ { 2 } \eta _ { k } ^ { - 1 } / 1 2 8 } ) \mathbb { E } \left[ | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | \textbf { 1 } _ { \{ | Z _ { T _ { k } } ^ { \tau _ { j } } | > R \} } \right] ,
\begin{array} { r l } { \rVert \partial _ { \xi } ^ { \eta } \mathfrak { b } ( \cdot , \xi ) \rVert _ { H _ { x } ^ { s } } ^ { 2 } } & { \le _ { s , m , \eta } | \mathfrak { a } | _ { m , H _ { x } ^ { s + \mu } , \eta } ^ { 2 } \left( \sum _ { k \in \mathbb { Z } , \ \frac { 2 } { 3 } | k | \ge | \xi | } \langle k \rangle ^ { - 2 | m - \eta | - 2 } + \langle \xi \rangle ^ { 2 ( m - \eta ) } \sum _ { k \in \mathbb { Z } , \ \frac { 2 } { 3 } | k | \le 4 | \xi | } \langle k \rangle ^ { - 2 } \right) } \\ & { \le _ { m , \eta } | \mathfrak { a } | _ { m , H _ { x } ^ { s + \mu } , \eta } ^ { 2 } \langle \xi \rangle ^ { 2 ( m - \eta ) } , } \end{array}
{ \begin{array} { l c l } { f { \bigl ( } ^ { 1 } \! \! / \! _ { 3 } { \bigr ) } = f ( 0 . 0 { \overline { { 2 } } } _ { 3 } ) = 0 . 0 { \overline { { 1 } } } _ { 2 } = \! \! } & { \! \! 0 . 1 _ { 2 } \! \! } & { \! \! = 0 . 1 { \overline { { 0 } } } _ { 2 } = f ( 0 . 2 { \overline { { 0 } } } _ { 3 } ) = f { \bigl ( } ^ { 2 } \! \! / \! _ { 3 } { \bigr ) } . } \\ & { \parallel } \\ & { ^ { 1 } \! \! / \! _ { 2 } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathbf { e } _ { \Theta } - \mathbf { b } ^ { \pmb { \varepsilon } } } & { = ( \mathbf { G } - \mathbf { G } ^ { \star } ) \mathbf { w } + \textsf { v e c } ( \dot { \Phi } \, \pmb { \varepsilon } ) } \\ & { = \Big [ \mathbb { I } _ { d } \otimes \big ( \Phi \left( \Theta ( \mathbf { U } ) - \Theta ( \mathbf { U } - \pmb { \varepsilon } ) \right) \big ) \Big ] \mathbf { w } + \Big [ \mathbb { I } _ { d } \otimes \dot { \Phi } \Big ] \textsf { v e c } ( \pmb { \varepsilon } ) } \\ & { = \mathbf { L } _ { \mathbf { w } } \mathsf { v e c } ( \pmb { \varepsilon } ) + \mathbf { h } ( \mathbf { U } , \mathbf { w } , \pmb { \varepsilon } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \hat { \nu } _ { n , m } ( \textbf { t } ) = \frac { 1 } { k } \sum _ { i = 1 } ^ { k } \left[ \bigvee _ { j = 1 } ^ { d } \left\{ \hat { U } _ { n , m , i , j } \right\} ^ { 1 / t _ { j } } - \frac { 1 } { d } \sum _ { j = 1 } ^ { d } \left\{ \hat { U } _ { n , m , i , j } \right\} ^ { 1 / t _ { j } } \right] , \quad c ( \textbf { t } ) = \frac { 1 } { d } \sum _ { j = 1 } ^ { d } \frac { t _ { j } } { 1 + t _ { j } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { R } ^ { i } _ { j k l } = } & { D _ { k } \tilde { \Gamma } ^ { i } _ { l j } - D _ { l } \tilde { \Gamma } ^ { i } _ { k j } + \tilde { \Gamma } ^ { i } _ { k m } \tilde { \Gamma } ^ { m } _ { l j } - \tilde { \Gamma } ^ { i } _ { l m } \tilde { \Gamma } ^ { m } _ { k j } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { \chi } } ( a ) S ( c ) } & { = \overline { { \chi } } ( a ) \sum _ { \ell \pmod * d } \overline { { \chi } } ( f _ { 1 } \ell + c ) } \\ & { = \sum _ { a \ell \pmod * d } \overline { { \chi } } ( f _ { 1 } a \ell + a c ) } \\ & { = \sum _ { \ell ^ { \prime } \pmod * d } \overline { { \chi } } ( f _ { 1 } \ell ^ { \prime } + c ) = S ( c ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { J } ^ { A } [ j ] X ( t ) = \mathbb { E } \left[ S _ { J } ^ { A } [ j ] X ( t ) \right] + \underset { \ell \in 2 \mathbb { N } } { \sum } } \\ { i n t _ { \mathbb { R } ^ { \ell } } ^ { ' } s _ { t , j } ^ { ( \ell ) } ( \lambda _ { 1 } , \ldots , \lambda _ { \ell } ) W ( d \lambda _ { 1 } ) \cdots W ( d \lambda _ { \ell } ) , } \end{array}
\begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 2 } ( L _ { F _ { \ast } Z } g _ { 2 } ) ( F _ { \ast } X , F _ { \ast } Y ) + R i c ^ { r a n g e F _ { \ast } } ( F _ { \ast } X , F _ { \ast } Y ) - \sum _ { k = 1 } ^ { n _ { 1 } } ( e _ { k } ( g ) ) ^ { 2 } g _ { 2 } ( F _ { \ast } X , F _ { \ast } Y ) } \\ { + \sum _ { k = 1 } ^ { n _ { 1 } } g _ { 2 } ( \nabla _ { e _ { k } } ^ { F \bot } e _ { k } , \nabla ^ { N } g ) g _ { 2 } ( F _ { \ast } X , F _ { \ast } Y ) - \sum _ { k = 1 } ^ { n _ { 1 } } \nabla _ { e _ { k } } ^ { N } e _ { k } ( g ) g _ { 2 } ( F _ { \ast } X , F _ { \ast } Y ) + \lambda g _ { 2 } ( F _ { \ast } X , F _ { \ast } Y ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \! \! \! { \theta } _ { j } ^ { d } \! = \! \! \frac { L ( G - 1 ) + 1 } { L ( G - 1 ) } \frac { G - 2 } { G - 1 } \frac { 1 } { c } , \ \! { \theta } _ { j } ^ { r } \! \! = \! \! \frac { 1 } { L + 1 } \frac { ( G - 2 ) ^ { 2 } } { ( G - 1 ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { c } } \\ & { \! \! \! d _ { l } ^ { d } = \frac { L ( G - 1 ) + 1 } { L ( L + 1 ) ( G - 1 ) } d , \ d _ { l } ^ { r } \! \! = d _ { l } - d _ { l } ^ { d } } \\ & { \lambda ^ { d } = \frac { L } { L + 1 } \frac { G - 1 } { G - 2 } \frac { c } { G } d , \ \lambda ^ { r } = \frac { G - 1 } { G - 2 } \frac { c } { G } d } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \tilde { \nu } _ { \Psi _ { i } \to j } ( \tau _ { i } ^ { ( j ) } , \sigma _ { j i } , t _ { i } ^ { ( j ) } , t _ { j } ^ { ( i ) } ) } & { = \gamma ( t _ { i } ^ { ( j ) } ) \xi ( \tau _ { i } ^ { ( j ) } , t _ { i } ^ { ( j ) } , c _ { i } ) \left( a ( t _ { i } ^ { ( j ) } - t _ { j } ^ { ( i ) } - 1 ) \delta _ { x _ { i } ^ { 0 } , I } \delta _ { \tau _ { i } ^ { ( j ) } , 0 } \prod _ { k \in \partial i \setminus j } \left[ \sum _ { \sigma _ { k i } = 0 } ^ { 2 } \mu _ { k \to \Psi _ { i } } ^ { \prime } ( \sigma _ { k i } , \tau _ { i } ^ { ( k ) } , c _ { k i } = 1 , t _ { i } ^ { ( k ) } ) \right] \right. } \\ { + } & { a ( t _ { i } ^ { ( j ) } - t _ { j } ^ { ( i ) } - 1 ) \delta _ { x _ { i } ^ { 0 } , S } \mathbb { I } [ \sigma _ { j i } \in \{ 1 , 2 \} ] \prod _ { k \in \partial i \setminus j } \left[ \sum _ { \sigma _ { k i } = 1 } ^ { 2 } \mu _ { k \to \Psi _ { i } } ^ { \prime } ( \sigma _ { k i } , \tau _ { i } ^ { ( k ) } , c _ { k i } = 1 , t _ { i } ^ { ( k ) } ) \right] } \\ { - } & { a ( t _ { i } ^ { ( j ) } - t _ { j } ^ { ( i ) } - 1 ) \delta _ { x _ { i } ^ { 0 } , S } \mathbb { I } [ \tau _ { i } ^ { ( j ) } < { T + 1 } ] \mathbb { I } [ \sigma _ { j i } = 2 ] \prod _ { k \in \partial i \setminus j } \mu _ { k \to \Psi _ { i } } ^ { \prime } ( \sigma _ { k i } = 2 , \tau _ { i } ^ { ( k ) } , c _ { k i } = 1 , t _ { i } ^ { ( k ) } ) } \\ { - } & { \phi ( t _ { i } ^ { ( j ) } ) a ( t _ { i } ^ { ( j ) } - t _ { j } ^ { ( i ) } ) \delta _ { x _ { i } ^ { 0 } , I } \delta _ { \tau _ { i } ^ { ( j ) } , 0 } \prod _ { k \in \partial i \setminus j } \left[ \sum _ { \sigma _ { k i } = 0 } ^ { 2 } \mu _ { k \to \Psi _ { i } } ^ { \prime } ( \sigma _ { k i } , \tau _ { i } ^ { ( k ) } , c _ { k i } = 0 , t _ { i } ^ { ( k ) } ) \right] } \\ { - } & { \phi ( t _ { i } ^ { ( j ) } ) a ( t _ { i } ^ { ( j ) } - t _ { j } ^ { ( i ) } ) \delta _ { x _ { i } ^ { 0 } , S } \mathbb { I } [ \sigma _ { j i } \in \{ 1 , 2 \} ] \prod _ { k \in \partial i \setminus j } \left[ \sum _ { \sigma _ { k i } = 1 } ^ { 2 } \mu _ { k \to \Psi _ { i } } ^ { \prime } ( \sigma _ { k i } , \tau _ { i } ^ { ( k ) } , c _ { k i } = 0 , t _ { i } ^ { ( k ) } ) \right] } \\ { + } & { \left. \phi ( t _ { i } ^ { ( j ) } ) a ( t _ { i } ^ { ( j ) } - t _ { j } ^ { ( i ) } ) \delta _ { x _ { i } ^ { 0 } , S } \mathbb { I } [ \tau _ { i } ^ { ( j ) } < { T + 1 } ] \mathbb { I } [ \sigma _ { j i } = 2 ] \prod _ { k \in \partial i \setminus j } \mu _ { k \to \Psi _ { i } } ^ { \prime } ( \sigma _ { k i } = 2 , \tau _ { i } ^ { ( k ) } , c _ { k i } = 0 , t _ { i } ^ { ( k ) } ) \right) } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { c p _ { 1 } } & { = 2 m _ { 0 } c ^ { 2 } - c \left( \frac { p _ { 1 } - p _ { y } } { \cos ( \phi ) \cos ( \psi ) } \right) } & { \mathrm { S u b s t i t u t i o n ~ o f ~ } \mathrm { ~ i n ~ } } \\ { c p _ { 1 } + \frac { c p _ { 1 } } { \cos ( \phi ) \cos ( \psi ) } } & { = 2 m _ { 0 } c ^ { 2 } + c \left( \frac { p _ { y } } { \cos ( \phi ) \cos ( \psi ) } \right) } & \\ { c p _ { 1 } \left( \frac { \cos ( \phi ) \cos ( \psi ) + 1 } { \cos ( \phi ) \cos ( \psi ) } \right) } & { = 2 m _ { 0 } c ^ { 2 } + c \left( \frac { p _ { y } } { \cos ( \phi ) \cos ( \psi ) } \right) } & \\ { c p _ { 1 } } & { = \frac { 2 m _ { 0 } c ^ { 2 } \cos ( \phi ) \cos ( \psi ) + c p _ { y } } { 1 + \cos ( \phi ) \cos ( \psi ) } } & \\ & { \approx m _ { 0 } c ^ { 2 } + 0 . 5 c p _ { y } } & { \mathrm { W i t h ~ } \cos ( \phi ) \approx 1 . 0 , \cos ( \psi ) \approx 1 . 0 } \end{array}
\hat { H } = \hat { T } + \sum _ { \alpha } ^ { \mathrm { a t o m s } } \left( x _ { \alpha } \right) \left[ \hat { V } _ { l o c } ^ { \alpha , \mathrm { o r t h o } } + \hat { V } _ { n o n l o c } ^ { \alpha , \mathrm { o r t h o } } + \hat { V } _ { S O } ^ { \alpha , \mathrm { o r t h o } } \right] + \left( 1 - x _ { \alpha } \right) \left[ \hat { V } _ { l o c } ^ { \alpha , \mathrm { c u b i c } } + \hat { V } _ { n o n l o c } ^ { \alpha , \mathrm { c u b i c } } + \hat { V } _ { S O } ^ { \alpha , \mathrm { c u b i c } } \right]
\hat { \alpha } _ { a , b } ^ { * } : = \hat { \alpha } _ { 1 } ^ { * } \otimes \cdots \otimes \hat { \alpha } _ { a } ^ { * } : \underbrace { H ^ { 1 } ( V _ { \textrm { p f \' e t } } ^ { a , b } , \mathbb { Z } _ { p } ( 1 ) ) \otimes \cdots \otimes H ^ { 1 } ( V _ { \textrm { p f \' e t } } ^ { a , b } , \mathbb { Z } _ { p } ( 1 ) ) } _ { = H ^ { a } ( V _ { \textrm { p f \' e t } } ^ { a , b } , \mathbb { Z } _ { p } ( a ) ) } \to \mathbb { Z } _ { p } ( a )
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { \sqrt n } \left[ { \mathcal { W } } ( v _ { 2 } ) ^ { \top } Q ^ { 1 3 } \right] _ { k k } + \frac { 1 } { \sqrt n } \left[ \left( { \mathcal { W } } ( u _ { 2 } ) ^ { \top } - \gamma \kappa { \mathcal { W } } ( u _ { 1 } ) ^ { \top } \right) ( Q ^ { 2 3 } ) \right] _ { k k } - z Q _ { k k } ^ { 3 3 } = 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { 0 , 1 } ( x ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { x \in [ 0 , 0 . 5 ] , } \\ { 1 , } & { x \in [ 0 . 5 , 1 ] , } \end{array} \right. \qquad \rho _ { 0 , 2 } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 5 x - 1 . 5 , } & { x \in [ 0 . 3 , 0 . 5 ] , } \\ { - 5 x + 3 . 5 , } & { x \in [ 0 . 5 , 0 . 7 ] , } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right. } \\ { \rho _ { 0 , 3 } ( x ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { x \in [ 0 , 0 . 5 ] , } \\ { 0 , } & { x \in [ 0 . 5 , 1 ] , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { | u ( x ) - u ( z ) | } & { \le \sum _ { k \ge 0 } | u ( x _ { k + 1 } ) - u ( x _ { k } ) | + | u ( \bar { x } ) - u ( \bar { z } ) | + \sum _ { k \ge 0 } | u ( z _ { k + 1 } ) - u ( z _ { k } ) | } \\ & { \le 2 \sum _ { k \ge 0 } C _ { \circ } 2 ^ { - k \alpha } r ^ { \alpha } + C _ { \circ } r ^ { \alpha } \le C C _ { \circ } r ^ { \alpha } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } _ { P } [ L _ { T } ^ { a } ( P , Q ) ] \leq \frac { 1 } { 2 } \frac { T \left( \Delta ^ { a } \right) ^ { 2 } } { \mathbb { E } _ { P } \left[ \left( \widetilde { \psi } _ { P } ^ { a } ( Y _ { t } , A _ { t } , X _ { t } ) \right) ^ { 2 } \right] } + O \left( T \left( \Delta ^ { a } \right) ^ { 3 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { 2 , n } ( x ) } & { = f _ { 2 } ^ { e } ( x ) + { \textstyle \frac 1 2 } ( \gamma + 2 \beta ) n \int _ { x } ^ { \infty } \big [ \textstyle { \frac 1 \gamma } k _ { 1 } ( y ) + { \textstyle \frac 1 2 } k _ { 2 } ( y ) \big ] \mathrm { e } ^ { n \gamma ( x - y ) } \, \mathrm { d } y } \\ & { \phantom { = } - { \textstyle \frac 1 2 } ( \gamma - 2 \beta ) n \int _ { - \infty } ^ { x } \big [ \textstyle { \frac 1 \gamma } k _ { 1 } ( y ) - { \textstyle \frac 1 2 } k _ { 2 } ( y ) \big ] \mathrm { e } ^ { - n \gamma ( x - y ) } \, \mathrm { d } y , \qquad x \in \mathbb { R } . } \end{array}
\operatorname* { s u p } _ { 0 \leq s \leq t } | \zeta _ { \mathcal { Z } , s } ^ { m f , i } - \zeta _ { \mathcal { Z } , s } ^ { m f } | \leq K _ { T , D } | \zeta _ { \mathcal { Z } , 0 } ^ { m f , i } - \zeta _ { \mathcal { Z } , 0 } ^ { m f } | + K _ { T , D } \int _ { 0 } ^ { t } W _ { 1 } ( \pi _ { s } ( \cdot | Z _ { 0 } ^ { m f } ) , \pi _ { s } ( \cdot | Z _ { 0 } ^ { m f , i } ) ) d s .
\left\{ \begin{array} { l l } { { \displaystyle Y ^ { j } ( \rho ) = \sum _ { n = - 1 } ^ { + \infty } a _ { n } ^ { j } \, \rho ^ { n } + ( \ln \rho ) \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } b _ { n } ^ { j } \, \rho ^ { n } } \, , } \\ { { \displaystyle Z ^ { j } ( \rho ) = \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } c _ { n } ^ { j } \, \rho ^ { n } + ( \ln \rho ) \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } d _ { n } ^ { j } \, \rho ^ { n } } \, } \end{array} \right. \qquad ( j = 1 , \dots , 4 ) ,
\begin{array} { r } { { \frac { \mathrm { d } y _ { 1 1 ; 1 } } { A _ { 1 1 ; 1 } } } = { \frac { \mathrm { d } x _ { 1 1 ; 1 } } { B _ { 1 1 ; 1 } } } = \ldots = { \frac { \mathrm { d } y _ { k l ; s } } { A _ { k l ; s } } } = { \frac { \mathrm { d } x _ { k l ; s } } { B _ { k l ; s } } } = { \frac { \mathrm { d } t _ { k } } { 0 } } \qquad k > 1 . } \end{array}
Q _ { \mathrm { u n } ; \lambda , \rho } ^ { R , S , T } = \kappa _ { R , S , T } \sum _ { \sigma _ { l } \in S _ { m } } \sum _ { i _ { l } , j _ { l } } C _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } , i _ { 3 } } ^ { R , S ; T , \lambda } C _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 3 } } ^ { R , S ; T , \rho } D _ { i _ { 1 } j _ { 1 } } ^ { R } ( \sigma _ { 1 } ) D _ { i _ { 2 } j _ { 2 } } ^ { S } ( \sigma _ { 2 } ) D _ { i _ { 3 } j _ { 3 } } ^ { T } ( \sigma _ { 3 } ) \sigma _ { 1 } \otimes \sigma _ { 2 } \otimes \sigma _ { 3 }
\begin{array} { r l r } { \boldsymbol { \beta } ^ { ( d ) } } & { = } & { \arg \operatorname* { m i n } _ { \boldsymbol { \beta } \in \boldsymbol { \Gamma } } \mathcal { H } ( \boldsymbol { \beta } , \boldsymbol { \delta } ^ { ( d ) } ) , } \\ { \mathbf { O } ^ { ( d ) } } & { = } & { \hat { \mathbf { O } } ( \boldsymbol { \beta } ^ { ( d ) } , \boldsymbol { \delta } ^ { ( d ) } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \! \! \Lambda } & { = } & { \frac { 3 L ^ { 2 } \operatorname { t a n h } \, ( \pi / 2 ) } { 2 ^ { 7 / 4 } A } \, , \quad T _ { * } = \frac { 2 \pi A \coth ( \pi / 2 ) } { 3 L ^ { 2 } } \, , } \\ { \! \! \frac { x ( t ) } { L } \! \! } & { = } & { \! \! \frac { \left( e ^ { \pi } \! - \! e ^ { \pi \tau } \right) \sin \left( \frac { \pi \tau } { 2 } \right) \! + \! \left( e ^ { \pi \tau } \! + \! e ^ { \pi } \right) \cos \left( \frac { \pi \tau } { 2 } \right) } { 1 + e ^ { \pi } e ^ { \frac { \pi \tau } { 2 } } } \, , } \end{array}
\mathrm { H } ^ { 1 } ( S , { \it H o m } _ { { \cal O } _ { S } } ( \Omega _ { S } ^ { 1 } , { \cal O } _ { S } ) ) ^ { * } \cong \bigoplus _ { i = 1 } ^ { r } \mathrm { H } ^ { 1 } ( \hat { S } _ { i } , T _ { \hat { S } _ { i } } ( - { \bf P } _ { i } ) ) ^ { * } \cong \bigoplus _ { i = 1 } ^ { r } \mathrm { H } ^ { 0 } ( \hat { S } _ { i } , 2 K _ { \hat { S } _ { i } } + { \bf P } _ { i } ) ,
\begin{array} { r l } & { g ^ { 1 0 } \Gamma _ { \bar { \mu } 0 } ^ { \bar { \sigma } } u _ { \bar { \sigma } \bar { \nu } ; 1 } + g ^ { 1 0 } \Gamma _ { \bar { \nu } 0 } ^ { \bar { \sigma } } u _ { \bar { \mu } \bar { \sigma } ; 1 } + g ^ { \bar { \kappa } \bar { \lambda } } \Gamma _ { \bar { \kappa } \bar { \lambda } } ^ { 1 } u _ { \bar { \mu } \bar { \nu } ; 1 } \equiv ( - s ( \mu , \nu ) + 2 ) r ^ { - 1 } \partial _ { 1 } u _ { \bar { \mu } \bar { \nu } } . } \end{array}
P ( x ) = \left\{ \begin{array} { r l r } & { \| x - x ^ { * } \| ^ { 2 } + K \left( \frac { 1 } { \varphi ( x ) } - \frac { 1 } { \varphi ( \xi ) } \right) ^ { 2 } } & { \mathrm { ~ i f ~ } \varphi ( x ) \le \varphi ( \xi ) , } \\ & { K \| x - x ^ { * } \| ^ { 2 } } & { \mathrm { ~ i f ~ } \varphi ( x ) > \varphi ( \xi ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r l } { y _ { 1 } v _ { i j } ^ { ( 0 , k , 0 ) } } & { = ( - 1 ) ^ { k } q ^ { k } v _ { i j } ^ { ( 0 , k , 1 ) } , } & { y _ { 2 } v _ { i j } ^ { ( 0 , k , 0 ) } } & { = v _ { i j } ^ { ( 1 , k , 0 ) } , } \\ { y _ { 1 } v _ { i j } ^ { ( 0 , k , 1 ) } } & { = 0 , } & { y _ { 2 } v _ { i j } ^ { ( 0 , k , 1 ) } } & { = v _ { i j } ^ { ( 1 , k , 1 ) } , } \\ { y _ { 1 } v _ { i j } ^ { ( 1 , k , 0 ) } } & { = ( 1 - q ) [ k + 1 ] _ { q } v _ { i j } ^ { ( 0 , k + 1 , 0 ) } + ( - 1 ) ^ { k } q ^ { k + 1 } v _ { i j } ^ { ( 1 , k , 1 ) } , } & { y _ { 2 } v _ { i j } ^ { ( 1 , k , 0 ) } } & { = 0 , } \\ { y _ { 1 } v _ { i j } ^ { ( 1 , k , 1 ) } } & { = ( 1 - q ) [ k + 1 ] _ { q } v _ { i j } ^ { ( 0 , k + 1 , 1 ) } , } & { y _ { 2 } v _ { i j } ^ { ( 1 , k , 1 ) } } & { = 0 , } \\ { x _ { 1 } v _ { i j } ^ { ( 0 , k , 0 ) } } & { = - q ^ { j - k } v _ { i j } ^ { ( 1 , k - 1 , 0 ) } , } & { x _ { 2 } v _ { i j } ^ { ( 0 , k , 0 ) } } & { = ( - 1 ) ^ { k - 1 } v _ { i j } ^ { ( 0 , k - 1 , 1 ) } , } \\ { x _ { 1 } v _ { i j } ^ { ( 0 , k , 1 ) } } & { = ( - q ) ^ { - k } ( 1 - q ^ { j } ) v _ { i j } ^ { ( 0 , k , 0 ) } - q ^ { j - k } v _ { i j } ^ { ( 1 , k - 1 , 1 ) } , } & { x _ { 2 } v _ { i j } ^ { ( 0 , k , 1 ) } } & { = 0 , } \\ { x _ { 1 } v _ { i j } ^ { ( 1 , k , 0 ) } } & { = 0 , } & { x _ { 2 } v _ { i j } ^ { ( 1 , k , 0 ) } } & { = ( 1 - q ^ { i - k } ) v _ { i j } ^ { ( 0 , k , 0 ) } + ( - 1 ) ^ { k } v _ { i j } ^ { ( 1 , k - 1 , 1 ) } , } \\ { x _ { 1 } v _ { i j } ^ { ( 1 , k , 1 ) } } & { = ( - 1 ) ^ { k } q ^ { - k - 1 } ( 1 - q ^ { j } ) v _ { i j } ^ { ( 1 , k , 0 ) } , } & { x _ { 2 } v _ { i j } ^ { ( 1 , k , 1 ) } } & { = ( 1 - q ^ { i - k - 1 } ) v _ { i j } ^ { ( 0 , k , 1 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat \gamma _ { \tau } ( t , t ^ { \prime } ) } & { = \displaystyle { \widehat \gamma _ { w ^ { 1 } w ^ { 2 } } ( t , t ^ { \prime } ) } } \\ & { = \frac { 1 } { \tau } \sum _ { k = 0 } ^ { \tau } ( w _ { k } ^ { 1 } - \overline { { w ^ { 1 } } } ) ( w _ { k } ^ { 2 } - \overline { { w ^ { 2 } } } ) } \\ & { = \frac { 1 } { \tau } \sum _ { k = 0 } ^ { \tau } ( x _ { t - k } - \overline { { w ^ { 1 } } } ) ( x _ { t ^ { \prime } - k } - \overline { { w ^ { 2 } } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { b \frac { \partial \epsilon _ { k k } } { \partial t } + \frac { 1 } { M } \frac { \partial p } { \partial t } - k _ { 0 } \frac { \partial } { \partial r } \left( \left( \frac { k _ { r w } } { \eta _ { w } } + \frac { k _ { r o } } { \eta _ { o } } \right) \frac { \partial p } { \partial r } \right) - \frac { k _ { 0 } } { r } \left( \frac { k _ { r w } } { \eta _ { w } } + \frac { k _ { r o } } { \eta _ { o } } \right) \frac { \partial p } { \partial r } } & { = 0 , } \\ { \phi \frac { \partial S _ { w } } { \partial t } + S _ { w } \left( b \frac { \partial \epsilon _ { k k } } { \partial t } + \frac { 1 } { M } \frac { \partial p } { \partial t } \right) - \frac { k _ { 0 } } { \eta _ { w } } \frac { \partial } { \partial r } \left( k _ { r w } \frac { \partial p } { \partial r } \right) - \frac { k _ { 0 } } { r } \frac { k _ { r w } } { \eta _ { w } } \frac { \partial p } { \partial r } } & { = 0 , } \\ { \frac { \partial \sigma _ { r r } } { \partial r } + \frac { \sigma _ { r r } - \sigma _ { \theta \theta } } { r } } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { U _ { t _ { L } } } & { = P _ { L } ^ { - 1 } \tilde { m } _ { L } \times P _ { L } ^ { - 1 } \tilde { t } _ { L } } & { = \left( \begin{array} { l } { x _ { L } } \\ { y _ { L } } \\ { f } \end{array} \right) \times \left( \begin{array} { l } { \cos \theta _ { L } } \\ { \sin \theta _ { L } } \\ { 0 } \end{array} \right) } & { = \left( \begin{array} { l } { - f \sin \theta _ { L } } \\ { f \cos \theta _ { L } } \\ { x _ { L } \sin \theta _ { L } - y _ { L } \cos \theta _ { L } } \end{array} \right) , } \\ { U _ { t _ { R } } } & { = P _ { R } ^ { - 1 } \tilde { m } _ { R } \times P _ { R } ^ { - 1 } \tilde { t } _ { R } } & { = \left( \begin{array} { l } { x _ { R } } \\ { y _ { R } } \\ { f } \end{array} \right) \times \left( \begin{array} { l } { \cos \theta _ { R } } \\ { \sin \theta _ { R } } \\ { 0 } \end{array} \right) } & { = \left( \begin{array} { l } { - f \sin \theta _ { R } } \\ { f \cos \theta _ { R } } \\ { x _ { R } \sin \theta _ { R } - y _ { R } \cos \theta _ { R } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \frac { \ell _ { N } \left( \rho + \varepsilon \mathcal { X } \right) - \ell _ { N } \left( \rho \right) } { \varepsilon } } & { = - \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \frac { \log \left[ [ \left( \rho + \varepsilon \mathcal { X } \right) * \phi ] \left( X _ { i } \right) \right] - \log \left[ ( \rho * \phi ) \left( X _ { i } \right) \right] } { \varepsilon } } \\ & { = - \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \frac { 1 } { \varepsilon } \log \left[ 1 + \varepsilon \frac { ( \mathcal { X } * \phi ) \left( X _ { i } \right) } { ( \rho * \phi ) \left( X _ { i } \right) } \right] = - \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { ( \mathcal { X } * \phi ) \left( X _ { i } \right) } { ( \rho * \phi ) \left( X _ { i } \right) } } \\ & { = - \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int \frac { \phi \left( x - X _ { i } \right) } { ( \rho * \phi ) \left( X _ { i } \right) } \mathcal { X } \left( \mathrm { d } x \right) , } \end{array}
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \varepsilon \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! * \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \in \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \overline { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \varepsilon \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l } { \displaystyle } & { \mathrm { s u p p } ( T ) \cap C _ { \Lambda } \cap B ^ { d } ( q , r ) = } \\ & { \left\{ \big ( x ^ { \prime } , x _ { m } , F ( x ^ { \prime } , x _ { m } ) , \Phi ( x ^ { \prime } , x _ { m } , F ( x ^ { \prime } , x _ { m } ) ) \big ) : x ^ { \prime } \in \Omega ^ { \prime } , x _ { m } > \tilde { w } _ { 1 } ( x ^ { \prime } ) \mathrm { ~ w i t h ~ } ( x ^ { \prime } , x _ { m } ) \in \Lambda \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { < p _ { k + 1 } , q _ { k } > } & { = } & { < x p _ { k } , q _ { k } > - \frac { < x p _ { k } , q _ { k } > } { < q _ { k } , q _ { k } > } < x p _ { k } , q _ { k } > = 0 } \\ { < p _ { k + 1 } , p _ { k } > } & { = } & { 0 } \\ { < p _ { k + 1 } , q _ { k - 1 } > } & { = } & { 0 } \\ { < p _ { k + 1 } , p { k - 1 } > } & { = } & { < x p _ { k } , p _ { k - q } > - \frac { < x p _ { k } , p _ { k - 1 } > } { < p _ { k - 1 } , p _ { k - 1 } > } < p _ { k - 1 } , p _ { k - 1 } > = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { k i n e t i c ~ i o n s : } \qquad } & { \frac { \partial f } { \partial t } + { \mathbf v } \cdot \frac { \partial f } { \partial \mathbf { x } } + \frac { q } { m } ( { \mathbf E } + { \mathbf v } \times { \mathbf { B } } ) \cdot \frac { \partial f } { \partial { \mathbf v } } = 0 \, , } \\ { \mathrm { F a r a d a y ' s ~ l a w : } \qquad } & { \frac { \partial \mathbf { B } } { \partial t } = - \nabla \times { \mathbf E } \, , \qquad \nabla \cdot \mathbf { B } = 0 \, , } \\ { \mathrm { m a s s - l e s s ~ f l u i d ~ e l e c t r o n s : } \qquad } & { \frac { \partial n _ { \mathrm { e } } } { \partial t } + \nabla \cdot \left( n _ { \mathrm { e } } \mathbf u \right) = 0 \, , } \\ { \mathrm { O h m ' s ~ l a w : } \qquad } & { { \mathbf E } = - \frac { k _ { \mathrm { B } } T _ { \mathrm { e } } } { e } \frac { \nabla n _ { \mathrm { e } } ^ { \gamma } } { n _ { \mathrm { e } } } - \left( \mathbf u - \frac { \mathbf J } { n _ { \mathrm { e } } e } \right) \times { \mathbf { B } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ \boldsymbol { \Psi } _ { \mathrm { S } } ^ { \theta } ] _ { p , \alpha } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { N _ { \mathrm { S } } } } e ^ { j \left( \frac { 2 \pi m _ { \alpha } ^ { x } } { L _ { \mathrm { S } } ^ { x } } s _ { p } ^ { x } + \frac { 2 \pi m _ { \alpha } ^ { y } } { L _ { \mathrm { S } } ^ { y } } s _ { p } ^ { y } + \gamma _ { \mathrm { S } } ( m _ { \alpha } ^ { x } , m _ { \alpha } ^ { y } ) s _ { p } ^ { z } \right) } } \\ & { \times F _ { \mathrm { S } , p } ^ { \theta } \left( \hat { \theta } _ { \mathrm { S } } ( m _ { \alpha } ^ { x } , m _ { \alpha } ^ { y } ) , \hat { \phi } _ { \mathrm { S } } ( m _ { \alpha } ^ { x } , m _ { \alpha } ^ { y } ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ^ { \prime } ( \hbar \omega ) = \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } \alpha } } & { \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \sigma ( \hbar \omega ^ { \prime } - \epsilon _ { \mathrm { \tiny ~ K } } ) ( \hbar \omega ^ { \prime } - \epsilon _ { \mathrm { \tiny ~ K } } ) ^ { 2 } - \sigma ( \hbar \omega ) ( \hbar \omega ) ^ { 2 } } { ( \hbar \omega ) ^ { 2 } - ( \hbar \omega ^ { \prime } - \epsilon _ { \mathrm { \tiny ~ K } } ) ^ { 2 } } \mathrm { d } \omega ^ { \prime } \right. } \\ & { + \left. \mathcal { P } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \sigma ( \hbar \omega ) ( \hbar \omega ) ^ { 2 } } { ( \hbar \omega ) ^ { 2 } - ( \hbar \omega ^ { \prime } - \epsilon _ { \mathrm { \tiny ~ K } } ) ^ { 2 } } \mathrm { d } \omega ^ { \prime } \right] . } \end{array}
\aligned \partial _ { r } ( Q + \epsilon ) - \frac { m + A _ { \theta } [ Q + \epsilon ] } { r } ( Q + \epsilon ) = \partial _ { r } Q - \frac { m + A _ { \theta } [ Q ] } { r } Q + \partial _ { r } \epsilon - \frac { m + A _ { \theta } [ Q ] } { r } \epsilon \, - \frac { 2 A _ { \theta } [ Q , \epsilon ] } { r } Q - \frac { A _ { \theta } [ \epsilon ] } { r } Q - \frac { 2 A _ { \theta } [ Q , \epsilon ] } { r } \epsilon - \frac { A _ { \theta } [ \epsilon ] } { r } \epsilon \, = D _ { Q } \epsilon - \frac { 2 A _ { \theta } [ Q , \epsilon ] } { r } Q - \frac { A _ { \theta } [ \epsilon ] } { r } Q - \frac { 2 A _ { \theta } [ Q , \epsilon ] } { r } \epsilon - \frac { A _ { \theta } [ \epsilon ] } { r } \epsilon = L _ { Q } \epsilon - \frac { A _ { \theta } [ \epsilon ] } { r } Q - \frac { 2 A _ { \theta } [ Q , \epsilon ] } { r } \epsilon - \frac { A _ { \theta } [ \epsilon ] } { r } \epsilon , \endaligned
\widetilde M _ { i } \hookrightarrow \coprod _ { x \in M } \mathrm { G r } _ { \mathrm { r k } \left( \mathrm { d } _ { x } ^ { ( i ) } \right) - r _ { i } } ( H ^ { - i } ( \mathfrak { F } , { x } ) ) \quad \mathrm { a n d } \quad \widetilde M _ { \infty } \hookrightarrow \coprod _ { x \in M } \prod _ { i \geq 1 } \mathrm { G r } _ { \mathrm { r k } \left( \mathrm { d } _ { x } ^ { ( i ) } \right) - r _ { i } } ( H ^ { - i } ( \mathfrak { F } , { x } ) ) .
\begin{array} { r l r } { \hat { \partial } _ { t } \hat { N } _ { e } + \{ \hat { \phi } , \hat { N } _ { e } \} \; = } & { \lambda _ { c } \hat { \Lambda } _ { c } \; + } & { \lambda _ { B } \hat { \Lambda } _ { B e } + \lambda _ { S } \hat { \Lambda } _ { S e } } \\ { \hat { \partial } _ { t } \hat { N } _ { i } + \{ \hat { \phi } _ { i } , \hat { N } _ { i } \} \; = } & { } & { \lambda _ { B } \hat { \Lambda } _ { B i } + \lambda _ { S } \hat { \Lambda } _ { S i } } \\ { \frac { 1 } { \tau _ { i } } \left( \Gamma _ { 0 i } - 1 \right) \hat { \phi } = } & { \hat { \sigma } } & \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { k + 1 } \leq } & { \tilde { \sigma } ^ { k + 1 } \big ( V _ { 0 } + n \psi \alpha \tilde { \sigma } ^ { - 1 } ) \sum _ { t = 0 } ^ { k } ( \frac { \rho ^ { 2 } } { \tilde { \sigma } } ) ^ { t } \big ) } \\ { \leq } & { \tilde { \sigma } ^ { k + 1 } \big ( V _ { 0 } + n \psi \alpha \tilde { \sigma } ^ { - 1 } ) \frac { \tilde { \sigma } } { \tilde { \sigma } - \rho ^ { 2 } } . } \end{array}
\int _ { 1 } ^ { \infty } x ^ { - \alpha } \; ( x - 1 ) ^ { \alpha - \beta - 1 } \; G _ { p , q } ^ { \, m , n } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { \mathbf { a _ { p } } } \\ { \mathbf { b _ { q } } } \end{array} } \; \right| \, z x \right) d x = \Gamma ( \alpha - \beta ) \; G _ { p + 1 , \, q + 1 } ^ { \, m + 1 , \, n } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { \mathbf { a _ { p } } , \alpha } \\ { \beta , \mathbf { b _ { q } } } \end{array} } \; \right| \, z \right) .
\begin{array} { r l } { \left[ \hat { \textmd a } _ { i } ^ { \dagger } , \hat { \textmd a } _ { j } \right] ^ { + } } & { = \delta _ { i j } } \\ { \left[ \hat { \textmd a } _ { i } ^ { \dagger } , \hat { \textmd a } _ { j } ^ { \dagger } \right] ^ { + } } & { = \left[ \hat { \textmd a } _ { i } , \hat { \textmd a } _ { j } \right] ^ { + } = 0 } \\ { \left[ \hat { \textmd a } _ { I } ^ { \dagger } , \hat { \textmd a } _ { J } \right] ^ { + } } & { = \delta _ { I J } } \\ { \left[ \hat { \textmd a } _ { I } ^ { \dagger } , \hat { \textmd a } _ { J } ^ { \dagger } \right] ^ { + } } & { = \left[ \hat { \textmd a } _ { I } , \hat { \textmd a } _ { J } \right] ^ { + } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 3 } } & { { \mathbf V } _ { i \perp } = ~ 0 \qquad } & & { \mathrm { o n } \quad \Gamma ^ { P W } , } \\ & { \Phi \qquad } & & { \mathrm { c o n t i n o u s ~ a c r o s s } \quad \Gamma ^ { P W } , } \\ & { \boldsymbol { \tau } \times \mathbf { n } \qquad } & & { \mathrm { c o n t i n o u s ~ a c r o s s } \quad \Gamma ^ { P W } . } \\ & { { \mathbf B } \cdot \mathbf { n } \qquad } & & { \mathrm { c o n t i n o u s ~ a c r o s s } \quad \Gamma ^ { P W } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { 2 } ( f _ { 1 } , f _ { 2 } , f _ { 3 } , f _ { 4 } ) } & { = ( \rho ^ { f _ { 1 } } ) ^ { a } ( T ^ { f _ { 1 } } ) ^ { b } \sum _ { 1 \leq i , j \leq 5 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \mathcal { P } _ { i j } ( ( v - U _ { \theta } ^ { f _ { 2 } } ) , U _ { \theta } ^ { f _ { 2 } } , T _ { \theta } ^ { f _ { 2 } } ) } { ( \rho _ { \theta } ^ { f _ { 2 } } ) ^ { \alpha _ { i j } } ( T _ { \theta } ^ { f _ { 2 } } ) ^ { \beta _ { i j } } } \mathcal { M } ^ { f _ { 2 } } ( \theta ) ( 1 - \theta ) d \theta } \\ & { \quad \times \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } f _ { 3 } e _ { i } d v \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } f _ { 4 } e _ { j } d v . } \end{array}
\begin{array} { r c l l } { \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \partial ^ { 2 \nu } } { \partial t ^ { 2 \nu } } u _ { i } ^ { ( k ) } = \nabla \cdot \left( \kappa ( \boldsymbol { x } , t ) \nabla u _ { i } ^ { ( k ) } \right) + f , } & { \mathrm { i n ~ \Omega _ { i } ~ } , } \\ { u _ { i } ^ { ( k ) } ( \boldsymbol { x } , 0 ) = u _ { 0 } ( \boldsymbol { x } ) , } & { \mathrm { i n ~ \Omega _ { i } ~ } , } \\ { u _ { i } ^ { ( k ) } = g , } & { \mathrm { o n ~ \Gamma _ i ~ } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \bigg \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) - \mathbb { E } _ { \xi } [ \bar { \nu } _ { t } ] \bigg \| ^ { 2 } } & { \leq \frac { 2 \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \bar { x } _ { t } - x _ { t } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + 2 \bigg \| \bar { y } _ { t } - y _ { t } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + 2 \bigg \| y _ { \bar { x } _ { t } } - \bar { y } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] + 4 L ^ { 2 } \mathbb { E } \bigg \| u _ { \bar { x } _ { t } } - \bar { u } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta _ { k } = \ } & { \ ( k + r - 1 ) k ( q _ { k } - q ^ { * } ) + ( k - 1 ) k ( q _ { k } - q _ { k - 1 } ) - \frac { h ^ { 2 } } { 2 } ( 2 k + r - 2 ) k A ( q _ { k } - q * ) } \\ & { - ( k + r - 2 ) ( k - 1 ) ( q _ { k - 1 } - q ^ { * } ) } \\ { = \ } & { \ ( 2 k + r - 2 ) k ( q _ { k } - q ^ { * } ) - ( 2 k + r - 2 ) ( k - 1 ) ( q _ { k - 1 } - q ^ { * } ) } \\ & { - \frac { h ^ { 2 } } { 2 } ( 2 k + r - 2 ) k A ( q _ { k } - q ^ { * } ) } \\ { = \ } & { \ ( 2 k + r - 2 ) ( q _ { k } - q ^ { * } ) + ( 2 k + r - 2 ) ( k - 1 ) ( q _ { k } - q _ { k - 1 } ) - \frac { h ^ { 2 } } { 2 } ( 2 k + r - 2 ) k A ( q _ { k } - q ^ { * } ) . } \end{array}
P _ { k } ^ { \prime } \ge \int _ { E _ { i } ^ { 2 } \cup E _ { i } ^ { 3 } } { f \left( { d \left( { { \varphi _ { i } } , \theta } \right) } \right) \rho \left( \theta \right) d \theta } - \int _ { s _ { \beta } ^ { * } } ^ { { s _ { \beta } } } { f \left( { d \left( { { \varphi _ { \beta } } , \theta } \right) } \right) \rho \left( \theta \right) d \theta } - \int _ { { s _ { i } } } ^ { s _ { \beta } ^ { * } } { f \left( { d \left( { { \varphi _ { \alpha } } , \theta } \right) } \right) \rho \left( \theta \right) d \theta }
\langle \pi _ { 2 } ^ { * } h _ { 0 } , 1 \rangle _ { L ^ { 2 } ( T ^ { 1 } S _ { \sigma } ) } = \int _ { T ^ { 1 } S _ { \sigma } } \pi _ { 0 } ^ { * } \big ( - 4 ( \Delta _ { \sigma } - 2 ) ^ { - 1 } \big ( | q | _ { \sigma } ^ { 2 } \big ) \big ) \pi _ { 2 } ^ { * } \sigma d \mu _ { \sigma } ^ { L } = \int _ { T ^ { 1 } S _ { \sigma } } \pi _ { 0 } ^ { * } \big ( - 4 ( \Delta _ { \sigma } - 2 ) ^ { - 1 } \big ( | q | _ { \sigma } ^ { 2 } \big ) \big ) d \mu _ { \sigma } ^ { L }
\begin{array} { r } { D _ { i , j , k } ^ { n + 1 } = D _ { i , j , k } ^ { n } - \frac { 1 } { \Delta x \Delta y \Delta z } ( \Delta M _ { i + 1 / 2 , j , k } ^ { n } - \Delta M _ { i - 1 / 2 , j , k } ^ { n } + } \\ { + \Delta M _ { i , j + 1 / 2 , k } ^ { n } - \Delta M _ { i , j - 1 / 2 , k } ^ { n } + \Delta M _ { i , j , k + 1 / 2 } ^ { n } - \Delta M _ { i , j , k - 1 / 2 } ^ { n } ) + } \\ { + \frac { \Delta t _ { n } } { ( \Delta x ) ^ { 2 } } \left( P _ { i + 1 / 2 , j , k } \left( D _ { i + 1 , j , k } ^ { n } - D _ { i , j , k } ^ { n } \right) - P _ { i - 1 / 2 , j , k } \left( D _ { i , j , k } ^ { n } - D _ { i - 1 , j , k } ^ { n } \right) \right) + } \\ { + \frac { \Delta t _ { n } } { ( \Delta y ) ^ { 2 } } \left( P _ { i , j + 1 / 2 , k } \left( D _ { i , j + 1 , k } ^ { n } - D _ { i , j , k } ^ { n } \right) - P _ { i , j - 1 / 2 , k } \left( D _ { i , j , k } ^ { n } - D _ { i , j - 1 , k } ^ { n } \right) \right) + } \\ { + \frac { \Delta t _ { n } } { ( \Delta z ) ^ { 2 } } \left( P _ { i , j , k + 1 / 2 } \left( D _ { i , j , k + 1 } ^ { n } - D _ { i , j , k } ^ { n } \right) - P _ { i , j , k - 1 / 2 } \left( D _ { i , j , k } ^ { n } - D _ { i , j , k - 1 } ^ { n } \right) \right) + } \\ { + \Delta t _ { n } ( Q _ { i , j } ^ { n } - \alpha D _ { i , j , k } ^ { n } ) . } \end{array}
\mathbb { E } \big [ S _ { n } S _ { n } ^ { T } \big ] \sim \left\{ \begin{array} { l l } { n \cdot \frac { ( a - 2 \beta ) ( 1 - a ) ( \beta + 1 ) + \beta ( a + 1 ) } { ( 2 ( \beta + 1 ) ( 1 - a ) - 1 ) ( a - \beta ( 1 - a ) ) ( 1 - a ) } \cdot \frac { 1 } { d } I d } & { \mathrm { w h e n } \quad a < 1 - \frac { 1 } { 2 ( \beta + 1 ) } } \\ { n \log n \cdot ( 2 \beta + 1 ) ^ { 2 } \cdot \frac { 1 } { d } I d } & { \mathrm { w h e n } \quad a = 1 - \frac { 1 } { 2 ( \beta + 1 ) } } \\ { n ^ { 2 ( a ( \beta + 1 ) - \beta ) } \cdot \bigg ( \frac { a ( \beta + 1 ) } { \beta - a ( \beta + 1 ) } \bigg ) ^ { 2 } \frac { \Gamma ( 2 ( a - 1 ) ( \beta + 1 ) + 1 ) } { \Gamma ( ( 2 a - 1 ) ( \beta + 1 ) + 1 ) ^ { 2 } } \cdot \frac { 1 } { d } I d } & { \mathrm { w h e n } \quad a > 1 - \frac { 1 } { 2 ( \beta + 1 ) } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { ( \mathrm { B } ) } & { \leq \underset { \ell \in \mathbb Z ^ { d } } { \operatorname* { s u p } } \underset { t \in ( 0 , T ) } { \operatorname* { s u p } } \sum _ { k \in \mathbb Z ^ { d } } \int _ { 0 } ^ { t } ( 1 + \vert \xi _ { \theta ^ { \star } } ^ { t , s } ( k ( t - s ) ) \vert ) ^ { \beta _ { 1 } } \vert \nabla _ { \xi } \mathcal { G } _ { \ell - k } ^ { t , s } \left( \xi _ { \theta ^ { \star } } ^ { t , s } ( k ( t - s ) ) \right) \vert \frac { \vert k \vert ^ { 2 } ( t - s ) } { ( 1 + \vert \xi _ { \theta ^ { \star } } ^ { t , s } ( k ( t - s ) ) \vert ) ^ { \beta _ { 1 } } } \mathrm { d } s } \\ & { \leq \underset { \ell \in \mathbb Z ^ { d } } { \operatorname* { s u p } } \underset { t \in ( 0 , T ) } { \operatorname* { s u p } } \sum _ { k \in \mathbb Z ^ { d } } \underset { s , \xi } { \operatorname* { s u p } } \big \lbrace ( 1 + \vert \xi \vert ) ^ { \beta _ { 1 } } \vert \nabla _ { \xi } \mathcal { G } _ { \ell - k } ^ { t , s } ( \xi ) \vert \big \rbrace \int _ { 0 } ^ { t } \frac { \vert k \vert ^ { 2 } ( t - s ) } { ( 1 + \vert k \vert ( t - s ) ) ^ { \beta _ { 1 } } } \mathrm { d } s . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( 4 \ell - 3 ) ^ { 2 } } & { = } & { ( 1 6 \ell + 3 ) ( \ell - 2 ) + 5 \ell + 1 5 , \ \ 0 \le 5 \ell + 1 5 \le 1 6 \ell + 2 , } \\ { ( 4 \ell - 2 ) ^ { 2 } } & { = } & { ( 1 6 \ell + 7 ) ( \ell - 2 ) + 9 \ell + 1 8 , \ \ 0 \le 9 \ell + 1 8 \le 1 6 \ell + 6 , } \\ { ( 4 \ell - 1 ) ^ { 2 } } & { = } & { ( 1 6 \ell + 1 1 ) ( \ell - 2 ) + 1 3 \ell + 2 3 , \ \ 0 \le 1 3 \ell + 2 3 \le 1 6 \ell + 1 0 , } \\ { ( 4 \ell ) ^ { 2 } } & { = } & { ( 1 6 \ell + 1 5 ) ( \ell - 1 ) + \ell + 1 5 , \ \ 0 \le \ell + 1 5 \le 1 6 \ell + 1 4 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { a } _ { \mathit { \Pi } _ { \overline { { I } } } } + \boldsymbol { a } _ { \mathcal { T } _ { \overline { { I } } } } } & { = \delta \boldsymbol { a } _ { p } , } \\ { \delta \boldsymbol { a } _ { l } + \boldsymbol { a } _ { \mathit { \Pi } _ { \overline { { S } } } } + \boldsymbol { a } _ { \mathcal { T } _ { \overline { { S } } } } } & { = \delta \boldsymbol { a } _ { \nu } + \delta \boldsymbol { f } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \widehat { \nabla } _ { \Gamma ^ { \prime } } \Gamma ^ { \prime } } & { = } & { ^ { H } \! \big ( \gamma ^ { \prime \prime } - \mathcal { R } ( \widetilde { \xi ^ { \prime } } , \widetilde { \xi } ) \gamma ^ { \prime } \big ) + ^ { T } \! \big ( \xi ^ { \prime \prime } + 2 \delta ^ { 2 } \mu \, \xi ^ { \prime } J \big ) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { c l } { \displaystyle - \nabla \cdot ( c _ { 1 } \nabla u _ { 1 } ^ { [ k ] } ) + u _ { 1 } ^ { [ k ] } = f \ \ } & { \mathrm { i n } \ \Omega _ { 1 } , } \\ { \displaystyle u _ { 1 } ^ { [ k ] } = 0 \ \ } & { \mathrm { o n } \ \partial \Omega _ { 1 } \cap \partial \Omega , } \\ { \displaystyle u _ { 1 } ^ { [ k ] } = u _ { \Gamma } ^ { [ k ] } \ \ } & { \mathrm { o n } \ \Gamma , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \| N - 3 \| _ { H ^ { k } } + \| X \| _ { H ^ { k } } } & { \lesssim \| \Sigma \| _ { H ^ { k - 2 } } ^ { 2 } + | \tau | \| \eta \| _ { H ^ { k - 2 } } + | \tau | ^ { 2 } \| N j \| _ { H ^ { k - 2 } } + \| g - \gamma \| _ { H ^ { k - 1 } } ^ { 2 } } \\ & { \lesssim \epsilon ^ { 2 } e ^ { - 2 \lambda T } + \epsilon e ^ { - ( 1 + 3 K ) T } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ^ { \Pi } ( \delta , z ^ { \prime } ) } & { \equiv \lambda \underline { { x } } : A ^ { \prime } ( \delta ) . f _ { 2 } ^ { \prime } ( \delta , \underline { { x } } , \textnormal { e v } ( z ^ { \prime } , g _ { 1 } ^ { \prime } ( \delta , \underline { { x } } ) ) ) } \\ & { = \lambda \underline { { x } } . ( \textnormal { \texttt { q } } ( \delta ) ^ { - 1 } ) ^ { * } q _ { 1 } ( \textnormal { \texttt { g } } ( \delta ) , \textnormal { \texttt { q } } ( \delta ) ^ { * } \underline { { x } } ) ^ { * } f _ { 2 } ( \textnormal { \texttt { g } } ( \delta ) , \textnormal { \texttt { g } } _ { n + 1 } ( \delta , \underline { { x } } ) , ( \alpha ( \delta ) , \alpha _ { 1 } ( \delta , \underline { { x } } ) ) ^ { * } \textnormal { e v } ( z ^ { \prime } , g _ { 1 } ^ { \prime } ( \delta , \underline { { x } } ) ) ) } \\ & { = \lambda \underline { { x } } . ( \textnormal { \texttt { q } } ( \delta ) ^ { - 1 } ) ^ { * } q _ { 1 } ( \textnormal { \texttt { g } } ( \delta ) , \textnormal { \texttt { q } } ( \delta ) ^ { * } \underline { { x } } ) ^ { * } f _ { 2 } ( \textnormal { \texttt { g } } ( \delta ) , \textnormal { \texttt { g } } _ { n + 1 } ( \delta , \underline { { x } } ) , \textnormal { e v } ( \alpha ( \delta ) ^ { * } z ^ { \prime } , g _ { 1 } ( \textnormal { \texttt { g } } ( \delta ) , q ( \delta ) ^ { * } \underline { { x } } ) ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nu _ { k } ( x ^ { k } ) ^ { \top } s ^ { 0 } + \nu _ { k } ^ { \tau } ( x ^ { 0 } ) ^ { \top } s ^ { k } } & { = \nu _ { k } ^ { \tau } \nu _ { k } ( x ^ { 0 } ) ^ { \top } s ^ { 0 } + \nu _ { k } ^ { \tau } ( 1 - \nu _ { k } ) ( x ^ { 0 } ) ^ { \top } s ^ { * } + \nu _ { k } ( 1 - \nu _ { k } ^ { \tau } ) ( x ^ { * } ) ^ { \top } s ^ { 0 } + ( x ^ { k } ) ^ { \top } s ^ { k } } \\ & { \quad - ( 1 - \nu _ { k } ^ { \tau } ) ( x ^ { * } ) ^ { \top } s ^ { k } - ( 1 - \nu _ { k } ) ( x ^ { k } ) ^ { \top } s ^ { * } + ( 1 - \nu _ { k } ) ( 1 - \nu _ { k } ^ { \tau } ) ( x ^ { * } ) ^ { \top } s ^ { * } } \\ { { \left[ \because ( x ^ { * } ) ^ { \top } s ^ { * } = 0 \right] } } & { = \nu _ { k } ^ { \tau } \nu _ { k } ( x ^ { 0 } ) ^ { \top } s ^ { 0 } + \nu _ { k } ^ { \tau } ( 1 - \nu _ { k } ) ( x ^ { 0 } ) ^ { \top } s ^ { * } + \nu _ { k } ( 1 - \nu _ { k } ^ { \tau } ) ( x ^ { * } ) ^ { \top } s ^ { 0 } } \\ & { \quad + ( x ^ { k } ) ^ { \top } s ^ { k } - ( 1 - \nu _ { k } ^ { \tau } ) ( x ^ { * } ) ^ { \top } s ^ { k } - ( 1 - \nu _ { k } ) ( x ^ { k } ) ^ { \top } s ^ { * } } \\ { { [ \because x ^ { k } , s ^ { k } , x ^ { * } , s ^ { * } \ge 0 ] } } & { \le \nu _ { k } ^ { \tau } \nu _ { k } ( x ^ { 0 } ) ^ { \top } s ^ { 0 } + \nu _ { k } ^ { \tau } ( 1 - \nu _ { k } ) ( x ^ { 0 } ) ^ { \top } s ^ { * } + \nu _ { k } ( 1 - \nu _ { k } ^ { \tau } ) ( x ^ { * } ) ^ { \top } s ^ { 0 } + ( x ^ { k } ) ^ { \top } s ^ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | \mathbb { E } _ { \xi ^ { \prime } } [ \mathbb { E } _ { \xi } [ f _ { z } ( \mathcal { A } ( z , x , \xi ^ { \prime } ) , \xi ) - f _ { z } ( \mathcal { A } ( z , x , \xi ^ { \prime } ) , \xi ^ { \prime } ) ] ] | } \\ { = } & { \textstyle \left| \int _ { \xi ^ { \prime } \sim \Xi } \int _ { \xi \sim \Xi } f _ { z } ( \mathcal { A } ( z , x , \xi ^ { \prime } ) , \xi ) - f _ { z } ( \mathcal { A } ( z , x , \xi ^ { \prime } ) , \xi ^ { \prime } ) d \mu _ { \xi } d \mu _ { \xi ^ { \prime } } \right| } \\ { = } & { \textstyle \left| \int _ { \xi ^ { \prime } \sim \Xi } \int _ { \xi \sim \Xi } f _ { z } ( \mathcal { A } ( z , x , \xi ^ { \prime } ) , \xi ) d \mu _ { \xi } d \mu _ { \xi ^ { \prime } } - { \int _ { \xi ^ { \prime } \sim \Xi } } f _ { z } ( \mathcal { A } ( z , x , \xi ^ { \prime } ) , \xi ^ { \prime } ) d \mu _ { \xi ^ { \prime } } \right| } \\ { = } & { \textstyle \left| \int _ { \xi ^ { \prime } \sim \Xi } \int _ { \xi \sim \Xi } f _ { z } ( \mathcal { A } ( z , x , \xi ^ { \prime } ) , \xi ) d \mu _ { \xi } d \mu _ { \xi ^ { \prime } } - { \int _ { \xi \sim \Xi } } f _ { z } ( \mathcal { A } ( z , x , \xi ) , \xi ) d \mu _ { \xi } \right| } \\ { = } & { \textstyle \left| \int _ { \xi ^ { \prime } \sim \Xi } \int _ { \xi \sim \Xi } f _ { z } ( \mathcal { A } ( z , x , \xi ^ { \prime } ) , \xi ) - f _ { z } ( \mathcal { A } ( z , x , \xi ) , \xi ) d \mu _ { \xi } d \mu _ { \xi ^ { \prime } } \right| } \\ { \leq } & { \textstyle \int _ { \xi ^ { \prime } \sim \Xi } \int _ { \xi \sim \Xi } \left| f _ { z } ( \mathcal { A } ( z , x , \xi ^ { \prime } ) , \xi ) - f _ { z } ( \mathcal { A } ( z , x , \xi ) , \xi ) \right| d \mu _ { \xi } d \mu _ { \xi ^ { \prime } } } \\ { \leq } & { \textstyle \int _ { \xi ^ { \prime } \sim \Xi } \int _ { \xi \sim \Xi } L _ { f } \cdot \operatorname* { m a x } \big \{ \sqrt { V _ { d } ( \mathcal { A } ( z , x , \xi ) , \mathcal { A } ( z , x , \xi ^ { \prime } ) ) } , } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \sqrt { V _ { d } ( \mathcal { A } ( z , x , \xi ^ { \prime } ) , \mathcal { A } ( z , x , \xi ) ) } \big \} d \mu _ { \xi } d \mu _ { \xi ^ { \prime } } } \\ { \leq } & { \textstyle \int _ { \xi ^ { \prime } \sim \Xi } \int _ { \xi \sim \Xi } \frac { 2 L _ { f } ^ { 2 } } { \gamma - \kappa } d \mu _ { \xi } d \mu _ { \xi ^ { \prime } } = \frac { 2 L _ { f } ^ { 2 } } { \gamma - \kappa } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int \phi \Big ( \frac { d ( P _ { 0 } + t \mu ) } { d P _ { 0 } } \Big ) \phi \Big ( \frac { d ( P _ { 0 } + s \widetilde \mu ) } { d P _ { 0 } } \Big ) \, d P _ { 0 } } \\ & { = \int \phi ( 1 + t h ) \phi ( 1 + s g ) \, d P _ { 0 } } \\ & { = 1 + \frac { \phi ^ { \prime \prime } ( 1 ) } 2 \int ( t ^ { 2 } h ^ { 2 } + s ^ { 2 } g ^ { 2 } ) \, d P _ { 0 } + s t \phi ^ { \prime } ( 1 ) ^ { 2 } \int g h \, d P _ { 0 } + o ( t ^ { 2 } + s ^ { 2 } ) } \\ & { = \Big ( 1 + \frac { t ^ { 2 } } { 2 } \phi ^ { \prime \prime } ( 1 ) \int h ^ { 2 } \, d P _ { 0 } \Big ) \Big ( 1 + \frac { s ^ { 2 } } { 2 } \phi ^ { \prime \prime } ( 1 ) \int g ^ { 2 } \, d P _ { 0 } \Big ) + s t \phi ^ { \prime } ( 1 ) ^ { 2 } \int g h \, d P _ { 0 } + o ( t ^ { 2 } + s ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { s _ { 1 } } & { = \int _ { \| x \| _ { 2 } \leq M } \Phi ( \| x \| / \lambda ) \cdot | ( G - G ^ { \prime } ) \ast Z _ { \delta , d } ( x ) | \mathrm { d } x , } \\ { s _ { 2 } } & { = \int _ { \| x \| _ { 2 } > M } { \Phi ( \| x \| / \lambda ) \cdot | ( G - G ^ { \prime } ) \ast Z _ { \delta , d } ( x ) | \mathrm { d } x } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\lVert { u } \right\rVert _ { \mathrm { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } : = \left\lVert { ( \mathrm { I } - \Delta ) ^ { \frac { s } { 2 } } u } \right\rVert _ { \mathrm { L } ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \mathrm { ~ a n d ~ } \left\lVert { u } \right\rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } : = \Big \lVert \sum _ { j \in \mathbb { Z } } ( - \Delta ) ^ { \frac { s } { 2 } } \dot { \Delta } _ { j } u \Big \rVert _ { { \mathrm { L } } ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \mathrm { , ~ } } \end{array}
\left| \frac { \partial f _ { T S S } ( y ; \theta ) } { \partial \vartheta } \right| \le C _ { \theta } \cdot \left\{ \begin{array} { l l } { f _ { T S S } ( y ; \theta ) + \big | \frac { \partial f _ { S ( \alpha , \delta ) } ( y ) } { \partial \alpha } \big | , } & { \vartheta = \alpha , } \\ { f _ { T S S } ( y ; \theta ) + \big | \frac { \partial f _ { S ( \alpha , \delta ) } ( y ) } { \partial \delta } \big | , } & { \vartheta = \delta , } \\ { f _ { T S S } ( y ; \theta ) + y f _ { T S S } ( y ; \theta ) , } & { \vartheta = \lambda , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \log N ( 3 \varepsilon _ { n } , B _ { n } , \| \cdot \| ) } & { \leq 6 C n { \alpha _ { n } } \varepsilon _ { n } ^ { 2 } , } \\ { P ( W \notin B _ { n } ) } & { \leq e ^ { - C n { \alpha _ { n } } \varepsilon _ { n } ^ { 2 } } , } \\ { P ( \| W - \eta _ { 0 } \| < 2 \varepsilon _ { n } ) } & { \geq e ^ { - n { \alpha _ { n } } \varepsilon _ { n } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { - 1 } { \sqrt { [ 4 ] ! } } \frac { [ \overline { { a } } _ { 1 } - \overline { { a } } _ { - 2 } + 1 ] [ \overline { { a } } _ { - 2 } - \overline { { a } } _ { 1 } - 1 ] } { [ \overline { { a } } _ { 1 } - \overline { { a } } _ { - 2 } ] [ \overline { { a } } _ { - 2 } - \overline { { a } } _ { 1 } ] } \sqrt { \frac { [ \overline { { a } } _ { 1 } + 1 ] [ \overline { { a } } _ { 2 } - 1 ] [ \overline { { a } } _ { 1 } - \overline { { a } } _ { 2 } + 2 ] [ \overline { { a } } _ { 1 } + \overline { { a } } _ { 2 } ] } { [ \overline { { a } } _ { 1 } ] [ \overline { { a } } _ { 2 } ] [ \overline { { a } } _ { 1 } - \overline { { a } } _ { 2 } ] [ \overline { { a } } _ { 1 } + \overline { { a } } _ { 2 } ] } } - \frac { 1 } { \sqrt { [ 4 ] ! } } \frac { \sqrt { [ \overline { { a } } _ { 1 } - \overline { { a } } _ { - 2 } + 1 ] [ \overline { { a } } _ { 1 } - \overline { { a } } _ { - 2 } - 1 ] } } { [ \overline { { a } } _ { 1 } - \overline { { a } } _ { - 2 } ] } } \\ & { \cdot \sqrt { \frac { [ \overline { { a } } _ { 1 } + \overline { { a } } _ { - 2 } ] [ \overline { { a } } _ { 1 } + \overline { { a } } _ { - 2 } + 2 ] } { [ \overline { { a } } _ { 1 } + \overline { { a } } _ { - 2 } + 1 ] ^ { 2 } } } \sqrt { \frac { [ \overline { { a } } _ { 1 } + 1 ] [ \overline { { a } } _ { 2 } ] [ \overline { { a } } _ { 1 } - \overline { { a } } _ { 2 } + 1 ] [ \overline { { a } } _ { 1 } + \overline { { a } } _ { 2 } + 1 ] [ \overline { { a } } _ { 1 } ] [ \overline { { a } } _ { 2 } - 1 ] [ \overline { { a } } _ { 1 } - \overline { { a } } _ { 2 } + 1 ] [ \overline { { a } } _ { 1 } + \overline { { a } } _ { 2 } - 1 ] } { [ \overline { { a } } _ { 1 } ] ^ { 2 } [ \overline { { a } } _ { 2 } ] ^ { 2 } [ \overline { { a } } _ { 1 } - \overline { { a } } _ { 2 } ] ^ { 2 } [ \overline { { a } } _ { 1 } + \overline { { a } } _ { 2 } ] ^ { 2 } } } } \\ & { = \frac { - 1 } { \sqrt { [ 4 ] ! } } \left( [ \overline { { a } } _ { 1 } + \overline { { a } } _ { 2 } + 1 ] + [ \overline { { a } } _ { 1 } + \overline { { a } } _ { 2 } - 1 ] \right) \frac { [ \overline { { a } } _ { 1 } + \overline { { a } } _ { 2 } + 1 ] } { [ \overline { { a } } _ { 1 } + \overline { { a } } _ { 2 } ] ^ { 2 } } \sqrt { \frac { [ \overline { { a } } _ { 1 } + 1 ] [ \overline { { a } } _ { 2 } - 1 ] [ \overline { { a } } _ { 1 } - \overline { { a } } _ { 2 } + 2 ] } { [ \overline { { a } } _ { 1 } ] [ \overline { { a } } _ { 2 } ] [ \overline { { a } } _ { 1 } - \overline { { a } } _ { 2 } ] } } } \\ & { = [ 2 ] \frac { - 1 } { \sqrt { [ 4 ] ! } } \frac { [ \overline { { a } } _ { 1 } + \overline { { a } } _ { 2 } + 1 ] } { [ \overline { { a } } _ { 1 } + \overline { { a } } _ { 2 } ] } \sqrt { \frac { [ \overline { { a } } _ { 1 } + 1 ] [ \overline { { a } } _ { 2 } - 1 ] [ \overline { { a } } _ { 1 } - \overline { { a } } _ { 2 } + 2 ] } { [ \overline { { a } } _ { 1 } ] [ \overline { { a } } _ { 2 } ] [ \overline { { a } } _ { 1 } - \overline { { a } } _ { 2 } ] } } } \end{array}
\begin{array} { r } { v \in H ^ { 0 } \bigg ( Y , - \frac { 7 } { 4 } K _ { Y } - \frac { 1 } { 4 } E \bigg ) , \, y \in H ^ { 0 } \bigg ( Y , - \frac { 3 } { 4 } K _ { Y } - \frac { 1 } { 4 } E \bigg ) } \\ { w \in H ^ { 0 } \bigg ( Y , - \frac { 9 } { 4 } K _ { Y } - \frac { 3 } { 4 } E \bigg ) , \, x \in H ^ { 0 } \bigg ( Y , - \frac { 1 } { 2 } K _ { Y } - \frac { 1 } { 2 } E \bigg ) . } \end{array}
\sum _ { i = 1 } ^ { N } \langle \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { i } , \dot { \mathrm { \boldmath ~ w ~ } } _ { i } \rangle = - \frac { \kappa _ { 0 } } { 2 N } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } \phi ( r _ { j i } ) | \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { j i } | ^ { 2 } - \frac { \kappa _ { 1 } } { 4 N } \sum _ { \substack { i , j = 1 \, j \neq i } } ^ { N } \Big \langle \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { j i } , \frac { \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { j i } } { r _ { j i } } \Big \rangle ^ { 2 } - \frac { \kappa _ { 2 } } { 4 N } \sum _ { \substack { i , j = 1 \, j \neq i } } ^ { N } ( r _ { j i } - R _ { i j } ^ { \infty } ) \Big \langle \frac { \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { j i } } { r _ { j i } } , \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { j i } \Big \rangle .
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } W } { \mathrm { d } \omega \mathrm { d } \Omega } = } & { \frac { \left| J _ { \mathrm { a } } ( \omega ) \right| ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } c } f ( \phi , \theta ) } \\ { f ( \phi , \theta ) = } & { \frac { \sin ^ { 2 } \theta \sin ^ { 2 } \phi + \cos ^ { 2 } \theta } { \left( 1 - \cos \theta \right) ^ { 2 } } \sin ^ { 2 } \left( L k \sin ^ { 2 } \frac { \theta } { 2 } \right) } \end{array}
E _ { a _ { 1 } a _ { 2 } } ^ { ( n ) } ( \lambda ; z ) E _ { b _ { 1 } b _ { 2 } } ^ { ( n ^ { \prime } ) } ( \lambda ^ { \prime } ; 0 ) \sim - \frac { N ^ { k } [ \lambda \lambda ^ { \prime } ] ^ { k } } { z ^ { k + 2 } } \delta _ { a _ { 1 } b _ { 2 } } \delta _ { a _ { 2 } b _ { 1 } } ( k + 1 ) \frac { ( n ^ { \prime } - k ) ! } { ( n + n ^ { \prime } - k ) ! } ( \lambda \cdot \partial _ { \lambda ^ { \prime } } ) ^ { n - k } A ^ { ( n + n ^ { \prime } - 2 k ) } ( \lambda ^ { \prime } ; 0 ) + \dots
\begin{array} { r l } { f ( e _ { i } ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { i - 1 \quad } & { \mathrm { i f ~ } i \equiv 0 ( \bmod ~ 4 ) } \\ { i \quad } & { \mathrm { i f ~ } i \equiv 1 \mathrm { ~ o r ~ } 2 ( \bmod ~ 4 ) \mathrm { ~ a n d ~ } i \ne n - 2 } \\ { i + 1 \quad } & { \mathrm { i f ~ } i \equiv 3 ( \bmod ~ 4 ) \mathrm { ~ a n d ~ } i \ne n - 1 } \\ { n - 1 \quad } & { \mathrm { i f ~ } i = n - 2 } \\ { n - 2 \quad } & { \mathrm { i f ~ } i = n - 1 } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { H } \Big ( [ [ \nu _ { t + 1 } ( \Pi _ { t + 1 } ) | m _ { t } , u _ { t } ] ] , [ [ \nu _ { t + 1 } ( \Pi _ { t + 1 } ) | \nu _ { t } ( \sigma _ { t } ( m _ { t } ) ) , u _ { t } ] ] \Big ) } \\ { \leq } & { \mathcal { H } \Big ( [ [ \nu _ { t + 1 } ( \Pi _ { t + 1 } ) | m _ { t } , u _ { t } ] ] , [ [ \Pi _ { t + 1 } | m _ { t } , u _ { t } ] ] \Big ) + } \\ & { \mathcal { H } \Big ( [ [ \Pi _ { t + 1 } | m _ { t } , u _ { t } ] ] , [ [ \Pi _ { t + 1 } | \nu _ { t } ( \sigma _ { t } ( m _ { t } ) ) , u _ { t } ] ] \Big ) + } \\ & { \mathcal { H } \Big ( [ [ \Pi _ { t + 1 } | \nu _ { t } ( \sigma _ { t } ( m _ { t } ) ) , u _ { t } ] ] , [ [ \nu _ { t + 1 } ( \Pi _ { t + 1 } ) | \nu _ { t } ( \sigma _ { t } ( m _ { t } ) ) , u _ { t } ] ] \Big ) } \\ { \leq } & { 2 \gamma _ { t + 1 } + \mathcal { H } \Big ( [ [ \Pi _ { t + 1 } | m _ { t } , u _ { t } ] ] , [ [ \Pi _ { t + 1 } | \nu _ { t } ( \sigma _ { t } ( m _ { t } ) ) , u _ { t } ] ] \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 < e ^ { - \delta C } \| \Lambda x \| \leqslant \operatorname* { l i m i n f } _ { \nu \rightarrow 0 ^ { + } } \mathcal { W } _ { \Lambda , p } ( A ^ { \nu } ( \delta C t _ { \nu } ; x ) , \mathcal { G } ^ { \nu } ) } & { \leqslant \operatorname* { l i m i n f } _ { \nu \rightarrow 0 ^ { + } } \mathcal { W } _ { \Lambda , p } ( A ^ { \nu } ( \delta t _ { \nu } ^ { * } ; x ) , \mathcal { G } ^ { \nu } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \gamma + \lambda + n \mu ) J ^ { * } ( x ) = } & { \operatorname* { m i n } _ { b \in \{ 0 , 1 \} } \Big \{ | | x | | _ { 1 } + c _ { b } b + \mu \sum _ { i = 1 } ^ { n } J ^ { * } ( ( x - e _ { i } ) ^ { + } ) + \lambda J ^ { * } ( x + e _ { \operatorname* { m i n } } ) } \\ & { + ( 1 - b ) a \lambda \Big ( \sum _ { i = 1 } ^ { n } p _ { i } J ^ { * } ( x + e _ { i } ) - J ^ { * } ( x + e _ { \operatorname* { m i n } } ) \Big ) \Big \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \partial E } \sigma \nu \cdot V _ { \infty } \, d { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } = \int _ { \partial E } \sigma V _ { \infty } \cdot \nu \, d { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } = \int _ { \partial \Omega } \sigma V _ { \infty } \cdot \nu \, d { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } = \int _ { \partial \Omega } \sigma u \cdot \nu \, d { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } } \\ { = \int _ { \Omega \setminus E } \mathrm { d i v } \, ( \sigma u ) \, d x + \int _ { \partial E } \sigma u \cdot \nu \, d { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } = \int _ { \Omega \setminus E } \sigma : \nabla u \, d x + \int _ { \partial E } \sigma \nu \cdot u \, d { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { ( u _ { \mathrm { m a x } } ^ { * } ) ^ { 2 } } { 4 } \left( A _ { 0 } ( 2 - 3 ( u _ { \mathrm { m a x } } ^ { * } ) ^ { 2 } ) - 2 ( ( u _ { \mathrm { m a x } } ^ { * } ) ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } \right) = \frac { A _ { 0 } } 4 \left( 2 A _ { 0 } q _ { * } ^ { 2 } - 1 \right) , \quad } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad - 1 < u _ { \mathrm { m a x } } ^ { * } < - \sqrt { 1 - A _ { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { x _ { i j } \cdot x _ { k l } } & { = \frac { 1 } { 2 } ( \delta _ { j k } x _ { i l } + \delta _ { i l } x _ { k j } ) , } & { x _ { i j } \cdot \beta _ { k l } } & { = \frac { 1 } { 2 } ( \delta _ { j k } \beta _ { i l } - \delta _ { j l } \beta _ { i k } ) , } \\ { x _ { i j } \cdot \gamma _ { k l } } & { = \frac { 1 } { 2 } ( \delta _ { i k } \gamma _ { j l } + \delta _ { i l } \gamma _ { j k } ) , } & { \beta _ { i j } \cdot \gamma _ { k l } } & { = \frac { 1 } { 2 } ( \delta _ { j k } x _ { i l } + \delta _ { j l } x _ { i k } - \delta _ { i k } x _ { j l } - \delta _ { i l } x _ { j k } ) , } \\ { \beta _ { i j } \cdot \beta _ { k l } } & { = \gamma _ { i j } \cdot \gamma _ { k l } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { B _ { k } N ^ { 1 - 2 / K } \lambda _ { k } ^ { - 1 / ( 2 K - 2 ) } \ge B _ { 3 } ^ { 4 / K } N ^ { 1 - 2 / K } \lambda _ { 0 } ^ { - 1 / ( 2 K - 2 ) } } \\ & { \qquad \qquad = \left( \frac { \sqrt { 3 } \pi ^ { 1 / 4 } \eta _ { 3 } ^ { 1 / 4 } } { \sqrt { 3 2 } } \right) ^ { 4 / K } \left[ \left( \frac { 9 \pi } { 1 0 2 4 } \eta _ { 3 } \right) ^ { - 2 + 2 / K } N ^ { - 4 + 4 / K } \right] ^ { - 1 / ( 2 K - 2 ) } N ^ { 1 - 2 / K } } \\ & { \qquad \qquad = N . } \end{array}
\begin{array} { r l } { s _ { 1 } = \left[ 2 2 _ { 1 } : 2 2 _ { 2 } : - 2 2 _ { 3 } : - 2 _ { 1 } 2 _ { 2 } 2 _ { 3 } h \right] , } & { \quad s _ { 1 } ^ { \prime } = \left[ 2 2 _ { 1 } : 2 2 _ { 2 } : - 2 2 _ { 3 } : 2 _ { 1 } 2 _ { 2 } 2 _ { 3 } h \right] , } \\ { s _ { 2 } = \left[ 2 2 _ { 1 } : - 2 2 _ { 2 } : - 2 2 _ { 3 } : 2 _ { 1 } 2 _ { 2 } 2 _ { 3 } h \right] , } & { \quad s _ { 2 } ^ { \prime } = \left[ 2 2 _ { 1 } : - 2 2 _ { 2 } : - 2 2 _ { 3 } : - 2 _ { 1 } 2 _ { 2 } 2 _ { 3 } h \right] , } \\ { s _ { 3 } = \left[ 2 2 _ { 1 } : - 2 2 _ { 2 } : 2 2 _ { 3 } : - 2 _ { 1 } 2 _ { 2 } 2 _ { 3 } h \right] , } & { \quad s _ { 3 } ^ { \prime } = \left[ 2 2 _ { 1 } : - 2 2 _ { 2 } : 2 2 _ { 3 } : 2 _ { 1 } 2 _ { 2 } 2 _ { 3 } h \right] , } \\ { s _ { 4 } = \left[ 2 2 _ { 1 } : 2 2 _ { 2 } : 2 2 _ { 3 } : 2 _ { 1 } 2 _ { 2 } 2 _ { 3 } h \right] , } & { \quad s _ { 4 } ^ { \prime } = \left[ 2 2 _ { 1 } : 2 2 _ { 2 } : 2 2 _ { 3 } : - 2 _ { 1 } 2 _ { 2 } 2 _ { 3 } h \right] . } \end{array}
\big ( G _ { 1 } \mathcal { S } \big [ ( G _ { 1 } - M _ { 1 } ) \mathring { A } _ { 1 } ^ { { 1 , 2 } } \big ] G _ { 2 } \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { y } } = \sum _ { \sigma } \sigma \langle ( G _ { 1 } - M _ { 1 } ) \mathring { A } _ { 1 } ^ { { 1 , 2 } } E _ { \sigma } \rangle \big ( G _ { 1 } E _ { \sigma } G _ { 2 } \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { y } }
\begin{array} { r l r } { \frac { 2 U } { c ^ { 2 } } } & { = } & { r _ { g } \Big \{ \frac { 1 } { r } + \sum _ { \ell = 2 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { \ell } } { \ell ! } { \cal T } ^ { < a _ { 1 } . . . a _ { \ell } > } \frac { \partial ^ { \ell } } { \partial x ^ { < a _ { 1 } . . . } \partial x ^ { a _ { \ell } > } } \Big ( \frac { 1 } { r } \Big ) \Big \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { d \mathbf { T } _ { F _ { 2 , d } } ^ { x , 1 } ( x \mathbf { D } _ { i } ) } & { = d T _ { F _ { 2 , d } ^ { [ 2 ] } } ^ { x } ( x , D _ { i } x ) , \quad 2 \mathbf T _ { F _ { 2 , d } } ^ { x , 2 } ( x , x \mathbf D _ { i } ) = 2 T _ { F _ { 2 , d } ^ { [ 3 ] } } ^ { x } ( x , x , D _ { i } x ) , } \\ { 2 \mathbf T _ { F _ { 2 , d } } ^ { x , 2 } ( x \mathbf D _ { i } , x ) } & { = 2 \mathbf { T } _ { F _ { 2 , d } } ^ { x , 3 } ( x , D _ { i } x , x ) + 2 \mathbf { T } _ { F _ { 2 , d } } ^ { x , 2 } ( x , D _ { i } x ) + 2 \mathbf { T } _ { F _ { 2 , d } } ^ { x , 2 } ( x , x \mathbf { D } _ { i } ) } \\ & { = 2 T _ { F _ { 2 , d } ^ { [ 3 ] } } ^ { x } ( x , D _ { i } x , x ) + 2 T _ { F _ { 2 , d } ^ { [ 2 ] } } ^ { x } ( x , D _ { i } x ) + 2 T _ { F _ { 2 , d } ^ { [ 3 ] } } ^ { x } ( x , x , D _ { i } x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \varphi } \colon \mathcal { C } \cup ( \mathcal { D } + \{ 3 R \} ) } & { \to \mathbb R ^ { m \times n } } \\ { { \boldsymbol { x } } } & { \mapsto \left\{ \begin{array} { l l } { \varphi ( { \boldsymbol { x } } ) , } & { { \boldsymbol { x } } \in \mathcal { C } } \\ { \psi ( { \boldsymbol { x } } - 3 R ) , } & { { \boldsymbol { x } } \in \mathcal { D } + \{ 3 R \} } \end{array} \right. . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \kappa + \gamma B _ { 1 } = \kappa + \gamma y _ { 0 } ( \Gamma ) < \sigma ( i _ { 1 , 1 } ) < \cdots < \sigma ( i _ { 1 , t _ { 1 } } ) \leq \kappa + \gamma y _ { 1 } ( \Gamma ) < \sigma ( i _ { 2 , 1 } ) < \cdots < \sigma ( i _ { 2 , t _ { 2 } } ) } \\ & { } & { \leq \cdots < \sigma ( i _ { T _ { 1 } + T _ { 2 } - 1 , 1 } ) < \cdots < \sigma ( i _ { T _ { 1 } + T _ { 2 } - 1 , t _ { T _ { 1 } + T _ { 2 } - 1 } } ) \leq \kappa + \gamma y _ { T _ { 1 } + T _ { 2 } - 1 } ( \Gamma ) = \kappa + \gamma B _ { 2 } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { x _ { n } = } & { - e ^ { \frac { 2 n \pi i } { N - 2 } } { \sqrt [ { N - 2 } ] { \frac { b } { a } } } _ { N - 1 } F _ { N - 2 } { \left[ \begin{array} { l } { - { \frac { 1 } { N \left( N - 2 \right) } } , - { \frac { 1 } { N \left( N - 2 \right) } } + { \frac { 1 } { N } } , - { \frac { 1 } { N \left( N - 2 \right) } } + { \frac { 2 } { N } } , \cdots , - { \frac { 1 } { N \left( N - 2 \right) } } + { \frac { 1 } { N } } , { \frac { N - 5 } { 2 N } } , - { \frac { 1 } { N \left( N - 2 \right) } } + { \frac { N - 3 } { 2 N } } , - { \frac { 1 } { N \left( N - 2 \right) } } + { \frac { N + 1 } { 2 N } } , - { \frac { 1 } { N \left( N - 2 \right) } } + { \frac { N + 3 } { 2 N } } , \cdots , - { \frac { 1 } { N \left( N - 2 \right) } } + { \frac { N - 1 } { N } } , ; } \\ { { \frac { 1 } { N - 2 } } , { \frac { 2 } { N - 2 } } , \cdots , { \frac { 2 N - 5 } { 2 N - 4 } } , ; } \\ { - { \frac { a ^ { 2 } c ^ { N - 2 } } { 4 b ^ { N } \left( N - 2 \right) ^ { N - 2 } } } } \end{array} \right] } + } \\ & { + { \sqrt [ { N - 2 } ] { \frac { b } { a } } } \sum _ { q = 1 } ^ { N - 3 } { \frac { \Gamma \left( { \frac { 2 q - 1 } { N - 2 } } + q \right) } { \Gamma \left( { \frac { 2 q - 1 } { N - 2 } } + 1 \right) } } \cdot \left( - { \frac { c } { b } } { \sqrt [ { N - 2 } ] { \frac { a ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } } \right) ^ { q } \cdot { \frac { e ^ { { \frac { 2 n \left( 1 - 2 q \right) } { N - 2 } } \pi i } } { q ! } } _ { N - 1 } F _ { N - 2 } { \left[ \begin{array} { l } { { \frac { N q - 1 } { N \left( N - 2 \right) } } , { \frac { N q - 1 } { N \left( N - 2 \right) } } + { \frac { 1 } { N } } , { \frac { N q - 1 } { N \left( N - 2 \right) } } + { \frac { 2 } { N } } , \cdots , { \frac { N q - 1 } { N \left( N - 2 \right) } } + { \frac { N - 3 } { 2 N } } , { \frac { N q - 1 } { N \left( N - 2 \right) } } + { \frac { N + 1 } { 2 N } } , \cdots , { \frac { N q - 1 } { N \left( N - 2 \right) } } + { \frac { N - 1 } { N } } ; } \\ { { \frac { q + 1 } { N - 2 } } , { \frac { q + 2 } { N - 2 } } , \cdots , { \frac { N - 4 } { N - 2 } } , { \frac { N - 3 } { N - 2 } } , { \frac { N - 1 } { N - 2 } } , { \frac { N } { N - 2 } } , \cdots , { \frac { q + N - 2 } { N - 2 } } , { \frac { 2 q + 2 N - 5 } { 2 N - 4 } } ; } \\ { - { \frac { a ^ { 2 } c ^ { N - 2 } } { 4 b ^ { N } \left( N - 2 \right) ^ { N - 2 } } } } \end{array} \right] } , n = 1 , 2 , \cdots , N - 2 } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \big ( d _ { f _ { \ell } } \Psi _ { p , 2 } \{ 0 , 0 \} [ h _ { \ell } ] \big ) ( \theta _ { k } , \varphi ) } & { = \frac { \omega _ { \ell } - \omega _ { \ell + 1 } } { 4 \pi } \sin ( \theta _ { \ell } ) \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } h _ { \ell } ( \varphi ^ { \prime } ) \log \Big ( D ( \theta _ { k } , \theta _ { \ell } , \varphi , \varphi ^ { \prime } ) \Big ) d \varphi ^ { \prime } } \\ & { = \frac { \omega _ { \ell } - \omega _ { \ell + 1 } } { 2 } \sin ( \theta _ { \ell } ) \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } h _ { n } ^ { ( \ell ) } I _ { \mathbf { m } n } ( \theta _ { k } , \theta _ { \ell } ) \cos ( \mathbf { m } n \varphi ) } \\ & { = - \frac { \omega _ { \ell } - \omega _ { \ell + 1 } } { 2 } \sin ( \theta _ { \ell } ) \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { h _ { n } ^ { ( \ell ) } } { \mathbf { m } n } \tan ^ { \mathbf { m } n } \left( \frac { \operatorname* { m i n } ( \theta _ { k } , \theta _ { \ell } ) } { 2 } \right) \cot ^ { \mathbf { m } n } \left( \frac { \operatorname* { m a x } ( \theta _ { k } , \theta _ { \ell } ) } { 2 } \right) \cos ( \mathbf { m } n \varphi ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { \sigma } B ( \sigma ) } & { = - B ( \sigma ) \circ \partial _ { \sigma } A ( \sigma ) \circ B ( \sigma ) , } \\ { \partial _ { \sigma } ^ { 2 } B ( \sigma ) } & { = - B ( \sigma ) \circ \partial _ { \sigma } ^ { 2 } A ( \sigma ) \circ B ( \sigma ) + 2 B ( \sigma ) \circ \partial _ { \sigma } A ( \sigma ) \circ B ( \sigma ) \circ \partial _ { \sigma } A ( \sigma ) \circ B ( \sigma ) . } \end{array}
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \frac { A \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 2 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! + A \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 2 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 2 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - A \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) B \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - A \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 2 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) B \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 2 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) } { B \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) A \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 2 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - B \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 2 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) A \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l } { c _ { k } ( D ^ { * } S , \omega _ { c a n } ) } & { = c _ { k } ( S ^ { * } S , \lambda ) = c _ { k } \left( { \mathbb R } P ^ { 3 } , \frac { \ell } { 2 \pi } \lambda _ { 0 } \right) = c _ { k } \left( S ^ { * } S ^ { 2 } , \frac { \ell } { 2 \pi } \lambda \right) } \\ & { = \frac { \ell } { 2 \pi } c _ { k } ( D ^ { * } S ^ { 2 } , \omega _ { c a n } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } ^ { \ell } u ^ { n + 1 } \in C ( 0 , T _ { n + 1 } ^ { * } ; H ^ { \Lambda - \ell + 1 } ) \cap L ^ { 2 } ( 0 , T _ { n + 1 } ^ { * } ; H ^ { 2 } ) \, , \partial _ { t } ^ { \ell } u _ { t } ^ { n + 1 } \in L ^ { 2 } ( 0 , T _ { n + 1 } ^ { * } ; L _ { \rho ( \phi ^ { n } ) } ^ { 2 } ) \, , } \\ & { \partial _ { t } ^ { \ell } p ^ { n + 1 } \in C ( 0 , T _ { n + 1 } ^ { * } ; H ^ { \Lambda - \ell } ) \, , \ \partial _ { t } ^ { \ell } \phi ^ { n + 1 } \in C ( 0 , T _ { n + 1 } ^ { * } ; H ^ { \Lambda - \ell + 2 } ) \, , \partial _ { t } ^ { \ell } \phi _ { t } ^ { n + 1 } \in L ^ { 2 } ( 0 , T _ { n + 1 } ^ { * } ; H ^ { 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \widetilde { r } _ { \alpha , n } ( 0 ) - \widetilde { r } _ { \alpha , n } ( t - s ) | } & { \leq \frac { 1 } { \mathcal { N } _ { n } } \sum _ { \lambda \in \Lambda _ { n } } \left| 1 - \cos \left( 2 \pi \left\langle \frac { \lambda } { \sqrt { n } } , t - s \right\rangle \right) \right| } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 \mathcal { N } _ { n } } \sum _ { \lambda \in \Lambda _ { n } } \left\langle \frac { \lambda } { \sqrt { n } } , t - s \right\rangle ^ { 2 } } \\ { \mathrm { ( C a u c h y ~ S c h w a r z ) } } & { \leq \frac { 1 } { 2 } | t - s | ^ { 2 } . } \end{array}
\ensuremath { \mathbf { M } } \dot { \ensuremath { \mathbf { v } } } + \Pi ^ { \top } [ ( \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \rho } } \rho _ { i } ( \ensuremath { \mathbf { v } } ) \ensuremath { \mathbf { N } } ( \ensuremath { \mathbf { w } } _ { i } ^ { l } ) ) \ensuremath { \mathbf { v } } + \ensuremath { \mathbf { A } } \ensuremath { \mathbf { v } } - \ensuremath { \mathbf { f } } ] = 0
\begin{array} { r l } { R _ { n } ^ { 1 } } & { = - \nabla _ { s } \left[ ( \nabla \mathfrak { a } _ { n } \circ Q _ { n } ) \partial _ { s } Q _ { n } - t ( \nabla \mathfrak { c } _ { n } \circ Q _ { n } ) \cdot \partial _ { s } Q _ { n } \right] } \\ { \tilde { P } _ { n } \cdot R _ { n } ^ { 2 } + \nabla _ { s } \tilde { P } _ { n } \cdot R _ { n } ^ { 3 } + \epsilon _ { n } R _ { n } ^ { 4 } } & { = \nabla _ { s } \left[ B _ { n } ( u _ { n } ) \cdot ( \tilde { P } _ { n } - \epsilon _ { n } \mathfrak { a } _ { n } \circ Q _ { n } - t \epsilon _ { n } \mathfrak { c } _ { n } \circ Q _ { n } ) \cdot \partial _ { t } u _ { n } \right] . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { A } & { = { \frac { 1 } { 2 } } ( { \mathrm { b a s e } } ) ( { \mathrm { a l t i t u d e } } ) } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 } } a b \sin \gamma } \\ & { = { \frac { a b } { 4 a b } } { \sqrt { 4 a ^ { 2 } b ^ { 2 } - ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - c ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } } \\ & { = { \frac { 1 } { 4 } } { \sqrt { - a ^ { 4 } - b ^ { 4 } - c ^ { 4 } + 2 a ^ { 2 } b ^ { 2 } + 2 a ^ { 2 } c ^ { 2 } + 2 b ^ { 2 } c ^ { 2 } } } } \\ & { = { \frac { 1 } { 4 } } { \sqrt { ( a + b + c ) ( - a + b + c ) ( a - b + c ) ( a + b - c ) } } } \\ & { = { \sqrt { \left( { \frac { a + b + c } { 2 } } \right) \left( { \frac { - a + b + c } { 2 } } \right) \left( { \frac { a - b + c } { 2 } } \right) \left( { \frac { a + b - c } { 2 } } \right) } } } \\ & { = { \sqrt { s ( s - a ) ( s - b ) ( s - c ) } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { k = 0 , \ldots , K - 1 } \left\| \mathcal { G } _ { t } \left( x _ { k } \right) \right\| ^ { 2 } \leq \frac { 1 } { N } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \left\| \mathcal { G } _ { t } ( z ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } } & { \leq \frac { 2 t ^ { - 1 } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \tilde { F } _ { \gamma } ( z _ { k } ) - \tilde { F } _ { \gamma } ( z _ { k + 1 } ) + \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \delta _ { k } \right) } { K } } \\ & { \stackrel { ( a ) } { \leq } \frac { 2 t ^ { - 1 } \left( \tilde { F } _ { \gamma } ( x ^ { 0 } , y ^ { 0 } ) - C _ { f } + \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \delta _ { k } \right) } { K } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( g \cdot \hat { \gamma } ^ { * } ) ( v ) } & { = ( \hat { \beta } _ { g \cdot J } ^ { * } \circ \eta ) ( v ) } \\ & { = ( \hat { \beta } _ { g \cdot J } ^ { * } ) ( w _ { I } ) + 0 } \\ & { = ( g \cdot \hat { \alpha } _ { a , b } ^ { * } ) ( w _ { I } ) } \\ & { = \hat { \alpha } _ { a , b } ^ { * } ( w _ { I } ) ^ { \chi _ { \textrm { c y l c } } ^ { - a } ( g ) } } \\ & { = \hat { \gamma } ^ { * } ( v ) ^ { \chi _ { \textrm { c y l c } } ^ { - a } ( g ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \lambda _ { \tilde { \mathrm { P } } } ^ { x y , t } \preceq \lambda _ { \mathrm { P } } ^ { x y , t } \preceq \boldsymbol { \Lambda } _ { \mathrm { P } } ^ { x y , t } , } \\ & { \lambda _ { \tilde { \mathrm { P } } } ^ { x , y , t } \preceq \lambda _ { \mathrm { P } } ^ { x , y , t } \preceq \boldsymbol { \Lambda } _ { \mathrm { P } } ^ { x , y , t } , } \\ & { \lambda _ { \mathrm { P } } ^ { x y , t } \preceq \lambda _ { \mathrm { P } } ^ { x , y , t } , } \\ & { \boldsymbol { \Lambda } _ { \mathrm { P } } ^ { x y , t } \preceq \boldsymbol { \Lambda } _ { \mathrm { P } } ^ { x , y , t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { \boldsymbol { \lambda } ^ { n } } ( \beta ^ { 0 } + v / \sqrt { n } ) - J _ { \boldsymbol { \lambda } ^ { n } } ( \beta ^ { 0 } ) } & { = J _ { \boldsymbol { \lambda } ^ { n } } ( \mathfrak { p } _ { 0 } ; \beta ^ { 0 } + v / \sqrt { n } ) - J _ { \boldsymbol { \lambda } ^ { n } } ( \beta ^ { 0 } ) } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { \Sigma \in \mathcal { S } ( \mathfrak { p } _ { 0 } ) } \left\langle S _ { \mathfrak { p } _ { 0 } } \Sigma \Pi _ { \mathfrak { p } _ { 0 } } \boldsymbol { \lambda } ^ { n } , \beta ^ { 0 } + v / \sqrt { n } \right\rangle - J _ { \boldsymbol { \lambda } ^ { n } } ( \beta ^ { 0 } ) } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { \Sigma \in \mathcal { S } ( \mathfrak { p } _ { 0 } ) } \left\langle S _ { \mathfrak { p } _ { 0 } } \Sigma \Pi _ { \mathfrak { p } _ { 0 } } \boldsymbol { \lambda } ^ { n } / \sqrt { n } , v \right\rangle } \\ & { \longrightarrow \operatorname* { m a x } _ { \Sigma \in \mathcal { S } ( \mathfrak { p } _ { 0 } ) } \left\langle S _ { \mathfrak { p } _ { 0 } } \Sigma \Pi _ { \mathfrak { p } _ { 0 } } \boldsymbol { \lambda } , v \right\rangle = J _ { \boldsymbol { \lambda } } ( \mathfrak { p } _ { 0 } ; v ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \underset { ( x , t , w ) \in \mathbb { R } ^ { n } \times \mathbb { R } \times \mathbb { R } ^ { l } } { \mathrm { m i n } } } & { \left\{ t + \sum _ { i = 1 } ^ { l } \left( w _ { i } \right) _ { + } + \| D x \| _ { 1 } + \delta _ { \mathcal { K } } ( x ) \right\} , } \\ { \textnormal { s . t . } \qquad \ \ } & { \ \frac { 1 } { l \alpha } \left( - \xi _ { i } ^ { \top } x - t \right) - w _ { i } = 0 , \quad i = 1 , \ldots , l , } \\ & { \ A x = b . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lVert u ( t _ { n + 1 } ) - u ^ { n + 1 } \rVert _ { r } } & { \leq \lVert u ( t _ { n + 1 } ) - \Psi _ { 1 } ^ { \tau } ( u ( t _ { n } ) ) \rVert _ { r } + \lVert \Psi _ { 1 } ^ { \tau } ( u ( t _ { n } ) ) - \Psi _ { 1 } ^ { \tau } ( u ^ { n } ) \rVert _ { r } } \\ & { \leq L \tau ^ { 2 } + \lVert \Psi _ { 1 } ^ { \tau } ( u ( t _ { n } ) ) - \Psi _ { 1 } ^ { \tau } ( u ^ { n } ) \rVert _ { r } } \\ & { \leq L \tau ^ { 2 } + \mathrm { e } ^ { \tau M } \lVert u ( t _ { n } ) - u ^ { n } \rVert _ { r } , } \end{array}
\sum _ { y _ { 2 } = 0 } ^ { 1 } \sum _ { y _ { 1 } = 0 } ^ { 1 } \phi _ { x _ { 1 } } ( y _ { 1 } , y _ { 2 } , x _ { 2 } ) \operatorname* { P r } ( Y _ { i 2 } = y _ { 2 } \, | \, X _ { i 2 } = x _ { 2 } , \alpha _ { i } = \alpha ; \theta ) \operatorname* { P r } ( Y _ { i 1 } = y _ { 1 } \, | \, X _ { i 1 } = x _ { 1 } , \alpha _ { i } = \alpha ; \theta ) = 0 ,
\begin{array} { r l } { { \bf v } _ { g } } & { = \frac { \displaystyle \frac { { \bf k } ^ { \prime } } { \mu \omega } + i \, \frac { \omega \epsilon ^ { \prime \prime } \, \hat { { \bf k } } } { 2 k ^ { \prime } } } { \displaystyle \left( \epsilon ^ { \prime } + \frac { \omega } { 2 } \frac { \partial \epsilon ^ { \prime } } { \partial \omega } \right) + i \left( \epsilon ^ { \prime \prime } + \frac { \omega } { 2 } \frac { \partial \epsilon ^ { \prime \prime } } { \partial \omega } \right) } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left. \frac { d } { d t } p \circ _ { \left( t \right) } q \right\vert _ { t = t _ { 0 } } } & { = } & { \left. \frac { d } { d t } p \circ _ { A _ { 0 } } \left( q \circ _ { A _ { 0 } } \left( A \left( t \right) / A _ { 0 } \right) \right) \right\vert _ { t = 0 } } \\ & { } & { - \left. \frac { d } { d t } \left( p \circ _ { A _ { 0 } } q \right) \circ _ { A _ { 0 } } \left( A \left( t \right) / A _ { 0 } \right) \right\vert _ { t = 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { y y } } & { : = \operatorname* { s u p } _ { y \in \mathrm { B } ( y _ { 0 } , R _ { 1 } ) } \left\Vert D _ { y } ^ { 2 } f ( y , x _ { 0 } ) \right\Vert , } \\ { K _ { x x } } & { : = \operatorname* { s u p } _ { ( y , x ) \in \mathrm { B } ( ( y _ { 0 } , x _ { 0 } ) , R _ { 2 } ) } \left\Vert D _ { x } ^ { 2 } f ( y , x ) \right\Vert , } \\ { K _ { x y } } & { : = \operatorname* { s u p } _ { ( y , x ) \in \mathrm { B } ( ( y _ { 0 } , x _ { 0 } ) , R _ { 2 } ) } \left\Vert D _ { x } D _ { y } f ( y , x ) \right\Vert . } \end{array}
\int _ { S } ( x - y + 3 z ) \sigma = \int _ { \Omega } \mathbf { g } ^ { * } \left( ( x - y + 3 z ) \sigma \right) = \int _ { \Omega } \left( \left( u - v + \frac { 3 } { 2 } ( 4 - u - 2 v ) \right) \left( \frac { 3 } { 2 } \right) \right) d u d v = \int _ { u = 0 } ^ { u = 4 } \left( \int _ { v = 0 } ^ { v = 4 } \left( - \frac { 3 } { 4 } u - 6 v + 9 \right) d v \right) d u = \int _ { u = 0 } ^ { u = 4 } \left( 6 - \frac { 3 } { 8 } u ^ { 2 } \right) d u = 1 6 .
\begin{array} { r l } & { \langle P _ { h } ( \mathcal { F } ( u _ { s } ^ { G _ { 1 } , h } ) - \mathcal { F } ( u _ { s } ^ { G _ { 2 } , h } ) ) , u _ { s } ^ { G _ { 1 } , h } - u _ { s } ^ { G _ { 2 } , h } \rangle _ { H } } \\ & { = \langle \mathcal { F } ( u _ { s } ^ { G _ { 1 } , h } ) - \mathcal { F } ( u _ { s } ^ { G _ { 2 } , h } ) , u _ { s } ^ { G _ { 1 } , h } - u _ { s } ^ { G _ { 2 } , h } \rangle _ { H } } \\ & { \leq C | | u _ { s } ^ { G _ { 1 } , h } - u _ { s } ^ { G _ { 2 } , h } | | _ { H } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } ( | V _ { n } ( x ) | ^ { 2 + \delta } ) } & { \leq \mathrm { ( c o n s t . ) } \mathrm { E } ( | \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z ) ) | ^ { 2 + \delta } ) , } \\ { \mathrm { E } ( ( V _ { n } ( x ) ) ^ { 2 } ) } & { \geq \mathrm { ( c o n s t . ) } \mathrm { E } ( ( \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z ) ) ) ^ { 2 } ) \rightarrow \infty , } \\ { \mathrm { E } ( V _ { n } ( x ) ) } & { = \mathrm { E } ( \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z ) ) ( m ( X ) - m ( x ) ) ) = o ( 1 ) , } \end{array}
\boldsymbol f ^ { 0 } , L _ { j } ^ { 0 } , \Lambda _ { k } ^ { 0 } \; \rightarrow \; \vec { f } _ { \pm , j } ^ { ( 1 ) } \; \rightarrow \; \Lambda _ { k } ^ { ( 1 ) } \; \rightarrow \; L _ { j } ^ { ( 1 ) } \; \rightarrow \; \vec { f } _ { \pm , j } ^ { ( 2 ) } \; \rightarrow \; \Lambda _ { k } ^ { ( 2 ) } \; \rightarrow \; L _ { j } ^ { ( 2 ) } \; \rightarrow \; \ldots
\begin{array} { r l } { \int _ { \Gamma _ { H } } 2 \Re ( \mathcal { T } u \cdot \partial _ { 2 } \bar { u } ) - \mathcal { E } ( u , \bar { u } ) + \omega ^ { 2 } | u | ^ { 2 } \, \mathrm { d } s } & { \le 2 k _ { s } \| g \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { H } ) ^ { 2 } } \| u \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { H } ) ^ { 2 } } } \\ & { \le C ( H - m ) k _ { s } \| g \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { H } ) ^ { 2 } } \| \partial _ { 2 } u \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { H } ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mu _ { 4 5 } ( m _ { 2 } , m _ { 3 } , m _ { 4 } , m _ { 5 } ) , \; \mu _ { 8 4 } ( m _ { 1 } , m _ { 2 } , m _ { 3 } , m _ { 4 } , m _ { 5 } ) , \; \mu _ { 8 8 } ( m _ { 2 } , m _ { 3 } , m _ { 4 } , m _ { 5 } ) , \; } \\ & { \mu _ { 1 1 1 } ( m _ { 2 } , m _ { 3 } , m _ { 4 } , m _ { 5 } ) , \; \mu _ { 2 2 1 } ( m _ { 1 } , m _ { 2 } , m _ { 3 } , m _ { 4 } , m _ { 5 } ) , \; \mu _ { 3 7 4 } ( m _ { 1 } , m _ { 2 } , m _ { 3 } , m _ { 4 } , m _ { 5 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { C _ { 1 } ( \xi ) = \frac { a _ { 2 } e ^ { - \frac { \xi ^ { 2 } \left( \kappa _ { 1 } + \kappa _ { 3 } \right) } { 8 \kappa _ { 1 } \kappa _ { 3 } } } } { \sqrt { a _ { 1 } e ^ { \frac { 1 } { 4 } \xi ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { \kappa _ { 1 } } - \frac { 1 } { \kappa _ { 2 } } \right) } + 1 } } , \quad C _ { 2 } ( \xi ) = \frac { \sqrt { a _ { 1 } } a _ { 2 } e ^ { - \frac { 1 } { 8 } \xi ^ { 2 } \left( \frac { 2 } { \kappa _ { 2 } } + \frac { 1 } { \kappa _ { 3 } } - \frac { 1 } { \kappa _ { 1 } } \right) } } { \sqrt { e ^ { \frac { 1 } { 4 } \xi ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { \kappa _ { 1 } } - \frac { 1 } { \kappa _ { 2 } } \right) } + 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { d _ { n - 1 } + e _ { n - 2 } \beta _ { n - 2 } - \frac { e _ { n - 2 } \gamma _ { n - 2 } } { e _ { n - 3 } } d _ { n - 2 } = 0 , ~ n \geq 3 , ~ d _ { 1 } + e _ { 0 } \beta _ { 0 } = 0 , } \\ & { \sigma _ { n - 1 } + \tau _ { n - 2 } b _ { n - 2 } - \frac { e _ { n - 2 } \gamma _ { n - 2 } } { e _ { n - 3 } } \sigma _ { n - 2 } = 0 , ~ n \geq 3 , ~ \sigma _ { 1 } + \tau _ { 0 } b _ { 0 } = 0 , } \end{array}
\sum _ { \substack { 0 \le N < q _ { K } \, | b _ { k } ( N ) - a _ { k + 1 } / 2 | > \operatorname* { m a x } \{ 1 0 , 1 0 / \sqrt { p } \} \sqrt { a _ { k + 1 } \log a _ { k + 1 } } } } e ^ { p S _ { N } ( \alpha ) } \le ( a _ { k + 1 } + 1 ) a _ { k + 1 } ^ { - 4 9 . 9 \operatorname* { m a x } \{ p , 1 \} } Z \le a _ { k + 1 } ^ { - 4 8 \operatorname* { m a x } \{ p , 1 \} } Z .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { K ^ { n + 1 } - K ^ { n } } & { = \sum _ { p } q _ { p } \sum _ { \nu \in n } { \Delta \tau _ { p } ^ { \nu } } { v } _ { z , p } ^ { \nu + 1 / 2 } ( E _ { \xi } / J _ { \xi } ) _ { p } ^ { \nu + 1 / 2 } } \\ & { = \sum _ { p } q _ { p } \sum _ { \nu \in n } { \Delta \tau _ { p } ^ { \nu } } ( v _ { z } / J _ { \xi } ) _ { p } ^ { \nu + 1 / 2 } \sum _ { i } E _ { \xi , i + 1 / 2 } ^ { n + 1 / 2 } \left\langle \overline { { { S } } } \left( { \xi } _ { i + 1 / 2 } - { \xi } _ { p } ^ { s + 1 / 2 } \right) \right\rangle _ { p } ^ { \nu } } \\ & { = \sum _ { i } E _ { \xi , i + 1 / 2 } ^ { n + 1 / 2 } ( J j ^ { \xi } ) _ { i + 1 / 2 } ^ { n + 1 / 2 } \Delta t } \\ & { = - \sum _ { i } ( \partial _ { \xi } \phi ^ { n + 1 / 2 } ) _ { i + 1 / 2 } ( J j ^ { \xi } ) _ { i + 1 / 2 } ^ { n + 1 / 2 } \Delta t } \\ & { = \sum _ { i } \phi _ { i } ^ { n + 1 / 2 } ( \partial _ { \xi } J j ^ { \xi } ) _ { i } ^ { n + 1 / 2 } \Delta t } \\ & { = \sum _ { i } \phi _ { i } ^ { n + 1 / 2 } \epsilon _ { 0 } \frac { ( \nabla _ { \xi } ^ { 2 } \phi ^ { n + 1 } ) _ { i } - ( \nabla _ { \xi } ^ { 2 } \phi ^ { n } ) _ { i } } { \Delta t } \Delta t } \\ & { = - \frac { \epsilon _ { 0 } } { 2 } \sum _ { i } \left[ \phi _ { i } ^ { n + 1 } ( \nabla _ { \xi } ^ { 2 } \phi ^ { n + 1 } ) _ { i } - \phi _ { i } ^ { n } ( \nabla _ { \xi } ^ { 2 } \phi ^ { n } ) _ { i } \right] } \\ & { = - \frac { \epsilon _ { 0 } } { 2 } \sum _ { i } \left[ \left( \frac { J ^ { B } } { J _ { \xi } } \right) _ { i + 1 / 2 } \left( J _ { \xi } { E _ { z } } ^ { n + 1 } \right) _ { i + 1 / 2 } ^ { 2 } - \left( \frac { J ^ { B } } { J _ { \xi } } \right) _ { i + 1 / 2 } \left( J _ { \xi } { E _ { z } } ^ { n } \right) _ { i + 1 / 2 } ^ { 2 } \right] } \\ & { = - \frac { \epsilon _ { 0 } } { 2 } \sum _ { i } \left[ \left( { E } _ { z , i + 1 / 2 } ^ { n + 1 } \right) ^ { 2 } - \left( { E } _ { z , i + 1 / 2 } ^ { n } \right) ^ { 2 } \right] J _ { i + 1 / 2 } } \\ & { = - \left( W _ { E } ^ { n + 1 } - W _ { E } ^ { n } \right) , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \langle R ^ { 4 } ( s ) \rangle \approx 6 0 D ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x _ { s } \tilde { s } _ { a } ^ { 2 } [ s , x _ { s } ] { \cal W } _ { a } ( x _ { s } | s ) + 6 0 D ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d T \int _ { 0 } ^ { m i n [ 1 , s / T ] } d q \tilde { s } _ { b } ^ { 2 } [ s , T , q ] { \cal W } _ { b } ( T , q | s ) + } \\ & { } & { + 6 0 D ^ { 2 } \int _ { s } ^ { \infty } d T \int _ { s / T } ^ { 1 } d q \tilde { s } _ { c } ^ { 2 } [ s , T , q ] { \cal W } _ { c } ( T , q | s ) = } \\ & { } & { = 6 0 ( D s ) ^ { 2 } \left( 1 + \frac { \lambda } { g } \frac { s ^ { 2 } } { \lambda } \left[ \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \rho _ { l } ( x s ) ( - \frac { 3 } { 5 } x ^ { 3 } + \frac { 5 } { 3 } x ^ { 2 } - 2 x ) + \int _ { 1 } ^ { + \infty } d x \rho _ { l } ( x s ) ( - \frac { 3 } { 5 x ^ { 2 } } + \frac { 5 } { 3 x } - 2 ) \right] \right) = } \\ & { } & { = 6 0 ( D s ) ^ { 2 } \left( 1 + \frac { \lambda } { g } f _ { 4 } ( \frac { s } { \lambda } ) \right) , } \end{array}
G _ { \Omega } ^ { s } ( x , y ) = \sum _ { j = 0 } ^ { k } ( - 1 ) ^ { j } \sum _ { \mathcal { R } _ { j } } \Gamma _ { s } ( x , \mathcal { R } _ { j } y ) - \sum _ { j = 0 } ^ { k } ( - 1 ) ^ { j } \sum _ { \mathcal { R } _ { j } } \Gamma _ { s } \left( \frac { | y | } { R } x , \frac { | y | } { R } \mathcal { R } _ { j } y ^ { R } \right) , \qquad \mathrm { i f } \, \, \Omega = \mathcal { C } _ { 0 , \Sigma _ { k } } ^ { R } ;
\mathbf { \Sigma } _ { k , ( 2 ) } = \sum _ { l = 1 } ^ { K } { \mathbf { A } _ { k } ^ { H } \mathbb { E } \{ \mathbf { G } _ { k l } \mathbf { \bar { F } } _ { l , \mathrm { u } } \mathbf { G } _ { k l } ^ { H } \} \mathbf { A } _ { k } } - \mathbf { D } _ { k , ( 2 ) } \mathbf { D } _ { k , ( 2 ) } ^ { H } + \sigma ^ { 2 } \mathbf { A } _ { k } ^ { H } \mathbf { S } _ { k } \mathbf { A } _ { k }
\begin{array} { r } { \mathcal { S } _ { 0 , 4 } ^ { \ast } ( \xi ) = \mathcal { S } _ { 0 , 3 } ^ { \ast } ( \alpha _ { s } ( \xi , \overline { { \xi } } ) , 1 , 1 ) + \mathcal { S } _ { 0 , 3 } ^ { \ast } ( 1 , 1 , \alpha _ { s } ( \xi , \overline { { \xi } } ) ) - 2 f _ { \alpha _ { s } ^ { 2 } ( \xi , \overline { { \xi } } ) } \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } \end{array} \right] ( \xi ) - 2 \overline { { f _ { \alpha _ { s } ^ { 2 } ( \xi , \overline { { \xi } } ) } } } \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } \end{array} \right] ( \overline { { \xi } } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \xi \alpha _ { k } \mathbb { E } [ \| \nabla F ( x _ { k } ) \| ^ { 2 } ] } & { \le O _ { \texttt { P } } ( 1 ) \cdot \sum _ { k } \xi \alpha _ { k } \lambda _ { k } ^ { - 2 } + O _ { \texttt { P } } ( \sigma _ { f } ^ { 2 } ) \cdot \sum _ { k } \alpha _ { k } ^ { 2 } \lambda _ { k } + O _ { \texttt { P } } ( \sigma _ { g } ^ { 2 } ) \cdot \sum _ { k } \gamma _ { k } ^ { 2 } \lambda _ { k } + O _ { \texttt { P } } ( 1 ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \mathcal { F } } ^ { - 1 } \{ S ( f ) \} } & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left( \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } S [ n ] \cdot \delta \left( f - { \frac { n } { P } } \right) \right) e ^ { i 2 \pi f x } \, d f , } \\ & { = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } S [ n ] \cdot \int _ { - \infty } ^ { \infty } \delta \left( f - { \frac { n } { P } } \right) e ^ { i 2 \pi f x } \, d f , } \\ & { = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } S [ n ] \cdot e ^ { i 2 \pi { \frac { n } { P } } x } \ \ \triangleq \ s _ { \infty } ( x ) . } \end{array} }
\gamma _ { j i } ^ { c } = \left\{ \begin{array} { c c l } { \displaystyle \frac { g _ { \varepsilon } ( n _ { j } + 1 ) - g _ { \varepsilon } ( n _ { i } + 1 ) } { \frac { 1 } { n _ { i } + 1 } - \frac { 1 } { n _ { j } + 1 } } } & { \mathrm { ~ i f ~ } } & { n _ { j } \not = n _ { i } , } \\ { \left[ n _ { i } \right] _ { + } + 1 } & { \mathrm { ~ i f ~ } } & { n _ { j } = n _ { i } . } \end{array} \right.
\operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \downarrow 0 } \frac { \log N _ { U } ( \varepsilon , \mathfrak { F } _ { \gamma } ) } { \varepsilon ^ { - V } } < \infty , \qquad \mathbb { E } [ \bar { F } _ { \gamma } ( \mathbf { Z } ) ^ { 2 } ] < \infty , \qquad \operatorname* { l i m s u p } _ { \delta \downarrow 0 } \frac { \mathbb { E } [ \bar { D } _ { \gamma } ^ { \delta } ( \mathbf { Z } ) ^ { 2 } + \bar { D } _ { \gamma } ^ { \delta } ( \mathbf { Z } ) ^ { 4 } ] } { \delta } < \infty .
\overline { { M } } ^ { \mathrm { P E L } } \simeq \prod _ { v | p } \prod _ { \tau \in \Sigma _ { v } ^ { \mathrm { n r } } } \mathrm { G r } _ { \leq ( e _ { v } , 0 ) } , \ \ \ \ \ \ \overline { { M } } ^ { \mathrm { P R } } \simeq \prod _ { v | p } \prod _ { \tau \in \Sigma _ { v } ^ { \mathrm { n r } } } \widetilde { \mathrm { G r } } _ { ( e _ { v } , 0 ) }
W _ { 2 } ^ { 2 } \big ( \nu ^ { m , t } , \exp ( \nabla h _ { \delta } ^ { n , t } ) _ { \# } \mu ^ { n , t } \big ) \lesssim \big ( \| \rho _ { \delta } - \rho \| _ { \mathrm { L } ^ { 2 ( \frac { \bar { q } } { 2 } ) ^ { \prime } } } ^ { 2 } + \| \rho _ { t } - \rho \| _ { \mathrm { L } ^ { 2 ( \frac { \bar { q } } { 2 } ) ^ { \prime } } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { \log ^ { \upsilon } ( n ) } \big ) \| \nabla h _ { \delta } ^ { n , t } \| _ { \mathrm { L } ^ { \bar { q } } } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } & { \mathbf { E } \left[ \prod _ { k = 1 } ^ { 3 } \left( f ( G _ { i _ { k } } , \hat { G } _ { j _ { k } } ) - \mathbf { E } [ f ( G _ { i _ { k } } , \hat { G } _ { j _ { k } } ) ] \right) \right] } \\ { = } & { \mathbf { E } \left[ f ( G _ { i _ { 1 } } , \hat { G } _ { j _ { 1 } } ) - \mathbf { E } [ f ( G _ { i _ { 1 } } , \hat { G } _ { j _ { 1 } } ) ] \right] \mathbf { E } \left[ \prod _ { k = 2 } ^ { 3 } \left( f ( G _ { i _ { k } } , \hat { G } _ { j _ { k } } ) - \mathbf { E } [ f ( G _ { i _ { k } } , \hat { G } _ { j _ { k } } ) ] \right) \right] = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ \phi , f ] } & { = \mathcal { P } _ { x y } [ \phi , f ] _ { x y } + \mathcal { P } _ { y z } [ \phi , f ] _ { y z } + \mathcal { P } _ { z x } [ \phi , f ] _ { z x } , } \\ { \nabla _ { \parallel } f } & { = \mathcal { D } ^ { x } \frac { \partial f } { \partial x } + \mathcal { D } ^ { y } \frac { \partial f } { \partial y } + \mathcal { D } ^ { z } \frac { \partial f } { \partial z } , } \\ { \mathcal { C } ( f ) } & { = C ^ { x } \frac { \partial f } { \partial x } + C ^ { y } \frac { \partial f } { \partial y } + \mathcal { C } ^ { z } \frac { \partial f } { \partial z } , } \\ { \nabla _ { \perp } ^ { 2 } f } & { = \mathcal { N } ^ { x } \frac { \partial f } { \partial x } + \mathcal { N } ^ { y } \frac { \partial f } { \partial y } + \mathcal { N } ^ { z } \frac { \partial f } { \partial z } + \mathcal { N } ^ { x x } \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x ^ { 2 } } + \mathcal { N } ^ { x y } \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x \partial y } } \\ & { + \mathcal { N } ^ { y y } \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial y ^ { 2 } } + \mathcal { N } ^ { x z } \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x \partial z } + \mathcal { N } ^ { y z } \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial y \partial z } + \mathcal { N } ^ { z z } \frac { \partial ^ { f } } { \partial z ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \{ | u _ { \varepsilon } | \geq 1 \} \cap \Omega _ { i } ^ { \prime } } W ^ { \prime } ( u _ { \varepsilon } ) ^ { 2 } \leq C \varepsilon ^ { 2 } \int _ { \Omega _ { i - 1 } ^ { \prime } } | f _ { \varepsilon } | ^ { 2 } + C k ^ { 2 } r ^ { - 2 } \varepsilon ^ { 2 } \int _ { \{ | u _ { \varepsilon } | \geq 1 \} \cap \Omega _ { i - 1 } ^ { \prime } } W ^ { \prime } ( u _ { \varepsilon } ) ^ { 2 } , } \end{array}
I ( x , y , \vartheta , \Phi _ { + } , \omega , U ) = \prod _ { i = 1 } ^ { K } \mathbb { I } \left[ 1 - \mathbb { I } \left[ U _ { i } < \frac { \phi ^ { + } ( \vartheta ) - \phi ^ { - } ( \vartheta ) } { \phi ^ { + } } \right] \frac { \phi ( \omega _ { t _ { i } } ; \vartheta ) - \phi ^ { - } ( \vartheta ) } { \phi ^ { + } ( \vartheta ) - \phi ^ { - } ( \vartheta ) } \leq \psi _ { i } \right] .
{ \begin{array} { r l } { \left[ z ( t ) , p _ { z } ( t ) \right] } & { = \left[ U ^ { \dagger } ( t ) z ( 0 ) U ( t ) , U ^ { \dagger } ( t ) p _ { z } ( 0 ) U ( t ) \right] } \\ & { = U ^ { \dagger } ( t ) \left[ z ( 0 ) , p _ { z } ( 0 ) \right] U ( t ) } \\ & { = i \hbar U ^ { \dagger } ( t ) U ( t ) } \\ & { = i \hbar } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \tilde { E } _ { i } } & { = } & { E _ { i } - \frac { 1 } { e } \left[ \lambda _ { i \beta } ^ { 2 } \partial _ { 0 } - \lambda _ { 0 \beta } ^ { 2 } \partial _ { i } \right] j ^ { \beta } \, , } \\ { \tilde { B } _ { i } } & { = } & { B _ { i } - \frac { 1 } { 2 e } \epsilon _ { i j k } \left[ \lambda _ { j \beta } ^ { 2 } \partial _ { k } - \lambda _ { k \beta } ^ { 2 } \partial _ { j } \right] j ^ { \beta } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \xi _ { 1 } = \omega _ { 3 , 1 } ( t ) + x \omega _ { 1 , 1 } + y \omega _ { 2 , 1 } , } \\ & { } & { \xi _ { 2 } = \omega _ { 3 , 2 } ( t ) + x \omega _ { 1 , 2 } + y \omega _ { 2 , 2 } , } \\ & { } & { \xi _ { 3 } = \omega _ { 1 , 3 } F _ { 1 } \left( \xi _ { 1 } \right) + \omega _ { 2 , 3 } F _ { 2 } \left( \xi _ { 2 } \right) + \omega _ { 3 , 3 } ( t ) , } \\ & { } & { \xi _ { 4 } = \omega _ { 1 , 4 } F _ { 1 } \left( \xi _ { 1 } \right) + \omega _ { 2 , 4 } F _ { 2 } \left( \xi _ { 2 } \right) + \omega _ { 3 , 4 } ( t ) , } \\ & { } & { \xi = \omega _ { 1 , 5 } F _ { 3 } \left( \xi _ { 3 } \right) + \omega _ { 2 , 5 } F _ { 4 } \left( \xi _ { 4 } \right) + \omega _ { 3 , 5 } ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \boldsymbol { b } _ { \perp } = } & { v _ { \mathrm { A } } \partial _ { z } \boldsymbol { u } _ { \perp } + \nabla _ { \perp } \times ( \boldsymbol { u } _ { \perp } \times \boldsymbol { b } _ { \perp } ) } \\ & { - \frac { c _ { s } ^ { 2 } } { \Omega _ { i } } \hat { \boldsymbol { z } } \times \nabla _ { \perp } \left[ v _ { \mathrm { A } } \partial _ { z } \tilde { n } + \boldsymbol { b } _ { \perp } \cdot \nabla _ { \perp } \tilde { n } \right] } \\ & { - d _ { e } ^ { 2 } \frac { c _ { s } ^ { 2 } } { \Omega _ { i } } \hat { \boldsymbol { z } } \times \nabla _ { \perp } [ \hat { \boldsymbol { z } } \times \nabla _ { \perp } \tilde { n } \cdot \nabla _ { \perp } \nabla _ { \perp } \times \boldsymbol { b } _ { \perp } ] } \\ & { + d _ { e } ^ { 2 } \hat { \boldsymbol { z } } \times \nabla _ { \perp } \mathrm { d } _ { t } \nabla _ { \perp } \times \boldsymbol { b } _ { \perp } + \eta \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \boldsymbol { b } _ { \perp } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta ^ { ( 2 ) } ( \mathbf x ) } & { = } & { \frac { \displaystyle \prod _ { 1 \leq i < j \leq 3 } ( q ^ { 2 } \mathbf x ^ { - \alpha _ { i } - \alpha _ { j } } ; q ^ { 2 } ) _ { \infty } } { \displaystyle ( { q ^ { 2 } } { t ^ { - 1 } } \mathbf x ^ { - \alpha _ { 1 } - \alpha _ { 2 } - \alpha _ { 3 } } ; q ^ { 2 } ) _ { \infty } \prod _ { i = 1 } ^ { 3 } ( { q ^ { 2 } } { t ^ { - 1 } } \mathbf x ^ { - \alpha _ { i } } ; q ^ { 2 } ) _ { \infty } } } \\ & { = } & { \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \displaystyle 1 - \frac { q ^ { 2 n } } { t \, x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 3 } } } \prod _ { i = 1 } ^ { 3 } \frac { \displaystyle 1 - \frac { q ^ { 2 n } } { x _ { i } ^ { 2 } } } { \displaystyle 1 - \frac { q ^ { 2 n } } { t } \frac { x _ { i } ^ { 2 } } { x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 3 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { j _ { \| } \tilde { n } _ { \perp } } ^ { R } } & { = ( - ) ^ { p q } G _ { \tilde { n } _ { \perp } j _ { \| } } ^ { R } + ( - ) ^ { p } \tilde { c } _ { \phi } \frac { * k } { | k | } , } \\ { G _ { j _ { \perp } \tilde { n } _ { \| } } ^ { R } } & { = ( - ) ^ { p q + p + q + 1 } G _ { \tilde { n } _ { \| } j _ { \perp } } ^ { R } + \tilde { c } _ { \phi } \frac { * k } { k } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { + \infty } x ^ { 2 } g ( x ) \ d x \ = \ } & { \frac { 1 } { g _ { N } } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \sigma } I \ } \\ { \ = \ } & { \sigma ^ { 2 } + Q ^ { 2 } + \frac { 1 } { g _ { N } } \frac { \sigma Q } { \sqrt { 2 \pi } } e ^ { - \frac { Q ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } } \\ { \ = \ } & { \sigma ^ { 2 } + Q ^ { 2 } + \kappa Q } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { i , j } = \langle \phi _ { i } , \phi _ { j } \rangle _ { L ^ { 2 } ( \rho _ { P } ) } } & { = \frac { 1 } { \lambda _ { j } } \langle \phi _ { i } , \mathcal { A } \phi _ { j } \rangle _ { L ^ { 2 } ( \rho _ { P } ) } } \\ & { = \frac { 1 } { \lambda _ { j } } \langle \phi _ { i } ^ { \prime } , \phi _ { j } ^ { \prime } \rangle _ { L ^ { 2 } ( \rho _ { P } ) } } \\ & { = \frac { 1 } { \lambda _ { j } } \langle \phi _ { i } , \phi _ { j } \rangle _ { \mathsf { H } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Tilde { Z } _ { N } \left( t _ { k } ^ { + } , t _ { k } ^ { - } \right) } & { \equiv \int _ { U ( N ) } { \mathrm { d } } U \; \exp \left[ \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \left( \frac { t _ { k } ^ { + } } { k } { \mathrm { T r } } \left( U ^ { k } \right) + \frac { t _ { k } ^ { - } } { k } { \mathrm { T r } } { \left( U ^ { - k } \right) } \right) \right] , } \\ { Z _ { N } \left( g _ { k } \right) } & { \equiv \int _ { U ( N ) } { \mathrm { d } } U \; \exp \left[ \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { g _ { k } } { k } { \mathrm { T r } } \left( U ^ { k } \right) { \mathrm { T r } } \left( U ^ { - k } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { \mathrm { e f } } } & { \approx \pi r _ { 2 } ^ { 2 } \mu _ { 0 } \frac { n I _ { 0 } } { 2 \sqrt { 2 } l } \omega _ { 0 } \Bigg ( 2 + \frac { 1 } { 2 } \Big ( \frac { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } { c _ { 3 } } \Big ) ^ { 2 } \Big [ \Big ( \frac { c _ { 3 } r _ { 1 } ^ { 2 } } { c _ { 1 } } \Big ) ^ { 2 } + \Big ( \frac { c _ { 3 } } { c _ { 2 } } \Big ) ^ { 2 } ( r _ { 2 } ^ { 4 } - r _ { 1 } ^ { 4 } ) + 2 r _ { 2 } ^ { 4 } \Big ( \log \Big ( \frac { 2 c _ { 3 } } { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } \Big ) - \gamma _ { E u l e r } \Big ) \Big ] } \\ & { + \frac { ( \mu _ { 0 } \alpha _ { 0 } \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 \pi ^ { 2 } r _ { 2 } ^ { 2 } } \big [ r _ { 1 } ^ { 4 } \left( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } \right) ^ { 2 } + 2 r _ { 1 } ^ { 3 } r _ { 2 } \left( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } \right) \left( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } \right) + r _ { 2 } ^ { 4 } \left( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } \right) ^ { 2 } \big ] \Bigg ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { G } & { = 3 \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { 2 ^ { 4 n } } } \left( - { \frac { 1 } { 2 ( 8 n + 2 ) ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { 2 ^ { 2 } ( 8 n + 3 ) ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { 2 ^ { 3 } ( 8 n + 5 ) ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { 2 ^ { 3 } ( 8 n + 6 ) ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { 2 ^ { 4 } ( 8 n + 7 ) ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { 2 ( 8 n + 1 ) ^ { 2 } } } \right) - } \\ & { \qquad - 2 \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { 2 ^ { 1 2 n } } } \left( { \frac { 1 } { 2 ^ { 4 } ( 8 n + 2 ) ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { 2 ^ { 6 } ( 8 n + 3 ) ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { 2 ^ { 9 } ( 8 n + 5 ) ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { 2 ^ { 1 0 } ( 8 n + 6 ) ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { 2 ^ { 1 2 } ( 8 n + 7 ) ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { 2 ^ { 3 } ( 8 n + 1 ) ^ { 2 } } } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \mathbf { G } _ { 1 } ^ { \mathrm { t r } } [ C + H ] ( s , t , s ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) - \mathbf { G } _ { 1 } ^ { \mathrm { t r } } [ C ] ( s , t , s ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) - D _ { C } \mathbf { G } _ { 1 } ^ { \mathrm { t r } } [ H ] ( s , t , s ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) } \\ { = } & { \frac { - \left( \int _ { K _ { 2 } } H ( s , w , s ^ { \prime } , w ) d w \right) \, \left( \int _ { K _ { 1 } \times K _ { 2 } } H ( u , w , u , w ) d u \, d w \right) } { \left( \int _ { K _ { 1 } \times K _ { 2 } } ( C + H ) ( u , w , u , w ) d u \, d w \right) \, \left( \int _ { K _ { 1 } \times K _ { 2 } } C ( u , w , u , w ) d u \, d w \right) } } \\ { + } & { \frac { \left( \int _ { K _ { 1 } \times K _ { 2 } } H ( u , w , u , w ) d u \, d w \right) ^ { 2 } \, \int _ { K _ { 2 } } C ( s , w , s ^ { \prime } , w ) d w } { \left( \int _ { K _ { 1 } \times K _ { 2 } } ( C + H ) ( u , w , u , w ) d u \, d w \right) \, \left( \int _ { K _ { 1 } \times K _ { 2 } } C ( u , w , u , w ) d u \, d w \right) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | S _ { a } ( n ; m _ { 1 } , \dots , m _ { r } ) n } & { \le \frac { q } { q - 1 } \sum _ { d = 1 } ^ { n } \sum _ { b \in \mathbf { F } _ { q } ^ { \times } } \sum _ { j = 1 } ^ { r } q ^ { d - 1 } | S _ { a / b } ( n - d ; ( m _ { i } - \left[ i = j \right] ) _ { i = 1 } ^ { r } ) | } \\ & { = \frac { q } { q - 1 } \sum _ { d = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { r } q ^ { d - 1 } | S ( n - d ; ( m _ { i } - \left[ i = j \right] ) _ { i = 1 } ^ { r } ) | . } \end{array}
\int ( d + e \, x ) ^ { m } \left( a + b \, x + c \, x ^ { 2 } \right) ^ { p } d x = - { \frac { ( d + e \, x ) ^ { m + 1 } ( b + 2 c \, x ) \left( a + b \, x + c \, x ^ { 2 } \right) ^ { p } } { ( m + 1 ) ( 2 c \, d - b \, e ) } } \, + \, { \frac { 2 c ( m + 2 p + 2 ) } { ( m + 1 ) ( 2 c \, d - b \, e ) } } \int ( d + e \, x ) ^ { m + 1 } \left( a + b \, x + c \, x ^ { 2 } \right) ^ { p } d x
\begin{array} { r l } { \iota _ { j } ^ { \ast } f _ { 1 } } & { = ( \iota _ { 1 } \circ \chi _ { \frac { e _ { j } } { e _ { 1 } } } ) ^ { \ast } f _ { 1 } ( x , y ) + k _ { 1 } \epsilon _ { 1 , j } ( \iota _ { 1 } \circ \chi _ { \frac { e _ { j } } { e _ { 1 } } } ) ^ { \ast } y ^ { k _ { 1 } - 1 } + } \\ & { + \sum _ { \ell = 2 } ^ { e _ { 1 } } \frac { k _ { 1 } ! } { ( k _ { 1 } - \ell ) ! \ell ! } \epsilon _ { 1 , j } ^ { \ell } ( \iota _ { 1 } \circ \chi _ { \frac { e _ { j } } { e _ { 1 } } } ) ^ { \ast } y ^ { k _ { 1 } - \ell } + \sum _ { \ell = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { \ell ! } \epsilon _ { 1 , j } ^ { \ell } ( \iota _ { 1 } \circ \chi _ { \frac { e _ { j } } { e _ { 1 } } } ) ^ { \ast } \partial _ { y } ^ { \ell } \delta _ { 1 } ( x , y ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ^ { \mathrm { N O N - D P } } } & { ( \xi _ { 1 } , \ldots , \xi _ { 9 } ) } \\ & { = \sum _ { 0 \leq g ( n _ { 1 } , \ldots , n _ { 8 } ) \leq 7 } C _ { n _ { 1 } , \ldots , n _ { 8 } } \prod _ { k = 1 } ^ { 8 } \left[ \xi _ { k } - \xi _ { k } ^ { ( \mathrm { e q } ) } \right] ^ { n _ { k } } \sum _ { n _ { 9 } = 0 } ^ { n _ { 9 } ^ { \mathrm { m a x } } } F _ { n _ { 9 } } ^ { ( 9 ) } ( \tau ) } \end{array}
\left\| S ( \hat { \Sigma } + \gamma ) ^ { - 1 } \hat { S } ^ { \top } ( I - \Pi _ { \hat { \cal F } } ) f ^ { * } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \rho _ { \mathcal { X } } ) } \leq \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { 1 } { 1 - t } , 1 + t \cdot \frac { M ^ { 2 } + \gamma } { \gamma } \right\} \left\| \Sigma _ { \gamma } ^ { - 1 / 2 } \hat { S } ^ { \top } ( I - \Pi _ { \hat { \cal F } } ) f ^ { * } \right\| .
\begin{array} { r l r } & { } & { \partial _ { t } P _ { 2 } = - v _ { 0 } \left[ \hat { n } ( \theta ) \cdot \partial _ { \vec { r } } + \hat { n } ( \beta ) \cdot \partial _ { \vec { z } } \right] P _ { 2 } - \Gamma \, \partial _ { \theta } \big [ a ( | \vec { r } - \vec { z } | ) \, \mathrm { s i n } ( \beta - \theta ) \, P _ { 2 } \big ] } \\ & { } & { - \Gamma \, \partial _ { \beta } \big [ a ( | \vec { r } - \vec { z } | ) \, \mathrm { s i n } ( \theta - \beta ) \, P _ { 2 } \big ] } \\ & { } & { - ( N - 2 ) \, \Gamma \, \partial _ { \theta } \bigg [ \int d \theta _ { 3 } \int d \vec { r } _ { 3 } \, a ( | \vec { r } _ { 3 } - \vec { r } | ) \, \mathrm { s i n } ( \theta _ { 3 } - \theta ) \, P _ { 3 } ( \vec { r } , \theta , \vec { z } , \beta , \vec { r } _ { 3 } , \theta _ { 3 } , t ) \bigg ] } \\ & { } & { - ( N - 2 ) \, \Gamma \, \partial _ { \beta } \bigg [ \int d \theta _ { 3 } \int d \vec { r } _ { 3 } \, a ( | \vec { r } _ { 3 } - \vec { z } | ) \, \mathrm { s i n } ( \theta _ { 3 } - \beta ) \, P _ { 3 } ( \vec { r } , \theta , \vec { z } , \beta , \vec { r } _ { 3 } , \theta _ { 3 } , t ) \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sqrt { n _ { 1 } } \lambda u _ { 1 } } & { = \sqrt { n _ { 1 } n _ { 2 } } G ( A _ { 0 } ) ( 1 , 2 ) ( \sqrt { n _ { 2 } } u _ { 2 } ) + \cdots } \\ & { \hphantom { \le } \quad \mathrm + \sqrt { n _ { 1 } n _ { K } } G ( A _ { 0 } ) ( 1 , K ) ( \sqrt { n _ { K } } u _ { K } ) , } \\ & { \vdots } \\ { \sqrt { n _ { K } } \lambda u _ { K } } & { = \sqrt { n _ { 1 } n _ { 2 } } G ( A _ { 0 } ) ( K , 1 ) ( \sqrt { n _ { 1 } } u _ { 1 } ) + \cdots } \\ & { \hphantom { \le } \quad \mathrm + \sqrt { n _ { K - 1 } n _ { K } } G ( A _ { 0 } ) ( K , K - 1 ) ( \sqrt { n _ { K - 1 } } u _ { K - 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| T u \| _ { L ^ { 2 } ( A D C ) } ^ { 2 } } & { = m ^ { 2 } \| u \| _ { L ^ { 2 } ( A D C ) } ^ { 2 } + \| \nabla u \| _ { L ^ { 2 } ( A D C ) } ^ { 2 } + m \| \gamma u \| _ { D C } ^ { 2 } + m \| \gamma u \| _ { D A } ^ { 2 } + \int _ { A C } ( - 2 m \Re i \, n _ { 1 _ { A C } } \overline { { u _ { 1 } } } u _ { 2 } } \\ & { - 2 m \Re \, n _ { 2 _ { A C } } \overline { { u _ { 1 } } } u _ { 2 } ) - \Re i n _ { 1 _ { A C } } \int _ { A C } ( \overline { { u _ { 2 } } } \partial _ { 2 } u _ { 2 } - \overline { { u _ { 1 } } } \partial _ { 2 } u _ { 1 } ) + \Re i n _ { 2 _ { A C } } \int _ { A C } ( \overline { { u _ { 2 } } } \partial _ { 1 } u _ { 2 } - \overline { { u _ { 1 } } } \partial _ { 1 } u _ { 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \mathrm { R e g } ( T ) ] } & { \geq \Delta _ { 2 } \frac { \alpha _ { 1 } } { 4 \gamma } \left( 1 - \left( \frac { m \kappa } { \mu _ { 2 } } \right) ^ { 2 \alpha _ { 1 } } \right) \left( \sqrt { T ^ { \prime } } - \frac { 1 } { \sqrt { T ^ { \prime } } } \right) } \\ & { = \mathcal { O } ( \sqrt { T } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { a b c } = \ } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } d y \ \frac { \left( 1 - y ^ { 2 } \right) ^ { a - 1 / 2 } } { y ^ { b - 1 } } \left( \frac { s Z \alpha y } { 1 + s Z \alpha y } \right) ^ { c - 2 \epsilon } } \\ { = \ } & { \frac { 1 } { 2 } ( s Z \alpha ) ^ { c - 2 \epsilon } B \left( a + \frac { 1 } { 2 } , 1 - \frac { b - c } { 2 } - \epsilon \right) } \\ & { \times _ { 3 } F _ { 2 } \left( \frac { c } { 2 } - \epsilon , \frac { c + 1 } { 2 } - \epsilon , 1 - \frac { b - c } { 2 } - \epsilon ; \frac { 1 } { 2 } , a + \frac { 3 - b + c } { 2 } - \epsilon ; ( s Z \alpha ) ^ { 2 } \right) } \\ & { - \frac { c - 2 \epsilon } { 2 } ( s Z \alpha ) ^ { c + 1 - 2 \epsilon } B \left( a + \frac { 1 } { 2 } , \frac { 3 - b + c } { 2 } - \epsilon \right) } \\ & { \times _ { 3 } F _ { 2 } \left( \frac { c } { 2 } + 1 - \epsilon , \frac { c + 1 } { 2 } - \epsilon , \frac { 3 - b + c } { 2 } - \epsilon ; \frac { 3 } { 2 } , a + 2 - \frac { b - c } { 2 } - \epsilon ; ( s Z \alpha ) ^ { 2 } \right) \, , } \end{array}
\| \mathbf { B } _ { ( n ) } \mathbf { B } _ { ( n ) } ^ { \top } - \mathbf { C } _ { n } ^ { \prime } \mathbf { C } _ { n } ^ { \top } \| _ { F } \leq \left( 1 + \sqrt { \frac { I _ { n } ^ { \prime \prime \prime \prime } } { T _ { n } } } + \frac { I _ { n } ^ { \prime \prime \prime \prime } } { \sqrt { T _ { n } } } \sqrt { 8 \log ( 1 / \delta _ { n } ) } \right) \| \mathbf { B } _ { ( n ) } \| _ { F } ^ { 2 }
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m i n f } _ { n \to \infty } \frac { R _ { n } ( x ) } { n } = \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \frac { R _ { n _ { k + 1 } ^ { \prime } + m _ { k } - n _ { k } } ( x ) } { n _ { k + 1 } ^ { \prime } + m _ { k } - n _ { k } } = \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \frac { m _ { k } - n _ { k } } { n _ { k + 1 } + m _ { k } - n _ { k } } = \alpha , } \end{array}
\mathcal { M } ( v ; { \boldsymbol w } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { 0 } , \quad \mathrm { i f } \quad \displaystyle \operatorname* { m a x } _ { n \in \mathcal { N } ( v ) } \phi ( \langle ~ { \boldsymbol w } ~ , ~ { \boldsymbol x } _ { n } ~ \rangle ) \le 0 } \\ { \displaystyle \operatornamewithlimits { a r g m a x } _ { \{ { \boldsymbol x } _ { n } \mid n \in \mathcal { N } ( v ) \} } \phi ( \langle ~ { \boldsymbol w } ~ , ~ { \boldsymbol x } _ { n } ~ \rangle ) , \quad \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } { P _ { \mathcal { F } } } & { = \mathcal { P } ( \Omega _ { \mathcal { F } _ { 1 } } | \Omega _ { \mathcal { F } _ { 0 } } ) \mathcal { P } ( \Omega _ { \mathcal { F } _ { 2 } } | \Omega _ { \mathcal { F } _ { 1 } } ) \cdots \mathcal { P } ( \Omega _ { \mathcal { F } _ { m } } | \Omega _ { \mathcal { F } _ { m - 1 } } ) \mathcal { P } ( \Omega _ { \mathcal { F } } | \Omega _ { \mathcal { F } _ { m } } ) } \\ & { \approx p ^ { m } q = \hat { P } _ { \mathcal { F } } ^ { S S } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { W F R } _ { \delta } : \mathcal { M } ( N ) \times \mathcal { M } ( N ) } & { \to \mathbb { R } ^ { \geq 0 } \mathrm { ~ d e f i n e d ~ v i a ~ } } \\ { ( \mu , \nu ) } & { \mapsto \operatorname* { i n f } _ { ( \gamma _ { 0 } , \gamma _ { 1 } ) \in \Gamma ( \mu , \nu ) } \sqrt { J _ { \delta } ( \mu , \nu ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 1 } ^ { \infty } G ( r / \varepsilon ) ^ { - p } { \mathrm d } r } & { = \varepsilon \int _ { G ( 1 / \varepsilon ) } ^ { \infty } u ^ { - p } ( 2 u \widetilde H ( u ) + u ^ { 2 } \widetilde H ^ { \prime } ( u ) ) { \mathrm d } u } \\ & { \geq \varepsilon \sum _ { n = n _ { 0 } } ^ { \infty } \int _ { c _ { 1 } ( r _ { n } + c _ { 2 } ) } ^ { c _ { 1 } ( 2 r _ { n } + c _ { 2 } ) } u ^ { 1 - p } \widetilde H ( u ) { \mathrm d } u = \varepsilon \sum _ { n = n _ { 0 } } ^ { \infty } H ( r _ { n } ) \int _ { c _ { 1 } ( r _ { n } + c _ { 2 } ) } ^ { c _ { 1 } ( 2 r _ { n } + c _ { 2 } ) } u ^ { 1 - p } { \mathrm d } u } \\ & { = \varepsilon / ( p - 2 ) \sum _ { n = n _ { 0 } } ^ { \infty } r _ { n } ^ { \alpha - \varepsilon / 2 } c _ { 1 } ^ { 2 - p } ( ( r _ { n } - c _ { 2 } ) ^ { 2 - p } - ( 2 r _ { n } - c _ { 2 } ) ^ { 2 - p } ) } \\ & { \geq \varepsilon / ( p - 2 ) \sum _ { n = n _ { 0 } } ^ { \infty } r _ { n } ^ { \alpha - \varepsilon / 2 } ( r _ { n } - c _ { 2 } ) ^ { 2 - p } ( 1 - ( ( 2 r _ { n } - c _ { 2 } ) / ( r _ { n } - c _ { 2 } ) ) ^ { 2 - p } ) } \\ & { \geq \varepsilon ( 1 - 2 ^ { 2 - p } ) / ( p - 2 ) \sum _ { n = n _ { 0 } } ^ { \infty } ( r _ { n } - c _ { 2 } ) ^ { 2 - p + \alpha - \varepsilon / 2 } = \infty , } \end{array}
\boxed { \mathring { A } ^ { { w , w ^ { \prime } } } : = A - \sum _ { \tau = \pm } \mathbf { 1 } _ { \delta } ^ { \tau \mathfrak { s } } ( w , w ^ { \prime } ) \frac { \langle M ( \mathrm { R e } \, w + \mathrm { i } \mathrm { I m } \, w ) A M ( \mathrm { R e } \, w ^ { \prime } + \tau \mathrm { i } \mathrm { I m } \, w ^ { \prime } ) E _ { \tau \mathfrak { s } } \rangle } { \langle M ( \mathrm { R e } \, w + \mathrm { i } \mathrm { I m } \, w ) E _ { \tau \mathfrak { s } } M ( \mathrm { R e } \, w ^ { \prime } + \tau \mathrm { i } \mathrm { I m } \, w ^ { \prime } ) E _ { \tau \mathfrak { s } } \rangle } E _ { \tau \mathfrak { s } } \, , }
\begin{array} { r l r } { \| \nabla \cdot ( \varphi _ { 2 } V _ { 2 } ( \varphi ) \nu ) - \nabla \cdot ( \upsilon _ { 2 } V _ { 2 } ( \upsilon ) \nu ) \| } & { \leq } & { | \Omega | M _ { V _ { 2 } } \left( \left( 1 + \| \varphi \| \right) \| \nabla ( \varphi _ { 2 } - \upsilon _ { 2 } ) \| _ { \infty } + \| \nabla \varphi \nu \| \| \varphi _ { 2 } - \upsilon _ { 2 } \| _ { \infty } \right) } \\ & { } & { + | \Omega | M _ { V _ { 2 } } \left( \| \varphi - \upsilon \| \| \nabla \upsilon _ { 2 } \nu \| _ { \infty } + \| \upsilon _ { 2 } \| _ { \infty } \| \nabla ( \varphi - \upsilon ) \nu \| \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I _ { 2 } } & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { s } b _ { i } \left( ( L + \gamma _ { n + c _ { i } } ) u _ { n , i } \right) \overline { { u _ { n , i } } } - h \sum _ { j = 1 } ^ { s } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { s } b _ { i } a _ { i , j } ( L + \gamma _ { n + c _ { i } } ) u _ { n , i } \overline { { ( L + \gamma _ { n + c _ { j } } } } ) \overline { { u _ { n , j } } } \right) . } \end{array}
\widetilde { A } = \left[ \begin{array} { l } { \overline { { A } } _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \overline { { A } } _ { n _ { 1 } } } \end{array} \right] \ \ \mathrm { w i t h } \ \ \overline { { A } } _ { j } = \left[ \begin{array} { l } { \mathrm { v e c } ( A _ { 1 , j } ) ^ { \top } } \\ { \vdots } \\ { \mathrm { v e c } ( A _ { m _ { 1 } , j } ) ^ { \top } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { | \Pi _ { n } } & { \left( I - d _ { i } ( \mathcal { F } _ { \omega } ) ( i _ { n } ) T ( i _ { n } ) ) \Pi _ { n } Z _ { n } \right) | _ { s _ { 0 } + \mathtt { b } _ { 1 } - \mu _ { \mathtt { p } _ { 1 } } } } \\ & { \overset \le N _ { n } ^ { \mu _ { \mathtt { p } } } | \left( I - d _ { i } ( \mathcal { F } _ { \omega } ) ( i _ { n } ) T ( i _ { n } ) ) \Pi _ { n } Z _ { n } \right) | _ { s _ { 0 } + \mathtt { b } _ { 1 } - 2 \mu _ { \mathtt { p } } } } \\ & { \overset { \le _ { \mathtt { p _ { e } } } } N _ { n } ^ { \mu _ { \mathtt { p } } } \varepsilon ^ { 2 b - 1 } \gamma ^ { - 2 } \left( | Z _ { n } | _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } } } | \Pi _ { n } Z _ { n } | _ { s _ { 0 } + \mathtt { b } _ { 1 } - \mu _ { \mathtt { p } } } + ( | Z _ { n } | _ { s _ { 0 } + \mathtt { b } _ { 1 } - \mu _ { \mathtt { p } } } + \varepsilon ^ { 7 } \gamma ^ { - 4 } | Z _ { n } | _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } } } | \mathfrak { I } _ { n } | _ { s _ { 0 } + \mathtt { b } _ { 1 } - \mu _ { \mathtt { p } } } ) | \Pi _ { n } Z _ { n } | _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } } } \right) } \\ & { \overset { \gamma = \varepsilon ^ { 2 b } } { \le _ { \mathtt { p _ { e } } } } N _ { n } ^ { \mu _ { \mathtt { p } } } \varepsilon ^ { - 2 b - 1 } | Z _ { n } | _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } } } \left( | Z _ { n } | _ { s _ { 0 } + \mathtt { b } _ { 1 } - \mu _ { \mathtt { p } } } + \varepsilon ^ { 7 } \gamma ^ { - 4 } | Z _ { n } | _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } } } | \mathfrak { I } _ { n } | _ { s _ { 0 } + \mathtt { b } _ { 1 } - \mu _ { \mathtt { p } } } \right) } \\ & { \overset { , , } { \le _ { \mathtt { p _ { e } } } } \varepsilon ^ { 5 - 4 b } N _ { n } ^ { \mu _ { \mathtt { p } } } N _ { n - 1 } ^ { - \sigma _ { 5 } } \left( \varepsilon ^ { 6 - 2 b } N _ { n - 1 } ^ { \mathtt { k } } + \varepsilon ^ { 6 - 2 b } \underbrace { \varepsilon ^ { 1 3 - 1 2 b } } _ { \le 1 , \because } N _ { n - 1 } ^ { - \sigma _ { 5 } } N _ { n } ^ { \mathtt { k } } \right) } \\ & { \overset { \le _ { \mathtt { p _ { e } } } } \varepsilon ^ { 6 - 2 b } N _ { n } ^ { \mathtt { k } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { | U _ { l } | } \sum _ { u \in U _ { l } } \mathbf { k } ( \mathbf { x } , \mathbf { X } _ { T _ { l } } ) ^ { \top } ( \mathbf { K } _ { \mathbf { X } _ { T _ { l } } \mathbf { X } _ { T _ { l } } } + \lambda \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \mathbf { y } _ { l , u } } & { = \mathbf { k } ( \mathbf { x } , \mathbf { A } _ { h } ) ^ { \top } ( \mathbf { K } _ { \mathbf { A } _ { h } \mathbf { A } _ { h } } + \lambda \mathbf { W } _ { h } ^ { - 1 } ) ^ { - 1 } \bar { \mathbf { y } } _ { l } = \bar { \mu } _ { l } ( \mathbf { x } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { d ^ { * } = } & { \ \operatorname* { s u p } \quad \sum _ { k } \left( I _ { X _ { k } } ( x _ { h } ( 0 ) ) v _ { k } ( 0 , x _ { h } ( 0 ) ) \right) + \textstyle \int _ { - \tau } ^ { 0 } \phi ( t + \tau , x _ { h } ( t ) ) d t } & \\ & { \forall x \in X _ { k } : } \\ & { \qquad J _ { T } ( x ) - v _ { k } ( T , x ) \geq 0 } \\ & { \forall ( t , x _ { 0 } , x _ { 1 } , u ) \in [ 0 , T - \tau ] X _ { k } \times X _ { k ^ { \prime } } \times U _ { \ell } : } \\ & { \qquad \mathcal { L } _ { f } v _ { k } + J ( t , x _ { 0 } , u ) - \phi _ { k ^ { \prime } } ( t , x _ { 1 } ) + \phi _ { k } ( t + \tau , x _ { 0 } ) \geq 0 } \\ & { \forall ( t , x _ { 0 } , x _ { 1 } , u ) \in [ T - \tau , T ] \times X _ { k } \times X _ { k ^ { \prime } } \times U _ { \ell } : } \\ & { \qquad \mathcal { L } _ { f } v _ { k } + J ( t , x _ { 0 } , u ) - \phi _ { k ^ { \prime } } ( t , x _ { 1 } ) \geq 0 } & & { } \\ & { \forall ( t , x ) \in [ 0 , T ] \times ( X _ { k } \cap X _ { k ^ { \prime } } ) : } \\ & { \qquad v _ { k } ( t , x ) = v _ { k ^ { \prime } } ( t , x ) } \\ & { \forall k : v _ { k } \in C ^ { 1 } ( [ 0 , T ] \times X _ { k } ) } \\ & { \forall k : \phi _ { k } \in C ( [ 0 , T ] \times X _ { k } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \Phi _ { K } ^ { - 1 } ( x ) - \Phi _ { K } ^ { - 1 } ( y ) | } & { \le \frac { 1 } { j _ { K } ( x ) } \, \Big | | x - x _ { 0 } | \, ( x - x _ { 0 } ) - | y - x _ { 0 } | \, ( y - x _ { 0 } ) \Big | } \\ & { + | y - x _ { 0 } | ^ { 2 } \, \left| \frac { 1 } { j _ { K } ( x ) } - \frac { 1 } { j _ { K } ( y ) } \right| . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u ^ { N } } & { \rightharpoonup } & { u _ { \theta } \mathrm { ~ w e a k l y - * ~ i n ~ } L ^ { \infty } ( 0 , T ; H ^ { 1 } ( \Omega ) ) , } \\ { u ^ { N } } & { \rightarrow } & { u _ { \theta } \mathrm { ~ s t r o n g l y ~ i n ~ } C ( [ 0 , T ] ; L ^ { s } ( \Omega ) ) , } \\ { u ^ { N } } & { \rightarrow } & { u _ { \theta } \mathrm { ~ s t r o n g l y ~ i n ~ } L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { s } ( \Omega ) ) \mathrm { ~ a n d ~ a . e . ~ i n ~ } \Omega _ { T } , } \\ { \partial _ { t } u ^ { N } } & { \rightharpoonup } & { \partial _ { t } u _ { \theta } \mathrm { ~ w e a k l y ~ i n ~ } L ^ { 2 } ( 0 , T ; ( W ^ { 1 , q } ( \Omega ) ) ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \underset { x \to b ^ { - } } { \operatorname* { l i m } } \overline { n } _ { \alpha } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 \; } & { \mathrm { ~ i f ~ } \; \tilde { r } ( b ) < \tilde { r } _ { \alpha } ( a ) } \\ { l > 0 \; } & { \mathrm { ~ i f ~ } \; \tilde { r } ( b ) = \tilde { r } _ { \alpha } ( a ) } \\ { + \infty \; } & { \mathrm { ~ i f ~ } \; \tilde { r } ( b ) > \tilde { r } _ { \alpha } ( a ) } \end{array} \right. . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vert u _ { 1 } \vert ( d ) } & { \le 3 ( c \eta ) ^ { - \gamma _ { 2 } } L M , } \\ { \vert u _ { 2 } \vert ( d ) } & { \le 7 \pi ( c \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } L M , } \\ { \vert u _ { 3 } \vert ( d ) } & { \le 7 \pi ( \frac 5 \eta ) ^ { 2 } ( c \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } L M + 2 M _ { 1 } , } \\ { \vert w ( k _ { n } , d ) \vert } & { \le 7 \pi ( \frac 5 \eta ) ^ { \vert n \vert - 1 } ( c \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } L M + 2 M _ { n } , } \\ { j ( k _ { n } , d ) } & { \le \frac 4 { \eta ^ { 2 } \beta } ( 7 \pi ( \frac 4 \eta ) ^ { \vert n \vert - 1 } ( c \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } L M + 2 M _ { n } ) , } \\ { j ( k _ { 0 } , d ) } & { \le \frac { 4 L M } \beta \operatorname* { m i n } ( \kappa _ { k _ { 0 } } \pi d ^ { 2 } , 1 ) ( c \eta ) ^ { - \gamma _ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C _ { \tilde { S } } } & { = } & { \Big ( 2 \Big ( a ^ { 2 } + 3 r _ { + } ^ { 2 } \Big ) \Big ( r _ { + } \Big ( r _ { + } \Big ( a ^ { 2 } \Big ( - \delta ( Q - 4 ) \log \Big ( \frac { \Big ( a ^ { 2 } - r _ { + } \Big ( Q + r _ { + } \Big ) \Big ) ^ { 2 } } { r _ { + } ^ { 2 } \Big ( a ^ { 2 } + r _ { + } ^ { 2 } \Big ) } \Big ) + a ^ { 2 } ( \pi Q - 5 ) + \delta ( Q - 4 ) \log ( 1 6 \pi ) \Big ) + r _ { + } } \\ & { + } & { \Big ( - \pi a ^ { 4 } - 2 \delta Q \log \Big ( \frac { \Big ( a ^ { 2 } - r _ { + } \Big ( Q + r _ { + } \Big ) \Big ) ^ { 2 } } { r _ { + } ^ { 2 } \Big ( a ^ { 2 } + r _ { + } ^ { 2 } \Big ) } \Big ) + r _ { + } \Big ( - \delta ( Q + 1 ) \log \Big ( \frac { \Big ( a ^ { 2 } - r _ { + } \Big ( Q + r _ { + } \Big ) \Big ) ^ { 2 } } { r _ { + } ^ { 2 } \Big ( a ^ { 2 } + r _ { + } ^ { 2 } \Big ) } \Big ) + r _ { + } \Big ( - \delta \log } \\ & { \times } & { \Big ( \frac { \Big ( a ^ { 2 } - r _ { + } \Big ( Q + r _ { + } \Big ) \Big ) ^ { 2 } } { r _ { + } ^ { 2 } \Big ( a ^ { 2 } + r _ { + } ^ { 2 } \Big ) } \Big ) + \pi a ^ { 2 } + \delta \log ( 1 6 \pi ) + r _ { + } \Big ( \pi Q + \pi r _ { + } + 1 \Big ) + 2 Q \Big ) + a ^ { 2 } ( 2 \pi Q - 3 ) + \delta ( Q + 1 ) \log ( 1 6 \pi ) \Big ) } \\ & { + } & { 2 a ^ { 2 } Q + 2 \delta Q \log ( 1 6 \pi ) \Big ) \Big ) - a ^ { 4 } \Big ( - \delta \log \Big ( \frac { \Big ( a ^ { 2 } - r _ { + } \Big ( Q + r _ { + } \Big ) \Big ) ^ { 2 } } { r _ { + } ^ { 2 } \Big ( a ^ { 2 } + r _ { + } ^ { 2 } \Big ) } \Big ) + \pi a ^ { 2 } + \delta \log ( 1 6 \pi ) \Big ) \Big ) - a ^ { 4 } \Big ( - \delta \log } \\ & { \times } & { \Big ( \frac { \Big ( a ^ { 2 } - r _ { + } \Big ( Q + r _ { + } \Big ) \Big ) ^ { 2 } } { r _ { + } ^ { 2 } \Big ( a ^ { 2 } + r _ { + } ^ { 2 } \Big ) } \Big ) + a ^ { 2 } + \delta \log ( 1 6 \pi ) \Big ) \Big ) \Big ) \Big ( r _ { + } \Big ( a ^ { 2 } + r _ { + } ^ { 2 } \Big ) \Big ( - a ^ { 4 } - 4 a ^ { 2 } r _ { + } ^ { 2 } + 2 Q r _ { + } ^ { 3 } + r _ { + } ^ { 4 } \Big ) \Big ) ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathcal { M } } \big ( \mu ^ { n , t + \frac { 1 } { n } } - \mu ^ { n , \frac { 1 } { n } } - ( \rho _ { t + \frac { 1 } { n } } - \rho _ { \frac { 1 } { n } } ) \big ) \, f \, \mathrm { d } \mathrm { m } } \\ & { = \int _ { \mathcal { M } } \mathrm { d } \big ( \mu ^ { n , t } - \mu ^ { n } - ( \rho _ { t } - \rho ) \big ) ( y ) \int _ { \mathcal { M } } \mathrm { d } \mathrm { m } ( x ) \, f ( x ) p _ { \frac { 1 } { n } } ( x , y ) } \\ & { = \sum _ { k \geq 1 } e ^ { - \frac { 1 } { n } \lambda _ { k } } \int _ { \mathcal { M } } \mathrm { d } \big ( \mu ^ { n , t } - \mu ^ { n } - ( \rho _ { t } - \rho ) \big ) ( y ) \int _ { \mathcal { M } } \mathrm { d } \mathrm { m } ( x ) \, f ( x ) \phi _ { k } ( x ) \phi _ { k } ( y ) } \\ & { = \sum _ { k \geq 1 } e ^ { - \frac { 1 } { n } \lambda _ { k } } \widehat { f } ( k ) \big ( \widehat { \mu ^ { n , t } } ( k ) - \widehat { \mu ^ { n } } ( k ) - ( \widehat { \rho _ { t } } ( k ) - \widehat { \rho } ( k ) ) \big ) } \\ & { \leq \Big ( \sum _ { k \geq 1 } \lambda _ { k } \vert \widehat { f } ( k ) \vert ^ { 2 } \Big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Big ( \sum _ { k \geq 1 } \frac { e ^ { - \frac { 2 } { n } \lambda _ { k } } } { \lambda _ { k } } \vert \widehat { \mu ^ { n , t } } ( k ) - \widehat { \mu ^ { n } } ( k ) - ( \widehat { \rho _ { t } } ( k ) - \widehat { \rho } ( k ) ) \vert ^ { 2 } \Big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \end{array}
I _ { 1 } \le C _ { 1 } \left\| \left\langle v \right\rangle ^ { - 3 / 2 } \nabla h ^ { p / 2 } \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \| h \| _ { L ^ { p } } ^ { \frac { p } { 3 ( p - 1 ) } } \| h \left\langle v \right\rangle ^ { m } \| _ { L ^ { 1 } } ^ { \frac { 2 } { 3 } \frac { p - \frac { 3 } { 2 } } { p - 1 } } + C _ { 2 } \| h \| _ { L ^ { p } } ^ { p } \| h \left\langle v \right\rangle ^ { m } \| _ { L ^ { 1 } } .
\begin{array} { r l } { \hat { \ensuremath { \mathbf { S } } } _ { \ell } } & { = \frac { \boldsymbol { \alpha } _ { \ell } \circ \left( \operatorname * { \bigcirc } _ { c _ { p } \in N ( v _ { \ell } ) } \boldsymbol { \mu } _ { c _ { p } \to v _ { \ell } } \right) } { \left\| \boldsymbol { \alpha } _ { \ell } \circ \left( \operatorname * { \bigcirc } _ { c _ { p } \in N ( v _ { \ell } ) } \boldsymbol { \mu } _ { c _ { p } \to v _ { \ell } } \right) \right\| _ { 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { m _ { \alpha { \alpha } _ { 1 } \beta } = m _ { \beta \alpha { \alpha } _ { 1 } } = } \\ & { } & { - \frac { 3 } { 1 6 \pi } \int _ { r = R _ { p } } \left[ \frac { \delta _ { \gamma \beta } + 6 \hat { \lambda } n _ { \gamma \beta } ( \pmb x ) } { 1 + 3 \hat { \lambda } } \right] \left[ \delta _ { \alpha \gamma } n _ { { \alpha } _ { 1 } } ( { \pmb x } ) - \hat { \lambda } ( t _ { \alpha \gamma } ( { \pmb x } ) n _ { \alpha _ { 1 } } ( { \pmb x } ) + n _ { \alpha } ( { \pmb x } ) t _ { \alpha _ { 1 } \gamma } ( { \pmb x } ) ) \right] d S ( { \pmb x } ) = 0 } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } \left\{ d ^ { 2 } \frac { \omega _ { \nabla U } \left( r \right) } { r } k \eta ^ { 2 } , \left( \omega _ { \nabla U } \left( r \right) \right) ^ { 2 } k \eta , r \sqrt { d } \right\} \le \frac { \epsilon ^ { 4 } } { 4 8 C ^ { 4 } d ^ { 2 } } , \ e ^ { C d } \exp \left( - \frac { k \eta } { C \Bar { c } _ { \mathrm { P } } ( d ) } \right) \le \frac { \epsilon } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { m ( 2 ) } & { = - \frac { 5 5 } { 1 8 } \lambda _ { 1 } ^ { 4 } H + \frac { 9 } { 2 } \lambda _ { 1 } ^ { 4 } \delta _ { 1 } - 1 4 \lambda _ { 1 } ^ { 3 } \lambda _ { 2 } - \frac { 3 1 } { 3 } \lambda _ { 1 } ^ { 3 } H ^ { 2 } - \frac { 5 8 } { 9 } \lambda _ { 1 } ^ { 3 } H \delta _ { 1 } + 6 9 \lambda _ { 1 } ^ { 3 } \delta _ { 1 } ^ { 2 } - } \\ & { - \frac { 2 7 2 } { 3 } \lambda _ { 1 } ^ { 3 } \delta _ { 1 , 1 } - \frac { 1 7 3 } { 9 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } \lambda _ { 2 } H + 2 \lambda _ { 1 } ^ { 2 } \lambda _ { 3 } - \frac { 1 3 7 } { 1 8 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } H ^ { 3 } - \frac { 1 6 7 } { 4 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } H ^ { 2 } \delta _ { 1 } + } \\ & { + \frac { 1 8 3 1 } { 3 6 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } H \delta _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 4 5 9 } { 2 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } \delta _ { 1 } ^ { 3 } - \frac { 4 6 1 } { 3 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } \delta _ { 1 } \delta _ { 1 , 1 } + 2 \lambda _ { 1 } ^ { 2 } \delta _ { 1 , 1 , 1 } + 4 8 \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } ^ { 2 } + } \\ & { + \frac { 1 } { 9 } \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } H ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } \lambda _ { 1 } H ^ { 4 } - \frac { 6 0 5 } { 1 8 } \lambda _ { 1 } H ^ { 3 } \delta _ { 1 } - \frac { 9 5 5 } { 1 8 } \lambda _ { 1 } H ^ { 2 } \delta _ { 1 } ^ { 2 } + 1 3 9 \lambda _ { 1 } H \delta _ { 1 } ^ { 3 } + } \\ & { + 2 9 1 \lambda _ { 1 } \delta _ { 1 } ^ { 4 } - 4 9 \lambda _ { 1 } \delta _ { 1 } ^ { 2 } \delta _ { 1 , 1 } + 4 8 \lambda _ { 2 } ^ { 2 } H - 9 6 \lambda _ { 2 } \lambda _ { 3 } + \frac { 1 6 } { 3 } \lambda _ { 2 } H ^ { 3 } + 4 8 \lambda _ { 2 } \delta _ { 1 } \delta _ { 1 , 1 } - } \\ & { - 9 6 \lambda _ { 2 } \delta _ { 1 , 1 , 1 } - \frac { 2 4 1 } { 3 6 } H ^ { 4 } \delta _ { 1 } - \frac { 1 1 1 1 } { 3 6 } H ^ { 3 } \delta _ { 1 } ^ { 2 } - \frac { 6 3 } { 4 } H ^ { 2 } \delta _ { 1 } ^ { 3 } + \frac { 3 6 7 } { 4 } H \delta _ { 1 } ^ { 4 } + 1 2 6 \delta _ { 1 } ^ { 5 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( u _ { j } ^ { \top } k ( Z , x ) ) ( u _ { j } ^ { \top } k ( Z , y ) ) } & { = \left\langle u _ { j } ^ { \top } k ( Z , \cdot ) , k ( \cdot , x ) \right\rangle _ { \mathcal { H } _ { k } } \left\langle u _ { j } ^ { \top } k ( Z , \cdot ) , k ( \cdot , y ) \right\rangle _ { \mathcal { H } _ { k } } } \\ & { = \lVert u _ { j } ^ { \top } k ( Z , \cdot ) \rVert _ { \mathcal { H } _ { k } } ^ { 2 } \left\langle Q _ { j } k ( \cdot , x ) , Q _ { j } k ( \cdot , y ) \right\rangle _ { \mathcal { H } _ { k } } } \\ & { = \lambda _ { j } \left\langle Q _ { j } k ( \cdot , x ) , Q _ { j } k ( \cdot , y ) \right\rangle _ { \mathcal { H } _ { k } } , } \end{array}
\Vert F ^ { m } x \Vert _ { k , \infty } = \operatorname* { s u p } _ { n \in \mathbb { N } _ { 0 } } \left| x _ { n - m } \left( \prod _ { j = 0 } ^ { m - 1 } w _ { n - j } \right) a _ { n , k } \right| = \operatorname* { s u p } _ { n \in \mathbb { N } _ { 0 } } \left| x _ { n } \left( \prod _ { j = 1 } ^ { m } w _ { n + j } \right) a _ { n + m , k } \right| .
\begin{array} { r l } & { \langle \Psi _ { A , E _ { 1 } \ell _ { 1 } m _ { 1 } \sigma _ { 1 } , E _ { 2 } \ell _ { 2 } m _ { 2 } \sigma _ { 2 } } ^ { - } | \mathcal { O } _ { \nu } G _ { 0 } ^ { + } ( E _ { g } + \omega ) \mathcal { O } _ { \mu } | g \rangle = \sum _ { \Gamma \alpha } \int d E \frac { \langle \Psi _ { A , E _ { 1 } \ell _ { 1 } m _ { 1 } \sigma _ { 1 } , E _ { 2 } \ell _ { 2 } m _ { 2 } \sigma _ { 2 } } ^ { - } | \mathcal { O } _ { \nu } | \Psi _ { \alpha E } ^ { \Gamma ( - ) } \rangle \, \langle \Psi _ { \alpha E } ^ { \Gamma ( - ) } | \mathcal { O } _ { \mu } | g \rangle } { E _ { g } + \omega - E + i 0 ^ { + } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \operatorname* { d e t } } _ { 4 } ( A ) = \frac { 1 } { 2 } \big ( } & { ( A _ { 1 , 1 } - A _ { 2 , 1 } ) ( A _ { 3 , 2 } - A _ { 4 , 2 } ) ( A _ { 3 , 3 } + A _ { 4 , 3 } ) ( A _ { 1 , 4 } + A _ { 2 , 4 } ) } \\ & { - ( A _ { 1 , 1 } - A _ { 3 , 1 } ) ( A _ { 2 , 2 } - A _ { 4 , 2 } ) ( A _ { 2 , 3 } + A _ { 4 , 3 } ) ( A _ { 1 , 4 } + A _ { 3 , 4 } ) } \\ & { + ( A _ { 1 , 1 } - A _ { 4 , 1 } ) ( A _ { 2 , 2 } - A _ { 3 , 2 } ) ( A _ { 2 , 3 } + A _ { 3 , 3 } ) ( A _ { 1 , 4 } + A _ { 4 , 4 } ) } \\ & { + ( A _ { 2 , 1 } - A _ { 3 , 1 } ) ( A _ { 1 , 2 } - A _ { 4 , 2 } ) ( A _ { 1 , 3 } + A _ { 4 , 3 } ) ( A _ { 2 , 4 } + A _ { 3 , 4 } ) } \\ & { - ( A _ { 2 , 1 } - A _ { 4 , 1 } ) ( A _ { 1 , 2 } - A _ { 3 , 2 } ) ( A _ { 1 , 3 } + A _ { 3 , 3 } ) ( A _ { 2 , 4 } + A _ { 4 , 4 } ) } \\ & { + ( A _ { 3 , 1 } - A _ { 4 , 1 } ) ( A _ { 1 , 2 } - A _ { 2 , 2 } ) ( A _ { 1 , 3 } + A _ { 2 , 3 } ) ( A _ { 3 , 4 } + A _ { 4 , 4 } ) } \\ & { + ( A _ { 1 , 1 } + A _ { 2 , 1 } ) ( A _ { 3 , 2 } + A _ { 4 , 2 } ) ( A _ { 3 , 3 } - A _ { 4 , 3 } ) ( A _ { 1 , 4 } - A _ { 2 , 4 } ) } \\ & { - ( A _ { 1 , 1 } + A _ { 3 , 1 } ) ( A _ { 2 , 2 } + A _ { 4 , 2 } ) ( A _ { 2 , 3 } - A _ { 4 , 3 } ) ( A _ { 1 , 4 } - A _ { 3 , 4 } ) } \\ & { + ( A _ { 1 , 1 } + A _ { 4 , 1 } ) ( A _ { 2 , 2 } + A _ { 3 , 2 } ) ( A _ { 2 , 3 } - A _ { 3 , 3 } ) ( A _ { 1 , 4 } - A _ { 4 , 4 } ) } \\ & { + ( A _ { 2 , 1 } + A _ { 3 , 1 } ) ( A _ { 1 , 2 } + A _ { 4 , 2 } ) ( A _ { 1 , 3 } - A _ { 4 , 3 } ) ( A _ { 2 , 4 } - A _ { 3 , 4 } ) } \\ & { - ( A _ { 2 , 1 } + A _ { 4 , 1 } ) ( A _ { 1 , 2 } + A _ { 3 , 2 } ) ( A _ { 1 , 3 } - A _ { 3 , 3 } ) ( A _ { 2 , 4 } - A _ { 4 , 4 } ) } \\ & { + ( A _ { 3 , 1 } + A _ { 4 , 1 } ) ( A _ { 1 , 2 } + A _ { 2 , 2 } ) ( A _ { 1 , 3 } - A _ { 2 , 3 } ) ( A _ { 3 , 4 } - A _ { 4 , 4 } ) \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \geq \frac { 1 } { C } \| \mathcal P _ { \gamma } ^ { \perp } g _ { \alpha } ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } ^ { 2 } - \kappa \| g _ { \alpha } ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } ^ { 2 } } \\ & { \quad - C _ { \kappa } \| g _ { \alpha + 1 } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { 2 } } & { = \displaystyle { \sum _ { E \in \mathcal { T } _ { h } } b ^ { E } ( \textbf { f } , \textbf { I } _ { k , h } \boldsymbol { \Phi } ) - b ^ { E } ( \boldsymbol { \Pi } _ { k , E } ^ { 0 } \textbf { f } , \boldsymbol { \Pi } _ { k , E } ^ { 0 } \textbf { I } _ { k , h } \boldsymbol { \Phi } ) } } \\ & { = \displaystyle { \sum _ { E \in \mathcal { T } _ { h } } b ^ { E } ( \textbf { f } - \boldsymbol { \Pi } _ { k , E } ^ { 0 } \textbf { f } , \textbf { I } _ { k , h } \boldsymbol { \Phi } - \boldsymbol { \Pi } _ { k , E } ^ { 0 } \textbf { I } _ { k , h } \boldsymbol { \Phi } ) } } \\ & { \lesssim \displaystyle { \sum _ { E \in \mathcal { T } _ { h } } \| \textbf { f } - \boldsymbol { \Pi } _ { k , E } ^ { 0 } \textbf { f } \| _ { 0 , \O } \| \textbf { I } _ { k , h } \boldsymbol { \Phi } - \boldsymbol { \Pi } _ { k , E } ^ { 0 } \textbf { I } _ { k , h } \boldsymbol { \Phi } \| _ { 0 , \O } } \lesssim \operatorname* { m a x } \{ \lambda _ { S } \mu _ { S } ^ { - 1 } , 1 \} ^ { 2 } h ^ { 2 } \| \textbf { u } \| _ { 2 , \O } \| \boldsymbol { \Phi } \| _ { 2 , \O } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { t _ { n } } } & { \left\{ \int _ { t _ { n } } ^ { t _ { n + 1 } } \int _ { E } | \Delta U _ { n } ( e ) | ^ { 2 } \lambda ( d e ) d t \right\} } \\ & { \geq \frac { \Delta t _ { n } } { K _ { \gamma } ^ { 2 } } | \Delta \hat { \Gamma } _ { n } | ^ { 2 } + \frac { 2 \Delta t _ { n } } { K _ { \gamma } ^ { 2 } } \Delta \hat { \Gamma } _ { n } \mathbb { E } _ { t _ { n } } \left\{ \Delta f _ { n } \int _ { E } \gamma ( e ) \tilde { \mu } ( d e , ( t _ { n } , t _ { n + 1 } ] ) \right\} } \\ & { \geq \frac { 1 } { K _ { \gamma } ^ { 2 } } ( 1 - \lambda _ { 3 } ) \Delta t _ { n } | \Delta \hat { \Gamma } | ^ { 2 } - \lambda _ { 3 } ^ { - 1 } \frac { 1 } { K _ { \gamma } ^ { 2 } } \int _ { E } \gamma ^ { 2 } ( e ) \lambda ( d e ) \Delta t _ { n } ^ { 2 } \mathbb { E } _ { t _ { n } } \{ | \Delta f _ { n } | ^ { 2 } \} . } \end{array} } \end{array}
\gamma _ { i j } ^ { \prime } = \left\{ \begin{array} { l l } { - \frac { 1 } { 2 } \gamma _ { 5 1 } ^ { \prime } , } & { \mathrm { i f ~ } j = 1 } \\ { - \frac { 1 } { 2 } \gamma _ { 5 2 } ^ { \prime } , } & { \mathrm { i f ~ } j = 2 } \\ { 3 \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } c _ { 3 } ^ { ( 2 ) , m } c _ { 3 } ^ { ( 2 ) , m ^ { \prime } } ( \mathscr { C } _ { m ; t _ { 1 } t _ { 1 } n } ^ { m ^ { \prime } ; t _ { 1 } t _ { 1 } } - \frac { \mathscr { C } _ { 0 ; n } ^ { m ^ { \prime } ; t _ { 1 } t _ { 1 } } I _ { m ; t _ { 1 } t _ { 1 } n } ^ { 0 } } { I _ { 0 ; n } ^ { 0 } } ) , } & { \mathrm { i f ~ } j = 3 } \\ { 3 \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } c _ { 3 } ^ { ( 2 ) , m } c _ { 3 } ^ { ( 2 ) , m ^ { \prime } } ( \mathscr { C } _ { m ; t _ { 1 } t _ { 1 } n } ^ { m ^ { \prime } ; t _ { 2 } t _ { 2 } } - \frac { \mathscr { C } _ { 0 ; n } ^ { m ^ { \prime } ; t _ { 2 } t _ { 2 } } I _ { m ; t _ { 1 } t _ { 1 } n } ^ { 0 } } { I _ { 0 ; n } ^ { 0 } } ) , } & { \mathrm { i f ~ } j = 4 } \\ { - \frac { 1 } { 2 } \gamma _ { 5 4 } ^ { \prime } , } & { \mathrm { i f ~ } j = 5 } \end{array} \right. , \mathrm { ~ f o r ~ } i = 6 .
\begin{array} { r l r l r l r l } { \iota _ { * } ( \widetilde { \alpha } _ { i } ^ { \pm } ) } & { = \widetilde { \alpha } _ { i } ^ { \mp } , } & { \pi _ { * } ( \widetilde { \alpha } _ { i } ^ { \pm } ) } & { = \alpha _ { i } , } & { \pi ^ { * } ( \alpha _ { i } ) } & { = \widetilde { \alpha } _ { i } ^ { + } + \widetilde { \alpha } _ { i } ^ { - } , } & { i } & { = 1 , \ldots , A , } \\ { \iota _ { * } ( \widetilde { \beta } _ { j } ) } & { = - \widetilde { \beta } _ { j } , } & { \pi _ { * } ( \widetilde { \beta } _ { j } ) } & { = 0 , } & & { } & { j } & { = 1 , \ldots , B , } \\ { \iota _ { * } ( \widetilde { \gamma } _ { k } ) } & { = \widetilde { \gamma } _ { k } , } & { \pi _ { * } ( \widetilde { \gamma } _ { k } ) } & { = \gamma _ { k } , } & { \pi ^ { * } ( \gamma _ { k } ) } & { = 2 \widetilde { \gamma } _ { k } , } & { k } & { = 1 , \ldots , C . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { P _ { n \kappa } ( r ) } & { = N _ { n \kappa } r ^ { | \kappa | } \left\{ 1 - \frac { ( E _ { n \kappa } - V _ { 0 } ) ( E _ { n \kappa } + 2 c ^ { 2 } + V _ { 0 } ) } { 2 c ^ { 2 } ( 1 + 2 | \kappa | ) } r ^ { 2 } + \cdots \right\} } \\ { Q _ { n \kappa } ( r ) } & { = N _ { n \kappa } r ^ { | \kappa | } \left\{ - \frac { E _ { n \kappa } - V _ { 0 } } { c ( 1 + 2 | \kappa | ) } r + \left[ \frac { ( E _ { n \kappa } - V _ { 0 } ) ^ { 2 } ( E _ { n \kappa } + 2 c ^ { 2 } + V _ { 0 } ) } { 2 c ^ { 3 } ( 1 + 2 | \kappa | ) ( 3 + 2 | \kappa | ) } + \frac { V _ { 2 } } { c ( 3 + 2 | \kappa | ) } \right] r ^ { 3 } + \cdots \right\} \, . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } } & { \left\{ \mathcal { H } _ { 3 , \le 1 } , F ^ { ( 3 ) } \right\} + \left\{ { H } _ { 3 } ^ { ( 3 ) } , F ^ { ( 3 ) } \right\} } \\ & { = \frac { 3 \alpha } { 3 2 } \int \left( \Lambda ^ { \alpha - 1 } ( v ^ { 2 } ) + 2 v \Lambda ^ { \alpha - 1 } v - T _ { \alpha } v ^ { 2 } \right) \partial _ { x } \Pi _ { S ^ { \perp } } K _ { 2 } ( v , v ) d x } \\ & { \ + \frac { 3 \alpha } { 8 } \int \left( v \Lambda ^ { \alpha - 1 } z + z \Lambda ^ { \alpha - 1 } v + \Lambda ^ { \alpha - 1 } ( v z ) - T _ { \alpha } v z \right) \partial _ { x } \Pi _ { S } K _ { 1 } ( v , z ) d x } \\ & { \ + \frac { 3 \alpha } { 1 6 } \int \left( 2 z \Lambda ^ { \alpha - 1 } z + \Lambda ^ { \alpha - 1 } ( z ^ { 2 } ) - T _ { \alpha } z ^ { 2 } \right) \partial _ { x } \Pi _ { S ^ { \perp } } K _ { 2 } ( v , v ) d x } \\ & { \ + R ( v ^ { 3 } z ) + R ( v z ^ { 3 } ) + R ( z ^ { 4 } ) , } \end{array}
\hat { \alpha } _ { 0 } ^ { \theta } = \left( 0 , x _ { 0 } , y _ { 0 } , \theta _ { 0 } , 0 , a _ { 0 } \right) \: , \: \hat { \alpha } _ { 1 } ^ { \theta } = \left( 1 , x _ { 1 } , y _ { 1 } , \theta _ { 1 } , 0 , a _ { 1 } \right) , \quad \theta _ { 0 } \in \left[ \theta ^ { a } , \theta ^ { b } \right] , \, \theta _ { 1 } \in \left[ \theta ^ { c } , \theta ^ { d } \right] ,
\begin{array} { r l } { \mathscr { L } ( X , W , b ) } & { = \mathscr { H } ( \mathbf { S } _ { 1 } , \mathbf { S } _ { 2 } , \ldots , \mathbf { S } _ { n } ) = } \\ & { - \sum _ { i \neq j } J _ { i j } \mathbf { S } _ { i } \cdot \mathbf { S } _ { j } - \sum _ { i \neq j } \mathbf { D } _ { i j } \cdot \left( \mathbf { S } _ { i } \times \mathbf { S } _ { j } \right) } \\ & { - \sum _ { i } \mu _ { i } \mathbf { B } ^ { \mathrm { e x t } } \cdot \mathbf { S } _ { i } - \sum _ { i } K _ { i } ^ { \mathrm { U } } \left( \mathbf { S } _ { i } \cdot \mathbf { e } _ { z } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z _ { 1 } ^ { 1 } } & { = \mathbb { 1 } _ { \{ \hat { y } \in ( \bar { t } , \bar { t } + \delta ) , y \in ( \bar { t } - \delta , \bar { t } ] \} } [ a _ { 0 } ^ { \prime } ( y ) \nabla y - a _ { 1 } ^ { \prime } ( \hat { y } ) \nabla \hat { y } ] + \mathbb { 1 } _ { \{ \hat { y } \in ( \bar { t } , \infty ) , y \in ( \bar { t } , \infty ) \} } [ a _ { 1 } ^ { \prime } ( y ) \nabla y - a _ { 1 } ^ { \prime } ( \hat { y } ) \nabla \hat { y } ] } \\ & { = : Z _ { 1 } ^ { 1 , 1 } + Z _ { 1 } ^ { 1 , 2 } . } \end{array}
{ \tilde { \eta } } = \frac { 4 } { 3 p } \left( \frac { 4 8 ( 1 - \delta ) ( L _ { f } + \kappa ) \eta ^ { 3 } } { \delta } \left( \frac { 4 ( { \bar { L } } + \kappa ) } { \delta } + L + \kappa + \frac { 1 6 ( { \bar { L } } + \kappa ) p } { \delta \delta _ { 1 } } \left( 1 + \frac { 2 p } { \delta _ { 1 } } \right) \right) + \frac { 4 ( L + \kappa ) \eta ^ { 2 } } { n } \right)
\begin{array} { r l } { \left\vert u ( t ) \right\vert } & { = \sqrt { { \sum _ { i } } \left( \frac { d x ^ { i } } { d t } \right) ^ { 2 } } = \sqrt { { \sum _ { i } } \left( \frac { d x ^ { i } } { d s } \frac { d s } { d t } \right) ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { d s } { d t } \sqrt { { \sum _ { i } } \left( \frac { d x ^ { i } } { d s } \right) ^ { 2 } } < 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Upsilon _ { \infty } ( { \Omega } ) : = \Big \{ \kappa \in \mathcal { M } _ { b } ( \Omega \times \mathcal { Y } ) : D _ { y } \kappa \in \mathcal { M } _ { b } ( \Omega \times \mathcal { Y } ; \mathbb { R } ^ { 2 } ) , \quad \quad } & { } \\ { \kappa ( F \times \mathcal { Y } ) = 0 \textrm { f o r e v e r y B o r e l s e t } F \subseteq \Omega } & { \Big \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( t , y ( t , \xi ) ) } & { = U ( t , \xi ) = \left( y ( t , \xi ) + \frac { 1 } { 5 4 } ( 2 - \alpha ) t ^ { 3 } \right) ^ { \frac { 2 } { 3 } } - \frac { 1 } { 1 8 } ( 2 - \alpha ) t ^ { 2 } , } \\ { F ( t , y ( t , \xi ) ) } & { = V ( t , \xi ) = \frac { 4 } { 3 } \left( \left( y ( t , \xi ) + \frac { 1 } { 5 4 } ( 2 - \alpha ) t ^ { 3 } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } + 1 - \frac { t } { 3 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { E } _ { N } ^ { ( m - 1 ) } ( f , \mu ) = \langle f , \big ( - \mathcal { L } _ { N } ^ { ( m - 1 ) } \big ) f \rangle _ { \mu } = \int _ { \Omega _ { N } } f ( \eta ) \sum _ { x \in \mathbb { T } _ { N } } \big ( - r _ { N } ^ { ( m - 1 ) } ( \tau _ { x } \eta ) \big ) ( \nabla _ { x , x + 1 } f ) ( \eta ) \mu ( \mathrm { d } \eta ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lVert S ^ { n } x \rVert } & { = \left\lVert S ^ { n } \left( \sum _ { k = 1 } ^ { N } { x _ { k } e _ { k } } \right) \right\rVert } \\ & { = \left\lVert \sum _ { k = 1 } ^ { N } { x _ { k } \frac { e _ { \varphi ^ { n } \left( k \right) } } { w _ { k } w _ { \varphi \left( k \right) } \cdots w _ { \varphi ^ { n - 1 } \left( k \right) } } } \right\rVert } \\ & { = \left( \sum _ { k = 1 } ^ { N } { \left| x _ { k } \right| ^ { p } \frac { 1 } { \left| w _ { k } w _ { \varphi \left( k \right) } . . . w _ { \varphi ^ { n - 1 } \left( k \right) } \right| ^ { p } } } \right) ^ { \frac { 1 } { p } } } \\ & { \le \lVert x \rVert \left( \sum _ { k = 1 } ^ { N } { \frac { 1 } { \left| w _ { k } w _ { \varphi \left( k \right) } . . . w _ { \varphi ^ { n _ { k } - 1 } \left( k \right) } \right| ^ { p } } } \right) ^ { \frac { 1 } { p } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { H } ( z ) } & { = } & { \left( \begin{array} { c c c c } { z ^ { 2 } } & { z ^ { 2 } } & { z ^ { 2 } \, h _ { 1 } ( z ) } & { z ^ { 2 } \, h _ { 2 } ( z ) } \\ { - \frac { i \, \sqrt { 3 } } { 3 } } & { \frac { i \, \sqrt { 3 } } { 3 } } & { [ - \frac { 1 1 } { 2 } \, z - \frac { 2 \, i \, \sqrt { 3 } } { 3 } ] \, h _ { 1 } ( z ) + z ^ { 2 } \, h _ { 1 } ^ { \prime } ( z ) } & { [ - \frac { 1 1 } { 2 } \, z + \frac { 2 \, i \, \sqrt { 3 } } { 3 } ] \, h _ { 2 } ( z ) + z ^ { 2 } \, h _ { 2 } ^ { \prime } ( z ) } \\ { 0 } & { 0 } & { z ^ { 4 } + \frac { i \, \sqrt { 3 } } { 3 } z ^ { 5 } } & { z ^ { 4 } - \frac { i \, \sqrt { 3 } } { 3 } z ^ { 5 } } \\ { 0 } & { 0 } & { - \frac { 2 \, i \, \sqrt { 3 } } { 3 } z ^ { 2 } - \frac { 5 z ^ { 3 } } { 2 } - \frac { 5 i \, \sqrt { 3 } } { 4 } z ^ { 4 } } & { \frac { 2 \, i \, \sqrt { 3 } } { 3 } z ^ { 2 } - \frac { 5 z ^ { 3 } } { 2 } + \frac { 5 i \, \sqrt { 3 } } { 4 } z ^ { 4 } } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { c c } { \hat { H } _ { 1 } ( z ) } & { \hat { H } _ { 1 2 } ( z ) } \\ { 0 } & { \hat { H } _ { 2 } ( z ) } \end{array} \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { T } _ { 1 } } & { = \sum _ { \Tilde { p } : D _ { K L } ( \Tilde { p } \| p _ { X } ) > \frac { \epsilon _ { n } ^ { 2 } } { 2 \log _ { e } 2 } } \Pi _ { \Tilde { p } } ^ { - 1 } 2 ^ { - 2 m _ { n } D _ { K L } ( \Tilde { p } \| p _ { X } ) } } \\ { \tilde { T } _ { 2 } } & { = \sum _ { \Tilde { p } : D _ { K L } ( \Tilde { p } \| p _ { X } ) \le \frac { \epsilon _ { n } ^ { 2 } } { 2 \log _ { e } 2 } } \Pi _ { \Tilde { p } } ^ { - 1 } 2 ^ { - 2 m _ { n } D _ { K L } ( \Tilde { p } \| p _ { X } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf { v } } _ { k } ^ { * } = { \left( { { { \bf { I } } _ { M } } + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } { \frac { { \lambda _ { i } ^ { * } { \gamma _ { i } } { { \bf { h } } _ { i } } { \bf { h } } _ { i } ^ { H } } } { { { \sigma ^ { 2 } } } } } } \right) ^ { - 1 } } \lambda _ { k } ^ { * } \frac { { { { \bf { h } } _ { k } } { \bf { h } } _ { k } ^ { H } } } { { { \sigma ^ { 2 } } } } { \bf { v } } _ { k } ^ { * } , \forall k . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { D _ { r } = \frac { \partial } { \partial r } + \frac { 1 } { r } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \alpha _ { i } ( 1 - \mathcal { R } _ { i } ) , \quad \quad D _ { t } = \frac { \partial } { \partial t } , } \\ & { D _ { \theta } = \frac { \partial } { \partial \theta } + \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \alpha _ { i } ( 1 - \mathcal { R } _ { i } ) \cot \theta - \alpha _ { 3 } ( 1 + \mathcal { R } _ { 3 } ) \tan \theta , } \\ & { D _ { \phi } = \frac { \partial } { \partial \phi } - \alpha _ { 1 } \tan \phi ( 1 - \mathcal { R } _ { 1 } ) + \alpha _ { 2 } \cot \phi ( 1 - \mathcal { R } _ { 2 } ) . } \end{array}
\mathfrak { g } ^ { * } = \operatorname* { l i m } _ { \stackrel { \longleftarrow } { i \ge 1 } } F ^ { 1 } \mathfrak { a } ^ { * } / F ^ { i } \mathfrak { a } ^ { * } , \qquad \mathfrak { h } ^ { * } : = \widehat { \mathfrak { a } ^ { * } } = \operatorname* { l i m } _ { \stackrel { \longleftarrow } { i \ge 0 } } \mathfrak { a } ^ { * } / F ^ { i } \mathfrak { a } ^ { * }
c ( k ) : = \operatorname* { m i n } \left( \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 2 \beta ^ { - 1 } } c _ { f } e ^ { - c _ { f } R _ { 1 } } R _ { 1 } ^ { - 1 } - \tilde { \varepsilon } ( \eta _ { k } ) , \frac { 1 } { 2 } \left( e ^ { - c _ { f } R _ { 1 } } \kappa - c ^ { \prime } \eta _ { k } ^ { \frac { 1 } { 2 } } | \log \eta _ { k } | ^ { \frac { 1 } { 2 } } - 3 e ^ { - \bar { c } \beta R ^ { 2 } \eta _ { k } ^ { - 1 } / 1 2 8 } \right) \right) .
\begin{array} { r l } { O r d _ { m , n } ^ { \kappa , \rho } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \rho } & { \mathrm { i f ~ } m > n + \rho ; \, \rho = 1 , 2 , \cdots } \\ { \displaystyle { m - n } } & { \mathrm { i f ~ } n < m ; \, \rho \mathrm { ~ n o n - i n t e g e r } } \\ & { \mathrm { o r ~ } n < m \leq n + \rho ; \, \rho = 1 , 2 , \cdots . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Dot { x _ { 1 } } } & { = x _ { 3 } x _ { 4 } , \quad \Dot { x _ { 2 } } = x _ { 5 } x _ { 6 } , \quad \Dot { x _ { 3 } } = - x _ { 3 } x _ { 4 } x _ { 7 } , \quad \Dot { x _ { 4 } } = - x _ { 5 } x _ { 6 } x _ { 8 } , } \\ & { \Dot { x _ { 5 } } = x _ { 3 } x _ { 4 } x _ { 5 } , \quad \Dot { x _ { 6 } } = x _ { 5 } x _ { 6 } ^ { 2 } , \quad \Dot { x _ { 7 } } = x _ { 3 } ^ { 2 } x _ { 4 } , \quad \Dot { x _ { 8 } } = x _ { 4 } x _ { 5 } x _ { 6 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { k _ { 1 } ( z , \lambda ) = \frac { \psi \left( \frac { c _ { 0 , 1 } z } { \nu \lambda } \right) - c _ { 0 , 1 } } { 1 - z } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { - \alpha _ { 2 } } { ( \alpha _ { 1 } + 1 ) ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } + 1 ) ( 1 - z ) } , } & { \mathrm { i f ~ } 0 < z < \frac { \nu \lambda } { c _ { 0 , 1 } } \ } \\ { \frac { c _ { 0 , 1 } \left( \frac { \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } + 2 } { \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } + 1 } \frac { z } { \lambda \, \nu } - 1 \right) } { 1 - z } , } & { \mathrm { i f ~ } \frac { \nu \lambda } { c _ { 0 , 1 } } < z < \infty } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { 1 } } & { = \hat { u } _ { y } | _ { t = 0 } = 0 , } \\ { a _ { 2 } } & { = \frac { \partial { \hat { u } _ { y } } } { \partial { t } } | _ { t = 0 } = \alpha g \left( \frac { k _ { z } ^ { 2 } + k _ { x } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } \right) \hat { \Theta } _ { 0 } , } \\ { a _ { 3 } } & { = \frac { \partial ^ { 2 } \hat { u } _ { y } } { \partial { t ^ { 2 } } } | _ { t = 0 } = 0 , } \\ { a _ { 4 } } & { = \frac { \partial ^ { 3 } { \hat { u } _ { y } } } { \partial { t ^ { 3 } } } | _ { t = 0 } = - ( \omega _ { M } ^ { 2 } + \omega _ { C } ^ { 2 } + \omega _ { A } ^ { 2 } ) ~ a _ { 2 } , } \\ { a _ { 5 } } & { = \frac { \partial ^ { 4 } { \hat { u } _ { y } } } { \partial { t ^ { 4 } } } | _ { t = 0 } = \omega _ { M } ^ { 2 } \omega _ { \eta } ~ a _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d \epsilon } \Psi _ { P _ { \epsilon } } ( X ) \bigg \rvert _ { \epsilon = 0 } } & { = \mathbb { E } _ { P } \left[ s ( O ) \left\{ \frac { \mathbb { I } ( A = 1 ) } { P \left[ A = 1 \middle | X \right] } - \frac { \mathbb { I } ( A = 0 ) } { P \left[ A = 0 \middle | X \right] } \right\} ( Y - \bar { Q } _ { P } ^ { ( A ) } ( X ) ) \middle | X \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { p _ { 3 } } S _ { q _ { 4 } } ^ { p _ { 3 } } v _ { q _ { 1 } q _ { 2 } } ^ { p _ { 1 } p _ { 3 } } } & { = \sum _ { p _ { 3 } } \iint \! d \mathbf { r } d \mathbf { r } _ { i } d \mathbf { r } _ { j } \, \phi _ { p _ { 3 } } ^ { * } ( \mathbf { r } ) \phi _ { q _ { 4 } } ( \mathbf { r } ) \phi _ { p _ { 1 } } ^ { * } ( \mathbf { r } _ { i } ) \phi _ { p _ { 3 } } ( \mathbf { r } _ { i } ) v _ { i j } \phi _ { q _ { 1 } } ^ { * } ( \mathbf { r } _ { j } ) \phi _ { q _ { 2 } } ( \mathbf { r } _ { j } ) } \\ & { = \iint \! d \mathbf { r } d \mathbf { r } _ { i } d \mathbf { r } _ { j } \, \delta ( \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { i } ) \phi _ { q _ { 4 } } ( \mathbf { r } ) \phi _ { p _ { 1 } } ^ { * } ( \mathbf { r } _ { i } ) v _ { i j } \phi _ { q _ { 1 } } ^ { * } ( \mathbf { r } _ { j } ) \phi _ { q _ { 2 } } ( \mathbf { r } _ { j } ) } \\ & { = v _ { q _ { 1 } q _ { 2 } } ^ { p _ { 1 } q _ { 4 } } , } \end{array}
\psi _ { \pm , n } ^ { ( a ) } = \psi _ { \pm , 0 } ^ { ( a ) } \sum _ { m = 1 } ^ { n } \frac { \left( \mathtt { q } - \mathtt { q } ^ { - 1 } \right) ^ { m } } { m ! } \sum _ { \substack { r _ { 1 } , \dots , r _ { m } > 0 \, r _ { 1 } + \dots + r _ { m } = n } } \mathtt { k } _ { \pm r _ { 1 } } ^ { ( a ) } \mathtt { k } _ { \pm , r _ { 2 } } ^ { ( a ) } \dots \mathtt { k } _ { \pm , r _ { m } } ^ { ( a ) } .
\widehat { P } _ { l + 1 } \left( \begin{array} { l } { \beta _ { l } e _ { l } ^ { ( l ) } } \\ { \alpha _ { l + 1 } e _ { 1 } ^ { ( s ) } } \end{array} \right) = P _ { 1 } \cdots P _ { l - 1 } \Bigg ( \left( \begin{array} { l } { 0 _ { n } } \\ { Q _ { A } v _ { l + 1 } } \end{array} \right) - ( v _ { l + 1 } ^ { T } g _ { l } ) p _ { l } \Bigg ) = \left( \begin{array} { l } { 0 _ { n } } \\ { Q _ { A } v _ { l + 1 } } \end{array} \right) + f _ { l + 1 } ,
\big ( \operatorname* { m i n } \{ G _ { n - Y _ { i } + 1 , Y _ { i } } \left( 1 - \frac { \tilde { \mu } _ { \tilde { n } , j } ^ { l o w e r } } { \tilde { n } } \right) : j \neq i \} , \operatorname* { m a x } \{ G _ { n - Y _ { i } , Y _ { i } + 1 } \left( 1 - \frac { \tilde { \mu } _ { \tilde { n } , j } ^ { l o w e r } } { \tilde { n } } \right) : j \neq i \} \big ] ,
\begin{array} { r l } { \mathscr { P } ( z ) = \frac { 1 } { 2 } \Re \{ \mathbf { x } \cdot \mathbf { y } ^ { * } \} = } & { \left[ \mathbb { 1 } + \mathbf { S } ( z ) \right] \cdot \left[ \mathbf { x _ { i } ^ { \textrm { a b s } } } \odot \mathbf { d } ^ { * } ( z ) \right] } \\ & { \cdot \left[ \mathbb { 1 } - \mathbf { S } ( z ) \right] ^ { * } \cdot \frac { \mathbf { x _ { i } ^ { \textrm { a b s } } } \odot \mathbf { d } ( z ) } { Z _ { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ \mathcal { L } _ { B } ^ { * } , [ \mathcal { L } _ { R } ^ { * } , \mathcal { L } _ { B } ^ { * } ] ] \mu ( x , v ) } & { = \mathcal { L } _ { B } ^ { * } ( \lambda _ { r } \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \mu ( x , v ) ) + [ \mathcal { L } _ { R } ^ { * } , \mathcal { L } _ { B } ^ { * } ] ( \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \mu ( x , v ) ) } \\ & { = \lambda _ { r } \mu ( x , v ) \Bigg ( \langle R ( x ) v , \nabla \psi ( x ) \rangle \lambda _ { 1 } ( x , R ( x ) v ) - \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \lambda _ { 1 } ( x , v ) } \\ & { \quad + \int \Big ( \langle R ( x ) y , \nabla \psi ( x ) \rangle \lambda _ { 1 } ( x , R ( x ) y \rangle - \langle y , \nabla \psi ( x ) \rangle \lambda _ { 1 } ( x , y ) \Big ) \nu ( d y ) } \\ & { \quad + \int ( \langle y , \nabla \psi ( x ) \rangle \nu ( d y ) \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \Bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( \nu _ { \mu } \to \nu _ { \tau } ) } & { = 0 . 2 9 1 6 \pm 0 . 0 0 2 6 \sin \delta _ { \mathrm { C P } } \, ( 0 . 5 0 9 3 \pm 0 . 0 0 4 8 \sin \delta _ { \mathrm { C P } } ) , } \\ { P ( \nu _ { \mu } \rightarrow \nu _ { e } ) } & { = 0 . 0 1 5 1 \mp 0 . 0 0 2 6 \sin \delta _ { \mathrm { C P } } \, ( 0 . 0 2 6 4 \mp 0 . 0 0 4 8 \sin \delta _ { \mathrm { C P } } ) , } \\ { P ( \nu _ { e } \rightarrow \nu _ { \mu } ) } & { = 0 . 0 1 5 1 \pm 0 . 0 0 2 6 \sin \delta _ { \mathrm { C P } } \, ( 0 . 0 2 6 4 \pm 0 . 0 0 4 8 \sin \delta _ { \mathrm { C P } } ) , } \\ { P ( \nu _ { e } \rightarrow \nu _ { \tau } ) } & { = 0 . 0 1 1 9 \mp 0 . 0 0 2 6 \sin \delta _ { \mathrm { C P } } \, ( 0 . 0 2 0 9 \mp 0 . 0 0 4 8 \sin \delta _ { \mathrm { C P } } ) . } \end{array}
\boldsymbol { \kappa } _ { m } ^ { ( 1 ) } \in H ^ { 1 } \bigl ( \mathbf { Q } , H ^ { 1 } ( \tilde { \Gamma } ( m , p ) , \mathcal { D } _ { \kappa _ { f } } ^ { \prime } ) \hat { \otimes } _ { \mathcal O } H ^ { 1 } ( \Gamma ( m , p ) , \mathcal { D } _ { \kappa _ { g } } ^ { \prime } ) \hat { \otimes } _ { \mathcal O [ D _ { m } ] } H ^ { 1 } ( \Gamma ( m , p ) , \mathcal { D } _ { \kappa _ { h } } ^ { \prime } ) ( 2 - \kappa _ { { \boldsymbol { f } } { \boldsymbol { g } } { \boldsymbol { h } } } ^ { * } ) \bigr )
\begin{array} { r l } { \sum _ { i } \nabla _ { i } ^ { 2 } \tau } & { = \sum _ { i } \sum _ { a } \nabla _ { i } ^ { 2 } u ( \boldsymbol { r } _ { i } , \boldsymbol { r } _ { a } ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } \sum _ { a } \nabla _ { i } ^ { 2 } u ( \boldsymbol { r } _ { i } , \boldsymbol { r } _ { a } ) } \\ & { \quad + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } \sum _ { a } \nabla _ { a } ^ { 2 } u ( \boldsymbol { r } _ { a } , \boldsymbol { r } _ { i } ) } \\ & { = \sum _ { i < j } \nabla _ { i } ^ { 2 } u ( \boldsymbol { r } _ { i } , \boldsymbol { r } _ { j } ) + \sum _ { i < j } \nabla _ { j } ^ { 2 } u ( \boldsymbol { r } _ { i } , \boldsymbol { r } _ { j } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \| \widetilde v _ { k } - \nabla f ( x _ { k - 1 } ) \| ^ { 2 } \leq } & { \ ( 1 + 1 / K ) \mathbb { E } \| \widetilde v _ { k - 1 } - \nabla f ( x _ { k - 2 } ) \| ^ { 2 } + \left( ( K + 1 ) \zeta ^ { 2 } + \frac { L ^ { 2 } } { b } \right) \mathbb { E } \| x _ { k - 1 } - x _ { k - 2 } \| ^ { 2 } } \\ & { + C _ { 3 } ^ { 2 } \sigma _ { 3 } ^ { 2 } d \mathbb { E } \| x _ { k - 1 } - x _ { k - 2 } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\Bigl ( \mathbb { E } \bigl | \iota _ { \varepsilon } \bigl ( \Pi _ { z } ^ { \gamma , 2 } \tau \bigr ) ( \phi _ { z } ^ { \lambda } ) \bigr | ^ { p } \Bigr ) ^ { \frac { 1 } { p } } \lesssim \mathfrak { e } ^ { 2 ( a - 3 ) } ( \lambda \vee \mathfrak { e } ) ^ { \frac { 5 } { 2 } - 2 a } \Bigl ( \varepsilon ^ { \frac 9 4 } + \varepsilon ^ { \frac 9 2 - \bar { \kappa } } \mathfrak { e } ^ { - \frac { 5 } { 2 } } \Bigr ) .
\begin{array} { r l } { ( \mathbb { I } _ { 1 } + \mathbb { I } _ { 2 } ) _ { a b c d } } & { = \mathbb { I } _ { 1 a b c d } + \mathbb { I } _ { 2 a b c d } = \frac { 1 } { 3 } \delta _ { a b } \delta _ { c d } + \Big ( \frac { 1 } { 2 } \delta _ { a d } \delta _ { b c } + \frac { 1 } { 2 } \delta _ { a c } \delta _ { b d } - \frac { 1 } { 3 } \delta _ { a b } \delta _ { c d } \Big ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \Big ( \delta _ { a d } \delta _ { b c } + \delta _ { a c } \delta _ { b d } \Big ) = \mathbb { S } _ { a b c d } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta _ { i } ^ { 2 } | | d _ { i } ^ { ( k ) } - \tilde { d } _ { i } | | ^ { 2 } } & { = | | x _ { i } ^ { ( k ) } - x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } - ( \tilde { x } _ { i } - \tilde { x } _ { i + 1 } ) | | ^ { 2 } \leq 2 | | x _ { i } ^ { ( k ) } - \tilde { x } _ { i } | | ^ { 2 } + 2 | | x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } - \tilde { x } _ { i + 1 } | | ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 2 \lambda ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } \big ( | | z _ { i } ^ { ( k ) } - \bar { z } _ { i } | | ^ { 2 } + | | z _ { i + 1 } ^ { ( k ) } - \bar { z } _ { i + 1 } | | ^ { 2 } \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { q _ { 1 } = \frac { \alpha _ { 1 } e ^ { p _ { 1 } \xi + \frac { \tau } { p _ { 1 } } } } { \beta + \beta _ { 2 } e ^ { ( p _ { 1 } + p _ { 1 } ^ { * } ) \xi + ( \frac { 1 } { p _ { 1 } } + \frac { 1 } { p _ { 1 } ^ { * } } ) \tau } } ; } \\ & { \theta _ { 1 } ( \xi , \ \tau ) \to 0 ; \quad \theta _ { 2 } ( \xi , \ \tau ) \to - \infty } \\ & { q _ { 2 } = \frac { \alpha _ { 3 } e ^ { p _ { 2 } \xi + \frac { \tau } { p _ { 2 } } } } { \beta _ { 2 } + \beta _ { 6 } e ^ { ( p _ { 2 } + p _ { 2 } ^ { * } ) \xi + ( \frac { 1 } { p _ { 2 } } + \frac { 1 } { p _ { 2 } ^ { * } } ) \tau } } ; } \\ & { \theta _ { 2 } ( \xi , \ \tau ) \to 0 ; \quad \theta _ { 1 } ( \xi , \ \tau ) \to \infty } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d \delta } \bigg | _ { \delta = 1 } J _ { \tau _ { \delta } } ^ { - w } \bar { J } _ { \tau _ { \delta } } ^ { - w ^ { \prime } } \left( \Psi _ { j , k } \circ \tau _ { \delta } \right) \bigg | _ { \mathcal { H } _ { j + 1 , j } ^ { \S } \bigoplus \mathcal { H } _ { j , j + 1 } ^ { \S } } } & { = A z P _ { j } ^ { ( n - 1 , 1 ) } ( 2 | z | ^ { 2 } - 1 ) } \\ & { + B \bar { z } ^ { 1 } P _ { j } ^ { ( n - 1 , 1 ) } ( 2 | z | ^ { 2 } - 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ell ( \tau _ { m + 1 } ^ { \prime } ) - \ell ( \tau _ { m } ) } & { = \ell ( \tau _ { m + 1 } ^ { \prime } ) - \ell ( \tau _ { m } ^ { \prime } ) - ( \mu ( k ) - 5 ) } \\ & { \leq - \log ( a ) + \ell ( r _ { m + 1 } ) + 2 + \log ( a ) - \ell ( r _ { m } ) - ( \mu ( k ) - 5 ) } \\ & { = ( \ell ( r _ { m + 1 } ) - \ell ( r _ { m } ) ) - ( \mu ( k ) - 5 ) + 2 } \\ & { = \mu ( k ) - ( \mu ( k ) - 5 ) + 2 } \\ & { = 7 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { n _ { 2 } \otimes \rho ( g _ { 2 } ) [ n _ { 1 } ] \otimes R _ { g _ { 2 } , g _ { 1 } } ( * ) \xrightarrow { \nu _ { 2 } \otimes \operatorname { i d } _ { \rho ( g _ { 2 } ) [ n _ { 1 } ] \otimes R _ { g _ { 2 } , g _ { 1 } } ( * ) } } } \\ & { n _ { 2 } ^ { \prime } \otimes \rho ( \gamma _ { 2 } ) _ { * } \otimes \rho ( g _ { 2 } ) [ n _ { 1 } ] \otimes R _ { g _ { 2 } , g _ { 1 } } ( * ) \xrightarrow { \operatorname { i d } _ { n _ { 2 } ^ { \prime } \otimes \rho ( \gamma _ { 2 } ) _ { * } } \otimes \rho ( g _ { 2 } ) [ \nu _ { 1 } ] \otimes \operatorname { i d } _ { R _ { g _ { 2 } , g _ { 1 } } ( * ) } } } \\ & { n _ { 2 } ^ { \prime } \otimes \rho ( \gamma _ { 2 } ) _ { * } \otimes \rho ( g _ { 2 } ) [ n _ { 1 } ^ { \prime } ] \otimes \rho ( g _ { 2 } ) [ \rho ( \gamma _ { 1 } ) _ { * } ] \otimes R _ { g _ { 2 } , g _ { 1 } } ( * ) \xrightarrow { \operatorname { i d } _ { n _ { 2 } ^ { \prime } } \otimes \rho ( \gamma _ { 2 } ) _ { n _ { 1 } ^ { \prime } } \otimes \operatorname { i d } _ { \rho ( g _ { 2 } ) [ \rho ( \gamma _ { 1 } ) _ { * } ] \otimes R _ { g _ { 2 } , g _ { 1 } } ( * ) } } } \\ & { n _ { 2 } ^ { \prime } \otimes \rho ( g _ { 2 } ^ { \prime } ) [ n _ { 1 } ^ { \prime } ] \otimes \rho ( \gamma _ { 2 } ) _ { * } \otimes \rho ( g _ { 2 } ) [ \rho ( \gamma _ { 1 } ) _ { * } ] \otimes R _ { g _ { 2 } , g _ { 1 } } ( * ) \xrightarrow { \operatorname { i d } _ { n _ { 2 } ^ { \prime } \otimes \rho ( g _ { 2 } ^ { \prime } ) [ n _ { 1 } ^ { \prime } ] } \otimes R _ { \gamma _ { 2 } , \gamma _ { 1 } } ( * ) } n _ { 2 } ^ { \prime } \otimes \rho ( g _ { 2 } ^ { \prime } ) [ n _ { 1 } ^ { \prime } ] \otimes R _ { g _ { 2 } ^ { \prime } , g _ { 1 } ^ { \prime } } \otimes \rho ( \gamma _ { 2 } \otimes \gamma _ { 1 } ) _ { * } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 1 - \frac { 1 } { 4 ( \gamma ^ { 2 } - 1 ) \sqrt { \pi \operatorname* { m a x } \{ I _ { n } ^ { \prime \prime } - \mu _ { n } , \mu _ { n } + K \} \gamma ^ { 2 } } } \left( \frac { 2 \gamma ^ { 2 } } { e ^ { \gamma ^ { 2 } - 1 } } \right) ^ { 2 } } \\ & { - \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi ( K + 1 ) } } \left( \frac { e } { K + 1 } \right) ^ { K + 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { r _ { k } } & { = ( A ^ { T } A ) ^ { k - k _ { 0 } + 1 } V _ { k _ { 0 } } \gamma _ { k - k _ { 0 } + 1 } ^ { ( k ) } + ( A ^ { T } A ) ^ { k - k _ { 0 } } V _ { k _ { 0 } } \gamma _ { k - k _ { 0 } } ^ { ( k ) } + \ldots + V _ { k _ { 0 } } \gamma _ { 0 } ^ { ( k ) } } \\ & { = \sum _ { m = 0 } ^ { k - k _ { 0 } + 1 } ( A ^ { T } A ) ^ { m } V _ { k _ { 0 } } \gamma _ { m } ^ { ( k ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi } & { = \frac { 2 n + 1 } { 2 } \left[ \arctan { \left( \zeta - \tau _ { x } \delta \omega \right) } + \arctan { \left( \zeta - \tau _ { y } \delta \omega \right) } \right] } \\ & { = \frac { 2 n + 1 } { 2 } \left[ \arctan { \left( \zeta - ( \tau _ { p } + \tau _ { a } ) \delta \omega \right) } + \arctan { \left( \zeta - ( \tau _ { p } - \tau _ { a } ) \delta \omega \right) } \right] } \\ & { = ( 2 n + 1 ) \arctan { ( \zeta ) } - \phi ( \omega , \zeta ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } ( \hat { o } ) } & { \leq e ^ { 2 } \left( \eta / k \right) ^ { k } \left( \eta / k - 1 \right) ^ { k } \sum _ { a = 0 } ^ { k } \binom { k } { a } \left( \eta / k - 1 \right) ^ { - a } \frac { \left( \eta - 2 k + a \right) ! } { \left( \eta - a \right) ! } } \\ & { \leq e ^ { 2 } \left( \eta / k \right) ^ { k } \left( \eta / k - 1 \right) ^ { k } \sum _ { a = 0 } ^ { k } \binom { k } { a } \left( \eta / k - 1 \right) ^ { - a } \frac { \left( \eta - 2 k + a \right) ! } { \left( \eta - k \right) ! } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { A } _ { \Gamma _ { 4 } } } & { ( \Psi _ { 1 } , \Psi _ { 2 } , \Psi _ { 3 } , \Psi _ { 4 } ) = g ( \mu _ { 2 } ( \Psi _ { 3 } , \Psi _ { 4 } ) , 2 \pi K G _ { - } \mu _ { 2 } ( \Psi _ { 1 } , \Psi _ { 2 } ) ) } \\ & { = g ( \mu _ { 2 } ( \Psi _ { 3 } , \Psi _ { 4 } ) , 2 \pi K G _ { - } \mu _ { 2 } ( \Psi _ { 2 } , \Psi _ { 1 } ) ) = g ( \mu _ { 2 } ( \Psi _ { 4 } , \Psi _ { 3 } ) , 2 \pi K G _ { - } \mu _ { 2 } ( \Psi _ { 1 } , \Psi _ { 2 } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \dot { v } ( t ) , v ( t ) \rangle \ = \ } & { \frac { \gamma ^ { 2 } \dot { \varepsilon } ( t ) } { 2 } \| x ( t ) - x _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } \| ^ { 2 } + \left( \frac { \gamma \dot { \varepsilon } ( t ) } { 2 \sqrt { \varepsilon ( t ) } } + \gamma ( \gamma - \alpha ) \varepsilon ( t ) \right) \langle x ( t ) - x _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } , \dot { x } ( t ) \rangle } \\ & { - \ \gamma ^ { 2 } \varepsilon ( t ) \left\langle \frac { d } { d t } x _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } , x ( t ) - x _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } \right\rangle - \gamma \sqrt { \varepsilon ( t ) } \left\langle x ( t ) - x _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } , \nabla \varphi _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } ( x ( t ) ) \right\rangle } \\ & { + \ \left( \gamma - \alpha \right) \sqrt { \varepsilon ( t ) } \| \dot { x } ( t ) \| ^ { 2 } - \gamma \sqrt { \varepsilon ( t ) } \left\langle \frac { d } { d t } x _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } , \dot { x } ( t ) \right\rangle - \left\langle \nabla \varphi _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } ( x ( t ) ) , \dot { x } ( t ) \right\rangle } \\ & { + \ \frac { \gamma \beta \dot { \varepsilon } ( t ) } { 2 \sqrt { \varepsilon ( t ) } } \left\langle x ( t ) - x _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } , \nabla \Phi _ { \lambda ( t ) } ( x ( t ) ) \right\rangle + \beta \left( \gamma - \alpha \right) \sqrt { \varepsilon ( t ) } \left\langle \nabla \Phi _ { \lambda ( t ) } ( x ( t ) ) , \dot { x } ( t ) \right\rangle } \\ & { - \ \gamma \beta \sqrt { \varepsilon ( t ) } \left\langle \frac { d } { d t } x _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } , \nabla \Phi _ { \lambda ( t ) } ( x ( t ) ) \right\rangle - \beta \left\langle \nabla \varphi _ { \varepsilon ( t ) , \lambda ( t ) } ( x ( t ) ) , \nabla \Phi _ { \lambda ( t ) } ( x ( t ) ) \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \Phi ( x ) - \Bar { \Phi } _ { r } ( x ) \right| } & { = \left| \Phi ( x ) - \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } \Phi ( y ) \rho _ { r } ( x - y ) \mathrm { d } y \right| } \\ & { = \left| \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } \left( \Phi ( x ) - \Phi ( y ) \right) \rho _ { r } ( x - y ) \mathrm { d } y \right| } \\ & { \le \left( \left| \nabla \Phi \left( \mathbf { 0 } \right) \right| + \omega _ { \nabla \Phi } ( 1 ) \left( 1 + \frac { r } { 2 } + | x | \right) \right) \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } \left| x - y \right| \rho _ { r } ( x - y ) \mathrm { d } y } \\ & { \le r \left( \left| \nabla \Phi \left( \mathbf { 0 } \right) \right| + \omega _ { \nabla \Phi } ( 1 ) \left( 1 + \frac { r } { 2 } + | x | \right) \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \mathcal { T } } \{ A _ { 1 } ( t _ { 1 } ) A _ { 2 } ( t _ { 2 } ) \cdots A _ { n } ( t _ { n } ) \} } & { = \sum _ { p } \theta ( t _ { p _ { 1 } } > t _ { p _ { 2 } } > \cdots > t _ { p _ { n } } ) \varepsilon ( p ) A _ { p _ { 1 } } ( t _ { p _ { 1 } } ) A _ { p _ { 2 } } ( t _ { p _ { 2 } } ) \cdots A _ { p _ { n } } ( t _ { p _ { n } } ) } \\ & { = \sum _ { p } \left( \prod _ { j = 1 } ^ { n - 1 } \theta ( t _ { p _ { j } } - t _ { p _ { j + 1 } } ) \right) \varepsilon ( p ) A _ { p _ { 1 } } ( t _ { p _ { 1 } } ) A _ { p _ { 2 } } ( t _ { p _ { 2 } } ) \cdots A _ { p _ { n } } ( t _ { p _ { n } } ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { | D ^ { l } ( \check { v } _ { h } \circ M _ { K } ) | ( M _ { K } ^ { - 1 } ( x ) ) } \\ { \leq } & { C \sum _ { k = 1 } ^ { l } | D ^ { k } \check { v } _ { h } | ( x ) \sum _ { i \in I ( k , l ) } | D M _ { K } ( M _ { K } ^ { - 1 } ( x ) ) | ^ { i _ { 1 } } | D ^ { 2 } M _ { K } ( M _ { K } ^ { - 1 } ( x ) ) | ^ { i _ { 2 } } . . . | D ^ { l } M _ { K } ( M _ { K } ^ { - 1 } ( x ) ) | ^ { i _ { l } } } \\ { \leq } & { C \sum _ { k = 1 } ^ { l } | D ^ { k } \check { v } _ { h } | ( x ) } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } d } & { \in \mathbb { N } , \ \ } & & { \theta _ { l e x } ( h ) \leq 2 \Bigg ( V _ { d } ( c ) \frac { d ! V a r ( \Lambda ^ { \prime } ) \beta ^ { \alpha } } { 2 ^ { d + 1 } } \sum _ { k = 0 } ^ { d } \frac { \left( \frac { 2 \psi ( h ) } { c } \right) ^ { k } } { k ! \left( \frac { 2 \psi ( h ) } { c } + \beta \right) ^ { \alpha - d - 1 + k } } \frac { \Gamma ( \alpha - d - 1 + k ) } { \Gamma ( \alpha ) } \Bigg ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { Z } = } & { \underset { Z } { \arg \operatorname* { m a x } } ~ \langle Z , A \rangle } \\ & { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } \quad Z = x x ^ { T } } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad Z _ { i i } = 1 , \quad i \in [ n ] } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \langle Z , \mathbf { J } \rangle = 0 . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { M _ { \mathrm { a x } } } & { = \left| { \frac { \mathrm { d } s _ { \mathrm { i } } } { \mathrm { d } s _ { \mathrm { o } } } } \right| = \left| { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } s _ { \mathrm { o } } } } \left( { \frac { 1 } { f } } - { \frac { 1 } { s _ { \mathrm { o } } } } \right) ^ { - 1 } \right| } \\ & { = \left| - \left( { \frac { 1 } { f } } - { \frac { 1 } { s _ { \mathrm { o } } } } \right) ^ { - 2 } s _ { \mathrm { o } } ^ { - 2 } \right| } \\ & { = { \frac { s _ { \mathrm { i } } ^ { 2 } } { s _ { \mathrm { o } } ^ { 2 } } } = M ^ { 2 } \, . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { F \left( R _ { 1 } , \ldots , R _ { N } \right) \approx } & { \int _ { 0 } ^ { R _ { 1 } } \ldots \int _ { 0 } ^ { R _ { N } } f _ { \left| \boldsymbol { h } \right| } \left( \left| h _ { 1 } \right| , \ldots , \left| h _ { N } \right| \right) d \left| h _ { 1 } \right| \cdots d \left| h _ { N } \right| } \\ { = } & { \stackrel [ s _ { 1 } = 0 ] { s _ { 0 } } { \sum } \sum _ { s _ { 2 } = 0 } ^ { s _ { 1 } } \ldots \sum _ { s _ { T } = 0 } ^ { s _ { T - 1 } } \frac { g \left( \boldsymbol { s } ^ { * } \right) } { \pi ^ { N } \mathrm { { d e t } \ensuremath { \left( \boldsymbol { J } \right) } } } \prod _ { t = 1 } ^ { T } \frac { \left( - 2 K _ { m , n } \right) ^ { s _ { t } ^ { * } } } { s _ { t } ^ { * } ! \mathrm { { d e t } \ensuremath { \left( \boldsymbol { J } \right) } } ^ { s _ { t } ^ { * } } } \int _ { 0 } ^ { R _ { 1 } } \ldots \int _ { 0 } ^ { R _ { N } } \times } \\ & { \stackrel [ n = 1 ] { N } { \prod } \left| h _ { n } \right| \prod _ { n = 1 } ^ { N } \prod _ { m < n } ^ { N } \left| h _ { n } \right| ^ { s _ { n } ^ { * } } \left| h _ { m } \right| ^ { s _ { m } ^ { * } } \exp \left\{ - \frac { \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left| h _ { n } \right| ^ { 2 } K _ { n , n } } { \mathrm { { d e t } \ensuremath { \left( \boldsymbol { J } \right) } } } \right\} d \left| h _ { 1 } \right| \cdots d \left| h _ { N } \right| } \\ { = } & { \stackrel [ s _ { 1 } = 0 ] { s _ { 0 } } { \sum } \sum _ { s _ { 2 } = 0 } ^ { s _ { 1 } } \ldots \sum _ { s _ { T } = 0 } ^ { s _ { T - 1 } } \frac { g \left( \boldsymbol { s } ^ { * } \right) } { \pi ^ { N } \mathrm { { d e t } \ensuremath { \left( \boldsymbol { J } \right) } } } \prod _ { t = 1 } ^ { T } \frac { \left( - 2 K _ { m , n } \right) ^ { s _ { t } ^ { * } } } { s _ { t } ^ { * } ! \mathrm { { d e t } \ensuremath { \left( \boldsymbol { J } \right) } } ^ { s _ { t } ^ { * } } } \times } \\ & { \stackrel [ n = 1 ] { N } { \prod } \int _ { 0 } ^ { R _ { n } } \left| h _ { n } \right| ^ { \bar { s } _ { n } + 1 } \exp \left\{ - \frac { \left| h _ { n } \right| ^ { 2 } K _ { n , n } } { \mathrm { { d e t } \ensuremath { \left( \boldsymbol { J } \right) } } } \right\} d \left| h _ { n } \right| } \\ { = } & { \stackrel [ s _ { 1 } = 0 ] { s _ { 0 } } { \sum } \sum _ { s _ { 2 } = 0 } ^ { s _ { 1 } } \ldots \sum _ { s _ { T } = 0 } ^ { s _ { T - 1 } } \frac { g \left( \boldsymbol { s } ^ { * } \right) } { \pi ^ { N } \mathrm { { d e t } \ensuremath { \left( \boldsymbol { J } \right) } } } \prod _ { t = 1 } ^ { T } \frac { \left( - K _ { m , n } \right) ^ { s _ { t } ^ { * } } } { s _ { t } ^ { * } ! \mathrm { { d e t } \ensuremath { \left( \boldsymbol { J } \right) } } ^ { s _ { t } ^ { * } } } \times } \\ & { \stackrel [ n = 1 ] { N } { \prod } \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \mathrm { \ensuremath { K _ { n , n } } } } { \mathrm { { d e t } \ensuremath { \left( \boldsymbol { J } \right) } } } \right) ^ { - \frac { \bar { s } _ { n } } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } } \left[ \Gamma \left( \frac { 1 + \bar { s } _ { n } } { 2 } \right) - \Gamma \left( \frac { 1 + \bar { s } _ { n } } { 2 } , \frac { \mathrm { \ensuremath { K _ { n , n } } } R _ { n } ^ { 2 } } { \mathrm { { d e t } \ensuremath { \left( \boldsymbol { J } \right) } } } \right) \right] , } \end{array}
\frac { \log ( n ) - 1 } { \log \log ( 2 n ) } \geq \frac { c _ { 1 } ( \log k ) ^ { 2 } - 1 } { \log ( c _ { 1 } ( \log k ) ^ { 2 } + 1 ) } \geq \frac { \frac { c _ { 1 } } { 2 } ( \log k ) ^ { 2 } } { \log ( c _ { 1 } ( \log k ) ^ { 2 } + 1 ) } = p \ \frac { \frac { c _ { 1 } } { 2 c _ { 1 } ^ { \prime } } \log k } { \log ( c _ { 1 } ( \log k ) ^ { 2 } + 1 ) } \geq p .
\begin{array} { r l } { \ensuremath { \mathcal P } ( A ^ { \prime } ) } & { = \Big \{ C \cup ( - D ) : \, ( C , D ) \in \ensuremath { \mathcal P } ( A \setminus B ) \times \ensuremath { \mathcal P } ( B ) \Big \} } \\ & { = \Big \{ C \cup ( - ( B \setminus D ) ) : \, ( C , D ) \in \ensuremath { \mathcal P } ( A \setminus B ) \times \ensuremath { \mathcal P } ( B ) \Big \} } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { ( ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } + L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } x _ { l - 1 } ( \Gamma ) , ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } + L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } x _ { l } ( \Gamma ) ] \cap \mathbb { N } ^ { * } } \\ & { } & { = \{ s _ { 1 } , s _ { 1 } + 1 , \cdots , s _ { 2 } \} , } \\ & { } & { ( ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } + L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } y _ { l - 1 } ( \Gamma ) , ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } + L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } y _ { l } ( \Gamma ) ] \cap \mathbb { N } ^ { * } } \\ & { } & { = \{ s _ { 1 } ^ { \prime } , s _ { 1 } ^ { \prime } + 1 , \cdots , s _ { 2 } ^ { \prime } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \varepsilon _ { n , \nu } ^ { ( 1 ) } } & { = } & { \frac { \hbar ^ { 3 } c ^ { 3 } \mathcal { N } ^ { 2 } } { 8 \lambda ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { \rho _ { \nu } } W _ { \nu } \bigg ( \frac { \hbar c \rho } { 2 \lambda } \bigg ) \Big \{ m _ { e } c ^ { 2 } \, \big [ Q _ { 1 } ^ { 2 } ( \rho ) + Q _ { 2 } ^ { 2 } ( \rho ) \big ] } \\ & { } & { + 2 \varepsilon \, Q _ { 1 } ( \rho ) Q _ { 2 } ( \rho ) \Big \} \rho ^ { 2 \gamma } e ^ { - \rho } d \rho , } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { t _ { \gamma } ^ { n + 1 } } \\ { \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } _ { \gamma } ^ { n + 1 } } \\ { \eta \bigl ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } _ { \gamma } ^ { n + 1 } \bigr ) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { t ^ { n } } \\ { \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { n } } \\ { \eta \bigl ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { n } \bigr ) } \end{array} \right) + \gamma \Delta t \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { n + 1 } - \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { n } } \\ { \eta ^ { \mathrm { n e w } } - \eta \bigl ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { n } \bigr ) } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { \| \hat { \boldsymbol { u } } ^ { B } - \boldsymbol { u } ^ { B } \| ^ { 2 } = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { t } } \| \hat { \boldsymbol { u } } _ { i } ^ { B } - \boldsymbol { u } _ { i } ^ { B } \| ^ { 2 } } & \\ { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { t } } \left\| \sum _ { k = 1 } ^ { J _ { n } } \sum _ { j = 0 } ^ { i - 1 } \delta u _ { k } \lambda _ { k } ^ { j } \boldsymbol { b } _ { k } \right\| ^ { 2 } } & { \quad { \scriptstyle ( \mathbf { B } ^ { j } \boldsymbol { b } _ { k } = \lambda _ { k } \mathbf { B } ^ { j - 1 } \boldsymbol { b } _ { k } = \cdots = \lambda _ { k } ^ { j } \boldsymbol { b } _ { k } ) } } \\ { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { t } } \sum _ { k = 1 } ^ { J _ { n } } \left| \sum _ { j = 0 } ^ { i - 1 } \lambda _ { k } ^ { j } \right| ^ { 2 } \delta u _ { k } ^ { 2 } } & { \quad { \scriptstyle \mathrm { ( U n i t a r y ~ o r t h o g o n a l i t y ~ o f ~ \{ \boldsymbol { b } _ k \} ~ ) } } } \\ { \ge } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { t } } \left| \sum _ { j = 0 } ^ { i - 1 } \lambda _ { m } ^ { j } \right| ^ { 2 } \delta u _ { m } ^ { 2 } . } & \end{array}
\begin{array} { r l } { B } & { = D H _ { - t } \left( \frac { d } { d s } \Bigr | _ { s = s _ { 0 } } \, \Gamma _ { s } H _ { t } \Gamma _ { - s _ { 0 } } ( p ) \right) = D H _ { - t } \left( Y ( \Gamma _ { s _ { 0 } } H _ { t } \Gamma _ { - s _ { 0 } } ) ( p ) \right) } \\ & { = Y \left( H _ { - t } \Gamma _ { s _ { 0 } } H _ { t } \Gamma _ { - s _ { 0 } } ( p ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { j , \operatorname* { m a x } } } & { = \operatorname* { m a x } \{ A _ { j } ( t ) ~ | ~ t = 1 , 2 , . . . , T - 1 \} , ~ \forall j } \\ { E _ { \operatorname* { m a x } } } & { = \operatorname* { m a x } \{ E _ { i } ~ | ~ i \in \mathcal { I } \} , } \\ { P _ { \operatorname* { m a x } } ^ { \mathrm { b } } } & { = \operatorname* { m a x } \{ p _ { i } ^ { \mathrm { b } } ( t ) ~ | ~ i \in \mathcal { I } , ~ t = 1 , 2 , . . . , T - 1 \} , } \\ { P _ { \operatorname* { m i n } } ^ { \mathrm { s } } } & { = \operatorname* { m i n } \{ p _ { i } ^ { \mathrm { s } } ( t ) ~ | ~ i \in \mathcal { I } , ~ t = 1 , 2 , . . . , T - 1 \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - \frac { 1 } { T } \log \mathbb { P } _ { 0 } \left( \sum _ { t = 1 } ^ { T } \xi _ { t } ^ { a } ( P ) \leq - \frac { \sqrt { T } ( \mu ^ { a ^ { * } ( P ) } ( P ) - \mu ^ { a } ( P ) ) } { \sqrt { V ^ { a * } ( P ) } } \right) } \\ & { \geq - \frac { 1 } { T } \log \left( \exp \left( - \frac { T ( \mu ^ { a ^ { * } ( P ) } ( P ) - \mu ^ { a } ( P ) ) ^ { 2 } } { 2 V ^ { a * } ( P ) } + O \left( \frac { T ( \mu ^ { a ^ { * } ( P ) } ( P ) - \mu ^ { a } ( P ) ) ^ { 3 } } { ( V ^ { a * } ( P ) ) ^ { 3 / 2 } } \right) \right) \right) - \frac { 1 } { T } \log ( 1 + \varepsilon ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow { \infty } } T e ^ { W ( - c / T ) } } & { \overset { ( a ) } { = } \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow { \infty } } \frac { e ^ { W ( - c / T ) } } { 1 / T } } \\ & { \overset { ( b ) } { = } \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow { \infty } } \frac { e ^ { W ( - c / T ) } \frac { 1 } { - c / T + e ^ { W ( - c / T ) } } c T ^ { - 2 } } { - T ^ { - 2 } } } \\ & { \overset { ( c ) } { = } \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow { \infty } } \frac { c e ^ { W ( - c / T ) } } { c / T - e ^ { W ( - c / T ) } } } \\ & { \overset { ( d ) } { = } \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow { \infty } } \frac { c T e ^ { W ( - c / T ) } } { c - T e ^ { W ( - c / T ) } } } \\ & { \overset { ( e ) } { = } \frac { \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow { \infty } } c T e ^ { W ( - c / T ) } } { \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow { \infty } } c - T e ^ { W ( - c / T ) } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } z ( x , t ) + \sum _ { i , j = 1 } ^ { d } a _ { i j } ( x ) \partial _ { i j } z ( x , t ) + \sum _ { i = 1 } ^ { d } b _ { i } ( x ) \partial _ { i } z ( x , t ) + c ( x ) z ( x , t ) = 0 , \ t > 0 , \ x \in \mathcal { O } ; } \\ & { z ( x , t ) = u ( x , t ) , \ x \in \Gamma _ { 1 } , \ z ( x , t ) = 0 \ x \in \Gamma _ { 2 } , \ t > 0 ; } \\ & { z ( 0 , x ) = z _ { o } ( x ) , \ x \in \mathcal { O } . } \end{array}
1 4 , 2 4 ~ \mathrm { { \fontfamily { q p l } \selectfont ~ v o l u m e - s a r } } ~ = ~ ( 8 , 0 , 0 ) \times ( 1 4 , 2 4 ) ~ \mathrm { { \fontfamily { q p l } \selectfont ~ s \` { i } l a } \index { s z i l a @ s \` { i } l a ~ ( c a p a c i t y ~ u n i t ) } } = 1 , 5 5 , 1 2 , 0 , 0 ~ \mathrm { { \fontfamily { q p l } \selectfont ~ s \` { i } l a } \index { s z i l a @ s \` { i } l a ~ ( c a p a c i t y ~ u n i t ) } }
\begin{array} { r l r } & { } & { \prod _ { 1 \leq i < j \leq m } ( q ^ { - ( \mu _ { j } + 1 ) } ( 1 + q ^ { \mu _ { j } + 1 } ) ^ { 2 } - q ^ { - ( \mu _ { i } + 1 ) } ( 1 + q ^ { \mu _ { i } + 1 } ) ^ { 2 } ) } \\ & { = } & { \prod _ { 1 \leq i < j \leq m } - q ^ { - ( \mu _ { i } + 1 ) } ( 1 + q ^ { 2 \mu _ { i } + 2 } - q ^ { \mu _ { i } - \mu _ { j } } - q ^ { \mu _ { i } + \mu _ { j } + 2 } ) } \\ & { = } & { ( - 1 ) ^ { \frac { m ( m - 1 ) } { 2 } } q ^ { - \sum _ { i = 1 } ^ { m } ( m - i ) ( \mu _ { i } + 1 ) } \prod _ { 1 \leq i < j \leq m } ( 1 - q ^ { \mu _ { i } - \mu _ { j } } ) ( 1 - q ^ { \mu _ { i } + \mu _ { j } + 2 } ) } \\ & { = } & { ( - 1 ) ^ { \frac { m ( m - 1 ) } { 2 } } q ^ { - \sum _ { i = 1 } ^ { m } ( m - i ) ( \mu _ { i } + 1 ) } \prod _ { 1 \leq i < j \leq m } [ \mu _ { i } - \mu _ { j } ] [ \mu _ { i } + \mu _ { j } + 2 ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \sf p } _ { i } ^ { \ell } = } & { \; ( c _ { p } - c _ { v } ) \rho _ { i } ^ { \ell } \theta _ { i } ^ { \ell } , } \\ { { \sf e } _ { i } ^ { \ell } = } & { \; c _ { v } \theta _ { i } ^ { \ell } , } \\ { { \sf s } _ { i } ^ { \ell } = } & { \; c _ { v } \log ( \theta _ { i } ^ { \ell } ) - ( c _ { p } - c _ { v } ) \log ( \rho _ { i } ^ { \ell } ) + c _ { v } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { t } \frac { \lambda ( t ) } { 1 - e ^ { - t } } E _ { X _ { 0 } , N \sim \mathcal { N } ( 0 , I _ { d } ) } \Big \| N - \epsilon _ { \theta } ( X _ { 0 } e ^ { - t / 2 } + \sqrt { 1 - e ^ { - t } } N , t ) \Big \| ^ { 2 } d t } \\ { \approx } & { \sum _ { k } \frac { \lambda ( t _ { k } ) } { 1 - \bar { \alpha } _ { k } } E _ { X _ { 0 } , N \sim \mathcal { N } ( 0 , I _ { d } ) } \Big \| N - \epsilon _ { \theta } ( X _ { 0 } \sqrt { \bar { \alpha } _ { k } } + \sqrt { 1 - \bar { \alpha } _ { k } } N , t _ { k } ) \Big \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( x ) } & { = h ^ { 2 } c _ { m n } ^ { 2 } m ^ { 2 } \pi ^ { 2 } \Bigl ( \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 1 } { 4 n \pi } \sin ( 2 n \pi x ) \Bigr ) } \\ & { + h ^ { 2 } c _ { m n } d _ { m n } \pi ^ { 2 } n m \Bigl ( \frac { 1 } { \pi ( n - m ) } \sin ( \pi ( n - m ) x ) - \frac { 1 } { \pi ( n + m ) } \sin ( \pi ( n + m ) x ) \Bigr ) } \\ & { + h ^ { 2 } d _ { m n } ^ { 2 } n ^ { 2 } \pi ^ { 2 } \Bigl ( \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 1 } { 4 m \pi } \sin ( 2 m \pi x ) \Bigr ) + C } \end{array}
\sum _ { \substack { \alpha \in H \backslash G , a \in C \cap \alpha ^ { - 1 } x \alpha , \, c \in \alpha ^ { - 1 } \alpha \cap a ^ { - 1 } \alpha ^ { - 1 } \alpha a \cap Z ( a ) } } \overline { { \psi ^ { \alpha } ( a , c ) } } \psi ^ { \alpha \triangleleft a } ( c , a ) \operatorname { T r } ( \rho ^ { a } ( c ) ) \operatorname { T r } ( \kappa ^ { \alpha , \alpha \triangleleft a } ( c ) ) \; .
\begin{array} { r l } { k _ { W } ( z , z ^ { \prime } ) } & { = \mathrm { C o v } ( W ( z ) , W ( z ^ { \prime } ) ) } \\ & { = \mathbb { E } [ ( W ( z ) W ( z ^ { \prime } ) ] = \mathbb { E } \big [ \big ( U ( z ) + V ( z ) \big ) \big ( U ( z ^ { \prime } ) + V ( z ^ { \prime } ) \big ) \big ] } \\ & { = \mathbb { E } \big [ U ( z ) U ( z ^ { \prime } ) \big ] + \mathbb { E } \big [ U ( z ) V ( z ^ { \prime } ) \big ] + \mathbb { E } \big [ V ( z ) U ( z ^ { \prime } ) \big ] + \mathbb { E } \big [ V ( z ) V ( z ^ { \prime } ) \big ] } \\ & { = [ ( \Dot { F } _ { t } \otimes \Dot { F } _ { t ^ { \prime } } ) * k _ { \mathrm { u } } ] ( x , x ^ { \prime } ) + [ ( F _ { t } \otimes F _ { t ^ { \prime } } ) * k _ { \mathrm { v } } ] ( x , x ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { f ( x , y ) = \left\{ \begin{array} { l r } { e ^ { x + y - 1 / 2 } } & { , \left[ 0 , 0 . 5 \right] \times \left[ 0 , 0 . 5 \right] } \\ { 1 + e ^ { x + y - 1 / 2 } } & { , \left[ 0 , 0 . 5 \right] \times \left( 0 . 5 , 1 \right] \cup \left( 0 . 5 , 1 \right] \times \left[ 0 , 0 . 5 \right] } \\ { 2 + e ^ { x + y - 1 / 2 } } & { , \left[ 0 . 5 , 1 \right] \times \left[ 0 . 5 , 1 \right] } \end{array} \right. } \end{array}
\iota _ { \xi } \mathrm { d } ( \iota _ { Z + q / \gamma } \mathrm { v o l } _ { g } ) = \mathcal { L } _ { \xi } \iota _ { Z + q / \gamma } \mathrm { v o l } _ { g } - \mathrm { d } \iota _ { \xi } \iota _ { Z + q / \gamma } \mathrm { v o l } _ { g } = \iota _ { X _ { \xi } } \delta ( \iota _ { Z + q / \gamma } \mathrm { v o l } _ { g } ) - \mathrm { d } \iota _ { \xi } \iota _ { Z + q / \gamma } \mathrm { v o l } _ { g } ,
\begin{array} { r l r l } { \mathrm { T h e n } \; \; } & { d = f ( c ) } \\ { \implies \; } & { d < c } & & { \mathrm { [ s i n c e ~ f ( c ) ~ < ~ c ~ ] } } \\ { \implies \; } & { f ( d ) \le f ( c ) } & & { \mathrm { [ b y ~ m o n o t o n i c i t y ~ o f ~ f ~ ] } } \\ { \implies \; } & { f ( d ) \le d } & & { \mathrm { [ s i n c e ~ d = f ( c ) ~ ] } } \\ { \implies \; } & { f ( d ) < d } & & { \mathrm { [ s i n c e ~ f ~ h a s ~ n o ~ f i x e d ~ p o i n t s ] } } \\ { \implies \; } & { d \in B } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( p _ { 2 } + e _ { 2 } ) ^ { \perp } } & { = \left< p _ { 2 } - 6 q _ { 2 } , 2 q _ { 2 } + e _ { 2 } \right> = \left( \begin{array} { l l } { 2 8 2 } & { - 9 4 } \\ { - 9 4 } & { 3 0 } \end{array} \right) } \\ & { = \left< p _ { 2 } + 3 e _ { 2 } , 2 q _ { 2 } + e _ { 2 } \right> = \left( \begin{array} { l l } { - 1 2 } & { - 4 } \\ { - 4 } & { 3 0 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi ( s ; x ) } & { : = \frac { 1 } { 2 } \| J ( x ) s + F ( x ) \| _ { 2 } ^ { 2 } , } \\ { \psi ( s ; x ) } & { \approx h ( x + s ) \quad \mathrm { w i t h } \quad \psi ( 0 ; x ) = h ( x ) , } \\ { m ( s ; x , \sigma ) } & { : = \varphi ( s ; x ) + \frac { 1 } { 2 } \sigma \| s \| _ { 2 } ^ { 2 } + \psi ( s ; x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \eta ( T ) } & { = } & { \frac { 5 } { 1 6 } \frac { \sqrt { 2 \pi \mu k _ { \mathrm { B } } T } } { \Omega ^ { ( 2 , 2 ) } } f _ { \eta } ^ { ( k ) } } \\ { \lambda ( T ) } & { = } & { \frac { 7 5 } { 6 4 } \sqrt { \frac { k _ { \mathrm { B } } T } { 2 \pi \mu } } \frac { 1 } { \Omega ^ { ( 2 , 2 ) } } f _ { \lambda } ^ { ( k ) } , } \end{array}
C _ { 3 , k } = \frac { 2 } { 3 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { ( u _ { 1 } u _ { 2 } u _ { 3 } ) ^ { k } } { ( u _ { 1 } u _ { 2 } u _ { 3 } ( u _ { 1 } + u _ { 2 } ) + u _ { 3 } ( u _ { 1 } + u _ { 2 } ) + u _ { 1 } u _ { 2 } u _ { 3 } ^ { 2 } + u _ { 1 } u _ { 2 } ) ^ { k + 1 } } \mathrm { d } u _ { 1 } \mathrm { d } u _ { 2 } \mathrm { d } u _ { 3 }
\begin{array} { r l r } { \P ( \boldsymbol X + \boldsymbol Y \in t A ) } & { \leq } & { \P ( \boldsymbol X \in t A _ { \varepsilon } ^ { + } ) + \P ( \boldsymbol Y \in t N _ { \varepsilon } ^ { c } ) } \\ & { \leq } & { \P ( \boldsymbol X \in t A _ { \varepsilon } ^ { + } ) + \P ( \| \boldsymbol Y \| _ { \infty } > \varepsilon t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \nu \langle X , \nu \rangle = \langle \nabla _ { \nu } X , \nu \rangle + \langle X , \nabla _ { \nu } \nu \rangle } \\ & { = \langle W ( X ) , \nu \rangle - \langle [ X , \nu ] , \nu \rangle + \langle X , \nabla _ { \nu } \nu \rangle } \\ & { = - \langle [ X , \nu ] , \nu \rangle + \langle X , \nabla _ { \nu } \nu \rangle } \\ & { = - f ^ { - 1 } \cdot X ( f ) + \langle X , \nabla _ { \nu } \nu \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi _ { \scriptscriptstyle \mathbf G \mathbf G ^ { \prime } } ^ { \mathrm { R P A } } ( \mathbf k , \omega ) } & { = \chi _ { \scriptscriptstyle \mathbf G \mathbf G ^ { \prime } } ^ { 0 } ( \mathbf k , \omega ) } \\ & { + \sum _ { \scriptscriptstyle \mathbf G _ { 1 } } \chi _ { \scriptscriptstyle \mathbf G \mathbf G _ { 1 } } ^ { 0 } ( \mathbf k , \omega ) \frac { 4 \pi } { | \mathbf k + \mathbf G _ { 1 } | ^ { 2 } } \chi _ { \scriptscriptstyle \mathbf G _ { 1 } \mathbf G ^ { \prime } } ^ { \mathrm { R P A } } ( \mathbf k , \omega ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { q ( \hat { x } , \theta ) \triangleq \nabla _ { \theta } \tilde { \mathcal { J } } ( \hat { x } , \theta ) } \\ & { = \textbf { E } \left[ \begin{array} { c } { \left[ ( X - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } - ( X - \hat { x } _ { 0 } ) ^ { 2 } - d \right] \cdot \mathbf { 1 } ( \gamma _ { \eta , \varphi } ^ { \star } ( X ) = 0 ) } \\ { \left[ ( X - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } - d \right] \cdot \mathbf { 1 } ( \gamma _ { \eta , \varphi } ^ { \star } ( X ) = 1 ) } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } | N ^ { 1 - \varepsilon } ( \eta ^ { \prime } ) ^ { 4 } S _ { 2 } | ^ { 2 \ell } } & { \leq C _ { \ell } N ^ { - 2 \varepsilon \ell } ( \eta ^ { \prime } ) ^ { 2 \ell } \left( \mathbb { E } \left( \sum _ { k = 1 } ^ { N } \mathbb { E } _ { k - 1 } | \delta _ { k } | ^ { 2 } \right) ^ { \ell } + \sum _ { K = 1 } ^ { N } \mathbb { E } | \delta _ { k } | ^ { 2 \ell } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { u } _ { 3 i + 1 } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { i f ~ } \ a _ { 3 i + 1 } = 0 , } \\ { s ( \alpha _ { 1 } ) } & { \mathrm { i f ~ } a _ { 3 i + 1 } = 1 \ \mathrm { a n d } \ | \alpha _ { 2 } | \geq | \alpha _ { 1 } | \ \mathrm { a n d } \ | \alpha _ { 1 } | \geq | \alpha _ { 0 } | } \\ { s ( \alpha _ { 0 } ) \oplus \hat { u } _ { 3 i } } & { \mathrm { i f ~ } a _ { 3 i + 1 } = 1 \ \mathrm { a n d } \ | \alpha _ { 2 } | \geq | \alpha _ { 1 } | \ \mathrm { a n d } \ | \alpha _ { 1 } | < | \alpha _ { 0 } | } \\ { s ( \alpha _ { 2 } ) } & { \mathrm { i f ~ } a _ { 3 i + 1 } = 1 \ \mathrm { a n d } \ | \alpha _ { 2 } | < | \alpha _ { 1 } | \ \mathrm { a n d } \ | \alpha _ { 2 } | \geq | \alpha _ { 0 } | } \\ { s ( \alpha _ { 0 } ) \oplus \hat { u } _ { 3 i } } & { \mathrm { o t h e r w i s e . } } \end{array} \right. } \end{array}
r = \cfrac { 2 } { R ^ { 2 } + 1 } \, \int _ { \Gamma _ { 1 } } ( v _ { 1 } - w _ { 1 } ^ { - } ) \, w _ { 1 } ^ { - } \, d \sigma , \quad t = \cfrac { 2 } { R ^ { 2 } + 1 } \, \int _ { \Gamma _ { 4 } } v _ { 1 } \, w _ { 4 } ^ { - } \, d \sigma , \quad t ^ { \perp } = \cfrac { 2 } { R ^ { 2 } + 1 } \, \int _ { \Gamma _ { 2 } } v _ { 1 } \, w _ { 2 } ^ { - } \, d \sigma ,
\begin{array} { r l r } { \delta \pi _ { \rho } ^ { x x } } & { = } & { - \frac { \alpha _ { \ast s } } { 2 q H } \kappa \left( \kappa m _ { o } \right) ^ { 2 } \rho ^ { 3 \Gamma - 2 } } \\ & { } & { \left[ \frac { 8 } { 3 } + \frac { 4 } { 9 } \frac { \rho ^ { 1 - \Gamma } } { \kappa m _ { o } } \frac { K _ { 3 } \left( \frac { \rho ^ { 1 - \Gamma } } { \kappa m _ { o } } \right) } { K _ { 2 } \left( \frac { \rho ^ { 1 - \Gamma } } { \kappa m _ { o } } \right) } \right] , } \\ { \delta \pi _ { \rho } ^ { z z } } & { = } & { - \frac { \alpha _ { \ast s } } { 2 q H } \kappa \left( \kappa m _ { o } \right) ^ { 2 } \rho ^ { 3 \Gamma - 2 } } \\ & { } & { \left[ \frac { 4 } { 3 } + \frac { 2 } { 9 } \frac { \rho ^ { 1 - \Gamma } } { \kappa m _ { o } } \frac { K _ { 3 } \left( \frac { \rho ^ { 1 - \Gamma } } { \kappa m _ { o } } \right) } { K _ { 2 } \left( \frac { \rho ^ { 1 - \Gamma } } { \kappa m _ { o } } \right) } \right] , } \end{array}
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \ensuremath { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathcal { X } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { i } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( p \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \in \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! T \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { p } M \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r } { \mathbf { E } \left[ G ( x , a _ { i \eta } ) \right] = \frac { 1 } { N N _ { B } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { B } } \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } \int \frac { U _ { \ell } \left( x + r ^ { \prime } z \right) - U _ { \ell } \left( x \right) } { r ^ { \prime } } ( - \nabla \rho ( z ) ) \mathrm { d } z = \nabla \Bar { U } _ { r ^ { \prime } } ( x ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } } & { [ g _ { 2 , \textup { i n } } - g _ { 1 , \textup { i n } } ] ( \eta ) \varphi ( \eta , 0 ) \textup { d } \eta } \\ & { = \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } [ g _ { 2 , \textup { i n } } - g _ { 1 , \textup { i n } } ] ( \eta ) \varphi ( \eta , 0 ) \chi _ { M } ( a ) \textup { d } \eta + \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } [ g _ { 2 , \textup { i n } } - g _ { 1 , \textup { i n } } ] ( \eta ) \varphi ( \eta , 0 ) [ 1 - \chi _ { M } ( a ) ] \textup { d } \eta } \\ & { \leq \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } [ g _ { 2 , \textup { i n } } - g _ { 1 , \textup { i n } } ] ( \eta ) \varphi ( \eta , 0 ) \chi _ { M } ( a ) \textup { d } \eta + 2 | | \varphi ( \eta , 0 ) | | _ { \infty } \int _ { a > M } [ g _ { 2 , \textup { i n } } + g _ { 1 , \textup { i n } } ] ( \eta ) \textup { d } \eta } \\ & { \leq \operatorname* { m i n } _ { i = \overline { { 1 , N } } } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } | [ g _ { 2 , \textup { i n } } - g _ { 1 , \textup { i n } } ] ( \eta ) | | \varphi ( \eta , 0 ) \chi _ { M } ( a ) - \psi _ { i } ( \eta ) | \textup { d } \eta } \\ & { + \operatorname* { m a x } _ { i = \overline { { 1 , N } } } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } [ g _ { 2 , \textup { i n } } - g _ { 1 , \textup { i n } } ] ( \eta ) \psi _ { i } ( \eta ) \textup { d } \eta + 2 M ^ { - 1 } C _ { \textup { n o r m } } | | \varphi ( \eta , 0 ) | | _ { \infty } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { c c } { - d _ { 0 } S _ { x } ( 0 , t ) + S ( 0 , t ) = 1 , \, \, S _ { x } ( 1 , t ) = 0 , } & { 0 < t < T , } \\ { - d _ { 1 } { u } _ { x } ( 0 , t ) + u ( 0 , t ) = 0 , \, \, { u _ { i } } _ { x } ( 1 , t ) = 0 , } & { 0 < t < T , } \\ { - d _ { 2 } { v } _ { x } ( 0 , t ) + v ( 0 , t ) = 0 , \, \, { v _ { i } } _ { x } ( 1 , t ) = 0 , } & { 0 < t < T , } \end{array} \right.
\delta , z ^ { \prime } : \Pi _ { x ^ { \prime } : A ( g ^ { \prime } ( \delta ) ) } B ( \textnormal { \texttt { g } } ^ { \prime } ( \delta ) , x ^ { \prime } ) \vdash f ^ { \Pi } ( \textnormal { \texttt { g } } ( \delta ) , \alpha ( \delta ) ^ { * } z ^ { \prime } ) = \textnormal { \texttt { q } } ( \delta ) ^ { * } f ^ { \Pi } ( \delta , z ^ { \prime } )
\mathcal { D } _ { 2 } ^ { L } = \mathrm { I d } + O \left[ \begin{array} { c c c c } { \epsilon } & { \epsilon ^ { 2 } } & { \beta ^ { 3 } } & { \frac { 1 } { \beta \chi } } \\ { \chi } & { \epsilon ^ { 2 } \chi } & { \beta ^ { 3 } \chi } & { \frac { 1 } { \beta } } \\ { \frac { 1 } { \beta ^ { 2 } \chi } } & { \frac { \epsilon ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } \chi } } & { \frac { 1 } { \beta \chi } } & { \frac { 1 } { \beta ^ { 3 } \chi ^ { 2 } } } \\ { \beta ^ { 3 } \chi } & { \beta ^ { 3 } \epsilon ^ { 2 } \chi } & { \beta ^ { 4 } \chi } & { \beta ^ { 2 } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { \left( \partial _ { y _ { 2 } } - \frac { \Lambda _ { 1 } + \Lambda _ { 2 } } { 2 } - i - 1 \right) \varphi _ { i } ( a _ { 0 } ) + \left( \partial _ { y _ { 1 } } + \frac { 1 } { 2 } \mathrm { s g n } ( c _ { 0 } ) y _ { 1 } + \frac { \Lambda _ { 1 } - \Lambda _ { 2 } } { 2 } - i - 1 \right) \varphi _ { i + 1 } ( a _ { 0 } ) } & { = 0 , } \\ { \left( \partial _ { y _ { 1 } } - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { s g n } ( c _ { 0 } ) y _ { 1 } + \frac { \Lambda _ { 1 } - \Lambda _ { 2 } - 2 } { 2 } \right) \varphi _ { d _ { \Lambda } - 1 } ( a _ { 0 } ) + \left( \partial _ { y _ { 2 } } - \frac { \Lambda _ { 1 } + \Lambda _ { 2 } } { 2 } - 1 \right) \varphi _ { d _ { \Lambda } } ( a _ { 0 } ) } & { = 0 . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { ( 1 - z - z ^ { 2 } ) s ( z ) } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } F _ { k } z ^ { k } - \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } F _ { k } z ^ { k + 1 } - \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } F _ { k } z ^ { k + 2 } } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } F _ { k } z ^ { k } - \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } F _ { k - 1 } z ^ { k } - \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } F _ { k - 2 } z ^ { k } } \\ & { = 0 z ^ { 0 } + 1 z ^ { 1 } - 0 z ^ { 1 } + \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } ( F _ { k } - F _ { k - 1 } - F _ { k - 2 } ) z ^ { k } } \\ & { = z , } \end{array} }
\begin{array} { r } { \mathbf { y } = \alpha \mathbf { W } _ { D } ^ { H } \mathbf { W } _ { A } ^ { H } \mathbf { P } \mathbf { \Phi } \mathbf { R } \mathbf { F } _ { A } \mathbf { F } _ { D } \mathbf { x } + \alpha \mathbf { W } _ { D } ^ { H } \mathbf { W } _ { A } ^ { H } \mathbf { n } + \mathbf { W } _ { D } ^ { H } \mathbf { n _ { q } } , } \end{array}
\mathfrak { s } _ { G } ^ { 1 } ( i _ { 1 } ) _ { i l } : = \left\{ \begin{array} { l l } { ( \emptyset , \{ \delta _ { i i _ { 1 } } \} ) } & { \mathrm { i f ~ } l = 0 , } \\ { ( \mathfrak { s } _ { G } ^ { 1 } ( i _ { 1 } ) _ { i , l - 1 } , \{ \mathfrak { s } _ { G } ^ { 1 } ( i _ { 1 } ) _ { i ^ { \prime } , l - 1 } : i ^ { \prime } \in N _ { G } ( i ) \} ^ { \# } ) } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { K \left( \rho \right) } & { = a _ { 1 } b _ { 1 } \sin \left( \left( \alpha - \mu \right) \pi \right) + a _ { 1 } b _ { 2 } \rho ^ { \alpha - \beta } \sin \left( \left( 2 \alpha - \beta - \mu \right) \pi \right) } \\ & { \quad + a _ { 1 } b _ { 3 } \rho ^ { \alpha + \gamma } \sin \left( \left( 2 \alpha + \gamma - \mu \right) \pi \right) + a _ { 2 } b _ { 1 } \rho ^ { \mu + \nu } \sin \left( \left( \alpha - 2 \mu - \nu \right) \pi \right) } \\ & { \quad + a _ { 2 } b _ { 2 } \rho ^ { \alpha - \beta + \mu + \nu } \sin \left( \left( 2 \alpha - \beta - 2 \mu - \nu \right) \pi \right) + a _ { 2 } b _ { 3 } \rho ^ { \alpha + \gamma + \mu + \nu } \sin \left( \left( 2 \alpha + \gamma - 2 \mu - \nu \right) \pi \right) } \\ & { \quad - a _ { 3 } b _ { 1 } \rho ^ { \alpha + \gamma } \sin \left( \left( \mu + \gamma \right) \pi \right) + a _ { 3 } b _ { 2 } \rho ^ { 2 \alpha - \beta + \gamma } \sin \left( \left( \alpha - \beta - \gamma - \mu \right) \pi \right) + a _ { 3 } b _ { 3 } \rho ^ { 2 \left( \alpha + \gamma \right) } \sin \left( \left( \alpha - \mu \right) \pi \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | P _ { 1 } | \mathbb { P } ( Q ) } & { \ge \sum _ { \{ u , v \} \in P _ { 1 } } \mathbb { P } ( \sigma _ { u } \sigma _ { v } \ne \sigma _ { u } ^ { \prime } \sigma _ { v } ^ { \prime } ) } \\ & { \ge \mathbb { P } ( \sigma _ { i } \sigma _ { k } \ne \sigma _ { i } ^ { \prime } \sigma _ { k } ^ { \prime } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { \Omega _ { T } } \mu ^ { N } ( x , \tau ) u ^ { N } ( x , \tau ) d x d \tau } \\ & { = } & { \int _ { \Omega _ { T } } \left( \nabla u ^ { N } ( x , \tau ) | ^ { 2 } d x + q ^ { \prime } ( u ^ { N } ( x , \tau ) ) u ^ { N } ( x , \tau ) + u ^ { N } ( - \Delta ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } u ^ { N } \right) d x d \tau . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ell } & { = \sum _ { i \in \mathrm { g r o u p 1 } } 1 _ { ( c _ { i } = 1 ) } \Big [ \log ( 1 - \Delta _ { i } ) + \ell _ { i 1 } ^ { 1 } \Big ] + \sum _ { i \in \mathrm { g r o u p 2 } } \Bigg \{ 1 _ { ( c _ { i } = 0 ) } \Big [ \log ( \Delta _ { i } ) + \ell _ { i 0 } ^ { 2 } \Big ] + 1 _ { ( c _ { i } = 1 ) } \Big [ \log ( 1 - \Delta _ { i } ) + \ell _ { i 1 } ^ { 2 } \Big ] \Bigg \} } \\ & { = \sum _ { i \in \mathrm { g r o u p 1 } } \Big [ \log ( 1 - \Delta _ { i } ) + \ell _ { i 1 } ^ { 1 } \Big ] + \sum _ { i \in \mathrm { g r o u p 2 } } \Bigg \{ 1 _ { ( c _ { i } = 0 ) } \Big [ \log ( \Delta _ { i } ) + \ell _ { i 0 } ^ { 2 } \Big ] + 1 _ { ( c _ { i } = 1 ) } \Big [ \log ( 1 - \Delta _ { i } ) + \ell _ { i 1 } ^ { 2 } \Big ] \Bigg \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \textbf { u } + ( \textbf { u } \cdot \nabla ) \textbf { u } + \nabla P + 2 \Omega \hat { z } \times \textbf { u } } & { = \nu _ { m } \Delta \textbf { u } + \alpha g T \hat { z } } \\ { \partial _ { t } T + \textbf { u } \cdot \nabla T } & { = \nu _ { T } \Delta T } \\ { \nabla \cdot \textbf { u } } & { = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { j } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } } & { = - \imath _ { \xi } \overline { { \ell } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } - \imath _ { \mathrm { X } _ { \overline { { \xi } } } } \overline { { \theta } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } = - \imath _ { \xi } \widetilde { \Phi } ^ { * } \overline { { \ell } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } - \imath _ { \mathrm { X } _ { \overline { { \xi } } } } ( \widetilde { \Phi } ^ { * } \overline { { \theta } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } + \jmath ^ { * } ( \star _ { g } \mathcal { U } ) ) } \\ & { = \widetilde { \Phi } ^ { * } \overline { { j } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } - \imath _ { \mathrm { X } _ { \overline { { \xi } } } } \jmath ^ { * } ( \star _ { g } \mathcal { U } ) . } \end{array}
\Bar { N } ( \boldsymbol { \xi } _ { p , t } ^ { c } , r ) \triangleq \{ \boldsymbol { \Bar { \xi } } _ { p , t } ^ { d , i } : \| \boldsymbol { \Bar { \xi } } _ { p , t } ^ { d , i } - \boldsymbol { { \xi } } _ { p , t } ^ { c } \| _ { 2 } \leq r , \boldsymbol { \Bar { \xi } } _ { p , t } ^ { d , i } \in \{ \boldsymbol { \Bar { x } } _ { p } \} _ { p = 1 } ^ { \Bar { P } } \} .
g = - \left( \frac { 1 - { \bar { r } _ { \mathrm { s } } } / { \bar { r } } } { 1 + { \bar { r } _ { \mathrm { s } } } / { \bar { r } } } \right) ^ { 2 } c ^ { 2 } \mathrm { d } t ^ { 2 } + \left( 1 + \frac { \bar { r } _ { \mathrm { s } } } { \bar { r } } \right) ^ { 4 } \left[ \mathrm { d } \bar { r } ^ { 2 } + \bar { r } ^ { 2 } \left( \mathrm { d } \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta \, \mathrm { d } \varphi ^ { 2 } \right) \right] , \qquad \bar { r } > \bar { r } _ { \mathrm { s } } = \frac { r _ { \mathrm { s } } } { 4 } ,
{ \cal { S } } ^ { \prime } = { \sqrt { 8 \pi G } } { \frac { \eta p ^ { \mu } p ^ { \nu } \epsilon _ { \mu \nu } } { p \cdot p _ { G } - i \eta \varepsilon } } { \cal { S } } - i { \sqrt { 8 \pi G } } { \frac { \eta p ^ { \mu } ( { p _ { G } } _ { \rho } J ^ { \rho \nu } ) \epsilon _ { \mu \nu } } { p \cdot p _ { G } - i \eta \varepsilon } } { \cal { S } } + O ( p _ { G } ^ { 1 } )
\begin{array} { r l } { \langle \hat { T } \rangle } & { = \left\langle \hat { p } ^ { T } \cdot m ^ { - 1 } \cdot \hat { p } \right\rangle / 2 = \operatorname { T r } \left( m ^ { - 1 } \cdot \left\langle \hat { p } \otimes \hat { p } ^ { T } \right\rangle \right) / 2 } \\ & { = T ( p _ { t } ) + \operatorname { T r } [ m ^ { - 1 } \cdot \operatorname { C o v } ( \hat { p } ) ] / 2 , } \end{array}
e ^ { - \int _ { 0 } ^ { \infty } d x ^ { \prime } s ( x ^ { \prime } ) n ( x ^ { \prime } ) / x ^ { \prime } } - 1 = - \int _ { 0 } ^ { \infty } d x ^ { \prime } \frac { n ( x ^ { \prime } ) s ( x ^ { \prime } ) } { x ^ { \prime } } + \frac { 1 } { 2 } \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } d x ^ { \prime } \frac { n ( x ^ { \prime } ) s ( x ^ { \prime } ) } { x ^ { \prime } } \right) ^ { 2 } + \dots .
f \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! : \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = H \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \circ \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Phi \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l } & { E _ { \mathrm { X C } } ^ { \mathrm { s c L H } } = E _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { e x } } + 2 \int q _ { \mathrm { A C } } ^ ( \mathbf { r } ) \cdot \bigg [ \left( 1 - g ( \mathbf { r } ) \right) \times } \\ { \phantom { \sum } } & { \: \: \left( e _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { s l } } ( \mathbf { r } ) + G ( \mathbf { r } ) - e _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { e x } } ( \mathbf { r } ) \right) + e _ { \mathrm { C } } ^ ( \mathbf { r } ) \bigg ] \mathrm { d } \mathbf { r } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } \left( e ^ { \frac { 4 } { 3 } \epsilon t } \, { \cal E } _ { \epsilon } ^ { 1 } ( \theta ) ( t ) \right) \leq \left( \frac { 1 } { \alpha } + \frac { \epsilon } { \lambda _ { 1 } } \right) e ^ { \frac { 4 } { 3 } \epsilon t } \| \eta ^ { \prime \prime } ( t ) \| ^ { 2 } + \alpha \left( 1 + \frac { \epsilon } { \lambda _ { 1 } } \right) e ^ { \frac { 4 } { 3 } \epsilon t } \| \eta ^ { \prime } ( t ) \| ^ { 2 } . } \end{array}
N _ { + } ^ { ( d ) } ( \epsilon ) = \sum _ { n _ { 1 } = 0 } ^ { M ( \epsilon ) } \cdots \sum _ { n _ { d - 1 } = 0 } ^ { M ( \epsilon ) } \left\lfloor \frac { \sqrt { 1 - \epsilon ^ { 2 } ( n _ { 1 } ^ { 2 } + \cdots + n _ { d - 1 } ^ { 2 } ) } } { \epsilon } \right\rfloor \, , \ M ( \epsilon ) = \left\lfloor \frac { 1 } { \epsilon } \right\rfloor \, ,
\begin{array} { r l } { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! } & { \sum _ { i = 1 } ^ { m - 1 } \frac { i ( m - i ) } { \Gamma ( b + i + 1 ) \Gamma ( a - i + m + 1 ) } \sum _ { j = 1 } ^ { m - i } \frac { \Gamma ( a + j + m + 1 ) \Gamma ( b - j + m + 1 ) } { j \Gamma ( i + j + 1 ) \Gamma ( m - i - j + 1 ) } } \\ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! } & { \times \left( \psi _ { 0 } ( a + j + m + 1 ) - \psi _ { 0 } ( a + b + 2 m + 2 ) + \psi _ { 0 } ( m - i + 1 ) - \psi _ { 0 } ( j + 1 ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { Q T ^ { - \frac { n } { 2 } } \exp \left( - \frac { d ^ { 2 } } { ( 4 + \epsilon ) T } \right) \le C _ { 6 } T _ { \theta } ^ { - \frac { n } { 2 } } \left( e ^ { C _ { 2 } \theta ^ { - \frac 1 2 } T ^ { - \frac 1 2 } ( 1 - \theta _ { 1 } ) d } v _ { T _ { \theta } } ( V \cap B ) + e ^ { C _ { 6 } \theta ^ { - 1 } } \exp \left( - \frac { ( ( 1 - \theta _ { 1 } ) d ) ^ { 2 } } { ( 4 + \epsilon / 3 ) ( 1 - \theta ) T } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { B } = } & { \{ X \subseteq E \colon \emptyset \subsetneq X \subsetneq \{ 0 \} \times \mathbb { N } , \mathrm { ~ X ~ i s ~ f i n i t e } \} \cup \{ X \subseteq E \colon \{ 1 \} \times \mathbb { N } \subsetneq X \subsetneq E , \mathrm { ~ E ~ \setminus ~ X ~ i s ~ f i n i t e } \} } \\ & { \cup \{ X \subseteq E \colon \emptyset \subsetneq X \subsetneq \{ 1 \} \times \mathbb { N } , \mathrm { ~ X ~ i s ~ f i n i t e } \} \cup \{ X \subseteq E \colon \{ 0 \} \times \mathbb { N } \subsetneq X \subsetneq E , \mathrm { ~ E ~ \setminus ~ X ~ i s ~ f i n i t e } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } \frac { \mathrm { d } \rho ^ { 2 } } { \mathrm { d } \lambda } ( \lambda ) } & { = \Re ( z ) \frac { \mathrm { d } \Re ( z ) } { \mathrm { d } \lambda } ( \lambda ) + \Im ( z ) \frac { \mathrm { d } \Im ( z ) } { \mathrm { d } \lambda } ( \lambda ) } \\ & { = - \frac { ( \tau + 1 ) \rho ^ { \tau + 1 } \cos ( ( \tau + 1 ) \theta ) - \tau \rho ^ { \tau } \cos ( \tau \theta ) } { | ( \tau + 1 ) z ^ { \tau } - \tau z ^ { \tau - 1 } | ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { A _ { \theta } ( x _ { j } ) : = U _ { \mathrm { f } } ( \theta ) A _ { \theta } ( e ^ { \theta } x _ { j } ) U _ { \mathrm { f } } ( \theta ) ^ { * } } \\ & { = e ^ { - \theta } \sum _ { \lambda = 1 , 2 } \int _ { { \mathord { \mathbb R } } ^ { 3 } } \frac { d k } { \sqrt { 2 | k | } } \left[ \kappa ( e ^ { - \theta } k ) e ^ { - i \beta k \cdot x _ { j } } \varepsilon ( k , \lambda ) a ^ { * } ( k , \lambda ) + \overline { { \kappa ( e ^ { - \overline { { \theta } } } k ) } } e ^ { i \beta k \cdot x _ { j } } \varepsilon ( k , \lambda ) a ( k , \lambda ) \right] \ . } \end{array}
{ u } \left( x , t \right) = { u } \left( x , { t } _ { k } \right) + { \left( t - { t } _ { k } \right) } { u } ^ { { \prime } } \left( x , { t } _ { k } \right) + \frac { { \left( t - { t } _ { k } \right) } ^ { 2 } } { 2 } { u } ^ { { \prime } { \prime } } \left( x , { t } _ { k } \right) + \frac { { \left( t - { t } _ { k } \right) } ^ { 3 } } { 6 } { u } ^ { { \prime } { \prime } { \prime } } \left( x , { t } _ { k } \right) + { \widetilde R } _ { 3 } \left( x , t \right) \, .
\begin{array} { r l } { f ( \alpha ) - f ( \theta ) = } & { \int _ { \theta } ^ { \alpha } f ^ { \prime } ( \beta ) d \beta = \int _ { \theta } ^ { \alpha } ( f ^ { \prime } ( \beta ) - f ^ { \prime } ( \theta ) ) d \beta + ( \alpha - \theta ) f ^ { \prime } ( \theta ) } \\ { = } & { \int _ { \theta } ^ { \alpha } \int _ { \theta } ^ { \beta } f ^ { \prime \prime } ( \gamma ) d \gamma d \beta + ( \alpha - \theta ) f ^ { \prime } ( \theta ) } \\ { = } & { \int _ { \theta } ^ { \alpha } ( \beta - \theta ) d \beta f ^ { \prime \prime } ( 0 ) \left( 1 + \frac { O ( 1 ) } { \log q } \right) + ( \alpha - \theta ) f ^ { \prime } ( \theta ) } \\ { = } & { \frac 1 2 ( \alpha - \theta ) ^ { 2 } f ^ { \prime \prime } ( 0 ) \left( 1 + \frac { O ( 1 ) } { \log q } \right) + ( \alpha - \theta ) f ^ { \prime } ( \theta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ( Y | U ) } & { = \sum _ { u \in \mathcal { U } _ { 1 } } H ( Y | U = u ) + \sum _ { u \in \mathcal { U } _ { 2 } } H ( Y | U = u ) } \\ & { = 0 + \sum _ { u \in \mathcal { U } _ { 2 } } H _ { b } ( f ( y _ { 3 } , y _ { 2 } ) ) } \\ & { = ( 1 - p ( y _ { 1 } ) ) H _ { b } ( f ( y _ { 3 } , y _ { 2 } ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d \delta } \bigg | _ { \delta = 1 } J _ { \tau _ { \delta } } ^ { - w } \bar { J } _ { \tau _ { \delta } } ^ { - w ^ { \prime } } \left( \Psi _ { j , k } \circ \tau _ { \delta } \right) \bigg | _ { \mathcal { H } _ { j + 1 , k } ^ { \S } \bigoplus \mathcal { H } _ { j , k + 1 } ^ { \S } } = } \\ & { ( j - w ) \frac { j + 1 } { k + j + n } \Psi _ { j + 1 , k } + ( k - w ^ { \prime } ) \frac { k + n } { k + j + n } \Psi _ { j , k + 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi ^ { L } } & { : = \phi ^ { L } ( 2 \cdot ) - \frac { 5 2 7 } { 6 9 } \phi ^ { L , b c 1 } ( 2 \cdot ) + \frac { 2 7 8 } { 2 3 } \phi ^ { L , b c 2 } ( 2 \cdot ) - \frac { 6 1 } { 6 9 } \phi ( 2 \cdot - 2 ) + \frac { 2 2 3 3 9 } { 4 3 4 7 0 } \phi ( 2 \cdot - 3 ) - \frac { 4 7 1 1 3 } { 1 7 3 8 8 0 } \phi ( 2 \cdot - 4 ) } \\ & { \quad + \frac { 3 8 3 2 } { 2 1 7 3 5 } \phi ( 2 \cdot - 5 ) - \frac { 1 8 5 0 9 } { 1 7 3 8 8 0 } \phi ( 2 \cdot - 6 ) + \frac { 2 } { 6 9 } \phi ( 2 \cdot - 7 ) , } \\ { \psi ^ { L , b c 1 } } & { : = \frac { 1 } { 8 } \phi ( 2 \cdot - 3 ) - \frac { 1 } { 2 } \phi ( 2 \cdot - 4 ) + \frac { 3 } { 4 } \phi ( 2 \cdot - 5 ) - \frac { 1 } { 2 } \phi ( 2 \cdot - 6 ) + \frac { 1 } { 8 } \phi ( 2 \cdot - 7 ) . } \\ { \psi ^ { L , b c 2 } } & { : = \frac { 1 } { 8 } \phi ( 2 \cdot - 2 ) - \frac { 1 } { 2 } \phi ( 2 \cdot - 3 ) + \frac { 3 } { 4 } \phi ( 2 \cdot - 4 ) - \frac { 1 } { 2 } \phi ( 2 \cdot - 5 ) + \frac { 1 } { 8 } \phi ( 2 \cdot - 6 ) , } \\ { \psi ^ { L , b c 3 } } & { : = - \frac { 3 1 } { 2 5 0 0 } \phi ^ { L , b c 1 } ( 2 \cdot ) + \frac { 1 4 7 } { 5 0 0 0 } \phi ^ { L , b c 2 } ( 2 \cdot ) - \frac { 3 8 1 } { 8 0 0 0 0 } \phi ( 2 \cdot - 2 ) + \frac { 4 5 1 7 } { 3 6 0 0 0 0 0 } \phi ( 2 \cdot - 3 ) - \frac { 1 6 9 } { 1 8 0 0 0 0 0 } \phi ( 2 \cdot - 4 ) } \\ & { \quad + \frac { 1 7 5 7 } { 1 8 0 0 0 0 0 } \phi ( 2 \cdot - 5 ) - \frac { 3 4 9 3 } { 3 6 0 0 0 0 0 } \phi ( 2 \cdot - 6 ) + \frac { 2 1 } { 8 0 0 0 0 } \phi ( 2 \cdot - 7 ) , } \\ { \psi ^ { L , b c 4 } } & { : = \frac { 6 } { 1 2 5 } \phi ^ { L , b c 1 } ( 2 \cdot ) - \frac { 3 0 7 } { 2 5 0 0 } \phi ^ { L , b c 2 } ( 2 \cdot ) + \frac { 1 8 6 9 } { 8 0 0 0 0 } \phi ( 2 \cdot - 2 ) + \frac { 3 4 5 3 } { 2 8 0 0 0 0 0 } \phi ( 2 \cdot - 3 ) - \frac { 6 6 1 } { 1 7 5 0 0 0 } \phi ( 2 \cdot - 4 ) } \\ & { \quad - \frac { 8 6 6 3 } { 1 4 0 0 0 0 0 } \phi ( 2 \cdot - 5 ) - \frac { 2 9 5 2 1 } { 2 8 0 0 0 0 0 } \phi ( 2 \cdot - 6 ) + \frac { 3 5 1 } { 1 6 0 0 0 } \phi ( 2 \cdot - 7 ) - \frac { 6 9 } { 8 0 0 0 } \phi ( 2 \cdot - 8 ) , } \\ { \psi ^ { L , b c 5 } } & { : = \frac { 1 1 } { 1 0 0 0 } \phi ^ { L , b c 1 } ( 2 \cdot ) - \frac { 4 } { 1 2 5 } \phi ^ { L , b c 2 } ( 2 \cdot ) + \frac { 6 9 } { 5 0 0 0 } \phi ( 2 \cdot - 2 ) - \frac { 1 3 6 1 } { 1 2 6 0 0 0 } \phi ( 2 \cdot - 3 ) - \frac { 6 9 3 1 } { 1 2 6 0 0 0 0 } \phi ( 2 \cdot - 4 ) } \\ & { \quad + \frac { 1 2 1 6 3 } { 6 3 0 0 0 0 } \phi ( 2 \cdot - 5 ) - \frac { 9 2 5 3 } { 6 3 0 0 0 0 } \phi ( 2 \cdot - 6 ) + \frac { 1 9 } { 5 0 0 0 } \phi ( 2 \cdot - 7 ) , } \\ { \psi ^ { L , b c 6 } } & { : = \frac { 6 3 } { 1 0 0 0 } \phi ^ { L , b c 1 } ( 2 \cdot ) + \frac { 1 2 9 } { 1 0 0 0 } \phi ^ { L , b c 2 } ( 2 \cdot ) - \frac { 9 9 3 } { 2 5 0 0 } \phi ( 2 \cdot - 2 ) + \frac { 1 8 4 9 7 } { 7 0 0 0 0 } \phi ( 2 \cdot - 3 ) + \frac { 6 4 0 8 1 } { 1 4 0 0 0 0 } \phi ( 2 \cdot - 4 ) } \\ & { \quad - \frac { 6 4 4 1 } { 1 4 0 0 0 } \phi ( 2 \cdot - 5 ) - \frac { 1 7 3 5 1 } { 3 5 0 0 0 } \phi ( 2 \cdot - 6 ) + \frac { 1 9 1 3 } { 2 5 0 0 } \phi ( 2 \cdot - 7 ) - \frac { 6 4 1 } { 2 5 0 0 } \phi ( 2 \cdot - 8 ) . } \end{array}
p ( t ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { \Big ( \frac { \tilde { \omega } _ { 2 } ( t ) } { \sqrt { \tilde { \omega } _ { 1 } ( t ) ^ { 2 } + \tilde { \omega } _ { 2 } ( t ) ^ { 2 } } } , \frac { \tilde { \omega } _ { 1 } ( t ) } { \sqrt { \tilde { \omega } _ { 1 } ( t ) ^ { 2 } + \tilde { \omega } _ { 2 } ( t ) ^ { 2 } } } \Big ) } & { \tilde { \omega } _ { 2 } ( t ) \le 0 } \\ { - \Big ( \frac { \tilde { \omega } _ { 2 } ( t ) } { \sqrt { \tilde { \omega } _ { 1 } ( t ) ^ { 2 } + \tilde { \omega } _ { 2 } ( t ) ^ { 2 } } } , \frac { \tilde { \omega } _ { 1 } ( t ) } { \sqrt { \tilde { \omega } _ { 1 } ( t ) ^ { 2 } + \tilde { \omega } _ { 2 } ( t ) ^ { 2 } } } \Big ) } & { \tilde { \omega } _ { 2 } ( t ) > 0 , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { Z _ { \mathrm S } ( \lambda ) } & { = } & { \prod _ { c } \prod _ { k \ge 0 } \operatorname* { d e t } \Big ( 1 - S ^ { k } ( P _ { c } ^ { + } ) e ^ { - ( \lambda + \rho ) \ell ( c ) } ) ^ { \pm 1 } \Big ) } \\ & { = } & { \exp \Big ( - \sum _ { c } \sum _ { j \ge 1 } \frac { e ^ { - j ( \lambda + \rho ) \ell ( c ) } } { j \operatorname* { d e t } ( 1 - ( P _ { c } ^ { + } ) ^ { j } ) } \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left| \left( \sum _ { j = 1 } ^ { h } \left( \delta _ { j } ^ { 2 } + \frac { 1 } { k } \right) \gamma _ { j } ^ { k } \right) ^ { \frac { 1 } { k } } \right| = \left| \frac { \tilde { \sigma } _ { k } } { \sigma } \right| \leq \left| \frac { \tilde { \sigma } _ { k } } { \sqrt { \pi _ { 1 } } \sigma _ { 1 } } \right| \leq \left| \frac { \tilde { \sigma } _ { k } } { \sqrt { \pi _ { 1 } } \tilde { \sigma } _ { 2 } } \right| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q ^ { G } ( \boldsymbol { s } ( t ) , \tilde { \boldsymbol { a } } ( t ) ) = } & { ( 1 - \alpha ) Q ^ { G } ( \boldsymbol { s } ( t ) , \tilde { \boldsymbol { a } } ( t ) ) + \alpha \left[ c ( t ) + \operatorname* { m i n } _ { \tilde { \boldsymbol { a } } ^ { \prime } } Q ^ { G } ( \boldsymbol { s } ( t + 1 ) , \tilde { \boldsymbol { a } } ^ { \prime } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathscr F } ^ { * } = \{ f ^ { * } \in L ^ { 2 } ( I ^ { * } , \mathfrak { m } ^ { * } ) : f _ { \pm } ^ { * } \ll \mathbf { s } _ { \pm } ^ { * } , d f _ { \pm } ^ { * } / d \mathbf { s } _ { \pm } ^ { * } \in L ^ { 2 } ( I _ { \pm } ^ { * } , d \mathbf { s } _ { \pm } ^ { * } ) , } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad f _ { \pm } ^ { * } ( \pm \infty ) = 0 \mathrm { ~ w h e n e v e r ~ } | \mathbf { s } ^ { * } ( \pm \infty ) | < \infty \} , } \\ & { { \mathscr E } ^ { * } ( f ^ { * } , f ^ { * } ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \dagger = + , - } \int _ { I _ { \dagger } ^ { * } } \left( \frac { d f _ { \dagger } ^ { * } } { d \mathbf { s } _ { \dagger } ^ { * } } \right) ^ { 2 } d \mathbf { s } _ { \dagger } ^ { * } + \frac { ( f _ { + } ^ { * } ( 0 + ) - f _ { - } ^ { * } ( 0 - ) ) ^ { 2 } } { 2 ( \mathbf { s } ^ { * } ( 0 + ) - \mathbf { s } ^ { * } ( 0 - ) ) } , \quad f ^ { * } \in { \mathscr F } ^ { * } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { | \mathrm { o u t p u t } \rangle = \hat { \Delta } _ { \mathrm { H V } } ( \delta _ { f s } ) | \mathrm { i n p u t } \rangle } \\ & { } & { = \mathrm { e } ^ { i \beta } \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } \left( \begin{array} { c } { \mathrm { e } ^ { - i \frac { \delta + \delta _ { \mathrm { f s } } } { 2 } } \cos \alpha } \\ { \mathrm { e } ^ { + i \frac { \delta + \delta _ { \mathrm { f s } } } { 2 } } \sin \alpha \ } \end{array} \right) | \mathrm { i n p u t } \rangle , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { d p _ { t } } & { = - \left[ A p _ { t } + D \mathcal { F } ( u _ { t } ^ { \hat { \mathfrak { g } } } ) p _ { t } + D \mathcal { L } ( t , u _ { t } ^ { \hat { \mathfrak { g } } } ) \right] d t + q _ { t } d W _ { t } , \quad t \in [ 0 , T ] } \\ { p _ { T } } & { = D \mathcal { M } ( u _ { T } ^ { \hat { \mathfrak { g } } } ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { e ^ { 2 \nu t } \| \Lambda d ( t ; e _ { m } ) \| ^ { 2 } } & { = \lambda _ { m } ^ { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } | J _ { | n - m | } + ( - 1 ) ^ { m - 1 } J _ { n + m } | ^ { 2 } } \\ & { = \lambda _ { m } ^ { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( J _ { | n - m | } ^ { 2 } + J _ { n + m } ^ { 2 } + 2 ( - 1 ) ^ { m - 1 } J _ { | n - m | } J _ { n + m } ) } \\ & { = \lambda _ { m } ^ { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { m - 1 } J _ { | n - m | } ^ { 2 } + \lambda _ { m } ^ { 2 } J _ { 0 } ^ { 2 } + \lambda _ { m } ^ { 2 } \sum _ { n = m + 1 } ^ { \infty } J _ { | n - m | } ^ { 2 } + \lambda _ { m } ^ { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } J _ { n + m } ^ { 2 } } \\ & { \qquad + ( - 1 ) ^ { m - 1 } \lambda _ { m } ^ { 2 } \Big ( 2 \sum _ { n = 1 } ^ { m - 1 } J _ { | n - m | } J _ { n + m } + 2 J _ { 0 } J _ { 2 m } + 2 \sum _ { n = m + 1 } ^ { \infty } J _ { | n - m | } J _ { n + m } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { 2 } = } & { A _ { 1 } n ^ { - 1 / 2 } \mathbb { E } \Big [ \int _ { 0 } ^ { 2 \sigma _ { n } ( \mathcal { H } _ { i j } ) } \sqrt { | \Theta | \log \Big ( \operatorname* { m a x } \Big \{ \frac { \sqrt { C _ { 1 } } 2 ^ { j + 1 } J _ { 0 } \Vert F \Vert } { v } , 1 \Big \} \Big ) } d v I \big ( \Vert F \Vert ^ { 2 } \leq 2 \mathbb { E } F ^ { 2 } ( u ) \big ) \Big ] } \\ { \leq } & { A _ { 1 } n ^ { - 1 / 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \sqrt { \mathbb { E } \sigma _ { n } ^ { 2 } ( \mathcal { H } _ { i j } ) } } \sqrt { | \Theta | \log \Big ( \operatorname* { m a x } \Big \{ \frac { \sqrt { C _ { 1 } } 2 ^ { j + 1 } J _ { 0 } \sqrt { 2 \mathbb { E } [ F ^ { 2 } ( u ) ] } } { v } , 1 \Big \} \Big ) } d v } \\ { = } & { A _ { 1 } \sqrt { C _ { 1 } } n ^ { - 1 / 2 } 2 ^ { j + 1 } J _ { 0 } \sqrt { 2 | \Theta | \mathbb { E } [ F ^ { 2 } ( u ) ] } \int _ { 0 } ^ { \frac { \sqrt { \mathbb { E } \sigma _ { n } ^ { 2 } ( \mathcal { H } _ { i j } ) } } { \sqrt { C _ { 1 } } 2 ^ { j } J _ { 0 } \sqrt { 2 \mathbb { E } [ F ^ { 2 } ( u ) ] } } } \sqrt { \log \Big ( \operatorname* { m a x } \Big \{ \frac { 1 } { v } , 1 \Big \} \Big ) } d v } \\ { \leq } & { A _ { 1 } \sqrt { C _ { 1 } } n ^ { - 1 / 2 } 2 ^ { j + 1 } J _ { 0 } \sqrt { 2 | \Theta | \mathbb { E } [ F ^ { 2 } ( u ) ] } \int _ { \frac { \sqrt { C _ { 1 } } 2 ^ { j + 1 } J _ { 0 } \sqrt { \mathbb { E } [ F ^ { 2 } ( u ) ] } } { 2 \sqrt { \mathbb { E } \sigma _ { n } ^ { 2 } ( \mathcal { H } _ { i j } ) } } } ^ { + \infty } u ^ { - 2 } \sqrt { \log ( \operatorname* { m a x } \{ u , 1 \} ) } d u } \\ { \leq } & { 2 A _ { 1 } A _ { 6 } \sqrt { C _ { 1 } } n ^ { - 1 / 2 } \sqrt { | \Theta | \mathbb { E } \sigma _ { n } ^ { 2 } ( \mathcal { H } _ { i j } ) } , } \end{array}
\operatorname { R e } x ^ { * * } ( \eta ) \ge \operatorname* { i n f } _ { n \in \mathbb N } \operatorname { R e } \eta ( x _ { n } ) > \operatorname* { s u p } _ { \xi \in A } \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } \operatorname { R e } \xi ( x _ { n } ) \ge \operatorname* { s u p } _ { \xi \in A } \operatorname { R e } x ^ { * * } ( \xi ) ,
{ \begin{array} { r l } { t H _ { 0 } } & { = \int _ { 0 } ^ { a } { \frac { \mathrm { d } a ^ { \prime } } { \sqrt { \Omega _ { 0 , \mathrm { R } } a ^ { - 2 } } } } } \\ { t H _ { 0 } { \sqrt { \Omega _ { 0 , \mathrm { R } } } } } & { = \left. { \frac { a ^ { 2 } } { 2 } } \, \right| _ { 0 } ^ { a } } \\ { \left( 2 t H _ { 0 } { \sqrt { \Omega _ { 0 , \mathrm { R } } } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } & { = a ( t ) } \end{array} }
\begin{array} { r } { ( \mathbf { 1 } _ { R } \otimes \rho _ { N } ^ { S } ) ( \mathbf { 1 } _ { t t } ^ { Y } \otimes \varphi _ { t i t } ^ { \prime } ) = ( \mathbf { 1 } _ { R } \otimes \rho _ { N } ^ { S } ) ( \mathbf { 1 } _ { t t } ^ { Y } \otimes ( \theta ( \rho _ { L } ^ { R } \otimes \mathbf { 1 } _ { N } ) ( \mathbf { 1 } _ { L } \otimes \varphi _ { t i t } \otimes \mathbf { 1 } _ { N } ) ) ) } \\ { = ( \mathbf { 1 } _ { R } \otimes \rho _ { N } ^ { S } ) ( ( \mathbf { 1 } _ { R } \otimes \mathbf { 1 } _ { N } ) \otimes ( \theta ( \rho _ { L } ^ { R } \otimes \mathbf { 1 } _ { N } ) ( \mathbf { 1 } _ { L } \otimes \varphi _ { t i t } \otimes \mathbf { 1 } _ { N } ) ) ) } \\ { = ( \varphi _ { t i t } ( \lambda _ { M _ { t i } } ^ { R } ( \mu _ { R } \otimes \mathbf { 1 } _ { t i } ^ { M } ) ( \mathbf { 1 } _ { R } \otimes \zeta \otimes \mathbf { 1 } _ { t i } ^ { M } ) ) \otimes \mathbf { 1 } _ { i t } ^ { M } ) \otimes \mathbf { 1 } _ { N } = ( \varphi _ { t i t } \otimes \mathbf { 1 } _ { N } ) ( \beta _ { t i } ^ { \prime } \otimes \mathbf { 1 } _ { i t } ^ { M } \otimes \mathbf { 1 } _ { N } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { a = 0 } ^ { \infty } \sum _ { b = 0 } ^ { \infty } \sum _ { d = 0 } ^ { \operatorname* { m i n } ( a , b ) } \sum _ { s = 0 } ^ { d } \frac { ( - 1 ) ^ { s } } { s ! } \frac { Q _ { a - d , b - d } } { ( d - s ) ! } \left( { \alpha ^ { * } } \right) ^ { a } \alpha ^ { b } } \\ { = } & { \sum _ { a = 0 } ^ { \infty } \sum _ { b = 0 } ^ { \infty } \left( { \alpha ^ { * } } \right) ^ { a } \alpha ^ { b } \sum _ { d = 0 } ^ { \operatorname* { m i n } ( a , b ) } Q _ { a - d , b - d } \sum _ { s = 0 } ^ { d } ( - 1 ) ^ { s } { \binom { d } { s } } . } \end{array}
\frac { 1 } { p ! q ! } \left\vert \sum _ { \substack { D \in \mathcal { L } _ { p , q } ^ { n , m } \, k ( D ) = k _ { 0 } \, n _ { g } ( D ) + n _ { g } ^ { * } ( D ) = n _ { g 0 } } } \Gamma _ { D } ^ { n , m } \right\vert \leq C _ { n , m } \rho ^ { n + m } ( C a b ^ { 2 } \rho ) ^ { n _ { g 0 } + k _ { 0 } } ( C s ( \log N ) ^ { 3 } ) ^ { k _ { 0 } }
\begin{array} { r l r } { \mathbb { G } ^ { 0 } ( \phi ) } & { : = } & { - \frac { \alpha ^ { 2 } \zeta _ { 1 } ^ { 3 } } { \lambda \sqrt { 1 - \beta ^ { 2 } } } \mathbb { D } _ { * } ( \phi , k _ { 1 } ) , } \\ { \mathbb { G } ^ { 1 } ( \phi ) } & { : = } & { \frac { \alpha \beta \zeta _ { 1 } } { \sqrt { 1 - \beta ^ { 2 } } } \mathbb { F } _ { * } ( \phi , k _ { 1 } ) - \varepsilon \mathbb { G } ^ { 0 } ( \phi ) , } \\ { \mathbb { G } ^ { 2 } ( \phi ) } & { : = } & { \frac { \zeta _ { 1 } } { \lambda \sqrt { 1 - \beta ^ { 2 } } } \left[ \alpha \varepsilon \mathbb { F } _ { * } ( \phi , k _ { 1 } ) - \lambda _ { z } \Pi _ { * } ( \phi , \zeta _ { 1 } ^ { 2 } , k _ { 1 } ) \right] , } \\ { \mathbb { G } ^ { 3 } ( \phi ) } & { : = } & { \frac { \zeta _ { 1 } } { \sqrt { 1 - \beta ^ { 2 } } } \mathbb { F } _ { * } ( \phi , k _ { 1 } ) . } \end{array}
\mathbf { X } _ { i } = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { x _ { 1 } ( 0 ) } & { x _ { 2 } ( 0 ) } & { x _ { 3 } ( 0 ) } & { u _ { 1 } ( 0 ) } & { u _ { 2 } ( 0 ) } & { u _ { 3 } ( 0 ) } \\ { x _ { 1 } ( 1 ) } & { x _ { 2 } ( 1 ) } & { x _ { 3 } ( 1 ) } & { u _ { 1 } ( 1 ) } & { u _ { 2 } ( 1 ) } & { u _ { 3 } ( 1 ) } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { x _ { 1 } ( t ) } & { x _ { 2 } ( t ) } & { x _ { 3 } ( t ) } & { u _ { 1 } ( t ) } & { u _ { 2 } ( t ) } & { u _ { 3 } ( t ) } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { x _ { 1 } ( T - 1 ) } & { x _ { 2 } ( T - 1 ) } & { x _ { 3 } ( T - 1 ) } & { u _ { 1 } ( T - 1 ) } & { u _ { 2 } ( T - 1 ) } & { u _ { 3 } ( T - 1 ) } \\ { x _ { 1 } ( T ) } & { x _ { 2 } ( T ) } & { x _ { 3 } ( T ) } & { n a n } & { n a n } & { n a n } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { \langle v _ { k } , y _ { \lambda _ { k + 1 } } ^ { * } ( x _ { k + 1 } ) - y _ { \lambda _ { k } } ^ { * } ( x _ { k } ) \rangle } & { = \langle v _ { k } , y _ { \lambda _ { k + 1 } } ^ { * } ( x _ { k + 1 } ) - y _ { \lambda _ { k } } ^ { * } ( x _ { k + 1 } ) \rangle } \\ & { \quad + \langle v _ { k } , \nabla y _ { \lambda _ { k } } ^ { * } ( x _ { k } ) ( x _ { k + 1 } - x _ { k } ) \rangle } \\ & { \quad + \langle v _ { k } , y _ { \lambda _ { k } } ^ { * } ( x _ { k } ) - y _ { \lambda _ { k } } ^ { * } ( x _ { k } ) - \nabla y _ { \lambda _ { k } } ^ { * } ( x _ { k } ) ( x _ { k + 1 } - x _ { k } ) \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \check { X } _ { t _ { n + 1 } } = \check { X } _ { t _ { n } } + b ( t _ { n } , \check { \underline { { X } } } _ { t _ { n } } , \alpha _ { t _ { n } } ) \Delta t + \sigma ( t _ { n } , \check { \underline { X } } _ { t _ { n } } , \alpha _ { t _ { n } } ) \Delta \check { W } _ { t _ { n } } , } \\ & { \operatorname* { i n f } _ { \{ \alpha _ { t _ { n } } \} _ { n = 0 } ^ { N _ { T } - 1 } } \mathbb { E } \left[ \sum _ { n = 0 } ^ { N _ { T } - 1 } f ( t _ { n } , \check { \underline { X } } _ { t _ { n } } , \alpha _ { t _ { n } } ) \Delta t + g ( \check { \underline { X } } _ { T } ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { i j } f \bigl ( \langle \sigma _ { i } \sigma _ { j } \rangle _ { i j } ^ { \prime } , \beta J _ { i j } \bigr ) } & { = J _ { i j } \langle \sigma _ { i } \sigma _ { j } \rangle _ { i j } ^ { \prime } - \sum _ { \ell = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { \ell } \bigl ( { \langle \sigma _ { i } \sigma _ { j } \rangle _ { i j } ^ { \prime } } ^ { \ell - 1 } - { \langle \sigma _ { i } \sigma _ { j } \rangle _ { i j } ^ { \prime } } ^ { \ell + 1 } \bigr ) J _ { i j } \operatorname { t a n h } ( \beta J _ { i j } ) ^ { \ell } . } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { \beta ( u , v ) } ( x ) = \frac { \Gamma ( u + v ) } { \Gamma ( u ) \Gamma ( v ) } x ^ { u - 1 } ( 1 - x ) ^ { v - 1 } \mathbf { 1 } _ { 0 < x < 1 } \quad \mathrm { ~ a n d ~ } \quad f _ { \mathrm { G G } ( u , v ) } ( x ) = \frac { v } { \Gamma ( u / v ) } x ^ { u - 1 } \mathrm { e } ^ { - x ^ { v } } \mathbf { 1 } _ { x > 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F } & { _ { \lambda } ( v ) = \frac { 1 } { p } \rho _ { m } ^ { p } - \frac { \lambda } { k } \int _ { \Omega _ { K } } V | G ^ { - 1 } ( v ) | ^ { k } d x - \frac { \beta } { \alpha p ^ { * } } \int _ { \Omega _ { K } } K \biggl [ \frac { | v | ^ { p ^ { * } } } { p } + | G ^ { - 1 } ( v ) | ^ { \alpha p ^ { * } } - \frac { | v | ^ { p ^ { * } } } { p } \biggr ] d x } \\ & { = \frac { 1 } { p } \rho _ { m } ^ { p } - \frac { \lambda } { k } \int _ { \Omega _ { K } } V | G ^ { - 1 } ( v ) | ^ { k } d x - \frac { \beta } { \alpha p p ^ { * } } \int _ { \Omega _ { K } } K | v | ^ { p ^ { * } } d x } \\ & { \quad - \frac { \beta } { \alpha p ^ { * } } \int _ { \{ | v | \ge M \} \cap \Omega _ { K } } K \biggl [ | G ^ { - 1 } ( v ) | ^ { \alpha p ^ { * } } - \frac { | v | ^ { p ^ { * } } } { p } \biggr ] d x } \\ & { \quad - \frac { \beta } { \alpha p ^ { * } } \int _ { \{ | v | < M \} \cap \Omega _ { K } } K | G ^ { - 1 } ( v ) | ^ { \alpha p ^ { * } } d x + \frac { \beta } { \alpha p p ^ { * } } \int _ { \{ | v | < M \} \cap \Omega _ { K } } K | v | ^ { p ^ { * } } d x } \\ & { \le \frac { 1 } { p } \rho _ { m } ^ { p } - \frac { \beta } { \alpha p p ^ { * } } \int _ { \Omega _ { K } } K | v | ^ { p ^ { * } } d x + \frac { \beta } { \alpha p p ^ { * } } \int _ { \{ | v | < M \} \cap \Omega _ { K } } K | v | ^ { p ^ { * } } d x } \\ & { \le \frac { 1 } { p } \rho _ { m } ^ { p } - \frac { \beta } { \alpha p p ^ { * } } \int _ { \Omega _ { K } } K | v | ^ { p ^ { * } } d x + \frac { \beta } { \alpha p p ^ { * } } \| K \| _ { \infty } M ^ { p ^ { * } - k / \alpha } \int _ { \Omega _ { K } } | v | ^ { k / \alpha } d x } \\ & { \le \frac { 1 } { p } \rho _ { m } ^ { p } - \frac { \beta \varepsilon _ { m } } { \alpha p p ^ { * } } \rho _ { m } ^ { p ^ { * } } + C \rho _ { m } ^ { k / \alpha } < 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \Big | g _ { x 1 } \Big ( [ \mathbf { p } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { i } , \gamma _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } \Big ) - g _ { x 1 } \Big ( [ \mathbf { p } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { i } , \overline { { \gamma } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } \Big ) \Big | ^ { 2 } } & { \leq \Big | \gamma _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } - \overline { { \gamma } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } \Big | ^ { 2 } \frac { 2 L ^ { 2 } } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \Big ( 1 + | [ \mathbf { p } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { i } | ^ { 2 } \Big ) } \\ & { \leq \Big | \gamma _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } - \overline { { \gamma } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } \Big | ^ { 2 } \frac { 2 L ^ { 2 } } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \Big ( 1 + 2 | [ \mathbf { p } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { i } | ^ { 2 } \Big ) } \\ & { \leq \Big | \gamma _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } - \overline { { \gamma } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } \Big | ^ { 2 } \Big ( 2 L ^ { 2 } + \frac { 4 L ^ { 2 } } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } | [ \mathbf { p } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { i } | ^ { 2 } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \bigg | x _ { i } ( t ) - \frac { 1 } { r _ { 0 } n } \sum _ { j \in \mathcal { V } _ { r } } X _ { j } ( 0 ) \bigg | } \\ & { = | x _ { i } ( t ) - ( \eta ^ { T } X ( 0 ) ) \eta _ { i } | } \\ & { \le [ 1 - ( 1 - \lambda _ { 1 } ) ^ { t } ] | ( \eta ^ { T } X ( 0 ) ) \eta _ { i } | + [ 1 - ( 1 - \lambda _ { 1 } ) ^ { t } ] | \zeta _ { 1 } \eta _ { i } | } \\ & { \quad + ( 1 - \lambda _ { 2 } ) ^ { t } | ( \xi ^ { T } X ( 0 ) ) \xi _ { i } | + \frac { \lambda _ { 1 } } { \lambda _ { 2 } } [ 1 - ( 1 - \lambda _ { 2 } ) ^ { t } ] | \zeta _ { 2 } \xi _ { i } | } \\ & { \quad + ( 1 - \lambda _ { 3 } ) ^ { t } \bigg | \bigg ( \sum _ { j = 3 } ^ { r _ { 0 } n } w ^ { ( j ) } ( ( w ^ { ( j ) } ) ^ { T } x ( 0 ) ) \bigg ) _ { i } \bigg | } \\ & { \quad + \frac { \lambda _ { 1 } } { \lambda _ { 3 } } [ 1 - ( 1 - \lambda _ { 3 } ) ^ { t } ] \bigg | \bigg ( \sum _ { j = 3 } ^ { r _ { 0 } n } w ^ { ( j ) } ( ( w ^ { ( j ) } ) ^ { T } \bar { R } \mathbf { z } ^ { s } / \lambda _ { 1 } ) \bigg ) _ { i } \bigg | } \\ & { \le c _ { x } \bigg \{ 2 [ 1 - ( 1 - \lambda _ { 1 } ) ^ { t } ] + ( 1 - \lambda _ { 2 } ) ^ { t } + \frac { \lambda _ { 1 } } { \lambda _ { 2 } } [ 1 - ( 1 - \lambda _ { 2 } ) ^ { t } ] } \\ & { \quad + ( 1 - \lambda _ { 3 } ) ^ { t } + \frac { \lambda _ { 1 } } { \lambda _ { 3 } } [ 1 - ( 1 - \lambda _ { 3 } ) ^ { t } ] \bigg \} } \\ & { \le [ 4 \lambda _ { 1 } t + 2 ( 1 - \lambda _ { 3 } ) ^ { t } ] c _ { x } , } \end{array}
\mathcal { K } _ { D } ^ { \lambda } ( t , x , x ^ { \prime } , y , y ^ { \prime } ) \le \frac { C \lambda ^ { 2 } } { 1 \wedge t ^ { d } } e ^ { - c _ { 1 } \left( \frac { | x - y | ^ { 2 } } { t } + \frac { | x ^ { \prime } - y ^ { \prime } | ^ { 2 } } { t } \right) } e ^ { 2 t \left( c \lambda ^ { 2 } + c ^ { \prime } \lambda ^ { \frac { 4 } { 2 - \beta } } - \mu _ { 1 } \right) } .
\begin{array} { r } { ( \operatorname* { m i n } \{ | \mathcal { X } | , \; | \mathcal { Y } _ { 1 } | \! \cdot \! | \mathcal { S } _ { 1 } | , \; | \mathcal { Y } _ { 2 } | \! \cdot \! | \mathcal { S } _ { 2 } | \} \! + \! 2 ) \cdot ( \operatorname* { m i n } \{ | \mathcal { X } | , \; | \mathcal { Y } _ { 1 } | \! \cdot \! | \mathcal { S } _ { 1 } | , \; | \mathcal { Y } _ { 2 } | \! \cdot \! | \mathcal { S } _ { 2 } | \} \! + \! 1 ) . } \end{array}
\mathrm { f o r ~ a l l ~ } ( x , v ) \in \mathbb { R } ^ { d } \times \{ - 1 , 1 \} ^ { d } \, , \qquad \prod _ { i = 1 } ^ { d } \left( 1 + 2 \lvert \partial _ { i } \psi ( x ) \rvert \right) ^ { - \frac 1 2 } \leq \frac { V ( x , v ) } { \exp ( \beta \psi ( x ) ) } \leq \prod _ { i = 1 } ^ { d } \left( 1 + 2 \lvert \partial _ { i } \psi ( x ) \rvert \right) ^ { \frac 1 2 }
{ \begin{array} { r l } { U _ { x } ^ { \prime } } & { = { \frac { 1 } { D ^ { \prime } } } \left[ C _ { y } ^ { \prime } ( { B _ { x } ^ { \prime } } ^ { 2 } + { B _ { y } ^ { \prime } } ^ { 2 } ) - B _ { y } ^ { \prime } ( { C _ { x } ^ { \prime } } ^ { 2 } + { C _ { y } ^ { \prime } } ^ { 2 } ) \right] , } \\ { U _ { y } ^ { \prime } } & { = { \frac { 1 } { D ^ { \prime } } } \left[ B _ { x } ^ { \prime } ( { C _ { x } ^ { \prime } } ^ { 2 } + { C _ { y } ^ { \prime } } ^ { 2 } ) - C _ { x } ^ { \prime } ( { B _ { x } ^ { \prime } } ^ { 2 } + { B _ { y } ^ { \prime } } ^ { 2 } ) \right] } \end{array} }
\begin{array} { r l } { V \ge } & { \operatorname* { m a x } _ { i } \operatorname* { m a x } _ { j \in \Omega _ { i } ^ { B } } \frac { 1 } { \alpha _ { i j } } \left( Q _ { j } ^ { F } - Q _ { i } ^ { B } + \sum _ { j \in \Omega _ { i } ^ { B } } M _ { i j } - \sum _ { i \in \Omega _ { j } ^ { F } } M _ { i j } - ( E _ { \operatorname* { m a x } } - E _ { i } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { L } & { = } & { \left( \frac { q } { c } \, { \bf A } \; + \; m \, { \bf v } \right) \, \mathrm { \boldmath ~ \cdot ~ } \, \dot { \bf x } \; - \; \left( \frac { m } { 2 } \, | { \bf v } | ^ { 2 } \; + \; q \, \Phi \right) } \\ & { = } & { \frac { q } { c } \, { \bf A } \, \mathrm { \boldmath ~ \cdot ~ } \, \dot { \bf x } \; + \; \frac { m } { 2 } \, | \dot { \bf x } | ^ { 2 } \; - \; q \, \Phi } \\ & { = } & { \frac { q } { c } \, \psi \, \dot { \theta } \; + \; \frac { q \psi } { c \Omega _ { 0 } } \left( \frac { \dot { \psi } ^ { 2 } } { 4 \, \psi ^ { 2 } } + \dot { \theta } ^ { 2 } \right) \; - \; q \, \Phi ( \psi ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( D _ { L ^ { 2 } , { \tiny \mathrm { c a p } } } ( \omega _ { N , d } ) ) ^ { 2 } } & { = c _ { d } \left( \int _ { \mathbb { S } ^ { d } } \int _ { \mathbb { S } ^ { d } } \| x - y \| d \sigma _ { d } ( x ) d \sigma _ { d } ( y ) - \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } \| x _ { i } - x _ { j } \| \right) } \\ & { = c _ { d } \, \bigg ( \frac { 1 } { N ^ { 2 } } E _ { K _ { - 1 } } ( \omega _ { N , d } ) - \mathcal I _ { - 1 , d } \bigg ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { K ^ { ( n ) } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) = \textstyle \sum _ { k = 1 } ^ { n } \mathcal { R } Q _ { [ 1 , n ] } ^ { - 1 } A _ { k - 1 } \hat { G } _ { 0 , n } ^ { ( k ) } A _ { n } ^ { - 1 } \mathcal { R } ^ { - 1 } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) } \\ & { \quad \textstyle = \sum _ { k = 1 } ^ { n } \mathcal { R } Q _ { [ 1 , n ] } ^ { - 1 } A _ { k - 1 } Q _ { [ 1 , k ) } \chi _ { y _ { k } } \bar { Q } _ { [ k , n ] } ^ { + } A _ { n } ^ { - 1 } \mathcal { R } ^ { - 1 } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) } \\ & { \qquad \textstyle - \sum _ { k = 1 } ^ { n } \sum _ { \eta ^ { \prime } \in \mathbb { Z } } \mathcal { R } Q _ { [ 1 , n ] } ^ { - 1 } A _ { k - 1 } Q _ { [ 1 , k ) } \chi _ { y _ { k } } Q _ { k } ^ { + } ( z _ { 1 } , \eta ^ { \prime } ) \mathbb { E } _ { B _ { k } ^ { + } = \eta ^ { \prime } } \bigl [ \bar { Q } _ { ( { \tau ^ { + } } , n ] } ^ { + } A _ { n } ^ { - 1 } \mathcal { R } ^ { - 1 } ( B _ { { \tau ^ { + } } } ^ { + } , z _ { 2 } ) \mathbf { 1 } _ { { \tau ^ { + } } < n } \bigr ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \theta } _ { \Omega } ^ { \prime } ( y ) } & { = \left( - \frac { 1 } { y ^ { 2 } - y } + \frac { y - 1 } { y ^ { 3 } } { \mu } _ { \Omega } ( y ) \right) \sin ( 2 \theta _ { \Omega } ( y ) ) \, \dot { \theta } _ { \Omega } ( y ) - \frac { ( y - 1 ) { \mu } _ { \Omega } ( y ) } { y ^ { 3 } ( \Omega - \int _ { 0 } ^ { 1 } s f _ { 0 } ( y s ) d s ) } \sin ^ { 2 } ( \theta _ { \Omega } ( y ) ) } \\ & { : = A _ { \Omega } ( y ) \dot { \theta } _ { \Omega } ( y ) - B _ { \Omega } ( y ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \operatorname* { l i m s u p } _ { n \rightarrow \infty } \Big \{ \frac { \mathbb { E } [ | L I S ( \sigma ) - 2 \pi ^ { - 1 \slash 4 } n \beta _ { n } ^ { 1 \slash 4 } | ] } { n \beta _ { n } ^ { 1 \slash 4 } } \Big \} } \\ & { \leq } & { C L ^ { - 1 \slash 2 } + 2 \pi ^ { - 1 \slash 4 } \operatorname* { m a x } \{ 1 - e ^ { - 6 L ^ { - 1 } } ( 1 - 2 L ^ { - 1 } ) ^ { 1 \slash 2 } , e ^ { 3 L ^ { - 1 } } ( 1 + L ^ { - 1 } ) ^ { 1 \slash 2 } - 1 \} . } \\ & { } & \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left( e ^ { - 2 p \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } r _ { i h } h } \right) } \\ & { \leq \mathbb { E } \left( e ^ { - 2 p \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 2 } r _ { i h } h } \cdot e ^ { - 2 p h _ { 1 } e ^ { - \alpha h } r _ { ( T / h - 2 ) h } } \right) e ^ { c h ^ { 2 } + c h ^ { 3 } } } \\ & { \leq \mathbb { E } \left( e ^ { - 2 p \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 3 } r _ { i h } h } \cdot e ^ { - 2 p h _ { 2 } e ^ { - \alpha h } r _ { ( T / h - 3 ) h } } \right) e ^ { c \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } i h ^ { 2 } + c \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } i ^ { 2 } h ^ { 3 } } } \\ & { \leq . . . } \\ & { \leq \left( e ^ { - 2 p r _ { 0 } h } \cdot e ^ { - 2 p h _ { T / h - 1 } e ^ { - \alpha h } r _ { 0 } } \right) e ^ { c \sum _ { i = 1 } ^ { T / h - 1 } i h ^ { 2 } + c \sum _ { i = 1 } ^ { T / h - 1 } i ^ { 2 } h ^ { 3 } } } \\ & { = e ^ { - 2 p r _ { 0 } h _ { T / h } } e ^ { c \sum _ { i = 1 } ^ { T / h - 1 } i h ^ { 2 } + c \sum _ { i = 1 } ^ { T / h - 1 } i ^ { 2 } h ^ { 3 } } \leq c _ { p } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { x } } & { = } & { x \left( \frac { K ( q _ { 1 } + 1 ) } { 2 ( K - 1 ) } ( 1 - x / K ) - \frac { q _ { 1 } y } { 1 + x } - \frac { z } { 1 + x } \right) , } \\ { \dot { y } } & { = } & { y \left( \frac { q _ { 1 } x } { 1 + x } - \left( \frac { q _ { 1 } - 2 } { 2 } \right) - y \right) , } \\ { \dot { z } } & { = } & { z \left( \frac { x } { 1 + x } - \left( \frac { 1 } { 2 } - m _ { 2 } \right) - m _ { 2 } z \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \phi _ { 1 } ( l t _ { 1 } + t ) - \phi _ { 2 } ( l t _ { 1 } + t ) \| _ { X } } & { \leq ( 2 M e ^ { \lambda t _ { 1 } } ) ^ { l } 2 M e ^ { \lambda t } \| x _ { 1 } - x _ { 2 } \| _ { X } } \\ & { = 2 M e ^ { l \ln ( 2 M ) + \lambda l t _ { 1 } + \lambda t } \| x _ { 1 } - x _ { 2 } \| _ { X } } \\ & { = 2 M e ^ { l R t _ { 1 } + \lambda t } \| x _ { 1 } - x _ { 2 } \| _ { X } } \\ & { = 2 M e ^ { R ( l t _ { 1 } + t ) } \| x _ { 1 } - x _ { 2 } \| _ { X } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbb { P } ( N _ { i } \leq ( e ^ { - 2 } - t ) \lfloor \beta _ { n } ^ { - 1 } \rfloor | \sigma _ { 0 } ) } \\ & { \leq } & { \mathbb { P } \Big ( \sum _ { j = i - \lfloor \beta _ { n } ^ { - 1 } \rfloor } ^ { i - 1 } Z _ { j } \leq \sum _ { j = i - \lfloor \beta _ { n } ^ { - 1 } \rfloor } ^ { i - 1 } \mathbb { P } ( Z _ { j } = 1 | \sigma _ { 0 } ) - t \lfloor \beta _ { n } ^ { - 1 } \rfloor \Big | \sigma _ { 0 } \Big ) \leq \exp ( - 2 \lfloor \beta _ { n } ^ { - 1 } \rfloor t ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { [ { \pmb v } ^ { ( n ) } ( { \pmb \xi } ) , { \pmb v } ] = \int _ { \partial D _ { b } } \big ( \sigma _ { a b } ( { \pmb x } ) n _ { b } ( { \pmb x } ) v _ { a } ^ { ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) - v _ { a } ( { \pmb x } ) \sigma _ { a b } ^ { ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) n _ { b } ( { \pmb x } ) \big ) d S ( { \pmb x } ) } & { = } & \\ { \int _ { \partial D _ { b } } \big ( \sigma _ { a b } ^ { [ i ] } ( { \pmb x } ) n _ { b } ( { \pmb x } ) v _ { a } ^ { [ i ] ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) - v _ { a } ^ { [ i ] } ( { \pmb x } ) \sigma _ { a b } ^ { [ i ] ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) n _ { b } ( { \pmb x } ) \big ) d S ( { \pmb x } ) } & { + } & \\ { \gamma \int _ { \partial D _ { b } } ( v _ { a } ^ { [ i ] ( n ) } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) - v _ { a } ^ { [ i ] } ( { \pmb x } ) ) C ( { \pmb x } ) n _ { a } ( { \pmb x } ) d S ( { \pmb x } ) } & { } & \end{array}
\begin{array} { r l } & { \rVert \tilde { p } _ { 1 } \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \le _ { \mathtt { p e } , s } \gamma ^ { - 1 } \left( \varepsilon ^ { 4 } + \varepsilon ^ { 2 } \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \right) , } \\ & { \rVert d _ { i } \tilde { p } _ { 1 } ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] \rVert _ { s } \le _ { \mathtt { p e } , s } \varepsilon ^ { 2 } \gamma ^ { - 1 } \left( \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } + \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } \right) . } \end{array}
{ \frac { \partial ^ { p } } { \partial x _ { 1 } ^ { p _ { 1 } } \partial x _ { 2 } ^ { p _ { 2 } } \cdots \partial x _ { n } ^ { p _ { n } } } } f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { n } ) \equiv { \frac { \partial ^ { p _ { 1 } } } { \partial x _ { 1 } ^ { p _ { 1 } } } } { \frac { \partial ^ { p _ { 2 } } } { \partial x _ { 2 } ^ { p _ { 2 } } } } \cdots { \frac { \partial ^ { p _ { n } } } { \partial x _ { n } ^ { p _ { n } } } } f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { n } )
\begin{array} { r l r } { 0 < \gamma } & { \leq } & { \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { 1 } { 1 6 0 L \ln \frac { 6 ( K + 1 ) } { \beta } } , \frac { 2 0 ^ { \frac { 2 - \alpha } { \alpha } } R } { 1 0 8 0 0 ^ { \frac { 1 } { \alpha } } ( K + 1 ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } \sigma \ln ^ { \frac { \alpha - 1 } { \alpha } } \frac { 6 ( K + 1 ) } { \beta } } \right\} , } \\ { \lambda _ { k } \equiv \lambda } & { = } & { \frac { R } { 2 0 \gamma \ln \frac { 6 ( K + 1 ) } { \beta } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } } & { \leq \frac { 2 \Delta } { \eta T } + \frac { 1 8 \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } \Delta _ { y } } { \mu \gamma T } + \frac { 1 8 L ^ { 2 } \Delta _ { u } } { \mu \tau T } + \frac { \sigma ^ { 2 } } { b _ { x } M } + \frac { 7 2 \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } b _ { y } M } + C _ { \eta } \eta ^ { 2 } + C _ { \gamma } \gamma ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { n _ { h } } & { \to \mathbf { n } ( \nabla u ) \quad \mathrm { ~ i n ~ } L ^ { q } ( U ) \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } q \in [ 1 , \infty ) } \\ { n _ { h } } & { \to \mathbf { n } ( \nabla u ) \quad \mathrm { ~ i n ~ } L ^ { \infty } ( U ) \mathrm { ~ i f ~ } p > 2 } \\ { \nabla n _ { h } } & { \rightharpoonup \nabla \left( \mathbf { n } ( \nabla u ) \right) \quad \mathrm { ~ i n ~ } L ^ { p } ( U ) \, . } \end{array}
\tilde { \mathbf { R } } _ { a , b } ( \lambda , \mu ) = - \mathcal { V } _ { a } \mathcal { V } _ { b } \mathcal { U } _ { a } ^ { ( 3 ) } \mathcal { U } _ { b } ^ { ( 3 ) } \mathbf { R } _ { a , b } ( \lambda , \mu , \phi = 3 \pi ) { \mathcal { U } _ { a } ^ { ( 3 ) } } ^ { \dag } { \mathcal { U } _ { b } ^ { ( 3 ) } } ^ { \dag } \mathcal { V } _ { a } \mathcal { V } _ { b } .
\begin{array} { r l } { u _ { g } ( \mathbf { r } ) } & { = \frac { G } { 8 \pi } [ \mathbf { g } _ { 1 } ( \mathbf { r } ) + \mathbf { g } _ { 2 } ( \mathbf { r } ) ] \cdot [ \mathbf { g } _ { 1 } ( \mathbf { r } ) + \mathbf { g } _ { 2 } ( \mathbf { r } ) ] } \\ & { = \frac { G } { 8 \pi } \left[ \mathbf { g } _ { 1 } ^ { 2 } + \mathbf { g } _ { 2 } ^ { 2 } + 2 \mathbf { g } _ { 1 } \cdot \mathbf { g } _ { 2 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } e ^ { i x \cdot \xi - i \mu t \Lambda _ { a } ( \xi ) } \widehat { f } ( \xi ) m ( \xi ) \psi _ { \tilde { k } } ( \Lambda _ { a } ( \xi ) - n ) \psi _ { { l } } ( \tilde { x } \times N _ { a } ( \xi ) ) d \xi = I _ { l } ^ { 0 } + I _ { l } ^ { 1 } + I _ { l } ^ { 2 } , } \\ & { I _ { l } ^ { 0 } = \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } e ^ { i x \cdot \xi - i \mu t \Lambda _ { a } ( \xi ) } \big [ ( N _ { a } ( \xi ) \times \nabla _ { \xi } ) \cdot \big ( \frac { i x \times N _ { a } ( \xi ) } { | x \times N _ { a } ( \xi ) | ^ { 2 } } m ( \xi ) \psi _ { \tilde { k } } ( \Lambda _ { a } ( \xi ) - n ) \psi _ { { l } } ( \tilde { x } \times N _ { a } ( \xi ) ) \big ) \big ] \widehat { f } ( \xi ) d \xi , } \\ & { I _ { l } ^ { 1 } = \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } e ^ { i x \cdot \xi - i \mu t \Lambda _ { a } ( \xi ) } \big ( \frac { i x \times N _ { a } ( \xi ) } { | x \times N _ { a } ( \xi ) | ^ { 2 } } \cdot ( N _ { a } ( \xi ) \times \nabla _ { \xi } ) \widehat { f _ { \leq m + l , k } } ( \xi ) m ( \xi ) \psi _ { \tilde { k } } ( \Lambda _ { a } ( \xi ) - n ) \psi _ { { l } } ( \tilde { x } \times N _ { a } ( \xi ) ) d \xi , } \\ & { I _ { l } ^ { 2 } = \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } e ^ { i x \cdot \xi - i \mu t \Lambda _ { a } ( \xi ) } \big ( \frac { i x \times N _ { a } ( \xi ) } { | x \times N _ { a } ( \xi ) | ^ { 2 } } \cdot ( N _ { a } ( \xi ) \times \nabla _ { \xi } ) \widehat { f _ { > m + l , k } } ( \xi ) m ( \xi ) \psi _ { \tilde { k } } ( \Lambda _ { a } ( \xi ) - n ) \psi _ { { l } } ( \tilde { x } \times N _ { a } ( \xi ) ) d \xi , } \end{array}
\begin{array} { r l } { G ^ { ( 3 ) } ( \mathbf { r _ { 1 } } } & { , \mathbf { r _ { 2 } } , \mathbf { r _ { 3 } } ) = { G ^ { ( 1 ) } } ( \mathbf { r _ { 1 } , r _ { 1 } } ) { G ^ { ( 1 ) } } ( \mathbf { r _ { 2 } , r _ { 2 } } ) { G ^ { ( 1 ) } } ( \mathbf { r _ { 3 } , r _ { 3 } } ) } \\ & { \pm | { G ^ { ( 1 ) } } ( \mathbf { r _ { 1 } , r _ { 2 } } ) | ^ { 2 } { G ^ { ( 1 ) } } ( \mathbf { r _ { 3 } , r _ { 3 } } ) } \\ & { \pm | { G ^ { ( 1 ) } } ( \mathbf { r _ { 2 } , r _ { 3 } } ) | ^ { 2 } { G ^ { ( 1 ) } } ( \mathbf { r _ { 1 } , r _ { 1 } } ) } \\ & { \pm | { G ^ { ( 1 ) } } ( \mathbf { r _ { 3 } , r _ { 1 } } ) | ^ { 2 } { G ^ { ( 1 ) } } ( \mathbf { r _ { 2 } , r _ { 2 } } ) } \\ & { + 2 \mathrm { R e } \left\{ ( { G ^ { ( 1 ) } } ( \mathbf { r _ { 1 } , r _ { 2 } } ) { G ^ { ( 1 ) } } ( \mathbf { r _ { 2 } , r _ { 3 } } ) { G ^ { ( 1 ) } } ( \mathbf { r _ { 3 } , r _ { 1 } } ) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Vert \tilde { \theta } _ { t + 1 } - \theta ^ { * } \Vert ^ { 2 } } & { = \Vert \tilde { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \Vert ^ { 2 } + 2 \alpha \langle \tilde { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } , \bar { g } ( \theta _ { t } ) \rangle + \alpha ^ { 2 } \Vert \bar { g } ( \theta _ { t } ) \Vert ^ { 2 } } \\ & { = \Vert \tilde { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \Vert ^ { 2 } + 2 \alpha \langle { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } , \bar { g } ( \theta _ { t } ) \rangle + \alpha ^ { 2 } \Vert \bar { g } ( \theta _ { t } ) \Vert ^ { 2 } + 2 \alpha \langle \tilde { \theta } _ { t } - { \theta } _ { t } , \bar { g } ( \theta _ { t } ) \rangle } \\ & { \overset { ( a ) } \leq \Vert \tilde { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \Vert ^ { 2 } + 2 \alpha \langle { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } , \bar { g } ( \theta _ { t } ) \rangle + \alpha \left( \alpha + \frac { 1 } { \eta } \right) \Vert \bar { g } ( \theta _ { t } ) \Vert ^ { 2 } + \alpha \eta \Vert \tilde { \theta } _ { t } - \theta _ { t } \Vert ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( b ) } = \Vert \tilde { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \Vert ^ { 2 } + 2 \alpha \langle { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } , \bar { g } ( \theta _ { t } ) \rangle + \alpha \left( \alpha + \frac { 1 } { \eta } \right) \Vert \bar { g } ( \theta _ { t } ) \Vert ^ { 2 } + \alpha ^ { 3 } \eta \Vert e _ { t - 1 } \Vert ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ~ ~ ~ ~ \textbf { C } ( z I _ { n } - \textbf { A } ) ^ { - 1 } \textbf { B } + \textbf { D } } \\ & { = 2 \Re ( \alpha ) C ( \alpha I _ { n } - A ) ^ { - 1 } ( z I _ { n } - ( \alpha I _ { n } - A ) ^ { - 1 } ( \overline { { \alpha } } I _ { n } + A ) ) ^ { - 1 } ( \alpha I _ { n } - A ) ^ { - 1 } B + \mathcal { T } ( \alpha ) } \\ & { = 2 \Re ( \alpha ) C ( \alpha I _ { n } - A ) ^ { - 1 } ( z ( \alpha I _ { n } - A ) - ( \overline { { \alpha } } I _ { n } + A ) ) ^ { - 1 } B + \mathcal { T } ( \alpha ) } \\ & { = \mathcal { T } ( \frac { \alpha z - \overline { { \alpha } } } { z + 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | a _ { 0 } + \int _ { 0 } ^ { t } \varphi ( r ) \dot { g } ( r ) d r | } & { = \Big | \int _ { t } ^ { \infty } \varphi ( r ) \dot { g } ( r ) d r \Big | } \\ & { \leq \left( \operatorname* { s u p } _ { s \geq t } | \varphi ( s ) | \right) \int _ { t } ^ { \infty } \dot { g } ( r ) d r } \\ & { \leq K e ^ { - \gamma t } [ 1 - g ( t ) ] } \\ & { \leq K e ^ { - ( \gamma + \sqrt { 2 } ) t } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigg | \mathfrak { R e } \int _ { 0 } ^ { \tau } \int _ { 0 } ^ { 1 } [ i k U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } ( y ) } & { , \partial _ { y } ^ { 2 } ] \big ( ( \partial _ { t } + 1 ) \psi _ { k } ( t , y ) \big ) \overline { { \omega _ { \tau , k } ( t , y ) } } d y d t \bigg | } \\ & { \leq | k | \int _ { 0 } ^ { \tau } \! \| [ U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } , \partial _ { y } ^ { 2 } ] ( \partial _ { t } + 1 ) \psi _ { k } ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } \| \omega _ { \tau , k } ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } d t } \\ & { \leq | k | \int _ { 0 } ^ { \tau } \| [ U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } , \partial _ { y } ^ { 2 } ] ( \partial _ { t } + 1 ) \psi _ { k } ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } \| \omega _ { \tau , k } ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } d t } \\ & { \leq | k | \int _ { 0 } ^ { \tau } \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime \prime } ( \partial _ { t } + 1 ) \psi _ { k } ( t ) + 2 U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime } ( \partial _ { t } + 1 ) \partial _ { y } \psi _ { k } ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } \| \omega _ { \tau , k } ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } d t } \\ & { \leq | k | \int _ { 0 } ^ { \tau } \Big ( \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } + 2 \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \Big ) \| ( \partial _ { t } + 1 ) \partial _ { y } \psi _ { k } ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } \| \omega _ { \tau , k } ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } d t , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { V } _ { 1 } ^ { * } \mathbf { V } _ { 1 } } & { = \mathbf { I } _ { 1 } , } \\ { \mathbf { V } _ { 2 } ^ { * } \mathbf { V } _ { 2 } } & { = \mathbf { I } _ { 2 } , } \\ { \mathbf { V } _ { 1 } \mathbf { V } _ { 1 } ^ { * } + \mathbf { V } _ { 2 } \mathbf { V } _ { 2 } ^ { * } } & { = \mathbf { I } _ { 1 2 } , } \end{array} }
{ \begin{array} { r l } { [ ] \lbrack \mathbf { b } \rbrack } & { = \lbrack \mathbf { b } \rbrack _ { 2 } \cdot \lbrack \mathbf { b } \rbrack _ { 1 } } \\ & { = { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { - s C } & { 1 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { - R } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } } \\ & { = { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { - R } \\ { - s C } & { 1 + s C R } \end{array} \right] } } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { W _ { r } } & { = } & { \int _ { \Omega _ { s } } d \Omega \int _ { - \infty } ^ { \infty } t _ { 0 } r \mathcal { E } _ { \theta } ( { \bf r } ; t ) t _ { 0 } r \mathcal { H } _ { \phi } ( { \bf r } : t ) \, d t } \\ & { = } & { \frac { t _ { 0 } } { 2 \pi } \Re \left[ \int _ { \Omega _ { s } } d \Omega \int _ { - \infty } ^ { \infty } r E _ { \theta } ( { \bf r } ; \zeta ) r H _ { \phi } ^ { * } ( { \bf r } ; \zeta ) \, d \zeta \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { E } _ { B } ( \omega ) } & { = \tilde { E } _ { P } ( \omega ) \cdot \tilde { f } ( \omega ; \Delta t , N , \phi _ { s l i p } ) } \\ & { = \tilde { E } _ { P } ( \omega ) \cdot \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \exp { \left( - i n ( \Delta t \omega - \phi _ { s l i p } ) \right) } } \\ & { = \tilde { E } _ { P } ( \omega ) \cdot \frac { \sin \left( \frac { N ( \Delta t \omega - \phi _ { s l i p } ) } { 2 } \right) } { \sin \left( \frac { \Delta t \omega - \phi _ { s l i p } } { 2 } \right) } e ^ { - j \frac { N - 1 } { 2 } ( \Delta t \omega - \phi _ { s l i p } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { i } ^ { n } ( t ) } & { = \Lambda _ { i } ^ { - 1 } \left( \lambda _ { i } ^ { * } \right) + \left( \Lambda _ { i } ^ { - 1 } \right) ^ { \prime } \left( \lambda _ { i } ^ { * } \right) \frac { q ( t ) } { \sqrt { n } } + O \left( \frac { 1 } { n } \right) } \\ & { = \Lambda _ { i } ^ { - 1 } \left( \lambda _ { i } ^ { * } \right) + \frac { \left( \Lambda _ { i } ^ { - 1 } \right) ^ { \prime } \left( \lambda _ { i } ^ { * } \right) } { 2 \alpha _ { i } \sqrt { n } } v \left( \frac { W ^ { n } ( t ) } { \sqrt { n } } \right) + O \left( \frac { 1 } { n } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| F ( y ) - F ( y ^ { \prime } ) \| ^ { 2 } = } & { \left\| \frac { c ^ { T } y c c ^ { T } y + ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) c ^ { T } y y } { \| A y \| } - \frac { c ^ { T } y ^ { \prime } c c ^ { T } y ^ { \prime } + ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) c ^ { T } y ^ { \prime } y ^ { \prime } } { \| A y ^ { \prime } \| } \right\| ^ { 2 } } \\ { = } & { \left\| \frac { ( c ^ { T } y ) ^ { 2 } c + ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) c ^ { T } y y } { \| A y \| } - \frac { ( c ^ { T } y ^ { \prime } ) ^ { 2 } c + ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) c ^ { T } y ^ { \prime } y ^ { \prime } } { \| A y ^ { \prime } \| } \right\| ^ { 2 } } \\ { = } & { } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \phi _ { i } \left( \frac { \| \mathbf { v } _ { N } \| } { \| \mathbf { Z } _ { N } \| } [ \mathbf { Z } _ { N } ] _ { i } \right) - \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \phi _ { i } \left( \sigma [ \mathbf { Z } _ { N } ] _ { i } \right) \right| } & { \leq \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left| \phi _ { i } \left( \frac { \| \mathbf { v } _ { N } \| } { \| \mathbf { Z } _ { N } \| } [ \mathbf { Z } _ { N } ] _ { i } \right) - \phi _ { i } \left( \sigma [ \mathbf { Z } _ { N } ] _ { i } \right) \right| } \\ & { \leq \frac { L } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left| 1 + \left( \frac { \| \mathbf { v } _ { N } \| } { \| \mathbf { Z } _ { N } \| } + \sigma \right) [ \mathbf { Z } _ { N } ] _ { i } \right| \left| \frac { \| \mathbf { v } _ { N } \| } { \| \mathbf { Z } _ { N } \| } - \sigma \right| | [ \mathbf { Z } _ { N } ] _ { i } | } \\ & { \leq L \left| \frac { \| \mathbf { v } _ { N } \| } { \| \mathbf { Z } _ { N } \| } - \sigma \right| \left( \frac { \| \mathbf { Z } _ { N } \| } { \sqrt { N } } + \left( \frac { \| \mathbf { v } _ { N } \| } { \| \mathbf { Z } _ { N } \| } + \sigma \right) \frac { { \| \mathbf { Z } _ { N } \| ^ { 2 } } } N \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { \mathcal { F } } ( B \in \operatorname { N I } ( f ; [ t , \gamma ^ { 2 / 3 } ] ) , } & { B _ { \ell } ( t ) < B _ { \ell } ( 0 ) - a _ { \ell } + ( \ell - 1 ) ) } \\ & { \le \mathbb { P } _ { \mathcal { F } } ( B _ { \ell } \in \operatorname { N I } ( f ; [ t , \gamma ^ { 2 / 3 } ] ) , B _ { \ell } ( t ) < B _ { \ell } ( 0 ) - a _ { \ell } + ( \ell - 1 ) ) } \\ & { \times \prod _ { i = 1 } ^ { \ell - 1 } \mathbb { P } _ { 0 , \gamma ^ { 2 / 3 } } ( B _ { i } ( 0 ) + \sqrt { \beta _ { k } } \gamma ^ { 2 / 3 } , B _ { i } ( \gamma ^ { 2 / 3 } ) + \sqrt { \beta _ { k } } \gamma ^ { 2 / 3 } , g ; [ t , \gamma ^ { 2 / 3 } ] ) } \end{array}
\left\langle \left( \begin{array} { l } { f _ { 1 } } \\ { g _ { 1 } } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l } { f _ { 2 } } \\ { g _ { 2 } } \end{array} \right) \right\rangle : = b \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } f _ { 1 } ( x ) \overline { { f _ { 2 } ( x ) } } d x + \bar { \rho } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } g _ { 1 } ( x ) \overline { { g _ { 2 } ( x ) } } d x ,
\begin{array} { r l } { \sigma _ { r } ^ { \star } } & { \geq C _ { 0 } r \left( \omega _ { \sf c o l } + \sqrt { \omega _ { \sf c o l } \omega _ { \sf r o w } } \right) \sqrt { \log n } } \\ { \mu } & { \leq c _ { 0 } \frac { n _ { 1 } } { r ^ { 3 } } } \\ { 0 } & { < \mu r \omega _ { \sf m a x } ^ { 2 } \le \omega _ { \sf c o l } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( - \nu \frac { \partial ^ { 2 } u _ { y } ^ { h } } { \partial x ^ { 2 } } - \nu \frac { \partial ^ { 2 } u _ { y } ^ { h } } { \partial y ^ { 2 } } + u _ { x } ^ { h } \frac { \partial u _ { y } ^ { h } } { \partial x } + u _ { y } ^ { h } \frac { \partial u _ { y } ^ { h } } { \partial y } + \frac { \partial p ^ { h } } { \partial y } + \frac { C _ { p e n } ^ { 2 } } { h ^ { 2 } } ( u _ { y } ^ { h } - g _ { y } ) \right) ( \boldsymbol { \tau } _ { \ell } ^ { u _ { y } } ) } \\ { = f _ { y } ( \boldsymbol { \tau } _ { \ell } ^ { u _ { y } } ) \quad \forall \boldsymbol { \tau } _ { \ell } ^ { u _ { y } } \in \partial \Omega } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ b ] \mathcal { L } _ { I _ { L } } ( s ) } & { \stackrel { a } { = } \mathbb { E } _ { \mathbf \Phi _ { L } } \left[ \exp \left\{ - s \sum _ { \substack { x _ { i } \in \mathbf \Phi _ { L } } } P H _ { L , i } G _ { \epsilon , i } ( r _ { i } ^ { 2 } + h ^ { 2 } ) ^ { \frac { - \alpha _ { L } } { 2 } } \right\} \right] } \\ & { \stackrel { b } { = } \mathbb { E } _ { r } \left[ \prod _ { \substack { x _ { i } \in \mathbf \Phi _ { L } } } \mathbb { E } _ { H _ { L } } \exp \left\{ - s P H _ { L , i } G _ { \epsilon , i } ( r _ { i } ^ { 2 } + h ^ { 2 } ) ^ { \frac { - \alpha _ { L } } { 2 } } \right\} \right] } \\ & { \stackrel { c } { = } \mathbb { E } _ { r } \left[ \prod _ { \substack { x _ { i } \in \mathbf \Phi _ { L } } } \left( 1 + \frac { s P G _ { \epsilon , i } ( r _ { i } ^ { 2 } + h ^ { 2 } ) ^ { \frac { - \alpha _ { L } } { 2 } } } { m _ { L } } \right) ^ { - m _ { L } } \right] } \\ & { \stackrel { d } { = } \exp \left\{ - 2 \: \pi \: \lambda _ { \mathrm { D C } } \int _ { \frac { R } { 2 } } ^ { \infty } p _ { \mathrm { { L O S } } } \left( r \right) \right. } \\ & { \left. \left( 1 - \left( 1 + \frac { s P G _ { \epsilon } ( r ^ { 2 } + h ^ { 2 } ) ^ { \frac { - \alpha _ { L } } { 2 } } } { m _ { L } } \right) ^ { - m _ { L } } \right) r d r \right\} . } \end{array}
\frac { \mathcal { Z } ^ { ( 1 | 1 ) ( 1 | 0 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } { \mathcal { Z } ^ { ( 0 | 0 ) ( 0 | 0 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } - \frac { \mathcal { Z } ^ { ( 1 | 1 ) ( 0 | 0 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } { \mathcal { Z } ^ { ( 0 | 0 ) ( 0 | 0 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } \, \frac { \mathcal { Z } ^ { ( 0 | 0 ) ( 1 | 0 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } { \mathcal { Z } ^ { ( 0 | 0 ) ( 0 | 0 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } \simeq { \mathrm { e } } ^ { - \frac { 1 } { g _ { \mathrm { s } } } A _ { n } } \, \frac { 1 } { 2 \pi } \, \sqrt { \frac { g _ { \mathrm { s } } \, ( - 1 ) ^ { n + 1 } } { 2 \pi n ^ { 3 } } } \, \log \left( \frac { m - n } { m + n } \right) + o ( g _ { \mathrm { s } } ^ { 3 / 2 } ) .
\begin{array} { r } { \partial _ { x } \Pi _ { S ^ { \perp } } O p ^ { W } \left( \mathtt { m } _ { \alpha } m _ { 1 , \alpha } ( \xi ) + \frac { T _ { \alpha } } 4 + \mathfrak { m } _ { \le 0 } ( \omega , \xi ) + \varepsilon ^ { 2 } \mathfrak { m } _ { \mathfrak { b } } ( \omega , \xi ) \right) = \mathcal { B } _ { 0 , * } + \varepsilon ^ { 2 } \mathcal { B } _ { 1 , * } + \mathcal { B } _ { 2 , * } . } \end{array}
\mathbf { S } _ { \mathrm { m u l t , \ c h i _ { 0 } } } [ D _ { \delta } ] ( g _ { 1 } , \ldots , g _ { n } ) \quad \mathrm { e t } \quad \sum _ { d | N } n _ { d } \pi _ { d } ^ { * } \mathbf { S } _ { \mathrm { m u l t , \ c h i _ { 0 } } } [ D _ { 0 } ] ( \pi _ { d } g _ { 1 } \pi _ { d } ^ { - 1 } , \ldots , \pi _ { d } g _ { n } \pi _ { d } ^ { - 1 } ) .
\begin{array} { r l } & { { \mathbb E } _ { \mathbb { P } } \left[ F ( M _ { t } , X _ { t } ) \right] = { \mathbb E } _ { \mathbb { Q } } \left[ F ( x _ { 0 } ^ { 1 } + W _ { t } ^ { 1 * } , x _ { 0 } + W _ { t } ) \right] = { \mathbb E } _ { \mathbb { P } } \left[ F ( x _ { 0 } ^ { 1 } + W _ { t } ^ { 1 * } , x _ { 0 } + W _ { t } ) Z _ { t } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beta _ { p q } } & { = \sum _ { \mathrm { e v e n ~ } k , l = 0 } ^ { p , q } \alpha _ { p k } \alpha _ { q l } \int I ( x , y ) \left( \frac { x } { 2 \sigma } \right) ^ { k } \left( \frac { y } { 2 \sigma } \right) ^ { l } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { 4 \sigma ^ { 2 } } } \ d x d y } \\ & { = \sum _ { \mathrm { e v e n ~ } k , l = 0 } ^ { p , q } \int I ( x , y ) \phi _ { k l } ( x , y ) \ d x d y . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { 1 , 1 } } & { \overset { ( a ) } { \leq } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } , \mathcal { B } _ { y } ) - \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , \mathcal { B } _ { y } ) \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( b ) } { \leq } L ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \| x _ { t } ^ { ( m ) } - x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } + \| y _ { t } ^ { ( m ) } - y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } \bigg ] \leq L ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \| \eta \nu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } + \| \gamma \omega _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \mathbb { E } \left[ \left\| \nabla f ( x ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } \right] \leq } & { \frac { 2 } { \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \alpha _ { k } } ( \triangle _ { w } ) + { 2 b ^ { 2 } } + \frac { 2 } { \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \alpha _ { k } } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \left( \frac { \alpha _ { k } ^ { 2 } L _ { f } } { n } + \frac { a _ { 3 } ( \alpha _ { k } , n ) M _ { f } } { L _ { y } } \right) \tilde { \sigma } _ { f } ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 8 } { \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \alpha _ { k } } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \left( \alpha _ { k } M _ { f } ^ { 2 } + \frac { a _ { 2 } ( \alpha _ { k } , n ) M _ { f } } { L _ { y } } \right) \frac { T \beta _ { k } ^ { 2 } ( \sigma _ { g , 1 } ^ { 2 } + \sigma _ { g } ^ { 2 } ) } { n S } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { H } _ { 0 } ( - z ) = - \mathrm { H } _ { 0 } ( z ) \quad \mathrm { a n d } \quad \mathrm { Y } _ { 0 } ( - z ) = \mathrm { Y } _ { 0 } ( z ) - 2 \mathrm { i } \, \mathrm { s g n } \left( \mathrm { I m } [ z ] \right) \mathrm { J } _ { 0 } ( z ) \quad \mathrm { f o r } \quad z \in \mathbb { C } \mathrm { ~ w i t h ~ } \mathrm { I m } [ z ] \neq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { m i n } \quad } & { \sum _ { i , j = 1 } ^ { m } \| y _ { i } - y _ { j } \| _ { \infty } ( u _ { i j } + u _ { i j } ^ { \prime } ) + 2 \, v _ { i } } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { \sum _ { j = 1 } ^ { m } ( u _ { i j } - u _ { i j } ^ { \prime } ) + v _ { i } + \tau _ { i } \geq \nu ( \{ y _ { i } \} ) , } & { \forall { i \leq m } , } \\ & { \sum _ { i = 1 } ^ { m } \tau _ { i } = 1 , } & \\ & { u _ { i j } , u _ { i j } ^ { \prime } , v _ { i } , \tau _ { i } \geq 0 , } & { \forall i , j \leq m , i \neq j . } \end{array}
{ \sqrt { 2 } } P ( 0 ) = { \sqrt { \hbar } } \; { \left[ \begin{array} { l l l l l l } { 0 } & { - i { \sqrt { 1 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } \\ { i { \sqrt { 1 } } } & { 0 } & { - i { \sqrt { 2 } } } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } \\ { 0 } & { i { \sqrt { 2 } } } & { 0 } & { - i { \sqrt { 3 } } } & { 0 } & { \cdots } \\ { 0 } & { 0 } & { i { \sqrt { 3 } } } & { 0 } & { - i { \sqrt { 4 } } } & { \cdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } \end{array} \right] } ,
\begin{array} { r l r } { \rho _ { 1 } ( x , t ) } & { = } & { p _ { 1 } ( x , t ) + \kappa _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { t } p _ { 1 } ( x , \tau | a _ { 1 } ) [ \rho _ { 1 } ( a _ { 1 } ^ { - } , t - \tau ) + \rho _ { 2 } ( a _ { 1 } ^ { + } , t - \tau ) ] d \tau , } \\ { \rho _ { m } ( x , t ) } & { = } & { p _ { m } ( x , t ) } \\ & { } & { \quad + \kappa _ { m - 1 } \int _ { 0 } ^ { t } p _ { m } ( x , \tau | a _ { m - 1 } ) [ \rho _ { m - 1 } ( a _ { m - 1 } ^ { - } , t - \tau ) + \rho _ { m } ( a _ { m - 1 } ^ { + } , t - \tau ) ] d \tau . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { \phi } } _ { 1 } ( \theta _ { 1 } ) - \overline { { \phi } } _ { 1 } ( \theta _ { 2 } ) } & { = \mathbb { E } [ ( 1 - Y _ { i 2 } ) e ^ { \theta _ { 1 } X _ { i 2 } } - ( 1 - Y _ { i 1 } ) e ^ { \theta _ { 1 } } \, | \, X _ { i 1 } = 1 ] - \mathbb { E } [ ( 1 - Y _ { i 2 } ) e ^ { \theta _ { 2 } X _ { i 2 } } - ( 1 - Y _ { i 1 } ) e ^ { \theta _ { 2 } } \, | \, X _ { i 1 } = 1 ] } \\ & { = \mathbb { E } [ ( 1 - Y _ { i 2 } ) ( e ^ { \theta _ { 1 } X _ { i 2 } } - e ^ { \theta _ { 2 } X _ { i 2 } } ) - ( 1 - Y _ { i 1 } ) ( e ^ { \theta _ { 1 } } - e ^ { \theta _ { 2 } } ) \, | \, X _ { i 1 } = 1 ] } \\ & { = ( e ^ { \theta _ { 1 } } - e ^ { \theta _ { 2 } } ) \mathbb { E } [ ( 1 - Y _ { i 2 } ) X _ { i 2 } - ( 1 - Y _ { i 1 } ) \, | \, X _ { i 1 } = 1 ] } \\ & { = - ( e ^ { \theta _ { 1 } } - e ^ { \theta _ { 2 } } ) \mathbb { E } [ ( 1 - F ( \theta + \alpha _ { i } ) ) ( 1 - X _ { i 2 } ) \, | \, X _ { i 1 } = 1 ] } \\ & { = - \underbrace { ( e ^ { \theta _ { 1 } } - e ^ { \theta _ { 2 } } ) } _ { > 0 } \times } \\ & { \int _ { { \cal { S } } } \sum _ { y _ { 1 } = 0 } ^ { 1 } \underbrace { ( 1 - F ( \theta + \alpha ) ) ( 1 - G _ { y _ { 1 } , 1 } ^ { 2 } ( \alpha ) ) F ( \theta + \alpha ) ^ { y _ { 1 } } ( 1 - F ( \theta + \alpha ) ) ^ { 1 - y _ { 1 } } \pi _ { 1 } ( \alpha ) } _ { > 0 \mathrm { ~ b y ~ A s s u m p t i o n ~ } } d \mu ( \alpha ) } \\ & { < 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } [ X _ { j } | { \it d o } ( X _ { i } = 0 ) ] = \mathbb { E } _ { \boldsymbol { \gamma } _ { - X _ { j } } \in ( \mathcal { U } [ 0 , 1 ] ) ^ { n - 1 } , \boldsymbol { \varepsilon } } \left[ \operatorname* { P r } _ { \gamma _ { X _ { j } } \sim \mathcal { U } [ 0 , 1 ] } \left\{ X _ { j } = 1 | { \it d o } ( X _ { i } = 0 ) , \boldsymbol { \gamma } _ { - X _ { j } } , \varepsilon \right\} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lvert | e _ { h } \rvert | _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } & { = \langle E ^ { \prime \prime } ( u ) \, e _ { h } , z - \textup { R } _ { \kappa , h } ^ { \perp } z \rangle + \langle E ^ { \prime \prime } ( u ) \, e _ { h } , \textup { R } _ { \kappa , h } ^ { \perp } z \rangle = E ^ { 1 } + \varepsilon _ { h } ^ { \mathrm { n o n l i n } } ( \textup { R } _ { \kappa , h } ^ { \perp } z ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \partial _ { r } \Psi _ { n } ^ { m } } & { = } & { \frac { 1 } { w _ { 0 } } \sqrt { \frac { 2 } { \pi } \frac { n ! } { ( n + m ) ! } } \left( \frac { \sqrt { 2 } r } { w _ { 0 } } \right) ^ { m } \mathrm { e } ^ { - \frac { r ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } } \mathrm { e } ^ { i m \phi } \mathrm { e } ^ { i k z } } \\ & { } & { \cdot \frac { 1 } { r } \left[ m + 2 a \frac { d } { d a } - a \right] L _ { n } ^ { m } \left( a \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \lesssim \| f \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { - } ) _ { \xi } } + \varepsilon \langle \| F _ { + } \| _ { \mathfrak D } \rangle \| f \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } } \\ & { \lesssim \varepsilon \langle \| F _ { + } \| _ { \mathfrak D } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( p - 1 ) \mathcal { H } _ { p } ( W , X ) + 1 } \\ & { = \int _ { \mathbb { R } } \mathcal { P } _ { { X } } ( { x } ) ^ { 1 - p } \frac { 1 } { ( 2 \pi \sigma ^ { 2 } ) ^ { \frac { p } { 2 } } } e ^ { - \frac { p { x } ^ { 2 } } { 2 \left( \sigma ^ { 2 } + p \sigma _ { W } ^ { 2 } \right) } } \left( 1 + p \frac { \sigma _ { W } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } d { x } } \\ & { = \frac { \left( 1 + \frac { \sigma _ { W } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { d ( p - 1 ) } { 2 } } } { ( 2 \pi \sigma ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( 1 + p \frac { \sigma _ { W } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \int _ { \mathbb { R } } e ^ { \frac { ( p - 1 ) { x } ^ { 2 } } { 2 \left( \sigma ^ { 2 } + \sigma _ { W } ^ { 2 } \right) } - \frac { p { x } ^ { 2 } } { 2 \left( \sigma ^ { 2 } + p \sigma _ { W } ^ { 2 } \right) } } d { x } } \\ & { = \frac { \left( 1 + \frac { \sigma _ { W } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { ( p - 1 ) } { 2 } } } { ( 2 \pi \sigma ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( 1 + p \frac { \sigma _ { W } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \int _ { \mathbb { R } } e ^ { - \frac { { x } ^ { 2 } } { 2 } \left( \frac { 1 - p } { \sigma ^ { 2 } + \sigma _ { W } ^ { 2 } } + \frac { p } { \sigma ^ { 2 } + p \sigma _ { W } ^ { 2 } } \right) } d { x } } \\ & { = \frac { \left( 1 + \frac { \sigma _ { W } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { ( p - 1 ) } { 2 } } } { ( 2 \pi \sigma ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( 1 + p \frac { \sigma _ { W } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \left( \frac { 2 \pi } { \frac { 1 - p } { \sigma ^ { 2 } + \sigma _ { W } ^ { 2 } } + \frac { p } { \sigma ^ { 2 } + p \sigma _ { W } ^ { 2 } } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { = \frac { \left( 1 + \frac { \sigma _ { W } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { ( p - 1 ) } { 2 } } } { \left( \sigma ^ { 2 } + p \sigma _ { W } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \left( \frac { 1 } { \frac { 1 - p } { \sigma ^ { 2 } + \sigma _ { W } ^ { 2 } } + \frac { p } { \sigma ^ { 2 } + p \sigma _ { W } ^ { 2 } } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { = \left( \frac { \left( 1 + \frac { \sigma _ { W } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) ^ { p - 1 } } { \frac { ( 1 - p ) \left( \sigma ^ { 2 } + p \sigma _ { W } ^ { 2 } \right) } { \sigma ^ { 2 } + \sigma _ { W } ^ { 2 } } + p } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { = \left( \frac { \left( 1 + \frac { \sigma _ { W } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) ^ { p } } { 1 + ( 2 - p ) p \frac { \sigma _ { W } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { B _ { \frac { 1 } { 2 } } } \left( \frac { | \nabla \tilde { u } | ^ { 2 } } { 2 } - W ( \tilde { u } ) \right) _ { + } } & { \leq c \tau \int _ { B _ { \frac { 1 } { 2 } } } \left( \frac { | \nabla \tilde { u } | ^ { 2 } } { 2 } + W ( \tilde { u } ) \right) + \int _ { B _ { \frac { 1 } { 2 } } \cap \{ | \tilde { u } | \geq 1 - \tau \} } \frac { | \nabla \tilde { u } | ^ { 2 } } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\langle U _ { j } H - U _ { j } ^ { * } , R - I _ { d } \right\rangle + \left\langle U _ { j } \left( M - \hat { P } H ^ { \top } \right) ^ { \top } \hat { P } , R - I _ { d } \right\rangle } \\ & { \leq \left( 1 + \frac { 1 6 C _ { 0 } ( 1 + \sigma \sqrt { d } ) } { 3 \sqrt { n p } } \right) \left( \left\| { B _ { j } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + \left\| { F _ { j 1 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + \left\| { F _ { j 2 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + \left\| { G _ { j 1 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } \right) \sqrt { 2 d h _ { R } } } \\ & { \quad + \frac { 1 6 C _ { 0 } ( 1 + \sigma \sqrt { d } ) } { 3 \sqrt { n p } } \sqrt { 2 d h _ { R } } \left\| { G _ { j 2 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + \left\langle G _ { j 2 } , R - I _ { d } \right\rangle + \frac { 1 6 C _ { 0 } ( 1 + \sigma \sqrt { d } ) } { 3 \sqrt { n p } } \frac { \sqrt { 2 d h _ { R } } } { \sqrt { n } } } \\ & { \leq 2 \left( 1 + \frac { 1 6 C _ { 0 } ( 1 + \sigma \sqrt { d } ) } { 3 \sqrt { n p } } \right) \left( \left\| { F _ { j 1 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + \left\| { F _ { j 2 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + \left\| { G _ { j 1 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } \right) \sqrt { 2 d h _ { R } } } \\ & { \quad + \left( \frac { 4 1 } { 3 3 } + \frac { 1 6 C _ { 0 } ( 1 + \sigma \sqrt { d } ) } { 3 \sqrt { n p } } \right) 2 2 C _ { 0 } \left( \frac { 1 + \sigma \sqrt { d } } { \sqrt { n p } } \right) \left\| { G _ { j 2 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } \sqrt { 2 d h _ { R } } + \left\langle G _ { j 2 } , R - I _ { d } \right\rangle } \\ & { \quad + \left( \frac { 4 1 } { 3 3 } + \frac { 1 6 C _ { 0 } ( 1 + \sigma \sqrt { d } ) } { 3 \sqrt { n p } } \right) 2 2 C _ { 0 } \left( \frac { 1 + \sigma \sqrt { d } } { \sqrt { n p } } \right) \frac { \sqrt { 2 d h _ { R } } } { \sqrt { n } } } \\ & { \leq 2 \left( 1 + \frac { 1 6 C _ { 0 } ( 1 + \sigma \sqrt { d } ) } { 3 \sqrt { n p } } \right) \left( \left\| { F _ { j 1 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + \left\| { F _ { j 2 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } \right) \sqrt { 2 d h _ { R } } } \\ & { \quad + \left( \frac { 4 1 } { 3 3 } + \frac { 1 6 C _ { 0 } ( 1 + \sigma \sqrt { d } ) } { 3 \sqrt { n p } } \right) 2 2 C _ { 0 } \left( \frac { 1 + \sigma \sqrt { d } } { \sqrt { n p } } \right) \left\| { G _ { j 2 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } \sqrt { 2 d h _ { R } } + \left\langle G _ { j 2 } , R - I _ { d } \right\rangle } \\ & { \quad + \left( \frac { 4 1 } { 3 3 } + \frac { 1 6 C _ { 0 } ( 1 + \sigma \sqrt { d } ) } { 3 \sqrt { n p } } \right) 2 2 C _ { 0 } \left( \frac { 1 + \sigma \sqrt { d } } { \sqrt { n p } } \right) \frac { \sqrt { 2 d h _ { R } } } { \sqrt { n } } } \\ & { \quad + 4 \left( 1 + \frac { 1 6 C _ { 0 } ( 1 + \sigma \sqrt { d } ) } { 3 \sqrt { n p } } \right) C _ { 0 } \left( \frac { \sqrt { \log n } + \sigma \sqrt { d } } { \sqrt { n p } } \right) \frac { \sqrt { 2 d h _ { R } } } { \sqrt { n } } } \\ & { \leq 2 \left( 1 + \frac { 1 6 C _ { 0 } ( 1 + \sigma \sqrt { d } ) } { 3 \sqrt { n p } } \right) \left( \left\| { F _ { j 1 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + \left\| { F _ { j 2 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } \right) \sqrt { 2 d h _ { R } } } \\ & { \quad + \left( \frac { 4 1 } { 3 3 } + \frac { 1 6 C _ { 0 } ( 1 + \sigma \sqrt { d } ) } { 3 \sqrt { n p } } \right) 2 2 C _ { 0 } \left( \frac { 1 + \sigma \sqrt { d } } { \sqrt { n p } } \right) \left\| { G _ { j 2 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } \sqrt { 2 d h _ { R } } + \left\langle G _ { j 2 } , R - I _ { d } \right\rangle } \\ & { \quad + \left( \frac { 4 1 } { 3 3 } + \frac { 1 6 C _ { 0 } ( 1 + \sigma \sqrt { d } ) } { 3 \sqrt { n p } } \right) 2 6 C _ { 0 } \left( \frac { \sqrt { \log n } + \sigma \sqrt { d } } { \sqrt { n p } } \right) \frac { \sqrt { 2 d h _ { R } } } { \sqrt { n } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } } & { \left\{ 3 5 x _ { 1 } + 4 0 x _ { 2 } + \frac { 1 } { N } \sum _ { \nu = 1 } ^ { N } 1 6 y _ { 1 } ^ { \nu } + 1 9 y _ { 2 } ^ { \nu } + 4 7 y _ { 3 } ^ { \nu } + 5 4 y _ { 4 } ^ { \nu } \right\} } \\ { \mathrm { s . t . ~ } } & { x _ { 1 } + y _ { 1 } ^ { \nu } + y _ { 3 } ^ { \nu } \geq \xi _ { 1 } ^ { \nu } } \\ & { x _ { 2 } + y _ { 2 } ^ { \nu } + y _ { 4 } ^ { \nu } \geq \xi _ { 2 } ^ { \nu } } \\ & { 2 y _ { 1 } ^ { \nu } + y _ { 2 } ^ { \nu } \leq \xi _ { 3 } ^ { \nu } } \\ & { y _ { 1 } ^ { \nu } + 2 y _ { 2 } ^ { \nu } \leq \xi _ { 4 } ^ { \nu } , } \\ & { x _ { 1 } , x _ { 2 } , y _ { 1 } ^ { \nu } , y _ { 2 } ^ { \nu } , y _ { 3 } ^ { \nu } , y _ { 4 } ^ { \nu } \in \mathbb { Z } _ { + } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 2 \zeta ( \sin \xi _ { 1 } + \sin ( \xi _ { 1 } - \xi _ { 2 } ) ) } & { = } & { \cos \alpha , } \\ { 2 \zeta ( \sin \xi _ { 2 } - \sin ( \xi _ { 1 } - \xi _ { 2 } ) ) } & { = } & { \sin \alpha , } \\ { k ^ { 2 } - 6 + 2 \cos \xi _ { 1 } + 2 \cos \xi _ { 2 } + 2 \cos ( \xi _ { 1 } - \xi _ { 2 } ) } & { = } & { 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u ( \phi ) \! = \! \left\{ \begin{array} { l l } { u _ { m } } & { \! \! \! \! \mathrm { t o w a r d s ~ t h e ~ a n t e n n a ~ d i r e c t i o n } } \\ { u _ { s } } & { \! \! \! \! \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. , } & { } & { v ( \phi ) \! = \! \left\{ \begin{array} { l l } { v _ { m } } & { \! \! \! \mathrm { t o w a r d s ~ t h e ~ a n t e n n a ~ d i r e c t i o n . } } \\ { v _ { s } } & { \! \! \! \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \sigma } { d \theta } } & { = 1 6 \pi ^ { 2 } \alpha I _ { \mathrm { L } } \frac { k _ { f } } { k _ { i } } \left\vert \frac { a _ { i f } } { 3 } \right\vert ^ { 2 } \frac { 1 } { \beta } \left( \frac { k _ { f } } { k _ { i } ^ { 3 } } \right) \theta ^ { - 2 } , \qquad \beta \ll \frac { k _ { f } } { k _ { i } } \theta ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | + \rangle } & { = \cos \phi _ { N } \cdot | \mathrm { B } \rangle \otimes | 0 _ { \bf k } \rangle + \sin \phi _ { N } \cdot | G \rangle \otimes | 1 _ { \bf k } \rangle } \\ { | - \rangle } & { = - \sin \phi _ { N } \cdot | \mathrm { B } \rangle \otimes | 0 _ { \bf k } \rangle + \cos \phi _ { N } \cdot | G \rangle \otimes | 1 _ { \bf k } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { L : = \left\lceil \frac { - \log _ { 2 } ( \ensuremath { \varepsilon } ) } { \eta _ { \mathcal { O } } r } + \log _ { 2 } ( h _ { 0 } ) \right\rceil , \quad L ^ { \prime } ( \ell ) = L ^ { \prime } : = \left\lceil L \frac { \eta _ { \mathcal { O } } } { \eta _ { \Psi } } \right\rceil \quad \mathrm { f o r ~ \ell = 0 , \dots , ~ L ~ } , \quad \mathrm { a n d } } \\ & { h _ { \ell } = h _ { 0 } 2 ^ { - \ell } , \quad h _ { \ell ^ { \prime } } = h _ { 0 } 2 ^ { - \ell ^ { \prime } } , \quad N _ { \ell } = \left\lceil - \log _ { 2 } ( h _ { \ell } ) \frac { \eta _ { \mathcal { O } } r } { t } \right\rceil , \quad N _ { \ell ^ { \prime } } = \left\lceil - \log _ { 2 } ( h _ { \ell ^ { \prime } } ) \frac { \eta _ { \Psi } r } { t } \right\rceil , } \\ & { \mathrm { f o r ~ \ell ' ~ = ~ 0 , \dots , ~ L ' ( \ell ) ~ , ~ \ell = 0 , \dots , ~ L ~ . } } \end{array}
\hat { H } = \hat { T } + \sum _ { \alpha } ^ { \mathrm { a t o m s } } \left( x _ { \alpha } \right) \left[ \hat { V } _ { l o c } ^ { \alpha , \mathrm { o r t h o } } + \hat { V } _ { n o n l o c } ^ { \alpha , \mathrm { o r t h o } } + \hat { V } _ { S O } ^ { \alpha , \mathrm { o r t h o } } \right] + \left( 1 - x _ { \alpha } \right) \left[ \hat { V } _ { l o c } ^ { \alpha , \mathrm { c u b i c } } + \hat { V } _ { n o n l o c } ^ { \alpha , \mathrm { c u b i c } } + \hat { V } _ { S O } ^ { \alpha , \mathrm { c u b i c } } \right]
\begin{array} { r } { \mathbb { E } [ X _ { l } ] = \frac { 2 ^ { B } } { \pi } \sin \frac { \pi } { 2 ^ { B } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathcal { A } } } \mathbb { E } [ \alpha _ { i } ] = N _ { \mathcal { A } } \frac { 2 ^ { B } } { \pi } \sin \frac { \pi } { 2 ^ { B } } \frac { \sqrt { \pi } } { 2 } L _ { \frac { 1 } { 2 } } ( - \kappa ^ { \prime } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { E } = \left[ \begin{array} { c c } { E _ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { E _ { 1 } } \end{array} \right] , \quad \mathcal { E } ^ { - 1 } \mathcal { U } = \left[ \begin{array} { c c } { E _ { 1 } ^ { - 1 } ( I + S _ { 0 } T _ { 0 } ) + S _ { 0 } S _ { 0 } } & { 0 } \\ { 0 } & { E _ { 1 } ^ { - 1 } ( I + T _ { 0 } S _ { 0 } ) + S _ { 0 } S _ { 0 } } \end{array} \right] . } \end{array}
\mathcal { A } _ { r } ^ { p } \phi ( x ) = \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \left( \frac { p - 2 } { 2 ( p + d ) } ( \operatorname* { m a x } _ { y \in \overline { { B _ { r } } } } \phi ( x + y ) + \operatorname* { m i n } _ { y \in \overline { { B _ { r } } } } \phi ( x + y ) ) + \frac { d + 2 } { p + d } \fint _ { B _ { r } } \phi ( x + y ) \, \mathrm { d } y \right) .
\begin{array} { r l } { \mathcal { D } ^ { \mathrm { S } } ( \rho _ { A } , \rho _ { B } ) ^ { 2 } } & { = \operatorname* { i n f } _ { \rho _ { t } } \Bigl \{ \int _ { 0 } ^ { 1 } g _ { \rho _ { t } } ^ { \mathrm { S } } ( \partial _ { t } { \rho } _ { t } , \partial _ { t } { \rho } _ { t } ) \mathrm { d } t : \, \rho _ { 0 } = \rho _ { A } , \rho _ { 1 } = \rho _ { B } \Bigr \} } \\ & { = \operatorname* { i n f } _ { \psi _ { t } \in \mathsf { L } } \Bigl \{ \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { d } t \int \int \kappa ( \theta , \theta ^ { \prime } , \rho _ { t } ) \rho _ { t } ( \theta ) \nabla _ { \theta } \psi _ { t } ( \theta ) \cdot \nabla _ { \theta ^ { \prime } } \psi _ { t } ( \theta ^ { \prime } ) \rho _ { t } ( \theta ^ { \prime } ) \mathrm { d } \theta \mathrm { d } \theta ^ { \prime } \Bigr \} , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { \mathcal { O } _ { C } ( U ) } & { \cong \bigoplus _ { i = 1 } ^ { m - 1 } k [ x ] v _ { i } , } & { \mathcal { O } _ { C } ( V ) } & { \cong \bigoplus _ { i = 1 } ^ { m - 1 } k \Big [ \frac { 1 } { x } \Big ] x ^ { - f ( \tau _ { i } ^ { * } ) - 1 } v _ { i } , } & { \mathcal { O } _ { C } ( U \cap V ) } & { \cong \bigoplus _ { i = 1 } ^ { m - 1 } k \Big [ x , \frac { 1 } { x } \Big ] v _ { i } . } \end{array}
J [ \rho _ { R } ] ( { \mathbf x } _ { i } ) = \frac { I - \rho _ { R } ( { \mathbf x } _ { i } ) \rho _ { R } ( { \mathbf x } _ { i } ) ^ { \top } / R ^ { 2 } } { \sqrt { 1 + \| { \mathbf x } _ { i } \| ^ { 2 } / R ^ { 2 } } } = \frac { I - \mathbf { y } _ { i } \mathbf { y } _ { i } ^ { \top } / R ^ { 2 } } { \sqrt { 1 + \| { \mathbf x } _ { i } \| ^ { 2 } / R ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { \sum _ { x \in \mathbb { T } _ { N } } \nabla ^ { + } G _ { p } ( s , \frac { x } { N } ) } & { \sum _ { \eta \in \Omega _ { N } } h _ { N } ^ { ( m - 1 ) } ( \tau _ { x } \overline { { \eta } } ) f ( \eta ) \nu _ { \gamma } ^ { N } ( \eta ) = - \sum _ { x \in \mathbb { T } _ { N } } G _ { p } ( s , \frac { x + 1 } { N } ) \sum _ { \eta \in \Omega _ { N } } c _ { N } ^ { ( m - 1 ) } ( \overline { { \eta } } ) \nabla ^ { + } \eta ( x ) f ( \eta ) \nu _ { \gamma } ^ { N } ( \eta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { 2 } ^ { 2 } } & { \leqslant C \varepsilon ^ { 2 } | x - y | ^ { \alpha } \int _ { 0 } ^ { t } ( t - s ) ^ { - ( 1 + \alpha ) / 2 } \sum _ { z \geqslant 0 } \big ( \mathsf { p } _ { t - s + 1 } ^ { \varepsilon } ( x , z ) + \mathsf { p } _ { t - s + 1 } ^ { \varepsilon } ( y , z ) \big ) \big \| \varepsilon ^ { - 2 } Z _ { s } ( z ) \big \| _ { n } ^ { 2 } d s } \\ & { \leqslant C \varepsilon ^ { - 2 } | x - y | ^ { \alpha } \int _ { 0 } ^ { t } ( t - s ) ^ { - ( 1 + \alpha ) / 2 } s ^ { - 1 } \sum _ { z \geqslant 0 } \big ( \mathsf { p } _ { t - s + 1 } ^ { \varepsilon } ( x , z ) + \mathsf { p } _ { t - s + 1 } ^ { \varepsilon } ( y , z ) \big ) \big ( ( \mathsf { p } _ { s } ^ { \varepsilon } \ast \varepsilon ^ { - 2 } Z _ { 0 } ) ( x ) + 1 \big ) d s } \\ & { = C \varepsilon ^ { - 2 } t ^ { - 1 / 2 } t ^ { - \alpha / 2 } | x - y | ^ { \alpha } \big ( ( \mathsf { p } _ { t + 1 } ^ { \varepsilon } \ast \varepsilon ^ { - 2 } Z _ { 0 } ) ( x ) + ( \mathsf { p } _ { t + 1 } ^ { \varepsilon } \ast \varepsilon ^ { - 2 } Z _ { 0 } ) ( y ) + 1 + 1 \big ) } \\ & { \leqslant C ( \varepsilon ^ { 4 } t ) ^ { - 1 / 2 } ( \varepsilon ^ { 4 } t ) ^ { - 1 - \alpha / 2 } ( \varepsilon ^ { 2 } | x - y | ) ^ { \alpha } . \vphantom { \bigg ( } } \end{array}
{ \begin{array} { l } { { \nabla \cdot \mathbf { E } _ { \mathrm { r a d } } = 0 } } \\ { { \nabla \cdot \mathbf { B } _ { \mathrm { r a d } } = 0 } } \\ { { \nabla \times \mathbf { E } _ { \mathrm { r a d } } = - \partial \mathbf { B } _ { \mathrm { r a d } } / \partial t } } \\ { { \nabla \times \mathbf { B } _ { \mathrm { r a d } } = \mu _ { 0 } \mathbf { J } + \epsilon _ { 0 } \mu _ { 0 } \partial \mathbf { E } _ { \mathrm { r a d } } / \partial t } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \forall i = 1 , \cdots , N _ { 1 } , \quad \textrm { a n d } \quad \forall \widetilde { \mu } _ { k } \in \mathcal { G } _ { p } , } \\ & { \quad A _ { k , i } ^ { n } = \int _ { \Omega } \widetilde { \chi _ { H } } ^ { n } ( \widetilde { \mu } _ { k } ) \cdot \xi _ { i } ^ { h } \ \textrm { d } \textbf { x } , } \\ & { \quad B _ { k , i } ^ { n } = \int _ { \Omega } \chi _ { h } ^ { n } ( \widetilde { \mu } _ { k } ) \cdot \xi _ { i } ^ { h } \ \textrm { d } \textbf { x } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \boldsymbol \epsilon } ( k ) } & { = \left[ \begin{array} { l l } { \tilde { t } _ { \mathrm { h o p } } \sqrt { k ^ { 2 } + K _ { B } ^ { 2 } } - \mu } & { 0 } \\ { 0 } & { - \tilde { t } _ { \mathrm { h o p } } \sqrt { k ^ { 2 } + K _ { B } ^ { 2 } } - \mu } \end{array} \right] , } \\ { { \bf d } ( k ) } & { = - \frac { K _ { B } } { 2 ( k ^ { 2 } + K _ { B } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { - i } \\ { i } & { 0 } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi _ { 1 } } & { = x _ { 1 } ^ { ( 0 ) } x _ { 2 } ^ { ( 0 ) } x _ { 3 } ^ { ( 0 ) } x _ { 4 } ^ { ( 0 ) } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 1 } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 2 } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 3 } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 4 } , } \\ { \pi _ { 2 } } & { = - x _ { 1 } ^ { ( 0 ) } x _ { 3 } ^ { ( 0 ) } x _ { 4 } ^ { ( 0 ) } x _ { 2 } ^ { ( 1 ) } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 1 } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 3 } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 4 } \xi _ { ( 1 ) } ^ { 2 } + 2 x _ { 2 } ^ { ( 0 ) } x _ { 3 } ^ { ( 0 ) } x _ { 4 } ^ { ( 0 ) } x _ { 1 } ^ { ( 1 ) } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 2 } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 3 } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 4 } \xi _ { ( 1 ) } ^ { 1 } + x _ { 2 } ^ { ( 0 ) } x _ { 3 } ^ { ( 0 ) } x _ { 4 } ^ { ( 0 ) } x _ { 2 } ^ { ( 1 ) } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 2 } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 3 } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 4 } \xi _ { ( 1 ) } ^ { 2 } , } \\ { \pi _ { 3 } } & { = x _ { 1 } ^ { ( 0 ) } x _ { 3 } ^ { ( 0 ) } x _ { 4 } ^ { ( 0 ) } x _ { 1 } ^ { ( 2 ) } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 1 } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 3 } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 4 } \xi _ { ( 2 ) } ^ { 1 } + 2 x _ { 1 } ^ { ( 0 ) } x _ { 3 } ^ { ( 0 ) } x _ { 4 } ^ { ( 0 ) } x _ { 1 } ^ { ( 2 ) } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 3 } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 4 } \xi _ { ( 1 ) } ^ { 1 } \xi _ { ( 1 ) } ^ { 2 } - 2 x _ { 2 } ^ { ( 0 ) } x _ { 3 } ^ { ( 0 ) } x _ { 4 } ^ { ( 0 ) } x _ { 1 } ^ { ( 2 ) } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 2 } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 3 } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 4 } \xi _ { ( 2 ) } ^ { 1 } , } \\ { \pi _ { 4 } } & { = - x _ { 1 } ^ { ( 0 ) } x _ { 3 } ^ { ( 0 ) } x _ { 4 } ^ { ( 0 ) } x _ { 1 } ^ { ( 3 ) } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 1 } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 3 } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 4 } \xi _ { ( 3 ) } ^ { 1 } + 3 x _ { 2 } ^ { ( 0 ) } x _ { 3 } ^ { ( 0 ) } x _ { 4 } ^ { ( 0 ) } x _ { 1 } ^ { ( 3 ) } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 2 } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 3 } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 4 } \xi _ { ( 3 ) } ^ { 1 } + x _ { 2 } ^ { ( 0 ) } x _ { 3 } ^ { ( 0 ) } x _ { 4 } ^ { ( 0 ) } x _ { 1 } ^ { ( 3 ) } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 3 } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 4 } \xi _ { ( 1 ) } ^ { 2 } \xi _ { ( 2 ) } ^ { 1 } , } \\ { \pi _ { 5 } } & { = 2 x _ { 1 } ^ { ( 0 ) } x _ { 3 } ^ { ( 0 ) } x _ { 4 } ^ { ( 0 ) } x _ { 1 } ^ { ( 4 ) } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 1 } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 3 } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 4 } \xi _ { ( 4 ) } ^ { 1 } - 3 x _ { 1 } ^ { ( 0 ) } x _ { 3 } ^ { ( 0 ) } x _ { 4 } ^ { ( 0 ) } x _ { 1 } ^ { ( 4 ) } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 3 } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 4 } \xi _ { ( 1 ) } ^ { 2 } \xi _ { ( 3 ) } ^ { 1 } + x _ { 1 } ^ { ( 0 ) } x _ { 3 } ^ { ( 0 ) } x _ { 4 } ^ { ( 0 ) } x _ { 2 } ^ { ( 4 ) } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 1 } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 3 } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 4 } \xi _ { ( 4 ) } ^ { 2 } , } \\ & { + 2 x _ { 1 } ^ { ( 0 ) } x _ { 3 } ^ { ( 0 ) } x _ { 4 } ^ { ( 0 ) } x _ { 2 } ^ { ( 4 ) } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 3 } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 4 } \xi _ { ( 1 ) } ^ { 1 } \xi _ { ( 3 ) } ^ { 1 } - 3 x _ { 2 } ^ { ( 0 ) } x _ { 3 } ^ { ( 0 ) } x _ { 4 } ^ { ( 0 ) } x _ { 1 } ^ { ( 4 ) } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 2 } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 3 } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 4 } \xi _ { ( 4 ) } ^ { 1 } - 4 x _ { 2 } ^ { ( 0 ) } x _ { 3 } ^ { ( 0 ) } x _ { 4 } ^ { ( 0 ) } x _ { 2 } ^ { ( 4 ) } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 2 } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 3 } \xi _ { ( 0 ) } ^ { 4 } \xi _ { ( 4 ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { \mathrm { a d d } } ^ { \mathrm { c l a s s } } ( T ) } & { = - \frac { 8 \pi ^ { 2 } } { 3 } \int d r _ { 1 2 } \, d r _ { 2 3 } \, d \cos { \theta _ { 2 } } \, r _ { 1 2 } ^ { 2 } \, r _ { 2 3 } ^ { 2 } } \\ & { \times \left( e ^ { - \beta \, U _ { 2 } ( r _ { 1 2 } ) } - 1 \right) \left( e ^ { - \beta \, U _ { 2 } ( r _ { 2 3 } ) } - 1 \right) \left( e ^ { - \beta \, U _ { 2 } ( r _ { 3 1 } ) } - 1 \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( [ \gamma : \Gamma ] , [ \gamma ^ { \prime } \vdash A ( \gamma ^ { \prime } ) : \textsc { T y p e } ] ) } & { = ( [ \gamma : \Gamma ] , [ \gamma ^ { \prime \prime } \vdash A ( \textnormal { \texttt { c } } ( \gamma ^ { \prime \prime } ) ) : \textsc { T y p e } ] ) } \\ { ( [ \delta : \Delta ] , [ \delta ^ { \prime } \vdash B ( \delta ^ { \prime } ) : \textsc { T y p e } ] ) } & { = ( [ \delta : \Delta ] , [ \delta ^ { \prime \prime } \vdash A ( \textnormal { \texttt { c } } ( f ( \delta ^ { \prime \prime } ) ) ) : \textsc { T y p e } ] ) } \\ { ( [ \omega : \Omega ] , [ \omega ^ { \prime } \vdash C ( \omega ^ { \prime } ) : \textsc { T y p e } ] ) } & { = ( [ \omega : \Omega ] , [ \omega ^ { \prime \prime } \vdash A ( \textnormal { \texttt { c } } ( f ( \textnormal { \texttt { c } } ^ { \prime } ( g ( \omega ^ { \prime \prime } ) ) ) ) ) : \textsc { T y p e } ] ) } \end{array}
\left\Vert \left( d ^ { \omega } \right) ^ { \ast } d ^ { \omega } A \right\Vert _ { L ^ { p } } \leq c \left( A \right) \left( \left\Vert \left\vert d ^ { \omega } A \right\vert ^ { 2 } \right\Vert _ { L ^ { p } } + \left\Vert d ^ { \omega } A \right\Vert _ { L ^ { p } } + \left\Vert \left( d ^ { \omega } \right) ^ { \ast } T ^ { \left( s , \omega \right) } \right\Vert _ { L ^ { p } } \right)
\begin{array} { r } { \tilde { \nabla } _ { M _ { 1 } } \cdots \tilde { \nabla } _ { M _ { r } } \tilde { R } _ { I J K L } ^ { \prime } | _ { \rho ^ { \prime } = 0 , t ^ { \prime } = { \cal B } ( x ) } = { \cal B } ( x ) ^ { s _ { - } - s _ { + } } \tilde { \nabla } _ { M _ { 1 } } \cdots \tilde { \nabla } _ { M _ { r } } \tilde { R } _ { I J K L } | _ { \rho = 0 , t = 1 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { D _ { \mathrm { e f f } } ^ { \mathrm { \ t e x t i t { i n t . g a s } } } } { \overline { { D } } _ { 0 } } = 1 - \frac { h _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 H ^ { 2 } } \frac { 1 - 3 \overline { { \mathrm { P e } } } ^ { 2 } } { 1 + \overline { { \mathrm { P e } } } ^ { 2 } } \frac { 1 } { 1 + ( \mathrm { P e } ^ { \star } ) ^ { 2 } } , } \\ & { \frac { V _ { \mathrm { e f f } } ^ { \mathrm { \ t e x t i t { i n t . g a s } } } } { { v _ { \mathrm { w a l l } } } } = \frac { h _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 H ^ { 2 } } \frac { 1 } { 1 + ( \mathrm { P e } ^ { \star } ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { l l l } { [ { \bf X } _ { 1 } , { \bf X } _ { 5 } ] = { \bf X } _ { 3 } , } & { [ { \bf X } _ { 1 } , { \bf X } _ { 6 } ] = { \bf X } _ { 2 } , } & { [ { \bf X } _ { 1 } , { \bf X } _ { 7 } ] = { \bf X } _ { 1 } , } \\ { [ { \bf X } _ { 2 } , { \bf X } _ { 4 } ] = - { \bf X } _ { 3 } , } & { [ { \bf X } _ { 2 } , { \bf X } _ { 6 } ] = - { \bf X } _ { 1 } , } & { [ { \bf X } _ { 2 } , { \bf X } _ { 7 } ] = { \bf X } _ { 2 } , } \\ { [ { \bf X } _ { 3 } , { \bf X } _ { 4 } ] = { \bf X } _ { 2 } , } & { [ { \bf X } _ { 3 } , { \bf X } _ { 5 } ] = - { \bf X } _ { 1 } , } & { [ { \bf X } _ { 3 } , { \bf X } _ { 7 } ] = { \bf X } _ { 3 } , } \\ { [ { \bf X } _ { 4 } , { \bf X } _ { 5 } ] = - { \bf X } _ { 6 } , } & { [ { \bf X } _ { 4 } , { \bf X } _ { 6 } ] = { \bf X } _ { 5 } , } & { [ { \bf X } _ { 5 } , { \bf X } _ { 6 } ] = - { \bf X } _ { 4 } . } \end{array}
\mathbf { b } _ { 1 } = p ^ { 1 } \mathbf { e } _ { 1 } + p ^ { 2 } \mathbf { e } _ { 2 } + p ^ { 3 } \mathbf { e } _ { 3 } = { \cfrac { \partial x _ { 1 } } { \partial q ^ { 1 } } } \mathbf { e } _ { 1 } + { \cfrac { \partial x _ { 2 } } { \partial q ^ { 1 } } } \mathbf { e } _ { 2 } + { \cfrac { \partial x _ { 3 } } { \partial q ^ { 1 } } } \mathbf { e } _ { 3 }
\begin{array} { r l } { | J _ { p } ( \nabla \phi ( x ) \cdot y + } & { \frac { 1 } { 2 } y ^ { T } D ^ { 2 } \phi ( x ) y ) - J _ { p } ( \nabla \phi ( x ) \cdot y ) - J _ { p } ^ { \prime } ( \nabla \phi ( x ) \cdot y ) y ^ { T } D ^ { 2 } \phi ( x ) y | } \\ & { \leq C \left( | \nabla \phi ( x ) \cdot y + y ^ { T } D ^ { 2 } \phi ( x ) y | ^ { p - 2 - \beta } + | \nabla \phi ( x ) \cdot y | ^ { p - 2 - \beta } \right) | y ^ { T } D ^ { 2 } \phi ( x ) y | ^ { 1 + \beta } } \\ & { \leq C ( p , d , \| \phi \| _ { C _ { b } ^ { 4 } ( B _ { R } ( x ) ) } ) \Phi \left( x , y , \phi \right) | y | ^ { p + \beta } , } \end{array}
V _ { T } ( \bar { t } _ { 0 } , \bar { y } _ { 0 } ) \leq \frac { 1 } { 2 } \int _ { \bar { t } _ { 0 } } ^ { \bar { t } _ { 0 } + T } \mathbb { E } \left[ \| \bar { y } ( t ) \| _ { V } ^ { 2 } \right] \, d t + \frac { \beta } { 2 } \int _ { \bar { t } _ { 0 } } ^ { \bar { t } _ { 0 } + T } | \bar { \mathbf { u } } ( t ) | _ { \ell _ { 2 } } ^ { 2 } d t \leq \frac { c _ { s } } { 2 } \| \bar { y } _ { 0 } \| _ { H } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { r _ { \infty } ( 0 , j ) } & { : = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } r _ { n } , \quad d _ { \infty } ( i _ { 0 } ) ( \omega , j ) : = d _ { 0 } ( \omega , j ) + r _ { \infty } ( \omega , j ) , } \\ { \Omega _ { \infty } ^ { 4 \gamma } ( i _ { 0 } ) } & { : = \left\{ \omega \in \Omega _ { 1 } : | \mathrm { i } \omega - ( d _ { \infty } ( i _ { 0 } ) ( \omega , j ) - d _ { \infty } ( i _ { 0 } ) ( \omega , k ) ) | \ge 2 \gamma | l | ^ { - \tau } | \lambda _ { \alpha } ( j ) - \lambda _ { \alpha } ( k ) | , \quad \forall l \ne 0 , \forall j , k \in S _ { \mathtt { M } } ^ { \perp } \cup \left\{ 0 \right\} \right\} . } \end{array}
\mathscr { E } \left| \mathbf { \tilde { h } } _ { e _ { j } } \Theta \bar { \Theta } \mathbf { \tilde { h } } _ { r , k } \right| ^ { 2 } = \mathscr { E } \left| \stackrel [ m = 1 ] { M } { \sum } \left[ \tilde { h } _ { e _ { j } } \right] _ { m } e ^ { j \varphi _ { m } } e ^ { j \bar { \varphi _ { m } } } \left[ \tilde { h } _ { r , k } \right] _ { m } \right| ^ { 2 } = M
\begin{array} { r l } { h _ { x } ^ { 2 } } & { = \mathbb { V } \Big [ \sum _ { j = 1 } ^ { p } \gamma _ { j } G _ { j } \Big ] \ / \ \mathbb { V } [ X ] = \sum _ { j = 1 } ^ { p } \gamma _ { j } ^ { 2 } \mathbb { V } [ G _ { j } ] \approx p \pi _ { x } \varepsilon _ { x } ^ { 2 } , } \\ { h _ { y } ^ { 2 } } & { = \mathbb { V } \Big [ \sum _ { j = 1 } ^ { p } \Gamma _ { j } G _ { j } \Big ] \ / \ \mathbb { V } [ Y ] = \sum _ { j = 1 } ^ { p } \Gamma _ { j } ^ { 2 } \mathbb { V } [ G _ { j } ] \approx \beta ^ { 2 } h _ { x } ^ { 2 } + p \left( \pi _ { x } ( 1 - \rho ) + \pi _ { y } \right) \tau ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \operatorname* { s u p } _ { j \geq k } \mathbb E \left( \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \tau _ { j , k } ^ { T } ] } \| u ^ { k } \| _ { s + 1 } ^ { 2 } \| U \| _ { s - 1 } ^ { 2 } \right) \leq C _ { \kappa } \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \operatorname* { s u p } _ { j \geq k } \mathbb E \left( \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \tau _ { j , k } ^ { T } ] } \| u ^ { k } \| _ { \widetilde { s + 1 } } ^ { 2 } \| U \| _ { s - 1 , j } ^ { 2 } \right) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { n } } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } \sum _ { \sigma \in \overline { { S } } ( j , n - j ) } \epsilon ( \sigma ) \cdot K \circ l _ { 2 } \circ ( I _ { j } \otimes I _ { n - j } ) \circ \sigma _ { \bullet } } \\ { l _ { n } ^ { \prime } } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } \sum _ { \sigma \in \overline { { S } } ( j , n - j ) } \epsilon ( \sigma ) \cdot q \circ l _ { 2 } \circ ( I _ { j } \otimes I _ { n - j } ) \circ \sigma _ { \bullet } } \end{array}
\tilde { R } _ { I J } = \frac { 1 } { 2 } \tilde { g } ^ { K L } \left( \partial _ { I L } ^ { 2 } \tilde { g } _ { J K } + \partial _ { J K } ^ { 2 } \tilde { g } _ { I L } - \partial _ { K L } ^ { 2 } \tilde { g } _ { I J } - \partial _ { I J } ^ { 2 } \tilde { g } _ { K L } \right) + \tilde { g } ^ { K L } \tilde { g } ^ { P Q } \big ( \tilde { \Gamma } _ { I L P } \tilde { \Gamma } _ { J K Q } - \tilde { \Gamma } _ { I J P } \tilde { \Gamma } _ { K L Q } \big ) \, ,
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { \sqrt { M } } J ( E ) \le \int _ { u _ { + } } ^ { u _ { 2 } ( E ) } \frac { d u } { \sqrt { 2 ( E - \Phi ( u ) ) } } \le \frac { 1 } { \sqrt { m } } J ( E ) \ , } \\ { \mathrm { w h e r e } \qquad J ( E ) = \int _ { 0 } ^ { u _ { 2 } ( E ) - u _ { + } } \frac { d s } { \sqrt { s \big ( 2 ( u _ { 2 } ( E ) - u _ { + } ) - s \big ) } } \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } _ { S } = - \frac { \mathcal { G } m _ { 1 } m _ { 2 } } { 8 a _ { 2 } } \bigg [ 4 \, b _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { ( 0 ) } ( \alpha ) - } & { \alpha \, b _ { \frac { 3 } { 2 } } ^ { ( 1 ) } ( \alpha ) \, \bigg ( I _ { 1 } ^ { 2 } + I _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { - 2 I _ { 1 } I _ { 2 } \cos { ( \Omega _ { 2 } - \Omega _ { 1 } ) } \bigg ) \bigg ] \, } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { x } , \mathbf { y } , \mathbf { s } } \quad } & { f ( \mathbf { x } , \mathbf { y } , \mathbf { s } ) } & \\ { \textrm { s . t . } \quad } & { g _ { 0 } \left( \mathbf { x } , \mathbf { y } , \mathbf { s } \right) \preccurlyeq \mathbf { 0 } } \\ & { g _ { i } \left( \mathbf { x } _ { 0 } , \mathbf { x } _ { i } , \mathbf { y } _ { i } , \mathbf { s } _ { i } \right) \preccurlyeq \mathbf { 0 } , \quad \forall i \in \mathcal { I } } \\ & { \mathbf { y } _ { i } = h _ { i } \left( \mathbf { x } _ { 0 } , \mathbf { x } _ { i } , \mathbf { y } _ { - i } \right) } \\ & { r _ { i } \left( \mathbf { x } _ { 0 } , \mathbf { x } _ { i } , \mathbf { y } _ { - i } , \mathbf { s } _ { i } \right) = \mathbf { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial S } & { = \sum _ { i } \partial e _ { i } - \partial C } \\ & { = \sum _ { i } \left( a _ { i } + b _ { i } + \phi _ { [ 0 , T ^ { s _ { i } } ( w _ { i } ) ] } ( w _ { i } ) - \phi _ { [ 0 , T ^ { s _ { i } } ( v _ { i } ) _ { i } ] } ( v _ { i } ) \right) - c } \\ & { = \sum _ { i } \phi _ { [ 0 , T ^ { s _ { i } } ( v _ { i } ) _ { i } ] } ( v _ { i } ) - \sum _ { i } \phi _ { [ 0 , T ^ { s _ { i } } ( w _ { i } ) ] } ( w _ { i } ) } \\ & { = \phi _ { [ 0 , T ^ { r } ( v _ { 1 } ) ] } ( v _ { 1 } ) - \sum _ { i } \phi _ { [ 0 , T ^ { s _ { i } } ( w _ { i } ) ] } ( w _ { i } ) } \\ & { = \gamma _ { r } - \sum _ { i } \gamma _ { s _ { i } } } \end{array}
{ \frac { d } { d z } } \left[ z ^ { 1 - a _ { 1 } } \; G _ { p , q } ^ { \, m , n } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { \mathbf { a _ { p } } } \\ { \mathbf { b _ { q } } } \end{array} } \; \right| \, z \right) \right] = z ^ { - a _ { 1 } } \; G _ { p , q } ^ { \, m , n } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { a _ { 1 } - 1 , a _ { 2 } , \dots , a _ { p } } \\ { \mathbf { b _ { q } } } \end{array} } \; \right| \, z \right) , \quad n \geq 1 ,
\tilde { f } ( v w ) = \tilde { f } ( ( \prod _ { i = 1 } ^ { m } x _ { i } ) ( \prod _ { i = m + 1 } ^ { n } x _ { i } ) ) = \tilde { f } ( \prod _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( \left( \prod _ { j = 1 } ^ { i - 1 } \sigma ( x _ { j } ) \right) \tilde { f } ( x _ { i } ) \left( \prod _ { j = i + 1 } ^ { n } \tau ( x _ { j } ) \right) \right)
\begin{array} { r l r l } & { \mathbf { x } ^ { k + 1 } = \mathbf { x } ^ { k } - h \nabla E _ { k } ( \mathbf { x } ^ { k } ) + \beta ( \mathbf { x } ^ { k } - \mathbf { x } ^ { k - 1 } ) } & & { { k = 1 , 2 , . . . , n } } \\ & { \mathbf { x } ^ { 1 } = \mathbf { x } ^ { 0 } - h \nabla E _ { 0 } ( \mathbf { x } ^ { 0 } ) } \\ & { \mathbf { x } ^ { 0 } = \mathbf { x } ^ { - 1 } = \mathbf { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { j } s _ { i } ^ { \prime } x _ { \sigma ^ { \prime } ( i ) } ^ { \prime } } & { = - \sum _ { i = k - j + 1 } ^ { k } s _ { i } x _ { \sigma ( i ) } ^ { \prime } } \\ & { = - \sum _ { i = 1 } ^ { k } s _ { i } x _ { \sigma ( i ) } ^ { \prime } + \sum _ { i = 1 } ^ { k - j } s _ { i } x _ { \sigma ( i ) } ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \Big [ \frac { 1 } { \mu _ { 0 } ^ { \Phi } } \big \vert r \Big ] = \mathbb { E } \Bigg [ \prod _ { i \neq 0 } \Bigg ( 1 + \frac { \eta / F } { 1 - \frac { \eta } { F } + \frac { D _ { i } ^ { \alpha } } { \theta R _ { i } ^ { \alpha \epsilon } r ^ { \alpha ( 1 - \epsilon ) } } } \Bigg ) \Bigg ] } \\ & { \approx \exp { \Bigg ( \mathbb { E } \bigg [ \int _ { x \in \mathbb { R } ^ { 2 } } \frac { \lambda _ { \mathrm { s } } \eta / F \mathrm { d } x } { 1 - \frac { \eta } { F } + \frac { \Vert x \Vert ^ { \alpha } } { \theta W _ { x } r ^ { \alpha ( 1 - \epsilon ) } } } \bigg ] \Bigg ) } } \\ & { = \exp { \! \Bigg ( \! \lambda _ { \mathrm { s } } \frac { \eta } { F } \Big ( 1 \! \! - \! \! \frac { \eta } { F } \Big ) ^ { \delta \! - \! 1 } \! \pi \theta ^ { \delta } r ^ { 2 ( 1 - \epsilon ) } \Gamma ( 1 \! - \! \delta ) \Gamma ( 1 \! + \! \delta ) \frac { \Gamma ( \epsilon \! + \! 1 ) } { ( \lambda _ { \mathrm { d } } \pi ) ^ { \epsilon } } \! \Bigg ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M ( i , \mathrm { \boldmath ~ \nu ~ } ) } & { : = \{ \nu ^ { ( j , s ) } \mid ( j , s ) \in K \ \mathrm { a n d } \ V _ { j , s } / V _ { j , s + 1 } \simeq L _ { i } \} } \\ { M ^ { \prime } ( i , \mathrm { \boldmath ~ \nu ~ } ) } & { : = \{ ( \nu ^ { ( j , s ) } ) ^ { \prime } \mid ( j , s ) \in K \ \mathrm { a n d } \ V _ { j , s } / V _ { j , s + 1 } \simeq \Pi L _ { i } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \frac { \alpha } { \sqrt { \pi \beta r ^ { 2 } } } } \; \sin ( \beta r ) \; \mathrm { e } ^ { - \phi r ^ { 2 } } . } & { \approx } & { { \frac { 1 } { \langle r \rangle } } \, \left( { \frac { \gamma \, r ^ { 2 } } { 2 } } \right) ^ { \frac { ( 2 N - 1 ) } { 4 } } \, \sum _ { \nu } \, a _ { 1 \nu } \, F _ { 1 \nu } ( r ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , 1 ] } \rVert \mathcal { R } ( t ) h \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } } & { \le _ { \mathtt { p e } , s } \left( \varepsilon ^ { 2 } \rVert h \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } + \varepsilon ^ { 2 } \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \rVert h \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \right) , } \\ { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , 1 ] } \rVert d _ { i } \mathcal { R } ( t ) ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] h \rVert _ { s _ { 0 } } } & { \le _ { \mathtt { p e } , s } \varepsilon \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } \rVert h \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { 2 } ^ { 2 } = } & { \| \bar { y _ { o } } \| ^ { 2 } \left( \frac { K _ { 1 } + 2 K _ { 2 } \gamma _ { S } } { \alpha } \right) ^ { 2 } } \\ { = } & { \frac { 4 } { \alpha ^ { 2 } \left( \frac { \zeta ^ { T } \bar { y } } { \alpha } \right) ^ { 6 } } \left( \| \bar { y } \| ^ { 2 } - ( \zeta ^ { T } \bar { y } ) ^ { 2 } \right) ( \frac { \zeta ^ { T } \bar { y } } { \alpha } - \| \bar { y } \| ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi ( x _ { B } ) - \Phi ( x _ { A } ) } & { = \frac { - G _ { N } \mathrm { ~ } M } { R + h } + \frac { G _ { N } \mathrm { ~ } M } { R } = } \\ { G _ { N } M ( \frac { 1 } { R } - \frac { 1 } { R + h } ) } & { = \frac { h \mathrm { ~ } G _ { N } \mathrm { ~ } M } { R ( R + h ) } \simeq h \frac { G _ { N } \mathrm { ~ } M } { R ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( y ^ { - 1 } g ) ^ { + } \, \notin \, \Omega _ { t } ^ { \prime \prime } = \, \big \lbrace { H \in \overline { { \mathfrak { a } ^ { + } } } \, | \, \varepsilon ^ { \prime \prime } ( t ) \sqrt { t } \le | H | \le \frac { \sqrt { t } } { \varepsilon ^ { \prime \prime } ( t ) } \, \, \, \textnormal { a n d } \, \, \, \mu ( H ) \ge \varepsilon ^ { \prime \prime } ( t ) \sqrt { t } } \big \rbrace } \end{array}
\begin{array} { r l } { A = \int _ { - 2 } ^ { 3 } \frac { x + 4 } { x ^ { 2 } + 1 } \, \mathrm { d } x } & { = \frac { 1 } { 2 } \left( \int _ { - 2 } ^ { 3 } \frac { 2 x } { x ^ { 2 } + 1 } \, \mathrm { d } x \right) + 4 \left( \int _ { - 2 } ^ { 3 } \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 1 } \, \mathrm { d } x \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left( \int _ { 5 } ^ { 1 0 } \frac { \mathrm { d } u } { u } \right) + 4 \left( \int _ { - 2 } ^ { 3 } \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 1 } \, \mathrm { d } x \right) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \theta _ { n } ^ { \prime } } & { = \theta _ { 0 } + n \Omega ^ { \prime } + { \frac { K } { 2 \pi } } \sum _ { i = 0 } ^ { n } \sin ( 2 \pi \theta _ { i } ) } \\ & { = \theta _ { 0 } + n ( \Omega + p ) + { \frac { K } { 2 \pi } } \sum _ { i = 0 } ^ { n } \sin ( 2 \pi \theta _ { i } ) } \\ & { = \theta _ { n } + n p , } \end{array} }
\begin{array} { r l r } & { } & { \zeta _ { 1 } \left\{ L _ { n } ^ { * } ( \zeta _ { 1 } ^ { - 1 } n ^ { - 1 / 2 } { q } ) - L _ { n } ^ { * } ( 0 ) \right\} } \\ & { = } & { \zeta _ { 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( \| Z _ { i } \tilde { X } _ { i } - \zeta _ { 1 } ^ { - 1 } n ^ { - 1 / 2 } { q } \| - \| \tilde { X } _ { i } \| \right) } \\ & { = } & { - n ^ { - 1 / 2 } { q } ^ { \top } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } Z _ { i } { \tilde { W } } _ { i } \right) + 2 ^ { - 1 } \zeta _ { 1 } ^ { - 1 } n ^ { - 1 } \| { q } \| ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \tilde { R } _ { i } ^ { - 1 } } \\ & { } & { - 2 ^ { - 1 } \zeta _ { 1 } ^ { - 1 } n ^ { - 1 } { q } ^ { \top } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } \tilde { R } _ { i } { \tilde { W } } _ { i } { \tilde { W } } _ { i } ^ { \top } \right) { q } + O _ { p } ( n ^ { - 1 / 2 } ) \, . } \end{array}
\mathrm { a n d } \; \; \; \alpha _ { 1 } ^ { * } ( \lambda ) = \frac { E _ { \underline { { \theta } } } [ ( Z _ { 1 } - c _ { 0 , 1 } ) ( Z + \lambda + c _ { 0 , 1 } - \nu ) I _ { ( - \infty , \nu - c _ { 0 , 1 } - \lambda ) } ( Z ) ] } { E _ { \underline { { \theta } } } [ ( Z + \lambda + c _ { 0 , 1 } - \nu ) ^ { 2 } I _ { ( - \infty , \nu - c _ { 0 , 1 } - \lambda ) } ( Z ) ] } , \; \; \lambda \geq 0 .
\begin{array} { r l } { \ensuremath { \mathcal { G } } ( \Gamma , A , \sigma ) } & { = \Gamma / A \ltimes \hat { A } } \\ { \ensuremath { \mathcal { E } } ( \Gamma , A , \sigma ) } & { = \Gamma \ltimes _ { \sigma } ( \ensuremath { \mathrm { S } } ^ { 1 } \times \hat { A } ) / \{ ( a ^ { - 1 } , \chi ( a ) , \chi ) \mid a \in A , \chi \in \hat { A } \} \ensuremath { \, \mathrm { . } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle D ^ { \prime } \alpha , \beta \rangle = \langle \alpha , D ^ { * } \beta \rangle \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } } & { \alpha \in \Gamma _ { 0 } ( u ^ { * } T \mathbb { C } ^ { n } , \partial u ^ { * } T \mathbb { C } ^ { n } ) , } \\ & { \beta \in C _ { 0 , T _ { \gamma } } ( \overline { { \operatorname { H o m } } } ( T \Sigma , u ^ { * } T \mathbb { C } ^ { n } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { z _ { 1 } \odot z _ { 2 } } & { = z _ { 1 } \cdot z _ { 2 } } \\ { z _ { 1 } \boxplus z _ { 2 } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { z _ { 1 } } & { z _ { 1 } = z _ { 2 } } \\ { \{ z _ { 1 } , 0 , - z _ { 1 } \} } & { z _ { 2 } = - z _ { 1 } } \\ { \mathrm { s h o r t e s t ~ o p e n ~ a r c ~ b e t w e e n ~ } z _ { 1 } , z _ { 2 } } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { m ^ { Y } ( y , t , z ) = } & { \; I + \frac { m _ { 1 } ^ { P } ( y ) } { z } + \frac { m ^ { P } ( y , 0 ) m _ { 1 } ^ { W } ( \tilde { y } ) m ^ { P } ( y , 0 ) ^ { - 1 } } { \frac { 2 ^ { 1 / 3 } } { 3 ^ { 1 / 1 2 } } t ^ { 1 / 6 } z } + \frac { m _ { 2 } ^ { P } ( y ) } { z ^ { 2 } } } \\ & { + \frac { \hat { m } _ { 1 , \ln } ^ { Y } ( y , \tilde { y } ) \ln t + \hat { m } _ { 1 } ^ { Y } ( y , \tilde { y } ) } { z t ^ { 1 / 3 } } + \frac { \hat { m } _ { 2 , \ln } ^ { Y } ( y , \tilde { y } ) \ln t } { z t ^ { 1 / 2 } } } \\ & { + O \bigg ( \frac { 1 } { z ^ { 3 } } \bigg ) + O \bigg ( \frac { 1 } { z t ^ { 1 / 2 } } \bigg ) + O \bigg ( \frac { \ln t } { z ^ { 2 } t ^ { 1 / 3 } } \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \displaystyle \alpha \left| \! \left| \sum _ { i } \sum _ { j } \int _ { e _ { i , j } \in \partial \mathcal { K } _ { i } } \mathcal { H } ( R _ { p } ^ { 0 } \mathbf { u } _ { i } ^ { ( n ) } , R _ { p } ^ { 0 } \mathbf { u } _ { j } ^ { ( n ) } , n _ { i , j } ) d s \right| \! \right| _ { L _ { 1 } } \Delta \mathbf { u } _ { i } ^ { ( n ) } } & { + \sum _ { i } \sum _ { j } \int _ { e _ { i , j } \in \partial \mathcal { K } _ { i } } \Delta \mathbf { u } _ { i } ^ { ( n ) } \frac { \partial \mathcal { H } ( R _ { p } ^ { 0 } \mathbf { u } _ { i } ^ { ( n ) } , R _ { p } ^ { 0 } \mathbf { u } _ { j } ^ { ( n ) } , n _ { i , j } ) } { \partial \mathbf { u } _ { i } ^ { ( n ) } } d s } \\ & { + \sum _ { i } \sum _ { j } \int _ { e _ { i , j } \in \partial \mathcal { K } _ { i } } \Delta \mathbf { u } _ { j } ^ { ( n ) } \frac { \partial \mathcal { H } ( R _ { p } ^ { 0 } \mathbf { u } _ { i } ^ { ( n ) } , R _ { p } ^ { 0 } \mathbf { u } _ { j } ^ { ( n ) } , n _ { i , j } ) } { \partial \mathbf { u } _ { j } ^ { ( n ) } } d s } \\ & { = - \sum _ { i } \sum _ { j } \int _ { e _ { i , j } \in \partial \mathcal { K } _ { i } } \mathcal { H } ( R _ { p } ^ { 0 } \mathbf { u } _ { i } ^ { ( n ) } , R _ { p } ^ { 0 } \mathbf { u } _ { j } ^ { ( n ) } , n _ { i , j } ) d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { \bar { z } } \tilde { g } ( z ) : = } & { \frac { 1 } { 2 } \big ( \partial _ { x } g ( z ) + i \partial _ { y } g ( z ) \big ) } \\ { = } & { \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { x } \psi ( x , y ) + i \partial _ { y } \psi ( x , y ) ) \sum _ { r = 0 } ^ { 1 } \partial _ { x } ^ { r } g ( x ) ( i y ) ^ { r } } \\ & { \qquad + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { x } ^ { 2 } g ( x ) ( i y ) \psi ( x , y ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { K \left( \rho \right) } & { = a _ { 1 } b _ { 1 } \sin \left( \left( \eta - \gamma \right) \pi \right) + a _ { 1 } b _ { 2 } \rho ^ { \frac { 1 + \alpha + \gamma } { 2 } } \sin \frac { \left( 1 + \alpha - \gamma + 2 \eta \right) \pi } { 2 } - a _ { 1 } b _ { 3 } \rho ^ { 1 + \alpha + \gamma } \sin \left( \left( \alpha + \eta \right) \pi \right) } \\ & { \quad - a _ { 2 } b _ { 1 } \rho ^ { \frac { 1 + \alpha + \gamma } { 2 } } \sin \frac { \left( 1 + \alpha + 3 \gamma - 2 \eta \right) \pi } { 2 } + a _ { 2 } b _ { 2 } \rho ^ { 1 + \alpha + \gamma } \sin \left( \left( \eta - \gamma \right) \pi \right) } \\ & { \quad + a _ { 2 } b _ { 3 } \rho ^ { 3 \frac { 1 + \alpha + \gamma } { 2 } } \sin \frac { \left( 1 + \alpha + 2 \eta - \gamma \right) \pi } { 2 } + a _ { 3 } b _ { 1 } \rho ^ { 1 + \alpha + \gamma } \sin \left( \left( \alpha + 2 \gamma - \eta \right) \pi \right) } \\ & { \quad - a _ { 3 } b _ { 2 } \rho ^ { 3 \frac { 1 + \alpha + \gamma } { 2 } } \sin \frac { \left( 1 + \alpha + 3 \gamma - 2 \eta \right) \pi } { 2 } + a _ { 3 } b _ { 3 } \rho ^ { 2 \left( 1 + \alpha + \gamma \right) } \sin \left( \left( \eta - \gamma \right) \pi \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { 1 } } & { ( h ) ( u , v ) + g _ { 3 } ( h ) ( u , v ) = } \\ & { \mu \int _ { \Omega } \nabla ( h \cdot \nabla u ) : \nabla \bar { v } \, \mathrm { d } x - ( \lambda + \mu ) \int _ { \Omega } ( \nabla \cdot u ) \nabla \cdot ( h \cdot \nabla \bar { v } ) \mathrm { d } x } \\ & { - \omega ^ { 2 } \int _ { \Omega } ( h \cdot \nabla u ) \cdot \bar { v } \, \mathrm { d } x + \omega ^ { 2 } \int _ { S _ { R } } ( u \cdot \bar { v } ) ( h \cdot n ) \, \mathrm { d } s - \mu \int _ { S _ { R } } ( h \cdot n ) ( \nabla u : \nabla \bar { v } ) \, \mathrm { d } s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left( \frac { \sum _ { l = k } ^ { \infty } \tau _ { j } ( l ) } { \sum _ { l = k } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { j } ( l ) } } - 1 > ( d _ { j } - \epsilon ) \right) } & { \le c _ { j } ( k ) \exp \left( - ( d _ { j } - \epsilon ) \frac { \sum _ { l = k } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { j } ( l ) } } { \sqrt { \sum _ { l = k } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { j } ( l ) ^ { 2 } } } } \right) } \\ & { \le c _ { j } ( k ) \exp \left( - ( d _ { j } - \epsilon ) \sqrt { F _ { j } ( k ) \sum _ { l = k } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { j } ( l ) } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \psi \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { R } ) } = \| \psi _ { R } \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } } & { \leq C \| \psi _ { R } \| _ { W ^ { 2 , \frac { n + 1 } { 2 } + \delta _ { 0 } } ( B _ { 1 } ) } } \\ & { \leq C R ^ { 2 - \frac { n + 1 } { \frac { n + 1 } { 2 } + \delta _ { 0 } } } \omega } \\ & { = C \delta ^ { 2 5 + 5 \frac { n + 1 } { \frac { n + 1 } { 2 } + \delta _ { 0 } } } \ll 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 - \frac { 3 } { 2 } \eta _ { k } \mu + \frac { 4 a _ { 1 } \eta _ { k } ^ { 3 } n L ^ { 2 } } { 1 - \tilde { \lambda } _ { 2 } } + \frac { 2 2 a _ { 2 } \eta _ { k } ^ { 3 } n L ^ { 2 } } { \alpha } } & { \leq 1 - \frac { 4 } { 3 } \eta _ { k } \mu } \\ { \frac { 3 + \tilde { \lambda } _ { 2 } } { 4 } a _ { 1 } \eta _ { k } + \frac { 3 \eta _ { k } L ^ { 2 } } { n \mu } + \frac { 9 a _ { 2 } \eta _ { k } \gamma } { \alpha } } & { \leq \left( 1 - \frac { 4 } { 3 } \eta _ { k } \mu \right) a _ { 1 } \eta _ { k } } \\ { \left( 1 - \frac { \alpha } { 3 } \right) a _ { 2 } \eta _ { k } + a _ { 1 } \eta _ { k } \gamma C } & { \leq \left( 1 - \frac { 4 } { 3 } \eta _ { k } \mu \right) a _ { 2 } \eta _ { k } . } \end{array}
a _ { h _ { i } } \left( v , v ^ { * } \right) = a _ { h _ { i } } ^ { S V } \left( v , v ^ { * } \right) + \sum _ { l = 0 } ^ { k } \frac { \sigma _ { i } ^ { l } } { h _ { i } } \Vert v - P _ { h } ^ { l - 1 } v \Vert _ { 0 , \tau _ { i } } ^ { 2 } + R _ { i } ( v _ { x } ( \displaystyle \sum _ { l = 0 } ^ { k } \frac { \sigma _ { i } ^ { l } } { h _ { i } } D _ { x } ^ { - 1 } v ) ) .
{ \begin{array} { r l } & { \int x ^ { m } \left( A + B \, x ^ { n } \right) \left( a + b \, x ^ { n } \right) ^ { p } \left( c + d \, x ^ { n } \right) ^ { q } d x = { \frac { A \, x ^ { m + 1 } \left( a + b \, x ^ { n } \right) ^ { p + 1 } \left( c + d \, x ^ { n } \right) ^ { q } } { a ( m + 1 ) } } \, - \, { \frac { 1 } { a ( m + 1 ) } } \, \cdot } \\ & { \qquad \int x ^ { m + n } \left( c ( A \, b - a \, B ) ( m + 1 ) + A \, n ( b \, c ( p + 1 ) + a \, d \, q ) + d ( ( A \, b - a \, B ) ( m + 1 ) + A \, b \, n ( p + q + 1 ) ) x ^ { n } \right) \left( a + b \, x ^ { n } \right) ^ { p } \left( c + d \, x ^ { n } \right) ^ { q - 1 } d x } \end{array} }
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \big [ V _ { \epsilon } ^ { t - 1 } \big ] - \mathbb { E } \big [ U _ { \epsilon } ^ { t - 1 } \big ] \geq \frac { t } { q _ { \epsilon } ^ { t } - 1 } + \frac { p _ { \epsilon } ^ { t - 1 } ( p _ { \epsilon } - 1 ) - ( p _ { \epsilon } + 1 ) } { 2 ( p _ { \epsilon } + 1 ) ( p _ { \epsilon } ^ { t } - p _ { \epsilon } ^ { t - 1 } ) } > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f ( x ) } & { = 2 m + 2 n + 3 } \\ { f ( y ) } & { = m + 2 n + 3 } \\ { f ( x y ) } & { = m + n + 1 } \\ { f ( x _ { i } ) } & { = m + n + 1 + i } & { \mathrm { ~ i f ~ } 1 \le i \le m } \\ { f ( x x _ { i } ) } & { = i } & { \mathrm { ~ i f ~ } 1 \le i \le m } \\ { f ( y y _ { i } ) } & { = m + i } & { \mathrm { ~ i f ~ } 1 \le i \le n } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { \sigma } ^ { \phi } \: } & { = \: \sum _ { t = 0 } ^ { \infty } \sum _ { ( s , \alpha ) \in \mathcal { S } \times \mathcal { A } } \phi ( s , \alpha ) \gamma ^ { t } \mathbb { P } [ S _ { t } ^ { \sigma } = s , A _ { t } ^ { \sigma } = \alpha ] } \\ & { = \: \sum _ { ( s , \alpha ) \in \mathcal { S } \times \mathcal { A } } \phi ( s , \alpha ) \nu _ { \sigma } ^ { \gamma } ( s , \alpha ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon _ { \neg } ( \alpha ) } & { = ( \neg \alpha ) , } \\ { \varepsilon _ { \wedge } ( \alpha , \beta ) } & { = ( \alpha \wedge \beta ) , } \\ { \varepsilon _ { \vee } ( \alpha , \beta ) } & { = ( \alpha \vee \beta ) , } \\ { \varepsilon _ { \rightarrow } ( \alpha , \beta ) } & { = ( \alpha \rightarrow \beta ) , } \\ { \varepsilon _ { \leftrightarrow } ( \alpha , \beta ) } & { = ( \alpha \leftrightarrow \beta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { B _ { U } ( \eta , x , \phi , p , y ) } & { = } & { \int _ { - L / 2 } ^ { L / 2 } d z d s \, \exp \left[ i k _ { u } \Delta \nu ( z - s ) - 2 i k _ { u } \eta ( z - s ) + i k _ { u } T _ { \alpha } \left\{ ( x + y ) ( z - s ) + \frac { p } { 2 } ( z ^ { 2 } - s ^ { 2 } ) \right\} \right] } \\ & { } & { \quad \times \int d \xi \, \exp \left[ - i k x \xi + \frac { i k } { 2 } \Big ( ( \phi + \xi / 2 ) ^ { 2 } z - ( \phi - \xi / 2 ) ^ { 2 } s \Big ) \right] , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { ( \lambda + 2 \mu ) x \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial x } + \lambda x \frac { \partial u _ { 2 } } { \partial y } + \lambda x \frac { \partial u _ { 3 } } { \partial z } + \mu y \left( \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial y } + \frac { \partial u _ { 2 } } { \partial x } \right) = 0 } & { \qquad \mathrm { o n ~ } \partial C _ { a , b } \times \mathbb { R } \, , } \\ { \lambda y \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial x } + ( \lambda + 2 \mu ) y \frac { \partial u _ { 2 } } { \partial y } + \lambda y \frac { \partial u _ { 3 } } { \partial z } + \mu x \left( \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial y } + \frac { \partial u _ { 2 } } { \partial x } \right) = 0 } & { \qquad \mathrm { o n ~ } \partial C _ { a , b } \times \mathbb { R } \, , } \\ { \mu x \left( \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial z } + \frac { \partial u _ { 3 } } { \partial x } \right) + \mu y \left( \frac { \partial u _ { 2 } } { \partial z } + \frac { \partial u _ { 3 } } { \partial y } \right) = 0 } & { \qquad \mathrm { o n ~ } \partial C _ { a , b } \times \mathbb { R } \, , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \varepsilon _ { k } ^ { * } ( \mathbb { A } _ { k } , \mathcal { P } _ { G , p } , \mathcal { K } ) : = \operatorname* { i n f } _ { \mathcal { A } \in \mathbb { A } _ { k } } \operatorname* { s u p } _ { \mathcal { P } \in \mathcal { P } _ { G , p } } \varepsilon _ { k } ( \mathcal { A } , \mathcal { P } , \mathcal { K } ) , \quad \varepsilon _ { k } ^ { * } ( \mathbb { B } _ { k } , \mathcal { P } _ { G , p } , \mathcal { K } ) : = \operatorname* { i n f } _ { \mathcal { A } \in \mathbb { B } _ { k } } \operatorname* { s u p } _ { \mathcal { P } \in \mathcal { P } _ { G , p } } \varepsilon _ { k } ( \mathcal { A } , \mathcal { P } , \mathcal { K } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { X } _ { i } = \mathbf { I } _ { 2 \times 2 } ^ { \otimes ( n - i - 1 ) } \otimes \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right] \otimes \mathbf { I } _ { 2 \times 2 } ^ { \otimes ( n - i ) } , \quad \boldsymbol { Z } _ { i } = \mathbf { I } _ { 2 \times 2 } ^ { \otimes ( n - i - 1 ) } \otimes \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right] \otimes \mathbf { I } _ { 2 \times 2 } ^ { \otimes ( n - i ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( \rho _ { j } ^ { n + 1 } + \tau \left\{ { \rho } ^ { \varDelta } ( y , t _ { n + 1 - } ) - \rho _ { j } ^ { n + 1 } \right\} \right) ^ { \theta - 1 } = \frac { \left( \rho _ { j } ^ { n + 1 } + \tau \left\{ { \rho } ^ { \varDelta } ( y , t _ { n + 1 - } ) - \rho _ { j } ^ { n + 1 } \right\} \right) ^ { \gamma - 2 } } { \left( \rho _ { j } ^ { n + 1 } + \tau \left\{ { \rho } ^ { \varDelta } ( y , t _ { n + 1 - } ) - \rho _ { j } ^ { n + 1 } \right\} \right) ^ { \theta } } } \\ & { \qquad \leq \frac { \left( \rho _ { j } ^ { n + 1 } + \tau \left\{ { \rho } ^ { \varDelta } ( y , t _ { n + 1 - } ) - \rho _ { j } ^ { n + 1 } \right\} \right) ^ { \gamma - 2 } } { \left( \rho _ { j } ^ { n + 1 } + \tau \left\{ { \rho } ^ { \varDelta } ( y , t _ { n + 1 - } ) - \rho _ { j } ^ { n + 1 } \right\} \right) ^ { \theta } } \leq \frac { \left( \rho _ { j } ^ { n + 1 } + \tau \left\{ { \rho } ^ { \varDelta } ( y , t _ { n + 1 - } ) - \rho _ { j } ^ { n + 1 } \right\} \right) ^ { \gamma - 2 } } { \left( 1 / 2 \right) ^ { \theta } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { z } } & { = \arg \operatorname* { m i n } _ { f \in \ensuremath { \mathscr { H } } } \frac { 1 } { N } \sum _ { t = 1 } ^ { N } ( y _ { t } - f ( x _ { t } ) ) ^ { 2 } + \gamma \| f \| _ { \ensuremath { \mathscr { H } } } ^ { 2 } } \\ & { = \Big ( \frac { 1 } { N } \ensuremath { \mathcal { S } _ { \mathscr { X } } } ^ { \top } \ensuremath { \mathcal { S } _ { \mathscr { X } } } + \gamma I \Big ) ^ { - 1 } \frac { 1 } { N } \ensuremath { \mathcal { S } _ { \mathscr { X } } } ^ { \top } Y . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 3 } ( \mathbf { x } ) } & { = \int _ { \kappa } ^ { x _ { k } } G ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { k - 1 } , y , x _ { k + 1 } , \ldots , x _ { t } ) \, d y } \\ & { = \sum _ { \ell \ge 0 } G _ { \ell } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { k - 1 } , x _ { k + 1 } , \ldots , x _ { t } ) \int _ { \kappa } ^ { x _ { k } } ( 1 - y / \kappa ) ^ { \alpha \ell } \, d y } \\ & { = - \kappa \sum _ { \ell \ge 0 } \frac { G _ { \ell } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { k - 1 } , x _ { k + 1 } , \ldots , x _ { t } ) } { \alpha \ell + 1 } ( 1 - x _ { k } / \kappa ) ^ { \alpha \ell + 1 } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { d } p _ { t } = - [ ( \Delta + \mathcal { F } ^ { \prime } ( u _ { t } ^ { \alpha } ) + \Phi _ { u } ^ { \ast } ( t , u _ { t } ^ { \alpha } , \alpha ) ) p _ { t } + \mathcal { L } ^ { \prime } ( t , u _ { t } ^ { \alpha } ) } \\ { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad + \nu \Phi _ { u } ^ { \ast } ( t , u _ { t } ^ { \alpha } , \alpha ) \Phi ( t , u _ { t } ^ { \alpha } , \alpha ) ] \mathrm { d } t } \\ { p _ { T } = \mathcal { M } ^ { \prime } ( u _ { T } ^ { \alpha } ) . } \end{array} \right.
{ \frac { \partial l } { \partial \mu _ { B } ^ { ( k ) } } } = \sum _ { i = 1 } ^ { m } { \frac { \partial l } { \partial y _ { i } ^ { ( k ) } } } { \frac { - \gamma ^ { ( k ) } } { \sqrt { \sigma _ { B } ^ { ( k ) ^ { 2 } } + \epsilon } } } + { \frac { \partial l } { \partial \sigma _ { B } ^ { ( k ) ^ { 2 } } } } { \frac { 1 } { m } } \sum _ { i = 1 } ^ { m } ( - 2 ) \cdot ( x _ { i } ^ { ( k ) } - \mu _ { B } ^ { ( k ) } )
\left\{ \begin{array} { r l } & { i \frac { \partial } { \partial \tau } \mathbf { v } _ { j , \varepsilon } ^ { \mathrm { e f f } } ( \mathbf { x } , \tau ) = \mathcal { A } _ { \varepsilon } ^ { \mathrm { e f f } } \mathbf { v } _ { j , \varepsilon } ^ { \mathrm { e f f } } ( \mathbf { x } , \tau ) , } \\ & { \mathbf { v } _ { j , \varepsilon } ^ { \mathrm { e f f } } ( \mathbf { x } , 0 ) = J _ { j } f _ { j } ( \mathbf { x } ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \overline { { \deg } } ( S ; R ) } & { = \overline { { \deg } } ( S ; R _ { d _ { k } } ) + \overline { { \deg } } ( S ; I ) = \overline { { \deg } } ( S ; R _ { d _ { k } } ^ { \prime } ( G ^ { \prime } ) ) + \overline { { \deg } } ( S ; I ) } \\ & { \geqslant \overline { { \deg } } ( S ; R ^ { \prime } ( G ^ { \prime } ) ) - d _ { k } \geqslant \delta + \mu / 2 , } \end{array}
{ \boxed { x ^ { k + 1 } = \arg \operatorname* { m i n } _ { x \in \mathbb { R } ^ { n } } \| A x - A A ^ { \dagger } b \| _ { 2 } ^ { 2 } \ \ \mathrm { s u b j e c t ~ t o } \ \ x = x ^ { k } - \lambda \frac { A _ { i _ { k } , : } x ^ { k } - b _ { i _ { k } } } { \| A _ { i _ { k } , : } \| _ { 2 } ^ { 2 } } A _ { i _ { k } , : } ^ { \top } , \ \lambda \in \mathbb { R } . } }
\begin{array} { r } { \widetilde { \chi } ( z ) F _ { H } ^ { \frac 1 2 } = \bigr ( 1 - \widehat { \chi } _ { s } ( z ) \bigr ) ^ { - 1 } \underbrace { F _ { H } ^ { \frac 1 2 } \widehat { \chi } _ { 0 } ( z ) F _ { H } ^ { \frac 1 2 } } _ { = \widehat { \chi } _ { s } ( z ) } = \bigr ( 1 - \widehat { \chi } _ { s } ( z ) \bigr ) ^ { - 1 } - 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { B _ { R } } \left| \alpha ( t , x , \nabla ^ { h } v _ { n } ^ { h } ( t , x ) ) - \alpha ( t , x , \nabla ^ { h } v ^ { h } ( t , x ) ) \right| ^ { 2 } \, d x } \\ & { \qquad \leq \frac { C } { h ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { d } \int _ { B _ { R } } \left| v _ { n } ^ { h } ( t , x + h e _ { i } ) - v ^ { h } ( t , x + h e _ { i } ) - v _ { n } ^ { h } ( t , x - h e _ { i } ) + v ^ { h } ( t , x - h e _ { i } ) \right| ^ { 2 } \, d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { K _ { s } } ( \omega _ { N + 1 , d } ) } & { = E _ { K _ { s } } ( \omega _ { m , d } ) + 2 \sum _ { k = m } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { k } K _ { s } ( x _ { k + 1 } , x _ { j } ) } \\ & { = E _ { K _ { s } } ( \omega _ { m , d } ) + 2 \sum _ { k = m } ^ { N } P _ { K _ { s } } ( \omega _ { k , d } ) } \\ & { \leq E _ { K _ { s } } ( \omega _ { m , d } ) + 2 \sum _ { k = m } ^ { N } \mathcal { P } _ { K _ { s } } ( k ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l r l } & { ( \nabla w _ { 1 } , \nabla \chi ) = ( f , \chi ) } & & { \forall \chi \in H _ { 0 } ^ { 1 } ( \varOmega ) , } \\ & { ( A _ { h } \nabla w _ { 2 } , \chi ) = ( ( I - A _ { h } ) \nabla w _ { 1 } + \vec { g } , \nabla \chi ) } & & { \forall \chi \in H _ { 0 } ^ { 1 } ( \varOmega ) . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { k _ { j } ( s ) = \left\{ \begin{array} { l l } { k ( s - c _ { j } ) , } & { 0 \leq s < a + c _ { j } , } \\ { \lambda _ { j } ^ { - 1 } k ( \lambda _ { j } ^ { - 1 } ( s - a - c _ { j } ) + a ) , \ \ } & { a + c _ { j } < s < b + \frac { 1 } { j } , } \\ { k ( s - \frac { 1 } { j } ) , } & { b + \frac { 1 } { j } < u \leq L , } \end{array} \right. } \end{array}
F ( c , \beta ) = \frac { \frac { \hat { \lambda } _ { 1 } } { 2 } - \frac { \lambda _ { 2 } \gamma ^ { 2 } \beta } { 4 c \beta \lambda _ { 2 } v - 2 \ell ^ { 2 } } - \frac { ( c ^ { 2 } \hat { \lambda } _ { n } ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } ) } { c ^ { 2 } \beta \lambda _ { 2 } } } { 3 \lambda _ { n } + 2 \beta \lambda _ { n } + \frac { \lambda _ { n } ^ { 2 } } { \beta \lambda _ { 2 } } } .
{ \begin{array} { r l r l } { e _ { 1 } } & { = p _ { 1 } , } \\ { e _ { 2 } } & { = \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } p _ { 1 } ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } p _ { 2 } } & & { = \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } ( p _ { 1 } ^ { 2 } - p _ { 2 } ) , } \\ { e _ { 3 } } & { = \textstyle { \frac { 1 } { 6 } } p _ { 1 } ^ { 3 } - { \frac { 1 } { 2 } } p _ { 1 } p _ { 2 } + { \frac { 1 } { 3 } } p _ { 3 } } & & { = \textstyle { \frac { 1 } { 6 } } ( p _ { 1 } ^ { 3 } - 3 p _ { 1 } p _ { 2 } + 2 p _ { 3 } ) , } \\ { e _ { 4 } } & { = \textstyle { \frac { 1 } { 2 4 } } p _ { 1 } ^ { 4 } - { \frac { 1 } { 4 } } p _ { 1 } ^ { 2 } p _ { 2 } + { \frac { 1 } { 8 } } p _ { 2 } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 3 } } p _ { 1 } p _ { 3 } - { \frac { 1 } { 4 } } p _ { 4 } } & & { = \textstyle { \frac { 1 } { 2 4 } } ( p _ { 1 } ^ { 4 } - 6 p _ { 1 } ^ { 2 } p _ { 2 } + 3 p _ { 2 } ^ { 2 } + 8 p _ { 1 } p _ { 3 } - 6 p _ { 4 } ) , } \\ & { ~ ~ \vdots } \\ { e _ { n } } & { = ( - 1 ) ^ { n } \sum _ { m _ { 1 } + 2 m _ { 2 } + \cdots + n m _ { n } = n \atop m _ { 1 } \geq 0 , \ldots , m _ { n } \geq 0 } \prod _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { ( - p _ { i } ) ^ { m _ { i } } } { m _ { i } ! \, i ^ { m _ { i } } } } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \| D \overline { { F } } ( \frac { \nu _ { 0 } } { \sqrt { | { \Omega _ { 0 } } | } } , U _ { 0 } ) ^ { - 1 } \| _ { X _ { 2 } , X _ { 1 } } \sum _ { \alpha \in J _ { \mathbb { G } } } \| \left( \mathbb { K } _ { \alpha } - ( \partial ^ { \alpha } \mathbb { L } ^ { - 1 } ) ^ { * } \right) \mathbb { v } _ { \alpha } ^ { * } \| _ { 2 } \leq \mathcal { Z } _ { u } . } \end{array}
\widehat { X } = \tau \left[ \begin{array} { c c c } { b _ { 1 } I _ { n _ { x } } } & { \ldots } & { b _ { s } I _ { n _ { x } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { I _ { s } \otimes \widehat { \mathbf { M } } + \tau A _ { \mathrm { R K } } \otimes \mathbf { D } _ { 1 } } \\ { \tau A _ { \mathrm { R K } } \otimes \mathbf { D } _ { 2 } } \end{array} \right] ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { c } { \mathbf { e } \otimes \mathbf { D } _ { 1 } } \\ { \mathbf { e } \otimes \mathbf { D } _ { 2 } } \end{array} \right] .
\mathcal { S } _ { 1 } : = \left\lbrace \left\lVert \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \boldsymbol { \epsilon } _ { t } \boldsymbol { \epsilon } _ { t } ^ { \prime } - \boldsymbol { \Sigma } _ { \epsilon } \right\rVert _ { \operatorname* { m a x } } \leq C \frac { \sqrt { \log ( N ) } } { \sqrt { T } } \right\rbrace , ~ \mathcal { S } _ { 2 } : = \left\lbrace \left\lVert \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \boldsymbol { \epsilon } _ { t } \boldsymbol { \epsilon } _ { t } ^ { \prime } - \boldsymbol { \Sigma } _ { \epsilon } \right\rVert _ { \operatorname* { m a x } } \leq \frac { N ^ { 4 / m } } { T ^ { ( m - 2 ) / m } } \eta _ { T } ^ { - 1 } \right\rbrace .
\begin{array} { r l } { \mathsf { H } [ b ^ { \dagger } , b ] } & { = \Delta ( b _ { 1 } ^ { \dagger } b _ { 2 } ^ { \dagger } + h . c . ) + \lambda ( b _ { 1 } ^ { \dagger } b _ { 1 } + b _ { 2 } ^ { \dagger } b _ { 2 } ) } \\ & { = [ b _ { 1 } ^ { \dagger } , b _ { 2 } ] \ H \left[ \begin{array} { l } { b _ { 1 } } \\ { b _ { 2 } ^ { \dagger } } \end{array} \right] - \lambda , \quad H = \left[ \begin{array} { l l } { \lambda } & { \Delta } \\ { \Delta } & { \lambda } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { s _ { s c a } ( y , u ) } & { = \left[ \begin{array} { l } { y } \\ { u } \end{array} \right] ^ { H } \left[ \begin{array} { l l } { - I _ { m } } & { 0 } \\ { 0 } & { I _ { m } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { y } \\ { u } \end{array} \right] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left[ \begin{array} { l } { f } \\ { e } \end{array} \right] ^ { H } \left[ \begin{array} { l l } { - I _ { m } } & { I _ { m } } \\ { \phantom { - } I _ { m } } & { I _ { m } } \end{array} \right] ^ { H } \left[ \begin{array} { l l } { - I _ { m } } & { 0 } \\ { 0 } & { I _ { m } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { - I _ { m } } & { I _ { m } } \\ { \phantom { - } I _ { m } } & { I _ { m } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { f } \\ { e } \end{array} \right] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left[ \begin{array} { l } { f } \\ { e } \end{array} \right] ^ { H } \left[ \begin{array} { l l } { - I _ { m } } & { I _ { m } } \\ { \phantom { - } I _ { m } } & { I _ { m } } \end{array} \right] ^ { H } \left[ \begin{array} { l l } { I _ { m } } & { - I _ { m } } \\ { I _ { m } } & { \phantom { - } I _ { m } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { f } \\ { e } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l } { f } \\ { e } \end{array} \right] ^ { H } \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { I _ { m } } \\ { I _ { m } } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { f } \\ { e } \end{array} \right] } \\ & { = s _ { i m p } ( f , e ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \widehat { x _ { m } ^ { 4 } f } ( \xi ) } \\ & { = i \partial _ { \xi _ { m } } \left[ \widehat { x _ { m } ^ { 3 } f } ( \xi ) \right] = i \partial _ { \xi _ { m } } \left[ - \frac { i } { 4 z ^ { 2 } } \left( \frac { \pi } { z } \right) ^ { \frac { d } { 2 } } \left( 3 ( \xi _ { m } + i a _ { m } ) - \frac { ( \xi _ { m } + i a _ { m } ) ^ { 3 } } { 2 z } \right) E ( \xi , a , z ) \right] } \\ & { = \frac { 1 } { 4 z ^ { 2 } } \left( \frac { \pi } { z } \right) ^ { \frac { d } { 2 } } \left[ 3 - 3 \frac { ( \xi + i a _ { m } ) ^ { 2 } } { 2 z } + \left( 3 ( \xi _ { m } + i a _ { m } ) - \frac { ( \xi _ { m } + i a _ { m } ) ^ { 3 } } { 2 z } \right) \left( - \frac { \xi _ { m } + i a _ { m } } { 2 z } \right) \right] E ( \xi , a , z ) } \\ & { = \frac { 1 } { 4 z ^ { 2 } } \left( \frac { \pi } { z } \right) ^ { \frac { d } { 2 } } \left[ 3 - 6 \frac { ( \xi _ { m } + i a _ { m } ) ^ { 2 } } { 2 z } + \frac { ( \xi _ { m } + i a _ { m } ) ^ { 4 } } { 4 z ^ { 2 } } \right] E ( \xi , a , z ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \textrm { V I X } } _ { T } ^ { 2 } ( \ell ) } & { = \frac { 1 } { \Delta } \sum _ { \lvert I \lvert , | J | \le n } \ell _ { I } \ell _ { J } { \mathbb E } \biggl [ \int _ { T } ^ { T + \Delta } \langle e _ { I } \shuffle e _ { I } , \widehat { \mathbb { X } } _ { t } \rangle \mathrm { d } t \lvert \mathcal { F } _ { T } \biggr ] } \\ & { = \frac { 1 } { \Delta } \ell ^ { \top } Q ( T , \Delta ) \ell , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| H ^ { ( N ) } ( \lfloor N t \rfloor ) - Z ( t ) - H ^ { ( N ) } ( \lfloor N s \rfloor ) + Z ( s ) \| \le e ^ { L ( t - s ) } \cdot \Big ( c o n s t . \frac { t - s } { \sqrt { N } } + \frac { c o n s t . } { N } } \\ & { \quad + L ( t - s ) \| \chi ( 0 ) + H ^ { ( N ) } ( \lfloor N s \rfloor ) - Z ( s ) \| + L ( t - s ) \operatorname* { s u p } _ { 0 \le u \le T } \| M ^ { ( N ) } ( \lfloor N u \rfloor ) \| \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r } { f ( x ) = c _ { 0 } + \frac { C \omega } { d _ { 0 } } \left( \frac { 2 } { w _ { 4 } - 1 } - 1 \right) x - \frac { C \omega ( 1 + d _ { 0 } ) } { d _ { 0 } } \left( \frac { 2 } { w _ { 4 } - 1 } - 1 \right) - C \log \left[ \frac { \omega } { d _ { 0 } } \left( \left( 1 + \frac { d _ { 0 } } { \omega } \right) ( 1 + \omega ) - x \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ell _ { n } ( \eta ) - \ell _ { n } ( \eta _ { 0 } ) } & { = - \frac { n } { 2 } \| \eta - \eta _ { 0 } \| _ { L } ^ { 2 } + \sqrt { n } W _ { n } ( \eta - \eta _ { 0 } ) + R _ { n } ( \eta , \eta _ { 0 } ) } \\ { \psi ( f ) - \psi ( f _ { 0 } ) } & { = \langle \eta - \eta _ { 0 } , \tilde { \psi } _ { f _ { 0 } } \rangle _ { L } + \mathcal { B } ( f , f _ { 0 } ) + \tilde { r } ( f , f _ { 0 } ) , } \end{array}
_ a l l o y d i r e c t l y o n a s i l i c o n w a f e r . T h i s e m e r g i n g c l a s s o f s e m i c o n d u c t o r s p r o v i d e s s t r a i n a n d c o m p o s i t i o n a s d e g r e e s o f f r e e d o m t o c o n t r o l t h e b a n d g a p e n e r g y t h u s c o v e r i n g t h e e n t i r e m i d - i n f r a r e d r a n g e . T h e p r o p o s e d t h e r m o p h o t o v o l t a i c d e v i c e i s c o m p o s e d o f a f u l l y r e l a x e d G e
\begin{array} { r l } { H ( \beta _ { 1 } , \beta _ { 2 } ) } & { = \left( \frac { \sqrt { F } \lambda e ^ { - j k _ { 0 } d _ { 0 } } } { 4 \pi d _ { 0 } } \right) L _ { x } L _ { y } \times \mathrm { s i n c } \bigg ( K _ { x } \pi ( \alpha _ { 1 } - \beta _ { 1 } ) \bigg ) } \\ & { \qquad \qquad \times \mathrm { s i n c } \bigg ( K _ { y } \pi ( \alpha _ { 2 } - \beta _ { 2 } ) \bigg ) , } \end{array}
F ( \tilde { \psi } ^ { \prime } ) ( \sum _ { k = 1 } ^ { | S ^ { \prime } | } \alpha _ { k } \cdot \mathbf e _ { k } ^ { 2 , \theta } ) = \sum _ { k = 1 } ^ { | S ^ { \prime } | } \pi ( \alpha _ { k } ) \cdot \mathbf e _ { k } ^ { 1 , \theta } , \qquad \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } \alpha _ { 1 } , \dots , \alpha _ { | S ^ { \prime } | } \in \mathbb Z [ G _ { 2 } ] .
\begin{array} { r l } & { A _ { k } h ^ { 2 / K } N \lambda _ { k } ^ { 1 / ( 2 K - 2 ) } + B _ { k } N ^ { 1 - 2 / K } \lambda _ { k } ^ { - 1 / ( 2 K - 2 ) } \ge 2 ( A _ { k } B _ { k } ) ^ { 1 / 2 } h ^ { 1 / K } N ^ { 1 - 1 / K } } \\ & { \qquad \qquad \qquad > 2 ^ { 1 3 / 1 2 - 1 / ( 3 K ) } ( A _ { 3 } B _ { 3 } ) ^ { 2 / K } h ^ { 1 / K } N ^ { 1 - 1 / K } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { p } & { = p ( U ) e ^ { - { \frac { h - U } { H _ { \mathrm { T P } } } } } = p _ { 0 } \left( 1 - { \frac { L U } { T _ { 0 } } } \right) ^ { \frac { g M } { R L } } e ^ { - { \frac { h - U } { H _ { \mathrm { T P } } } } } } \\ { \rho } & { = \rho ( U ) e ^ { - { \frac { h - U } { H _ { \mathrm { T P } } } } } = \rho _ { 0 } \left( 1 - { \frac { L U } { T _ { 0 } } } \right) ^ { { \frac { g M } { R L } } - 1 } e ^ { - { \frac { h - U } { H _ { \mathrm { T P } } } } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { E \biggl [ \int _ { 0 } ^ { T } ( \hat { Y } ( t ) - Y ^ { u _ { 1 } } ( t ) ) ^ { T } \biggl \{ \hat { q } ^ { 1 } ( t ) \hat { q } ^ { 1 } ( t ) ^ { T } + \int _ { \mathbb { R } _ { 0 } } \hat { r } ^ { 1 } ( t - , z ) \hat { r } ^ { 1 } ( t - , z ) ^ { T } \nu ( d z ) } \\ & { \qquad \qquad + \hat { w } ^ { 1 } ( t ) D i a g ( \mu ( t ) ) \hat { w } ^ { 1 } ( t ) ^ { T } \biggr \} ( \hat { Y } ( t ) - Y ^ { u _ { 1 } } ( t ) ) ^ { T } d t \biggr ] < \infty , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( F _ { t } * g ) ( x ) } & { = \frac { 1 } { 4 \pi t } \int _ { S ( 0 , 1 ) } g ( x - t \gamma ) t ^ { 2 } d \Omega = \frac { t } { 4 \pi } \int _ { S ( 0 , 1 ) } f ( | x - t \gamma | ^ { 2 } ) d \Omega } \\ & { = \frac { t } { 4 \pi } \int _ { S ( 0 , 1 ) } f ( | x | ^ { 2 } + t ^ { 2 } - 2 | t | \langle x , \gamma \rangle ) d \Omega } \\ & { = \frac { t } { 4 \pi } \int _ { M S ( 0 , 1 ) } f ( | x | ^ { 2 } + t ^ { 2 } - 2 | t | | x | \Big \langle \frac { x } { | x | } , M ^ { T } \gamma ^ { \prime } \Big \rangle ) d \Omega ^ { \prime } } \\ & { = \frac { t } { 4 \pi } \int _ { S ( 0 , 1 ) } f ( | x | ^ { 2 } + t ^ { 2 } - 2 | t | | x | \langle e _ { 3 } , \gamma \rangle ) d \Omega } \\ & { = \frac { t } { 4 \pi } \int _ { \phi = 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { \theta = 0 } ^ { \pi } f ( | x | ^ { 2 } + t ^ { 2 } - 2 | t | | x | \cos ( \theta ) ) \sin ( \theta ) d \theta d \phi } \\ & { = \frac { t } { 2 } \int _ { \theta = 0 } ^ { \pi } f ( | x | ^ { 2 } + t ^ { 2 } - 2 | t | | x | \cos ( \theta ) ) \sin ( \theta ) d \theta } \\ & { = \frac { t } { 4 | x | | t | } \Big [ F ( | x | ^ { 2 } + t ^ { 2 } - 2 | t | | x | \cos ( \theta ) ) \Big ] _ { \theta = 0 } ^ { \theta = \pi } } \\ & { = \frac { \mathrm { s g n } ( t ) } { 4 | x | } \Big ( F ( ( | x | + | t | ) ^ { 2 } ) - F ( ( | x | - | t | ) ^ { 2 } ) \Big ) } \\ & { = \frac { \mathrm { s g n } ( t ) } { 4 | x | } \sum _ { \varepsilon \in \{ - 1 , 1 \} } \varepsilon F ( ( | x | + \varepsilon | t | ) ^ { 2 } ) } \end{array}
+ \frac { y ^ { 1 } z ^ { 2 } } { 1 ^ { a } 2 ^ { b } } + \frac { y ^ { 2 } z ^ { 2 } } { 2 ^ { a } 2 ^ { b } } + \frac { y ^ { 3 } z ^ { 2 } } { 3 ^ { a } 2 ^ { b } } + \frac { y ^ { 4 } z ^ { 2 } } { 4 ^ { a } 2 ^ { b } } + \frac { y ^ { 5 } z ^ { 2 } } { 5 ^ { a } 2 ^ { b } } + \frac { y ^ { 6 } z ^ { 2 } } { 6 ^ { a } 2 ^ { b } } + \frac { y ^ { 7 } z ^ { 2 } } { 7 ^ { a } 2 ^ { b } } + \cdots
\begin{array} { r l } & { \left\| \boldsymbol { \mathcal { K } } _ { \ell } - \boldsymbol { \mathcal { K } } _ { \ell } ^ { \prime } \right\| _ { \mathrm { o p } } \leq \sum _ { j = 1 } ^ { d _ { \ell + 1 } } \sum _ { i = 1 } ^ { d _ { \ell } } | D | \left\| k _ { \ell , i j } - k _ { \ell , i j } ^ { \prime } \right\| _ { \boldsymbol { \mathrm { L } } ^ { \infty } ( D \times D ; \mathbb { R } ) } \leq \sum _ { j = 1 } ^ { d _ { \ell + 1 } } \sum _ { i = 1 } ^ { d _ { \ell } } | D | C _ { \alpha } \left\| \frac { k _ { \ell , i j } } { C _ { \alpha } } - \frac { k _ { \ell , i j } ^ { \prime } } { C _ { \alpha } } \right\| _ { \boldsymbol { \mathrm { L } } ^ { \infty } ( D \times D ; \mathbb { R } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { \mathcal { E } } _ { t } } & { \leq \left( 1 + \frac { \int _ { 1 } ^ { \infty } K _ { s } \, d s } { \int _ { 0 } ^ { 1 } K _ { s } \, d s } \right) \int _ { t } ^ { t + 1 } K _ { s - t } \left\| P _ { \mathbf { a } } ( s , \cdot ) \right\| _ { L ^ { 2 } \left( \mathbb { T } _ { L } \right) } ^ { 2 } \, d s } \\ & { \leq C \mathcal { M } _ { 4 } ( t ) \int _ { t } ^ { t + 1 } K _ { s - t } \| w ^ { - 1 } \left( s , \cdot \right) \| _ { \underline { { L } } ^ { d } ( \mathbb { T } _ { L } ) } ^ { - 2 } \left\| P _ { \mathbf { a } } ( s , \cdot ) \right\| _ { L ^ { 2 } \left( \mathbb { T } _ { L } \right) } ^ { 2 } \, d s } \\ & { \leq C \mathcal { M } _ { 4 } ( t ) \int _ { t } ^ { \infty } K _ { s - t } \| w ^ { - 1 } \left( s , \cdot \right) \| _ { \underline { { L } } ^ { d } ( \mathbb { T } _ { L } ) } ^ { - 2 } \left\| P _ { \mathbf { a } } ( s , \cdot ) \right\| _ { L ^ { 2 } \left( \mathbb { T } _ { L } \right) } ^ { 2 } \, d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { V a r ^ { * } ( B _ { 2 , K , I , n } ^ { * } | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } ) } \\ & { = ( I + n + 1 ) \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } = 0 } ^ { K } C _ { I - i _ { 1 } , i _ { 1 } } C _ { I - i _ { 2 } , i _ { 2 } } C o v ^ { * } \left( \prod _ { j _ { 1 } = i _ { 1 } } ^ { I + n - 1 } \widehat f _ { j _ { 1 } , n } ^ { * } - \prod _ { j _ { 1 } = i _ { 1 } } ^ { K } \widehat f _ { j _ { 1 } , n } ^ { * } , \prod _ { j _ { 2 } = i _ { 2 } } ^ { I + n - 1 } \widehat f _ { j _ { 2 } , n } ^ { * } - \prod _ { j _ { 2 } = i _ { 2 } } ^ { K } \widehat f _ { j _ { 2 } , n } ^ { * } | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } \right) } \\ & { = ( I + n + 1 ) \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } = 0 } ^ { K } C _ { I - i _ { 1 } , i _ { 1 } } C _ { I - i _ { 2 } , i _ { 2 } } C o v ^ { * } \left( \prod _ { j _ { 1 } = i _ { 1 } } ^ { I + n - 1 } \widehat f _ { j _ { 1 } , n } ^ { * } - \prod _ { j _ { 1 } = i _ { 1 } } ^ { K } \widehat f _ { j _ { 1 } , n } ^ { * } , \prod _ { j _ { 2 } = i _ { 2 } } ^ { I + n - 1 } \widehat f _ { j _ { 2 } , n } ^ { * } - \prod _ { j _ { 2 } = i _ { 2 } } ^ { K } \widehat f _ { j _ { 2 } , n } ^ { * } \right) } \\ & { \leq 2 ( I + n + 1 ) \sum _ { i _ { 2 } = 0 } ^ { K } \sum _ { i _ { 1 } = 0 } ^ { i _ { 2 } } C _ { I - i _ { 1 } , i _ { 1 } } C _ { I - i _ { 2 } , i _ { 2 } } C o v ^ { * } \left( \prod _ { j _ { 1 } = i _ { 1 } } ^ { I + n - 1 } \widehat f _ { j _ { 1 } , n } ^ { * } - \prod _ { j _ { 1 } = i _ { 1 } } ^ { K } \widehat f _ { j _ { 1 } , n } ^ { * } , \prod _ { j _ { 2 } = i _ { 2 } } ^ { I + n - 1 } \widehat f _ { j _ { 2 } , n } ^ { * } - \prod _ { j _ { 2 } = i _ { 2 } } ^ { K } \widehat f _ { j _ { 2 } , n } ^ { * } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { j } _ { H } ( s | z _ { 0 } ) } & { = \frac { \alpha \cosh ( \alpha z _ { 0 } ) + q \sinh ( \alpha z _ { 0 } ) } { \alpha \cosh ( \alpha H ) + q \sinh ( \alpha H ) } \, , } \\ { \tilde { j } _ { 0 } ( s | z _ { 0 } ) } & { = \frac { q \sinh ( \alpha ( H - z _ { 0 } ) ) } { \alpha \cosh ( \alpha H ) + q \sinh ( \alpha H ) } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathsf { E } [ } & { U _ { i } ( t + 1 ) \mid Y ^ { t } = y ^ { t } , \theta = i ] } \\ & { = q \log _ { 2 } \frac { \frac { \rho _ { i } ( y ^ { t } ) q } { P _ { 0 } q + P _ { 1 } p } } { 1 - \frac { \rho _ { i } ( y ^ { t } ) q } { P _ { 0 } q + P _ { 1 } p } } + p \log _ { 2 } \frac { \frac { \rho _ { i } ( y ^ { t } ) p } { P _ { 0 } p + P _ { 1 } q } } { 1 - \frac { \rho _ { i } ( y ^ { t } ) p } { P _ { 0 } p + P _ { 1 } q } } } \\ & { = q \log _ { 2 } \frac { \rho _ { i } ( y ^ { t } ) q } { \frac { 1 } { 2 } \! + \! \frac { \Delta ( q - p ) } { 2 } \! - \! \rho _ { i } ( y ^ { t } ) q } + p \log _ { 2 } \cfrac { \rho _ { i } ( y ^ { t } ) p } { \frac { 1 } { 2 } \! - \! \frac { \Delta ( q - p ) } { 2 } \! - \! \rho _ { i } ( y ^ { t } ) p } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \bar { y } _ { t + 1 } - y _ { \bar { x } _ { t + 1 } } \| ^ { 2 } } & { \leq \bigg ( 1 - \frac { \mu \gamma \alpha _ { t } } { 4 } \bigg ) \| \bar { y } _ { t } - y _ { \bar { x } _ { t } } \| ^ { 2 } - \frac { \gamma ^ { 2 } \alpha _ { t } } { 4 } \| \bar { \omega } _ { t } \| ^ { 2 } + \frac { 9 \kappa ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \alpha _ { t } } { 2 \mu \gamma } \| \bar { \nu } _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 9 \gamma \alpha _ { t } L ^ { 2 } } { \mu M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \bigg [ \| x _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { t } \| ^ { 2 } + \| y _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { y } _ { t } \| ^ { 2 } \bigg ] + \frac { 9 \gamma \alpha _ { t } } { \mu } \| \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ) - \bar { w } _ { t } \| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H _ { 1 } = \sum _ { j } H _ { 1 , j } , \quad H _ { 2 } = \sum _ { j } H _ { 2 , j } , } \\ & { E _ { 1 } = \sum _ { j } E _ { 1 , j } , \quad E _ { 2 } = \sum _ { j } E _ { 2 , j } , \quad E _ { 3 } = \sum _ { j } E _ { 3 , j } , } \\ & { F _ { 1 } = \sum _ { j } F _ { 1 , j } , \quad F _ { 2 } = \sum _ { j } F _ { 2 , j } , \quad F _ { 3 } = \sum _ { j } F _ { 3 , j } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \exp ( A ) } & { = \exp { \bigl ( } \theta ( \mathbf { u } \cdot \mathbf { L } ) { \bigr ) } } \\ & { = \exp \left( { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { - z \theta } & { y \theta } \\ { z \theta } & { 0 } & { - x \theta } \\ { - y \theta } & { x \theta } & { 0 } \end{array} \right] } \right) } \\ & { = I + \sin \theta \ \mathbf { u } \cdot \mathbf { L } + ( 1 - \cos \theta ) ( \mathbf { u } \cdot \mathbf { L } ) ^ { 2 } , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { Q _ { \mathscr { L } ( I ) \mathscr { L } ( J ) } ( T , \Delta ) } & { = { \textup { \bf v e c } } ( ( e _ { I } \shuffle e _ { J } ) \otimes e _ { 0 } ) ^ { \top } e ^ { \Delta G ^ { \top } } { \textup { \bf v e c } } ( \widehat { { \mathbb X } } _ { T } ^ { 2 n + 1 } ) } \\ & { \qquad - { \textup { \bf v e c } } ( ( e _ { I } \shuffle e _ { J } ) \otimes e _ { 0 } ) ^ { \top } { \textup { \bf v e c } } ( \widehat { { \mathbb X } } _ { T } ^ { 2 n + 1 } ) } \\ & { = { \textup { \bf v e c } } ( ( e _ { I } \shuffle e _ { J } ) \otimes e _ { 0 } ) ^ { \top } ( e ^ { \Delta G ^ { \top } } - \operatorname { I d } ) { \textup { \bf v e c } } ( \widehat { { \mathbb X } } _ { T } ^ { 2 n + 1 } ) , } \end{array}
V a r ^ { * } ( A _ { 2 , K , I , n } ^ { * } | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } ) = E ^ { * } ( ( A _ { 2 , K , I , n } ^ { * } ) ^ { 2 } | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } ) = E ^ { * } ( E ^ { * } ( ( A _ { 2 , K , I , n } ^ { * } ) ^ { 2 } | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } , \mathcal { F } _ { I , n } ^ { * } ) | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } )
\begin{array} { r l } { \| L \| _ { 2 } } & { \leq \| I \| _ { 2 } + \operatorname* { m a x } _ { n = 1 , \dots , N _ { t } } \| A ^ { n } \| _ { 2 } } \\ & { \leq 2 + 2 \, \frac { \Delta t } { h ^ { 2 } } \Big ( 2 d + h \, d \operatorname* { m a x } _ { n = 1 , \dots , N _ { t } } C ^ { n } \Big ) } \\ & { = 2 \Big ( 1 + \frac { \Delta t } { h ^ { 2 } } 2 d + \frac { \Delta t } { h } C d \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \varphi _ { U } ( \lambda ) } & { = } & { \mathrm { D e t } ( \lambda e - U ) = ( \lambda e - U ) ( \lambda e - U ) \widehat { \widetilde { \quad } } ( ( \lambda e - U ) \widehat { \quad } ( \lambda e - U ) \widetilde { \quad } ) ^ { \bigtriangleup } } \\ & { = } & { ( \lambda e - U ) ( \lambda e - \widehat { \widetilde { U } } ) ( ( \lambda e - \widehat { U } ) ( \lambda e - \widetilde { U } ) ) ^ { \bigtriangleup } } \\ & { = } & { ( \lambda e - U ) ( \lambda e - \widehat { \widetilde { U } } ) ( \lambda ^ { 2 } e - \lambda \widehat { U } - \lambda \widetilde { U } + \widehat { U } \widetilde { U } ) ^ { \bigtriangleup } } \\ & { = } & { ( \lambda e - U ) ( \lambda e - \widehat { \widetilde { U } } ) ( \lambda ^ { 2 } e - \lambda \widehat { U } ^ { \bigtriangleup } - \lambda \widetilde { U } ^ { \bigtriangleup } + ( \widehat { U } \widetilde { U } ) ^ { \bigtriangleup } ) } \\ & { = } & { \lambda ^ { 4 } - ( U + \widehat { \widetilde { U } } + \widehat { U } ^ { \bigtriangleup } + \widetilde { U } ^ { \bigtriangleup } ) \lambda ^ { 3 } + ( U \widehat { \widetilde { U } } + U \widehat { U } ^ { \bigtriangleup } + U \widetilde { U } ^ { \bigtriangleup } + \widehat { \widetilde { U } } \widehat { U } ^ { \bigtriangleup } } \\ & { + } & { \widehat { \widetilde { U } } \widetilde { U } ^ { \bigtriangleup } + ( \widehat { U } \widetilde { U } ) ^ { \bigtriangleup } ) \lambda ^ { 2 } - ( U \widehat { \widetilde { U } } \widehat { U } ^ { \bigtriangleup } + U \widehat { \widetilde { U } } \widetilde { U } ^ { \bigtriangleup } + U ( \widehat { U } \widetilde { U } ) ^ { \bigtriangleup } } \\ & { + } & { \widehat { \widetilde { U } } ( \widehat { U } \widetilde { U } ) ^ { \bigtriangleup } ) \lambda + U \widehat { \widetilde { U } } ( \widehat { U } \widetilde { U } ) ^ { \bigtriangleup } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a = } & { { \left\{ \left[ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 4 } } & { \frac { 3 } { 8 } } \\ { - \frac { 1 } { 1 6 } } & { - \frac { 1 } { 1 6 } } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { 1 } { 4 } } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 4 } } & { - \frac { 3 } { 8 } } \\ { \frac { 1 } { 1 6 } } & { - \frac { 1 } { 1 6 } } \end{array} \right] \right\} _ { [ - 1 , 1 ] } } , } \\ { b = } & { { \left\{ \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { \frac { 2 } { 9 7 } } & { \frac { 2 4 } { 6 7 9 } } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { - \frac { 1 } { 2 } } & { - \frac { 1 5 } { 4 } } \\ { \frac { 7 7 } { 1 1 6 4 } } & { \frac { 2 9 2 1 } { 2 7 6 1 } } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { - \frac { 1 } { 2 } } & { \frac { 1 5 } { 4 } } \\ { - \frac { 7 7 } { 1 1 6 4 } } & { \frac { 2 9 2 1 } { 2 7 6 1 } } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { - \frac { 2 } { 9 7 } } & { \frac { 2 4 } { 6 7 9 } } \end{array} \right] \right\} _ { [ - 2 , 2 ] } } , } \\ { \tilde { a } = } & { { \left\{ \left[ \begin{array} { l l } { - \frac { 1 3 } { 2 4 3 2 } } & { - \frac { 9 1 } { 2 9 1 8 4 } } \\ { \frac { 3 } { 1 5 2 } } & { \frac { 7 } { 6 0 8 } } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { \frac { 3 9 } { 2 4 3 2 } } & { \frac { 1 3 } { 3 6 4 8 } } \\ { - \frac { 9 } { 1 5 2 } } & { - \frac { 1 } { 7 6 } } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { - \frac { 1 } { 1 2 } } & { - \frac { 1 6 9 9 } { 4 3 7 7 6 } } \\ { \frac { 6 7 9 } { 1 2 1 6 } } & { \frac { 4 2 2 5 } { 1 4 5 9 2 } } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { \frac { 5 6 9 } { 2 4 3 2 } } & { \frac { 6 4 7 } { 1 0 9 4 4 } } \\ { - \frac { 1 9 6 5 } { 1 2 1 6 } } & { - \frac { 3 7 } { 9 6 } } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { \frac { 2 4 7 1 } { 3 6 4 8 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { 7 2 9 1 } { 7 2 9 6 } } \end{array} \right] , \right. } } \\ & { \; \; { \left. \left[ \begin{array} { l l } { \frac { 5 6 9 } { 2 4 3 2 } } & { - \frac { 6 4 7 } { 1 0 9 4 4 } } \\ { \frac { 1 9 6 5 } { 1 2 1 6 } } & { - \frac { 3 7 } { 9 6 } } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { - \frac { 1 } { 1 2 } } & { \frac { 1 6 9 9 } { 4 3 7 7 6 } } \\ { - \frac { 6 7 9 } { 1 2 1 6 } } & { \frac { 4 2 2 5 } { 1 4 5 9 2 } } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { \frac { 3 9 } { 2 4 3 2 } } & { - \frac { 1 3 } { 3 6 4 8 } } \\ { \frac { 9 } { 1 5 2 } } & { - \frac { 1 } { 7 6 } } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { - \frac { 1 3 } { 2 4 3 2 } } & { \frac { 9 1 } { 2 9 1 8 4 } } \\ { - \frac { 3 } { 1 5 2 } } & { \frac { 7 } { 6 0 8 } } \end{array} \right] \right\} _ { [ - 4 , 4 ] } } , } \\ { \tilde { b } = } & { { \left\{ \left[ \begin{array} { l l } { - \frac { 1 } { 4 8 6 4 } } & { - \frac { 7 } { 5 8 3 6 8 } } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { \frac { 3 } { 4 8 6 4 } } & { \frac { 1 } { 7 2 9 6 } } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 2 4 } } & { \frac { 2 1 6 1 } { 8 7 5 5 2 } } \\ { - \frac { 6 7 9 } { 4 8 6 4 } } & { - \frac { 4 7 5 3 } { 5 8 3 6 8 } } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { - \frac { 6 1 1 } { 4 8 6 4 } } & { - \frac { 6 0 5 } { 2 1 8 8 8 } } \\ { \frac { 2 0 3 7 } { 4 8 6 4 } } & { \frac { 6 7 9 } { 7 2 9 6 } } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { \frac { 1 2 1 9 } { 7 2 9 6 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { 7 4 6 9 } { 2 9 8 1 4 } } \end{array} \right] , \right. } } \\ & { \; \; { \left. \left[ \begin{array} { l l } { - \frac { 6 1 1 } { 4 8 6 4 } } & { \frac { 6 0 5 } { 2 1 8 8 8 } } \\ { - \frac { 2 0 3 7 } { 4 8 6 4 } } & { \frac { 6 7 9 } { 7 2 9 6 } } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 2 4 } } & { - \frac { 2 1 6 1 } { 8 7 5 5 2 } } \\ { \frac { 6 7 9 } { 4 8 6 4 } } & { - \frac { 4 7 5 3 } { 5 8 3 6 8 } } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { \frac { 3 } { 4 8 6 4 } } & { - \frac { 1 } { 7 2 9 6 } } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { - \frac { 1 } { 4 8 6 4 } } & { \frac { 7 } { 5 8 3 6 8 } } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \right\} _ { [ - 4 , 4 ] } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | | r e m | | _ { \infty } \leq } & { \sum _ { k = 1 } ^ { 2 } | | | ( \widehat { \Theta } ^ { [ k ] } - \Theta _ { 0 } ^ { [ k ] } ) | | | _ { 1 } | | ( \widehat { \Sigma } ^ { [ k ] } - \Sigma _ { 0 } ^ { [ k ] } ) | | _ { \infty } | | | \Theta _ { 0 } ^ { [ k ] } | | | _ { 1 } } \\ & { + ( \lambda + \rho ) \sum _ { k = 1 } ^ { 2 } | | | ( \widehat { \Theta } ^ { [ k ] } - \Theta _ { 0 } ^ { [ k ] } ) | | | _ { 1 } | | \widehat { Z } ^ { [ k ] } | | _ { \infty } | | | \widehat { \Theta } ^ { [ k ] } | | | _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { P r } \left( \alpha _ { x , i _ { x } } ^ { \top } x _ { k } \leq \beta _ { x , i _ { x } } \right) \geq 1 - p _ { x , i _ { x } } , ~ ~ i _ { x } = 1 , \ldots , N _ { s } , } \\ { \operatorname* { P r } \left( \alpha _ { u , i _ { u } } ^ { \top } u _ { k } \leq \beta _ { u , i _ { u } } \right) \geq 1 - p _ { u , i _ { u } } , ~ ~ i _ { u } = 1 , \ldots , N _ { c } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \frac { r ^ { 2 } A _ { 1 } \sin \theta } { \sin ^ { 2 } ( r A _ { 1 } \cos \theta ) } ) _ { \theta } } & { = r ^ { 2 } A _ { 1 } \frac { \sin ^ { 2 } ( r A _ { 1 } \cos \theta ) \cos \theta - r A _ { 1 } \sin ^ { 2 } \theta \sin ( 2 r A _ { 1 } \cos \theta ) } { \sin ^ { 4 } ( r A _ { 1 } \cos \theta ) } } \\ & { \to \frac { 1 } { A _ { 1 } } > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { A _ { 1 } ^ { m _ { 1 } } A _ { 2 } ^ { m _ { 2 } } \cdots A _ { n } ^ { m _ { n } } } } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \cdots \int _ { 0 } ^ { 1 } \bigg ( \prod _ { i = 1 } ^ { n } d x _ { i } \bigg ) \delta \bigg ( \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } - 1 \bigg ) \frac { \prod _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } ^ { m _ { i } - 1 } } { \big ( \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } A _ { i } \big ) ^ { \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } } } } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \times \frac { \Gamma ( m _ { 1 } + m _ { 2 } + \cdots + m _ { n } ) } { \Gamma ( { m _ { 1 } } ) \Gamma ( { m _ { 2 } } ) \cdots \Gamma ( m _ { n } ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial S _ { 1 } } { \partial y _ { 1 } } = \sqrt { 2 N \beta + e ^ { y _ { 2 } } } \implies S _ { 1 } ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) = y _ { 1 } \sqrt { 2 N \beta + e ^ { y _ { 2 } } } + C _ { 1 } ( y _ { 2 } ) } \\ & { \frac { \partial S _ { 1 } } { \partial y _ { 2 } } = 0 \implies S _ { 1 } ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) = C _ { 2 } ( y _ { 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle v ^ { k _ { 1 } } \rangle _ { \alpha } \times \{ \alpha \} } \\ & { = \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } \mathrm { e n d } _ { \alpha _ { k _ { 1 } } } \, u _ { n } ^ { ( k _ { 1 } ) } \cap ( X \times \{ \alpha \} ) } \\ & { \supseteq \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } \mathrm { e n d } _ { \alpha _ { k _ { 1 } } } \, u _ { n } ^ { ( k _ { 2 } ) } \cap ( X \times \{ \alpha \} ) } \\ & { = \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } \mathrm { e n d } _ { \alpha _ { k _ { 2 } } } \, u _ { n } ^ { ( k _ { 2 } ) } \cap ( X \times \{ \alpha \} ) } \\ & { = \langle v ^ { k _ { 2 } } \rangle _ { \alpha } \times \{ \alpha \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \| g _ { i } ( y ) - g _ { i } ( y ^ { \prime } ) \| _ { \ell ^ { 2 } } } & { \leq N ( 1 + | y | + | y ^ { \prime } | ) | y - y ^ { \prime } | , } & { \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } } & { \ y , y ^ { \prime } \in { \mathbb R } ^ { 2 } , \ i \in \{ 1 , 2 \} } \\ { \| g _ { 1 } ( y ) \| _ { \ell ^ { 2 } } ^ { 2 } } & { \leq N ( 1 + y _ { 1 } ) + \frac { y _ { 1 } y _ { 2 } } { 5 } , } & { \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } } & { \ y = ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) \in [ 0 , \infty ) ^ { 2 } , } \\ { \| g _ { 2 } ( y ) \| _ { \ell ^ { 2 } } ^ { 2 } } & { \leq N ( 1 + y _ { 1 } + y _ { 2 } + y _ { 1 } y _ { 2 } ) , } & { \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } } & { \ y = ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) \in [ 0 , \infty ) ^ { 2 } , } \end{array}
{ \mathcal D } _ { b ^ { - } } ^ { \alpha } ( \beta { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \rho ) ( x ) = I _ { b ^ { - } } ^ { 1 - \alpha } \left( \frac { d } { d x } ( \beta { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \rho ) ( x ) \right) = I _ { b ^ { - } } ^ { 1 - \alpha } \left( ( \beta { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \rho ) ^ { \prime } ( x ) \right) .
\begin{array} { r l } & { \begin{array} { r l } & { \nabla \cdot { \mathrm { \boldmath ~ n ~ } } = \frac { 1 } { H _ { \xi } H _ { \phi } } \biggl [ \frac { \partial } { \partial \xi } \left( n _ { \xi } H _ { \phi } \right) + \frac { \partial } { \partial \phi } \left( n _ { \phi } H _ { \xi } \right) + \frac { \partial } { \partial z } \left( n _ { z } H _ { \xi } H _ { \phi } \right) \biggr ] } \\ & { = - \frac { 1 } { H _ { \xi } H _ { \phi } } \bigg [ \bigg ( \frac { H _ { \phi } } { H _ { \xi } } \frac { \partial \eta } { \partial \xi } \bigg ) ^ { 2 } + 1 + \bigg ( H _ { \phi } \frac { \partial \eta } { \partial z } \bigg ) ^ { 2 } \bigg ] ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \bigg [ \frac { \partial } { \partial \xi } \bigg ( \frac { H _ { \phi } ^ { 2 } } { H _ { \xi } } \frac { \partial \eta } { \partial \xi } \bigg ) - 2 H _ { \xi } ^ { 2 } \frac { \sin \phi } { \sin \phi _ { 0 } } + H _ { \xi } H _ { \phi } ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \eta } { \partial z ^ { 2 } } \bigg ] } \\ & { - \frac { 1 } { 2 H _ { \xi } H _ { \phi } } \bigg [ \bigg ( \frac { H _ { \phi } } { H _ { \xi } } \frac { \partial \eta } { \partial \xi } \bigg ) ^ { 2 } + 1 + \bigg ( H _ { \phi } \frac { \partial \eta } { \partial z } \bigg ) ^ { 2 } \bigg ] ^ { - \frac { 3 } { 2 } } \Bigg [ - \frac { H _ { \phi } ^ { 2 } } { H _ { \xi } } \frac { \partial \eta } { \partial \xi } \biggl \{ 2 \frac { H _ { \phi } } { H _ { \xi } } \frac { \partial \eta } { \partial \xi } \frac { \partial } { \partial \xi } \bigg ( \frac { H _ { \phi } } { H _ { \xi } } \frac { \partial \eta } { \partial \xi } \bigg ) } \\ & { + 2 H _ { \phi } \frac { \partial \eta } { \partial z } \frac { \partial } { \partial \xi } \bigg ( H _ { \phi } \frac { \partial \eta } { \partial z } \bigg ) \biggr \} + \frac { H _ { \xi } } { H _ { \phi } } \biggl \{ 2 \frac { H _ { \phi } } { H _ { \xi } } \frac { \partial \eta } { \partial \xi } \frac { \partial } { \partial \phi } \bigg ( \frac { 1 } { H _ { \xi } } \frac { \partial \eta } { \partial \xi } \bigg ) + 2 H _ { \phi } \frac { \partial \eta } { \partial z } \frac { \partial } { \partial \phi } \bigg ( H _ { \phi } \frac { \partial \eta } { \partial z } \bigg ) \biggr \} } \\ & { - H _ { \xi } H _ { \phi } \frac { \partial \eta } { \partial z } \biggl \{ 2 \frac { H _ { \phi } } { H _ { \xi } } \frac { \partial \eta } { \partial \xi } \frac { H _ { \phi } } { H _ { \xi } } \frac { \partial ^ { 2 } \eta } { \partial \xi \partial z } + 2 H _ { \phi } ^ { 2 } \frac { \partial \eta } { \partial z } \frac { \partial ^ { 2 } \eta } { \partial z ^ { 2 } } \biggr \} \Bigg ] . } \end{array} } \end{array}
\ddot { \varphi } _ { i } ( u ^ { \prime \prime } v ^ { \prime \prime } v ^ { \prime \prime } u ^ { \prime \prime } u ^ { \prime \prime } v ^ { \prime \prime } ) = \ddot { \varphi } _ { i } ( u ^ { \prime \prime } v ^ { \prime \prime } u ^ { \prime \prime } v ^ { \prime \prime } u ^ { \prime \prime } v ^ { \prime \prime } ) = 3 \ddot { \varphi } _ { i } ( u ^ { \prime \prime } ) + 3 \ddot { \varphi } _ { i } ( v ^ { \prime \prime } )
\begin{array} { r l } { R _ { 0 0 } = } & { \Gamma _ { \, \, \, 0 0 , \nu } ^ { \nu } - \Gamma _ { \, \, \, 0 \nu , 0 } ^ { \nu } + \Gamma _ { \, \, \, 0 0 } ^ { \lambda } \Gamma _ { \, \, \, \lambda \nu } ^ { \nu } - \Gamma _ { \, \, \, 0 \lambda } ^ { \nu } \Gamma _ { \, \, \, \nu 0 } ^ { \lambda } } \\ { = } & { - \frac { 1 } { 2 } \partial _ { 0 } ( g ^ { i i } \partial _ { 0 } g _ { i i } ) - \frac { 1 } { 4 } ( g ^ { i i } \partial _ { 0 } g _ { i i } ) ^ { 2 } } \\ { = } & { - 3 \, \frac { \ddot { a } } { a } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( 1 - \gamma ) [ \mathcal { R } ( \widehat { f } _ { \lambda } ) - \mathcal { R } ( f ^ { \star } ) ] - \frac { C _ { 2 } } { \gamma } \zeta ( \delta ) } & { \leq \mathcal { R } _ { \mathrm { i n } } ( \widehat { f } _ { \lambda } ) - \mathcal { R } _ { \mathrm { i n } } ( f ^ { \star } ) } \\ & { \leq ( 1 + \gamma ) [ \mathcal { R } ( \widehat { f } _ { \lambda } ) - \mathcal { R } ( f ^ { \star } ) ] + \frac { C _ { 2 } } { \gamma } \zeta ( \delta ) . } \end{array}
\mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } \left[ \left\langle \mathbf { v } _ { 2 } , I + \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } \frac { \theta ^ { k } } { k ! } T ( x ) ^ { k } \mathbf { v } _ { 1 } \right\rangle \right] = \left\langle \mathbf { v } _ { 2 } , \mathbf { v } _ { 1 } \right\rangle + \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } \frac { \theta ^ { k } } { k ! } \left\langle \mathbf { v } _ { 2 } , \mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } [ T ( x ) ^ { k } ] \mathbf { v } _ { 1 } \right\rangle .
\begin{array} { r l } { A ^ { \prime } ( \omega _ { a } ) } & { \equiv \frac { t \left( 1 + r \right) \cos \left( \frac { \omega _ { a } L } { 2 c } \right) } { 1 + 2 r \cos ( \frac { \omega _ { a } L } { c } ) + r ^ { 2 } } \, , } \\ { B ^ { \prime } ( \omega _ { a } ) } & { \equiv \frac { t \left( 1 - r \right) \sin \left( \frac { \omega _ { a } L } { 2 c } \right) } { 1 + 2 r \cos ( \frac { \omega _ { a } L } { c } ) + r ^ { 2 } } \, , } \\ { C ^ { \prime } ( \omega ) } & { \equiv 1 + \frac { 2 ( 1 + r ) \cos ( \frac { \omega L } { 2 c } ) } { 1 + 2 r \cos ( \frac { \omega L } { c } ) + r ^ { 2 } } \, , } \\ { D ^ { \prime } ( \omega ) } & { \equiv \frac { 2 ( 1 - r ) \sin ( \frac { \omega L } { 2 c } ) } { 1 + 2 r \cos ( \frac { \omega L } { c } ) + r ^ { 2 } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { \xi _ { 0 } } \xi _ { t , 0 } ( x , \xi _ { 0 } ) } & { = \Big ( \partial _ { \xi _ { 0 } } \xi _ { 0 , t } ( \varphi _ { t , 0 } ( x ) , \xi _ { t , 0 } ( x , \xi _ { 0 } ) ) \Big ) ^ { - 1 } } \\ & { = \Big ( \xi _ { 0 , t } ( \varphi _ { t , 0 } ( x ) , 1 ) \Big ) ^ { - 1 } = \xi _ { t , 0 } ( x , 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \left\langle { N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } ^ { \circ } G _ { 1 } } \right\rangle \left\langle { G _ { 1 } A _ { 1 } G _ { 2 } A _ { 2 } N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } } \right\rangle \right| } & { \prec \frac { \rho _ { 1 } } { \sqrt { N L } } \left( \Lambda _ { k } \Lambda _ { k + 1 } + \frac { \Lambda _ { k } } { L \sqrt { \eta _ { * } } } + \frac { \Lambda _ { k + 4 } } { L ^ { 2 } } \right) } \\ & { \prec \frac { \Lambda _ { k + 4 } ^ { 2 } } { \sqrt { L } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Lambda _ { \mathcal { E } } } & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { \mathbb { H } _ { \alpha } } \int _ { \mathbb { H } _ { 3 } } \int _ { \mathbb { B } _ { 3 } } \omega ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \eta } ) \ \textup { d } x _ { 3 } \textup { d } x _ { 3 } ^ { \prime } \textup { d S } _ { \alpha } = } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { \mathbb { H } _ { \alpha } } \int _ { - \frac { \textup { H } } { 2 } } ^ { \frac { \textup { H } } { 2 } } \int _ { - \frac { \textup { H } } { 2 } } ^ { \frac { \textup { H } } { 2 } } \omega ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \eta } ) \textup { d } x _ { 3 } \textup { d } x _ { 3 } ^ { \prime } \textup { d S } _ { \alpha } = \int _ { \mathbb { H } _ { \alpha } } \omega _ { \textup { r e d } } \textup { d S } _ { \alpha } \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { j } ^ { d } = } & { ( A - B K _ { j + 1 } ) ^ { \prime } P _ { j } ^ { d } ( A - B K _ { j + 1 } ) } \\ & { + ( \bar { A } - \bar { B } K _ { j + 1 } ) ^ { \prime } P _ { j } ^ { 0 } ( \bar { A } - \bar { B } K _ { j + 1 } ) + K _ { j } ^ { \prime } R K _ { j } + Q } \\ & { + K _ { j + 1 } ^ { \prime } ( A P _ { j } ^ { d } B + \bar { A } P _ { j } ^ { 0 } \bar { B } ) + ( A P _ { j } ^ { d } B + \bar { A } P _ { j } ^ { 0 } \bar { B } ) ^ { \prime } K _ { j + 1 } } \\ & { - K _ { j + 1 } ^ { \prime } ( N _ { j + 1 } - R ) K _ { j + 1 } - K _ { j } ^ { \prime } ( A P _ { j } ^ { d } B + \bar { A } P _ { j } ^ { 0 } \bar { B } ) } \\ & { - ( A P _ { j } ^ { d } B + \bar { A } P _ { j } ^ { 0 } \bar { B } ) ^ { \prime } K _ { j } + K _ { j } ^ { \prime } ( N _ { j + 1 } - R ) K _ { j } } \\ { = } & { ( A - B K _ { j + 1 } ) ^ { \prime } P _ { j } ^ { d } ( A - B K _ { j + 1 } ) } \\ & { + ( \bar { A } - \bar { B } K _ { j + 1 } ) ^ { \prime } P _ { j } ^ { 0 } ( \bar { A } - \bar { B } K _ { j + 1 } ) + Q } \\ & { + 2 K _ { j + 1 } ^ { \prime } N _ { j + 1 } K _ { j + 1 } - K _ { j + 1 } ^ { \prime } ( N _ { j + 1 } - R ) K _ { j + 1 } } \\ & { - K _ { j } ^ { \prime } N _ { j + 1 } K _ { j + 1 } - K _ { j + 1 } ^ { \prime } N _ { j + 1 } K _ { j } + K _ { j } ^ { \prime } N _ { j + 1 } K _ { j } } \\ { = } & { ( A - B K _ { j + 1 } ) ^ { \prime } P _ { j } ^ { d } ( A - B K _ { j + 1 } ) } \\ & { + ( \bar { A } - \bar { B } K _ { j + 1 } ) ^ { \prime } P _ { j } ^ { 0 } ( \bar { A } - \bar { B } K _ { j + 1 } ) + Q } \\ & { + ( K _ { j + 1 } - K _ { j } ) ^ { \prime } N _ { j + 1 } ( K _ { j + 1 } - K _ { j } ) + K _ { j + 1 } ^ { \prime } R K _ { j + 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l l } { { 8 } + \frac { \lambda h ^ { 2 } } { 5 } } & { - { 1 } - \frac { \lambda h ^ { 2 } } { 1 0 } } \\ { { - 1 6 } + \frac { 8 \lambda h ^ { 2 } } { 5 } } & { { 8 } + \frac { \lambda h ^ { 2 } } { 5 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { u _ { 2 k - 1 } } \\ { u _ { 2 k } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { - { 8 } - \frac { \lambda h ^ { 2 } } { 5 } } & { { 1 4 } - \frac { 4 \lambda h ^ { 2 } } { 5 } } \\ { 0 } & { - { 8 } - \frac { \lambda h ^ { 2 } } { 5 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { u _ { 2 k - 3 } } \\ { u _ { 2 k - 2 } } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { { 1 } + \frac { \lambda h ^ { 3 } } { 1 0 } } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { u _ { 2 k - 5 } } \\ { u _ { 2 k - 4 } } \end{array} \right) . } \end{array}
\frac { \partial \mathbf { p } } { \partial G } \perp \mathbf { p } , \ \frac { \partial \mathbf { p } } { \partial g } \perp \mathbf { p } , \ \frac { \partial \mathbf { p } } { \partial L } \parallel \mathbf { p } , \ \frac { \partial \mathbf { p } } { \partial \ell } ( = O ( 1 / \chi ) ) \parallel p , \ \frac { \partial \mathbf { x } } { \partial G } \perp \mathbf { x } , \ \frac { \partial \mathbf { x } } { \partial g } \perp \mathbf { x } , \ \frac { \partial \mathbf { x } } { \partial L } \parallel \mathbf { x } , \ \frac { \partial \mathbf { x } } { \partial \ell } ( = O ( 1 ) ) \parallel \mathbf { x } .
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ a , b ] } \operatorname* { s u p } _ { \gamma ( t ) \in \mathcal { D } } \| \widehat { \eta } _ { \gamma } ( t ) - \eta _ { \gamma } ^ { * } ( t ) \| _ { \infty } = O _ { p } \left( ( q _ { n } + 1 ) e ^ { 6 q _ { n } } \kappa _ { n } \sqrt { \frac { \log n h _ { 1 } } { n h _ { 1 } } } \right) = o _ { p } ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta _ { 0 } } & { = \operatorname { a t a n 2 } ( x \cos \bar { \varphi } + y \sin \bar { \varphi } , z ) \pm i \ln \left( \lambda + \sqrt { \lambda ^ { 2 } - 1 } \right) , } \\ { \lambda } & { = \frac { 1 } { 2 a } \frac { a ^ { 2 } + x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } { \sqrt { ( x \cos \bar { \varphi } + y \sin \bar { \varphi } ) ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textnormal { G C Y B } ( r ) } & { = \sum _ { k , \ell \in \mathbb { N } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { d } r _ { \ell , j } r _ { k , i } \otimes b _ { i } z _ { 2 } ^ { k } \otimes b _ { j } z _ { 3 } ^ { \ell } } \\ & { - \sum _ { k \in \mathbb { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { d } r _ { k , i } \otimes \left( z _ { 2 } ^ { k } b _ { i } ^ { ( 1 ) } r ( z _ { 2 } , z _ { 3 } ) - \overline { { r } } ( z _ { 2 } , z _ { 3 } ) b _ { i } ^ { ( 2 ) } z _ { 3 } ^ { k } \right) } \end{array}
\sum _ { i \in [ k ] } \lambda _ { i } ^ { 2 } \left\| ( \Pi _ { \cal F } ^ { ( \mu _ { \Xi } ) } - \Pi _ { \hat { \cal F } } ^ { ( \mu _ { \Xi } ) } ) f _ { i } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \mu _ { \Xi } ) } ^ { 2 } - \sum _ { k < i \leq k _ { \lambda } } \lambda _ { i } ^ { 2 } \left\| \Pi _ { \hat { \cal F } } ^ { ( \mu _ { \Xi } ) } f _ { i } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \mu _ { \Xi } ) } ^ { 2 } \leq { \cal L } ( \hat { \Theta } ; \lambda ) - { \cal L } ( \Theta _ { * } ; \lambda ) ,
\begin{array} { r l r } { \mathcal { G } ( g , t ) } & { = } & { \langle \varphi \vert u _ { \uparrow } ^ { \dagger } u _ { \downarrow } \vert \varphi \rangle _ { c } } \\ & { = } & { \sum _ { m , n } c _ { m } ^ { \uparrow * } c _ { n } ^ { \downarrow } \exp [ i \omega t ( m \sqrt { ( 1 + g ^ { 2 } ) ( 1 + \gamma ^ { 2 } g ^ { 2 } ) } } \\ & { } & { - n \sqrt { ( 1 - g ^ { 2 } ) ( 1 - \gamma ^ { 2 } g ^ { 2 } ) } ) ] \langle \psi _ { m } ^ { \uparrow } \vert \psi _ { m } ^ { \downarrow } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle M _ { H } ^ { H | K } ( f ) \rangle _ { T } } & { = \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { U _ { H } } \left( \frac { 1 } { K _ { H } } \mathcal { I } _ { H } ( t , u ) f _ { t , u } ^ { H } \right) ^ { 2 } \mu _ { H } ( d u ) d t } \\ & { = \frac { \lambda _ { H } } { K _ { H } } \int _ { 0 } ^ { T } \! \! \! \langle \zeta _ { t } ^ { H | K } , \mathbf { s } \mathbf { i } ( ( f _ { t } ^ { 2 } ) ^ { \mathcal { I } } - 2 f _ { t } ^ { \mathcal { I } } f _ { t } + f _ { t } ^ { 2 } ) \rangle d t , } \end{array}
{ \left\| w \right\| _ { { L ^ { \infty } } ( { B _ { r } } ( \mathbf y ) ) } } \le { C _ { s } } { { \mathcal E } _ { 2 } } \left\| w \right\| _ { { L ^ { \infty } } ( { B _ { r } } ( \mathbf x ) ) } ^ { \beta ^ { d _ { \gamma } / r + 1 } } \le { C _ { s } } { { \mathcal E } } \left\| w \right\| _ { { L ^ { \infty } } ( { B _ { r } } ( \mathbf x ) ) } ^ { \beta ^ { d _ { \gamma } / r + 1 } } ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \bar { u } _ { j } } { \partial t } + \bar { u } _ { i } \frac { \partial \bar { u } _ { j } } { \partial x _ { i } } + \frac { \partial } { \partial x _ { i } } \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } } & { = - \frac { \partial \bar { p } } { \partial x _ { j } } + \frac { 2 } { R e } \frac { \partial \bar { s } _ { i j } } { \partial x _ { i } } } \\ { \frac { \partial u _ { j } ^ { \prime } } { \partial t } + \bar { u } _ { i } \frac { \partial u _ { j } ^ { \prime } } { \partial x _ { i } } + u _ { i } ^ { \prime } \frac { \partial u _ { j } ^ { \prime } } { \partial x _ { i } } } & { = - u _ { i } ^ { \prime } \frac { \partial \bar { u } _ { j } } { \partial x _ { i } } + \frac { \partial } { \partial x _ { i } } \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } - \frac { \partial p ^ { \prime } } { \partial x _ { j } } + \frac { 2 } { R e } \frac { \partial s _ { i j } ^ { \prime } } { \partial x _ { i } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| \left( G _ { \infty } ( \psi ) - G _ { \infty } ( \psi _ { n } ) \right) \right| \, | \nabla v | \leq C | \nabla \psi | \in L ^ { 1 } ( [ 0 , T ) ; L ^ { 2 } ( { \mathbf R } ^ { 3 } ) ) , } \\ & { \left| \left( G _ { q } ( \psi ) - G _ { q } ( \psi _ { n } ) \right) \right| \, | \nabla v | \leq C \left( | \psi | ^ { 2 \alpha } + | \phi | ^ { 2 \alpha } \right) | \nabla \psi | \in L ^ { q ^ { \prime } } ( [ 0 , T ) ; L ^ { r ^ { \prime } } ( { \mathbf R } ^ { 3 } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { s } ( \xi , \overline { { \xi } } ) } & { = | q | ^ { 1 / 2 } \left( 2 e - { \frac { 4 } { e ^ { 3 } } } \cos ( 2 t ) - { \frac { 5 8 } { e ^ { 7 } } } \cos ( 4 t ) - { \frac { 2 9 4 8 } { 3 e ^ { 1 1 } } } \cos ( 6 t ) + \cdots \right) } \\ & { + | q | ^ { 3 / 2 } \left( - { \frac { e ^ { 3 } } { 3 } } - { \frac { 2 } { 3 e } } \cos ( 2 t ) + { \frac { 1 9 } { 3 e ^ { 5 } } } \cos ( 4 t ) - { \frac { 2 7 0 } { e ^ { 9 } } } \cos ( 6 t ) + \cdots \right) } \\ & { + | q | ^ { 5 / 2 } \left( { \frac { 7 e ^ { 5 } } { 1 8 0 } } + { \frac { 1 3 e } { 9 0 } } \cos ( 2 t ) + { \frac { 9 e } { 2 0 e ^ { 3 } } } \cos ( 4 t ) + { \frac { 1 3 0 9 7 } { 2 7 0 e ^ { 7 } } } \cos ( 6 t ) + \cdots \right) + \cdots \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P \left( X = X _ { i } \right) = \frac { e ^ { - \beta _ { i } \int ^ { X _ { i } } d \tilde { X } _ { i } S ( \mathbf { Y } | X = \tilde { X } _ { i } ) - \beta _ { i } ^ { \prime } X _ { i } } } { Z _ { i } } = f _ { 0 } \exp { \left( \int ^ { X _ { i } } d \tilde { X } _ { i } \frac { K _ { 2 } \left( \tilde { X } _ { i } \right) } { \sigma _ { 2 2 } \left( \tilde { X } _ { i } \right) } - \ln \sigma _ { 2 2 } \left( X _ { i } \right) \right) } , } \\ & { \implies \frac { e ^ { - \beta _ { i } \int ^ { X _ { i } } d \tilde { X } _ { i } S ( \mathbf { Y } | X = \tilde { X } _ { i } ) - \beta _ { i } ^ { \prime } X _ { i } } } { Z _ { i } } = \tilde { f } \exp { \left( \frac { 1 } { \sigma _ { 2 2 } } \int ^ { X _ { i } } K _ { 2 } \left( \tilde { X _ { i } } \right) d \tilde { X _ { i } } \right) } , } \\ & { \implies - \beta _ { i } \int ^ { X _ { i } } d \tilde { X } _ { i } S ( \mathbf { Y } | X = \tilde { X } _ { i } ) - \beta _ { i } ^ { \prime } X _ { i } = \ln \left[ \tilde { f } Z \right] + \frac { 1 } { \sigma _ { 2 2 } } \int ^ { X _ { i } } K _ { 2 } \left( \tilde { X _ { i } } \right) d \tilde { X _ { i } } , } \\ & { \implies K _ { 2 } \left( X _ { i } \right) = - \beta _ { i } \sigma _ { 2 2 } S ( \mathbf { Y } | X = X _ { i } ) - \frac { \beta _ { i } ^ { \prime } } { 2 } X _ { i } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| X _ { d } ( u , h _ { 1 } ) - X _ { d } ( u , h _ { 2 } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } \\ & { \quad = d ! \left( \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \left( \int _ { 0 } ^ { u } f _ { h _ { 1 } } ( s , \mathbf { x } ) - f _ { h _ { 2 } } ( s , \mathbf { x } ) \, d s \right) ^ { 2 } d \mathbf { x } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( { \sf s o u r c e s } ( \mathcal { P } ) \geq \eta \sqrt { x \lambda t } ) \leq } & { \ \mathbb { P } ( { \sf S o } _ { \eta x / 2 } \geq \eta \sqrt { x \lambda t } ) + \mathbb { P } ( { \sf s o u r c e s } ( \mathcal { P } ) \geq \eta \sqrt { x \lambda t } ; \ { \sf S o } _ { \eta x / 2 } < \eta \sqrt { x \lambda t } ) } \\ { \leq } & { \ \mathbb { P } ( { \sf S o } _ { \eta x / 2 } \geq \eta \sqrt { x \lambda t } ) } \\ { + } & { \ \mathbb { P } ( L _ { < } ^ { ( \bar { \alpha } , \bar { p } ) } ( t ) \leq \sqrt { x \lambda t } - x \lambda - \frac { 1 } { 4 } \delta ( \eta / 3 ) \sqrt { x \lambda t } ) } \\ { + } & { \ \mathbb { P } ( \mathrm { c a r d } ( { \sf S i } _ { t } ^ { ( \bar { p } ) } ) \leq \sqrt { x \lambda t } - \frac { 1 } { 4 } \delta ( \eta / 3 ) \sqrt { x \lambda t } ) } \\ { + } & { \ \mathbb { P } ( L _ { = < , \varepsilon } ^ { \star } \geq 2 \sqrt { x \lambda t } - x \lambda - \frac { 1 } { 2 } \delta ( \eta / 3 ) \sqrt { x \lambda t } \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ } \eta / 2 \leq \varepsilon \leq 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \beta _ { 0 } + \alpha \big ( \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } - 2 \beta _ { 0 } \big ) } \\ & { = \log \left( \frac { \theta _ { 0 } } { 1 - \theta _ { 0 } } \right) + \alpha \bigg ( \log \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 1 - \theta _ { 1 } } \right) + \log \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 1 - \theta _ { 2 } } \right) - 2 \log \left( \frac { \theta _ { 0 } } { 1 - \theta _ { 0 } } \right) \bigg ) } \\ & { = \log \left( \frac { \theta _ { 0 } ^ { 1 - 2 \alpha } \theta _ { 1 } ^ { \alpha } \theta _ { 2 } ^ { \alpha } } { ( 1 - \theta _ { 0 } ) ^ { 1 - 2 \alpha } ( 1 - \theta _ { 1 } ) ^ { \alpha } ( 1 - \theta _ { 2 } ) ^ { \alpha } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mathcal { T } _ { \mathcal { U } } ^ { \pi } v ) ( s ) : = } & { \operatorname* { m i n } _ { P \in \mathcal { P } } \sum _ { a } \pi ( a | s ) [ R _ { 0 } ( s , a ) + \gamma \sum _ { s ^ { \prime } } P ( s ^ { \prime } | s , a ) v ( s ^ { \prime } ) ] , } \\ { = } & { \sum _ { a } \pi ( a | s ) [ R _ { 0 } ( s , a ) - \gamma R \operatorname* { m a x } _ { s } v ( s ) + ( 1 - R ) \gamma \sum _ { s ^ { \prime } } P _ { 0 } ( s ^ { \prime } | s , a ) v ( s ^ { \prime } ) ] . } \end{array}
\mathrm { G r } _ { G } ( R ) = \left\{ ( \mathcal { E } , \beta ) \ \bigg | \ \begin{array} { l l } { \mathcal { E } \mathrm { \ e s t \ u n \ } G \mathrm { \ t o r s e u r \ s u r \ } \mathbb { D } _ { R } , } \\ { \beta : \mathcal { E } | _ { \mathbb { D } _ { R } ^ { * } } \simeq \mathcal { E } ^ { 0 } | _ { \mathbb { D } _ { R } ^ { * } } \mathrm { \ e s t \ u n e \ t r i v i a l i s a t i o n } } \end{array} \right\}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { c } \frac { 1 } { 2 ^ { d + 1 } K } \sum _ { j = 1 } ^ { K } \mathbb P ( \widetilde { c } _ { j } \neq c _ { j } ) } & { \geq \frac { 1 } { 2 ^ { d + 1 } } \Phi \left( - \frac { 1 } { \sigma } \sqrt { \frac { n h ^ { d + 2 } } { 2 ( d + 1 ) ( d + 2 ) } } \right) } \\ & { \geq \frac { 1 } { 2 ^ { d + 1 } } \Phi \left( - \sqrt { \frac { \pi } { 2 } \ln \left( \frac { 1 } { 2 ^ { d + 3 } \delta } \right) } \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { D _ { z } \prod _ { \substack { \ell = 1 ; \, \ell \neq n } } ^ { d } \sqrt { \log ( 2 + | j _ { \ell } | + y + 2 ^ { j _ { n } ( 1 - a ) } + z ) } } \\ & { = \sum _ { \substack { \ell = 1 ; \, \ell \neq n } } ^ { d } \, \frac { \prod _ { \substack { i = 1 ; \, i \neq n , \ell } } ^ { d } \sqrt { \log ( 2 + | j _ { i } | + y + 2 ^ { j _ { i } ( 1 - a ) } + z ) } } { 2 \sqrt { \log ( 2 + | j _ { \ell } | + y + 2 ^ { j _ { n } ( 1 - a ) } + z ) } ( 2 + | j _ { \ell } | + y + 2 ^ { j _ { n } ( 1 - a ) } + z ) } } \\ & { \leq \frac { \prod _ { \substack { \ell = 1 ; \, \ell \neq n } } ^ { d } \sqrt { \log ( 2 + | j _ { \ell } | + y + 2 ^ { j _ { n } ( 1 - a ) } + z ) } } { 2 ( 2 + y + 2 ^ { j _ { n } ( 1 - a ) } + z ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega _ { d } ( X ) \cap \Omega _ { c } ( X _ { \Delta x } ) } U _ { \xi } ^ { 2 } ( \xi ) d \xi } & { \leq \int _ { \Omega _ { d } ( X ) \cap \Omega _ { c } ( X _ { \Delta x } ) } U _ { \xi } ( \xi ) \left( U _ { \xi } ( \xi ) - U _ { \Delta x , \xi } ( \xi ) \right) d \xi } \\ & { \leq \left( \int _ { \mathbb { R } } y _ { \xi } V _ { \xi } ( \xi ) d \xi \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| U _ { \xi } - U _ { \Delta x , \xi } \| _ { 2 } } \\ & { \leq \left( \int _ { \mathbb { R } } V _ { \xi } ( \xi ) d \xi \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| U _ { \xi } - U _ { \Delta x , \xi } \| _ { 2 } } \\ & { = \sqrt { F _ { \infty } } \| U _ { \xi } - U _ { \Delta x , \xi } \| _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { m a x } _ { \beta \in \mathbb { R } ^ { | \mathit { F } | } } \frac { \alpha ^ { T } X _ { \mathit { E } } ^ { T } X _ { \mathit { F } } \beta } { \| X _ { \mathit { E } } \alpha \| _ { 2 } \| X _ { \mathit { F } } \beta \| _ { 2 } } } & { = } & { \operatorname* { m a x } _ { \beta \in \mathbb { R } ^ { | \mathit { F } | } } \frac { \alpha ^ { T } X _ { \mathit { E } } ^ { T } X _ { \mathit { F } } ( X _ { \mathit { F } } ^ { T } X _ { \mathit { F } } ) ^ { - 1 / 2 } ( X _ { \mathit { F } } ^ { T } X _ { \mathit { F } } ) ^ { 1 / 2 } \beta } { \| X _ { \mathit { E } } \alpha \| _ { 2 } \| X _ { \mathit { F } } \beta \| _ { 2 } } } \\ & { \leq } & { \operatorname* { m a x } _ { \beta \in \mathbb { R } ^ { | \mathit { F } | } } \frac { \| ( X _ { \mathit { F } } ^ { T } X _ { \mathit { F } } ) ^ { - 1 / 2 } X _ { \mathit { F } } ^ { T } X _ { \mathit { E } } \alpha \| _ { 2 } \| ( X _ { \mathit { F } } ^ { T } X _ { \mathit { F } } ) ^ { 1 / 2 } \beta \| _ { 2 } } { \| X _ { \mathit { E } } \alpha \| _ { 2 } \| X _ { \mathit { F } } \beta \| _ { 2 } } } \\ & { = } & { \frac { \| P _ { \mathit { F } } X _ { \mathit { E } } \alpha \| _ { 2 } } { \| X _ { \mathit { E } } \alpha \| _ { 2 } } } \end{array}
\mathrm { V a r } _ { \omega } \left[ T _ { S _ { \varepsilon n } } ^ { r } \right] = \sum _ { k = 1 } ^ { \varepsilon n } \mathrm { V a r } _ { \omega } T _ { \xi _ { k } } ^ { r } \overset { = } \sum _ { k = 1 } ^ { \varepsilon n } \frac { 2 } { 3 } ( \xi _ { k } ^ { 4 } - \xi _ { k } ^ { 2 } ) \leq \sum _ { k = 1 } ^ { \varepsilon n } \xi _ { k } ^ { 4 } ,
\begin{array} { r } { E _ { \varepsilon _ { n } } ( u _ { \varepsilon _ { n } } ; B _ { \sigma } ( p _ { i } ) ) \geq \pi | d _ { i } | \ln \left( \frac { \sigma } { \varepsilon _ { n } } \right) - C , \quad i = 1 , \ldots , I , } \\ { E _ { \varepsilon _ { n } } ( u _ { \varepsilon _ { n } } ; B _ { \sigma } ( q _ { j } ) ) \geq \frac { \pi } { 2 } | D _ { j } | \ln \left( \frac { \sigma } { \varepsilon _ { n } } \right) - C , \quad j = 1 , \ldots , J . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { t } ^ { Z ^ { i } } | _ { x } ( V ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow + \infty } \phi _ { t } ^ { Z ^ { i } } | _ { x _ { n } } \left( \mathrm { i m } \, \mathrm { d } _ { x _ { n } } ^ { ( i + 1 ) } \right) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow + \infty } \left( \mathrm { i m } \, { \mathrm { d } } _ { \phi _ { t } ^ { X } ( x _ { n } ) } ^ { ( i + 1 ) } \right) \in \pi ^ { - 1 } \left( \phi _ { t } ^ { X } ( x ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textnormal { V a r } \left( \sum _ { i } s _ { i } \mathbf { 1 } _ { i \not \in r } \right) } & { = p ( 1 - p ) \sum _ { i } s _ { i } ^ { 2 } - q \sum _ { i \ne j } s _ { i } s _ { j } } \\ & { = \left( p ( 1 - p ) + q \right) \sum _ { i } s _ { i } ^ { 2 } - q \Big ( \sum _ { i } s _ { i } \Big ) ^ { 2 } } \\ & { \le K \left( p ( 1 - p ) + q \right) , } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } \lbrack { \sigma } _ { ^ 2 \mathrm { P } ; ^ { 2 S _ { f } + 1 } L _ { f } } ^ { + { M } _ { { L } _ { i } } ; { M } _ { { L } _ { f } } } / { \sigma } _ { ^ 2 \mathrm { P } } ^ { + { M } _ { { L } _ { i } } } + { \sigma } _ { ^ 2 \mathrm { P } ; ^ { 2 S _ { f } + 1 } L _ { f } } ^ { - { M } _ { { L } _ { i } } ; { M } _ { { L } _ { f } } } / { \sigma } _ { ^ 2 \mathrm { P } } ^ { - { M } _ { { L } _ { i } } } \rbrack
\begin{array} { r l } & { \widetilde { Q } ^ { i } ( s , a ^ { 1 } , a ^ { 2 } ) = r ^ { i } ( s , a ^ { 1 } , a ^ { 2 } ) + \gamma _ { i } \sum _ { s ^ { \prime } \in S } \overline { { \pi } } _ { * } ^ { 2 } ( s ^ { \prime } ) \overline { { \pi } } _ { * } ^ { 2 } ( s ^ { \prime } ) \widetilde { Q } ^ { i } ( s ^ { \prime } ) p ( s ^ { \prime } | s , a ^ { 1 } , a ^ { 2 } ) \ , } \end{array}
\| F \| _ { X _ { \mathrm { l o c } } ^ { \theta , \beta } } = \operatorname* { i n f } \big \{ \| \widetilde { F } \| _ { X ^ { \theta , \beta } } : \widetilde { F } = F \mathrm { \ f o r \ } 0 \leq t _ { j } \leq 1 \big \} , \quad \| F \| _ { Y _ { \mathrm { l o c } } ^ { \theta } } : = \operatorname* { s u p } _ { ( k _ { j } ^ { 0 } ) } \| F \cdot \mathbf { 1 } _ { | k _ { j } - k _ { j } ^ { 0 } | \leq 1 \, ( \forall j ) } \| _ { X _ { \mathrm { l o c } } ^ { \theta , 0 } } .
\begin{array} { r } { \hat { w } _ { E } ( y , t , z ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { M ^ { Y } \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \hat { p } _ { 1 } e ^ { - 2 \beta } } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) ( M ^ { Y } ) ^ { - 1 } } & { \mathrm { o n ~ Y _ 6 ~ } , } \\ { M _ { - } ^ { Y } \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { \hat { p } _ { 2 } e ^ { 2 \beta } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) ( M _ { + } ^ { Y } ) ^ { - 1 } } & { \mathrm { o n ~ Y _ 7 ~ } , } \\ { 0 } & { \mathrm { o n ~ Y _ 5 ~ \cup ~ Y _ 8 ~ } . } \end{array} \right. } \end{array}
H _ { \textrm { t o t } } = \omega _ { 1 } \sigma _ { \textrm { e } } + ( \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } ) \sigma _ { \textrm { g } _ { 2 } } + \omega _ { \textrm { c } } a ^ { \dagger } a + g ( a ^ { \dagger } \sigma _ { \textrm { g } _ { 1 } \textrm { e } } + \textrm { h . ~ c . } ) + \frac { \Omega } { 2 } ( \sigma _ { \textrm { g } _ { 2 } \textrm { e } } e ^ { i \omega _ { \textrm { p } \mathrm { ' } } t } + \textrm { h . ~ c . } ) ,
\begin{array} { r l } { V ^ { n } ( t , \mathbf { x } ) = \operatorname* { i n f } _ { \alpha = ( \alpha ^ { 1 } , . . . , \alpha ^ { n } ) \in \mathcal { A } ^ { n } } } & { { \mathbb E } \bigg [ \int _ { t } ^ { T } \bigg ( \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } L ( X _ { s } ^ { i } , \alpha ^ { i } ( s , X _ { s } ) ) + F ^ { n } ( \mathbf { X } _ { s } ) \bigg ) d s + G ^ { n } ( \mathbf { X } _ { T } ) \bigg ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( \mathrm { S P 3 } ) : } & { \! \! { \operatorname* { m i n } _ { \{ \hat { P } _ { j } \} , \{ \Tilde { P } _ { i } \} , \{ \Tilde { m } _ { i } \} , { m _ { 0 } } } } \, } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \varepsilon _ { i } ( \Tilde { P } _ { i } , \Tilde { m } _ { i } ) } \\ & { \mathrm { s . t . : } } & { \frac { \Tilde { P } _ { i } ^ { 2 } } { \Tilde { m } _ { i } } + { \frac { 1 } { 2 C _ { i } ^ { ( \tau ) } } m _ { 0 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } C _ { i } ^ { ( \tau ) } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { M } A _ { i , j } ^ { ( \tau ) } \hat { P _ { j } } \right) ^ { 2 } - B _ { i } ^ { ( \tau ) } m _ { 0 } } \leq 0 , } \\ & { \! \! } & { \Tilde { P } _ { i } \geq \sqrt { \frac { \sigma _ { i } ^ { 2 } } { \bar { z } _ { 2 , i } } } , } \\ & { \! \! } & { k _ { i } \Tilde { m _ { i } } \leq \log _ { 2 } ( 1 + \Tilde { P _ { i } } ^ { 2 } \frac { \bar { z } _ { 2 , i } } { \sigma _ { i } ^ { 2 } } ) , } \\ & { \! \! } & { \sum _ { j = 1 } ^ { M } \frac { 1 } { \hat { P _ { j } } } \leq P _ { \mathrm { { t o t a l } } } , } \\ & { \! \! } & { { \hat { P _ { j } } } \geq \frac { 1 } { P _ { \mathrm { m a x } } } , } \\ & { \! \! } & { m _ { 0 } + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { \Tilde { m _ { i } } } \leq m _ { \mathrm { t o t a l } } . } \end{array}
\begin{array} { l c c c l } { L ( \mathcal { M } ( t , \vec { y } ) ) } & { = } & { L } & { + } & { L ^ { \prime } ( M ^ { \prime } y ) + \frac { 1 } { 2 } L ^ { \prime \prime } ( M ^ { \prime } y ) ( M ^ { \prime } y ) + \frac { 1 } { 2 } L ^ { \prime } \underbrace { ( M ^ { \prime \prime } y y ) } _ { = 0 } } \\ & & & { + } & { t L ^ { \prime } \dot { M } + t L ^ { \prime } ( \dot { M } ^ { \prime } y ) } \\ & & & { + } & { t \Big [ \frac { 1 } { 2 } L ^ { \prime \prime } ( \dot { M } ^ { \prime } y ) ( M ^ { \prime } y ) + \frac { 1 } { 2 } L ^ { \prime \prime } ( M ^ { \prime } y ) ( \dot { M } ^ { \prime } y ) \Big ] } \\ & & & { + } & { t \cdot \frac { 1 } { 2 } L ^ { \prime } ( \dot { M } ^ { \prime \prime } y y ) } \\ & & & { + } & { \{ \mathrm { h i g h e r ~ o r d e r ~ t e r m s } \} \, , } \end{array}
N _ { j } \stackrel { \approx _ { \delta } } | \mathcal { T } _ { j - 1 } ( \mathbf { q } _ { j - 1 } ) | _ { \Delta } \stackrel { \approx _ { \delta } } | \widehat { \mathcal { T } } _ { j - 1 } ( \mathbf { q } _ { j - 1 } ) | _ { \Delta } \leq | \mathcal { T } _ { j } ( \mathbf { q } _ { j } ) | _ { \Delta } \stackrel { \approx _ { \delta } } N _ { j + 1 } .
\begin{array} { r l } { \widehat { \overline { { f ( x , y ) } } } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) } & { = \int e ^ { i y k _ { 2 } } \overline { { f } } ( y ) \ d y } \\ & { = \int e ^ { i y k _ { 2 } } \left( \frac { 1 } { l } \int _ { 0 } ^ { l } f ( x , y ) \ d x \right) d y } \\ & { = \frac { 1 } { l } \int _ { 0 } ^ { l } \left( \int e ^ { i y k _ { 2 } } f ( x , y ) \ d y \right) d x } \\ & { = \frac { 1 } { l } \int _ { 0 } ^ { l } \widehat { f } ( 0 , k _ { 2 } ) \ d x } \\ & { = \widehat { f } ( 0 , k _ { 2 } ) \frac { 1 } { l } \int _ { 0 } ^ { l } d x = \widehat { f } ( 0 , k _ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { c _ { m } ( \boldsymbol { x } ) = \varphi _ { m } ( \boldsymbol { x } ) - \frac { | \Omega | } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left( \sum _ { k = 1 } ^ { K } p _ { k } ( \mathbf { x } _ { m } ) p _ { k } ( \mathbf { x } _ { n } ) \right) \varphi _ { n } ( \boldsymbol { x } ) + \frac { | \Omega | } { N } \sum _ { k = 1 } ^ { K } p _ { k } ( \mathbf { x } _ { m } ) p _ { k } ( \boldsymbol { x } ) . } \end{array}
\frac { \mathbb { E } \left[ | \zeta _ { t } ^ { \tau _ { j } } | \textbf { 1 } _ { A } \textbf { 1 } _ { B } \right] } { \mathbb { P } ( A \cap B ) } \leq \frac { \mathbb { E } \left[ | \zeta _ { t } ^ { \tau _ { j } } | \textbf { 1 } _ { A } \right] } { \mathbb { P } ( A ) - \mathbb { P } ( B ^ { C } \cap A ) } = \frac { \mathbb { E } \left[ | \zeta _ { t } ^ { \tau _ { j } } | | A \right] } { 1 - \mathbb { P } ( B ^ { C } | A ) } \le 2 \mathbb { E } \left[ | \zeta _ { t } ^ { \tau _ { j } } | \Big | A \right] ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } \ c ^ { T } x } & { + \frac { 1 } { 2 } x ^ { T } Q x } \\ { \mathrm { s . t . } \ \left[ \begin{array} { l l l } { I } & { 0 } & { A } \\ { 0 } & { I } & { - A } \end{array} \right] } & { \left[ \begin{array} { l } { x ^ { \prime } } \\ { x ^ { \prime \prime } } \\ { x } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { b } \\ { - b } \end{array} \right] } \\ { x \geq 0 , \ x ^ { \prime } } & { \geq 0 , x ^ { \prime \prime } \geq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( A _ { d } ) } & { = \mathbb { P } ( \bigcap _ { \emptyset \neq u \subseteq I _ { d } } A _ { u , d } ) = 1 - \mathbb { P } ( \bigcup _ { \emptyset \neq u \subseteq I _ { d } } A _ { u , d } ^ { c } ) } \\ & { \ge 1 - \sum _ { \emptyset \neq u \subseteq I _ { d } } \mathbb { P } ( A _ { u , d } ^ { c } ) > 1 - \sum _ { \emptyset \neq u \subseteq I _ { d } } ( b \lambda ^ { 2 } e ^ { - 2 \lambda ^ { 2 } } ) ^ { | u | } } \\ & { = 1 - \sum _ { u = 1 } ^ { d } \binom { d } { u } ( b \lambda ^ { 2 } e ^ { - 2 \lambda ^ { 2 } } ) ^ { u } = 2 - ( 1 + b \lambda ^ { 2 } e ^ { - 2 \lambda ^ { 2 } } ) ^ { d } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { \mathbb Q \in \mathbb B _ { \varepsilon } ( \widehat { \mathbb P } ) } \mathbb E _ { Z \sim \mathbb Q } \left[ \ell ( \theta , Z ) \right] \leq \operatorname* { s u p } _ { \mathbb Q \in \mathbb W _ { \varepsilon ^ { 1 / p } } ( \widehat { \mathbb P } ) } \mathbb E _ { Z \sim \mathbb Q } \left[ \ell ( \theta , Z ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \nabla [ \rho ^ { \prime } ( \phi ) \frac { | u | ^ { 2 } } { 2 } ] \| ^ { 2 } \lesssim } & { \| \nabla \phi \| _ { L ^ { 3 } } ^ { 2 } \| u \| _ { L ^ { 3 } } ^ { 4 } + \| \nabla u \| _ { L ^ { 4 } } ^ { 2 } \| u \| _ { L ^ { 4 } } ^ { 2 } } \\ { \lesssim } & { \| u \| ^ { 2 } \| \nabla u \| ^ { 2 } ( \| \nabla \phi \| \| \Delta \phi \| + \| \nabla \phi \| ^ { 2 } ) + \| \nabla u \| ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| \Delta u \| ^ { \frac { 3 } { 2 } } \| u \| ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| \nabla u \| ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \\ { \lesssim } & { E _ { 0 } ^ { 3 } ( t ) + \| \Delta u \| ^ { \frac { 3 } { 2 } } E _ { 0 } ^ { \frac { 5 } { 4 } } ( t ) \, . } \end{array}
( [ \mathbf { p } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { T } \mathbf { p } _ { i } ^ { \mathrm { i n } } ) ( [ \mathbf { p } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { T } \mathbf { p } _ { j } ^ { \mathrm { i n } } ) = ( [ \mathbf { u } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { T } \mathbf { u } _ { i } ^ { \mathrm { i n } } ) ( [ \mathbf { u } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { T } \mathbf { u } _ { j } ^ { \mathrm { i n } } ) ,
\begin{array} { r } { \mathcal { L } = \left( u _ { x } v _ { y } - u _ { y } v _ { x } \right) w - \frac { \lambda _ { 1 } } { 2 } \Big [ ( u _ { x } ) ^ { 2 } + ( v _ { x } ) ^ { 2 } + ( w _ { x } ) ^ { 2 } - 1 \Big ] - \frac { \lambda _ { 2 } } { 2 } \Big [ ( u _ { y } ) ^ { 2 } + ( v _ { y } ) ^ { 2 } + ( w _ { y } ) ^ { 2 } - 1 \Big ] } \end{array}
\int \sec \theta \, d \theta = { \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { 1 } { 2 } } \ln { \frac { 1 + \sin \theta } { 1 - \sin \theta } } + C } \\ { \ln { { \bigl | } \sec \theta + \tan \theta \, { \bigr | } } + C } \\ { \ln { \left| \, { \tan } { \biggl ( } { \frac { \theta } { 2 } } + { \frac { \pi } { 4 } } { \biggr ) } \right| } + C } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \textbf { p r o x } _ { g _ { 1 } } \left( x - c - Q x + \left[ \begin{array} { l l } { C ^ { \top } } & { A ^ { \top } } \end{array} \right] y - z \right) = \ x , } & { \qquad \textbf { p r o x } _ { g _ { 2 } } \left( w - y _ { 1 : l } \right) = \ w , } \\ { \left[ \begin{array} { l } { C x + d - w } \\ { A x - b } \end{array} \right] = \ 0 _ { l + m } , } & { \qquad \Pi _ { \mathcal { K } } ( x + z ) = \ x , } \end{array}
\widetilde { H } _ { \mathrm { f , I w } } ^ { 2 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T \otimes \epsilon _ { K } , \Delta _ { \emptyset } ) \xrightarrow { \sim } \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 1 } ( \mathbb { Q } _ { S } / \mathbb { Q } _ { \infty } , \underbrace { \chi ^ { - 1 } \epsilon _ { K } \otimes \mathbb { Q } _ { p } / \mathbb { Z } _ { p } } _ { A ^ { * } ( 1 ) } , \Delta _ { \emptyset } ) ^ { \iota , \vee }
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { T V ^ { a , b * } ( P ) } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \Bigg ( T V ^ { a , b * } ( P ) \mathbb { E } _ { P } \big [ ( \xi _ { t } ^ { a , b } ( P ) ) ^ { 2 } \big ] - \mathbb { E } _ { P } \Bigg [ \sum _ { k \in \{ a , b \} } \frac { \big ( Y _ { t } ^ { k } - \mu ^ { k } ( P ) ( X _ { t } ) \big ) ^ { 2 } } { w ^ { * } ( k | X _ { t } ) } + \Big ( \mu ^ { a } ( P ) ( X _ { t } ) - \mu ^ { b } ( P ) ( X _ { t } ) - \Delta ^ { a , b } ( P ) \Big ) ^ { 2 } \Bigg ] \Bigg ) } \\ & { \leq \frac { \widetilde { t } } { T V ^ { a , b * } ( P ) } + \epsilon . } \end{array}
( 0 . 2 \alpha , \alpha , C _ { 2 } k ( k a ) ^ { a } K \kappa _ { 2 } \alpha ^ { 1 - 1 / k } \zeta ^ { - 1 / k } , C _ { 2 } K ^ { 2 } \tilde { \alpha } \log ^ { 2 a } ( 1 / \tilde { \alpha } ) , C _ { 2 } k ^ { 2 } \kappa _ { 2 } ^ { 2 } \alpha ^ { 1 - 2 / k } \zeta ^ { - 2 / k } , C _ { 2 } K \tilde { \alpha } \log ^ { a } ( 1 / \tilde { \alpha } ) )
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } \chi ^ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 1 - k r ^ { 2 } } \mathrm { d } r ^ { 2 } } \\ { \hfill } \\ { r ^ { 2 } } & { \left( \mathrm { d } \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } ( \theta ) \mathrm { d } \phi ^ { 2 } \right) = S _ { k } ^ { 2 } ( \chi ) \left( \mathrm { d } \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } ( \theta ) \mathrm { d } \phi ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { r } ( \mathbf { U } , \mathbf { w } ) } & { = \mathbf { G } \mathbf { w } - \mathbf { G } ^ { \star } \mathbf { w } + \mathbf { G } ^ { \star } \mathbf { w } - \mathbf { G } ^ { \star } \mathbf { w } ^ { \star } + \mathbf { G } ^ { \star } \mathbf { w } ^ { \star } - ( \mathbf { b } ^ { \star } + \mathbf { b } ^ { \pmb { \varepsilon } } ) } \\ & { = \underbrace { ( \mathbf { G } - \mathbf { G } ^ { \star } ) \mathbf { w } } _ { \begin{array} { c } { \mathbf { e } _ { \Theta } } \end{array} } + \underbrace { \mathbf { G } ^ { \star } ( \mathbf { w } - \mathbf { w } ^ { \star } ) } _ { \begin{array} { c } { \mathbf { r } _ { 0 } } \end{array} } + \underbrace { ( \mathbf { G } ^ { \star } \mathbf { w } ^ { \star } - \mathbf { b } ^ { \star } ) } _ { \begin{array} { c } { \mathbf { e } _ { \mathrm { i n t } } } \end{array} } - \mathbf { b } ^ { \pmb { \varepsilon } } , } \end{array}
\sum _ { \substack { n > N \, \mu ( n ) = 1 } } \frac { 1 } { n ^ { v } } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { \log ^ { l } ( k ) } { k ^ { v } x ^ { k n } } < \sum _ { n > N } \frac { 1 } { n ^ { v } } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { \log ^ { l } ( k ) } { k ^ { v } x ^ { k n } } \leq \sum _ { n > N } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { \log ^ { l } ( k ) } { x ^ { k n } } .
\begin{array} { r } { \| \partial _ { t } ^ { \ell } u \| _ { 1 } ^ { 2 } + \| \partial _ { t } ^ { \ell } p \| ^ { 2 } + \| \partial _ { t } ^ { \ell } \phi \| _ { 2 } ^ { 2 } \lesssim \mathbf { E } _ { \ell } ( t ) + \| \partial _ { t } ^ { \ell } p \| _ { 1 } ^ { 2 } \lesssim \mathbf { E } _ { \ell } ( t ) + \big ( 1 + \mathbf { E } _ { \ell + 1 } ^ { \aleph _ { 1 } } ( t ) \big ) \mathbf { E } _ { \ell + 1 } ( t ) \, . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { U _ { n } } & { = a \varphi ^ { n } + b \psi ^ { n } } \\ & { = a ( \varphi ^ { n - 1 } + \varphi ^ { n - 2 } ) + b ( \psi ^ { n - 1 } + \psi ^ { n - 2 } ) } \\ & { = a \varphi ^ { n - 1 } + b \psi ^ { n - 1 } + a \varphi ^ { n - 2 } + b \psi ^ { n - 2 } } \\ & { = U _ { n - 1 } + U _ { n - 2 } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \Phi ( x _ { A } ) - \Phi ( x _ { B } ) } & { = \frac { - \mathrm { G } _ { N } \mathrm { ~ } \mathrm { M } } { R + h } + \frac { \mathrm { G } _ { N } \mathrm { ~ } \mathrm { M } } { R } = } \\ { \mathrm { G } _ { N } \mathrm { M } ( \frac { 1 } { R } - \frac { 1 } { R + h } ) } & { = \frac { h \mathrm \mathrm { G } _ { N } \mathrm { ~ } \mathrm { M } } { R ( R + h ) } \simeq h \frac { \mathrm { G } _ { N } \mathrm \mathrm { M } } { R ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { b } & { = \frac 1 N \int _ { 0 } ^ { \infty } ( t / 2 ) u _ { \mathrm { H u b e r } } ( t / 2 ) f _ { \chi _ { 2 N } ^ { 2 } } ( t ) \mathrm { d } t } \\ & { = \frac 1 { 2 N } \int _ { 0 } ^ { 2 c ^ { 2 } } t f _ { \chi _ { 2 N } ^ { 2 } } ( t ) \mathrm { d } t + \frac 1 { N } \int _ { 2 c ^ { 2 } } ^ { \infty } c ^ { 2 } f _ { \chi _ { 2 N } ^ { 2 } } ( t ) \mathrm { d } t } \\ & { = F _ { \chi _ { 2 ( N + 1 ) } ^ { 2 } } ( 2 c ^ { 2 } ) + c ^ { 2 } ( 1 - F _ { \chi _ { 2 N } ^ { 2 } } ( 2 c ^ { 2 } ) ) / N , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \mathbb { P } ( x _ { n e w } ^ { * } \not = \hat { x } _ { n e w } ) ] } & { \leq \mathbb { E } [ \mathbb { P } ( l ( D _ { \mathrm { n e w } } ; \hat { \Theta } ) \geq 1 ) ] } \\ & { \leq \mathbb { E } [ l ( D _ { \mathrm { n e w } } ; \hat { \Theta } ) ] } \\ & { = \frac { 1 } { T + 1 } \mathbb { E } \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { T + 1 } l ( D _ { \mathrm { n e w } } ; { \Theta } _ { t } ) \right] } \\ & { = \frac { 1 } { T + 1 } \mathbb { E } \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { T + 1 } l ( D _ { t } ; { \Theta } _ { t } ) \right] } \\ & { \leq \frac { 3 \bar { \Theta } \sqrt { n } + 3 \bar { \sigma } \bar { \Theta } \cdot { m n } } { \sqrt { T + 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { P } _ { x } ^ { \mathrm { L R } } } & { = } & { U _ { \mathrm { H V } } ^ { - 1 } \mathcal { P } _ { x } ^ { \mathrm { H V } } U _ { \mathrm { H V } } } \\ & { = } & { \frac { \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { - i } \\ { 1 } & { i } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 1 } \\ { i } & { - i } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \frac { \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \frac { \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } } { 2 } ( { \bf 1 } + \sigma _ { x } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { 1 } - F _ { 2 } } & { \geq \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { 1 } { 4 } , ( 1 - 2 p ) ^ { 2 } \right\} - 2 \sqrt { \frac { 2 c \operatorname* { m a x } \{ d _ { 1 } , d _ { 2 } \} k } { m } } \geq \left( \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } - 1 \right) \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { 1 } { 4 } , ( 1 - 2 p ) ^ { 2 } \right\} > 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| \widetilde { \boldsymbol { \Sigma } } _ { t } - \widehat { \boldsymbol { \Sigma } } _ { t } \right\| _ { \mathrm { H S } } } & { = \left\| \frac { 1 } { t } \sum _ { i = 1 } ^ { t } \widetilde { \phi } ( \mathbf { x } _ { i } ) \otimes \widetilde { \phi } ( \mathbf { x } _ { i } ) - \frac { 1 } { t } \sum _ { i = 1 } ^ { t } \phi ( \mathbf { x } _ { i } ) \otimes \phi ( \mathbf { x } _ { i } ) \right\| _ { \mathrm { H S } } } \\ & { = \left\| \frac { 1 } { t } \sum _ { i = 1 } ^ { t } \left[ \left( \phi ( \mathbf { x } _ { i } ) + \phi _ { i } ^ { r e s } \right) \otimes \left( \phi ( \mathbf { x } _ { i } ) + \phi _ { i } ^ { r e s } \right) - \phi ( \mathbf { x } _ { i } ) \otimes \phi ( \mathbf { x } _ { i } ) \right] \right\| _ { \mathrm { H S } } } \\ & { \leq \frac { 1 } { t } \sum _ { i = 1 } ^ { t } \left( \left\| \phi _ { i } ^ { r e s } \right\| ^ { 2 } + 2 \left\| \phi ( \mathbf { x } _ { i } ) \right\| \left\| \phi _ { i } ^ { r e s } \right\| \right) } \\ & { \leq \frac { 1 } { t } ( C _ { 1 } + \nu t + M _ { 0 } \sqrt { \nu } t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d ^ { 2 } } { d t ^ { 2 } } \bigg | _ { t = 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathcal { E } ( S _ { t } , \pi _ { i } \circ ( f _ { i } ^ { t } ) ^ { - 1 } ) } & { = \frac { d ^ { 2 } } { d t ^ { 2 } } \bigg | _ { t = 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \Big ( \mathcal { E } ( S _ { t } , \pi _ { i } \circ ( f _ { i } ^ { t } ) ^ { - 1 } ) - \mathcal { E } ( S , \pi _ { i } ) \Big ) } \\ & { = \frac { d ^ { 2 } } { d t ^ { 2 } } \bigg | _ { t = 0 } 4 \sum _ { i = 1 } ^ { n } \Big ( - \textrm { R e } \int _ { S } \phi _ { i } \cdot \frac { \mu _ { i } ^ { t } } { 1 - | \mu _ { i } ^ { t } | ^ { 2 } } d x d y + \int _ { S } | \phi _ { i } | \cdot \frac { | \mu _ { i } ^ { t } | ^ { 2 } } { 1 - | \mu _ { i } ^ { t } | ^ { 2 } } d x d y \Big ) . } \end{array}
\mathbf { u } \otimes \mathbf { v } = \mathbf { A } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { u _ { 1 } v _ { 1 } } & { u _ { 1 } v _ { 2 } } & { \dots } & { u _ { 1 } v _ { n } } \\ { u _ { 2 } v _ { 1 } } & { u _ { 2 } v _ { 2 } } & { \dots } & { u _ { 2 } v _ { n } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { u _ { m } v _ { 1 } } & { u _ { m } v _ { 2 } } & { \dots } & { u _ { m } v _ { n } } \end{array} \right] }
\hat { R } _ { 2 1 } ( v _ { 2 ^ { \prime } } - v _ { 1 ^ { \prime } } ) L _ { 1 } ( v _ { 2 ^ { \prime } } ^ { + } , v _ { 2 } ) L _ { 2 } ( v _ { 2 ^ { \prime } } ^ { + } , v _ { 1 } ) = L _ { 2 } ( v _ { 1 ^ { \prime } } ^ { + } , v _ { 2 } ) L _ { 1 } ( v _ { 2 ^ { \prime } } ^ { + } , v _ { 1 } ) \hat { R } _ { 2 1 } ( v _ { 2 ^ { \prime } } - v _ { 1 ^ { \prime } } ) .
{ \cal F } ( h ) = - \frac { h ^ { 2 } } { 2 \pi } u ( \mathrm { i } ) G _ { + } ( 0 ) ^ { 2 } \left( 1 - \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \int _ { \mathbb R } \frac { \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } B \omega ^ { \prime } } \rho ( \omega ^ { \prime } ) u ( \omega ^ { \prime } ) } { \omega ^ { \prime } - \mathrm { i } } \mathrm { d } \omega ^ { \prime } \right) .
\mathbf { A } = \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { 1 + 2 \alpha } & { - \alpha } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - \alpha } & { 1 + 2 \alpha } & { - \alpha } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { - \alpha } & { 1 + 2 \alpha } & { - \alpha } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { - \alpha } & { 1 + 2 \alpha } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { \| \varphi \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega , \mathbb { P } _ { \delta , N , h } ; \mathcal { X } ) } ^ { 2 } } & { = \frac { 1 } { Z _ { N , h } ( \delta ) } \int _ { \Omega } \| \varphi ( \omega ) \| _ { \mathcal { X } } ^ { 2 } \rho ( \delta - [ \mathcal { O } \circ u _ { N , h } ] ( \omega ) ) d \mathbb { P } ( \omega ) } \\ & { \le \frac { \| \rho \| _ { L ^ { \infty } ( \mathcal { D } ) } } { c ( \lambda ) } \| \varphi \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega , \mathbb { P } ; \mathcal { X } ) } ^ { 2 } < \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { 2 1 } } & { = \frac { 1 } { n b } \left\| \sum _ { m = 1 } ^ { K } \tilde { \epsilon } _ { j _ { m } , k } ^ { i } \right\| _ { q } \operatorname* { s u p } _ { t \in \mathcal { T } } \left| c _ { j _ { K } , h } ^ { l , s } ( t ) \right| + \frac { 1 } { n b } \operatorname* { s u p } _ { 1 \leq r \leq K } \left\| \sum _ { m = 1 } ^ { r } \tilde { \epsilon } _ { j _ { m } , k } ^ { i } \right\| _ { q } \operatorname* { s u p } _ { t \in \mathcal { T } } \sum _ { m = 1 } ^ { K } \left| c _ { j _ { m } , h } ^ { l , s } ( t ) - c _ { j _ { m - 1 } , h } ^ { l , s } ( t ) \right| } \\ & { = O ( n ^ { - 1 / 2 } h ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \eta } = } & { \! + \frac { \gamma } { \prod _ { j , k = 1 \atop j \neq k } ^ { 4 } \left[ \frac { 1 } { \frac { 1 } { \overline { { \eta } } _ { 1 } } \! - \frac { 1 } { \overline { { \eta } } _ { 2 } } \! + \frac { 1 } { \gamma } \! - \frac { 1 } { \overline { { \eta } } _ { 3 } } } \! + 1 \! - \gamma \right] ^ { \frac { \omega _ { j } \omega _ { k } } { 1 \! - \omega _ { j } } } \! + \gamma \! - 1 } } \\ & { \! - \frac { \gamma } { \prod _ { j , k = 1 \atop j \neq k } ^ { 4 } \left[ \frac { \gamma ^ { 2 } } { \left( \frac { \gamma } { 1 \! - \nu _ { i j } } \! + 1 \! - \gamma \right) ^ { p } \left( \frac { \gamma } { 1 \! - \nu _ { i k } } \! + 1 \! - \gamma \right) ^ { q } \! - 1 } \! + 1 \right] ^ { \frac { \omega _ { j } \omega _ { k } } { 1 \! - \omega _ { j } } } \! + \gamma \! - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } \left( S \! \! \to \! \! W \right) \leq \sum _ { t = 1 } ^ { T } \log \left( \frac { V _ { 2 } ( d , \eta _ { t } L ) } { ( 2 \pi \sigma _ { t } ^ { 2 } ) ^ { d / 2 } } + \frac { 1 } { \Gamma \left( \frac { d } { 2 } \right) } \sum _ { i = 0 } ^ { d - 1 } { \binom { d - 1 } { i } } \Gamma \left( \frac { i + 1 } { 2 } \right) \left( \frac { \eta _ { t } L } { \sigma _ { t } \sqrt { 2 } } \right) ^ { d - 1 - i } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } \left| \frac { \nu \lambda _ { K + 1 } } { 2 } \sigma ^ { - 1 } \Pi _ { K } ( \tilde { \mathbf { u } } - \mathbf { u } ) ( t ) \right| ^ { 2 } d t \right) ^ { a } \leq \left( \frac { \nu \lambda _ { K + 1 } } { 2 } \| \sigma ^ { - 1 } \| \right) ^ { 2 a } \, \mathbb { E } \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } | \tilde { \mathbf { u } } ( t ) - \mathbf { u } ( t ) | ^ { 2 } d t \right) ^ { a } } \\ & { \quad \leq \left( \frac { \nu \lambda _ { K + 1 } } { 2 } \| \sigma ^ { - 1 } \| \right) ^ { 2 a } \, \mathbb { E } \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } | \tilde { \mathbf { u } } _ { 0 } - \mathbf { u } _ { 0 } | ^ { 2 } \exp \left( - \nu \lambda _ { K + 1 } t + \frac { c } { \nu } \int _ { 0 } ^ { t } \| \mathbf { u } ( \tau ) \| ^ { 2 } d \tau \right) d t \right) ^ { a } } \\ & { \quad \leq \left( \frac { \nu \lambda _ { K + 1 } } { 2 } \| \sigma ^ { - 1 } \| \right) ^ { 2 a } | \tilde { \mathbf { u } } _ { 0 } - \mathbf { u } _ { 0 } | ^ { 2 a } } \\ & { \qquad \qquad \cdot \mathbb { E } \left[ \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } \exp \left( - \nu \lambda _ { K + 1 } t + \frac { c } { \nu ^ { 2 } } | \sigma | ^ { 2 } t \right) d t \right) ^ { a } \operatorname* { s u p } _ { t \geq 0 } \exp \left( \frac { c a } { \nu } \int _ { 0 } ^ { t } \| \mathbf { u } ( \tau ) \| ^ { 2 } d \tau - \frac { c a } { \nu ^ { 2 } } | \sigma | ^ { 2 } t \right) \right] } \\ & { \quad \leq \left( \frac { \nu \lambda _ { K + 1 } } { 2 } \| \sigma ^ { - 1 } \| \right) ^ { 2 a } | \tilde { \mathbf { u } } _ { 0 } - \mathbf { u } _ { 0 } | ^ { 2 a } \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \frac { \nu \lambda _ { K + 1 } t } { 2 } } d t \right) ^ { a } \mathbb { E } \left[ \operatorname* { s u p } _ { t \geq 0 } \exp \left( \frac { c a } { \nu } \int _ { 0 } ^ { t } \| \mathbf { u } ( \tau ) \| ^ { 2 } d \tau - \frac { c a } { \nu ^ { 2 } } | \sigma | ^ { 2 } t \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { \mathbf \Xi } _ { j } ^ { \mathbb { B } } = ( \bar { \mathbf \Xi } _ { j , \lceil n b \rceil } ^ { \mathbb { B } , \top } , \bar { \mathbf \Xi } _ { j + 1 , \lceil n b \rceil + 1 } ^ { \mathbb { B } , \top } , \cdots , \bar { \mathbf \Xi } _ { n - 2 \lceil n b \rceil + j , n - \lceil n b \rceil } ^ { \mathbb { B } , \top } ) ^ { \top } , 1 \leq j \leq 2 \lceil n b \rceil , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } | \partial _ { t } ( t H _ { t , 1 , 2 } ^ { ( \alpha , \beta ) } ( n , m ) ) | d t } & { \le C n ^ { \alpha + 1 } m ^ { \alpha } \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { m } } \theta ^ { 2 \alpha + 3 } d \theta + C n ^ { \alpha + 1 } m ^ { - 1 / 2 } \int _ { \frac { 1 } { m } } ^ { \frac { 1 } { n } } \theta ^ { \alpha + \frac { 5 } { 2 } } d \theta } \\ & { \quad + C n ^ { - 3 / 2 } m ^ { - 1 / 2 } \int _ { \frac { 1 } { n } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \; d \theta } \\ & { \le \frac { C } { n ^ { 3 / 2 } m ^ { 1 / 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Theta _ { m } ^ { ( 3 ) } ( \mathbf { x } _ { \alpha } , \mathbf { x } _ { \beta } , \mathbf { x } _ { i } ; \mathbf { W } _ { t } ) = \Big \langle \nabla _ { \mathbf { W } } \Theta _ { m } ( \mathbf { x } _ { \alpha } , \mathbf { x } _ { \beta } ; \mathbf { W } _ { t } ) , \, \nabla _ { \mathbf { W } } f ( \mathbf { x } _ { i } ; \mathbf { W } _ { t } ) \Big \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { Q } _ { j } ^ { ( 1 ) } } & { = } & { ( L / 2 - 1 ) / 2 - ( j - 1 ) , ~ ~ j = 1 , \dots , L / 2 } \\ { \mathrm { Q } _ { j } ^ { ( 2 ) } } & { = } & { ( L - 1 ) / 2 - ( j - 1 ) , ~ ~ j = 1 , \dots , L } \\ { \mathrm { Q } _ { j } ^ { ( 3 ) } } & { = } & { ( L / 2 - 1 ) / 2 - ( j - 1 ) , ~ ~ j = 1 , \dots , L / 2 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathsf { E } [ U _ { i } ( T _ { n } ) \mid T ^ { ( n ) } > 0 , \theta = i ] = } & { \mathsf { E } [ U _ { i } ( T _ { n } ) \mid T ^ { ( n + 1 ) } > 0 , \theta = i ] \operatorname* { P r } ( \mathcal { C } ( t _ { 0 } ^ { ( n ) } ) \mid T ^ { ( n ) } \! > \! 0 , \theta \! = \! i ) } \\ & { \quad \quad + \mathsf { E } [ U _ { i } ( T _ { n } ) \mid \neg \mathcal { C } ( t _ { 0 } ^ { ( n ) } ) , T ^ { ( n ) } \! > \! 0 , \theta \! = \! i ] \operatorname* { P r } ( \neg \mathcal { C } ( t _ { 0 } ^ { ( n ) } ) \mid T ^ { ( n ) } \! > \! 0 , \theta \! = \! i ) } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { 1 } | \partial _ { x } ^ { 2 } \gamma _ { n } | ^ { 2 } \, d x \leq 2 \ell _ { n } ^ { 4 } \int _ { 0 } ^ { 1 } | \vec { \kappa } _ { n } | ^ { 2 } \, d x + { 8 \ell _ { n } ^ { 4 } L ^ { 2 } } \leq 2 \ell _ { n } ^ { 4 } L ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } | \vec { \kappa } _ { n } | _ { g } ^ { 2 } \, d s + { 8 \ell _ { n } ^ { 4 } L ^ { 2 } } \leq 2 4 C ^ { 4 } L ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { - t r ( \Delta _ { k } ( \widehat { \Sigma } _ { k } - \Sigma _ { 0 k } ) ) } & { \leq | t r ( \Delta _ { k } ( \widehat { \Sigma } _ { k } - \Sigma _ { 0 k } ) ) | } \\ & { \leq \lambda _ { 0 } | | \Delta _ { k } ^ { - } | | _ { 1 } + | | \widehat { \Sigma } _ { k } ^ { + } - \Sigma _ { 0 k } ^ { + } | | _ { F } | | \Delta _ { k } ^ { + } | | _ { F } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \exp \left( \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \right) Q ( x ) } & { = \int _ { x } ^ { \infty } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \exp \left( - \frac { t ^ { 2 } - x ^ { 2 } } { 2 } \right) \, \mathrm d t } \\ & { < \int _ { x } ^ { \infty } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \exp \left( - \frac { ( t - x ) ^ { 2 } } { 2 } \right) \, d t } \\ & { = \frac 1 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { S W M S E } } & { = ( \sum _ { s _ { i } } \theta _ { X , s _ { i } , 0 } t _ { s _ { i } } ^ { 2 } ) ( \sum _ { s _ { i } } \theta _ { X , s _ { i } , 0 } ) } \\ & { - ( \sum _ { s _ { i } } \theta _ { X , s _ { i } , 0 } t _ { s _ { i } } ) ^ { 2 } } \\ & { + ( \sum _ { s _ { i } } ( 1 - \theta _ { X , s _ { i } , 0 } ) t _ { s _ { i } } ^ { 2 } ) ( \sum _ { s _ { i } } ( 1 - \theta _ { X , s _ { i } , 0 } ) ) } \\ & { - ( \sum _ { s _ { i } } ( 1 - \theta _ { X , s _ { i } , 0 } t _ { s _ { i } } ) ) ^ { 2 } . } \end{array}
\tilde { \rho } _ { { \left| - 1 \right\rangle } _ { \theta } } ( \omega ) = \frac { ( 2 N + 1 ) e ^ { - \frac { | \omega | } { 2 } } - e ^ { - \left( \frac 1 2 + \xi + i \chi \right) | \omega | } - e ^ { - \left( \frac 1 2 + \xi - i \chi \right) | \omega | } - 1 } { 2 \left( e ^ { - | \omega | } + 1 \right) } + \Delta \tilde { \rho } _ { \theta } ( \omega ) ,
\begin{array} { r l } { \tilde { H } _ { 1 } = } & { w _ { 0 } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \left( \frac { \vartheta _ { \mathrm { c o l l } } } { 4 } \right) ( 8 H + \tau ^ { 2 } ) + 2 \tau ^ { 2 } H \cos ^ { 2 } \left( \frac { \vartheta _ { \mathrm { c o l l } } } { 4 } \right) \, , } \\ { \tilde { H } _ { 2 } = } & { 2 0 \tau ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \left( \frac { \vartheta _ { \mathrm { c o l l } } } { 4 } \right) - ( 8 H + \tau ^ { 2 } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { 1 , 0 } \bigl ( \mathrm { c o a d } ^ { r } ( h ) ( \mathfrak { i } _ { A } ( \alpha ) ) \bigr ) } & { = \Phi _ { 1 , 0 } \circ \mathfrak { i } _ { A } \bigl ( \mathrm { c o a d } ^ { r } ( h ) ( \alpha ) \bigr ) = 1 _ { H ^ { \circ } } \, \# \, \Phi _ { 0 , 1 } \bigl ( \mathrm { c o a d } ^ { r } ( h ) ( \alpha ) \bigr ) } \\ & { = \sum _ { ( h ) } 1 _ { H ^ { \circ } } \, \# \, S ( h _ { ( 1 ) } ) \Phi _ { 0 , 1 } ( \alpha ) h _ { ( 2 ) } = \bigl ( 1 _ { H ^ { \circ } } \, \# \, \Phi _ { 0 , 1 } ( \alpha ) \bigr ) \cdot h . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k , \ell = 0 } ^ { \infty } \sum _ { i , j = 1 } ^ { d } r _ { k , i } ( z _ { 1 } ) r _ { \ell , j } ( z _ { 1 } ) \otimes b _ { j } z _ { 2 } ^ { \ell } \otimes b _ { i } z _ { 3 } ^ { k } } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { d } r _ { k , i } ( z _ { 1 } ) \otimes \left( \left( b _ { i } z _ { 2 } ^ { k } \right) ^ { ( 1 ) } r ( z _ { 2 } , z _ { 3 } ) - r ( z _ { 2 } , z _ { 3 } ) \left( b _ { i } z _ { 3 } ^ { k } \right) ^ { ( 2 ) } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ^ { \prime } ( \hbar \omega ) = \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } \alpha } } & { \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \sigma ( \hbar \omega ^ { \prime } - \epsilon _ { \mathrm { \tiny ~ K } } ) ( \hbar \omega ^ { \prime } - \epsilon _ { \mathrm { \tiny ~ K } } ) ^ { 2 } - \sigma ( \hbar \omega ) ( \hbar \omega ) ^ { 2 } } { ( \hbar \omega ) ^ { 2 } - ( \hbar \omega ^ { \prime } - \epsilon _ { \mathrm { \tiny ~ K } } ) ^ { 2 } } \mathrm { d } \omega ^ { \prime } \right. } \\ & { + \left. \mathcal { P } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \sigma ( \hbar \omega ) ( \hbar \omega ) ^ { 2 } } { ( \hbar \omega ) ^ { 2 } - ( \hbar \omega ^ { \prime } - \epsilon _ { \mathrm { \tiny ~ K } } ) ^ { 2 } } \mathrm { d } \omega ^ { \prime } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { | | I _ { 2 } | | _ { p } ^ { p } = c ^ { p } | t | ^ { p } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \Bigg | \int _ { S ( 0 , 1 ) } \gamma \cdot \nabla u _ { 0 } ( x - c | t | \gamma ) \frac { d \Omega } { 4 \pi } \Bigg | ^ { p } d x \leq c ^ { p } | t | ^ { p } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \int _ { S ( 0 , 1 ) } | \gamma \cdot \nabla u _ { 0 } ( x - c | t | \gamma ) | ^ { p } \frac { d \Omega } { 4 \pi } d x } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( A V _ { k } y _ { k } ) _ { j } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } A _ { j i } ( V _ { k } y _ { k } ) _ { i } = \sum _ { i \in \mathcal { N } } A _ { j i } ( V _ { k } y _ { k } ) _ { i } + \sum _ { i \in \mathcal { A } } A _ { j i } ( V _ { k } y _ { k } ) _ { i } } \\ & { = \sum _ { i \in \mathcal { N } } A _ { j i } ( V _ { k } y _ { k } ) _ { i } + \sum _ { i \in \mathcal { A } , ( V _ { k _ { 0 } } d ) _ { i } < 0 } A _ { j i } l _ { i } + \sum _ { i \in \mathcal { A } , ( V _ { k _ { 0 } } d ) _ { i } > 0 } A _ { j i } u _ { i } } \\ & { = \sum _ { i \in \mathcal { N } } A _ { j i } ( V _ { k } y _ { k } ) _ { i } + \tilde { b } } \\ & { = \sum _ { i \in \mathcal { N } } A _ { j i } ( V _ { k } ) _ { i l } ( y _ { k } ) _ { l } + \tilde { b } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\| \psi \left( \cdot , t _ { n } \right) - I _ { N } \psi ^ { n } \right\| _ { \alpha / 2 } + \left\| \partial _ { t } \psi \left( \cdot , t _ { n } \right) - I _ { N } \eta ^ { n } \right\| } \\ & { \lesssim h ^ { m } + \varepsilon ^ { 2 p } \tau ^ { 2 } , \quad 0 \leq n \leq T _ { \varepsilon , p } / { \tau } . } \end{array}
N _ { \mu _ { X } } ( \varepsilon ) : = \operatorname* { m i n } \{ n \in \mathbb { N } _ { + } : \, \exists x _ { 1 } , \dots , x _ { n } \in \overline { { B _ { \mathcal { H } _ { \mu _ { X } } } ( 0 , 1 ) } } \, \mathrm { s . t . ~ } \forall x \in \overline { { B _ { \mathcal { H } _ { \mu _ { X } } } ( 0 , 1 ) } } \, \exists i \in [ n ] \ \mathrm { s . t . ~ } \| x - x _ { i } \| _ { \mathcal { H } _ { \mu _ { X } } } < \varepsilon \}
\begin{array} { r l } { \mu ( \mathcal { F } ) } & { = \frac { \deg ( \mathcal { Q } ) - \deg ( \mathcal { R } ) } { \operatorname { r k } ( \mathcal { Q } ) - \operatorname { r k } ( \mathcal { R } ) } } \\ & { \leq \frac { \deg ( \mathcal { Q } ) } { \operatorname { r k } ( \mathcal { Q } ) - q } } \\ & { \leq ( q + 1 ) \mu ( \mathcal { Q } ) } \end{array}
\mathbb { P } \Big [ \operatorname* { m a x } _ { s \in \mathbb { R } } \tilde { Z } ( s ) \leq 0 \Big ] \leq \operatorname* { l i m i n f } _ { \varepsilon \downarrow 0 } \mathbb { P } \Big [ \operatorname* { m a x } _ { s \in \mathcal { S } _ { N } ^ { \varepsilon } } \tilde { Z } ( s ) \leq 0 \Big ] \leq \bigg | \int _ { - \infty } ^ { 0 } \frac { \exp ( - x ^ { 2 } / 2 ) } { \sqrt { 2 \pi } } d x \bigg | ^ { N } = 2 ^ { - N } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } _ { \mathtt { e } } ( \emph { \texttt { j } } \, \! \emph { \textsf { A } } + \emph { \texttt { j } } \, \! \textsf { \emph { B } } ) = } & { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ! } \varphi _ { n } \big ( \mathtt { e } _ { n } \otimes ( \emph { \texttt { j } } \, \! \emph { \textsf { A } } + \emph { \texttt { j } } \, \! \textsf { \emph { B } } ) ^ { n } \big ) } \\ { = } & { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ! } \varphi _ { n } \bigg ( \mathtt { e } _ { n } \otimes \sum _ { s + t = n } \frac { n ! } { s ! t ! } ( \emph { \texttt { j } } \, \! \emph { \textsf { A } } ) ^ { s } \emph { \texttt { j } } \, \! \textsf { \emph { B } } ) ^ { t } \bigg ) } \\ { = } & { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { s + t = n } \varphi _ { n } \bigg ( \mathtt { e } _ { n } \otimes \frac { 1 } { s ! } ( \emph { \texttt { j } } \, \! \emph { \textsf { A } } ) ^ { s } \frac { 1 } { t ! } ( \emph { \texttt { j } } \, \! \textsf { \emph { B } } ) ^ { t } \bigg ) } \\ { = } & { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { s + t = n } \frac { 1 } { s ! } \varphi _ { s } \big ( \mathtt { e } _ { s } \otimes ( \emph { \texttt { j } } \, \! \emph { \textsf { A } } ) ^ { s } \big ) \frac { 1 } { t ! } \varphi _ { t } \big ( \mathtt { e } _ { t } \otimes ( \emph { \texttt { j } } \, \! \textsf { \emph { B } } ) ^ { t } \big ) } \\ { = } & { \bigg ( \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ! } \varphi _ { n } \big ( \mathtt { e } _ { n } \otimes ( \emph { \texttt { j } } \, \! \emph { \textsf { A } } ) ^ { n } \big ) \bigg ) \star \bigg ( \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ! } \varphi _ { n } \big ( \mathtt { e } _ { n } \otimes ( \emph { \texttt { j } } \, \! \textsf { \emph { B } } ) ^ { n } \big ) \bigg ) } \\ { = } & { \, \mathcal { S } _ { \mathtt { e } } ( \emph { \texttt { j } } \, \! \emph { \textsf { A } } ) \star \mathcal { S } _ { \mathtt { e } } ( \emph { \texttt { j } } \, \! \textsf { \emph { B } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { d ^ { 2 } = } & { } & { \left( \Delta \frac { \partial \eta } { \partial \textbf { U } } \right) ^ { T } \cdot \Delta \textbf { U } } \\ { = } & { } & { \Delta \left( \frac { \gamma - s } { \gamma - 1 } - \frac { \rho u _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 p } - \frac { \rho u _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 p } \right) \Delta ( \rho ) + \Delta \left( \frac { \rho u _ { 1 } } { p } \right) \Delta ( \rho u _ { 1 } ) + } \\ & { } & { \Delta \left( \frac { \rho u _ { 2 } } { p } \right) \Delta ( \rho u _ { 2 } ) + \Delta \left( - \frac { \rho } { p } \right) \Delta ( \rho E ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad ( W _ { p , q } ^ { ( 2 ) } ) _ { ( 2 ) } W _ { i , j } ^ { ( 2 ) } } \\ & { = \delta _ { p , j } \delta ( q > m - n ) \alpha _ { 1 } ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } - 1 ) W _ { i , q } ^ { ( 1 ) } + \delta _ { i , j } \delta ( q > m - n ) ( \alpha _ { 1 } - 2 \alpha _ { 2 } ) W _ { p , q } ^ { ( 1 ) } } \\ & { \quad - \delta _ { i , q } \delta ( j > m - n ) \alpha _ { 1 } ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } - 1 ) W _ { i , q } ^ { ( 1 ) } - \delta _ { p , q } \delta ( q > m - n ) ( \alpha _ { 1 } - 2 \alpha _ { 2 } ) W _ { i , j } ^ { ( 1 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { c d } ^ { ( 2 ) } = } & { \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \int d \boldsymbol { k } \int d \boldsymbol { k } ^ { \prime } \mathcal { N } ^ { 2 } \left| \tilde { \eta } ( \boldsymbol { k } ) \right| ^ { 2 } \left| \tilde { \eta } ( \boldsymbol { k } ^ { \prime } ) \right| ^ { 2 } \Big ( 2 + 2 \cos { \left[ 2 m \left( \tilde { \varphi } + \tilde { \varphi } ^ { \prime } \right) \right] } \Big ) e ^ { i ( k _ { z } - k _ { z } ^ { \prime } ) z _ { 0 } } . } \end{array}
\frac { \sigma ( z , \xi ) } { \operatorname* { d e t } \bigl ( g _ { i \bar { j } } ( z ) \bigr ) \cdot \operatorname* { d e t } \bigl ( h _ { \alpha \bar { \beta } } ( z ) \bigr ) } = \frac { \widetilde { \sigma } ( \widetilde { z } , \widetilde { \xi } ) } { \operatorname* { d e t } \bigl ( \widetilde { g } _ { i \bar { j } } ( \widetilde { z } ) \bigr ) \cdot \operatorname* { d e t } \bigl ( \widetilde { h } _ { \alpha \bar { \beta } } ( \widetilde { z } ) \bigr ) } \quad \mathrm { o n ~ } \pi ^ { - 1 } ( D ) \cap \pi ^ { - 1 } ( \widetilde { D } ) .
\frac { \delta _ { t } } { 4 4 8 n R ^ { 2 } } \leq \frac { \delta _ { t - 1 } } { 4 4 8 n R ^ { 2 } } - \left( \frac { \delta _ { t - 1 } } { 4 4 8 n R ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \leq \frac { 1 } { t - 1 + 4 4 8 n R ^ { 2 } / \delta _ { 1 } } \Rightarrow t \leq 1 + \frac { 4 4 8 n R ^ { 2 } } { \delta _ { t } } - \frac { 4 4 8 n R ^ { 2 } } { \delta _ { 1 } } .
\begin{array} { r } { D _ { s = s _ { 0 } } \operatorname { b a r } _ { s _ { 0 } } ( \mu ( s ) ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n } D _ { w _ { i } } \operatorname { b a r } _ { s _ { 0 } } ( \mu ) \circ D _ { s = s _ { 0 } } w _ { i } ( s ) + \sum _ { i = 1 } ^ { n } D _ { z _ { i } } \operatorname { b a r } _ { s _ { 0 } } ( \mu ) \circ D _ { s = s _ { 0 } } z _ { i } ( s ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \bigg ( \varphi ( Y _ { t } ^ { i , \tau } ) \int _ { \mathbb { R } } \rho _ { t } ^ { \tau } ( y ) \varphi ( y ) \, \mathrm { d } y \bigg ) } & { = \mathbb { E } \bigg ( \mathbb { E } \bigg ( \varphi ( Y _ { t } ^ { i , \tau } ) \int _ { \mathbb { R } } \rho _ { t } ^ { \tau } ( y ) \varphi ( y ) \, \mathrm { d } y \bigg | \mathcal { F } _ { t } ^ { W } \bigg ) \bigg ) } \\ & { = \mathbb { E } \bigg ( \int _ { \mathbb { R } } \rho _ { t } ^ { \tau } ( y ) \varphi ( y ) \, \mathrm { d } y \, \mathbb { E } ( \varphi ( Y _ { t } ^ { i , \tau } ) | \mathcal { F } _ { t } ^ { W } ) \bigg ) } \\ & { = \mathbb { E } \bigg ( \bigg ( \int _ { \mathbb { R } } \rho _ { t } ^ { \tau } ( y ) \varphi ( y ) \, \mathrm { d } y \bigg ) ^ { 2 } \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { h } ( x , t ) } & { = \chi _ { x } ( t ) \partial _ { x } \widetilde { K } ^ { h } ( x , t ) + \sum _ { k = 0 } ^ { N } \alpha _ { k } H ( x - x _ { k } ) \widehat { K } _ { x _ { k } , x _ { k } } ( x , t ) } \\ & { \quad + \sum _ { J \in \mathcal { I } _ { N } } \alpha _ { J } H ( x - x _ { j _ { | J | } } ) \widehat { K } _ { x _ { j _ { 1 } } , x _ { j _ { | J | } } } ( x , t ) \ast \left( \prod _ { l = 1 } ^ { | J | - 1 } \right) ^ { \ast } \left( \chi _ { x _ { j _ { l + 1 } } - x _ { j _ { l } } } ( t ) \widetilde { K } _ { k } ( x _ { j _ { l + 1 } } , t ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \Bigr | _ { t = t _ { 0 } } ( H _ { t } ) ^ { * } ( Y ) ( p ) } & { = \frac { d } { d t } \Bigr | _ { t = t _ { 0 } } ( H _ { t - t _ { 0 } } \circ H _ { t _ { 0 } } ) ^ { * } ( Y ) ( p ) } \\ & { = \frac { d } { d t } \Bigr | _ { t = t _ { 0 } } ( H _ { t _ { 0 } } ) ^ { * } \left( H _ { t - t _ { 0 } } ^ { * } ( Y ) \right) ( p ) } \\ & { = \frac { d } { d s } \Bigr | _ { s = 0 } ( H _ { t _ { 0 } } ^ { * } ) \left( H _ { s } ^ { * } ( Y ) ( p ) \right) } \\ & { = D ( H _ { - t _ { 0 } } ) \frac { d } { d s } \Bigr | _ { s = 0 } H _ { s } ^ { * } ( Y ) ( p ) } \\ & { = D ( H _ { - t _ { 0 } } ) [ X , Y ] ( p ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { = \langle Q _ { - + , T } ^ { \varepsilon } ( F _ { - } , F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } ) , F ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \rangle _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } } \\ & { \quad + \langle \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } Q _ { - + , T } ^ { \varepsilon } ( F _ { - } , F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , 0 ) } ) - Q _ { - + , T } ^ { \varepsilon } ( F _ { - } , F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } ) , F ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \rangle _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } } \\ & { \quad + \langle \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } \{ \langle v \rangle ^ { m _ { 1 } } Q _ { - + , T } ^ { \varepsilon } ( F _ { - } , F _ { + } ) - Q _ { - + , T } ^ { \varepsilon } ( F _ { - } , F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , 0 ) } ) \} , F ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \rangle _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textrm { T o t } \left( \textrm { T o t } ( C ^ { \bullet } ( \mathcal { U } , \mathcal { F } ^ { \bullet } ) ) \otimes \textrm { T o t } ( C ^ { \bullet } ( \mathcal { U } , \mathcal { F } ^ { \bullet } ) ) \right) } & { \xrightarrow { \cup } \textrm { T o t } ( C ^ { \bullet } ( \mathcal { U } , \textrm { T o t } ( \mathcal { F } ^ { \bullet } \otimes \mathcal { F } ^ { \bullet } ) ) ) } \\ & { \xrightarrow { \wedge } \textrm { T o t } ( C ^ { \bullet } ( \mathcal { U } , \mathcal { F } ^ { \bullet } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \big [ W _ { s } W _ { t } ^ { T } \big ] } & { = \frac { a ( \beta + 1 ) ( 1 - a ) + a \beta } { ( 2 ( \beta + 1 ) ( 1 - a ) - 1 ) ( a - \beta ( 1 - a ) ) ( 1 - a ) } s \Big ( \frac { t } { s } \Big ) ^ { a - \beta ( 1 - a ) } \cdot \frac { 1 } { d } I _ { d } } \\ & { \quad \quad + \frac { \beta } { ( \beta ( 1 - a ) - a ) ( 1 - a ) } s \cdot \frac { 1 } { d } I _ { d } \quad \mathrm { f o r ~ a l l } \quad 0 \leq s \leq t < \infty . } \end{array}
S _ { s , z } ^ { m } ( \mathbf { W } _ { 1 } ^ { \mathscr { A } } ( s ) , \ldots , \mathbf { W } _ { m } ^ { \mathscr { A } } ( s ) ) = \sum _ { \iota : \mathscr { A } \to \{ 1 , \ldots , d \} } \Big ( \prod _ { j \in \mathscr { A } } s _ { \iota ( j ) } \Big ) S _ { s , z } ^ { m } ( \mathbf { W } _ { 1 } ^ { \mathscr { A } , \iota } , \ldots , \mathbf { W } _ { m } ^ { \mathscr { A } , \iota } ) .
\frac { 1 } { ( 4 \pi \varepsilon ^ { 2 } ) ^ { \frac { n } { 2 } } } \prod _ { i = 1 } ^ { n } e ^ { \frac { 1 } { 4 } \varepsilon ^ { - 2 } \frac { 1 } { 2 } ( q _ { i } ^ { 2 } - q _ { i - 1 } ^ { 2 } ) } - \prod _ { i = 1 } ^ { n } \delta ( \frac { 1 } { 2 } ( q _ { i } ^ { 2 } - q _ { i - 1 } ^ { 2 } ) ) \rightarrow 0 \quad \mathrm { a s ~ \varepsilon ~ \rightarrow ~ 0 ~ } .
\begin{array} { r l } { { \cal L } \left[ P _ { q } \left( \Delta , \Sigma \right) \right] = } & { \quad w ^ { + + } ( \Delta , \Sigma ) P _ { q } \left( \Delta + 1 / N , \Sigma + 1 / N \right) + w ^ { + - } ( \Delta , \Sigma ) P _ { q } \left( \Delta + 1 / N , \Sigma - 1 / N \right) } \\ & { + w ^ { - + } ( \Delta , \Sigma ) P _ { q } \left( \Delta - 1 / N , \Sigma + 1 / N \right) + w ^ { -- } ( \Delta , \Sigma ) P _ { q } \left( \Delta - 1 / N , \Sigma - 1 / N \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \cal T } _ { 3 } : = } & { \Bigl \{ ( a , z ^ { n } , k _ { 1 } ^ { n } , k _ { 2 } ^ { n } ) : \zeta _ { K _ { 1 } ^ { n } K _ { 2 } ^ { n } | M _ { { \cal A } ^ { ( n ) } } } ( k _ { 1 } ^ { n } , k _ { 2 } ^ { n } | a ) } \\ & { \: = \mathrm { e } ^ { n ( R _ { 1 } + R _ { 2 } ) } p _ { K _ { 1 } ^ { n } K _ { 2 } ^ { n } | M _ { { \cal A } ^ { ( n ) } } } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ^ { n } | a ) \Bigr \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( \hat { \vec { x } } , \vec { x } _ { T } ) \, } & { = \, \mathcal { L } _ { \mathrm { M A E } } ( \hat { \vec { x } } , \vec { x } _ { T } ) \, + \, \mathcal { L } _ { \mathrm { S S I M } } ( \hat { \vec { x } } , \vec { x } _ { T } ) \, } \\ & { = \, \big | \big | \hat { \vec { x } } \, - \, \vec { x } _ { T } \big | \big | _ { 1 } \, + \, \big ( 1 \, - \, \mathrm { S S I M } ( \hat { \vec { x } } , \vec { x } _ { T } ) \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\lVert \rho _ { t } ^ { \tau } - \rho _ { t } \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } } \\ & { \quad \le \; - \lambda \int _ { 0 } ^ { t } \left\lVert \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } \rho _ { s } ^ { \tau } - \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } \rho _ { s } \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } \, \mathrm { d } s - \int _ { 0 } ^ { t } \bigg \langle ( \rho _ { s } - \rho _ { s } ^ { \tau } ) \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } ( \sigma _ { s } ^ { 2 } ) , \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } \rho _ { s } - \mathrm { D } \rho _ { s } ^ { \tau } \bigg \rangle _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad \quad - 2 \int _ { 0 } ^ { t } \bigg \langle ( k _ { \scriptscriptstyle { H K } } ^ { \tau } * \rho _ { s } ^ { \tau } ) \rho _ { s } ^ { \tau } - ( k _ { \scriptscriptstyle { H K } } * \rho _ { s } ) \rho _ { s } , \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } \rho _ { s } ^ { \tau } - \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } \rho _ { s } \bigg \rangle _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad \le \; - \frac { 3 \lambda } { 4 } \int _ { 0 } ^ { t } \left\lVert \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } \rho _ { s } ^ { \tau } - \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } \rho _ { s } \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } \, \mathrm { d } s + \frac { \Lambda ^ { 2 } } { \lambda } \int _ { 0 } ^ { t } \left\lVert \rho _ { s } - \rho _ { s } ^ { \tau } \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad \quad - 2 \int _ { 0 } ^ { t } \bigg \langle ( k _ { \scriptscriptstyle { H K } } ^ { \tau } * \rho _ { s } ^ { \tau } ) \rho _ { s } ^ { \tau } - ( k _ { \scriptscriptstyle { H K } } * \rho _ { s } ) \rho _ { s } , \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } \rho _ { s } ^ { \tau } - \mathrm { D } \rho _ { s } \bigg \rangle _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \, \mathrm { d } s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { \mathrm { X } } = } & { - \frac { 1 } { 3 } \int \mathrm { d } ^ { 3 } k \int _ { - \infty } ^ { \tau } \mathrm { d } \tau _ { 1 } G _ { b u } \left( k , \mathbf { X } ; \tau , \tau _ { 1 } , T \right) H _ { u b } \left( k , \mathbf { X } ; \tau , \tau _ { 1 } , T \right) } \\ & { + \frac { 1 } { 3 } \int \mathrm { d } ^ { 3 } k \int _ { - \infty } ^ { \tau } \mathrm { d } \tau _ { 1 } G _ { u b } \left( k , \mathbf { X } ; \tau , \tau _ { 1 } , T \right) H _ { b u } \left( k , \mathbf { X } ; \tau , \tau _ { 1 } , T \right) . } \end{array}
f _ { j } = \frac { \varepsilon ^ { j } } { 1 - 1 + \sum _ { j ^ { \prime } = 1 } ^ { k } \varepsilon ^ { j ^ { \prime } } - \sum _ { j ^ { \prime } = 1 } ^ { j - 1 } \varepsilon ^ { j ^ { \prime } } } = \frac { 1 } { \sum _ { j ^ { \prime } = 0 } ^ { k - j } \varepsilon ^ { j ^ { \prime } } } = 1 - \frac { \sum _ { j ^ { \prime } = 1 } ^ { k - j } \varepsilon ^ { j ^ { \prime } } } { \sum _ { j ^ { \prime } = 0 } ^ { k - j } \varepsilon ^ { j ^ { \prime } } } .
\begin{array} { c c c } { \mathrm { F Y } ( \mathcal { L } , \mathcal { G } ) } & { \xrightarrow { \mathrm { F Y } ( \mathcal { S } ) } } & { \bigotimes _ { \mathcal { G } \in \mathcal { S } } \mathrm { F Y } ( [ \bigvee \mathcal { S } _ { < G } , G ] , \mathrm { I n d } ( \mathcal { G } ) ) } \\ { h _ { G ^ { \prime } } } & { \longrightarrow } & { 1 \otimes . . . \otimes 1 \otimes h _ { ( \bigvee S _ { < G } ) \vee G ^ { \prime } } \otimes 1 \otimes . . . \otimes 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } \left( D \right) } & { = \left< \mathrm { F _ { 0 } } , \mathrm { F _ { 1 } } , \mathrm { F _ { 2 } } , \mathrm { F _ { 3 } } , \mathrm { F _ { 4 } } \right> = } \\ & { = \left< 1 , \frac { x ( y + 1 5 ) } { ( x - 2 ) ( y - 1 ) } , \frac { 1 } { y - 1 } , \frac { y + 1 } { x ( y - 1 ) } , \frac { 1 } { { ( y - 1 ) } ^ { 2 } } \right> , } \end{array}
\begin{array} { r } { \nabla _ { \theta ^ { \prime } } Q \notin { \cal { R } } \left( \left[ \begin{array} { l l l l } { \nabla _ { \pi _ { 1 } ^ { \prime } } Q _ { 1 } } & { \nabla _ { G _ { 1 } ^ { \prime } } Q _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \nabla _ { \pi _ { 0 } ^ { \prime } } Q _ { 0 } } & { \nabla _ { G _ { 0 } ^ { \prime } } Q _ { 0 } } \end{array} \right] \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - \mathbb { E } \bigg [ \Big \langle \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \alpha _ { k } \mathcal { H } _ { i } ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) , \nabla f ( x ^ { k } ) \Big \rangle \bigg ] } \\ { = } & { - \mathbb { E } \left[ \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \alpha _ { k } \mathbb { E } \left[ \langle \mathcal { H } _ { i } ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) , \nabla f ( x ^ { k } ) \rangle | \mathcal { F } ^ { k } \right] \right] } \\ { = } & { - \mathbb { E } \left[ \left\langle \alpha _ { k } \overline { { \mathcal { H } } } ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) , \nabla f ( x ^ { k } ) \right\rangle \right] } \\ { = } & { - \frac { \alpha _ { k } } { 2 } \mathbb { E } \left[ \left\| \overline { { \mathcal { H } } } ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) \right\| ^ { 2 } \right] - \frac { \alpha _ { k } } { 2 } \mathbb { E } \left[ \left\| \nabla f ( x ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } \right] + \frac { \alpha _ { k } } { 2 } \mathbb { E } \left[ \left\| \overline { { \mathcal { H } } } ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) - \nabla f ( x ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } \right] } \\ { = } & { - \frac { \alpha _ { k } } { 2 } \mathbb { E } \left[ \left\| \overline { { \mathcal { H } } } ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) \right\| ^ { 2 } \right] - \frac { \alpha _ { k } } { 2 } \mathbb { E } \left[ \left\| \nabla f ( x ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } \right] } \\ & { + \frac { \alpha _ { k } } { 2 } \mathbb { E } \left[ \left\| \overline { { \mathcal { H } } } ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) - \overline { { \nabla } } f ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) + \overline { { \nabla } } f ( x , y ^ { k + 1 } ) - \nabla f ( x ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } \right] } \\ { \leq } & { - \frac { \alpha _ { k } } { 2 } \mathbb { E } \left[ \left\| \overline { { \mathcal { H } } } ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) \right\| ^ { 2 } \right] - \frac { \alpha _ { k } } { 2 } \mathbb { E } \left[ \left\| \nabla f ( x ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } \right] } \\ & { + \alpha _ { k } \mathbb { E } \left[ \left\| \overline { { \mathcal { H } } } ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) - \overline { { \nabla } } f ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) ) \right\| ^ { 2 } \right] + \alpha _ { k } \mathbb { E } \left[ \left\| \overline { { \nabla } } f ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) - \nabla f ( x ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } \right] } \\ { \leq } & { - \frac { \alpha _ { k } } { 2 } \mathbb { E } \left[ \left\| \overline { { \mathcal { H } } } ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) \right\| ^ { 2 } \right] - \frac { \alpha _ { k } } { 2 } \mathbb { E } \left[ \left\| \nabla f ( x ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } \right] + { \alpha _ { k } b ^ { 2 } } + \alpha _ { k } M _ { f } ^ { 2 } \mathbb { E } \left[ \left\| y ^ { k + 1 } - y ^ { * } ( x ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } \right] , } \end{array}
S ( \pi ) \succ 0 \mathrm { ~ a n d ~ } \left[ \begin{array} { l } { \begin{array} { l l } { 0 } & { B ^ { \top } } \end{array} } \end{array} \right] _ { \perp } ^ { \top } \left[ \begin{array} { l } { \begin{array} { l l } { P ( \pi ) } & { \star } \\ { A ( \pi ) } & { S ( \pi _ { + } ) } \end{array} } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \begin{array} { l l } { 0 } & { B ^ { \top } } \end{array} } \end{array} \right] _ { \perp } \succ 0 ,
\begin{array} { r l } & { \lesssim \int _ { \mathbf R } \int _ { 0 } ^ { \theta _ { 0 } } \frac { \sin \theta } { ( 1 + v _ { \perp } + | r | ) ^ { 4 } } d \theta d r } \\ & { \lesssim \frac { 1 } { \langle v _ { \perp } \rangle ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { \theta _ { 0 } } \sin \theta d \theta } \\ & { \lesssim \frac { \theta _ { 0 } ^ { 2 } } { \langle v _ { \perp } \rangle ^ { 3 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d X _ { 1 } } { d t } } & { = \sqrt { F } - X _ { 1 } + ( X _ { 1 } ^ { 2 } + Y _ { 1 } ^ { 2 } + B X _ { 2 } ^ { 2 } + B Y _ { 2 } ^ { 2 } - \Delta ) Y _ { 1 } , } \\ { \frac { d X _ { 2 } } { d t } } & { = \sqrt { F } - X _ { 2 } + ( X _ { 2 } ^ { 2 } + Y _ { 2 } ^ { 2 } + B X _ { 1 } ^ { 2 } + B Y _ { 1 } ^ { 2 } - \Delta ) Y _ { 2 } , } \\ { \frac { d Y _ { 1 } } { d t } } & { = - Y _ { 1 } - ( X _ { 1 } ^ { 2 } + Y _ { 1 } ^ { 2 } + B X _ { 2 } ^ { 2 } + B Y _ { 2 } ^ { 2 } - \Delta ) X _ { 1 } , } \\ { \frac { d Y _ { 2 } } { d t } } & { = - Y _ { 2 } - ( X _ { 2 } ^ { 2 } + Y _ { 2 } ^ { 2 } + B X _ { 1 } ^ { 2 } + B Y _ { 1 } ^ { 2 } - \Delta ) X _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \nabla \mathcal { L } _ { \rho } ( x _ { k + 1 } , \lambda _ { k + 1 } ) \| } & { \leq \| \nabla _ { x } \mathcal { L } _ { \rho } ( x _ { k + 1 } , \lambda _ { k + 1 } ) \| + \| \nabla _ { \lambda } \mathcal { L } _ { \rho } ( x _ { k + 1 } , \lambda _ { k + 1 } ) \| } \\ & { \leq \Gamma ( \beta _ { k + 1 } ) \| x _ { k + 1 } - x _ { k } \| + \Gamma ( \beta _ { k } ) \| x _ { k } - x _ { k - 1 } \| , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sum _ { t = 1 } ^ { n } Z _ { t } ^ { 2 } } & { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle n a _ { 0 } ^ { 2 } + \frac { n } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { ( n - 1 ) / 2 } ( a _ { k } ^ { 2 } + b _ { k } ^ { 2 } ) , } & { \mathrm { s i ~ } n \mathrm { ~ e s ~ i m p a r , } } \\ { \displaystyle n a _ { 0 } ^ { 2 } + \frac { n } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { ( n - 1 ) / 2 } ( a _ { k } ^ { 2 } + b _ { k } ^ { 2 } ) + n a _ { n / 2 } ^ { 2 } , } & { \mathrm { s i ~ } n \mathrm { ~ e s ~ p a r . } } \end{array} \right. } \\ & { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle n \sum _ { k = - ( n - 1 ) / 2 } ^ { ( n - 1 ) / 2 } | c _ { k } | ^ { 2 } , } & { \mathrm { s i ~ } n \mathrm { ~ e s ~ i m p a r , } } \\ { \displaystyle n \sum _ { k = - n / 2 + 1 } ^ { n / 2 } | c _ { k } | ^ { 2 } , } & { \mathrm { s i ~ } n \mathrm { ~ e s ~ p a r . } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E _ { m } ^ { \tau } ( [ E _ { n } ^ { \tau } ( a ) - E _ { m } ^ { \tau } ( E _ { n } ^ { \tau } ( a ) ) ] ^ { * } [ E _ { n } ^ { \tau } ( a ) - E _ { m } ^ { \tau } ( E _ { n } ^ { \tau } ( a ) ) ] ) } \\ & { \quad = E _ { m } ^ { \tau } ( [ E _ { n } ^ { \tau } ( a ^ { * } ) - E _ { m } ^ { \tau } ( E _ { n } ^ { \tau } ( a ^ { * } ) ) ] [ E _ { n } ^ { \tau } ( a ) - E _ { m } ^ { \tau } ( E _ { n } ^ { \tau } ( a ) ) ] ) } \\ & { \quad = E _ { m } ^ { \tau } ( E _ { n } ^ { \tau } ( a ^ { * } ) E _ { n } ^ { \tau } ( a ) - E _ { n } ^ { \tau } ( a ^ { * } ) E _ { m } ^ { \tau } ( E _ { n } ^ { \tau } ( a ) ) - E _ { m } ^ { \tau } ( E _ { n } ^ { \tau } ( a ^ { * } ) ) E _ { n } ^ { \tau } ( a ) } \\ & { \quad \quad \quad + E _ { m } ^ { \tau } ( E _ { n } ^ { \tau } ( a ^ { * } ) ) E _ { m } ^ { \tau } ( E _ { n } ^ { \tau } ( a ) ) ) } \\ & { \quad = E _ { m } ^ { \tau } ( E _ { n } ^ { \tau } ( a ^ { * } ) E _ { n } ^ { \tau } ( a ) ) - E _ { m } ^ { \tau } ( E _ { n } ^ { \tau } ( a ^ { * } ) E _ { m } ^ { \tau } ( E _ { n } ^ { \tau } ( a ) ) ) - E _ { m } ^ { \tau } ( E _ { m } ^ { \tau } ( E _ { n } ^ { \tau } ( a ^ { * } ) ) E _ { n } ^ { \tau } ( a ) ) } \\ & { \quad \quad \quad + E _ { m } ^ { \tau } ( E _ { m } ^ { \tau } ( E _ { n } ^ { \tau } ( a ^ { * } ) ) E _ { m } ^ { \tau } ( E _ { n } ^ { \tau } ( a ) ) ) } \\ & { \quad = E _ { m } ^ { \tau } ( E _ { n } ^ { \tau } ( a ^ { * } ) E _ { n } ^ { \tau } ( a ) ) - E _ { m } ^ { \tau } ( E _ { n } ^ { \tau } ( a ^ { * } ) ) E _ { m } ^ { \tau } ( E _ { n } ^ { \tau } ( a ) ) - E _ { m } ^ { \tau } ( E _ { n } ^ { \tau } ( a ^ { * } ) ) E _ { m } ^ { \tau } ( E _ { n } ^ { \tau } ( a ) ) } \\ & { \quad \quad \quad + E _ { m } ^ { \tau } ( E _ { m } ^ { \tau } ( E _ { n } ^ { \tau } ( a ^ { * } ) ) E _ { m } ^ { \tau } ( E _ { n } ^ { \tau } ( a ) ) ) } \\ & { \quad = E _ { m } ^ { \tau } ( E _ { n } ^ { \tau } ( a ^ { * } ) E _ { n } ^ { \tau } ( a ) ) - E _ { m } ^ { \tau } ( a ^ { * } ) E _ { m } ^ { \tau } ( a ) - E _ { m } ^ { \tau } ( a ^ { * } ) E _ { m } ^ { \tau } ( a ) } \\ & { \quad \quad \quad + E _ { m } ^ { \tau } ( E _ { m } ^ { \tau } ( E _ { n } ^ { \tau } ( a ^ { * } ) ) E _ { m } ^ { \tau } ( E _ { n } ^ { \tau } ( a ) ) ) } \\ & { \quad = E _ { m } ^ { \tau } ( E _ { n } ^ { \tau } ( a ^ { * } ) E _ { n } ^ { \tau } ( a ) ) - 2 E _ { m } ^ { \tau } ( a ^ { * } ) E _ { m } ^ { \tau } ( a ) + E _ { m } ^ { \tau } ( E _ { m } ^ { \tau } ( E _ { n } ^ { \tau } ( a ^ { * } ) ) E _ { m } ^ { \tau } ( E _ { n } ^ { \tau } ( a ) ) ) } \\ & { \quad = E _ { m } ^ { \tau } ( E _ { n } ^ { \tau } ( a ^ { * } ) E _ { n } ^ { \tau } ( a ) ) - 2 E _ { m } ^ { \tau } ( a ^ { * } ) E _ { m } ^ { \tau } ( a ) + E _ { m } ^ { \tau } ( a ^ { * } ) E _ { m } ^ { \tau } ( a ) . } \end{array}
\mathrm { L S } _ { s } ^ { \mathrm { c o h } } : \left\{ \begin{array} { c l } { \mathrm { H i t c h i n - s m a l l ~ c o h e r e n t } } \\ { \mathrm { H i g g s - S e n ~ m o d u l e s ~ o n ~ { \mathcal ~ X } ~ } } \end{array} \right\} \hookrightarrow \left\{ \begin{array} { c l } { \mathcal { O } _ { { \mathcal X } _ { v } } \mathrm { - m o d u l e s } } \\ { \mathrm { o n ~ ( { \mathcal ~ X } _ v , \mathcal { O } _ { { \mathcal ~ X } _ v } ) ~ } } \end{array} \right\} .
\begin{array} { r l } { | \xi _ { \textnormal { l a r g e } } ^ { 3 } | } & { \leq \underbrace { C \rho ^ { 3 } ( s ( \log N ) ^ { 3 } ) ^ { 3 } ( a ^ { 3 } \rho \log ( b / a ) ) ^ { 3 } } _ { \textnormal { t y p e ( A ) d i a g r a m s } } + \underbrace { C \rho ^ { 3 } a ^ { 3 } \rho \log ( b / a ) } _ { \textnormal { t y p e ( B ) d i a g r a m s } } } \\ & { \leq C a ^ { 3 } \rho ^ { 4 } \log ( b / a ) \left[ s ^ { 3 } a ^ { 6 } \rho ^ { 2 } ( \log ( b / a ) ) ^ { 2 } ( \log N ) ^ { 9 } + 1 \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { \tilde { X } | \tilde { Y } \in [ 0 , N ) } ( \tilde { x } ) } & { = \int _ { 0 } ^ { N } p _ { \tilde { X } | U , \tilde { Y } \in [ 0 , N [ } ( \tilde { x } | u ) \cdot p _ { U | \tilde { Y } \in [ 0 , N [ } ( u ) ~ d u } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { N } p _ { \tilde { X } | U } ( \tilde { x } | u ) \cdot p _ { U | \tilde { Y } \in [ 0 , N [ } ( u ) ~ d u , } \end{array}
g _ { \mathcal { H } , r } \left( \frac { | V _ { 1 } ( \mathcal { G } _ { n } ) | } { n } , \dots , \frac { | V _ { t } ( \mathcal { G } _ { n } | } { n } \right) \ge \left( 1 - \frac { c _ { 2 } } { n } \right) \frac { | \mathcal { G } _ { n } | } { \binom { n } { r } } \ge \left( 1 - \frac { c _ { 2 } } { n } \right) \rho ( \mathcal { H } , r , n ) .
{ \begin{array} { l } { { \boldsymbol { \it { T e O D } } } = { \frac { { \partial } ^ { 1 0 } } { \partial { \omega } ^ { \mathrm { 1 0 } } } } k \mathrm { ( } \omega \mathrm { ) } = { \frac { \mathrm { 1 } } { c } } \left( \mathrm { 1 0 } { \frac { { \partial } ^ { 9 } n \mathrm { ( } \omega \mathrm { ) } } { \partial { \omega } ^ { \mathrm { 9 } } } } + \omega { \frac { { \partial } ^ { 1 0 } n \mathrm { ( } \omega \mathrm { ) } } { \partial { \omega } ^ { \mathrm { 1 0 } } } } \right) = { \frac { \mathrm { 1 } } { c } } { \left( { \frac { \lambda } { \mathrm { 2 } \pi c } } \right) } ^ { \mathrm { 9 } } { \Bigl ( } \mathrm { 1 8 1 4 4 0 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 2 } } { \frac { { \partial } ^ { 2 } n \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 2 } } } } + \mathrm { 4 8 3 8 4 0 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 3 } } { \frac { { \partial } ^ { 3 } n \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 3 } } } } + \mathrm { 4 2 3 3 6 0 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 4 } } { \frac { { \partial } ^ { 4 } n \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 4 } } } } + { 1 6 9 3 4 4 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 5 } } { \frac { { \partial } ^ { 5 } n \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 5 } } } } + } \\ { + \mathrm { 3 5 2 8 0 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 6 } } { \frac { { \partial } ^ { 6 } n \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 6 } } } } + \mathrm { 4 0 3 2 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 7 } } { \frac { { \partial } ^ { 7 } n \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 7 } } } } + \mathrm { 2 5 2 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 8 } } { \frac { { \partial } ^ { 8 } n \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 8 } } } } + \mathrm { 8 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 9 } } { \frac { { \partial } ^ { 9 } n \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 9 } } } } + { \lambda } ^ { \mathrm { 1 0 } } { \frac { { \partial } ^ { 1 0 } n \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 1 0 } } } } { \Bigr ) } } \end{array} }
\begin{array} { r l r } & { } & { H = \Omega / \sqrt { 2 } ( | g g \rangle \langle r _ { 0 } g ^ { + } | + h . c . ) + \Omega / \sqrt { 2 } ( | r _ { 0 } g ^ { + } \rangle \langle r _ { 0 } r _ { 0 } | + h . c . ) } \\ & { } & { + \sum _ { i , j , k , l } \frac { C _ { 3 _ { i j , k l } } ( \theta ) } { R ^ { 3 } } ( | r _ { l } r _ { k } \rangle \langle r _ { i } r _ { j } | + h . c . ) + \sum _ { i , j } \delta _ { i j } | r _ { i } r _ { j } \rangle \langle r _ { i } r _ { j } | } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| U \| _ { H ^ { k - 1 } } } & { \leq C \epsilon , } \\ { \| g - \gamma \| _ { H ^ { k } } + \| \Sigma \| _ { H ^ { k - 1 } } } & { \leq C \epsilon e ^ { - \lambda T } , } \\ { \| N - 3 \| _ { H ^ { k } } + \| X \| _ { H ^ { k } } + \| \partial _ { T } N \| _ { H ^ { k - 1 } } + \| \partial _ { T } X \| _ { H ^ { k - 1 } } } & { \leq C \epsilon e ^ { - T } . } \end{array}
\alpha _ { q } ^ { 2 } ( k ) | [ J \widehat { F } ^ { ( i ) } ( 0 ) ] _ { q r } | ^ { 2 } < \frac { \xi ^ { 2 } } { D ^ { 2 } } \left| \sum _ { l = 1 } ^ { n } \alpha _ { l } ( j ) \Re ( [ J \widehat { F } ^ { ( i ) } ( 0 ) ] _ { l l } ) \right| \left| \sum _ { l = 1 } ^ { n } \alpha _ { l } ( k ) \Re ( [ J \widehat { F } ^ { ( i ) } ( 0 ) ] _ { l l } ) \right|
\begin{array} { r l } & { \| f _ { \varepsilon } \| _ { L ^ { s } ( \Omega ) } \leq C _ { 1 } \varepsilon ^ { \frac { 1 } { 2 } } , \quad \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ 2 < s < n ~ } } \\ & { \left\| \frac { f _ { \varepsilon } } { \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | } \right\| _ { L ^ { t } ( \Omega ) } \leq C _ { 2 } , \quad \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ t > \frac { n - 2 } { s - 2 } s > \operatorname* { m a x } \{ s , n - 2 \} ~ } ; } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \big | \mathbb { E } _ { \boldsymbol { Q } | _ { \boldsymbol { x } ^ { * } } } [ S T T ( \boldsymbol { Q } | _ { \boldsymbol { x } ^ { * } } ) ] - S S T ( \boldsymbol { q } ^ { * } ) \big | \leq 2 L \cdot \left\lVert \boldsymbol { \epsilon } \right\rVert _ { 1 } + L \cdot \big ( \left\lVert \mathbb { E } [ \boldsymbol { Q } | _ { \boldsymbol { x } ^ { * } } ] \right\rVert _ { 1 } + \left\lVert \boldsymbol { q } ^ { \mathrm { M a x } } \right\rVert _ { 1 } + 2 \left\lVert \boldsymbol { \epsilon } \right\rVert _ { 1 } \big ) \cdot \left\lVert \boldsymbol { \Gamma } \right\rVert _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { H [ p ] } & { = H [ p ( s _ { \mathrm { k } } ) ] - \sum _ { s _ { \mathrm { k } } } p ( s _ { \mathrm { k } } ) \left( H [ p ( s _ { \mathrm { i } } | s _ { \mathrm { k } } ) ] + \right. } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left. H [ p ( s _ { \mathrm { j } } | s _ { \mathrm { k } } ) ] \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } h ( h ^ { \prime \prime } + h ) d \theta } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { 2 N } \int _ { ( k - 1 ) \pi / N } ^ { k \pi / N } h ( h ^ { \prime \prime } + h ) d \theta } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \mathrm { ~ k ~ e v e n } } \int _ { ( k - 1 ) \pi / N } ^ { k \pi / N } ( 1 - x _ { k } \cdot u ( \theta ) ) d \theta } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \mathrm { ~ k ~ e v e n } } \left\{ \frac { \pi } { N } - \frac { \left( \sin \left( \frac { k \pi } { N } \right) - \sin \left( \frac { ( k - 1 ) \pi } { N } \right) \right) ^ { 2 } + \left( \cos \left( \frac { k \pi } { N } \right) - \cos \left( \frac { ( k - 1 ) \pi } { N } \right) \right) ^ { 2 } } { 2 \sin \left( \frac { \pi } { N } \right) } \right\} } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \mathrm { ~ k ~ e v e n } } \left\{ \frac { \pi } { N } - \frac { 1 - \cos \left( \frac { \pi } { N } \right) } { \sin \left( \frac { \pi } { N } \right) } \right\} } \\ & { = \frac { \pi } { 2 } \left( 1 - \frac { 1 - \cos \left( \frac { \pi } { N } \right) } { \frac { \pi } { N } \sin \left( \frac { \pi } { N } \right) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \Delta _ { i } } & { = ( k + 1 ) \times \frac { \lambda _ { s } } { \lambda } \frac { n } { k + 1 } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { k + 1 } \frac { 1 } { j } \right) + ( n - k - 1 ) \times \frac { \lambda _ { s } } { \lambda } n } \\ & { = \frac { \lambda _ { s } } { \lambda } \left( n \left( \sum _ { j = 1 } ^ { k + 1 } \frac { 1 } { j } \right) + n ( n - k - 1 ) \right) } \end{array}
{ \hat { U } } ( t _ { 1 } , t _ { 0 } ) = 1 + { \frac { 1 } { i \hbar } } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 1 } } { \hat { H } } ( t ) d t + { \frac { 1 } { ( i \hbar ) ^ { 2 } } } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 1 } } d t ^ { \prime } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t ^ { \prime } } d t ^ { \prime \prime } { \hat { H } } ( t ^ { \prime } ) { \hat { H } } ( t ^ { \prime \prime } ) + \cdots .
\begin{array} { r l r l } { A _ { \alpha \beta } } & { = \left\langle \epsilon _ { 1 } \nabla \phi _ { 1 } ^ { \alpha } , \nabla \phi _ { 1 } ^ { \beta } \right\rangle _ { \Omega _ { 1 } } , } & { \widetilde { M } _ { \alpha \beta } } & { = \left\langle \epsilon _ { 1 } \lambda _ { 1 } ^ { \beta } , \gamma \phi _ { 1 } ^ { \alpha } \right\rangle _ { \Gamma } , } \\ { K _ { \alpha \beta } } & { = \left\langle K _ { Y } ^ { \Gamma } \gamma \phi _ { 1 } ^ { \alpha } , \lambda _ { 1 } ^ { \beta } \right\rangle _ { \Gamma } , } & { V _ { \alpha \beta } } & { = \left\langle V _ { Y } ^ { \Gamma } \epsilon _ { 1 } \lambda _ { 1 } ^ { \alpha } , \lambda _ { 1 } ^ { \beta } \right\rangle _ { \Gamma } , } \\ { M _ { \alpha \beta } } & { = \left\langle \gamma \phi _ { 1 } ^ { \alpha } , \lambda _ { 1 } ^ { \beta } \right\rangle _ { \Gamma } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | ( u - w ) ( \cdot , z ) | } & { \leq ( \delta + \varepsilon ( \Lambda _ { 2 } z _ { 0 } ) ) \cdot \left( \frac { z } { \Lambda _ { 2 } z _ { 0 } } \right) ^ { \mu _ { 1 } - 1 } \cdot \bar { \psi } _ { 1 } , \ \ \ \ \ \forall z \in [ \Lambda _ { 2 } z _ { 0 } , + \infty ) ; } \\ { \| u \| _ { C _ { \star } ^ { 2 } , S \times [ \Lambda _ { 2 } z _ { 0 } , + \infty ) } } & { \leq \delta . } \end{array}
\left( \begin{array} { l l l l } { a ( \theta ) a ( \theta + \frac { \tau } { 2 } ) + b ( \theta ) - \alpha } & { \beta } & { a ( \theta ) b ( \theta + \frac { \tau } { 2 } ) } & { 0 } \\ { - \beta } & { a ( \theta ) a ( \theta + \frac { \tau } { 2 } ) + b ( \theta ) - \alpha } & { 0 } & { a ( \theta ) b ( \theta + \frac { \tau } { 2 } ) } \\ { a ( \theta - \frac { \tau } { 2 } ) } & { 0 } & { b ( \theta - \frac { \tau } { 2 } ) - \alpha } & { \beta } \\ { 0 } & { a ( \theta - \frac { \tau } { 2 } ) } & { - \beta } & { b ( \theta - \frac { \tau } { 2 } ) - \alpha } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { K _ { 1 } : = c \left( 5 \nu + \frac { M _ { 1 } M _ { 2 } } { \nu \lambda _ { 1 } ^ { 3 / 2 } } + \frac { M _ { 0 } ^ { 2 } M _ { 1 } ^ { 2 } } { \nu ^ { 3 } \lambda _ { 1 } ^ { 1 / 2 } } + \frac { R _ { 1 } ^ { 4 } } { \nu ^ { 3 } \lambda _ { 1 } ^ { 3 / 2 } } + \frac { \mu ^ { 2 } } { \nu \lambda _ { 1 } ^ { 2 } } + \frac { \mu } { 4 \lambda _ { 1 } } \right) , } \end{array}
B _ { 2 p } = - { \frac { ( 2 p ) ! } { 2 ^ { 2 p } - 2 } } { \left| \begin{array} { l l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 1 } \\ { { \frac { 1 } { 3 ! } } } & { 1 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } \\ { { \frac { 1 } { 5 ! } } } & { { \frac { 1 } { 3 ! } } } & { 1 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & & { \vdots } & { \vdots } \\ { { \frac { 1 } { ( 2 p + 1 ) ! } } } & { { \frac { 1 } { ( 2 p - 1 ) ! } } } & { { \frac { 1 } { ( 2 p - 3 ) ! } } } & { \cdots } & { { \frac { 1 } { 3 ! } } } & { 0 } \end{array} \right| }
{ \begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { p \to \infty } M _ { p } ( x _ { 1 } , \dots , x _ { n } ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { p \to \infty } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } w _ { i } x _ { i } ^ { p } \right) ^ { 1 / p } } \\ & { = x _ { 1 } \operatorname* { l i m } _ { p \to \infty } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } w _ { i } \left( { \frac { x _ { i } } { x _ { 1 } } } \right) ^ { p } \right) ^ { 1 / p } } \\ & { = x _ { 1 } = M _ { \infty } ( x _ { 1 } , \dots , x _ { n } ) . } \end{array} }
2 E [ Q + \epsilon ] \sim \| \chi _ { R } \epsilon \| _ { \dot { \mathcal H } _ { m } ^ { 1 } } ^ { 2 } + \| ( 1 - \chi _ { R } ) \epsilon \| _ { \dot { \mathcal H } _ { m } ^ { 1 } } ^ { 2 } + R ^ { 2 } M ^ { 2 } \| \epsilon \| _ { \dot { \mathcal H } _ { m } ^ { 1 } } ^ { 4 } + \| \epsilon \| _ { \dot { \mathcal H } _ { m } ^ { 1 } } ^ { 3 } + \frac { 1 } { R } \| \epsilon \| _ { \dot { \mathcal H } _ { m } ^ { 1 } } + \| | \partial _ { r } \epsilon | + \frac { 1 } { r } \epsilon \| _ { L ^ { 2 } ( \frac { R } { 2 } \leq r \leq R ) } ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { \| u - u _ { h } \| _ { L ^ { \infty } ( \varOmega ) } \leqslant C \ell _ { h } h ^ { s } \| u \| _ { C ^ { s } ( \overline { \varOmega } ) } + C h ^ { r + 1 } \ell _ { h } \| f \| _ { L ^ { p } ( \varOmega ) } \quad \mathrm { f o r } \, \, \, u \in C ^ { s } ( \overline { \varOmega } ) , \, \, \, 0 \leqslant s \leqslant r + 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { \gamma } \circ F _ { \gamma ^ { \prime } } } & { = F _ { \gamma \circ \gamma ^ { \prime } } \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ c o m p o s a b l e ~ m o r p h i s m s ~ \gamma , ~ \gamma ' ~ } } \\ { a _ { k ^ { \prime } } \cdot F _ { \gamma } ( a _ { k } ) } & { = F _ { k ^ { \prime } \otimes \gamma } ( a _ { k ^ { \prime } } \cdot a _ { k } ) \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ a _ k \in ~ A _ k ~ a n d ~ a _ { k ' } \in ~ A _ { k ' } ~ } } \\ { F _ { \gamma } ( a _ { k } ) \cdot a _ { k ^ { \prime } } } & { = F _ { \gamma \otimes k ^ { \prime } } ( a _ { k } \cdot a _ { k ^ { \prime } } ) \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ a _ k \in ~ A _ k ~ a n d ~ a _ { k ' } \in ~ A _ { k ' } ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \textrm { T r } ( \eta _ { \delta } \phi ( \alpha _ { i } ) ) = - \sum _ { j = 1 } ^ { k } \textrm { T r } \left( v _ { j } \phi ( \beta _ { j } ) h _ { i \delta } ( \beta _ { j } ) \prod _ { \ell \in [ \Delta ] \setminus \{ i \} } \tilde { f } _ { \ell } ( \beta _ { j } ) \right) = } \\ & { - \sum _ { j = 1 } ^ { k } h _ { i \delta } ( \beta _ { j } ) \left( \textrm { T r } \left( v _ { j } \phi ( \beta _ { j } ) \right) \prod _ { \ell \in [ \Delta ] \setminus \{ i \} } \tilde { f } _ { \ell } ( \beta _ { j } ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { k } } & { = \frac { 1 } { \bar { \lambda } } P _ { k - 1 } - \frac { P _ { k - 1 } \phi _ { k } \phi _ { k } ^ { \top } P _ { k - 1 } } { \bar { \lambda } + \phi _ { k } ^ { \top } P _ { k - 1 } \phi _ { k } } , } \\ { \theta _ { k + 1 } } & { = \theta _ { k } + \frac { P _ { k - 1 } \phi _ { k } ( y _ { k + 1 } - \phi _ { k } ^ { \top } \theta _ { k } ) } { \bar { \lambda } + \phi _ { k } ^ { \top } P _ { k - 1 } \phi _ { k } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { 1 } [ F _ { j _ { 1 } } ] } & { = c ^ { 2 } \eta ^ { 1 - \gamma _ { 2 } } j ( s _ { 0 } ) \int \tau ^ { \gamma _ { 2 } - 1 } \frac { 1 + \tau ^ { 2 } } { 1 + s _ { 0 } ^ { 2 } } \exp ( - \kappa _ { k _ { 0 } } ( \tau - s _ { 0 } + \frac 1 3 ( \tau ^ { 3 } - s _ { 0 } ^ { 3 } ) ) ) } \\ & { \le 4 c ^ { 2 + \gamma _ { 1 } } \eta ^ { - 1 - \gamma _ { 2 } } j ( s _ { 0 } ) \int ( 1 + \tau ^ { 2 } ) \exp ( - \kappa _ { k _ { 0 } } ( \tau - s _ { 0 } + \frac 1 3 ( \tau ^ { 3 } - s _ { 0 } ^ { 3 } ) ) ) } \\ & { \le \frac { 4 c ^ { 2 + \gamma _ { 1 } } } { \kappa _ { k _ { 0 } } \eta ^ { 1 + \gamma _ { 2 } } } j ( s _ { 0 } ) } \end{array}
N _ { s } ( i , j ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , \quad \operatorname* { m a x } \{ | x _ { i } - x _ { j } | , | y _ { i } - y _ { j } | \} < \mathrm { d i s t } , } \\ { 0 , \quad \mathrm { o t h e r s } , } \end{array} \right. \ \ N _ { c } ( i , j ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , \quad } & { \| D _ { i } - D _ { j } \| _ { 2 } \leq \| D _ { i } - D _ { n _ { l } } \| _ { 2 } , } \\ { 0 , \quad } & { \mathrm { o t h e r } . } \end{array} \right.
{ \begin{array} { r l } { \eta ^ { \mu \kappa } { \Big ( } { \bar { T } } _ { \mu \nu } ( p ) \eta ^ { \nu \lambda } { \bar { T } } _ { \kappa \lambda } ( p ) } & { - { \frac { 1 } { m ^ { 2 } } } { \bar { T } } _ { \mu \nu } ( p ) p ^ { \nu } p ^ { \lambda } { \bar { T } } _ { \kappa \lambda } ( p ) { \Big ) } } \\ & { - { \frac { 1 } { m ^ { 2 } } } p ^ { \mu } p ^ { \kappa } { \Big ( } { \bar { T } } _ { \mu \nu } ( p ) \eta ^ { \nu \lambda } { \bar { T } } _ { \kappa \lambda } ( p ) - { \frac { 1 } { m ^ { 2 } } } { \bar { T } } _ { \mu \nu } ( p ) p ^ { \nu } p ^ { \lambda } { \bar { T } } _ { \kappa \lambda } ( p ) { \Big ) } = } \\ { { \Big ( } \eta ^ { \mu \kappa } - { \frac { 1 } { m ^ { 2 } } } p ^ { \mu } p ^ { \kappa } { \Big ) } { \Big ( } } & { { \bar { T } } _ { \mu \nu } ( p ) \eta ^ { \nu \lambda } { \bar { T } } _ { \kappa \lambda } ( p ) - { \frac { 1 } { m ^ { 2 } } } { \bar { T } } _ { \mu \nu } ( p ) p ^ { \nu } p ^ { \lambda } { \bar { T } } _ { \kappa \lambda } ( p ) { \Big ) } = } \\ & { { \bar { T } } _ { \mu \nu } ( p ) { \Big ( } \eta ^ { \mu \kappa } - { \frac { 1 } { m ^ { 2 } } } p ^ { \mu } p ^ { \kappa } { \Big ) } { \Big ( } \eta ^ { \nu \lambda } - { \frac { 1 } { m ^ { 2 } } } p ^ { \nu } p ^ { \lambda } { \Big ) } { \bar { T } } _ { \kappa \lambda } ( p ) . } \end{array} }
\sigma _ { \ell } ( { \ensuremath { \mathbb G } } , 1 ) \geq \frac { \ensuremath { \mathcal N } _ { \ell } ( { \ensuremath { \mathbb G } } ) ^ { 2 } } { 2 \ensuremath { \mathcal N } _ { \ell } ( { \ensuremath { \mathbb G } } ) + | { \ensuremath { \mathbb V } } \cap \Lambda _ { \ell } | } \geq \frac { \ensuremath { \mathcal N } _ { \ell } ( { \ensuremath { \mathbb G } } ) ^ { 2 } } { 3 | { \ensuremath { \mathbb V } } \cap \Lambda _ { \ell } | } \, .
\begin{array} { r l } & { p _ { \mathrm { F } } ( E _ { i } ^ { { \tt A } } , E _ { i } ^ { { \tt B } } \, ; \, E _ { f } ^ { { \tt A } } , E _ { f } ^ { { \tt B } } ) = p ( E _ { i } ^ { { \tt A } } , E _ { i } ^ { { \tt B } } ) \times p ( E _ { f } ^ { { \tt A } } , E _ { f } ^ { { \tt B } } \, | \, E _ { i } ^ { { \tt A } } , E _ { i } ^ { { \tt B } } , \mathrm { f o r w a r d ~ d y n a m i c s } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { I _ { M , M ^ { \prime } } ( \tau _ { h - 1 } ) \mathrel { \mathop : } = \mathbb { E } _ { 0 } { \left[ \left. \frac { \mathbb { P } _ { M } ( o _ { h } | \tau _ { h - 1 } ) \mathbb { P } _ { M ^ { \prime } } ( o _ { h } | \tau _ { h - 1 } ) } { \mathbb { P } _ { 0 } ( o _ { h } | \tau _ { h - 1 } ) ^ { 2 } } \right| \tau _ { h - 1 } \right] } . } \end{array}
\sum _ { \substack { i \in [ m ] \, R \ni ( x , y ) } } w _ { i , R } = \frac { 1 } { 1 + ( s - 1 ) 2 ^ { - t } } \left( \overbrace { \sum _ { \substack { i \in [ m ] \, R \ni ( x , y ) } } w _ { i , R } ^ { ( j ( x , y ) ) } } ^ { 1 } + \sum _ { j \in [ s ] \setminus \{ j ( x , y ) \} } \overbrace { \sum _ { \substack { i \in [ m ] \, R \ni ( x , y ) } } w _ { i , R } ^ { ( j ) } } ^ { 2 ^ { - t } } \right) = 1 ,
\begin{array} { r l } & { \quad \left( \mathrm { D } _ { \mathrm { U V } } ^ { \mathrm { ( X U Y V Z ) } } \right) _ { a c d f g i k l n p , b e h j m q } } \\ & { = \sum _ { u u ^ { ' } v v ^ { ' } } ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { X } } ) _ { a b } \, ( | u \rangle ) _ { c } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { Y } } ) _ { d e } \, ( | v \rangle ) _ { f } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { Z } } ) _ { g h } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { X } } ) _ { i j } \, ( | u ^ { ' } \rangle ) _ { k } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { Y } } ) _ { l m } \, ( | v ^ { ' } \rangle ) _ { n } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { Z } } ) _ { p q } \, \rho _ { u u ^ { ' } v v ^ { ' } } } \\ & { = \sum _ { u u ^ { ' } v v ^ { ' } } ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { X } } ) _ { a b } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { U } } ) _ { c u } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { Y } } ) _ { d e } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { V } } ) _ { f v } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { Z } } ) _ { g h } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { X } } ) _ { i j } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { U } } ) _ { k u ^ { ' } } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { Y } } ) _ { l m } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { V } } ) _ { n v ^ { ' } } \, ( \textbf { 1 } _ { \mathrm { Z } } ) _ { p q } \, \rho _ { u u ^ { ' } v v ^ { ' } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { u } ^ { t } \frac { \Vert b ^ { m } ( v , \cdot ) \Vert _ { \mathbb { B } _ { p , q } ^ { \beta } } } { ( v - s ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } } } & { \mathfrak { L } ( v , s , t , \rho ) \left[ \frac { ( t - s ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } } { ( t - v ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } } + 1 \right] \mathrm { d } v } \\ & { \leq \Vert b ^ { m } \Vert _ { L ^ { r } - \mathbb { B } _ { p , q } ^ { \beta } } \left( \int _ { u } ^ { t } \frac { \mathfrak { L } ( v , s , t , \rho ) ^ { r ^ { \prime } } } { ( v - s ) ^ { \frac { \rho { r ^ { \prime } } } { \alpha } } } \left[ \frac { ( t - s ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } } { ( t - v ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } } + 1 \right] ^ { r ^ { \prime } } \mathrm { d } v \right) ^ { \frac { 1 } { r ^ { \prime } } } . } \end{array}
\partial _ { t } f = - \nabla _ { ( r , v ) } \cdot \left( f \left( f \ast \left( \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { I } \\ { - I } & { 0 } \end{array} \right) - \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \psi ( r ) } \end{array} \right) \right) \left( \begin{array} { l } { \nabla \mathcal V ( r ) } \\ { v } \end{array} \right) \right) \right) .
\partial ^ { \beta } f ( t ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { { \displaystyle \frac { 1 } { \Gamma ( n - \beta ) } \int _ { 0 } ^ { t } \frac { f ^ { ( n ) } ( \tau ) } { ( t - \tau ) ^ { \beta + 1 - n } } \ensuremath { \mathrm { d } } \tau } , } & { \mathrm { i f ~ } \beta \neq n , } \\ { \frac { \ensuremath { \mathrm { d } } ^ { n } } { \ensuremath { \mathrm { d } } t ^ { n } } f ( t ) , } & { \mathrm { i f ~ } \beta = n , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \sum _ { j _ { 1 } = 1 , \cdots , j _ { N } = 1 } ^ { J _ { 1 } , \cdots , J _ { N } } \mathbb { E } f _ { \mathcal { X } } ( \theta _ { j _ { 1 } , \cdots , j _ { N } } ) } & { = } & { \frac { \prod _ { j = 1 } ^ { N } J _ { j } } { \prod _ { i = 1 } ^ { M } I _ { i } } \sum _ { j _ { 1 } = 1 , \cdots , j _ { N } = 1 } ^ { J _ { 1 } , \cdots , J _ { N } } \mathbb { E } ( \theta _ { j _ { 1 } , \cdots , j _ { N } } ) \left\vert \langle \mathcal { U } _ { j _ { 1 } , \cdots , j _ { N } } , \mathcal { X } \rangle \right\vert ^ { 2 } } \\ & { = } & { \sum _ { j _ { 1 } = 1 , \cdots , j _ { N } = 1 } ^ { J _ { 1 } , \cdots , J _ { N } } \left\vert \langle \mathcal { U } _ { j _ { 1 } , \cdots , j _ { N } } , \mathcal { X } \rangle \right\vert ^ { 2 } } \\ & { = } & { \left\Vert \mathcal { U } \star _ { N } \mathcal { X } \right\Vert _ { 2 } ^ { 2 } = 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \rVert K _ { 2 0 } - 6 \varepsilon ^ { 2 b } \mathbb { A } \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \le _ { \mathtt { p e } , s } \varepsilon ^ { 2 b + 2 } + \varepsilon ^ { 2 b } \rVert \mathfrak { I } _ { 0 } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } } \\ & { \rVert K _ { 1 1 } [ \hat { \eta } ] \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \le _ { \mathtt { p e } , s } \varepsilon ^ { 5 - 2 b } \rVert \hat { \eta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } + \varepsilon ^ { 2 b - 1 } \rVert \mathfrak { I } _ { 0 } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \rVert \hat { \eta } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } } \\ & { \rVert K _ { 1 1 } ^ { T } [ \hat { w } ] \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ^ { 1 } ) } \le _ { \mathtt { p e } , s } \varepsilon ^ { 5 - 2 b } \rVert \hat { w } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } + \varepsilon ^ { 2 b - 1 } \rVert \mathfrak { I } _ { 0 } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \rVert \hat { w } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \, \mathrm { d } \rho _ { t } = } & { \; \frac { \sigma _ { t } ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } } { 2 } \frac { \, \mathrm { d } ^ { 2 } } { \, \mathrm { d } x ^ { 2 } } \rho _ { t } \, \mathrm { d } t + \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } ( \sigma _ { t } ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } ) \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } \rho _ { t } \, \mathrm { d } t } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \frac { \, \mathrm { d } ^ { 2 } } { \, \mathrm { d } x ^ { 2 } } ( \sigma _ { t } ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } ) \rho _ { t } \, \mathrm { d } t + \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } ( ( k * \rho _ { t } ) \rho _ { t } ) \, \mathrm { d } t - \nu \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } x } \rho _ { t } \, \mathrm { d } W _ { t } , \quad t \in [ 0 , T ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { 1 } \big ( \tilde { A } _ { 1 } - } & { \mathcal { S } [ M _ { 1 } \tilde { A } _ { 1 } M _ { 2 } ] \big ) G _ { 2 } \mathring { A } _ { 2 } G _ { 3 } } \\ { = } & { G _ { 1 } \tilde { A } _ { 1 } M _ { 2 } \mathring { A } _ { 2 } G _ { 3 } - \underline { { G _ { 1 } \tilde { A } _ { 1 } M _ { 2 } W G _ { 2 } \mathring { A } _ { 2 } G _ { 3 } } } + G _ { 1 } \tilde { A } _ { 1 } M _ { 2 } \mathcal { S } [ G _ { 2 } \mathring { A } _ { 2 } G _ { 3 } ] G _ { 3 } } \\ & { + G _ { 1 } \tilde { A } _ { 1 } M _ { 2 } \mathcal { S } [ G _ { 2 } - M _ { 2 } ] G _ { 2 } \mathring { A } _ { 2 } G _ { 3 } + G _ { 1 } \mathcal { S } [ ( G _ { 1 } - M _ { 1 } ) \tilde { A } _ { 1 } M _ { 2 } ] G _ { 2 } \mathring { A } _ { 2 } G _ { 3 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lVert \varphi _ { [ \tau _ { 2 } , 0 ] } - \mathcal { X } _ { [ \tau _ { 2 } , 0 ] } \rVert _ { \infty } } & { \leq \lVert ( \varphi _ { [ \tau _ { 1 } , 0 ] } - \mathcal { X } _ { [ \tau _ { 1 } , 0 ] } ) \circ \mathcal { X } _ { [ \tau _ { 2 } , \tau _ { 1 } ] } \rVert _ { \infty } + \lVert \varphi _ { [ \tau _ { 1 } , 0 ] } \circ \varphi _ { [ \tau _ { 2 } , \tau _ { 1 } ] } - \varphi _ { [ \tau _ { 1 } , 0 ] } \circ \mathcal { X } _ { [ \tau _ { 2 } , \tau _ { 1 } ] } \rVert _ { \infty } } \\ & { \leq \lVert \varphi _ { [ \tau _ { 1 } , 0 ] } - \mathcal { X } _ { [ \tau _ { 1 } , 0 ] } \rVert _ { \infty } + C ( \tau _ { 1 } ) \lVert \varphi _ { [ \tau _ { 2 } , \tau _ { 1 } ] } - \mathcal { X } _ { [ \tau _ { 2 } , \tau _ { 1 } ] } \rVert _ { \infty } } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } _ { x , \delta , u \geq 0 } \bigg \{ { \sum _ { i = 1 } ^ { n } } ( b _ { i } \log ( u _ { i } ) - \delta _ { i } ) \; \big | \; u _ { i } \leq \sigma \langle v _ { i } ( \gamma ) , { x } _ { i } \rangle + \delta _ { i } \; \forall i , \quad { \sum _ { i = 1 } ^ { n } } { x } _ { i } ^ { \tau } \leq 1 \; \forall \tau \bigg \} \; , } \\ { \operatorname* { m i n } _ { 1 _ { t } \geq \beta > 0 } \bigg \{ H _ { t } ( \beta ) \equiv \sigma { \sum _ { \tau = 1 } ^ { t } } \operatorname* { m a x } _ { i \in [ n ] } \beta _ { i } v _ { i } ( \theta ^ { \tau } ) - { \sum _ { i = 1 } ^ { n } } b _ { i } \log \beta _ { i } \bigg \} \; . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } \Gamma _ { 0 0 } ^ { 0 } } & { = \frac { \partial \alpha } { \partial t } , \quad } & & { \Gamma _ { 0 1 } ^ { 1 } = \frac { \partial \beta } { \partial t } , \quad } & & { \Gamma _ { 1 1 } ^ { 0 } = \frac { e ^ { 2 \beta } } { e ^ { 2 \alpha } } \frac { \partial \beta } { \partial t } , } \\ { \Gamma _ { 0 1 } ^ { 0 } } & { = \alpha ^ { \prime } ( r ) , \quad } & & { \Gamma _ { 0 0 } ^ { 1 } = \alpha ^ { \prime } ( r ) e ^ { 2 \alpha ( r ) - 2 \beta ( r ) } , \quad } & & { \Gamma _ { 1 1 } ^ { 1 } = \beta ^ { \prime } ( r ) , } \\ { \Gamma _ { 2 2 } ^ { 1 } } & { = - r e ^ { - 2 \beta ( r ) } , \quad } & & { \Gamma _ { 3 3 } ^ { 1 } = - r \sin ^ { 2 } \theta e ^ { - 2 \beta ( r ) } , \quad } & & { \Gamma _ { 1 2 } ^ { 2 } = \frac { 1 } { r } , } \\ { \Gamma _ { 3 3 } ^ { 2 } } & { = - \sin \theta \cos \theta , \quad } & & { \Gamma _ { 1 3 } ^ { 3 } = \frac { 1 } { r } , \quad } & & { \Gamma _ { 2 3 } ^ { 3 } = \frac { \cos \theta } { \sin \theta } . } \end{array}
\left\lVert \boldsymbol { \Sigma } _ { \epsilon } \right\rVert _ { \operatorname* { m a x } } = \operatorname* { m a x } _ { r , s } \left\lvert \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \epsilon _ { r , t } \epsilon _ { s , t } \right\rvert \leq \operatorname* { m a x } _ { r , t } \left\lVert \epsilon _ { r , t } \right\rVert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } \leq C .
\begin{array} { r } { [ I _ { \alpha } , I _ { \beta } ] \= 2 \, f _ { \ \alpha \beta } ^ { \gamma } \, I _ { \gamma } \quad \quad \textrm { a n d } \quad \quad \mathrm { t r } ( I _ { \alpha } \, I _ { \beta } ) \= 2 \, \eta _ { \alpha \beta } \quad \quad \textrm { w i t h } \quad ( \eta _ { \alpha \beta } ) = \mathrm { d i a g } ( - 1 , 1 , 1 ) \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { U , X } \quad } & { \left\Vert x ( N ) \right\Vert _ { P } ^ { 2 } + \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } \left( \left\Vert x ( k ) \right\Vert _ { Q } ^ { 2 } + \left\Vert u ( k ) \right\Vert _ { R } ^ { 2 } \right) } \\ { \textrm { s . t . } \quad } & { x ( k + 1 ) = A x ( k ) + B u ( k ) , \: k = 0 , . . . , N - 1 } \\ & { u ( k ) \in \mathcal { U } , \: k = 0 , . . . , N - 1 } \\ & { x ( k ) \in \mathcal { X } , \: k = 0 , . . . , N - 1 } \\ & { x ( N ) \in \mathcal { T } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| E \| } & { \; \leq \; \kappa \, \| [ H , D _ { 0 } ] \| \; + \; 2 \, \| H ^ { s } \| \, \operatorname* { m a x } \big \{ \| [ H , G _ { \rho } ( | D _ { 0 } | ) ] \| , \| H , G _ { \rho } ( | D _ { 0 } ^ { * } | ) ] \| \big \} } \\ & { \; \leq \; \kappa \, \| [ H , D _ { 0 } ] \| \; + \; \frac { 1 6 } { \rho } \, \| H ^ { s } \| \, \operatorname* { m a x } \big \{ \| [ H , | D _ { 0 } | ] \| , \| H , | D _ { 0 } ^ { * } | ] \| \big \} \; . } \end{array}
+ \left( \frac { y ^ { 1 } } { 1 ^ { a } } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 ^ { a } } + \frac { y ^ { 3 } } { 3 ^ { a } } + \frac { y ^ { 4 } } { 4 ^ { a } } + \frac { y ^ { 5 } } { 5 ^ { a } } \right) \frac { z ^ { 5 } } { 5 ^ { b } } + \left( \frac { y ^ { 1 } } { 1 ^ { a } } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 ^ { a } } + \frac { y ^ { 3 } } { 3 ^ { a } } + \frac { y ^ { 4 } } { 4 ^ { a } } + \frac { y ^ { 5 } } { 5 ^ { a } } + \frac { y ^ { 6 } } { 6 ^ { a } } \right) \frac { z ^ { 6 } } { 6 ^ { b } } + \cdots
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } \biggr \{ \frac { \lambda _ { n } | \Delta \mu _ { n } - \Delta \mu _ { n } ^ { * } | ^ { 2 } } { ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) | \Delta \mu _ { n } | ^ { 2 } } , \frac { \lambda _ { n } | \Delta v _ { n } - \Delta v _ { n } ^ { * } | } { ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) | \Delta \mu _ { n } | ^ { 2 } } \biggr \} \to \infty , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \bar { \mathbf R } _ { m + 1 , h } \| _ { { \mathcal J } ^ { 1 } ( t , c h ^ { - 1 } ) } } & { \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { c _ { * } \to c } \| \bar { \mathbf R } _ { m + 1 , h } ^ { \flat } \| _ { { \mathcal J } ^ { 1 } ( t , c _ { * } h ^ { - 1 } ) } + \operatorname* { l i m s u p } _ { c _ { * } \to c } \| \bar { \mathbf R } _ { m + 1 , h } ^ { \sharp } \| _ { { \mathcal J } ^ { 1 } ( t , c _ { * } h ^ { - 1 } ) } } \\ { * [ 2 m m ] } & { = h ^ { - 1 / 2 } e ^ { - c h ^ { - 1 } } O ( e ^ { - t } ) + O ( e ^ { - 2 t } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( Q _ { \mathbf { r } , \mu _ { 1 } , \nu _ { 1 } } ^ { R } \right) ^ { \dagger } } & { = \frac { d _ { R } } { \mathbf { m } ! } \sum _ { \sigma \in S _ { \mathbf { m } } } \left( \chi _ { \mathbf { r } , \mu _ { 1 } , \nu _ { 1 } } ^ { R } ( \sigma ) \right) ^ { \dagger } \left( \sigma ^ { - 1 } \right) ^ { \dagger } } \\ & { = \frac { d _ { R } } { \mathbf { m } ! } \sum _ { \sigma \in S _ { \mathbf { m } } } \chi _ { \mathbf { r } , \mu _ { 1 } , \nu _ { 1 } } ^ { R } ( \sigma ) \sigma } \\ & { = \frac { d _ { R } } { \mathbf { m } ! } \sum _ { \sigma \in S _ { \mathbf { m } } } \sum _ { \mathbf { t } } \sum _ { i , j } D _ { i j } ^ { R } ( \sigma ) B _ { \mathbf { r } , \mu _ { 1 } ; \mathbf { t } } ^ { R ; j } B _ { \mathbf { r } , \nu _ { 1 } ; \mathbf { t } } ^ { R ; i } \sigma } \\ & { = \frac { d _ { R } } { \mathbf { m } ! } \sum _ { \sigma \in S _ { \mathbf { m } } } \sum _ { \mathbf { t } } \sum _ { i , j } D _ { j i } ^ { R } ( \sigma ^ { - 1 } ) B _ { \mathbf { r } , \nu _ { 1 } ; \mathbf { t } } ^ { R ; i } B _ { \mathbf { r } , \mu _ { 1 } ; \mathbf { t } } ^ { R ; j } \sigma } \\ & { = \frac { d _ { R } } { \mathbf { m } ! } \sum _ { \sigma \in S _ { \mathbf { m } } } \chi _ { \mathbf { r } , \nu _ { 1 } , \mu _ { 1 } } ^ { R } ( \sigma ^ { - 1 } ) \sigma } \\ & { = \frac { d _ { R } } { \mathbf { m } ! } \sum _ { \tilde { \sigma } \in S _ { \mathbf { m } } } \chi _ { \mathbf { r } , \nu _ { 1 } , \mu _ { 1 } } ^ { R } ( \tilde { \sigma } ) \tilde { \sigma } ^ { - 1 } } \\ & { = Q _ { \mathbf { r } , \nu _ { 1 } , \mu _ { 1 } } ^ { R } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | r _ { n + 2 } | _ { 0 , 0 , 0 } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { n + 1 } ^ { \gamma } ( i _ { 0 } ) ) } } & { \le _ { \mathtt { p e } } \mathfrak { M } _ { \mathcal { R } _ { n + 1 } } ^ { \sharp , \gamma } ( 0 , s _ { 0 } ) , } \\ { | d _ { i } r _ { n + 2 } ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] | _ { 0 , 0 , 0 } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { n + 1 } ^ { \gamma } ( i _ { 0 } ) ) } } & { \le _ { \mathtt { p e } } \mathfrak { M } _ { d _ { i } \mathcal { R } _ { n + 1 } ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] } ^ { \sharp , \gamma } ( 0 , s _ { 0 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g } & { ( Q _ { W } \chi _ { + } , \Psi _ { 1 2 3 } ) - g ( \chi _ { + } , Q _ { W } \Psi _ { 1 2 3 } ) = \int d \mu \; Q ( \chi _ { + } \Psi _ { 1 2 3 } ) = \int d \mu \; d _ { R } ( \chi _ { + } \Psi _ { 1 2 3 } ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { r \to - \infty } \int _ { S ^ { 1 } } d Y \; \Theta ( r _ { 4 } - r ) \ \Psi _ { 1 2 3 } \Big | _ { \psi = 0 } = \operatorname* { l i m } _ { r \to - \infty } \int _ { S ^ { 1 } } d Y \; \Psi _ { 1 2 3 } \Big | _ { \psi = 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \eta } & { = } & { \frac { W _ { L } } { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \alpha 2 \sigma \sqrt { \pi } e ^ { - 4 \sigma ^ { 2 } \pi ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } } \frac { 1 } { W _ { L } } \mathrm { r e c t } \left[ \frac { \alpha } { W _ { L } } \right] \right) ^ { 2 } \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \beta 2 \sigma \sqrt { \pi } e ^ { - 4 \sigma ^ { 2 } \pi ^ { 2 } \beta ^ { 2 } } \mathrm { r e c t } \left[ \beta \right] \right) ^ { 2 } } \\ & { = } & { \frac { W _ { L } } { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } \left( \int _ { - \frac { W _ { L } } { 2 } } ^ { \frac { W _ { L } } { 2 } } d \alpha \frac { 2 \sigma \sqrt { \pi } } { W _ { L } } e ^ { - 4 \sigma ^ { 2 } \pi ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \left( \int _ { - \frac { 1 } { 2 } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } d \beta 2 \sigma \sqrt { \pi } e ^ { - 4 \sigma ^ { 2 } \pi ^ { 2 } \beta ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } \\ & { = } & { \frac { W _ { L } } { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } \frac { 1 } { \pi ^ { 2 } W _ { L } ^ { 2 } } \left( \int _ { - \sigma \pi W _ { L } } ^ { \sigma \pi W _ { L } } d \left( 2 \sigma \pi \alpha \right) e ^ { - \left( 2 \sigma \pi \alpha \right) ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \left( \int _ { - \sigma \pi } ^ { \sigma \pi } d \left( 2 \sigma \pi \beta \right) e ^ { - \left( 2 \sigma \pi \beta \right) ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 \pi W _ { L } } \frac { \mathrm { E r f } \left( W _ { L } \pi \sigma \right) ^ { 2 } \mathrm { E r f } \left( \pi \sigma \right) ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \imath _ { X Y } ( 0 , 0 | D , D , P _ { X Y } ) } & { = \imath _ { X Y } ( 1 , 1 | D , D , P _ { X Y } ) } \\ { * } & { = \log \frac { 1 } { ( 2 p - 1 ) D - ( 2 p - 1 ) D ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( 1 - p ) } - 2 H _ { \mathrm { b } } ( D ) , } \\ { \imath _ { X Y } ( 0 , 1 | D , D , P _ { X Y } ) } & { = \imath _ { X Y } ( 1 , 0 | D , D , P _ { X Y } ) } \\ { * } & { = \log \frac { 1 } { ( 2 p - 1 ) D ^ { 2 } - ( 2 p - 1 ) D + \frac { 1 } { 2 } p } - 2 H _ { \mathrm { b } } ( D ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P _ { N + 1 | k } ^ { \mathrm { ( i i ) } } = \frac { \tau _ { \mathrm { m } } } { \tau _ { \mathrm { d } } } - N } \\ & { - \frac { \tau _ { \mathrm { m } } } { \tau _ { \mathrm { d } } } \sum _ { l = k - N } ^ { k } \binom { k } { l } B _ { N \frac { \tau _ { \mathrm { d } } } { \tau _ { \mathrm { m } } } , 1 } \left( l + 1 , k - l + 1 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { \textnormal { J a s } } ^ { ( 3 ) } } & { \leq C f _ { 1 2 } ^ { 2 } f _ { 1 3 } ^ { 2 } f _ { 2 3 } ^ { 2 } \Bigl [ \rho ^ { 7 } | x _ { 1 } - x _ { 2 } | ^ { 2 } | x _ { 2 } - x _ { 3 } | ^ { 2 } + a ^ { 2 } \rho ^ { 5 } ( \log ( b / a ) ) ^ { 2 } ( \log N ) ^ { 2 } } \\ & { \qquad + a \rho ^ { 6 } \left( ( b ^ { 2 } \rho ^ { 2 } + \log ( b / a ) ) \right) \left[ | x _ { 1 } - x _ { 2 } | ^ { 2 } + | x _ { 1 } - x _ { 3 } | ^ { 2 } + | x _ { 2 } - x _ { 3 } | ^ { 2 } \right] \Bigr ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \| \phi \| ^ { 2 } } & { + \| \phi _ { t } \| ^ { 2 } + \int _ { \Omega } u \cdot \nabla \phi ( \phi + \phi _ { t } ) d x } \\ & { = \int _ { \Omega } \gamma \lambda \Delta \phi ( \phi + \phi _ { t } ) d x - \int _ { \Omega } ( \gamma \lambda f ^ { \prime } ( \phi ) + \gamma \rho ^ { \prime } ( \phi ) \frac { | u | ^ { 2 } } { 2 } ) ( \phi + \phi _ { t } ) d x . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { E } _ { x , y } [ \left| \alpha _ { \mathrm { c o h } } \middle > \middle < \alpha _ { \mathrm { c o h } } \right| ] = \exp [ - | \alpha | ^ { 2 } ] ( 1 - \lambda _ { x } ^ { 2 } ) ( 1 - \lambda _ { y } ^ { 2 } ) \Bigg [ \sum _ { a , b = 0 } ^ { \infty } \frac { ( \lambda _ { x } \lambda _ { y } ) ^ { a + b } \alpha ^ { a } \alpha ^ { * b } } { \sqrt { a ! b ! } } \left( \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \frac { \chi _ { x , m } } { \sqrt { 1 - \chi _ { y , m } ^ { 2 } } } \right) \left| a \middle > \middle < b \right| } \\ { - \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \frac { \lambda _ { x } ^ { 2 m } } { \sqrt { 1 - \chi _ { y , m } ^ { 2 } } } \left( \sum _ { a = 0 } ^ { \infty } \chi _ { x , a } \frac { | \lambda _ { y } \alpha | ^ { 2 a } } { a ! } \right) \left| m \middle > \middle < m \right| \Bigg ] + \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \chi _ { x , m } \left| m \middle > \middle < m \right| . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { g ( x _ { t + 1 } , y _ { t + 1 } ) - G ( x _ { t + 1 } ) - \big ( g ( x _ { t } , y _ { t } ) - G ( x _ { t } ) \big ) } \\ & { \leq - \frac { \eta _ { t } \lambda \mu } { 2 } \big ( g ( x _ { t } , y _ { t } ) - G ( x _ { t } ) \big ) + \frac { \eta _ { t } } { 8 \gamma } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } - \frac { \eta _ { t } } { 4 \lambda } \| \tilde { y } _ { t + 1 } - y _ { t } \| ^ { 2 } + \eta _ { t } \lambda \| \nabla _ { y } g ( x _ { t } , y _ { t } ) - v _ { t } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d \rho } \left( 1 + \frac { \mu _ { \varepsilon } ( B _ { \rho } ) } { \rho ^ { n } } \right) } & { = \frac { d } { d \rho } \left( \frac { \mu _ { \varepsilon } ( B _ { \rho } ) } { \rho ^ { n } } \right) \geq - \frac { 1 } { \rho ^ { n + 1 } } \xi _ { \varepsilon } ( B _ { \rho } ) - C ( \Lambda _ { 0 } ) \rho ^ { - \frac { n } { q _ { 0 } } } \left( 1 + \frac { \mu _ { \varepsilon } ( B _ { \rho } ) } { \rho ^ { n } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 2 \beta _ { k } } { | \tilde { h } _ { k } | ^ { 2 } } = - \sqrt { \frac { \frac { \partial f ( \mu , \kappa , \varepsilon , \zeta , \xi , \varpi ) } { \partial \mu } } { \frac { \partial f ( \mu , \kappa , \varepsilon , \zeta , \xi , \varpi ) } { \partial \kappa } } } \frac { ( 1 - \rho _ { k } ) } { \rho _ { k } } } & { \frac { \frac { \partial f ( \mu , \kappa , \varepsilon , \zeta , \xi , \varpi ) } { \partial \zeta } } { \bigg ( \frac { \partial f ( \mu , \kappa , \varepsilon , \zeta , \xi , \varpi ) } { \partial \varpi } + \sqrt { \frac { \partial f ( \mu , \kappa , \varepsilon , \zeta , \xi , \varpi ) } { \partial \kappa } } \frac { \sqrt { { \frac { \partial f ( \mu , \kappa , \varepsilon , \zeta , \xi , \varpi ) } { \partial \mu } } } } { \rho _ { k } } \bigg ) } . } \end{array}
\left| \left\langle { N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } ^ { \circ } G _ { 1 } } \right\rangle \left\langle { G _ { 1 } A _ { 1 } G _ { 2 } ^ { t } A _ { 2 } N \mathrm { d i a g } ( \tilde { S } _ { \mu } ) } \right\rangle \right| \prec \frac { 1 } { N \sqrt { \eta } } \Lambda _ { k } \Lambda _ { k + 1 } \prec \frac { \Lambda _ { k } ^ { 2 } } { N \sqrt { \eta } } + \frac { \Lambda _ { k + 4 } ^ { 2 } } { N \sqrt { \eta } } .
G ^ { \circ } = \left[ \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { a _ { 1 , s - 3 } } & { a _ { 2 , s - 3 } } & { a _ { 3 , s - 3 } } \\ { a _ { 1 , s - 4 } } & { a _ { 2 , s - 4 } } & { a _ { 3 , s - 4 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { a _ { 1 , 4 } } & { a _ { 2 , 4 } } & { a _ { 3 , 4 } } \\ { a _ { 1 , 3 } } & { a _ { 2 , 3 } } & { a _ { 3 , 3 } } \\ { a _ { 1 , 2 } } & { a _ { 2 , 2 } } & { a _ { 3 , 2 } } \\ { a _ { 1 , 1 } } & { a _ { 2 , 1 } } & { a _ { 3 , 1 } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r } { \int ( 2 - 2 \cos ( x - y ) ) ^ { - \frac { \alpha } { 2 } } ( \mathfrak { a } _ { 1 } ( x , y ) - \mathfrak { a } _ { 1 } ( x , x ) ) h ( y ) d y = \partial _ { y } \mathfrak { a } _ { 1 } ( x , x ) \frac { 1 } { 2 - \alpha } \partial _ { x } \Upsilon ^ { \alpha - 3 } h + \Upsilon _ { \mathfrak { a } _ { 2 } } ^ { \alpha - 3 } h . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \left[ ( Y _ { t } - \hat { Y } _ { t } ) ^ { 2 } \right] \leq ( 2 \sigma ^ { 2 } + 2 \bar { \mu } ) \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb { E } \left[ \left( Y _ { u } - \hat { Y } _ { u } \right) ^ { 2 } \right] d u + ( 2 \sigma ^ { 2 } + 2 \bar { \mu } ) \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb { E } \left[ \left( \hat { Y } _ { u } - S _ { 0 } \right) ^ { 2 } \right] d u . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left( \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq s \leq t } | X _ { s } ^ { \mu } - X _ { s } ^ { \nu } | ^ { \beta } \right) } \\ & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \mathbb { E } \left( \mathbb { E } \left( \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq s \leq t } | X _ { s } ^ { \mu } - X _ { s } ^ { \nu } | ^ { \beta } \bigm | \mathcal { G } \right) \mathbf { 1 } _ { N _ { t } = n } \right) } \\ & { = \mathbb { E } \left( \mathbb { E } \left( \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq s \leq t } | X _ { s } ^ { \mu } - X _ { s } ^ { \nu } | ^ { \beta } \bigm | \mathcal { G } \right) \mathbf { 1 } _ { t < T _ { 1 } } \right) + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \mathbb { E } \left( \mathbb { E } \left( \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq s \leq t } | X _ { s } ^ { \mu } - X _ { s } ^ { \nu } | ^ { \beta } \bigm | \mathcal { G } \right) \mathbf { 1 } _ { T _ { n } \leq t < T _ { n + 1 } } \right) } \\ & { \leq \mathbb { E } \left( \mathbb { E } \left( \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq s < t \wedge T _ { 1 } } | X _ { s } ^ { \mu } - X _ { s } ^ { \nu } | ^ { \beta } \bigm | \mathcal { G } \right) \mathbf { 1 } _ { t < T _ { 1 } } \right) } \\ & { \quad + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \mathbb { E } \left( \mathbb { E } \left( \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq s < t \wedge T _ { n + 1 } } | X _ { s } ^ { \mu } - X _ { s } ^ { \nu } | ^ { \beta } \bigm | \mathcal { G } \right) \mathbf { 1 } _ { T _ { n } \leq t < T _ { n + 1 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { d \left( \rho ( \mathbf { t } ^ { \prime } ) , W _ { k } + \rho ( \Gamma _ { k } ) \right) = d \left( \mathbf { w } _ { \tau ^ { \prime } } + \mathbf { w } _ { \tau } - \mathbf { w } _ { \sigma } + \tilde { \mathbf { s } } + \mathbf { v } , W _ { k } + \rho ( \Gamma _ { k } ) \right) } \\ { \gg \frac { n } { 2 } \vert \Delta _ { \mathfrak { x } } \vert ^ { \frac { 1 } { n } } - 2 n r \gg c \vert \Delta _ { \mathfrak { x } } \vert ^ { \frac { \kappa } { n } } = r } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| ( z - \mathcal { S } ( \boldsymbol { X } ) ) \boldsymbol { Y } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } } & { \geq C | z | \| \boldsymbol { Y } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } + C \| \boldsymbol { Y } \| _ { C ^ { 1 , \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } + C | z | ^ { 1 - \sigma } \| \boldsymbol { Y } \| _ { C ^ { \gamma + \sigma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } } \\ & { \quad - C ( R , | \boldsymbol { X } | _ { * } , \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } \| _ { C ^ { \gamma } ( { \mathbb { S } ^ { 2 } } ) } ) \| \boldsymbol { Y } \| _ { C ^ { \gamma + \sigma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } . } \end{array}
\textrm { o r d } \left( \epsilon _ { i , j } ^ { \ell } ( \iota _ { i } \circ \chi _ { \frac { e _ { j } } { e _ { 1 } } } ) ^ { \ast } \partial _ { y } ^ { \ell } \delta _ { i } \right) > \textrm { o r d } \left( \epsilon _ { i , j } ( \iota _ { i } \circ \chi _ { \frac { e _ { j } } { e _ { i } } } ) ^ { \ast } \partial _ { y } f _ { i - 1 } ^ { k _ { i } } \right)
+ 8 \left| \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } ^ { * } \} \right| ^ { 2 } \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { y } } \right| ^ { 2 } \} + 8 \left| \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } \} \right| ^ { 2 } \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { y } } \right| ^ { 2 } \} - \left| \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } ^ { 2 } \} \right| ^ { 2 } - \left| \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { * } a _ { \mathrm { y } } ^ { 2 } \} \right| ^ { 2 } + 1 6 \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } \} \left| \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } ^ { * } \} \right| ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \tilde { \rho } ( \omega ; \mu ) } & { = \frac 1 { \sqrt 2 } ( \tilde { \mathcal I } _ { 1 } + \tilde { \mathcal I } _ { 2 } ) , } \\ { \tilde { \mathcal I } _ { 1 } } & { : = \int _ { \omega } ^ { \tilde { \zeta } } \frac { d z } { \sqrt { G ( \omega ; \mu ) - G ( z ; \mu ) } } } \\ { \tilde { \mathcal I } _ { 2 } } & { : = \int _ { \tilde { \zeta } } ^ { \chi ( \omega , \mu ) } \frac { d z } { \sqrt { G ( \chi ( \omega , \mu ) ; \mu ) - G ( z ; \mu ) } } } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { ( \chi ( \omega , \mu ) - \tilde { \zeta } ) d \tau } { \sqrt { G ( \chi ( \omega , \mu ) ; \mu ) - G ( \chi ( \omega , \mu ) + \tau ( \tilde { \zeta } - \chi ( \omega , \mu ) ) ; \mu ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { K } _ { m } ( \theta ) } & { = } & { \int _ { \theta } ^ { \pi + \theta } d \theta _ { 2 } \, \mathrm { s i n } { \frac { \theta _ { 2 } - \theta } { 2 } } \, \mathrm { e } ^ { i n _ { 2 } \theta _ { 2 } } - \int _ { - \pi + \theta } ^ { \theta } d \theta _ { 2 } \, \mathrm { s i n } { \frac { \theta _ { 2 } - \theta } { 2 } } \, \mathrm { e } ^ { i n _ { 2 } \theta _ { 2 } } } \\ & { = } & { \int _ { \theta } ^ { \pi + \theta } { \frac { d \theta _ { 2 } } { 2 i } } \, \left[ \mathrm { e } ^ { i ( \theta _ { 2 } - \theta ) / 2 } - \mathrm { e } ^ { - i ( \theta _ { 2 } - \theta ) / 2 } \right] \, \mathrm { e } ^ { i n _ { 2 } \theta _ { 2 } } } \\ & { - } & { \int _ { - \pi + \theta } ^ { \theta } { \frac { d \theta _ { 2 } } { 2 i } } \, \left[ \mathrm { e } ^ { i ( \theta _ { 2 } - \theta ) / 2 } - \mathrm { e } ^ { - i ( \theta _ { 2 } - \theta ) / 2 } \right] \, \mathrm { e } ^ { i n _ { 2 } \theta _ { 2 } } } \\ & { = } & { { \frac { 1 } { ( 1 / 4 ) - n _ { 2 } ^ { 2 } } } \, \mathrm { e } ^ { i n _ { 2 } \theta } } \end{array}
T = \frac { T _ { 2 1 } T _ { 1 2 } e ^ { - i \omega _ { 2 } ^ { + } n _ { 2 } \ell } } { 1 - \Gamma _ { 2 1 2 } \Gamma _ { 2 1 2 } ^ { - } e ^ { - i ( \omega _ { 2 } ^ { + } + \omega _ { 2 } ^ { - } ) n _ { 2 } \ell } } \quad \mathrm { a n d } \quad \Gamma = \Gamma _ { 1 2 1 } \frac { 1 - e ^ { - i ( \omega _ { 2 } ^ { + } + \omega _ { 2 } ^ { - } ) n _ { 2 } \ell } } { 1 - \Gamma _ { 2 1 2 } \Gamma _ { 2 1 2 } ^ { - } e ^ { i ( \omega _ { 2 } ^ { + } + \omega _ { 2 } ^ { - } ) n _ { 2 } \ell } } .
\begin{array} { r } { \tilde { \tau } _ { l } : = \operatorname* { i n f } \left\lbrace t \geq 0 : \| u ^ { j _ { l } } ( t ) \| _ { \tilde { s } } \geq 1 + 2 ^ { - l + 1 } + \| u _ { 0 } ^ { j _ { l } } \| _ { \tilde { s } } \right\rbrace \wedge \operatorname* { i n f } \left\lbrace t \geq 0 : \, \| \partial _ { z z } u ^ { j _ { l } } ( t ) - \partial _ { z z } u _ { 0 } ^ { j _ { l } } \| _ { L ^ { \infty } } \geq \frac \kappa 4 \right\rbrace \wedge T , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } ^ { l , \mathcal { G } } ( \Sigma ) = } & { \left\{ f : \Sigma \rightarrow \mathbb { R } : f ( x ) = x _ { j } \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ } 1 \leq j \leq d , \right. } \\ & { \left. \quad \quad \quad \quad \quad \mathrm { ~ w h e r e ~ } x _ { j } \mathrm { ~ i s ~ t h e ~ } j \mathrm { - t h ~ c o m p o n e n t ~ o f ~ } x \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { \vec { X } } ( \vec { \lambda } + \vec { \delta } ) - I _ { \vec { X } } ( \vec { \lambda } ) } & { = I ( \vec { X } ; \vec { Y } , \vec { Y } ^ { \prime } ) - I ( \vec { X } ; \vec { Y } ) } \\ & { = I ( \vec { X } ; \vec { Y } ^ { \prime } | \vec { Y } ) } \\ & { = \int P _ { \vec { Y } } ( d \vec { y } ) I ( \vec { X } ; \vec { Y } ^ { \prime } | \vec { Y } = \vec { y } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { g _ { 0 } = \left\{ \begin{array} { l l } { - \frac { \sigma \sigma _ { 1 } ^ { - 1 } \mathcal { D } _ { 1 } } { d _ { \Gamma } } } & { \mathrm { i n ~ } \Gamma ( 3 \delta ) \backslash \Gamma , } \\ { - \sigma \sigma _ { 1 } ^ { - 1 } \mathbf { n } \cdot \nabla \mathcal { D } _ { 1 } } & { \mathrm { o n ~ } \Gamma . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { \mathrm { o } } ( v ) \approx } & { \frac { v ^ { n \, m } } { f ^ { \ast \, m } \, v ^ { \ast \, n \, m } \, 2 ^ { m } \, \tilde { v } ^ { \frac { m n } { 2 } } + v ^ { n \, m } } } \\ { = } & { \frac { v ^ { n \, m } } { f ^ { \ast \, m } \, 2 ^ { m } \, v ^ { \ast \, \frac { n m } { 2 } } \, v ^ { \frac { m n } { 2 } } + v ^ { n \, m } } } \\ { = } & { \frac { v ^ { \frac { n m } { 2 } } } { f ^ { \ast \, m } \, 2 ^ { m } \, v ^ { \ast \, \frac { n m } { 2 } } + v ^ { \frac { n m } { 2 } } } } \end{array}
{ \ensuremath { \boldsymbol } q } = { \ensuremath { \boldsymbol } q } _ { s } + \ensuremath { \epsilon } { \ensuremath { \boldsymbol } q } _ { 1 } + \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 2 } ) = \left( { \ensuremath { \boldsymbol } q } _ { s } ^ { c } + { \ensuremath { \boldsymbol } q } _ { s } ^ { d } \right) + \ensuremath { \epsilon } \left( { \ensuremath { \boldsymbol } q } _ { 1 } ^ { c } + { \ensuremath { \boldsymbol } q } _ { 1 } ^ { d } \right) + \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 f } \, \frac { \partial f } { \partial \dot { x } } \left[ \dot { x } \, \frac { \partial f } { \partial x } + \ddot { x } \, \frac { \partial f } { \partial \dot { x } } \right] } & { = 0 } \\ { \frac { \partial f } { \partial \dot { x } } \left[ \dot { x } \, \frac { \partial f } { \partial x } + \ddot { x } \, \frac { \partial f } { \partial \dot { x } } \right] } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 1 - \alpha } \log _ { 2 } \left[ \left( \frac { a + b \mu + c _ { 1 } \mu ^ { 2 } } { C } \right) ^ { \alpha } + \sum _ { i \neq 1 } \left( \frac { c _ { i } \mu ^ { 2 } } { C } \right) ^ { \alpha } \right] } \\ { \approx } & { \frac { 1 } { ( 1 - \alpha ) \ln { 2 } } \left( - \frac { d - c _ { 1 } } { a } \alpha \mu ^ { 2 } + \frac { 1 } { a } \sum _ { i \neq 1 } c _ { i } ^ { \alpha } \mu ^ { 2 \alpha } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \mathbb { E } [ | L I S ( \sigma ) - 2 \pi ^ { - 1 \slash 4 } n \beta _ { n } ^ { 1 \slash 4 } | ] } { n \beta _ { n } ^ { 1 \slash 4 } } } \\ & { \leq } & { C _ { L } ^ { \prime } \beta _ { n } ^ { - 3 \slash 4 } \exp ( - c _ { L } ^ { \prime } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 8 } \slash 2 ) + C _ { L } ^ { \prime } \beta _ { n } ^ { 1 \slash 4 } + C L ^ { - 1 \slash 2 } } \\ & { } & { + 2 \pi ^ { - 1 \slash 4 } \operatorname* { m a x } \Big \{ 1 - e ^ { - 6 L ^ { - 1 } } ( 1 - 2 L ^ { - 1 } ) ^ { 1 \slash 2 } ( 1 - \operatorname* { m a x } \{ c _ { L } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \slash 2 , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) , } \\ & { } & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad e ^ { 3 L ^ { - 1 } } ( 1 + L ^ { - 1 } ) ^ { 1 \slash 2 } ( 1 + \operatorname* { m a x } \{ c _ { L } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \slash 2 , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) - 1 \Big \} } \\ & { } & { + \frac { C L \gamma _ { n } } { n \beta _ { n } ^ { 1 \slash 2 } } + C L ^ { 2 } \beta _ { n } ^ { 1 \slash 4 } \exp ( - c \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } ) . } \end{array}
\mathrm { H e c k e } _ { G } ( R ) = \left\{ ( \mathcal { E } , \mathcal { E } ^ { \prime } \beta ) \ \bigg | \ \begin{array} { l l } { \mathcal { E } , \mathcal { E } ^ { \prime } \mathrm { \ s o n t \ d e s \ } G \mathrm { \ t o r s e u r s \ s u r \ } \mathbb { D } _ { R } , } \\ { \beta : \mathcal { E } | _ { \mathbb { D } _ { R } ^ { * } } \simeq \mathcal { E } ^ { \prime } | _ { \mathbb { D } _ { R } ^ { * } } \mathrm { \ e s t \ u n \ i s o m o r p h i s m e } } \end{array} \right\}
E ^ { \theta _ { 0 } } \left( \operatorname* { s u p } _ { \Vert \theta - \theta _ { 0 } \Vert < \delta } \operatorname* { s u p } _ { x _ { 0 } , x _ { 0 } ^ { \prime } , x _ { 1 } , x _ { 1 } ^ { \prime } \in \mathcal { X } } \frac { f ( Y _ { 0 } ; \theta | x _ { 0 } ) f ( Y _ { 1 } ; \theta | x _ { 1 } , Y _ { 0 } ) } { f ( Y _ { 0 } ; \theta | x _ { 0 } ^ { \prime } ) f ( Y _ { 1 } ; \theta | x _ { 1 } ^ { \prime } , Y _ { 0 } ) } \right) ^ { r } < \infty .
\begin{array} { r l } { \sigma _ { Q } ( k , 1 ) - \sigma _ { Q } ( k , 0 ) } & { = ( Q _ { 2 } + Q _ { 3 } + \cdots + Q _ { k + 1 } ) - ( Q _ { 1 } + Q _ { 2 } + \cdots + Q _ { k } ) = Q _ { k + 1 } - 1 , \mathrm { a n d } } \\ { \sigma _ { Q } ( k , 2 ) - \sigma _ { Q } ( k , 1 ) } & { = ( Q _ { 3 } + Q _ { 4 } + \cdots + Q _ { k + 2 } ) - ( Q _ { 2 } + Q _ { 3 } + \cdots + Q _ { k + 1 } ) = Q _ { k + 2 } - 3 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { 2 } = } & { \: - \frac { 1 } { 2 } a ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta ( r - M ) ^ { 2 - p } \Re ( K ^ { 2 } \psi \overline { { \underline { { L } } \psi } } ) } \\ { = } & { \: K \left( ( r - M ) ^ { 2 - p } \sin ^ { 2 } \theta O ( | K \psi | | \underline { { L } } \psi | ) \right) + \frac { 1 } { 4 } a ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta ( r - M ) ^ { 2 - p } \underline { { L } } \left( | K \psi | ^ { 2 } \right) } \\ { = } & { \: K \left( ( r - M ) ^ { 2 - p } \sin ^ { 2 } \theta O ( | K \psi | | \underline { { L } } \psi | ) \right) + \underline { { L } } \left( \frac { 1 } { 4 } a ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta ( r - M ) ^ { 2 - p } | K \psi | ^ { 2 } \right) } \\ { + } & { \: \frac { 1 } { 8 ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) } a ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta ( r - M ) ^ { 3 - p } | K \psi | ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { e } = } & { \ A _ { \eta } ^ { \lambda } ( t , j ) e - \Xi _ { c } ^ { \bar { \lambda } } ( t , j ) \tilde { \theta } - \gamma _ { c } \Gamma _ { c } ( t , j ) \psi ^ { \bar { \lambda } } ( t , j ) H \eta } \\ { \dot { \tilde { \theta } } = } & { \ - \gamma _ { c } \psi ^ { \bar { \lambda } } ( t , j ) \psi ^ { \bar { \lambda } } ( t , j ) ^ { \top } \tilde { \theta } + \gamma _ { c } \psi ^ { \bar { \lambda } } ( t , j ) H \eta } \\ { \dot { \eta } = } & { \ A _ { \eta } ^ { \lambda } ( t , j ) \eta } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( i ( f ) ) ( x ) - ( i ( F ) ) ( x ) } & { = \langle \delta _ { x } , i ( f - F ) \rangle } \\ & { = \langle i ^ { * } ( \delta _ { x } ) , f - F \rangle } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \mathscr { U } } \langle i ^ { * } ( \delta _ { x } ) , F _ { n } - F \rangle } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \mathscr { U } } \langle \delta _ { x } , i ( F _ { n } - F ) \rangle } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \mathscr { U } } \big ( ( i ( F _ { n } ) ) ( x ) - ( i ( F ) ) ( x ) \big ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \mathscr { U } } \sum _ { j = 0 } ^ { n } \big ( ( i ( F _ { j + 1 } ) ) ( x ) - ( i ( F _ { j } ( x ) \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \zeta ( { \mathbf { C } } ) } { \Delta ^ { 2 } } + \frac { \zeta ( { \mathbf { C } } ) \gamma \widetilde { \gamma } } { \Delta ^ { 3 } } = \frac { \zeta ( { \mathbf { C } } ) } { \Delta ^ { 3 } } } \\ & { \frac { \zeta \gamma ( { \mathbf { C } } ) \widetilde { \gamma } } { \Delta ^ { 3 } } + \frac { \zeta \gamma \widetilde { \gamma } ^ { 2 } \gamma ( { \mathbf { C } } ) } { \Delta ^ { 4 } } = \frac { \zeta \widetilde { \gamma } \gamma ( { \mathbf { C } } ) } { \Delta ^ { 4 } } } \\ & { \frac { 2 \eta ( { \mathbf { C } } ) \eta \widetilde { \gamma } } { \Delta ^ { 3 } } + \frac { 2 \widetilde { \gamma } ^ { 2 } \gamma \eta \eta ( { \mathbf { C } } ) } { \Delta ^ { 4 } } = \frac { 2 \eta ( { \mathbf { C } } ) \eta \widetilde { \gamma } } { \Delta ^ { 4 } } } \\ & { \frac { ( - 2 \eta \widetilde { \eta } \gamma - \eta \widetilde { \eta } \widetilde { \gamma } \gamma ^ { 2 } ) \Delta - 3 \eta \widetilde { \eta } \gamma ^ { 2 } \widetilde { \gamma } - \eta \widetilde { \eta } \gamma ^ { 3 } \widetilde { \gamma } ^ { 2 } } { \Delta ^ { 5 } } = \frac { - 2 \eta \widetilde { \eta } \gamma ( 1 + \gamma \widetilde { \gamma } ) } { \Delta ^ { 5 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \tilde { G } _ { n } ^ { w } ( \tilde { S } _ { b } ^ { w } ) - G _ { P } ^ { w } ( \hat { S } _ { b } ^ { w } ) | } & { \leq | \tilde { G } _ { n } ^ { w } ( \tilde { S } _ { b } ^ { w } ) - G _ { P } ^ { w } ( \tilde { S } _ { b } ^ { w } ) | + | G _ { P } ^ { w } ( \tilde { S } _ { b } ^ { w } ) - G _ { P } ^ { w } ( \hat { S } _ { b } ^ { w } ) | } \\ & { \leq \Delta _ { n , P } ^ { w } + g _ { P , \operatorname* { m a x } } ^ { w } \, \varepsilon _ { n } ^ { F , P } , \quad b = 1 , \dots , B _ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { \pmb { r } } } & { = \frac { \partial \Gamma _ { 1 } } { \partial \pmb { r } } + \alpha \frac { \partial \Gamma _ { 2 } } { \partial \pmb { r } } + \beta \frac { \partial \Gamma _ { 3 } } { \partial \pmb { r } } } \\ & { = \begin{array} { r l } { [ t ] } & { ( \Delta t \Delta x \Delta y \Delta z ) J _ { \pmb { r } } ^ { T } M ( \pmb { v } \odot \pmb { v } ) } \\ & { + \alpha ( \Delta t \Delta x \Delta y \Delta z ) \left( 2 \mathrm { d i a g } ( \pmb { r } \odot \pmb { \chi } ) \pmb { \rho } + J _ { \pmb { r } } ^ { T } ( \pmb { r } \odot \pmb { r } \odot \pmb { \chi } ) \right) } \\ & { + 2 \beta ( \Delta x \Delta y \Delta z ) ( J _ { \pmb { r } } ^ { m } ) ^ { T } \big ( \pmb { \rho _ { m } } - \pmb { \rho _ { 1 } ^ { i m g } } \big ) } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { F } } } ^ { \prime } ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } ^ { ( k ) } ) \Delta \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } + \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { F } } } ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } ^ { ( k ) } ) } & { = ( 1 - \alpha _ { k } ) \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { F } } } ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } ^ { ( k ) } ) , } \\ { \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } ^ { ( k + 1 ) } } & { = \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } ^ { ( k ) } + \Delta \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \| \tilde { v } _ { t } \| ^ { 2 } + \varepsilon \| \tilde { v } _ { x t } \| ^ { 2 } } \\ { = } & { - \int _ { 0 } ^ { 1 } \tilde { u } _ { t } \tilde { v } _ { x t } \mathrm { d } x + 2 \varepsilon \int _ { 0 } ^ { 1 } \tilde { v } \tilde { v } _ { t } \tilde { v } _ { x t } \mathrm { d } x - 2 \varepsilon \int _ { 0 } ^ { 1 } \beta _ { t } \tilde { v } _ { x } \tilde { v } _ { t } \mathrm { d } x - \varepsilon \beta _ { x } \| \tilde { v } _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { - 2 \varepsilon \beta _ { x t } \int _ { 0 } ^ { 1 } \tilde { v } \tilde { v } _ { t } \mathrm { d } x - 2 \varepsilon \beta _ { x } \int _ { 0 } ^ { 1 } \beta _ { t } \tilde { v } _ { t } \mathrm { d } x - 2 \varepsilon \beta _ { x t } \int _ { 0 } ^ { 1 } \beta \tilde { v } _ { t } \mathrm { d } x - \int _ { 0 } ^ { 1 } \beta _ { t t } \tilde { v } _ { t } \mathrm { d } x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \epsilon } = \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial W ( \epsilon ) } \frac { \partial W ( \epsilon ) } { \partial Q ( \epsilon ) } } & { \frac { \partial Q ( \epsilon ) } { \partial \epsilon } \approx \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial W ( \epsilon ) } \frac { \partial W _ { \theta } } { \partial Q ( \epsilon ) } } \\ { \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial x } } & { = W ( \epsilon ) ^ { T } \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial y } } \end{array} ,
\begin{array} { r } { \Phi \simeq \nu _ { 0 } \int d l \left( \frac { n _ { 1 } s _ { 1 } ( l ) } { \tau _ { 1 } } + \frac { n _ { 2 } s _ { 2 } ( l ) } { \tau _ { 2 } } \right) \simeq - 2 \nu _ { 0 } \alpha \log | X | + \frac { \nu _ { 0 } n _ { 1 } n _ { 2 } } { \lambda _ { 2 } } \left( \frac { 1 } { \tau _ { 1 } } - \frac { 1 } { \tau _ { 2 } } \right) Y + C _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r l r } { { 3 } } & { z _ { N + 1 } = M \left( \frac 1 2 + \mathrm { i } x \right) , \qquad } & & { \bar { z } _ { N + 1 } = M \left( - \frac 1 2 + \mathrm { i } x \right) , } & \\ & { w _ { N + 1 } = M ^ { \prime } \left( \frac 1 2 + \mathrm { i } x ^ { \prime } \right) , \qquad } & & { \bar { w } _ { N + 1 } = M ^ { \prime } \left( - \frac 1 2 + \mathrm { i } x ^ { \prime } \right) } & \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } \left[ \left\lVert \prod _ { j = 1 } ^ { n } \Psi ( F ( s _ { j } ) ) \right\rVert _ { F } ^ { 2 } \right] } & { = \mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } \left[ \left\lVert \sum _ { \alpha } c _ { \alpha } \prod _ { j = 1 } ^ { n } \Psi ( F ( Z _ { j } ) ) ^ { a _ { j } } \right\rVert _ { F } ^ { 2 } \right] } \\ & { = \mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } \left[ \sum _ { \alpha } c _ { \alpha } \left\lVert \prod _ { j = 1 } ^ { n } \Psi ( F ( Z _ { j } ) ) ^ { a _ { j } } \right\rVert _ { F } ^ { 2 } \right] } \\ & { = \sum _ { \alpha } \mathbb { E } [ c _ { \alpha } ] \mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } \left[ \left\lVert \prod _ { j = 1 } ^ { n } \Psi ( F ( Z _ { j } ) ) ^ { a _ { j } } \right\rVert _ { F } ^ { 2 } \right] } \end{array} ,
c \mathrm { ~ i s ~ a ~ C h e b y s h e v ~ a p p r o x i m a t i o n ~ o f ~ } b \mathrm { ~ i . e . , ~ } c \in { \cal C } _ { b } \, \Longleftrightarrow \, F ( c ) = c \, \, \mathrm { a n d } \, \, \exists \, c ^ { \prime } \in { \cal C } _ { b , \operatorname* { m i n } } \, \, \mathrm { s . t . } \, \, c ^ { \prime } \leq c \leq F ( \overline { { b } } ( \Delta ) ) .
\frac { L _ { 2 } ^ { 4 } } { L _ { 3 } ^ { 6 } } = \frac { L _ { 2 } ^ { 4 } } { \left( L _ { 3 } ^ { * } + \tilde { L } _ { 3 } \right) ^ { 6 } } = \frac { L _ { 2 } ^ { 4 } } { \left( L _ { 3 } ^ { * } \right) ^ { 6 } } - 6 \, \frac { L _ { 2 } ^ { 4 } } { \left( L _ { 3 } ^ { * } \right) ^ { 7 } } \, \tilde { L } _ { 3 } + O \left( \frac { L _ { 2 } ^ { 4 } } { \left( L _ { 3 } ^ { * } \right) ^ { 8 } } \right) ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } ( R ( p ) ^ { 2 } ) } & { \le \frac { 1 } { | V ^ { \circ } | } + \frac { C ( | V ^ { \circ } | p ^ { - \beta } + | B | ^ { 2 } p ^ { - 2 \delta } ) } { | V ^ { \circ } | ^ { 2 } } } \\ & { \le ( 1 + C ) c ^ { - \beta - 1 } p ^ { \beta + 1 } p ^ { - \beta } + C c ^ { - 2 \delta - 1 } p ^ { 2 \delta + 1 } p ^ { - 2 \delta } } \\ & { \le ( ( 1 + C ) c ^ { - \beta - 1 } + C c ^ { - 2 \delta - 1 } ) p . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { F } ( \mathbb { P } ( u _ { 0 } , \nabla ) u _ { 0 } ) ( \xi ^ { k } ) } \\ & { = \left( \frac { \sqrt { 3 } - 1 } { 4 } \mathcal { F } ( ( u _ { 0 } , \! \nabla ) \alpha _ { x _ { 2 } } ) ( \xi ^ { k } ) , \frac { 3 - \sqrt { 3 } } { 4 } \mathcal { F } ( ( u _ { 0 } , \! \nabla ) \alpha _ { x _ { 1 } } ) ( \xi ^ { k } ) , 0 , \cdots , 0 \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \hat { G } | _ { x } } & { = - \mathrm { i } \left\{ \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( p _ { j } - q _ { j } ) | \hat { G } | + \sum _ { k = 1 } ^ { N } q _ { k } ^ { 2 } \hat { G } _ { 1 k } \right\} + \mathrm { i } \sum _ { j = 2 , k = 1 } ^ { N } \hat { G } _ { j k } } \\ & { = - \mathrm { i } \mu | \hat { G } | + \mathrm { i } | F ( { \bf Q } ; { \bf e } _ { 1 } ) | + \mathrm { i } ( - | \hat { G } ( { \bf 1 } ; { \bf 1 } ) | + | G | ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \| \nabla \chi _ { \xi } \| _ { L _ { 2 } ( B ( \xi , r ) ) } ^ { 2 } } & { \ge } & { { \Gamma _ { 1 } ^ { 2 } } r ^ { d - 2 } \| \nabla F \| _ { L _ { 2 } ( B ( 0 , 1 ) ) } ^ { 2 } } \\ & { \ge } & { c ^ { 2 } { \Gamma _ { 1 } ^ { 2 } } r ^ { d - 2 } \| F \| _ { L _ { 2 } ( B ( 0 , 1 ) ) } ^ { 2 } } \\ & { \ge } & { c ^ { 2 } \Gamma _ { 1 } ^ { 2 } \rho ^ { - 2 } h ^ { - 2 } \| \chi _ { \xi } \| _ { L _ { 2 } ( B ( \xi , r ) ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { r _ { 0 } = 0 . 0 1 4 6 , \ \theta _ { r } = 0 . 5 5 0 0 \, \ c _ { r } = 4 0 0 . 0 0 0 5 , \ \gamma _ { r } = 3 . 9 4 7 5 , \ \rho = 0 . 1 5 4 8 ; } \\ & { \lambda _ { 0 } = 0 , \ \theta _ { \lambda } = 3 . 3 5 3 3 , \ c _ { \lambda } = 4 . 3 1 7 8 , \ \gamma _ { \lambda } = 6 . 0 6 1 7 , \ c _ { \tau } = 3 . 5 2 9 8 , \ \gamma _ { \tau } = 1 9 0 . 0 0 0 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int ( \psi _ { t } ( x ) + \lambda _ { 1 } \| x \| ^ { 2 + \delta } ) ( p _ { t } - p ) ( x ) d x + \lambda _ { 2 } { \cal E } ( p _ { t } ) - \lambda _ { 2 } { \cal E } ( p ) } \\ { \leq } & { \eta _ { t } [ \mathrm { K L } ( p \| p _ { t - 1 } ) - \mathrm { K L } ( p _ { t } \| p _ { t - 1 } ) ] - ( \eta _ { t } + \lambda _ { 2 } ) \mathrm { K L } ( p \| p _ { t } ) + ( \eta _ { t } + \lambda _ { 2 } ) ( \delta _ { t , 1 } ( p ) + \delta _ { t , 2 } ( p ) ) + 2 \eta _ { t } \delta _ { t - 1 , 2 } ( p ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { f ( x ) } & { = f ( a ) + { \Big ( } x f ^ { \prime } ( x ) - a f ^ { \prime } ( a ) { \Big ) } - \int _ { a } ^ { x } t f ^ { \prime \prime } ( t ) \, d t } \\ & { = f ( a ) + x \left( f ^ { \prime } ( a ) + \int _ { a } ^ { x } f ^ { \prime \prime } ( t ) \, d t \right) - a f ^ { \prime } ( a ) - \int _ { a } ^ { x } t f ^ { \prime \prime } ( t ) \, d t } \\ & { = f ( a ) + ( x - a ) f ^ { \prime } ( a ) + \int _ { a } ^ { x } \, ( x - t ) f ^ { \prime \prime } ( t ) \, d t , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { x } \in \mathcal { X } } \quad } & { \frac { 1 } \! \left[ 2 \right] \mathbf { x } ^ { \top } \mathbf { Q } \mathbf { x } + \mathbf { c } ^ { \top } \mathbf { x } + \mathbf { d } + \mathbb { E } _ { \mathbf { U } ^ { \top } \mathbf { P } ^ { \top } \mathbf { P } \mathbf { U } } } \\ { \textrm { s . t . } \quad } & { \mathbf { A } \mathbf { x } \preccurlyeq \mathbf { b } + \sqrt { \mathrm { d i a g } ( \mathbf { P } \boldsymbol { \Sigma } \mathbf { P } ^ { \top } ) } \mathbf { q } _ { \varepsilon } } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { \mathrm { s t } } ( \Delta ) } & { = \mathcal { Z } ^ { - 1 } \mathrm { e x p } \left[ \frac { - 2 N \Delta ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } } { \frac { 4 a } { h } + 1 - \varepsilon ^ { 2 } } \right] } \\ & { \times \left[ \left( \frac { a } { h } \right) \left( \frac { 4 a } { h } + 1 \right) + \left( \frac { 4 a } { h } + 1 - \varepsilon ^ { 2 } \right) \left( \frac { 1 } { 4 } - \Delta ^ { 2 } \right) \right] ^ { \lambda } , } \\ { \lambda = \frac { a } { h } } & { \frac { 2 N } { \left( \frac { 4 a } { h } + 1 - \varepsilon ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \left( \frac { 4 a } { h } + 1 \right) \left( \frac { 4 a } { h } + 1 - 2 \varepsilon ^ { 2 } \right) - 1 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \alpha _ { k } } { \beta _ { k } } = \frac { \frac { \partial f ( \mu , \kappa , \varepsilon , \zeta , \xi ) } { \partial \xi } \frac { \partial f ( \mu , \kappa , \varepsilon , \zeta , \xi ) } { \partial \zeta } - \frac { \partial f ( \mu , \kappa , \varepsilon , \zeta , \xi ) } { \partial \varepsilon } \frac { \partial f ( \mu , \kappa , \varepsilon , \zeta , \xi ) } { \partial \kappa } } { \frac { \partial f ( \mu , \kappa , \varepsilon , \zeta , \xi ) } { \partial \xi } \frac { \partial f ( \mu , \kappa , \varepsilon , \zeta , \xi ) } { \partial \varepsilon } - \frac { \partial f ( \mu , \kappa , \varepsilon , \zeta , \xi ) } { \partial \mu } \frac { \partial f ( \mu , \kappa , \varepsilon , \zeta , \xi ) } { \partial \zeta } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { A _ { \gamma , \gamma ^ { \prime } } ( \delta ) ( \underline { { x } } , \underline { { x } } ^ { \prime } ) } \\ & { \qquad : = \mathfrak { H } _ { 0 } \big ( ( \underline { { x } } + \underline { { x } } ^ { \prime } + \gamma + \gamma ^ { \prime } ) / 2 + F ( \delta \, ( \underline { { x } } + \underline { { x } } ^ { \prime } ) / 2 + \delta ( \gamma + \gamma ^ { \prime } ) / 2 ) \, , \, \underline { { x } } + \gamma - \underline { { x } } ^ { \prime } - \gamma ^ { \prime } \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { M ( w _ { 1 } , } & { . . . , w _ { k } ) = M ( w _ { 1 } , . . . , w _ { j - 1 } , B _ { j - 1 } M ( w _ { j } ) B _ { j } , w _ { j + 1 } , . . . , w _ { k } ) } \\ & { + \sum _ { \sigma = \pm } \sum _ { l = 1 } ^ { j - 1 } \sigma M ( w _ { 1 } , . . . , B _ { l - 1 } , w _ { l } , E _ { \sigma } , w _ { j } , B _ { j } , . . . , w _ { k } ) \langle M ( w _ { l } , . . . , w _ { j - 1 } ) B _ { j - 1 } M ( w _ { j } ) E _ { \sigma } \rangle } \\ & { + \sum _ { \sigma = \pm } \sum _ { l = j + 1 } ^ { k } \sigma M ( w _ { 1 } , . . . , B _ { j - 1 } M ( w _ { j } ) E _ { \sigma } , w _ { l } , B _ { l } . . . , w _ { k } ) \langle M ( w _ { j } , . . . , w _ { l } ) E _ { \sigma } \rangle } \end{array}
\overline { { w } } ( r ) - \overline { { w } } ( R _ { 0 } ) \geq \int _ { R _ { 0 } } ^ { r } \frac { C _ { \Omega } } { \sigma _ { n - 1 } s ^ { n - 1 } } \mathrm { d } s = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { C _ { \Omega } } { ( n - 2 ) \sigma _ { n - 1 } } \left( \frac { 1 } { R _ { 0 } ^ { n - 2 } } - \frac { 1 } { r ^ { n - 2 } } \right) , \, \, \, \, \, \mathrm { i f } \, \, n \geq 2 , } \\ { \frac { C _ { \Omega } } { \sigma _ { n - 1 } } \ln \left[ \frac { r } { R _ { 0 } } \right] , \, \, \, \, \, \, \mathrm { i f } \, \, n = 2 , } \end{array} \right.
0 \longrightarrow \textnormal { H } ^ { 0 } ( \mathcal { A } ) \longrightarrow \textnormal { H } ^ { 0 } ( \mathcal { V } ) \oplus ( W / ( W _ { + } ^ { \bot } \times W _ { - } ^ { \bot } ) ) \longrightarrow W _ { + } / W _ { + } ^ { \bot } \times W _ { - } / W _ { - } ^ { \bot } \longrightarrow \textnormal { H } ^ { 1 } ( \mathcal { A } ) \longrightarrow 0 .
\boxed { \mathcal { P } _ { f o r a g i n g } = \frac { 1 } { \frac { 1 } { v _ { h o p } } + \frac { \beta _ { f } \sqrt [ n ] { \rho _ { f } } } { k _ { n } } } \times \frac { q _ { 0 } \left( { \sqrt [ n ] { \rho _ { c r i t , l o c a l } } - \sqrt [ n ] { \rho _ { c r i t } } } \right) } { \alpha k _ { n } \left( 1 + \tau \frac { \tilde { \alpha } q _ { 0 } } { \alpha \tilde { q } _ { 0 } } \times \frac { \mathcal { L } _ { f o r a g e r } } { 2 \mathcal { L } _ { a v e r a g e } } \right) } . }
\begin{array} { r l } { \tilde { u } ( x ) } & { = \sum _ { y \in \mathring { H } _ { N } } \tilde { u } ( y ) \delta _ { x , y } } \\ & { = \sum _ { y \in \partial H _ { N } } \big ( \tilde { u } ( y ) T \mathcal { G } ^ { + } ( x ; y ) - \mathcal { G } ^ { + } ( x ; y ) T \tilde { u } ( y ) \big ) + \sum _ { y \in \mathring { H } _ { N } } ( \mathcal { G } ^ { + } ( x ; y ) ( \Delta _ { d } + k ^ { 2 } ) \tilde { u } ( y ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { y } ^ { \mathrm { M G } } \left( y , z \right) } & { = - j \frac { \eta c } { 2 \Lambda } \frac { p } { l _ { x } } \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } \beta _ { m } e ^ { - j k _ { t , m } y } e ^ { - j \beta _ { m } | z + h | } } \\ { H _ { x } ^ { \mathrm { M G } } \left( y , z \right) } & { = j \frac { k c } { 2 \Lambda } \frac { p } { l _ { x } } \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } \mathrm { s g n } \{ z + h \} e ^ { - j k _ { t , m } y } e ^ { - j \beta _ { m } | z + h | } } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { \epsilon } ^ { + } ( s , t ) } & { = \overline { { g } } _ { \epsilon } ( t ) + \sum _ { i = 1 } ^ { k } \epsilon ^ { i } \cdot \left( \sum _ { j = 0 } ^ { m _ { i } } a _ { i , j } ( s ) \overline { { w } } _ { i , j } ( t / \epsilon ) \right) + \phi } \\ { L _ { \epsilon } ( \phi ) } & { = R _ { k + 1 } ( s , t ) + F _ { k } ( \phi ) } \\ { | | a _ { i , j } | | _ { C ^ { \alpha } ( Y ) } } & { = O ( 1 ) } \\ { | | w _ { i , j } | | _ { C ^ { k , \alpha } ( [ 0 , \infty ) ) } } & { = O ( 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f _ { j , \alpha } ^ { \left( - k \right) } } & { = } & { \left( \varphi _ { \alpha } ^ { \le k + 1 } \right) _ { * } Q _ { k + 1 } \left( \xi _ { j } ^ { k + 1 } \right) } \\ & { = } & { Q _ { k + 1 } \left( \xi _ { i } ^ { ( k + 1 ) } \circ \varphi _ { \alpha } ^ { \le k + 1 } \right) } \\ & { = } & { Q _ { k + 1 } \left( \xi _ { i } ^ { ( k + 1 ) } \circ \varphi _ { \alpha } ^ { \le k + 1 } \circ \left( \varphi _ { \beta } ^ { \le k + 1 } \right) ^ { - 1 } \circ \varphi _ { \beta } ^ { \le k + 1 } \right) } \\ & { = } & { Q _ { k + 1 } \left( \xi _ { i } ^ { ( k + 1 ) } \circ \varphi _ { \alpha \beta } ^ { \le k + 1 } \circ \varphi _ { \beta } ^ { \le k + 1 } \right) } \\ & { = } & { \left( \varphi _ { \beta } ^ { \le k + 1 } \right) _ { * } Q _ { k + 1 } \left( \xi _ { i } ^ { ( k + 1 ) } \circ \varphi _ { \alpha \beta } ^ { \le k + 1 } \right) } \\ & { = } & { \left( \varphi _ { \beta } ^ { \le k + 1 } \right) _ { * } Q _ { k + 1 } \left( \left( g _ { \alpha \beta } ^ { ( k + 1 ) } \right) _ { i l } \xi _ { l } ^ { ( k + 1 ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { l l } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } | \frac { \partial f ( t , x , w _ { 1 } , w _ { 2 } ) } { \partial x _ { i } } | + | \frac { \partial f ( t , x , w _ { 1 } , w _ { 2 } ) } { \partial w _ { 1 } } | } \\ { + | \frac { \partial ^ { 2 } f ( t , x , w _ { 1 } , w _ { 2 } ) } { \partial w _ { 1 } ^ { 2 } } | + | \frac { \partial f ( t , x , w _ { 1 } , w _ { 2 } ) } { \partial w _ { 2 } } | } \\ { + | \frac { \partial ^ { 2 } f ( t , x , w _ { 1 } , w _ { 2 } ) } { \partial w _ { 2 } ^ { 2 } } | \leq \alpha _ { 4 } + \varphi _ { 2 } ( w _ { 1 } ) , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( z _ { 1 } - z _ { 2 } ) ( z _ { 1 } - z _ { 3 } ) ( z _ { 2 } - z _ { 3 } ) \textnormal { G C Y B } \left( w \right) } \\ & { = ( z _ { 2 } z _ { 3 } ) ^ { n } \lambda ( z _ { 1 } ) ( \lambda ( z _ { 1 } ) ( z _ { 2 } - z _ { 3 } ) - \lambda ( z _ { 2 } ) ( z _ { 1 } - z _ { 3 } ) + \lambda ( z _ { 3 } ) ( z _ { 1 } - z _ { 2 } ) ) \gamma ^ { 1 3 } \gamma ^ { 1 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { \sqrt { n } } \left( \log M _ { 1 } - n R _ { 1 } ^ { * } \right) \leq L _ { 1 } , } \\ { \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { \sqrt { n } } \left( \log ( M _ { 1 } M _ { 2 } ) - n ( R _ { 1 } ^ { * } + R _ { 2 } ^ { * } ) \right) \leq L _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bf \tilde { Z } } _ { i } ^ { 0 } - { \bf Z } _ { i } ^ { 0 } } & { = } & { - \frac { \kappa ( 4 \Lambda ) Z _ { i } ^ { 0 } / 2 + 2 \kappa \pi ^ { - 1 } \beta \rho } { ( 4 \Lambda ) ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } / 4 } { \bf \hat { n } } \times { \bf { \hat { n } } } _ { i } ^ { 0 } } \\ & { } & { - \frac { \kappa ^ { 2 } Z _ { i } ^ { 0 } / 4 - 4 ( 4 \Lambda ) \pi ^ { - 1 } \beta \rho } { ( 4 \Lambda ) ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } / 4 } { \bf { \hat { n } } } _ { i } ^ { 0 } . } \end{array}
\bigwedge _ { i = 0 } ^ { n - 1 } \mathbf { v } _ { i } = { \left| \begin{array} { l l l } { v _ { 1 } ^ { 1 } } & { \cdots } & { v _ { 1 } ^ { n } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { v _ { n - 1 } ^ { 1 } } & { \cdots } & { v _ { n - 1 } ^ { n } } \\ { \mathbf { e } _ { 1 } } & { \cdots } & { \mathbf { e } _ { n } } \end{array} \right| } .
\begin{array} { r l } { f _ { 1 } ( k ) : = } & { \langle k \rangle ^ { s } | \widehat { \gamma _ { 1 } } ( k ) | } \\ { f _ { 2 } ( k ) : = } & { \langle k \rangle ^ { s } | ( \widehat { \gamma _ { 1 } - { \gamma _ { 2 } } } ) ( k ) | } \\ { f _ { 3 } ( k ) : = } & { \langle k \rangle ^ { s } | \widehat { { \gamma _ { 2 } } } ( k ) | } \\ { f _ { 4 } ( k _ { 2 } ) : = } & { \langle k _ { 2 } \rangle ^ { s } | \widehat { \mu _ { 1 } } ( k _ { 2 } ) | } \\ { f _ { 5 } ( k _ { 2 } ) : = } & { \langle k _ { 2 } \rangle ^ { s } | ( \widehat { \mu _ { 1 } - \mu _ { 2 } } ) ( k _ { 2 } ) | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| I _ { 2 } \| _ { \dot { H } _ { h } ^ { - s } ( h \mathbb { Z } ^ { d } ) } ^ { 2 } } & { = \int _ { \left( - \frac { \pi } { h } , \frac { \pi } { h } \right) ^ { d } } M _ { h } ( \xi ) ^ { - 2 s } | \mathcal { F } _ { h } [ I _ { 2 } ] ( \xi ) | ^ { 2 } \, \mathrm { d } \xi } \\ & { = \int _ { \left( - \frac { \pi } { h } , \frac { \pi } { h } \right) ^ { d } } M _ { h } ( \xi ) ^ { 2 s } \left| \mathcal { F } [ \theta _ { h } ] ( \xi ) - 1 \right| ^ { 2 } | \mathcal { F } [ u ] ( \xi ) | ^ { 2 } \, \mathrm { d } \xi } \\ & { \le C \int _ { \left( - \frac { \pi } { h } , \frac { \pi } { h } \right) ^ { d } } | \xi | ^ { 2 s } | \mathcal { F } [ u ] ( \xi ) | ^ { 2 } \, \mathrm { d } \xi } \\ & { \le C \int _ { \left( - \frac { \pi } { h } , \frac { \pi } { h } \right) ^ { d } } | \xi | ^ { 2 ( t - s ) } h ^ { 2 ( t - s ) } | \mathcal { F } [ u ] ( \xi ) | ^ { 2 } \, \mathrm { d } \xi } \\ & { \le C h ^ { 2 ( t - s ) } \| u \| _ { \dot { H } ^ { t } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\frac { 1 } { \pi } \int _ { \varepsilon } ^ { + \infty } \Im \left( \frac { \left( q + b \rho e ^ { i \left( \pi - \frac { \theta } { 2 } \right) } \right) ^ { j } } { \rho } e ^ { t \rho e ^ { i \left( \pi - \frac { \theta } { 2 } \right) } } \right) d \rho + \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \gamma _ { \varepsilon , \theta } } \frac { ( q + b z ) ^ { j } } { z } e ^ { t z } d z = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \gamma _ { \varepsilon } } \frac { ( q + b z ) ^ { j } } { z } e ^ { t z } d z = q ^ { j } ,
\begin{array} { r l } { H ( Y | U ) } & { = \sum _ { u \in \mathcal { U } } p ( u ) H ( Y | U = u ) } \\ & { = \sum _ { u \in \tilde { \mathcal { U } } } p ( u ) H ( Y | U = u ) + \sum _ { u \not \in \tilde { \mathcal { U } } } p ( u ) H ( Y | U = u ) } \\ & { \geq \sum _ { u \in \tilde { \mathcal { U } } } p ( u ) \cdot 0 + \sum _ { u \not \in \tilde { \mathcal { U } } } p ( u ) H _ { b } ( \operatorname* { m i n } _ { x } p _ { X } ( x ) ) } \\ & { = \left( 1 - \textnormal { P r } \{ U \in \tilde { \mathcal { U } } \} \right) H _ { b } ( \operatorname* { m i n } _ { x } p _ { X } ( x ) ) } \\ & { \geq \left( 1 - \sum _ { y } \operatorname* { m i n } _ { x } p ( y | x ) \right) H _ { b } ( \operatorname* { m i n } _ { x } p _ { X } ( x ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { q _ { \mathrm { M } + 1 } = \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } h ( \mu _ { - j , \mathrm { M } } ) q _ { \mathrm { W } - j } , } \\ & { q _ { \mathrm { M } + j } = h ( \mu _ { + ( j - 1 ) , \mathrm { M } } ) q _ { \mathrm { W } + ( j - 1 ) } \quad ( j = 2 , \cdots , \infty ) , } \\ & { q _ { \mathrm { M } - 1 } = \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } ( 1 - h ( \mu _ { + j , \mathrm { M } } ) ) q _ { \mathrm { W } + j } , } \\ & { q _ { \mathrm { M } - j } = ( 1 - h ( \mu _ { - ( j - 1 ) , \mathrm { M } } ) ) q _ { \mathrm { W } - ( j - 1 ) } \quad ( j = 2 , \cdots , \infty ) . } \end{array}
\varepsilon ( E _ { \mathrm { c u t } } ) \lesssim \frac { 3 2 \pi ^ { 2 } N _ { \mu } N _ { \nu } e ^ { - \theta _ { \mu \nu } d _ { \mu \nu } ^ { 2 } } } { ( 2 \alpha _ { \mu \nu } ) ^ { l _ { \mu \nu } - 1 } } \Big ( \frac { \pi } { \alpha _ { \mu \nu } } \Big ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( 2 E _ { \mathrm { c u t } } ) ^ { \frac { l _ { \mu \nu } - 1 } { 2 } } e ^ { - \frac { E _ { \mathrm { c u t } } } { 2 \alpha _ { \mu \nu } } } < \tau .
\begin{array} { r l } { c ( y ) } & { \le B d ( 2 \pi ) ^ { - \frac { q } { 2 } } \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { r } } \int _ { \mathbb { R } ^ { p } } \int _ { \mathbb { R } ^ { q } } \prod _ { i = 1 } ^ { n } { \binom { y _ { ( n ) } } { y _ { i } } } \big [ F _ { L } ( x _ { i } ^ { \top } \beta + z _ { i } ^ { \top } u ) \big ] ^ { y _ { i } } \big [ 1 - F _ { L } ( x _ { i } ^ { \top } \beta + z _ { i } ^ { \top } u ) \big ] ^ { y _ { ( n ) } - y _ { i } } } \\ & { \quad \prod _ { j = 1 } ^ { r } \tau _ { j } ^ { a _ { j } + q _ { j } / 2 - 1 } \exp [ - \tau _ { j } ( b _ { j } + u _ { j } ^ { \top } u _ { j } / 2 ) ] d u d \beta d \tau , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { P F I B M } _ { T _ { \mathbf { P } } } ^ { p , q } \left( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \ldots , \alpha _ { n } \right) } \\ { \! = } & { \left\langle \Bigg [ 1 \! - \Bigg ( \prod _ { i , j \! = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \left( 1 \! - \mu _ { \alpha _ { i } } ^ { p } \mu _ { \alpha _ { j } } ^ { q } \right) \Bigg ) ^ { \frac { 1 } { n ( n \! - 1 ) } } \Bigg ] ^ { \frac { 1 } { p + q } } , \right. } \\ & { \Bigg [ \Bigg ( \prod _ { i , j \! = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \left( \left( \eta _ { \alpha _ { i } } \! + \mu _ { \alpha _ { i } } \right) ^ { p } \left( \eta _ { \alpha _ { j } } \! + \mu _ { \alpha _ { j } } \right) ^ { q } \! - \mu _ { \alpha _ { i } } ^ { p } \mu _ { \alpha _ { j } } ^ { q } \right. \Bigg . \Bigg . } \\ & { \Bigg . \left. \! + 1 \! - \left( 1 - \nu _ { \alpha _ { i } } \right) ^ { p } \left( 1 \! - \nu _ { \alpha _ { j } } \right) ^ { q } \right) \Bigg ) ^ { \frac { 1 } { n ( n \! - 1 ) } } } \\ & { \! - \Bigg ( \prod _ { i , j \! = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \left( 1 \! - \left( 1 \! - \nu _ { \alpha _ { i } } \right) ^ { p } \left( 1 \! - \nu _ { \alpha _ { j } } \right) ^ { q } \right) \Bigg ) ^ { \frac { 1 } { n ( n \! - 1 ) } } } \\ & { \Bigg . \! + 1 \! - \Bigg ( \prod _ { i , j \! = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \left( 1 \! - \mu _ { \alpha _ { i } } ^ { p } \mu _ { \alpha _ { i } } ^ { q } \right) \Bigg ) ^ { \frac { 1 } { n ( n \! - 1 ) } } \Bigg ] ^ { \frac { 1 } { p \! + q } } } \\ & { \Bigg . \! - \Bigg [ 1 \! - \Bigg ( \prod _ { i , j \! = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \left( 1 \! - \mu _ { \alpha _ { i } } ^ { p } \mu _ { \alpha _ { j } } ^ { q } \right) \Bigg ) ^ { \frac { 1 } { n ( n \! - 1 ) } } \Bigg ] ^ { \frac { 1 } { p \! + q } } , \Bigg . } \\ & { \left. 1 \! - \Bigg [ 1 \! - \Bigg ( \prod _ { i , j = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \left( 1 \! - \left( 1 \! - \nu _ { \alpha _ { i } } \right) ^ { p } \left( 1 \! - \nu _ { \alpha _ { j } } \right) ^ { q } \right) \Bigg ) ^ { \frac { 1 } { n ( n \! - 1 ) } } \Bigg ] ^ { \frac { 1 } { p \! + q } } \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { X } ( t ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow 0 } \frac { x _ { \mathbf { k } ( t ) + 1 } - x _ { \mathbf { k } ( t ) } } { t _ { \mathbf { k } ( t ) + 1 } - t } = \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow 0 } \frac { x _ { \mathbf { k } ( t ) + 1 } - x _ { \mathbf { k } ( t ) } } { \sqrt { s } } = \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow 0 } \left\{ \frac { \tau _ { \mathbf { k } ( t ) } } { \sqrt { s } } \right\} ( Z ( t ) - X ( t ) ) } \\ { \dot { Z } ( t ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow 0 } \frac { z _ { \mathbf { k } ( t ) + 1 } - z _ { \mathbf { k } ( t ) } } { t _ { \mathbf { k } ( t ) + 1 } - t } = \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow 0 } \frac { z _ { \mathbf { k } ( t ) + 1 } - z _ { \mathbf { k } ( t ) } } { \sqrt { s } } = \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow 0 } \left\{ \frac { \delta _ { \mathbf { k } ( t ) } } { \sqrt { s } } \right\} \left( \mu X ( t ) - \mu Z ( t ) - \nabla f ( X ( t ) ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { d e s } ( x _ { 0 } ^ { \prime } ) } & { = \operatorname* { m i n } _ { \kappa } \mathbb { E \, } _ { W ^ { \prime } } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { N } \ell _ { k } ( x _ { k } ^ { \prime } , \kappa ( x _ { k } ^ { \prime } ) ) \right) , } \\ & { = \mathbb { E \, } _ { W ^ { \prime } } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { N } \ell _ { k } ( x _ { k } ^ { \prime } , \kappa ^ { * } ( x _ { k } ^ { \prime } ) ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { G ^ { 1 } \left( x ^ { 1 } \right) = \frac { 1 } { 8 M ^ { 2 } } \Bigg \{ \frac { 1 } { \left( x ^ { 1 } \right) ^ { 2 } } \left[ 1 + \frac { l ^ { 2 } } { \left( x ^ { 1 } \right) ^ { 2 } \left( 1 - \frac { q ^ { 2 } } { x ^ { 1 } } \right) } \right] } \\ & { } & { \left( 1 - \frac { 1 } { x ^ { 1 } } \right) \left[ \frac { 2 l ^ { 2 } } { \left( x ^ { 1 } \right) ^ { 2 } \left( 1 - \frac { q ^ { 2 } } { x ^ { 1 } } \right) } + \frac { l ^ { 2 } q ^ { 2 } } { \left( x ^ { 1 } \right) ^ { 2 } \left( 1 - \frac { q ^ { 2 } } { x ^ { 1 } } \right) ^ { 2 } } \right] \Bigg \} . } \end{array}
T = ( \alpha e + \beta e _ { 1 \ldots n } ) ( e + \frac { 1 } { \alpha } X ) \in ( \mathcal { G } ^ { 0 } \oplus \mathcal { G } _ { p , q , r } ^ { n } ) ^ { \times } \mathrm { \Lambda } _ { r } ^ { \times } \subseteq ( \mathrm { \Lambda } _ { r } ^ { ( 0 ) } \oplus \mathcal { G } _ { p , q , r } ^ { n } ) ^ { \times } \mathrm { \Lambda } _ { r } ^ { \times }
\begin{array} { r l } { \ell ( \sigma S _ { k } ) } & { = \ell ( \sigma ) + \sum _ { 1 \leq j \leq \xi ( k ) } \ell ( \sigma _ { j } ) + \ell ( T _ { k } ) } \\ & { \leq - \log ( a ) + \ell ( x _ { k } ) + 2 + 7 \xi ( k ) + \xi ( k ) ( \mu ( k ) - 5 ) } \\ & { = - \log ( a ) + \ell ( x _ { k } ) + 2 + \xi ( k ) ( \mu ( k ) + 2 ) } \end{array}
\big [ 2 ( \alpha \cdot \omega ( \xi ) ) ( \overline { { \beta } } \cdot \omega ( \xi ) ) - \alpha _ { 4 } ( \overline { { \beta } } \cdot \omega ( \xi ) ) - \overline { { \beta } } _ { 4 } ( \alpha \cdot \omega ( \xi ) ) \big ] \xi _ { j } = \alpha _ { j } ( \overline { { \beta } } \cdot \omega ( \xi ) ) + \overline { { \beta } } _ { j } ( \alpha \cdot \omega ( \xi ) ) .
A R ^ { T } = \left[ \begin{array} { l l l l } { \vert } & { \vert } & & { \vert } \\ { A _ { : 1 } } & { A _ { : 2 } } & { \dots } & { A _ { : n } } \\ { \vert } & { \vert } & & { \vert } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { \rule { 2.5 ex } { 0.5 pt } } & { R _ { 1 : } } & { \rule { 2.5 ex } { 0.5 pt } } \\ { \rule { 2.5 ex } { 0.5 pt } } & { R _ { 2 : } } & { \rule { 2.5 ex } { 0.5 pt } } \\ & { \vdots } & \\ { \rule { 2.5 ex } { 0.5 pt } } & { R _ { n : } } & { \rule { 2.5 ex } { 0.5 pt } } \end{array} \right] = \sum _ { i = 1 } ^ { n } A _ { : i } R _ { i : } .
\begin{array} { r l } { \bigl \| \hat { V } ( \bar { \boldsymbol { \beta } } ) - \Phi F _ { \boldsymbol { \omega } } ^ { \prime } ( \bar { \boldsymbol { \beta } } ) \bigr \| _ { \infty } } & { = \bigl \| \Phi \bar { \boldsymbol { \beta } } - \Phi \Phi ^ { \dagger } F _ { \boldsymbol { \omega } } \hat { V } ( \bar { \boldsymbol { \beta } } ) \bigr \| _ { \infty } } \\ & { = \bigl \| \Phi \Phi ^ { \dagger } \Phi \bar { \boldsymbol { \beta } } - \Phi \Phi ^ { \dagger } F _ { \boldsymbol { \omega } } \hat { V } ( \bar { \boldsymbol { \beta } } ) \bigr \| _ { \infty } } \\ & { < \kappa \bigl \| \Phi \bar { \boldsymbol { \beta } } - F _ { \boldsymbol { \omega } } \hat { V } ( \bar { \boldsymbol { \beta } } ) \bigr \| _ { \infty } } \\ & { = \kappa \bigl \| \hat { V } ( \bar { \boldsymbol { \beta } } ) - F _ { \boldsymbol { \omega } } \hat { V } ( \bar { \boldsymbol { \beta } } ) \bigr \| _ { \infty } } \\ & { \leq \kappa \Bigl ( \bigl \| \hat { V } ( \bar { \boldsymbol { \beta } } ) - V _ { \boldsymbol { \omega } } ^ { * } \bigr \| _ { \infty } + \bigl \| V _ { \boldsymbol { \omega } } ^ { * } - F _ { \boldsymbol { \omega } } \hat { V } ( \bar { \boldsymbol { \beta } } ) \bigr \| _ { \infty } \Bigr ) } \\ & { < \kappa \Bigl ( \varepsilon ^ { \prime } + \bigl \| F _ { \boldsymbol { \omega } } V _ { \boldsymbol { \omega } } ^ { * } - F _ { \boldsymbol { \omega } } \hat { V } ( \bar { \boldsymbol { \beta } } ) \bigr \| _ { \infty } \Bigr ) } \\ & { < \kappa \, \bigl ( \varepsilon ^ { \prime } + \gamma ^ { T } \epsilon ^ { \prime } \bigr ) = \kappa \, \bigl ( 1 + \gamma ^ { T } \bigr ) \varepsilon ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \varphi ( \omega , \tau ) \propto \Big [ \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } e ^ { - 2 \pi i \omega ^ { T } u } C _ { 0 } ^ { s } ( u ) \mathrm { d } u \Big ] \times \Big [ \int _ { \mathbb { R } } e ^ { - 2 \pi i \tau t } C _ { 0 } ^ { t } ( t ) \mathrm { d } t \Big ] = \varphi _ { 0 } ^ { s } ( \omega ) \varphi _ { 0 } ^ { t } ( \tau ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Vert \eta ( n \tau ) e ^ { i n \tau \Delta } f \Vert _ { X _ { \tau } ^ { s , b } } } & { \lesssim _ { \eta , b } \Vert f \Vert _ { H ^ { s } ( \mathbb { T } ^ { 2 } ) } , \quad b \in \mathbb { R } , ~ f \in H ^ { s } , } \\ { \Vert \eta ( n \tau ) u _ { n } \Vert _ { X _ { \tau } ^ { s , b } } } & { \lesssim _ { \eta , b } \Vert u _ { n } \Vert _ { X _ { \tau } ^ { s , b } } , \quad b \in \mathbb { R } , ~ u _ { n } \in X _ { \tau } ^ { s , b } , } \\ { \Vert \eta ( \frac { n \tau } { T } ) u _ { n } \Vert _ { X _ { \tau } ^ { s , b ^ { \prime } } } } & { \lesssim _ { \eta , b , b ^ { \prime } } T ^ { b - b ^ { \prime } } \Vert u _ { n } \Vert _ { X _ { \tau } ^ { s , b } } , \quad - \frac { 1 } { 2 } < b \leqslant b ^ { \prime } < \frac { 1 } { 2 } , ~ 0 < T = N \tau \leqslant 1 , ~ N \geqslant 1 , } \\ { \Vert u _ { n } \Vert _ { l _ { \tau } ^ { \infty } H ^ { s } } } & { \lesssim _ { b } \Vert u _ { n } \Vert _ { X _ { \tau } ^ { s , b } } , \quad b > \frac { 1 } { 2 } , } \\ { \Vert U _ { n } \Vert _ { X _ { \tau } ^ { s , b } } } & { \lesssim _ { \eta , b } \Vert u _ { n } \Vert _ { X _ { \tau } ^ { s , b - 1 } } , \quad b > \frac { 1 } { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } 2 \langle F _ { t , h _ { 1 } } , F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 1 } } } \rangle _ { L _ { 2 } } - 2 \langle F _ { t , h _ { 2 } } , F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 2 } } } \rangle _ { L _ { 2 } } } \\ { = } & { \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } 2 \langle F _ { t , h _ { 1 } } , F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 1 } } } \rangle _ { L _ { 2 } } - 2 \langle F _ { t , h _ { 2 } } , F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 2 } } } \rangle _ { L _ { 2 } } + 2 \langle F _ { t , h _ { 1 } } , F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 2 } } } \rangle _ { L _ { 2 } } - 2 \langle F _ { t , h _ { 1 } } , F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 2 } } } \rangle _ { L _ { 2 } } } \\ { = } & { \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } 2 \langle F _ { t , h _ { 1 } } - F _ { t , h _ { 2 } } , F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 2 } } } \rangle _ { L _ { 2 } } + 2 \langle F _ { t , h _ { 1 } } , F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 2 } } } - F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 1 } } } \rangle _ { L _ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { X = \big \{ x \in \mathbb { R } ^ { 2 } : 4 - x ^ { T } x \geq 0 , \, x _ { 1 } x _ { 2 } \geq \frac { 1 } { 2 } , \, x _ { 1 } \geq 0 \big \} , } \\ & { U ( x ) = \{ u \in \mathbb { R } ^ { 2 } : u _ { 1 } \geq 0 , \, u _ { 2 } - x _ { 2 } u _ { 1 } \geq 0 , \, 2 x _ { 1 } - x _ { 2 } u _ { 1 } - u _ { 2 } \geq 0 \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { c _ { 1 2 } ^ { \ast } g _ { 1 } ^ { ( 1 ) } } & { = g _ { 1 } ^ { ( 2 ) } , } & { c _ { 1 3 } ^ { \ast } g _ { 1 } ^ { ( 1 ) } } & { = g _ { 2 } ^ { ( 3 ) } , } & { c _ { 2 3 } ^ { \ast } g _ { 1 } ^ { ( 2 ) } } & { = g _ { 2 } ^ { ( 3 ) } , } \\ { c _ { 1 2 } ^ { \ast } g _ { 2 } ^ { ( 1 ) } } & { = g _ { 3 } ^ { ( 2 ) } , } & { c _ { 1 3 } ^ { \ast } g _ { 2 } ^ { ( 1 ) } } & { = g _ { 4 } ^ { ( 3 ) } , } & { c _ { 2 3 } ^ { \ast } g _ { 2 } ^ { ( 2 ) } } & { = g _ { 3 } ^ { ( 3 ) } , } \\ { c _ { 1 2 } ^ { \ast } g _ { 3 } ^ { ( 1 ) } } & { = g _ { 4 } ^ { ( 2 ) } , } & { c _ { 1 3 } ^ { \ast } g _ { 3 } ^ { ( 1 ) } } & { = g _ { 1 } ^ { ( 3 ) } , } & { c _ { 2 3 } ^ { \ast } g _ { 3 } ^ { ( 2 ) } } & { = g _ { 4 } ^ { ( 3 ) } , } \\ { c _ { 1 2 } ^ { \ast } g _ { 4 } ^ { ( 1 ) } } & { = g _ { 2 } ^ { ( 2 ) } , } & { c _ { 1 3 } ^ { \ast } g _ { 4 } ^ { ( 1 ) } } & { = g _ { 3 } ^ { ( 3 ) } , } & { c _ { 2 3 } ^ { \ast } g _ { 4 } ^ { ( 2 ) } } & { = g _ { 1 } ^ { ( 3 ) } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { e ^ { 2 i \theta } } & { = { \frac { e ^ { i \theta } } { e ^ { - i \theta } } } = { \frac { \cos \theta + i \sin \theta } { \cos \theta - i \sin \theta } } = { \frac { 1 + i \tan \theta } { 1 - i \tan \theta } } } \\ { \theta } & { = { \frac { 1 } { 2 i } } \ln \left( { \frac { 1 + i \tan \theta } { 1 - i \tan \theta } } \right) } \\ { \tan ^ { - 1 } x } & { = { \frac { 1 } { 2 i } } \ln \left( { \frac { 1 + i x } { 1 - i x } } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r } { Q _ { n } ^ { [ \Tilde { V } _ { 1 } ( 1 ) ] } = Q _ { n } ^ { [ 1 ] } = R _ { n } ^ { [ 1 ] } ( : , 1 ) = \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] + \alpha _ { n } ^ { \ell } \hat { Z } _ { 1 } , \quad \mathrm { a n d } \quad Q _ { n } ^ { [ \Tilde { V } _ { 1 } ( 2 ) ] } = Q _ { n } ^ { [ 3 ] } = R _ { n } ^ { [ 1 ] } ( : , 3 ) = \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] + \alpha _ { n } ^ { \ell } \hat { Z } _ { 3 } , } \end{array}
\Bar { H } = \langle H , ( 1 , h _ { 1 } ) , \dots , ( 1 , h _ { n } ) , ( 1 , g _ { 1 } ) , \dots , ( 1 , g _ { n } ) \rangle \mathrm { , ~ w h e r e ~ } h _ { i } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { \Bar { a } _ { i } } & { 0 } \\ { 0 } & { I _ { n } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , g _ { i } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { I _ { n } } & { \Bar { b } _ { i } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } { \langle R _ { 1 } ( r , Y ) \rangle _ { \theta } } & { \approx } & { \left( c _ { 1 0 } + d _ { 1 0 } \left( { \frac { \gamma \, r ^ { 2 } } { 2 } } \right) ^ { \frac { ( N - 1 ) } { 2 } } \, \mathrm { e } ^ { - \frac { \gamma r ^ { 2 } } { 2 } } \right) + \left( c _ { 1 1 } \, \mathrm { e } ^ { - \gamma r ^ { 2 } } + d _ { 1 \nu } \left( { \frac { \gamma \, r ^ { 2 } } { 2 } } \right) ^ { \frac { ( N - 1 ) } { 2 } } \, \mathrm { e } ^ { - \frac { 3 \gamma r ^ { 2 } } { 2 } } \right) \, \mathrm { e } ^ { - 2 \gamma \, N ( Y - Y _ { 0 } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { l , m } : } & { = \int _ { - L / 2 } ^ { L / 2 } d x \int _ { - L / 2 } ^ { L / 2 } d y \exp ( i l 2 \pi x / L ) \exp ( i m 2 \pi y / L ) \theta ( R - | \mathbf { r } | ) } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \pi R ^ { 2 } \mathrm { ~ i f ~ } m = l = 0 } \\ { \frac { R L } { \sqrt { l ^ { 2 } + m ^ { 2 } } } J _ { 1 } \bigg ( \frac { 2 \pi } { L } R \sqrt { l ^ { 2 } + m ^ { 2 } } \bigg ) \mathrm { ~ e l s e } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf D _ { \mathbf x } \mathbf F ( \mathbf x , \mathbf g ( \mathbf x ) ) = } & { - \mathbf I - \Delta t \left( \Big ( 1 - \frac { 1 } { 2 \alpha } \Big ) \mathbf A + \frac { 1 } { 2 \alpha } \mathbf A \mathbf D \mathbf y ^ { ( 2 ) } ( \mathbf x ) \right) \widetilde H _ { i } ( \mathbf x , \mathbf g ( \mathbf x ) ) } \\ & { - \Delta t \left( \Big ( 1 - \frac { 1 } { 2 \alpha } \Big ) \mathbf A \mathbf x + \frac { 1 } { 2 \alpha } \mathbf A \mathbf y ^ { ( 2 ) } ( \mathbf x ) \right) \nabla _ { \mathbf x } \widetilde H _ { i } ( \mathbf x , \mathbf g ( \mathbf x ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb Q ( E _ { [ n ] , R } ) } & { \leq \mathbb Q ( E _ { [ n ] , R } \cap \{ \mathrm { M i m } _ { n + 1 \to 1 } \mathrm { ~ f a v o r a b l e } \} ) + \mathbb Q ( E _ { [ n ] , R } \cap \{ \mathrm { M i m } _ { 1 \to n + 1 } \mathrm { ~ f a v o r a b l e } \} ) } \\ & { \leq C M \mathbb Q ( { E _ { [ n + 1 ] , R } } ) + \frac { C M } { T ^ { d } } \mathbb Q ( E _ { \{ 2 , \ldots , n \} } \cap \{ | y _ { 1 } - y _ { n + 1 } | \leq 1 \} \cap \{ y _ { 1 } \in B _ { 2 T + 1 } \setminus B _ { T - 1 } \} ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { r _ { \beta } ( s ) } & { \geq p s ^ { * } - \chi ( n ) \sqrt { ( \beta - 1 ) s ^ { * } } - ( p + 1 ) ( \beta - 2 ) - 1 + p ( s - s ^ { * } - 1 ) - \chi ( n ) \sqrt { s - s ^ { * } - 1 } } \\ & { = p s - \chi ( n ) \left[ \sqrt { ( \beta - 1 ) s ^ { * } } + \sqrt { s - s ^ { * } - 1 } \right] - ( p + 1 ) ( \beta - 1 ) } \\ & { \geq p s - \chi ( n ) \sqrt { \beta s } - ( p + 1 ) ( \beta - 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { 2 n + 1 } ( k ) } & { = 0 } \\ { S _ { 0 } ( k ) } & { = 1 } \\ { S _ { 2 } ( k ) } & { = - n } \\ { S _ { 4 } ( k ) } & { = \frac { ( k - 1 ) ( k - 2 ) } { 2 } } \\ { S _ { 6 } ( k ) } & { = \frac { - ( k - 1 ) ( k - 2 ) ( k + 3 ) } { 6 } } \\ { S _ { 8 } ( k ) } & { = \frac { ( k - 1 ) ( k - 2 ) ( k - 3 ) ( k + 4 ) } { 2 4 } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { | \lambda _ { k } ( B ) | } & { \leq | \lambda _ { k _ { 0 } } ( B ) | + | \lambda _ { k _ { 0 } } ( B ) - \lambda _ { k } ( B ) | } \\ & { \leq | \lambda _ { k _ { 0 } } ( B ) | + | \lambda _ { k _ { 0 } } ( B _ { 1 } ) - \lambda _ { k } ( B _ { 1 } ) | + | \lambda _ { k _ { 0 } } ( B _ { 2 } ) - \lambda _ { k } ( B _ { 2 } ) | } \\ & { \leq | \lambda _ { k _ { 0 } } ( B ) | + 2 \epsilon } \end{array} }
\begin{array} { r } { \mu _ { D ( x , 1 ) } ^ { \mathrm { l o o p } } ( \{ \wp \mathrm { ~ v i s i t i n g ~ } D ( x , r _ { x } ) , D ( y , r _ { y } ) \mathrm { ~ a n d ~ } \partial D ( x , R ) \} ) = ( 1 + o ( 1 ) ) \frac { \log \frac { 1 } { R } \log \frac { R } { | x - y | ^ { 2 } } } { \log \frac { 1 } { r _ { x } } \log \frac { 1 } { r _ { y } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( \{ 2 , 3 \} ) - g ( \{ 3 \} ) } & { = f ( \{ 2 , 3 \} ) + \frac { \ell ( \{ 2 \} ) + \ell ( \{ 3 \} ) } { 2 } - g ( \{ 3 \} ) } \\ & { = 1 - g ( \{ 3 \} ) + \frac { \ell ( \{ 2 \} ) + \ell ( \{ 3 \} ) } { 2 } \underset { \ell ( \{ 3 \} \leq g ( \{ 3 \} ) } { \leq } 1 + \frac { \ell ( \{ 2 \} ) - \ell ( \{ 3 \} ) } { 2 } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { V P ( \alpha ( t ) , \omega ( t ) ) + \sum _ { i = 1 } ^ { K } Q _ { i } ( t ) Y _ { i } ( \alpha ( t ) , \omega ( t ) ) } \\ { \leq } & { C + \operatorname* { i n f } _ { \alpha \in A } [ V P ( \alpha , \omega ( t ) ) + \sum _ { i = 1 } ^ { K } Q _ { i } ( t ) Y _ { i } ( \alpha , \omega ( t ) ) ] } \end{array} }
\begin{array} { r l } { f _ { 1 } ( j , k ) } & { : = \int _ { 0 } ^ { k } \int _ { 0 } ^ { k } ( j + s - t ) ^ { \alpha - 1 } - | s - t | ^ { \alpha - 1 } d s d t , } \\ { f _ { 2 } ( j , k ) } & { : = \sum _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } = 0 } ^ { k - 1 } ( \lambda _ { \alpha - 1 } ( j + n _ { 1 } - n _ { 2 } ) - | j + n _ { 1 } - n _ { 2 } | ^ { \alpha - 1 } , } \\ { f _ { 3 } ( j , k ) } & { : = \sum _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } = 0 } ^ { k - 1 } | j + n _ { 1 } - n _ { 2 } | ^ { \alpha - 1 } - \int _ { 0 } ^ { k } \int _ { 0 } ^ { k } | j + s - t | ^ { \alpha - 1 } d s d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 2 k + 2 i , 4 k - 1 - 2 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 1 + 2 i , 4 k - 1 - 2 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 2 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k + 2 i , 4 k - 3 - 2 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 2 k - 1 + 2 i , 4 k - 1 - 2 i } ^ { B , i + 1 } \otimes v _ { 2 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k + 2 i , 4 k - 3 - 2 i } ^ { B , i + 1 } \otimes v _ { 1 , 3 } } \end{array}
\begin{array} { r } { b _ { 0 } ( r _ { j } ^ { n } ) \doteq c _ { j , 0 } ^ { n } r _ { j } ^ { n } - 2 \lambda ( \gamma _ { 1 3 } + \gamma _ { 1 4 } ) ( r _ { j } ^ { n } ) ^ { 2 } , \quad b _ { 1 } ( r _ { j + 1 } ^ { n } ) \doteq c _ { j , 1 } ^ { n } r _ { j + 1 } ^ { n } - 2 \lambda ( \gamma _ { 2 3 } + \gamma _ { 2 4 } ) ( r _ { j + 1 } ^ { n } ) ^ { 2 } , } \end{array}
K _ { 0 } ( C _ { \bullet } ( \widehat { \mathrm { B S } ( n , m ) } \wr _ { \ast , \widehat { \langle a \rangle } } S _ { N } ^ { + } ) ) \simeq \mathbb { Z } ^ { N ! } \mathrm { ~ a n d ~ } K _ { 1 } ( C _ { \bullet } ( \widehat { \mathrm { B S } ( n , m ) } \wr _ { \ast , \widehat { \langle a \rangle } } S _ { N } ^ { + } ) ) \simeq \mathbb { Z } ^ { N ! } \oplus ( \mathbb { Z } _ { \vert n - m \vert } ) ^ { N ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { s ^ { \alpha - 1 } e ^ { - t s ^ { \alpha } } = - \frac { 1 } { \alpha t } \frac { d } { d s } e ^ { - t s ^ { \alpha } } } & { = \frac { 1 } { \alpha t } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - s x } x f _ { \alpha } ( x \vert t ) \, d x } \\ { \implies \; \alpha \, t \, \{ \rho _ { \alpha } \star f _ { \alpha } ( \cdot \vert t ) \} ( x ) } & { = x f _ { \alpha } ( x \vert t ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I _ { K - 2 } } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { 1 - R _ { K - 3 } } d \rho _ { K - 2 } \; \rho _ { K - 2 } ^ { n _ { K - 2 } + \beta - 1 } \left( 1 - \rho _ { K - 2 } - R _ { K - 3 } \right) ^ { n _ { K } + N _ { K - 1 } + 2 \beta - 1 } } \\ & { = } & { \frac { \Gamma ( n _ { K - 2 } + \beta ) \Gamma ( n _ { K } + n _ { K - 1 } + 2 \beta ) } { \Gamma ( n _ { k } + n _ { K - 1 } + n _ { k - 2 } + 3 \beta ) } ( 1 - R _ { K - 3 } ) ^ { n _ { K } + n _ { K - 1 } + n _ { K - 2 } + 3 \beta - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r } { | | r e m | | _ { \infty } \leq \sum _ { k = 1 } ^ { 2 } | | ( \widehat { \Theta } ^ { [ k ] } - \Theta _ { 0 } ^ { [ k ] } ) ( \widehat { \Sigma } ^ { [ k ] } - \Sigma _ { 0 } ^ { [ k ] } ) \Theta _ { 0 } ^ { [ k ] } | | _ { \infty } + \sum _ { k = 1 } ^ { 2 } | | ( \widehat { \Theta } ^ { [ k ] } - \Theta _ { 0 } ^ { [ k ] } ) ( \widehat { \Sigma } ^ { [ k ] } \widehat { \Theta } ^ { [ k ] } - { \bf I } _ { p } ) | | _ { \infty } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { n n z r } ( \mathbf { G } ) } & { = \sum _ { j \in \mathbb { N } _ { k } } \mathrm { n n z r } ( \mathbf { G } ^ { ( j ) } ) } \\ & { = \sum _ { j \in \mathbb { N } _ { k } } \# \big \{ p _ { j } ( \beta _ { i } ) \neq 0 : \beta _ { i } \in \mathcal { B } \big \} } \\ & { = \sum _ { j \in \mathbb { N } _ { k } } n - \big \{ i : \mathbf { M } _ { i j } = 0 \big \} } \\ & { = \sum _ { j \in \mathbb { N } _ { k } } n - ( n - d ) } \\ & { = k d } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { k \rightarrow \infty } \mathbb { E } \int _ { 0 } ^ { T } \chi _ { \mathcal { R } } \left( \int _ { 0 } ^ { t } \Big \langle \theta _ { \rho } ( \| \tilde { u } _ { n _ { k } } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } \tilde { v } _ { n _ { k } } - ( \partial _ { z } \tilde { v } _ { n _ { k } } ) _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \sigma ( \tilde { u } _ { n _ { k } } ) , \phi \Big \rangle d \tilde { W } _ { n _ { k } } \right) d t } \\ & { = \mathbb { E } \int _ { 0 } ^ { T } \chi _ { \mathcal { R } } \left( \int _ { 0 } ^ { t } \Big \langle \theta _ { \rho } ( \| \tilde { u } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } \tilde { v } - \partial _ { z } \tilde { v } _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \sigma ( \tilde { u } ) , \phi \Big \rangle d \tilde { W } \right) d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lVert - \nabla \cdot \eta \mu \nabla \varphi \rVert _ { X _ { \theta } } } & { \leq \bigl \lVert ( - \nabla \cdot \eta \mu \nabla ) ( - \nabla \cdot \mu \nabla + 1 ) ^ { - 1 } \bigr \rVert _ { \mathcal { L } ( X _ { \theta } ) } \lVert - \nabla \cdot \mu \nabla \varphi + \varphi \rVert _ { X _ { \theta } } } \\ & { \lesssim \lVert \eta \rVert _ { [ C ( \overline { \Omega } ) , C ^ { 0 , 1 } ( \overline { \Omega } ) ] _ { \theta } } \lVert \varphi \rVert _ { Y _ { \theta } } . } \end{array}
\sqrt { T S } ( Q _ { T S } ^ { * } ) _ { B ^ { 0 } } = \frac { 1 } { \sqrt { T S } } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \sum _ { s = 1 } ^ { S } ( - \sin ( \lambda t + \mu s ) ) \left( \mathbb { I } _ { \{ \epsilon ( t , s ) \geq \frac { 1 } { \beta _ { T , S } } \} } - \mathbb { I } _ { \{ \epsilon ( t , s ) \leq - \frac { 1 } { \beta _ { T , S } } \} } \right) + o _ { p } ( 1 )
\begin{array} { r l } & { \alpha _ { 2 } ( x , y , \hat { x } _ { 1 } | Q _ { \hat { X } _ { 2 } | Y \hat { X } _ { 1 } } ) } \\ { * } & { : = \Big \{ \mathbb { E } _ { Q _ { \hat { X } _ { 2 } | Y \hat { X } _ { 1 } } } \Big [ \exp ( - \lambda _ { 2 } ^ { * } d _ { 2 } ( X ^ { n } , \hat { X } _ { 2 } ^ { n } ) ) \Big | Y = y , \hat { X } _ { 1 } = \hat { x } _ { 1 } \Big ] \Big \} ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { 1 } ( \gamma , \pi _ { 1 } \underline { { u } } ^ { \prime } ) ^ { * } \pi _ { 2 } \underline { { u } } ^ { \prime } } & { = f _ { 1 } ( \gamma , p ) ^ { * } ( \beta _ { 1 } ( f _ { 1 } ( \gamma , \pi _ { 1 } u ) , f _ { 2 } ( \gamma , \pi _ { 1 } u , \pi _ { 2 } u ) ) ^ { - 1 } ) ^ { * } \pi _ { 2 } \underline { { u } } ^ { \prime } } \\ & { = f _ { 1 } ( \gamma , p ) ^ { * } f _ { 2 } ( \gamma , \pi _ { 1 } u , \pi _ { 2 } u ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { S } ( A ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \| A 1 _ { S } ^ { \prime } - A 1 _ { \overline { { S } } } ^ { \prime } \| _ { 1 } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } \left| \frac { 1 - v _ { i } } { k } - \frac { v _ { i } } { k ^ { \prime } } \right| } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } \left| \frac { 1 } { k } - \frac { n \cdot v _ { i } } { k \cdot k ^ { \prime } } \right| } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \frac { n } { k \cdot k ^ { \prime } } \sum _ { i } \left| \frac { k ^ { \prime } } { n } - v _ { i } \right| } \\ & { \geq \frac { 1 } { 2 } \frac { n } { k \cdot k ^ { \prime } } \sum _ { i = 1 } ^ { k } \left( \frac { k ^ { \prime } } { n } - v _ { i } \right) } \\ & { \mathrm { \ \ \ [ s i n c e ~ \ensuremath { A } ~ i s ~ \ensuremath { 1 / 2 } - l a z y ] } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - \frac { n } { k ^ { \prime } } \phi _ { S } ( A ) \right) } \\ & { \geq \frac { 1 } { 2 } - \phi _ { S } ( A ) } \end{array}
\mathbf { Y } _ { \le k } : = \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { Y } _ { < k } y ^ { ( k ) } ( z _ { 1 } ) } \\ { \vdots } \\ { \mathbf { Y } _ { < k } y ^ { ( k ) } ( z _ { n _ { \xi } } ) } \end{array} \right] \quad \mathrm { a n d } \quad \mathbf { Y } _ { \ge k } : = \left[ \begin{array} { l l l } { y ^ { ( k ) } ( z _ { 1 } ) \mathbf { Y } _ { > k } } & { \cdots } & { y ^ { ( k ) } ( z _ { n _ { \xi } } ) \mathbf { Y } _ { > k } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { H [ p ] } & { = H [ p ( s _ { \mathrm { k } } ) ] - \sum _ { s _ { \mathrm { k } } } p ( s _ { \mathrm { k } } ) \left( H [ p ( s _ { \mathrm { i } } | s _ { \mathrm { k } } ) ] + \right. } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left. H [ p ( s _ { \mathrm { j } } | s _ { \mathrm { k } } ) ] \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathfrak { s p } \left( H ^ { \prime } \right) } & { = \left[ \mathfrak { s p } \left( H ^ { \prime } \right) , \, \mathfrak { s p } \left( H ^ { \prime } \right) \right] \quad \mathrm { a n d } } \\ { \mathfrak { s p } \left( H ^ { \prime } \right) \ltimes H ^ { \prime } } & { = \left[ \mathfrak { s p } \left( H ^ { \prime } \right) \ltimes H ^ { \prime } , \, \mathfrak { s p } \left( H ^ { \prime } \right) \ltimes H ^ { \prime } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { \bar { t } _ { s } } - I _ { \bar { t } _ { s - 1 } } } & { \leq - \frac { \mu \tau } { 4 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } I _ { t } - \frac { \tau ^ { 2 } } { 4 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } Q _ { t } + \frac { 9 \kappa ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } { 2 \mu \tau } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } E _ { t } + \frac { 9 \tau } { \mu } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } H _ { t } } \\ & { + \frac { 1 8 I \eta ^ { 2 } \tau \tilde { L } ^ { 2 } } { \mu } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \alpha _ { \ell } ^ { 2 } D _ { \ell } + \frac { 1 8 I \gamma ^ { 2 } \tau \tilde { L } ^ { 2 } } { \mu } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \alpha _ { \ell } ^ { 2 } G _ { \ell } + 1 8 I \tau ^ { 3 } L ^ { 2 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \alpha _ { \ell } ^ { 2 } J _ { \ell } } \\ & { \leq - \frac { \mu \tau } { 4 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } I _ { t } - \frac { \tau ^ { 2 } } { 4 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } Q _ { t } + \frac { 9 \kappa ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } { 2 \mu \tau } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } E _ { t } + \frac { 9 \tau } { \mu } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } H _ { t } } \\ & { + \frac { 1 8 \eta ^ { 2 } \tau } { 1 6 ^ { 2 } \mu } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } D _ { t } + \frac { 1 8 \gamma ^ { 2 } \tau } { 1 6 ^ { 2 } \mu } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } G _ { t } + \frac { 1 8 \tau ^ { 3 } L ^ { 2 } } { 1 6 ^ { 2 } \tilde { L } ^ { 2 } } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } J _ { t } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \, P . V \int _ { B _ { r } } J _ { p } ( \phi ( x + y ) - \phi ( x ) ) \frac { \, \mathrm { d } y } { | y | ^ { d + s p } } = } & { \, \frac { 1 } { 2 } ( p - 1 ) \int _ { B _ { r } \cap ( \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { d } \setminus \Omega ) } | \nabla \phi ( x ) \cdot y | ^ { p - 2 } y ^ { T } D ^ { 2 } \phi ( x ) y \, \frac { \, \mathrm { d } y } { | y | ^ { d + s p } } } \\ & { \, + O ( | y | ^ { \beta + p } ) + o _ { \eta } ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Q } ^ { ( 1 ) } ( { \cal N } ) , \mathcal { Q } ^ { ( 1 ) } ( { \cal N } ^ { c } ) \leq { \cal P } _ { \operatorname* { m a x } } ^ { ( 1 ) } ( { \cal N } ) } & { < \mathcal { Q } ^ { ( 2 ) } ( { \cal N } ) , \mathcal { Q } ^ { ( 2 ) } ( { \cal N } ^ { c } ) } \\ & { \leq { \cal P } _ { \operatorname* { m a x } } ^ { ( 2 ) } ( { \cal N } ) < \ldots } \end{array}
\mathcal { I F } ^ { ( 2 ) } \left( \boldsymbol { y } , R _ { n , \beta } \left( \boldsymbol { 0 } _ { r } , \sigma _ { 0 } ^ { 2 } , \boldsymbol { \beta } _ { 0 } \right) , \underline { { F } } _ { \boldsymbol { 0 } _ { r } , \sigma _ { 0 } ^ { 2 } , \boldsymbol { \beta } _ { 0 } } \right) = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathcal { I F } _ { i } ^ { ( 2 ) } \left( y _ { i } , R _ { n , \beta } \left( \boldsymbol { 0 } _ { r } , \sigma _ { 0 } ^ { 2 } , \boldsymbol { \beta } _ { 0 } \right) , \underline { { F } } _ { \boldsymbol { 0 } _ { r } , \sigma _ { 0 } ^ { 2 } , \boldsymbol { \beta } _ { 0 } } \right) ,
\begin{array} { r l } { \rho ^ { \prime } } & { = - \frac { \rho ( \rho ^ { 2 } - 1 ) } { 1 6 L ( \rho , \theta , \eta ) } \Bigg \{ 4 6 0 8 \eta ^ { 7 } ( 1 - \rho ^ { 2 } ) ^ { 5 / 2 } + 7 6 8 \eta ^ { 5 } ( 1 - \rho ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } \left( 6 \cos ^ { 2 } ( \theta ) + \rho ^ { 2 } ( ( 3 \epsilon - 1 ) \cos ( 2 \theta ) + 3 \epsilon - 5 ) \right) } \\ & { - 1 6 \eta ^ { 3 } \sqrt { 1 - \rho ^ { 2 } } \rho ^ { 2 } \left( \rho ^ { 2 } ( 3 9 \cos ( 4 \theta ) + ( 4 8 \epsilon - 4 ) \cos ( 2 \theta ) + 4 8 \epsilon - 7 5 ) - 4 8 \cos ^ { 2 } ( \theta ) ( ( \epsilon + 4 ) \cos ( 2 \theta ) + \epsilon - 4 ) \right) } \\ & { + 4 8 \eta \sqrt { 1 - \rho ^ { 2 } } \rho ^ { 4 } \cos ^ { 2 } ( \theta ) ( - 3 6 \cos ( 2 \theta ) + ( 8 \epsilon - 1 ) \cos ( 4 \theta ) - 8 \epsilon - 3 ) } \\ & { + 3 8 4 \eta ^ { 4 } \rho \left( \rho ^ { 2 } - 1 \right) \cos ( \theta ) \left( 6 \zeta - 3 \lambda + \cos ( 2 \theta ) \left( 6 \zeta + 3 \lambda + \rho ^ { 2 } ( 2 \zeta ( \epsilon - 3 ) - \lambda ) \right) + \rho ^ { 2 } ( \lambda + 2 \zeta ( \epsilon - 3 ) ) \right) } \\ & { + 3 2 \eta ^ { 2 } \rho ^ { 3 } \cos ( \theta ) \left( \rho ^ { 2 } ( 4 \cos ( 2 \theta ) ( \zeta - 4 \lambda - 6 \zeta \epsilon ) + \cos ( 4 \theta ) ( 1 3 \zeta + 4 \lambda - 8 \zeta \epsilon - 2 \lambda \epsilon ) - ( \zeta ( 1 6 \epsilon + 9 ) ) + 2 \lambda ( \epsilon + 6 ) ) \right) } \\ & { + 1 9 2 \eta ^ { 2 } \rho ^ { 3 } \cos ( \theta ) \left( ( ( \epsilon - 2 ) \cos ( 2 \theta ) + \epsilon + 2 ) ( ( 2 \zeta + \lambda ) \cos ( 2 \theta ) + 2 \zeta - \lambda ) \right) } \\ & { + ( - \rho ^ { 5 } ( \cos ( \theta ) ( \zeta ( 4 0 \epsilon + 9 4 ) + \lambda ( 4 \epsilon + 3 ) ) ) + \rho ^ { 5 } \cos ( 3 \theta ) ( - 1 8 \zeta + 7 \lambda + 8 \zeta \epsilon - 2 8 \lambda \epsilon ) } \\ & { + 3 \rho ^ { 5 } \cos ( 5 \theta ) ( - 2 \zeta + 7 \lambda + 8 \zeta \epsilon + 4 \lambda \epsilon ) + \rho ^ { 5 } ( 4 \epsilon - 5 ) ( 2 \zeta + 5 \lambda ) \cos ( 7 \theta ) ) \Bigg \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \sum _ { k = 0 } ^ { n } \frac { ( 2 k ) ! } { ( k ! ) ^ { 2 } } \frac { ( 2 ( n - k ) ) ! } { ( ( n - k ) ! ) ^ { 2 } } } & { ( k + 1 ) ^ { ( d - 1 ) / 2 } } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { n } \frac { ( 2 k ) ! } { ( k ! ) ^ { 2 } } \frac { ( 2 ( n - k ) ) ! } { ( ( n - k ) ! ) ^ { 2 } } ( ( k + 1 ) ^ { ( d - 1 ) / 2 } + ( n - k + 1 ) ^ { ( d - 1 ) / 2 } ) } \\ & { \ge \sum _ { k = 0 } ^ { n } \frac { ( 2 k ) ! } { ( k ! ) ^ { 2 } } \frac { ( 2 ( n - k ) ) ! } { ( ( n - k ) ! ) ^ { 2 } } ( \frac { n } { 2 } + 1 ) ^ { ( d - 1 ) / 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \begin{array} { l } { A _ { 1 } ^ { \Tilde { V } _ { 1 } ( 1 ) } } \\ { \vdots } \\ { A _ { N } ^ { \Tilde { V } _ { 1 } ( 1 ) } } \end{array} \right] = } & { \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { \frac { 1 } { \alpha _ { 1 } ^ { \ell } } } & { \dotsc } & { \frac { 1 } { \alpha _ { 1 } } } & { 1 } & { \alpha _ { 1 } } & { \dotsc } & { \alpha _ { 1 } ^ { 2 \ell } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { \frac { 1 } { \alpha _ { N } ^ { \ell } } } & { \dotsc } & { \frac { 1 } { \alpha _ { N } } } & { 1 } & { \alpha _ { N } } & { \dotsc } & { \alpha _ { N } ^ { 2 \ell } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { W _ { \ell } ^ { [ 2 , 1 ] } } \\ { \vdots } \\ { W _ { 1 } ^ { [ 2 , 1 ] } } \\ { R _ { 0 } } \\ { \vdots } \\ { R _ { 2 \ell } } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathcal { R } _ { \mathrm { H V } } ( { \it \Delta \phi } ) = U _ { \mathrm { L R } } ^ { - 1 } \mathcal { R } _ { \mathrm { L R } } U _ { \mathrm { L R } } } \\ & { } & { = \frac { \mathrm { e } ^ { i \beta } \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 1 } \\ { i } & { - i } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { \mathrm { e } ^ { - i \frac { { \it \Delta \phi } } { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathrm { e } ^ { + i \frac { { \it \Delta \phi } } { 2 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { - i } \\ { 1 } & { i } \end{array} \right) } \\ & { } & { = \mathrm { e } ^ { i \beta } \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } \left( \begin{array} { c c } { \cos \left( \frac { { \it \Delta \phi } } { 2 } \right) } & { - \sin \left( \frac { { \it \Delta \phi } } { 2 } \right) } \\ { \sin \left( \frac { { \it \Delta \phi } } { 2 } \right) } & { \cos \left( \frac { { \it \Delta \phi } } { 2 } \right) } \end{array} \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { f ( x ; 0 , 1 ) } & { = { \frac { 1 } { \pi } } \, \Gamma \left( { \frac { 5 } { 3 } } \right) { _ { 2 } F _ { 3 } } \! \left( { \frac { 5 } { 1 2 } } , { \frac { 1 1 } { 1 2 } } ; { \frac { 1 } { 3 } } , { \frac { 1 } { 2 } } , { \frac { 5 } { 6 } } ; - { \frac { 4 x ^ { 6 } } { 7 2 9 } } \right) } \\ & { \quad - { \frac { x ^ { 2 } } { 3 \pi } } \, { _ { 3 } F _ { 4 } } \! \left( { \frac { 3 } { 4 } } , { 1 } , { \frac { 5 } { 4 } } ; { \frac { 2 } { 3 } } , { \frac { 5 } { 6 } } , { \frac { 7 } { 6 } } , { \frac { 4 } { 3 } } ; - { \frac { 4 x ^ { 6 } } { 7 2 9 } } \right) } \\ & { \quad + { \frac { 7 x ^ { 4 } } { 8 1 \pi } } \, \Gamma \left( { \frac { 4 } { 3 } } \right) { _ { 2 } F _ { 3 } } \! \left( { \frac { 1 3 } { 1 2 } } , { \frac { 1 9 } { 1 2 } } ; { \frac { 7 } { 6 } } , { \frac { 3 } { 2 } } , { \frac { 5 } { 3 } } ; - { \frac { 4 x ^ { 6 } } { 7 2 9 } } \right) , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { e f f } } \approx } & { H _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } [ S , H _ { I } ] } \\ { = } & { H _ { 0 } - \frac { g _ { A } ^ { 2 } } { \Delta _ { A } } [ D _ { A } ^ { \dagger } D _ { A } + D _ { A } ^ { z } a ^ { \dagger } a ] - \frac { g _ { B } ^ { 2 } } { \Delta _ { B } } [ D _ { B } ^ { \dagger } D _ { B } + D _ { B } ^ { z } b ^ { \dagger } b ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla \mathcal { H } _ { 5 } ( f ) } & { = \int ( 2 - 2 \cos ( \theta - \eta ) ) ^ { - \frac { \alpha } { 2 } } F _ { 1 , \ge 3 } ( f ( \theta ) , f ( \eta ) , { J } ) ( f ( \theta ) - f ( \eta ) ) d \eta } \\ & { \ + \int ( 2 - 2 \cos ( \theta - \eta ) ) ^ { 1 - \frac { \alpha } { 2 } } F _ { 2 , \ge 4 } ( f ( \theta ) , f ( \eta ) , { J } ) d \eta . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \cal E } ^ { 1 } ( \theta ) ( t ) \leq 3 e ^ { - 2 \delta t } { \cal E } ^ { 1 } ( \theta ) ( 0 ) + \left( \frac { 1 } { \alpha } + \frac { \epsilon } { \lambda _ { 1 } } \right) \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - 2 \delta ( t - s ) } \left( \| \eta ^ { \prime \prime } \| ^ { 2 } + \alpha \| \eta ^ { \prime } \| ^ { 2 } \right) \, d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - 1 } & { = \int _ { - \infty } ^ { u _ { f } } \mathrm { d } u ^ { \prime } \left[ p ( u ^ { \prime } , \infty | u _ { 0 } ) - p ( u ^ { \prime } , 0 | u _ { 0 } ) \right] = \int _ { - \infty } ^ { u _ { f } } \mathrm { d } u ^ { \prime } \ \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } s \ \partial _ { s } p ( u ^ { \prime } , s | u _ { 0 } ) = } \\ & { = \int _ { - \infty } ^ { u _ { f } } \mathrm { d } u ^ { \prime } \ \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } s \ \left[ f ( u _ { 0 } ) \partial _ { u _ { 0 } } p \left( \left. u ^ { \prime } , s \right| u _ { 0 } \right) + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { u _ { 0 } } ^ { 2 } p \left( \left. u ^ { \prime } , s \right| u _ { 0 } \right) \right] = } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } s \ \left[ f ( u _ { 0 } ) \partial _ { u _ { 0 } } \Pi \left( s ; u _ { f } | u _ { 0 } \right) + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { u _ { 0 } } ^ { 2 } \Pi \left( s ; u _ { f } | u _ { 0 } \right) \right] = } \\ & { = f ( u _ { 0 } ) \partial _ { u _ { 0 } } \left\langle S _ { u _ { f } | u _ { 0 } } \right\rangle + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { u _ { 0 } } ^ { 2 } \left\langle S _ { u _ { f } | u _ { 0 } } \right\rangle . } \end{array}
P _ { 1 } ( \lambda ) = \sum _ { s = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { r _ { s } } \frac { P _ { X _ { s } , j } ^ { ( 1 ) } } { ( \lambda - X _ { s } ) ^ { j } } \overset { \lambda \to \infty } { = } \frac { \underset { s = 1 } { \overset { n } { \sum } } P _ { X _ { s } , 1 } ^ { ( 1 ) } } { \lambda } + \frac { \underset { s = 1 } { \overset { n } { \sum } } \left( P _ { X _ { s } , 2 } ^ { ( 1 ) } \delta _ { r _ { s } \geq 2 } + X _ { s } P _ { X _ { s } , 1 } ^ { ( 1 ) } \right) } { \lambda ^ { 2 } } + O \left( \lambda ^ { - 3 } \right)
\begin{array} { r l r } { k _ { d } ^ { ( \alpha } ( x , x ) } & { = } & { \frac { 1 } { 4 R } \int _ { - R } ^ { R } { \mathbb E } _ { w } \big [ ( w ^ { \top } x + b ) ^ { 2 } \big ] \alpha d b } \\ & { \leqslant } & { \frac { 1 } { 4 R } \int _ { - R } ^ { R } { \mathbb E } _ { w } ( 2 R ) ^ { 2 \alpha } d b = \frac { 1 } { 2 } ( 2 R ) ^ { 2 \alpha } . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l l l l l } { \alpha _ { 1 } } & { \alpha _ { 2 } } & { - \alpha _ { 2 } } & { - \xi } & { - \xi } & { 0 } \\ { \rho _ { 1 } \omega ^ { 2 } } & { - C _ { 1 } } & { - C _ { 1 } } & { C _ { 3 } } & { - C _ { 3 } } & { 0 } \\ { 0 } & { C _ { 2 } } & { - C _ { 2 } } & { C _ { 4 } } & { C _ { 4 } } & { 0 } \\ { 0 } & { - \alpha _ { 2 } e ^ { i \alpha _ { 2 } d } } & { \alpha _ { 2 } e ^ { - i \alpha _ { 2 } d } } & { \xi e ^ { i \beta _ { 2 } d } } & { \xi e ^ { - i \beta _ { 2 } d } } & { \alpha _ { 1 } e ^ { i \alpha _ { 1 } d } } \\ { 0 } & { C _ { 1 } e ^ { i \alpha _ { 2 } d } } & { C _ { 1 } e ^ { - i \alpha _ { 2 } d } } & { - C _ { 3 } e ^ { i \beta _ { 2 } d } } & { C _ { 3 } e ^ { - i \beta _ { 2 } d } } & { - \rho _ { 1 } \omega ^ { 2 } e ^ { i \alpha _ { 1 } d } } \\ { 0 } & { C _ { 2 } e ^ { i \alpha _ { 2 } d } } & { - C _ { 2 } e ^ { - i \alpha _ { 2 } d } } & { C _ { 4 } e ^ { i \beta _ { 2 } d } } & { C _ { 4 } e ^ { - i \beta _ { 2 } d } } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { R } \\ { A _ { 2 } ^ { + } } \\ { A _ { 2 } ^ { - } } \\ { B _ { 2 } ^ { + } } \\ { B _ { 2 } ^ { - } } \\ { T } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \alpha _ { 1 } } \\ { - \rho _ { 1 } \omega ^ { 2 } } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right]
\begin{array} { r l r } { a } & { = } & { - \frac { r _ { 1 } } { 1 0 } + \frac { ( 2 K _ { 2 } - 3 ) r _ { 2 } } { 1 0 K _ { 2 } } , } \\ { b } & { = } & { - \frac { r _ { 1 } ^ { 2 } } { 1 0 0 } - \frac { 9 c _ { 1 } r _ { 1 } ^ { 2 } } { 8 0 } + \frac { ( 2 - 3 / K _ { 2 } ) r _ { 1 } r _ { 2 } } { 1 0 0 } } \\ & { } & { + \frac { ( 2 K _ { 2 } - 3 ) r _ { 1 } r _ { 2 } } { 1 0 0 K _ { 2 } } - \frac { ( 1 - 4 K _ { 2 } ) ^ { 2 } r _ { 2 } ^ { 2 } } { 8 0 K _ { 2 } ^ { 2 } } + \frac { ( 3 / K _ { 2 } - 2 ) ( 2 K _ { 2 } - 3 ) r _ { 2 } ^ { 2 } } { 1 0 0 K _ { 2 } } , } \\ { c } & { = } & { - \frac { 9 c _ { 1 } r _ { 1 } ^ { 3 } } { 8 0 0 } + \frac { 9 c _ { 1 } ( 2 - 3 / K _ { 2 } ) r _ { 1 } ^ { 2 } r _ { 2 } } { 8 0 0 } + \frac { ( 2 K _ { 2 } - 3 ) r _ { 1 } ^ { 2 } r _ { 2 } } { 1 0 0 0 K _ { 2 } } } \\ & { } & { - \frac { 9 c _ { 1 } ( 2 K _ { 2 } - 3 ) r _ { 1 } ^ { 2 } r _ { 2 } } { 8 0 0 K _ { 2 } } - \frac { ( 2 - 3 / K _ { 2 } ) ( 2 K _ { 2 } - 3 ) r _ { 1 } r _ { 2 } ^ { 2 } } { 1 0 0 0 K _ { 2 } } + \frac { ( 2 - 3 / K _ { 2 } ) ( 1 - 4 K _ { 2 } ) ^ { 2 } r _ { 2 } ^ { 3 } } { 8 0 0 K _ { 2 } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { \alpha } ( \{ y \in D _ { x } \colon M f ( y ) > 2 \lambda , \, M ^ { \sharp } f ( y ) \leq \gamma \lambda \} ) } & { \leq \frac { \| M \| } { \lambda } C _ { \alpha } \mu _ { \alpha } ( D _ { x } ) M ^ { \sharp } f ( \xi _ { x } ) } \\ & { \leq \gamma \| M \| C _ { \alpha } \mu _ { \alpha } ( D _ { x } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta b _ { \widetilde { \rho } } ( s ( p ( \gamma ) ) x , y ) = } & { \delta b _ { \widetilde { \rho } } ( x , y ) = \lfloor \tau ( \widetilde { \rho } ( y ) ) \rfloor - \lfloor \tau ( \widetilde { \rho } ( x y ) ) \rfloor + \lfloor \tau ( \widetilde { \rho } ( x ) ) \rfloor } \\ { = } & { - \rho ^ { * } \chi _ { \mathbb { Z } } ( x , y ) = - \rho ^ { * } \chi _ { \mathbb { Z } } ( s ( p ( \gamma ) ) x , y ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { 0 | 5 } \left\langle \Phi _ { 1 2 } \right| L _ { \, 1 } ^ { ( 1 ) } L _ { \, 2 } ^ { ( 2 ) } \sigma _ { \mathbf { 1 } } ( 1 ) \tilde { \sigma } _ { \mathbf { 1 } } ( \eta ) \left| \Phi _ { 1 2 } \right\rangle } & { + a _ { 1 | 5 } \left\langle \Phi _ { 1 2 } \right| L _ { \, 1 } ^ { ( 1 ) } L _ { \, 1 } ^ { ( 2 ) } \sigma _ { \mathbf { 1 } } ( 1 ) \tilde { \sigma } _ { \mathbf { 1 } } ( \eta ) \left| \Phi _ { 1 2 } \right\rangle + } \\ { a _ { 2 | 5 } \left\langle \Phi _ { 1 2 } \right| L _ { \, 1 } ^ { ( 1 ) } L _ { \, 0 } ^ { ( 2 ) } \sigma _ { \mathbf { 1 } } ( 1 ) \tilde { \sigma } _ { \mathbf { 1 } } ( \eta ) \left| \Phi _ { 1 2 } \right\rangle } & { + a _ { 3 | 5 } \left\langle \Phi _ { 1 2 } \right| L _ { \, 1 } ^ { ( 1 ) } L _ { \, - 1 } ^ { ( 2 ) } \sigma _ { \mathbf { 1 } } ( 1 ) \tilde { \sigma } _ { \mathbf { 1 } } ( \eta ) \left| \Phi _ { 1 2 } \right\rangle = 0 } \end{array}
f _ { ; i } = \frac { \partial } { \partial \alpha ^ { i } } \lrcorner \, \mathrm { d } f , \ f _ { ; i j } = \frac { \partial } { \partial \alpha ^ { j } } \lrcorner \, \mathrm { d } f _ { ; i } , \ f _ { ; \underline { { a } } } = \frac { \partial } { \partial \beta ^ { a } } \lrcorner \, \mathrm { d } f , \ f _ { ; \underline { { a b } } } = \frac { \partial } { \partial \beta ^ { b } } \lrcorner \, \mathrm { d } f _ { ; \underline { a } } , \ f _ { ; \underline { { a } } i } = \frac { \partial } { \partial \alpha ^ { i } } \lrcorner \, \mathrm { d } f _ { ; \underline { a } } , \ f _ { ; i \underline { { a } } } = \frac { \partial } { \partial \beta ^ { a } } \lrcorner \, \mathrm { d } f _ { ; i }
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m s u p } _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n } \# \lbrace \sigma _ { j } \leq 1 - M \epsilon - h ~ \vee ~ \sigma _ { j } \geq 1 + M \epsilon + h \rbrace } \\ & { \leq \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } F _ { h } ( \sigma _ { j } ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } F _ { h } \left( \left\vert \frac { f ( x ) } { p ( x ) } \right\vert \right) \mathrm { d } x } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { - c } F _ { h } \left( \left\vert \frac { f ( x ) } { p ( x ) } \right\vert \right) \mathrm { d } x + \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { c } ^ { \pi } F _ { h } \left( \left\vert \frac { f ( x ) } { p ( x ) } \right\vert \right) \mathrm { d } x } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 \pi } \left( \int _ { - \pi } ^ { - c } 1 \mathrm { d } x + \int _ { c } ^ { \pi } 1 \mathrm { d } x \right) = \frac { 2 ( \pi - c ) } { 2 \pi } = \frac { \pi - c } { \pi } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \ln \Omega } { \partial n _ { i } } } & { = \alpha \frac { \partial n _ { i } } { \partial n _ { i } } + \beta \frac { \partial E _ { i } n _ { i } } { \partial n _ { i } } } \\ { \ln n _ { i } } & { = \alpha + \beta E _ { i } } \\ { \therefore n _ { i } } & { = e ^ { \alpha } e ^ { \beta E _ { i } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { T } _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { f } u ( x ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \mathbf { T } _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { f } p _ { n } ( x ) = \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \left[ p _ { n } ( 0 ) \varphi _ { f } ^ { ( 0 ) } + p _ { n } ^ { \prime } ( 0 ) \varphi _ { f } ^ { ( 1 ) } ( x ) - \mathbf { R } _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { f } \mathbf { T } _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { f } p _ { n } ^ { \prime \prime } ( x ) \right] } \\ & { = u ( 0 ) \varphi _ { f } ^ { ( 0 ) } ( x ) + u ^ { \prime } ( 0 ) \varphi _ { f } ^ { ( 1 ) } ( x ) - \mathbf { R } _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { f } \mathbf { T } _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { f } u ^ { \prime \prime } ( x ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 2 i , 2 k - 1 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k - 2 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k - 3 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k - 4 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 4 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \| d _ { A _ { 0 } } ( \iota _ { * } \sigma ) \| _ { L ^ { 2 } ( \omega _ { \varepsilon } ) } ^ { 2 } } & { \geq } & { C _ { 1 } \| \iota _ { * } ( d _ { A _ { 0 } } \sigma ) \| _ { L ^ { 2 } ( X ^ { \prime } , \omega _ { \varepsilon } ) } ^ { 2 } } \\ & { \geq } & { C _ { 2 } \| d _ { A _ { 0 } } \sigma \| _ { L ^ { 2 } ( Z ^ { \prime } , \omega _ { \varepsilon } ) } ^ { 2 } } \\ & { \geq } & { \varepsilon \: C _ { 3 } \| \sigma - \alpha ^ { \prime \prime } \mathrm { I d } \| _ { L ^ { 2 } ( Z ^ { \prime } , \omega _ { \varepsilon } ) } ^ { 2 } } \\ & { \geq } & { \varepsilon \: C _ { 4 } \| \sigma \| _ { L ^ { 2 } ( Z ^ { \prime } , \omega _ { \varepsilon } ) } ^ { 2 } , } \\ & { \geq } & { \varepsilon \: C _ { 5 } \| \iota _ { * } \sigma \| _ { L ^ { 2 } ( X ^ { \prime } , \omega _ { \varepsilon } ) } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \mathbf { A } _ { ( n ) } - \mathbf { Q } _ { n } \mathbf { Q } _ { n } ^ { \top } \mathbf { A } _ { ( n ) } \| _ { F } ^ { 2 } } \\ & { \leq \mathrm { r a n k } ( \mathbf { A } _ { ( n ) } ) \| ( \mathbf { A } _ { ( n ) } - \mathbf { Q } _ { n } \mathbf { Q } _ { n } ^ { \top } \mathbf { A } _ { ( n ) } ) ( \mathbf { A } _ { ( n ) } - \mathbf { Q } _ { n } \mathbf { Q } _ { n } ^ { \top } \mathbf { A } _ { ( n ) } ) ^ { \top } \| _ { F } } \\ & { = \mathrm { r a n k } ( \mathbf { A } _ { ( n ) } ) \| \mathbf { A } _ { ( n ) } \mathbf { A } _ { ( n ) } ^ { \top } - \mathbf { Q } _ { n } \mathbf { Q } _ { n } ^ { \top } \mathbf { A } _ { ( n ) } \mathbf { A } _ { ( n ) } ^ { \top } \| _ { F } } \\ & { \leq \mathrm { r a n k } ( \mathbf { A } _ { ( n ) } ) \left( \| \mathbf { A } _ { ( n ) } \mathbf { A } _ { ( n ) } ^ { \top } - \mathbf { C } _ { n } \mathbf { C } _ { n } ^ { \top } \| _ { F } + \| \mathbf { C } _ { n } ^ { \prime } \mathbf { C } _ { n } ^ { \top } - \mathbf { Q } _ { n } \mathbf { Q } _ { n } ^ { \top } \mathbf { C } _ { n } ^ { \prime } \mathbf { C } _ { n } ^ { \top } \| _ { F } \right) , } \end{array}
{ \displaystyle \mathrm { d } ^ { ( i ) } ( \mu _ { j _ { 1 } } \wedge \dots \wedge \mu _ { j _ { i } } \otimes \frac { \partial } { \partial x _ { j } } ) = \sum _ { l = 1 } ^ { i } ( - 1 ) ^ { l + 1 } f _ { j _ { l } } \mu _ { j _ { 1 } } \wedge \cdots \wedge { \widehat { \mu _ { j _ { l } } } } \wedge \cdots \wedge \mu _ { j _ { i } } } \otimes \frac { \partial } { \partial x _ { j } } ,
\begin{array} { r l } & { \left\| | G _ { q } ( \psi _ { 1 } ) - G _ { q } ( \psi _ { 2 } ) | | \nabla \psi _ { 2 } | \right\| _ { N ^ { 0 } ( [ 0 , T ] \times { \mathbf R } ^ { 2 } ) } } \\ & { \leq C \left\| \left( 1 + | \psi _ { 1 , q } | ^ { 2 \beta } + | \psi _ { 2 , q } | ^ { 2 \beta } \right) \left| | \psi _ { 1 } | - | \psi _ { 2 } | \right| \nabla \psi _ { 2 } | \right\| _ { N ^ { 0 } ( [ 0 , T ] \times { \mathbf R } ^ { 2 } ) } } \\ & { \leq \left( T ^ { \frac 1 2 } \| \nabla \psi \| _ { L ^ { 4 } L ^ { 4 } } + T ^ { \frac 1 3 } \left( \| | \psi _ { 1 , q } | ^ { 2 \beta } + | \psi _ { 1 , q } | ^ { 2 \beta } \| _ { L _ { t } ^ { \infty } L _ { x } ^ { 6 } } \right) \| \nabla \psi \| _ { L _ { t } ^ { 3 } L _ { x } ^ { 6 } } \right) \left\| | \psi _ { 1 } | - | \psi _ { 2 } | \right\| _ { L _ { t } ^ { \infty } L _ { x } ^ { 2 } } } \\ & { \leq \left( T ^ { \frac { 1 } { 2 } } + T ^ { \frac { 1 } { 3 } } \left( Z _ { T } ( \psi _ { 1 } ) ^ { 2 \beta } + Z _ { T } ( \psi _ { 2 } ) ^ { 2 \beta } \right) \right) \left( 1 + T + T ^ { \frac { 1 } { q _ { 1 } ^ { \prime } } } Z _ { T } ( \psi _ { 1 } ) ^ { 2 \alpha } \right) Z _ { T } ( \psi ) } \\ & { \qquad \cdot \left\| | \psi _ { 1 } | - | \psi _ { 2 } | \right\| _ { L _ { t } ^ { \infty } L _ { x } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \cal H } _ { \mathrm { 3 D } } ( { \bf k } ) } & { = M ( { \bf k } ) \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \! + \! \lambda _ { z } \sin ( k _ { z } a _ { z } ) \sigma _ { z } \otimes \tau _ { x } \! + \! \lambda _ { | | } \sin ( k _ { x } a _ { | | } ) \sigma _ { x } \otimes \tau _ { x } \! + \! \lambda _ { | | } \sin ( k _ { y } a _ { | | } ) \sigma _ { y } \otimes \tau _ { x } , } \\ { M ( { \bf k } ) } & { = m _ { 0 } - 4 t _ { z } \sin ^ { 2 } \frac { k _ { z } a _ { z } } { 2 } - 4 t _ { | | } \left( \sin ^ { 2 } \frac { k _ { x } a _ { | | } } { 2 } + \sin ^ { 2 } \frac { k _ { y } a _ { | | } } { 2 } \right) } \\ & { = m _ { 0 } - 4 t _ { z } \sin ^ { 2 } \frac { k _ { z } a _ { z } } { 2 } - 2 t _ { | | } \left[ 1 - \cos ( k _ { x } a _ { | | } ) + 1 - \cos ( k _ { y } a _ { | | } ) \right] } \\ & { = ( m _ { 0 } - 2 t _ { z } - 4 t _ { | | } ) + 2 t _ { z } \cos ( k _ { z } a _ { z } ) + 2 t _ { | | } \left[ \cos ( k _ { x } a _ { | | } ) + \cos ( k _ { y } a _ { | | } ) \right] . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { V } _ { 1 } ^ { * } \mathbf { V } _ { 1 } } & { = \mathbf { I } _ { 1 } , } \\ { \mathbf { V } _ { 2 } ^ { * } \mathbf { V } _ { 2 } } & { = \mathbf { I } _ { 2 } , } \\ { \mathbf { V } _ { 1 } \mathbf { V } _ { 1 } ^ { * } + \mathbf { V } _ { 2 } \mathbf { V } _ { 2 } ^ { * } } & { = \mathbf { I } _ { 1 2 } , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { p _ { 1 } - 4 q _ { 1 } - 1 0 e _ { 1 } } & { \mapsto p _ { 2 } + 3 e _ { 2 } , } \\ { 2 ( p _ { 1 } - 4 q _ { 1 } ) - 1 9 e _ { 1 } } & { \mapsto 2 q _ { 2 } + e _ { 2 } } \\ { p _ { 1 } } & { \mapsto p _ { 2 } + e _ { 2 } } \\ { e _ { 1 } } & { \mapsto ( 2 q _ { 2 } + e _ { 2 } ) - 2 ( p _ { 2 } + 3 e _ { 2 } ) = 2 ( q _ { 2 } - p _ { 2 } ) - 5 e _ { 2 } } \\ { q _ { 1 } } & { \mapsto 5 ( p _ { 2 } - q _ { 2 } ) + 1 2 e _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { V _ { \epsilon , R } : = ( c _ { 0 } \bigg ( \frac { \epsilon } { 2 } \bigg ) ^ { \frac { 2 } { 3 } } , \infty ) \times ( \frac { \epsilon } { 2 } , 4 R ) \subset \mathbb { R } _ { > 0 } ^ { 2 } \textup { a n d } \tilde { V } _ { \epsilon , R } : = [ c _ { 0 } \bigg ( \frac { \epsilon } { 4 } \bigg ) ^ { \frac { 2 } { 3 } } , \infty ) \times [ \frac { \epsilon } { 4 } , 8 R ] \subset \mathbb { R } _ { > 0 } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { U } _ { n } } & { = R _ { n } Y _ { n } = \left[ 0 , \sum _ { i = 1 } ^ { \ell } \frac { 1 } { \alpha _ { n } ^ { i } } \Delta _ { i } ^ { [ 2 , 1 ] } , 0 , 0 , 0 , \sum _ { i = 1 } ^ { \ell } \frac { 1 } { \alpha _ { n } ^ { i } } \Delta _ { i } ^ { [ 2 , 2 ] } , 0 , 0 , \right. } \\ & { \qquad \qquad \qquad \left. 0 , 0 , \sum _ { i = 1 } ^ { \ell } \frac { 1 } { \alpha _ { n } ^ { i } } \Delta _ { i } ^ { [ 3 , 3 ] } , 0 \right] ^ { T } + P _ { \alpha _ { n } } ( 2 \ell ) , } \end{array}
\begin{array} { l c l } { \frac { d } { d t } \frac { \sigma ( t ) } { \lambda ( t ) ^ { 2 } } } & { = } & { \frac { 1 } { \lambda ( t ) ^ { 2 } } \left( \int _ { C ( t , . ) } \langle X , \nu \rangle \rho d s - \frac { 2 \sigma ( t ) } { \lambda ( t ) } \int _ { C ( t , . ) } \langle X , \nu \rangle d s \right) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \lambda ( t ) ^ { 2 } } \left( \int _ { C ( t , . ) } \langle X , ( \rho - \frac { 2 \sigma ( t ) } { \lambda ( t ) } ) \nu \rangle d s \right) } \\ & { = } & { \frac { \sigma ( t ) } { \lambda ( t ) ^ { 2 } } \left( \int _ { C ( t , . ) } \langle X , ( \rho - \frac { 2 \sigma ( t ) } { \lambda ( t ) } ) \nu \rangle \frac { d s } { \sigma ( t ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla \hat { f } _ { \mathcal { D } } ^ { ( t ) } ( { \boldsymbol W } , { \boldsymbol b } ^ { ( 0 ) } ) = } & { - \frac { 1 } { | \mathcal { D } | } \sum _ { v \in \mathcal { D } } y _ { v } \cdot \nabla _ { \boldsymbol W } g \big ( { \boldsymbol W } , { \boldsymbol b } ^ { ( 0 ) } ; { \boldsymbol X } _ { \mathcal { N } _ { s } ^ { ( t ) } ( v ) } \big ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { { 3 } \operatorname { a r } _ { f } } & { ( + ) } & & { = 2 , } \\ { \operatorname { a r } _ { f } } & { ( \times ) } & & { = 2 , } \\ { \operatorname { a r } _ { f } } & { ( - ) } & & { = 1 , } \\ { \operatorname { a r } _ { f } } & { ( 0 ) } & & { = 0 , } \\ { \operatorname { a r } _ { f } } & { ( 1 ) } & & { = 0 . } \end{array} }
\begin{array} { r } { A ( j , j ) = j ^ { 2 } \left( \frac { \alpha } { 2 } \frac { ( 2 m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( 2 j ) - T _ { \alpha } ) ^ { 2 } } { m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( 2 j ) - m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j ) } - \left( 2 ( \alpha + 4 ) m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j ) + \frac { \alpha } 2 ( m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( 2 j ) + 2 m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( 0 ) ) - m _ { 3 , \alpha } ^ { \circ } ( j , j ) - ( \alpha + 2 ) T _ { \alpha } \right) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \delta } { { \alpha } _ { k _ { i } } } \| { \mathcal { G } } _ { { \alpha } _ { k _ { i } } } ( u _ { k } ) \| _ { H } ^ { 2 } \geq \frac { 1 } { 2 { \alpha } _ { k _ { i } } } \| { \mathcal { G } } _ { { \alpha } _ { k _ { i } } } ( u _ { k } ) \| _ { H } ^ { 2 } } \\ & { + \left( { \nabla { \mathcal { F } } } \left( u _ { k } + t _ { i } ( { \mathcal { T } } _ { { \alpha } _ { k _ { i } } } ( u _ { k } ) - u _ { k } ) \right) - { \nabla { \mathcal { F } } } ( u _ { k } ) , { \mathcal { T } } _ { { \alpha } _ { k _ { i } } } ( u _ { k } ) - u _ { k } \right) _ { H } } \\ & { \geq \frac { 1 } { 2 { \alpha } _ { k _ { i } } } \| { \mathcal { G } } _ { { \alpha } _ { k _ { i } } } ( u _ { k } ) \| _ { H } ^ { 2 } } \\ & { - \frac { 1 } { { \alpha } _ { k _ { i } } } \| { \nabla { \mathcal { F } } } \left( u _ { k } + t _ { i } ( { \mathcal { T } } _ { { \alpha } _ { k _ { i } } } ( u _ { k } ) - u _ { k } ) \right) - { \nabla { \mathcal { F } } } ( u _ { k } ) \| _ { H } \| { \mathcal { G } } _ { { \alpha } _ { k _ { i } } } ( u _ { k } ) \| _ { H } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \omega } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \omega ^ { 2 } } \end{array} \right) \ , \qquad \tau = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \ , \qquad \omega = e ^ { \frac { 2 \pi i } 3 } \ . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \tau _ { 0 } \displaystyle \frac { \partial A _ { 1 } } { \partial t } = \mu A _ { 1 } + h \bar { A } _ { 2 } \bar { A } _ { 3 } - ( b _ { 1 } \vert A _ { 1 } \vert ^ { 2 } + b _ { 2 } ( \vert A _ { 2 } \vert ^ { 2 } + \vert A _ { 3 } \vert ^ { 2 } ) ) A _ { 1 } } \\ { \tau _ { 0 } \displaystyle \frac { \partial A _ { 2 } } { \partial t } = \mu A _ { 2 } + h \bar { A } _ { 3 } \bar { A } _ { 1 } - ( b _ { 1 } \vert A _ { 2 } \vert ^ { 2 } + b _ { 2 } ( \vert A _ { 3 } \vert ^ { 2 } + \vert A _ { 1 } \vert ^ { 2 } ) ) A _ { 2 } } \\ { \tau _ { 0 } \displaystyle \frac { \partial A _ { 3 } } { \partial t } = \mu A _ { 3 } + h \bar { A } _ { 1 } \bar { A } _ { 2 } - ( b _ { 1 } \vert A _ { 3 } \vert ^ { 2 } + b _ { 2 } ( \vert A _ { 1 } \vert ^ { 2 } + \vert A _ { 2 } \vert ^ { 2 } ) ) A _ { 3 } } \end{array} \right.
\widetilde { R } _ { \phi , 2 } ( h ) = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \operatorname* { m a x } \big ( 1 - Y _ { i } ^ { \prime \prime } h ( X _ { i } ^ { \prime \prime } ) , 0 \big ) \mathrm { ~ f o r ~ } \theta ( h ) \in \Theta \mathrm { ~ a n d ~ } X _ { i } ^ { \prime \prime } = ( Y _ { i - 1 } ^ { \prime \prime } , \mathcal { X } _ { t - 1 } ^ { \prime \prime } ) ,
{ \begin{array} { r l } { { \left[ \begin{array} { l } { n + 1 } \\ { k } \end{array} \right] } _ { q } } & { = { \left[ \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} \right] } _ { q } + q ^ { n - k + 1 } { \left[ \begin{array} { l } { n } \\ { k - 1 } \end{array} \right] } _ { q } } \\ & { = { \left[ \begin{array} { l } { n } \\ { k - 1 } \end{array} \right] } _ { q } + q ^ { k } { \left[ \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} \right] } _ { q } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { A _ { 0 , n + 1 } ( H ) } & { = A _ { 0 , n } ( H ) \otimes ^ { J _ { n } } A _ { 0 , 1 } ( H ) \quad \mathrm { w i t h ~ } J _ { n } = \bigl ( \Delta \otimes \Delta ^ { \odot n } \bigr ) ( R ^ { \prime } ) } \\ { \mathcal { L } _ { 0 , n + 1 } ( H ) } & { = \mathcal { L } _ { 0 , n } ( H ) \otimes ^ { J _ { n } } \mathcal { L } _ { 0 , 1 } ( H ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbf { J } _ { L } = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 0 } \\ { v _ { n } } & { 0 } \end{array} \right) , ~ \mathbf { J } _ { R } = \left( \begin{array} { c c } { u _ { n - 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , ~ } \\ & { } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \mathbf { K } = \left( \begin{array} { c c } { V _ { n - 1 } } & { u _ { n } } \\ { v _ { n - 1 } } & { V _ { n } } \end{array} \right) , } \end{array}
\displaystyle \sum _ { \substack { s , t \in V ^ { \prime } \, s \neq t } } \displaystyle \sum _ { ( i , j ) \in E } u _ { i , j } w _ { i , j } x _ { i , j , s , t , c } ^ { ' } + \displaystyle \sum _ { \substack { s , t \in V ^ { \prime } \, s \neq t } } y _ { s , t , c } ^ { ' } - \displaystyle \sum _ { \substack { s , t \in V ^ { \prime } \, s \neq t } } \displaystyle \sum _ { ( i , j ) \in E ^ { \prime } } ( 1 - w _ { i , j } ) y _ { i , j , s , t , c } ^ { ' } \geq 0 .
\begin{array} { r l } { ( \mathcal { T } _ { \mathcal { U } _ { p } ^ { \mathtt { s a } } } ^ { \pi } v ) ( s ) = } & { \sum _ { a } \pi ( a | s ) [ - \alpha _ { s , a } - \gamma \beta _ { s , a } \kappa _ { q } ( v ) + R _ { 0 } ( s , a ) + \gamma \sum _ { s ^ { \prime } } P _ { 0 } ( s ^ { \prime } | s , a ) v ( s ^ { \prime } ) ] , \qquad \mathrm { a n d } } \\ { ( \mathcal { T } _ { \mathcal { U } _ { p } ^ { \mathtt { s a } } } ^ { * } v ) ( s ) = } & { \operatorname* { m a x } _ { a \in \mathcal { A } } [ - \alpha _ { s , a } - \gamma \beta _ { s , a } \kappa _ { q } ( v ) + R _ { 0 } ( s , a ) + \gamma \sum _ { s ^ { \prime } } P _ { 0 } ( s ^ { \prime } | s , a ) v ( s ^ { \prime } ) ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E _ { \mathrm { X C } } ^ { \mathrm { s c L H } } = E _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { e x } } + 2 \int q _ { \mathrm { A C } } ^ ( \mathbf { r } ) \cdot \bigg [ \left( 1 - g ( \mathbf { r } ) \right) \times } \\ { \phantom { \sum } } & { \: \: \left( e _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { s l } } ( \mathbf { r } ) + G ( \mathbf { r } ) - e _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { e x } } ( \mathbf { r } ) \right) + e _ { \mathrm { C } } ^ ( \mathbf { r } ) \bigg ] \mathrm { d } \mathbf { r } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi } & { ( M ^ { \prime } , \{ z _ { i } ^ { \prime } \} _ { i = 1 } ^ { d } ) : = \left( \begin{array} { l } { M ^ { \prime } z _ { 1 } ^ { \prime } } \\ { z _ { 1 } ^ { \prime } \cdot z _ { 1 } ^ { \prime } } \\ { M ^ { \prime } z _ { 2 } ^ { \prime } } \\ { z _ { 2 } ^ { \prime } \cdot z _ { 1 } ^ { \prime } } \\ { z _ { 2 } ^ { \prime } \cdot z _ { 2 } ^ { \prime } } \\ { \vdots } \\ { M ^ { \prime } z _ { d } ^ { \prime } } \\ { z _ { d } ^ { \prime } \cdot z _ { 1 } ^ { \prime } } \\ { \vdots } \\ { z _ { d } ^ { \prime } \cdot z _ { d } ^ { \prime } } \end{array} \right) } \end{array}
\sum _ { l \in \textbf { l e f t } ( s ) } z _ { l } ^ { ( 4 ) } = 0 , ~ \sum _ { l \in \textbf { l e f t } ( s ) } z _ { l } ^ { ( 4 ) } = 0 , ~ \sum _ { l \in \textbf { r i g h t } ( s ) } z _ { l } ^ { ( 4 ) } = 0 . 5 , ~ \sum _ { l \in \textbf { r i g h t } ( s ^ { \prime } ) } z _ { l } ^ { ( 4 ) } = 0 . 5 , ~ x _ { V ( s ) C ( s ) } ^ { ( 4 ) } = 0 . 5 , ~ x _ { V ( s ^ { \prime } ) C ( s ^ { \prime } ) } ^ { ( 4 ) } = 0 . 5
\begin{array} { r l } { \mathbf { Q } _ { n } = } & { \ \mathrm { a r g m i n } \left\| \mathcal { A } \times _ { p _ { 1 } } { \bf Q } _ { p _ { 1 } } ^ { \top } \dots \times _ { p _ { n - 1 } } { \bf Q } _ { p _ { n - 1 } } ^ { \top } \times _ { p _ { n } } \left( \mathbf { I } _ { I _ { p _ { n } } } { \bf Q } { \bf Q } ^ { \top } \right) \right\| _ { F } ^ { 2 } , } \\ & { \ \mathrm { s . t . } \quad \mathbf { Q } \in \mathbb { R } ^ { I _ { p _ { n } } \times \mu _ { p _ { n } } } \ \mathrm { ~ i s ~ o r t h o n o r m a l } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | | z _ { i + 1 } ^ { ( k ) } - \bar { z } _ { i + 1 } | | \times | | x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } - \tilde { x } _ { i + 1 } | | } & { \geq \langle z _ { i + ! } ^ { ( k ) } - \bar { z } _ { i + 1 } , x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } - \tilde { x } _ { i + 1 } \rangle } \\ & { \geq \frac { 1 } { \lambda } ( x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } - \tilde { x } _ { i + 1 } ) ^ { T } H ( x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } - \tilde { x } _ { i + 1 } ) \geq \rho | | x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } - \tilde { x } _ { i + 1 } | | ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { V _ { 9 } } & { = } & { \sum _ { m \neq n , 0 } g _ { m 0 } \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { + } \hat { e } _ { n } \hat { \sigma } _ { m } ^ { - } \rangle } \\ & { = } & { ( { \cal G } - g _ { n 0 } ) ( \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { + } \hat { e } _ { n } \rangle - 2 \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { + } \rangle \langle \hat { e } _ { 0 } \rangle ) \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { - } \rangle } \\ & { \null } & { + ( { \cal C } _ { 0 } ^ { + } - g _ { n 0 } \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { + } \hat { \sigma } _ { n } ^ { - } \rangle ) \langle \hat { e } _ { 0 } \rangle + { \cal C } _ { n } ^ { 0 } \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { + } \rangle } \\ { V _ { 1 0 } } & { = } & { \sum _ { m \neq n , 0 } g _ { m 0 } ^ { * } \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { - } \hat { e } _ { n } \hat { \sigma } _ { m } ^ { + } \rangle = V _ { 9 } ^ { * } } \\ { V _ { 1 1 } } & { = } & { \sum _ { m \neq n , 0 } g _ { m n } \langle \hat { e } _ { 0 } \hat { \sigma } _ { n } ^ { + } \hat { \sigma } _ { m } ^ { - } \rangle } \\ & { = } & { ( { \cal G } - g _ { - n 0 } ) ( \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { + } \hat { e } _ { - n } \rangle - 2 \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { + } \rangle \langle \hat { e } _ { 0 } \rangle ) \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { - } \rangle } \\ & { \null } & { + ( { \cal C } _ { 0 } ^ { + } - g _ { - n 0 } \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { + } \hat { \sigma } _ { - n } ^ { - } \rangle ) \langle \hat { e } _ { 0 } \rangle + { \cal C } _ { - n } ^ { 0 } \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { + } \rangle } \\ { V _ { 1 2 } } & { = } & { \sum _ { m \neq n , 0 } g _ { m n } ^ { * } \langle \hat { e } _ { 0 } \hat { \sigma } _ { n } ^ { - } \hat { \sigma } _ { m } ^ { + } \rangle = V _ { 1 1 } ^ { * } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( w _ { \sigma , * } ( z ) - w _ { \tau , * } ( z ) ) * ^ { \tau } u _ { \eta } } & { = ( w _ { \sigma , * } ( z ) - w _ { \tau , * } ( z ) ) * ( u _ { \hat { \eta } } - \mathrm { p r } _ { \tau } ( u _ { \hat { \eta } } ) ) } \\ & { = w _ { \sigma , * } ( z ) * u _ { \hat { \eta } } \; - \; w _ { \tau , * } ( z ) * u _ { \hat { \eta } } \; - \; \big ( w _ { \sigma , * } ( z ) - w _ { \tau , * } ( z ) \big ) * \mathrm { p r } _ { \tau } ( u _ { \hat { \eta } } ) } \\ & { = z _ { \hat { \eta } } - w _ { \tau , * } ( z ) * u _ { \hat { \eta } } } \\ & { = z _ { \eta } ^ { \tau } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left\{ W _ { 1 } \right\} = } & { \frac { \bar { \lambda } } { \Gamma ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 } \right) } \int _ { 0 } ^ { \infty } s ^ { \frac { 1 } { 2 } - 1 } \left( \frac { 1 } { 1 + \bar { \lambda } s } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \frac { 1 } { 1 + \bar { \lambda } \left( 1 - \bar { \lambda } \right) s } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \times \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } A ^ { 2 } \exp \left( - A ^ { 2 } \frac { 1 + \bar { \lambda } s } { 1 + \bar { \lambda } \left( 1 - \bar { \lambda } \right) s } \right) \mathrm { d } A \right) \mathrm { d } s , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } } \int _ { 0 } ^ { t } X _ { r - } ( x ) h _ { n } ^ { \prime } ( Y _ { r - } - x ) } & { g ( Y _ { r - } , r ) \, \mathrm { d } r \, \mathrm { d } x } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t } \Big [ \int _ { \mathbb { R } } X _ { r - } ( x ) h _ { n } ^ { \prime } ( Y _ { r - } - x ) \, \mathrm { d } x \Big ] \, g ( Y _ { r - } , r ) \mathrm { d } r } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t } \Big [ \int _ { \mathbb { R } } X _ { r - } ^ { \prime } ( x ) h _ { n } ( Y _ { r - } - x ) \, \mathrm { d } x \Big ] g ( Y _ { r - } , r ) \, \mathrm { d } r } \\ & { \to \int _ { 0 } ^ { t } X _ { r - } ^ { \prime } ( Y _ { r - } ) g ( Y _ { r - } , r ) \, \mathrm { d } r . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial G } { \partial t } } & { = } & { - n r _ { 1 } s ^ { n } e ^ { - n r _ { 1 } t } \left[ 1 - s ( 1 - e ^ { - r _ { 1 } t } ) \right] ^ { - n } + n s ^ { n + 1 } r _ { 1 } e ^ { - ( n + 1 ) r _ { 1 } t } \left[ 1 - s ( 1 - e ^ { - r _ { 1 } t } ) \right] ^ { - ( n + 1 ) } } \\ & { = } & { \frac { n r _ { 1 } s ^ { n } e ^ { - n r _ { 1 } t } } { \left[ 1 - s ( 1 - e ^ { - r _ { 1 } t } ) \right] ^ { n } } \left[ \frac { s e ^ { - r _ { 1 } t } } { 1 - s ( 1 - e ^ { - r _ { 1 } t } ) } - 1 \right] } \\ & { = } & { \frac { n r _ { 1 } s ^ { n } e ^ { - n r _ { 1 } t } } { \left[ 1 - s ( 1 - e ^ { - r _ { 1 } t } ) \right] ^ { ( n + 1 ) } } \left[ s e ^ { - r _ { 1 } t } - 1 + s - s e ^ { - r _ { 1 } t } \right] = \frac { n r _ { 1 } s ^ { n } e ^ { - n r _ { 1 } t } ( s - 1 ) } { \left[ 1 - s ( 1 - e ^ { - r _ { 1 } t } ) \right] ^ { ( n + 1 ) } } } \\ & { = } & { r _ { 1 } s ( s - 1 ) \overbrace { \left[ \frac { n s ^ { n - 1 } e ^ { - n r _ { 1 } t } } { \left[ 1 - s ( 1 - e ^ { - r _ { 1 } t } ) \right] ^ { ( n + 1 ) } } \right] } ^ { \textit { t h i s m a t c h e s } } = r _ { 1 } s ( s - 1 ) \frac { \partial G } { \partial s } . } \end{array}
r _ { 1 } ^ { \prime } : \quad \nu _ { 1 1 } ^ { \prime - } \mathrm { X } _ { 1 } + \nu _ { 2 1 } ^ { \prime - } \mathrm { X } _ { 2 } + \nu _ { 3 1 } ^ { \prime - } \mathrm { X } _ { 3 } \stackrel { k _ { 1 } ^ { \prime } } { \rightarrow } \nu _ { 1 1 } ^ { \prime + } \mathrm { X } _ { 1 } + \nu _ { 2 1 } ^ { \prime + } \mathrm { X } _ { 2 } + \nu _ { 3 1 } ^ { \prime + } \mathrm { X } _ { 3 } + \sum _ { \ell \in I } \nu _ { \ell 1 } ^ { \prime + } \mathrm { X } _ { \ell } ,
\begin{array} { r l r } { | \Psi \rangle } & { = } & { . . . \Big [ e ^ { \tau _ { L } } \Big ] _ { \delta } . . . \Big [ e ^ { \tau _ { K } } \Big ] _ { \gamma } . . . \Big [ e ^ { \tau _ { J } } \Big ] _ { \beta } . . . | \Psi _ { H F } \rangle } \\ { | \Psi \rangle } & { = } & { \prod _ { \alpha = 1 } ^ { N _ { T } } \Big [ e ^ { \tau _ { I } } \Big ] _ { \alpha } | \Psi _ { H F } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } [ L I S ( \sigma | _ { \mathcal { T } _ { s , 2 } } ) ] } & { \leq } & { ( 2 L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } ) ( C L \exp ( - c \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } ) ) + 2 \sqrt { 2 C _ { 0 } ^ { \prime } } L ^ { 1 \slash 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } } \\ & { \leq } & { C L ^ { 1 \slash 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } + C L ^ { 2 } \exp ( - c \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } ) . } \end{array}
\| \Phi ( \psi _ { 1 } ) - \Phi ( \psi _ { 2 } ) \| _ { S ^ { 0 } ( [ 0 , T ] \times { \mathbf R } ^ { 2 } ) } \leq C _ { M } T ^ { \theta } \left( \| \psi _ { 1 } - { \psi _ { 2 } } \| _ { L _ { t } ^ { \infty } ( L _ { x } ^ { \infty } + L _ { x } ^ { 2 } ) } + \| | \psi _ { 1 } | - | \psi _ { 2 } | \| _ { L _ { t } ^ { 2 } L _ { x } ^ { 2 } } \right) .
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \mathrm { D } _ { \phi } ( p ( t ) \| \pi ) = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \phi ^ { \prime } \left( \frac { p _ { i } ( t ) } { \pi _ { i } } \right) \cdot \frac { d p _ { i } ( t ) } { d t } } \\ { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \phi ^ { \prime } \left( \frac { p _ { i } ( t ) } { \pi _ { i } } \right) \sum _ { j = 1 } ^ { n } \theta _ { i j } ( \omega , p ( t ) ) \left[ \phi ^ { \prime } \left( \frac { p _ { j } ( t ) } { \pi _ { j } } \right) - \phi ^ { \prime } \left( \frac { p _ { i } ( t ) } { \pi _ { i } } \right) \right] } \\ { = } & { - \frac 1 2 \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } \theta _ { i j } ( \omega , p ( t ) ) \left[ \phi ^ { \prime } \left( \frac { p _ { j } ( t ) } { \pi _ { j } } \right) - \phi ^ { \prime } \left( \frac { p _ { i } ( t ) } { \pi _ { i } } \right) \right] ^ { 2 } \leq 0 . } \end{array}
\mathcal { C } _ { \Omega } ^ { I _ { k } ^ { \mathrm { o r } } } ( p ) = - \sum _ { i \notin I _ { k } } \sum _ { m _ { i } \ge 0 } \mathcal { C } _ { \iota _ { f } \Omega } ^ { ( I _ { k } ^ { \mathrm { o r } } , i ) } ( \{ p + [ 0 , N ] f \} \cap \pi _ { m _ { i } } ^ { i } ) + \mathcal { C } _ { \Omega } ^ { I _ { k } ^ { \mathrm { o r } } } ( p + N f ) .
\begin{array} { r l } { \int _ { G } \bigg | \sum _ { j = 1 } ^ { N } c _ { j } \gamma _ { j } ( x ) \bigg | ^ { 4 } \, d \mathrm { m } ( x ) } & { = 2 \sum _ { j \neq k } | c _ { i } c _ { j } | ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { N } | c _ { j } | ^ { 4 } \leq 2 \sum _ { j , k = 1 } | c _ { j } c _ { k } | ^ { 2 } } \\ & { = 2 \bigg ( \int _ { G } \bigg | \sum _ { j = 1 } ^ { N } c _ { j } \gamma _ { j } ( x ) \bigg | ^ { 2 } \, d \mathrm { m } ( x ) \bigg ) ^ { 2 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = \widetilde { \Upsilon } ^ { E } ( g ; g _ { b } ) _ { i } } & { = g _ { i \kappa } g ^ { \mu \nu } ( \Gamma ( g ) _ { \mu \nu } ^ { \kappa } - \Gamma ( g _ { b } ) _ { \mu \nu } ^ { \kappa } ) - \theta ( g ; g _ { b } ) _ { i } } \\ & { = g ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } g _ { i \nu } - \frac { 1 } { 2 } g ^ { \mu \nu } \partial _ { i } g _ { \mu \nu } - g _ { i \kappa } g ^ { \mu \nu } \Gamma ( g ^ { 0 } ) _ { \mu \nu } ^ { \kappa } - \theta ( g ; g _ { b } ) _ { i } \quad \mathrm { a t } \quad \Sigma _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { Z } ^ { n } ( v ) = } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } e ^ { - \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } V ( \Delta _ { k } \gamma ^ { \prime } ) - \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } F _ { k } ( ( \Xi _ { - v } \gamma ^ { \prime } ) _ { k } ) } \mathcal { M } _ { 0 , v n } ^ { 0 , n } ( d \gamma ^ { \prime } ) } \\ { = } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } e ^ { - \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } V ( \Delta _ { k } \gamma ^ { \prime } ) - \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \Xi _ { - v } ^ { * } F _ { k } ( \gamma _ { k } ^ { \prime } ) } \mathcal { M } _ { 0 , v n } ^ { 0 , n } ( d \gamma ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { Q _ { z } ^ { * } = } & { \operatorname* { i n f } _ { t , \ x _ { 0 } , \ z , \ w } \ z } \\ & { \dot { x } ( t ^ { \prime } ) = f ( t ^ { \prime } , x ( t ^ { \prime } ) , w ( t ^ { \prime } ) ) } & & { \forall t ^ { \prime } \in [ 0 , T ] } \\ & { \dot { z } ( t ^ { \prime } ) = 0 } & & { \forall t ^ { \prime } \in [ 0 , T ] } \\ & { J ( w ( t ^ { \prime } ) ) \leq z } & & { \forall t ^ { \prime } \in [ 0 , T ] } \\ & { x ( t \mid x _ { 0 } , w ( \cdot ) ) \in X _ { u } } \\ & { w ( \cdot ) \in W , \ t \in [ 0 , T ] } \\ & { x _ { 0 } \in X _ { 0 } , z \in [ 0 , J _ { \operatorname* { m a x } } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ f _ { I _ { \ell } } \right] } \\ & { = \ \frac { 1 } { n - \ell + 1 } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { n } f _ { j } - \sum _ { r = 1 } ^ { \ell - 1 } \mathbb { E } \left[ f _ { I _ { r } } \right] \right) } \\ & { = \frac { n } { n - \ell + 1 } \bar { f } - \frac { \ell - 1 } { n - \ell + 1 } \bar { f } = \bar { f } \; . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle - \nu \Delta \mathbf { v } + \nabla s = \ensuremath { \operatorname { d i v } } \left( \partial _ { \mathbf { F } } w ( \phi , \mathbf { F } ) \mathbf { F } ^ { T } \right) - \ensuremath { \operatorname { d i v } } \left( \nabla \phi \otimes \nabla \phi + \lambda ( \Delta \mathbf { F } ) \mathbf { F } ^ { T } + \lambda \nabla \mathbf { F } \odot \nabla \mathbf { F } \right) , } \\ { \displaystyle \ensuremath { \operatorname { d i v } } \mathbf { v } = 0 , } \\ { \displaystyle \frac { \partial \mathbf { F } } { \partial t } + \left( \mathbf { v } \cdot \nabla \right) \mathbf { F } - ( \nabla \mathbf { v } ) \mathbf { F } = 0 , } \\ { \displaystyle \frac { \partial \phi } { \partial t } + \mathbf { v } \cdot \nabla \phi - \ensuremath { \operatorname { d i v } } ( b ( \phi ) \nabla \mu ) = 0 , } \\ { \displaystyle \mu = \psi ^ { \prime } ( \phi ) - \Delta \phi + \partial _ { \phi } w ( \phi , \mathbf { F } ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \xi _ { 1 } } & { = U _ { t , 1 } + \sqrt { 2 R T _ { t } } c o s ( 2 \pi r a n d ) \sqrt { - l n ( r a n d ) } , } \\ { \xi _ { 2 } } & { = U _ { t , 2 } + \sqrt { 2 R T _ { t } } c o s ( 2 \pi r a n d ) \sqrt { - l n ( r a n d ) } , } \\ { \xi _ { 3 } } & { = U _ { t , 3 } + \sqrt { 2 R T _ { t } } c o s ( 2 \pi r a n d ) \sqrt { - l n ( r a n d ) } , } \\ { \xi _ { j } } & { = \sqrt { 2 R T _ { t } } c o s ( 2 \pi r a n d ) \sqrt { - l n ( r a n d ) } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { I } ( X ; Y ) } & { = \sum _ { x \in { \mathcal { X } } , y \in { \mathcal { Y } } } p _ { ( X , Y ) } ( x , y ) \log { \frac { p _ { ( X , Y ) } ( x , y ) } { p _ { X } ( x ) p _ { Y } ( y ) } } } \\ & { = \sum _ { x \in { \mathcal { X } } , y \in { \mathcal { Y } } } p _ { ( X , Y ) } ( x , y ) \log { \frac { p _ { ( X , Y ) } ( x , y ) } { p _ { X } ( x ) } } - \sum _ { x \in { \mathcal { X } } , y \in { \mathcal { Y } } } p _ { ( X , Y ) } ( x , y ) \log p _ { Y } ( y ) } \\ & { = \sum _ { x \in { \mathcal { X } } , y \in { \mathcal { Y } } } p _ { X } ( x ) p _ { Y \mid X = x } ( y ) \log p _ { Y \mid X = x } ( y ) - \sum _ { x \in { \mathcal { X } } , y \in { \mathcal { Y } } } p _ { ( X , Y ) } ( x , y ) \log p _ { Y } ( y ) } \\ & { = \sum _ { x \in { \mathcal { X } } } p _ { X } ( x ) \left( \sum _ { y \in { \mathcal { Y } } } p _ { Y \mid X = x } ( y ) \log p _ { Y \mid X = x } ( y ) \right) - \sum _ { y \in { \mathcal { Y } } } \left( \sum _ { x \in { \mathcal { X } } } p _ { ( X , Y ) } ( x , y ) \right) \log p _ { Y } ( y ) } \\ & { = - \sum _ { x \in { \mathcal { X } } } p _ { X } ( x ) \mathrm { H } ( Y \mid X = x ) - \sum _ { y \in { \mathcal { Y } } } p _ { Y } ( y ) \log p _ { Y } ( y ) } \\ & { = - \mathrm { H } ( Y \mid X ) + \mathrm { H } ( Y ) } \\ & { = \mathrm { H } ( Y ) - \mathrm { H } ( Y \mid X ) . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \hat { Z } _ { 1 } ( q ) } & { = - \frac { q } { 1 - q } = \frac { 1 } { 1 - q ^ { - 1 } } , } \\ { \hat { Z } _ { 2 } ( q ) } & { = \frac { q ^ { 3 } } { ( 1 - q ) \left( 1 - q ^ { 2 } \right) } = \frac { 1 } { \left( 1 - q ^ { - 1 } \right) \left( 1 - q ^ { - 2 } \right) } , } \\ { \hat { Z } _ { 3 } ( q ) } & { = - \frac { q ^ { 6 } } { ( 1 - q ) \left( 1 - q ^ { 2 } \right) \left( 1 - q ^ { 3 } \right) } = \frac { 1 } { \left( 1 - q ^ { - 1 } \right) \left( 1 - q ^ { - 2 } \right) \left( 1 - q ^ { - 3 } \right) } , } \\ { \hat { Z } _ { 4 } ( q ) } & { = \frac { q ^ { 1 0 } } { ( 1 - q ) \left( 1 - q ^ { 2 } \right) \left( 1 - q ^ { 3 } \right) \left( 1 - q ^ { 4 } \right) } = \frac { 1 } { \left( 1 - q ^ { - 1 } \right) \left( 1 - q ^ { - 2 } \right) \left( 1 - q ^ { - 3 } \right) \left( 1 - q ^ { - 4 } \right) } . } \end{array}
f _ { 0 2 0 } = \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { - 6 . 0 5 2 6 } \end{array} \right) , f _ { 3 0 0 } = \left( \begin{array} { c } { - 2 2 . 9 5 5 2 } \\ { 2 3 . 5 5 1 8 } \end{array} \right) , f _ { 2 1 0 } = \left( \begin{array} { c } { 9 . 2 5 9 3 } \\ { - 1 1 . 4 8 8 7 } \end{array} \right) , f _ { 1 2 0 } = f _ { 0 3 0 } = \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) .
\dots \to H ^ { 1 } ( \mathbb { C } ^ { n } , { \underline { { \mathbb { Z } } } } ) \to H ^ { 1 } ( \mathbb { C } ^ { n } , { \mathcal { O } } _ { \mathbb { C } ^ { n } } ) \to H ^ { 1 } ( \mathbb { C } ^ { n } , { \mathcal { O } } _ { \mathbb { C } ^ { n } } ^ { \star } ) \to H ^ { 2 } ( \mathbb { C } ^ { n } , { \underline { { \mathbb { Z } } } } ) \to \cdots
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbf { B } _ { \ell \kappa _ { 0 } } } \left\vert \langle G ( x + \mathrm { i } \tilde { \eta } ) E _ { + } G ( e + \mathrm { i } \eta ) B \rangle \right\vert } & { \frac { | x - e | + \eta } { ( x - e ) ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } } \, \mathrm { d } x } \\ { \lesssim } & { \int _ { \mathbf { B } _ { \ell \kappa _ { 0 } } } \frac { \left\vert \big \langle \big ( G ( x + \mathrm { i } \tilde { \eta } ) - G ( e + \mathrm { i } \eta ) \big ) B \big \rangle \right\vert } { ( x - e ) ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } } \, \mathrm { d } x \prec \frac { 1 } { \eta } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } H _ { B } } { \mathrm { d } t } + \int _ { \Omega } \bigg ( 4 \gamma \sum _ { i = 1 } ^ { n } | \nabla \sqrt { u _ { i } } | ^ { 2 } + \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } a _ { i j } \nabla u _ { i } \cdot \nabla u _ { j } \bigg ) \mathrm { d } x } & { = 0 , } \\ { \frac { \mathrm { d } H _ { R } } { \mathrm { d } t } + \int _ { \Omega } \bigg ( \gamma \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } a _ { i j } \nabla u _ { i } \cdot \nabla u _ { j } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } u _ { i } | \nabla p _ { i } ( u ) | ^ { 2 } \bigg ) \mathrm { d } x } & { = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { { \gamma } } } & { = \frac 1 2 \mu _ { 2 } ( \Psi , \Psi ) + \frac 1 2 \mu _ { 2 } ( \Psi , 2 \pi K G _ { - } \mu _ { 2 } ( \Psi , \Psi ) ) + \frac 1 2 \mu _ { 2 } ( \Psi , 2 \pi K G _ { - } \mu _ { 2 } ( \Psi , 2 \pi K G _ { - } \mu _ { 2 } ( \Psi , \Psi ) ) ) } \\ & { + \frac 1 8 \mu _ { 2 } ( 2 \pi K G _ { - } \mu _ { 2 } ( \Psi , \Psi ) , 2 \pi K G _ { - } \mu _ { 2 } ( \Psi , \Psi ) ) + \dots } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vec { \bf r } } & { = \vec { \bf r } _ { 1 } ^ { \prime } - \vec { \bf r } _ { 2 } ^ { \prime } } \\ & { = ( 1 + \frac { m _ { 1 } } { m _ { 2 } } ) \vec { \bf r } _ { 1 } ^ { \prime } \ \Rightarrow \vec { \bf r } _ { 1 } ^ { \prime } = \frac { 1 } { ( 1 + \frac { m _ { 1 } } { m _ { 2 } } ) } \vec { \bf r } = \frac { m _ { 2 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } \vec { \bf r } } \\ & { = - ( \frac { m _ { 2 } } { m _ { 1 } } + 1 ) \vec { \bf r } _ { 2 } ^ { \prime } \ \Rightarrow \vec { \bf r } _ { 2 } ^ { \prime } = - \frac { 1 } { ( \frac { m _ { 2 } } { m _ { 1 } } + 1 ) } \vec { \bf r } = - \frac { m _ { 1 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } \vec { \bf r } } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { P ^ { ( v ) } ( 0 , t + 1 ) = } & { \sum _ { z ^ { \prime } < k } P ^ { ( v ) } ( z ^ { \prime } , t ) + \sum _ { z ^ { \prime } \ge k } P ^ { ( v ) } ( z ^ { \prime } , t ) T _ { z ^ { \prime } 0 } ^ { ( v ) } ( t ) \, , } \\ { P ^ { ( e ) } ( 0 , t + 1 ) = } & { \sum _ { n ^ { \prime } < q } P ^ { ( e ) } ( n ^ { \prime } , t ) + \sum _ { n ^ { \prime } \ge q } P ^ { ( e ) } ( n ^ { \prime } , t ) T _ { n ^ { \prime } 0 } ^ { ( e ) } ( t ) \, . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { - \varepsilon ^ { - 1 } \Big ( Q _ { \mathrm { g a i n } } [ \mathfrak { F } , \mathfrak { F } ] - Q _ { \mathrm { g a i n } } [ \mathfrak { F } _ { + } , \mathfrak { F } _ { + } ] \Big ) + \mathfrak { z } \displaystyle \iint _ { \Omega \times \mathbb { R } ^ { 3 } } \varepsilon ^ { - 1 } \Big ( Q _ { \mathrm { g a i n } } [ \mathfrak { F } , \mathfrak { F } ] - Q _ { \mathrm { g a i n } } [ \mathfrak { F } _ { + } , \mathfrak { F } _ { + } ] \Big ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \boldsymbol { a } } } & { = { \frac { d } { d t } } { \boldsymbol { v } } = \sum _ { k = 1 } ^ { d } { \dot { v } } _ { k } \ { \boldsymbol { e _ { k } } } + \sum _ { k = 1 } ^ { d } v _ { k } \ { \dot { \boldsymbol { e _ { k } } } } } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { d } \left( { \dot { v } } _ { k } \ + \sum _ { j = 1 } ^ { d } \sum _ { i = 1 } ^ { d } v _ { j } { \Gamma ^ { k } } _ { i j } { \dot { q } } _ { i } \right) { \boldsymbol { e _ { k } } } \ . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { z ^ { \prime } ( x ) } & { = } & { 2 a _ { 2 } ( \delta ) x + \cdots + ( N - 1 ) a _ { N - 1 } ( \delta ) x ^ { N - 2 } + N x ^ { N - 1 } h _ { \delta } ( x , 0 ) + x ^ { N } ( h _ { \delta } ) _ { x } ( x , 0 ) } \\ { z ^ { \prime \prime } ( x ) } & { = } & { 2 a _ { 2 } ( \delta ) + 6 a _ { 3 } ( \delta ) x + \cdots + ( N - 1 ) ( N - 2 ) a _ { N - 1 } ( \delta ) x ^ { N - 3 } } \\ & { } & { + N ( N - 1 ) x ^ { N - 2 } h _ { \delta } ( x , 0 ) + 2 N x ^ { N - 1 } ( h _ { \delta } ) _ { x } ( x , 0 ) + x ^ { N } ( h _ { \delta } ) _ { x x } ( x , 0 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } } \left[ \nu _ { x } ( \gamma ) - \nu _ { x } ( \gamma ^ { \prime } ) \right] ^ { 2 } \mathrm { d } x } & { = \vert \gamma - \gamma ^ { \prime } \vert ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { - 1 / \gamma ^ { \prime } } \left[ \nu _ { x } ^ { \prime } ( \xi ( x ) ) \right] ^ { 2 } \mathrm { d } x + e ^ { 1 / \gamma ^ { \prime } } } \\ & { \leq \frac { \vert \gamma - \gamma ^ { \prime } \vert ^ { 2 } } { 4 } \left[ \sqrt { \int _ { 0 } ^ { - 1 / \gamma ^ { \prime } } ( 1 + x \xi ( x ) ) ^ { - 3 - \frac { 1 } { \xi ( x ) } } x ^ { 4 } \mathrm { d } x } \right. } \\ & { \quad + \left. \sqrt { \int _ { 0 } ^ { - 1 / \gamma ^ { \prime } } ( 1 + x \xi ( x ) ) ^ { - 3 - \frac { 1 } { \xi ( x ) } } x ^ { 2 } \mathrm { d } x } \right] ^ { 2 } + e ^ { 1 / \gamma ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { t a n h } _ { p } ^ { \prime } ( t ) } & { = \frac { d } { d t } \left\{ \frac { \sinh _ { p } ( t ) } { \cosh _ { p } ( t ) } \right\} } \\ & { = \frac { \sinh _ { p } ^ { \prime } ( t ) \cosh _ { p } ( t ) - \cosh _ { p } ^ { \prime } ( t ) \sinh _ { p } ( t ) } { \cosh _ { p } ^ { 2 } ( t ) } } \\ & { \leq \frac { \sinh _ { p } ^ { \prime } ( t ) \cosh _ { p } ( t ) } { \cosh _ { p } ^ { 2 } ( t ) } } \\ & { = 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| B - C _ { B } M _ { B } R _ { B } \right\| } & { \leq \| \left( H _ { k } ^ { \mathrm { T } } P \right) ^ { - 1 } \| \cdot \left\| T _ { 2 2 } \right\| + \| \left( S _ { B } ^ { \mathrm { T } } V _ { k } \right) ^ { - 1 } \| \cdot \| \widehat { T } \| } \\ & { \leq \left( \| \left( H _ { k } ^ { \mathrm { T } } P \right) ^ { - 1 } \| + \| \left( S _ { B } ^ { \mathrm { T } } V _ { k } \right) ^ { - 1 } \| \right) \cdot \| \widehat { T } \| } \\ & { \leq \left( \sqrt { \frac { n k } { 3 } } 2 ^ { k } + \sqrt { \frac { d k } { 3 } } 2 ^ { k } \right) \left( \| A \| + \| B \| \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \beta _ { U U } = 0 . 3 , \beta _ { U D } = 0 . 4 , \beta _ { D U } = 0 . 3 , \beta _ { D D } = 0 . 4 , \qquad v _ { H } = 0 . 2 , \lambda = 0 . 5 , } \\ & { q _ { r e c } ^ { D } = 0 . 1 , q _ { r e c } ^ { U } = 0 . 6 5 , q _ { i n f } ^ { D } = 0 . 4 , q _ { i n f } ^ { U } = 0 . 3 , \qquad k _ { D } = 0 . 3 , k _ { I } = 0 . 5 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { t } f ( x _ { 0 } ) } & { = \frac 1 { \sqrt { 2 t \pi } } \int _ { { \mathbb R } } f ( x ) \exp \Big ( - \frac { ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 t } \Big ) d x } \\ & { = \exp \Big ( \frac { - x _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 t } \Big ) \frac 1 { \sqrt { 2 t \pi } } \int _ { { \mathbb R } } f ( x ) \exp \Big ( \frac { - x ^ { 2 } } { 2 t } \Big ) \exp \Big ( \frac { x x _ { 0 } } { t } \Big ) d x } \\ & { = \exp \Big ( \frac { - x _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 t } \Big ) \frac 1 { \sqrt { 2 t \pi } } \int _ { { \mathbb R } } f ( x ) \exp \Big ( \frac { - x ^ { 2 } } { 2 t } \Big ) \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac 1 { k ! } \Big ( \frac { x x _ { 0 } } { t } \Big ) ^ { k } d x } \\ & { = \exp \Big ( \frac { - x _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 t } \Big ) \frac 1 { \sqrt { 2 t \pi } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac 1 { k ! } \bigg ( \int _ { { \mathbb R } } f ( x ) \exp \Big ( \frac { - x ^ { 2 } } { 2 t } \Big ) \Big ( \frac x t \Big ) ^ { k } d x \bigg ) x _ { 0 } ^ { k } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { P _ { e } } \le } \\ & { \frac { 1 } { { J { Q ^ { \frac { { M N } } { K } } } \frac { { M N } } { K } { { \log } _ { 2 } } Q } } \sum _ { j \! = \! 1 } ^ { J } { \sum _ { { { \bf { X } } _ { j } } } { \sum _ { { { { \bf { \hat { X } } } } _ { j } } \ne { { \bf { X } } _ { j } } } { \operatorname* { P r } \left( { { { \bf { X } } _ { j } } \! \to \! { { { \bf { \hat { X } } } } _ { j } } } \right) e \left( { { { \bf { X } } _ { j } } , { { { \bf { \hat { X } } } } _ { j } } } \right) } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { M _ { \varphi } ( x ) } & { = } & { - \left( \begin{array} { l l } { - 1 . 0 2 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 0 . 5 2 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \varphi _ { 1 } ( x ) } \\ { \varphi _ { 2 } ( x ) } \end{array} \right) - \left( \begin{array} { l } { 0 . 7 6 5 x ^ { 2 } } \\ { 0 } \end{array} \right) + O _ { 3 } ( x ) . } \end{array}
{ \bf a } _ { { \bf x } , \tau , A } ^ { \pm } = \frac { 1 } { | \L _ { L } | } \sum _ { { \bf k } \in { \cal D } _ { L } } e ^ { \pm i { \bf k } \cdot { \bf x } } \hat { \bf a } _ { { \bf k } , \tau , A } ^ { \pm } , \ { \bf a } _ { { \bf x } + { \bf d } _ { 1 } , \tau , B } ^ { \pm } = \frac { 1 } { | \L _ { L } | } \sum _ { { \bf k } \in { \cal D } _ { L } } e ^ { \pm i { \bf k } \cdot { \bf x } } \hat { \bf a } _ { { \bf k } , \tau , B } ^ { \pm } ,
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \alpha } ^ { \beta \gamma } + \sigma _ { \beta } ^ { \alpha \gamma } + \sigma _ { \gamma } ^ { \beta \alpha } } & { = 0 , } \\ { s _ { \alpha } \sigma _ { \alpha } ^ { \beta \gamma } + s _ { \beta } \sigma _ { \beta } ^ { \alpha \gamma } + s _ { \gamma } \sigma _ { \gamma } ^ { \beta \alpha } } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ^ { \prime } } & { ( u ) ( v ) = \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } h \left( x , y , \frac { | u ( x ) - u ( y ) | } { | x - y | ^ { s } } \right) \frac { ( u ( x ) - u ( y ) ) ( v ( x ) - v ( y ) ) } { | x - y | ^ { N + 2 s } } d x \ d y } \\ & { + \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } V ( x ) h _ { x } ( x , | u | ) u v d x - \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \frac { K ( x ) K ( y ) F ( u ( x ) ) f ( u ( y ) ) v ( y ) } { | x - y | ^ { \lambda } } d x d y , \ \forall v \in W . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U ( u , v ) } & { = } & { \frac { e ^ { j k z } } { j \lambda z } e ^ { j \frac { k } { 2 z } ( u ^ { 2 } + v ^ { 2 } ) } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } [ U ( x , y ) e ^ { j \frac { k } { 2 z } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) } ] } \\ & { } & { e ^ { - j \frac { 2 \pi } { \lambda z } ( x u + y v ) } d x d y } \end{array}
\rho _ { \uparrow } = \rho _ { \textnormal { J a s } } ^ { ( 1 , 0 ) } = \sum _ { p , q \geq 0 } \frac { 1 } { p ! q ! } \sum _ { D \in \mathcal { L } _ { p , q } ^ { 1 , 0 } } \Gamma _ { D } ^ { 1 , 0 } , \qquad \rho _ { \downarrow } = \rho _ { \textnormal { J a s } } ^ { ( 0 , 1 ) } = \sum _ { p , q \geq 0 } \frac { 1 } { p ! q ! } \sum _ { D \in \mathcal { L } _ { p , q } ^ { 0 , 1 } } \Gamma _ { D } ^ { 0 , 1 } .
\pi _ { i j } = \langle b _ { j } , b _ { i } \rangle + \langle b _ { j } , b _ { i _ { 0 } } \rangle \langle d b _ { j _ { 0 } } , b _ { i } \rangle + \langle b _ { j } , b _ { j _ { 0 } } \rangle \langle b _ { j _ { 0 } } , b _ { i } \rangle = \delta _ { i j } + \langle b _ { j } , b _ { i _ { 0 } } \rangle \langle d b _ { j _ { 0 } } , b _ { i } \rangle ,
\mathbf { A } ( \mathbf { r } , t ) = { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } } \left( { \frac { q \mathbf { v } } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { s } | ( 1 - { \boldsymbol { \beta } } _ { s } \cdot ( \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { s } ) / | \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { s } | ) } } \right) _ { t _ { r } } = { \frac { \mu _ { 0 } c } { 4 \pi } } \left( { \frac { q { \boldsymbol { \beta } } _ { s } } { ( 1 - \mathbf { n } _ { s } \cdot { \boldsymbol { \beta } } _ { s } ) | \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { s } | } } \right) _ { t _ { r } }
\begin{array} { r } { \phi ( x ) \left\{ \begin{array} { l l } { > 0 , } & { x \in \Omega , } \\ { = 0 , \quad } & { x \in \partial \Omega , } \\ { < 0 , \quad } & { x \in D \setminus \overline { { \Omega } } } \end{array} \right. \qquad \mathrm { ~ a n d ~ } \qquad \chi _ { \phi } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 \quad } & { \mathrm { ~ i f ~ } \phi ( x ) \ge 0 , } \\ { 0 \quad } & { \mathrm { ~ i f ~ } \phi ( x ) < 0 . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \overline { { S } } _ { i } ^ { N } ( t _ { N } ) \right] = } & { N \mathbb { P } ( \mathcal { A } _ { 1 } ^ { N } ) \int _ { 0 } ^ { t _ { N } } E \left[ S _ { i } ^ { ( 1 ) } ( t _ { N } - s ) \right] f _ { T _ { N } ^ { 1 } } ( s ) d s + R ( N , i ) } \\ & { \mathrm { w i t h ~ } R ( N , i ) = N \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } \mathbb { P } ( \mathcal { A } _ { k } ^ { N } ) k \int _ { 0 } ^ { t _ { N } } \mathbb { E } \left[ S _ { i } ^ { ( 1 ) } ( t _ { N } - s ) \right] f _ { T _ { N } ^ { k } } ( s ) d s . } \end{array}
\begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 2 } ( L _ { \dot { \beta } } g _ { 2 } ) ( F _ { \ast } X , F _ { \ast } Y ) + R i c ^ { r a n g e F _ { \ast } } ( F _ { \ast } X , F _ { \ast } Y ) - \sum _ { k = 1 } ^ { n _ { 1 } } ( e _ { k } ( g ) ) ^ { 2 } g _ { 2 } ( F _ { \ast } X , F _ { \ast } Y ) } \\ { + \sum _ { k = 1 } ^ { n _ { 1 } } g _ { 2 } ( \nabla _ { e _ { k } } ^ { F \bot } e _ { k } , \nabla ^ { N } g ) g _ { 2 } ( F _ { \ast } X , F _ { \ast } Y ) - \sum _ { k = 1 } ^ { n _ { 1 } } \nabla _ { e _ { k } } ^ { N } e _ { k } ( g ) g _ { 2 } ( F _ { \ast } X , F _ { \ast } Y ) + \lambda g _ { 2 } ( F _ { \ast } X , F _ { \ast } Y ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { G } ^ { \mathbf { \Gamma } } ( \mathcal { I } ) = + 1 } & { , \quad \rho _ { G } ^ { \mathbf { X } } ( \mathcal { I } ) = + 1 \qquad ( 1 a ) , } \\ { \rho _ { G } ^ { \mathbf { \Gamma } } ( \mathcal { I } ) = + 1 } & { , \quad \rho _ { G } ^ { \mathbf { X } } ( \mathcal { I } ) = - 1 \qquad ( 1 b ) . } \end{array}
I \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Phi \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! * \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \ensuremath { \mathcal { Z } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = I \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Psi \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! * \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \ensuremath { \mathcal { Z } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l } { \overrightarrow { h _ { 0 } } = } & { \tilde { X _ { 0 } } + h _ { 2 } \partial _ { h _ { 1 } } - h _ { 1 } \partial _ { h _ { 2 } } = \Tilde { X _ { 0 } } - \partial _ { \theta } } \\ { \overrightarrow { h _ { 1 } } = } & { \tilde { X _ { 1 } } - h _ { 2 } \partial _ { h _ { 0 } } + h _ { 0 } \partial _ { h _ { 2 } } } \\ { \overrightarrow { h _ { 2 } } = } & { \tilde { X _ { 2 } } - h _ { 0 } \partial _ { h _ { 1 } } + h _ { 1 } \partial _ { h _ { 0 } } } \end{array}
P _ { e } = \left\{ \begin{array} { l l } { \begin{array} { r l r } & { \frac { 2 ^ { 3 / 2 } } { 3 \pi ^ { 2 } \hbar ^ { 3 } } m _ { e } ^ { 4 } c ^ { 5 } \beta _ { e } ^ { 5 / 2 } \left[ \Bigl \{ \frac { 2 } { 5 } ( \xi _ { e } + \phi ) ^ { 5 / 2 } + \frac { \pi ^ { 2 } } { 4 } ( \xi _ { e } + \phi ) ^ { 1 / 2 } - \frac { 7 \pi ^ { 4 } } { 9 6 0 } ( \xi _ { e } + \phi ) ^ { - 3 / 2 } \Bigr \} + \right. } \\ & { \left. \frac { \beta _ { e } } { 2 } \Bigl \{ \frac { 2 } { 7 } ( \xi _ { e } + \phi ) ^ { 7 / 2 } + \frac { 5 \pi ^ { 2 } } { 1 2 } ( \xi _ { e } + \phi ) ^ { 3 / 2 } + \frac { 7 \pi ^ { 4 } } { 1 9 2 } ( \xi _ { e } + \phi ) ^ { - 1 / 2 } \Bigr \} \right] } & { \mathrm { f o r ~ \beta _ { e } < 1 ~ } , } \\ & { \frac { 1 } { 9 \pi ^ { 2 } \hbar ^ { 3 } } m _ { e } ^ { 4 } c ^ { 5 } \beta _ { e } ^ { 7 / 2 } \left[ 2 \Bigl \{ ( \xi _ { e } + \phi ) ^ { 3 } + \pi ^ { 2 } ( \xi _ { e } + \phi ) \Bigr \} + \right. } \\ & { \left. 3 \beta _ { e } \Bigl \{ \frac { 1 } { 4 } ( \xi _ { e } + \phi ) ^ { 4 } + \frac { \pi ^ { 2 } } { 2 } ( \xi _ { e } + \phi ) ^ { 2 } + \frac { 7 \pi ^ { 4 } } { 6 0 } \Bigr \} \right] } & { \mathrm { f o r ~ \beta _ { e } > 1 ~ } , } \end{array} } \end{array} \right.
S _ { q _ { 1 } , \, d i a g } = \sum _ { 1 \leq r \ll \frac { M _ { 0 } - p ^ { 2 } n } { Q _ { 1 } } } \sum _ { 1 \leq n \ll N _ { 0 } } \sum _ { q _ { 1 } \in \Phi _ { 1 } } \frac { \Big | \lambda _ { g } ( p ^ { 2 } n + q _ { 1 } r ) \Big | ^ { 2 } \Big | \mathcal { I } _ { 2 } ( q , p ^ { 2 } n + q _ { 1 } r , x ) \Big | ^ { 2 } } { ( p ^ { 2 } n + q _ { 1 } r ) ^ { 1 / 2 } } .
\begin{array} { r l } { E \left[ \left| \tilde { U } _ { i } \right| ^ { 2 } \right] } & { = \frac { 1 } { N _ { r t } ^ { 2 } } E \left[ \sum _ { k = 0 } ^ { N _ { r t } - 1 } \left( \tilde { I } _ { k , \, i } + \tilde { V } _ { k , \, i } \right) \sum _ { l = 0 } ^ { N _ { r t } - 1 } \left( \tilde { I } _ { l , \, i } ^ { * } + \tilde { V } _ { l , \, i } ^ { * } \right) \right] } \\ & { = \frac { 1 } { N _ { r t } ^ { 2 } } \sum _ { k = 0 } ^ { N _ { r t } - 1 } \sum _ { l = 0 } ^ { N _ { r t } - 1 } E \left[ \tilde { I } _ { k , \, i } \tilde { I } _ { l , \, i } ^ { * } \right] + E \left[ \tilde { V } _ { k , \, i } \tilde { V } _ { l , \, i } ^ { * } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \int _ { M } \mathfrak { p } _ { n } d \mu _ { \mathfrak { p } _ { n } } - \int _ { M } \mathfrak { p } _ { \infty } d \nu \right| } & { \leq \int _ { M } \left| \mathfrak { p } _ { n } - \mathfrak { p } _ { \infty } \right| d \mu _ { \mathfrak { p } _ { n } } + \left| \int _ { M } \mathfrak { p } _ { \infty } d \mu _ { \mathfrak { p } _ { n } } - \int _ { M } \mathfrak { p } _ { \infty } d \nu \right| } \\ & { \leq \| \mathfrak { p } _ { n } - \mathfrak { p } _ { \infty } \| _ { \infty } + \left| \int _ { M } \mathfrak { p } _ { \infty } d \mu _ { \mathfrak { p } _ { n } } - \int _ { M } \mathfrak { p } _ { \infty } d \nu \right| } \\ & { \xrightarrow [ n \to + \infty ] 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 } \frac { W _ { 2 } ^ { 2 } ( \gamma ( t + h ) ) , ( I d + h v _ { t } ) _ { \# } \gamma ( t ) ) } { | h | ^ { 2 } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 } \frac { W _ { 2 } ^ { 2 } ( \frac 1 M \sum _ { i = 1 } ^ { M } \delta _ { u _ { i } ( t + h ) } , \frac 1 M \sum _ { i = 1 } ^ { M } \delta _ { u _ { i } ( t ) + h v _ { t } ( u _ { i } ( t ) ) } ) } { | h | ^ { 2 } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 } \frac 1 M \sum _ { i = 1 } ^ { M } \Bigl \| \frac { u _ { i } ( t + h ) - u _ { i } ( t ) } { h } - v _ { t } ( u _ { i } ( t ) ) \Bigr \| ^ { 2 } = \frac 1 M \sum _ { i = 1 } ^ { M } \| \dot { u } _ { i } ( t ) - v _ { t } ( u _ { i } ( t ) ) \| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Vert S - P _ { h } S \Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { 1 1 } ) } + \Vert u - \Pi u \Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { 1 1 } ) } \le C N ^ { - ( k + 1 ) } , } \\ & { \Vert E - I _ { N } E \Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega / \Omega _ { 1 1 } ) } + \Vert u - \Pi u \Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega / \Omega _ { 1 1 } ) } \le C \varepsilon ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( N ^ { - 1 } \ln N ) ^ { k + 1 } , } \\ & { \Vert \nabla ( u - \Pi u ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { 1 1 } ) } \le C N ^ { - k } + C \varepsilon ^ { - \frac { 1 } { 2 } } N ^ { - \sigma } + C N ^ { 1 - \sigma } , } \\ & { \Vert \nabla ( E _ { 3 } - \Pi E _ { 3 } ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { 1 2 } \cup \Omega _ { 2 1 } ) } \le C N ^ { - \sigma } + C \varepsilon ^ { - \frac { 1 } { 2 } } N ^ { 1 - \sigma } ( \ln N ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } , } \\ & { \Vert \nabla ( E _ { 1 } - \Pi E _ { 1 } ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { 2 1 } ) } + \Vert \nabla ( E _ { 2 } - \Pi E _ { 2 } ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { 1 2 } ) } \le C \varepsilon ^ { - \frac { 1 } { 2 } } N ^ { 1 - \sigma } ( \ln N ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } , } \\ & { \Vert u - \Pi u \Vert _ { L ^ { \infty } ( \Omega _ { 1 1 } ) } \le C N ^ { - ( k + 1 ) } , } \\ & { \Vert u - \Pi u \Vert _ { L ^ { \infty } ( \Omega / \Omega _ { 1 1 } ) } \le C N ^ { - ( k + 1 ) } ( \ln N ) ^ { k + 1 } , } \\ & { \Vert I _ { N } u - u \Vert _ { N I P G , \overline { { \Omega } } _ { 1 1 } } \le C \varepsilon ^ { \frac { 1 } { 2 } } N ^ { - k } + C N ^ { - ( k + 1 ) } + C \varepsilon ^ { \frac { 1 } { 2 } } N ^ { 1 - \sigma } , } \\ & { \Vert P _ { h } u - u \Vert _ { N I P G , \overline { { \Omega } } _ { 1 1 } } \le C N ^ { - ( k + \frac { 1 } { 2 } ) } ( \ln N ) ^ { k + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { F ( \mu , \gamma ) = \overbrace { \gamma _ { x } \partial _ { y } \nabla ^ { - 2 } \gamma } ^ { A } - \overbrace { \gamma _ { y } \partial _ { x } \nabla ^ { - 2 } \gamma } ^ { B } + \overbrace { \partial _ { y } [ \overline { { ( \gamma \partial _ { x } \nabla ^ { - 2 } \gamma ) } } } ^ { C } ] - \overbrace { \mu \gamma _ { x } } ^ { D } + \overbrace { c _ { 0 } \gamma _ { x } } ^ { E } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| v \| _ { X ^ { 0 , b _ { 0 } } ( T _ { 1 } ) } } & { \lesssim _ { T } \tau ^ { \frac { s _ { 0 } } { 2 } } + T _ { 1 } ^ { \epsilon _ { 0 } } \| u \| _ { X ^ { s _ { 0 } , b _ { 0 } } ( T ) } ^ { 2 } \| v \| _ { X ^ { 0 , b _ { 0 } } ( T _ { 1 } ) } } \\ & { \qquad + T _ { 1 } ^ { \epsilon _ { 0 } } \| u \| _ { X ^ { s _ { 0 } , b _ { 0 } } ( T ) } \| v \| _ { X ^ { s _ { 0 } , b _ { 0 } } ( T ) } \| v \| _ { X ^ { 0 , b _ { 0 } } ( T _ { 1 } ) } + T _ { 1 } ^ { \epsilon _ { 0 } } \| v \| _ { X ^ { s _ { 0 } , b _ { 0 } } ( T ) } ^ { 2 } \| v \| _ { X ^ { 0 , b _ { 0 } } ( T _ { 1 } ) } . } \end{array}
\boldsymbol { z } ^ { * } = \left( \frac { ( Q _ { b } - q ) ^ { 2 } } { 4 Q _ { b } } , \frac { Q _ { b } - q } { 2 Q _ { b } } , \frac { ( Q _ { b } - q ) ( q - Q _ { b } - c \mu _ { 1 } ) } { 2 b Q _ { b } \mu _ { 2 } } , \frac { 1 } { 4 Q _ { b } } , \frac { ( q - Q _ { b } - c \mu _ { 1 } ) ^ { 2 } } { 4 Q _ { b } b ^ { 2 } } , \frac { q - Q _ { b } - c \mu _ { 1 } } { 2 b Q _ { b } \mu _ { 2 } } \right) .
\mathbb { E } _ { a \in \mathbb { Z } _ { q } ^ { \times } } g ( a ) = \mathbb { E } _ { n \in [ N ] _ { q } } f ( n ) = \frac { \theta } { 2 } \cdot \frac { \varphi ( q ) } { q } \log N \cdot \mathbb { E } _ { n \in [ N ] _ { q } } \mathbf { 1 } _ { n \in \mathbb { P } } \mathbf { 1 } _ { n \geq z } = \frac { \theta } { 2 } + O ( ( \log q ) ^ { - 1 } ) .
\begin{array} { r l } & { \sum _ { s = 0 } ^ { \infty } \overline { { C } } _ { k , i } \left( n - \frac { s ( 3 s - 1 ) } { 2 } \right) + \sum _ { s = 1 } ^ { \infty } \overline { { C } } _ { k , i } \left( n - \frac { s ( 3 s + 1 ) } { 2 } \right) } \\ & { \equiv \left\{ \begin{array} { l l } { 1 \ ( \mathrm { m o d } \ 2 ) } & { \mathrm { i f ~ n = \frac { 1 } { 2 } \big ( k m ^ 2 \pm ~ m ( k - 2 i ) \big ) ~ ~ ~ ~ ~ f o r ~ s o m e ~ m \in ~ \mathbb { N } ~ } , } \\ { 0 \ ( \mathrm { m o d } \ 2 ) } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Sigma - \sum _ { t = 1 } ^ { t _ { m a x } } \Delta _ { t } ^ { \prime } \Pi _ { t } = } & { \sum _ { t = 1 } ^ { t _ { m a x } } \left[ p _ { t } P _ { 1 , 1 + t } ^ { t } ( 1 ) \left( \sum _ { i = \omega - t } ^ { \omega - 1 } C ( i , 1 ) \pi _ { i } \right) \right] + } \\ & { \sum _ { t = 1 } ^ { t _ { m a x } } \bigg ( p _ { t } P _ { 1 , 1 + t } ^ { t } ( 1 ) \bigg ) \Sigma . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left| \mathbb { P } \left[ \frac { \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( U _ { j } - \mu _ { j } ) } { \sqrt { \sum _ { j = 1 } ^ { N } \sigma _ { j } ^ { 2 } } } \geq \lambda \right] - Q ( \lambda ) \right| \leq \frac { C _ { 0 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } t _ { j } } { \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N } \sigma _ { j } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \alpha } _ { i , k } } & { = \prod _ { j = i } ^ { k } { \left( 1 + { a } _ { j } \right) } \leq { \left( { 1 } + \frac { 1 } { k - i + 1 } \sum _ { j = i } ^ { k } { { a } _ { j } } \right) } ^ { k - i + 1 } \leq \exp { \left( \sum _ { j = i } ^ { k } { { a } _ { j } } \right) } \leq { \mathrm { e } } ^ { { \nu } _ { k } } \, , \quad { \nu } _ { k } = \sum _ { j = 1 } ^ { k } { { a } _ { j } } \, . } \end{array}
{ \frac 1 2 \int _ { \partial \mathcal { D } _ { \rho } } \mathcal { F } _ { 2 } f _ { \zeta } \, d \zeta - \int _ { \partial \mathcal { D } _ { \rho } } \frac { \overline { { w _ { \zeta } } } \mathcal { F } _ { 1 } } { ( \zeta - \zeta _ { k } ) \overline { { f _ { \zeta } } } } \, d \zeta = 0 , } \quad { \frac 1 2 \operatorname { R e } \int _ { \partial \mathcal { D } _ { \rho } } \mathcal { F } _ { 2 } \overline { f } f _ { \zeta } \, d \zeta - \operatorname { R e } \int _ { \partial \mathcal { D } _ { \rho } } \frac { \overline { { w _ { \zeta } f } } \mathcal { F } _ { 1 } } { ( \zeta - \zeta _ { k } ) \overline { { f _ { \zeta } } } } \, d \zeta = 0 . }
\begin{array} { r l } { \left| \frac { x - x _ { 0 } } { | x - x _ { 0 } | } - \frac { y - x _ { 0 } } { | y - x _ { 0 } | } \right| ^ { 2 } } & { = 2 - 2 \, \frac { \langle x - x _ { 0 } , y - x _ { 0 } \rangle } { | x - x _ { 0 } | \, | y - x _ { 0 } | } } \\ & { \le \frac { | x - x _ { 0 } | ^ { 2 } + | y - x _ { 0 } | ^ { 2 } } { | x - x _ { 0 } | \, | y - x _ { 0 } | } - 2 \, \frac { \langle x - x _ { 0 } , y - x _ { 0 } \rangle } { | x - x _ { 0 } | \, | y - x _ { 0 } | } = \frac { | x - y | ^ { 2 } } { | x - x _ { 0 } | \, | y - x _ { 0 } | } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathrm { G L } _ { n } ( F ) } \int _ { N _ { n ^ { k - 1 } , k n } ^ { 0 , a } ( F ) } l _ { T } ( \pi ( m ( a ) ) v _ { 0 } ) \chi _ { T } ( \operatorname* { d e t } a ) | \operatorname* { d e t } a | ^ { - \frac { 3 n } { 2 } - 1 } \psi ^ { - 1 } ( \mathrm { t r } ( T z ) ) } \\ { \times } & { f _ { \mathcal { W } ( \tau \otimes \chi _ { T } , n , \psi _ { 2 T } ) , s } ^ { 0 } \left( \left[ \begin{array} { c c c } { a } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 _ { 2 n ( k - 1 ) } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \hat { a } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c c c c c } { 1 _ { n } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 _ { n } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 _ { ( k - 2 ) n } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { b } & { c } & { d } & { 1 _ { ( k - 2 ) n } } & { 0 } & { 0 } \\ { - a } & { z } & { c ^ { \ast } } & { 0 } & { 1 _ { n } } & { 0 } \\ { 0 } & { - a ^ { \ast } } & { b ^ { \ast } } & { 0 } & { 0 } & { 1 _ { n } } \end{array} \right] \right) d u d a . } \end{array}
\big \{ x ^ { \vec { a } } , x ^ { \vec { b } } \big \} _ { x ^ { \vec { c } } } : = \sum _ { \vec { a } \, ^ { \prime } , \vec { b } \, ^ { \prime } \in \Delta ( 2 ) } \bigg [ \sum _ { \sigma } - \operatorname { s g n } ( \sigma ) \tilde { \rho } \big ( \sigma \vec { a } , \sigma \vec { b } , \sigma \vec { c } , \vec { a } \, ^ { \prime } , \vec { b } \, ^ { \prime } \big ) \bigg ] x ^ { \vec { a } \, ^ { \prime } } x ^ { \vec { b } \, ^ { \prime } } ,
\begin{array} { r l r } { V _ { t } ^ { ( \alpha ) } } & { = } & { r { \mathchoice { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 . 5 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 5 m u l } } } _ { \mathcal { H } } + \alpha ^ { - 1 } t | \downarrow \rangle \langle \uparrow | \otimes T _ { - 1 } - \alpha t | \uparrow \rangle \langle \downarrow | \otimes T _ { 1 } } \\ { W _ { t } ^ { ( \alpha ) } } & { = } & { \left( \begin{array} { l l } { r } & { t } \\ { - \alpha t } & { \alpha r } \end{array} \right) \otimes \sum _ { j \in { \mathord { \mathbb Z } } } \alpha ^ { 2 j } | j \rangle \langle j | . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \langle \nabla { \xi } _ { k - 1 } ^ { * } \left( v ( \alpha ^ { k - 1 } ) \right) , y ^ { k - 1 } - y ^ { k - 2 } \rangle - \langle x ^ { k - 1 } , y ^ { k - 1 } - y ^ { k - 2 } \rangle } \\ & { = \langle \nabla { \xi } _ { k - 1 } ^ { * } \left( { \tilde { u } _ { ( k - 1 ) } } ^ { T _ { k - 1 } } \right) - \nabla { \tilde { \xi } } _ { k - 1 } ^ { * } ( u _ { ( k - 1 ) } ^ { T _ { k - 1 } } ) , y ^ { k - 1 } - y ^ { k - 2 } \rangle } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 } \| \nabla { \xi } _ { k - 1 } ^ { * } \left( { \tilde { u } _ { ( k - 1 ) } } ^ { T _ { k - 1 } } \right) - \nabla { \xi } _ { k - 1 } ^ { * } ( u _ { ( k - 1 ) } ^ { T _ { k - 1 } } ) \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \| y ^ { k - 1 } - y ^ { k - 2 } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 } \| e _ { ( k - 1 ) } ^ { T _ { k - 1 } } \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \| y ^ { k - 1 } - y ^ { k - 2 } \| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { O } _ { B } : \mathcal { U } \to \mathbb { R } ^ { n } , \quad u \mapsto } & { ( u ( x ^ { ( i ) } , t ^ { ( i ) } ) ) _ { i = 1 } ^ { n } } \\ { \mathcal { O } _ { D } : \mathcal { U } \to \mathbb { R } ^ { n } , \quad u \mapsto } & { ( ( \partial _ { t } u ( x ^ { ( i ) } , t ^ { ( i ) } ) + \mathcal { L } u ( x ^ { ( i ) } , t ^ { ( i ) } ) ) _ { i = 1 } ^ { n } , } \end{array}
L ( \underline { { \theta } } , \underline { { a } } ) = p _ { 1 } W \left( \frac { a _ { 1 } } { \theta _ { 1 } } - 1 \right) + p _ { 2 } W \left( \frac { a _ { 2 } } { \theta _ { 2 } } - 1 \right) , \; \underline { { \theta } } = ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) \in \Theta _ { 0 } , \; \underline { { a } } = ( a _ { 1 } , a _ { 2 } ) \in \mathcal { A } = \Re _ { + + } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \prod _ { m } \frac { \ell _ { m } } { \ell _ { m } + i M } } & { = \frac { \int \left[ \prod _ { m } \left( \prod _ { n } d \bar { b } _ { n } ^ { m } d a _ { n } ^ { m } \right) \mathcal { F } _ { \mathbf { n } } ^ { m } \right] } { \int \left[ \prod _ { m } \left( \prod _ { n } d \bar { b } _ { n } ^ { m } d a _ { n } ^ { m } \right) e ^ { i M \bar { b } _ { m } ^ { \tilde { m } } a _ { m } ^ { \tilde { m } } } \mathcal { F } _ { \mathbf { n } } ^ { m } \right] } } \\ & { = \! \frac { \int \left[ \prod _ { m } \left( \prod _ { n } d \bar { b } _ { n } ^ { m } d a _ { n } ^ { m } \right) \mathcal { F } _ { \mathbf { n } } ^ { m } \right] } { \int \left[ \prod _ { m } \left( \prod _ { n } d \bar { b } _ { n } ^ { m } d a _ { n } ^ { m } \right) \mathcal { F } _ { \mathbf { n } } ^ { m } \right] \exp \{ i M \sum _ { m } \bar { b } _ { m } ^ { \tilde { m } } a _ { m } ^ { \tilde { m } } \} } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { | \bar { 0 } \rangle \equiv | \psi _ { m = 0 } \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { \mathcal { N } _ { 0 } } } \Big ( | \alpha \rangle + | - \alpha \rangle + | i \alpha \rangle + | - i \alpha \rangle \Big ) } \\ & { } & { | \bar { 1 } \rangle \equiv | \psi _ { m = 2 } \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { \mathcal { N } _ { 2 } } } \Big ( | \alpha \rangle + | - \alpha \rangle - | i \alpha \rangle - | - i \alpha \rangle \Big ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { e r f c } z } & { = { \frac { e ^ { - z ^ { 2 } } } { { \sqrt { \pi } } \, z } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n } Q _ { n } } { { ( z ^ { 2 } + 1 ) } ^ { \bar { n } } } } } \\ & { = { \frac { e ^ { - z ^ { 2 } } } { { \sqrt { \pi } } \, z } } \left( 1 - { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { 1 } { ( z ^ { 2 } + 1 ) } } + { \frac { 1 } { 4 } } { \frac { 1 } { ( z ^ { 2 } + 1 ) ( z ^ { 2 } + 2 ) } } - \cdots \right) } \end{array} }
\mathbb { P } \left( T _ { 1 } ( \chi _ { 1 } ( 0 ) N ) > \mathbb { E } T _ { 1 } ( \chi _ { 1 } ( 0 ) N ) + \epsilon _ { N } \right) \le \frac { V a r ( T _ { 1 } ( \chi _ { 1 } ( 0 ) N ) ) } { \epsilon _ { N } ^ { 2 } } = \frac { \sum _ { k = N / 2 } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { 1 } ( k ) ^ { 2 } } } { \epsilon _ { N } ^ { 2 } } \xrightarrow { N \to \infty } 0
\begin{array} { r } { p ^ { \epsilon } = p \left( x , \frac { t } { \epsilon } \right) , \quad \mu ^ { \epsilon } = \frac { 1 } { \epsilon } \mu \left( x , \frac { t } { \epsilon } \right) , \quad \lambda ^ { \epsilon } = \frac { 1 } { \epsilon } \lambda \left( x , \frac { t } { \epsilon } \right) , \quad k ^ { \epsilon } = \frac { 1 } { \epsilon } k \left( x , \frac { t } { \epsilon } \right) . } \end{array}
\begin{array} { l } { \mathrm { T h r e e ~ j o l l y ~ s a i l o r s ~ f r o m ~ B l a y d o n - o n - T y n e } } \\ { \mathrm { T h e y ~ w e n t ~ t o ~ s e a ~ i n ~ a ~ b o t t l e ~ b y ~ K l e i n . } } \\ { \mathrm { S i n c e ~ t h e ~ s e a ~ w a s ~ e n t i r e l y ~ i n s i d e ~ t h e ~ h u l l } } \\ { \mathrm { T h e ~ s c e n e r y ~ s e e n ~ w a s ~ e x c e e d i n g l y ~ d u l l . ~ } } \end{array}
K ( B _ { X _ { n } } , J ) : = \operatorname* { s u p } \Big \{ 0 < r < 1 \colon \operatorname* { s u p } _ { z \in r B _ { X _ { n } } } \sum _ { \alpha \in J } \Big | \frac { \partial ^ { \alpha } f ( 0 ) } { \alpha ! } z ^ { \alpha } \Big | \le \| f \| _ { \infty } \, \, \, \mathrm { f o r ~ a l l ~ f ~ \in ~ H ^ J _ \infty ~ ( B _ { X _ n } ) ~ } \Big \} \, .
\begin{array} { r l r } { v _ { x x } } & { = } & { - { \lambda } ^ { 2 } \alpha _ { 1 } ^ { - 1 } \left( \rho v + \gamma \mu p \right) , \quad x \in ( l _ { 1 } , l _ { 2 } ) } \\ { p _ { x x } } & { = } & { - { \lambda } ^ { 2 } \alpha _ { 1 } ^ { - 1 } \left( \gamma \rho v + \mu \alpha \beta ^ { - 1 } p \right) , \quad x \in ( l _ { 1 } , l _ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 1 - q _ { - n } = \frac { \nu } { \delta ( - n ) } ( 1 - q _ { - n - 1 } ) + \frac { b ( - n ) } { \delta ( - n ) } ( 1 - q _ { - n } ^ { 2 } ) + \frac { \mu } { \delta ( - n ) } ( 1 - q _ { - n + L } ) } \\ { \Rightarrow } & { \frac { 1 - q _ { - n } } { 1 - q _ { - n - 1 } } = \frac { \nu } { \delta ( - n ) } + \frac { b ( - n ) } { \delta ( - n ) } \frac { 1 - q _ { - n } ^ { 2 } } { ( 1 - q _ { - n - 1 } ) } + \frac { \mu } { \delta ( - n ) } \frac { 1 - q _ { - n + L } } { 1 - q _ { - n - 1 } } } \\ { \Rightarrow } & { \frac { 1 } { \lambda _ { k } } = \frac { \nu } { \mu + \nu + d } + \frac { \mu } { \mu + \nu + d } ( \frac { 1 } { \lambda _ { k } } ) ^ { L + 1 } . } \end{array}
\bar { \rho } _ { n } = \frac { 2 } { \Upsilon } \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { \Gamma ( n ) ^ { 2 } } \left( \frac { 2 n - 1 } { 2 \mathrm { e } } \right) ^ { 2 n - 1 } \left( \frac { 2 n - 1 } { 2 \Upsilon \mathrm { e } } \right) ^ { - \frac { 2 n - 1 } { \Upsilon } } \frac { \Gamma \big ( \frac { 3 } { 2 } + \frac { 2 n - 1 } { 2 \Upsilon } \big ) } { \Gamma \big ( \frac { 3 } { 2 } - \frac { 2 n - 1 } { 2 \Upsilon } \big ) } ,
\begin{array} { r l } & { \Upsilon ( g ; g ^ { 0 } ) _ { \mu } = g _ { \mu \nu } g ^ { \kappa \lambda } ( \Gamma ( g ) _ { \kappa \lambda } ^ { \nu } - \Gamma ( g ^ { 0 } ) _ { \kappa \lambda } ^ { \nu } ) , } \\ & { D _ { g } \Upsilon ( - ; g ^ { 0 } ) = - \delta _ { g } \mathsf { G } _ { g } - \mathscr C _ { g } + \mathscr Y _ { g } , } \\ & { \qquad \mathscr C _ { g } ( u ) _ { \kappa } = g _ { \kappa \lambda } C _ { \mu \nu } ^ { \lambda } u ^ { \mu \nu } , \quad C _ { \mu \nu } ^ { \lambda } = \Gamma ( g ) _ { \mu \nu } ^ { \lambda } - \Gamma ( g ^ { 0 } ) _ { \mu \nu } ^ { \lambda } , \qquad \mathscr Y _ { g } ( u ) _ { \kappa } = \Upsilon ( g ; g ^ { 0 } ) ^ { \lambda } u _ { \kappa \lambda } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } } & { = 2 c ^ { 2 } , } \\ { \gamma _ { 1 } + \gamma _ { 2 } } & { = 1 , } \\ { \gamma } & { = 1 + \mathcal { O } ( c ^ { 2 } ) , } \\ { \gamma _ { 1 } } & { = 1 + \mathcal { O } ( c ^ { 2 } ) , } \\ { \gamma _ { 2 } } & { = \frac 1 { \gamma _ { 1 } } 2 c ^ { 2 } = 2 c ^ { 2 } + \mathcal { O } ( c ^ { 4 } ) . } \end{array}
f _ { X } ( \mathbf { x } ; { \boldsymbol { \mu } } , { \boldsymbol { \Sigma } } ) = { \frac { 1 } { | 2 \pi { \boldsymbol { \Sigma } } | ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } \, { \frac { 1 } { \prod _ { i = 1 } ^ { D } x _ { i } } } \, e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } \left\{ \log \left( { \frac { \mathbf { x } _ { - D } } { x _ { D } } } \right) - { \boldsymbol { \mu } } \right\} ^ { \top } { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { - 1 } \left\{ \log \left( { \frac { \mathbf { x } _ { - D } } { x _ { D } } } \right) - { \boldsymbol { \mu } } \right\} } \quad , \quad \mathbf { x } \in { \mathcal { S } } ^ { D } \; \; ,
\operatorname* { d e t } ( \tilde { \varphi } _ { r , 0 } ( x _ { i } + y _ { j } ) - \tilde { \varphi } _ { r , 0 } ( x _ { i } ) \tilde { \varphi } _ { r , 0 } ( y _ { j } ) ) _ { i , j = 1 } ^ { n } = \operatorname* { d e t } ( I ( x _ { i } , y _ { j } ) ) _ { i , j = 1 } ^ { n } \prod _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } \prod _ { j = 1 } ^ { n } y _ { j }
\begin{array} { r l } { \mathsf { E } [ U _ { i } ( t + 1 ) - U _ { i } ( t ) \mid Y ^ { t } , \theta = i ] \ge } & { C - \log _ { 2 } \left( 1 + ( q - p ) ^ { 2 } \frac { \iota _ { i } \Delta - \rho _ { i } ( y ^ { t } ) } { 1 - \rho _ { i } ( y ^ { t } ) } \right) } \\ { \ge } & { C - \log _ { 2 } \left( 1 + \frac { ( q - p ) ^ { 2 } } { 3 } \right) } \\ { \ge } & { C - \frac { ( q - p ) ^ { 2 } } { 3 } } \\ { = } & { C - \frac { ( q - p ) ^ { 2 } } { 2 \ln ( 2 ) } + \frac { 3 - 2 \ln ( 2 ) } { 6 \ln ( 2 ) } ( q - p ) ^ { 2 } } \\ { \ge } & { \frac { 3 - 2 \ln ( 2 ) } { 6 \ln ( 2 ) } ( q - p ) ^ { 2 } > \frac { ( q - p ) ^ { 2 } } { 3 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle Z \rangle } & { = \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \Big [ 1 + \frac { 1 } { \sigma T _ { 1 } } \int _ { 0 } ^ { T _ { 1 } } \zeta _ { 1 } ( \tau ^ { \prime } ) d \tau ^ { \prime } + \mathscr { O } ( \varepsilon ) \Big ] = \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \Big [ 1 + \frac { \sqrt { B } } { \sigma 4 K } \int _ { 0 } ^ { \frac { 4 K } { \sqrt { B } } } B \big ( 1 - 2 k _ { 1 } ^ { 2 } \mathsf { s n } ( \sqrt { B } \tau ^ { \prime } ) \big ) d \tau ^ { \prime } + \mathscr { O } ( \varepsilon ) \Big ] } \\ & { = \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \left[ 1 - \frac { B } { \sigma } \left( 1 - \frac { 2 E } { K } \right) + O ( \varepsilon ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lVert \tilde { \varphi } _ { [ t _ { n } , 0 ] } - \mathcal { X } _ { [ t _ { n } , 0 ] } \rVert _ { \infty } } & { \leq \sum _ { i = 1 } ^ { k } C _ { i } \lVert \tilde { \varphi } _ { [ \tau _ { i + 1 } , \tau _ { i } ] } - \mathcal { X } _ { [ \tau _ { i + 1 } , \tau _ { i } ] } \rVert _ { \infty } } \\ & { \lesssim t _ { n } \left( \operatorname* { m a x } _ { i = 1 , \dots , k } \lVert \tilde { \varphi } _ { [ \tau _ { i } , \tau _ { i - 1 } ] } \rVert _ { 3 , \infty } \cdot ( h ^ { 2 } + h ^ { 3 } / \Delta t ) + \Delta t ^ { s } \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \partial _ { e } a _ { i j } \partial _ { i j } u \| _ { C ^ { m - 1 , \alpha } ( B _ { 3 / 4 } ) } } & { \le \| \partial _ { e } a _ { i j } \| _ { C ^ { m - 1 , \alpha } ( B _ { 3 / 4 } ) } \| \partial _ { i j } u \| _ { C ^ { m - 1 , \alpha } ( B _ { 3 / 4 } ) } } \\ & { = C \| \partial _ { i j } u \| _ { C ^ { m - 1 , \alpha } ( B _ { 3 / 4 } ) } } \\ & { \le C \left( \| u \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } + \| f \| _ { C ^ { m - 1 , \alpha } ( B _ { 1 } ) } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathring { A } _ { 2 } ^ { { w _ { 2 } , w _ { 3 } } } = \mathring { A } _ { 2 } ^ { { w _ { 1 } , w _ { 3 } } } } & { + \mathcal { O } \big ( | e _ { 1 } - e _ { 2 } | + | \eta _ { 1 } - \eta _ { 2 } | + | e _ { 1 } - e _ { 3 } | + | \eta _ { 1 } - \eta _ { 3 } | \big ) E _ { + } } \\ & { + \mathcal { O } \big ( | e _ { 1 } - e _ { 2 } | + | \eta _ { 1 } - \eta _ { 2 } | + | e _ { 1 } + e _ { 3 } | + | \eta _ { 1 } - \eta _ { 3 } | \big ) E _ { - } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \uppercase \expandafter { \romannumeral 3 } \right) = } & { \mathbb { E } \left[ \left| \int _ { \Omega } \left( \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } U _ { i } \right) \left( \hat { f } - f ^ { \circ } \right) d \mathcal { P } _ { X } \right| \right] } \\ { \leq } & { 8 \mathbb { E } \left[ \int _ { \Omega } \left( \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } U _ { i } \right) ^ { 2 } d \mathcal { P } _ { X } \right] + \frac { 1 } { 3 2 } \mathbb { E } \left[ \int _ { \Omega } \left( \hat { f } - f ^ { \circ } \right) ^ { 2 } \mathcal { P } _ { X } \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } N \mathbb E f ( \tilde { J } ) = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } ( \bar { f } ) ^ { \prime } ( x ) N \mathbb P ( | \tilde { J } | > x ) d x = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { ( \bar { f } ) ^ { \prime } ( x ) } { x ^ { \alpha } } d x = \alpha \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \bar { f } ( x ) } { x ^ { \alpha + 1 } } d x , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C ( j , k ) } & { = \frac { \mathfrak { J } ( E _ { k j } ) n ( E _ { k j } ) } { 2 } - i \mathcal { P } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega \frac { \mathfrak { J } ( \omega ) n ( \omega ) } { \omega - E _ { k j } } , } \\ { D ( j , k ) } & { = \frac { e ^ { \beta ( E _ { k j } - \mu _ { \ell } ) } \mathfrak { J } ( E _ { k j } ) n ( E _ { k j } ) } { 2 } } \\ & { - i \mathcal { P } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega \frac { e ^ { \beta ( \omega - \mu ) } \mathfrak { J } ( \omega ) n ( \omega ) } { \omega - E _ { k j } } , } \\ { \mathfrak { J } ( \omega ) } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } 2 \pi \left| \kappa _ { k } \right| ^ { 2 } \delta ( \omega - \Omega _ { k } ) , } \\ { n ( \omega ) } & { = [ e ^ { \beta \omega } - 1 ] ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { 2 , \nu } ^ { * } ( \underline { { X } } ) } & { = \operatorname* { m a x } \{ \delta _ { 2 , \nu } ( \underline { { X } } ) , \alpha \delta _ { 1 , \beta } ( \underline { { X } } ) + ( 1 - \alpha ) \delta _ { 2 , \nu } ( \underline { { X } } ) \} } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \delta _ { 2 , \nu } ( \underline { { X } } ) , } & { \mathrm { ~ i f } \quad \delta _ { 1 , \beta } ( \underline { { X } } ) \leq \delta _ { 2 , \nu } ( \underline { { X } } ) } \\ { \alpha \delta _ { 1 , \beta } ( \underline { { X } } ) + ( 1 - \alpha ) \delta _ { 2 , \nu } ( \underline { { X } } ) , } & { \mathrm { ~ i f } \quad \delta _ { 1 , \beta } ( \underline { { X } } ) > \delta _ { 2 , \nu } ( \underline { { X } } ) } \end{array} \right. . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \nu _ { \infty , - 1 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } = \frac { \alpha _ { \infty ^ { ( 1 ) } , r _ { \infty } - 1 } - \alpha _ { \infty ^ { ( 2 ) } , r _ { \infty } - 1 } } { ( r _ { \infty } - 1 ) ( t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , r _ { \infty } - 1 } - t _ { \infty ^ { ( 2 ) } , r _ { \infty } - 1 } ) } } \\ & { } & { \nu _ { \infty , 0 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } = - \frac { ( t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , r _ { \infty } - 2 } - t _ { \infty ^ { ( 2 ) } , r _ { \infty } - 2 } ) } { ( r _ { \infty } - 1 ) ( t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , r _ { \infty } - 1 } - t _ { \infty ^ { ( 2 ) } , r _ { \infty } - 1 } ) ^ { 2 } } ( \alpha _ { \infty ^ { ( 1 ) } , r _ { \infty } - 1 } - \alpha _ { \infty ^ { ( 2 ) } , r _ { \infty } - 1 } ) } \\ & { } & { + \frac { \alpha _ { \infty ^ { ( 1 ) } , r _ { \infty } - 2 } - \alpha _ { \infty ^ { ( 2 ) } , r _ { \infty } - 2 } } { ( r _ { \infty } - 2 ) ( t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , r _ { \infty } - 1 } - t _ { \infty ^ { ( 2 ) } , r _ { \infty } - 1 } ) } } \\ & { } & { ( t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , r _ { \infty } - 1 } - t _ { \infty ^ { ( 2 ) } , r _ { \infty } - 1 } ) \, \nu _ { \infty , r _ { \infty } - 2 - k } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } = \frac { \alpha _ { \infty ^ { ( 1 ) } , k } - \alpha _ { \infty ^ { ( 2 ) } , k } } { k } - \sum _ { i = - 1 } ^ { r _ { \infty } - 3 - k } ( t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , k + i + 1 } - t _ { \infty ^ { ( 2 ) } , k + i + 1 } ) \nu _ { \infty , i } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } } \\ & { } & \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { Q } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } } & { = \int _ { \Sigma } \imath ^ { * } \mathcal { J } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } - \int _ { \partial \Sigma } \overline { { \imath } } ^ { * } \overline { { \mathfrak { j } } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } } \\ & { = \int _ { \Sigma } \imath ^ { * } \big ( \imath _ { \xi } \mathrm { e } ^ { I } \wedge \mathrm { E } _ { \mathtt { E H } } ( \mathrm { e } ) _ { I } + \mathrm { d } \mathcal { Q } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } \big ) - \int _ { \partial \Sigma } \overline { { \imath } } ^ { * } \big ( \imath _ { \overline { { \xi } } } \overline { { \mathrm { e } } } ^ { I } \wedge \overline { { b } } _ { \mathtt { E H } } ( \mathrm { e } ) _ { I } + \jmath ^ { * } \mathcal { Q } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } \big ) } \\ & { = \int _ { \Sigma } \imath ^ { * } \imath _ { \xi } \big ( \mathrm { e } ^ { I } \wedge \mathrm { E } _ { \mathtt { E H } } ( \mathrm { e } ) _ { I } \big ) - \int _ { \partial \Sigma } \overline { { \imath } } ^ { * } \big ( \imath _ { \overline { { \xi } } } \overline { { \mathrm { e } } } ^ { I } \wedge \overline { { b } } _ { \mathtt { E H } } ( \mathrm { e } ) _ { I } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T _ { + + } ( k _ { x } ) } & { = } & { T _ { -- } ( k _ { x } ) \simeq \frac { 1 } { 2 } \left( 1 + \frac { n _ { 2 } } { n _ { 1 } } \right) - i \frac { \pi } { 2 } \left( \frac { 2 } { n _ { 1 } } + \frac { n _ { 2 } } { n _ { \perp } ^ { 2 } } + \frac { n _ { 2 } } { n _ { \parallel } ^ { 2 } } \right) \frac { k _ { x } } { K } + { \cal O } \left( \frac { k _ { x } ^ { 2 } } { K ^ { 2 } } \right) , } \\ { T _ { + - } ( k _ { x } ) } & { = } & { T _ { - + } ( k _ { x } ) \simeq i \frac { \pi } { 2 } n _ { 2 } \left( \frac { 1 } { n _ { \perp } ^ { 2 } } - \frac { 1 } { n _ { \parallel } ^ { 2 } } \right) \frac { k _ { x } } { K } + { \cal O } \left( \frac { k _ { x } ^ { 2 } } { K ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f ( u , v ) } & { = } & { ( a u + v ) ^ { 2 } + f _ { 3 0 } u ^ { 3 } + f _ { 2 1 } u ^ { 2 } v + f _ { 1 2 } u v ^ { 2 } + f _ { 0 3 } v ^ { 3 } + \ldots } \\ { g ( x , y ) } & { = } & { ( c x + y ) ^ { 2 } + g _ { 3 0 } x ^ { 2 } + g _ { 2 1 } x ^ { 2 } y + g _ { 1 2 } x y ^ { 2 } + g _ { 0 3 } y ^ { 3 } + \ldots } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { 2 } ^ { - 1 } ( f ) } & { = ( S _ { \mathcal { F } _ { 2 } ( \Omega _ { 2 } ) } \circ \mathcal { J } ^ { - 1 } \circ { ^ { \mathrm { t } } ( \cdot ) } ) ^ { - 1 } ( f ) = [ { ^ { t } ( \cdot ) } \circ \mathcal { J } \circ S _ { \mathcal { F } _ { 2 } ( \Omega _ { 2 } ) } ^ { - 1 } ] ( f ) = { ^ { t } ( \mathcal { J } \circ \mathcal { J } ^ { - 1 } \circ R _ { f } ^ { t } ) } } \\ & { = { ^ { t } ( R _ { f } ^ { t } ) } } \end{array}
\textup { c o s t } ( \mathcal { A } _ { \varepsilon , { \boldsymbol { \gamma } } } ^ { \textup { o p t } } ) \geq \sum _ { k = 1 } ^ { m _ { \varepsilon } } \left\vert \overline { { M } } ( \varepsilon , k ) \right\vert \cdot \ ( k ) \gtrsim \varepsilon ^ { - 2 / q _ { 1 } } \sum _ { k = 1 } ^ { m _ { \varepsilon } } \gamma _ { k } ^ { 1 / q _ { 1 } } k ^ { s } \gtrsim \varepsilon ^ { - 2 / q _ { 1 } } \sum _ { k = 1 } ^ { m _ { \varepsilon } } k ^ { s - p _ { 1 } / q _ { 1 } } ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \bar { \mathbf { D } } _ { \sigma } \bar { \mathcal { V } } - \bar { \mathcal { L } } _ { 1 } \bar { \mathcal { V } } - \mathcal { K } * \bar { \mathcal { L } } _ { 2 } \bar { \mathcal { V } } = \bar { g } ^ { * } ( x , \sigma ) - \lambda \bar { f } ^ { * } ( \bar { \mathcal { V } } ) \quad \mathrm { i n } \quad \Omega _ { T _ { 0 } } , } \\ { \bar { \mathcal { V } } ( x , 0 ) = 0 \quad \mathrm { i n } \quad \bar { \Omega } , } \\ { \bar { \mathcal { V } } ( x , \sigma ) = 0 \quad \mathrm { o n } \quad \partial \Omega _ { T _ { 0 } } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial \left( \Im G _ { x x } \right) } { \partial \hat { b } _ { n \ell } } = } & { } & { b _ { n \ell } e ^ { j \ell \theta _ { n s } } \bigg [ H _ { \ell } ^ { \prime } \left( k _ { o } R _ { n s } \right) \sin \left( \theta _ { n s } \right) } \\ & { } & { \left. + \frac { j \ell } { k _ { o } R _ { n s } } H _ { \ell } \left( k _ { o } R _ { n s } \right) \cos \left( \theta _ { n s } \right) \right] } \\ { \frac { \partial \left( \Im G _ { y y } \right) } { \partial \hat { b } _ { n \ell } } = } & { } & { - b _ { n \ell } e ^ { j \ell \theta _ { n s } } \bigg [ H _ { \ell } ^ { \prime } \left( k _ { o } R _ { n s } \right) \cos \left( \theta _ { n s } \right) } \\ & { } & { \left. - \frac { j \ell } { k _ { o } R _ { n s } } H _ { \ell } \left( k _ { o } R _ { n s } \right) \sin \left( \theta _ { n s } \right) \right] } \\ { \frac { \partial \left( \Im G _ { z z } \right) } { \partial \hat { b } _ { n \ell } } = } & { } & { - j J _ { \ell } \left( k _ { o } r _ { n } \right) H _ { \ell } \left( k _ { o } R _ { n s } \right) e ^ { j \ell \theta _ { n s } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \int | \pi _ { n } ( \hat { h } ) - \hat { p } _ { \textsc { s k s } } ^ { n } ( \hat { h } ) | d \hat { h } + \int | \int \hat { p } _ { \textsc { s k s } } ^ { n } ( \hat { h } ) d \hat { h } _ { \bar { \mathcal { C } } } - \hat { p } _ { \textsc { s k s } , \mathcal { C } } ^ { n } ( \hat { h } _ { \mathcal { C } } ) | d \hat { h } _ { \mathcal { C } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Gamma _ { \theta x } ^ { x } = 2 \sin \theta \cos \theta , \, \quad \quad \Gamma _ { \theta y } ^ { x } = \sin ^ { 2 } \theta - \cos ^ { 2 } \theta , } \\ & { \Gamma _ { \theta x } ^ { y } = \sin ^ { 2 } \theta - \cos ^ { 2 } \theta , \, \quad \Gamma _ { \theta y } ^ { y } = - 2 \sin \theta \cos \theta , } \\ & { \Gamma _ { \theta x } ^ { \theta } = \frac { m \cos \theta } { I } , \quad \, \, \, \, \, \, \, \, \qquad \Gamma _ { \theta y } ^ { \theta } = \frac { m \sin \theta } { I } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \phi ( x , t ) } & { = } & { \left( \frac { \Delta x ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 3 } c ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 4 } \int \! \frac { d k } { \sqrt { | k | } } \, \exp [ \mathrm { i } k x - \Delta x ^ { 2 } ( k - k _ { 0 } ) ^ { 2 } - \mathrm { i } c | k | t ] } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 4 } \left( \frac { \pi } { 2 c ^ { 2 } \Delta x ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 4 } \exp \! \left( - \, \frac { \Delta x ^ { 2 } k _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } \right) \exp \! \left( \mathrm { i } k _ { 0 } \frac { x - c t } { 2 } - \frac { ( x - c t ) ^ { 2 } } { 8 \Delta x ^ { 2 } } \right) } \\ & { } & { \times \sqrt { 2 \Delta x ^ { 2 } k _ { 0 } + \mathrm { i } ( x - c t ) } \left[ I _ { - \frac { 1 } { 4 } } \! \left( \frac { [ 2 \Delta x ^ { 2 } k _ { 0 } + \mathrm { i } ( x - c t ) ] ^ { 2 } } { 8 \Delta x ^ { 2 } } \right) \right. } \\ & { } & { + \left. I _ { \frac { 1 } { 4 } } \! \left( \frac { [ 2 \Delta x ^ { 2 } k _ { 0 } + \mathrm { i } ( x - c t ) ] ^ { 2 } } { 8 \Delta x ^ { 2 } } \right) \right] } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 2 ( 8 \pi ^ { 3 } c ^ { 2 } \Delta x ^ { 2 } ) ^ { 1 / 4 } } \exp \! \left( - \, \frac { \Delta x ^ { 2 } k _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } \right) \exp \! \left( \mathrm { i } k _ { 0 } \frac { x + c t } { 2 } - \frac { ( x + t ) ^ { 2 } } { 8 \Delta x ^ { 2 } } \right) } \\ & { } & { \times \sqrt { 2 \Delta x ^ { 2 } k _ { 0 } + \mathrm { i } ( x + c t ) } K _ { \frac { 1 } { 4 } } \! \left( \frac { [ 2 \Delta x ^ { 2 } k _ { 0 } + \mathrm { i } ( x + c t ) ] ^ { 2 } } { 8 \Delta x ^ { 2 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | ( z ^ { * } - s ) ( t ) | } & { \leq | ( z ^ { * } - s - x - y ) ( t ) | + ( x + y ) ( t ) } \\ & { \leq \left( \overline { s } + 2 R + R p ( R ) \tau \right) e ^ { - \int _ { 0 } ^ { t } D ( r ) d r } + \frac { \varepsilon } { 2 L ( 1 + M \tau ) } + \frac { M \tau \varepsilon } { 2 L ( 1 + M \tau ) } } \\ & { \leq \frac { \varepsilon } { 2 L } + \frac { \varepsilon } { 2 L ( 1 + M \tau ) } + \frac { M \tau \varepsilon } { 2 L ( 1 + M \tau ) } } \\ & { = \varepsilon / L , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { \mathrm { C C W } } } & { = \frac { - i g f \sqrt { \kappa } e ^ { i \theta } + ( i \Delta + \Gamma ) } { ( i \Delta + \Gamma ) ^ { 2 } + | g | ^ { 2 } } , } \\ { A _ { \mathrm { C W } } } & { = - \frac { | g | ^ { 2 } f \sqrt { \kappa } e ^ { i \theta } } { ( i \Delta + \Gamma ) \big [ ( i \Delta + \Gamma ) ^ { 2 } + | g | ^ { 2 } \big ] } - \frac { i g ^ { * } \sqrt { \kappa } e ^ { i \theta } } { ( i \Delta + \Gamma ) ^ { 2 } + | g | ^ { 2 } } + \frac { f \sqrt { \kappa } e ^ { i \theta } } { ( i \Delta + \Gamma ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { A } ^ { \mathrm { R S H - D F T B } } } & { = \frac { 5 } { 1 6 } \tau _ { A } \left[ 1 - \frac { 1 } { 2 ( 2 l + 1 ) } \left\{ \alpha + \beta \left( 1 - \frac { \tau _ { A } ^ { 8 } + 3 \tau _ { A } ^ { 6 } \omega ^ { 2 } - \tau _ { A } ^ { 4 } \omega ^ { 4 } + \frac { 1 } { 5 } \omega ^ { 6 } \tau _ { A } ^ { 2 } - \frac { 1 6 } { 5 } \tau _ { A } ^ { 7 } \omega } { ( \tau _ { A } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ) ^ { 4 } } \right) \right\} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { k _ { 0 \perp } ^ { 2 } } { n _ { \parallel } ^ { 2 } } + \frac { k _ { 0 z } ^ { 2 } } { n _ { \perp } ^ { 2 } } } & { = } & { \left( \frac { \pi m _ { p } } { c \tau } \right) ^ { 2 } , } \\ { k _ { 0 \perp } ^ { 2 } + k _ { 0 z } ^ { 2 } } & { = } & { n _ { \perp } ^ { 2 } \left( \frac { \pi m _ { s } } { c \tau } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
( \operatorname* { m a x } \{ \hat { \mu } _ { 1 , \operatorname* { m i n } \{ \hat { n } \} } ^ { l o w e r } , \ldots , \hat { \mu } _ { m , \operatorname* { m i n } \{ \hat { n } \} } ^ { l o w e r } \} , \operatorname* { m i n } \{ \hat { \mu } _ { 1 , \operatorname* { m i n } \{ \hat { n } \} } ^ { u p p e r } , \ldots , \hat { \mu } _ { m , \operatorname* { m i n } \{ \hat { n } \} } ^ { u p p e r } \} ] .
\begin{array} { r l } & { = \sum _ { w = 0 } ^ { i \wedge k } C _ { n , i , k , w } \int _ { s } ^ { t } \int _ { s } ^ { t } \langle f _ { s , r _ { 1 } } ^ { l } - f _ { s , r _ { 1 } } ^ { m } \hat { \otimes } _ { ( n - w ) } f _ { s , r _ { 2 } } ^ { l } - f _ { s , r _ { 2 } } ^ { m } , d ( f _ { r _ { 1 } } ^ { l } \hat { \otimes } _ { ( n - w ) } f _ { r _ { 2 } } ^ { l } ) \rangle _ { \mathcal { H } ^ { \otimes 2 w } } } \\ & { + \sum _ { w = 0 } ^ { i \wedge k } C _ { n , i , k , w } \int _ { s } ^ { t } \int _ { s } ^ { t } \langle f _ { s , r _ { 1 } } ^ { m } \hat { \otimes } _ { ( n - w ) } f _ { s , r _ { 2 } } ^ { m } , d ( f _ { r _ { 1 } } ^ { m } - f _ { r _ { 1 } } ^ { l } \hat { \otimes } _ { ( n - w ) } f _ { r _ { 2 } } ^ { m } - f _ { r _ { 2 } } ^ { l } ) \rangle _ { \mathcal { H } ^ { \otimes 2 w } } } \\ & { \preceq \sum _ { w = 0 } ^ { i \wedge k } \int _ { s } ^ { t } \int _ { s } ^ { t } { \left\lVert { f _ { s , r _ { 1 } } ^ { l } - f _ { s , r _ { 1 } } ^ { m } \hat { \otimes } _ { ( n - w ) } f _ { s , r _ { 2 } } ^ { l } - f _ { s , r _ { 2 } } ^ { m } } \right\rVert } _ { \mathcal { H } ^ { \otimes 2 r } } d { \left\lVert { f _ { r _ { 1 } } ^ { l } \hat { \otimes } _ { ( n - w ) } f _ { r _ { 2 } } ^ { l } } \right\rVert } _ { \mathcal { H } ^ { \otimes 2 w } } } \\ & { + \sum _ { w = 0 } ^ { i \wedge k } \int _ { s } ^ { t } \int _ { s } ^ { t } { \left\lVert { f _ { s , r _ { 1 } } ^ { m } \hat { \otimes } _ { ( n - w ) } f _ { s , r _ { 2 } } ^ { m } } \right\rVert } _ { \mathcal { H } ^ { \otimes 2 r } } d { \left\lVert { f _ { r _ { 1 } } ^ { m } - f _ { r _ { 1 } } ^ { l } \hat { \otimes } _ { ( n - w ) } f _ { r _ { 2 } } ^ { m } - f _ { r _ { 2 } } ^ { l } } \right\rVert } _ { \mathcal { H } ^ { \otimes 2 w } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left[ \langle N | \hat { V } _ { 1 } \hat { R } \hat { V } _ { 3 } | N \rangle \right] } & { = } & { \sum _ { i , j } ^ { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } \frac { \tilde { F } _ { i } \tilde { F } _ { i j j } } { \omega _ { i } } f _ { i } ( f _ { j } + 1 / 2 ) } \\ & { } & { + \sum _ { i , j } ^ { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } \frac { \tilde { F } _ { i } \tilde { F } _ { i j j } } { - \omega _ { i } } ( f _ { i } + 1 ) ( f _ { j } + 1 / 2 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { e ( u ) } & { = } & { \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \frac { e _ { j } } { u ^ { j + 1 } } , } \\ { f ( u ) } & { = } & { \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \frac { f _ { j } } { u ^ { j + 1 } } , } \\ { \psi ( u ) } & { = } & { 1 + \sigma _ { 3 } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \frac { \psi _ { j } } { u ^ { j + 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mu _ { G } = - { P _ { s } } \left| ( \beta _ { k _ { 1 } } x _ { \Re } - \beta _ { \hat { k } _ { 1 } } \hat { x } _ { \Re } ) + j ( \beta _ { { k } _ { 2 } } { x } _ { \Im } - \beta _ { \hat { k } _ { 2 } } \hat { x } _ { \Im } ) \right| ^ { 2 } , } \\ & { \sigma _ { G } ^ { 2 } \! = \! - 2 N _ { 0 } { P _ { s } } \left| ( \beta _ { k _ { 1 } } x _ { \Re } \! - \! \beta _ { \hat { k } _ { 1 } } \hat { x } _ { \Re } ) \! + \! j ( \beta _ { { k } _ { 2 } } { x } _ { \Im } \! - \! \beta _ { \hat { k } _ { 2 } } \hat { x } _ { \Im } ) \right| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Phi _ { 0 } ( [ x , y ] _ { \mathfrak { g } } ) ^ { ( 0 ) } ( f ) - [ \Phi _ { 0 } ( x ) , \Phi _ { 0 } ( y ) ] ^ { ( 0 ) } ( f ) = [ Q , \Phi _ { 1 } ( x , y ) ] ^ { ( 0 ) } ( f ) } \\ & { } \\ { \Longrightarrow \; } & { \Phi _ { 0 } ( [ x , y ] _ { \mathfrak { g } } ) ( f ) - \left[ \Phi _ { 0 } ( x ) ^ { ( 0 ) } , \Phi _ { 0 } ( y ) ^ { ( 0 ) } \right] ( f ) = \left[ Q ^ { ( 1 ) } , \Phi _ { 1 } ( x , y ) ^ { ( - 1 ) } \right] ( f ) } \\ & { } \\ { \Longrightarrow } & { \; \varrho ( [ x , y ] _ { \mathfrak { g } } ) [ f ] - [ \varrho ( x ) , \varrho ( y ) ] [ f ] = \left[ Q ^ { ( 1 ) } , \iota _ { \eta ( x , y ) } \right] ( f ) } \\ & { } \\ { \phantom { \Longrightarrow } } & { \; \phantom { \varrho ( [ x , y ] _ { \mathfrak { g } } ) [ f ] - [ \varrho ( x ) , \varrho ( y ) ] [ f ] } = \rho ( \eta ( x , y ) ) [ f ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { 4 } } & { = x _ { 1 } ^ { 6 } x _ { 2 } ^ { 3 } - x _ { 1 } ^ { 6 } x _ { 3 } ^ { 3 } - x _ { 1 } ^ { 3 } x _ { 2 } ^ { 6 } + x _ { 1 } ^ { 3 } x _ { 3 } ^ { 6 } + x _ { 2 } ^ { 6 } x _ { 3 } ^ { 3 } - x _ { 2 } ^ { 3 } x _ { 3 } ^ { 6 } , } \\ { u _ { 5 } } & { = x _ { 1 } ^ { 1 2 } + 1 5 x _ { 1 } ^ { 1 0 } x _ { 2 } x _ { 3 } - \frac { 1 9 } { 2 } x _ { 1 } ^ { 9 } x _ { 2 } ^ { 3 } - \frac { 1 9 } { 2 } x _ { 1 } ^ { 9 } x _ { 3 } ^ { 3 } - 2 7 x _ { 1 } ^ { 8 } x _ { 2 } ^ { 2 } x _ { 3 } ^ { 2 } + 1 2 6 x _ { 1 } ^ { 7 } x _ { 2 } ^ { 4 } x _ { 3 } + 1 2 6 x _ { 1 } ^ { 7 } x _ { 2 } x _ { 3 } ^ { 4 } - 2 1 x _ { 1 } ^ { 6 } x _ { 2 } ^ { 6 } } \\ & { - 4 2 x _ { 1 } ^ { 6 } x _ { 2 } ^ { 3 } x _ { 3 } ^ { 3 } - 2 1 x _ { 1 } ^ { 6 } x _ { 3 } ^ { 6 } + 1 8 9 x _ { 1 } ^ { 5 } x _ { 2 } ^ { 5 } x _ { 3 } ^ { 2 } + 1 8 9 x _ { 1 } ^ { 5 } x _ { 2 } ^ { 2 } x _ { 3 } ^ { 5 } + 1 2 6 x _ { 1 } ^ { 4 } x _ { 2 } ^ { 7 } x _ { 3 } - 3 1 5 x _ { 1 } ^ { 4 } x _ { 2 } ^ { 4 } x _ { 3 } ^ { 4 } + 1 2 6 x _ { 1 } ^ { 4 } x _ { 2 } x _ { 3 } ^ { 7 } - \frac { 1 9 } { 2 } x _ { 1 } ^ { 3 } x _ { 2 } ^ { 9 } } \\ & { - 4 2 x _ { 1 } ^ { 3 } x _ { 2 } ^ { 6 } x _ { 3 } ^ { 3 } - 4 2 x _ { 1 } ^ { 3 } x _ { 2 } ^ { 3 } x _ { 3 } ^ { 6 } - \frac { 1 9 } { 2 } x _ { 1 } ^ { 3 } x _ { 3 } ^ { 9 } - 2 7 x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 2 } ^ { 8 } x _ { 3 } ^ { 2 } + 1 8 9 x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 2 } ^ { 5 } x _ { 3 } ^ { 5 } - 2 7 x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 2 } ^ { 2 } x _ { 3 } ^ { 8 } + 1 5 x _ { 1 } x _ { 2 } ^ { 1 0 } x _ { 3 } + 1 2 6 x _ { 1 } x _ { 2 } ^ { 7 } x _ { 3 } ^ { 4 } } \\ & { + 1 2 6 x _ { 1 } x _ { 2 } ^ { 4 } x _ { 3 } ^ { 7 } + 1 5 x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 3 } ^ { 1 0 } + x _ { 2 } ^ { 1 2 } - \frac { 1 9 } { 2 } x _ { 2 } ^ { 9 } x _ { 3 } ^ { 3 } - 2 1 x _ { 2 } ^ { 6 } x _ { 3 } ^ { 6 } - \frac { 1 9 } { 2 } x _ { 2 } ^ { 3 } x _ { 3 } ^ { 9 } + x _ { 3 } ^ { 1 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { a ( \textbf { u } , \textbf { v } ; Y ( \omega ) ) = a _ { 0 } ( \textbf { u } , \textbf { v } ) + \sum _ { k = 1 } ^ { K } a _ { k } ( \textbf { u } , \textbf { v } ) Y _ { k } ( \omega ) , } \\ & { b ( \textbf { v } , q ; Y ( \omega ) ) = b _ { 0 } ( \textbf { v } , q ) + \sum _ { k = 1 } ^ { K } b _ { k } ( \textbf { v } , q ) Y _ { k } ( \omega ) , } \\ & { F ( \textbf { v } ; Y ( \omega ) ) = F _ { 0 } ( \textbf { v } ) + \sum _ { k = 1 } ^ { K } F _ { k } ( \textbf { v } ) Y _ { k } ( \omega ) , } \\ & { G ( q ; Y ( \omega ) ) = G _ { 0 } ( q ) + \sum _ { k = 1 } ^ { K } G _ { k } ( q ) Y _ { k } ( \omega ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { P } ( \mathcal { G } ^ { c } ) } & { \leq } & { \frac { 6 { \binom { | \mathcal { A } | } { 3 } } ( k - 1 ) ^ { 2 } } { ( k ^ { 3 } - 1 ) ( k ^ { 3 } - 2 ) } = \frac { | \mathcal { A } | ( | \mathcal { A } | - 1 ) ( | \mathcal { A } | - 2 ) ( k - 1 ) ^ { 2 } } { ( k ^ { 3 } - 1 ) ( k ^ { 3 } - 2 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { + } ( d ) } & { = \int _ { \overline { { \mathcal { B } _ { \infty } ^ { d - 1 } } } ( 0 , \eta _ { t } L ) \cap A _ { d - 1 } } \prod _ { i = 1 } ^ { d - 1 } \operatorname* { s u p } _ { x _ { i } : | x _ { i } | \leq \eta _ { t } L } f ( w _ { i } - x _ { i } ) \int _ { 0 } ^ { \infty } \operatorname* { s u p } _ { x _ { d } : | x _ { d } | \leq \eta _ { t } L } f ( w _ { d } - x _ { d } ) \mathrm { d } w _ { d } \mathrm { d } w ^ { d - 1 } } \\ & { ~ + \int _ { { \mathcal { B } _ { \infty } ^ { d - 1 } } ( 0 , \eta _ { t } L ) \cap A _ { d - 1 } } \prod _ { i = 1 } ^ { d - 1 } \operatorname* { s u p } _ { x _ { i } : | x _ { i } | \leq \eta _ { t } L } f ( w _ { i } - x _ { i } ) \int _ { \eta _ { t } L } ^ { \infty } \operatorname* { s u p } _ { x _ { d } : | x _ { d } | \leq \eta _ { t } L } f ( w _ { d } - x _ { d } ) \mathrm { d } w _ { d } \mathrm { d } w ^ { d - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r } { A ( t ) \geq A ( 0 ) \textup { e } ^ { \frac { 1 } { 3 } t - \int _ { 0 } ^ { t } \epsilon ( s ) \textup { d } s } - 6 \tilde { C } \textup { e } ^ { \frac { 1 } { 3 } t - \int _ { 0 } ^ { t } \epsilon ( s ) \textup { d } s } + 6 \tilde { C } \textup { e } ^ { \frac { 1 } { 6 } t - \int _ { 0 } ^ { t } \epsilon ( s ) \textup { d } s } \geq A ( 0 ) \textup { e } ^ { \frac { 1 } { 3 } t - \int _ { 0 } ^ { t } \epsilon ( s ) \textup { d } s } - 6 \tilde { C } \textup { e } ^ { \frac { 1 } { 3 } t - \int _ { 0 } ^ { t } \epsilon ( s ) \textup { d } s } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \frac { d a } { d t } = } & { \left( \omega _ { 0 } - i \left( \tilde { \gamma } + \Gamma _ { 1 } \right) \right) a [ t ] - \sqrt { 2 \Gamma _ { 1 } } E _ { i n } [ t ] , } \\ { E _ { T h } [ t ] = } & { E _ { i n } [ t ] + i \sqrt { 2 \Gamma _ { 1 } } a [ t ] , } \\ { E _ { D r } [ t ] = } & { e ^ { i \pi m } i \sqrt { 2 \Gamma _ { 2 } } a [ t ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \zeta _ { t } } & { = 1 - \alpha \rho - \alpha + \frac { 2 \alpha \mu } { \operatorname { d i s t } ( x _ { t } , S ) + E ^ { - } } \geq 1 - \alpha \rho - \alpha + \frac { 2 \alpha \mu } { \operatorname { d i s t } ( x _ { t _ { 0 } } , S ) + E ^ { - } } = \zeta _ { t _ { 0 } } } \\ & { \quad > 1 - \alpha \rho - \alpha + \frac { 2 \alpha \mu } { E ^ { + } + E ^ { - } } = 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { z : \| z \| _ { 2 } = 1 } \| V _ { * } \Sigma _ { * } U _ { * } ^ { \top } U _ { t } z \| _ { 2 } ^ { 2 } = } & { ~ \operatorname* { m i n } _ { z : \| z \| _ { 2 } = 1 } \| \Sigma _ { * } U _ { * } ^ { \top } U _ { t } z \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { = } & { ~ \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ^ { 2 } ( \Sigma _ { * } U _ { * } ^ { \top } U _ { t } z ) } \\ { \geq } & { ~ \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ^ { 2 } ( \Sigma _ { * } ) \cdot \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ^ { 2 } ( U _ { * } ^ { \top } U _ { t } ) } \\ { = } & { ~ ( \sigma _ { k } ^ { * } ) ^ { 2 } \cdot \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ^ { 2 } ( U _ { * } ^ { \top } U _ { t } ) } \\ { \geq } & { ~ ( \sigma _ { k } ^ { * } ) ^ { 2 } \cdot ( 1 - \| U _ { * , \bot } ^ { \top } U _ { t } \| ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( \begin{array} { c } { | \mathrm { P o r t \ 3 } \rangle } \\ { | \mathrm { P o r t \ 4 } \rangle } \end{array} \right) } & { = } & { \left( \begin{array} { c c } { \sqrt { 1 - \alpha } } & { - \sqrt { \alpha } } \\ { \sqrt { \alpha } } & { \sqrt { 1 - \alpha } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { | \mathrm { P o r t \ 1 } \rangle } \\ { | \mathrm { P o r t \ 2 } \rangle } \end{array} \right) , } \end{array}
\tilde { w } _ { \mathrm { m i n } } = - \frac { \tilde { F } } { 2 } \times \left\{ \begin{array} { l l } { \sqrt { \frac { 1 } { 2 } + \tilde { a } ( 1 + \tilde { a } ) } e ^ { \arctan ( 1 + 2 \tilde { a } ) - \pi } } & { \mathrm { C a s e ~ A } } \\ { \frac { \tilde { L } ^ { 2 } - 2 \tilde { a } ^ { 2 } + \tilde { L } \tilde { a } } { ( \tilde { L } - \tilde { a } ) ^ { 3 } } } & { \mathrm { C a s e ~ C . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \mathfrak { X } ( x , k ) : = \overline { { \left( \begin{array} { l l l } { \tilde { X } _ { 3 1 } ^ { A } } & { \tilde { X } _ { 3 2 } ^ { A } } & { \tilde { X } _ { 3 3 } ^ { A } } \\ { ( \tilde { X } _ { 3 1 } ^ { A } ) ^ { \prime } } & { ( \tilde { X } _ { 3 2 } ^ { A } ) ^ { \prime } } & { ( \tilde { X } _ { 3 3 } ^ { A } ) ^ { \prime } } \\ { ( \tilde { X } _ { 3 1 } ^ { A } ) ^ { \prime \prime } } & { ( \tilde { X } _ { 3 2 } ^ { A } ) ^ { \prime \prime } } & { \tilde { X } _ { 3 3 } ^ { A } ) ^ { \prime \prime } } \end{array} \right) ( x , \bar { k } ) } } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { \overline { { \tilde { L } ( x , \bar { k } ) } } _ { 3 2 } } \end{array} \right) \overline { { \tilde { X } ^ { A } ( x , \bar { k } ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D ( \mathbf { d } _ { l } ^ { \ast } ) } & { = \left\{ y \in L ^ { 2 } ( [ a , b ] , \mathbb { R } ) \mid y _ { | ( a , l ) } \in H ^ { 1 } ( ( a , l ) , \mathbb { R } ) , \, y _ { | ( l , b ) } \in H ^ { 1 } ( ( l , b ) , \mathbb { R } ) \right\} , } \\ { \mathbf { d } _ { l } ^ { \ast } y } & { = \left( - \mathbf { d } _ { l } - \left[ \frac { d } { d z } c _ { l } ^ { - } + \frac { d } { d z } c _ { l } ^ { + } \right] \right) y , \quad y \in D ( \mathbf { d } _ { l } ^ { \ast } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ^ { B S } \widehat { \nabla } _ { ^ { H } \! X } ^ { H } \! Y } & { = } & { ^ { B S } \nabla _ { ^ { H } \! X } ^ { H } \! Y - ^ { B S } \! g ( ^ { B S } \nabla _ { ^ { H } \! X } ^ { H } \! Y , \mathcal { N } ) \mathcal { N } } \\ & { = } & { ^ { H } \! ( \nabla _ { X } Y ) + \frac { 1 } { 2 } ^ { V } \! ( p R ( X , Y ) ) - ^ { B S } \! g ( \frac { 1 } { 2 } ^ { V } \! ( p R ( X , Y ) ) , \mathcal { N } ) \mathcal { N } } \\ & { = } & { ^ { H } \! ( \nabla _ { X } Y ) + \frac { 1 } { 2 } ^ { T } \! ( p R ( X , Y ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \mathbb { 1 } _ { \mathbb { R } ^ { m } \setminus \Omega _ { 0 } } ( \partial ^ { \alpha } \mathbb { L } ^ { - 1 } ) ^ { * } v \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { m } \setminus { \Omega _ { 0 } } } \left( \int _ { \Omega _ { 0 } } f _ { \alpha } ( y - x ) v _ { \alpha } ( x ) ^ { * } u ( x ) d x \right) ^ { 2 } d y } \\ & { \leq C _ { \alpha } ^ { 2 } \int _ { \mathbb { R } ^ { m } \setminus { \Omega _ { 0 } } } \left( \int _ { \Omega _ { 0 } } e ^ { - a | y - x | _ { 1 } } | v _ { \alpha } ( x ) u ( x ) | d x \right) ^ { 2 } d y , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Big \Vert \mathrm { K } _ { G } ^ { \mathrm { f r e e } } [ H ] \Big \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { 1 } ( \mathbb T ^ { d } ) ) } + \Big \Vert \mathrm { K } _ { G } ^ { \mathrm { f r i c } } [ H ] \Big \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { 1 } ( \mathbb T ^ { d } ) ) } \leq C ( 1 + T ) \underset { 0 \leq s , t \leq T } { \operatorname* { s u p } } \Vert \partial _ { s } G ( t , s ) \Vert _ { \mathcal { H } _ { \sigma } ^ { p } } \Vert H \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { L } ^ { 2 } ( \mathbb T ^ { d } ) ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \mathbf { \widetilde { S } } ( t _ { 0 } + \tau ) \mathbf { \widetilde { S } } ( t _ { 0 } ) ^ { \mathrm { T } } \rangle } & { = \left( \vphantom { \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } + \tau } } \mathbf { 1 } + \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } + \tau } \! \! \! \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \langle \mathbf { \widetilde { A } } ( t ) \mathbf { \widetilde { A } } ( t ^ { \prime } ) \rangle d t ^ { \prime } d t \right. } \\ & { \left. + \mathrm { ( h . o . t . ) } \vphantom { \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } + \tau } } \right) \langle \mathbf { \widetilde { S } } ( t _ { 0 } ) \mathbf { \widetilde { S } } ( t _ { 0 } ) ^ { \mathrm { T } } \rangle } \end{array}
\kappa _ { i } \geq \sum _ { k \in J _ { i } } \operatorname* { m i n } _ { p \in \{ 1 , \dots , i \} } \| \frac { g _ { i , k } ^ { 1 } } { l } \| _ { 2 } \cdots \| \frac { g _ { i , k } ^ { p - 1 } } { l } \| _ { 2 } \| \frac { g _ { i , k } ^ { p } } { l } \| _ { \infty } \| \frac { g _ { i , k } ^ { p + 1 } } { l } \| _ { 2 } \cdots \| \frac { g _ { i , k } ^ { i } } { l } \| _ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \dot { H } } & { = - \sum _ { i = 1 } ^ { N - 1 } \frac { \partial } { \partial t } g ( n , \nabla _ { \tau _ { i } } \tau _ { i } ) } \\ & { = - \sum _ { i = 1 } ^ { N - 1 } \left[ \frac { 1 } { 2 } \sigma ( n , n ) g ( n , \nabla _ { \tau _ { i } } \tau _ { i } ) + g \left( n , \frac { \partial } { \partial t } \nabla _ { \tau _ { i } } \tau _ { i } \right) \right] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } H \sigma ( n , n ) - \sum _ { i = 1 } ^ { N - 1 } g \left( n , \frac { \partial } { \partial t } \nabla _ { \tau _ { i } } \tau _ { i } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \Omega _ { 1 } \partial _ { i } u ( s ) \| _ { H ^ { \widetilde { \gamma } _ { p q } - 1 } ( \mathcal { M } ) } \leq \| u ( s ) \| _ { H ^ { \widetilde { \gamma } _ { p q } } ( \mathcal { M } ) } , \quad \| \Omega _ { 2 } u ( s ) \| _ { H ^ { \widetilde { \gamma } _ { p q } - 1 } ( \mathcal { M } ) } \leq \| u ( s ) \| _ { H ^ { \widetilde { \gamma } _ { p q } } ( \mathcal { M } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \sqrt { f } } \frac { \partial f } { \partial x } - \left[ \frac { \partial f } { \partial \dot { x } } \, \left( - \frac { 1 } { 2 \, f ^ { 3 / 2 } } \left[ \dot { x } \, \frac { \partial f } { \partial x } + \ddot { x } \, \frac { \partial f } { \partial \dot { x } } \right] \right) + \frac { 1 } { \sqrt { f } } \, \left( \dot { x } \, \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x \, \partial \dot { x } } + \ddot { x } \, \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial \dot { x } ^ { 2 } } \right) \right] } & { = 0 } \\ { \frac { 1 } { \sqrt { f } } \frac { \partial f } { \partial x } + \frac { \partial f } { \partial \dot { x } } \, \frac { 1 } { 2 \, f ^ { 3 / 2 } } \left[ \dot { x } \, \frac { \partial f } { \partial x } + \ddot { x } \, \frac { \partial f } { \partial \dot { x } } \right] - \frac { 1 } { \sqrt { f } } \, \left( \dot { x } \, \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x \, \partial \dot { x } } + \ddot { x } \, \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial \dot { x } ^ { 2 } } \right) } & { = 0 } \\ { \frac { \partial f } { \partial x } + \frac { 1 } { 2 f } \, \frac { \partial f } { \partial \dot { x } } \left[ \dot { x } \, \frac { \partial f } { \partial x } + \ddot { x } \, \frac { \partial f } { \partial \dot { x } } \right] - \left( \dot { x } \, \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x \, \partial \dot { x } } + \ddot { x } \, \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial \dot { x } ^ { 2 } } \right) } & { = 0 . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \bigg \langle } \psi _ { n l } { \bigg | } { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } { \bigg | } \psi _ { n l } { \bigg \rangle } } & { = { \frac { 2 \mu } { \hbar ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { 2 l + 1 } } { \bigg \langle } \psi _ { n l } { \bigg | } { \frac { \partial { \hat { H } } _ { l } } { \partial l } } { \bigg | } \psi _ { n l } { \bigg \rangle } } \\ & { = { \frac { 2 \mu } { \hbar ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { 2 l + 1 } } { \frac { \partial E _ { n } } { \partial l } } } \\ & { = { \frac { 2 \mu } { \hbar ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { 2 l + 1 } } { \frac { \partial E _ { n } } { \partial n } } { \frac { \partial n } { \partial l } } } \\ & { = { \frac { 2 \mu } { \hbar ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { 2 l + 1 } } { \frac { Z ^ { 2 } \mu e ^ { 4 } } { \hbar ^ { 2 } n ^ { 3 } } } } \\ & { = { \frac { Z ^ { 2 } \mu ^ { 2 } e ^ { 4 } } { \hbar ^ { 4 } n ^ { 3 } ( l + 1 / 2 ) } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \langle \mathbf { g } _ { t } , { \mathbf x } _ { t } - \mathbf { u } _ { t } \rangle } & { \leq \frac { 1 } { 2 \eta } \| { \mathbf x } _ { t } - \mathbf { u } _ { t } \| ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 \eta } \| { \mathbf x } _ { t + 1 } - \mathbf { u } _ { t } \| ^ { 2 } + \frac { \eta } { 2 } \| \mathbf { g } _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \eta } \| { \mathbf x } _ { t } - \mathbf { u } _ { t } \| ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 \eta } \| { \mathbf x } _ { t + 1 } - \mathbf { u } _ { t + 1 } \| ^ { 2 } + \frac { \eta } { 2 } \| \mathbf { g } _ { t } \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 \eta } \| \mathbf { u } _ { t + 1 } - \mathbf { u } _ { t } \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { \eta } \langle { \mathbf x } _ { t + 1 } - \mathbf { u } _ { t + 1 } , \mathbf { u } _ { t + 1 } - \mathbf { u } _ { t } \rangle } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 \eta } \| { \mathbf x } _ { t } - \mathbf { u } _ { t } \| ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 \eta } \| { \mathbf x } _ { t + 1 } - \mathbf { u } _ { t + 1 } \| ^ { 2 } + \frac { \eta } { 2 } \| \mathbf { g } _ { t } \| ^ { 2 } + \frac { 3 D } { \eta } \| \mathbf { u } _ { t + 1 } - \mathbf { u } _ { t } \| ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha \, h _ { \alpha , \theta } ( x \vert \lambda ) } & { = x \int _ { 0 } ^ { \infty } f _ { \alpha , \theta } ( x \vert t ) \, t ^ { - 1 } e ^ { - \lambda t } \, d t } \\ & { = \frac { \Gamma ( \theta + 1 ) } { \Gamma ( \theta / \alpha + 1 ) } \, x ^ { 1 - \theta } \int _ { 0 } ^ { \infty } f _ { \alpha } ( x \vert t ) \, t ^ { \theta / \alpha - 1 } \, e ^ { - \lambda t } \, d t } \\ { u = x ^ { - \alpha } t : \quad h _ { \alpha , \theta } ( x \vert \lambda ) } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \lambda x ^ { \alpha } u } \, d P _ { \alpha , \theta } ( u ) } \\ { \mathrm { w h e r e } \quad P _ { \alpha , \theta } ( t ) } & { = \frac { \Gamma ( \theta + 1 ) } { \Gamma ( \theta / \alpha + 1 ) } \, \frac { 1 } { \alpha } \int _ { 0 } ^ { t } f _ { \alpha } ( u ^ { - 1 / \alpha } ) \, u ^ { ( \theta - 1 ) / \alpha - 1 } \, d u } \\ { \mathrm { o r } \quad d P _ { \alpha , \theta } ( t ) } & { = \frac { \Gamma ( \theta + 1 ) } { \Gamma ( \theta / \alpha + 1 ) } \, t ^ { \theta / \alpha } \, d P _ { \alpha } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { L } } & { = \sum _ { k _ { 1 } } A _ { k _ { 1 } } ^ { \dagger } \left[ \begin{array} { c c } { L _ { A } } & { 0 } \\ { 0 } & { - \mathbb { I } } \end{array} \right] A _ { k _ { 1 } } ; } \\ { U _ { R } } & { = \sum _ { k _ { 1 } } A _ { k _ { 1 } } ^ { \dagger } \left[ \begin{array} { c c } { - \mathbb { I } } & { 0 } \\ { 0 } & { R _ { B } } \end{array} \right] A _ { k _ { 1 } } ; } \\ { U _ { T } } & { = \sum _ { k _ { 2 } } B _ { k _ { 2 } } ^ { \dagger } \left[ \begin{array} { c c } { - \mathbb { I } } & { 0 } \\ { 0 } & { T _ { B } } \end{array} \right] B _ { k _ { 2 } } ; } \\ { U _ { B } } & { = \sum _ { k _ { 2 } } B _ { k _ { 2 } } ^ { \dagger } \left[ \begin{array} { c c } { D _ { A } } & { 0 } \\ { 0 } & { - \mathbb { I } } \end{array} \right] B _ { k _ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \hat { Q } _ { \mathrm { W } j } } { \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm j _ { \operatorname* { m a x } } } \hat { Q } _ { \mathrm { W } j } + \frac { 3 } { e _ { 2 } ^ { 2 } } ( 1 - e _ { 2 } ) ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } } \le q _ { \mathrm { W } j } \le \frac { \hat { Q } _ { \mathrm { W } j } + \frac { 1 } { e _ { 2 } } ( 1 - e _ { 2 } ) ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } } { \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm j _ { \operatorname* { m a x } } } \hat { Q } _ { \mathrm { W } j } } . } \\ & { \frac { \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm j _ { \operatorname* { m a x } } } \hat { Q } _ { \mathrm { W } j } \mu _ { j , A } } { \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm j _ { \operatorname* { m a x } } } \hat { Q } _ { \mathrm { W } j } + \frac { 3 } { e _ { 2 } ^ { 2 } } ( 1 - e _ { 2 } ) ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } } \le \bar { p } _ { \mathrm { W } A } \le \frac { \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm j _ { \operatorname* { m a x } } } \hat { Q } _ { \mathrm { W } j } \mu _ { j , A } + \frac { 3 } { e _ { 2 } ^ { 2 } } ( 1 - e _ { 2 } ) ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } } { \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm j _ { \operatorname* { m a x } } } \hat { Q } _ { \mathrm { W } j } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { { { { \bf { \bar { x } } } } _ { c , k } } } ^ { o u t } } & { = \operatorname* { P r } ( \gamma _ { c , { { { \bf { \bar { x } } } } _ { c , k } } } ^ { { t _ { 2 } } } < { \varphi _ { { { { \bf { \bar { x } } } } _ { c , k } } } } ) } \\ & { = \operatorname* { P r } ( \Theta _ { s c } ^ { { t _ { 2 } } } > { \xi _ { 4 } } ) = 1 - \Phi ( { \xi _ { 4 } } , { \mu _ { 4 } } , { I _ { 4 } } , \bar { \psi } _ { s c } ^ { { t _ { 2 } } } ( t ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac 1 { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } | s | ^ { - k } S _ { s , i \lambda } ^ { n } ( b _ { 1 } , \ldots , b _ { n } ) e ^ { i \lambda } \, d \lambda } \\ & { = ( - 1 ) ^ { n } | s | ^ { 2 n - k } \cdot \frac 1 { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { 1 } { x | s | ^ { 2 } + i \lambda } b _ { 1 } \frac { 1 } { x | s | ^ { 2 } + i \lambda } \cdots b _ { n } \frac { 1 } { x | s | ^ { 2 } + i \lambda } e ^ { i \lambda } \, d \lambda . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { 0 \le N < q } e ^ { p S _ { N } ( r ) } } & { = \left( 1 + \sum _ { b _ { 0 } = 0 } ^ { a _ { 1 } - 1 } e ^ { - p b _ { 0 } \frac { 1 - b _ { 0 } / a _ { 1 } } { 2 } } \sum _ { b _ { 1 } = 0 } ^ { a _ { 2 } - 1 } e ^ { p b _ { 1 } \frac { 1 - b _ { 1 } / a _ { 2 } } { 2 } } \right) \exp ( O ( \operatorname* { m a x } \{ | p | , 1 \} ) ) \sum _ { 0 \le N < q ^ { \prime } } e ^ { p S _ { N } ( r ^ { \prime } ) } } \\ & { = \exp \left( \frac { | p | a _ { \varepsilon _ { p } } } { 8 } + \frac { 1 } { 2 } \log a _ { \varepsilon _ { p } } + O \left( \operatorname* { m a x } \left\{ | p | , \log \frac { 1 } { | p | } \right\} \right) \right) \sum _ { 0 \le N < q ^ { \prime } } e ^ { p S _ { N } ( r ^ { \prime } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \big \langle \mathtt { v } _ { \mu } \, \mathtt { e } ^ { k _ { a } } , \mathsf { D } \, \mathsf { \Pi } \big ( \delta _ { x _ { b } } ^ { A _ { \nu } } \big ) \big \rangle _ { \star } = { \mathrm { e } } ^ { \, { \mathrm { i } } \, k _ { a } \cdot x _ { b } } \, \tilde { \mathsf { D } } ( k _ { a } ) \, \tilde { \mathsf { \Pi } } _ { \mu \nu } ( k _ { a } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \dot { F } _ { t } * u _ { 0 } ) ( x ) } & { = \partial _ { t } ( F _ { t } * u _ { 0 } ) ( x ) = \partial _ { t } \Bigg ( t \int _ { S ( 0 , 1 ) } u _ { 0 } ( x - c | t | \gamma ) \frac { d \Omega } { 4 \pi } \Bigg ) } \\ & { = \int _ { S ( 0 , 1 ) } u _ { 0 } ( x - c | t | \gamma ) \frac { d \Omega } { 4 \pi } + t \int _ { S ( 0 , 1 ) } - c \gamma \cdot \nabla u _ { 0 } ( x - c | t | \gamma ) \frac { d \Omega } { 4 \pi } = : I _ { 1 } ( x ) + I _ { 2 } ( x ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { J } _ { N , p , q } ^ { \mathrm { A } } ( \varepsilon ) } & { = \operatorname* { i n f } _ { x \in \mathcal { X } , \tau \in \mathbb { R } } \left( \varepsilon \| x \| _ { \infty } \operatorname* { m a x } _ { k \in \{ 1 , 2 \} } | a _ { k } | + \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \operatorname* { m a x } _ { k \in \{ 1 , 2 \} } \left( a _ { k } \langle a , \widehat { \xi } _ { i } \rangle + b _ { k } \tau \right) \right) } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l l } { { \displaystyle \operatorname* { i n f } _ { x \in \mathcal { X } , \tau \in \mathbb { R } , \lambda \geq 0 , s \in \mathbb { R } ^ { N } } } } & { { \displaystyle \lambda \varepsilon + \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } s _ { i } } } & \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } } & { { \displaystyle a _ { k } \langle x , \widehat { \xi } _ { i } \rangle + b _ { k } \tau \leq s _ { i } , } } & { \forall i \in [ N ] , k \in \{ 1 , 2 \} , } \\ & { { \displaystyle \| x \| _ { \infty } \operatorname* { m a x } _ { k \in \{ 1 , 2 \} } | a _ { k } | \leq \lambda } } & \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( i v ) } & { \le - \frac { \eta _ { k + 1 } } { 2 \gamma _ { k } \lambda _ { k } } \mathbb { E } [ \| \tilde { e } _ { k } ^ { y } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] + O ( \sigma _ { f } ^ { 2 } ) \cdot \frac { \eta _ { k + 1 } ^ { 2 } } { \lambda _ { k } \gamma _ { k } } + O ( \sigma _ { g } ^ { 2 } ) \cdot \left( \frac { \eta _ { k + 1 } ^ { 2 } \lambda _ { k } } { \gamma _ { k } } + \frac { \delta _ { k } ^ { 2 } } { \gamma _ { k } \lambda _ { k } } \right) } \\ & { \quad + O ( l _ { g , 1 } ^ { 2 } ) \alpha _ { k } \cdot \left( \xi ^ { 2 } \| q _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } + \xi ^ { 2 } \| \tilde { e } _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } + \| q _ { k } ^ { y } \| ^ { 2 } \right) , } \\ { ( v ) } & { \le - \frac { \eta _ { k + 1 } } { 2 \gamma _ { k } } \mathbb { E } [ \| \tilde { e } _ { k } ^ { z } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] + O ( \sigma _ { g } ^ { 2 } ) \cdot \frac { \eta _ { k + 1 } ^ { 2 } } { \gamma _ { k } } + O ( l _ { g , 1 } ^ { 2 } ) \cdot \left( \frac { \xi ^ { 2 } \alpha _ { k } ^ { 2 } } { \gamma _ { k } } \| q _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } + \frac { \xi ^ { 2 } \alpha _ { k } ^ { 2 } } { \gamma _ { k } } \| \tilde { e } _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } + \gamma _ { k } \| q _ { k } ^ { z } \| ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P _ { N } \varphi ^ { [ n + 1 ] } = \textrm { e } ^ { i \tau \langle \nabla \rangle _ { \alpha } } P _ { N } \varphi ^ { [ n ] } + \varepsilon ^ { 2 } \tau / 2 \left( P _ { N } G \left( \varphi ^ { [ n + 1 ] } \right) + e ^ { i \tau \langle \nabla \rangle _ { \alpha } } P _ { N } G \left( \varphi ^ { [ n ] } \right) \right) , } \\ & { I _ { N } \varphi ^ { n + 1 } = \textrm { e } ^ { i \tau \langle \nabla \rangle _ { \alpha } } I _ { N } \varphi ^ { n } + \varepsilon ^ { 2 } \tau / 2 \left( I _ { N } G \left( I _ { N } \varphi ^ { n + 1 } \right) + e ^ { i \tau \langle \nabla \rangle _ { \alpha } } I _ { N } G \left( I _ { N } \varphi ^ { n } \right) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { C } _ { \alpha } ( X _ { n + 1 } , \mathcal { B } _ { l } ) = [ \hat { q } _ { m _ { \beta _ { \mathrm { l o w } } , l } ( X _ { n + 1 } ) } ( X _ { n + 1 } ) - \hat { Q } _ { 1 - \alpha } ( X _ { n + 1 } , \mathcal { B } _ { l } ) , \hat { q } _ { m _ { \beta _ { \mathrm { h i g h } } , l } ( X _ { n + 1 } ) } ( X _ { n + 1 } ) + \hat { Q } _ { 1 - \alpha } ( X _ { n + 1 } , \mathcal { B } _ { l } ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\lVert \theta _ { n } - \theta _ { 0 } \right\rVert _ { H _ { n } ( \theta _ { n } ) } ^ { 2 } \ge \left\lVert \theta _ { n } - \theta _ { 0 } \right\rVert _ { H ( \theta _ { \star } ) } ^ { 2 } / 4 \ge [ \left\lVert \theta _ { \star } - \theta _ { 0 } \right\rVert _ { H ( \theta _ { \star } ) } - \left\lVert \theta _ { n } - \theta _ { \star } \right\rVert _ { H ( \theta _ { \star } ) } ] ^ { 2 } / 4 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { s = 1 } ^ { t } w _ { s } \left( \| \nabla f ( x _ { s } ) \| ^ { 2 } - \| \widehat { \nabla } f ( x _ { s } ) \| ^ { 2 } + \| \xi _ { s } \| ^ { 2 } \right) - v _ { s } \| \nabla f ( x _ { s } ) \| ^ { 2 } } & { \leq \log \frac { 1 } { \delta } } \\ { \sum _ { s = 1 } ^ { t } \left( w _ { s } - 4 \sigma ^ { 2 } w _ { s } ^ { 2 } \right) \| \nabla f ( x _ { s } ) \| ^ { 2 } + w _ { s } \| \xi _ { s } \| ^ { 2 } } & { \leq \sum _ { s = 1 } ^ { t } w _ { s } \| \widehat { \nabla } f ( x _ { s } ) \| ^ { 2 } + \log \frac { 1 } { \delta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } _ { \omega } ( \mathbb { T } _ { k } - \overline { \mathbb { T } } _ { k } ) = } & { 2 \xi _ { k } \Pi _ { p _ { n } + 1 , k - 1 } W _ { p _ { n } } , } \\ { \mathrm { V a r } _ { \omega } ( \mathbb { T } _ { k } - \overline { \mathbb { T } } _ { k } ) = } & { \xi _ { k } \big ( \Pi _ { p _ { n } + 1 , k - 1 } \mathrm { V a r } _ { \omega } F _ { p _ { n } } + \mathrm { V a r } _ { \omega } Z ( S _ { p _ { n } } , S _ { k - 1 } ) ( \mathrm { E } F _ { p _ { n } } ) ^ { 2 } \big ) } \\ & { + 4 \xi _ { k } ( \xi _ { k } - 1 ) \Pi _ { p _ { n } + 1 , k - 1 } ^ { 2 } W _ { p _ { n } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { j = t l - k } ^ { t l } \left( \delta ( j ) - \frac { b } { t } \right) \binom { j - 1 } { r - 1 } } & { \ge \sum _ { j = t l - k + 1 } ^ { t l } \left( \delta ( j ) - \frac { b } { t } \right) \binom { t l - k } { r - 1 } + \left( \delta ( t l - k ) - \frac { b } { t } \right) \binom { t l - k - 1 } { r - 1 } } \\ & { = \left( \left\lceil \frac { k s } { t } \right\rceil - \frac { k s } { t } \right) \binom { t l - k } { r - 1 } + \left( \delta ( t l - k ) - \frac { b } { t } \right) \binom { t l - k - 1 } { r - 1 } } \\ & { \ge \left( \left\lceil \frac { k s } { t } \right\rceil - \frac { k s } { t } \right) \binom { t l - k - 1 } { r - 1 } + \left( \delta ( t l - k ) - \frac { b } { t } \right) \binom { t l - k - 1 } { r - 1 } } \\ & { = \sum _ { j = t l - k } ^ { t l } \left( \delta ( j ) - \frac { b } { t } \right) \binom { t l - k - 1 } { r - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \mathcal E _ { p } ^ { \Phi ^ { \prime } ( \Theta ) } ( { \textup { \bf f } _ { \kappa } ^ { \circ } } \otimes { \Phi ^ { \prime } ( \Theta ) _ { \lambda \otimes \mu } ^ { \circ } } , c ^ { \prime } ) } & { = \left( 1 - \frac { \alpha _ { \textup { \bf f } _ { \kappa } ^ { \circ } } \beta _ { \mathbf { g } _ { \lambda } ^ { \circ } } \beta _ { \textup { \bf h } _ { \lambda } ^ { \circ } } } { p ^ { c } } \right) ^ { 2 } \left( 1 - \frac { \beta _ { \textup { \bf f } _ { \kappa } ^ { \circ } } \beta _ { \mathbf { g } _ { \lambda } ^ { \circ } } \beta _ { \textup { \bf h } _ { \lambda } ^ { \circ } } } { p ^ { c } } \right) ^ { 2 } \, , } \\ { \mathcal E _ { p } ^ { \Phi ( \Theta ) } ( { \textup { \bf f } _ { \kappa } ^ { \circ } } \otimes { \Phi ( \Theta ) _ { \lambda \otimes \mu } ^ { \circ } } , c ) } & { = \left( 1 - \frac { \beta _ { \textup { \bf f } _ { \kappa } ^ { \circ } } \beta _ { \mathbf { g } _ { \lambda } ^ { \circ } } \alpha _ { \textup { \bf h } _ { \lambda } ^ { \circ } } } { p ^ { c } } \right) ^ { 2 } \left( 1 - \frac { \beta _ { \textup { \bf f } _ { \kappa } ^ { \circ } } \beta _ { \mathbf { g } _ { \lambda } ^ { \circ } } \beta _ { \textup { \bf h } _ { \lambda } ^ { \circ } } } { p ^ { c } } \right) ^ { 2 } \, , } \end{array} } \end{array}
\dotsb { \overset { \partial _ { n + 1 } } { \longrightarrow \, } } C _ { n } { \overset { \partial _ { n } } { \longrightarrow \, } } C _ { n - 1 } { \overset { \partial _ { n - 1 } } { \longrightarrow \, } } \dotsb { \overset { \partial _ { 2 } } { \longrightarrow \, } } C _ { 1 } { \overset { \partial _ { 1 } } { \longrightarrow \, } } C _ { 0 } { \overset { \epsilon } { \longrightarrow \, } } \mathbb { Z } \to 0
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \| \hat { q } _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { q } _ { t } \| ^ { 2 } } & { = \mathbb { E } \bigg \| ( 1 - c _ { u } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) \big ( q _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \bar { q } _ { t - 1 } \big ) + p _ { t , \mathcal { B } _ { x } } ^ { ( m ) } - \bar { p } _ { t , \mathcal { B } _ { x } } - ( 1 - c _ { u } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) \bigg ( p _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } ^ { ( m ) } - \bar { p } _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } \bigg ) \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \leq ( 1 + \frac { 1 } { I } ) ( 1 - c _ { u } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \mathbb { E } \| q _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \bar { q } _ { t - 1 } \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad + ( 1 + I ) \mathbb { E } \bigg \| p _ { t , \mathcal { B } _ { x } } ^ { ( m ) } - \bar { p } _ { t , \mathcal { B } _ { x } } - ( 1 - c _ { u } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) \bigg ( p _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } ^ { ( m ) } - \bar { p } _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } \bigg ) \bigg \| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( x , p , \partial _ { t } p , \partial _ { t } ^ { 2 } p ) } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { + \infty } \beta _ { j + 1 } ( x ) \partial _ { t } ^ { 2 } ( p ^ { j + 1 } ) } \\ & { = ( \sum _ { j = 1 } ^ { + \infty } ( j + 1 ) \beta _ { j + 1 } ( x ) p ^ { j } ) \partial _ { t } ^ { 2 } p + ( \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } ( j + 1 ) j \beta _ { j + 1 } ( x ) p ^ { j - 1 } ) \partial _ { t } p \partial _ { t } p } \\ & { \equiv F _ { 1 } ( x , p ) p \partial _ { t } ^ { 2 } p + F _ { 2 } ( x , p ) ( \partial _ { t } p ) ^ { 2 } . } \end{array}
A _ { i } = \mathrm { s g n } \left( x ^ { \mathcal { R } } \right) h _ { m , i } ^ { \mathcal { R } } , \ B _ { i } = \delta \, \mathrm { s g n } \left( x ^ { \mathcal { I } } \right) h _ { n , i } ^ { \mathcal { I } } , \ C _ { i } = \mathrm { s g n } \left( x ^ { \mathcal { R } } \right) \left( - h _ { m , i } ^ { \mathcal { I } } \right) , \ \mathrm { a n d } \ D _ { i } = \delta \, \mathrm { s g n } \left( x ^ { \mathcal { I } } \right) h _ { n , i } ^ { \mathcal { R } } .
\begin{array} { r l } { \| \nabla _ { y } f ( x _ { 2 } , y _ { \lambda _ { 1 } } ^ { * } ( x _ { 1 } ) ) + \lambda _ { 2 } \nabla _ { y } g ( x _ { 2 } , y _ { \lambda _ { 1 } } ^ { * } ( x _ { 1 } ) ) \| } & { \le l _ { f , 1 } \| x _ { 1 } - x _ { 2 } \| + l _ { g , 1 } \lambda _ { 2 } \| x _ { 2 } - x _ { 1 } \| + ( \lambda _ { 2 } - \lambda _ { 1 } ) \frac { l _ { f , 0 } } { \lambda _ { 1 } } . } \end{array}
\int _ { - T } ^ { 0 } e ^ { \lambda \int _ { t } ^ { 0 } \frac { \partial L } { \partial u } ( \gamma _ { \lambda } ( s ) , \dot { \gamma } _ { \lambda } ( s ) , 0 ) \, \mathrm { d } s } \, \mathrm { d } t \geq \int _ { - T } ^ { - T _ { 0 } } e ^ { \lambda \int _ { t } ^ { 0 } \frac { \partial L } { \partial u } ( \gamma _ { \lambda } ( s ) , \dot { \gamma } _ { \lambda } ( s ) , 0 ) \, \mathrm { d } s } \, \mathrm { d } t \geq \int _ { - T } ^ { - T _ { 0 } } e ^ { \lambda \epsilon ^ { \prime } t } \, \mathrm { d } t = \frac { e ^ { - \lambda \epsilon ^ { \prime } T _ { 0 } } - e ^ { - \lambda \epsilon ^ { \prime } T } } { \lambda \epsilon ^ { \prime } }
\begin{array} { r l } { A _ { k } ^ { \mathrm { b e s t } } } & { \geq \operatorname* { m a x } \left\{ C s k ( k + 1 ) \cdots ( k + p - 1 ) , C p ^ { p } s \left( 1 + C ^ { 1 / p } p \mu ^ { 1 / p } s ^ { 1 / p } \right) ^ { k - 1 } \right\} } \\ & { = \operatorname* { m a x } \left\{ O \left( k ^ { p } \right) , O \left( \left( 1 + C ^ { 1 / p } p \mu ^ { 1 / p } s ^ { 1 / p } \right) ^ { k } \right) \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ ( c _ { 1 } ^ { 2 } - \lambda _ { 1 } ^ { 2 } ) ^ { m } ) \right] } \\ { = } & { \sum _ { k _ { 1 } + k _ { 2 } + k = m } \frac { ( - 1 ) ^ { k } m ! } { ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) ! k ! } \frac { ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) ! } { k _ { 1 } ! k _ { 2 } ! } \frac { \Gamma ( \theta N ) \Gamma ( \theta N + k _ { 1 } + k _ { 2 } ) } { \Gamma ( \theta N + k _ { 1 } ) \Gamma ( \theta N + k _ { 2 } ) } a _ { 1 } ^ { 2 k _ { 1 } } b _ { 1 } ^ { 2 k _ { 2 } } ( a _ { 1 } ^ { 2 } + b _ { 1 } ^ { 2 } ) ^ { k } } \\ { = } & { \sum _ { k _ { 1 } + k _ { 2 } + k _ { 3 } + k _ { 4 } = m } ( - 1 ) ^ { k } \frac { m ! } { k _ { 1 } ! k _ { 2 } ! k _ { 3 } ! k _ { 4 } ! } \frac { \Gamma ( \theta N ) \Gamma ( \theta N + k _ { 1 } + k _ { 2 } ) } { \Gamma ( \theta N + k _ { 1 } ) \Gamma ( \theta N + k _ { 2 } ) } a _ { 1 } ^ { 2 k _ { 1 } + 2 k _ { 3 } } b _ { 1 } ^ { 2 k _ { 2 } + 2 k _ { 4 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { | E ( \gamma ) - \mathcal { E } ( \gamma ) | \leq \frac { 5 ( 6 + \pi ) } { ( 1 - \kappa ) ^ { 4 } \lambda _ { 0 } ^ { 9 / 2 } ( 1 - L ) ^ { 2 } } ( R + q ) \frac { \alpha ^ { 2 } } { c ^ { 4 } } \left( 3 2 \| g - \gamma \| _ { Y } + c \| [ W _ { g - \gamma } , \beta ] \| _ { \mathcal { B } ( \mathcal { H } ) } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
{ \begin{array} { r } { \tau _ { \mathrm { n } } ^ { 2 } + \left[ \sigma _ { \mathrm { n } } - { \frac { 1 } { 2 } } ( \sigma _ { 2 } + \sigma _ { 3 } ) \right] ^ { 2 } \geq \left( { \frac { 1 } { 2 } } ( \sigma _ { 2 } - \sigma _ { 3 } ) \right) ^ { 2 } } \\ { \tau _ { \mathrm { n } } ^ { 2 } + \left[ \sigma _ { \mathrm { n } } - { \frac { 1 } { 2 } } ( \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 3 } ) \right] ^ { 2 } \leq \left( { \frac { 1 } { 2 } } ( \sigma _ { 1 } - \sigma _ { 3 } ) \right) ^ { 2 } } \\ { \tau _ { \mathrm { n } } ^ { 2 } + \left[ \sigma _ { \mathrm { n } } - { \frac { 1 } { 2 } } ( \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } ) \right] ^ { 2 } \geq \left( { \frac { 1 } { 2 } } ( \sigma _ { 1 } - \sigma _ { 2 } ) \right) ^ { 2 } } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { S \left( \mathbf { P } \right) } & { = } & { \left( \begin{array} { c c } { \bar { s } _ { e e } } & { \exp \left[ - i \phi \left( \mathbf { P } \right) \right] \bar { s } _ { e g } } \\ { \exp \left[ i \phi \left( \mathbf { P } \right) \right] \bar { s } _ { g e } } & { \bar { s } _ { g g } } \end{array} \right) , } \\ { \bar { s } } & { = } & { \left( \begin{array} { c c } { \exp \left[ - \frac { i } { 2 } \nu \tau \left( \nu , \zeta , \beta , \ell \right) \right] s _ { e e } } & { \exp \left[ - \frac { i } { 2 } \nu \tau \left( \nu , \zeta , \beta , \ell \right) \right] s _ { e g } } \\ { \exp \left[ \frac { i } { 2 } \nu \tau \left( \nu , \zeta , \beta , \ell \right) \right] s _ { g e } } & { \exp \left[ \frac { i } { 2 } \nu \tau \left( \nu , \zeta , \beta , \ell \right) \right] s _ { g g } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \ \ \ \ | k _ { { \tilde { T } } , + } - k _ { B , 1 , + } | ( t , s , s ) \leq \int _ { 0 } ^ { t } \Big | \partial _ { s ^ { \prime } } k _ { B , 1 , + } ( t - t ^ { \prime } , s , s ^ { \prime } ) | _ { s ^ { \prime } = - 1 } k _ { T , + } ( t ^ { \prime } , s , - 1 ) \Big | d t ^ { \prime } } \\ & { \leq C ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { t } \frac { ( s + 1 ) e ^ { - ( s + 1 ) ^ { 2 } / ( t ^ { \prime } - t ) } } { ( t - t ^ { \prime } ) ^ { 3 / 2 } } \left| k _ { T , + } ( t ^ { \prime } , s , - 1 ) \right| d t ^ { \prime } = J _ { 1 } ( t , s ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { F } _ { 2 } [ a _ { \alpha } , u _ { \alpha } ] [ a _ { \lambda _ { 0 } } ] } \\ { \oplus } & { \mathbb { F } _ { 2 } [ u _ { \alpha } ] \langle \frac { a _ { \alpha } ^ { i + 1 } } { a _ { \lambda _ { 0 } } ^ { j } } \rangle } \\ { \oplus } & { \langle \Sigma ^ { - 1 } a _ { \alpha } ^ { - i } u _ { \alpha } ^ { - j } \rangle [ a _ { \lambda _ { 0 } } ^ { \pm } ] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( \theta ( \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } ) \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } - w _ { 2 \ } ^ { \ 1 2 } w _ { \ 2 } ^ { 2 \ } w _ { 1 \ } ^ { \ 2 } \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } - w _ { 2 \ } ^ { \ 1 2 } U _ { 2 } ) ( 0 + \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } ) = \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } U _ { 1 } } \\ & { \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } ( \theta ( \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } ) \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } - w _ { 2 \ } ^ { \ 1 2 } w _ { \ 2 } ^ { 2 \ } w _ { 1 \ } ^ { \ 2 } \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } - w _ { 2 \ } ^ { \ 1 2 } U _ { 2 } - U _ { 1 } ) = 0 } \\ & { \Rightarrow \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } = 0 \mathrm { ~ o r ~ } \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } ( 1 - w _ { 2 \ } ^ { \ 1 2 } w _ { \ 2 } ^ { 2 \ } w _ { 1 \ } ^ { \ 2 } ) = w _ { 2 \ } ^ { \ 1 2 } U _ { 2 } + U _ { 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { \varepsilon } } _ { k } } & { \; \leq \; \frac { k } { N } + 2 \frac { \sqrt { k + 1 } } { N } \left( \ln \frac { 1 } { \delta } + \ln ( k + 1 ) + 4 \right) } \\ { \underline { { \varepsilon } } _ { k } } & { \; \geq \; \frac { k } { N } - 2 \frac { \sqrt { k + 1 } } { N } \left( \ln \frac { 1 } { \delta } + \ln ( k + 1 ) + 4 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { + \biggl ( X ( s - ) \gamma ( s , \alpha ( s - ) ) + X ( ( s - \delta ) - ) \bar { \gamma } ( s - \delta , \alpha ( s - \delta ) - ) \biggr ) d \tilde { \Phi } ( s ) , } \\ { \mathrm { f o r } \ s \in } & { [ t , T + \delta ] , } \\ { X ( t ) = } & { \ 1 , } \\ { X ( s ) = } & { \ 0 , \qquad s \in [ t - \delta , t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { e , \frac { M } { V } } ^ { ( \mathcal { A } ) } } & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \theta _ { 0 } } \exp \Big [ - \frac { \rho ^ { \prime } b _ { 0 } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \psi _ { 0 } } { \sin ^ { 2 } ( \theta + \psi _ { 0 } ) } \Big ] \mathrm { d } \theta + } \\ & { \quad \frac { 1 } { \pi } \sum _ { k = 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { \pi - \psi _ { 1 } } \exp \Big [ - \frac { \rho ^ { \prime } b _ { 0 } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \psi _ { 1 } } { \sin ^ { 2 } \theta } \Big ] \mathrm { d } \theta , } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \mu \| P _ { m } w \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } & { = - \mu \Big ( \| w \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } - \| Q _ { m } w \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \Big ) } \\ & { = - \mu \| w \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \mu \| Q _ { m } w \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { \leq - \mu \| w \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { \mu } { \lambda _ { m + 1 } } \| Q _ { m } w \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } } \\ & { \leq - \mu \| w \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { \nu } { 6 } \| w \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { ( x - 1 | \alpha ) ^ { \underline { { n } } } } & { : = \prod _ { i = 0 } ^ { n - 1 } \left( x - 1 - i \alpha \right) } \\ & { = ( x - 1 ) ( x - 1 - \alpha ) \cdots { \bigl ( } x - 1 - ( n - 1 ) \alpha { \bigr ) } } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { n } \left[ { \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} } \right] ( - \alpha ) ^ { n - k } ( x - 1 ) ^ { k } } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { n } \left[ { \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} } \right] _ { \alpha } ( - 1 ) ^ { n - k } x ^ { k - 1 } \, . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \sum _ { t = 0 } ^ { T } \mathbb { E } ( h _ { t } ( x _ { t } ) - h _ { t } ( x _ { t } ^ { * } ) ) \le \frac { L \hat { U } _ { 0 } } { \left( 1 - \gamma \right) ^ { 2 } } + \frac { 2 L _ { g } \sqrt { \hat { U } _ { 0 } } } { 1 - \gamma } + \frac { L } { \left( 1 - \gamma \right) ^ { 2 } } \left( \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } u _ { t } \right) ^ { 2 } + \frac { 2 L _ { g } } { 1 - \gamma } \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } u _ { t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { \phi } } } & { \approx \overline { { \phi \left( \overline { { \boldsymbol x } } _ { p } \right) + { x _ { p } ^ { \prime } } _ { i } \left. \frac { \partial \phi } { \partial x _ { i } } \right| _ { \overline { { \boldsymbol x } } _ { p } } + \frac { 1 } { 2 } { { x _ { p } ^ { \prime } } _ { i } { x _ { p } ^ { \prime } } _ { j } } \left. \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial x _ { i } \partial x _ { j } } \right| _ { \overline { { \boldsymbol x } } _ { p } } } } = \phi \left( \overline { { \boldsymbol x } } _ { p } \right) + \frac { 1 } { 2 } \overline { { { x _ { p } ^ { \prime } } _ { i } { x _ { p } ^ { \prime } } _ { j } } } \left. \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial x _ { i } \partial x _ { j } } \right| _ { \overline { { \boldsymbol x } } _ { p } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { T ( \delta a ) } & { = \omega _ { \mathfrak { a } } ( ( { \mathscr D } + { \mathscr D } ^ { * } ) ( \delta a ) , ( \mathrm { a d } _ { \delta a } ^ { \mathfrak { a } } ) ^ { p - 2 } \circ { \mathscr D } ( \delta a ) ) + \lambda P ( \delta a ) } \\ & { = \delta ^ { p } \omega ( ( { \mathscr D } + { \mathscr D } ^ { * } ) ( a ) , ( \mathrm { a d } _ { a } ^ { \mathfrak { a } } ) ^ { p - 2 } \circ { \mathscr D } ( a ) ) + \lambda \delta ^ { p } P ( a ) } \\ & { = \delta ^ { p } T ( a ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \left[ \mathcal { H } ^ { c } \cup \bigcup _ { t _ { p - 1 } < t \leq t _ { p } } \left\{ \frac { | ( A _ { i _ { p } } \setminus A _ { i _ { p + 1 } } ) \cap \mathbb { X } _ { \leq t } | } { t } \geq \frac { \epsilon } { 4 } \right\} \right] } \\ & { \geq \mathbb { P } \left[ \mathcal { E } _ { p } \cap \mathcal { H } ^ { c } \cup \bigcup _ { t _ { p - 1 } < t \leq t _ { p } } \left\{ \frac { | A _ { i _ { p } } \cap \mathbb { X } _ { \leq t } | } { t } \geq \frac { \epsilon } { 4 } \right\} \right] \geq 1 - \frac { \epsilon } { 2 ^ { p + 2 } } . } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l } { \rho _ { x _ { 1 } } } \\ { \rho _ { x _ { 2 } } } \\ { \vdots } \\ { \rho _ { x _ { d } } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l l l } { a _ { 1 , x _ { 1 } } } & { a _ { 1 , x _ { 2 } } } & { \dots } & { a _ { 1 , x _ { d } } } \\ { a _ { 2 , x _ { 1 } } } & { a _ { 2 , x _ { 2 } } } & { \dots } & { a _ { 2 , x _ { d } } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { a _ { d , x _ { 1 } } } & { a _ { d , x _ { 2 } } } & { \dots } & { a _ { d , x _ { d } } } \end{array} \right) } ^ { - 1 } { \left( \begin{array} { l } { r _ { x _ { 1 } } } \\ { r _ { x _ { 2 } } } \\ { \vdots } \\ { r _ { x _ { d } } } \end{array} \right) }
\begin{array} { r } { P _ { \nu _ { 0 , \rho } } ^ { \omega } ( \Sigma _ { T } ^ { N } \geq A ) \leq P _ { \nu _ { 0 , \rho } } ^ { \omega } \left( \cup _ { j \in \mathcal J } \{ \Sigma _ { T } ^ { N , j } \geq 4 ^ { - \vert j \vert } A / 2 \} \right) \leq \sum _ { j \in \mathcal J } P _ { \nu _ { 0 , \rho } } ^ { \omega } \left( \Sigma _ { T } ^ { N , j } \geq 4 ^ { - \vert j \vert } A / 2 \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| e ^ { \mathsf { m } \varphi } \Delta e ^ { - \mathsf { m } \varphi } w \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } & { \geq C \delta \| ( \nabla w ) \varphi ^ { 1 / 2 } \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + C \mathsf { m } ^ { 3 } \lambda ^ { 4 } \| w \varphi ^ { 3 / 2 } \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + C \mathsf { m } ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } \| ( \nabla \varphi _ { 0 } \cdot \nabla w ) \varphi \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { \quad - C \mathsf { m } \lambda \| ( \nabla w ) \varphi ^ { 1 / 2 } \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } - C \Big ( \delta ^ { 2 } + \delta \mathsf { m } ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } \Big ) \| w \varphi ^ { 3 / 2 } \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { h } ) } ^ { 2 } - C \lambda \delta \| \varphi _ { 0 } \cdot \nabla w \| _ { L ^ { 2 } } \| w \varphi \| _ { L ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \sqrt { m } } { \sqrt { k } } \operatorname* { m a x } _ { i \in [ m ] } \| e _ { i } ^ { \top } U _ { 0 } \| _ { 2 } \leq } & { ~ \frac { \sqrt { m } } { \sqrt { k } } \operatorname* { m a x } _ { i \in [ m ] } \| e _ { i } ^ { \top } U _ { \tau } \Lambda \| _ { 2 } } \\ { \leq } & { ~ \frac { \sqrt { m } } { \sqrt { k } } \operatorname* { m a x } _ { i \in [ m ] } \| e _ { i } ^ { \top } U _ { \tau } \| _ { 2 } \| \Lambda \| } \\ { \leq } & { ~ \frac { 2 \sqrt { m } } { \sqrt { k } } \operatorname* { m a x } _ { i \in [ m ] } \| e _ { i } ^ { \top } U _ { \tau } \| _ { 2 } } \\ { \leq } & { ~ \frac { 2 \sqrt { m } } { \sqrt { k } } \cdot \tau } \\ { = } & { ~ \frac { 2 \sqrt { m } } { \sqrt { k } } \cdot 2 \mu \sqrt { k } / \sqrt { n } } \\ { \leq } & { ~ 4 \mu \sqrt { k } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( m ) } & { = \frac { N ^ { \frac { 3 } { 4 } } \sqrt { p } \sqrt { q } } { m ^ { 1 / 4 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } h ^ { * } ( y ) e \left( N x y \pm \frac { 4 \pi } { p q } \sqrt { N m y } \right) W _ { g } \left( \frac { 4 \pi \sqrt { N m y } } { p q } \right) d y } \\ & { : = \frac { N ^ { \frac { 3 } { 4 } } \sqrt { p q } } { m ^ { 1 / 4 } } I _ { 2 } ( q , m , x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \begin{array} { r l } & { \partial _ { \phi } f _ { 1 } ^ { ~ \hat { 1 } } + f _ { 2 } ^ { ~ \hat { 1 } } = 0 , \partial _ { \phi } f _ { 1 } ^ { ~ \hat { 2 } } + f _ { 2 } ^ { ~ \hat { 2 } } = 0 , \partial _ { \phi } f _ { 1 } ^ { ~ \hat { 3 } } + f _ { 2 } ^ { ~ \hat { 3 } } = 0 . } \\ & { \partial _ { \phi } f _ { 2 } ^ { ~ \hat { 1 } } - f _ { 1 } ^ { ~ \hat { 1 } } = 0 , \partial _ { \phi } f _ { 2 } ^ { ~ \hat { 2 } } - f _ { 1 } ^ { ~ \hat { 2 } } = 0 , \partial _ { \phi } f _ { 2 } ^ { ~ \hat { 3 } } - f _ { 1 } ^ { ~ \hat { 3 } } = 0 , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \Delta t } { \Delta x _ { i } } \left( \mathcal { F } _ { i - \frac 1 2 , j } - \mathcal { F } _ { i + \frac 1 2 , j } \right) + \frac { \Delta t } { \Delta y _ { j } } \left( \mathcal { G } _ { i , j - \frac 1 2 } - \mathcal { G } _ { i , j + \frac 1 2 } \right) } \\ { = } & { \sum _ { p _ { k } \in \mathcal { P } _ { \mathrm { D } } ^ { n } + \mathcal { P } _ { \mathrm { i n } } ^ { n + 1 } } \frac { w _ { k } } { \Delta x _ { i } \Delta y _ { j } } \chi _ { [ x _ { i } , x _ { i + 1 } ] \times [ y _ { j } , y _ { j + 1 } ] } ( \boldsymbol { x } _ { k } ( t _ { n + 1 } ) ) - \sum _ { p _ { k } \in \mathcal { P } _ { \mathrm { D } } ^ { n } } \frac { w _ { k } } { \Delta x _ { i } \Delta y _ { j } } \chi _ { [ x _ { i } , x _ { i + 1 } ] \times [ y _ { j } , y _ { j + 1 } ] } ( \boldsymbol { x } _ { k } ( t _ { n } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| u \| _ { C ^ { 0 , \alpha } ( B _ { d / 8 } ( x ) ) } } & { \le \frac { C ( N , p , \mu , \alpha ) } { d ^ { \alpha } } \left( \operatorname* { i n f } _ { B _ { d / 8 } ( x ) } u + d \cdot \| F \| _ { L ^ { N } ( B _ { d / 4 } ( x ) ) } ^ { \frac { 1 } { p - 1 } } \right) } \\ & { \le \frac { C ( N , p , \mu , \alpha ) } { d ^ { \alpha } } \left( u ( x ) + d \cdot \| F \| _ { L ^ { N } ( B _ { d / 4 } ( x ) ) } ^ { \frac { 1 } { p - 1 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \frac { d a } { d t } = } & { \left( \omega _ { 0 } - i \left( \tilde { \gamma } + \Gamma _ { 1 } \right) \right) a [ t ] - \sqrt { 2 \Gamma _ { 1 } } E _ { i n } [ t ] , } \\ { E _ { T h } [ t ] = } & { E _ { i n } [ t ] + i \sqrt { 2 \Gamma _ { 1 } } a [ t ] , } \\ { E _ { D r } [ t ] = } & { e ^ { i \pi m } i \sqrt { 2 \Gamma _ { 2 } } a [ t ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf { E } _ { k , ( 1 ) } = \mathbb { E } \{ ( \mathbf { x } _ { k } - \mathbf { \check { x } } _ { k } ) ( \mathbf { x } _ { k } - \mathbf { \check { x } } _ { k } ) ^ { H } | \{ \mathbf { \hat { H } } _ { k } \} , \{ \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } } \} \} } \\ & { = \mathbf { I } _ { N } - \mathbf { V } _ { k } ^ { H } \mathbf { \hat { H } } _ { k } \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } } - \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } } ^ { H } \mathbf { \hat { H } } _ { k } ^ { H } \mathbf { V } _ { k } + \mathbf { V } _ { k } ^ { H } \left( \sum _ { l = 1 } ^ { K } { \left( \mathbf { \hat { H } } _ { l } \mathbf { \bar { F } } _ { l , \mathrm { u } } \mathbf { \hat { H } } _ { l } ^ { H } + \mathbf { C } _ { l } ^ { \prime } \right) } + \sigma ^ { 2 } \mathbf { I } _ { M L } \right) \mathbf { V } _ { k } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { r n } ( T _ { w _ { k } } ) } & { = } & { ( n - 1 ) ( d + 1 ) - 2 L ( T _ { w _ { k } } ) + 1 } \\ & { = } & { \Bigg ( \displaystyle \sum _ { t = 1 } ^ { k } n _ { i } - k \Bigg ) ( d + 1 ) - 2 \Bigg ( \displaystyle \sum _ { t = 1 } ^ { k } L ( T _ { i } ) \Bigg ) + 1 } \\ & { = } & { \displaystyle \sum _ { t = 1 } ^ { k } ( n _ { i } - 1 ) ( d + 1 ) - 2 \Bigg ( \displaystyle \sum _ { t = 1 } ^ { k } L ( T _ { i } ) \Bigg ) + 1 } \\ & { = } & { \displaystyle \sum _ { t = 1 } ^ { k } ( n _ { i } - 1 ) ( d - d _ { i } + d _ { i } + 1 ) - 2 \Bigg ( \displaystyle \sum _ { t = 1 } ^ { k } L ( T _ { i } ) \Bigg ) + 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } { C R ^ { - 2 } \eta ^ { - 1 } \delta ^ { - 1 } } & { \geq - C \left( 1 + \frac { \delta } { | \nabla \tilde { u } _ { 0 } ( x _ { 0 } ) | } \right) \left( | \nabla \xi _ { G } | + R ^ { 4 - \frac { n + 1 - 2 \delta _ { 0 } } { n + 1 + 2 \delta _ { 0 } } } \omega \right) + C ( \delta ^ { 6 } + \delta ^ { 4 } ) } \\ & { \geq C \left[ \left( 1 + \frac { \delta } { 2 \delta } \right) \left( ( R \eta ) ^ { - 1 } + R ^ { 4 - \frac { n + 1 - 2 \delta _ { 0 } } { n + 1 + 2 \delta _ { 0 } } } \omega \right) + \delta ^ { 4 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ell ( \mu , \boldsymbol { \theta } , \boldsymbol { \sigma _ { u } ^ { 2 } } ) = } & { - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left[ \frac { ( y _ { i } - \mu - \theta _ { i } ) ^ { 2 } } { \sigma _ { y _ { i } } ^ { 2 } } + \frac { ( u _ { i } - \theta _ { i } ) ^ { 2 } } { \sigma _ { u _ { i } } ^ { 2 } } \right. } \\ & { \left. + \left( 1 + \frac { 1 } { 2 \varepsilon _ { i } ^ { 2 } } \right) \log { \sigma _ { u _ { i } } ^ { 2 } } + \frac { v _ { i } } { 2 \varepsilon _ { i } ^ { 2 } \sigma _ { u _ { i } } ^ { 2 } } \right] \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { { \frac { \partial R _ { 1 } ( z ) } { \partial Y } } = \sum _ { s = 1 } { \frac { \partial ^ { 2 } R _ { 1 } } { \partial z _ { s } ^ { 2 } } } + \sum _ { s = 1 } { \frac { \partial } { \partial z _ { s } } } \left( \gamma \, z _ { s } \, R _ { 1 } - 2 \; { \bf P } \int \mathrm { d } ^ { 2 } z ^ { \prime } R _ { 2 } ( z , z ^ { \prime } ) { \frac { z _ { s } - z _ { s } ^ { \prime } } { | z - z ^ { \prime } | ^ { 2 } } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb E _ { Z } \Big [ \sum _ { j \geq m } \mu _ { j } ^ { 2 } ( A _ { N } ) \Big ] \leq \mathbb E _ { Z } \Big [ \lambda _ { m } ( B _ { n } ) \sum _ { j \geq m } \mu _ { j } ( A _ { N } ) \Big ] \leq \frac { \kappa _ { 1 } } { m } \mathbb E _ { Z } \Big [ \sum _ { j \geq m } \lambda _ { j } ( B _ { n } ) \Big ] \lesssim \frac { \kappa _ { 1 } } { m } \lambda _ { m } \| \varphi _ { m } \| _ { \rho } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal U _ { \gamma , x } ( u ) ( y ) } & { = u ( \mathbf 1 _ { X \setminus \{ x \} } \cdot \gamma + \delta _ { y } ) - u ( \mathbf 1 _ { X \setminus \{ x \} } \cdot \gamma ) } \\ & { = u ( \mathbf 1 _ { X \setminus \{ x \} } \cdot \gamma _ { B _ { r } } + \gamma _ { B _ { r } ^ { c } } + \delta _ { y } ) - u ( \mathbf 1 _ { X \setminus \{ x \} } \cdot \gamma _ { B _ { r } } + \gamma _ { B _ { r } ^ { c } } ) } \\ & { = u _ { r , \gamma } ( \mathbf 1 _ { X \setminus \{ x \} } \cdot \gamma _ { B _ { r } } + \delta _ { y } ) - u _ { r , \gamma } ( \mathbf 1 _ { X \setminus \{ x \} } \cdot \gamma _ { B _ { r } } ) } \\ & { = \mathcal U _ { \gamma _ { B _ { r } } , x } ^ { r } ( u _ { r } ^ { \gamma } ) ( y ) \, \, \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { M \circ C G ^ { - 1 } ( e _ { j + \bar { j } - k } ^ { ( j + \bar { j } - k ) } ) } & { = \sum _ { m = - j } ^ { j } C _ { j - m , \bar { j } - k + m ; j + \bar { j } - k } ^ { j , \bar { j } ; j + \bar { j } - k } e _ { j - m } ^ { ( j ) } \bar { e } _ { \bar { j } - k + m } ^ { ( \bar { j } ) } } \\ & { = ( - 1 ) ^ { k } \sqrt { \frac { ( 2 j + 1 ) ! ( 2 \bar { j } + 1 ) ! } { k ! ( 2 j + 2 \bar { j } - k + 1 ) ! } } e _ { j + \bar { j } - k } ^ { ( j - \frac { k } { 2 } , \bar { j } - \frac { k } { 2 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { l _ { 1 } ( t , t ) } & { = 0 , \quad l _ { 2 } ( t , t ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \frac { { n } ( t ) \cdot \gamma ^ { \prime \prime } ( t ) } { | \gamma ^ { \prime } ( t ) | ^ { 2 } } , } \\ { s _ { 1 } ( t , t ) } & { = - \frac { 1 } { 2 \pi } , \quad s _ { 2 } ( t , t ) = \frac { \mathrm { i } } { 2 } - \frac { C } { \pi } - \frac { 1 } { \pi } \ln \big ( \frac { \mathrm { i } \kappa } { 2 } | \gamma ^ { \prime } ( t ) | \big ) , } \\ { r _ { 1 } ( t , t ) } & { = - \frac { \kappa ^ { 2 } } { 2 \pi } | \gamma ^ { \prime } ( t ) | ^ { 2 } , \quad r _ { 2 } ( t , t ) = \kappa ^ { 2 } | \gamma ^ { \prime } ( t ) | ^ { 2 } \Big \{ \frac { \mathrm { i } } { 2 } - \frac { C } { \pi } - \frac { 1 } { \pi } \ln \big ( \frac { \kappa } { 2 } | \gamma ^ { \prime } ( t ) | \big ) \Big \} , } \\ { k _ { 1 } ( t , t ) } & { = 0 , \quad k _ { 2 } ( t , t ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \frac { { n } ( t ) \cdot \gamma ^ { \prime \prime } ( t ) } { | \gamma ^ { \prime } ( t ) | ^ { 2 } } , \quad h _ { 1 } ( t , t ) = - \frac { \kappa ^ { 2 } | \gamma ^ { \prime } ( t ) | ^ { 2 } } { 4 \pi } , } \\ { h _ { 2 } ( t , t ) } & { = \Big ( \pi \mathrm { i } - 1 - 2 C - 2 \ln \frac { \kappa | \gamma ^ { \prime } ( t ) | } { 2 } \Big ) \frac { \kappa ^ { 2 } | \gamma ^ { \prime } ( t ) | ^ { 2 } } { 4 \pi } + \frac { 1 } { 1 2 \pi } } \\ & { \qquad + \frac { [ \gamma ^ { \prime } ( t ) \cdot \gamma ^ { \prime \prime } ( t ) ] ^ { 2 } } { 2 \pi | \gamma ^ { \prime } ( t ) | ^ { 4 } } - \frac { | \gamma ^ { \prime \prime } ( t ) | ^ { 2 } } { 4 \pi | \gamma ^ { \prime } ( t ) | ^ { 2 } } - \frac { \gamma ^ { \prime } ( t ) \cdot \gamma ^ { \prime \prime \prime } ( t ) } { 6 \pi | \gamma ^ { \prime } ( t ) | ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( h _ { j - 2 } h _ { j - 2 } h _ { j - 3 } \cdots h _ { i + 1 } h _ { i } ) ^ { \frac { j - i } { 2 } } } \\ { = } & { ( h _ { j - 2 } h _ { j - 3 } \cdots h _ { i + 1 } h _ { i } ) ^ { \frac { j - i } { 2 } } t _ { j - 2 , j - 1 } ^ { - \frac { j - i - 4 } { 2 } } t _ { j - 4 , j - 3 } ^ { - \frac { j - i - 2 } { 2 } } \cdots t _ { i + 2 , i + 3 } ^ { - \frac { j - i - 2 } { 2 } } t _ { i , i + 1 } ^ { - \frac { j - i - 2 } { 2 } } h _ { j - 4 } \cdots h _ { i + 2 } h _ { i } } \\ & { \cdot h _ { j - 2 } \cdots h _ { i + 4 } h _ { i + 2 } h _ { i } t _ { i + 1 , i + 2 } ^ { - 1 } h _ { i + 2 } ^ { - 1 } h _ { i + 4 } ^ { - 1 } \cdots h _ { j - 2 } ^ { - 1 } t _ { i , i + 1 } ^ { \frac { j - i - 2 } { 2 } } t _ { i + 2 , i + 3 } ^ { \frac { j - i - 2 } { 2 } } \cdots t _ { j - 2 , j - 1 } ^ { \frac { j - i - 2 } { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \Phi ( \phi , \psi ) | \leq } & { \| T _ { \phi } ( S _ { \psi } f \cdot g ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathrm { X } ) } \cdot \| h \| _ { L ^ { 2 } ( \mathrm { X } ) } } \\ { \leq } & { \| \phi \| _ { \infty } \cdot \| S _ { \psi } f \cdot g \| _ { L ^ { 2 } ( \mathrm { X } ) } \cdot \| h \| _ { L ^ { 2 } ( \mathrm { X } ) } } \\ { \leq } & { \| \phi \| _ { \infty } \cdot \| S _ { \psi } f \| _ { L ^ { 2 } ( \mathrm { X } ) } \cdot \| g \| _ { L ^ { \infty } ( \mathrm { X } ) } \cdot \| h \| _ { L ^ { 2 } ( \mathrm { X } ) } } \\ { \leq } & { \| \phi \| _ { \infty } \cdot \| \psi \| _ { \infty } \cdot \| f \| _ { L ^ { 2 } ( \mathrm { X } ) } \cdot \| g \| _ { L ^ { \infty } ( \mathrm { X } ) } \cdot \| h \| _ { L ^ { 2 } ( \mathrm { X } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { F } ( \phi , k ) } & { : = } & { \int _ { 0 } ^ { \phi } \frac { d \theta } { \sqrt { 1 - k ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } } , \qquad \mathbb { K } ( k ) : = \mathbb { F } ( \pi / 2 , k ) , } \\ { \mathbb { E } ( \phi , k ) } & { : = } & { \int _ { 0 } ^ { \phi } \sqrt { 1 - k ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } d \theta , \qquad \mathbb { E } ( k ) : = \mathbb { E } ( \pi / 2 , k ) , } \\ { \Pi ( \phi , b ^ { 2 } , k ) } & { : = } & { \int _ { 0 } ^ { \phi } \frac { d \theta } { \sqrt { 1 - k ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } ( 1 - b ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta ) } , \qquad \Pi ( k ) : = \Pi ( \pi / 2 , k ) , } \\ { \mathbb { D } ( \phi , k ) } & { : = } & { \int _ { 0 } ^ { \phi } \frac { \sin ^ { 2 } \theta d \theta } { \sqrt { 1 - k ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } } , \qquad \mathbb { D } ( k ) : = \mathbb { D } ( \pi / 2 , k ) . } \end{array}
- \sin ( \check { \theta } _ { 1 } ( t ) ) \frac { d \check { \theta } _ { 1 } ( t ) } { d t } ( t ) = \frac { ( | \tilde { z } ^ { ( 0 ) } + t \tilde { \zeta } ^ { ( 0 ) } | ^ { 2 } + | \tilde { \zeta } ^ { ( 0 ) } | ^ { 2 } ) \tilde { \zeta } _ { 1 } ^ { ( 0 ) } - ( \tilde { z } _ { 1 } ^ { ( 0 ) } + t \tilde { \zeta } _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ) ( \tilde { \zeta } ^ { ( 0 ) } . ( \tilde { z } ^ { ( 0 ) } + t \tilde { \zeta } ^ { ( 0 ) } ) ) } { ( | \tilde { z } ^ { ( 0 ) } + t \tilde { \zeta } ^ { ( 0 ) } | ^ { 2 } + | \tilde { \zeta } ^ { ( 0 ) } | ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { \phi ^ { 1 } } & { = \left( X _ { 2 } \delta \right) \omega ^ { 1 } - \left( X _ { 1 } \delta \right) \omega ^ { 2 } , } \\ { \phi ^ { 2 } } & { = - \omega , } \\ { \eta } & { = \left( X _ { 1 } \delta \right) \omega ^ { 1 } + \left( X _ { 2 } \delta \right) \omega ^ { 2 } + \left( X _ { 0 } \delta \right) \omega . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta ( x ) } & { = } & { \sum ( a _ { 0 } ) _ { ( 1 ) } \nu _ { i _ { 1 } } ( ( b _ { 1 } ) _ { ( 1 ) } ) u _ { i _ { 1 } , s _ { 1 } } ( a _ { 1 } ) _ { ( 1 ) } \nu _ { i _ { 2 } } ( ( b _ { 2 } ) _ { ( 1 ) } ) u _ { i _ { 2 } , s _ { 2 } } \dots ( a _ { n } ) _ { ( 1 ) } } \\ & { } & { \otimes ( a _ { 0 } ) _ { ( 2 ) } \nu _ { s _ { 1 } } ( ( b _ { 1 } ) _ { ( 2 ) } ) ( a _ { 1 } ) _ { ( 1 ) } \nu _ { s _ { 2 } } ( ( b _ { 2 } ) _ { ( 2 ) } ) \dots ( a _ { n } ) _ { ( 2 ) } . } \end{array}
S \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! : \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = N \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \cap \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! U \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = H \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l } & { \: \partial \partial _ { J } u \wedge ( 2 \Omega _ { 0 } ^ { n - 1 } + \partial \partial _ { J } u \wedge \Omega ^ { n - 1 } ) } \\ { \leq } & { \: C \Omega ^ { n } - 2 ( n - 1 ) \widetilde { \Omega } \wedge \Omega _ { 0 } ^ { n - 1 } + \frac { 2 } { n } S _ { 1 } ( \widetilde { \Omega } ) S _ { n - 1 } ( \Omega _ { 0 } ) \Omega ^ { n } - 2 ( n - 1 ) ^ { 2 } \Omega _ { h } \wedge \widetilde { \Omega } \wedge \Omega ^ { n - 2 } } \\ & { \: + \frac { 2 ( n - 1 ) } { n } S _ { 1 } ( \widetilde { \Omega } ) S _ { 1 } ( \Omega _ { h } ) \Omega ^ { n } + \frac { 2 ( n - 1 ) } { n } S _ { 1 } ( \Omega _ { h } ) S _ { 1 } ( \widetilde { \Omega } ) \Omega ^ { n } - 2 S _ { 1 } ( \Omega _ { h } ) S _ { 1 } ( \widetilde { \Omega } ) \Omega ^ { n } } \\ & { \: + \frac { 2 ( n - 1 ) } { n } S _ { 2 } ( \widetilde { \Omega } ) \Omega ^ { n } - \frac { 2 ( n - 1 ) } { n } S _ { 1 } ^ { 2 } ( \widetilde { \Omega } ) \Omega ^ { n } + S _ { 1 } ^ { 2 } ( \widetilde { \Omega } ) \Omega ^ { n } } \\ { = } & { \: C \Omega ^ { n } - 2 ( n - 1 ) \widetilde { \Omega } \wedge \Omega _ { 0 } ^ { n - 1 } + \frac { 2 } { n } S _ { 1 } ( \widetilde { \Omega } ) S _ { n - 1 } ( \Omega _ { 0 } ) \Omega ^ { n } - 2 ( n - 1 ) ^ { 2 } \Omega _ { h } \wedge \widetilde { \Omega } \wedge \Omega ^ { n - 2 } } \\ & { \: + \frac { 2 ( n - 2 ) } { n } S _ { 1 } ( \Omega _ { h } ) S _ { 1 } ( \widetilde { \Omega } ) \Omega ^ { n } + \frac { 2 ( n - 1 ) } { n } S _ { 2 } ( \widetilde { \Omega } ) \Omega ^ { n } + \frac { 2 - n } { n } S _ { 1 } ^ { 2 } ( \widetilde { \Omega } ) \Omega ^ { n } . } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l } { d ^ { \prime } } \\ { s ^ { \prime } } \\ { b ^ { \prime } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { V _ { \mathrm { u d } } } & { V _ { \mathrm { u s } } } & { V _ { \mathrm { u b } } } \\ { V _ { \mathrm { c d } } } & { V _ { \mathrm { c s } } } & { V _ { \mathrm { c b } } } \\ { V _ { \mathrm { t d } } } & { V _ { \mathrm { t s } } } & { V _ { \mathrm { t b } } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { d } \\ { s } \\ { b } \end{array} \right] } ~ .
\begin{array} { r l r } & { } & { - 2 g \left( 1 - \frac { 1 } { N } \right) \int d y \frac { 1 } { x - y } \tilde { p } _ { c } ^ { ( 2 ) } ( x , y , t ; \sigma ) = - 2 g \left( 1 - \frac { 1 } { N } \right) \int d y \frac { 1 } { x - y } \tilde { p } _ { c } ^ { a } ( x , y , t ; \sigma ) } \\ & { } & { \mathrm { w i t h } \quad \tilde { p } _ { c } ^ { ( 2 ) } ( x , y , t ; \sigma ) = \tilde { p } ^ { ( 2 ) } ( x , y , t ; \sigma ) - p _ { \sigma } ( x , t ) \tilde { p } ( y , t ; \sigma ) } \\ & { } & { \mathrm { a n d } \quad \tilde { p } _ { c } ^ { a } ( x , y , t ; \sigma ) = \frac { 1 } { 2 } \left( \tilde { p } _ { c } ^ { ( 2 ) } ( x , y , t ; \sigma ) - \tilde { p } _ { c } ^ { ( 2 ) } ( x , 2 x - y , t ; \sigma ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l } { \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial m _ { j } \partial m _ { k } } } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial m _ { j } \partial m _ { k } } \vert _ { \partial \Omega } } \end{array} \right) } & { = \mathscr { S } _ { \boldsymbol { m } , \omega } \, \left[ \mathcal { G } _ { \boldsymbol { m } , \omega } \left( \begin{array} { l } { u _ { j , k } } \\ { u _ { j , k } \vert _ { \partial \Omega } } \end{array} \right) - \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { \left( \frac { \mathrm { i } \omega } { 4 m ^ { 3 / 2 } } \right) \beta _ { j } \beta _ { k } u \vert _ { \partial \Omega } } \end{array} \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { f } ( t ) } & { : = ( m _ { 1 } - m _ { 2 } ) t \frac { p + q } { 2 } + \frac { \rho } { 2 } \left( m _ { 1 } + m _ { 2 } \right) ( p - q ) t - m _ { 1 } \log \left( q e ^ { t } + 1 - q \right) - m _ { 2 } \log \left( p e ^ { - t } + 1 - p \right) } \\ & { = m _ { 1 } \left( t \left( \frac { p + q } { 2 } + \frac { \rho ( p - q ) } { 2 } \right) - \log \left( q e ^ { t } + 1 - q \right) \right) + m _ { 2 } \left( - \left( \frac { p + q } { 2 } - \frac { \rho ( p - q ) } { 2 } \right) - \log \left( p e ^ { - t } + 1 - p \right) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathbb P } \big ( \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \| u ( t ) - u ^ { ( n ) } ( t ) \| _ { \mathcal { Y } _ { p } } \geq \gamma \big ) } & { \leq { \mathbb P } ( \varphi _ { 0 } \wedge \varphi _ { 0 } ^ { ( n ) } \leq t ) + I _ { 0 , T } ^ { \varphi } } \\ & { \leq { \mathbb P } ( \sigma _ { 0 } \wedge \sigma _ { 0 } ^ { ( n ) } \leq t ) + { \mathbb P } ( \tau _ { 0 } \wedge \tau _ { 0 } ^ { ( n ) } \leq t ) + I _ { 0 , t } ^ { \sigma } + I _ { t , T } ^ { \tau } } \\ & { \leq C _ { 2 } ( 1 + \gamma ^ { - p } ) { \mathbb E } \| u _ { 0 } - u _ { 0 } ^ { ( n ) } \| _ { \mathcal { Y } _ { p } } ^ { p } + { \mathbb P } ( \sigma _ { 1 } \leq t ) + { \mathbb P } ( \tau _ { 1 } \leq t ) + I _ { t , T } ^ { \tau } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { \widetilde { K } } ( x , y ) } & { \leq d _ { \widetilde { K } } \left( x , x ^ { \prime } \right) + d _ { \widetilde { K } } \left( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } \right) + d _ { \widetilde { K } } \left( y , y ^ { \prime } \right) } \\ & { \leq \log \left( 1 + \frac { | x - y | } { \delta ( x ) } \right) + \log \left( 1 + \frac { | x - y | } { \delta ( y ) } \right) + C } \\ & { \leq \log \left( \frac { ( \delta ( x ) + | x - y | ) ( \delta ( y ) + | x - y | ) } { \delta ( x ) \delta ( y ) } \right) + C } \\ & { \leq 2 \log \left( \frac { | x - y | + \delta ( x ) \vee \delta ( y ) } { \sqrt { \delta ( x ) \delta ( y ) } } \right) + C } \\ & { \leq g _ { 1 } ( x , y ) + C , } \end{array}
\mathbb { E } \left[ \left\| y ^ { k + 1 } - y ^ { * } ( x ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } \right] \leq \left( \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } ( 1 - \beta _ { k , t } \mu _ { g } ) \right) \mathbb { E } \left[ \left\| y ^ { k } - y ^ { * } ( x ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } \right] + \frac { 4 \sigma _ { g , 1 } ^ { 2 } } { n S } \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \beta _ { k , t } ^ { 2 } .
\left\{ \begin{array} { r l r l } { \psi \frac { \partial C _ { A } } { \partial t } + q \frac { \partial C _ { A } } { \partial x } } & { = \psi D \frac { \partial ^ { 2 } C _ { A } } { \partial x ^ { 2 } } - \psi v _ { A } k _ { f , r } C _ { A } ^ { a _ { r } } , \qquad } & { ( x , t ) } & { \in [ 0 , 5 ] \times [ 0 , 1 ] } \\ { \psi \frac { \partial C _ { B } } { \partial t } + q \frac { \partial C _ { B } } { \partial x } } & { = \psi D \frac { \partial ^ { 2 } C _ { B } } { \partial x ^ { 2 } } - \psi v _ { B } k _ { f , r } C _ { A } ^ { a _ { r } } , \qquad } & { ( x , t ) } & { \in [ 0 , 5 ] \times [ 0 , 1 ] } \\ { C _ { A } ( x , 0 ) } & { = 1 , C _ { B } ( x , 0 ) = 0 , } & { x } & { \in [ 0 , 5 ] } \\ { C _ { A } ( 0 , t ) } & { = 1 , C _ { B } ( 0 , t ) = 0 , } & { t } & { \in [ 0 , 1 ] } \\ { \frac { \partial C _ { A } ( 5 , t ) } { \partial x } } & { = \frac { \partial C _ { B } ( 5 , t ) } { \partial x } = 0 , } & { t } & { \in [ 0 , 1 ] } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } { \overline { { f } } _ { r } ( K , \beta ^ { * } , \sigma ^ { 2 } ) = 1 - \operatorname* { m a x } \Bigg ( } & { \underset { \ell \in \{ 1 , \cdots , r - D _ { m ^ { * } } \} } { \operatorname* { m a x } } \Big ( F _ { \chi ^ { 2 } ( \ell ) } ( \ell K ) \Big ) , } \\ & { \underset { \ell \in \{ r - D _ { m ^ { * } } + 1 , \cdots , r \} } { \operatorname* { m a x } } \bigg ( F _ { \chi ^ { 2 } ( \ell ) } \Big ( \frac { \ell K } { 2 } - \underset { k = r - \ell + 1 } { \overset { D _ { m ^ { * } } } { \sum } } \frac { \langle X \beta ^ { * } , u _ { k } \rangle ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \Big ) \bigg ) \Bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } \left\{ w ( s ) \bigm | s \in S \setminus F ^ { * } \right\} \cdot \ell ^ { \mathrm { o u t } } } & { \le \operatorname* { m i n } \left\{ w ( s ) \bigm | s \in F ^ { * } \right\} \cdot \ell ^ { \mathrm { i n } } , \ \mathrm { a n d } } \\ { \operatorname* { m a x } \left\{ w ( s ) \bigm | s \in S \setminus F ^ { * } \right\} \cdot u ^ { \mathrm { o u t } } } & { \le \operatorname* { m i n } \left\{ w ( s ) \bigm | s \in F ^ { * } \right\} \cdot u ^ { \mathrm { i n } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } } & { \mathsf { E } [ U _ { i } ( t _ { 0 } ^ { ( n ) } ) \mid T ^ { ( n ) } > 0 , \theta = i ] p _ { f } ^ { n - 1 } } \\ & { = \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } \mathsf { E } [ U _ { i } ( T _ { n - 1 } ) \! - \! C _ { 2 } \mid T ^ { ( n ) } > 0 , \theta \! = \! i ] p _ { f } ^ { n - 1 } } \\ & { = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \mathsf { E } [ U _ { i } ( T _ { n } ) \! - \! C _ { 2 } \mid T ^ { ( n + 1 ) } > 0 , \theta \! = \! i ] p _ { f } ^ { n } } \\ & { \ge \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \mathsf { E } [ U _ { i } ( T _ { n } ) \! - \! C _ { 2 } \mid T ^ { ( n ) } \! > \! 0 , \theta \! = \! i ] p _ { f } ^ { n } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { v ^ { ( 3 ) } - v ^ { \omega } = } & { \; e ^ { x \widehat { \mathcal { L } ( k ) } + t \widehat { \mathcal { Z } ( k ) } } v _ { j _ { Y } , 0 } ^ { ( 3 ) } - e ^ { x \widehat { \mathcal { L } ( \omega ) } + t \widehat { \mathcal { Z } ( \omega ) } } v ^ { Y } } \\ { = } & { \; e ^ { x \widehat { \mathcal { L } ( \omega ) } + t \widehat { \mathcal { Z } ( \omega ) } } \Big ( e ^ { x \widehat { \mathcal { L } ( k ) } + t \widehat { \mathcal { Z } ( k ) } - x \widehat { \mathcal { L } ( \omega ) } - t \widehat { \mathcal { Z } ( \omega ) } } v _ { j _ { Y } , 0 } ^ { ( 3 ) } - v ^ { Y } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { ( m ) } ( y _ { 1 } , . . . , y _ { k + 1 } ) } & { = \left( \sum _ { \mu } c _ { \mu ^ { \prime } } e _ { \mu ^ { \prime } } ( y _ { 1 } ^ { - 1 } , . . . , y _ { k + 1 } ^ { - 1 } ) \right) \cdot e _ { k + 1 } ^ { m } ( y _ { 1 } , . . . , y _ { k + 1 } ) = \sum _ { \mu } c _ { \mu ^ { \prime } } e _ { \tilde { \mu ^ { \prime } } } ( y _ { 1 } , . . . , y _ { k + 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { J ( G ) } & { = \mathbb { E } \left[ \int _ { 0 } ^ { 1 0 0 } \| u _ { t } ^ { G } - u _ { t } ^ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , 2 0 ) } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \| G ( t , u _ { t } ^ { G } ) \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , 2 0 ) } ^ { 2 } \mathrm { d } t \right] } \\ & { \quad + \mathbb { E } \left[ \| u _ { 1 0 0 } ^ { G } - u _ { 1 0 0 } ^ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , 2 0 ) } ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { N _ { 1 } } & { = 2 } \\ { N _ { 2 } } & { = 3 } \\ { N _ { 3 } } & { = 7 } \\ { N _ { 4 } } & { = 4 3 } \\ { N _ { 5 } } & { = 1 8 0 7 = 1 3 \cdot 1 3 9 } \\ { N _ { 6 } } & { = 3 2 6 3 4 4 3 } \\ { N _ { 7 } } & { = 1 0 6 5 0 0 5 6 9 5 0 8 0 7 = 5 4 7 \cdot 6 0 7 \cdot 1 0 3 3 \cdot 3 1 0 5 1 } \\ { N _ { 8 } } & { = 1 1 3 4 2 3 7 1 3 0 5 5 4 2 1 8 4 4 3 6 1 0 0 0 4 4 3 = 2 9 8 8 1 \cdot 6 7 0 0 3 \cdot 9 1 1 9 5 2 1 \cdot 6 2 1 2 1 5 7 4 8 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { g _ { C } ^ { s _ { 1 } ^ { \prime } , s _ { 2 } } } { g _ { C } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } } } & { = \frac { \left[ \mathbb { I } - G _ { C } ^ { s _ { 2 } } ( \Theta ) \right] + G _ { C } ^ { s _ { 1 } ^ { \prime } } ( \Theta ) \left[ 2 G _ { C } ^ { s _ { 2 } } ( \Theta ) - \mathbb { I } \right] } { \left[ \mathbb { I } - G _ { C } ^ { s _ { 2 } } ( \Theta ) \right] + G _ { C } ^ { s _ { 1 } } ( \Theta ) \left[ 2 G _ { C } ^ { s _ { 2 } } ( \Theta ) - \mathbb { I } \right] } } \\ & { = \frac { \left[ \mathbb { I } - G _ { C } ^ { s _ { 2 } } ( \Theta ) \right] + G _ { C } ^ { s _ { 1 } } ( \Theta ) \left[ 2 G _ { C } ^ { s _ { 2 } } ( \Theta ) - \mathbb { I } \right] + \left[ G ^ { s _ { 1 } } ( \Theta , \tau ) \mathbf { r } ^ { - 1 } \Delta G ^ { s _ { 1 } } ( \tau , \Theta ) \right] _ { C } \left[ 2 G _ { C } ^ { s _ { 2 } } ( \Theta ) - \mathbb { I } \right] } { \left[ \mathbb { I } - G _ { C } ^ { s _ { 2 } } ( \Theta ) \right] + G _ { C } ^ { s _ { 1 } } ( \Theta ) \left[ 2 G _ { C } ^ { s _ { 2 } } ( \Theta ) - \mathbb { I } \right] } } \\ & { = \mathbb { I } + \left[ G ^ { s _ { 1 } } ( \Theta , \tau ) \mathbf { r } ^ { - 1 } \Delta G ^ { s _ { 1 } } ( \tau , \Theta ) \right] _ { C } \left[ 2 G _ { C } ^ { s _ { 2 } } ( \Theta ) - \mathbb { I } \right] [ g _ { C } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } ] ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { \ell = 0 } ^ { Q - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \left[ \left\Vert \nabla f _ { i } ( x _ { i , t } ^ { \ell } ) \right\Vert ^ { 2 } \middle | \mathcal { F } _ { t } \right] } \\ & { \leq 3 L ^ { 2 } \sum _ { \ell = 0 } ^ { Q - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \left[ \left\Vert x _ { i , t } ^ { j } - x _ { t } \right\Vert ^ { 2 } \middle | \mathcal { F } _ { t } \right] + 3 Q n \left\Vert \nabla f ( x _ { t } ) \right\Vert ^ { 2 } } \\ & { \quad + 6 Q n L \left[ \left( f ( x _ { t } ) - f ^ { * } \right) + \left( f ^ { * } - \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } f _ { i } ^ { * } \right) \right] , } \end{array}
\mathbf { Q } _ { 1 } = \sum _ { j = 1 } ^ { 2 L } \mathbf { e } _ { j } + \frac { \mathrm { i } } { 2 \sqrt { Q } } \sin ( \sqrt { Q } \tau ) ( - 1 ) ^ { j } \left[ \mathbf { e } _ { j } , \mathbf { e } _ { j + 1 } \right] - \frac { 1 } { \sqrt { Q } } \sin ^ { 2 } \big ( \frac { \sqrt { Q } \tau } { 2 } \big ) \left\{ \mathbf { e } _ { j } , \mathbf { e } _ { j + 1 } \right\} ,
\begin{array} { r l } { \hat { \sigma } _ { \tau - } ^ { 2 } } & { = \frac { \pi } { 2 ( \pi - 2 ) K _ { n } } \sum _ { k = ( \lfloor h _ { n } ^ { - 1 } \tau \rfloor - K _ { n } ) \vee 1 } ^ { \lfloor h _ { n } ^ { - 1 } \tau \rfloor - 1 } h _ { n } ^ { - 1 } \big ( m _ { k , n } - m _ { k - 1 , n } ) ^ { 2 } } \\ & { = \frac { \pi } { 2 ( \pi - 2 ) K _ { n } } \sum _ { k = ( \lfloor h _ { n } ^ { - 1 } \tau \rfloor - K _ { n } ) \vee 1 } ^ { \lfloor h _ { n } ^ { - 1 } \tau \rfloor - 1 } h _ { n } ^ { - 1 } \big ( \tilde { m } _ { k , n } - \tilde { m } _ { k - 1 , n } ^ { * } ) ^ { 2 } + \mathcal { O } _ { \mathbb { P } } \big ( h _ { n } ^ { \alpha \wedge 1 / 2 } \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Bar { \mathcal { Z } } ^ { r } \left( \beta \right) } & { = \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } \exp \left( - \beta \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } U \left( x - y \right) \rho _ { r } \left( y \right) \mathrm { d } y \right) \mathrm { d } x } \\ & { \le \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } \exp \left( - \beta U \left( x - y \right) \right) \rho _ { r } \left( y \right) \mathrm { d } y \mathrm { d } x } \\ & { = \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } \exp \left( - \beta U \left( x - y \right) \right) \mathrm { d } x \rho _ { r } \left( y \right) \mathrm { d } y } \\ & { = \mathcal { Z } \left( \beta \right) } \end{array}
\frac { t _ { 0 } ^ { q } } { q } \int _ { \Omega } | \psi | ^ { q } \, d x - \frac { t _ { 0 } ^ { p } } { p } \int _ { \Omega } | \nabla \psi | ^ { p } \, d x = \frac { p - q } { p \, q } \frac { \left( \displaystyle \int _ { \Omega } | \psi | ^ { q } \, d x \right) ^ { \frac { p } { p - q } } } { \left( \displaystyle \int _ { \Omega } | \nabla \psi | ^ { p } \, d x \right) ^ { \frac { q } { p - q } } } .
\begin{array} { r l r l } { { 2 } F } & { = \rho , } & { \quad } & { \quad } \\ { F _ { i } } & { = \rho v _ { i } , } & { \quad } & { \quad } \\ { F _ { i j } } & { = \rho v _ { i } v _ { j } + ( p + \Pi ) \delta _ { i j } + \Pi _ { \langle i j \rangle } , } & { \quad G _ { l l } } & { = \rho v ^ { 2 } + 2 \rho e , } \\ & { \quad } & { \quad G _ { l l i } } & { = \rho v ^ { 2 } v _ { i } + 2 ( \rho e + p + \Pi ) v _ { i } + 2 \Pi _ { \langle k i \rangle } v _ { k } + 2 q _ { i } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | v ^ { ( 3 ) } - v ^ { \omega } | = } & { \; \left| \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { \frac { \Delta _ { 2 2 } } { \Delta _ { 1 1 } } \hat { r } _ { 1 , a } ( k ) e ^ { - t ( \Phi _ { 2 1 } ( \zeta , k ) - \Phi _ { 2 1 } ( \zeta , \omega ) ) } - ( s - i s y z + q _ { 1 } ) e ^ { 3 \alpha } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - \frac { \Delta _ { 2 2 } } { \Delta _ { 3 3 } } r _ { 1 , a } ( \frac { 1 } { \omega k } ) e ^ { t ( \Phi _ { 3 2 } ( \zeta , k ) - \Phi _ { 3 2 } ( \zeta , \omega ) ) } - ( - s - i s y z + q _ { 2 } ) e ^ { 3 \alpha } } & { 0 } \end{array} \right) \right| . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Big \| \{ 2 ^ { k s } ( g _ { l } - a _ { k , l } ) \} _ { k = 0 } ^ { j - 1 } \Big \| _ { L ^ { p } ( l ^ { q } ) } = \Big \| \big ( \sum _ { k = 0 } ^ { l - 1 } 2 ^ { k s q } \big ) ^ { 1 / q } g _ { l } \Big \| _ { L ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \lesssim 2 ^ { l s } \| g _ { l } \| _ { L ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } \\ & { = 2 ^ { l s } \Big \| \sum _ { k \geq 0 } h _ { k , l } ( x ) \Big \| _ { L ^ { p } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \lesssim 2 ^ { l s } \Big \| \{ 2 ^ { k s } h _ { k , l } ( x ) \} _ { k = 0 } ^ { \infty } \Big \| _ { L ^ { p } ( l ^ { q } ) } } \\ & { \lesssim 2 ^ { l ( s - N ) } \Big \| \{ 2 ^ { k s } \mathcal { M } _ { r } u _ { k } ( x ) \} _ { k = 0 } ^ { \infty } \Big \| _ { L ^ { p } ( l ^ { q } ) } \lesssim 2 ^ { l ( s - N ) } \Big \| \{ 2 ^ { k s } u _ { k } ( x ) \} _ { k = 0 } ^ { \infty } \Big \| _ { L ^ { p } ( l ^ { q } ) } } \\ & { \lesssim 2 ^ { ( s - N ) l } \| f \| _ { F _ { p , q } ^ { s } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \delta ( x , t ) } & { = \partial _ { t } u _ { \theta _ { t } } ( x ) - \partial _ { t } u ^ { * } ( x , t ) } \\ & { = \nabla _ { \theta } u _ { \theta _ { t } } ( x ) \cdot \dot { \theta } _ { t } - F [ u ^ { * } ] ( x , t ) } \\ & { = \nabla _ { \theta } u _ { \theta _ { t } } ( x ) \cdot V _ { \xi } ( \theta _ { t } ) - F [ u ^ { * } ] ( x , t ) } \\ & { = F [ u _ { \theta _ { t } } ] ( x ) - F [ u ^ { * } ] ( x , t ) + r ( x , t ) } \\ & { = \nabla \cdot ( A ( x ) \nabla \delta ( x , t ) ) + b ( x ) \cdot \nabla \delta ( x , t ) + f ( u _ { \theta _ { t } } ( x ) ) - f ( u ^ { * } ( x , t ) ) + r ( x , t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathtt { B } _ { 1 } ( j , k ) } & { : = ( \alpha + 4 ) ( m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( k ) ) + \frac { \alpha } 2 ( m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( 0 ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j + k ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j - k ) ) - ( \alpha + 2 ) T _ { \alpha } , } \\ { \mathtt { B } _ { 2 } ( j , k ) } & { : = \frac { ( j + k ) ( m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( k ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j + k ) - T _ { \alpha } ) ^ { 2 } } { ( j + k ) m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j + k ) - j m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j ) - k m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( k ) } - \frac { ( j - k ) ( m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( k ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j - k ) - T _ { \alpha } ) ^ { 2 } } { j m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j ) - ( j - k ) m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j - k ) - k m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( k ) } , } \\ { \mathtt { B } _ { 3 } ( j ) } & { : = \frac { \alpha } { 2 } \frac { ( 2 m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( 2 j ) - T _ { \alpha } ) ^ { 2 } } { m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( 2 j ) - m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j ) } , } \end{array}
a _ { h _ { i } } \left( v , w ^ { * } \right) = a _ { h _ { i } } ^ { S V } \left( v , w ^ { * } \right) + \sum _ { l = 0 } ^ { k } \frac { \sigma _ { i } ^ { l } } { h _ { i } } \left( v - P _ { h } ^ { l - 1 } v , w \right) _ { i } + R _ { i } \, \big ( w _ { x } \sum _ { l = 0 } ^ { k } \frac { \sigma _ { i } ^ { l } } { h _ { i } } D _ { x } ^ { - 1 } ( v - P _ { h } ^ { l - 1 } v ) \big ) .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } [ \mathbf { X } _ { i } ] = \mathbb { E } \left[ \mathbf { G } _ { \mathbf { x } } ^ { ( i ) } \right] - \mathbb { E } \left[ \mathrm { g r a d } f ( \mathbf { x } ) \right] = \mathbb { E } \left[ \mathrm { g r a d } f _ { i } ( \mathbf { x } ) \right] - \mathbb { E } \left[ \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathrm { g r a d } f _ { i } ( \mathbf { x } ) \right] = \mathbf { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { f \in { \cal P } _ { D } ( \beta , L ) } B _ { 1 } ( \Delta _ { n } ) } & { \le \sum _ { 0 < \| h \| _ { 2 } \le \Delta _ { n } M _ { K } } \operatorname* { s u p } _ { f \in { \cal P } _ { D } ( \beta , L ) } \left\| C ( h ) \right\| _ { \mathrm { H S } } \left[ 1 - K \left( \frac { h } { \Delta _ { n } } \right) \right] } \\ & { \le \tilde { c } \sum _ { 0 < \| h \| _ { 2 } \le \Delta _ { n } M _ { K } } \operatorname* { s u p } _ { f \in { \cal P } _ { D } ( \beta , L ) } \left\| C ( h ) \right\| _ { \mathrm { H S } } \frac { \| h \| _ { 2 } ^ { \lambda + 1 } } { \Delta _ { n } ^ { \lambda + 1 } } } \\ & { \le \tilde { c } \Delta _ { n } ^ { - \beta } M _ { K } ^ { \lambda + 1 - \beta } \sum _ { 0 < \| h \| _ { 2 } \le \Delta _ { n } M _ { K } } \operatorname* { s u p } _ { f \in { \cal P } _ { D } ( \beta , L ) } \left\| C ( h ) \right\| _ { \mathrm { H S } } \| h \| _ { 2 } ^ { \beta } = \mathcal { O } ( \Delta _ { n } ^ { - \beta } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { m } _ { \mathbf { s } } ^ { a , \mathrm { T } } = \mathbf { m } _ { \mathbf { s } } ^ { e , \mathrm { D D } } = \mathbf { C } _ { \mathbf { s } } ^ { e , \mathrm { D D } } \left( \left( \mathbf { C } _ { \mathbf { s } } ^ { p , \mathrm { D D } } \right) ^ { - 1 } \mathbf { m } _ { \mathbf { s } } ^ { p , \mathrm { D D } } - \left( \mathbf { C } _ { \mathbf { s } } ^ { e , \mathrm { T } } \right) ^ { - 1 } \mathbf { m } _ { \mathbf { s } } ^ { e , \mathrm { T } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { 5 _ { 2 } , n } ^ { ( 2 ) } ( q ) } & { = ( - 1 ) ^ { n } q ^ { | n | / 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { q ^ { | n | k } } { ( q ^ { - 1 } ; q ^ { - 1 } ) _ { k } ( q ; q ) _ { k + | n | } ( q ; q ) _ { k + 2 | n | } } } \\ & { \qquad \times \Bigg ( E _ { 2 } ( q ) + \frac { 1 } { 8 } - H _ { k } ^ { ( 2 ) } ( q ) - H _ { k + | n | } ^ { ( 2 ) } ( q ) - H _ { k + 2 | n | } ^ { ( 2 ) } ( q ) } \\ & { \qquad \qquad - \bigg ( k + | n | - \frac { 1 } { 4 } - 3 E _ { 1 } ( q ) + H _ { k } ( q ) + H _ { k + | n | } ( q ) + H _ { k + 2 | n | } ( q ) \bigg ) ^ { 2 } \Bigg ) } \\ & { + 2 q ^ { - n ^ { 2 } / 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { | n | - 1 } \frac { ( q ^ { - 1 } , q ^ { - 1 } ) _ { | n | - 1 - k } } { ( q ^ { - 1 } , q ^ { - 1 } ) _ { k } ( q ; q ) _ { k + | n | } } } \\ & { \qquad \times \Bigg ( | n | - \frac { 3 } { 4 } - 3 E _ { 1 } ( q ) + H _ { k } ( q ) + H _ { k + | n | } ( q ) + H _ { | n | - k - 1 } ( q ) \Bigg ) } \\ & { - 2 ( - 1 ) ^ { n } q ^ { - | n | / 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { | n | - 1 } q ^ { - | n | k } \frac { ( q ^ { - 1 } ; q ^ { - 1 } ) _ { 2 | n | - k - 1 } ( q ^ { - 1 } ; q ^ { - 1 } ) _ { | n | - k - 1 } } { ( q ^ { - 1 } ; q ^ { - 1 } ) _ { k } } \, , } \end{array}
\sum _ { k } c _ { k } ( V ) t ^ { k } = \left[ I + i { \frac { \mathrm { t r } ( \Omega ) } { 2 \pi } } t + { \frac { \mathrm { t r } ( \Omega ^ { 2 } ) - \mathrm { t r } ( \Omega ) ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } } } t ^ { 2 } + i { \frac { - 2 \mathrm { t r } ( \Omega ^ { 3 } ) + 3 \mathrm { t r } ( \Omega ^ { 2 } ) \mathrm { t r } ( \Omega ) - \mathrm { t r } ( \Omega ) ^ { 3 } } { 4 8 \pi ^ { 3 } } } t ^ { 3 } + \cdots \right] .
\begin{array} { r l } { \| \phi ( s , x _ { k } ^ { 2 } , u _ { k } ^ { 2 } ) \| _ { X } } & { = \big \| \phi \big ( s , \phi ( t _ { k } ^ { 2 } , x _ { k } , u _ { k } ) , u _ { k } ( \cdot + t _ { k } ^ { 2 } ) \big ) \big \| _ { X } } \\ & { = \| \phi ( s + t _ { k } ^ { 2 } , x _ { k } , u _ { k } ) \| _ { X } \geq \delta _ { 2 } , \qquad s \in [ 0 , t _ { k } - t _ { k } ^ { 2 } ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname { V a r } _ { \pi ^ { ( k ) } } [ \widehat { F } _ { \mathrm { A I R } , p } ^ { ( k ) } ] = c _ { \mathrm { A I R } } ^ { ( k ) } \operatorname { V a r } _ { \pi ^ { ( k ) } } [ \widehat { F } _ { \mathrm { M C } , p } ^ { ( k ) } ] , \qquad c _ { \mathrm { A I R } } ^ { ( k ) } = 2 \left( 1 - \frac { \rho _ { \pi ^ { ( k ) } } ( F ^ { ( k ) } , F ^ { ( k - 1 ) } W _ { k } ) ^ { 2 } } { 1 + \eta _ { k } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigl | \bar { J } _ { T - 1 } ( x , y ) - J _ { T - 1 } ^ { * } ( \tilde { x } , \tilde { y } ) \bigr | } & { = \bigl | g ( x ) - g ( x ^ { * } ) + \operatorname* { m a x } _ { a } \, \bigl ( g ( x ^ { * } ) + h ( y , a ) \bigr ) - \operatorname* { m a x } _ { \tilde { a } } \, r ( \tilde { x } , \tilde { y } , \tilde { a } ) \bigr | } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { a } \; \bigl | g ( x ) + h ( y , a ) - r ( \tilde { x } , \tilde { y } , a ) \bigr | } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { a } \; \bigl | g ( x ) + h ( y , a ) - r ( x , y , a ) \bigr | + \operatorname* { m a x } _ { a } \; \bigl | r ( x , y , a ) - r ( \tilde { x } , \tilde { y } , a ) \bigr | } \\ & { \leq \zeta + L _ { r } \bigl ( \| x - \tilde { x } \| _ { 2 } + \| y - \tilde { y } \| _ { 2 } \bigr ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \sum _ { k = 1 } ^ { 2 } \left\{ t r ( \widetilde { \Theta } _ { k } - \Theta _ { 0 k } ) \widehat { \Sigma } _ { k } - \left( \log \operatorname* { d e t } ( \widetilde { \Theta } _ { k } ) - \log \operatorname* { d e t } ( \Theta _ { 0 k } ) \right) + \lambda | | \widetilde { \Theta } _ { k } ^ { - } | | _ { 1 } \right\} + \rho | | \widetilde { \Theta } _ { 1 } ^ { - } - \widetilde { \Theta } _ { 2 } ^ { - } | | _ { 1 } \ } \\ & { \leq } & { \lambda | | \Theta _ { 0 1 } ^ { - } | | _ { 1 } + \lambda | | \Theta _ { 0 2 } ^ { - } | | _ { 1 } + \rho | | \Theta _ { 0 1 } ^ { - } - \Theta _ { 0 2 } ^ { - } | | _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } \left[ \kappa _ { N } \left( p _ { i } , p _ { j } \right) \right] _ { i , j = 1 , \dots , m } } & { = [ 1 ] \Big \{ \varepsilon _ { s _ { 1 } , \dots , s _ { m } } F \left( u _ { 1 } , v _ { s _ { 1 } } \right) \dots F \left( u _ { m } , v _ { s _ { m } } \right) \Big \} } \\ & { = [ 1 ] \Bigg \{ \varepsilon _ { s _ { 1 } , \dots , s _ { m } } \prod _ { i = 1 } ^ { m } \left( \frac { u _ { i } } { v _ { i } } \right) ^ { N + 1 } \prod _ { i = 1 } ^ { m } \left( \frac { u _ { i } } { v _ { i } } \right) ^ { p _ { i } } \left( \prod _ { j = 1 } ^ { m } \frac { 1 } { 1 - u _ { j } / v _ { s _ { j } } } \right) \cdot } \\ & { \cdot \exp \left[ \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \left( \frac { t _ { k } ^ { - } } { k } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left( u _ { i } ^ { k } - v _ { i } ^ { k } \right) + \frac { t _ { k } ^ { + } } { k } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left( v _ { i } ^ { - k } - u _ { i } ^ { - k } \right) \right) \right] \Bigg \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ \tau \} \times Y \ni ( \tau , \overline { { y _ { 0 } } } ) } & { \sim ( \tau , y _ { 0 } , 0 ) \in \{ \tau \} \times \{ y _ { 0 } \} \times [ 0 , 1 ] , } \\ { \{ \tau y _ { 0 } \} \times X \ni ( \tau y _ { 0 } , e _ { X } ) } & { \sim ( \tau , y _ { 0 } , 1 ) \in \{ \tau \} \times \{ y _ { 0 } \} \times [ 0 , 1 ] . } \end{array}
\tilde { g } ( w _ { 0 } ) = \tilde { g } ( \prod _ { i = 1 } ^ { m _ { 0 } } x _ { i } ) = \tilde { g } ( \prod _ { i = 1 } ^ { m _ { 0 } - 1 } x _ { j } ) \tilde { \tau } ( x _ { m _ { 0 } } ) + \tilde { \sigma } ( \prod _ { i = 1 } ^ { m _ { 0 } - 1 } x _ { j } ) \tilde { g } ( x _ { m _ { 0 } } ) = \tilde { f } ( \prod _ { i = 1 } ^ { m _ { 0 } - 1 } x _ { j } ) \tilde { \tau } ( x _ { m _ { 0 } } ) + \tilde { \sigma } ( \prod _ { i = 1 } ^ { m _ { 0 } - 1 } x _ { j } ) \tilde { f } ( x _ { m _ { 0 } } ) = \tilde { f } ( \prod _ { i = 1 } ^ { m _ { 0 } } x _ { i } ) = \tilde { f } ( w _ { 0 } )
\boxplus : \mathbb { F } _ { n + d - 1 , m } \times \mathbb { F } _ { n _ { 2 } , m _ { 2 } } \to \mathbb { F } _ { n + d , m } , \quad \left( \DOTSB \mathop { \mathchoice { \boxplus \huge } { \boxplus \LARGE } { \boxplus } { \boxplus \footnotesize } } _ { l = 1 } ^ { d } ( a _ { l } \boxdot i _ { l } ) , b \right) \mapsto ( \DOTSB \mathop { \mathchoice { \boxplus \huge } { \boxplus \LARGE } { \boxplus } { \boxplus \footnotesize } } _ { l = 1 } ^ { d } ( a _ { l } \boxdot i _ { l } ) ) \boxplus b ,
F ( \boldsymbol { z } ) \triangleq \left[ \begin{array} { c } { \operatorname { c o l } \left\{ \sigma ^ { T } \nabla _ { x _ { i } } \Lambda \left( x _ { i } , \boldsymbol { x } _ { - i } \right) \right\} _ { i = 1 } ^ { N } } \\ { - \Lambda \left( x _ { i } , \boldsymbol { x } _ { - i } \right) + \nabla \Psi ^ { * } \left( \sigma \right) } \end{array} \right] \triangleq \left[ \begin{array} { c } { G ( \boldsymbol { x } , \sigma ) } \\ { - \Lambda \left( \boldsymbol { x } \right) + \nabla \Psi ^ { * } \left( \sigma \right) } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { \overline { { e } } ^ { \prime } } & { = \frac { 2 E ^ { \prime } } { V ^ { \prime } } = 2 \frac { 2 E + 3 F + T } { V + E } } \\ & { = 2 \frac { 2 E + 6 E - 6 V - 3 V _ { b } + 6 \chi + 3 \chi _ { b } + E - V - V _ { b } + \chi + \chi _ { b } } { V + E } } \\ & { = 2 \frac { 9 E - 7 V - 4 V _ { b } + 7 \chi + 4 \chi _ { b } } { V + E } . } \end{array}
\lambda _ { i ^ { ' } , j ^ { ' } } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { w h e n ~ \| \mathbf { x } _ { { q } } - \mathbf { x } _ { p } \| \leq ~ \delta - h / 2 ~ } } \\ { M - \sqrt { ( i ^ { \prime } - i ) ^ { 2 } + ( j ^ { \prime } - j ) ^ { 2 } } / 2 + 1 / 2 } & { \mathrm { w h e n ~ \delta - h / 2 \textless \| \mathbf { x } _ { q } - \mathbf { x } _ { p } \| \leq ~ \delta ~ } } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right.
\operatorname { V a r } \bigg [ \bigg ( \sum _ { I \in [ m ] \times [ n ] } C _ { k } ( m , G , I ) ^ { 2 } \bigg ) \bigg ] = \mathbb { E } \bigg [ \bigg ( \sum _ { I \in [ m ] \times [ n ] } C _ { k } ( m , G , I ) ^ { 2 } \bigg ) ^ { 2 } \bigg ] - \mathbb { E } \bigg [ \sum _ { I \in [ m ] \times [ n ] } C _ { k } ( m , G , I ) ^ { 2 } \bigg ] ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { \mathbf { e } _ { m , k } ^ { ( l ) } = ~ \mathrm { M L P } _ { 7 } ^ { ( l ) } \left( \mathbf { e } _ { m , k } ^ { ( l - 1 ) } , \mathrm { A G G } _ { \mathrm { E } } ^ { ( l ) } \left\{ \mathrm { M L P } _ { 5 } ^ { ( l ) } \left( \mathbf { e } _ { m , k _ { 1 } } ^ { ( l - 1 ) } , \mathbf { f } _ { \mathrm { B S } , m } ^ { ( l - 1 ) } \right) , \right. \right. } \\ { \left. \left. \mathrm { M L P } _ { 6 } ^ { ( l ) } \left( \mathbf { e } _ { m _ { 1 } , k } ^ { ( l - 1 ) } , \mathbf { f } _ { \mathrm { U E } , k } ^ { ( l - 1 ) } \right) \right\} _ { k _ { 1 } \in \mathcal { N } _ { m } ^ { \mathrm { B S } } \setminus \{ k \} , m _ { 1 } \in \mathcal { N } _ { k } ^ { \mathrm { U E } } \setminus \{ m \} } \right) , } \\ { \forall ( m , k ) \in \mathcal { E } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \langle A \rangle } & { = \langle \Psi ( t ) | A ( { \hat { x } } , { \hat { p } } ) | \Psi ( t ) \rangle = \int d x \, d p \, \langle \Psi ( t ) | x , p \rangle A ( x , p ) \langle x , p | \Psi ( t ) \rangle } \\ & { = \int d x \, d p \, A ( x , p ) \langle \Psi ( t ) | x , p \rangle \langle x , p | \Psi ( t ) \rangle = \int d x \, d p \, A ( x , p ) \rho ( x , p ; t ) . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } \quad 1 7 . 7 4 5 x _ { 1 } x _ { 2 } + 4 4 . 7 7 9 x _ { 2 } x _ { 3 } + 2 1 . 7 7 5 x _ { 1 } x _ { 3 } } \\ & { \mathrm { s . t . } } \\ & { \qquad \frac { \Phi _ { \tilde { \beta } _ { 1 1 } ^ { 1 } } ^ { - 1 } ( \gamma ) } { x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 3 } } \leq 1 , } \\ & { \qquad x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { 1 } ( 4 ) } & { = \frac { 1 } { 4 \sqrt { e } } \left( 5 e ^ { 1 / 4 } K _ { 0 } \left( \frac { 1 } { 4 } \right) + e ^ { 1 / 4 } K _ { 1 } \left( \frac { 1 } { 4 } \right) \right) } \\ & { \leq \frac { 1 } { 4 e ^ { 1 / 2 } } \left( 5 e ^ { 0 . 2 4 } K _ { 0 } \left( 0 . 2 4 \right) + e ^ { 0 . 2 4 } K _ { 1 } \left( 0 . 2 4 \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { q ( f _ { i } ( x _ { i } ) ) } & { \equiv \sum _ { j } 2 ^ { | j - i | } q _ { j } ( f _ { i j } x _ { i } ) \mod 2 } \\ & { \equiv 2 q _ { i - 1 } ( f _ { i , i - 1 } x _ { i } ) + q _ { i } ( f _ { i i } x _ { i } ) + 2 q _ { i + 1 } ( f _ { i , i + 1 } x _ { i } ) \mod 2 } \\ & { \equiv b _ { i - 1 } ( f _ { i , i - 1 } x _ { i } , v _ { i - 1 } ) + q _ { i } ( x _ { i } ) + b _ { i + 1 } ( f _ { i , i + 1 } x _ { i } , v _ { i + 1 } ) \mod 2 } \end{array}
\mathbb { E } \left[ \overline { { S } } _ { i } ^ { N } ( t _ { N } ) \right] \underset { N \to \infty } { \sim } I ( i ) \frac { 2 b _ { 0 } \gamma \omega } { \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 0 } } N ^ { 1 + \lambda _ { 1 } t - \alpha } , \mathrm { ~ w i t h ~ } I ( i ) : = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 - y } { 1 - d _ { 1 } y / b _ { 1 } } y ^ { i - 1 } d y ,
{ \begin{array} { r l } & { \int x ^ { m } \left( A + B \, x ^ { n } \right) \left( a + b \, x ^ { n } + c \, x ^ { 2 n } \right) ^ { p } d x = { \frac { A \, x ^ { m + 1 } \left( a + b \, x ^ { n } + c \, x ^ { 2 n } \right) ^ { p + 1 } } { a ( m + 1 ) } } \, + \, { \frac { 1 } { a ( m + 1 ) } } \, \cdot } \\ & { \qquad \int x ^ { m + n } \left( a \, B ( m + 1 ) - A \, b ( m + n ( p + 1 ) + 1 ) - A \, c ( m + 2 n ( p + 1 ) + 1 ) x ^ { n } \right) \left( a + b \, x ^ { n } + c \, x ^ { 2 n } \right) ^ { p } d x } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \Delta S } & { = S - S ^ { ( 0 ) } = ^ { ( \star ) } k _ { B } \log \Omega _ { 1 } ^ { \star } + k _ { B } \log \Omega _ { 2 } ^ { \star } - k _ { B } \log \Omega _ { 1 } ^ { ( 0 ) } + k _ { B } \log \Omega _ { 2 } ^ { ( 0 ) } = k _ { B } \log \left( \frac { \Omega _ { 1 } ^ { \star } \Omega _ { 2 } ^ { \star } } { \Omega _ { 1 } ^ { ( 0 ) } \Omega _ { 2 } ^ { ( 0 ) } } \right) } \\ & { \geqslant k _ { B } \log \left( \frac { \Omega _ { 1 } ^ { ( 0 ) } \Omega _ { 2 } ^ { ( 0 ) } } { \Omega _ { 1 } ^ { ( 0 ) } \Omega _ { 2 } ^ { ( 0 ) } } \right) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big | f _ { \lambda } ( x _ { 1 } ) - f _ { \lambda } ( x _ { 2 } ) \big | } & { \leq L \cdot \big | \lambda f ^ { - 1 } ( x _ { 1 } ) - \lambda f ^ { - 1 } ( x _ { 2 } ) \big | + u \big ( | \lambda f ^ { - 1 } ( x _ { 1 } ) | \vee | \lambda f ^ { - 1 } ( x _ { 2 } ) | \big ) } \\ & { \leq L ^ { 2 } | x _ { 1 } - x _ { 2 } | + L u \big ( | x _ { 1 } | \big ) + u \Big ( | \lambda | ) + L | x _ { 1 } | + u ( | x _ { 1 } | ) \Big ) } \\ & { \leq L ^ { 2 } | x _ { 1 } - x _ { 2 } | + ( L + 1 ) u \big ( | x _ { 1 } | \big ) + u ( | \lambda | ) . } \end{array}
\mathbf { g } _ { \psi } \mathbf { g } _ { \theta } \mathbf { g } _ { \phi } = g _ { \phi } g _ { \theta } g _ { \phi } ^ { - 1 } g _ { \phi } g _ { \psi } \left[ g _ { \phi } g _ { \theta } g _ { \phi } ^ { - 1 } g _ { \phi } \right] ^ { - 1 } * g _ { \phi } g _ { \theta } g _ { \phi } ^ { - 1 } * g _ { \phi } = g _ { \phi } g _ { \theta } g _ { \psi } .
\begin{array} { r } { \mathbb { P } _ { \lambda , \mathcal { T } _ { \kappa ^ { j } } \mu _ { \kappa } | _ { ( 0 , \kappa ^ { j } ] } } ( \mathrm B _ { 1 } \longleftrightarrow \partial \mathrm B _ { l } ) \leq \mathbb { P } _ { \lambda , \mu _ { \kappa } | _ { ( 0 , 1 ] } } ( \mathrm B _ { 1 } \longleftrightarrow \partial \mathrm B _ { l } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { y } & { = \mu _ { 0 } ^ { y } 2 ^ { n ( \alpha - 1 ) } ( \delta _ { x } ^ { i } ( 1 ) - \delta _ { x } ^ { i } ( 0 ) ) } \\ & { \phantom { = } + \sum _ { j = 1 } ^ { n } \mu _ { j } ^ { y } 2 ^ { ( n - j ) ( \alpha - 1 ) } 2 ^ { j \alpha } \left( \delta _ { x } ^ { i } ( y _ { j } ^ { y } ) - \frac 1 2 ( \delta _ { x } ^ { i } ( ( y _ { j } ^ { y } ) ^ { + } ) + \delta _ { x } ^ { i } ( ( y _ { j } ^ { y } ) ^ { - } ) ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \delta ^ { 2 } U [ \phi ] } { \delta \eta ^ { 2 } } } & { = \frac { \delta } { \delta \eta } \left\{ \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \: \left( D \frac { d \phi } { d x } \frac { d \eta } { d x } + \kappa \phi ^ { 3 } \eta + f \eta \right) \right\} } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \: \left( D \left( \frac { d \eta } { d x } \right) ^ { 2 } + 3 \kappa \phi ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \right) } \\ & { > \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \: D \left( \frac { d \eta } { d x } \right) ^ { 2 } } \\ & { > D \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \: \left( \frac { d \eta } { d x } \right) ^ { 2 } } \\ & { \geq D c \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \: \eta ^ { 2 } = D c | | \eta | | ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \phi + \mathrm { d i v } ( \phi \, { \bf u } ) = 0 , } \\ & { \partial _ { t } ( ( 1 - \phi ) p _ { f } ) + \mathrm { d i v } ( ( 1 - \phi ) p _ { f } { \bf u } ) + p _ { \mathrm { a t m } } \mathrm { d i v } \, { \bf u } = p _ { \mathrm { a t m } } \mathrm { d i v } ( \kappa ( \phi ) \nabla p _ { f } ) , } \\ & { \phi \rho _ { s } \big ( \partial _ { t } { \bf u } + { \bf u } \boldsymbol { \cdot } \nabla { \bf u } \big ) = \phi \rho _ { s } { \bf g } - \nabla p + \mathrm { d i v } \Big ( \mu ( I ) p \frac { \S } { | \mathrm { \bf S } | } \Big ) - \nabla p _ { f } , } \\ & { \mathrm { d i v } \, { \bf u } = 2 F ( I ) | \mathrm { \bf S } | - 2 \widetilde { F } ( \phi ) \sqrt { p } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } x _ { i } ^ { 2 } } & { = v _ { i } ^ { 2 } , } \\ { \frac { d } { d t } v _ { i } ^ { 2 } } & { = - \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \psi ( | x _ { i } ^ { 2 } - x _ { j } ^ { 2 } | ) ( v _ { i } ^ { 2 } - v _ { j } ^ { 2 } ) - \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \nabla \mathcal V ( x _ { i } ^ { 2 } - x _ { j } ^ { 2 } ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { \Pi ( g = e ^ { X } ) } & { \equiv e ^ { \pi ( X ) } , } & & { X \in { \mathfrak { g } } , \quad g = e ^ { X } \in \operatorname { i m } ( \exp ) , } \\ { \Pi ( g = g _ { 1 } g _ { 2 } \cdots g _ { n } ) } & { \equiv \Pi ( g _ { 1 } ) \Pi ( g _ { 2 } ) \cdots \Pi ( g _ { n } ) , } & & { g \notin \operatorname { i m } ( \exp ) , \quad g _ { 1 } , g _ { 2 } , \ldots , g _ { n } \in \operatorname { i m } ( \exp ) . } \end{array} }
\mathbf { q } ( t _ { n } , \mathbf { z } _ { n } ; s \mathbf { , \xi } ) = \mathbf { f } ( s , \mathbf { z } _ { n } + \mathbf { \phi } \left( t _ { n } , \mathbf { z } _ { n } ; s - t _ { n } \right) + \mathbf { \xi } ) - \mathbf { f } _ { \mathbf { x } } ( t _ { n } , \mathbf { z } _ { n } ) \mathbf { \phi } ( t _ { n } , \mathbf { z } _ { n } ; s - t _ { n } ) - \mathbf { f } _ { t } ( t _ { n } , \mathbf { z } _ { n } ) ( s - t _ { n } ) - \mathbf { f } ( t _ { n } , \mathbf { z } _ { n } ) .
\begin{array} { r } { G _ { \psi _ { s _ { 1 } } , \bar { \psi } _ { s _ { 2 } } } ^ { \star } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) ^ { ( 0 ) } = \frac { { \mathrm { i } } \, \hbar } 2 \, \Big ( \big \langle \mathsf { S } \big ( \delta _ { x _ { 1 } } ^ { \psi _ { s _ { 1 } } } \big ) , \delta _ { x _ { 2 } } ^ { \bar { \psi } _ { s _ { 2 } } } \big \rangle _ { \star } - \big \langle \delta _ { x _ { 1 } } ^ { \psi _ { s _ { 1 } } } , \mathsf { S } \big ( \delta _ { x _ { 2 } } ^ { \bar { \psi } _ { s _ { 2 } } } \big ) \big \rangle _ { \star } \Big ) \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { - 2 ( A _ { h } \tilde { \phi } ^ { n } \hat { \boldsymbol { U } } ^ { n + 1 } , \nabla _ { h } \Delta _ { h } \tilde { \phi } ^ { n + 1 } ) } & { \leq 2 \| \hat { \boldsymbol { U } } ^ { n + 1 } \| _ { \infty } \cdot \| \tilde { \phi } ^ { n } \| _ { 2 } \cdot \| \nabla _ { h } \Delta _ { h } \tilde { \phi } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } } \\ & { \leq 2 C ^ { * } \| \tilde { \phi } ^ { n } \| _ { 2 } \cdot \| \nabla _ { h } \Delta _ { h } \tilde { \phi } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } } \\ & { \leq 4 ( C ^ { * } ) ^ { 2 } \varepsilon ^ { - 2 } \| \tilde { \phi } ^ { n } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { 4 } \| \nabla _ { h } \Delta _ { h } \tilde { \phi } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \Delta t \to 0 } } & { \frac { 1 } { \Delta t ^ { 2 } } \left( \mathbb { E } [ | \bar { X } _ { t + \Delta t } - \bar { X } _ { t } | ^ { 2 } ] - \Delta t \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } | { \sf K } _ { t } ^ { * } ( x ) | ^ { 2 } \bar { p } _ { t } ( x ) \mathrm { d } x \right) } \\ & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } | u _ { t } ( x ) | ^ { 2 } \bar { p } _ { t } ( x ) \mathrm { d } x . } \end{array}
\widehat { \mathbf { u } } _ { \epsilon } ( r ^ { \star } \! ) = W _ { \epsilon } ^ { - 1 } \left( { \widehat { u } } _ { o u t , \epsilon } ( r ^ { \star } \! ) \int _ { - \infty } ^ { r ^ { \star } \! } { \widehat { u } } _ { h o r , \epsilon } H _ { \epsilon } ( x ^ { \star } ) \, d x ^ { \star } + { \widehat { u } } _ { h o r , \epsilon } ( r ^ { \star } \! ) \int _ { r ^ { \star } \! } ^ { \infty } { \widehat { u } } _ { o u t , \epsilon } H _ { \epsilon } ( x ^ { \star } ) \, d x ^ { \star } \right)
\begin{array} { r l } { - d _ { S } \Delta \tilde { S } } & { = \xi b ( x ) - \mu \tilde { S } \tilde { S } ^ { * } + \nu \tilde { S } ^ { * } - \delta \tilde { S } , } \\ { - d _ { S ^ { * } } \Delta \tilde { S } ^ { * } } & { = ( 1 - \xi ) b ( x ) + \mu \tilde { S } \tilde { S } ^ { * } - \nu \tilde { S } ^ { * } - \delta \tilde { S } ^ { * } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { d _ { ( f _ { 1 } , f _ { 2 } ) } \mathscr { G } ( c , 0 , 0 ) \left[ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } h _ { n } ^ { ( 1 ) } \cos ( \mathbf { m } n \varphi ) , \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } h _ { n } ^ { ( 2 ) } \cos ( \mathbf { m } n \varphi ) \right] } \\ & { = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \mathbf { m } n M _ { \mathbf { m } n } ( c , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) \left( \begin{array} { l } { h _ { n } ^ { ( 1 ) } } \\ { h _ { n } ^ { ( 2 ) } } \end{array} \right) \sin ( \mathbf { m } n \varphi ) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l l l l l l l } { \displaystyle { \mathbb D } _ { T } ^ { \gamma } \phi ^ { i } ( v ) + \mathcal { D } _ { b _ { i } ^ { - } } ^ { \alpha } ( \beta ^ { i } \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \phi ^ { i } ( v ) + q ^ { i } \phi ^ { i } ( v ) } & { = } & { y ^ { i } ( v , 0 ) - y ^ { i } ( 0 , 0 ) } & { \mathrm { i n } } & { Q _ { i } , \, i = 1 , \dots , N , } \\ { \displaystyle I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } \phi ^ { i } ( a ^ { + } ; v ) - I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } \phi ^ { j } ( a ^ { + } ; v ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , ~ i \neq j = 1 , \dots , N , } \\ { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { N } \beta ^ { i } ( a ) \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \phi ^ { i } ( a ^ { + } ; v ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , } \\ { \displaystyle I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } \phi ^ { i } ( b _ { i } ^ { - } ; v ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , \; i = 1 , \dots , m } \\ { \displaystyle \beta ^ { i } ( b _ { i } ) \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \phi ^ { i } ( b _ { i } ^ { - } ; v ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , \; i = m + 1 , \dots , N , } \\ { \displaystyle I _ { T } ^ { 1 - \gamma } \phi ^ { i } ( T ; v ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( a , b _ { i } ) , ~ ~ i = 1 , \dots , N . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { | I _ { 2 1 } | } & { \leq C \sum _ { y _ { \alpha } \in \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { d } \setminus B _ { 1 } } \int _ { Q _ { \alpha } } \frac { h } { | y | ^ { d + s p + 1 } } \, \mathrm { d } y \leq C h \int _ { \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { d } \setminus B _ { 1 / 2 } } \frac { \, \mathrm { d } y } { | y | ^ { d + s p + 1 } } \leq C h . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m s u p } _ { N \to \infty } \langle ( \bar { \rho } _ { N } - n ) e _ { 3 } , v _ { N } \rangle } & { = \operatorname* { l i m s u p } _ { N \to \infty } N ^ { - 2 / 3 } \| \nabla v _ { N } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } \\ & { = \operatorname* { l i m s u p } _ { N \to \infty } N ^ { - 2 / 3 } \left( \| \nabla v _ { N , 1 } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ) } ^ { 2 } + \| \nabla v _ { \infty , 3 } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } \right) , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { 1 } ( \gamma _ { 2 1 } ^ { 2 } ) - E _ { 2 } ( \gamma _ { 1 1 } ^ { 2 } ) } & { = 2 \lambda ^ { 2 } - ( \gamma _ { 1 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } - ( \gamma _ { 2 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } - ( \gamma _ { 1 1 } ^ { 3 } ) ^ { 2 } , } \\ { E _ { 1 } ( \gamma _ { 1 1 } ^ { 3 } ) } & { = 0 , } \\ { E _ { 2 } ( \gamma _ { 1 1 } ^ { 3 } ) } & { = 0 , } \\ { E _ { 3 } ( \gamma _ { 1 1 } ^ { 2 } ) } & { = \gamma _ { 1 1 } ^ { 2 } \gamma _ { 1 1 } ^ { 3 } , } \\ { E _ { 3 } ( \gamma _ { 2 1 } ^ { 2 } ) } & { = \gamma _ { 2 1 } ^ { 2 } \gamma _ { 1 1 } ^ { 3 } , } \\ { E _ { 3 } ( \gamma _ { 1 1 } ^ { 3 } ) } & { = ( \gamma _ { 1 1 } ^ { 3 } ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \dot { p } = v , } \\ { \dot { A } _ { B } = A _ { B } \hat { \Omega } _ { B } , } \\ { m \dot { v } = m \mathrm { g } e _ { 3 } + F _ { c } + F _ { B } + F _ { w } , } \\ { J _ { B } \dot { \Omega } _ { B } = \hat { \Omega } _ { B } J _ { B } \Omega _ { B } + \Gamma _ { c } + \Gamma _ { B } + \Gamma _ { w } , } \end{array} \right. } \end{array}
\widehat { \tau } _ { j _ { 0 } } \geq C _ { 1 } \operatorname* { m a x } \{ { \mathscr { E } ^ { * } } _ { \mathcal { T } _ { \mathcal { I } _ { 0 } } } ^ { 2 } , { \mathscr { E } ^ { * } } _ { \mathcal { G } _ { \mathcal { I } _ { 0 } } } ^ { 2 } \} \frac { \sigma ^ { 2 } \log ( e p ) } { n } , \quad \mathrm { i f ~ { \mathscr { E } ^ { * } } _ { \mathcal { G } _ { \mathcal { I } _ 0 } } ~ \notin ~ ( { \mathscr { E } ^ { * } } _ { \mathcal { T } _ { \mathcal { I } _ 0 } } , ~ \mathscr { E } _ { \mathcal { T } _ { \mathcal { I } _ 0 } } ) ~ } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { D } _ { 3 } ^ { 2 } ( t _ { 0 } ) = } & { \sum _ { i = 0 } ^ { 2 } \sum _ { j = \operatorname* { m i n } ( 1 , i ) } ^ { i } \sum _ { k _ { 2 } = 0 } ^ { k _ { 0 } } \sum _ { \iota \in \mathcal { Q } _ { k _ { 0 } + 1 + k _ { 2 } , i , j } } \sum _ { ( \boldsymbol { x } ^ { 1 } , \boldsymbol { x } ^ { 2 } ) \in \mathcal { X } _ { \neq } ^ { k _ { 0 } + k _ { 2 } - i + 1 } } \sum _ { \alpha \in \mathbb { N } ^ { k _ { 0 } } \times \{ 1 \} } \sum _ { \tilde { \alpha } \in \mathbb { N } _ { 0 } } \left( \frac { i \lambda } { \hbar } \right) ^ { | \alpha | + \tilde { \alpha } } \int _ { [ 0 , t _ { 0 } ] _ { \leq } ^ { | \alpha | + \tilde { \alpha } } } U _ { \hbar , \lambda } ( - t _ { | \alpha | } ) } \\ & { \times U _ { \hbar , 0 } ( t _ { | \alpha | } ) \prod _ { m = 1 } ^ { k _ { 0 } } \prod _ { i = \beta _ { m - 1 } + 1 } ^ { \beta _ { m } } V _ { \hbar , x _ { \iota ( m ) } } ^ { t _ { i + \tilde { \alpha } } } \prod _ { i = 1 } ^ { \tilde { \alpha } } V _ { \hbar , x _ { \iota ( k _ { 2 } ) } ^ { 2 } } ^ { t _ { i } } \, d \boldsymbol { t } _ { | \alpha | + \tilde { \alpha } , 1 } U _ { \hbar , 0 } ( - t _ { 0 } ) \mathcal { T } ( \iota , k _ { 2 } , \boldsymbol { x } ^ { 2 } , t _ { 0 } ; \hbar ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \{ J _ { t , m } : m \in [ M _ { t } ] \} } \\ & { } & { \cap ( ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } + ( t - 1 ) L _ { 0 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } , ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } + ( t - 1 \slash 2 ) L _ { 0 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } ] \cap \mathbb { N } ^ { * } , } \end{array}
\begin{array} { r } { M ^ { \gamma - 1 } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } v ^ { \gamma } g _ { \textup { i n } } ( a , v ) \textup { d } v \textup { d } a + M ^ { 1 - \tilde { m } } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } v ^ { \tilde { m } } g _ { \textup { i n } } ( a , v ) \textup { d } v \textup { d } a + M ^ { - \frac { 2 } { 3 } } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } v ^ { \frac { 1 } { 3 } } g _ { \textup { i n } } ( a , v ) \textup { d } v \textup { d } a \leq \frac { M _ { 0 , 1 } ( g _ { \textup { i n } } ) } { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| L _ { \gamma _ { 1 } } ^ { * } ( f _ { 2 } - f _ { 1 } ) \| _ { L _ { \rho } ^ { 2 } ( \Omega , \gamma _ { 1 } ) } ^ { 2 } } & { = \int _ { \Omega } ( f _ { 2 } - f _ { 1 } ) ( b ( \gamma _ { 2 } ) - b ( \gamma _ { 1 } ) ) \zeta f ^ { m } d \mu _ { \gamma _ { 1 } } + \int _ { \Omega } ( f _ { 2 } - f _ { 1 } ) \mathscr E d \mu _ { \gamma _ { 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { P } _ { \beta } ( \boldsymbol { \theta } ) } & { = \boldsymbol { \Sigma } _ { 1 1 , \beta } ( \boldsymbol { \theta } ) \boldsymbol { K } _ { \beta } ( \boldsymbol { \theta } ) \boldsymbol { \Sigma } _ { 1 1 , \beta } ^ { T } ( \boldsymbol { \theta } ) , } \\ { \boldsymbol { Q } _ { \beta } ( \boldsymbol { \theta } ) } & { = \boldsymbol { \Sigma } _ { 2 1 , \beta } ( \boldsymbol { \theta } ) \boldsymbol { K } _ { \beta } ( \boldsymbol { \theta } ) \boldsymbol { \Sigma } _ { 2 1 , \beta } ^ { T } ( \boldsymbol { \theta } ) , } \\ { \boldsymbol { R } _ { \beta } ( \boldsymbol { \theta } ) } & { = \boldsymbol { \Sigma } _ { 1 1 , \beta } ( \boldsymbol { \theta } ) \boldsymbol { K } _ { \beta } ( \boldsymbol { \theta } ) \boldsymbol { \Sigma } _ { 2 1 , \beta } ^ { T } ( \boldsymbol { \theta } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \mathcal { V } _ { \epsilon , 2 } ( t , \cdot ) \| _ { L ^ { \infty } } = \mathcal { V } _ { \epsilon , 2 } ( t , 0 ) = } & { \mu _ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } g ( s ) \int _ { - \infty } ^ { \infty } \Psi ( t - s , \sigma ) h _ { \epsilon } ^ { \prime } ( \sigma ) \mathcal { V } _ { 2 } ( s , \sigma ) d \sigma d s } \\ & { - \mu _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { t } g ( s ) \int _ { - \infty } ^ { \infty } \partial _ { \sigma } \left[ \Psi ( t - s , \sigma ) h _ { \epsilon } ( \sigma ) \right] \mathcal { V } _ { 2 } ( s , \sigma ) d \sigma d s } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \Psi ( t - s , \sigma ) d ( s , \sigma ) d \sigma d s . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle \Psi _ { 0 } | \dag , \hat { \mathcal { P } } _ { G } ^ { \dagger } \dag , c _ { i \alpha } ^ { \dagger } c _ { j \beta } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , \hat { \mathcal { P } } _ { G } \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle } & { = \sum _ { a = 1 } ^ { B { \nu } _ { i } } \sum _ { b = 1 } ^ { B { \nu } _ { j } } \langle \Psi _ { 0 } | \dag , \left( [ \mathcal { R } _ { i } ] _ { a \alpha } f _ { i a } ^ { \dagger } \right) \left( [ \mathcal { R } _ { j } ] _ { \beta b } ^ { \dagger } f _ { j b } ^ { \phantom { \dagger } } \right) \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle \qquad \forall \dag , i \neq j \dag , , \dag \langle \Psi _ { 0 } | \dag , \hat { \mathcal { P } } _ { G } ^ { \dagger } \dag , \hat { H } _ { l o c } ^ { i } [ c _ { i \alpha } ^ { \dagger } , c _ { i \alpha } ^ { \phantom { \dagger } } ] \dag , \hat { \mathcal { P } } _ { G } \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle } & { = \langle \Psi _ { 0 } | \dag , \hat { \mathcal { P } } _ { i } ^ { { \dagger } } \dag , \hat { H } _ { l o c } ^ { i } [ c _ { i \alpha } ^ { \dagger } , c _ { i \alpha } ^ { \phantom { \dagger } } ] \dag , \hat { \mathcal { P } } _ { i } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle \dag , , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { F } _ { \mathrm { E i } } ^ { o } ( x ) \! = \! \frac { 1 } { \nu ( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } ) \ln { \rho } } \mathrm { E i } \! \! \left[ \! - e ^ { \mu ( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } ) } \! \! \left( \! \frac { 2 ( k _ { \mathbb { B } } \! + \! 1 ) \gamma _ { t h } x } { P _ { a } L _ { a b } ^ { o , \mathbb { B } } } \! \right) ^ { \! \! \! \frac { \nu ( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } ) } { 2 } } \! \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Y ^ { * } \hat { H } _ { r } Y } & { = Y ^ { * } S ^ { - * } ( P _ { 2 s _ { 1 } } \oplus P _ { 2 s _ { 2 } } ) S ^ { - 1 } Y } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l l l l l l l } { I _ { s _ { 1 } - 1 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 _ { s _ { 1 } - 1 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { I _ { s _ { 2 } - 1 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 _ { s _ { 2 } - 1 } } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] ( P _ { 2 s _ { 1 } } \oplus P _ { 2 s _ { 2 } } ) \left[ \begin{array} { l l l l } { I _ { s _ { 1 } - 1 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 _ { s _ { 1 } - 1 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { I _ { s _ { 2 } - 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 _ { s _ { 2 } - 1 } } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] . } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l l l l l l l } { I _ { s _ { 1 } - 1 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 _ { s _ { 1 } - 1 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { I _ { s _ { 2 } - 1 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 _ { s _ { 2 } - 1 } } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 _ { s _ { 1 } - 1 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { P _ { s _ { 1 } - 1 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 _ { s _ { 2 } - 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } \\ { 0 } & { P _ { s _ { 2 } - 1 } } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { C _ { 1 } ( t ) = } & { \frac { k _ { i n } } { v _ { p } k _ { e l } } ( e ^ { k _ { e l } t ^ { \prime } } - 1 ) e ^ { - k _ { e l } t } } \\ { * } & { C _ { 2 } ( t ) = } & { \frac { k _ { i n } k ^ { t r a n s } } { v _ { e } } \times } \\ { * } & { } & { \times \left[ v ( e ^ { k _ { e l } t ^ { \prime } } - 1 ) e ^ { - k _ { e l } t } - u ( e ^ { k _ { e p } t ^ { \prime } } - 1 ) e ^ { - k _ { e p } t } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \forall i , j \in \{ 1 , \ldots , 2 \} \; , \; } & { i \neq j \Longrightarrow \left( \rho _ { i } \not \equiv \rho _ { j } \mathrm { ~ a n d ~ } \sigma _ { i } \not \equiv \sigma _ { j } \right) , } \\ { \forall k , l \in \{ 1 , \ldots , 4 \} \; , \; } & { k \neq l \Longrightarrow x _ { k } \not \equiv x _ { l } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E - \Phi ( u ) = \Phi ( u _ { 2 } ( E ) ) - \Phi ( u ) } & { = - \int _ { u } ^ { u _ { 2 } ( E ) } \big ( \sigma ( z ) - \sigma ( u _ { + } ) - s ^ { 2 } ( z - u _ { + } ) \big ) ~ d z } \\ & { > m \int _ { u } ^ { u _ { 2 } ( E ) } ( z - u _ { + } ) ~ d z } \\ & { = \frac { m } { 2 } ( u _ { 2 } ( E ) - u ) \left( u _ { 2 } ( E ) + u - 2 u _ { + } \right) \ , } \\ { \int _ { u _ { + } } ^ { u _ { 2 } ( E ) } \frac { d u } { \sqrt { 2 ( E - \Phi ( u ) } ) } } & { \le \frac { 1 } { \sqrt { m } } \int _ { 0 } ^ { u _ { 2 } ( E ) - u _ { + } } \frac { d s } { \sqrt { s \big ( 2 ( u _ { 2 } ( E ) - u _ { + } ) - s \big ) } } < \infty \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { W \setminus \pi ( \widetilde { W } ) = \pi ( T _ { 0 } ^ { * } { \mathbb R } ^ { n } \times \! \{ - 1 , 1 \} ) \subseteq \pi ( \mathcal { O } ) } & { \subseteq \pi ( { \mathbb R } ^ { 2 n } \times \{ - 1 , 1 \} ) = W \setminus Y , } \\ { W \setminus \pi ( { \mathbb R } ^ { 2 n } \times \{ - 1 , 1 \} ) = Y \subseteq \pi ( \mathcal { V } ) } & { \subseteq \pi ( \widetilde { W } ) = W \setminus \pi ( T _ { 0 } ^ { * } { \mathbb R } ^ { n } \times \! \{ - 1 , 1 \} ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { 1 } } & { = W _ { 1 , 1 } + W _ { 1 , 1 + 1 } + W _ { 1 , 1 + 2 } , } \\ { c _ { i } } & { = W _ { i , i } + W _ { i , i - 1 } + W _ { i , i + 1 } + W _ { i , i - 2 } + W _ { i , i + 2 } , \quad i = 2 , \cdots , N - 2 , } \\ { c _ { N - 1 } } & { = W _ { N - 1 , N - 1 } + W _ { N - 1 , N - 2 } + W _ { N - 1 , N - 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 6 + 4 \gamma } \mathbb E \Big ( \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ( t ) d t \Big ) ^ { 2 } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 4 + 2 \gamma } \mathbb E \Big ( \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ( t ) ) d t \Big ) ^ { 2 } } \longrightarrow \alpha _ { 1 } \ge 1 \mathrm { ~ i n ~ p r o b a b i l i t y ~ w h e n ~ } \, N , T \rightarrow \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { i q _ { \rho } \widetilde { { M ^ { 0 } } } _ { 5 , a } ^ { \rho \mu \nu } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , m _ { u } , m _ { d } , m _ { s } ) = } \\ & { } & { i q _ { \rho } { M ^ { 0 } } _ { 5 , a } ^ { \rho \mu \nu } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , m _ { u } , m _ { d } , m _ { s } ) - i \sum _ { j } c _ { j } q _ { \rho } { M ^ { 0 } } _ { 5 , a } ^ { \rho \mu \nu } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , M _ { u } ^ { j } , \beta M _ { u } ^ { j } , \chi M _ { u } ^ { j } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 2 \langle \alpha _ { 1 i } ( t ) N _ { 1 } ( t ) \rangle = \langle \frac { 2 u _ { 1 i } k } { \xi } e ^ { - C \sigma _ { i } t } } \\ & { \times \int _ { 0 } ^ { t } N _ { 1 } ( \tau ) N _ { 1 } ( t ) e ^ { C \sigma _ { i } \tau } d \tau \rangle } \\ & { - \langle \frac { 2 u _ { 1 i } } { \xi } e ^ { - C \sigma _ { i } t } \int _ { 0 } ^ { t } f ( \tau ) N _ { 1 } ( t ) e ^ { C \sigma _ { i } \tau } d \tau \rangle } \end{array}
\boxed { \left\langle \mathcal { O } _ { \lambda _ { 1 } , \rho _ { 1 } } ^ { R , S , T } ( \bar { \Lambda } , Z ) \overline { { \mathcal { O } _ { \lambda _ { 2 } , \rho _ { 2 } } ^ { R ^ { \prime } , S ^ { \prime } , T ^ { \prime } } ( \bar { \Lambda } , Z ) } } \right\rangle = m ! \delta _ { R R ^ { \prime } } \delta _ { S S ^ { \prime } } \delta _ { T T ^ { \prime } } \delta _ { \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } } \mathcal { O } _ { \mathrm { u n } ; \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } } ^ { R , S , T } ( \bar { \Lambda } , \Lambda ) }
\begin{array} { r l } { \rho \hat { \psi } ^ { \mathrm { I I } } = } & { ~ \left( \frac { \rho _ { 1 } \kappa _ { 1 } } { 2 \varepsilon } + \frac { \rho _ { 2 } \kappa _ { 2 } } { 2 \varepsilon } \right) F ( \phi ) + \frac { \rho _ { 1 } \kappa _ { 1 } \varepsilon + \rho _ { 2 } \kappa _ { 2 } \varepsilon } { 4 } \| \nabla \phi \| ^ { 2 } } \\ & { ~ + \left( \frac { \rho _ { 1 } \kappa _ { 1 } } { 2 \varepsilon } - \frac { \rho _ { 2 } \kappa _ { 2 } } { 2 \varepsilon } \right) \phi F ( \phi ) + \frac { \rho _ { 1 } \kappa _ { 1 } \varepsilon - \rho _ { 2 } \kappa _ { 2 } \varepsilon } { 4 } \phi \| \nabla \phi \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sum _ { j = n + 1 } ^ { \infty } \frac { \alpha ^ { j / 2 } } { \alpha - \alpha ^ { j } } } & { \leq } & { \mathcal { B } _ { n } ( \alpha ) \quad \mathrm { s o ~ t h a t } } \\ { \sum _ { j = 2 } ^ { \infty } \frac { \alpha ^ { j / 2 } } { \alpha - \alpha ^ { j } } } & { \leq } & { \mathcal { B } _ { n } ^ { * } ( \alpha ) : = \sum _ { j = 2 } ^ { n } F ( j ) + \mathcal { B } _ { n } ( \alpha ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { s _ { n } } & { = a r ^ { 0 } + a r ^ { 1 } + \cdots + a r ^ { n - 1 } , } \\ { r s _ { n } } & { = a r ^ { 1 } + a r ^ { 2 } + \cdots + a r ^ { n } , } \\ { s _ { n } - r s _ { n } } & { = a r ^ { 0 } - a r ^ { n } , } \\ { s _ { n } \left( 1 - r \right) } & { = a \left( 1 - r ^ { n } \right) , } \\ { s _ { n } } & { = a \left( { \frac { 1 - r ^ { n } } { 1 - r } } \right) , { \mathrm { ~ f o r ~ } } r \neq 1 . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } & { } & { \mu _ { 2 1 } ( m _ { i } , m _ { j } , m _ { k } ) } \\ & { \! \! = \! \! } & { - m _ { i } ^ { 1 1 } m _ { j } ^ { 2 } + m _ { i } ^ { 1 1 } m _ { k } ^ { 2 } + 4 m _ { i } ^ { 9 } m _ { j } ^ { 2 } m _ { k } ^ { 2 } + 3 m _ { i } ^ { 8 } m _ { j } ^ { 3 } m _ { k } ^ { 2 } + 3 1 m _ { i } ^ { 9 } m _ { k } ^ { 4 } + 3 1 m _ { i } ^ { 8 } m _ { j } m _ { k } ^ { 4 } - 6 m _ { i } ^ { 7 } m _ { j } ^ { 2 } m _ { k } ^ { 4 } } \\ & { } & { - 9 m _ { i } ^ { 6 } m _ { j } ^ { 3 } m _ { k } ^ { 4 } - 3 m _ { i } ^ { 5 } m _ { j } ^ { 4 } m _ { k } ^ { 4 } + 3 1 m _ { i } ^ { 7 } m _ { k } ^ { 6 } + 6 2 m _ { i } ^ { 6 } m _ { j } m _ { k } ^ { 6 } + 3 5 m _ { i } ^ { 5 } m _ { j } ^ { 2 } m _ { k } ^ { 6 } + 9 m _ { i } ^ { 4 } m _ { j } ^ { 3 } m _ { k } ^ { 6 } + 6 m _ { i } ^ { 3 } m _ { j } ^ { 4 } m _ { k } ^ { 6 } } \\ & { } & { + m _ { i } ^ { 2 } m _ { j } ^ { 5 } m _ { k } ^ { 6 } + m _ { i } ^ { 5 } m _ { k } ^ { 8 } + 3 m _ { i } ^ { 4 } m _ { j } m _ { k } ^ { 8 } + 2 m _ { i } ^ { 3 } m _ { j } ^ { 2 } m _ { k } ^ { 8 } - 2 m _ { i } ^ { 2 } m _ { j } ^ { 3 } m _ { k } ^ { 8 } - 3 m _ { i } m _ { j } ^ { 4 } m _ { k } ^ { 8 } - m _ { j } ^ { 5 } m _ { k } ^ { 8 } , } \end{array}
f ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { - 0 . 1 5 2 2 x ^ { 3 } + 0 . 9 9 3 7 x , } & { { \mathrm { i f ~ } } x \in [ 0 , 1 ] , } \\ { - 0 . 0 1 2 5 8 x ^ { 3 } - 0 . 4 1 8 9 x ^ { 2 } + 1 . 4 1 2 6 x - 0 . 1 3 9 6 , } & { { \mathrm { i f ~ } } x \in [ 1 , 2 ] , } \\ { 0 . 1 4 0 3 x ^ { 3 } - 1 . 3 3 5 9 x ^ { 2 } + 3 . 2 4 6 7 x - 1 . 3 6 2 3 , } & { { \mathrm { i f ~ } } x \in [ 2 , 3 ] , } \\ { 0 . 1 5 7 9 x ^ { 3 } - 1 . 4 9 4 5 x ^ { 2 } + 3 . 7 2 2 5 x - 1 . 8 3 8 1 , } & { { \mathrm { i f ~ } } x \in [ 3 , 4 ] , } \\ { 0 . 0 5 3 7 5 x ^ { 3 } - 0 . 2 4 5 0 x ^ { 2 } - 1 . 2 7 5 6 x + 4 . 8 2 5 9 , } & { { \mathrm { i f ~ } } x \in [ 4 , 5 ] , } \\ { - 0 . 1 8 7 1 x ^ { 3 } + 3 . 3 6 7 3 x ^ { 2 } - 1 9 . 3 3 7 0 x + 3 4 . 9 2 8 2 , } & { { \mathrm { i f ~ } } x \in [ 5 , 6 ] . } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } _ { P } \left( \widehat { \mu } _ { T } ^ { \mathrm { H I R } , a ^ { * } ( P ) } \leq \widehat { \mu } _ { T } ^ { \mathrm { H I R } , a } \right) \leq \exp \left( - \frac { T ( \Delta ^ { a } ( P ) ) ^ { 2 } } { 2 V ^ { a } ( P ) } + \left\{ \frac { \sqrt { T } \Delta ^ { a } ( P ) } { \sqrt { V ^ { a } ( P ) } } + \frac { T ( \Delta ^ { a } ( P ) ) ^ { 2 } } { 2 V ^ { a } ( P ) } \right\} \varepsilon \right) . } \end{array}
\mathfrak { X } _ { i } ( z ) = \prod _ { j = i } ^ { N + i - 1 } \mathfrak { T } _ { i } ( x ) \quad \mathrm { w h e r e } \quad \mathfrak { T } _ { i } ( z ) = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { \operatorname { I } } \\ { - \mathcal { A } _ { j } ^ { - 1 } \mathcal { A } _ { j - 1 } ^ { * } } & { \mathcal { A } _ { j } ^ { - 1 } ( z \operatorname { I } - \mathcal { B } _ { j } ) } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \dot { \mathcal { P } } _ { j } ( t ) } & { = a _ { j } \mathcal { P } _ { j } ( t ) + Q b _ { j } \tilde { \mathcal { P } } _ { j } ( t ) + \xi _ { j } , } \\ { \dot { \tilde { \mathcal { P } } } _ { j } ( t ) } & { = a _ { j } \tilde { \mathcal { P } } _ { j } ( t ) - Q ( t ) b _ { j } \mathcal { P } _ { j } ( t ) + \tilde { \xi } _ { j } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \ensuremath { \mathbb E } } _ { \rho } \left[ \left( \int _ { { \ensuremath { \mathbb R } } ^ { d } } h ( x ) \xi ( d x ) \right) ^ { 2 } \right] = { \ensuremath { \mathbb E } } _ { \rho } \left[ \int _ { { \ensuremath { \mathbb R } } ^ { d } } g ( x , \xi ) \xi ( d x ) \right] = } \\ & { = \rho \int _ { { \ensuremath { \mathbb R } } ^ { d } } d x { \ensuremath { \mathbb E } } _ { \rho } [ g ( x , \xi \cup \{ x \} ) ] = \rho \int _ { { \ensuremath { \mathbb R } } ^ { d } } d x { \ensuremath { \mathbb E } } _ { \rho } \left[ \left( h ( x ) + \int _ { { \ensuremath { \mathbb R } } ^ { d } } \xi ( d y ) h ( y ) \right) h ( x ) \right] = } \\ & { = \rho \int _ { { \ensuremath { \mathbb R } } ^ { d } } d x \, h ^ { 2 } ( x ) + \rho \int _ { { \ensuremath { \mathbb R } } ^ { d } } d x \, h ( x ) { \ensuremath { \mathbb E } } _ { \rho } \left[ \int _ { { \ensuremath { \mathbb R } } ^ { d } } \xi ( d y ) g ( y ) \right] = } \\ & { = \rho \int _ { { \ensuremath { \mathbb R } } ^ { d } } d x \, h ^ { 2 } ( x ) + \rho ^ { 2 } \left( \int _ { { \ensuremath { \mathbb R } } ^ { d } } d x \, h ( x ) \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\gamma _ { i j } ^ { \prime } = \left\{ \begin{array} { l l } { - \frac { 1 } { 2 } \gamma _ { 5 1 } ^ { \prime } , } & { \mathrm { i f ~ } j = 1 } \\ { - \frac { 1 } { 2 } \gamma _ { 5 2 } ^ { \prime } , } & { \mathrm { i f ~ } j = 2 } \\ { 3 \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } c _ { 3 } ^ { ( 2 ) , m } c _ { 3 } ^ { ( 2 ) , m ^ { \prime } } ( \mathscr { C } _ { m ; t _ { 1 } t _ { 1 } n } ^ { m ^ { \prime } ; t _ { 1 } t _ { 1 } } - \frac { \mathscr { C } _ { 0 ; n } ^ { m ^ { \prime } ; t _ { 1 } t _ { 1 } } I _ { m ; t _ { 1 } t _ { 1 } n } ^ { 0 } } { I _ { 0 ; n } ^ { 0 } } ) , } & { \mathrm { i f ~ } j = 3 } \\ { 3 \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } c _ { 3 } ^ { ( 2 ) , m } c _ { 3 } ^ { ( 2 ) , m ^ { \prime } } ( \mathscr { C } _ { m ; t _ { 1 } t _ { 1 } n } ^ { m ^ { \prime } ; t _ { 2 } t _ { 2 } } - \frac { \mathscr { C } _ { 0 ; n } ^ { m ^ { \prime } ; t _ { 2 } t _ { 2 } } I _ { m ; t _ { 1 } t _ { 1 } n } ^ { 0 } } { I _ { 0 ; n } ^ { 0 } } ) , } & { \mathrm { i f ~ } j = 4 } \\ { - \frac { 1 } { 2 } \gamma _ { 5 4 } ^ { \prime } , } & { \mathrm { i f ~ } j = 5 } \end{array} \right. , \mathrm { ~ f o r ~ } i = 6 .
\left\{ \begin{array} { r c l l } { - \partial _ { i } \left( G g ^ { i j } \partial _ { j } p \right) } & { = } & { \partial _ { i j } ^ { 2 } \left( G u ^ { i } u ^ { j } \right) + G A } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega \cap U } \\ { \partial _ { r } p ( 0 , \theta ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } \theta \in \Theta . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { B _ { 2 } ( z ) } & { = } & { - { h _ { 1 } h _ { 2 } } ( 1 - \frac { 1 } { N } ) \sum _ { j = 1 } ^ { N } : J _ { j } ( z ) J _ { j } ( z ) : + \frac { 2 h _ { 1 } h _ { 2 } } { N } \sum _ { j < k } : J _ { j } ( z ) J _ { k } ( z ) : } \\ & { } & { - { \alpha _ { 0 } h _ { 1 } h _ { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( N + 1 - 2 j ) J _ { j } ^ { \prime } ( z ) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r c l l } { - \nabla \cdot ( \epsilon _ { o x } \nabla u _ { i } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } ~ \Omega _ { i } , ~ ~ i = 1 , 2 , } \\ { - d ( \epsilon _ { / / } u _ { \gamma } ^ { \prime } ) ^ { \prime } } & { = } & { \rho - \epsilon _ { o x } ( \nabla u _ { 1 } \cdot n _ { 1 } + \nabla u _ { 2 } \cdot n _ { 2 } ) } & { \mathrm { o n } ~ \gamma , } \\ { ( u _ { i } - u _ { \gamma } ) + \alpha \ \epsilon _ { o x } \nabla u _ { i } \cdot n _ { i } } & { = } & { 0 , } & { \mathrm { o n } ~ \gamma , } \\ { u _ { i } } & { = } & { 0 } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { D } ^ { i } , } \\ { \epsilon _ { o x } \nabla u _ { i } \cdot n _ { i } } & { = } & { 0 } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { N } ^ { i } , } \\ { u _ { \gamma } ( 0 ) = u _ { \gamma } ( L ) } & { = } & { 0 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \Pr _ { \boldsymbol \pi } \left( \lambda _ { \mathrm { m a x } } \left( \sum _ { j } F _ { j } ( s _ { j } ) \right) \geq t \right) } & { \leq e ^ { - \theta t } \mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } \left[ \operatorname { t r } \exp \left( \theta \sum _ { j } F _ { j } ( s _ { j } ) \right) \right] } \\ & { \leq d ^ { 1 - \pi / 4 } \int _ { \frac { - \pi } { 2 } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } M _ { F } \left( \frac { 4 } { \pi } \theta \right) \, d \mu ( \varphi ) } \\ & { = d ^ { 1 - \pi / 4 } \exp \left( - \theta t + \log M _ { F } \left( \frac { 4 } { \pi } \theta \right) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \langle \xi _ { a c } ^ { \dagger } ( t ) b _ { a c } ( t ) \rangle } \\ & { } & { = \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { i \omega _ { 1 } t } d \omega _ { 1 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - i \omega _ { 2 } t } \langle \bar { \xi } _ { a c } ^ { \dagger } ( \omega _ { 1 } ) \bar { b } _ { a c } ( \omega _ { 2 } ) \rangle d \omega _ { 2 } , } \\ & { } & { = - \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { i \omega _ { 1 } t } d \omega _ { 1 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - i \omega _ { 2 } t } \frac { i g _ { \mathrm { o m } } \sqrt { \gamma _ { \mathrm { o } } } \langle \bar { \xi } _ { a c } ^ { \dagger } ( \omega _ { 1 } ) \bar { \xi } _ { a s } ( \omega _ { 2 } ) \rangle + \left[ i ( \omega _ { 2 } + \Delta _ { 1 } ) - \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } } { 2 } \right] \sqrt { \Gamma _ { \mathrm { m } } } \langle \bar { \xi } _ { a c } ^ { \dagger } ( \omega _ { 1 } ) \bar { \xi } _ { a c } ( \omega _ { 2 } ) \rangle } { g _ { \mathrm { o m } } ^ { 2 } + \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 4 } - ( \omega _ { 2 } + \Delta _ { 1 } ) ( \omega _ { 2 } + \Delta _ { 2 } ) - i \left[ \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } } { 2 } ( \omega _ { 2 } + \Delta _ { 2 } ) + \frac { \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 2 } ( \omega _ { 2 } + \Delta _ { 1 } ) \right] } d \omega _ { 2 } } \\ & { } & { = - \frac { \sqrt { \Gamma _ { \mathrm { m } } } n _ { t h } } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { i ( \omega + \Delta _ { 1 } ) - \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } } { 2 } } { g _ { \mathrm { o m } } ^ { 2 } + \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 4 } - ( \omega + \Delta _ { 1 } ) ( \omega + \Delta _ { 2 } ) - i \left[ \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } } { 2 } ( \omega + \Delta _ { 2 } ) + \frac { \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 2 } ( \omega + \Delta _ { 1 } ) \right] } d \omega , } \end{array}
\phi ( z ) = \left\{ \begin{array} { l l } { h ( z ) - 2 Q \log | z | _ { + } + \sum _ { i = 1 } ^ { m } \frac { \beta _ { i } } { 2 } G _ { \mathbb H } ( z , s _ { i } ) + \mathbf c } & { \qquad \mathrm { i f ~ s _ 1 \neq ~ \infty ~ , } } \\ { h ( z ) + ( \beta _ { 1 } - 2 Q ) \log | z | _ { + } + \sum _ { i = 2 } ^ { m } \frac { \beta _ { i } } { 2 } G _ { \mathbb H } ( z , s _ { i } ) + \mathbf c } & { \qquad \mathrm { i f ~ s _ 1 = \infty ~ . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \sum _ { k = 1 } ^ { N + 1 } \frac { \left( - 1 \right) ^ { N + 1 + k } \left( 2 k - 1 \right) \left( 2 N \right) ! \ln \left( k \right) } { \left( N + 1 - k \right) ! \left( k + N \right) ! } = \ln \left( N + 1 \right) } \\ { - \sum _ { n = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \frac { \left( - 1 \right) ^ { n + k } \left( 2 k - 1 \right) } { \left( n - k \right) ! \left( k + n - 1 \right) ! } \frac { \left( N + n - 1 \right) ! \ln \left( k \right) } { \left( N + 1 - n \right) ! } . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { x _ { 0 } } \\ { x _ { 1 } } \\ { x _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { x _ { N } } \end{array} \right] \mapsto \left[ \begin{array} { l } { \sum _ { i = 0 } ^ { N } a _ { 0 i } x _ { i } ^ { q } + g _ { 0 } ( x _ { 0 } ^ { p } , x _ { 1 } ^ { p } , x _ { 2 } ^ { p } , \cdots , x _ { N } ^ { p } ) } \\ { \sum _ { i = 0 } ^ { N } a _ { 1 i } x _ { i } ^ { q } + g _ { 1 } ( x _ { 0 } , x _ { 1 } ^ { p } , x _ { 2 } ^ { p } , \cdots , x _ { N } ^ { p } ) } \\ { \sum _ { i = 0 } ^ { N } a _ { 2 i } x _ { i } ^ { q } + g _ { 2 } ( x _ { 0 } , x _ { 1 } , x _ { 2 } ^ { p } , \cdots , x _ { N } ^ { p } ) } \\ { \vdots } \\ { \sum _ { i = 0 } ^ { N } a _ { N i } x _ { i } ^ { q } + g _ { N } ( x _ { 0 } , \cdots , x _ { N - 1 } , x _ { N } ^ { p } ) } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { D _ { \mu } | \xi | ( x ) = \operatorname* { l i m i n f } _ { \rho \rightarrow 0 } \frac { | \xi | ( B _ { \rho } ( x ) ) } { \mu ( B _ { \rho } ( x ) ) } } & { \leq \frac { \operatorname* { l i m i n f } _ { \rho \rightarrow 0 } \frac { | \xi | ( B _ { \rho } ( x ) ) } { \rho ^ { n } } } { \operatorname* { l i m s u p } _ { \rho \rightarrow 0 } \frac { \mu ( B _ { \rho } ( x ) ) } { \rho ^ { n } } } } \\ & { \leq \frac { \theta _ { * } ^ { n } ( | \xi | , x ) \omega _ { n } } { \bar { \theta } } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 ^ { + } } \frac { f ^ { \mathbf { L } } ( - t e _ { 1 } ) - f ( 0 ) } { - t } } & { = ( d + 1 ) f ^ { \mathbf { L } } ( 0 ) - \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 ^ { + } } \frac { f ^ { \mathbf { L ^ { \prime } } } ( t ) - f ( 0 ) } { t } } \\ & { = ( d + 1 ) f ^ { \mathbf { L } } ( 0 ) - \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 ^ { + } } \frac { f ^ { ( \overline { { L } } , \overline { { L } } ) } ( t ) - f ( 0 ) } { t } + \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 ^ { + } } \frac { f ^ { ( \overline { { L } } , \overline { { A } } ) } ( t ) - f ( 0 ) } { t } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 ^ { + } } \frac { f ^ { \mathbf { L } } ( t ) - f ( 0 ) } { t } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lambda _ { s p h } ( x ) } & { = } & { x \frac { \sqrt { x - \alpha ^ { 2 } ( 1 - \beta ^ { 2 } ) } - \alpha \beta } { \sqrt { h ( x ) } } , } \\ { \varepsilon _ { s p h } ( x ) } & { = } & { \frac { x ^ { 2 } - 2 x + \alpha ^ { 2 } ( 1 - \beta ^ { 2 } ) + \alpha \beta \sqrt { x - \alpha ^ { 2 } ( 1 - \beta ^ { 2 } ) } } { x \sqrt { h ( x ) } } = \frac { \sqrt { h ( x ) } } { x } + \frac { \sqrt { x - \alpha ^ { 2 } ( 1 - \beta ^ { 2 } ) } } { x ^ { 2 } } \lambda _ { s p h } ( x ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { i } ( q , T _ { m } ) } & { : = \operatorname* { l i m } _ { t \uparrow T _ { m } } \rho _ { i } ( q , t ) + \mathrm { Z } ( q ) \, , } \\ { \rho _ { i } ( q , T _ { m } , \omega ) \in L ^ { \infty } ( \mathrm { Q } ) \, , } & { \quad \mathrm { a n d } \quad \rho _ { i } ( q , T _ { m } , \omega ) \geq 0 \, , \quad \mathrm { ~ f o r ~ a . e . ~ } q \in \mathrm { Q } \, , \quad \mathbb { P } - \mathrm { a . s . } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { J _ { 1 0 } } } & { = \int _ { \Sigma } { { x _ { 2 } } J ( { x _ { 2 } } , { y _ { 2 } } ) d { x _ { 2 } } d { y _ { 2 } } } } \\ & { = \int _ { \Omega } { \left( { { a _ { 1 1 } } { x _ { 1 } } + { a _ { 1 2 } } { y _ { 1 } } + { b _ { 1 } } } \right) I ( { x _ { 1 } } , { y _ { 1 } } ) d { x _ { 1 } } d { y _ { 1 } } } } \\ & { = { a _ { 1 1 } } { I _ { 1 0 } } + { a _ { 1 2 } } { I _ { 0 1 } } + { b _ { 1 } } } \end{array} .
\begin{array} { r l } { \log N } & { = \log H - \frac { c } { 4 } \sqrt { \log H } - \log \log H } \\ & { = \log ( H + 1 ) \Bigl ( \frac { \log H } { \log ( H + 1 ) } - \frac { 1 } { 4 \sqrt { \log ( H + 1 ) } } - \frac { \log \log H } { \log ( H + 1 ) } \Bigr ) } \\ & { \ge \log ( H + 1 ) \Bigl ( \frac { \log 2 } { \log 3 } - \frac { 1 } { 4 \sqrt { \log 3 } } - \frac { 1 } { e } \Bigr ) \ge \frac { \log ( H + 1 ) } { 4 9 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lambda _ { 0 } } & { = } & { ( 1 - \Lambda _ { 0 0 } ) ^ { - 1 } \, \sum _ { \mathfrak { n } = 1 } ^ { \infty } \, \Lambda _ { 0 \mathfrak { n } } \, \lambda _ { \mathfrak { n } } } \\ & { = } & { [ ( \mathfrak { E } - 2 \, h _ { 0 0 } ) \, R ^ { 3 } - I _ { 0 0 } ] ^ { - 1 } \, \sum _ { \mathfrak { n } = 1 } ^ { \infty } \, I _ { 0 \mathfrak { n } } \, \lambda _ { \mathfrak { n } } \; } \end{array}
\frac { n ^ { 2 } } { w _ { i } ^ { 4 } } \sum _ { b _ { 1 } , c _ { 1 } , c _ { 2 } } \frac { 1 } { w _ { b _ { 1 } } ^ { 2 } w _ { c _ { 1 } } w _ { c _ { 2 } } } \Big ( \mathbb { P } \left( \triangle _ { a , b _ { 1 } , c _ { 1 } } , \triangle _ { a , b _ { 1 } , c _ { 2 } } \right) - \mathbb { P } \left( \triangle _ { a , b _ { 1 } , c _ { 1 } } \right) \mathbb { P } \left( \triangle _ { a , b _ { 1 } , c _ { 2 } } \right) \Big )
T _ { \mu \nu } ^ { \mathrm { G W } } = \frac { 1 } { 3 2 \pi } \left< \bar { h } _ { \alpha \beta , \mu } \bar { h } _ { \space \space , \nu } ^ { \alpha \beta } - \frac { 1 } { 2 } \bar { h } _ { , \mu } \bar { h } _ { \nu } - \bar { h } _ { \space \space , \beta } ^ { \alpha \beta } \bar { h } _ { \alpha \mu , \nu } - \bar { h } _ { \space \space , \beta } ^ { \alpha \beta } \bar { h } _ { \alpha \nu , \mu } \right> .
\begin{array} { r l } { \hat { w } _ { 1 , \ln } ^ { W } \ln { t } + \hat { w } _ { 1 } ^ { W } = } & { \; \frac { 3 ^ { 1 / 1 2 } } { 2 ^ { 1 / 3 } } w m ^ { P } ( 0 ) m _ { - } ^ { W } ( w ) \bigg \{ E _ { 1 } ^ { W } + e ^ { \alpha \hat { \tau } } \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { - i s y } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - i s y } & { 0 } \end{array} \right) \bigg \} m _ { + } ^ { W } ( w ) ^ { - 1 } m ^ { P } ( 0 ) ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { ( \overline { { \theta } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } ) _ { \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } } } & { = ( \iota _ { \overline { { Y } } } \mathrm { v o l } _ { \overline { { g } } } ) _ { \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } } , } & { \overline { { Y } } ^ { \overline { { \alpha } } } } & { : = - 2 \nu _ { \sigma } E _ { R } ^ { \sigma } \overline { { g } } ^ { \overline { { \alpha } } \overline { { \mu } } } \delta \overline { { \mathrm { e } } } _ { \overline { { \mu } } } ^ { R } , } \\ { ( \overline { { \theta } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } ) _ { \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } } } & { = ( \iota _ { \overline { { V } } } \mathrm { v o l } _ { \overline { { g } } } ) _ { \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } } , } & { \overline { { V } } ^ { \overline { { \alpha } } } } & { : = - \jmath _ { \overline { { \beta } } } ^ { \beta } ( \overline { { g } } ^ { \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } } \nu ^ { \lambda } \delta g _ { \lambda \beta } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | w _ { c } ( \tau ) - w _ { 0 } ( \tau ) | + | u _ { c } ( \tau ) - u _ { 0 } ( \tau ) | } & { \leq c K _ { T } \operatorname* { s u p } _ { | \zeta - \tau _ { 0 } | \leq { T } } | w _ { c } ( \zeta ) | } \\ & { \le c \, \bar { K } _ { T } \qquad \quad \mathrm { ~ f o r } \; | \tau - \tau _ { 0 } | \leq { T } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { C } _ { \phi _ { \alpha } } ( z ) } & { = \left[ k _ { \alpha , z } ( 1 - \overline { { \alpha } } z ) ( 1 - | z | ^ { 2 } - 2 i I m \{ \alpha \overline { { z } } \} ) \right] ^ { 2 } } \\ & { = \left[ k _ { \alpha , z } ( 1 - | z | ^ { 2 } + 2 i I m \{ \overline { { \alpha } } z \} - \overline { { \alpha } } z ( 1 - | z | ^ { 2 } ) + 2 i I m \{ \alpha \overline { { z } } \} \overline { { \alpha } } z ) \right] ^ { 2 } } \\ & { = k _ { \alpha , z } ^ { 2 } [ 1 - | z | ^ { 2 } + 2 i I m \{ \overline { { \alpha } } z \} - ( R e \{ \overline { { \alpha } } z \} + i I m \{ \overline { { \alpha } } z \} ) ( 1 - | z | ^ { 2 } ) } \\ & { \qquad - 2 i I m \{ \overline { { \alpha } } z \} ( R e \{ \overline { { \alpha } } z \} + i I m \{ \overline { { \alpha } } z \} ) ] ^ { 2 } } \\ & { = k _ { \alpha , z } ^ { 2 } [ 1 - | z | ^ { 2 } + 2 i I m \{ \overline { { \alpha } } z \} - ( 1 - | z | ^ { 2 } ) R e \{ \overline { { \alpha } } z \} - i ( 1 - | z | ^ { 2 } ) I m \{ \overline { { \alpha } } z \} } \\ & { \qquad - 2 i I m \{ \overline { { \alpha } } z \} R e \{ \overline { { \alpha } } z \} + 2 ( I m \{ \overline { { \alpha } } z \} ) ^ { 2 } ] ^ { 2 } } \\ & { = k _ { \alpha , z } ^ { 2 } [ 1 - | z | ^ { 2 } - ( 1 - | z | ^ { 2 } ) R e \{ \overline { { \alpha } } z \} + 2 ( I m \{ \overline { { \alpha } } z \} ) ^ { 2 } ) } \\ & { \qquad + i ( 2 I m \{ \overline { { \alpha } } z \} - ( 1 - | z | ^ { 2 } ) I m \{ \overline { { \alpha } } z \} - 2 I m \{ \overline { { \alpha } } z \} R e \{ \overline { { \alpha } } z \} ] ^ { 2 } } \\ & { = k _ { \alpha , z } ^ { 2 } [ ( 1 - | z | ^ { 2 } ) ( 1 - R e \{ \overline { { \alpha } } z \} ) + 2 ( I m \{ \overline { { \alpha } } z \} ) ^ { 2 } } \\ & { \qquad + i I m \{ \overline { { \alpha } } z \} ( 1 + | z | ^ { 2 } - 2 R e \{ \overline { { \alpha } } z \} ) ] ^ { 2 } } \end{array}
g ( 3 ) > \left( 3 - \operatorname { R e } ( z _ { 1 } ) \right) ^ { 2 } \left( 3 - \mathbb { R } e ( z _ { 2 } ) \right) ^ { 2 } > \left( 3 - | z _ { 1 } | \right) ^ { 2 } \left( 3 - \left| z _ { 2 } \right| ^ { 2 } \right) = \left( 3 - \left| z _ { 1 } \right| \right) ^ { 2 } \left( 3 - \frac { 1 } { | z _ { 1 } | } \right) ^ { 2 } = \left( 1 0 - 3 \left| z _ { 1 } \right| - 3 \frac { 1 } { \mid z _ { 1 } | } \right) ^ { 2 } > \left( \frac { 5 } { 2 } \right) ^ { 2 } > 4
\begin{array} { r } { P \left( \left. \mathrm { ~ k ^ { t h } ~ o u t b o u n d ~ e d g e ~ o f ~ \ell ~ a t t a c h e s ~ t o ~ i ~ } \right| G _ { \ell - 1 } , D _ { \ell } ^ { + } \right) } \\ { = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { c D _ { i } ( \ell - 1 , k - 1 ) + \beta D _ { i } ^ { + } } { \sum _ { j = 1 } ^ { \ell } ( c D _ { j } ( \ell - 1 , k - 1 ) + \beta D _ { j } ^ { + } ) } , } & { 1 \le i \le \ell - 1 , } \\ { \frac { c D _ { \ell } ( \ell - 1 , k - 1 ) + \beta ( k - 1 ) } { \sum _ { j = 1 } ^ { \ell } ( c D _ { j } ( \ell - 1 , k - 1 ) + \beta D _ { j } ^ { + } ) } , } & { i = \ell , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } [ \| s ^ { D } - \tilde { s } ^ { D } \| _ { K } ^ { 2 } ] } & { = } & { \mathbb { E } [ \| P ^ { D } ( \mathbb { E } [ \tilde { s } ( t , X _ { t } ) | X _ { t } ^ { D } ] - \mathbb { E } [ s ( t , X _ { t } ) | X _ { t } ^ { D } ] ) \| ^ { 2 } ] } \\ & { \leqslant } & { \mathbb { E } [ \| \mathbb { E } [ \tilde { s } ( t , X _ { t } ) - s ( t , X _ { t } ) | X _ { t } ^ { D } ] \| ^ { 2 } ] \leqslant \mathbb { E } [ \| s ( t , X _ { t } ) - \tilde { s } ( t , X _ { t } ) \| ^ { 2 } ] < \infty , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } [ \lambda ^ { \tau _ { \varepsilon } ^ { \eta } } ] \le \mathbb { E } [ \lambda ^ { \tau _ { \varepsilon } } ] \Big ( 1 + g ( \lambda ; C _ { 1 } , \lambda _ { \varepsilon } ) \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \Big ( \gamma ^ { 1 - p } g ( \lambda ^ { 1 / p } ; C _ { 1 } , \lambda _ { \varepsilon } ) ^ { p } \Big ) ^ { k } \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { p _ { \mathrm { e } } ( \phi _ { i } ^ { ( n ) } , \psi _ { i } ^ { ( n ) } | p _ { X _ { i } } ^ { n } ) \stackrel { \mathrm { ( a ) } } { \leq } \mathrm { e } ( n + 1 ) ^ { | { \cal X } _ { i } | } } \\ & { \qquad \qquad \times \{ 1 + ( n + 1 ) ^ { | { \cal X } _ { 1 } | } + ( n + 1 ) ^ { | { \cal X } _ { 2 } | } \} } \\ & { \qquad \qquad \times \sum _ { p _ { \overline { { X } } _ { i } } \in { \cal P } _ { n } ( { \cal X } _ { i } ) } \Pi _ { \overline { { X } } _ { i } } ( R _ { i } ) \mathrm { e } ^ { - n D ( p _ { \overline { { X } } _ { i } } | | p _ { X _ { i } } ) } } \\ & { \leq \mathrm { e } ( n + 1 ) ^ { | { \cal X } _ { i } | } \{ ( n + 1 ) ^ { | { \cal X } _ { i } | } + 1 \} | { \cal P } _ { n } ( { \cal X } _ { i } ) | \mathrm { e } ^ { - n E ( R _ { i } | p _ { X _ { i } } ) } } \\ & { \stackrel { \mathrm { ( b ) } } { \leq } \mathrm { e } ( n + 1 ) ^ { 2 | { \cal X } _ { i } | } \{ 1 + ( n + 1 ) ^ { | { \cal X } _ { 1 } | } + ( n + 1 ) ^ { | { \cal X } _ { 2 } | } \} } \\ & { \quad \times \mathrm { e } ^ { - n E ( R _ { i } | p _ { X _ { i } } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { X ( t ) = } & { b ( t , x ( t ) , y ( t ) , \alpha ( t ) ) d t + \sigma ( t , x ( t ) , y ( t ) , \alpha ( t ) ) d W ( t ) } \\ & { + \int _ { \mathbb { R } _ { 0 } } \eta ( t , x ( t - ) , y ( t - ) , \alpha ( t - ) , z ) \tilde { N } ( d t , d z ) } \\ & { + \gamma ( t , x ( t - ) , y ( t - ) , \alpha ( t - ) ) d \tilde { \Phi } ( t ) , \qquad t \in [ 0 , T ] , } \\ { X ( t ) = } & { x _ { 0 } ( t ) , \qquad t \in [ - \delta , 0 ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { n } ^ { [ 1 , 3 ] } } & { = S _ { n } ^ { T } Q _ { n } ^ { [ 1 , 3 ] } = \left[ \begin{array} { l } { \left[ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { f _ { 1 } - \alpha _ { n } } W _ { 1 } ^ { [ 1 ] } + \sum _ { j = 0 } ^ { \ell + 1 } \alpha _ { n } ^ { j } Z _ { 1 , j } ^ { [ 1 ] } } \\ { \vdots } \\ { \frac { 1 } { f _ { \ell } - \alpha _ { n } } W _ { \ell } ^ { [ 1 ] } + \sum _ { j = 0 } ^ { \ell + 1 } \alpha _ { n } ^ { j } Z _ { \ell , j } ^ { [ 1 ] } } \end{array} \right] } \\ { \vdots } \\ { \left[ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { f _ { 1 } - \alpha _ { n } } W _ { 1 } ^ { [ 1 2 ] } + \sum _ { j = 0 } ^ { \ell + 1 } \alpha _ { n } ^ { j } Z _ { 1 , j } ^ { [ 1 2 ] } } \\ { \vdots } \\ { \frac { 1 } { f _ { \ell } - \alpha _ { n } } W _ { \ell } ^ { [ 1 2 ] } + \sum _ { j = 0 } ^ { \ell + 1 } \alpha _ { n } ^ { j } Z _ { \ell , j } ^ { [ 1 2 ] } } \end{array} \right] } \end{array} \right] ^ { T } \times \left( \left[ \begin{array} { l } { 0 _ { \ell } } \\ { 1 _ { \ell } } \\ { 0 _ { 1 0 \ell } } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l } { \left[ \begin{array} { l } { ( f _ { 1 } - \alpha _ { n } ) P _ { \alpha _ { n } } ( 1 ) } \\ { \vdots } \\ { ( f _ { \ell } - \alpha _ { n } ) P _ { \alpha _ { n } } ( 1 ) } \end{array} \right] } \\ { \vdots } \\ { \left[ \begin{array} { l } { ( f _ { 1 } - \alpha _ { n } ) P _ { \alpha _ { n } } ( 1 ) } \\ { \vdots } \\ { ( f _ { \ell } - \alpha _ { n } ) P _ { \alpha _ { n } } ( 1 ) } \end{array} \right] } \end{array} \right] _ { L \times 1 } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { f _ { 1 } - \alpha _ { n } } W _ { 1 } ^ { [ 2 ] } + \dots + \frac { 1 } { f _ { \ell } - \alpha _ { n } } W _ { \ell } ^ { [ 2 ] } + P _ { \alpha _ { n } } ( \ell + 3 ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \displaystyle { \frac { \partial V } { \partial t } } + V \displaystyle { \frac { \partial V } { \partial x } } = - \Theta + \nu \displaystyle { \frac { \partial ^ { 2 } V } { \partial x ^ { 2 } } } , \qquad \displaystyle { \frac { \partial \Theta } { \partial t } } + V \displaystyle { \frac { \partial \Theta } { \partial x } } = V + \kappa \displaystyle { \frac { \partial ^ { 2 } \Theta } { \partial x ^ { 2 } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \nabla { P } ( x _ { k } , \lambda _ { k } , x _ { k - 1 } , \gamma _ { k } ) \| } & { \leq \| \nabla { \mathcal { L } _ { \rho } } ( x _ { k } , \lambda _ { k } ) \| + 2 \bar { \gamma } \| x _ { k } - x _ { k - 1 } \| } \\ & { { \overset { } { \leq } } ( \Gamma _ { \mathrm { m a x } } + D _ { S } + 2 \bar { \gamma } ) \left( \| \Delta x _ { k } \| + \| \Delta \lambda _ { k } \| \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { Y } ( y ) = \frac { P ( Y = y ) } { P ( Y \geq y ) } } & { = \frac { \frac { \theta ( 1 - \theta ) ^ { y } } { \Gamma ( y + 1 ) } \exp { \left( \frac { \lambda \theta } { 1 - \theta } \right) } \Gamma \left( y + 1 , \frac { \lambda } { 1 - \theta } \right) } { 1 - \frac { \Gamma ( y , \lambda ) } { \Gamma y } + \frac { ( 1 - \theta ) ^ { y } } { \Gamma y } \exp { \left( \frac { \lambda \theta } { 1 - \theta } \right) } \Gamma \left( y , \frac { \lambda } { 1 - \theta } \right) } } \\ & { = \frac { \theta ( 1 - \theta ) ^ { y } \exp { \left( \frac { \lambda \theta } { 1 - \theta } \right) } \Gamma \left( y + 1 , \frac { \lambda } { 1 - \theta } \right) } { \Gamma ( y + 1 ) - y \Gamma ( y , \lambda ) + y ( 1 - \theta ) ^ { y } \exp { \left( \frac { \lambda \theta } { 1 - \theta } \right) } \Gamma \left( y , \frac { \lambda } { 1 - \theta } \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \widehat { \boldsymbol { \lambda } } \big ( \mathcal { P } _ { J } ( X _ { n } ) \big ) = \operatorname* { s u p } _ { z \in B _ { X _ { n } } } \, \sum _ { \alpha \in J } c _ { X _ { n } } ( \alpha ) | z ^ { \alpha } | = \operatorname* { s u p } _ { ( \xi _ { \alpha } ) _ { \alpha \in J } \subset \mathbb T } \Big \| \sum _ { \alpha \in J } \xi _ { \alpha } \tilde { e } _ { \alpha } \Big \| _ { \mathcal { P } _ { J } ( X _ { n } ) } = \varphi _ { \mathcal { P } _ { J } ^ { u c } ( X _ { n } ) } ( | J | ) \, . } \end{array}
{ \begin{array} { l } { { \begin{array} { l l } { { \mathfrak { v } } = { \frac { { \mathfrak { v } } ^ { \prime } + ( p - 1 ) { \mathfrak { c } } _ { 0 } \cdot { \mathfrak { c } } _ { 0 } { \mathfrak { v } } ^ { \prime } + p q { \mathfrak { c } } _ { 0 } } { p \left( 1 + n q { \mathfrak { c } } _ { 0 } { \mathfrak { v } } ^ { \prime } \right) } } } & { \left| { \begin{array} { r l } { { \mathfrak { A } } ^ { \prime } } & { = { \mathfrak { A } } + ( p - 1 ) { \mathfrak { c } } _ { 0 } \cdot { \mathfrak { c } } _ { 0 } { \mathfrak { A } } - p q b { \mathfrak { c } } _ { 0 } } \\ { b ^ { \prime } } & { = p b - p q n { \mathfrak { A } } { \mathfrak { c } } _ { 0 } } \\ { { \mathfrak { A } } } & { = { \mathfrak { A } } ^ { \prime } + ( p - 1 ) { \mathfrak { c } } _ { 0 } \cdot { \mathfrak { c } } _ { 0 } { \mathfrak { A } } ^ { \prime } + p q b ^ { \prime } { \mathfrak { c } } _ { 0 } } \\ { b } & { = p b ^ { \prime } + p q n { \mathfrak { A } } ^ { \prime } { \mathfrak { c } } _ { 0 } } \end{array} } \right. } \end{array} } } \\ { \left[ { \mathfrak { v } } = \mathbf { u } , \ { \mathfrak { A } } = \mathbf { x } , \ b = t , \ { \mathfrak { c } } _ { 0 } = { \frac { \mathbf { v } } { v } } , \ p = \gamma , \ n = { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } \right] } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { ( \mathbf { m } _ { 1 } , \mathbf { n } _ { 1 } , \ldots , \mathbf { m } _ { g } , \mathbf { n } _ { g } , \mathbf { p } _ { 1 } , \ldots , \mathbf { p } _ { n } ) \leq ( \mathbf { m } _ { 1 } ^ { \prime } , \mathbf { n } _ { 1 } ^ { \prime } , \ldots , \mathbf { m } _ { g } ^ { \prime } , \mathbf { n } _ { g } ^ { \prime } , \mathbf { p } _ { 1 } ^ { \prime } , \ldots , \mathbf { p } _ { n } ^ { \prime } ) } \\ & { \iff \forall \, i , j , \quad \mathbf { m } _ { i } \leq \mathbf { m } _ { i } ^ { \prime } , \quad \mathbf { n } _ { i } \leq \mathbf { n } _ { i } ^ { \prime } , \quad \mathbf { p } _ { j } \leq \mathbf { p } _ { j } ^ { \prime } . } \end{array}
\mathbf { e } _ { \mathrm { i n t } } ( u ^ { \star } , \phi _ { k } , M ) _ { k } = ( \mathbf { G } ^ { \star } \mathbf { w } ^ { \star } - \mathbf { b } ^ { \star } ) _ { k } = \sum _ { m = 0 } ^ { M - 1 } \left( \phi _ { k } ( t _ { m } ) \dot { \mathbf { u } } _ { m } ^ { \star } + \dot { \phi } _ { k } ( t _ { m } ) \mathbf { u } _ { m } ^ { \star } \right) \Delta t = \frac { T } { M } \sum _ { m = 0 } ^ { M - 1 } \frac { d } { d t } ( \phi _ { k } ( t _ { m } ) \mathbf { u } _ { m } ^ { \star } ) ,
\begin{array} { r } { \mathrm { e i t h e r ~ } \mathbb { E } _ { 0 } ^ { \mathfrak { A } } { \left[ N ( E _ { \sf r e a c h } ^ { \theta } ) \right] } \geq \frac { \delta ^ { 3 } \sqrt { L K } } { 1 8 \varepsilon ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } - \frac \delta 6 , \mathrm { ~ o r ~ } \mathbb { E } _ { 0 } ^ { \mathfrak { A } } { \left[ N ( E _ { \sf c o r r e c t } ^ { \theta } ) \right] } \geq \frac { \delta ^ { 3 } } { 1 8 \varepsilon ^ { 2 } } - \frac \delta 6 . } \end{array}
\nabla \mathbf { T } = ( \nabla T _ { x } , \nabla T _ { y } , \nabla T _ { z } ) = { \left[ \begin{array} { l l l } { T _ { x x } } & { T _ { x y } } & { T _ { x z } } \\ { T _ { y x } } & { T _ { y y } } & { T _ { y z } } \\ { T _ { z x } } & { T _ { z y } } & { T _ { z z } } \end{array} \right] } , { \mathrm { ~ w h e r e ~ } } T _ { u v } \equiv { \frac { \partial T _ { u } } { \partial v } } .
\begin{array} { r l } { V ( t , \xi ) } & { = V _ { 0 } ( \xi ) - \frac { \pi ^ { 2 } } { 2 } \alpha \int _ { \xi _ { 1 , \mathrm { l } } ( t ) } ^ { \xi } \left( 1 - \cos ( 2 \pi \bar { y } ( \xi ) ) \right) \bar { y } _ { \xi } ( \xi ) d \xi } \\ & { = V _ { 0 } ( \xi ) - \frac { \pi ^ { 2 } } { 2 } \alpha \int _ { \bar { y } \left( \xi _ { 1 , \textrm { l } } ( t ) \right) } ^ { \bar { y } ( \xi ) } \left( 1 - \cos ( 2 \pi z ) \right) d z } \\ & { = \frac { \pi } { 4 } \left( 1 - \alpha \right) \left( 2 \pi \bar { y } ( \xi ) - \sin \left( 2 \pi \bar { y } ( \xi ) \right) \right) } \\ & { \qquad - \frac { \pi } { 4 } \alpha \left( \sin \left( 2 \arcsin \left( \frac { 2 } { \pi t } \right) \right) - 2 \arcsin \left( \frac { 2 } { \pi t } \right) \right) \! . } \end{array}
\mathcal { A } _ { \nu , i , j } = \left\{ f : \Gamma _ { 1 } ^ { \prime } ( p ^ { j } \mathbf { Z } _ { p } ) \backslash \Gamma _ { 0 } ( p \mathbf { Z } _ { p } ) \rightarrow \mathcal { O } / \mathfrak { m } ^ { i } \mathrm { ~ s . t . ~ } \begin{array} { l } { f ( a \cdot \gamma ) = \nu ( a ) \cdot f ( \gamma ) , \; \forall a \in \mathbf { Z } _ { p } ^ { \times } , } \\ { \mathrm { a n d ~ } \gamma \in \Gamma _ { 1 } ^ { \prime } ( p ^ { j } \mathbf { Z } _ { p } ) \backslash \Gamma _ { 0 } ( p \mathbf { Z } _ { p } ) } \end{array} \right\} .
\begin{array} { r l } { \mathfrak { M } _ { \partial _ { \varphi } ^ { \vec { b } } ( \Psi ) } ^ { \sharp , \gamma } ( 0 , s ) } & { \le _ { \mathtt { p e } } \varepsilon ^ { 2 } \gamma ^ { - 2 } N ^ { 2 \tau + 1 } \mathfrak { M } _ { \partial _ { \varphi } ^ { \vec { b } } ( \mathcal { R } ) } ^ { \sharp , \gamma } ( 0 , s ) , } \\ { \mathfrak { M } _ { \partial _ { \varphi } ^ { \vec { b } } ( d _ { i } \Psi ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] ) } ^ { \sharp } ( 0 , s _ { 0 } ) } & { \le _ { \mathtt { p e } } \left( \varepsilon ^ { 3 } \gamma ^ { - 3 } N ^ { 2 \tau + 1 } \mathfrak { M } _ { \partial _ { \varphi } ^ { \vec { b } } ( \mathcal { R } ) } ^ { \sharp } ( 0 , s _ { 0 } ) \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } , 1 } } + \gamma ^ { - 1 } N ^ { \tau } \mathfrak { M } _ { \partial _ { \varphi } ^ { \vec { b } } ( d _ { i } \mathcal { R } ( i _ { 0 } ) [ i \hat { ] } ) } ^ { \sharp } ( 0 , s _ { 0 } ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \ln ( 1 \pm \hat { \Phi } _ { 1 } ) = \ln ( 1 \pm \Phi _ { N } \pm \hat { \Phi } _ { \Delta t } ) = \ln ( 1 \pm \Phi _ { N } ) + \frac { \hat { \Phi } _ { \Delta t } } { 1 \pm \Phi _ { N } } + O ( s ^ { 2 } ) , } \\ & { } & { \hat { \Phi } _ { 1 } ^ { n } \hat { \boldsymbol { U } } _ { 1 } ^ { n + 1 } = \Phi _ { N } ^ { n } \boldsymbol { U } _ { N } ^ { n + 1 } + s ( \Phi _ { \Delta t } ^ { n } \boldsymbol { U } _ { N } ^ { n + 1 } + \Phi _ { N } ^ { n } \boldsymbol { U } _ { \Delta t } ^ { n + 1 } ) + O ( s ^ { 2 } ) , } \\ & { } & { \hat { \Phi } _ { 1 } ^ { n } \nabla \widehat { \mathcal { V } } _ { 1 } ^ { n + 1 } = \Phi _ { N } ^ { n } \nabla \mathcal { V } _ { N } ^ { n + 1 } + s ( \Phi _ { \Delta t } ^ { n } \mathcal { V } _ { N } ^ { n + 1 } + \Phi _ { N } ^ { n } \mathcal { V } _ { \Delta t } ^ { n + 1 } ) + O ( s ^ { 2 } ) . } \end{array}
\widehat { \mathbf { P } } _ { + } ^ { ( 0 ) } ( z ) = \widehat { \mathbf { P } } _ { - } ^ { ( 0 ) } ( z ) \left\{ \begin{array} { r l r l } & { \left( \begin{array} { l l } { - e ^ { - 2 \pi i \alpha } } & { 0 } \\ { s _ { 0 } e ^ { 2 \pi i \alpha } | x | ^ { - 2 \alpha } e ^ { - 2 x ^ { 2 } \widehat { g } ( z ) } } & { - e ^ { 2 \pi i \alpha } } \end{array} \right) , \quad } & { z } & { \in ( - \delta , 0 ) , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { - 1 } & { 0 } \\ { s _ { 0 } e ^ { 2 \pi i \alpha } | x | ^ { - 2 \alpha } e ^ { - 2 x ^ { 2 } \widehat { g } ( z ) } } & { - 1 } \end{array} \right) , \quad } & { z } & { \in ( 0 , \delta ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \int _ { - \pi } ^ { \pi } \mathrm { d } \varepsilon \, f ^ { \prime } ( \alpha + \varepsilon ) \, n ( f ( \alpha + \varepsilon ) ) \exp \Big [ \mathrm { i } m f ( \alpha + \varepsilon ) - \frac { 1 } { 2 } m f ^ { \prime } ( \alpha + \varepsilon ) + m \sqrt { f ^ { \prime } ( \alpha ) f ^ { \prime } ( \alpha + \varepsilon ) } \, \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \varepsilon } \Big ] } \\ & { \qquad \qquad \times \Big ( { \cal V } \big ( \sqrt { m f ^ { \prime } ( \alpha ) } \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \alpha } , \sqrt { m f ^ { \prime } ( \alpha + \varepsilon ) } \, \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } ( \alpha + \varepsilon ) } \big ) + \frac { \ell ^ { 2 } } { 2 } \nabla ^ { 2 } V - E _ { m } ^ { 0 } - \ell ^ { 2 } E _ { m } ^ { 1 } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \boldsymbol \epsilon } ( k ) } & { = \left[ \begin{array} { l l } { \tilde { t } _ { \mathrm { h o p } } \sqrt { k ^ { 2 } + K _ { B } ^ { 2 } } - \mu } & { 0 } \\ { 0 } & { - \tilde { t } _ { \mathrm { h o p } } \sqrt { k ^ { 2 } + K _ { B } ^ { 2 } } - \mu } \end{array} \right] , } \\ { { \bf d } ( k ) } & { = - \frac { K _ { B } } { 2 ( k ^ { 2 } + K _ { B } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { - i } \\ { i } & { 0 } \end{array} \right] . } \end{array}
{ [ \! [ } ( \exists x ) ( \exists y ) E ( x , y ) { ] \! ] } = \bigvee _ { \alpha \in U ( F _ { \mathrm { r u d } } ) } \bigvee _ { \beta \in U ( F _ { \mathrm { r u d } } ) } { [ \! [ } E ( \alpha , \beta ) { ] \! ] } = \bigvee _ { \alpha \in U ( F _ { \mathrm { r u d } } ) } \bigvee _ { \beta \in U ( F _ { \mathrm { r u d } } ) } \textbf { 0 } = \textbf { 0 } .
\begin{array} { r l } { \bigl | \hat { G } ( \xi ) - \hat { G } _ { \Delta x } ( \xi ) \bigr | } & { \leq \left| \int _ { ( - \infty , \hat { \xi } _ { 3 j } ] \cap \mathcal { S } ^ { c } } g ( X ) ( \eta ) d \eta - \int _ { ( - \infty , \hat { \xi } _ { 3 j } ] \cap \mathcal { S } _ { \Delta x } ^ { c } } g ( X _ { \Delta x } ) ( \eta ) d \eta \right| } \\ & { \quad + \left| \int _ { \hat { \xi } _ { 3 j } } ^ { \xi } ( g ( X ) - g ( X _ { \Delta x } ) ) ( \eta ) d \eta \right| } \\ & { = I _ { 1 } + I _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { { \mathcal Z } } \left( \sqrt { q _ { 1 } ( z ) } - \sqrt { q _ { 0 } ( z ) } - \frac { 1 } { 2 } h ^ { T } t ( z ) \sqrt { q _ { 0 } ( z ) } \right) ^ { 2 } d \nu ( z ) } \\ & { \le 2 \int _ { { \mathcal Z } } \left( \sqrt { q _ { 1 } ( z ) } - \sqrt { q _ { 0 } ( z ) + h ^ { T } t ( z ) q _ { 0 } ( z ) } \right) ^ { 2 } d \nu ( z ) } \\ & { \quad + 2 \int _ { \mathcal Z } \left( \sqrt { q _ { 0 } ( z ) + h ^ { T } t ( z ) q _ { 0 } ( z ) } - \sqrt { q _ { 0 } ( z ) } - \frac 1 2 h ^ { T } t ( z ) \sqrt { q _ { 0 } ( z ) } \right) ^ { 2 } d \nu ( z ) } \\ & { \le 2 e ^ { 3 \alpha } \left[ 4 \Psi ( h ) + \frac { 1 } { 2 } \| h \| ^ { 2 } c \left( \Psi ( h ) + \frac 1 4 \| h \| ^ { 2 } c \right) \right] } \\ & { \quad + \frac { 1 } { 3 2 } ( e ^ { - \alpha } - e ^ { \alpha } \| h \| \sqrt { c } ) ^ { - 3 } \| h \| ^ { 4 } e ^ { 4 \alpha } c ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \bf M } _ { \epsilon } ^ { 1 } \partial _ { t } \mathbf { e } = \widetilde { \bf K } _ { 2 } \widetilde { \mathbf { D } } ^ { 1 } \mathbf { h } - \widetilde { \bf K } _ { 2 } \mathbf { j } , } \\ & { \widetilde { { \bf M } } _ { \mu } ^ { 1 } \partial _ { t } \mathbf { h } = - \mathbf { K } _ { 2 } \mathbf { D } ^ { 1 } \mathbf { e } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { c ( F ^ { * } ) - c ( F ^ { \prime \prime \prime } ) - \delta \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus F ^ { \prime \prime \prime } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F ^ { \prime \prime \prime } ) } } & { = \Delta , \ \mathrm { a n d } } \\ { \frac { c ( F ^ { * } ) - c ( F ^ { \prime } ) - \delta \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus F ^ { \prime } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F ^ { \prime } ) } } & { > \Delta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p G _ { 0 } ^ { \prime } } & { = - \nu ( 1 + \ell ^ { 2 } ) k ^ { 2 } G _ { 0 } ^ { \prime } + { k } ( 1 - 3 \ell ^ { 2 } ) G _ { - } + [ 2 \ell ^ { \prime } - 4 k ^ { 2 } \ell ^ { \prime } ( 1 - \ell ^ { 2 } ) ] G _ { + } } \\ & { + i k B _ { 0 } \ell ^ { \prime } ( 1 + \ell ^ { 2 } ) H _ { 0 } + i \tilde { B } _ { 0 } 2 \ell ^ { \prime } H _ { - } + i k \tilde { B } _ { 0 } ( 1 + \ell ^ { 2 } ) H _ { + } } \\ { p H _ { 0 } } & { = - \eta ( 1 + \ell ^ { 2 } ) k ^ { 2 } H _ { 0 } + k H _ { - } + i k B _ { 0 } \frac { \ell ^ { \prime } } { 1 + \ell ^ { 2 } } \, G _ { 0 } - i k ^ { 2 } \tilde { B } _ { 0 } 2 \ell ^ { \prime } G _ { - } + i k \tilde { B } _ { 0 } G _ { + } } \\ { p G _ { + } } & { = - \nu ( 1 + k ^ { 2 } ( 1 + \ell ^ { 2 } ) ) G _ { + } - 2 k \ell ^ { \prime } \nu G _ { - } } \\ & { + i B _ { 0 } ( 1 + k ^ { 2 } ( 1 + 3 \ell ^ { 2 } ) ) H _ { - } + i k B _ { 0 } 3 \ell ^ { \prime } H _ { + } - \frac { 1 } { 2 } { i k \tilde { B } _ { 0 } } H _ { 0 } } \\ { p G _ { - } } & { = - \nu ( 1 + k ^ { 2 } ( 1 + \ell ^ { 2 } ) ) G _ { - } - 2 k \ell ^ { \prime } \nu G _ { + } + \frac { 1 } { 2 } k \frac { 1 } { 1 + \ell ^ { 2 } } \, G _ { 0 } ^ { \prime } } \\ & { + i B _ { 0 } ( 1 + k ^ { 2 } ( 1 + 3 \ell ^ { 2 } ) ) H _ { + } + i k B _ { 0 } 3 \ell ^ { \prime } H _ { - } } \\ { p H _ { + } } & { = - \eta ( 1 + k ^ { 2 } ( 1 + \ell ^ { 2 } ) ) H _ { + } - 2 k \ell ^ { \prime } \eta H _ { - } } \\ & { + i B _ { 0 } ( 1 + k ^ { 2 } ( - 1 + \ell ^ { 2 } ) ) G _ { - } - i k B _ { 0 } \ell ^ { \prime } G _ { + } + \frac { 1 } { 2 } i k \tilde { B } _ { 0 } \frac { 1 } { 1 + \ell ^ { 2 } } \, G _ { 0 } ^ { \prime } } \\ { p H _ { - } } & { = - \eta ( 1 + k ^ { 2 } ( 1 + \ell ^ { 2 } ) ) H _ { - } - 2 k \ell ^ { \prime } \eta H _ { + } - \frac { 1 } { 2 } k H _ { 0 } } \\ & { + i B _ { 0 } ( 1 + k ^ { 2 } ( - 1 + \ell ^ { 2 } ) ) G _ { + } - i k B _ { 0 } \ell ^ { \prime } G _ { - } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vert u g \rangle _ { 1 } } & { = \frac { 1 } { 2 } ( \vert 2 \rangle - \vert 6 \rangle + \vert 1 5 \rangle - \vert 1 7 \rangle ) } \\ { \vert u g \rangle _ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 2 } ( \vert 3 \rangle - \vert 5 \rangle + \vert 1 4 \rangle - \vert 1 8 \rangle ) } \\ { \vert u g \rangle _ { 3 } } & { = \frac { 1 } { 2 } ( \vert 8 \rangle + \vert 9 \rangle - \vert 1 1 \rangle - \vert 1 2 \rangle ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { f \cdot e } & { = f \cdot ( f ^ { - 1 } \cdot f ) } & & { { \mathrm { ( l e f t ~ i n v e r s e ) } } } \\ & { = ( f \cdot f ^ { - 1 } ) \cdot f } & & { { \mathrm { ( a s s o c i a t i v i t y ) } } } \\ & { = e \cdot f } & & { { \mathrm { ( r i g h t ~ i n v e r s e ) } } } \\ & { = f } & & { { \mathrm { ( l e f t ~ i d e n t i t y ) } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \theta _ { t , a } ^ { * } } & { = \mathbb E [ \phi _ { t , a } \phi _ { t , a } ^ { \top } ] ^ { - 1 } \mathbb E [ \phi _ { t , a } ^ { \top } \overline { { Q } } _ { t } ( S _ { t } , a ) ] = \mathbb E [ \phi _ { t , a } \phi _ { t , a } ^ { \top } ] ^ { - 1 } \mathbb E [ \phi _ { t , a } ^ { \top } \tilde { Y } _ { t , a } ( \zeta _ { t } ^ { * } , { \overline { { \theta } } } _ { t + 1 , a } ^ { * } ) ] } \\ { \tilde { \theta } _ { t , a } } & { = \mathbb E _ { n } [ \phi _ { t , a } \phi _ { t , a } ^ { \top } ] ^ { - 1 } \mathbb E _ { n } [ \phi _ { t , a } ^ { \top } \tilde { Y } _ { t , a } ( \zeta _ { t } ^ { * } , { \overline { { \theta } } } _ { t + 1 , a } ^ { ( k ) } ) ] = \mathbb E _ { n } [ \phi _ { t , a } \phi _ { t , a } ^ { \top } ] ^ { - 1 } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb E _ { k } [ \phi _ { t , a } ^ { \top } \tilde { Y } _ { t , a } ( \zeta _ { t } ^ { * } , { \overline { { \theta } } } _ { t + 1 , a } ^ { ( k ) } ) ] } \\ { \hat { \theta } _ { t , a } } & { = \mathbb E _ { n } [ \phi _ { t , a } \phi _ { t , a } ^ { \top } ] ^ { - 1 } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb E _ { k } [ \phi _ { t , a } ^ { \top } \tilde { Y } _ { t , a } ( \zeta _ { t } ^ { ( k ) } , { \overline { { \theta } } } _ { t + 1 , a } ^ { ( k ) } ) ] } \end{array}
\begin{array} { l l } { \operatorname* { m a x } ~ ~ a _ { 1 } z _ { 1 } + \ldots + a _ { n - 1 } z _ { n - 1 } , ~ ~ \mathrm { ~ s u b j e c t ~ t o ~ } } \\ { \left\{ \begin{array} { l } { z _ { 1 } ^ { 2 } + \ldots + z _ { n - 1 } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } } \\ { a _ { 1 } ^ { 2 } \ldots + a _ { n - 1 } ^ { 2 } = 1 } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rVert ( \Phi ^ { \pm } - I ) h \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } } & { \le _ { \mathtt { p e } , s } \varepsilon \left( \rVert h \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } + \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \rVert h \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \right) } \\ { \rVert d _ { i } \Phi ^ { \pm } ( i _ { 0 } ) h [ \hat { \textbf { \i } } ] \rVert _ { s } } & { \le _ { \mathtt { p e } , s } \left( \rVert h \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } + \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } \rVert h \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } \right) \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } + \rVert h \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { A ^ { \mathcal { Y } } ( \mathcal { U } , \mathcal { V } ) + A ^ { \mathcal { Y } } ( \mathcal { U } , \mathcal { U } ) } & { \geq \mathfrak { A } _ { 0 } \int _ { 0 } ^ { \mathcal { Y } } { y ^ { \alpha } ( 1 + y ^ { 1 + \alpha } ) \| \nabla \mathcal { U } ( y ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } d y } \gtrsim \| \mathcal { U } \| _ { \mathcal { X } _ { 1 + \alpha } , \mathcal { Y } } ^ { 2 } } \\ & { \gtrsim \| \mathcal { U } \| _ { \mathcal { X } _ { 1 + \alpha } , \mathcal { Y } } \| \mathcal { U } + \mathcal { V } \| _ { \widetilde { \mathcal { Y } } _ { - 1 - \alpha } , \mathcal { Y } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial U _ { 0 1 } } { \partial r _ { 1 } } } & { = O \left( \frac { 1 } { \ell _ { 1 } ^ { 4 } } \right) , \quad \frac { \partial U _ { 0 1 } } { \partial r _ { 0 } } = r _ { 0 } O ( \frac { 1 } { \ell _ { 1 } ^ { 3 } } ) , } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } U _ { 0 1 } } { \partial r _ { 1 } ^ { 2 } } } & { = O ( \frac { 1 } { \ell _ { 1 } ^ { 5 } } ) , \quad \frac { \partial ^ { 2 } U _ { 0 1 } } { \partial r _ { 0 } ^ { 2 } } = O ( \frac { 1 } { \ell _ { 1 } ^ { 3 } } ) , \quad \frac { \partial ^ { 2 } U _ { 0 1 } } { \partial r _ { 0 } \partial r _ { 1 } } = O ( \frac { 1 } { \ell _ { 1 } ^ { 4 } } ) , } \\ { \frac { \partial U _ { 2 } } { \partial r _ { 1 } } } & { = O ( \frac { 1 } { \chi ^ { 2 } } ) , \quad \frac { \partial U _ { 2 } } { \partial r _ { 0 } } = r _ { 0 } O ( \frac { 1 } { \chi ^ { 3 } } ) , \quad \frac { \partial U _ { 2 } } { \partial r _ { 2 } } = O ( \frac { 1 } { \chi ^ { 2 } } ) , } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } U _ { 2 } } { \partial r _ { 1 } ^ { 2 } } } & { = O ( \frac { 1 } { \chi ^ { 3 } } ) , \quad \frac { \partial ^ { 2 } U _ { 2 } } { \partial r _ { 0 } ^ { 2 } } = O ( \frac { 1 } { \chi ^ { 3 } } ) , \quad \frac { \partial ^ { 2 } U _ { 2 } } { \partial r _ { 2 } ^ { 2 } } = O ( \frac { 1 } { \chi ^ { 3 } } ) , } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } U _ { 2 } } { \partial r _ { 1 } \partial r _ { 0 } } } & { = r _ { 0 } O ( \frac { 1 } { \chi ^ { 4 } } ) , \quad \frac { \partial ^ { 2 } U _ { 2 } } { \partial r _ { 0 } \partial r _ { 2 } } = r _ { 0 } O ( \frac { 1 } { \chi ^ { 4 } } ) , \quad \frac { \partial ^ { 2 } U _ { 2 } } { \partial r _ { 2 } \partial r _ { 1 } } = O ( \frac { 1 } { \chi ^ { 3 } } ) . } \end{array}
\displaystyle \Omega ^ { { \smash { \scriptstyle \sharp } } , b } = \{ { \textit { \textbf { y } } } \in \Omega ^ { \smash { \scriptstyle \sharp } } , \quad \operatorname { d i s t } ( { \textit { \textbf { y } } } , \, T _ { n } ) : = \operatorname* { i n f } _ { { \textit { \textbf { z } } } \, \in \, T _ { n } } | { \textit { \textbf { y } } } - { \textit { \textbf { z } } } | > b \} .
\begin{array} { r l } { L _ { z } L _ { + } | \psi _ { n , m } ^ { s } \rangle } & { = \big ( ( L _ { x } L _ { z } + i L _ { y } ) + ( i L _ { y } L _ { z } + L _ { x } ) \big ) | \psi _ { n , m } ^ { s } \rangle } \\ & { = ( L _ { x } + i L _ { y } ) ( L _ { z } + 1 ) | \psi _ { n , m } ^ { s } \rangle } \\ & { = ( m + 1 ) L _ { + } | \psi _ { n , m } ^ { s } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \widetilde { r } _ { 1 } \widetilde { h } _ { 1 } \widetilde { r } _ { 1 } ^ { - 1 } } & { = } & { \widetilde { r } _ { 1 } t _ { \gamma _ { 1 } ^ { 1 } } t _ { \gamma _ { 2 } ^ { 1 } } t _ { \gamma _ { 1 } ^ { 2 } } t _ { \gamma _ { 2 } ^ { 2 } } \cdots t _ { \gamma _ { 1 } ^ { k - 1 } } t _ { \gamma _ { 2 } ^ { k - 1 } } t _ { \gamma _ { 1 } ^ { k } } \widetilde { r } _ { 1 } ^ { - 1 } } \\ & { = } & { t _ { \widetilde { r } _ { 1 } ( \gamma _ { 1 } ^ { 1 } ) } t _ { \widetilde { r } _ { 1 } ( \gamma _ { 2 } ^ { 1 } ) } t _ { \widetilde { r } _ { 1 } ( \gamma _ { 1 } ^ { 2 } ) } t _ { \widetilde { r } _ { 1 } ( \gamma _ { 2 } ^ { 2 } ) } \cdots t _ { \widetilde { r } _ { 1 } ( \gamma _ { 1 } ^ { k - 1 } ) } t _ { \widetilde { r } _ { 1 } ( \gamma _ { 2 } ^ { k - 1 } ) } t _ { \widetilde { r } _ { 1 } ( \gamma _ { 1 } ^ { k } ) } } \\ & { = } & { t _ { \gamma _ { 2 } ^ { k } } t _ { \gamma _ { 3 } ^ { k } } t _ { \gamma _ { 2 } ^ { k - 1 } } t _ { \gamma _ { 3 } ^ { k - 1 } } \cdots t _ { \gamma _ { 2 } ^ { 2 } } t _ { \gamma _ { 3 } ^ { 2 } } t _ { \gamma _ { 2 } ^ { 1 } } } \\ & { = } & { \widetilde { h } _ { 2 } . } \end{array}
\mathbf { T } _ { \underline { { w } } } = \left[ \begin{array} { c c c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } \\ { \partial _ { a _ { 1 } } ( \alpha _ { a _ { 2 } } ) } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } \\ { \partial _ { a _ { 1 } } ( s _ { a _ { 2 } } \circ \alpha _ { a _ { 3 } } ) } & { \partial _ { a _ { 2 } } ( \alpha _ { a _ { 3 } } ) } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } \\ { \partial _ { a _ { 1 } } ( s _ { a _ { 2 } } s _ { a _ { 3 } } \circ \alpha _ { a _ { 4 } } ) } & { \partial _ { a _ { 2 } } ( s _ { a _ { 3 } } \circ \alpha _ { a _ { 4 } } ) } & { \partial _ { a _ { 3 } } ( \alpha _ { a _ { 4 } } ) } & { 0 } & { \cdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } & { E [ \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } ( X _ { s } - X _ { t _ { k - 1 } } ) ^ { i _ { 1 } } ( X _ { s } - X _ { t _ { k - 1 } } ) ^ { i _ { 2 } } ( X _ { s } - X _ { t _ { k - 1 } } ) ^ { i _ { 3 } } b ^ { i _ { 4 } } ( X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) , ~ \theta _ { 0 } ) | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } ] } \\ & { = \bigg [ \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { 3 n ^ { 3 } } \Big \{ [ \sigma \sigma ^ { \top } ] ^ { i _ { 1 } i _ { 2 } } ( X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) , ~ \beta _ { 0 } ) b ^ { i _ { 3 } } ( X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) , ~ \theta _ { 0 } ) } \\ & { \quad + [ \sigma \sigma ^ { \top } ] ^ { i _ { 1 } i _ { 3 } } ( X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) , ~ \beta _ { 0 } ) b ^ { i _ { 2 } } ( X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) , ~ \theta _ { 0 } ) } \\ & { \quad + [ \sigma \sigma ^ { \top } ] ^ { i _ { 2 } i _ { 3 } } ( X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) , ~ \beta _ { 0 } ) b ^ { i _ { 1 } } ( X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) , ~ \theta _ { 0 } ) \Big \} } \\ & { \quad + \frac { 1 } { 4 n ^ { 4 } } b ^ { i _ { 1 } } b ^ { i _ { 2 } } b ^ { i _ { 3 } } ( X _ { t _ { k - 1 } } , H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) , ~ \theta _ { 0 } ) \bigg ] b ^ { i _ { 4 } } ( X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) , ~ \theta _ { 0 } ) } \\ & { \quad + R ( \frac { 1 } { n ^ { 5 } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) ) + R ( \frac { \varepsilon } { n ^ { 4 } \sqrt { n } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) ) + R ( \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { n ^ { 4 } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) ) } \\ & { \quad + R ( \frac { \varepsilon ^ { 3 } } { n ^ { 3 } \sqrt { n } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) ) + R ( \frac { \varepsilon ^ { 4 } } { n ^ { 3 } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \nabla ( \mathfrak { t } _ { a , b } ( u ) ) | ^ { p - 2 } \nabla ( \mathfrak { t } _ { a , b } ( u ) ) } & { = | \nabla ( a u ^ { + } ) | ^ { p - 2 } \nabla ( a u ^ { + } ) + | \nabla ( b u ^ { - } ) | ^ { p - 2 } \nabla ( b u ^ { - } ) } \\ { | \nabla ( \mathcal { T } _ { a , b } ( u ) ) | ^ { q } = | \nabla ( \mathfrak { t } _ { a , b } ( u ) ) | ^ { q } } & { = | \nabla ( a u ^ { + } ) | ^ { q } + | \nabla ( b u ^ { - } ) | ^ { q } \qquad ( q > 0 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { P D F } _ { i } ( { \bar { \theta } } _ { \mathrm { B V } } , r ) } & { = } & { \frac { N _ { i } ( { \bar { \theta } } _ { \mathrm { B V } } , r ) } { \Delta { \bar { \theta } } _ { \mathrm { B V } } \sum _ { { \bar { \theta } } _ { \mathrm { B V } } } N _ { i } ( { \bar { \theta } } _ { \mathrm { B V } } , r ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { t z ^ { \prime } } } & { = } & { \{ \mathrm { T h e ~ e v e n t ~ w h e n ~ z o n e ~ z ' ~ i s ~ i g n i t e d ~ a t ~ t i m e ~ t ~ } = > K _ { t z } ^ { x } = 1 \} , } \\ { E _ { t + 1 , z z ^ { \prime } } } & { = } & { \{ \mathrm { T h e ~ e v e n t ~ a ~ f i r e ~ w o u l d ~ t r a v e l ~ o u t ~ o f ~ z o n e ~ z ' ~ t o ~ z o n e ~ z ~ b e t w e e n ~ t ~ a n d ~ t + 1 ~ } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { \rho } _ { j } ( x , s ) } & { = \widetilde { p } _ { j } ( x , s ) + \sum _ { k = 1 } ^ { m - 1 } \left( \widetilde { p } _ { j } ( x , s | a _ { j - 1 } ) \Theta _ { k , j - 1 } ^ { - 1 } ( s ) + \widetilde { p } _ { j } ( x , s | a _ { j } ) \Theta _ { k j } ^ { - 1 } ( s ) \right) } \\ & { \times \kappa _ { k } [ \widetilde { p } _ { k } ( a _ { k } , s ) + \widetilde { p } _ { k + 1 } ( a _ { k } , s ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { j _ { n } \Ddot { \phi } _ { n } ^ { ( 2 ) } - \alpha _ { 2 1 } ( u _ { n } ^ { ( 1 ) } - u _ { n } ^ { ( 2 ) } ) - \beta _ { 2 1 } ( u _ { n + 1 } ^ { ( 1 ) } - u _ { n } ^ { ( 2 ) } ) - \alpha _ { 2 2 } ( \phi _ { n } ^ { ( 1 ) } - \phi _ { n } ^ { ( 2 ) } ) - \beta _ { 2 2 } ( \phi _ { n + 1 } ^ { ( 1 ) } - \phi _ { n } ^ { ( 2 ) } ) = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = x _ { 1 } ^ { T } J y _ { k } = x _ { 1 } ^ { T } J ( S - \lambda I _ { 2 n } ) y _ { k + 1 } } & { = x _ { 1 } ^ { T } J S y _ { k + 1 } - \lambda x _ { 1 } ^ { T } J y _ { k + 1 } } \\ & { = x _ { 1 } ^ { T } S ^ { - T } J y _ { k + 1 } - \lambda x _ { 1 } ^ { T } J y _ { k + 1 } } \\ & { = \lambda _ { 1 } ^ { - 1 } x _ { 1 } ^ { T } J y _ { k + 1 } - \lambda x _ { 1 } ^ { T } J y _ { k + 1 } } \\ & { = ( \lambda _ { 1 } ^ { - 1 } - \lambda ) x _ { 1 } ^ { T } J y _ { k + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - \mathbb { E } \left[ \left\langle y ^ { k + 1 } - y ^ { * } ( x ^ { k } ) , y ^ { * } ( x ^ { k + 1 } ) - y ^ { * } ( x ^ { k } ) - \nabla y ^ { * } ( x ^ { k } ) ( x ^ { k + 1 } - x ^ { k } ) \right\rangle \right] } \\ & { \leq \mathbb { E } \left[ \left\| y ^ { k + 1 } - y ^ { * } ( x ^ { k } ) \right\| \left\| y ^ { * } ( x ^ { k + 1 } ) - y ^ { * } ( x ^ { k } ) - \nabla y ^ { * } ( x ^ { k } ) ( x ^ { k + 1 } - x ^ { k } ) \right\| \right] } \\ & { \leq \frac { L _ { y x } } { 2 } \mathbb { E } \left[ \left\| y ^ { k + 1 } - y ^ { * } ( x ^ { k } ) \right\| \left\| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \right\| ^ { 2 } \right] } \\ & { \leq \frac { \eta L _ { y x } } { 4 } \mathbb { E } \left[ \left\| y ^ { k + 1 } - y ^ { * } ( x ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } \left\| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \right\| ^ { 2 } \right] + \frac { L _ { y x } } { 4 \eta } \mathbb { E } \left[ \left\| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \right\| ^ { 2 } \right] } \\ & { \leq { \frac { \eta L _ { y x } \tilde { D } _ { f } ^ { 2 } \alpha _ { k } ^ { 2 } } { 4 } \mathbb { E } \left[ \left\| y ^ { k + 1 } - y ^ { * } ( x ^ { k } ) \right\| ^ { 2 } \right] } + \frac { L _ { y x } \alpha _ { k } ^ { 2 } } { 4 \eta } \mathbb { E } \left[ \left\| \overline { { \mathcal { H } } } ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) \right\| ^ { 2 } \right] + \frac { L _ { y x } \alpha _ { k } ^ { 2 } \tilde { \sigma } _ { f } ^ { 2 } } { 4 \eta n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ R _ { D } ] } & { = \phi W \log _ { 2 } \left( 1 + \frac { S _ { D } } { I _ { D } + \sigma ^ { 2 } } \right) } \\ & { \geq \frac { \phi W } { \ln 2 } \left( \mathbb { E } [ \ln S _ { D } ] - \ln \sum _ { i \in \Phi _ { D } } \mathbb { E } [ I _ { D } ^ { i } ] \right) } \\ & { \geq \frac { \phi W } { \ln 2 } \left( 2 \ln \frac { G _ { u } ^ { m } } { \bar { G } _ { u } } - \gamma - \alpha \mathbb { E } [ \ln r _ { d } ] - \ln \sum _ { i \in \Phi _ { D } } \mathbb { E } [ r _ { i } ^ { - \alpha } ] \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { b \alpha _ { c } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) + d ( t ) + s x _ { 2 } \big ( l r ( t ) - \alpha _ { c } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \big ) = \frac { \partial \alpha _ { c } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } { \partial x _ { 1 } } \Big ( b x _ { 1 } + d ( t ) + s x _ { 2 } \big ( l r ( t ) - x _ { 1 } \big ) \Big ) } \\ & { + \frac { \partial \alpha _ { c } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } { \partial x _ { 2 } } \Big ( - x _ { 2 } \big ( r ( t ) - x _ { 1 } \big ) \Big ) , } \\ & { - c x _ { 2 } \big ( r ( t ) - \alpha _ { c } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \big ) = - x _ { 2 } \big ( r ( t ) - x _ { 1 } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\Vert r ( x ) - r ( y ) \right\Vert _ { p } ^ { p } } & { \leq \left\Vert r ( x ) - r ( x ^ { \prime } ) \right\Vert _ { p } ^ { p } + \left\Vert r ( x ^ { \prime } ) - r ( y ^ { \prime } ) \right\Vert _ { p } ^ { p } + \left\Vert r ( y ^ { \prime } ) - r ( y ) \right\Vert _ { p } ^ { p } } \\ & { \leq C ^ { p } ( p , 2 ^ { d - 1 } ) C ^ { p } ( p , d ) ( | x - x ^ { \prime } | _ { 1 } ^ { p } + | x ^ { \prime } - y ^ { \prime } | _ { 1 } ^ { p } + | y ^ { \prime } - y | _ { 1 } ^ { p } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lvert \mathbb { E } _ { z } [ g ( Z _ { t _ { n } } ) ] - \mathbb { E } _ { z } [ g ( \overline { { Z } } _ { t _ { n } } ) ] \rvert } & { \leq C \delta ^ { 3 } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } e ^ { R ( t _ { n } - t _ { k } ) } \mathbb { E } _ { z } [ \overline { { G } } ( \overline { { Z } } _ { t _ { k } } ) ] } \\ & { \leq C \lVert g \rVert _ { \mathcal { C } _ { \Phi } ^ { 2 , 0 } } e ^ { R t _ { n } } \delta ^ { 3 } n \overline { { G } } _ { M } ( z ) , } \end{array}
\mathfrak { L } ( u , s , t , \zeta ) : = \frac { ( t - s ) ^ { \frac { \beta } { \alpha } } } { ( t - u ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } \left[ \frac { 1 } { ( t - u ) ^ { \frac { d } { \alpha p } } } + \frac { 1 } { ( u - s ) ^ { \frac { d } { \alpha p } } } \right] \left[ ( t - s ) ^ { \frac { \zeta } { \alpha } } \left( \frac { 1 } { ( t - u ) ^ { \frac { \zeta } { \alpha } } } + \frac { 1 } { ( u - s ) ^ { \frac { \zeta } { \alpha } } } \right) + 1 \right] ,
\begin{array} { r l } { \mu _ { \boldsymbol { \sigma } } ( \mathbf { y } ) ^ { - | \sigma _ { j } | } } & { \le \lambda _ { P _ { j } } ( \mathbf { y } ) ^ { - | \sigma _ { j } | } } \\ { \mu _ { \boldsymbol { \sigma } } ( \mathbf { y } ) ^ { 1 - | \sigma _ { j } | } } & { \le \lambda _ { P _ { j } } ( \mathbf { y } ) ^ { 1 - | \sigma _ { j } | } \quad \mathrm { ~ i f ~ } \sigma _ { j } \ne 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathrm { t r } \left[ v _ { x } A ( \omega ; \mathbf { k } ) v _ { x } A ( \omega - \Omega ; \mathbf { k } ) \right] } \\ & { } & { = \frac { v _ { F } ^ { 2 } } { 9 6 } \Bigg \{ 9 6 \left( \hbar \omega - g \right) \left( \hbar \omega - g - \hbar \Omega \right) - ( \hbar v _ { F } \tilde { k } ) ^ { 2 } + \hbar v _ { F } \tilde { k } } \\ & { } & { \times \left[ 4 \sqrt { 6 } \left( 2 \hbar \omega - 2 g - \hbar \Omega \right) \cos { ( \varphi ) } + 5 \hbar v _ { F } k \cos { ( 2 \varphi ) } \right] \Bigg \} } \\ & { } & { \times \sum _ { \eta _ { 1 } , \eta _ { 2 } = \pm } \frac { \delta ( \hbar \omega - \epsilon _ { \eta _ { 1 } } ) } { \epsilon _ { \eta _ { 1 } } - \epsilon _ { - \eta _ { 1 } } } \frac { \delta ( \hbar \omega - \hbar \Omega + \epsilon _ { \eta _ { 2 } } ) } { \epsilon _ { \eta _ { 2 } } - \epsilon _ { - \eta _ { 2 } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { n , i } ^ { 2 } } & { = \delta _ { i } + \alpha _ { i } Y _ { n - 1 } ^ { 2 } + \beta _ { i } \sigma _ { n - 1 , i } ^ { 2 } } \\ & { = \delta _ { i } + \alpha _ { i } Y _ { n - 1 } ^ { 2 } + \beta _ { i } ( \delta _ { i } + \alpha _ { i } Y _ { n - 2 } ^ { 2 } + \beta _ { i } \sigma _ { n - 2 , i } ^ { 2 } ) } \\ & { = \cdots } \\ & { = \delta _ { i } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \beta _ { i } ^ { k } + \alpha _ { i } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \beta _ { i } ^ { k } Y _ { n - 1 - k } ^ { 2 } } \\ & { = \frac { \delta _ { i } } { 1 - \beta _ { i } } + \alpha _ { i } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \beta _ { i } ^ { k } Y _ { n - 1 - k } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle X _ { n } ^ { 2 } ( 0 ) \rangle } & { = \langle X _ { n } ^ { 2 } ( t ) \rangle } \\ & { = \frac { k _ { B } T } { \kappa N } \sum _ { m = 1 } ^ { N - 1 } \cos ^ { 2 } \left[ \frac { \pi ( n + \frac { 1 } { 2 } ) m } { N } \right] \frac { 1 } { \left[ 1 - \cos \left( \frac { m \pi } { N } \right) \right] } } \\ & { = \frac { k _ { B } T } { \kappa N } \left[ \left( n - \frac { 1 } { 2 } ( N - 1 ) \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 1 2 } ( N ^ { 2 } - 1 ) \right] , } \end{array}
{ \mathcal { C } } E ( { \mathcal { O } } ) = \{ E _ { r } ^ { p , q } , { \mathrm { d } } _ { r } ^ { p , q } \} \qquad { \mathrm { w h e r e } } \qquad E _ { 0 } ^ { p , q } : = { \frac { { \mathcal { C } } ^ { p } \Omega ^ { p + q } ( { \mathcal { O } } ) } { { \mathcal { C } } ^ { p + 1 } \Omega ^ { p + q } ( { \mathcal { O } } ) } } , \qquad { \mathrm { a n d } } \qquad E _ { r + 1 } ^ { p , q } : = H ( E _ { r } ^ { p , q } , d _ { r } ^ { p , q } ) .
\begin{array} { r l r } & { } & { \bigl | \theta ^ { s } - \Psi ( K _ { n , 1 } , \ldots , K _ { n , 5 } ) ^ { s } \bigr | } \\ & { \le } & { C _ { 4 } C _ { 5 } \cdot C _ { 6 } ^ { | W _ { M - n } | } \cdot | \Theta _ { n } ^ { ( M ) } \tau | ^ { - 1 } \cdot \operatorname* { m a x } \{ | \varepsilon _ { n , 1 } | , \ldots , | \varepsilon _ { n , 5 } | \} , \ \ \mathrm { f o r } \ n \ge n _ { 3 } ( H ) . } \end{array}
| | \triangledown _ { y _ { i } } { \hat { L } } | | ^ { 2 } \leq { \frac { \gamma ^ { 2 } } { \sigma _ { j } ^ { 2 } } } { \Bigg ( } | | \triangledown _ { y _ { i } } L | | ^ { 2 } - { \frac { 1 } { m } } \langle 1 , \triangledown _ { y _ { i } } L \rangle ^ { 2 } - { \frac { 1 } { m } } \langle \triangledown _ { y _ { i } } L , { \hat { y } } _ { j } \rangle ^ { 2 } { \bigg ) }
\begin{array} { r l r } { J _ { n } ^ { \mu } } & { } & { = \frac { 1 } { \sqrt { \operatorname* { d e t } g _ { \mu \nu } } } \sum _ { i } \delta ( \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { i } ) v _ { i } ^ { \mu } \equiv \rho v ^ { \mu } , } \\ { J _ { c } ^ { \mu } } & { } & { = \frac { 1 } { \sqrt { \operatorname* { d e t } g _ { \mu \nu } } } \sum _ { i } \delta ( \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { i } ) \sigma _ { i } v _ { i } ^ { \mu } \equiv \rho w ^ { \mu } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { [ m ] _ { 1 } = [ X ] _ { 1 } , } \\ & { [ m ] _ { 2 } = - \frac { s _ { 1 2 } } { s _ { 1 1 } } e ^ { \theta _ { 1 2 } } [ X ] _ { 1 } + [ X ] _ { 2 } , } \\ & { [ m ] _ { 3 } = \frac { m _ { 3 1 } ( s ) } { m _ { 3 3 } ( s ) } e ^ { \theta _ { 1 3 } } [ X ] _ { 1 } - \frac { m _ { 3 2 } ( s ) } { m _ { 3 3 } ( s ) } e ^ { \theta _ { 2 3 } } [ X ] _ { 2 } + [ X ] _ { 3 } . } \end{array}
\frac { C _ { \alpha } } { D _ { \alpha } } h ^ { 2 } \sum _ { j _ { 1 } = 0 } ^ { N - 1 } \sum _ { j _ { 2 } = 0 } ^ { N - 1 } \sum _ { \mathbf { m } \in \mathbb { Z } ^ { 2 } } | { \mathbf i } - ( { \mathbf j } + \mathbf { m } ( N - 1 ) ) | ^ { - 2 - 2 \alpha } \left[ \frac { u _ { \epsilon } ( h { \mathbf j } ) - u _ { \epsilon } ( h { \mathbf i } ) } { h ^ { 2 \alpha + 2 } } \right] + 1 = 0 \, .
\mu _ { X } ( \{ a \} ) = \operatorname* { l i m } _ { T _ { 1 } \to \infty } \cdots \operatorname* { l i m } _ { T _ { n } \to \infty } \left( \prod _ { k = 1 } ^ { n } { \frac { 1 } { 2 T _ { k } } } \right) \int _ { [ - T _ { 1 } , T _ { 1 } ] \times \dots \times [ - T _ { n } , T _ { n } ] } e ^ { - i ( t \cdot a ) } \varphi _ { X } ( t ) \lambda ( d t )
{ \begin{array} { l c l } { A ^ { \prime } ( r ) { \dot { r } } ^ { 2 } + 2 r { \dot { \phi } } ^ { 2 } + B ^ { \prime } ( r ) { \dot { t } } ^ { 2 } } & { = } & { 2 A ^ { \prime } ( r ) { \dot { r } } ^ { 2 } + 2 A ( r ) { \ddot { r } } } \\ { 0 } & { = } & { 2 r { \dot { r } } { \dot { \phi } } + r ^ { 2 } { \ddot { \phi } } } \\ { 0 } & { = } & { B ^ { \prime } ( r ) { \dot { r } } { \dot { t } } + B ( r ) { \ddot { t } } } \end{array} }
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \partial _ { t } y ( \boldsymbol { \mu } ) - \frac { 1 } { { \mu _ { 1 } } } \Delta y ( \boldsymbol { \mu } ) + 4 x _ { 1 } ( 1 - x _ { 1 } ) \partial _ { x _ { 0 } } y ( \boldsymbol { \mu } ) = u ( \boldsymbol { \mu } ) , } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega ( \boldsymbol { \mu } ) \times ( 0 , T ) , } \\ { y ( \boldsymbol { \mu } ) = 0 , } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { 1 } \cup \Gamma _ { 5 } \cup \Gamma _ { 6 } \times ( 0 , T ) , } \\ { y ( \boldsymbol { \mu } ) = 1 , } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { 2 } ( \boldsymbol { \mu } ) \cup \Gamma _ { 4 } ( \boldsymbol { \mu } ) \times ( 0 , T ) , } \\ { \displaystyle \frac { \partial y ( \boldsymbol { \mu } ) } { \partial \nu } = 0 , } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { 3 } ( \boldsymbol { \mu } ) \times ( 0 , T ) , } \\ { \displaystyle y ( \boldsymbol { \mu } ) ( 0 ) = y _ { 0 } ( x ) , } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega ( \boldsymbol { \mu } ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } { \mathbf 1 } _ { a ^ { 1 } < b } q ^ { k , \alpha } ( m , \tilde { x } , b , a ; s ; x _ { 0 } ) d a } & { \leq { \mathbf 1 } _ { b < m } \frac { \| B \| _ { \infty } C _ { T } D 2 ^ { d / 2 } } { \sqrt { t - s } \sqrt { 2 \pi ( t - s ) } \sqrt { 2 \pi s } } \frac { e ^ { - \frac { | \tilde { x } - \tilde { x } _ { 0 } \| ^ { 2 } } { 4 t } } - \frac { ( b - m ) ^ { 2 } } { 4 t } } { \sqrt { 2 \pi t } ^ { d } } } \\ & { \exp [ - \frac { ( b - x _ { 0 } ^ { 1 } ) ^ { 2 } } { 4 s } ] \Phi _ { G } \left( \sqrt { \frac { t } { 2 s ( t - s ) } } ( b - [ \frac { s } { t } m + \frac { ( t - s ) } { t } b ] ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { \left| h _ { \mathrm { F A S } } \right| } \left( \Omega \right) = } & { \frac { \partial F _ { \left| h _ { \mathrm { F A S } } \right| } \left( \Omega \right) } { \partial \Omega } } \\ { \overset { \left( a \right) } { = } } & { N \int _ { 0 } ^ { \Omega } \ldots \int _ { 0 } ^ { \Omega } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \cdots \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } f _ { \left| \boldsymbol { h } \right| , \boldsymbol { \theta } } \left( \left| h _ { 1 } \right| , \theta _ { 1 } , \ldots , \left| h _ { N - 1 } \right| , \theta _ { N - 1 } , \Omega , \theta _ { N } \right) \times } \\ & { d \left| h _ { 1 } \right| \cdots d \left| h _ { N - 1 } \right| d \theta _ { 1 } \ldots d \theta _ { N } } \\ { \overset { \left( b \right) } { = } } & { \frac { N \Omega } { \pi ^ { N } \mathrm { { d e t } \ensuremath { \left( \boldsymbol { J } \right) } } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \cdots \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } H _ { N } \int _ { 0 } ^ { \varOmega } \left| h _ { N - 1 } \right| \bigg ( H _ { N - 1 } \times \ldots } \\ & { \left( \int _ { 0 } ^ { \varOmega } \left| h _ { 2 } \right| H _ { 2 } \left( \int _ { 0 } ^ { \varOmega } \left| h _ { 1 } \right| H _ { 1 } d \left| h _ { 1 } \right| \right) d \left| h _ { 2 } \right| \right) d \left| h _ { N - 1 } \right| \Bigg ) d \theta _ { 1 } \ldots d \theta _ { N } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { U } : } & { \left| { i } \right\rangle \left| { 0 } \right\rangle \mapsto \left| { i } \right\rangle \frac { 1 } { \| A _ { i , \cdot } \| } \sum _ { j = 1 } ^ { n } A _ { i j } \left| { j } \right\rangle = \left| { i , A _ { i , \cdot } } \right\rangle , } \\ { \widetilde { V } : } & { \left| { 0 } \right\rangle \left| { j } \right\rangle \mapsto \frac { 1 } { \| A \| _ { F } } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| A _ { i , \cdot } \| \left| { i } \right\rangle \left| { j } \right\rangle = \left| { \widetilde { A } , j } \right\rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( \mathcal { E } _ { j , m } ( t _ { 0 } ) ) } & { = 1 - \prod _ { n = 1 } ^ { m } \mathbb { P } \left( \left| \frac { \widetilde { \Delta } _ { T _ { n } ^ { \star } } ^ { M } } { 2 ^ { - j _ { n } H \left( \frac { k _ { n } + 1 } { 2 ^ { j _ { n } } } \right) } } \right| < c _ { 1 } \log ( 2 m ) ^ { \frac { d } { 2 } } \right) } \\ & { \geq 1 - ( 1 - \exp ( - c _ { t _ { 0 } } c _ { 1 } ^ { \frac { 2 } { d } } \log ( 2 m ) ) ^ { m } } \\ & { \geq 1 - \exp \left( \frac { m } { ( 2 m ) ^ { c _ { t _ { 0 } } c _ { 1 } ^ { \frac { 2 } { d } } } } \right) } \\ & { = 1 - \exp \left( \frac { m ^ { 1 - c _ { t } c _ { 1 } ^ { \frac { 2 } { d } } } } { 2 ^ { c _ { t _ { 0 } } c _ { 1 } ^ { \frac { 2 } { d } } } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| u _ { N , h } - \overline { u } _ { N , h } \| _ { L ^ { q } ( \Omega ; V ) } } & { \le C \| a _ { N , - } ^ { 2 } \| _ { L ^ { 3 q / 2 } ( \Omega ) } \| a _ { N } - \overline { a } _ { N } \| _ { L ^ { 3 q } ( \Omega ; L ^ { \infty } ( \mathcal { D } ) ) } } \\ & { \le C \| a _ { N , - } \| _ { L ^ { 3 q } ( \Omega ) } ^ { 2 } \| a _ { N } \| _ { L ^ { 3 q } ( \Omega ; \mathcal { C } ^ { t } ( \mathcal { D } ) ) } h ^ { \operatorname* { m i n } ( t , 1 ) } } \\ & { \le C h ^ { r } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { Z } } & { = } & { ( \mathcal { Z } _ { 1 } , \ldots , \mathcal { Z } _ { \mathcal { N } } ) \; \; \; = \; ( z _ { 1 } , \ldots , z _ { n } , Z _ { 1 2 } , \ldots , Z _ { ( n - 1 ) n } ) , } \\ { \mathcal { W } } & { = } & { ( \mathcal { W } _ { 1 } , \ldots , \mathcal { W } _ { \mathcal { N } } ) \; = \; ( w _ { 1 } , \ldots , w _ { n } , W _ { 1 2 } , \ldots , W _ { ( n - 1 ) n } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m a x } _ { ( i , l , k ) \in \mathbb { B } } \left\| \operatorname* { s u p } _ { t \in \mathcal { T } } \left| \check { \beta } _ { - } ( t ) - \beta ( t ) - \frac { 1 } { n b } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 0 , 1 , 2 } A _ { j } ( - r ) K _ { b } ( t _ { i } - t + ( - r + 1 - j ) \omega ( t ) ) \tilde { e } _ { i } \right| \right\| _ { q } } \\ & { = O ( b ^ { - 1 / q } ( n ^ { \phi - 1 } b ^ { - 1 } h + b ^ { 3 } + n ^ { - 1 / 2 } h ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Vert \partial _ { t } \rho _ { f } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathrm { L } ^ { \infty } ) } \lesssim \Vert \partial _ { t } \rho _ { f } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { s } ) } \lesssim \Vert f \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathcal { H } _ { \sigma } ^ { 1 + s } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \hat { h } ^ { ( g ) } ( s ; n ) - \hat { h } ^ { ( g ) } ( s ; n + 1 ) } \\ & { \geq - \frac { 1 } { ( 2 ^ { n } + 1 ) ( 2 ^ { n + 1 } + 1 ) } \frac { 1 } { 2 } \left( \mathbb { E } \left[ \left\Vert I - \frac { \bar { \eta } - 2 ^ { n - 1 } \frac { R } { 2 ^ { n - 1 } } } { b } H \right\Vert ^ { s } \right] + \mathbb { E } \left[ \left\Vert I - \frac { \bar { \eta } + 2 ^ { n - 1 } \frac { R } { 2 ^ { n - 1 } } } { b } H \right\Vert ^ { s } \right] \right) } \\ & { \qquad - \frac { 1 } { ( 2 ^ { n } + 1 ) ( 2 ^ { n + 1 } + 1 ) } \cdot \sum _ { j = 1 } ^ { 2 ^ { n - 1 } - 1 } \left( \mathbb { E } \left[ \left\Vert I - \frac { \bar { \eta } - 2 ^ { n - 1 } \frac { R } { 2 ^ { n - 1 } } } { b } H \right\Vert ^ { s } \right] + \mathbb { E } \left[ \left\Vert I - \frac { \bar { \eta } + 2 ^ { n - 1 } \frac { R } { 2 ^ { n - 1 } } } { b } H \right\Vert ^ { s } \right] \right) } \\ & { \qquad + \left( \frac { 1 } { 2 ^ { n } + 1 } - \frac { \frac { 3 } { 2 } } { 2 ^ { n + 1 } + 1 } \right) \cdot \left( \mathbb { E } \left[ \left\Vert I - \frac { \bar { \eta } - 2 ^ { n - 1 } \frac { R } { 2 ^ { n - 1 } } } { b } H \right\Vert ^ { s } \right] + \mathbb { E } \left[ \left\Vert I - \frac { \bar { \eta } + 2 ^ { n - 1 } \frac { R } { 2 ^ { n - 1 } } } { b } H \right\Vert ^ { s } \right] \right) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { n } | K _ { n } | ^ { 2 q } } & { \leq 2 ^ { 2 q - 1 } \mathbb { E } _ { n } | f _ { n } | ^ { 2 q } + 2 ^ { 2 q - 1 } \mathbb { E } _ { n } | g _ { n } | ^ { 2 q } } \\ & { \leq 2 ^ { 2 q - 1 } C _ { 3 } ^ { q } \beta ^ { - q } \lambda ^ { q } \gamma ^ { q } | M _ { n } | ^ { q } \mathbb { E } | \xi _ { n + 1 } | ^ { 2 q } + \lambda ^ { 2 q } \gamma ^ { 2 q } C _ { 5 } \mathbb { E } | \xi _ { n + 1 } | ^ { 4 q } } \\ & { \leq \lambda \gamma C _ { 6 } ( | M _ { n } | ^ { q } + 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \; \mathbb { E } _ { \alpha \sim \pi _ { \theta } } \Big [ G ( X _ { t _ { 0 } } , \ldots , X _ { t _ { N } } ) 1 _ { t _ { i } \geq \tau } \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \theta } ( t _ { i } , X _ { t _ { i } } , \alpha _ { t _ { i } } ) \Big ] } \\ { = } & { \; \mathbb { E } _ { \alpha \sim \pi _ { \theta } } \Big [ g ( X _ { \tau } ) 1 _ { t _ { i } \geq \tau } \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \theta } ( t _ { i } , X _ { t _ { i } } , \alpha _ { t _ { i } } ) \Big ] } \\ { = } & { \; \mathbb { E } _ { \alpha \sim \pi _ { \theta } } \Big [ g ( X _ { \tau } ) 1 _ { t _ { i } \geq \tau } \mathbb { E } _ { \alpha \sim \pi _ { \theta } } \big [ \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \theta } ( t _ { i } , X _ { t _ { i } } , \alpha _ { t _ { i } } ) \big | X _ { t _ { i } } \big ] \Big ] } \\ { = } & { \; \mathbb { E } _ { \alpha \sim \pi _ { \theta } } \Big [ g ( X _ { \tau } ) 1 _ { t _ { i } \geq \tau } \underbrace { \nabla _ { \theta } \Big ( \int _ { A } \rho _ { \theta } ( t _ { i } , X _ { t _ { i } } ^ , a ) \nu ( \mathrm { d } a ) \Big ) } _ { = \ 0 } \Big ] \; = \; 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { s _ { \lambda / \mu ; a , b } ( x / y ) = \langle \mu | \mathcal { A } _ { a , b } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) \mathcal { A } _ { a , b } ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) \dots \mathcal { A } _ { a , b } ( x _ { n } , y _ { n } ) | \lambda \rangle , } \\ { \widehat { s } _ { \lambda / \mu ; a , b } ( x / y ) = \langle \lambda | \widehat { \mathcal { A } } _ { a , b } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) \widehat { \mathcal { A } } _ { a , b } ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) \dots \widehat { \mathcal { A } } _ { a , b } ( x _ { n } , y _ { n } ) | \mu \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { t } \left[ \| \tilde { \nabla } _ { z } \mathcal { L } ( z ^ { t } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \; \middle | \; u ^ { t + 1 } , \omega ^ { t + 1 } , v ^ { t + 1 } \right] - \| \nabla _ { z } \mathcal { L } ( z ^ { t } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { \leq A _ { 1 } \mathcal { L } ( z ^ { t } ) + A _ { 2 } \| \nabla _ { z } \mathcal { L } ( z ^ { t } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } + A _ { 3 } } \\ & { \leq A _ { 1 } B + A _ { 2 } C + A _ { 3 } = \sigma ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \widehat { \Gamma } _ { t + \varepsilon } } \\ { = } & { \mathbf { g } ^ { - 1 } \circ \mathcal { M } \circ \Big ( \mathcal { F } ^ { - 1 } \circ \overline { { \mathcal { K } } } _ { \varepsilon } \mathcal { S } \circ \mathcal { F } \circ \mathbf { g } \left( \widehat { \Gamma } _ { t } \right) + \mathcal { C } \circ \mathbf { g } \left( \widehat { \Gamma } _ { t } \right) \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \omega _ { i \alpha } = \tilde { \theta } _ { i } ^ { \dot { \alpha } } h _ { \alpha \dot { \alpha } } ( x ^ { \beta \dot { \beta } } , \tau ^ { \beta \dot { \beta } } ) , \ } \\ { t i l d e { \omega } _ { \alpha } ^ { i } = \theta ^ { i \alpha } \tilde { h } _ { \alpha \dot { \alpha } } ( x ^ { \beta \dot { \beta } } , \tau ^ { \beta \dot { \beta } } ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \underbrace { X _ { 1 / T } \left( { \frac { k } { N T } } \right) } _ { X _ { k } } } & { = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } x [ n ] \cdot e ^ { - i 2 \pi { \frac { k } { N } } n } \quad \quad k = 0 , \dots , N - 1 } \\ & { = \underbrace { \sum _ { N } x _ { _ { N } } [ n ] \cdot e ^ { - i 2 \pi { \frac { k } { N } } n } , } _ { \mathrm { D F T } } \quad \scriptstyle { { \mathrm { ( s u m ~ o v e r ~ a n y ~ } } n { \mathrm { - s e q u e n c e ~ o f ~ l e n g t h ~ } } N ) } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathrm { R e g } ( T ) \in \; } & { \Omega \bigg ( \sum _ { i \in E } \frac { \ln T } { \Delta _ { i , \mathcal { S } \cap \mathcal { B } , \operatorname* { m i n } } } + \frac { \mu ^ { \star } } { K ^ { 2 } } H \left( \Delta ( \Lambda ) \right) \bigg ) } \\ { \cap } & { \, O \bigg ( \sum _ { i \in E } \frac { K \ln T } { \Delta _ { i , \mathcal { S } \cap \mathcal { B } , \operatorname* { m i n } } } + \mu ^ { \star } H \left( \Delta ( \Lambda ) \right) \bigg ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { \nabla ^ { 2 } \left( { \mathcal { M } } - { \frac { \mathcal { B } } { 1 + \nu } } \, q \right) = - q } \\ & { \kappa G h \left( \nabla ^ { 2 } w + { \frac { \mathcal { M } } { D } } \right) = - \left( 1 - { \cfrac { { \mathcal { B } } c ^ { 2 } } { 1 + \nu } } \right) q } \\ & { \nabla ^ { 2 } \left( { \frac { \partial \varphi _ { 1 } } { \partial x _ { 2 } } } - { \frac { \partial \varphi _ { 2 } } { \partial x _ { 1 } } } \right) = c ^ { 2 } \left( { \frac { \partial \varphi _ { 1 } } { \partial x _ { 2 } } } - { \frac { \partial \varphi _ { 2 } } { \partial x _ { 1 } } } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { H ( x + \epsilon \eta ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { a } ^ { b } ( x ( z ) + \epsilon \eta ( z ) ) ^ { \top } \left( \mathcal { Q } ( x + \epsilon \eta \right) ( z ) \, d z } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { a } ^ { b } x ^ { \top } ( z ) \left( \mathcal { Q } x \right) ( z ) + \epsilon \left( x ^ { \top } ( z ) \left( \mathcal { Q } \eta \right) ( z ) + \eta ^ { \top } ( z ) \left( \mathcal { Q } x \right) ( z ) \right) + \epsilon ^ { 2 } \eta ^ { \top } ( z ) \left( \mathcal { Q } \eta \right) ( z ) \, d z } \\ & { = H ( x ) + \epsilon \int _ { a } ^ { b } \left( \mathcal { Q } x \right) ^ { \top } ( z ) \eta ( z ) \, d z + \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big | S _ { x } ( x _ { 1 } ) - S _ { x } ( x _ { 2 } ) \big | } & { = \frac { 1 } { d _ { S } } \Big | \int _ { x _ { 1 } } ^ { x _ { 2 } } [ \Lambda - S ( y ) - \beta ( y ) S ( y ) I ( y ) + \gamma ( y ) I ( y ) ] \mathrm { d } y \Big | } \\ & { \leq C | x _ { 1 } - x _ { 2 } | + C \int _ { x _ { 1 } } ^ { x _ { 2 } } I ( y ) \mathrm { d } y } \\ & { \leq C | x _ { 1 } - x _ { 2 } | + C \int _ { 0 } ^ { \epsilon _ { 0 } } I ( y ) \mathrm { d } y \leq C \epsilon } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H = - \partial _ { t } \; \; , \; \; P _ { i } = \partial _ { i } \; \; , \; \; J _ { i j } = x _ { i } \partial _ { j } - x _ { j } \partial _ { i } } \\ & { B _ { i } = t \partial _ { i } \; \; \; D = - ( t \partial _ { t } + x ^ { i } \partial _ { i } ) \; \; , \; \; K _ { i } = t ^ { 2 } \partial _ { i } } \\ & { K = - ( t ^ { 2 } \partial _ { t } + 2 x _ { i } t \partial _ { i } ) } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { Y ( \rho ) } \\ { Y ^ { \prime } ( \rho ) } \\ { Z ( \rho ) } \\ { Z ^ { \prime } ( \rho ) } \end{array} \right) ^ { \prime } = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } } + \alpha k ^ { 2 } } & { - \frac 1 \rho } & { 0 } & { - \beta k } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { \frac { \delta k } { \rho } } & { \delta k } & { \gamma k ^ { 2 } } & { - \frac 1 \rho } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { Y ( \rho ) } \\ { Y ^ { \prime } ( \rho ) } \\ { Z ( \rho ) } \\ { Z ^ { \prime } ( \rho ) } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { - \frac 1 \mu \Psi _ { k } ( \rho ) } \end{array} \right) \, , \qquad \rho > 0 \, ,
\begin{array} { r l } { J _ { n } ( j ) } & { \le \frac { ( 2 n ) ! } { ( 2 j + 1 ) ^ { 2 } \cdots ( 2 j + 2 n - 1 ) ^ { 2 } } \sum _ { k \ge 0 } \frac { ( k + 2 j + 1 ) \cdots ( k + 2 j + 2 n ) } { ( 2 n ) ! } e ^ { - \frac { \gamma } { 2 } k } } \\ & { = \frac { ( 2 n ) ! } { ( 2 j + 1 ) ^ { 2 } \cdots ( 2 j + 2 n - 1 ) ^ { 2 } } I _ { 2 n } ( j ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \displaystyle \sum _ { u = i + 1 } ^ { n } w _ { i , u } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s - 1 } [ w _ { u , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { s + 1 } , w _ { j , j } ^ { ( 2 ) } t ] } \\ & { = - \delta ( j > i ) \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } w _ { i , j } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s - 1 } w _ { j , i } ^ { ( 2 ) } t ^ { s + 2 } + \delta _ { i , j } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { u = i + 1 } ^ { n } w _ { i , u } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s - 1 } w _ { u , i } ^ { ( 2 ) } t ^ { s + 2 } } \\ & { \quad + \delta ( j > i ) \alpha _ { 1 } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } ( s + 1 ) w _ { i , j } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s - 1 } w _ { j , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { s + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta _ { 1 } } & { : = Z _ { m - 1 } Z _ { m } ^ { \prime } - Z _ { m } Z _ { m - 1 } ^ { \prime } - Z _ { m - 1 , h } Z _ { m , h } ^ { \prime } + Z _ { m , h } Z _ { m - 1 , h } ^ { \prime } } \\ & { = - ( Z _ { m } - Z _ { m - 1 } ) ( Z _ { m } ^ { \prime } - Z _ { m , h } ^ { \prime } ) - ( Z _ { m } - Z _ { m , h } - Z _ { m - 1 } + Z _ { m - 1 , h } ) Z _ { m , h } ^ { \prime } } \\ & { \qquad + ( Z _ { m } - Z _ { m , h } ) ( Z _ { m } ^ { \prime } - Z _ { m - 1 } ^ { \prime } ) + Z _ { m , h } ( Z _ { m } ^ { \prime } - Z _ { m , h } ^ { \prime } - Z _ { m - 1 } ^ { \prime } + Z _ { m - 1 , h } ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lefteqn { I ( X ( t ) \in \bar { B } _ { R } ) \zeta ( X ( t ) ) - I ( X ( 0 ) \in B _ { R } ) \zeta ( X ( 0 ) ) } } \\ & { \leq I \big ( \exists s \in [ 0 , 1 ] \; X ( s ) \in \partial B _ { R } , X ( t ) \in \bar { B } _ { R } \big ) \zeta ( X ( t ) ) } \\ & { + I \big ( \forall s \in [ 0 , 1 ] \; X ( s ) \in B _ { R } \big ) \big ( \zeta ( X ( t ) ) - \zeta ( X ( 0 ) ) \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { \Delta t _ { n } } { 4 N } \lvert \lvert \lvert \nabla _ { G } E ( U ^ { n + 1 / 2 } ) \rvert \rvert \rvert ^ { 2 } } & { \leq } & { \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \Big ( E ( U ^ { 0 } ) - E ( U ^ { 1 } ) + E ( U ^ { 1 } ) - E ( U ^ { 2 } ) + \cdots } \\ { + E ( U ^ { n } ) - E ( U ^ { n + 1 } ) \Big ) } \\ & { \leq } & { E ( U ^ { 0 } ) - \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } E ( U ^ { n } ) < \infty , } \end{array}
\boldsymbol { U } _ { n , \beta } ( \boldsymbol { \theta } ) = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \boldsymbol { u } _ { i , \beta } ( Y _ { i } ; \boldsymbol { \theta } ) = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( \boldsymbol { u } _ { i , \beta , \boldsymbol { \alpha } } ^ { T } ( Y _ { i } ; \boldsymbol { \theta } ) , \boldsymbol { u } _ { i , \beta , \sigma ^ { 2 } } ^ { T } ( Y _ { i } ; \boldsymbol { \theta } ) , \boldsymbol { u } _ { i , \beta , \boldsymbol { \beta } } ^ { T } ( Y _ { i } ; \boldsymbol { \theta } ) \right) ^ { T } ,
\begin{array} { r l } { \frac { s _ { j } } { r ^ { k } } Q _ { k } ( \mu ) } & { = s _ { j } ( c _ { k } + i s _ { k } ) - s _ { k } ( c _ { j } + i s _ { j } ) + s _ { k - j } } \\ & { = s _ { j } c _ { k } + i s _ { j } s _ { k } - c _ { j } s _ { k } - i s _ { j } s _ { k } + s _ { k - j } } \\ & { = s _ { j } c _ { k } - c _ { j } s _ { k } + s _ { k - j } } \\ & { = s _ { j - k } + s _ { k - j } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { ( \partial _ { z } ^ { 2 } + \partial _ { z } + z ^ { - 1 } L _ { S } ) v = \eta _ { z _ { 0 } } ( z ) \cdot \tilde { \mathscr { R } } ( v ) , \ } & { \ \mathrm { ~ o n ~ } S \times \mathbb { R } _ { > z _ { 0 } / 1 2 } ; } \\ { v ( \cdot , z _ { 0 } / 1 2 ) = 0 , \ } & { \ \mathrm { ~ o n ~ } S . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { g } _ { b _ { 0 } } ( \dot { b } ) } & { = \dot { g } _ { b _ { 0 } } ^ { 0 } ( \dot { b } ) - \mathcal { L } _ { V ( \dot { b } ) } g _ { b _ { 0 } } ^ { 0 } , \quad \dot { g } _ { b _ { 0 } } ( \dot { b } ) = \dot { g } _ { b _ { 0 } } ^ { 0 } ( \dot { b } ) - \mathcal { L } _ { V ( \dot { b } ) } A _ { b _ { 0 } } ^ { 0 } , } \\ { V ( \dot { b } ) } & { = \frac { d } { d s } \bigg | _ { s = 0 } ( ( \Phi _ { b _ { 0 } + s \dot { b } } ^ { 0 } ) ^ { - 1 } \circ \Phi _ { b _ { 0 } + s \dot { b } } ) } \\ & { = \biggl ( \dot { \mathbf { m } } \Bigl ( \int _ { r _ { 0 } } ^ { r } \frac { 2 r ^ { 3 } } { \Delta _ { b _ { 0 } } ^ { 2 } } ( 1 - \chi _ { 0 } ) \, d r \Bigr ) - \dot { \mathbf { Q } } \Bigl ( \int _ { r _ { 0 } } ^ { r } \frac { 2 \mathbf { Q } _ { 0 } r ^ { 2 } } { \Delta _ { b _ { 0 } } ^ { 2 } } ( 1 - \chi _ { 0 } ) \, d r \Bigr ) \biggr ) \partial _ { t _ { * } } + \dot { \mathbf { a } } \Bigl ( \int _ { r _ { 0 } } ^ { r } \frac { 1 - \chi _ { 0 } } { \Delta _ { b _ { 0 } } } d r \Bigr ) \partial _ { \varphi } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle P \cdot \mathcal { D } , Q \rangle } & { = } & { - \int _ { 0 } ^ { \infty } P ( x ) W ( x ) \left( Q \cdot ( 1 + x \partial _ { x } ) \right) ^ { \ast } ( x ) d x } \\ & { - } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } P ( x ) W ( x ) e ^ { - A ^ { \ast } x } ( - x \phi ^ { \prime } ( x ) + \nu + J + x A ^ { \ast } + x ) e ^ { A ^ { \ast } x } Q ^ { \ast } ( x ) d x . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { [ n + 1 - L \beta _ { n } ^ { - 1 } , n ] \times [ n + 1 - L \beta _ { n } ^ { - 1 } , n ] } \\ & { \subseteq } & { ( ( \lfloor n \beta _ { n } \slash L \rfloor - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 } , n ] \times ( ( \lfloor n \beta _ { n } \slash L \rfloor - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 } , n ] = \mathcal { R } _ { \lfloor n \beta _ { n } \slash L \rfloor } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad [ A _ { i } , F _ { j } ] - [ A _ { j } , F _ { i } ] } \\ & { = _ { i , j } - _ { i , j + 1 } - _ { j , i } + _ { j , i + 1 } } \\ & { \quad + _ { i , j } - _ { i , j + 1 } - _ { j , i } + _ { j , i + 1 } } \\ & { \quad + _ { i , j } - _ { i , j + 1 } - _ { j , i } + _ { j , i + 1 } } \\ & { \quad + _ { i , j } - _ { i , j + 1 } - _ { j , i } + _ { j , i + 1 } } \\ & { \quad + _ { i , j } - _ { i , j + 1 } - _ { j , i } + _ { j , i + 1 } . } \end{array}
\Tilde { w } _ { l } ( \mathbf { x } ) \triangleq \sqrt { \frac { 2 k ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ) \log ( 1 / \beta ) } { | U _ { l } | } } + \sqrt { \frac { 2 \Sigma _ { H _ { l } } ^ { 2 } ( \mathbf { x } ) \log ( 1 / \beta ) } { | U _ { l } | } } + B \Sigma _ { H _ { l } } ( \mathbf { x } ) + \sqrt { 2 \sigma _ { n } ^ { 2 } \log ( 1 / \beta ) } ,
R _ { k } \equiv R _ { k } \left\{ u ^ { k } , u ^ { \bullet } \, \frac { { \mathrm { d } } ^ { \bullet } u } { { \mathrm { d } } z ^ { \bullet } } , u ^ { \bullet } \left( \frac { { \mathrm { d } } ^ { \bullet } u } { { \mathrm { d } } z ^ { \bullet } } \right) ^ { 2 } , u ^ { \bullet } \left( \frac { { \mathrm { d } } ^ { \bullet } u } { { \mathrm { d } } z ^ { \bullet } } \right) ^ { 3 } \right\} .
\begin{array} { r l } { { { \sigma _ { p } } } ( A _ { 2 } ^ { i j } ) ( q , \zeta ) } & { = - ( 2 \pi ) ^ { - 1 } \beta _ { 2 } \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( i ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( j ) } ) ^ { 2 } } { | \zeta ^ { ( i ) } + \zeta ^ { ( j ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } { { \sigma _ { p } } } ( v _ { i } ) ( q , \zeta ^ { ( i ) } ) { { \sigma _ { p } } } ( v _ { j } ) ( q , \zeta ^ { ( j ) } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle ( S u _ { \gamma } - y _ { \operatorname* { m a x } } ) _ { - } , g _ { \varepsilon } ( S u _ { \gamma } - y _ { \operatorname* { m a x } } ) \rangle _ { \mathcal { Y } ^ { * } , \mathcal { Y } } } & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \int _ { D } ( f ) _ { - } g _ { \varepsilon } ( f ) d x \pi ( \xi _ { 1 } ) \cdots \pi ( \xi _ { d } ) d \xi } \\ & { = \int _ { D } \int _ { f ( x , \xi ) \le 0 } f g _ { \varepsilon } ( f ) \pi ( \xi _ { 1 } ) \cdots \pi ( \xi _ { d } ) d \xi d x . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathtt { S o l } ( \mathbb { S } _ { \mathtt { H M S } } ^ { \mathtt { ( t ) } } ) = \Psi ^ { - 1 } \mathtt { S o l } ( \mathbb { S } _ { \mathtt { H M S } } ^ { \mathtt { ( m ) } } ) = \Psi ^ { - 1 } \mathtt { S o l } ( \mathbb { S } _ { \mathtt { P T } } ^ { \mathtt { ( m ) } } ) = \mathtt { S o l } ( \mathbb { S } _ { \mathtt { P T } } ^ { \mathtt { ( t ) } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathcal { M } } \mathrm { d } ^ { 2 } \big ( T ^ { n , s } , \exp ( \nabla h _ { \delta } ^ { n , t } ) \big ) \mu ^ { n , s } \, \mathrm { d } \mathrm { m } } \\ & { \lesssim \, W _ { 2 } ^ { 2 } \big ( \nu ^ { m , t } , \exp ( \nabla h _ { \delta } ^ { n , t } ) _ { \# } \mu ^ { n , t } \big ) } \\ & { + W _ { 2 } \big ( \nu ^ { m , t } , \exp ( \nabla h _ { \delta } ^ { n , t } ) _ { \# } \mu ^ { n , t } \big ) W _ { 2 } \big ( \mu ^ { n , s } , \nu ^ { m } \big ) } \\ & { + W _ { 2 } ^ { 2 } ( \nu ^ { m , t } , \nu ^ { m } ) + W _ { 2 } ^ { 2 } \big ( ( \mathrm { I d } , \exp ( \nabla h _ { \delta } ^ { n , t } ) _ { \# } \mu ^ { n , s } , ( \mathrm { I d } , \exp ( \nabla h _ { \delta } ^ { n , t } ) _ { \# } \mu ^ { n , t } \big ) } \\ & { + \big ( W _ { 2 } ( \nu ^ { m , t } , \nu ^ { m } ) + W _ { 2 } ( ( \mathrm { I d } , \exp ( \nabla h _ { \delta } ^ { n , t } ) _ { \# } \mu ^ { n , s } , ( \mathrm { I d } , \exp ( \nabla h _ { \delta } ^ { n , t } ) _ { \# } \mu ^ { n , t } ) \big ) W _ { 2 } ( \mu ^ { n , s } , \nu ^ { m } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \check { J } _ { n } ^ { 2 } ( \theta ) } & { = \mathbb { E } \Big [ \Big \| y _ { n + 1 } ( \check { X } _ { t _ { n + 1 } } ^ { \theta } ; { \theta _ { n + 1 } ^ { Y } } ) - y _ { n } ( \check { X } _ { t _ { n } } ; { \theta ^ { Y } } ) + F ( t _ { n } , \check { X } _ { t _ { n } } , y ( \check { X } _ { t _ { n } } ; { \theta ^ { Y } } ) , \sigma ^ { \operatorname { T } } \mathcal { D } _ { x } y _ { n } ( \check { X } _ { t _ { n } } ; { \theta ^ { Y } } ) ) \Delta t } \\ & { \qquad \qquad - \mathcal { D } _ { x } y _ { n } ( \check { X } _ { t _ { n } } ; { \theta ^ { Y } } ) ^ { \operatorname { T } } \sigma \Delta \check { W } _ { t _ { n + 1 } } \Big \| ^ { 2 } \Big ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { k } ( x _ { k + 1 } , u _ { k + 1 } ) - V _ { k } ( \bar { x } _ { k } , \bar { u } _ { k } ) } & { \leq \frac { T _ { k } d _ { k } } { 2 } ( \nabla f ( x _ { k + 1 } ) - \nabla f ( x _ { k } ) ) ^ { \ensuremath Ḋ \mathsf Ḋ \tiny Ḋ T Ḍ Ḍ Ḍ } u _ { k + 1 } - \frac { T _ { k } ^ { 2 } d _ { 1 } } { 2 } | \nabla f ( x _ { k } ) | ^ { 2 } + c _ { \mathrm { E } } T _ { k } ^ { 4 } } \\ & { \leq \frac { T _ { k } ^ { 2 } d _ { k } } { 2 } | u _ { k + 1 } | ^ { 2 } - \frac { T _ { k } ^ { 2 } d _ { k } } { 2 } | \nabla f ( x _ { k } ) | ^ { 2 } + c _ { \mathrm { E } } T _ { k } ^ { 4 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( \hat { s } _ { k } = s _ { k } \ \vert \ \hat { s } _ { < k } = s _ { < k } ) } & { = C ^ { - 1 } \langle h _ { < k } h _ { < k } ^ { \top } , U _ { k } \left[ s _ { k } , : \right] ^ { \top } U _ { k } \left[ s _ { k } , : \right] , G _ { > k } \rangle } \\ & { : = q _ { h _ { < k } , U _ { k } , G _ { > k } } \left[ s _ { k } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \rho ^ { \nu } ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ) } ^ { 2 } + 2 \nu \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } | \nabla \rho ^ { \nu } ( s , x ) | ^ { 2 } d x d s \leq \| \rho _ { 0 } ^ { \nu } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ) } ^ { 2 } + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } g ^ { \nu } \rho ^ { \nu } d x d s , } \\ & { \| \rho ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ) } ^ { 2 } = \| \rho _ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ) } ^ { 2 } + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } g \rho d x d s , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { \bar { A } } _ { + } ^ { ( 0 ) } } & { = \Lambda ( \omega ) \mathbf { \mathcal { A } } _ { + } ^ { ( 0 ) } , } \\ { \mathbf { \bar { A } } _ { + } ^ { ( 1 ) } } & { = \Lambda ( \omega ) \mathbf { \mathcal { A } } _ { + } ^ { ( 1 ) } , } \\ { \mathbf { \bar { A } } ^ { ( 1 ) } } & { = \Lambda ( \omega ) \left( \mathbf { \mathcal { A } } _ { + } ^ { ( 0 ) } \mathbf { \mathcal { A } } _ { - } ^ { ( 1 ) } + \mathbf { \mathcal { A } } _ { + } ^ { ( 1 ) } \mathbf { \mathcal { A } } _ { - } ^ { ( 0 ) } \right) , } \\ { \mathbf { \bar { A } } ^ { ( 2 ) } } & { = \Lambda ( \omega ) \mathbf { \mathcal { A } } _ { + } ^ { ( 1 ) } \mathbf { \mathcal { A } } _ { - } ^ { ( 1 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { 1 } } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \mathrm { V a r } _ { s , a } ^ { \pi } \left( \gamma ^ { \tau _ { j } } g ( W _ { j + 1 } ) \right) } \\ & { \leq \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } E \gamma ^ { 2 \tau _ { j } } g ( W _ { j + 1 } ) ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 1 } { ( 1 - \gamma ) ^ { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } E \gamma ^ { 2 \tau _ { j } } ( 1 - \gamma ^ { T _ { j + 1 } } ) ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 1 } { ( 1 - \gamma ) ^ { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \chi ( 2 ) ^ { j } ( 1 - 2 \chi ( 1 ) + \chi ( 2 ) ) } \\ & { \leq \frac { p \gamma ^ { 2 m } ( 1 - \gamma ^ { m } ) ( 1 + ( 1 - p ) \gamma ^ { m } ) } { ( 1 - \gamma ) ^ { 2 } ( 1 + \gamma ^ { m } ) ( 1 - ( 1 - p ) \gamma ^ { m } ) ( 1 - ( 1 - p ) \gamma ^ { 2 m } ) } } \\ & { \leq \frac { 2 m } { ( 1 - \gamma ) p } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \mathrm { K L } [ \rho _ { t } \Vert \rho _ { \mathrm { p o s t } } ] } & { = - \int \rho _ { t } [ \nabla _ { \theta } \log ( \frac { \rho _ { t } } { \rho _ { \mathrm { p o s t } } } ) ] ^ { T } P [ \nabla _ { \theta } \log ( \frac { \rho _ { t } } { \rho _ { \mathrm { p o s t } } } ) ] \mathrm { d } \theta } \\ & { \leq - \lambda \int \rho _ { t } [ \nabla _ { \theta } \log ( \frac { \rho _ { t } } { \rho _ { \mathrm { p o s t } } } ) ] ^ { T } [ \nabla _ { \theta } \log ( \frac { \rho _ { t } } { \rho _ { \mathrm { p o s t } } } ) ] \mathrm { d } \theta } \\ & { \leq - 2 \lambda \alpha \mathrm { K L } [ \rho _ { t } \Vert \rho _ { \mathrm { p o s t } } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \Phi ( X , V _ { t + \Delta { t } } ) ] } & { = \mathbb { E } \Bigl [ \mathbb { E } \bigl [ \Phi \bigl ( X , ( 1 - \Theta ) V _ { t } + \Theta \Psi ( V _ { t } , V _ { t } ^ { \ast } , \omega ) \bigr ) \vert X , X ^ { \ast } \bigr ] \Bigr ] } \\ & { = \mathbb { E } \! \left[ \Phi ( X , V _ { t } ) \left( 1 - B ( X , X _ { \ast } ) \Delta { t } \right) + \Phi \bigl ( X , \Psi ( V _ { t } , V _ { t } ^ { \ast } , \omega ) \bigr ) B ( X , X ^ { \ast } ) \Delta { t } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A A ^ { T } } & { = \frac { A + A ^ { T } } { 2 } + \frac { ( 2 A - I ) ( 2 A ^ { T } - I ) } { 4 } - \frac { I } { 4 } } \\ { \Rightarrow \langle x , A A ^ { T } x \rangle } & { \leq \langle x , \frac { A + A ^ { T } } { 2 } x \rangle + \| x \| _ { 2 } \frac { \| ( 2 A - I ) \| _ { 2 } \| ( 2 A ^ { T } - I ) \| _ { 2 } } { 4 } \| x \| _ { 2 } - \frac { \| x \| _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 } \leq \langle x , \frac { A + A ^ { T } } { 2 } x \rangle } \\ { \Rightarrow \operatorname* { m a x } _ { x \perp w } \langle x , A A ^ { T } x \rangle } & { \leq \operatorname* { m a x } _ { x \perp w } \langle x , \frac { A + A ^ { T } } { 2 } x \rangle . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( x { \mathrm { ~ r e c e i v e d } } \mid y { \mathrm { ~ s e n t } } ) } & { = { \frac { \mathbb { P } ( x { \mathrm { ~ r e c e i v e d } } , y { \mathrm { ~ s e n t } } ) } { \mathbb { P } ( y { \mathrm { ~ s e n t } } ) } } } \\ & { = \mathbb { P } ( y { \mathrm { ~ s e n t } } \mid x { \mathrm { ~ r e c e i v e d } } ) \cdot { \frac { \mathbb { P } ( x { \mathrm { ~ r e c e i v e d } } ) } { \mathbb { P } ( y { \mathrm { ~ s e n t } } ) } } . } \end{array} }
\left| { \frac { \overline { { A F } } } { \overline { { F B } } } } \right| = \left| { \frac { a } { b } } \right| , \quad \left| { \frac { \overline { { B D } } } { \overline { { D C } } } } \right| = \left| { \frac { b } { c } } \right| , \quad \left| { \frac { \overline { { C E } } } { \overline { { E A } } } } \right| = \left| { \frac { c } { a } } \right| .
\begin{array} { r l } { | g _ { t } ^ { N } ( z ) - g _ { t } ^ { \infty } ( z ) | } & { = \left| \int _ { 0 } ^ { t } M _ { s } ^ { N } ( g _ { s } ^ { N } ( z ) ) - M _ { s } ^ { \infty } ( g _ { s } ^ { \infty } ( z ) ) d s \right| } \\ & { \leq \left| \int _ { 0 } ^ { t } M _ { s } ^ { N } ( g _ { s } ^ { N } ( z ) ) - M _ { s } ^ { \infty } ( g _ { s } ^ { N } ( z ) ) d s \right| } \\ & { \quad \quad + \left| \int _ { 0 } ^ { t } M _ { s } ^ { \infty } ( g _ { s } ^ { N } ( z ) ) - M _ { s } ^ { \infty } ( g _ { s } ^ { \infty } ( z ) ) d s \right| . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \varphi ^ { 0 } } & { = 1 , } \\ { \varphi ^ { 1 } } & { = 1 . 6 1 8 0 3 3 9 8 9 \ldots \approx 2 , } \\ { \varphi ^ { 2 } } & { = 2 . 6 1 8 0 3 3 9 8 9 \ldots \approx 3 , } \\ { \varphi ^ { 3 } } & { = 4 . 2 3 6 0 6 7 9 7 8 \ldots \approx 4 , } \\ { \varphi ^ { 4 } } & { = 6 . 8 5 4 1 0 1 9 6 7 \ldots \approx 7 , } \end{array} }
\sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \left[ \frac { \lambda _ { k } } { k + 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { k } U _ { j } ^ { ( i ) } \right] = \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { k } \frac { \lambda _ { k } } { k + 1 } U _ { j } ^ { ( i ) } = \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \frac { \lambda _ { k } } { k + 1 } U _ { j } ^ { ( i ) } = \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } \left( \sum _ { k = j } ^ { n - 1 } \frac { \lambda _ { k } } { k + 1 } \right) U _ { j } ^ { ( i ) } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { B P S } ^ { * } ( \mu f _ { 2 } ) ( x , + 1 ) } & { = - \mu ( x , + 1 ) \Big \{ ( f _ { 2 } ^ { + } ) ^ { \prime } ( x ) + ( ( - \psi ^ { \prime } ( x ) ) _ { + } + \lambda _ { r } / 2 ) f _ { 2 } ^ { + } ( x ) - ( \lambda _ { r } / 2 + ( - \psi ^ { \prime } ( x ) ) _ { + } ) f _ { 2 } ^ { - } ( x ) \Big \} , } \\ { \mathcal { L } _ { B P S } ^ { * } ( \mu f _ { 2 } ) ( x , - 1 ) } & { = + \mu ( x , - 1 ) \Big \{ ( f _ { 2 } ^ { - } ) ^ { \prime } ( x ) + ( ( + \psi ^ { \prime } ( x ) ) _ { + } + \lambda _ { r } / 2 ) f _ { 2 } ^ { + } ( x ) - ( \lambda _ { r } / 2 + ( + \psi ^ { \prime } ( x ) ) _ { + } ) f _ { 2 } ^ { - } ( x ) \Big \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G ( \xi , \eta ) = } & { { \frac { \lambda _ { 0 } } { 4 } } \left( \xi + \eta \right) + \frac { 1 } { 4 } \int _ { \eta } ^ { \xi } \int _ { 0 } ^ { \eta } f \left( \frac { \tau + s } { 2 } , \frac { \tau - s } { 2 } \right) \mathrm { d } s \mathrm { d } \tau + \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \eta } \int _ { 0 } ^ { \tau } f \left( \frac { \tau + s } { 2 } , \frac { \tau - s } { 2 } \right) \mathrm { d } s \mathrm { d } \tau } \\ & { + { { \frac { { 1 } } { 4 } } \int _ { \eta } ^ { \xi } \int _ { 0 } ^ { \eta } \widetilde { \mu } ( \tau , s ) G ( \tau , s ) \mathrm { d } s \mathrm { d } \tau } + { { \frac { { 1 } } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \eta } \int _ { 0 } ^ { \tau } \widetilde { \mu } ( \tau , s ) G ( \tau , s ) \mathrm { d } s \mathrm { d } \tau } + \frac { 1 } { 4 } \int _ { \eta } ^ { \xi } \int _ { 0 } ^ { \eta } \int _ { z } ^ { z + \eta - s } \widehat { G } ( \tau , s , z ) \mathrm { d } \tau \mathrm { d } s \mathrm { d } z } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \eta } \int _ { 0 } ^ { z } \int _ { z } ^ { 2 z - s } \widehat { G } ( \tau , s , z ) \mathrm { d } \tau \mathrm { d } s \mathrm { d } z . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { u ^ { ( 1 ) } = - 4 x y ( 1 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) - x ^ { 2 } ( x ^ { 2 } + 6 z ^ { 2 } - 2 ) + z ^ { 2 } ( 3 z ^ { 2 } - 2 ) } \\ { \quad \quad + \exp ( \cos y ) + \exp ( \sin z ) , } \\ { u ^ { ( 2 ) } = x ^ { 2 } ( 3 x ^ { 2 } - 6 y ^ { 2 } - 2 ) - y ^ { 2 } ( y ^ { 2 } - 2 ) + \exp ( \sin x ) , } \\ { u ^ { ( 3 ) } = - 4 ( 1 - x ^ { 2 } - z ^ { 2 } ) x z + \exp ( \cos x ) , } \\ { \quad \; p = \exp ( 1 - y ^ { 2 } - z ^ { 3 } ) \sin ( x ^ { 2 } + 1 ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \| x _ { 1 , i } ^ { k + 1 } - x _ { 2 , j } ^ { k + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { \leq \mathbb { E } \Big \| x _ { 1 , i } ^ { k } + \lambda \Delta t \left( \overline { y } ^ { \alpha } ( \overline { \rho } _ { 1 } ^ { k } ) - x _ { 1 , i } ^ { k } \right) + \sigma \sqrt { \Delta t } \left( \overline { y } ^ { \alpha } ( \overline { \rho } _ { 1 } ^ { k } ) - x _ { 1 , i } ^ { k } \right) \otimes \theta _ { 1 , i } ^ { k } } \\ & { \qquad - \left( x _ { 2 , j } ^ { k } + \lambda \Delta t \left( \overline { y } ^ { \alpha } ( \overline { \rho } _ { 2 } ^ { k } ) - x _ { 2 , j } ^ { k } \right) + \sigma \sqrt { \Delta t } \left( \overline { y } ^ { \alpha } ( \overline { \rho } _ { 2 } ^ { k } ) - x _ { 2 , j } ^ { k } \right) \otimes \theta _ { 2 , j } ^ { k } \right) \Big \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \leq 2 \mathbb { E } \left\| \left( 1 - \lambda \Delta t - \sigma \sqrt { \Delta t } \, \textup { d i a g } ( \theta ^ { k } ) \right) ( x _ { 1 , i } ^ { k } - x _ { 2 , j } ^ { k } ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \qquad + 2 \mathbb { E } \left\| \left( \lambda \Delta t + \sigma \sqrt { \Delta t } \, \textup { d i a g } ( \theta ^ { k } ) \right) \left( \overline { y } ^ { \alpha } ( \overline { \rho } _ { 1 } ^ { k } ) - \overline { y } ^ { \alpha } ( \overline { \rho } _ { 2 } ^ { k } ) \right) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \leq 2 ( 1 + \lambda ^ { 2 } \Delta t ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } \Delta t ) \mathbb { E } \| x _ { 1 , i } ^ { k } - x _ { 2 , j } ^ { k } \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \qquad + 2 ( \lambda ^ { 2 } \Delta t ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } \Delta t ) \mathbb { E } \| \overline { y } ^ { \alpha } ( \overline { \rho } _ { 1 } ^ { k } ) - \overline { y } ^ { \alpha } ( \overline { \rho } _ { 2 } ^ { k } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { q } ( k _ { x } , k _ { z } , y ) } & { = F F T _ { 2 D } [ q ( x , y , z ) ] } \\ { q ^ { U } ( x , y , z ) } & { = i F F T _ { 2 D } [ \mathcal { D } ( k _ { x } , k _ { z } , y ) \hat { q } ( k _ { x } , k _ { z } , y ) ] , } \\ { q ^ { D } ( x , y , z ) } & { = i F F T _ { 2 D } [ \mathcal { D } ^ { c } ( k _ { x } , k _ { z } , y ) \hat { q } ( k _ { x } , k _ { z } , y ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } [ g _ { 1 } ( \eta ^ { \prime } , t ) + g _ { 2 } ( \eta ^ { \prime } , t ) ] \textup { d } \eta ^ { \prime } \leq \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } [ g _ { \textup { i n } , 1 } ( \eta ^ { \prime } ) + g _ { \textup { i n } , 2 } ( \eta ^ { \prime } ) ] \textup { d } \eta ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( F X = A ) } & { = | N | ^ { - 1 } \sum _ { C \in \mathrm { H o m } _ { \mathbb { Z } } ( N , \mathbb { Z } / m \mathbb { Z } ) } \mathbb { E } \left( \zeta ^ { C ( F X - A ) } \right) } \\ & { = | N | ^ { - 1 } + | N | ^ { - 1 } \sum _ { C \in \mathrm { H o m } _ { \mathbb { Z } } ( N , \mathbb { Z } / m \mathbb { Z } ) \backslash \{ 0 \} } \mathbb { E } ( \zeta ^ { C ( - A ) } ) \prod _ { 1 \leq j \leq n } \mathbb { E } ( \zeta ^ { C ( F ( v _ { j } ) X _ { j } ) } ) . } \end{array}
\mathbf { J } _ { \boldsymbol { \xi } } = \frac { 2 } { \sigma _ { s } ^ { 2 } } \mathrm { R e } \left\{ \frac { \partial \mathbf { u } } { \partial \boldsymbol { \xi } } \frac { \partial \mathbf { u } ^ { H } } { \partial \boldsymbol { \xi } } \right\} = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { J } _ { 1 1 } } & { \mathbf { J } _ { 1 2 } } \\ { \mathbf { J } _ { 1 2 } ^ { T } } & { \mathbf { J } _ { 2 2 } , } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { \| \nabla v \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } & { \leq \| \frac 1 8 R ( g _ { \theta } ) \| _ { L ^ { 3 / 2 } } \| v \| _ { L ^ { 6 } } ^ { 2 } + \| \frac 1 8 R ( g _ { \theta } ) \| _ { L ^ { 6 / 5 } } \| v \| _ { L ^ { 6 } } } \\ & { \leq \| \frac 1 8 R ( g _ { \theta } ) \| _ { L ^ { 3 / 2 } } \| v \| _ { L ^ { 6 } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 \delta } \| \frac 1 8 R ( g _ { \theta } ) \| _ { L ^ { 6 / 5 } } ^ { 2 } + \frac { \delta } { 2 } \| v \| _ { L ^ { 6 } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { H } \big ( [ [ \hat { X } _ { t + 1 } | x _ { t } , u _ { t } ] ] , [ [ \hat { X } _ { t + 1 } | \mu _ { t } ( x _ { t } ) , u _ { t } ] ] \big ) } \\ { = } & { \mathcal { H } \Big ( \big \{ \mu _ { t + 1 } ( f _ { t } ( x _ { t } , u _ { t } , w _ { t } ) ) | w _ { t } \in \mathcal { W } _ { t } \big \} , } \\ & { \big \{ \mu _ { t + 1 } ( f _ { t } ( \bar { x } _ { t } , u _ { t } , w _ { t } ) ) | \bar { x } _ { t } \in [ [ X _ { t } | \mu _ { t } ( x _ { t } ) ] ] , w _ { t } \in \mathcal { W } _ { t } \big \} \Big ) } \\ { \leq } & { \operatorname* { m a x } _ { w _ { t } \in \mathcal { W } _ { t } } \mathcal { H } ( \{ \mu _ { t + 1 } ( f _ { t } ( x _ { t } , u _ { t } , w _ { t } ) ) \} , } \\ & { \{ \mu _ { t + 1 } ( f _ { t } ( \bar { x } _ { t } , u _ { t } , w _ { t } ) ) | \bar { x } _ { t } \in [ [ X _ { t } | \mu _ { t } ( x _ { t } ) ] ] \} ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \tilde { D } } { M _ { D } } \cdot \tilde { K } } & { = \frac { 1 } { 2 M _ { D } } \left( \tilde { D } \cdot \tilde { D } + \tilde { K } \cdot \tilde { K } - \tilde { \pi } \cdot \tilde { \pi } \right) } \\ { E _ { K } } & { = \frac { 1 } { 2 M _ { D } } \left( M _ { D } ^ { 2 } + M _ { K } ^ { 2 } - M _ { \pi } ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { X _ { t } | { \boldsymbol X } _ { [ t - 1 ] } } ( x _ { t } | { \boldsymbol x } _ { [ t - 1 ] } ) } & { = \frac { f _ { { \boldsymbol X } _ { [ t ] } } ( { \boldsymbol x } _ { [ t - 1 ] } , x _ { t } ) } { f _ { { \boldsymbol X } _ { [ t - 1 ] } } ( { \boldsymbol x } _ { [ t - 1 ] } ) } , } \\ { f _ { { \boldsymbol X } _ { [ t ] } } ( { \boldsymbol x } _ { [ t ] } ) } & { = \int f _ { { \boldsymbol X } } ( { \boldsymbol x } _ { [ t ] } , { \boldsymbol x } _ { [ t ] ^ { c } } ^ { \prime } ) \mathrm { d } { \boldsymbol x } _ { [ t ] ^ { c } } ^ { \prime } . } \end{array}
\left[ \begin{array} { c c c c c c c c c c } { 1 _ { n } } & { v _ { 1 , 2 } } & { \ast } & { \ast } & { 0 } & { \ast } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \ddots } & { \ddots } & { \ast } & { 0 } & { \ast } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 _ { n } } & { v _ { k - 2 , k - 1 } } & { 0 } & { \ast } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 _ { n } } & { 0 } & { y } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 _ { n } } & { 0 } & { y ^ { \ast } } & { \ast } & { \ast } & { \ast } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 _ { n } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 _ { n } } & { - v _ { k - 2 , k - 1 } ^ { \ast } } & { \ast } & { \ast } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 _ { n } } & { \ddots } & { \ast } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ddots } & { - v _ { 1 , 2 } ^ { \ast } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 _ { n } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { S _ { k } ^ { * } ( f ) = } & { \sum _ { x _ { i } \in \mathbb { F } _ { q ^ { k } } ^ { * } } \psi \left( \operatorname { T r } _ { k } \left( x _ { n + 2 } + x _ { n + 1 } \left( 1 - x _ { n + 2 } \left( x _ { 1 } + \cdots + x _ { n } + \frac { b } { x _ { 1 } \cdots x _ { n } } \right) \right) \right) \right) . } \end{array}
\mu _ { \mathbf { S } } ^ { \varepsilon } \left[ f \right] = \frac { \mu _ { \mathbf { R } } ^ { \varepsilon } \left( \mathbf { t } \wedge M \right) } { \mu _ { \mathbf { R } } ^ { \varepsilon } \left( \mathbf { t } \right) } \frac { \mu _ { \mathbf { R } } ^ { \varepsilon } \left[ \int _ { 0 } ^ { \mathbf { t } \wedge M } d s f \circ \hat { \pi } \left( \cdot , \cdot , s \right) \right] } { \mu _ { \mathbf { R } } ^ { \varepsilon } \left( \mathbf { t } \wedge M \right) } + \frac { \mu _ { \mathbf { R } } ^ { \varepsilon } \left[ \mathbf { 1 } _ { \left( M , \infty \right) } \left( \mathbf { t } \right) \int _ { M } ^ { \mathbf { t } } d s f \circ \hat { \pi } \left( \cdot , \cdot , s \right) \right] } { \mu _ { \mathbf { R } } ^ { \varepsilon } \left( \mathbf { t } \right) } \ ,
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \zeta } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \zeta ^ { 2 } } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \ , \kappa \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { \zeta } & { \zeta ^ { 2 } } \\ { 1 } & { \zeta ^ { 2 } } & { \zeta } \end{array} \right) } \end{array}
\operatorname { p d f } _ { \mathrm { M J } } ( \mathbf { \beta } ; \theta ) \mathrm { d } \beta _ { 1 } \cdots \mathrm { d } \beta _ { d } = \pi ^ { \frac { 1 - d } { 2 } } 2 ^ { - { \frac { d + 1 } { 2 } } } \, \theta ^ { \frac { 1 - d } { 2 } } \operatorname { K } _ { \frac { d + 1 } { 2 } } \left( { \frac { 1 } { \theta } } \right) ^ { - 1 } e ^ { - { \frac { \gamma ( \beta ) } { \theta } } } \gamma ( \beta ) ^ { d + 2 } \mathrm { d } \beta _ { 1 } \cdots \mathrm { d } \beta _ { d }
P ( b , \sigma ) f = ( \sigma ^ { - 2 } ( \dot { g } _ { 1 } , \dot { A } _ { 1 } ) - i \sigma ^ { - 1 } ( \check { g } _ { 1 } , \check { A } _ { 1 } ) ) + i \sigma ^ { - 1 } \big ( ( \dot { g } _ { 2 } , \dot { A } _ { 2 } ) + ( \dot { g } _ { 1 } ^ { \prime } , \dot { A } _ { 1 } ^ { \prime } ) \big ) + i \sigma ^ { - 1 } ( \dot { g } _ { 1 } ^ { \prime \prime } ( \sigma ) , \dot { A } _ { 1 } ^ { \prime \prime } ( \sigma ) )
| L , M _ { 2 } , M _ { 3 } \rangle _ { 2 } = \frac { 1 } { Z _ { 2 } ( L , M _ { 2 } , M _ { 3 } ) } \sum _ { p } { \sum } _ { N _ { z y } , N _ { z x } , N _ { x x } \atop N _ { y y } , N _ { y x } , N _ { x y } } ^ { \prime } ( - 1 ) ^ { M _ { 3 } + N _ { y y } + N _ { y x } } i ^ { M _ { 2 } } | \underbrace { 0 _ { z } 0 _ { y } . . . } _ { N _ { z y } } | \underbrace { 0 _ { z } 0 _ { x } . . . } _ { N _ { z x } } | \underbrace { 0 _ { x } 0 _ { x } . . . } _ { N _ { x x } } | \underbrace { 0 _ { y } 0 _ { y } . . . } _ { N _ { y y } } | \underbrace { 0 _ { y } 0 _ { x } . . . } _ { N _ { y x } } | \underbrace { 0 _ { x } 0 _ { y } . . . } _ { N _ { x y } } \rangle ,
\begin{array} { l l l } { \overline { { E _ { \beta _ { k } } } } \, { _ V \phi _ { j } ^ { i } } = { _ V \phi _ { j } ^ { i } } \, \overline { { E _ { \beta _ { k } } } } , } & { \overline { { F _ { \beta _ { k } } } } \, { _ V \phi _ { j } ^ { i } } = q ^ { - ( \beta _ { k } , \epsilon _ { j } ) } { _ V \phi _ { j } ^ { i } } \, \overline { { F _ { \beta _ { k } } } } , } & { \overline { { K _ { \mu } } } \, { _ V \phi _ { j } ^ { i } } = q ^ { ( \mu , \epsilon _ { j } ) } { _ V \phi _ { j } ^ { i } } \, \overline { { K _ { \nu } } } , } \\ { \overline { { \widetilde { E _ { \beta _ { k } } } } } \, { _ V \phi _ { j } ^ { i } } = q ^ { - ( \beta _ { k } , \epsilon _ { i } ) } { _ V \phi _ { j } ^ { i } } \, \overline { { \widetilde { E _ { \beta _ { k } } } } } , } & { \overline { { \widetilde { F _ { \beta _ { k } } } } } \, { _ V \phi _ { j } ^ { i } } = { _ V \phi _ { j } ^ { i } } \, \overline { { \widetilde { F _ { \beta _ { k } } } } } , } & { \overline { { K _ { \mu } } } \, { _ V \phi _ { j } ^ { i } } = q ^ { - ( \mu , \epsilon _ { i } ) } { _ V \phi _ { j } ^ { i } } \, \overline { { K _ { \nu } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( x , y ) = } & { f ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) + ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } f ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) + ( y - y _ { 0 } ) ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y ^ { 2 } } f ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) + } \\ & { ( x - x _ { 0 } ) ( y - y _ { 0 } ) \frac { \partial } { \partial x } \frac { \partial } { \partial y } f ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) + O ( ( x - x _ { 0 } , y - y _ { 0 } ) ^ { 3 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { E } _ { 1 } } & { \= h _ { 1 } ( x ) \, q _ { 1 } ( x ) + \varepsilon \, h _ { 2 } ( x ) \, p _ { 1 } ( x ) \ , } \\ { \widetilde { E } _ { 2 } } & { \= h _ { 1 } ( x ) \, q _ { 2 } ( x ) + \varepsilon \, h _ { 2 } ( x ) \, p _ { 2 } ( x ) \ , } \\ { \widetilde { E } _ { 3 } } & { \= h _ { 1 } ( x ) \, q _ { 3 } ( x ) + \varepsilon \, h _ { 2 } ( x ) \, p _ { 3 } ( x ) \ , } \end{array} \qquad \begin{array} { r l } { \widetilde { B } _ { 1 } } & { \= - h _ { 1 } ( x ) \, p _ { 1 } ( x ) + \varepsilon \, h _ { 2 } ( x ) \, q _ { 1 } ( x ) \ , } \\ { \widetilde { B } _ { 2 } } & { \= - h _ { 1 } ( x ) \, p _ { 2 } ( x ) + \varepsilon \, h _ { 2 } ( x ) \, q _ { 2 } ( x ) \ , } \\ { \widetilde { B } _ { 3 } } & { \= - h _ { 1 } ( x ) \, p _ { 3 } ( x ) + \varepsilon \, h _ { 2 } ( x ) \, q _ { 3 } ( x ) \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( n _ { \mathrm { L 1 } } , } & { n _ { \mathrm { L 2 } } , n _ { \mathrm { H F } } , \lambda ) = \eta ( \rho _ { \mathrm { L 1 } } \cdot n _ { \mathrm { L 1 } } ^ { - \frac { \nu _ { \mathrm { L 1 } } } { d } } + \rho _ { \mathrm { L 2 } } \cdot n _ { \mathrm { L 2 } } ^ { - \frac { \nu _ { \mathrm { L 2 } } } { d } } + n _ { \mathrm { H F } } ^ { - \frac { \nu _ { \mathrm { H F } } } { d } } ) } \\ & { + \lambda ( n _ { \mathrm { L 1 } } \cdot C _ { \mathrm { L 1 } } + n _ { \mathrm { L 2 } } \cdot C _ { \mathrm { L 2 } } + n _ { \mathrm { H F } } \cdot C _ { \mathrm { H F } } - C ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { \leq \left[ \begin{array} { l } { x _ { k } } \\ { u _ { k } } \end{array} \right] ^ { H } \left[ \begin{array} { l l } { - A ^ { H } X A + E ^ { H } X E - C ^ { H } C } & { - C ^ { H } D - A ^ { H } X B } \\ { - D ^ { H } C - B ^ { H } X A } & { I - D ^ { H } D - B ^ { H } X B } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { x _ { k } } \\ { u _ { k } } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l } { x _ { k } } \\ { u _ { k } } \end{array} \right] ^ { H } \left[ \begin{array} { l l } { - A ^ { H } X A + E ^ { H } X E } & { - A ^ { H } X B } \\ { - B ^ { H } X A } & { - B ^ { H } X B } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { x _ { k } } \\ { u _ { k } } \end{array} \right] + u _ { k } ^ { H } u _ { k } - y _ { k } ^ { H } y _ { k } } \\ & { = - ( A x _ { k } + B u _ { k } ) ^ { H } X ( A x _ { k } + B u _ { k } ) + ( E x _ { k } ) ^ { H } X E x _ { k } + u _ { k } ^ { H } u _ { k } - y _ { k } ^ { H } y _ { k } } \\ & { = - V ( E x _ { k + 1 } ) + V ( E x _ { k } ) + u _ { k } ^ { H } u _ { k } - y _ { k } ^ { H } y _ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi ( s , v ) = 1 \wedge \frac { \Phi _ { 1 } ( v ) } { 1 \wedge s ^ { 1 / 2 } } } & { \le 1 \wedge \left( \frac { c _ { 0 } ^ { 2 } \Phi _ { 1 } ( w ) + c _ { 0 } | v - w | } { \Phi _ { 1 } ( w ) } \cdot \frac { \Phi _ { 1 } ( w ) } { 1 \wedge s ^ { 1 / 2 } } \right) } \\ & { \le \left( c _ { 0 } ^ { 2 } + \frac { c _ { 0 } | v - w | } { \Phi _ { 1 } ( w ) } \right) \Psi ( s , w ) . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { \theta _ { 0 } ( t ) } \\ { \theta _ { \mathrm { t i l t } } ( t ) } \\ { \theta _ { \mathrm { y a w } } ( t ) } \end{array} \right] = \frac { 2 } { 3 } \left[ \begin{array} { l l l } { 0 . 5 } & { 0 . 5 } & { 0 . 5 } \\ { \cos ( \psi ) } & { \cos ( \psi + \frac { 2 } { 3 } \pi ) } & { \cos ( \psi + \frac { 4 } { 3 } \pi ) } \\ { \sin ( \psi ) } & { \sin ( \psi + \frac { 2 } { 3 } \pi ) } & { \sin ( \psi + \frac { 4 } { 3 } \pi ) } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \theta _ { 1 } ( t ) } \\ { \theta _ { 2 } ( t ) } \\ { \theta _ { 3 } ( t ) } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } & { 2 \sum _ { n \geq N + 1 } ( \lambda _ { n } + \nu ) \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { 0 } } \gamma _ { k } \left< D _ { \gamma _ { k } } u _ { k } , \psi _ { n } \right> w _ { n } } \\ & { = - 2 \sum _ { n \geq N + 1 } ( \lambda _ { n } + \nu ) \sum _ { k , l = 1 } ^ { N _ { 0 } } \gamma _ { k } \tilde { \gamma } _ { k , l } A _ { L _ { l } } U \left< D _ { \gamma _ { k } } L _ { l } , \psi _ { n } \right> w _ { n } } \\ & { \leq 2 \sum _ { k , l = 1 } ^ { N _ { 0 } } \sum _ { n \geq N + 1 } \vert \gamma _ { k } \vert \vert \tilde { \gamma } _ { k , l } \vert \Vert A _ { L _ { l } } \Vert \vert \left< D _ { \gamma _ { k } } L _ { l } , \psi _ { n } \right> \vert \Vert U \Vert \times ( \lambda _ { n } + \nu ) \vert w _ { n } \vert } \\ & { \leq \epsilon \sum _ { k , l = 1 } ^ { N _ { 0 } } \gamma _ { k } ^ { 2 } \tilde { \gamma } _ { k , l } ^ { 2 } \Vert A _ { L _ { l } } \Vert ^ { 2 } \left\{ \sum _ { n \geq N + 1 } \left< D _ { \gamma _ { k } } L _ { l } , \psi _ { n } \right> ^ { 2 } \right\} \Vert U \Vert ^ { 2 } + \frac { 1 } { \epsilon } \sum _ { k , l = 1 } ^ { N _ { 0 } } \sum _ { n \geq N + 1 } ( \lambda _ { n } + \nu ) ^ { 2 } w _ { n } ^ { 2 } } \\ & { \overset { \leq } \epsilon \underbrace { c _ { 1 } \sum _ { k , l = 1 } ^ { N _ { 0 } } \gamma _ { k } ^ { 2 } \tilde { \gamma } _ { k , l } ^ { 2 } \Vert A _ { L _ { l } } \Vert ^ { 2 } \Vert \mathcal { R } _ { N } D _ { \gamma _ { k } } L _ { l } \Vert ^ { 2 } } _ { : = S _ { 1 , N } } \Vert U \Vert ^ { 2 } + \frac { N _ { 0 } ^ { 2 } } { \epsilon } \sum _ { n \geq N + 1 } ( \lambda _ { n } + \nu ) ^ { 2 } w _ { n } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { V a r } ( Y _ { 2 a } ) \lesssim \frac { 1 } { v } \sum _ { i j k \ell s } \big | \eta _ { i } \tilde { \Omega } _ { j k } + \eta _ { i } \tilde { \Omega } _ { s k } + \eta _ { k } \tilde { \Omega } _ { j i } + \eta _ { k } \tilde { \Omega } _ { s i } \big | ^ { 2 } \cdot \mathrm { V a r } ( W _ { j s } W _ { k \ell } W _ { \ell i } ) . } \end{array}
\mathbf { F } _ { P } ^ { \alpha \beta } = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle - 6 \pi \mu a V _ { r e f } \left( \frac { R _ { r e f } ^ { 2 } - | \mathbf { r } | ^ { 2 } } { R _ { r e f } ^ { 2 } - 4 a ^ { 2 } } \right) ^ { 6 } \frac { \mathbf { r } } { | \mathbf { r } | } \quad \mathrm { i f \ } \quad | \mathbf { r } | < R _ { r e f } , } \\ { \displaystyle \quad 0 \quad \mathrm { o t h e r w i s e \ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { ( \mathbf { 1 } _ { A ^ { \prime } \cdot B ^ { \prime } } * \mathbf { 1 } _ { A ^ { \prime } } ) ( a ) } & { = \sum _ { c \in A ^ { \prime } \cdot B ^ { \prime } } \mathbf { 1 } _ { A ^ { \prime } \cdot B ^ { \prime } } ( c ) \mathbf { 1 } _ { A ^ { \prime } } ( a c ^ { - 1 } ) \ll \frac { 1 } { \varphi ( q ) } \sum _ { c \in A ^ { \prime } \cdot B ^ { \prime } } ( \mathbf { 1 } _ { A } * \mathbf { 1 } _ { A } ) ( c ) \mathbf { 1 } _ { A ^ { \prime } } ( a c ^ { - 1 } ) } \\ & { \leq \frac { \mathbf { 1 } _ { A } * \mathbf { 1 } _ { A } * \mathbf { 1 } _ { A } ( a ) } { \varphi ( q ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \lVert \nabla _ { x ^ { i } } \Tilde { J } _ { \delta _ { k } } ^ { i } ( \Bar { X } _ { k + 1 / 2 } ) \rVert _ { * } ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( a ) } { \leq } \frac { 1 } { \mathbb { V } ^ { i } } \int _ { \delta _ { k } \mathbb { S } _ { - i } } \int _ { \delta _ { k } \mathbb { B } _ { i } } \lVert \nabla _ { x ^ { i } } J ^ { i } ( \Bar { X } _ { k + 1 / 2 } ^ { i } + \Tilde { \tau } ^ { i } ; \Bar { X } _ { k + 1 / 2 } ^ { - i } + \tau ^ { - i } ) \rVert _ { * } ^ { 2 } d \Tilde { \tau } ^ { i } d \tau ^ { - i } } \\ & { \overset { ( b ) } { \leq } \big ( \operatorname* { m a x } _ { x \in \mathcal { X } _ { a } } \lVert \nabla _ { x ^ { i } } J ^ { i } ( x ) \rVert _ { * } ^ { 2 } \big ) \cdot \frac { 1 } { \mathbb { V } ^ { i } } \int _ { \delta _ { k } \mathbb { S } _ { - i } } \int _ { \delta _ { k } \mathbb { B } _ { i } } 1 d \Tilde { \tau } ^ { i } d \tau ^ { - i } } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { x \in \mathcal { X } _ { a } } \lVert \nabla _ { x ^ { i } } J ^ { i } ( x ) \rVert _ { * } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } \frac { ( a ) _ { n } } { n ! ( c ) _ { n } } \mathcal { Z } _ { m , n } ^ { \kappa , \rho } ( z , \overline { { z } } ) \overline { { \mathcal { Z } _ { m , n } ^ { \kappa , \rho } ( w , \overline { { w } } ) } } } & { = R _ { m } ^ { \kappa , \rho } \left( { _ 1 F _ { 1 } } \left( \begin{array} { c } { a } \\ { c } \end{array} \bigg | z \overline { { w } } \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { R ^ { 2 } } { 2 \Gamma _ { X } \| x - \Pi _ { C } x \| _ { X } } \rho _ { X } } & { \left( \frac { 1 6 \Gamma _ { X } \| x - \Pi _ { C } x \| _ { X } } { R } \right) \| x _ { n } - \Pi _ { C } x _ { n } \| _ { X } } \\ & { \geq \| J _ { X } x - J _ { X } \Pi _ { C } x \| _ { X ^ { * } } \| x _ { n } - \Pi _ { C } x _ { n } \| _ { X } } \\ & { \geq \langle J _ { X } x - J _ { X } \Pi _ { C } x , x _ { n } - \Pi _ { C } x _ { n } \rangle } \\ & { \geq \langle J _ { X } x - J _ { X } \Pi _ { C } x , x - \Pi _ { C } x \rangle + \langle J _ { X } x - J _ { X } \Pi _ { C } x , x _ { n } - x \rangle } \\ & { \geq \frac { R ^ { 2 } } { 2 \Gamma _ { X } } \delta _ { x } \left( \frac { \| x - \Pi _ { C } x \| _ { X } } { 2 R } \right) + \langle J _ { X } x - J _ { X } \Pi _ { C } x , x _ { n } - x \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \varepsilon } { 1 6 0 \cdot 2 0 ^ { 4 } \cdot l ^ { 4 } \cdot Q ^ { 2 } \cdot R ^ { 2 } } \left( \delta ^ { 2 } - 1 6 \cdot \| G \| _ { o p } \cdot \varepsilon - 8 \cdot \sqrt { \varepsilon } \| G \| _ { o p } \right) } \\ { - \left( \frac { 8 c _ { 2 } \cdot \| G \| _ { o p } } { F ( Q , R , \varepsilon ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } + \frac { 8 } { \tilde { N ^ { \prime } } } + \frac { 8 } { \tilde { N } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\Vert \nabla _ { H ^ { 1 } } E ( u ) \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } } & { \leq \left\Vert u \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } + \left\Vert \mathcal { G } _ { H ^ { 1 } } ( V u ) \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } + \beta \left\Vert \mathcal { G } _ { H ^ { 1 } } ( | u | ^ { 2 } u ) \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } } \\ & { \leq \left\Vert u \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } + C _ { 3 } \left\Vert V u \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } + \beta \left\Vert u ^ { 3 } \right\Vert _ { H ^ { - 1 } ( \Omega ) } } \\ & { \leq \left\Vert u \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } + C _ { 3 } V _ { \operatorname* { m a x } } + \beta C _ { 2 } \left\Vert u ^ { 3 } \right\Vert _ { L ^ { 4 / 3 } ( \Omega ) } } \\ & { = \left\Vert u \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } + C _ { 3 } V _ { \operatorname* { m a x } } + \beta C _ { 2 } \left\Vert u \right\Vert _ { L ^ { 4 } ( \Omega ) } ^ { 3 } } \\ & { \leq \left\Vert u \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } + C _ { 3 } V _ { \operatorname* { m a x } } + \beta C _ { 1 } ^ { 3 } C _ { 2 } \left\Vert u \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { t - 2 \tau } \Big \lVert \bar { \theta } _ { t + 1 } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } } & { \le \left( 1 + 3 2 \alpha \xi _ { 1 } ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) \right) \mathbb { E } _ { t - 2 \tau } \Big \lVert \bar { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } + 2 \alpha \mathbb { E } _ { t - 2 \tau } \Big \langle \bar { g } ( \bar { \theta } _ { t } ) , \bar { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \Big \rangle + 4 \alpha ^ { 2 } \mathbb { E } _ { t - 2 \tau } \Big \lVert \bar { g } ( \bar { \theta } _ { t } ) \Big \rVert ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 9 + 2 8 \tau ^ { 2 } } { N K } \alpha ^ { 2 } d _ { 2 } ^ { 2 } + \alpha ^ { 3 } \left( 3 6 L _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 1 0 8 \tau } { 1 - \rho ^ { 2 } } L _ { 2 } ^ { 2 } + 4 L _ { 1 } G ^ { 2 } + 2 L _ { 2 } G \right) } \\ & { + \frac { 4 \alpha ^ { 3 } } { K \alpha _ { g } ^ { 2 } } ( \frac { 1 4 } { \xi _ { 1 } } + 1 4 \xi _ { 1 } ) ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) \left[ c _ { 3 } ^ { 2 } + \frac { 2 c _ { 3 } L _ { 2 } \rho } { 1 - \rho } + 8 c _ { 1 } ^ { 2 } ( K - 1 ) H ^ { 2 } \right] } \\ & { + 4 \alpha B ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) G + 6 \alpha \xi _ { 1 } ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) \Gamma ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { W ( \theta _ { p } , \phi _ { p } ) = \frac { 2 \pi } { 2 J _ { i } + 1 } \sum _ { M _ { i } M _ { f } m _ { s } \atop { \lambda \lambda ^ { \prime } } } \sum _ { L p \atop { L ^ { \prime } p ^ { \prime } } } \sum _ { \kappa \mu \atop { \kappa ^ { \prime } \mu ^ { \prime } } } \sum _ { J _ { t } M _ { t } \atop { J _ { t } ^ { \prime } M _ { t } ^ { \prime } } } i ^ { L - L ^ { \prime } } [ L L ^ { \prime } l l ^ { \prime } ] [ J _ { t } J _ { t } ^ { \prime } ] ^ { - 1 } ( i \lambda ) ^ { p } ( - i \lambda ^ { \prime } ) ^ { p ^ { \prime } } \mathrm { ~ \left( ~ l ~ 0 ~ , ~ \frac { 1 } { 2 } ~ m _ s \, | \, ~ j ~ m _ s ~ \right) ~ } \mathrm { ~ \left( ~ l ' ~ 0 ~ , ~ \frac { 1 } { 2 } ~ m _ s \, | \, ~ j ' ~ m _ s ~ \right) ~ } \times } \\ & { \times } & { \mathrm { ~ \left( ~ J _ i ~ M _ i ~ , ~ L ~ \lambda \, | \, ~ J _ t ~ M _ t ~ \right) ~ } \, \mathrm { ~ \left( ~ J _ i ~ M _ i ~ , ~ L ' ~ \lambda ' \, | \, ~ J ' _ t ~ M ' _ t ~ \right) ~ } \mathrm { ~ \left( ~ J _ f ~ M _ f ~ , ~ j ~ \mu \, | \, ~ J _ t ~ M _ t ~ \right) ~ } \, \mathrm { ~ \left( ~ J _ f ~ M _ f ~ , ~ j ' ~ \mu ' \, | \, ~ J ' _ t ~ M ' _ t ~ \right) ~ } \, \mathrm { ~ D ^ { j ~ \ast } _ { \mu ~ m _ s } ( \phi _ p , \theta _ p , 0 ) ~ } \, \mathrm { ~ D ^ { j ' } _ { \mu ' ~ m _ s } ( \phi _ p , \theta _ p , 0 ) ~ } \times } \\ & { \times } & { \left\langle ( \alpha _ { f } J _ { f } , \epsilon \kappa ) J _ { t } \left\vert \left\vert H _ { \gamma } ( p L ) \right\vert \right\vert \alpha _ { i } J _ { i } \right\rangle \, \left\langle ( \alpha _ { f } J _ { f } , \epsilon \kappa ^ { \prime } ) J _ { t } ^ { \prime } \left\vert \left\vert H _ { \gamma } ( p ^ { \prime } L ^ { \prime } ) \right\vert \right\vert \alpha _ { i } J _ { i } \right\rangle ^ { \ast } \, . } \end{array}
\mathsf { g } ^ { i j } \Gamma _ { \ i j } ^ { \scriptscriptstyle \mathrm { L C } \, k } = - \frac { 1 } { \sqrt { | \operatorname* { d e t } \mathsf { g } | } } \frac { \partial ( \sqrt { | \operatorname* { d e t } \mathsf { g } | } \mathsf { g } ^ { i k } ) } { \partial x ^ { i } } , \quad \Gamma _ { \ j i } ^ { \scriptscriptstyle \mathrm { L C } \, j } = \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 } { | \operatorname* { d e t } \mathsf { g } | } \frac { \partial | \operatorname* { d e t } \mathsf { g } | } { \partial x ^ { i } } .
\begin{array} { r l } { a _ { s } ^ { * } \left( z ^ { \mathcal { N } } , p ^ { \mathcal { N } } ; \boldsymbol { \mu } \right) } & { : = a ^ { * } \left( z ^ { \mathcal { N } } , p ^ { \mathcal { N } } ; \boldsymbol { \mu } \right) + \sum _ { K \in \mathcal { T } _ { h } } \delta _ { K } ^ { a } \left( ( T _ { S } - T _ { S S } ) p ^ { \mathcal { N } } , \frac { h _ { K } } { | \mathbf { \eta } | } \left( - T _ { S S } \right) z ^ { \mathcal { N } } \right) _ { K } , } \\ { \big ( y ^ { \mathcal { N } } - y _ { d } , z ^ { \mathcal { N } } ; \boldsymbol { \mu } \big ) _ { s } } & { : = \int _ { \Omega _ { o b s } } ( y ^ { \mathcal { N } } - y _ { d } ) z ^ { \mathcal { N } } \ \mathrm { d x } + \sum _ { K \in { \mathcal { T } _ { h } } _ { \vert _ { \Omega _ { o b s } } } } \delta _ { K } ^ { a } \left( y ^ { \mathcal { N } } - y _ { d } , \frac { h _ { K } } { | \mathbf { \eta } | } \left( - T _ { S S } \right) z ^ { \mathcal { N } } \right) _ { K } , } \end{array}
\begin{array} { r } { I _ { 1 } = \int _ { \mathbb { R } ^ { p } } \Big ( \frac { 1 } { h _ { 1 } ^ { p } } \mathcal { K } ( \frac { x - X _ { t } } { h _ { 1 } } ) \Big ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { h _ { 1 } ^ { p } } \mathcal { K } ( \frac { x - X _ { t } } { h _ { 1 } } ) \frac { 1 } { h _ { 2 } ^ { p } } \mathcal { K } ( \frac { x - X _ { t } } { h _ { 2 } } ) d x } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| N \int U ^ { \rho _ { P } } d ( \widetilde { \mu } _ { N } - \hat { \mu } _ { N } ) \right| } & { \leqslant \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int \left| U ^ { \rho _ { P } } ( y _ { i } + u ) - U ^ { \rho _ { P } } ( x _ { i } ) \right| d \lambda _ { N ^ { - 5 } } ( u ) } \\ & { \leqslant \| \mathcal { H } [ \rho _ { P } ] \| _ { \infty } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } | y _ { i } - x _ { i } | + N \int u d \lambda _ { N ^ { - 5 } } ( u ) \right) } \\ & { \leqslant \| \mathcal { H } [ \rho _ { P } ] \| _ { \infty } \Big ( \frac { 1 } { 2 N } + N ^ { - 4 } / 2 \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { B _ { n - 1 } ^ { \ell } \partial _ { n } \left( f _ { 1 } \otimes \dots \otimes f _ { n } \otimes ( a , b ) \right) } \\ & { = B _ { n - 1 } ^ { \ell } \big ( \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } ( - 1 ) ^ { i } f _ { 1 } \otimes \dots \otimes f _ { i } \cdot f _ { i + 1 } \otimes \dots \otimes f _ { n } \otimes ( a , b ) } \\ & { + ( - 1 ) ^ { n } f _ { 1 } \otimes \dots \otimes f _ { n - 1 } \otimes f _ { n } ( a , b ) \big ) } \\ & { = ( - 1 ) \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } ( - 1 ) ^ { i } \mathrm { i d } _ { s f _ { 1 } } \otimes f _ { 1 } \otimes \dots \otimes f _ { i } \cdot f _ { i + 1 } \otimes \dots \otimes f _ { n } \otimes ( a , b ) } \\ & { + ( - 1 ) ( - 1 ) ^ { n } \mathrm { i d } _ { s f _ { 1 } } \otimes f _ { 1 } \otimes \dots \otimes f _ { n - 1 } \otimes f _ { n } ( a , b ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { I , n } ^ { * } - \widehat { R } _ { I , n } } & { = \sum _ { i = 0 } ^ { I + n } C _ { I - i , i } ^ { * } \left( \prod _ { j = i } ^ { I + n - 1 } F _ { I - i , j } ^ { * } - \prod _ { j = i } ^ { I + n - 1 } \widehat { f } _ { j , n } ^ { * } \right) + \sum _ { i = 0 } ^ { I + n } C _ { I - i , i } ^ { * } \left( \prod _ { j = i } ^ { I + n - 1 } \widehat { f } _ { j , n } ^ { * } - \prod _ { j = i } ^ { I + n - 1 } \widehat { f } _ { j , n } \right) } \\ & { = : \left( R _ { I , n } ^ { * } - \widehat { R } _ { I , n } \right) _ { 1 } + \left( R _ { I , n } ^ { * } - \widehat { R } _ { I , n } \right) _ { 2 } , } \end{array}
\tau \hat { S } _ { 2 } ( p ) = \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \sum _ { \sigma = ( s ^ { ( a ) } , s ^ { ( b ) } ) } \chi _ { j } ( 4 p _ { 0 } ^ { 2 } + e ^ { 2 } ( { \bf p } , 1 ) ) \cdot v _ { s ^ { ( a ) } } [ t ^ { ( a ) } ( { \bf p } ) ] \cdot v _ { s ^ { ( b ) } } [ t ^ { ( b ) } ( { \bf p } ) ] \cdot \hat { S } _ { 2 } ( 2 \pi T , { \bf k } _ { F } ) ,
\begin{array} { r l r } { \| w _ { h } \| _ { 1 } } & { \lesssim } & { \operatorname* { s u p } _ { v \in H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } \frac { B ( u ; w _ { h } , v ) } { \| v \| _ { 1 } } } \\ & { \lesssim } & { \operatorname* { s u p } _ { v \in H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } \frac { B ( u ; w _ { h } , v - P _ { h } v ) } { \| v \| _ { 1 } } + \operatorname* { s u p } _ { v \in H _ { 0 } ^ { 1 } { \Omega } } \frac { B ( u ; w _ { h } , P _ { h } v ) } { \| v \| _ { 1 } } } \\ & { \lesssim } & { h \| w _ { h } \| _ { 1 } + \operatorname* { s u p } _ { v \in H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } \frac { B ( u ; w _ { h } , P _ { h } v ) } { \| P _ { h } v \| _ { 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle D ( M _ { A } ) ( z ) ( v ) , D ( M _ { A } ) ( z ) ( w ) \rangle _ { M _ { A } ( z ) } } & { = } & { \langle \frac { v } { ( c z + d ) ^ { 2 } } , \frac { w } { ( c z + d ) ^ { 2 } } \rangle _ { M _ { A } ( z ) } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \mathsf { I m } ^ { 2 } ( M _ { A } ( z ) ) } \mathsf { R e } \left( \frac { v \overline { { w } } } { ( c z + d ) ^ { 2 } ( c \overline { { z } } + d ) ^ { 2 } } \right) } \\ & { = } & { \frac { | c z + d | ^ { 4 } } { y ^ { 2 } } \frac { \mathsf { R e } ( v \overline { { w } } ) } { | c z + d | ^ { 4 } } } \\ & { = } & { \frac { \alpha \alpha ^ { \prime } + \beta \beta ^ { \prime } } { y ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { V } _ { \vec { F } } ^ { r } ( x ) \mathrel { \mathop : } = \operatorname* { s u p } \big ( \sum _ { i } \| F _ { n } ( x , t _ { i } ) - F _ { n } ( x , t _ { i - 1 } ) \| _ { \ell _ { n } ^ { 2 } } ^ { r } \big ) ^ { 1 / r } \leq \| \mathcal { V } _ { F _ { n } } ^ { r } ( x ) \| _ { \ell _ { n } ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \| \mathcal { G } ( x _ { t } , \nabla F ( x _ { t } ) , \gamma ) \| } & { \leq \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \Big ( \frac { 1 } { \gamma } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| + \| \hat { \nabla } f ( x _ { t } , y _ { t } ) - \nabla F ( x _ { t } ) \| \Big ) } \\ & { \leq \frac { 4 \sqrt { F ( x _ { 1 } ) - F ^ { * } + g ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) - G ( x _ { 1 } ) \big ) } } { \sqrt { 3 T \gamma \eta } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( x + \alpha d ) } & { \leq f ( x ) + \alpha \nabla f ( x ) ^ { T } d + \frac { L } { 2 } \alpha ^ { 2 } \| d \| ^ { 2 } } \\ { \mathrm { a n d } \ \ \| c ( x + \alpha d ) \| _ { 1 } } & { \leq \| c ( x ) + \alpha \nabla c ( x ) ^ { T } d \| _ { 1 } + \frac { \Gamma } { 2 } \alpha ^ { 2 } \| d \| ^ { 2 } , \ \ \mathrm { w h e r e ~ \Gamma ~ = ~ \sum _ { i = 1 } ^ m \gamma _ i ~ . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { E \beta _ { n } = \frac { i ( \gamma + \gamma ^ { \prime } ) } { 2 } \beta _ { n } + w \alpha _ { n - 1 } + [ u + \frac { ( \gamma - \gamma ^ { \prime } ) } { 2 } ] \alpha _ { n } , } & \\ & { E \alpha _ { n } = \frac { i ( \gamma + \gamma ^ { \prime } ) } { 2 } \alpha _ { n } + w \beta _ { n - 1 } + [ u + \frac { ( \gamma - \gamma ^ { \prime } ) } { 2 } ] \beta _ { n } , } & \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \int \csc x \, d x } & { = \int { \frac { \csc x ( \csc x - \cot x ) } { \csc x - \cot x } } \, d x } \\ & { = \int { \frac { \left( \csc ^ { 2 } x - \csc x \cot x \right) \, d x } { \csc x - \cot x } } \qquad u = \csc x - \cot x } \\ & { = \int { \frac { d u } { u } } } \\ & { = \ln | u | + C } \\ & { = \ln \left| \csc x - \cot x \right| + C . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \left\langle \mathcal { D } _ { ( \alpha , \sigma ) } ^ { + } \Upsilon _ { m , l , k } ^ { ( \alpha , \sigma ) } , \Upsilon _ { m , l - 1 , j } ^ { ( \alpha + 1 , \sigma + 1 ) } \right\rangle _ { \, \mathrm { d } \mu ( \alpha + 1 ) } = - 2 \lambda _ { l } ^ { ( \alpha ) } \, \bigg [ \mathcal { H } ^ { \prime } \, \mathcal { I } _ { a } \, \mathcal { I } _ { b } \, \mathcal { I } _ { s } \bigg ] _ { j , k } } \\ { \left\langle \mathcal { D } _ { ( \alpha , \sigma ) } ^ { - } \Upsilon _ { m , l , k } ^ { ( \alpha , \sigma ) } , \Upsilon _ { m , l - 1 , j } ^ { ( \alpha + 1 , \sigma - 1 ) } \right\rangle _ { \, \mathrm { d } \mu ( \alpha + 1 ) } = - 2 \lambda _ { l } ^ { ( \alpha ) } \, \bigg [ \mathcal { H } ^ { \prime } \, \mathcal { I } _ { a } \, \mathcal { I } _ { b } \, \mathcal { I } _ { s } ^ { \dagger } \bigg ] _ { j , k } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { P } _ { n } } & { = C _ { n } \left( \frac { f } { g } \right) P _ { n } ^ { \prime } C _ { n } ^ { - 1 } \left( \frac { f } { g } \right) } \\ & { = C _ { n } \left( \frac { f g _ { n } } { F _ { n - 1 } g } \right) T _ { n } ^ { - 1 } ( g _ { n } ) T _ { n } ( g ) T _ { n } \left( \frac { f } { g } \right) C _ { n } ^ { - 1 } \left( \frac { f } { g } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A } & { \le \| K \| _ { \infty } \frac { \Big | | T _ { n } \cap ( T _ { n } - x ) | - | T _ { n } \cap ( T _ { n } - y ) | \Big | } { | T _ { n } \cap ( T _ { n } - x ) | \cdot | T _ { n } \cap ( T _ { n } - y ) | } } \\ & { \le \| K \| _ { \infty } \frac { | T _ { n } + B ( 0 , 2 \delta _ { n } ) | - | T _ { n } | } { | T _ { n } \cap ( T _ { n } - x ) | \cdot | T _ { n } \cap ( T _ { n } - y ) | } } \\ & { \le _ { c } \frac { | T _ { n } + B ( 0 , 2 \delta _ { n } ) | - | T _ { n } | } { | T _ { n } | ^ { 2 } } = \mathcal { O } \left( \frac { \delta _ { n } } { | T _ { n } | ^ { 1 + 1 / d } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } } & { [ ( L \psi _ { i } ) ( \mathbf { \Delta } ( t ) , t ) ] } \\ & { = \lambda _ { e } - \frac { \lambda } { n } a _ { i } ( t ) + \mathbb { E } \bigg [ \sum _ { j = \mathcal { M } ( t ) } \frac { B } { n - 1 } ( \Delta _ { \operatorname* { m i n } } ( t ) - \Delta _ { i } ( t ) ) \bigg ] } \\ & { = \lambda _ { e } - \frac { \lambda } { n } a _ { i } ( t ) + \frac { B } { n - 1 } ( a _ { \operatorname* { m i n } } ( t ) - a _ { i } ( t ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \langle F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 2 } } } , F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 2 } } } \rangle _ { L _ { 2 } } - \langle F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 1 } } } , F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 1 } } } \rangle _ { L _ { 2 } } } \\ { = } & { \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \langle F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 2 } } } , F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 2 } } } \rangle _ { L _ { 2 } } - \langle F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 1 } } } , F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 1 } } } \rangle _ { L _ { 2 } } + \langle F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 1 } } } , F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 2 } } } \rangle _ { L _ { 2 } } - \langle F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 1 } } } , F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 2 } } } \rangle _ { L _ { 2 } } } \\ { = } & { \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \langle F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 2 } } } - F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 1 } } } , F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 2 } } } \rangle _ { L _ { 2 } } + \langle F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 1 } } } , F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 2 } } } - F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 1 } } } \rangle _ { L _ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { E _ { \nu } } & { : = \left\lVert u ^ { \nu } \right\rVert _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } ^ { 2 } , } & { D _ { \nu } } & { : = \nu \left\lVert \nabla u ^ { \nu } \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) \times \Omega ) } ^ { 2 } , } \\ { H _ { \nu } } & { : = \left\lVert u ^ { \nu } ( 0 ) \right\rVert _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 2 } , } & { F _ { \nu } } & { : = \nu ^ { \frac 1 3 } \left\lVert f ^ { \nu } \right\rVert _ { L ^ { \frac 4 3 } ( ( 0 , T ) \times \Omega ) } ^ { \frac 4 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( t ) \ } & { = \ \frac { l t ^ { l - 1 } } { t ^ { 2 d } } + \frac { d } { t ^ { d + 1 } } - \frac { \gamma \beta d } { 2 t ^ { d + 1 + \frac { d } { 2 } } } + \frac { \gamma ( 2 a + c \gamma ) } { t ^ { \frac { d } { 2 } } } \left( \frac { 2 l } { t } + \frac { d } { t } \right) ^ { 2 } } \\ & { = \ l t ^ { l - 1 - 2 d } + \frac { d } { t ^ { d + 1 } } - \frac { \gamma \beta d } { 2 t ^ { d + 1 + \frac { d } { 2 } } } + \frac { \gamma ( 2 a + c \gamma ) ( 2 l + d ) ^ { 2 } } { t ^ { \frac { d } { 2 } + 2 } } } \\ & { = \ \frac { l } { t ^ { 2 d - l + 1 } } + \frac { d } { t ^ { d + 1 } } - \frac { \gamma \beta d } { 2 t ^ { d + 1 + \frac { d } { 2 } } } + \frac { C _ { 1 } } { t ^ { \frac { d } { 2 } + 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \| \boldsymbol { F } \| _ { { \boldsymbol { H } } _ { 0 } ( \mathrm { c u r l } ; D ) ^ { \prime } } } & { = } & { \operatorname* { s u p } _ { \boldsymbol { v } \in { \boldsymbol { H } } _ { 0 } ( \mathrm { c u r l } ; D ) } \frac { | ( \boldsymbol { F } , \boldsymbol { v } ) | } { \| \boldsymbol { v } \| _ { { \boldsymbol { H } } ( \mathrm { c u r l } ; D ) } } } \\ & { \le } & { C \operatorname* { s u p } _ { \boldsymbol { v } _ { s } \in { \boldsymbol { H } } ^ { 1 } ( D ) , \psi \in H _ { 0 } ^ { 1 } ( D ) } \frac { | ( \boldsymbol { F } , \boldsymbol { v } _ { s } + \nabla \psi ) | } { \| \boldsymbol { v } _ { s } \| _ { H ^ { 1 } ( D ) } + \| \psi \| _ { H ^ { 1 } ( D ) } } } \\ & { \le } & { C ( \| \boldsymbol { F } \| _ { H ^ { 1 } ( D ) ^ { \prime } } + \| \mathrm { d i v } \, \boldsymbol { F } \| _ { H ^ { - 1 } ( D ) } ) . } \end{array}
\underbrace { ( w ^ { h } , i \omega \phi ^ { h } ) + ( w ^ { h } , a \phi _ { , x } ^ { h } ) + ( w _ { , x } ^ { h } , \kappa \phi _ { , x } ^ { h } ) } _ { \mathrm { B a s e l i n e ~ G a l e r k i n } } + \underbrace { \sum _ { e } \Big ( \tau a w _ { , x } ^ { h } , r ( \phi ^ { h } ) \Big ) _ { \Omega _ { e } } } _ { \mathrm { T h e ~ S U P G ~ t e r m s } } - \underbrace { \sum _ { e } \Big ( i \omega \tau w ^ { h } , r ( \phi ^ { h } ) \Big ) _ { \Omega _ { e } } } _ { \mathrm { T h e ~ n e w ~ V M S ~ t e r m s } } = 0 .
\frac { 1 } { \log n } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \bigg ( \frac { ( \operatorname* { d e t } V _ { k } ) ^ { 2 } - ( \operatorname* { d e t } V _ { k + 1 } ) ^ { 2 } } { ( \operatorname* { d e t } V _ { k } ) ^ { 2 } } \bigg ) V _ { k } \mathcal { H } _ { k } ( u ) \mathcal { H } _ { k } ( u ) ^ { T } V _ { k } ^ { T } \to \frac { 4 - 2 ( a ( \beta + 1 ) - \beta ) } { d } u ^ { T } u V
\left\{ \begin{array} { l l l } { \operatorname* { m i n } } & { x _ { 2 } } \\ { \mathit { s . t . } } & { g ( x , u ) = u ^ { 3 } - x _ { 2 } \geq 0 \quad \forall u \in U ( x ) , } \\ & { x \in X = \mathbb { R } ^ { 2 } , } \\ & { U ( x ) = \{ u \in \mathbb { R } : u \leq 0 , - x _ { 1 } ^ { 2 } + 2 x _ { 2 } - u ^ { 3 } \leq 0 \} . } \end{array} \right.
\left\{ \begin{array} { l l } { D _ { t } ^ { A } \rho _ { A } + ( \mathrm { { d i v } } v _ { A } ) \rho _ { A } = 0 } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega _ { A , T } , } \\ { D _ { t } ^ { B } \rho _ { B } + ( { \mathrm { d i v } } v _ { B } ) \rho _ { B } = 0 } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega _ { B , T } , } \\ { D _ { t } ^ { S } \rho _ { S } + ( \mathrm { { d i v } } _ { \Gamma } v _ { S } ) \rho _ { S } = 0 } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { T } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { y _ { 0 } ( x ) } & { = c _ { 1 } + c _ { 2 } x + \sum _ { k = 1 } ^ { N } \alpha _ { k } ( c _ { 1 } + c _ { 2 } x _ { k } ) H ( x - x _ { k } ) ( x - x _ { k } ) } \\ & { \quad + \sum _ { J \in \mathcal { J } _ { N } } \alpha _ { J } ( c _ { 1 } + c _ { 2 } x _ { j _ { 1 } } ) H ( x - x _ { j _ { | J | } } ) \left( \prod _ { l = 1 } ^ { | J | - 1 } ( x _ { j _ { l + 1 } } - x _ { j _ { 1 } } ) \right) ( x - x _ { j _ { | J | } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \nabla \cdot \left( \rho \nabla \gamma \right) } & { = } & { 0 \, , } \\ { \nabla \gamma \cdot \nabla \phi } & { = } & { 0 \, , } \\ { \nabla \cdot \left( \rho \nabla \phi \right) } & { = } & { 0 \, , } \\ { \left| \nabla \phi \right| ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } - \frac { \nabla ^ { 2 } \sqrt { \rho } } { \sqrt { \rho } } + \left| \nabla \gamma \right| ^ { 2 } } & { = } & { 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \theta _ { \mathrm { f } } = \mathrm { m i n } \{ \theta _ { \mathrm { a t } } , \theta _ { \mathrm { a t } , 0 } , \theta _ { \mathrm { a t } , 1 } , \theta _ { \mathrm { a t } , 2 } , \theta _ { \mathrm { a t } , 3 } \} < \theta _ { \mathrm { I } } \quad \mathrm { ~ a n d ~ } \quad \alpha _ { \mathrm { f } } = \mathrm { m i n } \{ \alpha _ { \mathrm { a t } , 0 } , \alpha _ { \mathrm { a t } , 1 } , \alpha _ { \mathrm { a t } , 2 } , \alpha _ { \mathrm { a t } , 3 } \} } \end{array}
{ P ( x ) } = { a _ { n } } { x ^ { n } } + { { a _ { n - 1 } } { x ^ { n - 1 } } } + { \cdots } + { { a _ { 1 } } { x } } + { { a } _ { 0 } } = { { a _ { n } } { x ^ { n } } } - { a _ { n } } { ( { r _ { 1 } } + { r _ { 2 } } + { \cdots } + { r _ { n } } ) { x ^ { n - 1 } } } + { \cdots } + { { ( - 1 ) ^ { n } } { ( a _ { n } ) } { ( { r _ { 1 } } { r _ { 2 } } { \cdots } { r _ { n } } ) } } , { a _ { n } } \neq 0
\begin{array} { r l r } & { } & { u _ { i } \rightharpoonup u \mathrm { ~ w e a k l y - * ~ i n ~ } L ^ { \infty } ( 0 , T ; H ^ { 1 } ( \Omega ) ) , } \\ & { } & { \mu _ { i } \rightharpoonup \mu \mathrm { ~ w e a k l y ~ i n ~ } L ^ { 2 } ( \Omega _ { T } ) , } \\ & { } & { \sqrt { M _ { i } ( u _ { i } ) } \nabla \frac { \mu _ { i } } { g _ { i } ( u _ { i } ) } \rightharpoonup \xi \mathrm { ~ w e a k l y ~ i n ~ } L ^ { 2 } ( \Omega _ { T } ) , } \\ & { } & { G _ { i } ( u _ { i } ) \rightharpoonup \eta \mathrm { ~ w e a k l y - * ~ i n ~ } L ^ { \infty } ( 0 , T ; W ^ { 1 , s } ( \Omega ) ) } \\ & { } & { G _ { i } ( u _ { i } ) \rightarrow \eta \mathrm { ~ s t r o n g l y ~ i n ~ } L ^ { \alpha } ( 0 , T ; L ^ { \beta } ( \Omega ) ) \mathrm { ~ a n d ~ a . e . ~ i n ~ } \Omega _ { T } , } \\ & { } & { G _ { i } ( u _ { i } ) \rightarrow \eta \mathrm { ~ s t r o n g l y ~ i n ~ } C ( 0 , T ; L ^ { \beta } ( \Omega ) ) , } \\ & { } & { \partial _ { t } G _ { i } ( u _ { i } ) \rightharpoonup \partial _ { t } \eta \mathrm { ~ w e a k l y ~ i n ~ } L ^ { p ^ { \prime } } ( 0 , T ; ( W ^ { 1 , q } \Omega ) ) ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { e _ { 0 } ^ { ( a ) } = e _ { 0 } ^ { ( a + 1 ) } e _ { 0 } ^ { ( a ) } - ( - 1 ) ^ { | a | | a + 1 | } H _ { 1 } ^ { A _ { a , a + 1 } } e _ { 0 } ^ { ( a ) } e _ { 0 } ^ { ( a + 1 ) } , } \\ & { f _ { 0 } ^ { ( a ) } = \frac { 1 } { H _ { 1 } ^ { A _ { a , a + 1 } } - H _ { 1 } ^ { - A _ { a , a + 1 } } } \left( f _ { 0 } ^ { ( a ) } f _ { 0 } ^ { ( a + 1 ) } - ( - 1 ) ^ { | a | | a + 1 | } H _ { 1 } ^ { - A _ { a , a + 1 } } f _ { 0 } ^ { ( a + 1 ) } f _ { 0 } ^ { ( a ) } \right) , } \\ & { \psi _ { \pm , 0 } ^ { ( a ) } = \psi _ { \pm , 0 } ^ { ( a ) } \psi _ { \pm , 0 } ^ { ( a + 1 ) } , \quad k _ { 0 } ^ { ( a ) } = k _ { 0 } ^ { ( a ) } + k _ { 0 } ^ { ( a + 1 ) } } \end{array}
\mathcal { F } \sigma _ { n } = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \operatorname* { m i n } \{ \alpha _ { i } , \alpha _ { T ( i ) } ^ { \prime } \} \delta _ { \theta _ { i } } + \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \alpha _ { i } - \operatorname* { m i n } \{ \alpha _ { i } , \alpha _ { T ( i ) } ^ { \prime } ) \} \delta _ { \theta _ { i } }
\vec { \nabla } \cdot \vec { E } = - \frac { 4 c } { 3 \hbar } \, \, ( \vec { B } - \frac { 1 } { 2 } \, \mu _ { 0 } \vec { r } \times \vec { J } ) \cdot \vec { p } + \frac { 2 } { 3 \hbar c } \, \vec { E } \cdot \vec { \tau } + \frac { \partial \Lambda } { \partial t } \, , \qquad \vec { \nabla } \cdot \vec { B } = \frac { 4 } { 3 \hbar c } \, \, \vec { E } \cdot \vec { p } + \frac { 2 } { 3 \hbar c } \, \vec { B } \cdot \vec { \tau } \, ,
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } P ^ { \omega } \Big ( \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \Big | \langle \pi _ { t } ^ { N } , G \rangle - \langle \pi _ { 0 } ^ { N } , G \rangle - \int _ { 0 } ^ { t } \langle \pi _ { s } ^ { N } , \sigma ^ { 2 } \Delta G + b G \rangle \, \mathrm { d } s \Big | > \varepsilon \Big ) = 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sin ^ { 2 } x + \cos ^ { 2 } x } & { = 1 } \\ { \tan ^ { 2 } x + 1 } & { = \sec ^ { 2 } x , \; \; \; \; \; \, \mathrm { w h e r e ~ } \sec x = 1 / \cos x } \\ { 1 + \cot ^ { 2 } x } & { = \mathrm { c o s e c } ^ { 2 } x , \; \; \; \mathrm { w h e r e ~ } \cot x = 1 / \tan x , \mathrm { c o s e c } \, x = 1 / \sin x } \end{array}
p ( y | x ) = \frac { 1 } { \sqrt { 4 \pi \sigma ^ { 2 } } } e ^ { - \frac { ( y - x ) ^ { 2 } } { 4 \sigma ^ { 2 } } } \frac { \left[ Q \left( \frac { 0 - ( x + y ) / 2 } { \sigma / \sqrt { 2 } } \right) - Q \left( \frac { 1 - ( x + y ) / 2 } { \sigma / \sqrt { 2 } } \right) \right] } { \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } e ^ { - \frac { ( x - u ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \left[ Q \left( \frac { - u } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { 1 - u } { \sigma } \right) \right] \, d u } .
\begin{array} { r } { [ L _ { X \mid d o ( X ^ { \prime } = x ) } , U _ { X \mid d o ( X ^ { \prime } = x ) } ] = \left[ \hat { P } ( X = 1 \mid d o ( X ^ { \prime } = x ) ) - \sqrt { \frac { 2 } { D _ { a } ( t ) } \log \frac { 4 n ^ { 2 } t ^ { 2 } } { \delta } } , \hat { P } ( X = 1 \mid d o ( X ^ { \prime } = x ) ) + \sqrt { \frac { 2 } { D _ { a } ( t ) } \log \frac { 4 n ^ { 2 } t ^ { 2 } } { \delta } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \prod _ { \lambda \in \sigma ( \mathcal { D } ^ { - 1 } \mathcal { A } ) \, : \, | \lambda | \neq 1 } \left| \lambda \right| } & { = \left| \prod _ { \lambda \in \sigma ( \mathcal { D } ^ { - 1 } \mathcal { A } ) } \lambda \right| } \\ & { = \left| \operatorname* { d e t } ( \mathcal { D } ^ { - 1 } \mathcal { A } ) \right| } \\ & { = \left| \frac { \operatorname* { d e t } ( P ) \operatorname* { d e t } ( \mathcal { D } ^ { - 1 } ) \operatorname* { d e t } ( \mathcal { A } ) } { \operatorname* { d e t } ( P ) } \right| } \\ & { = \left| \frac { \operatorname* { d e t } ( P \mathcal { A } ) } { \operatorname* { d e t } ( \mathcal { D } ) } \right| } \\ & { = \frac { \prod _ { v \in V } ( \deg v - 1 ) } { \prod _ { v \in V } ( \deg v - 1 ) ^ { \deg v } } } \\ & { = \frac { 1 } { \prod _ { v \in V } ( \deg v - 1 ) ^ { \deg v - 1 } } , } \end{array}
\frac { \ell _ { 3 } ^ { \textrm { i } } } { \tilde { a } _ { 2 } ^ { \textrm { r } } } \rightarrow \left. \frac { \frac { d } { d u } \left( y \frac { \partial R } { \partial x } - x \frac { \partial R } { \partial y } \right) \sqrt { - 2 E } } { r \frac { d } { d u } \left( \frac { \partial S } { \partial r } \frac { \partial R } { \partial y } + \frac { \partial S } { \partial y } \frac { \partial R } { \partial r } \right) } \right\rceil _ { u = 0 } \qquad \textrm { a s } \; \; u \rightarrow e ,
\begin{array} { r l } { \Delta V _ { k } } & { \leq \left( \frac { 1 } { \lambda } - 1 \right) ( \vartheta _ { k } - \theta ^ { * } ) ^ { \top } F _ { k - 1 } ^ { - 1 } ( \vartheta _ { k } - \theta ^ { * } ) + \left[ \frac { ( 1 - \beta ) ^ { 2 } } { \lambda } - 1 \right] ( \theta _ { k } - \vartheta _ { k } ) ^ { \top } F _ { k - 1 } ^ { - 1 } ( \theta _ { k } - \vartheta _ { k } ) } \\ & { \quad + \left\{ \frac { \kappa \eta } { \lambda [ ( \eta - \kappa ) \mathcal { N } _ { k } + \kappa ] } - \frac { 2 } { \mathcal { N } _ { k } } + 2 A _ { k } \right\} \| ( \vartheta _ { k } - \theta ^ { * } ) ^ { \top } \phi _ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + \left\{ \frac { \kappa \eta \mathcal { N } _ { k } } { \lambda [ ( \eta - \kappa ) \mathcal { N } _ { k } + \kappa ] } + 2 + 2 A _ { k } \mathcal { N } _ { k } \right\} \frac { ( 1 - \beta ) ^ { 2 } } { \eta } ( \theta _ { k } - \vartheta _ { k } ) ^ { \top } F _ { k - 1 } ^ { - 1 } ( \theta _ { k } - \vartheta _ { k } ) } \\ & { \quad - A _ { k } [ ( \vartheta _ { k } - \theta ^ { * } ) ^ { \top } \phi _ { k } - ( 1 - \beta ) ( \theta _ { k } - \vartheta _ { k } ) ^ { \top } \phi _ { k } ] ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \tilde { u } ( x , t ) | ^ { 2 } = \Big | \int _ { 0 } ^ { x } \tilde { u } _ { y } ( y , t ) \mathrm { d } y \Big | ^ { 2 } } & { \le \Big ( \int _ { 0 } ^ { 1 } | \tilde { u } _ { x } | \mathrm { d } x \Big ) ^ { 2 } } \\ & { \le \Big ( \int _ { 0 } ^ { 1 } u ( x , t ) \mathrm { d } x \Big ) \Big ( \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { ( \tilde { u } _ { x } ) ^ { 2 } } { u } \mathrm { d } x \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { e ^ { - \gamma t } b ( t ) - b _ { 0 } } & { = \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - \gamma \tau } \left( \omega - c _ { 0 } e ^ { \kappa \tau } \right) \, \mathrm { d } \tau } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t } \left( \omega e ^ { - \gamma \tau } - c _ { 0 } e ^ { ( \kappa - \gamma ) \tau } \right) \, \mathrm { d } \tau } \\ & { = \biggl [ - \frac { \omega } { \gamma } e ^ { - \gamma \tau } - \frac { c _ { 0 } } { \kappa - \gamma } e ^ { ( \kappa - \gamma ) \tau } \biggr ] _ { 0 } ^ { t } } \\ & { = - \frac { \omega } { \gamma } \left( e ^ { - \gamma t } - 1 \right) - \frac { c _ { 0 } } { \kappa - \gamma } \left( e ^ { ( \kappa - \gamma ) t } - 1 \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } ^ { j } ( n + y ) - \mathcal { F } ^ { j } ( n + x ) } & { = \left( \mathrm { x } _ { 1 } ( \Phi _ { y } ^ { j } ) - \mathrm { x } _ { 1 } ( \Phi _ { x } ^ { j } ) \right) A _ { 1 } ^ { n } W ^ { ( 1 ) } + \left( \mathrm { x } _ { 2 } ( \Phi _ { y } ^ { j } ) - \mathrm { x } _ { 2 } ( \Phi _ { x } ^ { j } ) \right) A _ { 2 } ^ { n } Z _ { 0 } } \\ & { = ( y - x ) A \mathrm { e } _ { j } ^ { \top } \pi ^ { ( 1 ) } A _ { 1 } ^ { n } W ^ { ( 1 ) } + ( y - x ) A \mathrm { e } _ { j } ^ { \top } \pi ^ { ( 2 ) } A _ { 2 } ^ { n } Z _ { 0 } } \\ & { = ( y - x ) A \mathrm { e } _ { j } ^ { \top } \big ( \pi ^ { ( 1 ) } A _ { 1 } ^ { n } W ^ { ( 1 ) } + \pi ^ { ( 2 ) } A _ { 2 } ^ { n } Z _ { 0 } \big ) } \\ & { = ( y - x ) F _ { n } ^ { \Psi } = ( y - x ) ( Z _ { n + 1 } ^ { j } - ( Z _ { n } ^ { \Psi } - F _ { n } ^ { \Psi } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r } { u ( x , t ) = 2 \frac { e ^ { 2 \delta _ { b } } ( 1 - \sqrt { | \lambda | } ) ^ { 2 } + e ^ { - 2 \delta _ { b } } ( 1 + \sqrt { | \lambda | } ) ^ { 2 } + 2 \cosh ( 2 \sqrt { | \lambda | } \xi _ { 2 } ) + 2 | \lambda | \cosh ( 2 \xi _ { 1 } ) } { [ e ^ { \sqrt { | \lambda | } \xi _ { 2 } } \cosh ( \xi _ { 1 } - \delta _ { b } ) + e ^ { - \sqrt { | \lambda | } \xi _ { 2 } } \cosh ( \xi _ { 1 } + \delta _ { b } ) ] ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathcal { F } } _ { 1 } } & { = \{ \theta \mapsto \operatorname* { m a x } _ { i } \{ \beta _ { 1 } v _ { 1 } ( \theta ) , \dots , \beta _ { n } v _ { n } ( \theta ) \} : \beta \in B \} } \\ { { \mathcal { F } } _ { 2 } } & { = \{ \theta \mapsto [ D _ { f , 1 } , \dots , D _ { f , n } ] ( \theta , \beta ) : \beta \in B \} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { c _ { n } ^ { \pm } ( \widetilde { \gamma } , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) \triangleq \widetilde { \gamma } + \frac { \omega _ { S } } { 4 \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) } - \frac { \omega _ { N } } { 4 \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) } + \frac { \omega _ { N } - \omega _ { S } } { 4 n } } \\ & { \quad \pm \frac { 1 } { 4 } \sqrt { \left( \frac { \omega _ { S } } { \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) } + \frac { \omega _ { N } } { \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) } - \frac { \omega _ { N } + \omega _ { S } - 2 \omega _ { C } } { n } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { n ^ { 2 } } ( \omega _ { N } - \omega _ { C } ) ( \omega _ { C } - \omega _ { S } ) \tan ^ { 2 n } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) \cot ^ { 2 n } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \gamma _ { s } = \overline { { \gamma } } _ { s } \times } \\ & { \bigg [ \underbrace { ( | h _ { U B } | + \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( 1 - a _ { i } ) | h _ { R B , i } | | h _ { U R , i } | ) ^ { 2 } } _ { \textit { r e f l e c t i o n g a i n } } + \underbrace { \mathbf { h } _ { U R } ^ { H } \mathbf { A } ^ { H } \mathbf { A } \mathbf { h } _ { U R } ) } _ { \textit { d i s t r i b u t i o n g a i n } } \bigg ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { - \iint _ { ( 0 , T ) \times \mathbb { R } } \left| \rho - k \right| \phi _ { t } + q ( \rho , k ) \phi _ { x } \textrm { \, d } t \textrm { \, d } x - 2 \int _ { 0 } ^ { T } \left[ 1 - \frac { Q _ { 1 } ( t ) } { f ( \bar { \rho } ) } \right] f ( k ) \phi ( t , 1 ) \textrm { \, d } x - \int _ { \mathbb { R } } | \rho _ { 0 } - k | \phi ( 0 , x ) \textrm { \, d } x \leq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 5 , 6 } ( \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 4 , 3 , 5 } } \cdot \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 6 , 1 , 2 } } ) } & { = \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 4 , 3 , 1 , 2 } } + \frac { 1 } { \chi ( \chi - 2 ) } \kappa _ { e ^ { 2 } } \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 4 , 3 } } \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 1 , 2 } } } \\ & { \quad - \frac { 1 } { \chi - 2 } ( \lambda _ { u , v } ( \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { u , v , 4 , 3 } } ) \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 1 , 2 } } + \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 4 , 3 } } \lambda _ { u , v } ( \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { u , v , 1 , 2 } } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| x _ { t _ { j _ { s } } } \| } & { \leq \sqrt { \frac { \gamma _ { 1 } } { 2 } } \sqrt { \frac { \gamma _ { 0 } } { 2 } } ^ { j _ { s } - j _ { s - 1 } - 1 } \| x _ { t _ { j _ { s - 1 } } } \| + \alpha _ { 8 } } \\ { \| x _ { t _ { j _ { s } } } \| ^ { 2 } } & { \leq \gamma _ { 1 } \gamma _ { 0 } ^ { j _ { s } - j _ { s - 1 } - 1 } \| x _ { t _ { j _ { s - 1 } } } \| ^ { 2 } + \alpha _ { 9 } } \\ { \| x _ { t _ { j _ { s } } } \| ^ { 4 } } & { \leq 2 \gamma _ { 1 } ^ { 2 } ( 2 \gamma _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { j _ { s } - j _ { s - 1 } - 1 } \| x _ { t _ { j _ { s - 1 } } } \| ^ { 4 } + \alpha _ { 1 0 } } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } & { R _ { e } = \left( { \frac { \rho V L } { \mu } } \right) } & { \longrightarrow } & { V _ { \mathrm { m o d e l } } = V _ { \mathrm { a p p l i c a t i o n } } \times \left( { \frac { \rho _ { a } } { \rho _ { m } } } \right) \times \left( { \frac { L _ { a } } { L _ { m } } } \right) \times \left( { \frac { \mu _ { m } } { \mu _ { a } } } \right) } \\ & { C _ { p } = \left( { \frac { 2 \Delta p } { \rho V ^ { 2 } } } \right) , F = \Delta p L ^ { 2 } } & { \longrightarrow } & { F _ { \mathrm { a p p l i c a t i o n } } = F _ { \mathrm { m o d e l } } \times \left( { \frac { \rho _ { a } } { \rho _ { m } } } \right) \times \left( { \frac { V _ { a } } { V _ { m } } } \right) ^ { 2 } \times \left( { \frac { L _ { a } } { L _ { m } } } \right) ^ { 2 } . } \end{array} }
\mathbf { A } _ { \times } ^ { \times } \mathbf { A } = 2 \left[ \left( \mathbf { a } _ { 1 } \times \mathbf { a } _ { 2 } \right) \left( \mathbf { b } _ { 1 } \times \mathbf { b } _ { 2 } \right) + \left( \mathbf { a } _ { 2 } \times \mathbf { a } _ { 3 } \right) \left( \mathbf { b } _ { 2 } \times \mathbf { b } _ { 3 } \right) + \left( \mathbf { a } _ { 3 } \times \mathbf { a } _ { 1 } \right) \left( \mathbf { b } _ { 3 } \times \mathbf { b } _ { 1 } \right) \right]
\begin{array} { r l } { \left\langle h _ { k i n } \right\rangle = } & { \left\langle u _ { i } ( \mathbf { x } , t ) w _ { i } ( \mathbf { x } , t ) \right\rangle } \\ { = } & { \, \, \mathrm { i } \epsilon _ { i j k } \int \mathrm { d } ^ { 4 } q \int \mathrm { d } ^ { 4 } q ^ { \prime } k _ { j } ^ { \prime } \mathfrak { G } _ { i n } \left( \mathbf { q } \right) \mathfrak { G } _ { k m } \left( \mathbf { q } ^ { \prime } \right) \left\langle \hat { f } _ { n } ( \mathbf { q } ) \hat { f } _ { m } ( \mathbf { q } ^ { \prime } ) \right\rangle \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \left[ \left( \mathbf { k } + \mathbf { k } ^ { \prime } \right) \cdot \mathbf { x } - \left( \omega + \omega ^ { \prime } \right) t \right] } } \\ { = } & { - \mathrm { i } \epsilon _ { i j k } \int \mathrm { d } ^ { 4 } q k _ { j } \mathfrak { G } _ { i n } \left( \mathbf { q } \right) \mathfrak { G } _ { k m } \left( - \mathbf { q } \right) \left[ \frac { D _ { 0 } } { k ^ { 3 } } P _ { n m } ( \mathbf { k } ) + \mathrm { i } \frac { D _ { 1 } } { k ^ { 5 } } \epsilon _ { n m p } k _ { p } \right] } \\ { = } & { - \int \frac { \mathrm { d } k } { k } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \varphi \int _ { - 1 } ^ { 1 } \mathrm { d } X \frac { 2 D _ { 1 } \left( \omega ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } k ^ { 4 } + 4 \Omega ^ { 2 } X ^ { 2 } \right) } { \left( \omega ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } k ^ { 4 } \right) ^ { 2 } - 8 \Omega ^ { 2 } X ^ { 2 } \left( \omega ^ { 2 } - \nu ^ { 2 } k ^ { 4 } \right) + 1 6 \Omega ^ { 4 } X ^ { 4 } } } \\ { = } & { - 4 \pi D _ { 1 } \mathcal { I } _ { u ^ { 2 } } \left( \nu , \Omega , k _ { \ell } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \# \{ t \in [ N ] : ( \alpha ^ { - 1 } ( k _ { t } - \kappa ) , \gamma ^ { - 1 } ( \sigma ( k _ { t } ) - \kappa ) ) \in R _ { i _ { l } , j _ { l } } \} } \\ & { \leq } & { L I S ( \sigma | _ { [ \kappa + \alpha a _ { l - 1 } ( \Gamma ) , \kappa + \alpha c _ { l } ( \Gamma ) ] \times [ \kappa + \gamma b _ { l - 1 } ( \Gamma ) , \kappa + \gamma d _ { l } ( \Gamma ) ] } ) . } \end{array}
T _ { \psi } = g _ { x , y } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \chi _ { x , m } \left| \Omega _ { x , y } - ( 1 - \chi _ { y , m } ^ { 2 } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \right| \int P ( \phi _ { \alpha } , \beta | r _ { \alpha } ) d \phi _ { \alpha } ~ d ^ { 2 } \beta \int P ( r _ { \alpha } ) e ^ { - ( 1 - \tau _ { x , y } ) r _ { \alpha } ^ { 2 } } d r _ { \alpha } ,
\begin{array} { r l } & { \mathbf { v } _ { 1 } + \frac { \lambda } { m _ { 1 } } \, \mathbf n = \mathbf u _ { 1 } } \\ & { \mathbf { v } _ { 2 } - \frac { \lambda } { m _ { 2 } } \, \mathbf n = \mathbf u _ { 2 } } \\ & { ( \mathbf { v } _ { 1 } - \mathbf { v } _ { 1 } ) \cdot \mathbf n = - \epsilon \, ( \mathbf u _ { 2 } - \mathbf u _ { 1 } ) \, \cdot \mathbf n } \end{array}
\begin{array} { r l } { R } & { \! = \! \! \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } \log _ { 2 } \! \! \left( \! \! 1 \! + \! \frac { | [ \mathbf { h } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { E 2 E } , \scriptscriptstyle \mathrm { d } , \ell } \! + \! \mathbf { h } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { E 2 E } , \ell } ( \mathbf { Z } _ { \mathrm { r i s } } ) ] \mathbf { w } _ { \ell } | ^ { 2 } } { \displaystyle \sum _ { k = 1 , k \neq \ell } ^ { L } \Big \rvert [ \mathbf { h } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { E 2 E } , \scriptscriptstyle \mathrm { d } , \ell } \! + \! \mathbf { h } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { E 2 E } , \ell } ( \mathbf { Z } _ { \mathrm { r i s } } ) ] \mathbf { w } _ { k } \Big \rvert ^ { 2 } \! \! \! + \! \sigma _ { n } ^ { 2 } } \! \! \right) \! \! . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { W _ { r } } & { = } & { \int _ { \Omega _ { s } } d \Omega \int _ { - \infty } ^ { \infty } t _ { 0 } r \mathcal { E } _ { \theta } ( { \bf r } ; t ) t _ { 0 } r \mathcal { H } _ { \phi } ( { \bf r } : t ) \, d t } \\ & { = } & { \frac { t _ { 0 } } { 2 \pi } \Re \left[ \int _ { \Omega _ { s } } d \Omega \int _ { - \infty } ^ { \infty } r E _ { \theta } ( { \bf r } ; \zeta ) r H _ { \phi } ^ { * } ( { \bf r } ; \zeta ) \, d \zeta \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ \frac { 1 } { T } \! \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \lVert \bar { \mathbf { g } } ^ { t } \rVert _ { 1 } \right] } \\ & { \leq \! \frac { 1 } { \sqrt { T } } \! \left[ \! \sqrt { \lVert \mathbf { L } \rVert _ { 1 } } \! \left( \! \frac { f ^ { 0 } \! - \! f ^ { \star } } { \alpha ( M , \gamma ) } + \! \frac { 1 } { 2 } \right) \! + \! \frac { \beta ( M , \gamma ) } { \alpha ( M , \gamma ) } \frac { 2 } { 1 \! + \! \frac { \epsilon } { \sqrt { \gamma } } } \lVert \boldsymbol { \sigma } \rVert _ { 1 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \Vert f ( t ) \Vert _ { \mathcal { H } _ { r } ^ { m } } ^ { 2 } \lesssim ( 1 + M ( t ) ) ( 1 + \Vert \varrho ( t ) \Vert _ { \mathrm { H } ^ { m } } + \Vert E ^ { u , \varrho } ( t ) \Vert _ { \mathrm { H } ^ { m } } ) \Vert f ( t ) \Vert _ { \mathcal { H } _ { r } ^ { m } } ^ { 2 } , } \end{array}
\mathbf { V } \left( \begin{array} { l } { \mu _ { 1 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } } \\ { \vdots } \\ { \vdots } \\ { \mu _ { g } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } } \end{array} \right) \overset { \mathrm { d e f } } { = } \left( \begin{array} { l } { V _ { \infty } } \\ { V _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \vdots } \\ { V _ { n } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \mu _ { 1 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } } \\ { \vdots } \\ { \vdots } \\ { \mu _ { g } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \boldsymbol { \nu } _ { \infty } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } } \\ { \boldsymbol { \nu } _ { X _ { 1 } } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } } \\ { \vdots } \\ { \boldsymbol { \nu } _ { X _ { n } } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \langle \mathcal { O } _ { R } ( Z A ) \left( \mathcal { O } _ { S } ( Z A ) \right) ^ { \dagger } \rangle } & { = \frac { 1 } { ( n ! ) ^ { 2 } } \sum _ { \sigma \in S _ { n } } \sum _ { \tau \in S _ { n } } \chi _ { R } ( \sigma ) ( \chi _ { S } ( \tau ) ) \langle \mathcal { O } _ { \sigma } ( Z A ) \left( \mathcal { O } _ { \tau } ( Z A ) \right) ^ { \dagger } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { \rho } \bigg ( \nu ( \theta _ { 0 } ) \big ( \partial _ { \rho } \hat { \mathbf { v } } _ { \frac { 1 } { 2 } } - ( \mathbf { u } _ { \frac { 1 } { 2 } } d _ { \Gamma } + \mathbf { u } _ { 0 } d _ { \frac { 1 } { 2 } } ) \eta ^ { \prime } \big ) \bigg ) } & { = \left( 2 \theta _ { 0 } ^ { \prime } \theta _ { 0 } ^ { \prime \prime } + \partial _ { \rho } \hat { p } _ { - 1 } \right) \nabla d _ { \frac { 1 } { 2 } } + \partial _ { \rho } \hat { p } _ { - \frac { 1 } { 2 } } \nabla d _ { \Gamma } , } \\ { \big ( \partial _ { \rho } \hat { \mathbf { v } } _ { \frac { 1 } { 2 } } - ( \mathbf { u } _ { \frac { 1 } { 2 } } d _ { \Gamma } + \mathbf { u } _ { 0 } d _ { \frac { 1 } { 2 } } ) \eta ^ { \prime } \big ) \cdot \nabla d _ { \Gamma } } & { = \left( - \partial _ { \rho } \hat { \mathbf { v } } _ { 0 } + \mathbf { u } _ { 0 } d _ { \Gamma } \eta ^ { \prime } \right) \cdot \nabla d _ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } \{ \| \big ( z _ { 1 } \frac { \partial } { \partial z _ { 1 } } \big ) ^ { 2 } F \| _ { A ( D ^ { 2 } ) } , \| \big ( z _ { 1 } \frac { \partial } { \partial z _ { 1 } } \big ) ^ { 2 } G \| _ { A ( D ^ { 2 } ) } \} } & { \leq \prod _ { k = 1 } ^ { n } ( 1 + \frac { 1 } { k } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } + 1 = \prod _ { k = 1 } ^ { n } ( \frac { k + 1 } { k } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } + 1 } \\ & { = \sqrt { n + 1 } + 1 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta _ { 1 2 } ^ { k } \mathcal { A } : = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathcal { A } ( \omega ) , } & { \mathrm { ~ i f ~ k = 0 ~ , } } \\ { \gamma \frac { \mathcal { A } ( \omega _ { 1 } ) - \mathcal { A } ( \omega _ { 2 } ) } { | \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } | } , } & { \mathrm { ~ i f ~ k = 1 ~ . } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { X } } & { = \frac { 2 } { \operatorname* { m a x } \{ \delta , t \} } \operatorname { c o t h c } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \operatorname* { m a x } \{ \delta , t \} \right) \left( \nabla h ^ { * } ( W ) - X \right) } \\ { \dot { W } } & { = \frac { t } { 2 } \operatorname { t a n h c } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } t \right) \left( \mu \nabla h ( X ) - \mu W - \nabla f ( X ) \right) } \end{array}
\frac { d \mathbf { u } } { d t } + \widetilde { \mathbf { D } } \left( g \mathbf { h } + U \mathbf { u } - \frac { H ^ { 2 } U } { 3 } \widetilde { \mathbf { D } } ^ { 2 } \mathbf { u } - \frac { H ^ { 2 } } { 3 } \widetilde { \mathbf { D } } \left( \frac { d \mathbf { u } } { d t } \right) \right) + \alpha _ { u } \mathbf { M } ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { B } } ^ { \top } \widetilde { \mathbf { B } } \mathbf { u } = \mathbf { 0 } .
\begin{array} { r l r } & { } & { U _ { i } ^ { + } = \phi _ { i } ^ { + } ( [ 0 , \infty ) \times [ 0 , 1 ] ) \subset \dot { \Sigma } \quad \mathrm { f o r } \; i = 1 , \ldots , s ^ { + } } \\ & { } & { U _ { j } ^ { - } = \phi _ { j } ^ { - } ( ( - \infty , 0 ] \times [ 0 , 1 ] ) \subset \dot { \Sigma } \quad \mathrm { f o r } \; j = 1 , \ldots , s ^ { - } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { K ^ { 1 / 2 } v _ { i } = \lambda q ^ { - i } v _ { i } ; \quad L ^ { 1 / 2 } v _ { i } = \mu q ^ { i } v _ { i } \mathrm { , ~ f o r ~ } i \in \{ 0 , \ldots , N - 1 \} ; } \\ & { F v _ { N - 1 } = b v _ { 0 } ; \quad F v _ { i } = v _ { i + 1 } \mathrm { , ~ f o r ~ } i \in \{ 0 , \ldots , N - 2 \} ; } \\ & { E v _ { 0 } = a v _ { N - 1 } ; \quad E v _ { i } = \left( \frac { q ^ { - i + 1 } \lambda ^ { 2 } - q ^ { i - 1 } \mu ^ { 2 } } { q - q ^ { - 1 } } [ i ] + a b \right) v _ { i - 1 } \mathrm { , ~ f o r ~ } i \in \{ 1 , \ldots , N - 1 \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { n \geq 1 } \exp \left( \alpha | \xi _ { N , \delta } ^ { n } | ^ { 2 } + \alpha \nu \delta \sum _ { j = 1 } ^ { n } | \nabla \xi _ { N , \delta } ^ { j } | ^ { 2 } + \frac { n } { 4 } \ln ( 1 - 4 \alpha \delta | \sigma | ^ { 2 } ) \right) \leq \tilde { c } \exp \left( C \alpha | \xi _ { 0 } | ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { 0 } } & { = \left( d + 2 \right) \left( \frac { \beta } { 3 } \left( \left\| \widetilde { G } \right\| _ { \mathbb { M } } ^ { 2 } + \delta _ { \mathbf { v } , 0 } + \left( ( \omega _ { \widetilde { G } } ( 1 ) ) ^ { 2 } + \delta _ { \mathbf { v } , 2 } \right) \kappa _ { \infty } \right) + \frac { d } { 2 } \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { V a r } ( X ( t + 1 ) \mid X ( t ) = i ) } & { = \operatorname { V a r } ( X ( t ) ) + \operatorname { V a r } ( \Delta ( t + 1 ) \mid X ( t ) = i ) } \\ & { = 0 + E \left[ \Delta ( t + 1 ) ^ { 2 } \mid X ( t ) = i \right] - \operatorname { E } [ \Delta ( t + 1 ) \mid X ( t ) = i ] ^ { 2 } } \\ & { = ( i - 1 - i ) ^ { 2 } \cdot P _ { i , i - 1 } + ( i - i ) ^ { 2 } \cdot P _ { i , i } + ( i + 1 - i ) ^ { 2 } \cdot P _ { i , i + 1 } - \operatorname { E } [ \Delta ( t + 1 ) \mid X ( t ) = i ] ^ { 2 } } \\ & { = P _ { i , i - 1 } + P _ { i , i + 1 } - \operatorname { E } [ \Delta ( t + 1 ) \mid X ( t ) = i ] ^ { 2 } } \\ & { = { \frac { ( N - i ) i } { ( r i + N - i ) N } } + { \frac { ( N - i ) i ( 1 + s ) } { ( r i + N - i ) N } } - \operatorname { E } [ \Delta ( t + 1 ) \mid X ( t ) = i ] ^ { 2 } } \\ & { = i ( N - i ) { \frac { 2 + s } { ( r i + N - i ) N } } - \operatorname { E } [ \Delta ( t + 1 ) \mid X ( t ) = i ] ^ { 2 } } \\ & { = i ( N - i ) { \frac { 2 + s } { ( r i + N - i ) N } } - \left( p s { \frac { 1 - p } { p s + 1 } } \right) ^ { 2 } } \\ & { = p ( 1 - p ) { \frac { 2 + s ( p s + 1 ) } { ( p s + 1 ) ^ { 2 } } } - p ( 1 - p ) { \frac { p s ^ { 2 } ( 1 - p ) } { ( p s + 1 ) ^ { 2 } } } } \\ & { = p ( 1 - p ) { \frac { 2 + 2 p s + s + p ^ { 2 } s ^ { 2 } } { ( p s + 1 ) ^ { 2 } } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { d \| D ^ { \alpha } v _ { n } \| ^ { p } = } & { - \frac p n \theta _ { \rho } ( \| u _ { n } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v _ { n } - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \| \nabla D ^ { \alpha } v _ { n } \| ^ { 2 } \| D ^ { \alpha } v _ { n } \| ^ { p - 2 } d t } \\ & { - p \theta _ { \rho } ( \| u _ { n } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v _ { n } - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \| D ^ { \alpha } v _ { n } \| ^ { p - 2 } \left\langle D ^ { \alpha } ( u _ { n } \partial _ { x } v _ { n } + w _ { n } \partial _ { z } v _ { n } ) , D ^ { \alpha } v _ { n } \right\rangle d t } \\ & { + \theta _ { \rho } ^ { 2 } ( \| u _ { n } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ^ { 2 } ( \| \partial _ { z } v _ { n } - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \frac p 2 \| D ^ { \alpha } \partial _ { z } \sigma ( u _ { n } ) \| _ { L _ { 2 } ( \mathscr U , L ^ { 2 } ) } ^ { 2 } \| D ^ { \alpha } v _ { n } \| ^ { p - 2 } d t } \\ & { + \theta _ { \rho } ^ { 2 } ( \| u _ { n } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ^ { 2 } ( \| \partial _ { z } v _ { n } - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \frac { p ( p - 2 ) } { 2 } \left\langle D ^ { \alpha } \partial _ { z } \sigma ( u _ { n } ) , D ^ { \alpha } v _ { n } \right\rangle ^ { 2 } \| D ^ { \alpha } v _ { n } \| ^ { p - 4 } d t } \\ & { + \theta _ { \rho } ( \| u _ { n } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v _ { n } - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) p \left\langle D ^ { \alpha } \partial _ { z } \sigma ( u _ { n } ) , D ^ { \alpha } v _ { n } \right\rangle \| D ^ { \alpha } v _ { n } \| ^ { p - 2 } d W . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C _ { 9 } } & { = } & { \exp \left\{ - \frac { 2 \tau } { 2 } \left( \boldsymbol { y } _ { i } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) ^ { T } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \left( \boldsymbol { y } _ { i } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) \right\} \left\{ 4 \left( \boldsymbol { y } _ { i } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) ^ { T } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \left( \frac { \partial \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { i } } \right) ^ { T } \right. } \\ & { } & { \left. \frac { \partial \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \left( \boldsymbol { y } _ { i } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) \right. } \\ & { } & { \left. + 2 \left( \frac { \partial \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { i } } \right) ^ { T } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \left( \boldsymbol { y } _ { i } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) \left( \boldsymbol { y } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) ^ { T } \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \right) \left( \boldsymbol { y } _ { i } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) \right. } \\ & { } & { \left. + 2 \left( \boldsymbol { y } _ { i } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) ^ { T } \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { i } } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \right) \left( \boldsymbol { y } _ { i } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) \left( \frac { \partial \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \right) ^ { T } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \left( \boldsymbol { y } _ { i } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) \right. } \\ & { } & { \left. + \left( \boldsymbol { y } _ { i } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) ^ { T } \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { i } } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \right) \left( \boldsymbol { y } _ { i } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) \right\} } \\ & { = } & { A _ { 1 } + A _ { 2 } + A _ { 3 } + A _ { 4 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { N } ( \varepsilon , { \mathcal F } ) : = \operatorname* { i n f } \left\{ N : \exists \{ g _ { 1 } , \ldots , g _ { N } \} \subset { \mathcal F } \, \, \mathrm { s u c h ~ t h a t } \, \operatorname* { i n f } _ { i = 1 , \ldots , N } \| g - g _ { i } \| _ { \infty } < \varepsilon , \, \forall g \in { \mathcal F } \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { T } \mathbb { E } [ z _ { t } ^ { \top } \Theta _ { t } ^ { \top } ( x _ { t } ^ { * } - x _ { t } ) ] } & { \leq \mathbb { E } \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { T } l _ { t } ( \Theta _ { t } ) \right] } \\ & { \leq \mathbb { E } \left[ \operatorname* { m i n } _ { \Theta : \| \Theta \| _ { F } \leq \hat { \Theta } } \sum _ { t = 1 } ^ { T } l _ { t } ( \Theta ) \right] + \frac { 3 \bar { \Theta } \sqrt { n } + 3 \bar { \sigma } \bar { \Theta } \cdot { m n } } { \sqrt { T } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \partial ( \Phi ( w _ { H } ) - \hat { P } _ { H } E _ { k } ) ( \boldsymbol { x } ) } & { = } & { B ( u _ { h } ; \Phi ( w _ { H } ) - \hat { P } _ { H } E _ { k } , g _ { H } ^ { \boldsymbol { x } } ) } \\ & { = } & { - R ( u _ { h } + t ( w _ { H } - E _ { k } ) ; u _ { h } , u _ { h } ^ { k } + w _ { H } , g _ { H } ^ { \boldsymbol { x } } ) } \\ & { \lesssim } & { \| E _ { k } - w _ { H } \| _ { 1 , \infty } ^ { 2 } \| g _ { H } ^ { \boldsymbol { x } } \| _ { 1 , 1 } } \\ & { \lesssim } & { ( \| E _ { k } - \hat { P } _ { H } E _ { k } \| _ { 1 , \infty } ^ { 2 } + \| \hat { P } _ { H } E _ { k } - w _ { H } \| _ { 1 , \infty } ^ { 2 } ) \mid \log H \mid } \\ & { \lesssim } & { ( ( 1 + \mid \log H \mid ) ^ { 2 } \| E _ { k } \| _ { 1 , \infty } ^ { 2 } + H ^ { 2 } ) \mid \log H \mid } \\ & { \lesssim } & { ( ( 1 + \mid \log H \mid ) ^ { 2 } \mid \log h \mid ^ { 2 } H ^ { 4 } + H ^ { 2 } ) \mid \log H \mid . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E 1 _ { P V } } & { = } & { \sum _ { I \ne i } \frac { \langle \Phi _ { f } | D | \Phi _ { I } \rangle \langle \Phi _ { I } | H _ { W } | \Phi _ { i } \rangle } { { \cal E } _ { i } - { \cal E } _ { I } } } \\ & { } & { + \sum _ { I \ne f } \frac { \langle \Phi _ { f } | H _ { W } | \Phi _ { I } \rangle \langle \Phi _ { I } | D | \Phi _ { i } \rangle } { { \cal E } _ { f } - { \cal E } _ { I } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } u = \Delta u - \frac { \nabla u } { | \nabla u | } \cdot \nabla ^ { 2 } u \frac { \nabla u } { | \nabla u | } } & { \mathrm { i n ~ } D \times ( 0 , T ) , } \\ { \nabla u \cdot \nu _ { \partial D } = 0 } & { \mathrm { o n ~ } \partial D \times ( 0 , T ) , } \\ { u = g } & { \mathrm { o n ~ } D \times \{ t = 0 \} . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { I } } & { = \sum _ { j \in \Psi _ { U } \backslash \{ j ^ { * } \} } \frac { 1 } { | \mathbf { g } _ { j } | ^ { 2 } } \sum _ { i \in \mathcal { C } _ { j } } \bigg | \mathbf { h } _ { i j } ^ { H } \mathbf { h } _ { i j ^ { * } } r _ { i j } ^ { - \alpha / 2 } r _ { i j ^ { * } } ^ { - \alpha / 2 } \bigg | ^ { 2 } } \\ & { + \sum _ { j \in \Psi _ { U } } \frac { 1 } { | \mathbf { g } _ { j } | ^ { 2 } } \sum _ { i \in \mathcal { C } _ { j } } \sum _ { i ^ { \prime } \in \mathcal { C } _ { j } , i ^ { \prime } \neq i } \underbrace { \mathbf { h } _ { i j } ^ { H } \mathbf { h } _ { i j ^ { * } } r _ { i j } ^ { - \alpha / 2 } r _ { i j ^ { * } } ^ { - \alpha / 2 } \mathbf { h } _ { i ^ { \prime } j } ^ { H } \mathbf { h } _ { i ^ { \prime } j ^ { * } } r _ { i ^ { \prime } j } ^ { - \alpha / 2 } r _ { i ^ { \prime } j ^ { * } } ^ { - \alpha / 2 } } _ { \mathrm { c r o s s ~ t e r m s } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \big [ \mathrm { V a r } _ { u } \big ( G _ { f } ( u ) - G _ { f ^ { * } } ( u ) \big ) \big ] \leq } & { C _ { 4 } \mathbb { E } \big [ ( | \Omega | - 1 ) ^ { - 1 } \Psi _ { u } ^ { \frac { \gamma } { \gamma + 1 } } \mathbb { E } _ { u } ^ { \frac { \gamma } { \gamma + 1 } } \big ( G _ { f } ( u ) - G _ { f ^ { * } } ( u ) \big ) \big ] } \\ { \leq } & { \frac { C _ { 4 } } { | \Omega | - 1 } \mathbb { E } ^ { \frac { 1 } { 1 + \gamma } } \big [ \Psi _ { u } ^ { \gamma } \big ] \big ( e _ { \upsilon } ( f , f ^ { * } ) \big ) ^ { \frac { \gamma } { \gamma + 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \Psi _ { n } ^ { F E } - \Psi _ { m } ^ { F E } \| } & { \leq \| \Psi _ { n } ^ { F E } - \Psi _ { n - 1 } ^ { F E } \| + \| \Psi _ { n - 1 } ^ { F E } - \Psi _ { n - 2 } ^ { F E } \| + \cdots + \| \Psi _ { m + 1 } ^ { F E } - \Psi _ { m } ^ { F E } \| } \\ & { \leq ( \vartheta ^ { n - 1 } + \vartheta ^ { n - 2 } + \cdots + \vartheta ^ { m } ) \| \Psi _ { 1 } ^ { F E } - \Psi _ { 0 } ^ { F E } \| } \\ & { = \frac { \vartheta ^ { m } ( 1 - \vartheta ^ { n - m } ) } { 1 - \vartheta } \| v _ { 1 } \| \leq \frac { \vartheta ^ { m } } { 1 - \vartheta } \| v _ { 1 } \| . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \frac { \langle { u _ { \mathrm { { B } } i } ^ { \prime } ( { \bf { k } } , { \bf { X } } ; \tau , T ) u _ { { \mathrm { B } } j } ^ { \prime } ( { \bf { k } } ^ { \prime } , { \bf { X } } ; \tau ^ { \prime } , T ) } \rangle } { \delta ( { \bf { k } } + { \bf { k } } ^ { \prime } ) } } } \\ & { } & { = D _ { i j } ( { \bf { k } } ) Q ( k , { \bf { X } } ; \tau , \tau ^ { \prime } , T ) + \frac { i } { 2 } \frac { k _ { \ell } } { k ^ { 2 } } \epsilon _ { i j \ell } H ( k , { \bf { X } } ; \tau , \tau ^ { \prime } , T ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( n , m , l ) + ( n ^ { \prime } , m ^ { \prime } , l ^ { \prime } ) } & { = ( n + n ^ { \prime } , m + m ^ { \prime } , l + l ^ { \prime } ) , } \\ { ( n , m , l ) \circ ( n ^ { \prime } , m ^ { \prime } , l ^ { \prime } ) } & { = ( n + n ^ { \prime } , m + ( - 1 ) ^ { n } m ^ { \prime } , l + ( - 1 ) ^ { n } l ^ { \prime } ) , } \\ { \lambda _ { ( n , m , l ) } ( n ^ { \prime } , m ^ { \prime } , l ^ { \prime } ) } & { = ( n ^ { \prime } , ( - 1 ) ^ { n } m ^ { \prime } , ( - 1 ) ^ { n } l ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { [ \mathfrak { L } ^ { 0 } ] _ { ( I , 0 ) } ( t , x ) = p ^ { \prime } ( \varrho ( t , x ) ) \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb R ^ { d } } \nabla _ { x } [ \mathrm { J } _ { \varepsilon } \partial _ { x } ^ { I } \varrho ] ( s , x - ( t - s ) v ) \cdot \nabla _ { v } f ( t , x , v ) \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } s + \mathscr { R } _ { I } ( t , x ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I _ { 1 } } & { = } & { a _ { 1 } a _ { 3 } k _ { n } ^ { 2 } C _ { n + 1 } } \\ & { } & { \times \int _ { 0 } ^ { \infty } d \tau \exp [ - ( \nu _ { n + 1 } k _ { n + 1 } ^ { 2 } + \nu _ { n + 2 } k _ { n + 2 } ^ { 2 } ) \tau ] } \\ & { = } & { \frac { a _ { 1 } a _ { 3 } k _ { n } ^ { 2 } C _ { n + 1 } } { \nu _ { n + 1 } k _ { n + 1 } ^ { 2 } + \nu _ { n + 2 } k _ { n + 2 } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \overline { { A } } _ { D _ { 1 } } = \{ ( x , y , z ) \in [ - 1 , 1 ] ^ { 3 } \; | \; x = \pm 1 \} \, , } & & { \overline { { A } } _ { D _ { 2 } } = \{ ( x , y , z ) \in [ - 1 , 1 ] ^ { 3 } \; | \; y = \pm 1 \} \, , } \\ & { \overline { { A } } _ { D _ { 3 } } = \{ ( x , y , z ) \in [ - 1 , 1 ] ^ { 3 } \; | \; z = \pm 1 \} \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { L } \left[ ( t + g ) \hat { c } _ { j + 1 , \uparrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j , \uparrow } + ( t - g ) \hat { c } _ { j , \uparrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j + 1 , \uparrow } + w _ { j } ^ { \uparrow } \hat { c } _ { j , \uparrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j , \uparrow } \right] } \\ & { + \sum _ { j = 1 } ^ { L } \left[ ( t + g ) \hat { c } _ { j , \downarrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j + 1 , \downarrow } + ( t - g ) \hat { c } _ { j + 1 , \downarrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j , \downarrow } + w _ { j } ^ { \downarrow } \hat { c } _ { j , \downarrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j , \downarrow } \right] } \\ & { - i \Delta \sum _ { j = 1 } ^ { L } ( \hat { c } _ { j + 1 , \uparrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j , \downarrow } - \hat { c } _ { j \uparrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j + 1 \downarrow } ) } \\ & { - i \Delta \sum _ { j = 1 } ^ { L } ( \hat { c } _ { j + 1 , \downarrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j , \uparrow } - \hat { c } _ { j , \downarrow } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j + 1 , \uparrow } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { ( 8 n + 1 ) e ^ { - B } } { \eta } = \frac { ( 8 n + 1 ) e ^ { - B } \sqrt { B } \log n } { C _ { 2 } ^ { 2 } \varepsilon } \le \frac { ( 8 n + 1 ) e ^ { - \frac { 1 } { 2 } B } \log n } { C _ { 2 } ^ { 2 } \varepsilon } = \frac { ( 8 n + 1 ) e ^ { - \frac { 1 } { 2 } C _ { 1 } \log \frac { n } { \varepsilon } } \log n } { C _ { 2 } ^ { 2 } \varepsilon } \le \varepsilon ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { L _ { 4 \tau , 2 h } } } & { : \mathcal { F } _ { 4 \tau , 2 h } ( 4 \theta _ { t } , 2 \theta _ { x } ) \to \mathcal { F } _ { 4 \tau , 2 h } ( 4 \theta _ { t } , 2 \theta _ { x } ) \; , } \\ { \widehat { L _ { 4 \tau , 2 h } } } & { : = \left( \hat { L } _ { 4 \tau , 2 h } ( 4 \theta _ { t } , 2 \theta _ { x } ) \right) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { j ^ { \prime } ( x ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } { \frac { j ( x + h ) - j ( x ) } { h } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } { \frac { \left( f ( x + h ) - ( g ( x + h ) \right) - \left( f ( x ) - g ( x ) \right) } { h } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } { \frac { f ( x + h ) - g ( x + h ) - f ( x ) + g ( x ) } { h } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } { \frac { f ( x + h ) - f ( x ) - g ( x + h ) + g ( x ) } { h } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } { \frac { ( f ( x + h ) - f ( x ) ) + ( - g ( x + h ) + g ( x ) ) } { h } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } { \frac { ( f ( x + h ) - f ( x ) ) - ( g ( x + h ) - g ( x ) ) } { h } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } \left( { \frac { f ( x + h ) - f ( x ) } { h } } - { \frac { g ( x + h ) - g ( x ) } { h } } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r } { \hat { \mathsf { Z } } = \mathsf { Z } \cup \mathsf { Z } ^ { * } \cup \omega \mathsf { Z } \cup \omega \mathsf { Z } ^ { * } \cup \omega ^ { 2 } \mathsf { Z } \cup \omega ^ { 2 } \mathsf { Z } ^ { * } \cup \mathsf { Z } ^ { - 1 } \cup \mathsf { Z } ^ { - * } \cup \omega \mathsf { Z } ^ { - 1 } \cup \omega \mathsf { Z } ^ { - * } \cup \omega ^ { 2 } \mathsf { Z } ^ { - 1 } \cup \omega ^ { 2 } \mathsf { Z } ^ { - * } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \beta _ { \phi } ^ { - } ( \alpha ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \hfill 1 - \frac { p _ { 1 } ( x _ { i } ^ { \prime } ) } { p _ { 1 } ( x _ { i } ) } \alpha , \hfill ~ ~ \mathrm { f o r ~ \alpha ~ \in ~ [ 0 , p _ { 1 } ( x _ { i } ) ] ~ } , } \\ { \hfill p _ { 0 } + p _ { - 1 } ( x _ { i } ^ { \prime } ) + p _ { 1 } ( x _ { i } ) - \alpha , \hfill ~ ~ \mathrm { f o r ~ \alpha ~ \in ~ [ p _ { 1 } ( x _ { i } ) , ~ 1 - p _ { - 1 } ( x _ { i } ) ] ~ } , } \\ { \hfill \frac { p _ { - 1 } ( x _ { i } ^ { \prime } ) } { p _ { - 1 } ( x _ { i } ) } - \frac { p _ { - 1 } ( x _ { i } ^ { \prime } ) } { p _ { - 1 } ( x _ { i } ) } \alpha , \hfill ~ ~ \mathrm { f o r ~ \alpha ~ \in ~ [ 1 - p _ { - 1 } ( x _ { i } ) , 1 ] ~ } . } \end{array} \right. } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } \, G _ { 1 } ^ { \beta } \frac { \partial G _ { 1 } ^ { \psi } } { \partial z ^ { \beta } } \; = \; \frac { c } { q } \, J _ { 0 } \; + \; \frac { B _ { 0 } } { 2 \Omega _ { 0 } } \left( G _ { 1 } ^ { \mu } \, \frac { \partial \bf w } { \partial \mu _ { 0 } } \; + \; g _ { 1 } ^ { \zeta } \, \frac { \partial \bf w } { \partial \zeta _ { 0 } } \right) \, \mathrm { \boldmath ~ \cdot ~ } \, \frac { \partial \bf x } { \partial \theta } ,
( \ell ^ { \prime } , m ^ { \prime } , n ^ { \prime } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( \ell , m , n ) } & { ( \sigma = 1 ) , } \\ { ( n , m , \ell ) } & { ( \sigma = ( 0 \; 1 ) ) , } \\ { ( \ell , n , m ) } & { ( \sigma = ( 0 \; \infty ) ) , } \\ { ( m , \ell , n ) } & { ( \sigma = ( 1 \; \infty ) ) , } \\ { ( n , \ell , m ) } & { ( \sigma = ( 0 \; 1 \; \infty ) ) , } \\ { ( m , n , \ell ) } & { ( \sigma = ( 1 \; 0 \; \infty ) ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { I _ { 2 } ^ { [ 2 . 1 ] } } & { : = \left( \int \left( \int | \partial _ { v } p _ { \alpha } ( v , z - w ) | \frac { \bar { p } _ { \alpha } ( t - u , w - y ) } { ( u - s ) ^ { \frac { j } { \alpha } } ( t - u ) ^ { \frac { k } { \alpha } } } \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , x - z ) \times \right. \right. } \\ & { \qquad \qquad \qquad \left. \left. \mathbb { 1 } _ { | w - z | \leq \frac { 1 } { 4 } | x - y | } \mathbb { 1 } _ { | x - z | > \frac { | x - y | } { 2 } } \mathbb { 1 } _ { | w - z | < \frac { 1 } { 2 } ( u - s ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } \mathrm { d } w \right) ^ { p ^ { \prime } } \mathrm { d } z \right) ^ { \frac { q ^ { \prime } } { p ^ { \prime } } } } \\ & { \left( \frac { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , x - y ) } { ( u - s ) ^ { \frac { \zeta + j } { \alpha } } ( t - u ) ^ { \frac { k } { \alpha } } } \right) ^ { q ^ { \prime } } v ^ { q ^ { \prime } ( \frac { \zeta } { \alpha } - 1 ) } \frac { 1 } { ( t - u ) ^ { \frac { d q ^ { \prime } } { \alpha p } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left< \widetilde f - \widehat f , v _ { h } \right> _ { \Omega _ { h } } } & { = \left< \widetilde f - \widehat f , v _ { h } \right> _ { \Omega _ { d i f f } ^ { h } } } \\ & { \leq \left( \operatorname* { m a x } _ { i , \ell } \| \widetilde f - T _ { h } ^ { k - 1 } f \| _ { L ^ { \infty } ( S ^ { i , \ell } ) } + \operatorname* { m a x } _ { i , \ell } \| \widehat f - T _ { h } ^ { k - 1 } f \| _ { L ^ { \infty } ( S ^ { i , \ell } ) } \right) \int _ { \Omega _ { d i f f } ^ { h } } 1 \cdot | v | d x } \\ & { \leq C \delta _ { h } ^ { k - 1 } | \Omega _ { d i f f } ^ { h } | ^ { \frac 1 2 } | f | _ { W _ { \infty } ^ { k - 1 } ( \Omega _ { h } ) } \| v _ { h } \| _ { 0 , \Omega _ { h } } } \\ & { \leq C \delta _ { h } ^ { k - \frac 1 2 } | f | _ { W _ { \infty } ^ { k - 1 } ( \Omega _ { h } ) } \| v _ { h } \| _ { 1 , \Omega _ { h } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \nabla f _ { \xi } ( z ^ { \prime } ) - \nabla f _ { \xi } ( z ) \| } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \big \| ( | a _ { \xi } ^ { \top } z ^ { \prime } | ^ { 2 } - y _ { \xi } ) ( a _ { \xi } a _ { \xi } ^ { \top } ) z ^ { \prime } - ( | a _ { \xi } ^ { \top } z | ^ { 2 } - y _ { \xi } ) ( a _ { \xi } a _ { \xi } ^ { \top } ) z \big \| } \\ & { \le \frac { 1 } { 4 } \big \| ( | a _ { \xi } ^ { \top } z ^ { \prime } | ^ { 2 } + | a _ { \xi } ^ { \top } z | ^ { 2 } - 2 y _ { \xi } ) ( a _ { \xi } a _ { \xi } ^ { \top } ) ( z ^ { \prime } - z ) + ( | a _ { \xi } ^ { \top } z ^ { \prime } | ^ { 2 } - | a _ { \xi } ^ { \top } z | ^ { 2 } ) ( a _ { \xi } a _ { \xi } ^ { \top } ) ( z ^ { \prime } + z ) \big \| } \\ & { \overset { ( i ) } { \le } \frac { 1 } { 4 } \| a _ { \xi } \| ^ { 2 } \big ( | a _ { \xi } ^ { \top } z ^ { \prime } | ^ { 2 } + | a _ { \xi } ^ { \top } z | ^ { 2 } + 2 | y _ { \xi } | \big ) \| z ^ { \prime } - z \| + \frac { 1 } { 4 } \| a _ { \xi } \| ^ { 2 } ( | a _ { \xi } ^ { \top } z ^ { \prime } | + | a _ { \xi } ^ { \top } z | ) ^ { 2 } \| z ^ { \prime } - z \| } \\ & { \overset { ( i i ) } { \le } \frac { 1 } { 4 } \| z ^ { \prime } - z \| \| a _ { \xi } \| ^ { 2 } \big ( 3 | a _ { \xi } ^ { \top } z ^ { \prime } | ^ { 2 } + 3 | a _ { \xi } ^ { \top } z | ^ { 2 } + 2 | y _ { \xi } | \big ) } \\ & { \le \frac { 1 } { 4 } \| z ^ { \prime } - z \| \| a _ { \xi } \| ^ { \frac { 4 } { 3 } } \| a _ { \xi } \| ^ { \frac { 2 } { 3 } } \big ( 3 | a _ { \xi } ^ { \top } z ^ { \prime } | ^ { 2 } + 3 | a _ { \xi } ^ { \top } z | ^ { 2 } - 3 | y _ { \xi } | - 3 | y _ { \xi } | + 8 | y _ { \xi } | \big ) } \\ & { \overset { ( i i i ) } { \le } \| z ^ { \prime } - z \| \Big ( \frac { 9 } { 4 } a _ { \operatorname* { m a x } } ^ { \frac { 4 } { 3 } } \| \nabla f _ { \xi } ( z ^ { \prime } ) \| ^ { \frac { 2 } { 3 } } + \frac { 9 } { 4 } a _ { \operatorname* { m a x } } ^ { \frac { 4 } { 3 } } \| \nabla f _ { \xi } ( z ) \| ^ { \frac { 2 } { 3 } } + 2 y _ { \operatorname* { m a x } } a _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } \Big ) } \\ & { \le \| z ^ { \prime } - z \| \Big ( \frac { 9 } { 4 } a _ { \operatorname* { m a x } } ^ { \frac { 4 } { 3 } } \operatorname* { m a x } _ { \theta \in [ 0 , 1 ] } \big \| \nabla f _ { \xi } \big ( \theta z ^ { \prime } + ( 1 - \theta ) z \big ) \big \| ^ { \frac { 2 } { 3 } } + 2 y _ { \operatorname* { m a x } } a _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 \geq \operatorname* { l i m } _ { \alpha \to \infty } \frac { \exp ( L _ { 1 } \alpha x ) - c _ { k } \exp ( L _ { 1 } 0 ) } { c _ { k } ^ { \prime } ( \alpha x ) ^ { k - 1 } } } & { = \operatorname* { l i m } _ { \alpha \to \infty } \frac { L _ { 1 } x \exp ( L _ { 1 } \alpha x ) } { c _ { k } ^ { \prime } ( k - 1 ) x ^ { k - 1 } \alpha ^ { k - 2 } } } \\ & { = \frac { L _ { 1 } } { c _ { k } ^ { \prime } ( k - 1 ) x ^ { k - 2 } } \operatorname* { l i m } _ { \alpha \to \infty } \frac { \exp ( L _ { 1 } \alpha x ) } { \alpha ^ { k - 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { } & { } & { - 2 \left( x ( t _ { i } ) \left( \gamma _ { x } ( t _ { i } ) - \gamma _ { x } ( t _ { 0 } ) \right) + y ( t _ { i } ) \left( \gamma _ { y } ( t _ { i } ) - \gamma _ { y } ( t _ { 0 } ) \right) \right) + \left( \gamma _ { x } ( t _ { i } ) \right) ^ { 2 } - \left( \gamma _ { x } ( t _ { 0 } ) \right) ^ { 2 } + \left( \gamma _ { y } ( t _ { i } ) \right) ^ { 2 } - \left( \gamma _ { y } ( t _ { 0 } ) \right) ^ { 2 } } \\ { } & { = } & { \left( \lambda ( t _ { i } ) \right) ^ { 2 } - \left( \lambda ( t _ { 0 } ) \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { k _ { \mathrm { S L - G G A } } ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) } & { = \Sigma _ { \mathrm { C o v } } k _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 1 } ^ { \prime } ) } \\ { k _ { \mathrm { S L - M G G A } } ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) } & { = \Sigma _ { \mathrm { C o v } } k _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 1 } ^ { \prime } ) k _ { 2 } ( x _ { 2 } , x _ { 2 } ^ { \prime } ) } \\ { k _ { \mathrm { N L - G G A } } ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) } & { = \Sigma _ { \mathrm { C o v } } k _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 1 } ^ { \prime } ) } \\ & { \times \sum _ { i = 2 } ^ { 4 } \sum _ { j = i + 1 } ^ { 4 } k _ { i } ( x _ { i } , x _ { i } ^ { \prime } ) k _ { j } ( x _ { j } , x _ { j } ^ { \prime } ) } \\ { k _ { \mathrm { N L - M G G A } } ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) } & { = \Sigma _ { \mathrm { C o v } } k _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 1 } ^ { \prime } ) } \\ & { \times \sum _ { i = 2 } ^ { 5 } \sum _ { j = i + 1 } ^ { 5 } k _ { i } ( x _ { i } , x _ { i } ^ { \prime } ) k _ { j } ( x _ { j } , x _ { j } ^ { \prime } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \partial _ { t } \nu ( x , t ) + 2 \partial _ { x } q _ { 1 - } ( x , t ) = 0 , } \\ & { } & { \partial _ { t } \big ( \nu ( x , t ) \rho _ { \mathsf { p } } ( x , t ; v ) \big ) + \partial _ { x } \big ( 2 ( v ^ { \mathrm { e f f } } ( x , t ; v ) + q _ { 1 - } ( x , t ) ) \rho _ { \mathsf { p } } ( x , t ; v ) \big ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi ^ { - \infty } ( y _ { 2 } ) = } & { \operatorname* { l i m } _ { m \to \infty } \phi ^ { y _ { 1 } ^ { m } } ( y _ { 2 } ) } \\ { = } & { \operatorname* { l i m } _ { m \to \infty } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { 2 } ( | y _ { 2 } - \zeta | - y _ { 2 } - \zeta + 2 y _ { 2 } \zeta ) s ^ { 2 } ( y _ { 1 } ^ { m } ) f ( \phi ^ { y _ { 1 } ^ { m } } ( \zeta ) ) \, d \zeta + \mathfrak { c } y _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { j } ^ { i P } ( t _ { s } ) } & { = y _ { j } ^ { i P } ( t _ { s } ) \frac { | R _ { P M } | } { | P _ { j } ^ { i ^ { * } } ( t _ { s } ) | \Delta t _ { s } } , \; \mu _ { j } ^ { i Q } ( t _ { s } ) = y _ { j } ^ { i P } ( t _ { s } ) \frac { | R _ { P M } | } { | Q _ { j } ^ { i ^ { * } } ( t _ { s } ) | \Delta t _ { s } } } \\ { R _ { P M } } & { = \left( \mu _ { i } ^ { P ^ { * } } ( \hat { t } _ { p } ) P _ { i } ^ { * } ( \hat { t } _ { p } ) + \mu _ { i } ^ { Q ^ { * } } ( \hat { t } _ { p } ) Q _ { i } ^ { * } ( \hat { t } _ { p } ) \right) \Delta t _ { p } } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { 1 } } & { ( l ^ { \prime } , l ) \equiv ( 2 l ^ { \prime } / l ) ^ { - \frac { \Lambda } { \lambda _ { 0 } } } K ( l ^ { \prime } , l ) } \\ & { \ \times \frac { \sigma _ { \lambda } ^ { 2 } } { 2 \lambda _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { \Lambda } { \lambda _ { 0 } } \log ( 2 l ^ { \prime } / l ) \left( \frac { \Lambda } { \lambda _ { 0 } } \log ( 2 l ^ { \prime } / l ) - 2 \right) \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb E \left[ \left. L _ { t } - L _ { t - 1 } \right\rvert \mathcal F _ { t - 1 } \right] } & { \le \frac { ( K + 1 ) M ^ { 2 } } 2 + \mathbb E \left[ \left. \langle \mathbf Q _ { t - 1 } , \mathbf A _ { t } - \mathbf S _ { t } \odot \mathbf 1 _ { a _ { t } } \rangle \right\rvert \mathcal F _ { t - 1 } \right] } \\ & { \le \frac { ( K + 1 ) M ^ { 2 } } 2 + \langle \mathbf Q _ { t - 1 } , \vec { \lambda } _ { t } - \vec { \sigma } _ { t } \odot \mathbf p _ { t } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \tilde { H } ^ { T - 1 } U ^ { * } ) ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) - ( \tilde { H } ^ { T - 1 } 0 ) ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) } & { = \bigl | ( \tilde { H } ^ { T - 1 } U ^ { * } ) ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) - ( \tilde { H } ^ { T - 1 } 0 ) ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) \bigr | } \\ & { \le \gamma ^ { T - 1 } \textstyle \operatorname* { m a x } _ { y \in \mathcal Y _ { s _ { 1 } } ^ { T - 1 } } \bigl | U ^ { * } ( x _ { 1 } , y ) - 0 \bigr | } \\ & { = \gamma ^ { T - 1 } \textstyle \operatorname* { m a x } _ { y \in \mathcal Y _ { s _ { 1 } } ^ { T - 1 } } U ^ { * } ( x _ { 1 } , y ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \sqrt { ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 2 ) } \sum _ { s = 0 } ^ { n + 1 } r _ { 2 n + 2 , 2 s } \phi _ { 2 s } ( \xi _ { 2 } ^ { \prime } ) } \\ & { = } & { \sqrt { ( 2 n ) ( 2 n - 1 ) } ( \alpha _ { n } - 1 ) \sum _ { s = 0 } ^ { n - 1 } r _ { 2 n - 2 , 2 s } \phi _ { 2 s } ( \xi _ { 2 } ^ { \prime } ) + ( ( 2 n + 2 ) \alpha _ { n } - 4 n - 1 ) \sum _ { s = 0 } ^ { n } r _ { 2 n , 2 s } \phi _ { 2 s } ( \xi _ { 2 } ^ { \prime } ) } \\ & { } & { + \sum _ { s = 1 } ^ { n } r _ { 2 n , 2 s } \sqrt { ( 2 s ) ( 2 s - 1 ) } \phi _ { 2 s - 2 } ( \xi _ { 2 } ^ { \prime } ) + \sum _ { s = 0 } ^ { n } r _ { 2 n , 2 s } ( 2 s ) \phi _ { 2 s } ( \xi _ { 2 } ^ { \prime } ) } \\ & { } & { + ( 1 - \alpha _ { n } ) \sum _ { s = 0 } ^ { n } r _ { 2 n , 2 s } \left( ( 2 s + 1 ) \phi _ { 2 s } ( \xi _ { 2 } ^ { \prime } ) + \sqrt { ( 2 s + 1 ) ( 2 s + 2 ) } \phi _ { 2 s + 2 } ( \xi _ { 2 } ^ { \prime } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P _ { l i j k } } & { = } & { \hbar _ { l j } R _ { i k } - \hbar _ { l k } R _ { i j } + \hbar _ { i j } R _ { l k } - \hbar _ { i k } R _ { l j } - g _ { l j } S _ { i k } + g _ { l k } S _ { i j } - g _ { i j } S _ { l k } } \\ & { } & { + g _ { i k } S _ { l j } + \frac { R } { 3 } ( g _ { l j } \hbar _ { i k } - g _ { l k } \hbar _ { i j } + g _ { i j } \hbar _ { l k } - g _ { i k } \hbar _ { l j } ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \rho _ { 0 } ^ { \nu } \| _ { L ^ { q } ( B _ { R _ { 1 } } ^ { c } ( 0 ) ) } ^ { q } \leq \frac { \varepsilon } { 5 } , } \\ & { \| \rho ^ { \nu } \| _ { L ^ { q s ^ { \prime } } ( ( 0 , T ) , L ^ { q s ^ { \prime } } ( \mathbb { H } \cap \{ r > R _ { 1 } \} ) ) } ^ { q } \leq \frac { \varepsilon } { 5 } , } \\ & { \| \rho ^ { \nu } \| _ { L ^ { q } ( ( 0 , T ) , L ^ { q } ( \mathbb { H } \cap \{ r > R _ { 1 } \} ) ) } ^ { q } \leq \frac { \varepsilon } { 5 } , } \\ & { \| g ^ { \nu } \| _ { L ^ { 1 } ( ( 0 , T ) , L ^ { q } ( B _ { R _ { 1 } } ^ { c } ( 0 ) ) } \leq \frac { \varepsilon } { 5 } , } \\ & { \frac { \nu } { R _ { 1 } ^ { 2 } } \leq \frac { \varepsilon } { 5 } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \widehat { R } } ( \Delta \theta , { \hat { \mathbf { a } } } ) } & { = I - ( - \Delta \theta a _ { k } \varepsilon _ { k i j } r _ { j } ) { \frac { \partial } { \partial r _ { i } } } } \\ & { = I - ( \Delta \theta a _ { k } \varepsilon _ { k j i } r _ { j } ) { \frac { \partial } { \partial r _ { i } } } } \\ & { = I - \Delta \theta { \hat { \mathbf { a } } } \cdot ( \mathbf { r } \times \nabla ) } \\ & { = I - { \frac { i \Delta \theta } { \hbar } } { \hat { \mathbf { a } } } \cdot { \widehat { \mathbf { L } } } } \end{array} }
G _ { 1 } ^ { \bf x } \, \mathrm { \boldmath ~ \cdot ~ } \, \nabla { \bf w } \, \mathrm { \boldmath ~ \cdot ~ } \, \frac { \partial \bf x } { \partial \theta } \; = \; ( \mathrm { \boldmath ~ \rho ~ } \, \mathrm { \boldmath ~ \cdot ~ } \, \mathrm { \boldmath ~ \cal ~ R ~ } ) \; \frac { \partial \bf w } { \partial \zeta _ { 0 } } \, \mathrm { \boldmath ~ \cdot ~ } \, \frac { \partial \bf x } { \partial \theta } ,
| \Omega \setminus \Omega _ { \varepsilon } ^ { \delta } | = \int _ { \Omega \setminus \Omega _ { \varepsilon } ^ { \delta } } 1 \, \mathrm { d } X \leq \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { c _ { \mathrm { e l } } ^ { 2 } ( \delta ) } \int _ { \Omega } \left( | A _ { \varepsilon } | + | B _ { \varepsilon } | \right) ^ { 2 } \mathrm { d } X \leq c \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { c _ { \mathrm { e l } } ^ { 2 } ( \delta ) } \rightarrow 0 \quad \mathrm { ~ a s ~ } \varepsilon \rightarrow 0
\begin{array} { r } { \underbrace { 0 . 9 \cdot n _ { \mathrm { m a x } } \pi \left( \frac { 1 3 0 \, \mathrm { n m } } { 2 } \right) ^ { 2 } } _ { \mathrm { a r e a ~ c o v e r e d ~ b y ~ n _ { \mathrm { m a x } } ~ c i r c l e s ~ o f ~ v e s i c l e ~ d i a m e t e r } } \le \underbrace { \pi \left( \frac { 1 0 0 0 \, \mathrm { n m } } { 2 } \right) ^ { 2 } } _ { \mathrm { a r e a ~ o f ~ n e u r i t e ~ c r o s s - s e c t i o n } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { s g n } ( - x ) ^ { n - 1 } \frac { ( n - 1 ) ! } { ( 1 + x ^ { 2 } ) ^ { n / 2 } } \sin } & { \left( n \arcsin \left( \frac { 1 } { \sqrt { 1 + x ^ { 2 } } } \right) \right) = } \\ & { \frac { ( - 1 ) ^ { n } ( n - 1 ) ! } { 2 i } \left( \frac { 1 } { ( x + i ) ^ { n } } - \frac { 1 } { ( x - i ) ^ { n } } \right) . } \end{array}
. S u c h a n i t e r a t i o n s t e p c a n b e r e g a r d e d a s a r e s i d u a l n e t w o r k . T h u s , a d y n a m i c a l s y s t e m c a n b e v i e w e d a s a c o n t i n u o u s - t i m e v e r s i o n o f a r e s i d u a l n e t w o r k . T h e n e t w o r k g e n e r a t e d v i a a d y n a m i c a l s y s t e m i s g e n e r a l l y c a l l e d c o n t i n u o u s - d e p t h n e t w o r k . T h e f u n c t i o n
\begin{array} { r l } & { q \cdot r ( g ( D _ { r - 1 } ) ) ( e _ { ( j - 1 ) \delta + 1 } ) } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \! \begin{array} { r l } & { ( | \mathfrak { p } | ^ { \frac { 3 r } { 2 } - 3 } - | \mathfrak { p } | ^ { r } - | \mathfrak { p } | ^ { r - 1 } + | \mathfrak { p } | ^ { \frac { r } { 2 } } ) ( | \mathfrak { p } | - 1 ) + | \mathfrak { p } | - q ^ { 2 } , } \end{array} } & { \mathrm { i f ~ j ~ = 1 ~ . } } \\ { \! \begin{array} { r l } & { ( | \mathfrak { p } | ^ { \frac { 3 r } { 2 } - 4 } - | \mathfrak { p } | ^ { r - 1 } - | \mathfrak { p } | ^ { r - 2 } + | \mathfrak { p } | ^ { \frac { r } { 2 } - 1 } ) ( | \mathfrak { p } | - 1 ) - | \mathfrak { p } | + q ^ { 2 } , } \end{array} } & { \mathrm { i f ~ j ~ = 2 ~ . } } \\ { ( | \mathfrak { p } | ^ { \frac { 3 r } { 2 } - j - 2 } - | \mathfrak { p } | ^ { r - j + 1 } - | \mathfrak { p } | ^ { r - j } + | \mathfrak { p } | ^ { \frac { r } { 2 } - j + 1 } + q ^ { 2 } | \mathfrak { p } | ^ { j - 3 } ) ( | \mathfrak { p } | - 1 ) , } & { \mathrm { i f ~ 3 ~ \leq ~ j ~ \leq ~ \frac { r } { 2 } - 1 ~ . } } \\ { \! \begin{array} { r l } & { ( | \mathfrak { p } | ^ { r - 2 } - | \mathfrak { p } | ^ { \frac { r } { 2 } + 1 } - | \mathfrak { p } | ^ { \frac { r } { 2 } } ) ( | \mathfrak { p } | - 1 ) + | \mathfrak { p } | ^ { 2 } - q ^ { 2 } } \\ & { - \sum _ { 0 \leq i \leq \frac { r - 8 } { 2 } } ( | \mathfrak { p } | ^ { 2 } - q ^ { 2 } ) ( - | \mathfrak { p } | ) ^ { i } , } \end{array} } & { \mathrm { i f ~ j ~ = ~ \frac { r } { 2 } ~ . } } \\ { \! \begin{array} { r } { ( | \mathfrak { p } | ^ { \frac { 3 r } { 2 } - j - 2 } - | \mathfrak { p } | ^ { r - j + 1 } - | \mathfrak { p } | ^ { r - j } ) ( | \mathfrak { p } | - 1 ) , } \end{array} } & { \mathrm { i f ~ \frac { r } { 2 } + 1 ~ \leq ~ j ~ \leq ~ r - 2 ~ . } } \\ { \! \begin{array} { r } { | \mathfrak { p } | ^ { \frac { r } { 2 } } - | \mathfrak { p } | ^ { \frac { r } { 2 } - 1 } - | \mathfrak { p } | ^ { 3 } + | \mathfrak { p } | + | \mathfrak { p } | ^ { 2 } \frac { q ^ { 2 } - 1 } { | \mathfrak { p } | ^ { 2 } - 1 } , } \end{array} } & { \mathrm { i f ~ j ~ = ~ r - 1 ~ . } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \textnormal { d } Q _ { d } } { \textnormal { d } z _ { d } } } & { = q _ { i } - q _ { f } , } \\ { \frac { \textnormal { d } ( M _ { d } + M _ { d } ^ { \prime } + P _ { d } ) } { \textnormal { d } z _ { d } } } & { = B _ { d } + m _ { f } - m _ { i } , } \\ { \frac { \textnormal { d } ( F _ { d } + F _ { d } ^ { \prime } ) } { \textnormal { d } z _ { d } } } & { = f _ { f } - f _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { \ensuremath { U } } ( i , j ) } & { = \sum _ { \ensuremath { d } = 1 } ^ { \ensuremath { d _ { \mathrm { m a x } } } } \ensuremath { \mathbb P } \{ \ensuremath { \ensuremath { U } ^ { ( \ell + 1 ) } } = j \, | \, \ensuremath { \ensuremath { D } ^ { ( \ell ) } } = \ensuremath { d } \} \cdot \ensuremath { \mathbb P } \{ \ensuremath { \ensuremath { D } ^ { ( \ell ) } } = \ensuremath { d } \, | \, \ensuremath { \ensuremath { U } ^ { ( \ell ) } } = i \} } \\ & { = \sum _ { \ensuremath { d } = 1 } ^ { \ensuremath { d _ { \mathrm { m a x } } } } P _ { \ensuremath { U } | \ensuremath { D } } ( j | \ensuremath { d } ) \, P _ { \ensuremath { D } | \ensuremath { U } } ( \ensuremath { d } | i ) . } \end{array}
( Y ^ { ( 0 ) } ) _ { \tilde { l } } ^ { k } { \chi _ { \hat { \varepsilon } } } _ { k } = 0 , \quad ( Y ^ { ( 0 ) } ) _ { 3 } ^ { k } { \chi _ { \hat { \varepsilon } } } _ { k } = - i \kappa \Bigg ( \frac { \langle \nu , \chi _ { \hat { \varepsilon } } \rangle _ { e _ { \mu } } } { \hat { \mu } ^ { 3 3 } } + \frac { r _ { \mu } \langle \nu , \chi _ { \hat { \varepsilon } } \rangle _ { \hat { \mu } ^ { \prime } } } { \sqrt { \vert \hat { \mu } ^ { - 1 } \vert } \hat { \mu } ^ { 3 3 } } \Bigg ) ,
\pi _ { { \textrm { V I X } } } ^ { \mathrm { m o d e l } } ( \ell , T , K ) \approx \frac { e ^ { - r T } } { N _ { M C } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { M C } } ( { \textrm { V I X } } _ { T } ( \ell , \omega _ { i } ) - K ) ^ { + } , \qquad F _ { { \textrm { V I X } } } ^ { \mathrm { m o d e l } } ( \ell , T ) \approx \frac { 1 } { N _ { M C } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { M C } } { \textrm { V I X } } _ { T } ( \ell , \omega _ { i } ) ,
V _ { i , j } : \mathcal { E } _ { i } \otimes _ { \mathcal { O } _ { q } ( \mathbb { C } \mathrm { P } ^ { 1 } ) } ( \mathcal { E } _ { j } \otimes _ { \mathcal { O } _ { q } ( \mathbb { C } \mathrm { P } ^ { 1 } ) } H ) \to ( \mathcal { E } _ { i } \otimes _ { \mathcal { O } _ { q } ( \mathbb { C } \mathrm { P } ^ { 1 } ) } \mathcal { E } _ { j } ) \otimes _ { \mathcal { O } _ { q } ( \mathbb { C } \mathrm { P } ^ { 1 } ) } H
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbb { P } ( W _ { l } \geq 5 L ^ { 2 } ( s _ { 2 } - s _ { 1 } + 1 ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ) } \\ & { = } & { \mathbb { E } [ \mathbb { P } ( W _ { l } \geq 5 L ^ { 2 } ( s _ { 2 } - s _ { 1 } + 1 ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) | \sigma _ { 0 } ) ] } \\ & { \leq } & { e ^ { - 2 L ^ { 4 } ( s _ { 2 } - s _ { 1 } + 1 ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 3 } } & { = o ( n ^ { - 1 / 2 } ) + O \left( ( n \log n ) ^ { 1 + \delta / 2 } \mathbb { E } | q _ { 1 2 } | ^ { 2 + \delta } \int _ { c \sqrt { n } \leq | t | \leq \sqrt { n } \log n } | t | ^ { 1 + \delta } d t \right) } \\ & { = o ( n ^ { - 1 / 2 } ) + O \left( \left[ \frac { \log n } { n } \right] ^ { 2 + \delta } \Pi _ { 2 + \delta } ( \log n ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I } & { ( X _ { A _ { 1 } } , \ldots , X _ { A _ { M } } ; X _ { B _ { 1 } } , \ldots , X _ { B _ { M } } ) } \\ & { = H ( X _ { B _ { 1 } } , \ldots , X _ { B _ { M } } ) - H ( X _ { B _ { 1 } } , \ldots , X _ { B _ { M } } | X _ { A _ { 1 } } , \ldots , X _ { A _ { M } } ) } \\ & { = H ( X _ { B _ { 1 } } , \ldots , X _ { B _ { M } } ) - \sum _ { i = 1 } ^ { M } H ( X _ { B _ { i } } | X _ { A _ { 1 } } , \ldots , X _ { A _ { M } } ) } \\ & { = H ( X _ { B _ { 1 } } , \ldots , X _ { B _ { M } } ) - \sum _ { i = 1 } ^ { M } H ( X _ { B _ { i } } | X _ { A _ { i } } ) } \\ & { \leq \sum _ { i = 1 } ^ { M } H ( X _ { B _ { i } } ) - \sum _ { i = 1 } ^ { M } H ( X _ { B _ { i } } | X _ { A _ { i } } ) } \\ & { \qquad = \sum _ { i = 1 } ^ { M } I ( X _ { A _ { i } } ; X _ { B _ { i } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i , j \in \mathbb { Z } } u ^ { - i - N } v ^ { j + N } \kappa _ { N } ( i , j ) } & { = \exp \left[ V ^ { * } \left( u ^ { - 1 } \right) - V ^ { * } \left( v ^ { - 1 } \right) \right] \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \left( \frac { u } { v } \right) ^ { l } } \\ & { = \exp \left[ \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \left( \frac { t _ { k } ^ { - } } { k } \left( u ^ { k } - v ^ { k } \right) - \frac { t _ { k } ^ { + } } { k } \left( u ^ { - k } - v ^ { - k } \right) \right) \right] \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \left( \frac { u } { v } \right) ^ { l } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \bigl [ ( M _ { 0 } ) _ { \mathrm { b } } ^ { 3 } ; \mathfrak { p } _ { { 3 \mathrm { b } } , 3 } ; \mathfrak { p } _ { L \cap R , 3 } ; \{ \mathfrak { p } _ { L \cap R , 3 , O } \} ; \mathfrak { p } _ { { 3 \mathrm { b } } , F } ; \mathfrak { p } _ { L \cap R , F } ; \mathfrak { p } _ { R , S / C } ; \tilde { \mathfrak { p } } _ { { 3 \mathrm { b } } , F } ; \tilde { \mathfrak { p } } _ { L \cap R , F } \bigr ] } \\ & { \qquad \to [ ( M _ { 0 } ) _ { \mathrm { b } } ^ { 2 } ; \mathfrak { p } _ { 3 \mathrm { b } } ; \mathfrak { p } _ { L \cap R } ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { E _ { 2 } , 3 } ( \vec { R } , \vec { r } ) = \, } & { \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } _ { B } } \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { a } _ { 0 } } - \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } _ { A } } \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { a } _ { 0 } } } \\ { + \, } & { \delta _ { \vec { R } , \vec { \rho } _ { C } } \Big ( \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { a } _ { 1 } } - \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { a } _ { 2 } } \Big ) . } \end{array}
u ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \overline { { a } } ( t ) \, , } & { \ \ \mathrm { i f \ \ } - b ^ { T } ( t ) \, \lambda ( t ) > r ( t ) \, \overline { { a } } ( t ) \, , } \\ { - b ^ { T } ( t ) \, \lambda ( t ) / r ( t ) \, , } & { \ \ \mathrm { i f \ \ } r ( t ) \, \underline { { a } } ( t ) \le - b ^ { T } ( t ) \, \lambda ( t ) \le r ( t ) \, \overline { { a } } ( t ) \, , } \\ { \underline { { a } } ( t ) \, , } & { \ \ \mathrm { i f \ \ } - b ^ { T } ( t ) \, \lambda ( t ) < r ( t ) \, \underline { { a } } ( t ) \, , } \end{array} \right.
{ \begin{array} { r l } { C _ { 1 2 } } & { = { \sqrt { C _ { 1 1 } } } { \sqrt { C _ { 2 2 } } } \sin \phi _ { 1 2 } } \\ { 2 E _ { 1 2 } + \delta _ { 1 2 } } & { = { \sqrt { 2 E _ { 1 1 } + 1 } } { \sqrt { 2 E _ { 2 2 } + 1 } } \sin \phi _ { 1 2 } } \\ { E _ { 1 2 } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 E _ { 1 1 } + 1 } } { \sqrt { 2 E _ { 2 2 } + 1 } } \sin \phi _ { 1 2 } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { ( \gamma , 1 , \chi ) ( a ^ { - 1 } , \chi ( a ) , \chi ) ( \gamma ^ { - 1 } , 1 , \gamma \chi ) } & { = ( \gamma a ^ { - 1 } \gamma ^ { - 1 } , \chi ( a ) \sigma ( \gamma , a ^ { - 1 } ) \sigma ( \gamma a ^ { - 1 } , \gamma ^ { - 1 } ) , \gamma \chi ) } \\ & { = ( \gamma a ^ { - 1 } \gamma ^ { - 1 } , \gamma \chi ( \gamma a \gamma ^ { - 1 } ) ) , \gamma \chi ) \ensuremath { \, \mathrm { . } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \mathbf { \check { C } } } _ { \ell } = \left\{ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { \mathbf { 0 } } , } & { \ell = 0 } \\ { \boldsymbol { \mathbf { \check { C } } } _ { \mathrm { T G } _ { \ell } } + \boldsymbol { \mathbf { \check { S } } } _ { \ell } ^ { \nu _ { 2 } } \check { \boldsymbol { \mathbf { p } } } _ { \ell } \boldsymbol { \mathbf { \check { C } } } _ { \ell - 1 } ^ { \tau } \boldsymbol { \mathbf { \check { A } } } _ { \ell - 1 } ^ { - 1 } \check { \boldsymbol { \mathbf { r } } } _ { \ell } \boldsymbol { \mathbf { \check { A } } } _ { \ell } \boldsymbol { \mathbf { \check { S } } } _ { \ell } ^ { \nu _ { 1 } } , } & { 1 \le \ell \le L . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \exp \left( 2 \sum _ { k = 1 } ^ { d } \int _ { 0 } ^ { t } B ^ { k } ( x _ { 0 } + W _ { s } ) d W _ { s } ^ { k } - \frac { 4 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \| B ( x _ { 0 } + W _ { s } ) \| ^ { 2 } d s + \frac { 4 - 2 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \| B ( x _ { 0 } + W _ { s } ) \| ^ { 2 } d s \right) } \\ & { \leq e ^ { T \| B \| _ { \infty } ^ { 2 } } \exp \left( 2 \sum _ { k = 1 } ^ { d } \int _ { 0 } ^ { t } B ^ { k } ( x _ { 0 } + W _ { s } ) d W _ { s } ^ { k } - \frac { 4 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \| B ( x _ { 0 } + W _ { s } ) \| ^ { 2 } d s \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mu _ { 1 } ( m _ { i } , m _ { j } , m _ { k } ) } & { = } & { \sqrt { m _ { i } } \sqrt { m _ { j } } - \sqrt { m _ { j } } \sqrt { m _ { k } } + \sqrt { m _ { k } } \sqrt { m _ { i } } , } \\ { \mu _ { 2 } ( m _ { i } , m _ { j } , m _ { k } ) } & { = } & { m _ { i } m _ { j } + m _ { j } m _ { k } + m _ { k } m _ { i } - 2 m _ { i } \sqrt { m _ { j } } \sqrt { m _ { k } } , } \\ { \mu _ { 3 } ( m _ { i } , m _ { j } , m _ { k } ) } & { = } & { \mu _ { 1 } ( m _ { i } , m _ { j } , m _ { k } ) \, \mu _ { 1 } ( m _ { j } , m _ { k } , m _ { i } ) \, \mu _ { 1 } ( m _ { k } , m _ { i } , m _ { j } ) , } \\ { \mu _ { 4 } ( m _ { i } , m _ { j } , m _ { k } ) } & { = } & { \mu _ { 2 } ( m _ { i } , m _ { j } , m _ { k } ) \, \mu _ { 2 } ( m _ { j } , m _ { k } , m _ { i } ) \, \mu _ { 2 } ( m _ { k } , m _ { i } , m _ { j } ) , } \\ { \mu _ { 5 } ( m _ { i } , m _ { j } , m _ { k } ) } & { = } & { \mu _ { 3 } ( m _ { i } , m _ { j } , m _ { k } ) \, \mu _ { 4 } ( m _ { j } , m _ { k } , m _ { i } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { ( ( \partial _ { t } c ) ^ { n } , \chi _ { h } ) _ { \Omega } + a _ { \mathcal { D } } ( \boldsymbol { \mu } ^ { n } , \boldsymbol { \chi } _ { h } ) } & { = 0 , } & & { \forall \boldsymbol { \chi } _ { h } \in \boldsymbol { S } _ { h } , } \\ { ( \Phi ^ { \prime } ( c ^ { n } ) , \phi _ { h } ) _ { \Omega } + \kappa a _ { \mathcal { D } } ( \boldsymbol { c } ^ { n } , \boldsymbol { \phi } _ { h } ) } & { = ( \mu ^ { n } , \phi _ { h } ) _ { \Omega } , } & & { \forall \boldsymbol { \phi } _ { h } \in \boldsymbol { S } _ { h } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | B | \geq } & { | S _ { k } ( r ) | - { \binom { k } { 2 } } \left( 2 | \mathcal { E } | - 1 \right) | S _ { k - 1 } ( r ) | } \\ { \geq } & { | S _ { k - 1 } ( r ) | \cdot \left( \frac { 1 } { | \mathcal { E } | ^ { 2 / ( k - 1 ) } } | S _ { k - 1 } ( r ) | ^ { 1 / ( k - 1 ) } - 2 { \binom { k } { 2 } } | \mathcal { E } | + { \binom { k } { 2 } } \right) } \\ { \geq } & { | \mathcal { E } | ^ { - 2 } | S _ { k - 1 } ( r ) | \cdot \left( | S _ { 1 } ( r ) | - 2 { \binom { k } { 2 } } | \mathcal { E } | ^ { 3 } + { \binom { k } { 2 } } | \mathcal { E } | ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bf D } } & { = } & { \frac { \partial L _ { n l } } { \partial \mathcal { F } } \, \varepsilon _ { 0 } \, { \bf E } + \frac { \partial L _ { n l } } { \partial \mathcal { G } } \, c \, \varepsilon _ { 0 } \, { \bf B } \, , } \\ { { \bf H } } & { = } & { \frac { \partial L _ { n l } } { \partial \mathcal { F } } \, \frac { { \bf B } } { \mu _ { 0 } } - \frac { \partial L _ { n l } } { \partial \mathcal { G } } \, \frac { { \bf E } } { \mu _ { 0 } \, c } \, . } \end{array}
A ^ { ( 1 ) } \cdots A ^ { ( n ) } = \left[ \begin{array} { l l l } { p _ { 1 , 1 } ^ { ( n ) } } & { \cdots } & { p _ { 1 , d + 1 } ^ { ( n ) } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { p _ { d , 1 } ^ { ( n ) } } & { \cdots } & { p _ { d , d + 1 } ^ { ( n ) } } \\ { q _ { 1 } ^ { ( n ) } } & { \cdots } & { q _ { d + 1 } ^ { ( n ) } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } & { \int _ { \partial _ { - } M ^ { n } } \left[ \left( 1 - \frac { n \beta _ { 1 } } { n - 1 } \right) f - \frac { n } { 2 ( n - 1 ) } H \right] | \varphi | ^ { 2 } d A } \\ & { - \int _ { \partial _ { + } M ^ { n } } \left[ \left( 1 - \frac { n \beta _ { 1 } } { n - 1 } \right) f + \frac { n } { 2 ( n - 1 ) } H \right] | \varphi | ^ { 2 } d A } \\ { \ge } & { \int _ { M ^ { n } } \frac { n } { n - 1 } \left( \frac { 1 } { 4 c } | \nabla | \varphi | | ^ { 2 } + \frac { R } { 4 } | \varphi | ^ { 2 } - \gamma _ { n } | R ^ { E } | | \varphi | ^ { 2 } \right) d V } \\ & { + \int _ { M ^ { n } } \left\langle \varphi , \underbrace { \left( 1 - \frac { n \beta _ { 1 } } { n - 1 } \right) } _ { \beta _ { 2 } } f ^ { 2 } \varphi + \left( 1 - \frac { n \beta _ { 1 } } { n - 1 } \right) \nabla f \cdot \sigma \varphi \right\rangle d V . } \end{array}
\begin{array} { r } { q ( x _ { t } ) = \gamma + \sum _ { \ell = 1 } ^ { r } \Big ( \sum _ { { \boldsymbol k } \in \mathcal { K } } \psi _ { k _ { t } } ( x _ { t } ) \mathsf C _ { { \boldsymbol k } \ell } \Big ) ^ { 2 } , \; \; \mathsf C _ { { \boldsymbol k } \ell } = c _ { { \boldsymbol k } } \mathsf { P } _ { \sigma ( { \boldsymbol k } ) \ell } ^ { ( [ d ] \setminus [ t ] ) } \prod _ { i = 1 } ^ { t - 1 } \psi _ { k _ { i } } ( x _ { i } ) , \; \; \zeta = \gamma + p ( { \boldsymbol x } _ { [ t { - } 1 ] } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J ( G ^ { n _ { k } } ( \cdot , u _ { \cdot } ^ { n _ { k } } ) ) } & { = J _ { 1 } ^ { \tilde { \mu } } ( \tilde { u } ^ { n _ { k } } ) + J _ { 2 } ^ { \tilde { \mu } } ( G ^ { n _ { k } } ( \cdot , \tilde { u } _ { \cdot } ^ { n _ { k } } ) ) } \\ & { \rightarrow J _ { 1 } ^ { \tilde { \mu } } ( \tilde { u } ) + J _ { 2 } ^ { \tilde { \mu } } ( \hat { G } ( \cdot , \tilde { u } _ { \cdot } ) ) } \\ & { = J ( \hat { G } ( \cdot , u _ { \cdot } ^ { \hat { G } } ) ) } \\ & { = \operatorname* { i n f } _ { \mathfrak { g } \in \mathbb { A } } J ( \mathfrak { g } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { a ( \cdot , \cdot ; y ) : V ( y ) \times V ( y ) \rightarrow \mathbb { R } \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t } } \\ & { a ( \textbf { u } , \textbf { v } ; y ) : = \int _ { D ( y ) } \nu ( y ) \nabla \textbf { u } : \nabla \textbf { v } \ d \textbf { x } = \sum _ { i , j = 1 } ^ { d } \int _ { D ( y ) } \nu ( y ) \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { j } } \frac { \partial v _ { i } } { \partial x _ { j } } \ d \textbf { x } , } \\ & { b ( \cdot , \cdot ; y ) : V ( y ) \times Q ( y ) \rightarrow \mathbb { R } \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t ~ } } \\ & { b ( \textbf { v } , p ; y ) : = - \int _ { D ( y ) } ( \nabla \cdot \textbf { v } ) p \ d \textbf { x } d P = - \sum _ { i = 1 } ^ { d } \int _ { D ( y ) } \frac { \partial v _ { i } } { \partial x _ { i } } p \ d \textbf { x } , } \\ & { F ( \cdot ; y ) : V ( y ) \rightarrow \mathbb { R } \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t } } \\ & { F ( \textbf { v } ; y ) : = \int _ { D ( y ) } \textbf { f } ( y ) \cdot \textbf { v } + \int _ { \partial D _ { N } ( y ) } \textbf { h } ( y ) \cdot \textbf { v } - a ( \textbf { u } _ { g _ { i n } } ( y ) , \textbf { v } ) = F _ { s } ( \textbf { v } ; y ) + F ^ { 0 } ( \textbf { v } ; y ) , } \\ & { \mathrm { ~ w h e r e ~ } F ^ { 0 } ( \textbf { v } ; y ) = - a ( \textbf { u } _ { g _ { i n } } ( y ) , \textbf { v } ) \mathrm { ~ a n d ~ } F _ { s } ( \textbf { v } ; y ) = F ( \textbf { v } ; y ) - F ^ { 0 } ( \textbf { v } ; y ) , } \\ & { G ( \cdot ; y ) : Q ( y ) \rightarrow \mathbb { R } \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t ~ } } \\ & { G ( q ; y ) : = - b ( \textbf { u } _ { g _ { i n } } ( y ) , q ) . } \end{array}
\widetilde { \mathbf { v } } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } \gets \frac { 1 } { 1 - \alpha _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } } \left[ \mathbf { f } _ { p } ^ { \mathrm { i n } } \left( \widetilde { \mathbf { p } } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } , \widetilde { \mathbf { p } } _ { k } ^ { \mathrm { o u t } } , \mathbf { w } _ { p } ^ { \mathrm { i n } } , \gamma _ { p k } ^ { \mathrm { o u t } } , \gamma _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } \right) - \alpha _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } \widetilde { \mathbf { p } } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } \right]
{ \cal A } _ { N } ^ { S T P S } = \left\{ | \vec { \psi } \; \rangle ^ { ( \Sigma N ) } \in { \cal H } _ { N } \, : \, | \vec { \psi } \rangle ^ { ( \Sigma N ) } = \frac { 1 } { { \cal N } ( \vec { \psi } ) ^ { ( \Sigma N ) } } \Sigma | \vec { \psi } \rangle = \frac { 1 } { { \cal N } ( \vec { \psi } ) ^ { ( \Sigma N ) } } \frac { 1 } { N ! } \sum _ { \sigma \in S _ { N } } | \psi _ { \sigma ( 1 ) } \rangle \otimes \stackrel { N } { \cdots } \otimes | \psi _ { \sigma ( N ) } \rangle \right\} \subset { \cal H } _ { N } \, ,
P _ { Q _ { a } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \operatorname* { m i n } { ( 1 , [ 1 - ( 1 - Q _ { a } ) \beta \Delta F _ { S } ] ^ { \frac { 1 } { 1 - Q _ { a } } } ) } , } & { \mathrm { i f } \ Q _ { a } \ge 1 } \\ { 0 , } & { \mathrm { i f } \ Q _ { a } < 1 \mathrm { a n d } \ [ 1 - ( 1 - Q _ { a } ) \beta \Delta F _ { S } ] < 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \Vert D _ { x } \varphi ( y , x ) \Vert } & { \leq \Vert D _ { x } \varphi ( y _ { 0 } , x _ { 0 } ) \Vert + \int _ { 0 } ^ { 1 } \Vert D _ { y } D _ { x } \varphi ( ( 1 - s ) y _ { 0 } + s y , x _ { 0 } ) \Vert \Vert ( y - y _ { 0 } ) \Vert \mathrm { d } s } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { 1 } \Vert D _ { x } ^ { 2 } \varphi ( y , ( 1 - s ) x _ { 0 } + s x ) \Vert \Vert ( x - x _ { 0 } ) \Vert \mathrm { d } s } \\ & { \leq M _ { y } ( L _ { x } + K _ { x y } \Vert y - y _ { 0 } \Vert + K _ { x x } \Vert x - x _ { 0 } \Vert ) , \ \forall ( y , x ) \in \mathrm { B } ( ( y _ { 0 } , x _ { 0 } ) , R _ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { \mathbb { R } \setminus \{ 0 \} \times \Delta ( M ) } ^ { * } ( K _ { X } | _ { \mathbb { R } \setminus \{ 0 \} \times \Delta ( X ) } ) } & { = ( q _ { \mathbb { R } \setminus \{ 0 \} \times M \times M } ^ { * } K _ { X } ) | _ { \mathbb { R } \setminus \{ 0 \} \times \Delta ( M ) } } \\ & { = \sum _ { \gamma \in \Gamma } ( \gamma \cdot K ) | _ { \mathbb { R } \setminus \{ 0 \} \times \Delta ( M ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { u ( x _ { 1 } ^ { 0 } , x _ { 2 } ^ { j } ) = u ( x _ { 1 } ^ { n _ { X } - 1 } , x _ { 2 } ^ { j } ) , \ u ( x _ { 1 } ^ { n _ { X } + 1 } , x _ { 2 } ^ { j } ) = u ( x _ { 1 } ^ { 2 } , x _ { 2 } ^ { j } ) , \ u ( x _ { 1 } ^ { i } , x _ { 2 } ^ { 0 } ) = u ( x _ { 1 } ^ { i } , x _ { 2 } ^ { n _ { Y } - 1 } ) , } \\ & { u ( x _ { 1 } ^ { i } , x _ { 2 } ^ { n _ { Y } + 1 } ) = u ( x _ { 1 } ^ { i } , x _ { 2 } ^ { 2 } ) , \ u ( x _ { 1 } ^ { 1 } , x _ { 2 } ^ { j } ) = u ( x _ { 1 } ^ { n _ { X } } , x _ { 2 } ^ { j } ) , \quad \ u ( x _ { 1 } ^ { i } , x _ { 2 } ^ { 1 } ) = u ( x _ { 1 } ^ { i } , x _ { 2 } ^ { n _ { Y } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { \operatorname* { m i n } } } & { \left( h _ { 1 } \eta _ { 1 } \sqrt { P _ { 1 } + P _ { 2 , 1 } } \Lambda _ { 1 } \right) } \\ { = } & { \sqrt { \frac { 6 ( P _ { 1 } + P _ { 2 , 1 } ) | h _ { 1 } | ^ { 2 } } { 2 ^ { m _ { 1 } + m _ { 2 , 1 } } - 1 } } \overset { \geq } 1 , } \\ { d _ { \operatorname* { m i n } } } & { \left( h _ { 2 } \eta _ { 1 } \sqrt { 2 ^ { m _ { 1 } } ( P _ { 1 } + P _ { 2 , 1 } ) } \Lambda _ { 2 , 1 } \right) } \\ { = } & { \sqrt { \frac { 6 ( P _ { 1 } + P _ { 2 , 1 } ) | h _ { 2 } | ^ { 2 } \cdot 2 ^ { m _ { 1 } } } { 2 ^ { m _ { 1 } + m _ { 2 , 1 } } - 1 } } \overset { \geq } 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \theta _ { r } } { d \tau } = - 2 \Tilde { \lambda } _ { 1 } \frac { ( 1 - 2 \rho _ { 0 } ) ( 1 - \rho _ { 0 } ) - f _ { z } ^ { 2 } } { \sqrt { ( 1 - \rho _ { 0 } ) ^ { 2 } - f _ { z } ^ { 2 } } } } & { \cos \theta _ { r } + 2 q ^ { \prime } } \\ & { - 2 \Tilde { \lambda } _ { 1 } ( 1 - 2 \rho _ { 0 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { n } _ { 3 } ^ { ( 1 ) } = } & { \; Z _ { 1 , 1 3 } ( i ( \omega k _ { 4 } ) ^ { - 1 } - i ( \omega k _ { 4 } ) ^ { 1 } ) + Z _ { 1 , 3 1 } ( i \omega ^ { 2 } ( \omega k _ { 4 } ) ^ { - 1 } - i \omega ^ { 1 } ( \omega k _ { 4 } ) ^ { 1 } ) } \\ & { + Z _ { 2 , 2 3 } ( i ( \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) ^ { - 1 } - i ( \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) ^ { 1 } ) + Z _ { 2 , 3 2 } ( i \omega ^ { 1 } ( \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) ^ { - 1 } - i \omega ^ { 2 } ( \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) ^ { 1 } ) + O ( t ^ { - 1 } \ln t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha ( p ) } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { k - 1 } 2 n _ { j } \int _ { r _ { j } } ^ { r _ { j - 1 } } \frac { p } { ( r ^ { \prime } ) ^ { 2 } \beta ( r ^ { \prime } , p ) } \operatorname { d } \! r ^ { \prime } + 2 n _ { k } \int _ { R ^ { * } } ^ { r _ { k - 1 } } \frac { p } { ( r ^ { \prime } ) ^ { 2 } \beta ( r ^ { \prime } , p ) } \operatorname { d } \! r ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \| T Q ^ { k + 1 } - Q ^ { k + 1 } \| _ { \mu } } & { = } & { \| T Q ^ { k + 1 } - T Q ^ { k } + T _ { \beta } Q ^ { k } - Q ^ { k + 1 } + ( 1 - \beta ) ( T Q ^ { k } - Q ^ { k } ) \| _ { \mu } } \\ & { \leq } & { \| T Q ^ { k + 1 } - T Q ^ { k } \| _ { \mu } + \| T _ { \beta } Q ^ { k } - Q ^ { k + 1 } \| _ { \mu } + ( 1 - \beta ) \| T Q ^ { k } - Q ^ { k } \| _ { \mu } } \\ & { \leq } & { \gamma \| Q ^ { k + 1 } - Q ^ { k } \| _ { \mu } + \| T _ { \beta } Q ^ { k } - Q ^ { k + 1 } \| _ { \mu } + ( 1 - \beta ) \| T Q ^ { k } - Q ^ { k } \| _ { \mu } } \\ & { \overset { ( i ) } { \leq } } & { \gamma \beta ( 1 + C ) \| T Q ^ { k } - Q ^ { k } \| _ { \mu } + \beta C \| T Q ^ { k } - Q ^ { k } \| _ { \mu } + ( 1 - \beta ) \| T Q ^ { k } - Q ^ { k } \| _ { \mu } } \\ & { \leq } & { \left( 1 - \frac { ( 1 - \gamma ) \beta } { 2 } \right) \| T Q ^ { k } - Q ^ { k } \| _ { \mu } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { z _ { \Delta + 1 } = z _ { \Delta } } & { \forall 1 \leq \Delta < k } \\ & { z _ { \Delta + 1 } = z _ { \Delta } B _ { { l _ { k } } - 1 } } & { \forall k \leq \Delta < \delta _ { l _ { k } } } \\ & { \ \ \ \vdots } \\ & { z _ { \Delta + 1 } = z _ { \Delta } B _ { L } } & { \forall \delta _ { L } \leq \Delta } \\ & { \sum _ { \Delta = 1 } ^ { \infty } z _ { \Delta } = 1 } & \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { c o v } [ U , X ] } & { = \operatorname { E } [ ( U - \operatorname { E } [ U ] ) ( X - \operatorname { E } [ X ] ) ] = \operatorname { E } [ U ( X - { \frac { 1 } { 2 } } ) ] } \\ & { = \operatorname { E } [ X ^ { 2 } Y - { \frac { 1 } { 2 } } X Y ] = \operatorname { E } [ ( X ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } X ) Y ] = \operatorname { E } [ ( X ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } X ) ] \operatorname { E } [ Y ] = 0 } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \overline { { c } } _ { i j } } & { = \frac { c _ { i } + c _ { j } } { 2 } \, , } \\ { \overline { { \rho } } _ { i j } } & { = \frac { \rho _ { i } + \rho _ { j } } { 2 } \, , } \\ { \mu _ { i j } } & { = h \mathbf { u } _ { i j } \cdot \frac { \mathbf { r } _ { i j } } { \vert \mathbf { r } _ { i j } \vert ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } } \, , \: \: \: \eta ^ { 2 } = 0 . 0 1 h ^ { 2 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \tilde { \Phi } ^ { ( \mu , \alpha ) } ( R _ { 1 } , R _ { 2 } | { p _ { Z K _ { 1 } K _ { 2 } } } ) } \\ & { = \Phi ^ { ( \mu ) } ( R _ { 1 } , R _ { 2 } , q _ { \alpha , \mu } ^ { * } | { p _ { Z K _ { 1 } K _ { 2 } } } ) + \frac { \bar { \alpha } } { \alpha } D ( q _ { Z , \alpha , \mu } ^ { * } | | p _ { Z } ) } \\ & { \geq \Phi ^ { ( \mu ) } ( R _ { 1 } , R _ { 2 } , q _ { \alpha , \mu } ^ { * } | { p _ { Z K _ { 1 } K _ { 2 } } } ) } \\ & { \stackrel { \mathrm { ( a ) } } { \geq } \Phi ^ { ( \mu ) } ( R _ { 1 } , R _ { 2 } , \hat { q } _ { \alpha , \mu } | { p _ { Z K _ { 1 } K _ { 2 } } } ) - \tau \log \frac { | { \cal X } _ { 1 } | ^ { 2 } | { \cal X } _ { 2 } | ^ { 2 } | { \cal Z } | ^ { 1 2 } } { \tau ^ { 1 2 } } } \\ & { \stackrel { \mathrm { ( b ) } } { \geq } { \Phi } ^ { ( \mu ) } ( R _ { 1 } , R _ { 2 } | { p _ { Z K _ { 1 } K _ { 2 } } } ) - \tau \log \frac { | { \cal X } _ { 1 } | ^ { 2 } | { \cal X } _ { 2 } | ^ { 2 } | { \cal Z } | ^ { 1 2 } } { \tau ^ { 1 2 } } } \\ & { \stackrel { \mathrm { ( c ) } } { = } \Phi ^ { ( \mu ) } ( R _ { 1 } , R _ { 2 } | { p _ { Z K _ { 1 } K _ { 2 } } } ) - c _ { 1 } \sqrt { \frac { \alpha } { \bar { \alpha } } } \log \left( c _ { 2 } \frac { \bar { \alpha } } { \alpha } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( \partial _ { x } ^ { - } \zeta ^ { x } ) _ { i , j } = \left\{ \begin{array} { l l } { { \zeta ^ { x } } _ { 1 , j } , } & { \mathrm { i f ~ i = 1 ~ } , } \\ { { \zeta ^ { x } } _ { i , j } - { \zeta ^ { x } } _ { i - 1 , j } , } & { \mathrm { i f ~ 1 < i < n _ x ~ } , } \\ { - { \zeta ^ { x } } _ { n _ { x } - 1 , j } , } & { \mathrm { i f ~ i = n _ x ~ } , } \end{array} \right. } \\ & { ( \partial _ { y } ^ { - } { \zeta ^ { y } } ) _ { i , j } = \left\{ \begin{array} { l l } { { \zeta ^ { y } } _ { i , 1 } , } & { \mathrm { i f ~ j = 1 ~ } , } \\ { { \zeta ^ { y } } _ { i , j } - { \zeta ^ { y } } _ { i , j - 1 } , } & { \mathrm { i f ~ 1 < j < n _ y ~ } , } \\ { - { \zeta ^ { y } } _ { i , n _ { y } - 1 } , } & { \mathrm { i f ~ j = n _ y ~ } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( { \mathcal L } _ { 1 } \phi ) ( z ) } & { = } & { \phi _ { \theta } ( z ) = 3 \int _ { 0 } ^ { + \infty e ^ { i \theta } } \frac { e ^ { - \frac { \xi } { z } } } { \left( 1 + \frac { i \, \sqrt { 3 } } { 3 } \, \xi \right) ^ { 5 / 2 } } \, d \xi } \\ & { = } & { 3 \, ( - i \, \sqrt { 3 } ) ^ { - 5 / 2 } \int _ { 0 } ^ { + \infty \, e ^ { i \theta } } \frac { e ^ { - \frac { \xi } { z } } } { \left( \xi - i \, \sqrt { 3 } \right) ^ { 5 / 2 } } \, d \xi , } \\ { ( { \mathcal L } _ { 1 } \varphi ) ( z ) } & { = } & { \varphi _ { \theta } ( z ) = 3 \int _ { 0 } ^ { + \infty e ^ { i \theta } } \frac { e ^ { - \frac { \xi } { z } } } { \left( 1 - \frac { i \, \sqrt { 3 } } { 3 } \, \xi \right) ^ { 5 / 2 } } \, d \xi } \\ & { = } & { 3 \, ( i \, \sqrt { 3 } ) ^ { - 5 / 2 } \int _ { 0 } ^ { + \infty \, e ^ { i \theta } } \frac { e ^ { - \frac { \xi } { z } } } { \left( \xi + i \, \sqrt { 3 } \right) ^ { 5 / 2 } } \, d \xi } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } ( { \mathcal { R } } ^ { ( 1 ) } ) = } & { \ c ^ { 2 } \mathrm { V a r } \left( r _ { 1 } \mathcal { N } ^ { ( 1 1 ) } \mathbb { E } \left[ \frac { 1 } { \mathcal { D } ^ { ( 1 ) } } \right] + r _ { 2 } \mathcal { N } ^ { ( 1 2 ) } \mathbb { E } \left[ \frac { 1 } { \mathcal { D } ^ { ( 2 ) } } \right] \right) } \\ & { + c ^ { 2 } \mathbb { E } \left[ \mathcal { N } ^ { ( 1 1 ) } \mathrm { V a r } \left( \frac { { \mathcal { R } } ^ { ( 1 ) } } { \mathcal { D } ^ { ( 1 ) } } \right) + \mathcal { N } ^ { ( 1 2 ) } \mathrm { V a r } \left( \frac { { \mathcal { R } } ^ { ( 2 ) } } { \mathcal { D } ^ { ( 2 ) } } \right) \right] + ( 1 - c ) ^ { 2 } \mathrm { V a r } ( \mathcal { Q } ^ { ( 1 ) } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { \epsilon } \left( p _ { X } \cdot ( \lambda p _ { Y | X } ^ { \prime } + \bar { \lambda } p _ { Y | X } ^ { \prime \prime } ) \right) } & { \geq I ( Y ; U ) } \\ & { = I ( Y ; U , E ) } \\ & { \geq I ( Y ; U | E ) } \\ & { = \lambda I ( Y ; U | E = 1 ) + \bar { \lambda } I ( Y ; U | E = 0 ) } \\ & { = \lambda I ( Y ; W ) + \bar { \lambda } I ( Y ; V ) } \\ & { = \lambda G _ { \epsilon } ( p _ { X } \cdot p _ { Y | X } ^ { \prime } ) + \bar { \lambda } G _ { \epsilon } ( p _ { X } \cdot p _ { Y | X } ^ { \prime \prime } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { d e t } \left( \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \mathbf { e } ( \mathbf { v } ) \otimes \mathbf { e } ( \mathbf { v } ) \frac { e ^ { - \frac { | \mathbf { v } | ^ { 2 } } { 2 } } } { \mathrm { i } \tau \mathbf { k } \cdot \mathbf { v } - z } \, d \mathbf { v } - \mathrm { I d } \right) } \\ & { \qquad = \operatorname* { d e t } \left( \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathbf { Q } _ { \mathbf { k } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \mathbf { e } ( \mathbf { w } ) \otimes \left( \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathbf { Q } _ { \mathbf { k } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \mathbf { e } ( \mathbf { w } ) \right) \frac { e ^ { - \frac { | \mathbf { w } | ^ { 2 } } { 2 } } } { \mathrm { i } \tau | \mathbf { k } | w _ { 1 } - z } \, d \mathbf { w } - \mathrm { I d } \right) } \\ & { \qquad = \operatorname* { d e t } \left( \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \mathbf { e } ( \mathbf { w } ) \otimes \mathbf { e } ( \mathbf { w } ) \frac { e ^ { - \frac { | \mathbf { w } | ^ { 2 } } { 2 } } } { \mathrm { i } \tau | \mathbf { k } | w _ { 1 } - z } \, d \mathbf { w } - \mathrm { I d } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { \mathcal { Y } } { y ^ { \alpha } \Big [ ( 1 + y ) ^ { \mu } \| \nabla \mathcal { U } ^ { \mathcal { Y } } ( y ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } \! \! + \! ( 1 + y ) ^ { \mu } \! \| \rho ( \cdot , y ) ^ { - 1 } \mathcal { U } ^ { \mathcal { Y } } ( y ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } \Big ] \, d y } \leq C \operatorname* { m i n } ( s ^ { - 1 } , 1 ) ^ { 2 } \left\| f \right\| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \cos ^ { 2 } ( \omega ) = 1 : \quad \quad } & { = ( A + B ) + \beta ^ { 2 } + 2 \beta \sqrt { ( A + B ) } = \Bigl ( \sqrt { A + B } + \beta ^ { 2 } \Bigr ) ^ { 2 } } \\ { \sin ^ { 2 } ( \omega ) = 1 : \quad \quad } & { = A + ( B + \beta ^ { 2 } ) + 2 \sqrt { A ( B + \beta ^ { 2 } ) } = \Bigl ( \sqrt { A } + \sqrt { B + \beta ^ { 2 } } \Bigr ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { n } { 3 } + 1 } & { > | O + O | + \left| 4 \! \cdot \! B _ { 1 } ^ { \mathrm { L } , 0 ( 3 ) } \right| + \left| 4 \! \cdot \! B _ { 1 } ^ { \mathrm { L } , 1 ( 3 ) } \right| + \left| 4 \! \cdot \! B _ { 1 } ^ { \mathrm { L } , 2 ( 3 ) } \right| + \left| 3 \! \cdot \! B _ { 1 } ^ { \mathrm { R } , 2 ( 4 ) } \right| } \\ & { > \frac { 3 \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| } { 2 } - 3 + \frac { | B _ { 1 } | } { 2 } - 6 , } \end{array}
f _ { x _ { 0 } } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l c l } { 2 ( \tau ( x ) - \tau ( x _ { 0 } ) - \alpha \delta _ { \tau _ { 0 } } ( x ) ) } & & { \mathrm { ~ i f ~ } \, \, | \tau ( x ) - \tau ( x _ { 0 } ) | \leq 2 \alpha \delta _ { \tau _ { 0 } } ( x ) } \\ { \tau ( x ) - \tau ( x _ { 0 } ) } & & { \mathrm { ~ i f ~ } \, \, \tau ( x ) - \tau ( x _ { 0 } ) > 2 \alpha \delta _ { \tau _ { 0 } } ( x ) } \\ { 3 ( \tau ( x ) - \tau ( x _ { 0 } ) ) } & & { \mathrm { ~ i f ~ } \, \, \tau ( x ) - \tau ( x _ { 0 } ) < - 2 \alpha \delta _ { \tau _ { 0 } } ( x ) } \end{array} \right.
\left\{ \begin{array} { l l } { \textbf { ( D r i v e S y s t e m ) } } \\ { \dot { x } _ { 1 d } } & { = { x } _ { 1 d } ( 1 - { x } _ { 2 d } + { r } { x } _ { 1 d } - { p } { x } _ { 3 d } { x } _ { 1 d } ) , } \\ { \dot { x } _ { 2 d } } & { = { x } _ { 2 d } ( - 1 + { x } _ { 1 d } ) , } \\ { \dot { x } _ { 3 d } } & { = { x } _ { 3 d } ( - { q } + { p } { x } _ { 1 d } ^ { 2 } ) , } \\ { \textbf { ( R e s p o n s e S y s t e m ) } } \\ { \dot { x } _ { 2 r } } & { = { x } _ { 2 d } ( - 1 + { x } _ { 1 d } ) + { u } _ { 1 } , } \\ { \dot { x } _ { 3 r } } & { = { x } _ { 3 r } ( - q + { p } { x } _ { 1 d } ^ { 2 } ) + { u } _ { 2 } . } \end{array} \right\}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \int \displaylimits _ { \Lambda ( t ) } ^ { L } { h ( x , t ) \; \mathrm { d } x } = \int \displaylimits _ { \Lambda ( t ) } ^ { L } { \partial _ { t } h \; \mathrm { d } x } - \dot { \Lambda } \; h | _ { x = \Lambda } } & { = - \int \displaylimits _ { \Lambda ( t ) } ^ { L } { \partial _ { x } ( h ^ { 3 } \partial _ { x } ^ { 3 } h ) \; \mathrm { d } x } - \dot { \Lambda } \; h | _ { x = \Lambda } } \\ & { = - ( h ^ { 3 } \partial _ { x } ^ { 3 } h ) | _ { x = \Lambda } - \dot { \Lambda } \; h | _ { x = \Lambda } = - \dot { \Lambda } \; h | _ { x = \Lambda } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \cos \theta _ { S T } ( g ) - \cos \theta _ { S T } ( \widetilde { g } ) } & { = \widetilde { g } ( n _ { \widetilde { g } } ^ { ( 1 ) } , n _ { \widetilde { g } } ^ { ( 2 ) } ) - g ( n _ { g } ^ { ( 1 ) } , n _ { g } ^ { ( 2 ) } ) } \\ & { = \widetilde { g } ( n _ { \widetilde { g } } ^ { ( 1 ) } - n _ { g } ^ { ( 1 ) } , n _ { \widetilde { g } } ^ { ( 2 ) } - n _ { g } ^ { ( 2 ) } ) + \widetilde { g } ( n _ { \widetilde { g } } ^ { ( 1 ) } - n _ { g } ^ { ( 1 ) } , n _ { g } ^ { ( 2 ) } ) + \widetilde { g } ( n _ { g } ^ { ( 1 ) } , n _ { \widetilde { g } } ^ { ( 2 ) } - n _ { g } ^ { ( 2 ) } ) } \\ & { \quad + \widetilde { g } ( n _ { g } ^ { ( 1 ) } , n _ { g } ^ { ( 2 ) } ) - g ( n _ { g } ^ { ( 1 ) } , n _ { g } ^ { ( 2 ) } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { - R _ { 2 , n } ( x ) } & { = } & { \sum _ { j \in { \cal R } _ { 0 , n } } P _ { 0 } S _ { Q _ { 0 , n } } ( \tilde { \phi } _ { j } ) S _ { Q _ { 0 , n } } ( Q _ { n } - \tilde { Q } _ { n } ) \phi _ { j } ^ { * } ( x ) } \\ & { } & { + O _ { P } \left( \sum _ { j \in { \cal R } _ { 0 , n } } \phi _ { j } ^ { * } ( x ) r ( d , J _ { 0 , n } ) ^ { 2 ( k + 1 ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \widetilde { f } _ { t } ^ { s , e } - \widetilde { g } _ { t } ^ { s , e } } \\ { = } & { \sqrt { \frac { e - t } { ( e - s ) ( t - s ) } } \Big ( \sum _ { i = s + 1 } ^ { t } f _ { i } - \sum _ { i = s + 1 } ^ { \eta _ { k } } f _ { \eta _ { k } } - \sum _ { i = \eta _ { k } + 1 } ^ { t } f _ { i } \Big ) } \\ { - } & { \sqrt { \frac { t - s } { ( e - s ) ( e - t ) } } \Big ( \sum _ { i = t + 1 } ^ { e } f _ { i } - \sum _ { i = t + 1 } ^ { e } f _ { i } \Big ) } \\ { = } & { \sqrt { \frac { e - t } { ( e - s ) ( t - s ) } } \Big ( \eta _ { k } - s \Big ) \Big ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k - 1 } } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { g } \le \; } & { \frac { ( 1 - \tau ) \left( \sqrt { K _ { H } ^ { 2 } + 4 L _ { H } \epsilon _ { g } } - K _ { H } \right) ^ { 2 } } { 4 8 L _ { H } } , } \\ { \delta _ { H } \le \; } & { \operatorname* { m i n } \Bigg ( \frac { 1 - \tau } { 1 2 } \left( \sqrt { K _ { H } ^ { 2 } + 4 L _ { H } \epsilon _ { g } } - K _ { H } \right) , \frac { 1 - \tau } { 3 } \nu \epsilon _ { H } \Bigg ) . } \end{array}
m \left( t \right) : = \operatorname* { m i n } _ { x \in \left[ 0 , \ell \left( t \right) \right] } \left\{ \varphi ^ { \prime } ( t - x ) , \varphi ^ { \prime } ( t + x ) \right\} \ \mathrm { a n d ~ } M \left( t \right) : = \operatorname* { m a x } _ { x \in \left[ 0 , \ell \left( t \right) \right] } \left\{ \varphi ^ { \prime } ( t - x ) , \varphi ^ { \prime } ( t + x ) \right\} .
\| \hat { \mathbf { Q } } - \bar { \mathbf { Q } } \| _ { \operatorname* { m a x } } \leq \| \mathbf { M } _ { 1 } \| _ { \operatorname* { m a x } } + \| \mathbf { M } _ { 2 } \| _ { \operatorname* { m a x } } + \| \mathbf { M } _ { 3 } \| _ { \operatorname* { m a x } } + \| \mathbf { M } _ { 4 } - \mathbf { Q } ^ { * } \| _ { \operatorname* { m a x } } + \| \mathbf { Q } ^ { * } - \bar { \mathbf { Q } } \| _ { \operatorname* { m a x } } ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial ( \rho u ^ { 2 } ) } { \partial x } + \frac { \partial ( \rho u v ) } { \partial y } } & { = } & { \frac { \partial \Sigma _ { 1 1 } } { \partial x } + \frac { \partial \Sigma _ { 2 1 } } { \partial y } , } \\ { \frac { \partial ( \rho u v ) } { \partial x } + \frac { \partial ( \rho v ^ { 2 } ) } { \partial y } } & { = } & { \frac { \partial \Sigma _ { 2 1 } } { \partial x } + \frac { \partial \Sigma _ { 2 2 } } { \partial y } , } \end{array}
s _ { k } ^ { ( \ell ) } = \frac 8 3 ( - 1 ) ^ { \ell } \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { - 1 } { ( \ell + 1 ) ( \ell + 2 ) } } & { \quad \mathrm { f o r } \quad \ell < 3 } \\ { \frac { - 1 } { ( \ell + 1 ) ( \ell + 2 ) } + ( - 1 ) ^ { k } \frac { 1 } { ( \ell - 2 ) ( \ell - 1 ) } } & { \quad \mathrm { f o r } \quad \ell \geq 3 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \widetilde { \mathcal { L } } _ { ( \gamma , \theta ) \mathrm { N G } } } & { = - \alpha e ^ { \mathrm { i } \theta } \sqrt { T ^ { 2 } - T \left( \cosh ( \gamma ) x _ { 1 } + \sinh ( \gamma ) \sqrt { 2 x _ { 2 } - x _ { 1 } ^ { 2 } } \right) - \frac { 1 } { 2 } \left( x _ { 2 } - x _ { 1 } ^ { 2 } \right) } } \\ & { \qquad + \beta \sqrt { x _ { 2 } - x _ { 1 } ^ { 2 } } \, . } \end{array}
\displaystyle \xi _ { \mathbf { \varepsilon } } ( U , \tilde { U } ) : = \star _ { \mathbf { \varepsilon } } \, \big ( 1 - \frac { \big ( \operatorname* { d e t } \, ( { \boldsymbol { p } } _ { i } \, { \scriptstyle { [ \mathfrak { A } _ { \mathbf { \varepsilon } } ] } } \, \tilde { \boldsymbol { p } } _ { j } ) _ { _ { i j } } \big ) ^ { 2 } } { \big ( \operatorname* { d e t } \, ( { \boldsymbol { p } } _ { i } \, { \scriptstyle { [ \mathfrak { A } _ { \mathbf { \varepsilon } } ] } } \, { \boldsymbol { p } } _ { j } ) _ { _ { i j } } \big ) \big ( \operatorname* { d e t } \, ( { \tilde { \boldsymbol { p } } } _ { i } \, { \scriptstyle { [ \mathfrak { A } _ { \mathbf { \varepsilon } } ] } } \, { \tilde { \boldsymbol { p } } } _ { j } ) _ { _ { i j } } \big ) } \big )
d W _ { t } = \sqrt { 2 } d B _ { t } + \frac { 1 } { g _ { t } ( 0 ) - W _ { t } } + 2 \frac { \mathrm { I m } \frac { \sqrt { g _ { t } ( g ( z ) ) - g _ { t } ( 0 ) } } { \left( g _ { t } ( g ( z ) ) - W _ { t } \right) ^ { 2 } } } { \mathrm { I m } \frac { \sqrt { g _ { t } ( g ( z ) ) - g _ { t } ( 0 ) } } { g _ { t } ( g ( z ) ) - W _ { t } } } d t , \quad W _ { 0 } = \mathcal { X } .
\big | \big | \prec \frac { 1 } { \eta ^ { 2 } } \left( 1 + \frac { \psi _ { 4 } ^ { \mathrm { a v } } } { N \eta } \right) + \int _ { \mathbf { B } _ { \ell \kappa _ { 0 } } } \frac { \big | \langle G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } ^ { w _ { 1 } , w _ { 2 } } G _ { 2 } \mathring { A } _ { 2 } ^ { w _ { 2 } , w _ { 1 } } G ( x + \mathrm { i } \tilde { \eta } ) \mathring { A } _ { 1 } ^ { w _ { 1 } , w _ { 2 } } G _ { 2 } ( \mathring { A } _ { 2 } ^ { \prime } ) ^ { w _ { 2 } , w _ { 1 } } \rangle \big | } { ( x - e _ { 1 } ) ^ { 2 } + \eta _ { 1 } ^ { 2 } } \mathrm { d } x \, .
\begin{array} { r l } { G ^ { ( 3 ) } ( \mathbf { r _ { 1 } } } & { , \mathbf { r _ { 2 } } , \mathbf { r _ { 3 } } ) = { G ^ { ( 1 ) } } ( \mathbf { r _ { 1 } , r _ { 1 } } ) { G ^ { ( 1 ) } } ( \mathbf { r _ { 2 } , r _ { 2 } } ) { G ^ { ( 1 ) } } ( \mathbf { r _ { 3 } , r _ { 3 } } ) } \\ & { \pm | { G ^ { ( 1 ) } } ( \mathbf { r _ { 1 } , r _ { 2 } } ) | ^ { 2 } { G ^ { ( 1 ) } } ( \mathbf { r _ { 3 } , r _ { 3 } } ) } \\ & { \pm | { G ^ { ( 1 ) } } ( \mathbf { r _ { 2 } , r _ { 3 } } ) | ^ { 2 } { G ^ { ( 1 ) } } ( \mathbf { r _ { 1 } , r _ { 1 } } ) } \\ & { \pm | { G ^ { ( 1 ) } } ( \mathbf { r _ { 3 } , r _ { 1 } } ) | ^ { 2 } { G ^ { ( 1 ) } } ( \mathbf { r _ { 2 } , r _ { 2 } } ) } \\ & { + 2 \mathrm { R e } \left\{ ( { G ^ { ( 1 ) } } ( \mathbf { r _ { 1 } , r _ { 2 } } ) { G ^ { ( 1 ) } } ( \mathbf { r _ { 2 } , r _ { 3 } } ) { G ^ { ( 1 ) } } ( \mathbf { r _ { 3 } , r _ { 1 } } ) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| E \| } & { \; \leq \; \kappa \, \| [ H , D _ { 0 } ] \| \; + \; 2 \, \| H ^ { s } \| \, \operatorname* { m a x } \big \{ \| [ H , G _ { \rho } ( | D _ { 0 } | ) ] \| , \| H , G _ { \rho } ( | D _ { 0 } ^ { * } | ) ] \| \big \} } \\ & { \; \leq \; \kappa \, \| [ H , D _ { 0 } ] \| \; + \; \frac { 1 6 } { \rho } \, \| H ^ { s } \| \, \operatorname* { m a x } \big \{ \| [ H , | D _ { 0 } | ] \| , \| H , | D _ { 0 } ^ { * } | ] \| \big \} \; . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathfrak { a } _ { 0 } : = - \frac { \partial _ { x } ^ { - 1 } ( \mathfrak { d } _ { 0 } - M _ { x } ( \mathfrak { d } _ { 0 } ) ) } { \mathtt { m } _ { \alpha } \partial _ { \xi } \lambda _ { \alpha } ( \xi ) } , \quad \mathfrak { a } _ { k } : = - \frac { \partial _ { x } ^ { - 1 } ( ( \mathfrak { d } _ { k } - M _ { x } ( \mathfrak { d } _ { k } ) ) } { \mathtt { m } _ { \alpha } \partial _ { \xi } \lambda _ { \alpha } ( \xi ) } , \quad \mathfrak { r } _ { - 2 } : = r _ { \mathfrak { p } _ { M _ { 2 } } , \mathfrak { a } } + \mathfrak { r } _ { \mathtt { N } _ { \alpha } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { N } } & { = \sum _ { k \in G _ { N } } { a _ { k } x _ { N , k } } } \\ & { = \sum _ { k \in G _ { N } } { a _ { k } \left[ e _ { k } + \sum _ { n = 1 } ^ { + \infty } { \left[ \frac { 1 } { w _ { k } w _ { \varphi ( k ) } \cdots w _ { \varphi ^ { n N - 1 } ( k ) } } \right] e _ { \varphi ^ { n N } ( k ) } } + \sum _ { n = 1 } ^ { + \infty } { \left[ w _ { \varphi ^ { - 1 } ( k ) } w _ { \varphi ^ { - 2 } ( k ) } \cdots w _ { \varphi ^ { - n N } ( k ) } \right] e _ { \varphi ^ { - n N } ( k ) } } \right] } . } \end{array}
\int _ { - R _ { s } / 2 } ^ { R _ { s } / 2 } \int _ { - R _ { s } / 2 } ^ { R _ { s } / 2 } \int _ { - R _ { s } / 2 } ^ { R _ { s } / 2 } P _ { \mathrm { C O I } } ( f _ { 1 } ) P _ { \mathrm { C O I } } ^ { \ast } ( f _ { 2 } ) P _ { \mathrm { C O I } } ( f - f _ { 1 } + f _ { 2 } ) P _ { \mathrm { C O I } } ^ { \ast } ( f + f _ { 2 } ) P _ { \mathrm { C O I } } ^ { \ast } ( f _ { 2 } ^ { \prime } ) P _ { \mathrm { C O I } } ( f _ { 2 } + f _ { 2 } ^ { \prime } ) \mu ( f _ { 1 } , f _ { 2 } , f )
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { y } ( y , u , p ; \boldsymbol { \mu } ) [ \bar { y } ] = 0 , \qquad } & { \forall \bar { y } \in \mathcal { Y } _ { t } , } \\ { \mathcal { L } _ { u } ( y , u , p ; \boldsymbol { \mu } ) [ \bar { u } ] = 0 , \qquad } & { \forall \bar { u } \in \mathcal { U } , } \\ { \mathcal { L } _ { p } ( y , u , p ; \boldsymbol { \mu } ) [ \bar { p } ] = 0 , \qquad } & { \forall \bar { p } \in \mathcal { Y } _ { t } , } \end{array}
D _ { p } = - \mathrm { s g n } ( p ) \frac { 3 } { 4 \pi ^ { 2 } } \left( \gamma + \log \frac { \pi } { 3 } \right) + \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 6 } { \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { h _ { p } ( x ) - \frac { 1 } { 8 } \lfloor 1 / T x \rfloor } { 1 + x } \, \mathrm { d } x } & { \textrm { i f } p > 0 , } \\ { \frac { 6 } { \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { h _ { p } ( x ) + \frac { 1 } { 8 } \lfloor 1 / x \rfloor } { 1 + x } \, \mathrm { d } x } & { \textrm { i f } p < 0 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \widetilde { \mathfrak { { A } } } _ { r } \in \mathbb { R } ^ { r \times r } , \quad \widetilde { \mathfrak { { B } } } _ { r } \in \mathbb { R } ^ { r \times m } , \quad \widetilde { \mathfrak { { C } } } _ { r } \in \mathbb { R } ^ { p \times r } , \quad \widetilde { \mathfrak { { D } } } _ { r } \in { \mathbb R } ^ { p \times m } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { K ^ { 1 / 2 } e _ { i } = \varepsilon \mu A ^ { n - 2 i } e _ { i } ; \quad L ^ { 1 / 2 } e _ { i } = \mu A ^ { 2 i - n } e _ { i } \mathrm { , ~ f o r ~ } i \in \{ 0 , \ldots , n \} ; } \\ & { F e _ { n } = 0 ; \quad F e _ { i } = e _ { i + 1 } \mathrm { , ~ f o r ~ } i \in \{ 0 , \ldots , n - 1 \} ; } \\ & { E e _ { 0 } = 0 ; \quad E e _ { i } = \mu ^ { 2 } [ i ] [ n - i + 1 ] e _ { i - 1 } \mathrm { , ~ f o r ~ } i \in \{ 1 , \ldots , n \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { m ( z ) } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \tilde { Q } _ { \lambda } ( z _ { n } ) \ \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \varepsilon ^ { 2 } } } \exp \left( - \frac { ( z _ { n } - z ) ^ { 2 } } { 2 \varepsilon ^ { 2 } } \right) } \\ { \sigma ^ { 2 } ( z ) } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left( \tilde { Q } _ { \lambda } ( z _ { n } ) - m ( z ) \right) ^ { 2 } \ \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \varepsilon ^ { 2 } } } \exp \left( - \frac { ( z _ { n } - z ) ^ { 2 } } { 2 \varepsilon ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\ell ( a ( \varpi ^ { n } t ) . f _ { u } ) = \left\langle \int _ { \mathbf { F } } f _ { u } \Big ( \Big ( \begin{array} { l l } { \varpi } & \\ & { 1 } \end{array} \Big ) \Big ( \begin{array} { l l } { 1 } & { x } \\ & { 1 } \end{array} \Big ) \Big ( \begin{array} { l l } { \varpi ^ { n } t } & \\ & { 1 } \end{array} \Big ) \Big ) \psi ( - x ) \mathrm { d } x , e _ { 1 } ^ { \vee } \right\rangle _ { \flat } .
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m i n f } _ { n \to \infty } \operatorname* { i n f } _ { f _ { n } \in \mathcal { M } _ { n } } \operatorname* { s u p } _ { f \in { \cal P } _ { C } ( \beta , L ) } \mathbb { P } \left( \| f _ { n } ( \theta _ { 0 } ) - f ( \theta _ { 0 } ) \| _ { \mathrm { H S } } \ge ( n \delta _ { n } ) ^ { - d \beta / ( 2 \beta + d ) } \right) > 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { V o l } _ { n } ^ { B W } ( C ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 2 } d ^ { \frac { n } { 2 } } \mathrm { V o l } _ { n } \bigl ( \widehat \nu _ { n , d } ^ { - 1 } ( C ) \bigr ) \ \ \ \mathrm { f o r ~ d ~ e v e n } } \\ { d ^ { \frac { n } { 2 } } \mathrm { V o l } _ { n } \bigl ( \widehat \nu _ { n , d } ^ { - 1 } ( C ) \bigr ) \ \ \ \mathrm { f o r ~ d ~ o d d } } \end{array} \right. , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { h ( x , y , z ) } & { = } & { \frac { \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } \Psi ( i , j ) x ^ { i } y ^ { j } } { 1 - ( c _ { 1 } x y + c _ { 2 } y + c _ { 3 } x ^ { - 1 } y + c _ { 4 } x + c _ { 5 } + c _ { 6 } x ^ { - 1 } + c _ { 7 } x y ^ { - 1 } + c _ { 8 } y ^ { - 1 } + c _ { 9 } x ^ { - 1 } y ^ { - 1 } ) z } } \\ & { = } & { \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } \Psi ( i , j ) x ^ { i } y ^ { j } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } ( c _ { 1 } x y + c _ { 2 } y + c _ { 3 } x ^ { - 1 } y + c _ { 4 } x + c _ { 5 } + } \\ & { } & { c _ { 6 } x ^ { - 1 } + c _ { 7 } x y ^ { - 1 } + c _ { 8 } y ^ { - 1 } + c _ { 9 } x ^ { - 1 } y ^ { - 1 } ) ^ { k } z ^ { k } } \\ & { = } & { \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } \Psi ( i , j ) x ^ { i } y ^ { j } \sum _ { s _ { r \in I } } \binom { k } { s _ { 1 } , s _ { 2 } , . . . , s _ { 9 } } c _ { 1 } ^ { s _ { 1 } } ( x y ) ^ { s _ { 1 } } c _ { 2 } ^ { s _ { 2 } } y ^ { s _ { 2 } } . . . c _ { 9 } ^ { s _ { 9 } } ( x y ) ^ { - s _ { 9 } } z ^ { k } } \\ & { = } & { \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } \Psi ( i , j ) x ^ { i } y ^ { j } \sum _ { s _ { r \in I } } \binom { k } { s _ { 1 } , s _ { 2 } , . . . , s _ { 9 } } \prod _ { r = 1 } ^ { 9 } c _ { r } ^ { s r } x ^ { a } y ^ { b } z ^ { k } } \\ & { = } & { \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { s _ { r \in I } } \binom { k } { s _ { 1 } , s _ { 2 } , . . . , s _ { 9 } } \Psi ( i , j ) \prod _ { r = 1 } ^ { 9 } c _ { r } ^ { s r } x ^ { a + i } y ^ { b + j } z ^ { k } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { 1 } ( t ) } & { \triangleq \left( \frac { \mathcal { P } _ { a } ( d ) \mathcal { P } _ { \hat { a } } ( w ) } { \mathcal { P } _ { b } ( d ) \mathcal { P } _ { \hat { b } } ( w ) } \right) ^ { 1 - t } , } \\ { f _ { 2 } ( t ) } & { \triangleq \left( \frac { \mathcal { P } _ { b } ( d ) \mathcal { P } _ { \hat { b } } ( w ) } { \mathcal { P } _ { a } ( d ) \mathcal { P } _ { \hat { a } } ( w ) } \right) ^ { t } , } \\ { f ( t ) } & { \triangleq \mathcal { P } _ { a } ( d ) ^ { t } \mathcal { P } _ { b } ( d ) ^ { 1 - t } \mathcal { P } _ { \hat { a } } ( w ) ^ { t } \mathcal { P } _ { \hat { b } } ( w ) ^ { 1 - t } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } _ { \omega } = \mathcal { D } _ { \omega } - \partial _ { x } K _ { 0 2 } = \mathcal { D } _ { \omega } - \left( \partial _ { x } \nabla _ { z } ^ { 2 } H _ { 2 , 2 } ( \bar { v } ) + \varepsilon \partial _ { x } \nabla _ { z } ^ { 2 } H _ { 3 , 2 } ( \bar { v } ) + \varepsilon ^ { 2 } \partial _ { x } \nabla _ { z } ^ { 2 } H _ { 4 , 2 } ( \bar { v } ) \right) , \mathrm { ~ u p ~ t o ~ O ( \varepsilon ^ { 7 - 4 b } ) ~ } , } \end{array}
{ \mathcal { L } } ( \mathbf { x } , \mathbf { \mu } , \mathbf { \lambda } ) = f ( \mathbf { x } ) + \mathbf { \mu } ^ { \top } \mathbf { g } ( \mathbf { x } ) + \mathbf { \lambda } ^ { \top } \mathbf { h } ( \mathbf { x } ) = L ( \mathbf { x } , \mathbf { \alpha } ) = f ( \mathbf { x } ) + \mathbf { \alpha } ^ { \top } { \left( \begin{array} { l } { \mathbf { g } ( \mathbf { x } ) } \\ { \mathbf { h } ( \mathbf { x } ) } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l } { I | \psi \rangle = } & { | \psi \rangle } \\ { X | \psi \rangle = } & { \alpha X | 0 \rangle + \beta X | 1 \rangle = \alpha | 1 \rangle + \beta | 0 \rangle } \\ { Z | \psi \rangle = } & { \alpha Z | 0 \rangle + \beta Z | 1 \rangle = \alpha | 0 \rangle - \beta | 1 \rangle } \\ { E | \psi \rangle = } & { \alpha _ { I } | \psi \rangle + \alpha _ { X } X | \psi \rangle + \alpha _ { Z } Z | \psi \rangle + \alpha _ { X Z } X Z | \psi \rangle } \end{array}
\nabla ( a ) = \nabla { \left[ \begin{array} { l } { a _ { 1 } ( x ) } \\ { a _ { 2 } ( x ) } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { { \frac { d a _ { 1 } ( x ) } { d x } } + f _ { 1 1 } ( x ) a _ { 1 } ( x ) + f _ { 1 2 } ( x ) a _ { 2 } ( x ) } \\ { { \frac { d a _ { 2 } ( x ) } { d x } } + f _ { 2 1 } ( x ) a _ { 1 } ( x ) + f _ { 2 2 } ( x ) a _ { 2 } ( x ) } \end{array} \right] } d x
\begin{array} { r l } & { \| w ( t ) \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } - \| w ( t _ { 0 } ) \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } + \nu \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \| \Delta w ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \, d s \leq - \frac { \mu } { 2 } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \| w ( s ) \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { c \mu ^ { 2 } \tau ^ { 2 } } { \nu } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \left( 5 \nu ^ { 2 } \| \Delta w ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \left( \frac { c M _ { 1 } M _ { 2 } } { \lambda _ { 1 } ^ { 1 / 2 } } + \frac { c M _ { 0 } ^ { 2 } M _ { 1 } ^ { 2 } } { \nu ^ { 2 } } + \frac { \mu \nu } { 4 } + \frac { \mu ^ { 2 } } { \lambda _ { 1 } } + \frac { c R _ { 1 } ^ { 4 } } { \lambda _ { 1 } \nu ^ { 2 } } \right) \| w ( s ) \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } \right) \, d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } _ { t = 1 , \ldots , T } J ^ { \pi ^ { ( t ) } } ( \rho ) - J ^ { * } ( \rho ) } \\ { \le } & { \operatorname* { m i n } _ { t = 1 , \ldots , T } D _ { 1 } \operatorname* { m a x } _ { \bar { \pi } \in { \Delta } ( \mathcal { A } \times \mathcal { H } ) ^ { | \mathcal { S } | + | \mathcal { S } | | \mathcal { H } | } } ( \pi ^ { ( t ) } - \bar { \pi } ) ^ { \mathsf T } \nabla _ { \pi } J ^ { \pi ^ { ( t ) } } ( \mu ) } \\ { \le } & { - 2 D _ { 1 } \sqrt { | \mathcal { S } | + | \mathcal { S } | | \mathcal { H } | } \operatorname* { m a x } _ { t = 1 , \ldots , T } \operatorname* { m i n } _ { \pi ^ { ( t ) } + \delta \in { \Delta } ( \mathcal { A } \times \mathcal { H } ) ^ { | \mathcal { S } | + | \mathcal { S } | | \mathcal { H } | } , | | \delta | | _ { 2 } \le 1 } \delta ^ { \mathsf T } \nabla _ { \pi } J ^ { \pi ^ { ( t ) } } ( \mu ) } \\ { \le } & { 4 D _ { 1 } \sqrt { | \mathcal { S } | + | \mathcal { S } | | \mathcal { H } | } \frac { \sqrt { 2 \sigma ( J ^ { \pi ^ { ( 0 ) } } ( \mu ) - J ^ { * } ( \mu ) } ) } { \sqrt { T } } } \\ { \overset { ( a ) } { \le } } & { 4 D _ { 1 } \sqrt { 2 | \mathcal { S } | | \mathcal { H } | } \frac { \sqrt { 2 \sigma ( \frac { \lambda } { \alpha } + \lambda + \frac { 1 } { 1 - \gamma } | | \bar { c } | | _ { \infty } ) } } { \sqrt { T } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \widetilde { v } _ { i n } \right\rangle \left( r ; y \right) } & { = \widetilde { v } _ { o u t } \left( y \right) \left[ 1 + 2 \mathrm { i } \frac { \displaystyle \exp \left( - \mathrm { i } ^ { 3 / 2 } K _ { v } \right) + \mathrm { i } ^ { 3 / 2 } K _ { v } - 1 } { K _ { v } ^ { 2 } } \right] , } \\ { \left\langle \widetilde { \tau } _ { i n } \right\rangle \left( r ; y \right) } & { = \widetilde { \tau } _ { o u t } \left( y \right) \left[ 1 + 2 \mathrm { i } \frac { \displaystyle \exp \left( - \mathrm { i } ^ { 3 / 2 } \mathrm { P r } ^ { 1 / 2 } K _ { v } \right) + \mathrm { i } ^ { 3 / 2 } \mathrm { P r } ^ { 1 / 2 } K _ { v } - 1 } { \mathrm { P r } K _ { v } ^ { 2 } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T _ { 1 2 } } & { = } & { \mathbb { E } \Bigg [ \Bigg | \frac { 1 } { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ( g _ { k - 1 } ) } \Bigg \{ [ \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } + \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l , a } - \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ] ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) - [ \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { l } + \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { l } - } \\ & { } & { \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ] ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) \Bigg \} \Bigg | ^ { p } \Bigg ] ^ { 1 / p } } \\ { T _ { 1 3 } } & { = } & { \mathbb { E } \Bigg [ \Bigg | \frac { [ \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { l } + \frac { 1 } { 2 } \eta _ { k - 1 } ^ { l } - \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ] ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ( g _ { k - 1 } ) \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ( g _ { k - 1 } ) } [ \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } - \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ] ( g _ { k - 1 } ) \Bigg | ^ { p } \Bigg ] ^ { 1 / p } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( \mathbf { w } ^ { ( n + 1 ) } ) \leq } & { \: F ( \mathbf { w } ^ { ( n ) } ) + \frac { 1 } { | \mathcal { K } ^ { ( n ) } | } \sum _ { k \in \mathcal { K } } \nabla F ( \mathbf { w } ^ { ( n ) } ) \mathbf { z } _ { k } ^ { ( n ) } + \frac { M } { 2 | \mathcal { K } ^ { ( n ) } | ^ { 2 } } \Big \| \sum _ { k \in \mathcal { K } } \mathbf { z } _ { k } ^ { ( n ) } \Big \| ^ { 2 } , } \end{array}
{ \begin{array} { l } { = { \frac { 3 2 ! } { 2 } } \cdot 6 0 ^ { 3 2 } \cdot { \frac { 8 0 ! } { 2 } } \cdot { \frac { 2 4 ^ { 8 0 } } { 2 } } \cdot { \frac { 1 6 0 ! } { 2 } } \cdot { \frac { 1 2 ^ { 1 6 0 } } { 3 } } \cdot { \frac { 4 0 ! \cdot 8 0 ! } { 2 } } \cdot { \frac { 6 ^ { 8 0 } } { 2 } } \cdot { \frac { 2 ^ { 4 0 } } { 2 } } \cdot { \frac { 3 2 0 ! } { 2 4 ^ { 8 0 } } } \cdot { \frac { 6 ^ { 3 2 0 } } { 2 } } \cdot { \frac { 3 2 0 ! } { 2 4 ^ { 8 0 } } } \cdot { \frac { 6 ^ { 3 2 0 } } { 2 } } \cdot { \frac { 2 4 0 ! } { ( 6 ! ) ^ { 4 0 } } } \cdot { \frac { 2 ^ { 2 4 0 } } { 2 } } \cdot { \frac { 3 2 0 ! } { ( 8 ! ) ^ { 4 0 } } } \cdot { \frac { 2 ^ { 3 2 0 } } { 2 } } \cdot { \frac { 4 8 0 ! } { ( 1 2 ! ) ^ { 4 0 } } } \cdot { \frac { 2 ^ { 4 8 0 } } { 2 } } \cdot { \frac { 8 0 ! } { ( 8 ! ) ^ { 1 0 } } } \cdot { \frac { 1 6 0 ! } { ( 1 6 ! ) ^ { 1 0 } } } \cdot } \\ { { \frac { 2 4 0 ! } { ( 2 4 ! ) ^ { 1 0 } } } \cdot { \frac { 3 2 0 ! } { ( 3 2 ! ) ^ { 1 0 } } } } \end{array} }
\operatorname { K e r } \Theta \subset \left( \mathbb { S } _ { \underline { { A } } } ^ { \underline { { \alpha } } } \otimes _ { R } \mathbb { S } _ { \underline { { A } } , \underline { { M } } } ^ { \underline { { \beta } } } \right) \cap \left( \mathbb { S } _ { \underline { { A } } } ^ { \underline { { ( a ) } } } \otimes _ { R } \mathbb { S } _ { \underline { { A } } , \underline { { M } } } ^ { \underline { { \alpha ^ { \prime } } } \cdot \underline { { \beta } } } \right) ,
\begin{array} { r l } { \omega _ { \downarrow \otimes \uparrow } \colon W ^ { * } \otimes W } & { \to \bigoplus _ { t , u = 1 } ^ { r + s } \Pi ^ { p ( t ) + p ( u ) } V ^ { * } \otimes V , } \\ { f \otimes v } & { \mapsto \left( ( - 1 ) ^ { p ( u ) \overline { { v _ { u } } } + p ( u ) \overline { { f _ { t } } } + p ( t ) p ( u ) } f _ { t } \otimes v _ { u } \right) _ { t , u = 1 } ^ { r + s } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } \sigma _ { t } - \mathrm { d i v } _ { \theta , \alpha } ( \sigma _ { t } v _ { \sigma } ) = 0 ; } \\ { v _ { \sigma } ( \theta , \alpha ) = \left( \eta \nabla _ { \theta } J _ { \nu _ { t } } ( \theta ) , \kappa \alpha ( J _ { \nu _ { t } } ( \theta ) - \int J _ { \nu _ { t } } ( \theta ^ { \prime } ) \nu _ { t } ( \theta ^ { \prime } ) ) \right) ; \quad \nu _ { t } = \mathcal { F } ( \sigma _ { t } ) , } \end{array} \right.
( { \frac { z - a } { z - b } } ) ^ { k } ( { \frac { z - c } { z - b } } ) ^ { l } P \left\{ { \begin{array} { l l l l } { a } & { b } & { c } & { \; } \\ { \alpha } & { \beta } & { \gamma } & { z } \\ { \alpha ^ { \prime } } & { \beta ^ { \prime } } & { \gamma ^ { \prime } } & { \; } \end{array} } \right\} = P \left\{ { \begin{array} { l l l l } { a } & { b } & { c } & { \; } \\ { \alpha + k } & { \beta - k - l } & { \gamma + l } & { z } \\ { \alpha ^ { \prime } + k } & { \beta ^ { \prime } - k - l } & { \gamma ^ { \prime } + l } & { \; } \end{array} } \right\}
\begin{array} { r l r } & { } & { \partial _ { t } P _ { 2 } = - v _ { 0 } \left[ \hat { n } ( \theta ) \cdot \partial _ { \vec { r } } + \hat { n } ( \beta ) \cdot \partial _ { \vec { z } } \right] P _ { 2 } - \Gamma \, \partial _ { \theta } \big [ a ( | \vec { r } - \vec { z } | ) \, \mathrm { s i n } ( \beta - \theta ) \, P _ { 2 } \big ] } \\ & { } & { - \Gamma \, \partial _ { \beta } \big [ a ( | \vec { r } - \vec { z } | ) \, \mathrm { s i n } ( \theta - \beta ) \, P _ { 2 } \big ] } \\ & { } & { - ( N - 2 ) \, \Gamma \, \partial _ { \theta } \bigg [ \int d \theta _ { 3 } \int d \vec { r } _ { 3 } \, a ( | \vec { r } _ { 3 } - \vec { r } | ) \, \mathrm { s i n } ( \theta _ { 3 } - \theta ) \, P _ { 3 } ( \vec { r } , \theta , \vec { z } , \beta , \vec { r } _ { 3 } , \theta _ { 3 } , t ) \bigg ] } \\ & { } & { - ( N - 2 ) \, \Gamma \, \partial _ { \beta } \bigg [ \int d \theta _ { 3 } \int d \vec { r } _ { 3 } \, a ( | \vec { r } _ { 3 } - \vec { z } | ) \, \mathrm { s i n } ( \theta _ { 3 } - \beta ) \, P _ { 3 } ( \vec { r } , \theta , \vec { z } , \beta , \vec { r } _ { 3 } , \theta _ { 3 } , t ) \bigg ] } \end{array}
\left( \frac { M ^ { \alpha } } { r ^ { 1 + \alpha } } | \mathbf { U } _ { + } | + \left| \partial _ { t } \mathbf { U } _ { + } \right| \right) \left( | F | + \left| \frac { W _ { + } ( { \langle r \rangle } _ { a } F ) } { { \langle r \rangle } _ { a } } \right| \right) \leq \frac { \delta } { r ^ { 1 + \alpha } } \left( \frac { 1 } { r ^ { 2 } } | \mathbf { U } _ { + } | ^ { 2 } + | \partial _ { t } \mathbf { U } _ { + } | ^ { 2 } \right) + \frac { r ^ { 1 + \alpha } } { \delta } \left( | F | ^ { 2 } + \left| \frac { W _ { + } ( { \langle r \rangle } _ { a } F ) } { { \langle r \rangle } _ { a } } \right| ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r l r } { \delta ^ { \nabla } d ^ { \nabla } \beta } & { = } & { - \sum _ { i , j } e _ { i } \rfloor \nabla _ { e _ { i } } ( \alpha ^ { j } \wedge \nabla _ { e _ { j } } \beta ) } \\ & { = } & { - \sum _ { i , j } e _ { i } \rfloor ( D _ { e _ { i } } \alpha ^ { j } \wedge \nabla _ { e _ { j } } \beta + \alpha ^ { j } \wedge \nabla _ { e _ { i } } \nabla _ { e _ { j } } \beta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ker \rho | _ { \mathcal { U } } } & { \longrightarrow \ker \left( d s _ { 0 } | _ { \Gamma _ { \mathcal { U } _ { b } } ( \ker d t _ { 0 } ) } \right) = \Gamma ( \ker d s _ { 0 } ) \cap \Gamma ( \ker d t _ { 0 } ) | _ { \mathcal { U } _ { b } } \subset \mathfrak { X } ( \mathcal { U } _ { b } ) } \\ { e \; } & { \longmapsto \overleftarrow { e } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } _ { m , n } ^ { \kappa , \rho } ( z , \overline { { z } } ) } & { = \frac { ( \kappa + 1 ) _ { m \vee ( n + \rho ) } ( m \wedge ( n + \rho ) ) ! } { ( \kappa + 1 ) _ { n + \rho } } | z | ^ { | m - n - \rho | - \rho } e ^ { i ( n - m ) \arg z } P _ { m \wedge ( n + \rho ) } ^ { ( \kappa , | m - n - \rho | ) } ( 2 | z | ^ { 2 } - 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( V ( n ) > 0 ) } & { = P ( ( 1 + K ^ { T } \widetilde { \mathcal { X } } _ { n } ) V ( 0 ) > 0 ) } \\ & { = P ( 1 + K ^ { T } \widetilde { \mathcal { X } } _ { n } > 0 ) } \\ & { = P \left( \sum _ { i = 1 } ^ { m } K _ { i } ( 1 + \widetilde { \mathcal { X } } _ { n , i } ) > 0 \right) } \\ & { = P \left( \sum _ { i = 1 } ^ { m } K _ { i } \left( 1 + \prod _ { k = 0 } ^ { n - 1 } ( 1 + X _ { i } ( k ) ) - 1 - c _ { i } \right) > 0 \right) } \\ & { = P \left( \sum _ { i = 1 } ^ { m } K _ { i } \left( \prod _ { k = 0 } ^ { n - 1 } ( 1 + X _ { i } ( k ) ) - c _ { i } \right) > 0 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \phi ( x , t ) } & { = } & { \left( \frac { \Delta x ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 3 } c ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 4 } \int \! \frac { d k } { \sqrt { | k | } } \, \exp [ \mathrm { i } k x - \Delta x ^ { 2 } ( k - k _ { 0 } ) ^ { 2 } - \mathrm { i } c | k | t ] } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 4 } \left( \frac { \pi } { 2 c ^ { 2 } \Delta x ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 4 } \exp \! \left( - \, \frac { \Delta x ^ { 2 } k _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } \right) \exp \! \left( \mathrm { i } k _ { 0 } \frac { x - c t } { 2 } - \frac { ( x - c t ) ^ { 2 } } { 8 \Delta x ^ { 2 } } \right) } \\ & { } & { \times \sqrt { 2 \Delta x ^ { 2 } k _ { 0 } + \mathrm { i } ( x - c t ) } \left[ I _ { - \frac { 1 } { 4 } } \! \left( \frac { [ 2 \Delta x ^ { 2 } k _ { 0 } + \mathrm { i } ( x - c t ) ] ^ { 2 } } { 8 \Delta x ^ { 2 } } \right) \right. } \\ & { } & { + \left. I _ { \frac { 1 } { 4 } } \! \left( \frac { [ 2 \Delta x ^ { 2 } k _ { 0 } + \mathrm { i } ( x - c t ) ] ^ { 2 } } { 8 \Delta x ^ { 2 } } \right) \right] } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 2 ( 8 \pi ^ { 3 } c ^ { 2 } \Delta x ^ { 2 } ) ^ { 1 / 4 } } \exp \! \left( - \, \frac { \Delta x ^ { 2 } k _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } \right) \exp \! \left( \mathrm { i } k _ { 0 } \frac { x + c t } { 2 } - \frac { ( x + t ) ^ { 2 } } { 8 \Delta x ^ { 2 } } \right) } \\ & { } & { \times \sqrt { 2 \Delta x ^ { 2 } k _ { 0 } + \mathrm { i } ( x + c t ) } K _ { \frac { 1 } { 4 } } \! \left( \frac { [ 2 \Delta x ^ { 2 } k _ { 0 } + \mathrm { i } ( x + c t ) ] ^ { 2 } } { 8 \Delta x ^ { 2 } } \right) } \end{array}
\int _ { \Omega } ( \nu \nabla \times \boldsymbol { \omega } ^ { h } ) \cdot \mathbf { v } ^ { h } d \Omega + \int _ { \Omega } ( \boldsymbol { \omega } ^ { h } \times \textbf { u } ^ { h } ) \cdot \mathbf { v } ^ { h } d \Omega - \int _ { \Omega } P ^ { h } ( \nabla \cdot \mathbf { v } ^ { h } ) d \Omega = \int _ { \Omega } \mathbf { f } \cdot \mathbf { v } ^ { h } d \Omega
\begin{array} { r } { \small { \left( \left( \begin{array} { l l l l } { \{ 0 \sim 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \! \{ 0 \sim 3 \} \! } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \! \{ 0 \sim 3 \} \! } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 0 \sim 3 \} } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l l l l } { \{ 0 \sim 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \! \{ 0 \sim 3 \} \! } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \! \{ 0 \sim 3 \} \! } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 0 \sim 3 \} } \end{array} \right) \right) \! . } } \end{array}
( \bar { y } _ { h } , \bar { u } _ { h } ) \rightharpoonup ( \bar { y } , \bar { u } ) \, \mathrm { i n ~ } H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) \times L ^ { 2 } ( \Omega ) , \quad \bar { y } _ { h } ( x ) \to \bar { y } ( x ) \, \mathrm { f o r ~ a . e . ~ } x \in \Omega , \mathrm { a n d } \quad \bar { y } _ { h } \to \bar { y } \, \mathrm { i n ~ } L ^ { p } ( \Omega )
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } _ { v } ^ { \ast } ( l _ { T } , s ) } & { = \int _ { N _ { n } ( F _ { v } ) \backslash \mathrm { S p } _ { 2 n } ( F _ { v } ) } \int _ { N _ { n ^ { k - 1 } , k n } ^ { 0 } ( F _ { v } ) } l _ { T } ( \pi _ { v } ( h ) v _ { 0 } ) } \\ { \times } & { \omega _ { \psi , v } ( \alpha _ { T } ^ { k } ( u ) i _ { T } ( 1 , h ) ) \Phi _ { v } ^ { 0 } ( 1 _ { n } ) f _ { \mathcal { W } ( \tau \otimes \chi _ { T } , n , \psi _ { 2 T } ) , s } ^ { 0 } ( \eta u t ( 1 , h ) ) d u d h . } \end{array}
c _ { \lambda } : = \left\langle \mathsf { D } f \, , \, e _ { \lambda } \right\rangle = \left\langle f \, , \, \mathsf { D } ^ { * } e _ { \lambda } \right\rangle = \left\langle f \, , \, \frac { 1 } { 2 \pi i } e _ { \lambda } ^ { \prime } \right\rangle = \left\langle f \, , \, \lambda e _ { \lambda } \right\rangle = \lambda \left\langle f \, , \, e _ { \lambda } \right\rangle = \lambda f _ { \lambda } .
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } } & { = \int \displaylimits _ { 0 } ^ { t } { \left[ \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } \tau } \Psi ( \Lambda ( \tau ) , \tau ) - \int \displaylimits _ { 0 } ^ { \Lambda ( \tau ) } { \partial _ { \tau } \psi _ { 2 } ( y , \tau ) \; \mathrm { d } y } \right] \mathrm { d } \tau } } \\ & { = \left[ \Psi ( \Lambda ( t ) , t ) - \Psi ( 0 , 0 ) \right] - \int \displaylimits _ { 0 } ^ { t } { \int \displaylimits _ { 0 } ^ { \Lambda ( \tau ) } { \partial _ { \tau } \psi _ { 2 } ( y , \tau ) \; \mathrm { d } y } \; \mathrm { d } \tau } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| [ \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \alpha _ { j } \partial _ { j } , W _ { 1 , \left| \widetilde { \phi } _ { k } \right> \left< \widetilde { \phi } _ { k } \right| } ] u \| _ { \mathcal { H } } } & { = \| \int \frac { [ \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \alpha _ { j } \partial _ { j } | \widetilde { \phi } _ { k } | ^ { 2 } ] ( x - y ) u ( x ) } { | y | } d y \| _ { \mathcal { H } } } \\ & { \leq 2 \| \nabla \widetilde { \phi } _ { k } \| _ { \mathcal { H } } \left\| \left( \int | y | ^ { - 2 } | \widetilde { \phi } _ { k } | ^ { 2 } ( \cdot - y ) d y \right) ^ { 1 / 2 } \! \! u \right\| _ { \mathcal { H } } \leq 4 \| \nabla \widetilde { \phi } _ { k } \| _ { \mathcal { H } } ^ { 2 } \| u \| _ { \mathcal { H } } \leq 4 \| u \| _ { \mathcal { H } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \check { L } _ { b } ( 0 ) P ^ { e } ( b , \sigma ) f } \\ & { \quad = \big ( \widetilde { R } _ { 1 0 } ( b , \sigma ) - \widetilde { R } _ { 1 0 } ( b , 0 ) \big ) f _ { 0 } + \big ( \widetilde { R } _ { 1 1 } ^ { e } ( b , \sigma ) - \widetilde { R } _ { 1 1 } ^ { e } ( b , 0 ) \big ) f _ { 1 } + \big ( \widetilde { R } _ { 1 2 } ( b , \sigma ) - \widetilde { R } _ { 1 2 } ( b , 0 ) \big ) f _ { 2 } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { I ( X ; Y ) } & { = H ( Y ) - H ( Y | X ) } \\ & { = H ( Y ) - \sum _ { x \in \{ 0 , 1 \} } { p _ { X } ( x ) H ( Y | X = x ) } } \\ & { = H ( Y ) - \sum _ { x \in \{ 0 , 1 \} } { p _ { X } ( x ) } \operatorname { H } _ { \mathrm { b } } ( p ) } \\ & { = H ( Y ) - \operatorname { H } _ { \mathrm { b } } ( p ) , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { x , y , a , b } } & { \theta + { c } ^ { 2 } ( a + b ) } \\ { \mathrm { s . t . ~ } \ } & { ( 1 b ) - ( 1 k ) } \\ & { \operatorname* { m a x } _ { { \xi } _ { \infty } \leq 1 , { \xi } _ { 1 } \leq \Gamma } { \xi } { c } ^ { 1 } { x } \leq \theta - { \bar { d } } { c } ^ { 1 } { x } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \Psi \rangle } & { = \int \! \! \mathrm { d } \omega _ { 1 } \mathrm { d } \omega _ { 2 } \, F ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) \hat { a } ^ { \dagger } ( \omega _ { 1 } ) \hat { a } ^ { \dagger } ( \omega _ { 2 } ) | \mathrm { v a c } \rangle } \\ & { \mathrm { w h e r e } \, \, \langle \Psi | \Psi \rangle = \int \! \! \mathrm { d } \omega _ { 1 } \mathrm { d } \omega _ { 2 } \, | F ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) | ^ { 2 } = 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d t } \| y ( t ) \| _ { H } ^ { 2 } \leq - \left( 2 \lambda - \nu _ { \operatorname* { m i n } } ( \omega ) \right) \| \theta ( t ) \| _ { V } ^ { 2 } + \frac { 3 c ^ { 2 } \mathcal { N } ^ { 2 } ( a , b ) } { \nu _ { \operatorname* { m i n } } ( \omega ) } \| \theta ( t ) \| _ { H } ^ { 2 } } \\ & { - \frac { \nu _ { \operatorname* { m i n } } ( \omega ) } { 2 } \| \varphi ( t ) \| _ { V } ^ { 2 } + \frac { 3 c ^ { 2 } \mathcal { N } ^ { 2 } ( a , b ) } { 2 \nu _ { \operatorname* { m i n } } ( \omega ) } \| \varphi ( t ) \| _ { H } ^ { 2 } \leq - \Theta _ { \theta } ( N , \lambda ) \| \theta ( t ) \| _ { H } ^ { 2 } - \Theta _ { \varphi } ( N , \lambda ) \| \varphi ( t ) \| _ { H } ^ { 2 } , } \end{array}
\lambda _ { n } \sim \left\{ \begin{array} { r l } { \Big [ \delta _ { 0 } \log { ( n ) } + \delta _ { 1 } \Big ] } & { \Gamma \Big ( \frac { n + 1 } { 2 } + \alpha _ { 0 } \Big ) \qquad \mathrm { f o r ~ n ~ e v e n } , } \\ { \delta _ { 2 } } & { \Gamma \Big ( \frac { n + 1 } { 2 } + \alpha _ { 1 } \Big ) \qquad \mathrm { f o r ~ n ~ o d d } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \overline { { G } } _ { ( \mu \nu ) } + \kappa ( \nabla _ { \rho } + T ^ { \sigma } _ { \rho \sigma } ) \lambda ^ { \rho } _ { \mu \nu } } & { = \kappa ^ { ( \overline { { \Gamma } } ) } T _ { \mu \nu } \, , } \\ { P _ { \mu \nu \rho } - 2 \kappa \lambda _ { \mu \nu \rho } } & { = 2 \kappa \Delta _ { \mu \nu \rho } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { I _ { N } } ( s ) } & { = \exp \left\{ - 2 \: \pi \: \lambda _ { \mathrm { D C } } \sum _ { \epsilon = 1 } ^ { 4 } \mathbb { P } _ { \epsilon } \int _ { \frac { R } { 2 } } ^ { \infty } \left( 1 - p _ { \mathrm { { L O S } } } \left( r \right) \right) \right. } \\ & { \quad \quad \left. \left( 1 - \left( 1 + \frac { s P G _ { \epsilon } ( r ^ { 2 } + h ^ { 2 } ) ^ { \frac { - \alpha _ { N } } { 2 } } } { m _ { N } } \right) ^ { - m _ { N } } \right) r d r \right\} . } \end{array}
\Big ( \bigcup _ { s = 1 } ^ { \lfloor n \beta _ { n } \slash L \rfloor } \mathcal { R } _ { s } \Big ) \bigcup \Big ( \bigcup _ { s = 2 } ^ { \lfloor n \beta _ { n } \slash L \rfloor } \mathcal { R } _ { s } ^ { \prime } \Big ) \bigcup \Big ( \bigcup _ { s = 2 } ^ { \lfloor n \beta _ { n } \slash L \rfloor } \mathcal { R } _ { s } ^ { \prime \prime } \Big ) = ( 0 , n ] ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \| ( D ^ { q } h ) ( D ^ { m - q } u ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } ^ { 2 } } & { \leq \| D ^ { q } h \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ^ { n - 1 } ) } \| D ^ { m - q } u \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } \\ & { \lesssim \| D ^ { q } h \| _ { H ^ { d _ { n - 1 } } ( \mathbb { R } ^ { n - 1 } ) } \| D ^ { m - q } u \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ \left( N ^ { 1 - \frac { \beta } { 2 } } M _ { 1 } ^ { ( N ) } ( \lfloor N ^ { \beta } ( t + u ) \rfloor ) - N ^ { 1 - \frac { \beta } { 2 } } M _ { 1 } ^ { ( N ) } ( \lfloor N ^ { \beta } t \rfloor ) \right) ^ { 2 } \big | \mathcal { F } _ { \lfloor N ^ { \beta } t \rfloor } ^ { ( N ) } \right] } \\ & { \le N ^ { 2 - \beta } \sum _ { k = \lfloor N ^ { \beta } t \rfloor } ^ { \lfloor N ^ { \beta } ( t + u ) \rfloor - 1 } \frac { 1 } { ( N + k + 1 ) ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ \xi _ { 1 } ^ { ( N ) } ( k ) ^ { 2 } \big | \mathcal { F } _ { \lfloor N ^ { \beta } t \rfloor } ^ { ( N ) } \right] \le N ^ { 2 - \beta } \sum _ { k = \lfloor N ^ { \beta } t \rfloor } ^ { \lfloor N ^ { \beta } ( t + \delta ) \rfloor - 1 } \frac { 1 } { ( N + k + 1 ) ^ { 2 } } } \\ & { \le N ^ { 2 - \beta } \int _ { \lfloor N ^ { \beta } t \rfloor + N } ^ { \lfloor N ^ { \beta } ( t + \delta ) \rfloor + N } \frac { 1 } { s ^ { 2 } } d s = N ^ { 2 - \beta } \left( \frac { 1 } { \lfloor N ^ { \beta } t \rfloor + N } - \frac { 1 } { \lfloor N ^ { \beta } ( t + \delta ) \rfloor + N } \right) } \\ & { \le N ^ { 2 - \beta } \cdot \frac { \lfloor N ^ { \beta } ( t + \delta ) \rfloor - \lfloor N ^ { \beta } t \rfloor } { N ^ { 2 } } \le c o n s t . ( \delta ) \xrightarrow { \delta \to 0 } 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { 2 \pi ^ { - 1 \slash 4 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } e ^ { - ( | y _ { l - 1 } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) | L + 2 L ^ { - 1 } ) ^ { 2 } \slash 2 } } \\ & { } & { \times \sqrt { ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } \Phi _ { 2 } ^ { 1 \slash 2 } ( 1 - \Phi _ { 3 } ^ { - 1 \slash 6 } ) } \\ & { \leq } & { L I S ( \sigma | _ { \tilde { Q } _ { \Gamma , l } } ) } \\ & { \leq } & { 1 5 e ^ { 6 L ^ { 2 } + 1 } L ^ { 3 \slash 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } T ^ { - 1 \slash 2 } ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) + y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } \\ & { } & { + 2 \pi ^ { - 1 \slash 4 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } e ^ { - ( | y _ { l - 1 } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) | L - 2 L ^ { - 1 } ) _ { + } ^ { 2 } \slash 2 } } \\ & { } & { \quad \times \sqrt { ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } \Phi _ { 1 } ^ { 1 \slash 2 } ( 1 + \Phi _ { 3 } ^ { - 1 \slash 6 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I } & { = } & { \frac { 1 } { \pi } \, \Im \, \int _ { 1 / e } ^ { \infty } e ^ { - s t } W _ { 0 } ^ { \prime } \left( - s \right) d s } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \pi } \, \Im \, \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - s t } W _ { 0 } ^ { \prime } \left( - s \right) d s = \frac { 1 } { \pi } \, \Im \, \mathcal { L } \left[ W _ { 0 } ^ { \prime } \left( - s \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \lambda _ { 2 , 5 } ( \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 1 , 2 , 5 , 6 , 7 } } + \frac { 1 } { \chi ( \chi - 2 ) } \kappa _ { e ^ { 2 } } \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 1 , 2 } } \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 5 , 6 , 7 } } - \frac { 1 } { \chi - 2 } ( \lambda _ { u , v } ( \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { u , v , 1 , 2 } } ) \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 5 , 6 , 7 } } + \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 1 , 2 } } \lambda _ { u , v } ( \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { u , v , 5 , 6 , 7 } } ) ) ) } \\ & { = \lambda _ { 2 , 5 } ( \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 1 , 2 , 5 , 6 , 7 } } ) + \frac { 1 } { \chi ( \chi - 2 ) } \kappa _ { e ^ { 2 } } \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 1 , 6 , 7 } } - \frac { 1 } { \chi - 2 } ( \lambda _ { 2 , 5 } \lambda _ { u , v } ( \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { u , v , 1 , 2 } } \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 5 , 6 , 7 } } ) + \lambda _ { u , v } ( \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { u , v , 1 , 6 , 7 } } ) ) } \\ & { = \frac { \chi - 3 } { \chi - 2 } \lambda _ { 2 , 5 } ( \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 1 , 2 , 5 , 6 , 7 } } ) + \frac { 1 } { \chi ( \chi - 2 ) } \kappa _ { e ^ { 2 } } \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 1 , 6 , 7 } } - \frac { 1 } { \chi - 2 } \lambda _ { 2 , 5 } \lambda _ { u , v } ( \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { u , v , 1 , 2 } } ) \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 5 , 6 , 7 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbb { E } [ | L I S ( \sigma ) - 2 \pi ^ { - 1 \slash 4 } n \beta _ { n } ^ { 1 \slash 4 } | ] } \\ & { \leq } & { \sum _ { s \in \mathcal { S } _ { 1 } } \mathbb { E } [ | L I S ( \sigma | _ { \mathcal { R } _ { s } } ) - 2 \pi ^ { - 1 \slash 4 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } | ] + | 2 \pi ^ { - 1 \slash 4 } n \beta _ { n } ^ { 1 \slash 4 } - 2 \pi ^ { - 1 \slash 4 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } | \mathcal { S } _ { 1 } | | } \\ & { } & { + \sum _ { s \in \mathcal { S } _ { 2 } } \mathbb { E } [ L I S ( \sigma | _ { \mathcal { R } _ { s } } ) ] + \sum _ { s = 1 } ^ { \lfloor n \beta _ { n } ^ { 1 \slash 2 } \slash L \rfloor - 1 } \mathbb { E } [ L I S ( \sigma | _ { \mathcal { R } _ { s } ^ { \prime } } ) ] + \sum _ { s = 1 } ^ { \lfloor n \beta _ { n } ^ { 1 \slash 2 } \slash L \rfloor - 1 } \mathbb { E } [ L I S ( \sigma | _ { \mathcal { R } _ { s } ^ { \prime \prime } } ) ] . } \\ & { } & \end{array}
\begin{array} { r l } { \int \mathcal { L } ( x , \mathcal R ( x ) ) \, \mathrm { d } \mu ( x ) } & { = \int \operatorname* { l i m i n f } _ { n \to \infty } \mathcal L ( x , \mathcal R ^ { ( n ) } ( x ) ) \, \mathrm { d } \mu ( x ) } \\ & { \le \operatorname* { l i m i n f } _ { n \to \infty } \int \mathcal L ( x , \mathcal R ^ { ( n ) } ( x ) ) \, \mathrm { d } \mu ( x ) = \overline { { \mathrm { e r r } } } _ { d } ^ { \mathcal L } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \sum _ { k = 0 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { k } k e _ { k } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) t ^ { k } } & { = t \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left[ ( - x _ { i } ) \prod _ { j \neq i } ( 1 - x _ { j } t ) \right] } \\ & { = - \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { x _ { i } t } { 1 - x _ { i } t } } \right) \prod _ { j = 1 } ^ { n } ( 1 - x _ { j } t ) } \\ & { = - \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } ( x _ { i } t ) ^ { j } \right] \left[ \sum _ { \ell = 0 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { \ell } e _ { \ell } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) t ^ { \ell } \right] } \\ & { = \left[ \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } p _ { j } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) t ^ { j } \right] \left[ \sum _ { \ell = 0 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { \ell - 1 } e _ { \ell } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) t ^ { \ell } \right] , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \overline { a } _ { i j } : = } & { \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } [ ( I + \nabla _ { y } \widetilde \chi ) \widetilde a ( I + \nabla _ { y } \widetilde \chi ) ^ { \mathrm { T } } ( y ) ] _ { i j } m ( y ) \, d y } \\ { = } & { \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } \left( \widetilde a _ { i j } + \widetilde a _ { i k } \partial _ { y _ { k } } \widetilde \chi ^ { j } + \widetilde a _ { k j } \partial _ { y _ { k } } \widetilde \chi ^ { i } + \widetilde a _ { k \ell } \partial _ { y _ { k } } \widetilde \chi ^ { i } \partial _ { y _ { \ell } } \widetilde \chi ^ { j } \right) m ( y ) \, d y . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb P _ { t - 1 } ( I _ { t } ) } & { \leq \mathbb P _ { t - 1 } ( | Y _ { t } - Y _ { t - 1 } | \geq \textrm { D } _ { \operatorname* { m a x } } ) + \mathbb P _ { t - 1 } ( \Vert W _ { t } \Vert \geq \textrm { W } _ { \operatorname* { m a x } } ) } \\ & { \leq \mathbb P _ { t - 1 } \left( | Y _ { t } - \mathbb E _ { t - 1 } [ Y _ { t } ] | \geq \textrm { D } _ { \operatorname* { m a x } } / 2 \right) + \mathbb P _ { t - 1 } ( \Vert W _ { t } \Vert \geq \textrm { W } _ { \operatorname* { m a x } } ) } \\ & { \leq \mathbb P _ { t - 1 } \left( | Y _ { t } - \mathbb E _ { t - 1 } [ Y _ { t } ] | \geq \left( 1 + 2 \Vert \Sigma _ { t } \Vert ^ { 1 / 2 } \right) \sqrt { \log ( 4 \textrm { P } ) } \right) + \mathbb P _ { t - 1 } ( \Vert W _ { t } \Vert \geq \textrm { W } _ { \operatorname* { m a x } } ) } \\ & { \leq \frac { 1 } { \textrm { P } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } V _ { 0 } } & { = - t _ { * } \partial _ { t _ { * } } , } & { \qquad V _ { 1 } } & { = \chi \rho \partial _ { \rho } , } \\ { V _ { j } } & { = \chi \Omega _ { j } \quad ( j = 2 , \ldots , N ^ { \prime } ) , } & { \qquad V _ { k } } & { = ( 1 - \chi ) W _ { k } \quad ( k = N ^ { \prime } + 1 , \ldots , N ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { 1 } v _ { 0 j } ^ { ( 0 , j , 1 ) } } & { = ( - q ) ^ { - j } ( 1 - q ^ { j } ) v _ { 0 j } ^ { ( 0 , j , 0 ) } - v _ { 0 j } ^ { ( 1 , j - 1 , 1 ) } = ( - q ) ^ { - j } ( 1 - q ^ { j } ) y _ { 1 2 } ^ { ( j ) } v _ { 0 j } - y _ { 2 } y _ { 1 2 } ^ { ( j - 1 ) } y _ { 1 } v _ { 0 j } } \\ & { = \frac { ( - q ) ^ { - j } ( 1 - q ^ { j } ) ( - q ) ^ { j } } { ( 1 - q ) ^ { j } [ j ] _ { q } ! } ( y _ { 2 } y _ { 1 } ) ^ { j } v _ { 0 j } - \frac { 1 } { ( 1 - q ) ^ { j - 1 } [ j - 1 ] _ { q } ! } ( y _ { 2 } y _ { 1 } ) ^ { j } v _ { 0 j } } \\ & { = \frac { 1 } { ( 1 - q ) ^ { j - 1 } [ j - 1 ] _ { q } ! } \left( \frac { 1 - q ^ { j } } { ( 1 - q ) [ j ] _ { q } } - 1 \right) ( y _ { 2 } y _ { 1 } ) ^ { j } v _ { 0 j } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } [ | \xi _ { b , i } | e ^ { W _ { b } ^ { ( i ) } / 2 } ( | \bar { \Delta } _ { 1 n , x } - \bar { \Delta } _ { 1 n , x } ^ { ( i ) } | + | \bar { \Delta } _ { 2 n , x } - \bar { \Delta } _ { 2 n , x } ^ { ( i ) } | ) ] } \\ & { \leq C \mathbb { E } [ | \xi _ { b , i } | e ^ { W _ { b } ^ { ( i ) } / 2 } ( | \bar { D } _ { 1 n } - \bar { D } _ { 1 n } ^ { ( i ) } | + x | \bar { D } _ { 2 n } - \bar { D } _ { 2 n } ^ { ( i ) } | ) ] } \\ & { \leq C \Big \{ \| \xi _ { b , i } e ^ { W _ { b } ^ { ( i ) } / 2 } \| _ { p _ { 1 } } \| \bar { D } _ { 1 n } - \bar { D } _ { 1 n } ^ { ( i ) } \| _ { q _ { 1 } } + x \| \xi _ { b , i } e ^ { W _ { b } ^ { ( i ) } / 2 } \| _ { p _ { 2 } } \| \bar { D } _ { 2 n } - \bar { D } _ { 2 n } ^ { ( i ) } \| _ { q _ { 2 } } \Big \} } \\ & { \leq C \Big \{ \| \xi _ { i } \| _ { p _ { 1 } } \| \bar { D } _ { 1 n } - \bar { D } _ { 1 n } ^ { ( i ) } \| _ { q _ { 1 } } + x \| \xi _ { i } \| _ { p _ { 2 } } \| \bar { D } _ { 2 n } - \bar { D } _ { 2 n } ^ { ( i ) } \| _ { q _ { 2 } } \Big \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { s } w ( k _ { n } ) } & { = a ( k _ { n + 1 } ) w ( k _ { n + 1 } ) - a ( k _ { n - 1 } ) w ( k _ { n - 1 } ) - j ( k _ { n } ) } \\ & { \le \frac { c } \eta ( \tilde { w } ( n - 1 ) + \tilde { w } ( n + 1 ) ) + 2 e ^ { - \kappa \xi \eta ( s - \tilde { s } _ { 0 } ) } j ( k _ { 0 } + n , \tilde { s } _ { 0 } ) + 4 \frac { 1 } { \beta \eta ^ { 2 } } \tilde { w } ( n ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathsf { E } [ \tau ] } & { \le \frac { \log _ { 2 } ( M - 1 ) } { C } + \frac { \log _ { 2 } ( 2 q ) } { q \cdot C } + \left\lceil \frac { \log _ { 2 } ( \frac { 1 - \epsilon } { \epsilon } ) } { C _ { 2 } } \right\rceil \frac { C _ { 2 } } { C _ { 1 } } } \\ & { \phantom { = \, } + 2 ^ { - C _ { 2 } } \left( \frac { C _ { 2 } + \frac { \log _ { 2 } ( 2 q ) } { q } } { C } - \frac { C _ { 2 } } { C _ { 1 } } \right) \frac { 1 - \frac { \epsilon } { 1 - \epsilon } 2 ^ { - C _ { 2 } } } { 1 - 2 ^ { - C _ { 2 } } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { I _ { \mathcal { C } } } ^ { ( a , b ) } } & { = } & { \sum _ { k = 0 } ^ { m - 1 } \frac { 1 } { h _ { k } } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \left( \frac { 1 - x } { 2 } \right) ^ { a } \left( \frac { 1 + x } { 2 } \right) ^ { b + 1 } \ln ^ { 2 } \frac { 1 + x } { 2 } J _ { k } ^ { ( a , b ) } ( x ) ^ { 2 } \, \mathrm { d } x } \\ { \mathcal { A } _ { 1 } ^ { ( a , b ) } } & { = } & { \sum _ { k = 0 } ^ { m - 1 } \frac { 1 } { h _ { k } } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \left( \frac { 1 - x } { 2 } \right) ^ { a } \left( \frac { 1 + x } { 2 } \right) ^ { b + 2 } \ln ^ { 2 } \frac { 1 + x } { 2 } J _ { k } ^ { ( a , b ) } ( x ) ^ { 2 } \, \mathrm { d } x . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { X \sim p } \left( \log { \frac { p _ { 1 } ( X ) } { p _ { 2 } ( X ) } } \right) ^ { 2 } = \int \left( \log { \frac { p _ { 1 } ( X ) } { p _ { 2 } ( X ) } } \right) ^ { 2 } p ( x ) \mathrm { d } x } \\ & { \le 4 \int \operatorname* { m a x } \left\{ \left( \sqrt { \frac { p _ { 1 } ( x ) } { p _ { 2 } ( x ) } } - 1 \right) ^ { 2 } , \left( \sqrt { \frac { p _ { 2 } ( x ) } { p _ { 1 } ( x ) } } - 1 \right) ^ { 2 } \right\} p ( x ) \mathrm { d } x } \\ & { = 4 \int \operatorname* { m a x } \left\{ { \frac { 1 } { p _ { 2 } ( x ) } } \left( \sqrt { p _ { 1 } ( x ) } - \sqrt { p _ { 2 } ( x ) } \right) ^ { 2 } , { \frac { 1 } { p _ { 1 } ( x ) } } \left( \sqrt { p _ { 2 } ( x ) } - \sqrt { p _ { 1 } ( x ) } \right) ^ { 2 } \right\} p ( x ) \mathrm { d } x } \\ & { \le 4 C \int \left( \sqrt { p _ { 1 } ( x ) } - \sqrt { p _ { 2 } ( x ) } \right) ^ { 2 } \mathrm { d } x } \\ & { = 2 C h ^ { 2 } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } V ( \mathbf { R } ) } & { \equiv \sum _ { i = 1 } ^ { N } q _ { i } v ( \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { R } ) } \\ & { = { \frac { q _ { \mathrm { t o t } } } { R } } + { \frac { 1 } { R ^ { 3 } } } \sum _ { \alpha = x , y , z } P _ { \alpha } R _ { \alpha } + { \frac { 1 } { 2 R ^ { 5 } } } \sum _ { \alpha , \beta = x , y , z } Q _ { \alpha \beta } R _ { \alpha } R _ { \beta } + \cdots } \end{array} }
{ \begin{array} { l l l l } { e \mapsto { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } } & { i \mapsto { \left( \begin{array} { l l } { i } & { 0 } \\ { 0 } & { \! \! \! \! - i } \end{array} \right) } } & { j \mapsto { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { \! \! \! - 1 } & { 0 } \end{array} \right) } } & { k \mapsto { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { i } \\ { i } & { 0 } \end{array} \right) } } \\ { { \overline { { e } } } \mapsto { \left( \begin{array} { l l } { \! \! \! - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { \! \! \! \! - 1 } \end{array} \right) } } & { { \overline { { i } } } \mapsto { \left( \begin{array} { l l } { \! \! \! - i } & { 0 } \\ { 0 } & { i } \end{array} \right) } } & { { \overline { { j } } } \mapsto { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { \! \! \! \! - 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } } & { { \overline { { k } } } \mapsto { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { \! \! \! \! - i } \\ { \! \! \! - i } & { 0 } \end{array} \right) } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { C \left( \| g ^ { \nu } \| _ { L ^ { 1 } ( ( 0 , T ) , L ^ { q } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ) ) } ^ { q } \right. } & { \left. + \| \rho _ { 0 } ^ { \nu } \| _ { L ^ { q } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ) } ^ { q } \right) \geq \| \rho ^ { \nu } ( t ) \| _ { L ^ { q } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ) } ^ { q } } \\ & { \geq 2 \pi \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { 1 } ^ { \infty } | \rho ^ { \nu } ( t ) | ^ { q } d r d z = 2 \pi \| \rho ^ { \nu } ( t ) \| _ { L ^ { q } ( \mathbb { H } \cap \{ r > 1 \} ) } ^ { q } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mathrm { A } ) } & { = \sum _ { \ell \in \mathbb Z ^ { d } } \vert \ell \vert ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { k \in \mathbb Z ^ { d } } \vert \widehat { H } _ { k } ( s ) \vert ^ { 2 } \vert k \vert ^ { 2 } ( t - s ) ^ { 3 } \varphi ( t - s ) ^ { 2 } \vert \nabla _ { \xi } \mathcal { G } _ { \ell - k } ^ { t , s } \left( \xi _ { \theta ^ { \star } } ^ { t , s } ( k ( t - s ) ) \right) \vert \, \mathrm { d } s \, \mathrm { d } t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { T } \sum _ { k \in \mathbb Z ^ { d } } \vert \widehat { H } _ { k } ( s ) \vert ^ { 2 } \int _ { s } ^ { T } \sum _ { \ell \in \mathbb Z ^ { d } } \vert \ell \vert ^ { 2 } \vert k \vert ^ { 2 } ( t - s ) ^ { 3 } \varphi ( t - s ) ^ { 2 } \vert \nabla _ { \xi } \mathcal { G } _ { \ell - k } ^ { t , s } \left( \xi _ { \theta ^ { \star } } ^ { t , s } ( k ( t - s ) ) \right) \vert \, \mathrm { d } t \, \mathrm { d } s } \\ & { \leq \Vert H \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { L } ^ { 2 } ( \mathbb T ^ { d } ) ) } ^ { 2 } \underset { k \in \mathbb Z ^ { d } } { \operatorname* { s u p } } \underset { 0 \leq s \leq T } { \operatorname* { s u p } } \int _ { s } ^ { T } \sum _ { \ell \in \mathbb Z ^ { d } } \vert \ell \vert ^ { 2 } \vert k \vert ^ { 2 } ( t - s ) ^ { 3 } \varphi ( t - s ) ^ { 2 } \vert \nabla _ { \xi } \mathcal { G } _ { \ell - k } ^ { t , s } \left( \xi _ { \theta ^ { \star } } ^ { t , s } ( k ( t - s ) ) \right) \vert \, \mathrm { d } t . } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { f } ^ { a } ( y | x ) = \frac { ( y - \mu ^ { a } ( P ) ( x ) ) } { \kappa _ { T , P } ( a | x ) } / \widetilde { V } ^ { a } ( \kappa _ { T , P } ) , \qquad S _ { \zeta } ^ { a } ( x ) = \big ( \mu ^ { a } ( P ) ( x ) - \mu ^ { a } ( P ) \big ) / \widetilde { V } ^ { a } ( \kappa _ { T , P } ) \ \ \ \mathrm { f o r } \ a \in [ K ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lvert | u - u _ { h } \rvert | _ { L ^ { 2 } } } & { \lesssim C _ { \textup { s o l } } ( u , \kappa ) h \lvert | u - u _ { h } \rvert | _ { H _ { \kappa } ^ { 1 } } } \\ & { \qquad + C _ { \textup { s o l } } ( u , \kappa ) \kappa \lvert | u - u _ { h } \rvert | _ { L ^ { 2 } } \bigl ( \lvert | u - u _ { h } \rvert | _ { L ^ { 3 } } + \lvert | u - u _ { h } \rvert | _ { L ^ { 6 } } ^ { 2 } \bigr ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle ( f ) _ { - } , g _ { \varepsilon } ( f ) \rangle _ { \mathcal { Y } ^ { * } , \mathcal { Y } } } & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \int _ { D } \sum _ { i } ( f _ { i } ) _ { - } g _ { \varepsilon } ( f _ { i } ) d x \pi ( \xi ) d \xi = \sum _ { i } \int _ { D } \int _ { f _ { i } ( x , \xi ) \le 0 } f _ { i } g _ { \varepsilon } ( f _ { i } ) \pi ( \xi ) d \xi d x , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { L ^ { \prime } = \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { J } } ^ { 2 } \sum _ { \alpha < \beta } q _ { \alpha \beta } S ^ { \alpha } S ^ { \beta } + \beta \sum _ { \alpha } ( \mu _ { _ { J } } m _ { \alpha } + h ) S ^ { \alpha } } \\ & { + \gamma \sum _ { \alpha < \beta } q _ { \alpha \beta } ^ { 2 } S ^ { \alpha } S ^ { \beta } + \gamma ^ { \prime } \sum _ { \alpha } m _ { \alpha } ^ { 2 } S ^ { \alpha } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \partial _ { t } ^ { \ell } [ \rho ( \phi ) u \cdot \nabla u ] \| ^ { 2 } \lesssim } & { \sum _ { a + b + c = \ell } \| \partial _ { t } ^ { a } \rho ( \phi ) \| _ { L ^ { \infty } } ^ { 2 } \| \partial _ { t } ^ { b } u \| _ { L ^ { 4 } } ^ { 2 } \| \nabla \partial _ { t } ^ { c } u \| _ { L ^ { 4 } } ^ { 2 } } \\ { \lesssim } & { \sum _ { a + b + c = \ell } \| \partial _ { t } ^ { a } \rho ( \phi ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \| \partial _ { t } ^ { b } u \| _ { 1 } ^ { 2 } \| \nabla \partial _ { t } ^ { c } u \| ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| \Delta \partial _ { t } ^ { c } u \| ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \\ { \lesssim } & { \sum _ { 0 \leq j \leq \ell } ( 1 + \| \partial _ { t } ^ { j } \phi \| _ { 2 } ^ { 4 } ) \| \partial _ { t } ^ { j } u \| ^ { \frac { 5 } { 2 } } \| \partial _ { t } ^ { j } u \| _ { 2 } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \\ { \lesssim } & { \sum _ { 0 \leq j \leq \ell } ( 1 + E _ { j } ^ { 2 } ( t ) ) E _ { j } ^ { \frac { 5 } { 4 } } ( t ) \| U _ { j } ( u , \phi ) \| ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \\ { \lesssim } & { \varepsilon _ { 0 } \mathbf { U } _ { \ell , 0 } + ( 1 + \mathbf { E } _ { \ell } ^ { 8 } ( t ) ) \mathbf { E } _ { \ell } ^ { 5 } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { T \in \mathcal { T } } \sum _ { x \in \mathcal { N } _ { \ell } \cap T \cap \omega } \operatorname { m e a s } ( T ) w _ { \ell , T } ( x ) ( f ( x ) - 2 \chi _ { \mathcal { C } _ { v _ { h } } } ( x ) ( \operatorname* { d e t } \mathrm { D } _ { \mathrm { p w } } ^ { 2 } v _ { h } ( x ) ) ^ { 1 / 2 } ) ^ { 2 } } \end{array}
\mathbb { E } [ \ell ( W , \hat { W } ) ] \geq \sqrt { \frac { \sigma _ { W } ^ { 2 } \pi } { 2 \left( 1 + \frac 3 5 n \frac { \sigma _ { W } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) ^ { \frac 3 2 } } } \left( - \frac 2 3 + 1 \right) ^ { \frac 3 2 } = \sqrt { \frac { \sigma _ { W } ^ { 2 } \pi } { \left( 1 + \frac 3 5 n \frac { \sigma _ { W } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) ^ { \frac 3 2 } } } \left( \frac { 1 } { 5 4 } \right) ^ { \frac 1 2 }
\begin{array} { r l } { D _ { 1 * 0 } d _ { 1 0 0 } ( c _ { 1 } \otimes \cdots \otimes c _ { n } \otimes w _ { + } ) } & { = D _ { 1 * 0 } d _ { 1 0 0 } ^ { c } ( c _ { 1 } \otimes \cdots \otimes c _ { n } \otimes w _ { + } ) } \\ & { \quad + D _ { 1 * 0 } d _ { 1 0 0 } ^ { w } ( c _ { 1 } \otimes \cdots \otimes c _ { n } \otimes w _ { + } ) } \end{array}
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \in \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Sigma \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { s } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \cup \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Sigma \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { e } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l } { e _ { 1 } } & { : \mathrm { ( i n p u t ) } \to v _ { 1 } , } \\ { e _ { 2 } } & { : v _ { 1 } \to v _ { 2 } , } \\ { e _ { 3 } } & { : v _ { 2 } \to \mathrm { ( o u t p u t ) } , } \\ { e _ { 4 } } & { : v _ { 1 } + v _ { 2 } \to v _ { 3 } + v _ { 4 } , } \\ { e _ { 5 } } & { : v _ { 3 } + v _ { 4 } \to v _ { 1 } + v _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { a b \to c d } ^ { ( 1 \mathrm { - c u t } ) } } & { = \Bigl ( \delta m _ { a } ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial m _ { a } ^ { 2 } } + \delta m _ { b } ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial m _ { b } ^ { 2 } } + \delta m _ { c } ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial m _ { c } ^ { 2 } } + \delta m _ { d } ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial m _ { d } ^ { 2 } } \Bigr ) M _ { a b \to c d } ^ { ( 0 ) } ( p , p ^ { \prime } , q , q ^ { \prime } ) } \\ & { - \Bigl ( \frac { \delta m _ { a } ^ { 2 } } { \tilde { p } ^ { 2 } - m _ { a } ^ { 2 } } + \frac { \delta m _ { b } ^ { 2 } } { \tilde { p } ^ { 2 } - m _ { b } ^ { 2 } } + \frac { \delta m _ { c } ^ { 2 } } { \tilde { q } ^ { 2 } - m _ { c } ^ { 2 } } + \frac { \delta m _ { d } ^ { 2 } } { \tilde { q } ^ { 2 } - m _ { d } ^ { 2 } } \Bigr ) M _ { a b \to c d } ^ { ( 0 ) } ( p , p ^ { \prime } , q , q ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi ( x , y ) = } & { \nabla _ { x } f ( x , y ) - \nabla _ { x y } g ( x , y ) \times [ \nabla _ { y ^ { 2 } } g ( x , y ) ] ^ { - 1 } \nabla _ { y } f ( x , y ) } \\ { \Phi ^ { ( m ) } ( x , y ) = } & { \nabla _ { x } f ^ { ( m ) } ( x , y ) - \nabla _ { x y } g ^ { ( m ) } ( x , y ) \times [ \nabla _ { y ^ { 2 } } g ^ { ( m ) } ( x , y ) ] ^ { - 1 } \nabla _ { y } f ^ { ( m ) } ( x , y ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| B ^ { - 1 } \| _ { 2 } = } & { ~ \frac { 1 } { \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( B ) } } \\ { = } & { ~ \frac { 1 } { \operatorname* { m i n } _ { x , \| x \| _ { 2 } = 1 } \| B x \| _ { 2 } } } \\ { = } & { ~ \frac { 1 } { \operatorname* { m i n } _ { x , \| x \| _ { 2 } = 1 } x ^ { \top } B x } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { F _ { 1 } ( s ) } & { = \exp \left( - { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { s } ^ { \infty } q ( x ) \, d x \right) \, \left( F _ { 2 } ( s ) \right) ^ { 1 / 2 } } \\ { F _ { 4 } ( s / { \sqrt { 2 } } ) } & { = \cosh \left( { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { s } ^ { \infty } q ( x ) \, d x \right) \, \left( F _ { 2 } ( s ) \right) ^ { 1 / 2 } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } \left( \Delta p _ { C } = - \frac { 1 } { N } \right) = } & { ~ p _ { C } \sum _ { k _ { C } = 0 } ^ { k } { \frac { k ! } { k _ { C } ! ( k - k _ { C } ) ! } q _ { C | C } ^ { k _ { C } } q _ { D | C } ^ { k - k _ { C } } \mathcal { P } ( C \gets D ) } } \\ { = } & { ~ p _ { C } ( 1 - w _ { R } ) q _ { D | C } + p _ { C } w _ { R } ( 1 - w _ { R } ) \left[ \pi _ { D | C } - \left( - c + w _ { I } b + ( 1 - w _ { I } ) \frac { k - 1 } { k } q _ { C | C } b \right) \right] q _ { D | C } \delta } \\ & { + p _ { C } ( 1 - w _ { R } ) ^ { 2 } ( \pi _ { D | C } - \pi _ { C | C } ) \frac { k - 1 } { k } q _ { C | C } q _ { D | C } \delta + \mathcal { O } ( \delta ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { t } ^ { \varepsilon } } & { = \int _ { 0 } ^ { t } \Big ( b ^ { 0 } + \varphi ^ { \varepsilon , 0 } \Big ) ( X _ { s \wedge \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } , Y _ { s \wedge \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) \, \mathrm { d } s + \sum _ { l = 1 } ^ { m } \int _ { 0 } ^ { t } \Big ( \sigma _ { l } ^ { 0 } + \varphi _ { l } ^ { \varepsilon , 0 } \Big ) ( X _ { s \wedge \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } , Y _ { s \wedge \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) \, \mathrm { d } W _ { s } ^ { l } } \\ { V _ { t } ^ { \varepsilon , i } } & { = y ^ { i } + \int _ { 0 } ^ { t } \Big ( b ^ { i } - \theta ^ { i } b ^ { 0 } - \sum _ { j = 1 } ^ { n } \theta _ { y ^ { j } } ^ { i } \Sigma ^ { 0 j } + \psi ^ { i } \Big ) ( X _ { s \wedge \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } , Y _ { s \wedge \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) \, \mathrm { d } s } \\ & { + \sum _ { l = 1 } ^ { m } \int _ { 0 } ^ { t } \Big ( \sigma _ { l } ^ { i } - \theta ^ { i } \sigma _ { l } ^ { 0 } + \psi _ { l } ^ { i } \Big ) ( X _ { s \wedge \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } , Y _ { s \wedge \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) \, \mathrm { d } W _ { s } ^ { l } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | P _ { N , h } ( \eta _ { n } ) | } & { \leq h \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq z \leq \eta _ { N } } | U ^ { \prime } ( z ) | \frac { \eta ^ { \frac { 1 - \alpha } { B } } } { B \Gamma ( 1 - \alpha ) } \int _ { \eta _ { n } } ^ { \eta _ { N } } ( \eta ^ { - \frac { 1 } { B } } - z ^ { - \frac { 1 } { B } } ) ^ { - \alpha } z ^ { - \frac { 1 } { B } - 1 } ( \eta _ { i + 1 } - z ) d z } \\ & { = h \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq z \leq \eta _ { N } } | U ^ { \prime } ( z ) | \frac { 1 } { \Gamma ( 1 - \alpha ) } \int _ { ( \frac { n } { N } ) ^ { 1 / B } } ^ { 1 } ( 1 - s ) ^ { - \alpha } d s = \frac { h } { \Gamma ( 2 - \alpha ) } \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq z \leq \eta _ { N } } | U ^ { \prime } ( z ) | \left( 1 - \gamma ^ { - \frac { 1 } { B } } \right) ^ { 1 - \alpha } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \nu \rightarrow \lambda } \alpha _ { \nu } = \aleph _ { \omega _ { 1 } } } & { \Rightarrow \operatorname* { l i m } _ { \nu \rightarrow \lambda } \hat { \alpha } _ { \nu } = \aleph _ { \omega _ { 1 } } } \\ & { \Rightarrow \operatorname* { l i m } _ { \nu \rightarrow \lambda } \left[ \aleph _ { \gamma ( \nu ) } + k ( \nu ) \right] = \aleph _ { \omega _ { 1 } } } \\ & { \Rightarrow \operatorname* { s u p } \left( \{ \aleph _ { \gamma ( \nu ) } + k ( \nu ) \; \mid \; \nu < \lambda \} \right) = \aleph _ { \omega _ { 1 } } } \\ & { \Rightarrow \operatorname* { s u p } \left( \{ \aleph _ { \gamma ( \nu ) + 1 } \; \mid \; \nu < \lambda \} \right) = \aleph _ { \omega _ { 1 } } } \\ & { \Rightarrow \operatorname* { s u p } \left( \{ \aleph _ { \beta _ { \nu } } \; \mid \; \nu < \lambda \} \right) = \aleph _ { \omega _ { 1 } } } \\ & { \Rightarrow \operatorname* { l i m } _ { \nu \rightarrow \lambda } \aleph _ { \beta _ { \nu } } = \aleph _ { \omega _ { 1 } } } \\ & { \Rightarrow \operatorname* { l i m } _ { \nu \rightarrow \lambda } \beta _ { \nu } = \omega _ { 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { \xi _ { 0 } } \xi _ { 0 , t } } & { ( x , \xi _ { 0 } ) } \\ & { = \exp \Big ( - \int _ { 0 } ^ { t } b ( \varphi _ { 0 , r } ( x ) ) \, \mathrm { d } r - \int _ { 0 } ^ { t } B ( \varphi _ { 0 , r } ( x ) ) \circ \mathrm { d } W _ { r } - \int _ { 0 } ^ { t } \beta ( \varphi _ { 0 , r } ( x ) ) \diamond \mathrm { d } Z _ { r } \Big ) } \end{array}
T < \left[ \frac { \mathfrak c \mathfrak b } { \overline { \alpha } _ { H } \sigma ^ { 2 } \| b ^ { \prime } \| _ { \infty } ^ { 2 } } \exp \left( - \frac { \| b ^ { \prime } \| _ { \infty } } { \mathfrak b } \| b \| _ { \infty } T _ { \operatorname* { m a x } } ^ { H } ( \theta _ { \operatorname* { m a x } } \| b \| _ { \infty } T _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 1 - H } + \sigma ) \right) \right] ^ { \frac { 1 } { 2 H } } .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \partial _ { x } ^ { I } \varrho + u \cdot \nabla _ { x } \partial _ { x } ^ { I } \varrho + \frac { \varrho } { 1 - \rho _ { f } } \mathrm { d i v } _ { x } \Big [ \mathrm { K } _ { v p ^ { \prime } ( \varrho ) \nabla _ { v } f } ^ { \mathrm { f r e e } } ( \mathrm { J } _ { \varepsilon } \partial _ { x } ^ { I } \varrho ) - \mathrm { K } _ { p ^ { \prime } ( \varrho ) \nabla _ { v } f } ^ { \mathrm { f r e e } } ( \mathrm { J } _ { \varepsilon } \partial _ { x } ^ { I } \varrho ) u \Big ] } & { = \mathrm { l o w e r \ o r d e r \ t e r m s } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial \xi ^ { k } } \left( J a ^ { \alpha j } ( \boldsymbol { x } ( \boldsymbol { \xi } ) ) \frac { \partial \xi ^ { k } } { \partial x ^ { \alpha } } \frac { \partial \xi ^ { \beta } } { \partial x ^ { j } } \frac { \partial } { \partial \xi ^ { \beta } } \left( \frac { \psi ( \boldsymbol { x } ( \boldsymbol { \xi } ) , t ) } { J } \right) \right) } & { = \frac { \partial } { \partial \xi ^ { k } } \left( a ^ { \alpha j } ( \boldsymbol { x } ( \boldsymbol { \xi } ) ) \frac { \partial \xi ^ { k } } { \partial x ^ { \alpha } } \frac { \partial \xi ^ { \beta } } { \partial x ^ { j } } \frac { \partial \psi ( \boldsymbol { x } ( \boldsymbol { \xi } ) , t ) } { \partial \xi ^ { \beta } } \right) } \\ & { - \frac { \partial } { \partial \xi ^ { k } } \left( a ^ { \alpha j } ( \boldsymbol { x } ( \boldsymbol { \xi } ) ) \frac { \partial \xi ^ { k } } { \partial x ^ { \alpha } } \frac { \partial \xi ^ { \beta } } { \partial x ^ { j } } \frac { \partial \xi ^ { \gamma } } { \partial x ^ { \rho } } \frac { \partial ^ { 2 } x ^ { \rho } } { \partial \xi ^ { \gamma } \partial \xi ^ { \beta } } \psi ( \boldsymbol { x } ( \boldsymbol { \xi } ) ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { s ( t v ) \cdot v } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { v _ { i } \exp { ( t v _ { i } ) } } { \sum _ { j = 1 } ^ { n } \exp { ( t v _ { j } ) } } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { v _ { i } \exp { ( t ( v _ { i } - M ) ) } } { \sum _ { j = 1 } ^ { n } \exp { ( t ( v _ { j } - M ) ) } } } \\ & { = \sum _ { v _ { i } = M } \frac { v _ { i } \exp { ( t ( v _ { i } - M ) ) } } { \sum _ { j = 1 } ^ { n } \exp { ( t ( v _ { j } - M ) ) } } + \sum _ { v _ { i } < M } \frac { v _ { i } \exp { ( t ( v _ { i } - M ) ) } } { \sum _ { j = 1 } ^ { n } \exp { ( t ( v _ { j } - M ) ) } } } \\ & { = \sum _ { v _ { i } = M } \frac { M } { \sum _ { j = 1 } ^ { n } \exp { ( t ( v _ { j } - M ) ) } } + \sum _ { v _ { i } < M } \frac { v _ { i } \exp { ( t ( v _ { i } - M ) ) } } { \sum _ { j = 1 } ^ { n } \exp { ( t ( v _ { j } - M ) ) } } } \\ & { = \frac { K M } { \sum _ { j = 1 } ^ { n } \exp { ( t ( v _ { j } - M ) ) } } + \sum _ { v _ { i } < M } \frac { v _ { i } \exp { ( t ( v _ { i } - M ) ) } } { \sum _ { j = 1 } ^ { n } \exp { ( t ( v _ { j } - M ) ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial \hat { f } _ { \mathcal { D } } ^ { ( t ) } } { \partial { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } } } \\ { = } & { - \frac { 1 } { | \mathcal { D } | } \sum _ { v \in \mathcal { D } } ~ \frac { \partial g ( { \boldsymbol W } ^ { ( t ) } , { \boldsymbol U } ^ { ( t ) } ; { \boldsymbol X } _ { \mathcal { N } ^ { ( t ) } ( v ) } ) } { \partial { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } } } \\ { = } & { - \frac { 1 } { 2 | \mathcal { D } _ { + } | } \sum _ { v \in \mathcal { D } _ { + } } ~ \frac { \partial g ( { \boldsymbol W } ^ { ( t ) } , { \boldsymbol U } ^ { ( t ) } ; { \boldsymbol X } _ { \mathcal { N } ^ { ( t ) } ( v ) } ) } { \partial { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } } + \frac { 1 } { 2 | \mathcal { D } _ { - } | } \sum _ { v \in \mathcal { D } _ { - } } ~ \frac { \partial g ( { \boldsymbol W } ^ { ( t ) } , { \boldsymbol U } ^ { ( t ) } ; { \boldsymbol X } _ { \mathcal { N } ^ { ( t ) } ( v ) } ) } { \partial { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } } , } \end{array}
\rho _ { \mathsf { n } } ^ { * } ( w ) = \frac { \mathrm { e } ^ { - w ^ { 2 } / 2 } } { \sqrt { 2 \pi } | \hat { f } _ { P } ( w ) | ^ { 2 } } , \quad \hat { f } _ { P } ( w ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } t f _ { P } ( t ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } w t } , \quad f _ { P } ( t ) = \sqrt { 2 } \pi ^ { - 1 } \Gamma ( P ) ^ { - 1 / 2 } t ^ { P - 1 } \mathrm { e } ^ { - \frac { 1 } { 2 } t ^ { 2 } } .
\operatorname { c d f } _ { \mathrm { M J } } ( \gamma ) = { \frac { 2 { \sqrt { 2 } } } { 3 } } { \frac { e ^ { - { 1 } / { \theta } } } { \theta \operatorname { K } _ { 2 } \left( { \frac { 1 } { \theta } } \right) } } { \sqrt { \gamma - 1 } } ^ { 3 } + { \frac { 1 } { 5 { \sqrt { 2 } } } } { \frac { ( 5 \theta - 4 ) e ^ { - { 1 } / { \theta } } } { \theta ^ { 2 } \operatorname { K } _ { 2 } \left( { \frac { 1 } { \theta } } \right) } } { \sqrt { \gamma - 1 } } ^ { 5 } + { \mathcal { O } } \left( { \sqrt { \gamma - 1 } } ^ { 7 } \right)
\begin{array} { r l } { | p ( X ) - E [ p ( X ) ] | _ { 2 } } & { = | ( \mu \circ ( \mathrm { i d } \otimes E ) ) ( \partial _ { X : B } [ p ] \sharp ( X \otimes 1 - 1 \otimes X ) ) | _ { 2 } } \\ & { = \left| \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( q _ { i , 1 } ( X ) X E [ q _ { i , 2 } ( X ) ] - q _ { i , 1 } ( X ) E [ X q _ { i , 2 } ( X ) ] ) \right| _ { 2 } } \\ & { \leq \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( | q _ { i , 1 } ( X ) X E [ q _ { i , 2 } ( X ) ] | _ { 2 } + | q _ { i , 1 } ( X ) E [ X q _ { i , 2 } ( X ) ] | _ { 2 } ) } \\ & { \leq 2 | X | _ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \| q _ { i , 1 } ( X ) \| \cdot \| q _ { i , 2 } ( X ) \| } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \mathscr { F } ^ { \mathrm { e x t } } | } & { \leqslant ( 1 + \beta ) d _ { F } m ^ { k ( 2 k + 1 ) } \binom { t } { k } \binom { t } { k - 1 } ^ { k } \leqslant d _ { F } m ^ { k ( 2 k + 1 ) } t ^ { k ^ { 2 } } , } \\ { | \mathscr { F } ^ { \mathrm { e x t } } | } & { \geqslant \frac { \mu ^ { k + 1 } } { 2 } ( 1 - \beta ) d _ { F } m ^ { k ( 2 k + 1 ) } \binom { t } { k } \binom { t } { k - 1 } ^ { k } , } \\ & { \geqslant \frac { \mu ^ { k + 1 } } { 2 k ^ { k } ( k - 1 ) ^ { k ^ { 2 } } } d _ { F } m ^ { k ( 2 k + 1 ) } t ^ { k ^ { 2 } } \geqslant 1 6 \theta ^ { 1 / 2 } d _ { F } m ^ { k ( 2 k + 1 ) } t ^ { k ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { k } ^ { 1 } = \ } & { \ ( k + r - 2 ) ^ { 2 } h ^ { 2 } \langle q _ { k } - q ^ { * } , A ( q _ { k } - q ^ { * } ) \rangle } \\ & { - h ^ { 2 } ( k + r - 2 ) \langle A ( q _ { k } - q ^ { * } ) , ( k - 1 ) ( q _ { k } - q _ { k - 1 } ) + ( r - 1 ) ( q _ { k } - q ^ { * } ) \rangle } \\ { = \ } & { \ ( k + r - 2 ) ^ { 2 } h ^ { 2 } \langle q _ { k } - q ^ { * } , A ( q _ { k } - q ^ { * } ) \rangle } \\ & { \ - h ^ { 2 } ( k + r - 2 ) \langle A ( q _ { k } - q ^ { * } ) , ( k + r - 2 ) ( q _ { k } - q ^ { * } ) - ( k - 1 ) ( q _ { k - 1 } - q ^ { * } ) \rangle } \\ { = \ } & { \ h ^ { 2 } ( k + r - 2 ) ( k - 1 ) \langle q _ { k - 1 } - q ^ { * } , A ( q _ { k } - q ^ { * } ) \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \mathcal { G } ( x _ { t } , \nabla F ( x _ { t } ) , \gamma ) \| } & { \leq \| \mathcal { G } ( x _ { t } , \hat { \nabla } f ( x _ { t } , y _ { t } ) , \gamma ) \| + \| \mathcal { G } ( x _ { t } , \nabla F ( x _ { t } ) , \gamma ) - \mathcal { G } ( x _ { t } , \hat { \nabla } f ( x _ { t } , y _ { t } ) , \gamma ) \| } \\ & { = \frac { 1 } { \gamma } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| + \frac { 1 } { \gamma } \| \mathbb { P } _ { \mathcal { X } } ( x _ { t } - \gamma \hat { \nabla } f ( x _ { t } , y _ { t } ) ) - \mathbb { P } _ { \mathcal { X } } ( x _ { t } - \gamma \nabla F ( x _ { t } ) ) \| } \\ & { \leq \frac { 1 } { \gamma } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| + \| \hat { \nabla } f ( x _ { t } , y _ { t } ) - \nabla F ( x _ { t } ) \| . } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l } { x ( t ) } \\ { y ( t ) } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { \Re ( e ^ { i \omega t } \psi _ { x } ) } \\ { \Re ( e ^ { i \omega t } \psi _ { y } ) } \end{array} \right) } = \Re \left[ e ^ { i \omega t } { \left( \begin{array} { l } { \psi _ { x } } \\ { \psi _ { y } } \end{array} \right) } \right] = \Re \left( e ^ { i \omega t } | \psi \rangle \right) .
{ \begin{array} { r l } { x } & { = 0 . { \overline { { a _ { 1 } a _ { 2 } \cdots a _ { n } } } } } \\ { 1 0 ^ { n } x } & { = a _ { 1 } a _ { 2 } \cdots a _ { n } . { \overline { { a _ { 1 } a _ { 2 } \cdots a _ { n } } } } } \\ { \left( 1 0 ^ { n } - 1 \right) x = 9 9 \cdots 9 9 x } & { = a _ { 1 } a _ { 2 } \cdots a _ { n } } \\ { x } & { = { \frac { a _ { 1 } a _ { 2 } \cdots a _ { n } } { 1 0 ^ { n } - 1 } } = { \frac { a _ { 1 } a _ { 2 } \cdots a _ { n } } { 9 9 \cdots 9 9 } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { ( - 1 ) ^ { j + 1 } d x ^ { 1 } \wedge \dots \wedge \widehat { d x } ^ { j } \wedge \dots \wedge d x ^ { n } } & { = ( - 1 ) ^ { j + 2 } \frac { b _ { j } } { b _ { 1 } } d x ^ { i } \wedge d x ^ { 2 } \wedge \dots \wedge \widehat { d x } ^ { j } \wedge \dots \wedge d x ^ { n } } \\ & { = + \frac { b _ { j } } { b _ { 1 } } d x ^ { 2 } \wedge \dots \wedge d x ^ { n } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { \big ( \varepsilon \partial _ { t } + v \cdot \nabla _ { x } \big ) f _ { \ell } ^ { \varepsilon } = \displaystyle { \frac { 1 } { \varepsilon } } \mathcal { T } _ { \ell } [ f _ { 1 } ^ { \varepsilon } , f _ { 2 } ^ { \varepsilon } , \cdots , f _ { n } ^ { \varepsilon } ] ( f _ { \ell } ^ { \varepsilon } ) + \varepsilon \, G _ { \ell } ( f _ { 1 } ^ { \varepsilon } , f _ { 2 } ^ { \varepsilon } , \cdots , f _ { n } ^ { \varepsilon } , v ) , } \\ { \big ( \varepsilon \partial _ { t } + v \cdot \nabla _ { x } \big ) f _ { 3 } ^ { \varepsilon } = \displaystyle { \frac { 1 } { \varepsilon ^ { q } } \mathcal { T } _ { 3 } ( f _ { 3 } ^ { \varepsilon } ) } + \varepsilon \, G _ { 3 } ( f _ { 1 } ^ { \varepsilon } , f _ { 2 } ^ { \varepsilon } , \cdots , f _ { n } ^ { \varepsilon } , v ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { { 2 } } & { \mathrm { M a x i m i z e } \quad R _ { A B } ^ { \prime } } \\ & { \mathrm { \textit { s . t . } } \quad \quad \quad \, \, \, \, \, \zeta ^ { * } ( P _ { T } ) \geq 1 - \varepsilon _ { c } , } \\ & { \, \quad \quad \quad \quad \, \, \, \, \, P _ { T } \leq P _ { m a x } , } \\ & { \, \quad \quad \quad \quad \, \, \, \, \, \varepsilon _ { c } \in ( 0 , 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int \ensuremath { \mathrm { d } } \chi \circ \ensuremath { \mathrm { E } } ( f _ { \gamma } ) } & { = \int _ { \hat { A } } \tilde { f } _ { \gamma } ( [ e , 1 , \chi ] ) \ensuremath { \mathrm { d } } \chi } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \int _ { \hat { A } } \chi ( \gamma ) \ensuremath { \mathrm { d } } \chi } & { \mathrm { i f ~ } \gamma \in A } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { i f ~ } \gamma = e } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e . } } \end{array} \right. } \end{array}
d A _ { i j , k l } ^ { \alpha \beta } = W _ { \alpha \beta } ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } , I _ { i } ^ { \alpha } , I _ { j } ^ { \beta } \left\vert \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } , I _ { k } ^ { \alpha } , I _ { l } ^ { \beta } \right. ) d \boldsymbol { \xi \, } d \boldsymbol { \xi } _ { \ast } d \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } d \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime }
\begin{array} { r l r l } { \tau ^ { n } } & { = } & & { \partial _ { t } q ( x _ { i } , t ^ { n } ) + \lambda \partial _ { x } q ( x _ { i } , t ^ { n } ) - \partial _ { x } \left[ \alpha ( x _ { i } , t ^ { n } ) \partial _ { x } q ( x _ { i } , t ^ { n } ) \right] - \beta q ( x _ { i } , t ^ { n } ) } \\ & { } & { + } & { \frac { \Delta t } { 2 } \left\lbrace \phantom { \frac { b } { b } } \! \! \! \partial _ { t } ^ { ( 2 ) } q ( x _ { i } , t ^ { n } ) + \lambda \partial _ { x } \left[ - \lambda \partial _ { x } q ( x _ { i } , t ^ { n } ) + \beta q ( x _ { i } , t ^ { n } ) \right] \right. } \\ & { } & { - } & { \left. \beta \left[ - \lambda \partial _ { x } q ( x _ { i } , t ^ { n } ) + \beta q ( x _ { i } , t ^ { n } ) \right] - \partial _ { x } \left[ \partial _ { t } \alpha ( x _ { i } , t ^ { n } ) \partial _ { x } q ( x _ { i } , t ^ { n } ) \right] \right. } \\ & { } & { + } & { \left. \lambda \partial _ { x } \left[ \alpha ( x _ { i } , t ^ { n } ) \partial _ { x } ^ { ( 2 ) } q ( x _ { i } , t ^ { n } ) \right] - \partial _ { x } \left\lbrace \alpha ( x _ { i } , t ^ { n } ) \partial _ { x } ^ { ( 2 ) } \left[ \alpha ( x _ { i } , t ^ { n } ) \partial _ { x } q ( x _ { i } , t ^ { n } ) \right] \right\rbrace \right. } \\ & { } & { - } & { \left. \beta \partial _ { x } \left[ \alpha ( x _ { i } , t ^ { n } ) \partial _ { x } q ( x _ { i } , t ^ { n } ) \right] - \beta \partial _ { x } \left[ \alpha ( x _ { i } , t ^ { n } ) \partial _ { x } q ( x _ { i } , t ^ { n } ) \right] \right. } \\ & { } & { + } & { \left. \partial _ { x } ^ { ( 2 ) } \left[ \alpha ( x _ { i } , t ^ { n } ) \partial _ { x } q ( x _ { i } , t ^ { n } ) \right] \phantom { \frac { b } { b } } \! \! \! \right\rbrace + \mathcal { O } \left( \Delta t ^ { 2 } \right) + \mathcal { O } \left( \Delta x ^ { 2 } \right) + \mathcal { O } \left( \Delta x \Delta t \right) } \\ & { = } & & { \mathcal { O } \left( \Delta t ^ { 2 } \right) + \mathcal { O } \left( \Delta x ^ { 2 } \right) + \mathcal { O } ( \Delta x \Delta t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { n } \bigg [ \operatorname* { s u p } _ { 0 \le t \le T } \bigg | \int _ { 0 } ^ { t } \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \sum _ { j , j ^ { \prime } \notin { L _ { j } ^ { \ell } } } \overleftarrow { \xi } _ { j } ^ { \ell } ( s ) \overline { { \xi } } _ { j + 1 } ( s ) \overline { { \xi } } _ { j ^ { \prime } } ( s ) ( \mathscr { E } _ { n } h ) _ { j , j ^ { \prime } } d s \bigg | ^ { 2 } \bigg ] \le \frac { T ^ { 2 } } { n ^ { 2 } \ell } \| \mathcal E _ { n } h \| _ { 2 , n } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { s _ { 3 } } & { = \frac { \left( - 2 1 2 2 7 5 + 2 6 5 2 5 i \sqrt { 7 } \right) Q _ { 0 } Q _ { 5 } } { 2 4 7 0 3 3 6 } + \frac { \left( 2 2 5 7 5 + 5 1 2 7 5 i \sqrt { 7 } \right) Q _ { 0 } Q _ { 8 } } { 1 2 3 5 1 6 8 } } \\ & { + \frac { \left( 1 3 9 4 7 5 + 1 7 5 7 5 i \sqrt { 7 } \right) Q _ { 1 } Q _ { 2 } } { 9 8 8 1 3 4 4 } + \frac { \left( 1 9 6 8 7 5 - 9 1 4 2 5 i \sqrt { 7 } \right) Q _ { 3 } Q _ { 4 } } { 2 4 7 0 3 3 6 } } \\ & { + \frac { \left( - 3 0 3 6 2 5 - 2 7 0 7 2 5 i \sqrt { 7 } \right) Q _ { 3 } Q _ { 7 } } { 4 9 4 0 6 7 2 } + \frac { \left( 1 3 9 4 7 5 + 1 7 5 7 5 i \sqrt { 7 } \right) Q _ { 6 } ^ { 2 } } { 1 2 3 5 1 6 8 } } \\ & { + \frac { \left( 7 9 5 7 2 5 - 2 8 7 1 7 5 i \sqrt { 7 } \right) Q _ { 6 } Q _ { 9 } } { 4 9 4 0 6 7 2 } + \frac { \left( - 5 7 5 7 5 - 5 4 9 6 7 5 i \sqrt { 7 } \right) Q _ { 9 } ^ { 2 } } { 9 8 8 1 3 4 4 } } \\ { d } & { = \frac { 2 5 } { 9 8 8 1 3 4 4 } \Bigl ( 3 4 0 7 \sqrt { - 7 } Q _ { 0 } ^ { 2 } + 1 7 0 4 5 Q _ { 0 } ^ { 2 } - 2 8 1 2 \sqrt { - 7 } Q _ { 1 } Q _ { 6 } - 2 2 3 1 6 Q _ { 1 } Q _ { 6 } } \\ & { + 3 2 9 \sqrt { - 7 } Q _ { 1 } Q _ { 9 } - 2 1 9 8 7 Q _ { 1 } Q _ { 9 } - 2 8 1 2 \sqrt { - 7 } Q _ { 2 } Q _ { 4 } - 2 2 3 1 6 Q _ { 2 } Q _ { 4 } + 3 2 9 \sqrt { - 7 } Q _ { 2 } Q _ { 7 } } \\ & { - 2 1 9 8 7 Q _ { 2 } Q _ { 7 } - 2 8 1 2 \sqrt { - 7 } Q _ { 3 } Q _ { 5 } - 2 2 3 1 6 Q _ { 3 } Q _ { 5 } + 3 2 9 \sqrt { - 7 } Q _ { 3 } Q _ { 8 } - 2 1 9 8 7 Q _ { 3 } Q _ { 8 } \Bigr ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { O } \left( \mathcal { I } _ { A } \left( K L \operatorname* { m a x } ( N , L ) ^ { 2 } + \operatorname* { m a x } ( K , M ) ^ { 4 . 5 } \log ( 1 / \epsilon ) \right. \right. } \\ { \left. \left. + \mathcal { I } _ { \tau } \operatorname* { m a x } ( N , K ) ^ { 4 . 5 } \log ( 1 / \epsilon ) + \mathcal { I } _ { S } K N ^ { 3 . 5 } \log ( N / \epsilon ) \right) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r c l l } { - \alpha _ { 1 } ^ { \theta } \cfrac { \partial } { \partial x _ { 1 } } \Big ( \alpha _ { 1 } ^ { \theta } \cfrac { \partial u } { \partial x _ { 1 } } \, \Big ) + \alpha _ { 2 } ^ { \theta } \cfrac { \partial } { \partial x _ { 2 } } \Big ( \alpha _ { 2 } ^ { \theta } \cfrac { \partial u } { \partial x _ { 2 } } \, \Big ) + \alpha _ { 3 } ^ { \theta } \cfrac { \partial } { \partial x _ { 3 } } \Big ( \alpha _ { 3 } ^ { \theta } \cfrac { \partial u } { \partial x _ { 3 } } \, \Big ) } & { = } & { \Lambda u } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega } \\ { u } & { = } & { 0 } & { \mathrm { ~ o n ~ } \partial \Omega . } \end{array}
\begin{array} { r } { \alpha _ { n } = \frac { n } { M n ^ { \varepsilon / 2 } } \mathbb { E } \! \left[ \mathrm { C a p } _ { M } ( X [ 0 , n ^ { \varepsilon / 2 } ) ) \right] = \frac { n } { M } \mathbb { E } \! \left[ \mathrm { C a p } _ { M } ( U _ { \pi } ) \right] ( 1 + o ( 1 ) ) = n \mathbb { E } \! \left[ \pi ( U _ { \pi } ) \right] ( 1 + o ( 1 ) ) = \tilde { \alpha } _ { n } ( 1 + o ( 1 ) ) , } \end{array}
r \phi _ { m } | _ { \mathcal { I } ^ { + } } ( u , \theta , \varphi ) \sim u ^ { - 1 } e ^ { - i m \upomega _ { + } u } \sum _ { \ell \: : \: \alpha _ { m \ell } < 0 } \mathfrak { h } _ { m \ell } \left( c _ { m \ell } \cdot e ^ { - i \sqrt { - \alpha _ { m \ell } } \log u } + d _ { m \ell } \cdot e ^ { i \sqrt { - \alpha _ { m \ell } } \log u } \right) e ^ { i m \varphi } S _ { m \ell } ( \theta ) ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \mathcal { P } _ { \mathcal { N } _ { 1 } } } = } & { \sum _ { n \in \mathcal { N } _ { 1 } } \left( \frac { \beta _ { 1 } \rho C ( M _ { n } ^ { * } ) } { f _ { n } ^ { e } } + \frac { \beta _ { 1 } M _ { n } ^ { * } d _ { n } } { R _ { n } t _ { n } } + \frac { \beta _ { 2 } M _ { n } ^ { * } d _ { n } p _ { n } } { R _ { n } } \right) } \\ & { + \mu _ { 0 } ( \sum _ { n \in \mathcal { N } _ { 1 } } t _ { n } - 1 ) + \mu _ { 1 } ( \sum _ { n \in \mathcal { N } _ { 1 } } f _ { n } ^ { e } - f ^ { e , m a x } ) , } \end{array}
\textup { r e s } _ { p } ^ { ( / \mathbf { g } ) } \, : \quad \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T _ { ? } ^ { \dagger } , \Delta _ { + } ) \longrightarrow { H } ^ { 1 } ( G _ { p } , F ^ { + } T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } \, \widehat \otimes \, F ^ { - } T _ { \mathbf { g } } \, \widehat \otimes \, F ^ { + } T _ { \mathbf { g } } ^ { * } ) \xrightarrow { \sim } { H } ^ { 1 } ( G _ { p } , F ^ { + } T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } ) \, \widehat \otimes \, \mathcal { R } _ { ? } \, .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { M } ^ { \mathfrak { A } } ( \tau ^ { ( 1 ) } , \cdots , \tau ^ { ( \mathsf { T } ) } ) = } & { ~ \prod _ { t = 1 } ^ { \mathsf { T } } \mathbb { P } _ { M } ^ { \mathfrak { A } } ( \tau ^ { ( t ) } | \tau ^ { ( 1 : t - 1 ) } ) } \\ { = } & { ~ \prod _ { t = 1 } ^ { \mathsf { T } } \prod _ { h = 1 } ^ { H } \mathbb { P } _ { M } ( o _ { h } ^ { ( t ) } | \tau _ { 1 : h } ^ { ( t ) } ) \times \pi _ { t , h } ^ { \mathfrak { A } } ( a _ { h } ^ { ( t ) } | \tau ^ { ( 1 : t - 1 ) } , \tau _ { 1 : h } ^ { ( t ) } , o _ { h } ^ { ( t ) } ) } \\ { = } & { ~ \prod _ { t = 1 } ^ { \mathsf { T } } \mathbb { P } _ { M } ( \tau ^ { ( t ) } ) \times \prod _ { t = 1 } ^ { \mathsf { T } } \prod _ { h = 1 } ^ { H } \pi _ { t , h } ^ { \mathfrak { A } } ( a _ { h } ^ { ( t ) } | \tau ^ { ( 1 : t - 1 ) } , \tau _ { 1 : h } ^ { ( t ) } , o _ { h } ^ { ( t ) } ) . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { d u _ { k \ } ^ { \ j i } } { d t } \leq - a ( u _ { k \ } ^ { \ j i } , u _ { k } ) + 1 = 1 - \chi ( u _ { k \ } ^ { \ j i } , u _ { k } ) u _ { k \ } ^ { \ j i } \leq 1 \mathrm { ~ s i n c e ~ } 0 \leq \chi ( u _ { k \ } ^ { \ j i } , u _ { k } ) \leq 1 \Rightarrow } \\ & { \Rightarrow u _ { k \ } ^ { \ j i } ( t ) \leq u _ { k \ } ^ { \ j i } ( 0 ) + t } \end{array}
\begin{array} { r l } & { D _ { \mathrm { C S } } ( p ( \mathbf { y } _ { 1 } | \mathbf { x } ) ; p ( \mathbf { y } _ { 2 } | \mathbf { x } ) ) \approx \log \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } L _ { j i } ^ { 1 } } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } ) ^ { 2 } } \right) \right) } \\ & { + \log \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } L _ { j i } ^ { 2 } } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } ) ^ { 2 } } \right) \right) - 2 \log \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } L _ { j i } ^ { 2 1 } } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } ) ^ { 2 } } \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \sum _ { a < n \le b } n ^ { - i t } \right| } & { \le C _ { 1 } ( h ) a ^ { 2 3 / 4 1 } t ^ { 1 1 / 8 2 } + C _ { 2 } ( h ) a ^ { 1 4 7 / 3 2 8 } t ^ { 6 1 / 3 2 8 } } \\ & { \qquad \qquad + E _ { 1 } ( h ) a ^ { 1 6 9 / 1 6 4 } t ^ { - 1 5 / 8 2 } + E _ { 2 } ( h ) a ^ { 5 9 / 1 2 3 } t ^ { 5 / 4 1 } + E _ { 3 } ( h ) a ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { z _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 2 } ^ { 2 } ( p ^ { 2 } x _ { 2 } ^ { 2 } - y _ { 1 } ^ { 2 } y _ { 2 } ^ { 2 } ) = p ^ { 2 } x _ { 2 } ^ { 6 } - p ^ { 2 } x _ { 2 } ^ { 4 } y _ { 1 } ^ { 2 } } & { + p ^ { 2 } x _ { 2 } ^ { 4 } y _ { 2 } ^ { 2 } - x _ { 2 } ^ { 2 } y _ { 1 } ^ { 2 } y _ { 2 } ^ { 2 } + c ^ { 2 } x _ { 2 } ^ { 2 } y _ { 1 } ^ { 2 } y _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { - p ^ { 2 } x _ { 2 } ^ { 2 } y _ { 1 } ^ { 2 } y _ { 2 } ^ { 2 } - x _ { 2 } ^ { 4 } y _ { 1 } ^ { 2 } y _ { 2 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } y _ { 1 } ^ { 4 } y _ { 2 } ^ { 2 } - x _ { 2 } ^ { 2 } y _ { 1 } ^ { 2 } y _ { 2 } ^ { 4 } + y _ { 1 } ^ { 4 } y _ { 2 } ^ { 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { L _ { 1 } , \dots , L _ { m } } ^ { ( m ) } ( q ) } & { \equiv \left[ \prod _ { j = 1 } ^ { m } \left( 1 - q ^ { L _ { j } } \right) \right] \cdot \prod _ { i = 1 } ^ { m } \oint \frac { { \mathrm { d } } v _ { i } } { 2 \pi i v _ { i } } \Bigg \{ \left[ \operatorname* { d e t } \left( \frac { 1 } { 1 - q ^ { L _ { i } } v _ { i } / v _ { j } } \right) _ { i , j = 1 , \dots , m } \right] ^ { 2 } \cdot } \\ & { \cdot \prod _ { 1 \leq i < j \leq m } \frac { \left( v _ { j } - q ^ { L _ { i } } v _ { i } \right) \left( v _ { i } - q ^ { L _ { j } } v _ { j } \right) } { \left( v _ { j } - v _ { i } \right) \left( q ^ { L _ { i } } v _ { i } - q ^ { L _ { j } } v _ { j } \right) } \Bigg \} . } \end{array}
\mu _ { \overline { { \mathbf { R } } } } ^ { m } \left( \psi \right) = \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \mu _ { \mathbf { T } } ^ { m } \left[ \left( \psi \circ \overline { { \mathbf { R } } } ^ { n } \right) _ { - } \right] = \overline { { \operatorname* { l i m } } } _ { n } \mu _ { \mathbf { T } } ^ { m } \left[ \left( \psi \circ \overline { { \mathbf { R } } } ^ { n } \right) _ { - } \right] \ .
\begin{array} { r l } & { a _ { \lambda _ { i } } u _ { \lambda _ { j } } = 2 ^ { i - j } a _ { \lambda _ { j } } u _ { \lambda _ { i } } , \quad \mathrm { f o r ~ n - 2 \geq ~ i > ~ j \geq ~ 0 ~ } } \\ & { a _ { 2 \alpha } u _ { \lambda _ { j } } = 2 ^ { n - 1 - j } a _ { \lambda _ { j } } u _ { 2 \alpha } , \quad \mathrm { f o r ~ n - 2 \geq ~ j \geq ~ 0 ~ } } \end{array}
\begin{array} { r } { \pi _ { n } ( \hat { \theta } + \hat { h } / \sqrt { n } ) \propto \exp \left( - j _ { \hat { \theta } , s t } \hat { h } _ { s } \hat { h } _ { t } / ( 2 n ) + ( \ell _ { \hat { \theta } , s t l } ^ { ( 3 ) } / n ) \hat { h } _ { s } \hat { h } _ { t } \hat { h } _ { l } / ( 6 \sqrt { n } ) \right) + O _ { P _ { 0 } ^ { n } } ( n ^ { - 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { x } ( Z _ { t N } ^ { L } > 0 ) } & { = \mathbb { P } _ { x } ( Z _ { t N } ^ { \tilde { \gamma } L } > 0 , R ^ { \tilde { \gamma } } ( [ 0 , t N ] ) = 0 ) + \mathbb { P } _ { x } ( Z _ { t N } ^ { L } > 0 , R ^ { \tilde { \gamma } } ( [ 0 , t N ] ) > 0 ) } \\ & { \leqslant \mathbb { P } _ { x } ( Z _ { t N } ^ { \tilde { \gamma } L } > 0 ) + \mathbb { P } _ { x } ( R ^ { \tilde { \gamma } } ( [ 0 , t N ] ) > 0 ) . } \end{array}
{ \begin{array} { l } { X _ { k } = \underbrace { \sum _ { m = 0 } ^ { N / 2 - 1 } x _ { 2 m } e ^ { - { \frac { 2 \pi i } { N / 2 } } m k } } _ { \mathrm { D F T \; o f \; e v e n - i n d e x e d \; p a r t \; o f \; } x _ { n } } + e ^ { - { \frac { 2 \pi i } { N } } k } \underbrace { \sum _ { m = 0 } ^ { N / 2 - 1 } x _ { 2 m + 1 } e ^ { - { \frac { 2 \pi i } { N / 2 } } m k } } _ { \mathrm { D F T \; o f \; o d d - i n d e x e d \; p a r t \; o f \; } x _ { n } } = E _ { k } + e ^ { - { \frac { 2 \pi i } { N } } k } O _ { k } \qquad { \mathrm { ~ f o r ~ } } k = 0 , \dots , { \frac { N } { 2 } } - 1 . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { f _ { \mathrm { t e m } } ( n ) } & { { = } f _ { j - 1 } ( n ) { + } z _ { j } f _ { \mathrm { t e m } } ( n { - } m ) , \ ( n { = } m , \ldots , N { - } 1 ) } \\ { f _ { j } ( n ) } & { { = } z _ { j } \big ( f _ { j } ( n { + } m ) { - } f _ { \mathrm { t e m } } ( n ) \big ) , \ ( n { = } N { - } 1 { - } m , \ldots , 0 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { x } \left( i _ { 1 } , \ldots , i _ { d } \right) = \sum _ { \alpha _ { 0 } , \ldots , \alpha _ { d - 1 } , \alpha _ { d } } } & { G _ { 1 } \left( \alpha _ { 0 } , i _ { 1 } , \alpha _ { 1 } \right) G _ { 2 } \left( \alpha _ { 1 } , i _ { 2 } , \alpha _ { 2 } \right) } \\ & { \ldots G _ { d } \left( \alpha _ { d - 1 } , i _ { d } , \alpha _ { d } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } \left( { \cal E } _ { h } ^ { ( 0 ) } ( t ) + \epsilon ( u _ { h } , \hat { u } _ { h } ) + \frac { \alpha \epsilon } { 2 } \| \hat { u } _ { h } \| ^ { 2 } \right) + ( \alpha - \epsilon ) \| u _ { h } \| ^ { 2 } + \epsilon \| A _ { h } ^ { 1 / 2 } \hat { u } _ { h } \| ^ { 2 } ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } \\ { \qquad \qquad \qquad = ( u _ { 1 , h } , u _ { h } ) + \alpha ( u _ { 0 , h } , u _ { h } ) + \epsilon ( u _ { 1 , h } , \hat { u } _ { h } ) + \epsilon \alpha ( u _ { 0 , h } , \hat { u } _ { h } ) . } \end{array}
\nabla \times \mathbf { H } = \sigma \mathbf { E } + \varepsilon { \frac { \mathrm { d } \mathbf { E } } { \mathrm { d } t } } \quad { \mathrm { ( S I ) } } , \qquad \nabla \times \mathbf { H } = { \frac { 4 \pi \sigma } { \mathrm { c } } } \mathbf { E } + { \frac { \varepsilon } { \mathrm { c } } } { \frac { \mathrm { d } \mathbf { E } } { \mathrm { d } t } } \quad { \mathrm { ( c g s ) } } ,
0 \to { \mathcal { O } } _ { \mathbb { P } ^ { n } } ( - d _ { 1 } - d _ { 2 } ) { \xrightarrow { \left[ \begin{array} { l } { f _ { 2 } } \\ { - f _ { 1 } } \end{array} \right] } } { \mathcal { O } } _ { \mathbb { P } ^ { n } } ( - d _ { 1 } ) \oplus { \mathcal { O } } _ { \mathbb { P } ^ { n } } ( - d _ { 2 } ) { \xrightarrow { \left[ \begin{array} { l l } { f _ { 1 } } & { f _ { 2 } } \end{array} \right] } } { \mathcal { O } } _ { \mathbb { P } ^ { n } } \to { \mathcal { O } } _ { X } \to 0
\left( \frac { \mathbb { P } _ { - s , s } ( \mathfrak { A } ^ { k } ( - s ) , \mathfrak { A } ^ { k } ( s ) , \mathfrak { A } _ { k + 1 } , [ - s , 0 ] \cup [ t , s ] ) } { \mathbb { P } _ { - s , s } ( \mathfrak { A } ^ { k } ( - s ) , \mathfrak { A } ^ { k } ( s ) , \mathfrak { A } _ { k + 1 } ) } \right) \times \mathbb { P } _ { 0 , t } ( f ( 0 ) , f ( t ) , \mathfrak { A } _ { k + 1 } ) ,
{ \begin{array} { r l } { I _ { 1 } } & { : = { \mathrm { t r } } ( \mathbf { B } ) = B _ { i i } = \lambda _ { 1 } ^ { 2 } + \lambda _ { 2 } ^ { 2 } + \lambda _ { 3 } ^ { 2 } } \\ { I _ { 2 } } & { : = { \frac { 1 } { 2 } } \left[ ( { \mathrm { t r } } ~ \mathbf { B } ) ^ { 2 } - { \mathrm { t r } } ( \mathbf { B } ^ { 2 } ) \right] = { \frac { 1 } { 2 } } \left( B _ { i i } ^ { 2 } - B _ { j k } B _ { k j } \right) = \lambda _ { 1 } ^ { 2 } \lambda _ { 2 } ^ { 2 } + \lambda _ { 2 } ^ { 2 } \lambda _ { 3 } ^ { 2 } + \lambda _ { 3 } ^ { 2 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { I _ { 3 } } & { : = \operatorname* { d e t } \mathbf { B } = J ^ { 2 } = \lambda _ { 1 } ^ { 2 } \lambda _ { 2 } ^ { 2 } \lambda _ { 3 } ^ { 2 } } \end{array} }
\Delta _ { i j , k l } ^ { \alpha \beta } \left( g \right) \, W _ { \alpha \beta } ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } , I _ { i } ^ { \alpha } , I _ { j } ^ { \beta } \left\vert \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } , I _ { k } ^ { \alpha } , I _ { l } ^ { \beta } \right. ) = 0 \mathrm { ~ a . e . }
\begin{array} { r l } { \mathbf { y } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) = } & { \sqrt { P _ { s } } \mathbf { H } \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { a } _ { t } ( \theta _ { k _ { 1 } } ^ { t } ) x _ { \Re } + \boldsymbol { a } _ { t } ( \theta _ { k _ { 2 } } ^ { t } ) j x _ { \Im } } \end{array} \right] + \mathbf { n } } \\ { = } & { \sqrt { P _ { s } } \sum _ { k = 1 } ^ { L } \beta _ { l } \boldsymbol { a } _ { r } ( \theta _ { l } ^ { r } ) \boldsymbol { a } _ { t } ^ { H } ( \theta _ { l } ^ { t } ) \boldsymbol { a } _ { t } ( \theta _ { k _ { 1 } } ^ { t } ) x _ { \Re } } \\ & { + \sqrt { P _ { s } } \sum _ { l = 1 } ^ { L } \beta _ { l } \boldsymbol { a } _ { r } ( \theta _ { l } ^ { r } ) \boldsymbol { a } _ { t } ^ { H } ( \theta _ { l } ^ { t } ) \boldsymbol { a } _ { t } ( \theta _ { k _ { 2 } } ^ { t } ) j x _ { \Im } + \mathbf { n } , } \end{array}
a ^ { 1 9 } + a ^ { 1 7 } c ^ { 2 } + 1 6 a ^ { 1 6 } c ^ { 3 } + 2 8 a ^ { 1 5 } c ^ { 4 } + 6 4 a ^ { 1 3 } b ^ { 4 } * c ^ { 2 } + 6 4 a ^ { 1 3 } b ^ { 3 } c ^ { 3 } + 2 8 a ^ { 1 3 } c ^ { 6 } + 4 1 6 a ^ { 1 2 } b ^ { 4 } c ^ { 3 } + 6 4 a ^ { 1 2 } b ^ { 3 } c ^ { 4 } + 1 1 2 a ^ { 1 2 } c ^ { 7 } + 2 5 6 a ^ { 1 1 } b ^ { 7 } c + 1 2 8 0 a ^ { 1 1 } b ^ { 4 } c ^ { 4 } + 8 3 2 a ^ { 1 1 } b ^ { 3 } c ^ { 5 } + 7 0 a ^ { 1 1 } c ^ { 8 } + 4 6 4 a ^ { 1 0 } b ^ { 8 } c + 1 1 5 2 a ^ { 1 0 } b ^ { 7 } c ^ { 2 } + 2 7 2 0 a ^ { 1 0 } b ^ { 4 } c ^ { 5 } + 8 3 2 a ^ { 1 0 } b ^ { 3 } c ^ { 6 } + 1 2 8 a ^ { 1 0 } c ^ { 9 } + 2 5 6 a ^ { 9 } b ^ { 1 0 } + 1 6 9 6 a ^ { 9 } b ^ { 8 } c ^ { 2 } + 2 6 8 8 a ^ { 9 } b ^ { 7 } c ^ { 3 } + 4 3 5 2 a ^ { 9 } b ^ { 4 } c ^ { 6 } + 1 6 6 4 a ^ { 9 } b ^ { 3 } c ^ { 7 } + 3 2 6 a ^ { 9 } c ^ { 1 0 } + 7 6 8 a ^ { 8 } b ^ { 1 1 } + 2 3 0 4 a ^ { 8 } b ^ { 1 0 } c + 5 3 9 2 a ^ { 8 } b ^ { 8 } c ^ { 3 } + 7 1 6 8 a ^ { 8 } b ^ { 7 } c ^ { 4 } + 5 4 4 0 a ^ { 8 } b ^ { 4 } c ^ { 7 } + 1 6 6 4 a ^ { 8 } b ^ { 3 } c ^ { 8 } + 2 4 0 a ^ { 8 } c ^ { 1 1 } + 3 8 4 a ^ { 7 } b ^ { 1 2 } + 5 6 3 2 a ^ { 7 } b ^ { 1 1 } c + 9 2 1 6 a ^ { 7 } b ^ { 1 0 } c ^ { 2 } + 1 2 2 8 8 a ^ { 7 } b ^ { 8 } c ^ { 4 } + 1 0 7 5 2 a ^ { 7 } b ^ { 7 } c ^ { 5 } + 5 5 0 4 a ^ { 7 } b ^ { 4 } c ^ { 8 } + 1 1 5 2 a ^ { 7 } b ^ { 3 } c ^ { 9 } + 2 8 a ^ { 7 } c ^ { 1 2 } + 1 7 9 2 a ^ { 6 } b ^ { 1 2 } c + 2 0 9 9 2 a ^ { 6 } b ^ { 1 1 } c ^ { 2 } + 2 1 5 0 4 a ^ { 6 } b ^ { 1 0 } c ^ { 3 } + 1 6 8 0 0 a ^ { 6 } b ^ { 8 } c ^ { 5 } + 1 2 5 4 4 a ^ { 6 } b ^ { 7 } c ^ { 6 } + 4 4 1 6 a ^ { 6 } b ^ { 4 } c ^ { 9 } + 1 1 5 2 a ^ { 6 } b ^ { 3 } c ^ { 1 } 0 + 4 2 2 4 a ^ { 5 } b ^ { 1 2 } c ^ { 2 } + 4 0 9 6 0 a ^ { 5 } b ^ { 1 1 } c ^ { 3 } + 3 2 2 5 6 a ^ { 5 } b ^ { 1 0 } c ^ { 4 } + 1 5 6 8 0 a ^ { 5 } b ^ { 8 } c ^ { 6 } + 1 1 5 2 0 a ^ { 5 } b ^ { 7 } c ^ { 7 } + 2 7 5 2 a ^ { 5 } b ^ { 4 } c ^ { 1 0 } + 3 2 0 a ^ { 5 } b ^ { 3 } c ^ { 1 1 } + 2 8 a ^ { 5 } c ^ { 1 4 } + 7 1 6 8 a ^ { 4 } b ^ { 1 2 } c ^ { 3 } + 5 1 7 1 2 a ^ { 4 } b ^ { 1 1 } c ^ { 4 } + 3 2 2 5 6 a ^ { 4 } b ^ { 1 0 } c ^ { 5 } + 1 1 1 6 8 a ^ { 4 } b ^ { 8 } c ^ { 7 } + 7 1 6 8 a ^ { 4 } b ^ { 7 } c ^ { 8 } + 1 3 1 2 a ^ { 4 } b ^ { 4 } c ^ { 1 1 } + 3 2 0 a ^ { 4 } b ^ { 3 } c ^ { 1 2 } + 1 6 a ^ { 4 } c ^ { 1 5 } + 1 2 8 a ^ { 3 } b ^ { 1 6 } + 3 0 7 2 a ^ { 3 } b ^ { 1 5 } c + 8 3 2 0 a ^ { 3 } b ^ { 1 2 } c ^ { 4 } + 4 1 4 7 2 a ^ { 3 } b ^ { 1 1 } c ^ { 5 } + 2 1 5 0 4 a ^ { 3 } b ^ { 1 0 } c ^ { 6 } + 5 6 3 2 a ^ { 3 } b ^ { 8 } c ^ { 8 } + 3 3 2 8 a ^ { 3 } b ^ { 7 } c ^ { 9 } + 3 8 4 a ^ { 3 } b ^ { 4 } c ^ { 1 2 } + 6 4 a ^ { 3 } b ^ { 3 } c ^ { 1 3 } + a ^ { 3 } c ^ { 1 6 } + 3 8 4 a ^ { 2 } b ^ { 1 6 } c + 3 0 7 2 a ^ { 2 } b ^ { 1 5 } c ^ { 2 } + 5 3 7 6 a ^ { 2 } b ^ { 1 2 } c ^ { 5 } + 1 9 9 6 8 a ^ { 2 } b ^ { 1 1 } c ^ { 6 } + 9 2 1 6 a ^ { 2 } b ^ { 1 0 } c ^ { 7 } + 1 9 3 6 a ^ { 2 } b ^ { 8 } c ^ { 9 } + 6 4 0 a ^ { 2 } b ^ { 7 } c ^ { 1 0 } + 3 2 a ^ { 2 } b ^ { 4 } c ^ { 1 3 } + 6 4 a ^ { 2 } b ^ { 3 } c ^ { 1 4 } + 3 8 4 a b ^ { 1 6 } c ^ { 2 } + 1 0 2 4 a b ^ { 1 5 } c ^ { 3 } + 1 4 0 8 a b ^ { 1 2 } c ^ { 6 } + 6 1 4 4 a b ^ { 1 1 } c ^ { 7 } + 2 3 0 4 a b ^ { 1 0 } c ^ { 8 } + 5 4 4 a b ^ { 8 } c ^ { 1 0 } + 1 2 8 a b ^ { 7 } c ^ { 1 1 } + a c ^ { 1 8 } + 1 2 8 b ^ { 1 6 } c ^ { 3 } + 1 0 2 4 b ^ { 1 5 } c ^ { 4 } + 7 6 8 b ^ { 1 1 } c ^ { 8 } + 2 5 6 b ^ { 1 0 } c ^ { 9 } + 8 0 b ^ { 8 } c ^ { 1 1 }
\begin{array} { r l } & { \tau _ { 2 } ( u , \lambda , \beta ) } \\ & { \! = \lambda \! \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \! \! \! \! \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \! \! \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \! r \, \mathrm { e } ^ { - \lambda \pi r ^ { 2 } - \sigma ^ { 2 } w _ { u , r , \theta } ^ { \, \beta } \, z } \, \frac { \rho _ { 2 } ( z , r , \theta | u , \lambda , \beta ) } { 1 + z } \, \mathrm { d } z \mathrm { d } r \mathrm { d } \theta , } \end{array}
\mathcal { F } ^ { \nu } _ { \alpha } = \left( \Lambda ^ { - 1 } \right) ^ { \nu } _ { \mu } \mathcal { F } ^ { \mu } _ { \beta } \Lambda ^ { \beta } _ { \alpha } \Leftrightarrow \mathcal { F } ^ { \mu } _ { \beta } = \Lambda ^ { \mu } _ { \nu } \mathcal { F } ^ { \nu } _ { \alpha } \left( \Lambda ^ { - 1 } \right) ^ { \alpha } _ { \beta } .
\begin{array} { r l } { r V } & { = r \left( - \frac { m _ { 1 } } { | x _ { 1 } + \frac { x _ { 0 } } { 2 } | } - \frac { m _ { 1 } } { | x _ { 1 } - \frac { x _ { 0 } } { 2 } | } - \frac { 1 } { | x _ { 0 } | } \right) } \\ & { = - \sum _ { i = 0 , 1 } \frac { m _ { 1 } } { \left( \frac { \sin ^ { 2 } \psi } { M _ { 1 } } + \frac { \cos ^ { 2 } \psi } { 4 M _ { 0 } } + ( - 1 ) ^ { i } \frac { \sin \psi \cos \psi } { ( M _ { 1 } M _ { 0 } ) ^ { 1 / 2 } } \cos ( \theta _ { 0 } - \theta _ { 1 } ) \right) ^ { 1 / 2 } } - \frac { M _ { 0 } ^ { 1 / 2 } } { \cos \psi } } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { - 2 } } & { = \frac 1 2 ( 1 + \cos ^ { 2 } \theta ) \sin 2 \phi h _ { + } + \cos \theta \cos 2 \phi h _ { \times } } \\ { h _ { - 1 } } & { = - \frac 1 2 \sin 2 \theta \sin \phi h _ { + } - \sin \theta \cos \phi h _ { \times } } \\ { h _ { 0 } } & { = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \sin ^ { 2 } \theta h _ { + } } \\ { h _ { 1 } } & { = - \frac 1 2 \sin 2 \theta \cos \phi h _ { + } + \sin \theta \sin \phi h _ { \times } } \\ { h _ { 2 } } & { = \frac 1 2 ( 1 + \cos ^ { 2 } \theta ) \cos 2 \phi h _ { + } - \cos \theta \sin 2 \phi h _ { \times } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { C \int _ { t _ { 1 } } ^ { t } \left( l s ^ { \alpha - \gamma + l - 4 } + \left( 2 + C _ { 1 } \right) s ^ { \alpha - \gamma - 2 } - \gamma \beta s ^ { \alpha - \gamma - 3 } \right) d s } \\ { = \ } & { C \left( \frac { l s ^ { \alpha - \gamma + l - 3 } } { \alpha - \gamma + l - 3 } + \frac { \left( 2 + C _ { 1 } \right) s ^ { \alpha - \gamma - 1 } } { \alpha - \gamma - 1 } - \frac { \gamma \beta s ^ { \alpha - \gamma - 2 } } { \alpha - \gamma - 2 } \right) \Bigg | _ { t _ { 1 } } ^ { t } } \\ { = \ } & { C \left( \frac { l t ^ { \alpha - \gamma + l - 3 } } { \alpha - \gamma + l - 3 } + \frac { \left( 2 + C _ { 1 } \right) t ^ { \alpha - \gamma - 1 } } { \alpha - \gamma - 1 } - \frac { \gamma \beta t ^ { \alpha - \gamma - 2 } } { \alpha - \gamma - 2 } \right) - C _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 4 n } { ( n - 2 ) ^ { 2 } } \binom { n } { 2 } ^ { - 1 } \sum _ { i < j } q _ { i j } ^ { 2 } } & { = \frac { 4 n } { ( n - 2 ) ^ { 2 } } \binom { n } { 2 } ^ { - 1 } \sum _ { i < j } \big [ q _ { i j } ^ { 2 } - \varphi _ { i i } - \varphi _ { j j } + \mathbb { E } [ q _ { 1 2 } ] ^ { 2 } ] } \\ & { \qquad + \frac { 8 } { ( n - 2 ) ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \big ( \varphi _ { i i } - \mathbb { E } [ q _ { 1 2 } ^ { 2 } ] \big ) + \frac { 4 n } { ( n - 2 ) ^ { 2 } } \mathbb { E } [ q _ { 1 2 } ^ { 2 } ] } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { z _ { 0 1 } } & { = \widetilde { r } ^ { - 1 } e ^ { i \widetilde { \psi } } \sin ( \theta / 2 ) , } \\ { z _ { 0 2 } } & { = \widetilde { r } ^ { - 1 } e ^ { i \widetilde { \phi } } \cos ( \theta / 2 ) , } \end{array} \right. \qquad \left\{ \begin{array} { l l } { z _ { 1 0 } } & { = \widetilde { r } e ^ { - i \widetilde { \psi } } \csc ( \theta / 2 ) , } \\ { z _ { 1 2 } } & { = e ^ { i ( \widetilde { \phi } - \widetilde { \psi } ) } \cot ( \theta / 2 ) , } \end{array} \right. \qquad \left\{ \begin{array} { l l } { z _ { 2 0 } } & { = \widetilde { r } e ^ { - i \widetilde { \phi } } \sec ( \theta / 2 ) , } \\ { z _ { 2 1 } } & { = e ^ { - i ( \widetilde { \phi } - \widetilde { \psi } ) } \tan ( \theta / 2 ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { \mathcal { P } _ { X Y } ( E ) } { \mathcal { P } _ { X } \mathcal { P } _ { Y } ( E ) } } & { \geq \exp \left( D _ { - \infty } ( \mathcal { P } _ { X Y } \| \mathcal { P } _ { X } \mathcal { P } _ { Y } ) \right) = \operatorname* { i n f } _ { F } \frac { \mathcal { P } _ { X Y } ( F ) } { \mathcal { P } _ { X } \mathcal { P } _ { Y } ( F ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial G _ { a b } ( \theta ) } { \partial Y _ { i j } ( \theta ) } = - G _ { a i } ( \theta ) ( Y ( \theta ) ^ { T } G ( \theta ) ) _ { j b } - ( G ( \theta ) Y ( \theta ) ) _ { a j } G _ { i b } ( \theta ) , \qquad \frac { \partial Y _ { i j } ( \theta ) } { \partial \theta } = \gamma \sum _ { c = 1 } ^ { M } { \boldsymbol u } _ { i } { \boldsymbol u } _ { b } ^ { T } X _ { b j } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } } & { = \int _ { 0 } ^ { t } { \mathbb E } _ { \mathbb { P } } \left[ \int _ { { \mathbb R } ^ { d } } F \left( \operatorname* { m a x } \left( M _ { s } , b \right) , b , \tilde { a } \right) B ^ { 1 } ( X _ { s } ) p _ { W ^ { * 1 } , W } ( b - X _ { s } ^ { 1 } , b - X _ { s } ^ { 1 } , \tilde { a } - \tilde { X } _ { s } ; t - s ) d b d \tilde { a } \right] d s } \\ & { - \int _ { 0 } ^ { t } { \mathbb E } _ { \mathbb { P } } \left[ \int _ { { \mathbb R } ^ { d + 1 } } F \left( \operatorname* { m a x } \left( M _ { s } , b \right) , a \right) B ^ { 1 } ( X _ { s } ) \partial _ { 1 } p _ { W ^ { * 1 } , W } ( b - X _ { s } ^ { 1 } , a - X _ { s } ; t - s ) d b d a \right] d s . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \Gamma _ { \mathrm { s c a l } } [ k _ { 1 } , \varepsilon _ { 1 } ; \ldots ; k _ { N } , \varepsilon _ { N } ; F ] = { ( - i e ) } ^ { N } { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \infty } } { \frac { d T } { T } } { ( 4 \pi T ) } ^ { - { \frac { D } { 2 } } } e ^ { - m ^ { 2 } T } \mathrm { d e t } ^ { { \frac { 1 } { 2 } } } \biggl [ \frac { \cal Z } { \mathrm { s i n } { \cal Z } } \biggr ] \prod _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { 0 } ^ { T } d \tau _ { i } } \\ & { } & { \times \exp \biggl \lbrace \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } \Bigl \lbrack { \frac { 1 } { 2 } } k _ { i } \cdot { \cal G } _ { B i j } \cdot k _ { j } - i \varepsilon _ { i } \cdot \dot { \cal G } _ { B i j } \cdot k _ { j } + { \frac { 1 } { 2 } } \varepsilon _ { i } \cdot \ddot { \cal G } _ { B i j } \cdot \varepsilon _ { j } \Bigr \rbrack \biggr \rbrace \mid _ { \mathrm { l i n } ( \varepsilon _ { 1 } , \ldots , \varepsilon _ { N } ) } } \end{array}
| \widetilde { \chi } _ { m } ^ { \omega } - \widetilde { \chi } _ { m } ^ { \sigma } | \leq C \Big | \frac { | \omega - \sigma | } { \operatorname* { m a x } ( | \omega | , | \sigma | , | m | ) } \Big | \cdot \operatorname* { m a x } ( \operatorname* { s u p } | \widetilde { \chi } | , \operatorname* { s u p } _ { \omega } | \partial _ { \omega } ( \widetilde { \chi } ( \omega , 1 ) ) | )
\begin{array} { r l } { \| \varepsilon ^ { - 2 } Z _ { t } ( x ) \| _ { n } } & { \leqslant C ( \varepsilon ^ { 4 } t ) ^ { - 1 } } \\ { \| \varepsilon ^ { - 2 } ( Z _ { t } ( x ) - Z _ { t } ( x ^ { \prime } ) ) \| _ { n } } & { \leqslant C ( \varepsilon ^ { 2 } | x - x ^ { \prime } | ) ^ { \alpha } ( \varepsilon ^ { 4 } t ) ^ { - 1 - \alpha / 2 } } \\ { \| \varepsilon ^ { - 2 } ( Z _ { t } ( x ) - Z _ { t ^ { \prime } } ( x ) ) \| _ { n } } & { \leqslant C ( \varepsilon ^ { 4 } t ^ { \prime } ) ^ { - 1 - \alpha / 2 } \; \varepsilon ^ { 2 \alpha } ( 1 \vee | t - t ^ { \prime } | ^ { \alpha / 2 } ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { H ( Y _ { 1 } , Y _ { 2 } | X _ { 1 } , X _ { 2 } = x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } & { = \sum _ { ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) \in { \mathcal { Y } } _ { 1 } \times { \mathcal { Y } } _ { 2 } } \mathbb { P } ( Y _ { 1 } , Y _ { 2 } = y _ { 1 } , y _ { 2 } | X _ { 1 } , X _ { 2 } = x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \log ( \mathbb { P } ( Y _ { 1 } , Y _ { 2 } = y _ { 1 } , y _ { 2 } | X _ { 1 } , X _ { 2 } = x _ { 1 } , x _ { 2 } ) ) } \\ & { = \sum _ { ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) \in { \mathcal { Y } } _ { 1 } \times { \mathcal { Y } } _ { 2 } } \mathbb { P } ( Y _ { 1 } , Y _ { 2 } = y _ { 1 } , y _ { 2 } | X _ { 1 } , X _ { 2 } = x _ { 1 } , x _ { 2 } ) [ \log ( \mathbb { P } ( Y _ { 1 } = y _ { 1 } | X _ { 1 } = x _ { 1 } ) ) + \log ( \mathbb { P } ( Y _ { 2 } = y _ { 2 } | X _ { 2 } = x _ { 2 } ) ) ] } \\ & { = H ( Y _ { 1 } | X _ { 1 } = x _ { 1 } ) + H ( Y _ { 2 } | X _ { 2 } = x _ { 2 } ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \tilde { g } _ { k } ^ { F } ( X _ { k } , V _ { k } , \xi _ { k } ) } & { = { g } _ { k } ( X _ { k } , U _ { k } , \xi _ { k } ) + f _ { C } \left( { \left( J _ { k } \right) } ^ { - 1 } \right) , } \\ { \tilde { g } _ { T } ^ { F } ( X _ { T } , V _ { T } ) } & { = { g } _ { N } ( X _ { T } ) + f _ { C } \left( { \left( J _ { T } \right) } ^ { - 1 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { V } ( x ) } & { = \beta ( \delta ) G _ { V , 2 : ( m + 1 ) } ( x ) \in \mathbb { R } ^ { ( m + 1 ) \times m } , } \\ { r _ { V } ( x ) } & { = \beta ( \delta ) G _ { V , 1 } ( x ) \in \mathbb { R } ^ { ( m + 1 ) \times 1 } , } \\ { b _ { V } ( x ) } & { = - L _ { \hat { g } } V ( x ) - \gamma _ { V , 2 : ( m + 1 ) } ^ { T } ( x ) \in \mathbb { R } ^ { 1 \times m } , } \\ { c _ { V } ( x ) } & { = - L _ { \hat { f } } V ( x ) - W ( x ) - \gamma _ { V , 1 } ( x ) \in \mathbb { R } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathbf { X } } ^ { k + 1 } = } & { \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k } - \gamma _ { x } ( \widehat { { \mathbf { X } } } ^ { k } - \widehat { { \mathbf { X } } } _ { R } ^ { k } ) = \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k } - \gamma _ { x } ( \widehat { { \mathbf { X } } } ^ { k } - { \mathbf { R } } \widehat { { \mathbf { X } } } ^ { k } ) } \\ { = } & { \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k } - \gamma _ { x } ( { \mathbf { I } } - { \mathbf { R } } ) \widehat { { \mathbf { X } } } ^ { k } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { C \sum _ { k _ { x } , k _ { y } , k _ { R } } ( k _ { x } k _ { y } ) ^ { 1 - \theta + \eta } ( | \log | x - y | | - k _ { R } ) ^ { - 2 + \theta + \eta } p _ { k _ { x } , k _ { y } , k _ { R } } ^ { 1 , 1 , \infty } } \\ & { + C | \log | x - y | | ^ { - 1 + \theta + \eta } \sum _ { k _ { x } , k _ { y } } ( k _ { x } k _ { y } ) ^ { 1 - \theta + \eta } p _ { k _ { x } , k _ { y } } ^ { 1 , 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \Omega } \Big ( - e _ { v } ^ { 2 } \wedge i _ { ( \ast e _ { v } ^ { 1 } ) ^ { \sharp } } d v + ( - 1 ) ^ { n } d \big ( e _ { v } ^ { 2 } \wedge \mathrm { l i } ( \tilde { e } _ { \Sigma } ^ { 1 } ) \big ) + e _ { v } ^ { 2 } \wedge f _ { v } ^ { 1 } \Big ) } \\ & { + \int _ { \Sigma } \Big ( ( - 1 ) ^ { n - 1 } e _ { \Sigma } ^ { 2 } \wedge \mathrm { t r } _ { \Sigma } ( e _ { v } ^ { 1 } ) + e _ { \Sigma } ^ { 2 } \wedge f _ { \Sigma } ^ { 1 } \Big ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log _ { s } ( { \mathbb { E } } [ Q _ { \ell } - Q _ { \ell - 1 } ] ) } & { \leq \tilde { c } _ { 1 } - \alpha _ { M } \ell , } \\ { \log _ { s } ( { \mathbb { V } } [ Q _ { \ell } - Q _ { \ell - 1 } ] ) } & { \leq \tilde { c } _ { 2 } - \beta _ { M } \ell , } \\ { \log _ { s } ( { \mathcal { C } } [ Q _ { \ell } - Q _ { \ell - 1 } ] ) } & { \leq \tilde { c } _ { 3 } + \gamma _ { M } \ell , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { A } ( \omega ; T _ { \omega , h } f , v _ { h } ) \, } & { = \, \langle f , v _ { h } \rangle \quad \mathrm { f o r ~ a l l ~ } v _ { h } \in V _ { h } , } \\ { \mathcal { A } ( \omega ; w _ { h } , T _ { \omega , h } ^ { * } g ) \, } & { = \, \langle w _ { h } , g \rangle \quad \mathrm { f o r ~ a l l ~ } w _ { h } \in V _ { h } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } & { \mathbf { \ddot { x } } + \omega _ { 0 } ^ { 2 } \mathbf { x } - \tau \mathbf { \overset { . . . } { x } } = { \frac { e } { m } } \mathbf { E } _ { 0 } ( t ) } \\ & { \mathbf { \ddot { x } } \approx - \omega _ { 0 } ^ { 2 } \mathbf { x } ( t ) } & & { \mathbf { \overset { . . . } { x } } \approx - \omega _ { 0 } ^ { 2 } \mathbf { \dot { x } } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \frac { c \hat { \lambda } _ { 1 } - \eta \gamma ^ { 2 } } { 2 } - \frac { ( r + \Xi _ { 1 } ) \delta } { 1 - \sqrt { \delta } } - \frac { r \delta \hat { \sigma } } { 1 - \sqrt { \delta } } } \\ { - \frac { ( c ^ { 2 } \hat { \lambda } _ { n } ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } ) ( \beta ^ { - 1 } + 4 \hat { \sigma } ) } { c \lambda _ { 2 } } \geq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi _ { 1 } ^ { \tau } ( f ) } & { = \mathrm { e } ^ { i \tau \langle \partial _ { x } ^ { 2 } \rangle } f - \frac { i } { 4 } B ^ { \tau } \big [ T _ { 0 } ^ { \tau } ( f ) + 2 L _ { 1 } ^ { \tau } ( f ) + 2 L _ { 2 } ^ { \tau } ( f ) + L _ { 3 } ^ { \tau } ( f ) + L _ { 4 } ^ { \tau } ( f ) + I _ { 1 } ^ { \tau } ( f ) } \\ & { \quad + 2 I _ { 2 } ^ { \tau } ( f ) \big ] - i \tau ( a t _ { n } + b ) B ^ { \tau } \big ( f + \psi _ { 1 } ( 2 i \tau \partial _ { x } ^ { 2 } ) \overline { { f } } \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { q _ { i } = \mathbb { P } ( \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } | | \mathbf { E } _ { n } | | _ { \ell ^ { 1 } } = 0 \mid \mathbf { E } _ { 0 } = \underline { { e } } _ { i } ) ; } \\ { \; \; } & { \tilde { q } _ { i } = \mathbb { P } ( \forall k \in \mathbb { Z } , \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } ( \mathbf { E } _ { n } ) _ { k } = 0 \mid \mathbf { E } _ { 0 } = \underline { { e } } _ { i } ) . } \end{array}
\underline { { c } } _ { i } \left\{ \begin{array} { l } { \displaystyle \Gamma ^ { \frac { q _ { i } ^ { - } } { 2 } } ( | t | ) \; \mathrm { i f ~ t ~ < ~ - 1 ~ } } \\ { \displaystyle \Gamma ^ { \frac { q _ { i } ^ { + } } { 2 } } ( | t | ) \; \mathrm { i f ~ t ~ > ~ 1 ~ } } \end{array} \right\} \leq f _ { i } ( t ) \leq \overline { { c } } _ { i } \left\{ \begin{array} { r c l } { \displaystyle \Gamma ^ { \frac { q _ { i } ^ { - } } { 2 } } ( | t | ) ; \mathrm { i f ~ t ~ < ~ - 1 ~ } } \\ { \displaystyle \Gamma ^ { \frac { q _ { i } ^ { + } } { 2 } } ( | t | ) \; \mathrm { i f ~ t ~ > ~ 1 ~ } } \end{array} \right\} \, .
\begin{array} { r } { \frac { \partial } { \partial t } c ( t _ { 0 } , t ) = \frac { 1 } { c ^ { 2 } ( t _ { 0 } , t ) } \int _ { 0 } ^ { t _ { 0 } } c ^ { 2 } ( \tau , t ) G ( { \bf X } ( c ( \tau , t ) , t ) , { \bf S } ( c ( \tau , t ) , t ) , \mathrm { \boldmath ~ \Psi ~ } ( c ( \tau , t ) , t ) ) \frac { \partial c } { \partial \tau } ( \tau , t ) d \tau . } \end{array}
H _ { 2 } ^ { \prime \prime } = ( 1 - \frac { 1 } { \theta ^ { a _ { 2 } } } ) \cdot \Big ( ( 1 - \frac { 1 } { \theta } ) \cdot \sum _ { i = a _ { 2 } } ^ { a _ { 1 } - 1 } \frac { 1 } { \theta ^ { i } - 1 } + ( 1 - \frac { 1 } { \theta } ) ^ { 2 } \cdot \delta ( a _ { 1 } , N ) \cdot \sum _ { i _ { 1 } = a _ { 1 } + 1 } ^ { N - 1 } \frac { 1 } { \theta ^ { i _ { 1 } } - 1 } \sum _ { i _ { 2 } = a _ { 1 } } ^ { i _ { 1 } - 1 } \frac { 1 } { \theta ^ { i _ { 2 } } - 1 } \Big ) ,
\begin{array} { r l r } { D ( \alpha \beta ) } & { = } & { D ( ( \sum _ { g \in G } \lambda _ { g } g ) ( \sum _ { g \in G } \mu _ { h } h ) ) = D ( \sum _ { g , h \in G } \lambda _ { g } \mu _ { h } ( g h ) ) = \sum _ { g , h \in G } \lambda _ { g } \mu _ { h } D ( g h ) } \\ & { = } & { \sum _ { g , h \in G } \lambda _ { g } \mu _ { h } ( D ( g ) \tau ( h ) + \sigma ( g ) D ( h ) ) = \sum _ { g , h \in G } \lambda _ { g } \mu _ { h } D ( g ) \tau ( h ) + \sum _ { g , h \in G } \lambda _ { g } \mu _ { h } \sigma ( g ) D ( h ) } \\ & { = } & { \sum _ { g , h \in G } D ( \lambda _ { g } g ) \tau ( \mu _ { h } h ) + \sum _ { g , h \in G } \sigma ( \lambda _ { g } g ) D ( \mu _ { h } h ) } \\ & { = } & { ( \sum _ { g \in G } D ( \lambda _ { g } g ) ) ( \sum _ { h \in H } \tau ( \mu _ { h } h ) ) + ( \sum _ { g \in G } \sigma ( \lambda _ { g } g ) ) ( \sum _ { h \in H } D ( \mu _ { h } h ) ) } \\ & { = } & { D ( \sum _ { g \in G } \lambda _ { g } g ) \tau ( \sum _ { h \in G } \mu _ { h } h ) + \sigma ( \sum _ { g \in G } \lambda _ { g } g ) D ( \sum _ { h \in G } \mu _ { h } h ) } \\ & { = } & { D ( \alpha ) \tau ( \beta ) + \sigma ( \alpha ) D ( \beta ) } \end{array}
\tilde { A } _ { n , 2 } = \tilde { A } _ { n , 1 } \cap \{ \smash { \operatorname* { s u p } _ { \| \theta - \hat { \theta } \| > 2 M _ { n } / \sqrt { n } } } \{ \ell ( \theta ) - \ell ( \hat { \theta } ) \} / n < - \smash { \tilde { c } _ { 2 } M _ { n } ^ { 2 } / n } \} \cap \{ \int \exp \{ \ell ( \hat { \theta } + \hat { h } / \sqrt { n } ) - \ell ( \hat { \theta } ) \} \pi ( \hat { \theta } + \hat { h } / \sqrt { n } ) d \hat { h } > \tilde { c } _ { 2 } \}
\begin{array} { r } { | Z _ { n + 1 } | _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } } } \le | Z _ { n + 1 } | _ { s _ { 0 } } ^ { 1 - \frac { \mu _ { \mathtt { p } } } { \mathtt { b } _ { 1 } - \mu _ { \mathtt { p } } } } | Z _ { n + 1 } | _ { s _ { 0 } + \mathtt { b } _ { 1 } - \mu _ { \mathtt { p } } } ^ { \frac { \mu _ { \mathtt { p } } } { \mathtt { b } _ { 1 } - \mu _ { \mathtt { p } } } } \overset { , } { \le _ { \mathtt { p _ { e } } } } \varepsilon ^ { 6 - 2 b } N _ { n } ^ { - \sigma _ { 4 } \left( 1 - \frac { \mu _ { \mathtt { p } } } { \mathtt { b } _ { 1 } - \mu _ { \mathtt { p } } } \right) + \frac { \mathtt { k } \mu _ { \mathtt { p } } } { \mathtt { b } _ { 1 } - \mu _ { \mathtt { p } } } } \overset \le \varepsilon ^ { 6 - 2 b } N _ { n } ^ { - \sigma _ { 5 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left< u , \left( \frac { R + R ^ { * } } { 2 } \right) ^ { - 1 } u \right> - \left< u , \frac { R ^ { - 1 } + ( R ^ { * } ) ^ { - 1 } } { 2 } u \right> } & { = \left< u , L ^ { - 1 } u \right> - \left< u , R ^ { - 1 } \cdot L \cdot ( R ^ { * } ) ^ { - 1 } u \right> } \\ & { = \left< u , L ^ { - 1 } u \right> - \left< ( R ^ { * } ) ^ { - 1 } u , L \cdot ( R ^ { * } ) ^ { - 1 } u \right> } \\ & { = \left< R ^ { * } v , L ^ { - 1 } R ^ { * } v \right> - \left< v , L v \right> } \\ & { \ \ \ \ \mathrm { [ s e t t i n g ~ \ensuremath { u = R ^ { * } v } ] } } \\ & { = \left< ( L - Q ) ^ { * } v , L ^ { - 1 } ( L - Q ) ^ { * } v \right> - \left< v , L v \right> } \\ & { = \left< v , ( L - Q ) L ^ { - 1 } ( L - Q ) ^ { * } v \right> - \left< v , L v \right> } \\ & { = \left< v , ( L - Q ) L ^ { - 1 } ( L + Q ) v \right> - \left< v , L v \right> } \\ & { \ \ \ \ \mathrm { [ s i n c e ~ \ensuremath { ( L - Q ) ^ { * } = L ^ { * } - Q ^ { * } = L + Q } ] } } \\ & { = \left< v , ( L - Q + Q - Q L ^ { - 1 } Q ) v \right> - \left< v , L v \right> } \\ & { = \left< v , - Q L ^ { - 1 } Q v \right> } \\ & { = \left< v , Q ^ { * } L ^ { - 1 } Q v \right> } \\ & { \ \ \ \ \mathrm { [ s i n c e ~ \ensuremath { Q ^ { * } = - Q } ] } } \\ & { = \langle Q v , L ^ { - 1 } Q v \rangle } \\ & { \geq 0 } \\ & { \ \ \ \ \mathrm { [ s i n c e ~ \ensuremath { L ^ { - 1 } } ~ i s ~ p o s i t i v e ~ d e f i n i t e ] } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { A } } & { = U ^ { T } A _ { r } U = \left[ \begin{array} { l } { \begin{array} { l r } { \tilde { A } _ { 1 1 } } & { \tilde { A } _ { 1 2 } } \\ { 0 } & { \tilde { A } _ { 2 2 } } \end{array} } \end{array} \right] , } \\ { \tilde { B } } & { = U ^ { T } B _ { 1 } = \left[ \begin{array} { l } { \begin{array} { c } { \tilde { B } _ { 1 1 } } \\ { \tilde { B } _ { 2 2 } } \end{array} } \end{array} \right] , } \\ { \tilde { C } } & { = U ^ { T } \big ( B _ { 2 } ( C _ { 1 } B _ { 2 } ) ^ { - 1 } - B _ { 1 } R ^ { - 1 } \big ) = \left[ \begin{array} { l } { \begin{array} { c } { \tilde { C } _ { 1 1 } } \\ { \tilde { C } _ { 2 2 } } \end{array} } \end{array} \right] , } \\ { \tilde { Z } } & { = U ^ { T } Z U = \tilde { B } R ^ { - 1 } \tilde { B } ^ { T } - \tilde { C } R \tilde { C } ^ { T } = \left[ \begin{array} { l } { \begin{array} { l r } { \tilde { Z } _ { 1 1 } } & { \tilde { Z } _ { 1 2 } } \\ { \tilde { Z } _ { 2 1 } } & { \tilde { Z } _ { 2 2 } } \end{array} } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathscr { E } _ { \mathrm { r e f } } ^ { l } ( \rho ^ { l } , \mathrm { d e v } ( \mathbf { H } _ { e } ^ { l } ) ) } & { = } & { \mathscr { E } _ { c } ^ { l } ( \rho ^ { l } ) + \mathscr { E } _ { s } ^ { l } ( \rho ^ { l } , \mathrm { d e v } ( \mathbf { H } _ { e } ^ { l } ) ) } \\ { p _ { \mathrm { r e f } } ^ { l } ( \rho ^ { l } , \mathrm { d e v } ( \mathbf { H } _ { e } ^ { l } ) ) } & { = } & { \rho ^ { 2 , l } \frac { \partial \mathscr { E } _ { \mathrm { r e f } } ^ { l } } { \partial \rho ^ { l } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad - [ \hbar \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \displaystyle \sum _ { u = i + 1 } ^ { n } ( - e _ { u , i + 1 } t ^ { - s } \otimes e _ { i + 1 , u } t ^ { s } + e _ { i + 1 , u } t ^ { - s - 1 } \otimes e _ { u , i + 1 } t ^ { s + 1 } , \hbar \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } e _ { v , j } t ^ { w } \otimes e _ { j , v } t ^ { - w } ] } \\ & { = \hbar ^ { 2 } \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \delta ( j > i ) e _ { j , i + 1 } t ^ { - s } e _ { v , j } t ^ { w } \otimes e _ { i + 1 , v } t ^ { s - w } } \\ & { \quad - \hbar ^ { 2 } \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \delta ( j > i ) e _ { v , i + 1 } t ^ { - s + w } \otimes e _ { j , v } t ^ { - w } e _ { i + 1 , j } t ^ { s } } \\ & { \quad + \hbar ^ { 2 } \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \displaystyle \sum _ { u = i + 1 } ^ { n } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \delta _ { i + 1 , j } e _ { v , u } t ^ { - s + w - 1 } \otimes e _ { u , i + 1 } t ^ { s + 1 } e _ { j , v } t ^ { - w } } \\ & { \quad - \hbar ^ { 2 } \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \displaystyle \sum _ { u = i + 1 } ^ { n } \sum _ { v = n + 1 } ^ { b } \delta _ { i + 1 , j } e _ { v , j } t ^ { w } e _ { i + 1 , u } t ^ { - s - 1 } \otimes e _ { u , v } t ^ { s - w + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \nabla _ { x } ^ { q } \mathrm { K } _ { ( t - s ) ^ { q } \mathcal { G } } ^ { \mathrm { f r i c } } [ H ] ( t , x ) = \sum _ { \ell \in \mathbb Z ^ { d } } e ^ { i \ell \cdot x } \left\lbrace ( i \ell ) ^ { q } \sum _ { k \in \mathbb Z ^ { d } } \int _ { 0 } ^ { t } ( t - s ) ^ { q } \widehat { H } _ { k } ( s ) ( i k ) \cdot ( \mathcal { F } _ { x , v } \mathcal { G } ) ( t , s , \ell - k , k ( e ^ { t - s } - 1 ) ) \, \mathrm { d } s \right\rbrace . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { H } ( \mathcal { M } ( \mu ) , \mathcal { M } ( \nu ) ) } & { = \operatorname* { s u p } \Big \{ \Big | \int f d \mathcal { M } ( \mu ) ( x ) - \int f d \mathcal { M } ( \nu ) ( x ) \Big | : L i p ( f ) \le 1 \Big \} } \\ & { = \operatorname* { s u p } \Big \{ \Big | \sum _ { i = 1 } ^ { N } p _ { i } \int f d \mu \circ f _ { i } ^ { - 1 } ( x ) - \sum _ { i = 1 } ^ { N } p _ { i } \int f d \nu \circ f _ { i } ^ { - 1 } ( x ) \Big | : L i p ( f ) \le 1 \Big \} . } \end{array}
\begin{array} { l } { A \! = \frac { ( n + 1 ) ( \alpha + \beta + n ) } { ( \alpha + \beta + 2 n + 1 ) ( \alpha + \beta + 2 n + 2 ) } , } \\ { B \! = \scriptstyle { s ( s + 1 ) - } \frac { \scriptstyle { a ^ { 2 } \! + b ^ { 2 } \! + ( a - \beta ) ^ { 2 } \! + ( b + \alpha ) ^ { 2 } } } { \scriptstyle { 4 } } + \frac { \scriptstyle { ( \alpha + \beta + 2 n ) ( \alpha + \beta + 2 n + 2 ) } } { \scriptstyle { 8 } } -- \frac { \scriptstyle { ( \beta ^ { 2 } \! - \alpha ^ { 2 } ) [ ( 2 b + \alpha ) ^ { 2 } \! - ( 2 a - \beta ) ^ { 2 } ] } } { \scriptstyle { 8 ( \alpha + \beta + 2 n ) ( \alpha + \beta + 2 n + 2 ) } } , } \\ { C \! = \frac { ( \alpha + n ) ( \beta + n ) } { ( \alpha + \beta + 2 n ) ( \alpha + \beta + 2 n + 1 ) } \! \left[ \left( \scriptstyle { a + b + } \frac { \scriptstyle { \alpha - \beta } } { \scriptstyle { 2 } } \right) ^ { 2 } \! \scriptstyle { - } \left( \scriptstyle { n } + \frac { \scriptstyle { \alpha + \beta } } { \scriptstyle { 2 } } \right) ^ { 2 } \right] \! \! \left[ \left( \scriptstyle { b - a + } \frac { \scriptstyle { \alpha + \beta } } { \scriptstyle { 2 } } \right) ^ { 2 } \! \scriptstyle { - } \left( \scriptstyle { n } + \frac { \scriptstyle { \alpha + \beta } } { \scriptstyle { 2 } } \right) ^ { 2 } \right] \! . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I } & { \le C | t - s | \int _ { s } ^ { t } ( u - r ) ^ { 2 H _ { 0 } \theta - 2 + \delta - \delta } \ensuremath { \mathrm { d } } u \le C | t - s | ( s - r ) ^ { - \delta } T ^ { 2 H _ { 0 } \theta - 2 + \delta } \int _ { s } ^ { t } 1 \ensuremath { \mathrm { d } } u } \\ & { \le C | t - s | ( s - r ) ^ { - \delta } T ^ { 2 H _ { 0 } \theta - 2 + \delta } | t - s | = C ( s - r ) ^ { - \delta } | t - s | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | r _ { 0 } | _ { 0 , s , 0 } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \le _ { s , \mathtt { p e } } \gamma ^ { - 1 } \left( \varepsilon ^ { 5 } + \varepsilon ^ { 3 } \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \right) , } \\ & { | d _ { i } r _ { 0 } ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] | _ { 0 , s , 0 } \le _ { s , \mathtt { p e } } \varepsilon ^ { 3 } \gamma ^ { - 1 } \left( \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } + \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \bar { u } _ { t + 1 } - u _ { \bar { x } _ { t + 1 } } \| ^ { 2 } } & { \leq ( 1 + \frac { \mu \tau \alpha _ { t } } { 4 } ) \| \bar { u } _ { t + 1 } - u _ { \bar { x } _ { t } } \| ^ { 2 } + ( 1 + \frac { 4 } { \mu \tau \alpha _ { t } } ) \| u _ { \bar { x } _ { t } } - u _ { \bar { x } _ { t + 1 } } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq ( 1 + \frac { \mu \tau \alpha _ { t } } { 4 } ) \| \bar { u } _ { t + 1 } - u _ { \bar { x } _ { t } } \| ^ { 2 } + ( 1 + \frac { 4 } { \mu \tau \alpha _ { t } } ) \bar { L } ^ { 2 } \| \bar { x } _ { t } - \bar { x } _ { t + 1 } \| ^ { 2 } } \end{array}
m _ { L } = { \frac { m _ { \mathrm { e m } } \left( 1 - { \frac { 1 } { 3 } } { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \right) } { \left( { \sqrt { 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } \right) ^ { 8 / 3 } } } , \quad m _ { T } = { \frac { m _ { \mathrm { e m } } } { \left( { \sqrt { 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } \right) ^ { 2 / 3 } } }
\begin{array} { r l r l } { \partial _ { t } \vec { u } ( x , y , t ) + \vec { u } ( x , y , t ) \cdot \nabla \vec { u } ( x , y , t ) + \nabla p } & { = \frac { 1 } { R e } \Delta \vec { u } ( x , y , t ) + f ( x , y ) , } & & { x \in ( 0 , 1 ) ^ { 2 } , t \in ( 0 , T ] } \\ { \nabla \cdot \vec { u } ( x , t ) } & { = 0 , } & & { x \in ( 0 , 1 ) ^ { 2 } , t \in [ 0 , T ] } \\ { \vec { u } ( x , 0 ) } & { = \vec { u } _ { 0 } ( x ) , } & & { x \in ( 0 , 1 ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { N ( \mathrm { R M } ( m , r ) ; S _ { \mathrm { o } } ) } & { \stackrel { ( a ) } { = } 2 \cdot | \{ h : h \mathrm { ~ i s ~ a ~ n o n - z e r o ~ p o l y n o m i a l ~ i n ~ m - 1 ~ v a r i a b l e s ~ w i t h ~ d e g } ( h ) \leq r - 1 \} | + 1 } \\ & { = 2 \cdot \left( 2 ^ { { \binom { m - 1 } { \leq r - 1 } } } - 1 \right) + 1 = 2 ^ { { \binom { m - 1 } { \leq r - 1 } } + 1 } - 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \pi _ { \bigstar _ { \perp \lambda _ { 0 } } } ^ { C _ { 2 ^ { n } } } H _ { h } = \mathbb { F } _ { 2 } \langle \Sigma ^ { - 1 } ( \frac { u _ { \alpha } } { a _ { \alpha } } ) ^ { i } \rangle \quad \mathrm { i f ~ n = 1 ~ , } } \\ & { \pi _ { \bigstar _ { \perp \lambda _ { 0 } } } ^ { C _ { 2 ^ { n } } } H _ { h } = \mathbb { F } _ { 2 } \langle \Sigma ^ { - 1 } ( \frac { u _ { \lambda _ { 0 } } } { a _ { \lambda _ { 0 } } } ) ^ { i } \rangle [ u _ { \alpha } ^ { \pm } , u _ { \lambda _ { 1 } } ^ { \pm } , \cdots , u _ { \lambda _ { n - 2 } } ^ { \pm } ] \langle 1 , a _ { \alpha } \rangle \quad \mathrm { i f ~ n \geq ~ 2 ~ } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathfrak { h } _ { n } ( m ) \cdot V ( a _ { i } ) \subset V ( a _ { i - 1 } ) } & { \; \; \mathrm { a n d } \; \; \mathfrak { h } _ { n } ( m ) \cdot V ( b _ { j } ) \subset V ( b _ { j - 1 } ) \oplus V ( b _ { j - 2 } ) } \\ { z \cdot V ( a _ { i } ) \subset V ( a _ { i - 2 } ) } & { \; \; \mathrm { a n d } \; \; z \cdot V ( b _ { j } ) \subset V ( b _ { j - 2 } ) } \end{array}
\ln \left( \frac { u ^ { \epsilon } ( v ) - e } { u ^ { 0 } ( v ) - e } \right) \sim \frac { 2 e \epsilon ^ { \prime } ( e ) } { \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } ( a \mu ) ^ { 1 / 4 } } W \left( \frac { 2 } { ( 1 - e ^ { 2 } ) } \tan ^ { - 1 } \left( \frac { 1 - e } { 1 + e } \tan \frac { v } { 2 } \right) + \frac { e \sin v } { ( 1 + 2 e \cos v + e ^ { 2 } ) } \right) ,
\Gamma _ { e } = \operatorname* { s u p } _ { x _ { 1 } , \ldots , x _ { d } } \left| \frac { \partial } { \partial x _ { i } } H ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { d } ) \right| = \operatorname* { s u p } _ { x } | h _ { i } ( x ) | = \operatorname* { m a x } \left\{ \left| \operatorname* { s u p } _ { x } h _ { i } ( x ) \right| , \left| \operatorname* { i n f } _ { x } h _ { i } ( x ) \right| \right\} \enspace .
+ \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { y } } \right| ^ { 4 } \} - 5 \left| \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } ^ { * } \} \right| ^ { 2 } \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { y } } \right| ^ { 2 } \} - \left| \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } \} \right| ^ { 2 } \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { y } } \right| ^ { 2 } \} + 2 \Re \left\{ 2 \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } ^ { * } \} \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { * } a _ { \mathrm { y } } \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } \} \right.
\tilde { \rho } _ { { \left| \frac { 1 } { 2 } \right\rangle } _ { \theta , L } } ( \omega ) = \tilde { \rho } _ { \left| \frac { 1 } { 2 } \right\rangle } ( \omega ) + \Delta \tilde { \rho } _ { \theta } ( \omega ) + \Delta \tilde { \rho } _ { R ^ { \prime } } ( \omega ) \quad \mathrm { w h e r e } ~ \Delta \tilde { \rho } _ { R ^ { \prime } } ( \omega ) = - \frac { e ^ { - \left( \frac { 1 } { 2 } + \xi - i \chi \right) | \omega | } + e ^ { - \left( \frac { 3 } { 2 } - \xi + i \chi \right) | \omega | } } { 2 \left( e ^ { - | \omega | } + 1 \right) } .
\begin{array} { r } { \mathbf { r } = \frac { \alpha + \beta + \gamma + \delta } { 4 } \left( \begin{array} { l l } { + } & { + } \\ { + } & { + } \end{array} \right) + \frac { \alpha - \beta + \gamma - \delta } { 4 } \left( \begin{array} { l l } { + } & { - } \\ { + } & { - } \end{array} \right) + \frac { \alpha + \beta - \gamma - \delta } { 4 } \left( \begin{array} { l l } { + } & { + } \\ { - } & { - } \end{array} \right) + \frac { \alpha - \beta - \gamma + \delta } { 4 } \left( \begin{array} { l l } { + } & { - } \\ { - } & { + } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { \gamma } _ { j , \mathtt { R B } } } & { = \widehat { \gamma } _ { j } - \frac { \sigma _ { X _ { j } } } { \eta } \frac { \phi \big ( A _ { j , + } \big ) - \phi \big ( A _ { j , - } \big ) } { 1 - \Phi \big ( A _ { j , + } \big ) + \Phi \big ( A _ { j , - } \big ) } , \mathrm { ~ w h e r e ~ } A _ { j , \pm } = - \frac { \hat { \gamma } _ { j } } { \sigma _ { X _ { j } } \eta } \pm \frac { \lambda } { \eta } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 3 - 2 i , 2 k + 4 + 6 i } ^ { A , i + 1 } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k - 3 - 2 i , 2 k + 3 + 6 i } ^ { A , i + 1 } \otimes v _ { 1 , 4 } } \\ & { + v _ { 4 k - 3 - 2 i , 2 k + 2 + 6 i } ^ { A , i + 1 } \otimes v _ { 1 , 5 } } \\ & { + v _ { 4 k - 3 - 2 i , 2 k + 1 + 6 i } ^ { A , i + 1 } \otimes v _ { 1 , 6 } } \end{array}
v ^ { t } \cdot \frac { f ^ { \prime } ( x _ { i } ^ { t } ) \cdot \Big [ \sum _ { j \in \mathcal { N } ^ { t } , j \ne i } f ( x _ { j } ^ { t } ) \Big ] } { \Big [ \sum _ { j \in \mathcal { N } ^ { t } } f ( x _ { j } ^ { t } ) \Big ] ^ { 2 } } \le C ^ { \prime } \Big ( \sum _ { t \in \mathcal { T } _ { i } } x _ { i } ^ { t } \Big ) \mathrm { ~ w i t h ~ e q u a l i t y ~ i f ~ x _ i ^ t ~ > ~ 0 ~ } .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } t \sin \left( x t \right) \phi \left( x \right) d x } & { = \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \int \frac { d } { d x } \left( - \cos \left( x t \right) \right) \phi \left( x \right) d x = \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \int \frac { d } { d x } \left( \frac { \sin \left( x t \right) } { t } \right) \phi _ { x } \left( x \right) d x } \\ & { = - \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \int \frac { \sin \left( x t \right) } { t } \phi _ { x x } \left( x \right) d x = \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \frac { C } { t } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { Q \frac { \exp \left( - \ensuremath { \mathcal { N } } _ { 0 } ^ { * } ( x , T ) \right) } { 2 T ^ { \frac n 2 } } \exp \left( - \frac { d ^ { 2 } } { Q T } \right) \ge Q _ { 1 } \frac { \exp \left( - \ensuremath { \mathcal { N } } _ { 0 } ^ { * } ( x _ { 1 } , T _ { 1 } ) \right) } { T _ { 1 } ^ { \frac n 2 } } \exp \left( - \frac { d _ { 0 } ^ { 2 } ( z _ { 1 } , y ) } { Q _ { 1 } T _ { 1 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \underline { { x } } ( \delta ) - ( y \rightarrow _ { G } \overline { z } ( \delta ) ) } & { = \operatorname* { m a x } ( x - \delta , 0 ) - z - \delta } \\ & { = \operatorname* { m a x } ( x - \delta - z - \delta , - z - \delta ) } \\ & { = \operatorname* { m a x } ( x - z - 2 \delta , - z - \delta ) \leq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( 0 ^ { - } ) } & { = \int _ { \gamma b } ^ { \tau - \gamma b } x ^ { \top } ( 0 ^ { - } , t ) \mathcal { Q } ^ { - } ( 0 ) x ( 0 ^ { - } , t ) \, d t } \\ & { = \int _ { \gamma b } ^ { \tau - \gamma b } \left[ \begin{array} { l } { \left( \mathcal { Q } ^ { - } ( 0 ) x ( 0 ^ { - } , t ) \right) _ { 1 } } \\ { f _ { I } } \end{array} \right] ^ { \top } \left( \mathcal { Q } ^ { - } ( 0 ) \right) ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l } { \left( \mathcal { Q } ^ { - } ( 0 ) x ( 0 ^ { - } , t ) \right) _ { 1 } } \\ { f _ { I } } \end{array} \right] \, d t . } \end{array}
\operatorname* { s u p } _ { i \leq N } \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { t \leq T } | X _ { t } ^ { i , N } - X _ { t } ^ { i , \infty } | \leq C \left\{ \begin{array} { l l } { ( \ln ( N ) ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } N ^ { \frac { 1 } { \alpha } - 1 } , \, } & { \mathrm { i f } \quad d = 1 , 2 \quad \mathrm { o r } \quad d \geq 3 \, \, \mathrm { a n d } \, \, \alpha < \frac { d } { d - 1 } , } \\ { N ^ { - \frac 1 d } , \, } & { \mathrm { i f } \quad d \geq 3 \, \, \mathrm { a n d } \, \, \alpha > \frac { d } { d - 1 } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { g \left( Z , \nabla _ { Y } \left( f X \right) \right) = \frac { 1 } { 2 } \Big ( f X g \left( Y , Z \right) } & { + Y g \left( Z , f X \right) - Z g \left( f X , Y \right) } \\ & { - g \left( \left[ f X , Z \right] , Y \right) - g \left( \left[ Y , Z \right] , f X \right) - g \left( \left[ f X , Y \right] , Z \right) \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \vartheta _ { n - k } | } & { = \left| \frac { 6 \tau } { 1 1 } \left[ \frac { 3 9 + 7 \sqrt { 3 9 } i } { 7 8 } \left( \frac { 7 - \sqrt { 3 9 } i } { 2 2 } \right) ^ { n - k } + \frac { 3 9 - 7 \sqrt { 3 9 } i } { 7 8 } \left( \frac { 7 + \sqrt { 3 9 } i } { 2 2 } \right) ^ { n - k } \right] \right| } \\ & { \le \frac { 1 2 \tau } { 1 1 } \sqrt { ( \frac { 3 9 } { 7 8 } ) ^ { 2 } + ( \frac { 7 \sqrt { 3 9 } } { 7 8 } ) ^ { 2 } } \left( \sqrt { ( \frac { 7 } { 2 2 } ) ^ { 2 } + ( \frac { \sqrt { 3 9 } } { 2 2 } ) ^ { 2 } } \right) ^ { n - k } } \\ & { = \tau \sqrt { \frac { 9 6 } { 1 4 3 } } \left( \frac { 2 } { 1 1 } \right) ^ { \frac { n - k } { 2 } } } \\ & { \le \left( \frac { 2 } { 1 1 } \right) ^ { \frac { n - k } { 2 } } \tau , \qquad \qquad \qquad \mathrm { f o r } \quad 3 \le k \le n . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } _ { n } \bigg [ \bigg | \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \big ( \overrightarrow { \xi } _ { j } ^ { \ell } ( s ) \big ) ^ { 2 } \nabla ^ { 1 , n } T _ { v _ { n } ^ { 1 } s } ^ { - } \varphi _ { j } ^ { n } d s \bigg | ^ { 2 } \bigg ] \le \frac { ( t _ { 2 } - t _ { 1 } ) ^ { 2 } n } { \ell } \| \partial _ { x } \varphi \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \big ( G _ { 1 } E _ { - } G _ { 2 } \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { y } } \right| } & { \prec 1 + \int _ { \mathbf { B } _ { \ell \kappa _ { 0 } } } \frac { \big | \big ( G ( x + \mathrm { i } \tilde { \eta } ) \big ) _ { \boldsymbol { x } ( E _ { - } \boldsymbol { y } ) } \big | } { \left| \big ( x - e _ { 1 } - \mathrm { i } ( \eta _ { 1 } - \tilde { \eta } ) \big ) \, \big ( x + e _ { 2 } - \mathrm { i } ( \eta _ { 2 } - \tilde { \eta } ) \big ) \right| } \mathrm { d } x } \\ & { \prec 1 + \frac { 1 } { | e _ { 1 } + e _ { 2 } | + \eta _ { 1 } + \eta _ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sum _ { x = 1 } ^ { \infty } x \binom { x - 1 } { n - 1 } w ^ { n } ( 1 - w ) ^ { x - n } } & { = } & { \sum _ { x = 1 } ^ { \infty } \frac { x ! } { ( x - n ) ! ( n - 1 ) ! } w ^ { n } ( 1 - w ) ^ { x - n } } \\ & { = } & { \sum _ { y = 2 } ^ { \infty } \frac { ( y - 1 ) ! } { ( y - m ) ! ( m - 2 ) ! } w ^ { m - 1 } ( 1 - w ) ^ { y - m } } \\ & { = } & { \frac { m - 1 } { w } \sum _ { y = 1 } ^ { \infty } \frac { ( y - 1 ) ! } { ( y - m ) ! ( m - 1 ) ! } w ^ { m } ( 1 - w ) ^ { y - m } } \\ & { = } & { \frac { m - 1 } { w } } \\ & { = } & { \frac { n } { w } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { D } = \left[ \begin{array} { c c c c c c c c c c } { 0 } & { 2 } & { 0 } & { 3 } & { 4 } & { 2 } & { 1 } & { 0 } \\ { 4 } & { 0 } & { 0 } & { 2 } & { 1 } & { 3 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 4 } & { 5 } & { 2 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 4 } & { 0 } & { 2 } & { 1 } & { 2 } & { 0 } & { 4 } & { 5 } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad _ { i , j , 3 } + _ { j , i + 1 , 3 } } \\ & { = \hbar ^ { 2 } \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \displaystyle \sum _ { u = 1 } ^ { i } \sum _ { v = n + 1 } ^ { a } \delta _ { i + 1 , j } e _ { v , u } t ^ { - s + w } \otimes e _ { u , i + 1 } t ^ { s } e _ { i + 1 , v } t ^ { - w } } \\ & { \quad - \hbar ^ { 2 } \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \displaystyle \sum _ { u = 1 } ^ { j } \sum _ { v = n + 1 } ^ { a } \delta _ { j , i + 1 } e _ { v , u } t ^ { - s + w } \otimes e _ { u , j } t ^ { s } e _ { j , v } t ^ { - w } } \\ & { = - \hbar ^ { 2 } \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { w \in \mathbb { Z } } \sum _ { v = n + 1 } ^ { a } \delta _ { j , i + 1 } e _ { v , j } t ^ { - s + w } \otimes e _ { j , j } t ^ { s } e _ { j , v } t ^ { - w } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial } { \partial \tau } R _ { L _ { \mathrm { t s } } } ( L , \tau ; \tau _ { 0 } ) = - P ^ { \mathrm { i n } } ( L ) \rho _ { L _ { \mathrm { t s } } } ( \tau | L ) } \\ & { - \frac { \partial } { \partial L } \left( \! \left[ f ( L ) + D ( L ) \ \frac { \partial } { \partial L } \log \! \left( \int _ { L _ { \mathrm { t s } } } ^ { L } d L ^ { \prime } \; e ^ { - \int ^ { L ^ { \prime } } \frac { 2 f ( L ^ { \prime \prime } ) } { D ( L ^ { \prime \prime } ) } d L ^ { \prime \prime } } \left( 1 - \int _ { L _ { \mathrm { t s } } } ^ { L ^ { \prime } } P ^ { \mathrm { i n } } ( L ^ { \prime \prime } ) d L ^ { \prime \prime } \! \right) \! \right) \! \right] R _ { L _ { \mathrm { t s } } } ( L , \tau ; \tau _ { 0 } ) \! \right) } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial L ^ { 2 } } D ( L ) R _ { L _ { \mathrm { t s } } } ( L , \tau ; \tau _ { 0 } ) \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { h ( x _ { 3 2 } x _ { 1 1 } x _ { 3 1 } ^ { * } x _ { 1 2 } ^ { * } ) } & { = h ( h a g ^ { * } b ^ { * } ) = ( - q ) ^ { - 1 } \cdot h ( h a ( b f - q \cdot c e ) ( d k - q \cdot f g ) ) } \\ & { = - q ^ { - 1 } [ h ( h a b f d k ) - q \cdot h ( h a c e d k ) - q \cdot h ( h a b f f g ) + q ^ { 2 } \cdot h ( h a c e f g ) ] } \\ & { = \frac { - q ^ { 7 } } { ( q ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } ( q ^ { 4 } + 1 ) ( q ^ { 4 } + q ^ { 2 } + 1 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \# \{ \mathrm { s i m p l e ~ g r a p h s ~ o n ~ N ~ n o d e s ~ a n d ~ M ~ e d g e s ~ t h a t ~ h a v e ~ m i n i m u m ~ d e g r e e ~ } \geq 1 \} } \\ & { = \# \{ \mathrm { s i m p l e ~ g r a p h s ~ o n ~ N ~ n o d e s ~ a n d ~ M ~ e d g e s } \} - | \cup _ { j = 1 } ^ { N } A _ { j } | } \\ & { = \binom { \binom { N } { 2 } } { M } - \sum _ { k = 1 } ^ { N } ( - 1 ) ^ { k - 1 } \binom { N } { k } \binom { \binom { N - k } { 2 } } { M } } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { N } ( - 1 ) ^ { k } \binom { N } { k } \binom { \binom { N - k } { 2 } } { M } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { { \frac { \partial K } { \partial t } } ( t , x , y ) = \Delta K ( t , x , y ) { \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } } t > 0 { \mathrm { ~ a n d ~ } } x , y \in \Omega } \\ & { \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 } K ( t , x , y ) = \delta _ { x } ( y ) { \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } } x , y \in \Omega } \\ & { K ( t , x , y ) = 0 , \quad x \in \partial \Omega { \mathrm { ~ o r ~ } } y \in \partial \Omega . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mu _ { 1 } } & { = 0 } \\ { \mu _ { 2 } } & { = \lambda + \frac { 1 - \theta } { \theta ^ { 2 } } } \\ { \mu _ { 3 } } & { = \frac { \theta ^ { 3 } \lambda + \theta ^ { 2 } - 3 \theta + 2 } { \theta ^ { 3 } } } \\ { \mu _ { 4 } } & { = \frac { \theta ^ { 4 } \lambda ( 3 \lambda + 1 ) - \theta ^ { 3 } ( 6 \lambda + 1 ) + 2 \theta ^ { 2 } ( 3 \lambda + 5 ) - 1 8 \theta + 9 } { \theta ^ { 4 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi ( p , x ) } & { = [ S _ { N } \phi ] ( p , x ) = \big ( \Psi _ { p , x } ^ { ( N + 1 ) } , \Psi _ { \phi } \big ) _ { { \mathbb H } _ { N + 1 } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 ^ { + } } \big ( \Psi _ { p , x } ^ { ( N + 1 ) } , \Psi _ { \phi } ^ { \epsilon } \big ) _ { { \mathbb H } _ { N + 1 } } \equiv \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 ^ { + } } \varphi _ { \epsilon } ( p , x ) , } \end{array}
- \overline { { \varrho } } c _ { p } \int _ { \Omega } \vartheta _ { 0 } ^ { ( 1 ) } \ \varphi ( 0 , \cdot ) \ \textup { d } x = \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \left[ \overline { { \varrho } } c _ { p } \vartheta ^ { ( 1 ) } ( \partial _ { t } \varphi + \textbf { \textup { u } } \cdot \nabla _ { x } \varphi ) - ( \kappa ( \overline { { \vartheta } } ) \nabla _ { x } \vartheta ^ { ( 1 ) } + \overline { { \vartheta } } A G \textbf { \textup { u } } ) \cdot \nabla _ { x } \varphi \right] \textup { d } x \textup { d } t
\begin{array} { r l } { \mathrm { a d } _ { ( x ^ { * } ) ^ { [ p ] _ { \mathfrak { g } } } } ^ { \mathfrak { g } } ( a ) - \bigl ( \mathrm { a d } _ { x ^ { * } } ^ { \mathfrak { g } } \bigr ) ^ { p } ( a ) = } & { \big [ a _ { 0 } + \gamma x ^ { * } + \tilde { \lambda } x , a \big ] _ { \mathfrak { g } } - \bigl ( \mathrm { a d } _ { x ^ { * } } ^ { \mathfrak { g } } \bigr ) ^ { p - 1 } \bigl ( \big [ x ^ { * } , a \big ] _ { \mathfrak { g } } \bigr ) } \\ { = } & { [ a _ { 0 } , a ] _ { \mathfrak { g } } + \gamma \big [ x ^ { * } , a \big ] _ { \mathfrak { a } } + - \bigl ( \mathrm { a d } _ { x ^ { * } } ^ { \mathfrak { g } } \bigr ) ^ { p - 1 } \bigl ( \mathscr { D } ( a ) + \omega _ { \mathfrak { a } } ( Z _ { \Omega } , a ) \bigr ) } \\ { = } & { [ a _ { 0 } , a ] _ { \mathfrak { a } } + \omega _ { \mathfrak { a } } \bigl ( \bigl ( { \mathscr D } + { \mathscr D } ^ { * } \bigr ) ( a _ { 0 } ) , a \bigr ) x + \gamma \bigl ( { \mathscr D } ( a ) + \omega _ { \mathfrak { a } } ( a _ { 0 } , a ) x \bigr ) } \\ & { - \bigg ( \mathscr { D } ^ { p } ( a ) - \omega _ { \mathfrak { a } } \bigg ( Z _ { \Omega } , \sum _ { i = 0 } ^ { p - 1 } ( - 1 ) ^ { p - 1 - i } \lambda ^ { p - 1 - i } { \mathscr D } ^ { i } ( a ) \bigg ) \bigg ) } \\ { = } & { 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { \ell } _ { 2 } ( \nabla \varphi ) } & { = } & { \ell _ { 2 } ( \nabla \varphi ) - d ( \nabla \varphi , \boldsymbol { p } _ { h } ) - c ( \tilde { \boldsymbol { u } } _ { h } , \nabla \varphi ) } \\ & { = } & { ( \boldsymbol { f } , \nabla \varphi ) - ( \nabla \times \nabla \varphi , \boldsymbol { p } _ { h } ) - ( \kappa \tilde { \boldsymbol { u } } _ { h } , \nabla \varphi ) } \\ & { = } & { ( \boldsymbol { f } , \nabla \varphi ) - ( \kappa \tilde { \boldsymbol { u } } _ { h } , \nabla \varphi ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \mu ( r , \theta ) } { \partial r } = } & { \; \frac { \left( - \frac { N d } { 2 \cos \left( \theta \right) \left( \left( \frac { N d } { 2 \cos \left( \theta \right) \, r } + \tan \left( \theta \right) \right) ^ { 2 } + 1 \right) r ^ { 2 } } - \frac { N d } { 2 \cos \left( \theta \right) \left( \left( \frac { N d } { 2 \cos \left( \theta \right) \, r } - \tan \left( \theta \right) \right) ^ { 2 } + 1 \right) r ^ { 2 } } \right) r } { N d \cos \left( \theta \right) } } \\ & { + \frac { \arctan \left( \frac { N d } { 2 \cos \left( \theta \right) \, r } + \tan \left( \theta \right) \right) + \arctan \left( \frac { N d } { 2 \cos \left( \theta \right) \, r } - \tan \left( \theta \right) \right) } { N d \cos \left( \theta \right) } . } \end{array}
\textbf { X } _ { \mathrm { k t } } , \textbf { w } _ { \mathrm { k t } } , \mathbb { V } \mathrm { a r } [ m ( x ) ] _ { \mathrm { k t } } \leftarrow \mathrm { R u n K e r n e l T h i n n i n g } ( \textbf { w } _ { \mathrm { r e c } } , \textbf { X } _ { \mathrm { r e c } } , \boldsymbol \varphi ( \cdot ) , \alpha ( \cdot ) , \textbf { X } _ { \mathrm { n y s } } , f ( \cdot )
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 3 z } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } \Bigl ( \frac { 1 } { z } \Bigr ) ^ { n } + \frac { 2 / 3 } { z - 2 } } & { = \frac { 1 } { 3 z } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } \Bigl ( \frac { 1 } { z } \Bigr ) ^ { n } + \frac { 1 } { z } \frac { 2 / 3 } { 1 - \frac { 2 } { z } } } \\ & { = \frac { 1 } { 3 z } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } \Bigl ( \frac { 1 } { z } \Bigr ) ^ { n } + \frac { 2 } { 3 z } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } \Bigl ( \frac { 2 } { z } \Bigr ) ^ { n } } \\ & { = \frac { 1 } { 3 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } \biggl [ \Bigl ( \frac { 1 } { z } \Bigr ) ^ { n + 1 } + \Bigl ( \frac { 2 } { z } \Bigr ) ^ { n + 1 } \biggr ] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \delta } ( \boldsymbol { \beta } ) } & { = } & { \mathrm { t r a c e } \big [ \big ( \mathbf { I } _ { W } - \mathbf { A } ( \mathbf { A } ^ { H } \mathbf { A } ) ^ { - 1 } \mathbf { A } ^ { H } \big ) \hat { \mathbf { R } } \big ] / ( W - V ) , } \\ { \hat { \mathbf { O } } ( \boldsymbol { \beta } ) } & { = } & { ( \mathbf { A } ^ { H } \mathbf { A } ) ^ { - 1 } \mathbf { A } ^ { H } \big ( \hat { \mathbf { R } } - \hat { \delta } ( \boldsymbol { \beta } ) \mathbf { I } _ { W } \big ) \mathbf { A } ( \mathbf { A } ^ { H } \mathbf { A } ) ^ { - 1 } . } \end{array}
\left\| \widetilde { \mathbf { T } } _ { t } - \mathbf { T } \right\| _ { \mathrm { H S } } \leq \left\| \widetilde { \boldsymbol { \Sigma } } _ { t } ^ { - 1 } \right\| \left( \left\| \widetilde { \boldsymbol { \Gamma } } _ { t } - \boldsymbol { \Gamma } \right\| _ { \mathrm { H S } } + C _ { \Gamma } \left\| \widetilde { \boldsymbol { \Sigma } } _ { t } - \boldsymbol { \Sigma } \right\| _ { \mathrm { H S } } \right) .
f _ { 2 } ^ { ( \alpha ) } ( \psi _ { 1 } , \psi _ { 2 } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle - \frac { 1 } { \left( \psi _ { 1 } - \psi _ { 2 } \right) ^ { 2 } } \qquad } & { \alpha < \frac { 1 } { 2 } } \\ { \displaystyle - \frac { 1 - \exp ( - ( \psi _ { 1 } - \psi _ { 2 } ) ^ { 2 } ) } { \left( \psi _ { 1 } - \psi _ { 2 } \right) ^ { 2 } } \qquad } & { \alpha = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \displaystyle 0 \qquad } & { \alpha > \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right. \ .
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle { \partial _ { t } u _ { 1 } = \Delta \, u _ { 1 } - \xi _ { 1 } \nabla \cdot \left( u _ { 1 } \nabla \, u _ { 3 } \right) + f ( u _ { 1 } , u _ { 2 } , u _ { 3 } ) } , } \\ { \displaystyle { \partial _ { t } u _ { 2 } = \Delta \, u _ { 2 } - \xi _ { 2 } \nabla \cdot \left( u _ { 2 } \nabla \, u _ { 1 } \right) + g ( u _ { 1 } , u _ { 2 } , u _ { 3 } ) } , } \\ { \displaystyle { \partial _ { t } u _ { 3 } = D \Delta \, u _ { 3 } - \lambda ( u _ { 1 } + u _ { 2 } ) \, u _ { 3 } - \mu \, u _ { 3 } + r ( u _ { 3 } ) } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathcal { N } _ { G } } & { = \oint \frac { d z } { 2 \pi i } \frac { 1 } { z ^ { 1 + M } } \prod _ { i < j } \biggl ( \sum _ { A _ { i j } \in \{ 0 , 1 \} } z ^ { A _ { i j } } \biggr ) = \oint \frac { d z } { 2 \pi i } \frac { ( 1 + z ) ^ { \binom { N } { 2 } } } { z ^ { 1 + M } } } \\ & { = \frac { 1 } { M ! } \left. \frac { d ^ { M } } { z ^ { M } } ( 1 + z ) ^ { \binom { N } { 2 } } \right| _ { z = 0 } = \binom { \binom { N } { 2 } } { M } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vartheta _ { \iota _ { j } } ( f _ { i } ) = } & { \textrm { o r d } ( \iota _ { j } ^ { \ast } f _ { i } ) = \textrm { o r d } \left( \epsilon _ { i , j } ( \iota _ { i } \circ \chi _ { \frac { e _ { j } } { e _ { i } } } ) ^ { \ast } \partial _ { y } f _ { i - 1 } ^ { k _ { i } } \right) = } \\ { = } & { e _ { j } \lambda _ { i + 1 } + \frac { e _ { j } } { e _ { i } } k _ { i } \gamma _ { i } ^ { ( i ) } - e _ { j } \lambda _ { i } = \frac { e _ { j } } { e _ { i } } \left( e _ { i } \lambda _ { i + 1 } + k _ { i } \gamma _ { i } ^ { ( i ) } - e _ { i } \lambda _ { i } \right) = \frac { e _ { j } } { e _ { i } } \gamma _ { i + 1 } ^ { ( i ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { 1 1 } ( M _ { 1 1 } ) } & { = d _ { 1 1 } ( P ^ { 1 } \iota _ { 7 } ) } \\ & { = P ^ { 1 } ( d _ { 7 } ( \iota _ { 7 } ) ) } \\ & { = P ^ { 1 } ( P ^ { 1 } \iota _ { 4 } - \iota _ { 2 } ^ { 2 } \iota _ { 4 } - \iota _ { 4 } ^ { 2 } + \iota _ { 2 } \iota _ { 6 } ) } \\ & { = - P ^ { 2 } \iota _ { 4 } + \iota _ { 2 } ^ { 4 } \iota _ { 4 } - \iota _ { 2 } ^ { 2 } P ^ { 1 } \iota _ { 4 } + \iota _ { 4 } P ^ { 1 } \iota _ { 4 } + \iota _ { 2 } ^ { 3 } \iota _ { 6 } + \iota _ { 2 } P ^ { 1 } \iota _ { 6 } } \\ & { = - \iota _ { 4 } ^ { 3 } + \iota _ { 2 } ^ { 4 } \iota _ { 4 } - \iota _ { 2 } ^ { 2 } P ^ { 1 } \iota _ { 4 } + \iota _ { 4 } P ^ { 1 } \iota _ { 4 } + \iota _ { 2 } ^ { 3 } \iota _ { 6 } + \iota _ { 2 } P ^ { 1 } \iota _ { 6 } } \\ & { = \left( \iota _ { 4 } ( d _ { 7 } \iota _ { 7 } ) + \iota _ { 2 } ^ { 2 } \iota _ { 4 } ^ { 2 } - \iota _ { 2 } \iota _ { 4 } \iota _ { 6 } \right) + \iota _ { 2 } ^ { 4 } \iota _ { 4 } - \iota _ { 2 } ^ { 2 } P ^ { 1 } \iota _ { 4 } + \iota _ { 2 } ^ { 3 } \iota _ { 6 } + \iota _ { 2 } P ^ { 1 } \iota _ { 6 } } \\ & { = \left( \iota _ { 4 } ( d _ { 7 } \iota _ { 7 } ) - \iota _ { 2 } ^ { 2 } d _ { 7 } ( \iota _ { 7 } ) + \iota _ { 2 } ^ { 3 } \iota _ { 6 } \right) - \iota _ { 2 } \iota _ { 4 } \iota _ { 6 } + \iota _ { 2 } ^ { 3 } \iota _ { 6 } + \iota _ { 2 } P ^ { 1 } \iota _ { 6 } } \\ & { = \iota _ { 4 } ( d _ { 7 } \iota _ { 7 } ) - \iota _ { 2 } ^ { 2 } d _ { 7 } ( \iota _ { 7 } ) - \iota _ { 2 } \iota _ { 4 } \iota _ { 6 } - \iota _ { 2 } ^ { 3 } \iota _ { 6 } + \iota _ { 2 } P ^ { 1 } \iota _ { 6 } } \\ & { = \iota _ { 4 } ( d _ { 7 } \iota _ { 7 } ) - \iota _ { 2 } ^ { 2 } ( d _ { 7 } \iota _ { 7 } ) + \iota _ { 2 } ( d _ { 9 } \iota _ { 9 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { t } } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \eta ^ { 2 } / a } } \int _ { \lambda } \mathrm { e x p } \left( \frac { - ( \lambda - b / a ) ^ { 2 } } { 2 \eta ^ { 2 } / a } \right) d \lambda \frac { \mathrm { e x p } \left( \frac { b ^ { 2 } } { 2 a \eta ^ { 2 } } \right) } { \sqrt { a } } } \\ & { = \mathrm { e x p } \left( \frac { \eta ^ { 2 } ( \sum _ { j = 1 } ^ { t } \sigma _ { j } ( w , w ^ { \prime } ) Z _ { j } ) ^ { 2 } } { 2 ( t \bar { \sigma } _ { t } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } + 1 ) } \right) ( t \bar { \sigma } _ { t } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } + 1 ) ^ { - 1 / 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf { F } _ { R } \; \mathrm { i s ~ u n i f o r m l y ~ b o u n d e d ~ i n } \; } \\ & { L ^ { \infty } ( 0 , T ; L ^ { 6 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) ) \cap L ^ { \frac { 1 8 - 2 p } { 3 } } ( 0 , T ; W ^ { 1 , \frac { 1 8 - 2 p } { 3 } } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) ) \hookrightarrow L ^ { 2 ( p - 1 ) } ( 0 , T ; L ^ { \frac { 6 ( p - 1 ) } { 2 p - 7 } } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x ( \alpha _ { k } ) } & { = z ^ { k } - \dot { z } \sin \left( \alpha _ { k } \right) + \ddot { z } \left( 1 - \cos \left( \alpha _ { k } \right) \right) } \\ { \lambda ( \alpha _ { k } ) } & { = \lambda ^ { k } - \dot { \lambda } \sin \left( \alpha _ { k } \right) + \ddot { \lambda } \left( 1 - \cos \left( \alpha _ { k } \right) \right) } \\ { s ( \alpha _ { k } ) } & { = s ^ { k } - \dot { s } \sin \left( \alpha _ { k } \right) + \ddot { s } \left( 1 - \cos \left( \alpha _ { k } \right) \right) } \end{array}
\left. \begin{array} { r c l l } { \partial _ { t } \left( \epsilon \partial _ { t } \vec { A } \right) + \operatorname { c u r l } _ { x } \left( \mu ^ { - 1 } \operatorname { c u r l } _ { x } \underline { { A } } \right) } & { = } & { \underline { { j } } } & { \mathrm { ~ i n ~ } Q , } \\ { \underline { { A } } ( 0 , \cdot ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega , } \\ { \partial _ { t } \underline { { A } } ( 0 , \cdot ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega , } \\ { \gamma _ { \mathrm { t } } \vec { A } } & { = } & { 0 } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Sigma , } \end{array} \right\}
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } _ { S } = - \frac { \mathcal { G } m _ { 1 } m _ { 2 } } { 8 a _ { 2 } } \bigg [ 4 \, b _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { ( 0 ) } ( \alpha ) - } & { \alpha \, b _ { \frac { 3 } { 2 } } ^ { ( 1 ) } ( \alpha ) \, \bigg ( I _ { 1 } ^ { 2 } + I _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { - 2 I _ { 1 } I _ { 2 } \cos { ( \Omega _ { 2 } - \Omega _ { 1 } ) } \bigg ) \bigg ] \, } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \chi } ( e _ { i } ) = } & { \hat { \chi } \left( \bigvee _ { k = 1 } ^ { m } \epsilon _ { A } ( a _ { k } ) \wedge \epsilon _ { B } ( b _ { k } ) \right) } \\ { = } & { \bigvee _ { k = 1 } ^ { m } \hat { \chi } ( \epsilon _ { A } ( a _ { k } ) \wedge \epsilon _ { B } ( b _ { k } ) ) } \\ { = } & { \bigvee _ { k = 1 } ^ { m } \psi ( \chi _ { A } ( a _ { k } ) , \chi _ { B } ( b _ { k } ) ) } \\ { = } & { \bigvee _ { k = 1 } ^ { m } T \circ \otimes ( \chi _ { A } ( a _ { k } ) , \chi _ { B } ( b _ { k } ) ) . } \end{array}
\overline { { \mathbf { s } ( [ l , r ] ) } } \setminus \{ \widehat { l } , \widehat { r } \} \subset \widehat { I } , \quad \widehat { l } \in \widehat { I } \mathrm { ~ ( r e s p . ~ } \widehat { r } \in \widehat { I } \mathrm { ) ~ i f ~ a n d ~ o n l y ~ i f ~ } \widehat { l } \mathrm { ~ ( r e s p . ~ } \widehat { r } \mathrm { ) ~ i s ~ r e f l e c t i n g . }
{ \begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( A | B ) } & { = { \frac { \mathbb { P } ( B | A ) \mathbb { P } ( A ) } { \mathbb { P } ( B | A ) \mathbb { P } ( A ) + \mathbb { P } ( B | \sim A ) [ 1 - \mathbb { P } ( A ) ] } } } \\ & { = { \frac { 1 } { 1 + { \frac { 1 - \mathbb { P } ( A ) } { \mathbb { P } ( A ) } } { \frac { \mathbb { P } ( B | \sim A ) } { \mathbb { P } ( B | A ) } } } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \tilde { \Theta } _ { \tilde { \mathbb { V } } ^ { \mathrm { n i l p } } } ( u y ) _ { m , \mu } ^ { \prime } \sim } & { \left( \frac { r _ { 2 } ( V _ { \mathbb { Z } } , N ) } { 2 \mathrm { d i s c } ( \mathrm { G r } _ { 4 , 0 } ^ { W } Q ) } \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \times \left( \sum _ { a + b = m } r _ { Y _ { 2 , \mathrm { p r i m } } ^ { \mathbb { Z } } } ( a ) _ { \nu } \cdot r _ { \langle v _ { n } \rangle } ( b ) _ { N \lambda } \frac { e ^ { 4 \pi y u b } } { 4 \pi \sqrt { y u } } \right) \cdot ( - \log | t | ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { x ^ { 1 } } & { = \tilde { x } ^ { 2 } , \quad } & { x ^ { 2 } } & { = \tilde { x } ^ { 4 } , \quad } & { x ^ { 3 } } & { = \tilde { x } ^ { 5 } - \tilde { x } ^ { 3 } - 1 } \\ { x ^ { 4 } } & { = \tilde { x } ^ { 1 } + 1 , \quad } & { x ^ { 5 } } & { = \tilde { x } ^ { 5 } , \quad } & & { } \end{array}
\mathbb { S } _ { ( M ^ { 1 } , A ^ { 1 } , N ^ { 1 } ) } ^ { \mu _ { \varnothing } ( \alpha ^ { 1 } ) } \otimes _ { R } \cdots \otimes _ { R } \mathbb { S } _ { ( M ^ { n } , A ^ { n } , N ^ { n } ) } ^ { \mu _ { \varnothing } ( \alpha ^ { n } ) } \to \bigoplus _ { i = 1 } ^ { \ell } \mathbb { S } _ { ( M ^ { 1 } , A ^ { 1 } , N ^ { 1 } ) } ^ { \mu _ { i } ( \alpha ^ { 1 } ) } \otimes _ { R } \cdots \otimes _ { R } \mathbb { S } _ { ( M ^ { n } , A ^ { n } , N ^ { n } ) } ^ { \mu _ { i } ( \alpha ^ { n } ) } .
0 = d r = \frac { 1 } { r } ( M _ { 0 } r _ { 0 } d r _ { 0 } + M _ { 2 } r _ { 2 } d r _ { 2 } ) = \frac { M _ { 0 } r _ { 0 } } { r } ( \frac { d r _ { 0 } } { d L _ { 0 } } d L _ { 0 } + \frac { d r _ { 0 } } { d \ell _ { 0 } } d \ell _ { 0 } ) + \frac { M _ { 2 } r _ { 2 } } { r } ( \frac { d r _ { 2 } } { d L _ { 2 } } d L _ { 2 } + \frac { d r _ { 2 } } { d \ell _ { 2 } } d \ell _ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { f } & { ( N , \psi , \theta , r ) \triangleq \left| \mathbf { b } ^ { H } \left( \theta , r \right) \mathbf { a } ( \psi ) \right| } \\ & { \stackrel { ( a _ { 1 } ) } { \approx } \frac { 1 } { N } \left| \sum _ { \delta _ { n } } e ^ { j \frac { 2 \pi } { \lambda } \left( - \delta _ { n } d \theta + \frac { \delta _ { n } ^ { 2 } d ^ { 2 } \left( 1 - \theta ^ { 2 } \right) } { 2 r } \right) + j \pi \left( ( \delta _ { n } + \frac { N - 1 } { 2 } ) \psi \right) } \right| } \\ & { \stackrel { ( a _ { 2 } ) } { = } \frac { 1 } { N } \left| \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } e ^ { j \pi \left( \frac { n ^ { 2 } d ( 1 - \theta ^ { 2 } ) } { 2 r } - n \left( \theta - \psi + \frac { d ( N - 1 ) ( 1 - \theta ^ { 2 } ) } { 2 r } \right) \right) } \right| , } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { n } } & { = \frac { ( n + t ) ( n + t + \alpha ) ( n + t + \beta ) ( n + t + \alpha + \beta ) } { ( 2 n + 2 t + \alpha + \beta - 1 ) ( 2 n + 2 t + \alpha + \beta ) ^ { 2 } ( 2 n + 2 t + \alpha + \beta + 1 ) } , } \\ { b _ { n } } & { = \frac { 1 } { 2 } \left( 1 + \frac { \alpha ^ { 2 } - \beta ^ { 2 } } { ( 2 n + 2 t + \alpha + \beta - 2 ) ( 2 n + 2 t + \alpha + \beta ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { X } + c \dot { I } } & { = a ( R _ { 0 } - X ( I ) ) + ( d - c ) I } \\ & { = a ( R _ { 0 } - X _ { \triangleleft } - c ( I _ { \vartriangle } - I ) ) + ( d - c ) I } \\ & { \leq I _ { \vartriangle } \operatorname* { m i n } \{ a c , c - d \} - a c ( I _ { \vartriangle } - I ) + ( d - c ) I } \\ & { \leq 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \psi ( 0 , x , z ) = 1 - z } \\ & { \psi ( t , x , z ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - 2 + 3 5 . 2 t , \quad } & { \mathrm { i f ~ } t \leq \frac { 1 } { 1 6 } , \quad \mathrm { o n ~ } \Gamma _ { D _ { 1 } } , } \\ { 0 . 2 , \quad } & { \mathrm { i f ~ } t > \frac { 1 } { 1 6 } , \quad \mathrm { o n ~ } \Gamma _ { D _ { 1 } } , } \\ { 1 - z , \quad } & { \mathrm { o n ~ } \Gamma _ { D _ { 2 } } , } \end{array} \right. } \\ & { - K ( \theta ( \psi ( t , x , z ) ) ) \nabla ( \psi ( t , x , z ) + z ) \cdot \boldsymbol { \nu } = 0 , \quad \mathrm { o n ~ } \Gamma _ { N } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \xi _ { 1 } \big ( ( T _ { n , 3 } ^ { 0 , n - 4 } ) ^ { c } \big ) = } & { ~ \sqrt { \frac { 4 n + 1 + \sqrt { ( 4 n + 1 ) ^ { 2 } - 6 4 ( n - 3 ) } } { 2 } } , \quad \mathrm { a n d } } \\ { \xi _ { 2 } \big ( ( T _ { n , 3 } ^ { 0 , n - 4 } ) ^ { c } \big ) = } & { ~ \sqrt { \frac { 4 n + 1 - \sqrt { ( 4 n + 1 ) ^ { 2 } - 6 4 ( n - 3 ) } } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { w _ { + } , w _ { - } , t _ { + } , t _ { - } , \xi , \rho } \ } & { \frac { 1 } { 2 } \| w _ { + } - w _ { - } \| _ { 2 } ^ { 2 } + C \| \xi \| _ { 1 } } \\ & { \zeta _ { i } \left( \left< w _ { + } - w _ { - } , \phi _ { i } \right> + t _ { + } - t _ { - } \right) + \xi _ { i } - \rho _ { i } = 1 , \ i = 1 , \dots , n } \\ & { ( \xi , w _ { + } , w _ { - } , t _ { + } , t _ { - } , \rho ) \geq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 1 } } & { { { \bf { G } } } \! = \! { \mathscr { L } } _ { \mathrm { G } } \! \left( \! \! { \sqrt { \frac { { { \kappa _ { \mathrm { \! G } } } } } { { 1 \! + \! { \kappa _ { \mathrm { \! G } } } } } } { \bf { G } } ^ { { \mathrm { L O S } } } \! + \! \sqrt { \frac { 1 } { { 1 + { \kappa _ { \mathrm { \! G } } } } } } { \bf { G } } ^ { { \mathrm { N L O S } } } } \! \! \right) , } \\ & { { \boldsymbol { h } _ { { \mathrm { I } } , k } } \! = \! { \mathscr { L } } _ { \mathrm { I } , k } \! \left( \! \! { \sqrt { \frac { { { \kappa _ { { \mathrm { I } } } } } } { { 1 \! + \! { \kappa _ { { \mathrm { I } } } } } } } \boldsymbol { h } _ { \mathrm { { I } } , k } ^ { { \mathrm { L O S } } } \! + \! \sqrt { \frac { 1 } { { 1 \! + \! { \kappa _ { \mathrm { { I } } } } } } } \! \boldsymbol { h } _ { { \mathrm { I } } , k } ^ { \mathrm { { N L O S } } } } \! \! \right) , } \end{array}
\langle 0 | \varphi ( x _ { 1 } , \bar { x } _ { 1 } ) \varphi ( x _ { 2 } , \bar { x } _ { 2 } ) \varphi ( x _ { 3 } , \bar { x } _ { 3 } ) \varphi ( x _ { 4 } , \bar { x } _ { 4 } ) | 0 \rangle _ { \mathrm { c o n n e c t e d } } = - { \frac { 1 } { x _ { 1 3 } x _ { 2 4 } \bar { x } _ { 1 4 } \bar { x } _ { 2 3 } } } + \mathrm { s i m i l a r ~ t e r m s }
j ^ { * } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \mathrm { i f ~ \underset { j ~ \in ~ [ 0 , ~ J ] } ~ { \operatorname* { m i n } } ~ C ( j ) = 0 ~ } , } \\ { \underset { j \in { \{ \lfloor { j _ { 0 } } \rfloor , \lceil { j _ { 0 } } \rceil \} } } { \arg \operatorname* { m i n } } ~ C ( j ) , } & { \mathrm { i f ~ \underset { j ~ \in ~ [ 0 , ~ J ] } ~ { \operatorname* { m i n } } ~ C ( j ) < 0 ~ } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \left\vert \sum _ { \substack { \pi \in \mathcal { S } _ { 4 } : ( \pi , G _ { 0 } ) \in \mathcal { L } _ { 1 } ^ { 3 } } } \Gamma _ { \pi , G _ { 0 } } ^ { 3 } \right\vert } & { \leq \int | g _ { 1 4 } | | g _ { 2 4 } | \left\vert \rho _ { \mathrm { t } } ^ { ( \{ 1 , 2 , 4 \} , \{ 3 \} ) } \right\vert \, \textnormal { d } x _ { 4 } \leq C a b ^ { 2 } \rho ^ { 8 } | x _ { 1 } - x _ { 2 } | ^ { 2 } } \\ { \left\vert \sum _ { \substack { \pi \in \mathcal { S } _ { 4 } : ( \pi , G _ { 1 } ) \in \mathcal { L } _ { 1 } ^ { 3 } } } \Gamma _ { \pi , G _ { 1 } } ^ { 3 } \right\vert } & { \leq \int | g _ { 1 4 } | | g _ { 2 4 } | | g _ { 3 4 } | \rho ^ { ( 4 ) } \, \textnormal { d } x _ { 4 } \leq C a b ^ { 2 } \rho ^ { 8 } | x _ { 1 } - x _ { 2 } | ^ { 2 } . } \end{array}
= { \frac { e ^ { 4 } } { ( k - k ^ { \prime } ) ^ { 4 } } } \operatorname { T r } \left( { \Big ( } \sum _ { r ^ { \prime } } v _ { k ^ { \prime } } { \bar { v } } _ { k ^ { \prime } } { \Big ) } \gamma ^ { \mu } { \Big ( } \sum _ { r } v _ { k } { \bar { v } } _ { k } { \Big ) } \gamma ^ { \nu } \right) \operatorname { T r } \left( { \Big ( } \sum _ { s } u _ { p } { \bar { u } } _ { p } { \Big ) } \gamma _ { \mu } { \Big ( } \sum _ { s ^ { \prime } } { u _ { p ^ { \prime } } { \bar { u } } _ { p ^ { \prime } } } { \Big ) } \gamma _ { \nu } \right)
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { 0 , \gamma ^ { 2 / 3 } } ( B ( 0 ) , B ( \gamma ^ { 2 / 3 } ) , f ; [ t , \gamma ^ { 2 / 3 } ] ) } & { \ge \mathbb { P } _ { 0 , \gamma ^ { 2 / 3 } } ( B ( 0 ) , B ( \gamma ^ { 2 / 3 } ) , f ) } \\ & { = \mathbb { P } _ { 0 , \gamma ^ { 2 / 3 } } ( B ( 0 ) + \sqrt { \beta _ { k } } \gamma ^ { 2 / 3 } , B ( \gamma ^ { 2 / 3 } ) + \sqrt { \beta _ { k } } \gamma ^ { 2 / 3 } , g ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { 1 } : = } & { \int _ { \frac { 1 } { 2 } + \epsilon - i T } ^ { \frac { 1 } { 2 } + \epsilon + i T } F _ { f } ( s , \ \chi _ { 0 } ) \frac { ( x + 1 ) ^ { s } } { s } \ \mathrm { d } s } \\ { = } & { \int _ { \frac { 1 } { 2 } + \epsilon - i T } ^ { \frac { 1 } { 2 } + \epsilon + i T } \zeta ^ { 2 } ( s ) \prod _ { p \mid q } \left( 1 - \frac { 1 } { p ^ { s } } \right) ^ { 2 } \times } \\ & { L ^ { 3 } ( s , \ { \mathrm { s y m } ^ { 2 } } f \otimes \chi _ { 0 } ) L ( s , \ \mathrm { { s y m } } ^ { 4 } f \otimes \chi _ { 0 } ) U ( s ) \frac { ( x + 1 ) ^ { s } } { s } \ \mathrm { d } s } \\ { \ll } & { \int _ { - T } ^ { T } \mid \zeta ^ { 2 } ( 1 / 2 + \epsilon + i t ) L ^ { 3 } ( 1 / 2 + \epsilon + i t , \ { \mathrm { s y m } } ^ { 2 } f ) \times } \\ & { \qquad L ( 1 / 2 + \epsilon + i t , \ { \mathrm { s y m } } ^ { 4 } f ) \mid \frac { x ^ { 1 / 2 + \epsilon } } { \mid 1 / 2 + \epsilon + i t \mid } \ \mathrm { d } t } \\ { \ll } & { x ^ { 1 / 2 + \epsilon } + \operatorname* { s u p } _ { 1 \leq T _ { 1 } \leq T } x ^ { 1 / 2 + \epsilon } T _ { 1 } ^ { - 1 } I _ { 1 } ^ { 1 / 2 } I _ { 2 } ^ { 1 / 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { a } \! { x } f _ { | h _ { a w } ^ { o , \mathbb { B } } | ^ { 2 } } ( { x } ) d { x } \! } & { = \frac { \gamma \left( \frac { 2 } { \nu ( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } ) } , \left[ 2 a ( k _ { \mathbb { B } } \! + \! 1 ) \right] ^ { \frac { \nu ( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } ) } { 2 } } e ^ { \mu ( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } ) } \right) } { ( k _ { \mathbb { B } } + \! 1 ) \nu ( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } ) e ^ { \frac { 2 \mu ( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } ) } { \nu ( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } ) } } } } \\ & { \qquad - a \exp { \left( \! - \left[ 2 a ( k _ { \mathbb { B } } \! + \! 1 ) \right] ^ { \frac { \nu ( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } ) } { 2 } } e ^ { \mu ( \sqrt { 2 k _ { \mathbb { B } } } ) } \right) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { k } U ^ { \dagger } M ( \tau _ { k } ^ { - 1 } ) | \phi _ { k - 1 } \rangle } & { = U ^ { \dagger } | 0 \rangle \sum _ { j = 1 } ^ { k - 1 } M ( \tau _ { k } ^ { - 1 } ) | \hat { F ^ { j } } \rangle + \sum _ { j = k } ^ { n } V _ { k } | \tau _ { j } \rangle | \hat { f _ { j } } \rangle } \\ & { = U ^ { \dagger } | 0 \rangle \sum _ { j = 1 } ^ { k - 1 } M ( \tau _ { k } ^ { - 1 } ) | \hat { F ^ { j } } \rangle + | 0 \rangle | \hat { f _ { k } } \rangle + \sum _ { j = k + 1 } ^ { n } | \tau _ { j } \rangle | \hat { f _ { j } } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( ( \mathbb { R } _ { + } ^ { N _ { A } } ) ^ { \ast } \otimes ( \mathbb { R } _ { + } ^ { N _ { B } } ) ^ { \ast } \right) ^ { \ast } = } & { \left( \mathbb { R } _ { + } ^ { N _ { A } } \otimes \mathbb { R } _ { + } ^ { N _ { B } } \right) ^ { \ast } = ( \mathbb { R } _ { + } ^ { N _ { A } N _ { B } } ) ^ { \ast } = \mathbb { R } _ { + } ^ { N _ { A } N _ { B } } . } \end{array}
\mathscr C _ { \mathtt { i } _ { ( j - 1 ) } + 1 , \mathtt { e } _ { j } } \circ \mathscr C _ { \mathtt { i } _ { ( j - 1 ) } + 2 , \mathtt { e } _ { j } } \circ \cdots \circ \mathscr C _ { \mathtt { i } _ { j } , \mathtt { e } _ { j } } \cong \mathscr C _ { \mathtt { i } _ { j } , \mathtt { e } _ { j } } \circ \mathscr C _ { \mathtt { i } _ { j } , \mathtt { e } _ { j } + 1 } \circ \cdots \circ \mathscr C _ { \mathtt { i } _ { j } , \mathtt { e } _ { j } + \mathtt { i } _ { j } - \mathtt { i } _ { ( j - 1 ) } - 1 } .
\begin{array} { r l } & { \Vert \Vert f \Vert _ { M _ { 1 } ^ { - 1 } } ^ { 2 } - \Vert f + g \Vert _ { ( M _ { 1 } + M _ { 2 } ) ^ { - 1 } } ^ { 2 } \Vert _ { L _ { \mu } ^ { 1 } } } \\ { \leq } & { \Vert \Vert g \Vert _ { M _ { 1 } ^ { - 1 } } ^ { 2 } \Vert _ { L _ { \mu } ^ { 1 } } ^ { 1 / 2 } \bigr ( \Vert M _ { 1 } ^ { - 1 / 2 } ( M _ { 1 } + M _ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } \Vert \cdot \Vert \Vert f + g \Vert _ { ( M _ { 1 } + M _ { 2 } ) ^ { - 1 } } ^ { 2 } \Vert _ { L _ { \mu } ^ { 1 } } ^ { 1 / 2 } + \Vert \Vert f \Vert _ { M _ { 1 } ^ { - 1 } } ^ { 2 } \Vert _ { L _ { \mu } ^ { 1 } } ^ { 1 / 2 } \bigr ) } \\ & { + \Vert \Vert f + g \Vert _ { M _ { 1 } ^ { - 1 } - ( M _ { 1 } + M _ { 2 } ) ^ { - 1 } } ^ { 2 } \Vert _ { L _ { \mu } ^ { 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \tilde { r } } \frac { \partial } { \partial \tilde { r } } \left[ \tilde { r } \frac { \partial \psi } { \partial \tilde { r } } \right] + \frac { 1 } { \tilde { r } ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial \tilde { \phi } ^ { 2 } } = } & { \frac { 2 \tilde { r } ^ { 2 } - r _ { b } ^ { 2 } } { 2 \tilde { r } \sqrt { \tilde { r } ^ { 2 } - r _ { b } ^ { 2 } } } \theta ( \tilde { r } - r _ { b } ) - 1 } \\ & { + g \tilde { r } \cos \tilde { \phi } \left( \frac { 4 \tilde { r } ^ { 2 } - 3 r _ { b } ^ { 2 } } { 4 \tilde { r } \sqrt { \tilde { r } ^ { 2 } - r _ { b } ^ { 2 } } } \theta ( \tilde { r } - r _ { b } ) - 1 \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { c } { c - 1 } } & { = \alpha ( x ) ( \lambda _ { 1 } ( x ) ) ^ { 0 } + \beta ( x ) ( \lambda _ { 2 } ( x ) ) ^ { 0 } = \alpha ( x ) + \beta ( x ) } \\ { x - c } & { = \alpha ( x ) ( \lambda _ { 1 } ( x ) ) ^ { 1 } + \beta ( x ) ( \lambda _ { 2 } ( x ) ) ^ { 1 } = \alpha ( x ) \lambda _ { 1 } ( x ) + \beta ( x ) \lambda _ { 2 } ( x ) } \end{array}
( { \textsf { K } } m ( { \textsf { S } } ( { \textsf { S } } ( { \textsf { K } } m ) ( { \textsf { S } } { \textsf { I } } { \textsf { I } } ) ) ( { \textsf { K } } Z ) ) ( { \textsf { S } } { \textsf { I } } { \textsf { I } } ( { \textsf { S } } ( { \textsf { S } } ( { \textsf { K } } m ) ( { \textsf { S } } { \textsf { I } } { \textsf { I } } ) ) ( { \textsf { K } } Z ) ) ) Z )
\begin{array} { r l } { \mathrm { \mathbf { v a r } } _ { f } ( X ^ { 2 } ) } & { = \mathrm { \mathbf E } _ { ( 2 f _ { + } ) } \left[ X _ { + } ^ { 2 } \right] = \int _ { 0 } ^ { \infty } 2 x \left( 1 - \mathrm { \mathbf { P r } } ( X _ { + } \leq x ) \right) d x } \\ & { \geq \int _ { 0 } ^ { 1 / ( 2 f ( 0 ) ) } 2 x \left( 1 - 2 x f ( 0 ) \right) d x = \frac { 1 } { 1 2 f ^ { 2 } ( 0 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lVert \mathrm { d } \delta u \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } + \lVert \delta \mathrm { d } u \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \lesssim _ { p , n , s } \lVert \nabla ^ { 2 } u \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } & { \lesssim _ { p , n , s } \lVert f \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \mathrm { , ~ } } \\ { \lVert \mathrm { d } \delta u \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { \alpha , \tilde { p } } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } + \lVert \delta \mathrm { d } u \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { \alpha , \tilde { p } } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \lesssim _ { \tilde { p } , n , \alpha } \lVert \nabla ^ { 2 } u \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { \alpha , \tilde { p } } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } & { \lesssim _ { \tilde { p } , n , \alpha } \lVert f \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { \alpha , \tilde { p } } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \mathrm { . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { - \Delta f ( \bar { x } ; ( \alpha \tau v + ( 1 - \alpha \tau ) \bar { x } ) - \bar { x } ) } { \alpha } = \frac { - \Delta f ( \bar { x } ; \alpha \tau ( v - \bar { x } ) ) } { \alpha } = \frac { - f ^ { \prime } ( \bar { x } ; \alpha \tau ( v - \bar { x } ) ) } { \alpha } = - \tau f ^ { \prime } ( \bar { x } ; v - \bar { x } ) > 0 \; , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { { h _ { 2 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } - \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert F _ { t , { h _ { 1 } } } - F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 1 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } = o _ { p } ( \widetilde { r } \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { r } + 2 } ) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { d u _ { i } - \normalfont { \mathrm { d i v } } ( a _ { i } \cdot \nabla u _ { i } ) \, d t } & { = f _ { i } ( \cdot , u _ { 1 } , u _ { 2 } ) \, d t + \sum _ { n \geq 1 } \Big [ ( b _ { n , i } \cdot \nabla ) u _ { i } + g _ { n , i } ( \cdot , u _ { 1 } , u _ { 2 } ) \Big ] \, d w _ { t } ^ { n } , } \\ { u _ { i } ( 0 ) } & { = u _ { i , 0 } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \left< h ( x , t ) h ( x , 0 ) \right> } & { \simeq \sqrt { \frac { { x } } { { 2 \pi } } } \, f \! \left( \frac t { \sqrt x } \right) , \quad f ( 0 ) = 1 , \quad f ( y ) \stackrel { y \to \infty } { - \! \! \! \longrightarrow } 0 , } \\ { f ( y ) } & { = \frac { y } { 4 \sqrt { 2 } } \, \Gamma \Big ( - \frac { 1 } { 2 } , \frac { y ^ { 2 } } { 8 } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H _ { 2 } ^ { M _ { a b } } C ^ { 1 / 2 } \psi _ { + , 1 } ^ { ( a ) } e _ { n } ^ { ( b ) } - H _ { 1 } ^ { A _ { a b } } \psi _ { + , 0 } ^ { ( a ) } e _ { n + 1 } ^ { ( b ) } = H _ { 2 } ^ { M _ { a b } } H _ { 1 } ^ { A _ { a b } } C ^ { 1 / 2 } e _ { n } ^ { ( b ) } \psi _ { + , 1 } ^ { ( a ) } - e _ { n + 1 } ^ { ( b ) } \psi _ { + , 0 } ^ { ( a ) } , } \\ & { H _ { 2 } ^ { M _ { a b } } C ^ { - 1 / 2 } \psi _ { - , 0 } ^ { ( a ) } e _ { n } ^ { ( b ) } - H _ { 1 } ^ { A _ { a b } } \psi _ { - , 1 } ^ { ( a ) } e _ { n + 1 } ^ { ( b ) } = H _ { 2 } ^ { M _ { a b } } H _ { 1 } ^ { A _ { a b } } C ^ { - 1 / 2 } e _ { n } ^ { ( b ) } \psi _ { - , 0 } ^ { ( a ) } - e _ { n + 1 } ^ { ( b ) } \psi _ { - , 1 } ^ { ( a ) } , } \\ & { H _ { 2 } ^ { M _ { a b } } C ^ { - 1 / 2 } \psi _ { + , 1 } ^ { ( a ) } f _ { n } ^ { ( b ) } - H _ { 1 } ^ { - A _ { a b } } \psi _ { + , 0 } ^ { ( a ) } f _ { n + 1 } ^ { ( b ) } = H _ { 2 } ^ { M _ { a b } } H _ { 1 } ^ { - A _ { a b } } C ^ { - 1 / 2 } f _ { n } ^ { ( b ) } \psi _ { + , 1 } ^ { ( a ) } - f _ { n + 1 } ^ { ( b ) } \psi _ { + , 0 } ^ { ( a ) } , } \\ & { H _ { 2 } ^ { M _ { a b } } C ^ { 1 / 2 } \psi _ { - , 0 } ^ { ( a ) } f _ { n } ^ { ( b ) } - H _ { 1 } ^ { - A _ { a b } } \psi _ { - , 1 } ^ { ( a ) } f _ { n + 1 } ^ { ( b ) } = H _ { 2 } ^ { M _ { a b } } H _ { 1 } ^ { - A _ { a b } } C ^ { 1 / 2 } f _ { n } ^ { ( b ) } \psi _ { - , 0 } ^ { ( a ) } - f _ { n + 1 } ^ { ( b ) } \psi _ { - , 1 } ^ { ( a ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon \| \partial _ { t } a \| _ { H _ { x } ^ { - 1 } } } & { \lesssim \| b \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } + \varepsilon \| \partial _ { t } e ^ { \gamma \psi } \| _ { H _ { x } ^ { - 1 } } \lesssim \| b \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } + \varepsilon \langle \| f \| _ { L ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { 2 } ( \gamma , \pi _ { 1 } u , \pi _ { 2 } u ) } & { = f _ { 1 } ( \gamma , \beta _ { 1 } ( \overline { { g } } _ { 1 } ( \gamma , \underline { { u } } ^ { \prime } ) , \overline { { g } } _ { 2 } ( \gamma , \underline { { u } } ^ { \prime } ) ) ) ^ { * } f _ { 2 } ( \gamma , \overline { { g } } _ { 1 } ( \gamma , \underline { { u } } ^ { \prime } ) , \overline { { g } } _ { 2 } ( \gamma , \underline { { u } } ^ { \prime } ) ) } \\ & { = f _ { 1 } ( \gamma , \beta _ { 1 } ( \overline { { g } } _ { 1 } ( \gamma , \underline { { u } } ^ { \prime } ) , \overline { { g } } _ { 2 } ( \gamma , \underline { { u } } ^ { \prime } ) ) ) ^ { * } q _ { 1 } ( \gamma , \pi _ { 1 } \underline { { u } } ^ { \prime } ) ^ { * } \pi _ { 2 } \underline { { u } } ^ { \prime } } \\ & { = ( \; f _ { 1 } ( \gamma , \beta _ { 1 } ( \overline { { g } } _ { 1 } ( \gamma , \underline { { u } } ^ { \prime } ) , \overline { { g } } _ { 2 } ( \gamma , \underline { { u } } ^ { \prime } ) ) ) \bullet q _ { 1 } ( \gamma , \pi _ { 1 } \underline { { u } } ^ { \prime } ) \; ) ^ { * } \pi _ { 2 } \underline { { u } } ^ { \prime } } \\ & { \equiv q ^ { * } \pi _ { 2 } \underline { { u } } ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \bar { x } } ^ { 2 } } & { = \frac { d } { d t } h ( x ^ { 2 } ) = \Lambda ( x ^ { 2 } ) y ^ { 2 } = \bar { y } ^ { 2 } } \\ { \dot { \bar { y } } ^ { 2 } } & { = \Lambda ( x ^ { 2 } ) \lambda ( x ^ { 2 } ) y ^ { 2 } y ^ { 2 } + \Lambda ( x ^ { 2 } ) \dot { y } ^ { 2 } = \Lambda ( x ^ { 2 } ) \lambda ( x ^ { 2 } ) y ^ { 2 } y ^ { 2 } } \\ & { + \Lambda ( x ^ { 2 } ) \left( - \lambda ( x ^ { 2 } ) y ^ { 2 } y ^ { 2 } + x ^ { 2 } \right) = \Lambda ( x ^ { 2 } ) x ^ { 1 } = \bar { x } ^ { 1 } } \\ { \mathrm { a n d ~ t h e n } \quad \dot { \bar { x } } ^ { 1 } } & { = \Lambda ( x ^ { 2 } ) { y } ^ { 1 } + \frac { d } { d t } \Lambda \left( x ^ { 2 } ( t ) \right) x ^ { 1 } y ^ { 2 } = \bar { y } ^ { 1 } } \\ { \dot { \bar { y } } ^ { 1 } } & { = - \bar { \Gamma } _ { j k } ^ { 1 } \bar { y } ^ { j } \bar { y } ^ { k } + L _ { e } ^ { 2 } h + u L _ { g } L _ { e } h , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( \frac { ( 1 - t ) ^ { 2 } } { k } + t ^ { 2 } , \frac { ( 1 - t ) ^ { 3 } } { k ^ { 2 } } + t ^ { 3 } \right) ~ : ~ 0 \leqslant t \leqslant \frac { 1 } { k + 1 } \mathrm { ~ a n d ~ } } \\ & { \left( \frac { ( 1 - s ) ^ { 2 } } { l } + s ^ { 2 } , \frac { ( 1 - s ) ^ { 3 } } { l ^ { 2 } } + s ^ { 3 } \right) ~ : ~ 0 \leqslant s \leqslant \frac { 1 } { l + 1 } } \end{array}
\hat { \mathcal { B } } = 1 - \mathrm { T r } _ { 2 } ^ { - 1 } \circ \left( \begin{array} { l l } { T _ { 1 } } & { 0 } \\ { T _ { 2 } } & { 0 } \end{array} \right) \circ \mathrm { T r } _ { 2 } \, , \qquad \mathrm { T r } _ { 2 } \left( \begin{array} { l l } { R _ { 1 1 } } & { R _ { 1 2 } } \\ { R _ { 2 1 } } & { R _ { 2 2 } } \end{array} \right) : = \left( \begin{array} { l } { \langle R _ { 1 1 } \rangle } \\ { \langle R _ { 2 2 } \rangle } \\ { \langle R _ { 1 2 } \rangle } \\ { \langle R _ { 2 1 } \rangle } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l } { d _ { k } } & { = t _ { k } - c _ { k } = \frac { \mathrm { i } } { k } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k \xi } - \frac { \mathrm { i } \pi } { n \sin { \left( \frac { k \pi } { n } \right) } } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k \left( m + \frac { 1 } { 2 } \right) 2 \pi / n } } \\ & { = \frac { \mathrm { i } } { k } \left( \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k \xi } - \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k \left( m + \frac { 1 } { 2 } \right) 2 \pi / n } \right) + \mathrm { i } \left( \frac { 1 } { k } - \frac { \pi } { n \sin { \left( \frac { k \pi } { n } \right) } } \right) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k \left( m + \frac { 1 } { 2 } \right) 2 \pi / n } . } \end{array}
{ \frac { { \overline { { P A } } } \cdot { \overline { { Q A } } } } { { \overline { { C A } } } \cdot { \overline { { A B } } } } } + { \frac { { \overline { { P B } } } \cdot { \overline { { Q B } } } } { { \overline { { A B } } } \cdot { \overline { { B C } } } } } + { \frac { { \overline { { P C } } } \cdot { \overline { { Q C } } } } { { \overline { { B C } } } \cdot { \overline { { C A } } } } } = 1 .
W _ { ( \mathcal { C } ^ { \bot } , \pi ) } ( x , y ; \widetilde { \mathbb { P } } ) = x ^ { s \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor } + \sum _ { i = 1 } ^ { s } \frac { 2 m ^ { \pi ( i + 1 ) + \cdots + \pi ( s ) } } { | \mathcal { C } | } \sum _ { j = 1 } ^ { \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor } \left( \frac { y } { x } \right) ^ { ( s - i ) \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor + j } \left[ \beta _ { i j } W _ { ( \mathcal { C } _ { i } , \pi ) } ( x , x ; \mathbb { P } ) + L W _ { \mathcal { C } _ { i } ^ { ' } , \pi } ^ { j } x ^ { s \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor } \right] ;
\begin{array} { r l } { M _ { a _ { 1 } a _ { 2 } \to a _ { 3 } \dots a _ { n } } ^ { ( 1 \mathrm { - c u t } ) } } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { r } \delta m _ { a _ { j } } ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial m _ { a _ { j } } ^ { 2 } } M _ { a _ { 1 } a _ { 2 } \to a _ { 3 } \dots a _ { n } } ^ { ( 0 ) } ( p _ { 1 } \dots , p _ { n } ) } \\ & { - \sum _ { j = 1 } ^ { r } \frac { \delta m _ { a _ { j } } ^ { 2 } } { p _ { j } ^ { 2 } - m _ { a _ { j } } ^ { 2 } } M _ { a _ { 1 } a _ { 2 } \to a _ { 3 } \dots a _ { n } } ^ { ( 0 ) } ( p _ { 1 } \dots , p _ { n } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \ \ \ \ \operatorname* { l i m } _ { T \to \infty } \mathcal { T } _ { \mathrm { l a } } ^ { \mathrm { L } } \left( T ^ { H } \bar { M } , g ^ { T { \bar { Z } } } , h ^ { \bar { F } } \right) ( T ) = \operatorname* { l i m } _ { T \to \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \mathcal { T } _ { \mathrm { l a } , i } ^ { \mathrm { L } } \left( T ^ { H } \bar { M } _ { i } , g ^ { T { \bar { Z } } _ { i } } , h _ { T } ^ { \bar { F } _ { i } } \right) ( T ) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \mathcal { T } _ { \mathrm { l a } , i } ^ { \mathrm { L } } \left( T ^ { H } M _ { i } , g ^ { T Z _ { i } } , h ^ { F _ { i } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \Big | L I S ( \sigma | _ { n Q _ { \Gamma , l } } ) - 2 \sqrt { n } \Big ( \int _ { Q _ { \Gamma , l } } \rho _ { \theta } ( x , y ) d x d y \Big ) ^ { 1 \slash 2 } \Big | } \\ & { \leq } & { C _ { 1 } T ^ { - 1 \slash 2 } n ^ { 1 \slash 2 } ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) + y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } \\ & { } & { + C _ { 1 } ( T ^ { - 5 } n ^ { 1 \slash 2 } + T ^ { - 2 \slash 3 } n ^ { 1 \slash 3 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| u ^ { \varepsilon } ( \cdot , t ) - u _ { 0 } ^ { \varepsilon } \| _ { _ { L ^ { 1 } } } } & { \leq \int _ { 0 } ^ { m \exp ( A / \varepsilon ) } \| u _ { t } ^ { \varepsilon } ( \cdot , t ) \| _ { _ { L ^ { 1 } } } \, d t } \\ & { \leq \sqrt { m ( b - a ) } \exp ( A / 2 \varepsilon ) \left( \int _ { 0 } ^ { m \exp ( A / \varepsilon ) } \| u _ { t } ^ { \varepsilon } ( \cdot , t ) \| _ { _ { L ^ { 2 } } } ^ { 2 } \, d t \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \leq C \sqrt \varepsilon , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\langle \eta , \frac { \partial T _ { h } } { \partial t } \right\rangle \! + \! \langle \mathbf { b } \cdot \nabla \eta , \kappa _ { \Delta } \mathbf { b } \cdot \nabla T _ { h } \rangle \! + \! \langle \nabla \eta , \kappa _ { \perp } , \nabla T _ { h } \rangle = \langle \eta , S \rangle } & { } & { \forall \eta \in \mathbb { V } _ { 2 } ^ { \mathrm { C G } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { L ( 0 , S / 3 ) } & { = 0 } & \\ { L ( - 1 , S / 3 ) } & { = \frac { 4 } { 3 } } \\ & { = \frac { 2 ^ { 2 } } { 3 } } \\ { L ( - 2 , S / 3 ) } & { = 0 } & \\ { L ( - 3 , S / 3 ) } & { = \frac { 7 9 6 } { 3 } } \\ & { = \frac { 2 ^ { 2 } \cdot 1 9 9 } { 3 } } \\ { L ( - 4 , S / 3 ) } & { = 0 } & \\ { L ( - 5 , S / 3 ) } & { = \frac { 1 4 0 9 8 8 4 } { 3 } } \\ & { = \frac { 2 ^ { 2 } \cdot 7 \cdot 4 3 \cdot 1 1 7 1 } { 3 } } \\ { L ( - 6 , S / 3 ) } & { = 0 } & \\ { L ( - 7 , S / 3 ) } & { = \frac { 1 0 5 9 5 0 0 3 8 3 6 } { 3 } } \\ & { = \frac { 2 ^ { 2 } \cdot 2 6 4 8 7 5 0 9 5 9 } { 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { C \sum _ { k _ { x } , k _ { y } , k _ { R } } k _ { x } ^ { - \theta + \eta } k _ { y } ^ { - \theta + \eta } ( | \log | x - y | | - k _ { R } ) ^ { - 2 + \theta + \eta } p _ { k _ { x } , k _ { y } , k _ { R } } ^ { \infty , \infty , \infty } } \\ & { + C \sum _ { k _ { y } , k _ { R } } k _ { y } ^ { - \theta + \eta } ( | \log | x - y | | - k _ { R } ) ^ { - 2 + \theta + \eta } p _ { k _ { y } , k _ { R } } ^ { \infty , \infty } } \\ & { + C \sum _ { k _ { x } , k _ { R } } k _ { x } ^ { - \theta + \eta } ( | \log | x - y | | - k _ { R } ) ^ { - 2 + \theta + \eta } p _ { k _ { x } , k _ { R } } ^ { \infty , \infty } } \\ & { + C \sum _ { k _ { R } } ( | \log | x - y | | - k _ { R } ) ^ { - 2 + \theta + \eta } p _ { k _ { R } } ^ { \infty } } \\ & { + C | \log | x - y | | ^ { - 1 + \theta + \eta } \sum _ { k _ { x } , k _ { y } } k _ { x } ^ { - \theta + \eta } k _ { y } ^ { - \theta + \eta } p _ { k _ { x } , k _ { y } } ^ { \infty , \infty } + C | \log | x - y | | ^ { - 1 + \theta + \eta } \sum _ { k _ { y } } k _ { y } ^ { - \theta + \eta } p _ { k _ { y } } ^ { \infty } } \\ & { + C | \log | x - y | | ^ { - 1 + \theta + \eta } \sum _ { k _ { x } } k _ { x } ^ { - \theta + \eta } p _ { k _ { x } } ^ { \infty } + C | \log | x - y | | ^ { - 1 + \theta + \eta } . } \end{array}
\left\lvert \frac { \nabla _ { x } \lambda _ { i } ( x , v ) } { \lambda ( x , v ) } \right\rvert \leq \left\lvert \frac { \nabla _ { x } \lambda _ { i } ( x , v ) } { \lambda _ { i } ( x , v ) } \right\rvert = \left\lvert \frac { \Xi ^ { \prime } ( v _ { i } \partial _ { i } \psi ( x ) ) } { \Xi ( v _ { i } \partial _ { i } \psi ( x ) ) } v _ { i } \nabla _ { x } \partial _ { i } \psi ( x ) \right\rvert \leq \left\lvert \nabla _ { x } \partial _ { i } \psi ( x ) \right\rvert .
( \mu ^ { \prime } , \stackrel { m ^ { \prime } } { \dots } , \mu ^ { \prime } , \mu ^ { \prime \prime } , \stackrel { m ^ { \prime } } { \dots } , \mu ^ { \prime \prime } , 2 \mathbb { Z } _ { 8 } , \stackrel { n ^ { \prime } } { \dots } , 2 \mathbb { Z } _ { 8 } , \mathbb { Z } _ { 8 } { \setminus } 2 \mathbb { Z } _ { 8 } , \stackrel { r ^ { \prime } } { \dots } , \mathbb { Z } _ { 8 } { \setminus } 2 \mathbb { Z } _ { 8 } ) ,
\begin{array} { r l } { I I } & { \leqslant \| b ^ { e } \cdot ( { P } _ { \Gamma } ^ { e } n _ { E } ^ { + } - n _ { E ^ { l } } ^ { + , e } ) \| _ { L ^ { \infty } ( \Gamma _ { h } ) } + \| b ^ { e } \cdot ( { P } _ { \Gamma } ^ { e } n _ { E } ^ { - } - n _ { E ^ { l } } ^ { - , e } ) \| _ { L ^ { \infty } ( \Gamma _ { h } ) } = I I _ { a } + I I _ { b } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { N } } & { \int _ { t _ { 0 } } ^ { b } \left( \| \hat { \psi } ( a , b , \, \psi ^ { 0 } ) ( t ) - \psi ^ { ( \sigma ) } \| _ { N } + \| \hat { u } ( a , b , \, \psi ^ { 0 } ) ( t ) - u ^ { ( \sigma ) } \| _ { N } \right) ^ { 2 } \, d t } \\ & { \leq \mathcal V ( N , \, t _ { 0 } , \, b , \, \hat { \psi } ^ { 0 } ) } \\ & { \leq \frac { \mathcal C _ { 0 } ^ { 2 } } { ( 1 - \alpha ) ( b - a ) } \frac { 1 } { N } \sum _ { k = 1 } ^ { N } \| \psi ^ { 0 } - \psi ^ { ( \sigma ) } \| . } \end{array}
\| \boldsymbol { \Pi } ^ { t + 1 } - \boldsymbol { \Pi } ^ { t } \| _ { \mathrm { F } } \leq \| \sum _ { i = 1 } ^ { m } \frac { n _ { i } } { N } \boldsymbol { \Pi } _ { i } ^ { t + } - \boldsymbol { \Pi } ^ { t } \| _ { \mathrm { F } } \leq \sum _ { i = 1 } ^ { m } \frac { n _ { i } } { N } \| \boldsymbol { \Pi } _ { i } ^ { t + } - \boldsymbol { \Pi } ^ { t } \| _ { \mathrm { F } } .
\mathscr { L } _ { i } = \left\{ \begin{array} { r c l } & { 2 ^ { n - n _ { i } } ( 3 \cdot 2 ^ { 2 n _ { i } - 3 } - 2 ^ { n _ { i } - 1 } ) , } & { \mathrm { i f } \ \ \mathscr { G } _ { i } = C _ { 2 ^ { n _ { i } } } , } \\ & { 2 ^ { n - n _ { i } } ( 2 ^ { 2 n _ { i } - 1 } - 2 ^ { n _ { i } - 1 } ) , } & { \mathrm { i f } \ \ \mathscr { G } _ { i } = P _ { 2 ^ { n _ { i } } } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { z \in \mathbb { R } ^ { p } } \Big | \widetilde { f } _ { \eta _ { k } } ^ { ( s , e ] } ( z ) \Big | } & { \geq \Big | \widetilde { f } _ { \eta _ { k } } ^ { ( s , e ] } \Big ( z _ { 1 } \Big ) \Big | > \Big | \widetilde { f } _ { b } ^ { ( s , e ] } \Big ( z _ { 1 } \Big ) \Big | \geq \operatorname* { s u p } _ { z \in \mathbb { R } ^ { p } } \Big | \widetilde { F } _ { b } ^ { ( s , e ] } ( z ) \Big | - \gamma \geq c \kappa _ { k } \sqrt { \Delta } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | B _ { 1 } \cap B _ { 1 } ^ { - } | } & { = | ( A _ { 1 } \setminus X ) \cap ( A _ { 1 } ^ { - } \setminus X ^ { - } ) | } \\ & { = | A _ { 1 } \cap A _ { 1 } ^ { - } | - | A _ { 1 } \cap X ^ { - } | - | X \cap A _ { 1 } ^ { - } | + | X \cap X ^ { - } | } \\ & { = | A _ { 1 } \cap A _ { 1 } ^ { - } | - \alpha _ { 1 } ( X ) - \beta _ { 1 } ^ { \prime } ( X ) } \\ { | B _ { 1 } \cap B _ { 2 } ^ { - } | } & { = | ( A _ { 1 } \setminus X ) \cap ( A _ { 2 } ^ { - } \cup X ^ { - } ) | } \\ & { = | A _ { 1 } \cap A _ { 2 } ^ { - } | + | A _ { 1 } \cap X ^ { - } | - | X \cap A _ { 2 } ^ { - } | - | X \cap X ^ { - } | } \\ & { = | A _ { 1 } \cap A _ { 2 } ^ { - } | + \alpha _ { 1 } ( X ) - \beta _ { 2 } ^ { \prime } ( X ) } \\ { | B _ { 2 } \cap B _ { 1 } ^ { - } | } & { = | ( A _ { 2 } \cup X ) \cap ( A _ { 1 } ^ { - } \setminus X ^ { - } ) | } \\ & { = | A _ { 2 } \cap A _ { 1 } ^ { - } | - | A _ { 2 } \cap X ^ { - } | + | X \cap A _ { 1 } ^ { - } | - | X \cap X ^ { - } | } \\ & { = | A _ { 2 } \cap A _ { 1 } ^ { - } | - \alpha _ { 2 } ( X ) + \beta _ { 1 } ^ { \prime } ( X ) } \\ { | B _ { 2 } \cap B _ { 2 } ^ { - } | } & { = | ( A _ { 2 } \cup X ) \cap ( A _ { 2 } ^ { - } \cup X ^ { - } ) | } \\ & { = | A _ { 2 } \cap A _ { 2 } ^ { - } | + | A _ { 2 } \cap X ^ { - } | + | X \cap A _ { 2 } ^ { - } | + | X \cap X ^ { - } | } \\ & { = | A _ { 2 } \cap A _ { 2 } ^ { - } | + \alpha _ { 2 } ( X ) + \beta _ { 2 } ^ { \prime } ( X ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A ( B C ) } & { = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \left[ \left( \begin{array} { l l } { - 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { 2 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 2 } \end{array} \right) \right] } \\ & { = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { - 2 - 1 } & { 2 } \\ { 1 } & { - 2 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { ( - 2 - 1 ) + 1 } & { 2 - 2 } \\ { 1 } & { - 2 } \end{array} \right) . } \end{array}
\frac { ( \gamma L ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } { \underline { { c } } ^ { \frac { 3 } { 2 } + \frac { \delta } { 1 - \delta } } \wedge \underline { { c } } ^ { \frac { 3 + \kappa } { 2 } + \frac { \delta } { 1 - \delta } } } \bar { \Psi } ^ { 1 + 2 r + \frac { \delta r } { 1 - \delta } + \frac { \kappa r } { 2 } } \left( \frac { t _ { 0 } } { 2 } \right) ^ { 1 - \frac { \kappa ( 1 - \delta ) } { 2 } } = \frac { L \gamma t _ { 0 } } { \underline { { c } } ^ { \frac { 2 } { 1 - \delta } } } \bar { \Psi } ^ { 1 + 3 r + \frac { 2 \delta r } { 1 - \delta } } .
\begin{array} { r l } & { \left< \Psi _ { y , m } ^ { \pm } \right| \sigma _ { 1 , y } \left| \Psi _ { y , m } ^ { \pm } \right> = \frac { ( 1 - \lambda _ { y } ^ { 2 } ) } { 2 } \left( \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( - \lambda _ { y } ) ^ { n } ( \left< n n m \right| \pm \left< n m n \right| ) \right) \sum _ { p = 0 } ^ { \infty } ( - \lambda _ { y } ) ^ { p } \left| p p m \right> = \frac { \Xi _ { y , m } ^ { \pm } } { 2 } , } \\ & { \left< \Psi _ { y , m } ^ { \mp } \right| \sigma _ { 1 , y } \left| \Psi _ { y , m } ^ { \pm } \right> = \frac { ( 1 - \lambda _ { y } ^ { 2 } ) } { 2 } \sqrt { \frac { \Xi _ { y , m } ^ { \pm } } { \Xi _ { y , m } ^ { \mp } } } \left( \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( - \lambda _ { y } ) ^ { n } ( \left< n n m \right| \mp \left< n m n \right| ) \right) \sum _ { p = 0 } ^ { \infty } ( - \lambda _ { y } ) ^ { p } \left| p p m \right> = \frac { \sqrt { \Xi _ { y , m } ^ { + } \Xi _ { y , m } ^ { - } } } { 2 } . } \end{array}
\operatorname* { m i n } _ { \substack { { x } _ { 1 } \in { \mathcal X } _ { 1 } , \left( A , { a } \right) \in { \mathcal A } \left( { x } _ { 1 } , { \Xi } \right) \, { \mu } \in { \mathcal M } \left( A \right) } } { c } _ { 1 } ^ { \top } { x } _ { 1 } + { c } _ { 2 } ^ { \top } \left( A \tilde { \xi } + { a } \right) + { c } _ { 3 , \Xi } ^ { \top } { \mu } .
\begin{array} { r } { { k _ { \mathrm { v } } ^ { \mathrm { w a v e } } ( z , z ^ { \prime } ) = [ ( F _ { t } \otimes F _ { t ^ { \prime } } ) * k _ { \mathrm { v } } ] ( x , x ^ { \prime } ) } } \\ { { k _ { \mathrm { u } } ^ { \mathrm { w a v e } } ( z , z ^ { \prime } ) = [ ( \Dot { F } _ { t } \otimes \Dot { F } _ { t ^ { \prime } } ) * k _ { \mathrm { u } } ] ( x , x ^ { \prime } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { l _ { t } ( x ) } { h _ { \gamma } ( x ) } } & { \leq \left[ \frac { 1 + \gamma x } { 1 - \epsilon + \gamma x } \right] ^ { 1 + 1 / \gamma } \frac { 1 + \epsilon } { ( 1 - \epsilon ) \tau } } \\ & { \leq \left[ \frac { 1 } { 1 - \epsilon } \right] ^ { 1 + 1 / \gamma } \frac { 1 + \epsilon } { ( 1 - \epsilon ) \tau } . } \end{array}
( \dagger ) \leq \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \Gamma ( n - k + 1 ) } { \Gamma ( n - 1 ) } \frac { e n ^ { k - 1 } } { k - 1 } , } & { \mathrm { i f } ~ k \in \mathbb { Z } _ { \geq 2 } , } \\ { ( n - 1 ) \log \left( \frac { n } { \alpha + \rho } \right) , } & { \mathrm { i f } ~ k = 1 , } \\ { \frac { \Gamma ( n - k + 1 ) } { \Gamma ( n - 1 ) } \frac { e } { ( 1 - k ) ( \alpha + \rho ) ^ { 1 - k } } , } & { \mathrm { i f } ~ k \in \mathbb { Z } _ { k \leq 0 } . } \end{array} \right.
\sigma ^ { 2 } = c ^ { 2 } { \frac { \left( { \frac { \chi } { 2 } } \right) ^ { p + 1 } \chi ^ { p + 3 } e ^ { - { \frac { \chi ^ { 2 } } { 2 } } } + \left( \chi ^ { 2 } - 2 ( p + 1 ) \right) \left\{ \Gamma ( p + 2 ) - \Gamma ( p + 2 , \, { \frac { 1 } { 2 } } \chi ^ { 2 } ) \right\} } { \chi ^ { 2 } ( p + 1 ) \left( \Gamma ( p + 1 ) - \Gamma ( p + 1 , \, { \frac { 1 } { 2 } } \chi ^ { 2 } ) \right) } } - \mu ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } n + \partial _ { i } \left( n v _ { i } \right) } & { = 0 , } \\ { \partial _ { t } v _ { i } + v _ { j } \partial _ { j } v _ { i } + \frac { e B } { m } \epsilon _ { i j } v _ { j } - \frac { 1 } { m n } \partial _ { j } T _ { i j } } & { = 0 , } \\ { n - \frac { \nu e B } { 2 \pi \hbar } + \frac { \nu } { 4 \pi } \partial _ { i } \left( \frac { \partial _ { i } n } { n } \right) + \frac { \nu m } { 2 \pi \hbar } \epsilon _ { i j } \partial _ { i } v _ { j } } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lVert x _ { N , k } \rVert } & { = \left( 1 + \sum _ { n = 1 } ^ { + \infty } { \frac { 1 } { \left| w _ { k } w _ { \varphi \left( k \right) } . . . w _ { \varphi ^ { n N - 1 } \left( k \right) } \right| ^ { p } } } + \sum _ { n = 1 } ^ { + \infty } { \left| w _ { \varphi ^ { - 1 } \left( k \right) } w _ { \varphi ^ { - 2 } \left( k \right) } . . . w _ { \varphi ^ { - n N } \left( k \right) } \right| } ^ { p } \right) ^ { \frac { 1 } { p } } } \\ & { \le \left( 1 + \sum _ { n = 1 } ^ { + \infty } { \frac { 1 } { \left| w _ { k } w _ { \varphi \left( k \right) } . . . w _ { \varphi ^ { n - 1 } \left( k \right) } \right| ^ { p } } } + \sum _ { n = 1 } ^ { + \infty } { \left| w _ { \varphi ^ { - 1 } \left( k \right) } w _ { \varphi ^ { - 2 } \left( k \right) } . . . w _ { \varphi ^ { - n } \left( k \right) } \right| } ^ { p } \right) ^ { \frac { 1 } { p } } } \\ & { < + \infty , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta { \cal N } _ { \mathrm { g c } } } & { \equiv } & { \int _ { P } F _ { \mathrm { g c } } \left( \delta { \sf S } \; + \; \frac { e } { c } \, \delta \varphi \right) } \\ & { } & { - \; \frac { 1 } { c } \, \left( { \bf E } \; c \, \delta t \; + \frac \delta { \bf X } \, \mathrm { \boldmath ~ \times ~ } \, { \bf B } \right) \, \mathrm { \boldmath ~ \cdot ~ } \, \mathrm { \boldmath ~ \cal ~ P ~ } _ { \mathrm { g c } } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \nabla ( \mathbf { A } \cdot \mathbf { B } ) } & { \ = \ ( \mathbf { A } \cdot \nabla ) \mathbf { B } \, + \, ( \mathbf { B } \cdot \nabla ) \mathbf { A } \, + \, \mathbf { A } { \times } ( \nabla { \times } \mathbf { B } ) \, + \, \mathbf { B } { \times } ( \nabla { \times } \mathbf { A } ) } \\ & { \ = \ \mathbf { A } \cdot \mathbf { J } _ { \mathbf { B } } + \mathbf { B } \cdot \mathbf { J } _ { \mathbf { A } } \ = \ ( \nabla \mathbf { B } ) \cdot \mathbf { A } \, + \, ( \nabla \mathbf { A } ) \cdot \mathbf { B } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { 6 \eta _ { k } ^ { 2 } L ^ { 2 } \gamma + 6 \eta _ { k } ^ { 4 } L ^ { 4 } + \gamma + \eta _ { k } ^ { 2 } L ^ { 2 } + 6 \eta _ { k } ^ { 2 } L ^ { 2 } \leq \frac { 3 } { 2 } \gamma } \\ & { 1 + 6 \eta _ { k } ^ { 2 } L ^ { 2 } + 6 \leq \frac { 2 2 } { 3 } , \ 9 + 4 \gamma ^ { 2 } + 9 \eta _ { k } ^ { 2 } L ^ { 2 } \leq 1 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial W _ { 2 } ^ { 2 } ( \mu , \nu ) } { \partial m _ { \nu } } } & { = 2 | m _ { \mu } - m _ { \nu } | } \\ & { \geq 0 } \\ { \frac { \partial W _ { 2 } ^ { 2 } ( \mu , \nu ) } { \partial \Sigma _ { \nu } } } & { = I - \Sigma _ { \mu } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( \Sigma _ { \mu } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Sigma _ { \nu } \Sigma _ { \mu } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ) ^ { \frac { - 1 } { 2 } } \Sigma _ { \mu } ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \end{array}
\left( { \widehat { T v } } \right) ^ { i ^ { \prime } } = { \hat { T } } _ { j ^ { \prime } } ^ { i ^ { \prime } } { \hat { v } } ^ { j ^ { \prime } } = \left[ \left( R ^ { - 1 } \right) _ { i } ^ { i ^ { \prime } } T _ { j } ^ { i } R _ { j ^ { \prime } } ^ { j } \right] \left[ \left( R ^ { - 1 } \right) _ { k } ^ { j ^ { \prime } } v ^ { k } \right] = \left( R ^ { - 1 } \right) _ { i } ^ { i ^ { \prime } } ( T v ) ^ { i } .
\begin{array} { r l } { \Phi _ { 5 } ^ { - 1 } \mathcal { Q } \Phi _ { 5 } } & { = - \Phi _ { 5 } ^ { - 1 } \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } O p ^ { W } ( \mathfrak { r } _ { - 2 , \le 3 } ) \Phi _ { 5 } + \Phi _ { 5 } ^ { - 1 } \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } W _ { 1 } \Phi _ { 5 } + \Phi _ { 5 } ^ { - 1 } R _ { 4 } \Phi _ { 5 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \tt p r e c } ( \mathbf { y ^ { a } } , \mathbf { y ^ { p } } ) = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { m } ( 1 - y _ { i } ^ { a } ) y _ { i } ^ { p } } { \sum _ { i = 1 } ^ { m } y _ { i } ^ { p } } , } \\ & { { \tt r e c } ( \mathbf { y ^ { a } } , \mathbf { y ^ { p } } ) = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { m } ( 1 - y _ { i } ^ { p } ) y _ { i } ^ { a } } { \sum _ { i = 1 } ^ { m } y _ { i } ^ { a } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | C | } & { = } & { \left| \mathbb { E } \sum _ { n = 1 } ^ { n _ { \varepsilon } } \mathbb { E } ( R ( X _ { t _ { n - 1 } } ^ { \tau _ { \varepsilon } } , X _ { t _ { n } } ^ { \tau _ { \varepsilon } } ) | \mathcal { F } _ { n - 1 } ) + \mathbb { E } \left( R \left( X _ { t _ { n - 1 } } ^ { \tau _ { \varepsilon } } , W _ { t _ { n } } ^ { \tau , X _ { t _ { n - 1 } } ^ { \tau _ { \varepsilon } } , t _ { n } } \right) | \mathcal { F } _ { n - 1 } \right) \right| } \\ & { \lesssim } & { \| D ^ { 3 } \psi \| _ { \infty } \quad \mathbb { E } \sum _ { n = 1 } ^ { n _ { \varepsilon } } \mathbb { E } ( | X _ { t _ { n } } ^ { \tau _ { \varepsilon } } - X _ { t _ { n - 1 } } ^ { \tau _ { \varepsilon } } | ^ { 3 } | \mathcal { F } _ { n - 1 } ) + \mathbb { E } \left( \left| W _ { t _ { n } } ^ { \tau , X _ { t _ { n - 1 } } ^ { \tau _ { \varepsilon } } , t _ { n } } - X _ { t _ { n - 1 } } ^ { \tau _ { \varepsilon } } \right| ^ { 3 } | \mathcal { F } _ { n - 1 } \right) } \\ & { \lesssim } & { \| D ^ { 3 } \psi \| _ { \infty } \mathbb { E } \sum _ { n = 1 } ^ { n _ { \varepsilon } } \theta ^ { 3 / 2 } \lesssim \| D ^ { 3 } \psi \| _ { \infty } T \theta ^ { 1 / 2 } = c _ { \psi , T } ( \varepsilon ) . } \end{array}
\mathcal { I } ( I ) _ { p } = \left\{ \begin{array} { l l } { K , } & { \mathrm { i f ~ p \in ~ I ~ , } } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e , } } \end{array} \right. \quad \mathrm { w i t h ~ i n t e r n a l ~ m a p s } \quad \mathcal { I } ( I ) _ { p \to q } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { i d } , } & { \mathrm { i f ~ p , q \in ~ I ~ , } } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \mathbf { \Theta } _ { ( 1 : l _ { 1 } ) } ^ { \mathrm { ( I ) } \mathrm { T } } = \underset { ^ B } { \angle } ( \mathrm { e } ^ { j \frac { 2 \pi v } { V } } \mathbf { g } _ { ( 1 : l _ { 1 } ) } ^ { \mathrm { ( I ) } \mathrm { H } } ) = \mathrm { e } ^ { j \frac { 2 \pi v } { V } } \underset { ^ B } { \angle } ( \mathbf { g } _ { ( 1 : l _ { 1 } ) } ^ { \mathrm { ( I ) } \mathrm { H } } ) , } \end{array}
\Phi ( R ) = \oint _ { \partial B _ { R } ( \mathbf { r } _ { 0 } ) } \mathbf { E } _ { 0 } \cdot d \mathbf { S } = \oint _ { \partial B _ { R } ( \mathbf { r } _ { 0 } ) } \mathbf { E } _ { B _ { R } } \cdot d \mathbf { S } + \oint _ { \partial B _ { R } ( \mathbf { r } _ { 0 } ) } \mathbf { E } _ { C } \cdot d \mathbf { S } = \oint _ { \partial B _ { R } ( \mathbf { r } _ { 0 } ) } \mathbf { E } _ { B _ { R } } \cdot d \mathbf { S }
\begin{array} { r l } & { a _ { 1 } ( \alpha _ { k } ) : = L _ { y } ^ { 2 } \alpha _ { k } ^ { 2 } + \frac { L _ { y } \alpha _ { k } } { 4 M _ { f } } + \frac { L _ { y x } \alpha _ { k } ^ { 2 } } { 2 \eta } , } \\ & { a _ { 2 } ( \alpha _ { k } , n ) : = 1 + 4 M _ { f } L _ { y } \alpha _ { k } + { \frac { \eta L _ { y x } \tilde { D } _ { f } ^ { 2 } \alpha _ { k } ^ { 2 } } { 2 } } , } \\ & { a _ { 3 } ( \alpha _ { k } , n ) : = \frac { \alpha _ { k } ^ { 2 } L _ { y } ^ { 2 } } { n } + \frac { L _ { y x } \alpha _ { k } ^ { 2 } } { 2 \eta n } , } \end{array}
\begin{array} { r } { S = \sum _ { n _ { 1 } = 0 } ^ { \infty } \cdots \sum _ { n _ { N } = 0 } ^ { \infty } \sum _ { n _ { p } = 0 } ^ { \infty } \phi _ { 1 , 2 , \cdots , N , p } \langle ( n _ { p } + l + 1 + \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( 2 n _ { j } + a _ { j } ) ) \rangle \frac { d ^ { n _ { p } } } { 2 ^ { \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( 2 n _ { j } + a _ { j } ) } } } \\ { \times \frac { \prod _ { j = 1 } ^ { N } ( R _ { j } ) ^ { ( 2 n _ { j } + a _ { j } ) } } { \prod _ { j = 1 } ^ { N } \Gamma ( a _ { j } + n _ { j } + 1 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \imath _ { X Y } ( x , y | D _ { 1 } , D _ { 2 } , P _ { X Y } ) } \\ { * } & { : = - \log \mathbb { E } _ { P _ { \hat { X } \hat { Y } } ^ { * } } \bigg [ \exp \Big ( \nu _ { 1 } ^ { * } ( D _ { 1 } - d _ { 1 } ( x , \hat { X } ) ) + \nu _ { 2 } ^ { * } ( D _ { 2 } - d _ { 2 } ( y , \hat { Y } ) ) \Big ) \bigg ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| \int _ { 1 } ^ { r _ { 0 } } e ^ { - i \widetilde { \omega } r _ { * } } \frac { H } { \Delta } ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) \, d r \right| ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 \pi } \left| \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \int _ { 1 } ^ { r _ { 0 } } \int _ { \mathbb { R } _ { t } } e ^ { - i \widetilde { \omega } r _ { * } + i \omega t } F \, d t d r \, e ^ { - i m \varphi } S _ { m \ell } ( \theta ; a \omega ) d \sigma \right| ^ { 2 } } \\ { = } & { \: \frac { 1 } { 2 \pi } \left| \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \int _ { \mathbb { R } _ { u } } \int _ { \mathbb { R } _ { \tau } } e ^ { i \widetilde { \omega } u + i m \upomega _ { + } ( u + v ) } \mathbf { 1 } _ { r \leq r _ { 0 } } F \Delta ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { - 1 } \, d u d \tau \, e ^ { - i m \varphi } S _ { m \ell } ( \theta ; a \omega ) d \sigma \right| ^ { 2 } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { \mathbf { r } : = \mathbf { b } - \mathbf { A x } } \\ & { { \mathrm { r e p e a t ~ i n ~ t h e ~ l o o p : } } } \\ & { \qquad \gamma : = { \mathbf { r } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { r } } / { \mathbf { r } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { A r } } } \\ & { \qquad \mathbf { x } : = \mathbf { x } + \gamma \mathbf { r } } \\ & { \qquad { \mathrm { i f ~ } } \mathbf { r } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { r } { \mathrm { ~ i s ~ s u f f i c i e n t l y ~ s m a l l , ~ t h e n ~ e x i t ~ l o o p } } } \\ & { \qquad \mathbf { r } : = \mathbf { r } - \gamma \mathbf { A r } } \\ & { { \mathrm { e n d ~ r e p e a t ~ l o o p } } } \\ & { { \mathrm { r e t u r n ~ } } \mathbf { x } { \mathrm { ~ a s ~ t h e ~ r e s u l t } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \overrightarrow A _ { 2 S } } & { = A _ { \mathrm { { C V } } } + n A _ { \mathrm { C V } } ( 4 a h ) , \quad \overrightarrow A _ { 1 S } = 0 , \quad \overrightarrow A _ { 1 2 } = 0 , } \\ { \overleftarrow A _ { 2 S } } & { = 0 , \quad \overleftarrow A _ { 1 S } = A _ { \mathrm { { C V } } } + n A _ { \mathrm { C V } } ( 4 a h ) , \quad \overleftarrow A _ { 1 2 } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { 4 } = } & { \| u ^ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { p - 1 } \| u ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ( \| v ^ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { p } + \| v ^ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { p - 1 } \| v ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } + . . . + \| v ^ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } \| v ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { p - 1 } } \\ & { + \| v ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { p } ) } \\ { M _ { 5 } = } & { \| v ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { p + 1 } \| u ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ( \| u ^ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { p - 2 } + \| u ^ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { p - 3 } \| u ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } + . . . + \| u ^ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } \| u ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { p - 3 } } \\ & { + \| u ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { p - 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho } & { = \frac { 1 } { \gamma \mathrm { M } ^ { 2 } } , } \\ { u } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \operatorname { t a n h } ( 8 0 \times ( y - 0 . 2 5 ) ) , } & { \mathrm { ~ i f ~ } ( y \leq 0 . 5 ) , } \\ { \operatorname { t a n h } ( 8 0 \times ( 0 . 7 5 - y ) ) , } & { \mathrm { ~ i f ~ } ( y > 0 . 5 ) , } \end{array} \right. } \\ { v } & { = 0 . 0 5 \times \sin ( 2 \pi ( x + 0 . 2 5 ) ) } \\ { T } & { = 1 . } \end{array}
\mathbf { G } : = \left( \begin{array} { l l l l l l l l l } { K _ { M + 1 , M + 1 } } & { \cdots } & { K _ { M + 1 , 2 M + 1 } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { K _ { M + 1 , 1 } } & { \cdots } & { K _ { M + 1 , M } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { K _ { 2 M + 1 , M + 1 } } & { \cdots } & { K _ { 2 M + 1 , 2 M + 1 } } & { 0 } & { \ddots } & { 0 } & { K _ { 2 M + 1 , 1 } } & { \cdots } & { K _ { 2 M + 1 , M } } \\ { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { K _ { 1 , M + 1 } } & { \cdots } & { K _ { 1 , 2 M + 1 } } & { 0 } & { \ddots } & { 0 } & { K _ { 1 , 1 } } & { \cdots } & { K _ { 2 M + 1 , M } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { K _ { M , M + 1 } } & { \cdots } & { K _ { M , 2 M + 1 } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { K _ { M , 1 } } & { \cdots } & { K _ { M , M } } \end{array} \right)
\sum _ { i , j = 1 } ^ { 2 } \hat { A } _ { i j } ^ { ( \mathrm { m o d ) } } ( \psi _ { x } , \psi _ { y } , \psi , x ) \partial _ { i } \partial _ { j } \psi + \sum _ { i , j = 1 } ^ { 2 } \hat { A } _ { i } ^ { ( \mathrm { m o d ) } } ( \psi _ { x } , \psi _ { y } , \psi , x ) \partial _ { i } \psi = 0 \qquad \mathrm { i n ~ \mathcal { R } ( \Omega ^ 5 _ { \varepsilon } ) ~ } \, ,
\begin{array} { r l } { ( \pi ^ { Y } ) _ { ! } ( c \cdot \bar { \ell } ^ { * } ( w _ { 1 } ) \cdots \bar { \ell } ^ { * } ( w _ { r } ) ) } & { = ( \pi ^ { Y } ) _ { ! } ( c \cdot \prod _ { i = 1 } ^ { r } ( \ell ^ { * } ( w _ { i } ) - \frac { 1 } { \chi } ( \pi ^ { Y } ) ^ { * } \kappa _ { e , w _ { i } } ) ) } \\ & { = \sum _ { I \sqcup J = \{ 1 , 2 , \ldots , r \} } \kappa _ { c , w _ { I } } \cdot \prod _ { j \in J } ( - \frac { 1 } { \chi } \kappa _ { e , w _ { j } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \mathscr { R } ( u _ { + } ) - \mathscr { R } ( u _ { - } ) \| _ { C _ { \star } ^ { \alpha } , S , R } } & { \leq C ( S , \alpha ) R ^ { - 1 } \left( R ^ { - 1 } + \| u _ { \pm } \| _ { C _ { \star } ^ { 2 , \alpha } , S , R } \right) \| u _ { + } - u _ { - } \| _ { C _ { \star } ^ { 2 , \alpha } , S , R } ; } \\ { \| \mathscr { R } ( u _ { + } ) - \mathscr { R } ( u _ { - } ) \| _ { C _ { \sharp } ^ { \alpha } , S , R } } & { \leq C ( S , \alpha ) \left( R ^ { - 1 } + \| u _ { \pm } \| _ { C _ { \star } ^ { 2 , \alpha } , S , R } \right) \| u _ { + } - u _ { - } \| _ { C _ { \sharp } ^ { 2 , \alpha } , S , R } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } [ \hat { \alpha } _ { a } \leq \alpha _ { a } - \epsilon _ { a , l } ( \epsilon ) , \mathcal { K } _ { a , N _ { a } ( t ) } ( \epsilon ) , N _ { a } ( t ) = n ] } & { \leq \mathbb { P } \left[ \frac { n } { \sum _ { s = 1 } ^ { n } \log r _ { a , s } ^ { \prime } - n \log r _ { a , 1 } ^ { \prime } } \leq \alpha _ { a } - \epsilon _ { a , l } ( \epsilon ) \right] } \\ & { = \mathbb { P } \left[ \frac { n } { \alpha _ { a } - \epsilon _ { a , l } ( \epsilon ) } \leq \sum _ { s = 1 } ^ { n } \log \frac { r _ { a , s } ^ { \prime } } { r _ { a , 1 } ^ { \prime } } \right] } \\ & { = \mathbb { P } \left[ \frac { n } { \alpha _ { a } - \epsilon _ { a , l } ( \epsilon ) } \leq n \log \frac { \kappa } { r _ { a , 1 } ^ { \prime } } + \sum _ { s = 1 } ^ { n } \log \frac { r _ { a , s } ^ { \prime } } { \kappa } \right] } \\ & { \leq \mathbb { P } \left[ \frac { n } { \alpha _ { a } - \epsilon _ { a , l } ( \epsilon ) } \leq \sum _ { s = 1 } ^ { n } \log \frac { r _ { a , s } } { \kappa _ { a } } \right] } \\ & { \leq \mathbb { P } \left[ \epsilon \leq \frac { 1 } { n } \sum _ { s = 1 } ^ { n } \log \frac { r _ { a , s } } { \kappa _ { a } } - \frac { 1 } { \alpha _ { a } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \dot { E } _ { a } ( t ) = } & { - F _ { a } ( t ) } & { \dot { F } _ { a } ( t ) = } & { | \lambda _ { 0 } | ^ { 2 } E _ { a } ( t ) } \\ { \dot { E } _ { b } ( t ) = } & { - F _ { b } ( t ) } & { \dot { F } _ { b } ( t ) = } & { 0 } \\ { \dot { E } _ { c } ( t ) = } & { E _ { a } ( t ) } & { \dot { F } _ { c } ( t ) = } & { 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { m _ { \alpha { \alpha } _ { 1 } \beta } = m _ { \beta \alpha { \alpha } _ { 1 } } = } \\ & { } & { - \frac { 3 } { 1 6 \pi } \int _ { r = R _ { p } } \left[ \frac { \delta _ { \gamma \beta } + 6 \hat { \lambda } n _ { \gamma \beta } ( \pmb x ) } { 1 + 3 \hat { \lambda } } \right] \left[ \delta _ { \alpha \gamma } n _ { { \alpha } _ { 1 } } ( { \pmb x } ) - \hat { \lambda } ( t _ { \alpha \gamma } ( { \pmb x } ) n _ { \alpha _ { 1 } } ( { \pmb x } ) + n _ { \alpha } ( { \pmb x } ) t _ { \alpha _ { 1 } \gamma } ( { \pmb x } ) ) \right] d S ( { \pmb x } ) = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } _ { p } ( T ) } & { \geq \mathcal { R } _ { p } ( 2 ^ { 3 2 p } - 1 ) + \sum _ { 2 ^ { 3 2 p } \leq t < T _ { p } ^ { q _ { 0 } } , t \in \mathcal { T } _ { p } } r _ { t } } \\ & { \geq \bar { R } _ { p } ^ { * } ( T ) - 2 \frac { T } { 2 ^ { p } } - \frac { 1 + c } { 2 } \sqrt { | \mathcal { A } | \ln | \mathcal { A } | } T ^ { 1 - 1 / 2 ^ { 7 } } \log _ { 2 } T - 1 3 \epsilon _ { p } T - ( 3 2 + 4 c \ln T ) T ^ { 1 5 / 1 6 } } \\ & { \geq \bar { R } _ { p } ^ { * } ( T ) - \frac { 1 + c } { 2 } \sqrt { | \mathcal { A } | \ln | \mathcal { A } | } T ^ { 1 - 1 / 2 ^ { 7 } } \log _ { 2 } T - ( 3 2 + 4 c \ln T ) T ^ { 1 5 / 1 6 } - 1 5 \epsilon _ { p } T } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { \mu _ { i j } } V _ { i j } } & { = - \sigma _ { i j } H _ { i j } \quad } & { \mathrm { o n ~ } \Sigma _ { i j } \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } i \neq j \mathrm { ~ a n d } } \\ { \sigma _ { i j } \nu _ { i j } + \sigma _ { j k } \nu _ { j k } + \sigma _ { k i } \nu _ { k i } } & { = 0 } & { \mathrm { a t ~ t r i p l e ~ j u n c t i o n s } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { W ( \pi _ { 2 , \epsilon } , \pi _ { * } , f ) = \left| \int _ { - \frac { 1 } { 2 } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } f ( x ) ( 1 - p _ { 2 , \epsilon } ( x ) ) d x \right| } \\ { = } & { \epsilon \left| \int _ { - \frac { 1 } { 2 } } ^ { 0 } f ( x ) ( 1 + 4 x ) d x + \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } f ( x ) ( 1 - 4 x ) d x \right| } \\ { = } & { \epsilon \Bigg | \int _ { - \frac { 1 } { 2 } } ^ { 0 } \left( f ( x ) - f ( - 1 / 4 ) \right) ( 1 + 4 x ) d x + \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( f ( x ) - f ( 1 / 4 ) ) ( 1 - 4 x ) d x \Bigg | } \\ { \leq } & { \epsilon \int _ { - \frac { 1 } { 2 } } ^ { 0 } | f ( x ) - f ( - 1 / 4 ) | | 1 + 4 x | d x + \epsilon \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } | f ( x ) - f ( 1 / 4 ) | | 1 - 4 x | d x } \\ { = } & { \epsilon \Bigg ( \int _ { - \frac { 1 } { 2 } } ^ { - \frac { 1 } { 4 } } | f ( x ) - f ( - 1 / 4 ) | ( - 1 - 4 x ) d x + \int _ { - \frac { 1 } { 4 } } ^ { 0 } | f ( x ) - f ( - 1 / 4 ) | ( 1 + 4 x ) d x } \\ { + } & { \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 4 } } | f ( x ) - f ( 1 / 4 ) | ( 1 - 4 x ) d x + \int _ { \frac { 1 } { 4 } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } | f ( x ) - f ( 1 / 4 ) | ( 4 x - 1 ) d x \Bigg ) } \\ { \leq } & { \epsilon \Bigg ( \int _ { - \frac { 1 } { 2 } } ^ { - \frac { 1 } { 4 } } | x + 1 / 4 | ( - 1 - 4 x ) d x + \int _ { - \frac { 1 } { 4 } } ^ { 0 } | x + 1 / 4 | ( 1 + 4 x ) d x } \\ { + } & { \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 4 } } | x - 1 / 4 | ( 1 - 4 x ) d x + \int _ { \frac { 1 } { 4 } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } | x - 1 / 4 | ( 4 x - 1 ) d x \Bigg ) } \\ { \leq } & { \epsilon \Bigg ( \int _ { - \frac { 1 } { 2 } } ^ { - \frac { 1 } { 4 } } ( x + 1 / 4 ) ( 1 + 4 x ) d x + \int _ { - \frac { 1 } { 4 } } ^ { 0 } ( x + 1 / 4 ) ( 1 + 4 x ) d x } \\ { + } & { \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 4 } } ( x - 1 / 4 ) ( 4 x - 1 ) d x + \int _ { \frac { 1 } { 4 } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( x - 1 / 4 ) ( 4 x - 1 ) d x \Bigg ) } \\ { = } & { \epsilon \left( \int _ { - \frac { 1 } { 2 } } ^ { 0 } ( x + 1 / 4 ) ( 1 + 4 x ) d x + \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( x - 1 / 4 ) ( 4 x - 1 ) d x \right) } \\ { = } & { \frac { \epsilon } { 1 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \triangle _ { Y } \mu ^ { * } ( X ) } & { > 0 \Leftrightarrow } \\ { \mu ^ { * } ( X ) ^ { \frac { - M } { N + M } } \mu ^ { * } ( Y ) ^ { \frac { M } { N + M } } - 1 } & { > 0 \Leftrightarrow } \\ { \mu ^ { * } ( Y ) ^ { \frac { M } { N + M } } } & { > \mu ^ { * } ( X ) ^ { \frac { M } { N + M } } \Leftrightarrow } \\ { \mu ^ { * } ( Y ) } & { > \mu ^ { * } ( X ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { { u _ { \Gamma } } _ { \mid \Omega _ { j } } - { v _ { \Gamma , S } } _ { \mid \Omega _ { j } } = E ^ { j } ( u _ { \mid \partial \Omega _ { j } } - { v _ { \Gamma , S } } _ { \mid \partial \Omega _ { j } } ) = \sum _ { e \in \mathcal { E } , e \subset \partial \Omega _ { j } } ( E ^ { e } ( u _ { \mid e } - { v _ { \Gamma , S } } _ { \mid e } ) ) _ { \mid \Omega _ { j } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { i } ^ { o } } & { = \sum _ { m _ { i } = 0 } ^ { N _ { I } - 1 } \binom { N _ { I } - 1 } { m _ { i } } y _ { i } ^ { m _ { i } } ( 1 - y _ { i } ) ^ { N _ { I } - 1 - m _ { i } } } \\ & { \quad \times \sum _ { m _ { t } = 0 } ^ { N _ { T } } \binom { N _ { T } } { m _ { t } } y _ { t } ^ { m _ { t } } ( 1 - y _ { t } ) ^ { N _ { T } - m _ { t } } \Pi _ { i } ^ { o } ( m _ { i } + 1 , m _ { t } ) } \\ & { = \sum _ { m _ { i } = 0 } ^ { N _ { I } - 1 } \binom { N _ { I } - 1 } { m _ { i } } y _ { i } ^ { m _ { i } } ( 1 - y _ { i } ) ^ { N _ { I } - 1 - m _ { i } } } \\ & { \quad \times \sum _ { m _ { t } = 0 } ^ { N _ { T } } \binom { N _ { T } } { m _ { t } } y _ { t } ^ { m _ { t } } ( 1 - y _ { t } ) ^ { N _ { T } - m _ { t } } \left[ \frac { m _ { t } } { N _ { T } } \frac { r \left( 1 - w ^ { m _ { i } + 1 } \right) } { ( m _ { i } + 1 ) ( 1 - w ) } \right. } \\ & { \left. \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad + \left( 1 - \frac { m _ { t } } { N _ { T } } \right) \cdot ( - 1 ) \right] } \\ & { = \sum _ { m _ { i } = 0 } ^ { N _ { I } - 1 } \binom { N _ { I } - 1 } { m _ { i } } y _ { i } ^ { m _ { i } } ( 1 - y _ { i } ) ^ { N _ { I } - 1 - m _ { i } } } \\ & { \quad \times \left( \left[ \frac { 1 } { m _ { i } + 1 } r \frac { 1 - w ^ { m _ { i } + 1 } } { 1 - w } + 1 \right] y _ { t } - 1 \right) } \\ & { = \frac { r y _ { t } } { N _ { I } ( 1 - w ) } \left[ \sum _ { m _ { i } = 0 } ^ { N _ { I } - 1 } \binom { N _ { I } } { m _ { i } + 1 } y _ { i } ^ { m _ { i } } ( 1 - y _ { i } ) ^ { N _ { I } - 1 - m _ { i } } \right. } \\ & { \left. \quad \times ( 1 - w ^ { m _ { i } + 1 } ) \right] + y _ { t } - 1 } \\ & { = \frac { r } { N _ { I } ( 1 - w ) } \frac { y _ { t } } { y _ { i } } \left[ 1 - ( 1 + ( w - 1 ) y _ { i } ) ^ { N _ { I } } \right] + y _ { t } - 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { h _ { i } h _ { i + 1 } \cdots h _ { j - 2 } h _ { j - 1 } } \\ { = } & { t _ { i , i + 1 } ^ { \frac { j - i + 1 } { 2 } } ( h _ { i } h _ { i + 2 } \cdots h _ { j - 1 } ) t _ { i + 2 , i + 3 } ^ { - 1 } t _ { i + 4 , i + 5 } ^ { - 1 } \cdots t _ { j - 1 , j } ^ { - 1 } ( h _ { i + 1 } h _ { i + 3 } \cdots h _ { j - 2 } ) . } \end{array}
\mathbf { y } _ { t _ { n + 1 } } = \mathbf { y } _ { n } + { \widetilde { \mathbf { \phi } } } ( t _ { n } , \mathbf { y } _ { n } ; h _ { n } ) + { \frac { h _ { n } } { 2 } } \left( \mathbf { k } _ { 1 } + \mathbf { k } _ { 2 } \right) + \mathbf { g } \left( t _ { n } \right) \Delta w _ { n } + { \frac { \left( \mathbf { g } \left( t _ { n + 1 } \right) - \mathbf { g } \left( t _ { n } \right) \right) } { h _ { n } } } J _ { \left( 0 , 1 \right) } \quad ( 7 . 5 )
\begin{array} { r l } { \delta \dot { \hat { a } } = \, } & { - ( i \Delta _ { a } + \kappa _ { 1 } + \kappa _ { 2 } ) \delta \hat { a } + i \sqrt { 2 } \tilde { g } _ { c } a \delta \hat { q } - \mathcal { G } \delta \hat { d } + \sqrt { 2 \kappa _ { 1 } } \hat { a } _ { \mathrm { i n , } 1 } + \sqrt { 2 \kappa _ { 2 } } \hat { a } _ { \mathrm { i n , } 2 } , } \\ { \delta \dot { \hat { d } } = \, } & { - ( i \Delta _ { d } + \gamma _ { d } ) \delta \hat { d } + i \sqrt { 2 } \tilde { g } _ { c } d \delta \hat { q } - \mathcal { G } \delta \hat { a } + \sqrt { 2 \gamma _ { d } } \hat { a } _ { \mathrm { i n , } 1 } , } \\ { \delta \dot { \hat { q } } = \, } & { \Omega _ { \mathrm { m } } \delta \hat { p } , } \\ { \delta \dot { \hat { p } } = \, } & { - \Omega _ { \mathrm { m } } \delta \hat { q } - \gamma _ { \mathrm { m } } \delta \hat { p } + \sum _ { c = a , d } \sqrt { 2 } ( \tilde { g } _ { c } m \delta \hat { c } ^ { \dagger } + \tilde { g } _ { c } m ^ { * } \delta \hat { c } ) + C ^ { * } \hat { a } _ { \mathrm { i n , } 1 } + C \hat { a } _ { \mathrm { i n , } 1 } ^ { \dagger } + \sqrt { \gamma _ { \mathrm { m } } } \hat { \xi } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { - s _ { 0 } } ^ { s _ { 0 } } f ^ { 2 } e ^ { \alpha _ { 3 } } \, d s } & { = \frac { 1 1 s _ { 0 } ^ { 3 } } { 3 } + 3 s _ { 0 } \left( s _ { 0 } ^ { 4 } - 2 s _ { 0 } ^ { 2 } - 3 \right) \tan ^ { - 1 } ( s _ { 0 } ) , } \\ { \int _ { - s _ { 0 } } ^ { s _ { 0 } } ( \alpha _ { 1 } ^ { \prime } + \lambda ) ^ { 2 } f ^ { 2 } e ^ { \alpha _ { 3 } } \, d s } & { = - 2 \left( s _ { 0 } \left( s _ { 0 } ^ { 2 } + 3 \right) + \left( s _ { 0 } ^ { 4 } - 2 s _ { 0 } ^ { 2 } - 3 \right) \tan ^ { - 1 } ( s _ { 0 } ) \right) } \\ { \int _ { - s _ { 0 } } ^ { s _ { 0 } } f ^ { 2 } e ^ { \alpha _ { 3 } } \, d s } & { = \frac { 1 6 s _ { 0 } ^ { 5 } } { 1 5 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { | \theta _ { l } , \phi _ { l } ; \theta _ { y } , \phi _ { y } \rangle } \\ & { } & { = \hat { \mathcal D } _ { 3 } \left( \phi _ { l } \right) \hat { \mathcal D } _ { 2 } \left( \theta _ { l } \right) \hat { \mathcal D } _ { 3 } ^ { ( v ) } \left( \phi _ { y } \right) \hat { \mathcal D } _ { 2 } ^ { ( v ) } \left( \theta _ { y } \right) | \psi _ { 1 } \rangle } \\ & { } & { = \left( \begin{array} { c } { \mathrm { e } ^ { - i \frac { \phi _ { y } } { 2 } } \mathrm { e } ^ { - i \frac { \phi _ { l } } { 2 } } \cos \left( \frac { \theta _ { l } } { 2 } \right) \cos \left( \frac { \theta _ { y } } { 2 } \right) } \\ { \mathrm { e } ^ { - i \frac { \phi _ { y } } { 2 } } \mathrm { e } ^ { + i \frac { \phi _ { l } } { 2 } } \sin \left( \frac { \theta _ { l } } { 2 } \right) \cos \left( \frac { \theta _ { y } } { 2 } \right) } \\ { \mathrm { e } ^ { + i \frac { \phi _ { y } } { 2 } } \sin \left( \frac { \theta _ { y } } { 2 } \right) } \end{array} \right) . } \end{array}
- 1 = \langle e _ { 0 } , e _ { 0 } \rangle = \langle \Lambda e _ { 0 } , \Lambda e _ { 0 } \rangle = - ( \Lambda _ { \phantom { 0 } 0 } ^ { 0 } ) ^ { 2 } + ( \Lambda _ { \phantom { 1 } 0 } ^ { 1 } ) ^ { 2 } + ( \Lambda _ { \phantom { 2 } 0 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + ( \Lambda _ { \phantom { 3 } 0 } ^ { 3 } ) ^ { 2 } \geq - ( \Lambda _ { \phantom { 0 } 0 } ^ { 0 } ) ^ { 2 } .
M _ { j } : = \sum _ { k \in \zeta } L _ { j } ( k ) \cong ( L _ { j } ( s _ { j } ^ { \prime } - p _ { j } ^ { \prime } + 1 ) \cdot \omega ^ { * } + \cdots + L _ { j } ( s _ { j } ^ { \prime } ) ) + L _ { j } ( s _ { j } ^ { \prime } + 1 ) + \cdots + L _ { j } ( s _ { j } - 1 ) + ( L _ { j } ( s _ { j } ) + \cdots + L _ { j } ( s _ { j } + p _ { j } - 1 ) ) \cdot \omega .
{ \begin{array} { r l } { j _ { 2 A } ( \tau ) } & { = T _ { 2 A } ( \tau ) + 1 0 4 } \\ & { = \left( \left( { \frac { \eta ( \tau ) } { \eta ( 2 \tau ) } } \right) ^ { 1 2 } + 2 ^ { 6 } \left( { \frac { \eta ( 2 \tau ) } { \eta ( \tau ) } } \right) ^ { 1 2 } \right) ^ { 2 } } \\ & { = { \frac { 1 } { q } } + 1 0 4 + 4 3 7 2 q + 9 6 2 5 6 q ^ { 2 } + 1 2 4 0 0 0 2 q ^ { 3 } + 1 0 6 9 8 7 5 2 q ^ { 4 } + \cdots } \end{array} }
\begin{array} { r } { L _ { 1 } = \frac { 1 } { T } \int _ { J } \frac { 1 } { | \bar { \Omega } _ { t } | } \int _ { \bar { \Omega } _ { t } } \left( \operatorname* { m a x } \{ \dot { V } ( \tau , x ) , 0 \} \right) ^ { 2 } d x d \tau } \\ { L _ { 2 } = \frac { 1 } { T } \int _ { J } \frac { 1 } { | \partial \Omega _ { t } | } \int _ { \partial \Omega _ { t } } \left( \operatorname* { m a x } \{ \delta V _ { b } ( \tau , x ) + \delta _ { 2 } , 0 \} \right) ^ { 2 } d x d \tau \, . } \end{array}
L = \left( \begin{array} { l l l l l l l l } { n _ { 2 } } & { 0 } & { \dots } & { 0 } & { - 1 } & { \dots } & & { - 1 } \\ { 0 } & { n _ { 2 } } & { 0 } & { \dots } & { - 1 } & { \dots } & & { - 1 } \\ { \dots } & { \dots } & { \dots } & { \dots } & { \dots } & { \dots } & & \\ { 0 } & { \dots } & { 0 } & { n _ { 2 } } & { - 1 } & { \dots } & & { - 1 } \\ { - 1 } & { \dots } & & { - 1 } & { n _ { 1 } } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { - 1 } & { \dots } & & { - 1 } & { 0 } & { n _ { 1 } } & { \dots } & { 0 } \\ { \dots } & & & & & { \dots } & { \dots } & { \dots } \\ { - 1 } & { \dots } & & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { n _ { 1 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \int _ { B } ( f _ { i } ^ { \prime \prime } ) ^ { - 1 } ( \partial _ { i } u ) \Gamma ^ { \gamma _ { i } - \varepsilon _ { i } } ( | \partial _ { i } u | ) f _ { i } ^ { 2 } ( \partial _ { i } u ) \eta ^ { 2 k } \, \mathrm { d } x } } \\ & { \leq } & { \int _ { B } \Big [ f _ { i } ( \partial _ { i } u ) \Gamma ^ { 1 + \gamma _ { i } - ( \varepsilon _ { i } - \theta _ { i } ) } ( | \partial _ { i } u | ) \Big ] \eta ^ { 2 k } \, \mathrm { d } x } \\ & { \leq } & { \int _ { B } \Big [ f _ { i } ( \partial _ { i } u ) \Gamma ^ { 1 + \gamma _ { i } } ( | \partial _ { i } u | ) \Big ] ^ { \frac { 1 } { \rho } } \eta ^ { \frac { 2 k } { \rho } } \eta ^ { \frac { 2 k } { \rho * } } \, \mathrm { d } x + c } \\ & { \leq } & { \varepsilon \int _ { B } f _ { i } ( \partial _ { i } u ) \Gamma ^ { 1 + \gamma _ { i } } ( | \partial _ { i } u | ) \eta ^ { 2 k } \, \mathrm { d } x + c ( \varepsilon , r ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { V o l } _ { \Sigma , \omega , * } ( z ) } & { = \sum _ { \sigma \in \Sigma ( d ) } \omega ( \sigma ) \operatorname { V o l } _ { \sigma } ( P _ { \sigma , * } ( z ) ) } \\ & { = \sum _ { \sigma \in \Sigma ( d ) } \omega ( \sigma ) \sum _ { \rho \in \sigma ( 1 ) } \operatorname { V o l } _ { \sigma } \big ( \mathrm { c o n v } ( 0 , \mathrm { F } _ { \rho } ( P _ { \sigma , * } ( z ) ) \big ) } \\ & { = \sum _ { \sigma \in \Sigma ( d ) } \omega ( \sigma ) \sum _ { \rho \in \sigma ( 1 ) } z _ { \rho } \operatorname { V o l } _ { \sigma ^ { \rho } } ( P _ { \sigma ^ { \rho } , * ^ { \rho } } ( z ^ { \rho } ) ) } \\ & { = \sum _ { \rho \in \Sigma ( 1 ) } z _ { \rho } \sum _ { \sigma ^ { \rho } \in \Sigma ^ { \rho } ( d - 1 ) } \omega ^ { \rho } ( \sigma ^ { \rho } ) \operatorname { V o l } _ { \sigma ^ { \rho } } ( P _ { \sigma ^ { \rho } , * ^ { \rho } } ( z ^ { \rho } ) ) } \\ & { = \sum _ { \rho \in \Sigma ( 1 ) } z _ { \rho } \operatorname { V o l } _ { \Sigma ^ { \rho } , \omega ^ { \rho } , * ^ { \rho } } ( z ^ { \rho } ) , } \end{array}
G = 4 \pi \log \left( { \frac { G \left( { \frac { 3 } { 8 } } \right) G \left( { \frac { 7 } { 8 } } \right) } { G \left( { \frac { 1 } { 8 } } \right) G \left( { \frac { 5 } { 8 } } \right) } } \right) + 4 \pi \log \left( { \frac { \Gamma \left( { \frac { 3 } { 8 } } \right) } { \Gamma \left( { \frac { 1 } { 8 } } \right) } } \right) + { \frac { \pi } { 2 } } \log \left( { \frac { 1 + { \sqrt { 2 } } } { 2 \left( 2 - { \sqrt { 2 } } \right) } } \right) .
{ \begin{array} { r l } { { \mathfrak { s o } } ( 3 ; 1 ) \hookrightarrow { \mathfrak { s o } } ( 3 ; 1 ) _ { \mathbb { C } } } & { \cong \mathbf { A } _ { \mathbb { C } } \oplus \mathbf { B } _ { \mathbb { C } } \cong { \mathfrak { s u } } ( 2 ) _ { \mathbb { C } } \oplus { \mathfrak { s u } } ( 2 ) _ { \mathbb { C } } } \\ & { \cong { \mathfrak { s l } } ( 2 , \mathbb { C } ) \oplus { \mathfrak { s l } } ( 2 , \mathbb { C } ) } \\ & { \cong { \mathfrak { s l } } ( 2 , \mathbb { C } ) \oplus i { \mathfrak { s l } } ( 2 , \mathbb { C } ) = { \mathfrak { s l } } ( 2 , \mathbb { C } ) _ { \mathbb { C } } \hookleftarrow { \mathfrak { s l } } ( 2 , \mathbb { C } ) , } \end{array} }
\mathbb { E } \left( \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq s \leq t } | X _ { s } ^ { \mu } - X _ { s } ^ { \nu } | ^ { \beta } \right) \leq C \left[ \left( \int _ { 0 } ^ { t } W _ { \beta } ^ { 2 } ( \mu _ { s } , \nu _ { s } ) \, d s \right) ^ { \frac { \beta } { 2 } } + \int _ { 0 } ^ { t } W _ { \beta } ^ { \beta } ( \mu _ { s } , \nu _ { s } ) \, d s \right] .
\begin{array} { r l } & { = \langle e ^ { \gamma \psi } \widetilde { \mathcal L } _ { \gamma , q } g _ { \alpha } ^ { ( s ) } , g _ { \alpha } ^ { ( s ) } \rangle _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } } \\ & { \quad + \langle \widetilde { \mathcal L } _ { \gamma , q } \{ \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } ( e ^ { \gamma \psi } g _ { \alpha } ) - e ^ { \gamma \psi } g _ { \alpha } ^ { ( s ) } \} , g _ { 1 } ^ { ( s ) } \rangle _ { L _ { x , \xi } ^ { 2 } } } \\ & { \geq \frac { 1 } { C } \| \mathcal P _ { \gamma } ^ { \perp } g _ { \alpha } ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } ^ { 2 } - C \varsigma ^ { 2 } \| g _ { \alpha } ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } ^ { 2 } } \\ & { \quad - C \| \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } ( e ^ { \gamma \psi } g _ { \alpha } ) - e ^ { \gamma \psi } g _ { \alpha } ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } \| g _ { \alpha } ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { x } ^ { \alpha _ { 1 } + l } | x | } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 N - 3 } } \psi ( x , \mathbf { \hat { x } } ) e ^ { F } ( y , \mathbf { \hat { x } } ) \overline { { \partial _ { y } ^ { m } \phi ( y , \mathbf { \hat { x } } ) } } \Phi ( x , y , \mathbf { \hat { x } } ) \, d \mathbf { \hat { x } } \quad \mathrm { i f ~ } \alpha _ { 2 } = 0 , } \\ & { \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 N - 3 } } \partial _ { x _ { k } } ^ { \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } + l } | x - x _ { k } | \psi ( x , \mathbf { \hat { x } } ) e ^ { F } ( y , \mathbf { \hat { x } } ) \overline { { \partial _ { y } ^ { m } \phi ( y , \mathbf { \hat { x } } ) } } \Phi ( x , y , \mathbf { \hat { x } } ) \, d \mathbf { \hat { x } } . } \end{array}
\mathbb { E } \Big ( \big \| \big ( \widehat f _ { n } ^ { \lambda } - f ^ { * } \big ) ( X _ { i } ) \big \| _ { n } ^ { 2 } \Big ) \leq \frac { \lambda } { 2 } + 2 \frac { \sigma ^ { 2 } } { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \mathbb E _ { X } \Big [ \Big ( \frac { \lambda _ { j } ( A _ { n } ) } { \lambda _ { j } ( A _ { n } ) + \lambda } \Big ) ^ { 2 } \Big ]
\begin{array} { r c l } { \left| \frac { \partial } { \partial I } \left( \bar { \mathcal { B } } u + \bar { \mathcal { A } } \right) \right| _ { G , \rho _ { 2 } } } & { \leq } & { \left| \frac { \partial \bar { \mathcal { B } } } { \partial I } u + \bar { \mathcal { B } } \frac { \partial u } { \partial I } + \frac { \partial \bar { \mathcal { A } } } { \partial I } \right| _ { G , \rho _ { 2 } } } \\ & { \leq } & { K _ { \mathcal { B } ^ { \prime } } | u | _ { G , \rho _ { 2 } } + K _ { \mathcal { B } } M ^ { \prime } + K _ { \mathcal { A } } = : M . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \partial _ { t } \pm \boldsymbol { U } _ { \mathrm { A } } \cdot \nabla ^ { \prime } \right) \boldsymbol { w } _ { \pm } = } & { - \boldsymbol { w } _ { \mp } \cdot \nabla ^ { \prime } \boldsymbol { w } _ { \pm } - \frac { 1 } { 8 } \nabla ^ { \prime } \left( \boldsymbol { w } _ { + } - \boldsymbol { w } _ { - } \right) ^ { 2 } } \\ & { - \left( \mathbb { D } - \frac { \partial _ { t } l } { 4 l } \right) \boldsymbol { w } _ { \mp } - \frac { \partial _ { t } l } { 4 l } \boldsymbol { w } _ { \pm } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { t _ { n } } & { = { \frac { 1 } { n } } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } s _ { k } } \\ { ( t _ { n } ) } & { = \left( { \frac { 1 } { 1 } } , { \frac { 1 } { 2 } } , { \frac { 2 } { 3 } } , { \frac { 2 } { 4 } } , { \frac { 3 } { 5 } } , { \frac { 3 } { 6 } } , { \frac { 4 } { 7 } } , { \frac { 4 } { 8 } } , \ldots \right) . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \ell ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } } & { > f _ { 7 } ( c _ { i } , X _ { i } , F _ { i } ) + f _ { 1 2 } ( c _ { i } , X _ { i } , F _ { i } ) } \\ { } & { = f _ { 7 } ( c _ { i } , X _ { i } , F _ { i } ) + f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) - f _ { 7 } ( c _ { i } , X _ { i } , F _ { i } ) \cdot \frac { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } } \\ { } & { = f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) - f _ { 7 } ( c _ { i } , X _ { i } , F _ { i } ) \cdot \frac { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } \ge f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) . } \end{array}
\bar { C } \approx _ { \delta } \delta ^ { - \epsilon ^ { \prime } } \frac { \Delta _ { j + 1 } ^ { t } | \widehat { \mathcal { P } } _ { j } | } { | \widehat { \mathcal { P } } _ { j } \cap \mathbf { q } | } \stackrel { \lessapprox _ { \delta } } \delta ^ { - \epsilon ^ { \prime } } \frac { \Delta _ { j + 1 } ^ { t } \cdot \delta ^ { - \epsilon ^ { \prime } } \cdot \Delta _ { j } ^ { - t } } { \delta ^ { 2 \epsilon ^ { \prime } } \Delta ^ { - t } } = \delta ^ { - 4 \epsilon ^ { \prime } } .
\begin{array} { r } { f _ { d } \left( u , \alpha _ { r } , \beta _ { 0 } ( \alpha _ { r } ) \right) + f _ { d } \left( 0 , \alpha _ { r } , \beta _ { 0 } ( \alpha _ { r } ) \right) = \frac { \zeta \sqrt { 1 - a ^ { 2 } } \sqrt { 1 - 2 a ^ { 2 } } + \xi } { 1 0 0 ( 1 - a ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \ge \frac { \zeta ( 1 - \frac 3 2 a ^ { 2 } - a ^ { 4 } ) + \xi } { 1 0 0 ( 1 - a ^ { 2 } ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { d ( \| u ^ { k } \| _ { \widetilde { s + 1 } } ^ { 2 } \| U \| _ { s - 1 , j } ^ { 2 } ) } \\ { = } & { \| u ^ { k } \| _ { \widetilde { s + 1 } } ^ { 2 } d \| U \| _ { s - 1 , j } ^ { 2 } + \| U \| _ { s - 1 , j } ^ { 2 } d \| u ^ { k } \| _ { \widetilde { s + 1 } } ^ { 2 } + d \| u ^ { k } \| _ { \widetilde { s + 1 } } ^ { 2 } d \| U \| _ { s - 1 , j } ^ { 2 } } \\ { = } & { \Big ( \| u ^ { k } \| _ { \widetilde { s + 1 } } ^ { 2 } ( I _ { 1 } ^ { \prime } + I _ { 2 } ^ { \prime } + I _ { 4 } ^ { \prime } + I _ { 5 } ^ { \prime } ) + \| U \| _ { s - 1 , j } ^ { 2 } ( J _ { 1 } + J _ { 2 } + J _ { 4 } + J _ { 5 } ) + ( I _ { 3 } ^ { \prime } + I _ { 6 } ^ { \prime } ) ( J _ { 3 } + J _ { 6 } ) \Big ) d t } \\ & { + \Big ( \| u ^ { k } \| _ { \widetilde { s + 1 } } ^ { 2 } ( I _ { 3 } ^ { \prime } + I _ { 6 } ^ { \prime } ) + \| U \| _ { s - 1 , j } ^ { 2 } ( J _ { 3 } + J _ { 6 } ) \Big ) d W , } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { t } g ^ { n } + v \cdot \nabla _ { x } g ^ { n } + \mathrm { d i v } _ { v } \left[ g ^ { n } ( E ^ { n } ( t , x ) - v ) \right] + \left( E ^ { n } - E ^ { n - 1 } \right) \cdot \nabla _ { v } f ^ { n } = 0 , } \\ { \partial _ { t } \mathfrak { M } ^ { n } + \mathrm { d i v } _ { x } ( \mathfrak { M } ^ { n } u ^ { n } ) = - \mathrm { d i v } _ { x } ( \mathfrak { m } ^ { n } w ^ { n - 1 } ) , } \\ { \partial _ { t } w ^ { n } - \frac { 1 } { \mathfrak { m } ^ { n + 1 } } \Big ( \Delta _ { x } + \nabla _ { x } \mathrm { d i v } _ { x } \Big ) w ^ { n } = \mathfrak { S } ^ { n } , } \\ { \varrho ^ { n + 1 } : = \frac { 1 } { 1 - \rho _ { f ^ { n } } } \mathfrak { m } ^ { n + 1 } , } \\ { E ^ { n } : = u ^ { n } - p ^ { \prime } ( \varrho ^ { n } ) \nabla _ { x } \left[ ( I - \varepsilon ^ { 2 } \Delta _ { x } ) ^ { - 1 } \varrho ^ { n } \right] , } \\ { { g ^ { n } } _ { \mid t = 0 } = 0 , \ \ { \mathfrak { M } ^ { n } } _ { \mid t = 0 } = 0 , \ \ { w ^ { n } } _ { \mid t = 0 } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { x } _ { 1 } } & { = \frac { \xi _ { 1 } } { \sqrt { \xi _ { 1 } ^ { 2 } + ( 1 + x _ { 1 } ^ { 2 } ) \xi _ { 2 } ^ { 2 } } } , } \\ { \dot { x } _ { 2 } } & { = \frac { ( 1 + x _ { 1 } ^ { 2 } ) \xi _ { 2 } } { \sqrt { \xi _ { 1 } ^ { 2 } + ( 1 + x _ { 1 } ^ { 2 } ) \xi _ { 2 } ^ { 2 } } } , } \\ { \dot { \xi } _ { 1 } } & { = \frac { - x _ { 1 } \xi _ { 2 } ^ { 2 } } { \sqrt { \xi _ { 1 } ^ { 2 } + ( 1 + x _ { 1 } ^ { 2 } ) \xi _ { 2 } ^ { 2 } } } , } \\ { \dot { \xi } _ { 2 } } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathbf { x } } ^ { k + 1 } - { \mathbf { x } } ^ { k } } & { = ( 2 { \mathbf { W } } - { \mathbf { I } } ) ( { \mathbf { x } } ^ { k } - { \mathbf { x } } ^ { k - 1 } ) - \mathbf { B } ( { \mathbf { z } } ^ { k } - { \mathbf { z } } ^ { k - 1 } ) } \\ & { \quad - \alpha { \mathbf { W } } ^ { 2 } ( { \nabla } { \mathbf { F } } ( { \mathbf { x } } ^ { k } ) - { \nabla } { \mathbf { F } } ( { \mathbf { x } } ^ { k - 1 } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { \hbar \rightarrow 0 } \sum _ { k = k _ { i j } } ^ { k _ { 0 } } \sum _ { \iota \in \mathcal { Q } _ { k , i , j } } \mathbb { E } \Big [ \big \lVert \sum _ { \boldsymbol { x } \in \mathcal { X } _ { \neq } ^ { k - i } } \mathcal { I } _ { i , j } ( k , \boldsymbol { x } , \iota , t ; \hbar ) \varphi _ { \hbar } \big \rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } \Big ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } ( b ( x ) - \frac { \underline { { b } } } { 2 } ) | \nabla \bar { y } | ^ { 2 } \, \mathrm { d } x } & { \leq \operatorname* { l i m i n f } _ { h \to 0 } \int _ { \Omega } ( b ( x ) - \frac { \underline { { b } } } { 2 } ) \nabla \bar { y } _ { h } \cdot \nabla \bar { y } _ { h } \, \mathrm { d } x } \\ & { \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { h \to 0 } \int _ { \Omega } ( b ( x ) - \frac { \underline { { b } } } { 2 } ) \nabla \bar { y } _ { h } \cdot \nabla \bar { y } _ { h } \, \mathrm { d } x } \\ & { = \operatorname* { l i m s u p } _ { h \to 0 } \left[ \int _ { \Omega } \bar { u } _ { h } \bar { y } _ { h } \, \mathrm { d } x - \int _ { \Omega } ( \frac { \underline { { b } } } { 2 } + a ( \bar { y } _ { h } ) ) \nabla \bar { y } _ { h } \cdot \nabla \bar { y } _ { h } \, \mathrm { d } x \right] } \\ & { = \int _ { \Omega } \bar { u } \bar { y } \, \mathrm { d } x - \operatorname* { l i m i n f } _ { h \to 0 } \int _ { \Omega } ( \frac { \underline { { b } } } { 2 } + a ( \bar { y } _ { h } ) ) \nabla \bar { y } _ { h } \cdot \nabla \bar { y } _ { h } \, \mathrm { d } x } \\ & { \leq \int _ { \Omega } \bar { u } \bar { y } \, \mathrm { d } x - \int _ { \Omega } ( \frac { \underline { { b } } } { 2 } + a ( \bar { y } ) ) \nabla \bar { y } \cdot \nabla \bar { y } \, \mathrm { d } x } \\ & { = \int _ { \Omega } ( b ( x ) - \frac { \underline { { b } } } { 2 } ) | \nabla \bar { y } | ^ { 2 } \, \mathrm { d } x , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( n ) \mathbf { s } } & { = \mathrm { ~ t h e ~ n u m b e r ~ o f ~ n o n - i s o m o r p h i c ~ c y c l i c ~ s u b g r o u p s ~ o f ~ } S _ { n } } \\ { ( n ) \mathbf { t } } & { = \mathrm { ~ t h e ~ n u m b e r ~ o f ~ n o n - i s o m o r p h i c ~ m o n o g e n i c ~ s u b m o n o i d s ~ o f ~ } T _ { n } } \\ { ( n ) \mathbf { i } } & { = \mathrm { ~ t h e ~ n u m b e r ~ o f ~ n o n - i s o m o r p h i c ~ m o n o g e n i c ~ i n v e r s e ~ s u b m o n o i d s ~ o f ~ } I _ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { S S H } = } & { \sum _ { x = - \infty } ^ { \infty } \omega _ { o } \big ( a _ { x } ^ { \dagger } a _ { x } + b _ { x } ^ { \dagger } b _ { x } \big ) + v \big ( a _ { x } ^ { \dagger } b _ { x } + b _ { x } ^ { \dagger } a _ { x } \big ) } \\ & { + w \big ( a _ { x + 1 } ^ { \dagger } b _ { x } + b _ { x } ^ { \dagger } a _ { x + 1 } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { E _ { \Delta x } \cap A ^ { c } } | f ( Z ) ( } & { y _ { \Delta x } ) - f ( Z _ { \Delta x } ) ( y _ { \Delta x } ) | y _ { \xi } y _ { \Delta x , \xi } d \xi } \\ & { \leq \int _ { y _ { \Delta x } ( E _ { \Delta x } \cap A ^ { c } ) } \left| f ( Z ) - f ( Z _ { \Delta x } ) \right| d x \leq 8 \sqrt { F _ { \mathrm { a c } , \infty } } \| u _ { x } - u _ { \Delta x , x } \| _ { 2 } . } \end{array}
\widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma } } ( \sigma ) \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma _ { 1 } } } ( \sigma ) ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { l l } { \mathcal { W } _ { 0 0 } ( \gamma , \sigma ) } & { \mathcal { W } _ { 0 1 } ( \gamma , \sigma ) } \\ { \mathcal { W } _ { 1 0 } ( \gamma , \sigma ) } & { \mathcal { W } _ { 1 1 } ( \gamma , \sigma ) } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } & { \bar { \bar { \gamma } } ( \mathfrak { t } ) - \left( \int _ { 0 } ^ { \mathfrak { t } } \lvert D { \bar { \gamma } } ( s ) \rvert d \mathcal { L } ^ { 1 } \llcorner \bar { C } ( s ) \right) e = \Delta ( \mathfrak { t } ) + \int _ { 0 } ^ { \mathfrak { t } } ( \mathscr { C } ( \bar { \gamma } ( s ) ) [ D \bar { \gamma } ( s ) ] - \lvert D \bar { \gamma } ( s ) \rvert e ) d \mathcal { L } ^ { 1 } \llcorner \bar { C } ( s ) } \\ & { = \Delta ( \mathfrak { t } ) + \int _ { 0 } ^ { \mathfrak { t } } \mathscr { C } ( \bar { \gamma } ( s ) ) [ D \bar { \gamma } ( s ) - \lvert D \bar { \gamma } ( s ) \rvert e ] d \mathcal { L } ^ { 1 } \llcorner \bar { C } ( s ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + \int _ { 0 } ^ { \mathfrak { t } } \Big ( \mathscr { C } ( \bar { \gamma } ( s ) ) - \mathscr { C } \Big ( \left( \int _ { 0 } ^ { s } \lvert \chi _ { \bar { C } } ( \tau ) D { \bar { \gamma } } ( \tau ) \rvert d \tau \right) e \Big ) \Big ) [ \lvert D \bar { \gamma } ( s ) \rvert e ] d \mathcal { L } ^ { 1 } \llcorner \bar { C } ( s ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \widetilde { \mathcal L } _ { \gamma , q } h _ { 1 } , h _ { 1 } \rangle _ { L ^ { 2 } } } & { \geq \langle \mathcal L _ { \gamma } h _ { 1 } , h _ { 1 } \rangle _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } - C \eta ^ { 2 } \| h _ { 1 } \| _ { \mathcal H _ { \sigma } } ^ { 2 } } \\ & { \geq ( \frac { 1 } { C } - C \eta ^ { 2 } ) \| \mathcal P _ { \gamma } ^ { \perp } h _ { 1 } \| _ { \mathcal H _ { \sigma } } ^ { 2 } - C \eta ^ { 2 } | \mathcal P _ { \gamma } h _ { 1 } | _ { \mathcal H _ { \sigma } } ^ { 2 } . } \end{array}
\hat { \mathbf { E } } _ { v } = J ^ { - 1 } \left\{ \begin{array} { c } { 0 } \\ { \xi _ { x } { \tau } _ { x x } + \xi _ { y } { \tau } _ { x y } + \xi _ { z } { \tau } _ { x z } } \\ { \xi _ { x } { \tau } _ { x y } + \xi _ { y } { \tau } _ { y y } + \xi _ { z } { \tau } _ { y z } } \\ { \xi _ { x } { \tau } _ { x z } + \xi _ { y } { \tau } _ { y z } + \xi _ { z } { \tau } _ { z z } } \\ { \xi _ { x } { \beta } _ { x } + \xi _ { y } { \beta } _ { y } + \xi _ { z } { \beta } _ { z } } \end{array} \right\} \, \mathrm { , }
\begin{array} { r l r } { \mathcal { N } _ { a } ^ { 1 } \Gamma } & { = } & { \big \{ \eta \in T _ { a } M : | \eta | = 1 \, , \mathrm { ~ \exists ~ s > 0 ~ s . t . ~ s = \mathrm { ~ d i s t } \big ( \exp ( a , s \, \eta ) , \Gamma \big ) ~ } \big \} \, , } \\ { \mathcal { N } _ { a } \Gamma } & { = } & { \big \{ t \, \eta : t \ge 0 \, , \eta \in \mathcal { N } _ { a } ^ { 1 } \Gamma \big \} \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 / 2 > } & { { \bf E } \vert x _ { i j } \vert ^ { 2 } I ( \vert x _ { i j } \vert \leq \eta _ { n } \sqrt n ) - \vert { \bf E } x _ { i j } I ( \vert x _ { i j } \vert \leq \eta _ { n } \sqrt n ) \vert ^ { 2 } } \\ & { = 1 - { \bf E } \vert x _ { i j } \vert ^ { 2 } I ( \vert x _ { i j } \vert > \eta _ { n } \sqrt n ) - \vert { \bf E } x _ { i j } I ( \vert x _ { i j } \vert > \eta _ { n } \sqrt n ) \vert ^ { 2 } , } \end{array}
\iint _ { B ( X _ { * } , r ) } | u | | \nabla u | | \nabla G | \, d Y \leq C \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \operatorname* { m a x } _ { j } \iint _ { B _ { k } ^ { j } } | \nabla u | | \nabla G | \, d Y \leq \left\{ \begin{array} { l l } { C \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } 2 ^ { - k \alpha } , } & { \quad n \geq 2 , } \\ { C \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } k 2 ^ { - k \alpha } , } & { \quad n = 1 , } \end{array} \right.
\left[ \left( \frac { 1 } { 2 } \right) \left( \frac { \delta _ { t } } { T ^ { * } } \right) \right] \frac { \partial ^ { 2 } U } { \partial \bar { t } ^ { 2 } } + \frac { \partial U } { \partial \bar { t } } = \left( \frac { D T ^ { * } } { ( L ^ { * } ) ^ { 2 } } \right) \frac { \partial ^ { 2 } U } { \partial \bar { x } ^ { 2 } } + \left( \frac { \delta _ { x } ^ { 2 } } { 3 6 } \right) \left[ \frac { T ^ { * } D } { ( L ^ { * } ) ^ { 4 } } \right] \ \frac { \partial ^ { 4 } U } { \partial \bar { x } ^ { 4 } } .
{ \tilde { \cal O } } \left( \frac { r _ { Q } \log \frac { 1 } { \epsilon } } { \sqrt { \lambda } } \left( \sqrt { \frac { 1 + \delta m } { \delta } } \sqrt { \frac { R _ { m } ^ { 2 } } { n \gamma } + \frac { R ^ { 2 } } { \gamma } + \frac { \sqrt { 1 - \delta } R { \bar { R } } } { \delta \gamma } + \frac { \sqrt { 1 - \delta } R R _ { m } } { \sqrt { \delta } \gamma } } + \sqrt { \frac { ( 1 - \delta ) ( { \bar { R } } ^ { 2 } + \delta R _ { m } ^ { 2 } ) } { \delta ^ { 2 } \gamma } } \right) \right)
\begin{array} { r l } { \sum _ { x \in \mathbb Z _ { \ge 0 } ^ { d } } \Bigg [ \pi ( n - e _ { x } ) } & { \kappa _ { I } \mu ( x ) + \pi ( n + e _ { x } ) \kappa _ { E } ( n _ { x } + 1 ) } \\ & { + \sum _ { j } \pi ( n - e _ { x } + e _ { x - \nu _ { j } ^ { \prime } + \nu _ { j } } ) ( n _ { x - \nu _ { j } ^ { \prime } + \nu _ { j } } + 1 ) \kappa _ { j } \binom { x - \nu _ { j } ^ { \prime } + \nu _ { j } } { \nu _ { j } } \Bigg ] } \\ & { = \pi ( n ) \sum _ { x \in \mathbb Z _ { \ge 0 } ^ { d } } \left( \kappa _ { I } \mu ( x ) + \kappa _ { E } n _ { x } + \sum _ { j } n _ { x } \kappa _ { j } \binom { x } { \nu _ { j } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \underline { { \psi } } } } & { = \ln Q ( \mathbf { W } ^ { * } | \mathbf { A } ^ { * } ) } \\ & { = - H ( \mathbf { W } ^ { * } ) - \ln Z _ { \mathbf { A } ^ { * } } } \\ & { = - H ( \mathbf { W } ^ { * } ) - \ln \left[ \int _ { \mathbb { W } _ { \mathbf { A } ^ { * } } } e ^ { - H ( \mathbf { W } ) } d \mathbf { W } \right] } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } & { { { { \bar { a } } } _ { 1 } } = - \frac { 2 { { { \bar { Q } } } _ { i - 2 } } + { { { \bar { Q } } } _ { i - 1 } } - { { { \bar { Q } } } _ { i + 1 } } - 2 { { { \bar { Q } } } _ { i + 2 } } } { 1 0 \Delta x } } \\ & { { { { \bar { a } } } _ { 2 } } = \frac { 4 { { { \bar { Q } } } _ { i - 2 } } + { { { \bar { Q } } } _ { i - 1 } } - 1 0 { { { \bar { Q } } } _ { i } } + { { { \bar { Q } } } _ { i + 1 } } + 4 { { { \bar { Q } } } _ { i + 2 } } } { 3 4 \Delta { { x } ^ { 2 } } } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } & { \varlimsup _ { \beta \rightarrow \infty } \varlimsup _ { m \rightarrow \infty } \beta ^ { - \frac { \alpha + 1 } { \alpha + 1 + d } } \log { \ensuremath { \mathbb E } } _ { 0 , \rho } \left[ \int _ { { \ensuremath { \mathbb R } } ^ { d } } \xi ( d x ) c _ { 0 , x } ( x _ { 1 } - \nabla _ { x } f _ { \zeta m } ( \omega ) ) ^ { 2 } \right] } \\ & { \leq \varlimsup _ { \beta \rightarrow \infty } \beta ^ { - \frac { \alpha + 1 } { \alpha + 1 + d } } \log ( e ^ { - \zeta } + e ^ { - ( 1 - \delta ) \zeta } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| { \Delta ^ { ( j ) } } \right\| _ { \mathrm { o p , \infty } } } & { \leq \left\| { \Delta } \right\| _ { \mathrm { o p , \infty } } + \left\| { \Delta - \Delta ^ { ( j ) } } \right\| _ { \mathrm { o p , \infty } } \leq \left\| { \Delta } \right\| _ { \mathrm { o p , \infty } } + \left\| { \Delta - \Delta ^ { ( j ) } } \right\| _ { \mathrm { o p } } } \\ & { = \left\| { \Delta } \right\| _ { \mathrm { o p , \infty } } + \left\| { U H - U ^ { ( j ) } H ^ { ( j ) } } \right\| _ { \mathrm { o p } } = \left\| { \Delta } \right\| _ { \mathrm { o p , \infty } } + \left\| { U U ^ { \top } U ^ { * } - U ^ { ( j ) } U ^ { ( j ) \top } U ^ { * } } \right\| _ { \mathrm { o p } } } \\ & { \leq \left\| { \Delta } \right\| _ { \mathrm { o p , \infty } } + \left\| { U U ^ { \top } - U ^ { ( j ) } U ^ { ( j ) \top } } \right\| _ { \mathrm { o p } } \leq \left\| { \Delta } \right\| _ { \mathrm { o p , \infty } } + 6 \left( \left\| { U _ { j } H - U _ { j } ^ { * } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + \frac { 1 } { \sqrt { n } } \right) } \\ & { \leq 7 \left( \left\| { \Delta } \right\| _ { \mathrm { o p , \infty } } + \frac { 1 } { \sqrt { n } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { \lambda } ( x ) \geq } & { w ( x ) - \int _ { - T } ^ { 0 } w ( \gamma _ { \lambda } ^ { x } ( t ) ) \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \Big ( e ^ { \lambda \int _ { t } ^ { 0 } \frac { \partial L } { \partial u } ( \gamma _ { \lambda } ^ { x } ( s ) , \dot { \gamma } _ { \lambda } ^ { x } ( s ) , 0 ) \, \mathrm { d } s } \Big ) \, \mathrm { d } t - ( \| u _ { \lambda } \| _ { \infty } + \| w \| _ { \infty } ) \, e ^ { - \epsilon T } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad + \int _ { - T } ^ { 0 } \Omega _ { \lambda , x } ( t ) \, e ^ { \lambda \int _ { t } ^ { 0 } \frac { \partial L } { \partial u } ( \gamma _ { \lambda } ^ { x } ( s ) , \dot { \gamma } _ { \lambda } ^ { x } ( s ) , 0 ) \, \mathrm { d } s } \, \mathrm { d } t } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \small \textsc { { L A R } } } _ { \small \textsc { { R E V } } } ( \{ \hat { r } _ { t } \} ) = } \\ & { \operatorname* { s u p } _ { g \in G _ { d } , d \in \mathbb { N } } \operatorname* { l i m } _ { c \to \infty } \operatorname* { l i m i n f } _ { t \to \infty } \operatorname* { s u p } _ { \| \alpha \| _ { 2 } \leq \frac { c } { \sqrt t } } { \mathbb E } _ { s _ { \alpha , g } ^ { \otimes t } } [ L ( \sqrt { t } ( \hat { r } _ { t } - { \small \textsc { { R E V } } } _ { \alpha , g } ^ { * } ) ) ] \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \tilde { \rho } _ { t } ( \tilde { \theta } ) } { \partial t } } & { = \nabla _ { \tilde { \theta } } \cdot \Bigl [ \tilde { \rho } _ { t } ( \tilde { \theta } ) \int \kappa ( \tilde { \theta } , \tilde { \theta } ^ { \prime } , \tilde { \rho } _ { t } ) \tilde { \rho } _ { t } ( \tilde { \theta } ^ { \prime } ) P ( \tilde { \theta } , \tilde { \theta } ^ { \prime } , \tilde { \rho } _ { t } ) \left( \nabla _ { \tilde { \theta } } \frac { \delta \tilde { \mathcal { E } } } { \delta \tilde { \rho } } \Bigr | _ { \tilde { \rho } = \tilde { \rho } _ { t } } \right) ( \tilde { \theta } ^ { \prime } ) \mathrm { d } \tilde { \theta } ^ { \prime } \Bigr ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \lambda } \big ( \mathcal { P } _ { J } ^ { u c } ( X _ { n } ) \big ) \, \, \leq \, \, d \big ( \mathcal { P } _ { J } ^ { u c } ( X _ { n } ) , \ell _ { \infty } ( J ) \big ) \, \, \leq \, \, \varphi _ { \mathcal { P } _ { J } ^ { u c } ( X _ { n } ) } ( | J | ) \, \, \leq \, \, \sqrt { 2 } \, \gamma ( X _ { n } ) \, \boldsymbol { \lambda } \big ( \mathcal { P } _ { J } ^ { u c } ( X _ { n } ) \big ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big | \{ \xi _ { 3 } : | l _ { \mu , \nu } ( \xi , \eta ) | \sim 2 ^ { l } , | \xi _ { 2 } | \sim 2 ^ { b _ { 1 } + k } , } & { | \xi _ { 3 } | \sim 2 ^ { b _ { 2 } + k } , | \xi | , | \xi - \eta | , | \eta | \sim 2 ^ { k } , } \\ & { | \Phi _ { \mu , \nu } ^ { a } ( \xi , \eta ) | \lesssim 2 ^ { - 3 m / 4 + 1 0 \alpha m } \} \big | \lesssim 2 ^ { - m / 2 + 2 0 \alpha m } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | P _ { n - k } \odot ( \ominus r _ { k } ) ^ { \odot n - k } | } & { \leq } & { | \widehat { Q } ( \ominus r _ { k } ) | } \\ & { = } & { | P _ { n } | \odot | r _ { 1 } \odot \cdots \odot r _ { k } \odot ( \ominus r _ { k } ) ^ { \odot n - k } | } \\ & { = } & { | Q _ { n - k } \odot ( \ominus r _ { k } ) ^ { \odot n - k } | , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \phi ( x _ { k } + \alpha _ { k } \bar { d } _ { k } , \bar { \tau } _ { k } ) - \phi ( x _ { k } , \bar { \tau } _ { k } ) } \\ { = \ } & { \bar { \tau } _ { k } ( f ( x _ { k } + \alpha _ { k } \bar { d } _ { k } ) - f _ { k } ) + ( \| c ( x _ { k } + \alpha _ { k } \bar { d } _ { k } ) \| _ { 1 } - \| c _ { k } \| _ { 1 } ) } \\ { \leq \ } & { \bar { \tau } _ { k } ( \alpha _ { k } \nabla f _ { k } ^ { T } \bar { d } _ { k } + \frac { L } { 2 } \alpha _ { k } ^ { 2 } \| \bar { d } _ { k } \| ^ { 2 } ) + ( \| c _ { k } + \alpha _ { k } J _ { k } \bar { d } _ { k } \| _ { 1 } - \| c _ { k } \| _ { 1 } + \frac { \Gamma } { 2 } \alpha _ { k } ^ { 2 } \| \bar { d } _ { k } \| ^ { 2 } ) } \\ { \leq \ } & { \alpha _ { k } \bar { \tau } _ { k } \nabla f _ { k } ^ { T } \bar { d } _ { k } + | 1 - \alpha _ { k } | \| c _ { k } \| _ { 1 } + \alpha _ { k } \| c _ { k } + J _ { k } \bar { d } _ { k } \| _ { 1 } - \| c _ { k } \| _ { 1 } + \frac { \bar { \tau } _ { k } L + \Gamma } { 2 } \alpha _ { k } ^ { 2 } \| \bar { d } _ { k } \| ^ { 2 } } \\ { = \ } & { \alpha _ { k } \bar { \tau } _ { k } \nabla f _ { k } ^ { T } \bar { d } _ { k } - \alpha _ { k } \| c _ { k } \| _ { 1 } + \frac { \bar { \tau } _ { k } L + \Gamma } { 2 } \alpha _ { k } ^ { 2 } \| \bar { d } _ { k } \| ^ { 2 } } \\ { = \ } & { \alpha _ { k } \bar { \tau } _ { k } \bar { g } _ { k } ^ { T } \bar { d } _ { k } - \alpha _ { k } \| c _ { k } \| _ { 1 } + \alpha _ { k } \bar { \tau } _ { k } ( \nabla f _ { k } - \bar { g } _ { k } ) ^ { T } \bar { d } _ { k } + \frac { \bar { \tau } _ { k } L + \Gamma } { 2 } \alpha _ { k } ^ { 2 } \| \bar { d } _ { k } \| ^ { 2 } } \\ { = \ } & { - \alpha _ { k } \Delta l ( x _ { k } , \bar { \tau } _ { k } , \bar { g } _ { k } , \bar { d } _ { k } ) + \alpha _ { k } \bar { \tau } _ { k } ( \nabla f _ { k } - \bar { g } _ { k } ) ^ { T } \bar { d } _ { k } + \frac { \bar { \tau } _ { k } L + \Gamma } { 2 } \alpha _ { k } ^ { 2 } \| \bar { d } _ { k } \| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ X ^ { 3 } ] } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } k ^ { 3 } \mathbb { P } ( X = k ) = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } k ^ { 3 } \eta \mu _ { 0 } ^ { \Phi } ( 1 - \eta \mu _ { 0 } ^ { \Phi } ) ^ { k - 1 } } \\ & { = - \eta \mu _ { 0 } ^ { \Phi } \frac { \mathrm { d } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } k ^ { 2 } ( 1 - \eta \mu _ { 0 } ^ { \Phi } ) ^ { k } } { \mathrm { d } ( \eta \mu _ { 0 } ^ { \Phi } ) } } \\ & { = - \eta \mu _ { 0 } ^ { \Phi } \frac { \mathrm { d } ( 1 - \eta \mu _ { 0 } ^ { \Phi } ) \mathbb { E } [ X ^ { 2 } ] / ( \eta \mu _ { 0 } ^ { \Phi } ) } { \mathrm { d } ( \eta \mu _ { 0 } ^ { \Phi } ) } } \\ & { = \frac { ( \eta \mu _ { 0 } ^ { \Phi } ) ^ { 2 } - 6 \eta \mu _ { 0 } ^ { \Phi } + 6 } { ( \eta \mu _ { 0 } ^ { \Phi } ) ^ { 3 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H _ { b } ^ { - 1 } = \frac { 1 } { 6 ( m + 1 ) } \sum _ { a = 1 } ^ { m } \frac { \partial ^ { 2 } { f } ^ { a } } { \partial { u _ { 2 } ^ { a } } \, \partial { u _ { 2 } ^ { b } } } , } \\ & { H ^ { t } = - \frac { 1 } { 4 m } \sum _ { a = 1 } ^ { m } \left( \frac { \partial f ^ { a } } { \partial u _ { 1 } ^ { a } } - \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \frac { \partial f ^ { a } } { \partial u _ { 2 } ^ { a } } + \frac { 1 } { 3 } \sum _ { c = 1 } ^ { m } \frac { \partial f ^ { a } } { \partial u _ { 2 } ^ { c } } \frac { \partial f ^ { c } } { \partial u _ { 2 } ^ { a } } \right) . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \mathbb { E } _ { N } ^ { V , P } \left[ e ^ { t \sqrt { N } \Lambda _ { N } + \frac { t ^ { 2 } } { 2 } F ( \hat { \mu } _ { N } ) } \right] = \operatorname* { l i m } _ { \delta \to 0 } \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \mathbb { E } _ { N } ^ { V , P } \left[ \mathbf { 1 } _ { \{ d _ { \mathrm { L i p } } ( \hat { \mu } _ { N } , \mu _ { P } ) \leqslant \delta \} } e ^ { t \sqrt { N } \Lambda _ { N } } \right] e ^ { \frac { t ^ { 2 } } { 2 } F ( \mu _ { P } ) } .
\begin{array} { r } { \partial _ { t } \varphi ( \eta , t ) + \Theta _ { \epsilon } ( v ) \bigg ( \varphi ( \eta , t ) - v \partial _ { v } \varphi ( \eta , t ) - \frac { 2 } { 3 } a \partial _ { a } \varphi ( \eta , t ) \bigg ) + ( 1 - \gamma ) r _ { \delta } ( a , v ) ( c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } - a ) \partial _ { a } \varphi ( \eta , t ) + \mathbb { L } ( \varphi ) ( \eta , t ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { e \in E \left( A _ { n } \right) } \mathbf { a } ( s , e ) P _ { \mathbf { a } } ( s , e ) ^ { 2 } } & { \leq C \mathcal { M } _ { 0 } ( s ) 2 ^ { 2 n } \varepsilon ^ { 2 } \int _ { s } ^ { \infty } K _ { s ^ { \prime } - s } \sum _ { e \in E \left( A _ { n } \right) } \mathbf { a } ( s ^ { \prime } , e ) ( \nabla P _ { \mathbf { a } } ( s ^ { \prime } , e ) ) ^ { 2 } \, d s ^ { \prime } } \\ & { \quad + C \varepsilon ^ { - \frac { 2 \theta _ { d } } { 1 - \theta _ { d } } } \mathcal { M } _ { 0 } ( s ) \sum _ { x \in A _ { n } } P _ { \mathbf { a } } ( s , x ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| K ^ { t } \psi \| _ { \sigma } ^ { 2 } } & { \le \frac { \nu } { \sigma } \| K ^ { t } \psi \| _ { \nu } ^ { 2 } = \frac { \nu } { \sigma } \Bigg \| \sum _ { j = 1 } ^ { n } \alpha _ { j } K ^ { t } k _ { x _ { j } } ^ { \sigma } \Bigg \| _ { \nu } ^ { 2 } = \frac { \nu \tau ^ { 2 } } { \sigma } \Bigg \| \sum _ { j = 1 } ^ { n } \alpha _ { j } k _ { e ^ { \alpha t } x _ { j } } ^ { \nu } \Bigg \| _ { \nu } ^ { 2 } } \\ & { = \frac { \nu \tau ^ { 2 } } { \sigma } \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } \alpha _ { i } \alpha _ { j } k ^ { \nu } ( e ^ { \alpha t } x _ { i } , e ^ { \alpha t } x _ { j } ) = \frac { \nu \tau ^ { 2 } } { \sigma } \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } \alpha _ { i } \alpha _ { j } k ^ { \sigma / \tau } ( x _ { i } , x _ { j } ) } \\ & { \le \frac { \nu \tau ^ { 2 } } { \sigma } \cdot \frac 1 \tau \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } \alpha _ { i } \alpha _ { j } k ^ { \sigma } ( x _ { i } , x _ { j } ) = \frac { \nu \tau } \sigma \| \psi \| _ { \sigma } ^ { 2 } = e ^ { \alpha t } \| \psi \| _ { \sigma } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { t } } & { h _ { n } ( Y _ { r - } - x ) \int _ { | z | \leq 1 } \Big ( \mathbf { e } ^ { \varphi ( \cdot , r , z ) } ( X _ { r - } ( x ) ) - X _ { r - } ( x ) - \varphi ( X _ { r - } ( x ) , r , z ) \Big ) \, \nu ( \mathrm { d } z ) \, \mathrm { d } r } \\ & { \to \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { | z | \leq 1 } \Big ( \mathbf { e } ^ { \varphi ( \cdot , r , z ) } ( X _ { r - } ( Y _ { r - } ) ) - X _ { r - } ( Y _ { r - } ) - \varphi ( X _ { r - } ( Y _ { r - } ) , r , z ) \Big ) \, \nu ( \mathrm { d } z ) \, \mathrm { d } r . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { V } _ { 1 } ( R _ { 1 } , D _ { 1 } , D _ { 2 } | P _ { X } ) } & { : = \mathrm { C o v } \Big ( [ \jmath ( X , g ( X ) | R _ { 1 } , D _ { 1 } , D _ { 2 } , P _ { X } ) - \log P _ { Y } ( g ( X ) ) ] ^ { \top } , } \\ { * } & { \qquad \qquad \qquad \jmath ( X , D _ { 1 } | P _ { X } ) \Big ) , } \\ { \mathbf { V } _ { 2 } ( R _ { 1 } , D _ { 1 } , D _ { 2 } | P _ { X } ) } & { : = \mathrm { C o v } \Big ( [ \jmath ( X , g ( X ) | R _ { 1 } , D _ { 1 } , D _ { 2 } , P _ { X } ) - \log P _ { Y } ( g ( X ) ) , } \\ { * } & { \qquad \qquad \qquad - \log P _ { Y } ( g ( X ) ) ] ^ { T } \Big ) . } \end{array}
\mathbf { f } = \varepsilon _ { 0 } \left( { \boldsymbol { \nabla } } \cdot \mathbf { E } \right) \mathbf { E } + { \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } } \left( { \boldsymbol { \nabla } } \times \mathbf { B } \right) \times \mathbf { B } - \varepsilon _ { 0 } { \frac { \partial } { \partial t } } \left( \mathbf { E } \times \mathbf { B } \right) - \varepsilon _ { 0 } \mathbf { E } \times ( { \boldsymbol { \nabla } } \times \mathbf { E } ) ,
\begin{array} { r } { h ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \textup { f o r } \ x \leq - 1 , } \\ { 1 - \frac { 1 } { 2 } ( 1 + x ) ^ { 2 } } & { \textup { f o r } \ x \in ( - 1 , 0 ] , } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( 1 - x ) ^ { 2 } } & { \textup { f o r } \ x \in ( 0 , 1 ] , } \\ { 0 } & { \textup { f o r } \ x > 1 , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log \mathfrak { A } _ { k } ^ { T , n } ( x , y ; \bar { z } ) + 2 ^ { 1 / 2 } k ^ { 1 / 2 } \bar { x } ^ { 1 / 2 } } & { \left( 1 - \bar { x } ^ { - 1 / 2 } x ^ { 1 / 2 } \right) ^ { 2 } } \\ & { \leq \mathfrak { h } ^ { T , n } ( \bar { x } , y ) - \mathfrak { h } ^ { T , n } ( x , y ) - \mathfrak { R } _ { k } ^ { T , n } ( \bar { x } , \bar { z } ) + \mathfrak { R } _ { k } ^ { T , n } ( x , \bar { z } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| u _ { i } \| _ { L ^ { q _ { 0 } + h _ { 0 } - 1 } ( ( 0 , T ) \times \mathbb { T } ^ { d } ) } ^ { q _ { 0 } } } & { = \big \| | u _ { i } | ^ { q _ { 0 } / 2 } \big \| _ { L ^ { \frac { 2 ( d + 2 ) } { d } } ( ( 0 , T ) \times \mathbb { T } ^ { d } ) } ^ { 2 } } \\ & { \lesssim \big \| | u _ { i } | ^ { q _ { 0 } / 2 } \big \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ) } ^ { 2 ( 1 - \theta ) } \big \| | u _ { i } | ^ { q _ { 0 } / 2 } \big \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; H ^ { 1 } ) } ^ { 2 \theta } } \\ & { \lesssim \| u _ { i } \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ; L ^ { q _ { 0 } } ) } ^ { q _ { 0 } } + \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } | u _ { i } | ^ { q _ { 0 } - 2 } | \nabla u _ { i } | ^ { 2 } \, d x d s . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle \Delta t \rangle } & { = \langle \Delta t \rangle _ { s h o r t } + \langle \Delta t \rangle _ { l o n g } \frac { S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m ) } { S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m = 0 ) } } \\ & { = \langle \Delta t \rangle _ { s h o r t } + \langle \Delta t \rangle _ { l o n g } - \langle \Delta t \rangle _ { l o n g } \bigg ( 1 - \frac { S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m ) } { S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m = 0 ) } \bigg ) } \\ & { \neq \langle \Delta t \rangle _ { s h o r t } + \langle \Delta t \rangle _ { l o n g } } & { \mathrm { ( o v e r e s t i m a t e s ~ e f f e c t ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma ^ { T } } & { \leq \frac { \varepsilon ( 1 - \gamma ) } { c _ { M } + ( 1 / l ) \phi _ { M } } } \\ { T \log \gamma } & { \leq \log \bigg ( \frac { \varepsilon ( 1 - \gamma ) } { c _ { M } + ( 1 / l ) \phi _ { M } } \bigg ) } \\ { T ( - \log \gamma ) } & { \geq \log \bigg ( \frac { c _ { M } + ( 1 / l ) \phi _ { M } } { \varepsilon ( 1 - \gamma ) } \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } \bar { X } _ { n } ^ { - 1 } } & { = \frac { 1 } { \mu ^ { 2 } } + 3 \frac { ( \sigma / \sqrt n ) ^ { 2 } } { \mu ^ { 4 } } + \mathcal O \left( \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \right) - \left( \frac { 1 } { \mu ^ { 2 } } + 2 \frac { ( \sigma / \sqrt n ) ^ { 2 } } { \mu ^ { 4 } } + \mathcal O \left( \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \right) \right) } \\ & { = \frac { ( \sigma / \sqrt n ) ^ { 2 } } { \mu ^ { 4 } } + \mathcal O \left( \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\bar { a } _ { k j } ^ { n } ( \bar { x } ) = \frac { \partial \bar { \Gamma } _ { j s } ^ { n } } { \partial \partial \bar { x } ^ { k } } \bar { e } ^ { s } + \bar { \Gamma } _ { j k + 1 } ^ { n } + \bar { \Gamma } _ { k j + 1 } ^ { n } + ( \bar { \Gamma } _ { j s } ^ { d } \bar { \Gamma } _ { k d } ^ { n } - \bar { \Gamma } _ { k j } ^ { d } \bar { \Gamma } _ { d s } ^ { n } ) \bar { e } ^ { s } - \bar { \Gamma } _ { k j } ^ { n - 1 }
\int _ { { \widetilde { \Sigma } _ { \widetilde { \tau } } } } \mathbf { J } _ { \mu } ^ { K ^ { \star } } [ \psi ] n _ { { \widetilde { \Sigma } _ { \widetilde { \tau } } } } ^ { \mu } \, d V _ { { \widetilde { \Sigma } _ { \widetilde { \tau } } } } \approx \int \, \big ( r ^ { - 2 } | W _ { 0 } \psi | ^ { 2 } + r ^ { - 2 } | K ^ { \star } \psi | ^ { 2 } + r ^ { - 2 } | \partial _ { \theta } \psi | ^ { 2 } + r ^ { - 2 } \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } \theta } | \partial _ { \phi } \psi | ^ { 2 } \big ) r ^ { 2 } \sin \theta \, d r \, d \theta \, d \phi \, .
\begin{array} { r l } { \left( d _ { t } u _ { h } ( t ) , w _ { h } \right) _ { L ^ { 2 } } + a _ { h } ^ { \mathrm { u p w } } \! \left( u _ { h } ( t ) , w _ { h } \right) } & { + J _ { h } ( u _ { h } ( t ) , w _ { h } ) } \\ & { + l _ { h } \left( w _ { h } \right) = 0 \qquad \forall w _ { h } \in \mathcal { V } _ { h } ^ { p } ( \mathcal { M } _ { h } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda ^ { 2 } } & { = \frac { \eta _ { \omega } ^ { \mathrm { p } } \eta ^ { \mathrm { s } } / \zeta } { \eta _ { \omega } ^ { \mathrm { p } } + \eta ^ { \mathrm { s } } } \simeq \frac { \eta ^ { \mathrm { s } } } { \zeta } \; , } \\ { \lambda _ { s } ^ { 2 } } & { = \frac { \eta _ { \omega } ^ { \mathrm { p } } \eta ^ { \mathrm { s } } + \left( \eta _ { \omega } ^ { \mathrm { p } } ( 1 - \phi _ { 0 } ) - \eta ^ { \mathrm { s } } \phi _ { 0 } \right) ^ { 2 } } { \zeta ( \eta _ { \omega } ^ { \mathrm { p } } + \eta ^ { \mathrm { s } } ) } \simeq } \\ & { \simeq \frac { \eta _ { \omega } ^ { \mathrm { p } } \left( 1 - \phi _ { 0 } \right) ^ { 2 } } { \zeta } \; , } \\ & { \mathrm { a n d } } \\ { \lambda _ { d } ^ { 2 } } & { = \frac { K \phi _ { 0 } \left( 1 - \phi _ { 0 } \right) ^ { 2 } \gamma } { 2 \zeta T } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( { v } _ { - i } ) } & { = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \big [ c - ( 1 - \varphi ) \sum _ { j \neq i } ^ { m } [ v _ { j } - ( \hat { x } _ { 0 j } - \mu _ { j } ) ] ^ { 2 } \big ] } \\ & { \qquad \qquad \quad \cdot \exp \bigg ( - \frac { v _ { i } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { i } ^ { 2 } } \bigg ) \left[ - \frac { v _ { i } } { \sigma _ { i } ^ { 2 } } \right] \mathrm { d } v _ { i } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } | \mathbb { E } T _ { 1 } | } & { \leq \frac { \| \theta \| _ { 2 } ^ { 6 } } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 2 } } \lesssim \lambda _ { 1 } , \quad } & & { \mathrm { V a r } ( T _ { 1 } ) \lesssim \frac { \| \theta \| _ { 2 } ^ { 6 } \, \| \theta \| _ { 3 } ^ { 3 } } { \| \theta \| _ { 1 } } \lesssim \lambda _ { 1 } ^ { 3 } } \\ { | \mathbb { E } T _ { 2 } | } & { \leq \frac { \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } \, \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 2 } } \lesssim | \tilde { \lambda } | , \quad } & & { \mathrm { V a r } ( T _ { 2 } ) \lesssim \frac { \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \, \| \theta \| _ { 2 } ^ { 8 } } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 2 } } \lesssim | \tilde { \lambda } | ^ { 2 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { | \mathbb { E } F | } & { \lesssim \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \lesssim \lambda _ { 1 } ^ { 2 } , \quad } & & { \mathrm { V a r } ( F ) \lesssim \frac { \| \theta \| _ { 2 } ^ { 1 0 } } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 2 } } \lesssim \lambda _ { 1 } ^ { 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { 2 } ( \gamma , g _ { 1 } ( \gamma , \underline { { x } } ^ { \prime } ) , \textnormal { e v } ( z , g _ { 1 } ( \gamma , \underline { { x } } ^ { \prime } ) ) ) } & { = f _ { 2 } ( \gamma , g _ { 1 } ( \gamma , \underline { { x } } ^ { \prime } ) , g _ { 2 } ( \gamma , g _ { 1 } ( \gamma , \underline { { x } } ^ { \prime } ) , \textnormal { e v } ( \underline { { z } } ^ { \prime } , f _ { 1 } ( \gamma , g _ { 1 } ( \gamma , \underline { { x } } ^ { \prime } ) ) ) ) ) } \\ & { = \textnormal { e v } ( \underline { { z } } ^ { \prime } , f _ { 1 } ( \gamma , g _ { 1 } ( \gamma , \underline { { x } } ^ { \prime } ) ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| S _ { x _ { 0 } } u ( t ) - S _ { x _ { 0 } } v ( t ) \| _ { X } } & { = \left\| x _ { 0 } + \int _ { s } ^ { t } A ( \eta ) u ( \eta ) \, d \eta - x _ { 0 } - \int _ { s } ^ { t } A ( \eta ) v ( \eta ) \, d \eta \right\| _ { X } } \\ & { = \left\| \int _ { s } ^ { t } A ( \eta ) \left[ u ( \eta ) - v ( \eta ) \right] \, d \eta \right\| _ { X } } \\ & { \leq \int _ { s } ^ { t } \| A ( \eta ) \| _ { \mathcal { L } ( X ) } \| u ( \eta ) - v ( \eta ) \| _ { X } \, d \eta } \\ & { \leq \alpha ( t - s ) \| u - v \| _ { \infty } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathcal { S } } } & { = \{ \sigma _ { i } , v _ { i } \mid i = 1 , \dots , n - 1 \} \cup \{ \gamma _ { i } \mid i = 1 , \dots , n \} , } \\ { { \mathcal { S } } ^ { * } } & { = \{ \sigma _ { i } , \sigma _ { i } ^ { - 1 } , v _ { i } \mid i = 1 , \dots , n - 1 \} \cup \{ \gamma _ { i } \mid i = 1 , \dots , n \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { P r } ( Y _ { ( ( 1 / 2 + \varepsilon ) N ) } - \Phi ^ { - 1 } ( 1 / 2 + \varepsilon ) \leqslant - t ) } & { = \operatorname* { P r } ( - Y _ { ( ( 1 / 2 + \varepsilon ) N ) } \geqslant t - \Phi ^ { - 1 } ( 1 / 2 + \varepsilon ) ) } \\ & { \leqslant \binom { N } { N / { 4 } } \left( \operatorname* { P r } ( - Y _ { 1 } \geqslant t - \Phi ^ { - 1 } ( 1 / 2 + \varepsilon ) ) \right) ^ { N / { 4 } } } \\ & { \leqslant 2 ^ { N } \left( \operatorname* { P r } ( Y _ { 1 } \geqslant t - \Phi ^ { - 1 } ( 3 / 4 ) ) \right) ^ { N / { 4 } } } \\ & { \leqslant 2 ^ { N } \left( \operatorname* { P r } ( Y _ { 1 } \geqslant t / 2 ) \right) ^ { N / { 4 } } } \\ & { \leqslant 2 ^ { N } \exp ( - N t ^ { 2 } / { 3 2 } ) } \\ & { \leqslant \exp ( - N t ^ { 2 } / { 6 4 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { Z _ { n } ( \phi ) } \sum _ { x \in E _ { n } } \exp ( S _ { n } \phi ( x ) ) \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } & { S _ { n } \varphi ( x ) S _ { n } \psi ( x ) = \int \varphi \mathrm { d } \mu _ { \mathrm { m i n } } \int \psi \mathrm { d } \mu _ { \mathrm { m i n } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d ( x , z ) ^ { 2 } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { ( 2 x _ { i } - 1 ) ^ { 2 } } { 4 } a _ { i } + \frac { ( 2 x _ { 1 } - 1 ) ( 2 x _ { n } - 1 ) } { 2 } - \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \frac { ( 2 x _ { i } - 1 ) ( 2 x _ { i + 1 } - 1 ) } { 2 } } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { ( 2 x _ { i } - 1 ) ^ { 2 } } { 4 } ( a _ { i } - 2 ) + \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } ( x _ { i } - x _ { i + 1 } ) ^ { 2 } + ( x _ { 1 } + x _ { n } - 2 ) ( x _ { 1 } + x _ { n } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } a ^ { d } v ^ { k } \tilde { g } ( a , v ) \textup { d } v \textup { d } a \leq \frac { d } { d + 1 } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } a ^ { d + 1 } \tilde { g } ( a , v ) \textup { d } v \textup { d } a + \frac { 1 } { d + 1 } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } v ^ { k ( d + 1 ) } \tilde { g } ( a , v ) \textup { d } v \textup { d } a . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I \left( d , \lambda , t \right) } & { = \sum _ { m = 1 } ^ { n } E _ { m } \left( \lambda , t \right) \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } e ^ { - \beta \left( \lambda , t \right) d } d t } \\ & { + \sum _ { m = 1 } ^ { n } E _ { m } ^ { ^ { \prime } } \left( \lambda , t \right) \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \left( 1 - e ^ { - \beta \left( \lambda , t \right) d } \right) d t } \\ & { = S \left( d , \lambda , t \right) + A \left( d , \lambda , t \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { l i } } b _ { j } ( \zeta ) \mathbf { Q } _ { \ell } ^ { j } } & { \approx } & { \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { l i } } c _ { j } ( \zeta ) \mathbf { Q } _ { \ell } ^ { j } - \left[ \sum _ { \ell ^ { \prime } = 1 } ^ { L } \int _ { E _ { \ell ^ { \prime } } } G _ { 0 } ( x _ { \ell } - y ) d S ( y ) \right] \left[ \left( \mathbf { L } _ { \sigma } - \mathbf { L } _ { 1 } \right) \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { l i } } b _ { j } ( \zeta ) \mathbf { Q } _ { \ell ^ { \prime } } ^ { j } \right] } \\ & { = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { l i } } c _ { j } ( \zeta ) \mathbf { Q } _ { \ell } ^ { j } - \left[ \sum _ { \ell ^ { \prime } = 1 } ^ { L } \int _ { E _ { \ell ^ { \prime } } } G _ { 0 } ( x _ { \ell } - y ) d S ( y ) \right] \left[ \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { l i } } b _ { j } ( \zeta ) f _ { j } \left( y _ { \ell ^ { \prime } } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { w ( t - \tau ) } & { = \operatorname* { m a x } _ { h \in [ t _ { 0 } - \tau , t _ { 0 } ] } \left\{ \frac { ( s _ { 1 } - s _ { 2 } ) ( h ) } { ( x _ { 2 } + y _ { 2 } ) ( h ) } , 1 \right\} ( x _ { 2 } + y _ { 2 } ) ( t - \tau ) \frac { ( x _ { 2 } + y _ { 2 } ) ( t ) } { ( x _ { 2 } + y _ { 2 } ) ( t ) } e ^ { - ( t - t _ { 0 } ) \varepsilon } e ^ { \tau \varepsilon } } \\ & { = w ( t ) \frac { ( x _ { 2 } + y _ { 2 } ) ( t - \tau ) } { ( x _ { 2 } + y _ { 2 } ) ( t ) } e ^ { \tau \varepsilon } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { { X } _ { I } ^ { ~ \nu } \partial _ { \nu } h _ { ~ \mu } ^ { a } + \partial _ { \mu } { X } _ { I } ^ { ~ \nu } h _ { ~ \nu } ^ { a } = f _ { I } ^ { ~ \hat { i } } \lambda _ { \hat { i } ~ b } ^ { a } h _ { ~ \mu } ^ { b } } \\ & { 2 { \bf X } _ { [ I } ( f _ { J ] } ^ { ~ \hat { k } } ) - f _ { I } ^ { ~ \hat { i } } f _ { J } ^ { ~ \hat { j } } C _ { ~ \hat { i } \hat { j } } ^ { \hat { k } } = C _ { ~ I J } ^ { K } f _ { K } ^ { ~ \hat { k } } } \\ & { { X } _ { I } ^ { ~ d } \mathrm { { \bf ~ h } } _ { d } ( \omega _ { ~ b c } ^ { a } ) + \omega _ { ~ b c } ^ { d } f _ { I } ^ { ~ \hat { i } } \lambda _ { \hat { i } ~ d } ^ { a } - \omega _ { ~ d c } ^ { a } f _ { I } ^ { ~ \hat { i } } \lambda _ { \hat { i } ~ b } ^ { d } - \omega _ { ~ b d } ^ { a } f _ { I } ^ { ~ \hat { i } } \lambda _ { \hat { i } ~ c } ^ { d } - \mathrm { { \bf ~ h } } _ { c } ( f _ { I } ^ { ~ \hat { i } } ) \lambda _ { \hat { i } ~ b } ^ { a } = 0 . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { V ^ { * } } ( u _ { 3 } , u _ { j } ) } & { = Q _ { V ^ { * } } ( x _ { 2 } , x _ { j - 1 } ) + Q _ { V ^ { * } } ( x _ { 2 } , x _ { j - 2 } ) + Q _ { V ^ { * } } ( x _ { 1 } , x _ { j - 1 } ) + Q _ { V ^ { * } } ( x _ { 1 } , x _ { j - 2 } ) } \\ & { = 2 ( j - 3 ) ( j - 2 ) + 2 ( j - 4 ) ( j - 3 ) + 2 ( j - 2 ) + 2 ( j - 3 ) } \\ & { = 2 ( 2 j ^ { 2 } - 1 0 j + 1 3 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { A _ { 1 } = B ( u _ { h } ^ { k , 1 } ; E _ { k } - e _ { H } ^ { k } , v _ { h } ) , } \\ & { A _ { 2 } = ( \boldsymbol { a } ( u _ { h } , \nabla u _ { h } ) , v _ { h } ) - ( \boldsymbol { a } ( u _ { h } ^ { k , 1 } , \nabla u _ { h } ^ { k , 1 } ) , v _ { h } ) , } \\ & { A _ { 3 } = ( f ( u _ { h } , \nabla u _ { h } ) , v _ { h } ) - ( f ( u _ { h } ^ { k , 1 } , \nabla u _ { h } ^ { k , 1 } ) , v _ { h } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { K ( t ) } & { : = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \mathbb { P } [ \tau _ { b } \leqslant t ] = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \mathbb { P } [ B ^ { - 1 } ( S _ { 1 } ) \leqslant t ] = - B ( t ) ^ { \prime } g _ { 1 } ( B ( t ) ) } \\ & { = g _ { 1 } ( t ^ { - 1 / \alpha } b ( t ) ) ( t ^ { - 1 / \alpha - 1 } b ( t ) / \alpha - t ^ { - 1 / \alpha } b ^ { \prime } ( t ) ) = g _ { t } ( b ( t ) ) \left( \alpha ^ { - 1 } t ^ { - 1 } b ( t ) - b ^ { \prime } ( t ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { L } _ { D } ^ { * } g ( x , v ) = - \langle v , \nabla _ { x } g ( x , v ) \rangle , } \\ & { \mathcal { L } _ { B } ^ { * } g ( x , v ) = g ( x , R ( x ) v ) \lambda _ { 1 } ( x , R ( x ) v ) - g ( x , v ) \lambda _ { 1 } ( x , v ) , } \\ & { \mathcal { L } _ { R } ^ { * } g ( x , v ) = \lambda _ { r } \left( \nu ( v ) \int g ( x , y ) d y - g ( x , v ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \tilde { \Phi } ^ { ( \mu , \alpha ) } ( R _ { 1 } , R _ { 2 } | { p _ { Z K _ { 1 } K _ { 2 } } } ) } \\ & { = \Phi ^ { ( \mu ) } ( R _ { 1 } , R _ { 2 } , q _ { \alpha , \mu } ^ { * } | { p _ { Z K _ { 1 } K _ { 2 } } } ) + \frac { \bar { \alpha } } { \alpha } D ( q _ { \alpha , \mu } ^ { * } | | p _ { Z } ) } \\ & { \stackrel { \mathrm { ( a ) } } { \leq } \Phi ^ { ( \mu ) } ( R _ { 1 } , R _ { 2 } , \hat { q } _ { \alpha , \mu } | { p _ { Z K _ { 1 } K _ { 2 } } } ) . } \end{array}
F _ { n } = \frac { 1 } { \sqrt { n } } \left[ \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { \cdots } & { 1 } \\ { 1 } & { \zeta } & { \zeta ^ { 2 } } & { \cdots } & { \zeta ^ { n - 1 } } \\ { 1 } & { \zeta ^ { 2 } } & { \zeta ^ { 4 } } & { \cdots } & { \zeta ^ { 2 ( n - 1 ) } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 1 } & { \zeta ^ { n - 1 } } & { \zeta ^ { 2 ( n - 1 ) } } & { \cdots } & { \zeta ^ { ( n - 1 ) ^ { 2 } } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } & { | J _ { 1 } ( \mu ^ { * } ; ( \gamma ^ { * , N } , \pi ^ { * } , \ldots , \pi ^ { * } ) ) - J ( \mu ^ { * } ; \gamma ^ { * , N } ) | } \\ & { \phantom { x x x x x x } : = | \operatorname* { i n f } _ { \pi \in \Pi } J _ { 1 } ( \mu ^ { * } ; ( \pi , \pi ^ { * } , \ldots , \pi ^ { * } ) ) - J ( \mu ^ { * } ; \gamma ^ { * , N } ) | \leq \Theta _ { 2 } ( N , \varepsilon ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { ( E _ { x } ^ { \mathrm { \tiny ~ T E } } ( x , y ) , E _ { y } ^ { \mathrm { \tiny ~ T E } } ( x , y ) , E _ { z } ^ { \mathrm { \tiny ~ T M } } ( x , y ) ) = } \\ & { } & { ( - E _ { x } ^ { \mathrm { \tiny ~ T E } } ( x , - y ) , E _ { y } ^ { \mathrm { \tiny ~ T E } } ( x , - y ) , E _ { z } ^ { \mathrm { \tiny ~ T M } } ( x , - y ) ) , } \\ & { } & { ( H _ { x } ^ { \mathrm { \tiny ~ T M } } ( x , y ) , H _ { y } ^ { \mathrm { \tiny ~ T M } } ( x , y ) , H _ { z } ^ { \mathrm { \tiny ~ T E } } ( x , y ) ) = } \\ & { } & { ( - H _ { x } ^ { \mathrm { \tiny ~ T M } } ( x , - y ) , H _ { y } ^ { \mathrm { \tiny ~ T M } } ( x , - y ) , H _ { z } ^ { \mathrm { \tiny ~ T E } } ( x , - y ) ) . } \end{array}
\mathcal { F } _ { n } = \frac { 1 } { \sqrt { n } } \left( \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { \cdots } & { 1 } \\ { 1 } & { \omega } & { \omega ^ { 2 } } & { \cdots } & { \omega ^ { n - 1 } } \\ { 1 } & { \omega ^ { 2 } } & { \omega ^ { 4 } } & { \cdots } & { \omega ^ { 2 ( n - 1 ) } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 1 } & { \omega ^ { n - 1 } } & { \omega ^ { 2 ( n - 1 ) } } & { \cdots } & { \omega ^ { ( n - 1 ) ^ { 2 } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { J \alpha } & { = \sum _ { k < l } \alpha _ { k l } J d z ^ { k } \wedge J d z ^ { l } = \sum _ { i , j } \sum _ { k < l } \alpha _ { k l } J _ { \bar { i } } ^ { k } J _ { \bar { j } } ^ { l } d \Bar { z } ^ { i } \wedge d \Bar { z } ^ { j } } \\ & { = \sum _ { i < j } \sum _ { k < l } \alpha _ { k l } ( J _ { \bar { i } } ^ { k } J _ { \bar { j } } ^ { l } - J _ { \bar { j } } ^ { k } J _ { \bar { i } } ^ { l } ) d \Bar { z } ^ { i } \wedge d \Bar { z } ^ { j } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sqrt { \frac { 3 } { 2 } } \frac { \overline { c } ( t ) } { \gamma ( t ) } } & { = \sqrt { \frac { 3 } { 2 } } \frac { \overline { c } _ { i n } } { \beta _ { i n } } + \frac { 1 } { 8 \pi } \int _ { \mathbf T ^ { 3 } } | \nabla _ { x } \phi _ { i n } ( x ) | ^ { 2 } - | \nabla _ { x } \psi _ { i n } ( x ) | ^ { 2 } d x } \\ & { \quad + \frac { 1 } { 8 \pi } \int _ { \mathbf T ^ { 3 } } | \nabla _ { x } \psi ( t , x ) | ^ { 2 } - | \nabla _ { x } \phi ( t , x ) | ^ { 2 } d x } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { u } _ { t } , \hat { l } _ { ( p , t ) } , \hat { s } \leftarrow \operatorname * { a r g m i n } _ { u _ { t } , l _ { ( p , t ) } , s } L _ { \mathrm { t o t a l } } - w _ { 4 } s \ , \ \ } & { \mathrm { i f } \ \ L _ { \mathrm { i m a g e } } < \epsilon _ { \mathrm { i m a g e } } } \\ { \hat { u } _ { t } , \hat { l } _ { ( p , t ) } \leftarrow \operatorname * { a r g m i n } _ { u _ { t } , l _ { ( p , t ) } } L _ { \mathrm { t o t a l } } \ , \ \ } & { \mathrm { i f } \ \ L _ { \mathrm { i m a g e } } \geq \epsilon _ { \mathrm { i m a g e } } , } \end{array}
\mathbf { q } _ { \gamma } ( t _ { n } , \mathbf { z } _ { n } ; s \mathbf { , \xi } ) = \mathbf { f } ( s , \mathbf { z } _ { n } + \mathbf { \phi } _ { \gamma } ( t _ { n } , \mathbf { z } _ { n } ; s - t _ { n } ) + \mathbf { \xi } ) - \mathbf { f } _ { \mathbf { x } } ( t _ { n } , \mathbf { z } _ { n } ) \mathbf { \phi } _ { \gamma } ( t _ { n } , \mathbf { z } _ { n } ; s - t _ { n } ) - \mathbf { a } ^ { \gamma } ( t _ { n } , \mathbf { z } _ { n } ) ( s - t _ { n } ) - \mathbf { f } ( t _ { n } , \mathbf { z } _ { n } ) .
\begin{array} { r l } & { \langle \widehat { L _ { b } } ( \sigma ) \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } ( \tilde { g } _ { 1 } , \tilde { A } _ { 1 } ) , \ ( \dot { g } _ { 2 } ^ { * } , \dot { A } _ { 2 } ^ { * } ) \rangle } \\ & { \ = \sigma ^ { 2 } \langle - i \partial _ { \sigma } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \check { g } _ { 1 } , \check { A } _ { 1 } ) + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \dot { g } _ { 1 } , \dot { A } _ { 1 } ) , \ ( \dot { g } _ { 2 } ^ { * } , \dot { A } _ { 2 } ^ { * } ) \rangle + \sigma ^ { 3 } \langle \frac { - i } { 2 } \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \check { g } _ { 1 } , \check { A } _ { 1 } ) , ( \dot { g } _ { 2 } ^ { * } , \dot { A } _ { 2 } ^ { * } ) \rangle } \\ & { \ \ - \sigma ^ { 3 } \Big \langle - i \big ( \partial _ { \sigma } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) + \frac { \sigma } { 2 } \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) \big ) ( \check { g } _ { 1 } , \check { A } _ { 1 } ) + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \dot { g } _ { 1 } , \dot { A } _ { 1 } ) , } \\ & { \qquad \qquad \quad \ ( \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } ) ^ { * } \big ( \partial _ { \sigma } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) + \frac { \sigma } { 2 } \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) \big ) ^ { * } ( \dot { g } _ { 2 } ^ { * } , \dot { A } _ { 2 } ^ { * } ) \Big \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r } { d _ { \mathrm { T V } } \left( \mu _ { Q } ^ { \tau } , \mu _ { Q } ^ { \tau ^ { \prime } } \right) \leq \mathbb P \left[ \sigma _ { D _ { L ^ { 1 / 4 } } } = \sigma _ { D _ { L ^ { 1 / 4 } } } ^ { \prime } \right] < \left( 1 - \frac 1 2 \alpha ^ { 4 h } \right) ^ { L ^ { 1 / 4 } } < e ^ { - \frac 1 2 \alpha ^ { 4 h } L ^ { 1 / 4 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathbb E } [ G ^ { n } ( \mathbf { X } _ { T } ) ] } & { = { \mathbb E } \bigg [ \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } G _ { 1 } ( X _ { T } ^ { i } ) + \frac { 1 } { n } \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } J _ { i j } ^ { n } G _ { 2 } ( X _ { T } ^ { i } - X _ { T } ^ { j } ) \bigg ] } \\ & { = { \mathbb E } \bigg [ \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } G _ { 1 } ( \overline { { X } } _ { T } ^ { i } ) + \frac { 1 } { n } \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } J _ { i j } ^ { n } G _ { 2 } ( \overline { { X } } _ { T } ^ { i } - \widetilde { \overline { { X } } } _ { T } ^ { j } ) \bigg ] } \\ & { \ge { \mathbb E } \bigg [ G _ { 1 } \bigg ( \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \overline { { X } } _ { T } ^ { i } \bigg ) + G _ { 2 } \bigg ( \frac { 1 } { n } \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } J _ { i j } ^ { n } ( \overline { { X } } _ { T } ^ { i } - \widetilde { \overline { { X } } } _ { T } ^ { j } ) \bigg ) \bigg ] } \\ & { = { \mathbb E } \bigg [ G _ { 1 } ( \overline { { X } } _ { T } ) + G _ { 2 } ( \overline { { X } } _ { T } - \widetilde { \overline { { X } } } _ { T } ) \bigg ] } \\ & { = \mathcal { G } ( \mathcal { L } ( \overline { { X } } _ { T } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { [ c _ { r } ( \mathcal { E } ) ] _ { ( 1 , 2 r - 1 ) } } \\ { = } & { \left[ c _ { r } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { 2 g + 2 } p _ { 1 } ^ { * } ( x _ { i } ) \otimes p _ { 2 } ^ { * } ( e _ { i } ) \right) \right] _ { ( 1 , 2 r - 1 ) } } \\ { = } & { \left[ c _ { r } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { 2 g } p _ { 1 } ^ { * } ( x _ { i } ) \otimes p _ { 2 } ^ { * } ( e _ { i } ) \right) \right] _ { ( 1 , 2 r - 1 ) } } \\ { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { 2 g } \left[ c _ { r } \left( p _ { 1 } ^ { * } ( x _ { i } ) \otimes p _ { 2 } ^ { * } ( e _ { i } ) \right) \right] _ { ( 1 , 2 r - 1 ) } } \\ { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { 2 g } p _ { 1 } ^ { * } c _ { \frac { 1 } { 2 } } ( x _ { i } ) \smile p _ { 2 } ^ { * } c _ { r - \frac { 1 } { 2 } } ( e _ { i } ) } \\ { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { 2 g } p _ { 1 } ^ { * } \alpha _ { i } \smile p _ { 2 } ^ { * } c _ { r - \frac { 1 } { 2 } } ( e _ { i } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { c h a r } _ { R } \left( \left. { \bigcap } _ { R } ^ { r } \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T , \Delta ) \middle / \delta ( T , \Delta ) \right. \right) R _ { \mathfrak { p } } } & { = \pi ^ { \sum a _ { i } } R _ { \mathfrak { p } } } \\ & { = \mathrm { c h a r } _ { R } \left( \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 2 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T , \Delta ) \right) R _ { \mathfrak { p } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( \begin{array} { c } { | \mathrm { P o r t \ 3 } \rangle } \\ { | \mathrm { P o r t \ 4 } \rangle } \end{array} \right) } & { = } & { \left( \begin{array} { c c } { \sqrt { 1 - \alpha } } & { - \sqrt { \alpha } } \\ { \sqrt { \alpha } } & { \sqrt { 1 - \alpha } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { | \mathrm { P o r t \ 1 } \rangle } \\ { | \mathrm { P o r t \ 2 } \rangle } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \Phi } & { = { \Phi } _ { 0 } ( z ) + \epsilon { \Phi } _ { 1 } ( z ) + \epsilon ^ { 2 } { \Phi } _ { 2 } ( z ) + O ( \epsilon ^ { 3 } ) \quad } & & { ( z < 0 , z > 0 ) , } \\ { \Phi } & { = \hat { \phi } _ { 0 } ( \eta ) + \epsilon \hat { \phi } _ { 1 } ( \eta ) + \epsilon ^ { 2 } \hat { \phi } _ { 2 } ( \eta ) + O ( \epsilon ^ { 3 } ) \quad } & & { ( - \infty < \eta < 0 ) , } \\ { \Phi } & { = \check { \phi } _ { 0 } ( \xi ) + \epsilon \check { \phi } _ { 1 } ( \xi ) + \epsilon ^ { 2 } \check { \phi } _ { 2 } ( \xi ) + O ( \epsilon ^ { 3 } ) \quad } & & { ( 0 < \xi < + \infty ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { V } _ { n } ( y ) = \int _ { - 1 / 2 } ^ { 1 / 2 } \frac { \sin ^ { 2 } ( \pi ( y - x ) ) } { \alpha _ { n } ^ { - 2 } \Lambda ( y - x , x ) ^ { 2 } + \Omega ( y - x , x ) ^ { 2 } } d x \le \int _ { - 1 / 2 } ^ { 1 / 2 } \frac { \sin ^ { 2 } ( \pi ( y - x ) ) } { \Lambda ( y - x , x ) ^ { 2 } + \Omega ( y - x , x ) ^ { 2 } } d x , } \end{array}
L I S ( \sigma ) \leq \sum _ { s = 1 } ^ { \lfloor n \beta _ { n } \slash L \rfloor } L I S ( \sigma | _ { \mathcal { R } _ { s } } ) + \sum _ { s = 2 } ^ { \lfloor n \beta _ { n } \slash L \rfloor } L I S ( \sigma | _ { \mathcal { R } _ { s } ^ { \prime } } ) + \sum _ { s = 2 } ^ { \lfloor n \beta _ { n } \slash L \rfloor } L I S ( \sigma | _ { \mathcal { R } _ { s } ^ { \prime \prime } } ) .
\begin{array} { r l } & { \| w - \mathcal P _ { f } w \| _ { f } ^ { 2 } \leq h ^ { 2 } \| \hat { w } - \mathcal P _ { \hat { f } } \hat { w } \| _ { \hat { f } } ^ { 2 } \leq C h ^ { 2 } \| \hat { w } - \mathcal P _ { \hat { K } } \hat { w } \| _ { \hat { f } } ^ { 2 } = C h ^ { 2 } \operatorname* { i n f } _ { \hat { q } \in P _ { 0 } ( \hat { K } ) } \| ( I - \mathcal P _ { \hat { K } } ) ( \hat { w } + \hat { q } ) \| _ { \hat { f } } ^ { 2 } } \\ { \leq } & { C h ^ { 2 } \operatorname* { i n f } _ { \hat { q } \in P _ { 0 } ( \hat { K } ) } ( \| \hat { w } + \hat { q } \| _ { \hat { f } } ^ { 2 } + \| \hat { w } + \hat { q } \| _ { \hat { K } } ^ { 2 } ) \leq C h ^ { 2 } \operatorname* { i n f } _ { \hat { q } \in P _ { 0 } ( \hat { K } ) } \| \hat { w } + \hat { q } \| _ { \hat { K } } \| \hat { w } + \hat { q } \| _ { 1 , \hat { K } } } \\ { \leq } & { C h ^ { 2 } \operatorname* { i n f } _ { \hat { q } \in P _ { 0 } ( \hat { K } ) } \| \hat { w } + \hat { q } \| _ { \hat { K } } \operatorname* { i n f } _ { \hat { q } \in P _ { 0 } ( \hat { K } ) } \| \hat { w } + \hat { q } \| _ { 1 , \hat { K } } \leq C h ^ { 2 } \| \hat { w } \| _ { \hat { K } } | \hat { w } | _ { 1 , \hat { K } } \leq C \| w \| _ { K } | w | _ { 1 , K } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { J } ^ { \alpha \dot { \alpha } } \mathcal { J } _ { \alpha \dot { \alpha } } } & { = } & { 1 6 \theta ^ { 2 } \Bar { \theta } ^ { 2 } \Big ( T ^ { \mu \nu } T _ { \mu \nu } - \frac { 2 } { 9 } \Theta ^ { 2 } \Big ) + \cdots ~ , } \\ { \mathcal { X } \Bar { \mathcal { X } } } & { = } & { \frac { 4 } { 9 } \theta ^ { 2 } \Bar { \theta } ^ { 2 } \, \Theta ^ { 2 } + \cdots ~ . } \end{array}
r _ { a } : = \frac { \operatorname* { s u p } _ { \tilde { \pi } \in \mathcal { P } ( \mathcal { Z } ^ { 2 } ) \mathrm { ~ s . t . ~ } \tilde { \pi } _ { z } = \mu } \; \mathcal { U } ( \tilde { \pi } , \nu ^ { \star } ) } { \mathcal { U } ( \pi ^ { \star } , \nu ^ { \star } ) } , \mathrm { ~ a n d ~ } r _ { m } : = \frac { \operatorname* { i n f } _ { \tilde { \nu } \in \mathcal { P } ( \Theta ) } \; \mathcal { U } ( \pi ^ { \star } , \tilde { \nu } ) } { \mathcal { U } ( \pi ^ { \star } , \nu ^ { \star } ) } ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \gamma _ { 1 } \geq \displaystyle \frac { C _ { 1 } ( \gamma ) } { 2 \alpha _ { 1 } } \left\{ \mu \rho + ( 1 - \eta ) \Phi + \sigma ( 1 - \eta ) ^ { 2 } \Phi \left[ M _ { 1 } + M _ { 2 } \right] \right\} , } \\ { \gamma _ { 2 } \geq \displaystyle \frac { C _ { 2 } ( \gamma ) \theta ( 1 - \eta ) } { 4 \mu ^ { 2 } \alpha _ { 1 } } \left\{ \mu \rho + ( 1 - \eta ) \Phi + \sigma ( 1 - \eta ) ^ { 2 } \Phi M _ { 1 } + 1 \right\} , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \left\langle \mathbf { 1 } \otimes \operatorname { v e c } ( I _ { d } ) , E _ { 1 } ^ { \theta / 2 } \left( \prod _ { j = 1 } ^ { n - 1 } E _ { j } ^ { \theta / 2 } \tilde { P } E _ { j + 1 } ^ { \theta / 2 } \right) E _ { k } ^ { \theta / 2 } ( \mathbf { 1 } \otimes \operatorname { v e c } ( I _ { d } ) ) \right\rangle _ { \boldsymbol \pi } } \\ { \leq \, } & { \left\lVert E _ { 1 } ^ { { \theta / 2 } ^ { * } } ( \mathbf { 1 } \otimes \operatorname { v e c } ( I _ { d } ) ) \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } \left\lVert E _ { n } ^ { \theta / 2 } ( \mathbf { 1 } \otimes \operatorname { v e c } ( I _ { d } ) ) \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } \prod _ { j = 1 } ^ { n - 1 } \left\lVert E _ { j } ^ { \theta / 2 } \tilde { P } E _ { j + 1 } ^ { \theta / 2 } \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } } \\ { \leq \, } & { d \prod _ { j = 1 } ^ { n } \left\lVert E _ { j } ^ { \theta / 2 } \hat { P } E _ { j } ^ { { \theta / 2 } ^ { * } } \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } . } \end{array}
\left( \begin{array} { l l } { 2 } & { 0 } \\ { 2 t } & { 2 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \nu _ { \infty , - 1 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } _ { t } ) } } \\ { \nu _ { \infty , 0 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } _ { t } ) } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 2 } \end{array} \right) \, \, \Leftrightarrow \, \, \nu _ { \infty , - 1 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } _ { t } ) } = 0 \, \mathrm { ~ a n d ~ } \, \nu _ { \infty , 0 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } _ { t } ) } = 1 .
| B _ { 2 } | + \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| \leqslant \left| B _ { 2 } ^ { \operatorname { L } } \right| + \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \cap ( 1 + 2 \! \cdot \! \mathbf { N } ) \right| + \left| B _ { 2 } ^ { \operatorname { R } } \right| + \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \cap ( 2 \! \cdot \! \mathbf { N } ) \right| \leqslant \frac { n } { 4 } + 4
\begin{array} { r l } { \frac { \textnormal { d } } { \textnormal { d } t } H _ { \textnormal { i n t e r a c t i o n s } } ( t ) } & { = \frac { 1 } { 4 } \frac { \textnormal { d } } { \textnormal { d } t } \langle u ( t ) ^ { 2 } , u ( t ) ^ { 2 } \rangle } \\ & { = \frac { 1 } { 4 } \left\langle 2 u ( t ) \partial _ { t } u ( t ) , u ( t ) ^ { 2 } \right\rangle + \frac { 1 } { 4 } \left\langle u ( t ) ^ { 2 } , 2 u ( t ) \partial _ { t } u ( t ) \right\rangle } \\ & { = \Re \left\langle u ( t ) \partial _ { t } u ( t ) , u ( t ) ^ { 2 } \right\rangle } \\ & { = \Re \left\langle \partial _ { t } u ( t ) , u ( t ) | u ( t ) | ^ { 2 } \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { e ( H ) = } & { e ( H _ { v w , 1 } ) + e ( H _ { v w , 2 } ) + e ( H _ { v u _ { 1 } , 1 } ) + e ( H _ { v u _ { 1 } , 2 } ) - \sum _ { i , j = 1 } ^ { 2 } e ( H [ L _ { i j } ] ) } \\ { = } & { \binom { q } { 2 } + \binom { r } { 2 } + \binom { q } { 2 } + \binom { r } { 2 } - \sum _ { i , j = 1 } ^ { 2 } \binom { \ell _ { i j } } { 2 } } \\ { = } & { \binom { q + 1 } { 2 } + \binom { r + 1 } { 2 } + f ( \ell _ { 1 1 } , \ell _ { 1 2 } , \ell _ { 2 1 } , \ell _ { 2 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { h } \left| ( I _ { h } \varphi _ { h } , g _ { j } ( 2 ^ { a } ( \cdot - x ) ) ) _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } \right| ^ { 2 } } & { = \mathbb { E } _ { h } \left| \int _ { y \in \mathbb { R } ^ { d } } \sum _ { z \in h \mathbb { Z } ^ { d } } h ^ { d } \varphi _ { h } ( z ) \Theta _ { h } ( y - z ) g _ { j } ( 2 ^ { a } ( y - x ) ) \, \mathrm { d } y \right| ^ { 2 } } \\ & { = \mathbb { E } _ { h } \left( \sum _ { z \in h \mathbb { Z } ^ { d } } h ^ { d } \varphi _ { h } ( z ) \int _ { y \in \mathbb { R } ^ { d } } \Theta _ { h } ( y - z ) \tilde { f } _ { j } ^ { ( a ) } ( x - y ) \, \mathrm { d } y \right) ^ { 2 } } \\ & { = \mathbb { E } _ { h } \left( \varphi _ { h } , ( \Theta _ { h } * \tilde { g } _ { j } ^ { ( a ) } ) ( x - \cdot ) \right) _ { L _ { h } ^ { 2 } ( \Omega _ { h } ) } ^ { 2 } } \\ & { = \| ( \Theta _ { h } * \tilde { g } _ { j } ^ { ( a ) } ) ( x - \cdot ) \| _ { \dot { H } _ { h } ^ { - s } ( \Omega _ { h } ) } ^ { 2 } } \\ & { \le \| ( \Theta _ { h } * \tilde { g } _ { j } ^ { ( a ) } ) ( x - \cdot ) \| _ { \dot { H } _ { h } ^ { - s } ( h \mathbb { Z } ^ { d } ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { X _ { j } } ( \boldsymbol { \it p a } _ { 1 } ( X _ { j } ) \cdot \boldsymbol { \theta } _ { X _ { j } } ^ { * } ) - f _ { X _ { j } } ( \boldsymbol { \it p a } _ { 0 } ( X _ { j } ) \cdot \boldsymbol { \theta } _ { X _ { j } } ^ { * } ) } & { \geq \kappa \left( \boldsymbol { \it p a } _ { 1 } ( X _ { j } ) \cdot \boldsymbol { \theta } _ { X _ { j } } ^ { * } - \boldsymbol { \it p a } _ { 0 } ( X _ { j } ) \cdot \boldsymbol { \theta } _ { X _ { j } } ^ { * } \right) } \\ & { \geq \kappa \theta _ { X _ { i } , X _ { j } } ^ { * } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { J _ { c l } = \left[ \begin{array} { l l l } { O } & { J _ { i } } & { 0 } \\ { - J _ { i } ^ { T } } & { 0 } & { - B _ { 0 d } M B _ { c } ^ { T } } \\ { 0 } & { B _ { c } M ^ { T } B _ { 0 d } ^ { T } } & { J _ { c } } \end{array} \right] , } \\ & { R _ { c l } = \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { R _ { d } + B _ { 0 d } M D _ { c } M ^ { T } B _ { 0 d } ^ { T } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { R _ { c } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { z } _ { m } ^ { ( k ) } } & { = - \sqrt { \frac { s ^ { 2 \nu } } { \kappa _ { m + 1 } } } \frac { \gamma _ { m + 1 } } { \sigma _ { m + 1 } } \hat { w } _ { m } ^ { ( k - 1 ) } + \sqrt { \frac { s ^ { 2 \nu } } { \kappa _ { m + 1 } } } \frac { 1 } { \sigma _ { m + 1 } } \hat { w } _ { m + 1 } ^ { ( k - 1 ) } , } \\ { \hat { z } _ { m + 1 } ^ { ( k ) } } & { = \sqrt { \frac { s ^ { 2 \nu } } { \kappa _ { m + 1 } } } \frac { 1 } { \sigma _ { m + 1 } } \hat { w } _ { m } ^ { ( k - 1 ) } - \sqrt { \frac { s ^ { 2 \nu } } { \kappa _ { m + 1 } } } \frac { \gamma _ { m + 1 } } { \sigma _ { m + 1 } } \hat { w } _ { m + 1 } ^ { ( k - 1 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } u _ { \varepsilon } } & { = \Delta u _ { \varepsilon } - \frac { \nabla u _ { \varepsilon } } { \sqrt { | \nabla u _ { \varepsilon } | ^ { 2 } + \varepsilon ^ { 2 } } } \cdot \nabla ^ { 2 } u _ { \varepsilon } \frac { \nabla u _ { \varepsilon } } { \sqrt { | \nabla u _ { \varepsilon } | ^ { 2 } + \varepsilon ^ { 2 } } } . } \end{array}
{ \lvert \lvert \Delta _ { h } ^ { i } \nabla p \rvert \rvert } _ { L ^ { 2 } } \leqslant { \lvert \lvert \Delta _ { h } ^ { i } M \rvert \rvert } _ { L ^ { 2 } } + 2 { \lvert \lvert \Delta _ { h } ^ { i } P V _ { e } \rvert \rvert } _ { H ^ { - 1 } } \leqslant \lvert h \rvert \left( { \lvert \lvert \nabla M \rvert \rvert } _ { L ^ { 2 } } + 2 { \lvert \lvert P V _ { e } \rvert \rvert } _ { L ^ { 2 } } \right) .
\begin{array} { r l } { \widetilde { h } _ { t } ( g ) \, } & { \asymp \, t ^ { - \frac { n } { 2 } } \, \Big \lbrace { \prod _ { \alpha \in \Sigma _ { r } ^ { + } } \big ( 1 + t + \langle { \alpha , g ^ { + } } \rangle \big ) ^ { \frac { m _ { \alpha } + m _ { 2 \alpha } } { 2 } - 1 } } \Big \rbrace \, e ^ { - \frac { | g ^ { + } | ^ { 2 } } { 4 t } } } \\ & { \asymp \, t ^ { - \frac { \nu + n } { 4 } } \, \Big \lbrace { \prod _ { \alpha \in \Sigma _ { r } ^ { + } } \big ( 1 + \frac { \langle { \alpha , g ^ { + } } \rangle } { \sqrt { t } } \big ) ^ { \frac { m _ { \alpha } + m _ { 2 \alpha } } { 2 } - 1 } \Big \rbrace } \, e ^ { - \frac { | g ^ { + } | ^ { 2 } } { 4 t } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle A _ { \mathcal { Q } _ { 0 } } x , x \rangle _ { \mathcal { Q } _ { 0 } } + \langle x , A _ { \mathcal { Q } _ { 0 } } x \rangle _ { \mathcal { Q } _ { 0 } } } & { = \frac { 1 } { 2 } \left( \langle \mathcal { J } _ { 0 } \mathcal { Q } _ { 0 } x , \mathcal { Q } _ { 0 } x \rangle _ { L ^ { 2 } } + \langle \mathcal { Q } _ { 0 } x , \mathcal { J } _ { 0 } \mathcal { Q } _ { 0 } x \rangle _ { L ^ { 2 } } \right) } \\ & { = \langle e _ { \partial } , f _ { \partial } \rangle _ { 2 } - e _ { I } f _ { I } } \\ & { = \lambda _ { x } ^ { \top } ( - I + V ^ { \top } V ) \lambda _ { x } - e _ { I } f _ { I } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } { \overline { { W } } } _ { f i } } { \mathrm { d } u \mathrm { d } t } } & { = } & { 8 W _ { R } \left\{ - ( 1 + u ) \mathrm { I n t K } _ { \frac { 1 } { 3 } } ( u ^ { \prime } ) + ( 2 + 2 u + u ^ { 2 } ) \mathrm { K } _ { \frac { 2 } { 3 } } ( u ^ { \prime } ) \right. } \\ & { } & { \left. - u { \bf S } _ { i } \cdot \left[ { \bf n } \times \hat { { \bf a } } \right] \mathrm { K } _ { \frac { 1 } { 3 } } ( u ^ { \prime } ) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { l , 1 } ^ { T } \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { \Theta _ { l + 1 , t _ { l } } } & { \dots } & { \Theta _ { l + 1 , t _ { c } } } \end{array} \right] ^ { T } } & { L ^ { T } L \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { \Theta _ { l + 1 , t _ { l } } } & { \dots } & { \Theta _ { l + 1 , t _ { c } } } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l } { 0 _ { l + 1 } } \\ { \Theta _ { l + 1 , t } } \end{array} \right] ^ { T } L ^ { T } L \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { \Theta _ { l + 1 , t _ { l } } } & { \dots } & { \Theta _ { l + 1 , t _ { c } } } \end{array} \right] } \\ & { = z _ { t } ^ { T } [ z _ { t _ { 1 } } \dots z _ { t _ { c } } ] } \\ & { = \bar { \gamma } _ { l , 1 } ^ { T } [ z _ { t _ { 1 } } \dots z _ { t _ { c } } ] ^ { T } [ z _ { t _ { 1 } } \dots z _ { t _ { c } } ] } \\ & { = \bar { \gamma } _ { l , 1 } ^ { T } \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { \Theta _ { l + 1 , t _ { l } } } & { \dots } & { \Theta _ { l + 1 , t _ { c } } } \end{array} \right] ^ { T } L ^ { T } L \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { \Theta _ { l + 1 , t _ { l } } } & { \dots } & { \Theta _ { l + 1 , t _ { c } } } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } \cap B _ { 1 } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 \leq x \leq \frac { \sigma ^ { 2 m } r } { 2 } \qquad \textrm { i f } 0 \leq z \leq \frac { \sigma } { 2 } } \\ { 0 \leq x \leq \left( \frac { \sigma ^ { 2 m } r } { 2 } - \sigma z \right) \left( 1 - \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 ( m - 1 ) } r } \right) ^ { - 1 } \qquad \textrm { i f } \frac { \sigma } { 2 } \leq z \leq \frac { \sigma ^ { 2 m - 1 } r } { 2 } } \\ { - \sigma z \left( 1 - \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 ( m - 1 ) } r } \right) ^ { - 1 } \leq x \leq \frac { \sigma ^ { 2 m } r } { 2 } \qquad \textrm { i f } \frac { \sigma } { 2 } - \frac { \sigma ^ { 2 m - 1 } r } { 2 } \leq z \leq 0 } \end{array} \right. , } \\ { A _ { 1 } \cap B _ { 2 } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 \leq x \leq \frac { \sigma ^ { 2 m } r } { 2 } \qquad \textrm { i f } - \frac { \sigma ^ { 2 m - 1 } r } { 2 } \leq z \leq \frac { \sigma } { 2 } - \frac { \sigma ^ { 2 m - 1 } r } { 2 } } \\ { 0 \leq x \leq - \sigma z \left( 1 - \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 ( m - 1 ) } r } \right) ^ { - 1 } \qquad \textrm { i f } \frac { \sigma } { 2 } - \frac { \sigma ^ { 2 m - 1 } r } { 2 } \leq z \leq 0 } \\ { - \left( \frac { \sigma ^ { 2 m } r } { 2 } + \sigma z \right) \left( 1 - \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 ( m - 1 ) } r } \right) ^ { - 1 } \leq x \leq \frac { \sigma ^ { 2 m } r } { 2 } \qquad \textrm { i f } \frac { \sigma } { 2 } - \sigma ^ { 2 m - 1 } r \leq z \leq - \frac { \sigma ^ { 2 m - 1 } r } { 2 } } \end{array} \right. , } \end{array}
{ \mathcal { R } } _ { \mathrm { s t a b } , n } ( \boldsymbol { \sigma } , \boldsymbol { w } _ { 2 } ; \, \boldsymbol { z } ) : = \int _ { 0 } ^ { t _ { n + 1 } } ( \boldsymbol { f } , \boldsymbol { z } ) \, \mathrm { d } t + \int _ { 0 } ^ { t _ { n + 1 } } \mathcal { F } ( \boldsymbol { w } _ { 2 } ; \, \boldsymbol { z } ) \, \mathrm { d } t + ( \boldsymbol { \sigma } , \boldsymbol { z } _ { + } ^ { 0 } ) \, .
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } _ { Q } j _ { \pm \rho } ^ { \mathrm { \, } } } & { = \partial _ { Q } j _ { \pm \rho } ^ { \mathrm { \, } } + \mathrm { d } _ { Q } \boldsymbol { y } \cdot \partial _ { \boldsymbol { y } } j _ { \pm \rho } ^ { \mathrm { \, } } = \left( \frac { S _ { \pm \rho } ^ { X } } { Q } + \sum _ { Y _ { \sigma } \in Y } \left( { S ^ { Y } } \right) _ { \pm \rho } ^ { \sigma } \, \frac { \mathrm { d } _ { Q } y _ { \sigma } } { y _ { \sigma } } \right) \, j _ { \pm \rho } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | I _ { 0 } ( e ^ { \prime } ) | } & { \leq \sum _ { x \in [ 0 , 1 ] } | \psi ( x ) | \operatorname* { s u p } _ { x \in \Delta _ { \ast } f ( [ 0 , 1 ] ) } | e ^ { \prime } ( x ) | \leq \| \psi \| _ { \ell ^ { 1 } } \operatorname* { s u p } _ { x \in \overline { { \operatorname { a c x } } } ( \overline { { \Delta _ { \ast } f ( [ 0 , 1 ] ) } } ) } | e ^ { \prime } ( x ) | } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial \boldsymbol { \mu } _ { v _ { k } \to c _ { p } } } { \partial \ensuremath { \mathbf { r } } _ { j } ( h ) } = \frac { \partial } { \partial \ensuremath { \mathbf { r } } _ { j } ( h ) } \frac { \operatorname * { \bigcirc } _ { c _ { \xi } \in N _ { 0 } ( v _ { k } ) \setminus c _ { p } } \boldsymbol { \mu } _ { c _ { \xi } \to v _ { k } } } { \left\| \operatorname * { \bigcirc } _ { c _ { \xi } \in N _ { 0 } ( v _ { k } ) \setminus c _ { p } } \boldsymbol { \mu } _ { c _ { \xi } \to v _ { k } } \right\| _ { 1 } } } \\ & { = \frac { \frac { \partial \boldsymbol { \mu } _ { c _ { \varrho } \to v _ { k } } } { \partial \ensuremath { \mathbf { r } } _ { j } ( h ) } \circ \left( \operatorname * { \bigcirc } _ { c _ { \xi } \in N _ { 0 } ( v _ { k } ) \setminus c _ { p } , c _ { \varrho } } \boldsymbol { \mu } _ { c _ { \xi } \to v _ { k } } \right) } { \left\langle \boldsymbol { \mu } _ { c _ { \varrho } \to v _ { k } } , \operatorname * { \bigcirc } _ { c _ { \xi } \in N _ { 0 } ( v _ { k } ) \setminus c _ { p } , c _ { \varrho } } \boldsymbol { \mu } _ { c _ { \xi } \to v _ { k } } \right\rangle } } \\ & { - \boldsymbol { \mu } _ { v _ { k } \to c _ { p } } \frac { \left\langle \frac { \partial \boldsymbol { \mu } _ { c _ { \varrho } \to v _ { k } } } { \partial \ensuremath { \mathbf { r } } _ { j } ( h ) } , \operatorname * { \bigcirc } _ { c _ { \xi } \in N _ { 0 } ( v _ { k } ) \setminus c _ { p } , c _ { \varrho } } \boldsymbol { \mu } _ { c _ { \xi } \to v _ { k } } \right\rangle } { \left\langle \boldsymbol { \mu } _ { c _ { \varrho } \to v _ { k } } , \operatorname * { \bigcirc } _ { c _ { \xi } \in N _ { 0 } ( v _ { k } ) \setminus c _ { p } , c _ { \varrho } } \boldsymbol { \mu } _ { c _ { \xi } \to v _ { k } } \right\rangle } } \\ & { = \frac { 1 } { \tau ^ { 2 } } \frac { \boldsymbol { \nu } \circ \left( \operatorname * { \bigcirc } _ { c _ { \xi } \in N _ { 0 } ( v _ { k } ) \setminus c _ { p } , c _ { \varrho } } \boldsymbol { \mu } _ { c _ { \xi } \to v _ { k } } \right) } { \left\langle \boldsymbol { \mu } _ { c _ { \varrho } \to v _ { k } } , \operatorname * { \bigcirc } _ { c _ { \xi } \in N _ { 0 } ( v _ { k } ) \setminus c _ { p } , c _ { \varrho } } \boldsymbol { \mu } _ { c _ { \xi } \to v _ { k } } \right\rangle } } \\ & { - \frac { 1 } { \tau ^ { 2 } } \boldsymbol { \mu } _ { v _ { k } \to c _ { p } } \frac { \left\langle \boldsymbol { \nu } , \operatorname * { \bigcirc } _ { c _ { \xi } \in N _ { 0 } ( v _ { k } ) \setminus c _ { p } , c _ { \varrho } } \boldsymbol { \mu } _ { c _ { \xi } \to v _ { k } } \right\rangle } { \left\langle \boldsymbol { \mu } _ { c _ { \varrho } \to v _ { k } } , \operatorname * { \bigcirc } _ { c _ { \xi } \in N _ { 0 } ( v _ { k } ) \setminus c _ { p } , c _ { \varrho } } \boldsymbol { \mu } _ { c _ { \xi } \to v _ { k } } \right\rangle } } \\ & { = \frac { 1 } { \tau ^ { 2 } } \left( \boldsymbol { \nu } _ { v _ { k } \to c _ { p } } - \left\| \boldsymbol { \nu } _ { v _ { k } \to c _ { p } } \right\| _ { 1 } \boldsymbol { \mu } _ { v _ { k } \to c _ { p } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left( \operatorname* { m a x } _ { i \in \{ 1 , 2 , \cdots , M \} } \| x _ { i } \| _ { \Sigma } \leq c \sqrt { d \nu ( \delta / M ) \log ( d M / \delta ) } \right) } & { = \mathbb { P } \left( \bigcap _ { i \in \{ 1 , 2 , \cdots , M \} } \| x _ { i } \| _ { \Sigma } \leq c \sqrt { d \nu ( \delta / M ) \log ( d M / \delta ) } \right) } \\ & { = 1 - \mathbb { P } \left( \bigcup _ { i \in \{ 1 , 2 , \cdots , M \} } \| x _ { i } \| _ { \Sigma } > c \sqrt { d \nu ( \delta / M ) \log ( d M / \delta ) } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } } & { \leq \frac { \Delta ^ { ' } } { \bar { \gamma } T } + \left( \frac { C _ { \gamma } ^ { ' } ( \Delta ^ { ' } ) ^ { 2 } } { T ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 3 } + \frac { 1 8 L ^ { 2 } \Delta _ { u } } { \mu \tau T } + \frac { \sigma ^ { 2 } } { b _ { x } M } + \frac { 7 2 \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } b _ { y } M } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { x _ { k + 1 } = \mathtt { g e n \mathrm { - } g r a d } ( y _ { k } , 1 / L ) } \\ { t _ { k + 1 } ^ { 2 } = ( 1 - t _ { k } ) t _ { k } ^ { 2 } + \frac { \mu } { L } t _ { k + 1 } } \\ { \beta _ { k } = \frac { t _ { k } ( 1 - t _ { k } ) } { t _ { k } ^ { 2 } + t _ { k + 1 } } } \\ { y _ { k + 1 } = x _ { k + 1 } + \beta _ { k } ( x _ { k + 1 } - x _ { k } ) \ . } \end{array} \right.
I _ { \mathbf { w } , v } ( y , z ) : = e ^ { \left( \sum _ { a = 1 } ^ { \boldsymbol { \kappa } } ( \log y _ { a } ) \iota _ { v } ^ { * } p _ { a } \right) / z } \sum _ { \substack { \beta \in \mathbb { K } ^ { \mathrm { e f f } } \, v ( \beta ) = v } } y ^ { \beta } \frac { 1 } { e _ { \mathbb { C } _ { q } ^ { * } } ( \widetilde { N } _ { \beta } ^ { \mathrm { v i r } } ) } \cdot \mathrm { t d } \mathrm { c h } _ { \mathscr { Z } _ { \zeta , v } } ^ { \mathscr { X } _ { \zeta , v } } ( \mathbb { K } _ { \beta } ) .
\begin{array} { r } { \sum _ { \alpha _ { M } = 1 } ^ { d _ { M } ^ { 2 } - 1 } \widetilde { \Lambda } _ { \alpha _ { M } , \alpha _ { M } } = \sum _ { \alpha _ { M } = 1 } ^ { d _ { M } ^ { 2 } - 1 } \sum _ { \alpha _ { L } = 1 } ^ { d _ { L } ^ { 2 } } \widetilde { \Gamma } _ { ( \alpha _ { L } , \alpha _ { M } ) , ( \alpha _ { L } , \alpha _ { M } ) } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } [ \| Z ^ { D } - \mathbb { E } [ Z | \tilde { Z } ] \| _ { K } ^ { 2 } ] } & { = } & { \mathbb { E } [ \| P ^ { D } ( \mathbb { E } [ Z | \tilde { Z } ^ { D } ] - \mathbb { E } [ Z | \tilde { Z } ] ) \| _ { K } ^ { 2 } ] + \mathbb { E } [ \| ( I - P ^ { D } ) \mathbb { E } [ Z | \tilde { Z } ] \| _ { K } ^ { 2 } ] } \\ & { \leqslant } & { \mathbb { E } [ \| \mathbb { E } [ Z | \tilde { Z } ^ { D } ] - \mathbb { E } [ Z | \tilde { Z } ] \| _ { K } ^ { 2 } ] + \mathbb { E } [ \| ( I - P ^ { D } ) \mathbb { E } [ Z | \tilde { Z } ] \| _ { K } ^ { 2 } ] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | z _ { j _ { 1 } } \ldots z _ { j _ { m } } | ^ { 1 / m } \leq \frac { 1 } { m } ( | z _ { j _ { 1 } } | + \ldots + | z _ { j _ { m } } | ) } \\ & { \leq \frac { 1 } { m } \| ( \underbrace { 1 , \ldots , 1 } _ { m } , 0 , \ldots ) \| _ { X _ { n } ^ { \prime } } \| ( z _ { j _ { 1 } } , \ldots , z _ { j _ { m } } , 0 \ldots ) \| _ { X _ { n } } } \\ & { \leq \frac { 1 } { m } \| ( \underbrace { 1 , \ldots , 1 } _ { m } , 0 , \ldots ) \| _ { X _ { n } ^ { \prime } } \| ( z _ { 1 } , \ldots , z _ { n } , 0 \ldots ) \| _ { X _ { n } } \leq \frac { 1 } { m } \frac { m } { \varphi _ { X _ { n } } ( m ) } = \frac { 1 } { \varphi _ { X _ { n } } ( m ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { K } _ { i , k , l } ^ { 1 } ( { \boldsymbol { \theta } } , { \boldsymbol { \eta } } ) } & { = - q _ { i , k , l } ^ { 1 } \left( { \boldsymbol { \theta } } , { \boldsymbol { \eta } } \right) + m _ { i , k , l } ^ { 1 } \left( { \boldsymbol { \theta } } , { \boldsymbol { \eta } } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 8 \pi } \frac { \delta _ { k , l } } { | { \boldsymbol { \theta } } - { \boldsymbol { \eta } } | ^ { 2 } } \frac { \partial \boldsymbol { X } ( { \boldsymbol { \eta } } ) } { \partial \eta _ { i } } \cdot \bigg ( \frac { E ^ { { \boldsymbol { \eta } } } \boldsymbol { X } ( { \boldsymbol { \theta } } ) } { | \Delta _ { { \boldsymbol { \eta } } } \boldsymbol { X } ( { \boldsymbol { \theta } } ) | ^ { 3 } } } \\ & { \qquad - ( ( \widehat { { \boldsymbol { \theta } } - { \boldsymbol { \eta } } } ) \cdot \nabla \boldsymbol { X } ( { \boldsymbol { \eta } } ) ) \Big ( \frac { 1 } { | \Delta _ { { \boldsymbol { \eta } } } \boldsymbol { X } ( { \boldsymbol { \theta } } ) | ^ { 3 } } - \frac { 1 } { | ( \widehat { { \boldsymbol { \theta } } - { \boldsymbol { \eta } } } ) \cdot \nabla \boldsymbol { X } ( { \boldsymbol { \eta } } ) | ^ { 3 } } \Big ) \bigg ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | T ^ { - 1 } ( r , r + x ) | } & { \leq \frac { 1 } { T ( r + x , r + x ) } \sum _ { j = r } ^ { r + x - 1 } | T ^ { - 1 } ( r , j ) | \cdot | T ( j , r + x ) | } \\ & { \leq \frac { 1 } { \alpha } \left( \frac { \sigma } { \alpha } + \sum _ { j = r + 1 } ^ { r + x - 1 } \gamma _ { j - r } \cdot \sigma \right) } \\ & { = \frac { \sigma } { \alpha } \left( \frac { 1 } { \alpha } + \sum _ { j - r = 1 } ^ { j - r = x - 1 } \gamma _ { j - r } \right) } \\ & { = \frac { \sigma } { \alpha } \left( \frac { 1 } { \alpha } + \sum _ { l = 1 } ^ { l = k } \gamma _ { l } \right) } \\ & { = \frac { \sigma } { \alpha } \left( \frac { 1 } { \alpha } + \sum _ { l = 1 } ^ { l = k } \frac { \sigma } { \alpha ^ { 2 } } \left( 1 + \frac { \sigma } { \alpha } \right) ^ { l - 1 } \right) } \\ & { = \frac { \sigma } { \alpha } \left( \frac { 1 } { \alpha } + \frac { \sigma } { \alpha ^ { 2 } } \frac { ( 1 + \frac { \sigma } { \alpha } ) ^ { k } - 1 } { ( 1 + \frac { \sigma } { \alpha } ) - 1 } \right) } \\ & { = \frac { \sigma } { \alpha ^ { 2 } } \left( 1 + \frac { \sigma } { \alpha } \right) ^ { k } } \\ & { = \gamma _ { k + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| I _ { \theta } ( Q { \mathcal P } ) - I _ { \theta ^ { \prime } } ( Q { \mathcal P } ) \right| = \left| \int _ { \mathcal Z } t _ { \theta } ^ { 2 } ( z ) q _ { \theta } ( z ) - t _ { \theta ^ { \prime } } ^ { 2 } ( z ) q _ { \theta ^ { \prime } } ( z ) \nu ( d z ) \right| } \\ & { \quad \le \int _ { \mathcal Z } | t _ { \theta } ^ { 2 } ( z ) - t _ { \theta ^ { \prime } } ^ { 2 } ( z ) | { q } _ { \theta } ( z ) \nu ( d z ) + \int _ { \mathcal Z } t _ { \theta ^ { \prime } } ^ { 2 } ( z ) | { q } _ { \theta } ( z ) - q _ { \theta ^ { \prime } } ( z ) | \nu ( d z ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \chi _ { L [ n ] } = ( - 1 ) ^ { n } \chi _ { L } , \ \chi _ { L ( \frac { n } { 2 } ) } = \sqrt { q } ^ { - n } \chi _ { L } , \ \chi _ { L \boxtimes L ^ { \prime } } = \chi _ { L } \otimes \chi _ { L ^ { \prime } } , } \\ & { \chi _ { f _ { ! } ( L ) } = f _ { ! } ( \chi _ { L } ) , \ \chi _ { f ^ { * } ( L ^ { \prime } ) } = f ^ { * } ( \chi _ { L ^ { \prime } } ) . } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l } { V _ { 1 } } \\ { V _ { 2 } } \\ { V _ { 3 } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { Z _ { 1 1 } } & { Z _ { 1 2 } } & { Z _ { 1 3 } } \\ { Z _ { 2 1 } } & { Z _ { 2 2 } } & { Z _ { 2 3 } } \\ { Z _ { 3 1 } } & { Z _ { 3 2 } } & { Z _ { 3 3 } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { I _ { 1 } } \\ { I _ { 2 } } \\ { I _ { 3 } } \end{array} \right] }
\tilde { \alpha } = \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { 1 - \theta } { \sqrt { \frac { \bar { \tau } _ { - 1 } } { \kappa _ { l } } } \kappa _ { \mathrm { F O } } + \frac { L } { 2 \kappa _ { l } } + \frac { \Gamma } { 2 \bar { \tau } _ { \operatorname* { m i n } } \kappa _ { l } } } , \frac { 2 \bar { \tau } _ { \operatorname* { m i n } } \kappa _ { l } \left( 1 - \theta - \eta \sqrt { \frac { \bar { \tau } _ { - 1 } } { \kappa _ { l } } } \operatorname* { m a x } \left\{ \sqrt { \frac { 1 + \epsilon _ { \tau } \omega _ { 2 } } { 1 - \eta \omega _ { 5 } } } , \frac { 1 } { \sqrt { 1 - \eta \omega _ { 6 } } } \right\} \right) } { \bar { \tau } _ { \operatorname* { m i n } } L + \Gamma } \right\}
\begin{array} { r } { ( \rho , U , V , p ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 . 5 , 0 , 0 , 1 . 5 ) , } & { x > 0 . 5 , y > 0 . 5 , } \\ { ( 0 . 5 3 2 3 , 1 . 2 0 6 , 0 , 0 . 3 ) , } & { x < 0 . 5 , y > 0 . 5 , } \\ { ( 0 . 1 3 8 , 1 . 2 0 6 , 1 . 2 0 6 , 0 . 0 2 9 ) , } & { x < 0 . 5 , y < 0 . 5 , } \\ { ( 0 . 5 3 2 3 , 0 , 1 . 2 0 6 , 0 . 3 ) , } & { x > 0 . 5 , y < 0 . 5 . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { L ( X , \dot { X } ) } & { = \frac { 1 } { 2 } ( ( \frac { \dot { X } - F } { \Sigma } ) ^ { 2 } + \mathtt { d i v } F ( X ) ) . } \\ { \mathtt { d i v } F ( X ) } & { = \frac { \partial { f _ { 1 } } } { \partial { x } } + \frac { \partial { f _ { 2 } } } { \partial { y } } + \frac { \partial { f _ { 3 } } } { \partial { z } } } \\ & { = - D - \frac { b } { a } y + \alpha \frac { b } { a } x - D _ { 1 } - z \frac { c } { ( 1 + d y ) ^ { 2 } } + \beta \frac { c y } { 1 + d y } - D _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle \nabla f ( { x } ^ { t , M } ) , { v } ^ { j _ { 1 } } - { v } ^ { j _ { 2 } } \rangle } \\ { = \ } & { \langle \nabla f ( { x } ^ { t , M } ) , { v } ^ { j _ { 1 } } - { x } ^ { t , j _ { 1 } } \rangle + \langle \nabla f ( { x } ^ { t , M } ) , { x } ^ { t , j _ { 1 } } - { x } ^ { t , j _ { 2 } } \rangle + \langle \nabla f ( { x } ^ { t , M } ) , { x } ^ { t , j _ { 2 } } - { v } ^ { j _ { 2 } } \rangle } \\ { = \ } & { J _ { 1 } + J _ { 2 } + J _ { 3 } + J _ { 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Big \| \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { i ( t - t ^ { \prime } ) \Delta } } & { S ( u ) ( t ^ { \prime } ) \, d t ^ { \prime } \Big \| _ { X ^ { 0 , b _ { 0 } } ( T ) } } \\ & { \lesssim _ { T } \| ( I - \Pi _ { \tau } ) u \| _ { X ^ { 0 , b _ { 0 } } ( T ) } \| u \| _ { X ^ { s _ { 0 } , b _ { 0 } } ( T ) } ^ { 2 } + \| ( I - \Pi _ { \tau } ) ( | u | ^ { 2 } u ) \| _ { X ^ { 0 , - b ^ { \prime } } ( T ) } } \\ & { \lesssim _ { T } \tau ^ { { \frac { s _ { 0 } } { 2 } } } \| u \| _ { X ^ { s _ { 0 } , b _ { 0 } } ( T ) } ^ { 3 } + \tau ^ { { \frac { s _ { 0 } } { 2 } } } \| | u | ^ { 2 } u \| _ { X ^ { s _ { 0 } , - b ^ { \prime } } ( T ) } \lesssim _ { T } \tau ^ { { \frac { s _ { 0 } } { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { Y _ { i } ^ { ( 1 ) } } & { = X _ { i 1 } ^ { 2 } - 0 . 5 \cdot X _ { i 1 } + X _ { i 2 } + X _ { i 3 } ^ { 2 } - 0 . 5 \cdot X _ { i 4 } + X _ { i 5 } + \epsilon _ { i 1 } , } \\ { Y _ { i } ^ { ( 2 ) } } & { = 4 + X _ { i 1 } + X _ { i 2 } + X _ { i 3 } + 0 . 5 \cdot X _ { i 4 } - X _ { i 5 } + \epsilon _ { i 2 } , } \end{array}
\mathcal { L } ( \boldsymbol { \phi } _ { m } ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { B U } \sum _ { b = 1 } ^ { B } \sum _ { u = 1 } ^ { U } \operatorname* { m a x } \left[ \left( V _ { \boldsymbol { \phi } _ { m } ^ { \prime } } \left( s _ { u } ^ { b } \right) - \hat { r } ^ { b } \right) ^ { 2 } , \left( \operatorname { c l i p } \left( V _ { \boldsymbol { \phi } _ { m } ^ { \prime } } \left( s _ { u } ^ { b } \right) , V _ { \boldsymbol { \phi } _ { m , \mathrm { o l d ~ } } ^ { \prime } } \left( s _ { u } ^ { b } \right) - \varepsilon , V _ { \boldsymbol { \phi } _ { m , \mathrm { o l d ~ } } ^ { \prime } } \left( s _ { u } ^ { b } \right) + \varepsilon \right) - \hat { r } ^ { b } \right) ^ { 2 } \right]
\begin{array} { r l } { \left\vert I _ { \Gamma _ { 1 } } \right\vert } & { \leqslant \int _ { 0 } ^ { p _ { 0 } } \frac { 1 } { \left\vert p + \mathrm { i } R \right\vert ^ { 1 - \xi } } \frac { \left\vert \phi _ { \varepsilon } \left( p + \mathrm { i } R \right) \right\vert } { \left\vert \phi _ { \sigma } \left( p + \mathrm { i } R \right) \right\vert } \mathrm { e } ^ { p t } \mathrm { d } p } \\ & { \leqslant \int _ { 0 } ^ { p _ { 0 } } \frac { 1 } { R ^ { 1 - \xi } \left\vert 1 - \mathrm { i } \frac { p } { R } \right\vert ^ { 1 - \xi } } \frac { \left\vert \phi _ { \varepsilon } \left( p + \mathrm { i } R \right) \right\vert } { \left\vert \phi _ { \sigma } \left( p + \mathrm { i } R \right) \right\vert } \mathrm { e } ^ { p t } \mathrm { d } p } \\ & { \leqslant \int _ { 0 } ^ { p _ { 0 } } \frac { 1 } { R ^ { 1 - \xi } } \frac { \left\vert \phi _ { \varepsilon } \left( p + \mathrm { i } R \right) \right\vert } { \left\vert \phi _ { \sigma } \left( p + \mathrm { i } R \right) \right\vert } \mathrm { e } ^ { p t } \mathrm { d } p } \\ & { \leqslant \int _ { 0 } ^ { p _ { 0 } } \frac { 1 } { R ^ { 1 - \xi - \zeta _ { R } } } \mathrm { e } ^ { p t } \mathrm { d } p \rightarrow 0 , \quad \mathrm { f o r } \quad R \rightarrow \infty , } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { j } ^ { + } } & { = \frac { j } { 2 } \left( 1 - \frac { j } { N } \right) \left( 1 - 2 \varepsilon ^ { 2 } \frac { j } { N } - \varepsilon \left( 1 - 2 q \right) \right) , } \\ { W _ { j } ^ { - } } & { = \frac { j } { 2 } \left( 1 - \frac { j } { N } \right) \left( 1 - 2 \varepsilon ^ { 2 } \left( 1 - \frac { j } { N } \right) + \varepsilon \left( 1 - 2 q \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathfrak { F } _ { d , \pm } : = \| g _ { \pm } \| _ { d } + \| g _ { \pm } ^ { \prime } \| _ { d } / | \log \alpha | \quad \mathrm { a n d } \quad \mathfrak { G } _ { d , \pm } : = \| g _ { \pm } ^ { \prime } \| _ { d } + \| g _ { \pm } ^ { \prime \prime } \| _ { d } / | \log \alpha | , \quad \mathrm { f o r ~ } d = 0 , c . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \partial \eta } { \partial \theta _ { 1 } } = - \frac { \partial \eta } { \partial U _ { 1 } } \frac { a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { 1 } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { 1 } ) } - \frac { \partial \eta } { \partial U _ { 2 } } \frac { a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { 2 } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { 2 } ) } - \frac { \partial \eta } { \partial U _ { 3 } } \frac { a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { 3 } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { 3 } ) } - \frac { \partial \eta } { \partial U _ { 4 } } \frac { a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { 4 } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { 4 } ) } = 0 } \\ { \frac { \partial \eta } { \partial \theta _ { 2 } } = - \frac { \partial \eta } { \partial U _ { 1 } } \frac { a _ { \theta _ { 2 } } ( \theta , U _ { 1 } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { 1 } ) } - \frac { \partial \eta } { \partial U _ { 2 } } \frac { a _ { \theta _ { 2 } } ( \theta , U _ { 2 } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { 2 } ) } - \frac { \partial \eta } { \partial U _ { 3 } } \frac { a _ { \theta _ { 2 } } ( \theta , U _ { 3 } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { 3 } ) } - \frac { \partial \eta } { \partial U _ { 4 } } \frac { a _ { \theta _ { 2 } } ( \theta , U _ { 4 } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { 4 } ) } = 0 } \\ { \frac { \partial \eta } { \partial \theta _ { 3 } } = - \frac { \partial \eta } { \partial U _ { 1 } } \frac { a _ { \theta _ { 3 } } ( \theta , U _ { 1 } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { 1 } ) } - \frac { \partial \eta } { \partial U _ { 2 } } \frac { a _ { \theta _ { 3 } } ( \theta , U _ { 2 } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { 2 } ) } - \frac { \partial \eta } { \partial U _ { 3 } } \frac { a _ { \theta _ { 3 } } ( \theta , U _ { 3 } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { 3 } ) } - \frac { \partial \eta } { \partial U _ { 4 } } \frac { a _ { \theta _ { 3 } } ( \theta , U _ { 4 } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { 4 } ) } = 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } ^ { p } } \frac { 1 } { h _ { 1 } ^ { p } } \mathcal { K } ( \frac { x - X _ { t } } { h _ { 1 } } ) \frac { 1 } { h _ { 2 } ^ { p } } \mathcal { K } ( \frac { x - X _ { t } } { h _ { 2 } } ) d x = } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { p } } \frac { 1 } { h _ { 1 } ^ { p } } \mathcal { K } ( v \frac { h _ { 2 } } { h _ { 1 } } ) \mathcal { K } ( v ) d v . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { P } _ { p , q , r } ^ { \mathrm { \Lambda } } } & { = } & { \left\lbrace \begin{array} { l l l } { ( \mathcal { G } _ { p , q , r } ^ { ( 0 ) \times } \cup \mathcal { G } _ { p , q , r } ^ { ( 1 ) \times } ) ( \mathcal { G } ^ { 0 } \oplus \mathcal { G } _ { p , q , r } ^ { n } ) ^ { \times } \mathrm { \Lambda } _ { r } ^ { \times } , } & { \quad } & { \mathrm { ~ n ~ i s ~ o d d } , } \\ { ( \mathcal { G } _ { p , q , r } ^ { ( 0 ) \times } \cup \mathcal { G } _ { p , q , r } ^ { ( 1 ) \times } ) \mathrm { \Lambda } _ { r } ^ { \times } , } & { \quad } & { \mathrm { ~ n ~ i s ~ e v e n } , } \end{array} \right. } \\ & { = } & { \left\lbrace \begin{array} { l l l } { \{ T \in \mathcal { G } _ { p , q , r } ^ { \times } : \; \; \widehat { T ^ { - 1 } } T \in ( \mathrm { \Lambda } _ { r } \oplus \mathcal { G } _ { p , q , r } ^ { n } ) ^ { \times } \} , \! \! \! \! \! } & & { \mathrm { ~ n ~ i s ~ o d d } , } \\ { \{ T \in \mathcal { G } _ { p , q , r } ^ { \times } : \; \; \widehat { T ^ { - 1 } } T \in \mathrm { \Lambda } _ { r } ^ { \times } \} , \! \! \! \! \! } & & { \mathrm { ~ n ~ i s ~ e v e n } , } \end{array} \right. } \\ & { = } & { \{ T \in \mathcal { G } _ { p , q , r } ^ { \times } : \quad \widehat { T ^ { - 1 } } T \in ( \mathrm { \Lambda } _ { r } \oplus \mathcal { G } _ { p , q , r } ^ { n } ) ^ { \times } \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \Psi _ { \mathrm { T F D } } ( \beta _ { 2 } ) | { \sf a } ^ { \dagger } { \sf a } | \Psi _ { \mathrm { T F D } } ( \beta _ { 2 } ) \rangle } & { = \langle \Psi _ { \mathrm { T F D } } ( \beta _ { 1 } ) | { \sf a } ^ { \dagger } \exp ( - ( \beta _ { 2 } - \beta _ { 1 } ) H _ { L } ) { \sf a } | \Psi _ { \mathrm { T F D } } ( \beta _ { 1 } ) \rangle } \\ & { \leq \langle \Psi _ { \mathrm { T F D } } ( \beta _ { 1 } ) | { \sf a } ^ { \dagger } { \sf a } | \Psi _ { \mathrm { T F D } } ( \beta _ { 1 } ) \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { s } } & { = \frac { 1 } { \ln ( 2 ) } \left( \frac { \beta _ { B } ^ { 2 } \, P _ { s } } { N _ { o } } \right) ^ { - \frac { k _ { A } + m _ { A } } { 2 } } \frac { \Xi ^ { k _ { A } + m _ { A } } } { \Gamma \left( k _ { A } \right) \Gamma \left( m _ { A } \right) } \mathrm { G } _ { 2 , 4 } ^ { 4 , 1 } \left( \frac { \Xi ^ { 2 } \, N _ { o } } { \beta _ { B } ^ { 2 } \, P _ { s } } \left| \begin{array} { c } { - \frac { k _ { A } + m _ { A } } { 2 } , 1 - \frac { k _ { A } + m _ { A } } { 2 } } \\ { \frac { k _ { A } - m _ { A } } { 2 } , - \frac { k _ { A } - m _ { A } } { 2 } , - \frac { k _ { A } + m _ { A } } { 2 } , - \frac { k _ { A } + m _ { A } } { 2 } } \end{array} \right. \right) } \\ & { - \sum _ { l = 1 } ^ { L } \frac { a _ { l } ^ { ( 3 ) } \, c _ { 3 } ^ { - b _ { l } ^ { ( 3 ) } } } { \ln ( 2 ) } \mathrm { G } _ { 4 , 3 } ^ { 1 , 4 } \left( \frac { \beta _ { E } ^ { 2 } \, P _ { s } } { c _ { 3 } \, N _ { o } } \left| \begin{array} { c } { 0 , 0 , 1 - b _ { l } ^ { ( 3 ) } , - b _ { l } ^ { ( 3 ) } } \\ { 0 , - b _ { l } ^ { ( 3 ) } , - 1 } \end{array} \right. \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathcal { H } } ^ { 1 } ( J \cap ( Q _ { x , r } \setminus Q _ { x , r - s } ) ) } & { \geq \int _ { \partial ^ { * } E } \varphi _ { s } ( \nu _ { E } ) _ { 1 } \, d { \mathcal { H } } ^ { 1 } = \int _ { E } \partial _ { 1 } \varphi _ { s } \, d { \mathcal { H } } ^ { 1 } } \\ & { = \frac { 1 } { s } \int _ { E \cap C _ { p } } f _ { s } ( y _ { 2 } + r ) d y - \frac { 1 } { s } \int _ { E \cap C _ { q } } f _ { s } ( y _ { 2 } + r ) d y } \end{array}
\begin{array} { r l } { E \left[ \left| E \left[ P _ { k } ^ { i _ { 1 } } ( \theta _ { 0 } ) | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \right] \right| \right] } & { \leq \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \bigg [ ( s - t _ { k - 1 } ) \operatorname* { s u p } _ { t _ { k - 1 } \leq u \leq t _ { k } } E \left[ \left| X _ { u } \right| + \left| H ( X _ { u - \cdot } ) \right| \right] } \\ & { \qquad + \varepsilon \sqrt { s - t _ { k - 1 } } \operatorname* { s u p } _ { t _ { k - 1 } \leq u \leq t _ { k } } \left\{ E \left[ 1 + | X _ { u } | ^ { p } + | H ( X _ { u - \cdot } ) | ^ { p } \right] \right\} } \\ & { \qquad + \delta ( s - t _ { k - 1 } ) \operatorname* { s u p } _ { t _ { k - 1 } - \delta \leq u \leq t _ { k } } \left\{ E \left[ \left| X _ { u } \right| + \left| H ( X _ { u - \cdot } ) \right| \right] \right\} } \\ & { \qquad + \varepsilon \delta \sqrt { s - t _ { k - 1 } } \operatorname* { s u p } _ { t _ { k - 1 } - \delta \leq u \leq t _ { k } } \left\{ E \left[ 1 + | X _ { u } | ^ { p } + | H ( X _ { u - \cdot } ) | ^ { p } \right] \right\} \bigg ] \, \mathrm { d } s } \\ & { \leq n ^ { - 2 } \left( \operatorname* { s u p } _ { t _ { k - 1 } \leq u \leq t _ { k } } E \left[ \left| X _ { u } \right| + \left| H ( X _ { u - \cdot } ) \right| \right] + \delta \operatorname* { s u p } _ { t _ { k - 1 } - \delta \leq u \leq t _ { k } } \left\{ E \left[ \left| X _ { u } \right| + \left| H ( X _ { u - \cdot } ) \right| \right] \right\} \right) } \\ & { \quad + \varepsilon n ^ { - \frac { 3 } { 2 } } \bigg ( \operatorname* { s u p } _ { t _ { k - 1 } \leq u \leq t _ { k } } \left\{ E \left[ 1 + | X _ { u } | ^ { p } + | H ( X _ { u - \cdot } ) | ^ { p } \right] \right\} } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad + \delta \operatorname* { s u p } _ { t _ { k - 1 } - \delta \leq u \leq t _ { k } } \left\{ E \left[ 1 + | X _ { u } | ^ { p } + | H ( X _ { u - \cdot } ) | ^ { p } \right] \right\} \bigg ) } \end{array}
\oint _ { \partial \Sigma } { \mathbf { F } \cdot \, \mathrm { d } \mathbf { \gamma } } = \oint _ { \partial \Sigma } { \omega _ { \mathbf { F } } } = \int _ { \Sigma } { \mathrm { d } \omega _ { \mathbf { F } } } = \int _ { \Sigma } { \star \omega _ { \nabla \times \mathbf { F } } } = \iint _ { \Sigma } { \nabla \times \mathbf { F } \cdot \, \mathrm { d } \mathbf { \Sigma } }
\begin{array} { r } { \langle v \rangle ^ { q } \vert \Gamma ( f ) ( s ) \vert \leq C _ { q } \left( \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq s \leq t } \Vert f ( s ) \Vert _ { L _ { x , v } ^ { \infty , q } } \right) ^ { n } e ^ { C _ { q } ( \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq s \leq t } \Vert f ( s ) \Vert _ { L _ { x , v } ^ { \infty , q } } ) ^ { a } t } , \quad 0 \leq s \leq t , } \end{array}
\begin{array} { r l } { a } & { = \left\{ \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { - \frac { 1 } { 1 6 } } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { \frac { 3 } { 1 6 } } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 2 } } & { \frac { 3 } { 1 6 } } \\ { 0 } & { \frac { 3 } { 8 } } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { - \frac { 1 } { 1 6 } } \\ { \frac { 1 } { 2 } } & { \frac { 3 } { 8 } } \end{array} \right] \right\} _ { [ - 2 , 1 ] } , } \\ { b } & { = \left\{ \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { - \frac { 1 } { 3 2 } } \\ { 0 } & { - \frac { 1 } { 8 } } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { \frac { 3 } { 8 } } & { - \frac { 9 } { 3 2 } } \\ { - \frac { 3 } { 2 } } & { \frac { 1 5 } { 8 } } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 2 } } & { - \frac { 9 } { 3 2 } } \\ { 0 } & { - \frac { 1 5 } { 8 } } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { \frac { 3 } { 8 } } & { - \frac { 1 } { 3 2 } } \\ { \frac { 3 } { 2 } } & { \frac { 1 } { 8 } } \end{array} \right] \right\} _ { [ - 2 , 1 ] } , } \\ { \tilde { a } } & { = \left\{ \left[ \begin{array} { l l } { \frac { 3 } { 3 2 } } & { - \frac { 1 } { 8 } } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { - \frac { 3 } { 1 6 } } & { \frac { 3 } { 8 } } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { \frac { 1 1 } { 1 6 } } & { \frac { 3 } { 8 } } \\ { - \frac { 3 } { 3 2 } } & { \frac { 3 } { 8 } } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { - \frac { 3 } { 1 6 } } & { - \frac { 1 } { 8 } } \\ { \frac { 7 } { 1 6 } } & { \frac { 3 } { 8 } } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { \frac { 3 } { 3 2 } } & { 0 } \\ { - \frac { 3 } { 3 2 } } & { 0 } \end{array} \right] \right\} _ { [ - 2 , 2 ] } , } \\ { \tilde { b } } & { = \left\{ \left[ \begin{array} { l l } { - \frac { 3 } { 3 2 } } & { \frac { 1 } { 8 } } \\ { \frac { 3 } { 1 2 8 } } & { - \frac { 1 } { 3 2 } } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { \frac { 3 } { 1 6 } } & { - \frac { 3 } { 8 } } \\ { - \frac { 3 } { 6 4 } } & { \frac { 3 } { 3 2 } } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { \frac { 5 } { 1 6 } } & { - \frac { 3 } { 8 } } \\ { 0 } & { - \frac { 3 } { 3 2 } } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { \frac { 3 } { 1 6 } } & { \frac { 1 } { 8 } } \\ { \frac { 3 } { 6 4 } } & { \frac { 1 } { 3 2 } } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { - \frac { 3 } { 3 2 } } & { 0 } \\ { - \frac { 3 } { 1 2 8 } } & { 0 } \end{array} \right] \right\} _ { [ - 2 , 2 ] } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial Q _ { 1 1 } } { \partial t } } & { = } & { \xi _ { 1 } \left[ \pm Q _ { 1 1 } - ( Q _ { 1 1 } ^ { 2 } + Q _ { 1 2 } ^ { 2 } ) Q _ { 1 1 } + \nabla ^ { 2 } Q _ { 1 1 } \right] + c _ { 0 } ( P _ { 1 } ^ { 2 } - P _ { 2 } ^ { 2 } ) , } \\ { \frac { \partial Q _ { 1 2 } } { \partial t } } & { = } & { \xi _ { 1 } \left[ \pm Q _ { 1 2 } - ( Q _ { 1 1 } ^ { 2 } + Q _ { 1 2 } ^ { 2 } ) Q _ { 1 2 } + \nabla ^ { 2 } Q _ { 1 2 } \right] + 2 c _ { 0 } P _ { 1 } P _ { 2 } , } \\ { \frac { 1 } { \Gamma } \frac { \partial P _ { 1 } } { \partial t } } & { = } & { \xi _ { 2 } \bigg [ \left( \frac { \rho } { \rho _ { c } } - 1 - { \bf P } \cdot { \bf P } \right) P _ { 1 } - \frac { v _ { 1 } ^ { \prime } } { 2 \rho _ { 0 } } \nabla _ { x } \rho + \lambda _ { 1 } ^ { \prime } ( { \bf P } \cdot \nabla ) P _ { 1 } + \lambda _ { 2 } ^ { \prime } \nabla _ { x } ( | { \bf P } | ^ { 2 } ) } \\ & { } & { + \lambda _ { 3 } ^ { \prime } P _ { 1 } ( \nabla \cdot { \bf P } ) + \kappa ^ { \prime } \nabla ^ { 2 } P _ { 1 } \bigg ] + c _ { 0 } ( Q _ { 1 1 } P _ { 1 } + Q _ { 1 2 } P _ { 2 } ) , } \\ { \frac { 1 } { \Gamma } \frac { \partial P _ { 2 } } { \partial t } } & { = } & { \xi _ { 2 } \bigg [ \left( \frac { \rho } { \rho _ { c } } - 1 - { \bf P } \cdot { \bf P } \right) P _ { 2 } - \frac { v _ { 1 } ^ { \prime } } { 2 \rho _ { 0 } } \nabla _ { y } \rho + \lambda _ { 1 } ^ { \prime } ( { \bf P } \cdot \nabla ) P _ { 2 } + \lambda _ { 2 } ^ { \prime } \nabla _ { y } ( | { \bf P } | ^ { 2 } ) } \\ & { } & { + \lambda _ { 3 } ^ { \prime } P _ { 2 } ( \nabla \cdot { \bf P } ) + \kappa ^ { \prime } \nabla ^ { 2 } P _ { 2 } \bigg ] + c _ { 0 } ( Q _ { 1 2 } P _ { 1 } - Q _ { 1 1 } P _ { 2 } ) , } \\ { \frac { 1 } { \Gamma ^ { \prime } } \frac { \partial \rho } { \partial t } } & { = } & { - v _ { 0 } ^ { \prime } \nabla \cdot ( { \bf P } \rho ) + D _ { \rho } ^ { \prime } \nabla ^ { 2 } \rho . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \displaystyle \sum _ { j \in P } ( \xi _ { j e \ell } ^ { 0 } + \xi _ { j e \ell } ^ { 1 } ) } & { = 1 , \forall e \in E , \ \forall \ell \in Q \cup \{ 2 p \} , } \\ { \displaystyle \sum _ { \ell \in Q \cup \{ 2 p \} } \xi _ { j e \ell } ^ { s } } & { = 1 , \forall j \in P , \ \forall e \in E , \ s = 0 , 1 } \\ { \displaystyle \sum _ { j \in P } ( \lambda _ { j e } ^ { 0 } \xi _ { j e \ell } ^ { 0 } + \lambda _ { j e } ^ { 1 } \xi _ { j e \ell } ^ { 1 } ) } & { \leq \displaystyle \sum _ { j \in P } ( \lambda _ { j e } ^ { 0 } \xi _ { j e ( \ell + 1 ) } ^ { 0 } + \lambda _ { j e } ^ { 1 } \xi _ { j e ( \ell + 1 ) } ^ { 1 } ) , \forall e \in E , \ \forall \ell \in Q . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d ( 1 , C _ { h ^ { - 1 } } ( n ) ) = d ( 1 , C _ { h ^ { - 1 } } ( n ^ { - 1 } ) ) } & { = d ( 1 , \pi _ { N } ( C _ { h ^ { - 1 } } ( n ^ { - 1 } ) h ^ { - 1 } \ell ) ) } \\ & { \stackrel { ( 3 ) } { \leq } C _ { 3 } d ( 1 , C _ { h ^ { - 1 } } ( n ^ { - 1 } ) h ^ { - 1 } \ell ) } \\ & { = C _ { 3 } d ( 1 , { h ^ { - 1 } } n ^ { - 1 } \ell ) = C _ { 3 } d ( n h , \ell ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { h ( x , y ) } & { = } & { \sum _ { u = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \Omega ( u - j ) \sum _ { t = 0 } ^ { j } p ( j , t ) x ^ { u } y ^ { t } } \\ & { = } & { \sum _ { u = - \infty } ^ { \infty } x ^ { u } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \Omega ( u - j ) \sum _ { t = 0 } ^ { j } p ( j , t ) y ^ { t } } \\ & { = } & { \sum _ { u = - \infty } ^ { \infty } x ^ { u } \Omega ( u ) p ( 0 , 0 ) + } \\ & { } & { \sum _ { u = - \infty } ^ { \infty } x ^ { u } \Omega ( u - 1 ) [ p ( 1 , 0 ) + p ( 1 , 1 ) y ] + . . . + } \\ & { } & { \sum _ { u = - \infty } ^ { \infty } x ^ { u } \Omega ( u - k ) [ p ( k , 0 ) + p ( k , 1 ) y + . . . + p ( k , k ) y ^ { k } ] + . . . } \\ & { = } & { \sum _ { u = - \infty } ^ { \infty } x ^ { u } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \sum _ { s = 0 } ^ { \infty } \Omega ( u - s ) p ( s , j ) y ^ { j } } \\ & { = } & { \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \sum _ { s = 0 } ^ { \infty } \Omega ( i - s ) p ( s , j ) x ^ { i } y ^ { j } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \big | \{ \eta : | l _ { \mu , \nu } ( \xi , \eta ) | \leq 2 ^ { l } , | \eta | \sim 2 ^ { k _ { 2 } } , | \xi - \eta | \sim 2 ^ { k _ { 1 } } , | \xi | \sim 2 ^ { k } , | | \eta _ { 1 } | - c _ { 1 } ^ { 2 } | \xi _ { 1 } - \eta _ { 1 } | | \sim 2 ^ { b } \} \big | } \\ & { \lesssim \operatorname* { m i n } \{ 2 ^ { b } ( 2 ^ { - b + 2 k + l } ) ^ { 2 } , 2 ^ { b } 2 ^ { 2 k + l } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( 2 \delta _ { 1 / 4 } + \delta _ { 1 / 4 } ^ { \prime } ) \delta _ { 3 / 4 } + ( \delta _ { 1 / 4 } - 4 \delta _ { 1 / 4 } ^ { \prime } ) \delta _ { 3 / 4 } ^ { \prime } } \\ { = } & { \frac { 1 } { 2 0 } ( \delta _ { 1 / 4 } - \delta _ { 1 / 4 } ^ { \prime } ) [ \delta _ { 1 / 4 } ^ { 3 } + 2 \delta _ { 1 / 4 } ^ { 2 } \delta _ { 1 / 4 } ^ { \prime } } \\ & { + 3 \delta _ { 1 / 4 } ( \delta _ { 1 / 4 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + 4 ( \delta _ { 1 / 4 } ^ { \prime } ) ^ { 3 } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta ^ { k } ( ( x + e _ { j } - e _ { i } ) ^ { + } ) } & { \geq \Delta ^ { k } ( ( x - e _ { i } ) ^ { + } ) , } \\ { \Delta ^ { k } ( x + e _ { j } + e _ { m } ) } & { \geq \Delta ^ { k } ( x + e _ { m } ) , } \\ { \Delta ^ { k } ( x + e _ { j } + e _ { i } ) } & { \geq \Delta ^ { k } ( x + e _ { i } ) , } \\ { \Delta ^ { k } ( ( x - e _ { m } - e _ { i } ) ^ { + } ) } & { \geq \Delta ^ { k } ( ( x - e _ { i } ) ^ { + } ) , } \\ { \Delta ^ { k } ( x ) } & { \geq \Delta ^ { k } ( x + e _ { m } ) , } \\ { \Delta ^ { k } ( x - e _ { m } + e _ { i } ) } & { \geq \Delta ^ { k } ( x + e _ { i } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { p } ( t _ { 2 } ) \, \mathrm { d } v + c _ { 0 } \int _ { T _ { 2 } } ^ { t _ { 2 } } \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } \left\vert \nabla ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { \frac { p } { 2 } } \right\vert ^ { 2 } \langle v \rangle ^ { - 3 } \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } t \le \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { p } ( t _ { 1 } ) \, \mathrm { d } v + \int _ { T _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } R H S ( t ) \, \mathrm { d } t . } \end{array}
\left\vert \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\vert \sqrt { n } \hat { \theta } _ { i } \right\vert - \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\vert \boldsymbol { Z } _ { ( i ) } \right\vert \right\vert \leq \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\vert [ \boldsymbol { 0 } _ { k _ { \delta } } ^ { \prime } , 1 ] \mathcal { \hat { R } } _ { i } \right\vert + \left\vert \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\vert [ \boldsymbol { 0 } _ { k _ { \delta } } ^ { \prime } , 1 ] \mathcal { \hat { Z } } _ { ( i ) } \right\vert - \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\vert \boldsymbol { Z } _ { ( i ) } \right\vert \right\vert .
\begin{array} { r } { \widehat { \operatorname { v o l } } _ { \chi } ( L , \varphi , \psi ) : = \widehat { \operatorname { v o l } } _ { \chi } ( L , \varphi ) - \widehat { \operatorname { v o l } } _ { \chi } ( L , \psi ) = \int _ { \Omega } \operatorname { v o l } _ { \chi } ( L _ { \omega } , \varphi _ { \omega } , \psi _ { \omega } ) \nu ( \mathrm { d } \omega ) . } \end{array}
\operatorname { E } [ X ^ { m } ] = \beta ^ { - m / \alpha } { \frac { ( 1 + \kappa \nu ) ( 2 \kappa ) ^ { - m / \alpha } } { 1 + \kappa { \big ( } \nu + { \frac { m } { \alpha } } { \big ) } } } { \frac { \Gamma { \big ( } \nu + { \frac { m } { \alpha } } { \big ) } } { \Gamma ( \nu ) } } { \frac { \Gamma { \Big ( } { \frac { 1 } { 2 \kappa } } + { \frac { \nu } { 2 } } { \Big ) } } { \Gamma { \Big ( } { \frac { 1 } { 2 \kappa } } - { \frac { \nu } { 2 } } { \Big ) } } } { \frac { \Gamma { \Big ( } { \frac { 1 } { 2 \kappa } } - { \frac { \nu } { 2 } } - { \frac { m } { 2 \alpha } } { \Big ) } } { \Gamma { \Big ( } { \frac { 1 } { 2 \kappa } } + { \frac { \nu } { 2 } } + { \frac { m } { 2 \alpha } } { \Big ) } } }
\hat { z } ( t + d t ) - \hat { z } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - \frac { 1 } { \tau } \hat { z } ( t ) d t } & { ( \mathrm { N o ~ j u m p ~ d u r i n g ~ [ t , t + d t ) ~ ; ~ p r o b a b i l i t y } = 1 - \hat { \nu } ( t ) d t ) } \\ { \frac { n } { \tau } } & { ( \mathrm { J u m p ~ i n ~ [ t , t + d t ) ~ ; ~ p r o b a b i l i t y } = \hat { \nu } ( t ) d t ) } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { { R _ { \alpha } } ( P _ { \beta _ { 0 } } } & { | P _ { \beta _ { 1 } } , P _ { \beta _ { 2 } } ) = \exp \Bigg ( \log \left( \frac { \theta _ { 0 } ^ { 1 - 2 \alpha } \theta _ { 1 } ^ { \alpha } \theta _ { 2 } ^ { \alpha } + ( 1 - \theta _ { 0 } ) ^ { 1 - 2 \alpha } ( 1 - \theta _ { 1 } ) ^ { \alpha } ( 1 - \theta _ { 2 } ) ^ { \alpha } } { ( 1 - \theta _ { 0 } ) ^ { 1 - 2 \alpha } ( 1 - \theta _ { 1 } ) ^ { \alpha } ( 1 - \theta _ { 2 } ) ^ { \alpha } } \right) } \\ & { \quad - \log \left( \frac { \theta _ { 0 } ^ { 1 - \alpha } \theta _ { 1 } ^ { \alpha } + ( 1 - \theta _ { 0 } ) ^ { 1 - \alpha } ( 1 - \theta _ { 1 } ) ^ { \alpha } } { ( 1 - \theta _ { 0 } ) ^ { 1 - \alpha } ( 1 - \theta _ { 1 } ) ^ { \alpha } } \right) } \\ & { \quad - \log \left( \frac { \theta _ { 0 } ^ { 1 - \alpha } \theta _ { 2 } ^ { \alpha } + ( 1 - \theta _ { 0 } ) ^ { 1 - \alpha } ( 1 - \theta _ { 2 } ) ^ { \alpha } } { ( 1 - \theta _ { 0 } ) ^ { 1 - \alpha } ( 1 - \theta _ { 2 } ) ^ { \alpha } } \right) + \log ( 1 - \theta _ { 0 } ) \Bigg ) - 1 } \\ & { = \frac { \theta _ { 0 } ^ { 1 - 2 \alpha } \theta _ { 1 } ^ { \alpha } \theta _ { 2 } ^ { \alpha } + ( 1 - \theta _ { 0 } ) ^ { 1 - 2 \alpha } ( 1 - \theta _ { 1 } ) ^ { \alpha } ( 1 - \theta _ { 2 } ) ^ { \alpha } } { \big ( \theta _ { 0 } ^ { 1 - \alpha } \theta _ { 1 } ^ { \alpha } + ( 1 - \theta _ { 0 } ) ^ { 1 - \alpha } ( 1 - \theta _ { 1 } ) ^ { \alpha } \big ) \big ( \theta _ { 0 } ^ { 1 - \alpha } \theta _ { 2 } ^ { \alpha } + ( 1 - \theta _ { 0 } ) ^ { 1 - \alpha } ( 1 - \theta _ { 2 } ) ^ { \alpha } \big ) } - 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \overline { { q } } _ { j } } & { < } & { \frac { 2 \underline { { q } } _ { i } ( 1 - \delta _ { i } ) } { 1 + 2 \theta _ { i } } + 2 ( 1 - \delta _ { i } ) \qquad \mathrm { f o r ~ a l l } \qquad i < j \leq n \, , } \\ { \overline { { q } } _ { j } } & { < } & { \frac { 2 } { 1 + 2 \theta _ { i } } \Bigg [ \frac { \underline { { q } } _ { i } } { 2 } ( 1 - \delta _ { i } ) \Big [ 2 + \frac { 1 } { 1 - \delta _ { i } } \Big ] - \theta _ { i } ( 1 + \overline { { q } } _ { j } ) \Bigg ] + 2 ( 1 - \delta _ { i } ) } \\ & { } & { \qquad \mathrm { f o r ~ a l l } \qquad 1 \leq j < i \, . } \end{array}
{ \Delta \theta } = \left[ \begin{array} { r } { 2 . 2 } \\ { 2 . 2 } \\ { - 2 . 7 } \\ { - 6 . 8 } \\ { - 1 0 . 0 } \\ { 2 . 8 } \end{array} \right] \mathrm { ~ K } , \quad \mathrm { a n d } \quad { \Delta \zeta } = \left[ \begin{array} { r } { 0 } \\ { 0 . 1 0 } \\ { 0 . 0 9 } \\ { - 0 . 1 7 } \\ { - 0 . 6 7 } \\ { - 1 . 2 3 } \end{array} \right] \mathrm { k m } .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \mathbb { E } _ { t } \Vert \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } \Vert ^ { 2 } } & { \leq \frac { P } { \gamma } \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \left( \mathbb { E } _ { t } \Vert \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } \Vert ^ { 2 } - \mathbb { E } _ { t } \Vert \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t } \Vert ^ { 2 } \right) + \frac { 2 4 P L ^ { 2 } } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \gamma _ { k } } { \gamma } \mathbb { E } _ { t } \Vert \mathbf { x } _ { i , k } ^ { t } - \mathbf { x } ^ { t } \Vert ^ { 2 } } \\ & { \quad + 1 2 P \mathbb { E } _ { t } \Vert \nabla F ( \mathbf { z } ^ { t } ) \Vert ^ { 2 } + P ( 1 2 \sigma _ { g } ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( f * B ) ( x ) = } & { \frac { \alpha } { \sqrt { \pi } } \int _ { \frac { Q _ { 0 } - x } { \sqrt { 2 } \sigma _ { 0 } } } ^ { + \infty } e ^ { - u ^ { 2 } - \alpha ( \sqrt { 2 } \sigma _ { 0 } u + x - Q _ { 0 } ) } d t } \\ { = } & { \frac { \alpha } { \sqrt { \pi } } e ^ { - \alpha ( x - Q _ { 0 } ) } \int _ { \frac { Q _ { 0 } - x } { \sqrt { 2 } \sigma _ { 0 } } } ^ { + \infty } e ^ { - u ^ { 2 } - \sqrt { 2 } \alpha \sigma _ { 0 } u } d t } \\ { = } & { \frac { \alpha } { 2 } e ^ { \frac { \alpha ^ { 2 } \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } } e ^ { - \alpha ( x - Q _ { 0 } ) } \ \mathrm { e r f c } \left( \frac { Q _ { 0 } + \alpha \sigma _ { 0 } ^ { 2 } - x } { \sqrt { 2 } \sigma _ { 0 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \cos \theta = 1 - 2 s ^ { 2 } , \quad \frac { 1 } { \cos \theta } = 1 + 2 s ^ { 2 } + 4 s ^ { 4 } + \mathcal { O } ( s ^ { 6 } ) , } \\ & { \cos ( { \theta } / { 2 } ) = 1 - \frac { 1 } { 2 } s ^ { 2 } - \frac { 1 } { 8 } s ^ { 4 } + \mathcal { O } ( s ^ { 6 } ) , \quad \frac { 1 } { \cos ( { \theta } / { 2 } ) } = 1 + \frac { s ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 3 } { 8 } s ^ { 4 } + \mathcal { O } ( s ^ { 6 } ) , } \\ & { { \cos ( { \theta } / { 2 } ) \cos \theta } = 1 - \frac { 5 } { 2 } s ^ { 2 } + \mathcal { O } ( s ^ { 4 } ) , \quad \frac { 1 } { \cos ( { \theta } / { 2 } ) \cos \theta } = 1 + \frac { 5 } { 2 } s ^ { 2 } + \mathcal { O } ( s ^ { 4 } ) , } \end{array}
| U | = \sum _ { \boldsymbol { v } \in \{ 0 , 1 \} ^ { d } } f ( \boldsymbol { v } ) \le \sum _ { j = 0 } ^ { i } \bigg ( \frac { 1 } { 2 ^ { j } } + \frac { 1 } { 2 ^ { d - k - j } } \bigg ) \cdot | V ^ { ( j ) } | + \bigg ( \frac { 1 } { 2 ^ { i + 1 } } + \frac { 1 } { 2 ^ { d - k - i - 1 } } \bigg ) \cdot \bigg ( 2 ^ { d - 1 } - \sum _ { j = 0 } ^ { i } | V ^ { ( j ) } | \bigg ) .
\begin{array} { r l } { \| S ( x _ { 1 } ) - S ( x _ { 2 } ) \| _ { X } } & { = \| T \varepsilon ( x _ { 1 } ) - T \varepsilon ( x _ { 2 } ) \| _ { X } } \\ & { = \| T A x _ { 1 } - T \Tilde { A } x _ { 1 } - T A x _ { 2 } + T \Tilde { A } x _ { 2 } \| _ { X } } \\ & { = \| T ( A - \Tilde { A } ) ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) \| _ { X } } \\ & { \leq K \| x _ { 1 } - x _ { 2 } \| _ { X } , } \end{array}
F _ { n + 1 } : = F _ { n } + \frac { H _ { n } \overline { { G _ { n } } } } { | F _ { n } | ^ { 2 } + | G _ { n } | ^ { 2 } } , G _ { n + 1 } : = G _ { n } + \frac { H _ { n } \overline { { F _ { n } } } } { | F _ { n } | ^ { 2 } + | G _ { n } | ^ { 2 } } , H _ { n + 1 } : = - \frac { H _ { n } ^ { 2 } \overline { { F _ { n } G _ { n } } } } { ( | F _ { n } | ^ { 2 } + | G _ { n } | ^ { 2 } ) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { r _ { i } } & { = \| x _ { i } \| \leq M \| \phi ( x _ { i } ) - \phi ( 0 ) \| ^ { \alpha } = M \| \phi ( x _ { i } ) - \phi ( y _ { i } ) \| ^ { \alpha } } \\ & { \leq M ( \| L ( x _ { i } ) - L ( y _ { i } ) \| + \| f ( x _ { i } ) - f ( y _ { i } ) \| ) ^ { \alpha } } \\ & { \leq M ( \| L \| + \varepsilon ) ^ { \alpha } \| x _ { i } - y _ { i } \| ^ { \alpha } \leq M ( \| L \| + \varepsilon ) ^ { \alpha } \ell _ { i } ^ { \alpha } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } [ \| y _ { k } ^ { ( t + 1 ) } - y _ { \lambda , k } ^ { * } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] = \| y _ { k } ^ { ( t ) } - y _ { \lambda , k } ^ { * } \| ^ { 2 } - 2 \alpha _ { k } \langle \nabla _ { y } q _ { k } ^ { ( t ) } , y _ { k } ^ { ( t ) } - y _ { \lambda , k } ^ { * } \rangle + \mathbb { E } [ \| y _ { k } ^ { ( t + 1 ) } - y _ { k } ^ { ( t ) } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { i j } } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { T } \left( \int _ { 0 } ^ { t } a _ { i } ^ { \star } d t ^ { \prime } \right) \left( \int _ { 0 } ^ { t } a _ { j } ^ { \star } d t ^ { \prime } \right) d t + \theta ^ { \star } \delta _ { i j } } \\ { b _ { i } ^ { k } } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { T } \left( a _ { k } ^ { p o d } ( t ) - a _ { k } ^ { p o d } ( 0 ) - \int _ { 0 } ^ { t } f _ { k } \left( O , O , a ^ { p o d } \right) d t ^ { \prime } \right) \left( \int _ { 0 } ^ { t } a _ { i } ^ { \star } d t ^ { \prime } \right) d t , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } } & { \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \left( \frac { k _ { i j } ^ { ( p ) } } { \mu } \frac { \partial ^ { 2 } { p _ { f } ^ { ( p ) } } } { \partial { x _ { i } } \partial { x _ { j } } } + \sum _ { q = 1 } ^ { n } \frac { k _ { i j } ^ { ( p , q ) } } { \mu } \frac { \partial ^ { 2 } { p _ { f } ^ { ( q ) } } } { \partial { x _ { i } } \partial { x _ { j } } } \right) - \sum _ { q = 1 } ^ { n } \Gamma ^ { ( p , q ) } \left( p _ { f } ^ { ( p ) } - p _ { f } ^ { ( q ) } \right) = \hphantom { X X X X X X X X X X X X X } } \\ & { \hphantom { X X X X X X X X X X X X X } \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \alpha _ { i j } ^ { ( p ) } \frac { \partial } { \partial { t } } \left( \frac { \partial { u _ { i } } } { \partial { x _ { j } } } + \frac { \partial { u _ { j } } } { \partial { x _ { i } } } \right) + \frac { 1 } { M ^ { ( p ) } } \frac { \partial { p _ { f } ^ { ( p ) } } } { \partial { t } } + \sum _ { q = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { M ^ { ( p , q ) } } \frac { \partial { p _ { f } ^ { ( q ) } } } { \partial { t } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { n \leq X } ^ { \log } f _ { 1 } ( \lfloor \alpha _ { 1 } n + \beta _ { 1 } \rfloor ) f _ { 2 } ( \lfloor \alpha _ { 2 } n + \beta _ { 2 } \rfloor ) } \\ & { = \sum _ { i \leq M } \sum _ { j \leq J } \mathbb { E } _ { n \leq X } ^ { \log } f _ { 1 } ( \lfloor \alpha _ { 1 } n + \beta _ { 1 } \rfloor ) f _ { 2 } ( \lfloor L _ { i } ( \lfloor \alpha _ { 1 } n + \beta _ { 1 } \rfloor ) \rfloor ) 1 _ { B _ { i , j , J } } ( n ) + o _ { X , J \to \infty } ( 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { \Psi _ { \alpha , N } , \Psi _ { \alpha , N } } ( x , \xi ) } & { = W _ { \mathcal { V } ^ { - 1 } ( \Phi _ { \alpha , N } ) , \mathcal { V } ^ { - 1 } ( \Phi _ { \alpha , N } ) } ( x , \xi ) } \\ & { = W _ { ( D _ { p _ { 0 } } \circ \mathcal { F } _ { \hbar } ^ { - 1 } \circ J ^ { 1 / 2 } \circ K ) ( \Phi _ { \alpha , N } ) , ( D _ { p _ { 0 } } \circ \mathcal { F } _ { \hbar } ^ { - 1 } \circ J ^ { 1 / 2 } \circ K ) ( \Phi _ { \alpha , N } ) } ( x , \xi ) } \\ & { = W _ { ( \mathcal { F } _ { \hbar } ^ { - 1 } \circ J ^ { 1 / 2 } \circ K ) ( \Phi _ { \alpha , N } ) , ( \mathcal { F } _ { \hbar } ^ { - 1 } \circ J ^ { 1 / 2 } \circ K ) ( \Phi _ { \alpha , N } ) } ( p _ { 0 } x , \frac { 1 } { p _ { 0 } } \xi ) } \\ & { = W _ { ( J ^ { 1 / 2 } \circ K ) ( \Phi _ { \alpha , N } ) , ( J ^ { 1 / 2 } \circ K ) ( \Phi _ { \alpha , N } ) } ( \frac { 1 } { p _ { 0 } } \xi , - p _ { 0 } x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \bar { s } ( \theta _ { t } ) \ensuremath { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \frac { 1 } { n } \! \sum _ { i = 1 } ^ { n } \bar { s } _ { i } ( \theta _ { t } ) \; , } \\ & { \bar { s } _ { i } ( \theta _ { t } ) \ensuremath { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \int _ { \mathsf { Z } } \! S ( Y _ { i } , z ) \frac { p ( Y _ { i } , z ; \theta _ { t } ) \, \mu _ { l v } ( \mathrm { d } z ) } { \int _ { \mathsf { Z } } p ( Y _ { i } , u ; \theta _ { t } ) \mu _ { l v } ( \mathrm { d } u ) } \; . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { \alpha _ { \mathrm { F } } } & { = { \frac { I _ { \mathrm { C } } } { I _ { \mathrm { E } } } } , } & { \beta _ { \mathrm { F } } } & { = { \frac { I _ { \mathrm { C } } } { I _ { \mathrm { B } } } } , } \\ { \alpha _ { \mathrm { F } } } & { = { \frac { \beta _ { \mathrm { F } } } { 1 + \beta _ { \mathrm { F } } } } } & { \iff \beta _ { \mathrm { F } } } & { = { \frac { \alpha _ { \mathrm { F } } } { 1 - \alpha _ { \mathrm { F } } } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \hat { s } _ { \alpha } } & { = } & { y _ { \alpha } \left( \prod _ { j \in N ( \alpha ) \setminus i } x _ { i } \right) \left[ 1 - \prod _ { i \in N ( \alpha ) } ( 1 - \hat { w } _ { i \rightarrow \alpha } ) \right] , } \\ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \hat { r } _ { i } } & { = } & { x _ { i } \left[ 1 - \prod _ { \alpha \in N ( i ) } ( 1 - \hat { v } _ { \alpha \rightarrow i } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { | \boldsymbol { v } ^ { \top } \boldsymbol { y } | } { | \boldsymbol { v } | | \boldsymbol { y } | } = } & { \frac { \left| \sum _ { i = 0 } ^ { m - 1 } \lambda ^ { i } \boldsymbol { v } ^ { \top } \boldsymbol { x } _ { V } + \sum _ { i = 0 } ^ { m - 1 } \lambda ^ { - i } \boldsymbol { v } ^ { \top } \boldsymbol { x } _ { W } \right| } { | \boldsymbol { v } | \left| \sum _ { i = 0 } ^ { m - 1 } \lambda ^ { i } \boldsymbol { x } _ { V } + \sum _ { i = 0 } ^ { m - 1 } \lambda ^ { - i } \boldsymbol { x } _ { W } \right| } } \\ { \geq } & { \frac { | \boldsymbol { v } | \left| \sum _ { i = 0 } ^ { m - 1 } \lambda ^ { i } \boldsymbol { x } _ { V } \right| } { | \boldsymbol { v } | \left| \sum _ { i = 0 } ^ { m - 1 } \lambda ^ { i } \boldsymbol { x } _ { V } + \sum _ { i = 0 } ^ { m - 1 } \lambda ^ { - i } \boldsymbol { x } _ { W } \right| } } \\ & { - \frac { \left| \sum _ { i = 0 } ^ { m - 1 } \lambda ^ { - i } \boldsymbol { v } ^ { \top } \boldsymbol { x } _ { W } \right| } { | \boldsymbol { v } | \left| \sum _ { i = 0 } ^ { m - 1 } \lambda ^ { i } \boldsymbol { x } _ { V } + \sum _ { i = 0 } ^ { m - 1 } \lambda ^ { - i } \boldsymbol { x } _ { W } \right| } } \\ { = } & { \frac { | \boldsymbol { v } | \left| \boldsymbol { x } _ { V } \right| } { | \boldsymbol { v } | \left| \boldsymbol { x } _ { V } + \lambda ^ { 1 - m } \boldsymbol { x } _ { W } \right| } } \\ & { - \frac { \left| \boldsymbol { v } ^ { \top } \boldsymbol { x } _ { W } \right| } { | \boldsymbol { v } | \left| \lambda ^ { m - 1 } \boldsymbol { x } _ { V } + \boldsymbol { x } _ { W } \right| } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \triangledown g } & { = \mathbf Q \left[ \begin{array} { l } { \mathbf R } \\ { \mathbf 0 } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf Q _ { 1 } } & { \mathbf Q _ { 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \mathbf R } \\ { \mathbf 0 } \end{array} \right] = \mathbf Q _ { 1 } \mathbf R } \end{array} ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \Delta \phi - \Omega _ { u } ^ { 2 } \, \phi = 0 \, , \quad { \bf x } \in \Omega \setminus \{ { \bf x } _ { 1 } , \ldots , { \bf x } _ { m } \} \, ; \qquad \partial _ { n } \phi = 0 \, , \quad { \bf x } \in \partial \Omega \, ; } \\ & { } & { U \sim c _ { j } ^ { u } \log | { \bf x } - { \bf x } _ { j } | + \frac { c _ { j } ^ { u } } { \nu } + \frac { 1 } { d _ { 1 } ^ { u } } ( D _ { u } c _ { j } ^ { u } + d _ { 2 } ^ { u } \xi _ { j } ) \, , \quad \mathrm { a s } \quad { \bf x } \to { \bf x } _ { j } \, , \qquad j \in \lbrace { 1 , \ldots , m \rbrace } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } _ { \{ \hat { \gamma } _ { t } \} _ { t } \sim \prod _ { t } \tilde { \mathcal { P } } _ { t } } \left[ \mathrm { R a d } ( \mathcal { F } \ \circ \ \{ \hat { \gamma } _ { t } \} _ { t } ) \right] = \mathbb { E } _ { \{ \hat { \gamma } _ { t } \} _ { t } \sim \prod _ { t } \tilde { \mathcal { P } } _ { t } } \left[ \mathrm { R a d } ( H ( \{ \hat { \gamma } _ { t } \} _ { t } ) ) \right] = \frac { 1 } { T } \cdot \mathbb { E } _ { \{ \hat { \gamma } _ { t } \} _ { t } \sim \prod _ { t } \tilde { \mathcal { P } } _ { t } } \mathbb { E } _ { \vec { \sigma } } \left[ \operatorname* { s u p } _ { \mu \geq 0 } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \sigma _ { t } \cdot \hat { b } _ { t } ^ { * } ( \mu ) \right] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { z + a } } & { = \frac { 1 } { z } \cdot \frac { 1 } { 1 + \frac { a } { z } } = \frac { 1 } { z } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { a ^ { n } } { ( - z ) ^ { n } } = - \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { a ^ { n } } { ( - z ) ^ { n + 1 } } } \\ & { = - \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { a ^ { n - 1 } } { ( - z ) ^ { n } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { \mathrm { T P } } ( w , B _ { \sqrt { k } } ) = } & { \int _ { B _ { k } } | \nabla w | ^ { p } + ( p - 1 ) \lambda _ { + } ^ { p } \chi _ { \{ w > 0 \} } + ( p - 1 ) \lambda _ { - } ^ { p } \chi _ { \{ w < 0 \} } \, d x } \\ & { + \int _ { B _ { \sqrt { k } } \setminus B _ { k } } | \nabla w | ^ { p } + ( p - 1 ) \lambda _ { + } ^ { p } \chi _ { \{ w > 0 \} } + ( p - 1 ) \lambda _ { - } ^ { p } \chi _ { \{ w < 0 \} } \, d x } \\ { = } & { \int _ { B _ { k } \cap \{ u \le 0 \} } | \nabla u | ^ { p } + ( p - 1 ) \lambda _ { + } ^ { p } \chi _ { \{ u > 0 \} } + ( p - 1 ) \lambda _ { - } ^ { p } \chi _ { \{ u < 0 \} } \, d x } \\ & { + \int _ { B _ { \sqrt { k } } \setminus B _ { k } } | \nabla w | ^ { p } + ( p - 1 ) \lambda _ { + } ^ { p } \chi _ { \{ w > 0 \} } + ( p - 1 ) \lambda _ { - } ^ { p } \chi _ { \{ w < 0 \} } \, d x . } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { \mathcal { O } } _ { n , \Bar { \omega } , \frac { 1 } { \epsilon } } \left( \frac { n \omega ^ { k } \kappa _ { M ^ { k } } } { \| M ^ { k } \| _ { F } } + n ^ { 2 } \right) = \tilde { \mathcal { O } } _ { n , \Bar { \omega } , \frac { 1 } { \epsilon } } \left( n \left( \frac { \bar { \omega } ^ { 2 } } { \epsilon } + \sigma _ { \operatorname* { m a x } } ( Q ) \right) \kappa _ { V A Q } + n ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \lefteqn w _ { P I } \left( | \vec { E } | , \omega _ { 0 } , I _ { p } \right) = \frac { 4 \omega _ { 0 } } { 9 \pi } \left( \frac { \omega _ { 0 } m _ { e } ^ { * } } { \hbar \gamma _ { 1 } } \right) ^ { 3 / 2 } Q ( \gamma , x ) } \\ { \times \exp \left[ - \pi \cdot \mathrm { I n t } ( x + 1 ) \frac { K ( \gamma _ { 1 } ) - M ( \gamma _ { 1 } ) } { M ( \gamma _ { 2 } ) } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left< h _ { 1 } , h _ { 2 } , X \middle | ( h _ { 1 } ^ { 2 } X ^ { n - 1 } ) ^ { n } = 1 \right> } & { \cong } & { \left< h _ { 1 } , h _ { 2 } , X , Y \middle | Y ^ { 2 n } = 1 , Y = h _ { 1 } X ^ { \frac { n - 1 } { 2 } } \right> } \\ & { \cong } & { \left< h _ { 2 } , X , Y \middle | Y ^ { 2 n } = 1 \right> } \\ & { \cong } & { \mathbb { Z } [ h _ { 2 } ] \oplus \mathbb { Z } [ X ] \oplus \mathbb { Z } _ { 2 n } [ Y ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z _ { * } ^ { n } ( v ) \ge } & { \operatorname* { i n f } _ { | x | , | y | < 1 / 2 } \int _ { \mathbb { R } \times \prod _ { k = 1 } ^ { n - 1 } [ v k - 1 / 2 , v k + 1 / 2 ] \times \mathbb { R } } e ^ { - A ^ { 0 , n } ( \gamma ) } \mathcal { M } _ { x , v n + y } ^ { 0 , n } ( d \gamma ) } \\ & { \ge e ^ { - \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } F _ { k } ^ { * } ( v k ) - n V ^ { * } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \bar { P } _ { i y m d h } ^ { \mathrm { s } } = \left( 1 - \eta _ { i y m d h } ^ { \mathrm { s } } \right) * \phi _ { i } ^ { \mathrm { s } } * \bar { P } _ { i y } ^ { \mathrm { s } } * \Tilde { S } _ { i y m d h } , } \\ & { \Tilde { S } _ { i y m d h } = { S } _ { i y m d h } / \operatorname* { m a x } _ { m , d , h } S _ { i y m d h } , } \end{array}
- \left( \begin{array} { l } { ( \vert W _ { 1 } \vert ^ { 2 } + \vert W _ { 2 } \vert ^ { 2 } + \vert W _ { 3 } \vert ^ { 2 } ) ( f _ { n n n } \phi ^ { 3 } + 3 f _ { n n p } \phi ^ { 2 } + 3 f _ { n p p } \phi + f _ { p p p } } \\ { ( \vert W _ { 1 } \vert ^ { 2 } + \vert W _ { 2 } \vert ^ { 2 } + \vert W _ { 3 } \vert ^ { 2 } ) ( g _ { n n n } \phi ^ { 3 } + 3 g _ { n n p } \phi ^ { 2 } + 3 g _ { n p p } \phi + g _ { p p p } } \end{array} \right) W _ { 1 }
\begin{array} { r l } & { \| u - u _ { \delta } \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ) } + \| u _ { j } - u _ { \delta , j } \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ) } } \\ & { \qquad \leq 2 \| g - g _ { \delta } \| _ { L ^ { \infty } ( \partial \Omega ) } + \frac { 2 C } { n } ( \mathrm { d i a m } ( \Omega ) / 2 ) ^ { 1 / n } \| f - f _ { \delta } \| _ { L ^ { n } ( \Omega ) } \leq 3 \delta / 4 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \left\| \mathcal { M } _ { 0 } \mathrm { T } _ { \mathrm { L H } } ^ { j } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \lesssim \epsilon ^ { 2 } \left\| \mathcal { M } _ { 0 } \Delta _ { L } P _ { \star } ( \Psi \Upsilon ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \left\| \mathcal { M } _ { 1 } \mathrm { T } _ { \mathrm { L H } } ^ { j } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \lesssim \epsilon ^ { 2 } \left\| \mathcal { M } _ { 1 } \Delta _ { L } P _ { \star } ( \Psi \Upsilon ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \left\| \mathcal { M } _ { 2 } \mathrm { T } _ { \mathrm { L H } } ^ { j } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \lesssim \epsilon ^ { 2 } \left\| \mathcal { M } _ { 1 } \Delta _ { L } P _ { \star } ( \Psi \Upsilon ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } + \epsilon ^ { 2 } \left\| \mathcal { M } _ { 2 } \Delta _ { L } P _ { \star } ( \Psi \Upsilon ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - \Re \bigg ( ( 1 , 0 ) \, \mathscr { S } _ { \boldsymbol { m } , \omega } \mathcal { G } _ { \boldsymbol { m } , \omega } ( \beta _ { k } u ( \boldsymbol { m } ) ) , \, \mathcal { R } ( \mathcal { P } ) ^ { * } \boldsymbol { \varepsilon } ( \boldsymbol { m } , \mathcal { P } ) \bigg ) _ { \Omega } } \\ & { \quad \quad = \ - \Re \left( \mathscr { S } _ { \boldsymbol { m } , \omega } \mathcal { G } _ { \boldsymbol { m } , \omega } ( \beta _ { k } u ( \boldsymbol { m } ) ) , \, \left( \begin{array} { l } { \mathcal { R } ( \mathcal { P } ) ^ { * } \boldsymbol { \varepsilon } ( \boldsymbol { m } , \mathcal { P } ) } \\ { 0 } \end{array} \right) \right) _ { \Omega \times \partial \Omega } } \\ & { \quad \quad = \ - \Re \left( \mathcal { G } _ { \boldsymbol { m } , \omega } ( \beta _ { k } u ( \boldsymbol { m } ) ) , \, \lambda ( \boldsymbol { m } , \mathcal { P } ) \right) _ { \Omega \times \partial \Omega } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { t + 1 } } & { = \textup { a r g m i n } _ { u \in \Delta ^ { m } } \left\{ \eta \langle - \mathbf { A } _ { : j _ { t } } , u \rangle + \sum _ { i \in [ m ] } [ u ] _ { i } \log \frac { [ u ] _ { i } } { [ u _ { t } ] _ { i } } \right\} , } \\ { v _ { t + 1 } } & { = \textup { a r g m i n } _ { v \in \Delta ^ { n } } \left\{ \eta \langle \mathbf { A } _ { i _ { t } : } , v \rangle + \sum _ { j \in [ n ] } [ v ] _ { j } \log \frac { [ v ] _ { j } } { [ v _ { t } ] _ { j } } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \mathbf { u } , D _ { x } ^ { 3 } \mathbf { v } \right\rangle _ { M _ { x } } } & { = u _ { P + 1 } \left( D _ { x } ^ { 2 } \mathbf { v } \right) _ { P + 1 } - u _ { 1 } \left( D _ { x } ^ { 2 } \mathbf { v } \right) _ { 1 } - \frac { 1 } { 2 } \left( \left( D _ { x } \mathbf { u } \right) _ { P + 1 } \left( D _ { x } \mathbf { v } \right) _ { P + 1 } - \left( D _ { x } \mathbf { u } \right) _ { 1 } \left( D _ { x } \mathbf { v } \right) _ { 1 } \right) } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \left\langle D _ { x } ^ { 2 } \mathbf { u } , D _ { x } \mathbf { v } \right\rangle _ { M _ { x } } - \frac { 1 } { 2 } \left\langle D _ { x } \mathbf { u } , D _ { x } ^ { 2 } \mathbf { v } \right\rangle _ { M _ { x } } , } \end{array}
\mathbb { E } _ { n } \big [ \big | \mathcal { B } _ { t _ { 2 } } ^ { n } ( \varphi ) - \mathcal { B } _ { t _ { 1 } } ^ { n } ( \varphi ) \big | ^ { 2 } \big ] \lesssim ( t _ { 2 } - t _ { 1 } ) ^ { 2 } n \| \partial _ { x } \varphi \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } \lesssim ( t _ { 2 } - t _ { 1 } ) ^ { 3 / 2 } \| \partial _ { x } \varphi \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { \hat { \Phi } ( y ) ~ = ~ \frac { W _ { u _ { 1 } , . . . , u _ { n } , \Phi } ( y ) } { W _ { u _ { 1 } , . . . , u _ { n } } ( y ) } \qquad \qquad \qquad \hat { V } _ { E } [ x ( y ) ] ~ = ~ V _ { E } [ x ( y ) ] - 2 ~ \frac { d ^ { 2 } } { d y ^ { 2 } } ~ \log \left[ W _ { u _ { 1 } , . . . , u _ { n } } ( y ) \right] , } \end{array}
\mathcal { D } ^ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { N _ { c } ^ { 2 } } ( \mathcal { G } ^ { i } ) ^ { T } \mathcal { R } ^ { i } ( \mathcal { R } ^ { i } ) ^ { T } \mathcal { G } _ { < } ^ { i } , } & { \mathrm { f u l l } , } \\ { \frac { 1 } { N _ { c } } \sum _ { j } ( \mathcal { G } ^ { i } ) _ { j k } , } & { \mathrm { r a d i a l - o n l y } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \rho } ( x _ { k + 1 } , \lambda _ { k } ) - \mathcal { L } _ { \rho } ( x _ { k } , \lambda _ { k } ) } & { = f ( x _ { k + 1 } ) - f ( x _ { k } ) + \psi ( x _ { k + 1 } , \lambda _ { k } ) - \psi ( x _ { k } , \lambda _ { k } ) } \\ & { { \overset { } { \leq } } - \frac { \rho \sigma ^ { 2 } + { \alpha } \beta _ { k + 1 } } { 2 } \| x _ { k + 1 } - x _ { k } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { + , j } ^ { \infty } } & { = \alpha _ { + , j } ( \Lambda _ { \mathrm { s o m } } ^ { \infty } ) \, f _ { j } ^ { \infty } \, ( 1 - \rho _ { j } ^ { \infty } ) = \beta _ { + , j } ( \Lambda _ { j } ^ { \infty } ) \, f _ { j } ^ { \infty } , } \\ { - J _ { - , j } ^ { \infty } } & { = \alpha _ { - , j } ( \Lambda _ { j } ^ { \infty } ) \, f _ { j } ^ { \infty } \, ( 1 - \rho _ { j } ^ { \infty } ) = \beta _ { - , j } ( \Lambda _ { \mathrm { s o m } } ^ { \infty } ) \, f _ { j } ^ { \infty } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( x , t ) } & { = u _ { \mathrm { s o l } } ( x , t ) - i \sqrt { 3 } \frac { \partial } { \partial x } ( 1 , 1 , 1 ) Z ( \zeta , t ) \left( \begin{array} { l } { \omega ^ { 2 } i k _ { 1 } ^ { - 1 } - \omega i k _ { 1 } } \\ { \omega i k _ { 1 } ^ { - 1 } - \omega ^ { 2 } i k _ { 1 } } \\ { i k _ { 1 } ^ { - 1 } - i k _ { 1 } } \end{array} \right) + O ( t ^ { - 1 } \ln t ) . } \end{array}
{ \left| \begin{array} { l l l l } { - 1 } & { \cos { ( \alpha _ { 1 2 } ) } } & { \cos { ( \alpha _ { 1 3 } ) } } & { \cos { ( \alpha _ { 1 4 } ) } } \\ { \cos { ( \alpha _ { 1 2 } ) } } & { - 1 } & { \cos { ( \alpha _ { 2 3 } ) } } & { \cos { ( \alpha _ { 2 4 } ) } } \\ { \cos { ( \alpha _ { 1 3 } ) } } & { \cos { ( \alpha _ { 2 3 } ) } } & { - 1 } & { \cos { ( \alpha _ { 3 4 } ) } } \\ { \cos { ( \alpha _ { 1 4 } ) } } & { \cos { ( \alpha _ { 2 4 } ) } } & { \cos { ( \alpha _ { 3 4 } ) } } & { - 1 } \end{array} \right| } = 0
\begin{array} { r l } { Y _ { i } ^ { ( 1 ) } } & { = X _ { i 1 } ^ { 2 } - 0 . 5 \cdot X _ { i 1 } + X _ { i 2 } + X _ { i 3 } ^ { 2 } - 5 \cdot X _ { i 4 } + 5 \cdot X _ { i 5 } + \epsilon _ { i 1 } , } \\ { Y _ { i } ^ { ( 2 ) } } & { = 3 . 8 5 + X _ { i 1 } + X _ { i 2 } + X _ { i 3 } + 0 . 5 \cdot X _ { i 4 } - X _ { i 5 } + \epsilon _ { i 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log C ( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } , \lambda _ { 3 } ) } & { \approx - { \frac { 1 } { 2 b ^ { 2 } } } S _ { H J } ^ { ( 3 ) } [ \varphi ] - { \frac { i } { b ^ { 2 } } } \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \lambda _ { j } \left[ 1 - \log | \lambda _ { j } | + { \frac { 1 } { 2 } } \log ( \pi \mu b ^ { 2 } ) \right] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { ( t , t ^ { \prime } ) \in \mathcal { E } _ { \leq } ^ { ( n ) } } \log \ell _ { t , t ^ { \prime } } ^ { ( n ) } } & { \leq ( m ^ { ( n ) } - m _ { \star } ^ { ( n ) } ) \log n + \frac { n } { 2 } \Bigg ( \sum _ { c \in \mathcal { C } ^ { ( \delta , h ) } } \mathbb { E } _ { \mu } \left[ D _ { c } ( [ T , o ] ) \right] \log \mathbb { E } _ { \mu } \left[ D _ { c } ( [ T , o ] ) \right] } \\ & { \qquad - \mathbb { E } _ { \mu } \left[ D _ { c } ( [ T , o ] ) \right] - 2 \mathbb { E } _ { \mu } \left[ \log D _ { c } ( [ T , o ] ) ! \right] \Bigg ) + o ( n ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \hat { A } , \hat { N } _ { i } , \hat { B } , \hat { C } ) } & { = ( S _ { n } ( A _ { n } - B _ { n } B _ { n } ^ { \top } \Sigma _ { n } ) S _ { n } ^ { - 1 } , S _ { n } N _ { i , n } S _ { n } ^ { - 1 } , S _ { n } B _ { n } , \left[ \begin{array} { l } { - B _ { n } ^ { \top } \Sigma } \\ { m a t h b b { C } _ { n } } \end{array} \right] S _ { n } ^ { - 1 } ) , } \\ { ( \hat { A } _ { r } , \hat { N } _ { i , r } , \hat { B } _ { r } , \hat { C } _ { r } ) } & { = ( S _ { r } ( A _ { r } - B _ { r } B _ { r } ^ { \top } \Sigma _ { r } ) S _ { r } ^ { - 1 } , S _ { r } N _ { i , r } S _ { r } ^ { - 1 } , S _ { r } B _ { r } , \left[ \begin{array} { l } { - B _ { r } ^ { \top } \Sigma _ { r } } \\ { m a t h b b { C } _ { r } } \end{array} \right] S _ { r } ^ { - 1 } ) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \bar { P } _ { i y m d h } ^ { \mathrm { s } } = \left( 1 - \eta _ { i y m d h } ^ { \mathrm { s } } \right) * \phi _ { i } ^ { \mathrm { s } } * \bar { P } _ { i y } ^ { \mathrm { s } } * \Tilde { S } _ { i y m d h } , } \\ & { \Tilde { S } _ { i y m d h } = { S } _ { i y m d h } / \operatorname* { m a x } _ { m , d , h } S _ { i y m d h } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\| \mathcal { A } - \mathcal { A } \times _ { 1 } \left( { \bf Q } _ { 1 } { \bf Q } _ { 1 } ^ { \top } \right) \times _ { 2 } \left( { \bf Q } _ { 2 } { \bf Q } _ { 2 } ^ { \top } \right) \dots \times _ { N } \left( { \bf Q } _ { N } { \bf Q } _ { N } ^ { \top } \right) \right\| _ { F } ^ { 2 } } \\ & { \leq \left\| \mathcal { A } \times _ { 1 } \left( \mathbf { I } _ { I _ { 1 } } - { \bf Q } _ { 1 } { \bf Q } _ { 1 } ^ { \top } \right) \right\| _ { F } ^ { 2 } + \left\| \left( \mathcal { A } \times _ { 1 } { \bf Q } _ { 1 } ^ { \top } \right) \times _ { 2 } \left( \mathbf { I } _ { I _ { 2 } } - { \bf Q } _ { 2 } { \bf Q } _ { 2 } ^ { \top } \right) \right\| _ { F } ^ { 2 } } \\ & { + \dots + \left\| \left( \mathcal { A } \times _ { 1 } { \bf Q } _ { 1 } ^ { \top } \times _ { 2 } \mathbf { Q } _ { 2 } ^ { \top } \dots \times _ { N - 1 } \mathbf { Q } _ { N - 1 } ^ { \top } \right) \times _ { N } \left( \mathbf { I } _ { I _ { N } } - { \bf Q } _ { N } { \bf Q } _ { N } ^ { \top } \right) \right\| _ { F } ^ { 2 } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } & { { { { \bar { a } } } _ { 1 } } = - \frac { 2 { { { \bar { Q } } } _ { i - 2 } } + { { { \bar { Q } } } _ { i - 1 } } - { { { \bar { Q } } } _ { i + 1 } } - 2 { { { \bar { Q } } } _ { i + 2 } } } { 1 0 \Delta x } } \\ & { { { { \bar { a } } } _ { 2 } } = \frac { 4 { { { \bar { Q } } } _ { i - 2 } } + { { { \bar { Q } } } _ { i - 1 } } - 1 0 { { { \bar { Q } } } _ { i } } + { { { \bar { Q } } } _ { i + 1 } } + 4 { { { \bar { Q } } } _ { i + 2 } } } { 3 4 \Delta { { x } ^ { 2 } } } } \end{array} \right. .
D _ { 1 / 4 - S R D } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 . 3 7 9 5 9 4 + \frac { 0 . 1 0 6 9 9 6 \sin \left( \frac { \pi t } { 4 } + \frac { \pi } { 1 6 } \right) } { t ^ { 3 / 2 } } - \frac { 0 . 1 5 7 8 4 4 \cos \left( \frac { \pi t } { 2 } + \frac { \pi } { 1 6 } \right) } { \sqrt { t } } + \dots \, , x = y = 1 / 8 } \\ { 0 . 3 5 2 7 8 1 - \frac { 0 . 0 5 6 8 5 7 9 \cos \left( \frac { \pi t } { 3 } + \frac { \pi } { 1 2 } \right) } { \sqrt { t } } - \frac { 0 . 0 9 3 2 2 4 6 \cos \left( \frac { \pi t } { 2 } + \frac { \pi } { 8 } \right) } { \sqrt { t } } + \dots \, , x = 1 / 8 , y = 1 / 1 2 } \\ { 0 . 4 0 1 3 4 6 - \frac { 0 . 1 1 3 5 0 7 \sin \left( \frac { \pi } { 6 } - \frac { \pi t } { 2 } \right) } { \sqrt { t } } - \frac { 0 . 0 7 6 9 1 8 8 \cos \left( \frac { 2 \pi t } { 3 } + \frac { \pi } { 4 } \right) } { \sqrt { t } } + \dots \, , x = 1 / 6 , y = 1 / 8 } \end{array} \right.
\{ \mathscr { R } _ { \nu } ^ { ( 0 ) } , \chi _ { \nu } ^ { ( 1 ) } \} = \{ \mathscr { R } _ { \nu , \nu } ^ { ( 0 ) } , \chi _ { \nu } ^ { ( 1 ) } \} + \left\{ \sum _ { l \ge \nu + 1 } \mathscr { R } _ { \nu , l } ^ { ( 0 ) } , \chi _ { \nu } ^ { ( 1 ) } \right\} = \mathcal { O } ( \sigma ^ { \nu + \nu } ) + \mathcal { O } ( \sigma ^ { \nu + 1 + \nu - 1 } ) = \mathcal { O } ( \sigma ^ { 2 \nu } )
\nabla \mathcal { N } ( \psi ) = D \mathcal { N } ( \psi ) \cdot \left( \begin{array} { l } { \nabla \psi } \\ { \overline { { \nabla \psi } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { G _ { 1 } ( \psi ) } \\ { G _ { 2 } ( \psi ) } \end{array} \right) ^ { T } \cdot \left( \begin{array} { l } { \nabla \psi } \\ { \overline { { \nabla \psi } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { \dot { \psi } _ { i j } ^ { k - 1 } = \frac { \partial \psi _ { i j } ^ { k - 1 } } { \partial t } + \frac { \partial \psi _ { i j } ^ { k - 1 } } { \partial x _ { i } } \dot { x } _ { i } + \frac { \partial \psi _ { i j } ^ { k - 1 } } { \partial x _ { j } } \dot { x } _ { j } + \frac { \partial \psi _ { i j } ^ { k - 1 } } { \partial \alpha _ { i j } ^ { k } } \dot { \alpha } _ { i j } ^ { k } } \end{array}
v _ { 1 } = \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \\ { \ast } \\ { \vdots } \\ { \ast } \\ { \star } \\ { \vdots } \\ { \star } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { \ast } \\ { \vdots } \\ { \ast } \\ { 0 } \\ { \vdots } \\ { 0 } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \\ { \vdots } \\ { 0 } \\ { \star } \\ { \vdots } \\ { \star } \end{array} \right) = v _ { 1 } ^ { \prime } + v _ { 1 } ^ { \prime \prime } .
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \| \widehat { x } _ { k } - \mathbb { E } \widehat { x } _ { k } \| ^ { 2 } \le \mathbb { E } \| \widehat { x } _ { k } - x _ { \bar { x } , \lambda } ^ { \star } \| ^ { 2 } \le 2 \mathbb { E } \| \widehat { x } _ { k } - x _ { 0 } \| ^ { 2 } + 2 \mathbb { E } \| x _ { 0 } - x _ { \bar { x } , \lambda } ^ { \star } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { D ^ { 2 } G _ { \delta } ( \bar { i } ) [ X _ { K } ( \bar { i } ) , \hat { \textbf { \i } } ] + D G _ { \delta } ( \bar { i } ) \circ d _ { i } X _ { K } ( \bar { i } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] = d _ { i } X _ { H _ { \zeta } } ( G _ { \delta } ( \bar { i } ) ) \circ D G _ { \delta } ( \bar { i } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 ^ { + } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \mathrm { J } _ { 0 } ( k k _ { c } r ) } { k - 1 \pm \mathrm { i } \epsilon } \, \mathrm { d } k } & { = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { \pi } { 2 } C _ { 0 } \left( \left( - 1 \mp \mathrm { i } \epsilon \right) k _ { c } r \right) = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { \pi } { 2 } \left[ - \mathrm { H } _ { 0 } \left( \left( 1 \pm \mathrm { i } \epsilon \right) k _ { c } r \right) - \mathrm { Y } _ { 0 } \left( \left( 1 \pm \mathrm { i } \epsilon \right) k _ { c } r \right) \mp 2 \mathrm { i } \mathrm { J } _ { 0 } \left( \left( 1 \pm \mathrm { i } \epsilon \right) k _ { c } r \right) \right] } \\ & { = - \frac { \pi } { 2 } \left( \mathrm { H } _ { 0 } ( k _ { c } r ) + \mathrm { Y } _ { 0 } ( k _ { c } r ) \right) \mp \mathrm { i } \pi \mathrm { J } _ { 0 } ( k _ { c } r ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T _ { 3 } } & { = } & { \mathbb { E } \left[ \left| \frac { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } ( g _ { k - 1 } [ P ^ { l } - P ] ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } ( g _ { k - 1 } ) } - \frac { \eta _ { k - 1 } ^ { l } ( g _ { k - 1 } [ P ^ { l } - P ] ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { l } ( g _ { k - 1 } ) } \right| ^ { p } \right] ^ { 1 / p } } \\ { T _ { 4 } } & { = } & { \mathbb { E } \left[ \left| \frac { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ( g _ { k - 1 } [ P ^ { l - 1 } - P ] ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ( g _ { k - 1 } ) } - \frac { \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ( g _ { k - 1 } [ P ^ { l - 1 } - P ] ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ( g _ { k - 1 } ) } \right| ^ { p } \right] ^ { 1 / p } } \\ { T _ { 5 } } & { = } & { \mathbb { E } \Bigg [ \Bigg | \left\{ \frac { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l } ( g _ { k - 1 } ) } - \frac { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { N _ { l } , l - 1 } ( g _ { k - 1 } ) } \right\} - } \\ & { } & { \left\{ \frac { \eta _ { k - 1 } ^ { l } ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { l } ( g _ { k - 1 } ) } - \frac { \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ( g _ { k - 1 } P ( \varphi ) ) } { \eta _ { k - 1 } ^ { l - 1 } ( g _ { k - 1 } ) } \right\} \Bigg | ^ { p } \Bigg ] ^ { 1 / p } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l r l } { { 3 } \beta _ { 1 } + 1 \beta _ { 2 } } & { } & { \; = \; } & { } & { 6 , } & { } \\ { \beta _ { 1 } + 2 \beta _ { 2 } } & { } & { \; = \; } & { } & { 5 , } & { } \\ { \beta _ { 1 } + 3 \beta _ { 2 } } & { } & { \; = \; } & { } & { 7 , } & { } \\ { \beta _ { 1 } + 4 \beta _ { 2 } } & { } & { \; = \; } & { } & { 1 0 . } & { } \end{array} }
\mathcal { O } ( h _ { \mathrm { I } } ^ { \mathrm { a } } h _ { \mathrm { G } } ^ { \mathrm { a } } + h _ { \mathrm { G } } ^ { \mathrm { a } } ( 3 h _ { \mathrm { I } } ^ { \mathrm { a } } + 3 h _ { \mathrm { G } } ^ { \mathrm { a } } + h _ { \mathrm { O } } ^ { \mathrm { a } } ) + h _ { \mathrm { G } } ^ { \mathrm { a } } h _ { \mathrm { O } } ^ { \mathrm { a } } )
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } ( Y _ { b 2 , A } ) } & { \lesssim \frac { 1 } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 6 } } \sum _ { i _ { 2 } i _ { 3 } \ell _ { 2 } } \bigg ( \sum _ { i _ { 1 } i _ { 4 } } \theta _ { i _ { 1 } } \theta _ { i _ { 3 } } \theta _ { i _ { 4 } } ( \beta _ { i _ { 1 } } \theta _ { i _ { 1 } } ) ( \beta _ { i _ { 4 } } \theta _ { i _ { 4 } } ) \bigg ) ^ { 2 } \theta _ { i _ { 2 } } ^ { 2 } \theta _ { i _ { 3 } } \theta _ { \ell _ { 2 } } } \\ & { \lesssim \frac { 1 } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 6 } } \sum _ { i _ { 2 } i _ { 3 } \ell _ { 2 } } \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \theta _ { i _ { 2 } } ^ { 2 } \theta _ { i _ { 3 } } ^ { 3 } \theta _ { \ell _ { 2 } } \lesssim \frac { \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 8 } } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 5 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V ( f ) } & { = \int _ { G ( f ) } f ^ { \prime } ( x ) \; \mathrm { d } x + \int _ { D ( f ) } - f ^ { \prime } ( x ) \; \mathrm { d } x + \int _ { C ( f ) } | f ^ { \prime } ( x ) | \; \mathrm { d } x } \\ & { = \int _ { G ( f ) } f ^ { \prime } ( x ) \; \mathrm { d } x + \int _ { D ( f ) } - f ^ { \prime } ( x ) \; \mathrm { d } x , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \Gamma _ { 1 } ^ { 2 } } { L _ { 1 } ^ { 2 } } \left( 5 \, \left( 1 - \frac { \tilde { \Gamma } _ { 2 } ^ { 2 } } { \Gamma _ { 1 } ^ { 2 } } \right) \left( 4 - 7 \, \cos ^ { 2 } \gamma _ { 1 } \right) - 3 \right) } \\ { - 3 5 \sin ^ { 2 } \gamma _ { 1 } \, \left( 1 - \frac { \tilde { \Gamma } _ { 2 } ^ { 2 } } { \Gamma _ { 1 } ^ { 2 } } \right) + 7 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d t } \int _ { \mathbf T ^ { 3 } \times \mathbf R ^ { 3 } } F _ { + } ^ { \varepsilon } d x d v = \frac { d } { d t } \int _ { \mathbf T ^ { 3 } \times \mathbf R ^ { 3 } } F _ { - } ^ { \varepsilon } d x d \xi = 0 , } \\ & { \frac { d } { d t } \left( \int _ { \mathbf T ^ { 3 } \times \mathbf R ^ { 3 } } v F _ { + } ^ { \varepsilon } d x d v + \varepsilon \int _ { \mathbf T ^ { 3 } \times \mathbf R ^ { 3 } } \xi F _ { - } ^ { \varepsilon } d x d \xi \right) = 0 , } \\ & { \frac { d } { d t } \left( \int _ { \mathbf T ^ { 3 } \times \mathbf R ^ { 3 } } \frac { | v | ^ { 2 } } { 2 } F _ { + } ^ { \varepsilon } d x d v + \int _ { \mathbf T ^ { 3 } \times \mathbf R ^ { 3 } } \frac { | \xi | ^ { 2 } } { 2 } F _ { - } ^ { \varepsilon } d x d \xi + \frac { 1 } { 8 \pi } \int _ { \mathbf T ^ { 3 } } | E ^ { \varepsilon } | ^ { 2 } d x \right) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { v _ { s } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { i f ~ } \lVert \tilde { b } ( x ) \rVert \leq 1 , } \\ { \frac { - \tilde { c } ( x ) + \sqrt { \tilde { c } ( x ) ^ { 2 } + \bar { b } ( x ) ^ { 2 } } } { \bar { b } ( x ) } \tilde { b } ( x ) } & { \mathrm { i f ~ } \lVert \tilde { b } ( x ) \rVert > 1 . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 2 } D ^ { l } ( \mathsf { K } \Pi _ { x } ^ { j } ) ( x ) } & { = ( - \bar { \lambda } ^ { - 1 } ) ^ { | l | } \mathsf { K } \Pi _ { x } ^ { j } ( ( \partial ^ { l } \eta ) _ { x } ^ { \bar { \lambda } } ) + \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } ( - \bar { \lambda } ^ { - 1 } \, 2 ^ { n } ) ^ { | l | } \mathsf { K } \Pi _ { x } ^ { j } ( ( \partial ^ { l } \varphi ) _ { x } ^ { \bar { \lambda } 2 ^ { - n } } ) } \\ { D ^ { l } G _ { x } ( x ) } & { = ( - \bar { \lambda } ^ { - 1 } ) ^ { | l | } G _ { x } ^ ( ( \partial ^ { l } \eta ) _ { x } ^ { \bar { \lambda } } ) + \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } ( - \bar { \lambda } ^ { - 1 } \, 2 ^ { n } ) ^ { | l | } G _ { x } ( ( \partial ^ { l } \varphi ) _ { x } ^ { \bar { \lambda } 2 ^ { - n } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { M } _ { P } ^ { ( n ) } ( P , u , S , \tau _ { m } ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N - m } \left( \Delta _ { \tau _ { m } } P _ { i } \right) ^ { n } \cdot \frac { K _ { \mathrm { a } , \mathrm { b } , \mathrm { b o o l } } \left( \frac { P _ { i } - P } { h _ { P } } , \frac { u _ { i } - u } { h _ { u } } , S _ { i } - S \right) } { \sum _ { j = 1 } ^ { N - m } K _ { \mathrm { a } , \mathrm { b } , \mathrm { b o o l } } \left( \frac { P _ { i } - P } { h _ { P } } , \frac { u _ { j } - u } { h _ { u } } , S _ { j } - S \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| R \| _ { C _ { * } ^ { 2 \gamma } } } & { \lesssim \| R _ { 1 + \delta } ( q ) \| _ { C _ { * } ^ { 2 \gamma - 2 } } + \| R _ { - 2 ( 1 - \delta ) } ( q ) \| _ { C _ { * } ^ { 2 \gamma } } } \\ & { \lesssim \| q \| _ { C _ { * } ^ { 2 \gamma - 1 + \delta } } + \| q \| _ { L ^ { \infty } } \lesssim \| q \| _ { C _ { * } ^ { 2 \gamma - \frac { \delta } { 2 } } } , } \end{array}
g ^ { i k } g ^ { l n } \epsilon _ { k l m } \nabla _ { n } V ^ { m } \hat { e } _ { i } = g ^ { i k } g ^ { l n } \sqrt { \frac { g _ { i i } } { g _ { m m } } } \epsilon _ { k l m } \nabla _ { n } \bar { V } ^ { m } \hat { e } _ { i } ^ { \prime } = g ^ { i i } g ^ { n n } \sqrt { \frac { g _ { i i } } { g _ { m m } } } \epsilon _ { i n m } \nabla _ { n } \bar { V } ^ { m } \hat { e } _ { i } ^ { \prime }
\begin{array} { r l } { ( \nabla u ( s , e ) - \nabla u ( t , e ) ) ^ { 2 } } & { \leq 2 ( u ( s , x ) - u ( t , x ) ) ^ { 2 } + 2 ( u ( s , y ) - u ( t , y ) ) ^ { 2 } } \\ & { \leq 2 \left( \int _ { t } ^ { s } \nabla \cdot \mathbf { a } \nabla u ( s ^ { \prime } , x ) \, d s ^ { \prime } \right) ^ { 2 } + 2 \left( \int _ { t } ^ { s } \nabla \cdot \mathbf { a } \nabla u ( s ^ { \prime } , y ) \, d s ^ { \prime } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 2 \theta \left( \frac { ( f - g ) ( \tau ) } { 8 } + x , \frac { ( f + g ) ( \tau ) } { 2 } \right) - 2 \theta \left( \frac { ( f - g ) ( \tau ) } { 1 6 } + \frac { x + 1 } { 2 } , \frac { ( f + g ) ( \tau ) } { 8 } \right) } \\ { = } & { e ^ { \pi i ( \frac { f ( \tau ) } { 4 } + x ) } \theta \left( \frac { ( 3 f + g ) ( \tau ) } { 8 } + x , \frac { ( f + g ) ( \tau ) } { 2 } \right) } \\ & { + e ^ { \pi i ( \frac { g ( \tau ) } { 4 } - x ) } \theta \left( \frac { - ( f + 3 g ) ( \tau ) } { 8 } + x , \frac { ( f + g ) ( \tau ) } { 2 } \right) } \end{array}
\left( \begin{array} { c c c } { M _ { s } } & { 0 } & { K _ { s } ^ { T } } \\ { 0 } & { \alpha M } & { C ^ { T } } \\ { K _ { s } } & { C _ { s } } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \mathbf { y } } \\ { \mathbf { u } } \\ { \mathbf { p } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { M _ { s } \mathbf { y } _ { d } } \\ { 0 } \\ { \mathbf { f } _ { s } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \Omega ( n ) ^ { 2 } \right] } & { \leq C \sum _ { m = 0 } ^ { n } 3 ^ { - ( n - m ) } \exp \left( - c m ^ { 1 - 3 \alpha } \right) } \\ & { = \sum _ { m = 0 } ^ { \left\lfloor \frac { n } { 2 } \right\rfloor } 3 ^ { - ( n - m ) } \exp \left( - c m ^ { 1 - 3 \alpha } \right) + \sum _ { m = \left\lfloor \frac { n } { 2 } \right\rfloor + 1 } ^ { n } 3 ^ { - ( n - m ) } \exp \left( - c m ^ { 1 - 3 \alpha } \right) } \\ & { \leq C 3 ^ { - \frac { n } { 2 } } + C \exp \left( - c \left\lfloor \frac { n } { 2 } + 1 \right\rfloor ^ { 1 - 3 \alpha } \right) \leq C \exp \left( - c n ^ { 1 - 3 \alpha } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \left( y _ { t } ^ { ( i ) } = 1 \Big | w _ { t - \tau : t - 1 } \right) = w _ { t - \tau : t - 1 } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } \theta _ { i } , } \\ & { \theta _ { i } \in \Theta = \{ \theta : 0 \leq w _ { t - \tau : t - 1 } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } \theta \leq 1 , \ t \in [ T ] \} \subset \mathbb { R } ^ { d } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { - 1 } & { = \int _ { - \infty } ^ { u _ { f } } \mathrm { d } u ^ { \prime } \left[ p ( u ^ { \prime } , \infty | u _ { 0 } ) - p ( u ^ { \prime } , 0 | u _ { 0 } ) \right] = \int _ { - \infty } ^ { u _ { f } } \mathrm { d } u ^ { \prime } \ \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } s \ \partial _ { s } p ( u ^ { \prime } , s | u _ { 0 } ) = } \\ & { = \int _ { - \infty } ^ { u _ { f } } \mathrm { d } u ^ { \prime } \ \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } s \ \left[ f ( u _ { 0 } ) \partial _ { u _ { 0 } } p \left( \left. u ^ { \prime } , s \right| u _ { 0 } \right) + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { u _ { 0 } } ^ { 2 } p \left( \left. u ^ { \prime } , s \right| u _ { 0 } \right) \right] = } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } s \ \left[ f ( u _ { 0 } ) \partial _ { u _ { 0 } } \Pi \left( s ; u _ { f } | u _ { 0 } \right) + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { u _ { 0 } } ^ { 2 } \Pi \left( s ; u _ { f } | u _ { 0 } \right) \right] = } \\ & { = f ( u _ { 0 } ) \partial _ { u _ { 0 } } \left\langle S _ { u _ { f } | u _ { 0 } } \right\rangle + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { u _ { 0 } } ^ { 2 } \left\langle S _ { u _ { f } | u _ { 0 } } \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 6 } N : = \frac { 1 } { x } \left( \frac { 1 } { \delta _ { + } } + \frac { 1 } { \delta _ { - } } - \frac { 1 } { \rho } \right) } & { \, , \qquad \delta _ { \pm } : = \sqrt { x ^ { 2 } + ( \rho \pm y ) ^ { 2 } } \, , \qquad \kappa ( \boldsymbol x _ { 1 } , \boldsymbol x _ { 2 } ) : = \sqrt { \frac { 4 x _ { 1 } x _ { 2 } } { ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( y _ { 1 } - y _ { 2 } ) ^ { 2 } } } \, , } \\ { M ( \boldsymbol x _ { 1 } , \boldsymbol x _ { 2 } ) : = \, } & { \frac { \kappa ( \boldsymbol x _ { 1 } , \boldsymbol x _ { 2 } ) } { 2 \pi ( x _ { 1 } x _ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } \left( \frac { 2 - \kappa ^ { 2 } ( \boldsymbol x _ { 1 } , \boldsymbol x _ { 2 } ) } { 2 - 2 \kappa ^ { 2 } ( \boldsymbol x _ { 1 } , \boldsymbol x _ { 2 } ) } E ( \kappa ( \boldsymbol x _ { 1 } , \boldsymbol x _ { 2 } ) ) - K ( \kappa ( \boldsymbol x _ { 1 } , \boldsymbol x _ { 2 } ) ) \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I ( A _ { 2 } ^ { [ 1 ] } ; A _ { 2 } ^ { [ 2 ] } | \mathbb { Q } ) } & { \leq } & { I ( A _ { 2 } ^ { [ 1 ] } ; A _ { 2 } ^ { [ 2 ] } | W _ { 1 } , \mathbb { Q } ) + I ( A _ { 2 } ^ { [ 1 ] } ; A _ { 2 } ^ { [ 2 ] } | W _ { 2 } , \mathbb { Q } ) } \\ & { = } & { 2 I ( A _ { 2 } ^ { [ 1 ] } ; A _ { 2 } ^ { [ 2 ] } | W _ { 1 } , \mathbb { Q } ) } \\ & { = } & { 2 \big ( H ( A _ { 2 } ^ { [ 1 ] } | W _ { 1 } , \mathbb { Q } ) + H ( A _ { 2 } ^ { [ 2 ] } | W _ { 1 } , \mathbb { Q } ) - H ( A _ { 2 } ^ { [ 1 ] } , A _ { 2 } ^ { [ 2 ] } | W _ { 1 } , \mathbb { Q } ) \big ) } \\ & { \overset { ( p ) } { = } } & { 2 \big ( 2 H ( A _ { 2 } ^ { [ 1 ] } | W _ { 1 } , \mathbb { Q } ) - H ( A _ { 2 } ^ { [ 1 ] } , A _ { 2 } ^ { [ 2 ] } | W _ { 1 } , \mathbb { Q } ) \big ) } \\ & { \leq } & { 2 \big ( 2 H ( A _ { 2 } ^ { [ 1 ] } | W _ { 1 } , \mathbb { Q } ) + H ( A _ { 1 } ^ { [ 1 ] } , A _ { 2 } ^ { [ 1 ] } | W _ { 1 } , \mathbb { Q } ) } \\ & { } & { - ~ H ( A _ { 1 } ^ { [ 1 ] } , A _ { 2 } ^ { [ 1 ] } , A _ { 2 } ^ { [ 2 ] } | W _ { 1 } , \mathbb { Q } ) - H ( A _ { 2 } ^ { [ 1 ] } | W _ { 1 } , \mathbb { Q } ) \big ) } \\ & { \overset { ( c ) ( ) } { = } } & { 2 \big ( H ( A _ { 2 } ^ { [ 1 ] } | W _ { 1 } , \mathbb { Q } ) + H ( A _ { 1 } ^ { [ 1 ] } , A _ { 2 } ^ { [ 1 ] } | W _ { 1 } , \mathbb { Q } ) } \\ & { } & { - ~ H ( A _ { 1 } ^ { [ 1 ] } , A _ { 2 } ^ { [ 1 ] } , A _ { 2 } ^ { [ 2 ] } , W _ { 2 } | W _ { 1 } , \mathbb { Q } ) \big ) } \\ & { \overset { ( i ) } { \leq } } & { 2 \big ( 2 H ( A _ { 1 } ^ { [ 1 ] } , A _ { 2 } ^ { [ 1 ] } | W _ { 1 } , \mathbb { Q } ) - H ( W _ { 2 } ) \big ) } \\ & { \overset { ( ) } { \leq } } & { 2 \big ( 2 ( 2 H ( A _ { 1 } ^ { [ 1 ] } | \mathbb { Q } ) - L ) - L \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \eta ( T ) } & { = } & { \frac { 5 } { 1 6 } \frac { \sqrt { 2 \pi \mu k _ { \mathrm { B } } T } } { \Omega ^ { ( 2 , 2 ) } } f _ { \eta } ^ { ( k ) } } \\ { \lambda ( T ) } & { = } & { \frac { 7 5 } { 6 4 } \sqrt { \frac { k _ { \mathrm { B } } T } { 2 \pi \mu } } \frac { 1 } { \Omega ^ { ( 2 , 2 ) } } f _ { \lambda } ^ { ( k ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \mathbf { d } _ { 0 } x , y \rangle _ { L ^ { 2 } } } & { = \int _ { a } ^ { b } ( \mathbf { d } _ { 0 } x ( z ) ) y ( z ) \, d z } \\ & { = \int _ { a } ^ { b } - \left[ \frac { d } { d z } ( c _ { 0 } x ) ( z ) + \frac { d } { d z } ( \overline { { c } } _ { 0 } x ) ( z ) \right] y ( z ) \, d z } \\ & { = - \int _ { a } ^ { 0 } \frac { d } { d z } ( c _ { 0 } x ) ( z ) y ( z ) \, d z - \int _ { 0 } ^ { b } \frac { d } { d z } ( \overline { { c } } _ { 0 } x ) ( z ) y ( z ) \, d z . } \end{array}
\begin{array} { r } { \textbf { v } _ { l } = \frac { \textbf { v } _ { l } ^ { ' } } { \sqrt { \left( \textbf { v } _ { l } ^ { ' } \right) ^ { 2 } + \left( \textbf { v } _ { l + L } ^ { ' } \right) ^ { 2 } } } + j \frac { \textbf { v } _ { l + L } ^ { ' } } { \sqrt { \left( \textbf { v } _ { l } ^ { ' } \right) ^ { 2 } + \left( \textbf { v } _ { l + L } ^ { ' } \right) ^ { 2 } } } , \forall l \in \mathcal { L } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( u ( \vec { v } ) u ( \vec { w } ) ) } & { = g ( v ^ { I } \mathrm { e } _ { I } ^ { \alpha } \; \vec { \partial } _ { \alpha } , w ^ { I } \mathrm { e } _ { J } ^ { \beta } \; \vec { \partial } _ { \beta } ) = v ^ { I } w ^ { I } \mathrm { e } _ { I } ^ { \alpha } \mathrm { e } _ { J } ^ { \beta } g _ { \alpha \beta } . } \end{array}
\int _ { \operatorname* { m i n } ( a , c ) } ^ { \operatorname* { m a x } ( a , c ) } \mathrm { E C T } _ { \alpha } ( v , t ) + \mathrm { E C T } _ { \beta } ( v , t ) \, \mathrm { d } t + \int _ { \operatorname* { m a x } ( a , c ) } ^ { b } \mathrm { E C T } _ { \alpha } ( v , t ) + \mathrm { E C T } _ { \beta } ( v , t ) - 2 \, \mathrm { d } t + \int _ { b } ^ { d } \mathrm { E C T } _ { \beta } ( v , t ) - 1 \, \mathrm { d } t ,
\begin{array} { r } { \mathsf { R } _ { \bar { \textrm { \tiny ( 1 ) } } } ^ { \alpha } \otimes \mathsf { R } _ { \bar { \textrm { \tiny ( 2 ) } } } ^ { \alpha } \otimes \mathsf { R } _ { \alpha } = \mathsf { R } ^ { \beta } \otimes \mathsf { R } ^ { \alpha } \otimes \mathsf { R } _ { \beta } \, \mathsf { R } _ { \alpha } \qquad \mathrm { a n d } \qquad \mathsf { R } ^ { \alpha } \otimes { \mathsf { R } _ { \alpha } } _ { \bar { \textrm { \tiny ( 1 ) } } } \otimes { \mathsf { R } _ { \alpha } } _ { \bar { \textrm { \tiny ( 2 ) } } } = \mathsf { R } ^ { \beta } \, \mathsf { R } ^ { \alpha } \otimes \mathsf { R } _ { \alpha } \otimes \mathsf { R } _ { \beta } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Big \Vert \mathrm { K } _ { G } ^ { \mathrm { f r e e } } [ H ] \Big \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { L } ^ { 2 } ( \mathbb T ^ { d } ) ) } + \Big \Vert \mathrm { K } _ { G } ^ { \mathrm { f r i c } } [ H ] \Big \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { L } ^ { 2 } ( \mathbb T ^ { d } ) ) } } & { \leq C ( 1 + T ) \underset { 0 \leq s , t \leq T } { \operatorname* { s u p } } \Vert \partial _ { s } G ( t , s ) \Vert _ { \mathcal { H } _ { \sigma } ^ { p } } \Vert H \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \dot { \mathrm { H } } ^ { - 1 } ( \mathbb T ^ { d } ) ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \sqrt { s } } { s + \sqrt { a } } } & { = \frac { 1 } { \sqrt [ 4 ] { a } \sqrt { \pi } } \int _ { \mathbb { R } } \left( 1 - 2 e ^ { \frac { x } { 2 } } F \left( e ^ { \frac { x } { 2 } } \right) \right) e ^ { \frac { x } { 2 } - \frac { 1 } { \sqrt { a } } e ^ { x } s } \, \mathrm { d } x } \\ & { = 2 \frac { 1 } { \sqrt [ 4 ] { a } \sqrt { \pi } } \int _ { \mathbb { R } } \frac { d F } { d x } ( e ^ { x / 2 } ) e ^ { - \frac { 1 } { \sqrt { a } } e ^ { x } s } \, \mathrm { d } x . } \end{array}
\mathbf H _ { \mathcal { I } \mathcal { K } } ^ { - 1 } \mathbf H _ { \mathcal { I } \mathcal { K } , s } = \big ( \mathbf H _ { \mathcal { I } \mathcal { K } _ { 0 } } \mathbf H _ { \mathcal { K } _ { 0 } \mathcal { K } } \big ) ^ { - 1 } \big ( \mathbf H _ { \mathcal { I } \mathcal { K } _ { 0 } } \mathbf H _ { \mathcal { K } _ { 0 } \mathcal { K } } \big ) _ { , s } = \mathbf H _ { \mathcal { K } _ { 0 } \mathcal { K } } ^ { - 1 } \mathbf H _ { \mathcal { K } _ { 0 } \mathcal { K } , s }
\langle v , w \rangle = \langle x _ { 1 } v _ { 1 } + x _ { 2 } v _ { 2 } , y _ { 1 } v _ { 1 } + y _ { 2 } v _ { 2 } \rangle = \bar { x _ { 1 } } \langle v _ { 1 } , y _ { 1 } v _ { 1 } + y _ { 2 } v _ { 2 } \rangle + \bar { x _ { 2 } } \langle v _ { 2 } , y _ { 1 } v _ { 1 } + y _ { 2 } v _ { 2 } \rangle = \bar { x _ { 1 } } y _ { 1 } \langle v _ { 1 } , v _ { 1 } \rangle + \bar { x _ { 1 } } y _ { 2 } \langle v _ { 1 } , v _ { 2 } \rangle + \bar { x _ { 2 } } y _ { 1 } \langle v _ { 2 } , v _ { 1 } \rangle + \bar { x _ { 2 } } y _ { 2 } \langle v _ { 2 } , v _ { 2 } \rangle = \sum _ { i = 1 , j = 1 } ^ { 2 } \bar { x } _ { i } y _ { j } \langle v _ { i } , v _ { j } \rangle = \bar { x } ^ { T } A y
\begin{array} { r } { \operatorname * { m i n } _ { \mathbf { w } \in { \mathbb { R } ^ { q } } } \Big \{ F ( \mathbf { w } ) \overset { \Delta } { = } \sum _ { k \in \mathcal { K } } \frac { J _ { k } } { J } F _ { k } ( \mathbf { w } ) = \frac { 1 } { J } \sum _ { k \in \mathcal { K } } \sum _ { l = 1 } ^ { J _ { k } } f ( \mathbf { w } , \mathbf { x } _ { k l } , { y } _ { k l } ) \Big \} , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { \frac { \partial \mathcal L _ { 2 } ( \boldsymbol f , \boldsymbol g , \boldsymbol \lambda _ { 2 } , \lambda _ { 3 } ) } { \partial g _ { k } } } \\ { = } & { 2 \kappa y _ { 2 k } ( \mathcal D _ { k } , \mathcal S _ { k } ) f _ { k } - \frac { \lambda _ { 2 k } y _ { 2 k } ( \mathcal D _ { k } , \mathcal S _ { k } ) } { f _ { k } ^ { 2 } } } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \Omega } \| v _ { 0 } \| ^ { 2 } d \gamma _ { 0 } ^ { * } ( x _ { 0 } ) + \lambda ( | \nu _ { 0 } | + | \nu ^ { 1 } | ) = \int _ { \Omega } \operatorname* { m i n } ( \| v _ { 0 } \| ^ { 2 } , 2 \lambda ) d \gamma _ { 0 } ^ { * } ( x _ { 0 } ) + \lambda ( | \nu _ { 0 } | + | \nu ^ { 1 } | ) \qquad \mathrm { ~ f o r ~ } v _ { 0 } ( x ^ { 0 } ) = T ( x ^ { 0 } ) - x ^ { 0 } , } \end{array}
\delta _ { * } : \operatorname { I n d C o h } _ { X } ( \mathbb { E } _ { X } / \mathbb { G } _ { m } ) \rightarrow \operatorname { I n d C o h } _ { X } ( { \mathbb F } _ { X } / \mathbb { G } _ { m } ) , \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \delta ^ { ! } : \operatorname { I n d C o h } _ { X } ( { \mathbb F } _ { X } / \mathbb { G } _ { m } ) \rightarrow \operatorname { I n d C o h } _ { X } ( \mathbb { E } _ { X } / \mathbb { G } _ { m } )
\begin{array} { r l r } { \left< \hat { \mathcal X } _ { i } \right> } & { \approx } & { \Omega _ { p } \int _ { 0 } ^ { t _ { \mathrm { m } } } d t \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } ( - i ) \left[ C ( t , t ^ { \prime } ) - C ( t ^ { \prime } , t ) \right] \cos \left( \omega _ { p } t ^ { \prime } \right) \cos \left( \omega _ { p } t + \varphi \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E 1 _ { P V } } & { = } & { \sum _ { I \ne i } \frac { \langle \Phi _ { f } | D | \Phi _ { I } \rangle \langle \Phi _ { I } | H _ { W } | \Phi _ { i } \rangle } { { \cal E } _ { i } - { \cal E } _ { I } } } \\ & { } & { + \sum _ { I \ne f } \frac { \langle \Phi _ { f } | H _ { W } | \Phi _ { I } \rangle \langle \Phi _ { I } | D | \Phi _ { i } \rangle } { { \cal E } _ { f } - { \cal E } _ { I } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { b } _ { k } ^ { ( q ) } = \sqrt { 1 + \frac { d _ { q } } { n } \left( \frac { \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } { \sigma _ { \pi ( k ) } ^ { 2 } } + \frac { \sigma _ { 0 } ^ { 4 } } { \sigma _ { \pi ( k ) } ^ { 4 } } \right) } - 1 + O _ { p } \left( \frac { d ^ { 3 / 2 } } { n ^ { 3 / 2 } } \right) + o _ { p } \left( \frac { 1 } { \sqrt { n } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } _ { \{ \mathbf A _ { t } \} } \: \: \beta _ { 1 } \sum _ { t = 1 } ^ { t = T } J ( \mathbf x , t ) + \beta _ { 2 } \| \mathbf x _ { T } - \mathbf x _ { \mathrm { t a r g e t } } \| _ { 2 } ^ { 2 } \: \: \mathrm { s . t . } } \\ & { \mathbf x _ { t + 1 } = P _ { C } \big ( \mathbf x _ { t } - \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \alpha _ { i } ( \operatorname { I d } - P _ { Q _ { i } } ) \mathbf x _ { t } } \\ & { + \alpha _ { 3 } \mathbf A _ { t } ^ { \top } ( \operatorname { I d } - P _ { Q _ { 3 } } ) \mathbf A _ { t } \mathbf x _ { t } \big ) \: \: \mathrm { f o r } \: t \in \{ 1 , T - 1 \} } \\ & { \mathbf x _ { 1 } = \mathbf x _ { \mathrm { s t a r t } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { 2 ^ { k } } ( t _ { - } ^ { \otimes k } \otimes u _ { n } ) _ { i } ^ { \downarrow } } & { \geq \sum _ { j = 0 } ^ { a } n \binom { k } { j } \frac { ( 1 - \varepsilon ) ^ { k - j } \varepsilon ^ { j } } { n } = \sum _ { j = 0 } ^ { a } \binom { k } { j } ( 1 - \varepsilon ) ^ { k - j } \varepsilon ^ { j } } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \psi ^ { \prime } ( s _ { \delta } ) } & { \le V ( x _ { \delta } ) - V ( y _ { \delta } ) - \left( \frac { | \nabla _ { x } \Phi ( X _ { s _ { \delta } } ^ { - 1 } , Y _ { r _ { \delta } } ^ { - 1 } , T ) | ^ { 2 } } { 2 } - \frac { | \nabla _ { y } \Phi ( X _ { s _ { \delta } } ^ { - 1 } , Y _ { r _ { \delta } } ^ { - 1 } , T ) | ^ { 2 } } { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big ( d _ { f _ { \ell } } \Psi _ { p , 2 } \{ 0 , 0 \} [ h _ { \ell } ] \big ) ( \theta _ { k } , \varphi ) } & { = \frac { \omega _ { \ell } - \omega _ { \ell + 1 } } { 4 \pi } \sin ( \theta _ { \ell } ) \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } h _ { \ell } ( \varphi ^ { \prime } ) \log \Big ( D ( \theta _ { k } , \theta _ { \ell } , \varphi , \varphi ^ { \prime } ) \Big ) d \varphi ^ { \prime } } \\ & { = \frac { \omega _ { \ell } - \omega _ { \ell + 1 } } { 2 } \sin ( \theta _ { \ell } ) \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } h _ { n } ^ { ( \ell ) } I _ { \mathbf { m } n } ( \theta _ { k } , \theta _ { \ell } ) \cos ( \mathbf { m } n \varphi ) } \\ & { = - \frac { \omega _ { \ell } - \omega _ { \ell + 1 } } { 2 } \sin ( \theta _ { \ell } ) \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { h _ { n } ^ { ( \ell ) } } { \mathbf { m } n } \tan ^ { \mathbf { m } n } \left( \frac { \operatorname* { m i n } ( \theta _ { k } , \theta _ { \ell } ) } { 2 } \right) \cot ^ { \mathbf { m } n } \left( \frac { \operatorname* { m a x } ( \theta _ { k } , \theta _ { \ell } ) } { 2 } \right) \cos ( \mathbf { m } n \varphi ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathrm { t r } ( A _ { 0 } X ) } \\ { \ge \ } & { } & { \mathrm { t r } ( A _ { 0 } X ) + \sum _ { i = 1 } ^ { k } \left[ \lambda _ { i } ^ { + } ( \mathrm { t r } ( A _ { i } X ) - a _ { i } ^ { u } ) - \lambda _ { i } ^ { - } ( \mathrm { t r } ( A _ { i } X ) - a _ { i } ^ { l } ) \right] + \mathrm { t r } ( \Lambda ( X ^ { T } X - I _ { p } ) ) } \\ { = \ } & { } & { \mathrm { t r } ( A _ { 0 } X ) + \sum _ { i = 1 } ^ { k } \lambda _ { i } \mathrm { t r } ( A _ { i } X ) + \mathrm { t r } ( \Lambda ( X ^ { T } X - I _ { p } ) ) - \sum _ { i = 1 } ^ { k } ( \lambda _ { i } ^ { + } a _ { i } ^ { u } - \lambda _ { i } ^ { - } a _ { i } ^ { l } ) } \\ { \ge \ } & { } & { \mathrm { t r } ( A _ { 0 } X ^ { * } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { k } \lambda _ { i } \mathrm { t r } ( A _ { i } X ^ { * } ) + \mathrm { t r } ( \Lambda ( X ^ { * T } X ^ { * } - I _ { p } ) ) - \sum _ { i = 1 } ^ { k } ( \lambda _ { i } ^ { + } a _ { i } ^ { u } - \lambda _ { i } ^ { - } a _ { i } ^ { l } ) } \\ { = \ } & { } & { \mathrm { t r } ( A _ { 0 } X ^ { * } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { k } \left[ \lambda _ { i } ^ { + } ( \mathrm { t r } ( A _ { i } X ^ { * } ) - a _ { i } ^ { u } ) - \lambda _ { i } ^ { - } ( \mathrm { t r } ( A _ { i } X ^ { * } ) - a _ { i } ^ { l } ) \right] + \mathrm { t r } ( \Lambda ( X ^ { * T } X ^ { * } - I _ { p } ) ) } \\ { = \ } & { } & { \mathrm { t r } ( A _ { 0 } X ^ { * } ) , } \end{array}
\frac { 1 } { | B | } \int _ { B } | b ( x ) - b ( y ) | d x \le \frac { 2 } { | B | } \int _ { B } | b ( x ) - b _ { B _ { z _ { 0 } } } | d x \lesssim \left\| [ b , I _ { \gamma } ] \right\| _ { ( L ^ { p _ { 1 } ( \cdot ) } , L ^ { q } ) ^ { \alpha } ( { \mathbb R } ^ { n } ) \rightarrow ( L ^ { p _ { 2 } ( \cdot ) } , L ^ { q } ) ^ { \beta } ( { \mathbb R } ^ { n } ) } < \infty .
\begin{array} { r l } & { \| \sigma ( \beta , y _ { i } | _ { B ( \operatorname { s u p p } ( O _ { i } ) , r ( \varepsilon ) ) } , x _ { B ( \operatorname { s u p p } ( O _ { i } ) , r ( \varepsilon ) ^ { c } } ^ { * } ) - \sigma ( \beta , x | _ { B ( \operatorname { s u p p } ( O _ { i } ) , r ( \varepsilon ) ) } , x _ { B ( \operatorname { s u p p } ( O _ { i } ) , r ( \varepsilon ) ^ { c } } ^ { * } ) \| _ { 1 } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \leq 2 ( e ^ { \beta \ell | B ( \operatorname { s u p p } ( O _ { i } ) , r ( \varepsilon ) ) | \gamma } - 1 ) = \mathcal { O } ( \varepsilon ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial \hat { u } } { \partial \hat { t } } + \hat { u } \frac { \partial \hat { u } } { \partial \hat { x } } + \hat { v } \frac { \partial \hat { u } } { \partial \hat { y } } = - \frac { \partial \hat { P } } { \partial \hat { x } } + \frac { 1 } { R e } \left( { \frac { \partial ^ { 2 } \hat { u } } { \partial { \hat { x } } ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \hat { u } } { \partial { \hat { y } } ^ { 2 } } } \right) ~ ( a ) } \\ & { \frac { \partial \hat { v } } { \partial \hat { t } } + \hat { u } \frac { \partial \hat { v } } { \partial \hat { x } } + \hat { v } \frac { \partial \hat { v } } { \partial \hat { y } } = - \frac { \partial \hat { P } } { \partial \hat { y } } + \frac { 1 } { R e } \left( { \frac { \partial ^ { 2 } \hat { v } } { \partial { \hat { x } } ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \hat { v } } { \partial { \hat { y } } ^ { 2 } } } \right) ~ ( b ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { \boldsymbol { \xi } _ { p } } \left[ \mathcal { G } _ { \theta } ( u _ { 0 } , t ) ( \boldsymbol { \xi } _ { p , t } ) \right] } \\ { \approx } & { \sum _ { \boldsymbol { \xi } _ { p , t } ^ { d , i } \in N ( \boldsymbol { \xi } _ { p , t } ^ { c } , r ) } \mathcal { G } _ { \theta } ( u _ { 0 } , t ) ( \boldsymbol { \xi } _ { p , t } ^ { d , i } ) \cdot p _ { t } ( \boldsymbol { \xi } _ { p , t } ^ { d , i } ) \cdot \delta , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { ( { \bf r } ^ { n + 1 } , { \bf v } ) + \left( \frac { { \bf u } _ { j } ( t ^ { n + 1 } ) - { \bf u } _ { j } ^ { n + 1 } } { \Delta t } - \frac { { \bf u } _ { j } ( t ^ { n } ) - { \bf u } _ { j } ^ { n } } { \Delta t } , { \bf v } \right) + ( { \bar { \nu } } ^ { n + 1 } ( \nabla { \bf u } _ { j } ( t ^ { n + 1 } ) - \nabla { \bf u } _ { j } ^ { n + 1 } ) , \nabla { \bf v } ) } \\ & { } & { + ( ( \nu _ { j } ^ { n + 1 } - { \bar { \nu } } ^ { n + 1 } ) ( \nabla { \bf u } _ { j } ( t ^ { n } ) - \nabla { \bf u } _ { j } ^ { n } ) , \nabla { \bf v } ) + ( ( \nu _ { j } ^ { n + 1 } - { \bar { \nu } } ^ { n + 1 } ) ( \nabla { \bf u } _ { j } ( t ^ { n + 1 } ) - \nabla { \bf u } _ { j } ( t ^ { n } ) ) , \nabla { \bf v } ) } \\ & { } & { + \int _ { \Gamma } \kappa _ { j } ( u _ { 1 , j } ( t ^ { n + 1 } ) - u _ { 2 , j } ( t ^ { n + 1 } ) ) { v _ { 1 } } \mathrm { d } s + \int _ { \Gamma } \kappa _ { j } ( u _ { 2 , j } ( t ^ { n + 1 } ) - u _ { 1 , j } ( t ^ { n + 1 } ) ) { v _ { 2 } } \mathrm { d } s } \\ & { } & { - \int _ { \Gamma } { \kappa _ { \operatorname* { m a x } } } ( u _ { 1 , j } ^ { n + 1 } - u _ { 2 , j } ^ { n } ) v _ { 1 } \mathrm { d } s - \int _ { \Gamma } { \kappa _ { \operatorname* { m a x } } } ( u _ { 2 , j } ^ { n + 1 } - u _ { 1 , j } ^ { n } ) v _ { 2 } \mathrm { d } s } \\ & { } & { - \int _ { \Gamma } ( \kappa _ { j } - { \kappa _ { \operatorname* { m a x } } } ) ( u _ { 1 , j } ^ { n } - u _ { 2 , j } ^ { n } ) v _ { 1 } \mathrm { d } s - \int _ { \Gamma } ( \kappa _ { j } - { \kappa _ { \operatorname* { m a x } } } ) ( u _ { 2 , j } ^ { n } - u _ { 1 , j } ^ { n } ) v _ { 2 } \mathrm { d } s = 0 . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { f _ { E } ( E ) d E } & { = \left[ { \frac { 1 } { 2 \pi m k T } } \right] ^ { \frac { 3 } { 2 } } \exp \left( - { \frac { E } { k T } } \right) 4 \pi m { \sqrt { 2 m E } } \ d E } \\ & { = 2 { \sqrt { \frac { E } { \pi } } } \, \left[ { \frac { 1 } { k T } } \right] ^ { \frac { 3 } { 2 } } \exp \left( - { \frac { E } { k T } } \right) \, d E } \end{array} }
\tilde { \Psi } _ { i , a } ^ { ( q ) } = \Psi _ { i , a } ^ { - 1 } \prod _ { \{ j \in I | C _ { i , j } = - 1 \} } \Psi _ { j , a q _ { i } } \prod _ { \{ j \in I | C _ { i , j } = - 2 \} } \Psi _ { j , a } \Psi _ { j , a q _ { i } ^ { 2 } } \prod _ { \{ j \in I | C _ { i , j } = - 3 \} } \Psi _ { j , a q _ { i } ^ { - 1 } } \Psi _ { j , a q _ { i } } \Psi _ { j , a q _ { i } ^ { 3 } }
\begin{array} { r l } { E - \Phi ( u ) } & { = \int _ { u _ { 1 } ( E ) } ^ { u } \big ( \sigma ( z ) - \sigma ( u _ { - } ) - s ^ { 2 } ( z - u _ { - } ) \big ) ~ d z } \\ & { > \int _ { u _ { 1 } ( E ) } ^ { u } \eta ( z - u _ { - } ) ~ d z } \\ & { = \eta ( u - u _ { 1 } ( E ) ) \left( \frac { u + u _ { 1 } ( E ) } { 2 } - u _ { - } \right) , \qquad u _ { - } < u _ { 1 } ( E ) < u < u _ { + } - \alpha \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z _ { i } ) ) ( Y _ { i } - \hat { m } ( x ) ) } \\ { = } & { \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z _ { i } ) ) ( Y _ { i } - m ( x ) ) + ( m ( x ) - \hat { m } ( x ) ) \hat { f } _ { X } ( x ) } \\ { = } & { \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z _ { i } ) ) ( Y _ { i } - m ( x ) ) + \left( m ( x ) - \frac { m ( x ) f _ { X } ( x ) + o _ { p } ( 1 ) } { f _ { X } ( x ) + o _ { p } ( 1 ) } \right) \hat { f } _ { X } ( x ) } \\ { = } & { \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z _ { i } ) ) ( Y _ { i } - m ( x ) ) + o _ { p } ( 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { W _ { P } \Phi ( : , k ) = ( 2 \hat { B } \hat { B } ^ { H } - I ) ( 2 { A } { A } ^ { H } - I ) { A } S ( : , k ) = } \\ & { } & { ( 2 \hat { B } \hat { B } ^ { H } - I ) ( 2 { A } - { A } ) S ( : , k ) = } \\ & { } & { = ( 2 \hat { B } \hat { B } ^ { H } { A } - { A } ) S ( : , k ) = } \\ & { } & { = ( 2 \hat { B } D _ { 1 } ^ { H } - { A } ) S ( : , k ) = } \\ & { } & { = ( 2 \hat { B } T \Xi S ^ { H } - { A } ) S ( : , k ) = } \\ & { } & { = ( 2 \Psi \Xi S ^ { H } - A ) S ( : , k ) = } \\ & { } & { = 2 \Psi \Xi e _ { k } - \Phi ( : , k ) = } \\ & { } & { = 2 \Psi \cos ( \theta _ { k } ) e _ { k } - \Phi ( : , k ) = } \\ & { } & { = 2 \cos ( \theta _ { k } ) \Psi ( : , k ) - \Phi ( : , k ) , } \end{array}
C _ { 1 } ( n , i , j ) = \frac { ( a _ { i - 1 } ( n + \nu + i ) ) L _ { n + i - 1 - j } ^ { ( \nu + j ) } ( 0 ) } { ( n + i - j ) L _ { n + i - j } ^ { ( \nu + j ) } ( 0 ) } \quad \mathrm { a n d } \quad C _ { 2 } ( n , i , j ) = \frac { ( G ( n ) ) _ { i , i } L _ { n - 1 + i - j } ^ { ( \nu + j ) } ( 0 ) } { ( n + i - j ) L _ { n + i - j } ^ { ( \nu + j ) } ( 0 ) } .
\begin{array} { r l } & { \phi ( T , Y ( T ) , \alpha ( T ) ) - \phi ( 0 , Y ( 0 ) , \alpha ( 0 ) ) } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { T } \biggl \{ \biggl ( \frac { \partial { \phi } } { \partial { t } } ( t , Y ( t - ) , \alpha ( t - ) ) + \sum _ { k = 1 } ^ { N } \frac { \partial { \phi } } { \partial { y _ { k } } } ( t , Y ( t - ) , \alpha ( t - ) ) b _ { k } ( t , Y ( t - ) , \alpha ( t - ) ) \biggr ) } \\ & { \quad + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \int _ { 0 } ^ { T } \frac { \partial ^ { 2 } { \phi } } { \partial { y _ { k } } \partial { y _ { n } } } ( t , Y ( t - ) , \alpha ( t - ) ) \sum _ { l = 1 } ^ { M } \sigma _ { k l } \sigma _ { n l } ( t , Y ( t - ) , \alpha ( t - ) ) } \\ & { \quad + \sum _ { m = 1 } ^ { L } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { R } _ { 0 } } \biggl ( \phi ( t , Y ( t - ) + \eta ^ { m } ( t , Y ( t - ) , \alpha ( t - ) , z ) , \alpha ( t - ) ) - \phi ( t , Y ( t - ) , \alpha ( t - ) ) } \\ & { \quad - \sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { \partial { \phi } } { \partial { y _ { n } } } ( t , Y ( t - ) , \alpha ( t - ) ) \eta _ { n m } ( t , Y ( t - ) , \alpha ( t - ) , z ) \biggr ) \nu _ { m } ( d z ) } \end{array}
\lambda _ { j , k } J _ { \tau _ { \delta } } ^ { \gamma - w } \bar { J } _ { \tau _ { \delta } } ^ { \gamma - w ^ { \prime } } \Psi _ { j , k } \circ \tau _ { \delta } = \mathcal { A } _ { w , w ^ { \prime } } ^ { \theta _ { 0 } } \left( J _ { \tau _ { \delta } } ^ { - w } \bar { J } _ { \tau _ { \delta } } ^ { - w ^ { \prime } } \left( \Psi _ { j , k } \circ \tau _ { \delta } \right) \right)
\begin{array} { r l } { B _ { p , l } = } & { ~ \sum _ { i = 1 } ^ { m } y _ { i } y _ { i } ^ { \top } ( x _ { i } ^ { \top } u _ { t , p } ) \cdot ( u _ { t , l } ^ { \top } x _ { i } ) } \\ { D _ { l , q } = } & { ~ ( u _ { * , q } ^ { \top } u _ { t , l } ) I _ { d } } \\ { C _ { p , q } = } & { ~ \sum _ { i = 1 } ^ { m } y _ { i } y _ { i } ^ { \top } ( x _ { i } ^ { \top } u _ { t , p } ) \cdot ( u _ { * , q } ^ { \top } x _ { i } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d t } \| H ( t ) + m \| ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 2 } { 1 + t } \big ( \langle D G ( Z ( t ) ) ( H ( t ) + m ) , H ( t ) + m ) \rangle + \langle H ( t ) + m , D G ( Z ( t ) ) ( M ( t ) - m ) \rangle \big ) } \\ & { \le \frac { 2 } { 1 + t } \big ( - \lambda \| H ( t ) + m \| ^ { 2 } + \| H ( t ) + m ) \| \cdot \| D G ( Z ( t ) ) ( M ( t ) - m ) \| \big ) } \end{array}
\mathcal { P } : = \left\{ p \in [ 0 , 1 ] : ( 1 - p ) \operatorname* { m a x } \left( \mathbb { E } _ { H } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { l } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { \alpha ^ { ( r ) } } \right] , \mathbb { E } _ { H } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { u } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { \alpha ^ { ( r ) } } \right] \right) < 1 \right\} .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \| V - W \| _ { L ^ { 2 } ( I _ { n } ) } ^ { 2 } } & { = \displaystyle \int _ { I _ { n } } \left\{ \displaystyle \int _ { t _ { n - 1 } } ^ { t } \left( \displaystyle \int _ { t _ { n - 1 } } ^ { \eta } ( V - W ) ^ { \prime \prime } ( s ) d s \right) d \eta \right\} ^ { 2 } d t } \\ & { \leq \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \displaystyle \int _ { I _ { n } } ( t - t _ { n - 1 } ) ^ { 2 } \left\{ \displaystyle \int _ { t _ { n - 1 } } ^ { t } \left( \displaystyle \int _ { t _ { n - 1 } } ^ { \eta } | V ^ { \prime \prime } - W ^ { \prime \prime } | ^ { 2 } d s \right) d \eta \right\} d t } \\ & { \leq \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \displaystyle \int _ { I _ { n } } ( t - t _ { n - 1 } ) ^ { 2 } \left\{ \displaystyle \int _ { t _ { n - 1 } } ^ { t } d \eta \displaystyle \int _ { I _ { n } } | V ^ { \prime \prime } - W ^ { \prime \prime } | ^ { 2 } d s \right\} d t } \\ & { = \displaystyle \frac { k _ { n } ^ { 4 } } { 8 } \| V ^ { \prime \prime } - W ^ { \prime \prime } \| _ { L ^ { 2 } ( I _ { n } ) } ^ { 2 } . } \end{array} } \end{array}
\frac 1 2 \operatorname { R e } \int _ { \partial \mathcal { D } _ { \rho } } \mathcal { F } _ { 2 } \overline { f } f _ { \zeta } \, d \zeta - \operatorname { R e } \int _ { \partial \mathcal { D } _ { \rho } } \frac { \overline { { w _ { \zeta } f } } \mathcal { F } _ { 1 } } { ( \zeta - \zeta _ { k } ) \overline { { f _ { \zeta } } } } \, d \zeta = \frac 1 2 \operatorname { R e } \overline { { \int _ { \partial \mathcal { D } _ { \rho } } \frac { w _ { \zeta } ^ { 2 } f } { f _ { \zeta } } \, d \zeta } } .
\begin{array} { r l } { \langle ( | G _ { 0 } | - | M _ { 0 } | ) A \rangle = - \mathrm { I m } \, } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } \langle \underline { { W G _ { s } } } \mathcal { X } _ { s } [ A ] M _ { s } \rangle \mu ( \mathrm { d } s ) } \\ & { + \mathrm { I m } \, \int _ { 0 } ^ { \infty } \langle G _ { s } - M _ { s } \rangle \langle ( G _ { s } - M _ { s } ) \mathcal { X } _ { s } [ A ] M _ { s } \rangle \mu ( \mathrm { d } s ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi _ { \chi } ( p , y ) } & { = \big ( \Psi _ { p , y } ^ { ( N ) } , \Phi _ { \chi } \big ) = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \int _ { \mathscr { D } _ { N } ^ { \sigma } } \big ( \Psi _ { p , y } ^ { ( N ) } , \Phi _ { x + \mathrm { i } \epsilon } ^ { ( N ) } \big ) \chi ( x ) \mathrm { d } \mu _ { N } ^ { A } ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \sqrt { ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 2 ) } \sum _ { s = 0 } ^ { n + 1 } r _ { 2 n + 2 , 2 s } \phi _ { 2 s } ( \xi _ { 2 } ^ { \prime } ) } \\ & { = } & { \sqrt { ( 2 n ) ( 2 n - 1 ) } ( \alpha _ { n } - 1 ) \sum _ { s = 0 } ^ { n - 1 } r _ { 2 n - 2 , 2 s } \phi _ { 2 s } ( \xi _ { 2 } ^ { \prime } ) + ( ( 2 n + 2 ) \alpha _ { n } - 4 n - 1 ) \sum _ { s = 0 } ^ { n } r _ { 2 n , 2 s } \phi _ { 2 s } ( \xi _ { 2 } ^ { \prime } ) } \\ & { } & { + \sum _ { s = 1 } ^ { n } r _ { 2 n , 2 s } \sqrt { ( 2 s ) ( 2 s - 1 ) } \phi _ { 2 s - 2 } ( \xi _ { 2 } ^ { \prime } ) + \sum _ { s = 0 } ^ { n } r _ { 2 n , 2 s } ( 2 s ) \phi _ { 2 s } ( \xi _ { 2 } ^ { \prime } ) } \\ & { } & { + ( 1 - \alpha _ { n } ) \sum _ { s = 0 } ^ { n } r _ { 2 n , 2 s } \left( ( 2 s + 1 ) \phi _ { 2 s } ( \xi _ { 2 } ^ { \prime } ) + \sqrt { ( 2 s + 1 ) ( 2 s + 2 ) } \phi _ { 2 s + 2 } ( \xi _ { 2 } ^ { \prime } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \bar { n } } { p + \log ( | \mathcal { E } | ) + t } \ge \underbrace { ( 1 8 C _ { 2 } \kappa _ { U } ^ { 3 / 2 } \sigma _ { x } ^ { 3 } \sigma _ { \varepsilon } ) \lor ( 1 6 C \kappa _ { U } \sigma _ { x } ^ { 2 } \sigma _ { \varepsilon } ^ { 2 } ) } _ { c _ { 1 } } \frac { \gamma } { \kappa _ { L } } \left( \sqrt { \frac { 1 } { \mathsf { s } _ { + } \land ( \gamma \kappa _ { L } \mathsf { s } _ { - } ) } } + \frac { 1 } { \mathsf { s } _ { + } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { a ^ { 5 / 2 } } { ( q t ) ^ { 1 / 2 } } \le \frac { 1 } { ( \theta _ { 1 } a ^ { 3 6 / 4 1 } t ^ { - 1 1 / 4 1 } - 1 ) ^ { 1 / 2 } } a ^ { 5 / 2 } t ^ { - 1 / 2 } } & { \le \left( \theta _ { 1 } - a ^ { - 3 6 / 4 1 } t ^ { 1 1 / 4 1 } \right) ^ { - 1 / 2 } a ^ { 1 6 9 / 8 2 } t ^ { - 1 5 / 4 1 } } \\ & { \le \left( \theta _ { 1 } - \frac { 1 } { \theta _ { 2 } t _ { 0 } ^ { 1 0 0 / 6 9 7 } } \right) ^ { - 1 / 2 } a ^ { 1 6 9 / 8 2 } t ^ { - 1 5 / 4 1 } , } \end{array}
\mathrm { c i r c } \left( \mathrm { u n f o l d } \left( \mathcal { A } \right) \right) : = \left[ \begin{array} { l l l l } { \mathcal { A } \left( : , : , 1 \right) } & { \mathcal { A } \left( : , : , n _ { 3 } \right) } & { \cdots } & { \mathcal { A } \left( : , : , 2 \right) } \\ { \mathcal { A } \left( : , : , 2 \right) } & { \mathcal { A } \left( : , : , 1 \right) } & { \cdots } & { \mathcal { A } \left( : , : , 3 \right) } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \mathcal { A } \left( : , : , n _ { 3 } \right) } & { \mathcal { A } \left( : , : , n _ { 3 } { \small - 1 } \right) } & { \cdots } & { \mathcal { A } \left( : , : , 1 \right) } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l r } { ( S _ { 1 } , T _ { 1 } ) , \; ( S _ { 2 } , T _ { 2 } ) \Supset ( A | B ) } & { \Longrightarrow } & { ( S _ { 1 } , T _ { 1 } ) \cup ( S _ { 2 } , T _ { 2 } ) , \; ( S _ { 1 } , T _ { 1 } ) \cap ( S _ { 2 } , T _ { 2 } ) \Supset ( A | B ) , } \\ { \mathcal { C } _ { 1 } , \; \mathcal { C } _ { 2 } \Supset ( A | B ) } & { \Longrightarrow } & { \mathcal { C } _ { 1 } \cup \mathcal { C } _ { 2 } , \; \mathcal { C } _ { 1 } \cap \mathcal { C } _ { 2 } \Supset ( A | B ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta \mathcal { F } } & { = 2 \mathrm { R e } \left[ \phi ^ { * } ( \boldsymbol { r } _ { \star } ) \delta \phi ( \boldsymbol { r } _ { \star } ) \right] } \\ & { = \frac { 2 h \omega ^ { 2 } } { D } \mathrm { R e } \left[ \phi ^ { * } ( \boldsymbol { r } _ { \star } ) G ( \boldsymbol { r } _ { \star } , \boldsymbol { r } _ { i } ) \phi ( \boldsymbol { r } _ { i } ) \right] \Delta \rho . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { \omega \in \Omega } \; \frac { 1 } { 2 } \Big ( \mathbb { E } _ { X \sim P _ { r } } [ ( D _ { \omega } ( X ) - b ) ^ { 2 } ] + \mathbb { E } _ { X \sim P _ { G _ { \theta } } } [ ( D _ { \omega } ( X ) - a ) ^ { 2 } ] \Big ) } \\ { \operatorname* { i n f } _ { \theta \in \Theta } \; \frac { 1 } { 2 } \Big ( \mathbb { E } _ { X \sim P _ { r } } [ ( D _ { \omega } ( X ) - c ) ^ { 2 } ] + \mathbb { E } _ { X \sim P _ { G _ { \theta } } } [ ( D _ { \omega } ( X ) - c ) ^ { 2 } ] \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal L u } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \mathrm { T r } ( \sigma \sigma ^ { \mathsf { T } } ( t , x , u ) \partial _ { x } ^ { 2 } u ) + \left\langle b ( t , x , u ) , \nabla _ { x } u \right\rangle } \\ & { } & { + \int _ { E } ( u ( t , x + \beta ( t , x , u , e ) ) - u ( t , x ) - \left\langle \nabla _ { x } u , \beta ( t , x , u , e ) \right\rangle ) \lambda ( d e ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( 1 - e ^ { - t \gamma ( x + v t ) } ) \sum _ { w \in \{ \pm 1 \} ^ { d } } \frac { 1 } { 2 ^ { d } } \frac { V ( x + v t + w t , w ) } { V ( x , v ) } } & { \leq t \gamma ( x + v t ) \sum _ { w \in \{ \pm 1 \} ^ { d } } \frac { 1 } { 2 ^ { d } } \frac { V ( x + v t + w t , w ) } { V ( x , v ) } } \\ & { \leq t \gamma _ { 0 } . } \end{array}
c _ { \widetilde { T } _ { \beta } } ( \kappa ) = \frac { \underset { b \in \mathcal { S } ^ { d - 1 } } { \operatorname* { m a x } } \gamma _ { \kappa } ^ { 2 } ( b ) } { \underset { b \in \mathcal { S } ^ { d - 1 } } { \operatorname* { m a x } } \rho _ { \beta } ( b , b ) } + o \left( \underset { b \in \mathcal { S } ^ { d - 1 } } { \operatorname* { m a x } } \gamma _ { \kappa } ^ { 2 } ( b ) \right)
\begin{array} { r } { \delta = \frac { 1 } { z } ( \frac { N } { L } - \frac { M \omega } { L ( 1 + \omega ) } ) } \\ { M \widetilde { \delta } = L \delta - \frac { ( N - M ) } { z } = \frac { M } { z ( 1 + \omega ) } } \\ { \omega = \frac { M } { [ z L \delta - ( N - M ) ] } - 1 } \\ { \delta ^ { \prime } = - \frac { L \delta ^ { 2 } } { N \Delta } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d P _ { \eta } ^ { n } } { d x } ( x _ { 1 } , \dots , x _ { n } ) } & { = \prod _ { i = 1 } ^ { n } \frac { d P _ { \eta } } { d x } ( x _ { i } ) } \\ & { = \prod _ { i = 1 } ^ { n } { h ( x _ { i } ) \exp \left( \eta \cdot T ( x _ { i } ) - Z ( \eta ) \right) } } \\ & { = \left( \prod _ { i = 1 } ^ { n } { h ( x _ { i } ) } \right) \exp \left( \eta \sum _ { i = 1 } ^ { n } { T ( x _ { i } ) } - n Z ( \eta ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { F _ { | I | + 1 } ^ { ( 1 ) } ( x ( v ) ; x ( z ) ; I ) = \sum _ { a = 1 } ^ { 3 } \frac { F _ { | I | + 1 } ^ { ( 1 ) a } ( x ( z ) ; I ) } { ( ( x ( v ) - x ( z ) ) ^ { a } } + \sum _ { j = 1 } ^ { | I | } \frac { \hat { F } _ { | I | } ^ { ( 1 ) j } ( x ( z ) ; I \setminus u _ { j } ) } { x ( v ) - x ( u _ { j } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Omega _ { \rho , \delta } : = \{ ( \sqrt { z } x , z ) : z \geq \rho ; } & { \ x = ( x _ { 0 } , y ) \in \mathbb { R } ^ { n } \mathrm { ~ w i t h ~ } x _ { 0 } \in S , } \\ & { \ | y - w ( x _ { 0 } , z ) | \leq \left( \delta + \varepsilon ( \bar { \rho } _ { R } ) \right) \cdot ( z / \rho ) ^ { \mu _ { 1 } - 1 } \bar { \psi } _ { 1 } ( x _ { 0 } ) \} . } \end{array}
\boxed { \bigl ( [ ( L _ { 1 } , L _ { 2 } ) , \sigma ] , ( f _ { 1 } , f _ { 2 } ) \bigr ) \longmapsto \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow 1 } ( q \circ e v _ { n } ) \Bigl ( \bigl ( L _ { \sigma ( 1 ) } ^ { \circ } \, \widehat { \cdot } \ ( H ( - , t ) \circ f _ { \sigma ( 1 ) } ) \bigr ) \ \circ \, b i g l ( L _ { \sigma ( 2 ) } ^ { \circ } \, \widehat { \cdot } \ ( H ( - , t ) \circ f _ { \sigma ( 2 ) } ) \bigr ) \Bigr ) }
\begin{array} { r l } { \lambda _ { k } } & { = \sum _ { j = 0 } ^ { N - 1 } A _ { 0 j } U _ { j k } = \sum _ { j = 0 } ^ { N - 1 } A _ { 0 j } e ^ { \frac { 2 \pi i } { N } j k } } \\ & { = A _ { 0 0 } + A _ { 0 1 } e ^ { \frac { 2 \pi i } { N } k } + A _ { 0 , N - 1 } e ^ { \frac { 2 \pi i } { N } k ( N - 1 ) } } \\ & { = 2 - e ^ { \frac { 2 \pi i } { N } k } - e ^ { - \frac { 2 \pi i } { N } k } } \\ & { = 2 - 2 \cos \left( \frac { 2 \pi k } { N } \right) . } \end{array}
\mathcal { J } _ { V _ { i } } u ( 0 ) = C _ { k _ { i } , s } \int _ { \mathbb { R } ^ { k _ { i } } } \frac { u ( \sum _ { j = 1 } ^ { k _ { i } } \tau _ { j } \xi _ { j } ^ { i } ) } { ( \sum _ { j = 1 } ^ { k _ { i } } \tau _ { j } ^ { 2 } ) ^ { \frac { k _ { i } + 2 s } { 2 } } } \, d \tau _ { 1 } \dots d \tau _ { k _ { i } } \leq 0 , \quad i = 1 , \dots , \ell ,
\begin{array} { r l } { \tilde { J } _ { 4 } = \ } & { \langle \nabla f ( { x } ^ { t , M } ) - \nabla f ( { x } ^ { t , j _ { 1 } - 1 } ) , { v } ^ { j _ { 1 } } - { x } ^ { t , j _ { 2 } } \rangle + \langle \nabla f ( { x } ^ { t , M } ) - \nabla f ( { x } ^ { t , j _ { 2 } - 1 } ) , { x } ^ { t , j _ { 2 } } - { v } ^ { j _ { 2 } } \rangle } \\ { \le \ } & { D \| \nabla f ( { x } ^ { t , M } ) - \nabla f ( { x } ^ { t , j _ { 1 } - 1 } ) \| + D \| \nabla f ( { x } ^ { t , M } ) - \nabla f ( { x } ^ { t , j _ { 2 } - 1 } ) \| } \\ { \le \ } & { 2 D \sum _ { k = 1 } ^ { M } \| \nabla f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) - \nabla f ( { x } ^ { t , k } ) \| \le 2 L D \sum _ { k = 1 } ^ { M } \| { x } ^ { t , k - 1 } - { x } ^ { t , k } \| } \end{array}
\begin{array} { l l } { R i c ( F _ { \ast } X , F _ { \ast } Y ) } & { = R i c ^ { r a n g e F _ { \ast } } ( F _ { \ast } X , F _ { \ast } Y ) - \sum _ { k = 1 } ^ { n _ { 1 } } ( e _ { k } ( g ) ) ^ { 2 } g _ { 2 } ( F _ { \ast } X , F _ { \ast } Y ) + \sum _ { k = 1 } ^ { n _ { 1 } } g _ { 2 } ( \nabla _ { e _ { k } } ^ { F \bot } e _ { k } , \nabla ^ { N } g ) g _ { 2 } ( F _ { \ast } X , F _ { \ast } Y ) } \\ & { - \sum _ { k = 1 } ^ { n _ { 1 } } g _ { 2 } ( \nabla _ { e _ { k } } ^ { N } ( e _ { k } ( g ) F _ { \ast } X ) , F _ { \ast } Y ) + \sum _ { k = 1 } ^ { n _ { 1 } } g _ { 2 } ( \nabla _ { e _ { k } } ^ { N } F _ { \ast } X , e _ { k } ( g ) F _ { \ast } Y ) , } \end{array}
{ \mathcal { L } } _ { \mathrm { t o t } } = { \mathcal { L } } _ { \mathrm { S M , a x i o n s } } + \theta { \frac { g _ { s } ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } } { \tilde { G } } _ { b } ^ { \mu \nu } G _ { b \mu \nu } + \xi { \frac { a } { f _ { a } } } { \frac { g _ { s } ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } } { \tilde { G } } _ { b } ^ { \mu \nu } G _ { b \mu \nu } ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { D \rightarrow 0 } \dot { S } _ { \mathrm { i n t } } } & { \sim \operatorname* { l i m } _ { D \rightarrow 0 } \gamma ~ \frac { v } { D } \int _ { 0 } ^ { a } \mathrm { d } x ~ e ^ { - \frac { x } { l _ { D } } } + \int _ { a } ^ { \ell } \mathrm { d } x ~ \dots } \\ & { \sim \gamma ~ \frac { v } { U ^ { [ 1 ] } - v + f } + \dots ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { \gamma : | \gamma | = m } \mathbb E w ( \gamma ) ^ { 2 } = \frac { N ( N - 1 ) \cdots ( N - m + 1 ) } { 2 m } \bigl ( \mathbb E ( \operatorname { t a n h } \beta J ) ^ { 2 } \bigr ) ^ { m } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 m } \prod _ { i = 1 } ^ { m - 1 } \Bigl ( 1 - \frac { i } { N } \Bigr ) \bigl ( ( \beta / \beta _ { \alpha } ) ^ { \alpha } \bigr ) ^ { m } \le \frac { 1 } { 2 m } ( \beta / \beta _ { \alpha } ) ^ { \alpha m } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \; \textnormal { \texttt { c } } ^ { \prime } \; | \; \textnormal { \texttt { d } } ^ { \prime } \; \rangle } & { : \delta ^ { \prime \prime \prime } \to \delta ^ { i v } } \\ { \langle \; \textnormal { \texttt { c } } ^ { \prime \prime } \; | \; \textnormal { \texttt { d } } ^ { \prime \prime } \; \rangle } & { : \delta ^ { \prime } \to \delta ^ { \prime \prime \prime } } \\ { \langle \; \textnormal { \texttt { c } } ^ { \prime \prime \prime } \; | \; \textnormal { \texttt { d } } ^ { \prime \prime \prime } \; \rangle } & { : \delta ^ { \prime \prime } \to \delta ^ { i v } } \\ { \langle \; \textnormal { \texttt { c } } ^ { i v } \; | \; \textnormal { \texttt { d } } ^ { i v } \; \rangle } & { : \gamma ^ { \prime } \to \gamma ^ { \prime \prime } } \\ { \langle \; \textnormal { \texttt { c } } ^ { v } \; | \; \textnormal { \texttt { d } } ^ { v } \; \rangle } & { : \omega ^ { \prime } \to \omega ^ { \prime \prime } } \end{array}
B = \left\{ \begin{array} { c c l } { \! \! \! ( v _ { e } \! - \! u _ { e } ) \odot u \oplus v \! \! \! \! } & { = } & { \! \! \! v } \\ { \! \! \! ( v _ { e - 1 } \! - \! u _ { e - 1 } ) \odot u \oplus v \! \! \! \! } & { = } & { \! \! \! ( v _ { 1 } , v _ { 2 } , v _ { 3 } , \ldots , v _ { e - 1 } , v _ { e - 1 } - u _ { e - 1 } + u _ { e } ) } \\ & { \vdots } & \\ { \! \! \! ( v _ { 2 } \! - \! u _ { 2 } ) \odot u \oplus v \! \! \! \! } & { = } & { \! \! \! ( v _ { 1 } , v _ { 2 } , v _ { 2 } - u _ { 2 } + u _ { 3 } , \ldots , v _ { 2 } - u _ { 2 } + u _ { e } ) } \\ { \! \! \! ( v _ { 1 } \! - \! u _ { 1 } ) \odot u \oplus v \! \! \! \! } & { = } & { \! \! \! u . } \end{array} \right\} .
\begin{array} { r l } & { P \left( X = X _ { i } \right) = \frac { e ^ { - \beta _ { i } \int ^ { X _ { i } } d \tilde { X } _ { i } S ( \mathbf { Y } | X = \tilde { X } _ { i } ) - \beta _ { i } ^ { \prime } X _ { i } } } { Z _ { i } } = f _ { 0 } \exp { \left( \int ^ { X _ { i } } d \tilde { X } _ { i } \frac { K _ { 2 } \left( \tilde { X } _ { i } \right) } { \sigma _ { 2 2 } \left( \tilde { X } _ { i } \right) } - \ln \sigma _ { 2 2 } \left( X _ { i } \right) \right) } , } \\ & { \implies \frac { e ^ { - \beta _ { i } \int ^ { X _ { i } } d \tilde { X } _ { i } S ( \mathbf { Y } | X = \tilde { X } _ { i } ) - \beta _ { i } ^ { \prime } X _ { i } } } { Z _ { i } } = \tilde { f } \exp { \left( \frac { 1 } { \sigma _ { 2 2 } } \int ^ { X _ { i } } K _ { 2 } \left( \tilde { X _ { i } } \right) d \tilde { X _ { i } } \right) } , } \\ & { \implies - \beta _ { i } \int ^ { X _ { i } } d \tilde { X } _ { i } S ( \mathbf { Y } | X = \tilde { X } _ { i } ) - \beta _ { i } ^ { \prime } X _ { i } = \ln \left[ \tilde { f } Z \right] + \frac { 1 } { \sigma _ { 2 2 } } \int ^ { X _ { i } } K _ { 2 } \left( \tilde { X _ { i } } \right) d \tilde { X _ { i } } , } \\ & { \implies K _ { 2 } \left( X _ { i } \right) = - \beta _ { i } \sigma _ { 2 2 } S ( \mathbf { Y } | X = X _ { i } ) - \frac { \beta _ { i } ^ { \prime } } { 2 } X _ { i } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { g _ { t } } ( h _ { t } , h _ { t } ) = } & { \langle \Pi ^ { g _ { t } } \pi _ { 0 } ^ { * } \dot { u } _ { t } , \pi _ { 0 } ^ { * } \dot { u } _ { t } \rangle + | \langle 1 , \pi _ { 0 } ^ { * } \dot { u } _ { t } \rangle _ { L ^ { 2 } ( T ^ { 1 } S _ { g _ { t } } ) } | ^ { 2 } } \\ & { \geq | \langle 1 , \pi _ { 0 } ^ { * } \dot { u } _ { t } \rangle _ { L ^ { 2 } ( T ^ { 1 } S _ { g _ { t } } ) } | ^ { 2 } = \frac { | \langle 1 , \dot { u } _ { t } \rangle _ { L ^ { 2 } ( S , d v _ { g _ { t } } ) } | ^ { 2 } } { \mathrm { A r e a } ( S , g _ { t } ) ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { \boldsymbol { y } } _ { m } \! = \! \sqrt { p } \sum _ { u = 1 } ^ { M } \mathrm { d i a g } ( \boldsymbol { s } _ { u } ) \boldsymbol { G } \boldsymbol { h } _ { u , m } \! + \! \bar { \boldsymbol { z } } _ { m } = \sqrt { p } \tilde { \boldsymbol { G } } \boldsymbol { h } _ { m } \! + \! \bar { \boldsymbol { z } } _ { m } , ~ \forall m , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \mathcal { V } \left( U _ { t } ^ { * } ( k _ { z } - k _ { 0 } ) \right) } & { \leq 2 \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \left( \sum _ { k = 1 } ^ { j } b _ { j k } + \sum _ { k = j + 1 } ^ { \infty } b _ { j k } \right) \epsilon _ { j } \left| c _ { j } \right| ^ { 2 } \Re \left( \lambda _ { j } \right) + 2 \sum _ { j = 2 } ^ { \infty } \sum _ { k = 1 } ^ { j - 1 } \epsilon _ { k } \Re \left( c _ { j } \bar { c } _ { k } \left\langle e _ { j } , L _ { F } e _ { k } \right\rangle \right) } \\ & { = 2 \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } b _ { j j } \epsilon _ { j } \left| c _ { j } \right| ^ { 2 } \Re \left( \lambda _ { j } \right) + 2 \sum _ { j = 2 } ^ { \infty } \sum _ { k = 1 } ^ { j - 1 } b _ { j k } \epsilon _ { j } \left| c _ { j } \right| ^ { 2 } \Re \left( \lambda _ { j } \right) } \\ & { \quad + 2 \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \sum _ { k = j + 1 } ^ { \infty } b _ { j k } \epsilon _ { j } \left| c _ { j } \right| ^ { 2 } \Re \left( \lambda _ { j } \right) + 2 \sum _ { j = 2 } ^ { \infty } \sum _ { k = 1 } ^ { j - 1 } \epsilon _ { k } \Re \left( c _ { j } \bar { c } _ { k } \left\langle e _ { j } , L _ { F } e _ { k } \right\rangle \right) } \\ & { = 2 \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } b _ { j j } \epsilon _ { j } \left| c _ { j } \right| ^ { 2 } \Re \left( \lambda _ { j } \right) } \\ & { \quad + 2 \sum _ { j = 2 } ^ { \infty } \sum _ { k = 1 } ^ { j - 1 } \left( b _ { j k } \epsilon _ { j } \left| c _ { j } \right| ^ { 2 } \Re \left( \lambda _ { j } \right) + b _ { k j } \epsilon _ { k } \left| c _ { k } \right| ^ { 2 } \Re \left( \lambda _ { k } \right) + \epsilon _ { k } \Re \left( c _ { j } \bar { c } _ { k } \left\langle e _ { j } , L _ { F } e _ { k } \right\rangle \right) \right) . } \end{array}
\operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq T } \left( \| ( \rho _ { f ^ { k } } - \rho _ { f } ) ( \cdot , t ) \| _ { L ^ { 1 } } + \| ( \rho _ { f ^ { k } } u _ { f ^ { k } } - \rho _ { f } u _ { f } ) ( \cdot , t ) \| _ { L ^ { 1 } } \right) \leq 2 \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq T } \| ( f ^ { k } - f ) ( \cdot , \cdot , t ) \| _ { L _ { 2 } ^ { 1 } } \to 0
\langle E ^ { ( n ) } ( \lambda , z ) E ^ { ( n ^ { \prime } ) } ( \lambda ^ { \prime } , z ^ { \prime } ) E ^ { ( n ^ { \prime \prime } ) } ( \lambda ^ { \prime \prime } , z ^ { \prime \prime } ) \rangle = \frac { N ^ { \frac { n + n ^ { \prime } + n ^ { \prime \prime } } { 2 } + 1 } [ \lambda \lambda ^ { \prime } ] ^ { \frac { n + n ^ { \prime } - n ^ { \prime \prime } } { 2 } } [ \lambda ^ { \prime } \lambda ^ { \prime \prime } ] ^ { \frac { n ^ { \prime } + n ^ { \prime \prime } - n } { 2 } } [ \lambda \lambda ^ { \prime \prime } ] ^ { \frac { n + n ^ { \prime \prime } - n ^ { \prime } } { 2 } } } { ( z - z ^ { \prime } ) ^ { \frac { n + n ^ { \prime } - n ^ { \prime \prime } } { 2 } + 1 } ( z ^ { \prime } - z ^ { \prime \prime } ) ^ { \frac { n ^ { \prime } + n ^ { \prime \prime } - n ^ { \prime } } { 2 } + 1 } ( z - z ^ { \prime \prime } ) ^ { \frac { n + n ^ { \prime \prime } - n ^ { \prime } } { 2 } + 1 } } ,
\begin{array} { r l } { \lambda _ { n } : D _ { n } \cup E _ { n } } & { \rightarrow D _ { n } \cup E _ { n } } \\ { \sigma } & { \mapsto \left\{ \begin{array} { l l } { \alpha _ { n } ( \sigma ) } & { \mathrm { ~ i f ~ } \sigma \in D _ { n } } \\ { \alpha _ { n + 1 } ( \gamma _ { n } ( \sigma ) ) \setminus ( n + 1 ) } & { \mathrm { ~ i f ~ } \sigma \in E _ { n } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { T } & { = \sum _ { i _ { 1 } , \ldots , i _ { m } \in \mathcal { R } } c _ { i _ { 1 } , \ldots , i _ { m } } G _ { i _ { 1 } , \ldots , i _ { m } } , } \\ { T ^ { * } } & { = \sum _ { i _ { 1 } , \ldots , i _ { m } \in \mathcal { R } } c _ { i _ { 1 } , \ldots , i _ { m } } ^ { * } G _ { i _ { 1 } , \ldots , i _ { m } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m s u p } _ { x \to \infty } \frac { x b ^ { \prime } ( x ) } { b ( x ) } } & { = \operatorname* { l i m s u p } _ { x \to \infty } \frac { ( \log x ) ^ { - 1 } \lvert 1 - ( \log \log x ) ^ { - 1 } + \sin \log \log x + \cos \log \log x ) } { \log \log x ( 1 + ( \log \log x ) ^ { - 2 } + \sin \log \log x ) } } \\ & { \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { x \to \infty } \frac { \log \log x ( 3 + ( \log \log x ) ^ { - 1 } ) } { \log x } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \theta = ( R / q _ { T - 1 } ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } = ( \beta R ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } \prod _ { t = 1 } ^ { T - 1 } \frac { T - t + \beta ^ { \frac { 1 } { \alpha - 1 } } } { T - t } = ( \beta R ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } \frac { \Gamma ( T + \beta ^ { \frac { 1 } { \alpha - 1 } } ) } { \Gamma ( T ) \Gamma ( 1 + \beta ^ { \frac { 1 } { \alpha - 1 } } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| I _ { \gamma } f \| _ { ( L ^ { p _ { 2 } ( \cdot ) } , L ^ { q } ) ^ { \beta } } } & { = t ^ { \gamma } \| \delta _ { t ^ { - 1 } } I _ { \gamma } ( \delta _ { t } f ) \| _ { ( L ^ { p _ { 2 } ( \cdot ) } , L ^ { q } ) ^ { \beta } } } \\ & { = t ^ { \gamma + \frac { n } { \beta } - \frac { 1 } { q } } \| I _ { \gamma } ( \delta _ { t } f ) \| _ { ( L ^ { p _ { 2 } ( \cdot ) } , L ^ { q } ) ^ { \beta } } } \\ & { \lesssim t ^ { \gamma + \frac { n } { \beta } - \frac { 1 } { q } } \| \delta _ { t } f \| _ { ( L ^ { p _ { 1 } ( \cdot ) } , L ^ { q } ) ^ { \alpha } } } \\ & { = t ^ { \gamma + \frac { n } { \beta } - \frac { 1 } { q } - \frac { n } { \alpha } + \frac { 1 } { q } } \| f \| _ { ( L ^ { p _ { 1 } ( \cdot ) } , L ^ { s } ) ^ { \alpha } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | \nabla _ { \xi } \varphi ( x , \xi _ { j } ^ { \nu } ) - \nabla _ { \xi } \varphi ( x , \xi _ { k _ { Q } } ^ { \nu ^ { \prime } } ) | \leq | \xi _ { j } ^ { \nu } - \xi _ { k _ { Q } } ^ { \nu ^ { \prime } } | | \xi _ { j } ^ { \nu } + t ( \xi _ { k _ { Q } } ^ { \nu ^ { \prime } } - \xi _ { j } ^ { \nu } ) | ^ { - 1 } } \\ & { \leq { 2 ^ { - { k _ { Q } } \rho / 2 } } ( 1 - t 2 ^ { - { k _ { Q } } \rho / 2 } ) ^ { - 1 } \leq { 2 ^ { - { k _ { Q } } \rho / 2 } } ( 1 - 2 ^ { - \rho / 2 } ) ^ { - 1 } \lesssim 2 ^ { - { k _ { Q } } \rho / 2 } . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \stackrel { R \to \infty } { x \to \infty } } V \left( \frac { \pi } { 2 \alpha } - \frac { \pi } { 2 } \theta , R , x , \alpha , \theta \right) = \operatorname* { l i m } _ { \stackrel { R \to \infty } { x \to \infty } } \frac { R } { \pi x } \exp \left\{ - R \sin \left( \frac { \pi } { 2 \alpha } - \frac { \pi } { 2 } \theta \right) \right\}
\begin{array} { r l } { \mathbf { c } ( \delta ) } & { = \mathbf { c } _ { k _ { 1 } , \ldots , k _ { r } } \mathbf { c } ( \delta / A _ { 1 } ) \cdots \mathbf { c } ( \delta / A _ { r } ) = \frac { 1 } { n - 1 } \mathbf { c } _ { k _ { 2 } , \ldots , k _ { r } } \mathbf { c } ( \delta / A _ { 1 } ) \cdots \mathbf { c } ( \delta / A _ { r } ) , } \end{array}
\mathcal C _ { \zeta } ( \textit { \textbf { f } } , \textit { \textbf { g } } , \textit { \textbf { h } } ) _ { k } ( t ) : = \frac { \delta } { 2 L ^ { d - \gamma } } \cdot ( i \zeta ) \sum _ { k _ { 1 } - k _ { 2 } + k _ { 3 } = k } \epsilon _ { k _ { 1 } k _ { 2 } k _ { 3 } } e ^ { \zeta \pi i \cdot \delta L ^ { 2 \gamma } \Omega ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , k _ { 3 } , k ) t } f _ { k _ { 1 } } ( t ) g _ { k _ { 2 } } ( t ) h _ { k _ { 3 } } ( t ) .
A _ { M } ^ { ( l ) } \left( \begin{array} { l } { \widetilde v _ { - 1 } ^ { ( l ) } } \\ { \widetilde v _ { 0 } ^ { ( l ) } } \\ { \widetilde v _ { 1 } ^ { ( l ) } } \\ { \vdots } \\ { \widetilde v _ { M } ^ { ( l ) } } \\ { \widetilde v _ { M + 1 } ^ { ( l ) } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { 6 } \left( \begin{array} { l l l l l l } { - \frac { 3 } { h } } & { 0 } & { \frac { 3 } { h } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 1 } & { 4 } & { 1 } & { 0 } & & { \vdots } \\ { 0 } & { 1 } & { 4 } & { 1 } & & { \vdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \vdots } & & { 0 } & { 1 } & { 4 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - \frac { 3 } { h } } & { 0 } & { \frac { 3 } { h } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \widetilde v _ { - 1 } ^ { ( l ) } } \\ { \widetilde v _ { 0 } ^ { ( l ) } } \\ { \widetilde v _ { 1 } ^ { ( l ) } } \\ { \vdots } \\ { \widetilde v _ { M } ^ { ( l ) } } \\ { \widetilde v _ { M + 1 } ^ { ( l ) } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \phi _ { L } ^ { ( l ) } } \\ { v _ { 0 } ^ { ( l ) } } \\ { v _ { 1 } ^ { ( l ) } } \\ { \vdots } \\ { v _ { M } ^ { ( l ) } } \\ { \phi _ { R } ^ { ( l ) } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \hat { \Phi } _ { \omega \left( \mathbf { v } \right) } ^ { t , 0 } \left( \hat { \Phi } _ { \omega \left( \mathbf { v } \right) } ^ { s \left( \mathbf { v } \right) , 0 } \left( x \left( \mathbf { v } \right) \right) \right) } & { = \hat { \Phi } _ { \omega \left( \mathbf { v } \right) } ^ { t , 0 } \left( \Phi _ { \pi \left( \omega \left( \mathbf { v } \right) \right) } ^ { s \left( \mathbf { v } \right) } \left( x \left( \mathbf { v } \right) \right) \right) } \\ & { = \hat { \Phi } _ { \omega \left( \mathbf { v } \right) } ^ { s \left( \mathbf { v } \right) + t , 0 } \left( x \left( \mathbf { v } \right) \right) \ . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r } { \boldsymbol { \mathcal { A } } \left( \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } ^ { i } ) \right) - \boldsymbol { f } ( \boldsymbol { x } ^ { i } ) = 0 , \boldsymbol { x } ^ { i } \in \Omega , i = 1 , 2 , . . . , N _ { i n } , } \\ { \boldsymbol { \mathcal { B } } \left( \boldsymbol { u } ( \bar { \boldsymbol { x } } ^ { j } ) \right) - \boldsymbol { g } ( \bar { \boldsymbol { x } } ^ { j } ) = 0 , \bar { \boldsymbol { x } } ^ { j } \in \Gamma , j = 1 , 2 , . . . , N _ { b c } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { B _ { 5 } : = \left( \begin{array} { l l } { \tilde { \Lambda } _ { 1 } } & { - \tilde { \Lambda } _ { 1 } \sqrt { I - \tilde { \Lambda } _ { 1 } } } \\ { \sqrt { I - \tilde { \Lambda } _ { 1 } } } & { \tilde { \Lambda } _ { 1 } } \end{array} \right) = \Pi _ { 3 } \mathrm { d i a g } \left( \Gamma _ { 2 } , \Gamma _ { 3 } , \cdots , \Gamma _ { n } \right) \Pi _ { 3 } ^ { \intercal } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| \mathcal { F } [ \Psi u ] ( t ) - \mathcal { F } [ \Psi v ] ( t ) \right\| _ { L ^ { 1 } ( { \mathbb { R } } ^ { d } ) } } & { \le \int _ { - T } ^ { t } \left\| \beta \right\| _ { \mathcal { F } L ^ { 1 } ( { \mathbb { R } } ^ { d } ) } \left\| G ( | u | ^ { 2 } ) u - G ( | v | ^ { 2 } ) v \right\| _ { \mathcal { F } L ^ { 1 } ( { \mathbb { R } } ^ { d } ) } \, d s } \\ & { \le \frac { 3 2 T } { R } \delta _ { 0 } ^ { 2 } \big \Vert u - v \big \Vert _ { \mathcal { F } L ^ { 1 } ( { \mathbb { R } } ^ { d } ) } \sum _ { k \ge 1 } \frac { ( 2 k + 1 ) \, | a _ { k } | } { k ! } \left( \frac { R } { 4 } \right) ^ { k } \left\| \beta \right\| _ { \mathcal { F } L ^ { 1 } ( { \mathbb { R } } ^ { d } ) } } \\ & { \le \frac { 1 } { 2 } \left\| u - v \right\| _ { L _ { t } ^ { \infty } \mathcal { F } L ^ { 1 } ( [ - T , T ] \times \mathbb { R } ^ { d } ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \bigg \| \frac { m \bar { M } } { n \bar { N } + m \bar { M } } \eta + \frac { n \bar { N } } { n \bar { N } + m \bar { M } } \theta \bigg \| ^ { 4 } \gg \operatorname* { m a x } \Big \{ \, \big ( \frac { \| \eta \| _ { 2 } ^ { 2 } } { n ^ { 2 } \bar { N } ^ { 2 } } + \frac { \| \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } } { m ^ { 2 } \bar { M } _ { 2 } ^ { 2 } } \big ) , \, \big ( \frac { \| \eta \| _ { 3 } ^ { 3 } } { n \bar { N } } + \frac { \| \theta \| _ { 3 } ^ { 3 } } { m \bar { M } } \big ) \Big \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Big | \prod _ { j = 1 } ^ { n } D _ { \mathbf { P } } ^ { \boldsymbol { \beta } ^ { ( j ) } } F ( \mathbf { y } ) \Big | } & { \le C \prod _ { j = 1 } ^ { n } \mu _ { \boldsymbol { \beta } ^ { ( j ) } } ( \mathbf { y } ) ^ { 1 - | \boldsymbol { \beta } ^ { ( j ) } | } } \\ & { \le C \prod _ { j = 1 } ^ { n } \lambda _ { \boldsymbol { \beta } ^ { ( j ) } } ( \mathbf { y } ) \lambda _ { P _ { 1 } } ( \mathbf { y } ) ^ { - | \beta _ { 1 } ^ { ( j ) } | } \dots \lambda _ { P _ { M } } ( \mathbf { y } ) ^ { - | \beta _ { M } ^ { ( j ) } | } } \\ & { = C \Big ( \prod _ { j = 1 } ^ { n } \lambda _ { \boldsymbol { \beta } ^ { ( j ) } } ( \mathbf { y } ) \Big ) \Big ( \prod _ { l = 1 } ^ { M } \lambda _ { P _ { l } } ( \mathbf { y } ) ^ { - | \beta _ { l } ^ { ( 1 ) } | } \dots \lambda _ { P _ { l } } ( \mathbf { y } ) ^ { - | \beta _ { l } ^ { ( n ) } | } \Big ) } \\ & { \le C \lambda _ { \boldsymbol { \sigma } } ( \mathbf { y } ) \lambda _ { P _ { 1 } } ( \mathbf { y } ) ^ { - | \sigma _ { 1 } | } \dots \lambda _ { P _ { M } } ( \mathbf { y } ) ^ { - | \sigma _ { M } | } } \end{array}
\partial _ { e _ { i _ { 1 } } } \dots \partial _ { e _ { i _ { l } } } \tilde { S } ( 0 , 1 , \omega ) = \partial _ { e _ { i _ { 2 } } } \dots \partial _ { e _ { i _ { l } } } \psi _ { i _ { l } } ( 0 , 1 , \omega ) - \partial _ { e _ { i _ { 2 } } } \dots \partial _ { e _ { i _ { l } } } \psi _ { i _ { l } } ( 0 , 0 , 0 ) + \partial _ { e _ { i _ { 1 } } } \dots \partial _ { e _ { i _ { l } } } \tilde { S } ( 0 , 0 , 0 )
\sigma _ { s r } ( t ) = \sigma _ { s r } ^ { \left( \mathrm { N P } \right) } \left( t \right) + \left\{ \! \! \! \begin{array} { l l } { 0 , } & { i f \tilde { \sigma } _ { s r } h a s n o p o l e s , \smallskip } \\ { \sigma _ { s r } ^ { \left( \mathrm { R P } \right) } \left( t \right) , } & { i f \tilde { \sigma } _ { s r } h a s a n e g a t i v e r e a l p o l e , \smallskip } \\ { \sigma _ { s r } ^ { \left( \mathrm { C C P } \right) } \left( t \right) , } & { i f \tilde { \sigma } _ { s r } h a s a p a i r o f c o m p l e x c o n j u g a t e d p o l e s , } \end{array} \ \right.
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \bigl \langle ( a , \zeta , \xi ) , \bigl ( ( t , s ) , v , s u ( x \varphi _ { t } ( m ) ) + T _ { m } ( x \varphi _ { t } ) ( v ) \bigr ) \bigr \rangle } \\ & { = s ( a + \langle \xi , u ( x \varphi _ { t } ( m ) ) \rangle ) + \langle \zeta , v \rangle + \langle \xi , T _ { m } ( x \varphi _ { t } ) ( v ) \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Vert \mathcal { J } _ { 2 } ^ { \prime } ( g + \delta g ) - \mathcal { J } _ { 2 } ^ { \prime } ( g ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } } & { \leq } & { \frac { \ell ^ { 3 } T C _ { 6 } ^ { 2 } } { 3 r _ { 0 } } \exp ( T / \rho _ { 0 } ) \Big ( \Vert r ( 0 ) \delta u _ { x x t } ( 0 , . ) + \kappa ( 0 ) \delta u _ { x x t t } ( 0 , . ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } } \\ & { } & { + \Vert r ( 0 ) \delta u _ { x x t t } ( 0 , . ) + \kappa ( 0 ) \delta u _ { x x t t t } ( 0 , . ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } \Big ) ~ ~ . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { S } _ { 0 } = \left( \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } + \hat { b } ^ { \dagger } \hat { b } \right) / 2 \quad \hat { S } _ { x } = \left( \hat { a } ^ { \dagger } \hat { b } + \hat { b } ^ { \dagger } \hat { a } \right) / 2 , } \\ { \hat { S } _ { y } = - \mathrm { i } \left( \hat { a } ^ { \dagger } \hat { b } - \hat { b } ^ { \dagger } \hat { a } \right) / 2 \quad \hat { S } _ { z } = \left( \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } - \hat { b } ^ { \dagger } \hat { b } \right) / 2 . } \end{array}
\frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \mathcal { E } _ { i , j } + \frac { 1 } { \Delta \xi _ { 1 } } \left( \left( { \widetilde { { \mathcal { Q } } } } _ { 1 } \right) _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { \tt 2 p t h } - \left( { \widetilde { { \mathcal { Q } } } } _ { 1 } \right) _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { \tt 2 p t h } \right) + \frac { 1 } { \Delta \xi _ { 2 } } \left( \left( { \widetilde { { \mathcal { Q } } } } _ { 2 } \right) _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { \tt 2 p t h } - \left( { \widetilde { { \mathcal { Q } } } } _ { 2 } \right) _ { i , j - \frac { 1 } { 2 } } ^ { \tt 2 p t h } \right) = 0 ,
\begin{array} { r l } { \dot { X } } & { = \frac { 2 } { t } \operatorname { c o t h c } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } t \right) \left( \nabla h ^ { * } ( W ) - X \right) } \\ { \dot { W } } & { = \frac { t } { 2 } \operatorname { t a n h c } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } t \right) \left( \mu \nabla h ( X ) - \mu W - \nabla f ( X ) \right) . } \end{array}
\tilde { \tilde { g } } _ { \alpha _ { \operatorname { a d } _ { \{ 2 \} } } } \, \in S _ { n ^ { 2 ^ { 2 } } } \, : \; \; \tilde { \tilde { g } } _ { \alpha _ { \operatorname { a d } _ { \{ 2 \} } } } \, = \, \tilde { g } _ { s } ^ { m } \; \textrm { w h e r e } \; \; s = \alpha _ { \operatorname { a d } _ { \{ 2 \} } , \, 0 } \; \textrm { a n d } \; m = \alpha _ { \operatorname { a d } _ { \{ 2 \} } , \, 1 }
{ \textbf L } ^ { T } { \textbf E } { \textbf U } = \left[ \begin{array} { l l } { { \textbf Z } _ { 1 } } & { { \textbf Z } _ { 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { { \textbf S } _ { 1 } } & \\ & { { \textbf S } _ { 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { { \textbf Y } _ { 1 } ^ { T } } \\ { { \textbf Y } _ { 2 } ^ { T } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { \chi ^ { \smash { \mathrm { s d } } } ( \theta , \alpha ) } & { = \chi ( j ( \theta ) , \alpha ) + \chi ^ { \smash { \mathrm { s d } } } ( 0 , \alpha ) , } \\ { \chi ^ { \smash { \mathrm { s d } } } ( 0 , \alpha + \beta ) } & { = \chi ^ { \smash { \mathrm { s d } } } ( 0 , \alpha ) + \chi ^ { \smash { \mathrm { s d } } } ( 0 , \beta ) + \chi ( \beta ^ { \vee } , \alpha ) } \end{array}
\begin{array} { r l r l r } { \nabla f ( x ) = \Gamma _ { v } ^ \big ( \nabla ^ { 2 } f ( y ) [ v ] + r ( x ) \big ) } & { } & { \mathrm { w h e r e } } & { } & { r ( x ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } \big ( \Gamma _ { \tau v } ^ { - 1 } \circ \nabla ^ { 2 } f ( \gamma ( \tau ) ) \circ \Gamma _ { \tau v } ^ - \nabla ^ { 2 } f ( y ) \big ) [ v ] \mathrm { d } \tau . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 1 3 b } ^ { ( 1 ) } } & { = 5 7 6 0 i D p ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \pi } \sin ^ { D } \varphi _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { \pi } \sin ^ { D - 1 } \varphi _ { 2 } \cdots \int _ { 0 } ^ { \pi } \sin ^ { 3 } \varphi _ { D - 2 } d \varphi _ { D - 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \cos \varphi _ { D - 1 } d \varphi _ { D - 1 } } \\ & { \quad \times \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x d y d r d s \delta ( x + y + r + s - 1 ) \int _ { 0 } ^ { \infty } d l _ { E } \frac { x y ( y + s ) ^ { 2 } l _ { E } ^ { D + 1 } } { ( l _ { E } ^ { 2 } + \Delta ) ^ { 6 } } } \\ & { = \frac { 7 2 i \pi ^ { D / 2 + 1 } D ( D - 8 ) p ^ { 2 } } { \sin \big ( \frac { \pi D } { 2 } \big ) \Gamma \big ( \frac { D + 2 } { 2 } \big ) m _ { f } ^ { 1 0 - D } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } Q ( w _ { t } , w ) \leq } & { \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } \left[ \eta _ { t } \mathrm { K L } ( p \| p _ { t - 1 } ^ { * } ) - ( \eta _ { t } + \lambda _ { 2 } ) \mathrm { K L } ( p | | p _ { t } ^ { * } ) \right] } \\ & { + \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } \left[ \tau _ { t } \mathrm { K L } ( q \| q _ { t - 1 } ^ { * } ) - ( \tau _ { t } + \lambda _ { 2 } ) \mathrm { K L } ( q \| q _ { t } ^ { * } ) \right] + 4 \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } ( 1 + \mu _ { t } ) \epsilon } \\ & { + \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } \left[ \mu _ { t } \mathrm { B i L i n } _ { \mathbb { E } _ { \xi } f } ( p _ { t - 1 } ^ { * } - p _ { t - 2 } ^ { * } , q _ { t - 1 } ^ { * } - q ) - \mathrm { B i L i n } _ { \mathbb { E } _ { \xi } f } ( p _ { t } ^ { * } - p _ { t - 1 } ^ { * } , q _ { t } ^ { * } - q ) \right] } \\ & { - \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } \left[ \tau _ { t } \mathrm { K L } ( q _ { t } ^ { * } \| q _ { t - 1 } ^ { * } ) + \eta _ { t } \mathrm { K L } ( p _ { t } ^ { * } \| p _ { t - 1 } ^ { * } ) + \mu _ { t } \mathrm { B i L i n } _ { \mathbb { E } _ { \xi } f } ( p _ { t - 1 } ^ { * } - p _ { t - 2 } ^ { * } , q _ { t - 1 } ^ { * } - q _ { t } ^ { * } ) \right] } \\ & { + \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } \left[ \mathrm { S t o E r r } _ { ( \hat { \phi } _ { t } ) _ { n } } ^ { y } ( q _ { t } ^ { * } ) + \mathrm { S t o E r r } _ { ( \hat { \phi } _ { t } ) _ { n } } ^ { y } ( q ) + \mathrm { S t o E r r } _ { ( \hat { \psi } _ { t } ) _ { n } } ^ { x } ( p _ { t } ^ { * } ) + \mathrm { S t o E r r } _ { ( \hat { \psi } _ { t } ) _ { n } } ^ { x } ( p ) \right] } \\ & { + \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } \left[ \mathrm { E x p e c t E r r } _ { p _ { t } ^ { * } } ^ { x } ( \delta _ { t , 1 } ) + \mathrm { E x p e c t E r r } _ { q _ { t } ^ { * } } ^ { x } ( \delta _ { t , 2 } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } K _ { \epsilon , R } ( \eta , \eta ^ { \prime } ) \xi _ { R } ( v + v ^ { \prime } ) [ \varphi ( \eta + \eta ^ { \prime } ) - \varphi ( \eta ) - \varphi ( \eta ^ { \prime } ) ] \tilde { g } _ { \epsilon _ { k } , R _ { k } , \delta _ { k } } ( \eta ) \tilde { g } _ { \epsilon _ { k } , R _ { k } , \delta _ { k } } ( \eta ^ { \prime } ) \textup { d } \eta ^ { \prime } \textup { d } \eta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi ( 0 ) = \chi _ { 0 } } & { = - \frac { 1 } { \pi } \ln ( - u - i ) } \\ & { = \frac { - 1 } { \pi } \ln \sqrt { u ^ { 2 } + 1 } + i \left[ \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { \pi } \arctan ( u ) \right] \, , } \\ { \chi ^ { \prime } ( 0 ) = \chi _ { 0 } ^ { \prime } } & { = \frac { 2 } { \pi } \frac { u - i } { u ^ { 2 } + 1 } \, . } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { n ^ { 1 / 2 } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { G } ^ { \tau } - \boldsymbol { \theta } ) } \\ { n ^ { 1 / 2 } \boldsymbol { \lambda } _ { n } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { \left( \tau + 1 \right) \boldsymbol { J } _ { \boldsymbol { \tau } } ( \boldsymbol { \theta } ) } & { - \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { \theta } ) } \\ { - \boldsymbol { G } ^ { T } ( \boldsymbol { \theta } ) } & { \boldsymbol { 0 } } \end{array} \right) ^ { - 1 } \left( \begin{array} { c } { n ^ { 1 / 2 } \frac { \partial } { \partial \boldsymbol { \theta } } H _ { n } ^ { \tau } ( \boldsymbol { \theta } ) } \\ { \boldsymbol { 0 } _ { r } } \end{array} \right) + o _ { p } ( 1 ) .
\widetilde { \varrho } _ { 0 , \varepsilon } ^ { ( 1 ) } : = \left\{ \begin{array} { l l } { \varrho _ { 0 , \varepsilon } ^ { ( 1 ) } } & { \mathrm { i n ~ } \Omega _ { \varepsilon } , } \\ { 0 } & { \mathrm { i n ~ } \Omega \setminus \Omega _ { \varepsilon } , } \end{array} \right. \quad \widetilde { \textbf { \textup { u } } } _ { 0 , \varepsilon } : = \left\{ \begin{array} { l l } { \textbf { \textup { u } } _ { 0 , \varepsilon } } & { \mathrm { i n ~ } \Omega _ { \varepsilon } , } \\ { \textbf { 0 } } & { \mathrm { i n ~ } \Omega \setminus \Omega _ { \varepsilon } , } \end{array} \right. \quad \widetilde { \vartheta } _ { 0 , \varepsilon } ^ { ( 1 ) } : = \left\{ \begin{array} { l l } { \vartheta _ { 0 , \varepsilon } ^ { ( 1 ) } } & { \mathrm { i n ~ } \Omega _ { \varepsilon } , } \\ { 0 } & { \mathrm { i n ~ } \Omega \setminus \Omega _ { \varepsilon } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { Q _ { 0 } } & { \le 2 S _ { 0 } + \tilde { O } ( K ) } \\ & { \le 2 \tilde { A } _ { 1 } + G + 2 ( R _ { 0 } + G + A _ { 0 } ) + \tilde { O } ( K ) } \\ & { \le 8 \sqrt { ( R _ { 0 } + 2 G + A _ { 0 } + \check { A } _ { 0 } ) \log ( 1 / \delta ) } + 2 2 \cdot \log ( 1 / \delta ) + G + 2 ( R _ { 0 } + G + A _ { 0 } ) + \tilde { O } ( K ) } \\ & { \le \tilde { O } \left( d \sqrt { Q _ { 0 } } + d ^ { 2 } + K \right) } \\ & { \le \tilde { O } ( K + d ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } \int _ { \Omega _ { A } ( t ) \cap \Lambda } \rho _ { A } e _ { A } { \ } d x = \int _ { \Omega _ { A } ( t ) \cap \Lambda } \{ \widetilde { Q } _ { A } - ( \mathrm { { d i v } } v _ { A } ) \pi _ { A } \} { \ } d x , } \\ { \frac { d } { d t } \int _ { \Omega _ { B } ( t ) \cap \Lambda } \rho _ { B } e _ { B } { \ } d x = \int _ { \Omega _ { B } ( t ) \cap \Lambda } \{ \widetilde { Q } _ { B } - ( { \mathrm { d i v } } v _ { B } ) \pi _ { B } \} { \ } d x , } \\ { \frac { d } { d t } \int _ { \Gamma ( t ) \cap \Lambda } \rho _ { S } e _ { S } { \ } d \mathcal { H } _ { x } ^ { 2 } = \int _ { \Gamma ( t ) \cap \Lambda } \{ \widetilde { Q } _ { S } - ( \mathrm { { d i v } } _ { \Gamma } v _ { S } ) \pi _ { S } \} { \ } d \mathcal { H } _ { x } ^ { 2 } . } \end{array}
\mathscr { H } ^ { ( \mathrm { I I } ) } = \exp \left( \mathcal { L } _ { \chi _ { 2 } ^ { ( \mathrm { I I } ) } } \right) \mathscr { H } ^ { ( 2 ) } = \mathscr { Z } _ { 0 } + \mathscr { Z } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } + \mathscr { Z } _ { 2 } ^ { ( 2 ) } + \mathscr { Z } _ { 2 } ^ { ( \mathrm { I I } ) } + \mathscr { R } _ { 3 } ^ { ( \mathrm { I I } ) } \; .
\begin{array} { r l } { \| \Delta \partial _ { t } ^ { k } u \| ^ { 2 } + \| \nabla \Delta \partial _ { t } ^ { k } \phi \| ^ { 2 } + \| \partial _ { t } ^ { k } p \| ^ { 2 } \leq } & { c _ { 1 } \| \partial _ { t } ^ { k } u _ { t } \| _ { L _ { \rho ( \phi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + c _ { 3 } \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } \phi _ { t } \| ^ { 2 } } \\ { + C \sum _ { 0 \leq j \leq k - 1 } } & { ( 1 + E _ { j } ^ { 2 } ( t ) ) D _ { j } ( t ) + C \sum _ { 0 \leq j \leq k } ( 1 + E _ { j } ^ { 1 2 } ( t ) ) E _ { j } ( t ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { { \mathcal Z } } \left( \sqrt { q _ { 1 } ( z ) } - \sqrt { q _ { 0 } ( z ) } - \frac { 1 } { 2 } h ^ { T } t ( z ) \sqrt { q _ { 0 } ( z ) } \right) ^ { 2 } d \nu ( z ) } \\ & { \quad \le 2 e ^ { 3 \alpha } \left[ 2 \Psi ( h ) + \frac { 1 } { 2 } \| h \| ^ { 2 } c \left( \Psi ( h ) + \frac 1 4 \| h \| ^ { 2 } c \right) \right] } \\ & { \quad \quad + \frac { 1 } { 3 2 } ( e ^ { - \alpha } - e ^ { \alpha } \| h \| \sqrt { c } ) ^ { - 3 } \| h \| ^ { 4 } e ^ { 4 \alpha } c ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { F } \left( \frac { 4 } { \pi } \theta \right) } & { = d \exp \left( \sigma ^ { 2 } \left( e ^ { 4 \theta / \pi } - 4 \theta / \pi - 1 + \frac { \lambda ( e ^ { 4 \theta / \pi } - 1 ) ^ { 2 } } { 1 - \lambda e ^ { 4 \theta / \pi } } \right) \right) } \\ & { = d \exp \left( \sigma ^ { 2 } \left( e ^ { 4 \theta / \pi } - 4 \theta / \pi - 1 + \frac { \lambda ( e ^ { 4 \theta / \pi } - 1 ) ^ { 2 } } { 1 - \lambda e ^ { 4 \theta / \pi } } \right) \right) } \\ & { = d \exp \left( \frac { 1 6 } { \pi ^ { 2 } } \left( \frac { \sigma ^ { 2 } } { 1 6 / \pi ^ { 2 } } \left( e ^ { 4 \theta / \pi } - 4 \theta / \pi - 1 \right) + \frac { \sigma ^ { 2 } } { 1 6 / \pi ^ { 2 } } \cdot \frac { \lambda ( e ^ { 4 \theta / \pi } - 1 ) ^ { 2 } } { 1 - \lambda e ^ { 4 \theta / \pi } } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r } { \mathsf { d } ( 1 ) = 0 } & { } & { \mathsf { d } ( a + b ) = \mathsf { d } ( a ) + \mathsf { d } ( b ) } & { } & { \mathsf { d } ( a b ) = a \mathsf { d } ( b ) + b \mathsf { d } ( a ) } \\ { \mathsf { d } ^ { \prime } ( 1 ) = 0 } & { } & { \mathsf { d } ^ { \prime } ( a + b ) = \mathsf { d } ^ { \prime } ( a ) + \mathsf { d } ^ { \prime } ( b ) } & { } & { \mathsf { d } ^ { \prime } ( a b ) = a \mathsf { d } ^ { \prime } ( b ) + b \mathsf { d } ^ { \prime } ( a ) } \\ { \mathsf { d } ^ { \prime } \mathsf { d } ( 1 ) = 0 } & { } & { \mathsf { d } ^ { \prime } \mathsf { d } ( a + b ) = \mathsf { d } ^ { \prime } \mathsf { d } ( a ) + \mathsf { d } ^ { \prime } \mathsf { d } ( b ) } & { } & { \mathsf { d } ^ { \prime } \mathsf { d } ( a b ) = \mathsf { d } ( b ) \mathsf { d } ^ { \prime } ( a ) + a \mathsf { d } ^ { \prime } \mathsf { d } ( b ) + \mathsf { d } ( a ) \mathsf { d } ^ { \prime } ( b ) + b \mathsf { d } ^ { \prime } \mathsf { d } ( a ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \big \| ( \partial _ { t } + 1 ) \partial _ { y } \psi _ { k } ( t ) \big \| _ { L ^ { 2 } } + \big \| \partial _ { y } ^ { 2 } \psi _ { k } ( t ) \big \| _ { L ^ { 2 } } \leq \frac { C _ { \sigma } ( t ) } { 4 } \big ( 1 + \| U _ { \mathrm { s h } } \| _ { L ^ { \infty } } + \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } } + \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } + \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \big ) ^ { 2 } \times } \\ & { \times \bigg ( \! \operatorname* { s u p } _ { \tilde { k } \in \mathbb Z } \Big \{ e ^ { \sigma | \tilde { k } | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \Big ( \| \Phi _ { \mathrm { i n } , \tilde { k } } \| _ { L ^ { 2 } } + \| u _ { \mathrm { i n } , \tilde { k } } \| _ { L ^ { 2 } } + \| u _ { t , \mathrm { i n } , \tilde { k } } \| _ { L ^ { 2 } } \Big ) \Big \} \! \bigg ) \exp \Big \{ \! - \! \underbrace { \Big ( \frac { \sigma } { 2 } \! - \! 2 ^ { \frac { 1 } { 3 } } \Big ( \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \! + \! 2 \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \! \Big ) ^ { \frac { 1 } { 3 } } \! e ^ { \frac { t } { 3 } } t \Big ) } _ { = \alpha ( t ) } | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } \! \Big \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { \mathrm { J } _ { 3 } } : = \, } & { \lambda ( 2 4 4 \lambda x + 3 \lambda - 3 x - 2 ) ( 5 8 8 0 7 \lambda ^ { 3 } x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 7 3 2 \lambda ^ { 3 } x \, y ^ { 2 } + 7 3 2 \lambda ^ { 2 } x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 9 \lambda ^ { 3 } y ^ { 2 } - 1 3 0 6 8 \lambda ^ { 2 } x ^ { 2 } y } \\ & { + 4 6 4 \lambda ^ { 2 } x \, y ^ { 2 } + 9 \lambda \, x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 8 1 \lambda ^ { 2 } x y + 6 \lambda ^ { 2 } y ^ { 2 } - 8 1 \lambda \, x ^ { 2 } y - 6 \lambda x \, y ^ { 2 } - \lambda ^ { 2 } y + 7 2 9 \lambda \, x ^ { 2 } - 1 0 6 \lambda x y + 4 \lambda \, y ^ { 2 } - x ^ { 2 } y ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { | \check { \Gamma } _ { 2 } ( t _ { k } ) - \nu _ { k } \check { L } _ { 2 } ^ { 0 } | \leq ( \check { L } _ { 2 } ^ { 0 } ) ^ { - \beta } } \\ { | \check { \Psi } _ { 2 } ^ { 0 } - \check { \Gamma } _ { 3 } ( t _ { k } ) - \eta _ { k } \check { \Psi } _ { 1 } ( t _ { k } ) | \leq ( \check { L } _ { 2 } ^ { 0 } ) ^ { - \beta } } \\ { | \check { L } _ { 3 } ( t _ { k } ) - \zeta _ { k } \check { \Psi } _ { 2 } ^ { 0 } | \leq ( \check { L } _ { 2 } ^ { 0 } ) ^ { - \beta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = } & { - ( 1 + i ( \alpha + I _ { t 0 } - 2 I ) ) E _ { t 0 } - i \frac { \xi } { 2 } E _ { r 0 } } \\ & { + 2 i E _ { t \mu } E _ { t ( - \mu ) } E _ { t 0 } ^ { * } + F } \\ { 0 = } & { - ( 1 + i ( \alpha + I _ { r 0 } - 2 I ) ) E _ { r 0 } - i \frac { \xi } { 2 } E _ { t 0 } } \\ & { + 2 i E _ { r \mu } E _ { r ( - \mu ) } E _ { r 0 } ^ { * } + r ( F - r _ { \textrm { E F } } E _ { t 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( L _ { X } T ) _ { \phantom { i _ { 1 } \cdots i _ { p } } j _ { 1 } \cdots j _ { q } } ^ { i _ { 1 } \cdots i _ { p } } } & { = \sum _ { k } \bigg [ \frac { \partial } { \partial x ^ { k } } T _ { \phantom { k i _ { 2 } \cdots i _ { p } } j _ { 1 } \cdots j _ { q } } ^ { i _ { 1 } \cdots i _ { p } } X ^ { k } } \\ & { \qquad \quad \: - T _ { \phantom { k i _ { 2 } \cdots i _ { p } } j _ { 1 } \cdots j _ { q } } ^ { k i _ { 2 } \cdots i _ { p } } \frac { \partial X ^ { i _ { 1 } } } { \partial x ^ { k } } - \cdots - T _ { \phantom { i _ { 1 } \cdots i _ { p - 1 } k } j _ { 1 } \cdots j _ { q } } ^ { i _ { 1 } \cdots i _ { p - 1 } k } \frac { \partial X ^ { i _ { p } } } { \partial x ^ { k } } } \\ & { \qquad \quad \: + T _ { \phantom { k i _ { 2 } \cdots i _ { p } } k j _ { 2 } \cdots j _ { q } } ^ { i _ { 1 } \cdots i _ { p } } \frac { \partial X ^ { k } } { \partial x ^ { j _ { 1 } } } + \cdots + T _ { \phantom { k i _ { 2 } \cdots i _ { p } } j _ { 1 } \cdots j _ { q - 1 } k } ^ { i _ { 1 } \cdots i _ { p } } \frac { \partial X ^ { k } } { \partial x ^ { j _ { q } } } \bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big \| \b { \hat { f } } - \boldsymbol A ^ { * } \boldsymbol W \boldsymbol f \big \| _ { p } } & { \leq | \mathcal I _ { \b { M } } | \, \varepsilon \cdot \big \| \b { \hat { f } } \big \| _ { p } + ( N \, | \mathcal I _ { \b { M } } | ) ^ { 1 / p } \, \| \boldsymbol w \| _ { q } \cdot \| Q \| _ { C ( \mathbb T ^ { d } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| 1 - \chi ( 2 \pi h k ) e ^ { \tau _ { \omega } ( k ) } \right| } & { \ge \operatorname* { m a x } \left\{ \left| 1 - e ^ { \Re \tau _ { \omega } ( k ) } \right| , \frac { 1 } { 2 } \left| 1 - e ^ { i \Im \tau _ { \omega } ( k ) } \right| \right\} } \\ & { \ge \frac { c _ { 2 } } { k ^ { d ( 2 + \beta ) } } } \end{array}
\| f \| _ { \mathcal { G } _ { \sigma , x } ^ { m } L _ { y } ^ { 2 } } : = \Big \| e ^ { \sigma | k | ^ { \frac { 1 } { m } } } \| f _ { k } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , 1 ) } \Big \| _ { \ell ^ { \infty } ( \mathbb Z ) } = \operatorname* { s u p } _ { k \in \mathbb Z } \bigg \{ e ^ { \sigma | k | ^ { \frac { 1 } { m } } } \bigg ( \int _ { 0 } ^ { 1 } | f _ { k } ( y ) | ^ { 2 } d y \bigg ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \bigg \} < + \infty ,
\begin{array} { r l } { K ( \tau , z ) } & { : = \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } } \sum _ { n = 1 } ^ { 2 } \left\{ z \Gamma _ { \tau } \left( \begin{array} { l } { \chi ^ { ( n ) } ( A _ { \mathrm { D } } ^ { ( j ) } - z I ) ^ { - 1 } v _ { n } } \\ { 0 } \end{array} \right) + \Gamma _ { \tau } \left( \begin{array} { l } { \chi ^ { ( n ) } v _ { n } } \\ { \rho } \end{array} \right) \right\} } \\ & { = \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } } \sum _ { n = 1 } ^ { 2 } \left\{ z \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \frac { \langle v _ { n } , \varphi _ { j } ^ { ( n ) } \rangle } { \mu _ { j } ^ { ( n ) } - z } \Gamma _ { \tau } \left( \begin{array} { l } { \chi ^ { ( n ) } \varphi _ { j } ^ { ( n ) } } \\ { 0 } \end{array} \right) + \Gamma _ { \tau } \left( \begin{array} { l } { \chi ^ { ( n ) } v _ { n } } \\ { \rho } \end{array} \right) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { 1 / M } \left\vert \sum _ { k = 0 } ^ { M } k e ^ { i k x } \right\vert \, \textnormal { d } x } & { \lesssim \int _ { 0 } ^ { 1 / M } M ^ { 2 } \, \textnormal { d } x \lesssim M , } \\ { \int _ { 0 } ^ { 1 / M } \left\vert \sum _ { k = 0 } ^ { M } k ^ { 2 } e ^ { i k x } \right\vert \, \textnormal { d } x } & { \lesssim \int _ { 0 } ^ { 1 / M } M ^ { 3 } \, \textnormal { d } x \lesssim M ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { s u p } _ { Q _ { \frac { r } { 2 } } ( z _ { 0 } ) } u } & { \le } & { c \, \delta ^ { - \frac { n ( p - 1 ) } { s p } } \, \operatorname* { m a x } \Big \{ \iiint _ { Q _ { r } ( z _ { 0 } ) } u _ { + } ^ { 2 / p } \, \, \mathrm { d } \nu \, , \, 1 \Big \} } \\ & { } & { + \delta \textup { \texttt { t a i l } } _ { \infty } \big ( u _ { + } ; z _ { 0 } , \frac { r } { 2 } , r \big ) + c \, \| \textup { \texttt { h } } \| _ { L ^ { \infty } ( Q _ { r } ( z _ { 0 } ) ) } ^ { \frac { 1 } { p - 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | u _ { m \ell } ( r ) | \leq } & { \: C ( | B _ { + } | + | B _ { - } | ) \operatorname* { s u p } _ { r ^ { \prime } } | r ^ { \prime } F _ { m \ell } ( r ^ { \prime } ) | } \\ { | X u _ { m \ell } ( r ) | \leq } & { \: C ( | B _ { + } | + | B _ { - } | ) ( r - 1 ) ^ { - \frac { 3 } { 2 } + \sqrt { \alpha _ { m \ell } } } ( \operatorname* { s u p } _ { r ^ { \prime } } | r ^ { \prime } F _ { m \ell } ( r ^ { \prime } ) | + \operatorname* { s u p } _ { r ^ { \prime } \leq 2 } | \widetilde { X } F _ { m \ell } ( r ^ { \prime } ) | ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Rightarrow 0 > } & { | z | ^ { n } - ( k - 1 ) \frac { | z | ^ { n - 3 } } { | z | - 1 } = | z | ^ { n - 3 } \cdot \frac { | z ^ { 4 } | - | z | ^ { 3 } - ( k - 1 ) } { | z | - 1 } } \\ & { | z | > \sqrt { k } \Rightarrow | z | ^ { 4 } - | z | ^ { 3 } - ( k - 1 ) > k ^ { 2 } - k \sqrt { k } - ( k - 1 ) = ( \sqrt { k } - 1 ) [ \sqrt { k } ( k - 1 ) - 1 ] } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } | | \nabla z _ { N } | | _ { L ^ { 2 } ( U ) } ^ { 2 } = - 2 \epsilon | | \Delta z _ { N } | | _ { L ^ { 2 } ( U ) } ^ { 2 } + \int _ { U } \phi ^ { \prime } ( z _ { N } ) \phi ( z _ { N } ) | \nabla u _ { N } | ^ { 2 } \Delta z _ { N } d x - \int _ { U } \frac { 1 - z _ { N } } { 2 \epsilon } \Delta z _ { N } d x } \end{array}
\| e ^ { i t \Delta _ { x } } u _ { 0 } \| _ { L _ { y _ { \alpha } } ^ { r } L _ { z _ { \alpha } } ^ { 2 } L _ { \hat { x } _ { \alpha } } ^ { 2 } } = \| e ^ { i t \Delta _ { y _ { \alpha } } } u _ { 0 } \| _ { L _ { y _ { \alpha } } ^ { r } L _ { z _ { \alpha } } ^ { 2 } L _ { \hat { x } _ { \alpha } } ^ { 2 } } = \| e ^ { i t \Delta _ { y _ { \alpha } } } u _ { 0 } \| _ { L _ { z _ { \alpha } } ^ { 2 } L _ { \hat { x } _ { \alpha } } ^ { 2 } L _ { y _ { \alpha } } ^ { r } } .
\begin{array} { r l } { T _ { l i q } } & { = \ 9 9 1 . 2 + 1 . 1 2 [ A l F _ { 3 } ] - 0 . 1 3 [ A l F _ { 3 } ] ^ { 2 . 2 } + 0 . 0 6 1 [ A l F _ { 3 } ] ^ { 1 . 5 } } \\ & { \ - \frac { 7 . 9 3 [ A l _ { 2 } O _ { 3 } ] } { 1 + 0 . 0 9 3 6 [ A l F _ { 3 } ] - 0 . 0 0 1 7 [ A l F _ { 3 } ] ^ { 2 } - 0 . 0 0 2 3 [ A l F _ { 3 } ] [ A l _ { 2 } O _ { 3 } ] } . } \end{array}
\bigl | \iota _ { \varepsilon } \bigl ( \mathcal { R } ^ { \gamma } f - \Pi _ { z } ^ { \gamma } f ( z ) \bigr ) ( \varphi _ { z } ^ { \lambda } ) \bigr | \lesssim ( \lambda \vee \mathfrak { e } ) ^ { \zeta } \Vert \Pi ^ { \gamma } \Vert _ { \bar { K } } ^ { ( \mathfrak { e } ) } \ f \ _ { \zeta ; [ \varphi _ { z } ^ { \lambda } ] } ^ { ( \mathfrak { e } ) } ,
\Delta _ { j } = \frac { 1 - \sum _ { j ^ { \prime } = 1 } ^ { j - 1 } \Delta _ { j ^ { \prime } } \cdot ( \sum _ { i ^ { \prime } = 1 , i ^ { \prime } \neq i } ^ { n } \frac { v _ { i ^ { \prime } } ( j ) } { 1 - \sum _ { \tilde { j } = 1 } ^ { j ^ { \prime } } v _ { i ^ { \prime } } ( \tilde { j } ) } ) } { 1 + \sum _ { i ^ { \prime } \neq i } \frac { v _ { i ^ { \prime } } ( j ) } { 1 - \sum _ { \tilde { j } = 1 } ^ { j - 1 } v _ { i ^ { \prime } } ( \tilde { j } ) } } .
\begin{array} { r l } { \psi } & { \lesssim \| q _ { 0 } \| _ { H ^ { 2 r } ( \Omega ) } + \| f \| _ { H ^ { 2 r - 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } + \sum _ { i + k \ge r - 2 } \sum _ { | \alpha | = k } \frac { ( i + k + 2 ) ^ { r } \epsilon ^ { i } \tilde { \epsilon } ^ { k + 2 } } { ( i + k + 2 ) ! } \| t ^ { i + k + 2 - r } \partial _ { t } ^ { i } \bar { \partial } ^ { \alpha } f \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } } \\ & { + \quad \sum _ { i \ge r } \frac { ( i + 1 ) ^ { r } \epsilon ^ { i + 1 } } { ( i + 1 ) ! } \| t ^ { i + 1 - r } \partial _ { t } ^ { i } f \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } + \sum _ { i \ge r - 1 } \frac { ( i + 1 ) ^ { r - 1 } \epsilon ^ { i + 1 } } { ( i + 1 ) ! } \| t ^ { i + 2 - r } \partial _ { t } ^ { i } \partial _ { d } f \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } } \\ & { \quad \quad + \sum _ { i + j + k \ge 1 + ( r - 3 ) _ { + } } \sum _ { | \alpha | = k } \frac { ( i + j + k + 1 ) ^ { r - 1 } \epsilon ^ { i } \tilde { \epsilon } ^ { j + k + 1 } } { ( i + j + k + 1 ) ! } \| t ^ { i + j + k + 2 - r } \partial _ { t } ^ { i } \partial _ { d } ^ { j } \bar { \partial } ^ { \alpha } f \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } . } \end{array}
a ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 2 \sqrt { \gamma _ { 0 } } } { \sqrt { \gamma _ { 0 } } t + 2 } , } & { \textrm { i f } \mu = 0 , } \\ { \sqrt { \mu } \cdot \frac { e ^ { \sqrt { \mu } t } - \frac { \sqrt { \mu } - \sqrt { \gamma _ { 0 } } } { \sqrt { \mu } + \sqrt { \gamma _ { 0 } } } } { e ^ { \sqrt { \mu } t } + \frac { \sqrt { \mu } - \sqrt { \gamma _ { 0 } } } { \sqrt { \mu } + \sqrt { \gamma _ { 0 } } } } , } & { \textrm { i f } \mu > 0 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { P } & { = \left( \begin{array} { l l l l } { P _ { 1 , 1 } } & { P _ { 1 , 2 } } & { P _ { 1 , 3 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \ell _ { 2 , 2 } C _ { 2 } T C _ { 2 } ^ { - 1 } } & { \ell _ { 2 , 1 } C _ { 2 } T C _ { 1 } ^ { - 1 } } & { b _ { 2 } C _ { 2 } P _ { 4 , 4 } } \\ { 0 } & { \ell _ { 1 , 2 } C _ { 1 } T C _ { 2 } ^ { - 1 } } & { \ell _ { 1 , 1 } C _ { 1 } T C _ { 1 } ^ { - 1 } } & { b _ { 1 } C _ { 1 } P _ { 4 , 4 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { P _ { 4 , 4 } } \end{array} \right) } \\ { Q } & { = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { Q _ { 1 , 4 } } \\ { \ell _ { 1 , 1 } ^ { * } C _ { 1 } ^ { * } S C _ { 1 } ^ { - * } } & { \ell _ { 1 , 2 } ^ { * } C _ { 1 } ^ { * } S C _ { 2 } ^ { - * } } & { 0 } & { b _ { 1 } ^ { * } C _ { 1 } ^ { * } Q _ { 1 , 4 } } \\ { \ell _ { 2 , 1 } ^ { * } C _ { 2 } ^ { * } S C _ { 1 } ^ { - * } } & { \ell _ { 2 , 2 } ^ { * } C _ { 2 } ^ { * } S C _ { 2 } ^ { - * } } & { 0 } & { b _ { 2 } ^ { * } C _ { 2 } ^ { * } Q _ { 1 , 4 } } \\ { Q _ { 4 , 1 } } & { Q _ { 4 , 2 } } & { Q _ { 4 , 3 } } & { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi _ { s } ( z : | z - y | \geq \varepsilon ) } & { = \int _ { B _ { \varepsilon } ( y ) ^ { c } } \frac { p ( s , x , z ) p ( t - s , z , y ) } { p ( t , x , y ) } \, d z } \\ & { \leq \frac { C ( t - s ) } { p ( t , x , y ) \varepsilon ^ { d + \alpha } } \int _ { B _ { \varepsilon } ( y ) ^ { c } } p ( s , x , z ) \, d z } \\ & { \leq \frac { C ( t - s ) } { p ( t , x , y ) \varepsilon ^ { d + \alpha } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { 3 } ( z , w ) } & { = \left( - \frac { 1 0 4 3 } { 6 0 } - \frac { 5 } { 3 } z ^ { 2 } + 2 z ^ { 3 } - 4 z ^ { 4 } - \frac { 6 } { 5 } z ^ { 5 } - \frac { 2 } { 3 } z ^ { 9 } + \frac { 8 } { 3 } z ^ { 1 4 } + \frac { 2 5 } { 4 } z ^ { 1 5 } + 4 z ^ { 1 6 } \right) } \\ & { + \left( \frac { 1 1 } { 3 } \right) w ^ { 5 } + \left( - \frac { 8 } { 3 } \right) w ^ { 1 2 } + \left( - \frac { 3 8 } { 5 } - \frac { 1 } { 2 } z \right) w ^ { 3 4 } } \\ & { = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( x _ { k } ) \leq } & { \ f ( x _ { k - 1 } ) + \langle \nabla f ( x _ { k - 1 } ) , x _ { k } - x _ { k - 1 } \rangle + \frac { L } { 2 } \| x _ { k } - x _ { k - 1 } \| ^ { 2 } } \\ { = } & { \ f ( x _ { k - 1 } ) + \frac { 1 } { \eta } \left( - \frac { \eta ^ { 2 } } { 2 } \| \nabla f ( x _ { k - 1 } ) \| ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \| x _ { k } - x _ { k - 1 } \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \| x _ { k } - x _ { k - 1 } + \eta \nabla f ( x _ { k - 1 } ) \| ^ { 2 } \right) } \\ & { + \frac { L } { 2 } \| x _ { k } - x _ { k - 1 } \| ^ { 2 } } \\ { = } & { \ f ( x _ { k - 1 } ) - \frac { \eta } { 2 } \| \nabla f ( x _ { k - 1 } ) \| ^ { 2 } - \left( \frac { 1 } { 2 \eta } - \frac { L } { 2 } \right) \| x _ { k } - x _ { k - 1 } \| ^ { 2 } + \frac { \eta } { 2 } \| \widetilde v _ { k } - \eta \nabla f ( x _ { k - 1 } ) \| ^ { 2 } . } \end{array}
\frac { \| u _ { h } - u _ { \mathrm { r e f } } \| _ { l ^ { \infty } ( 0 , T , L ^ { 2 } ( \Omega _ { \mathrm { r e f } } ) ) } ^ { 2 } } { \| u _ { \mathrm { r e f } } \| _ { l ^ { \infty } ( 0 , T , L ^ { 2 } ( \Omega _ { \mathrm { r e f } } ) ) } ^ { 2 } } \approx \frac { \operatorname* { m a x } _ { n = 0 , \dots , N } \int _ { \Omega _ { \mathrm { r e f } } } ( u _ { h } ( . , t _ { n } ) - u _ { \mathrm { r e f } } ( . , t _ { n } ) ) ^ { 2 } \mathrm { d } x } { \operatorname* { m a x } _ { n = 0 , \dots , N } \int _ { \Omega _ { \mathrm { r e f } } } ( u _ { \mathrm { r e f } } ( . , t _ { n } ) ) ^ { 2 } \mathrm { d } x } \, ,
\widetilde { \eta } _ { k } = \underset { s _ { k } < \eta < e _ { k } } { \arg \operatorname* { m i n } } \ \widehat { Q } _ { k } ( \eta ) = \underset { s _ { k } < \eta < e _ { k } } { \arg \operatorname* { m i n } } \Big \{ \sum _ { t = s _ { k } + 1 } ^ { \eta } \vert \vert F _ { t , h _ { 1 } } - F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , h _ { 1 } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } + \sum _ { t = \eta + 1 } ^ { e _ { k } } \vert \vert F _ { t , h _ { 1 } } - F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , h _ { 1 } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } \Big \} ,
\begin{array} { r l } { \bar { H } ( X ) } & { = \operatorname* { l i m s u p } _ { T \rightarrow \infty } \, \, \frac { H \left( [ X _ { 1 } , \ldots X _ { T } ] \right) } { T } } \\ & { = \operatorname* { l i m s u p } _ { T \rightarrow \infty } \, \, \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } H ( X _ { t } | X _ { t - 1 } , \ldots , X _ { 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { S } ( R B ) } & { = \langle \boldsymbol { 1 } , D _ { u _ { S } } P Y D _ { v _ { \overline { { S } } } } \boldsymbol { 1 } \rangle + \langle \boldsymbol { 1 } , D _ { u _ { S } } Q W D _ { v _ { \overline { { S } } } } \boldsymbol { 1 } \rangle + \langle \boldsymbol { 1 } , D _ { u _ { \overline { { S } } } } H X D _ { v _ { S } } \boldsymbol { 1 } \rangle + \langle \boldsymbol { 1 } , D _ { u _ { \overline { { S } } } } V Z D _ { v _ { S } } \boldsymbol { 1 } \rangle } \\ & { = \langle P ^ { T } D _ { u _ { S } } \boldsymbol { 1 } , Y D _ { v _ { \overline { { S } } } } \boldsymbol { 1 } \rangle + \langle \boldsymbol { 1 } , D _ { u _ { S } } Q W D _ { v _ { \overline { { S } } } } \boldsymbol { 1 } \rangle + \langle \boldsymbol { 1 } , D _ { u _ { \overline { { S } } } } H X D _ { v _ { S } } \boldsymbol { 1 } \rangle + \langle V ^ { T } D _ { u _ { \overline { { S } } } } \boldsymbol { 1 } , Z D _ { v _ { S } } \boldsymbol { 1 } \rangle } \\ & { = \langle D _ { u _ { S } } \boldsymbol { 1 } - H ^ { T } D _ { u _ { \overline { { S } } } } \boldsymbol { 1 } , Y D _ { v _ { \overline { { S } } } } \boldsymbol { 1 } \rangle + \langle \boldsymbol { 1 } , D _ { u _ { S } } Q ( D _ { v _ { \overline { { S } } } } \boldsymbol { 1 } - Z D _ { v _ { S } } \boldsymbol { 1 } ) \rangle } \\ & { \ \ \ \ \ + \langle \boldsymbol { 1 } , D _ { u _ { \overline { { S } } } } H ( D _ { v _ { S } } \boldsymbol { 1 } - Y D _ { v _ { \overline { { S } } } } \boldsymbol { 1 } \rangle + \langle D _ { u _ { \overline { { S } } } } \boldsymbol { 1 } - Q ^ { T } D _ { u _ { S } } \boldsymbol { 1 } , Z D _ { v _ { S } } \boldsymbol { 1 } \rangle } \\ & { \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \mathrm { [ f r o m ~ e q u a t i o n s ~ , ~ , ~ , ~ a b o v e ] } } \\ & { = \langle D _ { u _ { S } } \boldsymbol { 1 } , Y D _ { v _ { \overline { { S } } } } \boldsymbol { 1 } \rangle + \langle \boldsymbol { 1 } , D _ { u _ { S } } Q D _ { v _ { \overline { { S } } } } \boldsymbol { 1 } \rangle - \langle H ^ { T } D _ { u _ { \overline { { S } } } } \boldsymbol { 1 } , Y D _ { v _ { \overline { { S } } } } \boldsymbol { 1 } \rangle - \langle \boldsymbol { 1 } , D _ { u _ { S } } Q Z D _ { v _ { S } } \boldsymbol { 1 } \rangle } \\ & { \ \ \ \ \ + \langle \boldsymbol { 1 } , D _ { u _ { \overline { { S } } } } H D _ { v _ { S } } \boldsymbol { 1 } \rangle + \langle D _ { u _ { \overline { { S } } } } \boldsymbol { 1 } , Z D _ { v _ { S } } \boldsymbol { 1 } \rangle - \langle \boldsymbol { 1 } , D _ { u _ { \overline { { S } } } } H Y D _ { v _ { \overline { { S } } } } \boldsymbol { 1 } \rangle - \langle Q ^ { T } D _ { u _ { S } } \boldsymbol { 1 } , Z D _ { v _ { S } } \boldsymbol { 1 } \rangle } \\ & { \leq \langle D _ { u _ { S } } \boldsymbol { 1 } , Y D _ { v _ { \overline { { S } } } } \boldsymbol { 1 } \rangle + \langle \boldsymbol { 1 } , D _ { u _ { S } } Q D _ { v _ { \overline { { S } } } } \boldsymbol { 1 } \rangle + \langle \boldsymbol { 1 } , D _ { u _ { \overline { { S } } } } H D _ { v _ { S } } \boldsymbol { 1 } \rangle + \langle D _ { u _ { \overline { { S } } } } \boldsymbol { 1 } , Z D _ { v _ { S } } \boldsymbol { 1 } \rangle } \\ & { \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \mathrm { [ s i n c e ~ e v e r y ~ e n t r y ~ o f ~ t h e ~ m a t r i c e s ~ i s ~ n o n n e g a t i v e ] } } \\ & { = \gamma _ { S } ( R ) + \gamma _ { S } ( B ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ^ { \mathrm { i n } } } & { < d _ { i } + f _ { 6 } ( c _ { i } , d _ { i } , F _ { i } ) + u ^ { \mathrm { o u t } } } \\ { } & { = d _ { i } + \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) - ( u ^ { \mathrm { o u t } } - D _ { i } ) \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } + u ^ { \mathrm { o u t } } } \\ { } & { = d _ { i } + \frac { \left( f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) - ( u ^ { \mathrm { o u t } } - D _ { i } ) \right) \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } + u ^ { \mathrm { o u t } } } \\ { } & { = d _ { i } + \frac { \left( f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) - u ^ { \mathrm { o u t } } + D _ { i } \right) \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } + u ^ { \mathrm { o u t } } } \\ { } & { = d _ { i } + D _ { i } + f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { K \left( \rho \right) } & { = a _ { 1 } b _ { 1 } \sin \left( \left( \alpha + \mu \right) \pi \right) + a _ { 1 } b _ { 2 } \rho ^ { \nu - \mu } \sin \left( \left( \alpha + \nu \right) \pi \right) + a _ { 1 } b _ { 3 } \rho ^ { \alpha + \beta + \nu - \mu } \sin \left( \left( 2 \alpha + \beta + \nu \right) \pi \right) } \\ & { \quad + a _ { 2 } b _ { 1 } \rho ^ { \alpha + \beta } \sin \left( \left( \mu - \beta \right) \pi \right) + a _ { 2 } b _ { 2 } \rho ^ { \alpha + \beta + \nu - \mu } \sin \left( \left( \nu - \beta \right) \pi \right) + a _ { 2 } b _ { 3 } \rho ^ { 2 \alpha + 2 \beta + \nu - \mu } \sin \left( \left( \alpha + \nu \right) \pi \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { l c b } _ { d - 1 } ( x _ { 2 } ^ { \ell ( d - 1 ) } , } & { x _ { 3 } ^ { \ell ( d - 1 ) } , x _ { 4 } ^ { d - 1 } , \ldots , x _ { d } ^ { d - 1 } ; R / J _ { 1 } ^ { ( m p ^ { e } + 1 ) } ) \leq } \\ & { \operatorname { l c b } _ { d - 1 } ( x _ { 2 } ^ { \ell ( d - 1 ) } , x _ { 3 } ^ { \ell ( d - 1 ) } , x _ { 4 } ^ { d - 1 } , \ldots , x _ { d } ^ { d - 1 } ; \operatorname { E x t } _ { S } ^ { h + 1 } ( \operatorname { E x t } _ { S } ^ { h + 1 } ( R / J _ { 1 } ^ { m p ^ { e } + 1 } , S , S ) ) + 1 . } \end{array}
\mathrm { ~ \forall \varepsilon ' > 0 ~ , ~ t h e r e ~ e x i s t s ~ \varepsilon _ 1 > 0 ~ s u c h ~ t h a t ~ f o r ~ a l l ~ \varepsilon < \varepsilon _ 1 ~ : ~ } A ^ { \prime } \underline { { k } } _ { n , \varepsilon } ^ { \operatorname* { m a x } ( { \mathcal Z } ) } \log ^ { \mathfrak { m } ^ { \prime } } ( \underline { { k } } _ { n , \varepsilon } ) < \varepsilon ^ { \prime } \log ( n ) .
\overline { { f } } \left( \mathcal { B } , \overline { { \mathcal { B } } } \right) \geq \overline { { f } } \left( \mathcal { B } _ { a u g } , \overline { { \mathcal { B } } } _ { a u g } \right) - \frac { 2 R _ { n + 1 } } { k _ { n } } > \overline { { f } } \left( \mathcal { B } _ { a u g } , \overline { { \mathcal { B } } } _ { a u g } \right) - \frac { 1 } { R _ { n + 1 } } .
\begin{array} { r l } & { \le \frac { 3 2 } { 1 5 \sqrt { \pi } } h N \sqrt { \eta _ { 3 } \lambda _ { 3 } ^ { - 1 / 3 } + 1 } \lambda _ { 3 } ^ { 1 / 2 } + \frac { N } { 3 } h ( \eta _ { 3 } \lambda _ { 3 } ^ { - 1 / 3 } + 1 ) \lambda _ { 3 } + \frac { 3 2 } { 3 \sqrt { \pi } } \left( \eta _ { 3 } \lambda _ { 3 } ^ { - 1 / 3 } \right) ^ { - 1 / 2 } \lambda _ { 3 } ^ { - 1 / 2 } } \\ & { = h N \lambda _ { 3 } ^ { 1 / 3 } \left[ \frac { 3 2 } { 1 5 \sqrt { \pi } } \sqrt { \eta _ { 3 } + \lambda _ { 3 } ^ { 1 / 3 } } + \frac { 1 } { 3 } \left( \eta _ { 3 } + \lambda _ { 3 } ^ { 1 / 3 } \right) \lambda _ { 3 } ^ { 1 / 3 } \right] + \frac { 3 2 } { 3 \sqrt { \pi \eta _ { 3 } } } \lambda _ { 3 } ^ { - 1 / 3 } . } \end{array}
{ \boldsymbol \beta } _ { \mathcal { S } \setminus \mathcal { D } } ^ { \top } \Gamma ( \mathcal { D } ) { \boldsymbol \beta } _ { \mathcal { S } \setminus \mathcal { D } } = 0 \Leftrightarrow ( \mathbb { I } _ { n } - \mathbf { P } _ { \mathcal { D } } ) \mathbf { X } _ { \mathcal { S } \setminus \mathcal { D } } { \boldsymbol \beta } _ { \mathcal { S } \setminus \mathcal { D } } = 0
\begin{array} { r } { \| \boldsymbol { \hat { Q } } \| _ { 2 } = \| \boldsymbol { G } \| _ { 2 } ^ { 1 / 2 } , \mathrm { ~ a n d ~ } \| \boldsymbol { G } ^ { - 1 } \| _ { 2 } \| \boldsymbol { \hat { Q } } ^ { T } \| _ { 2 } \le \frac { \sqrt { 1 + \hat { \delta } + \epsilon _ { m } } } { 1 - \hat { \delta } - \epsilon _ { m } } = : C _ { \hat { \delta } , \epsilon _ { m } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigg | \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } } & { [ S ( t ) g ( \eta ) - S ( s ) g ( \eta ) ] \varphi ( \eta ) \textup { d } \eta \bigg | \leq } \\ & { \leq \bigg | \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } [ g ( \eta , t ) - g ( \eta , s ) ] \varphi _ { n } ( \eta ) \textup { d } \eta \bigg | + \bigg | \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } [ g ( \eta , t ) - g ( \eta , s ) ] [ \varphi _ { n } ( \eta ) - \varphi ( \eta ) ] \textup { d } \eta \bigg | } \\ & { \leq \bigg | \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } [ g ( \eta , t ) - g ( \eta , s ) ] \varphi _ { n } ( \eta ) \textup { d } \eta \bigg | + \frac { 2 } { n } \operatorname* { s u p } _ { r \in [ 0 , T ] } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } g ( \eta , r ) \textup { d } \eta } \\ & { \leq \bigg | \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } [ g ( \eta , t ) - g ( \eta , s ) ] \varphi _ { n } ( \eta ) \textup { d } \eta \bigg | + \frac { C } { n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { \leq \sum _ { k = 0 } ^ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left\{ \eta _ { \ast } ( { u } ^ { \varDelta } ( x , t _ { k - 0 } ) ) - \eta _ { \ast } ( E ^ { k } ( x ; u ) ) \right\} d x + \int _ { 0 } ^ { t _ { n } } \sum _ { x \in { \bf R } } ( \sigma [ \eta _ { \ast } ] - [ q _ { \ast } ] ) d t } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { n } \sum _ { j \in 2 { \bf Z } } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } R _ { j } ^ { n } ( x ) d x + \int _ { 0 } ^ { t _ { n } } \sum _ { x \in { \bf R } } ( \sigma [ \eta _ { \ast } ] - [ q _ { \ast } ] ) d t + o ( { \varDelta } x ) } \\ & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left\{ J \left( { u } ^ { \varDelta } ( x , t _ { 0 - } ) \right) - J \left( { u } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n + } ) \right) \right\} d x + o ( { \varDelta } x ) } \\ & { \leq \int _ { - \infty } ^ { \infty } J ( u _ { 0 } ( x ) ) d x + o ( { \varDelta } x ) . } \end{array}
\mathbb { E } \left[ \left| F \left( \big ( X _ { \alpha , i } ^ { { r _ { I } } , N } ( 0 ) \big ) _ { i } \right) - \mathbb { E } \left[ F \left( \big ( X _ { \alpha , i } ^ { { r _ { I } } , N } ( 0 ) \big ) _ { i } \right) \right] \right| ^ { 2 } \right] \leq C \mathbb { E } \left[ \left| \nabla F \left( \big ( X _ { \alpha , i } ^ { { r _ { I } } , N } ( 0 ) \big ) _ { i } \right) \right| ^ { 2 } \right] .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { P r } ( Y _ { ( ( 1 / 2 + \varepsilon ) N ) } \geqslant \Phi ^ { - 1 } ( 1 / 2 + \varepsilon ) + t ) } & { = \operatorname* { P r } \left( \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } Z _ { i } - { \mathbf E } Z _ { i } > \Phi ( \Phi ^ { - 1 } ( 1 / 2 + \varepsilon ) + t ) - \frac { 1 } { 2 } - \varepsilon \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { \lambda } s _ { \lambda } ( x | | a ) \widehat { s } _ { \lambda } ( z | | a ) } & { = \prod _ { i , j } \frac { 1 - a _ { i } z _ { j } } { 1 - x _ { i } z _ { j } } , } \\ { \sum _ { \lambda } s _ { \lambda } ( x / y | | a ) \widehat { s } _ { \lambda } ( y | | a ) } & { = \prod _ { i , j } \frac { 1 + y _ { i } z _ { j } } { 1 - x _ { i } y _ { j } } . } \end{array}
u _ { 0 , { \mathrm { M S - } } k } ^ { ( 2 , 0 ) } ( z ) = \frac { \sum _ { p = 0 } ^ { \left[ \frac { k - 1 } { 2 } \right] } \frac { t _ { k - 2 p } ( k ) } { \alpha _ { k - 2 p , k - 2 p } } \left( \sum _ { i = 0 } ^ { k - 2 p - 1 } \frac { ( - 1 ) ^ { k - 2 p - i } \, \Gamma \left( k - 2 p + \frac { 1 } { 2 } \right) \, u _ { 0 } ^ { k - 2 p - i - 1 } ( z ) \, A ^ { \prime } ( z ) ^ { 2 i } } { 4 \, \Gamma \left( i + \frac { 3 } { 2 } \right) \, \Gamma \left( k - 2 p - i \right) } \right) \, u _ { 0 , { \mathrm { M C - } } ( k - 2 p ) } ^ { ( 2 , 0 ) } ( z ) } { \sum _ { p = 0 } ^ { \left[ \frac { k - 1 } { 2 } \right] } \frac { t _ { k - 2 p } ( k ) } { \alpha _ { k - 2 p , k - 2 p } } \left( \sum _ { i = 0 } ^ { k - 2 p - 1 } \frac { ( - 1 ) ^ { k - 2 p - i } \, \Gamma \left( k - 2 p + \frac { 1 } { 2 } \right) \, u _ { 0 } ^ { k - 2 p - i - 1 } ( z ) \, A ^ { \prime } ( z ) ^ { 2 i } } { 4 \, \Gamma \left( i + \frac { 3 } { 2 } \right) \, \Gamma \left( k - 2 p - i \right) } \right) } ,
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial } { \partial x ^ { k } } \left( a ^ { k j } ( \boldsymbol { x } ) \frac { \partial } { \partial x ^ { j } } u ( \boldsymbol { x } ) \right) = f ( \boldsymbol { x } ) } \\ & { \boldsymbol { x } \in \Gamma \equiv [ 0 , 1 ] ^ { D } , \, \left. u ( \boldsymbol { x } ) \right| _ { x \in \partial \Gamma } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( F _ { H } ( x , \tilde { \xi } ) ) _ { l } ^ { k } } & { = - i \frac { \sqrt { \lvert \hat { \mu } ^ { - 1 } \rvert } } { \sqrt { \lvert \hat { \varepsilon } ^ { - 1 } \rvert } } ( \hat { \varepsilon } ^ { - 1 } ) _ { l q } \left( \hat { \mu } ^ { q a } \partial _ { x ^ { a } } \hat { \mu } ^ { k \tilde { a } } \xi _ { \tilde { a } } + \hat { \mu } ^ { q \tilde { d } } \xi _ { \tilde { d } } \frac { \partial _ { x ^ { a } } ( \sqrt { \lvert \hat { \mu } ^ { - 1 } \rvert } \hat { \mu } ^ { k a } ) } { \sqrt { \lvert \hat { \mu } ^ { - 1 } \rvert } } \right) } \\ & { + i ( \hat { \varepsilon } ^ { - 1 } ) _ { l q } \frac { \sigma ^ { a j q } } { \sqrt { \lvert \hat { \varepsilon } ^ { - 1 } \rvert } } \partial _ { x ^ { a } } ( \hat { \varepsilon } ^ { - 1 } ) _ { b j } \frac { \sigma ^ { \tilde { d } k b } } { \sqrt { \lvert \hat { \varepsilon } ^ { - 1 } \rvert } } \xi _ { \tilde { d } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta _ { \dot { v _ { 0 } } \dot { w } \rho , \dot { v } ^ { \prime } } } & { = \theta _ { \dot { w } ^ { \prime } t \rho , \dot { v } ^ { \prime } } } \\ & { = \theta _ { ( \dot { w } ^ { \prime } t ( \dot { w } ^ { \prime } ) ^ { - 1 } ) \dot { w } ^ { \prime } \rho , \dot { v } ^ { \prime } } } \\ & { = ( \dot { w } ^ { \prime } \rho ) ( \dot { w } ^ { \prime } t ^ { - 1 } ( \dot { w } ^ { \prime } ) ^ { - 1 } ) \circ \theta _ { \dot { w } ^ { \prime } \rho , \dot { v } ^ { \prime } } \circ ( \dot { w } ^ { \prime } \rho ) ( \dot { w } ^ { \prime } t ( \dot { w } ^ { \prime } ) ^ { - 1 } ) } \\ & { = \rho ( t ^ { - 1 } ) \circ \theta _ { \dot { w } ^ { \prime } \rho , \dot { v } ^ { \prime } } \circ \rho ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { i n f } _ { n \in Q _ { j } } \left( | f _ { n } ( \tau _ { n } ) | - \sum _ { m \in Q _ { j } , m \neq n } | f _ { n } ( \tau _ { m } ) | \right) } & { = \operatorname* { i n f } _ { n \in Q _ { j } } | f _ { n } ( \tau _ { n } ) | - \operatorname* { s u p } _ { n \in Q _ { j } } \sum _ { m \in Q _ { j } , m \neq n } | f _ { n } ( \tau _ { m } ) | } \\ & { \geq C - \frac { C } { 2 } = \frac { C } { 2 } > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { 2 ^ { \prime } } } & { = \alpha D _ { 3 } = - 2 { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 } } + { D _ { 3 3 ^ { \prime } 3 } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } } } - { D _ { 3 } } , } \\ { q _ { 3 ^ { ' } } } & { = \beta D _ { 2 ^ { \prime } } = { D _ { 3 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } - 2 { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } } } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { \partial n } { \partial t } = \left( \displaystyle \frac { \mu } { 1 + \rho p } - n - \displaystyle \frac { ( 1 - \eta ) \Phi p } { 1 + \sigma ( 1 - \eta ) n + \xi p } - \delta \right) n + \gamma _ { 1 } \Delta n , } \\ { \displaystyle \frac { \partial p } { \partial t } = \left( 1 - \displaystyle \frac { \theta } { ( 1 - \eta ) n + \nu } \right) p + \gamma _ { 2 } \Delta p } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { r \rightarrow \infty } \frac { 1 } { r ^ { n } } \mathbb { E } \left( \operatorname* { s u p } _ { t } \left| X _ { t } ( x + r h ) - r ^ { n } \langle f _ { t } , h ^ { \otimes n } \rangle \right| \right) = \operatorname* { l i m } _ { r \rightarrow \infty } \frac { 1 } { r ^ { n } } \mathbb { E } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } r ^ { k } \operatorname* { s u p } _ { t } { \left\lVert { D ^ { k } X _ { t } } \right\rVert } { \left\lVert { h } \right\rVert } ^ { k } \right) = 0 . } \end{array}
\| k _ { 1 } ( . , . ) \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , t ; L ^ { \infty } ( 0 , \pi ) ) } \leq \left[ 1 + \frac { t ^ { \alpha } \Gamma ( 2 - \alpha ) } { l _ { 2 } \Lambda ^ { ( 1 - \alpha ) } } \right] \exp \left( - \Lambda \left( \frac { l _ { 1 } } { t ^ { \alpha } } \right) ^ { 1 / ( 1 - \alpha ) } \right) \| k _ { 2 } ( . , . ) \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , t ; L ^ { \infty } ( 0 , \pi ) ) } ,
\mathcal { L } _ { 1 } ^ { 2 3 } \left( \tilde { \gamma } _ { 2 } , \tilde { \psi } _ { 1 } , \tilde { \gamma } _ { 3 } , \tilde { \ell } _ { 3 } , \tilde { \Gamma } _ { 2 } \right) = \left( 1 + \sqrt { 1 - \delta _ { 2 } ^ { 2 } } \, \cos v _ { 3 } \right) ^ { 3 } \, \left[ A _ { 1 } \left( \tilde { \gamma } _ { 3 } , \tilde { \psi } _ { 1 } , v _ { 3 } \right) \, \mathcal { L } _ { 1 } \left( \tilde { \gamma } _ { 2 } , \tilde { \Gamma } _ { 2 } \right) + B _ { 1 } \left( \tilde { \gamma } _ { 3 } , \tilde { \psi } _ { 1 } , v _ { 3 } \right) \, \mathcal { L } _ { 2 } \left( \tilde { \gamma } _ { 2 } , \tilde { \Gamma } _ { 2 } \right) \right]
\begin{array} { r l } { \gamma _ { \mu , 2 } } & { = \frac { 1 } { a _ { 1 } } \gamma _ { \mu , 1 } ( \lambda _ { \mu } ^ { \alpha } - \lambda _ { 1 } ) + \frac { 1 } { a _ { 1 } } \sum _ { \mu _ { 2 } = 1 } ^ { \mu - 1 } \gamma _ { \mu _ { 2 } , 1 } [ a ] _ { \mu _ { 2 } } ^ { \mu - 1 } h _ { \alpha - \mu + \mu _ { 2 } } ( \lambda _ { \mu _ { 2 } } , \ldots , \lambda _ { \mu } ) } \\ & { = \frac { 1 } { a _ { 1 } } [ a ] _ { 1 } ^ { \mu - 1 } h _ { \alpha - \mu + 1 } ( \lambda _ { 1 } , \ldots , \lambda _ { \mu } ) \gamma _ { 1 , 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal T _ { k , - } ( t ) = 2 \mathbb E \int _ { 0 } ^ { t } G _ { Q } ^ { - } \Big ( V _ { k } x _ { k } ( s ) , V _ { k - 1 } x _ { k - 1 } ( s ) \Big ) d s , \quad \mathcal T _ { k , + } ( t ) = 2 \mathbb E \int _ { 0 } ^ { t } G _ { P ^ { - 1 } } ^ { + } \Big ( V _ { k } x _ { k } ( s ) , V _ { k - 1 } x _ { k - 1 } ( s ) \Big ) d s } \end{array}
\Delta S = \int \Delta L \approx \int { \frac { \partial L } { \partial { \dot { q } } } } \Delta { \dot { q } } \approx \int { \frac { \partial L } { \partial { \dot { q } } } } \left( \pm { \frac { \delta q } { \tau } } \right) \approx \ \pm { \frac { \partial L } { \partial { \dot { q } } } } \delta q = \pm { \frac { \partial L } { \partial { \dot { q } } } } \varphi .
\begin{array} { r l r } { T _ { n } ( \delta u _ { n } , \delta \phi _ { n } ) = } & { } & { k _ { a n } N R ^ { 2 } \sin ( \delta \phi _ { n } + \theta _ { 0 } - \frac { \pi } { N } ) ( 1 - \frac { a _ { 0 } } { a _ { n } } ) + k _ { b n } N R ^ { 2 } \sin ( \delta \phi _ { n } + \theta _ { 0 } + \frac { \pi } { N } ) ( 1 - \frac { b _ { 0 } } { b _ { n } } ) } \\ & { } & { + 2 k _ { \Psi n } N R h _ { 0 } ( \Psi _ { 0 } - \Psi _ { n } ) \frac { \sin ( \delta \phi _ { n } + \theta _ { 0 } ) ( h _ { 0 } - \delta u _ { n } ) } { R ^ { 2 } [ \cos \frac { \pi } { N } - \cos ( \delta \phi _ { n } + \theta _ { 0 } ) ] ^ { 2 } + ( h _ { 0 } - \delta u _ { n } ) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } ( \lambda A ) } & { = \sum _ { \sigma \in S _ { n } } \mathrm { s g n } ( \sigma ) \prod _ { j = 1 } ^ { n } ( \lambda a _ { j \sigma ( j ) } ) = \sum _ { \sigma \in S _ { n } } \mathrm { s g n } ( \sigma ) \lambda ^ { n } \prod _ { j = 1 } ^ { n } a _ { j \sigma ( j ) } } \\ & { \subseteq \lambda ^ { n } \left( \sum _ { \sigma \in S _ { n } } \mathrm { s g n } ( \sigma ) \prod _ { j = 1 } ^ { n } a _ { j \sigma ( j ) } \right) = \lambda ^ { n } \operatorname* { d e t } ( A ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } \left[ R ^ { \ell + 1 } \sin ^ { 2 } ( \theta ^ { \ell + 1 } ) \right] } & { = \frac { 2 } { n _ { \ell } ^ { 2 } } \mathbf { E } \left[ \sum _ { i , j } ^ { n _ { \ell } } \left( { \varphi } ( G _ { i } ) { \varphi } ( \hat { G } _ { j } ) - { \varphi } ( G _ { j } ) { \varphi } ( \hat { G } _ { i } ) \right) ^ { 2 } \right] } \\ & { = \frac { 2 } { n _ { \ell } ^ { 2 } } \mathbf { E } \left[ \sum _ { i , j } ^ { n _ { \ell } } \left( { \varphi } ^ { 2 } ( G _ { i } ) { \varphi } ^ { 2 } ( \hat { G } _ { j } ) - 2 { \varphi } ( G _ { i } ) { \varphi } ( \hat { G } _ { i } ) { \varphi } ( G _ { j } ) { \varphi } ( \hat { G } _ { j } ) + { \varphi } ^ { 2 } ( G _ { j } ) { \varphi } ^ { 2 } ( \hat { G } _ { i } ) \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { 3 } \left( x \right) + E \left( x \right) } & { = H _ { 3 } \left( x \right) + \frac { H _ { \xi } \left( x \right) } { 2 4 } B \left( x \right) } \\ { H _ { 3 } ^ { \prime } \left( x \right) + E ^ { \prime } \left( x \right) } & { = H _ { 3 } ^ { \prime } \left( x \right) + \frac { H _ { \xi } ^ { \prime } \left( x \right) } { 2 4 } B \left( x \right) + \frac { H _ { \xi } \left( x \right) } { 2 4 } A \left( x \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { 1 } f _ { a } \left( x \right) d x } & { = 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } g _ { a } \left( x \right) d x - 1 = 1 - \frac { a } { 1 + a } \left( 1 - \frac { \pi } { a + 1 } \cot \frac { \pi } { a + 1 } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { a + 1 } - \frac { a \pi } { \left( a + 1 \right) ^ { 2 } } \cot \frac { a \pi } { a + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta _ { n } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) } & { \triangleq \beta _ { n } ^ { 2 } ( \widetilde { \gamma } , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) - 4 \gamma _ { n } ( \widetilde { \gamma } , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) } \\ & { = \frac { 1 } { 4 } \left[ \left( \frac { \omega _ { S } } { \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) } + \frac { \omega _ { N } } { \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) } - \frac { \omega _ { N } + \omega _ { S } - 2 \omega _ { C } } { n } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { n ^ { 2 } } ( \omega _ { N } - \omega _ { C } ) ( \omega _ { C } - \omega _ { S } ) \tan ^ { 2 n } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) \cot ^ { 2 n } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H : \, } & { \mathbb { R } ^ { D } \to \operatorname { E n d } ( \mathcal { H } ) } \\ & { \left( x ^ { a } \right) \mapsto H _ { x } : = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { a } \left( X ^ { a } - x ^ { a } \mathbb { 1 } \right) ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { a , b } \delta _ { a b } \left( X ^ { a } - x ^ { a } \mathbb { 1 } \right) \left( X ^ { b } - x ^ { b } \mathbb { 1 } \right) , } \end{array}
\nabla ^ { ( i ) } \cdot { \frac { \partial f } { \partial \left( \nabla ^ { ( i ) } \rho \right) } } = \sum _ { \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \cdots , \alpha _ { i } = 1 } ^ { n } \ { \frac { \partial ^ { \, i } } { \partial r _ { \alpha _ { 1 } } \, \partial r _ { \alpha _ { 2 } } \cdots \partial r _ { \alpha _ { i } } } } \ { \frac { \partial f } { \partial \rho _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } \cdots \alpha _ { i } } } } \ .
\begin{array} { r l } { \| \partial _ { t } ^ { k } K _ { u } \| \leq } & { \delta \sum _ { 0 \leq j \leq k } \big ( \| \Delta \partial _ { t } ^ { j } u \| + \| \nabla \Delta \partial _ { t } ^ { j } \phi \| \big ) + C _ { \delta } \sum _ { 0 \leq j \leq k } ( 1 + E _ { j } ^ { 4 } ( t ) ) E _ { j } ^ { \frac { 5 } { 2 } } ( t ) \, , } \\ { \| \partial _ { t } ^ { k } K _ { \phi } \| _ { 1 } \leq } & { \delta \sum _ { 0 \leq j \leq k } \| \Delta \partial _ { t } ^ { j } u \| + C _ { \delta } \sum _ { 0 \leq j \leq k } ( 1 + E _ { j } ^ { 4 } ( t ) ) E _ { j } ^ { \frac { 5 } { 2 } } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { W } _ { 1 1 } ^ { \flat } } & { = \gamma ^ { - 1 } \langle \bigl ( \widehat { \mathcal { W } _ { 0 , \gamma } } ( 0 ) - \widehat { \mathcal { P } _ { 0 } } ( 0 ) \bigr ) \omega _ { s _ { 0 } } , \omega _ { s _ { 0 } } ^ { * } \rangle } \\ & { = \gamma ^ { - 1 } \langle \bigl ( F _ { g } G _ { g } \delta _ { g } ^ { * } \bigr ) \omega _ { s _ { 0 } } , \omega _ { s _ { 0 } } ^ { * } \rangle = \gamma ^ { - 1 } \langle \delta _ { g } ^ { * } \omega _ { s _ { 0 } } , G _ { g } B _ { g } \omega _ { s _ { 0 } } ^ { * } \rangle } \\ & { = \langle \delta _ { g } ^ { * } \omega _ { s _ { 0 } } , \big ( 2 \mathfrak { c } \otimes _ { s } \omega _ { s _ { 0 } } ^ { * } - \frac 1 2 g ^ { - 1 } ( \mathfrak { c } , \omega _ { s _ { 0 } } ^ { * } ) g \big ) \rangle } \\ & { = 4 \pi ( \mathfrak { b } - 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r } { { \mathrm { e } } ^ { - \frac { A _ { 2 } } { g _ { \mathrm { s } } } } \, \mathsf { S } _ { ( 0 , 0 , 0 , 0 ) \to ( 1 , 0 , 0 , 0 ) } \, \mathsf { S } _ { ( 1 , 0 , 0 , 0 ) \to ( 0 , 1 , 1 , 0 ) } \, \mathsf { S } _ { ( 0 , 1 , 1 , 0 ) \to ( 1 , 1 , 1 , 0 ) } \, \frac { Z ^ { ( 1 , 1 , 1 , 0 ) } ( t , g _ { \mathrm { s } } ) } { Z ^ { ( 0 , 0 , 0 , 0 ) } ( t , g _ { \mathrm { s } } ) } \simeq \frac { \mathcal { Z } ^ { ( 1 | 1 ) ( 1 | 0 ) } ( t , g _ { \mathrm { s } } ) } { \mathcal { Z } ^ { ( 0 | 0 ) ( 0 | 0 ) } ( t , g _ { \mathrm { s } } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { t _ { \tau , n } } & { \leq ( 2 - r ) \tau n + ( r - 1 ) \tau + \tau \, \sum _ { k = 2 } ^ { n } \frac { r - 1 } { ( 4 - 2 r ) ( k - 1 ) } } \\ & { = ( 2 - r ) \tau n + \tau ( r - 1 ) \Big ( 1 + \frac { 1 } { 4 - 2 r } \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \frac { 1 } { k } \Big ) } \\ & { \le ( 2 - r ) \tau n + \tau ( r - 1 ) \Big ( 1 + \frac { 1 } { 4 - 2 r } + \frac { 1 } { 4 - 2 r } \log ( n ) \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { \vec { \varsigma } } ( \zeta ) } & { \geq d _ { \vec { \varsigma } } ( | { \vec { c } } | ) + { \vec { \varsigma } } \cdot \mathbb { F } ( \vec { \varphi } ) ( \zeta - | { \vec { c } } | ) + \frac 1 4 d _ { \vec { \varsigma } } ^ { \prime \prime } ( | { \vec { c } } | ) ( \zeta - | { \vec { c } } | ) ^ { 2 } } \\ & { = \mathbb { E } ( \vec { \varphi } ) + \zeta { \vec { \varsigma } } \cdot \mathbb { F } ( \vec { \varphi } ) + \frac 1 4 d _ { \vec { \varsigma } } ^ { \prime \prime } ( | { \vec { c } } | ) ( \zeta - | { \vec { c } } | ) ^ { 2 } , \qquad | \zeta - | { \vec { c } } | | < \epsilon _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| B _ { 1 } \setminus A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 2 } { 3 } ] } \right| } & { \leqslant \left| \left( \frac { n } { 3 } , \frac { n } { 2 } \right] \setminus I \right| + \left| \left\{ x \in \left( \frac { n } { 2 } , \frac { 2 n } { 3 } \right] : x \mathrm { ~ i s ~ e v e n ~ a n d ~ 3 \nmid ~ x ~ } \right\} \right| } \\ & { \leqslant \frac { n } { 6 } + 1 - | I | + \frac { n } { 1 8 } + 1 } \\ & { \leqslant \frac { 2 n } { 9 } + 3 - \frac { 2 \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } \right| } { 3 } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { | \psi _ { 1 } \rangle } & { = | 0 \rangle } \\ { | \psi _ { 2 } \rangle } & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } | 0 \rangle + { \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } } | 1 \rangle } \\ { | \psi _ { 3 } \rangle } & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } | 0 \rangle + { \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } } e ^ { i { \frac { 2 \pi } { 3 } } } | 1 \rangle } \\ { | \psi _ { 4 } \rangle } & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } | 0 \rangle + { \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } } e ^ { i { \frac { 4 \pi } { 3 } } } | 1 \rangle , } \end{array} }
\begin{array} { r } { M _ { \mu - \frac { 1 } { 2 } , \mu } ( z ) = \frac { \Gamma ( 2 \mu + 1 ) \, \sqrt { z } } { 2 ^ { \mu } \, \Gamma ( \mu ) } \, \int _ { 0 } ^ { 1 } \xi ^ { \frac { - \mu + 1 } { 2 } - 1 } ( 1 - \xi ) ^ { \frac { 1 } { 2 } \mu - 1 } \, \mathrm { e } ^ { ( \xi - 1 / 2 ) z } \, J _ { \mu } ( \sqrt { \xi ( 1 - \xi ) } z ) \, \mathrm { d } \xi \ . } \end{array}
\int \left| v ^ { 2 } \rho ^ { 2 } \widehat { \mathbf { B } } _ { \mathcal { T } } ^ { r } * \left( ( 1 - \widetilde { \chi } _ { 1 } ) g _ { \sharp } [ W _ { + } , \widetilde { \partial } _ { r } ] \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } \right) \right| ^ { 2 } \lesssim \lVert \mathbf { B } _ { \mathcal { T } } \rVert _ { [ \alpha ] } ^ { 2 } \mathcal { S } [ \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } ] ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \nabla _ { \theta } \mathcal { L } ( \theta _ { t } ) | \theta _ { t } ] } & { = \nabla _ { \theta } \left[ \frac { 1 } { M } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \left[ ( \nabla ^ { 2 } \mathcal { N } ( \mathbf { x } _ { i } ; \theta _ { t } ) - f ( \mathbf { x } _ { i } ) ) ^ { 2 } \right] + \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \mathbb { E } \left[ ( \mathcal { N } ( \mathbf { y } _ { j } ; \theta _ { t } ) - g ( \mathbf { y } _ { j } ) ) ^ { 2 } \right] \right] } \\ & { = \nabla _ { \theta } \left[ \frac { 1 } { M } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \int _ { \Omega } ( \nabla ^ { 2 } \mathcal { N } ( \mathbf { x } ; \theta _ { t } ) - f ( \mathbf { x } ) ) ^ { 2 } \nu _ { 1 } ( \mathbf { x } ) \, d \mathbf { x } + \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \int _ { \partial \Omega } ( \mathcal { N } ( \mathbf { y } ; \theta _ { t } ) - g ( \mathbf { y } ) ) ^ { 2 } \nu _ { 2 } ( \mathbf { y } ) \, d \mathbf { y } \right] } \\ & { = \nabla _ { \theta } \left[ \int _ { \Omega } ( \nabla ^ { 2 } \mathcal { N } ( \mathbf { x } ; \theta _ { t } ) - f ( \mathbf { x } ) ) ^ { 2 } \nu _ { 1 } ( \mathbf { x } ) \, d \mathbf { x } + \int _ { \partial \Omega } ( \mathcal { N } ( \mathbf { y } ; \theta _ { t } ) - g ( \mathbf { y } ) ) ^ { 2 } \nu _ { 2 } ( \mathbf { y } ) \, d \mathbf { y } \right] } \\ & { = \nabla _ { \theta } \mathcal { J } ( \mathcal { N } ( \cdot ; \theta _ { t } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta + \eta ~ ~ ~ ~ ~ } & { | \mathbf x - \mathbf x ^ { \prime } | > r \textnormal { f o r a n y } \mathbf x ^ { \prime } \in Q , } \\ { \delta + \eta - \mathbf x ~ ~ ~ ~ ~ } & { \exists \mathbf x ^ { \prime } \in Q \mathrm { ~ s . t . ~ } | \mathbf x - \mathbf x ^ { \prime } | \leq r \textnormal { a n d } \mathbf x \leq \mathbf x ^ { \prime } - \frac { r } { 2 } , } \\ { \delta + \eta - r + \mathbf x ~ ~ ~ ~ ~ } & { \exists \mathbf x ^ { \prime } \in Q \mathrm { ~ s . t . ~ } | \mathbf x - \mathbf x ^ { \prime } | \leq r \textnormal { a n d } \mathbf x > \mathbf x ^ { \prime } - \frac { r } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { \Delta t } \left( \widetilde { \mathbf { W } } _ { \mathbf { u } } ^ { n + 1 } - \mathbf { W } _ { \mathbf { u } } ^ { n } \right) + \mathrm { d i v } \mathbf { { \cal F } } ^ { \mathbf { w } _ { \mathbf { u } } } ( \mathbf { W } _ { \mathbf { u } } ^ { n } ) + \nabla \pi ^ { n } - \mathrm { d i v } ( \tau ^ { n } ) = \mathbf { f } _ { \mathbf { u } } ^ { n } , } \\ { \frac { 1 } { \Delta t } \left( \mathbf { W } _ { \mathbf { u } } ^ { n + 1 } - \mathbf { \widetilde { W } } _ { \mathbf { u } } ^ { n + 1 } \right) + \nabla ( \pi ^ { n + 1 } - \pi ^ { n } ) = 0 , \, } \\ { \mathrm { d i v } \mathbf { W } _ { \mathbf { u } } ^ { n + 1 } = 0 , } \\ { \frac { 1 } { \Delta t } \left( \widetilde { W } _ { k } ^ { n + 1 } - W _ { k } ^ { n } \right) + \mathrm { d i v } \mathcal { F } ^ { w _ { k } } \left( W _ { k } ^ { n } , \mathbf { U } ^ { n } \right) - \mathrm { d i v } \left[ \left( \mu + \frac { \mu _ { t } } { \sigma _ { k } } \right) \nabla \frac { W _ { k } ^ { n } } { \rho } \right] = 0 , } \\ { \frac { 1 } { \Delta t } \left( W _ { k } ^ { n + 1 } - \widetilde { W } _ { k } ^ { n + 1 } \right) + W _ { \varepsilon } ^ { n } - G _ { k } ^ { n + 1 } = f _ { k } ^ { n } , } \\ { \frac { 1 } { \Delta t } \left( \widetilde { W } _ { \varepsilon } ^ { n + 1 } - W _ { \varepsilon } ^ { n } \right) + \mathrm { d i v } \mathcal { F } ^ { w _ { \varepsilon } } \left( W _ { \varepsilon } ^ { n } , \mathbf { U } ^ { n } \right) - \mathrm { d i v } \left[ \left( \mu + \frac { \mu _ { t } ^ { n } } { \sigma _ { \varepsilon } } \right) \nabla \frac { W _ { \varepsilon } ^ { n } } { \rho } \right] = 0 , } \\ { \frac { 1 } { \Delta t } \left( W _ { \varepsilon } ^ { n + 1 } - \widetilde { W } _ { \varepsilon } ^ { n + 1 } \right) + C _ { 2 \varepsilon } \frac { W _ { \varepsilon } ^ { n + 1 } W _ { \varepsilon } ^ { n } } { W _ { k } ^ { n } } - C _ { 1 \varepsilon } \frac { W _ { \varepsilon } ^ { n } } { W _ { k } ^ { n } } G _ { k } ^ { n + 1 } = f _ { \varepsilon } ^ { n } , } \\ { \frac { 1 } { \Delta t } \! \left( \widetilde { \mathbf { W } } _ { \mathbf { y } } ^ { n + 1 } \! - \! \mathbf { W } _ { \mathbf { y } } ^ { n } \right) \! + \! \mathrm { d i v } \mathcal { F } ^ { \mathbf { w } _ { \mathbf { y } } } \! \left( \mathbf { W } _ { \mathbf { y } } ^ { n } , \mathbf { U } ^ { n } \right) \! - \! \mathrm { d i v } \left[ \! \left( \rho \mathcal { D } + \frac { \mu _ { t } ^ { n } } { S c _ { t } } \right) \nabla \! \left( \! \frac { 1 } { \rho } \mathbf { W } _ { \mathbf { y } } ^ { n } \! \right) \! \right] = 0 , } \\ { \frac { 1 } { \Delta t } \left( \mathbf { W } _ { \mathbf { y } } ^ { n + 1 } - \widetilde { \mathbf { W } } _ { \mathbf { y } } ^ { n + 1 } \right) = \mathbf { f } _ { \mathbf { y } } ^ { n } . } \end{array}
C ( t ^ { - \frac { n _ { i } } { 2 } } + t ^ { - \frac { N } { 2 } } ) \textrm { e x p } \left( - \frac { d ( z , z ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { c t } \right) \le e ^ { - t \Delta _ { \mathbb { R } ^ { n _ { i } } \times \mathcal { M } _ { i } } } ( z , z ^ { \prime } ) \le C ^ { \prime } ( t ^ { - \frac { n _ { i } } { 2 } } + t ^ { - \frac { N } { 2 } } ) \textrm { e x p } \left( - \frac { d ( z , z ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { c ^ { \prime } t } \right)
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { | \varphi _ { 1 } - \varphi _ { 2 } | ^ { \alpha } } \left| \frac { 1 } { d _ { h } ( \varphi _ { 1 } , y ) } - \frac { 1 } { d _ { h } ( \varphi _ { 2 } , y ) } \right| } & { = \frac { | d _ { h } ( \varphi _ { 1 } , y ) - d _ { h } ( \varphi _ { 2 } , y ) | } { | \varphi _ { 1 } - \varphi _ { 2 } | ^ { \alpha } } \frac { 1 } { d _ { h } ( \varphi _ { 1 } , y ) d _ { h } ( \varphi _ { 2 } , y ) } } \\ & { \leq \frac { C } { | 1 - y | ^ { 2 } } \frac { | f _ { h } ( e ^ { i \varphi _ { 1 } } ) - f _ { h } ( e ^ { i \varphi _ { 2 } } ) + f _ { h } ( e ^ { i \varphi _ { 1 } } y ) - f _ { h } ( e ^ { i \varphi _ { 2 } } y ) | } { | \varphi _ { 1 } - \varphi _ { 2 } | ^ { \alpha } } } \\ & { \leq \frac { C } { | 1 - y | ^ { 1 + \alpha } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { n , m , k , \ell } : = } & { \Big ( 1 - \frac { k + \ell - 2 } { n } \Big ) ^ { m } - 3 \Big ( 1 - \frac { k + \ell - 1 } { n } \Big ) ^ { m } + 3 \Big ( 1 - \frac { k + \ell } { n } \Big ) ^ { m } - \Big ( 1 - \frac { k + \ell + 1 } { n } \Big ) ^ { m } ; } \\ { b _ { n , m , k , \ell } : = } & { \Big ( 1 - \frac { k + \ell - 2 } { n } \Big ) ^ { m } - 4 \Big ( 1 - \frac { k + \ell - 1 } { n } \Big ) ^ { m } + 6 \Big ( 1 - \frac { k + \ell } { n } \Big ) ^ { m } - 4 \Big ( 1 - \frac { k + \ell + 1 } { n } \Big ) ^ { m } } \\ & { + \Big ( 1 - \frac { k + \ell + 2 } { n } \Big ) ^ { m } ; } \\ { c _ { n , m , k } : = } & { \Big ( 1 - \frac { k - 1 } { n } \Big ) ^ { m } - 2 \Big ( 1 - \frac { k } { n } \Big ) ^ { m } + \Big ( 1 - \frac { k + 1 } { n } \Big ) ^ { m } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \partial _ { t } \vec { u } ( x , y , t ) + \vec { u } ( x , y , t ) \cdot \nabla \vec { u } ( x , y , t ) + \nabla p } & { = \frac { 1 } { R e } \Delta \vec { u } ( x , y , t ) + f ( x , y ) , } & & { x \in ( 0 , 1 ) ^ { 2 } , t \in ( 0 , T ] } \\ { \nabla \cdot \vec { u } ( x , t ) } & { = 0 , } & & { x \in ( 0 , 1 ) ^ { 2 } , t \in [ 0 , T ] } \\ { \vec { u } ( x , 0 ) } & { = \vec { u } _ { 0 } ( x ) , } & & { x \in ( 0 , 1 ) ^ { 2 } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \left[ { \frac { \partial T _ { \rho \rho } } { \partial \rho } } + { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial T _ { \varphi \rho } } { \partial \varphi } } + { \frac { \partial T _ { z \rho } } { \partial z } } + { \frac { 1 } { \rho } } ( T _ { \rho \rho } - T _ { \varphi \varphi } ) \right] } & { { \hat { \boldsymbol { \rho } } } } \\ { + \left[ { \frac { \partial T _ { \rho \varphi } } { \partial \rho } } + { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial T _ { \varphi \varphi } } { \partial \varphi } } + { \frac { \partial T _ { z \varphi } } { \partial z } } + { \frac { 1 } { \rho } } ( T _ { \rho \varphi } + T _ { \varphi \rho } ) \right] } & { { \hat { \boldsymbol { \varphi } } } } \\ { + \left[ { \frac { \partial T _ { \rho z } } { \partial \rho } } + { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial T _ { \varphi z } } { \partial \varphi } } + { \frac { \partial T _ { z z } } { \partial z } } + { \frac { T _ { \rho z } } { \rho } } \right] } & { { \hat { \mathbf { z } } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { Q ^ { s , ( D ) } ( \varphi f ) - Q ^ { s , ( D ) } ( \varphi f ^ { 2 } , \varphi ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { \Omega \times \Omega } \frac { ( \varphi ( x ) f ( x ) - \varphi ( y ) f ( y ) ) ^ { 2 } } { | x - y | ^ { n + 2 s } } d x \, d y } \\ & { \quad - \frac { 1 } { 2 } \int _ { \Omega \times \Omega } \frac { ( \varphi ( x ) f ( x ) ^ { 2 } - \varphi ( y ) f ( y ) ^ { 2 } ) ( \varphi ( x ) - \varphi ( y ) ) } { | x - y | ^ { n + 2 s } } d x \, d y } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { \Omega \times \Omega } \varphi ( x ) \varphi ( y ) \frac { | f ( x ) - f ( y ) | ^ { 2 } } { | x - y | ^ { n + 2 s } } d x \, d y . } \end{array}
\begin{array} { r l } { r ( s _ { m + 3 } ) } & { = r _ { m + 2 } - \int _ { s _ { m + 2 } } ^ { s _ { m + 3 } } \cos \theta ( u ) d u } \\ { r _ { m + 3 } } & { = r _ { m + 2 } - \frac { 1 } { k _ { m + 3 } } \left( \sin \theta _ { m + 3 } - \sin \theta _ { m + 2 } \right) } \\ { r _ { m + 3 } } & { = r _ { m + 2 } + \frac { 1 } { k _ { m + 3 } } \sin \theta _ { m + 2 } } \\ & { > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { k , r } ^ { 2 } ( v ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \sum _ { K \in \mathcal { T } _ { j , S _ { i , n } } } \| D _ { t } ^ { q + 1 } D _ { x } ^ { r } v \| _ { \bar { K } _ { n } } ^ { 2 } } \\ { E _ { h , s } ^ { 2 } ( v ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \sum _ { K \in \mathcal { T } _ { j , S _ { i , n } } } k _ { n } \| D _ { x } ^ { p + 1 } D _ { t } ^ { s } v \| _ { \mathcal { N } ( K ) , I _ { n } } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { h ^ { ( { k + 1 } ) } } & { = h ^ { ( k ) } - \alpha B ( x ^ { ( K ) } ) ^ { T } \widetilde { x } ^ { ( k ) } , } \\ { \widetilde { x } ^ { ( k + 1 ) } } & { = \widetilde { x } ^ { ( k ) } - \alpha A ( x ^ { ( K ) } ) \widetilde { x } ^ { ( k ) } + \beta ( \widetilde { x } ^ { ( k ) } - \widetilde { x } ^ { ( k - 1 ) } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { K ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 0 } ) = E _ { \omega _ { \theta _ { 1 } , 0 } } ^ { \theta _ { 1 } } \left[ \log L ( \theta _ { 1 } ; Y _ { 0 : 1 } ) - g _ { 0 } ^ { 0 } ( W _ { 0 , \theta _ { 1 } } ^ { ( 0 ) } ) \right] - E _ { \omega _ { \theta _ { 0 } , 0 } } ^ { \theta _ { 1 } } \left[ \log L ( \theta _ { 0 } ; Y _ { 0 : 1 } ) - g _ { 0 } ^ { 0 } ( W _ { 0 , \theta _ { 0 } } ^ { ( 0 ) } ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { A \left[ n , \{ n _ { i } \} , \rho _ { \mathrm { d i e l } } , \phi \right] \ = \ T _ { \mathrm { k i n } } ^ { \mathrm { \, n i } } [ n ] \, - \, T S ^ { \mathrm { n i } } [ n ] \, + \, F _ { \mathrm { x c } } [ n ] } \\ & { \qquad + A _ { \mathrm { e l y t e } } ^ { 0 } \left[ \{ n _ { i } \} , \rho _ { \mathrm { d i e l } } \right] \, - \, \frac { \epsilon _ { 0 } } { 2 } \int | \nabla \phi | ^ { 2 } \, \mathrm { d } \mathbf { r } } \\ & { \qquad + \int \phi \, \left( \rho _ { \mathrm { e x t } } - e \, n + \sum e Z _ { i } \, n _ { i } + \rho _ { \mathrm { d i e l } } \right) \mathrm { d } \mathbf { r } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { M } ( f ( T z ) - f ( z ) ) d \bar { \nu } _ { x _ { 0 } } ^ { \varepsilon } ( z ) } & { = \delta \left( 1 - \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { 2 ( n + 2 ) } ( \textrm { R i c } _ { x _ { 0 } } ( v , v ) + 2 \textrm { H e s s } _ { x _ { 0 } } V ( v , v ) ) \right) } \\ & { \qquad + O ( \delta ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } ) + O ( \delta \varepsilon ^ { 3 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { 3 1 , 2 i } ( t ) } & { = \frac { 1 } { n } \sum _ { j \neq i } \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } ( s - t ) \big [ \exp \{ \pi _ { i j } ^ { * } ( s , t ) \} - \exp \{ \pi _ { i j } ^ { * } ( s ) \} \big ] d s ~ ~ \mathrm { f o r } ~ ~ i \in [ n ] , } \\ { B _ { 3 1 , 2 ( n + j ) } ( t ) } & { = \frac { 1 } { n } \sum _ { i \neq j } \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } ( s - t ) \big [ \exp \{ \pi _ { i j } ^ { * } ( s , t ) \} - \exp \{ \pi _ { i j } ^ { * } ( s ) \} \big ] d s ~ ~ \mathrm { f o r } ~ ~ j \in [ n - 1 ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { | x - y | } } & { = \frac { 1 } { \sqrt { r ^ { 2 } + s ^ { 2 } - 2 r s ( \cos \theta \cos \theta ^ { \prime } + \sin \theta \sin \theta ^ { \prime } \cos ( \varphi - \varphi ^ { \prime } ) ) } } } \\ & { = \sum _ { \ell \geq 0 } \sum _ { | m | \leq \ell } \frac { 4 \pi } { 2 \ell + 1 } \frac { ( r \wedge s ) ^ { \ell } } { ( r \vee s ) ^ { \ell + 1 } } Y _ { \ell , m } ( \theta , \varphi ) Y _ { \ell , m } ( \theta ^ { \prime } , \varphi ^ { \prime } ) ^ { * } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { ( - \Delta ) ^ { s } w ( x ) \geq 0 , \quad } & { x \in D , } \\ { w \geq 0 } & { \mathrm { a . e . ~ i n ~ } \, \, B _ { \lambda _ { 0 } } ( 0 ) \setminus D , } \\ { w = - w _ { \lambda _ { 0 } } = - \left( \frac { \lambda _ { 0 } } { | x | } \right) ^ { n - 2 s } w ( x ^ { \lambda _ { 0 } } ) } & { \mathrm { a . e . ~ i n ~ } \, \, B _ { \lambda _ { 0 } } ( 0 ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \partial _ { t } \widetilde { u } ( t , x ) = a ( \widetilde { u } ( t , x ) ) \big [ ( \nabla _ { \partial _ { s _ { \widetilde { u } } } } ^ { \perp } ) ^ { 2 } \vec { \kappa } _ { \widetilde { u } } + \frac { 1 } { 2 } | \vec { \kappa } _ { \widetilde { u } } | _ { g } ^ { 2 } \vec { \kappa } _ { \widetilde { u } } - \vec { \kappa } _ { \widetilde { u } } \big ] ( t , x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R ( t , \Delta ) } & { : = 2 \lambda ( \Delta ) t + t ^ { 2 } + c ( \Delta ) t ^ { 3 } + \rho ( t , \Delta ) t ^ { 4 } , } \\ { \lambda ( \Delta ) } & { : = \frac { \left[ F ^ { \prime } ( z _ { 1 } ( \Delta ) ) - F ^ { \prime } ( \alpha _ { 0 } ) \right] } { F ^ { \prime \prime } ( z _ { 1 } ( \Delta ) ) } , } \\ { c ( \Delta ) } & { : = \frac { F ^ { \prime \prime \prime } ( z _ { 1 } ( \Delta ) ) } { 3 F ^ { \prime \prime } ( z _ { 1 } ( \Delta ) ) } , \qquad \qquad \rho ( t , \Delta ) : = \frac { 2 \Theta _ { F } ( z _ { 1 } ( \Delta ) , t ) } { F ^ { \prime \prime } ( z _ { 1 } ( \Delta ) ) } . } \end{array}
E _ { \ell } ^ { \prime } \left( t \right) = - \frac { 1 } { 2 } \left( \ell ^ { \prime } \left( t \right) \eta ^ { 2 } + 2 \eta + \ell ^ { \prime } \left( t \right) \right) \frac { 1 - \left\vert \ell ^ { \prime } \left( t \right) \right\vert ^ { 2 } } { \left( 1 + \eta \ell ^ { \prime } \left( t \right) \right) ^ { 2 } } u _ { t } ^ { 2 } \left( \ell \left( t \right) , t \right) , \mathrm { ~ \ f o r ~ } t \in \left[ t _ { 1 } , t _ { 2 } \right] .
\begin{array} { r l } { k ^ { 2 - \nu } \, I _ { k } ^ { 2 } } & { = \frac { k ^ { 2 - \nu } } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 / 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { ( 1 - s ) ^ { k + 1 } \cos ( k \varphi ) } { \left( s ^ { 2 } + 4 ( 1 - s ) \sin ^ { 2 } ( \varphi / 2 ) \right) ^ { \nu / 2 } } \, d \varphi d s } \\ & { = \frac { k ^ { 1 - \nu } } { 2 } \int _ { 0 } ^ { k / 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { \left( 1 - \frac { r } { k } \right) ^ { k + 1 } \cos ( k \varphi ) } { \left[ \left( \frac { r } { k } \right) ^ { 2 } + 4 \left( 1 - \frac { r } { k } \right) \sin ^ { 2 } \left( \frac { \varphi } { 2 } \right) \right] ^ { \nu / 2 } } \, d \varphi d r . } \end{array}
\| | \nabla | ^ { - 2 \sigma } e ^ { t \Delta } f \| _ { p } \, \leq \, \frac { A _ { \mathrm { Y } } ( p , q , r , d ) } { ( 4 \pi ) ^ { \frac { d } 2 ( \frac 1 r - \frac 1 p ) } q ^ { \frac { d } { 2 q } } } \frac { \Gamma ( \frac { d } 2 ( \frac 1 r - \frac 1 p ) - \sigma ) } { \Gamma ( \frac { d } 2 ( \frac 1 r - \frac 1 p ) ) } t ^ { \sigma - \frac { d } 2 ( \frac 1 r - \frac 1 p ) } \| f \| _ { r } \, ,
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \mathcal { L } _ { \bar { \mu } _ { j } } u _ { j } = f _ { j } , \ } & { \ \mathrm { ~ o n ~ } \mathbb { R } _ { > z _ { 0 } } , } \\ { u _ { j } ( z _ { 0 } ) = \phi _ { j } ; \ \ \ u _ { j } ^ { \prime } ( z _ { 0 } ) = \varphi _ { j } } & { \ \mathrm { ~ p r o v i d e d ~ } \bar { \mu } _ { j } < \gamma . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \widetilde { \varphi _ { 1 } } , \widetilde { \varphi _ { 2 } } : G \longrightarrow \textup { S L } ( n , \overline { { \mathbb { F } _ { q } } } ) } \\ { \mathrm { d e f i n e d ~ a s ~ } } & { \widetilde { \varphi _ { i } } ( x ) = \psi _ { n } ^ { - 1 } ( \operatorname* { d e t } \varphi _ { i } ( x ) ) \varphi _ { i } ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| l _ { 1 , t } \right\| _ { \infty } } & { \leq \frac { \lambda _ { 2 } } { \lambda _ { 2 } + \eta _ { t } } \left\| \frac { 1 } { \lambda _ { 2 } } \hat { \psi } \right\| _ { \infty } + \frac { \eta _ { t } } { \lambda _ { 2 } + \eta _ { t } } \| l _ { 1 , t - 1 } \| _ { \infty } \leq \frac { 1 } { \lambda _ { 2 } } , } \\ { \left\| l _ { 2 , t } \right\| _ { \infty } } & { \leq \frac { \lambda _ { 2 } } { \lambda _ { 2 } + \eta _ { t } } \left\| \frac { 1 } { \lambda _ { 2 } } \hat { \phi } \right\| _ { \infty } + \frac { \eta _ { t } } { \lambda _ { 2 } + \eta _ { t } } \| l _ { 2 , t - 1 } \| _ { \infty } \leq \frac { 1 } { \lambda _ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { N h } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \gamma _ { h } ( x , t _ { i } ) = h ^ { - 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \gamma _ { h } ( x , t ) \, d t + \mathcal { O } \{ ( N h ) ^ { - 1 } \} } \\ & { = h ^ { - 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \gamma ^ { | x - t | / h } \, d t + h ^ { - 1 } \frac { \gamma ^ { 1 / h } } { 1 - \gamma ^ { 1 / h } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \gamma ^ { ( x - t ) / h } + \gamma ^ { ( t - x ) / h } d t + \mathcal { O } \{ ( N h ) ^ { - 1 } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E \{ | \Delta H \tilde { X } | ^ { 2 } \} = E \{ | H \Delta X | ^ { 2 } \} = E \{ | H X - H \tilde { X } | ^ { 2 } \} } \\ { = } & { E \{ | \sum _ { n } [ \sigma _ { n } x _ { n } ( \langle \phi _ { n } , \hat { \phi } _ { n } \rangle - 1 ) + \sum _ { m } ^ { N } \sigma _ { n } x _ { m } \langle \Delta \phi _ { m } , \hat { \phi } _ { m } \rangle \langle \Delta \phi _ { m } , \phi _ { n } \rangle ] | ^ { 2 } \} } \\ { = } & { E \{ | \sum _ { n } ^ { N } \sigma _ { n } [ x _ { n } ( \langle \phi _ { n } , \hat { \phi } _ { n } \rangle - 1 ) + \sum _ { m } ^ { N } x _ { m } \langle \Delta \phi _ { m } , \hat { \phi } _ { m } \rangle \langle \Delta \phi _ { m } , \phi _ { n } \rangle ] | ^ { 2 } \} } \\ { = } & { \sum _ { n } ^ { N } E \{ \sigma _ { n } ^ { 2 } | x _ { n } ( \langle \phi _ { n } , \hat { \phi } _ { n } \rangle - 1 ) + \sum _ { m } ^ { N } x _ { m } \langle \Delta \phi _ { m } , \hat { \phi } _ { m } \rangle \langle \Delta \phi _ { m } , \phi _ { n } \rangle | ^ { 2 } \} } \\ & { + \sum _ { n ^ { ' } \neq n } ^ { N } E \{ \sigma _ { n ^ { ' } } \sigma _ { n } \cdot | \cdots | ^ { 2 } \} , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathsf { T } ^ { 2 } ( A ) = A [ \epsilon ] [ \epsilon ^ { \prime } ] = \lbrace a + b \epsilon + c \epsilon ^ { \prime } + d \epsilon \epsilon ^ { \prime } \vert ~ \forall a , b , c , d \in A \rbrace } & { } & { \epsilon ^ { 2 } = { \epsilon ^ { \prime } } ^ { 2 } = 0 } \\ { \mathsf { T } _ { n } ( A ) = A [ \epsilon _ { 1 } , \hdots , \epsilon _ { n } ] = \lbrace a + b _ { 1 } \epsilon _ { 1 } + \hdots + b _ { n } \epsilon _ { n } \vert ~ \forall a , b _ { j } \in A \rbrace } & { } & { \epsilon _ { i } \epsilon _ { j } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Z _ { + } } & { = } & { \int \mathcal { D } \, \psi _ { b } ^ { \dag } \left( x \right) \, \mathcal { D } \, \psi _ { b } \left( x \right) \, \, \, e ^ { - S _ { + } } } \\ & { = } & { \prod _ { x , r a } \int _ { - \infty } ^ { \, \infty } d \, \left( \mathrm { R e } \, \psi _ { b , r a } \left( x \right) \right) \, \int _ { - \infty } ^ { \, \infty } d \, \left( \mathrm { I m } \, \psi _ { b , r a } \left( x \right) \right) \, e ^ { - S _ { + } } } \\ & { = } & { \prod _ { s } \int _ { - \infty } ^ { \, \infty } d ( \mathrm { R e } \, \overline { { \psi } } _ { b } \left( s \right) ) \int _ { - \infty } ^ { \, \infty } d ( \mathrm { I m } \, \overline { { \psi } } _ { b } \left( s \right) ) \, e ^ { - S _ { + } } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \theta _ { r } } { d \tau } = - 2 \Tilde { \lambda } _ { 1 } \frac { ( 1 - 2 \rho _ { 0 } ) ( 1 - \rho _ { 0 } ) - f _ { z } ^ { 2 } } { \sqrt { ( 1 - \rho _ { 0 } ) ^ { 2 } - f _ { z } ^ { 2 } } } } & { \cos \theta _ { r } + 2 q ^ { \prime } } \\ & { - 2 \Tilde { \lambda } _ { 1 } ( 1 - 2 \rho _ { 0 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( 1 ) ~ } & { \| \Gamma ( f ) ( t ) \| _ { L _ { x , v } ^ { \infty , q } } \leq C \| f ( t ) \| _ { L _ { x , v } ^ { \infty , q } } ^ { 2 } , } \\ { ( 2 ) ~ } & { \| ( \Gamma ( f ) - \Gamma ( g ) ) ( t ) \| _ { L _ { x , v } ^ { \infty , q } } \leq C _ { \delta } \| ( f - g ) ( t ) \| _ { L _ { x , v } ^ { \infty , q } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } \left[ \left| Y _ { ( k + 1 ) \eta } \right| ^ { 2 } \right] } & { = \mathbf { E } \left[ \left| Y _ { k \eta } - \eta \widetilde { G } ( Y _ { k \eta } ) \right| ^ { 2 } \right] + \eta ^ { 2 } \mathbf { E } \left[ \left| \widetilde { G } ( Y _ { k \eta } ) - { G } \left( Y _ { k \eta } , a _ { k \eta } \right) \right| ^ { 2 } \right] + \frac { 2 \eta d } { \beta } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { x ^ { ( n + 3 ) } } & { = { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 . 9 } & { 0 . 0 7 5 } & { 0 . 0 2 5 } \\ { 0 . 1 5 } & { 0 . 8 } & { 0 . 0 5 } \\ { 0 . 2 5 } & { 0 . 2 5 } & { 0 . 5 } \end{array} \right] } ^ { 3 } } \\ & { = { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 . 7 7 4 5 } & { 0 . 1 7 8 7 5 } & { 0 . 0 4 6 7 5 } \\ { 0 . 3 5 7 5 } & { 0 . 5 6 8 2 5 } & { 0 . 0 7 4 2 5 } \\ { 0 . 4 6 7 5 } & { 0 . 3 7 1 2 5 } & { 0 . 1 6 1 2 5 } \end{array} \right] } } \\ & { = { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 . 3 5 7 5 } & { 0 . 5 6 8 2 5 } & { 0 . 0 7 4 2 5 } \end{array} \right] } . } \end{array} }
{ \begin{array} { r l } { { \mathcal { F } } ^ { - 1 } \{ S ( f ) \} } & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left( \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } S [ n ] \cdot \delta \left( f - { \frac { n } { P } } \right) \right) e ^ { i 2 \pi f x } \, d f , } \\ & { = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } S [ n ] \cdot \int _ { - \infty } ^ { \infty } \delta \left( f - { \frac { n } { P } } \right) e ^ { i 2 \pi f x } \, d f , } \\ & { = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } S [ n ] \cdot e ^ { i 2 \pi { \frac { n } { P } } x } \ \ \triangleq \ s _ { \infty } ( x ) . } \end{array} }
\, \iint _ { X \times Y } f ( x , y ) \, { \mathrm { d } } ( x , y ) = \int _ { X } \left( \int _ { Y } f ( x , y ) \, { \mathrm { d } } y \right) { \mathrm { d } } x = \int _ { Y } \left( \int _ { X } f ( x , y ) \, { \mathrm { d } } x \right) { \mathrm { d } } y \qquad { \mathrm { ~ i f ~ } } \qquad \iint _ { X \times Y } | f ( x , y ) | \, { \mathrm { d } } ( x , y )
\begin{array} { r l } { L } & { = w _ { \mathrm { d a t a } } \mathrm { M S E _ { \mathrm { d a t a } } } + w _ { \sigma } \mathrm { M S E } _ { \sigma } + w _ { \lambda } \mathrm { M S E } _ { \lambda } , } \\ { \mathrm { M S E _ { \mathrm { d a t a } } } } & { = \frac { 1 } { M } \sum _ { i = 1 } ^ { M } | \sigma _ { \mathrm { e x p e r i m e n t } } ( t _ { i } ) - \sigma ( t _ { i } ) | ^ { 2 } , } \\ { \mathrm { M S E } _ { \sigma } } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left| \left. \frac { d \sigma } { d t } \right| _ { t = t _ { i } } - \frac { G } { \eta _ { s } + \eta _ { p } } \left\{ - \sigma ( t _ { i } ) + \sigma _ { y } \lambda ( t _ { i } ) + [ \eta _ { s } + \eta _ { p } \lambda ( t _ { i } ) ] \dot { \gamma } ( t _ { i } ) \right\} \right| ^ { 2 } , } \\ { \mathrm { M S E } _ { \lambda } } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left| \left. \frac { d \lambda } { d t } \right| _ { t = t _ { i } } - k _ { + } [ 1 - \lambda ( t _ { i } ) ] + k _ { - } \dot { \gamma } ( t _ { i } ) \lambda ( t _ { i } ) \right| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \alpha \lVert c \rVert _ { \infty } + \langle c , b \rangle = } & { - \alpha \operatorname* { m a x } _ { i } c _ { i } + \sum _ { i = 1 } ^ { A } c _ { i } b _ { i } } \\ { \leq } & { - \alpha \operatorname* { m a x } _ { i } c _ { i } + \sum _ { i = 1 } ^ { A } c _ { i } ^ { 1 } b _ { i } , \qquad \mathrm { ( r e c a l l ~ b _ i ~ i s ~ i n ~ d e c r e a s i n g ~ o r d e r ) } } \\ { = } & { - \alpha \lVert c ^ { 1 } \rVert _ { \infty } + \langle c ^ { 1 } , b \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left\{ A _ { 1 } ( \textbf { p } ) ^ { c } \cap A _ { 2 } ( \textbf { p } ) ^ { c } \right\} } & { = \left[ 1 - \mathbb { P } \left\{ A _ { 1 } ( \textbf { p } ) \right\} \right] + \left[ 1 - \mathbb { P } \left\{ A _ { 2 } ( \textbf { p } ) \right\} \right] - \left[ 1 - \mathbb { P } \left\{ A _ { 1 } ( \textbf { p } ) \cap A _ { 2 } ( \textbf { p } ) \right\} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb E A _ { n + 1 } ( \sigma ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \downarrow 0 } \mathbb E \ln \mathbb E _ { u , x , \delta } \prod _ { k : | \xi _ { n + 1 , k } | \geq \varepsilon } \bigl ( 1 + \operatorname { t a n h } ( \beta \xi _ { n + 1 , k } ) s _ { n + 1 , k } \delta _ { n + 1 } \bigr ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \prod _ { i \le n } \prod _ { k \ge 1 } \bigl ( 1 + \operatorname { t a n h } ( \beta \xi _ { i , k } ) s _ { i , k } \delta _ { i } \bigr ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( - 1 ) ^ { | x | | z | } \omega ( \alpha ( x ) , [ y , z ] ) + ( - 1 ) ^ { | y | | x | } \omega ( \alpha ( y ) , [ z , x ] ) + ( - 1 ) ^ { | z | | y | } \omega ( \alpha ( z ) , [ x , y ] ) } \\ { = } & { ( - 1 ) ^ { | x | | z | } \big ( \omega ( \alpha ( x ) , y \cdot z ) - ( - 1 ) ^ { | y | | z | } \omega ( \alpha ( x ) , z \cdot y ) \big ) } \\ & { + ( - 1 ) ^ { | y | | x | } \big ( \omega ( \alpha ( y ) , z \cdot x ) - ( - 1 ) ^ { | z | | x | } \omega ( \alpha ( y ) , x \cdot z ) \big ) } \\ & { + ( - 1 ) ^ { | z | | y | } \big ( \omega ( \alpha ( z ) , x \cdot y ) - ( - 1 ) ^ { | x | | y | } \omega ( \alpha ( z ) , y \cdot x ) \big ) } \\ { = } & { - ( - 1 ) ^ { | x | | z | + | y | | z | } \omega ( \alpha ( x ) , z \cdot y ) - ( - 1 ) ^ { | y | | x | + | z | | x | } \omega ( \alpha ( y ) , x \cdot z ) - ( - 1 ) ^ { | z | | y | + | x | | y | } \omega ( \alpha ( z ) , y \cdot x ) } \\ { = } & { - ( - 1 ) ^ { | x | | z | + | y | | z | + | x | | y | } \Big ( ( - 1 ) ^ { | x | | y | } \omega ( \alpha ( x ) , z \cdot y ) + ( - 1 ) ^ { | y | | z | } \omega ( \alpha ( y ) , x \cdot z ) + ( - 1 ) ^ { | x | | z | } \omega ( \alpha ( z ) , y \cdot x ) \Big ) } \\ { = } & { 0 . } \end{array}
| \mathbf { A b S o l } ( p ^ { d _ { 1 } } , p ^ { d _ { 2 } } , p ^ { d _ { 3 } } ) | = \left\{ \begin{array} { l l } { p ^ { d _ { 1 } } ( 1 + ( - d _ { 1 } + d _ { 2 } + d _ { 3 } ) ( 1 - p ^ { - 1 } ) ) } & { \mathrm { i f ~ d _ 1 < d _ 2 + d _ 3 ~ } } \\ { p ^ { d _ { 2 } + d _ { 3 } } } & { \mathrm { i f ~ d _ 1 \geq ~ d _ 2 + d _ 3 ~ } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } { \mathfrak { P _ { 1 } } } & { : = \left| \int \partial _ { v } p _ { \alpha } ( v , y - w ) ( h _ { s , x } ( t , w ) - h _ { s , x } ( t , y ) ) \mathbb { 1 } _ { | w - y | \geq ( t - s ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } \mathrm { d } w \right| } \\ & { \lesssim \int | \partial _ { v } p _ { \alpha } ( v , y - w ) | | h _ { s , x } ( t , w ) - h _ { s , x } ( t , y ) | \mathbb { 1 } _ { | w - y | \geq ( t - s ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } \mathrm { d } w } \\ & { \lesssim \int \frac { 1 } { v } \bar { p } _ { \alpha } ( v , y - w ) \Vert h _ { s , x } ( t , \cdot ) \Vert _ { L ^ { \infty } } \frac { | w - y | ^ { \rho } } { ( t - s ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } } \mathrm { d } w } \\ & { \lesssim \frac { 1 } { v ( t - s ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } } \Vert h _ { s , x } ( t , \cdot ) \Vert _ { L ^ { \infty } } \int \bar { p } _ { \alpha } ( v , y - w ) | y - w | ^ { \rho } \mathrm { d } w } \\ & { \lesssim \frac { v ^ { \frac { \rho } { \alpha } - 1 } } { ( t - s ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } } \Vert h _ { s , x } ( t , \cdot ) \Vert _ { L ^ { \infty } } } \\ & { \lesssim \frac { v ^ { \frac { \rho } { \alpha } - 1 } } { ( t - s ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } } \left( 1 + \int _ { s } ^ { t } \Vert h _ { s , x } ( u , \cdot ) \Vert _ { \mathbb { B } _ { \infty , \infty } ^ { \rho } } \Vert b ^ { m } ( u , \cdot ) \Vert _ { \mathbb { B } _ { p , q } ^ { \beta } } \mathfrak { L } ( u , s , t , \rho ) \mathrm { d } u \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left. \frac { d ^ { 2 } } { d \varepsilon d \tau } \left( p \left( \varepsilon , \tau \right) \circ _ { s \left( \tau \right) } p \left( t , \tau \right) \right) / _ { s } p \left( t , 0 \right) \right\vert _ { \varepsilon , \tau = 0 } } & { = } & { \left. \frac { d ^ { 2 } } { d \varepsilon d \tau } \left( p \left( \varepsilon , 0 \right) \circ _ { s \left( \tau \right) } p \left( t , \tau \right) \right) / _ { s } p \left( t , 0 \right) \right\vert _ { \varepsilon , \tau = 0 } } \\ & { = } & { \left. \frac { d ^ { 2 } } { d \varepsilon d \tau } \left( p \left( \varepsilon , 0 \right) \circ _ { s \left( \tau \right) } p \left( t , 0 \right) \right) / _ { s } p \left( t , 0 \right) \right\vert _ { \varepsilon , \tau = 0 } } \\ & { } & { + \left. \frac { d ^ { 2 } } { d \varepsilon d \tau } \left( p \left( \varepsilon , 0 \right) \circ _ { s } p \left( t , \tau \right) \right) / _ { s } p \left( t , 0 \right) \right\vert _ { \varepsilon , \tau = 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \mathbf { D } _ { t } ^ { \nu } u \| _ { L _ { 2 } ( \Omega _ { T _ { 0 } } ) } + \sum _ { i = 1 } ^ { M } \| \mathbf { D } _ { t } ^ { \nu _ { i } } u \| _ { L _ { 2 } ( \Omega _ { T _ { 0 } } ) } + \sum _ { j = 1 } ^ { N } \| \mathbf { D } _ { t } ^ { \mu _ { j } } u \| _ { L _ { 2 } ( \Omega _ { T _ { 0 } } ) } } \\ & { \leq C \bigg [ 1 + \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 2 , 2 } ( \Omega ) } + \bigg ( \underset { t \in [ 0 , T ] } { \operatorname* { s u p } } I _ { t } ^ { \nu } ( \| g \| _ { L _ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } ) ( t ) \bigg ) ^ { 1 / 2 } \bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \Delta _ { n } \log B _ { k } } { n } } & { \leq \frac { \Big ( \sum _ { l = 1 } ^ { k - 1 } ( t _ { l } + 2 ) + \frac { n - m _ { k } ^ { \prime } } { m _ { k } - n _ { k } } + 1 \Big ) \log B _ { k } } { n } } \\ & { \leq \frac { \Big ( \sum _ { l = 1 } ^ { k - 1 } ( t _ { l } + 2 ) + 1 \Big ) \log B _ { k } } { m _ { k } ^ { \prime } } + \frac { \log B _ { k } } { m _ { k } - n _ { k } } + \frac { \log B _ { k } } { m _ { k } } \to 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { n } ^ { 2 } ( s , t ) \leq } & { ( n ! ) ^ { 2 H _ { 0 } - 1 } J _ { 0 } ^ { 2 } ( T ) C ^ { n } \lambda ^ { 2 n } \bigg [ \int _ { T _ { n } ( s ) } \bigg ( \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \prod _ { j = 1 } ^ { n - 1 } | \mathcal { F } Y ( r _ { j + 1 } - r _ { j } , \cdot ) ( \eta _ { j } ) | ^ { 2 } \prod _ { j = 1 } ^ { n } | \eta _ { j } - \eta _ { j - 1 } | ^ { 1 - 2 H } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times | \mathcal { F } Y ( t - r _ { n } , \cdot ) - \mathcal { F } Y ( s - r _ { n } , \cdot ) | ^ { 2 } \ensuremath { \mathrm { d } } \boldsymbol \eta \bigg ) ^ { \frac { 1 } { 2 H _ { 0 } } } \ensuremath { \mathrm { d } } \mathbf { r } \bigg ] ^ { 2 H _ { 0 } } } \\ { \leq } & { ( n ! ) ^ { 2 H _ { 0 } - 1 } J _ { 0 } ^ { 2 } ( T ) C ^ { n } \lambda ^ { 2 n } \bigg [ \sum _ { a \in \mathcal D _ { n } } \int _ { T _ { n } ( s ) } \bigg ( \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \prod _ { j = 1 } ^ { n - 1 } | \mathcal { F } Y ( r _ { j + 1 } - r _ { j } , \cdot ) ( \eta _ { j } ) | ^ { 2 } \prod _ { j = 1 } ^ { n - 1 } | \eta _ { j } | ^ { a _ { j } } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times | \mathcal { F } Y ( t - r _ { n } , \cdot ) - \mathcal { F } Y ( s - r _ { n } , \cdot ) | ^ { 2 } | \eta | ^ { a _ { n } } \ensuremath { \mathrm { d } } \boldsymbol \eta \bigg ) ^ { \frac { 1 } { 2 H _ { 0 } } } \ensuremath { \mathrm { d } } \mathbf { r } \bigg ] ^ { 2 H _ { 0 } } } \\ { \le } & { ( n ! ) ^ { 2 H _ { 0 } - 1 } J _ { 0 } ^ { 2 } ( T ) C ^ { n } \lambda ^ { 2 n } \bigg [ \sum _ { a \in \mathcal D _ { n } } \int _ { T _ { n } ( s ) } \bigg ( \int _ { \mathbb { R } ^ { n - 1 } } \prod _ { j = 1 } ^ { n - 1 } | \mathcal { F } Y ( r _ { j + 1 } - r _ { j } , \cdot ) ( \eta _ { j } ) | ^ { 2 } \prod _ { j = 1 } ^ { n - 1 } | \eta _ { j } | ^ { a _ { j } } \ensuremath { \mathrm { d } } \boldsymbol \eta } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times \int _ { \mathbb { R } } | \mathcal { F } Y ( t - r _ { n } , \cdot ) - \mathcal { F } Y ( s - r _ { n } , \cdot ) | ^ { 2 } | \eta | ^ { a _ { n } } \ensuremath { \mathrm { d } } \eta \bigg ) ^ { \frac { 1 } { 2 H _ { 0 } } } \ensuremath { \mathrm { d } } \mathbf { r } \bigg ] ^ { 2 H _ { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { t } ^ { m o d } = } & { \frac { 8 m _ { i } } { \gamma ^ { 2 } } \cdot \frac { q _ { \parallel , u } ^ { 2 } } { p _ { t o t , u } ^ { 2 } } \cdot \frac { ( 1 - f _ { c o o l i n g } ^ { S } ) ^ { 2 } } { ( 1 - f _ { m o m - l o s s } ^ { S } ) ^ { 2 } } } \\ & { \cdot \left( \frac { R _ { u } } { R _ { t } } \right) ^ { 2 - \frac { 2 M _ { e f f } ^ { 2 } } { 1 + M _ { e f f } ^ { 2 } } } } \\ { n _ { t } ^ { m o d } = } & { \frac { \gamma ^ { 2 } } { 3 2 m _ { i } } \cdot \frac { p _ { t o t , u } ^ { 3 } } { q _ { \parallel , u } ^ { 2 } } \cdot \frac { ( 1 - f _ { m o m - l o s s } ^ { S } ) ^ { 3 } } { ( 1 - f _ { c o o l i n g } ^ { S } ) ^ { 2 } } } \\ & { \cdot \left( \frac { R _ { u } } { R _ { t } } \right) ^ { - 2 + \frac { 3 M _ { e f f } ^ { 2 } } { 1 + M _ { e f f } ^ { 2 } } } } \\ { \Gamma _ { t } ^ { m o d } = } & { \frac { \gamma } { 8 m _ { i } } \cdot \frac { p _ { t o t , u } ^ { 2 } } { q _ { \parallel , u } } \cdot \frac { ( 1 - f _ { m o m - l o s s } ^ { S } ) ^ { 2 } } { ( 1 - f _ { c o o l i n g } ^ { S } ) } } \\ & { \cdot \left( \frac { R _ { u } } { R _ { t } } \right) ^ { - 1 + \frac { 2 M _ { e f f } ^ { 2 } } { 1 + M _ { e f f } ^ { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E [ H ( \tilde { X } + \Delta X ) ] } \\ { = } & { \int \sum _ { n } ^ { N } \sigma _ { n } \phi _ { n } \cdot \sum _ { m } x _ { m } \left( \phi _ { m } + \Delta \phi _ { m } \right) d t } \\ { = } & { \sum _ { n } ^ { \infty } \int \sigma _ { n } \phi _ { n } x _ { n } \left( \phi _ { n } + \Delta \phi _ { n } \right) + \sum _ { m \neq n } ^ { \infty } \sigma _ { n } \phi _ { n } x _ { m } \left( \phi _ { n } + \Delta \phi _ { m } \right) d t } \\ { = } & { \sum _ { n } ^ { \infty } \int \sigma _ { n } x _ { n } \phi _ { n } \phi _ { n } d t + \sum _ { m } ^ { N } \sigma _ { n } x _ { n } \phi _ { n } \Delta \phi _ { m } d t + \sum _ { n ^ { \prime } \neq n } ^ { N } \sigma _ { n } x _ { m } \phi _ { n } \phi _ { n ^ { \prime } } d t } \\ { = } & { \sum _ { n } ^ { N } \left[ \sigma _ { n } x _ { n } + \sum _ { m } ^ { N } \frac { \sigma _ { n } x _ { m } \left\langle \phi _ { n } , \Delta \phi _ { m } \right\rangle } { x _ { n } } \cdot x _ { n } \right] } \end{array}
\dot { \gamma } _ { R } ( t ) = \left( \begin{array} { l } { \frac { f ( \gamma _ { 3 } \dot { \gamma } _ { 1 } + ( c - \gamma _ { 1 } ) \dot { \gamma } _ { 3 } ) } { \gamma _ { 3 } ( t ) ^ { 2 } } } \\ { \frac { f ( \gamma _ { 3 } \dot { \gamma } _ { 2 } - \gamma _ { 2 } \dot { \gamma } _ { 3 } ) } { \gamma _ { 3 } ^ { 2 } } } \end{array} \right) , \dot { \gamma } _ { L } ( t ) = \left( \begin{array} { l } { \frac { f ( \gamma _ { 3 } \dot { \gamma } _ { 1 } - ( c + \gamma _ { 1 } ) \dot { \gamma } _ { 3 } ) } { \gamma _ { 3 } ( t ) ^ { 2 } } } \\ { \frac { f ( \gamma _ { 3 } \dot { \gamma } _ { 2 } - \gamma _ { 2 } \dot { \gamma } _ { 3 } ) } { \gamma _ { 3 } ^ { 2 } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } & { \! \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } s } \widetilde { Q } ( s ) } \\ & { \approx - \frac { 2 } { 3 } s v ^ { 2 } \pi \lambda \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \frac { K _ { z , \beta } } { ( 1 + z ) ( 1 + K _ { z , \beta } ) ^ { 2 } } d z + \frac { 1 5 - \pi ^ { 2 } } { 6 \pi } \mathcal { C } v ^ { 2 } \lambda . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \sqrt { n h _ { n } } \left\{ \frac { 1 } { n h _ { n } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } k \left( \frac { Z _ { 1 , i } - s } { h _ { n } } , \frac { Z _ { 2 , i } - t } { h _ { n } } \right) - f _ { Z _ { 1 } , Z _ { 2 } } ( s , t ) \right\} } \\ & { = } & { \sqrt { n h _ { n } } \left\{ \frac { 1 } { n h _ { n } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } k \left( \frac { Z _ { 1 , i } - s } { h _ { n } } , \frac { Z _ { 2 , i } - t } { h _ { n } } \right) - E \left( \frac { 1 } { n h _ { n } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } k \left( \frac { Z _ { 1 , i } - s } { h _ { n } } , \frac { Z _ { 2 , i } - t } { h _ { n } } \right) \right) \right\} } \\ & { + } & { \sqrt { n h _ { n } } \left\{ E \left( \frac { 1 } { n h _ { n } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } k \left( \frac { Z _ { 1 , i } - s } { h _ { n } } , \frac { Z _ { 2 , i } - t } { h _ { n } } \right) \right) - f _ { Z _ { 1 } , Z _ { 2 } } ( s , t ) \right\} } \\ & { = } & { ( I ) _ { A } + ( I ) _ { B } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { n _ { 2 , \mathrm { x } } ^ { \mathrm { c o f e } } ( R ) = } & { - \bar { f } \int _ { 0 } ^ { \bar { k } _ { F } } e ^ { i \vec { q } \cdot \vec { R } } \frac { d \vec { q } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { \bar { k } _ { F } } e ^ { - i \vec { q } ^ { \prime } \cdot \vec { R } } \frac { d \vec { q } ^ { \prime } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } \\ { = } & { - \bar { f } \bigg | \frac { \bar { k } _ { F } ^ { 3 } } { 6 \pi ^ { 2 } } g ( \bar { k } _ { F } R ) \bigg | ^ { 2 } \equiv - \Pi _ { \mathrm { x } } ^ { \mathrm { c o f e } } N ( \bar { k } _ { F } R ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Re \sum _ { p } \frac { \chi ( p ) ^ { 2 } \log p } { p } f \left( \frac { \log p } { \log q } \right) = \left( \beta _ { 0 } + \beta _ { 4 } - \beta _ { 2 } \right) \sum _ { p } \frac { \chi _ { 0 } ( p ) \log p } { p } f \left( \frac { \log p } { \log q } \right) } \\ & { \geq \left( \beta _ { 4 } - \frac { 1 } { 5 0 0 } + o ( 1 ) \right) \sum _ { p } \frac { \chi _ { 0 } ( p ) \log p } { p } f \left( \frac { \log p } { \log q } \right) = \left( \frac { \beta _ { 4 } } { 2 } - \frac { 1 } { 1 0 0 0 } + o ( 1 ) \right) \log q . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { u _ { 0 } } u ( t ) = } & { \frac { \alpha u _ { 0 } u ( t ) + ( ( \alpha - 1 ) t u _ { 0 } - x _ { 0 } ) \dot { u } ( t ) } { 2 H \alpha } } \\ { \partial _ { v _ { 0 } } u ( t ) = } & { \frac { \alpha \left( 2 H - u _ { 0 } ^ { 2 } \right) u ( t ) + \left( t \left( \alpha \left( 2 H - u _ { 0 } ^ { 2 } \right) + u _ { 0 } ^ { 2 } \right) + u _ { 0 } x _ { 0 } \right) \dot { u } ( t ) } { 2 \alpha H v _ { 0 } } } \\ { \partial _ { x _ { 0 } } u ( t ) = } & { \frac { \alpha \left( 2 H - u _ { 0 } ^ { 2 } \right) u ( t ) + \left( ( \alpha - 1 ) t \left( 2 H - u _ { 0 } ^ { 2 } \right) + u _ { 0 } x _ { 0 } \right) \dot { u } ( t ) } { 2 H x _ { 0 } } } \\ { \partial _ { y _ { 0 } } u ( t ) = } & { 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( h , \tilde { R } ^ { \prime } , u , \omega , \omega ^ { \prime } ) } \\ & { \qquad \mapsto ( 2 \pi ) ^ { - ( n - 1 ) } \iint _ { \mathbb { R } \times \mathbb { R } ^ { n - 1 } } e ^ { i u \xi } e ^ { i ( \omega - \omega ^ { \prime } ) \cdot \eta } a ( h \tilde { R } ^ { \prime } , \omega , \pm \tilde { R } ^ { \prime } - i h \tilde { R } ^ { \prime } \mu , \xi , \eta ) \, { \mathrm d } \xi \, { \mathrm d } \eta \, \cdot | { \mathrm d } u \, { \mathrm d } \omega ^ { \prime } | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon ^ { \prime } ( \alpha ) \leq } & { \ \frac { 1 } { \alpha - 1 } \log \left( 1 + \left( \frac { e ^ { \varepsilon ( 2 ) } } { 2 } + \frac { e ^ { 2 \varepsilon ( \alpha ) } } { 3 } \right) \gamma ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } ( e ^ { \varepsilon ( \infty ) } - 1 ) ^ { 2 } \right) } \\ { \leq } & { \ \left( \frac { e ^ { \varepsilon ( 2 ) } } { 2 } + \frac { e ^ { 2 \varepsilon ( \alpha ) } } { 3 } \right) \frac { \gamma ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } ( e ^ { \varepsilon ( \infty ) } - 1 ) ^ { 2 } } { \alpha - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { 1 } ( \rho , \sigma ( \beta , x ) ) } & { \le W _ { 1 } ( \rho , \mathcal { F } _ { B } ( \rho ) ) + W _ { 1 } ( \mathcal { F } _ { B } ( \rho ) , \mathcal { F } _ { A } \circ \mathcal { F } _ { B } ( \rho ) ) + W _ { 1 } ( \mathcal { F } ( \rho ) , \sigma ( \beta , x ) ) } \\ & { \le \sum _ { i } W _ { 1 } ( \sigma ( A , i ) , \sigma ( A , i + 1 ) ) + \sum _ { i } \, W _ { 1 } ( \sigma ( B , i ) , \sigma ( B , i + 1 ) ) + n \, \| \mathcal { F } ( \rho ) - \sigma ( \beta , x ) \| _ { 1 } } \\ & { \overset { ( 1 ) } { \le } R \, \sum _ { i } \, \| \sigma ( A , i ) - \sigma ( A , i + 1 ) \| _ { 1 } + \| \sigma ( B , i ) - \sigma ( B , i + 1 ) \| _ { 1 } + n \| \mathcal { F } ( \rho ) - \sigma ( \beta , x ) \| _ { 1 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | | \mathfrak { E r r } | | _ { \mathrm { o p } , t } ^ { 2 } } & { = | | \mathfrak { E r r } ^ { \ast } \mathfrak { E r r } | | _ { \mathrm { o p } , t } } \\ & { = \left| \left| \frac { 1 } { 1 6 } \sum _ { k , l } \mathrm { t r } ( \partial _ { k } g ) \mathrm { t r } ( \partial _ { l } g ) \partial _ { k } ^ { \ast } \partial _ { l } \right| \right| _ { \mathrm { o p } , t } } \\ & { = \left| \left| \frac { 1 } { 1 6 } \sum _ { k \leq l } \mathrm { t r } ( \partial _ { k } g ) \mathrm { t r } ( \partial _ { l } g ) ( \partial _ { k } \partial _ { l } + \partial _ { l } \partial _ { k } ) \right| \right| _ { \mathrm { o p } , t } } \\ & { = \left| \left| \frac { 2 } { 1 6 } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \mathrm { t r } ( \partial _ { k } g ) ^ { 2 } \mathrm { i d } \right| \right| _ { \mathrm { o p } , t } } \\ & { = \frac { 2 } { 1 6 } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \mathrm { t r } ( \partial _ { k } g ( t ) ) ^ { 2 } < \frac { 1 } { 8 } \cdot \frac { 1 } { 8 } \mathord { \mathrm { s c a l } } ( g ( t ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q ( z ) } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } q _ { k } ^ { ( n ) } z ^ { k } } \\ { R ( z ) } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } r _ { k } ^ { ( n ) } z ^ { k } = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } z ^ { k } \sum _ { u = 0 } ^ { C } s _ { u } ^ { ( n ) } \cdot \left. r _ { k } ^ { ( n ) } \right\vert _ { S ^ { ( n ) } = u } } \\ { Y ( z ) } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } y _ { k } ^ { ( n ) } z ^ { k } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \qquad \qquad \frac { \lVert D f ( x _ { 0 } ) [ \varphi ( x ) ^ { - 1 } \varphi ( y ) ] ^ { - 1 } f ( x ) ^ { - 1 } f ( y ) \rVert _ { \mathbb { H } } } { d ( x , y ) } } \\ & { \leq d _ { \mathrm { H H o m } } ( D f ( x ) , D f ( x _ { 0 } ) ) \mathrm { L i p } ( \varphi ) + \frac { \lVert D f ( x ) [ \varphi ( x ) ^ { - 1 } \varphi ( y ) ] ^ { - 1 } f ( x ) ^ { - 1 } f ( y ) \rVert _ { \mathbb { H } } } { d ( x , y ) } } \\ & { \leq \varepsilon ( 1 + \mathrm { L i p } ( \varphi ) ) . } \end{array}
d \ell _ { 3 } ^ { \prime } = d \ell _ { 3 } + \cdots = \left( 1 + e _ { 3 } \, \cos v _ { 3 } \right) ^ { - 2 } \left( \frac { \Gamma _ { 3 } } { L _ { 3 } } \right) ^ { 3 } \, d v _ { 3 } = \delta _ { 2 } ^ { 3 } \left( 1 + \sqrt { 1 - \delta _ { 2 } ^ { 2 } } \, \cos v _ { 3 } ^ { \prime } \right) ^ { - 2 } \, d v _ { 3 } ^ { \prime } + O \left( \frac { 1 } { L _ { 3 } ^ { * } } \right) ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \frac { | \hat { V } _ { C } ^ { t _ { n } } \triangle V _ { C } ^ { t _ { n } } | } { 2 | V _ { C } ^ { t _ { n } } | } \mid V _ { C } ^ { t _ { n } } \geq 1 \right] } & { = \mathbb { P } \left( \mathcal { E } _ { 1 } \cup \mathcal { E } _ { 2 } \right) \mathbb { E } \left[ \frac { | \hat { V } _ { C } ^ { t _ { n } } \triangle V _ { C } ^ { t _ { n } } | } { 2 | V _ { C } ^ { t _ { n } } | } \mid \mathcal { E } _ { 1 } \cup \mathcal { E } _ { 2 } , V _ { C } ^ { t _ { n } } \geq 1 \right] } \\ & { \quad + \mathbb { P } \left( \bar { \mathcal { E } _ { 1 } } \cap \bar { \mathcal { E } _ { 2 } } \right) \mathbb { E } \left[ \frac { | \hat { V } _ { C } ^ { t _ { n } } \triangle V _ { C } ^ { t _ { n } } | } { 2 | V _ { C } ^ { t _ { n } } | } \mid \bar { \mathcal { E } _ { 1 } } \cap \bar { \mathcal { E } _ { 2 } } \right] } \\ & { \leq n \exp ( - \tilde { \varepsilon } k t _ { n } ^ { 1 - \tau } ) + \frac { O ( \log ( n ) t _ { n } ^ { 1 - 2 \tau } n ) } { ( 1 - \varepsilon ) k t _ { n } ^ { 1 - \tau } } } \\ & { = o ( 1 ) , } \end{array}
A ^ { ( n ) } ( \lambda ; z ) A ^ { ( n ^ { \prime } ) } ( \lambda ^ { \prime } ; 0 ) \sim n n ^ { \prime } \frac { N ^ { k } [ \lambda \lambda ^ { \prime } ] ^ { k + 1 } } { z ^ { k + 1 } } \frac { ( n ^ { \prime } - k - 1 ) ! } { ( n + n ^ { \prime } - k - 2 ) ! } ( \lambda \cdot \partial _ { \lambda ^ { \prime } } ) ^ { n - k - 1 } A ^ { ( n + n ^ { \prime } - k - 2 ) } ( \lambda ^ { \prime } ; 0 ) + \dots
\begin{array} { r } { \left[ { \begin{array} { c } { \frac { v _ { 2 } - U _ { 2 } } { \rho ^ { 2 } T } } \\ { - \frac { U _ { 1 } U _ { 2 } } { \rho ^ { 4 } } + \left( - \frac { U _ { 1 } } { \rho ^ { 3 } } + \frac { v _ { 1 } - U _ { 1 } } { \rho ^ { 2 } T } \right) \frac { v _ { 2 } - U _ { 2 } } { T } } \\ { - \frac { U _ { 2 } ^ { 2 } } { \rho ^ { 4 } } - \left( \frac { 1 } { \rho ^ { 3 } } + \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } T } \right) + \left( - \frac { U _ { 2 } } { \rho ^ { 3 } } + \frac { v _ { 2 } - U _ { 2 } } { \rho ^ { 2 } T } \right) \frac { v _ { 2 } - U _ { 2 } } { T } } \\ { - \frac { U _ { 2 } U _ { 3 } } { \rho ^ { 4 } } + \left( - \frac { U _ { 3 } } { \rho ^ { 3 } } + \frac { v _ { 3 } - U _ { 3 } } { \rho ^ { 2 } T } \right) \frac { v _ { 2 } - U _ { 2 } } { T } } \\ { \frac { U _ { 1 } } { \rho } \frac { | U | ^ { 2 } - 3 T + 3 } { 3 \rho ^ { 3 } } + \frac { 1 } { \rho } \left( \frac { 2 U _ { 2 } } { 3 \rho ^ { 2 } } - \frac { 2 } { 3 } \frac { v _ { 2 } - 2 U _ { 2 } } { \rho T } - \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } \frac { 1 } { \rho } \left( \frac { v _ { 2 } - U _ { 2 } } { T ^ { 2 } } \right) + \frac { v _ { 2 } - U _ { 2 } } { T } \right) } \end{array} } \right] ^ { T } \mathcal { M } ( F ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { a _ { 1 } = \frac { ( q ^ { - 2 ( m - i - 1 ) } - q ^ { 2 } ) ( q ^ { - 2 ( w - 1 ) } - q ^ { 4 } ) } { q ( 1 - q ^ { 2 } ) ^ { 2 } } , } \\ & { a _ { 2 } = \frac { q ^ { 2 } ( 1 - q ^ { 2 ( m - i ) } ) ( q ^ { - 2 ( m - i - 1 ) } - 1 ) } { ( q ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } + \frac { ( q ^ { - 2 ( m - i - 1 ) } - q ^ { 2 } ) ( q ^ { - 2 ( w - 1 ) } - q ^ { 4 } ) } { q ^ { 2 } ( 1 - q ^ { 2 } ) } , } \\ & { a _ { 3 } = 1 / q \frac { ( q ^ { - 2 ( i - w ) } - q ^ { 2 ( m - i ) } ) ( 1 - q ^ { 2 ( i - w + 2 ) } ) } { ( 1 - q ^ { 2 } ) ^ { 2 } } , } \\ & { a _ { 4 } = ( q ^ { - 2 } - 1 ) \frac { ( q ^ { - 2 ( i - w ) } - q ^ { 2 ( m - i ) } ) ( 1 - q ^ { 2 ( i - w + 2 ) } ) } { ( 1 - q ^ { 2 } ) ^ { 2 } } , } \\ & { a _ { 5 } = \frac { ( q ^ { - 2 ( i - w + 1 ) } - q ^ { 2 ( m - i - 2 ) } ) ( q ^ { - 2 ( m - i - 2 ) } - q ^ { 4 } ) } { ( q ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } + \frac { q ^ { - 2 ( i - w ) } - 1 } { q ^ { 2 } - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \mathcal L } _ { L } ^ { * } ( \varphi _ { L } ^ { * } ) = d ( \varphi _ { L } ^ { * } ) _ { x x } + f _ { u } ( u _ { L } ^ { * } ( \cdot ) ; \mu ^ { * } ) \varphi _ { L } ^ { * } - ( 1 - d ) f _ { \mu } ( u _ { L } ^ { * } ( \cdot ) ; \mu ^ { * } ) { \langle } \varphi _ { L } ^ { * } { \rangle } = \sigma _ { L } ^ { * } \varphi _ { L } ^ { * } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { K \big ( B _ { \ell _ { r , s } ^ { n } } , \Lambda _ { T } \big ) } & { \prec \operatorname* { i n f } _ { m \leq n } \bigg ( \frac { \varphi _ { \ell _ { r ^ { \prime } , s ^ { \prime } } ^ { n } ( m - 1 ) } } { \varphi _ { \ell _ { r ^ { \prime } , s ^ { \prime } } ^ { n } } ( n ) } \bigg ) ^ { \frac { m - 1 } { m } } } \\ & { = \operatorname* { i n f } _ { m \leq n } \frac { ( m - 1 ) ^ { \frac { 1 } { r ^ { \prime } } \frac { m - 1 } { m } } } { n ^ { \frac { 1 } { r ^ { \prime } } \frac { m - 1 } { m } } } \prec \operatorname* { i n f } _ { m \leq n } \Big ( \frac { m n ^ { \frac { 1 } { m } } } { n } \Big ) ^ { \frac { 1 } { r ^ { \prime } } } = \frac { 1 } { n ^ { \frac { 1 } { r ^ { \prime } } } } \operatorname* { i n f } _ { m \leq n } \Big ( m n ^ { \frac { 1 } { m } } \Big ) ^ { \frac { 1 } { r ^ { \prime } } } \, , } \end{array}
{ \mathcal H } _ { { \mathrm { b u l k } } , [ 2 ] } = { \mathcal H } _ { { \mathrm { o p } } , [ 2 ] } \otimes { \mathrm { S y m } } ^ { * } { \mathcal H } _ { \mathrm { c l } } = ( { \mathcal H } _ { 1 ^ { \prime } 1 } \otimes { \mathcal H } _ { 2 ^ { \prime } 2 } \oplus { \mathcal H } _ { 1 ^ { \prime } 2 } \otimes { \mathcal H } _ { 2 ^ { \prime } 1 } ) \otimes { \mathrm { S y m } } ^ { * } { \mathcal H } _ { \mathrm { c l } } .
\begin{array} { r l } { \tilde { J } ^ { k + 1 } ( x ) = } & { \operatorname* { m i n } _ { b \in \{ 0 , 1 \} } \Big \{ | | x | | _ { 1 } + c _ { b } b + \tilde { \mu } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \tilde { J } ^ { k } ( ( x - e _ { i } ) ^ { + } ) + \tilde { \lambda } \tilde { J } ^ { k } ( x + e _ { \operatorname* { m i n } } ) } \\ & { + ( 1 - b ) a \tilde { \lambda } \Big ( \sum _ { i = 1 } ^ { n } p _ { i } \tilde { J } ^ { k } ( x + e _ { i } ) - \tilde { J } ^ { k } ( x + e _ { \operatorname* { m i n } } ) \Big ) \Big \} } \end{array}
F ( \beta ) = F \left( \frac { \theta + \lambda } { \rho } \right) + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } \frac { ( \lambda / \rho ) ^ { n } } { n ! } \frac { d ^ { n - 1 } } { d z ^ { n - 1 } } \left\{ F ^ { \prime } ( z ) \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - z y } d P ^ { \ast n } ( y ) \right\} \bigg | _ { z = \frac { \theta + \lambda } { \rho } } .
\begin{array} { r l } { \Delta U _ { \lambda } = \sum _ { n } ^ { t _ { f } / \Delta t } \sum _ { i } ^ { N } } & { \frac { ( 1 - \alpha ) \boldsymbol { \lambda _ { i } } ^ { 2 } [ n \Delta t ] } { 2 ( 1 + \alpha ) m _ { i } \gamma ^ { 2 } k _ { \mathrm { B } } T } - \frac { \boldsymbol { \lambda _ { i } } [ n \Delta t ] \boldsymbol { \eta _ { i } } [ n \Delta t ] } { \gamma k _ { \mathrm { B } } T ( 1 + \alpha ) } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \rho _ { A } D _ { t } ^ { A } F _ { A } ^ { G } + \rho _ { A } \varsigma _ { A } D _ { t } ^ { A } \theta _ { A } = D _ { t } ^ { A } \pi _ { A } , } \\ { \rho _ { B } D _ { t } ^ { B } F _ { B } ^ { G } + \rho _ { B } \varsigma _ { B } D _ { t } ^ { B } \theta _ { B } = D _ { t } ^ { B } \pi _ { B } , } \\ { \rho _ { S } D _ { t } ^ { S } F _ { S } ^ { G } + \rho _ { S } \varsigma _ { S } D _ { t } ^ { S } \theta _ { S } = D _ { t } ^ { S } \pi _ { S } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \delta \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } | \psi _ { j } | ^ { 2 } } & { \leq \delta \beta ^ { 2 } \| \sigma ^ { - 1 } \| ^ { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \mathbb { E } | \widetilde { \xi } ^ { j } ( \Pi _ { N } \widetilde { \xi } _ { 0 } ; \Pi _ { N } \xi _ { 0 } , W ) - \xi ^ { j } ( \Pi _ { N } \xi _ { 0 } ; W ) | ^ { 2 } } \\ & { \leq \delta \beta ^ { 2 } \| \sigma ^ { - 1 } \| ^ { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } | \xi _ { 0 } - \widetilde { \xi } _ { 0 } | ^ { 2 } \frac { \tilde { c } \exp \left( C ( \nu ^ { 3 } \beta ) ^ { - 1 / 2 } | \xi _ { 0 } | ^ { 2 } \right) } { ( 1 + \beta \delta ) ^ { 3 j / 4 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { B ( \sigma _ { t } ( s ) ) \cdot n \, d A } & { = } & { B ( \sigma _ { t } ( s ) ) \cdot \left( \frac { \partial \sigma } { \partial s } \times \frac { \partial \sigma } { \partial t } \right) d s d t } \\ & { = } & { \left( \frac { \partial \sigma } { \partial t } \times B ( \sigma _ { t } ( s ) ) \right) \cdot \frac { \partial \sigma } { \partial s } d s d t } \\ & { = } & { \Big ( v \times B ( \sigma _ { t } ( s ) ) \Big ) \cdot \frac { \partial \sigma } { \partial s } d s d t . } \end{array}
{ \begin{array} { l } { { \boldsymbol { \it { N O D } } } = { \frac { { \partial } ^ { 9 } } { \partial { \omega } ^ { \mathrm { 9 } } } } k \mathrm { ( } \omega \mathrm { ) } = { \frac { \mathrm { 1 } } { c } } \left( \mathrm { 9 } { \frac { { \partial } ^ { 8 } n \mathrm { ( } \omega \mathrm { ) } } { \partial { \omega } ^ { \mathrm { 8 } } } } + \omega { \frac { { \partial } ^ { 9 } n \mathrm { ( } \omega \mathrm { ) } } { \partial { \omega } ^ { \mathrm { 9 } } } } \right) = { - } { \frac { \mathrm { 1 } } { c } } { \left( { \frac { \lambda } { \mathrm { 2 } \pi c } } \right) } ^ { \mathrm { 8 } } { \Bigl ( } \mathrm { 1 8 1 4 4 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 2 } } { \frac { { \partial } ^ { 2 } n \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 2 } } } } + \mathrm { 4 2 3 3 6 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 3 } } { \frac { { \partial } ^ { 3 } n \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 3 } } } } + \mathrm { 3 1 7 5 2 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 4 } } { \frac { { \partial } ^ { 4 } n \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 4 } } } } + \mathrm { 1 0 5 8 4 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 5 } } { \frac { { \partial } ^ { 5 } n \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 5 } } } } + \mathrm { 1 7 6 4 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 6 } } { \frac { { \partial } ^ { 6 } n \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 6 } } } } + } \\ { + \mathrm { 1 5 1 2 } { \lambda } ^ { \mathrm { 7 } } { \frac { { \partial } ^ { 7 } n \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 7 } } } } + \mathrm { 6 3 } { \lambda } ^ { \mathrm { 8 } } { \frac { { \partial } ^ { 8 } n \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 8 } } } } + { \lambda } ^ { \mathrm { 9 } } { \frac { { \partial } ^ { 9 } n \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 9 } } } } { \Bigr ) } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { f _ { \operatorname* { m i n } } ( t ^ { \prime } ) } & { = \operatorname* { m i n } _ { i \in [ n ] } \{ f _ { i } ( t ) + \partial _ { + } f _ { i } ( t ) ( t ^ { \prime } - t ) + o ( t ^ { \prime } - t ) \} } \\ & { = f _ { \operatorname* { m i n } } ( t ) + \operatorname* { m i n } _ { i \in I ( t ) } \{ \partial _ { + } f _ { i } ( t ) ( t ^ { \prime } - t ) + o ( t ^ { \prime } - t ) \} } \\ & { = f _ { \operatorname* { m i n } } ( t ) + \operatorname* { m i n } _ { i \in I ( t ) } \{ \partial _ { + } f _ { i } ( t ) \} ( t ^ { \prime } - t ) + o ( t ^ { \prime } - t ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \left( \begin{array} { l } { \widetilde b _ { n } } \\ { \widetilde d _ { n - 1 } } \end{array} \right) = \left( \displaystyle { \prod _ { m = 0 } ^ { ( n - 3 ) / 2 } } S _ { n - 2 m } \right) \left( \begin{array} { l } { \widetilde b _ { 1 } } \\ { \widetilde d _ { 0 } } \end{array} \right) \, , } \\ { \left( \begin{array} { l } { \widetilde a _ { n } } \\ { \widetilde c _ { n - 1 } } \end{array} \right) = \left( \displaystyle { \prod _ { m = 0 } ^ { ( n - 3 ) / 2 } } S _ { n - 2 m } \right) \left( \begin{array} { l } { \widetilde a _ { 1 } } \\ { \widetilde c _ { 0 } } \end{array} \right) - \displaystyle { \sum _ { j = 0 } ^ { ( n - 3 ) / 2 } } \left[ \left( \displaystyle { \prod _ { m = 1 } ^ { j } S _ { n - 2 m + 2 } } \right) T _ { n - 2 j } \left( \displaystyle { \prod _ { m = j + 1 } ^ { ( n - 3 ) / 2 } S _ { n - 2 m } } \right) \left( \begin{array} { l } { \widetilde b _ { 1 } } \\ { \widetilde d _ { 0 } } \end{array} \right) \right] , } \end{array} \right. } \end{array}
\mathbf C : = { \mathbb E } \mathbf y \mathbf y ^ { * } = \left[ \begin{array} { l l l l l } { c _ { 0 } } & { c _ { N - 1 } } & { \cdots } & { c _ { 2 } } & { c _ { 1 } } \\ { c _ { 1 } } & { c _ { 0 } } & { c _ { N - 1 } } & & { c _ { 2 } } \\ { \vdots } & { c _ { 1 } } & { c _ { 0 } } & { \ddots } & { \vdots } \\ { c _ { N - 2 } } & & { \ddots } & { \ddots } & { c _ { N - 1 } } \\ { c _ { N - 1 } } & { c _ { N - 2 } } & { \cdots } & { c _ { 1 } } & { c _ { 0 } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l r } { m ( t , \tau ) } & { : = } & { \frac { 1 } { N } \sum _ { i \in \mathcal { T } } x _ { i } ( t , \tau ) = \mathbb { E } \big [ x ( t , \tau ) \big ] } \\ { C ( t , t ^ { \prime } , \tau ) } & { : = } & { \frac { 1 } { N } \sum _ { i \in \mathcal { T } } x _ { i } ( t , \tau ) x _ { i } ( t ^ { \prime } , \tau ) = \mathbb { E } \big [ x ( t , \tau ) x ( t ^ { \prime } , \tau ) \big ] \qquad } \\ { G ( t , t ^ { \prime } , \tau ) } & { : = } & { \frac { 1 } { N } \sum _ { i \in \mathcal { T } } \frac { \delta x _ { i } ( t , \tau ) } { \delta \theta _ { i } ( t ^ { \prime } , \tau ) } \Big | _ { \theta = 0 } = \frac { \delta \mathbb { E } \big [ x ( t , \tau ) \big ] } { \delta \theta ( t ^ { \prime } , \tau ) } \Big | _ { \theta = 0 } } \\ { \hat { \mu } ( \tau ) / N _ { t } } & { : = } & { \frac { 1 } { N _ { t } ( N _ { t } - 1 ) } \sum _ { i , j \in \mathcal { T } } J _ { i j } ^ { ( t t ) } ( \tau ) = \mathbb { E } \Big [ J ^ { ( t t ) } ( \tau ) \Big ] } \\ { \hat { \lambda } ( \tau ) / \sqrt { N _ { t } } } & { : = } & { \frac { 1 } { N _ { t } N _ { o } } \sum _ { i \in \mathcal { T } , j \in \mathcal { O } } J _ { i j } ^ { ( t o ) } ( \tau ) = \mathbb { E } \Big [ J ^ { ( t o ) } ( \tau ) \Big ] } \\ { \tilde { \lambda } ( \tau ) / \sqrt { N _ { t } } } & { : = } & { \frac { 1 } { N _ { t } N _ { o } } \sum _ { i \in \mathcal { O } , j \in \mathcal { T } } J _ { i j } ^ { ( o t ) } ( \tau ) = \mathbb { E } \Big [ J ^ { ( o t ) } ( \tau ) \Big ] } \end{array}
\boldsymbol { x } = \mathcal { F } ^ { - 1 } \left( C \cdot \mathrm { n } ^ { 2 } \cdot \sqrt { 2 } \cdot \tau ^ { \frac { 1 } { 2 } ( 2 \alpha - 2 ) } \cdot \left( \frac { 4 \pi ^ { 2 } ( k _ { x } ^ { 2 } + k _ { x } ^ { 2 } ) + \tau ^ { 2 } } { 2 } \right) ^ { - \alpha / 2 } \right) , \quad \boldsymbol { x } \in \mathbb { R } ^ { 2 } , \quad C \in \mathcal { N } ( 0 , \mathrm { I } ) ,
\begin{array} { r l r } { | | r e m | | _ { \infty } } & { \leq } & { \frac { 4 \lambda ( 8 s _ { 1 } + 8 s _ { 2 } + p ) } { c } \sqrt { \frac { \log { p } } { n } } \sqrt { d + 1 } \operatorname* { m a x } \{ \Lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( \Theta _ { 0 } ^ { [ 1 ] } ) , \Lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( \Theta _ { 0 } ^ { [ 2 ] } ) \} \ } \\ & { } & { + ( \lambda + \rho ) \frac { 4 \lambda ( 8 s _ { 1 } + 8 s _ { 2 } + p ) } { c } \sqrt { d + 1 } \operatorname* { m a x } \{ \Lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( \Theta _ { 0 } ^ { [ 1 ] } ) , \Lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( \Theta _ { 0 } ^ { [ 2 ] } ) \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mathbb { E } A _ { i \cdot } ) U \Lambda ^ { - 1 } } & { = P _ { i \cdot } U \Lambda ^ { - 1 } - p U _ { i \cdot } \Lambda ^ { - 1 } } \\ & { = U _ { i \cdot } ^ { * } \Lambda ^ { * } U ^ { * T } U \Lambda ^ { - 1 } - p U _ { i \cdot } \Lambda ^ { - 1 } } \\ & { = U _ { i \cdot } ^ { * } U ^ { * T } U + U _ { i \cdot } ^ { * } \left( \Lambda ^ { * } U ^ { * T } U - U ^ { * T } U \Lambda \right) \Lambda ^ { - 1 } - p U _ { i \cdot } \Lambda ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \left[ \underline { { \operatorname { \Pi } } } [ \nabla \boldsymbol { U } ] + \underline { { \boldsymbol { B } } } ( \boldsymbol { U } \cdot \underline { { \boldsymbol { \nu } } } ) \right] , \underline { { \operatorname { \Pi } } } [ \nabla \boldsymbol { \Psi } ] + \underline { { \boldsymbol { B } } } ( \boldsymbol { \Psi } \cdot \underline { { \boldsymbol { \nu } } } ) \rangle _ { \mathcal { V } } } & { } \\ { + \langle \boldsymbol { U } , \boldsymbol { \Psi } \rangle _ { \mathcal { V } } + C _ { N } \langle \left[ \boldsymbol { U } \cdot \underline { { \boldsymbol { \nu } } } \right] , \left[ \boldsymbol { \Psi } \cdot \underline { { \boldsymbol { \nu } } } \right] \rangle _ { \mathcal { V } } } & { = \langle \underline { { \boldsymbol { f } } } , \boldsymbol { \Psi } \rangle _ { \mathcal { V } } \quad \forall \boldsymbol { \Psi } \in [ H ^ { 1 } ( \mathcal { V } ) ] ^ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle c _ { 4 } c _ { 5 } c _ { 6 } | \otimes \langle p _ { 0 } | V _ { 1 } ^ { \mathrm { e f f } } | p _ { 0 } \rangle \otimes | c _ { 4 } c _ { 5 } c _ { 6 } \rangle } \\ { = } & { \sum _ { i = 4 } ^ { 6 } \sum _ { c _ { i } ^ { \prime } \ne c _ { i } } \frac { \langle c _ { i } | \otimes \langle p _ { 0 } | V _ { 1 } | q _ { k } \rangle \otimes | c _ { i } ^ { \prime } \rangle \langle c _ { i } ^ { \prime } | \otimes \langle q _ { k } | V _ { 1 } | p _ { 0 } \rangle \otimes | c _ { i } \rangle } { E _ { 0 } - E _ { k } } = - 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { d } & { = 1 , \quad k = \left| \operatorname { s u p p } ( f ) \right| , \quad } & & { l = 0 , \quad m = \mathrm { s u m ~ o f ~ w e i g h t s } . } \\ { d } & { = 2 , \quad k = 1 . 5 \left| \operatorname { s u p p } ( f ) \right| , \quad } & & { l = 0 , \quad m = \mathrm { s u m ~ o f ~ w e i g h t s } . } \end{array}
Q ( \mathrm { i } x / 2 B ) = \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \int _ { \mathbb { R } } \frac { G _ { - } ( \omega ) g _ { + } ( \omega ) } { \omega + \mathrm { i } x / 2 B } \mathrm { d } \omega + \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \int _ { \mathbb { R } } \frac { \mathrm { e } ^ { 2 \mathrm { i } B \omega } \sigma ( \omega ) Q ( \omega ) } { \omega + \mathrm { i } x / 2 B } \mathrm { d } \omega .
A P P ( i ) = \frac { \int _ { 0 } ^ { N } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } e ^ { - \frac { ( y - u ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \cdot \left[ Q \left( \frac { i - u } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { i + 1 - u } { \sigma } \right) \right] \, d u } { \int _ { 0 } ^ { N } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } e ^ { - \frac { ( y - t ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \cdot \left[ Q \left( \frac { - t } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { N - t } { \sigma } \right) \right] \, d t } , ~ ~ i \in \mathbb { Z } _ { N } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { C } } & { = \frac { 1 } { 2 \Delta _ { l } } [ \nabla ( \alpha _ { 0 } \delta p ) ) _ { l + 1 } - ( \nabla ( \alpha _ { 0 } \delta p ) ) _ { l - 1 } ] - \frac { 1 } { \Delta _ { l } ^ { 2 } } [ \alpha _ { 0 } \delta p ) _ { l + 1 } - 2 ( \alpha _ { 0 } \delta p ) _ { l } + ( \alpha _ { 0 } \delta p ) _ { l - 1 } ] } \\ & { = \frac { 1 } { 4 \Delta _ { l } ^ { 2 } } [ ( \alpha _ { 0 } \delta p ) _ { l + 2 } - 2 ( \alpha _ { 0 } \delta p ) _ { l } + ( \alpha _ { 0 } \delta p ) _ { l - 2 } ] - \frac { 1 } { \Delta _ { l } ^ { 2 } } [ ( \alpha _ { 0 } \delta p ) _ { l + 1 } - 2 ( \alpha _ { 0 } \delta p ) _ { l } + ( \alpha _ { 0 } \delta p ) _ { l - 1 } ] } \\ & { = \frac { 1 } { 4 \Delta _ { l } ^ { 2 } } [ ( \alpha _ { 0 } \delta p ) _ { l + 2 } - 4 ( \alpha _ { 0 } \delta p ) _ { l + 1 } + 6 ( \alpha _ { 0 } \delta p ) _ { l } - 4 ( \alpha _ { 0 } \delta p ) _ { l - 1 } + ( \alpha _ { 0 } \delta p ) _ { l - 2 } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \bigg \| \bar { y } _ { t } - y _ { \bar { x } _ { t } } \bigg \| ^ { 2 } } & { \leq ( 1 - \frac { \mu \gamma } { 4 } ) \mathbb { E } \bigg \| \bar { y } _ { t - 1 } - y _ { \bar { x } _ { t - 1 } } \bigg \| ^ { 2 } + \frac { 9 \kappa ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } { 2 \mu \gamma } \mathbb { E } \bigg \| \bar { \nu } _ { t - 1 } \bigg \| ^ { 2 } - \frac { \gamma ^ { 2 } } { 4 } \mathbb { E } \| \bar { \omega } _ { t - 1 } \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad + \frac { 9 L ^ { 2 } \gamma } { 2 \mu M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \| x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { t - 1 } \| ^ { 2 } + \| y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \bar { y } _ { t - 1 } ) \| ^ { 2 } \bigg ] + \frac { 4 \gamma \sigma ^ { 2 } } { \mu b _ { y } M } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \nabla f ( w ^ { \prime } ) - \nabla f ( w ) \| } & { = \Big \| \int _ { 0 } ^ { 1 } \nabla ^ { 2 } f ( w _ { \theta } ) ( w ^ { \prime } - w ) d \theta \Big \| } \\ & { \le \int _ { 0 } ^ { 1 } \| \nabla ^ { 2 } f ( w _ { \theta } ) \| \| w ^ { \prime } - w \| d \theta } \\ & { \overset { ( i ) } { \le } \| w ^ { \prime } - w \| \int _ { 0 } ^ { 1 } \big ( L _ { 0 } + L _ { 1 } \| \nabla f ( w _ { \theta } ) \| ^ { \alpha } \big ) d \theta } \\ & { = \| w ^ { \prime } - w \| \! \Big ( \! L _ { 0 } + L _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \| \nabla f ( w _ { \theta } ) \| ^ { \alpha } d \theta \! \Big ) , } \end{array}
\| \partial _ { x _ { s } } \partial _ { x _ { r } } \rho \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb R } ^ { d - 1 } ) } = \| \partial _ { x _ { s } } \Lambda _ { d - 1 } ^ { - 1 } \partial _ { x _ { r } } \Lambda _ { d - 1 } ^ { - 1 } \Delta _ { d - 1 } \rho \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb R } ^ { d - 1 } ) } \le C \| \Delta _ { d - 1 } \rho \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb R } ^ { d - 1 } ) }
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { D } \chi ^ { 2 } | \nabla ( d w ) | ^ { 2 } } \\ & { \leq } & { \left( 8 \| K \| _ { L ^ { \infty } ( \dot { \Sigma } ) } + 1 6 \| d \chi \| _ { C ^ { 0 } ( D ) } ^ { 2 } \right) \int _ { D _ { 2 } } | d w | ^ { 2 } + 2 C _ { 1 } \int _ { D _ { 2 } } | d w | ^ { 4 } + 2 \int _ { \partial D } | C ( \partial D ) | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 7 \cdot \mathcal { L } _ { 5 } ( f _ { 3 } , \tau ) - 7 \cdot \mathcal { L } _ { 5 3 } ( f _ { 3 } , \tau ) + \mathcal { L } _ { 5 6 } ( f _ { 3 } , \tau ) + 2 \cdot \mathcal { L } _ { 8 9 } ( f _ { 3 } , \tau ) } & { \equiv 0 \pmod { 1 1 } , } \\ { 3 \cdot \mathcal { L } _ { 2 0 } ( f _ { 3 } , \tau ) + 2 \cdot \mathcal { L } _ { 3 7 } ( f _ { 3 } , \tau ) + 6 \cdot \mathcal { L } _ { 8 0 } ( f _ { 3 } , \tau ) + 2 \cdot \mathcal { L } _ { 9 2 } ( f _ { 3 } , \tau ) + 3 \cdot \mathcal { L } _ { 9 7 } ( f _ { 3 } , \tau ) } & { \equiv 0 \pmod { 1 1 } , } \\ { 3 \cdot \mathcal { L } _ { 5 } ( f _ { 3 } , \tau ) + 2 \cdot \mathcal { L } _ { 8 9 } ( f _ { 3 } , \tau ) } & { \equiv 0 \pmod { 1 1 } , } \\ { 3 \cdot \mathcal { L } _ { 5 3 } ( f _ { 3 } , \tau ) - 2 \cdot \mathcal { L } _ { 5 6 } ( f _ { 3 } , \tau ) - 2 \cdot \mathcal { L } _ { 8 9 } ( f _ { 3 } , \tau ) } & { \equiv 0 \pmod { 1 1 } , } \\ { \mathcal { L } _ { 5 6 } ( f _ { 3 } , \tau ) + 2 \cdot \mathcal { L } _ { 8 9 } ( f _ { 3 } , \tau ) - 2 \cdot \mathcal { L } _ { 9 2 } ( f _ { 3 } , \tau ) + 2 \cdot \mathcal { L } _ { 1 0 4 } ( f _ { 3 } , \tau ) } & { \equiv 0 \pmod { 1 1 } , } \\ { 2 \cdot \mathcal { L } _ { 5 } ( f _ { 3 } , \tau ) - 2 \cdot \mathcal { L } _ { 5 3 } ( f _ { 3 } , \tau ) - \mathcal { L } _ { 9 2 } ( f _ { 3 } , \tau ) + \mathcal { L } _ { 1 0 4 } ( f _ { 3 } , \tau ) } & { \equiv 0 \pmod { 1 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \left( \mathsf { T o t } _ { X } F \right) } _ { V } } & { = \coprod _ { x \in X } { F x } } \\ { { \left( \mathsf { T o t } _ { X } F \right) } _ { E } } & { = \left\{ y \sim y ^ { \prime } \ \middle \vert \ \begin{array} { r l } { x \sim x ^ { \prime } \mathrm { ~ i s ~ a n ~ e d g e ~ i n ~ X , } } & { \qquad \mathrm { w h e r e ~ } y \in F x \mathrm { ~ a n d ~ } y ^ { \prime } \in F x ^ { \prime } \mathrm { , ~ a n d } } \\ { \left( F \left[ e \right] \right) \left( y \right) = y ^ { \prime } , } & { \qquad \mathrm { w h e r e ~ } e \colon I _ { 1 } \to X \mathrm { ~ i s ~ g i v e n ~ b y ~ } e \left( 0 \right) = x \mathrm { ~ a n d ~ } e \left( 1 \right) = x ^ { \prime } } \end{array} \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { V ( S , I ) : = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( S - S ^ { * } + I - I ^ { * } \right) ^ { 2 } + \frac { S ^ { * } ( \delta + 2 \mu ) } { 2 \gamma } \left( S - S ^ { * } - S ^ { * } \ln \left( \frac { S } { S ^ { * } } \right) \right) } \\ & { + \frac { S ^ { * } ( \delta + 2 \mu ) } { \gamma } \left( I - I ^ { * } - I ^ { * } \ln \left( \frac { I } { I ^ { * } } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| u \| _ { C ^ { 2 , \alpha } ( B _ { r } ( x _ { i } ) ) } } & { \le C ( r _ { 1 } , { r _ { 2 } } ) \left( \| u \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { r / r _ { 1 } } ( x _ { i } ) ) } + \| f \| _ { C ^ { 0 , \alpha } ( B _ { r / r _ { 1 } } ( x _ { i } ) ) } \right) } \\ & { \le C ( r _ { 1 } , { r _ { 2 } } ) \left( \| u \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } + \| f \| _ { C ^ { 0 , \alpha } ( B _ { 1 } ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \chi _ { B ( x _ { 0 } , r _ { 0 } ) } \| _ { ( L ^ { p ( \cdot ) } , L ^ { q } ) ^ { \alpha } } \sim \operatorname* { s u p } _ { r > 0 } \left\| r ^ { \frac { n } { \alpha } - \frac { n } { p ( \cdot ) } - \frac { n } { q } } \| \chi _ { B ( x _ { 0 } , r _ { 0 } ) } \chi _ { B ( x , r ) } \| _ { L ^ { p ( \cdot ) } } \right\| _ { L ^ { q } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \alpha _ { s } \langle \nabla \phi ( v _ { k + 1 } ) , v _ { k + 1 } - u \rangle = \alpha _ { s } \langle \nabla \phi ( v _ { k + 1 } ) , v _ { k + 1 } - z _ { k } \rangle + \alpha _ { s } \langle \nabla \phi ( v _ { k + 1 } ) , z _ { k } - u \rangle } \\ { = } & { \frac { \alpha _ { s } \tau _ { 2 } } { \tau _ { 1 , s } } \langle \nabla \phi ( v _ { k + 1 } ) , \widetilde { v } ^ { s } - v _ { k + 1 } \rangle + \frac { \alpha _ { s } ( 1 - \tau _ { 1 , s } - \tau _ { 2 } ) } { \tau _ { 1 , s } } \langle \nabla \phi ( v _ { k + 1 } ) , y _ { k } - v _ { k + 1 } \rangle } \\ & { \quad + \alpha _ { s } \langle \nabla \phi ( v _ { k + 1 } ) , z _ { k } - u \rangle } \\ { \leq } & { \frac { \alpha _ { s } \tau _ { 2 } } { \tau _ { 1 , s } } \langle \nabla \phi ( v _ { k + 1 } ) , \widetilde { v } ^ { s } - v _ { k + 1 } \rangle + \frac { \alpha _ { s } ( 1 - \tau _ { 1 , s } - \tau _ { 2 } ) } { \tau _ { 1 , s } } ( \phi ( y _ { k } ) - \phi ( v _ { k + 1 } ) ) + \alpha _ { s } \langle \nabla \phi ( v _ { k + 1 } ) , z _ { k } - u \rangle , } \end{array}
\underset { \b { \tilde { B } } \in \mathbb R ^ { N \times { | \mathcal I _ { \boldsymbol M _ { \boldsymbol \sigma } } | } } \colon \b { \tilde { B } } \, ( 2 m + 1 ) ^ { d } \mathrm { - s p a r s e ~ } } { \mathrm { M i n i m i z e ~ } } \ \big \| \boldsymbol A ^ { * } \b { \tilde { B } } - \frac { 1 } { | \mathcal I _ { \boldsymbol M _ { \boldsymbol \sigma } } | } \boldsymbol D ^ { - 1 } \boldsymbol F ^ { * } \big \| _ { \mathrm F } ^ { 2 } .
{ \begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { x \to a } { \frac { f ( x ) - P ( x ) } { ( x - a ) ^ { k } } } } & { = \operatorname* { l i m } _ { x \to a } { \frac { { \frac { d } { d x } } ( f ( x ) - P ( x ) ) } { { \frac { d } { d x } } ( x - a ) ^ { k } } } = \cdots = \operatorname* { l i m } _ { x \to a } { \frac { { \frac { d ^ { k - 1 } } { d x ^ { k - 1 } } } ( f ( x ) - P ( x ) ) } { { \frac { d ^ { k - 1 } } { d x ^ { k - 1 } } } ( x - a ) ^ { k } } } } \\ & { = { \frac { 1 } { k ! } } \operatorname* { l i m } _ { x \to a } { \frac { f ^ { ( k - 1 ) } ( x ) - P ^ { ( k - 1 ) } ( x ) } { x - a } } } \\ & { = { \frac { 1 } { k ! } } ( f ^ { ( k ) } ( a ) - f ^ { ( k ) } ( a ) ) = 0 } \end{array} }
\begin{array} { r l } { g ( y _ { \lambda } , y _ { \mu } ) } & { = L ( y _ { \lambda } , y _ { \mu } ) + \delta ( y _ { \mu } \ge 0 ) , } \\ { L ( y _ { \lambda } , y _ { \mu } ) } & { = \sum _ { i \ell } \Bigl \{ \exp ( - y _ { \mu , \, \ell } ) \cdot y _ { \lambda , \, i \ell } \Bigr . } \\ & { \Bigl . - C _ { i \ell } \cdot ( - y _ { \mu , \, \ell } + \log ( y _ { \lambda , \, i \ell } ) ) \Bigr \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { e ^ { t v ( z _ { 1 } ) } | g ( z _ { 1 } ; \xi _ { 1 } ^ { \prime } ) | } & { \leq C _ { 1 } ( 1 + | z _ { 1 } | + \sum _ { j = 2 } ^ { d } | \xi _ { j } | ) ^ { N _ { 1 } } e ^ { r _ { 1 } | \eta _ { 1 } | } , } \\ { | g ( z ) | } & { \leq C _ { 2 } \langle z \rangle ^ { N _ { 2 } } e ^ { r _ { 2 } | \Im ( z ) | } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | b _ { 1 } | } & { \geq } & { | b | \left( 1 + \left( \frac { \mu - 1 } { \rho ( \rho + l ) } \right) \frac { r ^ { 2 } } { 2 } + 2 y ^ { 2 } \left( \frac { \mu - 1 } { \rho ( \rho + l ) } \right) r \right) - | b | \left( 2 | x y | \left( \frac { \mu - 1 } { \rho ( \rho + l ) } \right) r \right) } \\ & { = } & { | b | \left( 1 + r \left( \frac { \mu - 1 } { \rho ( \rho + l ) } \right) \left( \frac { r } { 2 } + 2 y ^ { 2 } - 2 | x y | \right) \right) } \\ & { = } & { | b | \left( 1 + \frac { r } { 2 } \left( \frac { \mu - 1 } { \rho ( \rho + l ) } \right) \left( r + 4 y ^ { 2 } - 4 | x y | \right) \right) \geq | b | } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { \lambda - 1 / 2 } ^ { ( 1 ) } } & { \simeq \left( \frac { 1 } { 2 \pi \lambda \sin \Theta } \right) ^ { 1 / 2 } e ^ { - \operatorname { i } ( \lambda \Theta - \pi / 4 ) } , } \\ { Q _ { \lambda - 1 / 2 } ^ { ( 2 ) } } & { \simeq \left( \frac { 1 } { 2 \pi \lambda \sin \Theta } \right) ^ { 1 / 2 } e ^ { + \operatorname { i } ( \lambda \Theta - \pi / 4 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { D } _ { ( \alpha , \sigma ) } ^ { \delta } } & { \triangleq \nabla _ { \delta } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \frac { \partial } { \partial S } \mp \frac { m } { S } \right) } & { \delta = \pm 1 } \\ { \frac { \partial } { \partial Z } } & { \delta = 0 } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { U _ { p } ^ { \bullet } ( \Delta _ { \mathrm { B D P } } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } \, \widehat \otimes \, \mathrm { I n d } _ { K / \mathbb { Q } } \Psi _ { \mathrm { a d } } ) } & { : = \left\{ \left( 1 \otimes x , c \otimes 0 \right) : x \in C _ { \mathrm { c o n t } } ^ { \bullet } ( D _ { p } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } \, \widehat \otimes \, \Psi _ { \mathrm { a d } } ) \right\} } \\ & { \qquad \xrightarrow [ \iota _ { p } ] { \sim } C _ { \mathrm { c o n t } } ^ { \bullet } ( D _ { \mathfrak { p } } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } \, \widehat \otimes \, \Psi _ { \mathrm { a d } } ) \oplus \{ 0 \} \hookrightarrow C _ { \mathrm { c o n t } } ^ { \bullet } ( K _ { p } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } \, \widehat \otimes \, \Psi _ { \mathrm { a d } } ) \, . } \end{array} } \end{array}
b = \frac { m _ { 0 } \Gamma ( m _ { 0 } ) ^ { 2 } m _ { l } \Gamma ( m _ { l } ) ^ { 2 } - \Gamma ( m _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 2 } \Gamma ( m _ { l } + \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 2 } } { \sqrt { \frac { m _ { 0 } } { \Omega _ { g } } } \Gamma ( m _ { 0 } ) \Gamma ( m _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } ) \sqrt { \frac { m _ { l } } { \Omega _ { g _ { l } } } } \Gamma ( m _ { l } ) \Gamma ( m _ { l } + \frac { 1 } { 2 } ) }
\begin{array} { r l r l r l } & { e _ { 1 2 } : } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = b _ { 0 0 0 } ^ { p } \mathbf { e } _ { 3 } \, , } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = b _ { 0 0 p } ^ { p } ( \mathbf { e } _ { 1 } + \mathbf { e } _ { 2 } + \mathbf { e } _ { 3 } ) \, , } \\ & { } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = b _ { 0 0 k } ^ { p } \mathbf { e } _ { 3 } \, , \quad 0 < k < p \, , } \\ & { e _ { 1 3 } : } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = b _ { 0 0 0 } ^ { p } \mathbf { e } _ { 2 } \, , } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = b _ { 0 p 0 } ^ { p } ( \mathbf { e } _ { 1 } + \mathbf { e } _ { 2 } + \mathbf { e } _ { 3 } ) \, , } \\ & { } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = b _ { 0 j 0 } ^ { p } \mathbf { e } _ { 2 } \, , \quad 0 < j < p \, , } \\ & { e _ { 1 4 } : } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = b _ { 0 0 0 } ^ { p } \mathbf { e } _ { 1 } \, , } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = b _ { p 0 0 } ^ { p } ( \mathbf { e } _ { 1 } + \mathbf { e } _ { 2 } + \mathbf { e } _ { 3 } ) \, , } \\ & { } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = b _ { i 0 0 } ^ { p } \mathbf { e } _ { 1 } \, , \quad 0 < i < p \, , } \\ & { e _ { 2 3 } : } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = b _ { 0 0 p } ^ { p } \mathbf { e } _ { 2 } \, , } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = - b _ { 0 p 0 } ^ { p } \mathbf { e } _ { 3 } \, , } \\ & { } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = b _ { 0 j , p - j } ^ { p } \mathbf { e } _ { 2 } \, , \quad 0 < j < p \, , } \\ & { e _ { 2 4 } : } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = b _ { 0 0 p } ^ { p } \mathbf { e } _ { 1 } \, , } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = - b _ { p 0 0 } ^ { p } \mathbf { e } _ { 3 } \, , } \\ & { } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = b _ { i 0 , p - i } ^ { p } \mathbf { e } _ { 1 } \, , \quad 0 < i < p \, , } \\ & { e _ { 3 4 } : } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = b _ { 0 p 0 } ^ { p } \mathbf { e } _ { 1 } \, , } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = - b _ { p 0 0 } ^ { p } \mathbf { e } _ { 2 } \, , } \\ & { } & { \boldsymbol { \vartheta } ( \xi , \eta , \zeta ) } & { = b _ { i , p - i , 0 } ^ { p } \mathbf { e } _ { 1 } \, , \quad 0 < i < p \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { O _ { N ; 0 } } & { = \{ ( \alpha , \beta , \gamma ) \in \mathbb { C } ^ { 3 } : \alpha + m \gamma \notin \mathbb { Z } \mathrm { ~ f o r ~ a n y ~ } j \in \{ 0 , \ldots , N - 1 \} \} , } \\ { O _ { N ; 1 } } & { = \{ ( \alpha , \beta , \gamma ) \in \mathbb { C } ^ { 3 } : \beta + m \gamma \notin \mathbb { Z } \mathrm { ~ f o r ~ a n y ~ } j \in \{ 0 , \ldots , N - 1 \} \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha ^ { ( m ) } ( e _ { n _ { 0 } } ) } & { = \alpha _ { n _ { 0 } } ^ { ( m ) } } \\ & { : = \left\lfloor \frac { n _ { 0 } \mod 2 m } { m } \right\rfloor } \\ & { : = \left\lfloor \frac { \sum _ { k \in N } 2 ^ { k } \mod 2 m } { m } \right\rfloor } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { m \in { \mathbb N } } \\ { 0 } & { \mathrm { e l s e } } \end{array} \right. . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C \| \tilde { u } \| _ { \bar { H } ^ { - N , - \alpha - \eta } ( ( 0 , \infty ) ) } } & { \leq C C ^ { \prime } \| \tilde { P } _ { 0 } ^ { * } \tilde { u } \| _ { \bar { H } ^ { - N - m , - \alpha - \eta } ( ( 0 , \infty ) ) } } \\ & { \leq C C ^ { \prime } \Bigl ( \| \tilde { P } _ { \digamma } ^ { * } \tilde { u } \| _ { \bar { H } ^ { - N - m , - \alpha - \eta } ( ( 0 , \infty ) ) } + \| ( \tilde { P } _ { \digamma } - \tilde { P } _ { 0 } ) ^ { * } \tilde { u } \| _ { \bar { H } ^ { - N - m , - \alpha - \eta } ( ( 0 , \infty ) ) } \Bigr ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H ^ { 0 } ( X ; \mathbb { R } ) } & { = } & { \mathrm { s p a n } ( 1 ) } \\ { H ^ { 1 } ( X ; \mathbb { R } ) } & { = } & { \mathrm { s p a n } ( A , B , C , T ) / \mathrm { s p a n } ( C ) } \\ { H ^ { 2 } ( X ; \mathbb { R } ) } & { = } & { \mathrm { s p a n } ( A B , A C , A T , B C , B T ) / \mathrm { s p a n } ( A B ) } \\ { H ^ { 3 } ( X ; \mathbb { R } ) } & { = } & { \mathrm { s p a n } ( A B Z , A B T , A C T , B C T ) / \mathrm { s p a n } ( A B T ) } \\ { H ^ { 4 } ( X ; \mathbb { R } ) } & { = } & { \mathrm { s p a n } ( A B C T ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { n _ { 0 } \geq - \frac \eta \alpha \left( 1 - \frac { \alpha \, \sigma ^ { 2 } } { \eta - \alpha ( 1 + \sigma ^ { 2 } ) } \right) + \sqrt { \frac { \eta ^ { 2 } } { \alpha ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { \alpha \, \sigma ^ { 2 } } { \eta - \alpha ( 1 + \sigma ^ { 2 } ) } \right) ^ { 2 } + \frac { 4 \eta ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { \alpha ( \eta - \alpha ( 1 + \sigma ^ { 2 } ) ) } } } \\ & { = \frac \eta \alpha \left\{ \sqrt { 1 - 2 \frac { \alpha \sigma ^ { 2 } } { \eta - \alpha ( 1 + \sigma ^ { 2 } ) } + \left( \frac { \alpha \sigma ^ { 2 } } { \eta - \alpha ( 1 + \sigma ^ { 2 } ) } \right) ^ { 2 } + 4 \, \frac { \alpha \sigma ^ { 2 } } { \eta - \alpha ( 1 + \sigma ^ { 2 } ) } } - \left( 1 - \frac { \alpha \, \sigma ^ { 2 } } { \eta - \alpha ( 1 + \sigma ^ { 2 } ) } \right) \right\} } \\ & { = \frac \eta \alpha \left\{ \sqrt { \left( 1 + \frac { \alpha \, \sigma ^ { 2 } } { \eta - \alpha ( 1 + \sigma ^ { 2 } ) } \right) ^ { 2 } } - \left( 1 - \frac { \alpha \, \sigma ^ { 2 } } { \eta - \alpha ( 1 + \sigma ^ { 2 } ) } \right) \right\} } \\ & { = \frac \eta \alpha \, \frac { 2 \alpha \sigma ^ { 2 } } { \eta - \alpha ( 1 + \sigma ^ { 2 } ) } } \\ & { = \frac { 2 \eta \, \sigma ^ { 2 } } { \eta - \alpha ( 1 + \sigma ^ { 2 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \bar { \mathscr { E } } ( \Omega ) = } & { ~ - \displaystyle \int _ { \Omega } \left( 2 \nu \left( \mathbf { D } - \frac { 1 } { d } ( \mathrm { d i v } \mathbf { v } ) \mathbf { I } \right) : \left( \mathbf { D } - \frac { 1 } { d } ( \mathrm { d i v } \mathbf { v } ) \mathbf { I } \right) \right) ~ \mathrm { d } \Omega } \\ & { ~ - \displaystyle \int \nu \left( \lambda + \frac { 2 } { d } \right) \left( \mathrm { d i v } \mathbf { v } \right) ^ { 2 } ~ \mathrm { d } \Omega } \\ & { ~ - \displaystyle \int _ { \Omega } \nabla ( \bar { \mu } + \omega p ) \cdot \left( \bar { \mathbf { M } } \nabla ( \bar { \mu } + \omega p ) \right) ~ \mathrm { d } \Omega } \\ & { ~ - \displaystyle \int _ { \Omega } \bar { m } \zeta ( \bar { \mu } + \omega p ) ^ { 2 } ~ \mathrm { d } \Omega \leq 0 . } \end{array}
\frac { \| \mathbf { Z } _ { p 0 } ^ { \mathrm { i n } } \| } { \sqrt { N } } \left| \frac { \| \mathbf { u } _ { p 0 } ^ { \mathrm { i n } } \| } { \| \mathbf { Z } _ { p 0 } ^ { \mathrm { i n } } \| } - \sqrt { \rho _ { p 0 } ^ { \mathrm { i n } } } \right| = \left| \frac { \| \mathbf { u } _ { p 0 } ^ { \mathrm { i n } } \| } { \sqrt { N } } - \sqrt { \frac { \rho _ { p 0 } ^ { \mathrm { i n } } } { N } } \| \mathbf { Z } _ { p 0 } ^ { \mathrm { i n } } \| \right| \leq \left| \frac { \| \mathbf { u } _ { p 0 } ^ { \mathrm { i n } } \| } { \sqrt { N } } - \sqrt { \rho _ { p 0 } ^ { \mathrm { i n } } } \right| + \sqrt { \rho _ { p 0 } ^ { \mathrm { i n } } } \left| 1 - \frac { \| \mathbf { Z } _ { p 0 } ^ { \mathrm { i n } } \| } { \sqrt { N } } \right| .
{ \begin{array} { r l } { a } & { = { \frac { \cos ^ { 2 } \theta } { 2 \sigma _ { X } ^ { 2 } } } + { \frac { \sin ^ { 2 } \theta } { 2 \sigma _ { Y } ^ { 2 } } } , } \\ { b } & { = - { \frac { \sin 2 \theta } { 4 \sigma _ { X } ^ { 2 } } } + { \frac { \sin 2 \theta } { 4 \sigma _ { Y } ^ { 2 } } } , } \\ { c } & { = { \frac { \sin ^ { 2 } \theta } { 2 \sigma _ { X } ^ { 2 } } } + { \frac { \cos ^ { 2 } \theta } { 2 \sigma _ { Y } ^ { 2 } } } , } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { d _ { 1 2 } = \operatorname* { m i n } \{ x _ { 1 } , 2 \pi - x _ { 1 } \} , \ d _ { 1 3 } = \operatorname* { m i n } \{ x _ { 2 } + \alpha _ { 2 } x _ { 1 } , 2 \pi - x _ { 2 } - \alpha _ { 2 } x _ { 1 } \} , } \\ & { d _ { 2 3 } = \operatorname* { m i n } \{ \alpha _ { 1 } x _ { 1 } - x _ { 2 } , 2 \pi - \alpha _ { 1 } x _ { 1 } + x _ { 2 } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } _ { \mathrm { a d v } } ( k , t ) } & { = - \langle \left( \tilde { \mathbf { P } } _ { \Delta } ^ { \ast } ( \mathbf { k } , t ) \cdot \mathbf { J } _ { \mathrm { u P } } ( \mathbf { k } , t ) \right) \rangle + \mathrm { c . c . } } \\ { \mathcal { F } _ { \mathrm { s e l f } } ( k , t ) } & { = - \langle \left( \tilde { \mathbf { P } } _ { \Delta } ^ { \ast } ( \mathbf { k } , t ) \cdot \mathbf { J } _ { \mathrm { P P } } ( \mathbf { k } , t ) \right) \rangle + \mathrm { c . c . } } \\ { \mathcal { F } _ { \mathrm { r o t } } ( k , t ) } & { = \langle \left( \tilde { \mathbf { P } } _ { \Delta } ^ { \ast } ( \mathbf { k } , t ) \cdot \mathbf { \mathcal { R } } ( \mathbf { k } , t ) \right) \rangle + \mathrm { c . c . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { g } ( x ) = } & { \frac { \mathbf { 1 } ^ { T } D _ { x } \mathbf { 1 } \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( - ) } \mathbf { 1 } - \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( - ) } D _ { x } \mathbf { 1 } \cdot \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } { \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( - ) } \mathbf { 1 } \cdot \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { I _ { t } ^ { \nu } \bigg ( \int _ { \Omega } ( \mathcal { K } * \mathcal { L } _ { 2 } u ) p \frac { \partial } { \partial x } \bigg ( \frac { \partial u } { \partial x } \bigg ) ^ { p - 1 } d x \bigg ) } \\ & { \leq \frac { C p ( p - 1 ) } { \varepsilon _ { 1 } } I _ { t } ^ { \nu } \bigg ( \underset { \bar { \Omega } } { \operatorname* { s u p } } \bigg | \frac { \partial u } { \partial x } ( x , t ) \bigg | ^ { p - 2 } \bigg ) ( t ) \mathcal { F } ^ { 2 } ( u _ { 0 } , g ) } \\ & { + C _ { 0 } p ( p - 1 ) \varepsilon _ { 1 } \| \mathcal { K } \| _ { L _ { 1 } ( 0 , T ) } I _ { t } ^ { \nu } \bigg ( \int _ { \Omega } \bigg ( \frac { \partial u } { \partial x } ( x , t ) \bigg ) ^ { p - 2 } \bigg ( \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } ( x , t ) \bigg ) ^ { 2 } d x \bigg ) ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { S } ( A ) } & { \geq \frac { n } { k \cdot k ^ { \prime } } \sum _ { i > k : v _ { i } \geq k ^ { \prime } / n } \left( v _ { i } - \frac { k ^ { \prime } } { n } \right) } \\ & { = \frac { n } { k \cdot k ^ { \prime } } \sum _ { i > k + r } \left( v _ { i } - \frac { k ^ { \prime } } { n } \right) } \\ & { = \frac { n } { k \cdot k ^ { \prime } } \left( k ^ { \prime } \left( 1 - \frac { r } { n } \right) - k \cdot \phi _ { S } ( A ) - \frac { k ^ { \prime } } { n } ( k ^ { \prime } - r ) \right) } \\ & { = \frac { n } { k \cdot k ^ { \prime } } \left( k ^ { \prime } \left( 1 - \frac { k ^ { \prime } } { n } \right) - k \cdot \phi _ { S } ( A ) \right) } \\ & { = \frac { n } { k } \left( 1 - \frac { k ^ { \prime } } { n } \right) - \frac { n } { k ^ { \prime } } \cdot \phi _ { S } ( A ) } \\ & { = 1 - \frac { n } { k ^ { \prime } } \cdot \phi _ { S } ( A ) } \\ & { \geq 1 - 2 \cdot \phi _ { S } ( A ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathrm { H } } _ { { \mathfrak { t } } , \sigma } ^ { s , p } : = { \mathrm { N } } _ { p } ^ { s } ( \mathrm { d } ^ { \ast } ) \mathrm { , ~ } { \mathrm { H } } _ { \gamma } ^ { s , p } : = { \mathrm { N } } _ { p } ^ { s } ( \mathrm { d } ) } & { \mathrm { ~ a n d ~ } { \mathrm { H } } _ { \sigma } ^ { s , p } : = { \mathrm { N } } _ { p } ^ { s } ( \delta ) \mathrm { , ~ } { \mathrm { H } } _ { { \mathfrak { n } } , \gamma } ^ { s , p } : = { \mathrm { N } } _ { p } ^ { s } ( \delta ^ { \ast } ) \mathrm { ; ~ } } \\ { { \mathrm { B } } _ { p , q , { \mathfrak { t } } } ^ { s , \sigma } : = { \mathrm { N } } _ { p , q } ^ { s } ( \mathrm { d } ^ { \ast } ) \mathrm { , ~ } { \mathrm { B } } _ { p , q } ^ { s , \gamma } : = { \mathrm { N } } _ { p , q } ^ { s } ( \mathrm { d } ) } & { \mathrm { ~ a n d ~ } { \mathrm { B } } _ { p , q } ^ { s , \sigma } : = { \mathrm { N } } _ { p } ^ { s } ( \delta ) \mathrm { , ~ } { \mathrm { B } } _ { p , q , { \mathfrak { n } } } ^ { s , \gamma } : = { \mathrm { N } } _ { p , q } ^ { s } ( \delta ^ { \ast } ) \mathrm { . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 4 - 2 i , 2 k + 4 + 6 i } ^ { A , i + 1 } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k - 4 - 2 i , 2 k + 3 + 6 i } ^ { A , i + 1 } \otimes v _ { 1 , 4 } } \\ & { + v _ { 4 k - 4 - 2 i , 2 k + 2 + 6 i } ^ { A , i + 1 } \otimes v _ { 1 , 5 } } \\ & { + v _ { 4 k - 4 - 2 i , 2 k + 1 + 6 i } ^ { A , i + 1 } \otimes v _ { 1 , 6 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { E L } _ { f _ { X } } ( \theta ; x ) } & { = \operatorname* { m a x } \left\{ \prod _ { i = 1 } ^ { n } ( n w _ { i } ) : w _ { i } > 0 , \sum _ { i = 1 } ^ { n } w _ { i } = 1 , \sum _ { i = 1 } ^ { n } w _ { i } F _ { f _ { X } } ( Z _ { i } , \theta ; x ) = 0 \right\} , } \\ { \mathrm { E L } _ { m } ( \theta ; x ) } & { = \operatorname* { m a x } \left\{ \prod _ { i = 1 } ^ { n } ( n w _ { i } ) : w _ { i } > 0 , \sum _ { i = 1 } ^ { n } w _ { i } = 1 , \sum _ { i = 1 } ^ { n } w _ { i } F _ { m } ( Z _ { i } , Y _ { i } , \theta ; x ) = 0 \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon T _ { + } ( \epsilon , \delta ) } & { = \int _ { \epsilon / \tilde { \delta } } ^ { \infty } \frac { \epsilon } { \epsilon ^ { 2 } + \frac { \epsilon ^ { 2 } } { u ^ { 2 } } ( 1 + a ) \frac { \epsilon ^ { 3 } } { u ^ { 3 } } b } \frac { 1 } { u ^ { 2 } } d u } \\ & { = \int _ { 1 } ^ { \infty } \frac { u } { u ^ { 3 } + u ( 1 + a ) + \epsilon b } d u + \int _ { \epsilon / \tilde { \delta } } ^ { 1 } \frac { u } { u ^ { 3 } + u ( 1 + a ) + \epsilon b } d u = : I _ { 1 } + I _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left. \left\langle v _ { 1 } ^ { \prime \mu } \right\rangle _ { \phi ^ { \prime } } = \left\langle u ^ { \prime \alpha } v _ { 1 \alpha } ^ { \prime } u ^ { \prime \mu } \right\rangle _ { \phi ^ { \prime } } \right. } \\ & { } & { \left. = \left\langle v _ { 1 \alpha } ^ { \prime } \right\rangle _ { \phi ^ { \prime } } \left\langle u ^ { \prime \alpha } u ^ { \prime \mu } \right\rangle _ { \phi ^ { \prime } } + \left\langle u ^ { \prime \alpha } \left[ v _ { 1 \alpha } ^ { \prime } \right] ^ { \sim } u ^ { \prime \mu } \right\rangle _ { \phi ^ { \prime } } , \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } K ( \eta , \eta ^ { \prime } ) | \xi _ { R } ( v + v ^ { \prime } ) - 1 | [ \varphi ( \eta + \eta ^ { \prime } ) - \varphi ( \eta ) - \varphi ( \eta ^ { \prime } ) ] \tilde { g } _ { \epsilon _ { k } , R _ { k } , \delta _ { k } } ( \eta ) \tilde { g } _ { \epsilon _ { k } , R _ { k } , \delta _ { k } } ( \eta ^ { \prime } ) \textup { d } \eta ^ { \prime } \textup { d } \eta } \end{array}
M ( R ) = \left\{ \Lambda _ { 1 } \subset \dots \subset \Lambda _ { e } \subset \Lambda _ { 0 } \ \bigg | \ \begin{array} { l r c l } { \forall \ i < e : u \Lambda _ { i } \subset \Lambda _ { i - 1 } , \ \mathrm { d i m } _ { k } \Lambda _ { i } / \Lambda _ { i - 1 } = 1 , } \\ { \Lambda _ { e } \in \mathrm { G r } _ { \leq ( e , 0 ) } } \end{array} \ \right\}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { ( A _ { 2 } } & { + A _ { 2 } A _ { 5 } h ) T L ( u _ { t _ { n } , m } ^ { \pi } ) } \\ & { \begin{array} { r l } { \leq } & { [ A _ { 2 } + A _ { 2 } A _ { 5 } h ] T [ g _ { x } + A _ { 6 } T ] } \\ & { \times \left\{ \exp ( [ A _ { 1 } + A _ { 5 } + A _ { 1 } A _ { 5 } h ] T + [ A _ { 2 } + A _ { 2 } A _ { 5 } h ] T L ( u _ { t _ { n } , m - 1 } ^ { \pi } ) ) \vee 1 \right\} } \end{array} } \\ & { \begin{array} { r l } { \leq } & { [ A _ { 2 } + A _ { 2 } A _ { 5 } h ] T [ g _ { x } + A _ { 6 } T ] } \\ & { \times \left\{ \exp ( [ A _ { 1 } + A _ { 5 } + A _ { 1 } A _ { 5 } h ] T + [ A _ { 2 } + A _ { 2 } A _ { 5 } h ] [ g _ { x } + A _ { 6 } T ] T \right. } \\ & { + [ A _ { 2 } + A _ { 2 } A _ { 5 } h ] [ g _ { x } + A _ { 6 } T ] T [ \exp ( [ A _ { 1 } + A _ { 5 } + A _ { 1 } A _ { 5 } h ] T } \\ & { \left. + [ A _ { 2 } + A _ { 2 } A _ { 5 } h ] T L ( u _ { t _ { n } , m - 2 } ^ { \pi } ) ) ] ) \vee 1 \right\} . } \end{array} } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { z ^ { \prime \prime } ( s ) } & { = } & { g _ { x x } ( x ( s ) , y ( s ) ) x ^ { \prime } ( s ) ^ { 2 } + 2 g _ { x y } ( x ( s ) , y ( s ) ) x ^ { \prime } ( s ) y ^ { \prime } ( s ) + g _ { y y } ( x ( s ) , y ( s ) ) y ^ { \prime } ( s ) ^ { 2 } } \\ & { } & { + g _ { x } ( x ( s ) , y ( s ) ) x ^ { \prime \prime } ( s ) + g _ { y } ( x ( s ) , y ( s ) ) y ^ { \prime \prime } ( s ) } \\ & { = } & { \left\{ x ( s ) ^ { N - 2 } [ N ( N - 1 ) a ( x ( s ) , y ( s ) ) + x ( s ) p ( x ( s ) , y ( s ) ) ] + y ( s ) q ( x ( s ) , y ( s ) ) \right\} x ^ { \prime } ( s ) ^ { 2 } } \\ & { } & { + y ^ { \prime } ( s ) [ 2 g _ { x y } ( x ( s ) , y ( s ) ) x ^ { \prime } ( s ) + g _ { y y } ( x ( s ) , y ( s ) ) y ^ { \prime } ( s ) ] } \\ & { } & { + [ x ( s ) m ( x ( s ) , y ( s ) ) + y ( s ) b ( x ( s ) , y ( s ) ) ] x ^ { \prime \prime } ( s ) } \\ & { } & { + [ k + x ( s ) k ( x ( s ) , y ( s ) ) + y ( s ) l ( y ( s ) ) ] y ^ { \prime \prime } ( s ) } \\ & { \leq } & { \left\{ x ( s ) ^ { N - 2 } C _ { 1 } + | y ( s ) | C _ { 2 } \right\} \cdot 1 + | y ^ { \prime } ( s ) | C _ { 3 } + C _ { 4 } | x ^ { \prime \prime } ( s ) | + [ k + \beta k ] | y ^ { \prime \prime } ( s ) | } \\ & { \leq } & { x ( s ) ^ { N - 2 } C _ { 1 } + B x ( s ) ^ { N } C _ { 2 } + D x ( s ) ^ { N - 1 } C _ { 3 } + C _ { 4 } E z ^ { \prime \prime } ( s ) x ( s ) + ( 1 + \beta ) k z ^ { \prime \prime } ( s ) ( k + | x ( s ) V _ { 2 } ( x ) | ) } \\ & { \leq } & { x ( s ) ^ { N - 2 } ( C _ { 1 } + B x ( s ) ^ { 2 } C _ { 2 } + D x ( s ) C _ { 3 } ) + z ^ { \prime \prime } ( s ) ( C _ { 4 } E x ( s ) + ( 1 + \beta ) k \cdot ( 1 + \beta ) k ) } \\ & { \leq } & { x ( s ) ^ { N - 2 } C _ { 5 } + z ^ { \prime \prime } ( s ) C _ { 6 } + ( 1 + \beta ) ^ { 2 } k ^ { 2 } z ^ { \prime \prime } ( s ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { P } _ { \theta , \mu } ( o _ { l + 1 } = o _ { i } ^ { + } | \tau _ { l } ) = \frac { 1 + \varepsilon \sigma \mu _ { j , i } } { 2 K } , \qquad \mathbb { P } _ { \theta , \mu } ( o _ { l + 1 } = o _ { i } ^ { - } | \tau _ { l } ) = \frac { 1 - \varepsilon \sigma \mu _ { j , i } } { 2 K } , \qquad \forall i \in [ K ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { n } & { = | m | = \textstyle \sum _ { j = 0 } ^ { k - 1 } | \eta ^ { j } ( m _ { j } ) | = \textstyle \sum _ { j = 0 } ^ { k - p - 1 } | \eta ^ { j } ( m _ { j } ) | } \\ & { < | \eta ^ { k - p - 1 } ( m _ { k - p - 1 } a _ { k - p - 1 } ) | \leq | \eta ^ { k - p - 1 } ( \eta ( a _ { k - p } ) ) | = | \eta ^ { k - p } ( a ) | , } \end{array}
\mathsf { G } _ { g } \in \left( \begin{array} { l l l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { { \frac { 1 } { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) + r ^ { - 1 } \mathcal C ^ { \infty } + \mathcal O _ { k } ^ { 1 + \ell _ { 0 } , 1 - } .
\begin{array} { r l } { | I _ { 2 } | } & { = \bigg | \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } [ ( \eta _ { t } - \eta _ { t } ^ { * } ) ( F ^ { \prime } ( \eta _ { t } ) - f _ { t } ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } ) ] \bigg | \leq \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \left[ \big | ( \eta _ { t } - \eta _ { t } ^ { * } ) ( F ^ { \prime } ( \eta _ { t } ) - f _ { t } ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } ) \big | \right] } \\ & { \leq \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \left[ \big | ( \eta _ { t } - \eta _ { t } ^ { * } ) \big | \cdot \big | ( F ^ { \prime } ( \eta _ { t } ) - f _ { t } ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } ) \big | \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { \le c _ { i _ { 2 } } ( X _ { i _ { 1 } + 1 } ) - c _ { i _ { 2 } } ( F _ { i _ { 2 } } ) } \\ { } & { = c _ { i _ { 2 } } ( X _ { i _ { 1 } + 1 } ) - c _ { i _ { 2 } } ( X _ { i _ { 2 } + 1 } ) } \\ { } & { = c _ { i _ { 1 } } ( X _ { i _ { 1 } + 1 } ) - c _ { i _ { 1 } } ( X _ { i _ { 2 } + 1 } ) - ( \delta _ { i _ { 1 } + 1 } + \ldots + \delta _ { i _ { 2 } } ) \cdot \big ( \mu ( X _ { i _ { 1 } + 1 } \cap F ^ { * } ) - \mu ( X _ { i _ { 2 } + 1 } \cap F ^ { * } ) \big ) } \\ { } & { ~ ~ - ( \Delta _ { i _ { 1 } + 1 } + \ldots + \Delta _ { i _ { 2 } } ) \cdot \big ( \mu ( X _ { i _ { 1 } + 1 } ) - \mu ( X _ { i _ { 2 } + 1 } ) \big ) } \\ { } & { = c _ { i _ { 1 } } ( F _ { i _ { 1 } } ) - c _ { i _ { 1 } } ( X _ { i _ { 2 } + 1 } ) - ( \delta _ { i _ { 1 } + 1 } + \ldots + \delta _ { i _ { 2 } } ) \cdot \big ( \mu ( X _ { i _ { 1 } + 1 } \cap F ^ { * } ) - \mu ( X _ { i _ { 2 } + 1 } \cap F ^ { * } ) \big ) } \\ { } & { ~ ~ - ( \Delta _ { i _ { 1 } + 1 } + \ldots + \Delta _ { i _ { 2 } } ) \cdot 0 } \\ { } & { \le 0 , } \end{array}
+ \mathbb { E } \{ | b _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ | a _ { \mathrm { y } } | ^ { 4 } \} - 2 \mathbb { E } \{ | b _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} \mathbb { E } ^ { 2 } \{ | a _ { \mathrm { y } } | ^ { 2 } \} - \mathbb { E } \{ | b _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} | \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { y } } ^ { 2 } \} | ^ { 2 } - 2 \mathbb { E } \{ | b _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} | \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { \ast } a _ { \mathrm { y } } \} | ^ { 2 } - 2 \mathbb { E } \{ | b _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} | \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } ^ { \ast } \} | ^ { 2 }
\frac { f ( a ) } { f ( a ) ^ { 2 } + f ( a ) f ( b ) + f ( b ) ^ { 2 } + 3 } + \frac { f ( b ) } { f ( b ) ^ { 2 } + f ( b ) f ( c ) + f ( c ) ^ { 2 } + 3 } + \frac { f ( c ) } { f ( c ) ^ { 2 } + f ( c ) f ( a ) + f ( a ) ^ { 2 } + 3 } \leq \frac { f ( a ) + \alpha f ( b ) } { \alpha ( f ( a ) ^ { 2 } + f ( a ) f ( b ) + f ( b ) ^ { 2 } + 3 ) } + \frac { f ( b ) + \beta f ( c ) } { \beta ( f ( b ) ^ { 2 } + f ( b ) f ( c ) + f ( c ) ^ { 2 } + 3 ) } + \frac { f ( c ) + \gamma f ( a ) } { \gamma ( f ( c ) ^ { 2 } + f ( c ) f ( a ) + f ( a ) ^ { 2 } + 3 ) }
\begin{array} { r l r } { ( i ) \; \; ^ { B S } \nabla _ { ^ { H } \! X } ^ { H } \! Y } & { = } & { ^ { H } \! ( \nabla _ { X } Y ) + \frac { 1 } { 2 } ^ { V } \! ( p R ( X , Y ) ) , } \\ { ( i i ) \; \; ^ { B S } \nabla _ { ^ { H } \! X } ^ { V } \! \theta } & { = } & { ^ { V } \! ( \nabla _ { X } \theta ) + \frac { 1 } { 2 } \big ( ^ { H } \! ( R ( \widetilde { p } , \widetilde { \theta } ) X ) - \delta ^ { 2 } g ^ { - 1 } ( \theta , p J ) ^ { H } \! ( R ( \widetilde { p } , J \widetilde { p } ) X ) \big ) , } \\ { ( i i i ) \; \; ^ { B S } \nabla _ { ^ { V } \! \omega } ^ { H } \! Y } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \big ( ^ { H } \! ( R ( \widetilde { p } , \widetilde { \omega } ) Y ) - \delta ^ { 2 } g ^ { - 1 } ( \omega , p J ) ^ { H } \! ( R ( \widetilde { p } , J \widetilde { p } ) Y ) \big ) , } \\ { ( i v ) \; \; ^ { B S } \nabla _ { ^ { V } \! \omega } ^ { V } \! \theta } & { = } & { \delta ^ { 2 } \big ( g ^ { - 1 } ( \omega , p J ) ^ { V } \! ( \theta J ) + g ^ { - 1 } ( \theta , p J ) ^ { V } \! ( \omega J ) \big ) } \\ & { } & { - \frac { \delta ^ { 4 } } { \lambda } \big ( g ^ { - 1 } ( \omega , p J ) g ^ { - 1 } ( \theta , p ) + g ^ { - 1 } ( \omega , p ) g ^ { - 1 } ( \theta , p J ) \big ) ^ { V } \! ( p J ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \psi ( z + 1 ) } & { = - \gamma + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( { \frac { 1 } { n } } - { \frac { 1 } { n + z } } \right) , \qquad z \neq - 1 , - 2 , - 3 , \ldots , } \\ & { = - \gamma + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( { \frac { z } { n ( n + z ) } } \right) , \qquad z \neq - 1 , - 2 , - 3 , \ldots . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \widehat { \boldsymbol { \Sigma } } _ { a } ^ { t } = \mathbb { E } \left[ \tilde { f } _ { t } ^ { i } \left( \boldsymbol { Z } ^ { t } \right) \tilde { f } _ { t } ^ { i } \left( \boldsymbol { Z } ^ { t } \right) ^ { \top } \right] \qquad \mathrm { f o r ~ a l l ~ i ~ \in ~ C _ a ^ N ~ } , } \\ { \mathrm { w i t h } \, \, \boldsymbol { Z } ^ { t } \sim N ( 0 , \boldsymbol { \Sigma } ^ { t } ) \, \, \mathrm { a n d } \, \, \boldsymbol { \Sigma } ^ { t + 1 } = \sum _ { a = 1 } ^ { q } c _ { a } \widehat { \boldsymbol { \Sigma } } _ { a } ^ { t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } V ( t , \rho ) = - A _ { d } k ^ { d + 2 } \Bigg ( \frac { 3 } { k ^ { 2 } + \partial _ { \rho } V ( t , \rho ) } } \\ & { + \frac { 1 } { k ^ { 2 } + \partial _ { \rho } V ( t , \rho ) + 2 \rho \, \partial _ { \rho } ^ { 2 } V ( t , \rho ) } - \frac { 2 4 } { k ^ { 2 } + h ^ { 2 } \rho } \Bigg ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { o u t } ( B _ { n } ) } & { = \frac { | \partial ( B _ { n } ) | } { \operatorname* { m i n } \{ d ( B _ { n } ) , d ( V ( \Gamma _ { n } ) \setminus B _ { n } ) \} } \leq \frac { 2 | B _ { n } | } { 6 n | V ( \Gamma _ { n } ) \setminus B _ { n } | } \sim } \\ & { \sim \frac { 2 | V ( \Gamma _ { n } ) | ( 1 - e ^ { - 1 } ) } { 6 n | V ( \Gamma _ { n } ) | e ^ { - 1 } } = \frac { e - 1 } { 3 n } \to 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { c r ^ { p ^ { e } } ( y _ { 2 } y _ { 3 } \cdots y _ { d } ) ^ { ( s - 1 ) p ^ { e } } \cdot ( y _ { 2 } y _ { 3 } ) ^ { ( \ell - 1 ) s p ^ { e } } } & { = c r ^ { p ^ { e } } ( y _ { 2 } y _ { 3 } ) ^ { ( \ell - 1 ) p ^ { e } } ( y _ { 2 } ^ { \ell } y _ { 3 } ^ { \ell } y _ { 4 } \cdots y _ { d } ) ^ { ( s - 1 ) p ^ { e } } } \\ & { \in ( J _ { 1 } ^ { ( m i + 1 ) } , y _ { 2 } ^ { \ell s p ^ { e } } , y _ { 3 } ^ { \ell s p ^ { e } } , y _ { 4 } ^ { s p ^ { e } } , \cdots , y _ { d } ^ { s p ^ { e } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \ln \rho _ { \theta } ( S | \overline { { q } } ) \geq \underbrace { \mathbb { E } _ { q _ { \phi } ( z | S , \overline { { q } } ) } \ln \rho _ { \theta } ( S | z , \overline { { q } } ) } _ { \mathrm { r e c o n s t r u c t i o n } } - \underbrace { D _ { \mathrm { K L } } \left( q _ { \phi } ( z | S , \overline { { q } } ) | | \rho ( z ) \right) } _ { \mathrm { r e g u l a r i z a t i o n } } = - \mathcal { L } _ { \mathrm { V A E } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \! \mathcal { L } _ { \mathcal { P } _ { \mathcal { N } _ { 1 } } } \! \! = \! } & { \! \sum _ { n \in \mathcal { N } _ { 1 } } \! \! \left( \frac { \beta _ { 1 } \rho C ( M _ { n } ) } { f _ { n } ^ { e } } + \frac { \beta _ { 1 } M _ { n } d } { R _ { n } t _ { n } } + \frac { \beta _ { 2 } M _ { n } d p _ { n } } { R _ { n } } - \beta _ { 3 } \Phi ( M _ { n } ) \right) } \\ & { + \mu _ { 0 } ( \sum _ { n \in \mathcal { N } _ { 1 } } t _ { n } - 1 ) + \mu _ { 1 } ( \sum _ { n \in \mathcal { N } _ { 1 } } f _ { n } ^ { e } - f ^ { m a x } ) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r c l } { ( \mathcal { R D } _ { h } { \boldsymbol u } , \bar { \boldsymbol u } _ { h } ) + ( \nabla p _ { h } , \bar { \boldsymbol u } _ { h } ) } & { = } & { ( { \boldsymbol u } , \bar { \boldsymbol u } _ { h } ) , } \\ { ( \nabla \cdot \mathcal { R D } _ { h } { \boldsymbol u } , \bar { p } _ { h } ) } & { = } & { 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \sum _ { K \in \mathcal { T } _ { h } } ( \pmb { \theta } \cdot \pmb { \nu } , P _ { h } ^ { n + 1 } ) _ { \partial K } - \sum _ { K \in \mathcal { T } _ { h } } ( \widehat { \pmb { \theta } } \cdot \pmb { \nu } , P _ { h } ^ { n + 1 } ) _ { \partial K } = } & { \sum _ { K \in \mathcal { T } _ { h } } ( \widehat { P } _ { h } ^ { n + 1 } , \pmb { \nu } \cdot \pmb { \theta } ) _ { \partial K } , } \\ { - \sum _ { K \in \mathcal { T } _ { h } } ( \rho , \pmb { \nu } \cdot \pmb { Q } _ { h } ^ { n + 1 } ) _ { \partial K } + \sum _ { K \in \mathcal { T } _ { h } } ( \widehat { \rho } , \pmb { \nu } \cdot \pmb { Q } _ { h } ^ { n + 1 } ) _ { \partial K } = } & { - \sum _ { K \in \mathcal { T } _ { h } } ( \widehat { \pmb { Q } } _ { h } ^ { n + 1 } \cdot \pmb { \nu } , \rho ) _ { \partial K } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { i { \partial _ { \tau } C _ { c } ^ { R } } = } & { \sum _ { i a } f _ { i a } t _ { i } ^ { a } ( \tau ) + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i j a b } v _ { i j } ^ { a b } t _ { i } ^ { a } ( \tau ) t _ { j } ^ { b } ( \tau ) } \\ { + } & { \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i j a b } v _ { i j } ^ { a b } t _ { i j } ^ { a b } ( \tau ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { S } ( Y | \varphi ) = P _ { S } ( Y | X _ { 1 } = 0 ) } & { = } \\ { P _ { S } ( Y | X _ { 1 } = 0 , X _ { 2 } = 0 ) } & { \cdot P _ { S } ( X _ { 2 } = 0 | X _ { 1 } = 0 ) \; + } \\ { P _ { S } ( Y | X _ { 1 } = 0 , } & { X _ { 2 } = 1 ) \cdot P _ { S } ( X _ { 2 } = 1 | X _ { 1 } = 0 ) = } \\ { P _ { S } ( Y | X _ { 1 } = 0 , X _ { 2 } = 0 ) } & { \cdot P _ { S } ( X _ { 2 } = 0 ) \; + } \\ { P _ { S } ( Y | X _ { 1 } = 0 , } & { X _ { 2 } = 1 ) \cdot P _ { S } ( X _ { 2 } = 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { q } _ { \mathrm { o u t } } [ \Omega ] } & { = H _ { 0 } ^ { q } [ \Omega ] \hat { q } _ { 0 } [ \Omega ] + H _ { \mathrm { G } } ^ { q } [ \Omega ] \hat { q } _ { \mathrm { G } } [ \Omega ] } \\ { \hat { p } _ { \mathrm { o u t } } [ \Omega ] } & { = H _ { 0 } ^ { p } [ \Omega ] \hat { p } _ { 0 } [ \Omega ] - H _ { \mathrm { G } } ^ { p } [ \Omega ] \hat { p } _ { \mathrm { G } } [ \Omega ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { 1 } ( u ) \geq } & { \frac { 5 \gamma - 3 } { \gamma ( \gamma - 1 ) ^ { 2 } } \rho ^ { \gamma + \theta } - \frac { 2 ( 3 \gamma - 1 ) } { \gamma ( \gamma - 1 ) ^ { 2 } } \left( \bar { \rho } \right) ^ { \theta } \rho ^ { \gamma } + \frac { 3 - \gamma } { ( \gamma - 1 ) ^ { 2 } } \left( \bar { \rho } \right) ^ { \gamma - 1 } \rho ^ { \theta + 1 } - \frac { 3 - \gamma } { \gamma ( \gamma - 1 ) } \left( \bar { \rho } \right) ^ { \gamma } \rho ^ { \theta } } \\ & { + \frac { 2 } { \gamma ( \gamma - 1 ) } \left( \bar { \rho } \right) ^ { \gamma + \theta } } \\ { \geq } & { 0 , } \end{array}
1 - \frac { | \boldsymbol { v } _ { A } ^ { \top } \boldsymbol { x } _ { 2 } | } { | \boldsymbol { v } _ { A } | | \boldsymbol { x } _ { 2 } | } < \varepsilon , \; \left( \boldsymbol { x } _ { 1 } \right) _ { V _ { A } } ^ { \top } \boldsymbol { x } _ { V _ { A } } > 0 , \; \left( \boldsymbol { x } _ { 1 } \right) _ { W _ { A } } ^ { \top } \boldsymbol { x } _ { W _ { A } } > 0 .
\begin{array} { r l } { \nabla _ { z } ^ { 2 } \mathcal { H } ( u ) [ h ] } & { = - \frac { 1 } { 2 } \Lambda ^ { \alpha - 1 } h + \frac { T _ { \alpha } } { 4 } h } \\ & { \ + \int _ { \mathbb { T } } ( 2 - 2 \cos ( x - y ) ) ^ { - \frac { \alpha } { 2 } } F ^ { 1 } ( u ( x ) , u ( y ) , J ( u ) ( x , y ) ) ( h ( x ) - h ( y ) ) d y } \\ & { \ + \int _ { \mathbb { T } } ( 2 - 2 \cos ( x - y ) ) ^ { - \frac { \alpha } { 2 } } F ^ { 2 } ( u ( x ) , u ( y ) , J ( u ) ( x , y ) ) ( u ( x ) - u ( y ) ) d y h ( x ) } \\ & { \ + \int _ { \mathbb { T } } ( 2 - 2 \cos ( x - y ) ) ^ { 1 - \frac { \alpha } { 2 } } F ^ { 3 } ( u ( x ) , u ( y ) ) h ( y ) d y , } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { l } ( z _ { 1 } , . . . , z _ { l } ) } & { = \frac 1 { 2 \mu } \sum _ { i = 1 } ^ { l } ( \frac { z _ { i } } { \mu } \mathbb { E } \left[ W ^ { 2 } I ( W \leq \mu / z _ { i } ) \right] + \mathbb { E } \left[ W I ( W > \mu / z _ { i } \right] ) ) ^ { 2 } } \\ & { \quad + \sum _ { i = 1 , j > i } ^ { l } \mathbb { E } \left[ \operatorname* { m i n } \{ \frac { z _ { i } } { \mu } W , 1 \} , \operatorname* { m i n } \{ \frac { z _ { j } } { \mu } W , 1 \} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathscr { T } ( u ^ { + } ) - \mathscr { T } ( u ^ { - } ) } & { = - \partial _ { z } \left( ( 1 + b ) z \partial _ { z } v - \frac { X } { 2 } \cdot \nabla _ { S } v \right) - ( 1 + b ) z \partial _ { z } v - ( \Delta _ { S } - \frac { X } { 2 } \cdot \nabla _ { S } + | A _ { S } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ) v } \\ & { \ - \mathrm { d i v } _ { S } E _ { 1 } - \partial _ { z } E _ { 2 } - E _ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { x } } & { = p ( x , u ) } \\ { \dot { u } } & { = - \alpha _ { 1 } \nabla h ( u ) \! \big ( G _ { 1 } ( x , \mathcal { R } _ { 1 } \xi + \mathbf { 1 } \sigma ( x ) ) + \nabla \phi ( x ) \big ( \frac { \mathbf { 1 } \mathbf { 1 } ^ { \top } } { N } G _ { 2 } ( x , \mathbf { 1 } \sigma ( x ) ) + \mathcal { R } _ { 2 } \xi + \tilde { G } _ { 2 } ( x , \xi ) \big ) \! \big ) } \\ { \dot { \xi } } & { = \frac { \alpha _ { 1 } } { \alpha _ { 2 } } \left[ \begin{array} { l l } { - R ^ { \top } L R } & { 0 } \\ { 0 } & { - R ^ { \top } L R } \end{array} \right] \xi + \! \frac { \alpha _ { 1 } } { \alpha _ { 2 } } \! \! \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { R ^ { \top } L \tilde { G } _ { 2 } ( x , \xi ) } \end{array} \right] - \nabla \bar { \psi } ( x ) \, p ( x , u ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( 1 + 5 M _ { f } L _ { y } \alpha _ { k } + \frac { \eta L _ { y x } \tilde { D } _ { f } ^ { 2 } \alpha _ { k } ^ { 2 } } { 2 } ) ( 1 - \beta _ { k , t } \mu _ { g } ) ^ { T } - 1 \leq 0 } \\ & { \Leftarrow 5 M _ { f } L _ { y } \alpha _ { k } + \frac { \eta L _ { y x } \tilde { D } _ { f } ^ { 2 } \alpha _ { k } ^ { 2 } } { 2 } \leq T \beta _ { k , t } \mu _ { g } } \\ & { \Leftarrow \beta _ { k , t } \geq \left( \frac { 5 M _ { f } L _ { y } } { \mu _ { g } } + \frac { \eta L _ { y x } \tilde { D } _ { f } ^ { 2 } \alpha _ { k } } { 2 \mu _ { g } } \right) \frac { \alpha _ { k } } { T } } \end{array}
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \in \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Sigma \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l } { B _ { i } ( \vec { \theta } ) \equiv } & { e ^ { - i \theta _ { 1 } \: Z _ { i } } e ^ { - i \theta _ { 2 } \: Z _ { i + 1 } } e ^ { - i \theta _ { 3 } \: X _ { i } X _ { i + 1 } } e ^ { - i \theta _ { 4 } \: Y _ { i } Y _ { i + 1 } } \: e ^ { - i \theta _ { 5 } \: Z _ { i } } e ^ { - i \theta _ { 6 } \: Z _ { i + 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { \pm } ^ { \varepsilon } : = p _ { \pm } ^ { \varepsilon } ( y ) } & { = \mathbf { P } _ { 0 , y } \Big ( X _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } = \pm a _ { \pm } ^ { \varepsilon } \Big ) = \frac { 1 } { 2 } \pm \frac 1 2 \Big ( \frac { b ^ { 0 } ( y ) d } { \Sigma ^ { 0 0 } ( y ) } + \beta ( y ) - \frac { d ^ { \prime } } { 2 d } \Big ) \varepsilon + \mathcal O ( \varepsilon ^ { 2 - \delta } ) , } \\ { \mathbf { E } _ { 0 , y } X _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } } & { = \Big ( \beta ( y ) d + \frac { b ^ { 0 } ( y ) d ^ { 2 } } { \Sigma ^ { 0 0 } ( y ) } \Big ) \varepsilon ^ { 2 } + \mathcal { O } ( \varepsilon ^ { 3 - \delta } ) , } \\ { \mathbf { E } _ { 0 , y } \left( X _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } \right) ^ { 2 } } & { = d ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } + \mathcal { O } ( \varepsilon ^ { 3 - \delta } ) , } \\ { \mathbf { E } _ { 0 , y } \tau ^ { \varepsilon } } & { = \frac { d ^ { 2 } } { \Sigma ^ { 0 0 } ( y ) } \varepsilon ^ { 2 } + \mathcal { O } ( \varepsilon ^ { 3 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \left( \prod _ { i = 1 } ^ { \tau } \rho _ { i } \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } u _ { \tau + 1 } \right] ^ { 2 } \le u _ { 1 } ^ { 2 } + 2 \sigma ^ { 2 } \sum _ { t = 1 } ^ { \tau } { \eta _ { t } ^ { \prime } } ^ { 2 } \left( \prod _ { i = 1 } ^ { t } \rho _ { i } \right) ^ { - 1 } + \sum _ { t = 1 } ^ { \tau } 2 \epsilon \left( \prod _ { i = 1 } ^ { t } \rho _ { i } \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \left[ \left( \prod _ { i = 1 } ^ { t } \rho _ { i } \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } u _ { t + 1 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { h } } _ { \Xi } \left( A \right) \leq \operatorname* { m a x } _ { { q } ^ { + } , { q } ^ { - } \in { \mathbb R } _ { + } ^ { N m } } \quad } & { \frac { 1 } { N } \sum _ { i \in { \mathcal I } } c _ { 2 } ^ { \top } A \left( { \xi } _ { i } + q _ { i } ^ { + } - { q } _ { i } ^ { - } \right) } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { \mathrm { ( ) } } \\ & { \sum _ { i \in { \mathcal I } } { q } _ { i } ^ { + } \leq N \overline { { \xi } } - \sum _ { i \in { \mathcal I } } { \xi } _ { i } } \\ & { \sum _ { i \in { \mathcal I } } { q } _ { i } ^ { - } \leq \sum _ { i \in { \mathcal I } } { \xi } _ { i } - N \underline { { \xi } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \mathrm { P a r t y } ~ P _ { 1 } : \quad \mathcal { P } _ { 1 } = \{ 1 \} \quad } & & { \Rightarrow \quad X ^ { \langle 1 \rangle } = [ X _ { 1 } ^ { \langle 1 \rangle } \: \: X _ { 2 } ^ { \langle 1 \rangle } \: \: X _ { 3 } ^ { \langle 1 \rangle } \: \: X _ { 4 } ^ { \langle 1 \rangle } ] ^ { T } = [ 1 \: \: 0 \: \: 0 \: \: 0 ] ^ { T } } \\ & { \mathrm { P a r t y } ~ P _ { 2 } : \quad \mathcal { P } _ { 2 } = \{ 1 , 3 \} \quad } & & { \Rightarrow \quad X ^ { \langle 2 \rangle } = [ X _ { 1 } ^ { \langle 2 \rangle } \: \: X _ { 2 } ^ { \langle 2 \rangle } \: \: X _ { 3 } ^ { \langle 2 \rangle } \: \: X _ { 4 } ^ { \langle 2 \rangle } ] ^ { T } = [ 1 \: \: 0 \: \: 1 \: \: 0 ] ^ { T } } \\ & { \mathrm { P a r t y } ~ P _ { 3 } : \quad \mathcal { P } _ { 3 } = \{ 1 , 4 \} \quad } & & { \Rightarrow \quad X ^ { \langle 3 \rangle } = [ X _ { 1 } ^ { \langle 3 \rangle } \: \: X _ { 2 } ^ { \langle 3 \rangle } \: \: X _ { 3 } ^ { \langle 3 \rangle } \: \: X _ { 4 } ^ { \langle 3 \rangle } ] ^ { T } = [ 1 \: \: 0 \: \: 0 \: \: 1 ] ^ { T } } \\ & { \mathrm { P a r t y } ~ P _ { 4 } : \quad \mathcal { P } _ { 4 } = \{ 1 , 3 , 4 \} \quad } & & { \Rightarrow \quad X ^ { \langle 4 \rangle } = [ X _ { 1 } ^ { \langle 4 \rangle } \: \: X _ { 2 } ^ { \langle 4 \rangle } \: \: X _ { 3 } ^ { \langle 4 \rangle } \: \: X _ { 4 } ^ { \langle 4 \rangle } ] ^ { T } = [ 1 \: \: 0 \: \: 1 \: \: 1 ] ^ { T } } \\ & { \mathrm { P a r t y } ~ P _ { 5 } : \quad \mathcal { P } _ { 5 } = \emptyset \quad } & & { \Rightarrow \quad X ^ { \langle 5 \rangle } = [ X _ { 1 } ^ { \langle 5 \rangle } \: \: X _ { 2 } ^ { \langle 5 \rangle } \: \: X _ { 3 } ^ { \langle 5 \rangle } \: \: X _ { 4 } ^ { \langle 5 \rangle } ] ^ { T } = [ 0 \: \: 0 \: \: 0 \: \: 0 ] ^ { T } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \eta _ { ( 0 ) } + \nabla \cdot \left( \left( \eta _ { 0 } - b \right) \, \mathbf { v } _ { 0 } \right) } & { = 0 , } \\ { \partial _ { t } \mathbf { q } _ { ( 0 ) } + \nabla \cdot \left( \mathbf { v } _ { ( 0 ) } \otimes \mathbf { q } _ { ( 0 ) } \right) + \eta _ { ( 2 ) } \nabla \eta _ { ( 0 ) } + \eta _ { ( 1 ) } \nabla \eta _ { ( 1 ) } + \left( \eta _ { ( 0 ) } - b \right) \nabla \eta _ { ( 2 ) } } & { = \mathbf { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { i \textbf { I } _ { \{ N 2 + \} } \circ \mathbb { N } ^ { + } = } & { } & { i \textbf { I } _ { \{ N 2 + \} } \circ ( i N _ { 1 0 } ^ { i + } + N _ { 1 0 } ^ { + } } \\ & { } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ + i N _ { 1 } ^ { i + } \textbf { i } _ { \{ N 1 i + \} } + N _ { 1 } ^ { + } \textbf { i } _ { \{ N 1 + \} } ) } \\ & { } & { + i k _ { e g } ( i \textbf { I } _ { \{ N 2 + \} } \circ \textbf { N } _ { 2 0 } ^ { i + } + \textbf { I } _ { \{ N 2 + \} } \circ \textbf { N } _ { 2 0 } ^ { + } } \\ & { } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ + i N _ { 2 } ^ { i + } \textbf { I } _ { \{ N 2 + \} } \circ \textbf { I } _ { \{ N 2 i + \} } - N _ { 2 } ^ { + } ) ~ , } \end{array}
\begin{array} { r } { S ( X , t ) = \frac { \int _ { U } ( X - y ( z ) e ^ { - \frac { t } { 2 } } ) e ^ { - \frac { \| X - y ( z ) e ^ { - \frac { t } { 2 } } \| ^ { 2 } } { 2 ( 1 - e ^ { - t } ) } } \hat { \rho } ( z ) d z } { ( 1 - e ^ { - t } ) \int _ { U } e ^ { - \frac { \| X - y ( z ) e ^ { - \frac { t } { 2 } } \| ^ { 2 } } { 2 ( 1 - e ^ { - t } ) } } \hat { \rho } ( z ) d z } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S ( \vec { Q } , \omega ) = } & { S _ { \mathrm { c o h } } ^ { \mathrm { e l } } ( \vec { Q } , \omega ) + S _ { \mathrm { c o h } } ^ { \mathrm { i n e l } } ( \vec { Q } , \omega ) + S _ { \mathrm { i n c } } ^ { \mathrm { e l } } ( \vec { Q } , \omega ) + S _ { \mathrm { i n c } } ^ { \mathrm { i n e l } } ( \vec { Q } , \omega ) } \end{array}
R _ { \boldsymbol { \tau } } \left( \boldsymbol { \mu } _ { 0 } , \boldsymbol { \Sigma } _ { 0 } \right) = \frac { 1 } { n } \boldsymbol { U } _ { n } ^ { \boldsymbol { \tau } } ( \boldsymbol { \mu } _ { 0 } , \boldsymbol { \Sigma } _ { 0 } ) ^ { T } \boldsymbol { K } _ { \boldsymbol { \tau } } \left( \boldsymbol { \mu } _ { 0 } , \boldsymbol { \Sigma } _ { 0 } \right) ^ { - 1 } \boldsymbol { U } _ { n } ^ { \boldsymbol { \tau } } ( \boldsymbol { \mu } _ { 0 } , \boldsymbol { \Sigma } _ { 0 } )
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { a \rightarrow \infty } \frac { z ^ { * } ( a , b ) } { \bar { F } ( a ) } = \operatorname* { l i m } _ { a \rightarrow \infty } \frac { z ^ { * } ( a , b ) } { \beta } = \operatorname* { l i m } _ { a \rightarrow \infty } \left( 1 - \frac { \nu \mu ^ { 2 } } { 2 \beta } \right) = 1 - \frac { 1 } { 2 ( \xi + 1 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left. \operatorname* { d e t } D _ { x , y _ { 1 } , \ldots , y _ { d } } \overline { { F } } \right| _ { ( x , \Phi _ { 1 } ( x ) , \ldots , \Phi _ { d } ( x ) ) } = \operatorname* { d e t } D _ { x } f ( x ) \prod _ { j = 1 } ^ { d } \left. \operatorname* { d e t } D _ { y _ { j } } p _ { j } \right| _ { ( x , \Phi _ { j } ( x ) ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| f ( Z ) ( x ) - f ( Z _ { \Delta x } ) ( x ) \right| } & { \leq ( 1 - \alpha ) \left| ( u _ { x } ^ { 2 } - u _ { \Delta x , x } ^ { 2 } ) ( x ) \right| + \alpha u _ { x } ^ { 2 } ( x ) } \\ & { \leq ( 1 - \alpha ) \left| ( u _ { x } ^ { 2 } - u _ { \Delta x , x } ^ { 2 } ) ( x ) \right| + \alpha u _ { x } ( x ) \left( u _ { x } ( x ) - u _ { \Delta x , x } ( x ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\{ \begin{array} { r l } & { A _ { n } = \beta _ { n } + d _ { n } - d _ { n - 1 } , } \\ & { D _ { n } = b _ { n } + \sigma _ { n } - \sigma _ { n - 1 } , } \end{array} \right\} ~ n \geq 1 , ~ A _ { 0 } = \beta _ { 0 } + d _ { 0 } , ~ D _ { 0 } = b _ { 0 } + \sigma _ { 0 } , } \\ & { \left\{ \begin{array} { r l } & { B _ { n } = \gamma _ { n } - \beta _ { n - 1 } d _ { n - 1 } + e _ { n - 1 } - e _ { n - 2 } - \frac { e _ { n - 2 } \gamma _ { n - 2 } } { e _ { n - 3 } } , } \\ & { E _ { n } = c _ { n } - b _ { n - 1 } \sigma _ { n - 1 } + \tau _ { n - 1 } - \tau _ { n - 2 } - \frac { e _ { n - 2 } \gamma _ { n - 2 } } { e _ { n - 3 } } , } \end{array} \right\} ~ n \geq 3 , } \\ & { ~ ~ ~ B _ { 2 } = \gamma _ { 2 } - \beta _ { 1 } d _ { 1 } + e _ { 1 } - e _ { 0 } , ~ ~ ~ E _ { 2 } = c _ { 2 } - b _ { 1 } \sigma _ { 1 } + \tau _ { 1 } - \tau _ { 0 } , } \\ & { ~ ~ ~ B _ { 1 } = \gamma _ { 1 } - \beta _ { 0 } d _ { 0 } + e _ { 0 } , ~ E _ { 1 } = c _ { 1 } - b _ { 0 } \sigma _ { 0 } + \tau _ { 0 } , } \\ & { \left\{ \begin{array} { r l } & { C _ { n } = d _ { n - 1 } + e _ { n - 2 } \beta _ { n - 2 } - \frac { e _ { n - 2 } \gamma _ { n - 2 } } { e _ { n - 3 } } d _ { n - 2 } , } \\ & { F _ { n } = \sigma _ { n - 1 } + \tau _ { n - 2 } b _ { n - 2 } - \frac { e _ { n - 2 } \gamma _ { n - 2 } } { e _ { n - 3 } } \sigma _ { n - 2 } , } \end{array} \right\} ~ n \geq 3 , } \\ & { ~ ~ ~ C _ { 2 } = d _ { 1 } + e _ { 0 } \beta _ { 0 } , ~ F _ { 2 } = \sigma _ { 1 } + \tau _ { 0 } b _ { 0 } , } \\ & { ~ ~ G _ { n } = \tau _ { n - 2 } c _ { n - 2 } - \frac { e _ { n - 2 } \gamma _ { n - 2 } } { e _ { n - 3 } } \tau _ { n - 3 } , ~ n \geq 3 , } \end{array}
M _ { \alpha } ^ { ( s , t ) } ( u , v ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( s u ^ { \alpha } + t v ^ { \alpha } ) ^ { 1 / \alpha } , } & { \alpha \neq 0 } \\ { u ^ { s } v ^ { t } , } & { \alpha = 0 } \\ { \operatorname* { m i n } \{ u , v \} , } & { \alpha = - \infty } \\ { \operatorname* { m a x } \{ u , v \} , } & { \alpha = + \infty . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left( \vec { G } _ { k i } \vec { \boldsymbol { x } } ( k ) \geq h _ { k i } \right) } & { \leq \frac { 4 } { 9 ( \lambda _ { k i } ^ { 2 } + 1 ) } } \\ { \mathbb { E } \left[ \vec { G } _ { k i } \vec { \boldsymbol { x } } ( k ) \right] + \lambda _ { k i } \mathrm { S t d } \left( \vec { G } _ { k i } \vec { \boldsymbol { x } } ( k ) \right) } & { \leq h _ { k i } } \\ { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \sum _ { i = 1 } ^ { q _ { k } } \frac { 4 } { 9 ( \lambda _ { k i } ^ { 2 } + 1 ) } } & { \leq \alpha } \\ { \lambda _ { k i } } & { > \sqrt { 5 / 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { \theta } } & { = \theta \rho + ( 1 - \theta ) \leq \theta C _ { q } \overbar { M } + ( 1 - \theta ) \leq C _ { q } \overbar { M } , } \\ { \rho _ { \theta } } & { = \theta \rho + ( 1 - \theta ) \geq \theta C _ { 0 } e ^ { - C _ { q } \overbar { M } ^ { a } t } + ( 1 - \theta ) \geq C _ { 0 } e ^ { - C _ { q } \overbar { M } ^ { a } t } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { ( { \mathcal { L } } _ { X } T ) ^ { a _ { 1 } \ldots a _ { r } } _ { b _ { 1 } \ldots b _ { s } } = } & { X ^ { c } ( \partial _ { c } T ^ { a _ { 1 } \ldots a _ { r } } _ { b _ { 1 } \ldots b _ { s } } ) } \\ & { - ( \partial _ { c } X ^ { a _ { 1 } } ) T ^ { c a _ { 2 } \ldots a _ { r } } _ { b _ { 1 } \ldots b _ { s } } - \ldots - ( \partial _ { c } X ^ { a _ { r } } ) T ^ { a _ { 1 } \ldots a _ { r - 1 } c } _ { b _ { 1 } \ldots b _ { s } } } \\ & { + ( \partial _ { b _ { 1 } } X ^ { c } ) T ^ { a _ { 1 } \ldots a _ { r } } _ { c b _ { 2 } \ldots b _ { s } } + \ldots + ( \partial _ { b _ { s } } X ^ { c } ) T ^ { a _ { 1 } \ldots a _ { r } } _ { b _ { 1 } \ldots b _ { s - 1 } c } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { T _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } ( T + T ^ { \omega } ) = } & { \Big [ ( a a ^ { \prime } + x b ( b ^ { \prime } ) ^ { s } - y c ( c ^ { \prime } ) ^ { t } - z d ( d ^ { \prime } ) ^ { u } ) } \\ & { + ( a b ^ { \prime } + b ( a ^ { \prime } ) ^ { s } - \overline { { x } } \mathrm { ~ } \overline { { z } } c ( d ^ { \prime } ) ^ { t } - \overline { { y } } d ( c ^ { \prime } ) ^ { u } ) s \Big ] \omega , } \\ { T _ { - 1 } = \frac { 1 } { 2 } ( T - T ^ { \omega } ) = } & { \Big [ ( - a c ^ { \prime } - x b ( d ^ { \prime } ) ^ { s } + c ( a ^ { \prime } ) ^ { t } + \overline { { y } } z d ( b ^ { \prime } ) ^ { u } ) t } \\ & { + ( - a d ^ { \prime } - b ( c ^ { \prime } ) ^ { s } + \overline { { x } } y \overline { { z } } c ( b ^ { \prime } ) ^ { t } + d ( a ^ { \prime } ) ^ { u } ) u \Big ] \omega . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R T \gamma _ { \mathrm { a } } ( T ) } & { = } & { \frac { 8 \pi ^ { 3 } } { 3 } N _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } \int \left[ \frac { 2 } { 1 5 } b _ { T T } ( r _ { 1 2 } ) b _ { T T } ( r _ { 1 3 } ) + \frac { 1 4 } { 1 5 } b _ { T } ( r _ { 1 2 } ) b _ { T T } ( r _ { 1 3 } ) + b ( r _ { 1 2 } ) b _ { T T } ( r _ { 1 3 } ) + \right. } \\ & { } & { \frac { 7 3 } { 3 0 } b _ { T } ( r _ { 1 2 } ) b _ { T } ( r _ { 1 3 } ) + \frac { 3 4 } { 5 } b ( r _ { 1 2 } ) b _ { T } ( r _ { 1 3 } ) + \frac { 3 3 } { 5 } b ( r _ { 1 2 } ) b ( r _ { 1 3 } ) - } \\ & { } & { \left. \left( \frac { 2 } { 1 5 } c _ { T T } ( r _ { 1 2 } , r _ { 1 3 } , r _ { 2 3 } ) + \frac { 1 6 } { 1 5 } c _ { T } ( r _ { 1 2 } , r _ { 1 3 } , r _ { 2 3 } ) + \frac { 1 3 } { 5 } c ( r _ { 1 2 } , r _ { 1 3 } , r _ { 2 3 } ) \right) \right] \mathrm { d } \Omega _ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { l c r } { \quad \mathbf { 1 } _ { T _ { F } } \left( ( \Phi _ { k } ^ { i } , y _ { k } ^ { i } ) \right) \mathbf { 1 } _ { T _ { C } } \left( ( \tilde { \Phi } _ { k } ^ { i } , \tilde { y } _ { k } ^ { i } ) \right) = 0 } \\ { \& \ \mathbf { 1 } _ { T _ { C } } \left( ( \Phi _ { k } ^ { i } , y _ { k } ^ { i } ) \right) \mathbf { 1 } _ { T _ { F } } \left( ( \tilde { \Phi } _ { k } ^ { i } , \tilde { y } _ { k } ^ { i } ) \right) = 0 , \ \textrm { i f } \ \Phi _ { k } ^ { i } \notin A \cup B . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Omega _ { 1 } ^ { j } } & { = \{ \omega \in C _ { \lambda } : \mathrm { ~ j ~ i s ~ i n ~ a ~ 1 ~ - c y c l e } \} , } \\ { \Omega _ { 2 } ^ { j } } & { = \{ \omega \in C _ { \lambda } : \mathrm { ~ j ~ i s ~ i n ~ a ~ 2 ~ - c y c l e } \} , } \\ { \Omega _ { 3 } ^ { j } } & { = \{ \omega \in C _ { \lambda } : \mathrm { ~ j ~ i s ~ n o t ~ i n ~ a ~ 1 ~ - c y c l e ~ o r ~ 2 ~ - c y c l e } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d t } \left[ \| u _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \| v _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \frac { 1 } { p + 1 } \| u \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } + \frac { 1 } { p + 1 } \| v \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } \right. } \\ & { \qquad \left. + \frac { 2 \beta } { p + 1 } \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { p + 1 } | v | ^ { p + 1 } d x \right] = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \tilde { \gamma } _ { t } \sim \tilde { \mathcal { P } } _ { t } } \left[ \tilde { f } _ { t } ( x ^ { * } ( \tilde { \gamma } _ { t } , \tilde { \mu } ) ) - \tilde { \mu } \cdot \tilde { b } _ { t } ( x ^ { * } ( \tilde { \gamma } _ { t } , \tilde { \mu } ) ) \right] } & { = \mathbb { E } _ { ( \gamma _ { t } , \tilde { \gamma } _ { t } ) \sim Q } \left[ \tilde { f } _ { t } ( x ^ { * } ( \tilde { \gamma } _ { t } , \tilde { \mu } ) ) - \tilde { \mu } \cdot \tilde { b } _ { t } ( x ^ { * } ( \tilde { \gamma } _ { t } , \tilde { \mu } ) ) \right] } \\ & { \geq \mathbb { E } _ { ( \gamma _ { t } , \tilde { \gamma } _ { t } ) \sim Q } \left[ \tilde { f } _ { t } ( x _ { t } ( \gamma _ { t } ) ) - \tilde { \mu } \cdot \tilde { b } _ { t } ( x ( \gamma _ { t } ) ) \right] } \\ & { \geq \mathbb { E } _ { ( \gamma _ { t } , \tilde { \gamma } _ { t } ) \sim Q } \left[ f _ { t } ( x _ { t } ( \gamma _ { t } ) ) - \tilde { \mu } \cdot b _ { t } ( x ( \gamma _ { t } ) ) \right] - ( 1 + \kappa ) \cdot \mathcal { W } ( \mathcal { P } _ { t } , \tilde { \mathcal { P } } _ { t } ) } \\ & { = \mathbb { E } _ { \gamma _ { t } \sim \mathcal { P } _ { t } } \left[ f _ { t } ( x _ { t } ( \gamma _ { t } ) ) - \tilde { \mu } \cdot b _ { t } ( x ( \gamma _ { t } ) ) \right] - ( 1 + \kappa ) \cdot \mathcal { W } ( \mathcal { P } _ { t } , \tilde { \mathcal { P } } _ { t } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial Q _ { 1 1 } } { \partial t } } & { = } & { \xi _ { 1 } \left[ \pm Q _ { 1 1 } - ( Q _ { 1 1 } ^ { 2 } + Q _ { 1 2 } ^ { 2 } ) Q _ { 1 1 } + \nabla ^ { 2 } Q _ { 1 1 } \right] + c _ { 0 } ( P _ { 1 } ^ { 2 } - P _ { 2 } ^ { 2 } ) , } \\ { \frac { \partial Q _ { 1 2 } } { \partial t } } & { = } & { \xi _ { 1 } \left[ \pm Q _ { 1 2 } - ( Q _ { 1 1 } ^ { 2 } + Q _ { 1 2 } ^ { 2 } ) Q _ { 1 2 } + \nabla ^ { 2 } Q _ { 1 2 } \right] + 2 c _ { 0 } P _ { 1 } P _ { 2 } , } \\ { \frac { 1 } { \Gamma } \frac { \partial P _ { 1 } } { \partial t } } & { = } & { \xi _ { 2 } \bigg [ \left( \frac { \rho } { \rho _ { c } } - 1 - { \bf P } \cdot { \bf P } \right) P _ { 1 } - \frac { v _ { 1 } ^ { \prime } } { 2 \rho _ { 0 } } \nabla _ { x } \rho + \lambda _ { 1 } ^ { \prime } ( { \bf P } \cdot \nabla ) P _ { 1 } + \lambda _ { 2 } ^ { \prime } \nabla _ { x } ( | { \bf P } | ^ { 2 } ) } \\ & { } & { + \lambda _ { 3 } ^ { \prime } P _ { 1 } ( \nabla \cdot { \bf P } ) + \kappa ^ { \prime } \nabla ^ { 2 } P _ { 1 } \bigg ] + c _ { 0 } ( Q _ { 1 1 } P _ { 1 } + Q _ { 1 2 } P _ { 2 } ) , } \\ { \frac { 1 } { \Gamma } \frac { \partial P _ { 2 } } { \partial t } } & { = } & { \xi _ { 2 } \bigg [ \left( \frac { \rho } { \rho _ { c } } - 1 - { \bf P } \cdot { \bf P } \right) P _ { 2 } - \frac { v _ { 1 } ^ { \prime } } { 2 \rho _ { 0 } } \nabla _ { y } \rho + \lambda _ { 1 } ^ { \prime } ( { \bf P } \cdot \nabla ) P _ { 2 } + \lambda _ { 2 } ^ { \prime } \nabla _ { y } ( | { \bf P } | ^ { 2 } ) } \\ & { } & { + \lambda _ { 3 } ^ { \prime } P _ { 2 } ( \nabla \cdot { \bf P } ) + \kappa ^ { \prime } \nabla ^ { 2 } P _ { 2 } \bigg ] + c _ { 0 } ( Q _ { 1 2 } P _ { 1 } - Q _ { 1 1 } P _ { 2 } ) , } \\ { \frac { 1 } { \Gamma ^ { \prime } } \frac { \partial \rho } { \partial t } } & { = } & { - v _ { 0 } ^ { \prime } \nabla \cdot ( { \bf P } \rho ) + D _ { \rho } ^ { \prime } \nabla ^ { 2 } \rho . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \iota _ { 4 ; 1 0 } } & { = } & { \bar { b } \Delta ( l _ { 1 } ^ { - 1 } ) \bar { 3 } \underline { { \bar { 2 } \bar { y } 2 3 y 2 \bar { y } 3 2 } } \bar { 1 } \bar { 2 } \bar { 3 } } \\ & { = } & { \bar { b } \Delta ( l _ { 1 } ^ { - 1 } ) \underline { { \bar { 3 } 3 } } \bar { 2 } \bar { y } 2 3 y 2 \bar { y } 3 \bar { 1 } \bar { 2 } \bar { 3 } } \\ & { = } & { \bar { b } \Delta ( l _ { 1 } ^ { - 1 } ) \bar { 2 } \underline { { \bar { y } 2 3 y 2 \bar { y } 3 } } \bar { 1 } \bar { 2 } \bar { 3 } } \\ & { = } & { \bar { b } \Delta ( l _ { 1 } ^ { - 1 } ) \underline { { \bar { 2 } 2 } } \bar { y } 2 3 y 2 \bar { y } \bar { 1 } \bar { 2 } \bar { 3 } } \\ & { = } & { \bar { b } \Delta ( l _ { 1 } ^ { - 1 } ) \bar { y } 2 3 y 2 \bar { y } \bar { 1 } \bar { 2 } \bar { 3 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \Bar { r } _ { 1 } : = \omega _ { \nabla U } ^ { \dagger } \left( \sqrt { \frac { \epsilon ^ { 4 } } { 4 8 C ^ { 4 } d ^ { 2 } \left( C \Bar { c } _ { \mathrm { P } } ( d ) \left( \log \left( 2 / \epsilon \right) + C d \right) + 1 \right) } } \right) , \ \Bar { r } _ { 2 } : = \frac { \epsilon ^ { 4 } } { 4 8 C ^ { 4 } d ^ { 5 / 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathcal G } _ { n , 1 } \mathrm { ~ c o n t a i n s ~ a ~ c o n n e c t e d ~ c o m p o n e n t ~ } { \mathcal C } _ { \mathrm { b b } } ( n , k ) \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t ~ } } \\ & { \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } i \le ( n ^ { \prime } / k ) : | \Xi _ { { \mathcal Q } _ { i } } [ w _ { \mathrm { h h } } , 2 w _ { \mathrm { h h } } ) \cap { \mathcal C } _ { \mathrm { b b } } | \ge s _ { k } } \end{array}
\mathbb { E } _ { ( x , y ) } \left[ e ^ { - 2 \xi _ { n } ( \lambda ) } \right] \le e ^ { - 2 \phi ( n ) } + \left( \frac { \phi ( n ) } { n \gamma } \right) ^ { \kappa } \operatorname* { s u p } _ { k \in \{ 0 , \dots , n - 1 \} } \mathbb { E } \left[ \underline { { c } } ^ { - \kappa } U ^ { \kappa r } \left( \bar { X } _ { k \gamma } ^ { \lambda x + ( 1 - \lambda ) y } \right) \right] .
\left\{ \begin{array} { l l } { \nabla \cdot u = g } & { \mathrm { i n ~ } \Omega , } \\ { - \partial _ { 1 } u + \nabla ( q + \eta ) - \Delta u = f } & { \mathrm { i n ~ } \Omega , } \\ { - ( q - \mathbb { D } u ) e _ { n } - \Delta _ { \| } \eta e _ { n } = k } & { \mathrm { o n ~ } \Sigma , } \\ { u \cdot e _ { n } + \partial _ { 1 } \eta = 0 } & { \mathrm { o n ~ } \Sigma , } \\ { u = 0 } & { \mathrm { o n ~ } \Sigma _ { 0 } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \phi } & { = \int _ { k _ { 0 } } ^ { k } \frac { e ^ { 4 z } } { \sqrt { e ^ { 4 z } \mathcal { E } - e ^ { 8 z } - 1 } } d z = \frac { 1 } { 4 } \int _ { e ^ { 4 k _ { 0 } } } ^ { e ^ { 4 k } } \frac { 1 } { \sqrt { \mathcal { E } u - u ^ { 2 } - 1 } } d u } \\ & { = \frac { 1 } { 4 \sqrt { \frac { \mathcal { E } ^ { 2 } } { 4 } - 1 } } \int _ { e ^ { 4 k _ { 0 } } } ^ { e ^ { 4 k } } \frac { 1 } { \sqrt { 1 - \left( \frac { u - \frac { \mathcal { E } } { 2 } } { \sqrt { \frac { \mathcal { E } ^ { 2 } } { 4 } - 1 } } \right) ^ { 2 } } } d u } \\ & { = \frac { 1 } { 4 } \int _ { \frac { e ^ { 4 k _ { 0 } } - \frac { \mathcal { E } } { 2 } } { \sqrt { \frac { \mathcal { E } ^ { 2 } } { 4 } - 1 } } } ^ { \frac { e ^ { 4 k } - \frac { \mathcal { E } } { 2 } } { \sqrt { \frac { \mathcal { E } ^ { 2 } } { 4 } - 1 } } } \frac { 1 } { \sqrt { 1 - u ^ { 2 } } } d u . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { q [ \varepsilon ] [ { \mathcal { S } } ] } & { = \int q [ \varepsilon ] [ { \mathcal { L } } ] d ^ { n } x } \\ & { = \int \left\{ \left( { \frac { \partial } { \partial \varphi } } { \mathcal { L } } \right) \varepsilon Q [ \varphi ] + \left[ { \frac { \partial } { \partial ( \partial _ { \mu } \varphi ) } } { \mathcal { L } } \right] \partial _ { \mu } ( \varepsilon Q [ \varphi ] ) \right\} d ^ { n } x } \\ & { = \int \left\{ \varepsilon Q [ { \mathcal { L } } ] + \partial _ { \mu } \varepsilon \left[ { \frac { \partial } { \partial \left( \partial _ { \mu } \varphi \right) } } { \mathcal { L } } \right] Q [ \varphi ] \right\} \, d ^ { n } x } \\ & { \approx \int \varepsilon \partial _ { \mu } \left\{ f ^ { \mu } - \left[ { \frac { \partial } { \partial ( \partial _ { \mu } \varphi ) } } { \mathcal { L } } \right] Q [ \varphi ] \right\} \, d ^ { n } x } \end{array} }
\begin{array} { r l } { X _ { 1 } ^ { - } } & { : = \sqrt { 1 - \psi _ { 1 } ^ { 2 } } \partial _ { \zeta _ { 1 } } + \psi _ { 1 } \partial _ { \zeta _ { 2 } } , } \\ { X _ { 2 } ^ { - } } & { : = \partial _ { z } + \sqrt { \psi _ { 1 } + 1 } \partial _ { \psi _ { 1 } } + \frac { \psi _ { 1 } } { \sqrt { 1 - \psi _ { 1 } } } \partial _ { \psi _ { 2 } } - \left( \frac { \zeta _ { 1 } \sqrt { \psi _ { 1 } + 1 } } { \psi _ { 1 } } + \frac { \zeta _ { 2 } } { \sqrt { 1 - \psi _ { 1 } } } \right) \partial _ { \zeta _ { 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { c c } & { X _ { i _ { 1 } } ^ { ( n ) } \sim \mathrm { U } ( 0 , 1 ) , X _ { i _ { 2 } } ^ { ( n ) } = X _ { i _ { 1 } } ^ { ( n ) } + 1 , } \\ & { { X } _ { i } ^ { ( n ) } = ( X _ { i _ { 1 } } ^ { ( n ) } , X _ { i _ { 2 } } ^ { ( n ) } ) , i = 1 , 2 , \ldots , n _ { 1 } , } \\ & { { X } _ { i } ^ { ( n ) } = ( X _ { i _ { 1 } } ^ { ( n ) } , X _ { i _ { 2 } } ^ { ( n ) } + \eta ) , i = n _ { 1 } + 1 , n _ { 1 } + 2 , \ldots , n , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { J _ { 0 , 0 } ^ { 1 , 1 } ( h , K ^ { ( 1 , 1 ) } ) } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { r \geq 0 } \Bigg [ \Big \| ( - \Delta + 1 + r ) ^ { - 1 / 2 } ( h ^ { - 1 } ( e ^ { \theta } \widehat { w } _ { 1 , 1 } ^ { ( I ) } ( g , \theta + h , \alpha ) - e ^ { \theta } \widehat { w } _ { 1 , 1 } ^ { ( I ) } ( g , \theta , \alpha ) ) - D _ { 1 , 1 } ^ { ( I ) } ( g , \theta , \alpha ) ) ( { K } , \tilde { K } ) } \\ & { \times ( - \Delta + 1 + r ) ^ { - 1 / 2 } \Big \| } \\ & { \le | g | ^ { 2 } N \left[ \| \kappa _ { \theta + h } - \kappa _ { \theta } \| _ { \infty } \| \partial _ { \theta } \tilde { \kappa } _ { \theta } \| _ { \infty } + \| \kappa _ { \theta + h } \| _ { \infty } \| \mathfrak { D } _ { h } \tilde { \kappa } _ { \theta } \| _ { \infty } + \| \mathfrak { D } _ { h } \kappa _ { \theta } \| _ { \infty } \| \tilde { \kappa } _ { \theta } \| _ { \infty } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \bigg | \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } \int _ { \{ v ^ { \prime } < \frac { 1 } { M } \} } K _ { \epsilon , R } ( \eta , \eta ^ { \prime } ) \xi _ { R } ( v + v ^ { \prime } ) v [ \varphi ( \eta + \eta ^ { \prime } ) - \varphi ( \eta ) ] \tilde { g } _ { \epsilon _ { k } , R _ { k } , \delta _ { k } } ( \eta ) \tilde { g } _ { \epsilon _ { k } , R _ { k } , \delta _ { k } } ( \eta ^ { \prime } ) \textup { d } \eta ^ { \prime } \textup { d } \eta \bigg | } \\ & { \lesssim \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } \int _ { \{ v ^ { \prime } < \frac { 1 } { M } \} } ( v ^ { \beta + 1 } + v v ^ { \beta } ) | \varphi ( \eta + \eta ^ { \prime } ) - \varphi ( \eta ) | \tilde { g } _ { \epsilon _ { k } , R _ { k } , \delta _ { k } } ( \eta ) \tilde { g } _ { \epsilon _ { k } , R _ { k } , \delta _ { k } } ( \eta ^ { \prime } ) \textup { d } \eta ^ { \prime } \textup { d } \eta . } \end{array}
W _ { 2 } ( \mathcal { L } ( \bar { \theta } _ { n } ^ { \lambda } , \bar { V } _ { n } ^ { \lambda } ) , \pi _ { \beta } ) \leq \dot { C } \left( \sqrt { \lambda } \gamma ^ { \frac { 3 } { 2 } } + \gamma ^ { - q } + \sqrt { 2 } e ^ { - \frac { \lambda m } { \beta \gamma } n } W _ { 2 } ( \mathcal { L } ( \theta _ { 0 } , V _ { 0 } ) , \pi _ { \beta } ) \right) + \epsilon ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { i n f } _ { x \in q ^ { - 1 } \left( u \right) } \psi \circ \overline { { \mathbf { R } } } ^ { n + k } \left( x , \omega \right) } & { = \operatorname* { i n f } _ { \left( x , \mathbf { \omega } ^ { \prime } \right) \in Q ^ { - 1 } \left( u , \omega \right) } \psi \circ \overline { { \mathbf { R } } } ^ { n + k } \left( x , \omega ^ { \prime } \right) } \\ & { \geq \operatorname* { i n f } _ { \left( x , \omega ^ { \prime } \right) \in Q ^ { - 1 } \left( \mathbf { T } ^ { k } \left( u , \omega \right) \right) } \psi \circ \overline { { \mathbf { R } } } ^ { n } \left( x , \omega ^ { \prime } \right) } \\ & { = \operatorname* { i n f } _ { \left( x , \omega ^ { \prime } \right) \in \left\{ \left( y , \omega ^ { \prime \prime } \right) \in \mathcal { M } \times \Omega \ : \ Q \left( y , \omega ^ { \prime \prime } \right) = \mathbf { T } ^ { k } \left( u , \omega \right) \right\} } \psi \circ \overline { { \mathbf { R } } } ^ { n } \left( x , \omega ^ { \prime } \right) \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 r U + r ^ { 2 } U _ { r } } & { = n ^ { 2 } r [ 2 \cot ( r A _ { 1 } \cos \theta ) - \frac { r A _ { 1 } \cos \theta } { \sin ^ { 2 } ( r A _ { 1 } \cos \theta ) } ] + m n r \{ 2 \cot [ r A _ { 2 } \sin ( \theta _ { * } - \theta ) ] } \\ & { - \frac { r A _ { 2 } \sin ( \theta _ { * } - \theta ) } { \sin ^ { 2 } [ r A _ { 2 } \sin ( \theta _ { * } - \theta ) ] } + 2 \cot [ r A _ { 2 } \sin ( \theta + \theta _ { * } ) ] - \frac { r A _ { 2 } \sin ( \theta + \theta _ { * } ) } { \sin ^ { 2 } [ r A _ { 2 } \sin ( \theta + \theta _ { * } ) ] } \} } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \| \nabla \mathrm { e n v } _ { \psi } ^ { \eta } ( x _ { \sim } ^ { K } ) \| ^ { 2 } \leq \frac { 2 ( \mathrm { e n v } _ { \psi } ^ { \eta } ( x ^ { 0 } ) - \operatorname* { i n f } \psi ) } { \alpha ( 1 - \eta ( \rho - \lambda ) ) \sqrt { K } } + \frac { \beta \theta } { \eta ( 1 - \eta ( \rho - \lambda ) ) } \frac { \alpha } { \sqrt { K } } , } \end{array}
\operatorname* { d e t } \widetilde { R \Gamma } _ { \mathrm { f } } ( G _ { K , \Sigma _ { K } } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } , \Delta _ { \mathrm { B D P } } ) = \operatorname* { d e t } \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 2 } ( G _ { K , \Sigma _ { K } } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } , \Delta _ { \mathrm { B D P } } ) = \mathrm { E x p } _ { F ^ { - } T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } \otimes \epsilon _ { K } } ^ { * } ( \delta ( T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } \otimes \epsilon _ { K } , \Delta _ { \emptyset } ) ) \cdot \mathrm { L o g } _ { \omega _ { \textup { \bf f } } } ( \delta ( T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } , \Delta _ { \emptyset } ) ) \, .
( { \mathbf { y } } _ { i } ^ { k } ) ^ { \intercal } \rightarrow \overline { { { \mathbf { Y } } } } ^ { k } = \frac { 1 } { n } { \mathbf { 1 } } ^ { \intercal } \nabla { \mathbf { F } } ( { \mathbf { X } } ^ { k } ) \rightarrow \frac { 1 } { n } { \mathbf { 1 } } ^ { \intercal } \nabla { \mathbf { F } } ( { \mathbf { 1 } } \overline { { { \mathbf { X } } } } ^ { k } )
{ \begin{array} { r l } { { \vec { F } } _ { n } } & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 5 } } } A ^ { n } { \vec { \mu } } - { \frac { 1 } { \sqrt { 5 } } } A ^ { n } { \vec { \nu } } } \\ & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 5 } } } \varphi ^ { n } { \vec { \mu } } - { \frac { 1 } { \sqrt { 5 } } } ( - \varphi ) ^ { - n } { \vec { \nu } } ~ } \\ & { = { \cfrac { 1 } { \sqrt { 5 } } } \left( { \cfrac { 1 + { \sqrt { 5 } } } { 2 } } \right) ^ { n } { \binom { \varphi } { 1 } } - { \cfrac { 1 } { \sqrt { 5 } } } \left( { \cfrac { 1 - { \sqrt { 5 } } } { 2 } } \right) ^ { n } { \binom { - \varphi ^ { - 1 } } { 1 } } , } \end{array} }
{ \frac { 1 } { 2 } } { \left[ \begin{array} { l } { { \begin{array} { r r r r } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } & { 1 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { - 1 } & { - 1 } \\ { 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { 1 } \end{array} } } \end{array} \right] } . { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right] } . { \frac { 1 } { 2 } } { \left[ \begin{array} { l } { { \begin{array} { r r r r } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } & { 1 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { - 1 } & { - 1 } \\ { 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { 1 } \end{array} } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { v _ { 1 } } & { = \lambda \left[ - 2 \alpha _ { 1 } \log | 2 \alpha _ { 1 } | + { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { \sigma _ { 2 } , \sigma _ { 3 } = \pm 1 } ( \alpha _ { 1 } + \sigma _ { 2 } \alpha _ { 2 } + \sigma _ { 3 } \alpha _ { 3 } ) \log | \alpha _ { 1 } + \sigma _ { 2 } \alpha _ { 2 } + \sigma _ { 3 } \alpha _ { 3 } | \right] \, , } \end{array}
s a t i s f i e s t h e m i n - e d i t ( S e c t i o n ~ ) , a t o m i c i t y ( S e c t i o n ~ ) a n d M V M O ( S e c t i o n ~ ) p r o p e r t i e s . A s d i s c u s s e d i n S e c t i o n ~ , w h e n e v e r o n e o f t h e s e t h r e e c o n d i t i o n s i s n o t s a t i s f i e d , t h e p o s s i b i l i t y o f t a r g e t m o d u l e s f o r c a n d i d a t e s e t
\begin{array} { r l r } & { } & { - e v _ { n \mathbf { k } } ^ { \beta } \frac { \partial f _ { n \mathbf { k } } ^ { 0 } } { \partial \epsilon _ { n \mathbf { k } } } = \sum _ { m \mathbf q } \, \big [ \tau _ { m \mathbf { k } + \mathbf { q } \to n \mathbf { k } } ^ { - 1 } \, \partial _ { E _ { \beta } } f _ { m \mathbf { k } + \mathbf { q } } } \\ & { } & { - \tau _ { n \mathbf { k } \to m \mathbf { k } + \mathbf { q } } ^ { - 1 } \, \partial _ { E _ { \beta } } f _ { n \mathbf { k } } \big ] , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { \partial \tilde { S } _ { j } } { \partial t } = d _ { S _ { j } } \Delta \tilde { S } _ { j } + d _ { I } \sum _ { k \in \Omega } \left( \frac { L _ { j k } \alpha _ { k } N } { | \Omega _ { j } | } - L _ { k j } \tilde { S } _ { j } \right) , } & { x \in \Omega _ { j } , t > 0 , \ j \in \Omega , } \\ { \displaystyle \frac { \partial \tilde { S } _ { j } } { \partial \nu } = 0 } & { x \in \partial \Omega _ { j } , t > 0 , \ j \in \Omega . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { ( \mu _ { n } ) _ { i _ { 1 } , \dots , i _ { n - 1 } } ^ { j _ { 0 } , \bar { j } _ { 1 } \dots , \bar { j } _ { n - 1 } } = } \\ & { \lambda _ { j _ { 0 } - \frac { n - 2 } { 2 } , \bar { J } _ { n - 1 } + \frac { n - 2 } { 2 } ; i _ { n - 1 } } \prod _ { l = 2 } ^ { n - 1 } \sqrt { \frac { ( 2 j _ { 0 } - l + 3 ) ( 2 \bar { j } _ { l } + 1 ) ( 2 J _ { l - 1 } - 2 i _ { l - 1 } + 1 ) } { ( 2 j _ { 0 } - l + 2 - i _ { l - 1 } ) ( 2 \bar { J } _ { l - 1 } + l - 1 - i _ { l - 1 } ) } } \left\{ \begin{array} { l l l } { \bar { J } _ { l - 1 } + \frac { l - 1 } { 2 } } & { j _ { 0 } - \frac { l - 1 } { 2 } } & { J _ { l - 1 } - i _ { l - 1 } } \\ { J _ { l } - i _ { l } } & { \bar { j } _ { l } } & { \bar { J } _ { l } + \frac { l - 1 } { 2 } } \end{array} \right\} . } \end{array}
{ \mathrm { e r r o r } } = \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \, d x - { \frac { b - a } { N } } \left[ { \frac { f ( a ) + f ( b ) } { 2 } } + \sum _ { k = 1 } ^ { N - 1 } f \left( a + k { \frac { b - a } { N } } \right) \right] = { \frac { f ^ { \prime \prime } ( \xi ) h ^ { 3 } N } { 1 2 } } = { \frac { f ^ { \prime \prime } ( \xi ) ( b - a ) ^ { 3 } } { 1 2 N ^ { 2 } } } .
{ \Delta \theta } = \left[ \begin{array} { r } { 2 . 2 } \\ { 2 . 2 } \\ { - 2 . 7 } \\ { - 6 . 8 } \\ { - 1 0 . 0 } \\ { 2 . 8 } \end{array} \right] \mathrm { ~ K } , \quad \mathrm { a n d } \quad { \Delta \zeta } = \left[ \begin{array} { r } { 0 } \\ { 0 . 1 0 } \\ { 0 . 0 9 } \\ { - 0 . 1 7 } \\ { - 0 . 6 7 } \\ { - 1 . 2 3 } \end{array} \right] \mathrm { k m } .
\begin{array} { r l } & { \eta _ { \operatorname* { m i n } } ^ { + } ( \mu ) = \operatorname* { m i n } \{ \eta _ { 1 } ^ { ( + ) } ( \mu ) , \eta _ { 2 } ^ { ( + ) } ( \mu ) \} , } \\ & { \eta _ { \operatorname* { m a x } } ^ { + } ( \mu ) = \operatorname* { m a x } \{ \eta _ { 1 } ^ { ( + ) } ( \mu ) , \eta _ { 2 } ^ { ( + ) } ( \mu ) \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta \mathcal { F } } & { = 2 \mathrm { R e } \left[ \phi ^ { * } ( \boldsymbol { r } _ { \star } ) \delta \phi ( \boldsymbol { r } _ { \star } ) \right] } \\ & { = \frac { 2 h \omega ^ { 2 } } { D } \mathrm { R e } \left[ \phi ^ { * } ( \boldsymbol { r } _ { \star } ) G ( \boldsymbol { r } _ { \star } , \boldsymbol { r } _ { i } ) \phi ( \boldsymbol { r } _ { i } ) \right] \Delta \rho . } \end{array}
\langle A v _ { 1 } , A v _ { 2 } \rangle = \langle w _ { 1 } , w _ { 2 } \rangle = \langle a v _ { 1 } + b v _ { 2 } , c v _ { 1 } + d v _ { 2 } \rangle = \langle a v _ { 1 } , c v _ { 1 } + d v _ { 2 } \rangle + \langle b v _ { 2 } , c v _ { 1 } + d v _ { 2 } \rangle = a c \langle v _ { 1 } , v _ { 1 } \rangle + a d \langle v _ { 1 } , v _ { 2 } \rangle + b c \langle v _ { 2 } , v _ { 1 } \rangle + b d \langle v _ { 2 } , v _ { 2 } \rangle .
\begin{array} { r l } & { R \left( \{ \mathbf S _ { i , j } ^ { t } \} , \{ \tau _ { j } ^ { t } \} , \{ \rho _ { k } ^ { t } \} , \{ \mathbf v _ { j } ^ { t } \} \right) } \\ & { \overset { ( a ) } { = } r _ { 1 } \left( \Delta ^ { t } \backslash \{ z _ { k } ^ { t } \} , \{ \mathbf v _ { j } ^ { t } \} \right) } \\ & { \overset { ( b ) } { = } r _ { 1 } ^ { \mathrm { l b } } \left( \Delta ^ { t } , \{ \mathbf v _ { j } ^ { t } \} \right) } \\ & { \overset { ( c ) } { \leq } r _ { 1 } ^ { \mathrm { l b } } \left( \Delta ^ { t + 1 } , \{ \mathbf v _ { j } ^ { t } \} \right) } \\ & { \overset { ( d ) } { \leq } r _ { 1 } \left( \Delta ^ { t + 1 } \backslash \{ z _ { k } ^ { t + 1 } \} , \{ \mathbf v _ { j } ^ { t } \} \right) } \\ & { \overset { ( e ) } { = } R \left( \{ \mathbf S _ { i , j } ^ { t + 1 } \} , \{ \tau _ { j } ^ { t + 1 } \} , \{ \rho _ { k } ^ { t + 1 } \} , \{ \mathbf v _ { j } ^ { t } \} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { c ^ { ( S ) } = 2 \, { \frac { \partial \mathcal { S } _ { 0 , 4 } ^ { \ast } ( \xi ) } { \partial \xi } } = - 4 \, { \frac { \partial f _ { \alpha ^ { 2 } } } { \partial \xi } } \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } \end{array} \right] ( \xi ) \Bigg | _ { \alpha = \alpha _ { s } ( \xi , \overline { { \xi } } ) } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { T } \lambda _ { k } ( c _ { k } ) ^ { 2 } ( t ) \, \mathrm d t + \int _ { 0 } ^ { T } ( c _ { k } ^ { \prime } ) ^ { 2 } ( t ) \, \mathrm d t \leq \ } & { ( \vec { \psi } , \vec { \varphi } _ { k } ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \sigma } ) } ^ { 2 } \left( \lambda _ { k } \frac { 8 } { \beta _ { k } ^ { 3 } } + \frac { 1 2 } { \beta _ { k } } \right) + 4 ( \alpha _ { k } ^ { N } ) ^ { 2 } \left( \lambda _ { k } \frac { 3 } { \beta _ { k } } + \frac { 1 } { 2 \beta _ { k } } \right) } \\ & { + \left( \frac { 2 \lambda _ { k } } { \beta _ { k } ^ { 3 } } + \frac { 3 } { \beta _ { k } } \right) 2 T \int _ { 0 } ^ { T } f _ { k } ^ { 2 } ( s ) \, \mathrm d s . } \end{array}
a ^ { \mathrm { r e s i d u a l } } = \sum _ { i = 1 } ^ { 8 } \sum _ { j = - 8 } ^ { 1 2 } n _ { i , j } \delta ^ { i } \tau ^ { j / 8 } + \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } \sum _ { j = - 8 } ^ { 2 4 } n _ { i , j } \delta ^ { i } \tau ^ { j / 8 } \exp \left( - \delta \right) + \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } \sum _ { j = 1 6 } ^ { 5 6 } n _ { i , j } \delta ^ { i } \tau ^ { j / 8 } \exp \left( - \delta ^ { 2 } \right) + \sum _ { i = 2 } ^ { 4 } \sum _ { j = 2 4 } ^ { 3 8 } n _ { i , j } \delta ^ { i } \tau ^ { j / 2 } \exp \left( - \delta ^ { 3 } \right)
\begin{array} { r l } & { \quad \mathrm { ( C a u c h y - S c h w a r z ~ i n e q u a l i t y ~ i n ~ \mathbb { R } ^ { n + 1 } ~ ) } } \\ & { \qquad \le \frac { 2 p } \pi \left[ \sum _ { m = 0 } ^ { M } \frac { 1 } { ( 2 m + 1 ) ^ { 2 } } \right] ^ { \frac 1 2 } \int _ { C _ { a , b } } \left[ \sum _ { m = 0 } ^ { M } \left( \int _ { - \frac h 2 } ^ { \frac { 3 h } { 2 } } \cos \left[ \frac \pi h ( 2 m + 1 ) z \right] \frac { \partial v } { \partial z } ( x , y , z ) \, d z \right) ^ { 2 } \right] ^ { \frac 1 2 } d x d y } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { i j } ^ { ( 1 ) } ( t ) } & { = \rho ^ { ( 0 ) } ( t ) \sum _ { m } \gamma _ { i m } ^ { ( 0 ) } ( t ) \left( \gamma _ { j m } ^ { ( 0 ) } ( t ) \right) ^ { \ast } } \\ & { - \rho _ { i j } ^ { ( 1 ) } ( t ) \sqrt { \sum _ { n } W _ { n \leftarrow i } ^ { ( 1 ) } ( t ) } \sqrt { \sum _ { n } W _ { n \leftarrow j } ^ { ( 1 ) } ( t ) } , } \end{array}
L _ { \mathrm { s p a r s i t y } } \bigl ( \{ \mathbb G \} \bigr ) = \sum _ { \alpha = 1 } ^ { N _ { g } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \sum _ { \substack { j ^ { \prime } = 1 } } ^ { n } \sum _ { \substack { k ^ { \prime } = 1 } } ^ { n } \left| { \mathbb G } _ { \alpha } ^ { ( j k ) } { \mathbb G } _ { \alpha } ^ { ( j ^ { \prime } k ^ { \prime } ) } \right| \Bigl ( 1 - \delta _ { j j ^ { \prime } } \delta _ { k k ^ { \prime } } \Bigr ) ,
\left| ( \widetilde { \chi } _ { 1 } ) _ { 0 } ^ { \omega } \omega \widetilde { f } _ { 0 } ^ { \omega } - ( \widetilde { \chi } _ { 1 } ) _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } { \omega ^ { \prime } } \widetilde { f } _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } \right| = \left| ( \widetilde { \chi } _ { 1 } ) _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } { \omega ^ { \prime } } \widetilde { f } _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } \right| \lesssim | m ^ { \prime \prime } | v ,
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb R ^ { d } } | v | ^ { 2 } M [ f ] \, d v - \int _ { \mathbb R ^ { d } } | v | ^ { 2 } M [ g ] \, d v } & { \le \rho _ { f } | u _ { f } | ^ { 2 } - \rho _ { g } | u _ { g } | ^ { 2 } + C \left| \rho _ { f } ^ { \frac { d + 2 } { d } } - \rho _ { g } ^ { \frac { d + 2 } { d } } \right| } \\ & { \le C \left( | \rho _ { f } - \rho _ { g } | + | u _ { f } - u _ { g } | \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { p q } = } & { \phantom { + } ~ \frac { 1 } { V _ { \mathrm { U C } } } \sum _ { \vec { L } } \sum _ { I } \left[ \frac { \partial E _ { \textrm { T } } } { \partial R _ { I , p } ^ { \vec { L } } } + \frac { \partial E _ { \textrm { J } } } { \partial R _ { I , p } ^ { \vec { L } } } + \frac { \partial E _ { \textrm { N N } } } { \partial R _ { I , p } ^ { \vec { L } } } \right] R _ { I , q } ^ { \vec { L } } } \\ & { + \frac { 1 } { V _ { \mathrm { U C } } } \sum _ { \vec { L } } \sum _ { I } \left[ \frac { \partial E _ { \textrm { S O } } } { \partial R _ { I , p } ^ { \vec { L } } } + \frac { \partial E _ { \textrm { X C } } } { \partial R _ { I , p } ^ { \vec { L } } } \right] R _ { I , q } ^ { \vec { L } } , } \end{array}
H _ { \textrm { t o t } } = \omega _ { 1 } \sigma _ { \textrm { e } } + ( \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } ) \sigma _ { \textrm { g } _ { 2 } } + \omega _ { \textrm { c } } a ^ { \dagger } a + g ( a ^ { \dagger } \sigma _ { \textrm { g } _ { 1 } \textrm { e } } + \textrm { h . ~ c . } ) + \frac { \Omega } { 2 } ( \sigma _ { \textrm { g } _ { 2 } \textrm { e } } e ^ { i \omega _ { \textrm { p } \mathrm { ' } } t } + \textrm { h . ~ c . } ) ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } _ { m , n + \rho } ^ { \kappa } ( z , \overline { { z } } ) } & { = m ! \Gamma ( \rho + 1 ) ( \kappa + m + n + 1 ) _ { \rho } \sum _ { j = 0 } ^ { m \wedge \rho } \frac { ( - 1 ) ^ { j } z ^ { \rho - j } \left( 1 - | z | ^ { 2 } \right) ^ { j } } { j ! ( m - j ) ! \Gamma ( \rho - j + 1 ) } \mathcal { Z } _ { m - j , n } ^ { \kappa + j } ( z , \overline { { z } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb E \left[ \int _ { 0 } ^ { t } \| \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } ( \varphi ^ { ( n ) } - \varphi ^ { ( n - 1 ) } ) \varphi _ { V } \mathbf { P } ( V _ { i } V ) \| _ { q } ^ { p } d s \right] \leq \frac { C } { \delta _ { 0 } ^ { p } } \mathbb E \left[ \int _ { 0 } ^ { t } \| Z ^ { ( n - 1 ) } ( s ) \| _ { p } ^ { p } d s \right] \leq C t \mathbb E \left[ \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , t ] } \| Z ^ { ( n - 1 ) } ( s ) \| _ { p } ^ { p } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } D _ { f } ( M | | L _ { i } ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { x \prec y } \pi ( x ) L _ { i } ( x , y ) f \left( \frac { M ( x , y ) } { L _ { i } ( x , y ) } \right) + \pi ( y ) L _ { i } ( y , x ) f \left( \frac { M ( y , x ) } { L _ { i } ( y , x ) } \right) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { x \prec y } \beta _ { i } f \left( \frac { a } { \beta _ { i } } \right) + \beta _ { i } ^ { \prime } f \left( \frac { a } { \beta _ { i } ^ { \prime } } \right) } \\ & { = \sum _ { x \prec y } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \beta _ { i } f \left( \frac { a } { \beta _ { i } } \right) + \beta _ { i } ^ { \prime } f \left( \frac { a } { \beta _ { i } ^ { \prime } } \right) } \\ & { = \sum _ { x \prec y } \sum _ { \{ i ; ~ \beta _ { i } > 0 ~ \textrm { o r } ~ \beta _ { i } ^ { \prime } > 0 \} } \beta _ { i } f \left( \frac { a } { \beta _ { i } } \right) + \beta _ { i } ^ { \prime } f \left( \frac { a } { \beta _ { i } ^ { \prime } } \right) } \\ & { = : \sum _ { x \prec y } \Phi _ { \beta _ { 1 } , \ldots , \beta _ { n } , \beta _ { 1 } ^ { \prime } , \ldots , \beta _ { n } ^ { \prime } } ( a ) . } \end{array}
\mathbb { E } _ { p _ { G * } } \biggr ( \| ( \Delta \mu ^ { * } , \Delta \Sigma ^ { * } ) \| ^ { 4 } | \widehat { \lambda } _ { n } - \lambda ^ { * } | ^ { 2 } \biggr ) \lesssim \mathbb { E } _ { p _ { G * } } \biggr ( \| ( \Delta \widehat { \mu } _ { n } , \Delta \widehat { \Sigma } _ { n } ) \| ^ { 2 } \| ( \Delta \mu ^ { * } , \Delta \Sigma ^ { * } ) \| ^ { 2 } | \widehat { \lambda } _ { n } - \lambda ^ { * } | ^ { 2 } \biggr ) \lesssim \frac { \log ^ { 2 } ( n ) } { n } ,
\begin{array} { r l } { \Pi _ { \alpha _ { n } } ( A _ { n } | Y ^ { n } ) } & { = \Pi _ { \alpha _ { n } } ( A _ { n } \cap S _ { n } | Y ^ { n } ) \psi _ { n } ( Y ^ { n } ) + \Pi _ { \alpha _ { n } } ( A _ { n } \cap S _ { n } | Y ^ { n } ) ( 1 - \psi _ { n } ( Y ^ { n } ) ) + \Pi _ { \alpha _ { n } } ( A _ { n } \cap S _ { n } ^ { c } | Y ^ { n } ) } \\ & { \leq \psi _ { n } ( Y ^ { n } ) + \Pi _ { \alpha _ { n } } ( A _ { n } \cap S _ { n } | Y ^ { n } ) ( 1 - \psi _ { n } ( Y ^ { n } ) ) + o _ { P } ( 1 ) } \\ & { = \Pi _ { \alpha _ { n } } ( A _ { n } \cap S _ { n } | Y ^ { n } ) ( 1 - \psi _ { n } ( Y ^ { n } ) ) + o _ { P } ( 1 ) . } \end{array}
\sum _ { \substack { 0 \le N < q \, b _ { 0 } ( N ) = b _ { 0 } , \, \, b _ { 1 } ( N ) = b _ { 1 } } } e ^ { p S _ { N } ( r ) } = \exp \left( O \left( \operatorname* { m a x } \{ | p | , 1 \} \right) \right) \sum _ { \substack { 0 \le N < q \, b _ { 0 } ( N ) = b _ { 0 } , \, \, b _ { 1 } ( N ) = b _ { 1 } , \, \, b _ { 2 } ( N ) < a _ { 3 } } } e ^ { p S _ { N } ( r ) } ,
+ \mathbb { E } \{ | b _ { \mathrm { y } } | ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ | a _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } | a _ { \mathrm { y } } | ^ { 2 } \} - \mathbb { E } \{ | b _ { \mathrm { y } } | ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ | a _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ | a _ { \mathrm { y } } | ^ { 2 } \} + 2 \Re \{ - \mathbb { E } \{ b _ { \mathrm { x } } ^ { \ast } b _ { \mathrm { y } } \} \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { 2 } \} \mathbb { E } ^ { \ast } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } \} - \mathbb { E } \{ b _ { \mathrm { x } } ^ { \ast } b _ { \mathrm { y } } \} \mathbb { E } \{ | a _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } ^ { \ast } \} \}
\begin{array} { r l } { \mathrm { D i v } _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } ( X ) } & { = e ^ { x _ { 3 } } \mathrm { D i v } _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \left( \frac { - D u } { \sqrt { 1 + | D u | ^ { 2 } } } \right) + e ^ { x _ { 3 } } \langle N , \textbf { v } \rangle } \\ & { = e ^ { x _ { 3 } } \left( - H + \langle N , \textbf { v } \rangle \right) = - \lambda e ^ { x _ { 3 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { \rho } \mathcal { E } _ { 1 } ^ { \ell } D _ { \rho } ^ { \ell \mathcal { r } , - } + \partial _ { \rho } \mathcal { E } _ { 2 } ^ { \ell } D _ { \rho } ^ { \ell \mathcal { r } , - } + \partial _ { \rho v _ { i } } \mathcal { E } ^ { \ell } D _ { \rho v _ { i } } ^ { \ell \mathcal { r } , - } + \partial _ { \rho S } \mathcal { E } ^ { \ell } D _ { \rho S } ^ { \ell \mathcal { r } , - } } \\ { + \partial _ { \rho } \mathcal { E } _ { 1 } ^ { \mathcal { r } } D _ { \rho } ^ { \mathcal { r } \ell , - } + \partial _ { \rho } \mathcal { E } _ { 2 } ^ { \mathcal { r } } D _ { \rho } ^ { \mathcal { r } \ell , - } + \partial _ { \rho v _ { i } } \mathcal { E } ^ { \mathcal { r } } D _ { \rho v _ { i } } ^ { \mathcal { r } \ell , - } + \partial _ { \rho S } \mathcal { E } ^ { \mathcal { r } } D _ { \rho S } ^ { \mathcal { r } \ell , - } } \\ { = \mathbf { p } ^ { \ell } \cdot \left( f _ { \mathbf { q } , \, k } ^ { \ell \mathcal { r } } - f _ { \mathbf { q } , \, k } ^ { \ell } \right) n _ { k } ^ { \ell \mathcal { r } } + \mathbf { p } ^ { \mathcal { r } } \cdot \left( f _ { \mathbf { q } , \, k } ^ { \mathcal { r } \ell } - f _ { \mathbf { q } , \, k } ^ { \mathcal { r } } \right) n _ { k } ^ { \mathcal { r } \ell } } \\ { = \mathbf { p } ^ { \ell } \cdot \left( f _ { \mathbf { q } , \, k } ^ { \ell \mathcal { r } } - f _ { \mathbf { q } , \, k } ^ { \ell } \right) n _ { k } ^ { \ell \mathcal { r } } + \mathbf { p } ^ { \mathcal { r } } \cdot \left( f _ { \mathbf { q } , \, k } ^ { \mathcal { r } } - f _ { \mathbf { q } , \, k } ^ { \ell \mathcal { r } } \right) n _ { k } ^ { \ell \mathcal { r } } } \\ { = - \left( \mathbf { p } ^ { \mathcal { r } } - \mathbf { p } ^ { \ell } \right) \cdot f _ { \mathbf { q } , \, k } ^ { \ell \mathcal { r } } n _ { k } ^ { \ell \mathcal { r } } + \mathbf { p } ^ { \mathcal { r } } \cdot f _ { \mathbf { q } , \, k } ^ { \mathcal { r } } n _ { k } ^ { \ell \mathcal { r } } - \mathbf { p } ^ { \ell } \cdot f _ { \mathbf { q } , \, k } ^ { \ell } n _ { k } ^ { \ell \mathcal { r } } } \\ { = \left( \mathbf { p } ^ { \mathcal { r } } \cdot f _ { \mathbf { q } , \, k } ^ { \mathcal { r } } - ( v _ { k } L ) ^ { \mathcal { r } } \right) n _ { k } ^ { \ell \mathcal { r } } - \left( \mathbf { p } ^ { \ell } \cdot f _ { \mathbf { q } , \, k } ^ { \ell } - ( v _ { k } L ) ^ { \ell } \right) n _ { k } ^ { \ell \mathcal { r } } = F _ { G } ^ { \mathcal { r } } - F _ { G } ^ { \ell } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { p } = } & { \beta \left[ a _ { 1 } ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { D _ { s - 1 } } + \frac { 1 } { D _ { s + 1 } } \right) + a _ { 2 } ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { D _ { s - 2 } } + \frac { 1 } { D _ { s + 2 } } \right) \right. } \\ & { \left. + a _ { 1 } a _ { 2 } \left( \frac { 1 } { D _ { s - 1 } } + \frac { 1 } { D _ { s + 1 } } + \frac { 1 } { D _ { s - 2 } } + \frac { 1 } { D _ { s + 2 } } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \boldsymbol { \theta } } } & { \quad \mathbb { E } _ { \boldsymbol { Y } \sim { f } ( \cdot \mid \boldsymbol { \theta } ) } [ g ( \boldsymbol { Y } ) \mid \boldsymbol { \theta } ] } \\ { \mathrm { s . t . } } & { \quad \mathbb { E } _ { \boldsymbol { Y } \sim { f } ( \cdot \mid \boldsymbol { \theta } ) } [ h _ { i } ( \boldsymbol { Y } ) ] \leq { b } _ { j } \quad \forall j \in \mathcal { J } \qquad \mathrm { ( E x p e c t a t i o n ~ c o n s t r a i n t s ) } } \\ { \; \mathrm { ~ o r / a n d ~ } \; } & { \mathbb { P } _ { \boldsymbol { Y } \sim { f } ( \cdot \mid \boldsymbol { \theta } ) } [ h _ { j } ( \boldsymbol { Y } ) \leq { b } _ { j } ] \geq { \eta } \quad \forall j \in \mathcal { J } \qquad \mathrm { ( C h a n c e ~ c o n s t r a i n t s ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \vec { D } ( \xi ) ) _ { k } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \alpha } { 1 6 } m _ { 3 , \alpha } ^ { \circ } ( \xi , j _ { k } ) j _ { k } - \frac { \alpha } { 1 6 } j _ { k } \mathtt { B } _ { 1 } ( \xi , j _ { k } ) + \frac { \alpha ^ { 2 } } { 3 2 } j _ { k } \mathtt { B } _ { 2 } ( \xi , j _ { k } ) , } & { \mathrm { ~ i f ~ \xi \in ~ S ^ \perp ~ , } } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ i f ~ \xi ~ = ~ 0 ~ } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { \mathrm { B } } _ { p , q , \mathcal { H } _ { \mathfrak { t } } } ^ { s } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) \simeq \dot { \mathrm { B } } _ { p , q , \mathcal { D } } ^ { s } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) ^ { \binom { n - 1 } { k - 1 } } \times \dot { \mathrm { B } } _ { p , q , \mathcal { N } } ^ { s } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) ^ { \binom { n - 1 } { k } } \mathrm { , ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { Q _ { k } ^ { \prime } : = \{ q \in Q : q \left( V _ { k } ( s _ { k } , \lambda ) - r _ { k } ( s _ { k } , h _ { k } , \lambda , \bar { x } ) - V _ { k + 1 } ( s _ { k + 1 } , \lambda ) \right) ) = 0 \} , k = 1 , . . . , N , } \\ & { Q _ { 0 } ^ { \prime } : = \{ q \in Q : q \left( \nu - V _ { 1 } ( s _ { 1 } , \lambda ) \right) ) = 0 \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| e ^ { \mathsf { m } \varphi } \Delta e ^ { - \mathsf { m } \varphi } w \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } & { \geq C \delta \| ( \nabla w ) \varphi ^ { 1 / 2 } \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + C \mathsf { m } ^ { 3 } \lambda ^ { 4 } \| w \varphi ^ { 3 / 2 } \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + C \mathsf { m } ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } \| ( \nabla \varphi _ { 0 } \cdot \nabla w ) \varphi \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { \quad - C \mathsf { m } \lambda \| ( \nabla w ) \varphi ^ { 1 / 2 } \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } - C \Big ( \delta ^ { 2 } + \delta \mathsf { m } ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } \Big ) \| w \varphi ^ { 3 / 2 } \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { h } ) } ^ { 2 } - C \lambda \delta \| \varphi _ { 0 } \cdot \nabla w \| _ { L ^ { 2 } } \| w \varphi \| _ { L ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { c ( R ) M \bigg \{ \frac { b } { b _ { 0 } } \bigg \{ \left( \frac { 2 3 . 9 9 } { \sqrt { \eta _ { k } } } - 4 0 . 0 5 1 \right) \frac { L _ { 2 } ^ { 2 } } { L _ { 1 } } + ( 1 . 2 0 3 1 L _ { 2 } + 1 . 7 8 6 ) \frac { L _ { 2 } ^ { 2 } } { L _ { 1 } ^ { 2 } } } \\ & { \qquad \qquad \qquad + \frac { 1 . 0 8 9 7 L _ { 2 } - 0 . 5 3 2 2 \log \eta _ { k } } { \eta _ { k } ^ { 2 } } \frac { L _ { 2 } ^ { 2 } } { L _ { 1 } ^ { 2 } } \bigg \} + 1 . 8 \frac { L _ { 2 } ^ { 2 } } { L _ { 1 } ^ { 2 } } \bigg \} \frac { L _ { 1 } } { L _ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d \partial _ { x } ^ { s - 1 } v = } & { - \Big [ \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 1 } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 1 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 1 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \partial _ { x } ^ { s - 1 } ( u ^ { 1 } \partial _ { x } v ^ { 1 } + w ^ { 1 } \partial _ { z } v ^ { 1 } ) } \\ & { \qquad \qquad - \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 2 } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 2 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \partial _ { x } ^ { s - 1 } ( u ^ { 2 } \partial _ { x } v ^ { 2 } + w ^ { 2 } \partial _ { z } v ^ { 2 } ) \Big ] d t } \\ & { + \Big [ \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 1 } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 1 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 1 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \partial _ { x } ^ { s - 1 } \partial _ { z } \sigma ( u ^ { 1 } ) } \\ & { \qquad - \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 2 } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 2 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \partial _ { x } ^ { s - 1 } \partial _ { z } \sigma ( u ^ { 2 } ) \Big ] d W } \\ { = } & { - \left( \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 1 } \| _ { s - 1 } ) - \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 2 } \| _ { s - 1 } ) \right) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 1 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 1 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \partial _ { x } ^ { s - 1 } ( u ^ { 1 } \partial _ { x } v ^ { 1 } + w ^ { 1 } \partial _ { z } v ^ { 1 } ) d t } \\ & { - \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 2 } \| _ { s - 1 } ) \left( \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 1 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 1 } \| _ { L ^ { \infty } } ) - \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 2 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \right) \partial _ { x } ^ { s - 1 } ( u ^ { 1 } \partial _ { x } v ^ { 1 } + w ^ { 1 } \partial _ { z } v ^ { 1 } ) d t } \\ & { - \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 2 } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 2 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \partial _ { x } ^ { s - 1 } \left( u \partial _ { x } v ^ { 1 } + u ^ { 2 } \partial _ { x } v + w \partial _ { z } v ^ { 1 } + w ^ { 2 } \partial _ { z } v \right) d t } \\ & { + \left( \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 1 } \| _ { s - 1 } ) - \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 2 } \| _ { s - 1 } ) \right) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 1 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 1 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \partial _ { x } ^ { s - 1 } \partial _ { z } \sigma ( u ^ { 1 } ) d W } \\ & { + \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 2 } \| _ { s - 1 } ) \left( \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 1 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 1 } \| _ { L ^ { \infty } } ) - \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 2 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \right) \partial _ { x } ^ { s - 1 } \partial _ { z } \sigma ( u ^ { 1 } ) d W } \\ & { + \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 2 } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 2 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \left( \partial _ { x } ^ { s - 1 } \partial _ { z } \sigma ( u ^ { 1 } ) - \partial _ { x } ^ { s - 1 } \partial _ { z } \sigma ( u ^ { 2 } ) \right) d W } \\ { : = } & { ( A _ { 1 } + A _ { 2 } + A _ { 3 } ) d t + ( A _ { 4 } + A _ { 5 } + A _ { 6 } ) d W , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \left( \nabla \varphi ^ { P } , \nabla v ^ { P } \right) _ { \boldsymbol { { L } } ^ { 2 } ( \Omega ) } - \left\langle \partial _ { \boldsymbol { \tau } } \varphi ^ { S } , v ^ { P } \right\rangle _ { \Gamma } } & { - \kappa _ { P } ^ { 2 } \left( \varphi ^ { P } , v ^ { P } \right) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } = \frac { 1 } { \lambda + 2 \mu } \left( f ^ { P } , v ^ { P } \right) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } + \left\langle g _ { \mathbf { n } } , v ^ { P } \right\rangle _ { \Gamma } , } \\ { ( \nabla \varphi ^ { S } , \nabla v ^ { S } ) _ { \boldsymbol { { L } } ^ { 2 } ( \Omega ) } + \langle \partial _ { \boldsymbol { \tau } } \varphi ^ { P } , v ^ { S } \rangle _ { \Gamma } } & { - \kappa _ { S } ^ { 2 } ( \varphi ^ { S } , v ^ { S } ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } = \frac { 1 } { \mu } ( f ^ { S } , v ^ { S } ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } + \left\langle { g } _ { \boldsymbol { \tau } } , v ^ { S } \right\rangle _ { \Gamma } , } \end{array} \right.
\boxed { \langle \mathcal { O } _ { p _ { 1 } } ( X _ { l } A _ { l } ) \left( \mathcal { O } _ { p _ { 2 } } ( X _ { l } A _ { l } ) \right) ^ { \dagger } \rangle = \prod _ { \alpha = 1 } ^ { l } m _ { \alpha } ! \sum _ { p _ { 3 } } C _ { p _ { 1 } p _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { p _ { 3 } ^ { \prime } ; \mathcal { \vec { A } } } \mathcal { O } _ { p _ { 3 } } ( B _ { l } ) }
{ \begin{array} { r l r l } { \mathbb { E } _ { E } \left[ \operatorname* { P r } _ { e \in { \mathrm { B S C } } _ { p } } [ D ( E ( m ) + e ) \neq m ] \right] } & { \leqslant 2 ^ { - { \epsilon ^ { 2 } } n } + \sum _ { y \in B _ { 0 } } p ( y | E ( m ) ) \mathbb { E } [ 1 _ { D ( y ) \neq m } ] } \\ & { \leqslant 2 ^ { - { \epsilon ^ { 2 } } n } + \sum _ { y \in B _ { 0 } } \mathbb { E } [ 1 _ { D ( y ) \neq m } ] } & & { \sum _ { y \in B _ { 0 } } p ( y | E ( m ) ) \leqslant 1 } \\ & { \leqslant 2 ^ { - { \epsilon ^ { 2 } } n } + 2 ^ { k + H ( p + \epsilon ) n - n } } & & { \mathbb { E } [ 1 _ { D ( y ) \neq m } ] \leqslant 2 ^ { k + H ( p + \epsilon ) n - n } { \mathrm { ~ ( s e e ~ a b o v e ) } } } \\ & { \leqslant 2 ^ { - \delta n } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \partial _ { z } \overline { { p } } } & { = - ( \overline { { \rho } } _ { d } + \overline { { \rho } } _ { v } ) g , } \\ { \overline { { p } } } & { = ( \overline { { \rho } } _ { d } R _ { d } + \overline { { \rho } } _ { v } R _ { v } ) \overline { { T } } , } \\ { \frac { \overline { { q } } _ { v } } { \overline { { q } } _ { v s } } \left( \frac { 1 + \overline { { q } } _ { v s } / \epsilon } { 1 + \overline { { q } } _ { v } / \epsilon } \right) } & { = 0 . 2 , } \\ { \overline { { T } } \left( \frac { p _ { \mathrm { r e f } } } { \overline { { p } } } \right) ^ { R _ { d } / c _ { p d } } } & { = T _ { \mathrm { s u r f } } \left( \frac { p _ { \mathrm { r e f } } } { 8 . 5 \times 1 0 ^ { 4 } } \right) ^ { R _ { d } / c _ { p d } } \exp ( 1 . 3 \times 1 0 ^ { - 5 } z ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } \, [ \, \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) ^ { T } \mathbf { d } ^ { ( k ) } \, ] = \, } & { \mathrm { E } \, [ \, \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) ^ { T } \, ( t \, \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) + t \, \boldsymbol { \sigma } _ { 1 } ^ { ( k ) } + \boldsymbol { \sigma } _ { 2 } ^ { ( k ) } ) \, ] } \\ { = \, } & { t \, \mathrm { E } \, [ \, \Vert \, \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) \, \Vert ^ { 2 } \, ] + t \, \mathrm { E } \, [ \, \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) ^ { T } \boldsymbol { \sigma } _ { 1 } ^ { ( k ) } \, ] + \mathrm { E } \, [ \, \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) ^ { T } \boldsymbol { \sigma } _ { 2 } ^ { ( k ) } \, ] . } \end{array}
\mathcal { S } _ { 1 } : = \left\lbrace \left\lVert \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \boldsymbol { \epsilon } _ { t } \boldsymbol { \epsilon } _ { t } ^ { \prime } - \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \boldsymbol { \epsilon } _ { t } \boldsymbol { \epsilon } _ { t } ^ { \prime } \right\rVert _ { \operatorname* { m a x } } \leq C \frac { \sqrt { \log ( N ) } } { \sqrt { T } } \right\rbrace ,
{ \begin{array} { r l } { { \mathcal { T } } \{ A _ { 1 } ( t _ { 1 } ) A _ { 2 } ( t _ { 2 } ) \cdots A _ { n } ( t _ { n } ) \} } & { = \sum _ { p } \theta ( t _ { p _ { 1 } } > t _ { p _ { 2 } } > \cdots > t _ { p _ { n } } ) \varepsilon ( p ) A _ { p _ { 1 } } ( t _ { p _ { 1 } } ) A _ { p _ { 2 } } ( t _ { p _ { 2 } } ) \cdots A _ { p _ { n } } ( t _ { p _ { n } } ) } \\ & { = \sum _ { p } \left( \prod _ { j = 1 } ^ { n - 1 } \theta ( t _ { p _ { j } } - t _ { p _ { j + 1 } } ) \right) \varepsilon ( p ) A _ { p _ { 1 } } ( t _ { p _ { 1 } } ) A _ { p _ { 2 } } ( t _ { p _ { 2 } } ) \cdots A _ { p _ { n } } ( t _ { p _ { n } } ) } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \Gamma _ { e } = \frac { \partial U } { \partial Q } = \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \rho I _ { 3 \times 3 } } & { \vec { u } \delta \rho } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] , } & { } & { \Gamma = \left[ \begin{array} { l l l } { \frac { 1 } { \beta \rho _ { m } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \rho _ { m } I _ { 3 \times 3 } } & { \vec { u } \delta \rho } \\ { \frac { \alpha _ { l } } { \beta \rho _ { m } } } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { F _ { j } \left( x \right) = \int \frac { x ^ { j } } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } d x = } \\ & { } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } \left( a _ { j - 1 } x ^ { j - 1 } + a _ { j - 3 } x ^ { j - 3 } + \ldots + a _ { 0 } \right) \quad i f \quad \textrm { m o d } \left( j , 2 \right) \neq 0 , \ } \\ { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } \left( a _ { j - 1 } x ^ { j - 1 } + a _ { j - 3 } x ^ { j - 3 } + \ldots + a _ { 1 } x \right) - a _ { 1 } \arcsin \left( x \right) \quad i f \quad \textrm { m o d } \left( j , 2 \right) = 0 , } \end{array} \right. } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } & { A ( \eta _ { 1 } ) = \textbf { I } + ( p - 2 ) \frac { \eta _ { 1 } } { | \eta _ { 1 } | } \otimes \frac { \eta _ { 1 } } { | \eta _ { 1 } | } , \ \ \eta _ { 1 } = q _ { \overline { { x } } } + \xi , } \\ & { A ( \eta _ { 2 } ) = \textbf { I } + ( p - 2 ) \frac { \eta _ { 2 } } { | \eta _ { 2 } | } \otimes \frac { \eta _ { 2 } } { | \eta _ { 2 } | } , \ \ \eta _ { 2 } = q _ { \overline { { y } } } + \xi . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \omega , b , \xi , \eta } \quad } & { \frac { \Vert \omega \Vert ^ { 2 } } { 2 } + C _ { 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \xi _ { i } + C _ { 2 } ( \eta _ { 1 } + \eta _ { 2 } ) } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { y _ { i } ( \omega ^ { \top } x ^ { i } - b ) \geq 1 - \xi _ { i } , \quad i \in [ 1 , n ] , } \\ & { \tau - \eta _ { 1 } \leq \sum _ { i = n + 1 } ^ { N } h _ { \omega , b } ( x ^ { i } ) \leq \tau + \eta _ { 2 } , } \\ & { \xi _ { i } \geq 0 , \quad i \in [ 1 , n ] , } \\ & { \eta _ { 1 } , \eta _ { 2 } \geq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { m i n } \quad } & { \sum _ { g \in \cal G } \left( a _ { g } { p _ { g } } ^ { 2 } + b _ { g } p _ { g } + c _ { g } \right) } \\ { \mathrm { s . t } \quad } & { \underline { { p _ { g } } } \leq p _ { g } \leq \overline { { p _ { g } } } , \quad \forall g \in \cal G } \\ & { - \underline { { f } } \leq B _ { f } \theta \leq \overline { { f } } } \\ & { \sum _ { g \in { \cal G } _ { b } } p _ { g } - \sum _ { d \in { \cal D } _ { b } } p _ { d } = B _ { b u s , b } \theta , \quad \forall b \in \cal B } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { I } _ { \pi } ( \rho , u ) \coloneq \int _ { \varUpsilon \times X } \psi ( \rho , u ) \mathrm { d } ( \pi \otimes m ) , \qquad \rho \in L ^ { 1 } ( \pi ) , \, u \in L _ { \mathrm { l o c } } ^ { 1 } ( \pi \otimes m ) ; } \\ & { \mathcal { I } _ { \pi , B } ( \rho , u ) \coloneq \int _ { \varUpsilon \times B } \psi ( \rho , u ) \mathrm { d } ( \pi \otimes m ) , \qquad \rho \in L ^ { 1 } ( \pi ) , \, u \in L _ { \mathrm { l o c } } ^ { 1 } ( \pi \otimes m ) , \, B \in \mathfrak { B } _ { 0 } ( X ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left( \left| \frac { 1 } { s } \left\langle { \boldsymbol Y } _ { * j } ^ { ( k ) } , \tilde { { \boldsymbol u } } ^ { ( k ) } \right\rangle - \| \tilde { { \boldsymbol u } } ^ { ( k ) } \| _ { 2 } \| { \boldsymbol p } \| _ { 2 } r _ { j } ^ { ( k ) } \cos \theta \right| > \frac { \delta _ { 1 } \| { \boldsymbol p } \| _ { 2 } } { 2 } \right) } & { \leq 2 \exp \left( - \frac { \Theta ( \delta _ { 1 } ^ { 2 } \| { \boldsymbol p } \| _ { 2 } ^ { 2 } ) } { \Theta \left( \frac { 1 } { s } \right) + \Theta \left( \delta _ { 1 } \| { \boldsymbol p } \| _ { 2 } / \sqrt { n } \right) } \right) } \\ & { \leq \exp \left( - \Theta ( s \delta _ { 1 } ^ { 2 } \| { \boldsymbol p } \| _ { 2 } ^ { 2 } ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { t } \frac { 1 } { c _ { 1 } - c _ { 2 } \cos ( \xi ( 0 ) - 4 \tau ) } d \tau } \\ & { = \frac { 1 } { 4 } \int _ { \xi ( 0 ) - 4 t } ^ { \xi ( 0 ) } \frac { 1 } { c _ { 1 } - c _ { 2 } \frac { 1 - \tan ( \tau / 2 ) ^ { 2 } } { 1 + \tan ( \tau / 2 ) ^ { 2 } } } d \tau } \\ & { = \frac { 1 } { 4 } \int _ { \xi ( 0 ) - 4 t } ^ { \xi ( 0 ) } \frac { 1 + \tan ( \tau / 2 ) ^ { 2 } } { c _ { 1 } ( 1 + \tan ( \tau / 2 ) ^ { 2 } ) - c _ { 2 } ( 1 - \tan ( \tau / 2 ) ^ { 2 } ) } d \tau } \\ & { = \frac { 1 } { 4 } \int _ { \xi ( 0 ) - 4 t } ^ { \xi ( 0 ) } \frac { 1 + \tan ( \tau / 2 ) ^ { 2 } } { ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) \tan ( \tau / 2 ) ^ { 2 } + c _ { 1 } - c _ { 2 } } d \tau } \\ & { = \frac { 1 } { 4 ( c _ { 1 } - c _ { 2 } ) } \int _ { \xi ( 0 ) - 4 t } ^ { \xi ( 0 ) } \frac { 1 + \tan ( \tau / 2 ) ^ { 2 } } { \frac { c _ { 1 } + c _ { 2 } } { c _ { 1 } - c _ { 2 } } \tan ( \tau / 2 ) ^ { 2 } + 1 } d \tau } \\ & { = \frac { 1 } { 2 ( c _ { 1 } - c _ { 2 } ) } \int _ { \frac { \xi ( 0 ) } { 2 } - 2 t } ^ { \frac { \xi ( 0 ) } { 2 } } \frac { 1 + \tan ( \tau ) ^ { 2 } } { \frac { c _ { 1 } + c _ { 2 } } { c _ { 1 } - c _ { 2 } } \tan ( \tau ) ^ { 2 } + 1 } d \tau } \\ & { = \frac { 1 } { 2 ( c _ { 1 } - c _ { 2 } ) } \int _ { \frac { \xi ( 0 ) } { 2 } - 2 t } ^ { \frac { \xi ( 0 ) } { 2 } } \frac { \frac { d } { d \tau } ( \tan ( \tau ) ) } { \frac { c _ { 1 } + c _ { 2 } } { c _ { 1 } - c _ { 2 } } \tan ( \tau ) ^ { 2 } + 1 } d \tau } \\ & { = \frac { 1 } { 2 ( c _ { 1 } - c _ { 2 } ) } \frac { 1 } { \sqrt { \frac { c _ { 1 } + c _ { 2 } } { c _ { 1 } - c _ { 2 } } } } \int _ { \frac { \xi ( 0 ) } { 2 } - 2 t } ^ { \frac { \xi ( 0 ) } { 2 } } \frac { \frac { d } { d \tau } \left( \sqrt { \frac { c _ { 1 } + c _ { 2 } } { c _ { 1 } - c _ { 2 } } } \tan ( \tau ) \right) } { \left[ \sqrt { \frac { c _ { 1 } + c _ { 2 } } { c _ { 1 } - c _ { 2 } } } \tan ( \tau ) \right] ^ { 2 } + 1 } d \tau . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ^ { - 1 } \underline { { \mathrm { b o } } } _ { 2 j } } & { \simeq \Sigma ^ { 8 j } g ^ { - 1 } \underline { { \mathrm { b o } } } _ { j } \oplus \Sigma ^ { 8 j + 8 , 1 } g ^ { - 1 } \underline { { \mathrm { b o } } } _ { j - 1 } , } \\ { g ^ { - 1 } \underline { { \mathrm { b o } } } _ { 2 j + 1 } } & { \simeq \Sigma ^ { 8 j } g ^ { - 1 } \underline { { \mathrm { b o } } } _ { j } \otimes \underline { { \mathrm { b o } } } _ { 1 } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \int _ { C } L \, d x } & { = \int _ { C _ { 1 } } L ( x , y ) \, d x + \int _ { C _ { 2 } } L ( x , y ) \, d x + \int _ { C _ { 3 } } L ( x , y ) \, d x + \int _ { C _ { 4 } } L ( x , y ) \, d x } \\ & { = \int _ { a } ^ { b } L ( x , g _ { 1 } ( x ) ) \, d x - \int _ { a } ^ { b } L ( x , g _ { 2 } ( x ) ) \, d x . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathcal { X } } \left( u ^ { \top } k ( Z , x ) - u ^ { \top } H ^ { \top } ( H ^ { + } ) ^ { \top } k ( Z , x ) \right) ^ { 2 } \, \mathrm { d } \mu ( x ) } \\ & { = \int _ { \mathcal { X } } \left( u ^ { \top } \left( I _ { \ell } - H ^ { \top } ( H ^ { + } ) ^ { \top } \right) k ( Z , x ) \right) ^ { 2 } \, \mathrm { d } \mu ( x ) } \\ & { = u ^ { \top } \left( I _ { \ell } - H ^ { \top } ( H ^ { + } ) ^ { \top } \right) \left( \int _ { \mathcal { X } } k ( Z , x ) k ( x , Z ) \, \mathrm { d } \mu ( x ) \right) ( I _ { \ell } - H ^ { + } H ) u } \\ & { = u ^ { \top } \left( I _ { \ell } - H ^ { \top } ( H ^ { + } ) ^ { \top } \right) H ^ { \top } H ( I _ { \ell } - H ^ { + } H ) u = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } _ { C o u l } ^ { L } } & { = - \nabla _ { r } \Phi _ { C o u l } ^ { L } ( R , L ) = - ( \frac { \partial \Phi _ { C o u l } ^ { L } } { \partial r _ { 1 } } , \frac { \partial \Phi _ { C o u l } ^ { L } } { \partial r _ { 2 } } , . . . , \frac { \partial \Phi _ { C o u l } ^ { L } } { \partial r _ { N } } ) , } \\ { \frac { \partial \Phi _ { C o u l } ^ { L } } { \partial r _ { t } } } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { N } q _ { t } q _ { j } \nabla _ { r } f _ { L } ( r _ { t , j } ) - \sum _ { i = 1 } ^ { N } q _ { i } q _ { t } \nabla _ { r } f _ { L } ( r _ { i , t } ) , \ t \in [ N ] } \end{array}
\mathbf { P } _ { 1 } ^ { ( \infty ) } = \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } s _ { 0 } ^ { - \frac { \sigma _ { 3 } } { 2 } } f _ { \infty } ^ { - \sigma _ { 3 } } \sigma _ { 2 } f _ { \infty } ^ { \sigma _ { 3 } } s _ { 0 } ^ { \frac { \sigma _ { 3 } } { 2 } } , \quad \mathbf { P } _ { 2 } ^ { ( \infty ) } = \frac { \mathbf { I } } { 3 } - \frac { 2 } { 3 } \left( \alpha + \sqrt { 3 } i { \beta } \right) \sigma _ { 3 } .
\begin{array} { r l } { | \partial _ { t } ( t H _ { t , 1 , 2 } ^ { ( \alpha , \beta ) } ( n , m ) ) | } & { \le C n ^ { \alpha + 1 } m ^ { \alpha } \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { m } } e ^ { - c t \theta ^ { 2 } } ( 1 + t \theta ^ { 2 } ) \theta ^ { 2 \alpha + 5 } d \theta } \\ & { \quad + C n ^ { \alpha + 1 } m ^ { - 1 / 2 } \int _ { \frac { 1 } { m } } ^ { \frac { 1 } { n } } e ^ { - c t \theta ^ { 2 } } ( 1 + t \theta ^ { 2 } ) \theta ^ { \alpha + \frac { 9 } { 2 } } d \theta } \\ & { \quad + C n ^ { - 3 / 2 } m ^ { - 1 / 2 } \int _ { \frac { 1 } { n } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } e ^ { - c t \theta ^ { 2 } } ( 1 + t \theta ^ { 2 } ) \theta ^ { 2 } d \theta , \qquad t > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \sqrt { \pi } \, z ^ { \mu + \frac { 1 } { 2 } } \, \Gamma ( 2 \mu + 1 ) } { 2 ^ { 2 \mu } \, \Gamma ( \frac { 1 } { 2 } ( \mu + \kappa + \frac { 1 } { 2 } ) ) \, \Gamma ( \frac { 1 } { 2 } ( \mu - \kappa + \frac { 1 } { 2 } ) ) \, \Gamma ( \mu + 1 ) } \, \int _ { 0 } ^ { 1 } \xi ^ { \frac { - \kappa + \mu + 1 / 2 } { 2 } - 1 } ( 1 - \xi ) ^ { \frac { \kappa + \mu + 1 / 2 } { 2 } - 1 } \, \mathrm { d } \xi \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { { \sigma _ { p } } } ( \mathcal { U } ^ { ( 4 ) } ) ( y , \eta ) } \\ { = } & { 2 ( 2 \pi ) ^ { - 3 } { { \sigma _ { p } } } ( { Q } _ { g } ) ( y , \eta , q , \zeta ) ( \zeta _ { 0 } ) ^ { 2 } \mathcal { C } ( \zeta ^ { ( 1 ) } , \zeta ^ { ( 2 ) } , \zeta ^ { ( 3 ) } , \zeta ^ { ( 4 ) } ) ( \prod _ { j = 1 } ^ { 4 } { { \sigma _ { p } } } ( v _ { j } ) ( q , \zeta ^ { ( j ) } ) ) , } \end{array}
\Sigma _ { m , n } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { ~ \mathrm { i f } ~ m \neq n } \\ { \left( \begin{array} { l l l l } { \frac { 1 } { 2 } } & { 0 } & { \frac { B _ { m } ^ { 0 } } { 4 } } & { \frac { B _ { m } ^ { 0 } } { 4 } } \\ { 0 } & { \frac { 1 } { 2 } } & { - \frac { A _ { m } ^ { 0 } } { 4 } } & { - \frac { A _ { m } ^ { 0 } } { 4 } } \\ { \frac { B _ { m } ^ { 0 } } { 4 } } & { - \frac { A _ { m } ^ { 0 } } { 4 } } & { \frac { { A _ { m } ^ { 0 } } ^ { 2 } + { B _ { m } ^ { 0 } } ^ { 2 } } { 6 } } & { \frac { { A _ { m } ^ { 0 } } ^ { 2 } + { B _ { m } ^ { 0 } } ^ { 2 } } { 8 } } \\ { \frac { B _ { m } ^ { 0 } } { 4 } } & { - \frac { A _ { m } ^ { 0 } } { 4 } } & { \frac { { A _ { m } ^ { 0 } } ^ { 2 } + { B _ { m } ^ { 0 } } ^ { 2 } } { 8 } } & { \frac { { A _ { m } ^ { 0 } } ^ { 2 } + { B _ { m } ^ { 0 } } ^ { 2 } } { 6 } } \end{array} \right) , } & { ~ \mathrm { i f } ~ m = n . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { C ^ { \prime } ( i , j ) } & { \leq \frac { 2 ( m - 1 ) } { 1 - \lambda _ { 2 } ^ { \prime } } \big ( \frac { 1 } { d _ { i } ^ { \prime } } + \frac { 1 } { d _ { j } ^ { \prime } } \big ) } \\ { R _ { i j } ^ { \prime } } & { \leq \frac { 1 } { 1 - \lambda _ { 2 } ^ { \prime } } \big ( \frac { 1 } { d _ { i } ^ { \prime } } + \frac { 1 } { d _ { j } ^ { \prime } } \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { C ( \hat { \gamma } ; \mu ^ { 0 } , \hat { \mu } ^ { j } ) } & { = K _ { 2 } - 2 \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { 0 } } \sum _ { m = 1 } ^ { N _ { j } } \sum _ { \ell = 1 } ^ { N _ { 0 } } \frac { \hat { \gamma } _ { n , \ell } \gamma _ { \ell , m } ^ { * } } { p _ { \ell } ^ { 0 } } \, x _ { n } ^ { 0 } \cdot x _ { m } ^ { j } } \\ & { = K _ { 2 } - K _ { 1 } + C ( \gamma ; \mu ^ { 0 } , \mu ^ { 1 } ) } \end{array}
T _ { 4 } = - \frac { 1 } { 2 } \iint _ { \Omega ^ { \prime } } A ^ { T } \nabla G \nabla ( u ^ { 2 } ) \, d Y = \frac { 1 } { 2 } \Big ( \int _ { \partial \Omega ^ { \prime } } u ( y ) ^ { 2 } \, d \omega _ { L , \Omega ^ { \prime } } ^ { X _ { * } } ( y ) - u ( X _ { * } ) ^ { 2 } \Big ) \, = \frac { 1 } { 2 } \int _ { \partial \Omega ^ { \prime } } ( u ( y ) - u ( X _ { * } ) ) ^ { 2 } \, d \omega _ { L , \Omega ^ { \prime } } ^ { X _ { * } } ( y ) ,
\begin{array} { r l } { S ( s ) } & { = \left( \begin{array} { c c } { \vert \frac s \eta \vert ^ { \gamma _ { 1 } } } & { \vert \frac s \eta \vert ^ { \gamma _ { 2 } } } \\ { - \frac { \gamma _ { 1 } } { c } \frac s \eta \vert \frac s \eta \vert ^ { \gamma _ { 1 } - 2 } } & { - \frac { \gamma _ { 2 } } { c } \frac s \eta \vert \frac s \eta \vert ^ { \gamma _ { 2 } - 2 } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \vert v _ { i } \vert \geq \vert \beta _ { i } \sigma _ { i } ( u _ { i } ) \vert + O ( \Vert \mathbf { Q } \Vert ^ { i - 1 - \varepsilon } ) } \\ { \geq \frac { 1 } { q } \vert \sigma _ { i } ( u _ { i } ) \vert + O ( \Vert \mathbf { Q } \Vert ^ { i - 1 - \varepsilon } ) } \\ { = \frac { 1 } { q } \vert \sigma _ { i } ( u _ { i } ) \vert ( 1 + o ( 1 ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { w \circ _ { N } [ x , y , z ] } & { = \left[ N ( w ) [ x , y , z ] , N ( w [ x , y , z ] ) , w N ( [ x , y , z ] ) \right] } \\ & { = \left[ N ( w ) x , N ( w ) y , N ( w ) z , N ( w x ) , N ( w y ) , N ( w z ) , w N ( x ) , w N ( y ) , w N ( z ) \right] } \\ & { = \left[ N ( w ) x , N ( w x ) , w N ( x ) , N ( w ) y , N ( w y ) , w N ( y ) , N ( w ) z , N ( w z ) , w N ( z ) \right] } \\ & { = [ w \circ _ { N } x , w \circ _ { N } y , w \circ _ { N } z ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dim H ^ { 1 } ( X , T _ { X } ) = h ^ { 2 , 1 } ( X ) } & { = h ^ { 1 , 1 } ( \check { X } ) = \dim H ^ { 2 } ( \check { X } , \mathbb C ) = \dim { K } _ { \check { X } } ^ { \mathbb C } } \\ { \dim H ^ { 1 } ( \check { X } , T _ { \check { X } } ) = h ^ { 2 , 1 } ( \check { X } ) } & { = h ^ { 1 , 1 } ( X ) = \dim H ^ { 2 } ( X , \mathbb C ) = \dim \mathcal { K } _ { X } ^ { \mathbb C } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { a } { 2 ^ { b } } } + { \frac { c } { 2 ^ { d } } } } & { = { \frac { 2 ^ { d - \operatorname* { m i n } ( b , d ) } a + 2 ^ { b - \operatorname* { m i n } ( b , d ) } c } { 2 ^ { \operatorname* { m a x } ( b , d ) } } } } \\ { { \frac { a } { 2 ^ { b } } } - { \frac { c } { 2 ^ { d } } } } & { = { \frac { 2 ^ { d - \operatorname* { m i n } ( b , d ) } a - 2 ^ { b - \operatorname* { m i n } ( b , d ) } c } { 2 ^ { \operatorname* { m a x } ( b , d ) } } } } \\ { { \frac { a } { 2 ^ { b } } } \cdot { \frac { c } { 2 ^ { d } } } } & { = { \frac { a c } { 2 ^ { b + d } } } } \end{array} }
\mathbf { F } \boldsymbol { \Pi } _ { u 1 } ^ { \mathrm { i n } } \mathbf { F } ^ { T } = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \boldsymbol { \Pi } _ { q 0 } ^ { \mathrm { i n } } } \end{array} \right] + \frac { 1 } { \rho _ { p 1 } ^ { \mathrm { i n } } } \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { - [ \boldsymbol { \beta } _ { p 1 } ^ { \mathrm { i n } } \; 0 ] } \\ { - \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { \beta } _ { p 1 } ^ { \mathrm { i n } } } \\ { 0 } \end{array} \right] } & { \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { \beta } _ { p 1 } ^ { \mathrm { i n } } } \\ { 0 } \end{array} \right] [ \boldsymbol { \beta } _ { p 1 } ^ { \mathrm { i n } } \; 0 ] } \end{array} \right] .
\small \begin{array} { l l } { R i c ( V , W ) } & { = R i c ^ { ( r a n g e F _ { \ast } ) ^ { \bot } } ( V , W ) + \sum _ { j = r + 1 } ^ { m } g _ { 2 } ( \nabla _ { V } ^ { F \bot } W , \nabla ^ { N } g ) g _ { 2 } ( F _ { \ast } X _ { j } , F _ { \ast } X _ { j } ) - \sum _ { j = r + 1 } ^ { m } g _ { 2 } ( V ( g ) F _ { \ast } X _ { j } , W ( g ) F _ { \ast } X _ { j } ) } \\ & { - \sum _ { j = r + 1 } ^ { m } \nabla _ { V } ^ { N } ( g _ { 2 } ( W ( g ) F _ { \ast } X _ { j } , F _ { \ast } X _ { j } ) ) + 2 \sum _ { j = r + 1 } ^ { m } g _ { 2 } ( W ( g ) F _ { \ast } X _ { j } , \nabla _ { V } ^ { N } F _ { \ast } X _ { j } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \Gamma } _ { c , u } } & { = 1 0 ^ { \frac { \sigma _ { z } ^ { 2 } } { 1 0 } } \mathbf { I } _ { N _ { R } } + \sum _ { j = 1 , j \neq u } ^ { N _ { U } } 1 0 ^ { \frac { P _ { c , j } ^ { \mathrm { T X } } } { 1 0 } } \mathbf { H } _ { \tau , c , j , c } \mathbf { H } _ { \tau , c , j , c } ^ { \sf H } } \\ & { + \sum _ { c ^ { \prime } = 1 , c ^ { \prime } \neq c } ^ { N _ { C } } \sum _ { u = 1 } ^ { N _ { U } } 1 0 ^ { \frac { P _ { c ^ { \prime } , u } ^ { \mathrm { T X } } } { 1 0 } } \mathbf { H } _ { \tau , c , u , c ^ { \prime } } \mathbf { H } _ { \tau , c , u , c ^ { \prime } } ^ { \sf H } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( x , t ) = } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } K _ { 2 } ( \xi , x ) \wedge \omega ( \xi , t ) \mathrm { d } \xi } \\ { = } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } K _ { 2 } ( \xi , x ) \wedge \left( \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } p _ { \nu } ( 0 , \eta , t , \xi ) \omega ( \eta , 0 ) \mathrm { d } \eta \right) \mathrm { d } \xi } \\ & { + \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } K _ { 2 } ( \xi , x ) \wedge \left( \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ \left. F ( X _ { s } ^ { \eta } , s ) \right| X _ { t } ^ { \eta } = \xi \right] p _ { \nu } ( 0 , \eta , t , \xi ) \mathrm { d } \eta \mathrm { d } s \right) \mathrm { d } \xi } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \sf D } = \left[ \begin{array} { c c c c } { \mathbf { 1 } _ { 2 } } & & & \\ & { \mathbf { 1 } _ { 2 } } & & \\ & & { \mathbf { 1 } _ { 2 } } & \\ & & & { \mathbf { 1 } _ { 2 } } \end{array} \right] , \ \ { \sf P } } & { = i \left[ \begin{array} { c c c c } { \mathbf { 0 } _ { 2 } } & & & \\ & { \sigma _ { z } } & & \\ & & { \sigma _ { z } } & \\ & & & { \mathbf { 0 } _ { 2 } } \end{array} \right] , } \end{array}
Q Q ^ { \mathrm { T } } A \left( I - H _ { k } H _ { k } ^ { \mathrm { T } } \right) = \widehat { U } \widehat { \Gamma } \widehat { T } ^ { \mathrm { T } } H ^ { \mathrm { T } } - \widehat { U } \widehat { \Gamma } T _ { 1 2 } ^ { \mathrm { T } } H _ { k } ^ { \mathrm { T } } = \widehat { U } \widehat { \Gamma } T _ { 2 2 } ^ { \mathrm { T } } \widehat { H } ^ { \mathrm { T } } .
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { I o n ; M o t i o n } } } & { = g \left( a ^ { \dagger } \sigma _ { \mathrm { + } } + \sigma _ { \mathrm { - } } a \right) , } \\ { H _ { \mathrm { M o t i o n ; R e s e r v o i r 1 } } } & { = \sum _ { \mathrm { q } } g _ { \mathrm { q } } \left[ c _ { \mathrm { q } } ^ { \dagger } a e ^ { - i ( \omega - \omega _ { \mathrm { q } } ) t } + a ^ { \dagger } c _ { \mathrm { q } } e ^ { i ( \omega - \omega _ { \mathrm { q } } ) t } \right] , } \\ { H _ { \mathrm { I o n ; R e s e r v o i r 2 } } } & { = \sum _ { \mathrm { k } } g _ { \mathrm { k } } \left[ \sigma _ { \mathrm { + } } b _ { \mathrm { k } } e ^ { i ( \omega - \omega _ { \mathrm { k } } ) t } + b _ { \mathrm { k } } ^ { \dagger } \sigma _ { \mathrm { - } } e ^ { - i ( \omega - \omega _ { \mathrm { k } } ) t } \right] , } \\ { H _ { \mathrm { \ k e t { 1 } \ b r a { 1 } ; R e s e r v o i r 3 } } } & { = \sum _ { \mathrm { l } } g _ { \mathrm { l } } \left[ \sigma _ { \mathrm { e } } ^ { \dagger } d _ { \mathrm { l } } e ^ { i ( \omega - \omega _ { \mathrm { l } } ) t } + d _ { \mathrm { l } } ^ { \dagger } \sigma _ { \mathrm { e } } e ^ { - i ( \omega - \omega _ { \mathrm { l } } ) t } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { \bar { t } _ { s } } - B _ { \bar { t } _ { s - 1 } } } & { \leq - \frac { \mu \gamma } { 4 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } B _ { t } - \frac { \gamma ^ { 2 } } { 4 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } F _ { t } + \frac { 9 \gamma } { 2 \mu } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } C _ { t } } \\ & { \qquad + \frac { 3 6 I \kappa ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } { \mu \gamma } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } D _ { t } + \frac { 1 8 \kappa ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } { \mu \gamma } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } E _ { t } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { A _ { t } : = - \int _ { 0 } ^ { t } p | \bar { X } _ { s } | ^ { p - 2 } \bar { X } _ { s } \cdot b _ { s } \, d s + \int _ { 0 } ^ { t } \beta ^ { - 1 } p ( p + d - 2 ) | \bar { X } _ { s } | ^ { p - 2 } d s , } \\ & { b _ { t } : = \nabla U ^ { \xi _ { k } } ( \bar { X } _ { T _ { k } } ) , \quad \forall t \in [ T _ { k } , T _ { k + 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ \left\Vert x _ { t + 1 } - x _ { t } \right\Vert ^ { 2 } \right] \leq \frac { \alpha _ { t } ^ { 2 } Q C } { n } \sum _ { \ell = 0 } ^ { Q - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \left[ f _ { i } ( x _ { i , t } ^ { \ell } ) - f _ { i } ^ { * } \right] } \\ & { \quad + \frac { \alpha _ { t } ^ { 2 } Q } { n } \sum _ { \ell = 0 } ^ { Q - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \left[ \left\Vert \nabla f _ { i } ( x _ { i , t } ^ { \ell } ) \right\Vert ^ { 2 } \right] + \alpha _ { t } ^ { 2 } Q ^ { 2 } D . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \delta _ { 1 } ( \zeta , k ) = \exp \Big ( - i \nu _ { 1 } \ln _ { \omega k _ { 4 } } ( k - \omega k _ { 4 } ) - \chi _ { 1 } ( \zeta , k ) \Big ) , } \\ & { \delta _ { 2 } ( \zeta , k ) = \exp \Big ( - i \nu _ { 1 } \ln _ { \omega k _ { 4 } } ( k - \omega k _ { 4 } ) + i \nu _ { 2 } \ln _ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } ( k - \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) - \chi _ { 2 } ( \zeta , k ) \Big ) , } \\ & { \delta _ { 3 } ( \zeta , k ) = \exp \Big ( - i \nu _ { 3 } \ln _ { \omega k _ { 4 } } ( k - \omega k _ { 4 } ) + i \nu _ { 4 } \ln _ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } ( k - \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) - \chi _ { 3 } ( \zeta , k ) \Big ) , } \\ & { \delta _ { 4 } ( \zeta , k ) = \exp \Big ( - i \nu _ { 4 } \ln _ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } ( k - \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) - \chi _ { 4 } ( \zeta , k ) \Big ) , } \\ & { \delta _ { 5 } ( \zeta , k ) = \exp \Big ( - i \nu _ { 5 } \ln _ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } ( k - \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) - \chi _ { 5 } ( \zeta , k ) \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \Omega _ { 0 } } & { = 3 2 . 7 4 0 3 , } & { B } & { = 2 \pi \times 0 . 2 5 0 3 , } \\ { \Omega _ { 1 } } & { = - 3 1 . 1 4 0 4 , } & { \lambda } & { = 0 . 9 3 7 2 \, \Omega , } \\ { \omega _ { \Omega } } & { = 0 . 2 6 6 8 \, \Omega , } & { \delta _ { 0 } } & { = - 0 . 9 4 9 1 \, \Omega , } \\ { \alpha } & { = - 0 . 1 1 3 1 , } \end{array}
\footnotesize \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { l l l } { - \operatorname* { m i n } \{ 1 , \frac { \pi _ { 2 } } { \pi _ { 1 } } \} - \operatorname* { m i n } \{ 1 , \frac { \pi _ { 3 } } { \pi _ { 1 } } \} } & { \operatorname* { m i n } \{ 1 , \frac { \pi _ { 2 } } { \pi _ { 1 } } \} } & { \operatorname* { m i n } \{ 1 , \frac { \pi _ { 3 } } { \pi _ { 1 } } \} } \\ { \operatorname* { m i n } \{ 1 , \frac { \pi _ { 1 } } { \pi _ { 2 } } \} } & { - \operatorname* { m i n } \{ 1 , \frac { \pi _ { 1 } } { \pi _ { 2 } } \} - \operatorname* { m i n } \{ 1 , \frac { \pi _ { 3 } } { \pi _ { 2 } } \} } & { \operatorname* { m i n } \{ 1 , \frac { \pi _ { 3 } } { \pi _ { 2 } } \} } \\ { \operatorname* { m i n } \{ 1 , \frac { \pi _ { 1 } } { \pi _ { 3 } } \} } & { \operatorname* { m i n } \{ 1 , \frac { \pi _ { 2 } } { \pi _ { 3 } } \} } & { - \operatorname* { m i n } \{ 1 , \frac { \pi _ { 1 } } { \pi _ { 3 } } \} - \operatorname* { m i n } \{ 1 , \frac { \pi _ { 2 } } { \pi _ { 3 } } \} } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \left| \mathcal { M } _ { 0 , 4 } ( r _ { 1 } , r _ { 2 } , r _ { 3 } , r _ { 4 } | \sigma ) \right| \geq \left| \mathcal { M } _ { 0 , 4 } ^ { c } ( r _ { 1 } , r _ { 2 } , r _ { 3 } , r _ { 4 } ) \right| - \sum _ { x \in \{ s , t , u \} } \left\lfloor \left( \sigma _ { x } - \frac 1 2 \right) ^ { 2 } \right\rfloor \ . } \end{array}
\Psi : ( B _ { \mathbb { X } ^ { r } } ( 0 , \rho ) \cap \mathbb { X } ^ { 1 + s } ) \times \mathbb { R } ^ { + } \to \mathbb { Y } ^ { s } \index { \textbf { N o n l i n e a r m a p s } ! 1 0 @ \Psi } \mathrm { ~ a n d ~ } \Phi : ( B _ { \mathbb { X } ^ { r } } ( 0 , \rho ) \cap \mathbb { X } ^ { s } ) \times \mathbb { W } _ { s } \to \mathbb { Y } ^ { s } \index { \textbf { N o n l i n e a r m a p s } ! 2 0 @ \Phi }
\begin{array} { r l } { d _ { i } \mathcal { F } _ { \omega } ( G _ { \delta } ( \bar { i } ) ) [ D G _ { \delta } ( \bar { i } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] ] } & { = D ^ { 2 } G _ { \delta } ( \bar { i } ) [ \mathcal { D } _ { \omega } \bar { i } - X _ { K } ( \bar { i } ) , \hat { \textbf { \i } } ] + D G _ { \delta } ( \bar { i } ) \circ L [ \hat { \textbf { \i } } ] } \\ & { = D ^ { 2 } G _ { \delta } ( \bar { i } ) [ D G _ { \delta } ^ { - 1 } [ \mathcal { F } _ { \omega } ( i _ { \delta } ) ] , \hat { \textbf { \i } } ] + D G _ { \delta } ( \bar { i } ) \circ L [ \hat { \textbf { \i } } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \| \boldsymbol { u } \| _ { \boldsymbol { c u r l } , D } ^ { 2 } : = \| \boldsymbol { u } \| _ { 0 , D } ^ { 2 } + \| \nabla \times \boldsymbol { u } \| _ { 0 , D } ^ { 2 } , \ \forall \boldsymbol { u } \in \boldsymbol { H } ( \boldsymbol { c u r l } , D ) , } \\ & { } & { \| \boldsymbol { u } \| _ { d i v , D } ^ { 2 } : = \| \boldsymbol { u } \| _ { 0 , D } ^ { 2 } + \| \nabla \cdot \boldsymbol { u } \| _ { 0 , D } ^ { 2 } , \ \quad \forall \boldsymbol { u } \in \boldsymbol { H } ( d i v , D ) , } \end{array}
\mathbb { E } _ { \substack { n \in [ N ] _ { q } } } f ( n ) \mathbf { 1 } _ { n \in b H } - \mathbb { E } _ { a \in \mathbb { Z } _ { q } ^ { \times } } g ( a ) \mathbf { 1 } _ { a \in b H } = \frac { 1 } { Y } \sum _ { \chi \in D } \chi ( b ) \left( \mathbb { E } _ { \substack { n \in [ N ] _ { q } } } f ( n ) \overline { { \chi } } ( n ) - \mathbb { E } _ { a \in \mathbb { Z } _ { q } ^ { \times } } g ( a ) \overline { { \chi } } ( a ) \right)
\begin{array} { r l r } { \log \tilde { P } _ { s s } } & { = } & { \nu _ { 0 } \boldsymbol { K } \int \boldsymbol { s } ( l ) d l + C _ { 2 } = - \nu _ { 0 } \boldsymbol { K P } \left( \begin{array} { l l } { 1 / \beta _ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 / \beta _ { 2 } } \end{array} \right) \boldsymbol { P } ^ { - 1 } \boldsymbol { s } + C _ { 2 } } \\ & { = } & { - \nu \boldsymbol { K H } ^ { - 1 } \boldsymbol { s } + C _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f ( X _ { T } ^ { \tau _ { \varepsilon } } ) - f ( X _ { 0 } ^ { \tau _ { \varepsilon } } ) } & { = } & { f ( B _ { T } ^ { \tau _ { \varepsilon } } ) - f ( B _ { 0 } ^ { \tau _ { \varepsilon } } ) = \sum _ { k = 1 } ^ { k _ { \varepsilon } } [ f ( B _ { k } ^ { \tau _ { \varepsilon } } ) - f ( B _ { k - 1 } ^ { \tau _ { \varepsilon } } ) ] } \\ & { = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { k _ { \varepsilon } } \sum _ { i = 1 , 2 } \partial _ { i } f ( B _ { k - 1 } ) \mathrm { d } B _ { k } ^ { i } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { k _ { \varepsilon } } \sum _ { i , j = 1 , 2 } \partial _ { i j } ^ { 2 } f ( B _ { k - 1 } ) \mathrm { d } B _ { k } ^ { i } \mathrm { d } B _ { k } ^ { j } } \\ & { } & { + \sum _ { k = 1 } ^ { k _ { \varepsilon } } R _ { 3 } ^ { f } ( B _ { k - 1 } , \mathrm { d } B _ { k } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { z } _ { k + 1 } } & { = \bar { z } _ { k } - \frac { \eta _ { k } } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } g _ { i , k } , } \\ { \check { z } _ { k + 1 } } & { = P _ { 1 } \check { z } _ { k } + \eta _ { k } P _ { 1 } U _ { L , l } \left( \nabla F ( \mathbf { x } ^ { * } ) - \nabla F ( \mathbf { x } ^ { k } ) \right) + \eta _ { k } P _ { 1 } U _ { L , l } \hat { \mathbf { g } } _ { k } } \\ & { \quad + \left( P _ { 1 } - I \right) U _ { L , l } E _ { k } + U _ { L , r } \left( \mathbf { s } _ { k } ^ { * } - \mathbf { s } _ { k + 1 } ^ { * } \right) , } \end{array}
( n ! ) ^ { 3 } \cdot H _ { n } ^ { ( 3 ) } = \left[ { \begin{array} { l } { n + 1 } \\ { 2 } \end{array} } \right] ^ { 3 } - 3 \left[ { \begin{array} { l } { n + 1 } \\ { 1 } \end{array} } \right] \left[ { \begin{array} { l } { n + 1 } \\ { 2 } \end{array} } \right] \left[ { \begin{array} { l } { n + 1 } \\ { 3 } \end{array} } \right] + 3 \left[ { \begin{array} { l } { n + 1 } \\ { 1 } \end{array} } \right] ^ { 2 } \left[ { \begin{array} { l } { n + 1 } \\ { 4 } \end{array} } \right] .
\begin{array} { r l } { ( z _ { 1 } - z _ { 2 } ) ^ { N } \big ( z _ { 1 3 } ^ { n } X ( z _ { 2 3 } ^ { m } Y Z ) - z _ { 2 3 } ^ { m } Y \big ( z _ { 1 3 } ^ { n } X Z ) \big ) } & { = 0 \quad \mathrm { ~ a n d ~ } } \\ { ( z _ { 1 } - z _ { 2 } ) ^ { N } \big ( z _ { 3 2 } ^ { m } \big ( z _ { 3 1 } ^ { n } Z X ) Y - z _ { 3 1 } ^ { n } ( z _ { 3 2 } ^ { m } Z Y ) X \big ) } & { = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial M _ { i } } { \partial t } + \frac { \partial F _ { i \alpha } } { \partial x _ { \alpha } } } & { = \frac { \Tilde { M } _ { i } - M _ { i } } { \tau } ; i = 0 , \cdots , M ; \alpha = 1 , 2 , 3 } \\ { M _ { i } ( t , \mathbf { x } ) } & { = \int \phi _ { i } ( \mathbf { u } ) f _ { \boldsymbol { \beta } } ( \mathbf { u } ; \boldsymbol { \beta } ( t , \mathbf { x } ) ) d ^ { 3 } \mathbf { u } } \\ { F _ { i \alpha } ( t , \mathbf { x } ) } & { = \int u _ { \alpha } \phi _ { i } ( \mathbf { u } ) f _ { \boldsymbol { \beta } } ( \mathbf { u } ; \boldsymbol { \beta } ( t , \mathbf { x } ) ) d ^ { 3 } \mathbf { u } } \\ { \Tilde { M } _ { i } ( t , \mathbf { x } ) } & { = \int \phi _ { i } ( \mathbf { u } ) \Tilde { f } ( t , \mathbf { x } , \mathbf { u } ) d ^ { 3 } \mathbf { u } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi _ { n } : D _ { n } } & { \rightarrow ( [ n - 1 ] \times D _ { n - 1 } ) \cup E _ { n - 1 } } \\ { \sigma } & { \mapsto \left\{ \begin{array} { l l } { ( \sigma ( n ) , \sigma \setminus n ) } & { \mathrm { i f ~ } \sigma \setminus n \in D _ { n - 1 } } \\ { \sigma \setminus n } & { \mathrm { i f ~ } \sigma \setminus n \in E _ { n - 1 } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \kappa ^ { * } ( \partial \Delta ) } & { \le \frac 1 3 ( 1 + \nu ) b ( \Delta _ { \alpha - 1 } ) - \theta t - \zeta \theta \! \! \! \! \sum _ { ! S \in \mathrm { s i d e s } ( \Theta ) } \! \! \! | ! S | _ { \alpha - 1 } } \\ & { \le \frac 2 3 ( 1 + \nu ) b ( \Delta ) - \theta \! \! \! \sum _ { ! S \in \mathrm { s i d e s } ( \Delta ) } \! \! \! | ! S | _ { \alpha } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \dot { x } _ { A } = - r _ { 0 } ( x _ { A } ) + r _ { 1 } ( x _ { A } , x _ { B } ) + r _ { 2 } ( x _ { B } ) } \\ { \dot { x } _ { B } = - 2 r _ { 1 } ( x _ { A } , x _ { B } ) - r _ { 2 } ( x _ { B } ) + r _ { 3 } ( x _ { C } ) + F _ { B } } \\ { \dot { x } _ { C } = r _ { 2 } ( x _ { B } ) - r _ { 3 } ( x _ { C } ) } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } & { _ { a } \mathcal { I } _ { z } ^ { \beta } ( S _ { \mathbf { F } } ^ { \alpha } ( z ) - S _ { \mathbf { F } } ^ { \alpha } ( a ) ) ^ { m } } \\ & { = \frac { \Gamma ( m + 1 ) } { \Gamma ( \beta + m + 1 ) } ( S _ { \mathbf { F } } ^ { \alpha } ( z ) - S _ { \mathbf { F } } ^ { \alpha } ( a ) ) ^ { \beta + m } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { N L L } _ { F _ { i } } ( \theta ) } & { = \sum _ { d = 1 } ^ { D } - \log p ( F _ { i , d } ^ { \mathrm { o b s } } | x , \theta ) } \\ & { = \sum _ { d = 1 } ^ { D } \frac { 1 } { 2 } \Bigg ( \frac { \big ( F _ { i , d } ^ { \mathrm { o b s } } - F _ { i , d } ( x ) \big ) ^ { 2 } } { \sigma _ { F _ { i } } ^ { 2 } ( x ) } + \log \sigma _ { F _ { i } } ^ { 2 } ( x ) + \log 2 \pi \Bigg ) \, . } \end{array}
\mathbb { E } [ e ^ { - \theta \tau _ { t } } | X _ { t } = x ] = \left\{ \begin{array} { l l } { e ^ { - \theta t - \theta \frac { x } { \rho } } } & { \mathrm { f o r ~ t < \ell ~ a n d ~ x \leq \rho ( \ell - t ) ~ } } \\ { e ^ { - \theta t } e ^ { - \beta ( x - \rho ( \ell - t ) ) } } & { \mathrm { f o r ~ t < \ell ~ a n d ~ x > \rho ( \ell - t ) ~ } } \\ { e ^ { - \theta t } e ^ { - \beta x } } & { \mathrm { f o r ~ t \geq \ell ~ } } \end{array} \right. ,
c _ { v } = \left\{ \begin{array} { r l r l } & { 0 , } & { \textrm { i f } } & { v \textrm { h a s d e g r e e } 2 \textrm { o r } 4 , } \\ { + } & { k , } & { \textrm { i f } } & { v \textrm { h a s o u t - d e g r e e } 2 \textrm { a n d i n - d e g r e e } 1 , } \\ { - } & { k , } & { \textrm { i f } } & { v \textrm { h a s o u t - d e g r e e } 1 \textrm { a n d i n - d e g r e e } 2 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \sum _ { e } h _ { e } \| J _ { 2 } \left( \boldsymbol { u } _ { h } \right) \| _ { 0 , e } ^ { 2 } } & { \lesssim } & { C _ { 1 } \sum _ { \tau } \left( h _ { \tau _ { i } } ^ { 2 } \left( \| R _ { 3 } \left( \boldsymbol { u } _ { h } \right) \| _ { 0 , \tau _ { i } } ^ { 2 } + \| \nabla \cdot \left( \boldsymbol { f } - \boldsymbol { f } _ { h } \right) \| _ { 0 , \tau _ { i } } ^ { 2 } \right) \right. } \\ & { } & { \left. + \left\| \boldsymbol { f } - \boldsymbol { f } _ { h } \right\| _ { 0 , \tau _ { i } } ^ { 2 } + \left\| \boldsymbol { u } - \boldsymbol { u } _ { h } \right\| _ { 0 , \tau _ { i } } ^ { 2 } \right) } \\ & { \lesssim } & { C _ { 1 } \Big ( \| \boldsymbol { u } - \boldsymbol { u } _ { h } \| _ { 0 , \Omega } ^ { 2 } + \| \boldsymbol { f } - \boldsymbol { f } _ { h } \| _ { 0 , \Omega } ^ { 2 } + h _ { \tau } ^ { 2 } \| \nabla \cdot \left( \boldsymbol { f } - \boldsymbol { f } _ { h } \right) \| _ { 0 , \Omega } ^ { 2 } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { m _ { 1 } } ^ { n } ( g _ { n } ) } & { = \sum _ { \pi \in \sigma _ { n } } ( - 1 ) ^ { \pi } \left( \sum _ { \alpha _ { 1 } = 1 } ^ { m _ { 1 } } w _ { \alpha _ { 1 } } g ( x _ { 1 } , x _ { \pi ( 1 ) } , s _ { 1 , { \alpha _ { 1 } } } ) \right) \cdots \left( \sum _ { \alpha _ { n } = 1 } ^ { m _ { 1 } } w _ { \alpha _ { n } } g ( x _ { n } , x _ { \pi ( n ) } , s _ { n , { \alpha _ { n } } } ) \right) } \\ & { = \sum _ { \pi \in \sigma _ { n } } \left( ( - 1 ) ^ { \pi } \sum _ { \alpha _ { 1 } , \cdots , \alpha _ { n } = 1 } ^ { m _ { 1 } } \prod _ { i = 1 } ^ { n } w _ { \alpha _ { i } } g ( x _ { i } , x _ { \pi ( i ) } , s _ { i , \alpha _ { i } } ) \right) } \\ & { = \sum _ { \alpha _ { 1 } , \cdots , \alpha _ { n } = 1 } ^ { m _ { 1 } } \left( \left( \prod _ { i = 1 } ^ { n } w _ { \alpha _ { i } } \right) \sum _ { \pi \in \sigma _ { n } } ( - 1 ) ^ { \pi } \prod _ { i = 1 } ^ { n } g ( x _ { i } , x _ { \pi ( i ) } , s _ { i , \alpha _ { i } } ) \right) } \\ & { = \sum _ { \alpha _ { 1 } , \cdots , \alpha _ { n } = 1 } ^ { m _ { 1 } } \left( \left( \prod _ { i = 1 } ^ { n } w _ { \alpha _ { i } } \right) g _ { n } ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { n } , s _ { 1 , \alpha _ { 1 } } , \cdots , s _ { n , \alpha _ { n } } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 2 c \sum _ { k = 1 } ^ { K } | | \widetilde { \Theta } _ { k } - \Theta _ { 0 k } | | _ { F } ^ { 2 } + \lambda \sum _ { k = 1 } ^ { K } | | \Delta _ { k } ^ { - } | | _ { 1 } } \\ { \leq } & { 4 \lambda \sum _ { k = 1 } ^ { K } | | \Delta _ { k S _ { k } } ^ { - } | | _ { 1 } + 2 \sum _ { k = 1 } ^ { K } \Big \{ | | \widehat { \Sigma } _ { k } ^ { + } - \Sigma _ { 0 k } ^ { + } | | _ { F } | | \widetilde { \Theta } _ { k } ^ { + } - \Theta _ { 0 k } ^ { + } | | _ { F } \Big \} } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } _ { 1 } ^ { R } = \frac { 2 } { m _ { 1 } + 2 } \mathbf { x } _ { 1 } ^ { L } - \mathbf { x } _ { 2 } ^ { L } , } \\ { \mathbf { x } _ { 2 } ^ { R } = \frac { m _ { 1 } ( m _ { 1 } + m _ { 2 } + 2 ) } { ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) ( 2 + m _ { 1 } ) } \mathbf { x } _ { 1 } ^ { L } + \frac { m _ { 2 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } \mathbf { x } _ { 2 } ^ { L } , } \end{array} \right. \quad \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { p } _ { 1 } ^ { R } = \frac { m _ { 2 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } \mathbf { p } _ { 1 } ^ { L } - \frac { m _ { 1 } ( m _ { 1 } + m _ { 2 } + 2 ) } { ( m _ { 1 } + 2 ) ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) } \mathbf { p } _ { 2 } ^ { L } , } \\ { \mathbf { p } _ { 2 } ^ { R } = \mathbf { p } _ { 1 } ^ { L } + \frac { 2 } { 2 + m _ { 1 } } \mathbf { p } _ { 2 } ^ { L } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r l } & { \langle \Psi _ { 0 } | \dag , c _ { A , k } ^ { \dagger } c _ { A , k ^ { \prime } } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle = \sum _ { i , i ^ { \prime } = 1 } ^ { n _ { A } } \tilde { P } _ { i k } \tilde { P } _ { k ^ { \prime } i ^ { \prime } } ^ { \dagger } \rho _ { i i ^ { \prime } } \dag } & { \dag ; = \left[ \frac { 1 } { \sqrt { P ^ { \dagger } P } } P ^ { \dagger } P P ^ { \dagger } P \frac { 1 } { \sqrt { P ^ { \dagger } P } } \right] _ { k ^ { \prime } k } \dag } & { \dag ; = \left[ P ^ { \dagger } P \right] _ { k ^ { \prime } k } = \delta _ { k k ^ { \prime } } n _ { k k } ^ { 0 } \dag , . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \langle \mathbf { e } _ { i } , \mathcal { P } _ { S } \mathbf { e } _ { j } \rangle \right| } & { \prec \frac { N ^ { 4 \epsilon } } { N \Delta _ { 1 } ( \widehat { a } _ { i } ) ^ { 2 } \Delta _ { 1 } ( \widehat { a } _ { j } ) ^ { 2 } } + \frac { 1 } { N \delta _ { \pi _ { a } ( i ) } ( S _ { 1 } ) } \left( \frac { 1 } { \delta _ { \pi _ { j } ( S _ { 1 } ) } } + \frac { 1 } { \Delta _ { 1 } ( \widehat { a } _ { j } ) ^ { 2 } } \right) + \frac { \Delta _ { 1 } ( \widehat { a } _ { j } ) } { \sqrt { N } \delta _ { \pi _ { a } ( i ) , \pi _ { a } ( j ) } ^ { a } } } \\ & { \prec N ^ { 4 \epsilon } \left[ \frac { 1 } { N \Delta _ { 1 } ( \widehat { a } _ { i } ) ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { \delta _ { \pi _ { j } ( S _ { 1 } ) } } + \frac { 1 } { \Delta _ { 1 } ( \widehat { a } _ { j } ) ^ { 2 } } \right) + \frac { 1 } { \sqrt { N } \Delta _ { 1 } ( \widehat { a } _ { i } ) \Delta _ { 1 } ( \widehat { a } _ { j } ) } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { A } ^ { * } ( p _ { A \mathrm { W } } , p _ { A \mathrm { M } } ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } } & { \{ h ( p _ { \mathrm { W } A } ^ { \prime } ) g ( p _ { A \mathrm { W } } ; f _ { \mathrm { W } } ^ { \mathrm { C } } ( p _ { \mathrm { W W } } ^ { \prime } ) , \rho _ { \mathrm { W } } ^ { - 1 } s ^ { 2 } ) g ( p _ { A \mathrm { M } } ; f _ { \mathrm { M } } ^ { \mathrm { C } } ( p _ { \mathrm { W M } } ^ { \prime } ) , \rho _ { \mathrm { M } } ^ { - 1 } s ^ { 2 } ) } \\ & { + ( 1 - h ( p _ { \mathrm { W } A } ^ { \prime } ) ) g ( p _ { A \mathrm { W } } ; f _ { \mathrm { W } } ^ { \mathrm { D } } ( p _ { \mathrm { W W } } ^ { \prime } ) , \rho _ { \mathrm { W } } ^ { - 1 } s ^ { 2 } ) g ( p _ { A \mathrm { M } } ; f _ { \mathrm { M } } ^ { \mathrm { D } } ( p _ { \mathrm { W M } } ^ { \prime } ) , \rho _ { \mathrm { M } } ^ { - 1 } s ^ { 2 } ) \} } \\ & { \times \Phi _ { \mathrm { W } } ^ { * } ( p _ { \mathrm { W W } } ^ { \prime } , p _ { \mathrm { W M } } ^ { \prime } ) \mathrm { d } p _ { \mathrm { W W } } ^ { \prime } \mathrm { d } p _ { \mathrm { W M } } ^ { \prime } . } \end{array}
\mathcal { X } = \frac { 2 B ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) G + 3 \xi _ { 1 } ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) \Gamma ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) } { 4 B ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) + 2 4 ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) ^ { 2 } \Gamma ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) + 2 L _ { 1 } \Gamma ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) G + 6 4 0 0 c _ { 1 } ^ { 2 } c _ { 4 } ^ { 2 } \tau ^ { 3 } \Gamma ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) + 8 c _ { 1 } ^ { 2 } \tau ^ { 2 } \Gamma ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) } ,
\prod _ { \substack { ( a , b , c , d ) = 1 \, a , b , c , d \geq 1 } } \left( \frac { 1 } { 1 - w ^ { a } x ^ { b } y ^ { c } z ^ { d } } \right) ^ { \frac { 1 } { a ^ { r } b ^ { s } c ^ { t } d ^ { u } } } = \exp \left\{ \left( \sum _ { h = 1 } ^ { \infty } \frac { w ^ { h } } { h ^ { r } } \right) \left( \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \frac { x ^ { i } } { i ^ { s } } \right) \left( \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \frac { y ^ { j } } { j ^ { t } } \right) \left( \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { z ^ { k } } { k ^ { u } } \right) \right\} .
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \lambda } \int _ { \{ \zeta > 0 \} } \lambda \frac { 2 } { \lambda ^ { 2 } } \int _ { [ \pm \lambda , 0 ] } \int _ { [ \sigma , 0 ] } | f ( r _ { * } ( \tau , z ) + k , z ) | \ d k \, d \sigma \, d \tau \, d z } \\ { \quad \quad } & { = \int _ { \Sigma } \frac { 2 } { \lambda } \int _ { [ \pm \lambda , 0 ] } \int _ { [ \sigma , 0 ] } | f ( \tau + k , z ) | \, d k \, d \sigma | \nu _ { t } | d \mathcal { H } ^ { d } ( \tau , z ) } \\ & { = \frac { 2 } { \lambda } \int _ { [ \pm \lambda , 0 ] } \int _ { [ \sigma , 0 ] } \int _ { \Sigma } | f ( \tau + k , z ) | | \nu _ { t } ( \tau , z ) | d \mathcal { H } ^ { d } ( \tau , z ) d k \, d \sigma } \\ & { = \frac { 2 } { \lambda } \int _ { [ \pm \lambda , 0 ] } \int _ { [ \sigma , 0 ] } \int _ { \Sigma } | f ( \tau + k , z ) | | \nu _ { t } ( \tau , z ) | d \mathcal { H } ^ { d } ( \tau , z ) d k \, d \sigma } \\ & { = \frac { 2 } { \lambda } \int _ { [ \pm \lambda , 0 ] } \int _ { \{ 0 < \pm ( \tau - r _ { * } ( \tau , z ) ) < \sigma \} } | f ( \tau , z ) | d \tau \, d z \, d \sigma } \\ & { \leq 2 \int _ { \{ 0 < \pm ( \tau - r _ { * } ( \tau , z ) ) < \lambda \} } | f ( \tau , z ) | d \tau \, d z . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { \Delta \in ( 0 , \infty ) } \left\{ e \Delta \left( 1 - \mathbb { P } _ { Q _ { \Delta } } \left( \widehat { a } _ { T } = 1 \right) \right) + ( 1 - e ) \Delta \left( 1 - \mathbb { P } _ { Q _ { \Delta } } \left( \widehat { a } _ { T } = 2 \right) \right) + O ( \Delta ^ { 2 } ) \right\} } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { \Delta \in ( 0 , \infty ) } \Big \{ e \Delta \left( 1 - \mathbb { P } _ { P ^ { \sharp \sharp } } \left( \widehat { a } _ { T } = 1 \right) + \mathbb { P } _ { P ^ { \sharp \sharp } } \left( \widehat { a } _ { T } = 1 \right) - \mathbb { P } _ { Q _ { \Delta } } \left( \widehat { a } _ { T } = 1 \right) \right) } \\ & { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + ( 1 - e ) \Delta \left( 1 - \mathbb { P } _ { P ^ { \sharp \sharp } } \left( \widehat { a } _ { T } = 2 \right) + \mathbb { P } _ { P ^ { \sharp \sharp } } \left( \widehat { a } _ { T } = 2 \right) - \mathbb { P } _ { Q _ { \Delta } } \left( \widehat { a } _ { T } = 2 \right) \right) + O ( \Delta ^ { 2 } ) \Big \} } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { \Delta \in ( 0 , \infty ) } \Bigg \{ e \Delta \left( 1 - \mathbb { P } _ { P ^ { \sharp \sharp } } \left( \widehat { a } _ { T } = 1 \right) - \sqrt { \frac { \mathbb { E } _ { P ^ { \sharp \sharp } } \left[ L _ { T } ( P ^ { \sharp \sharp } , Q _ { \Delta } ) \right] } { 2 } } \right) } \\ & { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + ( 1 - e ) \Delta \left( 1 - \mathbb { P } _ { P ^ { \sharp \sharp } } \left( \widehat { a } _ { T } = 2 \right) - \sqrt { \frac { \mathbb { E } _ { P ^ { \sharp \sharp } } \left[ L _ { T } ( P ^ { \sharp \sharp } , Q _ { \Delta } ) \right] } { 2 } } \right) + O ( \Delta ^ { 2 } ) \Bigg \} } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { \Delta \in ( 0 , \infty ) } \left\{ e \Delta \left( 1 - \frac { 1 } { 2 } - \sqrt { \frac { \mathbb { E } _ { P ^ { \sharp \sharp } } \left[ L _ { T } ( P ^ { \sharp \sharp } , Q _ { \Delta } ) \right] } { 2 } } \right) + ( 1 - e ) \Delta \left( 1 - \frac { 1 } { 2 } - \sqrt { \frac { \mathbb { E } _ { P ^ { \sharp \sharp } } \left[ L _ { T } ( P ^ { \sharp \sharp } , Q _ { \Delta } ) \right] } { 2 } } \right) + O ( \Delta ^ { 2 } ) \right\} } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { \Delta \in ( 0 , \infty ) } \left\{ \Delta \left( \frac { 1 } { 2 } - \sqrt { \frac { \mathbb { E } _ { P ^ { \sharp \sharp } } \left[ L _ { T } ( P ^ { \sharp \sharp } , Q _ { \Delta } ) \right] } { 2 } } \right) + O ( \Delta ^ { 2 } ) \right\} } \\ & { \geq \operatorname* { i n f } _ { w \in \mathcal { W } } \operatorname* { s u p } _ { \Delta \in ( 0 , \infty ) } \left\{ \Delta \left( \frac { 1 } { 2 } - \sqrt { \frac { T \Delta ^ { 2 } } { 2 \mathbb { E } _ { P } \left[ \frac { \left( \sigma ^ { 1 } ( X _ { t } ) \right) ^ { 2 } } { w ( 1 | X ) } + \frac { \left( \sigma ^ { 2 } ( X ) \right) ^ { 2 } } { w ( 2 | X _ { t } ) } \right] } + O \big ( T \Delta ^ { 3 } ) } \right) + O ( \Delta ^ { 2 } ) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { J } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } } & { = \imath _ { \xi } L _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } - \imath _ { \mathrm { X } _ { \xi } } \Theta _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } = \imath _ { \xi } \widetilde { \Phi } ^ { * } L _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } - \imath _ { \mathrm { X } _ { \xi } } \big ( \widetilde { \Phi } ^ { * } \Theta _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } + \mathrm { d } ( \star _ { g } \; \mathcal { U } ) \big ) } \\ & { = \widetilde { \Phi } ^ { * } \mathcal { J } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } - \imath _ { \mathrm { X } _ { \xi } } \mathrm { d } ( \star _ { g } \; \mathcal { U } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( s ) - 1 } & { = \frac 1 \beta \int _ { - d \le \tau _ { 1 } \le s } d \tau \ u ( \tau ) \frac { 1 } { 1 + \tau ^ { 2 } } ( 1 - \exp ( - K ( s - \tau + \frac 1 3 ( s ^ { 3 } - \tau ^ { 3 } ) ) ) ) } \\ { \vert u ( s ) - 1 \vert } & { \le \frac 1 \beta \int _ { - d \le \tau \le s _ { 1 } } d \tau \ \frac 1 { 1 + \tau ^ { 2 } } + \frac 1 \beta \int _ { t _ { 1 } \le \tau _ { 1 } \le s } d \tau \ u ( \tau ) \frac { 1 } { 1 + \tau ^ { 2 } } } \\ & { \le \frac { \pi } { \beta } + \frac 1 { \beta s _ { 1 } } \vert u \vert _ { L _ { s } ^ { \infty } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { \phi } } _ { 0 } ( \theta _ { 1 } ) - \overline { { \phi } } _ { 0 } ( \theta _ { 2 } ) } & { = \mathbb { E } [ ( 1 - Y _ { i 2 } ) e ^ { \theta _ { 1 } X _ { i 2 } } - ( 1 - Y _ { i 1 } ) \, | \, X _ { i 1 } = 0 ] - \mathbb { E } [ ( 1 - Y _ { i 2 } ) e ^ { \theta _ { 2 } X _ { i 2 } } - ( 1 - Y _ { i 1 } ) \, | \, X _ { i 1 } = 0 ] } \\ & { = \mathbb { E } [ ( 1 - Y _ { i 2 } ) ( e ^ { \theta _ { 1 } X _ { i 2 } } - e ^ { \theta _ { 2 } X _ { i 2 } } ) \, | \, X _ { i 1 } = 0 ] } \\ & { = ( e ^ { \theta _ { 1 } } - e ^ { \theta _ { 2 } } ) \mathbb { E } [ ( 1 - Y _ { i 2 } ) X _ { i 2 } \, | \, X _ { i 1 } = 0 ] } \\ & { = ( e ^ { \theta _ { 1 } } - e ^ { \theta _ { 2 } } ) \mathbb { E } [ ( 1 - F ( \theta + \alpha _ { i } ) ) X _ { i 2 } \, | \, X _ { i 1 } = 0 ] } \\ & { = \underbrace { ( e ^ { \theta _ { 1 } } - e ^ { \theta _ { 2 } } ) } _ { > 0 } \int _ { { \cal { S } } } \sum _ { y _ { 1 } = 0 } ^ { 1 } \underbrace { ( 1 - F ( \theta + \alpha ) ) G _ { y _ { 1 } , 0 } ^ { 2 } ( \alpha ) F ( \alpha ) ^ { y _ { 1 } } ( 1 - F ( \alpha ) ) ^ { 1 - y _ { 1 } } \pi _ { 0 } ( \alpha ) } _ { > 0 \mathrm { ~ b y ~ A s s u m p t i o n ~ } } d \mu ( \alpha ) } \\ & { > 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \lVert \mathcal { T } _ { \mathcal { U } } ^ { * } v - \mathcal { T } _ { \mathcal { U } } ^ { * } u \rVert _ { \infty } \leq \gamma \lVert u - v \rVert _ { \infty } , \qquad \lVert \mathcal { T } _ { \mathcal { U } } ^ { \pi } v - \mathcal { T } _ { \mathcal { U } } ^ { \pi } u \rVert _ { \infty } \leq \gamma \lVert u - v \rVert _ { \infty } , \qquad \forall \pi , u , v . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 2 } \int _ { 1 } ^ { r } \frac { \mathrm { d } r } { ( 1 - r ) ^ { n } } } & { = - \int _ { 0 } ^ { t } \frac { c _ { 1 } } { \frac { 1 } { R T } - c _ { 3 } } \frac { 1 } { t } \exp \left[ - ( n - 1 ) \left( c _ { 0 } + c _ { 1 } \frac { \ln t - c _ { 2 } } { \frac { 1 } { R T } - c _ { 3 } } \right) \right] \mathrm { d } t } \\ { \int _ { 1 } ^ { r } \frac { \mathrm { d } r } { ( 1 - r ) ^ { n } } } & { = - \int _ { 0 } ^ { t } \frac { c _ { 1 } } { \ln ( \frac { 1 } { R T } ) - c _ { 3 } } \frac { 1 } { t } \exp \left[ - ( n - 1 ) \left( c _ { 0 } + c _ { 1 } \frac { \ln t - c _ { 2 } } { \ln ( \frac { 1 } { R T } ) - c _ { 3 } } \right) \right] \mathrm { d } t } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { * } [ E \geqslant q S ( \tau _ { \rho } ) ] } & { = \mathbb { E } _ { * } \big [ \mathrm { e } ^ { - q S ( \tau _ { \rho } ) } \big ] = \frac { \alpha \sin ( \pi \alpha ) } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \rho } x ^ { \alpha - 1 } \int _ { r } ^ { \infty } \mathrm { e } ^ { - q t } ( t - x ) ^ { - \alpha - 1 } \mathrm { d } t \, \mathrm { d } x } \\ & { = \frac { \alpha \sin ( \pi \alpha ) } { \pi } \int _ { 0 } ^ { q \rho } x ^ { \alpha - 1 } \int _ { q \rho } ^ { \infty } \mathrm { e } ^ { - t } ( t - x ) ^ { - \alpha - 1 } \mathrm { d } t \, \mathrm { d } x } \\ & { \geqslant \frac { \alpha \sin ( \pi \alpha ) } { \pi } \int _ { 0 } ^ { q \rho } x ^ { \alpha - 1 } \mathrm { d } x \int _ { q \rho } ^ { \infty } \mathrm { e } ^ { - t } t ^ { - \alpha - 1 } \mathrm { d } t = \frac { \sin ( \pi \alpha ) } { \pi } ( q \rho ) ^ { \alpha } \Gamma ( - \alpha , q \rho ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { Q } _ { 1 } ( s ) : = \frac { \exp ( 2 l s ^ { \alpha } ) \cosh ( ( l _ { 1 } - l _ { 2 } ) s ^ { \alpha } ) } { \cosh ( l _ { 1 } s ^ { \alpha } ) \cosh ( l _ { 2 } s ^ { \alpha } ) } = \frac { \exp ( - 2 ( l _ { 1 } - l ) s ^ { \alpha } ) + \exp ( - 2 ( l _ { 2 } - l ) s ^ { \alpha } ) } { ( 1 + \exp ( - 2 l _ { 1 } s ^ { \alpha } ) ) ( 1 + \exp ( - 2 l _ { 2 } s ^ { \alpha } ) ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { X ( \mathcal { H } ) = ( \overline { { \Sigma } } \times \triangle ) \cup _ { \overline { { \Sigma } } \times e _ { \gamma } } ( \overline { { U } } _ { \gamma } \times e _ { \gamma } ) \cup _ { \overline { { \Sigma } } \times e _ { \delta } } ( \overline { { U } } _ { \delta } \times e _ { \delta } ) \cup _ { \overline { { \Sigma } } \times e _ { \varepsilon } } ( \overline { { U } } _ { \varepsilon } \times e _ { \varepsilon } ) , } \end{array}
c \int _ { 1 } ^ { R _ { \infty } } | u ^ { \prime } | ^ { 2 } + ( \Lambda + \widetilde { \omega } ^ { 2 } ) | u | ^ { 2 } \, d r \, \leq \int _ { \mathbb { R } } \Re ( ( f ^ { \prime } + h ) u \overline { { H } } + 2 f u ^ { \prime } \overline { { H } } ) + E \int _ { \mathbb { R } } ( \chi _ { K } \widetilde { \omega } + \chi _ { T } \omega ) \Re ( i u \overline { { H } } ) \, d r _ { * } ,
\begin{array} { r l } { T . \lambda \circ \lambda } & { = T ^ { 2 } . h \circ ( T . 0 \circ \lambda , T . \lambda \circ 0 \circ 1 ^ { \mathbb { R } } \circ ! ) } \\ & { = T ^ { 2 } . h \circ ( T . 0 \circ T . h \circ ( 0 , \lambda \circ 1 ^ { \mathbb { R } } \circ ! ) , 0 \circ \lambda \circ 1 ^ { \mathbb { R } } \circ ! ) } \\ & { = T ^ { 2 } . h \circ ( T ^ { 2 } . h \circ ( T 0 \circ 0 , T 0 \circ \lambda \circ 1 ^ { \mathbb { R } } \circ ! ) , 0 \circ \lambda \circ 1 ^ { \mathbb { R } } \circ ! ) } \\ & { = T ^ { 2 } . h \circ ( T . 0 \circ 0 , ( T . 0 \circ \lambda \circ 1 ^ { \mathbb { R } } \circ ! ) \cdot _ { T ^ { 2 } . \mathbb { R } } ( 0 . T \circ \lambda \circ 1 ^ { \mathbb { R } } \circ ! ) ) } \\ & { = T ^ { 2 } . h \circ ( \ell \circ 0 , \ell \circ \lambda \circ 1 ^ { \mathbb { R } } \circ ! ) } \\ & { = \ell \circ T . h \circ ( 0 , \lambda \circ 1 ^ { \mathbb { R } } \circ ! ) } \\ & { = \ell \circ \lambda . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } \left[ \| F _ { v _ { 1 } } ( \hat { x } _ { 1 } ) - F _ { v _ { 0 } } ( \hat { x } _ { 0 } ) \| ^ { 2 } \right] } & { = } & { \mathbb { E } \left[ \| F _ { v _ { 1 } } ( \hat { x } _ { 1 } ) - F _ { v _ { 0 } } ( x _ { 0 } ) \| ^ { 2 } \right] } \\ & { \leq } & { ( 1 + \alpha ) \mathbb { E } \left[ \| F ( \hat { x } _ { 1 } ) - F ( x _ { 0 } ) \| ^ { 2 } \right] } \\ & { } & { \quad + ( 1 + \alpha ^ { - 1 } ) \mathbb { E } \left[ \| F _ { v _ { 1 } } ( \hat { x } _ { 1 } ) - F ( \hat { x } _ { 1 } ) - ( F _ { v _ { 0 } } ( x _ { 0 } ) - F ( x _ { 0 } ) ) \| ^ { 2 } \right] } \\ & { \leq } & { ( 1 + \alpha ) L ^ { 2 } \mathbb { E } \left[ \| \hat { x } _ { 1 } - x _ { 0 } \| ^ { 2 } \right] } \\ & { } & { \quad + 2 ( 1 + \alpha ^ { - 1 } ) \mathbb { E } \left[ \| F _ { v _ { 1 } } ( \hat { x } _ { 1 } ) - F ( \hat { x } _ { 1 } ) \| ^ { 2 } + \| F _ { v _ { 0 } } ( x _ { 0 } ) - F ( x _ { 0 } ) \| ^ { 2 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \frac { f _ { \operatorname* { m a x } , [ - \eta , \eta ] ^ { n } } } { f _ { \operatorname* { m i n } , [ - \eta , \eta ] ^ { n } } } \cdot C ( n , d ) \right) ^ { 1 / 2 } \leq \left( 2 \mathfrak { c } \cdot \frac { f _ { \operatorname* { m a x } } } { f _ { \operatorname* { m i n } } } \cdot C ( n , d ) \right) ^ { 1 / 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \Psi } _ { 1 } ^ { \mathrm { I } } = } & { ~ \frac { \sigma _ { 1 } } { 2 \varepsilon } F ( \phi ) + \frac { \sigma _ { 1 } \varepsilon } { 4 } \| \nabla \phi \| ^ { 2 } , } \\ { \hat { \Psi } _ { 2 } ^ { \mathrm { I } } = } & { ~ \frac { \sigma _ { 2 } } { 2 \varepsilon } F ( \phi ) + \frac { \sigma _ { 2 } \varepsilon } { 4 } \| \nabla \phi \| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla F ( x ) - \nabla _ { x } \mathcal { L } _ { \lambda } ( x , y ) } & { = ( \nabla _ { x } f ( x , y ^ { * } ) - \nabla _ { x } f ( x , y ) ) - \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x , y ^ { * } ) \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x , y ^ { * } ) ^ { - 1 } ( \nabla _ { y } f ( x , y ^ { * } ) - \nabla _ { y } f ( x , y ) ) } \\ & { \quad - \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x , y ^ { * } ) \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x , y ^ { * } ) ^ { - 1 } \nabla _ { y } \mathcal { L } ( x , y ) } \\ & { \quad - \lambda ( \nabla _ { x } g ( x , y ) - \nabla _ { x } g ( x , y ^ { * } ) - \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x , y ^ { * } ) ^ { \top } ( y - y ^ { * } ) ) } \\ & { \quad + \lambda \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x , y ^ { * } ) \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x , y ^ { * } ) ^ { - 1 } ( \nabla _ { y } g ( x , y ) - \nabla _ { y } g ( x , y ^ { * } ) - \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x , y ^ { * } ) ( y - y ^ { * } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int \left( \int \frac { b _ { 1 } ( s ) b _ { 2 } ( t / s ) } { s } \d s \right) \left( \int \frac { b _ { 3 } ( s ) b _ { 4 } ( t / s ) } { s } \d s \right) \d t } \\ { \times } & { \frac { 1 } { T _ { 2 } } \sum _ { g \mid k } g \sum _ { e \in \mathbb { N } } \frac { \mu ( e ) } { \textup { l c m } ( T _ { 1 } , g e ) } \cdot \frac { 1 } { \textup { l c m } ( g e / ( g e , T _ { 2 } ) , ( g e , T _ { 1 } ) / ( g e , T _ { 1 } , t _ { 2 } - t _ { 1 } ) ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } _ { S } ( \phi , \theta _ { \psi } ^ { \Phi } , f _ { s } ) } & { = \int _ { N _ { n } ( \mathbb { A } _ { S } ) \backslash \mathrm { S p } _ { 2 n } ( \mathbb { A } _ { S } ) } \int _ { N _ { n ^ { k - 1 } , k n } ^ { 0 } ( \mathbb { A } _ { S } ) } \phi _ { \psi , T } ( h ) } \\ { \times } & { \omega _ { \psi , S } ( \alpha _ { T } ^ { k } ( u ) i _ { T } ( 1 , h ) ) \Phi _ { S } ( 1 _ { n } ) f _ { S , \mathcal { W } ( \tau _ { S } \otimes \chi _ { T } , n , \psi _ { 2 T } ) , s } ( \eta u t ( 1 , h ) ) d u d h . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \left[ \left\langle Y _ { t , k } ^ { ( i ) } , Y _ { t , k } ^ { ( j ) } \right\rangle \right] = \mathbb { E } \left[ \mathbb { E } \left[ \left\langle Y _ { t , k } ^ { ( i ) } , Y _ { t , k } ^ { ( j ) } \right\rangle \mid \mathcal { F } _ { k - 1 } ^ { t } \right] \right] \stackrel { ( a ) } { = } \mathbb { E } \left[ \left\langle \mathbb { E } [ Y _ { t , k } ^ { ( i ) } \mid \mathcal { F } _ { k - 1 } ^ { t } ] , \mathbb { E } [ Y _ { t , k } ^ { ( j ) } \mid \mathcal { F } _ { k - 1 } ^ { t } ] \right\rangle \right] = 0 , } \end{array}
d _ { g _ { 1 } } ( \alpha ) \lesssim \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \alpha \ge 1 } \\ { \alpha ^ { \frac { - n _ { i } } { n _ { i } - 2 } } , } & { r ^ { 2 - n _ { i } } \le \alpha < 1 } \\ { r ^ { n _ { i } } , } & { 0 < \alpha < r ^ { 2 - n _ { i } } } \end{array} \right. \quad d _ { g _ { 2 } } ( \alpha ) \lesssim \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \alpha \ge r ^ { 1 - n _ { i } } } \\ { \alpha ^ { \frac { - n _ { i } } { n _ { i } - 1 } } , } & { 0 < \alpha < r ^ { 1 - n _ { i } } } \end{array} \right.
| - \alpha \sum _ { i \in I _ { Ḋ } x _ { k } Ḍ } \lambda _ { k } ^ { i } g _ { i } ( x _ { k } ) | \leq \frac { \alpha } { c _ { \lambda } } c _ { \mathrm { g } } T _ { k } | R _ { k } | n _ { \mathrm { g } } \leq \frac { c _ { Ḋ } \mathrm { Ḋ } V Ḍ 2 Ḍ } { 2 } | R _ { k } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 c _ { Ḋ } \mathrm { Ḋ } V Ḍ 2 Ḍ } ( n _ { \mathrm { g } } c _ { \mathrm { g } } \frac { \alpha } { c _ { \lambda } } ) ^ { 2 } T _ { k } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \ell _ { j - 1 } ^ { + } ( t ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } \frac { D _ { j } } { h } \int _ { 0 } ^ { t } H ( a _ { j - 1 } + h - X ( \tau ) ) d \tau , } \\ { \ell _ { j } ^ { - } ( t ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } \frac { D _ { j } } { h } \int _ { 0 } ^ { t } H ( a _ { j } - h - X ( \tau ) ) d \tau , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } [ \mathrm { e n v } _ { \psi } ^ { \eta } ( x ^ { k + 1 } ) \vert \mathcal { F } _ { k } ] \leq \mathrm { e n v } _ { \psi } ^ { \eta } ( x ^ { k } ) + \frac { \eta } { 2 } \big [ \alpha _ { k } ( \rho - \eta ^ { - 1 } - \lambda ) \big ] \| \nabla \mathrm { e n v } _ { \psi } ^ { \eta } ( x ^ { k } ) \| ^ { 2 } + \frac { \alpha _ { k } ^ { 2 } } { 2 \eta } \theta \beta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta _ { X _ { n } } ( \alpha ) } & { = \Big \| \Big ( \frac { \alpha _ { 1 } } { m } , \ldots , \frac { \alpha _ { n } } { m } \Big ) \Big \| _ { X _ { n } } ^ { m } \leq \Big ( \frac { 1 } { m } \big ( \alpha _ { 1 } \| e _ { 1 } \| _ { X } + \ldots + \alpha _ { n } \| e _ { n } \| _ { X } \big ) \Big ) ^ { m } \leq 1 \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { c | | \widetilde { \Theta } _ { 1 } - \Theta _ { 0 1 } | | _ { F } ^ { 2 } + c | | \widetilde { \Theta } _ { 2 } - \Theta _ { 0 2 } | | _ { F } ^ { 2 } + \lambda | | \widetilde { \Theta } _ { 1 } ^ { - } | | _ { 1 } + \lambda | | \widetilde { \Theta } _ { 2 } ^ { - } | | _ { 1 } + \rho | | \widetilde { \Theta } _ { 1 } ^ { - } - \widetilde { \Theta } _ { 2 } ^ { - } | | _ { 1 } } \\ { \leq } & { \lambda _ { 0 } | | \Delta _ { 1 } ^ { - } | | _ { 1 } + \lambda _ { 0 } | | \Delta _ { 2 } ^ { - } | | _ { 1 } + | | \widehat { \Sigma } _ { 1 } ^ { + } - \Sigma _ { 0 1 } ^ { + } | | _ { F } | | \Delta _ { 1 } ^ { + } | | _ { F } + | | \widehat { \Sigma } _ { 2 } ^ { + } - \Sigma _ { 0 2 } ^ { + } | | _ { F } | | \Delta _ { 2 } ^ { + } | | _ { F } } \\ & { + \lambda | | \Theta _ { 0 1 } ^ { - } | | _ { 1 } + \lambda | | \Theta _ { 0 2 } ^ { - } | | _ { 1 } + \rho | | \Theta _ { 0 1 } ^ { - } - \Theta _ { 0 2 } ^ { - } | | _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { H _ { 1 } } \prod _ { ( i , j ) \in \Gamma } \frac { A _ { i j } - d } { \sqrt { d ( 1 - d ) } } = \mathbb { E } _ { \Pi } \left\{ \mathbb { E } \left\{ \prod _ { ( i , j ) \in \Gamma } \frac { A _ { i j } - d } { \sqrt { d ( 1 - d ) } } \Bigg | \begin{array} { l l } { \mathrm { ~ A ~ h a s ~ t w o ~ c o m m u n i t i e s ~ a s s i g n e d ~ b y ~ } \Pi } \end{array} \right\} \right\} } \\ { = } & { \mathbb { E } _ { \Pi } p _ { 1 } ^ { | \Gamma \cap K \otimes K | } \cdot p _ { 2 } ^ { | \Gamma \cap K \otimes K ^ { c } | } \cdot p _ { 3 } ^ { | \Gamma \cap K ^ { c } \otimes K ^ { c } | } = \mathbb { E } _ { \Pi } \prod _ { ( i , j ) \in \Gamma } \left\{ p _ { 1 } \cdot \left( - N / ( n - N ) \right) ^ { \pi _ { i } + \pi _ { j } - 2 } \right\} } \\ { = } & { p _ { 1 } ^ { | \Gamma | } \cdot \left( \frac { - N } { n - N } \right) ^ { \sum _ { ( i , j ) \in \Gamma } ( \pi _ { i } + \pi _ { j } - 2 ) } = p _ { 1 } ^ { | \Gamma | } \cdot \left( \frac { - N } { n - N } \right) ^ { \sum _ { ( i , j ) \in \Gamma } ( \pi _ { i } + \pi _ { j } - 2 ) } } \\ { = } & { p _ { 1 } ^ { | \Gamma | } \cdot \prod _ { i = 1 } ^ { n } \left( \frac { - N } { n - N } \right) ^ { ( \pi _ { i } - 1 ) \cdot | \{ j ^ { \prime } : ( i , j ^ { \prime } ) \in \Gamma \} | } \overset { ( a ) } { = } p _ { 1 } ^ { | \Gamma | } \cdot \prod _ { i = 1 } ^ { n } \left\{ \left( \frac { N } { n } \right) + \frac { n - N } { n } \left( \frac { - N } { n - N } \right) ^ { | \{ j ^ { \prime } : ( i , j ^ { \prime } ) \in \Gamma \} | } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R ^ { 2 } ( X _ { \mathit { E } } , X _ { \mathit { F } } ) } & { = } & { \operatorname* { m a x } _ { \alpha \in \mathbb { R } ^ { | \mathit { E } | } } \frac { \| P _ { \mathit { F } } X _ { \mathit { E } } \alpha \| _ { 2 } ^ { 2 } } { \| X _ { \mathit { E } } \alpha \| _ { 2 } ^ { 2 } } } \\ & { = } & { \operatorname* { m a x } _ { u \in \mathbb { R } ^ { | \mathit { E } | } } \frac { \| P _ { \mathit { F } } X _ { \mathit { E } } ( X _ { \mathit { E } } ^ { T } X _ { \mathit { E } } ) ^ { - 1 / 2 } u \| _ { 2 } ^ { 2 } } { \| u \| _ { 2 } ^ { 2 } } } \\ & { = } & { \lambda _ { \mathrm { m a x } } \{ R _ { \mathit { E } } P _ { \mathit { F } } R _ { \mathit { E } } ^ { T } \} . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l r l } { L _ { x } } & { = i { \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } ; } & { L _ { y } } & { = i { \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } ; } & { L _ { z } } & { = i { \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { n ( t , x ) = n ^ { 0 } ( Y ( t , x ) ) e ^ { \int _ { 0 } ^ { t } { \tilde { r } ( Y ( s , x ) ) - \rho ( s ) d s } } } & { = n ^ { 0 } ( Y ( t , x ) ) e ^ { \int _ { 0 } ^ { t } { \tilde { r } ( Y ( s , x ) ) - \tilde { r } ( a ) d s } } e ^ { \int _ { 0 } ^ { t } { \tilde { r } ( a ) - \rho ( s ) d s } } } \\ & { = n ^ { 0 } ( Y ( t , x ) ) e ^ { \int _ { Y ( t , x ) } ^ { x } { \frac { \tilde { r } ( s ) - \tilde { r } ( a ) } { f ( s ) } d s } } e ^ { \int _ { 0 } ^ { t } { \tilde { r } ( a ) - \rho ( s ) d s } } } \end{array}
\begin{array} { r } { M _ { 3 } ( q , \zeta ^ { 1 } , \zeta ^ { 2 } , \zeta ^ { 3 } ) = ( - 2 \beta _ { 2 } ^ { 2 } - \beta _ { 3 } ) { { \sigma _ { p } } } ( Q ) ( y , \eta , q , \zeta ) \prod _ { j = 1 } ^ { 3 } { { \sigma _ { p } } } ( Q ) ( q , \zeta , x _ { j } ^ { o } , ( \xi _ { j } ^ { o } ) ^ { \sharp } ) \sigma _ { { p } } ( v ) ( x _ { j } ^ { o } , ( \xi _ { j } ^ { o } ) ^ { \sharp } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { b } \overline { { u _ { 2 } } } \partial _ { 1 } u _ { 2 } | _ { y = \frac { c x } { b } } d x } & { = \int _ { 0 } ^ { b } \frac { - b + c i } { \sqrt { b ^ { 2 } + c ^ { 2 } } } \overline { { u _ { 1 } } } \partial _ { 1 } u _ { 2 } | _ { y = \frac { c x } { b } } d x = - \int _ { 0 } ^ { b } \frac { - b + c i } { \sqrt { b ^ { 2 } + c ^ { 2 } } } \overline { { \partial _ { 1 } u _ { 1 } } } \frac { - b - c i } { \sqrt { b ^ { 2 } + c ^ { 2 } } } u _ { 1 } | _ { y = \frac { c x } { b } } d x } \\ & { = - \int _ { 0 } ^ { b } \overline { { \partial _ { 1 } u _ { 1 } } } u _ { 1 } | _ { y = \frac { c x } { b } } d x . } \end{array}
\operatorname* { s u p } _ { t \in ( 0 , 1 ) } \operatorname* { s u p } _ { \substack { y _ { 1 } , y _ { 2 } \in B ( x , t \sqrt { d } ) , \, v , w \in \{ - 1 , 1 \} ^ { d } } } e ^ { \left( t ^ { 2 } ( \lvert ( v + w ) ^ { T } \nabla ^ { 2 } \psi ( y _ { 1 } ) ) _ { i } \rvert + 2 t \lvert ( w \nabla ^ { 2 } \psi ( y _ { 2 } ) ) _ { i } \rvert \right) } \gamma _ { i } ( x + v t ) e ^ { t v _ { i } \partial _ { i } \psi ( x ) } \leq \gamma _ { 0 } < 1 .
\begin{array} { r } { _ { I } \mathbf e _ { x } ^ { K } ( \xi ) = \frac { 1 } { \sqrt { 1 + c ^ { 2 } } } \left( \begin{array} { l } { \cos \alpha ( \xi ) } \\ { \sin \alpha ( \xi ) } \\ { c } \end{array} \right) \, , \quad _ { I } \mathbf e _ { y } ^ { K } ( \xi ) = \left( \begin{array} { l } { - \sin \alpha ( \xi ) } \\ { \cos \alpha ( \xi ) } \\ { 0 } \end{array} \right) \, , \quad _ { I } \mathbf e _ { z } ^ { K } ( \xi ) = \frac { 1 } { \sqrt { 1 + c ^ { 2 } } } \left( \begin{array} { l } { - c \cos \alpha ( \xi ) } \\ { - c \sin \alpha ( \xi ) } \\ { 1 } \end{array} \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { A _ { \Tilde \ell } = m \log \frac { 1 } { ( 1 - s / m ) ^ { \sigma } } + \frac { \alpha \rho s ~ { _ 2 F _ { 1 } } \left( 1 - \frac { 1 } { \alpha } , 1 ; 2 - \frac { 1 } { \alpha } ; \frac { s } { m } \right) } { \alpha - 1 } } \\ & { \quad \quad + \frac { \alpha \nu s ~ { _ 2 F _ { 1 } } \left( 1 - \frac { 2 } { \alpha } , 1 ; 2 - \frac { 2 } { \alpha } ; \frac { s } { m } \right) } { \alpha - 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Z _ { t } } & { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \sum _ { k = - ( n - 1 ) / 2 } ^ { ( n - 1 ) / 2 } c _ { k } e ^ { i \omega _ { k } t } , } & { \displaystyle \mathrm { ~ s i ~ } n \mathrm { ~ e s ~ i m p a r , } } \\ { \displaystyle \sum _ { k = - n / 2 + 1 } ^ { n / 2 } c _ { k } e ^ { i \omega _ { k } t } , } & { \displaystyle \mathrm { ~ s i ~ } n \mathrm { ~ e s ~ p a r , } } \end{array} \right. } \end{array}
- \displaystyle \operatorname* { i n f } _ { \mathbf { x } \in B ^ { \circ } } I ( x ) \leq \displaystyle \operatorname* { l i m i n f } _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n } \log \mu _ { n } ( B ) \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n } \log \mu _ { n } ( B ) \leq - \operatorname* { i n f } _ { \mathbf { x } \in \overline { { B } } } I ( \mathbf { x } ) ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \varphi ( q ) } \sum _ { \chi \in \mathcal { X } _ { 1 } } \left| \mathbb { E } _ { n \in [ N ] _ { q } } f ( n ) \overline { { \chi } } ( n ) \right| ^ { 2 } \left| \mathbb { E } _ { n \in [ N ] _ { q } } f ( n ) \overline { { \chi } } ( n ) - \mathbb { E } _ { b \in \mathbb { Z } _ { q } ^ { \times } } g ( b ) \overline { { \chi } } ( b ) \right| } \\ & { \leq \frac { 1 } { \varphi ( q ) } \frac { 1 } { N ^ { 1 / 4 } } \sum _ { \chi \pmod { q } } \left| \mathbb { E } _ { n \in [ N ] _ { q } } f ( n ) \overline { { \chi } } ( n ) \right| ^ { 2 } } \\ & { \ll \frac { 1 } { \varphi ( q ) } \frac { 1 } { N ^ { 1 / 4 } } \left( N + \varphi ( q ) \right) \frac { \log N } { N } \ll \frac { q ^ { \kappa } } { N ^ { 1 / 4 } q } + \frac { q ^ { \kappa } } { N ^ { 5 / 4 } } . } \end{array} } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { t ^ { \prime } } & { = \gamma \left( t - { \frac { \mathbf { r } _ { \parallel } \cdot \mathbf { v } } { c ^ { 2 } } } \right) } \\ { \mathbf { r } _ { \| } ^ { \prime } } & { = \gamma ( \mathbf { r } _ { \| } - \mathbf { v } t ) } \\ { \mathbf { r } _ { \perp } ^ { \prime } } & { = \mathbf { r } _ { \perp } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \rho ( t , x ) + \nabla \cdot \big ( \rho ( t , x ) \nabla _ { x } \Phi ( t , x ) \big ) = \beta \Delta _ { x } \rho ( t , x ) , } \\ & { \partial _ { t } \Phi ( t , x ) + \frac { 1 } { 2 } \| \nabla _ { x } \Phi ( t , x ) \| ^ { 2 } = - \beta \Delta _ { x } \Phi ( t , x ) , } \\ & { \rho ( 0 , x ) = \rho _ { 0 } ( x ) , \quad \Phi ( T , x ) = - V ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f [ U _ { n , k + 1 } ( x ) \to V _ { k + 1 } ( y ) ] } & { = ( \mathcal { W } f ) [ U _ { n , k + 1 } ( x ) \to V _ { k + 1 } ( y ) ] , } \\ { f [ \{ U _ { n , k } ( x ) , ( y , n ) \} \to V _ { k + 1 } ( z ) ] } & { = ( \mathcal { W } f ) [ \{ U _ { n , k } ( x ) , ( y , n ) \} \to V _ { k + 1 } ( z ) ] , } \\ { f [ U _ { n , k + 1 } ( x ) \to \{ ( y , 1 ) , V _ { k } ( z ) \} ] } & { = ( \mathcal { W } f ) [ U _ { n , k + 1 } ( x ) \to \{ ( y , 1 ) , V _ { k } ( z ) \} ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { Y _ { x ^ { \prime } m 1 _ { ( m > 0 ) } } \perp \! \! \! \! \perp X | Z , } \\ & { Y _ { x ^ { \prime } m 1 _ { ( m > 0 ) } } \perp \! \! \! \! \perp \{ M _ { x } , 1 _ { ( M _ { x } > 0 ) } \} | X = x , Z , } \\ & { \{ M _ { x } , 1 _ { ( M _ { x } > 0 ) } \} \perp \! \! \! \! \perp X | Z , } \\ & { Y _ { x ^ { \prime } m 1 _ { ( m > 0 ) } } \perp \! \! \! \! \perp \{ M _ { x } , 1 _ { ( M _ { x } > 0 ) } \} | Z , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { \mathrm { p } } } & { = \int _ { q _ { \infty } ^ { - } ( E ^ { * } ) } ^ { q _ { 0 } ( E ^ { * } ) } \frac { q \, \mathrm { d } q } { \left[ \frac { 1 } { ( 1 - E ^ { * } + \frac { 1 } { 2 } q ^ { 2 } ) ^ { 2 } } - 1 \right] ^ { 1 / 2 } } + \int _ { - q _ { \infty } ^ { + } ( 2 - E ^ { * } ) } ^ { q _ { \infty } ^ { + } ( 2 - E ^ { * } ) } \frac { q \, \mathrm { d } q } { \left[ \frac { 1 } { ( 1 - ( 2 - E ^ { * } ) - \frac { 1 } { 2 } q ^ { 2 } ) ^ { 2 } } - 1 \right] ^ { 1 / 2 } } } \\ { } & { = \int _ { \sqrt { 2 ( E ^ { * } - 1 ) } } ^ { \sqrt { 2 E ^ { * } } } \frac { q \, \mathrm { d } q } { \left[ \frac { 1 } { ( 1 - E ^ { * } + \frac { 1 } { 2 } q ^ { 2 } ) ^ { 2 } } - 1 \right] ^ { 1 / 2 } } + \int _ { - \sqrt { 2 ( E ^ { * } - 1 ) } } ^ { \sqrt { 2 ( E ^ { * } - 1 ) } } \frac { q \, \mathrm { d } q } { \left[ \frac { 1 } { ( 1 - ( 2 - E ^ { * } ) - \frac { 1 } { 2 } q ^ { 2 } ) ^ { 2 } } - 1 \right] ^ { 1 / 2 } } } \\ { } & { = \int _ { - \sqrt { 2 ( E ^ { * } - 1 ) } } ^ { \sqrt { 2 E ^ { * } } } \frac { q \, \mathrm { d } q } { \left[ \frac { 1 } { ( 1 - E ^ { * } + \frac { 1 } { 2 } q ^ { 2 } ) ^ { 2 } } - 1 \right] ^ { 1 / 2 } } } \\ { } & { = 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { e } \geq } & { \sum _ { i , k > i } \sum _ { j , l > j } \frac { c ^ { \prime } \operatorname* { m i n } \{ P _ { i , j } , P _ { k , l } \} } { ( \log n ) ^ { m } } e ^ { - \textup { D i v } ( [ { \lambda _ { i , j } } , { \hat { \lambda } _ { i , j } } ] , [ { \lambda _ { k , l } } , { \hat { \lambda } _ { k , l } } ] ) } } \\ { = } & { \sum _ { i , k > i } \sum _ { j , l > j } n ^ { - \textup { D i v } \big ( [ { g ^ { ( i , j ) } } , { h ^ { ( i , j ) } } ] , [ { g ^ { ( k , l ) } } , { h ^ { ( k , l ) } } ] \big ) + o ( 1 ) } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { 1 6 2 a ^ { 2 } b ^ { 2 } c ^ { 2 } + 6 b ^ { 2 } c ^ { 2 } d ^ { 2 } - 4 ( b ^ { 6 } + c ^ { 6 } ) + 5 4 ( a b ^ { 4 } d - a c ^ { 4 } d ) + 8 1 ( a ^ { 2 } b ^ { 4 } + a ^ { 2 } c ^ { 4 } ) } \\ & { + 4 ( b ^ { 4 } c ^ { 2 } + b ^ { 2 } c ^ { 4 } ) - 3 ( b ^ { 4 } d ^ { 2 } + c ^ { 4 } d ^ { 2 } ) + 3 6 ( a b ^ { 2 } d ^ { 3 } - a c ^ { 2 } d ^ { 3 } ) = 0 . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \mathbf { 1 } _ { \{ Y _ { t } \le \lambda \} } \, g ( Y _ { t } + \lambda ) \right] } & { \ge g ( \lambda ) \, \mathbb { P } ( Y _ { t } \le \lambda ) } \\ & { \ge g ( \lambda ) \, \mathbb { P } \big ( \operatorname* { s u p } _ { 0 \le s \le t } ( - B _ { s } + \overline { { \chi } } _ { s } ) \le \lambda \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { M a } ^ { 2 } [ b , k ] \, = \, \, 2 5 6 \, k ^ { 2 } \, \sinh ^ { 2 } [ k ] \, \times \, \qquad } \\ { \times \, \left( b ^ { 2 } \sinh [ k ] + 2 b \, k \cosh [ k ] + k ^ { 2 } \sinh [ k ] \right) } \\ { \, \big \{ 8 k ^ { 3 } \cosh [ k ] - ( 3 + 1 2 k ^ { 2 } + 4 k ^ { 4 } ) \sinh [ k ] } \\ { + \, \sinh [ 3 k ] \big \} ^ { - 1 } \ . \qquad } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( t , x ) } & { = \left( x + \frac { 1 } { 5 4 } ( 2 - \alpha ) t ^ { 3 } \right) ^ { \frac { 2 } { 3 } } - \frac { 1 } { 1 8 } ( 2 - \alpha ) t ^ { 2 } , } \\ { F ( t , x ) } & { = \frac { 4 } { 3 } \left( \left( x + \frac { 1 } { 5 4 } ( 2 - \alpha ) t ^ { 3 } \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } + 1 - \frac { t } { 3 } \right) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { j ^ { \prime } ( x ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } { \frac { j ( x + h ) - j ( x ) } { h } } } \\ & { \; \; \vdots } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } \left( a { \frac { f ( x + h ) - f ( x ) } { h } } + b { \frac { g ( x + h ) - g ( x ) } { h } } \right) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } \left( a { \frac { f ( x + h ) - f ( x ) } { h } } \right) + \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } \left( b { \frac { g ( x + h ) - g ( x ) } { h } } \right) } \\ & { = a \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } \left( { \frac { f ( x + h ) - f ( x ) } { h } } \right) + b \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } \left( { \frac { g ( x + h ) - g ( x ) } { h } } \right) } \\ & { = a f ^ { \prime } ( x ) + b g ^ { \prime } ( x ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { O T ( \tilde { \mu } , \tilde { \nu } , { \tilde { c } } ) - O T ( \mu , \nu , c ) } & { = ( O T ( \tilde { \mu } , \tilde { \nu } , { \tilde { c } } ) - O T ( \tilde { \mu } , \tilde { \nu } , c ) ) + ( O T ( \tilde { \mu } , \tilde { \nu } , c ) - O T ( \mu , \nu , c ) ) } \\ & { = ( O T ( \tilde { \mu } , \tilde { \nu } , { \tilde { c } } ) - O T ( \mu , \nu , { \tilde { c } } ) ) + ( O T ( \mu , \nu , { \tilde { c } } ) - O T ( \mu , \nu , c ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| P _ { \Gamma _ { h } } b ^ { e } - b _ { h } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathcal { K } _ { h } ) } \lesssim C _ { b } h ^ { k _ { g } + 1 } , } \\ { \| c ^ { e } - c _ { h } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathcal { K } _ { h } ) } \lesssim C _ { c } h ^ { k _ { g } + 1 } , } \\ { \| f ^ { e } - f _ { h } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathcal { K } _ { h } ) } \lesssim C _ { f } h ^ { k _ { g } + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \phi ( \sigma ) = ( \sigma _ { 1 } , \ldots , \sigma _ { a ^ { \prime } } ) \in \mathbb { A } _ { p _ { 1 } ^ { \prime } } \times \hdots \times \mathbb { A } _ { p _ { a ^ { \prime } } ^ { \prime } } , } \\ & { \phi ( \rho ) = ( \rho _ { 1 } , \ldots , \rho _ { b ^ { \prime } } ) \in \mathbb { A } _ { q _ { 1 } ^ { \prime } } \times \hdots \times \mathbb { A } _ { q _ { b ^ { \prime } } ^ { \prime } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { - \infty } ^ { R } g ( s ) \; d z } & { \leqslant C _ { 1 } \int _ { - \infty } ^ { R } ( 1 - s ) ^ { \alpha } \; d z } \\ & { \leqslant C _ { 1 } \left( \int _ { - \infty } ^ { R } z ( s - 1 ) \; d z \right) ^ { \alpha } \left( \int _ { - \infty } ^ { R } ( - z ) ^ { \alpha / ( 1 - \alpha ) } \; d z \right) ^ { 1 - \alpha } } \\ & { \leqslant C _ { 1 } R ^ { 1 - 2 \alpha } \left( \int ( s - s _ { 0 } ) z \; d z \right) ^ { \alpha } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { 2 } ^ { u } = } & { { \nu _ { \mu } } \omega _ { 2 } \omega _ { 2 } ^ { \dagger } + } \\ { \overline { { c ^ { r } } } { B _ { 1 } ^ { \dagger } } \omega _ { 2 } \omega _ { 2 } ^ { \dagger } + } & { \overline { { c ^ { g } } } { B _ { 2 } ^ { \dagger } } \omega _ { 2 } \omega _ { 2 } ^ { \dagger } + \overline { { c ^ { b } } } { B _ { 3 } ^ { \dagger } } \omega _ { 2 } \omega _ { 2 } ^ { \dagger } + } \\ { s ^ { r } { B _ { 3 } ^ { \dagger } } { B _ { 2 } ^ { \dagger } } \omega _ { 2 } \omega _ { 2 } ^ { \dagger } + } & { s ^ { g } { B _ { 1 } ^ { \dagger } } { B _ { 3 } ^ { \dagger } } \omega _ { 2 } \omega _ { 2 } ^ { \dagger } + s ^ { b } { B _ { 2 } ^ { \dagger } } { B _ { 1 } ^ { \dagger } } \omega _ { 2 } \omega _ { 2 } ^ { \dagger } + } \\ & { \mu ^ { + } { B _ { 3 } ^ { \dagger } } { B _ { 2 } ^ { \dagger } } { B _ { 1 } ^ { \dagger } } \omega _ { 2 } \omega _ { 2 } ^ { \dagger } } \end{array}
\widetilde { \theta } _ { a _ { 1 } \# a _ { 2 } } : \overline { { \mathcal { S } } } _ { A } ( \mathbf { \Sigma } ) _ { \widetilde { x } } \to \overline { { \mathcal { S } } } _ { A } ( \mathbf { \Sigma } _ { 1 } ) _ { \widetilde { x } _ { 1 } } \otimes \overline { { \mathcal { S } } } _ { A } ( \mathbf { \Sigma } _ { 2 } ) _ { \widetilde { x } _ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \| \mathcal E _ { 1 } \| _ { \mathcal B _ { 0 } ( \Omega ) } } & { \leq C \Big ( \| \gamma _ { 1 } - \gamma _ { 2 } \| _ { C ^ { 2 , \alpha } ( \Omega _ { 0 } ) } + \| h _ { 1 } - h _ { 2 } \| _ { \mathcal B _ { 2 } ( \Omega ) } \| ( h _ { 1 } , h _ { 2 } ) \| _ { \mathcal B _ { 2 } ( \Omega ) } \Big ) } \\ { \| \mathcal E _ { 2 } \| _ { C _ { \varphi , \varphi ^ { 4 + \frac 3 2 } \rho ^ { - \frac 1 2 } } ^ { 0 , \alpha } ( \Omega ) } } & { \leq C \| \gamma _ { 1 } - \gamma _ { 2 } \| _ { C ^ { 4 , \alpha } ( \Omega ) } \| f _ { 2 } \| _ { C _ { \varphi , \varphi ^ { \frac 3 2 } \rho ^ { \frac 1 2 } } ^ { 4 , \alpha } ( \Omega ) } } \\ & { \leq C \| \gamma _ { 1 } - \gamma _ { 2 } \| _ { C ^ { 4 , \alpha } ( \Omega ) } \| f _ { 2 } \| _ { \mathcal B _ { 4 } ( \Omega ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d \psi ( x ) / d t } & { = ( \partial \psi / \partial x _ { i } ) \, \dot { x } _ { i } = \left( \partial \psi / \partial x \right) ^ { T } \cdot \dot { x } , } \\ { d \psi ( A ) / d t } & { = ( \partial \psi / \partial A _ { i j } ) \, \dot { A } _ { i j } = \operatorname * { T r } [ \left( \partial \psi / \partial A \right) ^ { T } \cdot \dot { A } ] . } \end{array}
T _ { \sigma } : = \operatorname* { s u p } \bigg \{ t > 0 \quad \mathrm { s u c h ~ t h a t } \quad \frac { \sigma } { 8 } - 2 ^ { \frac { 5 } { 6 } } \Big ( \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } + 2 \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \Big ) ^ { \frac { 1 } { 3 } } e ^ { \frac { t } { 3 } } t > 0 \bigg \} \in ( 0 , + \infty ]
d \tilde { W } _ { t } = \sqrt 8 d B _ { t } + \left( \frac { 2 } { \tilde { W } _ { t } - \tilde { g } _ { t } ( \phi ( d ) ) } - \frac { 2 } { \tilde { W } _ { t } - \tilde { g } _ { t } ( \phi ( a ) ) } - 8 \frac { \tilde { g } _ { t } ( \phi ( a ) ) - \tilde { g } _ { t } ( \phi ( d ) ) } { \left( \tilde { g } _ { t } ( \phi ( a ) ) - \tilde { W } _ { t } \right) ^ { 2 } } \frac { F ^ { \prime } \left( \frac { \tilde { g } _ { t } ( \phi ( d ) ) - \tilde { W } _ { t } } { \tilde { g } _ { t } ( \phi ( a ) ) - \tilde { W } _ { t } } \right) } { F \left( \frac { \tilde { g } _ { t } ( \phi ( d ) ) - \tilde { W } _ { t } } { \tilde { g } _ { t } ( \phi ( a ) ) - \tilde { W } _ { t } } \right) } \right) d t ,
\begin{array} { r l } { \Vert \nabla _ { v } \widetilde { \mathrm { X } } ^ { s ; t } \Vert _ { \mathrm { L } _ { x , v } ^ { \infty } } } & { \leq \frac { 1 } { e ^ { t - s } - 1 } \int _ { s } ^ { t } ( e ^ { \tau - s } - 1 ) \Vert \nabla _ { x } \mathrm { F } ( \tau ) \Vert _ { \mathrm { L } _ { x , v } ^ { \infty } } ( 1 - e ^ { \tau - t } + \Vert \nabla _ { v } \mathrm { Y } ^ { \tau ; t } \Vert _ { \mathrm { L } _ { x , v } ^ { \infty } } ) \, \mathrm { d } \tau } \\ & { \lesssim T ^ { 1 / 2 } \Lambda ( T , \mathrm { R } ) ( 1 + \varphi ( T ) \Lambda ( T , \mathrm { R } ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { d \bigl ( f ^ { l } ( x ) , z \bigr ) } & { \leq d \bigl ( f ^ { l } ( x ) , x \bigr ) + d ( x , z ) \leq \delta + 2 K \Lambda ^ { - ( N + l ) } } \\ & { \leq \frac { \Lambda ^ { - ( N + \kappa ) } } { 2 K } + \frac { 2 K \Lambda ^ { - ( N + \kappa ) } } { 4 K ^ { 2 } } \leq K ^ { - 1 } \Lambda ^ { - ( N + \kappa ) } . } \end{array}
\operatorname* { s u p } _ { q \in \mathbb { R } ^ { d } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } | p _ { 0 } ^ { \epsilon } \partial _ { p _ { m } } ^ { \alpha } \partial _ { p _ { 0 } } ^ { \beta } \partial _ { q } ^ { \delta } \Psi _ { m } ^ { \gamma } ( p _ { m } + q , p _ { 0 } + q , \infty ; V ) | \, d p _ { 0 } \leq C \sum _ { \epsilon _ { 1 } \leq \epsilon } | p _ { m } ^ { \epsilon _ { 1 } } | .
\begin{array} { r l } { E } & { : = \log ( t + t _ { 0 } + 1 ) \int _ { - ( t + t _ { 0 } ) / a } ^ { - ( t - t _ { 0 } ) / a } \frac { \mathrm { d } u } { \cosh ^ { 2 } u } } \\ & { \qquad + \left( Y + \frac { 1 } { \log t } \right) \left( \int _ { ( t _ { 0 } - t ) / a } ^ { \infty } \frac { \frac { a u } { t } - \frac { ( a u ) ^ { 2 } } { 2 t ^ { 2 } } + \frac { ( a u ) ^ { 3 } } { 3 t ^ { 3 } } } { \cosh ^ { 2 } u } \mathrm { d } u - \int _ { - \infty } ^ { - 2 t / a } \frac { \frac { a u + 2 t } { t } } { \cosh ^ { 2 } u } \mathrm { d } u \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } \left( \Delta p _ { C } = - \frac { 1 } { N } \right) = } & { ~ p _ { C } \sum _ { k _ { C } = 0 } ^ { k } { \frac { k ! } { k _ { C } ! ( k - k _ { C } ) ! } q _ { C | C } ^ { k _ { C } } q _ { D | C } ^ { k - k _ { C } } \mathcal { P } ( C \gets D ) } } \\ { = } & { ~ p _ { C } ( 1 - w _ { R } ) q _ { D | C } + p _ { C } w _ { R } ( 1 - w _ { R } ) \left[ \pi _ { D | C } - \left( - c + w _ { I } b + ( 1 - w _ { I } ) \frac { k - 1 } { k } q _ { C | C } b \right) \right] q _ { D | C } \delta } \\ & { + p _ { C } ( 1 - w _ { R } ) ^ { 2 } ( \pi _ { D | C } - \pi _ { C | C } ) \frac { k - 1 } { k } q _ { C | C } q _ { D | C } \delta + \mathcal { O } ( \delta ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( y ^ { * } ) } & { \geq \mathbb { E } g ( y _ { t + 1 } ) + \mathbb { E } \langle \nabla _ { y } g ( y _ { t } ) , y ^ { * } - y _ { t + 1 } \rangle + \frac { \mu } { 2 } \| y ^ { * } - y _ { t } \| ^ { 2 } - \frac { L } { 2 } \mathbb { E } \| y _ { t + 1 } - y _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \geq \mathbb { E } g ( y _ { t + 1 } ) + \gamma \| \nabla _ { y } g ( y _ { t } ) \| ^ { 2 } + \langle \nabla _ { y } g ( y _ { t } ) , y ^ { * } - y _ { t } \rangle + \frac { \mu } { 2 } \| y ^ { * } - y _ { t } \| ^ { 2 } - \frac { L \gamma ^ { 2 } } { 2 } \mathbb { E } \| \nabla _ { y } g ( y _ { t } , \xi ) \| ^ { 2 } } \\ & { \geq \mathbb { E } g ( y _ { t + 1 } ) + \gamma \| \nabla _ { y } g ( y _ { t } ) \| ^ { 2 } + \langle \nabla _ { y } g ( y _ { t } ) , y ^ { * } - y _ { t } \rangle + \frac { \mu } { 2 } \| y ^ { * } - y _ { t } \| ^ { 2 } - \frac { L \gamma ^ { 2 } } { 2 } \mathbb { E } \| \nabla _ { y } g ( y _ { t } ) \| ^ { 2 } - \frac { L \gamma ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { 2 } } \\ & { \geq \mathbb { E } g ( y _ { t + 1 } ) + \langle \nabla _ { y } g ( y _ { t } ) , y ^ { * } - y _ { t } \rangle + \frac { \mu } { 2 } \| y ^ { * } - y _ { t } \| ^ { 2 } + \left( \gamma - \frac { L \gamma ^ { 2 } } { 2 } \right) \| \nabla _ { y } g ( y _ { t } ) \| ^ { 2 } - \frac { L \gamma ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { 2 } } \end{array}
A \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! : D \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \subset \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \ensuremath { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbb { R } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 2 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \to \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \ensuremath { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbb { R } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 2 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l } & { k ^ { [ M ] } ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { x } _ { 1 } ^ { \prime } ) + \tilde { \omega } _ { k } \left( d _ { \mathrm { K R } } ^ { 2 } \left[ ( \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 1 } ] , \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 1 } ^ { \prime } ] ) , ( \hat { \mu } [ \vec { x } ] , \hat { \mu } [ \vec { x } ^ { \prime } ] ) \right] \right) } \\ & { \geq k ^ { [ M ] } ( \vec { x } , \vec { x } ^ { \prime } ) - | k ^ { [ M ] } ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { x } _ { 1 } ^ { \prime } ) - k ^ { [ M ] } ( \vec { x } , \vec { x } ^ { \prime } ) | } \\ & { \quad + \tilde { \omega } _ { k } \left( d _ { \mathrm { K R } } ^ { 2 } \left[ ( \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 1 } ] , \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 1 } ^ { \prime } ] ) , ( \hat { \mu } [ \vec { x } ] , \hat { \mu } [ \vec { x } ^ { \prime } ] ) \right] \right) } \\ & { \geq k ^ { [ M ] } ( \vec { x } , \vec { x } ^ { \prime } ) - \omega _ { k } \left( d _ { \mathrm { K R } } ^ { 2 } \left[ ( \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 1 } ] , \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 1 } ^ { \prime } ] ) , ( \hat { \mu } [ \vec { x } ] , \hat { \mu } [ \vec { x } ^ { \prime } ] ) \right] \right) } \\ & { \quad + \tilde { \omega } _ { k } \left( d _ { \mathrm { K R } } ^ { 2 } \left[ ( \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 1 } ] , \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 1 } ^ { \prime } ] ) , ( \hat { \mu } [ \vec { x } ] , \hat { \mu } [ \vec { x } ^ { \prime } ] ) \right] \right) } \\ & { \geq k ^ { [ M ] } ( \vec { x } , \vec { x } ^ { \prime } ) - \tilde { \omega } _ { k } \left( d _ { \mathrm { K R } } ^ { 2 } \left[ ( \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 1 } ] , \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 1 } ^ { \prime } ] ) , ( \hat { \mu } [ \vec { x } ] , \hat { \mu } [ \vec { x } ^ { \prime } ] ) \right] \right) } \\ & { \quad + \tilde { \omega } _ { k } \left( d _ { \mathrm { K R } } ^ { 2 } \left[ ( \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 1 } ] , \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 1 } ^ { \prime } ] ) , ( \hat { \mu } [ \vec { x } ] , \hat { \mu } [ \vec { x } ^ { \prime } ] ) \right] \right) } \\ & { = k ^ { [ M ] } ( \vec { x } , \vec { x } ^ { \prime } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \mathsf { T } } d \tau \int _ { \widetilde { \Sigma } _ { \tau } \cap \{ r \leq r _ { + } + \tilde { \delta } \} } r ^ { 2 } d r d \sigma | D W _ { \mathcal { H } ^ { + } } \Psi | ^ { 2 } \lesssim } & { \int _ { 0 } ^ { \mathsf { T } } d \tau \int _ { \widetilde { \Sigma } _ { \tau } \cap \{ r _ { + } + \tilde { \delta } \leq r \leq r _ { + } + 2 \tilde { \delta } \} } r ^ { 2 } d r d \sigma | D W _ { \mathcal { H } ^ { + } } \Psi | ^ { 2 } + E _ { 0 } [ \chi _ { \tilde { \delta } } W _ { \mathcal { H } ^ { + } } \Psi ] } \\ & { + E _ { 0 } [ \Psi ] + \int _ { 0 } ^ { \mathsf { T } } d \tau \int _ { \widetilde { \Sigma } _ { \tau } \cap \{ r \leq r _ { + } + 2 \tilde { \delta } \} } r ^ { 2 } d r d \sigma \left( | \tilde { D } \Psi | ^ { 2 } + | \Psi | ^ { 2 } \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } S ( t ) } { \mathrm { d } t } } & { = \Lambda { { - \beta I ( t ) S ( t ) } } - ( \mathcal { V } + \mu ) \, S ( t ) , } \\ { \frac { \mathrm { d } V ( t ) } { \mathrm { d } t } } & { = \mathcal { V } \, S ( t ) { { - \kappa \beta I ( t ) S ( t ) } } - \mu \, V ( t ) , } \\ { \frac { \mathrm { d } I ( t ) } { \mathrm { d } t } } & { = { { ( 1 + \kappa ) \beta I ( t ) S ( t ) } } - \bigl ( \eta + \omega _ { 1 } + \mu \bigr ) \, I ( t ) , } \\ { \frac { \mathrm { d } H ( t ) } { \mathrm { d } t } } & { = \eta \, I ( t ) - ( \omega _ { 2 } + \mu ) \, H ( t ) , } \\ { \frac { \mathrm { d } R ( t ) } { \mathrm { d } t } } & { = \omega _ { 1 } \, I ( t ) + \omega _ { 2 } \, H ( t ) - \mu \, R ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \delta V } & { = V _ { 2 } - V _ { 1 } } \\ & { } & { = \left( U ( \sigma _ { 0 } ) + J _ { \sigma } ( \sigma _ { 2 } - \sigma _ { 0 } ) + e _ { 2 } \right) - \left( U ( \sigma _ { 0 } ) + J _ { \sigma } ( \sigma _ { 1 } - \sigma _ { 0 } ) + e _ { 1 } \right) } \\ & { } & { = J _ { \sigma } \delta \sigma + \delta e , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { { \varepsilon } \in ( 0 , { \varepsilon } _ { 0 } ] } 4 \gamma _ { { \varepsilon } } ^ { 1 + \alpha } { \varepsilon } ^ { - \beta } } & { \leq 8 \operatorname* { s u p } _ { { \varepsilon } \in ( 0 , { \varepsilon } _ { 0 } ] } \operatorname* { m a x } \left\{ \left( \frac { 2 C | s | } { \pi } \right) ^ { ( 1 + \alpha ) / b } { \varepsilon } ^ { ( 1 + \alpha ) / b - \beta } , { \varepsilon } ^ { 1 + \alpha - \beta } \right\} } \\ & { \leq \tilde { C } _ { { \varepsilon } _ { 0 } } ( 1 + | s | ^ { ( 1 + \alpha ) / b } ) < \infty } \end{array}
I _ { 2 } ^ { [ 1 ] } \lesssim \left( \frac { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , x - y ) } { ( u - s ) ^ { \frac { j } { \alpha } } ( t - u ) ^ { \frac { k } { \alpha } } ( t - s ) } \right) ^ { q ^ { \prime } } \left[ \frac { 1 } { ( u - s ) ^ { \frac { d q ^ { \prime } } { \alpha p } } } + \frac { 1 } { ( t - u ) ^ { \frac { d q ^ { \prime } } { \alpha p } } } \right] .
\operatorname* { l i m } _ { x \to - \infty } e ^ { - \mu _ { 3 } ^ { - } ( 0 ) x } k _ { - } \left( \begin{array} { l } { \bar { u } ^ { \prime } ( x ) } \\ { \bar { u } ^ { \prime \prime } ( x ) } \\ { \nu \bar { u } ^ { \prime \prime \prime } ( x ) } \end{array} \right) = \operatorname* { l i m } _ { x \to - \infty } e ^ { - \mu _ { 3 } ^ { - } ( 0 ) x } \eta ^ { - } ( x ; 0 ) = v ^ { - } ( \lambda ) .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \tilde { r } } \frac { \partial } { \partial \tilde { r } } \left[ \tilde { r } \frac { \partial \psi } { \partial \tilde { r } } \right] } & { + \frac { 1 } { \tilde { r } ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial \tilde { \phi } ^ { 2 } } = \frac { 2 \tilde { r } ^ { 2 } - \tilde { r } _ { b } ^ { 2 } } { 2 \tilde { r } \sqrt { \tilde { r } ^ { 2 } - \tilde { r } _ { b } ^ { 2 } } } \theta ( \tilde { r } - \tilde { r } _ { b } ) - 1 } \\ & { + g \tilde { r } \cos \tilde { \phi } \left( \frac { 4 \tilde { r } ^ { 2 } - 3 \tilde { r } _ { b } ^ { 2 } } { 4 \tilde { r } \sqrt { \tilde { r } ^ { 2 } - \tilde { r } _ { b } ^ { 2 } } } \theta ( \tilde { r } - \tilde { r } _ { b } ) - 1 \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { c } ( \mathbf { x } ) } & { = - \frac { Z } { 2 } \sum _ { 1 \le j \le N } | x _ { j } | + \frac { 1 } { 4 } \sum _ { 1 \le l < k \le N } | x _ { l } - x _ { k } | , } \\ { F _ { s } ( \mathbf { x } ) } & { = - \frac { Z } { 2 } \sum _ { 1 \le j \le N } \sqrt { | x _ { j } | ^ { 2 } + 1 } + \frac { 1 } { 4 } \sum _ { 1 \le l < k \le N } \sqrt { | x _ { l } - x _ { k } | ^ { 2 } + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { u } } & { = \omega _ { 0 } \left[ 1 + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { 4 / 3 } \left( \frac { k _ { 3 } b _ { f } ^ { 2 } } { \omega _ { 0 } ^ { 6 } } \right) ^ { 1 / 3 } \right] , } \\ { \omega _ { d } } & { = \frac { \omega _ { 0 } } { \sqrt { 2 } } \left[ 1 + \left( 1 + \frac { 3 k _ { 3 } b _ { f } ^ { 2 } } { \omega _ { 0 } ^ { 4 } c ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 2 } \right] ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left| G _ { i } ( u _ { i } ( x , t + h ) ) - G _ { i } ( u _ { i } ( x , t ) ) \right| } & { \geq } & { \left| \int _ { J _ { i } ( x , t ; h ) \cap I _ { \delta } ^ { c } } g _ { i } ( s ) d s \right| } \\ & { \geq } & { \frac { \delta ^ { 2 m } } { 3 } | u _ { i } ( x , t + h ) - u _ { i } ( x , t ) | . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { I _ { f } ^ { ( 0 ) } = \sum _ { q } \langle w _ { 0 } ( q ) w _ { 0 } ( - q ) \rangle _ { f } } \\ & { = \int ^ { a ^ { - 1 } } \frac { d ^ { 2 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \frac { 4 \pi s } { ( \sigma _ { 0 } + n \kappa _ { 0 } ) q ^ { 2 } + \sigma _ { 0 } L ^ { - 2 } } } \\ & { = \frac { 2 s } { \sigma _ { 0 } + n \kappa _ { 0 } } \ln \left( \frac { L } { a } \right) , } \\ & { I _ { f } ^ { ( a ) } = \sum _ { q } \langle w _ { a } ( q ) w _ { a } ( - q ) \rangle _ { f } } \\ & { = \int ^ { a ^ { - 1 } } \frac { d ^ { 2 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \frac { 4 \pi s } { \sigma _ { 0 } q ^ { 2 } + \sigma _ { 0 } L ^ { - 2 } } = \frac { 2 s } { \sigma _ { 0 } } \ln \left( \frac { L } { a } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Lambda ^ { + } ( B ) } & { : = \{ y \in X \mid \mathrm { t h e r e ~ e x i s t ~ } \phi _ { n } \in B , t _ { n } \in \mathrm { d o m } \, \phi _ { n } \mathrm { ~ s . t . ~ } \phi _ { n } ( t _ { n } ) \to y , t _ { n } \to \infty \} } \\ { \Lambda ^ { - } ( B ) } & { : = \{ y \in X \mid \mathrm { t h e r e ~ e x i s t ~ } \phi _ { n } \in B , t _ { n } \in \mathrm { d o m } \, \phi _ { n } \mathrm { ~ s . t . ~ } \phi _ { n } ( t _ { n } ) \to y , t _ { n } \to - \infty \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { V } _ { \mathrm { d i s t } } ^ { n } ( t , m , . . . , m ) } & { \leq { \mathbb E } \bigg [ \int _ { t } ^ { T } \bigg ( \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } L ( X _ { s } ^ { i } , \alpha ( s , X _ { s } ^ { i } ) ) + \mathcal { F } ( m _ { \mathbf { X } _ { s } } ^ { n } ) \bigg ) d s + \mathcal { G } ( m _ { \mathbf { X } _ { T } } ^ { n } ) \bigg ] } \\ & { = { \mathbb E } \bigg [ \int _ { t } ^ { T } \Big ( L ( X _ { s } , \alpha ( s , X _ { s } ) ) + \mathcal { F } ( m _ { \mathbf { X } _ { s } } ^ { n } ) \Big ) d s + \mathcal { G } ( m _ { \mathbf { X } _ { T } ^ { n } } ) \bigg ] } \\ & { = { \mathbb E } \bigg [ \int _ { t } ^ { T } \Big ( L ( X _ { s } , \alpha ( s , X _ { s } ) ) + \mathcal { F } ( \mathcal { L } ( X _ { s } ) ) \Big ) d s + \mathcal { G } ( \mathcal { L } ( X _ { s } ) ) \bigg ] } \\ & { \qquad + \int _ { t } ^ { T } { \mathbb E } [ \mathcal { F } ( m _ { \mathbf { X } _ { s } } ^ { n } ) - \mathcal { F } ( \mathcal { L } ( X _ { s } ) ) ] d s + { \mathbb E } [ \mathcal { G } ( m _ { \mathbf { X } _ { T } } ^ { n } ) - \mathcal { G } ( \mathcal { L } ( X _ { T } ) ) ] } \\ & { = \mathcal { U } ( t , m ) + \int _ { t } ^ { T } { \mathbb E } [ \mathcal { F } ( m _ { \mathbf { X } _ { s } } ^ { n } ) - \mathcal { F } ( \mathcal { L } ( X _ { s } ) ) ] d s + { \mathbb E } [ \mathcal { G } ( m _ { \mathbf { X } _ { T } } ^ { n } ) - \mathcal { G } ( \mathcal { L } ( X _ { T } ) ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int d \tau _ { 2 } \ } & { \frac { \exp ( - \frac 1 \beta ( \tan ^ { - 1 } ( s ) - \tan ^ { - 1 } ( \tau _ { 2 } ) ) ) } { 1 + \tau _ { 2 } ^ { 2 } } ( g - g _ { 0 } ) ( \tau _ { 2 } ) } \\ & { = \frac 1 \beta \int d \tau _ { 2 } \int d \tau _ { 1 } \ \exp \left( - \frac 1 \beta ( \tan ^ { - 1 } ( s ) - \tan ^ { - 1 } ( \tau _ { 1 } ) ) - \kappa _ { k _ { 0 } } ( \tau _ { 2 } - \tau _ { 1 } + \frac 1 3 ( \tau _ { 2 } ^ { 3 } - \tau _ { 1 } ^ { 3 } ) ) \right) } \\ & { \qquad \cdot \frac { 1 + \tau _ { 2 } ^ { 2 } } { ( 1 + \tau _ { 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \left( \frac { 4 \tau _ { 1 } + \frac 1 \beta } { 1 + \tau _ { 1 } ^ { 2 } } u _ { 1 } ( \tau _ { 1 } ) + \frac 1 \beta a _ { 2 } u _ { 2 } ( \tau _ { 1 } ) - \frac 1 \beta a _ { 3 } u _ { 3 } ( \tau _ { 1 } ) \right) } \\ & { \le \frac 2 { \beta \kappa _ { k _ { 0 } } } \int d \tau _ { 1 } \ \exp ( - \frac 1 \beta ( \tan ^ { - 1 } ( s ) - \tan ^ { - 1 } ( \tau _ { 1 } ) ) ) } \\ & { \quad \cdot \frac 1 { ( 1 + \tau _ { 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \left( \frac { 4 \tau _ { 1 } + \frac 1 \beta } { 1 + \tau _ { 1 } ^ { 2 } } u _ { 1 } ( \tau _ { 1 } ) + \frac 1 \beta a _ { 2 } u _ { 2 } ( \tau _ { 1 } ) - \frac 1 \beta a _ { 3 } u _ { 3 } ( \tau _ { 1 } ) \right) } \\ & { \le \frac 2 { \kappa _ { k _ { 0 } } \beta } ( 2 \vert u _ { 1 } \vert _ { L _ { s } ^ { \infty } } + \frac { 4 c } { \eta } ( \vert u _ { 2 } \vert _ { L _ { s } ^ { \infty } } + \vert u _ { 3 } \vert _ { L _ { s } ^ { \infty } } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \! \sum _ { i } \Big [ } & { x _ { i } ^ { 2 } \big ( \dddot { f _ { 2 } } \! + \! 4 \dot { f } _ { 2 } \omega _ { x } ^ { 2 } \! + \! 4 f _ { 2 } \omega _ { x } \dot { \omega } _ { x } \big ) \! + \! y _ { i } ^ { 2 } \big ( \dddot { f _ { 2 } } \! + \! 4 \dot { f } _ { 2 } \omega _ { y } ^ { 2 } \! + \! 4 f _ { 2 } \omega _ { y } \dot { \omega } _ { y } \big ) } \\ { + } & { \, z _ { i } ^ { 2 } \big ( \dddot { f _ { 2 } } \! + \! 4 \dot { f } _ { 2 } \omega _ { z } ^ { 2 } \! + \! 4 f _ { 2 } \omega _ { z } \dot { \omega } _ { z } \big ) \! + \! \dot { f } _ { 2 } \sum _ { j \ne i } \frac { c _ { 1 } } { r _ { i j } } \Big ] = 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { \sigma _ { k } ^ { 2 } } { 2 \theta _ { k } } \left( 1 \! - \! { \mathbb { E } } \left[ e ^ { - 2 \theta _ { k } Y } \right] \frac { ( 1 - \epsilon ) ^ { 2 } e ^ { - 2 \theta _ { k } ( w ( z ) + z ) } } { \left( 1 - \epsilon \mathbb { E } \left[ e ^ { - 2 \theta _ { k } ( w ( \tilde { Y } ) \! + \! \tilde { Y } ) } \right] \right) ^ { 2 } } \right) = \beta \! + \! \frac { ( 1 - \epsilon ) \eta ( z ) } { f _ { \tilde { Y } } ( z ) } \! + \! ( 1 - \epsilon ) \zeta . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } ( \| u \| _ { L _ { \varrho ( \varphi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \mu \| \nabla u \| ^ { 2 } + \mu _ { 0 } \| \varphi \| ^ { 2 } + \mu _ { 1 } \| \nabla \varphi \| ^ { 2 } + \gamma \lambda \| \Delta \varphi \| ^ { 2 } ) + \mu \| \nabla u \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \| u _ { t } \| _ { L _ { \varrho ( \varphi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { 2 \gamma \lambda } { \varepsilon ^ { 2 } } \| \varphi \| ^ { 2 } } \\ { + \frac { 1 } { 2 } \mu _ { 2 } \| \nabla \varphi \| ^ { 2 } + \| \varphi _ { t } \| ^ { 2 } + \gamma \lambda \| \Delta \varphi \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \| \nabla \varphi _ { t } \| ^ { 2 } + \kappa _ { g } \| \Delta u \| ^ { 2 } + \kappa _ { g } \| p \| _ { 1 } ^ { 2 } + \kappa _ { g } \| \nabla \Delta \varphi \| ^ { 2 } } \\ { \lesssim ( 1 + \mathcal { E } _ { 0 } ^ { \frac { 5 } { 2 } } ( t ) ) \mathcal { E } _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( t ) \mathcal { D } _ { 0 } ( t ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E \bigl [ P _ { k } ^ { i _ { 1 } } P _ { k } ^ { i _ { 2 } } ( \theta _ { 0 } ) | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \bigr ] } & { = E [ ( \Delta _ { k } X ) ^ { i _ { 1 } } ( \Delta _ { k } X ) ^ { i _ { 2 } } | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } ] } \\ & { \quad - E [ ( \Delta _ { k } X ) ^ { i _ { 1 } } | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } ] \frac { 1 } { n } b ^ { i _ { 2 } } ( X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) , ~ \theta _ { 0 } ) } \\ & { \quad - E [ ( \Delta _ { k } X ) ^ { i _ { 2 } } | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } ] \frac { 1 } { n } b ^ { i _ { 1 } } ( X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) , ~ \theta _ { 0 } ) } \\ & { \quad + \frac { 1 } { n ^ { 2 } } b ^ { i _ { 1 } } b ^ { i _ { 2 } } ( X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) , ~ \theta _ { 0 } ) } \\ & { = E [ \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } ( X _ { s } - X _ { t _ { k - 1 } } ) ^ { i _ { 1 } } b _ { i _ { 2 } } ( X _ { s } , ~ H ( X _ { s - \cdot } ) , ~ \theta _ { 0 } ) } \\ & { \quad + ( X _ { s } - X _ { t _ { k - 1 } } ) ^ { i _ { 2 } } b ^ { i _ { 1 } } ( X _ { s } , ~ H ( X _ { s - \cdot } ) , ~ \theta _ { 0 } ) } \\ & { \quad + \varepsilon ^ { 2 } [ \sigma \sigma ^ { \top } ] ^ { i _ { 1 } i _ { 2 } } ( X _ { s } , ~ H ( X _ { s - \cdot } ) , ~ \beta _ { 0 } ) \, \mathrm { d } s | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \sum _ { n \in I } e ( f ( n ) ) \right| } & { \ll M ^ { 3 / 2 } ( A B ) ^ { 1 / 2 } = M ^ { 3 / 2 } A ^ { 1 / 2 } B ^ { 1 / 2 + \lambda / ( 2 \kappa + 2 ) } B ^ { - \lambda / ( 2 \kappa + 2 ) } } \\ & { \ll M ^ { 3 / 2 } A ^ { ( 1 + \kappa - 2 \lambda ) / ( 2 \kappa + 2 ) } B ^ { 1 / 2 + \lambda / ( 2 \kappa + 2 ) } \ll M ^ { 3 / 2 } A ^ { \kappa _ { 1 } } B ^ { \lambda _ { 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \underset { n \rightarrow \infty } { \operatorname* { l i m } } \langle A ( y ^ { n } ) , y ^ { n } \rangle = } & { \underset { n \rightarrow \infty } { \operatorname* { l i m } } \sum _ { \ell , \ell ^ { \prime } = 1 } ^ { \infty } y _ { \ell } ^ { n } a _ { \ell , \ell ^ { \prime } } \overline { { y _ { \ell ^ { \prime } } ^ { n } } } } \\ & { = \underset { n \rightarrow \infty } { \operatorname* { l i m } } \sum _ { \ell , \ell ^ { \prime } = 1 } ^ { \infty } y _ { \ell } \underset { : = a _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { n } } { \underbrace { e ^ { - \lambda _ { \ell } \frac { 1 } { n } } a _ { \ell , \ell ^ { \prime } } e ^ { - \lambda _ { \ell ^ { \prime } } \frac { 1 } { n } } } } \overline { { y _ { \ell ^ { \prime } } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { 2 D } ( d ) } & { = \left\langle E _ { z } ( x , y ) E _ { z } ^ { * } ( x + d , y ) \right\rangle _ { \mathrm { { a v } } } } \\ & { = \frac { 1 } { { K } } \sum _ { n = 1 } ^ { K } \left\langle \exp \left\{ j k _ { 0 } \cos \phi _ { n } d \right\} \right\rangle _ { \mathrm { a v } } } \\ & { = J _ { 0 } ( k _ { 0 } d ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { \sigma : \sigma \mathrm { ~ i s ~ a ~ p e r m u t a t i o n ~ o n ~ } \{ r _ { 1 } , \ldots , r _ { k } \} } \mathrm { s g n } ( \sigma ) \mathbb { P } [ \cap _ { j = 1 } ^ { k } \{ z _ { r _ { j } } ^ { \delta , + } \mathrm { ~ c o n n e c t s ~ t o ~ } ( x _ { 2 \sigma ( r _ { j } ) } ^ { \delta } x _ { 2 \sigma ( r _ { j } ) + 1 } ^ { \delta } ) \mathrm { ~ i n ~ } \Omega _ { \delta } \mathrm { ~ t h r o u g h ~ } e _ { \sigma ( r _ { j } ) } ^ { \delta } \} ] } \\ { = } & { \operatorname* { d e t } ( ( h _ { \Omega _ { \delta } } ( z _ { r _ { j } } ^ { \delta , + } , e _ { l } ^ { \delta } ) ) _ { 1 \le j , l \le k } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( Y _ { 2 n + 1 } \in \widehat { C } _ { n } ( X _ { 2 n + 1 } , \hat { Z } _ { 2 n + 1 } ) ) \geq } & { \ P \left( I _ { A } + I _ { B } + I I + I I I \leq \frac { \lceil ( n + 1 ) ( 1 - \alpha ) \rceil } { n + 1 } \ \cap \ B \right) } \\ { \geq } & { \ P \left( I _ { A } \leq \frac { \lceil ( n + 1 ) ( 1 - \alpha ) \rceil } { n + 1 } - 5 \delta \right) - P ( I I > \delta ) } \\ & { - P ( I I I > \delta ) - P ( | I _ { B } - E ( I _ { B } ) | > \delta ) } \\ { \geq } & { \ P ( I _ { A } \leq 1 - \alpha - 5 \delta ) - 3 \delta } \\ { \geq } & { \ 1 - \alpha - 9 \delta , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { x } ^ { \alpha _ { 1 } + l } | x | \partial _ { y } ^ { m } | y | } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 N - 3 } } \psi ( x , \mathbf { \hat { x } } ) \overline { { \psi ( y , \mathbf { \hat { x } } ) } } \Phi ( x , y , \mathbf { \hat { x } } ) \, d \mathbf { \hat { x } } \quad \mathrm { i f ~ } \alpha _ { 2 } = 0 , } \\ { \partial _ { x } ^ { \alpha _ { 1 } + l } | x | } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 N - 3 } } \partial _ { x _ { k } } ^ { m } | y - x _ { k } | \psi ( x , \mathbf { \hat { x } } ) \overline { { \psi ( y , \mathbf { \hat { x } } ) } } \Phi ( x , y , \mathbf { \hat { x } } ) \, d \mathbf { \hat { x } } \quad \mathrm { i f ~ } \alpha _ { 2 } = 0 , } \\ { \partial _ { x } ^ { \alpha _ { 1 } + l } | x | } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 N - 3 } } \partial _ { x _ { k } } ^ { m } F _ { s } ( y , \mathbf { \hat { x } } ) \psi ( x , \mathbf { \hat { x } } ) \overline { { \psi ( y , \mathbf { \hat { x } } ) } } \Phi ( x , y , \mathbf { \hat { x } } ) \, d \mathbf { \hat { x } } \quad \mathrm { i f ~ } \alpha _ { 2 } = 0 , } \\ { \partial _ { y } ^ { m } | y | } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 N - 3 } } \partial _ { x _ { j } } ^ { \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } + l } | x - x _ { j } | \psi ( x , \mathbf { \hat { x } } ) \overline { { \psi ( y , \mathbf { \hat { x } } ) } } \Phi ( x , y , \mathbf { \hat { x } } ) \, d \mathbf { \hat { x } } , } \\ & { \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 N - 3 } } \partial _ { x _ { j } } ^ { \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } + l } | x - x _ { j } | \partial _ { x _ { k } } ^ { m } | y - x _ { k } | \psi ( x , \mathbf { \hat { x } } ) \overline { { \psi ( y , \mathbf { \hat { x } } ) } } \Phi ( x , y , \mathbf { \hat { x } } ) \, d \mathbf { \hat { x } } } \\ & { \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 N - 3 } } \partial _ { x _ { j } } ^ { \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } + l } | x - x _ { j } | \partial _ { x _ { k } } ^ { m } F _ { s } ( y , \mathbf { \hat { x } } ) \psi ( x , \mathbf { \hat { x } } ) \overline { { \psi ( y , \mathbf { \hat { x } } ) } } \Phi ( x , y , \mathbf { \hat { x } } ) \, d \mathbf { \hat { x } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { \tau _ { h } } ^ { \top } \Phi _ { \tau _ { h } } } & { = \sum _ { t = t _ { l } + 1 } ^ { t _ { l } + \tau _ { h } } \varphi ( \mathbf { x } _ { t } ) \varphi ( \mathbf { x } _ { t } ) ^ { \top } } \\ & { \overset { ( a ) } { = } \sum _ { i = 1 } ^ { h } T _ { l } ( \mathbf { a } _ { i } ) \varphi ( \mathbf { a } _ { i } ) \varphi ( \mathbf { a } _ { i } ) ^ { \top } } \\ & { = \Phi _ { h } ^ { \top } \mathbf { W } _ { h } \Phi _ { h } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } V a r \left( \frac { T _ { i } ( \chi _ { i } ( 0 ) N ) } { \mathbb { E } T _ { i } ( \chi _ { i } ( 0 ) N ) } \right) } & { = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \frac { \sum _ { k = \chi _ { i } ( 0 ) N } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { i } ( k ) ^ { 2 } } } { \left( \sum _ { k = \chi _ { i } ( 0 ) N } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { i } ( k ) } \right) ^ { 2 } } = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \frac { \int _ { \chi _ { i } ( 0 ) N } ^ { \infty } \frac { d x } { F _ { i } ( x ) ^ { 2 } } } { \left( \int _ { \chi _ { i } ( 0 ) N } ^ { \infty } \frac { d x } { F _ { i } ( x ) } \right) ^ { 2 } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \frac { 1 } { 2 F _ { i } ( \chi _ { i } ( 0 ) N ) \sum _ { k = \chi _ { i } ( 0 ) N } \frac { 1 } { F _ { i } ( k ) } } = 0 \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { V } ( t ) } & { = p \int _ { M } | u ( t ) | ^ { p - 2 } u ( t ) \partial _ { t } u ( t ) d \mu _ { \bar { g } } \le p V ( t ) ^ { \frac { 1 } { p ^ { \prime } } } \| \partial _ { t } u ( t ) \| _ { L ^ { p } ( M , \bar { g } ) } } \\ & { \le p \left( \frac { V ( t ) } { p ^ { \prime } } + \frac { \| \partial _ { t } u ( t ) \| _ { L ^ { p } ( M , \bar { g } ) } ^ { p } } { p } \right) = \frac { p } { p ^ { \prime } } V ( t ) + \| \partial _ { t } u ( t ) \| _ { L ^ { p } ( M , \bar { g } ) } ^ { p } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { E } = \left[ \begin{array} { c c c c c c } { 2 } & { 6 } & { 3 } & { 1 } & { 2 } & { 0 } \\ { 4 } & { 5 } & { 2 } & { 0 } & { 3 } & { 0 } \\ { 1 } & { 2 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 2 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 2 } & { 4 } & { 1 } \\ { 2 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 3 } & { 2 } \\ { 0 } & { 2 } & { 0 } & { 0 } & { 5 } & { 3 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 2 } & { 0 } & { 4 } \\ { 2 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 4 } & { 5 } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\| \rho ( T , \cdot ) - \tilde { \rho } ( T , \cdot ) \right\| _ { \L { 1 } ( \mathbb { R } ) } } & { \leq } & { \left\| \rho _ { 0 } - \tilde { \rho } _ { 0 } \right\| _ { \L { 1 } ( \mathbb { R } ) } + { L } \left( \left\| q _ { \mathrm { o n } } - \tilde { q } _ { \mathrm { o n } } \right\| _ { \L { 1 } ( [ 0 , t ] ) } + \left\| q _ { \mathrm { o f f } } - \tilde { q } _ { \mathrm { o f f } } \right\| _ { \L { 1 } ( [ 0 , t ] ) } \right) } \\ & { } & { + \mathcal { C } \int _ { 0 } ^ { T } \left\| \rho ( t , \cdot ) - \tilde { \rho } ( t , \cdot ) \right\| _ { \L { 1 } ( \mathbb { R } ) } \mathrm { d } t + \left\| \omega _ { \eta , \delta } - \tilde { \omega } _ { \eta , \delta } \right\| _ { \L { 1 } ( \mathbb { R } ) } \int _ { 0 } ^ { T } \mathcal { R } _ { 1 } ( t ) \mathrm { d } t } \\ & { = } & { \left\| \rho _ { 0 } - \tilde { \rho } _ { 0 } \right\| _ { \L { 1 } ( \mathbb { R } ) } + { L } \left( \left\| q _ { \mathrm { o n } } - \tilde { q } _ { \mathrm { o n } } \right\| _ { \L { 1 } ( [ 0 , t ] ) } + \left\| q _ { \mathrm { o f f } } - \tilde { q } _ { \mathrm { o f f } } \right\| _ { \L { 1 } ( [ 0 , t ] ) } \right) } \\ & { } & { + \mathcal { C } \int _ { 0 } ^ { T } \left\| \rho ( t , \cdot ) - \tilde { \rho } ( t , \cdot ) \right\| _ { \L { 1 } ( \mathbb { R } ) } \mathrm { d } t + r ( T ) \left\| \omega _ { \eta , \delta } - \tilde { \omega } _ { \eta , \delta } \right\| _ { \L { 1 } ( \mathbb { R } ) } . } \end{array}
\mathcal { P } _ { \mathcal { D } } \, : \, [ \dot { \mathrm { H } } ^ { s _ { 0 } , p _ { 0 } } \cap \dot { \mathrm { H } } ^ { s _ { 1 } , p _ { 1 } } ] ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) \longrightarrow [ \dot { \mathrm { H } } _ { \mathcal { D } } ^ { s _ { 0 } , p _ { 0 } } \cap \dot { \mathrm { H } } ^ { s _ { 1 } , p _ { 1 } } ] ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } )
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } _ { m , n } ^ { \kappa , \rho } ( w , \overline { { w } } ) = \frac { m ! ( \kappa + 1 ) _ { m } \gamma _ { m , n } ^ { \kappa , \rho } } { w ^ { \rho } t ^ { m } } } & { \int _ { D } \Xi _ { m , n } ^ { \kappa , \rho } ( z , w | t ) { _ 2 F _ { 1 } } \left( \begin{array} { c } { - m , n + \kappa + \rho + 1 } \\ { \kappa + 1 } \end{array} \bigg | 1 - | z | ^ { 2 } \right) } \\ & { \times { _ 2 F _ { 1 } } \left( \begin{array} { c } { - n - \rho , - n - \rho } \\ { \kappa + 1 } \end{array} \bigg | - \frac { t ( 1 - | z | ^ { 2 } ) ( 1 - | w | ^ { 2 } ) } { ( w + t z ) ( \overline { { z } } + t \overline { { w } } ) } \right) d \lambda ( z ) ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { | K _ { 1 } | \le } & { \frac 1 6 \| \tilde { u } _ { x t } \| ^ { 2 } + 3 \big ( \| \tilde { u } \| _ { L ^ { \infty } } ^ { 2 } \| \tilde { v } _ { t } \| ^ { 2 } + \| \tilde { v } \| _ { L ^ { \infty } } ^ { 2 } \| \tilde { u } _ { t } \| ^ { 2 } \big ) } \\ { \le } & { \frac 1 6 \| \tilde { u } _ { x t } \| ^ { 2 } + C \big ( \| \tilde { u } \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } \| \tilde { v } _ { t } \| ^ { 2 } + \| \tilde { v } \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } \| \tilde { u } _ { t } \| ^ { 2 } \big ) } \\ { \le } & { \frac 1 6 \| \tilde { u } _ { x t } \| ^ { 2 } + C \big ( \| \tilde { v } _ { t } \| ^ { 2 } + \| \tilde { u } _ { t } \| ^ { 2 } \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega } & { = 2 \bar { n } _ { e } ^ { ( 1 ) } + 1 = \frac { 2 \bar { n } _ { B } } { 1 - \eta _ { \mathrm { c h } } } + 1 = \frac { \eta _ { \mathrm { c h } } \xi _ { \mathrm { c h } } } { 1 - \eta _ { \mathrm { c h } } } + 1 , } \\ { \gamma } & { = \sqrt { \eta _ { \mathrm { e f f } } ( 1 - \eta _ { \mathrm { c h } } ) ( \omega ^ { 2 } - 1 ) } , } \\ { \theta } & { = \sqrt { \tau ( 1 - \eta _ { \mathrm { c h } } ) } ( \omega - \mu ) , } \\ { \psi } & { = \sqrt { \eta _ { \mathrm { c h } } ( \omega ^ { 2 } - 1 ) } , ~ \phi = \eta _ { \mathrm { c h } } \omega + ( 1 - \eta _ { \mathrm { c h } } ) \mu , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { \rho } | S _ { \rho } | } & { \leq \left( \ell _ { 0 } ( x _ { 0 } ) + \ell _ { 3 } ( x _ { 0 } ) + \frac { \kappa _ { 1 } \eta ( x _ { 0 } ) \log { \kappa _ { 1 } \eta ( x _ { 0 } ) } } { \pi \sqrt { x _ { 0 } } \log { x _ { 0 } } } \right) \sqrt { x } \log { x } - \ell _ { 1 } ( x _ { 0 } ) + \ell _ { 4 } ( x _ { 0 } ) } \\ & { \leq \ell _ { 5 } ( x _ { 0 } ) \sqrt { x } \log { x } + \ell _ { 6 } ( x _ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta _ { \ell } [ W _ { T } , s ; i ] } & { = \operatorname* { m i n } \left\{ \begin{array} { l l } { a ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } \theta _ { i } : } & { \theta _ { i } \in \Theta , } \\ & { \psi _ { \ell } \left( a [ W _ { T } ; i ] , T ; s \right) \leq \frac { ( \mathbb { W } _ { 1 : T } \theta _ { i } ) _ { k } } { M _ { w } } \leq \psi _ { u } \left( a [ W _ { T } ; i ] , T ; s \right) , k \in [ d _ { 1 } ] . } \end{array} \right\} } \\ { \theta _ { u } [ W _ { T } , s ; i ] } & { = \operatorname* { m a x } \left\{ \begin{array} { l l } { a ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } \theta _ { i } : } & { \theta _ { i } \in \Theta , } \\ & { \psi _ { \ell } \left( a [ W _ { T } ; i ] , T ; s \right) \leq \frac { ( \mathbb { W } _ { 1 : T } \theta _ { i } ) _ { k } } { M _ { w } } \leq \psi _ { u } \left( a [ W _ { T } ; i ] , T ; s \right) , k \in [ d _ { 1 } ] . } \end{array} \right\} } \end{array}
S _ { q _ { 2 } , \, o f 2 } : = \sum _ { 1 \leq n \ll N _ { 0 } } \sum _ { q _ { 2 } ^ { \prime } \in \Phi _ { 2 } ^ { \prime } } \, \sum _ { Q _ { 4 } \leq v \ll \frac { M _ { 0 } - p ^ { 2 } n } { Q _ { 3 } } } \Big | \sum _ { q _ { 3 } \in \Phi _ { 3 } } \overline { { \chi } } ( q _ { 3 } ) \lambda _ { g } ( p ^ { 2 } n + q _ { 3 } v ) \frac { \mathcal { I } _ { 2 } ( q , p ^ { 2 } n + q _ { 3 } v , x ) } { ( p ^ { 2 } n + q _ { 3 } v ) ^ { 1 / 4 } } \Big | ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \frac 1 D \mathbb E \left[ | \! | \boldsymbol { y } - X \hat { \boldsymbol { \beta } } | \! | _ { 2 } ^ { 2 } \mid \mathcal X \right] } & { \leq \overline { { \sigma } } ^ { 2 } + \frac { \lambda } 2 \operatorname* { m i n } \left\{ 3 \mathcal N ( \boldsymbol { \beta } - \hat { \boldsymbol { \beta } } ) , 3 \mathcal N ( \boldsymbol { \beta } ) - \mathcal N ( \hat { \boldsymbol { \beta } } ) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } _ { s , d } N ^ { 2 } - C _ { s , d } N ^ { 1 + \frac { s } { d } } } & { \leq E _ { K _ { s } } ( \omega _ { N , d } ) = 2 \sum _ { k = 1 } ^ { N } P _ { K _ { s } } ( \omega _ { k , d } ) } \\ & { \le 2 \sum _ { k = 1 \atop k \notin A _ { N } } ^ { N } k \cdot \mathcal I _ { s , d } + 2 \sum _ { k = 1 \atop k \in A _ { N } } ^ { N } ( k \cdot \mathcal { I } _ { s , d } - X k ^ { \frac { s } { d } } ) } \\ & { = 2 \sum _ { k = 1 } ^ { N } k \cdot \mathcal { I } _ { s , d } - 2 \sum _ { k \in A _ { N } } ^ X k ^ { \frac { s } { d } } } \\ & { \le 2 \sum _ { k = 1 } ^ { N } k \cdot \mathcal { I } _ { s , d } - 2 \sum _ { k = 1 } ^ { \# A _ { N } } X k ^ { \frac { s } { d } } } \\ & { \le N ^ { 2 } \mathcal { I } _ { s , d } - \alpha _ { s , d } X \left( \# A _ { N } \right) ^ { 1 + \frac { s } { d } } . } \end{array}
\check { X } _ { t _ { n + 1 } } ^ { i , \theta } = \check { X } _ { t _ { n } } ^ { i , \theta } + b ( t _ { n } , \check { X } _ { t _ { n } } ^ { i , \theta } , \check { \mu } _ { t _ { n } } ^ { N , \theta } , \alpha _ { t _ { n } } ( \check { X } _ { t _ { n } } ^ { i , \theta } ; \theta _ { n } ) ) \Delta t + \sigma ( t _ { n } , \check { X } _ { t _ { n } } ^ { i , \theta } , \check { \mu } _ { t _ { n } } ^ { N , \theta } , \alpha _ { t _ { n } } ( \check { X } _ { t _ { n } } ^ { i , \theta } ; \theta _ { n } ) ) \Delta \check { W } _ { n } ^ { i } , \quad n = 0 , \dots , N _ { T } - 1 ,
Z _ { I } = \sum _ { m \in ( \mathbb { Z } _ { \ge 0 } ) ^ { { \boldsymbol { \kappa } } } } \prod _ { i ^ { \prime } \in I ^ { \prime } } \Gamma ( - \sum _ { i } s _ { i ^ { \prime } i } ^ { I } ( m _ { i } + \alpha _ { i } ) + \alpha _ { i ^ { \prime } } ) \prod _ { i \in I } \frac { ( - 1 ) ^ { m _ { i } } } { m _ { i } ! } \exp ( \langle \theta , \sigma _ { m } \rangle ) = \exp ( - \sum _ { i } \theta _ { i } \alpha _ { i } ) \sum _ { m \in ( \mathbb { Z } _ { \ge 0 } ) ^ { { \boldsymbol { \kappa } } } } c _ { m } z ^ { m } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } ^ { d } ( Z ( u _ { \lambda } ) \cap \Omega _ { B } \times [ - 1 , 1 ] ) } & { \le \sum _ { k } \mathcal { H } ^ { d } ( Z ( u _ { \lambda } ) \cap Q _ { k } ) } \\ & { \le \sum _ { k } C N ^ { * * } ( Q _ { k } ) ^ { \beta } s ( Q _ { k } ) ^ { d } } \\ & { \le C ( 1 + \lambda ) ^ { \beta / 2 } } \\ & { \le C \lambda ^ { \beta / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \frac { \hat { r } _ { u i _ { u } } ^ { \beta } } { \sum _ { j } \hat { r } _ { u j } ^ { \beta } } } & { = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \frac { ( 1 - \epsilon ) ^ { \beta } } { ( 1 - \epsilon ) ^ { \beta } + ( M - 1 ) \frac { \epsilon ^ { \beta } } { ( M - 1 ) ^ { \beta } } } = } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } 1 - O ( \epsilon ) = 1 } \\ { \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \frac { \hat { r } _ { u i \neq i _ { u } } ^ { \beta } } { \sum _ { j } \hat { r } _ { u j } ^ { \beta } } } & { = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \frac { \frac { \epsilon ^ { \beta } } { ( M - 1 ) ^ { \beta } } } { ( 1 - \epsilon ) ^ { \beta } + ( M - 1 ) \frac { \epsilon ^ { \beta } } { ( M - 1 ) ^ { \beta } } } = } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } O ( \epsilon ) = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( k _ { \delta } ) _ { u u } } & { = } & { 2 b _ { 2 } ( \delta ) + 6 b _ { 3 } ( \delta ) u ( s ) + \cdots + ( N - 1 ) ( N - 2 ) b _ { N - 1 } ( \delta ) u ( s ) ^ { N - 3 } } \\ & { } & { + N ( N - 1 ) u ( s ) ^ { N - 2 } l _ { \delta } + 2 N u ( s ) ^ { N - 1 } ( l _ { \delta } ) _ { u } + u ( s ) ^ { N } ( l _ { \delta } ) _ { u u } } \\ & { } & { + v ( s ) [ 2 ( m _ { \delta } ) _ { u } + u ( s ) ( m _ { \delta } ) _ { u u } ] + v ( s ) ^ { 2 } ( n _ { \delta } ) _ { u u } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \delta } { \delta u } \frac { f _ { \bar { Q } } \{ F _ { \bar { Q } } ^ { - 1 } ( u ) \} } { \phi \{ \Phi ^ { - 1 } ( u ) \} } } & { = \frac { f _ { \bar { Q } } ^ { \prime } \{ F _ { \bar { Q } } ^ { - 1 } ( u ) \} } { f _ { \bar { Q } } \{ F _ { \bar { Q } } ^ { - 1 } ( u ) \} \phi \{ \Phi ^ { - 1 } ( u ) \} } - \frac { \Phi ^ { - 1 } ( u ) f _ { \bar { Q } } \{ F _ { \bar { Q } } ^ { - 1 } ( u ) \} } { \phi \{ \Phi ^ { - 1 } ( u ) \} ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { S _ { E } ( \theta - \alpha ) ^ { - 1 } \, P ( \omega _ { 2 } ( \theta - \alpha ) - \omega _ { 1 } ( \theta - \alpha ) ) \, S _ { E } ( \theta - \alpha ) } \\ { = } & { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { \omega _ { 1 } ( \theta - \alpha ) - \omega _ { 2 } ( \theta - \alpha ) } & { 1 } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( | { \mathbf n } _ { X ^ { i } } ( P ) | \geq N \mathrm { ~ a n d ~ } | { \mathbf n } _ { X ^ { j } } ( P ) | \geq N ) } & { = \frac { 1 } { Z } f \big ( \big ( \mathcal { D } _ { N } ^ { X ^ { i } } \cup \mathcal { D } _ { - N } ^ { X ^ { i } } \big ) \cap \big ( \mathcal { D } _ { N } ^ { X ^ { j } } \cup \mathcal { D } _ { - N } ^ { X ^ { j } } \big ) \big ) } \\ & { \leq \frac { C \| f \| _ { \infty } } { Z } | N | ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f _ { x ^ { k - \tau _ { k } } } ( x ^ { k + 1 } , \xi ^ { k - \tau _ { k } } ) + \omega ( x ^ { k + 1 } ) + \gamma _ { k } V _ { d } ( x ^ { k + 1 } , x ^ { k } ) } \\ & { \leq f _ { x ^ { k - \tau _ { k } } } ( \hat { x } ^ { k } , \xi ^ { k - \tau _ { k } } ) + \omega ( \hat { x } ^ { k } ) + \gamma _ { k } V _ { d } ( \hat { x } ^ { k } , x ^ { k } ) - ( \gamma _ { k } - \kappa ) V _ { d } ( \hat { x } ^ { k } , x ^ { k + 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma ^ { - 1 } } & { \int _ { F _ { 3 } \cap \{ x \leq \beta + \delta + \delta ^ { 2 } \} } | h \partial _ { \nu } u | ^ { 2 } d S } \\ & { = \gamma ^ { - 1 } \int _ { F _ { 3 } } | h \partial _ { \nu } u | ^ { 2 } d S - \gamma ^ { - 1 } \int _ { F _ { 3 } \cap \{ x \geq \beta + \delta + \delta ^ { 2 } \} } | h \partial _ { \nu } u | ^ { 2 } } \\ & { \geq \frac { 2 } { a } - \frac { 4 } { a } ( 1 - \frac { \beta } { a } ) + { \mathcal O } ( \delta ) + o ( 1 ) . } \end{array}
\left\lVert \mathcal { B } ( 1 ) _ { j } \right\rVert _ { 1 } = \left\lVert \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \boldsymbol { b } _ { j , k } \right\rVert _ { 1 } \leq \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \left\lVert \boldsymbol { b } _ { j , k } \right\rVert _ { 1 } \leq \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \left\lVert \boldsymbol { B } _ { k } \right\rVert _ { \infty } = \tilde { S } ,
\begin{array} { r l } { D ^ { \prime } ( \lambda ) } & { = u _ { \lambda } ^ { - } ( 0 ; \lambda ) \wedge \tilde { \mathcal { U } } ^ { - } ( 0 ; \lambda ) + u ^ { - } ( 0 ; \lambda ) \wedge \tilde { \mathcal { U } } _ { \lambda } ^ { - } ( 0 ; \lambda ) } \\ & { = u _ { \lambda } ^ { - } ( 0 ; \lambda ) \wedge \tilde { \mathcal { U } } ^ { - } ( 0 ; \lambda ) + u ^ { + } ( 0 ; \lambda ) \wedge \tilde { \mathcal { U } } _ { \lambda } ^ { + } ( 0 ; \lambda ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } _ { b } \left[ \| x ^ { t + 1 } - x ^ { * } \| ^ { 2 } \right] } & { { \leq } } & { ( 1 - \gamma \mu ) \mathbb { E } _ { b } \left[ \| x ^ { t } - x ^ { * } \| ^ { 2 } \right] + 2 \gamma ^ { 2 } \sigma _ { b } ^ { * } + 2 \gamma ( 2 \gamma \mathcal { L } _ { b } - 1 ) \mathbb { E } [ f ( x ^ { t } ) - \operatorname* { i n f } f ] } \\ & { \leq } & { ( 1 - \gamma \mu ) \mathbb { E } _ { b } \left[ \| x ^ { t } - x ^ { * } \| ^ { 2 } \right] + 2 \gamma ^ { 2 } \sigma _ { b } ^ { * } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } } | V _ { \xi } ( s , \xi ) - V _ { \Delta x , \xi } ( s , \xi ) | d \xi d s } & { \leq ( 1 + \alpha ) t \int _ { \mathbb { R } } \left| H _ { \xi } ( 0 , \xi ) - H _ { \Delta x , \xi } ( 0 , \xi ) \right| d \xi } \\ & { \qquad + t \int _ { \mathbb { R } } \left| g ( X ( 0 , \xi ) ) - g ( X _ { \Delta x } ( 0 , \xi ) ) \right| d \xi } \\ & { \qquad + 2 \alpha \int _ { B ( t ) } \left| U _ { \xi } ( 0 , \xi ) - U _ { \Delta x , \xi } ( 0 , \xi ) \right| d \xi , } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { 3 \mathrm { b } } ^ { 3 } } & { : = \bigl [ ( M _ { 0 } ) _ { \mathrm { b } } ^ { 3 } ; \mathfrak { p } _ { { 3 \mathrm { b } } , 3 } ; \mathfrak { p } _ { L \cap R , 3 } ; \{ \mathfrak { p } _ { L \cap R , 3 , O } \} ; \{ \mathfrak { p } _ { { 3 \mathrm { b } } , O } \} ; \{ \mathfrak { p } _ { L \cap R , O } \} ; \{ \mathfrak { p } _ { L , O } , \mathfrak { p } _ { R , O } \} ; } \\ & { \quad \qquad \{ \tilde { \mathfrak { p } } _ { { 3 \mathrm { b } } , O } \} ; \{ \tilde { \mathfrak { p } } _ { L \cap R , O } \} ; \{ \tilde { \mathfrak { p } } _ { L , O } , \tilde { \mathfrak { p } } _ { R , O } \} ; \{ \tilde { \mathfrak { p } } _ { L , O } ^ { \sharp } , \tilde { \mathfrak { p } } _ { R , O } ^ { \sharp } \} \bigr ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \mathbb { P } [ | I _ { t _ { n } } ^ { n } | \le \varepsilon ] = \mathbb { P } [ | I _ { t _ { \infty } } ^ { \infty } | \le \varepsilon ] } & { \mathrm { a n d } } & { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \mathbb { P } [ | I _ { t _ { \infty } } ^ { \infty } | \le \varepsilon ] = \mathbb { P } [ | I _ { t _ { \infty } } ^ { \infty } | = 0 ] = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 2 } } & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { D } \int _ { D \setminus D _ { w } } \int _ { 0 } ^ { s } \int _ { D } \int _ { D \setminus D _ { w ^ { \prime } } } \hat { p } _ { D } ( s ^ { \prime } , x , w ^ { \prime } ) \nu ( z ^ { \prime } - w ^ { \prime } ) p _ { D } ( s - s ^ { \prime } , z ^ { \prime } , w ) \nu ( z - w ) } \\ & { \quad \times p _ { D } ( t - s , z , y ) f ( y ) f ( x ) \, d z ^ { \prime } \, d w ^ { \prime } \, d s ^ { \prime } \, d z \, d w \, d s \, d x \, d y . } \end{array}
{ \begin{array} { l } { { \frac { { \partial } ^ { 1 0 } \varphi \mathrm { ( } \omega \mathrm { ) } } { \partial { \omega } ^ { \mathrm { 1 0 } } } } = { \left( { \frac { \lambda } { \mathrm { 2 } \pi c } } \right) } ^ { \mathrm { 1 0 } } { \Bigl ( } \mathrm { 3 6 2 8 8 0 0 } \lambda { \frac { \partial \varphi \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial \lambda } } + \mathrm { 1 6 3 2 9 6 0 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 2 } } { \frac { { \partial } ^ { 2 } \varphi \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 2 } } } } + \mathrm { 2 1 7 7 2 8 0 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 3 } } { \frac { { \partial } ^ { 3 } \varphi \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 3 } } } } + \mathrm { 1 2 7 0 0 8 0 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 4 } } { \frac { { \partial } ^ { 4 } \varphi \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 4 } } } } + \mathrm { 3 8 1 0 2 4 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 5 } } { \frac { { \partial } ^ { 5 } \varphi \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 5 } } } } + \mathrm { 6 3 5 0 4 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 6 } } { \frac { { \partial } ^ { 6 } \varphi \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 6 } } } } + } \\ { + \mathrm { 6 0 4 8 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 7 } } { \frac { { \partial } ^ { 7 } \varphi \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 7 } } } } + \mathrm { 3 2 4 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 8 } } { \frac { { \partial } ^ { 8 } \varphi \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 8 } } } } + \mathrm { 9 0 } { \lambda } ^ { \mathrm { 9 } } { \frac { { \partial } ^ { 9 } \varphi \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 9 } } } } + { \lambda } ^ { \mathrm { 1 0 } } { \frac { { \partial } ^ { 1 0 } \varphi \mathrm { ( } \lambda \mathrm { ) } } { \partial { \lambda } ^ { \mathrm { 1 0 } } } } { \Bigr ) } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { P ( \gamma , k ) : = ( P _ { 1 } ( \gamma , k ) , P _ { 2 } ( \gamma , k ) ) , } \\ & { \qquad P _ { 1 } ( \gamma , k ) : = R _ { \gamma } - | k | _ { \gamma } ^ { 2 } + ( \operatorname { t r } _ { \gamma } k ) ^ { 2 } , \qquad P _ { 2 } ( \gamma , k ) : = \delta _ { \gamma } k + { \mathrm d } ( \operatorname { t r } _ { \gamma } k ) , } \end{array}
\sum _ { \substack { i \in \{ 1 , \ldots , k \} \, s _ { i } \neq 0 } } \left( \operatorname* { m i n } \{ s _ { i } , \lambda _ { i } \} + \operatorname* { m a x } \{ 2 , d ^ { \perp } - 1 \} \operatorname* { m a x } \{ 0 , \lambda _ { i } - s _ { i } \} \right) + \sum _ { \substack { i \in \{ 1 , \ldots , k \} \, s _ { i } = 0 } } 2 \lambda _ { i } \le n .
\begin{array} { r l r } { \left( \begin{array} { c c c c c c } { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & \\ { \cdots } & { \hat { { \mathbf { H } } } _ { 0 , 0 } } & { \hat { { \mathbf { B } } } _ { 0 , 1 } } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } \\ { \cdots } & { \hat { { \mathbf { B } } } _ { 1 , 0 } } & { \hat { { \mathbf { H } } } _ { 1 , 1 } } & { \hat { { \mathbf { B } } } _ { 1 , 2 } } & { 0 } & { \cdots } \\ { \cdots } & { 0 } & { \hat { { \mathbf { B } } } _ { 2 , 1 } } & { \hat { { \mathbf { H } } } _ { 2 , 2 } } & { \hat { { \mathbf { B } } } _ { 2 , 3 } } & { \cdots } \\ { \cdots } & { 0 } & { 0 } & { \hat { { \mathbf { B } } } _ { 3 , 2 } } & { \hat { { \mathbf { H } } } _ { 3 , 3 } } & { \cdots } \\ & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \vdots } \\ { \Psi _ { 0 } } \\ { \Psi _ { 1 } } \\ { \Psi _ { 2 } } \\ { \Psi _ { 3 } } \\ { \vdots } \end{array} \right) } & { = } & { E \left( \begin{array} { c } { \vdots } \\ { \Psi _ { 0 } } \\ { \Psi _ { 1 } } \\ { \Psi _ { 2 } } \\ { \Psi _ { 3 } } \\ { \vdots } \end{array} \right) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Big | \theta _ { \rho } ^ { 2 } ( \| u _ { n } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ^ { 2 } ( \| \partial _ { z } v _ { n } - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \frac p 2 \| D ^ { \alpha } \partial _ { z } \sigma ( u _ { n } ) \| _ { L _ { 2 } ( \mathscr U , L ^ { 2 } ) } ^ { 2 } \| D ^ { \alpha } v _ { n } \| ^ { p - 2 } \Big | } \\ & { + \Big | \theta _ { \rho } ^ { 2 } ( \| u _ { n } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ^ { 2 } ( \| \partial _ { z } v _ { n } - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \frac { p ( p - 2 ) } { 2 } \left\langle D ^ { \alpha } \partial _ { z } \sigma ( u _ { n } ) , D ^ { \alpha } v _ { n } \right\rangle ^ { 2 } \| D ^ { \alpha } v _ { n } \| ^ { p - 4 } \Big | } \\ { \leq } & { C _ { p , \kappa } ( 1 + \| u _ { n } \| ^ { p } + \| v _ { n } \| _ { \widetilde H ^ { s } } ^ { p } ) . } \end{array}
\int _ { \Omega } \operatorname { d i s t } ^ { 2 } ( \nabla y , S O ( d ) ) \mathrm { d } X \leq c \int _ { \Omega } W _ { \mathrm { e l } } ( F _ { \mathrm { e l } } ) \mathrm { d } X + c \varepsilon ^ { 2 } \| \nabla v \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } \leq c \varepsilon ^ { 2 } \left( \mathcal { W } _ { \mathrm { e l } } ^ { \varepsilon } ( u , v ) + \mathcal { W } _ { \mathrm { v i } } ^ { \varepsilon } ( v ) \right) .
\begin{array} { r l } { J ( \mu ; \pi ) } & { : = \mathbb { E } _ { \mu } ^ { \pi } \left[ \sum _ { t = 0 } ^ { \infty } \beta ^ { t } \, { \bar { c } } \left( x ( t ) , a ( t ) , z ( t ) \right) \right] } \\ & { = \mathbb { E } _ { \mu } ^ { \pi } \left[ \sum _ { t = 0 } ^ { \infty } \beta ^ { t } \, c \left( x ( t ) , a ( t ) , \mu \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r c l } { u _ { \xi } } & { = } & { p , } \\ { p _ { \xi } } & { = } & { - u + u ^ { 3 } + ( A _ { 0 } + \varepsilon A _ { 1 } ) v + ( B _ { 0 } + \varepsilon B _ { 1 } ) w + C _ { 0 } + \varepsilon C _ { 1 } , } \\ { v _ { \xi } } & { = } & { \varepsilon q , } \\ { q _ { \xi } } & { = } & { \varepsilon ( v - u ) , } \\ { w _ { \xi } } & { = } & { \varepsilon \frac { r } { D } , } \\ { r _ { \xi } } & { = } & { \frac { \varepsilon } { D } ( w - u ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { E } _ { \mathrm { e f f } } } & { = V ^ { \prime } ( q _ { t } ) ^ { T } \cdot \dot { q } _ { t } - V ^ { \prime } ( q _ { t } ) ^ { T } \cdot \dot { q } _ { t } + \frac { 1 } { 2 } \operatorname { T r } \left[ \frac { d V ^ { \prime \prime } ( q _ { \mathrm { r e f } } ) } { d t } \cdot \Sigma _ { t } \right] } \\ & { = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Big \{ \omega \in \Omega : \Delta _ { k \lfloor n / k \rfloor } ^ { ( \omega ) } \leq e ^ { - 2 M k \lfloor n / k \rfloor } } & { , \ \omega \in A _ { k } , \ | \mathbb { X } _ { k \lfloor n / k \rfloor } ^ { ( \omega ) } | > 1 \Big \} } \\ & { \subset \left\{ \omega \in \Omega : \Delta _ { n } ^ { ( \omega ) } \leq e ^ { - M n } \mathrm { ~ a n d ~ } \omega \in A _ { k } \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r } { E ^ { * } \left( \prod _ { j = i } ^ { I + n - 1 } F _ { I - i , j } ^ { * 2 } \Big | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } , \mathcal { F } _ { I , n } ^ { * } \right) = \frac { 1 } { C _ { I - i , i } } \sum _ { k = i } ^ { I + n - 1 } \left( \prod _ { j = i } ^ { k - 1 } \widehat f _ { j , n } ^ { * } \right) \widehat \sigma _ { k , n } ^ { 2 } \left( \prod _ { h = k + 1 } ^ { I + n - 1 } \widehat f _ { h , n } ^ { * 2 } \right) + \prod _ { j = i } ^ { I + n - 1 } \widehat f _ { j , n } ^ { * 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \sum _ { a _ { r } ^ { \prime } < n \le a _ { r - 1 } ^ { \prime } } n ^ { - 1 / 2 - i t } \right| } & { \le { a _ { r } ^ { \prime } } ^ { - 1 / 2 } \operatorname* { m a x } _ { L \in ( a _ { r } ^ { \prime } , a _ { r - 1 } ^ { \prime } ] } S _ { f } ( a _ { r } ^ { \prime } , L - a _ { r } ^ { \prime } ) } \\ & { \le D _ { 1 } ( h _ { 3 } ) { a _ { r } ^ { \prime } } ^ { 3 / 1 4 } t ^ { 1 / 1 4 } + D _ { 2 } ( h _ { 3 } ) { a _ { r } ^ { \prime } } ^ { 1 5 / 2 8 } t ^ { - 1 / 1 4 } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { p _ { 1 } } & { = e _ { 1 } , } \\ { p _ { 2 } } & { = e _ { 1 } ^ { 2 } - 2 e _ { 2 } , } \\ { p _ { 3 } } & { = e _ { 1 } ^ { 3 } - 3 e _ { 2 } e _ { 1 } + 3 e _ { 3 } , } \\ { p _ { 4 } } & { = e _ { 1 } ^ { 4 } - 4 e _ { 2 } e _ { 1 } ^ { 2 } + 4 e _ { 3 } e _ { 1 } + 2 e _ { 2 } ^ { 2 } - 4 e _ { 4 } , } \\ { p _ { 5 } } & { = e _ { 1 } ^ { 5 } - 5 e _ { 2 } e _ { 1 } ^ { 3 } + 5 e _ { 3 } e _ { 1 } ^ { 2 } + 5 e _ { 2 } ^ { 2 } e _ { 1 } - 5 e _ { 4 } e _ { 1 } - 5 e _ { 3 } e _ { 2 } + 5 e _ { 5 } , } \\ { p _ { 6 } } & { = e _ { 1 } ^ { 6 } - 6 e _ { 2 } e _ { 1 } ^ { 4 } + 6 e _ { 3 } e _ { 1 } ^ { 3 } + 9 e _ { 2 } ^ { 2 } e _ { 1 } ^ { 2 } - 6 e _ { 4 } e _ { 1 } ^ { 2 } - 1 2 e _ { 3 } e _ { 2 } e _ { 1 } + 6 e _ { 5 } e _ { 1 } - 2 e _ { 2 } ^ { 3 } + 3 e _ { 3 } ^ { 2 } + 6 e _ { 4 } e _ { 2 } - 6 e _ { 6 } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \sum _ { ( i _ { 1 } , \dots , i _ { N - k - 2 } ) } \big ( ( - 1 ) ^ { \sum _ { l = 1 } ^ { N - k - 2 } i _ { l } } e ^ { - \langle ( i _ { 1 } , \dots , i _ { N - k - 2 } , 0 , \dots , 0 ) , \Theta \rangle } } \\ & { \cdot X _ { { t _ { 1 } - i _ { 1 } } , \dots , t _ { N - k - 2 } - i _ { N - k - 2 } , t _ { N - k - 1 } , \dots , { t _ { N } } } \big ) } \\ { = } & { - \sum _ { ( i _ { 1 } , \dots , i _ { N - k - 2 } ) } \big ( ( - 1 ) ^ { 1 + \sum _ { l = 1 } ^ { N - k - 2 } i _ { l } } e ^ { - \langle ( i _ { 1 } , \dots , i _ { N - k - 2 } , 1 , 0 , \dots , 0 ) , \Theta \rangle } } \\ & { \cdot X _ { { t _ { 1 } - i _ { 1 } } , \dots , t _ { N - k - 2 } - i _ { N - k - 2 } , t _ { N - k - 1 } - 1 , \dots , { t _ { N } } } \big ) + Q _ { t } ^ { ( N - k ) } } \\ { = } & { \sum _ { ( i _ { 1 } , \dots , i _ { N - k - 2 } ) } \big ( ( - 1 ) ^ { \sum _ { l = 1 } ^ { N - k - 2 } i _ { l } } e ^ { - \langle ( i _ { 1 } , \dots , i _ { N - k - 2 } , 1 , 0 , \dots , 0 ) , \Theta \rangle } } \\ & { \cdot X _ { { t _ { 1 } - i _ { 1 } } , \dots , t _ { N - k - 2 } - i _ { N - k - 2 } , t _ { N - k - 1 } - 1 , \dots , { t _ { N } } } \big ) + Q _ { t } ^ { ( N - k ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| \widetilde { \mathbf { T } } _ { t } - \mathbf { T } \right\| _ { \mathrm { H S } } } & { = \left\| \widetilde { \boldsymbol { \Sigma } } _ { t } ^ { - 1 } \widetilde { \boldsymbol { \Gamma } } _ { t } - \boldsymbol { \Sigma } ^ { - 1 } \boldsymbol { \Gamma } \right\| _ { \mathrm { H S } } } \\ & { \leq \left\| \widetilde { \boldsymbol { \Sigma } } _ { t } ^ { - 1 } \widetilde { \boldsymbol { \Gamma } } _ { t } - \widetilde { \boldsymbol { \Sigma } } _ { t } ^ { - 1 } \boldsymbol { \Gamma } \right\| _ { \mathrm { H S } } + \left\| \widetilde { \boldsymbol { \Sigma } } _ { t } ^ { - 1 } \boldsymbol { \Gamma } - \boldsymbol { \Sigma } ^ { - 1 } \boldsymbol { \Gamma } \right\| _ { \mathrm { H S } } } \\ & { \leq \left\| \widetilde { \boldsymbol { \Sigma } } _ { t } ^ { - 1 } \right\| \left\| \widetilde { \boldsymbol { \Gamma } } _ { t } - \boldsymbol { \Gamma } \right\| _ { \mathrm { H S } } + \left\| \left( \widetilde { \boldsymbol { \Sigma } } _ { t } ^ { - 1 } - \boldsymbol { \Sigma } ^ { - 1 } \right) \boldsymbol { \Gamma } \right\| _ { \mathrm { H S } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \det g _ { C + i } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } } { \det g _ { C } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } } } & { = \operatorname* { d e t } \frac { A } { g _ { C } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } } \left( D - C A ^ { - 1 } B \right) } \\ & { = \operatorname* { d e t } \left( \mathbb { I } + 2 G _ { C i } ^ { s _ { 1 } } G _ { i C } ^ { s _ { 2 } } g _ { C } ^ { - 1 , s _ { 1 } , s _ { 2 } } \right) \left( D - C A ^ { - 1 } B \right) } \\ & { = \left( 1 + 2 G _ { i C } ^ { s _ { 2 } } g _ { C } ^ { - 1 , s _ { 1 } , s _ { 2 } } G _ { C i } ^ { s _ { 1 } } \right) \left( D - C A ^ { - 1 } B \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi _ { m } } & { = \Bigg ( \frac { 4 p ^ { 3 } + 2 ( m - 3 ) p ^ { 2 } - ( m - 3 ) p - 1 } { ( 2 p - 1 ) ^ { 2 } } + \frac { 2 p ^ { 3 } } { ( 2 p - 1 ) ^ { 2 } } \left( \frac { 1 - p } { p } \right) ^ { K + 1 } + \frac { 2 p ( p - 1 ) ^ { 2 } } { ( 2 p - 1 ) ^ { 2 } } \left( \frac { 1 - p } { p } \right) ^ { m - K } \Bigg ) ^ { - 1 } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { \frac { \partial u } { \partial t } } & { = r u ( 1 - u ) + \frac { 2 k } { M } \frac { \partial M } { \partial x } \frac { \partial u } { \partial x } + k \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } } \\ { \frac { \partial M } { \partial t } } & { = k \frac { \partial ^ { 2 } M } { \partial x ^ { 2 } } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { - 4 8 f _ { 0 } H ^ { 3 } \dot { \phi } + 6 H ^ { 2 } - 2 V ( \phi ) - \epsilon \dot { \phi } ^ { 2 } = 0 } \\ & { - 1 6 f _ { 0 } H \dot { H } \dot { \phi } + H ^ { 2 } \left( 3 - 8 f _ { 0 } \ddot { \phi } \right) - 1 6 f _ { 0 } H ^ { 3 } \dot { \phi } + 2 \dot { H } - V ( \phi ) + \frac { 1 } { 2 } \epsilon \dot { \phi } ^ { 2 } = 0 } \\ & { - 3 H \left( 8 f _ { 0 } H \left( \dot { H } + H ^ { 2 } \right) + \epsilon \dot { \phi } \right) - V ^ { \prime } ( \phi ) - \epsilon \ddot { \phi } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \mathbf { u } } { \partial t } } & { = \mathsf { D } \nabla ^ { 2 } \mathbf { u } + \gamma \left( \mathbf { \hat { F } } ( \mathbf { u } ) + \theta \mathbf { G } ( \mathbf { u } , \mathbf { x } ) \right) , ~ \mathrm { o n } ~ \Omega , } \\ { \nabla \mathbf { u } \cdot \mathbf { n } } & { = \mathbf { 0 } ~ \mathrm { o n } ~ \partial \Omega . } \end{array}
\underset { \theta _ { i } } { \mathrm { m a x } } \quad \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } y _ { t } ^ { ( i ) } \log g \left( w _ { t - \tau : t - 1 } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } \theta _ { i } \right) + ( 1 - y _ { t } ^ { ( i ) } ) \log \left( 1 - g \left( w _ { t - \tau : t - 1 } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } \theta _ { i } \right) \right) .
\begin{array} { r } { A _ { 1 } ^ { \mathrm { T M U L A } } \phi = \frac { 1 } { 2 } \tilde { b } ^ { \top } \left[ \nabla ^ { 2 } \phi \right] \tilde { b } + \sum _ { i = 1 } ^ { d } \phi ^ { ( 3 ) } ( e _ { i } , e _ { i } , \tilde { b } ) + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j = 1 } ^ { d } \phi ^ { ( 4 ) } ( e _ { i } , e _ { i } , e _ { j } , e _ { j } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { ( \boldsymbol { u } , \boldsymbol { v } ) _ { \boldsymbol { c u r l } , D } : = ( \boldsymbol { u } , \boldsymbol { v } ) _ { 0 , D } + ( \nabla \times \boldsymbol { u } , \nabla \times \boldsymbol { v } ) _ { 0 , D } , \quad \forall \boldsymbol { u } , \boldsymbol { v } \in \boldsymbol { H } ( \boldsymbol { c u r l } ; D ) , } \\ & { } & { ( \boldsymbol { u } , \boldsymbol { v } ) _ { d i v , D } : = ( \boldsymbol { u } , \boldsymbol { v } ) _ { 0 , D } + ( \nabla \cdot \boldsymbol { u } , \nabla \cdot \boldsymbol { v } ) _ { 0 , D } , \quad \forall \boldsymbol { u } , \boldsymbol { v } \in \boldsymbol { H } ( d i v ; D ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { D _ { S , j } S _ { j } ( c ( t _ { 0 } , t ) , t ) = D _ { S , j } S _ { j } ^ { * } ( t ) } \\ & { + \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \frac { 1 } { c ^ { 2 } ( \theta , t ) } \frac { \partial } { \partial \theta } c ( \theta , t ) d \theta \int _ { 0 } ^ { \theta } c ^ { 2 } ( \tau , t ) r _ { S , j } ( { \bf X } ( c ( \tau , t ) , t ) , { \bf S } ( c ( \tau , t ) , t ) ) \frac { \partial } { \partial \tau } c ( \tau , t ) d \tau , } \\ & { \ 0 \leq t _ { 0 } < t \leq T , \ j = 1 , . . . , m , } \end{array}
n _ { k } ^ { \mathcal { r } \ell } = - n _ { k } ^ { \ell \mathcal { r } } , \qquad \qquad \, \left( f _ { \mathbf { q } , \, k } ^ { \mathcal { r } \ell } - f _ { \mathbf { q } , \, k } ^ { \mathcal { r } } \right) n _ { k } ^ { \mathcal { r } \ell } = \left( f _ { \mathbf { q } , \, k } ^ { \mathcal { r } } - f _ { \mathbf { q } , \, k } ^ { \ell \mathcal { r } } \right) n _ { k } ^ { \ell \mathcal { r } } .
= \frac { 1 } { 3 ! } \left| \begin{array} { l l l } { \frac { 1 } { \left( 1 - { z _ { 1 } } \right) \left( 1 - { z _ { 2 } } \right) \cdots \left( 1 - { z _ { n } } \right) } } & { - 1 } & { 0 } \\ { \frac { 1 } { \left( 1 - { z _ { 1 } } ^ { 2 } \right) \left( 1 - { z _ { 2 } } ^ { 2 } \right) \cdots \left( 1 - { z _ { n } } ^ { 2 } \right) } } & { \frac { 1 } { \left( 1 - { z _ { 1 } } \right) \left( 1 - { z _ { 2 } } \right) \cdots \left( 1 - { z _ { n } } \right) } } & { - 2 } \\ { \frac { 1 } { \left( 1 - { z _ { 1 } } ^ { 3 } \right) \left( 1 - { z _ { 2 } } ^ { 3 } \right) \cdots \left( 1 - { z _ { n } } ^ { 3 } \right) } } & { \frac { 1 } { \left( 1 - { z _ { 1 } } ^ { 2 } \right) \left( 1 - { z _ { 2 } } ^ { 2 } \right) \cdots \left( 1 - { z _ { n } } ^ { 2 } \right) } } & { \frac { 1 } { \left( 1 - { z _ { 1 } } \right) \left( 1 - { z _ { 2 } } \right) \cdots \left( 1 - { z _ { n } } \right) } } \end{array} \right|
\begin{array} { r l } & { G ( \varphi ( t _ { k + 1 } ) ) = G ( \textrm { e } ^ { i t _ { k + 1 } \langle \nabla \rangle _ { \alpha } } \xi ( t _ { k + 1 } ) ) } \\ { = } & { G ( \textrm { e } ^ { i t _ { k + 1 } \langle \nabla \rangle _ { \alpha } } \xi ( t _ { k + 1 } ) ) - P _ { N _ { 0 } } G ( \textrm { e } ^ { i t _ { k + 1 } \langle \nabla \rangle _ { \alpha } } \xi ( t _ { k + 1 } ) ) } \\ & { + P _ { N _ { 0 } } G ( \textrm { e } ^ { i t _ { k + 1 } \langle \nabla \rangle _ { \alpha } } \xi ( t _ { k + 1 } ) ) - P _ { N _ { 0 } } G ( \textrm { e } ^ { i t _ { k + 1 } \langle \nabla \rangle _ { \alpha } } ( P _ { N _ { 0 } } \xi ( t _ { k + 1 } ) ) ) } \\ & { + P _ { N _ { 0 } } G ( \textrm { e } ^ { i t _ { k + 1 } \langle \nabla \rangle _ { \alpha } } ( P _ { N _ { 0 } } \xi ( t _ { k + 1 } ) ) ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { R } & { = T * 1 1 \Leftrightarrow } \\ { R } & { = T * ( 1 0 + 1 ) } \\ { R } & { = 1 0 * ( 1 0 ^ { n - 1 } * c _ { n } + \ldots + 1 0 ^ { 0 } * c _ { 1 } ) + ( 1 0 ^ { n - 1 } * c _ { n } + \ldots + 1 0 ^ { 0 } * c _ { 1 } ) \Leftrightarrow } \\ { R } & { = 1 0 ^ { n } * c _ { n } + 1 0 ^ { n - 1 } * ( c _ { n } + c _ { n - 1 } ) + \ldots + 1 0 ^ { 1 } * ( c _ { 2 } + c _ { 1 } ) + c _ { 1 } } \\ & { Q E D } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { P r } ( \mathcal { C } ( t _ { 0 } ^ { ( n ) } ) \mid \theta = i ) } & { = \operatorname* { P r } ( \mathcal { C } ( t _ { 0 } ^ { ( n ) } ) \mid T ^ { ( n ) } \! > \! 0 , \theta \! = \! i ) \operatorname* { P r } ( T ^ { ( n ) } \! > \! 0 \mid \theta \! = \! i ) \le \operatorname* { P r } ( T ^ { ( n ) } \! > \! 0 \! \mid \theta \! = \! i ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| m ^ { k _ { 1 } } ( x , t , \cdot ) - I \| _ { L ^ { \infty } ( \partial D _ { \epsilon } ( k _ { 1 } ) ) } = O ( t ^ { - 1 / 2 } ) , } \\ & { m ^ { k _ { 1 } } - I = \frac { \hat { M } _ { \mathrm { s o l } } Y m _ { 1 } ^ { X } Y ^ { - 1 } \hat { M } _ { \mathrm { s o l } } ^ { - 1 } } { z _ { \star } \sqrt { t } ( k - k _ { 1 } ) \hat { z } ( \zeta , k ) } + O ( t ^ { - 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathsf { E } [ U _ { i } ( T _ { n } ) \mid T ^ { ( n ) } > 0 , \theta = i ] } & { \le \mathsf { E } [ U _ { i } ( T _ { n } ) \mid T ^ { ( n + 1 ) } > 0 , \theta = i ] \operatorname* { P r } ( \mathcal { C } ( t _ { 0 } ^ { ( n ) } ) \mid T ^ { ( n ) } \! > \! 0 , \theta \! = \! i ) } \\ & { \le \mathsf { E } [ U _ { i } ( T _ { n } ) \mid T ^ { ( n + 1 ) } > 0 , \theta = i ] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ~ \frac { \hat { \rho } D ^ { 2 } } { 2 } + \frac { \hat { \rho } } { 2 } \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \eta _ { t } ^ { 2 } M ^ { 2 } + \frac { \hat { \rho } } { 2 } \operatorname* { m a x } \left\{ \sqrt { 1 2 \ln ( 8 / \delta ) } , \frac { 4 } { 3 } \ln ( 8 / \delta ) \right\} \sqrt { \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \eta _ { t } ^ { 4 } M ^ { 4 } } } \\ & { + \sqrt { 3 \ln ( 4 / \delta ) } \sqrt { \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } 4 \eta _ { t } ^ { 2 } \hat { \rho } ^ { 2 } M ^ { 2 } D ^ { 2 } } + \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \eta _ { t } \hat { \rho } \sqrt { \frac { 3 } { B } } \sigma \sqrt { \ln ( 4 ( T - S ) / \delta ) } ( 1 + \Lambda ) } \\ { = } & { ~ \frac { \hat { \rho } D ^ { 2 } } { 2 } + \frac { \hat { \rho } } { 2 } D ^ { 2 } \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \frac { 1 } { t + 1 } + \frac { \hat { \rho } } { 2 } \operatorname* { m a x } \left\{ \sqrt { 1 2 \ln ( 8 / \delta ) } , \frac { 4 } { 3 } \ln ( 8 / \delta ) \right\} D ^ { 2 } \sqrt { \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \frac { 1 } { ( t + 1 ) ^ { 2 } } } } \\ & { + 2 \sqrt { 3 \ln ( 4 / \delta ) } \hat { \rho } D ^ { 2 } \sqrt { \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \frac { 1 } { t + 1 } } + \frac { \hat { \rho } D } { M } \sqrt { \frac { 3 } { B } } \sigma \sqrt { \ln ( 4 ( T - S ) / \delta ) } ( 1 + \Lambda ) \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \frac { 1 } { \sqrt { t + 1 } } } \\ { \leq } & { ~ \hat { \rho } D ^ { 2 } + \frac { \hat { \rho } \pi } { 2 \sqrt { 6 } } \operatorname* { m a x } \left\{ \sqrt { 1 2 \ln ( 8 / \delta ) } , \frac { 4 } { 3 } \ln ( 8 / \delta ) \right\} D ^ { 2 } + 2 \sqrt { 3 \ln ( 4 / \delta ) } \hat { \rho } D ^ { 2 } + \hat { \rho } D ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega \times \Omega } c ( x , y ) ^ { p } d \gamma ( x , y ) } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { J } \sum _ { k = 1 } ^ { K } w _ { j k } \int _ { \Omega \times \Omega } c ( x , y ) ^ { p } d \overline { { \gamma } } _ { j k } ( x , y ) } \\ & { \ge \sum _ { j = 1 } ^ { J } \sum _ { k = 1 } ^ { K } w _ { j k } \delta ^ { p } ( a _ { 0 } ^ { j } , a _ { 1 } ^ { k } ) \ge \delta _ { \mathcal M , p } ^ { p } ( \mu _ { 0 } , \mu _ { 1 } ) , } \end{array}
\int _ { \mathcal Z } t _ { \theta ^ { \prime } } ^ { 2 } ( z ) | { q } _ { \theta } ( z ) - q _ { \theta ^ { \prime } } ( z ) | \nu ( d z ) \le e ^ { 2 \alpha } \| { p } _ { \theta } - { p } _ { \theta ^ { \prime } } \| _ { L _ { 1 } ( \mu ) } I _ { \theta ^ { \prime } } ( Q { \mathcal P } ) \le e ^ { 2 \alpha } \| { p } _ { \theta } - { p } _ { \theta ^ { \prime } } \| _ { L _ { 1 } ( \mu ) } I _ { \theta ^ { \prime } } ( { \mathcal P } )
{ \begin{array} { c } { { \mathrm { S e d e n i o n ~ Z e r o ~ D i v i s o r s } } \quad \{ e _ { a } , e _ { b } , e _ { c } , e _ { d } \} } \\ { { \mathrm { w h e r e } } ~ ( e _ { a } + e _ { b } ) \circ ( e _ { c } + e _ { d } ) = 0 } \\ { { \begin{array} { c c c } { 1 \leq a \leq 6 , } & { c > a , } & { 9 \leq b \leq 1 5 } \\ { 9 \leq c \leq 1 5 } & & { - 9 \geq d \geq - 1 5 } \end{array} } } \\ { { \begin{array} { l l } { \{ e _ { 1 } , e _ { 1 0 } , e _ { 5 } , e _ { 1 4 } \} } & { \{ e _ { 1 } , e _ { 1 0 } , e _ { 4 } , - e _ { 1 5 } \} } \\ { \{ e _ { 1 } , e _ { 1 0 } , e _ { 7 } , e _ { 1 2 } \} } & { \{ e _ { 1 } , e _ { 1 0 } , e _ { 6 } , - e _ { 1 3 } \} } \\ { \{ e _ { 1 } , e _ { 1 1 } , e _ { 4 } , e _ { 1 4 } \} } & { \{ e _ { 1 } , e _ { 1 1 } , e _ { 6 } , - e _ { 1 2 } \} } \\ { \{ e _ { 1 } , e _ { 1 1 } , e _ { 5 } , e _ { 1 5 } \} } & { \{ e _ { 1 } , e _ { 1 1 } , e _ { 7 } , - e _ { 1 3 } \} } \\ { \{ e _ { 1 } , e _ { 1 2 } , e _ { 2 } , e _ { 1 5 } \} } & { \{ e _ { 1 } , e _ { 1 2 } , e _ { 3 } , - e _ { 1 4 } \} } \\ { \{ e _ { 1 } , e _ { 1 2 } , e _ { 6 } , e _ { 1 1 } \} } & { \{ e _ { 1 } , e _ { 1 2 } , e _ { 7 } , - e _ { 1 0 } \} } \\ { \{ e _ { 1 } , e _ { 1 3 } , e _ { 6 } , e _ { 1 0 } \} } & { \{ e _ { 1 } , e _ { 1 3 } , e _ { 7 } , - e _ { 1 4 } \} } \\ { \{ e _ { 1 } , e _ { 1 3 } , e _ { 7 } , e _ { 1 1 } \} } & { \{ e _ { 1 } , e _ { 1 3 } , e _ { 3 } , - e _ { 1 5 } \} } \\ { \{ e _ { 1 } , e _ { 1 4 } , e _ { 2 } , e _ { 1 3 } \} } & { \{ e _ { 1 } , e _ { 1 4 } , e _ { 4 } , - e _ { 1 1 } \} } \\ { \{ e _ { 1 } , e _ { 1 4 } , e _ { 3 } , e _ { 1 2 } \} } & { \{ e _ { 1 } , e _ { 1 4 } , e _ { 5 } , - e _ { 1 0 } \} } \\ { \{ e _ { 1 } , e _ { 1 5 } , e _ { 3 } , e _ { 1 3 } \} } & { \{ e _ { 1 } , e _ { 1 5 } , e _ { 2 } , - e _ { 1 2 } \} } \\ { \{ e _ { 1 } , e _ { 1 5 } , e _ { 4 } , e _ { 1 0 } \} } & { \{ e _ { 1 } , e _ { 1 5 } , e _ { 5 } , - e _ { 1 1 } \} } \\ { \{ e _ { 2 } , e _ { 9 } , e _ { 4 } , e _ { 1 5 } \} } & { \{ e _ { 2 } , e _ { 9 } , e _ { 5 } , - e _ { 1 4 } \} } \\ { \{ e _ { 2 } , e _ { 9 } , e _ { 6 } , e _ { 1 3 } \} } & { \{ e _ { 2 } , e _ { 9 } , e _ { 7 } , - e _ { 1 2 } \} } \\ { \{ e _ { 2 } , e _ { 1 1 } , e _ { 5 } , e _ { 1 2 } \} } & { \{ e _ { 2 } , e _ { 1 1 } , e _ { 4 } , - e _ { 1 3 } \} } \\ { \{ e _ { 2 } , e _ { 1 1 } , e _ { 6 } , e _ { 1 5 } \} } & { \{ e _ { 2 } , e _ { 1 1 } , e _ { 7 } , - e _ { 1 4 } \} } \\ { \{ e _ { 2 } , e _ { 1 2 } , e _ { 3 } , e _ { 1 3 } \} } & { \{ e _ { 2 } , e _ { 1 2 } , e _ { 5 } , - e _ { 1 1 } \} } \\ { \{ e _ { 2 } , e _ { 1 2 } , e _ { 7 } , e _ { 9 } \} } & { \{ e _ { 2 } , e _ { 1 3 } , e _ { 3 } , - e _ { 1 2 } \} } \\ { \{ e _ { 2 } , e _ { 1 3 } , e _ { 4 } , e _ { 1 1 } \} } & { \{ e _ { 2 } , e _ { 1 3 } , e _ { 6 } , - e _ { 9 } \} } \\ { \{ e _ { 2 } , e _ { 1 4 } , e _ { 5 } , e _ { 9 } \} } & { \{ e _ { 2 } , e _ { 1 4 } , e _ { 3 } , - e _ { 1 5 } \} } \\ { \{ e _ { 2 } , e _ { 1 4 } , e _ { 3 } , e _ { 1 4 } \} } & { \{ e _ { 2 } , e _ { 1 5 } , e _ { 4 } , - e _ { 9 } \} } \\ { \{ e _ { 2 } , e _ { 1 5 } , e _ { 3 } , e _ { 1 4 } \} } & { \{ e _ { 2 } , e _ { 1 5 } , e _ { 6 } , - e _ { 1 1 } \} } \\ { \{ e _ { 3 } , e _ { 9 } , e _ { 6 } , e _ { 1 2 } \} } & { \{ e _ { 3 } , e _ { 9 } , e _ { 4 } , - e _ { 1 4 } \} } \\ { \{ e _ { 3 } , e _ { 9 } , e _ { 7 } , e _ { 1 3 } \} } & { \{ e _ { 3 } , e _ { 9 } , e _ { 5 } , - e _ { 1 5 } \} } \\ { \{ e _ { 3 } , e _ { 1 0 } , e _ { 4 } , e _ { 1 3 } \} } & { \{ e _ { 3 } , e _ { 1 0 } , e _ { 5 } , - e _ { 1 2 } \} } \\ { \{ e _ { 3 } , e _ { 1 0 } , e _ { 7 } , e _ { 1 4 } \} } & { \{ e _ { 3 } , e _ { 1 0 } , e _ { 6 } , - e _ { 1 5 } \} } \\ { \{ e _ { 3 } , e _ { 1 2 } , e _ { 5 } , e _ { 1 0 } \} } & { \{ e _ { 3 } , e _ { 1 2 } , e _ { 6 } , - e _ { 9 } \} } \\ { \{ e _ { 3 } , e _ { 1 4 } , e _ { 4 } , e _ { 9 } \} } & { \{ e _ { 3 } , e _ { 1 3 } , e _ { 4 } , - e _ { 1 0 } \} } \\ { \{ e _ { 3 } , e _ { 1 5 } , e _ { 5 } , e _ { 9 } \} } & { \{ e _ { 3 } , e _ { 1 3 } , e _ { 7 } , - e _ { 9 } \} } \\ { \{ e _ { 3 } , e _ { 1 5 } , e _ { 6 } , e _ { 1 0 } \} } & { \{ e _ { 3 } , e _ { 1 4 } , e _ { 7 } , - e _ { 1 0 } \} } \\ { \{ e _ { 4 } , e _ { 9 } , e _ { 7 } , e _ { 1 0 } \} } & { \{ e _ { 4 } , e _ { 9 } , e _ { 6 } , - e _ { 1 1 } \} } \\ { \{ e _ { 4 } , e _ { 1 0 } , e _ { 5 } , e _ { 1 1 } \} } & { \{ e _ { 4 } , e _ { 1 0 } , e _ { 7 } , - e _ { 9 } \} } \\ { \{ e _ { 4 } , e _ { 1 1 } , e _ { 6 } , e _ { 9 } \} } & { \{ e _ { 4 } , e _ { 1 1 } , e _ { 5 } , - e _ { 1 0 } \} } \\ { \{ e _ { 4 } , e _ { 1 3 } , e _ { 6 } , e _ { 1 5 } \} } & { \{ e _ { 4 } , e _ { 1 3 } , e _ { 7 } , - e _ { 1 4 } \} } \\ { \{ e _ { 4 } , e _ { 1 4 } , e _ { 7 } , e _ { 1 3 } \} } & { \{ e _ { 4 } , e _ { 1 4 } , e _ { 5 } , - e _ { 1 5 } \} } \\ { \{ e _ { 4 } , e _ { 1 5 } , e _ { 5 } , e _ { 1 4 } \} } & { \{ e _ { 4 } , e _ { 1 5 } , e _ { 6 } , - e _ { 1 3 } \} } \\ { \{ e _ { 5 } , e _ { 1 0 } , e _ { 6 } , e _ { 9 } \} } & { \{ e _ { 5 } , e _ { 9 } , e _ { 6 } , - e _ { 1 0 } \} } \\ { \{ e _ { 5 } , e _ { 1 1 } , e _ { 7 } , e _ { 9 } \} } & { \{ e _ { 5 } , e _ { 9 } , e _ { 7 } , - e _ { 1 1 } \} } \\ { \{ e _ { 5 } , e _ { 1 2 } , e _ { 7 } , e _ { 1 4 } \} } & { \{ e _ { 5 } , e _ { 1 2 } , e _ { 6 } , - e _ { 1 5 } \} } \\ { \{ e _ { 5 } , e _ { 1 5 } , e _ { 6 } , e _ { 1 2 } \} } & { \{ e _ { 5 } , e _ { 1 4 } , e _ { 7 } , - e _ { 1 2 } \} } \\ { \{ e _ { 6 } , e _ { 1 1 } , e _ { 7 } , e _ { 1 0 } \} } & { \{ e _ { 6 } , e _ { 1 0 } , e _ { 7 } , - e _ { 1 1 } \} } \\ { \{ e _ { 6 } , e _ { 1 3 } , e _ { 7 } , e _ { 1 2 } \} } & { \{ e _ { 6 } , e _ { 1 0 } , e _ { 7 } , - e _ { 1 3 } \} } \end{array} } } \end{array} }
\begin{array} { r } { f _ { d } ( \boldsymbol { x } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { e } ^ { - 4 \left( \sum _ { j = 1 } ^ { 5 } \boldsymbol { x } _ { i } - 0 . 5 \right) ^ { 2 } } , } & { \textrm { f o r d = 5 } , } \\ { \mathrm { e } ^ { - 4 \sum _ { j = 1 } ^ { 5 } ( \boldsymbol { x } _ { i } - 0 . 5 ) ^ { 2 } } + 2 | \boldsymbol { x } _ { 1 } - 0 . 5 | , } & { \textrm { f o r d = 6 } , } \\ { \mathrm { e } ^ { - \sum _ { j = 1 } ^ { 7 } ( \boldsymbol { x } _ { i } - 0 . 5 ) ^ { 2 } } + \mathrm { e } ^ { - 9 \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } ( \boldsymbol { x } _ { i } - 0 . 3 ) ^ { 2 } } , } & { \, \textrm { f o r d = 7 } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Bigg \| \frac { \int _ { \Omega \backslash B _ { \varepsilon } } ( X - y e ^ { - \frac { t } { 2 } } ) e ^ { - \frac { \| X - y e ^ { - \frac { t } { 2 } } \| ^ { 2 } } { 2 ( 1 - e ^ { - t } ) } } p _ { d a t a } ( y ) d y } { \int _ { \Omega } e ^ { - \frac { \| X - y e ^ { - \frac { t } { 2 } } \| ^ { 2 } } { 2 ( 1 - e ^ { - t } ) } } p _ { d a t a } ( y ) d y } \Bigg \| \leq } & { \frac { \int _ { \Omega \backslash B _ { \varepsilon } } ( \| X \| + \| y \| ) e ^ { - \frac { C _ { t , \epsilon } ^ { 2 } } { 2 ( 1 - e ^ { - t } ) } } p _ { d a t a } ( y ) d y } { \int _ { \Omega } e ^ { - \frac { \| X - y e ^ { - \frac { t } { 2 } } \| ^ { 2 } } { 2 ( 1 - e ^ { - t } ) } } p _ { d a t a } ( y ) d y } } \\ { \leq } & { \frac { \int _ { \Omega } ( \| X \| + \| y \| ) p _ { d a t a } ( y ) d y } { \int _ { \Omega } e ^ { - \frac { \| X - y e ^ { - \frac { t } { 2 } } \| ^ { 2 } - C _ { t , \epsilon } ^ { 2 } } { 2 ( 1 - e ^ { - t } ) } } p _ { d a t a } ( y ) d y } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \theta _ { 2 } - \theta _ { 1 } \right) ^ { \top } [ \bar { g } ( \theta _ { 1 } ) - \bar { g } ( \theta _ { 2 } ) ] } & { = \mathbb { E } \left[ \chi _ { 1 } \left( \chi _ { 1 } - \gamma \chi _ { 2 } \right) \right] } \\ & { = \mathbb { E } \left[ \chi _ { 1 } ^ { 2 } \right] - \gamma \mathbb { E } \left[ \chi _ { 1 } \chi _ { 2 } \right] } \\ & { \geq ( 1 - \gamma ) \mathbb { E } \left[ \chi _ { 1 } ^ { 2 } \right] } \\ & { = ( 1 - \gamma ) \left\| \hat { V } _ { \theta _ { 2 } } - \hat { V } _ { \theta _ { 2 } } \right\| _ { \bar { D } } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { l } { \displaystyle \mathcal { R } _ { 1 } ( { \boldsymbol \tau } ) \, = \, \langle { \boldsymbol \tau } { \mathbf { n } } , \mathbf { u } _ { \mathrm { D } } - \mathbf { u } _ { h } \rangle _ { \Gamma } + \int _ { \Omega } \Big ( \nabla \mathbf { u } _ { h } - \frac { 1 } { \nu } \big ( { \boldsymbol \sigma } _ { h } + ( \mathbf { u } _ { h } \otimes \mathbf { u } _ { h } ) \big ) ^ { \mathrm { d } } \Big ) : { \boldsymbol \tau } } \\ { \displaystyle \quad + \, \frac { 1 } { \alpha } \int _ { \Omega } \big ( \alpha \, \mathbf { u } _ { h } + \mathtt { F } \, | \mathbf { u } _ { h } | ^ { \mathrm { p } - 2 } \mathbf { u } _ { h } - \mathbf { d i v } ( { \boldsymbol \sigma } _ { h } ) - \mathbf { f } \big ) \cdot \mathbf { d i v } ( { \boldsymbol \tau } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { [ \mathbb { Q } ( \zeta _ { 5 p _ { 1 } \cdots p _ { k + 1 } t } , g ^ { \frac { 1 } { p _ { 1 } \cdots p _ { k + 1 } t } } ) : \mathbb { Q } ( \zeta _ { 5 p _ { 1 } \cdots p _ { k } t } , g ^ { \frac { 1 } { p _ { 1 } \cdots p _ { k } t } } ) ] } \\ { = } & { [ \mathbb { Q } ( \zeta _ { 5 p _ { 1 } \cdots p _ { k + 1 } t } , g ^ { \frac { 1 } { p _ { 1 } \cdots p _ { k + 1 } t } } ) : \mathbb { Q } ( \zeta _ { 5 p _ { 1 } \cdots p _ { k + 1 } t } , g ^ { \frac { 1 } { p _ { 1 } \cdots p _ { k } t } } ) ] \cdot [ \mathbb { Q } ( \zeta _ { 5 p _ { 1 } \cdots p _ { k + 1 } t } , g ^ { \frac { 1 } { p _ { 1 } \cdots p _ { k } t } } ) : \mathbb { Q } ( \zeta _ { 5 p _ { 1 } \cdots p _ { k } t } , g ^ { \frac { 1 } { p _ { 1 } \cdots p _ { k } t } } ) ] } \\ { \ge } & { p _ { k + 1 } \frac { ( p _ { k + 1 } - 1 ) } { 2 } \ge \frac { ( p _ { k + 1 } - 1 ) ^ { 2 } } { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { d _ { 2 } \left( \mathcal { L } \left( \sqrt { I + n + 1 } ( R _ { I , n } - \widehat { R } _ { I , n } ) _ { 2 } | \mathcal { Q } _ { I , n } \right) , \mathcal { L } ^ { * } \left( \sqrt { I + n + 1 } ( R _ { I , n } ^ { * } - \widehat { R } _ { I , n } ) _ { 2 } | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } \right) \right) \not \rightarrow 0 \quad \mathrm { i n ~ p r o b . , } } \end{array}
\begin{array} { r } { \ensuremath { \mathcal { N } } _ { ( x _ { 0 } , t _ { 0 } ) } ( \tau _ { 1 } ) - \frac { n } { 2 } \log \left( \frac { \tau _ { 2 } } { \tau _ { 1 } } \right) \le \ensuremath { \mathcal { N } } _ { ( x _ { 0 } , t _ { 0 } ) } ( \tau _ { 2 } ) \le \ensuremath { \mathcal { N } } _ { ( x _ { 0 } , t _ { 0 } ) } ( \tau _ { 1 } ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r c l } { L } & { = } & { T - V } \\ & { = } & { { \frac { 1 } { 2 } } M { \dot { x } } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } m \left[ \left( { \dot { x } } + \ell { \dot { \theta } } \cos \theta \right) ^ { 2 } + \left( \ell { \dot { \theta } } \sin \theta \right) ^ { 2 } \right] + m g \ell \cos \theta } \\ & { = } & { { \frac { 1 } { 2 } } \left( M + m \right) { \dot { x } } ^ { 2 } + m { \dot { x } } \ell { \dot { \theta } } \cos \theta + { \frac { 1 } { 2 } } m \ell ^ { 2 } { \dot { \theta } } ^ { 2 } + m g \ell \cos \theta \, . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathrm { ( c a s e ~ A ) } } & { ~ ~ \frac { 1 } { R } \partial _ { s } ( R ) = \ln { \frac { R _ { t } } { R _ { u } } } \cdot \frac { \chi [ 0 , L - \Delta ] } { ( L - \Delta ) } } \\ { \mathrm { ( c a s e ~ B ) } } & { ~ ~ \frac { 1 } { R } \partial _ { s } ( R ) = \ln { \frac { R _ { t } } { R _ { u } } } \cdot \frac { \chi [ L - \Delta , L ] } { \Delta } } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( x ^ { k } ) - F ( \hat { x } ^ { k } ) } & { = ( F ( x ^ { k } ) + \frac { \bar { \rho } } { 2 } \| x ^ { k } - x ^ { k } \| ^ { 2 } ) - ( F ( \hat { x } ^ { k } ) + \frac { \bar { \rho } } { 2 } \| x ^ { k } - \hat { x } ^ { k } \| ^ { 2 } ) } \\ & { \qquad + \frac { \bar { \rho } } { 2 } \| x ^ { k } - \hat { x } ^ { k } \| ^ { 2 } \ge ( \bar { \rho } - \frac { \rho } { 2 } ) \| x ^ { k } - \hat { x } ^ { k } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \mathsf { D } \nabla ^ { 2 } + \gamma \left. \mathsf { J } _ { \mathbf { \hat { F } } } \right| _ { \mathbf { u } = \mathbf { u } ^ { \star } } + \gamma \theta \left. \mathsf { J } _ { \mathbf { G } } \right| _ { \mathbf { u } = \mathbf { u } ^ { \star } } ( \mathbf { x } ) \right] y ( \theta ) = \lambda ( \theta ) y ( \theta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P } & { _ { k + 1 } - P _ { k } } \\ { = } & { \mathcal { L } _ { \rho } ( x _ { k + 1 } , \lambda _ { k + 1 } ) - \mathcal { L } _ { \rho } ( x _ { k + 1 } , \lambda _ { k } ) + \mathcal { L } _ { \rho } ( x _ { k + 1 } , \lambda _ { k } ) - \mathcal { L } _ { \rho } ( x _ { k } , \lambda _ { k } ) } \\ & { + \frac { \gamma _ { k + 1 } } { 2 } \| x _ { k + 1 } - x _ { k } \| ^ { 2 } - \frac { \gamma _ { k } } { 2 } \| x _ { k } - x _ { k - 1 } \| ^ { 2 } } \\ { \leq } & { \big \langle F ( x _ { k + 1 } ) - F ( x _ { k } ) - \nabla F ( x _ { k } ) ( x _ { k + 1 } - x _ { k } ) \; , \; \Delta \lambda _ { k + 1 } \big \rangle + \frac { 1 } { \rho } \| \Delta \lambda _ { k + 1 } \| ^ { 2 } } \\ & { - \frac { \rho \sigma ^ { 2 } + { \alpha } \beta _ { k + 1 } - \gamma _ { k + 1 } } { 2 } \| \Delta x _ { k + 1 } \| ^ { 2 } - \frac { \gamma _ { k } } { 2 } \| \Delta x _ { k } \| ^ { 2 } } \\ { \leq } & { \left( \frac { 1 } { 2 { \sqrt [ \eta ] { \rho } } ^ { \eta - 1 } } + \frac { 1 } { \rho } \right) \left\| \Delta \lambda _ { k + 1 } \right\| ^ { 2 } - \frac { \gamma _ { k } } { 2 } \| \Delta x _ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { - \left( \frac { \rho \sigma ^ { 2 } + { \alpha } \beta _ { k + 1 } - \gamma _ { k + 1 } } { 2 } - 2 M _ { F } ^ { 2 } { \sqrt [ \eta ] { \rho } } ^ { \eta - 1 } \right) \| \Delta x _ { k + 1 } \| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( t ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { a e ^ { \alpha t } \, \, } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ t < t _ { o n } , } \\ { a e ^ { \alpha t } + m e ^ { \alpha ( t - t _ { o n } ) } \, \, } & { t _ { o n } < t < t _ { o n } + \tau , } \\ { a e ^ { \alpha t } + \Delta f \, e ^ { \alpha ( t - ( t _ { o n } + \tau ) ) } \, \, } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ t > t _ { o n } + \tau , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \overline { G } ( \alpha , \gamma ) } { \overline { G } ( \alpha , \gamma - \frac { 4 } { \gamma } ) } = \frac { \frac { \kappa } { 4 } \Gamma ( 1 - \frac { \kappa } { 4 } ) ^ { \frac { 4 } { \kappa } } } { ( 2 \pi ) ^ { \frac { 4 } { \kappa } } 2 ^ { 1 - \frac { 8 } { \kappa } } } \cdot \frac { \Gamma ( \frac { 2 \alpha } { \gamma } - 1 ) \Gamma ( \frac { 4 } { \kappa } ) ^ { 2 } } { \Gamma ( \frac { 8 } { \kappa } - 1 ) \Gamma ( \frac { 4 } { \kappa } - 1 ) \Gamma ( \frac { 2 \alpha } { \gamma } - \frac { 4 } { \kappa } ) } . } \end{array}
M : = \left[ \begin{array} { l l l l l l l l l } { \tilde { \lambda } _ { 1 } ^ { 1 } } & { \dots } & { \tilde { \lambda } _ { r } ^ { 1 } } & { \tilde { \theta } _ { r + 1 } ^ { 1 } } & { \dots } & { \tilde { \theta } _ { p } ^ { 1 } } & { \tilde { \mu } _ { r + 1 } ^ { 1 } } & { \dots } & { \tilde { \mu } _ { q } ^ { 1 } } \\ { \tilde { \lambda } _ { 1 } ^ { 2 } } & { \dots } & { \tilde { \lambda } _ { r } ^ { 2 } } & { \tilde { \theta } _ { r + 1 } ^ { 2 } } & { \dots } & { \tilde { \theta } _ { p } ^ { 2 } } & { \tilde { \mu } _ { r + 1 } ^ { 2 } } & { \dots } & { \tilde { \mu } _ { q } ^ { 2 } } \\ { \tilde { \lambda } _ { 1 } ^ { 3 } } & { \dots } & { \tilde { \lambda } _ { r } ^ { 3 } } & { \tilde { \theta } _ { r + 1 } ^ { 3 } } & { \dots } & { \tilde { \theta } _ { p } ^ { 3 } } & { \tilde { \mu } _ { r + 1 } ^ { 3 } } & { \dots } & { \tilde { \mu } _ { q } ^ { 3 } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \tilde { \lambda } _ { 1 } ^ { m } } & { \dots } & { \tilde { \lambda } _ { r } ^ { m } } & { \tilde { \theta } _ { r + 1 } ^ { m } } & { \dots } & { \tilde { \theta } _ { p } ^ { m } } & { \tilde { \mu } _ { r + 1 } ^ { m } } & { \dots } & { \tilde { \mu } _ { q } ^ { m } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { \ell ( { \bf d } ; { \bf x } ^ { o } ) } & { = \log \left( \prod _ { i = 1 } ^ { m } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \sigma } e ^ { - \frac { \left( d _ { i } - \| { \bf a } _ { i } - { \bf x } ^ { o } \| + \| { \bf x } ^ { o } \| \right) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \right) } \\ & { = m \log \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \sigma } - \sum _ { i = 1 } ^ { m } \frac { \left( d _ { i } - \| { \bf a } _ { i } - { \bf x } ^ { o } \| + \| { \bf x } ^ { o } \| \right) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } , } \end{array}
\sigma ^ { - 1 } ( \gamma ) ( k ) = \left\{ \begin{array} { l l } { K } & { \ell ( \gamma ) < k \leq r ( \gamma ) } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o t h e r w i s e , } } \end{array} \right. \sigma ^ { - 1 } ( \gamma ) ( a _ { i } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 _ { K } } & { s _ { k } = \textnormal { o } } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right. \qquad \qquad \sigma ^ { - 1 } ( \gamma ) ( a _ { i } ^ { * } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { s _ { k } = \textnormal { u } } \\ { 1 _ { K } } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right.
v = w : \frac { \partial ^ { 2 } H } { \partial ^ { 2 } u _ { v } } = \frac { \partial \kappa _ { v } } { \partial u _ { v } } = - \sum _ { \vec { e } \in \vec { E } _ { v } ( \mathcal T ) } \frac { \cot ( \alpha _ { \vec { e } } ^ { + } ) + \cot ( \alpha _ { \vec { e } } ^ { - } ) } { \rho _ { \vec { e } } \exp ( u _ { v } ) \sin ( l _ { \vec { e } } ) } \cos ( l _ { \vec { e } } ) + \sum _ { \vec { e } \in \vec { E } _ { v v } ( \mathcal T ) } \frac { \cot ( \alpha _ { \vec { e } } ^ { + } ) + \cot ( \alpha _ { \vec { e } } ^ { - } ) } { \rho _ { \vec { e } } \exp ( u _ { v } ) \sin ( l _ { \vec { e } } ) } .
{ \begin{array} { l c r } { A = { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { - 2 } & { 2 } \\ { 2 } & { - 1 } & { 2 } \\ { 2 } & { - 2 } & { 3 } \end{array} \right] } } & { B = { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 2 } & { 2 } \\ { 2 } & { 1 } & { 2 } \\ { 2 } & { 2 } & { 3 } \end{array} \right] } } & { C = { \left[ \begin{array} { l l l } { - 1 } & { 2 } & { 2 } \\ { - 2 } & { 1 } & { 2 } \\ { - 2 } & { 2 } & { 3 } \end{array} \right] } } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } _ { \theta ^ { 0 } , b } \left[ \left\| Q ^ { 0 } - T Q ^ { 0 } \right\| _ { \mu } ^ { 2 } \right] } & { \leq } & { \mathbb { E } _ { \theta ^ { 0 } , b } \left[ \mathbb { E } _ { \xi \sim \mathcal { D } } \left[ 3 Q ( s , a ; \theta ^ { 0 } ) ^ { 2 } + 3 R _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } + 3 \gamma ^ { 2 } Q ( s ^ { \prime } , a ^ { \prime } ; \theta ^ { 0 } ) ^ { 2 } \right] \right] } \\ & { \overset { ( i ) } { = } } & { \mathbb { E } _ { \theta ^ { 0 } , b } \left[ 3 ( 1 + \gamma ^ { 2 } ) \left\| Q ^ { 0 } \right\| _ { \mu } ^ { 2 } + 3 R _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } \right] } \\ & { = } & { 3 ( 1 + \gamma ^ { 2 } ) \mathbb { E } _ { \mu } \left[ \mathbb { E } _ { \theta ^ { 0 } , b } \left[ \frac { 1 } { m } \left( \sum _ { r = 1 } ^ { m } b _ { r } \boldsymbol { 1 } \{ \phi ( s , a ) ^ { \top } \theta _ { r } ^ { 0 } > 0 \} \phi ( s , a ) ^ { \top } \theta _ { r } ^ { 0 } \right) ^ { 2 } \right] \right] + 3 R _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( i i ) } { \leq } } & { 3 ( 1 + \gamma ^ { 2 } ) \mathbb { E } _ { \mu } \left[ \frac { 1 } { m } \sum _ { r = 1 } ^ { m } \mathbb { E } _ { \theta _ { r } ^ { 0 } } [ \| \theta _ { r } ^ { 0 } \| ^ { 2 } ] \right] + 3 R _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( i i i ) } { = } } & { 3 ( 1 + \gamma ^ { 2 } ) \nu ^ { 2 } d + 3 R _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \operatorname* { d e t } \{ k _ { q } ( \theta _ { i } , \phi _ { j } ) \} _ { i , j = 1 } ^ { N } = } } \\ & { } & { \mu _ { 0 } \prod _ { n = 1 } ^ { q } | \mu _ { n } | ^ { 2 } \sum _ { - q \le k _ { 1 } < k _ { 2 } < \ldots < k _ { n } \le q } \operatorname* { d e t } \{ e ^ { i k _ { j } \theta _ { i } } \} _ { i , j = 1 } ^ { N } \operatorname* { d e t } \{ e ^ { - i k _ { i } \phi _ { j } } \} _ { i , j = 1 } ^ { N } ~ ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow T ^ { - } } \mathcal { E } ( t ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow T ^ { - } } \left( 4 \cdot \frac { f ( X ( t ) ) - f ( X ( T ) ) } { ( T - t ) ^ { 2 } } - 8 \left\Vert \frac { X ( t ) - X ( T ) } { ( T - t ) ^ { 2 } } \right\Vert ^ { 2 } + 8 \left\Vert \frac { X ( t ) - X ( T ) } { ( T - t ) ^ { 2 } } - \frac { \dot { X } ( t ) } { 2 ( t - T ) } \right\Vert ^ { 2 } \right) } \\ & { = \left\Vert \nabla f ( X ( T ) ) \right\Vert ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \left\Vert \nabla f ( X ( T ) ) \right\Vert ^ { 2 } + 0 } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left\Vert \nabla f ( X ( T ) ) \right\Vert ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \| \hat { \omega } _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { \omega } _ { t } \| ^ { 2 } } & { \leq \left( 1 + \frac { 1 } { I } + 8 I L ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } \right) \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \| \omega _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \bar { \omega } _ { t - 1 } \| ^ { 2 } + 4 I L ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ 2 \| \gamma \bar { \omega } _ { t - 1 } \| ^ { 2 } + \| \eta \nu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \qquad + 8 I M ( c _ { \omega } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \frac { \sigma ^ { 2 } } { b _ { y } } + 1 6 I M ( c _ { \omega } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \zeta _ { g } ^ { 2 } + 1 6 I L ^ { 2 } ( c _ { \omega } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \| x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { t - 1 } \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \qquad + 1 6 I L ^ { 2 } ( c _ { \omega } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \| y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \bar { y } _ { t - 1 } \| ^ { 2 } \bigg ] } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathrm { H } ( Y | X ) } & { \leq \mathrm { H } ( Y ) \, } \\ { \mathrm { H } ( X , Y ) } & { = \mathrm { H } ( X | Y ) + \mathrm { H } ( Y | X ) + \operatorname { I } ( X ; Y ) , \qquad } \\ { \mathrm { H } ( X , Y ) } & { = \mathrm { H } ( X ) + \mathrm { H } ( Y ) - \operatorname { I } ( X ; Y ) , \, } \\ { \operatorname { I } ( X ; Y ) } & { \leq \mathrm { H } ( X ) , \, } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } f _ { u } ( t , x ) } & { = \Big ( \frac { \partial \phi } { \partial t } ( T - t , u ) + \langle x , \frac { \partial \psi } { \partial t } ( T - t , u ) \rangle \Big ) f _ { u } ( t , x ) } \\ & { = \left( F ( \psi ( T - t , u ) ) + \langle x , R ( \psi ( T - t , u ) ) \rangle \right) f _ { u } ( t , x ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H _ { 4 , j , - j , j , - j } ^ { ( 3 ) } } \\ & { = H _ { 4 , j , - j , j , - j } - \frac { 3 } { 4 } \frac { j ( H _ { 3 , j , j , - 2 j } ) ^ { 2 } } { j \kappa _ { 2 j } - j \kappa _ { j } } } \\ & { = - \frac { \alpha \pi } { 1 9 2 } \left( 2 ( \alpha + 4 ) m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j ) + \frac { \alpha } 2 ( m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( 2 j ) + 2 m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( 0 ) ) - m _ { 3 , \alpha } ^ { \circ } ( j , j ) - ( \alpha + 2 ) T _ { \alpha } \right) + \frac { \alpha ^ { 2 } \pi } { 2 \cdot 1 9 2 } \frac { ( 2 m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( 2 j ) - T _ { \alpha } ) ^ { 2 } } { m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( 2 j ) - m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j ) } } \\ & { = \frac { \alpha \pi } { 1 9 2 } \left( \frac { \alpha } { 2 } \frac { ( 2 m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( 2 j ) - T _ { \alpha } ) ^ { 2 } } { m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( 2 j ) - m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j ) } - \left( 2 ( \alpha + 4 ) m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j ) + \frac { \alpha } 2 ( m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( 2 j ) + 2 m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( 0 ) ) - m _ { 3 , \alpha } ^ { \circ } ( j , j ) - ( \alpha + 2 ) T _ { \alpha } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \ln | c _ { A , \frac { \ell } { 2 } + 1 } | - \ln | c _ { A , \frac { \ell } { 2 } } | } { \ln ( \frac { \ell } { 2 } + 1 ) - \ln \frac { \ell } { 2 } } = } & { \frac { \ln | \binom { \frac { \ell } { 2 } - \frac { \nu } { 2 } } { \frac { \ell } { 2 } + 1 } | - \ln | \binom { \frac { \ell } { 2 } - \frac { \nu } { 2 } - 1 } { \frac { \ell } { 2 } } | } { \ln ( \frac { \ell } { 2 } + 1 ) - \ln \frac { \ell } { 2 } } } \\ { = } & { \frac { \ln ( \frac { \ell } { 2 } - \frac { \nu } { 2 } ) - \ln ( \frac { \ell } { 2 } + 1 ) } { \ln ( \frac { \ell } { 2 } + 1 ) - \ln \frac { \ell } { 2 } } \rightarrow - \frac { \nu } { 2 } - 1 } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { B } = \mathbf { T } \times \mathbf { N } } & { = { \frac { 1 } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } } \left( b \sin { \frac { s } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } } \mathbf { i } - b \cos { \frac { s } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } } \mathbf { j } + a \mathbf { k } \right) } \\ { { \frac { d \mathbf { B } } { d s } } } & { = { \frac { 1 } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \left( b \cos { \frac { s } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } } \mathbf { i } + b \sin { \frac { s } { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } } \mathbf { j } + 0 \mathbf { k } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \tilde { w } ( n ) } & { \le 2 \sum _ { \vert m \vert \ge 2 } ( 2 c ) ^ { \vert m - n \vert + \chi } ( w + \frac { 4 } { \kappa \xi \eta } j ) ( k _ { m } , \tilde { s } _ { 0 } ) } \\ & { + ( 2 c ) ^ { \vert \vert n \vert - 2 \vert } c ( 2 c _ { 1 } ^ { \ast } + \frac 1 { c ^ { 2 } } c _ { 2 } ^ { \ast } ) } \\ & { + ( 2 c ) ^ { \vert n \vert - 1 } ( u _ { 3 } ( \tilde { s } _ { 0 } ) + \frac 2 { \kappa \xi \eta } j ( k _ { \pm 1 } , \tilde { s } _ { 0 } ) ) . } \end{array}
\frac { 4 } { k ^ { 2 } } \left( \frac { \bar { n } - 1 } { \bar { d } } \right) ^ { 4 } \left( \frac { { \mathrm { a v g \; d e g } ( \mathfrak { L } _ { k } ) } } { \operatorname* { m i n } _ { \mathfrak { v } \in \mathfrak { V } _ { k } } \mathrm { d e g } _ { k } ( \mathfrak { v } ) } \right) ^ { 2 } \leq \frac { 4 ( \bar { n } - 1 ) ^ { 2 } ( \bar { n } - k ) ^ { 2 } } { \bar { d } ^ { 4 } } .
{ \begin{array} { r l } { \operatorname* { P r } ( Y _ { i } = 1 ) } & { = { \frac { e ^ { ( { \boldsymbol { \beta } } _ { 1 } + \mathbf { C } ) \cdot \mathbf { X } _ { i } } } { e ^ { ( { \boldsymbol { \beta } } _ { 0 } + \mathbf { C } ) \cdot \mathbf { X } _ { i } } + e ^ { ( { \boldsymbol { \beta } } _ { 1 } + \mathbf { C } ) \cdot \mathbf { X } _ { i } } } } } \\ & { = { \frac { e ^ { { \boldsymbol { \beta } } _ { 1 } \cdot \mathbf { X } _ { i } } e ^ { \mathbf { C } \cdot \mathbf { X } _ { i } } } { e ^ { { \boldsymbol { \beta } } _ { 0 } \cdot \mathbf { X } _ { i } } e ^ { \mathbf { C } \cdot \mathbf { X } _ { i } } + e ^ { { \boldsymbol { \beta } } _ { 1 } \cdot \mathbf { X } _ { i } } e ^ { \mathbf { C } \cdot \mathbf { X } _ { i } } } } } \\ & { = { \frac { e ^ { \mathbf { C } \cdot \mathbf { X } _ { i } } e ^ { { \boldsymbol { \beta } } _ { 1 } \cdot \mathbf { X } _ { i } } } { e ^ { \mathbf { C } \cdot \mathbf { X } _ { i } } ( e ^ { { \boldsymbol { \beta } } _ { 0 } \cdot \mathbf { X } _ { i } } + e ^ { { \boldsymbol { \beta } } _ { 1 } \cdot \mathbf { X } _ { i } } ) } } } \\ & { = { \frac { e ^ { { \boldsymbol { \beta } } _ { 1 } \cdot \mathbf { X } _ { i } } } { e ^ { { \boldsymbol { \beta } } _ { 0 } \cdot \mathbf { X } _ { i } } + e ^ { { \boldsymbol { \beta } } _ { 1 } \cdot \mathbf { X } _ { i } } } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d t } \left\langle U _ { t } ^ { * } k _ { z } , f \right\rangle } & { = } & { \frac { d } { d t } \left\langle k _ { \varphi _ { t } ( z ) } , f \right\rangle } \\ & { = } & { \frac { d } { d t } f \circ \varphi _ { t } ( z ) } \\ & { = } & { F \left( \varphi _ { t } ( z ) \right) . \nabla f \left( \varphi _ { t } ( z ) \right) } \\ & { = } & { \left\langle k _ { \varphi _ { t } ( z ) } , L _ { F } f \right\rangle } \\ & { = } & { \left\langle L _ { F } ^ { * } U _ { t } ^ { * } k _ { z } , f \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \sigma ^ { \textrm { B S } } - \sigma ^ { m k t } ) \approx } & { \frac { 1 } { \frac { \partial f } { \partial \sigma } ( \sigma ^ { m k t } , \xi ^ { m k t } ) } \bigl ( f ( \sigma ^ { \textrm { B S } } , \xi ) - f ( \sigma ^ { m k t } , \xi ^ { m k t } ) \bigr ) - \frac { \frac { \partial f } { \partial \xi } ( \sigma ^ { m k t } , \xi ^ { m k t } ) } { \frac { \partial f } { \partial \sigma } ( \sigma ^ { m k t } , \xi ^ { m k t } ) } ( \xi - \xi ^ { m k t } ) , } \end{array}
\eta ^ { 2 } - x _ { k } ^ { 2 } = \eta ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { m - 1 } \left( \frac { 1 } { 2 ^ { i } } \left( 1 - \left( \frac { x _ { k } } { \eta ^ { 2 } } \right) ^ { 2 ^ { i } } \right) ^ { 2 } \right) + \frac { \eta ^ { 2 } } { 2 ^ { m - 1 } n } \left( \sum _ { j \neq k } x _ { j } ^ { 2 ^ { m } } + n - \| \mathbf { x } \| _ { 2 ^ { m } } ^ { 2 ^ { m } } \right)
\begin{array} { r l r } { u _ { 1 } } & { = } & { \frac { F _ { z } } { \lambda _ { 1 } - F _ { x } } , \quad u _ { 2 } \quad = \quad \frac { F _ { z } } { \lambda _ { 2 } - F _ { x } } , \quad u _ { 3 } \quad = \quad \frac { F _ { z } } { \lambda _ { 3 } - F _ { x } } , } \\ { v _ { 1 } } & { = } & { \frac { G _ { z } } { \lambda _ { 1 } - G _ { y } } , \quad v _ { 2 } \quad = \quad \frac { G _ { z } } { \lambda _ { 2 } - G _ { y } } , \quad v _ { 3 } \quad = \quad \frac { G _ { z } } { \lambda _ { 3 } - G _ { y } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta _ { n } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) } & { \triangleq \beta _ { n } ^ { 2 } ( \widetilde { \gamma } , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) - 4 \gamma _ { n } ( \widetilde { \gamma } , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) } \\ & { = \frac { 1 } { 4 } \left[ \left( \frac { \omega _ { S } } { \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) } + \frac { \omega _ { N } } { \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) } - \frac { \omega _ { N } + \omega _ { S } - 2 \omega _ { C } } { n } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { n ^ { 2 } } ( \omega _ { N } - \omega _ { C } ) ( \omega _ { C } - \omega _ { S } ) \tan ^ { 2 n } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) \cot ^ { 2 n } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) \right] . } \end{array}
\mathbf { X } ^ { n } = ( \mathbf { 1 } - \hat { \sigma } \left( \mathbf { F } _ { \hat { \theta } } ( \mathbf { X } ^ { n - 1 } , \mathcal { G } ) \right) ) \odot \mathbf { X } ^ { n - 1 } + \hat { \sigma } \left( \mathbf { F } _ { \hat { \theta } } ( \mathbf { X } ^ { n - 1 } , \mathcal { G } ) \right) \odot \sigma ( \mathbf { F } _ { \theta } ( \mathbf { X } ^ { n - 1 } , \mathcal { G } ) )
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } _ { x \in \mathbb { R } ^ { d \times r - 1 } } \frac { 1 } { | D _ { v } | } \sum _ { i \in D _ { v } } \ell _ { i } ( x , y ^ { * } ( x ) ) , } \\ & { \mathrm { s . t . } \ y ^ { * } ( x ) \in \arg \operatorname* { m i n } _ { y \in \mathbb { R } ^ { d } } \frac { 1 } { | D _ { t } | } \sum _ { i \in D _ { t } } \ell _ { i } ( x , y ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \widetilde { v } _ { i n } \right\rangle \left( r ; y \right) } & { = \widetilde { v } _ { o u t } \left( y \right) \left[ 1 + 2 \mathrm { i } \frac { \displaystyle \exp \left( - \mathrm { i } ^ { 3 / 2 } K _ { v } \right) + \mathrm { i } ^ { 3 / 2 } K _ { v } - 1 } { K _ { v } ^ { 2 } } \right] , } \\ { \left\langle \widetilde { \tau } _ { i n } \right\rangle \left( r ; y \right) } & { = \widetilde { \tau } _ { o u t } \left( y \right) \left[ 1 + 2 \mathrm { i } \frac { \displaystyle \exp \left( - \mathrm { i } ^ { 3 / 2 } \mathrm { P r } ^ { 1 / 2 } K _ { v } \right) + \mathrm { i } ^ { 3 / 2 } \mathrm { P r } ^ { 1 / 2 } K _ { v } - 1 } { \mathrm { P r } K _ { v } ^ { 2 } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \gamma _ { 1 } ^ { ( 0 ) } - \beta _ { 1 } ^ { ( 0 ) } + \gamma _ { 1 } ^ { ( 1 ) } - \beta _ { 1 } ^ { ( 1 ) } + \gamma _ { 2 } ^ { ( 1 ) } - \beta _ { 2 } ^ { ( 1 ) } } \\ & { = I ( X _ { 0 } ; X _ { 1 } ) + I ( V _ { 1 } , V _ { 2 } ; X _ { 1 } ) - \operatorname* { m a x } ( I ( V _ { 1 } , V _ { 2 } ; Y _ { 1 } | X _ { 0 } , X _ { 1 } ) , I ( V _ { 1 } , V _ { 2 } ; Y _ { 1 } | X _ { 0 } , X _ { 2 } ) ) } \\ & { \leq I ( X _ { 0 } ; X _ { 1 } ) + I ( V _ { 1 } , V _ { 2 } ; X _ { 1 } ) - I ( V _ { 1 } , V _ { 2 } ; Y _ { 1 } | X _ { 0 } , X _ { 1 } ) } \\ & { = H ( X _ { 0 } ) + H ( X _ { 1 } ) + H ( Y _ { 1 } ) - H ( X _ { 0 } , X _ { 1 } , Y _ { 1 } ) . } \end{array}
\frac { \partial g _ { 3 , \varepsilon } } { \partial x _ { 2 } } \Big | _ { \Omega _ { \varepsilon } ^ { 2 } \cap \Omega _ { \varepsilon } ^ { 3 } } = \frac { 1 } { 2 - 2 \varepsilon } e ^ { 1 - \varepsilon } = \frac { \partial g _ { 2 , \varepsilon } } { \partial x _ { 2 } } \Big | _ { \Omega _ { \varepsilon } ^ { 2 } \cap \Omega _ { \varepsilon } ^ { 3 } } .
\begin{array} { r l } { 0 = f _ { k , m } ( z ) } & { = \sum _ { i = 0 } ^ { n } a _ { i } z ^ { i } } \\ & { = | a _ { n } z ^ { n } + a _ { n - 1 } z ^ { n - 1 } + \sum _ { i = 0 } ^ { n - 2 } a _ { i } z ^ { i } | } \\ & { \geqslant \left| a _ { n } z ^ { n } + a _ { n - 1 } z ^ { n - 1 } \right| - \left| \sum _ { i = 0 } ^ { n - 2 } a _ { i } z ^ { i } \right| } \\ & { \geqslant | z | ^ { n } \left| a _ { n } + \frac { a _ { n + 1 } } { z } \right| - \sum _ { i = 0 } ^ { n - 2 } a _ { i } | z | ^ { i } } \\ & { \geqslant | z | ^ { n } \operatorname { R e } \left( a _ { n } + \frac { a _ { n - 1 } } { z } \right) - ( k - 1 ) \frac { | z | ^ { n - 1 } - 1 } { | z | - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d s _ { 1 } } { d l } } & { = } & { - \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { m \omega } \left( \frac { \omega } { \omega + 1 } \right) ^ { m } \left( e ^ { - \boldsymbol { h \cdot s } } - 1 \right) - \frac { s _ { 1 } } { \tau _ { 1 } } , } \\ { \frac { d s _ { 2 } } { d l } } & { = } & { - \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { m \omega } \left( \frac { \omega } { \omega + 1 } \right) ^ { m } \left( e ^ { - \boldsymbol { h \cdot s } } - 1 \right) - \frac { s _ { 2 } } { \tau _ { 2 } } , } \\ { \frac { d } { d l } \log \tilde { P } _ { s s } } & { = } & { - \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { m \omega } \left( \frac { \omega } { \omega + 1 } \right) ^ { m } \nu _ { 0 } \left( e ^ { - \boldsymbol { h \cdot s } } - 1 \right) } \end{array}
g = - \left( \frac { \bar { r } - \bar { r } _ { \mathrm { s } } } { \bar { r } + \bar { r } _ { \mathrm { s } } } \right) ^ { 2 } c ^ { 2 } \mathrm { d } t ^ { 2 } + \left( 1 + \frac { \bar { r } _ { \mathrm { s } } } { \bar { r } } \right) ^ { 4 } \delta _ { i j } x ^ { i } x ^ { j } , \qquad \bar { r } : = \sqrt { \delta _ { i j } x ^ { i } x ^ { j } } ,
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { n } E _ { x } ^ { \theta _ { 1 } } \left[ \log \frac { L ( \theta _ { 1 } ; Y _ { 0 : n } ) } { L ( \theta _ { 0 } ; Y _ { 0 : n } ) } \right] = \frac { 1 } { n } E _ { x } ^ { \theta _ { 1 } } \left[ \ell ( \theta _ { 1 } ; Y _ { 0 : n } ) \right] - \frac { 1 } { n } E _ { x } ^ { \theta _ { 1 } } \left[ \ell ( \theta _ { 0 } ; Y _ { 0 : n } ) \right] } \\ { \rightarrow } & { E _ { \omega _ { \theta _ { 1 } , 0 } } ^ { \theta _ { 1 } } \left[ g ^ { 0 } ( W _ { 1 , \theta _ { 1 } } ^ { ( 0 ) } , W _ { 0 , \theta _ { 1 } } ^ { ( 0 ) } ) \right] - E _ { \omega _ { \theta _ { 0 } , 0 } } ^ { \theta _ { 1 } } \left[ g ^ { 0 } ( W _ { 1 , \theta _ { 0 } } ^ { ( 0 ) } , W _ { 0 , \theta _ { 0 } } ^ { ( 0 ) } ) \right] ~ ~ ~ P ^ { \theta _ { 1 } } \mathrm { - a . s . } } \\ { = } & { K ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 0 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( n - 1 ) \, \int _ { \Sigma } f \, d \mathcal { H } ^ { n - 1 } } & { = } & { \int _ { \Sigma } \mathrm { d i v } \, ^ { \Sigma } X \, d \mathcal { H } ^ { n - 1 } = H _ { 0 } \, \int _ { \Sigma } \langle X , \nu _ { \Omega } \rangle _ { g } \, d \mathcal { H } ^ { n - 1 } } \\ & { = } & { H _ { 0 } \, \int _ { \Omega } \mathrm { d i v } \, X \, d \mathcal { H } ^ { n } - \int _ { N _ { 0 } } \langle X , \partial / \partial r \rangle _ { g } \, d \mathcal { H } ^ { n - 1 } } \\ & { = } & { H _ { 0 } \, n \, \int _ { \Omega } f - h ( 0 ) ^ { n } \, \mathrm { v o l } \, ( N ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathscr { L } ( X , W , b ) } & { = \mathscr { H } ( \mathbf { S } _ { 1 } , \mathbf { S } _ { 2 } , \ldots , \mathbf { S } _ { n } ) = } \\ & { - \sum _ { i \neq j } J _ { i j } \mathbf { S } _ { i } \cdot \mathbf { S } _ { j } - \sum _ { i \neq j } \mathbf { D } _ { i j } \cdot \left( \mathbf { S } _ { i } \times \mathbf { S } _ { j } \right) } \\ & { - \sum _ { i } \mu _ { i } \mathbf { B } ^ { \mathrm { e x t } } \cdot \mathbf { S } _ { i } - \sum _ { i } K _ { i } ^ { \mathrm { U } } \left( \mathbf { S } _ { i } \cdot \mathbf { e } _ { z } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d x } \psi _ { i } } & { = } & { - \frac { 1 } { 2 } \psi _ { i } \frac { d } { d x } \left( \ln U _ { 2 } \right) + \frac { 1 } { 2 } \phi _ { i } \frac { d } { d x } \left( \ln \frac { U _ { 2 } } { U _ { 1 } } \right) , } \\ { \frac { d } { d x } \phi _ { i } } & { = } & { - \frac { 1 } { 2 } \psi _ { i } \frac { d } { d x } \left( \ln \frac { U _ { 2 } } { U _ { 3 } } \right) + \frac { 1 } { 2 } \phi _ { i } \frac { d } { d x } \left( \ln \frac { U _ { 2 } } { U _ { 3 } ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { D } _ { \omega k _ { 4 } } : = D _ { \epsilon } ( \omega k _ { 4 } ) \cup \omega D _ { \epsilon } ( \omega k _ { 4 } ) \cup \omega ^ { 2 } D _ { \epsilon } ( \omega k _ { 4 } ) \cup D _ { \epsilon } ( \frac { 1 } { \omega k _ { 4 } } ) \cup \omega D _ { \epsilon } ( \frac { 1 } { \omega k _ { 4 } } ) \cup \omega ^ { 2 } D _ { \epsilon } ( \frac { 1 } { \omega k _ { 4 } } ) , } \\ & { \mathcal { D } _ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } : = D _ { \epsilon } ( \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) \cup \omega D _ { \epsilon } ( \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) \cup \omega ^ { 2 } D _ { \epsilon } ( \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) \cup D _ { \epsilon } ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } ) \cup \omega D _ { \epsilon } ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } ) \cup \omega ^ { 2 } D _ { \epsilon } ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname { c u r l } \gamma = \left( \begin{array} { l } { \phi _ { 0 } \frac { \partial } { \partial y } \gamma _ { 0 } - \phi _ { 0 } \gamma _ { 1 , y } + \phi _ { 2 } \frac { \partial } { \partial y } \gamma _ { 2 } - \phi _ { 2 } \gamma _ { 3 , y } } \\ { \phi _ { 0 } \gamma _ { 1 , x } - \phi _ { 0 } \frac { \partial } { \partial x } \gamma _ { 0 } + \phi _ { 2 } \gamma _ { 3 , x } - \phi _ { 2 } \frac { \partial } { \partial x } \gamma _ { 2 } } \\ { \hat { \phi } _ { 1 } \operatorname { c u r l } _ { 2 D } \gamma _ { 1 } + \hat { \phi } _ { 3 } \operatorname { c u r l } _ { 2 D } \gamma _ { 3 } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \kappa _ { \varepsilon e } ( \mathrm { p r } _ { 1 } , \Delta ) } & { = ( \mathrm { p r } _ { 1 } ) _ { ! } ( \varepsilon _ { \Delta } \cdot e _ { 2 } ) } \\ & { = ( \mathrm { p r } _ { 1 } ) _ { ! } ( ( \mathrm { p r } _ { 2 } ^ { * } ( \varepsilon _ { s } ) - \mathrm { p r } _ { 1 } ^ { * } ( \varepsilon _ { s } ) ) \cdot e _ { 2 } ) } \\ & { = ( \mathrm { p r } _ { 1 } ) _ { ! } ( \mathrm { p r } _ { 2 } ^ { * } ( \varepsilon _ { s } \cdot e ) ) - ( \mathrm { p r } _ { 1 } ) _ { ! } ( \mathrm { p r } _ { 1 } ^ { * } ( \varepsilon _ { s } ) \cdot e _ { 2 } ) } \\ & { = \pi _ { 1 } ^ { * } ( \pi _ { 2 } ) _ { ! } ( \varepsilon _ { s } \cdot e ) - \chi \varepsilon _ { s } } \\ & { = \pi _ { 1 } ^ { * } \kappa _ { \varepsilon e } ( \pi , s ) - \chi \varepsilon _ { s } } \\ & { = - \chi \bar { \varepsilon } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( \begin{array} { c c c c c c } { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & \\ { \cdots } & { \hat { { \mathbf { H } } } _ { 0 , 0 } } & { \hat { { \mathbf { B } } } _ { 0 , 1 } } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } \\ { \cdots } & { \hat { { \mathbf { B } } } _ { 1 , 0 } } & { \hat { { \mathbf { H } } } _ { 1 , 1 } } & { \hat { { \mathbf { B } } } _ { 1 , 2 } } & { 0 } & { \cdots } \\ { \cdots } & { 0 } & { \hat { { \mathbf { B } } } _ { 2 , 1 } } & { \hat { { \mathbf { H } } } _ { 2 , 2 } } & { \hat { { \mathbf { B } } } _ { 2 , 3 } } & { \cdots } \\ { \cdots } & { 0 } & { 0 } & { \hat { { \mathbf { B } } } _ { 3 , 2 } } & { \hat { { \mathbf { H } } } _ { 3 , 3 } } & { \cdots } \\ & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \vdots } \\ { \Psi _ { 0 } } \\ { \Psi _ { 1 } } \\ { \Psi _ { 2 } } \\ { \Psi _ { 3 } } \\ { \vdots } \end{array} \right) } & { = } & { E \left( \begin{array} { c } { \vdots } \\ { \Psi _ { 0 } } \\ { \Psi _ { 1 } } \\ { \Psi _ { 2 } } \\ { \Psi _ { 3 } } \\ { \vdots } \end{array} \right) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \dot { R } } _ { 1 } = } & { \dot { R } _ { 0 } + \frac { F _ { 0 } + F _ { 0 \epsilon } + F _ { 1 } + F _ { 1 \epsilon } } { 2 M } \Delta t } \\ { \tilde { \dot { R } } _ { 1 } = } & { \dot { R } _ { 0 } + \frac { F _ { 0 } + F _ { 1 } } { 2 M } \Delta t + \frac { F _ { 0 \epsilon } + F _ { 1 \epsilon } } { 2 M } \Delta t } \\ { \tilde { \dot { R } } _ { 1 } = } & { \dot { R } _ { 1 } + \frac { F _ { 0 \epsilon } + F _ { 1 \epsilon } } { 2 M } \Delta t } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { j } ^ { n } ( x ) = } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - \tau ) \cdot ^ { t } \left( { u } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n - } ) - u _ { j } ^ { n } \right) \nabla ^ { 2 } \eta _ { \ast } \left( u _ { j } ^ { n } + \tau \left\{ { u } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n - } ) - u _ { j } ^ { n } \right\} \right) } \\ & { \times \left( { u } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n - } ) - u _ { j } ^ { n } \right) d \tau } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \mathbb { E } [ \Phi ( X , V _ { t } ) ] } { d t } = \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } \Bigl [ B ( X , X ^ { \ast } ) \Bigl ( } & { \Phi ( X , \Psi ( V _ { t } , V _ { t } ^ { \ast } , \omega ) ) + \Phi ( X ^ { \ast } , \Psi _ { \ast } ( V _ { t } ^ { \ast } , V _ { t } , \omega ) ) } \\ & { - \Phi ( X , V _ { t } ) - \Phi ( X ^ { \ast } , V _ { t } ^ { \ast } ) \Bigr ) \Bigr ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { t } ( v _ { t } ) ^ { 2 } } & { = d _ { t } \vert \partial _ { u } C ( t , u ) \vert ^ { 2 } } \\ & { = 2 \langle d _ { t } \partial _ { u } C ( t , u ) , \partial _ { u } C ( t , u ) \rangle + \langle d _ { t } \partial _ { u } C ( t , u ) , d _ { t } \partial _ { u } C ( t , u ) \rangle } \\ & { = 2 v _ { t } ^ { 2 } \rho _ { t } \left( ( - \rho _ { t } + 2 h _ { t } ) d t + \sqrt { 2 } d B _ { t } \right) + 2 v _ { t } ^ { 2 } \rho _ { t } ^ { 2 } d t } \\ & { = 2 v _ { t } ^ { 2 } \rho _ { t } \left( ( 2 h _ { t } ) d t + \sqrt { 2 } d B _ { t } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { R ( x ) \lesssim R ( x ) ^ { \mathrm { a u b } } = 2 \log _ { 2 } \left( 1 + \frac { P } { K \sigma _ { n } ^ { 2 } } \frac { N | \alpha | ^ { 2 } ( 1 - 2 g ( \hat { x } ) ) } { ( 1 - g ( \hat { x } ) ) } \right) } \\ { + \log _ { 2 } \left( 1 + \frac { P } { K \sigma _ { n } ^ { 2 } } N | \alpha | ^ { 2 } ( 1 - 2 g ( \hat { x } ) ) \right) . } \end{array}
\langle M _ { 1 2 } ^ { \mathring { A } _ { 1 } } { \Phi } _ { \sigma } \rangle = \langle M _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } M _ { 2 } { \mathcal { D } } _ { 2 1 } ^ { - 1 } [ { \Phi } _ { \sigma } ] \rangle = \langle M _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } M _ { 2 } E _ { \sigma } M _ { 1 } ^ { - 1 } \rangle = \langle \mathring { A } _ { 1 } M _ { 2 } E _ { \sigma } \rangle \, ,
\begin{array} { r l } { R ^ { { \tilde { W } _ { j } } } } & { = R ^ { M } - 2 \mathrm { R i c } ^ { M } \left( \partial _ { \tilde { r } } , \partial _ { \tilde { r } } \right) \sin ^ { 2 } \tilde { \theta } + ( n - 2 ) ( n - 1 ) \left( \frac { 1 } { \tilde { r } ^ { 2 } } + O ( 1 ) \right) \sin ^ { 2 } \tilde { \theta } } \\ & { \quad \quad - ( n - 1 ) \left( \frac { 1 } { \tilde { r } } + O ( r ) \right) \tilde { k } \sin \tilde { \theta } } \\ & { \geq \kappa - 2 \mathrm { R i c } ^ { M } \left( \partial _ { \tilde { r } } , \partial _ { \tilde { r } } \right) \sin ^ { 2 } \tilde { \theta } + ( n - 2 ) ( n - 1 ) \left( \frac { 1 } { \tilde { r } ^ { 2 } } + O ( 1 ) \right) \sin ^ { 2 } \tilde { \theta } } \\ & { \quad \quad - ( n - 1 ) \left( \frac { 1 } { \tilde { r } } + O ( r ) \right) \sin \tilde { \theta } } \\ & { > \kappa - \frac { 1 } { j } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { x + { \frac { a b } { x } } } & { = u ^ { 2 } + v ^ { 2 } = \underbrace { \left( u ^ { 2 } - 2 u v + v ^ { 2 } \right) } _ { \mathrm { a ~ p e r f e c t ~ s q u a r e } } + 2 u v } \\ & { = ( u - v ) ^ { 2 } + 2 u v = \left( { \sqrt { x } } - { \sqrt { \frac { a b } { x } } } \, \right) ^ { 2 } + 2 { \sqrt { a b \, } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 } ^ { K } | | d _ { i } ^ { ( k ) } - \tilde { d } _ { i } | | ^ { 2 } } & { \leq \frac { 4 \lambda ^ { 2 } ( I - 1 ) } { \rho ^ { 2 } \eta _ { i } ^ { 2 } } \sum _ { \ell = 1 } ^ { i } \eta _ { \ell } ^ { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| \nu _ { \ell } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { \ell } \| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon ^ { 2 } E \left[ \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \left\{ [ \sigma \sigma ^ { \top } ] _ { s , H } ^ { i _ { 1 } i _ { 2 } } - [ \sigma \sigma ^ { \top } ] _ { t _ { k - 1 } , H } ^ { i _ { 1 } i _ { 2 } } \right\} \, \mathrm { d } s \bigg | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \right] } & { = \varepsilon ^ { 2 } \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \Phi _ { 1 } ^ { \varepsilon } ( s ) \, \mathrm { d } s } \\ & { \quad + R _ { k - 1 } \left( \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } \right) + R _ { k - 1 } \left( \frac { \varepsilon ^ { 3 } } { n \sqrt { n } } \right) . } \end{array}
\prod _ { j = 0 } ^ { n - 1 } U _ { t } ^ { ( k ) } = \left( r ^ { 2 } { \mathchoice { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 . 5 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 5 m u l } } } _ { \mathcal { H } } + r B ^ { ( 0 ) } t + C ^ { ( 0 ) } t ^ { 2 } \right) \ldots \left( r ^ { 2 } { \mathchoice { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 . 5 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 5 m u l } } } _ { \mathcal { H } } + r B ^ { ( n - 1 ) } t + C ^ { ( n - 1 ) } t ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r l r } { [ { \bf u } ^ { n } ] ^ { T } \bar { G } _ { 1 2 } { \bf u } _ { t } ^ { n } } & { = } & { \sum _ { \omega \in \hat { I } _ { N } } \overline { { \hat { \bf z } _ { 1 1 } ( \omega ) } } \hat { \bf z } _ { 1 2 } ( \omega ) ( \bar { p } \omega ^ { 2 } + \bar { q } ) + \sum _ { \omega \in \hat { I } _ { N } } \overline { { \hat { \bf z } _ { 2 1 } ( \omega ) } } \hat { \bf z } _ { 2 2 } ( \omega ) } \\ & { = } & { \sum _ { j \in \hat { I } _ { N } } \sum _ { k \in \hat { I } _ { N } } \hat { u } ( - j ) \hat { u } _ { t } ( k ) \left[ \bar { A } + \bar { B } + \bar { C } + \bar { D } \right] _ { j k } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \varphi _ { t } \circ x ^ { - 1 } ) \kappa ^ { - 1 } ( x _ { 1 } , x ^ { \prime } ) } & { = \varphi _ { t - l } \circ ( \varphi _ { l } \circ x ^ { - 1 } ) \circ \varphi _ { x _ { 1 } } \circ \kappa ^ { - 1 } ( 0 , x ^ { \prime } ) } \\ & { = \varphi _ { t - l + x _ { 1 } } \kappa ^ { - 1 } ( F ( x ^ { \prime } ) ) } \\ & { = \kappa ^ { - 1 } ( t - l + x _ { 1 } + F _ { 1 } ( x ^ { \prime } ) , F ^ { \prime } ( x ^ { \prime } ) ) . } \end{array}
\Lambda _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } = \left\{ \begin{array} { l l } { | \eta \omega _ { \ast } \omega _ { d } | \left( \frac { 3 \sqrt { 2 } + 4 \sigma } { 8 \tau } \right) , } & { \mathrm { f o r ~ | \bar { \kappa } _ d | ~ \gg ~ 1 ~ , } } \\ { \frac { ( \eta \omega _ { \ast } ) ^ { 2 } } { 2 4 \tau ( 1 + \tau ) } , } & { \mathrm { f o r ~ \bar { \kappa } _ d ~ \rightarrow ~ 0 ~ } , } \\ { \frac { 3 ( \eta \omega _ { \ast } ) ^ { 2 } } { 8 \tau ( 1 + \tau ) } , } & { \mathrm { f o r ~ \bar { \kappa } _ d ~ \rightarrow ~ 4 / 3 ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { f _ { w } ( x ) } & { = \sum w _ { k } ( x _ { k } - x _ { k + 1 } ) ^ { 2 } = \sum _ { k = i } ^ { j - 1 } w _ { k } ( x _ { k } - x _ { k + 1 } ) ^ { 2 } = \sum _ { k = i } ^ { j - 1 } w _ { k } \frac { \frac { 1 } { w _ { k } ^ { 2 } } } { \left( \sum _ { r = i } ^ { j - 1 } \frac { 1 } { w _ { r } } \right) ^ { 2 } } = \left( \sum _ { k = i } ^ { j - 1 } \frac { 1 } { w _ { k } } \right) ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \int P _ { n } ( d y ^ { 1 } , d y ^ { 2 } , d u ^ { 2 } ) g ( y ^ { 1 } , y ^ { 2 } , u ^ { 2 } ) = \int P _ { n } ( d y ^ { 1 } | y ^ { 2 } ) P _ { n } ( d u ^ { 2 } , y ^ { 2 } ) g ( y ^ { 1 } , y ^ { 2 } , u ^ { 2 } ) } \\ & { } & { = \int \kappa ( d y ^ { 1 } | y ^ { 2 } ) P _ { n } ( d u ^ { 2 } , y ^ { 2 } ) g ( y ^ { 1 } , y ^ { 2 } , u ^ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { e x p } _ { \bar { \mathfrak { p } } } ^ { * } : { \mathrm { H } } ^ { 1 } ( K _ { \bar { \mathfrak { p } } } , T _ { f } ^ { \vee , + } ( 1 - r ) \otimes \xi _ { 1 } ^ { - 1 } \xi _ { 2 } ^ { - \mathbf { c } } \Psi _ { W } ^ { 1 - \mathbf { c } } ) _ { Q } } & { \rightarrow L ( \zeta _ { Q } ) , } \\ { \mathrm { l o c } _ { \bar { \mathfrak { p } } } : { \mathrm { H } } ^ { 1 } ( K _ { \bar { \mathfrak { p } } } , T _ { f } ^ { \vee , + } ( 1 - r ) \otimes \xi _ { 1 } ^ { - 1 } \xi _ { 2 } ^ { - \mathbf { c } } \Psi _ { W } ^ { 1 - \mathbf { c } } ) _ { Q } } & { \rightarrow L ( \zeta _ { Q } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ell ^ { * } } & { = \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } _ { A \sim f _ { 0 } } \bigl | \mathbb { E } _ { \Pi \sim \mu } L ^ { \cal M } ( A , \Pi ) - 1 + \mathbb { E } _ { \Pi \sim \mu } L ^ { { \cal M } ^ { c } } ( A , \Pi ) \bigr | } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } _ { A \sim f _ { 0 } } \bigl | \mathbb { E } _ { \Pi \sim \mu } L ^ { \cal M } ( A , \Pi ) - 1 \bigr | + \frac { 1 } { 2 } \mathbb { E } _ { A \sim f _ { 0 } } \mathbb { E } _ { \Pi \sim \mu } L ^ { { \cal M } ^ { c } } ( A , \Pi ) } \\ & { \equiv \frac { 1 } { 2 } \ell _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } \ell _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P ^ { i j } B + g ^ { i \ell } \frac { { \partial } B } { { \partial } u ^ { \ell } } B u _ { y } ^ { j } - u _ { y } ^ { i } \frac { { \partial } B } { { \partial } u ^ { k } } g ^ { k j } B } \\ & { = g ^ { i j } B ^ { 2 } { \partial } _ { y } + g ^ { i j } B \frac { { \partial } B } { { \partial } u ^ { k } } u _ { y } ^ { k } + \Gamma _ { k } ^ { i j } B ^ { 2 } u _ { y } ^ { k } - \frac 1 2 g ^ { i \ell } B ^ { 4 } \frac { { \partial } B ^ { - 2 } } { { \partial } u ^ { \ell } } u _ { y } ^ { j } + \frac 1 2 u _ { y } ^ { i } \frac { { \partial } B ^ { - 2 } } { { \partial } u ^ { k } } g ^ { k j } B ^ { 4 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { K } ( L _ { t } , M ) } & { \leq \epsilon \frac { t } { n } \left( \frac { | \partial F | _ { n - 2 } | K | _ { n } } { n - 1 } + \frac { | F | _ { n - 1 } | \partial K | _ { n - 1 } } { n } \right) - \frac { t } { n } \left( \frac { | \partial F | _ { n - 2 } | K | _ { n } } { n - 1 } - \frac { | F | _ { n - 1 } | \partial K | _ { n - 1 } } { n } \right) } \\ & { \leq \frac { t } { n } ( \epsilon c - c _ { 0 } ) < 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } u ( t , x ) d \Omega } & { = \int _ { 0 } ^ { t } F _ { \mathrm { i n } } ( t ) d t } \\ & { = - k _ { \operatorname* { m a x } } \int _ { 0 } ^ { t } \nabla u | _ { x = x _ { 0 } } d t } \\ & { = c _ { 1 } \sqrt { \frac { k _ { \operatorname* { m a x } } } { \pi } } \int _ { 0 } ^ { t } t ^ { - 1 / 2 } d t } \\ & { = 2 c _ { 1 } \sqrt { \frac { k _ { \operatorname* { m a x } } t } { \pi } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \mathcal { H } _ { 1 } = } & { \mathcal { H } ( \rho _ { j - 1 } ^ { n } , \rho _ { j } ^ { n } , \rho _ { j + 1 } ^ { n } , \rho _ { j + 2 } ^ { n } \cdots , \rho _ { j + m } ^ { n } ) - \mathcal { H } ( \rho _ { \mathrm { m i n } } , \rho _ { \mathrm { m i n } } , \rho _ { j + 1 } ^ { n } , \rho _ { j + 2 } ^ { n } , \cdots , \rho _ { j + m } ^ { n } ) , } \\ { \Delta \mathcal { H } _ { 2 } = } & { \mathcal { H } ( \rho _ { \mathrm { m i n } } , \rho _ { \mathrm { m i n } } , \rho _ { j + 1 } ^ { n } , \rho _ { j + 2 } ^ { n } , \cdots , \rho _ { j + m } ^ { n } ) - \mathcal { H } ( \rho _ { \mathrm { m i n } } , \rho _ { \mathrm { m i n } } , \rho _ { \mathrm { m i n } } , \rho _ { \mathrm { m i n } } \cdots , \rho _ { \mathrm { m i n } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a } & { = \{ \frac { 1 } { 1 6 } , \frac { 1 } { 4 } , \frac { 3 } { 8 } , \frac { 1 } { 4 } , \frac { 1 } { 1 6 } \} _ { [ - 2 , 2 ] } , \quad b = \{ \frac { - 1 } { 1 2 8 } , \frac { - 1 } { 3 2 } , \frac { - 1 } { 2 5 6 } , \frac { 9 } { 6 4 } , \frac { 3 1 } { 2 5 6 } , \frac { - 1 1 } { 3 2 } , \frac { - 2 3 } { 6 4 } , \frac { 3 1 } { 3 2 } , \frac { - 2 3 } { 6 4 } , \frac { - 1 1 } { 3 2 } , \frac { 3 1 } { 2 5 6 } , \frac { 9 } { 6 4 } , \frac { - 1 } { 2 5 6 } , \frac { - 1 } { 3 2 } , \frac { - 1 } { 1 2 8 } \} _ { [ - 6 , 8 ] } , } \\ { \tilde { a } } & { = \{ \frac { 1 } { 1 2 8 } , \frac { - 1 } { 3 2 } , \frac { 1 } { 2 5 6 } , \frac { 9 } { 6 4 } , \frac { - 3 1 } { 2 5 6 } , \frac { - 1 1 } { 3 2 } , \frac { 2 3 } { 6 4 } , \frac { 3 1 } { 3 2 } , \frac { 2 3 } { 6 4 } , \frac { - 1 1 } { 3 2 } , \frac { - 3 1 } { 2 5 6 } , \frac { 9 } { 6 4 } , \frac { 1 } { 2 5 6 } , \frac { - 1 } { 3 2 } , \frac { 1 } { 1 2 8 } \} _ { [ - 7 , 7 ] } , \quad \tilde { b } = \{ \frac { 1 } { 1 6 } , \frac { - 1 } { 4 } , \frac { 3 } { 8 } , \frac { - 1 } { 4 } , \frac { 1 } { 1 6 } \} _ { [ - 1 , 3 ] } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \tilde { u } ^ { n _ { k } } - \tilde { u } \| _ { L ^ { 2 } ( [ 0 , T ] , H ) } + \| \tilde { u } _ { T } ^ { n _ { k } } - \tilde { u } _ { T } \| _ { H } + \int _ { 0 } ^ { T } \| G ^ { n _ { k } } ( t , \tilde { u } _ { t } ^ { n _ { k } } ) - \hat { G } ( t , \tilde { u } _ { t } ) \| _ { H } ^ { 2 } d t \rightarrow 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi _ { K } } & { \leq 2 \left( \frac { a _ { 1 } \| \bar { e } _ { x } ^ { 0 } \| ^ { 2 } } { K } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } + a _ { 2 } \left( \frac { \| \bar { e } _ { x } ^ { 0 } \| ^ { 2 } } { a _ { 1 } K } \right) } \\ & { \leq 2 \left( \frac { a _ { 1 } \| \bar { e } _ { x } ^ { 0 } \| ^ { 2 } } { K } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } + a _ { 2 } ^ { \frac { 1 } { 3 } } \left( \frac { \| \bar { e } _ { x } ^ { 0 } \| ^ { 2 } } { K } \right) ^ { \frac { 2 } { 3 } } ; } \end{array}
\hat { \mathbf { G } } _ { v } = J ^ { - 1 } \left\{ \begin{array} { c } { 0 } \\ { \zeta _ { x } { \tau } _ { x x } + \zeta _ { y } { \tau } _ { x y } + \zeta _ { z } { \tau } _ { x z } } \\ { \zeta _ { x } { \tau } _ { x y } + \zeta _ { y } { \tau } _ { y y } + \zeta _ { z } { \tau } _ { y z } } \\ { \zeta _ { x } { \tau } _ { x z } + \zeta _ { y } { \tau } _ { y z } + \zeta _ { z } { \tau } _ { z z } } \\ { \zeta _ { x } { \beta } _ { x } + \zeta _ { y } { \beta } _ { y } + \zeta _ { z } { \beta } _ { z } } \end{array} \right\} \, \mathrm { ~ . }
\begin{array} { r l } { I _ { \mu \eta } ^ { \mathrm { r l o s s } } ( \omega ) } & { = \frac { 1 } { 2 \epsilon _ { 0 } \omega } \oint _ { \mathcal { S } } { \mathrm d } A _ { \mathbf { s } } \left[ \tilde { \mathbf { H } } _ { \mu } ( \mathbf { s } , \omega ) \times \mathbf { n } _ { \mathbf { s } } \right] \cdot \tilde { \mathbf { F } } _ { \eta } ^ { * } ( \mathbf { s } , \omega ) , } \\ { I _ { \mu \eta } ^ { \mathrm { n l o s s } } ( \omega ) } & { = \int _ { V _ { \mathrm { L } } } { \mathrm d } ^ { 3 } s \epsilon _ { I } ( \mathbf { s } , \omega ) \tilde { \mathbf { f } } _ { \mu } ( \mathbf { s } ) \cdot \tilde { \mathbf { f } } _ { \eta } ^ { * } ( \mathbf { s } ) , } \\ { I _ { \mu \eta } ^ { \mathrm { G } } ( \omega ) } & { = \int _ { V _ { \mathrm { G } } } { \mathrm d } ^ { 3 } s \left| \epsilon _ { I } ( \mathbf { s } , \omega ) \right| \tilde { \mathbf { f } } _ { \mu } ^ { * } ( \mathbf { s } ) \cdot \tilde { \mathbf { f } } _ { \eta } ( \mathbf { s } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \mathbb S } _ { 1 } } & { \equiv \frac { 1 } { 2 } \left( { \mathbb O } _ { 3 4 } + { \mathbb O } _ { 1 2 } \right) , \quad { \mathbb D } _ { 1 } } & { \equiv \frac { 1 } { 2 } \left( { \mathbb O } _ { 3 4 } - { \mathbb O } _ { 1 2 } \right) , } \\ { { \mathbb S } _ { 2 } } & { \equiv \frac { 1 } { 2 } \left( { \mathbb O } _ { 4 2 } + { \mathbb O } _ { 1 3 } \right) , \quad { \mathbb D } _ { 2 } } & { \equiv \frac { 1 } { 2 } \left( { \mathbb O } _ { 4 2 } - { \mathbb O } _ { 1 3 } \right) , } \\ { { \mathbb S } _ { 3 } } & { \equiv \frac { 1 } { 2 } \left( { \mathbb O } _ { 2 3 } + { \mathbb O } _ { 1 4 } \right) , \quad { \mathbb D } _ { 3 } } & { \equiv \frac { 1 } { 2 } \left( { \mathbb O } _ { 2 3 } - { \mathbb O } _ { 1 4 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \Delta _ { g } u _ { - } - 1 } & { = - \frac { 1 } { 2 } \leqslant K _ { 1 } e ^ { 2 u _ { - } } = K _ { 1 } e ^ { 2 u _ { 0 } } \cdot e ^ { 2 C _ { 1 } } \; \mathrm { i n } \; M , } \\ { \frac { \partial u _ { - } } { \partial \nu } } & { = C \leqslant c \sigma _ { 1 } e ^ { u _ { - } } = c \sigma _ { 1 } e ^ { u _ { 0 } } \cdot e ^ { C _ { 1 } } \; \mathrm { o n } \; \partial M . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { 0 } ^ { n } ( n P _ { 0 , \hat { \Omega } } ( \| \hat { h } \| > 2 M _ { n } ) > \epsilon ) \, } & { = \, P _ { 0 } ^ { n } ( \{ n P _ { 0 , \hat { \Omega } } ( \| \hat { h } \| > 2 M _ { n } ) > \epsilon \} \cap \hat { A } _ { n , 0 } ) + o ( 1 ) } \\ & { \quad \leq P _ { 0 } ^ { n } ( n e ^ { - \tilde { c } _ { 1 } M _ { n } ^ { 2 } } > \epsilon | \hat { A } _ { n , 0 } ) + o ( 1 ) = o ( 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathbf { M } } = } & { \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { k + 1 } } { k } ( \hat { { \boldsymbol { \Sigma } } } _ { n _ { 0 } } ^ { ( 0 ) } - { \mathbf { I } } ) ^ { k } } \\ & { + \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } \alpha _ { \ell } \left( \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { k + 1 } } { k } ( \hat { { \boldsymbol { \Sigma } } } _ { n _ { \ell } } ^ { ( \ell ) } - { \mathbf { I } } ) ^ { k } \right) } \\ & { - \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } \alpha _ { \ell } \left( \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { k + 1 } } { k } ( \hat { { \boldsymbol { \Sigma } } } _ { n _ { \ell } - 1 } ^ { ( \ell ) } - { \mathbf { I } } ) ^ { k } \right) } \\ & { - \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { k + 1 } } { k } ( { \boldsymbol { \Sigma } } - { \mathbf { I } } ) ^ { k } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { g _ { 1 } ( t ) = \hat { k } \rightarrow \hat { k } + i : } \\ & { r / 2 \leq j \leq r , i = \omega j + r } & { P _ { \hat { k } , t } ( i ) = _ { r } C _ { j } \hat { Z } ^ { j } ( 1 - \hat { Z } ) ^ { r - j } \hat { p } , } \\ & { 0 \leq j < r / 2 , i = \omega j + r } & { P _ { \hat { k } , t } ( i ) = _ { r } C _ { j } \hat { Z } ^ { j } ( 1 - \hat { Z } ) ^ { r - j } ( 1 - \hat { p } ) , } \\ & { r / 2 \leq j \leq r , i = \omega j } & { P _ { \hat { k } , t } ( i ) = _ { r } C _ { j } \hat { Z } ^ { j } ( 1 - \hat { Z } ) ^ { r - j } ( 1 - \hat { p } ) , } \\ & { 0 \leq j < r / 2 , i = \omega j } & { P _ { \hat { k } , t } ( i ) = _ { r } C _ { j } \hat { Z } ^ { j } ( 1 - \hat { Z } ) ^ { r - j } \hat { p } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { r _ { k + 1 } } & { = r _ { k } + \gamma _ { k + 1 } \lambda _ { k } \left\langle g _ { k } , s _ { k } \right\rangle } \\ & { = r _ { k } + \frac { 1 } { \sqrt { \beta _ { 2 } ^ { k } } \left( 1 - \sqrt { \beta _ { 2 } } \right) } \gamma _ { k + 1 } \frac { 1 } { \sqrt { \beta _ { 2 } ^ { k } } } \left\langle g _ { k } , \hat { s } _ { k } \right\rangle } \\ & { = r _ { k } + \frac { 1 } { \sqrt { \beta _ { 2 } ^ { k } } \left( 1 - \sqrt { \beta _ { 2 } } \right) } \frac { \sqrt { \beta _ { 2 } ^ { k } } } { \sqrt { \hat { v } _ { k + 1 } } } \frac { 1 } { \sqrt { \beta _ { 2 } ^ { k } } } \left\langle g _ { k } , \hat { s } _ { k } \right\rangle } \\ & { = r _ { k } + \frac { 1 } { \left( 1 - \sqrt { \beta _ { 2 } } \right) } \frac { 1 } { \sqrt { \beta _ { 2 } ^ { k } } } \frac { 1 } { \sqrt { \hat { v } _ { k + 1 } } } \left\langle g _ { k } , \hat { s } _ { k } \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { u ( \boldsymbol { y } ) = - \int _ { \Gamma _ { 1 } } \frac { \partial \phi ( \boldsymbol { x ; \theta } ) } { \partial \boldsymbol { n } } u ^ { s } ( \boldsymbol { x ; y } ) d \Gamma + \int _ { \Gamma _ { 2 } } \frac { \partial u ^ { s } ( \boldsymbol { x ; y } ) } { \partial \boldsymbol { n } } \phi ( \boldsymbol { x ; \theta } ) d \Gamma + \int _ { \Gamma _ { 1 } } \frac { \partial u ^ { s } ( \boldsymbol { x ; y } ) } { \partial \boldsymbol { n } } \bar { u } ( \boldsymbol { x } ) d \Gamma } \\ & { - \int _ { \Gamma _ { 2 } } \bar { q } u ^ { s } ( \boldsymbol { x ; y } ) d \Gamma - \int _ { \Omega } f ( \boldsymbol { x } ) u ^ { s } ( \boldsymbol { x ; y } ) d \Omega , \quad \boldsymbol { y } \in \Omega . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 2 \sin \phi _ { 0 } } & { = } & { \sin \phi _ { 1 } , } \\ { \frac { \sin \phi _ { 1 } } { 1 - \cos \phi _ { 1 } } } & { = } & { \frac { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { \cos \phi } { \sqrt { ( \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ) } } d \phi } { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { \sin \phi } { \sqrt { ( \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ) } } d \phi } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { J ( | u | ^ { p - 1 } | v | ^ { p + 1 } u ) \overline { { J u } } = \ } & { x ^ { 2 } | u | ^ { p - 1 } | v | ^ { p + 1 } | u | ^ { 2 } + 4 t ^ { 2 } | u | ^ { p - 1 } | v | ^ { p + 1 } | u _ { x } | ^ { 2 } } \\ { \ } & { + 2 i t x ( | u | ^ { p - 1 } ) _ { x } | v | ^ { p + 1 } | u | ^ { 2 } + 2 i t x | u | ^ { p - 1 } ( | v | ^ { p + 1 } ) _ { x } | u | ^ { 2 } } \\ { \ } & { - 2 i t x | u | ^ { p - 1 } | v | ^ { p + 1 } ( u \overline { { u } } _ { x } - \overline { { u \overline { { u } } _ { x } } } ) + 4 t ^ { 2 } ( | u | ^ { p - 1 } | v | ^ { p + 1 } ) _ { x } u \overline { { u } } _ { x } } \\ { = \ } & { x ^ { 2 } | u | ^ { p - 1 } | v | ^ { p + 1 } | u | ^ { 2 } + 4 t ^ { 2 } | u | ^ { p - 1 } | v | ^ { p + 1 } | u _ { x } | ^ { 2 } } \\ { \ } & { + 2 i t x ( | u | ^ { p - 1 } | v | ^ { p + 1 } ) _ { x } | u | ^ { 2 } + 4 t x | u | ^ { p - 1 } | v | ^ { p + 1 } I m ( u \overline { { u } } _ { x } ) } \\ { \ } & { + 4 t ^ { 2 } ( | u | ^ { p - 1 } | v | ^ { p + 1 } ) _ { x } u \overline { { u } } _ { x } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \int _ { \Omega } f ^ { m } L _ { g _ { S } ^ { m } } ( \widehat h ) d \mu _ { g _ { S } ^ { m } } \right| } & { \leq C \| \widehat h \| _ { C ^ { 2 } ( \Omega ) } } \\ { | \mathcal Q _ { \widehat g } ( \widehat h + h ( \widetilde g ) ) | } & { \leq C ( \| \widehat h \| _ { C ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + \| h ( \widetilde g ) \| _ { C ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } ) } \\ { | ( L _ { \widehat g } - L _ { g _ { S } ^ { m } } ) ( \widehat h + h ( \widetilde g ) ) | } & { \leq C \| g _ { S } ^ { m / \theta } - g _ { S } ^ { m } \| _ { C ^ { 2 } ( \Omega ) } \cdot ( \| \widehat h \| _ { C ^ { 2 } ( \Omega ) } + \| h ( \widetilde g ) \| _ { C ^ { 2 } ( \Omega ) } ) } \\ { \| h ( \widetilde g ) \| _ { C ^ { 2 , \alpha } ( \Omega ) } } & { \leq C _ { 0 } \| R ( \widetilde g ) \| _ { C ^ { 0 , \alpha } ( \Omega ) } \leq C ( | m - m / \theta | + \| \widehat h \| _ { C ^ { 2 , \alpha } ( \Omega ) } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { X _ { \mathrm { s } } = \rho \varrho _ { \mathrm { t } } \varrho _ { \mathrm { r } } | \overline { { \mathbf { z } } } \hat { \mathbf { h } } | ^ { 2 } \overset { ( a ) } { = } \rho \varrho _ { \mathrm { t } } \varrho _ { \mathrm { r } } \xi ^ { 2 } \big ( \sum _ { n = 1 } ^ { N } \beta _ { n } | \hat { h } _ { n } | \big ) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { + + } } & { = \frac { N h } { 2 } \left[ \frac { a } { h } + \left( 1 - q + \Delta \right) \left( \frac { 1 + \epsilon } { 2 } \right) \right] \left( 2 q - \Delta - \Sigma \right) , } \\ { W _ { + - } } & { = \frac { N h } { 2 } \left[ \frac { a } { h } + \left( 1 - q + \Delta \right) \left( \frac { 1 - \epsilon } { 2 } \right) \right] \left( \Sigma - \Delta \right) , } \\ { W _ { - + } } & { = \frac { N h } { 2 } \left[ \frac { a } { h } + \left( q - \Delta \right) \left( \frac { 1 + \epsilon } { 2 } \right) \right] \left( 2 - 2 q + \Delta - \Sigma \right) , } \\ { W _ { -- } } & { = \frac { N h } { 2 } \left[ \frac { a } { h } + \left( q - \Delta \right) \left( \frac { 1 - \epsilon } { 2 } \right) \right] \left( \Sigma + \Delta \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { s p a n } \left\{ V _ { \sigma } : \sigma \in \mathcal { S } _ { 3 } \right\} \cong \mathbb { C } \oplus \mathbb { C } \oplus M _ { 2 } ( \mathbb { C } ) , } \\ & { \mathrm { s p a n } \left\{ V _ { \sigma } ^ { T _ { A } } : \sigma \in \mathcal { S } _ { 3 } \right\} \cong \mathbb { C } \oplus \mathbb { C } \oplus M _ { 2 } ( \mathbb { C } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 - g _ { e } ( \mathrm { w } _ { \tau } , \zeta _ { \tau } , \zeta _ { \tau \tau ^ { \prime } } ) } & { = \frac { 2 ^ { k ( \underline { { \zeta _ { \tau } } } ) + k ^ { 1 } ( \underline { { \zeta _ { \tau \tau ^ { \prime } } } } ) } } { 2 ^ { k ( \underline { { \zeta _ { \tau } } } ) + k ^ { 1 } ( \underline { { \zeta _ { \tau \tau ^ { \prime } } } } ) } + \mathrm { w } _ { \tau \tau ^ { \prime } } ( e ) 2 ^ { k ( \underline { { \zeta _ { \tau } } } ) + k ^ { 1 } ( \overline { { \zeta _ { \tau \tau ^ { \prime } } } } ) } + \mathrm { w } _ { \tau } ( e ) 2 ^ { k ( \overline { { \zeta _ { \tau } } } ) + k ^ { 1 } ( \overline { { \zeta _ { \tau \tau ^ { \prime } } } } ) } } } \\ & { = \left( 1 + 2 ^ { k ^ { 1 } ( \overline { { \zeta _ { \tau \tau ^ { \prime } } } } ) - k ^ { 1 } ( \underline { { \zeta _ { \tau \tau ^ { \prime } } } } ) } ( \mathrm { w } _ { \tau \tau ^ { \prime } } ( e ) + \mathrm { w } _ { \tau } ( e ) 2 ^ { k ( \overline { { \zeta _ { \tau } } } ) - k ( \underline { { \zeta _ { \tau } } } ) } ) \right) ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \frac { \partial \psi _ { s } } { \partial \xi } } & { + \frac { \delta } { 2 } \left( \frac { \partial ^ { 2 } \psi _ { s } } { \partial r ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r } \frac { \partial \psi _ { s } } { \partial r } \right) - \frac { 1 } { 2 \delta } r ^ { 2 } \psi _ { s } + \gamma | \psi _ { s } | ^ { 2 } \psi _ { s } = } \\ & { - 2 \Gamma | \psi _ { p } | ^ { 2 } \psi _ { s } + i \frac { G _ { R } } { 2 } | \psi _ { p } | ^ { 2 } \psi _ { s } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } ( - \underline { { S } } ^ { E } \underline { { \sigma } } + \underline { { d } } ^ { T } \nabla \phi ) : \delta \underline { { \sigma } } \, d \Omega + \langle \underline { { \varepsilon } } , \delta \underline { { \sigma } } \rangle } & { = 0 , } \\ { \langle \delta \underline { { \varepsilon } } , \underline { { \sigma } } \rangle } & { = \int _ { \Omega } \vec { f } \cdot \delta \vec { u } \, d \Omega + \int _ { \Gamma _ { 2 } } \vec { t } _ { n t } \cdot \delta \vec { u } _ { t } \, d \Gamma . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf { P } ^ { ( 1 , - ) } ( z ) \mathbf { P } ^ { ( \infty ) } ( z ) ^ { - 1 } } \\ & { = \mathbf { W } ^ { ( - ) } ( z ) \left( \begin{array} { l l } { 1 + \frac { { \beta } ( { \beta } + 1 ) } { 2 | x | ^ { 2 } \varphi _ { 3 } ^ { 2 } } + O \left( | x | ^ { - 4 } \right) } & { \frac { e ^ { i \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } x ^ { 2 } } | x | ^ { 2 { \beta } } } { h _ { 0 } ^ { - 1 } s _ { * } } \left( \frac { { \beta } } { | x | \varphi _ { 3 } } + O \left( | x | ^ { - 3 } \right) \right) } \\ { \frac { h _ { 0 } ^ { - 1 } s _ { * } } { e ^ { i \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } x ^ { 2 } } | x | ^ { 2 { \beta } } } \left( \frac { 1 } { | x | \varphi _ { 3 } } + O \left( | x | ^ { - 3 } \right) \right) } & { 1 - \frac { { \beta } ( { \beta } - 1 ) } { 2 | x | ^ { 2 } \varphi _ { 3 } ^ { 2 } } + O \left( | x | ^ { - 4 } \right) } \end{array} \right) \mathbf { W } ^ { ( - ) } ( z ) ^ { - 1 } } \\ & { = \mathbf { I } + \mathbf { G } ^ { ( - ) } ( z ) | x | ^ { - 1 } + O \left( | x | ^ { - 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } } & { \left( \operatorname* { s u p } _ { 0 < t \le T } N ^ { 1 - \frac { \beta } { 2 } } \big | M _ { 1 } ^ { ( N ) } ( \lfloor N ^ { \beta } t \rfloor ) \big | > C \right) \le \frac { N ^ { 2 - \beta } } { C ^ { 2 } } \mathbb { E } \left( M _ { 1 } ^ { ( N ) } ( \lfloor N ^ { \beta } T \rfloor ) ^ { 2 } \right) } \\ & { = \frac { N ^ { 2 - \beta } } { C ^ { 2 } } \sum _ { k = 0 } ^ { \lfloor N ^ { \beta } T \rfloor - 1 } \frac { 1 } { ( N + k + 1 ) ^ { 2 } } \mathbb { E } \left( \xi _ { 1 } ^ { ( N ) } ( k ) ^ { 2 } \right) \le \frac { N ^ { 2 - \beta } } { C ^ { 2 } } \sum _ { k = 0 } ^ { \lfloor N ^ { \beta } T \rfloor - 1 } \frac { 1 } { ( N + k + 1 ) ^ { 2 } } } \\ & { \le \frac { N ^ { 2 - \beta } } { C ^ { 2 } } \int _ { N } ^ { \lfloor N ^ { \beta } T \rfloor + N } \frac { 1 } { s ^ { 2 } } d s = \frac { N ^ { 2 - \beta } } { C ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { N } - \frac { 1 } { \lfloor N ^ { \beta } T \rfloor + N } \right) \le \frac { N ^ { 2 - \beta } } { C ^ { 2 } } \cdot \frac { \lfloor N ^ { \beta } T \rfloor } { N ^ { 2 } } } \\ & { \le c o n s t . ( T ) / C ^ { 2 } \xrightarrow { C \to \infty } 0 } \end{array}
\begin{array} { r } { \rVert \partial _ { \xi } ^ { \eta } \left( e ^ { \mathrm { i } A ( \cdot , k , \xi ) } \right) \rVert _ { H _ { \varphi } ^ { s } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \le _ { s , \eta _ { 0 } } \langle k \rangle ^ { \eta } \langle \xi \rangle ^ { - \eta } ( 1 + | \overline { { \mathfrak { p } } } | _ { 1 , s + \mu _ { 0 } , \eta + 1 } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } ) , \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ 0 \le ~ \eta \le ~ \eta _ 0 ~ } } \end{array}
\begin{array} { l l } { \ddot { \Phi } _ { t } ( x ) = - \nabla p \left( t , \Phi _ { t } ( x ) \right) } & { \mathrm { ~ ( t , x ) \in ~ [ 0 , T ] ~ \times ~ M ~ , } } \\ { \Phi _ { 0 } ( x ) = x } & { \mathrm { ~ x \in ~ M ~ , } } \\ { \Phi _ { t } ( \cdot ) \in { \mathscr { D } _ { \mu } ( M ) } } & { \mathrm { ~ t \in ~ [ 0 , T ] ~ , } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { F ( y ) : = \lambda ( y , v ) \left( \langle v , \nabla ^ { 2 } \psi ( y ) v \rangle - \langle R ( y ) v , \nabla ^ { 2 } \psi ( y ) R ( y ) v \rangle \right) } \\ & { = 2 \operatorname* { m a x } \left( 0 , \left\langle \frac { \nabla \psi ( y ) } { \lvert \nabla \psi ( y ) \rvert ^ { \frac { 2 } { 3 } } } , v \right\rangle \right) \left\langle v , \frac { \nabla \psi ( y ) } { \lvert \nabla \psi ( y ) \rvert ^ { \frac { 2 } { 3 } } } \right\rangle \left\langle v , \nabla ^ { 2 } \psi ( y ) \frac { \nabla \psi ( y ) } { \lvert \nabla \psi ( y ) \rvert ^ { \frac { 2 } { 3 } } } \right\rangle } \\ & { \quad - \operatorname* { m a x } \left( 0 , \left\langle \frac { \nabla \psi ( y ) } { \lvert \nabla \psi ( y ) \rvert ^ { \frac { 4 } { 5 } } } , v \right\rangle \right) \left\langle v , \frac { \nabla \psi ( y ) } { \lvert \nabla \psi ( y ) \rvert ^ { \frac { 4 } { 5 } } } \right\rangle ^ { 2 } \left\langle \nabla \psi ( y ) , \nabla ^ { 2 } \psi ( y ) \frac { \nabla \psi ( y ) } { \lvert \nabla \psi ( y ) \rvert ^ { \frac { 4 } { 5 } } } \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \mathbf { \Gamma } _ { k l , m } ^ { \left( 2 \right) } \right] _ { n n ^ { \prime } } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \sum _ { i ^ { \prime } = 1 } ^ { N } { \left[ \mathbf { \bar { F } } _ { l } \right] _ { i ^ { \prime } i } \left\{ \mathrm { t r } \left( \mathbf { R } _ { m l } ^ { i ^ { \prime } i } \mathbf { P } _ { m k l , \left( 1 \right) } ^ { n ^ { \prime } n } \right) \right. } } } \\ & { \left. + \tau _ { p } ^ { 2 } \sum _ { q _ { 1 } = 1 } ^ { N } { \sum _ { q _ { 2 } = 1 } ^ { N } { \left[ \mathrm { t r } \left( \mathbf { \tilde { P } } _ { m k l , \left( 2 \right) } ^ { q _ { 1 } n } \mathbf { \tilde { R } } _ { m l } ^ { i ^ { \prime } q _ { 2 } } \mathbf { \tilde { R } } _ { m l } ^ { q _ { 2 } i } \mathbf { \tilde { P } } _ { m k l , \left( 2 \right) } ^ { n ^ { \prime } q _ { 1 } } \right) + \mathrm { t r } \left( \mathbf { \tilde { P } } _ { m k l , \left( 2 \right) } ^ { q _ { 1 } n } \mathbf { \tilde { R } } _ { m l } ^ { i ^ { \prime } q _ { 2 } } \right) \mathrm { t r } \left( \mathbf { \tilde { P } } _ { m k l , \left( 2 \right) } ^ { n ^ { \prime } q _ { 2 } } \mathbf { \tilde { R } } _ { m l } ^ { q _ { 2 } i } \right) \right] } } \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { ( B _ { z } ) _ { i j } ^ { n + 1 } - 2 ( B _ { z } ) _ { i j } ^ { n } + ( B _ { z } ) _ { i j } ^ { n - 1 } } { \Delta t ^ { 2 } } } & { = \frac 1 4 \frac { ( B _ { z } ) _ { i + 1 , j + 1 } ^ { n } - 2 ( B _ { z } ) _ { i , j + 1 } ^ { n } + ( B _ { z } ) _ { i - 1 , j + 1 } ^ { n } } { \Delta x ^ { 2 } } } \\ & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! + \frac 1 2 \frac { ( B _ { z } ) _ { i + 1 , j } ^ { n } - 2 ( B _ { z } ) _ { i j } ^ { n } + ( B _ { z } ) _ { i - 1 , j } ^ { n } } { \Delta x ^ { 2 } } + \frac 1 4 \frac { ( B _ { z } ) _ { i + 1 , j - 1 } ^ { n } - 2 ( B _ { z } ) _ { i j - 1 } ^ { n } + ( B _ { z } ) _ { i - 1 , j - 1 } ^ { n } } { \Delta x ^ { 2 } } } \\ & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! + \frac 1 4 \frac { ( B ^ { z } ) _ { i + 1 , j + 1 } ^ { n } - 2 ( B ^ { z } ) _ { i + 1 , j } ^ { n } + ( B ^ { z } ) _ { i + 1 , j - 1 } ^ { n } } { \Delta y ^ { 2 } } + \frac 1 2 \frac { ( B ^ { z } ) _ { i , j + 1 } ^ { n } - 2 ( B ^ { z } ) _ { i j } ^ { n } + ( B ^ { z } ) _ { i , j - 1 } ^ { n } } { \Delta y ^ { 2 } } } \\ & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! + \frac 1 4 \frac { ( B ^ { z } ) _ { i - 1 , j + 1 } ^ { n } - 2 ( B ^ { z } ) _ { i - 1 , j } ^ { n } + ( B ^ { z } ) _ { i - 1 , j - 1 } ^ { n } } { \Delta y ^ { 2 } } } \\ { \frac { ( E ^ { x } ) _ { i j } ^ { n + 1 } - 2 ( E ^ { x } ) _ { i j } ^ { n } + ( E ^ { x } ) _ { i j } ^ { n - 1 } } { \Delta t ^ { 2 } } } & { = } \\ & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - \frac { ( E ^ { y } ) _ { i + 1 , j + 1 } ^ { n } - ( E ^ { y } ) _ { i - 1 , j + 1 } ^ { n } - ( E ^ { y } ) _ { i + 1 , j - 1 } ^ { n } + ( E ^ { y } ) _ { i - 1 , j - 1 } ^ { n } } { 4 \Delta x \Delta y } } \\ & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! + \frac 1 4 \frac { ( E ^ { x } ) _ { i + 1 , j + 1 } ^ { n } - 2 ( E ^ { x } ) _ { i + 1 , j } ^ { n } + ( E ^ { x } ) _ { i + 1 , j - 1 } ^ { n } } { \Delta y ^ { 2 } } + \frac 1 2 \frac { ( E ^ { x } ) _ { i , j + 1 } ^ { n } - 2 ( E ^ { x } ) _ { i j } ^ { n } + ( E ^ { x } ) _ { i , j - 1 } ^ { n } } { \Delta y ^ { 2 } } } \\ & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! + \frac 1 4 \frac { ( E ^ { x } ) _ { i - 1 , j + 1 } ^ { n } - 2 ( E ^ { x } ) _ { i - 1 , j } ^ { n } + ( E ^ { x } ) _ { i - 1 , j - 1 } ^ { n } } { \Delta y ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \| \rho ( \cdot , T ) \| _ { \mathbb { L } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \displaystyle \operatorname* { m i n } \left( \underline { { q ^ { 0 } } } , \underline { { \beta ^ { 0 } } } \right) \displaystyle \| \rho \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; \mathbb { V } ) } ^ { 2 } \leq \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \| \rho ^ { 0 } \| _ { \mathbb L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \displaystyle \frac { 1 } { 2 \delta } \| g \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; \mathbb { L } ^ { 2 } ) } ^ { 2 } + \frac { \delta } { 2 } \| \rho \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) ; \mathbb { V } ) } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { 𝕍 ( A ; N ⊗ B ⊗ N ) } & { \quad = } & { \quad \mathrm { ( b y ~ d e f i n i t i o n ) } } \\ & { ∫ ^ { X , Y \in 𝕍 } 𝕍 ( A ; X ⊗ B ⊗ Y ) × 𝕍 ( X ; N ) × 𝕍 ( Y ; N ) } & { \quad \to } & { \quad \mathrm { ( i n d u c e d ~ b y ~ F _ ⊗ , ~ F _ N ~ ) } } \\ & { ∫ ^ { X , Y \in 𝕍 } 𝕎 ( F A ; F X ⊘ F B ⊘ F Y ) × 𝕎 ( F X ; M ) × 𝕎 ( F Y ; M ) } & { \quad \to } & { \quad \mathrm { ( i n c l u s i o n , ~ u n i v e r s a l ~ p r o p . ~ o f ~ c o e n d ) } } \\ & { ∫ ^ { P , Q \in 𝕎 } 𝕎 ( F A ; P ⊘ F B ⊘ Q ) × 𝕎 ( P ; M ) × 𝕎 ( Q ; M ) } & { \quad = } & { \quad \mathrm { ( b y ~ d e f i n i t i o n ) } } \\ & { 𝕎 ( F A ; M ⊘ F B ⊘ M ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \Vert \big [ \big ( \hat { \nu } _ { s ^ { ( a ) } , s ^ { ( a ) } } ^ { r } + \Sigma _ { s ^ { ( a ) } , s ^ { ( a ) } } ^ { r } \big ) \hat { C } _ { r } ( k ) \big ] _ { 1 1 } \Vert _ { L ^ { \infty } } \le K \cdot \frac { \Vert \big [ \Sigma _ { s ^ { ( a ) } , s ^ { ( a ) } } ^ { r + 1 } \big ] _ { 1 1 } \Vert _ { L ^ { \infty } } } { \gamma ^ { - r } } } \\ & { } & { \quad \le K _ { 1 } \lambda ^ { 2 } \frac { ( r + 1 ) ^ { 2 } \gamma ^ { - r - 1 } } { \gamma ^ { - r } } = \gamma ^ { - 1 } \lambda ^ { 2 } K ^ { \prime } ( r + 1 ) ^ { 2 } \le \lambda ^ { 2 } K _ { 2 } \log ^ { 2 } T , } \end{array}
\Bar { F } ( x \cdot y \cdot z ) = F _ { 2 } ( x \cdot y \cdot z ) + F _ { 0 } ( x ) \cdot F _ { 1 } ( y \cdot z ) + ( - 1 ) ^ { | x | | y | } F _ { 0 } ( y ) \cdot F _ { 1 } ( x \cdot z ) + \, \phantom { c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c } ( - 1 ) ^ { ( | x | + | y | ) | z | } F _ { 0 } ( z ) \cdot F _ { 1 } ( x \cdot y ) + F _ { 0 } ( x ) \cdot F _ { 0 } ( y ) \cdot F _ { 0 } ( z )
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial x } \left( \frac { 1 } { ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ^ { n } } \textup { I m } ( ( x + i y ) ^ { n } ) \right) } & { = \frac { \partial } { \partial x } \left( \textup { I m } ( ( x - i y ) ^ { - n } ) \right) } \\ & { = \textup { I m } \left( \frac { \partial } { \partial x } ( x - i y ) ^ { - n } \right) } \\ & { = - n \textup { I m } ( ( x + i y ) ^ { - n - 1 } ) } \\ & { = - n \left( \frac { 1 } { ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ^ { n + 1 } } \textup { I m } ( ( x + i y ) ^ { n + 1 } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } [ w _ { \boldsymbol { \mu } } ] } & { = 2 \mathrm { E } [ \ell ( \boldsymbol { \hat { \mu } } , \hat { \boldsymbol { \theta } } ) - \ell ( \boldsymbol { \mu } , \hat { \hat { \boldsymbol { \theta } } } ) ] } \\ { * [ 0 . 2 c m ] } & { = 2 \mathrm { E } [ \ell ( \boldsymbol { \hat { \mu } } , \hat { \boldsymbol { \theta } } ) - \ell ( \boldsymbol { \mu } , \boldsymbol { \theta } ) ] - 2 \mathrm { E } [ \ell ( \boldsymbol { \mu } , \hat { \hat { \boldsymbol { \theta } } } ) - \ell ( \boldsymbol { \mu } , \boldsymbol { \theta } ) ] } \\ { * [ 0 . 2 c m ] } & { = M + N + \epsilon _ { N + M } - N - \epsilon _ { N } + \mathcal { O } ( n ^ { - 2 } ) } \\ { * [ 0 . 2 c m ] } & { = M + \epsilon _ { N + M } - \epsilon _ { N } + \mathcal { O } ( n ^ { - 2 } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { k } ^ { * } = \operatorname* { m i n } \Bigg \{ f _ { k } ^ { \operatorname* { m a x } } , \sqrt { \frac { a _ { k } \left( { { E } } _ { k } ^ { \operatorname* { m a x } } - t _ { k } ^ { u p } p _ { k } ^ { u p } \right) } { \zeta _ { k } v C _ { k } J _ { k } \log _ { 2 } ( \frac { 1 } { \eta } ) } } \Bigg \} , \: \forall k = 1 , \ldots , K . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { t _ { i j } ^ { e q } } & { \approx } & { \frac { 4 \pi \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } \, m _ { i } \, m _ { j } } { Z _ { l } ^ { 2 } Z _ { J } ^ { 2 } \, q _ { j } ^ { 4 } \, n _ { j } \, \ln \Lambda \left( n _ { i } , n _ { j } \right) } \, \left( \frac { k T _ { i } } { m _ { l } } + \frac { k T _ { j } } { m _ { j } } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { g _ { C } ^ { - 1 , s _ { 1 } , s _ { 2 } } = \left( \begin{array} { c c } { \tilde { A } } & { \tilde { B } } \\ { \tilde { C } } & { \tilde { D } } \end{array} \right) ^ { - 1 } } \\ & { = \left( \begin{array} { c c } { \tilde { A } ^ { - 1 } + \tilde { A } ^ { - 1 } \tilde { B } \left( \tilde { D } - \tilde { C } \tilde { A } ^ { - 1 } \tilde { B } \right) ^ { - 1 } \tilde { C } \tilde { A } ^ { - 1 } } & { - \tilde { A } ^ { - 1 } \tilde { B } \left( \tilde { D } - \tilde { C } \tilde { A } ^ { - 1 } \tilde { B } \right) ^ { - 1 } } \\ { - \left( \tilde { D } - \tilde { C } \tilde { A } ^ { - 1 } \tilde { B } \right) ^ { - 1 } \tilde { C } \tilde { A } ^ { - 1 } } & { \left( \tilde { D } - \tilde { C } \tilde { A } ^ { - 1 } \tilde { B } \right) ^ { - 1 } } \end{array} \right) } \\ & { = \left( \begin{array} { l l } { g _ { \tilde { C } \tilde { C } } ^ { - 1 , s _ { 1 } , s _ { 2 } } } & { g _ { \tilde { C } , i } ^ { - 1 , s _ { 1 } , s _ { 2 } } } \\ { g _ { i \tilde { C } } ^ { - 1 , s _ { 1 } , s _ { 2 } } } & { g _ { i i } ^ { - 1 , s _ { 1 } , s _ { 2 } } } \end{array} \right) } \\ & { \equiv \left( \begin{array} { l l } { E } & { F } \\ { H } & { J } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { l l } { _ { \mu _ { 2 } - \lambda _ { 2 } - r - 1 } { \mathbb S } _ { i n v } ( \lambda , \mu ) = } & { _ { \mu _ { 2 } - \lambda _ { 2 } - r } { \mathbb S } _ { i n v } ( \lambda , \mu ) } \\ & { \cup \left\{ ( a _ { 1 } , a _ { 2 } ) \in \mathbb Z ^ { 2 } : \begin{array} { l } { 0 \leq a _ { 1 } \leq \mu _ { 1 } , \ 0 \leq a _ { 1 } \leq \lambda _ { 2 } , } \\ { a _ { 2 } - a _ { 1 } \in \{ \mu _ { 2 } - \lambda _ { 1 } - r - 1 , \lambda _ { 2 } - \mu _ { 1 } + r + 1 \} } \end{array} \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \Delta _ { \bar { g } } } & { u ( t _ { T } ) \| _ { L ^ { \frac 3 2 } ( M , \bar { g } ) } } \\ & { \le \| \mathrm { e } ^ { 2 u ( t _ { T } ) } \partial _ { t } u ( t _ { T } ) \| _ { L ^ { \frac 3 2 } ( M , \bar { g } ) } + \| \bar { K } \| _ { L ^ { \frac 3 2 } ( M , \bar { g } ) } + \| \mathrm { e } ^ { 2 u ( t _ { T } ) } f \| _ { L ^ { \frac 3 2 } ( M , \bar { g } ) } + \| \mathrm { e } ^ { 2 u ( t _ { T } ) } \alpha ( t _ { T } ) \| _ { L ^ { \frac 3 2 } ( M , \bar { g } ) } } \\ & { \le \| \mathrm { e } ^ { u ( t _ { T } ) } \| _ { L ^ { 6 } ( M , \bar { g } ) } F ( t _ { T } ) ^ { \frac 1 2 } + | \bar { K } | + \| f \| _ { L ^ { \infty } ( M , \bar { g } ) } \Bigl ( \int _ { M } \mathrm { e } ^ { 3 u ( t _ { T } ) } d \mu _ { \bar { g } } \Bigr ) ^ { \frac 2 3 } + | \alpha ( t _ { T } ) | \Bigl ( \int _ { M } \mathrm { e } ^ { 3 u ( t _ { T } ) } d \mu _ { \bar { g } } \Bigr ) ^ { \frac 2 3 } } \\ & { \le \frac 1 2 \| \mathrm { e } ^ { u ( t _ { T } ) } \| _ { L ^ { 6 } ( M , \bar { g } ) } ^ { 2 } + \frac 1 2 F ( t _ { T } ) + | \bar { K } | + \frac { 1 } { 3 } \Bigl ( \| f \| _ { L ^ { \infty } ( M , \bar { g } ) } ^ { 3 } + | \alpha ( t _ { T } ) | ^ { 3 } \Bigr ) + \frac { 4 } { 3 } \int _ { M } \mathrm { e } ^ { 3 u ( t _ { T } ) } d \mu _ { \bar { g } } } \\ & { \le \frac 1 2 \Bigl ( \nu _ { 0 } ( u _ { 0 } , 6 ) \mathrm { e } ^ { \nu _ { 1 } ( u _ { 0 } , 6 ) \| f \| _ { L ^ { \infty } ( M , \bar { g } ) } } \Bigr ) ^ { 1 / 3 } + \frac 1 2 \Bigl ( d _ { 1 } + d _ { 2 } \| f \| _ { L ^ { \infty } ( M , \bar { g } ) } \Bigr ) + | \bar { K } | } \\ & { + \frac { 1 } { 3 } \Bigl ( \| f \| _ { L ^ { \infty } ( M , \bar { g } ) } ^ { 3 } + | \alpha ( t _ { T } ) | ^ { 3 } \Bigr ) + \frac { 4 } { 3 } \nu _ { 0 } ( u _ { 0 } , 3 ) \mathrm { e } ^ { \nu _ { 1 } ( u _ { 0 } , 3 ) \| f \| _ { L ^ { \infty } ( M , \bar { g } ) } } } \\ & { \le d _ { 3 } \mathrm { e } ^ { d _ { 4 } \| f \| _ { L ^ { \infty } ( M , \bar { g } ) } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mathbf { p } \circ \Psi ^ { - 1 } ) _ { * } [ \vec { T } ( t , \Phi _ { t } ( x ) ) ] } & { = ( \Phi _ { - t } \circ \mathbf { p } ) _ { * } [ \vec { T } ( t , \Phi _ { t } ( x ) ) ] } \\ & { = ( \Phi _ { - t } ) _ { * } \mathbf { p } _ { * } [ \vec { T } ( t , \Phi _ { t } ( x ) ) ] } \\ & { = ( \Phi _ { - t } ) _ { * } [ \vec { T } _ { t } ( \Phi _ { t } ( x ) ) ] , } \end{array}
2 b ( 1 + O ( \alpha ) ) \int \displaylimits _ { \overline { { \Lambda } } } ^ { L } { ( \overline { { h } } + \varphi ) ^ { 3 } | \partial _ { \overline { { x } } } ^ { 3 } \varphi | ^ { 2 } \; \mathrm { d } \overline { { x } } } \ge C \int \displaylimits _ { \overline { { \Lambda } } } ^ { L } { \left( \frac { \overline { { h } } } { 2 } \right) ^ { 3 } | \partial _ { \overline { { x } } } ^ { 3 } \varphi | ^ { 2 } \; \mathrm { d } \overline { { x } } } \ge C \; \operatorname* { m i n } _ { \overline { { x } } } \overline { { h } } \; \int \displaylimits _ { \overline { { \Lambda } } } ^ { L } { | \partial _ { \overline { { x } } } ^ { 3 } \varphi | ^ { 2 } \; \mathrm { d } \overline { { x } } } .
\begin{array} { r l } { \relax ( \Delta _ { t } \ge \epsilon + G + \gamma _ { + } \cap K _ { i } ) } & { = \relax \left( \Delta _ { i } - \sum _ { j = i } ^ { t - 1 } ( \gamma _ { j } - \bar { g } _ { j } ) + \sum _ { j = i } ^ { t - 1 } \xi _ { j } \ge \epsilon + G + \gamma _ { + } \; \bigcap \; K _ { i } \right) } \\ & { \le \relax \left( \sum _ { j = i } ^ { t - 1 } \xi _ { j } \ge \epsilon + \sum _ { j = i } ^ { t - 1 } ( \gamma _ { j } - \bar { g } _ { j } ) \; \bigcap \; K _ { i } \right) } \\ & { \le \relax \left( \sum _ { j = i } ^ { t - 1 } \xi _ { j } \ge \epsilon + \sum _ { j = i } ^ { t - 1 } ( \gamma _ { j } - \bar { g } _ { j } ) \right) } \\ & { \le \relax \left( \sum _ { j = i } ^ { t - 1 } \xi _ { j } \ge \epsilon + \beta \sum _ { j = i } ^ { t - 1 } \sigma _ { j } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beta _ { d } } & { = \int \sin ^ { d } ( \varphi _ { 1 } ) \sin ^ { d - 1 } ( \varphi _ { 2 } ) \ldots \sin ^ { d - k + 2 } ( \varphi _ { k - 1 } ) \; \cos ^ { 2 } ( \varphi _ { k } ) \sin ^ { d - k - 1 } ( \varphi _ { k } ) \; } \\ & { \quad \quad \sin ^ { d - k - 2 } ( \varphi _ { k + 1 } ) \ldots \sin ( \varphi _ { d - 2 } ) d \varphi _ { 1 } \ldots d \varphi _ { d - 1 } } \\ & { = 2 \pi \prod _ { i = d - k + 2 } ^ { d } \left[ \sqrt { \pi } \frac { \Gamma \left( \frac { i } { 2 } + \frac 1 2 \right) } { \Gamma \left( \frac { i } { 2 } + 1 \right) } \right] \frac { \sqrt { \pi } } { 2 } \frac { \Gamma \left( \frac { d - k - 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \right) } { \Gamma \left( \frac { d - k - 1 } { 2 } + 2 \right) } \prod _ { i = 1 } ^ { d - k - 2 } \left[ \sqrt { \pi } \frac { \Gamma \left( \frac { i } { 2 } + \frac 1 2 \right) } { \Gamma \left( \frac { i } { 2 } + 1 \right) } \right] } \\ & { = \frac { \pi ^ { d / 2 } } { \Gamma ( d / 2 + 1 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { 0 } } & { = \mathbf { A } ^ { \top } \mathbf { V } _ { 2 } + \mathbf { V } _ { 2 } \mathbf { A } - \eta \mathbf { C } ^ { \top } \mathbf { C } + \mathbf { V } _ { 2 } \mathbf { B } \mathbf { B } ^ { \top } \mathbf { V } _ { 2 } , } \\ { \mathbf { 0 } } & { = \mathbf { A } ^ { \top } \mathbf { W } _ { 2 } + \mathbf { W } _ { 2 } \mathbf { A } + \mathbf { C } ^ { \top } \mathbf { C } - \eta \mathbf { W } _ { 2 } \mathbf { B } \mathbf { B } ^ { \top } \mathbf { W } _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( 1 \! + \! 2 P e \theta \Gamma { ( 2 \! - \! \alpha ) } \right) u _ { i } ^ { n } \! - \! P e \theta \Gamma { ( 2 \! - \! \alpha ) } u _ { i + 1 } ^ { n } \! - \! P e \theta \Gamma { ( 2 \! - \! \alpha ) } u _ { i - 1 } ^ { n } = \left( 1 - q N _ { c } \Gamma { ( 2 \! - \! \alpha ) } \right. } \\ & { \left. - 2 P e ( 1 \! - \! \theta ) \Gamma { ( 2 \! - \! \alpha ) } + D a N _ { c } \Gamma { ( 2 - \alpha ) } \right) u _ { i } ^ { n - 1 } + \bigg ( - N _ { c } \frac { \Gamma { ( 2 - \alpha ) } } { 2 } + q N _ { c } \frac { \Gamma { ( 2 - \alpha ) } } { 3 } } \\ & { + P e ( 1 \! - \! \theta ) \Gamma { ( 2 \! - \! \alpha ) } \bigg ) u _ { i + 1 } ^ { n - 1 } \! + \! \bigg ( N _ { c } \frac { \Gamma { ( 2 \! - \! \alpha ) } } { 2 } + q N _ { c } \Gamma { ( 2 \! - \! \alpha ) } \! + \! P e ( 1 - \theta ) \Gamma { ( 2 - \alpha ) } \! \! \bigg ) } \\ & { u _ { i - 1 } ^ { n - 1 } - q N _ { c } \frac { \Gamma { ( 2 - \alpha ) } } { 3 } u _ { i - 2 } ^ { n - 1 } + \sum _ { j = 2 } ^ { n } \left( j ^ { ( 1 - \alpha ) } - ( j - 1 ) ^ { ( 1 - \alpha ) } \right) \left( u _ { i } ^ { n - j + 1 } - u _ { i } ^ { n - j } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( \mathbf { q } ) } & { = \Vert \mathbf { \Lambda } \, \mathbf { q } \Vert _ { 1 } , } \\ { g ( \mathbf { p } ) } & { = \iota _ { \{ \mathbf { p } \ge 0 \} } ( \mathbf { p } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 \quad } & { \mathrm { i f } ~ \mathbf { p } \ge 0 , } \\ { + \infty } & { \mathrm { e l s e } , } \end{array} \right. } \\ { h ( \mathbf { p } ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { m } e ^ { - \mathbf { p } _ { i } \mu } N _ { 0 } - e ^ { - \mathbf { z } _ { i } \mu } N _ { 0 } \big ( - \mathbf { p } _ { i } \mu + \log ( N _ { 0 } ) \big ) , } \\ { \mathbf { K } } & { = \nabla . } \end{array}
I _ { - } = \int _ { 0 } ^ { t _ { 0 } } \frac { 3 - 4 k ^ { 2 } + 4 k ^ { 2 } ( 2 k ^ { 2 } - 1 ) t ^ { 2 } } { \sqrt { ( 1 - t ^ { 2 } ) ( 1 - k ^ { 2 } t ^ { 2 } ) } } d t \geq \int _ { 0 } ^ { t _ { 0 } } \big [ 3 - 4 \hat { k } _ { 2 } ^ { 2 } \big ] d t = ( 3 - 4 \hat { k } _ { 2 } ^ { 2 } ) t _ { 0 } ( k ) \geq ( 3 - 4 \hat { k } _ { 2 } ^ { 2 } ) t _ { 0 } ( \hat { k } _ { 2 } ) \approx - 0 . 1 8 4
\begin{array} { r } { \sum _ { k _ { 1 } < k _ { 2 } < \ldots < k _ { n } } \sum _ { \nu } ( - ) ^ { | \nu | } L ( x _ { 1 } , k _ { \nu ^ { - 1 } 1 } ) L ( x _ { 2 } , k _ { \nu ^ { - 1 } 2 } ) \cdots L ( x _ { n } , k _ { \nu ^ { - 1 } n } ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } \\ { \operatorname* { d e t } \{ M ( k _ { i } , y _ { j } ) \} _ { i , j = 1 } ^ { n } ~ ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { | x | , | y | < 1 / 2 } \frac { W _ { 3 } ^ { n } } { Z _ { x , v n + y } ^ { n } } } & { \le \operatorname* { s u p } _ { \stackrel { | x | , | y | < 1 / 2 } { x ^ { \prime } , ( v n - y ^ { \prime } ) \in I } } \frac { p ( x ^ { \prime } ) p ( v n - y ^ { \prime } ) e ^ { - F _ { 0 } ( 0 ) } } { p ( x ^ { \prime } - x ) p ( v n + y - y ^ { \prime } ) e ^ { - F _ { 0 } ( x ) } } } \\ & { = e ^ { - F _ { 0 } ( 0 ) + \operatorname* { s u p } _ { | x | < 1 / 2 } F _ { 0 } ( x ) } \exp \Big ( 2 \operatorname* { s u p } _ { | x | < 1 / 2 , x ^ { \prime } \in I } [ V ( x ^ { \prime } - x ) - V ( x ^ { \prime } ) ] \Big ) } \\ & { \le e ^ { - F _ { 0 } ( 0 ) + \operatorname* { s u p } _ { | x | < 1 / 2 } F _ { 0 } ( x ) } \exp \Big ( 2 \operatorname* { s u p } _ { x \in I + ( - 1 / 2 , 1 / 2 ) } | V ^ { \prime } ( x ) | \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { H ^ { 2 } ( P _ { \theta _ { 0 } } , P _ { { \theta _ { 0 } } + h } ) } { h ^ { 2 } } } & { = \frac { 1 } { 2 } \int \frac { \big ( \sqrt { p _ { \theta _ { 0 } } ( \omega ) } - \sqrt { p _ { { \theta _ { 0 } } + h } ( \omega ) } \big ) ^ { 2 } } { h ^ { 2 } } \, d \nu ( \omega ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \int \frac { \big ( ( p _ { \theta _ { 0 } } ( \omega ) - p _ { { \theta _ { 0 } } + h } ( \omega ) ) / h \big ) ^ { 2 } } { \big ( \sqrt { p _ { \theta _ { 0 } } ( \omega ) } + \sqrt { p _ { { \theta _ { 0 } } + h } ( \omega ) } \big ) ^ { 2 } } \, d \nu ( \omega ) } \\ & { \rightarrow \frac { 1 } { 2 } \int \frac { \big ( \partial p _ { \theta _ { 0 } } ( \omega ) / \partial { \theta _ { 0 } } \big ) ^ { 2 } } { 4 p _ { \theta _ { 0 } } ( \omega ) ^ { 2 } } p _ { \theta _ { 0 } } ( \omega ) \, d \nu ( \omega ) } \\ & { = \frac { F ( { \theta _ { 0 } } ) } 8 . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \frac { \partial S _ { H J } [ \varphi ] } { \partial \xi _ { i } } } = - { \frac { \lambda _ { i } ^ { 2 } c _ { i } } { 2 \delta _ { i } } } - \sum _ { j = 1 } ^ { n } { \frac { \lambda _ { j } ^ { 2 } } { r _ { j } [ H _ { j } ] } } { \frac { \partial r _ { j } [ H _ { j } ] } { \partial \xi _ { i } } } - { \frac { c _ { i } } { 2 \delta _ { i } } } + \sum _ { j = 1 } ^ { n } { \frac { \lambda _ { j } ^ { 2 } } { r _ { j } [ H _ { j } ] } } { \frac { \partial r _ { j } [ H _ { j } ] } { \partial \xi _ { i } } } = - c _ { i } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { 1 0 1 } ( c _ { 1 } \otimes \cdots \otimes c _ { n } \otimes w _ { + } \otimes w _ { - } ) } & { = D _ { 1 0 1 } ^ { c } ( c _ { 1 } \otimes \cdots \otimes c _ { n } \otimes w _ { + } \otimes w _ { - } ) } \\ & { \quad + D _ { 1 0 1 } ^ { w } ( c _ { 1 } \otimes \cdots \otimes c _ { n } \otimes w _ { + } \otimes w _ { - } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mathcal { L } _ { X _ { 1 } } \nu ) _ { p } ( E _ { 1 } , \ldots , E _ { n } ) } & { = X _ { 1 } ( \nu ( E _ { 1 } , \ldots , E _ { n } ) ) ( p ) - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \nu _ { p } ( E _ { 1 } , \ldots , [ X _ { 1 } , E _ { i } ] , \ldots , E _ { n } ) } \\ & { = X _ { 2 } ( \nu ( E _ { 1 } , \ldots , E _ { n } ) ) ( p ) - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \nu _ { p } ( E _ { 1 } , \ldots , [ X _ { 2 } , E _ { i } ] , \ldots , E _ { n } ) } \\ & { = ( \mathcal { L } _ { X _ { 2 } } \nu ) _ { p } ( E _ { 1 } , \ldots , E _ { n } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { | \xi _ { 1 } - \xi _ { 2 } | ( | \xi _ { 1 } | ^ { \alpha - 1 } + | \xi _ { 2 } | ^ { \alpha - 1 } ) \le _ { \alpha , \nu , S } \left| \left( W ( \xi _ { 1 } ) - \frac { \pi } 6 \xi _ { 1 } \vec { D } ( \xi _ { 1 } ) \cdot \mathbb { A } ^ { - 1 } \overline { { \omega } } \right) - \left( W ( \xi _ { 2 } ) - \frac { \pi } 6 \xi _ { 2 } \vec { D } ( \xi _ { 2 } ) \cdot \mathbb { A } ^ { - 1 } \overline { { \omega } } \right) \right| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 E } & { = \frac { - r _ { 1 } r _ { 2 } r _ { s } + r _ { s } ^ { 2 } ( r _ { 1 } + r _ { 2 } ) } { r _ { 1 } r _ { 2 } ( r _ { 1 } + r _ { 2 } + r _ { s } ) - ( r _ { 1 } + r _ { 2 } ) ^ { 2 } r _ { s } } , } \\ { l ^ { 2 } } & { = \frac { r _ { s } r _ { 1 } ^ { 2 } r _ { 2 } ^ { 2 } } { r _ { 1 } r _ { 2 } ( r _ { 1 } + r _ { 2 } + r _ { s } ) - ( r _ { 1 } + r _ { 2 } ) ^ { 2 } r _ { s } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { m \underline { { W G } } _ { i k } } & { = m ( W G ) _ { i k } - m \mathbb { E } _ { \tilde { W } } \tilde { W } _ { i d } G _ { d d } \tilde { W } _ { d i } G _ { i k } } \\ & { = m ( W G ) _ { i k } - m \sum _ { d } S _ { i d } G _ { d d } G _ { i k } } \\ & { = m ( W G ) _ { i k } - m ( \mathrm { d i a g } ( S \mathrm { d i a g } ( G ) ) G ) _ { i k } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { M ( u ) = M ( u ^ { ( 0 ) } ) + M ^ { \prime } ( u ^ { ( 0 ) } ) u ^ { ( 1 ) } \varepsilon + \left( M ^ { \prime } ( u ^ { ( 0 ) } ) u ^ { ( 2 ) } + \frac { 1 } { 2 } M ^ { \prime \prime } \left( u ^ { ( 0 ) } \right) \left( u ^ { ( 1 ) } \right) ^ { 2 } \right) \varepsilon ^ { 2 } + \hdots , } \\ & { } & { g ( u ) = g ( u ^ { ( 0 ) } ) + g ^ { \prime } ( u ^ { ( 0 ) } ) u ^ { ( 1 ) } \varepsilon + \left( g ^ { \prime } ( u ^ { ( 0 ) } ) u ^ { ( 2 ) } + \frac { 1 } { 2 } g ^ { \prime \prime } ( u ^ { ( 0 ) } ) \left( u ^ { ( 1 ) } \right) ^ { 2 } \right) \varepsilon ^ { 2 } + \hdots , } \\ & { } & { q ^ { \prime } ( u ) = q ^ { \prime } ( u ^ { ( 0 ) } ) + q ^ { \prime \prime } ( u ^ { ( 0 ) } ) u ^ { ( 1 ) } \varepsilon + \left( q ^ { \prime \prime } ( u ^ { ( 0 ) } ) u ^ { ( 2 ) } + \frac { 1 } { 2 } q ^ { ( 3 ) } ( u ^ { ( 0 ) } ) \left( u ^ { ( 1 ) } \right) ^ { 2 } \right) \varepsilon ^ { 2 } + \hdots , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| { \bf v } \| ^ { 2 } } & { = { \bf v } ^ { \top } { \bf Q } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } { \bf C } ( z ) { \bf Q } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } { \bf v } + { \bf v } ^ { \top } { \bf Q } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } { \bf S } ( z ) { \bf Q } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } { \bf v } } \\ & { \geq { \bf y } ^ { \top } { \bf C } ( z ) { \bf y } + \| { \bf v } \| ^ { 2 } } \\ & { > \| { \bf v } \| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i } \nabla _ { i } ^ { 2 } \tau } & { = \sum _ { i } \sum _ { a } \nabla _ { i } ^ { 2 } u ( \boldsymbol { r } _ { i } , \boldsymbol { r } _ { a } ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } \sum _ { a } \nabla _ { i } ^ { 2 } u ( \boldsymbol { r } _ { i } , \boldsymbol { r } _ { a } ) } \\ & { \quad + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } \sum _ { a } \nabla _ { a } ^ { 2 } u ( \boldsymbol { r } _ { a } , \boldsymbol { r } _ { i } ) } \\ & { = \sum _ { i < j } \nabla _ { i } ^ { 2 } u ( \boldsymbol { r } _ { i } , \boldsymbol { r } _ { j } ) + \sum _ { i < j } \nabla _ { j } ^ { 2 } u ( \boldsymbol { r } _ { i } , \boldsymbol { r } _ { j } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { 2 } = \{ ( m _ { p } - 1 , 0 ) , ( 2 m _ { p } - 1 , p - 1 ) \} } & { \cup \{ m _ { p } \} \times ( \mathbb { F } _ { p } \setminus \{ p - 1 \} ) \cup \{ 2 m _ { p } - 2 \} \times ( \mathbb { F } _ { p } \setminus \{ 0 \} ) } \\ & { \cup \{ m _ { p } + 1 , \ldots , 2 m _ { p } - 3 \} \times \mathbb { F } _ { p } \subset \mathbb { F } _ { p } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot \left( q \nabla \frac { \delta C } { \delta \omega } \right. } & { + \left. q \nabla ^ { \perp } \frac { \delta C } { \delta D } + \nabla \frac { \delta C } { \delta \eta } + r \nabla \frac { \delta C } { \delta b } \right) = \nabla \cdot \Big ( q \nabla \Psi + \nabla \big ( \Phi - r \Phi ^ { \prime } - r q \Psi ^ { \prime } \big ) + r \nabla ( \Phi ^ { \prime } + q \Psi ^ { \prime } ) \Big ) } \\ & { \quad = \nabla \cdot \Big ( q \nabla \Psi - r \nabla ( q \Psi ^ { \prime } ) - q \Psi ^ { \prime } \nabla r + r \nabla ( q \Psi ^ { \prime } ) \Big ) } \\ & { \quad = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int _ { V _ { j } } ( x - x _ { j } ) ^ { 2 } d V = \frac { 1 } { 2 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } ( x _ { i } - x _ { j } ) ^ { 2 } V _ { j } , } & { } & { \int _ { V _ { j } } ( x - x _ { j } ) ( y - y _ { j } ) d V = \frac { 1 } { 2 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } ( x _ { i } - x _ { j } ) ( y _ { i } - y _ { j } ) V _ { j } , } \\ { \int _ { V _ { j } } ( y - y _ { j } ) ^ { 2 } d V = \frac { 1 } { 2 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } ( y _ { i } - y _ { j } ) ^ { 2 } V _ { j } , } & { } & { \int _ { V _ { j } } ( y - y _ { j } ) ( z - z _ { j } ) d V = \frac { 1 } { 2 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } ( y _ { i } - y _ { j } ) ( z _ { i } - z _ { j } ) V _ { j } , } \\ { \int _ { V _ { j } } ( z - z _ { j } ) ^ { 2 } d V = \frac { 1 } { 2 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } ( z _ { i } - z _ { j } ) ^ { 2 } V _ { j } , } & { } & { \int _ { V _ { j } } ( z - z _ { j } ) ( x - x _ { j } ) d V = \frac { 1 } { 2 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } ( z _ { i } - z _ { j } ) ( x _ { i } - x _ { j } ) V _ { j } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } & { X _ { 1 } : = \bigl \{ \rho e ^ { \frac { i \pi } { 4 } } \, \big | \, 0 \leq \rho < \infty \bigr \} , } & & { X _ { 2 } : = \bigl \{ \rho e ^ { \frac { 3 i \pi } { 4 } } \, \big | \, 0 \leq \rho < \infty \bigr \} , } & & { } \\ & { X _ { 3 } : = \bigl \{ \rho e ^ { - \frac { 3 i \pi } { 4 } } \, \big | \, 0 \leq \rho < \infty \bigr \} , } & & { X _ { 4 } : = \bigl \{ \rho e ^ { - \frac { i \pi } { 4 } } \, \big | \, 0 \leq \rho < \infty \bigr \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \mathbb { C } _ { n _ { 1 } , m _ { 1 } } , \mathbb { C } _ { b _ { 1 } , m _ { ( 1 ) } } ^ { ( I _ { 1 } ) } , \ldots , \mathbb { C } _ { b _ { 1 } , m _ { ( 1 ) } } ^ { ( I _ { H } ) } \right) } & { \rightsquigarrow \left( \mathbb { C } , \mathbb { C } ^ { ( 1 ) } , \ldots , \mathbb { C } ^ { ( H ) } \right) , } \\ { \left( \mathbb { D } _ { n _ { 2 } , m _ { 2 } } , \mathbb { D } _ { b _ { 2 } , m _ { ( 2 ) } } ^ { ( I _ { 1 } ) } , \ldots , \mathbb { D } _ { b _ { 2 } , m _ { ( 2 ) } } ^ { ( I _ { H } ) } \right) } & { \rightsquigarrow \left( \mathbb { D } , \mathbb { D } ^ { ( 1 ) } , \ldots , \mathbb { D } ^ { ( H ) } \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \widehat { \beta } } } & { = { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - h ) ( y _ { i } - k ) } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - h ) ^ { 2 } } } = { \frac { \overline { { ( x - h ) ( y - k ) } } } { \overline { { ( x - h ) ^ { 2 } } } } } } \\ & { = { \frac { { \overline { { x y } } } - k { \bar { x } } - h { \bar { y } } + h k } { { \overline { { x ^ { 2 } } } } - 2 h { \bar { x } } + h ^ { 2 } } } } \\ & { = { \frac { { \overline { { x y } } } - { \bar { x } } { \bar { y } } + ( { \bar { x } } - h ) ( { \bar { y } } - k ) } { { \overline { { x ^ { 2 } } } } - { \bar { x } } ^ { 2 } + ( { \bar { x } } - h ) ^ { 2 } } } } \\ & { = { \frac { \operatorname { C o v } ( x , y ) + ( { \bar { x } } - h ) ( { \bar { y } } - k ) } { \operatorname { V a r } ( x ) + ( { \bar { x } } - h ) ^ { 2 } } } , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathrm { P r o b } ( { \boldsymbol w } \mathrm { ~ i s ~ t h e ~ l u c k y ~ n e u r o n } ) = } & { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { 1 } { 2 \pi } \cdot \bigg ( \frac { 2 \pi - \theta _ { 1 } - \Delta \theta } { 2 \pi } \bigg ) ^ { L - 1 } d \theta _ { 1 } } \\ { \simeq } & { \frac { 1 } { L } \cdot \bigg ( \frac { 2 \pi - 2 \Delta \theta } { 2 \pi } \bigg ) ^ { L } } \\ { \simeq } & { \frac { 1 } { L } \cdot \bigg ( 1 - \frac { L \sigma } { \pi } \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \phi _ { m ^ { - 1 } } ^ { M } ( m ^ { \prime } ) \right) ( v ) } & { = \left( \Phi _ { m ^ { - 1 } } ^ { M } ( f _ { v } ) \right) ( m ^ { \prime } ) } \\ & { = \widetilde { \rho _ { M } } ( m ^ { - 1 } ) \cdot f _ { v } ( m m ^ { \prime } ) } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \widetilde { \rho _ { M } } ( m ^ { \prime } ) \cdot v } & { ( m ^ { \prime } \in m ^ { - 1 } K _ { M } ) , } \\ { 0 } & { ( \mathrm { o t h e r w i s e } ) } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { \sum _ { I , J , K , Q } f _ { l } ( A , A ^ { \dagger } ; \vec { i } , \vec { j } , \vec { k } , \vec { q } ; \sigma _ { 1 } ) \prod _ { \eta = 1 } ^ { l } \frac { 1 } { \Sigma [ 0 ] } \int [ d X _ { \eta } ] ( Z _ { 1 } ) _ { k _ { 1 } } ^ { i _ { 1 } } \dots ( Z _ { 1 } ) _ { k _ { m _ { 1 } } } ^ { i _ { m _ { 1 } } } \dots ( Z _ { l } ) _ { k _ { \mathbf { m } - m _ { l } } } ^ { i _ { \mathbf { m } - m _ { l } } } } \\ { } & { \times ( Z _ { l } ) _ { k _ { \mathbf { m } } } ^ { i _ { \mathbf { m } } } \dots ( Z _ { 1 } ^ { \dagger } ) _ { j _ { \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } ( 1 ) } } ^ { q _ { 1 } } \dots ( Z _ { 1 } ^ { \dagger } ) _ { j _ { \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } ( m _ { 1 } ) } } ^ { q _ { m _ { 1 } } } \dots ( Z _ { l } ^ { \dagger } ) _ { j _ { \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } ( \mathbf { m } - m _ { l } ) } } ^ { q _ { \mathbf { m } - m _ { l } } } \dots ( Z _ { l } ^ { \dagger } ) _ { j _ { \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } ( \mathbf { m } ) } } ^ { q _ { \mathbf { m } } } e ^ { - \mathrm { T r } ( X _ { \eta } X _ { \eta } ^ { \dagger } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { f f } ^ { h o l e s } r } & { = P _ { f f } ^ { h o l e s } \left( b _ { f f } - A _ { f f } u ^ { ( 0 ) } \right) } \\ & { = P _ { f f } ^ { h o l e s } \left( b _ { f f } - A _ { f f } \left( \tilde { u } _ { f f } + P _ { h o l e s } ^ { f f } v \right) \right) } \\ & { = P _ { f f } ^ { h o l e s } \left( b _ { f f } - A _ { f f } \left( \tilde { u } _ { f f } + P _ { h o l e s } ^ { f f } \left( P _ { f f } ^ { h o l e s } A _ { f f } P _ { h o l e s } ^ { f f } \right) ^ { - 1 } \left( P _ { f f } ^ { h o l e s } b _ { f f } + c \right) \right) \right) } \\ & { = P _ { f f } ^ { h o l e s } b _ { f f } - P _ { f f } ^ { h o l e s } A _ { f f } \tilde { u } _ { f f } - P _ { f f } ^ { h o l e s } A _ { f f } P _ { h o l e s } ^ { f f } \left( P _ { f f } ^ { h o l e s } A _ { f f } P _ { h o l e s } ^ { f f } \right) ^ { - 1 } \left( P _ { f f } ^ { h o l e s } b _ { f f } + c \right) } \\ & { = P _ { f f } ^ { h o l e s } b _ { f f } - P _ { f f } ^ { h o l e s } A _ { f f } \tilde { u } _ { f f } - P _ { f f } ^ { h o l e s } b _ { f f } - c } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } \operatorname { R e } \left( V _ { \mathrm { c } } \cdot e ^ { i \omega t } \right) } & { = \operatorname { R e } \left( { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } { \mathord { \left( V _ { \mathrm { c } } \cdot e ^ { i \omega t } \right) } } \right) = \operatorname { R e } \left( i \omega V _ { \mathrm { c } } \cdot e ^ { i \omega t } \right) } \\ { { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } \operatorname { I m } \left( V _ { \mathrm { c } } \cdot e ^ { i \omega t } \right) } & { = \operatorname { I m } \left( { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } { \mathord { \left( V _ { \mathrm { c } } \cdot e ^ { i \omega t } \right) } } \right) = \operatorname { I m } \left( i \omega V _ { \mathrm { c } } \cdot e ^ { i \omega t } \right) . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \nu _ { { X _ { s } } , 0 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } } & { = } & { - \alpha _ { X _ { s } } } \\ { ( t _ { X _ { s } ^ { ( 1 ) } , r _ { s } - 1 } - t _ { X _ { s } ^ { ( 2 ) } , r _ { s } - 1 } ) \, \nu _ { { X _ { s } } , r _ { s } - k } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } } & { = } & { - \frac { \alpha _ { X _ { s } ^ { ( 1 ) } , k } - \alpha _ { X _ { s } ^ { ( 2 ) } , k } } { k } - \alpha _ { X _ { s } } ( t _ { X _ { s } ^ { ( 1 ) } , k - 1 } - t _ { X _ { s } ^ { ( 2 ) } , k - 1 } ) } \\ & { } & { - \sum _ { i = 0 } ^ { r _ { s } - 1 - k } ( t _ { X _ { s } ^ { ( 1 ) } , k + i - 1 } - t _ { X _ { s } ^ { ( 2 ) } , k + i - 1 } ) \nu _ { { X _ { s } } , i } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } } \\ & { = } & { - \frac { \alpha _ { X _ { s } ^ { ( 1 ) } , k } - \alpha _ { X _ { s } ^ { ( 2 ) } , k } } { k } - \sum _ { i = 1 } ^ { r _ { s } - 1 - k } ( t _ { X _ { s } ^ { ( 1 ) } , k + i - 1 } - t _ { X _ { s } ^ { ( 2 ) } , k + i - 1 } ) \nu _ { { X _ { s } } , i } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } } \\ & { } & \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { \nu _ { 0 } ^ { \prime } \in E ( \nu _ { 0 } ) } \frac { 1 } { K - 1 } \cdot \frac { d ( \delta , 1 - \delta ) } { \mathrm { K L } ( \nu _ { 0 } , \nu _ { 0 } ^ { \prime } ) } = \frac { d ( \delta , 1 - \delta ) } { K - 1 } \cdot \frac { ( 1 / 2 - \underline { { a } } ) ^ { 2 } } { [ \mu _ { 0 } ( 0 - \mu _ { 0 } ) - \bar { \sigma } ^ { 2 } / K ] ^ { 2 } } , } \\ & { \operatorname* { s u p } _ { \nu _ { 1 } ^ { \prime } \in E ( \nu _ { 1 } ) } \frac { 1 } { K - 1 } \cdot \frac { d ( \delta , 1 - \delta ) } { \mathrm { K L } ( \nu _ { 1 } , \nu _ { 1 } ^ { \prime } ) } = \frac { d ( \delta , 1 - \delta ) } { K - 1 } \cdot \frac { ( 1 / 2 - \underline { { a } } ) ^ { 2 } } { [ \mu _ { 1 } ( 1 - \mu _ { 1 } ) - \bar { \sigma } ^ { 2 } / K ] ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f ( k , t ) } & { = } & { A _ { c } \left\{ \exp \left[ \beta _ { c } \left( \frac { \hbar ^ { 2 } k ^ { 2 } } { 2 m } - \mu _ { c } \right) \right] + 1 \right\} ^ { - 1 } } \\ & { + } & { A _ { h } \left\{ \exp \left[ \beta _ { h } \left( \frac { \hbar ^ { 2 } k ^ { 2 } } { 2 m } - \mu _ { h } \right) \right] + 1 \right\} ^ { - 1 } } \\ & { + } & { A _ { b } \frac { n \Lambda ^ { 3 } } { 2 } \exp \left( - \beta _ { b } \frac { ( \hbar k - p _ { b } ) ^ { 2 } } { 2 m } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { P } \big ( | \widetilde { \mathcal V } _ { \ell + 1 } | \ge s _ { k } \mid | \widetilde { \mathcal V } _ { \ell } | \ge 4 s _ { k } , { \mathcal A } _ { \mathrm { p o i } } \big ) \ge \mathbb { P } \big ( \, { \mathrm { B i n } } ( 4 s _ { k } , 1 / 2 \, ) \ge s _ { k } \big ) \ge 1 - \exp ( - s _ { k } / 4 ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { f ( p | \mathbf { X } , \alpha , \beta ) } & { \propto \left( \prod _ { i = 1 } ^ { n _ { 1 } } p ^ { x _ { i } } ( 1 - p ) ^ { 1 - x _ { i } } \right) p ^ { \alpha - 1 } ( 1 - p ) ^ { \beta - 1 } } \\ & { = C p ^ { \sum x _ { i } + \alpha - 1 } ( 1 - p ) ^ { n _ { 1 } - \sum x _ { i } + \beta - 1 } } \\ & { = C p ^ { y _ { 1 } + \alpha - 1 } ( 1 - p ) ^ { n _ { 1 } - y _ { 1 } + \beta - 1 } } \end{array} }
Z _ { t } = \left( \begin{array} { l l } { i \sqrt { \tilde { \lambda } _ { t } } } & { - i \sqrt { \tilde { \lambda } _ { t } } } \\ { 1 } & { 1 } \end{array} \right) , \quad Z _ { t } ^ { - 1 } = \frac { 1 } { 2 i \sqrt { \tilde { \lambda } _ { t } } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { i \sqrt { \tilde { \lambda } _ { t } } } \\ { - 1 } & { i \sqrt { \tilde { \lambda } _ { t } } } \end{array} \right) , t \geq 2
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \bar { q } _ { t } - \bar { p } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } & { \leq ( 1 - c _ { u } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \bar { q } _ { t - 1 } - \bar { p } _ { t - 1 } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] + \frac { 2 ( c _ { u } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { b _ { x } M } \sigma ^ { 2 } } \\ & { \qquad + \frac { 4 \tilde { L } _ { 2 } ^ { 2 } } { b _ { x } M ^ { 2 } } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| x _ { t } ^ { ( m ) } - x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + \bigg \| y _ { t } ^ { ( m ) } - y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \qquad + \frac { 8 L ^ { 2 } } { b _ { x } M ^ { 2 } } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| u _ { t } ^ { ( m ) } - u _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \end{array}
\mathcal { P } _ { W \hat { W } } ( \ell ( W , \hat { W } ) ) \geq \operatorname* { s u p } _ { \rho > 0 } \rho \left( 1 - L _ { W } ( \hat { W } , \rho ) \right) \cdot \varphi ^ { - 1 } \left( \frac { \eta _ { \varphi } ( \mathcal { P } _ { \hat { W } | Z ^ { n } } ) \eta _ { \varphi } ( \mathcal { P } _ { X ^ { n } } , K ^ { \otimes n } ) I _ { \varphi } ( W , X ^ { n } ) + L _ { W } ( \rho ) \cdot \varphi ^ { \star } ( 0 ) } { 1 - L _ { W } ( \rho ) } \right) .
{ \sqrt { n } } \left( { \left( \begin{array} { l } { { \widehat { \theta } } _ { n } } \\ { { \widehat { \mu } } _ { n } } \\ { { \widehat { \sigma } } _ { n } ^ { 2 } } \end{array} \right) } - { \left( \begin{array} { l } { \theta } \\ { \mu } \\ { \sigma ^ { 2 } } \end{array} \right) } \right) \xrightarrow { d } \ { \mathcal { N } } \left( { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) } , { \left( \begin{array} { l l l } { { \frac { e ^ { 2 t \theta } - 1 } { t ^ { 2 } } } } & { 0 } & { { \frac { \sigma ^ { 2 } ( e ^ { 2 t \theta } - 1 - 2 t \theta ) } { t ^ { 2 } \theta } } } \\ { 0 } & { { \frac { \sigma ^ { 2 } \left( e ^ { t \theta } + 1 \right) } { 2 \left( e ^ { t \theta } - 1 \right) \theta } } } & { 0 } \\ { { \frac { \sigma ^ { 2 } ( e ^ { 2 t \theta } - 1 - 2 t \theta ) } { t ^ { 2 } \theta } } } & { 0 } & { { \frac { \sigma ^ { 4 } \left[ \left( e ^ { 2 t \theta } - 1 \right) ^ { 2 } + 2 t ^ { 2 } \theta ^ { 2 } \left( e ^ { 2 t \theta } + 1 \right) + 4 t \theta \left( e ^ { 2 t \theta } - 1 \right) \right] } { t ^ { 2 } \left( e ^ { 2 t \theta } - 1 \right) \theta ^ { 2 } } } } \end{array} \right) } \right)
\begin{array} { r l } { I ( X ; Y ) } & { = - \int _ { \delta } ^ { 1 - \delta } p ( y ) \log ( p ( y ) ) ~ d y - 2 \int _ { 0 } ^ { \delta } p ( y ) \log ( p ( y ) ) ~ d y } \\ & { + \iint _ { x , y \in [ \delta , 1 - \delta ] } p ( x ) p ( y | x ) \log ( p ( y | x ) ) + \iint _ { x , y \notin [ \delta , 1 - \delta ] } p ( x ) p ( y | x ) \log ( p ( y | x ) ) } \\ & { = ( 1 + \mathcal { O } ( \frac { 1 } { \sqrt { \gamma } } ) ) \cdot \frac { 1 } { 2 } \log \left( \frac { \gamma } { 4 \pi e } \right) ~ + ~ \mathcal { O } ( \delta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { h ^ { 2 } ( p _ { G _ { 1 , n } } , p _ { G _ { 2 , n } } ) } & { \leq } & { \frac { 1 } { \lambda _ { n } } \int \frac { ( p _ { G _ { 1 , n } } ( x ) - p _ { G _ { 2 , n } } ( x ) ) ^ { 2 } } { f ( x | \mu _ { 2 , n } , \Sigma _ { 2 , n } ) } d x } \\ & { = } & { \lambda _ { n } \int \frac { ( f ( x | \mu _ { 1 , n } , \Sigma _ { 1 , n } ) - f ( x | \mu _ { 2 , n } , \Sigma _ { 2 , n } ) ) ^ { 2 } } { f ( x | \mu _ { 2 , n } , \Sigma _ { 2 , n } ) } d x } \end{array}
\begin{array} { r l } & { = - m _ { 1 } \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } \{ v _ { j } ( \Phi _ { i j } * _ { v } F _ { + } ) \partial _ { v _ { i } } F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } - 2 , 0 ) } + \partial _ { v _ { j } } ( v _ { i } ( \Phi _ { i j } * _ { v } F _ { + } ) F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } - 2 , 0 ) } ) } \\ & { \quad - ( m _ { 1 } - 2 ) v _ { i } v _ { j } ( \Phi _ { i j } * _ { v } F _ { + } ) F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } - 4 , 0 ) } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { r _ { 1 } ( s _ { 0 } ) + R _ { 1 } [ a l l ] [ 1 ] } & { \le r _ { 1 } ( d ) + 2 1 c ^ { 2 } ( c _ { 1 } + \tilde { c } _ { 2 } ) + ( 2 1 c ^ { 2 } + \frac { c ^ { 3 } } \beta ( c \eta ) ^ { \gamma } ) c _ { 2 } } \\ & { \quad + N + c ^ { 2 } ( c \eta ) ^ { \gamma } N _ { j } < c _ { 1 } , } \\ { r _ { 2 } ( s _ { 0 } ) + R _ { 2 } [ a l l ] [ 1 ] } & { \le r _ { 2 } ( d ) + 2 \frac c \beta c _ { 2 } + N + N _ { j } < c _ { 2 } , } \\ { R _ { 2 } [ a l l ] [ ( \frac s \eta ) ^ { \gamma } ] } & { < 2 0 c _ { 1 } + 2 c ^ { 2 } \tilde { c } _ { 2 } < \tilde { c } _ { 2 } . } \end{array}
C _ { [ J ] } \sum _ { J \in [ J ] } ( - 1 ) ^ { \# J } = C _ { [ J ] } ( - 1 ) ^ { \# \mathbf { J } } \left( 1 + \sum _ { j = 1 } ^ { k } \sum _ { \substack { j \leq i _ { 1 } + \cdots + i _ { j } \leq k \, i _ { l } \geq 1 } } ( - 1 ) ^ { j } { \binom { k + 1 } { i _ { 1 } \cdots i _ { j } } } \right) = C _ { [ J ] } ( - 1 ) ^ { \# \mathbf { J } + k } ,
\begin{array} { r l } & { \tilde { \wp } _ { i } = p _ { M _ { \cal A } ^ { ( n ) } Z ^ { n } K _ { 1 } ^ { n } K _ { 2 } ^ { n } } \biggl \{ ( M _ { \cal A } ^ { ( n ) } , Z ^ { n } , K _ { 1 } ^ { n } , K _ { 2 } ^ { n } ) \in { \cal T } _ { i } , } \\ & { \qquad \quad \displaystyle \eta \geq \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } \log \frac { p _ { K _ { i , t } | V _ { i , t } } ( K _ { i , t } | V _ { i , t } ) } { p _ { K _ { i , t } | U _ { i , t } } ( K _ { i , t } | U _ { i , t } ) } , } \\ & { \qquad \quad \displaystyle \eta \geq \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } \log \frac { Q _ { Z _ { t } } ( Z _ { t } ) } { p _ { Z _ { t } } ( Z _ { t } ) } , } \\ & { \displaystyle R _ { \cal A } + \eta \geq \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } \log \frac { \tilde { Q } _ { Z _ { t } | U _ { t } } ( Z _ { t } | U _ { t } ) } { p _ { Z _ { t } } ( Z _ { t } ) } , } \\ & { \qquad \quad \displaystyle \eta \geq \left. \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } \log \frac { \mathrm { e } ^ { - R _ { i } } } { p _ { K _ { i , t } | V _ { i , t } } ( K _ { i , t } | V _ { i , t } ) } \right\} } \\ & { \leq p _ { M _ { \cal A } ^ { ( n ) } , Z ^ { n } , K _ { 1 } ^ { n } , K _ { 2 } ^ { n } } \left\{ ( M _ { \cal A } ^ { ( n ) } , Z ^ { n } , K _ { 1 } ^ { n } , K _ { 2 } ^ { n } ) \in { \cal T } _ { i } , \right. } \\ & { \quad \eta \geq \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } \log \frac { Q _ { Z _ { t } } ( X _ { t } ) } { p _ { Z _ { t } } ( Z _ { t } ) } , } \\ & { \quad R _ { \cal A } + \eta \geq \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } \log \frac { \tilde { Q } _ { Z _ { t } | U _ { t } } ( Z _ { t } | U _ { t } ) } { p _ { Z _ { t } } ( Z _ { t } ) } , } \\ & { \quad 2 \eta \geq \left. \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } \log \frac { \mathrm { e } ^ { - R _ { i } } } { p _ { K _ { i , t } | U _ { i , t } } ( K _ { i , t } | U _ { i , t } ) } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r } { v _ { i } ^ { \ell } \left( R _ { i 1 } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } - R _ { i 1 } ^ { \ell } \right) + v _ { i } ^ { \ell + 1 } \left( R _ { i 1 } ^ { \ell + 1 } - R _ { i 1 } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } \right) - B _ { i } ^ { \ell } \left( \left( v _ { i } B _ { 1 } \right) ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } - \left( v _ { i } B _ { 1 } \right) ^ { \ell } \right) } \\ { + B _ { i } ^ { \ell + 1 } \left( \left( v _ { i } B _ { 1 } \right) ^ { \ell + 1 } - \left( v _ { i } B _ { 1 } \right) ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } \right) + \frac { 1 } { 2 } B _ { i } ^ { \ell } v _ { i } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } \left( B _ { 1 } ^ { \ell + 1 } - B _ { 1 } ^ { \ell } \right) } \\ { + \frac { 1 } { 2 } B _ { i } ^ { \ell + 1 } v _ { i } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } \left( B _ { 1 } ^ { \ell + 1 } - B _ { 1 } ^ { \ell } \right) = \left( v _ { i } R _ { i 1 } \right) ^ { \ell + 1 } - \left( v _ { i } R _ { i 1 } \right) ^ { \ell } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { 1 , 2 } } & { = 2 \mathbb { E } \bigg \| \nabla _ { x } f ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ; \mathcal { B } _ { f , 1 } ) - \nabla _ { x y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ; \mathcal { B } _ { g , 1 } ) u _ { t } ^ { ( m ) } } \\ & { \qquad - \bigg ( \nabla _ { x } f ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } ; \mathcal { B } _ { f , 1 } ) - \nabla _ { x y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } ; \mathcal { B } _ { g , 1 } ) u _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \bigg ) \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \leq 4 \mathbb { E } \bigg \| \nabla _ { x } f ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ; \mathcal { B } _ { f , 1 } ) - \nabla _ { x } f ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } ; \mathcal { B } _ { f , 1 } ) \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad + 4 \mathbb { E } \bigg \| \nabla _ { x y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ; \mathcal { B } _ { g , 1 } ) u _ { t } ^ { ( m ) } - \nabla _ { x y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } ; \mathcal { B } _ { g , 1 } ) u _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \leq 4 \bigg ( L ^ { 2 } + \frac { 2 L _ { x y } ^ { 2 } C _ { f } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \bigg ) \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| x _ { t } ^ { ( m ) } - x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + \bigg \| y _ { t } ^ { ( m ) } - y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] + 8 L ^ { 2 } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| u _ { t } ^ { ( m ) } - u _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { u } ( x _ { 0 } , r ) } & { = | \operatorname* { d e t } A ( x _ { 0 } ) | ^ { - \frac 1 2 } \int _ { E ( x _ { 0 } , r ) \cap { \Omega } } \mu ( x _ { 0 } , y ) u ( y ) ^ { 2 } d y } \\ & { \le ( 1 + C \gamma \theta ) ^ { 2 } | \operatorname* { d e t } A ( x _ { 1 } ) | ^ { - \frac 1 2 } \int _ { E ( x _ { 1 } , r + C \theta ) \cap { \Omega } } \mu ( x _ { 1 } , y ) u ( y ) ^ { 2 } d y } \\ & { \le ( 1 + C \gamma \theta ) J _ { u } ( x _ { 1 } , r + C \theta ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { c c ^ { \prime } \cdot T ^ { k } \left( ( q _ { 1 } ^ { \prime } - 1 ) T + ( q _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { 1 / 2 } ( ( q _ { 0 } ^ { \prime } ) ^ { 1 / 2 } - ( q _ { 0 } ^ { \prime } ) ^ { - 1 / 2 } ) \right) + c b ^ { \prime } ( T - T ^ { - 1 } ) = c ( q _ { 1 } - 1 ) T + q _ { 1 } ^ { 1 / 2 } ( q _ { 0 } ^ { 1 / 2 } - q _ { 0 } ^ { - 1 / 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f _ { k , 2 } = \tau _ { 2 } \log _ { 2 } \left( \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { K } \mathrm { t r } \left( \mathbf a _ { i , k , 2 } \mathbf a _ { i , k , 2 } ^ { H } \mathbf W _ { i , 2 } \right) } { \tau _ { 2 } } + \frac { e _ { k } \hat { \sigma } _ { k } ^ { 2 } } { \tau _ { 2 } } + \tilde { \sigma } _ { k } ^ { 2 } \right) , } \\ & { g _ { k , 2 } } \\ & { = \tau _ { 2 } \log _ { 2 } \left( \frac { \sum _ { i = 1 , i \neq k } ^ { K } \mathrm { t r } \left( \mathbf a _ { i , k , 2 } \mathbf a _ { i , k , 2 } ^ { H } \mathbf W _ { i , 2 } \right) } { \tau _ { 2 } } + \frac { e _ { k } \hat { \sigma } _ { k } ^ { 2 } } { \tau _ { 2 } } + \tilde { \sigma } _ { k } ^ { 2 } \right) , } \\ & { f _ { k , 3 } = \tau _ { 3 } \log _ { 2 } \left( \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { K } \mathrm { t r } \left( \mathbf a _ { i , k , 3 } \mathbf a _ { i , k , 3 } ^ { H } \mathbf W _ { i , 3 } \right) } { \tau _ { 3 } } + \sigma _ { k } ^ { 2 } \right) , } \\ & { g _ { k , 3 } = \tau _ { 3 } \log _ { 2 } \left( \frac { \sum _ { i = 1 , i \neq k } ^ { K } \mathrm { t r } \left( \mathbf a _ { i , k , 3 } \mathbf a _ { i , k , 3 } ^ { H } \mathbf W _ { i , 3 } \right) } { \tau _ { 3 } } + \sigma _ { k } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { \theta _ { 0 } \in \Theta _ { 0 } ^ { \delta } } \widehat { R } _ { S } ( \theta _ { 0 } ) - \operatorname* { i n f } _ { \vartheta \in \Theta } \widehat { R } _ { S } ( \vartheta ) } \\ & { \leq \eta + \zeta + | \widehat { R } _ { S } ( \theta _ { \eta } ) - R ( \theta _ { \eta } ) | + | R ( \theta _ { \zeta } ) - \widehat { R } _ { S } ( \theta _ { \zeta } ) | + \operatorname* { i n f } _ { \vartheta \in \Theta } R ( \vartheta ) + \delta - R ( \theta _ { \zeta } ) } \\ & { \leq \eta + \zeta + | \widehat { R } _ { S } ( \theta _ { \eta } ) - R ( \theta _ { \eta } ) | + | R ( \theta _ { \zeta } ) - \widehat { R } _ { S } ( \theta _ { \zeta } ) | + \delta . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { n = 1 , \qquad } & { } & { \mathrm { D e t } ( U ) = U \widetilde { U } = U \overline { { U } } , } \\ { n = 2 , \qquad } & { } & { \mathrm { D e t } ( U ) = U \widehat { \widetilde { U } } = U \overline { { U } } , } \\ { n = 3 , \qquad } & { } & { \mathrm { D e t } ( U ) = U \widehat { U } \widetilde { U } \widehat { \widetilde { U } } = \frac { 1 } { 3 } U U \overline { { U U } } + \frac { 2 } { 3 } U \overline { { \overline { { U } } \, \overline { { \overline { { U } } \, \overline { { U } } } } } } = U \widetilde { U } \overline { { U \widetilde { U } } } , } \\ { n = 4 , \qquad } & { } & { \mathrm { D e t } ( U ) = U \widehat { \widetilde { U } } ( \widehat { U } \widetilde { U } ) ^ { \bigtriangleup } = \frac { 1 } { 3 } U U \overline { { U U } } + \frac { 2 } { 3 } U \overline { { \overline { { U } } \, \overline { { \overline { { U } } \, \overline { { U } } } } } } = U \widetilde { U } \overline { { U \widetilde { U } } } , } \\ { n = 5 , \qquad } & { } & { \mathrm { D e t } ( U ) = U \widehat { \widetilde { U } } \widehat { U } \widetilde { U } ( \widehat { U } \widetilde { U } U \widehat { \widetilde { U } } ) ^ { \bigtriangleup } = \frac { 1 } { 3 } H H \overline { { H H } } + \frac { 2 } { 3 } H \overline { { \overline { { H } } \, \overline { { \overline { { H } } \, \overline { { H } } } } } } } \\ & { } & { = J \widehat { J } \overline { { J \widehat { J } } } , } \\ { n = 6 , \qquad } & { } & { \mathrm { D e t } ( U ) = \frac { 1 } { 3 } H \widehat { H } ( \widehat { H } H ) ^ { \bigtriangleup } + \frac { 2 } { 3 } H ( \widehat { H } ^ { \bigtriangleup } ( \widehat { H } ^ { \bigtriangleup } H ^ { \bigtriangleup } ) ^ { \bigtriangleup } ) ^ { \bigtriangleup } } \\ & { } & { = \frac { 1 } { 3 } H H \overline { { H H } } + \frac { 2 } { 3 } H \overline { { \overline { { H } } \, \overline { { \overline { { H } } \, \overline { { H } } } } } } , } \end{array}
E _ { m } ^ { \textrm { r e q } } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { E _ { m } ^ { a _ { c , m } ^ { 1 } ( t ) } + \sum _ { i = 1 } ^ { T _ { m } ^ { \mathrm { r e q } } ( t ) - 1 } E _ { m } ^ { v _ { \operatorname* { m a x } } ^ { s } , 0 } , } & { \textrm { i f } \triangle \varphi _ { m } ^ { \textrm { s t o p } } ( t ) \leq \triangle \varphi _ { \operatorname* { m a x } } \textrm { o r } v _ { m } ^ { s } ( t ) = 0 , } \\ { E _ { m } ^ { a _ { c , m } ^ { 2 } ( t ) } + E _ { m } ^ { 0 , a _ { c , m } ^ { 3 } } + \sum _ { i = 1 } ^ { T _ { m } ^ { \mathrm { r e q } } ( t ) - 2 } E _ { m } ^ { v _ { \operatorname* { m a x } } ^ { s } , 0 } , } & { \textrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { D _ { A } : = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { d _ { A } ^ { * } } \\ { d _ { A } } & { * \left( * \varphi \wedge d _ { A } \cdot \right) } \end{array} \right) : \Omega _ { \mu - 1 } ^ { 0 } \left( \mathrm { a d } P \right) \oplus \Omega _ { \mu - 1 } ^ { 1 } \left( \mathrm { a d } P \right) \rightarrow \Omega _ { \mu - 2 } ^ { 0 } \left( \mathrm { a d } P \right) \oplus \Omega _ { \mu - 2 } ^ { 1 } \left( \mathrm { a d } P \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { i G _ { - } } & { { \bf \Sigma } _ { W } \left( \mu _ { 2 } ( \Psi _ { 1 } ^ { W } , \Phi _ { 2 } ) - \Psi _ { { \gamma } J ^ { - 1 } \pi _ { W } ( \Phi _ { 1 } \Phi _ { 2 } ) } ^ { W } \right) \Big | _ { \psi = r = 0 } } \\ & { = { \bf G } _ { - } { \bf \Sigma } _ { W } \left[ \left( \mu _ { 2 } ( \Psi _ { 1 } ^ { W } , \Phi _ { 2 } ) - \Psi _ { { \gamma } J ^ { - 1 } \pi _ { W } ( \Phi _ { 1 } \Phi _ { 2 } ) } ^ { W } \right) \Big | _ { \psi _ { R } = r = 0 } \right] \Big | _ { \psi _ { \Phi } = 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { \kappa } _ { 3 } ( f ) = \left[ \frac { A - c } { 2 B } \left| 1 + \frac { c } { B } \right| ^ { 3 } + \frac { A + c } { 2 B } \left| 1 - \frac { c } { B } \right| ^ { 3 } + \left( 1 - \frac { A } { B } \right) \left| \frac { c } { B } \right| ^ { 3 } \right] \left| \log \left( \frac { A + c } { A - c } \right) \right| ^ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \gamma _ { i i } = - \frac { 1 } { 2 } b _ { i i } \frac { K _ { p q k l } } { A ^ { 3 / 2 } } \frac { K _ { p q k l } } { A ^ { 3 / 2 } } - b _ { p q } \frac { K _ { p q k l } } { A ^ { 3 / 2 } } \frac { K _ { i i k l } } { A ^ { 3 / 2 } } + \frac { 3 } { 2 } b _ { i i } b _ { p q } \frac { K _ { p q k l } } { A ^ { 3 / 2 } } b _ { m n } \frac { K _ { m n k l } } { A ^ { 3 / 2 } } = 0 } \\ & { D _ { i i k l } = \frac { K _ { i i k l } } { A ^ { 3 / 2 } } - b _ { i i } b _ { p q } \frac { K _ { p q k l } } { A ^ { 3 / 2 } } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { \beta } \tau _ { \beta } ^ { i j } ( x _ { \beta } ) = \operatorname* { l i m } _ { \beta } \sum _ { k = 1 } ^ { \dim ( \pi ) } \int _ { U _ { m _ { \beta } } } \pi _ { \beta } ^ { k j } ( y ) \, \mathrm { d } \lambda _ { U _ { m _ { \beta } } } ( y ) \cdot \pi _ { \alpha } ^ { i k } ( x _ { \beta } ) = \sum _ { k = 1 } ^ { \dim ( \pi ) } \delta _ { k j } \pi ^ { i k } ( x ) = \pi ^ { i j } ( x ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { m _ { 2 } } & { ( m _ { 2 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) , x _ { 3 } ) - m _ { 2 } ( x _ { 1 } , m _ { 2 } ( x _ { 2 } , x _ { 3 } ) ) = } \\ & { d m _ { 3 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) + m _ { 3 } ( d x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) + m _ { 3 } ( x _ { 1 } , d x _ { 2 } , x _ { 3 } ) + m _ { 3 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , d x _ { 3 } ) . } \end{array}
x _ { h } ^ { 1 } = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { k ^ { \prime } } ( - 1 ) ^ { h + i + 1 } \operatorname* { d e t } ( ( M _ { i , h } ^ { \prime } ) _ { \mathbb { Z } _ { m } } ) ( m _ { i , k ^ { \prime } + 1 } x _ { k ^ { \prime } + 1 } ^ { 1 } + \dots + m _ { i , k } x _ { k } ^ { 1 } ) } { \operatorname* { d e t } ( ( M ^ { \prime } ) _ { \mathbb { Z } _ { m } } ) } = x _ { j } ^ { 1 }
\langle \Pi _ { 2 } ^ { g } h _ { 1 } , h _ { 2 } \rangle _ { L _ { g } ^ { 2 } ( S ) } = \langle \Pi ^ { g } \pi _ { 2 } ^ { * } ( D _ { g } p ) , \pi _ { 2 } ^ { * } h _ { 2 } \rangle + \langle \pi _ { 2 } ^ { * } ( D _ { g } p ) , 1 \rangle _ { L ^ { 2 } ( T ^ { 1 } S _ { g } ) } \langle \pi _ { 2 } ^ { * } h _ { 2 } , 1 \rangle _ { L ^ { 2 } ( T ^ { 1 } S _ { g } ) }
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { E } [ ( Y - f ( X ) ) ^ { 2 } ] } & { = \operatorname { E } [ ( Y - \operatorname { E } ( Y | X ) \, \, + \, \, \operatorname { E } ( Y | X ) - f ( X ) ) ^ { 2 } ] } \\ & { = \operatorname { E } [ \operatorname { E } \{ ( Y - \operatorname { E } ( Y | X ) \, \, + \, \, \operatorname { E } ( Y | X ) - f ( X ) ) ^ { 2 } | X \} ] } \\ & { = \operatorname { E } [ \operatorname { V a r } ( Y | X ) ] + \operatorname { E } [ ( \operatorname { E } ( Y | X ) - f ( X ) ) ^ { 2 } ] \, . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { 3 } \frac { d V _ { 0 } } { d r } = } & { \: 2 ( 1 + a ^ { 2 } ) a m \omega ( a ^ { 2 } - 3 r ^ { 2 } ) + 4 m ^ { 2 } a ^ { 2 } r + \Lambda [ ( 3 - 2 r ) r ^ { 2 } - a ^ { 4 } + a ^ { 2 } ( r - 1 ) ( 3 r + 1 ) ] , } \\ { \frac { d } { d r } \left( ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { 3 } \frac { d V _ { 0 } } { d r } \right) = } & { \: - 1 2 ( 1 + a ^ { 2 } ) a m \omega r - 6 \Lambda r ( r - 1 ) + a ^ { 2 } \Lambda ( 6 r - 2 ) + 4 a ^ { 2 } m ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigg ( \frac { C _ { \bar { t } _ { s } } } { \alpha _ { \bar { t } _ { s } - 1 } } - \frac { C _ { \bar { t } _ { s - 1 } } } { \alpha _ { \bar { t } _ { s - 1 } - 1 } } \bigg ) } & { \leq - \frac { 1 4 4 L ^ { 2 } } { 2 b M \mu ^ { 2 } } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } C _ { t } + \frac { 2 c _ { \omega } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { b M } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } ^ { 3 } + \frac { 1 6 I L ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } { b M } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } D _ { t } } \\ & { \qquad + \frac { 8 L ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } { b M } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } E _ { t } + \frac { 2 L ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } } { b M } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } F _ { t } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { \boldsymbol { \Lambda } _ { \Theta } } & { = \mathrm { N E T } _ { \Theta } ( \mathbf { x } _ { 0 } ) , } \\ { \mathbf { x } _ { 1 } } & { = S ^ { 1 } ( \mathbf { x } _ { 0 } , \mathbf { z } , \boldsymbol { \Lambda } _ { \Theta } , \mathbf A ) , } \\ { \mathbf { x } _ { 2 } } & { = S ^ { 2 } ( \mathbf { x } _ { 0 } , \mathbf { z } , \boldsymbol { \Lambda } _ { \Theta } , \mathbf A ) , } \\ { \vdots } \\ { \mathbf { x } _ { T } } & { = S ^ { T } ( \mathbf { x } _ { 0 } , \mathbf { z } , \boldsymbol { \Lambda } _ { \Theta } , \mathbf A ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { n R _ { 2 } \overset { ( a ) } { \leq } I ( M _ { 2 } ; Y _ { 1 } ^ { n } , Y _ { 2 } ^ { n } , S _ { 1 } ^ { n } , S _ { 2 } ^ { n } ) + n \epsilon _ { n } } \\ & { \leq H ( Y _ { 1 } ^ { n } , S _ { 1 } ^ { n } | Y _ { 2 } ^ { n } , S _ { 2 } ^ { n } ) + H ( Y _ { 2 } ^ { n } , S _ { 2 } ^ { n } ) - H ( Y _ { 2 } ^ { n } , S _ { 2 } ^ { n } | M _ { 2 } ) - H ( Y _ { 1 } ^ { n } , S _ { 1 } ^ { n } | Y _ { 2 } ^ { n } , S _ { 2 } ^ { n } , M _ { 1 } , M _ { 2 } ) + n \epsilon _ { n } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { a = } & { ~ \frac { \alpha } { \mu n ^ { * } } ( 1 - p _ { S } ) , } \\ { b = } & { ~ 1 - p _ { S } + 1 - \mathcal { R } _ { 0 } + \frac { \alpha } { r + \mu } p _ { S } ( \varepsilon _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) \varepsilon _ { 1 } ) , } \\ { c = } & { ~ \frac { \mu n ^ { * } } { \alpha } ( 1 - \mathcal { R } _ { 0 } ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { | \theta _ { s + 1 } - \theta _ { s + 1 } ^ { \prime } | } & { = \left| \theta _ { s + 1 / 2 } - \eta \cdot \lambda _ { s } + ( \theta _ { s + 1 / 2 } ^ { \prime } - \eta \cdot \lambda _ { s } ^ { \prime } ) \right| } \\ & { \leq | \theta _ { s + 1 / 2 } - \theta _ { s + 1 / 2 } ^ { \prime } | + \eta \cdot | \lambda _ { s } - \lambda _ { s } ^ { \prime } | } \\ & { \leq \eta \cdot \left\{ \sum _ { t = 1 } ^ { s } | \lambda _ { t } - \lambda _ { t } ^ { \prime } | \right\} + \eta \cdot \bar { b } \, . } \end{array}
. I n F i g u r e , w e h a v e p l o t t e d f i r s t f o u r e i g e n v a l u e s a n d c a n o b s e r v e d t h a t t h e g r a p h o f t h i r d a n d f o u r t h e i g e n v a l u e s a r e i n t e r s e c t i n g f o r t h e g i v e n r a n g e o f p a r a m e t e r . S o , w e h a v e c a l c u l a t e \textbf { t h i r d } e i g e n v a l u e a n d e i g e n v e c t o r f o r t h i s p r o b l e m b y d a t a - d r i v e n m o d e l . I n t h i s c a s e w e w i l l f o r m t h e s n a p s h o t m a t r i x p u t t i n g t h e t h i r d e i g e n v e c t o r s c a l c u l a t e d a t t h e s a m p l e p a r a m e t e r s
\begin{array} { r l } { M _ { \langle 2 \rangle } = } & { ( e _ { 1 1 } ^ { * } + e _ { 2 2 } ^ { * } ) \otimes ( e _ { 1 1 } ^ { * } + e _ { 2 2 } ^ { * } ) \otimes ( e _ { 1 1 } + e _ { 2 2 } ) } \\ & { ~ + ( e _ { 2 1 } ^ { * } + e _ { 2 2 } ^ { * } ) \otimes e _ { 1 1 } ^ { * } \otimes ( e _ { 2 1 } - e _ { 2 2 } ) } \\ & { ~ + e _ { 1 1 } ^ { * } \otimes ( e _ { 1 2 } ^ { * } - e _ { 2 2 } ^ { * } ) \otimes ( e _ { 1 2 } + e _ { 2 2 } ) } \\ & { ~ + e _ { 2 2 } ^ { * } \otimes ( - e _ { 1 1 } ^ { * } + e _ { 2 1 } ^ { * } ) \otimes ( e _ { 1 1 } + e _ { 2 1 } ) } \\ & { ~ + ( e _ { 1 1 } ^ { * } + e _ { 1 2 } ^ { * } ) \otimes e _ { 2 2 } ^ { * } \otimes ( - e _ { 1 1 } + e _ { 1 2 } ) } \\ & { ~ + ( - e _ { 1 1 } ^ { * } + e _ { 2 1 } ^ { * } ) \otimes ( e _ { 1 1 } ^ { * } + e _ { 1 2 } ^ { * } ) \otimes e _ { 2 2 } } \\ & { ~ + ( e _ { 1 2 } ^ { * } - e _ { 2 2 } ^ { * } ) \otimes ( e _ { 2 1 } ^ { * } + e _ { 2 2 } ^ { * } ) \otimes e _ { 1 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { T ^ { \prime } ( x ; \tau ) } & { = \sum _ { \sigma \in \mathfrak { S } _ { n } } U ^ { \prime } ( x _ { \sigma ( 1 ) } , \dotsc , x _ { \sigma ( n ) } ; \tau , 0 ) \cdot x _ { \sigma ( 1 ) } * \cdots * x _ { \sigma ( n ) } \, , } \\ { T ( x ; \tau ) } & { = \sum _ { \sigma \in \mathfrak { S } _ { n } } U ( x _ { \sigma ( 1 ) } , \dotsc , x _ { \sigma ( n ) } ; \tau , 0 ) \cdot x _ { \sigma ( 1 ) } * \cdots * x _ { \sigma ( n ) } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { H } ( \textrm { H } ( \mathcal { Y } ) , \textrm { H } ( A ) ) } & { = \bigg | y _ { 0 } ^ { \top } n ^ { \partial \textrm { H } ( \mathcal { Y } ) } ( y _ { 0 } ) - \operatorname* { s u p } _ { q \in \textrm { H } ( A ) } q ^ { \top } n ^ { \partial \textrm { H } ( \mathcal { Y } ) } ( y _ { 0 } ) \bigg | = \bigg | \operatorname* { i n f } _ { q \in \textrm { H } ( A ) } ( y _ { 0 } - q ) ^ { \top } n ^ { \partial \textrm { H } ( \mathcal { Y } ) } ( y _ { 0 } ) \bigg | } \\ & { = \operatorname* { i n f } _ { q \in \textrm { H } ( A ) } ( y _ { 0 } - q ) ^ { \top } n ^ { \partial \textrm { H } ( \mathcal { Y } ) } ( y _ { 0 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 3 } } & { x \, \notin \, [ 0 , \infty ) } & { \qquad \Longrightarrow \qquad } & { Q \cdot ( D \cdot x ) \, \notin \, [ \widetilde { x } _ { - } , \infty ) \, , } \\ & { x \, \notin \, [ \widetilde { x } _ { - } , \infty ) } & { \qquad \Longrightarrow \qquad } & { Q \cdot ( D \cdot x ) \, \notin \, [ \widetilde { x } _ { c } , \infty ) \, , } \\ & { Q \cdot ( D \cdot x ) \, \notin \, [ 0 , \infty ) } & { \qquad \Longrightarrow \qquad } & { x \, \notin \, [ 0 , \widetilde { x } _ { + } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( H p ) \bigl ( ( \phi \theta ) _ { c _ { 1 } } , \ldots , ( \phi \theta ) _ { c _ { n } } \bigr ) } & { = ( H p ) \bigl ( \phi _ { c _ { 1 } } ( \theta _ { c _ { 1 } } ) , \ldots , \phi _ { c _ { n } } ( \theta _ { c _ { n } } ) \bigr ) } \\ & { = \bigl [ ( H p ) ( \phi _ { c _ { 1 } } , \ldots , \phi _ { c _ { n } } ) \bigr ] ( \theta _ { c _ { 1 } } , \ldots , \theta _ { c _ { n } } ) } \\ & { = \bigl [ \phi _ { c _ { 0 } } ( G p ) \bigr ] ( \theta _ { c _ { 1 } } , \ldots , \theta _ { c _ { n } } ) } \\ & { = \phi _ { c _ { 0 } } \bigl [ ( G p ) ( \theta _ { c _ { 1 } } , \ldots , \theta _ { c _ { n } } ) \bigr ] } \\ & { = \phi _ { c _ { 0 } } \bigl ( \theta _ { c _ { 0 } } ( F p ) \bigr ) } \\ & { = \bigl ( \phi _ { c _ { 0 } } \theta _ { c _ { 0 } } \bigr ) ( F p ) } \\ & { = ( \phi \theta ) _ { c _ { 0 } } ( F p ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \rho _ { 1 } ( { \Sigma } _ { n , d } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \sqrt { 1 + \frac { 1 } { d - 1 } } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } + \frac { 1 } { 2 ( d - 1 ) \sqrt { 2 } } + \mathcal { O } \biggl ( \frac { 1 } { d ^ { 2 } } \biggr ) , } \\ & { \rho _ { 2 } ( { \Sigma } _ { n , d } ) = \frac { \pi } { 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { i j } = } & { { [ \psi _ { t } ( \hat { \beta } + e _ { i } \varepsilon _ { t } + e _ { j } \varepsilon _ { t } ) - \psi _ { t } ( \hat { \beta } - e _ { i } \varepsilon _ { t } + { e } _ { j } \varepsilon _ { t } ) - \psi _ { t } ( \hat { \beta } + e _ { i } \varepsilon _ { t } - e _ { j } \varepsilon _ { t } ) . } } \\ & { + \psi _ { t } ( \hat { \beta } - e _ { i } \varepsilon _ { t } - e _ { j } \varepsilon _ { t } ) ] / 4 \varepsilon _ { t } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left[ k _ { m } ^ { ( a ) } , e _ { n } ^ { ( b ) } \right] = \frac { 1 } { m } \frac { 1 } { 1 - q ^ { m } } C ^ { - m / 2 } \left( \sum _ { j } H _ { b a , j } ^ { m } - \sum _ { i } H _ { a b , i } ^ { - m } \right) e _ { n + m } ^ { ( b ) } , } \\ & { \left[ k _ { m } ^ { ( a ) } , f _ { n } ^ { ( b ) } \right] = - \frac { 1 } { m } \frac { 1 } { 1 - q ^ { m } } C ^ { m / 2 } \left( \sum _ { j } H _ { b a , j } ^ { m } - \sum _ { i } H _ { a b , i } ^ { - m } \right) f _ { n + m } ^ { ( b ) } , } \\ & { \left[ l _ { - m } ^ { ( a ) } , e _ { n } ^ { ( b ) } \right] = \frac { 1 } { m } \frac { 1 } { 1 - q ^ { m } } C ^ { m / 2 } \left( \sum _ { j } H _ { b a , j } ^ { m } - \sum _ { i } H _ { a b , i } ^ { - m } \right) e _ { n + m } ^ { ( b ) } , } \\ & { \left[ l _ { - m } ^ { ( a ) } , f _ { n } ^ { ( b ) } \right] = - \frac { 1 } { m } \frac { 1 } { 1 - q ^ { m } } C ^ { - m / 2 } \left( \sum _ { j } H _ { b a , j } ^ { m } - \sum _ { i } H _ { a b , i } ^ { - m } \right) f _ { n + m } ^ { ( b ) } , } \\ & { \left[ k _ { m } ^ { ( a ) } , l _ { n } ^ { ( b ) } \right] = \delta _ { m + n , 0 } \frac { 1 } { m } \frac { 1 } { 1 - q ^ { m } } \left( C ^ { - m } - C ^ { m } \right) \left( \sum _ { i } H _ { a b , i } ^ { - m } - \sum _ { j } H _ { b a , j } ^ { m } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { V ^ { * } } ( x _ { i } , x _ { j - 1 } ) } & { = Q _ { V ^ { * } } ( y _ { i } , x _ { j - 1 } ) + Q _ { V ^ { * } } ( y _ { i - 1 } , x _ { j - 1 } ) + Q _ { V ^ { * } } ( x _ { i - 1 } , x _ { j - 1 } ) , } \\ { Q _ { V ^ { * } } ( x _ { i - 1 } , x _ { j } ) } & { = Q _ { V ^ { * } } ( x _ { i - 1 } , y _ { j } ) + Q _ { V ^ { * } } ( x _ { i - 1 } , y _ { j - 1 } ) + Q _ { V ^ { * } } ( x _ { i - 1 } , x _ { j - 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \lvert u \rvert } ^ { 2 } + \theta _ { e } ^ { 2 } + q ^ { 2 } H _ { u } = { \lvert \nabla _ { h } p \rvert } ^ { 2 } + { \left( \partial _ { 3 } p + \frac { 1 } { 2 } ( M - \partial _ { 3 } p ) H _ { u } \right) } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } { ( M - \partial _ { 3 } p ) } ^ { 2 } H _ { u } } \\ { = { \lvert \nabla p \rvert } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( M + \partial _ { 3 } p ) { \operatorname* { m i n } } _ { 0 } \, ( M - \partial _ { 3 } p ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { P } \Bigl ( } & { R _ { \mathrm { e f f } } ( { 0 } , { B _ { \mathcal { U } } ( 0 , \lambda r ^ { \beta } ) ^ { c } } ) < r ^ { \beta } / \lambda ^ { 1 + 4 \beta } \Bigr ) } \\ { \le } & { \mathbf { P } \Bigl ( R _ { \mathrm { e f f } } ( { 0 } , { B _ { \mathcal { U } } ( 0 , \lambda r ^ { \beta } ) ^ { c } } ) < r ^ { \beta } / \lambda ^ { 1 + 4 \beta } , \ U _ { r } \subset B _ { \mathcal { U } } ( 0 , \lambda r ^ { \beta } ) \Bigr ) + \mathbf { P } \left( U _ { r } \not \subset B _ { \mathcal { U } } ( 0 , \lambda r ^ { \beta } ) \right) } \\ { \le } & { \mathbf { P } \left( R _ { \mathrm { e f f } } ( { 0 } , { \mathcal { U } \setminus U _ { r } } ) < r ^ { \beta } / \lambda ^ { 1 + 4 \beta } \right) + C ^ { \prime } \lambda ^ { - c ^ { \prime } } . } \end{array}
\underline { { \delta } } _ { R } ( \underline { { X } } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( X _ { 1 } , X _ { 2 } ) , } & { \mathrm { i f ~ } X _ { 1 } \leq X _ { 2 } } \\ { ( \alpha _ { 0 } X _ { 1 } + ( 1 - \alpha _ { 0 } ) X _ { 2 } , \alpha _ { 0 } X _ { 1 } + ( 1 - \alpha _ { 0 } ) X _ { 2 } ) , } & { \mathrm { i f ~ } X _ { 1 } > X _ { 2 } } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l r } & { } & { 1 . ~ ~ Q _ { 1 } ^ { [ 1 ] } = Q _ { 1 } ^ { [ 2 ] } ~ \Rightarrow ~ A _ { 1 } ^ { [ 1 ] } = A _ { 1 } ^ { [ 2 ] } , } \\ & { } & { 2 . ~ ~ H ( A _ { 1 } ^ { [ 1 ] } | \mathbb { Q } ) = H ( A _ { 2 } ^ { [ 1 ] } | \mathbb { Q } ) = H ( A _ { 2 } ^ { [ 2 ] } | \mathbb { Q } ) , \quad H ( S _ { 1 } ) = H ( S _ { 2 } ) } \\ & { } & { ~ ~ ~ \Rightarrow ~ H ( A _ { 1 } ^ { [ 1 ] } | \mathbb { Q } ) \leq \beta \leq ( \bar { \beta } + \epsilon ) L , \quad H ( S _ { 2 } ) \leq \alpha \leq ( \bar { \alpha } + \epsilon ) L . } \end{array}
\begin{array} { r l } { n _ { 0 } + n _ { 1 } } & { = 2 ( d _ { 0 } + d _ { 2 } + d _ { 4 } + d _ { 6 } ) ^ { 2 } - 4 ( d _ { 0 } + d _ { 2 } ) ( d _ { 4 } + d _ { 6 } ) - 4 d ^ { * } , } \\ { n _ { 0 } - n _ { 1 } } & { = 2 ( d _ { 1 } + d _ { 3 } + d _ { 5 } + d _ { 7 } ) ^ { 2 } - 4 ( d _ { 1 } + d _ { 3 } ) ( d _ { 5 } + d _ { 7 } ) - 4 d ^ { * } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | F ^ { \prime } ( z ) | ^ { 2 } } & { = \frac { 1 } { | 1 + \log \frac { 2 ^ { n } p ( 0 ) } { p ( z ) } | ^ { 2 } } \left| \frac { p ^ { \prime } ( z ) } { p ( z ) } \right| ^ { 2 } } \\ & { \le \frac { 1 } { ( 1 + \log \frac { 2 ^ { n } | p ( 0 ) | } { | p ( z ) | } ) ^ { 2 } } | \sum _ { k = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { z - \lambda _ { k } } | ^ { 2 } } \\ & { \le n \sum _ { k = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { ( 1 + \log \frac { 2 ^ { n } | p ( 0 ) | } { | p ( z ) | } ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { | z - \lambda _ { k } | ^ { 2 } } } \\ & { \le n \sum _ { k = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { ( 1 + \log \frac { 2 | \lambda _ { k } | } { | z - \lambda _ { k } | } ) ^ { 2 } } \frac { 4 | \lambda _ { k } | ^ { 2 } } { | z - \lambda _ { k } | ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { C } [ D ^ { 2 } u ] _ { \alpha ; B _ { 1 } } ^ { * } } & { \le \operatorname* { s u p } _ { B _ { \rho } ( x _ { \circ } ) \subset B _ { 1 } } \rho ^ { 2 + \alpha } [ D ^ { 2 } u ] _ { C ^ { 0 , \alpha } ( B _ { \rho / 4 } ( x _ { \circ } ) ) } } \\ & { \le \delta [ D ^ { 2 } u ] _ { \alpha ; B _ { 1 } } ^ { * } + C \left( \| u \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } + \| f \| _ { C ^ { 0 , \alpha } ( B _ { 1 } ) } \right) . } \end{array}
\mathcal { A } _ { \alpha } f ( \varepsilon ^ { - 1 } ( \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { 0 } ) ) = \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 + 2 \alpha } } \frac { 4 ^ { \alpha } \Gamma ( 1 + \alpha ) } { \pi | \Gamma ( - \alpha ) | } \int _ { [ 0 , 1 ] \times [ 0 , 1 ] } \! \sum _ { \mathbf { m } \in \mathbb { Z } ^ { 2 } } \frac { f ( \varepsilon ^ { - 1 } ( \mathbf { y } - \mathbf { x } _ { 0 } ) ) - f ( \varepsilon ^ { - 1 } ( \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { 0 } ) ) } { | \varepsilon ^ { - 1 } ( \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { 0 } ) - ( \varepsilon ^ { - 1 } ( \mathbf { y } - \mathbf { x } _ { 0 } ) + \varepsilon ^ { - 1 } \mathbf { m } ) | ^ { 2 + 2 \alpha } } \, d \mathbf { y } \, .
\begin{array} { r l } { \rho _ { \theta } ( t _ { i } , x _ { i } , a ) } & { = \; \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { m / 2 } \mathrm { d e t } ( \Sigma ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \exp \big ( - \frac { 1 } { 2 } \big ( a - \mu _ { \theta } ( t _ { i } , x _ { i } ) \big ) ^ { \scriptscriptstyle { \intercal } } \Sigma ^ { - 1 } \big ( a - \mu _ { \theta } ( t _ { i } , x _ { i } ) \big ) \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { 1 } ( \overline { { U } } _ { 0 } , \overline { { W } } _ { 0 } ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { S _ { 1 } ( Z ( a _ { 0 } , 1 ) , Z ( b _ { 1 } , 1 ) ) , } & { \mathrm { i f ~ m = 1 ~ } ; } \\ { S _ { 1 } ( Z ( a _ { 0 } , 1 ) , E ( 1 , 1 - m ) ) , } & { \mathrm { i f ~ m > 1 ~ } } \end{array} \right. } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { V ( a _ { 0 } + b _ { 0 } ) , } & { \mathrm { i f ~ m = 1 ~ } ; } \\ { V ( m - 1 ) , } & { \mathrm { i f ~ m > 1 ~ a n d ~ a _ 0 = 0 ~ } ; } \\ { 0 , } & { \mathrm { i f ~ m > 1 ~ a n d ~ a _ 0 \neq ~ 0 ~ } . } \end{array} \right. } \end{array}
\quad \cdots { \longrightarrow } \wedge ^ { 3 } T ^ { * } V \stackrel { \iota _ { \overrightarrow { E } } } { \longrightarrow } \wedge ^ { 2 } T ^ { * } V \stackrel { \iota _ { \overrightarrow { E } } } { \longrightarrow } T ^ { * } V \stackrel { \iota _ { \overrightarrow { E } } } { \longrightarrow } \mathbb { C } \times V = : \underline { { \mathbb C } } ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { A _ { 1 } ^ { * } ( z ) = \frac { C _ { 1 } \, \sinh ( L ) } { \cosh ( z ) ( D \operatorname { t a n h } ( z / D ) - \operatorname { t a n h } ( z ) ) } , } \\ { B _ { 1 } ^ { * } ( z ) = - \frac { C _ { 1 } \, D \sinh ( L / D ) } { \cosh ( z / D ) ( D \operatorname { t a n h } ( z / D ) - \operatorname { t a n h } ( z ) ) } , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial F _ { H } ^ { 1 } ( N ) } { \partial H } } & { = 4 \sum _ { k = 2 } ^ { N } \left( ( k + 1 ) ^ { 2 H } + ( k - 1 ) ^ { 2 H } - 2 k ^ { 2 H } \right) } \\ { * } & { \quad \times \left( ( k + 1 ) ^ { 2 H } \log ( k + 1 ) + ( k - 1 ) ^ { 2 H } \log ( k - 1 ) - 2 k ^ { 2 H } \log k \right) } \\ & { \quad + 4 \left( 2 ^ { 2 H } - 2 \right) 2 ^ { 2 H } \log 2 ; } \\ { \frac { \partial F _ { H } ^ { 2 } ( N ) } { \partial H } } & { = 2 \sum _ { k = 2 } ^ { N } ( N - k + 1 ) \left( ( k + 1 ) ^ { 2 H } \log ( k + 1 ) + ( k - 1 ) ^ { 2 H } \log ( k - 1 ) - 2 k ^ { 2 H } \log k \right) } \\ { * } & { \quad + 2 N 2 ^ { 2 H } \log 2 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \ensuremath { \mathbb { E } \left[ \vert D _ { 2 , \tau } ^ { ( 2 ) } \vert \right] } \leq \frac { \sigma _ { d } ^ { 2 } } { 4 } \underset { d \to \infty } { \longrightarrow } 0 \; , \qquad \ensuremath { \mathbb { E } \left[ \vert D _ { 3 , \tau } ^ { ( 2 ) } \vert \right] } \leq C \sigma _ { d } \underset { d \to \infty } { \longrightarrow } 0 \; , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bf Q } _ { 0 , 0 } ^ { [ n , n - 1 ] } } & { = } & { \mathrm { \boldmath ~ \Lambda ~ } ^ { ( n , n ) } { \bf P } _ { n ; - } ^ { n ; - } , } \\ { { \bf Q } _ { 1 , 0 } ^ { [ n , n - 1 ] } } & { = } & { \left[ \begin{array} { c c c c c } { { \bf O } } & { \ldots } & { { \bf O } } & { \mathrm { \boldmath ~ \Lambda ~ } ^ { ( n , n - 2 ) } { \bf P } _ { n ; - } ^ { n - 2 ; + } } & { \mathrm { \boldmath ~ \Lambda ~ } ^ { ( n , n - 1 ) } { \bf P } _ { n ; - } ^ { n - 1 ; 0 } } \end{array} \right] ^ { T } , } \\ { { \bf Q } _ { 2 , 0 } ^ { [ n , n - 1 ] } } & { = } & { \left[ \begin{array} { c c c c c } { { \bf O } } & { \ldots } & { { \bf O } } & { \mathrm { \boldmath ~ \Lambda ~ } ^ { ( n - 2 , n ) } { \bf P } _ { n - 2 ; + } ^ { n ; - } } & { \mathrm { \boldmath ~ \Lambda ~ } ^ { ( n - 1 , n ) } { \bf P } _ { n - 1 ; 0 } ^ { n ; - } } \end{array} \right] ^ { T } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { D \frac { \partial ^ { 2 } \widetilde { p } ( x , s | x _ { 0 } ) } { \partial x ^ { 2 } } - s \widetilde { p } ( x , s | x _ { 0 } ) } & { = } & { - \delta ( x - x _ { 0 } ) , } \\ { ( s + \kappa _ { 0 } ) \widetilde { p } ( 0 , s | x _ { 0 } ) } & { = } & { \frac { D } { \nu } \frac { \partial \widetilde { p } ( 0 , s | x _ { 0 } ) } { \partial x } , } \\ { \frac { \partial \widetilde { p } ( L , s | x _ { 0 } ) } { \partial x } } & { = } & { 0 . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { - q } & { - q } \\ { 0 } & { \frac { q ^ { - 2 ( m - 1 ) } + q ^ { 2 m } - q ^ { 2 } - 1 } { ( q ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } } & { \frac { ( q ^ { 2 } + 1 ) ( q ^ { - 2 ( m - 2 ) } - q ^ { 2 } ) } { 1 - q ^ { 2 } } } \\ { 0 } & { \frac { ( q ^ { 2 } + 1 ) ( q ^ { - 2 } - q ^ { 2 ( m - 2 ) } ) } { 1 - q ^ { 2 } } } & { \frac { q ^ { 2 } ( q ^ { - 2 ( m - 1 ) } + q ^ { 2 m } - q ^ { 2 } - 1 ) } { ( q ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } } \end{array} \right]
\begin{array} { r } { { \bf w } _ { k , i - \frac { 1 } { 2 } } : = \frac { d f _ { k , i } ( w _ { i } ) } { \| d f _ { k , i } ( w _ { i } ) \| } , \quad { \bf n } _ { k , i - \frac { 1 } { 2 } } : = { \bf n } _ { k , i } \quad \mathrm { a n d } \quad { \bf t } _ { k , i - \frac { 1 } { 2 } } : = { \bf w } _ { k , i - \frac { 1 } { 2 } } \wedge \displaystyle { \bf n } _ { k , i - \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { E } \left( \sum _ { s = 1 } ^ { N ( d , l ) } D _ { r s } ^ { l } ( U ) \overline { { B _ { s } ^ { l } ( X ) } } \bigg | X \right) = \sum _ { s = 1 } ^ { N ( d , l ) } \mathrm { E } ( D _ { r s } ^ { l } ( U ) ) \overline { { B _ { s } ^ { l } ( X ) } } = \sum _ { s = 1 } ^ { N ( d , l ) } \tilde { \phi } _ { r s } ^ { l } ( f _ { U } ) \overline { { B _ { s } ^ { l } ( X ) } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( R _ { I , n } ^ { * } - \widehat { R } _ { I , n } ) _ { 1 } = } & { \sum _ { i = 0 } ^ { I + n } C _ { I - i , i } ^ { * } \left( \prod _ { j = i } ^ { I + n - 1 } F _ { I - i , j } ^ { * } - \prod _ { j = i } ^ { I + n - 1 } \widehat f _ { j , n } ^ { * } \right) } \\ { = } & { \sum _ { i = 0 } ^ { K } C _ { I - i , i } ^ { * } \left( \prod _ { j = i } ^ { K } F _ { I - i , j } ^ { * } - \prod _ { j = i } ^ { K } \widehat f _ { j , n } ^ { * } \right) } \\ & { + \sum _ { i = 0 } ^ { K } C _ { I - i , i } ^ { * } \left( \prod _ { j = i } ^ { K } F _ { I - i , j } ^ { * } \left( \prod _ { l = K + 1 } ^ { I + n - 1 } F _ { I - i , l } ^ { * } - 1 \right) - \prod _ { j = i } ^ { K } \widehat f _ { j , n } ^ { * } \left( \prod _ { l = K + 1 } ^ { I + n - 1 } \widehat f _ { l , n } ^ { * } - 1 \right) \right) } \\ & { + \sum _ { i = K + 1 } ^ { I + n } C _ { I - i , i } ^ { * } \left( \prod _ { j = i } ^ { I + n - 1 } F _ { I - i , j } ^ { * } - \prod _ { j = i } ^ { I + n - 1 } \widehat f _ { j , n } ^ { * } \right) } \\ { = : } & { A _ { 1 , K , I , n } ^ { * } + A _ { 2 , K , I , n } ^ { * } + A _ { 3 , K , I , n } ^ { * } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } \left[ \left\lVert \prod _ { j = 1 } ^ { n } \Psi ( F ( Z _ { j } ) ) ^ { a _ { j } } \right\rVert _ { F } ^ { 2 } \right] } & { = \mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } \left[ \left\langle \prod _ { j = 1 } ^ { n } \Psi ( F ( Z _ { j } ) ) ^ { a _ { j } } , \prod _ { j = 1 } ^ { n } \Psi ( F ( Z _ { j } ) ) ^ { a _ { j } } \right\rangle \right] } \\ & { = \mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } \left[ \left\langle \mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } \left[ \Psi ( F ( Z _ { n } ) ) ^ { 2 a _ { n } } \right] , \prod _ { j = 1 } ^ { n - 1 } \Psi ( F ( Z _ { j } ) ) ^ { a _ { j } } \prod _ { j = n - 1 } ^ { 1 } \Psi ( F ( Z _ { j } ) ) ^ { a _ { j } } \right\rangle \right] } \end{array}
\textstyle \frac { \theta ^ { x - x ^ { \prime } } } { ( 2 \pi \mathrm { i } ) ^ { 3 } } \oint _ { \Gamma _ { 0 } } \mathrm { d } u \oint _ { \Gamma _ { \alpha , \beta } } \mathrm { d } w \oint _ { \Gamma _ { 0 , u } } \mathrm { d } v \, \frac { [ \frac { v ( \alpha - v ) } { 1 + \kappa v } ] ^ { M } [ \frac { v ( \beta - v ) } { 1 + \kappa v } ] ^ { n - M } } { [ \frac { u ( \alpha - u ) } { 1 + \kappa u } ] ^ { M } [ \frac { w ( \beta - w ) } { 1 + \kappa w } ] ^ { n - M } } \frac { u w ^ { x ^ { \prime } - 2 ( M - n ) } } { v ^ { x - 2 ( M - n ) + 2 } } \frac { \alpha - 2 u - \kappa u ^ { 2 } } { ( v - u ) ( u - w ) ( \alpha - u - w - \kappa u w ) } \frac { ( 1 + \kappa v ) \psi ( v ) } { ( 1 + \kappa u ) \psi ( w ) } .
\begin{array} { r l } & { \Big | \breve { Y } _ { i } + Y _ { i } \Big | } \\ { = } & { \Big | \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } \Big \langle F _ { { h _ { 2 } } , i } - f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } , ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \Big \rangle _ { L _ { 2 } } + \widehat { \kappa } _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } \Big \langle F _ { { h _ { 1 } } , i } - f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } , ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } \Big \rangle _ { L _ { 2 } } \Big | } \\ { = } & { \Big | \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } \Big \langle F _ { { h _ { 2 } } , i } - f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } , ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \Big \rangle _ { L _ { 2 } } - \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } \Big \langle F _ { { h _ { 2 } } , i } - f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } , ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } \Big \rangle _ { L _ { 2 } } } \\ { + } & { \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } \Big \langle F _ { { h _ { 2 } } , i } - f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } , ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } \Big \rangle _ { L _ { 2 } } + \widehat { \kappa } _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } \Big \langle F _ { { h _ { 1 } } , i } - f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } , ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } \Big \rangle _ { L _ { 2 } } \Big | } \\ { = } & { \Big | \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } \Big \langle F _ { { h _ { 2 } } , i } - f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } , ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \Big \rangle _ { L _ { 2 } } + \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } \Big \langle F _ { { h _ { 2 } } , i } - f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } , ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } \Big \rangle _ { L _ { 2 } } } \\ { + } & { \Big \langle \widehat { \kappa } _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } ( F _ { { h _ { 1 } } , i } - f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } ) - \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } ( F _ { { h _ { 2 } } , i } - f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } ) , ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } \Big \rangle _ { L _ { 2 } } \Big | . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \alpha _ { 1 } } { \alpha _ { 2 } } = \frac { - 2 \cos \theta \cos ( \theta / 2 ) } { \cos ( { \theta } / { 2 } ) - \sin ( { \theta } / { 2 } ) } , \quad \frac { \alpha _ { 1 } } { \alpha _ { 4 } } = \frac { \cos \theta \cos ( \theta / 2 ) } { - \sin ( { \theta } / { 2 } ) } , \quad \frac { \alpha _ { 2 } } { \alpha _ { 4 } } = \frac { \cos ( { \theta } / { 2 } ) - \sin ( { \theta } / { 2 } ) } { 2 \sin ( { \theta } / { 2 } ) } . } \end{array}
+ \left| \begin{array} { l l l l } { \frac { 1 - a } { \left( 1 - { x _ { 1 } } \right) \left( 1 - { x _ { 2 } } \right) \cdots \left( 1 - { x _ { n } } \right) } } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { 1 - a ^ { 2 } } { \left( 1 - { x _ { 1 } } ^ { 2 } \right) \left( 1 - { x _ { 2 } } ^ { 2 } \right) \cdots \left( 1 - { x _ { n } } ^ { 2 } \right) } } & { \frac { 1 - a } { \left( 1 - { x _ { 1 } } \right) \left( 1 - { x _ { 2 } } \right) \cdots \left( 1 - { x _ { n } } \right) } } & { - 2 } & { 0 } \\ { \frac { 1 - a ^ { 3 } } { \left( 1 - { x _ { 1 } } ^ { 3 } \right) \left( 1 - { x _ { 2 } } ^ { 3 } \right) \cdots \left( 1 - { x _ { n } } ^ { 3 } \right) } } & { \frac { 1 - a ^ { 2 } } { \left( 1 - { x _ { 1 } } ^ { 2 } \right) \left( 1 - { x _ { 2 } } ^ { 2 } \right) \cdots \left( 1 - { x _ { r } } ^ { 2 } \right) } } & { \frac { 1 - a } { \left( 1 - { x _ { 1 } } \right) \left( 1 - { x _ { 2 } } \right) \cdots \left( 1 - { x _ { n } } \right) } } & { - 3 } \\ { \frac { 1 - a ^ { 4 } } { \left( 1 - { x _ { 1 } } ^ { 4 } \right) \left( 1 - { x _ { 2 } } ^ { 4 } \right) \cdots \left( 1 - { x _ { n } } ^ { 4 } \right) } } & { \frac { 1 - a ^ { 3 } } { \left( 1 - { x _ { 1 } } ^ { 3 } \right) \left( 1 - { x _ { 2 } } ^ { 3 } \right) \cdots \left( 1 - { x _ { n } } ^ { 3 } \right) } } & { \frac { 1 - a ^ { 2 } } { \left( 1 - { x _ { 1 } } ^ { 2 } \right) \left( 1 - { x _ { 2 } } ^ { 2 } \right) \cdots \left( 1 - { x _ { n } } ^ { 2 } \right) } } & { \frac { 1 - a } { \left( 1 - { x _ { 1 } } \right) \left( 1 - { x _ { 2 } } \right) \cdots \left( 1 - { x _ { n } } \right) } } \end{array} \right| \frac { t ^ { 4 } } { 4 ! }
\begin{array} { r l } { \sum _ { k , l } } & { \int _ { \tau } ^ { \infty } \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r \leq 2 \} } [ ( 1 + \tau ^ { \prime } ) ^ { 1 + \epsilon } ( 1 - r ^ { - 1 } ) ^ { 1 - \epsilon } + 1 } \\ & { + ( 1 - r ^ { - 1 } ) ^ { - 1 + \epsilon } ( 1 + \tau ^ { \prime } ) ^ { - 1 } ] ( 1 + \tau ^ { \prime } ) ^ { 2 k } | K ^ { k } \widetilde { Z } ^ { l } G | ^ { 2 } \, d \sigma d r d \tau < \infty , } \\ { \sum _ { k , l } } & { \int _ { \tau } ^ { \infty } \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r \geq 2 \} } r ^ { 2 - \epsilon } ( \tau ^ { \prime } + r ) ( 1 + \tau ^ { \prime } ) ^ { 2 k } | K ^ { k + 1 } ( X r ^ { 2 } ) ^ { l } r G | ^ { 2 } \, d \sigma d r d \tau } \\ & { + \operatorname* { s u p } _ { \tau \in [ 0 , \infty ) } \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r \geq 2 \} } | r ^ { 2 } G | ^ { 2 } \, d \sigma d r < \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { A _ { \alpha \beta } } & { = \left\langle \epsilon _ { 1 } \nabla \phi _ { 1 } ^ { \alpha } , \nabla \phi _ { 1 } ^ { \beta } \right\rangle _ { \Omega _ { 1 } } , } & { \widetilde { M } _ { \alpha \beta } } & { = \left\langle \epsilon _ { 1 } \lambda _ { 1 } ^ { \beta } , \gamma \phi _ { 1 } ^ { \alpha } \right\rangle _ { \Gamma } , } \\ { K _ { \alpha \beta } } & { = \left\langle K _ { Y } ^ { \Gamma } \gamma \phi _ { 1 } ^ { \alpha } , \lambda _ { 1 } ^ { \beta } \right\rangle _ { \Gamma } , } & { V _ { \alpha \beta } } & { = \left\langle V _ { Y } ^ { \Gamma } \epsilon _ { 1 } \lambda _ { 1 } ^ { \alpha } , \lambda _ { 1 } ^ { \beta } \right\rangle _ { \Gamma } , } \\ { M _ { \alpha \beta } } & { = \left\langle \gamma \phi _ { 1 } ^ { \alpha } , \lambda _ { 1 } ^ { \beta } \right\rangle _ { \Gamma } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { \mathrm { T } } ( \tau ) = } & { \frac { c _ { 0 } ^ { \ast } \, \beta _ { f } \, \mathrm { e } ^ { - \frac { \beta _ { s } \lvert \tau \rvert } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } } } { \left( \frac { \xi \beta _ { s } \lvert \tau \rvert } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } + \epsilon \right) ^ { d + 1 } } - \frac { c _ { 0 } ^ { \ast } \, \beta _ { s } \, \mathrm { e } ^ { - \frac { \beta _ { f } \lvert \tau \rvert } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } } } { \left( \frac { \xi \beta _ { f } \lvert \tau \rvert } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } + \epsilon \right) ^ { d + 1 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | F _ { s } ( 0 ) | } & { \leq \ln 2 + \frac { \beta } { N } \mathbb E \Bigl [ \sum _ { 1 \leq t \leq s - 1 } \sum _ { k = 1 } ^ { P _ { i _ { t } j _ { t } } } | y _ { i _ { t } j _ { t } } ^ { k } | + \sum _ { s + 1 \leq t \leq M } \sum _ { k = 1 } ^ { B _ { i _ { t } j _ { t } } } | y _ { i _ { t } j _ { t } } ^ { k } | \Bigr ] } \\ & { = \ln 2 + \frac { \beta ( M - 1 ) } { N ^ { 2 } } 2 \gamma \mathbb E | y | } \\ & { \leq \ln 2 + \beta \gamma \mathbb E | y | } \end{array}
\begin{array} { r l r } { t _ { i j } ^ { e q } } & { \approx } & { \frac { 4 \pi \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } \, m _ { i } \, m _ { j } } { Z _ { l } ^ { 2 } Z _ { J } ^ { 2 } \, q _ { j } ^ { 4 } \, n _ { j } \, \ln \Lambda \left( n _ { i } , n _ { j } \right) } \, \left( \frac { k T _ { i } } { m _ { l } } + \frac { k T _ { j } } { m _ { j } } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \hat { x } _ { a } ( \tau ) = \hat { x } _ { a } ( 0 ) \qquad \hat { p } _ { a } ( \tau ) = \hat { p } _ { a } ( 0 ) + 2 \tau \, \hat { x } _ { a } ( 0 ) \hat { x } _ { b } ( 0 ) } \\ & { \hat { x } _ { b } ( \tau ) = \hat { x } _ { b } ( 0 ) \qquad \, \hat { p } _ { b } ( \tau ) = \hat { p } _ { b } ( 0 ) + \tau \, \hat { x } _ { a } ^ { 2 } ( 0 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { c ( \eta ) } ( u , v ) : = } & { \mu \int _ { D _ { h } } \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \nabla { u } _ { j } \mathcal { J } _ { \mathcal { H } ^ { - 1 } } \mathcal { J } _ { \mathcal { H } ^ { - 1 } } ^ { \top } \nabla \bar { { v } } _ { j } \operatorname* { d e t } { \mathcal { J } _ { \mathcal { H } } } \, \mathrm { d } y } \\ & { + ( \lambda + \mu ) \int _ { D _ { h } } ( \nabla { u } : \mathcal { J } _ { \mathcal { H } ^ { - 1 } } ) ( \nabla \bar { { v } } : \mathcal { J } _ { \mathcal { H } ^ { - 1 } } ^ { \top } ) \operatorname* { d e t } { \mathcal { J } _ { \mathcal { H } } } \, \mathrm { d } y } \\ & { - \omega ^ { 2 } \int _ { D _ { h } } { u } \cdot \bar { { v } } \operatorname* { d e t } { \mathcal { J } _ { \mathcal { H } } } \, \mathrm { d } y - \int _ { \Gamma _ { h } } \mathcal { T } { u } \cdot \bar { { v } } \, \mathrm { d } s ( y ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C ( T ) - P ( T ) } & { = e ^ { - r T } \mathbb { E } \left[ \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } S _ { t } d t - K \right] } \\ & { = e ^ { - r T } \left[ \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \mathbb { E } [ S _ { t } ] d t - K \right] , \quad \mathrm { w h e r e } \, S _ { t } = S _ { 0 } e ^ { X _ { t } } . } \end{array}
\int _ { f _ { \mathrm { c } } ^ { h } - R _ { s } / 2 } ^ { f _ { \mathrm { c } } ^ { h } + R _ { s } / 2 } \int _ { - R _ { s } / 2 } ^ { R _ { s } / 2 } | P _ { \mathrm { I N T } } ( f _ { 1 } ) | ^ { 2 } | P _ { \mathrm { C O I } } ( f _ { 2 } ) | ^ { 2 } | P _ { \mathrm { C O I } } ( f - f _ { 1 } + f _ { 2 } ) | ^ { 2 } \mu ( f _ { 1 } , f _ { 2 } , f ) \mu ^ { \ast } ( f _ { 1 } , f _ { 1 } - f _ { 2 } - f , f ) d f _ { 1 } d f _ { 2 }
\pi _ { \overline { { \mathrm { P F } } } } ^ { ( N ) } ( f ) : = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \bar { W } _ { 1 } ^ { i } f ( X _ { 0 } ^ { i } ) , \quad \bar { W } _ { 1 } ^ { i } = \frac { e ^ { - \frac { | Z _ { 1 } - X _ { 0 } ^ { i } | ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { w } ^ { 2 } } } } { N \mathbb { E } [ e ^ { - \frac { | Z _ { 1 } - X _ { 0 } | ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { w } ^ { 2 } } } | { \cal Z } _ { 1 } ] } .
\begin{array} { r l r } { m _ { \alpha } \frac { \left\vert \boldsymbol { \xi } \right\vert ^ { 2 } } { 2 } + m _ { \beta } \frac { \left\vert \boldsymbol { \xi } _ { \ast } \right\vert ^ { 2 } } { 2 } + I _ { i } ^ { \alpha } + I _ { j } ^ { \beta } } & { = } & { \frac { m _ { \alpha } + m _ { \beta } } { 2 } \left\vert \mathbf { G } _ { \alpha \beta } \right\vert ^ { 2 } + E _ { i j } ^ { \alpha \beta } \mathrm { , ~ w h e r e } } \\ { E _ { i j } ^ { \alpha \beta } } & { = } & { \frac { m _ { \alpha } m _ { \beta } } { 2 \left( m _ { \alpha } + m _ { \beta } \right) } \left\vert \mathbf { g } \right\vert ^ { 2 } + I _ { i } ^ { \alpha } + I _ { j } ^ { \beta } \mathrm { , } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { n ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z _ { i } ) ) - f _ { X } ( x ) ) ^ { 2 } } \\ & { = n ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z _ { i } ) ) ) ^ { 2 } - 2 n ^ { - 1 } f _ { X } ( x ) \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z _ { i } ) ) + f _ { X } ^ { 2 } ( x ) , } \\ & { \mathrm { V a r } ( \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z ) ) ) } \\ & { = \mathrm { E } ( ( \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z ) ) ) ^ { 2 } ) - ( \mathrm { E } ( \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , Z ) ) ) ) ^ { 2 } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \Delta _ { 1 } ( y _ { i _ { 1 } } \wedge \cdots \wedge y _ { i _ { q + 2 } } ) \otimes z _ { 1 } ^ { v _ { 1 } - 1 } z _ { 2 } ^ { v _ { 2 } } + \Delta _ { 2 } ( y _ { i _ { 1 } } \wedge \cdots \wedge y _ { i _ { q + 2 } } ) \otimes z _ { 1 } ^ { v _ { 1 } } z _ { 2 } ^ { v _ { 2 } - 1 } } \\ { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad , \mathrm { i f } ~ v _ { 1 } > 0 , v _ { 2 } > 0 , q > 0 , } \\ { \Delta _ { 1 } ( y _ { i _ { 1 } } \wedge \cdots \wedge y _ { i _ { q + 2 } } ) \otimes z _ { 1 } ^ { v _ { 1 } - 1 } z _ { 2 } ^ { v _ { 2 } } \qquad , ~ \mathrm { i f } ~ v _ { 1 } > 0 , v _ { 2 } = 0 , q > 0 , } \\ { \Delta _ { 2 } ( y _ { i _ { 1 } } \wedge \cdots \wedge y _ { i _ { q + 2 } } ) \otimes z _ { 1 } ^ { v _ { 1 } } z _ { 2 } ^ { v _ { 2 } - 1 } \qquad , ~ \mathrm { i f } ~ v _ { 1 } = 0 , v _ { 2 } > 0 , q > 0 , } \end{array} \right.
\widehat Q _ { t + 1 } ^ { 1 } ( s _ { t } , a _ { t } ^ { 1 } ) = ( 1 - \alpha _ { t } ^ { 1 } ) \widehat Q _ { t } ^ { 1 } ( s _ { t } , a _ { t } ^ { 1 } ) + \alpha _ { t } ^ { 1 } \left( r ^ { i } ( s _ { t } , a _ { t } ^ { 1 } ) + \gamma _ { i } \operatorname* { m a x } _ { \pi \in \mathcal P ( A ^ { 1 } ) } \pi \widehat \pi _ { t } ^ { 2 } \widehat Q _ { t } ^ { 1 } ( s _ { t + 1 } ) \right) \ .
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { A } _ { i } } & { = \alpha \mathbf { \hat { k } } \times \Delta r _ { i } \mathbf { \hat { e } } _ { i } - \omega \mathbf { \hat { k } } \times \omega \mathbf { \hat { k } } \times \Delta r _ { i } \mathbf { \hat { e } } _ { i } + \mathbf { A } } \\ & { = \alpha \Delta r _ { i } \mathbf { \hat { t } } _ { i } - \omega ^ { 2 } \Delta r _ { i } \mathbf { \hat { e } } _ { i } + \mathbf { A } . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \displaystyle \int _ { t _ { n - 1 } } ^ { t } \left( \displaystyle \int _ { t _ { n - 1 } } ^ { \eta } ( V - W ) ^ { \prime \prime } ( s ) d s \right) d \eta } & { \leq \displaystyle \int _ { t _ { n - 1 } } ^ { t } \left( \displaystyle \int _ { t _ { n - 1 } } ^ { \eta } d s \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \displaystyle \int _ { t _ { n - 1 } } ^ { \eta } | V ^ { \prime \prime } - W ^ { \prime \prime } | ^ { 2 } d s \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } d \eta } \\ & { = \displaystyle \int _ { t _ { n - 1 } } ^ { t } ( \eta - t _ { n - 1 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \displaystyle \int _ { t _ { n - 1 } } ^ { \eta } | V ^ { \prime \prime } - W ^ { \prime \prime } | ^ { 2 } d s \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } d \eta } \\ & { \leq \left\{ \displaystyle \int _ { t _ { n - 1 } } ^ { t } ( \eta - t _ { n - 1 } ) d \eta \right\} ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left\{ \displaystyle \int _ { t _ { n - 1 } } ^ { t } \left( \displaystyle \int _ { t _ { n - 1 } } ^ { \eta } | V ^ { \prime \prime } - W ^ { \prime \prime } | ^ { 2 } d s \right) d \eta \right\} ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \leq \sqrt { \displaystyle \frac { 1 } { 2 } } ( t - t _ { n - 1 } ) \left\{ \displaystyle \int _ { t _ { n - 1 } } ^ { t } \left( \displaystyle \int _ { t _ { n - 1 } } ^ { \eta } | V ^ { \prime \prime } - W ^ { \prime \prime } | ^ { 2 } d s \right) d \eta \right\} ^ { \frac { 1 } { 2 } } , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { f = ( f _ { 1 } , \ldots , f _ { k } ) \in ( C _ { x } ^ { \infty } ) ^ { k } } \frac { \rVert A ( f ) \rVert _ { H _ { x } ^ { s } } } { \sum _ { i = 1 } ^ { k } \left( \rVert f _ { i } \rVert _ { H _ { x } ^ { s + \mu } } \Pi _ { j = 1 , \ j \ne i } ^ { k } \rVert f _ { j } \rVert _ { H _ { x } ^ { \mu } } \right) } < \infty , \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ s \ge ~ 0 ~ . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { A } \displaystyle v ^ { \theta } ( r ) d r } & { = \underbrace { \mathcal { S } ( t ) v ^ { \theta } ( 0 ) + \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { S } ( t - s ) \mathcal { F } ^ { \theta } ( s ) d s + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { Z } } \mathcal { S } ( t - s ) \overline { { G } } ( z , x , s - ) \tilde { N } ( d s , d z ) } _ { = v ^ { \theta } ( t ) } } \\ & { - \left( v ^ { \theta } ( 0 ) + \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { F } ^ { \theta } ( s ) d s + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { Z } } \overline { { G } } ( z , x , s - ) \tilde { N } ( d s , d z ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname { a r g m i n } _ { \boldsymbol { \alpha } } \sum _ { \tau = 0 } ^ { T _ { p } - 1 } \lambda _ { a } \| a ( \tau ) \| ^ { 2 } + \sum _ { \tau = 0 } ^ { T _ { p } - 1 } \lambda _ { \Delta a } \| a ( \tau ) - a ( \tau - 1 ) \| ^ { 2 } } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad + \mu ^ { k \top } B \boldsymbol { \alpha } + \left( \frac { \rho } { 2 } \right) \| B \boldsymbol { \alpha } - c _ { \boldsymbol { \alpha } } ^ { ( k ) } \| ^ { 2 } , } \\ & { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } \; \; \; a ( \tau ) \in [ a _ { \operatorname* { m i n } } , a _ { \operatorname* { m a x } } ] , } \end{array}
f _ { 2 0 0 } = \left( \begin{array} { c } { a 0 . 8 7 3 4 } \\ { - 0 . 7 5 4 8 } \end{array} \right) , f _ { 1 1 0 } = \left( \begin{array} { c } { - 1 . 6 6 6 7 } \\ { 1 . 1 0 4 5 } \end{array} \right) , f _ { 1 0 1 } = \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { \frac { 5 0 } { 4 1 } } \end{array} \right) , f _ { 0 1 1 } = \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { - 0 . 3 } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \mathbf { x } _ { 0 } } { \partial G _ { 0 } } } & { = { s i g n } ( x _ { 0 } ) \frac { 1 } { M _ { 0 } k _ { 0 } } \big ( \langle \mathbf { x } _ { 0 } , \mathbf { p } _ { 0 } \rangle , 0 \big ) = { s i g n } ( x _ { 0 } ) \frac { 1 } { M _ { 0 } k _ { 0 } } ( r ^ { 1 / 2 } ( v \cos ^ { 2 } \psi - \frac { 1 } { 2 } w \sin 2 \psi ) , 0 ) . } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } \mathbf { x } _ { 0 } } { \partial G _ { 0 } ^ { 2 } } } & { = \frac { 1 } { M _ { 0 } k _ { 0 } } ( 0 , - { s i g n } ( x _ { 0 } ) ) - \frac { | \mathbf { p } _ { 0 } | ^ { 2 } } { M _ { 0 } ^ { 2 } k _ { 0 } ^ { 2 } } \mathbf { x } _ { 0 } = \frac { 1 } { M _ { 0 } k _ { 0 } } ( 0 , - { s i g n } ( x _ { 0 } ) - \frac { 1 } { M _ { 0 } k _ { 0 } } M _ { 0 } ^ { 1 / 2 } \cos \psi ( v \cos \psi - w \sin \psi ) ^ { 2 } ) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { Q ^ { \prime \prime } ( \varepsilon z ^ { \prime } ) z ^ { \prime \prime } = F ^ { \prime } ( z ) - \sigma , \qquad \mathrm { ~ i n ~ } ( - \varepsilon ^ { - 1 } , \varepsilon ^ { - 1 } ) , } \\ { z ^ { \prime } ( \pm \varepsilon ^ { - 1 } ) = 0 , } \\ { \displaystyle \int _ { - \varepsilon ^ { - 1 } } ^ { \varepsilon ^ { - 1 } } z ( x ) \, d x = 2 r \varepsilon ^ { - 1 } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { D ^ { \mathbf \nu } W = \sum _ { 1 \le \vert \mathbf \lambda \vert \le n } D ^ { \mathbf \lambda } F \sum _ { s = 1 } ^ { n } \sum _ { p _ { s } ( \mathbf \nu , \mathbf \lambda ) } ( \mathbf \nu ! ) \prod _ { j = 1 } ^ { s } \frac { [ D ^ { l _ { j } } G _ { 1 } , \cdots , D ^ { l _ { j } } G _ { m } ] ^ { k _ { j } } } { ( k _ { j } ! ) ( l _ { j } ) ^ { \vert k _ { j } \vert } } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \boldsymbol { 1 } } = { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } , \qquad } & { { \boldsymbol { i } } = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { - 1 } & { 0 } \end{array} \right) } , } \\ { { \boldsymbol { j } } = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } , \qquad } & { { \boldsymbol { k } } = { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) } . } \end{array} }
{ \begin{array} { r l } { { 1 } R _ { x } ( \theta ) } & { = { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \cos \theta } & { - \sin \theta } \\ { 0 } & { \sin \theta } & { \cos \theta } \end{array} \right] } } \\ { R _ { y } ( \theta ) } & { = { \left[ \begin{array} { l l l } { \cos \theta } & { 0 } & { \sin \theta } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { - \sin \theta } & { 0 } & { \cos \theta } \end{array} \right] } } \\ { R _ { z } ( \theta ) } & { = { \left[ \begin{array} { l l l } { \cos \theta } & { - \sin \theta } & { 0 } \\ { \sin \theta } & { \cos \theta } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } } \end{array} }
{ \begin{array} { r l } { { \tilde { \mathbf { A } } } } & { = { \left( \begin{array} { l l l } { \mathbf { A } _ { 1 1 } } & { \mathbf { A } _ { 1 2 } } & { \mathbf { A } _ { 1 3 } } \\ { \mathbf { A } _ { 1 2 } ^ { \mathrm { T } } } & { \mathbf { A } _ { 2 2 } } & { \mathbf { A } _ { 2 3 } } \\ { \mathbf { A } _ { 1 3 } ^ { \mathrm { T } } } & { \mathbf { A } _ { 2 3 } ^ { \mathrm { T } } } & { \mathbf { A } _ { 3 3 } } \end{array} \right) } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \frac { E _ { r } ^ { n + 1 } - E _ { r } ^ { * } } { \Delta t } - \nabla \cdot D ^ { * } \nabla E _ { r } ^ { n + 1 } + \sigma _ { E } ^ { * } c E _ { r } ^ { n + 1 } } & { = \sigma _ { p } ^ { * } a c ( T ^ { n + 1 } ) ^ { 4 } , } \\ { \rho ^ { n + 1 } c _ { v } \frac { T ^ { n + 1 } - T ^ { * } } { \Delta t } + \sigma _ { p } ^ { * } a c ( T ^ { n + 1 } ) ^ { 4 } - \sigma _ { E } ^ { * } c E _ { r } ^ { n + 1 } } & { = 0 . } \end{array}
{ { \bar { \gamma } } _ { k } } = \frac { { { { \left| { ( { { \boldsymbol { h } } _ { \mathrm { { c o m } } , k } ^ { 2 } } ) ^ { H } { \boldsymbol { w } _ { \mathrm { { Z F } } , k } ^ { 1 } } } \right| } ^ { 2 } } } } { { \sum _ { u \ne k } { { { \left| { ( { { \boldsymbol { h } } _ { { \mathrm { c o m } } , k } ^ { 2 } } ) ^ { H } { \boldsymbol { w } _ { \mathrm { { Z F } } , u } ^ { 1 } } } \right| } ^ { 2 } } + { \sigma ^ { 2 } } } } } .
1 + B _ { \Delta } ^ { ( d ) } = ( 1 + \lambda V ^ { 1 / 2 } M _ { \Delta } ^ { ( d ) } | V | ^ { 1 / 2 } ) \left( 1 + \frac { \lambda m _ { \mu } ^ { ( d ) } ( \Delta ) } { 1 + \lambda V ^ { 1 / 2 } M _ { \Delta } ^ { ( d ) } | V | ^ { 1 / 2 } } V ^ { 1 / 2 } ( \mathfrak { F } _ { \mu } ^ { ( d ) } ) ^ { \dagger } \mathfrak { F } _ { \mu } ^ { ( d ) } | V | ^ { 1 / 2 } \right)
\begin{array} { r l } & { \left( y + \frac { l } { \pi _ { P } ^ { k } } x + \frac { m } { \pi _ { P } ^ { 3 k } } \right) ^ { 2 } + \frac { a _ { 1 } } { \pi _ { P } ^ { k } } \left( x + \frac { l ^ { 2 } + a _ { 1 } l } { \pi _ { P } ^ { 2 k } } \right) \left( y + \frac { l } { \pi _ { P } ^ { k } } x + \frac { m } { \pi _ { P } ^ { 3 k } } \right) + \frac { a _ { 3 } } { \pi _ { P } ^ { 3 k } } \left( y + \frac { l } { \pi _ { P } ^ { k } } x + \frac { m } { \pi _ { P } ^ { 3 k } } \right) } \\ & { - \left( x + \frac { l ^ { 2 } + a _ { 1 } l } { \pi _ { P } ^ { 2 k } } \right) ^ { 3 } - \frac { a _ { 4 } } { \pi _ { P } ^ { 4 k } } \left( x + \frac { l ^ { 2 } + a _ { 1 } l } { \pi _ { P } ^ { 2 k } } \right) - \frac { a _ { 6 } } { \pi _ { P } ^ { 6 k } } \in R _ { P } [ x , y ] . } \end{array}
\widehat { \beta } _ { \nu } = \widehat { \mathbb { E } } _ { n } [ ( e _ { i } ( 1 - e _ { i } ) ) ^ { \nu + 1 } Z _ { i } \, Z _ { i } ^ { \prime } ] ^ { - 1 } \widehat { \mathbb { E } } _ { n } [ ( e _ { i } ( 1 - e _ { i } ) ) ^ { \nu } Z _ { i } ( W _ { i } - e _ { i } ) Y _ { i } ] = \widehat { \mathbb { E } } _ { n } [ Z _ { i } ( \nu ) Z _ { i } ( \nu ) ^ { \prime } ] ^ { - 1 } \widehat { \mathbb { E } } _ { n } [ Z _ { i } ( \nu ) Y _ { i } ( \nu ) ] ,
E _ { b a r e } = \left( \begin{array} { l l } { - 1 + \delta \mu ( \lambda ) + \hat { \nu } _ { 1 1 } ( { \bf k } , \lambda ) } & { - \Omega ^ { * } ( { \bf k } ) + \hat { \nu } _ { 1 2 } ( { \bf k } , \lambda ) } \\ { - \Omega ( { \bf k } ) + \hat { \nu } _ { 1 2 } ( - { \bf k } , \lambda ) } & { - 1 + \delta \mu ( \lambda ) + \hat { \nu } _ { 1 1 } ( { \bf k } , \lambda ) } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { U _ { G } = } & { ( \mathbb { R } ^ { d n } - \nu _ { P } ) \cup \pi _ { P } ^ { - 1 } ( \cap _ { ( \alpha , \beta ) \in E ( G ) } D _ { \alpha \beta } ) , } \\ { U _ { G } ^ { 1 } = } & { ( \mathbb { R } ^ { d n } - p _ { 1 } ^ { - 1 } p _ { 1 } ( \nu _ { P } ) ) \cup p _ { 1 } ^ { - 1 } p _ { 1 } ( \cap _ { ( \alpha , \beta ) \in E ( G ) } \pi _ { P } ^ { - 1 } D _ { \alpha \beta } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi ^ { L } } & { : = \phi ^ { L } ( 2 \cdot ) - \frac { 2 7 } { 4 } \phi ^ { 2 } ( 2 \cdot ) + [ \frac { 4 1 3 9 } { 2 6 3 5 2 } , \frac { 2 1 5 } { 1 4 4 } ] \phi ( 2 \cdot - 1 ) - [ \frac { 6 2 3 } { 6 5 8 8 } , \frac { 1 1 9 } { 1 0 9 8 } ] \phi ( 2 \cdot - 2 ) + [ 0 , \frac { 2 7 } { 1 2 2 } ] \phi ( 2 \cdot - 3 ) , } \\ { \psi ^ { L , b c 1 } } & { : = - \frac { 2 1 } { 2 } \phi ^ { L , b c } ( 2 \cdot ) + [ \frac { 1 7 } { 2 4 } , - \frac { 5 8 4 7 } { 4 8 8 } ] \phi ( 2 \cdot - 1 ) + [ \frac { 1 1 5 } { 3 6 6 } , \frac { 2 3 3 } { 6 1 } ] \phi ( 2 \cdot - 2 ) + [ - \frac { 9 } { 6 1 } , 0 ] \phi ( 2 \cdot - 3 ) , } \\ { \psi ^ { L , b c 2 } } & { : = \frac { 9 3 } { 1 6 } \phi ^ { L , b c } ( 2 \cdot ) + [ - \frac { 2 3 5 } { 2 1 1 2 } , \frac { 3 0 3 5 1 } { 3 9 0 4 } ] \phi ( 2 \cdot - 1 ) + [ \frac { 8 5 2 7 } { 3 2 2 0 8 } , \frac { 3 5 7 1 } { 4 8 8 } ] \phi ( 2 \cdot - 2 ) + [ - \frac { 4 2 8 } { 6 7 1 } , \frac { 1 9 5 } { 4 4 } ] \phi ( 2 \cdot - 3 ) , } \\ { \psi ^ { L , b c 3 } } & { : = \phi ^ { L , b c } ( 2 \cdot ) - [ \frac { 4 1 } { 1 4 4 } , \frac { 1 2 1 } { 4 8 8 } ] \phi ( 2 \cdot - 1 ) + [ \frac { 3 4 1 } { 2 1 9 6 } , - \frac { 1 9 8 7 } { 7 3 2 } ] \phi ( 2 \cdot - 2 ) + [ \frac { 4 5 } { 9 7 6 } , 0 ] \phi ( 2 \cdot - 3 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta ( Q ) } & { > ( \sqrt { p _ { k } } - c _ { k } ) \sqrt { n } - 1 } \\ & { = c _ { k } \sqrt { n } + ( \sqrt { p _ { k } } - 2 c _ { k } ) \sqrt { n } - 1 } \\ & { > c _ { k } \sqrt { | V ( Q ) | } + ( \sqrt { p _ { k } } - 2 c _ { k } ) \sqrt { n } - 1 } \\ & { = c _ { k } \sqrt { | V ( Q ) | } + \frac { ( k + 1 ) ^ { 2 } \sqrt { n } } { \sqrt { p _ { n } } - c _ { k } } - 1 } \\ & { = c _ { k } \sqrt { | V ( Q ) | } + \frac { ( k + 1 ) ( ( k - 2 ) \sqrt { n } + 3 \sqrt { n } ) } { \sqrt { p _ { n } } - c _ { k } } - 1 } \\ & { > c _ { k } \sqrt { | V ( Q ) | } + \frac { ( k + 1 ) ( ( k - 2 ) \sqrt { n } + 3 ( \sqrt { p _ { n } } - c _ { k } ) ) } { \sqrt { p _ { n } } - c _ { k } } - 1 } \\ & { > c _ { k } \sqrt { | V ( Q ) | } + ( k + 1 ) ( s ( k - 2 ) + 3 ) - 1 } \\ & { \geq c _ { k } \sqrt { | V ( Q ) | } + ( k + 1 ) | W ^ { \prime } \cap V ( Q ) | - 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 7 } = v _ { 1 0 } ^ { ( 1 ) } v _ { 1 1 } ^ { ( 1 ) } v _ { 1 2 } ^ { ( 1 ) } , \qquad v _ { 1 1 } ^ { ( 1 ) } = \left( \begin{array} { l l l } { \frac { 1 } { f ( k ) } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { f ( k ) } { f ( \omega ^ { 2 } k ) } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { f ( \omega ^ { 2 } k ) } \end{array} \right) + v _ { 1 1 , r } ^ { ( 1 ) } , } \\ & { v _ { 1 0 } ^ { ( 1 ) } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { b _ { 1 2 , a } e ^ { - \theta _ { 2 1 } } } & { b _ { 1 3 , a } e ^ { - \theta _ { 3 1 } } } \\ { 0 } & { 1 } & { b _ { 2 3 , a } e ^ { - \theta _ { 3 2 } } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , \qquad v _ { 1 2 } ^ { ( 1 ) } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { b _ { 2 1 , a } e ^ { \theta _ { 2 1 } } } & { 1 } & { 0 } \\ { b _ { 3 1 , a } e ^ { \theta _ { 3 1 } } } & { b _ { 3 2 , a } e ^ { \theta _ { 3 2 } } } & { 1 } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Big [ ( D ^ { 2 } - 1 ) - s R e P r \Big ] \Big [ ( D ^ { 2 } - 1 ) - s R e \Big ] ( D ^ { 2 } - 1 ) \bar { \psi } ( z , s ) - R i \; R e ^ { 2 } P r \bar { \psi } ( z , s ) } \\ & { = \textbf { i } R e ^ { 2 } P r \hat { \rho } ( z , t = 0 ) + R e \Big [ ( D ^ { 2 } - 1 ) - s R e P r \Big ] \hat { \omega } ( z , t = 0 ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { 0 } ^ { T } \left< \partial _ { t } u _ { \theta } , \phi \right> _ { ( W ^ { 1 , q } ( \Omega ) ) ^ { \prime } , W ^ { 1 , q } ( \Omega ) ) } d t } \\ & { = } & { - \beta \int _ { \Omega _ { T } } \mu _ { \theta } \phi d x d t - \int _ { \Omega _ { T } } M _ { \theta } ( u _ { \theta } ) \nabla \frac { \mu _ { \theta } } { g _ { \theta } ( u _ { \theta } ) } \cdot \nabla \frac { \phi } { g _ { \theta } ( u _ { \theta } ) } d x d t } \end{array}
\begin{array} { r l } { J ( T ; X ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } ^ { \; \; \beta > \beta _ { c } ^ { ( i ) } } \frac { \sqrt { \beta ( 1 - \lambda _ { i } ) } - 1 } { \lambda _ { i } } } \\ { J ( T ; Y ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } ^ { \; \; \beta > \beta _ { c } ^ { ( i ) } } \frac { 1 - \lambda _ { i } } { \lambda _ { i } } \frac { \sqrt { \beta ( 1 - \lambda _ { i } ) } - 1 } { \sqrt { \beta ( 1 - \lambda _ { i } ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | f _ { k , B ( x , \rho ) } - f _ { k } ( x ) | } & { \leq \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } | f _ { k , B ( x , 2 ^ { - m } \rho ) } - f _ { k , B ( x , 2 ^ { - m - 1 } \rho ) } | } \\ & { \leq \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \fint _ { B ( x , 2 ^ { - m - 1 } \rho ) } | f _ { k } - f _ { k , B ( x , 2 ^ { - m } \rho ) } | d \mu } \\ & { \leq \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \mu ( B ( x , 2 ^ { - m - 1 } \rho ) ) } \int _ { B ( x , 2 ^ { - m } \rho ) } | f _ { k } - f _ { k , B ( x , 2 ^ { - m } \rho ) } | d \mu } \\ & { \leq C \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } ( 2 ^ { - m } \rho ) ^ { \frac { d _ { w } } { 2 } } \Big ( \frac { 1 } { \mu ( B ( x , 2 ^ { - m - 1 } \rho ) ) } \operatorname* { l i m i n f } _ { r \to 0 ^ { + } } E _ { d _ { w } / 2 , B ( x , \lambda 2 ^ { - m } \rho ) } ( f _ { k } , r ) \Big ) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \leq C \rho ^ { \frac { d _ { w } } { 2 } } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } 2 ^ { - \frac { m d _ { w } } { 2 } } \Big ( \frac { 1 } { \mu ( B ( x , \lambda 2 ^ { - m } \rho ) ) } \operatorname* { l i m i n f } _ { r \to 0 ^ { + } } E _ { d _ { w } / 2 , B ( x , \lambda 2 ^ { - m } \rho ) } ( f _ { k } , r ) \Big ) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \leq C \rho ^ { \frac { d _ { w } } { 2 } } ( M _ { \lambda \rho } f _ { k } ( x ) ) ^ { 1 / 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { C \Bigg ( \mathbb { E } \left[ \operatorname* { m a x } _ { k \in \{ 0 , 2 , \dots , \Delta _ { l } ^ { - 1 } \} } \| X _ { k \Delta _ { l } } ^ { l } - X _ { k \Delta _ { l } } ^ { x _ { 0 } ^ { l } } \| ^ { p } \right] + \mathbb { E } \left[ \operatorname* { m a x } _ { k \in \{ 0 , 2 , \dots , \Delta _ { l } ^ { - 1 } \} } \| X _ { k \Delta _ { l } } ^ { x _ { 0 } ^ { l } } - X _ { k \Delta _ { l } } ^ { x _ { 0 } ^ { l - 1 } } \| ^ { p } \right] + } \\ & { } & { \mathbb { E } \left[ \operatorname* { m a x } _ { k \in \{ 0 , 2 , \dots , \Delta _ { l } ^ { - 1 } \} } \| X _ { k \Delta _ { l } } ^ { l - 1 } - X _ { k \Delta _ { l } } ^ { x _ { 0 } ^ { l - 1 } } \| ^ { p } \right] + \mathbb { E } \left[ \operatorname* { m a x } _ { k \in \{ 0 , 2 , \dots , \Delta _ { l } ^ { - 1 } \} } \| X _ { k \Delta _ { l } } ^ { l , a } - X _ { k \Delta _ { l } } ^ { x _ { 0 } ^ { l , a } } \| ^ { p } \right] + } \\ & { } & { \mathbb { E } \left[ \operatorname* { m a x } _ { k \in \{ 0 , 2 , \dots , \Delta _ { l } ^ { - 1 } \} } \| X _ { k \Delta _ { l } } ^ { x _ { 0 } ^ { l , a } } - X _ { k \Delta _ { l } } ^ { x _ { 0 } ^ { l - 1 } } \| ^ { p } \right] + \mathbb { E } \left[ \operatorname* { m a x } _ { k \in \{ 0 , 2 , \dots , \Delta _ { l } ^ { - 1 } \} } \| X _ { k \Delta _ { l } } ^ { l - 1 } - X _ { k \Delta _ { l } } ^ { x _ { 0 } ^ { l - 1 } } \| ^ { p } \right] \Bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { J } _ { \infty } \big ( ( \gamma , \eta ) , \varphi \big ) = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \mathcal { J } _ { n } \big ( ( \gamma , \eta ) , \varphi \big ) } \\ { = } & { \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 0 } ) ^ { 2 } \mathbf { 1 } ( U = 0 ) \big ] \mathbf { 1 } ( p < \bar { \tau } ) ( 1 - \alpha ) } \\ & { + \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 0 } ) ^ { 2 } \mathbf { 1 } ( U = 0 ) \big ] \mathbf { 1 } ( \bar { \tau } \le p \le \bar { \kappa } ) ( 1 - \beta ) } \\ & { + \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \mathbf { 1 } ( U = 0 ) \big ] \mathbf { 1 } ( p > \bar { \kappa } ) } \\ & { + \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \mathbf { 1 } ( U = 1 ) \big ] \mathbf { 1 } ( p > \bar { \kappa } ) } \\ & { + \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \mathbf { 1 } ( U = 0 ) \big ] \mathbf { 1 } ( p < \bar { \tau } ) \alpha } \\ & { + \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \mathbf { 1 } ( U = 1 ) \big ] \mathbf { 1 } ( p < \bar { \tau } ) \alpha } \\ & { + \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \mathbf { 1 } ( U = 0 ) \big ] \mathbf { 1 } ( \bar { \tau } \le p \le \bar { \kappa } ) \beta } \\ & { + \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \mathbf { 1 } ( U = 1 ) \big ] \mathbf { 1 } ( \bar { \tau } \le p \le \bar { \kappa } ) \beta } \\ & { + c \mathbf { P } ( U = 1 ) - d \alpha \mathbf { 1 } ( p \ge \bar { \tau } ) - d \beta ( 1 - \mathbf { 1 } ( \bar { \tau } \le p \le \bar { \kappa } ) ) . } \end{array}
0 = n _ { \mathrm { v } } \frac { \mathrm { d } \nu _ { \mathrm { v } } } { \mathrm { d } T _ { \mathrm { T } } } \frac { \mathrm { d } T } { \mathrm { d } t } + \nu _ { \mathrm { v } } \frac { \mathrm { d } n _ { \mathrm { v } } } { \mathrm { d } t } + n _ { \mathrm { l } } \frac { \mathrm { d } \nu _ { \mathrm { l } } } { \mathrm { d } T _ { \mathrm { T } } } \frac { \mathrm { d } T _ { \mathrm { T } } } { \mathrm { d } t } + \nu _ { \mathrm { l } } \frac { \mathrm { d } n _ { \mathrm { l } } } { \mathrm { d } t } .
q ^ { s + n } \operatorname* { m a x } _ { i = 1 \dots d } \left| \mathbf { v } _ { i } ^ { ( 0 ) } \right| \geq q ^ { s } \operatorname* { m a x } _ { i = 1 , \dots d } \left| \mathbf { g } _ { i } \right| \cdot \left| \mathbf { v } _ { i } ^ { ( 0 ) } \right| = \operatorname* { m a x } _ { i = 1 , \dots d } \vert v _ { i } \vert \gg \Vert \mathbf { Q } \Vert ^ { n }
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \left| \textbf { r } - \textbf { r } ^ { \prime } \right| } } & { = \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \frac { r _ { < } ^ { l } } { r _ { > } ^ { l + 1 } } P _ { l } \left( \cos \theta \right) } \\ { r _ { < } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { r } & { r < r ^ { \prime } } \\ { r ^ { \prime } } & { r \geq r ^ { \prime } } \end{array} \right. \qquad r _ { > } = \left\{ \begin{array} { l l } { r ^ { \prime } } & { r < r ^ { \prime } } \\ { r } & { r \geq r ^ { \prime } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { \alpha } ( L | | \overline { { M } } ) } & { = D _ { \alpha } ( L | | M ^ { f ^ { * } } ) + D _ { \alpha } ( M ^ { f ^ { * } } | | \overline { { M } } ) , } \\ { D _ { \alpha } ( \overline { { M } } | | L ) } & { = D _ { \alpha } ( \overline { { M } } | | M ^ { f } ) + D _ { \alpha } ( M ^ { f } | | L ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r } { \operatorname* { m i n } _ { x \in \mathcal { X } } } & { \quad } & & { \ell _ { 1 } ( x , x _ { n + 1 } ) } \\ { \mathrm { s . t . } } & { } & & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } f _ { i } \cdot c ( z ^ { \mathrm { a l t } } ; y ^ { \tau ( i , z ^ { \mathrm { a l t } } ) } ) \le \sum _ { i = 1 } ^ { n } \tilde { f } _ { i } \cdot c ( z ^ { * } ; y ^ { \tau ( i , z ^ { * } ) } ) , } \\ & { } & & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } f _ { i } = 1 - \alpha , } & \\ & { } & & { f _ { i } \le w _ { \tau ( i , z ^ { \mathrm { a l t } } ) } ( x ) , } & { \forall i \in [ n ] , } \\ & { } & & { \theta _ { i } \ge \theta _ { i + 1 } , } & { \forall i \in [ n - 1 ] , } \\ & { } & & { w _ { \tau ( i , z ^ { \mathrm { a l t } } ) } ( x ) - W _ { \mathrm { m a x } } ( 1 - \theta _ { i } ) \le f _ { i } , } & { \forall i \in [ n ] , } \\ & { } & & { f _ { i } \le W _ { \mathrm { m a x } } \theta _ { i - 1 } , } & { \forall i \in [ n ] , } \\ & { } & & { \sum _ { j = 1 } ^ { i } f _ { j } \le \sum _ { j = 1 } ^ { i + 1 } f _ { j } } & { \forall i \in [ n - 1 ] } \\ & { } & & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \tilde { f } _ { i } = 1 - \alpha , } & \\ & { } & & { \tilde { f } _ { i } \le w _ { \tau ( i , z ^ { * } ) } ( x ) , } & { \forall i \in [ n ] } \\ & { } & & { f , \tilde { f } _ { i } \ge 0 , \quad \theta _ { i } \in \{ 0 , 1 \} } & { \forall i \in [ n ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { G } _ { k } ^ { i } } & { = \frac { 1 } { | \mathcal { S } _ { g } | } \sum _ { j \in \mathcal { S } _ { g } } \nabla _ { \alpha _ { i } ^ { * } \mathbf { p } _ { i } } f _ { j } \left( R _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { i - 1 } } \left( \alpha _ { i } ^ { * } \mathbf { p } _ { i } \right) \right) } \\ & { \approx \frac { 1 } { | \mathcal { S } _ { g } | } \sum _ { j \in \mathcal { S } _ { g } } \nabla _ { \alpha _ { i } ^ { * } \mathbf { p } _ { i } } \left( f _ { j } \left( \mathbf { x } _ { k } ^ { i - 1 } \right) + \left\langle \mathbf { G } _ { k } ^ { i - 1 } , \alpha _ { i } ^ { * } \mathbf { p } _ { i } \right\rangle _ { \mathbf { x } _ { k } } + \frac { 1 } { 2 } \left\langle \alpha _ { i } ^ { * } \mathbf { p } _ { i } , \mathbf { H } _ { k } ^ { i - 1 } [ \alpha _ { i } ^ { * } \mathbf { p } _ { i } ] \right\rangle _ { \mathbf { x } _ { k } } \right) } \\ & { = \mathbf { G } _ { k } ^ { i - 1 } + \alpha _ { i } ^ { * } \mathbf { H } _ { k } ^ { i - 1 } [ \mathbf { p } _ { i } ] = \mathbf { r } _ { i - 1 } + \alpha _ { i } ^ { * } \mathbf { H } _ { k } ^ { i - 1 } [ \mathbf { p } _ { i } ] = \mathbf { r } _ { i } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathrm { d i s t } } ( { \mathrm { s p a n } } \{ \left[ \begin{array} { l } { G S } \\ { W C } \end{array} \right] \} , { \mathrm { s p a n } } \{ \left[ \begin{array} { l } { Y } \\ { Z } \end{array} \right] \} ) } & { \geq \underset { E \in \mathbb { R } ^ { p \times p } } { \operatorname* { m i n } } \left\| G - F R E S ^ { - 1 } \right\| \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( S ) } \\ & { = \underset { E \in \mathbb { R } ^ { p \times p } } { \operatorname* { m i n } } \left\| G - F E \right\| \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( S ) } \\ & { = { \mathrm { d i s t } } ( { \mathrm { s p a n } } \{ G \} , { \mathrm { s p a n } } \{ F \} ) \beta _ { 1 } , } \\ & { = { \mathrm { d i s t } } ( { \mathrm { s p a n } } \{ \tilde { Y } \} , { \mathrm { s p a n } } \{ Y \} ) \beta _ { 1 } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { f ( m ; \; r _ { 1 } , \ldots , r _ { n } ) = } & { f ( m - 1 ; \; r _ { 1 } - 1 , \cdots , r _ { n } ) + \cdots + f ( m - n ; \; r _ { 1 } , \ldots , r _ { n } - 1 ) } \\ { = } & { { \frac { 1 } { ( r _ { 1 } - 1 ) ! \cdots r _ { n } ! } } ( m - 1 ) ( r _ { 1 } + \cdots + r _ { n } - 2 ) ! + \cdots } \\ & { \cdots + { \frac { 1 } { r _ { 1 } ! \cdots ( r _ { n } - 1 ) ! } } ( m - n ) ( r _ { 1 } + \cdots + r _ { n } - 2 ) ! } \\ { = } & { { \frac { 1 } { r _ { 1 } ! \cdots r _ { n } ! } } \left[ r _ { 1 } ( m - 1 ) + \cdots + r _ { n } ( m - n ) \right] \left[ r _ { 1 } + \cdots + r _ { n } - 2 \right] ! } \\ { = } & { { \frac { 1 } { r _ { 1 } ! \cdots r _ { n } ! } } \left[ m ( r _ { 1 } + \cdots + r _ { n } ) - m \right] \left[ r _ { 1 } + \cdots + r _ { n } - 2 \right] ! } \\ { = } & { { \frac { m ( r _ { 1 } + \cdots + r _ { n } - 1 ) ! } { r _ { 1 } ! \cdots r _ { n } ! } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { I ( 1 , \lambda ) } & { = 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } d \xi \int _ { 0 } ^ { \infty } d u ( \xi ( 1 - \xi ) ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { - ( 1 + \lambda ) u \xi ( 1 - \xi ) } } \\ & { = 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } d \xi \frac { 1 } { ( 1 + \lambda ) \sqrt { \xi ( 1 - \xi ) } } } \\ & { = \frac { 2 \pi } { 1 + \lambda } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \big ( ( x _ { u } , w _ { u } ) \leftrightarrow \widetilde { \mathcal V } _ { \ell } \mid | \widetilde { \mathcal V } _ { \ell } | \ge s _ { k } \big ) } & { \ge 1 - \big ( 1 - p \operatorname* { m i n } \big \{ 1 , \beta ^ { \alpha } ( 2 \sqrt { d } ) ^ { - \alpha d } w _ { \mathrm { h h } } ^ { ( 1 + \sigma ) \alpha } k ^ { - \alpha } \big \} \big ) ^ { s _ { k } } } \\ & { = 1 - \big ( 1 - p \beta ^ { \alpha } ( 2 \sqrt { d } ) ^ { - \alpha d } w _ { \mathrm { h h } } ^ { ( 1 + \sigma ) \alpha } k ^ { - \alpha } \big ) ^ { k w _ { \mathrm { h h } } ^ { - ( \tau - 1 ) } / 1 6 } } \\ & { \ge 1 - \exp \big ( - ( p / 1 6 ) \beta ^ { \alpha } ( 2 \sqrt { d } ) ^ { - \alpha d } w _ { \mathrm { h h } } ^ { ( 1 + \sigma ) \alpha - ( \tau - 1 ) } k ^ { 1 - \alpha } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb E \left[ x _ { + } ( t ) ^ { \top } \Sigma _ { k } ^ { - 1 } x _ { + } ( t ) \right] \leq \beta \int _ { 0 } ^ { t } [ 4 \left\| u \right\| _ { L _ { s } ^ { 2 } } ^ { 2 } - \sigma _ { k } ^ { - 1 } \alpha _ { k } ( s ) ] \operatorname { e } ^ { \beta ( t - s ) } d s + 4 \left\| u \right\| _ { L _ { t } ^ { 2 } } ^ { 2 } - \sigma _ { k } ^ { - 1 } \alpha _ { k } ( t ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \left[ { \mathcal { H } } , p _ { i } \right] } & { = 0 } \\ { \left[ { \mathcal { H } } , L _ { i } \right] } & { = 0 } \\ { \left[ { \mathcal { H } } , K _ { i } \right] } & { = i \hbar c p _ { i } } \\ { \left[ p _ { i } , p _ { j } \right] } & { = 0 } \\ { \left[ p _ { i } , L _ { j } \right] } & { = i \hbar \epsilon _ { i j k } p _ { k } } \\ { \left[ p _ { i } , K _ { j } \right] } & { = { \frac { i \hbar } { c } } { \mathcal { H } } \delta _ { i j } } \\ { \left[ L _ { i } , L _ { j } \right] } & { = i \hbar \epsilon _ { i j k } L _ { k } } \\ { \left[ L _ { i } , K _ { j } \right] } & { = i \hbar \epsilon _ { i j k } K _ { k } } \\ { \left[ K _ { i } , K _ { j } \right] } & { = - i \hbar \epsilon _ { i j k } L _ { k } } \end{array} }
\begin{array} { r } { s ( y , u ) : = \left[ \begin{array} { l } { y } \\ { u } \end{array} \right] ^ { H } \left[ \begin{array} { l l } { Q } & { S } \\ { S ^ { H } } & { R } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { y } \\ { u } \end{array} \right] , \quad Q , R , S \in \mathbb { C } ^ { m \times m } , \quad Q = Q ^ { H } , \quad R = R ^ { H } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { m _ { 4 } ^ { 3 } - ( m _ { 3 } + m _ { 4 } + m _ { 5 } ) m _ { 6 } ^ { 2 } } \\ & { } & { m _ { 4 } ^ { 3 } + m _ { 1 } m _ { 6 } ^ { 2 } + m _ { 2 } m _ { 6 } ^ { 2 } + m _ { 6 } ^ { 3 } , } \\ & { } & { \mu _ { 5 } ( m _ { 4 } , m _ { 5 } , m _ { 6 } ) } \\ & { } & { - m _ { 1 } m _ { 4 } ^ { 3 } - m _ { 3 } m _ { 4 } ^ { 3 } - m _ { 2 } m _ { 3 } m _ { 6 } ^ { 2 } + m _ { 1 } m _ { 4 } m _ { 6 } ^ { 2 } + m _ { 1 } m _ { 5 } m _ { 6 } ^ { 2 } - m _ { 3 } m _ { 6 } ^ { 3 } , } \\ & { } & { \mu _ { 4 5 } ( m _ { 3 } , m _ { 4 } , m _ { 5 } , m _ { 6 } ) , } \\ & { } & { m _ { 4 } ^ { 1 1 } m _ { 5 } ^ { 2 } - m _ { 4 } ^ { 1 1 } m _ { 6 } ^ { 2 } + 3 m _ { 1 } m _ { 4 } ^ { 8 } m _ { 5 } ^ { 2 } m _ { 6 } ^ { 2 } + 3 m _ { 2 } m _ { 4 } ^ { 8 } m _ { 5 } ^ { 2 } m _ { 6 } ^ { 2 } - \cdots \mathrm { ( 5 6 ~ o t h e r ~ t e r m s ) } , } \\ & { } & { \mu _ { 8 8 } ( m _ { 3 } , m _ { 4 } , m _ { 5 } , m _ { 6 } ) , } \\ & { } & { \mu _ { 1 1 1 } ( m _ { 3 } , m _ { 4 } , m _ { 5 } , m _ { 6 } ) , } \\ & { } & { - m _ { 1 } ^ { 3 } m _ { 4 } ^ { 1 1 } - m _ { 5 } ^ { 2 } - 3 m _ { 1 } ^ { 2 } m _ { 3 } m _ { 4 } ^ { 1 1 } m _ { 5 } ^ { 2 } - 3 m _ { 1 } m _ { 3 } ^ { 2 } m _ { 4 } ^ { 1 1 } m _ { 5 } ^ { 2 } - m _ { 3 } ^ { 3 } m _ { 4 } ^ { 1 1 } m _ { 5 } ^ { 2 } + \cdots \mathrm { ( 1 3 5 ~ o t h e r ~ t e r m s ) } , } \\ & { } & { 9 m _ { 1 } m _ { 4 } ^ { 1 1 } m _ { 5 } ^ { 4 } + 9 m _ { 2 } m _ { 4 } ^ { 1 1 } m _ { 5 } ^ { 4 } + 6 m _ { 4 } ^ { 1 2 } m _ { 5 } ^ { 4 } + 9 m _ { 4 } ^ { 1 1 } m _ { 5 } ^ { 4 } m _ { 6 } - \cdots \mathrm { ( 1 5 8 ~ o t h e r ~ t e r m s ) } , } \\ & { } & { m _ { 1 } ^ { 3 } m _ { 4 } ^ { 9 } m _ { 5 } ^ { 6 } + 3 m _ { 1 } ^ { 2 } m _ { 2 } m _ { 4 } ^ { 9 } m _ { 5 } ^ { 6 } + 3 m _ { 1 } m _ { 2 } ^ { 2 } m _ { 4 } ^ { 9 } m _ { 5 } ^ { 6 } + m _ { 2 } ^ { 3 } m _ { 4 } ^ { 9 } m _ { 5 } ^ { 6 } + \cdots \mathrm { ( 3 0 4 ~ o t h e r ~ t e r m s ) } , } \\ & { } & { 9 m _ { 1 } ^ { 3 } m _ { 2 } m _ { 3 } m _ { 4 } ^ { 1 1 } m _ { 5 } ^ { 4 } + 2 7 m _ { 1 } ^ { 2 } m _ { 2 } m _ { 3 } ^ { 2 } m _ { 4 } ^ { 1 1 } m _ { 5 } ^ { 4 } + 2 7 m _ { 1 } m _ { 2 } m _ { 3 } ^ { 3 } m _ { 4 } ^ { 1 1 } m _ { 5 } ^ { 4 } + 9 m _ { 2 } m _ { 3 } ^ { 4 } m _ { 4 } ^ { 1 1 } m _ { 5 } ^ { 4 } } \\ & { } & { \qquad - \cdots \mathrm { ( 4 2 0 ~ o t h e r ~ t e r m s ) } , } \\ & { } & { m _ { 1 } ^ { 3 } m _ { 2 } ^ { 3 } m _ { 3 } ^ { 3 } m _ { 4 } ^ { 9 } m _ { 5 } ^ { 6 } + 3 m _ { 1 } ^ { 2 } m _ { 2 } ^ { 3 } m _ { 3 } ^ { 4 } m _ { 4 } ^ { 9 } m _ { 5 } ^ { 6 } + 3 m _ { 1 } m _ { 2 } ^ { 3 } m _ { 3 } ^ { 5 } m _ { 4 } ^ { 9 } m _ { 5 } ^ { 6 } + m _ { 2 } ^ { 3 } m _ { 3 } ^ { 6 } m _ { 4 } ^ { 9 } m _ { 5 } ^ { 6 } + \cdots \mathrm { ( 9 6 7 ~ o t h e r ~ t e r m s ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 2 } \int _ { 1 } ^ { r } \frac { \mathrm { d } r } { ( 1 - r ) ^ { n } } } & { = - \int _ { 0 } ^ { t } \frac { c _ { 1 } } { \frac { 1 } { R T } - c _ { 3 } } \frac { 1 } { t } \exp \left[ - ( n - 1 ) \left( c _ { 0 } + c _ { 1 } \frac { \ln t - c _ { 2 } } { \frac { 1 } { R T } - c _ { 3 } } \right) \right] \mathrm { d } t } \\ { \int _ { 1 } ^ { r } \frac { \mathrm { d } r } { ( 1 - r ) ^ { n } } } & { = - \int _ { 0 } ^ { t } \frac { c _ { 1 } } { \ln ( \frac { 1 } { R T } ) - c _ { 3 } } \frac { 1 } { t } \exp \left[ - ( n - 1 ) \left( c _ { 0 } + c _ { 1 } \frac { \ln t - c _ { 2 } } { \ln ( \frac { 1 } { R T } ) - c _ { 3 } } \right) \right] \mathrm { d } t } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { V } _ { u } ( x ) } & { \leq - 2 c \! \left( \frac { \pi } { L } \right) ^ { 2 } \! \frac { W ( x ) } { 1 \! + \! W ( x ) } \! + 2 \frac { W ( x ) } { 1 \! + \! W ( x ) } \| v \| _ { C ( 0 , L ) } } \\ & { \leq - 2 c \! \left( \frac { \pi } { L } \right) ^ { 2 } \! \frac { \| x \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , L ) } ^ { 2 } } { 1 \! + \! \| x \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , L ) } ^ { 2 } } + 2 \| v \| _ { C ( 0 , L ) } , } \\ & { = - \alpha ( \| x \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , L ) } ) + \sigma ( \| v \| _ { C ( 0 , L ) } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { w ( v _ { i } ) } & { = f ( v _ { i - 1 } ) + f ( v _ { i + 1 } ) + f ( e _ { i - 1 } ) + f ( e _ { i } ) } \\ & { = [ 2 n - ( i - 1 ) + 1 ] + [ 2 n - ( i + 1 ) + 1 ] + f ( e _ { i - 1 } ) + f ( e _ { i } ) } \\ & { = 4 n + 2 - 2 i + f ( e _ { i - 1 } ) + f ( e _ { i } ) } \\ & { = 4 n + 2 - 2 i + \left\{ \begin{array} { l l } { i + ( i - 1 ) } & { \mathrm { i f ~ i ~ \equiv ~ 0 ( \bmod ~ 4 ) ~ } } \\ { ( i - 2 ) + i } & { \mathrm { i f ~ i ~ \equiv ~ 1 ( \bmod ~ 4 ) ~ } } \\ { ( i - 1 ) + i } & { \mathrm { i f ~ i ~ \equiv ~ 2 ( \bmod ~ 4 ) ~ } } \\ { ( i - 1 ) + ( i + 1 ) } & { \mathrm { i f ~ i ~ \equiv ~ 3 ( \bmod ~ 4 ) ~ } } \end{array} \right. } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 4 n + 1 } & { \mathrm { i f ~ i ~ i s ~ e v e n } } \\ { 4 n } & { \mathrm { i f ~ i ~ \equiv ~ 1 ( \bmod ~ 4 ) ~ } } \\ { 4 n + 2 } & { \mathrm { i f ~ i ~ \equiv ~ 3 ( \bmod ~ 4 ) ~ } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \underset { \mathbf { w } } { \mathop { \operatorname* { m i n } } } \frac { 1 } { T \times N } { \sum _ { t = 1 } ^ { T } } { \sum _ { n = 1 } ^ { N } } \frac { 1 } { \sigma _ { t , n } ^ { 2 } } | | ( \hat { y } _ { t , n } - \tilde { y } _ { t , n } ) m _ { t , n } | | _ { 2 } ^ { 2 } , } \\ & { \mathrm { s . t . } ~ \frac { 1 } { T \times N } { \sum _ { t = 1 } ^ { T } } { \sum _ { n = 1 } ^ { N } } \mathrm { l o g } \sigma _ { t , n } ^ { 2 } < \tau , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } ^ { ( k ) } ( \mathcal { N } _ { n , p , d } ^ { c } ) } & { \leq \frac { 2 n } { k } + \frac { k - 1 } { k } p n ^ { \alpha } = : U _ { n , p , \alpha } ^ { c } ( k ) , } \\ { \mathcal { Q } ^ { ( k + 1 ) } ( \mathcal { N } _ { n , p , d } ^ { c } ) } & { \geq \frac { k } { k + 1 } p n ^ { \alpha } = : L _ { n , p , \alpha } ^ { c } ( k + 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \operatorname* { m i n } _ { y \in \mathbb { R } ^ { 3 \cdot 2 } } \tilde { f } ( y ) = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } f ^ { [ 1 ] } ( y _ { i } ^ { [ 1 ] } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } f ^ { [ 2 ] } ( y _ { i } ^ { [ 2 ] } ) } \\ & { } & { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } \quad \mathcal { L } y = 0 _ { 3 \cdot 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { n + 1 } ^ { E } ( S ( u ) ) ( x ) } & { = u ( \delta _ { t _ { n + 1 } } ) - \sum _ { k = 0 } ^ { n } \lambda _ { k } ^ { E } ( S ( u ) ) \varphi _ { k } ^ { \mathcal { T } } ( t _ { n + 1 } ) = u ( \delta _ { t _ { n + 1 } } ) - \sum _ { k = 0 } ^ { n } u ( \lambda _ { k } ^ { \mathbb { K } } ) \varphi _ { k } ^ { \mathcal { T } } ( t _ { n + 1 } ) } \\ & { = u ( \lambda _ { n + 1 } ^ { \mathbb { K } } ) , \quad n \geq 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { h } ^ { ( g ) } ( s ; K + 2 ) - \hat { h } ^ { ( g ) } ( s ; K ) } & { = \left( \frac { 1 } { K + 2 } - \frac { 1 } { K } \right) \mathbb { E } \left[ \left\Vert I - \frac { \bar { \eta } } { b } H \right\Vert ^ { s } \right] } \\ & { \quad + \left( \frac { 1 } { K + 2 } - \frac { 1 } { K } \right) \sum _ { j = 1 } ^ { \frac { K - 1 } { 2 } } \left( \mathbb { E } \left[ \left\Vert I - \frac { \bar { \eta } - j \delta } { b } H \right\Vert ^ { s } \right] + \mathbb { E } \left[ \left\Vert I - \frac { \bar { \eta } + j \delta } { b } H \right\Vert ^ { s } \right] \right) } \\ & { \qquad + \frac { 1 } { K + 2 } \left( \mathbb { E } \left[ \left\Vert I - \frac { \bar { \eta } - \frac { K + 1 } { 2 } \delta } { b } H \right\Vert ^ { s } \right] + \mathbb { E } \left[ \left\Vert I - \frac { \bar { \eta } + \frac { K + 1 } { 2 } \delta } { b } H \right\Vert ^ { s } \right] \right) . } \end{array}
\frac { \partial G _ { a b } ( \theta ) } { \partial Y _ { i j } ( \theta ) } = - G _ { a i } ( \theta ) ( Y ( \theta ) ^ { T } G ( \theta ) ) _ { j b } - ( G ( \theta ) Y ( \theta ) ) _ { a j } G _ { i b } ( \theta ) , \qquad \frac { \mathrm { d } Y _ { i j } ( \theta ) } { \mathrm { d } \theta } = \sqrt { \lambda } { \boldsymbol u } _ { i } { \boldsymbol v } _ { j } ^ { T } .
\mathrm { L S } _ { s } ^ { \mathrm { c o h } } : \left\{ \begin{array} { c l } { \omega \mathrm { - H i t c h i n - s m a l l ~ c o h e r e n t } } \\ { \mathrm { H i g g s ~ m o d u l e s ~ o n ~ { \mathcal ~ X } ~ } } \end{array} \right\} \hookrightarrow \left\{ \begin{array} { c l } { \mathcal { O } _ { { \mathcal X } _ { v } } - \mathrm { m o d u l e s } } \\ { \mathrm { o n ~ ( { \mathcal ~ X } _ v , \mathcal { O } _ { { \mathcal ~ X } _ v } ) ~ } } \end{array} \right\}
\begin{array} { r l } { \Vert \nabla _ { x } \widetilde { \mathrm { X } } ^ { s ; t } \Vert _ { \mathrm { L } _ { x , v } ^ { \infty } } } & { \leq \frac { 1 } { e ^ { t - s } - 1 } \int _ { s } ^ { t } ( e ^ { \tau - s } - 1 ) \Vert \nabla _ { x } \mathrm { F } ( \tau ) \Vert _ { \mathrm { L } _ { x , v } ^ { \infty } } ( 1 + \Vert \nabla _ { x } \mathrm { Y } ^ { \tau ; t } \Vert _ { \mathrm { L } _ { x , v } ^ { \infty } } ) \, \mathrm { d } \tau } \\ & { \lesssim T ^ { 1 / 2 } \Lambda ( T , R ) ( 1 + \varphi ( T ) \Lambda ( T , \mathrm { R } ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { f } ( a , N ) \le N } & { = ( 1 + \kappa ) ^ { 1 / 2 } \cdot \frac { \sqrt { 3 2 } } { \sqrt { 3 } \pi ^ { 1 / 4 } \eta _ { 3 } ^ { 3 / 4 } } N \kappa ^ { 1 / 2 } } \\ & { = \delta _ { 3 } \frac { \sqrt { 3 2 } } { \sqrt { 3 } \pi ^ { 1 / 4 } \eta _ { 3 } ^ { 1 / 4 } } N ^ { 1 / 2 } \lambda _ { 1 } ^ { - 1 / 6 } \le B _ { 3 } N ^ { 1 / 2 } \lambda _ { 3 } ^ { - 1 / 6 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { v o l } _ { \chi } ( L _ { | E } , P ( \varphi ) _ { | E } , P ( \psi ) _ { | E } ) } & { = d ! \int _ { \Delta ( L _ { | E } ) } \left( G _ { ( L _ { | E } , P ( \varphi ) _ { | E } ) } - G _ { L _ { | E } , P ( \psi ) _ { | E } } \right) ( \alpha ) \mathrm { d } \alpha } \\ & { = d ! \int _ { \iota ( \Delta ( L ) _ { 0 } ) } \left( G _ { ( L _ { | E } , P ( \varphi ) _ { | E } ) } - G _ { L _ { | E } , P ( \psi ) _ { | E } } \right) ( \alpha ) \mathrm { d } \alpha } \\ & { = d ! \int _ { \Delta ( L ) _ { 0 } } \left( G _ { ( L , \varphi ) } - G _ { ( L , \psi ) } \right) ( 0 , \alpha ) \mathrm { d } \alpha . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { \xi } \left[ \left\Vert g _ { i } ( x ; \xi ) - \nabla f _ { i } ( x ) \right\Vert ^ { 2 } \right] = \mathbb { E } _ { \xi } \left[ \left\Vert g _ { i } ( x ; \xi ) \right\Vert ^ { 2 } \right] - \left\Vert \nabla f _ { i } ( x ) \right\Vert ^ { 2 } } \\ & { \leq \left( \frac { 1 } { 1 + e ^ { - ( x - i + 1 ) } } \right) ^ { 2 } + \ln ( 1 + e ^ { x - i + 1 } ) } \\ & { \leq 1 + f _ { i } ( x ) - f _ { i } ^ { * } , i = 2 , 3 , \cdots , 1 6 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { p _ { G _ { n } } ( x ) - p _ { G _ { * , n } } ( x ) } { \mathcal { D } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) } } & { = } & { \frac { ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) [ f ( x | \mu _ { 0 } , \Sigma _ { 0 } ) - f ( x | \mu _ { n } ^ { * } , \Sigma _ { n } ^ { * } ) ] + \lambda _ { n } [ f ( x | \mu _ { n } , \Sigma _ { n } ) - f ( x | \mu _ { n } ^ { * } , \Sigma _ { n } ^ { * } ) ] } { \mathcal { D } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) } } \\ & { = } & { \frac { ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) \biggr ( \sum _ { | \alpha | = 1 } ^ { 2 } \frac { ( - \Delta \mu _ { n } ^ { * } ) ^ { \alpha _ { 1 } } ( - \Delta \Sigma _ { n } ^ { * } ) ^ { \alpha _ { 2 } } } { \alpha ! } \frac { \partial ^ { | \alpha | } { f } } { \partial { \mu ^ { \alpha _ { 1 } } } \partial { \Sigma ^ { \alpha _ { 2 } } } } ( x | \mu _ { n } ^ { * } , \Sigma _ { n } ^ { * } ) + R _ { 1 } ( x ) \biggr ) } { \mathcal { D } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) } } \\ & { + } & { \frac { \lambda _ { n } \biggr ( \sum _ { | \alpha | = 1 } ^ { 2 } \frac { ( \Delta \mu _ { n } - \Delta \mu _ { n } ^ { * } ) ^ { \alpha _ { 1 } } ( \Delta \Sigma _ { n } - \Delta \Sigma _ { n } ^ { * } ) ^ { \alpha _ { 2 } } } { \alpha ! } \frac { \partial ^ { | \alpha | } { f } } { \partial { \mu ^ { \alpha _ { 1 } } } \partial { \Sigma ^ { \alpha _ { 2 } } } } ( x | \mu _ { n } ^ { * } , \Sigma _ { n } ^ { * } ) + R _ { 2 } ( x ) \biggr ) } { \mathcal { D } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 N } \sum _ { c \operatorname { m o d } N } f _ { ( c , 0 ) , 0 } ( 0 ) } & { = \frac { 1 } { 2 N } \sum _ { c \operatorname { m o d } N } \phi _ { c } ( 0 , 0 ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 N } \sum _ { d | N } \sum _ { \chi \operatorname { m o d } N / d } \phi _ { d , \chi } ( 0 , 0 ) \sum _ { c \operatorname { m o d } N / d } \chi ( c ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 N } \sum _ { d | N } \varphi ( N / d ) \phi _ { d , \chi _ { 0 } } ( 0 , 0 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \small { \left( \! \! \left( \begin{array} { l l l l l l } { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } \\ { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 0 , 1 \} \! \! } & { \! \{ 1 \} \! } & { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } \\ { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \{ 1 \} \! } & { \! \{ 0 , 1 \} \! } & { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } \\ { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \{ 4 \} \! } & { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \{ 4 \} \! } & { \! \{ 4 \} \! } \\ { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \{ 4 \} \! } & { \! \{ 4 \} \! } & { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \{ 4 \} \! } \\ { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \{ 4 \} \! } & { \! \{ 4 \} \! } & { \! \{ 4 \} \! } & { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } \end{array} \right) \! \! , \! \! \left( \begin{array} { l l l l l l } { \! \! \{ 0 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \{ 5 \} \! } & { \! \{ 5 \} \! } & { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } \\ { \! \{ 5 \} \! } & { \! \{ 5 \} \! } & { \! \{ 5 \} \! } & { \! \{ 5 \} \! } & { \! \{ 5 \} \! } & { \! \{ 5 \} \! } \\ { \! \{ 5 \} \! } & { \! \{ 5 \} \! } & { \! \! \{ 0 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \{ 5 \} \! } & { \! \{ 5 \} \! } & { \! \{ 5 \} \! } \\ { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \{ 5 \} \! } & { \! \{ 5 \} \! } & { \! \! \{ 0 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \{ 2 \} \! } & { \! \{ 2 \} \! } \\ { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \{ 5 \} \! } & { \! \{ 5 \} \! } & { \! \{ 5 \} \! } & { \! \! \{ 0 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \{ 2 \} \! } \\ { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \{ 5 \} \! } & { \! \{ 5 \} \! } & { \! \{ 5 \} \! } & { \! \{ 2 \} \! } & { \! \! \{ 0 \! \sim \! 4 \} \! \! } \end{array} \right) \! \! \right) \! . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \prod _ { u = 1 } ^ { m } C ( f _ { u } , g _ { u } ) ( s _ { 1 } , \cdots , s _ { u - 1 } ) : = \prod _ { u = 1 } ^ { m } \partial _ { s _ { u } } C ( f _ { u } , g _ { u } ) ( s _ { 1 } , \cdots , s _ { u } ) } \\ & { } & { \quad = \big [ \ \prod _ { u = 1 } ^ { m } C ( f _ { u } , g _ { u } ) \ \big ] \cdot \big [ \ \prod _ { u = 1 } ^ { m } s _ { u } ^ { q _ { u } } \ \big ] \ . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \gamma ( \rho _ { 1 } , s _ { 1 } ) } & { = \rho _ { 1 } s _ { 1 } ( \overline { { \rho _ { 1 } s _ { 1 } } } ) ^ { - 1 } = ( \rho _ { 1 } s _ { 1 } ) ^ { 2 } , } \\ { \gamma ( \rho _ { 1 } , \rho _ { 1 } ) } & { = \rho _ { 1 } \rho _ { 1 } ( \overline { { \rho _ { 1 } \rho _ { 1 } } } ) ^ { - 1 } = 1 , } \\ { \gamma ( \rho _ { 1 } , \rho _ { i } ) } & { = \rho _ { 1 } \rho _ { i } ( \overline { { \rho _ { 1 } \rho _ { i } } } ) ^ { - 1 } = \rho _ { 1 } \rho _ { i } , } \\ & { } & \\ { \gamma ( s _ { 1 } \rho _ { 1 } , s _ { 1 } ) } & { = s _ { 1 } \rho _ { 1 } s _ { 1 } ( \overline { { s _ { 1 } \rho _ { 1 } s _ { 1 } } } ) ^ { - 1 } = ( s _ { 1 } \rho _ { 1 } ) ^ { 2 } , } \\ { \gamma ( s _ { 1 } \rho _ { 1 } , \rho _ { 1 } ) } & { = s _ { 1 } \rho _ { 1 } \rho _ { 1 } ( \overline { { s _ { 1 } \rho _ { 1 } \rho _ { 1 } } } ) ^ { - 1 } = 1 , } \\ { \gamma ( s _ { 1 } \rho _ { 1 } , \rho _ { i } ) } & { = s _ { 1 } \rho _ { 1 } \rho _ { i } ( \overline { { s _ { 1 } \rho _ { 1 } \rho _ { i } } } ) ^ { - 1 } = ( s _ { 1 } \rho _ { i } \rho _ { 1 } s _ { 1 } ) ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \ell _ { N } \left( \rho _ { t } \right) \Big | _ { t = 0 } } & { = \int \delta \ell _ { N } \left( \rho \right) \zeta \mathrm { d } x = \int \delta \ell _ { N } \left( \rho \right) \left[ - \mathsf { d i v } \left( \rho \nabla u \right) + \rho \left( \alpha - \int \alpha \mathrm { d } \rho \right) \right] \mathrm { d } x } \\ & { = - \int \left\langle \nabla \delta \ell _ { N } \left( \rho \right) , \nabla u \right\rangle \mathrm { d } \rho + \int \left( \delta \ell _ { N } \left( \rho \right) - \int \delta \ell _ { N } \left( \rho \right) \mathrm { d } \rho \right) \left( \alpha - \int \alpha \mathrm { d } \rho \right) \mathrm { d } \rho } \\ & { = g _ { \rho } ^ { \mathsf { W F R } } \left( - \mathsf { d i v } \left( \nabla \delta \ell _ { N } \left( \rho \right) \rho \right) + \rho \left( \delta \ell _ { N } \left( \rho \right) - \int \delta \ell _ { N } \left( \rho \right) \mathrm { d } \rho \right) , \zeta \right) . } \end{array}
{ \mathcal { X } } _ { 2 1 } [ \mathring { A } _ { 2 } ^ { \mathfrak { s } _ { 2 } } ] = \frac { 1 } { \bar { \beta } _ { 2 ^ { * } 1 ^ { * } } } \big ( \langle R _ { 2 ^ { * } 1 ^ { * } } , A _ { 2 } \rangle - \langle V _ { \mathfrak { s } _ { 2 } , 2 } , A _ { 2 } \rangle \langle R _ { 2 ^ { * } 1 ^ { * } } , U _ { \mathfrak { s } _ { 2 } , 2 } \rangle \big ) L _ { 2 ^ { * } 1 ^ { * } } + \mathcal { O } ( 1 ) [ A _ { 2 } ] \, ,
\begin{array} { r l } { - B ^ { - 1 } u _ { x } ^ { i } { \partial } _ { x } ^ { - 1 } \frac { { \partial } B } { { \partial } u ^ { k } } P ^ { k \ell } \frac { { \partial } B } { { \partial } u ^ { \ell } } { \partial } _ { x } ^ { - 1 } u _ { x } ^ { j } } & { = - \frac { 1 } { 2 } B ^ { - 1 } u _ { x } ^ { i } { \partial } _ { x } ^ { - 1 } \left( { \partial } _ { x } \frac { { \partial } B } { { \partial } u ^ { k } } g ^ { k \ell } \frac { { \partial } B } { { \partial } u ^ { \ell } } + \frac { { \partial } B } { { \partial } u ^ { k } } g ^ { k \ell } \frac { { \partial } B } { { \partial } u ^ { \ell } } { \partial } _ { x } \right) { \partial } _ { x } ^ { - 1 } u _ { x } ^ { j } } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 } B ^ { - 1 } u _ { x } ^ { i } \frac { { \partial } B } { { \partial } u ^ { k } } g ^ { k \ell } \frac { { \partial } B } { { \partial } u ^ { \ell } } { \partial } _ { x } ^ { - 1 } u _ { x } ^ { j } - \frac { 1 } { 2 } B ^ { - 1 } u _ { x } ^ { i } { \partial } _ { x } ^ { - 1 } \frac { { \partial } B } { { \partial } u ^ { k } } g ^ { k \ell } \frac { { \partial } B } { { \partial } u ^ { \ell } } u _ { x } ^ { j } } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 } u _ { y } ^ { i } \frac { { \partial } B } { { \partial } u ^ { k } } g ^ { k \ell } \frac { { \partial } B } { { \partial } u ^ { \ell } } { \partial } _ { y } ^ { - 1 } u _ { y } ^ { j } - \frac { 1 } { 2 } u _ { y } ^ { i } { \partial } _ { y } ^ { - 1 } \frac { { \partial } B } { { \partial } u ^ { k } } g ^ { k \ell } \frac { { \partial } B } { { \partial } u ^ { \ell } } u _ { y } ^ { j } \ ; } \\ { B ^ { - 1 } B \delta _ { k } ^ { i } P ^ { k \ell } \frac { { \partial } B } { { \partial } u ^ { \ell } } { \partial } _ { x } ^ { - 1 } u _ { x } ^ { j } } & { = P ^ { i \ell } \left( \frac { { \partial } B } { { \partial } u ^ { \ell } } \right) { \partial } _ { x } ^ { - 1 } u _ { x } ^ { j } + g ^ { i \ell } \frac { { \partial } B } { { \partial } u ^ { \ell } } u _ { x } ^ { j } } \\ & { = P ^ { i \ell } \left( \frac { { \partial } B } { { \partial } u ^ { \ell } } \right) { \partial } _ { y } ^ { - 1 } u _ { y } ^ { j } + g ^ { i \ell } \frac { { \partial } B } { { \partial } u ^ { \ell } } B u _ { y } ^ { j } \ ; } \\ { - B ^ { - 1 } u _ { x } ^ { i } { \partial } _ { x } ^ { - 1 } \frac { { \partial } B } { { \partial } u ^ { k } } P ^ { k \ell } B \delta _ { \ell } ^ { j } } & { = - B ^ { - 1 } u _ { x } ^ { i } { \partial } _ { x } ^ { - 1 } ( P ^ { * } ) ^ { k j } \left( \frac { { \partial } B } { { \partial } u ^ { k } } \right) B - B ^ { - 1 } u _ { x } ^ { i } \frac { { \partial } B } { { \partial } u ^ { k } } g ^ { k j } B } \\ & { = u _ { y } ^ { i } { \partial } _ { y } ^ { - 1 } P ^ { j k } \left( \frac { { \partial } B } { { \partial } u ^ { k } } \right) - u _ { y } ^ { i } \frac { { \partial } B } { { \partial } u ^ { k } } g ^ { k j } B \ ; } \\ { B ^ { - 1 } B \delta _ { k } ^ { i } P ^ { k \ell } B \delta _ { \ell } ^ { j } } & { = P ^ { i j } B \ . } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { \nu _ { 0 , \rho } } ^ { \omega } \left( \Sigma _ { T } ^ { N , j } \geq 4 ^ { - \vert j \vert } A / 2 \right) \leq P _ { \nu _ { 0 , \rho } } ^ { \omega } \Big ( \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq T } \frac { 1 } { N ^ { n } } \sum _ { x \in V } Y _ { t } ^ { N , j } ( x ) H ( x / N ) > 4 ^ { - \vert j \vert } A / 2 \Big ) \, . } \end{array}
[ { \mathsf { s } } ] \, = \, { \left[ \begin{array} { l l l l l l } { s _ { 1 1 1 1 } } & { s _ { 1 1 2 2 } } & { s _ { 1 1 3 3 } } & { 2 s _ { 1 1 2 3 } } & { 2 s _ { 1 1 3 1 } } & { 2 s _ { 1 1 1 2 } } \\ { s _ { 2 2 1 1 } } & { s _ { 2 2 2 2 } } & { s _ { 2 2 3 3 } } & { 2 s _ { 2 2 2 3 } } & { 2 s _ { 2 2 3 1 } } & { 2 s _ { 2 2 1 2 } } \\ { s _ { 3 3 1 1 } } & { s _ { 3 3 2 2 } } & { s _ { 3 3 3 3 } } & { 2 s _ { 3 3 2 3 } } & { 2 s _ { 3 3 3 1 } } & { 2 s _ { 3 3 1 2 } } \\ { 2 s _ { 2 3 1 1 } } & { 2 s _ { 2 3 2 2 } } & { 2 s _ { 2 3 3 3 } } & { 4 s _ { 2 3 2 3 } } & { 4 s _ { 2 3 3 1 } } & { 4 s _ { 2 3 1 2 } } \\ { 2 s _ { 3 1 1 1 } } & { 2 s _ { 3 1 2 2 } } & { 2 s _ { 3 1 3 3 } } & { 4 s _ { 3 1 2 3 } } & { 4 s _ { 3 1 3 1 } } & { 4 s _ { 3 1 1 2 } } \\ { 2 s _ { 1 2 1 1 } } & { 2 s _ { 1 2 2 2 } } & { 2 s _ { 1 2 3 3 } } & { 4 s _ { 1 2 2 3 } } & { 4 s _ { 1 2 3 1 } } & { 4 s _ { 1 2 1 2 } } \end{array} \right] } \, \equiv \, { \left[ \begin{array} { l l l l l l } { S _ { 1 1 } } & { S _ { 1 2 } } & { S _ { 1 3 } } & { S _ { 1 4 } } & { S _ { 1 5 } } & { S _ { 1 6 } } \\ { S _ { 1 2 } } & { S _ { 2 2 } } & { S _ { 2 3 } } & { S _ { 2 4 } } & { S _ { 2 5 } } & { S _ { 2 6 } } \\ { S _ { 1 3 } } & { S _ { 2 3 } } & { S _ { 3 3 } } & { S _ { 3 4 } } & { S _ { 3 5 } } & { S _ { 3 6 } } \\ { S _ { 1 4 } } & { S _ { 2 4 } } & { S _ { 3 4 } } & { S _ { 4 4 } } & { S _ { 4 5 } } & { S _ { 4 6 } } \\ { S _ { 1 5 } } & { S _ { 2 5 } } & { S _ { 3 5 } } & { S _ { 4 5 } } & { S _ { 5 5 } } & { S _ { 5 6 } } \\ { S _ { 1 6 } } & { S _ { 2 6 } } & { S _ { 3 6 } } & { S _ { 4 6 } } & { S _ { 5 6 } } & { S _ { 6 6 } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb R } \Lambda ^ { s } \left( [ \mathscr { Q } , \mathscr { Q } _ { x } h ] h \right) \Lambda ^ { s } h \ d x } & { = \int _ { \mathbb R } \Lambda ^ { s } ( \mathscr { Q } h _ { x } h ) \Lambda ^ { s } \mathscr { Q } h \ d x - \int _ { \mathbb R } \Lambda ^ { s } ( \mathscr { Q } h _ { x } \mathscr { Q } h ) \Lambda ^ { s } h \ d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { X _ { t _ { n } , t _ { n } - \tau } ( \boldsymbol { x } ) } & { \approx \boldsymbol { x } - \frac { \tau } { 2 } \left[ \boldsymbol { u } _ { h } ^ { * } ( \boldsymbol { x } ) + \boldsymbol { u } _ { h } ^ { n - 1 } ( \boldsymbol { x } - \tau \boldsymbol { u } _ { h } ^ { * } ( \boldsymbol { x } ) ) \right] , } \\ { X _ { t _ { n } t _ { n } - 2 \tau } ( \boldsymbol { x } ) } & { \approx \boldsymbol { x } - \tau \left[ \boldsymbol { u } _ { h } ^ { * } ( \boldsymbol { x } ) + \boldsymbol { u } _ { h } ^ { n - 2 } ( \boldsymbol { x } - 2 \tau \boldsymbol { u } _ { h } ^ { * } ( \boldsymbol { x } ) ) \right] , } \end{array}
\frac { \partial P _ { t } [ z ] } { \partial t } = \int _ { 0 } ^ { \infty } d x \frac { \delta } { \delta z ( x ) } \frac { z ( x ) } { x } P _ { t } [ z ] + \Bigg [ \left\{ \nu _ { 0 } + \int _ { 0 } ^ { \infty } ( z - n / x ) d x \right\} P _ { t } [ z - n / x ] - \left\{ \nu _ { 0 } + \int _ { 0 } ^ { \infty } z d x \right\} P _ { t } [ z ] \Bigg ]
\mathcal V ^ { + } ( x , u ) = \left( \begin{array} { l } { \nu u _ { 2 } } \\ { \mu u _ { 1 } ( u _ { 2 } + u _ { 4 } + u _ { 6 } ) } \\ { \xi b ( x ) + \nu u _ { 4 } } \\ { ( 1 - \xi ) b ( x ) + \mu u _ { 3 } ( u _ { 2 } + u _ { 4 } + u _ { 6 } ) } \\ { \gamma u _ { 1 } + \nu u _ { 6 } } \\ { \gamma u _ { 2 } + \mu u _ { 5 } ( u _ { 2 } + u _ { 4 } + u _ { 6 } ) } \end{array} \right) = : \left( \begin{array} { l } { \mathcal V _ { 1 } ^ { + } ( x , u ) } \\ { \mathcal V _ { 2 } ^ { + } ( x , u ) } \\ { \mathcal V _ { 3 } ^ { + } ( x , u ) } \\ { \mathcal V _ { 4 } ^ { + } ( x , u ) } \\ { \mathcal V _ { 5 } ^ { + } ( x , u ) } \\ { \mathcal V _ { 6 } ^ { + } ( x , u ) } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \mathbb E F _ { N } ^ { \mathrm { \tiny ~ P V B } } - \mathbb E \hat { F } _ { N } ^ { \mathrm { \tiny ~ P V B } } } & { = \frac { 1 } { N } \mathbb E \ln \Bigl \langle \exp \Bigl ( \sum _ { k = 1 } ^ { \pi ( \gamma ) } y _ { k } ^ { \prime } \sigma _ { I ^ { \prime } ( 1 , k ) } \sigma _ { I ^ { \prime } ( 2 , k ) } \Bigr ) \Bigr \rangle ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { g ( 1 ) + g ( - 1 ) } & { = } & { \frac { 1 } { 4 } \int _ { - 1 } ^ { 1 } f _ { 0 } ( y ) d y + \lambda [ f _ { 0 } ( 1 ) + f _ { 0 } ( - 1 ) ] + A \Big [ \sqrt { \lambda } \sinh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } + 2 \lambda \cosh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } \Big ] } \\ { g ( 1 ) - g ( - 1 ) } & { = } & { \frac { 1 } { 4 } \int _ { - 1 } ^ { 1 } y f _ { 0 } ( y ) d y + \lambda [ f _ { 0 } ( 1 ) - f _ { 0 } ( - 1 ) ] + B \sqrt { \lambda } \cosh \frac { 1 } { 2 \sqrt { \lambda } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { n } ( \lambda _ { n } ( \sigma ) ) } & { = \lambda _ { n } ( ( \cdots ) ( \cdots j - 1 \cdots ) ( j \, \, a ) \circ \pi _ { n , j + 1 } ) } \\ & { = ( \cdots ) ( \cdots j - 1 \, \, a \cdots ) ( j \, \, j + 1 ) \circ \pi _ { n , j + 2 } } \\ & { = ( \cdots ) ( \cdots j - 1 \, \, a \cdots ) \circ \pi _ { n , j } , } \end{array}
V ^ { \star } ( \mu ) - \mathbb { E } \left[ V ^ { T } ( \mu ) \right] \leq \frac { 1 } { 1 - \gamma } \bigg ( 1 - \frac { 1 } { \nu _ { \mu } } \bigg ) ^ { T } \bigg ( 1 + \frac { \mathcal { D } _ { 0 } ^ { \star } } { \eta _ { 0 } ( \nu _ { \mu } - 1 ) } \bigg ) + \frac { 2 ( 1 + \nu _ { \mu } ) \sqrt { C _ { v } } ( \varepsilon _ { \mathrm { c r i t i c } } + \varepsilon _ { \mathrm { a c t o r } } ) } { 1 - \gamma } .
\begin{array} { r l r } { \left| \tilde { \mathcal { S } } _ { \mathrm { o n } } ^ { 1 } \right| } & { = } & { \left| \mathbf { 1 } _ { \mathrm { o n } } q _ { \mathrm { o n } } \left( 1 - \rho \right) \left( \left( 1 - R _ { \mathrm { o n } } \right) - \left( 1 - \tilde { R } _ { \mathrm { o n } } \right) \right) \right| } \\ & { \leq } & { { \left\| q _ { \mathrm { o n } } \right\| _ { \L { \infty } ( [ 0 , T ] ) } } \left| \tilde { R } _ { \mathrm { o n } } - R _ { \mathrm { o n } } \right| , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { \tilde { E } } } & { [ \psi ( \bar { t } - s , \bar { x } + \tilde { \xi } _ { s } , \bar { y } + \tilde { \eta } _ { s } , \bar { z } + \tilde { \zeta } _ { s } ) - \psi ( \bar { t } , \bar { x } , \bar { y } , \bar { z } ) ] } \\ & { = - \partial _ { t } \psi ( \bar { t } , \bar { x } , \bar { y } , \bar { z } ) s + \mathbb { \tilde { E } } [ \psi ( \bar { t } , \bar { x } , \bar { y } , \bar { z } + \tilde { \zeta } _ { s } ) - \psi ( \bar { t } , \bar { x } , \bar { y } , \bar { z } ) } \\ & { \mathrm { ~ \ ~ \ } + \langle D _ { y } \psi ( \bar { t } , \bar { x } , \bar { y } , \bar { z } ) , \tilde { \eta } _ { s } \rangle + \frac { 1 } { 2 } \langle D _ { x } ^ { 2 } \psi ( \bar { t } , \bar { x } , \bar { y } , \bar { z } ) \tilde { \xi } _ { s } , \tilde { \xi } _ { s } \rangle ] + o ( s ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \nabla ( \mathbf { y } ^ { * } - \mathbf { y } _ { h } ^ { * } ) \| _ { L ^ { \infty } ( T ) } } & { \lesssim h _ { T } ^ { - 1 } \left( \| \widehat \nabla ( \widehat \mathbf { y } ^ { * } - \widehat \mathbf { p } ) \| _ { L ^ { \infty } ( \widehat T ) } + \| \widehat \nabla Q [ \widehat \mathbf { y } ^ { * } - \widehat \mathbf { p } ] \| _ { L ^ { \infty } ( \widehat T ) } \right) } \\ & { \lesssim h _ { T } ^ { - 1 } \| \widehat \mathbf { y } ^ { * } - \widehat \mathbf { p } \| _ { W _ { \infty } ^ { 1 } ( \widehat T ) } } \\ & { \lesssim h _ { T } ^ { - 1 } \| \mathbf { y } ^ { * } - \mathbf { p } \| _ { L ^ { \infty } ( T ) } + \| \nabla ( \mathbf { y } ^ { * } - \mathbf { p } ) \| _ { L ^ { \infty } ( T ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { k } { 2 \pi } } & { \iint N _ { i } \frac { \Delta \textbf { V } } { \Delta t ^ { * } } d A + \iint \widetilde { N } _ { i } \left( \textbf { V } _ { e } \cdot \nabla \right) \textbf { V } d A = - \iint N _ { i } \nabla p d A } \\ & { - \frac { 1 } { R e } \left( \iint \left( \nabla N _ { i } \cdot \nabla \right) \textbf { V } d A + \oint N _ { i } \frac { \partial \textbf { V } } { \partial n } d S \right) } \end{array}
\gamma : \Gamma , \underline { { p } } ^ { \prime } : t _ { 1 } ( \textnormal { \texttt { f } } ( \gamma ) ) = t _ { 2 } ( \textnormal { \texttt { f } } ( \gamma ) ) \vdash g ^ { = } ( \gamma , \underline { { p } } ^ { \prime } ) \equiv p ( \gamma , s _ { 1 } ( \gamma ) ) ^ { - 1 } \bullet g ( \gamma , r _ { 1 } ( \gamma ) \bullet \underline { { p } } ^ { \prime } \bullet r _ { 2 } ( \gamma ) ^ { - 1 } ) \bullet p ( \gamma , s _ { 2 } ( \gamma ) ) : s _ { 1 } ( \gamma ) = s _ { 2 } ( \gamma )
\begin{array} { r } { \sum _ { i \neq j } ( ( x _ { i } ^ { * } ) ^ { - \widetilde \alpha _ { i } } - ( x _ { j } ^ { * } ) ^ { - \widetilde \alpha _ { j } } ) \frac { ( x _ { i } ^ { * } ) ^ { \frac { \alpha _ { i } ^ { * } } { \alpha _ { j } ^ { * } } } } { \sum _ { t = 1 } ^ { n } \frac { \alpha _ { i } ^ { * } } { \alpha _ { t } ^ { * } } ( x _ { i } ^ { * } ) ^ { \frac { \alpha _ { i } ^ { * } } { \alpha _ { t } ^ { * } } - 1 } } = 0 } \end{array}
\underbrace { ( w ^ { h } , i \omega \phi ^ { h } ) + ( w ^ { h } , a \phi _ { , x } ^ { h } ) + ( w _ { , x } ^ { h } , \kappa \phi _ { , x } ^ { h } ) } _ { \mathrm { B a s e l i n e ~ G a l e r k i n } } + \underbrace { \sum _ { e } \Big ( \tau a w _ { , x } ^ { h } , r ( \phi ^ { h } ) \Big ) _ { \Omega _ { e } } } _ { \mathrm { T h e ~ S U P G ~ t e r m s } } - \underbrace { \sum _ { e } \Big ( i \omega \tau w ^ { h } , r ( \phi ^ { h } ) \Big ) _ { \Omega _ { e } } } _ { \mathrm { T h e ~ n e w ~ V M S ~ t e r m s } } = 0 .
\begin{array} { r l } & { c ( R ^ { \prime } ) \lambda \bigg ( \frac { b } { b _ { 0 } } \bigg \{ ( 0 . 8 9 1 + 0 . 6 0 7 9 \nu ) ( L _ { 1 } - 3 . 2 3 9 5 ) + ( 0 . 7 8 1 3 + 0 . 5 8 \nu ) L _ { 2 } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad + 7 . 3 2 9 + 3 . 8 9 8 \nu \bigg \} + 1 . 8 \bigg ) \le B _ { 3 } ( t ) \frac { L _ { 1 } } { L _ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \hat { T } _ { \varepsilon } ] } \| F _ { + } ^ { \varepsilon } ( t ) - F _ { + } ^ { 0 } ( t ) \| _ { \mathfrak E ^ { \prime } } ^ { 2 } + \int _ { 0 } ^ { \hat { T } _ { \varepsilon } } \| F _ { + } ^ { \varepsilon } ( t ) - F _ { + } ^ { 0 } ( t ) \| _ { \mathfrak D ^ { \prime } } ^ { 2 } d t \lesssim \varepsilon ( \varepsilon + \delta ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi ( ( \rho | _ { W _ { e , v } ^ { ( k ) } } ) ^ { - 1 } ( z ) ) } & { = \overline { { \psi } } ( ( \rho | _ { W _ { e v } ^ { ( k ) } } ) ^ { - 1 } ( z ) ^ { 0 } ) } \\ & { = \overline { { \psi } } ( \overline { { \theta } } _ { f _ { e , v } ^ { ( k ) } } ( z ^ { 1 } ) ) } \\ & { = \theta _ { f _ { e , v } ^ { ( k ) } } ( \overline { { \psi } } ( z ^ { 1 } ) ) } \\ & { = \theta _ { f _ { e , v } ^ { ( k ) } } ( \overline { { \psi } } ( \overline { { \theta } } _ { e } ^ { - 1 } ( z ^ { 0 } ) ) ) } \\ & { = \theta _ { f _ { e , v } ^ { ( k ) } } \theta _ { e } ^ { - 1 } ( \overline { { \psi } } ( z ^ { 0 } ) ) = ( \sigma | _ { H _ { e , v } ^ { ( k ) } } ) ^ { - 1 } ( \psi ( z ) ) , } \end{array}
\left[ \begin{array} { c c c c c c c c c c } { 1 _ { n } } & { u _ { 1 , 2 } } & { \ast } & { \ast } & { \ast } & { \ast } & { \ast } & { \ast } & { \ast } & { \ast } \\ { 0 } & { \ddots } & { \ddots } & { \ast } & { \ast } & { \ast } & { \ast } & { \ast } & { \ast } & { \ast } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 _ { n } } & { u _ { k - 2 , k - 1 } } & { \ast } & { \ast } & { \ast } & { \ast } & { \ast } & { \ast } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 _ { n } } & { x } & { y } & { z } & { \ast } & { \ast } & { \ast } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 _ { n } } & { 0 } & { y ^ { \ast } } & { \ast } & { \ast } & { \ast } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 _ { n } } & { - x ^ { \ast } } & { \ast } & { \ast } & { \ast } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 _ { n } } & { - u _ { k - 2 , k - 1 } ^ { \ast } } & { \ast } & { \ast } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ddots } & { \ddots } & { \ast } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 _ { n } } & { - u _ { 1 , 2 } ^ { \ast } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 _ { n } } \end{array} \right] \in \mathrm { S p } _ { 2 k n } .
\begin{array} { r l } { \ker \left( \Gamma ( t _ { 1 } ^ { * } E _ { - 2 } ) \stackrel { t _ { 1 } ^ { * } \mathrm { d } ^ { ( 2 ) } } { \longrightarrow } \Gamma ( t _ { 1 } ^ { * } E _ { - 1 } ) \right) } & { \longrightarrow \ker \left( d t _ { 1 } | _ { \Gamma ( \ker d s _ { 1 } ) } \right) = \Gamma ( \ker d s _ { 1 } ) \cap \Gamma ( \ker d t _ { 1 } ) \subset \mathfrak { X } ( B _ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb E \left[ \langle \mathbf Q _ { t - 1 } , \mathbf S _ { t } \odot \vec { \theta } _ { t } \rangle - Q _ { t - 1 , a _ { t } } S _ { t , a _ { t } } \right] } \\ & { \le \mathbb E \left[ L _ { T - 1 } ( 1 + C _ { V } ) T ^ { \frac 1 4 - \frac \delta 2 } ( 4 \ln T + \ln K ) \sqrt { 8 6 L _ { T - 1 } ^ { 2 } K ^ { 6 } T ^ { \frac 3 2 } + \sum _ { t = 1 } ^ { T } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } } \right] } \\ & { \quad + \mathbb E \left[ 8 M T ^ { \frac 1 4 - \frac \delta 4 } \sqrt { 1 + \sum _ { t = 1 } ^ { T } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } } + 4 M L _ { T - 1 } \right] + o ( T ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \varphi _ { \mathbf { y } } ( \theta ) } & { = \operatorname { E } e ^ { i \theta \mathbf { y } } , } \\ & { = \operatorname { E } e ^ { i \theta ( { \overline { { \mathbf { x } } } } - { \boldsymbol { \mu } } ) ^ { \prime } ( { \mathbf { \Sigma } } / n ) ^ { - 1 } ( { \overline { { \mathbf { x } } } } - { \boldsymbol { \mathbf { \mu } } } ) } } \\ & { = \int e ^ { i \theta ( { \overline { { \mathbf { x } } } } - { \boldsymbol { \mu } } ) ^ { \prime } n { \mathbf { \Sigma } } ^ { - 1 } ( { \overline { { \mathbf { x } } } } - { \boldsymbol { \mathbf { \mu } } } ) } ( 2 \pi ) ^ { - p / 2 } | { \boldsymbol { \Sigma } } / n | ^ { - 1 / 2 } \, e ^ { - ( 1 / 2 ) ( { \overline { { \mathbf { x } } } } - { \boldsymbol { \mu } } ) ^ { \prime } n { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { - 1 } ( { \overline { { \mathbf { x } } } } - { \boldsymbol { \mu } } ) } \, d x _ { 1 } \cdots d x _ { p } } \end{array} }
0 \longrightarrow \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T _ { 2 } ^ { \dagger } , \Delta _ { \mathrm { b a l } } ) \longrightarrow \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T _ { 2 } ^ { \dagger } , \Delta _ { + } ) \xrightarrow { \textup { r e s } _ { \mathrm { b a l + } } ^ { - } } H ^ { 1 } ( G _ { p } , F _ { \mathrm { b a l + } } ^ { + } T _ { 2 } ^ { \dagger } / F _ { \mathrm { b a l } } ^ { + } T _ { 2 } ^ { \dagger } )
\left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } \rho _ { A } + \mathrm { { d i v } } ( \rho _ { A } v _ { A } ) = 0 } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega _ { A , T } , } \\ { \partial _ { t } \rho _ { B } + { \mathrm { d i v } } ( \rho _ { B } v _ { B } ) = 0 } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega _ { B , T } , } \\ { D _ { t } ^ { N } \rho _ { S } + \mathrm { { d i v } } _ { \Gamma } ( \rho _ { S } v _ { S } ) = 0 } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { T } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { D _ { i , j , k } ^ { n + 1 } = D _ { i , j , k } ^ { n } - \frac { 1 } { \Delta x \Delta y \Delta z } ( \Delta M _ { i + 1 / 2 , j , k } ^ { n } - \Delta M _ { i - 1 / 2 , j , k } ^ { n } + } \\ { + \Delta M _ { i , j + 1 / 2 , k } ^ { n } - \Delta M _ { i , j - 1 / 2 , k } ^ { n } + \Delta M _ { i , j , k + 1 / 2 } ^ { n } - \Delta M _ { i , j , k - 1 / 2 } ^ { n } ) + } \\ { + \frac { \Delta t _ { n } } { ( \Delta x ) ^ { 2 } } \left( P _ { i + 1 / 2 , j , k } \left( D _ { i + 1 , j , k } ^ { n } - D _ { i , j , k } ^ { n } \right) - P _ { i - 1 / 2 , j , k } \left( D _ { i , j , k } ^ { n } - D _ { i - 1 , j , k } ^ { n } \right) \right) + } \\ { + \frac { \Delta t _ { n } } { ( \Delta y ) ^ { 2 } } \left( P _ { i , j + 1 / 2 , k } \left( D _ { i , j + 1 , k } ^ { n } - D _ { i , j , k } ^ { n } \right) - P _ { i , j - 1 / 2 , k } \left( D _ { i , j , k } ^ { n } - D _ { i , j - 1 , k } ^ { n } \right) \right) + } \\ { + \frac { \Delta t _ { n } } { ( \Delta z ) ^ { 2 } } \left( P _ { i , j , k + 1 / 2 } \left( D _ { i , j , k + 1 } ^ { n } - D _ { i , j , k } ^ { n } \right) - P _ { i , j , k - 1 / 2 } \left( D _ { i , j , k } ^ { n } - D _ { i , j , k - 1 } ^ { n } \right) \right) + } \\ { + \Delta t _ { n } ( Q _ { i , j } ^ { n } - \alpha D _ { i , j , k } ^ { n } ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { y [ m ] } & { = \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } x _ { L } \left[ { \bigl \lfloor } { \frac { m } { L } } { \bigr \rfloor } L - k L \right] \cdot h { \Bigl [ } \overbrace { m - { \bigl \lfloor } { \frac { m } { L } } { \bigr \rfloor } L + k L } ^ { r } { \Bigr ] } } \\ & { = \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } x \left[ { \bigl \lfloor } { \frac { m } { L } } { \bigr \rfloor } - k \right] \cdot h \left[ m - { \bigl \lfloor } { \frac { m } { L } } { \bigr \rfloor } L + k L \right] \quad { \stackrel { m \ \triangleq \ j + n L } { \longrightarrow } } \quad y [ j + n L ] = \sum _ { k = 0 } ^ { K } x [ n - k ] \cdot h [ j + k L ] , \ \ j = 0 , 1 , \ldots , L - 1 \quad { \mathsf { ( E q . 1 ) } } } \end{array} }
\begin{array} { r l r } & { } & { \sum _ { s \in \mathcal { S } _ { 1 } } \mathbb { E } [ | L I S ( \sigma | _ { \mathcal { R } _ { s } } ) - \sqrt { 2 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } | ] } \\ & { \leq } & { C _ { L } ^ { \prime } n \exp ( - c _ { L } ^ { \prime } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } \slash 2 ) + C _ { L } ^ { \prime } n \beta _ { n } + C L ^ { - 1 \slash 2 } e ^ { - L } n \sqrt { \beta _ { n } } } \\ & { } & { + n \sqrt { 2 \beta _ { n } } \operatorname* { m a x } \{ e ^ { 4 L ^ { - 1 } } ( 1 + L ^ { - 1 } ) ^ { 1 \slash 2 } ( 1 + \operatorname* { m a x } \{ c _ { L } \beta _ { n } ^ { - 1 } \slash 2 , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) - 1 , } \\ & { } & { \quad \quad \quad 1 - e ^ { - 6 L ^ { - 1 } } ( 1 - 2 L ^ { - 1 } ) ^ { 1 \slash 2 } ( 1 - \operatorname* { m a x } \{ c _ { L } \beta _ { n } ^ { - 1 } \slash 2 , 1 \} ^ { - 1 \slash 6 } ) \} . } \end{array}
\mathrm { P } = \left[ \begin{array} { c c } { \frac { \Gamma ( c ) \Gamma ( d ) } { \Gamma ( c - a ) \Gamma ( c - b ) } } & { \frac { \Gamma ( c ) \Gamma ( - d ) } { \Gamma ( a ) \Gamma ( b ) } } \\ { \frac { \Gamma ( 2 - c ) \Gamma ( d ) } { \Gamma ( 1 - a ) \Gamma ( 1 - b ) } } & { \frac { \Gamma ( 2 - c ) \Gamma ( - d ) } { \Gamma ( 1 - c + a ) \Gamma ( 1 - c + b ) } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } & { G ( \phi ) : = F _ { 1 } ( \phi ) - F _ { 2 } ( \phi ) , } \\ & { F _ { 1 } ( \phi ) : = ( 1 + \phi ) \ln ( 1 + \phi ) + ( 1 - \phi ) \ln ( 1 - \phi ) , \quad F _ { 2 } ( \phi ) : = \frac { \theta _ { 0 } } { 2 } \phi ^ { 2 } , } \\ & { f _ { 1 } ( \phi ) : = F _ { 1 } ^ { \prime } ( \phi ) = \ln ( 1 + \phi ) - \ln ( 1 - \phi ) , \quad f _ { 2 } ( \phi ) : = F _ { 2 } ^ { \prime } ( \phi ) = \theta _ { 0 } \phi . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { \ell = 0 } ^ { m } c _ { k _ { \ell } } ( n ) \, r ^ { k _ { \ell } } e ^ { i k _ { \ell } \theta } } & { = c _ { m } ( n ) \, \Big ( \sum _ { \ell = 0 } ^ { m } r ^ { k _ { \ell } } e ^ { i k _ { \ell } \theta } \Big ) \, + \, \sum _ { \ell = 0 } ^ { m - 1 } \big ( c _ { k _ { \ell } } ( n ) - c _ { k _ { \ell + 1 } } ( n ) \big ) \, \Big ( \sum _ { j = 0 } ^ { k _ { \ell } } r ^ { j } e ^ { i j \theta } \Big ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { x } _ { j } ^ { t } [ n ] = \tilde { A } _ { j } ^ { t } \! \sum _ { k \in \mathcal { K } _ { j } ^ { \mathsf { e } } } \! \sqrt { \rho _ { j k } ^ { \mathsf { e } } } \mathbf { w } _ { j k } \varsigma _ { j k } ^ { \mathsf { e } } [ n ] \! + \! \! \sum _ { i \in \mathcal { K } _ { j } ^ { \mathrm { u } } } \! A _ { j i } ^ { t } \sqrt { \rho _ { j i } ^ { \mathsf { u } } } \mathbf { w } _ { j i } \varsigma _ { j i } ^ { \mathsf { u } } [ n ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigg | E _ { P } \Big [ \widehat { \| \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } } \Big ] - E _ { P _ { 0 } } \Big [ \widehat { \| \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } } \Big ] \bigg | } & { \geq \| \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } - \bigg | E _ { P } \Big [ \widehat { \| \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } } \Big ] - \| \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } \bigg | - \bigg | E _ { P _ { 0 } } \Big [ \widehat { \| \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } } \Big ] \bigg | } \\ & { \geq s \alpha ^ { \prime } \log ( n / s ^ { 2 } ) - 2 \gamma s \log ( n / s ^ { 2 } ) } \\ & { \geq s . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \phi + \mathrm { d i v } ( \phi \, { \bf u } ) = 0 , } \\ & { \partial _ { t } ( ( 1 - \phi ) p _ { f } ) + \mathrm { d i v } ( ( 1 - \phi ) p _ { f } { \bf u } ) + p _ { \mathrm { a t m } } \mathrm { d i v } \, { \bf u } = p _ { \mathrm { a t m } } \mathrm { d i v } ( \kappa ( \phi ) \nabla p _ { f } ) , } \\ & { \phi \rho _ { s } \big ( \partial _ { t } { \bf u } + { \bf u } \boldsymbol { \cdot } \nabla { \bf u } \big ) = \phi \rho _ { s } { \bf g } - \nabla p + \mathrm { d i v } \Big ( \mu ( I ) p \frac { \S } { | \mathrm { \bf S } | } \Big ) - \nabla p _ { f } , } \\ & { \mathrm { d i v } \, { \bf u } = 2 F ( I ) | \mathrm { \bf S } | - 2 \widetilde { F } ( \phi ) \sqrt { p } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - ( \Phi _ { 3 2 } ( \zeta , k ) - \Phi _ { 3 2 } ( \zeta , \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) ) = \Phi _ { 3 2 , \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } ( k - \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) ^ { 2 } + O ( ( k - \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) ^ { 3 } ) , } \\ & { \Phi _ { 3 2 , \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } : = - \omega ^ { 2 } \frac { 4 - 3 k _ { 2 } \zeta - k _ { 2 } ^ { 3 } \zeta } { 4 k _ { 2 } ^ { 4 } } . } \end{array}
\mathring { A } ^ { { w , w ^ { \prime } } } : = A - \frac { \langle M ( w ) A E _ { - } M ( - \mathrm { R e } \, w ^ { \prime } + \mathfrak { s } \mathrm { i } \mathrm { I m } \, w ^ { \prime } ) \rangle } { \langle M ( w ) M ( - \mathrm { R e } \, w ^ { \prime } + \mathfrak { s } \mathrm { i } \mathrm { I m } \, w ^ { \prime } ) \rangle } E _ { - } \, ,
{ \frac { d \sin \theta } { d s } } = { \frac { d } { d s } } { \frac { y ^ { \prime } ( s ) } { \sqrt { x ^ { \prime } ( s ) ^ { 2 } + y ^ { \prime } ( s ) ^ { 2 } } } } = { \frac { y ^ { \prime \prime } ( s ) x ^ { \prime } ( s ) ^ { 2 } - y ^ { \prime } ( s ) x ^ { \prime } ( s ) x ^ { \prime \prime } ( s ) } { \left( x ^ { \prime } ( s ) ^ { 2 } + y ^ { \prime } ( s ) ^ { 2 } \right) ^ { 3 / 2 } } } \ ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } [ \mathcal { F } _ { \tau _ { i _ { k } } } \mid \mathcal { E } _ { 0 } , \mathcal { E } , k \geq \hat { k } ] } \\ & { \geq \mathbb { P } \left[ \mathcal { F } _ { \tau _ { i _ { k } } } \mid \mathcal { E } _ { 0 } , \mathcal { E } , k \geq \hat { k } , d ( \hat { a } _ { \tau _ { i _ { k } } } , a _ { 0 } ) \geq \frac { d ( a _ { 0 } , a _ { 1 } ) } { 2 } \right] \mathbb { P } \left[ d ( \hat { a } _ { \tau _ { i _ { k } } } , a _ { 0 } ) \geq \frac { d ( a _ { 0 } , a _ { 1 } ) } { 2 } \mid \mathcal { E } _ { 0 } , \mathcal { E } , k \geq \hat { k } \right] } \\ & { + \mathbb { P } \left[ \mathcal { F } _ { \tau _ { i _ { k } } } \mid \mathcal { E } _ { 0 } , \mathcal { E } , k \geq \hat { k } , d ( \hat { a } _ { \tau _ { i _ { k } } } , a _ { 0 } ) < \frac { d ( a _ { 0 } , a _ { 1 } ) } { 2 } \right] \mathbb { P } \left[ d ( \hat { a } _ { \tau _ { i _ { k } } } , a _ { 0 } ) < \frac { d ( a _ { 0 } , a _ { 1 } ) } { 2 } \mid \mathcal { E } _ { 0 } , \mathcal { E } , k \geq \hat { k } \right] } \\ & { \geq \frac { 1 } { 2 } \mathbb { P } \left[ d ( \hat { a } _ { \tau _ { i _ { k } } } , a _ { 0 } ) \geq \frac { d ( a _ { 0 } , a _ { 1 } ) } { 2 } \mid \mathcal { E } _ { 0 } , \mathcal { E } , k \geq \hat { k } \right] + \frac { 1 } { 2 } \mathbb { P } \left[ d ( \hat { a } _ { \tau _ { i _ { k } } } , a _ { 0 } ) < \frac { d ( a _ { 0 } , a _ { 1 } ) } { 2 } \mid \mathcal { E } _ { 0 } , \mathcal { E } , k \geq \hat { k } \right] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { y ( F ) } & { = \left[ \frac { 1 } { \eta } + \frac { C ( 1 \! \! - \! \! \frac { \eta } { F } ) ^ { \delta - 2 } } { F ^ { 2 } } ( \eta \delta - F ) \right] \exp \! { \Big ( \frac { C \eta } { F } \big ( 1 \! \! - \! \! \frac { \eta } { F } \big ) ^ { \delta \! - \! 1 } } \Big ) } \\ & { + \frac { ( F ^ { 2 } \! \! + \! \! 1 ) F + ( F ^ { 2 } \! \! - \! \! 1 ) C \eta } { 1 2 F ^ { 3 } } \eta \exp \! { \Big ( \! - \! \frac { C \eta } { F } \Big ) } - \frac { 1 } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho \hat { \psi } ^ { \mathrm { I I } } = } & { ~ \left( \frac { \rho _ { 1 } \kappa _ { 1 } } { 2 \varepsilon } + \frac { \rho _ { 2 } \kappa _ { 2 } } { 2 \varepsilon } \right) F ( \phi ) + \frac { \rho _ { 1 } \kappa _ { 1 } \varepsilon + \rho _ { 2 } \kappa _ { 2 } \varepsilon } { 4 } \| \nabla \phi \| ^ { 2 } } \\ & { ~ + \left( \frac { \rho _ { 1 } \kappa _ { 1 } } { 2 \varepsilon } - \frac { \rho _ { 2 } \kappa _ { 2 } } { 2 \varepsilon } \right) \phi F ( \phi ) + \frac { \rho _ { 1 } \kappa _ { 1 } \varepsilon - \rho _ { 2 } \kappa _ { 2 } \varepsilon } { 4 } \phi \| \nabla \phi \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } E } & { = \frac { 1 } { 2 } \overline { { e } } V , \qquad \qquad } & { E _ { b } } & { = 3 ( V _ { b } - \chi _ { b } ) , } \\ { F } & { = \left( \overline { { e } } - 2 \right) V - V _ { b } + 2 \chi + \chi _ { b } , \qquad \quad } & { F _ { b } } & { = 2 ( V _ { b } - \chi _ { b } ) , } \\ { T } & { = \left( \frac { 1 } { 2 } \overline { { e } } - 1 \right) V - V _ { b } + \chi + \chi _ { b } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathsf { V } _ { \mathtt { R I V W } } } & { = \frac { \mathbb { V } \left[ \sum _ { j \in S _ { \lambda } } u _ { j , \mathtt { R I V W } } / \sigma _ { Y _ { j } } ^ { 2 } \Big | S _ { \lambda } \right] } { \left( \sum _ { j \in S _ { \lambda } } \gamma _ { j } ^ { 2 } / \sigma _ { Y _ { j } } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \asymp _ { \mathrm { p } } \frac { 1 } { p _ { \lambda } \kappa _ { \lambda } } , } \\ { u _ { j , \mathtt { R I V W } } } & { = \gamma _ { j } \Big ( u _ { Y _ { j } } - \beta u _ { X _ { j } , \mathtt { R B } } \Big ) + \Big ( u _ { X _ { j } , \mathtt { R B } } u _ { Y _ { j } } - \beta ( u _ { X _ { j } , \mathtt { R B } } ^ { 2 } - \widehat { \sigma } _ { X _ { j } , \mathtt { R B } } ^ { 2 } ) \Big ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { r } } & { = ( x , \ y ) = r ( \cos \varphi , \ \sin \varphi ) = r { \hat { \mathbf { r } } } \ , } \\ { { \dot { \mathbf { r } } } } & { = \left( { \dot { x } } , \ { \dot { y } } \right) = { \dot { r } } ( \cos \varphi , \ \sin \varphi ) + r { \dot { \varphi } } ( - \sin \varphi , \ \cos \varphi ) = { \dot { r } } { \hat { \mathbf { r } } } + r { \dot { \varphi } } { \hat { \boldsymbol { \varphi } } } \ , } \\ { { \ddot { \mathbf { r } } } } & { = \left( { \ddot { x } } , \ { \ddot { y } } \right) } \\ & { = { \ddot { r } } ( \cos \varphi , \ \sin \varphi ) + 2 { \dot { r } } { \dot { \varphi } } ( - \sin \varphi , \ \cos \varphi ) + r { \ddot { \varphi } } ( - \sin \varphi , \ \cos \varphi ) - r { \dot { \varphi } } ^ { 2 } ( \cos \varphi , \ \sin \varphi ) } \\ & { = \left( { \ddot { r } } - r { \dot { \varphi } } ^ { 2 } \right) { \hat { \mathbf { r } } } + \left( r { \ddot { \varphi } } + 2 { \dot { r } } { \dot { \varphi } } \right) { \hat { \boldsymbol { \varphi } } } } \\ & { = \left( { \ddot { r } } - r { \dot { \varphi } } ^ { 2 } \right) { \hat { \mathbf { r } } } + { \frac { 1 } { r } } \; { \frac { d } { d t } } \left( r ^ { 2 } { \dot { \varphi } } \right) { \hat { \boldsymbol { \varphi } } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { L _ { i } ( \mathfrak { g } , \xi ) : = \int _ { 0 } ^ { l _ { i } } d L _ { i , r } ( \mathfrak { g } , \xi ) , } \\ & { D _ { i } ( \mathfrak { g } , \xi ) : = \int _ { 0 } ^ { l _ { i } } d D _ { i , r } ( \mathfrak { g } , \xi ) , } \\ & { M _ { i } ( \mathfrak { g } , \xi ) : = \int _ { 0 } ^ { l _ { i } } d M _ { i , r } ( \mathfrak { g } , \xi ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { y } F ( x , y ^ { Q } ; \xi _ { Q } ) = } & { \frac { 1 } { | S | } \sum _ { i \in S } \nabla _ { y } F _ { i } ( x , y ^ { Q } ; \xi _ { i , Q } ) , \; \; \nabla _ { y } ^ { 2 } G ( x , y ^ { t } ; u _ { t } ) = \frac { 1 } { | S | } \sum _ { i \in S } \nabla _ { x } \nabla _ { y } G _ { i } ( x , y ^ { t } ; u _ { i , t } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { \boldsymbol { h } } \left[ R _ { c } ^ { S D A } \right] \approx \int _ { 0 } ^ { M _ { 2 } } \frac { 1 } { N } \mathrm { l o g } _ { 2 } \left( 1 + \frac { N p \alpha ^ { 2 } z } { \sigma ^ { 2 } } \right) \frac { 2 K } { \lambda } \left( 1 - 2 \sqrt { \frac { z } { \lambda } } K _ { 1 } \left( 2 \sqrt { \frac { z } { \lambda } } \right) \right) ^ { K - 1 } K _ { 0 } \left( 2 \sqrt { \frac { z } { \lambda } } \right) d z . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( s , x , t ) } & { \lesssim 1 + \int _ { s } ^ { t } \frac { g ( s , x , u ) } { ( u - s ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } } \Vert b ^ { m } ( u , \cdot ) \Vert _ { \mathbb { B } _ { p , q } ^ { \beta } } \mathfrak { L } ( u , s , t , \rho ) \left[ \frac { ( t - s ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } } { ( t - u ) ^ { \frac { \rho } { \alpha } } } + 1 \right] \mathrm { d } u . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - ( t - s ) } \int _ { \vert v \vert \leq N } \langle v \rangle ^ { 2 } \vert \Gamma ( f ) ( s , x - v ( t - s ) , v ) \vert d v d s } \\ & { \leq C _ { q } \overbar { M } ^ { n } e ^ { C _ { q } \overbar { M } ^ { a } t } \bigg [ N ^ { 5 } ( 1 - e ^ { - \lambda } ) \overbar { M } + \frac { \overbar { M } } { N ^ { q - 1 0 } } + N ^ { 6 } ( \lambda ^ { - 2 } + N ^ { 3 } ) \left( \mathcal { E } ( F _ { 0 } ) + N ^ { \frac { 3 } { 2 } } \sqrt { \mathcal { E } ( F _ { 0 } ) } \right) \bigg ] , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { \mathbf { S } ( \mathcal { V } ) } & { = } & { \displaystyle \left\{ \left. x \mapsto \sum _ { m = 1 } ^ { n } \alpha _ { m } u ^ { x + \beta _ { m } } \, \right| \, n \in \mathbb { N } ^ { * } , ( \alpha , \beta ) \in \mathbb { C } ^ { 2 n } \right\} } \\ & { = } & { \displaystyle \left\{ \left. x \mapsto \sum _ { m = 1 } ^ { n } \omega _ { m } u ^ { x } \, \right| \, n \in \mathbb { N } ^ { * } , \omega \in \mathbb { C } ^ { n } \right\} } \\ & { = } & { \displaystyle \left\{ \left. x \mapsto a u ^ { x } \, \right| \, a \in \mathbb { C } \right\} . } \end{array}
\omega _ { \textup { \bf f } } : { \bf D } ( V _ { \textup { \bf f } } ^ { + } ) \stackrel { \sim } { \longrightarrow } \mathcal { R } _ { \textup { \bf f } } [ { 1 } / { p } ] \, \, , \, \, \quad \eta _ { \textup { \bf f } } : { \bf D } ( V _ { \textup { \bf f } } ^ { - } ) \hookrightarrow \frac { 1 } { H _ { \textup { \bf f } } } \mathcal { R } _ { \textup { \bf f } } [ { 1 } / { p } ] \, ,
\mathtt { F } = \left\{ \begin{array} { r r l } { 1 0 } & { \mathrm { i n } } & { \Omega _ { \mathrm { f } } } \\ { 1 } & { \mathrm { i n } } & { \overline { { \Omega } } \setminus \Omega _ { \mathrm { f } } } \end{array} \right. { \quad \mathrm { a n d } \quad } \alpha = \left\{ \begin{array} { r r l } { 1 } & { \mathrm { i n } } & { \Omega _ { \mathrm { f } } } \\ { 1 0 0 0 } & { \mathrm { i n } } & { \overline { { \Omega } } \setminus \Omega _ { \mathrm { f } } } \end{array} \right. \, .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \rho _ { ( ( \varphi _ { h } ) _ { \vert \nabla u \vert } ) ^ { * } , \Omega } ( h _ { \mathcal { T } } f ) } & { \lesssim h _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 \alpha } \, \big ( 1 + \rho _ { p ^ { \prime } ( \cdot ) s , \Omega } ( f ) + \rho _ { p ( \cdot ) s , \Omega } ( \nabla u ) \big ) } \\ & { \quad + h _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } \, \| ( \delta ^ { p ( \cdot ) - 1 } + \vert z \vert ) ^ { p ^ { \prime } ( \cdot ) - 2 } \vert f \vert ^ { 2 } \| _ { 1 , \{ p > 2 \} } \, . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb E \langle \sigma _ { I ( 1 ) } \sigma _ { I ( 2 ) } \rangle _ { t } ^ { 2 r } } & { = \frac { 2 } { ( M + N ) ( M + N - 1 ) } \sum _ { 1 \leq i < j \leq M + N } \mathbb E \langle \sigma _ { i } \sigma _ { j } \rangle _ { t } ^ { 2 r } } \\ & { = \frac { 2 } { ( M + N ) ( M + N - 1 ) } \sum _ { 1 \leq i < j \leq M + N } \mathbb E \bigl \langle \sigma _ { i } ^ { 1 } \sigma _ { i } ^ { 2 } \cdots \sigma _ { i } ^ { 2 r } \cdot \sigma _ { j } ^ { 1 } \sigma _ { j } ^ { 2 } \cdots \sigma _ { j } ^ { 2 r } \bigr \rangle _ { t } } \\ & { = \frac { M + N } { M + N - 1 } \Bigl ( \mathbb E \bigl \langle R ( \sigma ^ { 1 } , \ldots , \sigma ^ { 2 r } ) ^ { 2 } \bigr \rangle _ { t } - \frac { 1 } { M + N } \Bigr ) } \\ & { = A _ { 2 r } - \frac { 1 } { M + N - 1 } \bigl ( 1 - A _ { 2 r } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf E } _ { I } = \mathrm { \boldmath ~ \sigma ~ } - \mathrm { \boldmath ~ \sigma ~ } _ { I } , \quad { \bf E } _ { h } ^ { i } = \mathrm { \boldmath ~ \sigma ~ } _ { I } - \mathrm { \boldmath ~ \sigma ~ } _ { h } ^ { i } , \quad e _ { I } = u - u _ { I } , \quad \mathrm { a n d } \quad e _ { h } ^ { i } = u _ { I } - u _ { h } ^ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \operatorname* { i n f } } - \mathcal { L } ( Z ^ { 0 } , \Omega ^ { 0 } ) } & { \leq \mathbb { E } [ \mathcal { L } ( Z ^ { T + 1 } , \Omega ^ { T + 1 } ) ] - \mathcal { L } ( Z ^ { 0 } , \Omega ^ { 0 } ) } \\ & { \leq \sum _ { t = 1 } ^ { T } \Bigg ( C _ { 1 } \| \Omega ^ { t + 1 } - \Omega ^ { t } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { - 2 \delta _ { \omega } ^ { t } + L _ { \omega } ( \delta _ { \omega } ^ { t } ) ^ { 2 } } { 2 } \mathbb { E } \left[ \| \nabla _ { \omega } \mathcal { L } ( w ^ { t } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \right] } \\ & { + \frac { - 2 \delta _ { z } ^ { t } + L _ { z } ( \delta _ { z } ^ { t } ) ^ { 2 } } { 2 } \mathbb { E } \left[ \| \nabla _ { z } \mathcal { L } ( z ^ { t } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \right] + \frac { \sigma ^ { 2 } ( L _ { \omega } ( \delta _ { \omega } ^ { t } ) ^ { 2 } + L _ { z } ( \delta _ { z } ^ { t } ) ^ { 2 } ) } { 2 } \Bigg ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { \operatorname { E } \left[ { \tilde { \beta } } \right] } & { = \operatorname { E } [ C y ] } \\ & { = \operatorname { E } \left[ \left( ( X ^ { \operatorname { T } } X ) ^ { - 1 } X ^ { \operatorname { T } } + D \right) ( X \beta + \varepsilon ) \right] } \\ & { = \left( ( X ^ { \operatorname { T } } X ) ^ { - 1 } X ^ { \operatorname { T } } + D \right) X \beta + \left( ( X ^ { \operatorname { T } } X ) ^ { - 1 } X ^ { \operatorname { T } } + D \right) \operatorname { E } [ \varepsilon ] } \\ & { = \left( ( X ^ { \operatorname { T } } X ) ^ { - 1 } X ^ { \operatorname { T } } + D \right) X \beta } & & { \operatorname { E } [ \varepsilon ] = 0 } \\ & { = ( X ^ { \operatorname { T } } X ) ^ { - 1 } X ^ { \operatorname { T } } X \beta + D X \beta } \\ & { = ( I _ { K } + D X ) \beta . } \end{array} }
{ \begin{array} { r l r l } & { { \underset { x , u } { \operatorname { m a x i m i z e } } } } & & { f ( x ) + \sum _ { j = 1 } ^ { m } u _ { j } g _ { j } ( x ) } \\ & { \operatorname { s u b j e c t \; t o } } & & { \nabla f ( x ) + \sum _ { j = 1 } ^ { m } u _ { j } \, \nabla g _ { j } ( x ) = 0 } \\ & { } & & { u _ { i } \geq 0 , \quad i = 1 , \ldots , m } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \Delta \left( a _ { \mathbf { 1 } } ^ { i } - \mathsf { 1 } \right) } & { = \left( a _ { \mathbf { 1 } } ^ { i } \otimes a _ { \mathbf { 1 } } ^ { i } \right) - \left( \mathsf { 1 } \otimes \mathsf { 1 } \right) } \\ & { = a _ { \mathbf { 1 } } ^ { i } \otimes \left( a _ { \mathbf { 1 } } ^ { i } - \mathsf { 1 } \right) + \left( a _ { \mathbf { 1 } } ^ { i } - \mathsf { 1 } \right) \otimes \mathsf { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | ( j + k ) \lambda _ { \alpha - 1 } ( j + k ) - j \lambda _ { \alpha - 1 } ( j ) - k \lambda _ { \alpha - 1 } ( k ) | } & { = j \left( \lambda _ { \alpha - 1 } ( j + k ) - \lambda _ { \alpha } ( j ) \right) + k \left( \lambda _ { \alpha - 1 } ( j + k ) - \lambda _ { \alpha - 1 } ( k ) \right) } \\ & { > _ { \alpha } j \int _ { j } ^ { j + k } \partial _ { \xi } \lambda _ { \alpha - 1 } ( \xi ) d \xi } \\ & { > _ { \alpha } j | j + k | ^ { \alpha - 2 } k . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle \Phi _ { 0 } \vert \hat { T } \rho ( x , t ) \rho ( 0 , 0 ) \vert \Phi _ { 0 } \rangle } & { = } & { \frac { N ( N - 1 ) } { V ^ { 2 } } } \\ & { + } & { \frac { N } { V } \int \frac { \mathrm { d } k } { 2 \pi } [ \theta ( t ) \exp ( i k x - i t \frac { k ^ { 2 } } { 2 m } ) } \\ & { + } & { \theta ( - t ) \exp ( - i k x + i t \frac { k ^ { 2 } } { 2 m } ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { j _ { 4 } = i _ { 2 } } ^ { I + n - 1 } \frac { \sigma _ { j _ { 4 } } ^ { 2 } } { ( I + n - j _ { 4 } ) \epsilon ^ { j _ { 4 } } } \left( \prod _ { j _ { 1 } = i _ { 1 } } ^ { i _ { 2 } - 1 } f _ { j _ { 1 } } \right) \left( \prod _ { j _ { 2 } = i _ { 2 } } ^ { j _ { 4 } - 1 } \left( f _ { j _ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { \sigma _ { j _ { 2 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 2 } } } \right) \right) \left( \prod _ { j _ { 3 } = j _ { 4 } + 1 } ^ { I + n - 1 } \left( f _ { j _ { 3 } } ^ { 2 } + \frac { 2 \sigma _ { j _ { 3 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 3 } } } \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { x } } & { = \left( \sin \phi \frac { \partial } { \partial \theta } + \cot \theta \cos \phi \frac { \partial } { \partial \phi } \right) } \\ { L _ { y } } & { = \left( - \cos \phi \frac { \partial } { \partial \theta } + \cot \theta \sin \phi \frac { \partial } { \partial \phi } \right) } \\ { L _ { z } } & { = - \frac { \partial } { \partial \phi } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | | \tilde { R } _ { N , 1 } \mathcal { M } _ { 1 } ( \kappa ) [ P \Psi _ { 0 } ] | | _ { L ^ { 2 } } } & { = | | \mathcal { M } _ { 1 } ( d _ { \rho _ { 0 } } F ) \mathrm { O p } _ { 1 } ( r _ { N , h } ) \mathcal { M } _ { 1 } ( \kappa ) [ P \Psi _ { 0 } ] | | _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \leq | | \mathrm { O p } _ { 1 } ( r _ { N , h } ) | | _ { H _ { 1 } ( \langle \rho \rangle ^ { 3 N } ) \to L ^ { 2 } } \times | | \mathcal { M } _ { 1 } ( \kappa ) [ P \Psi _ { 0 } ] | | _ { H _ { 1 } ( \langle \rho \rangle ^ { 3 N } ) } } \\ & { \leq C _ { M } ( r _ { N , h } ) | | \kappa | | ^ { 3 N } K _ { N , d e g P } N _ { \infty } ( P ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { u + O ( q \eta ) = \prod _ { i \leqslant k } f _ { i } ( \lfloor \alpha _ { i } q r n \rfloor ) } & { = f _ { 1 } ( r \lfloor \alpha _ { 1 } q n \rfloor + 1 ) \prod _ { i = 2 } ^ { k } f _ { i } ( r \lfloor \alpha _ { i } q n \rfloor ) } \\ & { = f _ { 1 } ( r \lfloor \alpha _ { 1 } q n \rfloor + 1 ) \prod _ { i = 2 } ^ { k } f _ { i } ( r ) \cdot \prod _ { i = 2 } ^ { k } f _ { i } ( \lfloor \alpha _ { i } q n \rfloor ) } \end{array}
\ddot { e } _ { i } ( x _ { 1 } \mathbin { \ddot { \otimes } } x _ { 2 } \mathbin { \ddot { \otimes } } \cdots \mathbin { \ddot { \otimes } } x _ { m } ) = x _ { 1 } \mathbin { \ddot { \otimes } } \cdots \mathbin { \ddot { \otimes } } x _ { p - 1 } \mathbin { \ddot { \otimes } } \ddot { e } _ { i } ( x _ { p } ) \mathbin { \ddot { \otimes } } x _ { p + 1 } \mathbin { \ddot { \otimes } } \cdots \mathbin { \ddot { \otimes } } x _ { m }
\begin{array} { r l r } & { E \beta _ { n } = \frac { i ( \gamma + \gamma ^ { \prime } ) } { 2 } \beta _ { n } + w \alpha _ { n - 1 } + [ u + \frac { ( \gamma - \gamma ^ { \prime } ) } { 2 } ] \alpha _ { n } , } & \\ & { E \alpha _ { n } = \frac { i ( \gamma + \gamma ^ { \prime } ) } { 2 } \alpha _ { n } + w \beta _ { n - 1 } + [ u + \frac { ( \gamma - \gamma ^ { \prime } ) } { 2 } ] \beta _ { n } , } & \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \frac { { \mathrm { d } } t } { { \mathrm { d } } s } } & { = 1 , } & { t ( s = 0 ) } & { = 0 , } \\ { \frac { { \mathrm { d } } k } { { \mathrm { d } } s } } & { = - r k + \frac { i \rho k ^ { 2 } } { 2 } , } & { k ( s = 0 ) } & { = k _ { 0 } } \\ { \frac { { \mathrm { d } } \Tilde { f } } { { \mathrm { d } } s } } & { = 0 , } & { \Tilde { f } ( t ( 0 ) , k ( 0 ) ) } & { = { \mathrm { e } } ^ { - i k _ { 0 } x _ { 0 } } . } \end{array}
\| a \| _ { [ A _ { 0 } , A _ { 1 } ] _ { r , q } } : = \left\{ \begin{array} { l l } { \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } z ^ { - r q } K ( a , z ; A _ { 0 } , A _ { 1 } ) ^ { q } \frac { 1 } { z } d z \right) ^ { \frac { 1 } { q } } , } & { \quad q \in [ 1 , \infty ) , } \\ { \operatorname* { s u p } _ { z > 0 } z ^ { - r } K ( a , z ; A _ { 0 } , A _ { 1 } ) , } & { \quad q = \infty . } \end{array} \right.
\mathcal { B } ( \boldsymbol { f } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , \boldsymbol { f } _ { 2 } ^ { ( 1 ) } ) = \mathcal { B } _ { 3 } ( \mathcal { B } _ { 1 } ( \boldsymbol { f } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , \boldsymbol { f } _ { 2 } ^ { ( 1 ) } ) , \mathcal { B } _ { 2 } ( \mathcal { B } _ { 1 } ( \boldsymbol { f } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , \boldsymbol { f } _ { 2 } ^ { ( 1 ) } ) ) )
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { \xi \sim \mathbb { P } } \big ( \| \nabla f _ { \xi } ( { w _ { t + 1 } } ) - \nabla f _ { \xi } ( w _ { t } ) \| ^ { 2 } \big | S _ { 1 : t } \big ) } \\ & { \overset { ( i ) } { \le } 2 \| w _ { t + 1 } - w _ { t } \| ^ { 2 } \cdot ( L _ { 0 } ^ { 2 } + 2 L _ { 1 } ^ { 2 } \mathbb { E } _ { \xi } \| \nabla f _ { \xi } ( w _ { t } ) \| ^ { 2 } ) \exp ( 1 2 L _ { 1 } ^ { 2 } \| w _ { t + 1 } - w _ { t } \| ^ { 2 } ) } \\ & { \overset { ( i i ) } { = } 2 \gamma ^ { 2 } \exp ( 1 2 L _ { 1 } ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } ) \big ( L _ { 0 } ^ { 2 } + 2 L _ { 1 } ^ { 2 } \Lambda ^ { 2 } + 2 L _ { 1 } ^ { 2 } ( \Gamma ^ { 2 } + 1 ) \| \nabla f ( w _ { t } ) \| ^ { 2 } \big ) } \\ & { \overset { ( i i i ) } { \le } \epsilon ^ { 2 } \big ( 1 + \| \nabla f ( w _ { t } ) \| ^ { 2 } \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| d B ( v ) [ w ] \| _ { H ^ { 1 } } } & { \leq \| V w \| _ { H ^ { 1 } } + ( 1 + \sigma ) \| f ( | v | ^ { 2 } ) w \| _ { H ^ { 1 } } + \| G ( v ) \overline { { w } } \| _ { H ^ { 1 } } } \\ & { \lesssim \| V \| _ { W ^ { 1 , 4 } } \| w \| _ { H ^ { 1 } } + \| f ( | v | ^ { 2 } ) w \| _ { H ^ { 1 } } + \| G ( v ) \overline { { w } } \| _ { H ^ { 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Big [ E _ { N } ^ { ( 2 ) } \Big ] } & { = } & { \Big [ E _ { N } ^ { ( 2 ) } \Big ] _ { L } , } \\ { \Big [ E _ { N } ^ { ( 1 ) } E _ { N } ^ { ( 1 ) } \Big ] } & { = } & { \Big [ E _ { N } ^ { ( 1 ) } E _ { N } ^ { ( 1 ) } \Big ] _ { L } + \Big [ E _ { N } ^ { ( 1 ) } \Big ] _ { L } \Big [ E _ { N } ^ { ( 1 ) } \Big ] _ { L } , } \\ { \Big [ E _ { N } ^ { ( 2 ) } E _ { N } ^ { ( 0 ) } \Big ] } & { = } & { \Big [ E _ { N } ^ { ( 2 ) } E _ { N } ^ { ( 0 ) } \Big ] _ { L } + \Big [ E _ { N } ^ { ( 2 ) } \Big ] _ { L } \Big [ E _ { N } ^ { ( 0 ) } \Big ] _ { L } , } \\ { \Big [ E _ { N } ^ { ( 1 ) } E _ { N } ^ { ( 1 ) } E _ { N } ^ { ( 0 ) } \Big ] } & { = } & { \Big [ E _ { N } ^ { ( 1 ) } E _ { N } ^ { ( 1 ) } E _ { N } ^ { ( 0 ) } \Big ] _ { L } + \Big [ E _ { N } ^ { ( 1 ) } E _ { N } ^ { ( 1 ) } \Big ] _ { L } \Big [ E _ { N } ^ { ( 0 ) } \Big ] _ { L } } \\ & { } & { + 2 \Big [ E _ { N } ^ { ( 1 ) } E _ { N } ^ { ( 0 ) } \Big ] _ { L } \Big [ E _ { N } ^ { ( 1 ) } \Big ] _ { L } + \Big [ E _ { N } ^ { ( 1 ) } \Big ] _ { L } \Big [ E _ { N } ^ { ( 1 ) } \Big ] _ { L } \Big [ E _ { N } ^ { ( 0 ) } \Big ] _ { L } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \pi \left( \mathrm { d } x \right) = \frac { 1 } { \mathcal { Z } \left( \beta \right) } \exp \left( - \beta U \left( x \right) \right) \mathrm { d } x , \ \Bar { \pi } ^ { r } \left( \mathrm { d } x \right) : = \frac { 1 } { \Bar { \mathcal { Z } } ^ { r } \left( \beta \right) } \exp \left( - \beta \Bar { U } _ { r } \left( x \right) \right) \mathrm { d } x , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) - f ( { x } ^ { t , k } ) \ge \ } & { \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) , { x } ^ { t , k - 1 } - { x } ^ { t , k } \rangle - \frac { L } { 2 } \| { x } ^ { t , k - 1 } - { x } ^ { t , k } \| ^ { 2 } } \\ { \ge \ } & { ( 1 / 2 ) \langle \nabla f ( { x } ^ { t , k - 1 } ) , { x } ^ { t , k - 1 } - { x } ^ { t , k } \rangle } \\ { \ge \ } & { ( L / 2 ) \| { x } ^ { t , k - 1 } - { x } ^ { t , k } \| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { i } ^ { [ k ] } ( t ) = } & { \log \Bigg \{ \frac { \sum _ { j \neq i } \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } ( s - t ) d N _ { i j } ( t ) } { \sum _ { j \neq i } \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } ( s - t ) \exp \{ \beta _ { j } ^ { [ k - 1 ] } ( t ) + Z _ { i j } ( s ) ^ { \top } \gamma ^ { [ k - 1 ] } ( t ) \} d s } \Bigg \} , } \\ { \beta _ { j } ^ { [ k ] } ( t ) = } & { \log \Bigg \{ \frac { \sum _ { i \neq j } \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } ( s - t ) d N _ { i j } ( t ) } { \sum _ { i \neq j } \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } ( s - t ) \exp \{ \alpha _ { i } ^ { [ k - 1 ] } ( t ) + Z _ { i j } ( s ) ^ { \top } \gamma ^ { [ k - 1 ] } ( t ) \} d s } \Bigg \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 \eta } \left\{ \frac { b } { b _ { 0 } } \left( 1 . 6 5 9 - 4 . 2 7 9 \eta + \frac { 8 \eta - 1 } { 1 8 } ( L _ { 1 } - 3 . 2 3 9 5 ) + L _ { 2 } \right) + \log \zeta ( 1 + \eta ) \right\} } \\ & { \qquad \qquad \le \frac { b } { 2 b _ { 0 } } \left\{ 1 . 8 3 9 \left( 8 - \frac { E } { L _ { 2 } } \right) - 5 . 7 1 8 + \frac { E } { 1 8 } \frac { L _ { 1 } } { L _ { 2 } } + L _ { 2 } \left( 8 - \frac { E } { L _ { 2 } } \right) \right\} + 2 . 4 8 1 } \\ & { \qquad \qquad \le \left( 3 . 1 9 1 4 1 + 1 4 . 2 9 8 \frac { L _ { 2 } ^ { 2 } } { L _ { 1 } } - 3 8 . 8 9 \frac { L _ { 2 } } { L _ { 1 } } - \frac { 1 0 5 . 6 4 2 } { L _ { 1 } } \right) \frac { L _ { 1 } } { L _ { 2 } } } \\ & { \qquad \qquad \le 3 . 6 5 3 7 8 \frac { L _ { 1 } } { L _ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \{ a _ { 1 } \otimes b _ { 1 } , \dotsc , a _ { n } \otimes b _ { n } \} _ { n } } \\ & { = \sum _ { \sigma \in \operatorname { S h } _ { k , l } ^ { - 1 } } ( - 1 ) ^ { \sigma } a _ { \sigma ( k + 1 ) } \cdots a _ { \sigma ( k + l ) } \{ a _ { \sigma ( 1 ) } , \dotsc , a _ { \sigma ( k ) } \} _ { k } \otimes b _ { \sigma ( 1 ) } \cdots b _ { \sigma ( k ) } \{ b _ { \sigma ( k + 1 ) } , \dotsc , b _ { \sigma ( n ) } \} _ { l } . } \end{array}
\delta ( \mathbf { x } _ { 2 } ^ { R } \times \mathbf { p } _ { 1 } ^ { R } ) = ( \mathbf { x } _ { 2 } ^ { R } \times \mathbf { p } _ { 1 } ^ { R } ) ( T _ { o u t } ) - ( \mathbf { x } _ { 2 } ^ { R } \times \mathbf { p } _ { 1 } ^ { R } ) ( T _ { i n } ) = - 2 ( \mathbf { x } _ { 2 } ^ { R } \times \mathbf { p } _ { 1 } ^ { R } ) ( T _ { i n } ) + O ( d ^ { 2 } \bar { \nu } ) .
\begin{array} { r l } { \frac { \varepsilon _ { g } ( x ) } { g ( x ) } } & { = \frac { g _ { n } ( x ) - g ( x ) } { g ( x ) } = \frac { ( \cos { \widetilde { x } _ { 1 } } - \cos { x } ) ^ { m } - ( \cos { x _ { 1 } } - \cos { x } ) ^ { m } } { ( \cos { x _ { 1 } } - \cos { x } ) ^ { m } } } \\ & { = \frac { ( \cos { \widetilde { x } _ { 1 } } - \cos { x _ { 1 } } ) \sum _ { i = 0 } ^ { m - 1 } \left( \cos { \widetilde { x } _ { 1 } } - \cos { x } \right) ^ { m - i - 1 } \left( \cos { x _ { 1 } } - \cos { x } \right) ^ { i } } { ( \cos { x _ { 1 } } - \cos { x } ) ^ { m } } } \\ & { = \frac { \cos { \widetilde { x } _ { 1 } } - \cos { x _ { 1 } } } { \cos { x _ { 1 } } - \cos { x } } \times \sum _ { i = 0 } ^ { m - 1 } \left( \frac { \cos { \widetilde { x } _ { 1 } } - \cos { x } } { \cos { x _ { 1 } } - \cos { x } } \right) ^ { i } } \\ & { = \frac { \sin { \frac { x _ { 1 } + \widetilde { x } _ { 1 } } { 2 } } \sin { \frac { x _ { 1 } - \widetilde { x } _ { 1 } } { 2 } } } { \sin { \frac { x + x _ { 1 } } { 2 } } \sin { \frac { x - x _ { 1 } } { 2 } } } \sum _ { i = 0 } ^ { m - 1 } \left( \frac { \sin { \frac { x + \widetilde { x } _ { 1 } } { 2 } } \sin { \frac { x - \widetilde { x } _ { 1 } } { 2 } } } { \sin { \frac { x + x _ { 1 } } { 2 } } \sin { \frac { x - x _ { 1 } } { 2 } } } \right) ^ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | | P _ { 1 } \eta _ { R } u | | _ { 0 } ^ { 2 } } & { = | | Q u | | _ { 0 , M _ { \leq - R } } ^ { 2 } + | | \eta _ { R } Q u + \mathrm { s y m b } _ { 1 } ( P _ { 1 } ) ( \mathrm { -- } , \eta _ { R } ^ { \prime } \mathrm { d } t ) ( u ) | | _ { 0 , M _ { ( - R , R ) } } ^ { 2 } } \\ & { \leq | | Q u | | _ { 0 , M _ { \leq - R } } ^ { 2 } + 2 | | \eta _ { R } Q u | | _ { 0 , M _ { ( - R , R ) } } ^ { 2 } + 2 | | \mathrm { s y m b } _ { 1 } ( P _ { 1 } ) ( \mathrm { -- } , \eta _ { R } ^ { \prime } \mathrm { d } t ) ( u ) | | _ { 0 , M _ { ( - R , R ) } } ^ { 2 } } \\ & { \leq 2 | | Q u | | _ { 0 , M _ { < R } } ^ { 2 } + 2 | | \mathrm { s y m b } _ { 1 } ( P _ { 1 } ) ( \mathrm { -- } , \eta _ { R } ^ { \prime } \mathrm { d } t ) ( u ) | | _ { 0 , M _ { ( - R , R ) } } ^ { 2 } } \\ & { < 2 \varepsilon ^ { 2 } | | u | | _ { 0 } ^ { 2 } + 2 \frac { C ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } | | u | | _ { 0 } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \eta ^ { \prime \prime } = 0 ^ { \otimes \mathsf { m } _ { 0 } } 1 ^ { \otimes \mathsf { n } _ { 1 } } . . . 1 ^ { \otimes \mathsf { n } _ { i - 1 } } 0 ^ { \otimes \left( \mathsf { m } _ { i - 1 } + \mathsf { m } _ { i } - \mathsf { n } _ { i } \right) } 1 ^ { \otimes \mathsf { n } _ { i + 1 } } 0 ^ { \otimes \mathsf { m } _ { i + 1 } } . . . 0 ^ { \otimes \mathsf { m } _ { L } } 1 ^ { \otimes \mathsf { n } _ { L + 1 } } 0 ^ { \otimes \mathsf { m } _ { L + 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { r _ { k } } & { = A ^ { T } A \left[ \begin{array} { l l l l } { r _ { 0 } } & { r _ { 1 } } & { \cdots } & { r _ { k - 1 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { y _ { 0 } } \\ { \vdots } \\ { y _ { k - 1 } } \end{array} \right] - A ^ { T } b } \\ & { = A ^ { T } A \left( y _ { 0 } r _ { 0 } + \cdots + y _ { k - 1 } r _ { k - 1 } \right) + r _ { 0 } } \\ & { = r _ { 0 } + y _ { 0 } A ^ { T } A r _ { 0 } + \cdots + y _ { k - 1 } A ^ { T } A r _ { k - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \bar { q } - \bar { q } _ { h } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } & { \lesssim j ^ { \prime } ( \bar { q } _ { h } ) ( \bar { q } _ { h } - \bar { q } ) + j _ { h } ^ { \prime } ( \bar { q } _ { h } ) ( \mathcal { P } _ { h } ( \bar { q } ) - \bar { q } _ { h } ) } \\ & { = j ^ { \prime } ( \bar { q } _ { h } ) ( \mathcal { P } _ { h } ( \bar { q } ) - \bar { q } ) + [ j ^ { \prime } ( \bar { q } _ { h } ) - j _ { h } ^ { \prime } ( \bar { q } _ { h } ) ] ( \bar { q } _ { h } - \mathcal { P } _ { h } ( \bar { q } ) ) = : \mathbf { I } _ { h } + \mathbf { I I } _ { h } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \gamma ^ { 2 } \mathbb { E } _ { x ^ { t } } \left[ \Vert \nabla f _ { j } ( x ^ { t } ) - \nabla f ( x ^ { * } ) \Vert ^ { 2 } \right] } & { \leq } & { 2 \gamma ^ { 2 } \mathbb { E } _ { x ^ { t } } \left[ \Vert \nabla f _ { j } ( x ^ { t } ) - \nabla f _ { j } ( x ^ { * } ) \Vert ^ { 2 } \right] + 2 \gamma ^ { 2 } \mathbb { E } \left[ \Vert \nabla f _ { j } ( x ^ { * } ) - \nabla f ( x ^ { * } ) \Vert ^ { 2 } \right] } \\ & { = } & { 2 \gamma ^ { 2 } \mathbb { E } _ { x ^ { t } } \left[ \Vert \nabla f _ { j } ( x ^ { t } ) - \nabla f _ { j } ( x ^ { * } ) \Vert ^ { 2 } \right] + 2 \gamma ^ { 2 } \sigma _ { F } ^ { * } } \\ & { \leq } & { 4 \gamma ^ { 2 } L _ { \operatorname* { m a x } } D _ { f } ( x ^ { t } ; x ^ { * } ) + 2 \gamma ^ { 2 } \sigma _ { F } ^ { * } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | | u | | _ { s } } & { = | | ( \rho _ { 0 } - \rho _ { 0 } R P \rho _ { 1 } ) u + \rho _ { 0 } R P \rho _ { 1 } u | | _ { s } } \\ & { \leq | | ( \rho _ { 0 } - \rho _ { 0 } R P \rho _ { 1 } ) u | | _ { s } + | | \rho _ { 0 } R P u | | _ { s } } \\ & { \leq | | ( \rho - \rho _ { 0 } R P \rho _ { 1 } ) u - Q u | | _ { s } + | | Q u | | _ { s } + | | \rho _ { 0 } R | | _ { s - 1 , s } | | P u | | _ { s - 1 } } \\ & { \leq 1 / 2 | | u | | _ { s } + | | Q | | _ { s - 1 , s } | | u | | _ { s - 1 } + | | \rho _ { 0 } R | | _ { s - 1 , s } | | P u | | _ { s - 1 } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { C _ { 5 } } & { = 3 8 C _ { \beta } + 2 ( C _ { 1 } + 3 2 ^ { 2 } ( C + 1 ) ^ { 2 } ) C _ { 4 } ^ { 2 } ( 2 / ( s + 1 ) ) ^ { 2 } + 4 8 0 ( C _ { \ensuremath { \mathscr { K } } } + 1 ) ^ { 2 } C _ { \beta } } \\ { C _ { 4 } } & { = \tilde { M } ( 2 C _ { \ensuremath { \mathscr { K } } } ( C + ( 1 + 2 \sqrt { 2 C } ) + 1 ) ) + C _ { 3 } } \\ { C _ { 3 } } & { = \sqrt { 3 8 C _ { \beta } } + ( C _ { \ensuremath { \mathscr { K } } } + 1 ) \sqrt { 4 8 0 C _ { \beta } } + \tilde { M } } \\ { C _ { 2 } } & { = \sqrt { 2 [ C _ { 1 } + 3 2 ^ { 2 } ( C + 1 ) ^ { 2 } ] } } \\ { C _ { 1 } } & { = 6 C _ { \ensuremath { \mathscr { K } } } + 6 C + 8 ( 1 + \sqrt { 2 C } ) / \tilde { M } + 5 2 0 ( C _ { \ensuremath { \mathscr { K } } } + C + 2 ( C + 1 ) ) ^ { 2 } ( C _ { 0 } + 1 ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathcal { L I F } _ { \beta } ^ { ( 2 ) } ( \boldsymbol { y } ; \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) } & { = \sqrt { \mathcal { I F } ^ { ( 2 ) } \left( \boldsymbol { y } , R _ { n , \beta } \left( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } \right) , \underline { { F } } _ { \boldsymbol { \theta } _ { 0 } } \right) } \left. \frac { d } { d \nu } Q _ { \frac { r } { 2 } } ( \sqrt { \nu } , \sqrt { \chi _ { r , \alpha } ^ { 2 } } ) \right\vert _ { \nu = \mathcal { I F } ^ { ( 2 ) } \left( \boldsymbol { y } , R _ { n , \beta } \left( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } \right) , \underline { { F } } _ { \boldsymbol { \theta } _ { 0 } } \right) } } \\ & { = \mathcal { I F } ^ { ( 2 ) } \left( \boldsymbol { y } , R _ { n , \beta } \left( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } \right) , \underline { { F } } _ { \boldsymbol { \theta } _ { 0 } } \right) } \\ & { \times \left( Q _ { \frac { r } { 2 } + 1 } ( \sqrt { \mathcal { I F } ^ { ( 2 ) } \left( \boldsymbol { y } , R _ { n , \beta } \left( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } \right) , \underline { { F } } _ { \boldsymbol { \theta } _ { 0 } } \right) } , \sqrt { \chi _ { r , \alpha } ^ { 2 } } ) - Q _ { \frac { r } { 2 } } ( \sqrt { \mathcal { I F } ^ { ( 2 ) } \left( \boldsymbol { y } , R _ { n , \beta } \left( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } \right) , \underline { { F } } _ { \boldsymbol { \theta } _ { 0 } } \right) } , \sqrt { \chi _ { r , \alpha } ^ { 2 } } ) \right) , } \end{array}
I = \left( \begin{array} { c c c c c c c c c c } { - 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { 3 } & { - 1 } & { - } & { - 1 } & { - 1 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 , } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 , } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \vert \langle \mathbf { d } _ { 0 } x , y \rangle _ { L ^ { 2 } } \vert } & { \leq \int _ { 0 } ^ { a } \left\vert x ( z ) \frac { d } { d z } y ( z ) \right\vert \, d z + \int _ { 0 } ^ { b } \left\vert x ( z ) \frac { d } { d z } y ( z ) \right\vert \, d z } \\ & { \leq \| x \| _ { L ^ { 2 } ( a , 0 ) } \left\| \frac { d } { d z } y \right\| _ { L ^ { 2 } ( a , 0 ) } + \| x \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , b ) } \left\| \frac { d } { d z } y \right\| _ { L ^ { 2 } ( 0 , b ) } } \\ & { \leq \| x \| _ { L ^ { 2 } ( a , b ) } \left( \left\| \frac { d } { d z } y \right\| _ { L ^ { 2 } ( a , 0 ) } + \left\| \frac { d } { d z } y \right\| _ { L ^ { 2 } ( 0 , b ) } \right) } \\ & { \leq C _ { y } \| x \| _ { L ^ { 2 } ( a , b ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| } & { ( \mathcal { S } ( \boldsymbol { X } ^ { 2 } ) - \mathcal { S } ( \boldsymbol { X } ^ { 1 } ) ) \boldsymbol { Y } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } } \\ & { \leq C ( \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } ^ { 1 } \| _ { C ^ { 0 } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } , | \boldsymbol { X } ^ { 1 } | _ { * } , \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } ^ { 2 } \| _ { C ^ { 0 } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } , | \boldsymbol { X } ^ { 2 } | _ { * } , \| \mathcal { T } \| _ { C ^ { 3 } } ) } \\ & { \quad \times \Big ( \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { Y } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } ( \boldsymbol { X } ^ { 1 } - \boldsymbol { X } ^ { 2 } ) \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } } \\ & { \quad + \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { Y } \| _ { C ^ { 0 } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } ( \boldsymbol { X } ^ { 1 } - \boldsymbol { X } ^ { 2 } ) \| _ { C ^ { 0 } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } ( \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } ^ { 1 } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } + \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } ^ { 2 } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } ) \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { k } ^ { \prime \prime } ( t ) + \beta _ { k } c _ { k } ^ { \prime } ( t ) + \lambda _ { k } c _ { k } ( t ) } & { = f _ { k } ( t ) , } \\ { c _ { k } ( 0 ) } & { = \alpha _ { k } ^ { N } , } \\ { c _ { k } ^ { \prime } ( 0 ) } & { = ( \vec { \psi } , \vec { \varphi } _ { k } ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \sigma } ) } } \end{array}
\sum _ { \ell = 1 } ^ { \infty } \mathbb E \bigl | \bigl ( { \langle \sigma _ { i } \sigma _ { j } \rangle _ { i j } ^ { \prime } } ^ { \ell - 1 } - { \langle \sigma _ { i } \sigma _ { j } \rangle _ { i j } ^ { \prime } } ^ { \ell + 1 } \bigr ) J _ { i j } \operatorname { t a n h } ( \beta J _ { i j } ) ^ { \ell } \bigr | \le 2 \mathbb E | J | < \infty .
\begin{array} { r } { \displaystyle \sum _ { i , j , \alpha , \beta = 1 } ^ { n } \int _ { { \mathcal { O } } } \left( \frac { 1 } { | W ^ { * } | } \sum _ { l , k = 1 } ^ { n } \int _ { W ^ { * } } a _ { l k } \frac { \partial } { \partial y _ { k } } \left( P _ { j } ^ { \beta } - { \boldsymbol \chi } _ { j } ^ { \beta } \right) \frac { \partial } { \partial y _ { l } } \left( P _ { i } ^ { \alpha } - { \boldsymbol \chi } _ { i } ^ { \alpha } \right) \, d y \right) \frac { \partial { u _ { 0 j } } } { \partial x _ { \beta } } \frac { \partial { \varphi } _ { i } } { \partial x _ { \alpha } } \, d x } \\ { - \displaystyle \int _ { { \mathcal { O } } } p _ { 0 } \operatorname { d i v } ( \boldsymbol \varphi ) \, d x = \int _ { { \mathcal { O } } } \boldsymbol { \boldsymbol { \theta } _ { 0 } } \cdot \boldsymbol \varphi \, d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { P r } \left\{ \sum _ { k = 1 } ^ { c _ { 0 } T ^ { 2 / 3 } } \left( X _ { j } ^ { \left( c _ { 0 } ( 2 i ) T ^ { 2 / 3 } + k \right) } - X _ { j } ^ { \left( c _ { 0 } ( 2 i + 1 ) T ^ { 2 / 3 } + k \right) } \right) > c _ { 0 } c _ { 1 } T ^ { 1 / 3 } \log ( T ^ { 2 } ) \right\} } \\ & { \leq \exp \left( - \frac { 2 \log ( T ^ { 2 } ) \left( c _ { 0 } T ^ { 2 / 3 } \mathbb { E } [ Z ] - c _ { 0 } c _ { 1 } T ^ { 1 / 3 } \right) ^ { 2 } } { 4 c _ { 0 } T ^ { 2 / 3 } } \right) } \\ & { \le \exp \left( - c _ { 0 } c _ { 1 } ^ { 2 } \log T \right) } \\ & { \leq T ^ { - c _ { 0 } c _ { 1 } ^ { 2 } } } \\ & { \leq \frac { 1 } { T } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { f } } & { = [ f ( \mathbf { x } _ { 1 } ) , \dots , f ( \mathbf { x } _ { N } ) ] ^ { T } , } \\ { \mathbf { f _ { \boldsymbol { \xi } } } } & { = [ ( \partial _ { \boldsymbol { \xi } } f ) ( \mathbf { x } _ { 1 } ) , \dots , ( \partial _ { \boldsymbol { \xi } } f ) ( \mathbf { x } _ { N } ) ] ^ { T } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \| \hat { \boldsymbol { u } } ^ { B } - \boldsymbol { u } ^ { B } \| ^ { 2 } = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { t } } \| \hat { \boldsymbol { u } } _ { i } ^ { B } - \boldsymbol { u } _ { i } ^ { B } \| ^ { 2 } } & \\ { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { t } } \left\| \sum _ { k = 1 } ^ { J _ { n } } \sum _ { j = 0 } ^ { i - 1 } \delta u _ { k } \lambda _ { k } ^ { j } \boldsymbol { b } _ { k } \right\| ^ { 2 } } & { \quad { \scriptstyle ( \mathbf { B } ^ { j } \boldsymbol { b } _ { k } = \lambda _ { k } \mathbf { B } ^ { j - 1 } \boldsymbol { b } _ { k } = \cdots = \lambda _ { k } ^ { j } \boldsymbol { b } _ { k } ) } } \\ { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { t } } \sum _ { k = 1 } ^ { J _ { n } } \left| \sum _ { j = 0 } ^ { i - 1 } \lambda _ { k } ^ { j } \right| ^ { 2 } \delta u _ { k } ^ { 2 } } & { \quad { \scriptstyle \mathrm { ( U n i t a r y ~ o r t h o g o n a l i t y ~ o f ~ \{ \boldsymbol { b } _ k \} ~ ) } } } \\ { \ge } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { t } } \left| \sum _ { j = 0 } ^ { i - 1 } \lambda _ { m } ^ { j } \right| ^ { 2 } \delta u _ { m } ^ { 2 } . } & \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho \in } & { \mathop { \arg \operatorname* { m a x } } _ { \lambda \in [ 0 , H - \bar { H } - d ] } \{ \lambda + P _ { ( h ^ { * } , s ^ { * } , a ^ { * } ) } ( s _ { \bar { H } + d + 1 } ^ { k } = \tilde { s } _ { g } ) u ( H - \bar { H } - d - \lambda ) } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad + ( 1 - P _ { ( h ^ { * } , s ^ { * } , a ^ { * } ) } ( s _ { \bar { H } + d + 1 } ^ { k } = \tilde { s } _ { g } ) ) u ( - \lambda ) \} , } \end{array}
\boxed { \big ( \mathcal { J } _ { \mathtt { P T } } ^ { \mathtt { ( m ) } } , \overline { { j } } _ { \mathtt { P T } } ^ { \mathtt { ( m ) } } \big ) \overset { \mathtt { S o l } } { = } \widetilde { \pi } ^ { * } \big ( \mathcal { J } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } , \overline { { j } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } \big ) - \underline { { \mathrm { d } } } ( \imath _ { \xi } \iota _ { Z } \mathrm { v o l } _ { g } , 0 ) }
F \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \pm } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ; \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \delta \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \to \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l } { | \mathcal { L } _ { h } u _ { 0 , \rho } ( x ) | \leq } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { 0 < | y _ { \beta } | < 1 } ( J _ { p } ( d _ { y _ { \beta } } u _ { 0 , \delta } ( x ) ) - J _ { p } ( - d _ { - y _ { \beta } } u _ { 0 , \delta } ( x ) ) \omega _ { \beta } + \sum _ { | y _ { \beta } | \geq 1 } J _ { p } ( d _ { y _ { \beta } } u _ { 0 , \delta } ( x ) ) \omega _ { \beta } } \\ { \leq } & { C \left( \sum _ { 0 < | y _ { \beta } | < 1 } \operatorname* { m a x } \left\lbrace | d _ { y _ { \beta } } u _ { 0 , \delta } ( x ) | , | d _ { - y _ { \beta } } u _ { 0 , \delta } ( x ) | \right\rbrace ^ { p - 2 } | D _ { y _ { \beta } } u _ { 0 , \delta } ( x ) | \omega _ { \beta } + \| u _ { 0 , \delta } \| _ { L ^ { \infty } ( \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { d } ) } ^ { p - 1 } \sum _ { | y _ { \beta } | \geq 1 } \omega _ { \beta } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \beta } { \mathcal { Z } ( \beta ) } \int \exp \left( - \beta U \left( x \right) \right) \left( \Bar { U } _ { r } ( x ) - U \left( x \right) \right) \mathrm { d } x } \\ & { \le \frac { \beta } { \mathcal { Z } ( \beta ) } \int \exp \left( - \beta U \left( x \right) \right) \left| \Bar { U } _ { r } ( x ) - U \left( x \right) \right| \mathrm { d } x } \\ & { \le \frac { \beta r } { \mathcal { Z } ( \beta ) } \int \left( \left| \nabla U \left( \mathbf { 0 } \right) \right| + \left( 1 + \frac { r } { 2 } \right) \omega _ { \nabla U } ( 1 ) + \omega _ { \nabla U } ( 1 ) | x | \right) \exp \left( - \beta U \left( x \right) \right) \mathrm { d } x } \\ & { \le \beta r \left( \left| \nabla U \left( \mathbf { 0 } \right) \right| + \frac { 3 } { 2 } \omega _ { \nabla U } ( 1 ) + \omega _ { \nabla U } ( 1 ) \int | x | \pi ( \mathrm { d } x ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq s \leq h } | X _ { s + t } ^ { 1 } - X _ { t } ^ { 1 } - X _ { t , s } ^ { 1 } | ^ { p } \leq } \\ & { 2 ^ { p - 1 } \left[ \left( { \int _ { 0 } ^ { h } } { \| B ^ { 1 } ( X _ { u + t } ) \| } d u \right) ^ { p } + \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq s \leq h } \left\| { \int _ { 0 } ^ { s } } \left[ A ^ { 1 } ( X _ { u + t } ) - A ^ { 1 } ( X _ { t } ) \right] d { \hat { W } } _ { u } \right\| ^ { p } \right] . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { V _ { k } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } & { \cong { \mathrm { O } } ( n ) / { \mathrm { O } } ( n - k ) } \\ { V _ { k } ( \mathbb { C } ^ { n } ) } & { \cong { \mathrm { U } } ( n ) / { \mathrm { U } } ( n - k ) } \\ { V _ { k } ( \mathbb { H } ^ { n } ) } & { \cong { \mathrm { S p } } ( n ) / { \mathrm { S p } } ( n - k ) } \end{array} }
\begin{array} { r } { I _ { Z } ( \varphi ) = \operatorname* { l i m } _ { \omega \to 0 } I _ { Z } ^ { \omega } ( \varphi ) = \operatorname* { l i m } _ { \omega \to 0 } \int _ { \mathbb R ^ { 2 } } \int _ { \mathscr D _ { N } ^ { \sigma , \omega } } | \varphi ( p , y ) | ^ { 2 } \Omega _ { Z - \omega } ( y ) \mathrm { d } ^ { 2 } p \mathrm { d } \mu _ { N } ^ { B } ( y ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \xi _ { i , j } } \left[ \left( \Phi _ { j - 1 } + t C _ { j } \right) ^ { p - 2 } C _ { j } ^ { 2 } \right] } & { = \sum _ { q = 0 } ^ { p - 2 } \binom { p - 2 } { q } \Phi _ { j - 1 } ^ { p - 2 - q } \mathbb { E } _ { \xi _ { i , j } } \left[ t ^ { 2 + q } C _ { j } ^ { 2 + q } \right] } \\ & { \le 4 \sum _ { q = 0 } ^ { p - 2 } 2 ^ { q } \binom { p - 2 } { q } \Phi _ { j - 1 } ^ { p - 2 - q } \mathbb { E } _ { \xi _ { i , j } } \left[ | A _ { j } | ^ { 2 + q } \right] } \\ & { + 4 \sum _ { q = 0 } ^ { p - 2 } 2 ^ { q } \binom { p - 2 } { q } \Phi _ { j - 1 } ^ { p - 2 - q } \mathbb { E } _ { \xi _ { i , j } } \left[ B _ { j } ^ { 2 + q } \right] } \\ & { \le 4 \Phi _ { j - 1 } ^ { p } \left( \frac { 4 8 \eta _ { i } L p } { \rho } \right) ^ { 2 } \sum _ { q = 0 } ^ { p - 2 } 2 ^ { q } \binom { p - 2 } { q } \left( \frac { 4 8 \eta _ { i } L q } { \rho } \right) ^ { q } } \\ & { + 4 \Phi _ { j - 1 } ^ { p } \left( \frac { 4 8 \eta _ { i } L p } { \rho } \right) ^ { 2 } \sum _ { q = 0 } ^ { p - 2 } 2 ^ { q } \binom { p - 2 } { q } \left( \frac { 4 8 \eta _ { i } L ( 2 + q ) } { \rho } \right) ^ { 2 q + 2 } } \\ & { \le 8 \Phi _ { j - 1 } ^ { p } \left( \frac { 4 8 \eta _ { i } L p } { \rho } \right) ^ { 2 } \left( 1 + \frac { 9 6 \eta _ { i } L p } { \rho } \right) ^ { p - 2 } } \\ & { \le 1 6 \Phi _ { j - 1 } ^ { p } \left( \frac { 4 8 \eta _ { i } L p } { \rho } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbf T ^ { 3 } } | \nabla _ { x } \psi ( t , x ) | ^ { 2 } - | \nabla _ { x } \phi ( t , x ) | ^ { 2 } d x } & { = - 2 \langle \nabla _ { x } \psi , \nabla _ { x } \Delta _ { x } ^ { - 1 } a \rangle _ { L _ { x } ^ { 2 } } - \| \nabla _ { x } \Delta _ { x } ^ { - 1 } a \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } } \\ & { = 2 \langle \psi , a \rangle _ { L _ { x } ^ { 2 } } - \| \Delta _ { x } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } a \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } ^ { 2 } . } \end{array}
{ \begin{array} { c } { { \binom { 0 } { 0 } } } \\ { { \binom { 1 } { 0 } } \quad { \binom { 1 } { 1 } } } \\ { { \binom { 2 } { 0 } } \quad { \binom { 2 } { 1 } } \quad { \binom { 2 } { 2 } } } \\ { { \binom { 3 } { 0 } } \quad { \binom { 3 } { 1 } } \quad { \binom { 3 } { 2 } } \quad { \binom { 3 } { 3 } } } \\ { { \binom { 4 } { 0 } } \quad { \binom { 4 } { 1 } } \quad { \binom { 4 } { 2 } } \quad { \binom { 4 } { 3 } } \quad { \binom { 4 } { 4 } } } \\ { { \binom { 5 } { 0 } } \quad { \binom { 5 } { 1 } } \quad { \binom { 5 } { 2 } } \quad { \binom { 5 } { 3 } } \quad { \binom { 5 } { 4 } } \quad { \binom { 5 } { 5 } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { 0 \ } & { \geq \ \| z - x _ { \varepsilon ( t _ { k _ { n } } ) , \lambda ( t _ { k _ { n } } ) } \| ^ { 2 } - \left\langle z - x _ { \varepsilon ( t _ { k _ { n } } ) , \lambda ( t _ { k _ { n } } ) } , z - 0 \right\rangle } \\ & { = \ \left\langle z - x _ { \varepsilon ( t _ { k _ { n } } ) , \lambda ( t _ { k _ { n } } ) } , 0 - x _ { \varepsilon ( t _ { k _ { n } } ) , \lambda ( t _ { k _ { n } } ) } \right\rangle \to \left\langle z - y , 0 - y \right\rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { e } } & { \le \operatorname* { P r } ( \nexists { z } ^ { k } : { z } ^ { k } \in A _ { \epsilon } ( { X } ^ { k } | Y _ { t } ^ { k } ) \mathrm { ~ a n d ~ } { z } ^ { k } \mathrm { ~ i s ~ a ~ s u b s e q u e n c e ~ o f ~ } \tilde { X } _ { 1 } ^ { ( n - a ) s _ { \operatorname* { m a x } } } . ) } \\ & { \qquad + \operatorname* { P r } ( X _ { 1 } ^ { n } \notin A _ { \epsilon } ^ { ( n ) } ( X ) ) + \sum _ { i = 2 } ^ { 2 ^ { n R } } P _ { \mathrm { c o l , i } } + \kappa _ { n } + \mu _ { n } } \\ & { \le 2 \epsilon + \sum _ { i = 2 } ^ { 2 ^ { n R } } P _ { \mathrm { c o l , i } } + \kappa _ { n } + \mu _ { n } } \\ & { \le 2 \epsilon + 2 ^ { n R } P _ { \mathrm { c o l , 2 } } + \kappa _ { n } + \mu _ { n } } \end{array}
Q ^ { \pm } ( x , t | x _ { 0 } , 0 ) : = Q ^ { \pm } ( x , t ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi t } } e ^ { - \frac { ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 t } } \int _ { - \infty } ^ { \pm \alpha _ { t } x } e ^ { - \frac { s ^ { 2 } } { 2 } } d s \left( \int _ { - \infty } ^ { \pm \alpha _ { 0 } x _ { 0 } } e ^ { - \frac { s ^ { 2 } } { 2 } } d s . \right) ^ { - 1 }
\begin{array} { r l } { ( x _ { 1 } - x _ { 3 } ) ^ { 2 } + ( y _ { 1 } - y _ { 3 } ) ^ { 2 } } & { = ( r _ { 1 } + r _ { 3 } ) ^ { 2 } } \\ { x _ { 1 } ^ { 2 } - 2 x _ { 1 } x _ { 3 } + x _ { 3 } ^ { 2 } + y _ { 1 } ^ { 2 } - 2 y _ { 1 } y _ { 3 } + y _ { 3 } ^ { 2 } } & { = r _ { 1 } ^ { 2 } + 2 r _ { 1 } r _ { 3 } + r _ { 3 } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Big | \int _ { | k | < r } \left[ 1 - \cos \left( 2 \pi k \cdot \ell \right) \right] \, \chi _ { | k | > \kappa } \, | k | ^ { - ( 2 H + d ) } \, d k \Big | } & { \leq \int _ { | k | < r } \frac { ( 2 \pi | k | | \ell | ) ^ { 2 } } { 2 } \, \chi _ { | k | > \kappa } \, | k | ^ { - ( 2 H + d ) } \, d k } \\ & { \lesssim 2 \pi ^ { 2 } | \ell | ^ { 2 } \int _ { \kappa } ^ { r } | k | ^ { 1 - 2 H } \, d | k | } \\ & { \lesssim \frac { 1 } { 2 - 2 H } \, | \ell | ^ { 2 H } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } ^ { ( 0 ) } ( 0 ) } & { = \frac { 1 } { 2 } s _ { 0 } ^ { - \frac { \sigma _ { 3 } } { 2 } } 2 ^ { \frac { \alpha } { 2 } \sigma _ { 3 } } 3 ^ { - \frac { \alpha } { 2 } \sigma _ { 3 } } e ^ { - \frac { \pi i { \beta } } { 3 } \sigma _ { 3 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 1 } \end{array} \right) e ^ { - \frac { 3 \pi i } { 4 } \sigma _ { 3 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { i } \\ { i } & { 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
\mathcal { T } ^ { \mathbf { m } _ { 1 } , \mathbf { n } _ { 1 } , \ldots , \mathbf { m } _ { g } , \mathbf { n } _ { g } , \mathbf { p } _ { 1 } , \ldots , \mathbf { p } _ { n } } = \mathcal { G } ^ { \mathbf { m } _ { 1 } , \mathbf { n } _ { 1 } } \otimes \ldots \otimes \mathcal { G } ^ { \mathbf { m } _ { g } , \mathbf { n } _ { g } } \otimes \mathcal { F } _ { \mathrm { D C K } } ^ { \mathbf { p } _ { 1 } } \otimes \ldots \otimes \mathcal { F } _ { \mathrm { D C K } } ^ { \mathbf { p } _ { n } } \subset \mathcal { H H } _ { q } ^ { \otimes g } \otimes U _ { q } ^ { \otimes n } .
\phi ( y , e _ { i } ) = \operatorname* { s u p } _ { u _ { 1 } \in \Theta _ { 1 } } \biggl ( \operatorname* { i n f } _ { u _ { 2 } \in \Theta _ { 2 } } J ( y , e _ { i } , u _ { 1 } , u _ { 2 } ) \biggr ) = \operatorname* { i n f } _ { u _ { 2 } \in \Theta _ { 2 } } \biggl ( \operatorname* { s u p } _ { u _ { 1 } \in \Theta _ { 1 } } J ( y , e _ { i } , u _ { 1 } , u _ { 2 } ) \biggr ) = \phi ^ { \lambda _ { 0 } } ( y , e _ { i } ) ,
Y = \left\{ \begin{array} { l l } { \varnothing , } & { \mathrm { i f } \ M = 0 \mathrm { ~ a n d ~ } J = 0 } \\ { \{ ( i , X _ { i } ) \mid i \in \mathbb { T } \} , } & { \mathrm { i f } \ 1 \le M \le \kappa ( n ) \mathrm { ~ a n d ~ } J = 0 } \\ { \mathfrak { C } , } & { \mathrm { i f } \ M > \kappa ( n ) \mathrm { ~ o r ~ } J = 1 , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \int _ { V _ { j } } ( x - x _ { j } ) ^ { 2 } d V = \frac { 1 } { 2 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } ( x _ { i } - x _ { j } ) ^ { 2 } V _ { j } , } & { } & { \int _ { V _ { j } } ( x - x _ { j } ) ( y - y _ { j } ) d V = \frac { 1 } { 2 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } ( x _ { i } - x _ { j } ) ( y _ { i } - y _ { j } ) V _ { j } , } \\ { \int _ { V _ { j } } ( y - y _ { j } ) ^ { 2 } d V = \frac { 1 } { 2 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } ( y _ { i } - y _ { j } ) ^ { 2 } V _ { j } , } & { } & { \int _ { V _ { j } } ( y - y _ { j } ) ( z - z _ { j } ) d V = \frac { 1 } { 2 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } ( y _ { i } - y _ { j } ) ( z _ { i } - z _ { j } ) V _ { j } , } \\ { \int _ { V _ { j } } ( z - z _ { j } ) ^ { 2 } d V = \frac { 1 } { 2 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } ( z _ { i } - z _ { j } ) ^ { 2 } V _ { j } , } & { } & { \int _ { V _ { j } } ( z - z _ { j } ) ( x - x _ { j } ) d V = \frac { 1 } { 2 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } ( z _ { i } - z _ { j } ) ( x _ { i } - x _ { j } ) V _ { j } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { e ^ { \delta t } \frac { d } { d t } \left( S ( t ) e ^ { - r ( 1 ) t } \right) } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } { n ^ { 0 } \left( Y ( t , x ) \right) \left( r ( x ) - r ( 1 ) \right) e ^ { \int _ { Y ( t , x ) } ^ { x } { \frac { \tilde { r } ( s ) - r ( 1 ) + \delta } { f ( s ) } d s } } d x } } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { n ^ { 0 } ( Y ( t , x ) ) } { Y ( t , x ) ^ { \alpha } } x ^ { \alpha } ( r ( x ) - r ( 1 ) ) e ^ { \int _ { Y ( t , x ) } ^ { x } { \frac { \varphi ( s ) } { f ( s ) } d s } } d x } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu ( B \times ( - \infty , s ] ) } & { = \gamma \, \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \int _ { \mathbb { R } } e ^ { \lambda h } { \bf 1 } ( f ( v , h ) \in B \times ( - \infty , s ) ) \, \mathrm { d } h \mathrm { d } v } \\ & { = 2 \gamma \, \lambda _ { d - 1 } ( B ) \int _ { - \infty } ^ { s } e ^ { h \lambda } \sqrt { s - h } \, \mathrm { d } h } \\ & { = \gamma \, \lambda _ { d - 1 } ( B ) { \frac { \sqrt { \pi } e ^ { \lambda s } } { \lambda ^ { 3 / 2 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| { \mathcal I } ^ { k , \beta } [ p ] ( . , . ; t ) \right\| _ { L ^ { 1 } ( { \mathbb R } ^ { d + 1 } , d m d x ) } \leq } & { D \| B \| _ { \infty } 2 ^ { ( d + 1 ) / 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { { \mathbb R } ^ { d + 1 } } \frac { 1 } { \sqrt { t - s } } | p ( m , a ; s ) | d m d a d s } \\ { \leq } & { D \| B \| _ { \infty } 2 ^ { ( d + 1 ) / 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \frac { 1 } { \sqrt { t - s } } \operatorname* { s u p } _ { u \leq s } \| p ( . , . ; u ) \| _ { L ^ { 1 } ( \mathbb { R } ^ { d + 1 } , d m d a ) } d s , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { P } } & { = \sum _ { n } \boldsymbol { \alpha } _ { E } \boldsymbol { E } ( \boldsymbol { r } _ { n } ) \delta ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r } _ { n } ) } \\ { \boldsymbol { M } } & { = \sum _ { n } \boldsymbol { \alpha } _ { H } \boldsymbol { H } ( \boldsymbol { r } _ { n } ) \delta ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r } _ { n } ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { \int \sec \theta \, d \theta } & { = \int { \frac { \sec \theta ( \sec \theta + \tan \theta ) } { \sec \theta + \tan \theta } } \, d \theta } \\ & { = \int { \frac { \sec ^ { 2 } \theta + \sec \theta \tan \theta } { \sec \theta + \tan \theta } } \, d \theta } & { u } & { = \sec \theta + \tan \theta } \\ & { = \int { \frac { 1 } { u } } \, d u } & { d u } & { = \left( \sec \theta \tan \theta + \sec ^ { 2 } \theta \right) \, d \theta } \\ & { = \ln | u | + C } \\ & { = \ln | \sec \theta + \tan \theta | + C , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } } & { : = \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 4 + 2 \gamma } \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ^ { 2 } ( t ) d t } \\ { I _ { 2 } } & { : = \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 2 + 2 \gamma } \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ^ { 2 } ( t ) d t } \\ { I _ { 3 } } & { : = \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 3 + 2 \gamma } \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ^ { 2 } ( t ) d t } \\ { I _ { 4 } } & { : = \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 2 + 2 \gamma } \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ( t ) d u _ { k } ( t ) } \\ { I _ { 5 } } & { : = \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 1 + 2 \gamma } \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ( t ) d u _ { k } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { d \eta ^ { ( c ) } } { d z } = \left\lbrace g _ { L } \left[ \frac { \operatorname { t a n h } ( V ^ { ( c ) } ) } { \operatorname { t a n h } ( V _ { 0 } ^ { ( c ) } ) } - 1 \right] + \frac { 4 } { 3 } \epsilon _ { 3 } \left[ \eta _ { 0 } ^ { ( c ) 2 } \frac { \operatorname { t a n h } ( V ^ { ( c ) } ) } { \operatorname { t a n h } ( V _ { 0 } ^ { ( c ) } ) } - \eta ^ { ( c ) 2 } \right] \right\rbrace \eta ^ { ( c ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { t _ { i , 1 } } & { \geq \log _ { 2 } \bigg ( C \frac { \sigma _ { i , r _ { i , k - 1 } + 1 } ^ { \star 2 } } { \sigma _ { i , r _ { i , k } + 1 } ^ { \star 2 } } \bigg ) , \quad 1 \leq k \leq k _ { \sf m a x } ^ { i } - 1 , } \\ { t _ { i , k _ { \sf m a x } ^ { i } } } & { \geq \log \bigg ( C \frac { \sigma _ { r _ { i , k _ { \sf m a x } ^ { i } - 1 } + 1 } ^ { \star 2 } } { \omega ^ { 2 } } \bigg ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { ( \partial _ { z } ^ { 2 } + \partial _ { z } + z ^ { - 1 } L _ { S } ) ( u - u _ { 0 } ) = \eta _ { z _ { 0 } } \cdot ( \mathscr { R } ( v ) - \mathscr { R } ( u _ { 0 } ) ) \ } & { \ \mathrm { ~ o n ~ } S \times \mathbb { R } _ { > z _ { 0 } / 1 2 } ; } \\ { ( u - u _ { 0 } ) ( \cdot , z _ { 0 } / 1 2 ) = 0 , \ } & { \ \mathrm { ~ o n ~ } S ; } \\ { \| u - u _ { 0 } - a \Psi _ { 1 } \| _ { L _ { \mu _ { 1 } + \gamma / 2 } ^ { 2 } ; S , z _ { 0 } / 1 2 } < + \infty . } \end{array} \right. } \end{array}
\boldsymbol { \delta } \widetilde { F } = \frac { 2 } { k } \mathring { \delta } ^ { * } \Bigl ( r ^ { 2 } \mathring { d } ( r ^ { - 1 } L ) \Bigr ) , \quad \boldsymbol { \delta } J = \frac { k } { 2 r } L + \frac { r } { k } \iota _ { d r } \mathring { d } ( r ^ { - 1 } L ) , \quad \boldsymbol { \delta } N = \frac { r ^ { 2 } } { k } \iota _ { \mathring { d } ( r ^ { - 1 } L ) } \mathring { d } A .
\begin{array} { r l } { \dot { b } } & { = \left\{ i \left( \Delta + 3 U | b | ^ { 2 } \right) - \frac { \kappa } { 2 } \right\} b + \zeta c + \sqrt { \kappa _ { e } } S _ { i n } , } \\ { \dot { c } } & { = \left\{ i \left( \Delta + 3 U | c | ^ { 2 } \right) - \frac { \kappa } { 2 } \right\} c + \zeta b + \sqrt { \kappa _ { e } } S _ { i n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial ^ { i } W _ { \eta , \varepsilon } } { \partial x ^ { i } } } & { \to \frac { \partial ^ { i } w _ { 2 } } { \partial x ^ { i } } , \quad i = 0 , 1 , 2 , \quad \mathrm { a n d } } \\ { \mathbf { D } _ { t } ^ { \theta _ { i } } W _ { \eta , \varepsilon } } & { \to \mathbf { D } _ { t } ^ { \theta _ { i } } w _ { 2 } , \quad 0 < \theta _ { 2 } < \theta _ { 1 } \leq \theta < 1 , } \\ { \frac { \partial } { \partial x } \bigg ( \frac { \partial W _ { \eta , \varepsilon } } { \partial x } \bigg ) ^ { p - 1 } } & { \to \frac { \partial } { \partial x } \bigg ( \frac { \partial w _ { 2 } } { \partial x } \bigg ) ^ { p - 1 } , \quad p \geq 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \hat { \alpha } _ { i } \hat { \beta } _ { i - 1 } \hat { u } _ { i - 1 } ^ { T } \hat { u } _ { i } | } & { = | \hat { \beta } _ { i - 1 } \hat { u } _ { i - 1 } ^ { T } ( Q _ { B } \hat { v } _ { i } - \hat { \beta } _ { i - 1 } \hat { u } _ { i - 1 } ) | } \\ & { = | \hat { v } _ { i } ^ { T } ( \hat { \beta } _ { i - 1 } Q _ { B } ^ { T } \hat { u } _ { i - 1 } ) - \hat { \beta } _ { i - 1 } ^ { 2 } | } \\ & { = | \hat { v } _ { i } ^ { T } ( \hat { \beta } _ { i - 1 } ^ { 2 } \hat { v } _ { i } + \widehat { V } _ { i - 1 } l _ { i - 1 } + \mathcal { O } ( i \kappa ( C ) \tau ) ) - \hat { \beta } _ { i - 1 } ^ { 2 } | } \\ & { = \mathcal { O } ( i \kappa ( C ) \tau ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l c } { \rho ( x ) \varphi _ { t t } - \mu ( x ) \varphi _ { t } + ( r ( x ) \varphi _ { x x } ) _ { x x } - ( \kappa ( x ) \varphi _ { x x t } ) _ { x x } = 0 , ~ ( x , t ) \in \Omega _ { T } , } \\ { \varphi ( x , T ) = 0 , ~ \varphi _ { t } ( x , T ) = 0 , ~ \qquad \qquad \quad \; x \in ( 0 , \ell ) , } \\ { \varphi ( 0 , t ) \ = 0 , ~ \varphi _ { x } ( 0 , t ) = \theta ( t ) , ~ \qquad \quad \quad \; \; t \in [ 0 , T ] , } \\ { \left[ r ( x ) \varphi _ { x x } - \kappa ( x ) \varphi _ { x x t } \right] _ { x = \ell } \quad = 0 , } \\ { \quad \quad \left[ \big ( - r ( x ) \varphi _ { x x } + \kappa ( x ) \varphi _ { x x t } \big ) _ { x } \right] _ { x = \ell } = 0 , \ ~ \quad t \in [ 0 , T ] , } \end{array} \right. } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { \displaystyle - \partial _ { t } V ^ { R } - \frac { 1 } { 2 } \Delta V ^ { R } + \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } H ^ { i } ( x ^ { i } , n D _ { i } V ^ { R } ) = F ( \mathbf { x } ) , \quad ( t , \mathbf { x } ) \in [ 0 , T ) \times B _ { R } , } \\ { \displaystyle V ^ { R } ( T , \mathbf { x } ) = G ( \mathbf { x } ) , \quad \mathbf { x } \in B _ { R } , \quad \displaystyle V ^ { R } ( t , \mathbf { x } ) = V ( t , \mathbf { x } ) , \quad \mathbf { x } \in \partial B _ { R } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { E _ { \nu _ { n } } [ \mathcal { M } _ { s , t } ^ { n } ( \varphi ) ^ { 4 } ] } & { = \bigg | 6 E _ { \nu _ { n } } [ \mathcal { M } _ { s , t } ^ { n } ( \varphi ) ^ { 2 } \langle \mathcal { M } ^ { n } ( \varphi ) \rangle _ { s , t } ] + 3 E _ { \nu _ { n } } [ \langle \mathcal { M } ^ { n } ( \varphi ) \rangle _ { s , t } ^ { 2 } ] } \\ & { \quad + 4 \int _ { s } ^ { t } E _ { \nu _ { n } } [ \mathcal { M } _ { s , t } ^ { n } ( \varphi ) \mathcal { R } _ { 1 } ( r ) ] d r + \int _ { s } ^ { t } E _ { \nu _ { n } } [ \mathcal { R } _ { 2 } ( r ) ] d r \bigg | } \\ & { \le 3 A E _ { \nu _ { n } } [ \mathcal { M } _ { s , t } ^ { n } ( \varphi ) ^ { 4 } ] + ( 3 A ^ { - 1 } + 3 ) E _ { \nu _ { n } } [ \langle \mathcal { M } ^ { n } ( \varphi ) \rangle _ { s , t } ^ { 2 } ] } \\ & { \quad + 2 ( t - s ) E _ { \nu _ { n } } [ \mathcal { M } _ { s , t } ^ { n } ( \varphi ) ^ { 2 } ] + ( t - s ) \big ( 2 \| \mathcal { R } _ { 1 } \| _ { L ^ { 2 } ( \nu _ { n } ) } ^ { 2 } + \| \mathcal { R } _ { 2 } \| _ { L ^ { 1 } ( \nu _ { n } ) } \big ) , } \end{array}
x _ { 1 } { \left[ \begin{array} { l } { a _ { 1 1 } } \\ { a _ { 2 1 } } \\ { \vdots } \\ { a _ { m 1 } } \end{array} \right] } + x _ { 2 } { \left[ \begin{array} { l } { a _ { 1 2 } } \\ { a _ { 2 2 } } \\ { \vdots } \\ { a _ { m 2 } } \end{array} \right] } + \dots + x _ { n } { \left[ \begin{array} { l } { a _ { 1 n } } \\ { a _ { 2 n } } \\ { \vdots } \\ { a _ { m n } } \end{array} \right] } + { \left[ \begin{array} { l } { b _ { 1 } } \\ { b _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { b _ { m } } \end{array} \right] } = 0
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \partial H ^ { \mathbf { M } } } { \partial t } } } & { = \int _ { V } \left( { \frac { \partial { \mathbf { A } } } { \partial t } } \cdot { \mathbf { B } } + { \mathbf { A } } \cdot { \frac { \partial { \mathbf { B } } } { \partial t } } \right) d V } \\ & { = \int _ { V } ( { \mathbf { v } } \times { \mathbf { B } } ) \cdot { \mathbf { B } } \ d V + \int _ { V } { \mathbf { A } } \cdot \left( \nabla \times { \frac { \partial { \mathbf { A } } } { \partial t } } \right) d V . } \end{array} }
\mathbb { P } _ { D ^ { I } } \left( ( \mathscr { C } _ { t } ^ { I } ) _ { t \geq 0 } \in \mathrm { G r o w t h } _ { \tilde { a } , b , \gamma , \delta } \right) \geq \frac 1 2 \, \mathbb { P } _ { D ^ { I } } \left( ( \mathscr { D } _ { t } ^ { I } ) _ { t \geq 0 } \in \mathrm { G r o w t h } _ { \tilde { a } , b , \gamma , \delta } \right) \geq \frac 1 8 ,
\begin{array} { r l } { P ( \| \hat { q } _ { l ^ { * } } - q ^ { * } \| _ { \infty } \leq 2 ^ { - l ^ { * } } b ) } & { \geq P \left( \bigcap _ { l = 0 } ^ { l ^ { * } } \left\{ { \| \hat { q } _ { l } - q ^ { * } \| _ { \infty } \leq 2 ^ { - l } b } \right\} \right) } \\ & { = \prod _ { l = 0 } ^ { l ^ { \prime } - 1 } P \left( \| \hat { q } _ { l } - q ^ { * } \| _ { \infty } \leq 2 ^ { - l } b \Bigg | \bigcap _ { n = 0 } ^ { l - 1 } \left\{ { \| \hat { q } _ { n } - q ^ { * } \| _ { \infty } \leq 2 ^ { - n } b } \right\} \right) } \\ & { \geq \left( 1 - \frac { \delta } { l ^ { \prime } } \right) \prod _ { l = 1 } ^ { l ^ { \prime } - 1 } P \left( \| \hat { q } _ { l } - q ^ { * } \| _ { \infty } \leq 2 ^ { - l } b \Bigg | \bigcap _ { n = 0 } ^ { l - 1 } \left\{ { \| \hat { q } _ { n } - q ^ { * } \| _ { \infty } \leq 2 ^ { - n } b } \right\} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { I _ { n - k } ( f ^ { i _ { 1 } , \cdots , i _ { k } } ) I _ { n - k } ( g ^ { i _ { 1 } , \cdots , i _ { k } } ) } \\ & { = \sum _ { r = 0 } ^ { n - k } r ! \binom { n - k } { r } \binom { n - k } { r } I _ { 2 n - 2 k - 2 r } ( f ^ { i _ { 1 } , \cdots , i _ { k } } \hat { \otimes } _ { r } g ^ { i _ { 1 } , \cdots , i _ { k } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } _ { 0 } [ \mathcal { E } _ { j } ] + \mathbb { P } _ { j } [ \mathcal { E } _ { j } ^ { c } ] \geq \frac { 1 } { 2 } \exp \{ - \mathrm { K L } ( \mathbb { P } _ { 1 } , \mathbb { P } _ { j } ) \} } \\ & { \mathrm { K L } ( \mathbb { P } _ { 1 } , \mathbb { P } _ { j } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { L } \mathbb { E } _ { 0 } [ N _ { i } ( T ) ] \cdot \mathrm { K L } \big ( \nu _ { i } ^ { ( 0 ) } , \nu _ { i } ^ { ( j ) } \big ) = \sum _ { i \in P _ { j } } \mathbb { E } _ { 0 } [ N _ { i } ( T ) ] \cdot \mathrm { K L } \big ( \nu _ { i } ^ { ( 0 ) } , \nu _ { i } ^ { ( j ) } \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { J _ { 1 } ( y , e _ { i } , u _ { 1 } ^ { * , \lambda _ { 1 } } , u _ { 2 } ^ { * , \lambda _ { 2 } } ) = E ^ { y , e _ { i } } \biggl [ \int _ { 0 } ^ { T } f _ { 1 } ( t , Y _ { t } ^ { u _ { 1 } ^ { * , \lambda _ { 1 } } , u _ { 2 } ^ { * , \lambda _ { 2 } } } , e _ { i } , u _ { 1 } ^ { * , \lambda _ { 1 } } , u _ { 2 } ^ { * , \lambda _ { 2 } } ) d t + g _ { 1 } ( Y _ { T } ^ { u _ { 1 } ^ { * , \lambda _ { 1 } } , u _ { 2 } ^ { * , \lambda _ { 2 } } } , \alpha _ { T } ) } \\ & { \qquad \qquad + \lambda _ { 1 } M _ { 1 } ( Y _ { T } ^ { u _ { 1 } ^ { * , \lambda _ { 1 } } , u _ { 2 } ^ { * , \lambda _ { 2 } } } , \alpha _ { T } ) \biggr ] } \\ & { \geq J _ { 1 } ( y , e _ { i } , u _ { 1 } ^ { \lambda _ { 1 } } , u _ { 2 } ^ { * , \lambda _ { 2 } } ) = E ^ { y , e _ { i } } \biggl [ \int _ { 0 } ^ { T } f _ { 1 } ( t , Y _ { t } ^ { u _ { 1 } ^ { \lambda _ { 1 } } , u _ { 2 } ^ { * , \lambda _ { 2 } } } , e _ { i } , u _ { 1 } ^ { \lambda _ { 1 } } , u _ { 2 } ^ { * , \lambda _ { 2 } } ) d t + g _ { 1 } ( Y _ { T } ^ { u _ { 1 } ^ { \lambda _ { 1 } } , u _ { 2 } ^ { * , \lambda _ { 2 } } } , \alpha _ { T } ) } \\ & { \qquad \qquad + \lambda _ { 1 } M _ { 1 } ( Y _ { T } ^ { u _ { 1 } ^ { \lambda _ { 1 } } , u _ { 2 } ^ { * , \lambda _ { 2 } } } , \alpha _ { T } ) \biggr ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\vert Z _ { s } ^ { t , x , u _ { n } ( t ) } - Z _ { s } ^ { t ^ { \prime } , x , u _ { n } ( t ) } \right\vert = \left\vert \int _ { t ^ { \prime } } ^ { t } u _ { n } ( s ) \, d s + \int _ { t ^ { \prime } } ^ { t } \sqrt { \nu } \, d W _ { s } \right\vert } \\ & { \qquad \le \| u _ { n } \| _ { \infty } | t - t ^ { \prime } | + \sqrt { \nu } | W ( t ) - W ( t ^ { \prime } ) | } \\ & { \qquad \le C ( \sqrt { \nu } , W ) | t - t ^ { \prime } | ^ { \alpha } } \end{array}
u ( x , t ) = 1 + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { x ^ { 4 n } } { ( 4 n ) ! } \sin ( n \pi + t ) + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { x ^ { 4 n + 2 } } { ( 4 n + 2 ) ! } \sin \left( \frac { ( 2 n + 1 ) \pi } { 2 } + t \right) + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { x ^ { 4 n + 1 } } { ( 4 n + 1 ) ! } \sin \biggl ( \frac { ( 4 n + 1 ) \pi } { 4 } + t \biggr ) + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { x ^ { 4 n + 3 } } { ( 4 n + 3 ) ! } \sin \biggl ( \frac { ( 4 n + 3 ) \pi } { 4 } + t \biggr )
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { | \mathcal { K } _ { \beta - } | } \sum _ { k \in \mathcal { K } _ { \beta - } } \operatorname* { m a x } _ { n \in \mathcal { N } ( v ) } ~ | \langle ~ { \boldsymbol u } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol z } _ { n } ~ \rangle | \le } & { ~ \mathbb { E } _ { k \in \mathcal { K } _ { \beta - } } \| { \boldsymbol u } _ { k } ^ { ( t ) } \| _ { 2 } \cdot \| { \boldsymbol z } _ { n } \| _ { 2 } } \\ { \le } & { ~ \sigma \cdot \mathbb { E } _ { k \in \mathcal { K } _ { \beta - } } \sum _ { { \boldsymbol p } \in \mathcal { P } / { \boldsymbol p } _ { - } } \langle ~ { \boldsymbol u } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle } \\ { \lesssim } & { ~ \sigma \cdot c _ { \eta } \cdot L ( 1 + \sigma ) \sqrt { \frac { ( 1 + r ^ { 2 } ) \log q } { | \mathcal { D } | } } \cdot t . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { n ! \Vert \tilde { f _ { n } } ( \cdot , t , x ) \Vert _ { \mathcal { H } ^ { \otimes n } } ^ { 2 } } \\ & { \ge n ! \lambda ^ { 2 n } C ^ { n } \int _ { T _ { n } ^ { 2 } ( t ) } \bigg ( \int _ { \mathbb { D } _ { n } } \prod _ { j = 1 } ^ { n } \mathcal { F } Y ( s _ { j + 1 } - s _ { j } , \cdot ) ( \eta _ { j } ) \times \mathcal { F } Y ( r _ { j + 1 } - r _ { j } , \cdot ) ( \eta _ { j } ) } \\ & { \quad \times | \eta _ { j } | ^ { 1 - 2 H } \ensuremath { \mathrm { d } } \boldsymbol \eta \bigg ) J _ { 0 } ( s _ { 1 } ) J _ { 0 } ( r _ { 1 } ) \prod _ { j = 1 } ^ { n } | s _ { j } - r _ { j } | ^ { 2 H _ { 0 } - 2 } \ensuremath { \mathrm { d } } \mathbf { s } \ensuremath { \mathrm { d } } \mathbf { r } } \\ & { = n ! \lambda ^ { 2 n } C ^ { n } \int _ { T _ { n } ^ { 2 } ( t ) } \bigg ( \prod _ { j = 1 } ^ { n } \int _ { \mathbb { R } _ { + } } \mathcal { F } Y ( s _ { j + 1 } - s _ { j } , \cdot ) ( \eta ) \times \mathcal { F } Y ( r _ { j + 1 } - r _ { j } , \cdot ) ( \eta ) } \\ & { \quad \times | \eta | ^ { 1 - 2 H } \ensuremath { \mathrm { d } } \eta \bigg ) J _ { 0 } ( s _ { 1 } ) J _ { 0 } ( r _ { 1 } ) \prod _ { j = 1 } ^ { n } | s _ { j } - r _ { j } | ^ { 2 H _ { 0 } - 2 } \ensuremath { \mathrm { d } } \mathbf { s } \ensuremath { \mathrm { d } } \mathbf { r } } \\ & { \ge n ! t ^ { n ( 2 H _ { 0 } - 2 ) } \mu _ { 0 } ^ { 2 } \lambda ^ { 2 n } C ^ { n } \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } \Bigg | \int _ { T _ { n } ( t ) } \prod _ { j = 1 } ^ { n } \mathcal { F } Y ( s _ { j + 1 } - s _ { j } , \cdot ) ( \eta _ { j } ) \ensuremath { \mathrm { d } } \mathbf { s } \Bigg | ^ { 2 } \prod _ { j = 1 } ^ { n } | \eta _ { j } | ^ { 1 - 2 H } \ensuremath { \mathrm { d } } \boldsymbol \eta , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \! \left[ \mu ( \sqrt { k - k _ { s } ^ { Z } } ) \right] } & { \le 2 \sqrt { \sum _ { i > s } \sigma _ { i } } + 4 \sqrt { \sum _ { i > m } \sigma _ { i } } } \\ & { \quad + \frac { \sqrt { k _ { \operatorname* { m a x } } } } { \ell } \left( \frac { 8 0 m ^ { 2 } \log ( 1 + 2 \ell ) } 9 + 6 9 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \partial _ { n } v \| _ { L ^ { 2 } ( S ) } ^ { 2 } } & { \le ( 1 + L ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } \left( 2 k \Im \int _ { D _ { H } } \bar { v } \bar { w } \, \mathrm { d } x - 2 \Re \int _ { D _ { H } } \partial _ { 2 } \bar { v } \bar { w } \, \mathrm { d } x \right) } \\ & { \le 2 ( 1 + L ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } \| w \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { H } ) } ( k \| v \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { H } ) } + \| \nabla v \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { H } ) } ) } \\ & { \le C ( 1 + L ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } ( H - m ) ( 1 + k ( H - m ) ) ^ { 2 } \| w \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { H } ) } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \left\langle { \psi _ { m , n } ^ { \gamma , \eta } , \psi _ { j , k } ^ { \gamma , \eta } } \right\rangle } } & { = \prod _ { \ell = 1 } ^ { s } E _ { m - \ell } ^ { \gamma + \ell , \alpha } { \left\langle { \psi _ { m - s , n } ^ { \gamma + s , \eta } , \psi _ { j - s , k } ^ { \gamma + s , \eta } } \right\rangle } ; \, 1 \leq s \leq m . } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \bigl ( P _ { h , z } ^ { * } A - A P _ { h , z } \bigr ) } & { = i [ \operatorname { R e } P _ { h , z } , A ] + ( \operatorname { I m } P _ { h , z } ) A + A ( \operatorname { I m } P _ { h , z } ) } \\ & { = i [ \operatorname { R e } P _ { h , z } , A ] + 2 \check { A } ( \operatorname { I m } P _ { h , z } ) \check { A } + [ \check { A } , [ \check { A } , \operatorname { I m } P _ { h , z } ] ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { V _ { 1 } , . . . , V _ { N } , \nu } \ \ } & { \nu } \\ { \mathrm { s u c h ~ t h a t ~ } \quad } & { V _ { N } ( s _ { N } , \lambda ) \geq r _ { N } ( s _ { N } , h , \lambda ) \quad \forall h \in H _ { N } , \ s _ { N } \in S _ { N } , \ \lambda \in \Lambda } \\ & { V _ { k } ( s _ { k } , \lambda ) \geq r _ { k } ( s _ { k } , h , \lambda ) + V _ { k + 1 } ( f _ { k } ( s _ { k } , h , \lambda ) , \lambda ) \quad \forall h \in H _ { k } , \ s _ { k } \in S _ { k } , \ \lambda \in \Lambda } \\ & { \nu \geq V _ { 1 } ( s _ { 1 } , \lambda ) \quad \forall \lambda \in \Lambda . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \psi } _ { 2 } ^ { + , + } ( 0 ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { x \to + \infty } \tilde { \psi } _ { 2 } ^ { + } ( x ; 0 ) = - \frac { v ^ { + } ( 0 ) \wedge \tilde { \mathcal { V } } _ { M } ^ { + } ( 0 ) } { | v ^ { + } ( 0 ) | | \tilde { \mathcal { V } } ^ { + } ( 0 ) | } } \\ & { = - \frac { p } { 2 \sqrt { 2 } \gamma } \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { - 2 \gamma / p } \\ { 4 \gamma ^ { 2 } / p ^ { 2 } } \end{array} \right) \wedge \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) = - \frac { p } { 2 \sqrt { 2 } \gamma } < 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { p , l } D _ { l , q } = } & { ~ \sum _ { i = 1 } ^ { m } y _ { i } y _ { i } ^ { \top } ( x _ { i } ^ { \top } u _ { t , p } ) \cdot ( u _ { t , l } ^ { \top } x _ { i } ) \cdot ( u _ { * , q } ^ { \top } u _ { t , l } ) } \\ { = } & { ~ \sum _ { i = 1 } ^ { m } y _ { i } y _ { i } ^ { \top } ( x _ { i } ^ { \top } u _ { t , p } ) \cdot ( u _ { * , q } ^ { \top } u _ { t , l } ) \cdot ( u _ { t , l } ^ { \top } x _ { i } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } \left[ G _ { j } ( x , a _ { i \eta } ) \right] } & { = \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } \frac { U \left( x + r ^ { \prime } z \right) - U \left( x \right) } { r ^ { \prime } } \frac { - \nabla \rho \left( z \right) } { \rho \left( z \right) } \rho \left( z \right) \mathrm { d } z } \\ & { = - \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } \frac { U \left( x + r ^ { \prime } z \right) - U \left( x \right) } { r ^ { \prime } } \nabla \rho \left( z \right) \mathrm { d } z } \\ & { = - \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } \left( U \left( x + y \right) - U \left( x \right) \right) \left( \frac { 1 } { ( r ^ { \prime } ) ^ { d + 1 } } \nabla \rho \left( \frac { y } { r ^ { \prime } } \right) \right) \mathrm { d } y } \\ & { = \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } \nabla U \left( x + y \right) \rho _ { r ^ { \prime } } \left( y \right) \mathrm { d } y } \\ & { = \nabla \Bar { U } _ { r ^ { \prime } } \left( x \right) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l } & { d X _ { N , t } ^ { i , N } = A X _ { N , t } ^ { i , N } \, d t + A ^ { \prime } \frac 1 N \sum _ { k = 1 } ^ { N } X _ { N , t } ^ { k , N } \, d t + B \, d Z _ { N , t } ^ { i } , \quad t \in [ 0 , T ] , \quad i \in \{ 1 , \dots , N \} , } \\ & { \overline { { \mu } } _ { N , t } ^ { N } : = \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \delta _ { X _ { N , t } ^ { j , N } } , } \\ & { X _ { N , 0 } ^ { i , N } = \xi ^ { i } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \frac { k _ { \nu } ( \alpha _ { n - 1 } ) } { k _ { \nu } ( \alpha _ { n } ) } } & { = } & { \frac { \sigma _ { \nu - 1 } ( \alpha _ { n - 1 } ) } { \sigma _ { \nu - 1 } ( \alpha _ { n } ) } \cdots \frac { \sigma _ { 1 } ( \alpha _ { n - 1 } ) } { \sigma _ { 1 } ( \alpha _ { n } ) } \frac { \sigma _ { 0 } ( \alpha _ { n - 1 } ) } { \sigma _ { 0 } ( \alpha _ { n } ) } \frac { k _ { 0 } ( \alpha _ { n - 1 } ) } { k _ { 0 } ( \alpha _ { n } ) } } \\ & { = } & { \frac { [ 0 ; a _ { \nu } , a _ { \nu + 1 } , \ldots , a _ { n - 1 } ] } { [ 0 ; a _ { \nu } , a _ { \nu + 1 } , \ldots , a _ { n } ] } \cdots \frac { [ 0 ; a _ { 2 } , \ldots , a _ { n - 1 } ] } { [ 0 ; a _ { 2 } , \ldots , a _ { n } ] } \frac { [ 0 ; a _ { 1 } , \ldots , a _ { n - 1 } ] } { [ 0 ; a _ { 1 } , \ldots , a _ { n } ] } \frac { B + A \alpha _ { n } } { B + A \alpha _ { n - 1 } } } \\ & { \approx } & { 1 \times \cdots \times 1 \times 1 \approx 1 \ , \quad n \gg \nu \geq 1 } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \frac { \frac { 1 } { 2 } ( j + 1 ) ^ { 2 } } { \frac { 1 } { s } + \frac { 1 } { 3 } \frac { j + 1 } { t } } } { \frac { \frac { 1 } { 2 } j ^ { 2 } } { \frac { 1 } { s } + \frac { 1 } { 3 } \frac { j } { t } } } = \frac { ( j + 1 ) ^ { 2 } } { j ^ { 2 } } \frac { \frac { 1 } { s } + \frac { 1 } { 3 } \frac { j } { t } } { \frac { 1 } { s } + \frac { 1 } { 3 } \frac { j + 1 } { t } } = \frac { ( j + 1 ) ^ { 2 } } { j ^ { 2 } } \frac { 1 } { 1 + \frac { \frac { 1 } { 3 t } } { \frac { 1 } { s } + \frac { j } { 3 t } } } = \frac { ( j + 1 ) ^ { 2 } } { j ^ { 2 } } \frac { 1 } { 1 + \frac { 1 } { \frac { 3 t } { s } + j } } \geq \frac { ( j + 1 ) ^ { 2 } } { j ^ { 2 } } \frac { 1 } { 1 + \frac { 1 } { j } } \geq \frac { j + 1 } { j } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma ( A ^ { \prime } ) } & { = \sigma ( C _ { 3 } ^ { \prime } ) \cup 2 \sigma ( C _ { 2 } ^ { \prime } ) \cup 3 \sigma ( C _ { 1 } ^ { \prime } ) } \\ & { = \{ 3 - 2 \sqrt 6 , 2 , 3 + 2 \sqrt 6 \} \cup 2 \{ 1 , 5 \} \cup 3 \{ 2 \} } \\ & { = \{ 3 - 2 \sqrt { 6 } , 1 , 1 , 2 , 2 , 2 , 2 , 5 , 5 , 3 + 2 \sqrt { 6 } \} , } \end{array}
\nabla _ { \partial _ { s } } ^ { \perp } \bigg ( - \frac { 1 } { 2 ( u ^ { ( 2 ) } ) ^ { 4 } } | \vec { \kappa } | _ { g } ^ { 2 } \vec { \kappa } \bigg ) = \frac { 2 } { ( u ^ { ( 2 ) } ) ^ { 5 } } | \kappa | _ { g } ^ { 2 } \cdot \partial _ { s } u ^ { ( 2 ) } \cdot \vec { \kappa } + 2 T _ { u } ( \nabla _ { \partial _ { s } } ^ { \perp } \vec { \kappa } , \vec { \kappa } ) \vec { \kappa } + T ( \vec { \kappa } , \vec { \kappa } ) \nabla _ { \partial _ { s } } ^ { \perp } \vec { \kappa } .
\begin{array} { r l } & { \left( ( 1 + A ) \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } B } \right) ^ { 2 } - \left( ( 1 + B ) \sqrt { 1 + \eta ^ { 2 } A } \right) ^ { 2 } } \\ { = } & { ( 1 + 2 A + A ^ { 2 } ) ( 1 + \eta ^ { 2 } B ) - ( 1 + 2 B + B ^ { 2 } ) ( 1 + \eta ^ { 2 } A ) } \\ { = } & { ( 1 + 2 A + A ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } B + 2 \eta ^ { 2 } A B + \eta ^ { 2 } A ^ { 2 } B ) - ( 1 + 2 B + B ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } A + 2 \eta ^ { 2 } A B + \eta ^ { 2 } A B ^ { 2 } ) } \\ { = } & { ( 2 - \eta ^ { 2 } ) ( A - B ) + ( A ^ { 2 } - B ^ { 2 } ) + \eta ^ { 2 } A B ( A - B ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { n } ( K ) } & { \approx \frac { 1 } { n } \left( K ^ { T } \mathbb { E } \left[ \widetilde { \mathcal { X } } _ { n } \right] - \frac { 1 } { 2 } K ^ { T } \mathbb { E } \left[ \widetilde { \mathcal { X } } _ { n } \widetilde { \mathcal { X } } _ { n } ^ { T } \right] K \right) : = \widehat { g } _ { n } ( K ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \kappa ( x , t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \kappa _ { i } ^ { m } ( t ) } & { \mathrm { f o r ~ } x \in D _ { i } ^ { m } \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ } m \in \mathbb { Z } , i = 1 , 2 , } \\ { \kappa _ { b } ( t ) } & { \mathrm { f o r ~ } x \not \in \mathcal { D } , } \end{array} \right. } \\ { \rho ( x , t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \rho _ { i } ^ { m } ( t ) } & { \mathrm { f o r ~ } x \in D _ { i } ^ { m } \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ } m \in \mathbb { Z } , i = 1 , 2 , } \\ { \rho _ { b } ( t ) } & { \mathrm { f o r ~ } x \not \in \mathcal { D } . } \end{array} \right. } \end{array}
\frac { \partial F } { \partial \phi } - \nabla \cdot \left( \frac { \partial F } { \partial \nabla \phi } \right) = | \nabla \phi | \delta ^ { \prime } ( \phi ) - \delta ^ { \prime } ( \phi ) \cdot | \nabla \phi | - \delta ( \phi ) \cdot \nabla \cdot \left( \frac { \nabla \phi } { | \nabla \phi | } \right) = - \delta ( \phi ) \cdot \nabla \cdot \left( \frac { \nabla \phi } { | \nabla \phi | } \right)
s _ { \widehat { \alpha } } = s _ { \widehat { \beta } } { \sqrt { { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } ^ { 2 } } } = { \sqrt { { \frac { 1 } { n ( n - 2 ) } } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \widehat { \varepsilon } } _ { i } ^ { \, 2 } \right) { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } ^ { 2 } } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - { \bar { x } } ) ^ { 2 } } } } }
\begin{array} { r l } { \widetilde { \rho } _ { 1 } ( x , s ) } & { = \widetilde { p } _ { 1 } ( x , s ) + \kappa _ { 1 } \widetilde { p } _ { 1 } ( x , s | a _ { 1 } ) \Sigma _ { 1 } ( s ) , \, x \in [ 0 ^ { + } , a _ { 1 } ^ { - } ] , } \\ { \widetilde { \rho } _ { j } ( x , s ) } & { = \widetilde { p } _ { j } ( x , s ) + \kappa _ { j - 1 } \widetilde { p } _ { j } ( x , s | a _ { j - 1 } ) \Sigma _ { j - 1 } ( s ) + \kappa _ { j } \widetilde { p } _ { j } ( x , s | a _ { j } ) \Sigma _ { j } ( s ) , \, x \in [ a _ { j - 1 } ^ { + } , a _ { j } ^ { - } ] , } \\ & { \qquad 1 < j < m , } \\ { \widetilde { \rho } _ { m } ( x , s ) } & { = \widetilde { p } _ { m } ( x , s ) + \kappa _ { m - 1 } \widetilde { p } _ { m } ( x , s | a _ { m - 1 } ) \Sigma _ { m - 1 } ( s ) , \, x \in [ a _ { m - 1 } ^ { + } , L ^ { - } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( t , x ) \geq \int _ { \mathbb { R } } u _ { 0 } ( x - y ) \frac { { C _ { 1 } } ^ { - 1 } } { t ^ { \frac { 1 } { 2 s } } [ 1 + | t ^ { - \frac { 1 } { 2 s } } y | ^ { 1 + 2 s } ] } \, d y } & { \geq \int _ { x - b } ^ { + \infty } \frac { a \, { C _ { 1 } } ^ { - 1 } } { t ^ { \frac { 1 } { 2 s } } [ 1 + | t ^ { - \frac { 1 } { 2 s } } y | ^ { 1 + 2 s } ] } \, d y } \\ & { = \int _ { t ^ { - \frac { 1 } { 2 s } } ( x - b ) } ^ { + \infty } \frac { a \, { C _ { 1 } } ^ { - 1 } } { 1 + | z | ^ { 1 + 2 s } } \, d z } \\ & { = \int _ { t ^ { - \frac { 1 } { 2 s } } ( x - b ) } ^ { + \infty } \left( \frac { a \, C _ { 1 } ^ { - 1 } } { | z | ^ { 1 + 2 s } } - \frac { a \, { C _ { 1 } } ^ { - 1 } } { ( 1 + | z | ^ { 1 + 2 s } ) | z | ^ { 1 + 2 s } } \right) \, d z , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } _ { \rho } ( S ^ { \prime } ) - \mathbf { E } _ { \rho } ( S ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \frac { 1 } { t } \Big ( \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathcal { E } ( S ^ { \prime } , \tilde { h } _ { i } ^ { t } \circ ( \tilde { f } _ { i } ^ { t } ) ^ { - 1 } ) - \mathbf { E } _ { \rho _ { t } } ( S ) \Big ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \frac { 1 } { t } \Big ( \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { S } e ( h _ { i } ^ { t } ) \cdot \frac { | \mu _ { i } ^ { t } | ^ { 2 } } { 1 - | \mu _ { i } ^ { t } | ^ { 2 } } d A - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \textrm { R e } \int _ { S } t \phi _ { i } \cdot \frac { \mu _ { i } ^ { t } } { 1 - | \mu _ { i } ^ { t } | ^ { 2 } } \Big ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { S } \frac { e ( h _ { i } ^ { t } ) } { t } \cdot \frac { | \mu _ { i } ^ { t } | ^ { 2 } } { 1 - | \mu _ { i } ^ { t } | ^ { 2 } } d A - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \textrm { R e } \int _ { S } \phi _ { i } \cdot \frac { \mu _ { i } ^ { t } } { 1 - | \mu _ { i } ^ { t } | ^ { 2 } } } \end{array}
- 2 \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } ^ { \ast } \} \mathbb { E } \{ | b _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ b _ { \mathrm { x } } ^ { \ast } b _ { \mathrm { y } } \} - \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } ^ { \ast } \} \mathbb { E } \{ | b _ { \mathrm { y } } | ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ b _ { \mathrm { x } } ^ { \ast } b _ { \mathrm { y } } \} \}
\langle \varphi , \psi \rangle _ { \mathcal { H } } : = \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } \int _ { \mathbb { R } } \mathcal { F } \varphi ( t , \cdot ) ( \xi ) \overline { { \mathcal { F } \psi ( s , \cdot ) ( \xi ) } } \Lambda _ { H _ { 0 } } ( t - s ) \mu ( \ensuremath { \mathrm { d } } \xi ) \ensuremath { \mathrm { d } } t \ensuremath { \mathrm { d } } s .
\begin{array} { r l } { 8 L + 6 \sigma } & { \leq | v ( T , x _ { 1 } ) - q ( y _ { 1 } ) | + | q ( y _ { 1 } ) - v ^ { h } ( s _ { 1 } , y _ { 1 } ) | + ( 8 L + 2 \sigma ) g _ { \varepsilon } ( T - s _ { 1 } , x _ { 1 } - y _ { 1 } ) } \\ & { \leq C ( | x _ { 1 } - y _ { 1 } | + | T - s _ { 1 } | ) + 8 L + 2 \sigma \leq C \varepsilon ^ { 2 } M L ^ { - 1 } + 8 L + 2 \sigma . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { n _ { \mathrm { M G , a p p r o x } } ( 0 ) = p _ { 3 , \mathrm { M G } } = n _ { \mathrm { h } } \, , } \\ & { n _ { \mathrm { M G , a p p r o x } } ( 0 . 5 ) = \frac { 1 } { 4 } p _ { 1 , \mathrm { M G } } + \frac { 1 } { 2 } p _ { 2 , \mathrm { M G } } + p _ { 3 , \mathrm { M G } } = n _ { \mathrm { M G } } ( 0 . 5 ) \, , } \\ & { n _ { \mathrm { M G , a p p r o x } } ( 1 ) = p _ { 1 , \mathrm { M G } } + p _ { 2 , \mathrm { M G } } + p _ { 3 , \mathrm { M G } } = n _ { \mathrm { i } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Phi ( \mathbf { u } , \mathbf { x } , \mathbf { \bar { x } } ; \theta ) = \left( \mathsf { D } \nabla ^ { 2 } \mathbf { u } ( \mathbf { x } ) + \gamma \left( \mathbf { \hat { F } } ( \mathbf { u } ( \mathbf { x } ) ) + \theta \mathbf { G } ( \mathbf { u } ( \mathbf { x } ) , \mathbf { x } ) \right) , \nabla \mathbf { u } ( \mathbf { \bar { x } } ) \cdot \mathbf { n } \right) ^ { \top } = \mathbf { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } ^ { l , \mathcal { G } } ( \Sigma ) = } & { \Big \{ f : \Sigma \rightarrow \mathbb { R } : f ( x ) = g ( x _ { \pi ( 1 ) } , x _ { \pi ( 2 ) } , . . . , x _ { \pi ( K ) } ) \mathrm { , ~ w h e r e ~ } } \\ & { \ \ \quad g : \mathbb { R } ^ { K } \rightarrow \mathbb { R } \mathrm { ~ s a t i s f i e s ~ } \| g \| _ { \mathcal { C } ^ { s } } \leq M \mathrm { ~ a n d ~ } \pi : [ K ] \rightarrow [ d ] \Big \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { t r } \left( \Lambda ^ { n } ( { \bf K } ) \right) } & { = \frac { 1 } { n ! } \frac { 1 } { n ! } \sum _ { { \bf i } _ { 1 } , \cdots , { \bf i } _ { n } = 1 } ^ { ( m , m ^ { \prime } ) } \sum _ { \pi _ { 1 } \in \sigma _ { n } } \sum _ { \pi _ { 2 } \in \sigma _ { n } } ( - 1 ) ^ { \pi _ { 1 } + \pi _ { 2 } } \prod _ { k } \left( \langle { \bf C } _ { { \bf i } _ { \pi _ { 1 } ( k ) } } | { \bf K } { \bf C } _ { { \bf i } _ { \pi _ { 2 } ( k ) } } \rangle \right) } \\ & { = \frac { 1 } { n ! } \sum _ { { \bf i } _ { 1 } , \cdots , { \bf i } _ { n } = 1 } ^ { ( m , m ^ { \prime } ) } \sum _ { \pi \in \sigma _ { n } } ( - 1 ) ^ { \pi } \prod _ { k } \left( \langle { \bf C } _ { { \bf i } _ { k } } | { \bf K } { \bf C } _ { { \bf i } _ { \pi ( k ) } } \rangle \right) } \\ & { = \frac { 1 } { n ! } \sum _ { { i } _ { 1 } , \cdots , { i } _ { n } = 1 } ^ { m } \sum _ { { j } _ { 1 } , \cdots , { j } _ { n } = 1 } ^ { m ^ { \prime } } \sum _ { \pi \in \sigma _ { n } } ( - 1 ) ^ { \pi } \prod _ { k } { \bf K } _ { i _ { k } , j _ { k } , i _ { \pi ( k ) } , j _ { \pi ( k ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { \epsilon } ^ { \mathrm { r e c } } ( x ) = } & { - \frac { \Delta \alpha } { 2 \pi } \sum _ { | \alpha _ { k } | \le \pi / 2 } \frac { 1 } \pi \int \frac { \partial _ { p } \hat { f } _ { \epsilon } ( \alpha _ { k } , p ) } { p - \mathcal P _ { * } ( x , \alpha _ { k } ) } \mathrm { d } p , \ \mathcal P _ { * } ( x , \alpha ) \equiv \vec { \alpha } \cdot x , } \\ { \hat { f } _ { \epsilon } ( \alpha _ { k } , p ) = } & { \int w _ { \epsilon } ( p - \rho ) \hat { f } ( \alpha _ { k } , \rho ) \mathrm { d } \rho , \ \alpha _ { k } = - ( \pi / 2 ) + ( \pi / N _ { \alpha } ) ( k + \delta ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \boldsymbol { A } _ { 0 n } ^ { ( L ) } = \left( \begin{array} { c c c c c c } { 0 } & { \rho _ { 0 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \displaystyle { \frac { k _ { B } } { m } \frac { T _ { 0 } } { \rho _ { 0 } } } } & { 0 } & { \displaystyle \frac { k _ { B } } { m } } & { \displaystyle { \frac { 1 } { \rho _ { 0 } } } } & { - \displaystyle { \frac { 1 } { \rho _ { 0 } } } } & { 0 } \\ { 0 } & { \displaystyle { \frac { T _ { 0 } } { { \hat { c } _ { v } } } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \displaystyle { \frac { 1 } { \frac { k _ { B } } { m } { \hat { c } _ { v } } \rho _ { 0 } } } } \\ { 0 } & { \displaystyle { \frac { 2 \hat { c } _ { v } - 3 } { 3 \hat { c } _ { v } } \frac { k _ { B } } { m } \rho _ { 0 } T _ { 0 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \displaystyle { \frac { 2 \hat { c } _ { v } - 3 } { 3 \hat { c } _ { v } ( 1 + \hat { c } _ { v } ) } } } \\ { 0 } & { \displaystyle { - \frac { 4 } { 3 } \frac { k _ { B } } { m } \rho _ { 0 } T _ { 0 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - \displaystyle { \frac { 4 } { 3 ( 1 + \displaystyle { \hat { c } _ { v } } ) } } } \\ { 0 } & { 0 } & { \displaystyle { \left( 1 + { \hat { c } _ { v } } \right) \left( \frac { k _ { B } } { m } \right) ^ { 2 } \rho _ { 0 } T _ { 0 } } } & { \ \ \displaystyle \frac { k _ { B } } { m } T _ { 0 } \ \ } & { \ \ \displaystyle - \frac { k _ { B } } { m } T _ { 0 } \ \ } & { 0 } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( \mathcal { T } _ { \mathcal { U } _ { p } ^ { \texttt { s } } } ^ { \pi } v ) ( s ) = - \bigm [ \alpha _ { s } + \gamma \beta _ { s } \kappa _ { q } ( v ) \bigm ] \lVert \pi _ { s } \rVert _ { q } + \sum _ { a } \pi ( a | s ) \Bigm [ R _ { 0 } ( s , a ) + \gamma \sum _ { s ^ { \prime } } P _ { 0 } ( s ^ { \prime } | s , a ) v ( s ^ { \prime } ) \Bigm ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } _ { w _ { \delta } } [ \mathcal { R } [ \tau _ { i } , \tau _ { i } ^ { \prime } ] \mathrm { ~ d o e s ~ n o t ~ s e p a r a t e ~ } \partial B ( z _ { \delta } , r _ { i - 1 } ) \mathrm { ~ a n d ~ } \partial B ( z _ { \delta } , r _ { i } ) ) \mathrm { ~ f o r ~ } 1 \le i \le [ - \log \sqrt \epsilon ] ] } \\ { = } & { \mathbb { E } _ { w _ { \delta } } [ \mathbb { P } _ { w _ { \delta } } [ \mathcal { R } [ \tau _ { i } , \tau _ { i } ^ { \prime } ] \mathrm { ~ d o e s ~ n o t ~ s e p a r a t e ~ } \partial B ( z _ { \delta } , r _ { i - 1 } ) \mathrm { ~ a n d ~ } \partial B ( z _ { \delta } , r _ { i } ) ) \mathrm { ~ f o r ~ } 1 \le i \le [ - \log \sqrt \epsilon ] \, | \, \mathcal { R } _ { \tau _ { 1 } ^ { \prime } } , \ldots , \mathcal { R } _ { \tau _ { [ - \log \sqrt \epsilon ] } ^ { \prime } } ] } \\ { = } & { \mathbb { E } _ { w _ { \delta } } [ \Pi _ { i = 1 } ^ { [ - \log \sqrt \epsilon ] } \mathbb { P } _ { \mathcal { R } _ { \tau _ { i } } } [ \mathcal { R } [ \tau _ { i } , \tau _ { i } ^ { \prime } ] \mathrm { ~ d o e s ~ n o t ~ s e p a r a t e ~ } \partial B ( z _ { \delta } , r _ { i - 1 } ) \mathrm { ~ a n d ~ } \partial B ( z _ { \delta } , r _ { i } ) ) \, | \, \mathcal { R } _ { \tau _ { i } ^ { \prime } } ] } \\ { \le } & { ( 1 - \alpha ) ^ { [ s ] } } \\ { \le } & { C \epsilon ^ { c } , \quad \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ } C > 0 \mathrm { ~ a n d ~ } c > 0 . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { P _ { 1 } V _ { 1 } ^ { \gamma } = \mathrm { c o n s t a n t } _ { 1 } = 1 0 0 \, 0 0 0 ~ { \mathrm { P a } } \times ( 0 . 0 0 1 ~ { \mathrm { m } } ^ { 3 } ) ^ { \frac { 7 } { 5 } } } \\ & { = 1 0 ^ { 5 } \times 6 . 3 1 \times 1 0 ^ { - 5 } ~ { \mathrm { P a } } \, { \mathrm { m } } ^ { 2 1 / 5 } = 6 . 3 1 ~ { \mathrm { P a } } \, { \mathrm { m } } ^ { 2 1 / 5 } , } \end{array} }
{ \begin{array} { r l r l r l } { { 5 } 2 s } & { = } & & { ( 1 - 2 + 3 - 4 + \cdots ) \ \ } & & { + ( 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - \cdots ) } \\ & { = } & & { 1 + ( - 2 + 3 - 4 + \cdots ) \ \ } & & { + 1 - 2 + ( 3 - 4 + 5 - \cdots ) } \\ & { = \ 0 + } & & { ( - 2 + 3 - 4 + \cdots ) } & & { + ( 3 - 4 + 5 - \cdots ) } \\ & { = \ 0 + [ \ } & & { ( - 2 + 3 ) \quad + ( 3 - 4 ) } & & { + ( - 4 + 5 ) \quad + \cdots \ ] } \\ { 2 s } & { = \ } & & { 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots } \end{array} }
\frac { d _ { i } ^ { a } + 1 } { d _ { i } ^ { a } } + \frac { \Omega _ { B } ( x ) } { a _ { i } - \Omega _ { B } ( x ) } = 0 \quad \mathrm { f o r ~ s o m e ~ x > E _ { + } ~ } \quad \Longleftrightarrow \quad \frac { d _ { i } ^ { a } + 1 } { d _ { i } ^ { a } } + \frac { \Omega _ { \beta } ( E _ { + } ) } { a _ { i } - \Omega _ { \beta } ( E _ { + } ) } < 0 ,
\begin{array} { r } { \! \! \left\{ \begin{array} { l } { \! \! \! \! d _ { k , n } ^ { 2 } \! = \! d _ { k , n - 1 } ^ { 2 } \! + \! \Delta _ { d _ { k , n - 1 } } ^ { 2 } \! \! \! - \! 2 { d _ { k , n - 1 } } \Delta _ { d _ { k , n - 1 } } \! \cos ( \tilde { \theta } _ { k , n - 1 } ) , } \\ { \! \! \! \! \frac { \Delta _ { d _ { k , n - 1 } } } { { \sin \left( { { \theta _ { k , n } } - { \theta _ { k , n - 1 } } } \right) } } \! = \! \frac { { { d _ { k , n } } } } { { \sin \left( \tilde { \theta } _ { k , n - 1 } \right) } } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \pi _ { p , r ^ { \prime } } ^ { r } = \mathbb { P } ( V _ { p } ^ { r } + I _ { p , r ^ { \prime } } ^ { r } + \xi _ { p } ^ { r } \geq V _ { p } ^ { r ^ { \prime \prime } } + I _ { p , r ^ { \prime } } ^ { r ^ { \prime \prime } } + \xi _ { p } ^ { r ^ { \prime \prime } } , \; \forall r ^ { \prime \prime } \in \mathcal { R } _ { p } ) } \end{array}
\beta _ { c } ( \theta ) = \frac { \frac { 1 } { 2 } h ^ { 2 } + \frac { h ^ { 3 } } { 3 } + o ( h ^ { 3 } ) } { h ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { 3 } - 1 \right) h ^ { 3 } + o ( h ^ { 3 } ) } = \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 + \frac { 2 h } { 3 } + o ( h ) } { 1 - \frac { 2 h } { 3 } + o ( h ) } = \frac { 1 } { 2 } \left( 1 + \frac { 4 } { 3 } h + o ( h ) \right) ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 0 } ^ { n } \lambda _ { k } \left( f ( x _ { k } ) - f _ { * } \right) } & { \leq \sum _ { k = 1 } ^ { n } \lambda _ { k } \left\langle g _ { k } , x _ { k } - x _ { * } \right\rangle } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { n } \lambda _ { k } \left\langle g _ { k } , x _ { k } - x _ { 0 } + x _ { 0 } - x _ { * } \right\rangle } \\ & { = \left\langle s _ { n + 1 } , x _ { 0 } - x _ { * } \right\rangle + \sum _ { k = 1 } ^ { n } \lambda _ { k } \left\langle g _ { k } , x _ { k } - x _ { 0 } \right\rangle } \\ & { = \left\langle s _ { n + 1 } , x _ { 0 } - x _ { * } \right\rangle - \sum _ { k = 1 } ^ { n } \lambda _ { k } \left\langle g _ { k } , A _ { k } ^ { - 1 } s _ { k } \right\rangle } \\ & { \leq \left\Vert s _ { n + 1 } \right\Vert _ { 1 } \left\Vert x _ { 0 } - x _ { * } \right\Vert _ { \infty } - \sum _ { k = 1 } ^ { n } \lambda _ { k } \left\langle g _ { k } , A _ { k } ^ { - 1 } s _ { k } \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( a ) } & { \leq \frac { C _ { 1 } k ^ { k + 1 / 2 } } { a ^ { 2 a + 1 } ( k - 2 a ) ^ { k - 2 a + 1 / 2 } } \cdot \frac { n ^ { n - k - 1 } ( n - 2 a ) ^ { k - 2 a - 1 } ( n - k ) ^ { 2 } a ^ { 2 a - 2 } } { n ^ { n - 2 } } } \\ & { = \frac { C _ { 1 } k ^ { 1 / 2 } ( n - k ) ^ { 2 } n } { a ^ { 3 } ( n - 2 a ) ( k - 2 a ) ^ { 1 / 2 } } \Big ( 1 + \frac { n - k } { k } \Big ) ^ { - k } \Big ( 1 + \frac { n - k } { k - 2 a } \Big ) ^ { k - 2 a } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { N } & { = \left( \frac { 3 2 } { m } \right) ^ { 2 q - 1 } ( 2 q ( C _ { 2 } + C _ { 3 } d ) ) ^ { 2 q } + ( ( \frac { 3 2 } { m } ) ^ { q - 1 } q ( 2 q - 1 ) 2 ^ { 2 q - 2 } C _ { 4 } ) ^ { q } + ( \frac { 3 2 } { m } ) ^ { q } ( q ( 2 q - 1 ) 2 ^ { 2 q - 3 } C _ { 6 } ) ^ { q + 1 } } \\ & { + C _ { 6 } q ( 2 q - 1 ) 2 ^ { 2 q - 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \big [ U _ { \epsilon } ^ { t - 1 } \big ] = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { t - 1 } \mathbb { P } \Big ( \widetilde { \phi } _ { l a p } ( \mathcal { I } _ { t } ) > \widetilde { \phi } _ { l a p } ( \mathcal { I } _ { j } ) \Big ) } \\ { = } & { t - 1 - \frac { \exp ( - t \lambda _ { \epsilon } ) } { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { t - 1 } \exp \big ( j \lambda _ { \epsilon } \big ) - \sum _ { j = 1 } ^ { t - 1 } \frac { j \lambda _ { \epsilon } } { 4 } \exp \big ( - j \lambda _ { \epsilon } \big ) } \\ { = } & { t - 1 - \frac { 1 - \exp ( - ( t - 1 ) \lambda _ { \epsilon } ) } { 2 ( \exp ( \lambda _ { \epsilon } ) - 1 ) } + \frac { \lambda _ { \epsilon } ( t - 1 ) \exp ( - ( t - 1 ) \lambda _ { \epsilon } ) } { 4 ( \exp ( \lambda _ { \epsilon } ) - 1 ) } - \lambda _ { \epsilon } \frac { \exp ( - \lambda _ { \epsilon } ) - \exp ( - t \lambda _ { \epsilon } ) } { 4 ( 1 - \exp ( - \lambda _ { \epsilon } ) ) ^ { 2 } } } \\ { = } & { t - 1 - \frac { 1 - p _ { \epsilon } ^ { - ( t - 1 ) } } { 2 ( p _ { \epsilon } - 1 ) } + \frac { \lambda _ { \epsilon } ( t - 1 ) p _ { \epsilon } ^ { - ( t - 1 ) } } { 4 ( p _ { \epsilon } - 1 ) } - \lambda _ { \epsilon } \frac { p _ { \epsilon } - p _ { \epsilon } ^ { - ( t - 2 ) } } { 4 ( p _ { \epsilon } - 1 ) ^ { 2 } } } \\ { = } & { t - 1 - \frac { p _ { \epsilon } ^ { t - 1 } - 1 } { 2 ( p _ { \epsilon } ^ { t } - p _ { \epsilon } ^ { t - 1 } ) } + \frac { \lambda _ { \epsilon } ( t - 1 ) } { 4 ( p _ { \epsilon } ^ { t } - p _ { \epsilon } ^ { t - 1 } ) } - \lambda _ { \epsilon } \frac { p _ { \epsilon } - p _ { \epsilon } ^ { - ( t - 2 ) } } { 4 ( p _ { \epsilon } - 1 ) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { D ( \mu , \mu ^ { \prime } ) } & { : = \left( - \int \ln | x - y | d ( \mu - \mu ^ { \prime } ) ( x ) d ( \mu - \mu ^ { \prime } ) ( y ) \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { = \left( \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { 1 } { t } \big | \mathcal { F } [ \mu - \mu ^ { \prime } ] ( t ) \big | ^ { 2 } d t \right) ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
J _ { k } ( n ) = n ^ { k } \prod _ { p \mid n } \left( 1 - { \frac { 1 } { p ^ { k } } } \right) = n ^ { k } \left( { \frac { p _ { 1 } ^ { k } - 1 } { p _ { 1 } ^ { k } } } \right) \left( { \frac { p _ { 2 } ^ { k } - 1 } { p _ { 2 } ^ { k } } } \right) \cdots \left( { \frac { p _ { \omega ( n ) } ^ { k } - 1 } { p _ { \omega ( n ) } ^ { k } } } \right) .
\begin{array} { r l } { \nabla _ { X _ { S } } ^ { \varepsilon } X _ { S } } & { = \left( - ( X _ { 1 } \delta ) X _ { 1 } X _ { 1 } \delta - ( X _ { 1 } \delta ) X _ { 2 } X _ { 2 } \delta \right) X _ { 1 } } \\ & { \quad + \left( - ( X _ { 2 } \delta ) X _ { 1 } X _ { 1 } \delta - ( X _ { 2 } \delta ) X _ { 2 } X _ { 2 } \delta \right) X _ { 2 } } \\ & { \quad + ( X _ { 2 } \delta ) ^ { 2 } ( c _ { 1 2 } ^ { 1 } X _ { 2 } - \varepsilon ^ { 2 } c _ { \theta 1 } ^ { 1 } X _ { \theta } ) + ( X _ { 1 } \delta ) ^ { 2 } ( - c _ { 1 2 } ^ { 2 } X _ { 2 } - \varepsilon ^ { 2 } c _ { \theta 2 } ^ { 2 } X _ { \theta } ) } \\ & { \quad - ( X _ { 1 } \delta ) ( X _ { 2 } \delta ) \left( - c _ { 1 2 } ^ { 1 } X _ { 1 } + c _ { 1 2 } ^ { 2 } X _ { 2 } + - ( c _ { \theta 2 } ^ { 1 } + c _ { \theta 1 } ^ { 2 } ) X _ { \theta } \right) } \\ & { = - \left( X _ { 1 } X _ { 1 } \delta + X _ { 2 } X _ { 2 } \delta - c _ { 1 2 } ^ { 1 } ( X _ { 2 } \delta ) + c _ { 1 2 } ^ { 2 } ( X _ { 1 } \delta ) \right) \left( ( X _ { 1 } \delta ) X _ { 1 } + ( X _ { 2 } \delta ) X _ { 2 } \right) } \\ & { \quad - \varepsilon ^ { 2 } ( ( X _ { 2 } \delta ) ^ { 2 } c _ { \theta 1 } ^ { 1 } + ( X _ { 1 } \delta ) ^ { 2 } c _ { \theta 2 } ^ { 2 } - ( X _ { 1 } \delta ) ( X _ { 2 } \delta ) ( c _ { \theta 2 } ^ { 1 } + c _ { \theta 1 } ^ { 2 } ) ) X _ { \theta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { D } _ { i j } = \langle D ^ { \mathcal { N } } \varphi _ { i } , \varphi _ { j } \rangle _ { \left( X ^ { \mathcal { N } } \right) ^ { * } X ^ { \mathcal { N } } } , } & { \quad \mathcal { E } _ { l m } = \langle E ^ { \mathcal { N } } \varphi _ { l } , \psi _ { m } \rangle _ { \left( Y ^ { \mathcal { N } } \right) ^ { * } Y ^ { \mathcal { N } } } , } \\ { \mathbf { \bar { g } } _ { k } = \left\langle \bar { g } ^ { \mathcal { N } } , \varphi _ { k } \right\rangle _ { \left( X ^ { \mathcal { N } } \right) ^ { * } X ^ { \mathcal { N } } } , } & { \quad \mathbf { f } _ { n } = \left\langle f ^ { \mathcal { N } } , \psi _ { n } \right\rangle _ { \left( Y ^ { \mathcal { N } } \right) ^ { * } Y ^ { \mathcal { N } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { q ( x ; \alpha , \kappa ) } & { = - x \, \Big [ ( \mathbf { P } _ { 1 } ^ { ( \infty ) } ) _ { 1 2 } + \widetilde { A } _ { 1 2 } + \widetilde { B } _ { 1 2 } + ( \widetilde { \mathbf { R } } _ { 1 } ) _ { 1 2 } \Big ] } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \times \Big [ ( \mathbf { P } _ { 1 } ^ { ( \infty ) } ) _ { 2 1 } + \widetilde { A } _ { 2 1 } + \widetilde { B } _ { 2 1 } + ( \widetilde { \mathbf { R } } _ { 1 } ) _ { 2 1 } \Big ] , } \\ { \mathcal { H } ( x ; \alpha , \kappa ) } & { = - x \, \bigg \{ \frac { 8 } { 2 7 } x ^ { 2 } + \left[ \widetilde { \mathbf { R } } _ { 1 } ( \widetilde { A } + \widetilde { B } + \mathbf { P } _ { 1 } ^ { ( \infty ) } ) \right] _ { 1 1 } - \left[ \widetilde { \mathbf { R } } _ { 1 } ( \widetilde { A } + \widetilde { B } + \mathbf { P } _ { 1 } ^ { ( \infty ) } ) \right] _ { 2 2 } } \\ & { \qquad \qquad + ( \widetilde { \mathbf { R } } _ { 2 } ) _ { 1 1 } - ( \widetilde { \mathbf { R } } _ { 2 } ) _ { 2 2 } + \left[ ( \widetilde { A } + \widetilde { B } ) \mathbf { P } _ { 1 } ^ { ( \infty ) } \right] _ { 1 1 } - \left[ ( \widetilde { A } + \widetilde { B } ) \mathbf { P } _ { 1 } ^ { ( \infty ) } \right] _ { 2 2 } } \\ & { \qquad \qquad \qquad + \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } ( \widetilde { A } _ { 1 1 } - \widetilde { A } _ { 2 2 } + \widetilde { B } _ { 2 2 } - \widetilde { B } _ { 1 1 } ) + ( \mathbf { P } _ { 2 } ^ { ( \infty ) } ) _ { 1 1 } - ( \mathbf { P } _ { 2 } ^ { ( \infty ) } ) _ { 2 2 } \bigg \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \operatorname* { P r } } _ { 1 } \left( u - s < \Lambda < u , A < v \right) } & { \le } & { u \, { \operatorname* { P r } } _ { 0 } \left( u - s < \Lambda < u , A < v \right) , } \\ { { \operatorname* { P r } } _ { 1 } \left( u - s < \Lambda < u , A < v \right) } & { \ge } & { \left( u - s \right) \, { \operatorname* { P r } } _ { 0 } \left( u - s < \Lambda < u , A < v \right) . } \end{array}
\left( Q ( f , f ) , g \right) = \frac { 1 } { 4 } \sum _ { \alpha , \beta = 1 } ^ { s } \sum _ { i , k = 1 } ^ { r _ { \alpha } } \sum _ { j , l = 1 } ^ { r _ { \beta } } \int _ { \left( \mathbb { R } ^ { 3 } \right) ^ { 4 } } \left( \frac { f _ { \alpha , k } ^ { \prime } f _ { \beta , l \ast } ^ { \prime } } { \varphi _ { k } ^ { \alpha } \varphi _ { l } ^ { \beta } } - \frac { f _ { \alpha , i } f _ { \beta , j \ast } } { \varphi _ { i } ^ { \alpha } \varphi _ { j } ^ { \beta } } \right) \Delta _ { i j , k l } ^ { \alpha \beta } \left( g \right) \, d A _ { i j } ^ { k l } .
d _ { w , ( \mathcal { L } ^ { - } , \pi ^ { - } ) } \left( \boldsymbol { v ^ { * } , \boldsymbol { u ^ { * } } } \right) = \overline { { \omega } } _ { w , ( \mathcal { L } ^ { - } , \pi ^ { - } ) } \left( \boldsymbol { v ^ { * } - \boldsymbol { u ^ { * } } } \right) \leq \overline { { \omega } } _ { w , ( \mathcal { L } , \pi ) } ( \boldsymbol { v } - \boldsymbol { u } ) = \overline { { \omega } } _ { w , ( \mathcal { L } , \pi ) } ( \boldsymbol { \alpha } ) \leq \tilde { \rho } ( \mathcal { C } ) .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { k } \| h ^ { k + 1 } - u ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } } & { \leq ( 1 + \beta ) ( 1 - \delta _ { 1 } ) ^ { 2 } \| h ^ { k } - u ^ { k } \| ^ { 2 } + \frac { ( 1 + \beta ) ( 1 - \delta _ { 1 } ) \delta _ { 1 } } { n ^ { 2 } } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \| h _ { \tau } ^ { k } - u _ { \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { 1 } { \beta } \left\| \mathbb { E } _ { k } [ u ^ { k + 1 } - u ^ { k } ] \right\| ^ { 2 } + \mathbb { E } _ { k } \| u ^ { k + 1 } - u ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { = \left( 1 - \delta _ { 1 } \right) \| h ^ { k } - u ^ { k } \| ^ { 2 } + \frac { \delta _ { 1 } } { n ^ { 2 } } \sum _ { \tau = 1 } ^ { n } \| h _ { \tau } ^ { k } - u _ { \tau } ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { ( 1 - \delta _ { 1 } ) } { \delta _ { 1 } } \left\| \mathbb { E } _ { k } [ u ^ { k + 1 } - u ^ { k } ] \right\| ^ { 2 } + \mathbb { E } _ { k } \| u ^ { k + 1 } - u ^ { k } \| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { X ( 0 , T ; \Omega _ { R } ^ { + } ) : = \Big \{ v \in L ^ { \infty } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) ) , \, v ^ { * } = \int _ { 0 } ^ { t } v \, d t \in L ^ { \infty } ( 0 , T ; H ^ { 1 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) ) \Big \} , } \\ & { } & { Y ( 0 , T ; \Gamma _ { R } ^ { + } ) : = \Big \{ \phi : \int _ { 0 } ^ { T } \langle \phi , \, v \rangle _ { \Gamma _ { R } ^ { + } } \, d t < \infty , \forall \; v \in X ( 0 , T ; \Omega _ { R } ^ { + } ) \Big \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d t } \mathscr Y _ { + } ^ { \varepsilon } + \| F _ { + } ^ { \varepsilon } - F _ { + } ^ { 0 } \| _ { \mathfrak D ^ { \prime } } ^ { 2 } } \\ & { \quad \lesssim _ { M } \langle \| ( F _ { + } ^ { 0 } , F _ { - } ^ { \varepsilon } ) \| _ { \mathfrak D } \rangle ^ { 2 } ( \varepsilon ^ { 2 } + \mathscr Y _ { + } ^ { \varepsilon } ) + \mathscr D _ { - , 2 } ^ { \varepsilon } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { k + 1 } } & { = \mathop { \mathrm Ḋ a r g m i n Ḍ } _ { v \in \mathbb Ḋ R Ḍ ^ { n } } \frac { 1 } { 2 } | v - u _ { k } + 2 \delta u _ { k } T _ { k } + \nabla f ( x _ { k } + \beta u _ { k } ) T _ { k } | ^ { 2 } ~ ~ \mathrm { s . t . } ~ ~ \gamma _ { i } ( x _ { k } , v ) \geq 0 , ~ ~ i \in I _ { x _ { k } } , } \\ { x _ { k + 1 } } & { = x _ { k } + T _ { k } u _ { k + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 9 ( \eta _ { k } - \eta _ { k + 1 } ) ^ { 2 } } { \alpha } \left\Vert \nabla F ( \mathbf { x } _ { k } ) \right\Vert ^ { 2 } } & { \leq \frac { 1 8 ( \eta _ { k } - \eta _ { k + 1 } ) ^ { 2 } } { \alpha } \left( \left\Vert \nabla F ( \mathbf { x } _ { k } ) - \nabla F ( \mathbf { x } ^ { * } ) \right\Vert ^ { 2 } + \left\Vert \nabla F ( \mathbf { x } ^ { * } ) \right\Vert ^ { 2 } \right) } \\ & { \leq \frac { 1 8 \eta _ { k } ^ { 2 } n L ^ { 2 } } { \alpha } \left\Vert \bar { z } _ { k } \right\Vert ^ { 2 } + \frac { 3 6 \eta _ { k } ^ { 2 } L ^ { 2 } } { \alpha } \left\Vert \check { z } _ { k } \right\Vert ^ { 2 } + \frac { 1 8 ( \eta _ { k } - \eta _ { k + 1 } ) ^ { 2 } } { \alpha } \left\Vert \nabla F ( \mathbf { x } ^ { * } ) \right\Vert ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta a _ { \mathrm { L } } } & { \simeq 1 0 ^ { - 6 } \, \mathrm { k m } = 1 \, \mathrm { m m } , } \\ { \delta a _ { \mathrm { \ t e x t c o l o r { b l a c k } { L R 2 } } } } & { \simeq 1 0 ^ { - 7 } \, \mathrm { k m } = 0 . 1 \, \mathrm { m m } , } \\ { \delta e _ { \mathrm { L } } } & { \simeq 1 0 ^ { - 5 } , } \\ { \delta e _ { \mathrm { \ t e x t c o l o r { b l a c k } { L R 2 } } } } & { \simeq 1 0 ^ { - 5 } , } \\ { \delta I _ { \mathrm { L } } } & { \simeq 1 0 ^ { - 4 } \, \mathrm { d e g } = 0 . 3 6 \, \mathrm { a r c s e c } , } \\ { \delta I _ { \mathrm { \ t e x t c o l o r { b l a c k } { L R 2 } } } } & { \simeq 1 0 ^ { - 4 } \, \mathrm { d e g } = 0 . 3 6 \, \mathrm { a r c s e c } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \mathbf { 1 } _ { \mathcal { U } } ( u _ { s } q ) \, d s = \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \mathbf { 1 } _ { K ^ { c } } ( g _ { - t } u _ { s } q ) \, d s } \\ { = } & { \frac { 1 } { T e ^ { - 2 t } } \left| \left\{ s \in \left[ 0 , T e ^ { - 2 t } \right] : u _ { s } g _ { - t } q \notin K \right\} \right| < \varepsilon . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \Bigl ( } \varphi + R { { \bigl ( } e ^ { - 2 a } { \bigr ) } } { \Bigr ) } { \Bigl ( } \varphi + R { { \bigl ( } e ^ { - 2 b } { \bigr ) } } { \Bigr ) } } & { = \varphi { \sqrt { 5 } } , } \\ { { \Bigl ( } \varphi ^ { - 1 } - R { { \bigl ( } { - e ^ { - a } } { \bigr ) } } { \Bigr ) } { \Bigl ( } \varphi ^ { - 1 } - R { { \bigl ( } { - e ^ { - b } } { \bigr ) } } { \Bigr ) } } & { = \varphi ^ { - 1 } { \sqrt { 5 } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { H _ { : \cdot \cdot } ( \mathbf { x } , \mathbf { p } ) = \left( \frac { \mathbf { p } _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 M _ { 1 } } + \frac { \mathbf { p } _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 M _ { 0 } } - \frac { m _ { 1 } } { | \mathbf { x } _ { 1 } - \frac { \mathbf { x } _ { 0 } } { 2 } | } - \frac { m _ { 1 } } { | \mathbf { x } _ { 1 } + \frac { \mathbf { x } _ { 0 } } { 2 } | } - \frac { 1 } { | \mathbf { x } _ { 0 } | } \right) } \\ & { + \left( \frac { \mathbf { p } _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 M _ { 2 } } - \frac { m _ { 1 } m _ { 2 } } { | \mathbf { x } _ { 2 } - \frac { 2 \mathbf { x } _ { 1 } } { m _ { 1 } + 2 } | } - \frac { m _ { 2 } } { | \mathbf { x } _ { 2 } + \frac { m _ { 1 } \mathbf { x } _ { 1 } } { m _ { 1 } + 2 } - \frac { \mathbf { x } _ { 0 } } { 2 } | } - \frac { m _ { 2 } } { | \mathbf { x } _ { 2 } + \frac { m _ { 1 } \mathbf { x } _ { 1 } } { m _ { 1 } + 2 } + \frac { \mathbf { x } _ { 0 } } { 2 } | } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { 1 1 } = } & { - \delta d s \Re \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Gamma _ { 1 } } \partial _ { \nu } \varphi \overline { { w } } \Delta _ { \Gamma } w \, d \sigma d t } \\ { = } & { - \delta d s \lambda \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Gamma _ { 1 } } \partial _ { \nu } \psi \theta | \nabla _ { \Gamma } w | ^ { 2 } \, d \sigma d t + \delta d s \Re \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Gamma _ { 1 } } \overline { { w } } \nabla _ { \Gamma } ( \partial _ { \nu } \varphi ) \cdot \nabla _ { \Gamma } w \, d \sigma d t . } \end{array}
\begin{array} { r } { V _ { k } ( \xi ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } e ( - \xi 2 ^ { d k } t ) \frac { 1 } { d t ^ { 1 - 1 / d } } \ d t = \mathrel { \mathop : } \widehat { \mu } ( 2 ^ { d k } \xi ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 + O \big ( 2 ^ { d k } | \xi | \big ) } \\ { O \big ( ( 2 ^ { d k } | \xi | ) ^ { - 1 / d } \big ) , } \end{array} \right. } \end{array}
+ \frac { y ^ { 1 } z ^ { 4 } } { 1 ^ { a } 4 ^ { b } } + \frac { y ^ { 2 } z ^ { 4 } } { 2 ^ { a } 4 ^ { b } } + \frac { y ^ { 3 } z ^ { 4 } } { 3 ^ { a } 4 ^ { b } } + \frac { y ^ { 4 } z ^ { 4 } } { 4 ^ { a } 4 ^ { b } } + \frac { y ^ { 5 } z ^ { 4 } } { 5 ^ { a } 4 ^ { b } } + \frac { y ^ { 6 } z ^ { 4 } } { 6 ^ { a } 4 ^ { b } } + \frac { y ^ { 7 } z ^ { 4 } } { 7 ^ { a } 4 ^ { b } } + \cdots
\sum _ { i } \bar { \kappa } _ { c } ( v _ { 1 } \otimes \cdots \otimes v _ { r - 2 } \otimes a _ { i } \otimes a _ { i } ^ { \# } ) = \frac { \chi - 2 } { \chi } \bar { \kappa } _ { c e } ( v _ { 1 } \otimes \cdots \otimes v _ { r - 2 } ) + \frac { 1 } { \chi ^ { 2 } } \bar { \kappa } _ { e ^ { 2 } } \bar { \kappa } _ { c } ( v _ { 1 } \otimes \cdots \otimes v _ { r - 2 } )
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 } ^ { n } \langle \nabla _ { \tau } e ^ { k } , e ^ { k - \frac { 1 } { 2 } } \rangle = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { n } \tau _ { k } \sum _ { l = 1 } ^ { k } p _ { k - l } ^ { ( k ) } \langle \Delta _ { h } e ^ { l - \frac { 1 } { 2 } } , e ^ { k - \frac { 1 } { 2 } } \rangle + \sum _ { k = 1 } ^ { n } \tau _ { k } \sum _ { l = 1 } ^ { k } p _ { k - l } ^ { ( k ) } \langle \Upsilon ^ { l } , e ^ { k - \frac { 1 } { 2 } } \rangle } \\ & { - \sum _ { k = 1 } ^ { n } \tau _ { k } \langle r ^ { k } , e ^ { k - \frac { 1 } { 2 } } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r } { K _ { \mathrm { A } } = K _ { \mathrm { B } } c _ { p z c } ^ { 2 } \quad \mathrm { a n d } \quad } \\ { K _ { \mathrm { B } } = - \frac { c _ { \mathrm { z e t a } } } { \Gamma \lambda k _ { 2 } ( c _ { \mathrm { p z c } } ^ { 2 } - c _ { \mathrm { z e t a } } ^ { 2 } ) + ( c _ { \mathrm { p z c } } ^ { 2 } + c _ { \mathrm { z e t a } } ^ { 2 } ) } , } \end{array}
x ^ { ( a ) } ( u ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \sum _ { n \in \mathbb { Z } _ { + } } \frac { x _ { n } ^ { ( a ) } } { u ^ { n } } , } & { \mathrm { r a t i o n a l } } \\ { \sum _ { n \in \mathbb { Z } } \frac { x _ { n } ^ { ( a ) } } { U ^ { n } } , } & { \mathrm { t r i g o n o m e t r i c } } \\ { \sum _ { n \in \mathbb { Z } } \frac { x _ { n } ^ { ( a ) } } { U ^ { n } } = \sum _ { n \in \mathbb { Z } } \sum _ { \alpha \in \mathbb { Z } _ { \geq 0 } } \frac { x _ { n , \alpha } ^ { ( a ) } } { U ^ { n } } q ^ { \alpha } , } & { \mathrm { e l l i p t i c } } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } { U ( t ) ^ { T } \Psi ( t ) ^ { * } [ e ^ { \mathrm { i } j x } ] } & { = e ^ { \mathrm { i } j x } + \varepsilon f _ { 1 } ( t ) O p ^ { W } ( \mathfrak { b } _ { 1 } ) [ e ^ { \mathrm { i } j x } ] + R _ { g } ( \tau ) [ e ^ { \mathrm { i } j x } ] , } \\ { - \Psi ( 1 ) \Psi ( t ) ^ { - 1 } \partial _ { x } \mathcal { B } ( t ) [ e ^ { \mathrm { i } j x } ] } & { = e ^ { \mathrm { i } j x } + \varepsilon f _ { 2 } ( t ) O p ^ { W } ( \mathfrak { b } _ { 2 } ) [ e ^ { \mathrm { i } j x } ] + R _ { \chi } ( \tau ) [ e ^ { \mathrm { i } j x } ] , } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l } { d ^ { \prime } } \\ { s ^ { \prime } } \\ { b ^ { \prime } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { V _ { \mathrm { u d } } } & { V _ { \mathrm { u s } } } & { V _ { \mathrm { u b } } } \\ { V _ { \mathrm { c d } } } & { V _ { \mathrm { c s } } } & { V _ { \mathrm { c b } } } \\ { V _ { \mathrm { t d } } } & { V _ { \mathrm { t s } } } & { V _ { \mathrm { t b } } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { d } \\ { s } \\ { b } \end{array} \right] } ~ .
\begin{array} { c l } { \displaystyle \min _ { \tau , u , w _ { j } } } & { \tau } \\ { \mathrm { s . t . } } & { \langle b _ { j } , w \rangle - g _ { j } ( x ^ { k } ) + \langle \nabla h _ { j } ( x ^ { k } ) , u - x ^ { k } \rangle \leq \tau , } \\ & { A _ { j } ^ { \top } w _ { j } = u , } \\ & { w _ { j } \succeq 0 , \quad \forall j \in { \cal J } , } \\ & { l b \preceq u \preceq u b . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int \varphi _ { \omega } \frac { \partial n _ { \omega } } { \partial t } \, d \omega } & { = S _ { \Lambda } \int \frac { \omega _ { 2 } \omega \sin ^ { 2 } ( \phi ) } { ( \omega _ { 2 } - 2 \sqrt { \omega _ { 2 } \omega } \cos ( \phi ) + \omega ) ^ { 3 / 2 } } n _ { \omega _ { 2 } } ^ { 2 } n _ { \omega } ^ { 2 } \left( \partial _ { \omega } n _ { \omega } ^ { - 1 } - \partial _ { \omega _ { 2 } } n _ { \omega _ { 2 } } ^ { - 1 } \right) \left( \partial _ { \omega } \varphi _ { \omega } \right) d \phi \, d \omega _ { 2 } \, d \omega . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \frac { d n } { d t } \right) _ { \mathrm { M W } } } & { = \frac { 1 } { 4 } n \left( \frac { g _ { \mathrm { N V } } \mu _ { \mathrm { B } } } { \hbar } \right) ^ { 2 } B _ { 1 } ^ { 2 } g \left( \omega - \omega _ { \mathrm { E S R } } \right) , } \\ { \left( \frac { d n } { d t } \right) _ { \mathrm { T 1 } } } & { = \frac { n - n _ { 0 } } { T _ { 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { N } [ f ] ( u ) } & { = 2 \sum _ { k = 0 } ^ { N } \, \widetilde { f } ^ { R } ( k ) \psi _ { k } ^ { R } ( u ) + \, \widetilde { f } ^ { I } ( k ) \psi _ { k } ^ { I } ( u ) } \\ & { = ( f ^ { 0 } - f ^ { \mathrm { a v g } } ) + \frac { u } { 2 } f ^ { \mathrm { d i f f } } + \sum _ { k = 1 } ^ { N } { \bar { a } } ( k ) \psi _ { k } ^ { R } ( u ) + 2 \pi k { \bar { b } } ( k ) \psi _ { k } ^ { I } ( u ) } \\ & { = ( f ^ { 0 } - f ^ { \mathrm { a v g } } ) + \frac { u } { 2 } f ^ { \mathrm { d i f f } } + \sum _ { k = 1 } ^ { N } { \bar { a } } ( k ) ( ( - 1 ) ^ { k } + \cos ( \pi k u ) ) + { \bar { b } } ( k ) \sin ( \pi k u ) } \\ & { = ( f ^ { 0 } - f ^ { \mathrm { a v g } } ) + \frac { u } { 2 } f ^ { \mathrm { d i f f } } + F _ { N } [ \bar { f } ] ( u ) - \frac 1 2 { \bar { a } } ( 0 ) + \sum _ { k = 1 } ^ { N } ( - 1 ) ^ { k } { \bar { a } } ( k ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } ( | \varepsilon _ { s } | > \epsilon ) \le \frac { \sqrt { M } } { \epsilon } \mathbb { E } | D _ { 1 } | | \frac { A _ { 1 } } { D _ { 1 } } - \frac { \overline { { A } } _ { 1 } } { \overline { { D } } _ { 1 } } | ^ { 2 } } \\ & { \le \frac { 2 \sqrt { M } } { \epsilon } ( \mathbb { E } \frac { | A _ { 1 } - \overline { { A } } _ { 1 } | ^ { 2 } } { | D _ { 1 } | } + \frac { | \overline { { A } } _ { 1 } | ^ { 2 } } { | \overline { { D } } _ { 1 } | ^ { 2 } } \mathbb { E } \frac { | D _ { 1 } - \overline { { D } } _ { 1 } | ^ { 2 } } { | D _ { 1 } | } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { t } \varrho + u _ { 1 } \cdot \nabla _ { x } \varrho + \frac { \varrho _ { 1 } } { 1 - \rho _ { f _ { 1 } } } \mathrm { d i v } _ { x } \Big [ \mathrm { K } _ { 1 , G _ { 1 } } ^ { \mathrm { f r e e } } ( \varrho ) - \mathrm { K } _ { G _ { 1 } } ^ { \mathrm { f r e e } } ( \varrho ) u _ { 1 } \Big ] = S [ \varrho ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { F _ { 1 } ^ { ( l ) } ( \zeta , t ) } & { = - i ( \omega k _ { 4 } ) ^ { l } Z _ { 1 } ( \zeta , t ) + O ( t ^ { - 1 } ) } & & { \mathrm { a s ~ } t \to \infty , } \\ { F _ { 2 } ^ { ( l ) } ( \zeta , t ) } & { = - i ( \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) ^ { l } Z _ { 2 } ( \zeta , t ) + O ( t ^ { - 1 } ) } & & { \mathrm { a s ~ } t \to \infty , } \end{array}
\mathrm { d i s } ( \phi _ { k } ) = \operatorname* { s u p } _ { x , y \in \overline { { \mathbb B } } _ { 1 } } \left\vert \phi _ { k } ^ { * } d ( x , y ) - d _ { u _ { k } } ( x , y ) \right\vert = \operatorname* { s u p } _ { x , y \in \overline { { \mathbb B } } _ { 1 } } \left\vert d ( \phi _ { k } ( x ) , \phi _ { k } ( y ) ) - d _ { u _ { k } } ( x , y ) \right\vert \to 0 .
\int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \mathcal { H } \left( x , y , \frac { | u _ { n } ( x ) - u _ { n } ( y ) | } { | x - y | ^ { s } } \right) d \mu = \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \mathcal { H } \left( x , y , \frac { | u _ { n } ( x ) - u _ { n } ( y ) | } { | x - y | ^ { s } } \right) \frac { d x \ d y } { | x - y | ^ { N } } < \infty
\begin{array} { r l } & { a ( \lambda ) = [ u + 1 ] [ u + 2 ] = \frac { 1 } { 3 } \left( 1 + 2 \cos \frac { 2 \lambda } { 3 } \right) , } \\ & { b ( \lambda ) = [ u ] [ u + 1 ] = \frac { 1 } { 3 } \left( 1 - \cos \frac { 2 \lambda } { 3 } + \sqrt { 3 } \sin \frac { 2 \lambda } { 3 } \right) , } \\ & { c ( \lambda ) = \cos \frac { \lambda } { 3 } + \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \sin \frac { \lambda } { 3 } , \quad d ( \lambda ) = [ u - 1 ] [ u ] = \frac { 2 } { 3 } \sin \frac { \lambda } { 3 } \left( \sin \frac { \lambda } { 3 } - \sqrt { 3 } \cos \frac { \lambda } { 3 } \right) , } \\ & { e ( \lambda ) = [ 2 ] [ u ] = \frac { 2 } { \sqrt { 3 } } \sin \frac { \lambda } { 3 } , \quad f ( \lambda ) = b ( \lambda ) + [ 2 ] = \frac { 1 } { 3 } \left( 4 - \cos \frac { 2 \lambda } { 3 } + \sqrt { 3 } \sin \frac { 2 \lambda } { 3 } \right) , } \\ & { g = [ 2 ] = 1 , \quad u = \frac { \lambda } { \pi } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P _ { n } ( x ) = \left| \begin{array} { l l } { k _ { p } r J _ { n } ^ { \prime } ( k _ { p } r ) } & { \mathrm { i } n J _ { n } ( k _ { s } r ) } \\ { \mathrm { i } n J _ { n } ( k _ { p } r ) } & { - k _ { s } r J _ { n } ^ { \prime } ( k _ { s } r ) } \end{array} \right| , } \\ & { Q _ { n } ( x ) = \left| \begin{array} { l l } { k _ { p } r j _ { n } ^ { \prime } ( k _ { p } r ) } & { n ( n + 1 ) j _ { n } ( k _ { s } r ) } \\ { j _ { n } ( k _ { p } r ) } & { j _ { n } ( k _ { s } r ) + k _ { s } r j _ { n } ^ { \prime } ( k _ { s } r ) } \end{array} \right| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { p } \left( \ensuremath { \mathcal I } \left( \left( D _ { N } ^ { Z } \right) _ { p } \right) \right) \geq } & { \mathbb { P } _ { p } \left( \ensuremath { \mathcal I } \left( D \left[ 1 / ( B p ^ { \alpha } ) \right] \right) \right) \prod _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \mathbb { P } _ { p } \left( \mathcal { I } \left( \left( D _ { n } ^ { Z } \right) _ { p } , \left( D _ { n + 1 } ^ { Z } \right) _ { p } \right) \right) } \\ { \geq } & { \exp \left( - \varepsilon / p ^ { \alpha } \right) \prod _ { n = 0 } ^ { N - 1 } p ^ { - C } \exp \left( - ( 1 + \varepsilon ) \frac { W _ { p } ( ( D _ { n } ^ { Z } ) _ { p } , ( D _ { n + 1 } ^ { Z } ) _ { p } ) } { p ^ { \alpha } } \right) } \\ { \ge } & { \exp ( - 2 \varepsilon / p ^ { \alpha } ) \prod _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \exp \left( - ( 1 + \varepsilon ) ^ { 2 } \frac { W ( D _ { n } ^ { Z } , D _ { n + 1 } ^ { Z } ) } { p ^ { \alpha } } \right) } \\ { \geq } & { \exp \left( - \frac { 2 \varepsilon + ( 1 + \varepsilon ) ^ { 2 } ( 2 \lambda + \varepsilon ) } { p ^ { \alpha } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta ^ { 2 } \phi _ { i j } \Delta x ^ { 2 } } & { = \frac { E I \omega ( r _ { i j } ) ( \Delta x ) ^ { 2 } } { r _ { i j } ^ { 4 } \int _ { 0 } ^ { \delta } \omega ( x ) d x } ( \delta u _ { j } + \delta u _ { j ^ { \prime } } - 2 \delta u _ { i } ) ^ { 2 } } \\ & { = \left( \begin{array} { l } { \delta u _ { i } } \\ { \delta u _ { j } } \\ { \delta u _ { j ^ { \prime } } } \end{array} \right) ^ { T } \underbrace { ( \frac { E I \omega ( r _ { i j } ) ( \Delta x ) ^ { 2 } } { r _ { i j } ^ { 4 } \int _ { 0 } ^ { \delta } \omega ( x ) d x } ) \left( \begin{array} { l l l } { 4 } & { - 2 } & { - 2 } \\ { - 2 } & { 1 } & { 1 } \\ { - 2 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right) } _ { K _ { i j j ^ { \prime } } } \left( \begin{array} { l } { \delta u _ { i } } \\ { \delta u _ { j } } \\ { \delta u _ { j ^ { \prime } } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \delta _ { g } ^ { ( 2 ) \omega } ( W ) - W \| _ { 1 } } & { = \Big \| \sum _ { s \in S } \delta _ { g s } ^ { ( 2 ) \omega } ( U ) \delta _ { g } ^ { ( 2 ) \omega } ( E _ { s } ) - \sum _ { s \in g ^ { - 1 } S } \delta _ { g s } ^ { ( 2 ) \omega } ( U ) E _ { g s } \Big \| _ { 1 } } \\ & { \leq \sum _ { s \in S \cap g ^ { - 1 } S } \left\| \delta _ { g s } ^ { ( 2 ) \omega } ( U ) ( \delta _ { g } ^ { ( 2 ) \omega } ( E _ { s } ) - E _ { g s } ) \right\| _ { 1 } } \\ & { \qquad + \sum _ { s \in S \setminus g ^ { - 1 } S } \| \delta _ { s } ^ { ( 2 ) \omega } ( U ) E _ { s } \| _ { 1 } + \sum _ { s \in S \setminus g S } \| \delta _ { s } ^ { ( 2 ) \omega } ( U ) E _ { s } \| _ { 1 } } \\ & { < 1 0 \varepsilon ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { A _ { \mathrm { W } } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) = A _ { \mathrm { W } } ^ { ( 0 ) } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) + \hbar ^ { 2 } A _ { \mathrm { W } } ^ { ( 2 ) } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) + O ( \hbar ^ { 4 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } _ { 0 , y } \operatorname* { s u p } _ { t \leq \tau ^ { \varepsilon } } | A _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } | } & { \leq \mathbf { E } _ { 0 , y } \int _ { 0 } ^ { \tau ^ { \varepsilon } } \Big ( | \partial _ { x } b ^ { 0 } ( s ) X _ { s } ^ { \varepsilon } | + \sum _ { i = 1 } ^ { n } | \partial _ { y ^ { i } } b ^ { 0 } ( s ) \cdot ( Y _ { s } ^ { \varepsilon , i } - y ^ { i } ) | + | \varphi ^ { \varepsilon , 0 } ( X _ { s } ^ { \varepsilon } , Y _ { s } ^ { \varepsilon } ) | \Big ) \, \mathrm { d } s } \\ & { \leq C \mathbf { E } _ { 0 , y } \tau ^ { \varepsilon } \Big ( \varepsilon + \operatorname* { s u p } _ { t \leq \tau ^ { \varepsilon } } | Y _ { t } ^ { \varepsilon } - y | \Big ) } \\ & { \leq C \varepsilon \mathbf { E } _ { 0 , y } \tau ^ { \varepsilon } + \Big ( \mathbf { E } _ { 0 , y } | \tau ^ { \varepsilon } | ^ { 2 } \cdot \mathbf { E } _ { 0 , y } \operatorname* { s u p } _ { t \leq \tau ^ { \varepsilon } } | Y _ { t } ^ { \varepsilon } - y | ^ { 2 } \Big ) ^ { 1 / 2 } \lesssim \varepsilon ^ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f _ { 2 } } & { = } & { - 6 \left( b _ { 1 } ^ { 2 } + 6 b _ { 1 } b _ { 2 } - 4 b _ { 2 } ^ { 2 } \right) , } \\ { f _ { 3 } } & { = } & { 3 6 \sqrt { 3 } \left( b _ { 1 } ^ { 3 } - b _ { 1 } ^ { 2 } b _ { 2 } - 4 b _ { 1 } b _ { 2 } ^ { 2 } + 4 b _ { 2 } ^ { 3 } \right) , } \\ { f _ { 4 } } & { = } & { 3 2 4 b _ { 1 } ^ { 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Bar { \mathcal { L } } ^ { r } V _ { \alpha } ( x ) } & { \le - 2 \alpha V _ { \alpha } ( x ) \left\langle \nabla \Bar { U } _ { r } ( x ) , x \right\rangle + 2 ( \alpha / \beta ) V _ { \alpha } ( x ) \left( 2 \alpha \left| x \right| ^ { 2 } + d \right) } \\ & { \le 2 \alpha V _ { \alpha } ( x ) \left( \left( - \Bar { m } \left| x \right| ^ { 2 } + \Bar { b } \right) + \left( 2 \alpha \left| x \right| ^ { 2 } + d \right) / \beta \right) } \\ & { = 2 \alpha V _ { \alpha } ( x ) \left( \left( 2 \alpha / \beta - \Bar { m } \right) \left| x \right| ^ { 2 } + \Bar { b } + d / \beta \right) . } \end{array}
\boxed { \begin{array} { r l } & { f _ { j m \lambda } ( k ) = - \sqrt { \frac { \epsilon _ { 0 } } { c \hbar } } \frac { \sqrt { 2 \pi } ( - i ) ^ { j } } { k ^ { 2 } } \big ( a _ { j m } ( k ) + \lambda b _ { j m } ( k ) \big ) } \\ & { h _ { j m \lambda } ( k ) = - \sqrt { \frac { \epsilon _ { 0 } } { c \hbar } } \frac { \sqrt { 2 \pi } ( - i ) ^ { j } } { k ^ { 2 } } \big ( \rho _ { j m } ( k ) + \lambda \mu _ { j m } ( k ) \big ) . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \lvert E _ { S _ { p , q ; 4 } } ( T _ { v } ) \rvert } & { = \lvert E _ { G ^ { \prime } } ( T _ { v } ) \rvert + \lvert E _ { G ^ { \prime } } ( T _ { v _ { t } } ) \rvert - ( \lvert E _ { G ^ { \prime } } ( T _ { w } ) \rvert + 1 ) } \\ & { > \lvert E _ { G ^ { \prime } } ( T _ { v _ { t } } ) \rvert - ( \lvert E _ { G ^ { \prime } } ( T _ { w } ) \rvert + 1 ) , } \end{array}
\gamma _ { 1 } ( 0 ) = \mathrm { \boldmath ~ x ~ } , \quad \dot { \gamma } _ { 1 } ( 0 ) = \mathrm { \boldmath ~ v ~ } \in T _ { \mathrm { \boldmath ~ x ~ } } \mathcal { M } , \quad \gamma _ { 2 } ( 0 ) = \mathrm { \boldmath ~ y ~ } , \quad \dot { \gamma } _ { 2 } ( 0 ) = \mathrm { \boldmath ~ w ~ } \in T _ { \mathrm { \boldmath ~ y ~ } } \mathcal { M } .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { M _ { \kappa , \mu } ( z ) } & { = \frac { \sqrt { \pi } \, \Gamma ( 2 \mu + 1 ) } { 2 ^ { \mu } \, \Gamma ( \frac { 1 } { 2 } ( \mu + \kappa + \frac { 1 } { 2 } ) ) \, \Gamma ( \frac { 1 } { 2 } ( \mu - \kappa + \frac { 1 } { 2 } ) ) } } \\ & { \qquad \times \sqrt { z } \, \int _ { 0 } ^ { 1 } \xi ^ { \frac { - \kappa + 1 / 2 } { 2 } - 1 } ( 1 - \xi ) ^ { \frac { \kappa + 1 / 2 } { 2 } - 1 } \, \mathrm { e } ^ { ( \xi - 1 / 2 ) z } \, J _ { \mu } ( \sqrt { \xi ( 1 - \xi ) } z ) \, \mathrm { d } \xi \ , } \end{array} } \end{array}
\frac { A } { v _ { 1 } } = \frac { E k _ { \operatorname { I } } } { E ^ { 2 } - m ^ { 2 } } , \quad \frac { A ^ { \prime } } { v _ { 1 } } = \frac { ( E - U _ { 0 } ) k _ { \operatorname { I I } } } { ( E - U _ { 0 } ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } } , \quad \frac { B } { v _ { 2 } } = \frac { m k _ { y } } { E ^ { 2 } - m ^ { 2 } } , \quad \frac { B ^ { \prime } } { v _ { 2 } } = \frac { m k _ { y } } { ( E - U _ { 0 } ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \frac { \hat { H } _ { | I | + 1 } ^ { ( g ) } ( x ( v ) ; z ; I ) } { H _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( x ( v ) ; z ) } } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { | I | } \frac { \lambda } { ( x ( v ) - x ( u _ { j } ) ) } \frac { \hat { U } ^ { ( g ) } ( z , u _ { j } ; I \setminus u _ { j } ) } { H _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( x ( u _ { j } ) ; z ) } + \mathcal { O } ( ( x ( v ) - x ( u _ { j } ) ) ^ { 0 } ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { e } _ { 1 } } & { = { \cfrac { \partial q ^ { 1 } } { \partial x _ { 1 } } } \mathbf { b } _ { 1 } + { \cfrac { \partial q ^ { 2 } } { \partial x _ { 1 } } } \mathbf { b } _ { 2 } + { \cfrac { \partial q ^ { 3 } } { \partial x _ { 1 } } } \mathbf { b } _ { 3 } } \\ { \mathbf { e } _ { 2 } } & { = { \cfrac { \partial q ^ { 1 } } { \partial x _ { 2 } } } \mathbf { b } _ { 1 } + { \cfrac { \partial q ^ { 2 } } { \partial x _ { 2 } } } \mathbf { b } _ { 2 } + { \cfrac { \partial q ^ { 3 } } { \partial x _ { 2 } } } \mathbf { b } _ { 3 } } \\ { \mathbf { e } _ { 3 } } & { = { \cfrac { \partial q ^ { 1 } } { \partial x _ { 3 } } } \mathbf { b } _ { 1 } + { \cfrac { \partial q ^ { 2 } } { \partial x _ { 3 } } } \mathbf { b } _ { 2 } + { \cfrac { \partial q ^ { 3 } } { \partial x _ { 3 } } } \mathbf { b } _ { 3 } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { | F _ { s , j } ( { \bf x } , { \bf s } , c , c _ { t _ { 0 } } ^ ) - F _ { s , j } ( \tilde { \bf x } , \tilde { \bf s } , \tilde { c } , \tilde { c } _ { t _ { 0 } } ^ ) | \leq \lambda _ { s , j } \left[ \sum _ { k = 1 } ^ { n } | x _ { k } ^ - \tilde { x } _ { k } ^ | + \sum _ { k = 1 } ^ { m } | s _ { k } ^ - \tilde { s } _ { k } ^ | + | c - \tilde { c } | + | c _ { t _ { 0 } } ^ - \tilde { c } _ { t _ { 0 } } ^ | \right] , } \\ & { \ j = 1 , . . . m , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } _ { s } } & { = \Bigm \{ R _ { s } : \mathcal { A } \to \mathbb { R } \Bigm | \lVert R _ { s } \rVert _ { p } \leq \alpha _ { s } \Bigm \} , \quad \mathrm { a n d } } \\ { \mathcal { P } _ { s } } & { = \Bigm \{ P _ { s } : \mathcal { S } \times \mathcal { A } \to \mathbb { R } \Bigm | \lVert P _ { s } \rVert _ { p } \leq \beta _ { s } , \sum _ { s ^ { \prime } } P _ { s } ( s ^ { \prime } , a ) = 0 , \forall a \Bigm \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( [ v , w ] ) } & { = \frac { 1 } { ( 1 - \lambda ) } \cdot \frac { 1 } { ( \deg w - 1 ) } \cdot \left( \sum _ { [ v , w ] \rightarrow [ w , z ] } f ( [ w , z ] ) \right) } \\ & { = - f ( [ w , v ] ) } \\ & { = - \frac { 1 } { ( 1 - \lambda ) } \cdot \frac { 1 } { ( \deg v - 1 ) } \cdot \left( \sum _ { [ w , v ] \rightarrow [ v , y ] } f ( [ v , y ] ) \right) } \\ & { = \frac { 1 } { ( 1 - \lambda ) } \cdot \frac { 1 } { ( \deg v - 1 ) } \cdot \left( \sum _ { [ y , v ] \rightarrow [ v , w ] } f ( [ y , v ] ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ^ { - } ( x ^ { - } ) } & { = \int _ { a } ^ { 0 } \mathcal { H } ^ { - } ( x ^ { - } ( z ) ) \, d z = \frac { 1 } { 2 } \langle x ^ { - } , \mathcal { Q } ^ { - } x ^ { - } \rangle _ { L ^ { 2 } ( a , 0 ) } , \quad x ^ { - } \in X ^ { - } = L ^ { 2 } ( ( a , 0 ) , \mathbb { R } ^ { 2 } ) , } \\ { H ^ { + } ( x ^ { + } ) } & { = \int _ { 0 } ^ { b } \mathcal { H } ^ { + } ( x ^ { + } ( z ) ) \, d z = \frac { 1 } { 2 } \langle x ^ { + } , \mathcal { Q } ^ { + } x ^ { + } \rangle _ { L ^ { 2 } ( 0 , b ) } , \quad x ^ { + } \in X ^ { + } = L ^ { 2 } ( ( 0 , b ) , \mathbb { R } ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { j = 1 } ^ { 2 g + 1 } t ^ { j } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { 2 g + 1 } c _ { i } \tilde { \tau } _ { \zeta _ { i } } ^ { \mathrm { a d j } } \right) } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { 2 g + 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 g + 1 } c _ { i } \tilde { \tau } _ { t ^ { j } ( \zeta _ { i } ) } ^ { \mathrm { a d j } } } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { 2 g + 1 } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { 2 g + 1 } c _ { i } \right) \tilde { \tau } _ { \zeta _ { j } } ^ { \mathrm { a d j } } } \\ & { = \left( \sum _ { i = 1 } ^ { 2 g + 1 } c _ { i } \right) \sum _ { j = 1 } ^ { 2 g + 1 } \tilde { \tau } _ { \zeta _ { j } } ^ { \mathrm { a d j } } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { e _ { s ^ { \{ S \} } } ^ { T } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { n _ { \Omega } - 1 } \Omega ^ { \{ k \} } \frac { 1 } { ( k + 1 ) ( k + 3 ) } \right) c ^ { \{ S \} } } & { = \frac 1 8 , } \\ { e _ { s ^ { \{ S \} } } ^ { T } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { n _ { \Omega } - 1 } \Omega ^ { \{ k \} } \frac { 1 } { ( k + 1 ) ( k + 2 ) } \right) C ^ { \{ S \} } c ^ { \{ S \} } } & { = \frac { 1 } { 1 2 } , } \\ { e _ { s ^ { \{ S \} } } ^ { T } \Gamma C ^ { \{ S \} } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { n _ { \Omega } - 1 } \Omega ^ { \{ k \} } \frac { 1 } { ( k + 1 ) ( k + 2 ) } \right) c ^ { \{ S \} } } & { = 0 , } \\ { e _ { s ^ { \{ S \} } } ^ { T } \overline { { \Omega } } C ^ { \{ S \} } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { n _ { \Omega } - 1 } \Omega ^ { \{ k \} } \frac { 1 } { ( k + 1 ) ( k + 2 ) } \right) c ^ { \{ S \} } } & { = \frac { 1 } { 2 4 } , } \\ { e _ { s ^ { \{ S \} } } ^ { T } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { n _ { \Omega } - 1 } \Omega ^ { \{ k \} } \frac { 1 } { ( k + 1 ) ( k + 2 ) } \right) \overline { { \Omega } } c ^ { \{ S \} } } & { = \frac { 1 } { 2 4 } , } \\ { e _ { s ^ { \{ S \} } } ^ { T } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { n _ { \Omega } - 1 } \Omega ^ { \{ k \} } \frac { 1 } { ( k + 1 ) ( k + 2 ) } \right) \Gamma c ^ { \{ S \} } } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal W _ { 2 } } & { ( f _ { t } , \delta _ { \bar { v } } ) ^ { 2 } } \\ & { = \int | v - \bar { v } | ^ { 2 } \mathrm d f _ { t } = \int | v - \bar { v } | ^ { 2 } \mathrm d f _ { 0 } + \int _ { 0 } ^ { t } \int | v - \bar { v } | ^ { 2 } \partial _ { s } f _ { s } \mathrm d z \mathrm d s } \\ & { = \int | v - \bar { v } | ^ { 2 } \mathrm d f _ { 0 } - \int _ { 0 } ^ { t } \int | v - \bar { v } | ^ { 2 } \cdot \nabla _ { ( r , v ) } \cdot \left( f \ast \left( \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { I } \\ { - I } & { 0 } \end{array} \right) - \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \psi ( r ) } \end{array} \right) \right) \left( \begin{array} { l } { \nabla \mathcal V ( r ) } \\ { v } \end{array} \right) \right) \mathrm d f _ { s } \mathrm d s } \\ & { = \int | v - \bar { v } | ^ { 2 } \mathrm d f _ { 0 } - 2 \int _ { 0 } ^ { t } \int ( f \ast v ) ( f \ast ( \psi ( r ) v + f \ast \nabla \mathcal V ( r ) ) ) \mathrm d f _ { s } \mathrm d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { H } _ { n } ^ { 0 } ( x , z ^ { n } ) = - c _ { n } ^ { 0 } \cdot x + ( A _ { 0 } x ) \cdot z ^ { n } \; , } \\ & { \mathcal { H } _ { n } ^ { \mathrm { m } } ( z ^ { n } ) = \operatorname* { s u p } _ { \alpha ^ { n } } - c _ { n } ^ { \mathrm { m } } ( \alpha ) + \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N } A _ { j } \alpha ^ { j } \right) \cdot z ^ { n } \; , } \\ & { \mathcal { H } _ { n } ^ { \mathrm { v } } ( \gamma ^ { n } ) = \operatorname* { s u p } _ { \beta ^ { n } } - c _ { n } ^ { \mathrm { v } } ( \beta ) + \frac 1 2 \mathrm { T r } \left[ ( \bar { \beta } \bar { \beta } ^ { \top } ) \gamma ^ { n } \right] \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \mathbb { E } [ f ( X _ { n } ) ] - \mu _ { \infty } ( f ) | } & { \stackrel { , } { = } \Big | \int _ { \mathcal { M } } ( K ^ { n } f - \mu _ { \infty } ( f ) ) \, \mathrm { d } \mu _ { 0 } \Big | } \\ & { \stackrel { \le } \sigma ^ { n } \| f - \mu _ { \infty } ( f ) \| _ { V } \int _ { \mathcal { M } } ( 1 + V ( x ) ) \, \mathrm { d } \mu _ { 0 } , } \end{array}
\kappa = \frac { \vert \vert \sqrt { \frac { \eta _ { k + 1 } - \eta _ { k } } { ( \eta _ { k + 1 } - \eta _ { k - 1 } ) ( \eta _ { k } - \eta _ { k - 1 } ) } } \sum _ { i = \eta _ { k - 1 } + 1 } ^ { \eta _ { k } } f _ { i } - \sqrt { \frac { ( \eta _ { k } - \eta _ { k - 1 } ) } { ( \eta _ { k + 1 } - \eta _ { k - 1 } ) ( \eta _ { k + 1 } - \eta } _ { k } ) } \sum _ { i = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k + 1 } } f _ { i } \vert \vert _ { L _ { 2 } } } { \sqrt { \frac { ( \eta _ { k } - \eta _ { k - 1 } ) ( \eta _ { k + 1 } - \eta _ { k } ) } { \eta _ { k + 1 } - \eta _ { k - 1 } } } }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial M _ { i } } { \partial t } + \frac { \partial F _ { i \alpha } } { \partial x _ { \alpha } } } & { = \frac { \Tilde { M } _ { i } - M _ { i } } { \tau } ; i = 0 , \cdots , M ; \alpha = 1 , 2 , 3 } \\ { M _ { i } ( t , \mathbf { x } ) } & { = \int \phi _ { i } ( \mathbf { u } ) f _ { \boldsymbol { \beta } } ( \mathbf { u } ; \boldsymbol { \beta } ( t , \mathbf { x } ) ) d ^ { 3 } \mathbf { u } } \\ { F _ { i \alpha } ( t , \mathbf { x } ) } & { = \int u _ { \alpha } \phi _ { i } ( \mathbf { u } ) f _ { \boldsymbol { \beta } } ( \mathbf { u } ; \boldsymbol { \beta } ( t , \mathbf { x } ) ) d ^ { 3 } \mathbf { u } } \\ { \Tilde { M } _ { i } ( t , \mathbf { x } ) } & { = \int \phi _ { i } ( \mathbf { u } ) \Tilde { f } ( t , \mathbf { x } , \mathbf { u } ) d ^ { 3 } \mathbf { u } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } i ( G ^ { \ast } F - G F ^ { \ast } ) } \\ & { = - 2 \sum _ { m , n } ( \left\vert A _ { m - l } \right\vert \left\vert A _ { m + n + l } ^ { \ast } \right\vert \sin ( n ( \phi + \Omega t ) + \varphi _ { n } ^ { - l } ) } \\ & { + \left\vert A _ { m + l } \right\vert \left\vert A _ { m + n - l } ^ { \ast } \right\vert \sin ( n ( \phi + \Omega t ) + \varphi _ { n } ^ { l } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { + } } & { = \frac { 1 } { 2 } \int d \mathbf { k } z _ { + } ^ { * } \left( \mathbf { k } \right) z _ { + } \left( \mathbf { k } \right) , } \\ { P _ { + } } & { = \frac { 1 } { 2 } \int d \mathbf { k } N ^ { - 1 } K z _ { + } ^ { * } \left( \mathbf { k } \right) z _ { + } \left( \mathbf { k } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\| e ^ { [ k + 1 ] } \right\| _ { m + \alpha / 2 } } \\ { = } & { \left\| S _ { \tau } ( \varphi ^ { [ k ] } ) - S _ { \tau } ( \varphi ( t _ { k } ) ) + S _ { \tau } ( \varphi ( t _ { k } ) ) - S _ { e , \tau } ( \varphi ( t _ { k } ) ) \right\| _ { m + \alpha / 2 } } \\ { \leq } & { \left\| e ^ { [ k ] } \right\| _ { m + \alpha / 2 } + \frac { \varepsilon ^ { 2 } \tau } { 2 } L _ { 1 } \left\| e ^ { [ k ] } \right\| _ { m + \alpha / 2 } + \frac { \varepsilon ^ { 2 } \tau } { 2 } L _ { 2 } \left\| e ^ { [ k + 1 ] } \right\| _ { m + \alpha / 2 } + K _ { 0 } \varepsilon ^ { 2 } \tau ^ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { h , \xi , \delta } ( \eta ) } & { = \biggl ( t _ { l } ^ { \frac { d a _ { 1 } - a _ { 2 } } { d - 1 } } - t _ { l ^ { \prime } } ^ { \frac { d a _ { 1 } - a _ { 2 } } { d - 1 } } \biggl ) \biggl [ ( d - 1 ) \xi _ { 2 } \biggl ( - \frac { \xi _ { 1 } } { d \xi _ { 2 } } \biggl ) ^ { \frac { d } { d - 1 } } + \frac { 2 ^ { - 2 h - 1 } \xi _ { 2 } } { d ( d - 1 ) } \biggl ( - \frac { \xi _ { 1 } } { d \xi _ { 2 } } \biggl ) ^ { \frac { 2 - d } { d - 1 } } \biggl ( \frac { \eta _ { 1 } ^ { 2 } } { \eta _ { 2 } } + \frac { \eta _ { 1 } ^ { 2 } } { 1 - \eta _ { 2 } } \biggl ) \biggl ] } \\ & { - ( t _ { l } ^ { \frac { ( a _ { 1 } - a _ { 2 } ) ( m + d ) } { d - 1 } + a _ { 2 } } - t _ { l ^ { \prime } } ^ { \frac { ( a _ { 1 } - a _ { 2 } ) ( m + d ) } { d - 1 } + a _ { 2 } } ) \frac { \delta ^ { m } \phi ^ { m } ( 0 ) } { m ! } \xi _ { 2 } \biggl [ \biggl ( \frac { \xi _ { 1 } } { - d \xi _ { 2 } } \biggl ) ^ { \frac { d + m } { d - 1 } } + \biggl ( \frac { \xi _ { 1 } } { - d \xi _ { 2 } } \biggl ) ^ { \frac { m - d + 2 } { d - 1 } } 2 ^ { - 2 h - 1 } } \\ & { \times \frac { ( m + 1 ) ( m + 2 - d ) } { d ^ { 2 } ( d - 1 ) ^ { 2 } } \biggl ( \frac { \eta _ { 1 } ^ { 2 } } { 1 - \eta _ { 2 } } + \frac { \eta _ { 1 } ^ { 2 } } { \eta _ { 2 } } \biggl ) \biggl ] + 2 ^ { - 3 h } \xi _ { 2 } R _ { t _ { l } , t _ { l ^ { \prime } } } ( \xi , \eta , \delta ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \int _ { \Omega } ( \underline { { S } } ^ { D } \underline { { \sigma } } - \underline { { g } } ^ { T } \vec { D } ) : \delta \underline { { \sigma } } \, d \Omega + \langle \underline { { \varepsilon } } ( \vec { u } ) , \delta \sigma \rangle } & { = \ 0 , } \\ { - \int _ { \Omega } ( \underline { { g } } \underline { { \sigma } } + ( \underline { { \epsilon } } ^ { \sigma } ) ^ { - 1 } \vec { D } ) \cdot \delta \vec { D } \, d \Omega + \int _ { \Omega } \nabla \phi \cdot \delta \vec { D } \, d \Omega } & { = \ 0 , } \\ { \langle \delta \underline { { \epsilon } } , \underline { { \sigma } } \rangle } & { = \int _ { \Omega } \vec { f } \cdot \delta \vec { u } \, d \Omega + \int _ { \Gamma _ { 2 } } \vec { t } _ { n t } \cdot \delta \vec { u } _ { t } \, d \Gamma , } \\ { - \int _ { \Omega } \operatorname { d i v } \vec { D } \, \delta \phi \, d \Omega } & { = \ 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } ^ { ( 2 ) } \subseteq \{ \mathcal { A } \vert } & { \mathcal { A } = \mathcal { A } _ { j } \cup ( \mathcal { A } _ { l } \oplus \{ q _ { 0 } \} ) , \mathcal { A } _ { j } \in \mathcal { P } ( \mathcal { Q } _ { 0 } ) , } \\ & { \mathcal { A } _ { l } \not \subseteq \{ 1 , . . . , ( N - 1 ) q _ { 0 } \} , \mathcal { A } _ { l } \in \mathcal { S } _ { N } ^ { \mathrm { r e d } } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { j _ { + + } ^ { g _ { + + } } [ v ] : = } & { \: \frac { 1 } { 2 } g _ { + + } | v ^ { \prime } | ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } g _ { + + } V _ { q , \varpi } | v | ^ { 2 } , \qquad \textnormal { w i t h } } \\ { \left( j _ { + + } ^ { g _ { + + } } [ v ] \right) ^ { \prime } : = } & { \: \frac { 1 } { 2 } g _ { + + } ^ { \prime } | v ^ { \prime } | ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \left( g _ { + + } V _ { q , \varpi } \right) ^ { \prime } | v | ^ { 2 } - \frac { \Delta g _ { + + } } { r ^ { 2 } + a ^ { 2 } } \left[ \frac { d ^ { 2 } \Delta } { d r ^ { 2 } } ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { - 1 } - 2 r \frac { d \Delta } { d r } ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { - 2 } \right] \Re ( i q v \frac { d \overline { { v } } } { d r } ) } \\ & { + \Re ( g _ { + + } v ^ { \prime } e ^ { - i ( \widetilde { \omega } + \varpi ) r _ { * } } \Delta ^ { - i q } \overline { { H } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { N _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 } \cdot \frac { \log \big ( \frac { \| Q _ { N } - P ^ { * } \| _ { * } \cdot \kappa _ { P ^ { * } } \cdot \| A _ { K } ^ { * } \| \cdot \| B \| } { \epsilon \cdot \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( R ) } \big ) } { \log \big ( \frac { 1 } { \| A _ { K } ^ { * } \| _ { * } } \big ) } + 1 . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { \tilde { y } _ { i } ( \alpha _ { 1 } ) = \tilde { \omega } + \tilde { a } _ { i , 1 } \alpha _ { 1 } + \cdots + \tilde { a } _ { i , d - 1 } \alpha _ { 1 } ^ { d - 1 } } \\ { \vdots } \\ { \tilde { y } _ { i } ( \alpha _ { d - 1 } ) = \tilde { \omega } + \tilde { a } _ { i , 1 } \alpha _ { d - 1 } + \cdots + \tilde { a } _ { i , d - 1 } \alpha _ { d - 1 } ^ { d - 1 } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \lefteqn w _ { P I } \left( | \vec { E } | , \omega _ { 0 } , I _ { p } \right) = \frac { 4 \omega _ { 0 } } { 9 \pi } \left( \frac { \omega _ { 0 } m _ { e } ^ { * } } { \hbar \gamma _ { 1 } } \right) ^ { 3 / 2 } Q ( \gamma , x ) } \\ { \times \exp \left[ - \pi \cdot \mathrm { I n t } ( x + 1 ) \frac { K ( \gamma _ { 1 } ) - M ( \gamma _ { 1 } ) } { M ( \gamma _ { 2 } ) } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { | \mathrm { d i v } P | ^ { 2 } } { n - 1 } \, } & { \leq \, \sum _ { k = 1 } ^ { 2 } \left[ E _ { k } ( u ) ^ { 2 } + \sum _ { i = 3 } ^ { n } \langle E _ { i } \, | \, [ E _ { i } , E _ { k } ] \rangle ^ { 2 } u ^ { 2 } \right] + \frac { 2 } { n - 1 } \sum _ { i = 3 } ^ { n } \left[ \langle \nabla _ { E _ { 1 } } E _ { i } \, | \, E _ { 2 } \rangle ^ { 2 } + \langle \nabla _ { E _ { 2 } } E _ { i } \, | \, E _ { 1 } \rangle ^ { 2 } \right] u ^ { 2 } } \\ & { \leq \, \sum _ { k = 1 } ^ { 2 } \left[ E _ { k } ( u ) ^ { 2 } + \sum _ { i = 3 } ^ { n } \langle E _ { i } \, | \, [ E _ { i } , E _ { k } ] \rangle ^ { 2 } u ^ { 2 } \right] + \sum _ { i = 3 } ^ { n } \left[ \langle \nabla _ { E _ { 1 } } E _ { i } \, | \, E _ { 2 } \rangle ^ { 2 } + \langle \nabla _ { E _ { 2 } } E _ { i } \, | \, E _ { 1 } \rangle ^ { 2 } \right] u ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( t , X ) } & { = \frac { 1 } { Z \sqrt { 2 \pi } \sigma } \int \mathrm { e x p } \Big ( - \frac { \| X - X _ { 0 } e ^ { - \frac { t } { 2 } } \| ^ { 2 } } { 2 ( 1 - e ^ { - t } ) } \Big ) \mathrm { e x p } \big ( - \frac { \| X _ { 0 } - \mu \| ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \big ) d X _ { 0 } } \\ & { = \frac { 1 } { Z \sqrt { 2 \pi } \sigma } \int e ^ { - L ( t , X , X _ { 0 } ) } d X _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { L ^ { T } J L } & { = \left( \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left[ \begin{array} { l l } { I } & { - I } \\ { I } & { I } \end{array} \right] \right) ^ { T } \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { I } \\ { - I } & { 0 } \end{array} \right] \left( \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left[ \begin{array} { l l } { I } & { - I } \\ { I } & { I } \end{array} \right] \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left[ \begin{array} { l l } { I } & { I } \\ { - I } & { I } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { I } \\ { - I } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { I } & { - I } \\ { I } & { I } \end{array} \right] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left[ \begin{array} { l l } { - I } & { I } \\ { - I } & { - I } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { I } & { - I } \\ { I } & { I } \end{array} \right] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 2 I } \\ { - 2 I } & { 0 } \end{array} \right] = J , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \operatorname* { l i m } _ { N \to 0 } U ( \sigma ) = \frac { 1 } { \sigma } e ^ { \frac { 1 } { 2 } \sigma ^ { 2 } } \oint \frac { d u } { 2 i \pi } e ^ { u \sigma } \mathrm { l o g } ( 1 + \frac { \sigma } { u } ) } \\ & { } & { = \frac { 1 } { \sigma } e ^ { \frac { 1 } { 2 } \sigma ^ { 2 } } \int _ { - \sigma } ^ { 0 } d u e ^ { u \sigma } = \frac { \mathrm { s i n h } ( \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } ) } { ( \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { \nu } ( z ) } & { = \sum _ { m \ge 0 } \frac { \left( \frac { z } { 2 } \right) ^ { 2 m + \nu + 1 } } { \Gamma \left( m + \frac { 3 } { 2 } \right) \Gamma \left( m + \nu + \frac { 3 } { 2 } \right) } \, , } \\ { I _ { \nu } ( z ) } & { = \sum _ { m \ge 0 } \frac { \left( \frac { z } { 2 } \right) ^ { 2 m + \nu } } { \Gamma \left( m + 1 \right) \Gamma \left( m + \nu + 1 \right) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \| w \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } + \nu \| \Delta w \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \mu \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left\| w \right\| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } \chi _ { n , \tau } } \\ & { = ( B ( w , u ) , \Delta w ) _ { L ^ { 2 } } + ( B ( u , w ) , \Delta w ) _ { L ^ { 2 } } - \mu \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( w - I _ { h , \kappa } ( w ) , \Delta w ) _ { L ^ { 2 } } \chi _ { S _ { \tau } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta } & { = | \ln ( \frac { \gamma ^ { \varepsilon } ( \hat { T } _ { \varepsilon } ) } { \beta _ { i n } } ) | } \\ & { \leq \int _ { 0 } ^ { \hat { T } _ { \varepsilon } } | \frac { \dot { \gamma } ^ { \varepsilon } ( t ) } { \gamma ^ { \varepsilon } ( t ) } | d t } \\ & { \lesssim \int _ { 0 } ^ { \hat { T } _ { \varepsilon } } 1 + \sqrt { { \mathscr D } _ { - , 2 } ^ { \varepsilon } } d t } \\ & { \leq \hat { T } _ { \varepsilon } + \hat { T } _ { \varepsilon } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \int _ { 0 } ^ { T _ { \varepsilon } } { \mathscr D } _ { - , 2 } ^ { \varepsilon } d t \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( \left\{ \bar { A } _ { j } ( T ) \right\} ^ { - \omega } \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \omega + \frac { 2 } { \gamma - 1 } } d x \right) ^ { \theta + 1 } } \\ & { = \left( \frac { \displaystyle { \left\{ \bar { A } _ { j } ( T ) \right\} ^ { - \omega } \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \omega + \frac { 2 } { \gamma - 1 } } d x } } { \displaystyle { \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { \gamma + 1 } { \gamma - 1 } \omega } d x } } \right) ^ { \theta + 1 } } \\ & { \quad \times \left( \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { \gamma + 1 } { \gamma - 1 } \omega } d x \right) ^ { \theta + 1 } } \\ & { = \left( \frac { \displaystyle { \left\{ \bar { A } _ { j } ( T ) \right\} ^ { - \omega } \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \omega + \frac { 2 } { \gamma - 1 } } d x } } { \displaystyle { \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { \gamma + 1 } { \gamma - 1 } \omega } d x } } \right) ^ { \theta + 1 } } \\ & { \quad \times \left( \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { \gamma + 1 } { \gamma - 1 } \omega } d x \right) } \\ & { \quad \times \left( \left\{ \bar { A } _ { j } ( T ) \right\} ^ { \frac { \gamma + 1 } { 2 } \omega } + \frac { \gamma + 1 } { 2 } \omega \left\{ \bar { A } _ { j } ( T ) \right\} ^ { \frac { \gamma + 1 } { 2 } \omega - 1 } \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } r ( x , T ) d x + o ( { \varDelta } x ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } } \left[ \psi _ { \gamma , x } ( \sigma ) - \psi _ { \gamma , x } ( 1 ) \right] ^ { 2 } \mathrm { d } x } & { = ( 1 - \sigma ) ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { - 1 / \gamma } \left[ \psi _ { \gamma , x } ^ { \prime } ( \varsigma ( x ) ) \right] ^ { 2 } \mathrm { d } x + ( 1 - 1 / \sigma ) ^ { - 1 / \gamma } } \\ & { \leq ( 1 - \sigma ) ^ { 2 } \left[ \frac { 1 } { \zeta ( - \gamma ) } \left( \frac { 1 } { \gamma ^ { 2 } } + 1 \right) ^ { 2 } + 1 \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 } & { \ge \sum _ { \phi : \ \vert \phi ^ { - 1 } ( 0 ) \vert \ge \kappa N } \ \sum _ { A \subset \phi ^ { - 1 } ( 0 ) } { \ensuremath { \mathbb P } } _ { N } ^ { \beta , h } ( U _ { A } \phi ) } \\ & { \ge \sum _ { \phi : \ \vert \phi ^ { - 1 } ( 0 ) \vert \ge \kappa N } e ^ { - 4 \beta N - h \vert \phi ^ { - 1 } ( 0 ) \vert } \left( 1 + e ^ { - ( 4 \beta - h ) } \right) ^ { \vert \phi ^ { - 1 } ( 0 ) \vert } { \ensuremath { \mathbb P } } _ { N } ^ { \beta , h } \left( \phi \right) } \\ & { \ge e ^ { - 4 \beta N } \left( e ^ { - h } + e ^ { - 4 \beta } \right) ^ { \kappa N } { \ensuremath { \mathbb P } } _ { N } ^ { \beta , h } \left( \vert \phi ^ { - 1 } ( 0 ) \vert \ge \kappa N \right) } \end{array}
\aligned \textbf { S } _ { \textbf { u } } ^ { k + 1 } = \frac { \partial \textbf { u } ( t ^ { k + 1 } ) } { \partial t } - \frac { \textbf { u } ( t ^ { k + 1 } ) - \textbf { u } ( t ^ { k } ) } { \Delta t } = \frac { 1 } { \Delta t } \int _ { t ^ { k } } ^ { t ^ { k + 1 } } ( t ^ { k } - t ) \frac { \partial ^ { 2 } \textbf { u } } { \partial t ^ { 2 } } d t . \endaligned
\| f ( \mathbf { G } _ { N } ) \| = \left\| \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \int _ { \partial \mathcal { D } ( 0 , \eta ) } f ( z ) R ( z , \mathbf { G } _ { N } ) \ensuremath { \mathrm { d } z } \right\| \leq \frac { 2 \pi \eta } { 2 \pi } \| f \| _ { \mathcal { D } ( 0 , \eta ) } \operatorname* { s u p } _ { z \in \partial \mathcal { D } ( 0 , \eta ) } \| R ( z , \mathbf { G } _ { N } ) \| .
\begin{array} { r l } & { \rho ^ { ( G D + M ) } = \frac { 1 } { 2 } ( 1 + \beta - h \mu + \sqrt { ( 1 + \beta - h \mu ) ^ { 2 } - 4 \beta } ) \quad \mathrm { [ c o n s i d e r i n g ~ t h e ~ l a r g e r ~ t e r m ] } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } ( 1 + \beta - h \mu + \sqrt { ( 1 - \beta ) ^ { 2 } - 2 h \mu ( 1 + \beta ) + h ^ { 2 } \mu ^ { 2 } } ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } ( 1 + \beta - h \mu + ( 1 - \beta ) ( \underbrace { \sqrt { 1 - \frac { 2 h \mu ( 1 + \beta ) + h ^ { 2 } \mu ^ { 2 } } { ( 1 - \beta ) ^ { 2 } } } } _ { 1 - \frac { 1 } { 2 } \frac { 2 h \mu ( 1 + \beta ) } { ( 1 - \beta ) ^ { 2 } } + O ( h ^ { 2 } ) } - 1 ) + ( 1 - \beta ) ) } \\ & { \approx \frac { 1 } { 2 } ( 1 + \beta - h \mu - \frac { h \mu ( 1 + \beta ) } { ( 1 - \beta ) } + ( 1 - \beta ) ) \quad \mathrm { [ s m a l l ~ h ~ a p p r o x i m a t i o n ] } } \\ & { = 1 - \frac { h \mu } { ( 1 - \beta ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \phi _ { t t } + \Delta _ { \mathbb { H } ^ { 3 } } \phi + | \phi | ^ { 3 } = 0 } \\ & { \phi ( b _ { j } ^ { + } , x ) = \phi ( b _ { j } ^ { - } , x ) + v ( b _ { j } ^ { - } , x ) } \\ & { \phi _ { t } ( b _ { j } ^ { + } , x ) = \phi _ { t } ( b _ { j } ^ { - } , x ) + v _ { t } ( b _ { j } ^ { - } , x ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { \rho } } _ { i \, N _ { i j } } : = \rho _ { i \, N _ { i j } } - \frac { \Delta t } { 2 \mathcal { L } _ { i j } } \left[ \mathcal { Z } ^ { \rho } ( \mathbf { W } _ { i \, N _ { i j } } , \boldsymbol { \eta } _ { i j } ) + \mathcal { Z } ^ { \rho } ( \mathbf { W } _ { j \, N _ { i j } } , \boldsymbol { \eta } _ { i j } ) \right] , } \\ { \overline { { \rho } } _ { j \, N _ { i j } } : = \rho _ { j \, N _ { i j } } - \frac { \Delta t } { 2 \mathcal { L } _ { i j } } \left[ \mathcal { Z } ^ { \rho } ( \mathbf { W } _ { i \, N _ { i j } } , \boldsymbol { \eta } _ { i j } ) + \mathcal { Z } ^ { \rho } ( \mathbf { W } _ { j \, N _ { i j } } , \boldsymbol { \eta } _ { i j } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \varrho = } & { w _ { 0 } \left( e ^ { \prime } ( t _ { n } ) - \theta _ { 2 } ( t _ { n } ) e ( t _ { n } ) \right) - w _ { 1 } e ( t _ { n } ) + \displaystyle \int _ { 0 } ^ { t _ { n } } ( w ^ { \prime \prime } + ( \theta _ { 2 } w ) ^ { \prime } - \theta _ { 1 } w ) e d t } \\ { = } & { w _ { 0 } \left( e ^ { \prime } ( t _ { n } ) - \theta _ { 2 } ( t _ { n } ) e ( t _ { n } ) \right) - w _ { 1 } e ( t _ { n } ) . } \end{array} } \end{array}
{ \tt b c i r c } ( \mathcal { A } ) = \left[ \begin{array} { l l l l } { \mathcal { A } ^ { ( 1 ) } } & { \mathcal { A } ^ { ( n ) } } & { \ldots } & { \mathcal { A } ^ { ( 2 ) } } \\ { \mathcal { A } ^ { ( 2 ) } } & { \mathcal { A } ^ { ( 1 ) } } & { \ldots } & { \mathcal { A } ^ { ( 3 ) } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \mathcal { A } ^ { ( n ) } } & { \mathcal { A } ^ { ( n - 1 ) } } & { \ldots } & { \mathcal { A } ^ { ( 1 ) } } \end{array} \right] \in \mathbb { K } ^ { \ell n \times p n } .
\begin{array} { r l } { \psi _ { n m } \left( \rho , \varphi \right) } & { = \frac { 1 } { \lambda } \sqrt { \frac { \Gamma \left( n + L _ { m } + 1 \right) } { 2 ^ { L _ { m } + 1 } n ! \left[ \Gamma \left( L _ { m } + 1 \right) \right] ^ { 2 } \pi } } \left( \frac { \rho } { \lambda } \right) ^ { L _ { m } } e ^ { i m \varphi } e ^ { - \frac { \rho ^ { 2 } } { 4 \lambda ^ { 2 } } } } \\ & { \times ~ _ { 1 } F _ { 1 } \left( - n , L _ { m } + 1 , \frac { \rho ^ { 2 } } { 2 \lambda ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { L } & { = } & { | \operatorname* { P r } ( Y = 1 ) - \operatorname* { P r } ( Y = 1 \mid X \leftarrow 0 ) | + | \operatorname* { P r } ( Y = 1 ) - \operatorname* { P r } ( Y = 1 \mid X \leftarrow 1 ) | } \\ { 1 - U } & { = } & { | \operatorname* { P r } ( Y = 0 \mid X \leftarrow 0 ) - K | + | \operatorname* { P r } ( Y = 1 \mid X \leftarrow 1 ) - K | } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 - \theta } { \sigma ^ { 2 } } \sum _ { t = k } ^ { k + N - 1 } \left\| \tilde { u } _ { t } \right\| ^ { 2 } \leqslant V _ { a } ( K _ { k } ) + \frac { N } { m ^ { 2 } } \bar { \varepsilon } ^ { 2 } \leqslant \frac { 4 } { \theta } \bar { W } + \frac { N } { m ^ { 2 } } \bar { \varepsilon } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textrm { e i t h e r } \qquad } & { u _ { 0 } ( x ) = { \textstyle \frac 1 2 } ( x \cdot e ) _ { + } ^ { 2 } \qquad \qquad \, \, \textrm { ( t h i s h a p p e n s a t r e g u l a r p o i n t s ) } } \\ { \textrm { o r } \qquad } & { u _ { 0 } ( x ) = { \textstyle \frac 1 2 } x ^ { T } A x \qquad \qquad \quad \textrm { ( t h i s h a p p e n s a t s i n g u l a r p o i n t s ) } . } \end{array}
\begin{array} { l } { ( \partial _ { t } q + \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \Delta _ { x } p + k \cdot \nabla _ { x } q ) ( t , x ) = 0 , } \\ { ( \partial _ { t } p - \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \Delta _ { x } q + k \cdot \nabla _ { x } p ) ( t , x ) = - \gamma \left( \sigma _ { 1 } \star \displaystyle \int _ { \mathbb R ^ { n } } \sigma _ { 2 } ( z ) \psi ( t , \cdot , z ) \, { \mathrm { d } } z \right) ( x ) , } \\ { \Big ( \displaystyle \frac 1 { c ^ { 2 } } \partial _ { t t } ^ { 2 } \psi - \Delta _ { z } \psi \Big ) ( t , x , z ) = - 2 \gamma \sigma _ { 2 } ( z ) \sigma _ { 1 } \star q ( t , x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { N _ { t } ( \phi ) : = ( \mathscr { Z } _ { t } , \phi ) - ( \mathscr { Z } _ { \mathrm { i n i } } , \phi ) - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } ( \mathscr { Z } _ { s } , \phi ^ { \prime \prime } ) d s , } \\ & { Q _ { t } ( \phi ) : = N _ { t } ( \phi ) ^ { 2 } - \int _ { 0 } ^ { t } ( \mathscr { Z } _ { s } ^ { 2 } , \phi ^ { 2 } ) d s . } \end{array}
\frac { 1 } { 1 - \varepsilon } \int _ { v } ^ { q _ { 1 - \varepsilon } } ( z - v ) h ( z ) \mathrm { d } z = \frac { 1 } { 1 - \varepsilon } \int _ { v } ^ { q _ { 1 - \varepsilon } } z \cdot \frac { k } { \sigma _ { \mathrm { S } } } \cdot g \left( \frac { \left( z - \mu _ { \mathrm { S } } \right) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { \mathrm { S } } ^ { 2 } } \right) \mathrm { d } z - \frac { v } { 1 - \varepsilon } \int _ { v } ^ { q _ { 1 - \varepsilon } } \frac { k } { \sigma _ { \mathrm { S } } } \cdot g \left( \frac { \left( z - \mu _ { \mathrm { S } } \right) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { \mathrm { S } } ^ { 2 } } \right) \mathrm { d } z .
\begin{array} { r l } { S ^ { 2 } \left( H _ { f } ^ { \prime } \right) } & { = \left[ S ^ { 2 } \left( H _ { f } ^ { \prime } \right) , \, S ^ { 2 } \left( H _ { f } ^ { \prime } \right) \right] \quad \mathrm { a n d } } \\ { S ^ { 2 } \left( H _ { f } ^ { \prime } \right) \ltimes H _ { f } ^ { \prime } } & { = \left[ S ^ { 2 } \left( H _ { f } ^ { \prime } \right) \ltimes H _ { f } ^ { \prime } , \, S ^ { 2 } \left( H _ { f } ^ { \prime } \right) \ltimes H _ { f } ^ { \prime } \right] . } \end{array}
\frac { \ell \cdot p _ { k } ^ { e _ { k } ^ { \prime \prime } } } { n ^ { \prime } \cdot ( p _ { k } ^ { e _ { k } ^ { \prime } - f _ { k } ^ { \prime } } + p _ { k } ^ { f _ { k } ^ { \prime } } - 1 ) } = \prod _ { i = 1 } ^ { k - 1 } \frac { p _ { i } ^ { e _ { i } ^ { \prime } - f _ { i } ^ { \prime } } + p _ { i } ^ { f _ { i } ^ { \prime } } - 1 } { p _ { i } ^ { e _ { i } ^ { \prime } } } ,
\begin{array} { r l r l } { A _ { j } ^ { l } ( x , t ) } & { = \frac { \partial } { \partial x _ { j } } u ^ { l } ( x , t ) , } & { F ^ { 1 } ( x , t ) } & { = \frac { \partial } { \partial x _ { 2 } } \theta ( x , t ) - \frac { \partial } { \partial x _ { 2 } } \theta _ { 0 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) , } \\ { F ^ { 2 } ( x , t ) } & { = - \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } \theta ( x , t ) + \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } \theta _ { 0 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) , } & { F ^ { 3 } ( x , t ) } & { = 0 , } \end{array}
\left[ \begin{array} { c } { a _ { 0 } } \\ { a _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } } \\ { a _ { 3 } } \\ { a _ { 4 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c } { . 1 3 1 } \\ { . 2 0 1 } \\ { . 3 2 1 } \\ { . 2 4 9 } \\ { . 0 9 8 } \end{array} \right] \quad \mathrm { a n d } \quad \left[ \begin{array} { c } { \tau _ { 0 } } \\ { \tau _ { 1 } } \\ { \tau _ { 2 } } \\ { \tau _ { 3 } } \\ { \tau _ { 4 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c } { \infty } \\ { 3 6 2 . 9 } \\ { 7 3 . 6 } \\ { 1 7 . 3 } \\ { 1 . 9 } \end{array} \right] \mathrm { ~ y r } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } ( \hat { o } ) } & { \leq e ^ { 2 } \left( \eta / k \right) ^ { k } \left( \eta / k - 1 \right) ^ { k } \sum _ { a = 0 } ^ { k } \binom { k } { a } \left( \eta / k - 1 \right) ^ { - a } \frac { \left( \eta - 2 k + a \right) ! } { \left( \eta - a \right) ! } } \\ & { \leq e ^ { 2 } \left( \eta / k \right) ^ { k } \left( \eta / k - 1 \right) ^ { k } \sum _ { a = 0 } ^ { k } \binom { k } { a } \left( \eta / k - 1 \right) ^ { - a } \frac { \left( \eta - 2 k + a \right) ! } { \left( \eta - k \right) ! } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { - 1 } ^ { 1 } \left( \frac { 1 - x } { 2 } \right) ^ { a } \left( \frac { 1 + x } { 2 } \right) ^ { c } J _ { k } ^ { ( a , b ) } ( x ) \, \mathrm { d } x } \\ & { = \frac { 2 \Gamma ( c + 1 ) ( k + 1 ) _ { a } ( c - b - k + 1 ) _ { k } } { \Gamma ( a + c + k + 2 ) } , \quad \Re ( a , b , c ) > - 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } B _ { t } } & { \leq 2 I ^ { 2 } \eta ^ { 2 } L ^ { 2 } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } D _ { \ell } + 2 I ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } L ^ { 2 } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } B _ { \ell } + \frac { 2 I \sigma ^ { 2 } } { b _ { y } } + 2 I \zeta _ { g } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vert F _ { Y } ( x _ { 0 } ) - F _ { Y } ( x _ { 0 } - \delta ) \vert } & { = P \left( Y \in ( x _ { 0 } - \delta , x _ { 0 } ] \right) } \\ & { = P \left( f ( X ) \in ( x _ { 0 } - \delta , x _ { 0 } ] \right) } \\ & { \geq P \left( f ( X ) = x _ { 0 } \right) } \\ & { \geq P \left( X \in I \right) } \\ & { = \varepsilon } \end{array}
\begin{array} { r l } { K ^ { + } \setminus \ell ( K ^ { + } ) } & { = \{ y ^ { \prime } \in K ^ { + } \setminus \{ 0 \} \mid \exists \, k \in K : \; y ^ { \prime } ( k ) > 0 \} } \\ & { = \{ y ^ { \prime } \in K ^ { + } \setminus \{ 0 \} \mid \exists \, k \in \mathrm { i c o r } \, K : \; y ^ { \prime } ( k ) > 0 \} } \\ & { = \{ y ^ { \prime } \in K ^ { + } \setminus \{ 0 \} \mid \forall \, k \in \mathrm { i c o r } \, K : \; y ^ { \prime } ( k ) > 0 \} } \\ & { = \{ y ^ { \prime } \in E ^ { \prime } \mid \forall \, k \in \mathrm { i c o r } \, K : \; y ^ { \prime } ( k ) > 0 \} \cap K ^ { + } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \mathcal { L } _ { 0 } ^ { \Omega } [ h ] , h \rangle _ { \Omega } = } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } r h ( r ) \int _ { r } ^ { 1 } \frac { 1 } { s } \int _ { 0 } ^ { s } \tau h ( \tau ) d \tau d s d r } \\ { = } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \int _ { 0 } ^ { r } s h ( s ) d s \right) ^ { 2 } \frac { d r } { r } > 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { x _ { 0 } } f | _ { \Gamma } \partial _ { x _ { 1 } } g | _ { \Gamma } - \partial _ { x _ { 1 } } f | _ { \Gamma } \partial _ { x _ { 0 } } g | _ { \Gamma } } & { = f ^ { \prime } g ^ { \prime } ( \partial _ { x _ { 0 } } h \partial _ { x _ { 1 } } h - \partial _ { x _ { 1 } } h \partial _ { x _ { 0 } } h ) } \\ & { + h ^ { 2 } ( \partial _ { x _ { 0 } } f ^ { \prime } \partial _ { x _ { 1 } } g ^ { \prime } - \partial _ { x _ { 1 } } f ^ { \prime } \partial _ { x _ { 0 } } g ^ { \prime } ) } \\ & { + h f ^ { \prime } ( \partial _ { x _ { 0 } } h \partial _ { x _ { 1 } } g ^ { \prime } - \partial _ { x _ { 1 } } h \partial _ { x _ { 0 } } g ^ { \prime } ) } \\ & { + h g ^ { \prime } ( \partial _ { x _ { 0 } } f ^ { \prime } \partial _ { x _ { 1 } } h - \partial _ { x _ { 1 } } f ^ { \prime } \partial _ { x _ { 0 } } h ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \zeta _ { 1 } } ^ { \xi ^ { * } } \frac { z d z } { \sqrt { 2 ( G ( \xi ^ { * } ; \mu ) - G ( z ; \mu ) ) } } } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { \sqrt 2 \{ \zeta _ { 1 } + ( \xi ^ { * } - { \zeta _ { 1 } } ) \sin ^ { 2 } \theta \} ( \xi ^ { * } - \zeta _ { 1 } ) \sin \theta \cos \theta d \theta } { \sqrt { \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } { g } ( \zeta _ { 1 } + ( \xi ^ { * } - \zeta _ { 1 } ) \sin ^ { 2 } \theta + s ( \xi ^ { * } - \zeta _ { 1 } ) \cos ^ { 2 } \theta ; \mu ) d s \right) ( \xi ^ { * } - \zeta _ { 1 } ) \cos ^ { 2 } \theta } } } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { \sqrt 2 \{ { \zeta _ { 1 } } + ( \xi ^ { * } - { \zeta _ { 1 } } ) \sin ^ { 2 } \theta \} \sqrt { \xi ^ { * } - \zeta _ { 1 } } \sin \theta d \theta } { \sqrt { \int _ { 0 } ^ { 1 } { g } ( \zeta _ { 1 } + ( \xi ^ { * } - \zeta _ { 1 } ) \sin ^ { 2 } \theta + s ( \xi ^ { * } - \zeta _ { 1 } ) \cos ^ { 2 } \theta ; \mu ) d s } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { J } _ { N , p , q } ^ { A } ( \varepsilon ) } & { = \underset { x \in \mathbb { X } } { \mathrm { m i n i m i z e } } \left( \sqrt { \frac { 1 } { N } { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { N } } F \left( x , \widehat { \xi } _ { i } \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \left( { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { N } } F \left( x , \widehat { \xi } _ { i } \right) \right) ^ { 2 } } + \varepsilon \gamma _ { x , F } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( u ( t ) ) _ { t \geq 0 } } & { \overset { \Delta } { = } \left( \mathcal { S } ( t ) \textbf { u } _ { 0 } + \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { S } ( t - s ) \mathcal { F } ( \textbf { u } ( s ) ) d s + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { Z } } \mathcal { S } ( t - s ) \mathcal { G } ( z , x , \textbf { u } ( s - ) ) \tilde { N } ( d s , d z ) \right) _ { t \geq 0 } } \\ & { = : ( \mathcal { L } ( \textbf { u } ) ) _ { t \geq 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { t } \left| X _ { t } ( \xi ) - r ^ { n } ( 2 \lambda ) ^ { \frac { n } { 2 } } \langle f _ { t } , h ^ { \otimes n } \rangle \right| = \operatorname* { s u p } _ { t } \left| X _ { t } ( \tau + r \sqrt { 2 \lambda } h ) - r ^ { n } ( 2 \lambda ) ^ { \frac { n } { 2 } } \langle f _ { t } , h ^ { \otimes n } \rangle \right| < r ^ { n } ( 2 \lambda ) ^ { \frac { n } { 2 } } \eta , } \end{array}
\Phi ^ { \mathrm { ( B e s ) } } ( \zeta ) = \left( \begin{array} { l l } { \sqrt { \pi } \zeta ^ { \frac { 1 } { 2 } } I _ { \alpha + \frac { 1 } { 2 } } ( \zeta e ^ { - \frac { \pi i } { 2 } } ) } & { - \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } \zeta ^ { \frac { 1 } { 2 } } K _ { \alpha + \frac { 1 } { 2 } } ( \zeta e ^ { - \frac { \pi i } { 2 } } ) } \\ { - i \sqrt { \pi } \zeta ^ { \frac { 1 } { 2 } } I _ { \alpha - \frac { 1 } { 2 } } ( \zeta e ^ { - \frac { \pi i } { 2 } } ) } & { - \frac { i } { \sqrt { \pi } } \zeta ^ { \frac { 1 } { 2 } } K _ { \alpha - \frac { 1 } { 2 } } ( \zeta e ^ { - \frac { \pi i } { 2 } } ) } \end{array} \right) e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \alpha \pi i \sigma _ { 3 } }
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \| \omega \check { v } _ { h } - \check { I } _ { h } ( \omega \check { v } _ { h } ) \| _ { H ^ { 1 } ( \varOmega _ { 1 } ) } ^ { 2 } } & { = \sum _ { \check { K } \cap \varOmega _ { 0 } \neq \emptyset } \| \omega \check { v } _ { h } - \check { I } _ { h } ( \omega \check { v } _ { h } ) \| _ { H ^ { 1 } ( \check { K } ) } ^ { 2 } } \\ & { \leqslant \sum _ { \check { K } \cap \varOmega _ { 0 } \neq \emptyset } C h ^ { 2 r } \| \omega \check { v } _ { h } \| _ { H ^ { r + 1 } ( \check { K } ) } ^ { 2 } } \\ & { \leqslant \sum _ { \check { K } \cap \varOmega _ { 0 } \neq \emptyset } C h ^ { 2 r } \Big ( | \check { v } _ { h } | _ { H ^ { r + 1 } ( \check { K } ) } ^ { 2 } + \sum _ { i = 0 } ^ { r } \| \omega \| _ { W ^ { r + 1 - i , \infty } ( \mathbb { R } ^ { N } ) } ^ { 2 } \| \check { v } _ { h } \| _ { H ^ { i } ( \check { K } ) } ^ { 2 } \Big ) . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { Q ( ( i , j , 1 ) , ( i + 1 , j , 1 ) ) } & { = p _ { A } , } & { Q ( ( i , j , 1 ) , ( i , j + 1 , 2 ) ) } & { = q _ { A } , } \\ { Q ( ( i , j , 2 ) , ( i + 1 , j , 2 ) ) } & { = p _ { A } , } & { Q ( ( i , j , 2 ) , ( i , j + 1 , 3 ) ) } & { = q _ { A } , } \\ { Q ( ( i , j , 3 ) , ( i , j + 1 , 3 ) ) } & { = p _ { B } , } & { Q ( ( i , j , 3 ) , ( i + 1 , j , 4 ) ) } & { = q _ { B } , } \\ { Q ( ( i , j , 4 ) , ( i , j + 1 , 4 ) ) } & { = p _ { B } , } & { Q ( ( i , j , 4 ) , ( i + 1 , j , 1 ) ) } & { = q _ { B } . } \end{array}
\left\| \tilde { \boldsymbol { \theta } } _ { t , X } - \boldsymbol { \theta } _ { X } ^ { * } \right\| _ { M _ { t - 1 , X } } \leq \left\| \tilde { \boldsymbol { \theta } } _ { t , X } - \hat { \boldsymbol { \theta } } _ { t - 1 , X } \right\| _ { M _ { t - 1 , X } } + \left\| \hat { \boldsymbol { \theta } } _ { t - 1 , X } - \boldsymbol { \theta } _ { X } ^ { * } \right\| _ { M _ { t - 1 , X } } \leq 2 \rho
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \epsilon ( X ) } { \epsilon _ { 0 } } = L _ { 0 } ( X ) + L _ { 1 } ( X ) , } \\ & { } & { L _ { 0 } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \! \! \! d k \tilde { \psi } _ { X } ^ { \mathrm { q h } } ( X _ { \xi } , k ) = \frac { 1 } { F ( X ) } \ln \biggl [ \frac { 2 W } { \pi \xi } \cos \frac { \pi X } { W } \biggr ] , } \\ & { } & { L _ { 1 } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \! \! \! d k \biggl [ \tilde { \psi } _ { X } ( X _ { \xi } , k ) - \tilde { \psi } _ { X } ^ { \mathrm { q h } } ( X _ { \xi } , k ) \biggr ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { f } ( a , N ) } & { \le S _ { f } ( a , x _ { 1 } - a ) + \sum _ { j = 1 } ^ { k } S _ { f } ( x _ { j } , y _ { j } - x _ { j } ) + \sum _ { j = 1 } ^ { k - 1 } S _ { f } ( y _ { j } , x _ { j + 1 } - y _ { j } ) + S _ { f } ( y _ { k } , a + N - y _ { k } ) } \\ & { \le \frac { 1 } { \pi \Delta } + H _ { \Delta } ( \epsilon _ { 1 } ) + k \left( 2 \Delta \lambda _ { 2 } ^ { - 1 } + 1 \right) + ( k - 1 ) \frac { 2 } { \pi \Delta } + \frac { 1 } { \pi \Delta } + H _ { \Delta } ( 1 - \epsilon _ { 2 } ) } \\ & { \le 2 \left( N h \lambda _ { 2 } + \epsilon _ { 1 } - \epsilon _ { 2 } \right) \left( \frac { 1 } { \pi \Delta } + \Delta \lambda _ { 2 } ^ { - 1 } + \frac { 1 } { 2 } \right) + H _ { \Delta } ( \epsilon _ { 1 } ) + H _ { \Delta } ( 1 - \epsilon _ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left( \int _ { s } ^ { t } X _ { s , r } ^ { l ; j _ { 1 } } d X _ { r } ^ { l ; j _ { 1 } } - \int _ { s } ^ { t } X _ { s , r } ^ { m ; j _ { 1 } } d X _ { r } ^ { m ; j _ { 1 } } \right) ^ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 4 } \mathbb { E } \left( ( X _ { s , t } ^ { l ; j _ { 1 } } - X _ { s , t } ^ { m ; j _ { 1 } } ) ( X _ { s , t } ^ { l ; j _ { 1 } } + X _ { s , t } ^ { m ; j _ { 1 } } ) \right) ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 1 } { 4 } \mathbb { E } ( X _ { s , t } ^ { l ; i } - X _ { s , t } ^ { m ; i } ) ^ { 2 } \mathbb { E } ( X _ { s , t } ^ { l ; i } + X _ { s , t } ^ { m ; i } ) ^ { 2 } } \\ & { \preceq { \left\lVert { R _ { X ^ { l } - X ^ { m } } } \right\rVert } _ { \rho ^ { \prime } - v a r ; [ s , t ] ^ { 2 } } { \left\lVert { R } \right\rVert } _ { \rho - v a r ; [ s , t ] \times [ s , t ] } } \\ & { \preceq { \left\lVert { R _ { X ^ { l } - X ^ { m } } } \right\rVert } _ { \infty ; [ 0 , 1 ] ^ { 2 } } ^ { \frac { \rho ^ { \prime } - \rho } { \rho ^ { \prime } } } \left| t - s \right| ^ { \frac { 2 } { \rho ^ { \prime } } } . } \end{array}
D _ { \kappa , \varepsilon } ^ { \prime } = \Bigl \{ \left( \begin{array} { l } { x _ { 1 } } \\ { x ^ { \prime } } \end{array} \right) \in D _ { \kappa } : x ^ { \prime } \in \mathcal D _ { \varepsilon } \Bigr \} \qquad \mathrm { a n d } \qquad D _ { \kappa , \varepsilon } ^ { \prime \prime } = \Bigl \{ \left( \begin{array} { l } { x _ { 1 } } \\ { x ^ { \prime } } \end{array} \right) \in D _ { \kappa } : x ^ { \prime } \in \mathcal D \backslash \mathcal D _ { \varepsilon } \Bigr \} .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m a x } _ { j = 0 , 1 , \dots , N } \operatorname* { s u p } _ { k \in ( 0 , \infty ) } ( 1 + | k | ) ^ { N } | \partial _ { k } ^ { j } r _ { 1 } ( k ) | < \infty , } \\ & { \operatorname* { m a x } _ { j = 0 , 1 , \dots , N } \operatorname* { s u p } _ { k \in ( - \infty , 0 ) } ( 1 + | k | ) ^ { N } | \partial _ { k } ^ { j } r _ { 2 } ( k ) | < \infty . } \end{array}
\begin{array} { r } { \vert \partial _ { t } ^ { \delta } \partial _ { x } ^ { \alpha } \partial _ { \xi } ^ { \beta } \mathcal { F } _ { v } \nabla _ { v } f ( t , x , \xi ) \vert \lesssim \frac { 1 } { 1 + \vert \xi \vert ^ { q } } \left( \int _ { \mathbb R ^ { d } } ( 1 + \vert v \vert ^ { 2 } ) ^ { \sigma + \vert \beta \vert } \vert \nabla _ { v } \partial _ { t } ^ { \delta } \partial _ { x } ^ { \alpha } ( I - \Delta _ { v } ) ^ { \frac { q } { 2 } } f ( t , x , v ) \vert ^ { 2 } \ \mathrm { d } v \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { \displaystyle \frac { v } { 1 - \varepsilon } \int _ { v } ^ { q _ { 1 - \varepsilon } } \frac { k } { \sigma _ { S } } \cdot g \left( \frac { \left( z - \mu _ { S } \right) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { S } ^ { 2 } } \right) \mathrm { d } z } & { = } & { \displaystyle \frac { v } { 1 - \varepsilon } \int _ { \frac { v - \mu _ { \mathrm { S } } } { \sigma _ { \mathrm { S } } } } ^ { \frac { q _ { 1 - \varepsilon } - \mu _ { \mathrm { S } } } { \sigma _ { \mathrm { S } } } } k \cdot g \left( \frac { z ^ { 2 } } { 2 } \right) \mathrm { d } z } \\ & { = } & { \displaystyle \frac { v } { 1 - \varepsilon } \left( \mathrm { \Phi } \left( \frac { q _ { 1 - \varepsilon } - \mu _ { \mathrm { S } } } { \sigma _ { \mathrm { S } } } \right) - \mathrm { \Phi } \left( \frac { v - \mu _ { \mathrm { S } } } { \sigma _ { \mathrm { S } } } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb P \big ( \mathcal { A } _ { u , v } , \, | \mathcal { C } ^ { I } ( u ) | \ge M \big ) } & { = \mathcal { O } \left( \frac { 1 } { n } \sum _ { t \, \ge \, M } t ^ { 2 } \cdot \mathbb P ( v \in \mathcal { C } ^ { I } ( u ) \mid | \mathcal { C } ^ { I } ( u ) | = t ) \cdot \mathbb P ( | \mathcal { C } ^ { I } ( u ) | = t ) \right) } \\ & { = \mathcal { O } \left( \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \sum _ { t \, \ge \, M } t ^ { 3 } \cdot \mathbb P ( | \mathcal { C } ^ { I } ( u ) | = t ) \right) = \mathcal { O } \left( \frac { M ^ { 3 } \, \mathrm { e } ^ { - M \cdot I _ { \lambda _ { I } } } } { n ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\mathrm { F u n } _ { k } ^ { \mathrm { e x } } ( \mathrm { L M o d } { ( A ) ^ { \omega } } , \mathrm { L M o d } { ( B ) ^ { \omega } } ) \cong \left( \begin{array} { c } { \mathrm { ~ f u l l ~ s u b c a t e g o r y ~ o f ~ } } \\ { \mathrm { ~ \mathrm { B i m o d } ( B , A ) ~ s p a n n e d ~ } } \\ { \mathrm { b y ~ b i m o d u l e s ~ t h a t ~ a r e ~ } } \\ { \mathrm { p e r f e c t ~ a s ~ l e f t ~ B ~ - m o d u l e s } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { x _ { 1 } ( t ) + \frac { ( s _ { 1 } - z ^ { * } ) ( t - \tau ) x _ { 2 } ( t ) } { ( x _ { 2 } + y _ { 2 } ) ( t - \tau ) } } & { = x _ { 1 } ( t ) + ( s _ { 1 } - z ^ { * } ) ( t - \tau ) e ^ { - \int _ { t - \tau } ^ { t } D ( r ) \, d r } } \\ & { = x _ { 1 } ( t ) - ( x _ { 1 } + y _ { 1 } ) ( t - \tau ) e ^ { - \int _ { t - \tau } ^ { t } D ( r ) \, d r } } \\ & { \quad + ( s _ { 1 } + x _ { 1 } + y _ { 1 } - z ^ { * } ) ( t - \tau ) e ^ { - \int _ { t - \tau } ^ { t } D ( r ) \, d r } } \\ & { = \left( x _ { 1 } ( \tau ) e ^ { \int _ { 0 } ^ { \tau } D ( r ) \, d r } - ( x _ { 1 } + y _ { 1 } ) ( 0 ) \right) e ^ { - \int _ { 0 } ^ { t } D ( r ) d r } } \\ & { \quad + ( s _ { 1 } + x _ { 1 } + y _ { 1 } - z ^ { * } ) ( 0 ) e ^ { - \int _ { 0 } ^ { t } D ( r ) \, d r } } \\ & { = - C _ { 0 } e ^ { - \int _ { 0 } ^ { t } D ( r ) \, d r } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { k ^ { x } } & { = \frac { 2 \epsilon _ { 0 } S _ { x } V _ { P } } { M D _ { x } ^ { 2 } } , \quad k ^ { y } = \frac { 2 \epsilon _ { 0 } S _ { y } V _ { P } } { M D _ { y } ^ { 2 } } , \quad k ^ { z } = \frac { 2 \epsilon _ { 0 } S _ { z } V _ { P } } { M D _ { z } ^ { 2 } } , } \\ { \beta ^ { x } } & { = \frac { \epsilon _ { 0 } S _ { z } l _ { \phi } V _ { P } } { J _ { \phi } D _ { z } ^ { 2 } } , \quad \beta ^ { y } = \frac { \epsilon _ { 0 } S _ { x } l _ { \theta } V _ { P } } { J _ { \theta } D _ { x } ^ { 2 } } , \quad \beta ^ { z } = \frac { \epsilon _ { 0 } S _ { x } l _ { \psi } V _ { P } } { J _ { \psi } D _ { x } ^ { 2 } } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { T } & { = - { \left[ \begin{array} { l l } { 0 . 5 0 0 } & { 0 . 0 0 0 } \\ { - 0 . 3 5 7 } & { 0 . 1 4 3 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 3 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { 0 . 0 0 0 } & { - 1 . 5 0 0 } \\ { 0 . 0 0 0 } & { 1 . 0 7 1 } \end{array} \right] } , } \\ { C } & { = { \left[ \begin{array} { l l } { 0 . 5 0 0 } & { 0 . 0 0 0 } \\ { - 0 . 3 5 7 } & { 0 . 1 4 3 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { 1 1 } \\ { 1 3 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { 5 . 5 0 0 } \\ { - 2 . 0 7 1 } \end{array} \right] } . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \left[ p , \eta , \xi \right] ^ { \left( s \right) } } & { = } & { \left. \frac { d } { d t d \tau } \left( p \circ _ { s } \left( \exp \left( t \eta \right) \circ _ { s } \exp \left( \tau \xi \right) \right) \right) \right\vert _ { t \, , \tau = 0 } } \\ & { } & { - \left. \frac { d } { d t d \tau } \left( \left( p \circ _ { s } \exp \left( t \eta \right) \right) \circ _ { s } \exp \left( \tau \xi \right) \right) \right\vert _ { t , \tau = 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { D \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { \gamma } \\ { \vdots } \\ { \gamma ^ { n } } \end{array} \right) \subseteq \left( \begin{array} { l } { ( b _ { 0 } + b _ { 1 } \gamma + . . . + b _ { n } \gamma ^ { n } ) ^ { 0 } } \\ { ( b _ { 0 } + b _ { 1 } \gamma + . . . + b _ { n } \gamma ^ { n } ) ^ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { ( b _ { 0 } + b _ { 1 } \gamma + . . . + b _ { n } \gamma ^ { n } ) ^ { n } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { \mathrm { s i n g } } ( ( - \infty , x _ { 2 j } ) ) } & { = \int _ { ( - \infty , \hat { \xi } _ { 3 j } ] \cap \mathcal { S } } V _ { \xi } ( \eta ) d \eta = \int _ { ( - \infty , \hat { \xi } _ { 3 j } ] \cap \mathcal { S } _ { \Delta x } } V _ { \Delta x , \xi } ( \eta ) d \eta } \\ & { = \mu _ { \Delta x , \mathrm { s i n g } } ( ( - \infty , x _ { 2 j } ) ) . } \end{array}
m _ { 3 } ( w _ { 1 } ^ { p } w _ { 2 } ^ { q } , w _ { 1 } ^ { r } w _ { 2 } ^ { s } , \frac { ( u _ { 1 } + v _ { 1 } + 1 ) ! } { u _ { 1 } ! v _ { 1 } ! } \bar { w } _ { 1 } ^ { u _ { 1 } } \bar { w } _ { 2 } ^ { v _ { 1 } } \epsilon ) = ( m _ { 3 } ) _ { u _ { 1 } , v _ { 1 } ; u _ { 2 } , v _ { 2 } } ^ { p , q ; r , s } w _ { 1 } ^ { u _ { 2 } } w _ { 2 } ^ { v _ { 2 } } .
\begin{array} { r l r } { U _ { 0 } ^ { A E } ~ \Omega } & { = } & { \int V _ { x c } \left[ \tilde { n } + n ^ { h } + \hat { n } + \tilde { n } _ { c } \right] ~ d { \bf r } } \\ & { + } & { \int _ { \omega _ { a } } V _ { x c } \left[ n ^ { 1 } + n ^ { h } + n _ { c } \right] d { \bf r } } \\ & { - } & { \int _ { \omega _ { a } } V _ { x c } \left[ \tilde { n } + n ^ { h } + \hat { n } + \tilde { n } _ { c } \right] ~ { \bf d r } } \\ & { + } & { \int _ { \omega _ { a } } V _ { H } [ n ^ { 1 } + n ^ { h } + n _ { Z c } ] - V _ { H } [ \tilde { n } ^ { 1 } + n ^ { h } + \hat { n } ] ~ { \bf d r } } \\ & { - } & { \int _ { \omega _ { a } } V _ { l o c } ( { \bf r } ) ~ { \bf d r } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { f } ( x , r ) } & { = f ( x , r ) + \frac 1 2 \sum _ { j = 1 } ^ { d } D F _ { j } ( x , r ) F _ { j } ( x , r ) } \\ & { \qquad + \int _ { \| z \| \leq 1 } \Big ( \mathbf { e } ^ { \varphi ( \cdot , r , z ) } ( x ) - x - \varphi ( x , r , z ) \Big ) \, \nu ( \mathrm { d } z ) , } \\ { \hat { F } ( x , r ) } & { = F ( x , r ) , } \\ { \hat { \varphi } ( x , r , z ) } & { = \mathbf { e } ^ { \varphi ( \cdot , r , z ) } ( x ) - x . } \end{array}
{ \frac { c _ { 1 } ^ { \prime } ( s ) c _ { 2 } ^ { \prime \prime } ( s ) - c _ { 2 } ^ { \prime } ( s ) c _ { 1 } ^ { \prime \prime } ( s ) } { { \big ( } c _ { 1 } ^ { \prime } ( s ) ^ { 2 } + c _ { 2 } ^ { \prime } ( s ) ^ { 2 } { \big ) } ^ { 3 / 2 } } } \quad { \mathrm { a n d } } \quad { \frac { c _ { 2 } ^ { \prime } ( s ) } { c _ { 1 } ( s ) { \sqrt { c _ { 1 } ^ { \prime } ( s ) ^ { 2 } + c _ { 2 } ^ { \prime } ( s ) ^ { 2 } } } } }
\begin{array} { r l } & { \langle E ^ { ( n ) } ( \lambda , z ) E ^ { ( n ^ { \prime } ) } ( \lambda ^ { \prime } , z ^ { \prime } ) E ^ { ( n ^ { \prime \prime } ) } ( \lambda ^ { \prime \prime } , z ^ { \prime \prime } ) \rangle } \\ { = } & { \frac { N ^ { \frac { n + n ^ { \prime } + n ^ { \prime \prime } } { 2 } + 1 } [ \lambda \lambda ^ { \prime } ] ^ { \frac { n + n ^ { \prime } - n ^ { \prime \prime } } { 2 } } [ \lambda ^ { \prime } \lambda ^ { \prime \prime } ] ^ { \frac { n ^ { \prime } + n ^ { \prime \prime } - n } { 2 } } [ \lambda \lambda ^ { \prime \prime } ] ^ { \frac { n + n ^ { \prime \prime } - n ^ { \prime } } { 2 } } } { ( z - z ^ { \prime } ) ^ { \frac { n + n ^ { \prime } - n ^ { \prime \prime } } { 2 } + 1 } } \sum _ { l \geq 0 } \frac { ( \frac { n + n ^ { \prime \prime } - n ^ { \prime } } { 2 } + l ) ! } { ( \frac { n + n ^ { \prime \prime } - n ^ { \prime } } { 2 } ) ! l ! } ( - 1 ) ^ { l } \left( \frac { z - z ^ { \prime } } { z ^ { \prime } - z ^ { \prime \prime } } \right) ^ { l } \frac { 1 } { ( z ^ { \prime } - z ^ { \prime \prime } ) ^ { n ^ { \prime \prime } + 2 } } } \\ { = } & { \sum _ { l \geq 0 } \frac { N ^ { \frac { n + n ^ { \prime } + n ^ { \prime \prime } } { 2 } + 1 } [ \lambda \lambda ^ { \prime } ] ^ { \frac { n + n ^ { \prime } - n ^ { \prime \prime } } { 2 } } } { ( z - z ^ { \prime } ) ^ { \frac { n + n ^ { \prime } - n ^ { \prime \prime } } { 2 } - l + 1 } } \frac { [ \frac { n + n ^ { \prime \prime } - n ^ { \prime } } { 2 } + l ] _ { l } ( \frac { n ^ { \prime } + n ^ { \prime \prime } - n } { 2 } ) ! } { [ n ^ { \prime \prime } + l + 1 ] _ { l } n ^ { \prime \prime } ! } ( \lambda \cdot \partial _ { \lambda ^ { \prime } } ) ^ { \frac { n + n ^ { \prime \prime } - n ^ { \prime } } { 2 } } [ \lambda ^ { \prime } \lambda ^ { \prime \prime } ] ^ { n ^ { \prime \prime } } \frac { \partial _ { z ^ { \prime } } ^ { l } } { l ! } \frac { 1 } { ( z ^ { \prime } - z ^ { \prime \prime } ) ^ { n ^ { \prime \prime } + 2 } } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { v _ { x x } = - { \lambda } ^ { 2 } \alpha _ { 1 } ^ { - 1 } \left( \rho v + \gamma \mu p \right) , } \\ { p _ { x x } = - { \lambda } ^ { 2 } \alpha _ { 1 } ^ { - 1 } \left( \gamma \rho v + \mu \alpha \beta ^ { - 1 } p \right) , \quad x \in ( 0 , l _ { 1 } ) , } \\ { v ( 0 ) = p ( 0 ) = v ( l _ { 1 } ) = v _ { x } ( l _ { 1 } ) = p _ { x } ( l _ { 1 } ) = 0 . } \end{array} \right.
T = \frac { T _ { 2 1 } T _ { 1 2 } e ^ { - i \omega _ { 2 } ^ { + } n _ { 2 } \ell } } { 1 - \Gamma _ { 2 1 2 } \Gamma _ { 2 1 2 } ^ { - } e ^ { - i ( \omega _ { 2 } ^ { + } + \omega _ { 2 } ^ { - } ) n _ { 2 } \ell } } \quad \mathrm { a n d } \quad \Gamma = \Gamma _ { 1 2 1 } \frac { 1 - e ^ { - i ( \omega _ { 2 } ^ { + } + \omega _ { 2 } ^ { - } ) n _ { 2 } \ell } } { 1 - \Gamma _ { 2 1 2 } \Gamma _ { 2 1 2 } ^ { - } e ^ { i ( \omega _ { 2 } ^ { + } + \omega _ { 2 } ^ { - } ) n _ { 2 } \ell } } .
\begin{array} { r l } { n ( \tilde { r } , \tilde { \phi } , \xi ) } & { = n _ { + } ( \tilde { r } , \tilde { \phi } , \xi ) + n _ { - } ( \tilde { r } , \tilde { \phi } , \xi ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \frac { 2 - t } { \sqrt { 1 - t } } + g \tilde { r } \frac { 4 - 3 t } { 4 \sqrt { 1 - t } } \cos \tilde { \phi } } \\ & { = \frac { 2 \tilde { r } ^ { 2 } - \tilde { r } _ { b } ^ { 2 } } { 2 \tilde { r } \sqrt { \tilde { r } ^ { 2 } - \tilde { r } _ { b } ^ { 2 } } } + g \frac { 4 \tilde { r } ^ { 2 } - 3 \tilde { r } _ { b } ^ { 2 } } { 4 \sqrt { \tilde { r } ^ { 2 } - \tilde { r } _ { b } ^ { 2 } } } \cos \tilde { \phi } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { A } _ { i } } & { = \alpha \mathbf { \hat { k } } \times \Delta r _ { i } \mathbf { \hat { e } } _ { i } - \omega \mathbf { \hat { k } } \times \omega \mathbf { \hat { k } } \times \Delta r _ { i } \mathbf { \hat { e } } _ { i } + \mathbf { A } } \\ & { = \alpha \Delta r _ { i } \mathbf { \hat { t } } _ { i } - \omega ^ { 2 } \Delta r _ { i } \mathbf { \hat { e } } _ { i } + \mathbf { A } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \theta _ { w ^ { - 1 } B \mid B } \circ \Phi _ { v , B } } & { = \theta _ { w ^ { - 1 } B \mid B } \circ T ( v ) \circ \lambda ( \dot { v } ) \circ \theta _ { v ^ { - 1 } B \mid B } } \\ & { = T ( v ) \circ \lambda ( \dot { v } ) \circ \theta _ { v ^ { - 1 } w ^ { - 1 } B \mid v ^ { - 1 } B } \circ \theta _ { v ^ { - 1 } B \mid B } } \\ & { = c ^ { \prime \prime } ( w , v ) \cdot T ( v ) \circ \lambda ( \dot { v } ) \circ \theta _ { v ^ { - 1 } w ^ { - 1 } B \mid w ^ { - 1 } B } \circ \theta _ { w ^ { - 1 } B \mid B } } \\ & { = c ( v ) \cdot c ^ { \prime \prime } ( w , v ) \cdot T ^ { \prime } ( v ) \circ \lambda ( \dot { v } ) \circ \theta _ { v ^ { - 1 } w ^ { - 1 } B \mid w ^ { - 1 } B } \circ \theta _ { w ^ { - 1 } B \mid B } } \\ & { = c ( v ) \cdot c ^ { \prime \prime } ( w , v ) \cdot \Phi _ { v , w ^ { - 1 } B } \circ \theta _ { w ^ { - 1 } B \mid B } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial { \rho } } { \partial t } = i [ \rho , H _ { S } ] - \epsilon ^ { 2 } \sum _ { l } \sum _ { \alpha , { \tilde { \alpha } } = 1 } ^ { d ^ { 2 } } \Big \{ a _ { l \alpha } ^ { * } b _ { l { \tilde { \alpha } } } [ F _ { \alpha } ^ { \dagger } , F _ { \tilde { \alpha } } \rho ] } \\ & { + c _ { l \alpha } ^ { \prime * } a _ { l { \tilde { \alpha } } } ^ { \prime } [ \rho F _ { \alpha } ^ { \dagger } , F _ { \tilde { \alpha } } ] + b _ { l \alpha } ^ { * } a _ { l { \tilde { \alpha } } } [ \rho F _ { \alpha } ^ { \dagger } , F _ { \tilde { \alpha } } ] + a _ { l \alpha } ^ { \prime * } c _ { l { \tilde { \alpha } } } ^ { \prime } [ F _ { \alpha } ^ { \dagger } , F _ { \tilde { \alpha } } \rho ] \Big \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { 0 } ^ { k + 1 } } & { = x _ { 0 } ^ { k } - \tau _ { x _ { 0 } } \left( \left( \mathrm { p r o x } _ { \Psi } \left( f ( x _ { 0 } ^ { k } , \Theta _ { 1 } ) \right) - x _ { 1 } ^ { k } \right) \mathcal { J } _ { f } ^ { x } ( x _ { 0 } ^ { k } , \Theta _ { 1 } ) + \alpha K ^ { \top } z ^ { k } \right) \, , } \\ { z ^ { k + 1 } } & { = \mathrm { p r o x } _ { \tau _ { z } R ^ { \ast } } \left( z ^ { k } + \tau _ { z } \alpha K \left( 2 x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \right) \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { e _ { i } ^ { 2 } } & { = - [ 2 ] _ { s } } & & { \mathrm { ~ i ~ o d d , } } \\ { e _ { i } ^ { 2 } } & { = - [ 2 ] _ { t } } & & { \mathrm { ~ i ~ e v e n , } } \\ { e _ { i } e _ { j } } & { = e _ { j } e _ { i } } & & { \mathrm { f o r ~ | i - j | > 1 ~ , } } \\ { e _ { i } e _ { i \pm 1 } e _ { i } } & { = e _ { i } } & & { } \end{array}
\left\{ \begin{array} { c c c } { g _ { 1 } ( z _ { 1 } , \cdots , z _ { m } ) } & { = } & { a _ { 1 } } \\ { g _ { 2 } ( z _ { 1 } , \cdots , z _ { m } ) } & { = } & { a _ { 2 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { g _ { n } ( z _ { 1 } , \cdots , z _ { m } ) } & { = } & { a _ { n } } \end{array} \right. \mathrm { ~ \ \ \ \ o r ~ \ \ \ \ } G _ { \ell } ( \mathbf { z } ) = \mathbf { a }
\begin{array} { r l } { \Psi ^ { T } \Lambda _ { a } ^ { \alpha - 1 } \Psi h } & { = \mathfrak { a } _ { 1 } ( x , x ) \Lambda ^ { \alpha - 1 } h + \left( \Psi ^ { T } [ \Lambda _ { a } ^ { \alpha - 1 } B ^ { \prime } ] + \int ( 2 - 2 \cos ( x - y ) ) ^ { - \frac { \alpha } { 2 } } ( \mathfrak { a } _ { 1 } ( x , y ) - \mathfrak { a } _ { 1 } ( x , x ) ) d y \right) h } \\ & { \ - \partial _ { y } \mathfrak { a } _ { 1 } ( x , x ) \frac { 1 } { 2 - \alpha } \partial _ { x } \Upsilon ^ { \alpha - 3 } h - \Upsilon _ { \mathfrak { a } _ { 2 } } ^ { \alpha - 3 } h . } \end{array}
a _ { i j } ^ { ( n ) } = \left\{ \begin{array} { r l r } & { 1 , } & { \quad \mathrm { ~ i f ~ i ~ = 0 ~ a n d ~ j = 0 ~ } } \\ & { \binom { i } { i - j } ( \alpha ^ { ( n ) } ) ^ { i - j } ( 1 - \alpha ^ { ( n ) } ) ^ { j } , } & { \quad \mathrm { ~ i f ~ i \geq ~ j ~ a n d ~ i , j ~ \neq ~ 0 ~ } } \\ & { 0 , } & { \quad \mathrm { ~ o t h e r w i s e } } \end{array} \right. \quad \quad \forall \; i , j = 0 , 1 , . . . , C
\begin{array} { r l r } { \left. \frac { d } { d t } \right| _ { t = t _ { 0 } } ( H _ { t } ) ^ { * } ( g ) } & { = } & { \left. \frac { d } { d t } \right| _ { s = 0 } ( H _ { s + t _ { 0 } } ) ^ { * } ( g ) } \\ & { = } & { \left. \frac { d } { d t } \right| _ { s = 0 } ( H _ { s } \circ H _ { t _ { 0 } } ) ^ { * } ( g ) } \\ & { = } & { \left. \frac { d } { d t } \right| _ { s = 0 } ( H _ { t _ { 0 } } ) ^ { * } \circ ( H _ { s } ) ^ { * } ( g ) } \\ & { = } & { \left. ( H _ { t _ { 0 } } ) ^ { * } \Big ( \frac { d } { d t } \right| _ { s = 0 } ( H _ { s } ) ^ { * } ( g ) \Big ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { Q ( ( i , n - 1 , 1 ) , ( i + 1 , n - 1 , 1 ) ) } & { = p _ { A } , } & { Q ( ( i , n - 1 , 1 ) , ( i , n - 1 , 2 ) ) } & { = q _ { A } , } \\ { Q ( ( i , n - 1 , 2 ) , ( i + 1 , n - 1 , 2 ) ) } & { = p _ { A } , } & { Q ( ( i , n - 1 , 2 ) , ( i , n - 1 , 3 ) ) } & { = q _ { A } , } \\ { S ( ( i , n - 1 , 3 ) , \mathrm { T e a m ~ } B \mathrm { ~ w i n s } ) } & { = p _ { B } , } & { Q ( ( i , n - 1 , 3 ) , ( i , n - 1 , 4 ) ) } & { = q _ { B } , } \\ { S ( ( i , n - 1 , 4 ) , \mathrm { T e a m ~ } B \mathrm { ~ w i n s } ) } & { = p _ { B } , } & { Q ( ( i , n - 1 , 4 ) , ( i , n - 1 , 1 ) ) } & { = q _ { B } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 } & { = ( \alpha + 1 ) ( A \alpha ^ { 3 } + B \alpha ^ { 2 } + C \alpha + D ) } \\ & { = A \alpha ^ { 4 } + ( A + B ) \alpha ^ { 3 } + ( B + C ) \alpha ^ { 2 } + ( C + D ) \alpha + D } \\ & { = A ( \lambda \alpha ^ { 3 } + 6 \alpha ^ { 2 } - \lambda \alpha - 1 ) + ( A + B ) \alpha ^ { 3 } + ( B + C ) \alpha ^ { 2 } + ( C + D ) \alpha + D } \\ & { = ( A \lambda + A + B ) \alpha ^ { 3 } + ( 6 A + B + C ) \alpha ^ { 2 } + ( - \lambda A + C + D ) \alpha + ( - A + D ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \langle P \rangle } } & { = \hat { \langle P \rangle } ^ { - } \! \! ( R _ { 2 } ) + [ \hat { \langle P \rangle } ^ { + } ( R _ { 2 } ) - \hat { \langle P \rangle } ^ { - } ( R _ { 2 } ) ] \mathcal { H } ( R _ { 2 } ) , } \\ { \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ^ { \prime } } & { = \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ^ { - ^ { \prime } } ( R _ { 2 } ) + [ \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ^ { + ^ { \prime } } ( R _ { 2 } ) - \hat { \langle U _ { 2 } \rangle } ^ { - ^ { \prime } } ( R _ { 2 } ) ] \mathcal { H } ( R _ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { 1 } } & { = ( A _ { 1 } \cup A _ { 2 } ) \cap ( B _ { 1 } \cup B _ { 2 } ) , \qquad \qquad R _ { 2 } = ( A _ { 3 } \cup A _ { 4 } ) \cap ( C _ { 1 } \cup C _ { 2 } ) , } \\ { R _ { 3 } } & { = ( A _ { 1 } \cup A _ { 2 } ) \cap ( B _ { 3 } \cup B _ { 4 } ) , \qquad \qquad R _ { 4 } = ( A _ { 3 } \cup A _ { 4 } ) \cap ( C _ { 3 } \cup C _ { 4 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \| v \| _ { X ( 0 , T ; \Omega _ { R } ^ { + } ) } = \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq T } \Big ( \| v \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) } ^ { 2 } + \| \nabla v ^ { * } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) } ^ { 2 } \Big ) ^ { 1 / 2 } , } \\ & { } & { \| \phi \| _ { Y ( 0 , T ; \Gamma _ { R } ^ { + } ) } = \operatorname* { s u p } _ { v \in X ( 0 , T ; \Omega _ { R } ^ { + } ) } \frac { \Big | \int _ { 0 } ^ { T } \langle \phi , \, v \rangle _ { \Gamma _ { R } ^ { + } } \, d t \Big | } { \| v \| _ { X ( 0 , T ; \Omega _ { R } ^ { + } ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \textstyle \mathbb { E } _ { B _ { 0 } ^ { + } = z } \bigl [ \bar { \mathcal { S } } _ { ( { \tau ^ { + } } , n ] } ( B _ { \tau ^ { + } } ^ { + } , x ^ { \prime } ) \mathbf { 1 } _ { { \tau ^ { + } } < M } \bigr ] } \\ & { \textstyle \quad = \bigl ( \prod _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \alpha _ { i } ^ { + } \bigr ) \frac { \theta ^ { z - x ^ { \prime } } } { ( 2 \pi \mathrm { i } ) ^ { 2 } } \oint _ { \Gamma _ { \alpha , \beta } } \mathrm { d } w \oint _ { \Gamma _ { 0 } } \mathrm { d } u \, \frac { u ^ { 2 M - z - 1 } } { [ \frac { u ( \alpha - u ) } { 1 + \kappa u } ] ^ { M } } \frac { w ^ { x ^ { \prime } - 2 ( M - n ) } } { [ \frac { w ( \beta - w ) } { 1 + \kappa w } ] ^ { n - M } } \frac { \alpha - 2 u - \kappa u ^ { 2 } } { ( u - w ) ( \alpha - u - w - \kappa u w ) } ( 1 + \kappa u ) ^ { - 1 } \psi ( w ) ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { P } \Big ( \| \widetilde { \sigma } _ { A } - \operatorname { t r } _ { A ^ { c } } ( \sigma ) \| _ { 1 } \ge \eta + \varepsilon \Big ) \le \mathbb { P } \Big ( \| \widetilde { \sigma } _ { A } - \mathbb { E } [ \widetilde { \sigma } _ { A } ] \| _ { 1 } \ge s \Big ) \le 2 ^ { r + 1 } \, \exp \Big ( \frac { - 3 t \varepsilon ^ { 2 } } { 8 . 1 2 ^ { r } } \Big ) \, . } \end{array}
P _ { K ^ { 2 , 3 } } ^ { k ^ { 2 , 3 } } f : = \sum _ { l ^ { 2 , 3 } = 0 } ^ { k ^ { 2 , 3 } - 1 } \Delta _ { K ^ { 2 , 3 } } ^ { ( l ^ { 2 } , l ^ { 3 } ) } f : = \left\{ \begin{array} { l l } { \sum _ { l ^ { 2 } = 0 } ^ { k ^ { 2 } - 1 } \Delta _ { K ^ { 2 , 3 } } ^ { l ^ { 2 } } f + \sum _ { l ^ { 3 } = k ^ { 2 } } ^ { k ^ { 3 } - 1 } E _ { K ^ { 2 } } ^ { k ^ { 2 } } \Delta _ { K ^ { 3 } } ^ { l ^ { 3 } } f , } & { \mathrm { i f ~ } k ^ { 3 } \ge k ^ { 2 } } \\ { \sum _ { l ^ { 3 } = 0 } ^ { k ^ { 3 } - 1 } \Delta _ { K ^ { 2 , 3 } } ^ { l ^ { 3 } } f + \sum _ { l ^ { 2 } = k ^ { 3 } } ^ { k ^ { 2 } - 1 } \Delta _ { K ^ { 2 } } ^ { l ^ { 2 } } E _ { K ^ { 3 } } ^ { k ^ { 3 } } f , } & { \mathrm { i f ~ } k ^ { 3 } < k ^ { 2 } , } \end{array} \right.
\ensuremath { \ell ^ { 1 } } ( \mathcal { I } _ { x } ^ { \ensuremath { \mathcal { G } } } , \mathcal { I } _ { x } ^ { \ensuremath { \mathcal { E } } } ) \subseteq \ensuremath { \ensuremath { \mathrm { C } ^ { * } } _ { \mathrm { r e d } } } ( \mathcal { I } _ { x } ^ { \ensuremath { \mathcal { G } } } , \mathcal { I } _ { x } ^ { \ensuremath { \mathcal { E } } } )
\begin{array} { r l r } & { A _ { j } \left[ \left\lbrace \left( 1 + \phi _ { j } / \xi _ { j } \right) ^ { 3 / 2 } + \frac { \pi ^ { 2 } } { 8 } \left( 1 + \phi _ { j } / \xi _ { j } \right) ^ { - 1 / 2 } \xi _ { j } ^ { - 2 } \right. + \frac { 7 \pi ^ { 4 } } { 6 4 0 } \left( 1 + \phi _ { j } / \xi _ { j } \right) ^ { - 5 / 2 } \xi _ { j } ^ { - 4 } \right\rbrace + \frac { \xi _ { j } \beta _ { j } } { 2 } \left\lbrace \left( 1 + \phi _ { j } / \xi _ { j } \right) ^ { 5 / 2 } \right. } & \\ & { \left. \left. + \frac { 5 \pi ^ { 2 } } { 8 } \left( 1 + \phi _ { j } / \xi _ { j } \right) ^ { 1 / 2 } \xi _ { j } ^ { - 2 } - \frac { 7 \pi ^ { 4 } } { 3 8 4 } \left( 1 + \phi _ { j } / \xi _ { j } \right) ^ { - 3 / 2 } \xi _ { j } ^ { - 4 } \right\rbrace \right] , } & { \mathrm { f o r ~ \beta _ j < 1 ~ } } \\ & { A _ { j } \left[ \Bigl \{ \left( 1 + \phi _ { j } / \xi _ { j } \right) ^ { 2 } + \frac { \pi ^ { 2 } } { 3 } \xi _ { j } ^ { - 2 } \Bigl \} + \frac { \beta _ { j } \xi _ { j } } { 2 } \Bigl \{ \left( 1 + \phi _ { j } / \xi _ { j } \right) ^ { 3 } + \pi ^ { 2 } \xi _ { j } ^ { - 2 } \left( 1 + \phi _ { j } / \xi _ { j } \right) \Bigl \} \right] , } & { \mathrm { f o r ~ \beta _ j > 1 ~ } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\lvert c _ { \Delta } ( \xi _ { \Delta } \eta _ { \Delta ^ { c } } ^ { 1 } , \eta _ { \Delta } ^ { 1 } ) \right\rvert \left\lvert \frac { \gamma _ { \Delta } ( \xi _ { \Delta } \lvert \eta _ { \Delta ^ { c } } ^ { 1 } ) } { \gamma _ { \Delta } ( \eta _ { \Delta } ^ { 1 } \lvert \eta _ { \Delta ^ { c } } ^ { 1 } ) } - \frac { \gamma _ { \Delta } ( \xi _ { \Delta } \lvert \eta _ { \Delta ^ { c } } ^ { 2 } ) } { \gamma _ { \Delta } ( \eta _ { \Delta } ^ { 2 } \lvert \eta _ { \Delta ^ { c } } ^ { 2 } ) } \right\rvert + \left\lvert \frac { \gamma _ { \Delta } ( \xi _ { \Delta } \lvert \eta _ { \Delta ^ { c } } ^ { 2 } ) } { \gamma _ { \Delta } ( \eta _ { \Delta } ^ { 2 } \lvert \eta _ { \Delta ^ { c } } ^ { 2 } ) } \right\rvert \left\lvert c _ { \Delta } ( \xi _ { \Delta } \eta _ { \Delta ^ { c } } ^ { 1 } , \eta _ { \Delta } ^ { 1 } ) - c _ { \Delta } ( \xi _ { \Delta } \eta _ { \Delta ^ { c } } ^ { 2 } , \eta _ { \Delta } ^ { 2 } ) \right\rvert } \\ { \ } & { = \frac { 1 } { 2 } \left\lvert c _ { \Delta } ( \xi _ { \Delta } \eta _ { \Delta ^ { c } } ^ { 1 } , \eta _ { \Delta } ^ { 1 } ) \right\rvert \left\lvert \frac { 1 } { \gamma _ { \Delta } ( \eta _ { \Delta } ^ { 1 } | \eta _ { \Delta ^ { c } } ^ { 1 } ) \gamma _ { \Delta } ( \eta _ { \Delta } ^ { 2 } | \eta _ { \Delta ^ { c } } ^ { 2 } ) } \right\rvert \left\lvert \gamma _ { \Delta } ( \xi _ { \Delta } | \eta _ { \Delta ^ { c } } ^ { 1 } ) - \gamma _ { \Delta } ( \xi _ { \Delta } | \eta _ { \Delta ^ { c } } ^ { 2 } ) \right\rvert \left\lvert \gamma _ { \Delta } ( \eta _ { \Delta } ^ { 1 } | \eta _ { \Delta ^ { c } } ^ { 1 } ) + \gamma _ { \Delta } ( \eta _ { \Delta } ^ { 2 } | \eta _ { \Delta ^ { c } } ^ { 2 } ) \right\rvert } \\ { \ } & { \qquad + \left\lvert \frac { \gamma _ { \Delta } ( \xi _ { \Delta } | \eta _ { \Delta ^ { c } } ^ { 2 } ) } { \gamma _ { \Delta } ( \eta _ { \Delta } ^ { 2 } | \eta _ { \Delta ^ { c } } ^ { 2 } ) } \right\rvert \left\lvert c _ { \Delta } ( \xi _ { \Delta } \eta _ { \Delta ^ { c } } ^ { 1 } , \eta _ { \Delta } ^ { 1 } ) - c _ { \Delta } ( \xi _ { \Delta } \eta _ { \Delta ^ { c } } ^ { 2 } , \eta _ { \Delta } ^ { 2 } ) \right\rvert } \\ { \ } & { \leq \frac { 1 } { 2 \delta ^ { 2 } } e ^ { 2 R } K ( c ) K ( \gamma ) \left\lvert \gamma _ { \Delta } ( \xi _ { \Delta } | \eta _ { \Delta ^ { c } } ^ { 1 } ) - \gamma _ { \Delta } ( \xi _ { \Delta } | \eta _ { \Delta ^ { c } } ^ { 2 } ) \right\rvert + \frac { 1 } { \delta } e ^ { R } \left\lvert c _ { \Delta } ( \xi _ { \Delta } \eta _ { \Delta ^ { c } } ^ { 1 } , \eta _ { \Delta } ^ { 1 } ) - c _ { \Delta } ( \xi _ { \Delta } \eta _ { \Delta ^ { c } } ^ { 2 } , \eta _ { \Delta } ^ { 2 } ) \right\rvert . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P = } & { E ^ { 3 } \big ( - ( 2 - k _ { 2 } ^ { 2 } ) E + 2 ( 1 - k _ { 2 } ^ { 2 } ) K \big ) + 3 K E ^ { 2 } ( 1 - k _ { 2 } ^ { 2 } ) \big ( 2 E - ( 2 - k _ { 2 } ^ { 2 } ) K \big ) } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } K ^ { 2 } ( 1 - k _ { 2 } ^ { 2 } ) ( 2 - k _ { 2 } ^ { 2 } ) \big ( 3 E ( - 2 E + ( 2 - k _ { 2 } ^ { 2 } ) K ) + K ( ( 2 - k _ { 2 } ^ { 2 } ) E - 2 K ) \big ) . } \end{array}
\mathbf { h } = { \left( \begin{array} { l l l } { \mathbf { a } _ { 1 } } & { \mathbf { a } _ { 2 } } & { \mathbf { a } _ { 3 } } \end{array} \right) } ^ { \operatorname { T } } = { \left( \begin{array} { l l l } { a _ { 1 , x _ { 1 } } } & { a _ { 1 , x _ { 2 } } } & { a _ { 1 , x _ { 3 } } } \\ { a _ { 2 , x _ { 1 } } } & { a _ { 2 , x _ { 2 } } } & { a _ { 2 , x _ { 3 } } } \\ { a _ { 3 , x _ { 1 } } } & { a _ { 3 , x _ { 2 } } } & { a _ { 3 , x _ { 3 } } } \end{array} \right) }
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { V A R } ( S ) = } & { { \frac { 2 \left( n ^ { 3 } - \sum t _ { i } ^ { 3 } - \sum u _ { i } ^ { 3 } \right) + 3 \left( n ^ { 2 } - \sum t _ { i } ^ { 2 } - \sum u _ { i } ^ { 2 } \right) + 5 n } { 1 8 } } } \\ & { + { \frac { \left( \sum t _ { i } ^ { 3 } - 3 \sum t _ { i } ^ { 2 } + 2 n \right) \left( \sum u _ { i } ^ { 3 } - 3 \sum u _ { i } ^ { 2 } + 2 n \right) } { 9 n ( n - 1 ) ( n - 2 ) } } } \\ & { + { \frac { \left( \sum t _ { i } ^ { 2 } - n \right) \left( \sum u _ { i } ^ { 2 } - n \right) } { 2 n ( n - 1 ) } } } \end{array} }
Q [ g , X ] = - \, \frac { 1 } { \! \! \! \! \sqrt { | g | } } ( X ( \sqrt { | g | } g ^ { \alpha \beta } ) ) \partial _ { \alpha } u \, \partial _ { \beta } u \, + ( g ^ { \alpha \gamma } \partial _ { \gamma } X ^ { \beta } + g ^ { \beta \gamma } \partial _ { \gamma } X ^ { \alpha } ) \partial _ { \alpha } u \partial _ { \beta } u - \partial _ { \gamma } X ^ { \gamma } \, g ^ { \alpha \beta } \partial _ { \alpha } u \, \partial _ { \beta } u .
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } _ { O } ^ { - } ( \mathbf { x } ) } & { = \sum _ { \mathbf { y \in N } ( g ) } \sum _ { \{ r \in \mathrm { R e c t } ^ { \circ } ( \mathbf { x , y } ) | r \cap \mathbb { X } = \phi , O _ { n + 1 } \in r \} } U _ { 1 } ^ { O _ { 1 } ( r ) } \cdots U _ { n } ^ { O _ { n } ( r ) } \cdot \mathbf { y } , } \\ { \mathcal { H } _ { X } ^ { - } ( \mathbf { x } ) } & { = \sum _ { \mathbf { y \in I } ( g ) } \sum _ { \{ r \in \mathrm { R e c t } ^ { \circ } ( \mathbf { x , y } ) | r \cap \mathbb { X } = \{ X _ { j + 1 } \} \} } U _ { 1 } ^ { O _ { 1 } ( r ) } \cdots U _ { n } ^ { O _ { n } ( r ) } \cdot \mathbf { y } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lfloor \alpha _ { 1 } r ^ { 2 } n \rfloor } & { = r \lfloor \alpha _ { 1 } r n \rfloor + 1 } \\ { \lfloor \alpha _ { i } r ^ { 2 } n \rfloor } & { = r \lfloor \alpha _ { i } r n \rfloor \qquad ( i \geqslant 2 ) } \\ { \lfloor \alpha _ { i } r n \rfloor } & { \neq 0 \mathrm { ~ m o d ~ } r \qquad ( i \geqslant 2 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A ( x , t _ { k } ) = } & { \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } h ^ { 2 } \nabla _ { x } K _ { 2 , \epsilon } \left( X _ { t _ { k } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , x \right) \wedge \omega _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } } \\ & { + \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { k } \delta h ^ { 2 } \nabla _ { x } K _ { 2 , \epsilon } \left( X _ { t _ { k } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , x \right) \wedge F \left( X _ { t _ { j - 1 } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , t _ { j - 1 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } \alpha ^ { 0 } = } & { - 2 \psi _ { 0 } ^ { 0 } { \, { \wedge } \; } \alpha ^ { 0 } + \alpha ^ { 1 } { \, { \wedge } \; } \alpha ^ { 2 } , } \\ { \mathrm { d } \alpha ^ { 1 } = } & { ( - \psi _ { 0 } ^ { 0 } - \psi _ { 1 } ^ { 1 } ) { \, { \wedge } \; } \alpha ^ { 1 } - \beta ^ { 1 } { \, { \wedge } \; } \alpha ^ { 0 } , } \\ { \mathrm { d } \alpha ^ { 2 } = } & { ( - \psi _ { 0 } ^ { 0 } + \psi _ { 1 } ^ { 1 } ) { \, { \wedge } \; } \alpha ^ { 2 } - \beta ^ { 2 } { \, { \wedge } \; } \alpha ^ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( z ) } & { = - \frac { 1 + 2 i } { 1 0 } \frac { 1 } { z + i } + \frac { 1 - 2 i } { 1 0 } \frac { 1 } { z - i } + \frac { 1 } { 5 } \frac { 1 } { z - 2 } } \\ & { = - \frac { 1 + 2 i } { 1 0 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { i ^ { n + 1 } } ( - z ) ^ { n } + \frac { 1 - 2 i } { 1 0 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { ( - i ) ^ { n + 1 } } ( - z ) ^ { n } + \frac { 1 } { 5 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { ( - 2 ) ^ { n + 1 } } ( - z ) ^ { n } } \\ & { = \frac { 1 } { 1 0 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( ( - 2 + i ) i ^ { n } + ( 2 + i ) ( - i ) ^ { n } - \frac { 1 } { 2 ^ { n } } \right) z ^ { n } } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { * } ( \Gamma _ { 1 } ( c t ) , \Gamma _ { 2 } ( c s ) ) } & { \leq d _ { * } ( \Gamma _ { 1 } ( c t ) , a ^ { \prime } ) + d _ { * } ( a ^ { \prime } , \Gamma _ { 2 } ( c s ) ) } \\ & { \leq c \cdot \{ 2 d _ { * } ( \Gamma _ { 1 } ( t ) , \Gamma _ { 2 } ( s ) ) \} + c \cdot E d _ { * } ( \Gamma _ { 1 } ( t ) , \Gamma _ { 2 } ( s ) ) + C } \\ & { = c ( 2 + E ) d _ { * } ( \Gamma _ { 1 } ( t ) , \Gamma _ { 2 } ( s ) ) + C . } \end{array}
{ \bf E } _ { ( \tau , X ^ { \tau } ) \sim P _ { \theta ^ { * } } } [ { \bf E } _ { \bar { \theta } \sim W ^ { \circ } \mid X ^ { \tau } } [ L _ { \ensuremath { Y } } ( \bar { \theta } , \hat { \theta } ( X ^ { \tau } ) ) ] ] = { \bf E } _ { ( \tau , X ^ { \tau } ) \sim P _ { \theta ^ { * } } } \left[ \frac { b ( \tau , X ^ { \tau } ) } { \tau } \right] ,
\begin{array} { r l r } { \| \phi ( j , x ) \| _ { X } } & { = } & { \| A ^ { j } x \| _ { X } = \| A ^ { k r + s } x \| _ { X } } \\ & { \leq } & { \| A ^ { k } \| ^ { r } \| A ^ { s } \| \| x \| _ { X } } \\ & { \leq } & { \| A ^ { k } \| ^ { r } \operatorname* { m a x } _ { s \in [ 0 , k - 1 ] } \| A ^ { s } \| \| x \| _ { X } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { j ( k _ { 0 } , d ) } & { = \exp ( - \kappa _ { k _ { 0 } } ( 2 d + \frac 2 3 d ^ { 3 } ) j ( k _ { 0 } , - d ) } \\ & { + \frac { 1 } \beta \operatorname* { m i n } ( \kappa _ { k _ { 0 } } \pi d ^ { 2 } , 1 ) \vert u _ { 1 } \vert _ { L _ { s } ^ { \infty } } } \\ & { \le \exp ( - \kappa _ { k _ { 0 } } ( 2 d + \frac 2 3 d ^ { 3 } ) \frac { c ^ { 2 } } \beta M ( c \eta ) ^ { - \gamma _ { 2 } } \operatorname* { m i n } ( \kappa _ { k _ { 0 } } , 1 ) } \\ & { + \frac { 3 L M } \beta \operatorname* { m i n } ( \kappa _ { k _ { 0 } } \pi d ^ { 2 } , 1 ) ( c \eta ) ^ { - \gamma _ { 2 } } } \\ & { < \frac { 4 L M } \beta \operatorname* { m i n } ( \kappa _ { k _ { 0 } } \pi d ^ { 2 } , 1 ) ( c \eta ) ^ { - \gamma _ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { \gamma _ { 1 } } ( h _ { 2 } - h _ { 1 } ) } & { = R ( \gamma _ { 2 } + h _ { 2 } ) - R ( \gamma _ { 1 } + h _ { 1 } ) + R ( \gamma _ { 1 } ) - R ( \gamma _ { 2 } ) + \mathcal Q _ { \gamma _ { 1 } } ( h _ { 1 } ) - \mathcal Q _ { \gamma _ { 2 } } ( h _ { 2 } ) } \\ & { \qquad + ( L _ { \gamma _ { 1 } } - L _ { \gamma _ { 2 } } ) ( h _ { 2 } ) } \\ & { = ( b ( \gamma _ { 2 } ) - b ( \gamma _ { 1 } ) ) \zeta f ^ { m } + R ( \gamma _ { 1 } ) - R ( \gamma _ { 2 } ) + \mathcal Q _ { \gamma _ { 1 } } ( h _ { 1 } ) - \mathcal Q _ { \gamma _ { 2 } } ( h _ { 2 } ) } \\ & { \qquad + ( L _ { \gamma _ { 1 } } - L _ { \gamma _ { 2 } } ) ( h _ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { P } ( L I S ( \sigma | _ { \mathcal { R } _ { s } ^ { \prime } } ) \geq 2 \sqrt { 2 C _ { 0 } ^ { \prime } } L ^ { 1 \slash 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } ) } & { \leq } & { \exp ( - c L ^ { 1 \slash 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } ) + C L \exp ( - c \beta _ { n } ^ { - 1 } ) } \\ & { \leq } & { C L \exp ( - c \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Dot { \sigma _ { 1 } } } & { = \left( \nu _ { i 3 } ^ { + } + \nu _ { z 3 } ^ { + } - 1 \right) \frac { k _ { 1 } k _ { 3 } } { k _ { 2 } } x _ { k } \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } , } \\ { \Dot { \sigma _ { 2 } } } & { = \left( \nu _ { j 3 } ^ { + } + \nu _ { z 3 } ^ { + } - 1 \right) \frac { k _ { 1 } k _ { 3 } } { k _ { 2 } } x _ { k } \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } , } \\ { \Dot { x _ { k } } } & { = \left( \nu _ { k 3 } ^ { + } - 1 \right) \frac { k _ { 1 } k _ { 3 } } { k _ { 2 } } x _ { k } \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } , } \\ { \Dot { x _ { \ell } } } & { = \nu _ { \ell 3 } ^ { + } \frac { k _ { 1 } k _ { 3 } } { k _ { 2 } } x _ { k } \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } , \quad \ell \in I . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname { d i v } ( b ^ { \nu } ) = 0 \mathrm { ~ i n ~ } \mathbb { R } ^ { 3 } , } \\ & { b ^ { \nu } \to b \mathrm { ~ i n ~ } L _ { l o c } ^ { 1 } ( ( 0 , T ) \times \mathbb { R } ^ { 3 } ) , } \\ & { ( b ^ { \nu } ) _ { \nu } = ( b _ { 1 } ^ { \nu } + b _ { 2 } ^ { \nu } ) _ { \nu } \mathrm { ~ b o u n d e d ~ i n ~ } L ^ { \infty } ( ( 0 , T ) , ( L ^ { 1 } \cap L ^ { s } ) + L ^ { \infty } ( \mathbb { H } ) ) } \\ & { \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ } s \in ( 1 , 2 ) } \\ & { ( g ^ { \nu } ) _ { \nu } \mathrm { ~ b o u n d e d ~ i n ~ } L ^ { 1 } ( ( 0 , T ) , L ^ { 1 } \cap L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ) ) , } \\ & { g ^ { \nu } \to g \mathrm { ~ i n ~ } L ^ { 1 } ( ( 0 , T ) , L ^ { { p } } ( \mathbb { R } ^ { 3 } ) ) \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ } 1 < p < \infty . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \left[ \begin{array} { l } { n + 1 } \\ { k } \end{array} \right] } _ { q } } & { = { \left[ \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} \right] } _ { q } + q ^ { n - k + 1 } { \left[ \begin{array} { l } { n } \\ { k - 1 } \end{array} \right] } _ { q } } \\ & { = { \left[ \begin{array} { l } { n } \\ { k - 1 } \end{array} \right] } _ { q } + q ^ { k } { \left[ \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} \right] } _ { q } . } \end{array} }
f ( X _ { N } ) - \hat { f } + g _ { Q } ( \kappa ; X _ { N } ) \leq \frac { 1 } { N } \left( \frac { \delta ^ { 2 } } { \tau } + \frac { L _ { h } ^ { 2 } } { \sigma _ { 1 } } + \frac { \kappa ^ { 2 } } { \sigma _ { 2 } } \right) = \frac { 1 } { N } \left( \sigma _ { 1 } \delta ^ { 2 } L _ { B } ^ { 2 } + \frac { L _ { h } ^ { 2 } } { \sigma _ { 1 } } + \sigma _ { 2 } \delta ^ { 2 } L _ { A } ^ { 2 } + \frac { \kappa ^ { 2 } } { \sigma _ { 2 } } + \delta ^ { 2 } L _ { q } \right) .
{ \begin{array} { r l r l r l } { r Y _ { 1 1 } ( \theta , \phi ) } & { = } & & { - r { \sqrt { \frac { 3 } { 8 \pi } } } \sin ( \theta ) e ^ { i \phi } } & { = } & { { \sqrt { \frac { 3 } { 4 \pi } } } \left( - { \frac { x + i y } { \sqrt { 2 } } } \right) } \\ { r Y _ { 1 0 } ( \theta , \phi ) } & { = } & & { r { \sqrt { \frac { 3 } { 4 \pi } } } \cos ( \theta ) } & { = } & { { \sqrt { \frac { 3 } { 4 \pi } } } z } \\ { r Y _ { 1 - 1 } ( \theta , \phi ) } & { = } & & { r { \sqrt { \frac { 3 } { 8 \pi } } } \sin ( \theta ) e ^ { - i \phi } } & { = } & { { \sqrt { \frac { 3 } { 4 \pi } } } \left( { \frac { x - i y } { \sqrt { 2 } } } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \! \! \! ( \mathrm { S P 1 } ) : } & { \! \! \! \! \! \! { \operatorname* { m i n } _ { \boldsymbol { \hat { P } } , \boldsymbol { \Bar { P } } } } \, } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \varepsilon _ { i } } \\ & { \mathrm { s . t . } } & { \bar { P } _ { i } \leq \frac { m _ { 0 } } { m _ { i } } \! \left( \sum _ { j = 1 } ^ { M } - A _ { i , j } ^ { ( \tau ) } \hat { P _ { j } } + B _ { i } ^ { ( \tau ) } \! \right) \! \! , } \\ & { \! \! } & { ~ , , . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { Q _ { A } = \mathrm { { d i v } } ( \kappa _ { A } \nabla \theta _ { A } ) } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega _ { A } ( t ) , } \\ { Q _ { B } = { \mathrm { d i v } } ( \kappa _ { B } \nabla \theta _ { B } ) } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega _ { B } ( t ) , } \\ { Q _ { S } = \mathrm { { d i v } } _ { \Gamma } ( \kappa _ { S } \nabla _ { \Gamma } \theta _ { S } ) + \kappa _ { B } ( n _ { \Gamma } \cdot \nabla ) \theta _ { B } - \kappa _ { A } ( n _ { \Gamma } \cdot \nabla ) \theta _ { A } } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma ( t ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \| P _ { N } \psi ( \cdot , t _ { k + 1 } ) - \Phi ^ { \tau } ( P _ { N } \psi ( \cdot , t _ { k } ) ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \leq C _ { 1 } ( M _ { 2 } ) \tau \left( \tau + h ^ { 2 } \right) , } \\ & { \| P _ { N } \psi ( \cdot , t _ { k + 1 } ) - \Phi ^ { \tau } ( P _ { N } \psi ( \cdot , t _ { k } ) ) \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } \leq C _ { 2 } ( M _ { 2 } ) \tau \left( \tau ^ { \frac { 1 } { 2 } } + h \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { r _ { 1 } } & { = c \left( \frac { a } { 2 } \cdot \frac { ( 1 - \mathrm { e } ^ { - ( a + b ) / 2 } ) } { ( a + b ) / 2 } \cdot r _ { 1 } + \frac { b } { 2 } \cdot \frac { ( 1 - \mathrm { e } ^ { - ( a + b ) / 2 } ) } { ( a + b ) / 2 } \cdot r _ { 2 } \right) + ( 1 - c ) s , } \\ { r _ { 2 } } & { = c \left( \frac { b } { 2 } \cdot \frac { ( 1 - \mathrm { e } ^ { - ( a + b ) / 2 } ) } { ( a + b ) / 2 } \cdot r _ { 1 } + \frac { a } { 2 } \cdot \frac { ( 1 - \mathrm { e } ^ { - ( a + b ) / 2 } ) } { ( a + b ) / 2 } \cdot r _ { 2 } \right) , } \end{array}
0 \longrightarrow \mathrm { H } ^ { 1 } ( S , { \it H o m } _ { { \cal O } _ { S } } ( \Omega _ { S } ^ { 1 } , { \cal O } _ { S } ) ) \longrightarrow \mathrm { E x t } _ { { \cal O } _ { S } } ^ { 1 } ( \Omega _ { S } ^ { 1 } , { \cal O } _ { S } ) \longrightarrow \mathrm { H } ^ { 0 } ( S , E x t ^ { 1 } ( \Omega _ { S } ^ { 1 } , { \cal O } _ { S } ) ) \longrightarrow 0 .
\begin{array} { r l r } { \textbf { V a r } ( t ) } & { = } & { \frac { ( e ^ { \lambda } - 1 ) \sum _ { j = 1 } ^ { x } \frac { \lambda ^ { j } } { j ! } \Big [ \psi _ { 1 } ( j ) + \psi ( j ) ^ { 2 } \Big ] - \Bigg ( \sum _ { j = 1 } ^ { x } \frac { \lambda ^ { j } } { j ! } \psi ( j ) \Bigg ) ^ { 2 } } { \left( r _ { 1 } ( e ^ { \lambda } - 1 ) \right) ^ { 2 } } - \frac { \psi _ { 1 } ( x + 1 ) } { r _ { 1 } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \mathbf { \widetilde { S } } ( t _ { 0 } + \tau ) \mathbf { \widetilde { S } } ( t _ { 0 } ) ^ { \mathrm { T } } \rangle } & { = \left( \vphantom { \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } + \tau } } \mathbf { 1 } + \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } + \tau } \! \! \! \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \langle \mathbf { \widetilde { A } } ( t ) \mathbf { \widetilde { A } } ( t ^ { \prime } ) \rangle d t ^ { \prime } d t \right. } \\ & { \left. + \mathrm { ( h . o . t . ) } \vphantom { \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } + \tau } } \right) \langle \mathbf { \widetilde { S } } ( t _ { 0 } ) \mathbf { \widetilde { S } } ( t _ { 0 } ) ^ { \mathrm { T } } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { \alpha } } & { = } & { \sum _ { i = 0 } ^ { \alpha } { \binom { \alpha } { i } } \frac { ( - 1 ) ^ { i - \alpha } } { 2 i + 1 } ( R + s ) ^ { 2 i + 1 } \delta ^ { 2 \alpha - 2 i } = \int _ { - y } ^ { R } ( x + b ) ^ { \alpha } ( y + b ) ^ { \alpha } d b } \\ { B _ { \alpha } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 ^ { 2 \alpha + 1 } } \sum _ { i = 0 } ^ { \alpha } { \binom { \alpha } { i } } \frac { ( - 1 ) ^ { i - \alpha } } { 2 i + 1 } = \frac { 1 } { 2 ^ { 2 \alpha + 1 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \sum _ { i = 0 } ^ { \alpha } { \binom { \alpha } { i } } ( - 1 ) ^ { i - \alpha } x ^ { 2 i } d x } \\ & { = } & { \frac { ( - 1 ) ^ { \alpha } } { 2 ^ { 2 \alpha + 1 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - x ^ { 2 } ) ^ { \alpha } d x = \frac { ( - 1 ) ^ { \alpha } } { 2 ^ { 2 \alpha + 2 } } 2 ^ { 2 \alpha + 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } u ^ { \alpha } ( 1 - u ) ^ { \alpha } d u = \frac { ( - 1 ) ^ { \alpha } } { 2 } \frac { \Gamma ( \alpha + 1 ) ^ { 2 } } { \Gamma ( 2 \alpha + 2 ) } , } \end{array}
\left( \boldsymbol { J } _ { \tau } ( \boldsymbol { \theta } ) ^ { T } , \mathbf { G } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) \left( \begin{array} { c } { \boldsymbol { J } _ { \tau } ( \boldsymbol { \theta } ) } \\ { \mathbf { G } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { T } } \end{array} \right) I F ( \boldsymbol { y } , \widetilde { T } _ { \tau } , \boldsymbol { \theta } ) = \boldsymbol { J } _ { \tau } ( \boldsymbol { \theta } ) ^ { T } \boldsymbol { \Psi } _ { \boldsymbol { \tau } } ( \boldsymbol { y } ; \boldsymbol { \theta ) }
\begin{array} { r l } { ( \overline { { \xi } } _ { j } ) ^ { 2 } } & { = \bigg ( \eta _ { j } - \lambda + \frac { c _ { k _ { * } } } { ( k _ { * } - 1 ) ! } \beta _ { n } ^ { k _ { * } - 2 } \eta _ { j } ^ { k _ { * } - 1 } + O ( \beta _ { n } ^ { k _ { * } - 1 } ) \bigg ) ^ { 2 } } \\ & { = \lambda ^ { 2 } + \eta _ { j } ^ { 2 } - 2 \lambda \eta _ { j } + \frac { 2 c _ { k _ { * } } } { ( k _ { * } - 1 ) ! } \beta _ { n } ^ { k _ { * } - 2 } \eta _ { j } ^ { k _ { * } - 1 } ( \eta _ { j } - \lambda ) + O ( \beta _ { n } ^ { k _ { * } - 1 } ) } \\ & { = \lambda ^ { 2 } + 2 ( \zeta _ { j } - \lambda \eta _ { j } ) + \frac { 2 c _ { k _ { * } } } { k _ { * } ! } \beta _ { n } ^ { k _ { * } - 2 } \eta _ { j } ^ { k _ { * } - 1 } \big [ ( k _ { * } - 1 ) \eta _ { j } - k _ { * } \lambda \big ] + O ( \beta _ { n } ^ { k _ { * } - 1 } ) . } \end{array}
\| u \| _ { L ^ { \infty } ( \{ | x _ { 1 } | \leq \beta h ^ { 1 / 2 } \} ) } \leq C \beta ^ { - \frac { 1 } { 2 } } h ^ { - \frac { 1 } { 4 } } ( \| u \| _ { L _ { x _ { 1 } , y ^ { \prime } } ^ { 2 } ( \{ \beta h ^ { 1 / 2 } \leq | x _ { 1 } | \leq 2 \beta h ^ { 1 / 2 } \} ) } + h ^ { - 1 } \beta ^ { 2 } \| f \| _ { L _ { x _ { 1 } , y ^ { \prime } } ^ { 2 } ( \{ | x _ { 1 } | \leq 2 \beta h ^ { 1 / 2 } ) \} ) } ) .
\begin{array} { r l r l r } { \alpha _ { 1 } \cdot ( \alpha _ { 1 } [ 4 ] ) } & { = \beta _ { 1 } [ 0 ] } & { \beta _ { 1 } \cdot 1 } & { = \beta _ { 1 } [ 0 ] } & \\ { \alpha _ { 1 } \cdot ( \alpha _ { 1 } \beta _ { 1 } [ 4 ] ) } & { = \beta _ { 1 } ^ { 2 } [ 0 ] } & { \beta _ { 1 } \cdot ( \beta _ { 1 } [ 0 ] ) } & { = \beta _ { 1 } ^ { 2 } [ 0 ] } \\ { \beta _ { 1 } \cdot ( \alpha _ { 1 } [ 4 ] ) } & { = \alpha _ { 1 } \beta _ { 1 } [ 4 ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { q } ^ { H } Q ^ { H } } & { = \hat { q } ^ { H } \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { \vert } & & { \vert } & { \vert } & { \vert } & & { \vert } \\ { q _ { 1 } } & { \dots } & { q _ { j - 1 } } & { q _ { j } } & { q _ { j + 1 } } & { \dots } & { q _ { m } } \\ { \vert } & & { \vert } & { \vert } & { \vert } & & { \vert } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { 0 } & { \dots } & { 0 } & { \alpha } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \end{array} \right] } \\ & { = \alpha e _ { j } ^ { \top } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | } & { \left( d _ { n } ( i _ { 2 } ) ( \omega , j ) - d _ { n } ( i _ { 2 } ) ( \omega , k ) \right) - \left( d _ { n } ( i _ { 1 } ) ( \omega , j ) - d _ { n } ( i _ { 1 } ) ( \omega , k ) \right) | } \\ & { \le | \left( d _ { 0 } ( i _ { 2 } ) ( \omega , j ) - d _ { 0 } ( i _ { 2 } ) ( \omega , k ) \right) - \left( d _ { 0 } ( i _ { 1 } ) ( \omega , j ) - d _ { 0 } ( i _ { 1 } ) ( \omega , k ) \right) | + 2 \operatorname* { s u p } _ { j \in S ^ { \perp } } | r _ { \le n } ( i _ { 1 } ) ( \omega , j ) - r _ { \le n } ( i _ { 2 } ) ( \omega , j ) | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { \ell - 1 } ( 0 ) } & { = \frac { t _ { 1 } ^ { \ell } - t _ { 0 } ^ { \ell } } { t _ { 2 } ^ { \ell } - t _ { 0 } ^ { \ell } } = \frac { \sin ^ { 2 } \left( \frac { \pi } { 2 } \cdot \frac { 1 } { 2 ^ { \ell } } \right) - \sin ^ { 2 } ( 0 ) } { \sin ^ { 2 } \left( \frac { \pi } { 2 } \cdot \frac { 2 } { 2 ^ { \ell } } \right) - \sin ^ { 2 } ( 0 ) } = \frac { \sin ^ { 2 } ( \frac { 1 } { x } ) } { \sin ^ { 2 } ( \frac { 2 } { x } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathcal { Z } ^ { ( \ell _ { 1 } | 0 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } { \mathcal { Z } ^ { ( 0 | 0 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } } & { \simeq \frac { G _ { 2 } ( \ell _ { 1 } + 1 ) } { \left( 2 \pi \right) ^ { \ell _ { 1 } / 2 } } \, { \mathrm { e } } ^ { - \frac { \ell _ { 1 } } { g _ { \mathrm { s } } } \left( V _ { \mathrm { h ; e f f } } ( x _ { 1 } ^ { \star } ) - V _ { \mathrm { h ; e f f } } ( a ) \right) } \left( \frac { g _ { \mathrm { s } } } { 1 6 M ^ { \prime } ( x _ { 1 } ^ { \star } ) \left( x _ { 1 } ^ { \star } - a \right) ^ { 5 / 2 } } \right) ^ { \frac { \ell _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } } + \cdots , } \\ { \frac { \mathcal { Z } ^ { ( 0 | \bar { \ell } _ { 1 } ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } { \mathcal { Z } ^ { ( 0 | 0 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } } & { \simeq \frac { G _ { 2 } ( \bar { \ell } _ { 1 } + 1 ) } { \left( 2 \pi \right) ^ { \bar { \ell } _ { 1 } / 2 } } \, { \mathrm { e } } ^ { \frac { \bar { \ell } _ { 1 } } { g _ { \mathrm { s } } } \left( V _ { \mathrm { h ; e f f } } ( x _ { 1 } ^ { \star } ) - V _ { \mathrm { h ; e f f } } ( a ) \right) } \left( - \frac { g _ { \mathrm { s } } } { 1 6 M ^ { \prime } ( x _ { 1 } ^ { \star } ) \left( x _ { 1 } ^ { \star } - a \right) ^ { 5 / 2 } } \right) ^ { \frac { \bar { \ell } _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } } + \cdots . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { 5 } ( z , w ) } & { = \left( 2 z ^ { 6 } + \frac { 1 } { 2 } z ^ { 7 } - \frac { 5 } { 4 } z ^ { 1 1 } + 4 z ^ { 2 2 } + \frac { 2 9 } { 1 0 } z ^ { 3 4 } - 1 z ^ { 4 0 } - \frac { 1 3 } { 2 } z ^ { 4 3 } \right) + \left( \frac { 3 } { 5 } z ^ { 1 0 } + \frac { 7 } { 4 } z ^ { 2 4 } - \frac { 1 } { 4 } z ^ { 5 0 } \right) w ^ { 2 } } \\ & { + \left( 2 z ^ { 1 7 } + \frac { 7 } { 2 } z ^ { 3 4 } \right) w ^ { 3 } + \left( - \frac { 3 } { 2 } z ^ { 3 0 } + \frac { 4 } { 3 } z ^ { 3 8 } + \frac { 8 } { 5 } z ^ { 4 2 } \right) w ^ { 4 } + \left( - \frac { 6 } { 5 } z ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } z ^ { 6 } + \frac { 7 } { 3 } z ^ { 3 1 } \right) w ^ { 9 } } \\ & { + \left( - \frac { 2 } { 5 } z ^ { 1 1 } - \frac { 3 } { 2 } z ^ { 2 6 } + 1 z ^ { 4 5 } \right) w ^ { 1 0 } + \left( \frac { 7 } { 5 } z ^ { 2 4 } - 6 z ^ { 3 2 } - 6 z ^ { 4 9 } \right) w ^ { 1 4 } } \\ & { + \left( - \frac { 3 } { 4 } z ^ { 5 } + \frac { 7 } { 3 } z ^ { 2 1 } - \frac { 1 } { 4 } z ^ { 2 6 } + \frac { 4 } { 5 } z ^ { 2 7 } + \frac { 4 } { 3 } z ^ { 3 2 } - 2 z ^ { 3 6 } + \frac { 1 } { 3 } z ^ { 3 9 } - \frac { 3 } { 4 } z ^ { 4 1 } - z ^ { 4 3 } \right) w ^ { 1 6 } } \\ & { + \left( - 6 z ^ { 1 4 } - 2 z ^ { 3 1 } - z ^ { 3 3 } \right) w ^ { 1 8 } + \left( - 2 z ^ { 2 7 } - \frac { 8 } { 3 } z ^ { 5 0 } \right) w ^ { 2 2 } + \left( 4 z ^ { 8 } + \frac { 4 } { 5 } z ^ { 2 5 } - \frac { 3 } { 2 } z ^ { 2 7 } \right) w ^ { 2 4 } } \\ & { + \left( - 3 z ^ { 4 } + \frac { 8 } { 3 } z ^ { 2 2 } - \frac { 8 } { 5 } z ^ { 4 3 } \right) w ^ { 3 3 } + \left( \frac { 7 } { 3 } z ^ { 1 4 } - \frac { 3 } { 2 } z ^ { 1 8 } \right) w ^ { 3 4 } + \left( - 4 + 8 z ^ { 1 3 } - \frac { 7 } { 4 } z ^ { 4 7 } \right) w ^ { 3 6 } } \\ & { + \left( z ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } z ^ { 7 } \right) w ^ { 3 8 } + \left( - \frac { 1 } { 2 } z ^ { 2 0 } - z ^ { 2 9 } + z ^ { 4 6 } \right) w ^ { 4 0 } + \left( \frac { 1 } { 3 } z ^ { 1 0 } + \frac { 7 } { 4 } z ^ { 1 1 } + \frac { 8 } { 5 } z ^ { 2 1 } \right) w ^ { 4 7 } } \\ & { + \left( \frac { 2 } { 3 } z ^ { 2 } + 6 z ^ { 2 6 } + \frac { 3 } { 5 } z ^ { 4 3 } \right) w ^ { 4 8 } + \left( - z ^ { 9 } + \frac { 1 } { 4 } z ^ { 1 3 } + 2 z ^ { 1 4 } + 2 z ^ { 1 8 } + z ^ { 3 6 } - 2 z ^ { 4 4 } \right) w ^ { 4 9 } } \\ & { + \left( - \frac { 1 } { 3 } z ^ { 2 3 } - \frac { 7 } { 2 } z ^ { 4 0 } + z ^ { 4 2 } \right) w ^ { 5 0 } } \\ & { = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \underline { { \theta } } } \left( U \bigg | \left( Z , \overline { { X } } _ { 3 - Q } , \widetilde { S } ^ { 2 } , Q \right) \right) } & { = \frac { \displaystyle \int _ { - 1 } ^ { V ^ { * } } u ( 1 - u ^ { 2 } ) ^ { c - 1 } ~ d u } { \displaystyle \int _ { - 1 } ^ { V ^ { * } } ( 1 - u ^ { 2 } ) ^ { c - 1 } d u } } \\ & { = - \frac { ( 1 - { V ^ { * } } ^ { 2 } ) ^ { c } } { 2 ^ { 2 c } c B ( c , c ) I _ { c , c } \left( \frac { V ^ { * } + 1 } { 2 } \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { a } \! \! \! \! x f _ { | h _ { \! a w } ^ { \! m , \mathbb { B } } | ^ { 2 } } ( x ) d x \! = x F _ { | h _ { \! a w } ^ { \! m , \mathbb { B } } | ^ { 2 } } ( x ) \textbf { \Big | } _ { 0 } ^ { a } \! - \! \int _ { 0 } ^ { a } \! \! F _ { | h _ { \! a w } ^ { \! m , \mathbb { B } } | ^ { 2 } } \! ( x ) d x . } \end{array}
[ L _ { i , a } ^ { * , q } ] [ L _ { i , a } ^ { - , q } ] = [ \overline { { \omega _ { i } } } ] \prod _ { \{ j \in I | C _ { j , i } \neq 0 \} } [ L _ { j , a q _ { j } ^ { C _ { j , i } } } ^ { - , q } ] + [ \, \overline { { \omega _ { i } - \alpha _ { i } } } \, ] \prod _ { \{ j \in I | C _ { j , i } \neq 0 \} } [ L _ { j , a q _ { j } ^ { - C _ { j , i } } } ^ { - , q } ]
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathcal { W } ^ { \left( \bar { \alpha } , \bar { \nu } \right) } ( z ) = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \prod _ { i = 1 } ^ { k } \prod _ { j = 1 } ^ { n } \frac { \Gamma ( \alpha _ { n + 1 } i + a _ { j } ) } { \Gamma ( \alpha _ { n + 1 } i + b _ { j } ) } \cdot \frac { z ^ { k } } { \Gamma ( \alpha _ { n + 1 } k + b _ { n + 1 } ) } } \\ { . } \end{array}
\begin{array} { r l } { v ^ { k } : = v ( t _ { k } ) , \quad \partial _ { \tau } ^ { k } v } & { : = \frac { v ^ { k + 1 } - v ^ { k } } { \tau } , \quad \partial _ { \tau \tau } ^ { k } v : = \frac { v ^ { k - 1 } - 2 v ^ { k } + v ^ { k + 1 } } { \tau ^ { 2 } } = \frac { \partial _ { \tau } ^ { k } v - \partial _ { \tau } ^ { k - 1 } v } { \tau } , } \\ { \delta _ { \tau } ^ { k } v } & { : = \frac { v ^ { k + 1 } - v ^ { k - 1 } } { 2 \tau } = \frac { \partial _ { \tau } ^ { k } v + \partial _ { \tau } ^ { k - 1 } v } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ C _ { n } ^ { 2 } X _ { n , m } ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { n , m - 1 } ] } & { = 4 \sum _ { i j \ell ( d i s t ) } W _ { i j } W _ { i l } \Omega _ { m i } ( 1 - \Omega _ { m i } ) + 4 \sum _ { i , j ( d i s t ) } W _ { i j } ^ { 2 } \Omega _ { m i } ( 1 - \Omega _ { m i } ) } \\ & { = 2 4 \sum _ { i < j < \ell } W _ { i j } W _ { i l } \Omega _ { m i } ( 1 - \Omega _ { m i } ) + 8 \sum _ { i < j } W _ { i j } ( 1 - 2 \Omega _ { i j } ) \Omega _ { m i } ( 1 - \Omega _ { m i } ) } \\ & { \quad + 4 \sum _ { i < j } \Omega _ { i j } ( 1 - \Omega _ { i j } ) \Omega _ { m i } ( 1 - \Omega _ { m i } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { S ^ { \star } ( t ) : = \Big [ p ^ { \prime } \left( \underline { { \chi } } ^ { \star } ( t ) \varrho ( T _ { \varepsilon } ^ { \star } ) + R ^ { \star } ( t ) \right) - p ^ { \prime } \left( \underline { { \chi } } ^ { \star } ( t ) \varrho ( T _ { \varepsilon } ^ { \star } ) \right) \Big ] \underline { { \chi } } ^ { \star } ( t ) \varrho ( T _ { \varepsilon } ^ { \star } ) + p ^ { \prime } \left( \underline { { \chi } } ^ { \star } ( t ) \varrho ( T _ { \varepsilon } ^ { \star } ) + R ^ { \star } ( t ) \right) R ^ { \star } ( t ) . } \end{array}
\frac { \| u _ { h } - u _ { \mathrm { r e f } } \| _ { l ^ { 2 } ( 0 , T , H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega _ { \mathrm { r e f } } ) ) } ^ { 2 } } { \| u _ { \mathrm { r e f } } \| _ { l ^ { 2 } ( 0 , T , H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega _ { \mathrm { r e f } } ) ) } ^ { 2 } } \approx \frac { \sum _ { n = 0 } ^ { N } \Delta t \int _ { \Omega _ { \mathrm { r e f } } } | \nabla u _ { h } ( . , t _ { n } ) - \nabla u _ { \mathrm { r e f } } ( . , t _ { n } ) | ^ { 2 } \mathrm { d } x } { \sum _ { n = 0 } ^ { N } \Delta t \int _ { \Omega _ { \mathrm { r e f } } } | \nabla u _ { \mathrm { r e f } } ( . , t _ { n } ) | ^ { 2 } \mathrm { d } x } \, ,
\begin{array} { c } { _ V \phi _ { v } ^ { f } \, { _ W } \phi _ { w } ^ { l } = { _ { V \otimes W } \phi _ { v \otimes w } ^ { f \otimes l } } , \quad \Delta ( _ { V } \phi _ { j } ^ { i } ) = \sum _ { k = 1 } ^ { \dim ( V ) } { _ V \phi _ { k } ^ { i } } \otimes { _ V \phi _ { j } ^ { k } } , } \\ { 1 _ { H ^ { \circ } } = { _ k \phi _ { 1 } ^ { 1 } } , \quad \varepsilon ( _ { V } \phi _ { j } ^ { i } ) = \delta _ { i , j } , \quad S ( _ { V } \phi _ { j } ^ { i } ) = { _ { V ^ { * } } \phi _ { i } ^ { j } } } \end{array}
\Pi = x _ { 1 } ^ { m } \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } \wedge \frac { \partial } { \partial y _ { 1 } } + \sum _ { i = 2 } ^ { m } \frac { \partial } { \partial x _ { i } } \wedge \frac { \partial } { \partial y _ { i } } \mathrm { ~ a n d ~ } f = a _ { 0 } \log { x _ { 1 } } + \sum _ { i = 1 } ^ { m - 1 } a _ { i } \frac { 1 } { x _ { 1 } ^ { i } } + h .
\sqrt { \sum _ { a \in [ K ] } \left( \sigma ^ { a } \right) ^ { 2 } } \geq \sqrt { \sum _ { a \in [ K ] } \mathbb { E } ^ { X } \left[ \left( \sigma ^ { a } ( X ) \right) ^ { 2 } \right] } \geq \operatorname* { m i n } _ { w \in \mathcal { W } } \operatorname* { m a x } _ { d \in [ K ] } \sqrt { \mathbb { E } _ { X } \left[ \frac { \left( \sigma ^ { d } ( X ) \right) ^ { 2 } } { w ( d | X ) } \right] } .
\begin{array} { r l r l } { \{ X , Y \} } & { = \{ A , F \} } & & { \rightarrow Z = 2 0 } \\ & { = \{ B , F \} } & & { \rightarrow Z = 1 8 } \\ & { = \{ A , E \} } & & { \rightarrow Z = 1 7 } \\ & { = \{ C , F \} } & & { \rightarrow Z = 1 6 } \\ & { = \{ A , D \} \mathrm { ~ o r ~ } \{ B , E \} } & & { \rightarrow Z = 1 5 } \\ & { = \{ B , D \} \mathrm { ~ o r ~ } \{ C , E \} } & & { \rightarrow Z = 1 3 } \\ & { = \{ C , D \} } & & { \rightarrow Z = 1 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathring { \Delta } _ { \shuffle } \left( a _ { \eta } ^ { i } \right) } & { = \left( \pi _ { V ^ { + } } \otimes \pi _ { V ^ { + } } \right) \circ \Delta _ { \shuffle } \left( a _ { \eta ^ { i } } \right) } \\ & { = \sum _ { \left( \eta \right) } a _ { \eta ^ { \prime } } ^ { i } \otimes a _ { \eta ^ { \prime \prime } } ^ { i } } \end{array}
\sigma ( j - j ^ { \prime } , t ) = \frac 1 Z \sum _ { N = 0 } ^ { \infty } \sum _ { \mathbf { k } , \ell } \sum _ { m , m ^ { \prime } = - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \frac { d \lambda } { 2 \pi } \frac { d \lambda ^ { \prime } } { 2 \pi } e ^ { - i \lambda m + i \lambda ^ { \prime } m ^ { \prime } } e ^ { - \beta E _ { \mathbf { k } } } \mathcal { C } _ { p } ( \lambda , \lambda ^ { \prime } ; j - j ^ { \prime } ; t ) \mathcal { S } ( m , m ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r l r } { \tilde { p } _ { n , \mathcal { M } } } & { = } & { P \left( \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\vert \sqrt { n } \mathcal { W } _ { n , i } \widehat { \tilde { \theta } } _ { i } \right\vert > \right. } \\ & { } & { \mathrm { ~ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \left. \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\vert \sqrt { n } \mathcal { W } _ { n , i } \left( \hat { \theta } _ { i } - \frac { c _ { i } } { \sqrt { n / \ln \left( k _ { \theta , n } \right) } } \right) + \mathcal { W } _ { i } c _ { i } \sqrt { \ln \left( k _ { \theta , n } \right) } \right\vert | \mathfrak { S } _ { n } \right) + o _ { p } ( 1 ) } \\ & { = } & { P \left( \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\vert \mathcal { W } _ { i } \boldsymbol { \mathring { Z } } _ { ( i ) } ( [ \boldsymbol { 0 } _ { k _ { \delta } } ^ { \prime } , 1 ] ) \right\vert / \sqrt { \ln \left( k _ { \theta , n } \right) } > \right. } \\ & { } & { \mathrm { ~ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \left. \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\vert \sqrt { \frac { n } { \ln \left( k _ { \theta , n } \right) } } \mathcal { W } _ { n , i } \left( \hat { \theta } _ { i } - \frac { c _ { i } } { \sqrt { n / \ln \left( k _ { \theta , n } \right) } } \right) + \mathcal { W } _ { i } c _ { i } \right\vert | \mathfrak { S } _ { n } \right) + o _ { p } ( 1 ) } \\ & { = } & { \mathcal { P } _ { n } \left( \mathcal { W } _ { j } c _ { j } \right) + o _ { p } ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \lambda _ { m b } ( \alpha , \beta = \pm 1 ) = x _ { m b } ( \alpha , \beta ) , } \\ & { } & { \lambda _ { m s } ( \alpha , \beta = \pm 1 ) = \frac { x _ { m s } ( \alpha , \beta ) } { \sqrt { 3 } } , \qquad \varepsilon _ { m s } ( \alpha , \beta = \pm 1 ) = \sqrt { 1 - \frac { 2 } { 3 x _ { m s } ( \alpha , \beta ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb E \left( \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \tau _ { j , k } ^ { T } ] } \| U \| _ { s - 1 , j } ^ { 2 } \right) \leq } & { 2 \mathbb E \| U _ { 0 } \| _ { s - 1 , j } ^ { 2 } + C _ { \rho , \kappa } \mathbb E \int _ { 0 } ^ { \tau _ { j , k } ^ { T } } \| U \| _ { s - 1 , j } ^ { 2 } d t + C \mathbb E \int _ { 0 } ^ { \tau _ { j , k } ^ { T } } ( \| u ^ { k } \| _ { s } ^ { 2 } + \| u ^ { j } \| _ { s } ^ { 2 } ) \| U \| _ { s - 2 } ^ { 2 } d t . } \\ { \leq } & { 2 \mathbb E \| U _ { 0 } \| _ { s - 1 , j } ^ { 2 } + C _ { \rho , \kappa } \mathbb E \int _ { 0 } ^ { \tau _ { j , k } ^ { T } } \| U \| _ { s - 1 , j } ^ { 2 } d t , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \boldsymbol W } : \quad \hat { f } _ { \mathcal { D } } ( { \boldsymbol W } , { \boldsymbol a } ^ { ( 0 ) } ) : = } & { - \frac { 1 } { | \mathcal { D } | } \sum _ { v \in \mathcal { D } } y _ { v } \cdot g \big ( { \boldsymbol W } , { \boldsymbol a } ^ { ( 0 ) } ; { \boldsymbol X } _ { \mathcal { N } ( v ) } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { r a n k ( k ) , \Delta } \epsilon ( r a n k ( k ) , t , \Delta ) > \sum _ { r a n k ( G D P ) , \Delta } \epsilon ( r a n k ( G D P ) , t , \Delta ) } \\ & { > \sum _ { r a n k ( s ) , \Delta } \epsilon ( r a n k ( s ) , t , \Delta ) > \sum _ { r a n k ( T S ) , \Delta } \epsilon ( r a n k ( T S ) , t , \Delta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { \theta } _ { \Omega _ { 2 } } - \overline { \theta } _ { \Omega _ { 1 } } = } & { \big ( \overline { \theta } _ { \Omega _ { 2 } } - \theta _ { \Omega _ { 2 } } ( y ) \big ) + \big ( \theta _ { \Omega _ { 1 } } ( y ) - \overline { \theta } _ { \Omega _ { 1 } } \big ) + \big ( \theta _ { \Omega _ { 2 } } ( y ) - \theta _ { \Omega _ { 1 } } ( y ) \big ) } \\ & { = \big ( \overline { \theta } _ { \Omega _ { 2 } } - \theta _ { \Omega _ { 2 } } ( y ) \big ) + \big ( \theta _ { \Omega _ { 1 } } ( y ) - \overline { \theta } _ { \Omega _ { 1 } } \big ) + ( \Omega _ { 2 } - \Omega _ { 1 } ) \int _ { 0 } ^ { 1 } \dot { \theta } _ { \tau \Omega _ { 2 } + ( 1 - \tau ) \Omega _ { 1 } } ( y ) d \tau . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { | \bar { 0 } \rangle \equiv | \psi _ { m = 0 } \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { \mathcal { N } _ { 0 } } } \Big ( | \alpha \rangle + | - \alpha \rangle + | i \alpha \rangle + | - i \alpha \rangle \Big ) } \\ & { } & { | \bar { 1 } \rangle \equiv | \psi _ { m = 2 } \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { \mathcal { N } _ { 2 } } } \Big ( | \alpha \rangle + | - \alpha \rangle - | i \alpha \rangle - | - i \alpha \rangle \Big ) , } \end{array}
\pi _ { n } ^ { n + 1 } ( \mathrm { F i t t } _ { R _ { n + 1 } ^ { \chi } } ( S e l _ { \Sigma \cup J _ { v } } ^ { \Sigma ^ { \prime } \setminus J _ { v } } ( H _ { n + 1 } ) _ { R _ { n + 1 } ^ { \chi } } ^ { - } ) \subseteq \mathrm { F i t t } _ { R _ { n } ^ { \chi } } ( S e l _ { \Sigma \cup J _ { v } } ^ { \Sigma ^ { \prime } \setminus J _ { v } } ( H _ { n } ) _ { R _ { n } ^ { \chi } } ^ { - } ) , \qquad \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } n \gg 0 .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \mathcal { N } } ( \boldsymbol { u } , \boldsymbol { \gamma } ) } & { = \frac { 1 } { 2 N _ { \mathcal { N } } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathcal { N } } } \lambda _ { \mathcal { N } , i } ( \mathcal { N } [ u _ { i } ; \gamma _ { i } ] ) ^ { 2 } } \\ { \mathcal { L } _ { \mathcal { B } } ( \boldsymbol { u } ) } & { = \frac { 1 } { 2 N _ { \mathcal { B } _ { x } } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathcal { B } _ { x } } } \lambda _ { \mathcal { B } _ { x } , i } ( \mathcal { B } _ { x } [ u _ { i } ] ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 N _ { \mathcal { B } _ { y } } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathcal { B } _ { y } } } \lambda _ { \mathcal { B } _ { y } , i } ( \mathcal { B } _ { y } [ u _ { i } ] ) ^ { 2 } } \\ { \mathcal { L } _ { \mathcal { I } } ( \boldsymbol { u } ) } & { = \frac { 1 } { 2 N _ { \mathcal { I } _ { 0 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathcal { I } _ { 0 } } } \lambda _ { \mathcal { I } _ { 0 } , i } ( \mathcal { I } _ { 0 } [ u _ { i } ] ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 N _ { \mathcal { I } _ { 1 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathcal { I } _ { 1 } } } \lambda _ { \mathcal { I } _ { 1 } , i } ( \mathcal { I } _ { 1 } [ u _ { i } ] ) ^ { 2 } } \\ { \mathcal { L } ( \boldsymbol { u } , \boldsymbol { \gamma } ) } & { = \lambda _ { \mathcal { N } } \mathcal { L } _ { \mathcal { N } } ( \boldsymbol { u } , \boldsymbol { \gamma } ) + \lambda _ { \mathcal { B } } \mathcal { L } _ { \mathcal { B } } ( \boldsymbol { u } ) + \lambda _ { \mathcal { I } } \mathcal { L } _ { \mathcal { I } } ( \boldsymbol { u } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } \xi ^ { \frac { - \kappa + 1 / 2 } { 2 } - 1 } ( 1 - \xi ) ^ { \frac { \kappa + 1 / 2 } { 2 } - 1 } \, \mathrm { e } ^ { ( \xi - 1 / 2 ) z } } \\ & { \qquad \times \left( - \frac { 2 \xi ( 1 - \xi ) } { z } \, \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } \xi } \, - 2 \xi ( 1 - \xi ) + \frac { \kappa + \xi - \frac { 1 } { 2 } } { z } \right) \, J _ { \mu } ( \sqrt { \xi ( 1 - \xi ) } z ) \, \mathrm { d } \xi \ . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { V } & { = \frac { \gamma _ { 0 } b _ { \infty } } { h } \| [ w _ { 2 } ] \| _ { \mathcal { F } _ { h } } ^ { 2 } + \gamma _ { 1 } h b _ { \infty } \| [ n _ { F } \cdot \nabla w _ { 2 } ] \| _ { \mathcal { F } _ { h } } ^ { 2 } + \gamma _ { n } b _ { \infty } \| n _ { \Gamma _ { h } } \cdot \nabla w _ { 2 } \| _ { \mathcal { T } _ { h } } ^ { 2 } } \\ & { = V _ { a } + V _ { b } + V _ { c } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I _ { 2 } } & { = } & { \frac { K ^ { \prime } } { ( \hbar \omega ) ^ { 2 } \epsilon ^ { n - 2 } } \int _ { 1 / 2 } ^ { 1 } \frac { x ^ { n } - \frac { K \epsilon ^ { n - 2 } } { K ^ { \prime } ( \hbar \omega ) ^ { m - 2 } } x ^ { 2 } } { x ^ { 4 } - ( \epsilon / \hbar \omega ) ^ { 2 } x ^ { 2 } } \textrm { d } x } \\ & { = } & { \frac { - K ^ { \prime } } { ( \hbar \omega ) ^ { 2 } \epsilon ^ { n - 2 } ( n - 3 ) } \left\{ _ { 2 } F _ { 1 } \left( 1 , \frac { - n + 3 } { 2 } ; \frac { - n + 3 } { 2 } ; ( \epsilon / \hbar \omega ) ^ { 2 } \right) - 2 ^ { - n + 3 } _ { 2 } F _ { 1 } \left( 1 , \frac { - n + 3 } { 2 } ; \frac { - n + 3 } { 2 } ; ( 2 \epsilon / \hbar \omega ) ^ { 2 } \right) \right. } \\ & { - } & { \left. \frac { \kappa } { 2 } \left( \frac { \epsilon } { \hbar \omega } \right) ^ { m - 3 } \log \left( \frac { ( - 1 + ( \epsilon / \hbar \omega ) ) ( 1 + ( 2 \epsilon / \hbar \omega ) ) } { ( - 1 + ( 2 \epsilon / \hbar \omega ) ) ( 1 + ( \epsilon / \hbar \omega ) ) } \right) \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal D _ { N } ^ { \Phi , \alpha } f ( 0 ) } & { = \sum _ { m \in \mathbb { Z } ^ { d } \setminus \{ 0 \} } \left( \sum _ { n = - \infty } ^ { + \infty } \Phi ( N , n ) e ^ { 2 \pi i m \cdot \alpha } \right) | m | ^ { - d \vartheta } } \\ & { \geq H \sum _ { m \in \mathbb { Z } ^ { d } \setminus \{ 0 \} } | m | ^ { - d \vartheta } \left( 1 + N \| m \cdot \alpha \| \right) ^ { - \vartheta } } \\ & { \geq H 2 ^ { - \vartheta } N ^ { - \vartheta } \sum _ { \| m \cdot \alpha \| > \frac { 1 } { N } } | m | ^ { - d \vartheta } \| m \cdot \alpha \| ^ { - \vartheta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i = 2 } ^ { m } \int _ { 0 } ^ { T } \left( \hat { u } _ { i } ( t ) - ( \beta ^ { i } { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \hat { p } ^ { i } ) ( b _ { i } ^ { - } , t ) \right) ( { v } _ { i } ( t ) - \hat { u } _ { i } ( t ) ) \; d t } \\ & { + \displaystyle \sum _ { i = m + 1 } ^ { n } \int _ { 0 } ^ { T } \left( \hat { u } _ { i } ( t ) + ( I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } \hat { p } ^ { i } ) ( b _ { i } ^ { - } , t ) \right) ( { v } _ { i } ( t ) - \hat { u } _ { i } ( t ) ) \; d t \geq 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { | m _ { \mathtt { A } , r } ( \xi ) | } & { { \le _ { \alpha , \nu , S _ { 0 } ^ { + } } } \mathtt { M } ^ { 1 - \alpha } | \xi | ^ { \alpha } + \mathtt { M } | \xi | ^ { \alpha - 1 } , } \\ { | m _ { \mathtt { A } , r } ( \xi _ { 1 } ) - m _ { \mathtt { A } , r } ( \xi _ { 2 } ) | } & { { \le _ { \alpha , \nu , S _ { 0 } ^ { + } } } | \xi _ { 1 } - \xi _ { 2 } | ( \mathtt { M } ^ { 1 - \alpha } ( | \xi _ { 1 } | + | \xi _ { 2 } | ) ^ { \alpha - 1 } + \mathtt { M } ( | \xi _ { 1 } | + | \xi _ { 2 } | ) ^ { \alpha - 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p G _ { 0 } ^ { \prime } } & { = - \nu ( 1 + \ell ^ { 2 } ) k ^ { 2 } G _ { 0 } ^ { \prime } + { k } ( 1 - 3 \ell ^ { 2 } ) G _ { - } + [ 2 \ell ^ { \prime } - 4 k ^ { 2 } \ell ^ { \prime } ( 1 - \ell ^ { 2 } ) ] G _ { + } } \\ & { + i k B _ { 0 } \ell ^ { \prime } ( 1 + \ell ^ { 2 } ) H _ { 0 } + i \tilde { B } _ { 0 } 2 \ell ^ { \prime } H _ { - } + i k \tilde { B } _ { 0 } ( 1 + \ell ^ { 2 } ) H _ { + } } \\ { p H _ { 0 } } & { = - \eta ( 1 + \ell ^ { 2 } ) k ^ { 2 } H _ { 0 } + k H _ { - } + i k B _ { 0 } \frac { \ell ^ { \prime } } { 1 + \ell ^ { 2 } } \, G _ { 0 } - i k ^ { 2 } \tilde { B } _ { 0 } 2 \ell ^ { \prime } G _ { - } + i k \tilde { B } _ { 0 } G _ { + } } \\ { p G _ { + } } & { = - \nu ( 1 + k ^ { 2 } ( 1 + \ell ^ { 2 } ) ) G _ { + } - 2 k \ell ^ { \prime } \nu G _ { - } } \\ & { + i B _ { 0 } ( 1 + k ^ { 2 } ( 1 + 3 \ell ^ { 2 } ) ) H _ { - } + i k B _ { 0 } 3 \ell ^ { \prime } H _ { + } - \frac { 1 } { 2 } { i k \tilde { B } _ { 0 } } H _ { 0 } } \\ { p G _ { - } } & { = - \nu ( 1 + k ^ { 2 } ( 1 + \ell ^ { 2 } ) ) G _ { - } - 2 k \ell ^ { \prime } \nu G _ { + } + \frac { 1 } { 2 } k \frac { 1 } { 1 + \ell ^ { 2 } } \, G _ { 0 } ^ { \prime } } \\ & { + i B _ { 0 } ( 1 + k ^ { 2 } ( 1 + 3 \ell ^ { 2 } ) ) H _ { + } + i k B _ { 0 } 3 \ell ^ { \prime } H _ { - } } \\ { p H _ { + } } & { = - \eta ( 1 + k ^ { 2 } ( 1 + \ell ^ { 2 } ) ) H _ { + } - 2 k \ell ^ { \prime } \eta H _ { - } } \\ & { + i B _ { 0 } ( 1 + k ^ { 2 } ( - 1 + \ell ^ { 2 } ) ) G _ { - } - i k B _ { 0 } \ell ^ { \prime } G _ { + } + \frac { 1 } { 2 } i k \tilde { B } _ { 0 } \frac { 1 } { 1 + \ell ^ { 2 } } \, G _ { 0 } ^ { \prime } } \\ { p H _ { - } } & { = - \eta ( 1 + k ^ { 2 } ( 1 + \ell ^ { 2 } ) ) H _ { - } - 2 k \ell ^ { \prime } \eta H _ { + } - \frac { 1 } { 2 } k H _ { 0 } } \\ & { + i B _ { 0 } ( 1 + k ^ { 2 } ( - 1 + \ell ^ { 2 } ) ) G _ { + } - i k B _ { 0 } \ell ^ { \prime } G _ { - } } \end{array}
\mathbf { D } ^ { ( r ) } ( z ) = \left\{ \begin{array} { r l r l } & { e ^ { 2 \pi ( \alpha + \frac { 1 } { 4 } ) \sigma _ { 3 } } , } & { \arg z } & { \in ( - \frac { \pi } { 4 } , 0 ) , } \\ & { e ^ { \frac { 1 } { 2 } \pi i \sigma _ { 3 } } , } & { \arg z } & { \in ( 0 , \pi ) , } \\ & { e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \pi i \sigma _ { 3 } } , } & { \arg z } & { \in ( \pi , \frac { 7 \pi } { 4 } ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \hat { L } \hat { \rho } ( t ) = } & { \sum _ { i \neq j } \cfrac { \gamma _ { i j } } { 2 } \left( 2 \hat { S } _ { i j } \hat { \rho } ( t ) \hat { S } _ { i j } ^ { \dagger } - \hat { S } _ { i j } ^ { \dagger } \hat { S } _ { i j } \hat { \rho } ( t ) - \hat { \rho } ( t ) \hat { S } _ { i j } ^ { \dagger } \hat { S } _ { i j } \right) , } \end{array}
I \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { p \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { i } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \ensuremath { \mathcal { Z } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = I \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Phi \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { i } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( p \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { i } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Phi \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { i } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! * \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \ensuremath { \mathcal { Z } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } [ \lambda ^ { \tau _ { h } ^ { \eta } } ] } & { \le } & { \mathbb { E } [ \lambda ^ { \tau _ { h } } ] \Big ( 1 + g ( \lambda ; C _ { 0 } \sqrt { h } , e ^ { m _ { 0 } } ) \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \Big ( \gamma ^ { 1 - p } g ( \lambda ^ { 1 / p } ; C _ { 0 } \sqrt { h } , e ^ { m _ { 0 } } ) ^ { p } \Big ) ^ { k } \Big ) } \end{array}
A _ { i } \cap \left[ \left( \sum _ { j = 1 } ^ { r _ { 1 } } \lambda _ { j 1 } \right) A _ { 1 } + . . . + \left( \sum _ { j = 1 } ^ { r _ { i - 1 } } \lambda _ { j ( i - 1 ) } \right) A _ { i - 1 } + \left( \sum _ { j = 1 } ^ { r _ { i + 1 } } \lambda _ { j ( i + 1 ) } \right) A _ { i + 1 } + . . . + \left( \sum _ { j = 1 } ^ { r _ { n } } \lambda _ { j n } \right) A _ { n } \right] \ne \emptyset .
\begin{array} { r } { \widetilde f _ { 2 } = \frac { \langle f _ { 2 } , \zeta f ^ { m } \rangle _ { L ^ { 2 } ( \Omega , \gamma _ { 1 } ) } } { \langle \zeta f ^ { m } , \zeta f ^ { m } \rangle _ { L ^ { 2 } ( \Omega , \gamma _ { 1 } ) } } \; \zeta f ^ { m } = \frac { \int _ { \Omega } f _ { 2 } \zeta f ^ { m } ( d \mu _ { \gamma _ { 1 } } - d \mu _ { \gamma _ { 2 } } ) } { \langle \zeta f ^ { m } , \zeta f ^ { m } \rangle _ { L ^ { 2 } ( \Omega , \gamma _ { 1 } ) } } \; \zeta f ^ { m } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { \nu _ { N } } \left[ \| f - m _ { N } ^ { f } \| _ { H ^ { \beta } ( U \setminus U _ { N } ) } \mathrm { I } _ { \{ h _ { D _ { N } , U \setminus U _ { N } } \, \leq \, h _ { 0 } ( U \setminus U _ { N } ) \} } \right] } \\ & { \leq C _ { \mathrm { P r o p } } ( \theta ) \; \mathbb { E } _ { \nu _ { N } } \left[ h _ { D _ { N } , U \setminus U _ { N } } ^ { \tau - \beta } \right] \operatorname* { s u p } _ { D _ { N } } \| f - m _ { N } ^ { f } \| _ { H ^ { \tau } ( U \setminus U _ { N } ) } } \\ & { \leq C _ { \mathrm { P r o p } } ( \theta ) \; C _ { \mathrm { P r o p } } \; C _ { 2 } \; \left( 1 + C _ { \mathrm { l o w } } ( U ) ^ { - 1 } C _ { \mathrm { u p } } ( U ) \right) \; N ^ { - \frac { \tau - \beta } { d _ { u } } + \varepsilon } \| f \| _ { H ^ { \tau } ( U ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \psi _ { \Gamma } ( \mathbf { x } ) } & { = } & { \displaystyle \operatorname* { i n f } _ { \theta \in - \overline { { \Omega } } } \langle \mathbf { x } , \theta \rangle } \\ & { = } & { \displaystyle \operatorname* { i n f } _ { \theta \in - \partial \overline { { \Omega } } } \langle \mathbf { x } , \theta \rangle \mathrm { ~ i f ~ } \Omega \neq \mathbb R ^ { d } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } f } & { + \nabla _ { x } \cdot \left( v f \right) } \\ & { = \nabla _ { v } \cdot \left( \left( \int \psi _ { 1 } ( | x - \bar { x } | ) ( v - \bar { v } ) + \nabla \mathcal V _ { 1 } ( x - \bar { x } ) \mathrm d f ( t , \bar { x } , \bar { v } ) \right. \right. } \\ & { \qquad \qquad \quad + \left. \left. \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \psi _ { c } ( | x - x _ { j } | ) ( v - v _ { j } ) \right) f \right) , } \\ { \frac { \mathrm d } { \mathrm d t } x _ { i } } & { = v _ { i } , } \\ { \frac { d } { d t } v _ { i } } & { = - \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \psi _ { 2 } ( | x _ { i } - x _ { j } | ) ( v _ { i } - v _ { j } ) - \int \psi _ { c } ( | x _ { i } - \bar { x } | ) ( v _ { i } - \bar { v } ) \mathrm d f ( \bar { x } , \bar { v } ) } \\ & { \qquad - \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \nabla \mathcal V _ { 2 } ( x _ { i } ^ { k } - x _ { j } ^ { k } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { U + \widehat { \widetilde { U } } + \widehat { U } ^ { \bigtriangleup } + \widetilde { U } ^ { \bigtriangleup } , \qquad U \widehat { \widetilde { U } } + U \widehat { U } ^ { \bigtriangleup } + U \widetilde { U } ^ { \bigtriangleup } + \widehat { \widetilde { U } } \widehat { U } ^ { \bigtriangleup } + \widehat { \widetilde { U } } \widetilde { U } ^ { \bigtriangleup } + \widehat { U } ^ { \bigtriangleup } \widetilde { U } ^ { \bigtriangleup } , } \\ & { } & { U \widehat { \widetilde { U } } \widehat { U } ^ { \bigtriangleup } + U \widehat { \widetilde { U } } \widetilde { U } ^ { \bigtriangleup } + U \widehat { U } ^ { \bigtriangleup } \widetilde { U } ^ { \bigtriangleup } + \widehat { \widetilde { U } } \widehat { U } ^ { \bigtriangleup } \widetilde { U } ^ { \bigtriangleup } , \qquad U \widehat { \widetilde { U } } \widehat { U } ^ { \bigtriangleup } \widetilde { U } ^ { \bigtriangleup } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { x } _ { i } ( t ) } & { = } & { - \lambda x _ { i } ( t ) + \frac { 2 } { N } \sum _ { j \neq i } \frac { g _ { \sigma _ { i } ( t ) , \sigma _ { j } ( t ) } } { x _ { i } ( t ) - x _ { j } ( t ) } + v _ { 0 } \sigma _ { i } ( t ) + \sqrt { \frac { 2 T } { N } } \xi _ { i } ( t ) \quad , \quad i = 1 , 2 , \cdots , N } \\ { g _ { \sigma , \sigma ^ { \prime } } } & { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } & { g \, \delta _ { \sigma , \sigma ^ { \prime } } \quad \quad \quad \quad \; \, \mathrm { ( m o d e l \; I ) } \; , } \\ & { g \quad , \quad \forall ( \sigma , \sigma ^ { \prime } ) \quad \mathrm { ( m o d e l \; I I ) } \; . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \| \dot { u } _ { \gamma _ { k } } - \dot { \bar { u } } \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { \leq } & { 2 \left( g ( \bar { x } _ { \gamma _ { k } } ( 0 ) , \bar { x } _ { \gamma _ { k } } ( 1 ) ) - g ( x _ { \gamma _ { k } } ( 0 ) , x _ { \gamma _ { k } } ( 1 ) \right) + \| \bar { x } _ { \gamma _ { k } } ( 0 ) - \bar { x } ( 0 ) \| ^ { 2 } } \\ & { - } & { \| u _ { \gamma _ { k } } ( 0 ) - \bar { u } ( 0 ) \| ^ { 2 } - \| x _ { \gamma _ { k } } ( 0 ) - \bar { x } ( 0 ) \| ^ { 2 } \leq { \hat { M } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } \bigg \{ 1 , p - 1 \bigg \} \bigg ( 4 L _ { 2 } + 2 \delta - 4 L _ { 1 } \bigg ) } & { + 4 n | p - 2 | ( 4 L _ { 2 } + 2 \delta ) \left( 1 + \frac { 2 L _ { 2 } } { L _ { 1 } } \right) } \\ & { + C ( 2 L _ { 1 } ) ^ { - a _ { 2 } } | | f | | _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } \geq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial e ^ { s } ( { \bf k } ) } { \partial t } } & { = } & { \frac { \pi \epsilon ^ { 2 } } { 1 6 b _ { 0 } ^ { 2 } } \int _ { { \mathbb { R } } ^ { 6 } } \sum _ { s _ { p } s _ { q } } \left( \frac { 1 + 2 \sin ^ { 2 } \theta _ { k } } { \sin \theta _ { k } } \right) ^ { 2 } \delta ( \Omega _ { k p q } ) \delta ( { \bf k } + { \bf p } + { \bf q } ) \quad \quad } \\ & { } & { s \omega _ { k } \left[ \frac { s \omega _ { k } } { e ^ { s } ( { \bf k } ) } + \frac { s _ { p } \omega _ { p } } { e ^ { s _ { p } } ( { \bf p } ) } + \frac { s _ { q } \omega _ { q } } { e ^ { s _ { q } } ( { \bf q } ) } \right] e ^ { s } ( { \bf k } ) e ^ { s _ { p } } ( { \bf p } ) e ^ { s _ { q } } ( { \bf q } ) \mathrm { d } { \bf p } \mathrm { d } { \bf q } \, . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { c ^ { 2 } t ^ { 2 } - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } - z ^ { 2 } = c ^ { 2 } t ^ { 2 } - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } - z ^ { 2 } } \\ { { \mathrm { o r } } \quad } & { c ^ { 2 } t _ { 1 } t _ { 2 } - x _ { 1 } x _ { 2 } - y _ { 1 } y _ { 2 } - z _ { 1 } z _ { 2 } = c ^ { 2 } t _ { 1 } ^ { \prime } t _ { 2 } ^ { \prime } - x _ { 1 } ^ { \prime } x _ { 2 } ^ { \prime } - y _ { 1 } ^ { \prime } y _ { 2 } ^ { \prime } - z _ { 1 } ^ { \prime } z _ { 2 } ^ { \prime } } \end{array} }
U ( t ) = \left( \begin{array} { c } { u ( t ) } \\ { v ( t ) } \end{array} \right) , d \Delta = \left( \begin{array} { c c } { d _ { 1 } \frac { { \partial } ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { d _ { 2 } \frac { { \partial } ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } } \end{array} \right) , L _ { 0 } ( U ( t ) ) = \left( \begin{array} { c } { \delta _ { 1 } u - \delta _ { 2 } v } \\ { \frac { \theta \delta _ { 1 } } { 2 c } u - \theta \delta _ { 2 } v } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { L _ { c o n s i s t e n c y } ( \theta ; \Delta t ) = } & { \mathbb { E } _ { ( t , x , y , z ) } [ \frac { | { u } ^ { p i } ( t , x , y , z ; \Delta t , \theta ) - { u } ^ { p u } ( t , x , y , z ; \theta ) | ^ { 2 } } { { \sigma _ { u } } ^ { 2 } } ] + } \\ & { \mathbb { E } _ { ( t , x , y , z ) } [ \frac { | { v } ^ { p i } ( t , x , y , z ; \Delta t , \theta ) - { v } ^ { p u } ( t , x , y , z ; \theta ) | ^ { 2 } } { { \sigma _ { v } } ^ { 2 } } ] + } \\ & { \mathbb { E } _ { ( t , x , y , z ) } [ \frac { | { w } ^ { p i } ( t , x , y , z ; \Delta t , \theta ) - { w } ^ { p u } ( t , x , y , z ; \theta ) | ^ { 2 } } { { \sigma _ { w } } ^ { 2 } } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P _ { t } ^ { 2 } \left( e ^ { \kappa W } g \circ \theta \right) ( x , v ) } \\ & { = e ^ { \kappa W ( x ) } \left( e ^ { - t ( v ^ { T } \nabla \psi ( x ) ) _ { + } } g \left( v ^ { T } \nabla W ( x ) \right) \! + \! \left( 1 - e ^ { - t ( v ^ { T } \nabla \psi ( x ) ) _ { + } } \right) g \left( ( R ( x ) v ) ^ { T } \nabla W ( x ) \right) \right) } \\ & { = e ^ { \kappa W ( x ) } \left( g ( \theta ( x , v ) ) + \left( 1 - e ^ { - 2 t W ( x ) \theta _ { + } ( x , v ) } \right) \left( g \left( - \theta ( x , v ) \right) - g \left( \theta ( x , v ) \right) \right) \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left( \frac { 1 } { n } \sum _ { i \in [ n ] } { \mathbb { I } \left\{ { \check { z } _ { i } \neq z _ { i } ^ { * } } \right\} } \right) \leq \exp \left( - ( 1 - o ( 1 ) ) \left( J _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } , p , q } \wedge J _ { n _ { 2 } , n _ { 1 } , p , q } \right) \right) } \\ { \mathrm { a n d ~ } \quad } & { \mathbb { E } \left( \frac { 1 } { n } \sum _ { i \in [ n ] } { \mathbb { I } \left\{ { \check { z } _ { i } \neq z _ { i } ^ { * } } \right\} } \right) \geq \exp \left( - ( 1 + o ( 1 ) ) \left( J _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } , p , q } \wedge J _ { n _ { 2 } , n _ { 1 } , p , q } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \omega ^ { * } } { \partial t ^ { * } } } & { = - \frac { \partial \psi ^ { * } } { \partial y ^ { * } } \frac { \partial \omega ^ { * } } { \partial x ^ { * } } + \frac { \partial \psi ^ { * } } { \partial x ^ { * } } \frac { \partial \omega ^ { * } } { \partial y ^ { * } } + \frac { 1 } { \mathrm { R e } } \Delta ^ { * } \omega ^ { * } , } \\ { \omega ^ { * } } & { = - \Delta ^ { * } \psi ^ { * } . } \end{array}
\left[ \begin{array} { c } { a _ { 0 } } \\ { a _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } } \\ { a _ { 3 } } \\ { a _ { 4 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c } { . 1 3 1 } \\ { . 2 0 1 } \\ { . 3 2 1 } \\ { . 2 4 9 } \\ { . 0 9 8 } \end{array} \right] \quad \mathrm { a n d } \quad \left[ \begin{array} { c } { \tau _ { 0 } } \\ { \tau _ { 1 } } \\ { \tau _ { 2 } } \\ { \tau _ { 3 } } \\ { \tau _ { 4 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c } { \infty } \\ { 3 6 2 . 9 } \\ { 7 3 . 6 } \\ { 1 7 . 3 } \\ { 1 . 9 } \end{array} \right] \mathrm { ~ y r } .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \epsilon } = \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial W ( \epsilon ) } \frac { \partial W ( \epsilon ) } { \partial Q ( \epsilon ) } } & { \frac { \partial Q ( \epsilon ) } { \partial \epsilon } \approx \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial W ( \epsilon ) } \frac { \partial W _ { \theta } } { \partial Q ( \epsilon ) } } \\ { \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial x } } & { = W ( \epsilon ) ^ { T } \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial y } } \end{array} ,
\begin{array} { r l } { A = } & { \frac { \beta _ { c } } { \theta } , } \\ { \gamma = } & { \frac { \beta _ { c } } { \theta } - \frac { 1 } { 2 a _ { c } } , } \\ { E = } & { \frac { \beta _ { c } } { \theta } \times \frac { 1 } { \beta _ { c } } \times ( a _ { c } - 1 ) \times ( a _ { c } - 1 + \frac { 1 } { \beta _ { c } } ) \frac { \beta _ { c } } { \theta } \times ( a _ { c } - 1 ) \times \left( - \frac { 1 } { \beta _ { c } ^ { 2 } } \right) = \frac { 1 } { \theta } ( a _ { c } - 1 ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| } & { \geqslant \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 1 ( 3 ) } \right| + 2 \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 2 ( 3 ) } \right| + | Z _ { B } | - 3 } \\ & { \geqslant \frac { 2 \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } \right| } { 3 } + \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 2 ( 3 ) } \right| + | Z _ { B } | - 3 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { p } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } = \left[ \mathbf { r } _ { 1 k } \; \boldsymbol { 0 } \right] , \quad \qquad \mathbf { p } _ { k } ^ { \mathrm { o u t } } = \left[ \mathbf { p } _ { 1 k } \; \mathbf { z } _ { 0 } , \right] , } & { \quad \qquad \mathbf { v } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } = \left[ \mathbf { r } _ { 2 k } \; , \mathbf { x } _ { 0 } \right] , \quad \qquad \mathbf { v } _ { k } ^ { \mathrm { o u t } } = \left[ \mathbf { p } _ { 2 k } , \; \boldsymbol { 0 } \right] , } \\ { \mathbf { q } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } = \left[ \mathbf { V } ^ { T } \mathbf { r } _ { 2 k } , \; \mathbf { V } ^ { T } \mathbf { x } _ { 0 } \right] , \quad \mathbf { q } _ { k } ^ { \mathrm { o u t } } = \left[ \mathbf { U } ^ { T } \mathbf { p } _ { 2 k } , \; \boldsymbol { 0 } \right] , } & { \quad \qquad \mathbf { u } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } = \left[ \mathbf { V } ^ { T } \mathbf { r } _ { 1 k } , \; \boldsymbol { 0 } \right] , \quad \mathbf { u } _ { k } ^ { \mathrm { o u t } } = \left[ \mathbf { U } ^ { T } \mathbf { p } _ { 1 k } , \; \mathbf { U } ^ { T } \mathbf { z } _ { 0 } \right] . } \end{array}
t = \varepsilon ^ { - 3 / 2 } \mathbf { t } , \qquad n _ { i } = \alpha \varepsilon ^ { - 3 / 2 } \mathbf { t } - \sigma ^ { 2 } \varepsilon ^ { - 1 } \mathbf { x } _ { i } , \qquad r _ { i } = \beta \varepsilon ^ { - 3 / 2 } \mathbf { t } + 2 \sigma ^ { 2 } \varepsilon ^ { - 1 } \mathbf { x } _ { i } - \sigma \varepsilon ^ { - 1 / 2 } \mathbf { a } _ { i }
\begin{array} { r l } & { \Pi _ { N } ^ { \mathrm { ( i i ) } } \big ( \alpha \big ) = \frac { \tau _ { \mathrm { m } } } { | \alpha | ^ { 2 } \tau _ { \mathrm { d } } } \left\{ N - 2 \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } \sum _ { m = 0 } ^ { k } F _ { m } \left[ \alpha ; \eta _ { \mathrm { r r } } ( N ) \right] \right. } \\ & { \left. + \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } \sum _ { m = 0 } ^ { k } F _ { m } \left[ \alpha ; \eta _ { \mathrm { r r } } ( N - 1 ) \right] \right\} + \frac { ( N + 1 ) \tau _ { \mathrm { d } } - \tau _ { \mathrm { m } } } { \tau _ { \mathrm { d } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { [ t , t + \varepsilon ] } ^ { f } ( n ) ( c ) } & { = \int _ { t } ^ { t + \varepsilon } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } c ^ { 2 } s + c b ( s ) } s ^ { n } f ( s ) \d s } \\ & { \geq f _ { 2 } \left( t + \frac { \varepsilon } { 2 } \right) \int _ { t + \frac { \varepsilon } { 2 } } ^ { t + \varepsilon } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } c ^ { 2 } s + c b _ { 1 } } \d s } \\ & { = f _ { 2 } \left( t + \frac { \varepsilon } { 2 } \right) \frac { 2 } { c ^ { 2 } } \left( e ^ { - \frac { c ^ { 2 } } { 2 } \left( t + \frac { \varepsilon } { 2 } \right) + c b _ { 1 } } - e ^ { - \frac { c ^ { 2 } } { 2 } ( t + \varepsilon ) + c b _ { 1 } } \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { C _ { 0 } = } & { [ 0 , 1 ] } \\ { C _ { 1 } = } & { [ 0 , 1 / 3 ] \cup [ 2 / 3 , 1 ] } \\ { C _ { 2 } = } & { [ 0 , 1 / 9 ] \cup [ 2 / 9 , 1 / 3 ] \cup [ 2 / 3 , 7 / 9 ] \cup [ 8 / 9 , 1 ] } \\ { C _ { 3 } = } & { [ 0 , 1 / 2 7 ] \cup [ 2 / 2 7 , 1 / 9 ] \cup [ 2 / 9 , 7 / 2 7 ] \cup [ 8 / 2 7 , 1 / 3 ] \cup } \\ { } & { [ 2 / 3 , 1 9 / 2 7 ] \cup [ 2 0 / 2 7 , 7 / 9 ] \cup [ 8 / 9 , 2 5 / 2 7 ] \cup [ 2 6 / 2 7 , 1 ] } \\ { C _ { 4 } = } & { [ 0 , 1 / 8 1 ] \cup [ 2 / 8 1 , 1 / 2 7 ] \cup [ 2 / 2 7 , 7 / 8 1 ] \cup [ 8 / 8 1 , 1 / 9 ] \cup [ 2 / 9 , 1 9 / 8 1 ] \cup [ 2 0 / 8 1 , 7 / 2 7 ] \cup } \\ & { [ 8 / 2 7 , 2 5 / 8 1 ] \cup [ 2 6 / 8 1 , 1 / 3 ] \cup [ 2 / 3 , 5 5 / 8 1 ] \cup [ 5 6 / 8 1 , 1 9 / 2 7 ] \cup [ 2 0 / 2 7 , 6 1 / 8 1 ] \cup } \\ & { [ 6 2 / 8 1 , 2 1 / 2 7 ] \cup [ 8 / 9 , 7 3 / 8 1 ] \cup [ 7 4 / 8 1 , 2 5 / 2 7 ] \cup [ 2 6 / 2 7 , 7 9 / 8 1 ] \cup [ 8 0 / 8 1 , 1 ] } \\ { C _ { 5 } = } & { \cdots } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k + 4 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k - 1 + 4 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k + 4 i } ^ { A , i + 1 } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k - 1 + 4 i } ^ { A , i + 1 } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k - 3 - 2 i , 2 k + 1 + 4 i } ^ { A , i + 1 } \otimes v _ { 2 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 3 - 2 i , 2 k + 4 i } ^ { A , i + 1 } \otimes v _ { 2 , 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { A } & { = \textstyle \prod _ { j = 1 } ^ { h - 1 } \prod _ { i = 1 } ^ { \ell _ { j } } W _ { j i } a _ { j i } } & { B _ { 1 } } & { = \textstyle \prod _ { t = 1 } ^ { k - 1 } W _ { h t } a _ { h t } } & & { } \\ { C } & { = \textstyle \prod _ { j = h + 1 } ^ { n } \prod _ { i = 1 } ^ { \ell _ { j } } W _ { j i } a _ { j i } } & { B _ { 2 } } & { = \textstyle \prod _ { t = k + 1 } ^ { \ell _ { h } } W _ { h t } a _ { h t } } & & { } \\ { B } & { = W _ { h k } a _ { h k } } & { B ^ { \prime } } & { = W _ { h k } a _ { h k } ^ { \prime } } & { B ^ { \prime \prime } } & { = W _ { h k } a _ { h k } ^ { \prime \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \big ( \| \partial _ { t } ^ { k } \phi \| ^ { 2 } + ( \gamma \lambda + ) \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } \phi \| ^ { 2 } + \gamma \lambda \| \Delta \partial _ { t } ^ { k } \phi \| ^ { 2 } \big ) } \\ & { + \gamma \lambda \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } \phi \| ^ { 2 } + \| \partial _ { t } ^ { k } \phi _ { t } \| ^ { 2 } + \gamma \lambda \| \Delta \partial _ { t } ^ { k } \phi \| ^ { 2 } + \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } \phi _ { t } \| ^ { 2 } } \\ { = } & { \langle \partial _ { t } ^ { k } K _ { \phi } , \Delta \partial _ { t } ^ { k } \phi - \partial _ { t } ^ { k } \phi - \partial _ { t } ^ { k } \phi _ { t } \rangle - \langle \nabla \partial _ { t } ^ { k } K _ { \phi } , \nabla \partial _ { t } ^ { k } \phi _ { t } \rangle \, , } \end{array}
m ( \psi _ { \tau _ { i } } ^ { \prime } ( j ^ { \prime } , j ) ) = \left\{ \begin{array} { l l } { x _ { 1 } x _ { 2 } \dots x _ { r - j ^ { \prime } } X _ { i } ( s _ { i } - p j ) } & { \mathrm { i f ~ c _ i ( s _ i - p j ) ~ \leq ~ r - j ' ~ } } \\ { x _ { 1 } x _ { 2 } \dots x _ { r - j ^ { \prime } - 1 } x _ { c } X _ { i } ( s _ { i } - p j ) } & { \mathrm { i f ~ c _ i ( s _ i - p j ) ~ > ~ r - j ' ~ } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { R _ { k } ^ { \mathrm { u b } } = \ln \operatorname* { d e t } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { K } { \uppercase { \mathbf { P } } } _ { i } { \uppercase { \mathbf { M } } } _ { i , k } { \uppercase { \mathbf { P } } } _ { i } ^ { H } + { \uppercase { \mathbf { I } } } _ { M _ { e } } \right) - \ln \operatorname* { d e t } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { K } { \uppercase { \mathbf { P } } } _ { i } { \uppercase { \mathbf { M } } } _ { i , k } { \uppercase { \mathbf { P } } } _ { i } ^ { H } + { \uppercase { \mathbf { I } } } _ { M _ { e } } - { \uppercase { \mathbf { P } } } _ { k } { \uppercase { \mathbf { N } } } _ { k , k } { \uppercase { \mathbf { P } } } _ { k } ^ { H } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { \mu } ( ( x , g _ { 1 } , \dots , g _ { k } ) ; } & { ( x _ { 1 } , g _ { 1 } ^ { 1 } , \dots , g _ { 1 } ^ { m _ { 1 } } ) , \dots , ( x _ { k } , g _ { k } ^ { 1 } , \dots , g _ { k } ^ { m _ { k } } ) ) } \\ & { = ( \mu ( x ; g _ { 1 } x _ { 1 } , \dots , g _ { k } x _ { k } ) , g _ { 1 } g _ { 1 } ^ { 1 } , \dots , g _ { k } g _ { k } ^ { m _ { k } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { t } - B _ { t - 1 } } & { \leq - \frac { \mu \gamma \alpha _ { t - 1 } B _ { t - 1 } } { 4 } - \frac { \gamma ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } F _ { t - 1 } } { 4 } + \frac { 9 \gamma \alpha _ { t - 1 } C _ { t - 1 } } { 2 \mu } + \frac { 1 8 \kappa ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } D _ { t - 1 } } { \mu \gamma } } \\ & { \qquad + \frac { 1 8 \kappa ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } E _ { t - 1 } } { \mu \gamma } + \frac { 9 \kappa ^ { 2 } I \eta ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } } { \mu \gamma } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \alpha _ { \ell } D _ { \ell } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \hat { \mathbf { r } } } } & { = { \frac { \rho { \hat { \boldsymbol { \rho } } } + z { \hat { \mathbf { z } } } } { \sqrt { \rho ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } } } \\ { { \hat { \boldsymbol { \theta } } } } & { = { \frac { z { \hat { \boldsymbol { \rho } } } - \rho { \hat { \mathbf { z } } } } { \sqrt { \rho ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } } } \\ { { \hat { \boldsymbol { \varphi } } } } & { = { \hat { \boldsymbol { \varphi } } } } \end{array} }
\mathbb { P } \left( \left\lVert \boldsymbol { z } \right\rVert _ { \infty } \leq y + a \right) - \mathbb { P } \left( \left\lVert \boldsymbol { z } \right\rVert _ { \infty } \leq y \right) = 2 \left[ \mathbb { P } \left( \boldsymbol { z } \leq \boldsymbol { y } + a \right) - \mathbb { P } \left( \boldsymbol { z } \leq \boldsymbol { y } \right) \right] ,
R _ { L } ^ { M } ( \mathbf { r } _ { A i } - \mathbf { r } _ { B j } ) = \sum _ { \ell _ { A } = 0 } ^ { L } ( - 1 ) ^ { L - \ell _ { A } } { \binom { 2 L } { 2 \ell _ { A } } } ^ { 1 / 2 } \times \sum _ { m _ { A } = - \ell _ { A } } ^ { \ell _ { A } } R _ { \ell _ { A } } ^ { m _ { A } } ( \mathbf { r } _ { A i } ) R _ { L - \ell _ { A } } ^ { M - m _ { A } } ( \mathbf { r } _ { B j } ) \; \langle \ell _ { A } , m _ { A } ; L - \ell _ { A } , M - m _ { A } \mid L M \rangle ,
\begin{array} { r l } { { \cal L } \left[ P _ { q } \left( \Delta , \Sigma \right) \right] = } & { \quad w ^ { + + } ( \Delta , \Sigma ) P _ { q } \left( \Delta + 1 / N , \Sigma + 1 / N \right) + w ^ { + - } ( \Delta , \Sigma ) P _ { q } \left( \Delta + 1 / N , \Sigma - 1 / N \right) } \\ & { + w ^ { - + } ( \Delta , \Sigma ) P _ { q } \left( \Delta - 1 / N , \Sigma + 1 / N \right) + w ^ { -- } ( \Delta , \Sigma ) P _ { q } \left( \Delta - 1 / N , \Sigma - 1 / N \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { L ( x ( t ) , \eta ) - L ( \xi , \lambda ( t ) ) } & { = \mathcal { O } \big ( \mathrm { e } ^ { - ( \alpha - \delta ) t } \big ) \ \mathrm { a s ~ t \to + \infty ~ } ; } \\ { \lVert ( \dot { x } ( t ) , \dot { \lambda } ( t ) ) \rVert ^ { 2 } } & { = \mathcal { O } \big ( \mathrm { e } ^ { - ( \alpha - \delta ) t } \big ) \ \mathrm { a s ~ t \to + \infty ~ } ; } \\ { \lVert ( x ( t ) , \lambda ( t ) ) - ( \xi , \eta ) \rVert ^ { 2 } } & { = \mathcal { O } \big ( \mathrm { e } ^ { - ( \alpha - \delta ) t } \big ) \ \mathrm { a s ~ t \to + \infty ~ } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } _ { 2 } [ \beta ] } & { : = \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \frac { \rho \beta ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 \rho } \cos ^ { 2 } \beta \sin ^ { 2 } \beta + \frac { k _ { 3 } } { 2 \rho } \sin ^ { 4 } \beta \right) \operatorname { d } \! \rho } \\ & { + \frac 1 2 ( 1 - 2 k _ { 2 4 } ) \sin ^ { 2 } \beta ( 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { j = 1 , j \neq k } ^ { K } \frac 1 4 ( ( { p _ { j } ^ { 2 } } + | \boldsymbol h _ { k } ^ { H } \boldsymbol w _ { j } | ^ { 2 } ) ^ { 2 } - ( { p _ { j } ^ { 2 } } - | \boldsymbol h _ { k } ^ { H } \boldsymbol w _ { j } | ^ { 2 } ) ^ { 2 } ) } \\ & { = \sum _ { j = 1 , j \neq k } ^ { K } { p _ { j } ^ { 2 } } | \boldsymbol h _ { k } ^ { H } \boldsymbol w _ { j } | ^ { 2 } + { \sigma ^ { 2 } } \leq { \alpha _ { k } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { T , S } ( \theta ) } & { = \frac { 1 } { T S } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \sum _ { s = 1 } ^ { S } \Big \vert y ( t , s ) - A c o s ( \lambda t + \mu s ) - B s i n ( \lambda t + \mu s ) \Big \vert } \\ & { = \frac { 1 } { T S } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \sum _ { s = 1 } ^ { S } \big \vert h _ { t , s } ( \theta ) + \epsilon ( t , s ) \big \vert , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ^ { N } \! } & { \left\{ \exists x \in \mathcal { X } , \ V _ { \gamma } ( x ) > \hat { V } _ { \gamma } ( x ) + \frac { 4 \overline { { \Lambda } } ( x ) R } { \gamma N } + \epsilon _ { x } \right\} } \\ & { = P ^ { N } \! \left\{ \exists j \geq 0 , x \in \mathcal { X } _ { j } , V _ { \gamma } ( x ) > \hat { V } _ { \gamma } ( x ) + \! \frac { 4 \overline { { \Lambda } } ( x ) R } { \gamma N } + \epsilon _ { x } \right\} } \\ & { \leq P ^ { N } \left\{ x \in \mathcal { X } _ { 0 } , \ V _ { \gamma } ( x ) > \hat { V } _ { \gamma } ( x ) + \frac { 2 R } { \gamma N } + \epsilon \right\} } \\ & { \quad + P ^ { N } \! \left\{ \exists j \geq 1 , x \in \mathcal { X } _ { j } , V _ { \gamma } ( x ) > \hat { V } _ { \gamma } ( x ) + \frac { 2 l _ { j } R } { \gamma N } + \epsilon _ { j } \right\} . } \end{array}
\{ S _ { 0 0 } ^ { \mathrm { h r } } ( x , t ) , S _ { 1 1 } ^ { \mathrm { h r } } ( x , t ) , S _ { 2 2 } ^ { \mathrm { h r } } ( x , t ) \} = ( \nu - \mathsfit { a } ) t ^ { - 1 } h _ { \beta } ( \mathsfit { x } ) \{ 1 + ( \mathsfit { a } / \nu ) ) ^ { 2 } , \mathsfit { x } ^ { 2 } , ( \mathsfit { x } ^ { 2 } + ( \mathsfit { a } / \beta \nu ) ) ^ { 2 } \} .
\begin{array} { r } { 0 \to E x t _ { \Pi _ { Q } } ^ { 1 } ( x , x ) \to T _ { G ^ { 0 } G ^ { 1 } } ^ { * } \to E x t _ { \Pi _ { Q } } ^ { 1 } ( G ^ { 0 } , G ^ { 1 } ) \to 0 , } \\ { 0 \to E x t _ { \Pi _ { Q } } ^ { 1 } ( x , x ) \to T _ { G ^ { 1 } G ^ { 2 } } ^ { * } \to E x t _ { \Pi _ { Q } } ^ { 1 } ( G ^ { 1 } , G ^ { 2 } ) \to 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \widetilde { n } _ { E ^ { l } } \cdot e _ { i } } & { = \operatorname* { d e t } ( D p e _ { 1 } , D p e _ { 2 } , D p e _ { d - 1 } , n _ { \Gamma } , e _ { i } ) } \\ & { = \operatorname* { d e t } ( { P } _ { \Gamma } e _ { 1 } , { P } _ { \Gamma } e _ { 2 } , { P } _ { \Gamma } e _ { d - 1 } , n _ { \Gamma } , e _ { i } ) + \mathcal { O } ( h ^ { k _ { g } + 1 } ) } \\ & { = \operatorname* { d e t } ( e _ { 1 } , e _ { 2 } , e _ { d - 1 } , n _ { \Gamma } , e _ { i } ) + \mathcal { O } ( h ^ { k _ { g } + 1 } ) } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 + \mathcal { O } ( h ^ { k _ { g } + 1 } ) } & { i = 1 , \ldots , d - 1 } \\ { - n _ { \Gamma } ^ { d + 1 } + \mathcal { O } ( h ^ { k _ { g } + 1 } ) = - 1 + \mathcal { O } ( h ^ { k _ { g } + 1 } ) } & { i = d } \\ { n _ { \Gamma } ^ { d } + \mathcal { O } ( h ^ { k _ { g } + 1 } ) } & { i = d + 1 . } \end{array} \right. } \end{array}
{ \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { 1 } ^ { 2 } } } f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { n } ) \, , \quad { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { 1 } x _ { 2 } } } f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots x _ { n } ) \, , \ldots , { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { n } ^ { 2 } } } f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { n } ) .
\begin{array} { r l r l } { f ^ { n } \frac { \d ^ { 3 } v } { \d x ^ { 3 } } } & { = \frac { 1 - n } { 2 } B _ { 0 } ^ { \alpha } x \, ( 1 - x ^ { 2 } ) } & & { \mathrm { f o r } \quad x \in ( 0 , 1 ) , } \\ { v } & { = \frac { \d v } { \d x } = 0 } & & { \mathrm { a t } \quad x = 1 , } \\ { \frac { \d v } { \d x } } & { = 0 } & & { \mathrm { a t } \quad x = 0 , } \end{array}
\Lambda _ { h } ^ { m } = \sum _ { \substack { c _ { j } \in \{ 1 , \dots , N \} , \, \forall j \in \{ 1 , \dots , m \} } } \Phi _ { c _ { 1 } \dots c _ { m } } ^ { m , h } x _ { c _ { 1 } } \dots x _ { c _ { m } } = \sum _ { \substack { c _ { j } \in \{ 1 , \dots , N \} , \, \forall j \in \{ 1 , \dots , m \} } } \Phi _ { c _ { 1 } \dots c _ { m } } ^ { m , h } \eta _ { c _ { 1 } c _ { 2 } } x _ { c _ { 3 } } \dots x _ { c _ { m } } .
\begin{array} { r l } { m _ { k } ^ { \uparrow } \left( s _ { k } ( i + 1 ) \right) - m _ { k } ^ { \uparrow } \left( s _ { k } ( i ) \right) } & { = \sum _ { y = s _ { k } ( i ) + 1 } ^ { s _ { k } ( i + 1 ) } ( \eta _ { k } ^ { \uparrow } ( y ) - \eta _ { k + 1 } ^ { \uparrow } \left( y \right) ) } \\ & { = \sum _ { y = s _ { k } ( i ) + 1 } ^ { s _ { k } ( i + 1 ) } \eta _ { k } ^ { \uparrow } ( y ) - \eta _ { k + 1 } ^ { \uparrow } \left( s _ { k } ( i + 1 ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { y \in \mathcal { S } _ { - 1 } ^ { ( m ) } } P _ { s y } ^ { ( m ) , \phi } c _ { y , 0 } ( \phi ) } & { = \sum _ { y \in \mathcal { S } _ { - 1 } ^ { ( m ) } } P _ { s y } ^ { \phi } c _ { y , 0 } ( \phi ) + \sum _ { y \in \mathcal { S } _ { - 1 } ^ { ( m ) } } \left( \sum _ { z \in \mathcal { S } \setminus \mathcal { S } ^ { ( m ) } } P _ { s z } ^ { \phi } q _ { z } ( y ) \right) c _ { y , 0 } ( \phi ) } \\ & { = \sum _ { y \in \mathcal { S } _ { - 1 } ^ { ( m ) } } P _ { s y } ^ { \phi } c _ { y , 0 } ( \phi ) + \sum _ { z \in \mathcal { S } \setminus \mathcal { S } ^ { ( m ) } } P _ { s z } ^ { \phi } \left( \sum _ { y \in \mathcal { S } _ { - 1 } ^ { ( m ) } } q _ { z } ( y ) c _ { y , 0 } ( \phi ) \right) } \\ & { \leq \sum _ { y \in \mathcal { S } _ { - 1 } ^ { ( m ) } } P _ { s y } ^ { \phi } c _ { y , 0 } ( \phi ) + \sum _ { z \in \mathcal { S } \setminus \mathcal { S } ^ { ( m ) } } P _ { s z } ^ { \phi } c _ { z , 0 } ( \phi ) } \\ & { = \sum _ { y \in \mathcal { S } \setminus \{ 0 \} } P _ { s y } ^ { \phi } c _ { y , 0 } ( \phi ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho _ { s } ( x ) } & { = } & { \sqrt { \frac { D } { 2 \pi } } \frac { 1 } { \Gamma ( 1 + c ) } \frac { 1 } { | { \cal D } _ { - c } ( i x ) | ^ { 2 } } } \\ { { \cal D } _ { - c } ( z ) } & { = } & { \frac { e ^ { - \frac { z ^ { 2 } } { 4 D } } } { \Gamma ( c ) } \int _ { 0 } ^ { + \infty } d x \ e ^ { - \frac { 1 } { D } ( z x + \frac { x ^ { 2 } } { 2 } ) } \left( \frac { x } { \sqrt { D } } \right) ^ { c - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r } { ( x _ { 1 } ^ { * } , y _ { 1 } ^ { * } , \ldots , x _ { 1 2 } ^ { * } , y _ { 1 2 } ^ { * } ) \mapsto ( Q ( x _ { i } ^ { * } - x _ { j } ^ { * } ) ^ { - 1 } + Q ( x _ { i } ^ { * } - y _ { j } ^ { * } ) ^ { - 1 } + Q ( y _ { i } ^ { * } - x _ { j } ^ { * } ) ^ { - 1 } + Q ( y _ { i } ^ { * } - y _ { j } ^ { * } ) ^ { - 1 } ) _ { i < j } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { F _ { v n } = \sum _ { q } D _ { v q } h _ { n q } + \sum _ { q r s } \tilde { D } _ { v q r s } g _ { n q r s } } \\ & { = \sum _ { w } D _ { v w } h _ { n w } } \\ & { + \sum _ { i q s } \tilde { D } _ { v q i s } g _ { i s n q } + \sum _ { w q s } \tilde { D } _ { v q w s } g _ { w s n q } } \\ & { = \sum _ { w } D _ { v w } h _ { n w } + \sum _ { w i } D _ { v w } ( 2 g _ { i i n w } - g _ { i w n i } ) } \\ & { + \sum _ { w x y } \tilde { D } _ { v x w y } g _ { w y n x } } \\ & { = \sum _ { w } { ^ { I } F } _ { n w } D _ { v w } + Q _ { v n } } \end{array}
\begin{array} { r l } { v } & { = \left[ \begin{array} { l l l l l } { 0 . 2 0 7 6 } & { 0 . 1 2 1 2 } & { 0 . 2 6 5 1 } & { 0 . 2 5 1 6 } & { 0 } \end{array} \right] ^ { T } } \\ { K } & { = \left[ \begin{array} { l l l l l } { 0 . 0 4 8 3 } & { 0 . 0 0 8 8 } & { - 0 . 1 3 2 6 } & { - 0 . 0 1 8 8 } & { - 0 . 4 2 7 3 } \\ { - 0 . 3 2 4 3 } & { 0 . 0 1 1 5 } & { 0 . 0 2 9 9 } & { - 0 . 2 9 8 0 } & { 0 . 0 3 3 7 } \\ { 0 . 1 6 0 1 } & { 0 . 0 7 4 9 } & { - 0 . 5 9 6 2 } & { - 0 . 3 5 3 7 } & { - 0 . 2 1 9 4 } \end{array} \right] . } \end{array}
\left\langle \mathsf { A } \frac { \psi _ { i } } { \sqrt { \lambda _ { i } } } , \mathsf { A } \frac { \psi _ { j } } { \sqrt { \lambda _ { j } } } \right\rangle = ( \lambda _ { i } \lambda _ { j } ) ^ { - 1 / 2 } \left\langle \psi _ { i } , \mathsf { A } ^ { * } \mathsf { A } \psi _ { j } \right\rangle = \sqrt { \frac { \lambda _ { j } } { \lambda _ { i } } } \left\langle \psi _ { i } , \psi _ { j } \right\rangle = \delta _ { i j }
\begin{array} { r l r } { I _ { 0 } ^ { 3 } } & { = } & { \frac { K ^ { 3 } } { 4 } \sigma _ { 0 } \sigma _ { 1 } ( 2 - \sigma _ { 1 } ) \left( 1 - K \sigma _ { 2 } \right) \frac { \delta } { L } , } \\ { I _ { 1 } ^ { 2 } } & { = } & { \frac { K ^ { 2 } } { 1 2 } \sigma _ { 1 } ( 2 - \sigma _ { 1 } ) \left[ 2 + K { \sigma _ { 0 } } ^ { 2 } ( 4 - 3 K \sigma _ { 2 } ) \right] \frac { \delta } { L } , } \\ { I _ { 2 } ^ { 1 } } & { = } & { \frac { K ^ { 2 } } { 1 2 } \sigma _ { 0 } \sigma _ { 1 } ( 2 - \sigma _ { 1 } ) \left[ 4 + K { \sigma _ { 0 } } ^ { 2 } ( 5 - 3 K \sigma _ { 2 } ) \right] \frac { \delta } { L } , } \\ { I _ { 3 } ^ { 0 } } & { = } & { \frac { K ^ { 2 } } { 4 } { \sigma _ { 0 } } ^ { 2 } \sigma _ { 1 } ( 2 - \sigma _ { 1 } ) \left[ 2 + K { \sigma _ { 0 } } ^ { 2 } ( 2 - K \sigma _ { 2 } ) \right] \frac { \delta } { L } . } \end{array}
U _ { t _ { L } } \times U _ { t _ { R } } = f \left( \begin{array} { l } { \frac { x _ { L } + x _ { R } } { 2 } \sin ( { \theta _ { R } - \theta _ { L } } ) - \frac { x _ { R } - x _ { L } } { 2 } \sin ( \theta _ { L } + \theta _ { R } ) } \\ { y \sin ( \theta _ { R } - \theta _ { L } ) - ( x _ { R } - x _ { L } ) ( \cos ( \theta _ { R } - \theta _ { L } ) - \cos ( \theta _ { L } + \theta _ { R } ) ) } \\ { f \sin ( \theta _ { R } - \theta _ { L } ) } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \| \tilde { e } _ { k + 1 } ^ { z } \| ^ { 2 } ] } & { \le ( 1 - \eta _ { k + 1 } ) ^ { 2 } ( 1 + 8 l _ { g , 1 } ^ { 2 } \gamma _ { k } ^ { 2 } ) \mathbb { E } [ \| \tilde { e } _ { k } ^ { z } \| ^ { 2 } ] + 2 \eta _ { k + 1 } ^ { 2 } \sigma _ { g } ^ { 2 } } \\ & { \qquad + 8 l _ { g , 1 } ^ { 2 } ( 1 - \eta _ { k + 1 } ) ^ { 2 } \left( \xi ^ { 2 } \alpha _ { k } ^ { 2 } \mathbb { E } [ \| q _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } ] + \xi ^ { 2 } \alpha _ { k } ^ { 2 } \mathbb { E } [ \| \tilde { e } _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } ] + \gamma _ { k } ^ { 2 } \mathbb { E } [ \| q _ { k } ^ { z } \| ^ { 2 } ] \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { A } ( \mathbf { k } , t ) \approx ~ } & { \hat { A } ( \mathbf { k } , t _ { 0 } ) \exp [ \mathrm { i } \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } - \mathrm { i } ( \Omega - \beta \omega _ { 0 } ) ( t - t _ { 0 } ) ] ~ \mathrm { a n d } ~ } \\ { \hat { B } _ { s } ( \mathbf { k } , t ) \approx ~ } & { \hat { B } _ { s } ( \mathbf { k } , t _ { 0 } ) \exp [ \mathrm { i } \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } - \mathrm { i } ( \Omega - \beta \omega _ { 0 } ) ( t - t _ { 0 } ) ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { O _ { P } ( 1 ) \left( \frac { 2 } { ( I + n + 1 ) ( I + n ) - 2 } \sum _ { s = 0 } ^ { I + n - 2 } \sum _ { t = - n } ^ { I - s - 1 } \frac { C _ { t , s } ^ { 2 } } { \sigma _ { s } ^ { 4 } } \left( F _ { t , s } ^ { 4 } - 4 F _ { t , s } ^ { 3 } f _ { s } + 6 F _ { t , s } ^ { 2 } f _ { s } ^ { 2 } - 4 F _ { t , s } f _ { s } ^ { 3 } + f _ { s } ^ { 4 } \right) \right) } \\ { = } & { O _ { P } ( 1 ) \left( \frac { 2 } { ( I + n + 1 ) ( I + n ) - 2 } \sum _ { s = 0 } ^ { I + n - 2 } \sum _ { t = - n } ^ { I - s - 1 } \frac { C _ { t , s } ^ { 2 } } { \sigma _ { s } ^ { 4 } } \left( F _ { t , s } - f _ { s } \right) ^ { 4 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 \eta } \| { \tilde { x } } ^ { k } - x ^ { * } \| ^ { 2 } } & { \geq \left( \frac { 1 } { 2 \eta } + \frac { \lambda } { 4 } \right) \mathbb { E } _ { k } \| { \tilde { x } } ^ { k + 1 } - x ^ { * } \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 \eta } \mathbb { E } _ { k } \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } + \mathbb { E } _ { k } [ g ( x ^ { k + 1 } ) - g ( x ^ { * } ) ] } \\ & { \quad + \mathbb { E } _ { k } \langle u ^ { k } + m ( u ^ { k + 1 } - u ^ { k } ) , x ^ { k + 1 } - x ^ { * } \rangle - \frac { \eta } { 2 } \| e ^ { k } \| ^ { 2 } - \left( \frac { \eta } { 2 } + \frac { \lambda \eta ^ { 2 } } { 2 } \right) \mathbb { E } _ { k } \| e ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | V } & { ( x ) - V ( y ) | = \Bigg | \int _ { 0 } ^ { + \infty } \| T _ { t } x \| _ { X } ^ { 2 } - \| T _ { t } y \| _ { X } ^ { 2 } d t \Bigg | } \\ & { \leq \int _ { 0 } ^ { + \infty } \Big | \| T _ { t } x \| _ { X } - \| T _ { t } y \| _ { X } \Big | \big ( \| T _ { t } x \| _ { X } + \| T _ { t } y \| _ { X } \big ) d t } \\ & { \leq \int _ { 0 } ^ { + \infty } \| T _ { t } x - T _ { t } y \| _ { X } \big ( \| T _ { t } x \| _ { X } + \| T _ { t } y \| _ { X } \big ) d t } \\ & { \leq \int _ { 0 } ^ { + \infty } M e ^ { - \lambda t } \| x - y \| _ { X } M e ^ { - \lambda t } ( \| x \| _ { X } + \| y \| _ { X } ) d t } \\ & { \leq \frac { M ^ { 2 } r } { \lambda } \| x - y \| _ { X } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r l } & { \mathcal { X } _ { 1 } ^ { \epsilon } = \Gamma _ { 4 } ^ { ( 3 ) } \cap D _ { \epsilon } ( k _ { 1 } ) , } & & { \mathcal { X } _ { 2 } ^ { \epsilon } = \Gamma _ { 7 } ^ { ( 3 ) } \cap D _ { \epsilon } ( k _ { 1 } ) , } & & { \mathcal { X } _ { 3 } ^ { \epsilon } = \Gamma _ { 9 } ^ { ( 3 ) } \cap D _ { \epsilon } ( k _ { 1 } ) , } & & { \mathcal { X } _ { 4 } ^ { \epsilon } = \Gamma _ { 6 } ^ { ( 3 ) } \cap D _ { \epsilon } ( k _ { 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { J _ { 2 \nu + \frac { 1 } { 2 } } ( z ) = \frac { \Gamma ( \nu + 1 ) } { \Gamma ( 2 \nu + \frac { 3 } { 2 } ) } \, \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \, \frac { ( \nu + \frac { 1 } { 2 } ) _ { n } } { ( 2 \nu + \frac { 3 } { 2 } ) _ { n } \, n ! } \, \left( \frac { z } { 2 } \right) ^ { \nu + \frac { 1 } { 2 } + n } \, J _ { \nu + n } ( z ) \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf { E } \left[ e ^ { 2 \alpha \left( \Bar { b } + d / \beta \right) ( t \wedge \sigma _ { n } ) } V _ { \alpha } \left( \Bar { X } _ { t \wedge \sigma _ { n } } ^ { r } \right) \right] } \\ & { = \mathbf { E } \left[ V _ { \alpha } \left( \Bar { X } _ { 0 } ^ { r } \right) \right] } \\ & { \quad + \mathbf { E } \left[ \int _ { 0 } ^ { t \wedge \sigma _ { n } } \left( e ^ { 2 \alpha \left( \Bar { b } + d / \beta \right) s } \Bar { \mathcal { L } } ^ { r } V _ { \alpha } \left( \Bar { X } _ { s } ^ { r } \right) + 2 \alpha \left( \Bar { b } + d / \beta \right) e ^ { 2 \alpha \left( \Bar { b } + d / \beta \right) s } V _ { \alpha } \left( \Bar { X } _ { s } ^ { r } \right) \right) \mathrm { d } s \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { O C E _ { s _ { h + 1 } ^ { k } \sim P _ { h } ( \cdot \vert s _ { h } ^ { k } , a _ { h } ^ { k } ) } ^ { u } \left( \hat { V } _ { h + 1 } ^ { k } ( s _ { h + 1 } ^ { k } ) \right) - O C E _ { s _ { h + 1 } ^ { k } \sim P _ { h } ( \cdot \vert s _ { h } ^ { k } , a _ { h } ^ { k } ) } ^ { u } \left( V _ { h + 1 } ^ { \pi ^ { k } } ( s _ { h + 1 } ^ { k } ) \right) } \\ & { \overset { ( 1 ) } { = } \operatorname* { m a x } _ { \lambda \in [ 0 , H - h ] } \left\{ \lambda + E _ { s _ { h + 1 } ^ { k } \sim P _ { h } ( \cdot \vert s _ { h } ^ { k } , a _ { h } ^ { k } ) } [ u ( \hat { V } _ { h + 1 } ^ { k } ( s _ { h + 1 } ^ { k } ) - \lambda ) ] \right\} } \\ & { \quad \quad - \operatorname* { m a x } _ { \lambda \in [ 0 , H - h ] } \left\{ \lambda + E _ { s _ { h + 1 } ^ { k } \sim P _ { h } ( \cdot \vert s _ { h } ^ { k } , a _ { h } ^ { k } ) } [ u ( V _ { h + 1 } ^ { \pi ^ { k } } ( s _ { h + 1 } ^ { k } ) - \lambda ) ] \right\} } \\ & { = \mu _ { h + 1 } ^ { k } + E _ { s _ { h + 1 } ^ { k } \sim P _ { h } ( \cdot \vert s _ { h } ^ { k } , a _ { h } ^ { k } ) } [ u ( \hat { V } _ { h + 1 } ^ { k } ( s _ { h + 1 } ^ { k } ) - \mu _ { h + 1 } ^ { k } ) ] - \lambda _ { h + 1 } ^ { k } - E _ { s _ { h + 1 } ^ { k } \sim P _ { h } ( \cdot \vert s _ { h } ^ { k } , a _ { h } ^ { k } ) } [ u ( V _ { h + 1 } ^ { \pi ^ { k } } ( s _ { h + 1 } ^ { k } ) - \lambda _ { h + 1 } ^ { k } ) ] } \\ & { \overset { ( 2 ) } { \leq } \mu _ { h + 1 } ^ { k } - \lambda _ { h + 1 } ^ { k } + E _ { s _ { h + 1 } ^ { k } \sim P _ { h } ( \cdot \vert s _ { h } ^ { k } , a _ { h } ^ { k } ) } \left[ \Lambda _ { h + 1 } ^ { k } ( s _ { h + 1 } ^ { k } ) \cdot ( \hat { V } _ { h + 1 } ^ { k } ( s _ { h + 1 } ^ { k } ) - V _ { h + 1 } ^ { \pi ^ { k } } ( s _ { h + 1 } ^ { k } ) - ( \mu _ { h + 1 } ^ { k } - \lambda _ { h + 1 } ^ { k } ) ) \right] } \\ & { = \left( 1 - E _ { s _ { h + 1 } ^ { k } \sim P _ { h } ( \cdot \vert s _ { h } ^ { k } , a _ { h } ^ { k } ) } \left[ \Lambda _ { h + 1 } ^ { k } ( s _ { h + 1 } ^ { k } ) \right] \right) ( \mu _ { h + 1 } ^ { k } - \lambda _ { h + 1 } ^ { k } ) } \\ & { \quad \quad + E _ { s _ { h + 1 } ^ { k } \sim P _ { h } ( \cdot \vert s _ { h } ^ { k } , a _ { h } ^ { k } ) } \left[ \Lambda _ { h + 1 } ^ { k } ( s _ { h + 1 } ^ { k } ) \cdot ( \hat { V } _ { h + 1 } ^ { k } ( s _ { h + 1 } ^ { k } ) - V _ { h + 1 } ^ { \pi ^ { k } } ( s _ { h + 1 } ^ { k } ) ) \right] } \\ & { \overset { ( 3 ) } { = } E _ { s _ { h + 1 } ^ { k } \sim B _ { h } ( \cdot \vert s _ { h } ^ { k } , a _ { h } ^ { k } ) } [ \hat { V } _ { h + 1 } ^ { k } ( s _ { h + 1 } ^ { k } ) - V _ { h + 1 } ^ { \pi ^ { k } } ( s _ { h + 1 } ^ { k } ) ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon ^ { - 1 / 2 } ( f _ { \epsilon } ^ { \mathrm { r e c - 1 } } ( x _ { 0 } + \epsilon \check { x } ) - } & { f _ { \epsilon } ^ { \mathrm { r e c - 1 } } ( x _ { 0 } ) ) } \\ { = } & { - \frac { \kappa \omega ( \alpha _ { \star } , x _ { 0 } ) \varphi _ { 1 } ( \alpha _ { \star } ) } { 2 \pi } \Psi ( u _ { 0 } \cdot \check { x } ; \mu _ { 0 } \kappa , k _ { \star } ) + O ( \epsilon ^ { 1 / 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mu _ { \mathcal { V } ( x _ { k } ) } ( c ) - \sigma _ { \mathcal { O } _ { k } } ( c ) } \\ & { = \mu _ { R ( x _ { k } ) \mathcal { A } + p ( x _ { k } ) } ( c ) - \sigma _ { S _ { k } \mathcal { B } + d _ { k } } ( c ) } \\ & { = ( \mu _ { R ( x _ { k } ) \mathcal { A } } ( c ) + c ^ { T } p ( x _ { k } ) ) - ( \sigma _ { S _ { k } \mathcal { B } } ( c ) + c ^ { T } d _ { k } ) } \\ & { = \mu _ { \mathcal { A } } ( R ( x _ { k } ) ^ { T } c ) - \sigma _ { \mathcal { B } } ( S _ { k } ^ { T } c ) + c ^ { T } ( p ( x _ { k } ) - d _ { k } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { ( \nabla x ) _ { i , j , 1 } = \left\{ \begin{array} { l l } { x _ { i + 1 , j } - x _ { i , j } \; \; \mathrm { i f ~ } 1 \leq i < H , } \\ { 0 \; \; \mathrm { e l s e , } } \end{array} \right. \, , } & { ( \nabla x ) _ { i , j , 2 } = \left\{ \begin{array} { l l } { x _ { i , j + 1 } - x _ { i , j } \; \; \mathrm { i f ~ } 1 \leq j < W , } \\ { 0 \; \; \mathrm { e l s e . } } \end{array} \right. \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Big | \mathbb { E } } & { \big [ S _ { 1 } ( t - S _ { 2 } ( t ) ) \big ] - a _ { 1 } \Big | = \Big | \mathbb { E } \big [ \mu _ { 1 } ( t - S _ { 2 } ( t ) ) - a _ { 1 } \big ] \Big | } \\ { = } & { \Big | \mathbb { E } \left[ ( \mu _ { 1 } ( t - S _ { 2 } ( t ) ) - a _ { 1 } ) \left( \chi _ { \{ S _ { 2 } ( t ) \geq \sqrt { t } \} } + \chi _ { \{ S _ { 2 } ( t ) < \sqrt { t } \} } \right) \right] \Big | } \\ { \leq } & { \Big | \mathbb { E } \left[ \mu _ { 1 } ( t - S _ { 2 } ( t ) ) \chi _ { \{ S _ { 2 } ( t ) \geq \sqrt { t } \} } \right] \Big | + \Big | \mathbb { E } \left[ a _ { 1 } \chi _ { \{ S _ { 2 } ( t ) \geq \sqrt { t } \} } \right] \Big | } \\ & { + \Big | \mathbb { E } \left[ ( \mu _ { 1 } ( t - S _ { 2 } ( t ) ) - a _ { 1 } ) \chi _ { \{ S _ { 2 } ( t ) < \sqrt { t } \} } \right] \Big | } \\ { \leq } & { \mathbb { E } \left[ \Big | \mu _ { 1 } ( t - S _ { 2 } ( t ) ) \Big | \chi _ { \{ S _ { 2 } ( t ) \geq \sqrt { t } \} } \right] + \mathbb { E } \left[ a _ { 1 } \chi _ { \{ S _ { 2 } ( t ) \geq \sqrt { t } \} } \right] } \\ & { + \mathbb { E } \left[ \Big | \mu _ { 1 } ( t - S _ { 2 } ( t ) ) - a _ { 1 } \Big | \chi _ { \{ S _ { 2 } ( t ) < \sqrt { t } \} } \right] } \end{array}
\int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } f _ { i n } \varphi ( 0 ) \, \mathrm { d } v - \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } f \partial _ { t } \varphi \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } t = \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } \nabla ^ { 2 } \varphi : A [ f ] f + 2 \nabla \varphi \cdot \nabla a [ f ] f \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } t .
\begin{array} { r l } { \widehat { \mathcal { H } } _ { 2 } ( f ) } & { = - \frac { 1 } { { \binom { n } { 2 } } } \sum _ { i < j } \{ \hat { \rho } _ { n } \hat { g } ( \xi _ { i } ) \hat { g } ( \xi _ { j } ) \log ( \hat { \rho } _ { n } \hat { g } ( \xi _ { i } ) \hat { g } ( \xi _ { j } ) ) + ( 1 - \hat { \rho } _ { n } \hat { g } ( \xi _ { i } ) \hat { g } ( \xi _ { j } ) ) \log ( 1 - \hat { \rho } _ { n } \hat { g } ( \xi _ { i } ) \hat { g } ( \xi _ { j } ) ) \} . } \end{array}
J _ { 1 } ^ { \mathrm { B B M } } ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ) = \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { 1 } } } ^ { \top } \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { M } } } \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } , \qquad J _ { 2 } ^ { \mathrm { B B M } } ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ) = \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { \top } ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { I } } } - \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { D } } } _ { 2 } ) \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } .
\begin{array} { r l } { \quad \hat { S T T } ( \boldsymbol { x } ) = \operatorname* { m i n } _ { \boldsymbol { q , z } } \quad } & { W T ( \boldsymbol { q } , \boldsymbol { z } ) + I V T ( \boldsymbol { z } ) } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { \mathrm { C o n s t r a i n t s ~ } ( ) - ( ) } \\ & { \mathrm { C o n s t r a i n t s ~ } ( ) - ( ) } \end{array}
\begin{array} { r } { - J ( \theta _ { t + 1 } ) \leq - J ( \theta _ { t } ) - \frac { \gamma _ { t } } { 3 } \left\| \nabla J ( \theta _ { t } ) \right\| + \frac { 8 \gamma _ { t } } { 3 } \left\| d _ { t } - \nabla J _ { H } ( \theta _ { t } ) \right\| + \frac { L _ { g } \gamma _ { t } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 4 \gamma _ { t } D _ { g } } { 3 } \gamma ^ { { H } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \int _ { \mathcal { D } } \int _ { \mathcal { D } } L ^ { * } \varphi ( x ) L ^ { * } \varphi ( x ^ { \prime } ) \mathbb { E } [ U ( x ) U ( x ^ { \prime } ) ] d x d x ^ { \prime } } \\ & { = \mathbb { E } \Bigg [ \Bigg ( \int _ { \mathcal { D } } L ^ { * } \varphi ( x ) U ( x ) d x \Big ) ^ { 2 } \Bigg ] = \mathbb { E } \big [ \langle U , L ^ { * } \varphi \rangle ^ { 2 } \big ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( a ) } & { = - \int _ { a } ^ { \infty } f _ { + } ^ { \prime } ( x ) d x = - \int _ { a } ^ { \infty } f _ { + } ^ { \prime } ( x ) d ( x - a ) } \\ & { = - f _ { + } ^ { \prime } ( x ) ( x - a ) | _ { a } ^ { \infty } + \int _ { a } ^ { \infty } ( x - a ) d f _ { + } ^ { \prime } ( x ) } \\ & { = \int _ { a } ^ { \infty } ( x - a ) d f _ { + } ^ { \prime } ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \mathbf { A } } = \left( \begin{array} { l } { { \mathbf { A } } _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { { \mathbf { A } } _ { N } } \end{array} \right) \quad \mathrm { a n d } \quad { \mathbf { A } } { \boldsymbol { \mathsf { x } } } = \left( \begin{array} { l } { { \mathbf { A } } _ { 1 } { \boldsymbol { \mathsf { x } } } } \\ { \vdots } \\ { { \mathbf { A } } _ { N } { \boldsymbol { \mathsf { x } } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { { \boldsymbol { \mathsf { y } } } _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { { \boldsymbol { \mathsf { y } } } _ { N } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \frac { \partial } { \partial \tau } } & { \tilde { \psi } ( \tilde { z } , \tau ) = \Bigl ( \tilde { p } ^ { 2 } + V ( \tilde { z } ) + \tilde { g } \left| \tilde { \psi } ( \tilde { z } , \tau ) \right| ^ { 2 } } \\ & { + \frac { s _ { z } } { 2 } \cos 2 \tilde { z } \left( 1 + \varepsilon \cos ( \tilde { \omega } _ { 2 } \tau ) \cos ( \tilde { \omega } _ { 3 } \tau ) \right) \sum _ { n } \delta ( \tau - n \tilde { T } ) \Bigr ) \tilde { \psi } ( \tilde { z } , \tau ) } \end{array}
\mathcal { T } _ { 0 } ^ { \alpha } = \left( \begin{array} { l l l l l l } { - \frac { 1 } { s _ { N } } } & & & & & { \frac { 1 } { s _ { N } } e ^ { - \i \alpha L } } \\ & { A _ { 0 } ( s _ { 1 } ) } & & & & \\ & & { A _ { 0 } ( s _ { 2 } ) } & & & \\ & & & { \ddots } & & \\ & & & & { A _ { 0 } ( s _ { N - 1 } ) } & \\ { \frac { 1 } { s _ { N } } e ^ { \i \alpha L } } & & & & & { - \frac { 1 } { s _ { N } } } \end{array} \right) ,
\Sigma _ { \mathcal { N } } : = \mathrm { C o v } \left[ { \mathcal { N } } ( \epsilon ) \right] = \frac { \sigma ^ { 4 } } { 4 } \mathrm { T r } \Big ( \mathbf { H } \mathbf { F } _ { i } ( \mathbf { U } ) \mathbf { H } \mathbf { F } _ { j } ( \mathbf { U } ) ^ { T } + \mathbf { H } \mathbf { F } _ { i } ( \mathbf { U } ) \mathbf { H } \mathbf { F } _ { j } ( \mathbf { U } ) \Big ) ,
\begin{array} { r l } { f ( t ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { a e ^ { \alpha t } \, \, } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ t < t _ { o n } , } \\ { a e ^ { \alpha t } + m e ^ { \alpha ( t - t _ { o n } ) } \, \, } & { t _ { o n } < t < t _ { o n } + \tau , } \\ { a e ^ { \alpha t } + \Delta f \, e ^ { \alpha ( t - ( t _ { o n } + \tau ) ) } \, \, } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ t > t _ { o n } + \tau , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ell ( \mu , \boldsymbol { \theta } , \boldsymbol { \sigma _ { u } ^ { 2 } } ) = } & { - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left[ \frac { ( y _ { i } - \mu - \theta _ { i } ) ^ { 2 } } { \sigma _ { y _ { i } } ^ { 2 } } + \frac { ( u _ { i } - \theta _ { i } ) ^ { 2 } } { \sigma _ { u _ { i } } ^ { 2 } } \right. } \\ & { \left. + \left( 1 + \frac { 1 } { 2 \varepsilon _ { i } ^ { 2 } } \right) \log { \sigma _ { u _ { i } } ^ { 2 } } + \frac { v _ { i } } { 2 \varepsilon _ { i } ^ { 2 } \sigma _ { u _ { i } } ^ { 2 } } \right] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { S \left( x \right) \stackrel { d } { \sim } \overline { { \alpha } } ^ { x } \varepsilon _ { 0 } + \sum _ { y = 0 } ^ { x - 1 } \alpha \overline { { \alpha } } ^ { y } \varepsilon _ { x - y } } \\ { { \bf E } \left( z ^ { S \left( x \right) } \right) } & { = } & { \overline { { \alpha } } ^ { x } + \alpha \sum _ { y = 0 } ^ { x - 1 } \overline { { \alpha } } ^ { y } z ^ { x - y } = \overline { { \alpha } } ^ { x } + \alpha \overline { { \alpha } } ^ { x } z \frac { 1 - \left( z / \overline { { \alpha } } \right) ^ { x } } { \overline { { \alpha } } - z } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \ell _ { s } ( \omega ) } } & { = \frac { k _ { 0 } ^ { 2 } | \Delta \epsilon | ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \int _ { 4 \pi } C ( \boldsymbol { \mathbf { q } } ) \mathrm { d } \boldsymbol { \mathbf { u } } ^ { \prime } } \\ { p ( \boldsymbol { \mathbf { u } } , \boldsymbol { \mathbf { u } } ^ { \prime } , \omega ) } & { = C ( \boldsymbol { \mathbf { q } } ) \left[ \int _ { 4 \pi } C ( \boldsymbol { \mathbf { q } } ) \mathrm { d } \boldsymbol { \mathbf { u } } ^ { \prime } \right] ^ { - 1 } } \\ & { = \frac { k _ { r } ^ { 2 } \ell ^ { 2 } \exp [ - q ^ { 2 } \ell ^ { 2 } / 2 ] } { 2 \pi \left[ 1 - \exp ( - 2 k _ { r } ^ { 2 } \ell ^ { 2 } ) \right] } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { C } _ { - \omega } ( k , \tau ) } & { = c _ { 0 } \, \mathrm { e } ^ { - \frac { \lvert \tau \rvert } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } } \left[ \tilde { F } _ { 1 } ( k ) + \tilde { F } _ { 2 } ( k ) \right] , } \\ { \tilde { F } _ { 1 } ( k ) } & { = \mathrm { e } ^ { - k \left( \frac { \lvert \tau \rvert \, \xi } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } + \epsilon \right) } \, \cos \big ( \tilde { \omega } _ { d } ( 1 + k \xi ) \lvert \tau \rvert \, \big ) , } \\ { \tilde { F } _ { 2 } ( k ) } & { = \mathrm { e } ^ { - k \left( \frac { \lvert \tau \rvert \, \xi } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } + \epsilon \right) } \, \frac { \sin \big ( \tilde { \omega } _ { d } ( 1 + k \xi ) \lvert \tau \rvert \big ) } { 2 \tilde { \omega } _ { d } \tilde { \tau } _ { c } } \, . } \end{array}
\frac { \langle q _ { 0 } \rangle ^ { 5 d + 5 } } { \langle q _ { 0 } \rangle ^ { 5 d + 5 } } \frac { \langle q _ { \kappa ( i ^ { * } ) } + q _ { i ^ { * } - 1 } - q _ { \kappa ( i ^ { * } ) - 1 } \rangle ^ { d + 1 } } { \langle q _ { \kappa ( i ^ { * } ) } + q _ { i ^ { * } - 1 } - q _ { \kappa ( i ^ { * } ) - 1 } \rangle ^ { d + 1 } } \prod _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \langle q _ { i } - q _ { i - 1 } \rangle ^ { 6 d + 6 } } { \langle q _ { i } - q _ { i - 1 } \rangle ^ { 6 d + 6 } } .
\begin{array} { r l } { \| D \mathbb { F } _ { e } ( \tilde { u } ) ^ { - 1 } u _ { 0 } - v \| _ { 2 } = } & { \| D \mathbb { F } _ { e } ( \tilde { u } ) ^ { - 1 } \bigg ( u _ { 0 } - ( \mathbb { L } _ { e } + D \mathbb { G } _ { e } ( u ) ) v \bigg ) \| _ { 2 } } \\ & { \leq \| D \mathbb { F } _ { e } ( \tilde { u } ) ^ { - 1 } \| _ { 2 } \| u _ { 0 } - ( \mathbb { L } _ { e } + D \mathbb { G } _ { e } ( u ) ) v \| _ { 2 } } \\ & { \leq \mathcal { C } _ { 1 } | \Omega _ { 0 } | ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| U _ { 0 } - ( L _ { e } + D G _ { e } ( U _ { 0 } ) ) V \| _ { 2 } + \mathcal { C } _ { 1 } \| D \mathbb { G } _ { e } ( \tilde { u } ) v - D \mathbb { G } _ { e } ( u _ { 0 } ) v \| _ { 2 } } \\ & { \leq \mathcal { C } _ { 1 } | \Omega _ { 0 } | ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| U _ { 0 } - ( L _ { e } + D G _ { e } ( U _ { 0 } ) ) V \| _ { 2 } + 2 | \Omega _ { 0 } | ^ { \frac { 1 } { 2 } } \kappa \mathcal { C } _ { 1 } r _ { 0 } \| V \| _ { l } = \epsilon , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } _ { x _ { 0 } } ^ { \pi ^ { b } } [ X _ { N } ] } & { = } & { x _ { 0 } S _ { N } ^ { 0 } d _ { 0 } + b ( 1 - d _ { 0 } ) , } \\ { \mathbb { E } _ { x _ { 0 } } ^ { \pi ^ { b } } [ X _ { N } ^ { 2 } ] } & { = } & { ( x _ { 0 } S _ { N } ^ { 0 } ) ^ { 2 } d _ { 0 } + b ^ { 2 } ( 1 - d _ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log \frac { J _ { u } ( 0 , r _ { 2 } - \theta ) } { J _ { u } ( 0 , r _ { 1 } + \theta ) } } & { \le \beta \log \frac { J _ { u } ( 0 , r _ { 3 } + \theta ) } { J _ { u } ( 0 , r _ { 2 } - \theta ) } } \\ & { \qquad + ( 1 + \beta ) \log \frac { 1 + \theta } { 1 - \theta } + d \log \frac { r _ { 2 } ^ { 1 + \beta } } { r _ { 3 } ^ { \beta } r _ { 1 } } + C \gamma r _ { 3 } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l } { \operatorname* { m i n } } & { ( x _ { 1 } + x _ { 2 } - 2 ) ^ { 2 } + ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ^ { 2 } + 3 0 \operatorname* { m i n } \{ 0 , ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) \} ^ { 2 } } \\ { \mathit { s . t . } } & { g ( x , u ) = x _ { 1 } \cos ( u ) - x _ { 2 } \sin ( u ) + 1 \geq 0 \quad \forall u \in U , } \\ & { U = [ 0 , \pi ] . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { | b ( \gamma _ { 2 } ) - b ( \gamma _ { 1 } ) | } & { \leq C \left( \| \gamma _ { 1 } - \gamma _ { 2 } \| _ { C ^ { 2 , \alpha } ( \Omega ) } + \| h _ { 1 } - h _ { 2 } \| _ { \mathcal B _ { 2 } ( \Omega ) } \| ( h _ { 1 } , h _ { 2 } ) \| _ { \mathcal B _ { 2 } ( \Omega ) } \right) } \\ & { \qquad + \left| \int _ { \Omega } L _ { \gamma _ { 2 } } ( h _ { 2 } ) f ^ { m } d \mu _ { \gamma _ { 2 } } - \int _ { \Omega } L _ { \gamma _ { 1 } } ( h _ { 1 } ) f ^ { m } d \mu _ { \gamma _ { 1 } } \right| . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \int _ { B _ { 2 R } } D ^ { 2 } f ( \nabla u ) ( \nabla \partial _ { 1 } u , \nabla \partial _ { 1 } u ) \eta ^ { 2 } \Gamma _ { 1 } ^ { \alpha } \, \mathrm { d } x } } \\ & { \leq } & { \Biggl | \int _ { B _ { 2 R } } D ^ { 2 } f ( \nabla u ) ( \nabla \partial _ { 1 } u , \nabla \eta ^ { 2 } ) \partial _ { 1 } u \Gamma _ { 1 } ^ { \alpha } \, \mathrm { d } x \Biggr | } \\ & { \leq } & { c \left[ \int _ { \mathrm { s p t } \nabla \eta } D ^ { 2 } f ( \nabla u ) ( \nabla \partial _ { 1 } u , \nabla \partial _ { 1 } u ) \eta ^ { 2 } \Gamma _ { 1 } ^ { \alpha } \, \mathrm { d } x \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left[ \int _ { \mathrm { s p t } \nabla \eta } D ^ { 2 } f ( \nabla u ) ( \nabla \eta , \nabla \eta ) \Gamma _ { 1 } ^ { \alpha + 1 } \, \mathrm { d } x \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } . \, \, \, \, } \end{array}
\begin{array} { r l } { - k \int _ { \Omega } R u _ { j } U \, d x \leq } & { \, k \int _ { \Omega } \left( \frac { r } { 4 k } R ^ { 2 } ( t , x ) + \frac { k } { r } u _ { j } ^ { 2 } ( t , x ) U ^ { 2 } ( t , x ) \right) d x } \\ { \leq } & { \, \frac { r } { 4 } \| R ( t ) \| ^ { 2 } + \frac { k ^ { 2 } } { r } \left[ \int _ { \Omega } u _ { j } ^ { 4 } ( t , x ) \, d x \right] ^ { 1 / 2 } \left[ \int _ { \Omega } U ^ { 4 } ( t , x ) \, d x \right] ^ { 1 / 2 } } \\ { = } & { \, \frac { r } { 4 } \| R ( t ) \| ^ { 2 } + \frac { k ^ { 2 } } { r } \| u _ { j } ( t ) \| _ { L ^ { 4 } } ^ { 2 } \| U ( t ) \| _ { L ^ { 4 } } ^ { 2 } , \quad t > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \eta _ { a } ( \epsilon ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \frac { \kappa _ { a } ( \Delta _ { a } - \epsilon ) - \epsilon \mu _ { a } } { ( \mu _ { a } - \kappa _ { a } ) ( \mu _ { 1 } - \kappa _ { a } - 2 \epsilon ) } } \\ & { = \frac { \kappa _ { a } \Delta _ { a } } { ( \mu _ { a } - \kappa _ { a } ) ( \mu _ { 1 } - \kappa _ { a } ) } = \frac { \kappa _ { a } ( \mu _ { 1 } - \mu _ { a } ) } { ( \mu _ { a } - \kappa _ { a } ) ( \mu _ { 1 } - \kappa _ { a } ) } = ( \alpha _ { a } - 1 ) \frac { \mu _ { 1 } - \mu _ { a } } { \mu _ { 1 } - \kappa _ { a } } . } \end{array}
B = \left( \begin{array} { l l l l } { b _ { 0 , 0 } } & { b _ { 0 , 1 } } & { b _ { 0 , 2 } } & { b _ { 0 , 3 } } \\ { b _ { 0 , 1 } } & { b _ { 0 , 3 } } & { b _ { 1 , 2 } } & { b _ { 1 , 2 } } \\ { b _ { 0 , 2 } } & { b _ { 1 , 2 } } & { b _ { 0 , 2 } } & { b _ { 1 , 2 } } \\ { b _ { 0 , 3 } } & { b _ { 1 , 2 } } & { b _ { 1 , 2 } } & { b _ { 0 , 1 } } \end{array} \right) .
{ \begin{array} { l } { { \nabla \cdot \mathbf { E } _ { \mathrm { v a c } } = 0 } } \\ { { \nabla \cdot \mathbf { B } _ { \mathrm { v a c } } = 0 } } \\ { { \nabla \times \mathbf { E } _ { \mathrm { v a c } } = - \partial \mathbf { B } _ { \mathrm { v a c } } / \partial t } } \\ { { \nabla \times \mathbf { B } _ { \mathrm { v a c } } = \epsilon _ { 0 } \mu _ { 0 } \partial \mathbf { E } _ { \mathrm { v a c } } / \partial t } } \end{array} }
\mathbb { E } \{ \mathbf { \hat { h } } _ { m l , p } ^ { H } \mathbf { h } _ { m k , n } \mathbf { h } _ { m ^ { \prime } k , i } ^ { H } \mathbf { \hat { h } } _ { m ^ { \prime } l , p ^ { \prime } } \} = \mathbb { E } \{ \mathbf { \hat { h } } _ { m l , p } ^ { H } \mathbf { h } _ { m k , n } \} \mathbb { E } \{ \mathbf { h } _ { m ^ { \prime } k , i } ^ { H } \mathbf { \hat { h } } _ { m ^ { \prime } l , p ^ { \prime } } \} = \mathrm { t r } ( \mathbf { \Xi } _ { m l k } ^ { n p } ) \mathrm { t r } ( \mathbf { \Xi } _ { m ^ { \prime } k l } ^ { p ^ { \prime } i } )
\begin{array} { r l } & { D f ( x _ { 0 } ) ( v ) ^ { - 1 } \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \delta _ { 1 / d ( x _ { 0 } , y _ { k } ) } ( f ( x _ { 0 } ) ^ { - 1 } f ( y _ { k } ) ) } \\ { = } & { \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \delta _ { 1 / d ( x _ { 0 } , y _ { k } ) } ( \big ( D f ( x _ { 0 } ) ( \varphi ( x _ { 0 } ) ^ { - 1 } \varphi ( y _ { k } ) ) \big ) ^ { - 1 } f ( x _ { 0 } ) ^ { - 1 } f ( y _ { k } ) ) } \\ { = } & { D f ( x _ { 0 } ) \Big ( \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \delta _ { 1 / d ( x _ { 0 } , y _ { k } ) } ( \varphi ( \gamma _ { k } ( M ) ) ^ { - 1 } \varphi ( y _ { k } ) ) \Big ) ^ { - 1 } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \delta _ { 1 / d ( x _ { 0 } , y _ { k } ) } ( \big ( D f ( x _ { 0 } ) ( \varphi ( x _ { 0 } ) ^ { - 1 } \varphi ( \gamma _ { k } ( M ) ) ) \big ) ^ { - 1 } f ( x _ { 0 } ) ^ { - 1 } f ( \gamma _ { k } ( M ) ) ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \delta _ { 1 / d ( x _ { 0 } , y _ { k } ) } ( f ( \gamma _ { k } ( M ) ) ^ { - 1 } f ( y _ { k } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \delta _ { \uparrow } ( \phi ^ { \downarrow } ) ( \zeta ) \right) ( \phi ^ { \downarrow } h ) } & { = \left( ^ { \vee } ( 1 _ { \Lambda ^ { \downarrow } } \otimes \phi ^ { \downarrow } ) ^ { - 1 } \beta ( 1 \otimes \zeta ) \right) ( \phi ^ { \downarrow } h ) } \\ & { = \left( \beta ( 1 \otimes \zeta ) \right) ( 1 \otimes h ) = \zeta ( h ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \bf S } _ { i } } & { = } & { - \epsilon \int d ^ { 3 } { \bf r } \ \epsilon _ { i l m } ( r _ { j } \hat { E } _ { j } ) ( \partial _ { l } \hat { A } _ { m } ) } \\ & { = } & { - \epsilon \left[ ( r _ { j } \hat { E } _ { j } ) \hat { A } _ { m } \right] _ { - \infty } ^ { \infty } + \epsilon \int d ^ { 3 } { \bf r } \ \epsilon _ { i l m } \hat { A } _ { m } \partial _ { l } ( r _ { j } \hat { E } _ { j } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { f o r ~ } 1 \leq i , j \leq m , ~ ~ ~ Y _ { i j } ^ { a b } } & { = \frac { Y _ { i x } ^ { a } Y _ { j x } ^ { a } } { \sum _ { k } ^ { n } u _ { k } + \sum _ { k } ^ { m } Y _ { k x } ^ { a } } } \\ { \mathrm { f o r ~ } 1 \leq i , j \leq n , ~ ~ ~ U _ { i j } ^ { a b } } & { = \frac { u _ { i } u _ { j } } { \sum _ { k } ^ { n } u _ { k } + \sum _ { k } ^ { m } Y _ { k x } ^ { a } } } \\ { \mathrm { f o r ~ } 1 \leq i , j \leq m , ~ ~ ~ Y _ { i j } ^ { a } } & { = \frac { y _ { i } y _ { j } } { \sum _ { k } ^ { m } y _ { k } + x } } \\ { \mathrm { f o r ~ } 1 \leq i \leq m , ~ ~ ~ Y _ { i x } ^ { a } } & { = \frac { y _ { i } x } { \sum _ { k } ^ { m } y _ { k } + x } } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { t , i ^ { * } } } & { \stackrel { ( a ) } \ge Q _ { T _ { 0 } , i ^ { * } } - ( t - T _ { 0 } ) \cdot M } \\ & { \ge Q _ { T _ { 0 } , i ^ { * } } - \left( \frac { \lVert \mathbf Q _ { T _ { 0 } } \rVert _ { \infty } } { 2 M } + 1 \right) \cdot M } \\ & { = \frac { \lVert \mathbf Q _ { T _ { 0 } } \rVert _ { \infty } } 2 - M } \\ & { \stackrel { ( b ) } \ge \frac { \lVert \mathbf Q _ { T _ { 0 } } \rVert _ { \infty } } 4 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { C M } } } & { = - \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { R } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } R ^ { 2 } , } \\ { \hat { H } _ { \mathrm { r } } } & { = - \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { r } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } r ^ { 2 } + \frac { V _ { 0 } } { \sqrt { 2 \pi } \sigma _ { 0 } } e ^ { - \frac { r ^ { 2 } } { \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { g _ { 1 } = { \small \left( \begin{array} { l l l l } { - 1 } & & & \\ & { - 1 } & & \\ & & { 1 } & \\ & & & { 1 } \end{array} \right) } \normalsize \qquad \mathrm { a n d } \qquad g _ { 2 } = { \small \left( \begin{array} { l l l l } { - 1 } & & & \\ & { 1 } & & \\ & & { - 1 } & \\ & & & { 1 } \end{array} \right) } \normalsize \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 1 3 b } ^ { ( 1 ) } } & { = 5 7 6 0 i D p ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \pi } \sin ^ { D } \varphi _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { \pi } \sin ^ { D - 1 } \varphi _ { 2 } \cdots \int _ { 0 } ^ { \pi } \sin ^ { 3 } \varphi _ { D - 2 } d \varphi _ { D - 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \cos \varphi _ { D - 1 } d \varphi _ { D - 1 } } \\ & { \quad \times \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x d y d r d s \delta ( x + y + r + s - 1 ) \int _ { 0 } ^ { \infty } d l _ { E } \frac { x y ( y + s ) ^ { 2 } l _ { E } ^ { D + 1 } } { ( l _ { E } ^ { 2 } + \Delta ) ^ { 6 } } } \\ & { = \frac { 7 2 i \pi ^ { D / 2 + 1 } D ( D - 8 ) p ^ { 2 } } { \sin \big ( \frac { \pi D } { 2 } \big ) \Gamma \big ( \frac { D + 2 } { 2 } \big ) m _ { f } ^ { 1 0 - D } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } B _ { ( \beta , S , X ) } ( \hat { \beta } ^ { S } ; \beta ) = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \operatorname* { l i m } _ { z \to 0 ^ { - } } h _ { n } ( z ) = \operatorname* { l i m } _ { z \to 0 ^ { - } } \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } h _ { n } ( z ) . } \end{array}
\left\langle V _ { i _ { 1 } } ( k _ { 1 } ^ { \mu } ) \cdots V _ { i _ { p } } ( k _ { p } ^ { \mu } ) \right\rangle = \sum _ { h = 0 } ^ { \infty } \int { \frac { { \mathcal { D } } g _ { m n } { \mathcal { D } } X ^ { \mu } } { \mathcal { N } } } \exp ( - I [ g , X ] ) V _ { i _ { 1 } } ( k _ { 1 } ^ { \mu } ) \cdots V _ { i _ { p } } ( k _ { p } ^ { \mu } )
\begin{array} { r l r } { R _ { 3 \mathrm { p r e p } } } & { = } & { ( 1 - \epsilon _ { l \mathrm { p r e } } - \epsilon _ { l \mathrm { p o s t } } ) } \\ & { - } & { \left[ 1 - \epsilon _ { \mathrm { B A } } ( 1 - \epsilon _ { l \mathrm { p r e } } - \epsilon _ { l \mathrm { p o s t } } ) \right] \epsilon _ { 4 , \mathrm { p r e p } } } \\ & { \approx } & { 1 - \epsilon _ { l \mathrm { p r e } } - \epsilon _ { l \mathrm { p o s t } } - \epsilon _ { 4 , \mathrm { p r e p } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \delta _ { 1 / d ( x _ { 0 } , y _ { k } ) } ( \varphi ( \gamma _ { k } ( M ) ) ^ { - 1 } \varphi ( y _ { k } ) ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \delta _ { 1 / d ( x _ { 0 } , y _ { k } ) } ( \varphi ( x _ { 0 } ) ^ { - 1 } \varphi ( \gamma _ { k } ( M ) ) ) ^ { - 1 } \delta _ { 1 / d ( x _ { 0 } , y _ { k } ) } ( \varphi ( x _ { 0 } ) ^ { - 1 } \varphi ( y _ { k } ) ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } ( v \cdot \delta _ { 1 / d ( x _ { 0 } , y _ { k } ) } ( \Delta _ { M , x _ { 0 } } ( d ( x _ { 0 } , y _ { k } ) ) ) ) ^ { - 1 } \cdot v = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lambda ( t ) } & { = } & { - g V _ { 0 } \{ \mathrm { c o s } ( \Omega _ { 1 } t + \phi _ { 1 } ) + \mathrm { c o s } ( \Omega _ { 2 } t + \phi _ { 2 } ) \} } \\ { V _ { x } ( t ) } & { = } & { V _ { 0 } \, \mathrm { s i n } ( \Omega _ { 1 } t + \phi _ { 1 } ) } \\ { V _ { y } ( t ) } & { = } & { V _ { 0 } \, \mathrm { s i n } ( \Omega _ { 2 } t + \phi _ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { \operatorname { M c G } } } & { = \left\{ H _ { 0 } ( x ) + \frac { 2 } { z ^ { 2 } } P _ { r } \psi ^ { T } B \psi + \psi ^ { T } B \Psi \eta = 0 \right\} } \\ & { = \left\{ 2 P _ { r } \psi ^ { T } B \psi + z ^ { 2 } \left( H _ { 0 } ( x ) + \psi ^ { T } B \Psi \eta \right) = 0 \right\} { \subseteq \widetilde { X } \setminus \widetilde { Z } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbb { P } ( \mathcal { D } _ { l } \cap \mathcal { C } \cap \mathcal { E } _ { l } ) = \mathbb { E } [ \mathbb { P } ( \mathcal { D } _ { l } \cap \mathcal { C } \cap \mathcal { E } _ { l } | \mathcal { F } _ { s _ { 1 } ^ { \prime } } ) ] } \\ & { \leq } & { \exp ( - 2 L ^ { 2 } \beta _ { n } ( s _ { 2 } - s _ { 1 } + 1 ) ^ { 2 } ( s _ { 2 } ^ { \prime } - s _ { 1 } ^ { \prime } + 1 ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ^ { 2 } ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { a b } } & { = ( a _ { 1 } \mathbf { e } _ { 1 } + a _ { 2 } \mathbf { e } _ { 2 } + a _ { 3 } \mathbf { e } _ { 3 } ) ( b _ { 1 } \mathbf { e } _ { 1 } + b _ { 2 } \mathbf { e } _ { 2 } + b _ { 3 } \mathbf { e } _ { 3 } ) } \\ & { = a _ { 1 } b _ { 1 } { \mathbf { e } _ { 1 } } ^ { 2 } + a _ { 2 } b _ { 2 } { \mathbf { e } _ { 2 } } ^ { 2 } + a _ { 3 } b _ { 3 } { \mathbf { e } _ { 3 } } ^ { 2 } + ( a _ { 2 } b _ { 3 } - a _ { 3 } b _ { 2 } ) \mathbf { e } _ { 2 } \mathbf { e } _ { 3 } + ( a _ { 3 } b _ { 1 } - a _ { 1 } b _ { 3 } ) \mathbf { e } _ { 3 } \mathbf { e } _ { 1 } + ( a _ { 1 } b _ { 2 } - a _ { 2 } b _ { 1 } ) \mathbf { e } _ { 1 } \mathbf { e } _ { 2 } . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \int _ { I } \mathcal { S } _ { h _ { n } } ^ { \pi } ( p _ { h _ { n } } ; q _ { h _ { n } } ) \, \mu _ { k _ { t } + 1 } ^ { \mathrm { G R } } ( \mathrm { d } t ) \leq \left( \int _ { I } { ( h _ { n } ) _ { \Gamma } ^ { p ^ { \prime } - 1 } | \left[ \! \left[ p _ { h _ { n } } \vec { n } \right] \! \right] | ^ { p ^ { \prime } } \, \mathrm { d } s } \right) ^ { 1 / p } \left( \int _ { I } { ( h _ { n } ) _ { \Gamma } ^ { \frac { 1 } { p - 1 } } | \left[ \! \left[ q _ { h _ { n } } \vec { n } \right] \! \right] | ^ { p ^ { \prime } } \, \mathrm { d } s } \right) ^ { 1 / p ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf T _ { F _ { 2 , d } } ^ { x , 2 } ( \mathbf A _ { i } , \mathbf A _ { i } ) } \\ & { = \mathbf T _ { F _ { 2 , d } } ^ { x , 2 } ( 2 x \mathbf D _ { i } + a _ { i } , 2 x \mathbf D _ { i } + a _ { i } ) } \\ & { = 4 \mathbf T _ { F _ { 2 , d } } ^ { x , 3 } ( x \mathbf D _ { i } , x , D _ { i } x ) + 2 \mathbf T _ { F _ { 2 , d } } ^ { x , 2 } ( x \mathbf D _ { i } , a _ { i } ) } \\ & { \quad + 2 T _ { F _ { 2 , d } ^ { [ 3 ] } } ^ { x } ( a _ { i } , x , D _ { i } x ) + T _ { F _ { 2 , d } ^ { [ 2 ] } } ^ { x } ( a _ { i } , a _ { i } ) } \\ & { = 4 \Big ( \mathbf T _ { F _ { 2 , d } } ^ { x , 4 } ( x , D _ { i } x , x , D _ { i } x ) + \mathbf T _ { F _ { 2 , d } } ^ { x , 3 } ( x , D _ { i } x , D _ { i } x ) + \mathbf T _ { F _ { 2 , d } } ^ { x , 4 } ( x , x , D _ { i } x , D _ { i } x ) } \\ & { \quad + \mathbf T _ { F _ { 2 , d } } ^ { x , 3 } ( x , x , D _ { i } D _ { i } x ) + \mathbf T _ { F _ { 2 , d } } ^ { x , 4 } ( x , x , D _ { i } x , D _ { i } x ) \Big ) + 2 \Big ( \mathbf T _ { F _ { 2 , d } } ^ { x , 3 } ( x , D _ { i } x , a _ { i } ) } \\ & { \quad + \mathbf T _ { F _ { 2 , d } } ^ { x , 2 } ( x , D _ { i } a _ { i } ) + \mathbf T _ { F _ { 2 , d } } ^ { x , 3 } ( x , a _ { i } , D _ { i } x ) \Big ) + 2 T _ { F _ { 2 , d } ^ { [ 3 ] } } ^ { x } ( a _ { i } , x , D _ { i } x ) + T _ { F _ { 2 , d } ^ { [ 2 ] } } ^ { x } ( a _ { i } , a _ { i } ) } \\ & { = 4 T _ { F _ { 2 , d } ^ { [ 4 ] } } ^ { x } ( x , D _ { i } x , x , D _ { i } x ) + 4 T _ { F _ { 2 , d } ^ { [ 3 ] } } ^ { x } ( x , D _ { i } x , D _ { i } x ) + 8 T _ { F _ { 2 , d } ^ { [ 4 ] } } ^ { x } ( x , x , D _ { i } x , D _ { i } x ) } \\ & { \quad + 4 T _ { F _ { 2 , d } ^ { [ 3 ] } } ^ { x } ( x , x , D _ { i } ^ { 2 } x ) + 2 T _ { F _ { 2 , d } ^ { [ 3 ] } } ^ { x } ( x , D _ { i } x , a _ { i } ) + 2 T _ { F _ { 2 , d } ^ { [ 2 ] } } ^ { x } ( x , D _ { i } a _ { i } ) } \\ & { \quad + 2 T _ { F _ { 2 , d } ^ { [ 3 ] } } ^ { x } ( x , a _ { i } , D _ { i } x ) + 2 T _ { F _ { 2 , d } ^ { [ 3 ] } } ^ { x } ( a _ { i } , x , D _ { i } x ) + T _ { F _ { 2 , d } ^ { [ 2 ] } } ^ { x } ( a _ { i } , a _ { i } ) . } \end{array}
x _ { n + 1 } = x _ { n } - { \frac { f ( x _ { n } ) } { f ^ { \prime } ( x _ { n } ) } } = x _ { n } - { \frac { x _ { n } ^ { 2 } - a } { 2 x _ { n } } } = { \frac { 1 } { 2 } } { \biggl ( } 2 x _ { n } - { \Bigl ( } x _ { n } - { \frac { a } { x _ { n } } } { \Bigr ) } { \biggr ) } = { \frac { 1 } { 2 } } { \Bigl ( } x _ { n } + { \frac { a } { x _ { n } } } { \Bigr ) }
\begin{array} { r } { { H } ^ { ( 3 ) } : = \mathcal { H } \circ \Phi _ { 1 } ^ { F ^ { ( 3 ) } } = \underbrace { \mathcal { H } _ { 2 } } _ { = : { H } _ { 2 } ^ { ( 3 ) } } + \underbrace { \left\{ \mathcal { H } _ { 2 } , F ^ { ( 3 ) } \right\} + \mathcal { H } _ { 3 } } _ { = : { H } _ { 3 } ^ { ( 3 ) } } + \underbrace { \mathcal { H } _ { 4 } + \left\{ \mathcal { H } _ { 3 } , F ^ { ( 3 ) } \right\} + \frac { 1 } { 2 } \left\{ \left\{ \mathcal { H } _ { 2 } , F ^ { ( 3 ) } \right\} , F ^ { ( 3 ) } \right\} } _ { = : { H } _ { 4 } ^ { ( 3 ) } } + { H } _ { \ge 5 } ^ { ( 3 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \partial _ { t } u + a \partial _ { x } u + b \partial _ { y } u } & { = s ( u , x , y ) , \quad } & & { \forall ( x , y ) \in \Omega , \ t > 0 , } \\ { u ( 0 , x , y ) } & { = u _ { 0 } ( x , y ) , \quad } & & { \forall ( x , y ) \in \Omega , } \\ { u ( t , x , y ) } & { = g ( t , x , y ) , \quad } & & { \forall ( x , y ) \in \Gamma _ { - } , \ t \geq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { d c _ { \mathrm { N } V ^ { - } } / d t } & { = } & { - \Gamma _ { \mathrm { N } V ^ { - } } c _ { \mathrm { N } V ^ { - } } + \gamma _ { e ^ { - } } ^ { \mathrm { N } V ^ { 0 } } c _ { e ^ { - } } c _ { \mathrm { N } V ^ { 0 } } - \gamma _ { h ^ { + } } ^ { \mathrm { N } V ^ { - } } c _ { h ^ { + } } c _ { \mathrm { N } V ^ { - } } + \Gamma _ { \mathrm { N } V ^ { 0 } } c _ { \mathrm { N } V ^ { 0 } } } \\ { d c _ { \mathrm { N } ^ { 0 } } / d t } & { = } & { - \Gamma _ { \mathrm { N } ^ { 0 } } c _ { \mathrm { N } ^ { 0 } } + \gamma _ { e ^ { - } } ^ { \mathrm { N } ^ { + } } c _ { e ^ { - } } c _ { \mathrm { N } ^ { + } } - \gamma _ { h ^ { + } } ^ { \mathrm { N } ^ { 0 } } c _ { h ^ { + } } c _ { \mathrm { N } ^ { 0 } } } \\ { d c _ { e ^ { - } } / d t } & { = } & { \Gamma _ { \mathrm { N } ^ { 0 } } c _ { \mathrm { N } ^ { 0 } } - \gamma _ { e ^ { - } } ^ { \mathrm { N } ^ { + } } c _ { e ^ { - } } c _ { \mathrm { N } ^ { + } } + \Gamma _ { \mathrm { N } V ^ { - } } c _ { \mathrm { N } V ^ { - } } - \gamma _ { e ^ { - } } ^ { \mathrm { N } V ^ { 0 } } c _ { e ^ { - } } c _ { \mathrm { N } V ^ { 0 } } - \gamma _ { e h } c _ { e ^ { - } } c _ { h ^ { + } } } \\ { d c _ { h ^ { + } } / d t } & { = } & { \Gamma _ { \mathrm { N } V ^ { 0 } } c _ { \mathrm { N } V ^ { 0 } } - \gamma _ { h ^ { + } } ^ { \mathrm { N } V ^ { - } } c _ { h ^ { + } } c _ { \mathrm { N } V ^ { - } } - \gamma _ { h ^ { + } } ^ { \mathrm { N } ^ { 0 } } c _ { h ^ { + } } c _ { \mathrm { N } ^ { 0 } } - \gamma _ { e h } c _ { e ^ { - } } c _ { h ^ { + } } } \end{array}
\mathbb { E } \left[ \pmb { \mathscr { G } } _ { k , j _ { i } , l } ^ { ( i ) } \pmb { \mathscr { G } } _ { k ^ { \prime } , j _ { i } , l ^ { \prime } } ^ { ( i ) } \right] = \mathbb { E } \left[ \pmb { \mathscr { G } } _ { k , j _ { i } , l } ^ { ( i ) } \right] \mathbb { E } \left[ \pmb { \mathscr { G } } _ { k ^ { \prime } , j _ { i } , l ^ { \prime } } ^ { ( i ) } \right] + v _ { \pmb { \mathscr { G } } _ { k , j _ { i } , l } ^ { ( i ) } } \delta \left( k - k ^ { \prime } \right) \delta \left( l - l ^ { \prime } \right) ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { \mathbf { \Phi } _ { N } , \mathbf { \Phi } _ { M } } ~ ~ } & { \log _ { 2 } \left( 1 + { \gamma } _ { k } \right) , } \\ { s . t . ~ } & { } \\ { \mathrm { C 1 } : } & { | \mathbf { \phi } _ { m } | ^ { 2 } = 1 , \forall m \in \{ 1 , 2 , . . . , M \} , } \\ { \mathrm { C 2 } : } & { | \mathbf { \phi } _ { n } | ^ { 2 } = 1 , \forall n \in \{ 1 , 2 , . . . , N \} , } \end{array}
{ \left\{ \begin{array} { l l } { { \begin{array} { r l } { f ( x , y , z ) } & { = x y + z } \\ { p } & { = x + y } \\ { q } & { = x - y } \\ { r } & { = x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \\ { f ( p , q , r ) } & { = p q + r } \\ & { = ( x + y ) ( x - y ) + x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \\ & { = ( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) + x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \\ & { = 2 x ^ { 2 } } \end{array} } } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { k _ { \mathrm { v } } ^ { \mathrm { w a v e } } ( z , z ^ { \prime } ) } & { = \frac { \mathrm { s g n } ( t t ^ { \prime } ) } { 1 6 c ^ { 2 } r r ^ { \prime } } \sum _ { \varepsilon , \varepsilon ^ { \prime } \in \{ - 1 , 1 \} } \varepsilon \varepsilon ^ { \prime } K _ { \mathrm { v } } \Big ( \operatorname* { m i n } \big ( ( r + \varepsilon c | t | ) ^ { 2 } , R _ { \mathrm { v } } ^ { 2 } \big ) , \operatorname* { m i n } \big ( ( r ^ { \prime } + \varepsilon ^ { \prime } c | t ^ { \prime } | ) ^ { 2 } , R _ { \mathrm { v } } ^ { 2 } \big ) \Big ) } \\ { k _ { \mathrm { u } } ^ { \mathrm { w a v e } } ( z , z ^ { \prime } ) } & { = \frac { 1 } { 4 r r ^ { \prime } } \sum _ { \varepsilon , \varepsilon ^ { \prime } \in \{ - 1 , 1 \} } ( r + \varepsilon c | t | ) ( r ^ { \prime } + \varepsilon ^ { \prime } c | t ^ { \prime } | ) k _ { \mathrm { u } } ^ { 0 , R _ { \mathrm { u } } } \big ( ( r + \varepsilon c | t | ) ^ { 2 } , ( r ^ { \prime } + \varepsilon ^ { \prime } c | t ^ { \prime } | ) ^ { 2 } \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( x _ { \tau + 1 } ) } & { \leq f ( x _ { \tau } ) - \sum _ { i = 0 } ^ { I - 1 } \left( \frac { 3 \rho \eta _ { \tau + 1 , i } } { 4 \lambda } - \frac { \eta _ { \tau + 1 , i } ^ { 2 } L } { 2 } \right) \| \tilde { d } _ { \tau + 1 , i } \| ^ { 2 } + \sum _ { i = 0 } ^ { I - 1 } \frac { \lambda \eta _ { \tau + 1 , i } } { \rho } \bigg \| \bar { e } _ { \tau + 1 , i } \bigg \| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \mathrm { d } | \hat { A _ { 1 } } | } { \mathrm { d } t } = | \hat { A _ { 1 } } | \left( 1 - b _ { 0 } | \hat { A _ { 1 } } | ^ { 2 } - \mathrm { R e } ( b _ { 1 } ) | \hat { A _ { 2 } } | ^ { 2 } \right) } \\ & { \ \frac { \mathrm { d } \phi _ { 1 } } { \mathrm { d } t } = - \mathrm { I m } ( b _ { 1 } ) | \hat { A _ { 2 } } | ^ { 2 } } \\ & { \frac { \mathrm { d } | \hat { A _ { 2 } | } } { \mathrm { d } t } = | \hat { A _ { 2 } } | \left( 1 - b _ { 0 } | \hat { A _ { 2 } } | ^ { 2 } - \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) | \hat { A _ { 1 } } | ^ { 2 } \right) } \\ & { \ \frac { \mathrm { d } \phi _ { 2 } } { \mathrm { d } t } = - \mathrm { I m } ( b _ { 2 } ) | \hat { A _ { 1 } } | ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \partial _ { t } - \mathcal { L } ) b _ { i j } } & { = ( \psi F - \eta u ) _ { i j } + ( \psi F - \eta u ) \delta _ { i j } - \psi \dot { F } ^ { k l } b _ { i j k l } } \\ & { = \psi _ { i j } F + \psi _ { i } F _ { j } + F _ { i } \psi _ { j } + \psi \ddot { F } ^ { p q , r s } b _ { p q i } b _ { r s j } + \psi \dot { F } ^ { k l } b _ { k l i j } - \eta b _ { i j } + \psi F \delta _ { i j } - \psi \dot { F } ^ { k l } b _ { i j k l } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } \left( \left[ U _ { i } , P - \phi , \tilde { \nu } , f _ { s , i } \right] , \left[ U _ { i } ^ { * } , P ^ { * } , \tilde { \nu } ^ { * } \right] \right) = J } & { - \langle P ^ { * } , \frac { \partial U _ { i } } { \partial x _ { i } } \rangle - \langle U _ { i } ^ { * } , U _ { j } \frac { \partial U _ { i } } { \partial x _ { j } } + \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial \left( P - \phi \right) } { \partial x _ { i } } - \frac { \partial ( 2 \left( \nu + \nu _ { t } \right) S _ { i j } ) } { \partial x _ { j } } - f _ { s , i } \rangle } \\ & { - \langle \tilde { \nu } ^ { * } , U _ { j } \frac { \partial \tilde { \nu } } { \partial x _ { j } } - S _ { p } - S _ { d i f f } - S _ { c } - S _ { d } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { 1 } ( l , p ) } & { = \sum _ { x = ( p - 2 ) / 2 } ^ { \infty } \frac { 1 } { ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } } = \frac { \phi ^ { ( 1 ) } \{ ( p - 3 ) / 2 \} } { 4 } } \\ { R _ { 2 } ( l , p ) } & { = \frac { 2 \phi \{ ( p { - } 2 { + } l ) / 2 \} { - } 2 \phi \{ ( p { - } 2 { - } l ) / 2 \} { + } l [ \phi ^ { ( 1 ) } \{ ( p { - } 2 { + } l ) / 2 \} { + } \phi ^ { ( 1 ) } \{ ( p { - } 2 { - } l ) / 2 \} ] } { 1 6 l } } \\ { R _ { 3 } ( l , p ) } & { = \frac { 2 \phi \{ ( p { - } 3 { + } l ) / 2 \} { - } 2 \phi \{ ( p { - } 3 { - } l ) / 2 \} { + } l [ \phi ^ { ( 1 ) } \{ ( p { - } 3 { + } l ) / 2 \} { + } \phi ^ { ( 1 ) } \{ ( p { - } 3 { - } l ) / 2 \} ] } { 1 6 l } , } \end{array}
\int _ { S _ { 1 } } \int _ { S _ { 2 } } | f ( x , y ) \, g ( x , y ) | \, \mu _ { 2 } ( \mathrm { d } y ) \, \mu _ { 1 } ( \mathrm { d } x ) \leq \left( \int _ { S _ { 1 } } \int _ { S _ { 2 } } | f ( x , y ) | ^ { p } \, \mu _ { 2 } ( \mathrm { d } y ) \, \mu _ { 1 } ( \mathrm { d } x ) \right) ^ { \frac { 1 } { p } } \left( \int _ { S _ { 1 } } \int _ { S _ { 2 } } | g ( x , y ) | ^ { q } \, \mu _ { 2 } ( \mathrm { d } y ) \, \mu _ { 1 } ( \mathrm { d } x ) \right) ^ { \frac { 1 } { q } } .
\begin{array} { r l } { \ddot { w } } & { = - c \tau ^ { 2 } \dot { w } ^ { 3 } - 3 b c \tau \dot { w } ^ { 2 } w + 3 a c \tau \dot { w } ^ { 2 } - b ^ { 2 } c \dot { w } w ^ { 2 } + 2 a b \dot { w } w + \Big ( 1 - 3 a ^ { 2 } c - \frac { b } { \tau } \Big ) \dot { w } } \\ & { \quad - \frac { b ^ { 3 } c } { \tau } w ^ { 3 } + \frac { 3 a b ^ { 2 } c } { \tau } w ^ { 2 } + \frac { - 3 a ^ { 2 } b c + b - 1 } { \tau } w + \frac { I - a + a ^ { 3 } c } { \tau } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \partial \rho } { \partial t } } } & { = { \frac { 1 } { i \hbar } } \left[ - { \frac { \hbar ^ { 2 } \Psi ^ { * } } { 2 m } } \nabla ^ { 2 } \Psi + U \Psi ^ { * } \Psi \right] - { \frac { 1 } { i \hbar } } \left[ - { \frac { \hbar ^ { 2 } \Psi } { 2 m } } \nabla ^ { 2 } \Psi ^ { * } + U \Psi \Psi ^ { * } \right] } \\ & { = { \frac { 1 } { i \hbar } } \left[ - { \frac { \hbar ^ { 2 } \Psi ^ { * } } { 2 m } } \nabla ^ { 2 } \Psi + U \Psi ^ { * } \Psi \right] + { \frac { 1 } { i \hbar } } \left[ + { \frac { \hbar ^ { 2 } \Psi } { 2 m } } \nabla ^ { 2 } \Psi ^ { * } - U \Psi ^ { * } \Psi \right] } \\ & { = - { \frac { 1 } { i \hbar } } { \frac { \hbar ^ { 2 } \Psi ^ { * } } { 2 m } } \nabla ^ { 2 } \Psi + { \frac { 1 } { i \hbar } } { \frac { \hbar ^ { 2 } \Psi } { 2 m } } \nabla ^ { 2 } \Psi ^ { * } } \\ & { = { \frac { \hbar } { 2 i m } } \left[ \Psi \nabla ^ { 2 } \Psi ^ { * } - \Psi ^ { * } \nabla ^ { 2 } \Psi \right] } \end{array} }
\operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , t ] } \bigg \{ \big \| ( \partial _ { t } + 1 ) \partial _ { y } \psi _ { k } ( s ) \big \| _ { L ^ { 2 } } + \big \| \partial _ { y } ^ { 2 } \psi _ { k } ( s ) \big \| _ { L ^ { 2 } } \bigg \} \leq g _ { k } ( t ) + \frac { \lambda _ { k } ( t ) ^ { 3 } } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } ( t - s ) ^ { 2 } \operatorname* { s u p } _ { \tau \in [ 0 , s ] } \| ( \partial _ { t } + 1 ) \partial _ { y } \psi _ { k } ( \tau ) \| _ { L ^ { 2 } } d s
\begin{array} { r l } & { f : V \to W \mapsto \overline { { f } } : \overline { { V } } \to \overline { { W } } \quad \overline { { f } } ( \overline { { v } } ) : = \overline { { f ( v ) } } } \\ & { \overline { { V } } _ { 1 } \otimes \overline { { V } } _ { 2 } \cong \overline { { V _ { 1 } \otimes V _ { 2 } } } \quad \overline { { v } } _ { 1 } \otimes \overline { { v } } _ { 2 } \mapsto \overline { { v _ { 1 } \otimes v _ { 2 } } } } \\ & { V \cong \overline { { \overline { { V } } } } \quad v \mapsto \overline { { \overline { { v } } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { m _ { 1 } ^ { L } ( x , t , k ) } & { = \mathcal { A } m _ { 1 } ^ { L } ( x , t , \omega k ) \mathcal { A } ^ { - 1 } v _ { 6 } ^ { L } ( x , t , k ) v _ { 1 } ^ { L } ( x , t , k ) , } \\ & { = \mathcal { B } \overline { { m _ { 1 } ^ { L } ( x , t , \overline { { k } } ) } } \mathcal { B } v _ { 1 } ^ { L } ( x , t , k ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| A \| _ { 1 , \frac { 1 } { \theta } } } & { \le \| A \| _ { 1 , \frac { 1 } { \theta _ { 0 } } } ^ { ( \theta - 1 ) / ( \theta _ { 0 } - 1 ) } \| A \| _ { 1 , 1 } ^ { ( \theta _ { 0 } - \theta ) / ( \theta _ { 0 } - 1 ) } } \\ & { < ( \| A \| _ { 1 , \infty } ^ { 1 - \theta _ { 0 } } \| A \| _ { 1 , 1 } ^ { \theta _ { 0 } } ) ^ { ( \theta - 1 ) / ( \theta _ { 0 } - 1 ) } \| A \| _ { 1 , 1 } ^ { ( \theta _ { 0 } - \theta ) / ( \theta _ { 0 } - 1 ) } } \\ & { = \| A \| _ { 1 , \infty } ^ { 1 - \theta } \| A \| _ { 1 , 1 } ^ { \theta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \| \nabla F ( x _ { t } ) \| } & { \leq \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \big [ \| w _ { t } - \nabla F ( x _ { t } ) \| + \frac { 1 } { \gamma } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| \big ] } \\ & { \leq \frac { \sqrt { 2 \breve { M } } ( m + T ) ^ { 1 / 6 } } { \sqrt { T } } \leq \frac { \sqrt { 2 \breve { M } } m ^ { 1 / 6 } } { \sqrt { T } } + \frac { \sqrt { 2 \breve { M } } } { T ^ { 1 / 3 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( B _ { n } \phi ) ( t ) } & { = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \ln \Big ( 4 \sin ^ { 2 } \frac { t - \zeta } { 2 } \Big ) P _ { n } [ b _ { 1 } ( t , \zeta ) \phi ( \zeta ) ] \, \mathrm { d } \zeta + \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } P _ { n } [ b _ { 2 } ( t , \zeta ) \phi ( \zeta ) ] \, \mathrm { d } \zeta } \\ & { \overset { \mathrm { d e f } } { = } ( B _ { 1 , n } \phi ) ( t ) + ( B _ { 2 , n } \phi ) ( t ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { c o v } ( X , Y ) } & { = \operatorname { E } \left[ \left( X - \operatorname { E } \left[ X \right] \right) \left( Y - \operatorname { E } \left[ Y \right] \right) \right] } \\ & { = \operatorname { E } \left[ X Y - X \operatorname { E } \left[ Y \right] - \operatorname { E } \left[ X \right] Y + \operatorname { E } \left[ X \right] \operatorname { E } \left[ Y \right] \right] } \\ & { = \operatorname { E } \left[ X Y \right] - \operatorname { E } \left[ X \right] \operatorname { E } \left[ Y \right] - \operatorname { E } \left[ X \right] \operatorname { E } \left[ Y \right] + \operatorname { E } \left[ X \right] \operatorname { E } \left[ Y \right] } \\ & { = \operatorname { E } \left[ X Y \right] - \operatorname { E } \left[ X \right] \operatorname { E } \left[ Y \right] , } \end{array} }
\Psi _ { w } \left( \begin{array} { l l } { \alpha _ { + + } } & { \alpha _ { + - } } \\ { \alpha _ { - + } } & { \alpha _ { -- } } \end{array} \right) = ( - 1 ) ^ { w ( \alpha ) } \left( \begin{array} { l l } { - X _ { - + } ^ { \alpha } } & { - X _ { -- } ^ { \alpha } } \\ { X _ { + + } ^ { \alpha } } & { X _ { + - } ^ { \alpha } } \end{array} \right) , \quad \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } \alpha \in \operatorname { A r c } ( \mathbf { \Sigma } ) .
\begin{array} { r l } { F ( x ) } & { - F ( y ) - ( D F ( y ) , x - y ) - \frac { 1 } { 2 } D ^ { 2 } F ( y ) [ x - y , x - y ] } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { t } ( D ^ { 2 } F ( \gamma _ { 1 } ( s ) ) \gamma _ { 1 } ^ { \prime } ( s ) , \gamma _ { 1 } ^ { \prime } ( t ) ) d s d t - \frac { 1 } { 2 } D ^ { 2 } F ( y ) [ x - y , x - y ] } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { t } ( D ^ { 2 } F ( \gamma _ { 1 } ( s ) ) [ \gamma _ { 1 } ^ { \prime } ( s ) - ( x - y ) ] , \gamma _ { 1 } ^ { \prime } ( t ) ) d s d t + \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { t } ( D ^ { 2 } F ( \gamma _ { 1 } ( s ) ) ( x - y ) , \gamma _ { 1 } ^ { \prime } ( t ) - ( x - y ) ) d s d t } \\ & { \qquad \qquad + \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { t } [ D ^ { 2 } F ( \gamma _ { 1 } ( s ) ) - D ^ { 2 } F ( y ) ] [ x - y , x - y ] d s d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \frac { \mu _ { 1 } \kappa _ { a } } { ( c \mu _ { 1 } - \kappa _ { a } ) ^ { 2 } } \log c + \mu _ { 1 } \frac { c \mu _ { 1 } - \kappa _ { a } - \frac { \kappa _ { a } } { \alpha _ { a } } } { ( c \mu _ { 1 } - \kappa _ { a } ) ^ { 2 } } } & { = \frac { \mu _ { 1 } } { ( c \mu _ { 1 } - \kappa _ { a } ) ^ { 2 } } \left( c \mu _ { 1 } - \kappa _ { a } - \frac { \kappa _ { a } } { \alpha _ { a } } - \kappa _ { a } \log c \right) } \\ & { = \frac { \mu _ { 1 } } { ( c \mu _ { 1 } - \kappa _ { a } ) ^ { 2 } } \left( \mu _ { 1 } - \kappa _ { a } - \frac { \kappa _ { a } } { \alpha _ { a } } + ( c - 1 ) \mu _ { 1 } - \kappa _ { a } \log c \right) } \\ & { = \frac { \mu _ { 1 } } { ( c \mu _ { 1 } - \kappa _ { a } ) ^ { 2 } } \left( \mu _ { 1 } - \kappa _ { a } - \frac { \kappa _ { a } } { \alpha _ { a } } + \mu _ { 1 } \left( c - \frac { \kappa _ { a } } { \mu _ { 1 } } \log c - 1 \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { 1 \le t \le T } \mathbb { E } \left\| \nabla f ( \overline { { \mathbf { x } ^ { t } } } ) \right\| ^ { 2 } \leq } & { \frac { 2 f ( \overline { { { \bf x } ^ { 1 } } } ) - 2 f ^ { * } } { T ( \eta K - 3 2 \eta ^ { 3 } K ^ { 2 } L ^ { 2 } - 6 \eta ^ { 2 } K L ) } + \frac { \frac { \eta L ^ { 2 } K C _ { 1 } } { 2 } + \frac { \eta ^ { 4 } K L ^ { 3 } C _ { 3 } ( 1 6 \eta K L + 3 ) } { ( 1 - \lambda ) ^ { 2 } } + \frac { 3 \eta ^ { 2 } K L } { 2 } \left( L ^ { 2 } \rho ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } \right) } { \eta K - 3 2 \eta ^ { 3 } K ^ { 2 } L ^ { 2 } - 6 \eta ^ { 2 } K L } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { X _ { K } ( \bar { i } ( \omega t ) ) - ( \omega , 0 , 0 ) } & { = ( D G _ { \delta } ( \bar { i } ( \omega t ) ) ) ^ { - 1 } \circ ( D G _ { \delta } ( \bar { i } ( \omega t ) ) \circ X _ { K } ( \bar { i } ( \omega t ) ) - D G _ { \delta } ( \bar { i } ( \omega t ) ) [ \omega , 0 , 0 ] ) } \\ & { \overset { , } = X _ { H _ { \zeta } } ( G _ { \delta } ( \bar { i } ( \omega t ) ) ) - D _ { \omega } i _ { 0 } ( \omega t ) } \\ & { \overset { G _ { \delta } ( \bar { i } ) = i _ { 0 } } = X _ { H _ { \zeta } } ( i _ { 0 } ( \omega t ) ) - \mathcal { D } _ { \omega } i _ { 0 } ( \omega t ) } \\ & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { s o c } ( V \otimes W ) } & { = \bigoplus _ { t = 0 } ^ { \ell + \ell ^ { \prime } } \Big ( \mathrm { s o c } ( V \otimes W ) \cap \bigoplus _ { i + j = t } V ( a _ { i } ) \otimes V ( b _ { j } ) \Big ) } \\ & { = \bigoplus _ { t = 0 } ^ { \ell + \ell ^ { \prime } } \Big ( \bigoplus _ { i + j = t } V ( a _ { i } ) \otimes V ( b _ { j } ) \Big ) ^ { \mathfrak { r } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle - \mathbf { A } ^ { \top } v _ { t } + \mathbf { A } _ { : j _ { t } } , \tilde { u } _ { t } - u \right\rangle + \left\langle \mathbf { A } u _ { t } - \mathbf { A } _ { i _ { t } : } , \tilde { v } _ { t } - v \right\rangle } & { \le \frac { 1 } { \eta } \left( V _ { \tilde { u } _ { t } } ( u ) - V _ { \tilde { u } _ { t + 1 } } ( u ) + V _ { \tilde { v } _ { t } } ( v ) - V _ { \tilde { v } _ { t + 1 } } ( v ) \right) } \\ & { + 4 \eta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } w _ { i } \left\| \nabla _ { x } f _ { i } \left( { \mathbf x } , { \mathbf y } \right) \right\| ^ { 2 } } & { \leq \beta _ { G } ^ { 2 } \left\| \sum _ { i = 1 } ^ { n } w _ { i } \nabla _ { x } f _ { i } \left( { \mathbf x } , { \mathbf y } \right) \right\| ^ { 2 } + \sigma _ { G } ^ { 2 } , } \\ { \sum _ { i = 1 } ^ { n } w _ { i } \left\| \nabla _ { y } f _ { i } \left( { \mathbf x } , { \mathbf y } \right) \right\| ^ { 2 } } & { \leq \beta _ { G } ^ { 2 } \left\| \sum _ { i = 1 } ^ { n } w _ { i } \nabla _ { y } f _ { i } \left( { \mathbf x } , { \mathbf y } \right) \right\| ^ { 2 } + \sigma _ { G } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \varphi _ { q , q + 1 } = } \\ & { } & { - \sum _ { k = 0 } ^ { k - 1 } \operatorname { I m } \ln { \left| \begin{array} { l l } { \langle U _ { k } ^ { q } | U _ { k } ^ { q } \rangle } & { \langle U _ { k } ^ { q } | U _ { k + 1 } ^ { q + 1 } \rangle } \\ { \langle U _ { k } ^ { q + 1 } | U _ { k + 1 } ^ { q } \rangle } & { \langle U _ { k } ^ { q + 1 } | U _ { k + 1 } ^ { q + 1 } \rangle } \end{array} \right| } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { a ( { \bf u } , { \bf u } ) + \varepsilon \| { \bf u } \, \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \ge 2 \mu \left( 1 - \frac { \varepsilon } { 4 \mu } \right) \int _ { \Omega } | { \bf D } { \bf u } | ^ { 2 } d { \bf x } + \frac { \varepsilon } { 2 } \left( \frac 1 C \int _ { \Omega } | \nabla { \bf u } | ^ { 2 } d { \bf x } - \int _ { \Omega } | { \bf u } | ^ { 2 } d { \bf x } \right) + \varepsilon \int _ { \Omega } | { \bf u } | ^ { 2 } d { \bf x } } \\ & { \ge \frac { \varepsilon } { 2 C } \int _ { \Omega } | \nabla { \bf u } | ^ { 2 } d { \bf x } + \frac { \varepsilon } { 2 } \int _ { \Omega } | { \bf u } | ^ { 2 } d { \bf x } \ge \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { \varepsilon } { 2 C } , \frac { \varepsilon } { 2 } \right\} \| { \bf u } \, \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { s _ { i i } ^ { \prime } \; = \; \left\{ \sigma \in s _ { i i } | \sigma \leq \operatorname* { m a x } \bigcup _ { j \ne i } s _ { i j } ^ { \prime } \right\} , \quad t _ { i i } ^ { \prime } \; = \; \left\{ \sigma \in t _ { i i } | \sigma \leq \operatorname* { m a x } \bigcup _ { j \ne i } t _ { i j } ^ { \prime } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { \sqrt { n } } \left( \log M _ { 0 } - n R _ { 0 } \right) \leq L _ { 0 } , } \\ { \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { \sqrt { n } } \left( \log M _ { 1 } - n R _ { 1 } \right) \leq L _ { 1 } , } \\ { \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { \sqrt { n } } \left( \log M _ { 2 } - n R _ { 2 } \right) \leq L _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { d x _ { i } } & { = [ \lambda ( r _ { i } ) x _ { i } - \omega ( r _ { i } ) y _ { i } + d _ { i } ( x _ { j } - x _ { i } ) ] d t + \delta _ { i } d \eta _ { i } ( t ) , } \\ { d y _ { i } } & { = [ \omega ( r _ { i } ) x _ { i } + \lambda ( r _ { i } ) y _ { i } + d _ { i } ( y _ { j } - y _ { i } ) ] d t , } \\ { r _ { i } ^ { 2 } } & { = x _ { i } ^ { 2 } + y _ { i } ^ { 2 } , } \end{array}
\int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r \geq r _ { I } \} } r ^ { 2 } | L K ^ { 2 } \psi | ^ { 2 } \, d \sigma d r \leq C \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r _ { I } - M \leq r \leq r _ { I } \} } | L K ^ { 2 } \psi | ^ { 2 } \, d \sigma d r + C \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r \geq r _ { I } \} } | L ( r ^ { 2 } L K ^ { 2 } \psi ) | ^ { 2 } \, d \sigma d r .
\hat { \rho } _ { i , j } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 - \theta _ { i } \left( 1 + \sqrt { \frac { \kappa _ { i + 1 } } { \kappa _ { i } } } \right) + \theta _ { i } \sqrt { \frac { \kappa _ { i + 1 } } { \kappa _ { i } } } \left( 1 - \frac { \sigma _ { i } \sigma _ { i + 1 } } { \gamma _ { i } \gamma _ { i + 1 } } \right) , } & { j = i , i < m } \\ { 1 - \theta _ { m } \left( 1 + \sqrt { \frac { \kappa _ { m + 1 } } { \kappa _ { m } } } \right) + \theta _ { m } \sqrt { \frac { \kappa _ { m + 1 } } { \kappa _ { m } } } \left( 1 - \frac { \sigma _ { m } \gamma _ { m + 1 } } { \gamma _ { m } \sigma { m + 1 } } \right) , } & { j = i = m , } \\ { \frac { \theta _ { i } } { \gamma _ { i } } , } & { j = i - 1 , i > 1 , } \\ { \theta _ { i } \sqrt { \frac { \kappa _ { j + 1 } } { \kappa _ { i } } } \frac { - \sigma _ { i } \sigma _ { j + 1 } } { \gamma _ { i } \gamma _ { i + 1 } \cdots \gamma _ { j } } , } & { i + 1 \leq j \leq m - 1 , } \\ { \theta _ { i } \sqrt { \frac { \kappa _ { m + 1 } } { \kappa _ { i } } } \frac { - \gamma _ { m + 1 } \sigma _ { i } } { \gamma _ { i } \gamma _ { i + 1 } \cdots \gamma _ { m } \sigma _ { m + 1 } } , } & { j = m , i < m , } \\ { \theta _ { i } \sqrt { \frac { \kappa _ { m + 1 } } { \kappa _ { i } } } \frac { \sigma _ { i } } { \gamma _ { i } \gamma _ { i + 1 } \cdots \gamma _ { m } \sigma _ { m + 1 } } , } & { j = m + 1 , } \\ { 0 , } & { \textit { o t h e r w i s e . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \left[ \begin{array} { l l l } { E } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { x } \\ { { \hat { u } } } \\ { { \hat { y } } } \end{array} \right] \right) } & { = \left[ \begin{array} { l l l l } { J - R } & { B } & { 0 } & { 0 } \\ { - B ^ { \top } } & { 0 } & { I _ { m } } & { - M ^ { \top } } \\ { 0 } & { - I _ { m } } & { 0 } & { - N ^ { \top } } \\ { 0 } & { M } & { N } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { z ( x ) } \\ { \hat { u } } \\ { \hat { y } } \\ { 0 } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { I _ { m } } \\ { 0 } \end{array} \right] u , } \\ { y } & { = \hat { y } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \langle r , \theta , \varphi \mid s , \gamma , { \bar { \Omega } } \rangle = } & { e ^ { - s ^ { 2 } / 2 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( s ^ { n } e ^ { i \gamma / ( n + 1 ) ^ { 2 } } / { \sqrt { n ! } } ) } \\ & { \times \, \sum _ { \ell = 0 } ^ { n } u _ { n + 1 } ^ { \ell } ( r ) \sum _ { m = - \ell } ^ { \ell } \left[ { \frac { ( 2 \ell ) ! } { ( \ell + m ) ! ( \ell - m ) ! } } \right] ^ { 1 / 2 } \left( \sin { \frac { \bar { \theta } } { 2 } } \right) ^ { \ell - m } \left( \cos { \frac { \bar { \theta } } { 2 } } \right) ^ { \ell + m } } \\ & { \times \, e ^ { - i ( m { \bar { \varphi } } + \ell { \bar { \psi } } ) } Y _ { \ell m } ( \theta , \varphi ) { \sqrt { 2 \ell + 1 } } . } \end{array} }
{ \begin{array} { r l } { x _ { 1 } } & { = r \cos ( \varphi _ { 1 } ) , } \\ { x _ { 2 } } & { = r \sin ( \varphi _ { 1 } ) \cos ( \varphi _ { 2 } ) , } \\ { x _ { 3 } } & { = r \sin ( \varphi _ { 1 } ) \sin ( \varphi _ { 2 } ) \cos ( \varphi _ { 3 } ) , } \\ & { \qquad \vdots } \\ { x _ { n - 1 } } & { = r \sin ( \varphi _ { 1 } ) \cdots \sin ( \varphi _ { n - 2 } ) \cos ( \varphi _ { n - 1 } ) , } \\ { x _ { n } } & { = r \sin ( \varphi _ { 1 } ) \cdots \sin ( \varphi _ { n - 2 } ) \sin ( \varphi _ { n - 1 } ) . } \end{array} }
\omega ^ { 2 } ( \widetilde { \Omega } ) = \omega ^ { 2 } ( \Omega ) \asymp \omega _ { n } ^ { 2 } , \qquad \mathrm { w h e r e ~ r e c a l l } \quad \omega ( \widetilde { \Omega } ) = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { \tilde { n } } \sum _ { j = 1 } ^ { p } \tilde { N } _ { i } ( \widetilde { \Omega } _ { i j } - \eta _ { j } ) ^ { 2 } } { { \tilde { n } } \tilde { N } \| \eta \| ^ { 2 } } .
\left\{ \begin{array} { l l } { ( u _ { N } , z _ { N } ) \mathrm { ~ w e a k l y - } \ast \mathrm { ~ c o n v e r g i n g ~ i n ~ } L ^ { \infty } ( 0 , T ; H ^ { 1 } ( U ) ) } \\ { ( u _ { N } , z _ { N } ) \mathrm { ~ w e a k l y ~ c o n v e r g i n g ~ i n ~ } L ^ { 2 } ( 0 , T ; H ^ { 2 } ( U ) ) } \\ { ( \partial _ { t } u _ { N } , \partial _ { t } z _ { N } ) \mathrm { ~ w e a k l y ~ c o n v e r g i n g ~ i n ~ } L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( U ) ) } \\ { ( u _ { N } , z _ { N } ) \mathrm { ~ c o n v e r g i n g ~ i n ~ } C ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( U ) ) } \\ { ( u _ { N } , z _ { N } ) \mathrm { ~ c o n v e r g i n g ~ i n ~ t h e ~ s t r o n g ~ t o p o l o g y ~ i n ~ } L ^ { 2 } ( 0 , T ; H ^ { 1 } ( U ) ) } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { m ^ { X , ( 1 ) } ( z ) = I + \frac { m _ { 1 } ^ { X , ( 1 ) } } { z } + O \biggl ( \frac { 1 } { z ^ { 2 } } \biggr ) , \; z \to \infty , \qquad m _ { 1 } ^ { X , ( 1 ) } : = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { \beta _ { 1 2 } ^ { ( 1 ) } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \beta _ { 2 1 } ^ { ( 1 ) } } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { I } { ( R ^ { 2 } + f I ) g ^ { - 1 } } \left[ \eta _ { 1 } ( \partial _ { 0 } K _ { 0 } ) ( \partial _ { 1 } K _ { 0 } ) + \beta \eta _ { 1 } ( \partial _ { 0 } K _ { 0 } ) ^ { 3 } ( \partial _ { 1 } K _ { 0 } ) - \eta _ { 0 } ( \partial _ { 1 } K _ { 0 } ) ^ { 2 } - \beta \eta _ { 0 } ( \partial _ { 1 } K _ { 0 } ) ^ { 4 } + \eta _ { 1 } e A _ { 0 } ( \partial _ { 1 } K _ { 0 } ) \right. + } \\ & { } & { \left. \eta _ { 1 } \beta e A _ { 0 } ( \partial _ { 0 } K _ { 0 } ) ^ { 2 } ( \partial _ { 1 } K _ { 0 } ) \right] - \frac { R } { g ^ { - 1 } ( f I + R ^ { 2 } ) } \left[ \eta _ { 3 } ( \partial _ { 1 } K _ { 0 } ) ^ { 2 } + \beta \eta _ { 3 } ( \partial _ { 1 } K _ { 0 } ) ^ { 4 } - \eta _ { 1 } ( \partial _ { 1 } K _ { 0 } ) ( \partial _ { 3 } K _ { 0 } ) - \beta \eta _ { 1 } ( \partial _ { 1 } K _ { 0 } ) ( \partial _ { 3 } K _ { 0 } ) ^ { 2 } \right] } \\ & { } & { + \frac { I } { h ( f I + R ^ { 2 } ) } \left[ \eta _ { 2 } ( \partial _ { 0 } K _ { 0 } ) ( \partial _ { 2 } K _ { 0 } ) + \beta \eta _ { 2 } ( \partial _ { 0 } K _ { 0 } ) ^ { 3 } ( \partial _ { 2 } K _ { 0 } ) - \eta _ { 0 } ( \partial _ { 2 } K _ { 0 } ) ^ { 2 } - \beta \eta _ { 0 } ( \partial _ { 2 } K _ { 0 } ) ^ { 4 } + \eta _ { 2 } e A _ { 0 } ( \partial _ { 2 } K _ { 0 } ) \right. } \\ & { } & { + \left. \eta _ { 2 } e A _ { 0 } \beta ( \partial _ { 0 } K _ { 0 } ) ^ { 2 } ( \partial _ { 1 } K _ { 0 } ) \right] + \frac { f I } { ( f I + R ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \left[ \eta _ { 3 } ( \partial _ { 0 } K _ { 0 } ) ( \partial _ { 3 } K _ { 0 } ) + \beta \eta _ { 3 } ( \partial _ { 0 } K _ { 0 } ) ^ { 3 } ( \partial _ { 3 } K _ { 0 } ) - \eta _ { 0 } ( \partial _ { 3 } K _ { 0 } ) ^ { 2 } - \beta \eta _ { 0 } ( \partial _ { 3 } K _ { 0 } ) ^ { 4 } \right. } \\ & { } & { + \left. \eta _ { 3 } e A _ { 0 } ( \partial _ { 3 } K _ { 0 } ) + \eta _ { 3 } e A _ { 0 } ( \partial _ { 0 } K _ { 0 } ) ^ { 2 } ( \partial _ { 3 } K _ { 0 } ) \right] - m ^ { 2 } \frac { I \eta _ { 0 } - R \eta _ { 3 } } { ( f I + R ^ { 2 } ) } = 0 , } \\ & { } & { \frac { - I } { g ^ { - 1 } ( f I + R ^ { 2 } ) } \left[ \eta _ { 1 } ( \partial _ { 0 } K _ { 0 } ) ^ { 2 } + \beta \eta _ { 1 } ( \partial _ { 0 } K _ { 0 } ) ^ { 4 } - \eta _ { 0 } ( \partial _ { 0 } K _ { 0 } ) ( \partial _ { 1 } K _ { 0 } ) - \beta \eta _ { 0 } ( \partial _ { 0 } K _ { 0 } ) ( \partial _ { 1 } K _ { 0 } ) ^ { 3 } + \eta _ { 1 } e A _ { 0 } ( \partial _ { 0 } K _ { 0 } ) + \beta \eta _ { 1 } e A _ { 0 } ( \partial _ { 0 } K _ { 0 } ) ^ { 3 } \right] } \\ & { } & { + \frac { R } { g ^ { - 1 } ( f I + R ^ { 2 } ) } \left[ \eta _ { 3 } ( \partial _ { 0 } K _ { 0 } ) ( \partial _ { 1 } K _ { 0 } ) + \beta \eta _ { 3 } ( \partial _ { 0 } K _ { 0 } ) ( \partial _ { 1 } K _ { 0 } ) ^ { 3 } - \eta _ { 1 } ( \partial _ { 0 } K _ { 0 } ) ( \partial _ { 3 } K _ { 0 } ) - \beta \eta _ { 1 } ( \partial _ { 0 } K _ { 0 } ) ( \partial _ { 3 } K _ { 0 } ) ^ { 3 } \right] } \\ & { } & { + \frac { 1 } { g ^ { - 1 } h } \left[ \eta _ { 2 } ( \partial _ { 1 } K _ { 0 } ) ( \partial _ { 2 } K _ { 0 } ) \right. + \left. \beta \eta _ { 2 } ( \partial _ { 1 } K _ { 0 } ) ( \partial _ { 2 } K _ { 0 } ) ^ { 3 } - \eta _ { 1 } ( \partial _ { 2 } K _ { 0 } ) ^ { 2 } - \beta \eta _ { 1 } ( \partial _ { 2 } K _ { 0 } ) ^ { 4 } \right] } \\ & { } & { + \frac { 1 } { g ^ { - 1 } ( f I + R ^ { 2 } ) } \left[ \eta _ { 3 } ( \partial _ { 1 } K _ { 0 } ) ( \partial _ { 3 } K _ { 0 } ) + \beta \eta _ { 3 } ( \partial _ { 1 } K _ { 0 } ) ( \partial _ { 3 } K _ { 0 } ) ^ { 3 } - \eta _ { 1 } ( \partial _ { 3 } K _ { 0 } ) ^ { 2 } \right. - \left. \beta \eta _ { 1 } ( \partial _ { 3 } K _ { 0 } ) ^ { 4 } \right] - \frac { m ^ { 2 } \eta _ { 1 } } { g ^ { - 1 } } + \frac { e A _ { 0 } I } { g ^ { - 1 } ( f I + R ^ { 2 } ) } } \\ & { } & { \left[ \eta _ { 1 } ( \partial _ { 0 } K _ { 0 } ) + \beta \eta _ { 1 } ( \partial _ { 0 } K _ { 0 } ) ^ { 3 } - \eta _ { 0 } ( \partial _ { 1 } K _ { 0 } ) - \beta \eta _ { 0 } ( \partial _ { 1 } K _ { 0 } ) ^ { 3 } + e A _ { 0 } \eta _ { 1 } \right. + \left. \beta \eta _ { 1 } e A _ { 0 } ( \partial _ { 0 } K _ { 0 } ) ^ { 2 } ) \right] } \\ & { } & { + \frac { e A _ { 0 } R } { g ^ { - 1 } ( f I + R ^ { 2 } ) } \left[ \eta _ { 3 } ( \partial _ { 1 } K _ { 0 } ) + \beta \eta _ { 3 } ( \partial _ { 1 } K _ { 0 } ) ^ { 3 } - \eta _ { 1 } ( \partial _ { 3 } K _ { 0 } ) - \beta \eta _ { 1 } ( \partial _ { 1 } K _ { 0 } ) ^ { 3 } \right] = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi ( k , \mu ) = } & { \frac { 2 N _ { f } e ^ { 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \left( \frac { 4 \pi \mu ^ { 2 } } { - k ^ { 2 } } \right) ^ { \epsilon } \frac { ( 2 - 2 \epsilon ) \Gamma ( 1 + \epsilon ) \Gamma ( 1 - \epsilon ) ^ { 2 } } { \epsilon \, ( 3 - 2 \epsilon ) \Gamma ( 2 - 2 \epsilon ) } } \\ { = } & { \frac { \alpha N _ { f } } { 3 \pi } \left[ \frac { 1 } { \epsilon } - \gamma _ { E } + \log 4 \pi - \log \left( \frac { - k ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \right) + \frac { 5 } { 3 } \right] + \mathcal { O } ( \epsilon ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| \frac { C _ { 0 } } { 3 } \sum _ { k = 0 } ^ { p - 2 } \frac { k ^ { 2 } \{ 1 - ( - 1 ) ^ { k - l } \} ^ { 2 } } { ( k { - } l ) ( k { + } l ) ( 2 p - 2 ) ^ { 2 } } \right| \leq \left| \frac { 4 C _ { 1 } } { 3 } \sum _ { k = 0 } ^ { p - 2 } \frac { 1 } { ( 2 p - 2 ) ^ { 2 } } \right| = \mathcal { O } ( p ^ { - 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \varphi } & { = } & { 3 a _ { 1 } ^ { 2 } m r _ { 1 } \left( c _ { 1 } K _ { 1 } q _ { 1 } ^ { 2 } + m r _ { 1 } - 2 a _ { 1 } K _ { 1 } m r _ { 1 } - a _ { 1 } K _ { 1 } q _ { 1 } \mu \right) , } \\ { \chi } & { = } & { a _ { 1 } ^ { 2 } K _ { 1 } m r _ { 1 } - 2 a _ { 1 } m r _ { 1 } , } \\ { \psi } & { = } & { - 1 8 a _ { 1 } ^ { 3 } c _ { 1 } K _ { 1 } m ^ { 2 } q _ { 1 } ^ { 2 } r _ { 1 } ^ { 2 } + 9 a _ { 1 } ^ { 4 } c _ { 1 } K _ { 1 } ^ { 2 } m ^ { 2 } q _ { 1 } ^ { 2 } r _ { 1 } ^ { 2 } - 2 a _ { 1 } ^ { 3 } m ^ { 3 } r _ { 1 } ^ { 3 } - 6 a _ { 1 } ^ { 5 } K _ { 1 } ^ { 2 } m ^ { 3 } r _ { 1 } ^ { 3 } } \\ & { } & { - 6 a _ { 1 } ^ { 4 } K _ { 1 } m ^ { 3 } r _ { 1 } ^ { 3 } - 2 a _ { 1 } ^ { 6 } K _ { 1 } ^ { 3 } m ^ { 3 } r _ { 1 } ^ { 3 } - 9 a _ { 1 } ^ { 4 } K _ { 1 } m ^ { 2 } q _ { 1 } r _ { 1 } ^ { 2 } \mu - 9 a _ { 1 } ^ { 5 } K _ { 1 } ^ { 2 } m ^ { 2 } q _ { 1 } r _ { 1 } ^ { 2 } \mu . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { s } \left( y ^ { \mathcal { N } } , q ^ { \mathcal { N } } ; \boldsymbol { \mu } \right) } & { : = a \left( y ^ { \mathcal { N } } , q ^ { \mathcal { N } } ; \boldsymbol { \mu } \right) + \sum _ { K \in \mathcal { T } _ { h } } \delta _ { K } \left( T y ^ { \mathcal { N } } , \frac { h _ { K } } { | \mathbf { \eta } | } T _ { S S } q ^ { \mathcal { N } } \right) _ { K } , \quad y ^ { \mathcal { N } } , q ^ { \mathcal { N } } \in Y ^ { \mathcal { N } } , } \\ { c _ { s } \left( u ^ { \mathcal { N } } , q ^ { \mathcal { N } } ; \boldsymbol { \mu } \right) } & { : = - \int _ { \Omega } u ^ { \mathcal { N } } q ^ { \mathcal { N } } - \sum _ { K \in \mathcal { T } _ { h } } \delta _ { K } \left( u ^ { \mathcal { N } } , \frac { h _ { K } } { | \mathbf { \eta } | } T _ { S S } q ^ { \mathcal { N } } \right) _ { K } , \quad u ^ { \mathcal { N } } \in U ^ { \mathcal { N } } , q ^ { \mathcal { N } } \in Y ^ { \mathcal { N } } , } \\ { F _ { s } \left( q ^ { \mathcal { N } } ; \boldsymbol { \mu } \right) } & { : = F \left( q ^ { \mathcal { N } } ; \boldsymbol { \mu } \right) + \sum _ { K \in \mathcal { T } _ { h } } \delta _ { K } \left( f ( \boldsymbol { \mu } ) , \frac { h _ { K } } { | \mathbf { \eta } | } T _ { S S } q ^ { \mathcal { N } } \right) _ { K } , \quad \forall q ^ { \mathcal { N } } \in Y ^ { \mathcal { N } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { F _ { x } = - \frac { x } { 2 } - g \frac { \tilde { r } _ { b } ^ { 2 } } { 8 } \left[ \frac { 1 } { 4 } - \log \left( \frac { 2 } { \tilde { r } _ { b } } \right) + \frac { 3 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { \tilde { r } _ { b } ^ { 2 } } \right] , } \\ & { F _ { y } = - \frac { y } { 2 } - g \frac { x y } { 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { p ^ { + } ( { \bf x } ) } & { = } & { \int _ { \partial \mathbb { D } _ { F } } \bar { F } ^ { - * } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) p ^ { + } ( { \bf x } _ { F } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { F } + \int _ { \partial \mathbb { D } _ { F } } F ^ { + } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) p ^ { - } ( { \bf x } _ { F } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { F } , } \\ { p ^ { - } ( { \bf x } ) } & { = } & { \int _ { \partial \mathbb { D } _ { F } } \bar { F } ^ { + * } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) p ^ { + } ( { \bf x } _ { F } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { F } + \int _ { \partial \mathbb { D } _ { F } } F ^ { - } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) p ^ { - } ( { \bf x } _ { F } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { F } , } \end{array}
H _ { f u l l } = \left( \begin{array} { l l l l l l } { H _ { \textbf { k } _ { 0 } ^ { G } \xi _ { u } } } & & & & { T _ { \textbf { k } _ { 0 } , \textbf { k } _ { 1 } } } & \\ & { H _ { \textbf { k } _ { 1 } ^ { G } \xi _ { u } } } & & { T _ { \textbf { k } _ { 1 } , \textbf { k } _ { 0 } } } & & \\ & & { . . . } & & & \\ & { T _ { \textbf { k } _ { 1 } , \textbf { k } _ { 0 } } ^ { \dagger } } & & { H _ { \textbf { k } _ { 0 } ^ { Q } \xi _ { d } } } & & \\ { T _ { \textbf { k } _ { 0 } , \textbf { k } _ { 1 } } ^ { \dagger } } & & & & { H _ { \textbf { k } _ { 1 } ^ { Q } \xi _ { d } } } & \\ & & & & & { . . . } \end{array} \right) ~ .
\begin{array} { r l } & { \quad \mathrm { ( ~ 2 h ~ - p e r i o d i c i t y ~ o f ~ v ~ ) } \quad = \left| \sum _ { m = 0 } ^ { M } ( - 1 ) ^ { m + 1 } \frac { 2 } { h } \left\{ \int _ { \widetilde \Omega } \frac { h \chi _ { p } ( x , y ) } { \pi ( 2 m + 1 ) } \, \cos \left[ \frac \pi h ( 2 m + 1 ) z \right] \frac { \partial v } { \partial z } ( x , y , z ) \, d x d y d z \right\} \right| } \\ & { \qquad = \left| \frac 2 \pi \int _ { C _ { a , b } } \left\{ \sum _ { m = 0 } ^ { M } \frac { ( - 1 ) ^ { m + 1 } \chi _ { p } ( x , y ) } { 2 m + 1 } \int _ { - \frac h 2 } ^ { \frac { 3 h } { 2 } } \cos \left[ \frac \pi h ( 2 m + 1 ) z \right] \frac { \partial v } { \partial z } ( x , y , z ) \, d z \right\} d x d y \right| } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { d } { d t } } \left\langle Q \right\rangle } & { = { \frac { d } { d t } } \left\langle \psi \right| Q \left| \psi \right\rangle } \\ & { = \left( { \frac { d } { d t } } \left\langle \psi \right| \right) Q \left| \psi \right\rangle + \left\langle \psi \right| { \frac { d Q } { d t } } \left| \psi \right\rangle + \left\langle \psi \right| Q \left( { \frac { d } { d t } } \left| \psi \right\rangle \right) } \\ & { = - { \frac { 1 } { i \hbar } } \left\langle H \psi \right| Q \left| \psi \right\rangle + \left\langle \psi \right| { \frac { d Q } { d t } } \left| \psi \right\rangle + { \frac { 1 } { i \hbar } } \left\langle \psi \right| Q \left| H \psi \right\rangle } \\ & { = - { \frac { 1 } { i \hbar } } \left\langle \psi \right| H Q \left| \psi \right\rangle + \left\langle \psi \right| { \frac { d Q } { d t } } \left| \psi \right\rangle + { \frac { 1 } { i \hbar } } \left\langle \psi \right| Q H \left| \psi \right\rangle } \\ & { = - { \frac { 1 } { i \hbar } } \left\langle \psi \right| \left[ H , Q \right] \left| \psi \right\rangle + \left\langle \psi \right| { \frac { d Q } { d t } } \left| \psi \right\rangle } \end{array} }
\Big \Vert \Big ( \sum _ { j \geqslant 2 k _ { 0 } } \, \Big | ( Q _ { j } ^ { u _ { 2 } } \circ T _ { d _ { 2 } } ^ { \varphi _ { 2 } } ) ( f _ { 1 } ) \prod _ { \iota \in \mathfrak { J } _ { 2 } \cup \mathfrak { J } _ { f } \cup \mathfrak { J } _ { \infty } } ( P _ { j } ^ { u _ { \iota } } \circ T _ { d _ { \iota , j } } ^ { \varphi _ { \iota } } ) ( f _ { \iota } ) \Big | ^ { 2 } \Big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Big \Vert _ { L ^ { r _ { 1 } } } ,
\begin{array} { r l } { \langle b _ { n } ( \tau ) b _ { n } ( s ) \rangle } & { = \langle \frac { 4 } { L _ { x } ^ { 2 } } \left( \int _ { 0 } ^ { L _ { x } } \bar { \phi } _ { n } ( x ) \mathcal { N } ( x , \tau ) d x \right) } \\ & { \times \left( \int _ { 0 } ^ { L _ { x } } \bar { \phi } _ { n } ( x ^ { \prime } ) \mathcal { N } ( x ^ { \prime } , s ) d x ^ { \prime } \right) \rangle } \\ & { = \frac { 4 } { L _ { x } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { L _ { x } } \int _ { 0 } ^ { L _ { x } } \bar { \phi } _ { n } ( x ) \bar { \phi } _ { n } ( x ^ { \prime } ) } \\ & { \times \delta ( x - x ^ { \prime } ) \delta ( \tau - s ) d x d x ^ { \prime } } \\ & { = \frac { 2 } { L _ { x } } \delta ( \tau - s ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \vert \tilde { \Omega } ^ { * } ( { \bf q } ) + 1 \vert = \vert \tilde { \Omega } ( { \bf q } ) + 1 \vert } & { = } & { 2 \vert [ 1 - e ^ { - i \frac { \pi } { 2 } ( q _ { + } - q _ { - } ) } \cos \frac { \pi } { 2 } ( q _ { + } + q _ { - } ) ] \vert } \\ & { \le } & { c _ { 1 } ( \vert q _ { + } \vert + \vert q _ { - } \vert ) \le 2 c _ { 1 } \gamma ^ { - \operatorname* { m i n } ( s _ { + } , s _ { - } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } x _ { i } \frac { \partial \mu _ { i } } { \partial \phi _ { j } } x _ { j } } \\ & { \qquad = \frac { 1 } { \phi _ { \mathrm { T } } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { x _ { i } } { L _ { i } } + \frac { 1 } { 1 - \phi _ { \mathrm { T } } } + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } x _ { i } \epsilon _ { i j } x _ { j } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { i { \partial _ { \tau } C _ { c } ^ { R } } = } & { \sum _ { i a } f _ { i a } t _ { i } ^ { a } ( \tau ) + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i j a b } v _ { i j } ^ { a b } t _ { i } ^ { a } ( \tau ) t _ { j } ^ { b } ( \tau ) } \\ { + } & { \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i j a b } v _ { i j } ^ { a b } t _ { i j } ^ { a b } ( \tau ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { j = 0 } ^ { J } \rho ^ { - \frac { N } 2 } h ^ { - \frac 1 2 } d _ { j } ^ { \frac { N - 3 } { 2 } } \| v - R _ { h } v \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { j } ^ { 1 } ) } } & { \leqslant \sum _ { j = 0 } ^ { J } C \bigg ( \frac { h } { \rho } \bigg ) ^ { \frac { N } 2 } \bigg ( \frac { h } { d _ { j } } \bigg ) ^ { \frac { 3 - N } { 2 } } \bigg ( \frac { \rho } { d _ { j } } \bigg ) ^ { \frac { N } p - \frac { N } 2 - \frac { \theta \sigma } { 1 - \theta } } d _ { j } ^ { \frac { N } p - \frac { N } 2 - \frac { \theta } { 1 - \theta } } } \\ & { \quad \, + C _ { \kappa } + C \bigg ( \frac { h } { \rho } \bigg ) ^ { \frac { N } 2 } \bigg ( \frac { h } { d _ { J } } \bigg ) ^ { \frac { 3 - N } 2 } \bigg ( \frac { \rho } { d _ { J } } \bigg ) ^ { \sigma } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { A ( \sigma , x ) } & { = \int _ { 0 } ^ { \sigma } B ( \sigma ^ { \prime } , x ) \; \mathrm { d } \sigma ^ { \prime } , } \\ { I _ { 1 } ( \sigma , x ) } & { = \int _ { 0 } ^ { \sigma } ( \sigma - \sigma ^ { \prime } ) \, B ( \sigma ^ { \prime } , x ) \; \mathrm { d } \sigma ^ { \prime } \qquad { \mathrm { a n d } } } \\ { I _ { 2 } ( \sigma , x ) } & { = \int _ { 0 } ^ { \sigma } ( \sigma - \sigma ^ { \prime } ) \, { \frac { \partial B ( \sigma ^ { \prime } , x ) } { \partial x } } \; \mathrm { d } \sigma ^ { \prime } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { [ \lambda _ { 2 } + q ( \lambda _ { 2 } ) - q _ { 1 } ( \lambda _ { 2 } ) ] \langle x _ { s } , u _ { 2 } \rangle - { \gamma } \langle u _ { 1 } , x _ { s } \rangle \left[ \langle v _ { 1 } , v _ { 2 } \rangle \langle w _ { 1 } , w _ { 2 } \rangle r _ { 1 } ( \lambda _ { 1 } ) + \langle u _ { 1 } , u _ { 2 } \rangle ( q _ { 2 } ( \lambda _ { 2 } ) + q _ { 3 } ( \lambda _ { 2 } ) ) \right] } \\ & { = { \mathcal { S } } ( x _ { s } , v _ { 2 } , w _ { 2 } ) - { \gamma } \langle x _ { s } , u _ { 1 } \rangle { \mathcal { S } } ( u _ { 1 } , v _ { 2 } , w _ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to 0 } \operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \to 0 } \operatorname* { s u p } _ { \sigma \leq \tau \leq \sigma + \lambda } \mathbf { P } _ { x , y } \Big ( | X _ { \tau } ^ { \varepsilon } - X _ { \sigma } ^ { \varepsilon } | + | Y _ { \tau } ^ { \varepsilon } - Y _ { \sigma } ^ { \varepsilon } | > \eta \Big ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| x ^ { \prime } - x _ { \bar { x } , \lambda } ^ { \star } \| \lesssim } & { ~ \frac { L } { \lambda _ { \star } } ( \frac { d } { \beta _ { 1 } ^ { 2 } T ^ { 2 } } + \frac { 1 } { T } ) ^ { 1 / 2 } } \\ { \lesssim } & { ~ \frac { L R ^ { 2 } } { \epsilon _ { \textup { o p t } } K ^ { 2 } \log ^ { 2 } n } ( \frac { \sqrt { d K \log ^ { 5 } ( n / \delta ) } } { n \epsilon } + \frac { K ^ { 1 / 4 } } { \sqrt { n } } ) . } \end{array}
\left\{ \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { \frac { ( 1 + k x ) \beta ( y ) } { x ( 2 + k x ) } } & { - \frac { 1 + k x } { 2 + k x } \beta } \\ { 0 } & { - \beta ( y ) } & { x \beta } \\ { x v } & { \frac { 1 + k x } { 2 + k x } v - \frac { \beta ( y ) } { x } y } & { y \beta } \end{array} \right) : v , \beta ^ { \top } \in \mathbb { K } ^ { m - 1 } \right\}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \partial ^ { 3 } } { \partial x _ { 1 } \, \partial x _ { 2 } \, \partial x _ { 3 } } } f ( y ) = } & { f ^ { \prime } ( y ) { \frac { \partial ^ { 3 } y } { \partial x _ { 1 } \, \partial x _ { 2 } \, \partial x _ { 3 } } } } \\ & { + f ^ { \prime \prime } ( y ) \left( { \frac { \partial y } { \partial x _ { 1 } } } \cdot { \frac { \partial ^ { 2 } y } { \partial x _ { 2 } \, \partial x _ { 3 } } } + { \frac { \partial y } { \partial x _ { 2 } } } \cdot { \frac { \partial ^ { 2 } y } { \partial x _ { 1 } \, \partial x _ { 3 } } } + { \frac { \partial y } { \partial x _ { 3 } } } \cdot { \frac { \partial ^ { 2 } y } { \partial x _ { 1 } \, \partial x _ { 2 } } } \right) } \\ & { + f ^ { \prime \prime \prime } ( y ) { \frac { \partial y } { \partial x _ { 1 } } } \cdot { \frac { \partial y } { \partial x _ { 2 } } } \cdot { \frac { \partial y } { \partial x _ { 3 } } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { C _ { i } ( w ) = \big \{ v = ( v _ { 1 } , v _ { 2 } ) \in \mathcal { V } : } & { | - \sin ( \pi i / 3 ) ( v _ { 1 } - w _ { 1 } ) + \cos ( \pi i / 3 ) ( v _ { 2 } - w _ { 2 } ) | } \\ & { \le \sqrt { 3 } ( \cos ( \pi i / 3 ) ( v _ { 1 } - w _ { 1 } ) + \sin ( \pi i / 3 ) ( v _ { 2 } - w _ { 2 } ) ) \big \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { \varphi } \Big ( D \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) \Big ) } & { = f ^ { \prime } ( \varphi ) \partial _ { \theta } D \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) + \partial _ { \varphi } D \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) } \\ & { = 2 f ^ { \prime } ( \varphi ) \Big [ \frac { 1 } { 2 } \sin \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) - \theta ^ { \prime } \big ) + \cos \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) \big ) \sin ( \theta ^ { \prime } ) \sin ^ { 2 } \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \Big ] } \\ & { \quad + \sin \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) \big ) \sin ( \theta ^ { \prime } ) \sin ( \varphi - \varphi ^ { \prime } ) . } \end{array}
\eta _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , \ \gamma _ { i } < \gamma _ { m i n } } \\ { \varepsilon \cdot \log _ { 2 } \left( 1 + \gamma _ { i } \right) , \ \gamma _ { m i n } \leq \gamma _ { i } < \gamma _ { m a x } } \\ { \varepsilon \cdot \log _ { 2 } \left( 1 + \gamma _ { m a x } \right) , \ \gamma _ { i } \geq \gamma _ { m a x } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r l } { f ^ { n } \frac { \d ^ { 3 } v } { \d x ^ { 3 } } } & { = \frac { 1 - n } { 2 } B _ { 0 } ^ { \alpha } x \, ( 1 - x ^ { 2 } ) } & & { \mathrm { f o r } \quad x \in ( 0 , 1 ) , } \\ { v } & { = \frac { \d v } { \d x } = 0 } & & { \mathrm { a t } \quad x = 1 , } \\ { \frac { \d v } { \d x } } & { = 0 } & & { \mathrm { a t } \quad x = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq j \leq p } \left| n ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } R _ { i } ^ { - 2 } \hat { \theta } _ { n , j } ^ { 2 } \{ 1 + O _ { p } ( \tilde { \delta } _ { 2 i } ) \} \right\| } \\ & { \lesssim } & { \left| n ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } R _ { i } ^ { - 2 } \right| \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq j \leq p } | \hat { \theta } _ { n , j } ^ { 2 } | } \\ & { = } & { O _ { p } \{ \zeta _ { 1 } ^ { 2 } n ^ { - 1 } \log ^ { 1 / 2 } ( n p ) \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { { J _ { 1 0 } } } & { = \int _ { \Sigma } { { x _ { 2 } } J ( { x _ { 2 } } , { y _ { 2 } } ) d { x _ { 2 } } d { y _ { 2 } } } } \\ & { = \int _ { \Omega } { \left( { { a _ { 1 1 } } { x _ { 1 } } + { a _ { 1 2 } } { y _ { 1 } } + { b _ { 1 } } } \right) I ( { x _ { 1 } } , { y _ { 1 } } ) d { x _ { 1 } } d { y _ { 1 } } } } \\ & { = { a _ { 1 1 } } { I _ { 1 0 } } + { a _ { 1 2 } } { I _ { 0 1 } } + { b _ { 1 } } } \end{array} .
\Psi _ { i _ { 1 } } ^ { ( \alpha \beta ) } ( x _ { 1 } ) \Psi _ { i _ { 2 } } ^ { ( \beta \gamma ) } ( x _ { 2 } ) \underset { x _ { 1 } \to x _ { 2 } } { \sim } \sum _ { j } \mathcal { B } _ { \Psi _ { i _ { 1 } } , \Psi _ { i _ { 2 } } } ^ { ( \beta \gamma ) \Psi _ { j } } ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ^ { - h _ { i _ { 1 } } - h _ { i _ { 2 } } + h _ { j } } \Psi _ { j } ^ { ( \alpha \gamma ) } ( x _ { 2 } )
\begin{array} { r l r l r } & { } & { \frac { d \mathbf { y } } { d t } = } & { \frac { 1 } { \rho } \mathbf { W } \cdot \sum _ { k = 1 } ^ { 2 K } \mathbf { S } _ { k } R ^ { k } } & \\ & { } & { \frac { d T } { d t } = } & { \frac { 1 } { \rho c _ { v } } \left( - \mathbf { h } _ { c } \cdot \mathbf { W } + \mathrm { R } T \mathbf { U } \right) \cdot \sum _ { k = 1 } ^ { 2 K } \mathbf { S } _ { k } R ^ { k } } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \hbar \rightarrow 0 } \sum _ { r = k _ { i j } } ^ { k _ { 0 } } \sum _ { \iota \in \mathcal { Q } _ { k , i , j } } \mathbb { E } \Big [ \big \lVert \sum _ { \boldsymbol { x } \in \mathcal { X } _ { \neq } ^ { k - i } } \mathcal { I } _ { i , j } ( k , \boldsymbol { x } , \iota , t ; \hbar ) \varphi _ { \hbar } \big \rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } \Big ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } = 0 .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { X } \quad } & { \sum _ { i } \sum _ { j } \exp ( - 2 a _ { i j } ^ { 2 } X _ { i j } ) } \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } \qquad } & { \sum _ { i } \sum _ { j } X _ { i j } = b n } \\ & { \sum _ { i } X _ { i j } \le n \, \, \forall j } \\ & { X _ { i j } \in \{ 0 , 1 \} \, \, \forall i , j } \end{array}
\begin{array} { r l } & { m ^ { \omega k _ { 4 } } ( x , t , k ) = \mathcal { A } m ^ { \omega k _ { 4 } } ( x , t , \omega k ) \mathcal { A } ^ { - 1 } = \mathcal { B } m ^ { \omega k _ { 4 } } ( x , t , k ^ { - 1 } ) \mathcal { B } , } \\ & { m ^ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } ( x , t , k ) = \mathcal { A } m ^ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } ( x , t , \omega k ) \mathcal { A } ^ { - 1 } = \mathcal { B } m ^ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } ( x , t , k ^ { - 1 } ) \mathcal { B } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C ^ { \oplus \infty } } & { = C \otimes \Bbbk ^ { \oplus \infty } } \\ & { \cong C \otimes \big ( \Bbbk ^ { \oplus n } \oplus \Bbbk ^ { \oplus n } \oplus \cdots \big ) } \\ & { \cong ( C \otimes \Bbbk ^ { \oplus n } ) \oplus ( C \otimes \Bbbk ^ { \oplus n } ) \oplus \cdots } \\ & { \cong C ^ { \oplus n } \oplus C ^ { \oplus n } \oplus \cdots . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { x ^ { ( T ) } : = \textstyle \frac { 2 } { T ( T + 1 ) } \sum _ { t = 1 } ^ { T } t \tilde { x } ^ { t } , \ \ w ^ { ( T ) } : = \textstyle \frac { 2 } { T ( T + 1 ) } \sum _ { t = 1 } ^ { T } t w ^ { t + 1 } , } \\ & { z ^ { ( T ) } : = \textstyle \frac { 2 } { T ( T + 1 ) } \sum _ { t = 1 } ^ { T } t ( \frac { 1 } { E } \sum _ { e = 1 } ^ { E } z ^ { t , e } ) , \ \ \lambda ^ { ( T ) } : = \textstyle \frac { 2 } { T ( T + 1 ) } \sum _ { t = 1 } ^ { T } t \tilde { \lambda } ^ { t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { R } ^ { - n } } & { \left( \mu _ { \varepsilon } ( \cup _ { x \in X \cap X _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 3 } } } B _ { \tilde { R } } ( x ) \cap S _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 3 } } ) + \mu _ { \varepsilon } ( \cup _ { x \in X \cap X _ { t _ { 3 } } ^ { t _ { 2 } } } B _ { \tilde { R } } ( x ) \cap S _ { t _ { 3 } } ^ { t _ { 2 } } ) \right) \leq } \\ & { \left( 1 + \frac { 1 } { \Gamma } \right) ^ { n } R ^ { - n } \mu _ { \varepsilon } \left( \cup _ { x \in X } B _ { R } ( x ) \cap S _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \right) + C R ^ { \gamma _ { 0 } } + 2 \omega . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f _ { y , z } ^ { c } ( \bar { t } + \delta _ { N } ) - z _ { \bar { t } + \delta _ { N } } + z _ { \bar { t } } \geq 0 \mathrm { ~ f o r ~ e v e r y ~ } \bar { t } \in T _ { N } \setminus \{ M \} } \\ & { z _ { x ^ { + } } + p _ { y } ( x ^ { + } ) \geq 0 , } \\ & { z _ { x ^ { -- } \delta _ { N } } + p _ { y } ( x ^ { - } ) \geq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } } & { \left[ \left( | X _ { d } ^ { H ( \cdot ) } ( t + r ) - X _ { d } ^ { H ( \cdot ) } ( t ) | ^ { 2 } + r ^ { 2 } \right) ^ { - \frac { s } { 2 } } \right] } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { r ^ { - s } } \mathbb { P } \left( \left( | X _ { d } ^ { H ( \cdot ) } ( t + r ) - X _ { d } ^ { H ( \cdot ) } ( t ) | ^ { 2 } + r ^ { 2 } \right) ^ { - \frac { s } { 2 } } \geq x \right) \, d x } \\ & { = s \int _ { 0 } ^ { + \infty } y ( y ^ { 2 } + r ^ { 2 } ) ^ { - \frac { s } { 2 } - 1 } \mathbb { P } \left( | X _ { d } ^ { H ( \cdot ) } ( t + r ) - X _ { d } ^ { H ( \cdot ) } ( t ) | \leq y \right) \, d y } \\ & { \leq c s \int _ { 0 } ^ { + \infty } y ( y ^ { 2 } + r ^ { 2 } ) ^ { - \frac { s } { 2 } - 1 } y ^ { \frac { 1 } { d } } r ^ { - \frac { \overline { { H } } ( t _ { 0 } , j ^ { - 1 } ) } { d } } \, d y } \\ & { \leq c ^ { \prime } r ^ { - \frac { \overline { { H } } ( t _ { 0 } , j ^ { - 1 } ) } { d } } \left( r ^ { - s - 2 } \int _ { 0 } ^ { r } y ^ { 1 + \frac { 1 } { d } } \, d y + \int _ { r } ^ { + \infty } y ^ { - s - 1 + \frac { 1 } { d } } \, d y \right) } \\ & { \leq c ^ { \prime \prime } r ^ { \frac { 1 } { d } - s - \frac { \overline { { H } } ( t _ { 0 } , j ^ { - 1 } ) } { d } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { w ( n ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { n - x + \tau } { \tau } } & { \mathrm { i f ~ } x - \tau \leq n < x , } \\ { 1 } & { \mathrm { i f ~ } x \leq n \leq x + h , } \\ { \frac { x + h + \tau - n } { \tau } } & { \mathrm { i f ~ } x + h < n \leq x + h + \tau , } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e . } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { T _ { q , M } ( u _ { 1 } \cdots u _ { r _ { 1 } } , v _ { 1 } \cdots v _ { r _ { 2 } } , w _ { 1 } \cdots w _ { r _ { 3 } - 1 } ) } \\ & { = \sum _ { t = 1 } ^ { 3 } \sum _ { j = 1 } ^ { r _ { t } } \sum _ { ( l _ { i } ^ { ( s ) } ) \in D _ { j } ^ { ( t ) } } \prod _ { i = 1 } ^ { r _ { 1 } } F _ { q } ( l _ { 1 } ^ { ( 1 ) } + \cdots + l _ { i } ^ { ( 1 ) } ; u _ { i } ) \prod _ { i = 1 } ^ { r _ { 2 } } F _ { q } ( l _ { 1 } ^ { ( 2 ) } + \cdots + l _ { i } ^ { ( 2 ) } ; v _ { i } ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \times \prod _ { i = 1 } ^ { r _ { 3 } - 1 } F _ { q } ( | l ^ { ( 1 ) } | + | l ^ { ( 2 ) } | + l _ { 1 } ^ { ( 3 ) } + \cdots + l _ { i } ^ { ( 3 ) } ; w _ { i } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \eta } _ { p } } & { = } & { \operatorname* { i n f } \left\{ \mathrm { \boldmath ~ Q ~ } _ { 0 } \bullet \mathrm { \boldmath ~ X ~ } : \mathrm { \boldmath ~ X ~ } \in \mathrm { ~ \mathbb { S } ~ } _ { + } ^ { 1 + n } \cap \mathrm { ~ \mathbb { N } ~ } , \ \mathrm { \boldmath ~ X ~ } \in \widehat { \mathrm { \boldmath ~ F ~ } } \right\} , } \\ { \hat { \eta } _ { d } } & { = } & { \operatorname* { s u p } \left\{ s : \mathrm { \boldmath ~ Q ~ } _ { 0 } - \sum _ { k \in M } y _ { k } \mathrm { \boldmath ~ Q ~ } _ { k } - s \mathrm { \boldmath ~ H ~ } \in \mathrm { ~ \mathbb { S } ~ } _ { + } ^ { 1 + n } + \mathrm { ~ \mathbb { N } ~ } , \ ( \mathrm { \boldmath ~ y ~ } , s ) \in \mathrm { ~ \mathbb { R } ~ } ^ { m + 1 } \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { x } \widetilde { \rho } _ { 1 } ( a _ { 1 } ^ { - } , s ) } & { = \partial _ { x } \widetilde { p } _ { 1 } ( a _ { 1 } , s | x _ { 0 } ) + \kappa _ { 1 } \partial _ { x } \widetilde { p } _ { 1 } ( a _ { 1 } , s | a _ { 1 } ) \Sigma _ { 1 } ( s ) , } \\ { \partial _ { x } \widetilde { \rho } _ { 2 } ( a _ { 1 } ^ { + } , s ) } & { = \kappa _ { 1 } \partial _ { x } \widetilde { p } _ { 2 } ( a _ { 1 } , s | a _ { 1 } ) \Sigma _ { 1 } ( s ) + \kappa _ { 2 } \partial _ { x } \widetilde { p } _ { 2 } ( a _ { 1 } , s | a _ { 2 } ) \Sigma _ { 2 } ( s ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { J ^ { 5 } = \widehat { \rho } _ { n } ( { \boldsymbol { \theta } } ) \Big ( \mathcal { L } _ { A } ( \rho _ { n } \boldsymbol { Y } _ { n } ) ( { \boldsymbol { \theta } } ) - \mathcal { M } ( A ) ( T _ { S } ( \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } ) ) \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } ( \rho _ { n } \boldsymbol { Y } ) \big ) _ { n } ( { \boldsymbol { \theta } } ) \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { 0 } ( x ) \int _ { T M } \frac { \partial L } { \partial u } ( y , v , 0 ) \, \mathrm { d } \tilde { \mu } ( y , v ) } & { \geq \int _ { T M } u _ { 0 } ( y ) \frac { \partial L } { \partial u } ( y , v , 0 ) \, \mathrm { d } \tilde { \mu } ( y , v ) + \int _ { T M } h ( y , x ) \frac { \partial L } { \partial u } ( y , v , 0 ) \, \mathrm { d } \tilde { \mu } ( y , v ) } \\ & { \geq \int _ { T M } h ( y , x ) \frac { \partial L } { \partial u } ( y , v , 0 ) \, \mathrm { d } \tilde { \mu } ( y , v ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { 1 } P _ { 1 } U _ { 1 } ^ { \top } - U _ { 2 } P _ { 1 } U _ { 2 } ^ { \top } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { - r } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { - 1 } \\ { - 1 } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { - r } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l l } { r } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { r } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l } { 2 r } & { r } \\ { r } & { 0 } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { - r } \\ { - r } & { 0 } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { 2 r } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \bar { \omega } _ { t } - \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ) \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { = \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \bigg ( \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } , \mathcal { B } _ { y } ) + ( 1 - c _ { \omega } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ( \omega _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , \mathcal { B } _ { y } ) ) - \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ) \bigg ) \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { = \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| ( 1 - c _ { \omega } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ( \bar { \omega } _ { t - 1 } - \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } ) + \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \bigg ( \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } , \mathcal { B } _ { y } ) - \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ) } \\ & { \qquad \qquad + ( 1 - c _ { \omega } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ( \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } ) - \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , \mathcal { B } _ { y } ) ) \bigg ) \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \overset { ( a ) } { \leq } ( 1 - c _ { \omega } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \bar { \omega } _ { t - 1 } - \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } ) \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \qquad + \frac { 1 } { b _ { y } ^ { 2 } M ^ { 2 } } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \sum _ { \xi _ { y } \in \mathcal { B } _ { y } } \bigg [ \bigg \| \bigg ( \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } , \xi _ { y } ) - \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ) } \\ & { \qquad + ( 1 - c _ { \omega } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ( \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } ) - \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , \xi _ { y } ) ) \bigg ) \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { T _ { S } ( u - w ) = \eta _ { z _ { 0 } } \cdot \left( \mathscr { R } ( v ) - \mathscr { R } ( w ) \right) - ( 1 - \eta _ { z _ { 0 } } ) ( \mathscr { R } ( w ) + z ^ { - 1 } \mathscr { T } ( 0 ) ) , \ } & { \ \mathrm { ~ o n ~ } S \times \mathbb { R } _ { > z _ { 0 } / 1 2 } ; } \\ { ( u - w ) ( \cdot , z _ { 0 } / 1 2 ) = - w ( z _ { 0 } / 1 2 ) , \ } & { \ \mathrm { ~ o n ~ } S ; } \\ { \| u - w \| _ { S , z _ { 0 } / 1 2 ; \mu _ { 1 } - 1 } < + \infty . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { p } & { = \prod _ { j = 1 } ^ { p } ( 1 - \zeta _ { p } ^ { j } ) } \\ & { = ( 1 - \zeta _ { p } ) ^ { p } \prod _ { j = 1 } ^ { p } \frac { 1 - \zeta _ { p } ^ { j } } { 1 - \zeta _ { p } } } \\ & { = ( 1 - \zeta _ { p } ) ^ { p } \prod _ { j = 1 } ^ { p } \left( 1 + \zeta _ { p } + \dots + \zeta _ { p } ^ { j - 1 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \hat { \theta } = \underset { \theta } { \operatorname { a r g \, m i n } } \, \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \Biggl ( \lVert f _ { \theta } ( \mathbf { \Delta x } ^ { ( n ) } ; \mathbf { \bar { y } } ^ { ( n ) } ) \rVert _ { 2 } ^ { 2 } - \log \left| \operatorname* { d e t } { \mathbf { J } _ { f _ { \theta } } } \right| \Biggr ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { \mathbb { Q } \in \mathcal { B } _ { \varepsilon } \left( \widehat { \mathbb { P } } _ { N } \right) } \mathbb { E } _ { \mathbb { Q } } [ F ( x , \xi ) ] } & { = \operatorname* { i n f } _ { \lambda \geq \gamma _ { x , F , 2 } } \left( \lambda \varepsilon + \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } F ( x , \widehat { \xi } _ { i } ) \right) } \\ & { = \varepsilon \gamma _ { x , F , 2 } + \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } F ( x , \widehat { \xi } _ { i } ) } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { \mathbb { Q } \in \mathcal { B } _ { \varepsilon \gamma _ { x , F , q } } \left( \widehat { \mathbb { P } } _ { N } ^ { x , F } \right) } \mathbb { E } _ { \zeta \sim \mathbb { Q } } \left[ \zeta \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { C } \left( { \tilde { S } } _ { t t ^ { \prime } } ^ { d r o n e } , \tilde { { \mathbf { x } } } _ { t t ^ { \prime } } ^ { d r o n e } \right) } & { = } & { \left( \tilde { \mu } _ { t t ^ { \prime } } + \theta ^ { I E } \tilde { \sigma } _ { t t ^ { \prime } } \odot \left( \left( \mathbf { 1 } \mathbf { 1 } ^ { T } - { \mathbf { M } } \right) { \tilde { R } } _ { t t ^ { \prime } } ^ { d r o n e } \right) \right) ^ { T } { \mathbf { M } } \tilde { { \mathbf { x } } } _ { t t ^ { \prime } } ^ { d r o n e } , } \\ & { = } & { \left( \tilde { \mu } _ { t t ^ { \prime } } + \theta ^ { I E } d i a g ( \tilde { \sigma } _ { t t ^ { \prime } } ) \mathbf { 1 } \mathbf { 1 } ^ { T } { \tilde { R } } _ { t t ^ { \prime } } ^ { d r o n e } - \theta ^ { I E } d i a g ( \tilde { \sigma } _ { t t ^ { \prime } } ) { \mathbf { M } } { \tilde { R } } _ { t t ^ { \prime } } ^ { d r o n e } \right) ^ { T } { \mathbf { M } } \tilde { { \mathbf { x } } } _ { t t ^ { \prime } } ^ { d r o n e } , } \\ & { = } & { \left( \tilde { \mu } _ { t t ^ { \prime } } + \theta ^ { I E } \tilde { \sigma } _ { t t ^ { \prime } } \right) ^ { T } { \mathbf { M } } \tilde { { \mathbf { x } } } _ { t t ^ { \prime } } ^ { d r o n e } - \theta ^ { I E } ( { \mathbf { M } } { \tilde { R } } _ { t t ^ { \prime } } ^ { d r o n e } ) ^ { T } d i a g ( \tilde { \sigma } _ { t t ^ { \prime } } ) { \mathbf { M } } \tilde { { \mathbf { x } } } _ { t t ^ { \prime } } ^ { d r o n e } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { h + \zeta } } & { : = \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial [ \partial _ { x } ( h + \zeta ) ] } = \gamma \frac { \partial _ { x } ( h + \zeta ) } { \xi _ { h + \zeta } } } \\ { p _ { \zeta } } & { : = \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial ( \partial _ { x } \zeta ) } = ( \gamma _ { \mathrm { b l } } + f _ { \mathrm { w e t } } ) \frac { \partial _ { x } \zeta } { \xi _ { \zeta } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \mu } & { \int _ { \Omega } ( h \cdot \nabla u _ { j } ) \Delta \bar { v } _ { j } \, \mathrm { d } x = } \\ & { - \mu \int _ { \Omega } \nabla ( h \cdot \nabla u ) : \nabla \bar { v } \, \mathrm { d } x + \mu \int _ { S _ { R } } ( h \cdot \nabla u ) \cdot ( n \cdot \nabla \bar { v } ) \, \mathrm { d } s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { M } } & { \operatorname* { P r } ( \theta = i \mid Y ^ { t } = y ^ { t } ) V _ { i } ( y ^ { t } ) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { M } \! \rho _ { i } ( y ^ { t } ) \mathsf { E } [ U _ { i } ( t \! + \! 1 ) \! - \! U _ { i } ( t ) \! \mid \! Y ^ { t } = y ^ { t } , \theta = i ] } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { M } \mathsf { E } [ \rho _ { i } ( y ^ { t } ) ( U _ { i } ( t \! + \! 1 ) \! - \! U _ { i } ( t ) ) \! \mid \! Y ^ { t } = y ^ { t } , \theta = i ] } \\ & { \ge C } \end{array}
\lambda _ { n } \sim \left\{ \begin{array} { r l } { \Big [ \delta _ { 0 } \log { ( n ) } + \delta _ { 1 } \Big ] } & { \Gamma \Big ( \frac { n + 1 } { 2 } + \alpha _ { 0 } \Big ) \qquad \mathrm { f o r ~ n ~ e v e n } , } \\ { \delta _ { 2 } } & { \Gamma \Big ( \frac { n + 1 } { 2 } + \alpha _ { 1 } \Big ) \qquad \mathrm { f o r ~ n ~ o d d } . } \end{array} \right.
\small { \widehat \mathrm { Q } } ( \widehat { \beta } , \widehat { \Sigma } ^ { S } ) = \widehat { \beta } ^ { \intercal } \widehat { \Sigma } ^ { S } \widehat { \beta } + 2 \widehat { \beta } ^ { \intercal } \frac { 1 } { n } \sum _ { k = 1 } ^ { n } X _ { k , \cdot } ( Y _ { k } - X _ { k , \cdot } ^ { \intercal } \widehat { \beta } ) , \widehat { \Sigma } ^ { S } = \frac { 1 } { n + N } \sum _ { k = 1 } ^ { n + N } X _ { k , \cdot } X _ { k , \cdot } ^ { \intercal } .
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \mathsf { T } } d \tau \int _ { \widetilde { \Sigma } _ { \tau } \cap \{ r \geq R \} } r ^ { 2 } d r d \sigma \ \frac { | D W _ { \mathcal { I } ^ { + } } \Psi | ^ { 2 } } { r ^ { 1 + \alpha } } \lesssim } & { \int _ { 0 } ^ { \mathsf { T } } d \tau \int _ { \widetilde { \Sigma } _ { \tau } \cap \{ R - M \leq r \leq R \} } r ^ { 2 } d r d \sigma \Big \{ | D W _ { \mathcal { I } ^ { + } } \Psi | ^ { 2 } \Big \} + E _ { 0 } [ \chi _ { R } W _ { \mathcal { I } ^ { + } } \Psi ] } \\ & { + E _ { 0 } [ \Psi ] + \int _ { 0 } ^ { \mathsf { T } } d \tau \int _ { \widetilde { \Sigma } _ { \tau } \cap \{ r \geq R - M \} } r ^ { 2 } d r d \sigma \frac { | D \Psi | ^ { 2 } + r ^ { - 2 } | \Psi | ^ { 2 } } { r ^ { 1 + \alpha } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { t r } ( n _ { L } ^ { \mathrm { S D P } } ( I ) ) = \langle I , n _ { L } ^ { \mathrm { S D P } } ( I ) \rangle } & { = \frac { 1 } { { C _ { k - 1 } ^ { n - 1 } } } \langle g ^ { \mathrm { S D P } } ( I ) , - n _ { L } ^ { \mathrm { S D P } } ( I ) \rangle } \\ & { = \frac { 1 } { { C _ { k - 1 } ^ { n - 1 } } } \left( \Delta \left( { C _ { k - 1 } ^ { n - 1 } } f _ { \vert _ { L } } ^ { \mathrm { S D P } } , I \right) \right) ^ { 2 } } \end{array}
\bar { H } _ { \bullet } ^ { s , \ell } ( \bar { X } ) : = \{ u | _ { \bar { X } ^ { \circ } } \mid u \in H _ { \bullet } ^ { s , \ell } ( \bar { X } ^ { \prime } ) \} , \quad \dot { H } _ { \bullet } ^ { s , \ell } ( \bar { X } ) : = \{ u \mid u \in H _ { \bullet } ^ { s , \ell } ( \bar { X } ^ { \prime } ) , \ \mathrm { s u p p } \, u \subset \bar { X } \} , \quad \bullet = \mathrm { b } , \mathrm { s c } .
\begin{array} { r l } { - \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \mu \frac { 2 \rho _ { \left| - \frac 1 2 \right\rangle } ( \mu ) } { \mu ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } } = \pi } & { - ( 2 N + 1 ) \ln ( 4 ) + \psi ^ { ( 0 ) } \left( \frac { \xi + i \chi } { 2 } + 1 \right) - \psi ^ { ( 0 ) } \left( \frac { \xi + i \chi } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \right) } \\ & { + \psi ^ { ( 0 ) } \left( \frac { \xi - i \chi } { 2 } + 1 \right) - \psi ^ { ( 0 ) } \left( \frac { \xi - i \chi } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { t \frac { \| D h \| } { | h | } \cdot \frac { \| D h _ { \circ } \| ^ { p - 1 } } { | h _ { \circ } | ^ { p - 1 } } } & { \geqslant t \left( { t ^ { 2 } ( 1 - g ( t ) ) } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } ( 1 - p ) } \left[ \sqrt { 1 - g ( t ) } | \nabla \theta | + \sqrt { g ( t ) } \frac { | \nabla \rho | } { \rho } \right] } \\ & { = t ^ { 2 - p } \left( 1 - g ( t ) ) \right) ^ { 1 - p / 2 } | \nabla \Theta | + c ( r , R ) \frac { | \nabla \rho | } { \rho } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( C ) = } & { \int _ { x \notin N S _ { G } } \int _ { y \in N S _ { G } } r ( x , y ) ^ { 2 } G ( y / N ) ^ { 2 } \, \mathrm { d } y \, \mathrm { d } x } \\ & { + \int _ { x \notin N S _ { G } } \int _ { y \in N S _ { G } } \int _ { z \in N S _ { G } } r ( x , y ) r ( x , z ) G ( y / N ) G ( z / N ) \, \mathrm { d } y \, \mathrm { d } z \, \mathrm { d } x . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\langle \mathcal { D } _ { ( \alpha , \sigma ) } ^ { + } \Phi _ { m , l , k } ^ { ( \alpha , \sigma ) } , \Phi _ { m , l - 1 , j } ^ { ( \alpha + 1 , \sigma + 1 ) } \right\rangle _ { \, \mathrm { d } \mu ( \alpha + 1 ) } = - 2 \lambda _ { l } ^ { ( \alpha ) } \, \bigg [ \mathcal { H } ^ { \prime } \, \mathcal { I } _ { a } \, \mathcal { I } _ { b } \bigg ] _ { j , k } } \\ { \left\langle \mathcal { D } _ { ( \alpha , \sigma ) } ^ { - } \Phi _ { m , l , k } ^ { ( \alpha , \sigma ) } , \Phi _ { m , l - 1 , j } ^ { ( \alpha + 1 , \sigma - 1 ) } \right\rangle _ { \, \mathrm { d } \mu ( \alpha + 1 ) } = - 2 \lambda _ { l } ^ { ( \alpha ) } \, \bigg [ \mathcal { H } ^ { \prime } \, \mathcal { I } _ { a } \, \mathcal { I } _ { b } ^ { \dagger } \bigg ] _ { j , k } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi ^ { \tau } ( P _ { N } \psi ( t _ { k } ) ) } & { = e ^ { i \tau \Delta } P _ { N } v _ { 0 } + \tau e ^ { i \tau \Delta } I _ { N } B ( P _ { N } v _ { 0 } ) } \\ & { \quad + \tau ^ { 2 } e ^ { i \tau \Delta } I _ { N } \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - \theta ) \left( d B ( \Phi _ { B } ^ { \theta \tau } ( P _ { N } v _ { 0 } ) ) [ B ( \Phi _ { B } ^ { \theta \tau } ( P _ { N } v _ { 0 } ) ) ] \right) \mathrm { d } \theta \right) . } \end{array}
a \left( x , y , z \right) = \left( \frac { 1 } { m \left( x \right) } + \frac { 1 } { m \left( y \right) } + \frac { 1 } { m \left( z \right) } \right) \left( h \left( \frac { \left( \frac { x } { m \left( x \right) } + \frac { y } { m \left( y \right) } + \frac { z } { m \left( z \right) } \right) } { \frac { 1 } { m \left( x \right) } + \frac { 1 } { m \left( y \right) } + \frac { 1 } { m \left( z \right) } } \right) \right) - \frac { \left( 2 \sqrt { 3 0 } + \sqrt { 1 0 } \right) } { 1 0 } \left( x y + y z + z x + 6 \right) \cdot \frac { 1 } { \left( \sqrt { 1 0 } - 3 \right) \left( x y + y z + z x - 4 \right) + \sqrt { 1 0 } } + \frac { j \left( x \right) } { m \left( x \right) } + \frac { j \left( y \right) } { m \left( y \right) } + \frac { j \left( z \right) } { m \left( z \right) } , m \left( x \right) = \left( x + 2 + \frac { 1 } { x + 6 } \right) , b \left( x , y \right) = a \left( \frac { 2 x } { x + 1 } , \frac { 2 y } { y + 1 } , \frac { 2 ( x + y + 2 ) } { 5 x y + x + y + 1 } \right) , j \left( x \right) = \frac { t ^ { \prime \prime } \left( 0 \right) x ^ { 2 } } { 2 }
\begin{array} { r l r } { \nabla _ { Y } ( f ) ( 0 , s ) } & { = } & { \frac { \partial } { \partial s } ( f ) ( 0 , s ) + \theta ( Y ) ( f ) ( 0 , s ) } \\ & { = } & { \frac { \partial } { \partial s } B _ { s } ( 0 , 0 ) ( v ) + \theta ( Y ) ( f ) ( 0 , s ) } \\ & { = } & { - \theta ( Y ) B _ { s } ( 0 , 0 ) ( v ) + \theta ( Y ) ( f ) ( 0 , s ) } \\ & { = } & { - \theta ( Y ) ( f ) ( 0 , s ) + \theta ( Y ) ( f ) ( 0 , s ) } \\ & { = } & { 0 . } \end{array}
\mathbb { E } \left[ \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } X _ { i } ^ { ( N ) } ( u ) X _ { j } ^ { ( N ) } ( v ) X _ { i } ^ { ( N ) } ( w ) X _ { j } ^ { ( N ) } ( 0 ) \right] = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \mathbb { E } \left[ X _ { i } ^ { ( N ) } ( u ) X _ { j } ^ { ( N ) } ( v ) X _ { i } ^ { ( N ) } ( w ) X _ { j } ^ { ( N ) } ( 0 ) \right] .
\begin{array} { r l } { \left( \int _ { \Omega \setminus B _ { R + 1 } } | u _ { n } | ^ { p } \, d x \right) ^ { \frac { 1 } { p } } } & { \le \| d _ { \Omega } \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega \setminus B _ { R } ) } \, \left( \int _ { \Omega } \frac { | u _ { n } \, \eta _ { R } | ^ { p } } { d _ { \Omega } ^ { p } } \, d x \right) ^ { \frac { 1 } { p } } } \\ & { \le \varepsilon \, \mathfrak { h } _ { p } ( \Omega ) ^ { - \frac { 1 } { p } } \left( \int _ { \Omega } | \nabla ( u _ { n } \, \eta _ { R } ) | ^ { p } \, d x \right) ^ { \frac { 1 } { p } } \le \varepsilon \, \mathfrak { h } _ { p } ( \Omega ) ^ { - \frac { 1 } { p } } \, M . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { \mathrm { c h a } } = } & { \sum _ { \vec { Q } \vec { k } \vec { k } ^ { \prime } } \sum _ { o _ { i } s s ^ { \prime } } \left[ V _ { D } ^ { \{ o _ { i } \} } \big ( \vec { Q } , \vec { k } , \vec { k } ^ { \prime } \big ) - { \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } } V _ { C } ^ { o _ { 0 } o _ { 1 } o _ { 3 } o _ { 2 } } \big ( \vec { Q } , \vec { k } , \vec { k } ^ { \prime } \big ) \right] } \\ & { c _ { \vec { k } - \vec { Q } / 2 , o _ { 2 } s } ^ { \dag } c _ { \vec { k } + \vec { Q } / 2 , o _ { 0 } s } ^ { \vphantom { \dag } } c _ { \vec { k } ^ { \prime } + \vec { Q } / 2 , o _ { 3 } s ^ { \prime } } ^ { \dag } c _ { \vec { k } ^ { \prime } - \vec { Q } / 2 , o _ { 1 } s ^ { \prime } } ^ { \vphantom { \dag } } , } \end{array}
\frac { { \Delta } ^ { 2 } { u } _ { k - 1 } \left( x \right) } { { \tau } ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 } { q } _ { k } \left( \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } { u } _ { k + 1 } \left( x \right) } { \mathrm { d } { x } ^ { 2 } } + \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } { u } _ { k - 1 } \left( x \right) } { \mathrm { d } { x } ^ { 2 } } \right) = { f } _ { k } \left( x \right) \, , \quad k = 1 , 2 , \ldots , { n - 1 } \, ,
E _ { 2 } ^ { i , j } ( { \mathcal O } / \varpi ^ { m } ) : = H ^ { i } ( X _ { K } , { \mathcal V } ^ { j } / \varpi ^ { m } ) _ { \mathfrak { m } } \Rightarrow \mathbb { H } ^ { i + j } ( X _ { K } , { \mathcal V } _ { \lambda _ { \bar { v } } } \otimes { \mathcal V } _ { \lambda _ { \bar { v } ^ { \prime } } } \otimes { \mathcal V } _ { U } ( \tilde { \lambda } _ { \bar { S } _ { 2 } } , m ) ) _ { \mathfrak { m } } .
\begin{array} { r l } & { \alpha _ { x , i _ { x } } ^ { \top } \bar { x } _ { k } + \sqrt { \alpha _ { x , i _ { x } } ^ { \top } \Sigma _ { x _ { k } } \alpha _ { x , i _ { x } } } \sqrt { \frac { 1 - p _ { x , i _ { x } } } { p _ { x , i _ { x } } } } - \beta _ { x , i _ { x } } } \\ & { \quad \leq \alpha _ { x , i _ { x } } ^ { \top } \bar { x } _ { k } + \sqrt { \alpha _ { x , i _ { x } } ^ { \top } \bar { \Sigma } _ { x _ { k } } \alpha _ { x , i _ { x } } } \sqrt { \frac { 1 - p _ { x , i _ { x } } } { p _ { x , i _ { x } } } } - \beta _ { x , i _ { x } } \leq 0 , } \\ & { \alpha _ { u , i _ { u } } ^ { \top } \bar { u } _ { k } + \sqrt { \alpha _ { u , i _ { u } } ^ { \top } \Sigma _ { u _ { k } } \alpha _ { u , i _ { u } } } \sqrt { \frac { 1 - p _ { u , i _ { u } } } { p _ { u , i _ { u } } } } - \beta _ { u , i _ { u } } } \\ & { \quad \leq \alpha _ { u , i _ { u } } ^ { \top } \bar { u } _ { k } + \sqrt { \alpha _ { u , i _ { u } } ^ { \top } \bar { \Sigma } _ { u _ { k } } \alpha _ { u , i _ { u } } } \sqrt { \frac { 1 - p _ { u , i _ { u } } } { p _ { u , i _ { u } } } } - \beta _ { u , i _ { u } } \leq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \langle D ^ { \nu } ( M _ { t } \pi ) \rangle } { \langle M _ { t } \pi \rangle } = \frac { \langle ( D ^ { \nu } M _ { t } ) \pi + M _ { t } ( D ^ { \nu } \pi ) \rangle } { \langle M _ { t } \pi \rangle } = \frac { \langle ( W _ { t } ^ { \nu } ) \pi + W _ { t } ^ { 0 } ( D ^ { \nu } \pi ) \rangle } { \langle W _ { t } ^ { 0 } \pi \rangle } } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { + } } & { = \frac { 1 } { 2 } \int d \mathbf { k } z _ { + } ^ { * } \left( \mathbf { k } \right) z _ { + } \left( \mathbf { k } \right) , } \\ { P _ { + } } & { = \frac { 1 } { 2 } \int d \mathbf { k } N ^ { - 1 } K z _ { + } ^ { * } \left( \mathbf { k } \right) z _ { + } \left( \mathbf { k } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { D _ { \mathrm { C S } } ( p ( \mathbf { y } _ { 1 } | \mathbf { x } ) ; p ( \mathbf { y } _ { 2 } | \mathbf { x } ) ) = - 2 \log \left( \int _ { \mathcal { X } } \int _ { \mathcal { Y } } p ( \mathbf { y } _ { 1 } | \mathbf { x } ) p ( \mathbf { y } _ { 2 } | \mathbf { x } ) d \mathbf { x } d \mathbf { y } \right) } \\ & { + \log \left( \int _ { \mathcal { X } } \int _ { \mathcal { Y } } p ^ { 2 } ( \mathbf { y } _ { 1 } | \mathbf { x } ) d \mathbf { x } d \mathbf { y } \right) + \log \left( \int _ { \mathcal { X } } \int _ { \mathcal { Y } } p ^ { 2 } ( \mathbf { y } _ { 2 } | \mathbf { x } ) d \mathbf { x } d \mathbf { y } \right) } \\ & { = - 2 \log \left( \int _ { \mathcal { X } } \int _ { \mathcal { Y } } \frac { p ( \mathbf { x } , \mathbf { y } _ { 1 } ) p ( \mathbf { x } , \mathbf { y } _ { 2 } ) } { p ^ { 2 } ( \mathbf { x } ) } d \mathbf { x } d \mathbf { y } \right) } \\ & { + \log \left( \int _ { \mathcal { X } } \int _ { \mathcal { Y } } \frac { p ^ { 2 } ( \mathbf { x } , \mathbf { y } _ { 1 } ) } { p ^ { 2 } ( \mathbf { x } ) } d \mathbf { x } d \mathbf { y } \right) + \log \left( \int _ { \mathcal { X } } \int _ { \mathcal { Y } } \frac { p ^ { 2 } ( \mathbf { x } , \mathbf { y } _ { 2 } ) } { p ^ { 2 } ( \mathbf { x } ) } d \mathbf { x } d \mathbf { y } \right) , } \end{array}
\hat { D } _ { n L } ^ { ( \bar { \alpha } , \bar { \nu } ) } = x ^ { \sum _ { s = 1 } ^ { n } ( \alpha _ { s } - \nu _ { s } ) } \frac { d ^ { \alpha _ { n + 1 } } } { d x ^ { \alpha _ { n + 1 } } } x ^ { \nu _ { n } } \frac { d ^ { \alpha _ { n } } } { d x ^ { \alpha _ { n } } } x ^ { \nu _ { n - 1 } } \frac { d ^ { \alpha _ { n - 1 } } } { d x ^ { \alpha _ { n - 1 } } } \cdots x ^ { \nu _ { 1 } } \frac { d ^ { \alpha _ { 1 } } } { d x ^ { \alpha _ { 1 } } } .
\begin{array} { r l r } { { \cal Z } _ { t } ^ { e x t } } & { = } & { { \cal Z } _ { t - 1 } ^ { e x t } \cup { \cal Z } _ { t } ^ { h e l i } ( x _ { t } ^ { h e l i } ) , } \\ { K _ { t z } ^ { x } } & { = } & { K _ { t z } \mathbf { 1 } _ { [ { \cal Z } \setminus { \cal Z } _ { t } ^ { e x t } ] } , } \\ { K _ { t + 1 , z } } & { = } & { 1 - \prod _ { z ^ { \prime } \in { \cal Z } } \left( 1 - \hat { a } _ { t + 1 , z z ^ { \prime } } K _ { t z ^ { \prime } } ^ { x } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) - ( \ell ^ { \mathrm { o u t } } - D _ { i } ) } \\ { } & { ~ ~ < f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) - f _ { 1 0 } ( c _ { i } , d _ { i } , D _ { i } , F _ { i } ) } \\ { } & { ~ ~ = f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) - \frac { - f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) + ( \ell ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } } \\ { } & { ~ ~ = \frac { \big ( f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) - ( \ell ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) \big ) \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } } \\ { } & { ~ ~ < 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { L } \hat { \rho } ( t ) = } & { \sum _ { i \neq j } \cfrac { \gamma _ { i j } } { 2 } \left( 2 \hat { S } _ { i j } \hat { \rho } ( t ) \hat { S } _ { i j } ^ { \dagger } - \hat { S } _ { i j } ^ { \dagger } \hat { S } _ { i j } \hat { \rho } ( t ) - \hat { \rho } ( t ) \hat { S } _ { i j } ^ { \dagger } \hat { S } _ { i j } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } \operatorname* { m a x } \frac { | X _ { i } | } { \sqrt { 1 + \log i } } } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathbb { P } \left( \operatorname* { m a x } \frac { | X _ { i } | } { \sqrt { 1 + \log i } } > t \right) d t } \\ & { \leq } & { \int _ { 0 } ^ { 2 } \mathbb { P } \left( \operatorname* { m a x } \frac { | X _ { i } | } { \sqrt { 1 + \log i } } > t \right) d t + \int _ { 2 } ^ { \infty } \mathbb { P } \left( \operatorname* { m a x } \frac { | X _ { i } | } { \sqrt { 1 + \log i } } > t \right) d t } \\ & { \leq } & { 2 + \int _ { 2 } ^ { \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \mathbb { P } \left( \frac { | X _ { i } | } { \sqrt { 1 + \log i } } > t \right) d t } \\ & { \leq } & { 2 + \int _ { 2 } ^ { \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { N } 2 \exp \big ( - t ^ { 2 } ( 1 + \log ( i ) ) \big ) d t } \\ & { \leq } & { 2 + 2 \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { 2 } ^ { \infty } \exp ( - t ^ { 2 } ) \; \; i ^ { - t ^ { 2 } } d t } \\ & { \leq } & { 2 + 2 \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { 2 } ^ { \infty } \exp ( - \frac { c t ^ { 2 } } { K } ) \; \; i ^ { - 4 } d t \leq \infty } \end{array}
\begin{array} { r } { \small { \left( \! \! \begin{array} { c c c c } { \{ \} } & { \{ 2 , 3 , 4 \} } & { \{ 2 , 3 , 4 \} } & { \{ 2 , 3 , 4 \} } \\ { \{ 2 , 3 , 4 \} } & { \{ \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } \\ { \{ 2 , 3 , 4 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ \} } & { \{ 1 \} } \\ { \{ 2 , 3 , 4 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ \} } \end{array} \! \! \right) . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { c } & { = P ( \Re ( z ) , \Im ( z ) ^ { 2 } ) } \\ { c } & { = P \left( \frac { z + \bar { z } } { 2 } , \left( \sqrt { 1 - \left( \frac { z + \bar { z } } { 2 } \right) ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \right) } \\ { c } & { = P \left( \frac { z + \bar { z } } { 2 } , 1 - \left( \frac { z + \bar { z } } { 2 } \right) ^ { 2 } \right) } \\ { 0 } & { = \left( \frac { z + \bar { z } } { 2 } \right) ^ { n } + \left( \frac { z + \bar { z } } { 2 } \right) ^ { n - 2 } \left( 1 - \frac { ( z + \bar { z } ) ^ { 2 } } { 4 } \right) + \left( \frac { z + \bar { z } } { 2 } \right) ^ { n - 4 } \left( 1 - \frac { ( z + \bar { z } ) ^ { 2 } } { 4 } \right) ^ { 2 } + \dots - c } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi _ { y } ^ { \perp } \left( \textrm { d } f _ { \gamma ( 0 ) } ( \gamma ^ { \prime } ( 0 ) ) \right) } & { = \pi _ { y } ^ { \perp } \left( \textrm { d } f _ { \gamma ( 0 ) } \left( \gamma ^ { \prime } ( 0 ) ^ { \parallel } + \gamma ^ { \prime } ( 0 ) ^ { \perp } \right) \right) } \\ & { = \pi _ { y } ^ { \perp } \left( \textrm { d } f _ { \gamma ( 0 ) } \left( \gamma ^ { \prime } ( 0 ) ^ { \parallel } \right) \right) + \pi _ { y } ^ { \perp } \left( \textrm { d } f _ { \gamma ( 0 ) } \left( \gamma ^ { \prime } ( 0 ) ^ { \perp } \right) \right) } \\ & { = \pi _ { y } ^ { \perp } \left( \textrm { d } f _ { \gamma ( 0 ) } \left( \gamma ^ { \prime } ( 0 ) ^ { \perp } \right) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \sigma } { T } - ( 8 L + 2 \sigma ) \, \partial _ { t } g _ { \varepsilon } ( t _ { 1 } - s _ { 1 } , x _ { 1 } - y _ { 1 } ) } \\ & { \qquad \qquad + H \left( s _ { 1 } , y _ { 1 } , - \frac \sigma { R } \nabla ^ { h } \phi ( y _ { 1 } ) - ( 8 L + 2 \sigma ) \nabla _ { x } ^ { h } \, g _ { \varepsilon } ( t _ { 1 } - s _ { 1 } , x _ { 1 } - y _ { 1 } ) \right) } \\ & { \qquad \qquad - N h \Delta ^ { h } \left[ \frac { \sigma } { R } \phi ( y _ { 1 } ) - ( 8 L + 2 \sigma ) g _ { \varepsilon } ( t _ { 1 } - s _ { 1 } , x _ { 1 } - y _ { 1 } ) ) \right] \leq 0 . } \end{array}
\delta ^ { \prime } : \Delta ^ { \prime } , \underline { { x } } : A ^ { \prime } ( \delta ^ { \prime } ) \vdash \alpha _ { 1 } ( \delta ^ { \prime } , \underline { { x } } ) : g ( \textnormal { \texttt { g } } ( \delta ^ { \prime } ) , \textnormal { \texttt { q } } ( \delta ^ { \prime } ) ^ { * } \underline { { x } } ) = \alpha ( \delta ^ { \prime } ) ^ { * } g ^ { \prime } ( \delta ^ { \prime } , \underline { { x } } )
\begin{array} { r l } { \Phi \colon T _ { 0 } } & { \rightarrow \mathbb { P } ( \iota _ { X } , a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 } , a _ { 4 } , \xi ) } \\ { ( u , \xi , x _ { 0 } , x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) } & { \mapsto ( x _ { 0 } u ^ { 1 / { a _ { \xi } } } : x _ { 1 } u ^ { \overline { { k a _ { 1 } } } / { a _ { \xi } } } : x _ { 2 } u ^ { ( a _ { \xi } - \overline { { k a _ { 1 } } } ) / { a _ { \xi } } } : x _ { 3 } u ^ { b _ { 3 } / { a _ { \xi } } } : x _ { 4 } u ^ { b _ { 4 } / { a _ { \xi } } } : { \xi } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \tilde { \lambda } } _ { k + 1 } } & { \leq { \tilde { \lambda } } _ { k } + { \mathrm { c } } _ { 9 } { \tau } { \tilde { \lambda } } _ { k } + { \mathrm { c } } _ { 1 0 } { \tau } \sqrt { { \tilde { \lambda } } _ { k } } { \tilde { \lambda } } _ { k } + { \mathrm { c } } _ { 8 } { \tau } \sqrt { { \tilde { \lambda } } _ { k + 1 } } + \frac { 1 } { 2 } { \mathrm { c } } _ { 8 } { \tau } \left( 1 + { \tilde { \lambda } } _ { k } \right) } \\ & { = \left( 1 + { \mathrm { c } } _ { 1 1 } { \tau } + { \mathrm { c } } _ { 1 0 } { \tau } \sqrt { { \tilde { \lambda } } _ { k } } \right) { \tilde { \lambda } } _ { k } + { \mathrm { c } } _ { 8 } { \tau } \sqrt { { \tilde { \lambda } } _ { k + 1 } } + { \mathrm { c } } _ { 1 2 } { \tau } \, , } \\ & { { \mathrm { c } } _ { 9 } = { \mathrm { c } } _ { 6 } { \mathrm { c } } _ { 7 } \, , \quad { \mathrm { c } } _ { 1 0 } = { \mathrm { c } } _ { 5 } { \mathrm { c } } _ { 7 } \, , \quad { \mathrm { c } } _ { 1 1 } = { \mathrm { c } } _ { 9 } + { \mathrm { c } } _ { 1 2 } \, , \quad { \mathrm { c } } _ { 1 2 } = \frac { 1 } { 2 } { \mathrm { c } } _ { 8 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \left( \left| \mathcal { T } \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } [ f _ { p } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { \prime } \left( [ \mathbf { p } _ { k } ] _ { i } , [ \mathbf { w } _ { p } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { i } , \overline { { \gamma } } _ { p k } \right) - \overline { { \alpha } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } \right| \geq \frac { \epsilon } { 2 } \right) \leq \mathbb { P } \left( \left| \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } [ f _ { p } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { \prime } \left( [ \mathbf { p } _ { k } ] _ { i } , [ \mathbf { w } _ { p } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { i } , \overline { { \gamma } } _ { p k } \right) - \overline { { \alpha } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } \right| \geq \frac { \epsilon } { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { 0 \rightarrow N } ^ { \star } ( \mathbf { x } _ { s } ) = } & { \operatorname* { m i n } _ { u , x } \sum _ { k = 1 } ^ { N - 1 } \ell _ { \mathbf { x } } \left( \mathbf { x } _ { k } - \mathbf { r } _ { k } \right) + \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } \ell _ { \mathbf { u } } \left( \mathbf { u } _ { k } \right) } \\ { + m } & { ( \mathbf { x } _ { N } - \mathbf { r } _ { N } ) + \widetilde { \mathcal { U } } _ { k } ^ { O } + \widetilde { \mathcal { U } } _ { k } ^ { I } } \\ { \mathrm { s . t . } \quad \mathbf { x } _ { 0 } = } & { \mathbf { x } _ { s } } \\ { \quad \mathbf { x } _ { k + 1 } = } & { f ( \mathbf { x } _ { k } , \mathbf { u } _ { k } ) , \quad \forall k \geq 0 } \\ { \quad g ( \mathbf { x } _ { k } , \mathbf { u } _ { k } ) \leq } & { \: 0 , \quad \forall k \geq 0 } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \mathrm { d } \mathbf { T } } { \mathrm { d } s } } } & { = \kappa \mathbf { N } , } \\ { { \frac { \mathrm { d } \mathbf { N } } { \mathrm { d } s } } } & { = - \kappa \mathbf { T } + \tau \mathbf { B } , } \\ { { \frac { \mathrm { d } \mathbf { B } } { \mathrm { d } s } } } & { = - \tau \mathbf { N } , } \end{array} }
{ { \mathcal { F } } ^ { ( { \boldsymbol { \mathbf { B } } } ^ { S } ) } \colon \pi _ { 1 } ( { \boldsymbol { \mathbf { B } } } ^ { \Sigma _ { 1 } } \times { \boldsymbol { \mathbf { B } } } ^ { \Sigma _ { 2 } } , { \boldsymbol { \mathbf { B } } } ^ { \Sigma _ { 1 } } \times { \boldsymbol { \mathbf { B } } } ^ { \Sigma _ { 2 } } ) \to { \boldsymbol { \mathrm { C G W H } } } / \simeq , }
\begin{array} { r l } { U _ { t + 1 } } & { = \exp \left( \sum _ { s = 1 } ^ { t } w _ { s } \left( \| \nabla f ( x _ { s } ) \| ^ { 2 } - \| \widehat { \nabla } f ( x _ { s } ) \| ^ { 2 } + \| \xi _ { s } \| ^ { 2 } \right) - v _ { s } \| \nabla f ( x _ { s } ) \| ^ { 2 } \right) ; \quad v _ { s } = 4 \sigma ^ { 2 } w _ { s } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \tilde { G } _ { n } - \hat { G } _ { n } \| _ { \infty } } & { \leq 2 g _ { \operatorname* { m a x } , P } \delta _ { n } + 2 \varepsilon _ { n } ^ { G , P } + 4 L \varepsilon _ { n } ^ { F , P } + 1 / B _ { n } } \\ & { = \frac { 2 g _ { \operatorname* { m a x } , P } } { | \Phi ^ { - 1 } ( \varepsilon _ { n } ^ { F , P } ) | } + 2 \varepsilon _ { n } ^ { G , P } + 4 L \varepsilon _ { n } ^ { F , P } + \frac { 1 } { B _ { n } } \quad \mathrm { o n ~ } \mathcal { A } _ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { K ^ { 1 / 2 } x _ { i } = \lambda q ^ { - i } x _ { i } , K ^ { 1 / 2 } y _ { i } = \lambda q ^ { - i } y _ { i } , L ^ { 1 / 2 } x _ { i } = \mu q ^ { i } x _ { i } , L ^ { 1 / 2 } y _ { i } = \mu q ^ { i } y _ { i } \mathrm { ~ f o r ~ } i \in \{ 0 , \ldots , N - 1 \} ; } \\ & { F x _ { N - 1 } = b x _ { 0 } , F y _ { N - 1 } = b y _ { 0 } , F x _ { i } = x _ { i + 1 } , F y _ { i } = y _ { i + 1 } \mathrm { ~ f o r ~ } i \in \{ 0 , \ldots , N - 2 \} ; } \\ & { E x _ { 0 } = a x _ { N - 1 } , E x _ { i } = \left( \frac { q ^ { - i + 1 } \lambda ^ { 2 } - q ^ { i - 1 } \mu ^ { 2 } } { q - q ^ { - 1 } } [ i ] + a b \right) x _ { i - 1 } \mathrm { ~ f o r ~ } i \in \{ 1 , \ldots , N - 1 \} ; } \\ & { E y _ { 0 } = a y _ { N - 1 } + b ^ { - 1 } x _ { N - 1 } , E y _ { i } = \left( \frac { q ^ { - i + 1 } \lambda ^ { 2 } - q ^ { i - 1 } \mu ^ { 2 } } { q - q ^ { - 1 } } [ i ] + a b \right) y _ { i - 1 } + x _ { i - 1 } \mathrm { ~ f o r ~ } i \in \{ 1 , \ldots , N - 1 \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { d i r e c t : } \quad } & { } & { n ^ { \mathrm { r a d } } ( k ) = 4 \pi C _ { \mathrm { d } } P _ { 0 } ^ { 1 / 3 } k ^ { - 1 } \ln ^ { - 1 / 3 } \left( { k } / { k _ { \mathrm { f } } } \right) \, , \, C _ { \mathrm { d } } \approx 5 . 2 6 \times 1 0 ^ { - 2 } \, , } \\ { \mathrm { i n v e r s e : } \quad } & { } & { n ^ { \mathrm { r a d } } ( k ) = 4 \pi C _ { \mathrm { i } } | Q _ { 0 } | ^ { 1 / 3 } k ^ { - 1 / 3 } \, , \quad C _ { \mathrm { i } } \approx 7 . 5 7 7 4 0 4 5 \times 1 0 ^ { - 2 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \tilde { A } _ { r } } & { ( x ) - \tilde { A } _ { r } ^ { h } ( x ) | } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \bigg | \sum _ { y _ { \alpha } \in B _ { r } } \int _ { Q _ { 0 } } ( J _ { p } ( \phi ( x + y _ { \alpha } + y ) - \phi ( x ) ) + J _ { p } ( \phi ( x + y _ { \alpha } - y ) - \phi ( x ) ) - 2 J _ { p } ( \phi ( x + y _ { \alpha } ) - \phi ( x ) ) ) \, \mathrm { d } y \bigg | , } \end{array}
D _ { i } [ z _ { 1 } ^ { n _ { 1 } } . . . z _ { l } ^ { n _ { l } } ] = \Big ( \partial _ { i } + [ \theta ( N - M + 1 ) - \frac { 1 } { 2 } ] [ 1 - ( - 1 ) ^ { n _ { i } } ] d _ { i } + \theta ( M - 1 ) d _ { i } + \theta ( M - 1 ) d _ { i } \Big ) [ z _ { 1 } ^ { n _ { 1 } } \cdots z _ { l } ^ { n _ { l } } ] + \sum _ { j \ne i } ( z _ { j } p _ { 1 } ^ { j } + z _ { j } p _ { 2 } ^ { j } ) ,
\begin{array} { r l } { \int _ { a } ^ { b } | \mathrm { E C T } _ { \gamma } ( v , t ) | \; \mathrm { d } t } & { = \int _ { a } ^ { b } \Big | \pi _ { 0 } \big [ f ^ { - 1 } ( - \infty , t ] \big ] \Big | \; \mathrm { d } t } \\ { V ( f ) } & { = \int _ { a } ^ { b } \Big | \pi _ { 0 } \big [ f ^ { - 1 } ( t ) \big ] \Big | \; \mathrm { d } t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( m _ { 3 } ^ { ( O C ) } ) _ { u , v } ^ { p , q ; r , s } w _ { 1 } ^ { p + r - u - 2 } w _ { 2 } ^ { q + s - v - 2 } = } & { p M ( w _ { 1 } ^ { p } w _ { 2 } ^ { q } , h M ( \eta ( w _ { 1 } ^ { r } w _ { 2 } ^ { s } ) , \hat { \eta } ( \bar { w } _ { 1 } ^ { u } \bar { w } _ { 2 } ^ { v } \epsilon ) ) ) } \\ { + } & { p M ( \eta ( w _ { 1 } ^ { r } w _ { 2 } ^ { s } ) , \hat { \eta } h M ( w _ { 1 } ^ { p } w _ { 2 } ^ { q } , \bar { w } _ { 1 } ^ { u } \bar { w } _ { 2 } ^ { v } \epsilon ) ) } \\ { - } & { p M ( \hat { \eta } ( w _ { 1 } ^ { r } w _ { 2 } ^ { s } ) , \eta h M ( w _ { 1 } ^ { p } w _ { 2 } ^ { q } , \bar { w } _ { 1 } ^ { u } \bar { w } _ { 2 } ^ { v } \epsilon ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } h + \partial _ { x } ( h ^ { 3 } \partial _ { x } ^ { 3 } h ) = 0 \qquad \ } & { \mathrm { ~ i n ~ } \ x \in ( \Lambda , L ) , t > 0 , } \\ { h = g , \quad \partial _ { x } h = \partial _ { x } g - k , \quad h \; \partial _ { x } ^ { 3 } h = 0 \qquad \ } & { \mathrm { ~ a t ~ } \ x = \Lambda , t > 0 , } \\ { \partial _ { x } h = 0 \qquad \ } & { \mathrm { ~ a t ~ } \ x = L , t > 0 , } \\ { h = h _ { 0 } \qquad } & { \mathrm { ~ a t ~ } \ t = 0 , x \in ( \Lambda _ { 0 } , L ) , } \\ { h ( x , t ) = h ( x + 2 L , t ) , \quad g ( x , t ) = g ( x + 2 L , t ) , \qquad } & { \qquad x , t > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta _ { g \cdot x } \circ \alpha _ { ( g , x ) } \circ \theta _ { x } ^ { - 1 } } & { = \mathrm { A d } \big ( w _ { ( g , x ) } \big ) \circ ( \alpha \otimes \delta ) _ { ( g , x ) } \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } ( g , x ) \in \mathcal { G } } \\ { w _ { ( g , h \cdot x ) } ( \alpha \otimes \delta ) _ { ( g , h \cdot x ) } ( w _ { ( h , x ) } ) } & { = w _ { ( g h , x ) } \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } g , h \in G , x \in X . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I : = } & { \int _ { \Omega } \sum _ { | k | \leq 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \Big | \partial ^ { k } U _ { \omega } ^ { 0 } ( x - y ) \Big | | \mu _ { k } ^ { t } | ( d y ) \sum _ { | k ^ { \prime } | \leq 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \Big | \partial ^ { k ^ { \prime } } U _ { \omega } ^ { 0 } ( x ^ { \prime } - y ^ { \prime } ) \Big | | \mu _ { k ^ { \prime } } ^ { t ^ { \prime } } | ( d y ^ { \prime } ) \mathbb { P } ( d \omega ) } \\ { = } & { \sum _ { | k | , | k ^ { \prime } | \leq 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \int _ { \Omega } \Big | \partial ^ { k } U _ { \omega } ^ { 0 } ( x - y ) \partial ^ { k ^ { \prime } } U _ { \omega } ^ { 0 } ( x ^ { \prime } - y ^ { \prime } ) \Big | \mathbb { P } ( d \omega ) | \mu _ { k } ^ { t } | ( d y ) | \mu _ { k ^ { \prime } } ^ { t ^ { \prime } } | ( d y ^ { \prime } ) } \\ { = } & { \sum _ { | k | , | k ^ { \prime } | \leq 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \mathbb { E } \big [ | \partial ^ { k } U ^ { 0 } ( x - y ) \partial ^ { k ^ { \prime } } U ^ { 0 } ( x ^ { \prime } - y ^ { \prime } ) | \big ] | \mu _ { k } ^ { t } | ( d y ) | \mu _ { k ^ { \prime } } ^ { t ^ { \prime } } | ( d y ^ { \prime } ) } \\ { \leq } & { \sum _ { | k | , | k ^ { \prime } | \leq 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \bigg ( \mathbb { E } \big [ \partial ^ { k } U ^ { 0 } ( x - y ) ^ { 2 } \big ] \mathbb { E } \big [ \partial ^ { k ^ { \prime } } U ^ { 0 } ( x ^ { \prime } - y ^ { \prime } ) ^ { 2 } \big ] \bigg ) ^ { 1 / 2 } | \mu _ { k } ^ { t } | ( d y ) | \mu _ { k ^ { \prime } } ^ { t ^ { \prime } } | ( d y ^ { \prime } ) } \\ { \leq } & { \Bigg ( \sum _ { | k | \leq 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \bigg ( \mathbb { E } \big [ \partial ^ { k } U ^ { 0 } ( x - y ) ^ { 2 } \big ] \bigg ) ^ { 1 / 2 } | \mu _ { k } ^ { t } | ( d y ) \Bigg ) \times \Bigg ( \sum _ { | k | \leq 1 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \bigg ( \mathbb { E } \big [ \partial ^ { k } U ^ { 0 } ( x - y ) ^ { 2 } \big ] \bigg ) ^ { 1 / 2 } | \mu _ { k } ^ { t ^ { \prime } } | ( d y ) \Bigg ) } \\ { \leq } & { \Big ( \sum _ { | k | \leq 1 } ( | \mu _ { k } ^ { t } | * \sigma _ { \partial ^ { k } U ^ { 0 } } ) ( x ) \Big ) \times \Big ( \sum _ { | k | \leq 1 } ( | \mu _ { k } ^ { t ^ { \prime } } | * \sigma _ { \partial ^ { k } U ^ { 0 } } ) ( x ^ { \prime } ) \Big ) < + \infty } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \textnormal { d } Q _ { d } } { \textnormal { d } z _ { d } } } & { = q _ { i } - q _ { f } , } \\ { \frac { \textnormal { d } ( M _ { d } + M _ { d } ^ { \prime } + P _ { d } ) } { \textnormal { d } z _ { d } } } & { = B _ { d } + m _ { f } - m _ { i } , } \\ { \frac { \textnormal { d } ( F _ { d } + F _ { d } ^ { \prime } ) } { \textnormal { d } z _ { d } } } & { = f _ { f } - f _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { 4 } } & { \preceq \| ( B _ { 2 , n } - B _ { 2 } ) \varphi \| _ { p + 1 } + \frac { 1 } { n } \| E _ { 3 } B _ { 2 } \varphi \| _ { p + 2 } } \\ & { \leq \| ( B _ { 2 , n } - B _ { 2 } ) \varphi \| _ { p + 2 } + \frac { 1 } { n } \| E _ { 3 } B _ { 2 } \varphi \| _ { p + 3 } \preceq \frac { 1 } { n } \| \varphi \| _ { p } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J ( \theta ) } & { = \eta \left\| \partial _ { t } u ( t , x ; \theta ) + \mathcal { L } u ( t , x ; \theta ) \right\| _ { L ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \mathcal { Q } ; \mu _ { 1 } ) } ^ { 2 } + \eta _ { I } \left\| u ( T , x ; \theta ) - u _ { T } ( x ) \right\| _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { Q } ; \mu _ { 2 } ) } ^ { 2 } } \\ & { \quad + \eta _ { B C } \left\| u ( t , x ; \theta ) - \Gamma ( t , x ) \right\| _ { L ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \partial \mathcal { Q } ; \mu _ { 3 } ) } ^ { 2 } , } \end{array}
\sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( \left( { \frac { m \pi } { a } } \right) ^ { 2 } + \left( { \frac { n \pi } { b } } \right) ^ { 2 } \right) ^ { 2 } w _ { m n } \sin { \frac { m \pi x } { a } } \sin { \frac { n \pi y } { b } } = \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \cfrac { a _ { m n } } { D } } \sin { \frac { m \pi x } { a } } \sin { \frac { n \pi y } { b } }
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { r } \frac { t f ( t ) \, \mathrm { d } t } { r \left( r ^ { 2 } - t ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } & { = \frac { h r } { \left( r ^ { 2 } + h ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \, , } \\ { \int _ { 0 } ^ { r } \frac { g ( t ) \, \mathrm { d } t } { \left( r ^ { 2 } - t ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } & { = \frac { r ^ { 2 } + 2 h ^ { 2 } } { \left( r ^ { 2 } + h ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbf { J } _ { L } = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 0 } \\ { v _ { n } } & { 0 } \end{array} \right) , ~ \mathbf { J } _ { R } = \left( \begin{array} { c c } { u _ { n - 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , ~ } \\ & { } & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \mathbf { K } = \left( \begin{array} { c c } { V _ { n - 1 } } & { u _ { n } } \\ { v _ { n - 1 } } & { V _ { n } } \end{array} \right) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \lambda _ { 1 } ^ { \prime } \left( s \right) } & { = \lambda _ { 3 } \left( s \right) k \left( s \right) v \left( s \right) } \\ { \lambda _ { 2 } ^ { \prime } \left( s \right) } & { = 0 } \\ { \lambda _ { 3 } ^ { \prime } \left( s \right) } & { = - \lambda _ { 1 } \left( s \right) \frac { k \left( s \right) } { v \left( s \right) } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } } & { _ \mathrm { N L } ^ { \mathrm { F W M } } = - \int d \omega _ { 1 } d \omega _ { 2 } d \omega _ { 3 } d \omega _ { 4 } \mathrm { S } _ { \perp } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } , \omega _ { 4 } ) } \\ & { \times \mathcal { J } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } , \omega _ { 4 } ) a _ { S } ^ { \dagger } ( \omega _ { 1 } ) a _ { I } ^ { \dagger } ( \omega _ { 2 } ) a _ { P } ( \omega _ { 3 } ) a _ { P } ( \omega _ { 4 } ) \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \overline { { \mathrm { K } } } \; \overline { { \xi } } ^ { \overline { { \alpha } } } - \iota _ { X _ { \xi } } \overline { { V } } ^ { \overline { { \alpha } } } } & { = 2 \overline { { \xi } } ^ { \overline { { \alpha } } } \overline { { \mathrm { K } } } + \overline { { g } } ^ { \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } } \jmath _ { \overline { { \beta } } } ^ { \beta } ( \nu ^ { \sigma } ( \nabla _ { \sigma } \xi _ { \beta } - \nabla _ { \beta } \xi _ { \sigma } ) ) } \\ & { \overset { \vec { \xi } \perp \vec { \nu } } { = } 2 \overline { { \xi } } ^ { \overline { { \alpha } } } \overline { { \mathrm { K } } } + \overline { { g } } ^ { \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } } \jmath _ { \overline { { \beta } } } ^ { \beta } ( \nu ^ { \sigma } ( \mathrm { d } \xi ) _ { \sigma \beta } - 2 \xi _ { \sigma } \nabla _ { \beta } \nu ^ { \sigma } ) } \\ & { = 2 \overline { { \xi } } ^ { \overline { { \alpha } } } \overline { { \mathrm { K } } } - \overline { { g } } ^ { \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } } \jmath _ { \overline { { \beta } } } ^ { \beta } ( 2 \xi ^ { \sigma } \mathrm { K } _ { \beta \sigma } ) + \overline { { g } } ^ { \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } } \jmath _ { \overline { { \beta } } } ^ { \beta } ( \nu ^ { \sigma } ( \mathrm { d } \xi ) _ { \sigma \beta } ) } \\ & { = - 2 ( \iota _ { \overline { { \xi } } } \overline { { \mathfrak { b } } } _ { \mathtt { E H } } ) ^ { \overline { { \alpha } } } + \jmath _ { \overline { { \beta } } } ^ { \beta } ( \iota _ { \nu } \mathrm { d } \xi ) ^ { \overline { { \alpha } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f _ { \infty } ^ { ( { \bf I I } ) } ( \lambda ) } & { = } & { \log \left( | a _ { 3 } ( \lambda ) | \right) + \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \log \left( \frac { \xi + i ( \lambda + \frac { 5 } { 2 } ) - i } { \xi + i ( \lambda + \frac { 5 } { 2 } ) + i } \right) \rho ^ { ( 1 ) } ( \xi ) d \xi } \\ & { + } & { \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \log \left( \frac { \xi + i ( \lambda + \frac { 7 } { 2 } ) + \frac { 3 i } { 2 } } { \xi + i ( \lambda + \frac { 7 } { 2 } ) - \frac { 3 i } { 2 } } \right) \rho ^ { ( 2 ) } ( \xi ) d \xi } \\ & { + } & { \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \log \left( \frac { ( \xi + i ( \lambda + \frac { 5 } { 2 } ) - i ) ( \xi + i ( \lambda + \frac { 5 } { 2 } ) - 2 i ) } { ( \xi + i ( \lambda + \frac { 5 } { 2 } ) + i ) ( \xi + i ( \lambda + \frac { 5 } { 2 } ) + 2 i ) } \right) \rho ^ { ( 3 ) } ( \xi ) d \xi } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { Q \times [ 0 , 1 ] } | D _ { y } u | d x d y } & { = \int _ { Q \times [ 0 , 1 ] } | D _ { y } u | y ^ { \beta } y ^ { - \beta - m } y ^ { m } d x d y } \\ & { \leq \| y ^ { \beta } D _ { y } u \| _ { L _ { m } ^ { p } } \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } y ^ { - ( \beta + m ) p ^ { \prime } + m } \right) ^ { \frac 1 { p ^ { \prime } } } | Q | ^ { \frac 1 { p ^ { \prime } } } = C ( Q , b , p ) \| y ^ { \beta } D _ { y } u \| _ { L _ { m } ^ { p } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { i j } ( \theta ) } & { = ( 1 - \theta ) A _ { i j } + \theta ( \widetilde { Y } _ { i j } - \mathbb { E } [ \widetilde { Y } _ { i j } ] ) = \left( 1 - \theta + \theta \sqrt { N S _ { i j } } \right) A _ { i j } } \\ & { = \left( 1 + \frac { \theta N \lambda ( G ^ { H } - F _ { g } ) ( { \boldsymbol u } _ { i } { \boldsymbol v } _ { j } ^ { T } ) ^ { 2 } } { 2 } + O ( N ^ { 2 } ( { \boldsymbol u } _ { i } { \boldsymbol v } _ { j } ^ { T } ) ^ { 4 } ) \right) A _ { i j } } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { n } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { n \omega _ { L } \leq \omega _ { c } } \\ { e ^ { - ( n \omega _ { L } - \omega _ { c } ) } , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. } \\ { \phi _ { n } } & { = - \frac { 3 \omega _ { L } } { 1 0 U _ { p } } n ^ { 2 } - n \omega _ { L } \tau } \end{array}
\epsilon = \frac { \lVert u - \hat { u } ^ { [ k ] } \rVert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } { \lVert u \rVert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } \ \ \ \mathrm { w h e r e } \ \ \ \hat { u } ^ { [ k ] } ( x ; \theta ) = \left\{ \begin{array} { c l } { \hat { u } _ { 1 } ( x ; \theta _ { 1 } ^ { [ k ] } ) \ \ } & { \mathrm { i f } \ x \in \Omega _ { 1 } , } \\ { \hat { u } _ { 2 } ( x ; \theta _ { 2 } ^ { [ k ] } ) \ \ } & { \mathrm { i f } \ x \in \Omega _ { 2 } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \overline { { f } } \left( W , W ^ { \prime } \right) } & { > \frac { 1 } { p _ { n } } \cdot \left( \beta _ { m } - \frac { 1 } { R _ { m } } - \frac { 4 } { 2 ^ { e ( m ) } } - \frac { 1 } { 2 J _ { s ( n ) , n } ^ { 3 } } \right) - \frac { 1 } { J _ { s ( n ) , n } } - \frac { 1 } { R _ { n } } } \\ & { > \frac { 1 } { p _ { n } } \cdot \left( \beta _ { m } - \frac { 1 } { R _ { m } } - \frac { 4 } { 2 ^ { e ( m ) } } - \frac { 1 } { 2 J _ { s ( n ) , n } ^ { 3 } } \right) - \frac { 2 } { R _ { n } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \lefteqn { 2 s \left( \frac { 3 v } { s } \sum _ { j = 1 } ^ { h - 1 } ( e ^ { * j } ) \cdot e ^ { - 1 . 5 { e ^ { * ( j - 1 ) } } } \right) + 2 s \left( \frac { 2 v } { s } \sum _ { j = 1 } ^ { h - 1 } e ^ { - 1 . 5 { e ^ { * ( j - 1 ) } } } \right) } } \\ & { = 6 v \sum _ { j = 1 } ^ { h - 1 } e ^ { - 0 . 5 { e ^ { * ( j - 1 ) } } } + 4 v \ln s \sum _ { j = 1 } ^ { h - 1 } e ^ { - 1 . 5 { e ^ { * ( j - 1 ) } } } } \\ & { \leq 6 v \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } e ^ { - 0 . 5 { e ^ { * ( j - 1 ) } } } + 4 v \ln s \sum _ { j = 1 } ^ { h - 1 } e ^ { - 1 . 5 { e ^ { * ( j - 1 ) } } } } \\ & { \leq 6 v + v \ln s , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| ( - \Delta ) ^ { n } e ^ { t \Delta } f \| _ { p } \, } & { \leq \, A _ { 1 } ( p , r , n , d ) t ^ { - n - \frac { d } 2 ( \frac 1 r - \frac 1 p ) } \| f \| _ { r } \, , } \\ { \| | \nabla | ^ { n + 2 \alpha } e ^ { t \Delta } f \| _ { p } \, } & { \leq \, A _ { 2 } ( p , r , n , \alpha , d ) t ^ { - \frac { n + 2 \alpha } 2 - \frac { d } 2 ( \frac 1 r - \frac 1 p ) } \| f \| _ { r } \, , } \\ { \| | \nabla | ^ { - s } e ^ { t \Delta } f \| _ { p } \, } & { \leq \, A _ { 3 } ( p , r , s , d ) t ^ { \frac { s } 2 - \frac { d } 2 ( \frac 1 r - \frac 1 p ) } \| f \| _ { r } \, , } \end{array}
\overline { { H } } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) = \frac { \mathrm { T r a c e } [ \overline { { \mathbf { W } } } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) ] } { 2 } = \frac { _ { 1 } \overline { { \kappa } } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) + _ { 2 } \overline { { \kappa } } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) } { 2 }
\begin{array} { r } { \psi = 0 \quad \mathrm { a n d \ } \quad { \ensuremath { \boldsymbol } J } \cdot { \hat { \ensuremath { \boldsymbol } z } } = 0 \quad \mathrm { a t \ } \quad z = 0 , 1 , } \\ { \frac { \partial { \psi } } { \partial { z } } = 0 \quad \mathrm { a t } \quad z = 0 \quad \mathrm { a n d } \quad \zeta = 0 \quad \mathrm { a t } \quad z = 1 , } \\ { \psi = 0 , ~ \zeta = 0 \quad \mathrm { a n d } \quad { \ensuremath { \boldsymbol } J } \cdot { \hat { \ensuremath { \boldsymbol } x } = 0 \quad \mathrm { a t } \quad } x = 0 , \lambda . } \end{array}
\left[ \begin{array} { c c c c c c c } { F _ { 1 1 } } & { F _ { 1 2 } } & { F _ { 1 3 } } & { F _ { 1 4 } } & { F _ { 1 5 } } & { F _ { 1 6 } } & { F _ { 1 7 } } \\ { F _ { 2 1 } } & { F _ { 2 2 } } & { F _ { 2 3 } } & { F _ { 2 4 } } & { F _ { 2 5 } } & { F _ { 2 6 } } & { F _ { 2 7 } } \\ { F _ { 3 1 } } & { F _ { 3 2 } } & { F _ { 3 3 } } & { F _ { 3 4 } } & { F _ { 3 5 } } & { F _ { 3 6 } } & { F _ { 3 7 } } \\ { F _ { 4 1 } } & { F _ { 4 2 } } & { F _ { 4 3 } } & { F _ { 4 4 } } & { F _ { 4 5 } } & { F _ { 4 6 } } & { F _ { 4 7 } } \\ { F _ { 5 1 } } & { F _ { 5 2 } } & { F _ { 5 3 } } & { F _ { 5 4 } } & { F _ { 5 5 } } & { F _ { 5 6 } } & { F _ { 5 7 } } \\ { F _ { 6 1 } } & { F _ { 6 2 } } & { F _ { 6 3 } } & { F _ { 6 4 } } & { F _ { 6 5 } } & { F _ { 6 6 } } & { F _ { 6 7 } } \\ { F _ { 7 1 } } & { F _ { 7 2 } } & { F _ { 7 3 } } & { F _ { 7 4 } } & { F _ { 7 5 } } & { F _ { 7 6 } } & { F _ { 7 7 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c c c c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { F _ { 1 4 } } & { F _ { 1 5 } } & { F _ { 1 6 } } & { F _ { 1 7 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { F _ { 2 4 } } & { F _ { 2 5 } } & { F _ { 2 4 } } & { F _ { 2 7 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { F _ { 1 6 } } & { F _ { 1 5 } } & { F _ { 1 4 } } & { F _ { 1 7 } } \\ { F _ { 1 4 } } & { F _ { 1 5 } } & { F _ { 1 6 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { F _ { 1 7 } } \\ { F _ { 2 4 } } & { F _ { 2 5 } } & { F _ { 2 4 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { F _ { 2 7 } } \\ { F _ { 1 6 } } & { F _ { 1 5 } } & { F _ { 1 4 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { F _ { 1 7 } } \\ { F _ { 7 1 } } & { F _ { 7 2 } } & { F _ { 7 1 } } & { F _ { 7 1 } } & { F _ { 7 2 } } & { F _ { 7 1 } } & { F _ { 7 7 } } \end{array} \right] { . }
\begin{array} { r l } { \left\langle \mathscr { L } _ { \vec { c } } ( \vec { \varphi } ) , \vec { \Phi } , \vec { \Phi } \right\rangle } & { = ( 1 - p ) \| \varphi \| _ { L ^ { p + 1 } ( { \mathbb { R } ^ { n } } ) } + 4 \left\| \mathbb { L } _ { \vec { c } } ^ { \frac 1 2 } \varphi \right\| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb { R } ^ { n } } ) } ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 2 ( 1 - p ^ { 2 } ) } { 2 n + ( p + 1 ) ( 2 - n ) } \left( \| \varphi \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb { R } ^ { n } } ) } ^ { 2 } - \left\| \mathbb { L } _ { \vec { c } } ^ { \frac 1 2 } \varphi \right\| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb { R } ^ { n } } ) } ^ { 2 } \right) + 4 \left\| \mathbb { L } _ { \vec { c } } ^ { \frac 1 2 } \varphi \right\| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb { R } ^ { n } } ) } ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 2 ( 1 - p ^ { 2 } ) } { 2 n + ( p + 1 ) ( 2 - n ) } \| \varphi \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb { R } ^ { n } } ) } ^ { 2 } + \frac { 2 ( p + 1 ) ( 3 - 2 n + p ) + 8 n } { 2 n + ( p + 1 ) ( 2 - n ) } \left\| \mathbb { L } _ { \vec { c } } ^ { \frac 1 2 } \varphi \right\| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb { R } ^ { n } } ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { 1 , \Upsilon } ( a ) ( \omega , \varphi , x , \xi ) } & { : = \int _ { - \pi } ^ { \pi } ( 2 - 2 \cos y ) ^ { 1 - \frac { \alpha } 2 } a ( \omega , \varphi , x , x - y ) \psi _ { 2 } ( y ) e ^ { - \mathrm { i } \xi y } d y , } \\ { S _ { \mathrm { s t e p } , \Upsilon } ( a ) ( \omega , \varphi , x , \xi ) } & { : = \int _ { - \pi } ^ { \pi } ( 2 - 2 \cos y ) ^ { 1 - \frac { \alpha } 2 } a ( \omega , \varphi , x , x - y ) ( 1 - \psi _ { 2 } ( y ) ) e ^ { - \mathrm { i } j y } d y , } \\ & { \mathrm { ~ f o r ~ a ~ u n i q u e ~ j \in ~ \mathbb { Z } ~ s u c h ~ t h a t ~ \xi ~ \in ~ ( j - 1 / 2 , j + 1 / 2 ] ~ } , } \\ { S _ { 2 , \Upsilon } ( a ) ( \omega , \varphi , x , \xi ) } & { : = \psi _ { 1 } * S _ { \mathrm { s t e p } , \Upsilon } ( a ) : = \int _ { \mathbb { R } } \psi _ { 1 } ( \xi - \xi _ { 0 } ) S _ { \mathrm { s t e p } , \Upsilon } ( a ) ( \omega , \varphi , x , \xi _ { 0 } ) d \xi _ { 0 } , } \\ { S _ { \Upsilon } ( a ) ( \omega , \varphi , x , \xi ) } & { : = S _ { 1 , \Upsilon } ( a ) ( \omega , \varphi , x , \xi ) + S _ { 2 , \Upsilon } ( a ) ( \omega , \varphi , x , \xi ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \mathcal { Y } ^ { n + 1 } ( t ) + \nu \mathcal { Z } ^ { n + 1 } ( t ) } & { \leq C \left( \mathcal { I } ^ { n } ( t ) \mathcal { Y } ^ { n + 1 } ( t ) + \mathcal { B } ^ { n } ( t ) \mathcal { Y } ^ { n } ( t ) + \mathcal { I } ^ { n } ( t ) \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { Y } ^ { n } ( s ) \, d s \right) . } \end{array}
T _ { \varepsilon } ^ { \prime \prime } ( x ) = \left\{ \begin{array} { c } { \frac { 7 \left( 1 - \varepsilon \right) } { 6 4 \left( 2 x - 1 \right) ^ { 2 } } \sqrt [ 8 ] { 1 - 2 x } ~ f o r ~ x \in \lbrack 0 , \frac { 1 } { 2 } ) } \\ { \frac { - \left( 1 - \varepsilon \right) } { 1 6 x ^ { 2 } \left( 2 x - 1 \right) } \left( 5 6 x - 7 x \sqrt [ 8 ] { 2 x - 1 } + 4 \sqrt [ 8 ] { 2 x - 1 } - 2 8 \right) \allowbreak ~ f o r ~ x \in ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } & { \int _ { \Sigma _ { - } } \eta ( X , N ) \, d \Theta _ { i } ( K , ( X , N ) ) } \\ { = } & { \int _ { { \partial K } _ { - } } \eta ( X , \nu _ { K } ( X ) ) \, d C _ { i } ( K , X ) } \\ { = } & { \int _ { { \partial K } _ { - } } \eta ( X , \nu _ { K } ( X ) ) \left( \frac { 1 } { \sqrt { 1 + | \nabla u ( \mathrm { p r } _ { H } X ) | ^ { 2 } } } \right) ^ { n - i } [ D ^ { 2 } u ( \mathrm { p r } _ { H } X ) ] _ { n - i } \, d \mathcal { H } ^ { n } ( X ) } \\ { = } & { \int _ { \mathrm { d o m } ( u ) } \eta \left( x , u ( x ) , \left( \frac { ( \nabla u ( x ) , - 1 ) } { \sqrt { 1 + | \nabla u ( x ) | ^ { 2 } } } \right) \right) \left( \frac { 1 } { \sqrt { 1 + | \nabla u ( x ) | ^ { 2 } } } \right) ^ { n - i - 1 } [ D ^ { 2 } u ( X ) ] _ { n - 1 } \, d x . } \end{array}
\begin{array} { r } { C _ { p } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { n } { p _ { - } } - \frac { n } { p ^ { + } } ~ ~ ~ ~ ~ ~ r > r _ { 0 } \geq 1 , } \\ { 0 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ r > 1 > r _ { 0 } ~ ~ o r ~ ~ r < r _ { 0 } , } \\ { \frac { n } { p ^ { + } } - \frac { n } { p _ { - } } ~ ~ ~ ~ ~ 1 \geq r > r _ { 0 } . } \end{array} \right. } \end{array}
P _ { k } ( t _ { i } ) = P _ { k } ^ { * } ( t _ { i } ) + \int _ { { s _ { i } } } ^ { s _ { \beta } ^ { * } } { f \left( { d \left( { { \varphi _ { \alpha } } , \theta } \right) } \right) \rho \left( \theta \right) d \theta } + \int _ { s _ { \beta } ^ { * } } ^ { { s _ { \beta } } } { f \left( { d \left( { { \varphi _ { \beta } } , \theta } \right) } \right) \rho \left( \theta \right) d \theta }
d ( F ^ { T } ( \rho _ { 1 } ) , F ^ { T } ( \rho _ { 2 } ) ) \leq d ( F ^ { T } ( \rho _ { 1 } ) , F ^ { T } ( \rho ^ { \prime } ) ) + d ( F ^ { T } ( \rho ^ { \prime } ) , F ^ { T } ( \rho _ { 2 } ) ) \leq C \frac { | x _ { 1 } - x ^ { \prime } | + | x ^ { \prime } - x _ { 2 } | } { J _ { - T } ^ { u } ( \rho _ { T } ) } \leq C \frac { \mathrm { d i a m ~ } J ^ { \prime } } { J _ { - T } ^ { u } ( \rho _ { T } ) }
T = \left( \begin{array} { c c c c c c c c c c } { 0 } & { - 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 1 } & { - 1 } & { 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { - 1 } & { 2 } & { 1 } & { - 2 } & { 1 } & { 2 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { - 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { 3 } & { - 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { - 2 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } & { \frac { ( \Delta t ) ^ { - \alpha } } { \Gamma { ( 2 - \alpha ) } } \left\{ \sum _ { j = 1 } ^ { n } \left( j ^ { ( 1 - \alpha ) } - ( j - 1 ) ^ { ( 1 - \alpha ) } \right) \left( u _ { i } ^ { n - j + 1 } - u _ { i } ^ { n - j } \right) \right\} + c \left( \frac { u _ { i + 1 } ^ { n - 1 } - u _ { i - 1 } ^ { n - 1 } } { 2 \Delta x } \right) + } \\ & { q c \left( \frac { u _ { i - 2 } ^ { n - 1 } - 3 u _ { i - 1 } ^ { n - 1 } + 3 u _ { i } ^ { n - 1 } - u _ { i + 1 } ^ { n - 1 } } { 3 \Delta x } \right) } \\ & { = \gamma \theta \frac { u _ { i + 1 } ^ { n } - 2 u _ { i } ^ { n } + u _ { i - 1 } ^ { n } } { ( \Delta x ) ^ { 2 } } + \gamma ( 1 - \theta ) \frac { u _ { i + 1 } ^ { n - 1 } - 2 u _ { i } ^ { n - 1 } + u _ { i - 1 } ^ { n - 1 } } { ( \Delta x ) ^ { 2 } } + \lambda u _ { i } ^ { n - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { T } ( \theta , \mathcal { S } ) ^ { 2 } } & { = \mathcal { E } _ { T } ^ { i n t 1 } ( \theta , \mathcal { S } _ { i n t } ) ^ { 2 } + \mathcal { E } _ { T } ^ { i n t 2 } ( \theta , \mathcal { S } _ { i n t } ) ^ { 2 } + \mathcal { E } _ { T } ^ { i n t 3 } ( \theta , \mathcal { S } _ { i n t } ) ^ { 2 } + \mathcal { E } _ { T } ^ { t b 1 } ( \theta , \mathcal { S } _ { t b } ) ^ { 2 } } \\ & { + \mathcal { E } _ { T } ^ { t b 2 } ( \theta , \mathcal { S } _ { t b } ) ^ { 2 } + \mathcal { E } _ { T } ^ { t b 3 } ( \theta , \mathcal { S } _ { t b } ) ^ { 2 } + \mathcal { E } _ { T } ^ { s b 2 } ( \theta , \mathcal { S } _ { s b } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tau \left( \mu ( y _ { i } y _ { i + 1 } ) ^ { 3 } \mu ^ { - 1 } \right) } & { = } & { \gamma \left( \rho _ { i _ { 1 } } \ldots \rho _ { i _ { k } } y _ { i } y _ { i + 1 } y _ { i } y _ { i + 1 } y _ { i } y _ { i + 1 } \rho _ { i _ { k } } \ldots \rho _ { i _ { 1 } } \right) } \\ & { = } & { \gamma \left( \bar { \mu } , y _ { i } \right) \gamma \left( \overline { { \mu y _ { i } } } , y _ { i + 1 } \right) \gamma \left( \overline { { \mu y _ { i } y _ { i + 1 } } } , y _ { i } \right) } \\ & { } & { \gamma \left( \overline { { \mu y _ { i } y _ { i + 1 } y _ { i } } } , y _ { i + 1 } \right) \gamma \left( \overline { { \mu y _ { i } y _ { i + 1 } y _ { i } y _ { i + 1 } } } , y _ { i } \right) \gamma \left( \overline { { \mu y _ { i } y _ { i + 1 } y _ { i } y _ { i + 1 } y _ { i } } } , y _ { i + 1 } \right) } \\ & { = } & { \gamma \left( \mu , y _ { i } \right) \gamma \left( \mu \rho _ { i } , y _ { i + 1 } \right) \gamma \left( \mu \rho _ { i } \rho _ { i + 1 } , y _ { i } \right) } \\ & { } & { \gamma \left( \mu \rho _ { i } \rho _ { i + 1 } \rho _ { i } , y _ { i + 1 } \right) \gamma \left( \mu \rho _ { i } \rho _ { i + 1 } \rho _ { i } \rho _ { i + 1 } , y _ { i } \right) \gamma \left( \mu \rho _ { i } \rho _ { i + 1 } \rho _ { i } \rho _ { i + 1 } \rho _ { i } , y _ { i + 1 } \right) } \\ & { = } & { \left( \mu \kappa _ { i , i + 1 } \mu ^ { - 1 } \right) \left( \mu \kappa _ { i , i + 2 } \mu ^ { - 1 } \right) \left( \mu \kappa _ { i + 1 , i + 2 } \mu ^ { - 1 } \right) } \\ & { } & { \left( \mu \kappa _ { i , i + 1 } \mu ^ { - 1 } \right) ^ { - 1 } \left( \mu \kappa _ { i , i + 2 } \mu ^ { - 1 } \right) ^ { - 1 } \left( \mu \kappa _ { i + 1 , i + 2 } \mu ^ { - 1 } \right) ^ { - 1 } } \\ & { = } & { \kappa _ { \mu ( i ) , \mu ( i + 1 ) } \kappa _ { \mu ( i ) , \mu ( i + 2 ) } \kappa _ { \mu ( i + 1 ) , \mu ( i + 2 ) } \kappa _ { \mu ( i ) , \mu ( i + 1 ) } ^ { - 1 } \kappa _ { \mu ( i ) , \mu ( i + 2 ) } ^ { - 1 } \kappa _ { \mu ( i + 1 ) , \mu ( i + 2 ) } ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \hat { s } _ { \alpha } } & { = } & { y _ { \alpha } \left( \prod _ { j \in N ( \alpha ) \setminus i } x _ { i } \right) \left[ 1 - \prod _ { i \in N ( \alpha ) } ( 1 - \hat { w } _ { i \rightarrow \alpha } ) \right] , } \\ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \hat { r } _ { i } } & { = } & { x _ { i } \left[ 1 - \prod _ { \alpha \in N ( i ) } ( 1 - \hat { v } _ { \alpha \rightarrow i } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { K ( u , t ) } & { = 2 \pi \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { u } g ( u ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) u ^ { \prime } \mathrm d u ^ { \prime } \mathrm d t ^ { \prime } } \\ & { = \pi u ^ { 2 } t - \int _ { 0 } ^ { u } \int _ { 0 } ^ { t } \lvert R _ { 0 } ( \| u ^ { \prime } \| / \alpha _ { s } , \lvert t ^ { \prime } \rvert / \alpha _ { t } ) \rvert ^ { 2 } u ^ { \prime } \mathrm d u ^ { \prime } \mathrm d t ^ { \prime } . } \end{array}
\left( \begin{array} { l l l } { \frac { 1 } { \Delta t } ( M + \tilde { \kappa } _ { \mathrm { B C } } M _ { \mathrm { B C } , h _ { e } } ) + \kappa _ { \perp } L } & & { \sqrt { \kappa _ { \Delta } } G _ { b } ^ { T } } \\ { - \sqrt { \kappa _ { \Delta } } G _ { b } } & & { M } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { T _ { h } ^ { n + 1 } } \\ { \zeta _ { h } ^ { n + 1 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { F _ { T } } \\ { F _ { \zeta } } \end{array} \right) ,
\mathcal { L } ( \boldsymbol { \mathcal { G } } ) \leq \widehat { \mathcal { L } } _ { \mathrm { S } } ( \boldsymbol { \mathcal { G } } ) + 2 \mathfrak { R } _ { \mathrm { S } } ^ { n } ( \mathscr { F } _ { \boldsymbol { \mathscr { G } } } ) + ( \rho R + R _ { u } ) \sqrt { \frac { 2 \delta } { n } } , \quad \forall \boldsymbol { \mathcal { G } } \in \boldsymbol { \mathscr { G } } ,
\begin{array} { r l } { \nabla _ { y } f _ { k } ^ { ( j ) } \left( y , z \right) } & { = \nabla _ { y } \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \phi \left( X _ { i } - z _ { j } \right) } { \sum _ { l = 1 } ^ { m } y _ { l } \phi \left( X _ { i } - z _ { l } \right) } e _ { k } ^ { \top } \left( X _ { i } - z _ { j } \right) } \\ & { = - \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \phi \left( X _ { i } - z _ { j } \right) } { \left[ \sum _ { l = 1 } ^ { m } y _ { l } \phi \left( X _ { i } - z _ { l } \right) \right] ^ { 2 } } e _ { k } ^ { \top } \left( X _ { i } - z _ { j } \right) \left[ \begin{array} { c } { \phi \left( X _ { i } - z _ { 1 } \right) } \\ { \vdots } \\ { \phi \left( X _ { i } - z _ { m } \right) } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r } { { 3 } } & { s _ { 0 } = 0 , \qquad } & & { { \mathcal S } = A H - \frac { \big ( \alpha ^ { 2 } \big ) ^ { \prime } } { 2 } ( \partial _ { y } A ) P _ { x } P _ { y } + \frac 1 2 \big ( \alpha ^ { 2 } \partial _ { y } ^ { 2 } A - \big ( \alpha ^ { 2 } \big ) ^ { \prime \prime } A \big ) P _ { y } ^ { 2 } , } & \\ & { s _ { 0 } = \pm 1 , \qquad } & & { { \mathcal S } = A H - \frac { \big ( \alpha ^ { 2 } \big ) ^ { \prime } } { 2 } ( \partial _ { y } A ) P _ { x } P _ { y } - \frac { s _ { 0 } } { 2 } \big ( \alpha ^ { 2 } - a _ { 0 } \big ) A P _ { y } ^ { 2 } . } & \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \begin{array} { c c } { - e ^ { F } \displaystyle \frac { \partial F } { \partial x _ { 1 } } } & { 1 - e ^ { F } \displaystyle \frac { \partial F } { \partial y } } \\ { - e ^ { F } \displaystyle \frac { \partial F } { \partial x _ { 1 } } \frac { \partial F } { \partial y } - e ^ { F } \displaystyle \frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial y \partial x _ { 1 } } } & { - e ^ { F } \left( \displaystyle \frac { \partial F } { \partial y } \right) ^ { 2 } - e ^ { F } \displaystyle \frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial y ^ { 2 } } } \end{array} \right| } & { = e ^ { 2 F } \left| \begin{array} { c c } { \displaystyle \frac { \partial F } { \partial x _ { 1 } } } & { 0 } \\ { \displaystyle \frac { \partial F } { \partial x _ { 1 } } \frac { \partial F } { \partial y } + \frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial y \partial x _ { 1 } } } & { \left( \displaystyle \frac { \partial F } { \partial y } \right) ^ { 2 } + \displaystyle \frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial y ^ { 2 } } } \end{array} \right| } \\ & { = e ^ { 2 F } \displaystyle \frac { \partial F } { \partial x _ { 1 } } \left( \left( \frac { \partial F } { \partial y } \right) ^ { 2 } + \displaystyle \frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial y ^ { 2 } } \right) } \end{array}
( \mathcal { P } _ { a , M } { \widehat { u } } ) _ { m \ell } ^ { ( a \omega ) } : = R ^ { \star } { \widehat { u } } _ { m \ell } ^ { ( a \omega ) } + \omega ^ { 2 } { \widehat { u } } _ { m \ell } ^ { ( a \omega ) } - V _ { 0 } { \widehat { u } } _ { m \ell } ^ { ( a \omega ) } - V _ { 1 } { \widehat { u } } _ { m \ell } ^ { ( a \omega ) } = H _ { m \ell } ^ { ( a \omega ) } ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } w _ { j } ^ { 2 } \sum _ { k = j + 1 } ^ { n } ( a _ { k - j - 1 } ^ { ( k ) } - a _ { k - j } ^ { ( k ) } ) = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } w _ { j } ^ { 2 } \Big [ a _ { 0 } ^ { ( j + 1 ) } + \sum _ { k = j + 1 } ^ { n - 1 } ( a _ { k - j } ^ { ( k + 1 ) } - a _ { k - j } ^ { ( k ) } ) - a _ { n - j } ^ { ( n ) } \Big ] } \\ { \le } & { \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } a _ { 0 } ^ { ( j + 1 ) } w _ { j } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \Delta b _ { t } ^ { n , 2 } | } & { \leq \eta \mathcal { W } _ { 1 } ( \widehat { \mu } _ { t } ^ { n - 1 } , \mu _ { t } ) = \eta \mathcal { W } _ { 1 } ( \mathcal { K } _ { n - 1 } ( \delta _ { \widehat { X } _ { t } ^ { i } } ) , \mu _ { t } ) } \\ & { \leq \eta \mathcal { W } _ { 1 } ( \mathcal { K } _ { n - 1 } ( \delta _ { \widehat { X } _ { t } ^ { i } } ) , \mathcal { K } _ { n - 1 } ( \delta _ { \widehat { Y } _ { t } ^ { i } } ) ) + \eta \mathcal { W } _ { 1 } ( \mathcal { K } _ { n - 1 } ( \delta _ { \widehat { Y } _ { t } ^ { i } } ) , \mu _ { t } ) } \\ & { \leq \eta \mathcal { K } _ { n - 1 } ( | \Delta _ { t } ^ { i } | ) + C \eta \theta _ { n } ^ { \frac { 1 } { d + 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( e _ { 1 1 } ) } & { \cong ( a _ { e } + a _ { ( 1 2 ) } + a _ { ( 1 3 ) } + a _ { ( 2 3 ) } + a _ { ( 1 2 3 ) } + a _ { ( 1 3 2 ) } ) 1 \oplus ( a _ { e } + a _ { ( 2 3 ) } ) \mathrm { I d } _ { d - 1 } } \\ & { \oplus \left( \bigoplus _ { j = 2 } ^ { d } \left[ \begin{array} { l l } { a _ { e } + a _ { ( 1 2 ) } } & { a _ { ( 2 3 ) } + a _ { ( 1 2 3 ) } } \\ { a _ { ( 2 3 ) } + a _ { ( 1 3 2 ) } } & { a _ { e } + a _ { ( 1 3 ) } } \end{array} \right] \right) \oplus \left( \bigoplus _ { 2 \leq i < j \leq d } \left[ \begin{array} { l l } { a _ { e } } & { a _ { ( 2 3 ) } } \\ { a _ { ( 2 3 ) } } & { a _ { e } } \end{array} \right] \right) } \end{array}
